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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

IURY RAFAEL DOMINGOS DE OLIVEIRA

ESFERAS MÍNIMAS DE ÁREA 4π E RIGIDEZ

Maceió
2016

IURY RAFAEL DOMINGOS DE OLIVEIRA

ESFERAS MÍNIMAS DE ÁREA 4π E RIGIDEZ

Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Marcos Petrúcio
Cavalcante

Maceió
2016

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Bibliotecária Responsável: Janaina Xisto de Barros Lima
O48e

Oliveira, Iury Rafael Domingos de.
Esferas mínimas de área 4π e rigidez / Iury Rafael Domingos de Oliveira. – 2016.
57 f.
Orientador: Marcos Petrúcio Cavalcante.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2016.
Bibliografia: f. 53-54.
Apêndices: f. 55-57.
1. Área de esfera mínima. 2. Rigidez de 3-variedades. 3. Cúspide hiperbólica.
4. Geometria diferencial. I. Título.
CDU: 514.76

Ao meu pai, Israel (in memoriam),
e minhas mães, Lúcia e Pastora.

AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, por sua misericórdia e graça que se renovam a cada manhã em
minha vida. A Ele que, através dos olhos de Jesus Cristo, me amou e me chamou.
Agradeço a minha famı́lia, em especial a minha mãe e a minha avó, Maria Lúcia
e Maria Pastora, que apesar dos infortúnios da vida, lutaram e proporcionaram que eu
chegasse até aqui, com amor e educação.
Agradeço a minha namorada e melhor amiga, Maria Letı́cia, pelo seu amor, paciência, incentivo e tempo que dela foi tomado por conta de teoremas/demonstrações não
finalizados, e a sua famı́lia pelo carinho e apoio.
Agradeço ao meu orientador, Prof. Dr. Marcos Petrúcio Cavalcante, pelas inúmeras
conversas e conselhos valiosos à minha formação, assim como a todo corpo docente do
Instituto de Matemática UFAL.
Agradeço a eterna turma do CAMAT-UFAL, por fazer do Instituto de Matemática
um ambiente divertido, saudável e motivador nos primeiros anos da minha formação. Aos
amigos e então companheiros de turma, Micael Dantas, Diego Adauto e Manuel Ceaca,
pelos momentos de conversa e incentivo, assim como ao Anderson Lima, Abraão Mendes
e Moreno Bonutti pela pronta ajuda durante essa jornada, compartilhando de suas experiências.
Agradeço a CAPES e a FAPEAL pelo suporte financeiro, que contribuiu para a
realização desse trabalho.

“O temor ao SENHOR é o princı́pio de toda a sabedoria,
e o conhecimento do Santo a prudência.”
Provérbios 9:10

RESUMO
Seja M uma 3-variedade Riemanniana completa com curvatura seccional entre 0 e 1.
Se Σ é uma 2-esfera mı́nima mergulhada em M com área 4π, então M é isométrica a
esfera S31 ou a um quociente de S21 × R, com a métrica produto. Se M é uma 3-variedade
Riemanniana completa com curvatura seccional limitada superiormente por −1 e existe
um 2-toro T 2 mergulhado em M com curvatura média constante igual a 1, então T separa
M e o seu lado convexo e médio é isométrico a uma cúspide hiperbólica, isto é, é isométrico
a T 2 × R munido da métrica e−2t dσ02 + dt2 , onde dσ02 é uma métrica plana em T 2 , e tem
curvatura constante -1.
Palavras-chave: Área de esfera mı́nima, rigidez de 3-variedades, cúspide hiperbólica.

ABSTRACT
Let be M a complete Riemannian 3-manifold with secctional curvature between 0 and
1. If Σ is an embedded minimal 2-sphere in M with area 4π then M is isometric to the
unit 3-sphere S31 or to a quocient of S21 × R, with the product metric. If M is a complete
Riemannian 3-manifold with sectional curvature bounded above by −1 and there is a
2-torus T 2 embedded in M with mean curvature 1 then T 2 separates M and its mean
convex side is isometric to a hyperbolic cups, i.e., is isometric to a T 2 × R with the metric
e−2t dσ02 + dt2 , where dσ02 is flat on T 2 , and has constant curvature −1.

Keywords: Area of minimal sphere, rigidity of 3-manifolds, hyperbolic cusp.

SUMÁRIO
1
1.1
1.2
1.3
1.4

PRÓLOGO À GEOMETRIA RIEMANNIANA . . . . . . . .
Definições e fatos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Imersões Isométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variedades completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operadores em Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . .

2
2.1
2.2

ESTUDO DAS VARIAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Primeira Variação da Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Primeira Variação da Curvatura Média . . . . . . . . . . . . . . . 27

3
3.1
3.2

RESULTADO DE RIGIDEZ EM DIMENSÃO 2 . . . . . . . . 31
Lema técnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
O teorema de rigidez de E. Calabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4
4.1
4.2

RESULTADOS DE RIGIDEZ EM DIMENSÃO 3 . . . . . . . 39
Curvatura positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Curvatura negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A
A.1

12
12
16
19
20

53

TEOREMA DE E. CALABI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Caso g ∈ C 1,1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10

INTRODUÇÃO
Seja M uma 3-variedade Riemanniana completa. É sabido que limitações na curvatura
escalar de M fornece algumas informações sobre o espaço de superfı́cies mı́nimas. Vários
teoremas de rigidez foram obtidos assumindo a existência de superfı́cies que minimizam
área, em um sentido particular, no espaço ambiente adicionada à condições nas curvaturas
de M (Cf. [18], [3] e [4]).
A caráter motivacional, consideramos o caso n = 2 e apresentamos um teorema de
ridigez de esferas atribuı́do a E. Calabi, provado em [2]. O teorema trata sobre a determinação de uma cota inferior para o comprimento das geodésicas, considerando que a
curvatura seccional do ambiente está entre 0 e 1. Além disso, o resultado caracteriza o
ambiente quando supomos a existência de uma geodésica que atinge a cota inferior para
comprimento das geodésicas.
Teorema 1 (E. Calabi, [2]). Seja (Σ2 , g) uma esfera 2-dimensional, com métrica de classe
C 2 , cuja a curvatura Gaussiana de Σ satisfaz 0 ≤ KΣ ≤ 1. Então toda geodésica simples
fechada γ em Σ tem comprimento maior ou igual a 2π. Se o comprimento de γ é 2π
então (Σ2 , g) é isométrica a esfera redonda (S21 , g0 ) e γ é um grande cı́rculo.
Com isso em mente, seja M uma 3-variedade Riemanniana completa com curvatura
seccional entre 0 e 1. Supondo a existência de uma 2-esfera mı́nima mergulhada Σ2 em
M , pelo teorema de Gauss-Bonnet e pela Equação de Gauss, obtemos
4π =

Z
Σ

KΣ dΣ =

Z
Σ

(det(A) + K)dΣ ≤

Z

dΣ = A(Σ),

Σ

onde o Operador de Weingarten A tem determinante não-positivo, pois Σ2 é mı́nima.
Dessa forma, se Σ2 tem área 4π demonstraremos o teorema abaixo como o principal
resultado deste trabalho devido a Mazet e Rosenberg.
Teorema 2 (Mazet e Rosenberg, [19]). Seja (M, g) uma variedade Riemanniana completa
de dimensão 3, cuja curvatura seccional KM = K satisfaz 0 ≤ K ≤ 1. Suponha que existe
Σ2 esfera mı́nima mergulhada em M com área 4π. Então a variedade M é isométrica a
esfera S31 ou a um quociente de S21 × R.
Na mesma linha do Teorema 2, foi provado em [19] outro teorema de ridigez para o
caso que a 3-variedade Riemanniana completa M tem curvatura seccional limitada superiormente por −1. De fato, dizemos que T 2 × R+ é um cúspide hiperbólica 3-dimensional
se T 2 é um 2-toro e T 2 × R+ está munido da métrica Riemanniana e−2t dσ02 + dt2 , onde

SUMÁRIO

11

dσ02 é uma métrica plana em T 2 . Dessa maneira, supondo que existe um 2-toro T 2 mergulhado em M com curvatura média constante igual a 1, apresentaremos também a prova
do seguinte resultado.
Teorema 3 (Mazet e Rosenberg, [19]). Seja (M, g) uma variedade Riemanniana completa
de dimensão 3, cuja curvatura seccional KM = K satisfaz K ≤ −1. Suponha que existe
um 2-toro T 2 mergulhado em M com curvatura média constante igual a 1. Então T separa
M e o seu lado convexo e médio é isométrico a uma cúspide hiperbólica.

12

1 PRÓLOGO À GEOMETRIA RIEMANNIANA
Neste capı́tulo, recordaremos alguns conceitos necessários para o desenvolvimento e
compreensão do presente texto. Deste modo, assumiremos alguns fatos básicos de geometria Riemanniana. Além disso, fixaremos notações e convenções a serem utilizadas. Salvo
menção contrária, os conceitos e resultados aqui apresentados podem ser encontrados com
riqueza de detalhes em [7], [11] e [13].
Ao longo de todo trabalho, as palavras “diferenciável” e “suave” significarão “possuir
derivadas contı́nuas de todas as ordens” e I ⊂ R representará um intervalo da reta.

1.1

Definições e fatos básicos

Considere (M n , g) uma variedade Riemanniana de dimensão n. Então, cada ponto
p ∈ M está associado a um produto interno gp = h , ip (o ı́ndice p será omitido quando
não houver ambiguidades) no espaço tangente a M , denotado por Tp M , onde tal associação
varia diferenciavelmente no sentido que se x = (x1 , · · · , xn ) é um sistema de coordenadas
locais de uma vizinhança U de p, então
*

gij (x1 , . . . , xn ) =

+

∂
∂
(q),
(q)
∂xi
∂xj
q

é uma aplicação diferenciável em U , com q ∈ U . As funções gij são os coeficientes da
matriz da métrica g = [gij ]ij nas coordenadas locais (x1 , . . . , xn ) de p ∈ M , e denotaremos
por g ij os coeficientes da matriz inversa de g, isto é, (gij )−1 = g ij .
Além disso, { ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂n } é um referencial móvel em U , isto é, para cada q ∈ U ,
{ ∂x∂ 1 (q), . . . , ∂x∂n (q)} é uma base para o espaço tangente Tq M no sistema de coordenadas
x, e neste sistema a métrica g é escrita na forma
g=

X

gij dxi dxj ,

ij

onde {dx1 , . . . , dxn } é a base dual de { ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂n } para cada q ∈ U , e dxi dxj representa
o produto exterior de dxi por dxj .
Denotaremos por T M e T1 M , o fibrado tangente de M e fibrado tangente de unitário
de M , respectivamente. Isto é,
T M = {(p, v) : p ∈ M, v ∈ Tp M }

Capı́tulo 1. Prólogo à Geometria Riemanniana

13

e
T1 M = {(p, v) ∈ T M : |v| = 1}.
Dada c : [a, b] → M curva diferenciável em (M n , g), definimos o comprimento de c por
Z b*

dc dc
`(c) =
,
dt dt
a
Z b
dc
dt,
=
a dt

+1/2

dt

Se a curva c possuir velocidade constante igual a 1, isto é, dc
= 1 para todo t ∈ [a, b],
dt
diremos que c é uma curva normalizada e claramente teremos que `(c) = b − a. De modo
análogo, se c : [a, b] → M é uma curva diferenciável por partes em (M n , g), definimos
l(c) =

k Z i
X

dc
dt,
i=1 ti−1 dt

onde a = t0 < · · · < tk = b e c|(ti−1 ,ti ) é diferenciável.
Sabemos que uma métrica Riemanniana permite definir uma noção de volume em uma
variedade Riemanniana orientada. Dessa maneira supondo que (M n , g) é uma variedade
Riemanniana orientada, dado p ∈ M e x = (x1 , · · · , xn ) coordenadas locais de uma
vizinhança U de p na orientação de M , definimos o elemento de volume de M , dM , como
a n−forma positiva dada por
dM =

q

det gdx1 . . . dxn .

Portanto se R é um aberto conexo com fecho compacto contido em x(U ), tal que
x (R) tem medida nula em Rn então o volume de R é dado por
−1

Vol(R) =
=

Z

dM

ZR
x−1 (R)

q

det gdx1 . . . dxn .

Para o conjunto de todos os campos de vetores diferenciáveis em M e para o anel
das funções reais diferenciáveis definidas em M , usaremos as notações X (M ) e C ∞ (M ),
respectivamente.
A conexão de Levi-Civita da variedade Riemanniana (M n , g) será denotada por ∇ e a
derivada covariante de V ∈ X (M ), ao longo de uma curva diferenciável c : I → M , será
denotada por DV
.
dt
Relembramos que uma curva parametrizada γ : I → M é uma geodésica se, para todo
t ∈ I,
!
D dγ
= 0.
dt dt

Capı́tulo 1. Prólogo à Geometria Riemanniana

14

Se [a, b] ⊆ I então a restrição de γ a [a, b] é dita geodésica ligando γ(a) a γ(b).
Uma propriedade fundamental das geodésicas é que dado p ∈ M e v ∈ Tp M , existe
uma única geodésica γ passando por p com velocidade v. Isto segue do fato que definindo
condições para a geodésica, temos que
D dγ
dt dt

!

