Dissertação
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
VITOR DE LIMA ALVES
O TEOREMA DE RUELLE
Maceió
2017
VITOR DE LIMA ALVES
O TEOREMA DE RUELLE
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Krerley Irraciel
Martins de Oliveira
Maceió
2017
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
A472t
Alves, Vitor de Lima.
O teorema de Ruelle / Vitor de Lima Alves. – 2017.
43 f.
Orientador: Krerley Irraciel Martins de Oliveira.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática, Maceió, 2017.
Bibliografia: f. 43.
1. Teoria ergódica. 2. Sistemas dinâmicos. 3. Estado de equilíbrio. I. Título.
CDU: 519.218.84
SUMÁRIO
Sumário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1
1.1
1.2
1.3
1.4
TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS . . . . . . . . . . . . .
9
Transformações Expansoras em Variedades Compactas . . . . . 9
Topologia Fraca* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Conclusão da Prova do Teorema 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Aplicações Expansoras em Espaços Métricos Compactos . . . . 19
2
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.2
2.2.1
2.2.2
2.3
2.4
2.5
TEOREMA DE RUELLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Entropia de uma Partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Entropia de um Sistema Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fórmula de Rokhlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definição e Princípio Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estado de Equilíbrio e o Teorema de Ruelle . . . . . . . . . . . . . . .
O Operador de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estado de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aplicação em Variedades Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
21
21
22
22
22
23
24
25
34
A
A.1
A.2
A.3
A.4
EXISTÊNCIA DE MEDIDAS INVARIANTES . . . . . . . . .
Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operadores Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Existência de Medidas Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prova do Teorema A.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
36
38
38
41
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Resumo
Neste trabalho, nós vamos estudar um belo resultado que é conhecido como Teorema
de Ruelle. O resultado afirma que dados uma transformação expansora topologicamente
exata num espaço métrico compacto e um potencial Hölder, existe um único estado de
equilíbrio para este potencial. Antes disso, mostraremos que dada uma aplicação expansora numa variedade riemanniana compacta com jacobiano Hölder, existe uma única
medida ergódica µ absolutamente contínua com relação à medida de Lebesgue da variedade. Para finalizarmos, provaremos que se tomarmos no caso da em que o espaço é uma
variedade o potencial como sendo o jacobiano, então o estado de equilíbrio será µ.
Palavras-Chave: Teoria Ergódica; Sistemas Dinâmicos; Estado de Equilíbrio.
Abstract
In this work, we are going to study a beautiful result that is called Ruelle’s Theorem. The
result states that given a topologically exact expanding map and a Hölder Potencial in a
compact metric space, then there exists an unique equilibrium state for this potencial. Before, we will show that given an expanding map in a compact riemannian manifold with
Holder jacobian, then there exists an unique ergodic measure µ absolutely continuous
with relation to the Lebesgue measure of the manifold. Finally, we will show that if consider the case in the Ruelle’s Theorem in that the compact metric space is a manifold and
the jacobain as potencial, then the ergodic measure µ is the equilibrium state for this case.
Keywords: Ergodic Theory; Dynamical Systems; Equilibrium State
7
INTRODUÇÃO
Em 1975, P. Walters mostrou o seguinte resultado:
P (ψ, f ) = sup{hµ (f ) +
Z
ψ dµ : µ ∈ M1 (f )},
(1)
onde P (ψ, f ) é a pressão do potencial ψ relativamente a f .
A primeira pergunta que surge do resultado acima é se para todos f e ψ sempre existe
alguma medida de probabilidade que atinge o supremo na igualdade acima. Uma tal
medida é chamada de Estado de Equilíbrio. Gurevič e Walters mostraram exemplos no
qual o supremo não é atingido. Visto isso, outra pergunta que surge é a seguinte: Sob quais
hipóteses em f e em ψ existe uma medida de probabilidade acima µ tal que o supremo
acima é atingido? David Ruelle respondeu esta pergunta para uma classe importante
de sistemas dinâmicos, que são as transformações expansoras topologicamente exata em
espaços métricos compactos. Além desta hipótese, assumiu que o potencial é Hölder, que
é uma condição técnica. Este resultado ficou conhecido como Teorema de Ruelle e tem
o seguinte enunciado:
Seja f : M → M uma transformação expansora topologicamente exata. Seja
φ : M → R um potencial Hölder. Existe um único estado de equilíbrio ergódico para φ.
Além disso, esta medida está suportada em todo M .
Para provarmos este resultado, vamos começar estudando o Operador de PerronFrobenius L : C 0 (M ) → C 0 (M ) e utilizar o fato do dual C 0 (M )∗ está biunivocamente
associado aos espaços das medidas borelianas em M para mostrar que L∗ admite uma
automedida ν associada a um autovalor positivo λ. Depois, mostraremos que esta automedida é um Estado de Gibbs. Usando resultados preliminares à demonstração de que
a automedida é um Estado de Gibbs e o teorema de Ascoli-Arzelá, mostraremos que L
admite uma autofunção h associada ao autovalor λ. A medida µ = hν. Para concluirmos,
R
mostraremos que hµ f + φ dµ = log λ. Para mostrarmos que log λ = P (f, φ) utilizando a
Fórmula de Rohklin. A unicidade seguirá pelo fato de que todos os estados de equilíbrios
para esta dinâmica são equivalentes e que se nós temos duas medidas equivalente, onde
uma é ergódica e a outra é invariante, então elas são iguais.
Antes disso, no primeiro capítulo, nós vamos mostrar o seguinte resultado:
Seja f : M → M uma aplicação expansora em uma variedade compacta e conexa M . Se
o jacobiano det df é Holder, então f admite uma probabilidade invariante µ, que
também é ergódica e absolutamente contínua com relação à medida de Lebesgue m.
SUMÁRIO
8
Como aplicação do Teorema de Ruelle, vamos mostrar que a medida µ obtida no
resultado acima é o estado de equilíbrio para o potencial φ = − log | det df |. Para finalizar,
R
mostraremos que a entropia hµ f = log | det df | dµ.
9
1 TRANSFORMAÇÕES
RAS
1.1
EXPANSO-
Transformações Expansoras em Variedades Compactas
Neste capítulo, chamaremos de medida de Lebesgue de uma variedade Riemanniana M à
medida de volume associada a métrica de M .
Definição 1.1. Dadas uma variedade Riemanniana Compacta M e f : M → M uma
aplicação de classe C 1 , dizemos que f é expansora se existe σ > 1 tal que
||dfp v|| ≥ σ||v||
(1.1)
para todos p ∈ M e v ∈ Tp M .
Em particular, f é um difeomorfismo local.
Exemplo 1.1 (Endomorfismos Lineares do Toro). O toro de dimensão n é definido como
sendo Tn = Rn /Zn , isto é, é o conjunto das classes de equivalência definida em Rn por
x ∼ y ⇔ x − y ∈ Rn . Temos que a projeção π : Rn → Tn dada por π(x) = [x] dá a
Tn uma estrutura de variedade diferenciável de dimensão n. . Agora, seja A uma matriz
n x n com coeficientes inteiros e invertível. Temos que A(Zn ) ⊂ Zn . Logo, A induz uma
aplicação
fA : Tn → Tn ,
fA ([x]) = [A(x)].
Primeiro, podemos notar que π ◦ A = fA ◦ π. Suponhamos agora que todos os autovalores
λ1 , . . . , λn sejam reais e tais que |λi | > 1, i = 1, . . . , n. Seja σ real tal que 1 < σ <
min |λi |. Tomando a base que deixa a transformação linear A na forma canônica de
Jordan, podemos tomar o produto interno que deixa essa base ortonormal. Esse produto
satisfaz |Av| ≥ σ|v|. Além disso, sabemos que pi induz uma métrica riemanniana em Tn
que torna π uma isometria local, onde estamos tomando em Rn a norma induzida pelo
produto interno definido acima. Como π é uma isometria local, temos que dado [x] ∈ Tn ,
π −1 está definido numa vizinhança de W de [x] e também é uma isometria local. Sejam
V = π −1 (W ) . Logo, dado [x] ∈ Tn e v ∈ T[x] Tn , temos que, reduzindo W se necessário,
σ|v| = σ dπ −1 ([x])v ≤ A(dπ −1 ([x])v) = dπf−1
dfA ([x])v = |dfA ([x])v| .
A ([x])
Portanto, fA é uma transformação expansora.
Capítulo 1. Transformações Expansoras
10
Seja (M, M, µ) um espaço de medida. Dada f : M → M uma aplicação mensurável,
dizemos que µ é invariante por f ou que f preserva µ se µ(f −1 (A)) = µ(A), para todo A
mensurável.
O objetivo deste capítulo é provar o seguinte teorema:
Teorema 1.1. Seja f : M → M uma aplicação expansora em uma variedade compacta e
conexa M . Se o jacobiano det df é Holder, então f admite uma probabilidade invariante
µ, que também é ergódica e absolutamente contínua com relação à medida de Lebesgue m.
A definição de medida invariante foi dada no apêndice.
A prova deste teorema seguirá como consequência de alguns resultados preliminares.
Lema 1.1. Sejam f : M → M um difeomorfismo local em uma variedade compacta e
conexa M e σ > 0 um minorante para ||df −1 ||−1 . Então existe k ≥ 1 tal que #f −1 (y) = k,
para todo y ∈ M . Ademais, existe r > 0 tal que, para todo x ∈ f −1 (y), existe uma
aplicação h : B(y, r) → M de classe C 1 tal que f ◦ h = id, h(y) = x e
d(h(y1 ), h(y2 )) ≤ σd(y1 , y2 ),
(1.2)
para todos y1 , y2 ∈ B(y, r)
Demonstração. Como f é um difeomorfismo local, então ela é uma aplicação aberta. Além
disso, como M é compacta e de Hausdorff, segue-se que f é uma aplicação fechada. Como
M é conexo, temos que f (M ) = M . M compacto implica que a imagem inversa f −1 (y) é
um conjunto compacto, para todo y ∈ M . Logo, f é uma aplicação própria. Como f é
própria, sobrejetiva e M é conexa, existe n ∈ N tal que #f −1 (y) = n, para todo y ∈ M .
