Dissertação

Diego_Alves_Adauto(dissertação).pdf
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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
MESTRADO EM MATEMÁTICA

DIEGO ALVES ADAUTO

SUPERFÍCIES DE FRONTEIRA LIVRE NA BOLA EUCLIDIANA

Maceió
2015

DIEGO ALVES ADAUTO

SUPERFÍCIES DE FRONTEIRA LIVRE NA BOLA EUCLIDIANA

Dissertação de mestrado na área de concentração
de Geometria Diferencial apresentada ao Programa
de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do grau de mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Márcio Henrique Batista da
Silva

Maceió
2015

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecário Responsável: Valter dos Santos Andrade

A221s

Adauto, Diego Alves.
Superfícies de fronteira livre na bola euclidiana / Diego Alves Adauto. –
2015.
66 f. : il.
Orientador: Márcio Henrique Batista da Silva.
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Programa de Pós-Graduação em Matemática. Maceió,
2016.
Bibliografia: f. 64-66.
1. Steklov. 2. Fronteira livre. 3. Superfícies de Riemann. I. Título.

CDU: 514.764.2

AGRADECIMENTOS
Primeiro à Deus por toda generosidade, por todas as vezes que me capacitou quando
achei que não era capaz, por todas vezes que esteve comigo mesmo sem que eu percebesse
sua presença, mas o Senhor me provou que esteve lá. Agradeço também por todas as
pessoas que o senhor pôs em meu caminho até aqui.
Aos meus familiares, em especial ao meus pais, por tudo que já fizeram por mim e por
todo apoio ao longo desses anos de formação acadêmica.
Aos professores do Instituto de Matemática da Universidade Federal de Alagoas por
todo conhecimento transmitido, em especial ao meus professores do mestrado: Krerley,
André Contiero, Peter, Maria Andrade, Ali Golmakani, Márcio Batista, Marcos Petrúcio e
Luis Guilhermo.
Ao professor Márcio Batista devo inúmeros outros agradecimento, o mais importante
deles é o voto de confiança que tem depositado em mim ao me orientar desde a graduação.
Muito obrigado!
Aos professores Feliciano Aguiar, e novamente, Marcos Petrúcio e Luis Guilhermo pela
solidariedade em um perı́odo difı́cil da minha vida pessoal.
Aos meus amigos de curso, em especial Micael Dantas e Iury Oliveira pela amizades,
por tantas conversas sobre a matemática, pelo apoio e resenhas. A Tamara Melo, minha
nova amiga, por se disponibilizado a ler primeira versão.
À Kryzia Rayná, minha namorada, por ser tão prestativa, incentivadora e por ter
aparecido no momento certo. Você foi a luz em um perı́odo de escuridão.
E finalmente, ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientı́fico e Tecnológico (CNPq)
pelo apoio financeiro.
À todos meu sincero sentimento de gratidão que esta longe de ser fielmente representada
pelas palavras acima dirigidas à vocês.

RESUMO
Consideraremos a relação da geometria de variedades Riemannianas com bordo e o primeiro
autovalor não-nulo σ1 da aplicação de Dirichlet-Neumann, o qual denominaremos por
primeiro autovalor de Steklov. Para superfı́cie com gênero γ e k componentes de bordos,
obtemos a limitação superior σ1 L(∂Σ) ≤ 2(γ + k)π, onde L(∂Σ) é o comprimento do bordo
∂Σ de Σ. Para γ = 0 e k = 0, esse resultado foi dado por Weinstock em 1954 e é a melhor
limitação para esse caso. Entretanto a limitação superior acima não é melhor possı́vel
para anéis (superfı́cies com γ = 0 e k = 2). Determinaremos então a melhor limitação de
σ1 L para anéis com alguns tipos de métricas. O primeiro caso que consideramos é o das
métricas rotacionalmente simétricas. Para esse caso, mostramos que σ1 L é maximizado
pela porção da catenoide centrada na origem a qual encontra uma esfera ortogonalmente
ao longo de seu bordo, o catenoide crı́tico. Em seguida passamos a considerar anéis com
métrica pertencente a uma famı́lia de métricas, as métricas supercrı́ticas, e mostraremos
que σ1 L. Para casos mais gerais métricas mais gerais, a qual chamaremos de supercrı́ticas,
mostramos que o produto σ1 L(∂Σ) é limitada pelo catenoide crı́tico, com igualdade se, e
somente se, o anel é conformemente equivalente ao catenoide crı́tico por uma aplicação
conforme a qual é uma isometria nos bordos. Motivados pelo caso do anéis, mostramos
que uma subvariedade propriamente da bola é imersa por autofunções de Steklov se e
somente se é uma solução de bordo livre. Então provaremos uma limitação superior geral
para métricas conformes em variedades de qualquer dimensão as quais possam ser imersas
por uma aplicação própria conforme na bola unitária. Mostraremos que essa limitação
é alcançada apenas por variedades minimamente imersas por autofunções do primeiro
autovalor de Steklov.

Palavras-chave: Steklov, fronteira livre e superfı́cies

ABSTRACT
We consider the relationship of geometry of Riemannian manifolds with boundary and
the first nonzero eigenvalue σ1 applying Dirichlet-Neumann, the first eigenvalue of Steklov.
For surface with genus γ and k components edges we obtain the upper bound σ1 L(∂Σ) ≤
2(γ + k)π, where L(∂ s) is the boundary length ∂Σ of Σ. For γ = 0 and k = 0, this result
was given by Weinstock in 1954 and is best limited to this case. However the upper bound
above is not best for surfaces that are rings (γ = 0 and k = 0). Then we will determine
the best upper bound for some types of metrics. For rotationally symmetric metric, we
show that the best limitation is obtained by measuring induced in the portion of catenoid
centered at the origin which is the orthogonally ball and thus free board solutions of the ball
the edge of which is the sphere in question. For more general cases more general metrics,
which we will call supercritical, we show that the product σ1 L(∂Σ) is limited by the critical
catenoid, with equality if and only if the ring is accordingly equivalent to critical catenoid
By application consistent which is an isometry on the lips. Motivated by the case of rings,
we show that a proper submanifold of the ball is immersed by eigenfunctions of Steklov
if and only if it is a freeboard solution. Then prove a general upper bound for conformal
metrics on manifolds of any dimension which can be immersed for a specific application
as the unit ball. We will show that this limitation is achieved only minimally immersed
varieties by eigenfunctions of the first eigenvalue of Steklov.
Keywords: Steklov, free boundary and surface.

Sumário
INTRODUÇÃO

8

1 PRÉ REQUESITOS

10

1.1

Variedades Riemannianas e Conexão de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.1

Campo de Vetores e Operador Colchete . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.2

Métricas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.1.3

Conexão de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2

Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3

A segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4

Operador Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.5

Formas diferenciais em variedades diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.6

Fórmula de Green e Teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.7

Espaços Lp em variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.8

Convergência fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.9

Espaços de Sobolev W 1,p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2 O PRIMEIRO AUTOVALOR DE STEKLOV

32

2.1

Uma estimativa para o primeiro autovalor de Steklov . . . . . . . . . . . .

33

2.2

Métricas rotacionalmente simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3

Anéis supercrı́ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3 VOLUMES CONFORMES

48

4 RELAÇÃO ENTRE O PRIMEIRO AUTOVALOR DE STEKLOV E O
VOLUME CONFORME

55

4.1

56

O primeiro autovalor de Steklov e volume conforme . . . . . . . . . . . . .

7

8
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

63

9

INTRODUÇÃO

Dada uma variedade Riemanniana compacta Σ com bordo ∂Σ, a aplicação de DirechletNeumann em Σ associa a cada função diferenciável em ∂Σ a derivada na direção do vetor
normal unitário para fora de ∂Σ de uma extensão harmônica dessa função a Σ. É fato
conhecido que os autovalores dessa aplicação formam um conjunto discretoσ0 = 0 < σ1 ≤
σ2 ≤ ... ≤ σn ≤ ..., tal que σn tende ao infinito. Esses autovalores foram estudados a
primeira vez por Steklov em 1902 e desde então são conhecidos como autovalores de Steklov.
Em 1954, Weinstock [33] mostrou que para domı́nios planos simplesmente conexos Σ o valor
σ1 L(∂Σ), onde L(∂Σ) é o comprimento de ∂Σ, é unicamente maximizado pelo disco unitário
D. Desde então, vários artigos foram publicados dando estimativas para os autovalores de
Steklov em dimensões mais altas e em variedades Riemannianas (ver por exemplo Payne
[29], Bandle [3], Hersch e Payne [21], Hersch, Payne e Schiffer [22] , Kuttler e Siggilito [24],
Shamma [31], Edward [12], Escobar [13] e [14] e Brock [4]).
Nosso objetivo é expor alguns resultados apresentados por Fraser e Schoen 1[ 7]. Nele é
apresentado uma interessante relação entre σ1 e as soluções de bordo livre da bola unitária.
Os assuntos abordados são divididos por capı́tulos. No primeiro capı́tulo, como seu tı́tulo
sugeri, são expostos os conceitos e resultados que julgamos de conhecimento necessário para
compreensão dos demais capı́tulos, sendo expostos sem grandes detalhes.
Na primeira seção do Capı́tulo 2 enunciamos e provamos uma extensão do resultado de
Weinstok para superfı́cies Riemannianas com gênero e número de componentes de bordo
arbitrários, a qual afirma que
σ1 L(∂Σ) ≤ 2(γ + k)π
para superfı́cies de gênero γ com k componentes de bordo. Entretanto, para superfı́cies com
γ = 0 e k ≥ 2 a limitação obtida não é ótima e esse fato motiva as demais seções do capı́tulo.
Nelas buscamos determinar a melhor limitação para o valor σ1 L(∂Σ) para algumas famı́lias
de anéis Σ, isto é, superfı́cies Riemannianas com γ = 0 e k = 2. Na segunda seção, por meio

10
de uma interessante análise para anéis com métricas rotacionalmente simétrica, mostramos
que σ1 L(∂Σ) é maximizado pelo catenoide crı́tico, isto é, a porção do catenoide centrado na
origem e localizada na bola unitária a qual encontra a fronteira da bola ortogonalmente ao
longo de sua fronteira. Se T (1) = 2t1 , onde t1 é a solução positiva da equação t1 = coth t1 ,
o catenoide crı́tico é caracterizado por ser isométrico ao produto [0, T (1)] × S 1 com respeito
a métricas que serão determinadas posteriormente. O valor de σ1 L é igual a (σ1 L)∗ = 4π/t1 .
Na seção seguinte, a última deste capı́tulo, consideramos anéis como métricas mais gerais.
Dado um anel Σ, sejam α o quociente entre os comprimentos do bordo de Σ e T o número
real positivo para o qual Σ é conformemente equivalente a [0, T ] × S 1 . Diremos que Σ
é supercrı́tico se T ≥ 1/4(α1/2 + α−1/2 )2 T (1). Mostraremos nesta seção que o valor de
σ1 L para anéis supercrı́ticos também é maximizada por (σ1 L)∗ e que Σ maximiza σ1 L é
conformemente equivalente ao catenoide crı́tico por uma aplicação conforme que é uma
isometria entre os bordos.
No capı́tulo 3 estudamos a teoria que chamada de volume conforme de bordo e relativo
por se trata do análogo da teoria de volume conforme de Li e Yau [28]. Na primeira seção,
usamos o Teorema de Gaus-Bonnet para mostrar que para superfı́cies que são soluções de
bordo livre da bola unitária B n , o comprimento de seu bordo é igual ao máximo dentre
os comprimentos de bordo de sua imagem por transformações conformes de B n . Esse
fato é usado posteriormente para mostrarmos que a área de tais superfı́cies são sempre
maior ou igual à π. Observamos ainda que essa desigualdade é equivalente a desigualdade
isoperimétrica para essa famı́lia de superfı́cies. No fim do capı́tulo definimos o volume
relativo conforme para variedades que admitem uma imersão conforme própria na bola
unitária.
No último capı́tulo demonstramos um resultado que dá uma limitação superior para o
primeiro autovalor não nulo de Steklov de uma variedade Σ que pode ser imersa numa bola
unitária B n por uma aplicação que leva ∂Σ sobre o ∂B n em termos de seu volume relativo
conforme e cuja a igualdade implica na existência de uma aplicação harmônica conforme
φ : Σ → B n a qual, após reescalarmos a métrica original, é isometria em ∂Σ tal que φ(Σ)
encontra ∂B n ortogonalmente ao longo de φ(∂Σ).