=0

é uma equação diferencial de 2a ordem, no parâmetro t de γ, onde p e v são exatamente
as condições iniciais requeridas para a existência e unicidade de γ.
A partir do Teorema de Existência e Unicidade de EDO’s, é possı́vel definir a aplicação
Exponencial da maneira seguinte: Dado p ∈ M , existe U ⊂ T M aberto tal que a aplicação
exp : U → M dada por
exp(q, v) = γ(1, q, v)
!

v
= γ |v|, q,
.
|v|
Isto é, cada ponto (q, v) ∈ U é associado a uma geodésica γ = γ(1, q, v) : (−2, 2) → M ,
tal que γ(0) = p e γ 0 (0) = v. A aplicação Exponencial é diferenciável e, na maior parte
do texto, utilizaremos a restrição de exp a um aberto do espaço tangente Tq M , ou seja,
expq : B(0, ε) ⊂ Tq M → M dada por
expq (v) = exp(q, v),
onde B(0, ε) é a bola aberta de centro na origem de Tq M e raio ε > 0.
Dentre os vários resultados que envolvem a aplicação Exponencial, por exemplo tratandose da regularização de geodésicas e minimização de comprimentos em apropriados tipos
de vizinhanças, citamos abaixo dois resultados importantes.
Proposição 1.1. Dado q ∈ M , existe um ε > 0 tal que expq : B(0, ε) ⊂ Tq M → M é um
difeomorfismo de B(0, ε) sobre um aberto de M .
Demonstração. Cf. [11, Capı́tulo 3, Proposição 2.9].
Lema 1.1 (Gauss). Sejam p ∈ M e v ∈ Tp M tais que expp v esteja definida. Considere
w ∈ Tp M ≈ Tv (Tp M ). Então
D

E

(d expp )v (v), (d expp )v (w) = hv, wi .

Demonstração. Cf. [11, Capı́tulo 3, Lema 3.5].

Capı́tulo 1. Prólogo à Geometria Riemanniana

15

Uma das principais noções em geometria Riemanniana, senão a principal, é a noção
de curvatura, que intuitivamente mede o quanto uma variedade Riemanniana deixa de ser
Euclidiana.
A curvatura R de uma variedade Riemanniana (M n , g) é uma correspondência que
associa a cada par X, Y ∈ X (M ) uma aplicação R(X, Y ) : X (M ) → X (M ) dada por
R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z, Z ∈ X (M ).
Associado a curvatura R, temos definido o tensor Curvatura
R : X (M ) × X (M ) × X (M ) × X (M ) → C ∞ (M ),
dado por
R(X, Y, Z, W ) = hR(X, Y )Z, W i
D

E

= ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z, W .
A curvatura e o tensor de curvatura gozam de interessantes propriedades simétricas,
além da multilinearidade com respeito a funções em C ∞ (M ).
Intimamente relacionado com a curvatura R, temos a curvatura sectional, definida por
Riemann a partir de uma generalização natural da curvatura Gaussiana de hipersuperfı́cies
em Rn , vejamos. Dado p ∈ M e um subespaço bi-dimensional σ ⊂ Tp M , o número real
definido por
R(X, Y, X, Y )
K(p, σ) =
|X ∧ Y |2
é chamado de curvatura
q seccional de σ em p ∈ M , onde {X, Y } ∈ Tp M é uma base do
plano σ e |X ∧ Y | = |X|2 |Y |2 − hX, Y i2 . Quando não existirem ambiguidades, denotaremos K(p, σ) por K(X, Y ).
Ao fazermos algumas operações aritméticas com as curvaturas seccionais, estas dão
origem à novas noções de curvatura, e duas destas noções em particular são muito importantes, a saber:
Ricp (x) = tr{z 7→ R(x, z)x}
e
R(p) =

n
X

Ricp (zj , zj )

j=1

são as curvaturas de Ricci em p na direção de x e a curvatura escalar em p, respectivamente. Dados x, y ∈ Tp M , definimos também o tensor de Ricci em p como
Ricp (x, y) = tr{z 7→ R(x, z)y}.

Capı́tulo 1. Prólogo à Geometria Riemanniana

16

Recordamos que dados (V, h · , · i) um espaço de Hilbert real de dimensão finita,
A : V → V operador linear auto-adjunto e B : V × V → R forma bilinear associada a A,
isto é, hA(X), Y i = B(X, Y ), o traço do operador linear A é definido como
n
X

tr A =

g ij B(Xi , Xj ),

i,j

onde {Xi }ni=1 é uma base de V e gij = hXi , Xj i. Ressaltamos que o traço de um operador
não depende da base escolhida, cf. [16].
Desta forma, em um sistema de coordenadas locais x = (x1 , . . . , xn ) em uma vizinhança de p ∈ M , o tensor de Ricci em (x, y) ∈ Tp M × Tp M é dado por
Ricp (x, y) =

n
X

!

*

g

∂
∂
y,
R x,
∂xi
∂xj

ij

i,j

+

.

Assim, se {z1 , . . . , zn−1 , x = zn } é uma base ortonormal de Tp M , são válidas as seguintes expressões
n
X

*

!

∂
=
K x,
∂xi
i,i6=n

!

Ricp (x, x) =

i,i6=n
n
X

∂
∂
R x,
x,
∂xi
∂xi

+

e
R(p) =
=

n
X

Ricp (zj , zj )
j
*
n
n X
X

j i,i6=j
n
n
X X

!

∂
∂
∂
∂
R
,
,
∂xj ∂xi ∂xj ∂xi

+

!

∂
∂
=
K
.
,
∂xj ∂xi
j i,i6=j
Com a notação acima, se (M n , g) é a esfera unitária (S n , g0 ) munida com a métrica
canônica então K = 1, e a denotaremos por Sn1 .

1.2

Imersões Isométricas

Sejam M n e Σk variedades diferenciáveis de dimensões n e k, respectivamente, tal que
k < n, e considere f : Σ → M uma imersão. Suponha que M n está munida de uma
métrica Riemanniana g = h · , · i, então diremos que f é uma imersão isométrica se
(f ∗ g)p (x, y) = hdfp (x), dfp (y)if (p) ,
para todo p ∈ Σ e x, y ∈ Tp Σ. Dessa forma, se f : Σ → M é uma imersão então o pull-back
da métrica g de M é uma métrica em Σ, logo f é uma imersão isométrica. Em particular,

Capı́tulo 1. Prólogo à Geometria Riemanniana

17

toda imersão isométrica é uma imersão e, dessa forma, localmente um mergulho.
Seja f : Σ → M uma imersão isométrica. Como usualmente, sempre que não houver
perigo de confusão, identificaremos p ∈ Σ com f (p) ∈ M , x ∈ Tp Σ com dfp (x) ∈ Tf (p) M
e f ∗ g com g = h · , · i.
¯ a conexão de Levi-Civita de M . Se X e Y são campos de vetores em
Considere ∇
¯ X̄ Ȳ )T
Σ, tais que X̄ e Ȳ são suas respectivas extensões locais em M , então ∇X Y = (∇
é a conexão de Levi-Civita de Σ. Como ∇X Y não depende das extensões escolhidas,
¯ X Y )T .
escreveremos apenas ∇X Y = (∇
Fixado p ∈ Σ e dado η ∈ (Tp Σ)⊥ , a aplicação IIη : Tp Σ × Tp Σ → R definida por
IIη (X, Y ) = hB(X, Y ), ηi ,
¯ X Y − ∇X Y é uma
é a segunda forma fundamental da imersão f , onde B(X, Y ) = ∇
aplicação bilinear simétrica, e portanto IIη também o é. Dessa forma, nos referiremos a B
também como segunda forma fundamental da imersão. Dado {E1 , . . . , En } um referencial
ortonormal em Tp Σ, definimos a norma ao quadrado da segunda forma fundamental por
|B|2 =

k
X

|B(Ei , Ej )|2 .

i,j=1

Conforme abordado em [11], a forma quadrática associada a IIη está relacionada com
uma aplicação linear auto-adjunta Aη : Tp Σ → Tp Σ, chamada de Operador de Weingarten,
dada por
¯ x N )T ,
Aη (x) = −(∇
onde N é uma extensão local de η normal a Σ.
A partir dos objetos definidos é possı́vel obter equações que relacionam a curvatura
de Σ e a curvatura de M . Tais equações são chamadas de equações fundamentais de uma
imersão isométrica.
Proposição 1.2. As seguintes equações se verificam:
1. Equação de Gauss
D

E

R̄(X, Y )Z, T = hR(X, Y )Z, T i − hB(Y, T ), B(X, Z)i + hB(X, T ), B(Y, Z)i

2. Equação de Ricci
D

E

D

E

R̄(X, Y )η, ζ − R⊥ (X, Y )η, ζ = h[Aη , Aζ ]X, Y i

Capı́tulo 1. Prólogo à Geometria Riemanniana

18

3. Equação de Codazzi
¯ X B)(Y, Z, η) = X(B(Y, Z, η)) − B(∇X Y, Z, η) − B(Y, ∇X Z, η) − B(X, Y, ∇⊥
(∇
X η)
onde [Aη , Aζ ] indica o operador Aη ◦ Aζ − Aζ ◦ Aη .
Demonstração. Cf. [11, Capı́tulo 6, Proposições 3.1 e 3.4].
¯ X B é a derivada covariante da segunda forma fundamental
Na proposição acima, ∇
¯
considerada como um tensor e ∇⊥
X η a componente normal de ∇X η, chamada de conexão
normal. De fato, ∇⊥ possui as propriedades usuais de uma conexão, logo a partir de ∇⊥
fica bem definida a noção de curvatura normal R⊥ da imersão. De modo mais explı́cito,
a Equação de Gauss mostra como as curvaturas seccionais de Σ e M variam em termos
da segunda forma fundamental.
Lema 1.2 (Equação de Gauss). Sejam p ∈ Σ e X, Y ∈ Tp Σ vetores ortonormais. Então
K(X, Y ) = K̄(X, Y ) + hB(X, X), B(Y, Y )i − |B(X, Y )|2 .
Demonstração. Cf. [11, Capı́tulo 6, Teorema 2.5].
Sejam f : Σn → M n+1 uma imersão isométrica e η ∈ (Tp Σ)⊥ , com |η| = 1. Considere
{X1 , . . . , Xn } base ortonormal de Tp Σ constituı́da de autovetores de Aη = A. Assim temos
que A(Xi ) = λi Xi e B(Xi , Xj ) = δij λi η, logo a equação de Gauss assume a forma
K(Xi , Xj ) = K̄(Xi , Xj ) + λi λj .
Em particular, se n = 2 temos a seguinte relação
K(X1 , X2 ) = K̄(X1 , X2 ) + det(A).
No caso que M 3 = R3 , a curvatura Gaussiana coincide com a curvatura seccional em
Σ2 , o que implica o Teorema Egregium de Gauss.
Relembramos que uma imersão isométrica f : Σk → M n , com k < n, é totalmente
geodésica se para todo η ∈ (Tp Σ)⊥ a segunda forma fundamental IIη é nula, em todo ponto
p ∈ Σ. Note que isto é equivalente a dizer que dado p ∈ Σ o Operador de Weingarten Aη
da imersão é identicamente zero para todo η ∈ (Tp Σ)⊥ .
Uma noção mais fraca que a noção de totalmente geodésica é a de mı́nima. Dizemos
que uma imersão isométrica f : Σk → M n , com k < n, é mı́nima se para todo p ∈ Σ e
todo η ∈ (Tp Σ)⊥ temos que tr Aη = 0. Tal condição é equivalente a pedir que o vetor
X
1 n−k
#»
(tr Ai )ηi
H(p) =
k i=1

Capı́tulo 1. Prólogo à Geometria Riemanniana

19

seja identicamente zero, para todo p ∈ Σ, onde {η1 , . . . , ηn−k } é um referencial ortonormal
#»
em (Tp Σ)⊥ e Ai := Aηi . O vetor H não depende do referencial escolhido e é chamado
de vetor curvatura média da imersão f . Quando mencionarmos a curvatura média da
imersão f , estaremos nos referindo a
H(p) =

X
1 n−k
(tr Ai ).
k i=1

Retornando ao caso de codimensão 1, dada uma imersão isométrica f : Σn → M n+1 ,
note que o vetor curvatura média independe da orientação normal escolhida. De fato,
dados p ∈ Σ, {E1 , . . . , En } referencial ortonormal em Tp Σ e η ∈ (Tp Σ)⊥ , temos que
tr A−η =

n
X

hA−η (Ei ), Ei i

i=1

=−

n
X

hAη (Ei ), Ei i

i=1

= − tr Aη .
Portanto temos a seguinte igualdade
1
#»
H −η = tr A−η (−η)
n
#»
= Hη.
Além disso, dizemos que f é totalmente umbı́lica, se para todo p ∈ Σ, a segunda forma
fundamental B de f satisfaz
hB(X, Y ), ηi (p) = λ(p) hX, Y i ,
com λ(p) ∈ R, X, Y ∈ Tp Σ e η ∈ X (Σ)⊥ . Note que isso é equivalente a dizer que
¯ X N )T (p) = λ(p)X,
−(∇
isto é, Aη = λ(p) id, para todo X ∈ Tp Σ, onde N é uma extensão local de η. Desse modo,
temos que a curvatura média da imersão f é dada por
1
tr(λ(p) id)
n
= λ(p).