Além disso, f é uma aplicação de recobrimento.
Pelo teorema da função inversa, para todo x ∈ M , existe uma vizinhança V (x) de x
e r(x) > 0 tal que f |V (x) é um difeomorfismo sobre a bola de centro y = f (x) e raio r(x).
Como f é um recobrimento, podemos tomar V (x) e V (z) satisfazendo V (x) ∩ V (z) = ∅,
para todos x, y ∈ f −1 (y), onde y ∈ M . Afirmamos que r pode ser tomado de forma
}x∈M forma uma cobertura
independente de x. De fato, temos que a família {B(f (x), r(x)
2
de M , pois f é sobrejetiva. Como M é compacto, existem x1 , x2 , . . . , xn ∈ M tais que
{B(f (xi ), r(x2 i ) }ki=1 e {V (xi )}ki=1 são coberturas de M . Seja r = min r(x2 i ) . Dado x ∈ M ,
i
B(f (xj ), r(x2j ) )
existe xj tal que y ∈
e x ∈ V (xj ), onde y = f (x). Daí, B(y, r) ⊂
B(f (xk ), rxk ). Logo, existe uma vizinhança W (x) de x tal que f |W (x) é um difeomorfismo
sobre B(y, r). Portanto, podemos tomar r uniforme.
−1
Defina h = (f |V (x) )−1 . Temos que ||dhz || = ||dfh(z)
|| ≤ σ −1 , para todo z ∈ B(y, r).
Pela desigualdade do valor médio, temos que
d(h(z1 ), h(z2 )) ≤ σ −1 d(z1 , z2 ),
(1.3)
Capítulo 1. Transformações Expansoras
11
para todos z1 , z2 ∈ B(y, r).
Todas as aplicações h que satisfazem as hipóteses do lema acima são chamadas de
ramos inversos de f . O número k de pré-imagens é chamado de grau da aplicação f .
Se f é uma aplicação expansora, então, como σ > 1, temos que os ramos inversos são
contrações. Daí, podemos definir ramos inversos hn de qualquer iterado f n da seguinte
forma: dado y ∈ M e x ∈ f −n (y), sejam h1 , h2 , . . . , hn ramos inversos de f com
hi (f n−i+1 (x)) = f n−i (x),
(1.4)
para todo 1 ≤ i ≤ n. Como cada hi é uma contração, segue-se que a sua imagem está
contida numa bola de raio menos que r e centro f n−i (x). Logo, hn está bem definida.
Temos também que f n ◦ hn = id, hn (y) = x e
d(hn (y1 ), hn (y2 ) ≤ σ −n d(y1 , y2 )
(1.5)
Agora vamos usar a hipótese de que o Jacobiano é Holder. Primeiro, notemos que
|det dfp | é maior que 0 para todo p ∈ M , pois M é compacto. Além disso, |log | det fp |
possui limitações inferior e superior maiores do que 0 e infinito, respectivamente. Logo,
|log | det fp | é Holder, ou seja, existem constantes positivas C e v > 0 tais que
|log|detdfp | − log|logdfq || ≤ Cd(p, q)v ,
(1.6)
para todos p, q ∈ M .
Lema 1.2 (Lema da distorção). Existe C1 > 0 tal que, qualquer n ≥ 1, qualquer q ∈ M
e qualquer ramo inverso hn : B(q, r) → M de f n , tem-se
log
det dhn (y1 )
≤ C1 d(y1 , y2 )v ≤ C1 (2r)v ,
det dhn (y2 )
para todos y1 , y2 ∈ B(q, r).
Demonstração. Vamos escrever hi = hi ◦ · · · h1 , para todo 1 ≤ i ≤ n, bem como h0 = id.
Pela regra da cadeia, temos que
dhnyj =
n
X
dhi (hi−1 (yj )),
(1.7)
i=1
j = 1, 2. Daí, como o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes, segue-se que
n
n
X
X
det dhny1
i−1
log
=
log det dhi (h (y1 )) −
log det dhi (hi−1 (y2 ))
n
det dhy2
i=1
i=1
(1.8)
Capítulo 1. Transformações Expansoras
12
Sabemos que det dhi = ((det ) ◦ hi )−1 . Daí, segue pelo Lema 1.1 e por 1.8 que
log
n
n
X
X
det dhny1
i
i
v
≤
Cd(h
(y
),
h
(y
)
≤
Cσ −iv d(y1 , y2 ).
1
2
det dhny2
i=1
i=1
Agora, basta tomar C1 =
Pn
i=1 Cσ
−iv
e o lema está provado.
Corolário 1.1. Existe C2 > 0 tal que, para todo y ∈ M e quaisquer conjuntos mensuráveis
B1 , B2 ⊂ B(y, r) tem-se
1 m(B1 )
m(hn (B1 ))
m(B1 )
≤
≤ C2
.
n
C2 m(B2 )
m(h (B2 ))
m(B2 )
Demonstração. Pelo teorema da mudança de variáveis, temos que
n
m(h (Bi )) =
Z
|det dhn (y)| dm,
Bi
para i = 1, 2. Daí, pelo Lema 1.2,
m(hn (B1 )) ≤ exp (C1 (2r)v ) |det dhn (y)|m(B1 ),
(1.9)
m(hn (B2 )) ≥ exp (−C1 (2r)v ) |det dhn (y)|m(B2 ).
(1.10)
Agora, tomando C2 = exp (2C1 (2r)v ) e dividindo as desigualdades, temos que:
m(B1 )
m(hn (B1 ))
≤ C2
n
m(h (B2 ))
m(B2 )
Agora, basta trocarmos os pápeis de B1 e B2 e o corolário está provado.
O próximo corolário dá uma desigualdade muito importante para o nosso resultado.
Corolário 1.2. Existe C3 > 0 tal que (f∗n m)(B) ≤ C3 m(B), para todo mensurável B ⊂
M , onde (f∗n m)(B) é definido por (f∗n m)(B)) = m(f −n (B)).
Demonstração. Vamos supor, sem perda de generalidade, que B ⊂ B0 = B(y, r), para
algum y ∈ M . Pelo Corolário 2.1, temos que
m(hn (B))
m(B)
≤ C2
.
n
m(h (B0 ))
m(B0 )
Note que m(f −n (B)) é igual a soma das medidas de todos os ramos inversos m(hn (B)),
pois f n ◦ hn = id e, além disso, as imagens de ramos inversos distintos são distintas, pois
caso contrário existiria um ponto z ∈ B cuja quantidade de pré-imagens menor que o
grau de f n . Daí,
(f∗n m)(B)
m(B)
≤ C2
.
n
(f∗ m)(B0 )
m(B0 )
(1.11)
Capítulo 1. Transformações Expansoras
13
Sabemos que (f∗n (B0 )) ≤ 1. Além disso, sabemos que o volume de bolas são com o mesmo
raio são iguais. Daí, m(B0 ) = α, onde α não depende de y. Agora, tomando C3 = C2 α−1 ,
temos que
(f∗n m)(B) ≤ C3 m(B).
1.2
Topologia Fraca*
Todas as demonstrações omitidas nesta seção podem ser encontradas em [[KOMV]]. Para
continuarmos a prova do Teorema 1.1, vamos introduzir uma métrica no conjunto das
probabilidade num espaço métrico qualquer M e falar sobre uma prova alternativa para
o Teorema A.1, Nesta seção. M denotará um espaço métrico qualquer. Seja M1 (M ) o
conjunto das medidas borelianas de probabilidade em M . Dada µ ∈ M, um conjunto de
funções Φ = {φ1 , . . . , φn } contínuas e limitadas e > 0, seja
V (µ, Φ, ) = {v ∈ M1 (M ) :
Z
φi dv −
Z
φi dµ , para todo i }.
Como a interseção de dois conjuntos dessa forma contém um conjunto desssa forma
e µ ∈ V (µ, Φ, ), temos que a família {V (µ, Φ, )} pode ser tomada como base de uma
topologia. A esta topologia nós daremos o nome de Topologia fraca∗ . Uma observação
importante é que esta topologia é Hausdorff, o que implica que a noção de convergência
de sequências está bem definida.
Proposição 1.1. Uma sequência (µn )n∈N converge para uma medida µ ∈ M(M ) se, e
somente se,
Z
φ dµn →
Z
φ dµ,
para toda φ : M → R contínua e limitada.
Chamamos de conjunto de continuidade de uma probabilidade µ todo boreliano B
cujo bordo tem medida nula para µ. Dada uma família B = {B1 , . . . , Bn } de borelianos
de continuidade de µ, seja
Vc (µ, B, ) = {ν ∈ M1 (M ) : |µ(Bi ) − ν(Bi )| < , para todo i}.
(1.12)
Temos que conjuntos da forma Vc (µ, B, ) formam uma base de uma topologia em M1 (M ).
Esta topologia é Hausdorff. Além disso, temos que n→∞
lim µn = µ se, e somente se,
lim µn (B) = µ(B), para todo conjunto de continuidade de µ.
n→∞
Proposição 1.2. A topologia gerada por (2.12) é equivalente à topologia fraca*.
Capítulo 1. Transformações Expansoras
14
Uma das perguntas mais interessantes que podemos fazer é perguntar se a topologia
fraca* é metrizável, isto é, se existe uma métrica d tal que a topologia gerada por esta
métrica é equivalente a topologia fraca*. Uma das condições suficientes para que isso
aconteça é que o M seja separável.
Dados µ, ν ∈ M1 (M ), defina D(µ, ν) como sendo o ínfimo dos δ > 0 tais que
µ(B) < ν(B δ ) + δ e ν(B) < µ(B δ ) + δ,
para todo boreliano B,onde B δ = {x ∈ M : d(x, B) < δ}.
D é uma métrica, pois se D(µ, ν) = 0, então µ(F ) = ν(F ), para todo fechado F ⊂ M .