11

1 PRÉ REQUESITOS
1.1

Variedades Riemannianas e Conexão de Levi-Civita

No que se segue, adotaremos a convenção de que uma aplicação diferenciável significa
que esta aplicação é infinitamente diferenciável.
Definição 1.1.1. Uma variedade diferenciável de dimensão n é uma conjunto Σ e uma
famı́lia de aplicações biunı́vocas xα : Uα → Σ de abertos Uα ⊂ Rn em Σ tais que
1.

S

α xα (Uα ) = Σ.

−1
2. Para todo par α e β com xα (Uα ) ∩ xβ (Uβ ) = W 6= ∅, os conjuntos x−1
α (W ) e xβ (W )
−1
são abertos em Rn e aplicações x−1
α ◦ xβ e xβ ◦ xα são diferenciáveis.

3. A famı́lia {Uα , xα } é máxima com relação aos itens 1 e 2.
Uma famı́lia {Uα , xα } satisfazendo as condições 1 e 2 na definição acima é chamada
de uma estrutura diferenciável no conjunto Σ. O par (Uα , xα ) (ou a aplicação xα ) com
p ∈ xα (Uα ) é uma parametrização ou um sistema de coordenadas de Σ em p e xα (Uα ) é
uma vizinhança coordenada em p.
Observação 1.1.1. Uma estrutura diferenciável em um conjunto Σ induz uma topologia
sobre ele, na qual um conjunto A ⊂ Σ é aberto em Σ se, e somente se, x−1
α (A ∩ xα (Uα ))
é um aberto do Rn para todo α. Observe que a topologia é definida de tal modo que os
conjuntos xα (Uα ) são abertos e as aplicações xα são homeomorfismo.
Em alguns momentos usaremos a notação Σ n para indicarmos que Σ é uma variedade
diferenciável n-dimensional.
Definição 1.1.2. Sejam Σn1 e Σm
2 variedades diferenciáveis. Uma aplicação φ : Σ1 → Σ2
é diferenciável no ponto p ∈ Σ1 se dada uma parametrização y : V → Σ2 de Σ2 com

12
φ(p) ∈ y(V ) existe uma parametrização x : U → Σ1 de Σ1 em p com φ(x(U )) ⊂ y(V ) tal
que aplicação
y −1 ◦ φ ◦ x : U → Rm
é diferenciável em x−1 (p). A aplicação φ é dita diferenciável quando é diferenciável em todo
ponto p ∈ Σ1 . φ será de classe C k , com k inteiro não-negativo, se em vez de diferenciável,
tivermos que suas expressões em termos de coordenadas locais, y −1 ◦ φ ◦ x, forem de classe
Ck.
Definição 1.1.3. Seja Σ uma variedade diferenciável. Uma curva em Σ é uma aplicação
diferenciável na forma α : (−, ) → Σ. Assim, se α é uma curva em Σ, p = α(0) e Dp é o
conjunto das funções em Σ diferenciáveis em p, o vetor tangente à α em p é por definição a
função α0 (0) : Dp → R que a cada função f ∈ Dp o número real
α0 (0)f =

d(α ◦ f )
.
dt
t=0

O conjunto dos vetores tangentes a Σ em p será indicado por Tp Σ.
Se tomarmos uma parametrização x : U → Σ em p = x(0), podemos expressar f e α em
termos dessa parametrização por
f ◦ x(q) = f (x1 , ..., xn )
e
x−1 ◦ α(t) = (x1 (t), ..., xn (t)), t ∈ (−, ),
para todo q = (x1 , ..., xn ) ∈ U e todo t ∈ (−, ) Assim, obteremos
d(α ◦ f )
dt
t=0
d
=
f (x1 (t), ..., xn (t))
dt
t=0


n
X
∂f
=
x0i (0)
∂xi x=0
i=1
X



n
∂
0
=
xi (0)
f,
∂xi x=0
i=1

α0 (0)f =

onde ∂x∂ i é vetor tangente a curva coordenada xi 7→ x(0, ..., xi , 0, ...0) em xi = 0
Decorre da expressão acima que o conjunto Tp Σ, com as operações usuais de funções,
constitui um espaço vetorial de dimensão n, e que a escolha de uma parametrização

13

x : U → Σ de Σ em p determina uma base

∂
∂x1




, ...,

∂
∂xn

x=0

vetorial Tp Σ é chamado de espaço tangente de Σ em p.




em Tp Σ. O espaço

x=0

Com a noção de espaço tangente podemos estender a variedades diferenciáveis a noção
de diferencial de uma aplicação diferenciável.
Definição 1.1.4. Sejam Σn1 , Σm
2 variedades diferenciáveis e φ : Σ1 → Σ2 uma aplicação
diferenciável. Para cada ponto p ∈ Σ1 e cada vetor v ∈ Tp Σ1 , considere uma curva
α : (−, ) → Σ1 com α(0) = p e α0 (0) = v . A aplicação dp φ : Tp Σ1 → Tφ(p) Σ2 dada por
dφp (v) = (φ ◦ α)0 (0) é chamada diferencial de φ em p.
A próxima proposição mostra que dφp é uma aplicação linear bem definida, ou seja, que
não depende da escolha de α.
Proposição 1.1.1. Seja dp φ : Tp Σ1 → Tφ(p) Σ2 como na definição acima. Então φ : Σ1 →
Σ2 é uma aplicação linear que não depende da escolha da curva α.
Demonstração. Ver [7].
Definição 1.1.5. Um subconjunto A ⊂ Σ de uma variedade diferenciável Σn é dito de
medida nula se o conjunto x−1 (A ∪ x(U )) tem medida nula em Rn para toda parametrização
x : U ⊂ Rn → Σ de Σ.
Definição 1.1.6. Seja φ : Σ1 → Σ2 uma aplicação diferenciável entre as variedades
diferenciáveis Σ 1 e Σ2 . Um ponto q ∈ Σ2 é chamado de valor crı́tico de φ se existir algum
ponto p ∈ φ−1 (q) tal que dp φ : Tp Σ1 → Tq Σ2 não é sobrejetiva.
Teorema 1.1.1 (Sard). Seja φ : Σ1 → Σ2 uma aplicação diferenciável entre as variedades
diferenciáveis Σ1 e Σ2 . Então o conjunto dos valores crı́ticos de φ tem medida em Σ2 .
Demonstração. Ver [25].
Definição 1.1.7. Sejam Σ1 e Σ2 variedades diferenciáveis. Uma aplicação φ : Σ1 → Σ2
bijetiva e diferenciável é um difeomorfismo se ela e sua inversa são diferenciáveis. A aplicação
φ é um difeomorfismo local em Σ1 se existe uma vizinhança U de p em Σ1 tal que φ|U é um
difeomorfismo sobre sua imagem φ(U ).
Definição 1.1.8. Sejam Σn1 e Σm
2 variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciável
φ : Σ1 → Σ2 é dita uma imersão se a diferencial dp φ : Tp Σ1 → Tφ(p) Σ2 é injetiva para todo

14
p ∈ Σ1 . Se Σ1 ⊂ Σ2 , a aplicação inclusão i : Σ1 → Σ2 é uma imersão e i : Σ1 → φ(Σ1 ) é
uma homeomorfismo com a topologia induzida por Σ2 em φ(Σ1 ), diremos que Σ1 é uma
subvariedade de Σ2 .
Definição 1.1.9. Seja Σ uma variedade diferenciável. Diz-se que Σ é orientável se admite
uma estrutura diferenciável {Uα , xα } tal que
1. para todo par α, β com xα (Uα ) ∩ xβ (Uβ ) 6= ∅, a mudança de variável x−1
β ◦ xα tem
determinante jacobiano positivo.
Em caso contrário diz-se que Σ é não-orientável.
A escolha de uma estrutura diferenciável {Uα , xα } que satisfaça a condição (1) na
definição acima é chamada uma orientação de Σ e Σ é, então, orientada. Duas estruturas
diferenciáveis que satisfazem (1) determinam a mesma orientação se a união delas ainda
satisfaz (1). Estando Σ orientada, as parametrizações da orientação fixada serão ditas
positiva.
Não é difı́cil concluir que se Σ é orientável e conexa, então Σ possui exatamente duas
orientações distintas.
Sejam Σ1 e Σ2 variedades diferenciáveis e φ : Σ1 → Σ2 um difeomorfismo. Então Σ1 é
orientável, se e somente se, Σ2 é orientável. Se Σ1 e Σ2 são conexas e estão orientadas, φ
induz uma orientação em Σ2 que pode ou não coincidir com a tomada inicialmente. Quando
o primeiro ocorre, dizemos que φ preserva a orientação e no segundo caso, que φ reverte a
orientação.

1.1.1

Campo de Vetores e Operador Colchete

Definição 1.1.10. Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável Σ é uma
aplicação que a cada ponto p ∈ Σ associa uma vetor X(p) ∈ Tp Σ. Considerando uma
parametrização x : U ⊂ Rn → Σ em um ponto p ∈ Σ, é possı́vel escrever X(p) como
combinação linear da base associada a x,
X(p) =

n
X
i=1

ai (p)

∂
,
∂xi

Diremos que X é diferenciável se para todo ponto p ∈ Σ, existir uma parametrização
x : U → Σ em p tal a função ai : U → R é diferenciáveis, para i = 1, ..., n.

15
Às vezes é conveniente pensar em campos de vetores como uma aplicação X : D → F
entres os conjuntos D das funções diferenciáveis em Σ e o conjunto F das funções em Σ,
definida da seguinte maneira
(Xf )(p) =

n
X
i=1

ai (p)

∂f
(p),
∂xi

para todo f ∈ D, onde na expressão acima cometemos o abuso de notação de indicarmos
por f a expressão de f : Σ → R na parametrização x. Observem ainda que a expressão
acima para Xf não depende da escolha da parametrização x. Neste contexto, é possı́vel
verificar que X é diferenciável se, e somente se, X : D → D.
A interpretação de campos de vetores diferenciáveis em uma variedade como operador
em D nos permite considerar as interações entre campos. Por exemplo, se X e Y são
campos vetoriais diferenciáveis em Σ e f ∈ D, podemos considerar as funções X(Y f ) e
Y (Xf ). Mas em geral, tais operadores não nos levam a campos de vetores por envolverem
derivadas de ordem maior que um. O próximo lema garante a existência de um campo Z
em Σ tal que Zf = (XY − Y X)f para todo par de campos de vetores X e Y fixado e toda
função f ∈ D.
Lema 1.1.1. Sejam X e Y campos de vetores diferenciáveis em uma variedade diferenciável
Σ. Então existe um único campo de vetores diferenciável Z tal que, para todo f ∈ D,
Zf = (XY − Y X)f .
Demonstração. Ver [7].
O campo vetorial Z dado no lema acima é chamado o colchete [X, Y ] = XY − Y X de
X e Y.

1.1.2

Métricas Riemannianas

Definição 1.1.11. Uma métrica Riemanniana ou uma estrutura Riemanniana em uma
variedade diferenciável Σ é uma correspondência que a cada ponto p ∈ Σ associa um
produto interno g(p)(., .) = ., . p em Tp Σ que varia diferencialmente no sentido que: Se
x : U ⊂ Rn → Σ é uma parametrização de Σ em p, com x(x1 , ..., xn ) = q e x∂i (q) o i-ésimo
vetor da base associada a x em Tp Σ, então
diferenciável em U .