H(p) =

1.3

(1.1)

Variedades completas

Seja (M n , g) uma variedade Riemanniana conexa por caminhos. É conveniente estabelecer uma distância em M . Então dados p, q ∈ M , seja Ωp,q o conjuntos de todas as

Capı́tulo 1. Prólogo à Geometria Riemanniana

20

curvas diferenciáveis por partes ligando p à q. Definimos a distância intrı́nseca d(p, q)
como
d(p, q) = inf `(α).
α∈Ωp,q

Temos que (M, d) é um espaço métrico e a topologia induzida por d coincide com a
topologia induzida pelo altas de M . Nesse âmbito, o principal resultado relacionado é
o Teorema de Hopf-Rinow, que relaciona a completude de M como espaço métrico e a
estendabilidade das geodésicas de M , cf. [11].
Seja (M, g) uma variedade Riemanniana completa e considere γ : [0, l] → M uma geodésica normalizada de M partindo de p ∈ M , γ(0) = p. Se t é suficientemente pequeno,
então d(γ(0), γ(t)) = t, isto é, a geodésica γ minimiza distância em [0, t]. Se γ([0, t1 ])
não é uma geodésica minimizante, então o mesmo acontece para γ([0, s]), com s > t1 .
Dessa forma, o conjunto dos números t > 0 tais que d(γ(0), γ(t)) = t é da forma [0, t0 ]
ou [0, +∞). No primeiro caso, γ(t0 ) é chamado de ponto mı́nimo de p ao longo de γ, no
segundo caso dizemos que ponto mı́nimo não existe.
Estamos interessados na distância de p ao seu ponto mı́nimo ao longo de γ. De fato,
temos que essa distância depende continuamente da direção inicial de γ, vejamos.
Considere a função f : T1 M → R ∪ {∞} definida por
(
0

f (γ(0), γ (0)) =

t0 ,
0,

se γ(t0 ) é o ponto mı́nimo de γ(0) ao longo de γ.
se o ponto mı́nimo ao longo de γ não existe.

Com a topologia em R ∪ {∞} cuja a base de abertos é dada pelos intervalos abertos
de R juntamente com os conjuntos da forma [a, ∞] = [a, ∞) ∪ {∞}, temos a seguinte
proposição.
Proposição 1.3. A função f , como definida acima, é contı́nua.
Demonstração. Cf. [11, Capı́tulo 8, Proposição 2.9].

1.4

Operadores em Variedades Riemannianas

Nesta seção definiremos algumas funções importantes que serão utilizadas ao longo do
presente texto.
Sejam (M n , g) uma variedade Riemanniana, X ∈ X (M ) e f ∈ C ∞ (M ).

Capı́tulo 1. Prólogo à Geometria Riemanniana

21

Definição 1.1. O gradiente de f sobre M é o campo vetorial suave grad f em M tal que
hgrad f, Xip = Xp (f )
= dfp (X),
para todo p ∈ M e X ∈ X (M ).
Note que supondo a existência do campo gradiente de f e fixado x = (x1 , . . . , xn ) um
sistema de coordendas locais em M , podemos escrever o gradiente de f como
grad f =

n
X

(grad f )i

i=1

donde obtemos que

n
X
∂
∂
e X=
,
aj
∂xi
∂xj
j=1
n
X

hgrad f, Xip =

gij (grad f )i aj .

i,j=1

Pela definição de gradiente, temos que
df (X) =

n
X

aj

∂f
.
∂xj

g ij

∂f ∂
∂xi ∂xj

j=1

Sendo assim, definindo
n
X

grad f :=

i,j=1

(1.2)

temos que grad f fica unicamente determinado por tal expressão, portanto segue da mesma
a existência. De agora em diante, denotaremos o gradiente de f por ∇f .
Definição 1.2. A divergência de um campo de vetores X em M é a função diferenciável
div X : M n → R dada, para cada p ∈ M , por
div X(p) = tr{Y (p) 7→ ∇Y X(p)}.
Fixado x = (x1 , . . . , xn ) um sistema de coordendas locais em M e escrevendo o campo
de vetores X ∈ X (M ) como
n
X
∂
aj
X=
,
∂xj
j=1
temos que a função divergência é dada por
div X =

n
X

*

g

∂
∇ ∂ X,
∂xi
∂xj

ij

i,j=1

+

.

(1.3)

Se considerarmos um referencial ortonormal { ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂n } em M , a divergência do
campo X é expressa por
div X =
=

n
X
i=1
n
X
i=1

=

n
X
i=1

*

∂
∇ ∂ X,
∂xi
∂xi

+

*

+

∂
∂
X,
∂xi
∂xi
*

*

∂
− X, ∇ ∂
∂xi ∂x
i

∂
∂
(ai ) − X, ∇ ∂
∂x
∂xi
i ∂xi

+!

.

+!

Capı́tulo 1. Prólogo à Geometria Riemanniana

22

Além disso, se { ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂n } é um referencial geodésico em M , isto é, ∇ ∂ ∂x∂ j = 0
∂xi
para todo i, j = 1, . . . , n, a divergência do campo X é dada por
div X =

n
X

∂
(ai ).
i=1 ∂xi

Definição 1.3. O Laplaciano de uma função f sobre M é a função diferenciável
∆ : M → R definida por
∆f = div(∇f ).
Em um sistema de coordenadas locais de M , digamos x = (x1 , . . . , xn ), o laplaciano
de uma função diferenciável f é dado por
∆f =

n
X

*

g

ij

i,j=1

∂
∇ ∂ ∇f,
∂xi
∂xj

+

.

(1.4)

Se { ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂n } é um referencial geodésico em M , então

∆f =

n
X
i=1

=
=

n
X

*

+

*

n
X
∂f

∂
∇ ∂ ∇f,
∂xi
∂xi
∇ ∂

∂xi

i=1
n
X

!

∂
∂
,
∂xi
k=1 ∂xk ∂xk

+

∂ 2f
2
i=1 ∂xi

Proposição 1.4 (Contração da Equação de Ricci). Seja f : Σn → M n+1 uma imersão
isométrica e N ∈ X (Σ)⊥ campo normal unitário. Então, se Y ∈ X (Σ), vale que
Ric(Y, N ) = ndH(Y ) − divΣ (Y ),
onde o divergente de Y sobre Σ é dado por divΣ (Y ) =

n
X

¯ ∂ B)(Y, ∂j , N ).
g ij (∇
i

i,j=1

Demonstração. De fato, seja {e1 , . . . , en } um referencial geodésico em Σ. Pela equação
de Ricci temos que
D

E

¯ Y B)(ei , ei , N ) − (∇
¯ e B)(Y, ei , N ).
R̄(ei , Y )ei , N = (∇
i

Note que
¯ Y B)(ei , ei , N ) = Y (B(ei , ei , N )) − B(∇Y ei , ei , N ) − B(ei , ∇Y ei , N ) − B(ei , ei , ∇⊥ N )
(∇
Y
= Y (hB(ei , ei ), N i) − B(ei , ei , ∇⊥
Y N)
D
E D
E
¯ e ei , N − (∇
¯ e ei )N , (∇
¯ Y N )N
=Y ∇
i

D

D

ED

¯ e ei , N ∇
¯ Y N, N
− ∇
i

 D
E
¯ e ei , N 1 Y (hN, N i)
= Y hA(ei ), ei i − ∇
i
2


= Y hA(ei ), ei i .
=Y

¯ e N, ei
−∇
i

i

E

E

Capı́tulo 1. Prólogo à Geometria Riemanniana

23

Portanto temos a igualdade
D

E





¯ e B)(Y, ei , N ).
R̄(ei , Y )ei , N = Y hA(ei ), ei i − (∇
i

Realizando a soma em i, isto é, variando os vetores do referencial geodésico de Σ, temos
que
Ric(Y, N ) = Y

n
X

!

hA(ei ), ei i

i=1

= Y (nH) −

−

n
X

¯ e B)(Y, ei , N )
(∇
i

i=1
n
X

¯ e B)(Y, ei , N )
(∇
i

i=1
n
X

= ndH(Y ) −

i=1

¯ e B)(Y, ei , N ).
(∇
i

24

2 ESTUDO DAS VARIAÇÕES
Neste capı́tulo estamos interessados no estudo da evolução da área e da curvatura
média de uma variação suave φ : Σ × (−ε, ε) → M . A seguinte exposição tem como
principais referências [1], [9] e [10].

2.1

Primeira Variação da Área

Considere M n e Σk variedades Riemannianas, com k < n, tal que Σ é orientada pelo
elemento de volume dΣ e seja f : Σ → M uma imersão isométrica.
Uma aplicação diferenciável φ : Σ × (−ε, ε) → M é uma variação suave de Σ com
suporte compacto e bordo fixo, se
1. φ = f fora de um conjunto compacto de Σ;
2. φ(p, 0) = f (p);
3. φ(p, t) = p para todo p ∈ ∂Σ;
e se além disso, φ induz uma famı́lia {φt }t a 1-parâmetro de deformações de Σ, tal que,
a aplicação φt : Σ → M , dada por φt (p) = φ(p, t) é uma imersão, para cada t ∈ (−ε, ε).
Chamamos de campo variacional de φ o campo de vetores
∂φ
∂t t=0
e dizemos que φ é uma variação normal se o campo variacional de φ é normal a Σ.
De agora em diante, o ı́ndice t será utilizado para denotar quantidades associadas a
Σt = φt (Σ).
Dado x = (x1 , . . . , xn ) um sistema de coordenadas em Σ, denotando ∂i := ∂x∂ i e
∂
∂t := ∂t
, para cada t ∈ (−ε, ε) temos que φt ◦ x é um sistema de coordenadas locais em
Σt tal que
gij (t) = h∂i φt , ∂j φt i .
Supondo que Σ tem volume finito, temos que o elemento de volume de Σt é a k-forma
positiva dada por
q
dΣt = det g(t)dx1 . . . dxk ,

Capı́tulo 2. Estudo das variações

25

isto é, dΣt é o elemento de volume da métrica induzida em Σ por φt , e a área de Σt é
dada por
Z
q
A(Σt ) =
det g(t)dx1 . . . dxk ,
(φt ◦x)−1 (Σt )

onde g(t) denota a matriz [gij (t)].
Nesta seção estamos interessados em calcular a primeira derivada de A(Σt ).
Primeiramente, observe que se B : R → Mk (R) é uma aplicação suave de R sobre
o conjunto Mk (R) das matrizes de coeficientes reais e ordem k, então pela Fórmula de
Jacobi, cf. [17, Capı́tulo 8, Teorema 1], temos que


d
d
det B(t) = tr adj(B(t)) B(t) ,
dt
dt

onde adj B(t) é a matriz adjunta de B(t). Se para todo t ∈ R temos que B(t) é invertı́vel,
então
adj B(t) = det(B(t))(B(t))−1 .
Portanto, a Fórmula de Jacobi se escreve da seguinte maneira


d
d
det B(t) = det(B(t)) tr (B(t))−1 B(t) .
dt
dt

(2.1)

Como para todo t ∈ (−ε, ε) temos que a matriz [gij (t)] é invertı́vel, então pela equação
(2.1), obtemos que



d
d
det(g(t)) = det(g(t)) tr g −1 (t) g(t)
dt
dt
!
X
d
ij
g (t) gij (t) .
= det(g(t))
dt
ij

(2.2)

Porém, note que
d
d
gij (t) =
h∂i φt , ∂j φt i
dt
dt
= h∇∂t φ ∂i φt , ∂j φt i + h∂i φt , ∇∂t φ ∂j φt i .
Pela simetria e pela compatibilidade da conexão Riemanniana, temos que
D
E
d
gij (t) = h∇∂i φt ∂t φ, ∂j φt i + ∂i φt , ∇∂j φt ∂t φ .
dt

Portanto, podemos reescrever a equação (2.2) como
!

X
d
det(g(t)) = 2 det(g(t))
g ij (t) h∇∂i φt ∂t φ, ∂j φt i .
dt
ij

Pela equação (1.3), temos que
d
det(g(t)) = 2 det(g(t)) divΣt (∂t φ)
dt

(2.3)

Capı́tulo 2. Estudo das variações

26

onde divΣt é o divergente sobre Σt . Dessa maneira, segue da equação (2.3),

∂
d q
(dΣt ) =
det(g(t)) dx1 . . . dxk
∂t
dt
divΣ (∂t φ)
det(g(t))dx1 . . . dxk
=q t
det(g(t))
q

= divΣt (∂t φ) det(g(t))dx1 . . . dxk
= divΣt (∂t φ)dΣt .
Portanto, sob as hipóteses supracitadas, temos o seguinte resultado:
Teorema 2.1 (Fórmula da primeira variação).
!

Z
∂
A(Σt ) =
divΣt
∂t
Σt

∂φ
dΣt .
∂t

Observe que se X ∈ X (M ), então podemos decompor o campo vetorial X em suas
componentes normais e tangentes ao longo de Σ como X = X T + X N . Dessa maneira, o
divergente sobre Σ satisfaz
divΣ (X) = divΣ (X T + X N )
= divΣ (X T ) +

X

D

E

D

E

g ij ∇∂i X N , ∂j

ij
T

= divΣ (X ) −

X

g ij X N , ∇N
∂i ∂ j

ij

+

*
T

N

= divΣ (X ) − X ,

X

g

ij

∇N
∂i ∂j

ij

*

+

= divΣ (X T ) − X N ,

X

B(∂i , ∂j )

ij

D
#»E
= divΣ (X T ) − k X N , H .

Assim sendo, obtemos


∂φ T
∂t

∂
(dΣt ) =  divΣt
∂t
e



Z
∂
 divΣ
A(Σt ) =
t
∂t
Σt

!

∂φ T
∂t

+

∂φ N #» 
−k
, Ht
dΣt
∂t
*

!

+

∂φ N #» 
−k
, Ht
dΣt .
∂t
*

Um corolário interessante segue quando consideramos uma variação suave φ com as
hipóteses acima e supomos que ∂Σ = ∅. Daı́, pelo Teorema da Divergência, temos que
Z
Σt

Z
∂φ T
dΣt =
∂t
∂Σt
!

divΣt

= 0.