Como elas coincidem nos fechados, segue-se que elas são iguais. Agora, sejam η, µ, ν. Se
δ1 , δ2 > 0 são tais que µ(B) < ν(B δ1 ) + δ1 , ν(B δ1 ) < η(B δ1 +δ2 ) + δ2 , para todo boreliano
B, então µ(B) < η(B δ1 +δ2 ) + δ1 + δ2 . De maneira análoga, provamos que se δ1 , δ2 > 0
satisfazem η(B) < ν(B δ1 ) + δ1 , ν(B δ1 ) < µ(B δ1 +δ2 ) + δ2 para todo boreliano B, então
η(B) < µ(B δ1 +δ2 ) + δ1 + δ2 . Logo, D(µ, η) ≤ D(µ, ν) + D(ν, η). Portanto, D é uma
métrica.
Esta métrica é chamada de métrica de Levy-Prohosov.
Proposição 1.3. Se M é um espaço métrico separável, então a topologia induzida pela
métrica D é equivalente a topologia fraca* em M1 (M ).
Dada uma medida µ em M e uma aplicação mensurável f : M → M , podemos definir
a medida f∗ ν da seguinte maneira:
f∗ ν(B) = ν(f −1 (B))
(1.13)
para todo boreliano B. Assim, podemos definir a função f∗ : M(M ) → M1 (M ), que
associa a cada µ ∈ M1 (M ) à medida f∗ µ ∈ M1 (M ).
Proposição 1.4. Seja f : M → M contínua. Temos que f∗ : M1 (M ) → M1 (M ) é
contínua com relação à topologia fraca*.
Quando M é compacto, a topologia fraca* tem uma propriedade interessante, que é a
seguinte:
Teorema 1.2. Se M é compacto, então M1 (M ) é compacto na topologia fraca*.
Dado um espaço métrico M , seja f : M → M uma aplicação contínua, sabemos que
a partir de f , de todo natural n e de uma medida boreliana de probabilidade ν, podemos
definir uma medida f∗n ν, definida por f∗n ν(B) = ν(f −n (B)), para todo boreliano B. A
partir dessa sequência, podemos definir outra sequência da seguinte forma
µn =
A partir disso, enunciamos o
n
1X
f j ν.
n i=1 ∗
(1.14)
Capítulo 1. Transformações Expansoras
15
Teorema 1.3. Se M é um espaço métrico compacto, então todo ponto de acumulação de
uma sequência (µn )n∈N como em (1.14) é uma medida boreliana de probabilidade invariante por f , isto é, f∗ tem ponto fixo.
1.3
Conclusão da Prova do Teorema 1.1
Proposição 1.5. Seja µ uma medida finita num espaço métrico M . Para todo F fechado,
existe um conjunto finito ou infinito enumerável E tal que
µ{x ∈ M : d(x, F ) = r} = 0, para todo r ∈ (0, ∞) \ E.
Demonstração. Seja F r = {x ∈ M : d(x, F ) = r}. Primeiro, note que se r1 6= r2 , então
F r1 ∩ F r2 = ∅. Suponha que exista E ⊂ (0, ∞) não-enumerável tal que µ(F r ) 6= 0, para
todo r ∈ E. Como E é não-enumerável, existe s ∈ E tal que s é ponto de acumulação de
E, isto é, existe (ri )i∈N ⊂ E tal que lim ri = s. Segue daí que lim µ(F ri ) = µ(F s ). Além
i→∞
i→∞
disso, sabemos que
µ
[
i∈N
F ri =
∞
X
µ(F ri ) ≤ µ(M ) < ∞.
(1.15)
i=1
Logo, lim µ(F ri ) = 0, o que implica µ(F s ) = 0, o que é um absurdo. Portanto, E é finito
i→∞
ou infinito enumerável.
Sabemos que dado um espaço mensurável X, µ uma medida em X e φ : X → R
integrável com respeito à µ, então podemos definir a medida (φν), que é definida por
R
φν(B) = B φdν.
Lema 1.3. Seja ν uma probabilidade num espaço métrico compacto N e φ : N → [0, ∞)
contínua. Seja (µi )i∈N é uma sequência de probabilidades em N que converge para µ na
topologia fraca*. Se µi ≤ φν, para todo i, então µ ≤ (φν).
Demonstração. Seja B um boreliano qualquer.Como φ é limitada, existe S maior que 1
tal que |φ| ≤ Como todo espaço métrico compacto é separável e completo, para todo
> 0 existe K ⊂ B tal que µ(B)(B \ K ) < S −1 < . Logo, (φµ)(B \ K ) < SS −1 = .
Seja agora uma vizinhança aberta A uma vizinhança de K da forma A = {x ∈ N :
d(x, N ) < r}, de modo que r seja suficiente para que µ(A \ K ) < e (φν)(A \ K ) < .
Pela Proposição 1.5, podemos tomar r de modo que o bordo de A tenha medida nula.
Logo, A é um conjunto de continuidade com respeito a µ.Daí, como a topologia gerada
pelos conjuntos definidos em (1.12) é equivalente à topologia fraca*, temos que A é
um conjunto de continuidade com respeito a µ. Logo, lim µi = µ implica que µ(A ) =
lim µi (A ) ≤ (φν)(A ). Como lim µ(K ) = µ(B) e lim (µ(A ) − µ(K )) = 0, segue-se
→0
→0
que lim µ(A ) = µ(B). De forma análoga, temos que lim(φν)(A ) = (φν)(B). Portanto,
→0
→0
µ(B) ≤ (φν)(B), como queríamos demonstrar.
Capítulo 1. Transformações Expansoras
16
Vamos aplicar este lema ao nosso caso:
Corolário 1.3. Seja f : M → M uma transformação expansora numa variedade compacta
e conexa, então existe uma medida invariante µ invariante por f absolutamente contínua
com relação à medida de Lebesgue.
1 n−1
P i
(f m). Pelo Corolário 1.2, temos que
n i=0 ∗
µn ≤ C3 m. Sabemos que todo ponto de acumulação de (µn )n∈N é uma medida invariante.
Seja µ um ponto de acumulação desta sequência. Pelo Lema 1.3, segue-se que µ ≤ C3 m,
ou seja, µ é absolutamente contínua com relação a medida de Lebesgue m.
Demonstração. Considere a sequência µn =
Agora resta mostrar que a medida µ construída no Corolário 1.3 é a única probabilidade invariante absolutamente contínua com relação à medida de lebesgue m e que, além
disso, µ é ergódica para f .
Fixada uma partição P = {U1 , . . . , Us } de M e interior não-vazio e diâmetro menor
do que r, para cada n ≥ 1, definimos Pn como sendo a partição formadas pelas imagens
de Ui , onde 1 ≤ i ≤ s, pelos seus respectivos ramos inversos. Afirmamos que Pn é uma
partição. De fato, por construção, as imagens de dois ramos inversos de Ui são distintas.
Sejam hni e hnj ramos inversos de Ui e Uj , respectivamente. Temos que, pelo teorema da
mudança de variáveis,
Z
n
f n (hn
i (Ui )∩hj (Uj ))
dm =
Z
|det df n |dm = 0
Ui ∩Uj
Como M é compacta, |det df n | é limitado inferiormente por uma constante positiva. Daí,
m hni (Ui ) ∩ hnj (Uj ) = 0. Segue-se de (1.5) que diam(Pn ) ≤ rσ −n , ou seja, lim diam(Pn ) =
n→∞
0.
Lema 1.4. Seja Pn , n ≥ 1, uma sequência de partições num espaço métrico compacto
tal que lim diam(Pn ) = 0. Para todo mensurável B tal que ν(B) > 0, onde ν é uma
n→∞
probabilidade neste espaço métrico. Então existem Vn ∈ Pn , tais que
ν(Vn ) > 0 e
ν(B ∩ Vn )
→ 1.
ν(Vn )
Demonstração. Tome > 0 tal que 0 < < ν(B). Como o espaço métrico é compacto,
existe um compacto K ⊂ B tal que ν(B \ K ) < . Como lim diam (Pn ) = 0, definindo
n→∞
como K,n a união de todos os elementos de Pn que intersectam K , temos que ν(K,n \
K ) < para n suficientemente grande. Suponha que
ν(K ∩ Vn ) ≤
ν(B) −
ν(Vn ),
ν(B) +
Capítulo 1. Transformações Expansoras
17
para todo Vn ∈ Pn que intersecta K . Daí,
ν(K ) =
X
ν(K ∩ Vn )
Vn ∈Kn,
≤
ν(B) −
ν(Vn )
Vn ∈Kn, ν(B) +
X
ν(B) −
ν(K,n )
ν(B) +
ν(B) −
≤
(ν(K ) + )
ν(B) +
≤ ν(B) −
=
< ν(K ),
o que é um absurdo. Daí, existe Vn ∈ P tal que
ν(Vn ) ≥ ν(Vn ∩ B) ≥ ν(K ∩ Vn ) >
ν(B) −
ν(Vn ).
ν(B) +
Logo, ν(Vn ) > 0. Além disso,
1≥
ν(Vn ∩ B)
ν(B) −
≥
.
ν(Vn )
ν(B) +
Portanto, fazendo → 0 obtemos o desejado.
Dada uma aplicação g : N → N , dizemos que um conjunto A ⊂ N é invariante por f
se g(A) = A µ-quase todo ponto, ou, equivalentemente, g −1 (A) = A µ-quase todo ponto.
Lema 1.5. Dada uma partição P = {U1 , . . . , Us } Se um conjunto A ⊂ M é invariante
por f , então existe Ui tal que A tem medida de Lebesgue total em Ui .
Demonstração. Pelo Lema 1.4, existe Vn ∈ Pn tal que VnV\A
converge para 0 quando
n
n
n
n → ∞. Seja Ui(n) = f (Vn ). Como A é invariante e f \ f (A) ⊂ f n (Vn \ A) e A é
invariante, temos que, pelo Corolário 1.1,
m(Ui(n) \ A)
m(f n (Vn \ A))
m(Vn \ A)
≤
≤ C2
.
n
m(Ui(n) )
m(f (Vn ))
m(Vn )
m(U
\A)
Logo, lim m(Ui(n)
= 0. Como existem infinitos i0 s, temos que existe i tal que i(n) = i,
i(n) )
n→∞
para infinitos valores de n. Portanto, tomando esta subsequência obtemos o desejado.
Lema 1.6. f é topologicamente exata, ou seja, dado um aberto U ⊂ M , existe N ≥ 1 tal
que f N (U ) = M .