∂
(q), x∂j (q)
xi

= gij (x1 , ..., xn ) é uma função

16
É possı́vel verificar que a definição não depende da escolha de parametrizações. Outra
maneira de expressar a diferenciabilidade da métrica Riemanniana é dizer que para todo
par de campo vetoriais diferenciáveis X e Y em uma vizinhança V de Σ, a função X, Y é
diferenciável em V .
Deixaremos de indicar o ı́ndice p em g(., .)(p) = ., . p sempre que não houver possibilidade de engano. As funções gij são chamadas as expressões da métrica Riemanniana em
relação a métrica x.
Definição 1.1.12. Uma variedade diferenciável Σ munida com uma métrica Riemanniana
g, (Σ, g), é chamada de uma variedade Riemanniana.
Definição 1.1.13. Sejam (Σ1 , g) e (Σ2 , h) variedades Riemannianas. Um difeomorfismo
f : Σ1 → Σ2 é chamada de uma aplicação conforme quando existe uma função positiva
λ : Σ1 → R tal que
f ∗ h(u, v)(p) = h(dfp (u), dfp (v))(f (p)) = λ2 (p)g(u, v)(p)
para todo p ∈ Σ1 e todo par u, v ∈ Tp Σ1 . A função λ2 é chamada de coeficiente de
conformidade. No caso particular em que λ é constante igual a 1, f é chamada de uma
isometria de Σ1 sobre Σ2 .
Observe que a correspondência f ∗ h define uma métrica Riemanniana em Σ1 , chamada
métrica induzida por h.
A próxima proposição é um resultado de existência de métricas Riemannianas para
variedades diferenciáveis com uma certa topologia.
Proposição 1.1.2. Uma variedade diferenciável Σ, cuja topologia é de Hausdorff e com
base enumerável, possui uma métrica Riemanniana.
Demonstração. Ver [7].
Desse momento em diante, consideraremos apenas variedades diferenciáveis com as
caracterı́sticas topológicas apresentadas na proposição anterior.

1.1.3

Conexão de Levi-Civita

De agora em diante, usaremos a notação X(Σ) para indicarmos o conjunto dos campos
vetoriais diferenciáveis em uma variedade diferenciável Σ e a D(Σ) para o anel das funções
diferenciáveis em Σ.

17
Definição 1.1.14. Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável Σ é uma aplicação
∇ : X(Σ) × X(Σ) → X(Σ),
cuja imagem de um par (X, Y ) ∈ X(Σ) × X(Σ) por ∇X Y , a qual satisfaz as seguintes
propriedades:
1. ∇f X+gY Z = f ∇X Z + g∇Y Z;
2. ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z;
3. ∇X (f Y ) = f ∇X Y + X(f )Y .
Para todo X, Y, Z ∈ X(Σ) e f, g ∈ D(Σ).
Definição 1.1.15. Um campo de vetores V ao longo de uma curva c : I → Σ é uma
aplicação que a cada ponto p ∈ I associa um vetor V (t) ∈ Tc(t) Σ. Diz-se que V é
diferenciável se para toda função diferenciável f em Σ, a função t 7→ V (t)f é diferenciável
em I.
Proposição 1.1.3. Seja Σ uma variedade Riemanniana com conexão ∇. Então existe uma
única correspondência que a cada campo de vetores V ao longo de uma curva diferenciável
c : I → Σ associa um outro campo de vetores ∇t V ao longo de c, denominado derivada
covariante de V ao longo de c, tal que:
1. ∇t (V + W ) = ∇t V + ∇t W ;
2. ∇t (f V ) = df
V + f ∇t V , onde f é uma função diferenciável em I;
dt
3. Se V é induzida por um campo de vetores de Y ∈ X(Σ), isto é, V (t) = Y (c(t)), então
∇t V = ∇dc/dt Y .
Definição 1.1.16. Seja (Σ, g) uma variedade Riemanniana com uma conexão afim ∇.
Diremos que ∇ é uma conexão de Levi-Civita ou Riemanniana se para todo X, Y, Z ∈ X(Σ)
tivermos que
1. Xg(Y, Z) = g(∇X Y, Z) + g(Y, ∇X Z);
2. [X, Y ] = ∇X Y − ∇Y X.

18
O seguinte teorema fala sobre a existência de conexões Riemannianas em variedades
Riemannianas.
Teorema 1.1.2 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanniana (Σ, g), existe uma única
conexão Riemanniana ∇ em Σ.
Demonstração. Ver [7].
Teorema 1.1.3. Seja Σ uma variedade Riemanniana. Se ∇ é sua conexão de Levi-Civita,
c : I → Σ uma curva diferenciável e V, W campo de vetores diferenciáveis ao longo de c,
então
d
V, W = ∇t V, W + V, ∇t W .
dt
Demonstração. Ver [7].

1.2

Curvatura

Definição 1.2.1. A curvatura R de uma variedade Riemanniana Σ é uma correspondência
que associa a cada par X, Y ∈ X(Σ) uma aplicação R(X, Y ) : X(Σ) → X(Σ) dada por
R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z
para todo Z ∈ X(Σ). Acima ∇ indica a conexão Riemanniana de Σ.
A curvatura R é interpretada como um modo de medir o quanto a variedade Σ deixa de
ser euclidiana. Essa interpretação é meramente um formalismo.
Proposição 1.2.1. Seja σ ⊂ Tp Σ um subespaço bi-dimensional do espaço tangente e
x, y ∈ σ dois vetores linearmente independentes. Então
K(x, y) =

R(x, y)x, y
|x|2 |y|2 − x, y

2

está bem definido e K não depende da escolha dos vetores x, y ∈ σ.
Demonstração. Ver [7].
Definição 1.2.2. Dado p ∈ Σ e um subespaço bi-dimensional σ ⊂ Tp Σ, o número real
K(σ) = K(x, y), onde {x, y} é uma base qualquer de σ, é chamado de curvatura seccional
de σ em p. Se Σ é uma variedade bi-dimensional, K é chamado de curvatura Gaussiana de
Σ em p.

19

1.3

A segunda forma fundamental

Seja f : Σn → S n+m=k uma imersão. Então, para cada ponto p ∈ Σ, existe uma
vizinhança U ⊂ Σ de p tal que f (U ) ⊂ S é uma subvariedade de S. Isto quer dizer que
existem uma vizinhança V ⊂ S de f (p) e um difeomorfismo φ : V → W em um aberto de
W de Rk , tais que φ aplica f (U ) ∩ V em um aberto Rn ⊂ Rk . Por simplicidade, passaremos
a identificar U com f (U ) e cada vetor v ∈ Tq Σ , q ∈ U , com dfq (v) ∈ Tf (q) S.
Para cada p ∈ Σ, o produto interno em Tp S decompõe Tp S na soma direta
Tp S = Tp Σ ⊕ Tp Σ⊥
onde Tp Σ⊥ é complemento ortogonal de Tp Σ em Tp S.
Se v ∈ Tp S, com p ∈ Σ, podemos escrever
v = vT + v⊥,
onde v T ∈ Tp Σ é componente tangencial e v ⊥ ∈ Tp Σ⊥ é a componente normal de v.
Sejam D a conexão Riemanniana de S, X e Y campos de vetores locais de Σ e X̄,Ȳ
suas respectivas extensões locais em S, então aplicação dada por
∇X Y = (DX̄ Ȳ )T
é a conexão Riemanniana relativa a métrica de Σ induzida pela métrica de S e
A(X, Y ) = DX̄ Ȳ − ∇X Y = (DX̄ Ȳ )⊥
é uma campo local de S normal a Σ. A(X, Y ) não depende da escolha das extensões X̄, Ȳ .
De fato, se X̄1 é uma extensão de X e Ȳ1 é uma extensão de Y , temos que
(DX̄ Ȳ − ∇X Y ) − (DX̄1 Ȳ − ∇X Y ) = DX̄−X̄1 Ȳ ,
anula-se em Σ uma vez que X̄ − X̄1 |Σ = 0. Além disto,
(DX̄ Ȳ − ∇X Y ) − (DX̄ Ȳ1 − ∇X Y ) = DX̄ (Ȳ − Ȳ1 ) = 0,
pois Ȳ − Ȳ1 = 0 ao longo das trajetórias de X. Portanto, A(X, Y ) está bem definida.
No que se segue, indicaremos por X(U )⊥ o conjunto dos campos de vetores diferenciáveis
definidos em U e normais a U ≈ f (U ).

20
Proposição 1.3.1. Se X, Y ∈ X(U ), a aplicação A : X(U ) × X(U ) → X(U )⊥ dada por
A(X, Y ) = DX̄ Ȳ − ∇X Y = (DX̄ Ȳ )⊥
é bilinear simétrica.
Demonstração. Ver [7].
Usando a bilinearidade de A e exprimindo os campos de vetores em termos de uma base
associada a um sistema de coordenadas, poderemos observar que o valor de A(X, Y )(p)
depende apenas dos valores dos campos X e Y no ponto p. Segue-se portanto que a forma
bilinear abaixo está bem definida.
Sejam p ∈ Σ e η ∈ Tp Σ⊥ . A aplicação Hη : Tp Σ × Tp Σ → R dada por
Hη (x, y) = A(x, y), η ,
x, y ∈ Tp Σ, é pela proposição anterior, uma forma bilinear simétrica.
Definição 1.3.1. A forma quadrática IIη definida em Tp Σ por
IIη (x) = Hη (x, x)
é chamada a segunda forma fundamental de f em p segundo o vetor normal η.
O termo segunda forma fundamental é também utilizado para designar a aplicação A.
Seja Sη : Tp Σ → Tp Σ a aplicação auto-adjunta associada Hη definida por meio da
identidade
Sη (x), y = Hη (x, y) = A(x, y), η .
A próxima proposição nos dá uma expressão da aplicação linear associada à segunda
forma fundamental em termos da conexão da variedade ambiente S.
Proposição 1.3.2. Sejam p ∈ Σ, x ∈ Tp Σ, η ∈ Tp Σ⊥ e N uma extensão local normal a Σ.
Então
Sη (x) = −(Dx N )T .
Demonstração. Ver [7].
Sejam x, y ∈ Tp Σ ⊂ Tp S vetores linearmente e K(x, y), K̄(x, y) as respectivas curvaturas
seccionais de Σ e S do plano gerado por esses vetores. O próximo resultado exprime a
diferença entre K e K̄ em termos valores da segunda forma fundamental aplicada em x e y.

21
Teorema 1.3.1 (Gauss). Sejam p ∈ Σ e x, y vetores ortonormais de Tp Σ. Então
K(x, y) − K̄(x, y) = A(x, x), A(y, y) − |A(x, y)|2

(1.1)

Demonstração. Ver [7].
Definição 1.3.2. Uma imersão f : Σ → S é mı́nima se para todo p ∈ Σ e todo η ∈ Tp Σ⊥
tem-se que o traço de Sη é igual a zero.
Definição 1.3.3. Escolhendo um referencial ortonormal E1 , ..., En , η1 , ..., ηm de vetores em
S tal que E1 , ..., En ∈ X(U ) e η1 , ..., ηm ∈ X(U )⊥ , onde U é uma vizinhança de p na qual f
é uma mergulho, o vetor definido por
H=

n
X

m
X
A(Ei , Ei ) =
(trSηj )ηj ,

i=1

j=1

é chamado vetor curvatura média de f .
É claro que a imersão f é mı́nima se, e somente se, o vetor curvatura média H é
identicamente nulo. Uma outra observação interessante é que H não depende do modo com
que escolhemos E1 , ..., En . Isso pode ser verificado na segunda igualdade da definição de H.

1.4

Operador Laplaciano

Definição 1.4.1. Dada uma função diferenciável f : Σ → R definida em uma variedade
Riemanniana Σ definimos o gradiente de f , ∇f , como o campo de vetores para o qual é
válido a igualdade
∇f, v = v(f )
para todo vetor tangente v a Σ.
Definição 1.4.2. Dado um campo de vetores diferenciável X ∈ X(Σ) definimos o seu
divergente, div X, como como o traço da aplicação v 7→ ∇v X, tr(v 7→ ∇v X), isto é,
(divX)(p) = tr(v 7→ ∇v X)
onde v ∈ Tp Σ.
Definição 1.4.3. Dada uma função f : Σ → R de classe C 2 definida sobre Σ, o Laplaciano
de f , ∆f , é definido por
∆f = div∇f.