*

∂φ T
, ν dσt
∂t
+

Capı́tulo 2. Estudo das variações

27

Por conseguinte, sob as hipóteses anteriormente citadas, se ∂Σ = ∅ obtemos:
Corolário 2.1.
∂
∂φ N #»
(dΣt ) = −k
, H t dΣt
∂t
∂t
*

Z
∂
A(Σt ) = −k
∂t
Σt

2.2

+

*

∂φ N #»
, H t dΣt .
∂t

(2.4)

+

(2.5)

Primeira Variação da Curvatura Média

Nesta seção estamos interessados em calcular a fórmula da primeira variação da curvatura média. Por simplicidade, vamos considerar apenas o caso de codimensão 1.
Seja f : Σn → M n+1 uma imersão isométrica e N um campo local de vetores normais
unitário em Σ.
Considere φ : Σ × (−ε, ε) → M uma variação suave de Σ com suporte compacto e
bordo fixo. Fixado x = (x1 , . . . , xn ) um sistema de coordenadas locais em Σ, utilizaremos
novamente o ı́ndice t para denotar quantidades associadas a Σt = φt (Σ).
No que segue, faremos uso da convenção de somas de Einstein. Por exemplo, temos
que
1
H = g ij hBij , N i
n
é a curvatura média de Σ, onde Bij := B(∂i , ∂j ), para 1 ≤ i, j ≤ n. Para facilitar a
notação, considere nesta seção
∂i :=

∂φ
∂xi

e ∂t :=

∂φ
.
∂t

Para cada t ∈ (−ε, ε), podemos decompor o campo variacional de φ em suas componentes tangentes e normais ao longo de Σt ,
∂t = ∂t> + ρt Nt ,
onde ρt é a função definida por ρt = h∂t , Nt i.
Para cumprimos o objetivo de estudar a evolução da curvatura média da variação φ,
precisaremos calcular a derivada em relação a variável t de objetos geométricos envolvidos.

Capı́tulo 2. Estudo das variações

28

De fato, omitindo o ponto t e transpondo para a notação adotada acima, como (φt ◦ x)
é um sistema de coordenadas locais em Σt e pela equação (2.2), temos que as seguintes
equações:
∂t gij = h∇∂t ∂i , ∂j i + h∂i , ∇∂t ∂j i ,

(2.6)

∂t g ij = −2g ik g jl h∇∂k ∂t , ∂l i ,

(2.7)

∂t (det g) = (g ij ∂t ) det g.

(2.8)

Dessa maneira, como nHt = g ij h−∇∂i N, ∂j i, temos que
n∂t Ht = ∂t g ij h∇∂i Nt , ∂j i + g ij h−∇∂t ∇∂i Nt , ∂j i + g ij h−∇∂i Nt , ∇∂t ∂j i .
Porém, pela equação (2.7), temos
n∂t Ht = −2g ik g jl h∇∂k ∂t , ∂l i h−∇∂i Nt , ∂j i + g ij h−∇∂t ∇∂i Nt , ∂j i + g ij h−∇∂i Nt , ∇∂t ∂j i .
Como (f ◦ x) é um sistema de coordenadas locais em Σt , então
∇∂i ∇∂t Nt − ∇∂t ∇∂i Ni = R(∂t , ∂i )Nt .
Logo,
n∂t Ht = −2g ik g jl h∇∂k ∂t , ∂l i h−∇∂i Nt , ∂j i + g ij hR(∂t , ∂i )Nt , ∂j i
− g ij h∇∂i ∇∂t Nt , ∂j i + g ij h−∇∂i Nt , ∇∂t ∂j i .
Porém, note que escrevendo em coordenadas ∇∂i Nt temos
∇∂i Nt = g jl h∇∂i Nt , ∂j i ∂l ,

(2.9)

então, utilizando a equação anterior e trocando k por j,
D

E

D

E

n∂t Ht = 2g ij ∇∂j ∂t , ∇∂i Nt + Ric(∂t , Nt ) − g ij h∇∂i ∇∂t Nt , ∂j i + g ij h−∇∂i Nt , ∇∂t ∂j i
= g ij ∇∂j ∂t , ∇∂i Nt + Ric(∂t , Nt ) − g ij h∇∂i ∇∂t Nt , ∂j i .

(2.10)

Por outro lado, como
∇∂t Nt = g jl h∇∂t Nt , ∂j i ∂l
= −g jl hNt , ∇∂t ∂j i ∂l
D

E

= −g jl Nt , ∇∂j ∂t ∂l .
Note que como hNt , Nt i = 1, temos que ∇∂i Nt e ∇∂t Nt são tangentes a Σt . Então
decompondo ∂t = ∂p> + ρt Nt , temos

Capı́tulo 2. Estudo das variações

29

D

E

∇∂t Nt = −g jl Nt , ∇∂j ∂t ∂l
E

D

= −g jl Nt , ∇∂j (∂t> + ρt Nt ) ∂l
D

E

D

E

= −g jl Nt , ∇∂j ∂t> ∂l − g jl Nt , ∇∂j ρt Nt ∂l
= −g jl IIt (∂j , ∂t> )∂l − g jl ∂j (ρt )∂l − g jl ρt hNt , ∇∂l Nt i ∂l
= −g jl IIt (∂j , ∂t> )∂l − g jl ∂j (ρt )∂l ,
onde IIt é a segunda forma fundamental de Σt . Pela simetria de IIt e sabendo por (1.2)
que ∇Σt = g jl ∂j (ρt )∂l é o gradiente de ρt em Σt nas coordenadas (φt ◦ x), então
∇∂t Nt = −g jl IIt (∂j , ∂t> )∂l − g jl ∂j (ρt )∂l
= −g jl IIt (∂t> , ∂j )∂l − ∇Σt ρt
D

E

= −g jl ∇∂t> ∂j , Nt ∂l − ∇Σt ρt
D

E

= g jl ∇∂t> ∂l Nt , ∂j − ∇Σt ρt
= ∇∂t> Nt − ∇Σt ρt .
Tomando ∇∂t Nt = ∇∂t> Nt − ∇Σt ρt na equação (2.10), segue que
D

E

D

E

D

E

n∂t Ht = g ij ∇∂j ∂t , ∇∂i Nt + Ric(∂t , Nt ) − g ij ∇∂i ∇∂t> Nt , ∂j + g ij ∇∂i ∇Σt ρt , ∂j .
(2.11)
Fazendo ∂t = ∂t> + ρt Nt , obtemos
E

D

E

D

n∂t Ht = g ij ∇∂j ∂t> , ∇∂i Nt + g ij ∇∂j Nt , ∇∂i Nt ρt + Ric(∂t> , Nt ) + Ric(Nt , Nt )ρt
D

E

D

E

− g ij ∇∂i ∇∂t> Nt , ∂j + g ij ∇∂i ∇Σt ρt , ∂j , (2.12)
donde,
D

E

D

n∂t Ht = Ric(∂t> , Nt ) + g ij ∇∂j ∂t> , ∇∂i Nt − g ij ∇∂i ∇∂t> Nt , ∂j

E

+ (Ric(Nt , Nt ) + |At |2 + ∆Σt )ρt . (2.13)
Pela compatibilidade da métrica, e denotando LΣt := Ric(Nt , Nt ) + |At |2 + ∆Σt , temos
D

E

n∂t Ht = Ric(∂t> , Nt ) + g ij ∇∂j ∂t> , ∇∂i Nt − g ij ∂i

D

∇∂t> Nt , ∂j

E

D

E

+ g ij ∇∂t> Nt , ∇∂i ∂j + LΣt ρt . (2.14)
Pela simetria da segunda forma fundamental, considere as seguintes equações:
D

E

D

∇∂t> Nt , ∇∂i ∂j = ∇∂t> Nt , (∇∂i ∂j )> + h∇∂i ∂j , Nt i Nt
D

E

D

E
E

= ∇∂t> Nt , (∇∂i ∂j )> + h∇∂i ∂j , Nt i ∇∂t> Nt , Nt
D
E
1
= − ∇∂t> (∇∂i ∂j )> , Nt + h∇∂i ∂j , Nt i ∂t> hNt , Nt i
2
E
D
>
= − ∇∂t> (∇∂i ∂j ) , Nt .

(2.15)

Capı́tulo 2. Estudo das variações

30

e
D

∇∂j ∂t> , ∇∂i Nt = ∂j

E

D

∂t> , ∇∂i Nt

E

− ∂t> , ∇∂j ∇∂i Nt

= ∂j

D

∂t> , ∇∂i Nt

E

− ∂t> , ∇∂i ∇∂j Nt

= ∂j

D

∂t> , ∇∂i Nt

E

− ∂i

D

= (∇∂i ∂t> )> , ∇∂j Nt
D

= ∂j , ∇(∇∂ ∂t> )> Nt

D

E

D

E

D

∂t> , ∇∂j Nt

E

D

+ ∇∂i ∂t> , ∇∂j Nt

E

E

E

i

D

E

= − ∇(∇∂ ∂t> )> ∂j , Nt .

(2.16)

i

Substituindo as equações (2.15) e (2.16) na equação (2.14), obtemos
n∂t Ht = Ric(∂t> , Nt )
+g

ij

∂i

D

∇∂t> ∂j , Nt

E

D

E

D

T

− ∇(∇∂ ∂t> )T ∂j , Nt − ∇∂t> (∇∂i ∂j ) , Nt

E

!

i

+ LΣt ρt . (2.17)
Sendo ∇∂i Nt é tangente a Σt , então
D

E

∇∂j> ∂j , ∇⊥
∂i Nt = 0.

Dessa forma, para cada t ∈ (−ε, ε), temos que
(∇∂i B)(∂t> , ∂j , Nt ) = ∂i

D

∇∂t> ∂j , Nt

E

D

E

D

E

− ∇(∇∂ ∂t> )T ∂j , Nt − ∇∂t> (∇∂i ∂j )T , Nt .
i

Portanto,
n∂t Ht = Ric(∂t> , Nt ) + divΣt B(∂t> ) + LΣt ρt .
Pela contração da equação de Codazzi (1.4), temos que
ndH(∂t> ) = Ric(∂t> , Nt ) + divΣt B(∂t> ).
Substituindo na equação (2.18), segue o seguinte resultado:
Teorema 2.2 (Fórmula da variação da curvatura média).
1
∂H
= dH(∂t> ) + LΣt ρt .
∂t
n

(2.18)

31

3 RESULTADO DE RIGIDEZ EM DIMENSÃO 2
O objetivo principal deste capı́tulo é provar um teorema de ridigez para superfı́cies, a
partir da limitação da curvatura Gaussiana, obtendo uma cota inferior para os comprimentos de geodésicas fechadas em uma 2-variedade compacta simplesmente conexa. Tal
teorema foi provado em [2] e os autores atribuem o resultado a E. Calabi.

3.1

Lema técnico

Na presente seção, provaremos um lema de EDO’s que será usado de maneira fundamental na prova do teorema de E. Calabi. De modo à simplificar notação, dado α ∈ R
denotaremos por [α, β] (respec. (α, β]) o intervalo [α, β] (respec. (α, β]) se β < +∞ ou o
intervalo [α, β) (respec. (α, β)) se β = +∞.

Lema 3.1. Seja K ∈ L∞ ([0, +∞)) tal que 0 ≤ K(t) ≤ 1, para todo t ∈ [0, +∞).
Considere y uma solução do problema

y 00 (t) + K(t)y(t) = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 0

(3.1)

Denote por β o menor zero positivo de y, isto é, y(β) = 0 e y(t) 6= 0 para t ∈ (0, β),
sendo possı́vel que β = +∞, ou seja y(t) 6= 0 para todo t ∈ [0, +∞).
Então 0 ≤ −y 0 (t) ≤ 1, para todo t ∈ [0, β]. Se y 0 (t0 ) = −1 para algum t0 ∈ [0, β],
então t0 = β < +∞, π/2 ≤ t0 = β,
(

y(t) =

1,
t ∈ [0, β − π/2]
cos(t − (β − π/2)), t ∈ (β − π/2, β]

(

e

K(t) =

0, t ∈ [0, β − π/2]
.
1, t ∈ (β − π/2, β]

Mais ainda, se K(t) é contı́nua e y 0 (t0 ) = −1 para algum t0 ∈ [0, β], então t0 = β =
π/2,
y(t) = cos(t) e K(t) = 1, ∀t ∈ [0, π/2].

Demonstração. Dado t ∈ [0, β], temos que y 00 = −Ky ≤ 0 pois K ≥ 0 e y ≥ 0 em [0, β],
já que y(0) = 1. Dessa forma, y 0 é uma função não-crescente em [0, β]. Como y 0 (0) = 0,
segue-se que y 0 ≤ 0 para todo t ∈ [0, β]. Assim,

Capı́tulo 3. Resultado de rigidez em dimensão 2



y 2 + (y 0 )2

0

32

= 2yy 0 + 2y 0 y 00
= 2yy 0 − 2y 0 Ky
= 2yy 0 (1 − K)
≤ 0,

em [0, β), pois y 0 ≤ 0, y ≥ 0 e K ≤ 1 nesse intervalo. Dessa maneira, temos que
#t

Z t


h
d
((y(s))2 + (y 0 (s))2 ds = (y(s))2 + (y 0 (s))2
0 ds
0

= (y(t))2 + (y 0 (t))2 − 1
≤ 0.
Portanto, para t ∈ [0, β],
(y(t))2 + (y 0 (t))2 ≤ 1.