Capítulo 1. Transformações Expansoras
18
Demonstração. Seja x ∈ U e s > 0 tal que B(x, s) ⊂ U . Suponha, sem perda de
generalidade, que s < r. Seja N > 0 tal que F N (U ) 6= M . Dado y ∈ M \ f N (B(x, r)),
seja γ : [a, b] → M uma geodésica minimizante tal que γ(a) = f n (x) e γ(b) = y. Como f n
é um recobrimento, seja γn : [a, b] → M o levantamento de γ por f n tal que γn (b) = yn ,
onde yn ∈ M \ U . Como γ([a, b]) é compacto em M , existem a = t0 < t1 < . . . < tk = b
tais que d(γ(ti ), γ(ti+1 )) < s, i = 0, . . . k − 1. Sendo hni os ramos inversos de B(γ(ti ), s)
tais que hni (γ(ti )) = γn (ti ). Logo,
d(γn (ti ), γn (ti+1 )) ≤ σ −n d(γ(ti ), γ(ti+1 ).
Como γ é uma geodésica minimizante, temos que
k−1
P
d(γ(ti ), γ(ti+1 )) = d(f n (x), y) ≤
i=0
diam (M ). Daí, temos que
s ≤ d(x, yn ) ≤
k−1
X
≤ σ −n diam (M ).
i=0
Portanto, N é limitado superiormente. Com isto, provamos o lema.
Corolário 1.4. Se A ⊂ M é um conjunto invariante com medida de Lebesgue positiva,
então A tem medida de Lebesgue total.
Demonstração. Seja Ui um elemento da partição P tal que m(Ui \ A) = 0. Denotando
por U o interior de Ui , temos que m(U \ A) = 0. Pelo lema 2.6, existe N ≥ 1 tal que
f N (U ) = M . Logo, M \ A = f N (U ) \ f N (A) ⊂ f N (U \ A). Pelo teorema da mudança de
variáveis, temos que
m(f N (U \ A)) =
Z
f N (M \A)
1 dm =
Z
|detdf n (x)| dm = 0.
U \A
Portanto, m(A) = 1.
Corolário 1.5. Seja µ uma probabilidade invariante por absolutamente contínua com
relação à medida de Lebesgue m. Então µ é ergódica. Além disso, µ é única.
Demonstração. Seja A ⊂ M invariante por f . Então m(A) = 0 ou m(Ac ) = 0. Se µ é
absolutamente contínua com relação à m, então µ(A) = 0 ou µ(Ac ) = 0. Portanto, µ é
ergódica. Agora, sejam µ e ν duas probabilidades invariantes por f e ergódicas. Dado
E ⊂ M mensurável, temos que
X
1 n−1
µ(E) = lim
χE (f j (x))) = ν(E),
n→∞ n
i=0
para algum x ∈ E. Portanto, µ = ν.
Capítulo 1. Transformações Expansoras
1.4
19
Aplicações Expansoras em Espaços Métricos Compactos
Definição 1.2. Dado um espaço métrico compacto M , dizemos que uma transformação
contínua f : M → M é expansora se existem σ > 1 e ρ > 0 tais que, para todo p ∈ M ,
nós temos que a restrição de f à bola B(x, ρ) contém uma vizinhança de B(f (p), ρ) e,
além disso,
d(f (x), f (y)) ≥ σd(x, y), ∀x, y ∈ B(p, ρ)
(1.16)
Exemplo 1.2. Seja J ⊂ [0, 1] uma família finita de intervalos compactos disjuntos e f :
J → [0, 1] tal que a restrição de f a cada componente conexa de J seja um difeomorfismo.
Suponha que exista σ > 1 tal que |f 0 (x)| ≥ 1 para todo x ∈ J. Tomando ρ menor que
a distância mínima entre duas componentes conexas de J, temos que toda bola de raio ρ
em J está contida em uma única componente conexa de J. Logo, f é uma transformação
expansora.
Proposição 1.6. Se M é uma variedade Riemanniana compacta e conexa, então toda
aplicação diferenciável expansora no sentido da definição 1.1 é expansora no sentido da
Definição 1.2.
Demonstração. Afirmamos que existe s > 0 tal que, para todo p ∈ M , a restrição de
f à bola B(p, s) é um difeomorfismo sobre a sua imagem. De fato, para todo p ∈ M ,
pelo teorema da função inversa, existe s(p) > 0 tal que f restrito à B(p, s(p)) é um
S
) Como M é
difeomorfismo sobre a sua imagem. Considere a cobertura
B(p, s(p)
2
p∈M
compacto, existem p1 , . . . , pk tais que
k
S
i=1
B(pi , s(p2 i ) ) = M . Seja s = min s(p2 i ) . Para todo
i
p ∈ M , temos que existe i tal que B(p, s) ⊂ B(pi , s(pi ). Segue daí que f restrito à B(p, s)
é um difeomorfismo sobre a sua imagem. Seja k = sup ||df (p)|| e seja ρ > 0 tal que
x∈M
2kρ < s. Dado y ∈ B(f (p), σρ), seja γ : [0, 1] → B(f (p), σρ) uma geodésica minimizante
que liga f (p) à y. Seja α : [0, 1] → M o levantamento de γ por f e seja δ > 0 tal que
α(δ) ∈ B(p, ρ). Denotando por l(β) o comprimento de uma curva qualquer β, temos que
d(p, α(δ)) ≤ l(α|[0,δ] )
=
Z
||α0 ||dt
−1
Z
||df.α0 ||dt
= σ −1
Z
||γ 0 ||dt
≤ σ
= σ −1 δd(f (p), y)
< δρ
≤ ρ.
Capítulo 1. Transformações Expansoras
20
Logo, podemos tomar δ = 1, de onde concluímos que B(f (p), σρ) ⊂ f (B(p, ρ)). Dado
x, y ∈ B(p, ρ), temos que d(f (x), f (y)) < 2kρ. Seja γ : [0, 1] → B(f (p), 2kρ) uma
geódesica minimizante ligando f (x) à f (y). Seja α : [0, 1] → B(p, 2kρ) o levantamento de
γ por f , temos que
d(f (x), f (y))) = l(γ) ≥ σl(α) ≥ σd(x, y),
o que encerra a demonstração.
Proposição 1.7. Seja f : M → M uma aplicação expansora num espaço métrico compacto. Temos que f −1 (y) é finito, para todo y ∈ M .
Demonstração. Considere uma cobertura finita de M formada por bolas de raio ρ. Dado
um ponto y ∈ M , temos que y tem no máximo uma pré-imagem em cada uma dessas
bolas, pois f restringida a uma bola da cobertura é injetiva. Portanto, f −1 (y) é finito,
para todo y ∈ M .
Dada uma aplicação expansora f : M → M . Temos que f restrita a um compacto
K ⊂ B(p, ρ) é um homeomorfismo, para todo p ∈ M . Defina K = f −1 (B̄(f (p), ρ)).
Assim podemos definir o ramo ramo inverso de f em p como sendo a inversa de f
h : B(f (p), ρ) → B̄(p, ρ). Temos que h(f (p)) = p e a (2.16) implica
d(z, w) ≤ σ −1 d(h(z), h(w)), ∀z, w ∈ B(f (p), ρ).
Dado n ∈ N, podemos definir o ramo inverso de f n em p como sendo a composição
hnp = hf n−1(p) ◦ · · · ◦ hp : B̄(f n (p), ρ) → B(p, ρ).
A definição de hnp faz sentido, pois cada ramo inverso da composição é uma contração.
Primeiro, notemos que hnp (f n (p)) = p e f n ◦ hnp = id. Mais geralmente, temos que
f j ◦ hnp = hn−j
f j , para j = 0, . . . , n − 1. Daí, temos que
d(f j ◦ hnp (z), f j ◦ hnp (w), ≤ σ n−j d(z, w),
para todo z, w ∈ B(f n (p), ρ) e 0 ≤ j ≤ n.
21
2 TEOREMA DE RUELLE
Todas as demonstrações omitidas nas Seções 2.1 e 2.2 podem ser encontradas em [[KOMV]].
2.1
Entropia
2.1.1
Entropia de uma Partição
Seja (M, B, µ) um espaço de probabilidade, onde B é uma σ-álgebra de M e µ uma medida
de probabilidade. Seja {Pi }i≥1 uma família enumerável de partições de M . Definimos
_
Pi = {∩Pi : Pi ∈ Pi }
i
Dada uma partição P de M e x ∈ M , denotamos por P(x) o elemento de P que
contém x.
Seja IP : M → R por IP (x) = − log(µ(P(x))). Agora, definimos a entropia da partição
P como
Hµ (P) =
Z
X
IP dµ =
−µP log(µ(P )).
P ∈P
Exemplo 2.1. Considere o intervalo [0, 1] munido da medida de Lebesgue. Dado n ∈
N , considere a partição P n formada pelos subintervalos ((i − 1)/10n , i/10n ], onde i =
1, · · · , 10n . Temos então que
n
n
Hµ (P ) =
10
X
−10−n log 10−n = n log 10.
i=1
2.1.2
Entropia de um Sistema Dinâmico
Nesta subseção, vamos assumir que a probabilidade mu é uma probabilidade invariante
por f . Dada uma partição P, definimos a partição P n como
Pn =
n−1
_
f −i (P).
i=0
n
Considerando a sequência (Hµ (P ))n∈N , temos que Hµ (P m+n ) ≤ Hµ (P m ) + Hµ (P n ),
para todos m, n ∈ N, ou seja, (Hµ (P n ))n∈N é subaditiva. Assim, definimos a entropia de
f com relação a µ e a partição P por
Hµ (P n )
.
n
n
Definimos também a entropia de f com respeito a medida µ por
hµ (f, P) = lim
hµ (f ) = sup hµ (f, P),
P
onde o supremo está sendo tomado no conjunto de todas partições com entropia finita.
Capítulo 2. Teorema de Ruelle
22
Exemplo 2.2. Dada a aplicação f : [0, 1] → [0, 1] definida por f (x) = 10x − [10x].