22
A seguir daremos a expressão do Laplaciano de uma função f diferenciável em termos de
um sistema de coordenadas locais. Se x : U ⊂ Rn → Σ é uma parametrização da variedade
Σ em ponto p ∈ Σ e indicarmos por ∂i o i-ésimo vetor da base de Tp Σ associada x temos
∆f expressa em termos de coordenadas locais por
n

1 X
√
∆f = √
∂i (g ij g∂j f ),
g i,j

(1.2)

onde g é o determinante da matriz (gij ) e g ij é coeficiente localizado na interseção da i-ésima
linha e j-ésima coluna da matriz inversa de (gij ) (ver [9]).
Definição 1.4.4. Uma função f : Σ → R de classe C 2 é dita harmônica se ∆f é identicamente nulo.
Segue-se da definição e da expressão (1.2) para o Laplaciano de uma função f em termos
das coordenadas locais que f expressa localmente é solução da E.D.P.
n
X

√
∂i (g ij g∂j f ) = 0,

i,j

e assim f é diferenciável (ver [16]).

1.5

Formas diferenciais em variedades diferenciáveis

Seja E uma espaço vetorial de dimensão finita sobre os números reais. Uma k-forma
alternada em E é uma aplicação f : E
... × E} → R que satisfaz as seguintes propriedades
| × {z
k−vezes

1. f (v1 , ..., vi−1 , αvi + β v̄i , vi+1 , ..., vk ) = αf (v1 , ..., vi , ..., vk ) + βf (v1 , ..., v̄i , ..., vk ), para
quaisquer v1 , ..., vi−1 , vi , v̄i , vi+1 , ..., vk ∈ E e α, β ∈ R com i = 1, ..., k;
2. f (vi , ..., vk ) = 0 sempre que existirem i, j ∈ {1, ..., k} distintos tais que vi = vj .
O conjunto das k-formas alternadas em um espaço E será indicada por Λk (E).
Definição 1.5.1. Seja Σn uma variedade diferenciável. Uma k-forma diferenciável sobre Σ é
uma associação ω que a cada ponto p ∈ Σ associa a uma k-forma alternada ω(p) ∈ Λk (Tp Σ).
Dada uma n-forma diferencial ω em Σ e uma parametrização x : U ⊂ Rn → Σ de Σ,
usaremos a notação {dx1 , ..., dxn } para indicarmos a base dual de Tp Σ∗ correspondente a

23
base

 ∂
∂x1

(q), ..., ∂x∂n (q) de Tq Σ, q ∈ x(U ), associada a x : U → Σ. Toda n-forma ω em Σ

pode ser localmente expressa da seguinte maneira
w(q) = a(q)dx1 ∧ ... ∧ dxn

(1.3)

onde a : x(U ) → R é alguma função e dx1 ∧ ... ∧ dxn é a n-forma alternada
dx1 ∧ ... ∧ dxn (v1 , ..., vn ) = det(dxi (vj )),
para todo v1 , ..., vn ∈ Tq Σ.
Exemplo 1.5.1 (Elemento de volume). Orientar uma espaço vetorial E é escolher uma
base {u1 , ..., un } ⊂ E, chamá-la de positiva e dizer que também é positiva qualquer outra
P
base {v1 , ..., vn } ⊂ E tal que se vj = ni=1 aij uj (j = 1, ..., n), onde det[aij ] > 0.
Se Σn é uma variedade Riemanniana orientada, então, para todo ponto p ∈ Σ, Tp Σ

possui uma orientação natural na qual a base ∂x∂ 1 , ..., ∂x∂n ⊂ Tp Σ, associada a uma
parametrização positiva x : U → R de Σ em p, é dita positiva. A orientação de Tp Σ assim
definida não depende da escolha da parametrização positiva x.
Considerando para cada p ∈ Σ a orientação de Tp Σ acima, o elemento de volume dV de
Σ é a n-forma diferenciável definida da seguinte maneira:
Dado p ∈ Σ, escolhemos uma base ortonormal positiva {u1 , ..., un } ⊂ Tp Σ e v1 , ..., vn ∈
Tp Σ põe-se
dV (p)(v1 , ..., vn ) = det[aij ],
onde aij = ui , vj . Não é difı́cil constatar que dV é uma n-forma diferencial em Σ,
entretanto dV (p) aparenta depender da base {u1 , ..., un }. Para verificarmos a independência
de dV do modo como tomamos as bases nos espaços tangentes, usaremos a matriz de Gram
P
g̃ = g̃(v1 , ..., vn ) = [ vi , vj ]. Temos vi , vj = nk=1 aki .akj , assim g̃ = aT .a, onde a = [aij ]
e aT a matriz transposta de a. Portanto,
det g̃ = (det a)2 = (dV (v1 , ...vn ))2 .
Como evidentemente det g̃ não depende de escolhas arbitrárias, o mesmo pode se afirmar
√
sobre dV (v1 , ..., vn ) = ± det g̃, onde o sinal é de + se {v1 , ..., vn } é uma base positiva e de
− em caso contrário.
Dada uma parametrização positiva x : U → R de Σ em p, podemos expressar dV na
vizinhança coordenada x(U ) como em (1.3). Para determinarmos a função a : U → R em

24
um ponto q ∈ x(U ) basta aplicarmos ∂x∂ 1 (q), ..., ∂x∂n (q) ∈ Tq Σ a dV , isto é
a(q) = dV (q)(

∂
∂
√
(q), ...,
(q)) = g.
∂x1
∂xn

Assim, o elemento de volume é igual a dV =

√

gdx1 ∧ ... ∧ dxn em x(U ).

Seja f : Σ1 → Σ2 uma aplicação diferenciável entre as variedades diferenciáveis Σn1 e Σn2 .
A cada n-forma diferenciável ω de Σ2 corresponde uma n-forma diferenciável em Σ 1 , f ∗ ω,
chamada de o pullback de ω por f definida por
f ∗ ω(p)(v1 , ..., vn ) = w(f (p))(df (v1 ), ..., df (vn )),
para todo p ∈ Σ1 e v1 , ..., vn ∈ Tp Σ1 .
Seja ω uma n-forma diferencial sobre uma variedade diferenciável Σn . O suporte
compacto K de ω é o fecho do conjunto
{p ∈ Σ; ω(p) 6= 0}.
Seja ω = a(x)dx1 ∧ ... ∧ dxn uma n-forma diferenciável em Rn . Se o suporte K de ω
é compacta e está contida num aberto U , definimos a integral de ω em Rn como sendo o
valor da integral da função a sobre U . Em outro termos, temos que
Z
Z
ω=
adx.
Σ

U

Para definirmos a integral de uma n-forma diferenciável sobre uma variedade Σ n mais arbitrária, é conveniente que supor que a variedade é orientável e compacto, consequentemente
o suporte de ω também será compacto, afim de evitarmos problemas com a determinação do
sinal da integral e de sua convergência, respectivamente. Assumindo esse fato, começamos a
definir a integral supondo que o suporte K de ω está contida em uma vizinhança coordenada
V = x(U ) correspondente a uma parametrização positiva x : U → Σ de Σ. x∗ ω é uma
n-forma diferenciável Rn com suporte compacto no aberto U . A integral de ω sobre Σ é
definida como a integral de x∗ ω sobre Rn , ou seja,
Z
Z
ω=
x∗ ω.
Σ

U

Pode acontecer de K estar contida em uma outra vizinhança coordenada V̄ = y(Ū ) de
uma parametrização positiva. Cabe então mostrarmos que nesse caso a definição acima

25
independe da escolha da vizinhança coordenada que contenha K. Se x∗ ω = adx1 ∧ ... ∧ dxn
e y ∗ ω = bdy1 ∧ ... ∧ dyn , então as funções a : U → R e b : Ū → R cumprem


∂yj
a = det
b,
∂xi
∂y

onde ( ∂xji ) é a matriz jacobiana da mudança de coordenada y −1 ◦ x : x−1 (V ∩ V̄ ) → Rn .
Segue-se portanto que a integral de ω sobre Σ nas condições acima está bem definida.
Consideremos agora o caso em que o suporte K de ω não está contido em uma vizinhança
coordenada. Seja {Vα } a cobertura de Σ correspondente a orientação adotada e suponha a
existência de uma famı́lia de funções diferenciáveis φ1 , ..., φm tais que
1.

Pm

i=1 φi = 1;

2. 0 ≤ φi ≤ 1, e o suporte de φ esta contido em Vαi = Vi .
A famı́lia {φi } será denominada uma partição diferenciável da unidade subordinada à
cobertura {Vα }.
Definimos a integral de ω em Σ por
Z
m Z
X
ω=
φi ω.
Σ

i=1

Σ

A definição acima independe da cobertura de Σ escolhida e da partição diferenciável da
unidade associada a ela (ver [8]).
Proposição 1.5.1 (Existência de uma partição diferenciável da unidade). Sejam Σ uma
variedade diferenciável compacta e {Vα } uma cobertura aberta finita de Σ por vizinhanças
coordenadas. Então, existem funções diferenciáveis φ1 , ..., φm tais que
1.

Pm

i=1 φi = 1;

2. 0 ≤ φi ≤ 1, e o suporte de φ esta contido em Vαi = Vi .
Demonstração. Ver [8].
A noção de variedade diferenciáveis, os conceitos e resultados dados até o momento pode
ser estendidos a noção de variedades diferenciáveis com bordo. Basicamente a definição de
variedades diferenciáveis e variedades diferenciáveis com bordo mudam apenas por tomarmos
os domı́nios das parametrizações por abertos de semi-planos ao invés de abertos do Rn .
Abaixo daremos as definições de modo mais preciso e estabeleceremos alguns resultados.

26
Seja H n semi-plano de Rn dado por H n = {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn ; x1 ≤ 0}. Os conjuntos
abertos de H n são aqueles obtidos pela interseção de H n com abertos do Rn .
Uma aplicação φ : V → Rm é dita diferenciável se existir alguma aplicação diferenciável
F : U → Rm definida em um aberto U ⊃ V de Rn tal que F estenda f (F |V = f ). Se φ é
diferenciável, sua derivada em p ∈ V , dφp , é definida como a derivada de F em p, ou seja,
dφp = dFp . Quando V não contém pontos da forma (0, x2 , ..., xn ), então V é um conjunto
aberto de Rn e a definição de dφp coincide com a usual. Se p é da forma (0, x2 , ..., xn ), então
dφp é definida para todos os vetores tangentes as curvas em U que passam por p, isto é,
para todos o vetores de Rn com origem em p. Utilizando essas curvas, é possı́vel mostrar
que a definição de dφp independe da extensão F de φ escolhida e assim temos que dφp está
bem definida.
Definição 1.5.2. Uma variedade diferenciável n-dimensional com bordo (regular), é um
conjunto Σ e uma famı́lia de aplicações injetivas xα : Uα ⊂ H n → Σ tais que
1.

S

α xα (Uα ) = Σ;

−1
2. Para todo par α e β com xα (Uα ) ∩ xβ (Uβ ) = W 6= ∅, os conjuntos x−1
α (W ) e xβ (W )
−1
são abertos em Rn e aplicações x−1
α ◦ xβ e xβ ◦ xα são diferenciáveis;

3. A famı́lia {Uα , xα } é máxima com relação aos itens 1 e 2.
Um ponto p ∈ Σ é chamado ponto de bordo em Σ se, para alguma parametrização
x : U → Σ em p, tivermos que x(0, x2 , ..., xn ) = p.
Lema 1.5.1. A definição de ponto de bordo de Σ independe da parametrização escolhida.
Demonstração. Ver [8].
Segue-se do lema anterior que a noção de ponto de bordo esta bem definida. O conjunto
formado por todos pontos do bordo de uma variedade com bordo Σ será indicado por ∂Σ e
chamada de bordo de Σ.
Os conceitos e resultados vistos anteriormente para variedade diferenciáveis são dados
de maneira análoga para variedades com bordo, apenas trocando Rn por H n .
Proposição 1.5.2. Seja Σ é uma variedade diferenciável n-dimensional com bordo. Então
∂Σ é uma variedade (n − 1)-dimensional no sentindo tradicional. Além disso, se Σ é
orientável, toda orientação de Σ induz uma orientação em ∂Σ de maneira natural.