(3.2)

Por outro lado, a equação (3.2) implica que −1 ≤ y 0 ≤ 1 em [0, β]. Como y 0 ≤ 0 nesse
mesmo intervalo, segue que 0 ≤ −y 0 ≤ 1, em [0, β].
Suponha que existe t0 ∈ [0, β] tal que y 0 (t0 ) = −1. Então, pela equação (3.2), y(t0 ) = 0
onde t0 6= 0 pois y(0) = 1. Portanto pela definição de β, temos que β = t0 < +∞.
Sendo K ∈ L∞ ([0, +∞)) e y suficientemente regular, pela equação (3.2), obtemos que
Z β
0

2y(s)y 0 (s)(1 − K(s))ds =

Z β
0


d
((y(s))2 + (y 0 (s))2 ds
ds

= 0.
Mas 2yy 0 (1 − K) ≤ 0 em [0, β], logo 2yy 0 (1 − K) = 0 em [0, β]. Como y > 0 em [0, β),
então y 0 (1 − K) ≡ 0 em [0, β).
Pelo que foi visto acima, y 0 é não-decrescente e −1 ≤ y 0 ≤ 0 em [0, β), então existe
t1 ∈ [0, β) tal que y 0 ≡ 0 em [0, t1 ] e −1 < y 0 < 0 em (t1 , β). De fato, sempre podemos
tomar t1 = 0 e se existe t2 ∈ (t1 , β) tal que y 0 (t2 ) = −1, novamente pela equação (3.2),
obtemos que y(t2 ) = 0, mas isso contradiz a minimalidade de β.
Dessa maneira, como y(0) = 1 e y 0 ≡ 0 em [0, t1 ], então y ≡ 1 em [0, t1 ], donde K ≡ 0
em [0, t1 ], pois y satisfaz a equação (3.1). Por outro lado, como −1 < y 0 < 0 em (t1 , β) e

Capı́tulo 3. Resultado de rigidez em dimensão 2

33

y 0 (1 − K) ≡ 0 em [0, β) então K ≡ 1 em (t1 , β).
Considere o seguinte problema
y 00 = y 0 , y 0 (t1 ) = 0, y(t1 ) = 1.
Pelo Teorema de Existência e Unicidade de EDO’s, y(t) = cos(t − t1 ) em R. Como
y(β) = cos(β − t1 ) = 0, então, pela definição de β, t1 = β − π/2 ≥ 0. Como y 0 (β) = −1 e
vale que y 0 (1 − K) ≡ 0, então K(β) ≡ 1. Portanto,
(

y(t) =

1,
t ∈ [0, β − π/2]
cos(t − (β − π/2)), t ∈ (β − π/2, β]

(

e K(t) =

0, t ∈ [0, β − π/2]
.
1, t ∈ (β − π/2, β]

Se K é contı́nua, então ou K ≡ 0 ou K ≡ 1 em [0, β]. Se K ≡ 0, então y ≡ 1 em
[0, β]. Mas existe t0 ∈ [0, β] com y 0 (t0 ) = −1, por hipótese. Absurdo.
Logo K ≡ 1 em [0, β], o que implica que y(t) = cos(t − (β − π/2)) em [0, β]. Como
y(0) = 1, então β = π/2 + 2kπ, com k ∈ Z. Sendo β o menor zero positivo de y, então
β = π/2.

3.2

O teorema de rigidez de E. Calabi

Seja (M n , g) uma variedade Riemanniana tal que a métrica g ∈ C 2 com cuvartura
seccional positiva. A determinação de uma cota inferior para a distância de um ponto ao
seu cut locus depende da determinação de uma conta inferior para os comprimentos das
geodésicas fechadas de M . Desse modo, considerando n = 2, apresentaremos um teorema
de rigidez que trata sobre a determinação de uma cota inferior para o comprimento das
geodésicas. O seguinte resultado provado em [2] e é atribuı́do a E. Calabi.
Teorema 3.1 (E. Calabi, [2]). Seja (Σ2 , g) uma esfera 2-dimensional, com métrica Riemanniana de classe C 2 , cuja a curvatura Gaussiana K de Σ satisfaz 0 ≤ K ≤ 1. Então
toda geodésica simples fechada γ em Σ tem comprimento maior ou igual a 2π. Se o comprimento de γ é 2π, então (Σ2 , g) é isométrica a esfera redonda (S21 , g0 ) e γ é um grande
cı́rculo.
Demonstração. Seja c : [0, l] → Σ2 uma parametrização por comprimento de arco da geodésica γ. Considere η(0) = η(c(0)) ∈ Tc(0) Σ2 vetor unitário e ortogonal a c0 (0) ∈ Tc(0) Σ2 .
Fazendo o transporte paralelo de η(0) ao longo de c, sendo Σ2 orientável, temos bem
definido um campo normal unitário η a geodésica γ, ao longo de c.

Capı́tulo 3. Resultado de rigidez em dimensão 2

34

Para cada s ∈ [0, l], considere a geodésica αs partindo de c(s) dada por
t 7→ expc(s) tη(s), t ∈ [0, +∞).
Como Σ2 é compacta então o diâmetro de Σ2 é finito, logo, para cada s ∈ [0, l], existe
o ponto mı́nimo de c(s) ao longo da geodésica αs . Seja β(s) a distância de c(s) ao seu
ponto mı́nimo ao longo da geodésica αs . Pela Proposição 1.3, segue que β : [0, l] → R
é uma função contı́nua, pois β = f ◦ θ, onde θ : [0, l] → T1 Σ2 é uma aplicação contı́nua
dada por
s 7→ θ(s) = (αs (0), αs0 (0))
= (c(s), η(s)),
e f é a função contı́nua dada na Proposição 1.3.
Denote por M a região de Σ2 limitada pela geodésica γ com normal unitário interior
η e considere a seguinte aplicação
F (s, t) = expc(s) (tη(s)), 0 ≤ s ≤ L, 0 ≤ t ≤ β(s).
Segue que (s, t) é um sistema de coordenadas da região M , chamado de coordenadas
de Fermi. De fato, sendo a geodésica γ uma subvariedade fechada de Σ2 , dado q ∈ M \ γ
existe pq ∈ γ tal que
d(pq , q) = dist(q, γ).
Pelo Teorema de Hopf-Rinow, existe α : [0, a] → Σ2 geodésica minimizante normalizada tal que α(0) = pq e α(a) = q, onde a = dist(q, pq ).
Afirmação. α0 (0) é ortogonal a Tpq γ.
Suponha, por contradição, que α0 (0) não é ortogonal a Tpq γ. Sem perda de generalidade, seja v ∈ Tpq γ tal que hα0 (0), vi > 0 e considere v(t) o transporte paralelo de v ao
longo da geodésica α, com v(0) = v. Considere o seguinte campo de vetores ao longo de
α,
!
π
t v(t).
X(t) = cos
2a
Observe que X(0) = v e X(a) = 0. Pela Fórmula da Primeira Variação da Energia,
*

+

*

+

*

Z a
1 0
D dα
dα
dα
E (0) = −
X(t),
(t) dt − X(0),
(0) + X(a),
(a)
2
dt dt
dt
dt
0

+

= − hv, α0 (0)i
< 0.
Isto é, E é decrescente em uma vizinhança de 0. Logo existe uma curva ζ da variação com energia menor que a energia de α, ligando q a um ponto de γ, distinto de pq .

Capı́tulo 3. Resultado de rigidez em dimensão 2

35

Porém, isto contradiz o fato de `(α) = dist(p, γ), pois como α é geodésica minimizante
normalizada, temos que
`2 (ζ) ≤ E(ζ) < E(α) = `2 (α).
Portanto, α0 (0) é ortogonal a Tpq γ, o que conclui a afirmação.
Seja sq ∈ [0, l] tal que c(sq ) = pq e η(sq ) vetor normal unitário, como definido acima.
Sendo dim(Tc(sq ) γ)⊥ = 1, então α0 (0) = η(sq ). Logo, pelo Teorema de Existência e
Unicidade de EDO’s, temos que
α(t) = expc(sq ) tη(sq )
= αsq (t),
donde αsq (a) = q, sendo assim F (sq , a) = q, onde a = dist(q, c(sq )). Pela arbitrariedade
de q ∈ M \ γ, isto mostra que (s, t) é um sistema de coordenadas da região M .
Agora estaremos interessados em calcular a métrica, a curvatura Gaussiana e o elemento de volume de M segundo as coordenadas (s, t). Iniciaremos pelos coeficientes da
métrica. De fato, omitindo o ponto s, por definição, temos
∂F
(s, t) = dF(s,t) (1, 0)
∂s
= d(expc )(tη) (tη 0 ).
Daı́, segue que coeficiente g11 é dado por
2

∂F
g11 =
(s, t) > 0,
∂s
pois F é um sistema de coordenadas de M . Por outro lado,
∂F
(s, t) = dF(s,t) (0, 1)
∂t
= d(expc )(tη) (η).
Pelo Lema de Gauss 1.1, obtemos que
D

E

g22 = d(expc )(tη) (η), d(expc )(tη) (η)
E
1D
= 2 d(expc )(tη) (tη), d(expc )(tη) (tη)
t
= hη, ηi
= 1,

Capı́tulo 3. Resultado de rigidez em dimensão 2

36

sempre que t 6= 0. Se t = 0, segue diretamente da Proposição 1.1 que g22 = 1. Ademais,
novamente pelo Lema de Gauss, para t 6= 0, temos
D

E

g12 = d(expc )(tη) (tη 0 ), d(expc )(tη) (η)
E
1D
=
d(expc )(tη) (η 0 ), d(expc )(tη) (tη)
t
= hη, η 0 i
= 0,
pois |η| = 1. Para t = 0 segue diretamente da definição que g12 = 0. Portanto, nas
coordenadas (s, t) temos que
∂F
(s, t) .
∂s

g = E 2 ds2 + dt2 , onde E(s, t) :=
Daı́, segue que

√
det g = E. Logo o elemento de área nas coordenadas (s, t) é dado por
dA = Edsdt.

Como (s, t) coordenadas ortogonais em M vale a seguinte caracterização, cf. [12,
Capı́tulo 4, Seção 3, Exercı́cio 1],




 





(g )
(g )
1
 √ 11 t  +  √ 22 s  .
K=− √
2 g11 g22 
g11 g22
g11 g22 
t

Denote

s

∂F
por ∂s F . Como f22 = 1 então
∂s




1 (|∂s F |2 )t 
K=− 
2E
|∂s F |

t





1 2|∂s F ||∂s F |t 
=− 
2E
|∂s F |

t

=−

1 ∂F
E ∂s

tt

Ett
=− .
E
Portanto, a curvatura Gaussiana satisfaz
Ett + KE = 0.
Mostraremos agora que a função E satisfaz as consições requeridas para o Lema 3.1.
De fato, se α : (−ε, +ε) → R2 é um caminho diferenciável, satisfazendo α(0) = (s, 0) e

Capı́tulo 3. Resultado de rigidez em dimensão 2

37

α0 (0) = (1, 0), então
dF(s,0) (1, 0) =

d
F ◦ α(h)
dh h=0

=

d
expc(s+h) 0
dh h=0

=

d
c(s + h)
dh h=0

= c0 (s).
Logo, E(s, 0) ≡ 1 para todo s ∈ [0, l], pois c é uma geodésica parametrizada pelo comprimento de arco. Por conseguinte, temos que Et (s, 0) ≡ 0, pois calculando a derivada de E
com relação a variável t, temos que
d
h∂s F, ∂s F i
Et = dt
,
2 ∂s F
donde para t = 0
d
h∂s F, ∂s F i = 2 h∇∂t F ∂s F, ∂s F i
t=0
dt t=0
= 2 h∇η c0 , c0 i
= η(hc0 , c0 i)
= 0,
pois c é uma geodésica parametrizada pelo comprimento de arco. Então fixado s ∈ [0, l],
defina
y(t) := E(s, t).
Dessa forma a função y satisfaz temos que y 00 + Ky = 0, com y(0) = 1 e y 0 (0) = 0, como
no Lema 3.1. Pelo Teorema de Gauss-Bonnet, temos que
2π =

Z

KdA +

Z

M

∂M

kg ds,

onde kg é curvatura geodésica de ∂M. Como F é sobrejetiva temos que o bordo de M é
formado apenas pela geodésica γ, sendo assim kg = 0. Daı́,
2π =
=

Z

0

=

Z l
0

=

KdA

M
Z l Z β(s)

Z l
0

−

0

Ett
Edtds
E

β(s)

−Et

ds
0

−Et (s, β(s))ds

Capı́tulo 3. Resultado de rigidez em dimensão 2

38

Como E(s, t) > 0, então pelo Lema 3.1 temos que 0 ≤ −Et ≤ 1 para todo 0 ≤ s ≤ l, já
que neste caso β(s) não é um zero de E. Dessa maneira, segue que
2π =

Z l
0

≤

Z l

−Et (s, β(s))ds
ds

0

= l.
Portanto, toda geodésica simples fechada em Σ2 tem comprimento maior ou igual a 2π.
Se vale a igualdade l = 2π, então −Et (s, β(s)) = 1, para todo s ∈ [0, l]. Como a
métrica g ∈ C 2 temos que a curvatura Gaussiana K é contı́nua. Logo, pelo Lema 3.1,
temos que
β(s) = π/2, K(s, t) = 1 e E(s, t) = cos(t)
para todo s ∈ [0, l] e t ∈ [0, π/2]. Portanto M é isométrica a um hemisfério de S21 . Fazendo
o mesmo estudo para a região de Σ2 limitada por γ com normal interior −η, encontramos
outro hemisfério de S21 . Como Σ2 é compacta, simplesmente conexa e K = 1, pelo Teorema
das Formas Espaciais, (Σ2 , g) é isométrica a esfera redonda (S21 , g0 ) e γ ⊂ Σ2 é um grande
cı́rculo.
Observação 3.1. É possı́vel definir uma noção de curvatura quando a métrica é apenas
de classe C 1,1 . Neste caso, quando `(γ) = 2π além da esfera S21 , Σ2 pode ser isométrica à
um cilindro fechado por dois hemisférios de S21 . Uma breve discussão sobre tal caso está
presente no apêndice.