Temos que f preserva a medida de Lebesgue. Considerando a partição P formada pelos
subintervalos (i − 1)/10, i/10], onde i = 1, · · · , 10, temos que P n é a partição formada
pelos intervalos da forma (i − 1)/10n , i/10n , onde i = 1, · · · , 10n . Pelo exemplo anterior,
temos que
1
hµ (f, P) = lim Hµ (P n ) = log 10
n n
2.1.3
Fórmula de Rokhlin
Dada uma função mensurável f : M → M . Dizemos que f é localmente invertível se existe
uma cobertura enumerável {Uk }k de conjuntos mensuráveis tais que a restrição de f a
cada Uk é uma bijeção com inversa mensurável. Chamamos os subconjuntos mensuráveis
de Uk de domínios de invertibilidade.
Dada uma probabilidade ν em M , dizemos que uma função ζ : M → R é um jacobiano
de f com relação a medida ν se
νf (A) =
Z
ζ dν,
A
para todo domínio de invertibilidade A.
Uma medida ν é não-singular com relação a uma aplicação localmente invertível f se
ν(A) = 0 implica ν(f (A)) = 0, para todo domínio de invertibilidade A.
Proposição 2.1. Seja f : M → M uma aplicação mensurável localmente invertível e ν
uma probabilidade não-singular com respeito a f . Temos que existe um único jacobiano
de f com relação a ν, o qual denotaremos por Jν f .
O próximo teorema é fundamental para obtermos o resultado central deste capítulo.
Teorema 2.1 (Fórmula de Rokhlin). Seja f : M → M uma aplicação mensurável localmente invertível e ν uma probabilidade invariante por f . Se existe uma partição P tal
S
que P n gera a a σ-álgebra de M e todo P ∈ P é domínio de invertibilidade, então
n
hµ (f ) =
Z
Jµ f dµ.
2.2
Pressão
2.2.1
Definição e Princípio Variacional
Seja M um espaço métrico compacto e f : M → M uma aplicação contínua. Um potencial
de M é qualquer aplicação ψ : M → R. Dada uma cobertura α de M formada por abertos
e n ≥ 1, definimos
αn =
n−1
_
i=0
f −i (α).
Capítulo 2. Teorema de Ruelle
23
Agora, considere a função ψn =
n−1
P
ψ ◦ f i . Dado C ⊂ M , denotamos
i=0
ψn (C) = sup{ψn (x) : x ∈ C}.
Dada a cobertura aberta α, vamos definir
X
Pn (f, ψ, α) = inf {
eψn (U ) : γ é uma cobertura finita de α}
Uγ
Uma das propriedades da sequência (log Pn (f, ψ, α)n≥1 é que ela é subaditiva. Assim,
o limite
log Pn (f, ψ, α)
P (f, ψ, α) = lim
n
n
existe. A pressão do potencial ψ com respeito a função f é o limite de P (ψ, f ) de P (f, ψ, α)
quando o diâmetro de α vai para 0. O próximo resultado relaciona o conceito de pressão
com o conceito de entropia
Teorema 2.2 (Princípio Variacional). Seja f : M → M uma aplicação contínua num
espaço métrico compacto e M(f ) o conjunto das probabilidades invariantes por f . Então,
para todo potencial psi : M → R, temos que
P (ψ, f ) = sup{hµ (f ) +
2.2.2
Z
ψ dµ : µ ∈ Mf }.
(2.1)
Estado de Equilíbrio e o Teorema de Ruelle
Uma probabilidade invariante µ é um estado de equilíbrio para um potencial ψ se ela
satisfaz
hµ (f ) +
Z
ψ dµ = P (ψ, f ).
O conjunto dos estados de equilíbrio será denotado por E(f, ψ).
Definição 2.1. Dado um espaço topológico M. Uma aplicação f : M → M contínua.
Dizemos que f é topologicamente exata se dado um aberto U ⊂ M , existe N ≥ 1 tal que
f N (U ) = M .
Definição 2.2. Dado um espaço topológico M e uma probabilidade boreliana ν de M ,
então o suporte de ν, que será denotado por supp(ν) é definido por
supp(ν) = {x ∈ M : ∃Nx tal que x ∈ Nx e ν(Nx ) > 0}.
Agora, vamos enunciar o teorema principal deste trabalho.
Teorema 2.3 (Teorema de Ruelle). Seja f : M → M uma função expansora topologicamente exata. Seja φ : M → R um potencial Hölder. Existe um único estado de equilíbrio
ergódico para φ. Além disso, esta medida está suportada em todo M .
As próximas seções serão destinadas para a demonstração deste teorema e aplicações
dele.
Capítulo 2. Teorema de Ruelle
2.3
24
O Operador de Transferência
A partir desta seção, ρ > 0 e σ > 1 são as constantes da Definição 1.2. Vamos denotar
por Sn φ as somas orbitais de φ:
Sn φ(x) =
n−1
X
φ(f i (x))
i=0
Sejam f e φ as aplicações definidas Teorema 2.3. Definimos o operador L : C 0 (M ) →
C 0 (M ), :
Lg(y) =
eφ(x) g(y).
X
x∈f −1 (y)
O operador L é conhecido como Operador Transferência ou Operador de Ruelle-PerronFrobenius
Primeiro, note que L é linear. Além disso, Lg é contínua, para toda g ∈ C 0 (M ),pois
se hi : B(y, ρ) → M são os ramos inversos de de y por f , então
Lg =
(eφ g) ◦ hi ,
X
i
que é contínua.
Afirmamos que L é um operador contínuo. Com efeito,
||Lg|| = sup|Lg| ≤ grau(f )esup φ sup |g| = grau(f )esup φ ||g||
Além disso, L é um operador positivo, ou seja, se g ∈ C 0 (M )+ , então Lg ≥ 0. Daí,
aplicando o Teorema A.1, existem λ > 0 e Φ ∈ C 0 (M )+ tal que
L∗ Φ = λΦ,
(2.2)
onde Φ(g) ≥ 0, para todo g ≥ 0. Pelo teorema de Riesz-Markov, existe uma medida de
R
probabilidade ν tal que Φ(g) = g dν. Aplicando este resultado em (2.1), temos que
Z
∗
Lg dν = Φ(Lg) = L (Φ(g)) = λΦ(g) = λ
Z
g dν, ∀g ∈ C 0 (M ).
(2.3)
Lema 2.1. f : M → M admite jacobiano relativamente à ν, dado por Jν f = λe−φ .
Demonstração. Seja A um domínio de invertibilidade de f . Considere uma sequência de
funções contínuas (gn )n∈N convergindo para XA e tal que |gn | ≤ 1, ∀n. Temos que
L(e−φ gn )(y) =
X
x∈f −1 (y)
gn (x).
Capítulo 2. Teorema de Ruelle
25
Logo, |L(e−φ gn )| ≤ grau(f ). Como A é domínio de invertibilidade, temos que n→∞
lim L(e−φ gn )(y) =
Xf (A) (y). Pelo teorema da convergência dominada e por (3.2), temos que
Z
lim
n→∞
λe−φ gn dν = ν(f (A)).
Também pelo teorema da convergência dominada, temos que
lim
Z
n→∞
−φ
λe
gn dν =
Z
λe−φ dν.
A
Portanto,
Z
λe−φ dν = ν(f (A)).
A
Lema 2.2. A medida ν está suportada em todo M .
Demonstração. Primeiro, o fato de f ser expansora implica que ela é um difeomorfismo
local. Logo, f é aberta, o que implica que f (U ) é aberto, logo mensurável. Como f é um
difeomorfismo local e M compacto, podemos cobrir U com uma união finita de domínios
de invertibilidade A. Segue daí que
ν(f (A)) =
Z
f (A)
Jν f dν = 0
(2.4)
De onde concluímos que ν(f (U )) = 0, de onde, usando indução, concluímos que
ν(f m (U )) = 0, ∀m ∈ N. Como f é topologicamente exata, existe n ∈ N tal que f n (U ) =
M . Portanto, ν(M ) = 0, o que é um absurdo. Com isso concluímos a demonstração.
2.4
Estado de Gibbs
Uma medida é um estado de Gibbs se existem constantes K ≥ 1 e P ∈ R tais que:
K3−1 ≤
ν(B(x, n, ))
≤ K3 .
exp(Sn φ(x) − nP )
, para todo x ∈ M e n ∈ R.
Como φ é Hölder, existem K0 > 0 e α > 0 tais que
|φ(z) − φ(w)| ≤ K0 d(z, w)α , ∀z, w ∈ M.
Lema 2.3. Existe K1 > 0 tal que, para todo n ≥ 1, todo x ∈ M e todo y ∈ B(x, n, ρ),
tem-se
|Sn φ(x) − Sn φ(y)| ≤ K1 d(f n (x), f n (y))α .
Capítulo 2. Teorema de Ruelle
26
Demonstração. Temos que d(f j (x), f j (y)) < ρ, para todo j = 0, . . . , n − 1. Segue daí que
o ramo inverso hj : B(f n (x), ρ) → M é que satisfaz hj (f n (x)) = f n−j (x) também satisfaz
hj (f n (y)) = f n−j (y). Daí,
d(f n−j (x), f n−j (x)) ≤ σ −j d(f n (x), f n (y)), j = 1, . . . , n.
Então,
|Sn φ(x) − Sn φ(y)| ≤
n
X
|φn−j (x) − φn−j (y)|
j=1
≤
n−1
X
K0 σ −αj d(f n (x), f n (y))α .
(2.5)
j=0
Agora, basta tomar K1 =
∞
P
K0 σ −aj e obtemos o desejado.
j=1
Corolário 2.1. Existe K2 > 0 tal que, para todo n ≥ 1, todo x ∈ M e todo y ∈
B(x, n + 1, ρ) tem-se
K2−1 ≤
Jν f n (x)
≤ K2 .
Jν f n (y)
Demonstração. Sabemos que Jν f n (z) = λn e−Sn φ(z) , para todo z ∈ M e todo n ≥ 1. Logo,
log
Jν f n (x)
= |Sn φ(x) − Sn φ(y)| ≤ K1 d(f n (x), f n (y)) ≤ K1 ρα .
Jν f n (y)
α
Agora, basta tomar K2 = eK1 ρ .