27
Demonstração. Ver [8].
Desde que o bordo ∂Σ é uma variedade diferenciável (n − 1)-dimensional, podemos, para
cada ponto p ∈ ∂Σ, considerar o espaço tangente a Tp ∂Σ em ∂Σ. Segue-se das definições
que Tp ∂Σ é um subespaço vetorial de Tp Σ de co-dimensão 1. Logo, podemos considerar o
subespaço de Tp Σ formado pelo conjunto dos vetores normais a ∂Σ. Um desses vetores de
particular importância para nós é o chamado vetor conormal ao qual será definido a seguir.
Definição 1.5.3. Seja Σn uma variedade Riemanniana orientada com bordo. Dado um
ponto p ∈ ∂Σ, diz-se que uma vetor v ∈ Tp Σ aponta para fora de Σ quando existir uma
parametrização positiva x : U → Σ definida em um subconjunto aberto U de H n , com
p = x(u), v = du x(v0 ) com v0 apontando para fora de H n . O vetor conormal ν a ∂Σ no
ponto p ∈ ∂Σ é o vetor unitário normal a Tp ∂Σ que aponta para fora de Σ.
Teorema 1.5.1. Seja Σn+1 uma variedade Riemanniana com bordo com n + 1 ≥ 2. Dado
um ponto p ∈ ∂Σ, uma base {v1 , ..., vn } ⊂ Tp ∂Σ quanto a orientação induzida por Σ se, e
somente se, para todo vetor v ∈ Tp Σ apontando para fora de Σ, a base {v, v1 , ..., vn } ⊂ Tp Σ
é positiva.
A seguir daremos uma sequência de resultados sobre integração em variedades.
Teorema 1.5.2. Sejam Σn1 e Σn2 variedades diferenciáveis orientadas e conexas, φ : Σ1 → Σ2
um difeomorfismo que preserva orientação e ω uma n-forma diferenciável em Σ2 . Então
Z
Z
∗
φω=
ω
Σ1

Σ2

.
Demonstração. Ver [27].
Definição 1.5.4. A energia de uma função diferenciável f : Σ → R definida em uma
variedade diferenciável (com ou sem bordo) Σ é por definição o valor da integral
Z
E(f ) =
|∇f |2 dV.
Σ

Quando ∂Σ 6= ∅, diremos que f minimiza a energia para indicarmos que
E(f ) ≤ E(g)

28
para toda função diferenciável g : Σ → R com a mesma condição de bordo que f , ou seja,
f = g em ∂Σ. Neste caso em particular, teremos que
E(f ) ≤ E(f + tη)
para toda função diferenciável η : Σ → R identicamente nula em ∂Σ e todo t ∈ R.
Lema 1.5.2. Uma função diferenciável f : Σ → R em uma variedade Σ satisfaz
E(f ) ≤ E(f + tη),
para toda função diferenciável η : Σ → R com suporte compacto e t ∈ R, se, e somente se,
é harmônica.
Demonstração. Ver [23].
Definição 1.5.5. O grau de uma aplicação diferenciável φ : Σn1 → Σn2 entre variedades
diferenciáveis orientadas, fechadas e conexas Σ1 e Σ2 em relação a um valor regular q0 ∈ Σ2 ,
deg φq0 , é por definição o número inteiro

degφq0 =

X
p∈φ−1 (q0 )


 
∂yi
sgn det
(p) ,
∂xj



∂yi
onde ∂xj (p) é o determinante jacobiano da expressão de φ em termos de parametrizações
positivas x : U → Σ1 e y : V → Σ2 de p ∈ φ−1 (q0 ) e q0 , respectivamente, e sgn é função
sinal dada por
sgn(t) =




 −1, se t < 0


0, se t = 0






1, se 0 < t

Teorema 1.5.3. O grau de uma aplicação φ (como acima) independe da escolha do valor
regular q0 .
Demonstração. Ver [11].
Definição 1.5.6. Seja φ como anteriormente. O grau de φ, deg φ, é grau de φ com respeito
a qualquer um dos seus valores regulares q0 .
Observem que a definição acima foi dada para variedades sem bordo, porém é possı́vel
estender a noção de grau a uma aplicação φ definida entre variedades com bordo nas mesmas

29
condições tomadas para Σ1 e Σ2 e que leve bordo no bordo. Para esse caso, o grau de φ
é tomado como o grau da restrição de φ aos pontos interiores de variedade domı́nio, ou
seja, dos pontos da variedade diferenciável com bordo na qual φ está definida e que não
pertencem ao bordo.
Teorema 1.5.4. Sejam φ : Σ1 → Σ2 como acima e ω uma n-forma diferencial de Σ2 .
Então,
Z

∗

Z

φ ω = (deg φ)
Σ1

ω.

(1.4)

Σ2

Demonstração. Ver [11].
Observação 1.5.1. O teorema acima é valido também para funções φ definidas em variedades com bordo as quais levem bordo em bordo.

1.6

Fórmula de Green e Teorema de Gauss-Bonnet

Seja Σ uma variedade Riemanniana orientada com bordo ∂Σ. Considerando em ∂Σ a
orientação e a métrica induzida por Σ, indicaremos por dA o elemento de volume de ∂Σ e
por ν o campo de vetores normais unitários apontando para fora de Σ ao longo de ∂Σ.
Teorema 1.6.1 (Fórmula de Green). Sejam h : Σ → R e f : Σ → R funções diferenciáveis
tais que h(∇f ) tem suporte compacto em Σ. Então,
Z
Z
{h∆f + ∇h, ∇f }dV =
Σ

∂Σ

h

∂f
dA.
∂ν

Demonstração. Ver [9]
O próximo resultado, o Teorema de Gauss-Bonnet, é restrito as superfı́cies Riemannianas
conexas orientadas, mas antes de apresentá-lo precisaremos introduzir o conceito de curvatura
geodésica.
Definição 1.6.1. Seja Σ uma superfı́cie Riemanniana. A curvatura geodésica, κg , de uma
curva α : (a, b) → Σ imersa em Σ é definida como o quociente
∇t α0 , ıα0
κg =
,
|α0 |3
onde ı é a rotação por π/2 radianos.

30
Teorema 1.6.2 (Gauss-Bonnet). Seja Σ uma superfı́cie Riemanniana compacta com bordo
∂Σ. Se dA é o elemento de área de Σ e ds o elemento comprimento de arco de Σ, então
Z
Z
κg ds + KdA = 2πχ(Σ),
(1.5)
∂Σ

Σ

onde χ é caracterı́stica de Euler de Σ.
Demonstração. Ver [10].

1.7

Espaços Lp em variedades Riemannianas

Seja (Σ, g) uma variedade Riemannina. Dado um número real p > 0, o espaço Lp de Σ,
Lp = Lp (Σ), é o conjunto das funções integráveis f : Σ → R tais que
Z
|f |p dV < +∞
Σ

munido com a norma que para cada f ∈ Lp , associa o número real não-negativo
Z
||f ||Lp =

1/p

p

|f | dV

.

Σ

Teorema 1.7.1 (Desigualdade de Hölder). Sejam p, q ∈ R números reais positivos tais
que 1/p + 1/q = 1. Então, para todo par de funções f ∈ Lp e g ∈ Lq , vale a seguinte
desigualdade
Z

Z
|f g|dV ≤
Σ

p

1/p  Z

|f | dV
Σ

q

|g| dV

1/q
= ||f ||Lp ||g||Lq .

Σ

Demonstração. Ver [5].
Lema 1.7.1. Sejam f e g como no lema anterior. Então a igualdade na desigualdade de
Hölder ocorre se, e somente se,
af p + bg q = 0
q.t.p.,para algum par de constantes a e b.
Demonstração. Ver [5].

31

1.8

Convergência fraca

Seja E uma espaço vetorial normado. Um funcional linear f : E → R é dito limitado se
existe uma constante c > 0 tal que
|f (x)| ≤ c||x||,
para todo x ∈ E, onde |.| é a função módulo da reta e ||.|| é a norma de E. O espaço
vetorial formado por todos os funcionais lineares limitados de E, com as operações usuais
de soma entre funções e multiplicação por escalar, munido da norma
||f || =

|f (x)|
,
x∈E,x6=0 ||x||
sup

para todo funcional linear limitado f , será indicado por E ∗ e chamado o espaço dual de E.
Como E ∗ é um espaço normado, podemos considerar o seu dual, E ∗∗ = (E ∗ )∗ , onde E ∗∗ é
chamado de bi-dual de E.
Lema 1.8.1. Dado x ∈ E, defina Fx : E ∗ → R por
Fx (f ) = f (x),
para todo f ∈ E ∗ . Então Fx ∈ E ∗∗ e ||Fx || = ||x||.
Definição 1.8.1. Dado um espaço normado E, defina J : E → E ∗∗ por J(x) = Fx . E é
dito reflexivo se J(E) = E ∗∗ .
Exemplo 1.8.1. O espaço Lp é reflexivo para 1 < p < +∞ (ver [30]).
Definição 1.8.2. Dizemos que uma sequência (xn ) de um espaço vetorial normado E
converge fracamente para um ponto x ∈ E, e indicamos por xn * x, se para todo funcional
linear limitado f ∈ E ∗ , tivermos que lim f (xn ) = f (x). Nesse caso x é chamado limite fraco
de (xn ). Quando (xn ) converge fracamente, dizemos que (xn ) é fracamente convergente.
Observação 1.8.1. Diremos que uma sequência (xn ) converge fortemente quando essa
sequência convergir no sentido usual. A notação xn → x será usada para indicarmos que
lim xn = x.
Lema 1.8.2. As seguintes afirmações são verdadeiras:
1. O limite fraco quando existe é único;

32
2. Toda sequência fracamente convergente é limitada;
3. xn → x ⇒ xn * x.
Demonstração. Ver [30].
Lema 1.8.3. Se (xn ) converge fracamente para x, então
||x|| ≤ lim inf ||xn ||.

(1.6)

Teorema 1.8.1. Se E é reflexivo e (xn ) uma sequência limitada de E, então (xn ) possui
uma subsequência fracamente convergente.
Demonstração. Ver [30].

1.9

Espaços de Sobolev W 1,p

Dado p > 1, seja =p o espaço vetorial das funções diferenciáveis φ ∈ Lp (Σ) tais que
||∇φ|| ∈ Lp (Σ).
Definição 1.9.1. O espaço de Sobolev W 1,p = W 1,p (Σ) é o complemento do conjunto =p
com respeito a norma

||φ||W k,p =

||φ||pLp + ||∇φ||pLp

1/p
.

Proposição 1.9.1. W 1,p é reflexivo para todo número real 1 < p < ∞.
Demonstração. Ver [6].
Definição 1.9.2. Um subconjunto A de um espaço normado E é dito pré-compacto se o
seu fecho Ã é compacto.
Definição 1.9.3. Dizemos que um espaço normado E1 está compactamente mergulhado
em um espaço normado E2 , se
1. E1 é um subespaço de E2 ;
2. O operador inclusão I : E1 → E2 por Iv = v para todo v ∈ E1 é limitado;
3. Todo subconjunto A ⊂ E1 limitado em E1 é pré-compacto em E2 .