39

4 RESULTADOS DE RIGIDEZ EM
DIMENSÃO 3
Este capı́tulo é dedicado à prova de dois teoremas de rigidez, devido à L. Mazet e H.
Rosenberg, apresentados em [19].

4.1

Curvatura positiva

Seja (M n , g) uma variedade Riemanniana completa com curvatura seccional K entre
0 e 1. De fato, supondo a existência de uma 2-esfera mı́nima mergulhada Σ2 em M , pelo
Teorema de Gauss-Bonnet e pela Equação de Gauss, obtemos
4π =

Z
Σ

KΣ dΣ =

Z
Σ

(det(A) + K)dΣ ≤

Z

dΣ = A(Σ),

Σ

onde o Operador de Weingarten A tem determinante não-positivo, pois Σ2 é mı́nima.
Dessa forma, suponha que Σ2 tem área 4π. Demonstraremos o teorema abaixo como o
principal resultado deste trabalho.
Teorema 4.1 (Mazet e Rosenberg, [19]). Seja (M, g) uma variedade Riemanniana completa de dimensão 3, cuja curvatura seccional KM = K satisfaz 0 ≤ K ≤ 1. Suponha
que existe Σ2 esfera mı́nima mergulhada em M com área 4π. Então a variedade M é
isométrica a esfera S31 ou a um quociente de S21 × R.
Demonstração. Inicialmente note que como Σ é uma esfera mergulhada em M , segue
que Σ é orientável, então existe N campo de vetores normais unitários ao longo de Σ.
Considere a seguinte aplicação
φ : Σ × R+ −→ M
(p, t) 7−→ φ(p, t) = expp (tN (p)).
Como M é completa, temos que φ está bem definida, para todo t ∈ [0, +∞) e além
disso φ é suave. Pela compacidade de Σ, segue do Teorema da Vizinhança Tubular, cf.
[6, Teorema 12.13] e [5, Teorema 6.3.2], que existe ε > 0 tal que φ
é um mergulho.
Σ×[0,ε)
Dessa maneira, considere
ε0 = sup{ε > 0 : φ é uma imersão em Σ × [0, ε)}.
Claramente temos que ε0 > 0 e que ε0 pode assumir +∞. Assim, defina uma famı́lia
de imersões {φt }t∈[0,ε0 ) , dadas por φt = φ(·, t) : Σ → M , para cada t ∈ [0, ε0 ).

Capı́tulo 4. Resultados de rigidez em dimensão 3

40

Seja ds2 = φ∗ g o pull-back da métrica Riemanniana de M em Σ × [0, ε0 ) e denote por
∇ a conexão de Levi-Civita de M . Podemos escrever esta métrica como ds2 = dσt2 + dt2 ,
onde dσt2 é uma famı́lia de métricas suaves em Σ.
De fato, é suficiente mostrar que para cada (p, t) ∈ Σ × [0, ε0 ) se X ∈ Tp Σ e ∂t ∈
Tt [0, ε0 ), então ds2 (X, ∂t) = 0 e ds2 (t1 ∂t, t2 ∂t) = t1 t2 , onde {∂t} base unitária de Tt [0, ε0 )
com t1 e t2 números reais quaisquer.




Considere as extensões canônicas de X ∈ Tp Σ e ∂t ∈ Tt [0, ε0 ) à T(p,t) Σ × [0, ε0 ) '
Tp Σ × Tt [0, ε0 ). Temos que tais extensões satisfazem
[X, ∂t] = 0,
onde salientamos que o colchete de Lie independe da métrica. Seja γp : [0, ε0 ) → M
geodésica em M dada por γp (t) = φ(p, t). Note que a derivada de γp é dada por
d
φ(p, t)
dt
= d(expp )tN (p) N (p).

γp0 (t) =

Por outro lado, se α : (t − δ, t + δ) → Σ × [0, ε0 ) é um caminho diferenciável dado
por α(s) = (p, s), Então temos que α(t) = (p, t) e α0 (t) = (0, 1) ' ∂t, via a identificação
canônica. Daı́,
dφ(∂t) =

d
φ(α(s))
ds s=t

=

d
φ(p, s)
ds s=t

=

d
expp sN (p)
ds s=t

= d(expp )tN (p) N (p).
Logo γp0 = dφ(∂t). Então, derivando ao longo da geodésica γp , temos que
d 2
d
ds (X, ∂t) = φ∗ g(X, ∂t)
dt
dt
d
=
hdφ(X), dφ(∂t)i
dt
E
d D
=
dφ(X), γp0
Ddt
E
= ∇γp0 dφ(X), γp0 .

Capı́tulo 4. Resultados de rigidez em dimensão 3

41

Porém, temos que
0 = dφ[X, ∂t]
= [dφ(X), dφ(∂t)]
= [dφ(X), γp0 ]
= ∇dφ(X) γp0 − ∇γp0 dφ(X).

(4.1)

logo, pela igualdade acima,
D
E
d ∗
φ g(X, ∂t) = ∇γp0 dφ(X), γp0
dt
E
D
= ∇dφ(X) γp0 , γp0
E
D
1
= dφ(X) γp0 , γp0
2
= 0.

Assim sendo φ∗ g(X, ∂t) é constante ao longo de γp0 . Para t = 0, temos que
φ∗ g(X, ∂t)

t=0

= hdφ(X), dφ(∂t)i
=

D

t=0

E

X, γp0 (0)

= 0.
Portanto, ds2 (X, ∂t) = 0. Por outro lado, se t1 ∂t, t2 ∂t ∈ Tt [0, ε0 ) então, pelo Lema de
Gauss, temos que
D

E

ds2 (t1 , t2 ) = d(expp )t1 N (p) N (p), d(expp )t2 N (p) N (p)
= t1 t2 .
Portanto, ds2 = dσt2 + dt2 , onde dσt2 = φ∗t g, para cada t ∈ [0, ε0 ).

Com esta métrica, a aplicação φ torna-se uma isometria local entre Σ × [0, ε0 ) e M ,
consequentemente, (Σ × [0, ε0 ), ds2 ) tem curvatura seccional entre 0 e 1.
Identifique dφ(∂t) com ∂t e denote φ(Σ × {t}) por Σt . Pela igualdade ds2 (X, ∂t) = 0,
temos que ∂t é um campo normal unitário a Σt , para todo (p, t) ∈ Σ × [0, ε0 ) e X ∈ Tp Σ.
Além disso, Σ0 é mı́nima e tem área 4π, já que φ0 = idΣ .
Afirmação. A métrica ds20 tem curvatura seccional constante igual a 1, portanto (Σ, ds20 )
é isométrica a S21 . Além disso, valem os seguintes casos:
1. ε0 = π/2 e dσt2 = sen2 tdσ02 ou
2. ε0 = +∞ e dσt2 = dσ02 .

Capı́tulo 4. Resultados de rigidez em dimensão 3

42

Para simplificar a notação, identificaremos Σ × {t} com Σt = φ(Σ × {t}) e cada vetor


V ∈ T(p,t) Σ × [0, ε0 ) com dφ(p,t) V ∈ Tφ(p,t) M . Dessa forma, fixado t ∈ [0, ε0 ), para cada
p ∈ Σ, sejam
IIt : Tp Σt × Tp Σt → R e At : Tp Σt → Tp Σt
a segunda forma fundamental e o operador de Weingarten da imersão φt : Σ → M com
respeito a ∂t, respectivamente, dados por
IIt (X, Y ) = hBt (X, Y ), ∂ti e At (X) = −(∇X ∂t)T ,
onde Bt (X, Y ) = (∇X Y )N . Considere
H(p, t) =

1
tr At
2

a curvatura média de Σt no ponto φ(p, t) com respeito ao vetor normal unitário ∂t.
Como At é auto-adjunto, existe {e1,t , e2,t } base ortonormal de Tp Σt formada por autovetores que diagonaliza de At . Sejam k1 (p, t) e k2 (p, t) tais que
At (e1,t ) = k1 (p, t) e At (e2,t ) = k2 (p, t).
Os autovalores k1 (p, t) e k2 (p, t) são as curvaturas principais de Σt no ponto φ(p, t),
donde vale que H(p, t) = 21 (k1 (p, t) + k2 (p, t)).
Para cada (p, t) ∈ Σ × [0, ε0 ), defina
λ(p, t) =

q

(H(p, t))2 − k1 (p, t)k2 (p, t) ≥ 0.

Segue diretamente que k1 (p, t) = H(p, t) + λ(p, t) e k2 (p, t) = H(p, t) − λ(p, t). Pela
Equação de Gauss, temos que
KΣt = Kt + hBt (e1,t , e1,t ), Bt (e2,t , e2,t )i − hBt (e1,t , e2,t ), Bt (e1,t , e2,t )i
= Kt + k1 k2
= Kt + (H + λ)(H − λ)

(4.2)

onde KΣt é a curvatura seccional (intrı́nseca) de Σt e Kt é a curvatura seccional em M
de Tp Σt . Note que se Σt é umbı́lica em φ(p, t) então H + λ = H − λ em (p, t), portanto
λ = 0 em φ(p, t).
Como Σt é uma esfera, pelo Teorema de Gauss-Bonnet,
4π =
=

Z

Σ

=

KΣt dΣt

ZΣt 
Z t
Σt



Kt + (H + λ)(H − λ) dΣt


Kt + H 2 − λ2 dΣt ,

Capı́tulo 4. Resultados de rigidez em dimensão 3

43

onde dΣt é a forma de volume de Σt ⊂ M . Como por hipótese temos que Kt ≤ 1, então
4π ≤

Z



Σ

=

Z t



1 + H 2 − λ2 dΣt

dΣt +

Σt

= A(Σt ) +

Z



Z Σt
Σt



H 2 − λ2 dΣt


H 2 − λ2 dΣt ,

onde A(Σt ) é a área de Σt . Dessa maneira, obtemos a seguinte desigualdade
Z
Σt

Z

λ2 dΣt ≤

Σt

H 2 dΣt + A(Σt ) − 4π.

(4.3)

Defina a função F : [0, ε0 ) → R por
F (t) =

Z
Σt

H 2 dΣt + A(Σt ) − 4π.

Afirmação 1 F é identicamente nula em [0, ε0 ).
De fato, inicialmente temos que F (0) = 0, pois Σ0 é mı́nima e tem área igual a 4π.
Logo, pela desigualdade (4.3), temos que λ(p, 0) = 0, para todo p ∈ Σ e portanto
Σ0 é umbı́lica. O Teorema de Gauss-Bonnet implica que
Z
Σ0

(Kt − 1)dΣ0 = 0,

mas 0 ≤ Kt ≤ 1 por hipótese, por conseguinte Kt ≡ 1. Assim, pela equação (4.2),
temos que KΣ0 = 1. Sendo Σ0 compacta e simplesmente conexa então, Pelo Teorema das Formas Espaciais, cf. [11, Capı́tulo 8, Teorema 4.1], (Σ0 , dσ02 ) é isométrica
a S21 .
#»
= ∂t é um campo normal unitário a Σt e H t é o vetor curvatura média
Como ∂φ
∂t
#»
de Σt na direção de ∂t , temos que H t = H∂t. Então pelas equações (2.4) e (2.5),
obtemos
Z
∂
A(Σt ) = −
2HdΣt
∂t
Σt

e
∂
(dΣt ) = −2HdΣt .
∂t
Por outro lado, como ∂t é um campo normal unitário a Σt então, em (2.2), ρt = 1
e ∂t> = 0. Portanto

∂H
1
=
Ric(∂t, ∂t) + |At |2 ,
∂t
2

(4.4)

Capı́tulo 4. Resultados de rigidez em dimensão 3

44

onde Ric é o Tensor de Ricci de Σ×[0, ε0 ) e At o operador de Weingarten da imersão
φt . Note que como K ≥ 0, então Ric(∂t, ∂t) ≥ 0 e sendo H(p, 0) = 0, para todo
p ∈ Σ, obtemos que H ≥ 0, para cada p ∈ Σ.

Calculemos e estimemos agora a derivada de F :
!
Z
d
H 2 dΣt + A(Σt ) − 4π
F 0 (t) =
dt Σt
Z 
Z

∂H
3
=
− 2H dΣt −
2HdΣt
2H
∂t
Σ
Σt
Z t


Σ

=
=

Z t
ZΣt
Σt

≤2



H Ric(∂t, ∂t) + |At |2 − 2H 2 − 2 dΣt

=





H (Ric(∂t, ∂t) − 2) + (H + λ)2 + (H − λ)2 − 2H 2 dΣt




H (Ric(∂t, ∂t) − 2) + 2λ2 dΣt

Z
Σt

(4.5)

Hλ2 dΣt .