Dada g : M → M contínua. Dados x ∈ M , n ∈ N e > 0, chamamos bola dinâmica
de comprimento n, raio e centro x ao conjunto
B(x, n, ) = {y ∈ M : d(f j (x), f j (y)) < ∀j = 0, . . . , n − 1} =
n−1
\
B(f j (x), ).
j=0
Lema 2.4. Para todo > 0 suficientemente pequeno, existe K3 () tal que, se P = Log λ,
então
K3−1 ≤
ν(B(x, n, ))
≤ K3 .
exp(Sn φ(x) − nP )
Demonstração. Sendo < ρ , f |B (y, ) é injetiva para todo y ∈ M e f n |B(x,n,) é injetiva
para todo x ∈ M e todo n ≥ 1. Logo,
ν(f n ((B(x, n, ))) =
Z
B(x,n,)
Jν f n (y)dν(y).
Capítulo 2. Teorema de Ruelle
27
Como
K2 Jν f n (x) ≥ Jν f n (y) ≥ K2−1 Jν f n (x),
temos que
K2−1 ν(f n (B(x, n, ))) ≤ Jν f n xν(B(x, n, )) ≤ K2 ν(f n (B(x, n, ))).
Sabemos que Jν f n (x) = exp(nP − Sn φ(x)) e f n (B(x, n, )) = f (B(f n−1 (x), )). Logo,
n
ν(f (B(x, n, ))) =
Z
B(f n−1 (x),)
Jν f (y)dν(y).
O lado esquerdo da desigualdade acima é limitado por 1. Além disso, Jν f e B(y, )
são limitados inferiormente por constantes maiores do que 0. Logo, o lado esquerdo da
igualdade acima é limitado inferiormente por uma constante a > 0. Portanto,
K2−1 a ≤
ν(B(x, n, ))
≤ K2 .
exp(Sn φ(x) − nP )
Tomando K3 = max{K2 a−1 , K2 }, obtemos o desejado.
Lema 2.5. Existe K4 > 0 tal que
Ln 1(y1 )
−K4 d(y1 , y2 ) ≤ log n
≤ K4 d(y1 , y2 )α ,
L 1(y2 )
α
para todo n ≥ 1 e todos y1 , y2 ∈ M tais que d(y1 , y2 ) < ρ.
Demonstração. Sabemos que Ln g =
P
i (e
Sn φ
Ln 1(yk ) =
g) ◦ hni , em toda bola B(y, ρ/2). Logo,
X
n
eSn φ(hi (yk )) .
i
Pelo Lema 2.3, temos que
|Sn φ(y1 ) − Sn φ(y2 )| ≤ K1 d(y1 , y2 )α
Daí,
α
e−K1 d(y1 ,y2 ) ≤
Ln (y1 )
K1 d(y1 ,y2 )α
≤
e
.
Ln (y1 )
Agora, basta escolher K4 ≥ K1 .
Corolário 2.2. Existe K5 > 0 tal que
K5−1 ≤ λ−n Ln 1(x) ≤ K5 ,
para todo n ≥ 1 e todo x ∈ M .
Capítulo 2. Teorema de Ruelle
28
Demonstração. Temos que
Z
Ln 1dν =
Z
λn dν = λn .
Em particular, para todo n ≥ 1, temos
min λ−n Ln 1(y) ≤ 1 ≤ max λ−n Ln 1(y).
y∈M
y∈M
(2.6)
Como f é topologicamente exata, para todo todo x ∈ M , existe N tal que f N (B(x, ρ)).
Logo, dados x, y ∈ M , existe x0 ∈ B(x, ρ) tal que f N (x0 ) = y. Então,
Ln+N 1(y) =
0
eSN φ(z) Ln 1(z) ≥ eSN φ(x ) Ln 1(x0 ) ≥ e−cN Ln (x0 ),
X
(2.7)
z∈f −N (y)
onde c = sup |φ|. Pelo Lema 2.5 nós temos que Ln (x0 ) ≥ Ln (x) exp(−K4 ρα ). Tome
K ≥ exp(K4 ρα )ecN λn . Logo,
Ln+N 1(y) ≥ exp(−K4 ρα )e−cN Ln 1(x) ≤ K −1 λN Ln 1(x),
para todo x, y ∈ M . Daí, para todo n ≥ 1, temos que
min λ−n+N Ln+N 1 ≥ max K −1 λ−n Ln 1.
(2.8)
Combinando (2.5) e (2.7), temos que
max λ−n Ln 1 ≤ K min λ−n+N ≤ K, ∀n ≥ 1
min λ−n Ln 1 ≥ K −1 max λ−n+N Ln−N 1 ≥ K −1 , ∀n > N.
Para concluir a prova, temos que analisar o caso em que n = 1, . . . , N. Veja que Ln é
positivo. Como M é compacto, o mínimo de Ln 1 é positivo para todo n. Portanto, existe
K5 ≥ K tal que min λ−n Ln 1, para n = 1, . . . , N .
Lema 2.6. Existe K6 > 0 tal que
|λ−n Ln 1(x) − λ−n Ln 1(y)| ≤ K6 d(x, y)α ,
para todo n ≥ 1 e para todos x, y ∈ M .
Demonstração. Suponha d(x, y) < ρ. Pelo lema 3.5, temos que
Ln (x) ≤ Ln (y) exp(K4 d(x, y)α ).
Em particular, a sequência λ−n Ln 1 é equicontínua.
Logo,
λ−n Ln 1(x) − λ−n Ln 1(y) ≤ (exp(K4 d(x, y)α ) − 1) Ln 1(y).
(2.9)
Capítulo 2. Teorema de Ruelle
29
Tomando K > 0 tal que | exp(K4 t) − 1 ≤ K|t|, para todo |t| ≤ ρα , usando o Corolário
2.2, temos que
λ−n Ln 1(x) − λ−n Ln 1(y) ≤ K5 Kd(x, y)α .
trocando x por y na desigualdade acima, temos que
|λ−n Ln 1(x) − λ−n Ln 1(y)| ≤ KK5 d(x, y)α .
Se d(x, y) > ρ, então, pelo Corolário 2.2, temos que
|λ−n Ln 1(x) − λ−n Ln 1(y)| ≤ 2K5 ≤ 2K5 ρ−α d(x, y)α .
Portanto, basta tomar K6 = max{KK5 , 2K5 ρ−α }. Como K não depende de n, segue-se
que a sequência λ−n Ln 1 é equicontínua.
Concluímos a partir dos resultados anteriores que a sequência
hn =
X
1 n−1
λ−i Li 1.
n i=0
é equicontínua. Agora, vamos relembrar o seguinte resultado clássico:
Teorema 2.4 (Ascoli-Arzelá). Se fn : N → R é uma sequência de funções equicontínua
definidas num espaço métrico compacto N , então existe uma subsequência (fni )i∈N que
converge uniformemente para uma função contínua f : N → R.
A partir deste resultado, concluímos que existe uma subsequência (hnj )j∈N tal que esta
sequência converge uniformemente para uma função contínua h : M → R.
Lema 2.7. A função h satisfaz Lh = λh. Além disso,
R
hdν = 1,
K5−1 ≤ h(x) ≤ K5 e |h(x) − h(y)| ≤ K6 d(x, y)α , ∀x, y ∈ M.
(2.10)
Demonstração. Temos que
ni
i −1
λ X
1 nX
−i j+1
λ L
= lim
λ−j Lj 1
Lh = lim Lhni = lim
i ni
i
i ni
j=o
j=1
= lim
i
i −1
λ nX
λ
λ−j L−j 1 + (λ−ni Lni − 1).
ni j=0
ni
O lado esquerdo da última igualdade converge para λh. Pelo Corolário 2.2, λ−ni Lni 1
é limitado. Logo, o lado direito da última igualdade converge para 0. Portanto, Lh = λh.
R
R
R
Além disso, temos que λ−n Ln 1dν = 1dν = 1. Logo, hn dν = 1, para todo n. Como a
sequência (hn )n∈N é limitada, podemos aplicar o teorema da convergência dominada para
R
obter que hdν = 1. As outras propriedades de h seguem do Corolário 2.2 e do Lema
2.6, respectivamente.
Capítulo 2. Teorema de Ruelle
30
Defina a medida µ = hν por
µ(E) =
Z
hdν,
A
para cada mensurável A ⊂ M . Pelo Lema 2.7 2egue-se que µ é uma medida de probabilidade. Além disso, segue do Lema 2.7 que
K5−1 ν(A) ≤ µ(A) ≤ K5 ν(A),
para todo mensurável A ∈ M . Segue daí que µ e ν são equivalentes. Logo, pelo Lema
2.2, temos que µ está suportada em todo M . Tomando L = K3 K5 , temos que, pelo Lema
2.4,
L−1 ≤
µ(B(x, n, ))
≤ L,
exp(Sn φ(x) − nP )
para todo x ∈ M , n ≥ 1 e < ρ.
Lema 2.8. A probabilidade µ é invariante por f . Além disso, f admite um jacobiano
relativamente a µ, que é dado por Jµ f = λe−φ (h ◦ f )/h.
Demonstração. Afirmamos que (L)((g1 ◦ f )g2 ) = g1 Lg2 . De fato, para todo y ∈ M , temos
que
eφ(x) g1 (f (x))g2 (x)
X
L((g1 ◦ f )g2 )(y) =
x∈f −1 (y)
X
= g1 (y)
eφ(x) g2 (x) = g1 (y)Lg2 (y).
x∈f −1 (y)
Segue daí que, para toda função contínua g, tem-se
Z
(g ◦ f )dµ =
Z
= λ
(g ◦ f )h dν = λ−1
−1
Z
gLh dν =
Z
Z
L((g ◦ f )h) dν
gh dν =
Z
g dµ..
Isto mostra que µ é invariante por f . Seja A um domínio de invertibilidade de f .
Temos que
µ(f (A)) =
Z
1 dµ =
f (A)
Z
f (A)
h dν =
Z
A
Jν f
(h ◦ f )
dµ.
h
Segue pelo Lema 2.1 que
Jµ f = Jν f
h◦f
(h ◦ f )
= λe−φ
,
h
h
como queríamos demonstrar.