33

2 O Primeiro Autovalor Não-Nulo
de Steklov
2.1

Uma estimativa para o primeiro autovalor de Steklov

Seja (Σ, g) uma variedade Riemanniana compacta k-dimensional com bordo ∂Σ e
operador Laplaciano ∆g . Dada uma função u ∈ C ∞ (∂Σ), seja û a extensão harmônica de u,
isto é,

 ∆ û = 0 em
Σ
g

û = u sobre ∂Σ.
A aplicação de Dirichlet-Neumann L : C ∞ (∂Σ) → C ∞ (∂Σ) associa a cada função
u ∈ C ∞ (∂Σ) a derivada direcional de sua extensão na direção do vetor conormal ν ao bordo
∂Σ,
Lu =

∂ û
.
∂ν

Os autovalores dessa função foram estudados a primeira vez em 1902 por Steklov e
desde então são chamados de autovalores de Steklov. Esses autovalores constituem um
conjunto enumerável σ0 < σ1 ≤ σ2 ≤ ... de valores reais não negativos os quais tendem ao
infinito (ver [15]). Desde de que as funções constantes fazem parte do núcleo da aplicação
de Direchlet-Neumann, temos que σ0 = 0. Já o primeiro autovalor não-nulo σ1 possui a
seguinte caracterização variacional
R
σ1 =
(ver [15]).

infR

u∈C 1 (∂Σ), ∂Σ u=0

Σ
R

|∇û|2 da
u2 ds
∂Σ

(2.7)

34
Os autovalores de Steklov estão relacionados com alguns problemas geométricos, um de
especial interesse para nós o problema de bordo livre de um domı́nio. Uma subvariedade
mı́nima Σ propriamente imersa de uma domı́nio Ω é dita ser solução de bordo de livre de Ω
se Σ encontra ∂B n ao longo de ∂Σ, ou seja, se os vetores conormais a∂Σ coincidir com os
cornomais de ∂Ω ao longo de ∂Σ.
Os Lema 2.1.1 exprime um resultado que relaciona os autovalores da aplicação de
Direchlet-Neumann e as soluções de bordo livre na bola unitária centrada na origem B n de
Rn .
Lema 2.1.1. Seja Σk uma subvariedade propriamente imersa da bola unitária B n . Então
Σ é uma subvariedade mı́nima a qual é solução de bordo livre de B n se, e somente se, as
funções coordenadas de Σ em Rn são autofunções de Steklov associada ao autovalor 1.
Demonstração. Seja xi : Σ → R a função que a cada ponto p ∈ Σ associa sua i-ésima
coordenada em Rn , p, ei , onde ei é o i-ésimo vetor base canônica do Rn . Desde que
estamos assumindo que Σ é uma subvariedade mı́nima, temos necessariamente que função
coordenada xi é harmônica para i = 1, ..., n. De fato, considerando um referencial ortonormal
⊥
{E1 , ..., Ek } de Σ, temos que o gradiente ∇xi em Σ é dado por ∇xi = ei − e⊥
i , onde ei é

componente ortogonal de ei com respeito ao espaços tangentes a Σ, temos que
∆xi = div(∇xi )
X
=
∇Ej (∇xi ), Ej .
j

=

X

=

X

=

X

=

X

⊥ ⊥
DEj (ei − e⊥
i ) − DEj (ei − ei ) , Ej

j

DEj (ei − e⊥
i ), Ej

(2.8)

j

DEj (ei ) − DEj (e⊥
i ), Ej

j

− DEj (e⊥
i ), Ej .

j

Desde que e⊥
i , Ej = 0, temos
0 = Ej e⊥
i , Ej
⊥
= DEj e⊥
i , Ej + Dei , DEj Ej

(2.9)

35
e consequentemente que
∆xi =

X

=

X

e⊥
i , DEj Ej

j

ei , (DEj Ej )⊥

j

= ei ,

X

(DEj Ej )⊥

(2.10)

j

= ei , H
= Hi ,
onde H = (H1 , ..., Hn ) é o vetor curvatura média de Σ. Provando assim nossa afirmação
preliminar.
Portanto, para que Σ seja solução de bordo livre , uma vez que esta já é uma subvariedade
de B n é mı́nima, é necessário que vetor conormal ν em ∂Σ coincida com o vetor posição no
Rn para todo ponto p ∈ ∂Σ. Em outras palavras, se ν = (ν1 , ...νn ), Σ é solução de bordo
livre em B n se, e somente se,
xi = νi = ν, ei =

∂
xi ,
∂ν

para todo i = 1, ..., n.
O primeiro resultado dando uma limitação para σ1 foi determinado por Weinstock [33].
Nele é provado que se Σ é um domı́nio plano simplesmente conexo, então
σ1 L(∂Σ) ≤ 2π,
onde L(∂Σ) é comprimento de ∂Σ, e que a igualdade ocorre se, e somente se, Σ é o disco.
Posteriormente Weinstock provou que para superfı́cies Σ simplesmente conexas com bordo,
a desigualdade permanecia a mesma e que neste caso a igualdade acontece se, e somente se,
existi uma aplicação conforme de Σ sobre o disco a qual seja uma isometria nos bordos. O
próximo teorema generaliza os resultados dados por Weinstock.
Teorema 2.1.1. Seja (Σ, g) uma superfı́cie Riemanniana compacta de gênero γ e k componentes de bordo. Então temos a seguinte estimativa para o primeiro autovalor não-nulo
de Steklov σ1 de Σ
σ1 L(∂Σ) ≤ 2(γ + k)π,
onde L(∂Σ) indica o comprimento do bordo de Σ.

36
Demonstração. Toda superfı́cie Riemanniana compacta admite uma função de Alhfors, isto
é, uma aplicação φ : Σ → D definida em Σ sobre o disco D unitário do R2 a qual é própria,
conforme e com grau no máximo igual a γ + k. Sem perda de generalidade podemos, pelo
Lema 4.1.1, admitir que φ = (φ1 , φ2 ) é tal que
Z
φi ds = 0,
∂Σ

para i = 1, 2. Assim as funções φ1 e φ2 podem ser usadas como funções teste na caracterização
variacional (2.7) de σ1 , obtendo
Z
Z
Z
2
2
σ1
φi ds ≤
|∇φ̂i | dV ≤
|∇φi |2 dV.
∂Σ

Σ

(2.11)

Σ

Se λ2 é coeficiente de conformidade entre a métrica induzida por h = φ∗ g e a métrica g,
isto é, h = λ2 g, e {E1 , E2 } é um referencial ortogonal de (Σ, g), temos que
λ2 = λ2 g(Ei , Ei )
= h(Ei , Ei )

(2.12)

= (dφ1 (Ei ), dφ2 (Ei )), (dφ1 (Ei ), dφ2 (Ei ))
= (dφ1 (Ei ))2 + (dφ2 (Ei ))2
para i = 1, 2. E portanto,
2λ2 = ((dφ1 (E1 ))2 + (dφ2 (E1 ))2 ) + ((dφ1 (E2 ))2 + (dφ2 (E2 ))2 )
= ((dφ1 (E1 ))2 + (dφ1 (E2 ))2 ) + ((dφ2 (E1 ))2 + (dφ2 (E2 ))2 )

(2.13)

= |∇φ1 |2 + |∇φ2 |2 .
Assim,
Z X
2

2

|∇φi | dV

Z
= 2

Σ i=1

λ2 dV

Σ

Z
= 2

φ∗ dṼ

Σ

= 2deg(φ)π
≤ 2(γ + k)π,
onde dṼ é o elemento de volume de D relativo a métrica canônica. Portanto, se somarmos
a respectiva desigualdade (2.11) para i = 1, 2 e usarmos que φ(∂Σ) ⊂ ∂D juntamente com
a desigualdade acima, obtemos que
Z X
Z X
2
2
2
σ1 L(Σ) = σ1
φi ds ≤
|∇φi |2 dV ≤ 2(γ + k)π.
∂Σ i=1

Σ i=1

37
O próximo teorema mostra que a desigualdade obtida no teorema anterior não é ótima
para alguns tipos de superfı́cies, no sentindo que a desigualdade é estrita. Esse resultado
motiva a próxima seção.
Teorema 2.1.2. Seja Σ uma superfı́cie compacta de gênero 0 com k componentes de bordo,
k ≥ 2. Se σ1 é o primeiro autovalor não nulo de Steklov de Σ relativa a métrica g, então
σ1 L(∂Σ) < 2kπ.
Demonstração. Ver [17].

2.2

Métricas rotacionalmente simétricas

Nesta seção consideraremos o problema de determinar o conjunto dos autovalores de
Steklov de uma anel Σ com uma métrica da formag = dr2 + a(r)2 dθ2 para alguma função
positiva a, 0 < r1 < r < r2 e θ ∈ S 1 .
Dada uma superfı́cie (Σ, g) como acima, existe T > 0 e uma função positiva f definida em
no intervalo [0, T ] tais que o produto S = [0, T ] × S 1 dotado da métrica h = f (t)2 (dt2 + dθ2 )
Rr
é isométrico a Σ. De fato, pois se f˜(r) = r1 a(s)−1 ds, temos, pelo Teorema fundamental
do Cálculo, que f˜0 (r) = a(r)−1 > 0 e consequentemente que f˜ é inversı́vel. Assim, se
considerarmos a aplicação F : [b, c] × S 1 → Σ, onde b é ı́nfimo e c o supremo da imagem de
f˜, cuja expressão em termos de coordenadas locais é dada por (t, θ) 7→ (f˜−1 , θ), teremos
que F é uma isometria uma vez que dF (∂/∂t) = a(h−1 (t))∂/∂r, dF (∂/∂θ) = ∂/∂θ e
consequentemente F ∗ g = a2 (h−1 (t))(dt2 + dθ2 ).
Como isometrias preserva o conjunto desses autovalores, voltamos nossa atenção a
superfı́cies da forma S = [0, T ] × S 1 com métrica do tipo h = f (t)2 (dt2 + dθ2 ).
Uma função u é uma autofunção associada ao primeiro autovalor σ1 da aplicação de
Direchlet-Neumann em (S, h) se é harmônica e satisfaz a condição de bordo ∂u/∂ν = σ1 u
em ∂S. Desde que métricas conformes em superfı́cies determinam operadores Laplacianos
que diferem por um fator, temos que u é harmônica se, e somente, for harmônica com
relação a qualquer métrica conforme a h. Em particular, se u é harmônica com respeito a
dt2 + dθ2 , ou que equivalentemente, se u satisfazer a identidade utt + uθθ = 0 em termos
locais.
∂
Desde de que os vetores conormais a Γ0 = {t = 0} são dados por ν = −f (0)−1 ∂t
e sobre
∂
Γ1 = {t = T } por ν = f (T )−1 ∂t
e os elementos de arco nas respectivas componentes são

38
f (0)dθ e f (T )dθ em t = 0 e t = T , temos pelo Teorema 1.6.1 que
Z
Z
Z
Z
∂u
2
|∇u| dV =
u ds =
uut dθ −
uut dθ.
S
∂S ∂ν
Γ1
Γ0
Já a norma L2 (∂S) de u é dada por
Z
Z
Z
2
2
u ds =
u f (0)dθ +
u2 f (T )dθ.
∂S

Γ0

Γ1

Assim podemos concluir, de acordo com a caracterização (2.7), que σ1 depende apenas
dos valores de u em ∂S e de f em t = 0 e t = T . Assim, se f˜(t)(dt2 + dθ2 ) é uma métrica
em S tal que f˜(0) = f (0) e f˜(T ) = f (T ), temos que o primeiro autovalor de S com respeito
a essa métrica coincide com o primeiro autovalor relativo a h. Sem perca de generalidade,
podemos assumir daqui por diante que f é a função afim dada por
f (t) = (1 −

t
t
)f (0) + f (T ).
T
T

Para calcularmos os autovalores de Steklov, consideraremos funções harmônicas na
forma u(t, θ) = α(t)β(θ). Aplicando o método da separação de variáveis, obtemos para
cada inteiro n uma solução. Para n ≥ 1 as soluções são combinações lineares das funções
sinh(nt) sin(nθ), sinh(nt) cos(nθ), cosh(nt) sin(nθ) e cosh(nt) cos(nθ) e no caso de n = 0, as
combinações lineares são entre as funções t e 1. Para que sejam autofunções é necessário
que ∂u/∂ν = λu em ∂Σ, ou equivalentemente ut = −λf (0)u em Γ0 e ut = λf (T )u em Γ1 .
Para n = 0 temos que α = a + bt e que as condições em cada componente de bordo são
b = −λf (0)a
e
b = λf (T )(a + bT ).
Implicando assim que são dois os valores de λ para os quais temos soluções não-nulas:
(1)

λ0 = 0, com autofunções associadas sendo constantes, e
(2)

λ0 = (f (0)f (T )T )−1 (f (0) + f (T )),

(2.14)

(2)

cujo o autoespaço associado é gerado por 1 + bt, onde b = −λ0 f (0).
Para n ≥ 1 as autofunções tem α = a sinh(nt) + b cosh(nt) e as condições de bordo são
expressas por
na = −λf (0)b,

(2.15)

na cosh(nT ) + nb sinh(nT ) = λf (T )(a sinh(nT ) + b cosh(nT )).