Dado ε < ε0 , existe C > 0 tal que H ≤ C em Σ × [0, ε]. Usando a desigualdade
(4.3), temos que em [0, ε],
0

F (t) ≤ 2

Z

Hλ2 dΣt

Σt

≤ 2C

Z
Σt

λ2 dΣt

≤ 2CF (t).
Resolvendo esta inequação diferencial em [0, ε], temos que
F (t) ≤ F (0)e2Ct
= 0,
pois F (0) = 0. Quando tomamos ε suficientemente próximo de ε0 , temos que F ≤ 0
em [0, ε0 ), donde novamente pela desigualdade (4.3), temos λ = 0. Portanto F = 0
em [0, ε0 ), o que demonstra a Afirmação 1.
A primeira consequência da Afirmação 1 é que todas as subvariedades Σt são umbı́licas,
pois λ = 0. Segue também que a igualdade (4.5) é nula e assume a forma
Z
Σt

H(Ric(∂t, ∂t) − 2)dΣt = 0.

Como H ≥ 0 e (Ric(∂t)−2) ≤ 0, para quaisquer (p, t) ∈ Σ×[0, ε0 ), então H(Ric(∂t)−
2) ≤ 0, portanto
H(Ric(∂t, ∂t) − 2) = 0, para todo (p, t) ∈ Σ × [0, ε0 ).

(4.6)

Capı́tulo 4. Resultados de rigidez em dimensão 3

45

Mais ainda, a umbilicidade e a equação (4.4) implicam que
∂H
1
= Ric(∂t, ∂t) + H 2 ≥ 0.
∂t
2
Como H é crescente na variável t, então se H é positiva em (p, t), H permanece positiva em (p, s), com s ≥ t. Mostraremos a seguir que essa propriedade é mantida na
variável p, isto é, se H é positiva em (p, t), com t > 0, então H é positiva em Σt .

Afirmação 2 Seja (p, t) ∈ Σ × (0, ε0 ) tal que H(p, t) > 0. Então H(q, t) > 0 para todo
q ∈ Σ.

De fato, suponha que H(p, t) > 0, para t > 0 e considere o conjunto
Ω = {q ∈ Σ : H(q, t) > 0}.
Temos que Ω é um subconjunto não-vazio (p ∈ Ω) e aberto em Σ. Seja q ∈ Ω,
então como H(q, t) > 0, pela igualdade (4.6), temos que Ric(∂t, ∂t)(q, t) = 2. Pela
continuidade, temos que Ric(∂t, ∂t)(r, t) = 2, para todo r ∈ Ω. Dessa maneira,
fixado r ∈ Ω, existe δ > 0 tal que, se s ∈ (t − δ, t) então Ric(∂t, ∂t)(r, s) > 0,
por continuidade. Pela igualdade (4.4), temos que ∂H
(r, s) > 0, o que implica que
∂s
H(r, s) > 0, donde H(r, t) > 0. Portanto, r ∈ Ω. Pela conexidade de Σ, temos que
Σ = Ω.
Diante da Afirmação 2, suponha que existe ε1 > 0 tal que H(p, t) = 0 para (p, t) ∈
Σ × [0, ε1 ] e H(p, t) > 0 para (p, t) ∈ Σ × (ε1 , ε0 ). Pela equação (4.4) de evolução de H,
temos que Ric(∂t, ∂t) = 0 e |At | = 0 em Σ × [0, ε1 ]. Porém, pela equação (4.6), temos que
Ric(∂t, ∂t) = 2 em Σ × (ε1 , ε0 ). Dessa maneira, pela continuidade do Ric(∂t, ∂t) temos a
seguinte dicotomia:
1. H = 0 e Ric(∂t, ∂t) = 0 em Σ × [0, ε0 ).
2. H > 0 e Ric(∂t, ∂t) = 2 em Σ × (0, ε0 ).
De fato, considere x = (x1 , x2 ) um sistema de coordenadas locais em Σ. Denote por
∂i :=

∂φt
∂xi

e gij,t = h∂i , ∂j i , com i = 1, 2,

e defina a aplicação diferenciável gij : [0, ε0 ) → R dada por
gij (t) = dσt2

∂
∂
,
∂xi ∂xj

!

= h∂i , ∂j i , i = 1, 2.

Capı́tulo 4. Resultados de rigidez em dimensão 3

46

No primeiro caso temos que |At |2 = 2H 2 − 2λ2 = 0, isto é, para cada t ∈ [0, ε0 ), Σt é
totalmente geodésica. Dessa maneira, At (∂i ) = −(∇∂i ∂t)T = 0. Por outro lado, |∂t| = 1
implica que (∇∂i ∂t)N = 0, donde temos que ∇∂i ∂t = 0. Devido a igualdade (4.1) temos
que ∇∂t ∂i = 0. Sendo assim,
d
gij (t) = h∇∂t ∂i , ∂j i + h∂i , ∇∂t ∂j i
dt
= 0.
Por conseguinte, temos que gij (t) é constante, para todo t ∈ [0, ε0 ). Tomando t = 0,
temos que dσt2 = dσ02 , para todo t ∈ [0, ε0 ). Como φ deixa de ser uma imersão quando
dσt2 = φ∗t g torna-se singular, temos que se X ∈ Tp Σt então
|dφt (X)|2 = dσ02 (X, X) = 0 ⇐⇒ X = 0.
Logo, dφt é injetiva para todo t ∈ [0, +∞), portanto ε0 = +∞. Dessa maneira, Σ×R+
com a métrica ds2 = dσ02 + dt2 é isométrica a S21 × R+ e a aplicação φ é uma isometria
local de Σ × R+ em M .
No segundo caso, a equação (4.4) de evolução de H juntamente com a condição inicial
H(p, 0) = 0, definem, para cada p ∈ Σ, um problema de valor inicial dado por
( ∂H

= 1 + H 2,
H(p, 0) = 0.

∂t

Pela Teoria de EDO’s, o problema acima tem solução unicamente determinada e dada
por H(p, t) = tan(t), para cada p ∈ Σ. Como para cada t ∈ [0, ε0 ), Σt é totalmente
umbı́lica, temos que
hBt (∂i , ∂j ), ∂ti = λ(p, t) h∂i , ∂j i ,
donde
−∇∂i ∂t = λ(p, t)∂i ,
para todo i = 1, 2. Porém, por (1.1), temos que H(p, t) = λ(p), logo segue que
∇∂i ∂t = − tan(t)∂i . Daı́,
d
gij (t) = h∇∂t ∂i , ∂j i + h∂i , ∇∂t ∂j i
dt
D
E
= h∇∂i ∂t, ∂j i + ∂i , ∇∂j ∂t
= −2 tan(t)gij (t).
Denotando f (t) := gij (t), pela equação acima temos a seguinte EDO
f 0 (t) = −2 tan(t)f (t).

Capı́tulo 4. Resultados de rigidez em dimensão 3

47

A solução da EDO acima depende da condição inicial f (0) e é dada por
f (t) = cos2 (t)f (0),
isto é, temos que dσt2 = cos2 (t)dσ02 . Se X ∈ Tp Σt então
|dφt (X)|2 = cos2 (t)dσ02 (X, X) = 0 ⇐⇒ t =

(2k − 1)π
com k ∈ N ou X = 0.
2

Logo dφt é injetiva para t ∈ [0, π/2). Além disso φ(p, π/2) é um ponto, portanto
Σ × [0, π/2] com a métrica ds2 = cos2 (t)dσ02 + dt2 é isométrica a um hemisfério de S31 e a
aplicação φ é uma isometria local deste hemisfério em M .
De modo análogo, para φ : Σ × R− → M , no primeiro caso e no segundo caso temos
que φ é uma isometria local. Sendo φ injetiva em Σ, então em ambos os casos as isometrias
são globais. Como S21 × R e S31 são simplesmente conexas, temos que φ é o recobrimento
universal de M M é S31 ou um quociente de S21 × R.
Observação 4.1. Se M é uma 3-variedade Riemanniana com curvatura seccional entre
0 e 1, e Σ2 é uma 2-esfera mı́nima mergulhada em M , vimos que
4π =
=

Z
ZΣ
Σ

(H 2 − λ2 + Kt )dΣ
(−λ2 + Kt )dΣ

≤ A(Σ).
Se A(Σ) = 4π então −λ2 + Kt = 1. Como Kt ≤ 1 temos que λ = 0 e Kt = 1, ou seja, Σ
é totalmente geodésica e isométrica a S21 .
Observação 4.2. É possı́vel obter uma estimativa para área de uma 2-esfera Σ de cuvatura média constante H0 mergulhada uma 3-variedade Riemanniana M com curvatura
seccional entre 0 e 1. De fato, com a mesma notação da demonstração acima, temos
4π =
≤

Z
ZΣ
Σ

(H 2 − λ2 + Kt )dΣ
(H02 + 1)dΣ

= (1 + H02 )A(Σ),
4π
logo obtemos a limitação inferior para área de Σ, dada por 1+H
2 ≤ A(Σ).
0

4.2

Curvatura negativa

Dizemos que T 2 × R+ é um cúspide hiperbólica 3-dimensional se T 2 é um 2-toro e
T 2 × R+ está munido da métrica Riemanniana e−2t dσ02 + dt2 , onde dσ02 é uma métrica

Capı́tulo 4. Resultados de rigidez em dimensão 3

48

plana em T 2 . Na mesma linha do teorema anterior, foi provado em [19] um teorema de
ridigez para o caso que a 3-variedade Riemanniana completa M tem curvatura seccional
limitada superiormente por −1. Apresentaremos agora a prova deste resultado.
Teorema 4.2 (Mazet e Rosenberg, [19]). Seja (M, g) uma variedade Riemanniana completa de dimensão 3, cuja curvatura seccional KM = K satisfaz K ≤ −1. Suponha que
existe um 2-toro T 2 mergulhado em M com curvatura média constante igual a 1. Então
T separa M e o seu lado convexo em média é isométrico a uma cúspide hiperbólica.
Demonstração. A prova utiliza ideias análogas da demonstração do teorema anterior. De
fato, sendo T um toro mergulhado em M , segue que T é orientável, então existe N é um
campo de vetores normais unitários ao longo de T . Considere φ : T × [0, +∞) → M dada
por φ(p, t) = expp (tN (p)). Defina
ε0 = sup{ε > 0 : φ é uma imersão em T × [0, ε) }.
Claramente temos que ε0 > 0 e que ε0 pode assumir +∞. Assim, considere a famı́lia
de imersões {φt }t∈[0,ε0 ) , dadas por φt = φ(·, t) : T → M , para cada t ∈ [0, ε0 ). Seja
ds2 = φ∗ g o pull-back da métrica Riemanniana de M em T × [0, ε0 ) e denote por ∇ a
conexão de Levi-Civita de M .
De modo análogo feito na demonstração do teorema anterior, podemos escrever esta
métrica como ds2 = dσt2 + dt2 , onde dσt2 é uma famı́lia de métricas suaves em T . Com
esta métrica, a aplicação φ torna-se uma isometria local entre T × [0, ε0 ) e M , consequentemente, (T × [0, ε0 ), ds2 ) tem curvatura seccional K ≤ −1.
Pela igualdade ds2 (X, ∂t) = 0 temos que ∂t é um campo normal unitário a Tt e além
disso, T0 é um toro com curvatura média constante igual a 1.
Para simplificar a notação, identificaremos T × {t} com Tt = φ(T × {t}) e cada vetor


V ∈ T(p,t) T × [0, ε0 ) com dφ(p,t) V ∈ Tφ(p,t) M . Dessa forma, fixado t ∈ [0, ε0 ), para cada
p ∈ T , sejam
IIt : Tp Tt × Tp Tt → R e At : Tp Tt → Tp Tt
a segunda forma fundamental e o operador de Weingarten da imersão φt : T → M com
respeito a ∂t, respectivamente. Considere
H(p, t) =

1
tr Tt
2

a curvatura média de Tt no ponto φ(p, t) com respeito ao vetor normal unitário ∂t.

Capı́tulo 4. Resultados de rigidez em dimensão 3

49

Como Tt é auto-adjunto, existe {e1,t , e2,t } base ortonormal de Tp Tt formada por autovetores que diagonaliza de At . Sejam k1 (p, t) e k2 (p, t) tais que
At (e1,t ) = k1 (p, t) e At (e2,t ) = k2 (p, t).
Os autovalores k1 (p, t) e k2 (p, t) são as curvaturas principais de Tt no ponto φ(p, t),
donde vale que H(p, t) = 12 (k1 (p, t) + k2 (p, t)).
Para cada (p, t) ∈ T × [0, ε0 ), defina
λ(p, t) =

q

(H(p, t))2 − k1 (p, t)k2 (p, t) ≥ 0.

Segue diretamente que k1 (p, t) = H(p, t) + λ(p, t) e k2 (p, t) = H(p, t) − λ(p, t). Note
que se Tt é umbı́lica em φ(p, t) então H + λ = H − λ em (p, t), portanto λ = 0 em φ(p, t).
Pela Equação de Gauss, temos que
KTt = Kt + (H + λ)(H − λ)
onde KTt é a curvatura seccional (intrı́nseca) de Tt e Kt é a curvatura seccional em M de
Tp Tt . Como Tt é um toro, pelo Teorema de Gauss-Bonnet,
0=
=

Z

KTt dTt

ZTt 
Tt



Kt + H 2 − λ2 dTt ,

onde dTt é a forma de volume de Tt ⊂ M . Como por hipótese temos que Kt ≤ −1, então
0≤

Z



Tt



− 1 + H 2 − λ2 dTt

= −A(Tt ) +

Z



Tt



H 2 − λ2 dTt ,

onde A(Tt ) é a área de Tt . Dessa maneira, obtemos a seguinte desigualdade
Z

2

Tt

λ dTt ≤

Z
Tt

H 2 dTt − A(Tt ).