R
Corolário 2.3. A medida invariante µ satisfaz hµ (f ) + φ dµ = P .
Capítulo 2. Teorema de Ruelle
31
Demonstração. Pela Fórmula de Rokhlkin e pelo Lema 2.8, temos que
hµ f =
Z
Z
log Jµ f dµ = log λ −
φ dµ +
Z
(log h ◦ f − log h) .
Como h ≥ K5−1 , temos que a última parcela da igualdade acima é igual a 0. Portanto,
R
hµ f + φ dµ = P , como queríamos demonstrar.
Considere qualquer medida η invariante por f que satisfaz
hη f +
Z
φ dη ≥ P.
Seja gη = Jη1f e g = λ−1 eφ h/h ◦ f . Temos que
X
X
1
Lh(y)
eφ(x) h(x) =
= 1, ∀y ∈ M.
λh(y) x∈f −1 (y)
λh(y)
g(x) =
x∈f −1 (y)
(2.11)
Vamos apresentar algumas propriedades envolvendo o jacobiano de medidas invariantes por f :
Proposição 2.2. Seja η uma medida invariante por f . Temos que
Z
ψ dη =
Z
(ψ ◦ f )Jη f dη,
A
f (A)
para todo domínio de invertibilidade A e toda função integrável ψ.
Demonstração. Vamos provar primeiro que a afirmação é válida para funções características. Seja E mensurável. Temos que
Z
f (A)
χE dη =
=
=
=
Z
dη
f (A)∩E
Z
A∩f −1 (E)
Z
ZA
A
Jη f dη
χf −1 (E) Jη f dη
(χE ◦ f )Jη f dη.
Por linearidade, podemos estender o resultado para funções simples. Como φ é integrável,
podemos ver as suas partes positiva e negativa como limites de sequências monótonas de
funções simples. Aplicando o teorema da convergência dominada, obtemos o resultado.
Corolário 2.4. Nas mesmas condições da proposição 3.1, temos que
Z
A
ψ dη =
Z
f (A)
(ψ/Jη f ) ◦ (f |A)−1 dη
Capítulo 2. Teorema de Ruelle
32
Demonstração. Pela proposição acima, temos que
Z
f (A)
(ψ/Jη f ) ◦ (f |A)−1 dη =
Z
A
(ψ/Jη f ) ◦ (f |A)−1 ◦ f )Jη f dη =
Z
ψ dη.
A
Corolário 2.5. Nas mesmas condições da Proposição 2.2, temos que
Z
ψ dη =
Z
ψ
(z) dη(x).
J f
z∈f −1 (x) η
X
Corolário 2.6. Temos que
1
(z) = 1, η − quase todo ponto x ∈ M
J f
z∈f −1 (x) η
X
Demonstração. Dado E ⊂ M mensurável. Colocando χE ◦ f no lugar de ψ no corolário
acima, temos que
η(f
−1
(E)) = η(E) =
1
(z) dη.
J f
E
z∈f −1 (x) η
Z
X
A igualdade desejada segue diretamente do teorema de Radón-Nikodým.
Segue do Corolário 2.6 que
X
gη (z) = 1.
z∈f −1 (x)
Usando a Fórmula de Rokhlin, temos que
0 ≤ S = hη f +
Z
φ dη − P dη =
Z
− log(gη ) + φ − log λ dη.
Usando a definição de g e o fato de η ser invariante por f , temos que
Z
Z
g
S = − log gη + log g − log h ◦ f + log h dη = log
dη
gη
Pelo corolário 2.5, temos que
Z
Z
X
g
g
log
dη = (
gη (z) log (z)) dη
gη
gη
z∈f −1 (x)
Sabemos que a função log é côncava. Aplicando a desigualdade de Jensen, o Corolário
2.6 e a igualdade 2.11, temos que
X
X
g
g
gη (z) log (z) ≤ log
gη (z) (z)
gη
gη
z∈f −1 (x)
z∈f −1 (x)
= log
X
g(z) = 0.
z∈f −1 (x)
Logo,
hη f +
Z
φ dη = P.
Portanto, segue pelo princípio variacional para pressão que P (f, φ) = log λ.
Capítulo 2. Teorema de Ruelle
33
Corolário 2.7. Se η é estado de equilíbrio, então
Z
Z
1
λ
λeφ (h ◦ f )
e
Lξ dη =
ξ dη.
Jη f =
h
h
h
η (x)
Demonstração. Na desigualdade de Jensen, a igualdade só é válida se gg(x)
for constante
e igual a
X
g(x) = 1,
x∈f −1 (y)
para todo y ∈ M η−quase todo ponto e x ∈ f −1 (y). Segue daí que g(x) = gη (x) η-quase
todo ponto. Logo, 1/g = λe−φ (h ◦ f )/h é um Jacobiano de f relativamente a η.
Como f admite jacobiano com relação a η, segue que supp η = M .
Corolário 2.8. Existe K7 > 0 tal que para todo estado de equilíbrio η, todo n ≥ 1 e todo
y ∈ B(x, n + 1, ρ) vale
K7−1 ≤
Jη f (x)
≤ K7 .
Jη f (y)
Demonstração. Temos que, pelo Corolário 2.7,
Jη f n = λe−Sn φ
h ◦ fn
h ◦ fn
= Jν f n
.
h
h
Pelo Corolário 2.1 e pelo Lema 2.7, temos que
K2−2 K5−4 ≤
Jη f n (x)
Jν (x)h(f n (x))h(y)
=
≤ K22 K54 .
Jη f n (y)
Jν (y)h(f n (y))h(x)
Portanto, basta tomar K7 ≥ K2 K5 .
Lema 2.9. Todos os estados de equilíbrio de φ são equivalentes.
Demonstração. Sejam η1 e η2 estados de equilíbrio, P uma partição finita de M tal que
todo P ∈ P tem interior não-vazio e diâmetro menor que ρ. Como supp η1 = supp η2 = M ,
temos que existe C > 0 tal que
C −1 ≤
η1 (P )
≤ C,
η2 (P )
para todo P ∈ P. Seja Qn a partição formada pelas imagens hn (P ) dos ramos inversos
hn de f n . Temos que, pela definição de Jacobiano,
ηi (P ) =
Z
hn (P )
Jηi f n dηi , i = 1, 2.
Pelo Corolário 2.7, temos que
K7−1 Jηi f n (x) ≤
ηi (P )
≤ K7 Jηi f n (x), i = 1, 2,
ηi (hn (P ))
Capítulo 2. Teorema de Ruelle
34
para todo x ∈ hn (P ). Pelo Corolário 2.7, temos que Jη1 f = Jη2 f . Logo,
K7−2 ≤
η2 (P )η1 (hn (P ))
≤ K72 .
η1 (P )η2 (hn (P )
Portanto, basta tomar C1 = CK72 para obtermos
η1 (hn (P ))
≤ C1 .
η2 (hn (P ))
C1−1 ≤
(2.12)
Sabemos que diam Qn < σ −n ρ, ou seja, n→∞
lim diam Qn = 0. Dado δ > 0 e B mensurável,
existem F compacto e A abertos tais que F ⊂ B ⊂ A e ηi (A \ F ) < δ. Seja Qn
o subconjunto de Qn que intersecta F . Podemos supor n suficiente grande para que
Qn ⊂ A. Logo,
η1 (B) ≤ η1 (A) < η1 (Qn ) + δ
e η2 (B) ≥ η2 (F ) > η2 (Qn ) − δ.
(2.13)
Segue de (2.11) que η1 (Qn ) ≤ C1 η2 (Qn ), pois Qn é formado por união disjunta de elementos de Qn . Daí, combinando (2.11) e (2.12), temos que
η1 (B) ≤ C1 (η2 + δ) + δ.
Como δ foi tomado de maneira arbitrária, segue-se que η1 (B) ≤ C1 η2 (B). Invertendo os
papeis de η1 e η2 , obtemos que η2 (B) ≤ C1−1 η1 (B), para todo B ⊂ M mensurável.
Antes de concluirmos a prova, vamos assumir os seguintes resultados, que podem ser
encontrados em [[KOMV]] seguinte resultado:
Lema 2.10. Se µ e ν são probabilidades invariantes, com µ ergódica e ν absolutamente
contínua com relação à µ, então µ = ν.
Lema 2.11. Se E(f, φ) for não-vazio, então existe um estado de equilíbrio ergódico.
Segue desses dois lemas e do Lema 2.9 a unicidade do estado de equilíbrio.
2.5
Aplicação em Variedades Diferenciáveis
Vamos aplicar os resultados acima no caso do Teorema 1.1 quando tomamos como potencial a função φ = − log |det Df (x)|. Vamos mostrar primeiro que L∗ (m) = m, onde m é
a medida de Lebesgue de M . Seja E um conjunto mensurável contido na imagem de um
ramo inverso hi : B(y, ρ) → M . Temos então que
L∗ m(E) =
Z
E
d(L∗ m) =
Z
E
L1dm =
Z
XE
X
1
◦ hi dm.
| det df |
Capítulo 2. Teorema de Ruelle
35
Segue do Teorema da mudança de variáveis que
L∗ m(E) =
1
dm = m(E),
| det df |
h−1
i (E)
Z
Agora, pelo que foi visto nas seções anteriores, vamos encontrar função positiva h tal que
ν = hm será uma medida invariante por f , absolutamente contínua com relação a medida
de Lebesgue m e o estado de equilíbrio do potencial φ. Portanto, segue pelas unicidades
do Teorema 1.1 e do Teorema de Ruelle a medida obtida no Teorema 1.1 é o estado de
equilíbrio do potencial φ. Além disso. como P (φ, f ) = log 1 = 0, segue que
hν f =
Z
log | det df | dν.
36
A EXISTÊNCIA DE MEDIDAS INVARIANTES
Nosso objetivo neste apêndice é mostrar a existência de medidas invariantes para dinâmicas contínuas num espaço métrico compacto usando elementos de Análise Funcional.