(2.16)

39
Resolvendo a equação (2.15) para a e substituindo na equação (2.16), após simplificarmos a
expressão resultante, obtemos a seguinte equação quadrática para λ
λ2 − n[f (0)−1 + f (T )−1 ] coth(nT )λ + n2 f (0)−1 f (T )−1 = 0,
(1)

(2)

cujas raı́zes são os números reais positivas λn < λn dados por
λ(1)
n =

√ 
n
(f (0)−1 + f (T )−1 ) coth(nT ) − D
2

λ(2)
n =

√ 
n
(f (0)−1 + f (T )−1 ) coth(nT ) + D ,
2

e

onde
D = [f (0)−1 + f (T )−1 ]2 coth(nT ) − 4f (0)−1 f (T )−1 .
(1)

(2)

Observe que λn e λn possuem multiplicidade 2. Como estamos interessados em determinar
(2)

o menor autovalor positivo de Steklov , podemos desconsiderar todos os λn com n ≥ 1, já
(2)

(1)

(1)

que para esses casos λn > λn . Por outro lado, reescrevendo λn como
√ −1

−1
−1
−1
−1
D ,
λ(1)
=
2nf
(0)
f
(T
)
(f
(0)
+
f
(T
)
)
coth(nT
)
+
n

(2.17)

(1)

temos que λn é uma função crescente de n, uma vez que para argumentos positivos a
(2)

(1)

função coth é decrescente, implicando assim que σ1 = min{λ0 , λ1 }. Usando as expressões
(2)

(1)

(2.14) e (2.17) para λ0 e λn com n = 1, obtemos que


 21 
T
4f (0)f (T )
2
coth T − coth T −
=
(2)
2
(f (0) + f (T ))2
λ0


 12 −1
2T f (0)f (T )
4f (0)f (T )
2
=
coth T + coth T −
(f (0) + f (T ))2
(f (0) + f (T ))2


 12 −1
2T α
4α
2
=
coth T + coth T −
,
(α + 1)2
(α + 1)2
(1)

λ1

(2.18)

onde α = f (0)/f (T ) é a razão entre os comprimentos das componentes de bordo de S.
Fixando o valor de α, temos que (2.18) é uma função contı́nua e crescente de T a qual
tende a 0 quando T tende a 0 e a infinito quando T tente ao infinito. Logo, existe um único
(1)

(2)

T (α) > 0 tal que T = T (α) implica que λn /λ0 = 1. Consequentemente

 λ(1) , se 0 < T ≤ T (α)
1
σ1 =
 λ(2) , se T (α) ≤ T.
0

40
Por meio dessa expressão podemos concluir que σ1 é maximizada em T = T (α), uma vez
que σ1 é uma função crescente de T no intervalo (0, T (α)] e decrescente no intervalo [T (α), ∞).
Segue-se imediatamente desse fato que se fixarmos a razão α entre os comprimentos das
componentes de bordo de S que
σ1 (S)L(∂S) ≤ σ1 (T (α))L(∂S)
= 2πσ1 (T (α))(f (0) + f (T ))
= 2π[f (0)f (T ))T (α)]−1 (f (0) + f (T ))2

1/2 
1/2 2
f (0)
2π
f (T )
=
+
T (α) f (T )
f (0)
2π
=
(α1/2 + α−1/2 )2 ,
T (α)

(2.19)

onde essa desigualdade foi obtida apenas utilizando a maximidade de σ1 em T = T (α),
o fato de nesse caso σ1 = λ20 e da expressão (2.14) para λ20 . Observe que (2.19) depende
apenas do valor α e assim que é válida para a famı́lia de superfı́cies da forma (S, h) cuja
razão entre as componentes de bordo é igual a α.
Quanto a multiplicidade de σ1 , temos que é igual a 2 se T < T (α), 1 se T > T (α) e
igual a 3 quando T = T (α).
O próximo teorema resume o que foi discutido até o momento e otimiza o valor σ1 L
para anéis rotacionalmente simétricos. Nele será dada uma prova a qual identifica o anel
máximo para um dado α com uma parte especı́fica de um catenoide centrado na origem e
mostramos que σ1 L é maximizado em α = 1.
Consideraremos o catenoide parametrizado em (−∞, ∞) × S 1 por
x1 (t, θ) = cosh t cos θ
x2 (t, θ) = cosh t sin θ
x3 (t, θ) = t
com a métrica g = cosh2 (t)(dt2 + dθ2 ) induzida pelo R3 . Observe que a porção do catenoide
compreendida entre t = a e t = b é conformemente equivalente ao produto [a, b] × S 1 .
Lema 2.2.1. Dada dado um número real c, existe uma função diferenciável f : [0, 1] → R
tal que f é constante igual a 1 numa vizinhança de 0 e constante igual a c numa vizinhança
de 1.

41
Demonstração. Seja β : (−1, 1] → R a curva diferenciável dada por


1


se −1 < x < 0
A−1 exp x(x+1)





0 se 0 ≤ x ≤ 1/3
β(x) =

1


cA(A + B)−1 exp (1−3x)(2−3x)
se 1/3 < x < 2/3





0 se 2/3 ≤ x ≤ 1

1
onde A é área abaixo do gráfico da função exp x(x+1)
no intervalo (−1, 0] e B a área abaixo

1
do gráfico da função exp (1−3x)(2−3x)
no intervalo (1/3, 2/3).

Figura 2.1: Gráfico da função β para algum c > 0.
Fazendo f (t) =

Rt

0 β(x)dx

A

para todo t ∈ [0, 1], temos que f é uma função diferenciável

com as propriedades requeridas.
Observe que o Lema anterior é valido para qualquer intervalo [a, b] da reta R e que se c
é um número positivo, então f é estritamente positiva.
Teorema 2.2.1. Dado a ∈ R, sejam t1 e t2 as soluções positivas de t1 = cosh(t1 + a) e
t2 = cosh(t2 − a). Se fizermos α = t1 /t2 , e denotarmos T (α) como na discussão anterior,
temos que α é uma função decrescente de a cuja imagem corresponde ao conjunto dos
números reais positivos, T (α) = t1 + t2 e que o valor máximo para σ1 L em todas métricas
−1
rotacionalmente simétricas com α fixo é dado por 2π(t−1
1 + t2 ). Mais ainda, o maior

valor para σ1 L dentre todas as métricas rotacionalmente simétricas em anéis ocorre apenas
quando a = 0 e portanto α = 1. Em a = 0 temos que t1 = t2 ≈ 1, 2.
Demonstração. Antes de começarmos a demonstrar o teorema, observe que por meio do
Teorema da função Implı́cita podemos verificar que as funções t1 e t2 são funções diferenciáveis

42
de a. Derivando t1 e t2 em relação a a, obtemos que t1 é uma função decrescente de a
enquanto t2 é uma função crescente.
Os valores −t1 e t2 correspondem aos únicos pontos do gráfico de x = cosh(t − a) cuja
reta tangente passa pela origem.
Voltando a demonstração, dado a, consideremos a parte Σ do catenoide de revolução de
centro na origem e curva geratriz igual o gráfico de x = cosh(t − a) compreendida entre
t = −t1 e t = t2 . As escolhas de t1 e t2 fazem com que os vetores conormais nas componentes
Γ1 = {t = −t1 } e Γ2 = {t = t2 } de ∂Σ sejam paralelos ao vetor posição em cada ponto.
p
Além disso, Γ1 esta contido na esfera de centro na origem e raioR1 =
t21 + cosh(t21 + a)2
p
e Γ2 na esfera de mesmo centro e raio R2 = t22 + cosh(t22 − a)2 . Um raciocı́nio análogo ao
usado na prova do Lema 2.1.1 somado ao fato de Σ ser uma superfı́cie mı́nima, mostra que
o vetor posição X = (x1 , x2 , x3 ) restrita à Σ é harmônico e satisfaz a
∂X
= (Ri )−1 X,
∂ν
em Γi , i = 1, 2. Se reescalarmos a métrica g pela função f : [−t1 , t2 ] → R dada pelo Lema
2.2.1 para c = R1 /R2 , obtemos uma nova métrica g̃ = f g a qual nas proximidades de Γ1
coincide com g e nas de Γ2 corresponde a multiplicarmos g por R1 /R2 . X é harmônico com
relação a nova métrica, uma vez que g̃ é conforme a g, e cumpre a condição de bordo
∂X
∂X
= (f )−1
= (R1 )−1 X,
∂ ν̃
∂ν
onde ν̃ é vetor conormal a ∂Σ com respeito a métrica g̃, e assim as funções coordenada x1 ,
x2 e x3 são autofunções de Steklov associados ao autovalor (R1 )−1 . Da discussão prévia ao
teorema, sabemos que o único autovalor com possibilidade de ter multiplicidade 3 em (Σ, g̃)
é σ1 e que se isso ocorrer, então (Σ, g̃) maximiza o valor σ1 L para anéis rotacionalmente
simétricos que possuem a mesma razão α entre os comprimentos das componentes de bordo
que (Σ, g̃), a saber,

43

(R1 /R2 )−1 cosh(t2 − a)
cosh(t1 + a)
cosh(t2 − a)/R2
=
cosh(t1 + a)/R1
q
cosh(t2 − a)/ t22 + cosh2 (t2 − a)
q
=
cosh(t1 + a)/ t21 + cosh2 (t1 + a)
q
cosh(t2 − a)/t2 1 + sinh2 (t2 − a)
q
=
cosh(t1 + a)/t1 1 + sinh2 (t1 + a)

α=

t−1
2
−1
t1
t1
= .
t2
=

Segue-se que T (α) = t1 +t2 e que o valor máximo de σ1 L em anéis rotacionalmente simétricos
−1
com α = t1 /t2 é igual a 2π(R1 )−1 [cosh(t1 + a) + (R1 /R2 ) cosh(t2 − a)] = 2π(t−1
1 + t2 ).

Desde que
lim t1 = lim t2 = 1

a→∞

a→−∞

e
lim t1 = lim t2 = ∞

a→−∞

a→∞

temos que α = t1 /t2 é uma função contı́nua decrescente de a que tende a 0 quando a tende
a ∞ e a ∞ quando a tende a −∞. Segue-se portanto que a imagem de α corresponde ao
conjunto dos números reais positivos.
Resta provarmos que o maior valor de σ1 L ocorre quando a = 0, o que equivale
−1
a mostrarmos que a função f (a) = t−1
possui valor máximo em a = 0. Como
1 + t2

t1 (a) = t2 (−a) para todo a ∈ R, temos que f é uma função par e assim que é suficiente
apenas mostrarmos que f (a) < f (0) para todo a > 0. Derivando f , obtemos que f 0 (a) =
−2
−2
−2
−2
−2
t−2
1 (1 − t1 ) − t2 (1 − t2 ) = Q(t1 ) − Q(t2 ), onde Q(x) = x(1 − x). Como t1 e t2 são

maiores que 1, consideraremos apenas os valores de Q no intervalo (0, 1) para determinarmos
−2
−2
−2
os valores de f 0 . Desde de que t−2
1 (0) = t1 (0) > 1/2, t1 é função crescente de a, t2 é
−2
decrescente e Q(1 − t−2
1 (0)) = Q(t1 (0)), temos que f (a) < f (0) para todo 0 < a < a0 ,
−2
onde a0 = sup{a > 0|t−2
2 ≥ 1 − t1 (0)}.

44

Figura 2.2: Gráfico da função Q(x) no intervalo [0, 1]. Em azul a imagem de Q(t−2
1 ) e em
−2
−2
vermelho imagem por Q(t−2
2 ) dos pontos a tal que t2 ≥ 1 − t1 (0).

Para os demais valores de a temos que
−1
f (a) = t−1
1 + t2
q
< 1 + 1 − t−2
1 (0).

p
−1
1 − t−2
1 (0) < 2t1 (0). De fato, desde que essa desigualdade é
p
equivalente à mostrarmos que t1 (0) + t21 (0) − 1 < 2 e
Observe no entanto que 1 +

q
q
2
t1 (0) + t1 (0) − 1 = 1 + csch2 (t1 (0))
= 1 + csch(t1 (0))
< 2,

Figura 2.3: Gráfico da função csch t no intervalo [1, 1.5]
temos que a desigualdade 1 +

p
−1
1 − t−2
1 (0) < 2t1 (0) é verdadeira e assim que

f (a) < 1 +

q
−1
1 − t−2
1 (0) < 2t1 (0) = f (0)

−2
para todo a tal que t−2
2 < 1 − t1 (0).