Defina a função F : [0, ε0 ) → R por
F (t) =

Z
Tt

H 2 dTt − A(Tt ).

Afirmação 1 F é identicamente nula em [0, ε0 ).
De fato, inicialmente temos que F (0) = 0, pois H(p, 0) = 1 para todo p ∈ T , e
= ∂t é um campo normal unitário
portanto f (t) ≥ 0, para todo t ≥ 0. Como ∂φ
∂t
#»
#»
a Tt e H t é o vetor curvatura média de tt na direção de ∂t temos que H t = H∂t.
Então pelas equações (2.4) e (2.5), obtemos
Z
∂
A(Tt ) = −
2HdTt
∂t
Tt

Capı́tulo 4. Resultados de rigidez em dimensão 3

50

e
∂
(dTt ) = −2HdTt .
∂t
Por outro lado, como ∂t é um campo normal unitário a Tt então, em (2.2), ρt = 1 e
∂t> = 0. Portanto

∂H
1
=
Ric(∂t, ∂t) + |At |2 ,
∂t
2

onde Ric é o Tensor de Ricci de T ×[0, ε0 ) e At o operador de Weingarten da imersão
φt . Note que K ≤ −1, então Ric(∂t, ∂t) ≤ −2. Calculemos e estimemos agora a
derivada de F :
!
d Z
2
H dTt − A(Tt )
F (t) =
dt Tt
Z
Z 

∂H
− 2H 3 dTt +
2HdTt
=
2H
∂t
Tt
Tt
Z
0



=

ZTt





H (Ric(∂t, ∂t) + 2) + 2λ2 dTt

Tt

≤2



H Ric(∂t, ∂t) + |At |2 − 2H 2 + 2 dTt

=

Z
Tt

Hλ2 dTt .

Como H(p, 0) = 1 para todo p ∈ T , por continuidade, considere ε ∈ (0, ε0 ) tal que
0 < H ≤ C em T × [0, ε]. Sendo Ric(∂t, ∂t) + 2 ≤ 0, temos que
F 0 (t) ≤ 2

Z

Hλ2 dTt

Tt

≤ 2C

Z
Tt

λ2 dTt

≤ 2CF (t).
Resolvendo esta inequação diferencial em [0, ε], temos que
F (t) ≤ F (0)e2Ct
= 0,
pois F (0) = 0. Isto implica que F é identicamente nula em [0, ε] e dessa forma λ = 0
em [0, ε], isto é, todas as subvariedades Tt são umbı́licas. Segue também que
Z
Tt

H(Ric(∂t, ∂t) + 2)dTt = 0.

Como H > 0 e Ric(∂t, ∂t) + 2 ≤ 0 em [0, ε], temos que Ric(∂t, ∂t) = −2. Assim, a
equação de evolução da curvatura média assume a forma ∂H
= −1 + H 2 , logo, para
∂t
cada p ∈ T , temos o seguinte problema de valor inicial
( ∂H

= −1 + H 2 ,
H(p, 0) = 1.

∂t

Capı́tulo 4. Resultados de rigidez em dimensão 3

51

Pela Teoria de EDO’s, o problema acima tem solução unicamente determinada e
dada por H(p, t) = 1, para (p, t) ∈ T × [0, ε]. Quando tomamos ε suficientemente
próximo de ε0 , temos que F (t) = 0 em [0, ε0 ) e que H(p, t) = 1 e Ric(∂t, ∂t) = −2
em T × [0, ε0 ).
Dessa maneira, como
Z
Tt

(H 2 − Kt )dTt = 0

e Kt ≤ −1, temos que Kt ≡ 1 pois (H 2 − Kt ) ≤ 0, para todo t ∈ [0, ε0 ). Isto é, dado
(p, t) ∈ T × [0, ε0 ), para qualquer plano bi-dimensional em T(p,t) (T × [0, ε0 )), a curvatura
seccional de T × [0, ε0 ) com a métrica ds2 , a curvatura seccional de T × [0, ε0 ) é Kt = −1.
Mais ainda, pela Equação de Gauss,
K T 0 = H 2 − λ2 + K 0
= 0,
ou seja, a métrica dσ02 é plana. Além disso, considerando x = (x1 , x2 ) um sistema de
coordenadas locais em T e definindo a aplicação diferenciável gij : [0, ε0 ) → R dada por
gij (t) = dσt2

∂
∂
,
∂xi ∂xj

!

= h∂i , ∂j i , i = 1, 2,
onde
∂i :=

∂φt
∂xi

e gij,t = h∂i , ∂j i , com i = 1, 2,

para cada t ∈ [0, ε0 ). Como Tt é totalmente umbı́lica então temos que ∇∂i ∂t = ∇∂t ∂i =
−∂i . Dessa maneira, temos que
d
gij (t) = h∇∂t ∂i , ∂j i + h∂i , ∇∂t ∂j i
dt
= −2gij (t).
Denotando f (t) := gij (t), pela equação acima temos a seguinte EDO
f 0 (t) = −2f (t).
A solução da EDO acima depende da condição inicial f (0) e é dada por
f (t) = e−2t f (0),
isto é, temos que dσt2 = e−2t dσ02 . Como φ deixa de ser uma imersão quando dσt2 = φ∗t g
torna-se singular, temos que se X ∈ Tp Σt então
|dφt (X)|2 = e−2t dσ02 (X, X) = 0 ⇐⇒ X = 0.

Capı́tulo 4. Resultados de rigidez em dimensão 3

52

Logo, dφt é injetiva para todo t ∈ [0, +∞), portanto ε0 = +∞. Assim, φ é uma
imersão de T × R+ em M e T × R+ com a métrica ds2 = e−2t dσ02 + dt2 é uma cúspide
hiperbólica. Dessa maneira, φ é uma isometria local desta cúspide hiperbólica em M .
Para finalizar a prova é suficiente mostrar que φ é injetiva. De fato, se φ não é injetiva,
então seja
ε1 = inf{ε > 0 : φ não é injetiva em T × [0, ε]}.
Isto implica que existem p, q ∈ T tal que vale uma, e somente uma, das seguintes
afirmações
• φ(p, 0) = φ(q, ε1 ) ou
• φ(p, ε1 ) = φ(q, ε1 ), com p 6= q.
Sejam U e V vizinhanças abertas de (p, 0) em T0 (ou (p, ε1 ) em Tε1 ) e (q, ε1 ) em Tε1 ,
respectivamente, tais que φ é uma aplicação injetiva. Como ε1 é mı́nimo, então φ(U ) e
φ(V ) são surperfı́cies de curvatura média constante 1 em M , que são tangentes no ponto
φ(p, ε1 ). Mais ainda, no primeiro caso, φ(U ) está contida no lado médio e convexo de
φ(V ), donde pelo Princı́pio do Máximo, φ(U ) = φ(V ). Dessa maneira, φ(T0 ) = φ(Tε1 ),
o que é impossı́vel pois essas surperfı́cies não possuem a mesma área. No segundo caso,
φ(U ) está contida no lado médio e convexo de φ(V ) e então φ não é injetiva em Ts , para
s suficientemente próximo de t, com s < t, o que é uma contradição.

53

REFERÊNCIAS
[1] Ambrózio, Lucas. Constant mean curvature foliations and scalar curvature rigidity
of three-manilfods, PhD Thesis, IMPA, 2014.
[2] Andersson, L. e Howard, R. Comparison and rigidity theorems in semi-Riemannian
geometry, Comm. Anal. Geom., Volume 6, Number 4, pg. 819-877, 1998.
[3] Bray H., Brendle S., e Neves A. Rigidity of area-minimizing two-spheres in threemanifolds, Commun.Anal.Geom., 18, 821-830, 2010.
[4] Brendle S. Rigidity phenomena involving scalar curvature Int. Press, Boston, MA,.
15. Surveys Diff.Geom., 17, 179-202, 2012.
[5] Burns, Keith e Gidea, Marian. Differential Geometry and Topology: With a View
to Dynamical Systems, Studies in Advanced Mathematics, Chapman and Hall/CRC,
2005.
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topologie by Springer-Verlag, 1973. Translated by C.B. and M. J. Thomas.
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[8] Chavel, Isaac. Riemannian Geometry: A Modern introduction, Second Edition, Cambridge University Press.
[9] Colding, Tobias H. e Minicozzi II, Wiliam P. A course in minimal surfaces, Graduate
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[11] do Carmo, Manfredo Perdigão. Geometria Riemanniana, 5 ed., Rio de Janeiro, Projeto Euclides, IMPA, 2011.
[12] do Carmo, Manfredo Perdigão. Geometria Diferencial de Curvas e Superfı́cies, Coleção Textos Universitários, SBM, 5.ed., Rio de Janeiro, 2012.
[13] do Carmo, Manfredo Perdigão. Formas Diferenciais e Aplicações, Coleção Fronteiras
da Matemática, SBM, Rio de Janeiro, 2015.
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54

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[20] Soutomayor, Jorge. Equações Diferenciais Ordinárias, Coleção Textos Universitários
do IME-USP, Livraria da Fı́sica, São Paulo, 2011.

55

A TEOREMA DE E. CALABI
A.1

Caso g ∈ C 1,1

Seja (Σn , g) uma variedade Riemanniana. É possı́vel definir uma noção de curvatura
quando a métrica g é apenas de classe C 1,1 . Isto se dá pelo fato que as derivadas parciais
da métrica g são funções lipchitzianas definidas em um aberto U ⊂ Rn . Pelo Teorema
de Hademacher [14, Teorema 3.1.6], tais derivadas são diferenciáveis em quase todo do
aberto U ⊂ Rn . Dessa forma, a curvatura seccional existe e fica bem definida, no sentido
clássico, em quase todo ponto de U . Enunciemos então o Teorema de Calabi para o caso
g ∈ C 1,1 .
Teorema A.1 (E. Calabi, [2]). Seja (Σ2 , g) uma esfera 2-dimensional, com métrica Riemanniana de classe C 1,1 , cuja a curvatura Gaussiana K de Σ satisfaz 0 ≤ K ≤ 1. Então
toda geodésica simples fechada γ em Σ tem comprimento maior ou igual a 2π. Se o comprimento de γ é 2π, então (Σ2 , g) é isométrica a esfera redonda (S21 , g0 ) e γ é um grande
cı́rculo ou (Σ2 , g) é isométrica a um cilindro circular de circunferência 2π fechado por
dois hemisférios de S21 e γ é um cı́rculo deste cilindro.
Demonstração. Note que a demonstração apresentada na Seção 3.2 continua válida para
obtermos a cota inferior para o comprimento das geodésicas.

Dessa maneira, se vale a igualdade l = 2π, então −Et (s, β(s)) = 1, para todo s ∈ [0, l].
Pelo Lema 3.1 temos que β(s) < +∞ e π/2 ≤ β(s) para todo s ∈ [0, l] e
(

K(s, t) =

0, 0 ≤ t ≤ β(s) − π/2
1, β(s) − π/2 < t ≤ β(s).

Sejam M+1 ⊆ M , dado por
M+1 = int{x ∈ M : K(x) = +1},

Apêndice A. Teorema de E. Calabi

56

e s0 ∈ [0, 2π] tal que β assume um máximo global em s0 . Considere
)

(

π
B(x0 , π/2) = y ∈ M : dist(x0 , y) < , onde x0 = expc(s0 ) β(s0 )η(s0 ) .
2
Afirmação. B(x0 , ε) ⊆ M+1 .
Note inicialmente que dado s ∈ [0, 2π], então y = expc(s) (β(s) − π/2)η(s) ∈ ∂M+1 .
Como αs (t) = expc(s) tη(s) é geodésica minimizante normalizada então, pelo mesmo argumento usado acima,
dist(γ, y) = β(s) − π/2.
De fato, se B(x0 , ε) * M+1 então existe y ∈ B(x0 , ε) ∩ ∂M+1 tal que
dist(γ, y) = β(s) − π/2.
Pela desigualdade triangular, obtemos que
dist(γ, x0 ) ≤ dist(x0 , y) + dist(γ, y)
π
π
< + β(s) −
2
2

!

= β(s).
Mas dist(γ, x0 ) = β(s0 ), dessa maneira β(s0 ) < β( s), o que contraria a maximalidade de
β(s0 ). Assim, pelo Teorema de Gauss-Bonnet,
2π =

Z

KdA

M+1

= A(M+1 )
≥ A(B(x0 , π/2))
= 2π.
Portanto, A(M+1 ) = A(B(x0 , π/2)). Sendo B(x0 , π/2) ⊆ M+1 tal que A(B(x0 , π/2)) =
A(M+1 ) então M+1 = B(x0 , π/2), pois caso contrário, sendo M+1 um subconjunto aberto
de Σ2 , existem y ∈ M+1 \ B(x0 , π/2) e uma vizinhança aberta J-mensurável de y, Vy , tais
que Vy ⊂ M+1 \ B(x0 , π/2) com
Z
Vy

KdA = A(Vy ) > 0.

Apêndice A. Teorema de E. Calabi

57

Mas isso contradiz o fato de A(B(x0 , π/2)) = A(M+1 ), já que Vy 6⊂ B(x0 , π/2).

Assim, segue que a aplicação s 7→ β(s) é constante e deste modo a região M limitada
por γ com normal interior η é um cilindro circular de circunferência 2π, fechado em um dos
lados por um hemisfério de S21 . Aplicando o mesmo argumento para a região limitada por
γ com normal interior −η temos que (Σ2 , g) é formada por dois destes cilindros, fechados
por hemisférios de S21 , colados ao longo de γ, o que equivale a afirmação do teorema.