A.1
Cones
Definição A.1. Seja X um espaço de Banach. Dizemos que um conjunto K ⊂ X é um
cone se:
1. K é convexo, isto é, tx + (1 − t)y ∈ K, para todos x, y ∈ K e 0 ≤ t ≤ 1.
2. K é fechado.
3. tx ∈ K, para todo x ∈ K e todo t ≥ 0.
4. K ∩ (−K) = 0.
Vamos sempre admitir que K 6= {0}.
Exemplo A.1. Seja M um espaço métrico compacto, CR+ (M ) = {f ∈ CR : f (x) ≥
0, ∀x ∈ M } é um cone em CR (M ).
Exemplo A.2. O conjunto C = {(x, y, z) ∈ R3 : (x2 + y 2 )1/2 ≤ z} é um cone em R3 .
Seja K ⊂ X um cone. Dizemos que x ≤ y se, e somente se, y − x ∈ K. Vê-se que "≤"
é uma relação de ordem parcial. Além disso, dizemos que x < y se y − x ∈ K e x 6= y.
Definição A.2. Seja K ⊂ X um cone e "≤"a ordem induzida por K. Dizemos que:
1. K é normal se inf{|x + y| : x, y ∈ K ∩ ∂B[0; 1]} > 0
2. A norma | | de X é monótona se 0 ≤ x ≤ y implica |x| ≤ |y|, e semi-monótona se
existe r > 0 tal que 0 ≤ x ≤ y implica |x| ≤ r|y|. r será chamado de constante de
monotonicidade.
Proposição A.1. Seja K ⊂ X um cone. Temos que K é normal se, e somente se, a
norma | k é semi-monótona.
Demonstração. Suponha que a norma | | é semi-monótona e seja r a constante de monotonicidade. Se x, y ∈ K ∩ ∂B, então 1 = |x| ≤ r|x + y|. Isto prova a volta.
Apêndice A. Existência de Medidas Invariantes
37
Suponha que |.| não seja semi-monótona. Isto implica que existem sequências (xn )n∈N
e (yn )n∈N tais que 0 < xn < yn e |xn | > n|yn |, para todo n ∈ N. Defina as seguintes
sequências :
1
w − vn
yn
xn
n n
, wn =
, zn = 1
vn =
.
|xn |
|yn |
| n wn − vn |
(A.1)
Afirmamos que zn ∈ K, para todo n ∈ N. Com efeito,
1
|xn |yn − n|yn |xn
wn − vn =
.
n
n|xn ||yn |
(A.2)
Logo, nos resta mostrar que (|xn |yn − n|yn |xn ) ∈ K. Porém, isto segue do fato de que
0 < xn < yn e |xn | > n|yn |.
Logo, vn , zn ∈ K e:
|vn + zn | =
1 yn
− |xxnn |
xn
n |y |
+ 1 yn
n
|xn |
− xn
n |yn |
≤
1
n
yn
− |xxnn |
n|yn |
(A.3)
|xn |
+ 1−
1
yn
− |xxnn |
n|yn |
.
(A.4)
Como valem as seguintes desigualdades:
1
n
yn
− |xxnn |
n|yn |
=
|yn ||xn |
1
≤
||xn |yn − n|yn |xn |
n−1
(A.5)
e
n
≤
n+1
1
yn
− |xxnn |
n|yn |
=
n|yn ||xn |
n
≤
,
||xn |yn − n|yn |xn |
n−1
(A.6)
temos que
lim
n→∞
1
yn
n n|y
− |xxnn |
n|
=0 e
1
yn
n n|y
− |xxnn |
n|
= 1.
(A.7)
Daí,
lim |vn + zn | = 0.
n→∞
Portanto, K não é normal. Isto prova a outra parte.
(A.8)
Apêndice A. Existência de Medidas Invariantes
A.2
38
Operadores Positivos
Definição A.3. Um operador T ∈ L(X) é positivo em K se T K ⊂ K.
Exemplo A.3. Seja A uma matriz nxn uma matriz com entradas positivas. Se considerarmos em Rn o cone Rn+ = {(x1 , . . . , xn ) : xi ≥ 0} nós temos que o operador linear
T : Rn → Rn definido por T (x) = Ax é positivo. Um resultado conhecido como Teorema
de Perron-Frobenius afirma que T tem um autovetor positivo associado a um autovalor
positivo.
Dado um operador T ∈ L(X). Definimos o conjunto resolvente como sendo
ρ(T ) = {λ ∈ R : T − λI é injetivo}.
O espectro de T é o conjunto σT = R \ ρT . O raio espectral de T , que vamos denotar
por r(T ), é definido por
r(T ) = sup{|λ| : λ ∈ σ(T )}.
Quando o espaço X é Banach, nós temos que o raio espectral coincide com o limite
1
lim ||T n || n .
n→∞
Definição A.4. Um funcional linear g ∈ X ∗ é dito positivo com relação ao cone K se
f (x) ≥ 0, para todo x ∈ K.
O próximo teorema vai nos ajudar a provar a existência de medidas invariantes para
funções contínuas em espaços métricos compactos. Sua demonstração pode ser vista em
[[Deim]].
Teorema A.1. Seja K ⊂ X um cone normal com int(K) 6= ∅. Se T : X → X é positivo
em K com r(T ) > 0, então r(T ) é autovalor do operador adjunto T ∗ : X ∗ → X ∗ , com
autofunção positivo φ.
A.3
Existência de Medidas Invariantes
Definição A.5. Seja (M, M, µ) um espaço de probabilidade e f : M → M uma função
mensurável. Dizemos que f preserva µ ou que µ é invariante por f se
µ(f −1 (E)) = µ(E), ∀E ∈ M.
(A.9)
Proposição A.2. Seja f : M → M mensurável e µ uma medida em M . Nós temos que
f preserva µ se, e somente se,
Z
φ dµ =
Z
φ ◦ f dµ,
para toda φ : M → R contínua , então f preserva µ.
(A.10)
Apêndice A. Existência de Medidas Invariantes
39
Uma das perguntas que podemos fazer é a seguinte: Dado um espaço mensurável
(M, M) e uma função f : M → M mensurável, existe alguma medida µ em (M, M) tal
que f preserva µ?
O próximo resultado nos dá uma resposta afirmativa para um caso particular.
Teorema A.2. Seja M um espaço métrico compacto e f : M → M é uma aplicação
contínua. Então existe uma medida de probabilidade µ em M tal que f preserva µ.
Apêndice A. Existência de Medidas Invariantes
40
Antes de provar o teorema acima, vamos precisar estudar algumas ferramentas.
Seja M um espaço métrico compacto. Sabemos que o conjunto C 0 (M ) das funções
contínuas reais em M , munido da norma
||φ|| = sup{|φ(x)| : x ∈ M }
(A.11)
C+0 (M ) = {φ ∈ C 0 (M ) : φ(x) ≥ 0, ∀x ∈ M }
(A.12)
é um espaço de Banach.
Proposição A.3. O conjunto
é um cone normal em C 0 (M ).
Demonstração. Se 0 ≤ f ≤ g, então 0 ≤ f (x) ≤ g(x), para todo x ∈ M . Logo, ||f || ≤
||g||, ou seja, o cone é normal.
Definição A.6. Dado f : M → M mensurável, definimos
Uf : C 0 (M ) → C 0 (M ), Uf (φ) = φ ◦ f.
(A.13)
Uf é chamado de operador de Koopman.
Proposição A.4. Uf é um operador linear, limitado e positivo em C+0 (M ).
Demonstração. Uf ser um operador linear e positivo são claras. Dado g ∈ C 0 (M ), temos
que para qualquer x ∈ M , tem-se
||Uf (g)|| = ||g ◦ f || ≤ ||g||.||f ||.
Antes de provarmos o teorema A.1, vamos enunciar um clássico resultado de Teoria
da Medida, que é conhecido como Teorema de Riesz-Markov.
Teorema A.3. Dado um espaço métrico compacto. Seja Φ : C 0 (M ) → R um funcional
linear contínuo positivo em C+0 (M ). Então existe uma medida µ em M tal que
Z
φ dµ = Φ(φ),
(A.14)
para todo φ ∈ C 0 (M ). Além disso, µ é de probabilidade se , e somente se Φ(1) = 1.
Apêndice A. Existência de Medidas Invariantes
A.4
41
Prova do Teorema A.2
Primeiro, vamos provar que r(Uf ) = 1. Com efeito ||Ufn (φ)|| ≤ ||φ||, para todo n ∈ N e
todo φ ∈ C 0 (M ). Além disso, Ufn (1) = 1. Daí, ||Ufn || = 1, para todo n ∈ N, de onde
concluímos que r(Uf ) = 1.
Como C+0 (M ) é um cone normal, podemos aplicar o teorema A.1, temos que existe
Φ ∈ C 0 (M )∗ positivo em C+0 (M ) tal que Φ = Φ ◦ f . Pelo Teorema A.3, existe medida µ
em M tal que
Z
φ dµ = Φ(φ),
(A.15)
para todo φ ∈ C 0 (M ). Portanto, temos que
Z
φ dµ = Φ(φ) = Φ(φ ◦ f ) =
Z
φ ◦ f dµ,
(A.16)
para toda φ ∈ C 0 (M ), isto é, µ é invariante.
Além disso, Φ(1) = 1. Logo, µ é de probabilidade.
O próximo exemplo nos mostrará que hipótese de M ser compacto é necessária.
Exemplo A.4. Seja f : (0, 1] → (0, 1] definida por f (x) = x/2. Se existisse alguma
medida finita µ invariante por f , então f seria recorrente para todo x ∈ (0, 1], µ-q.t.p..
Mas isto é um absurdo, pois para todo x ∈ 0, tem lim f n (x) = 0.
n
42
REFERÊNCIAS
[KOMV] Oliveira, Krerley, Viana, Marcelo.(2014) Fundamentos de Teoria Ergódica,
SBM, 2014.
[Deim] Deimling, Klaus.(1943) Nonlinear Functional Analysis, Springer-Verlag.
[ReedSimon] Simon, Barry, Reed, Michael. (1972) Methods of Modern Mathematical Physics, Vol 1: Functional Analysis, Academic Express, Inc..
[Shub] Shub, Michael. (1987) Global Stability of Dynamical Systems. Springer-Verlag.