45
O anel extremo considerado no teorema é um superfı́cie minima com uma interessante
geometria. Essa superfı́cie é a única porção do catenoide que encontra a bola unitária
centrada na origem ortogonalmente ao longo do bordo. Em outras palavras é a única parte
do catenoide que é solução de bordo livre na bola. Essa superfı́cie será chamada de catenoide
crı́tico.

2.3

Anéis supercrı́ticos

Qualquer anel Σ é conformemente equivalente ao produto S = [0, T ] × S 1 , para algum
T > 0 chamado modulo conforme. Nesta seção consideraremos o caso supercrı́tico, onde
T ≥ 1/4(α1/2 + α−1/2 )2 T (1)−1 , onde α é a razão entre os comprimentos das componentes
de ∂Σ e T (1) é o modulo conforme do catenoide crı́tico, e mostraremos que o catenoide
crı́tico maximiza o valor σ1 L sobre todos as métricas supercrı́ticas. No que se segue,
(σ1 L)∗ = 8π/T (1) ≈ 4π/1, 2 será usada para indicar o correspondente valor de σ1 L para o
catenoide crı́tico.
Exemplo 2.3.1. Seja Σ uma anel rotacionalmente simétrico com T ≥ T (α) (ver seção
anterior). Então Σ é um anel supercrı́tico. De fato, pois do Teorema 2.2.1 e das discussões
na seção anterior, temos que
8π
2π
(α1/2 + α−1/2 )2 ≤
T (α)
T (1)
o que implica que
1 1/2
(α + α−1/2 )2 ≤ T (1) ≤ T.
4
Teorema 2.3.1. Para qualquer métrica supercrı́tica em um anel, temos que
σ1 L ≤ (σ1 L)∗ ,
onde a igualdade ocorre se, e somente se, existe uma aplicação conforme de Σ sobre o
catenoide crı́tico o qual é uma isometria sobre os bordos. Em particular, no caso de igualdade,
os bordos de Σ tem comprimentos iguais (α = 1).
Demonstração. Sejam (Σ, g) um anel com uma métrica supercrı́tica g e F : Σ → S
difeomorfismo conforme de Σ sobre S = [0, T ] × S 1 . Se Γ0 e Γ1 são as componentes do
∗

bordo de S, L0 e L1 seus respectivos comprimentos pela métrica induzida por g, F −1 g,

46
indicaremos por Σ̃ a superfı́cie S munida da métrica h̃ = f 2 (t)(dt2 + dθ2 ), onde h̃ é a métrica
na qual os comprimentos de Γ0 e Γ1 são L0 e L1 , respectivamente.
Fixemos uma autofunção afim l(t) de Σ̃ não constante com ||l||L2 (∂ Σ̃) = 1 (ver seção
anterior). Temos que
Z

Z

Z

(l ◦ F )ds =
∂Σ

(l ◦ F )ds +
(l ◦ F )ds
F −1 (Γ1 )
Z
Z
=
lds(F −1 ∗ g) +
lds(F −1 ∗ g)
Γ0
Γ1
Z
Z
= l(0)
ds(F −1 ∗ g) + l(T )
ds(F −1 ∗ g)
F −1 (Γ0 )

Γ0

Γ1

= l(0)L0 + l(T )L1
Z
Z
= l(0)
dsh̃ + l(T )
dsh̃
Γ0
Γ1
Z
=
ldsh̃

(2.20)

∂ Σ̃

= 0,
onde ds(F −1 ∗ g) e dsh são os elementos de comprimento de arco de ∂Σ com respeito as
∗

métricas F −1 g e dsh . A última igualdade decorre do fato de que l é autofunção de Σ̃. Se
trocarmos (l ◦ F ) nas expressões acima até a penúltima igualdade por (l ◦ F )2 e pela função
constante igual a 1, obtemos ||(l ◦ F )||L2 (∂Σ) = 1 e L(∂Σ) = L(∂ Σ̃).
De (2.20) temos que l ◦ F pode ser usada como função teste na caracterização (2.7) do
primeiro autovalor σ1 (Σ) de Σ, obtendo que
σ1 (Σ) ≤ E(l ◦ F ).

(2.21)

Por outro lado, a energia de l ◦ F é igual a energia de l em Σ̃. De fato, pois dado um campo
X ∈ X(Σ) temos que
∂(l ◦ F )
∂X
∂l
=
∂dF (X)
= h(∇l, dF (X))

g(∇(l ◦ F ), X) =

= h(dF (dF −1 (∇l)), dF (X))
= λ2 g(dF −1 (∇l), X)
= g(λ2 dF −1 (∇l), X),

47
o que implica ∇(l ◦ F ) = λ2 dF −1 (∇l) e assim,
||∇(l ◦ F )||2 = (λ2 )2 g(dF −1 (∇l), dF −1 (∇l))
= (λ2 )2 F −1∗ g(∇l, ∇l)
= (λ2 )2 ((λ2 )−1 h(∇l, ∇l))
= λ2 ||∇l||2h .
Integrando ambos lados da igualdade sobre Σ obtemos que
Z
Z
2
||∇(l ◦ F )|| dV =
λ||∇l||2h dV
Σ
ZΣ
=
||∇l||2h dV(F ∗ h)
ZΣ
=
||∇l||2h dVh
F (Σ)
Z
=
||∇l||2h dVh .
S

Por outro lado, se ∇h̃ l é o gradiente de l em Σ̃ e Y ∈ X(S) temos
∂l
∂Y

= h̃(∇h̃ l, Y )
= f (t)2 h(∇h̃ l, Y )
= h(f 2 (t)∇h̃ l, Y ),

o que implica que ∇l = f (t)2 ∇h̃ l e consequentemente que
Z
Z
h 2
||∇ l||h dVh =
f (t)2 ||∇h̃ l||2h (f (t)2 dVh )
S
ZS
||∇h̃ l||2h̃ dVh̃ ,
=
Σ̃

o que prova E(l ◦ F ) = E(l) = λ20 (ver discussão da seção anterior). Assim, desde que
L(∂Σ) = L(∂ Σ̃), chegamos a seguinte desigualdade,
σ1 (Σ)L(∂Σ) ≤ E(l ◦ F )L(∂Σ)
(2)

= λ0 L(∂ Σ̃)
= 2πT

−1

(α

1/2

(2.22)
+α

−1/2 2

)

≤ (σ1 L)∗ ,
onde da primeira para a segunda igualdade usamos o mesmo raciocı́nio empregado em
(2.19), já da segunda igualdade para última desigualdade utilizamos a hipótese de estarmos
considerando uma métrica supercrı́tica, ou seja, T ≥ 1/4(α1/2 + α−1/2 )2 T (1).

48
Resta apenas considerarmos o caso de igualdade em (2.22). Nesse caso, temos de
(2.22) que σ1 (Σ) = E(l ◦ F ) e assim que l ◦ F é uma autofunção associada ao primeiro
autovalor de Steklov em Σ (ver (2.7)). Desde de que S com a métrica induzida por g,
λ2 (dt2 + dθ2 ), é isométrica a Σ, temos que os conjuntos dos seus autovalores coincidem, em
particular, λ20 é o primeiro autovalor de Steklov de S com respeito a essa métrica e l é uma
autofunção associada. Assim, desde que o vetor conormal ν é dado por ν = −λ−1 ∂/∂t em
Γ0 e ν = λ−1 ∂/∂t em Γ1 , l e ∂l/∂t são constantes ao longo de cada componente de ∂S e
(2)

∂l/∂ν = λ0 l, temos que λ é constante em Γ0 e Γ1 , o que implica que λ2 (dt2 + dθ2 ) e h̃ são
isométricas ao longo do bordo de S pelo modo como definimos h̃. Logo, o conjunto dos
(2)

autovalores de Σ é mesmo de Σ̃, em particular σ1 (Σ̃) = λ0 . Assim, de (2.22), segue-se que
σ1 (Σ̃)L(Σ̃) = (σ1 L)∗ , o que implica pelo Teorema 2.2.1 que Σ̃ é equivalente ao catenoide
crı́tico no sentindo de que T = T (1) e α = 1.

49

3 VOLUME CONFORME DE BORDO E VOLUME RELATIVO
CONFORME

Seja (Σk , g) uma variedade Riemanniana compacta com bordo ∂Σ que admita uma
aplicação conforme φ : Σ → B n com φ(∂Σ) ⊂ ∂B n . Denotando por G o grupo das
transformações conformes de B n , definimos os volumes conformes como seguem-se
Definição 3.1.1. Dada uma aplicação φ ∈ C 1 (∂Σ, ∂B n ) que admite uma extensão φ : Σ →
B n , o n-volume conforme de bordo de φ é definido como
Vcb (Σ, n, φ) = sup V (f (φ(∂Σ)))
f ∈G

e n-volume conforme de bordo de Σ por
Vcb (Σ, n) = inf V cb(Σ, n, φ),
φ

onde o ı́nfimo é tomado sobre o conjunto de todas aplicações φ ∈ C 1 (∂Σ, ∂B n ) que possuem
uma extensão conforme φ : Σ → B n . O volume conforme de bordo de Σ é por definição o
valor
Vcb (Σ) = lim Vcb (Σ, n).
n→∞

Pode ser verificado que Vcb (Σ, n) ≥ Vcb (Σ, n + 1) e assim que Vcb (Σ) está bem definido.
Observação 3.1.1. Para qualquer variedade Riemanniana k-dimensional Σ com bordo, o
n-volume conforme de Σ é limitado inferiormente pelo volume da esfera (k − 1)-dimensional:
Vbc (Σ, n) ≥ V (S k−1 ).
Essa afirmação pode ser provada da seguinte maneira: dado um vetor θ ∈ S n−1 , seja
fθ (t)a famı́lia a um parâmetro de difeomorfismo da esfera dada pelo fluxo do gradiente do

50
funcional linear na direção θ. Para todo t ∈ R, fθ (t) fixa os pontos θ e −θ e além disso
limt→∞ fθ (t)(x) = θ para todo x ∈ S n−1 /{−θ}. Se φ : ∂Σ → S n−1 é uma aplicação com
posto k − 1, então
lim f−φ(x) (t)(φ(∂Σ)) = mV (S k−1 ),

t→∞

para algum inteiro positivo m. Mais precisamente m é a multiplicidade da subvariedade
imersa ∂Σ no ponto −θ. Antes de provarmos esse fato, consideremos a seguinte proposição
que será utilizada durante a demonstração.
Para k = 2 e Σ uma solução do problema de bordo livre de B n , o seu n-volume é igual
ao comprimento de seu bordo.
Proposição 3.1.1. Seja Σ uma variedade diferenciável e g , g̃ duas métricas Riemannianas
˜ são as conexões de Σ com respeito a g e g̃, respectivamente,
tais que g̃ = e2f g. Se ∇ e ∇
então
˜ X Y = ∇X Y + df (X)Y + df (Y )X − g(X, Y )∇f.
∇
Demonstração. Ver [15].
Teorema 3.1.2. Seja Σ uma superfı́cie mı́nima com bordo ∂Σ ⊂ ∂B n a qual encontra ∂B n
ortogonalmente ao longo de ∂Σ, dada por uma imersão isométrica φ : Σ → B n . Então
Vcb (Σ, n, φ) = L(∂Σ).
Demonstração. Consideremos o operador sem-traço ||A − 12 (T rg A)g||2 dV da segunda forma
fundamental A de Σ. Esse operador é invariante por elementos de G em superfı́cies imersas
em B n . De fato pois, se f ∈ G, g é a métrica canônica de B n , g̃ = e2f g é a métrica
induzida por f e {E1 , E2 η1 , ..., ηm } um referencial ortonormal de (B n , g) tal que {E1 , E2 } é
um referencial de Σ, então o conjunto dos vetores Ẽi = e−1 Ei e η˜j = e−1 ηj , com i = 1, 2
e j = 1, ..., m, constitui um referencial ortonormal de (B n , g̃) com {Ẽ1 , Ẽ2 } sendo um
referencial de f (Σ). Assim, se Ã é a segunda forma fundamental de f (Σ), temos que
Ãij = Ã(Ẽi , Ẽj )
m
X
=
g̃(Ãij , η˜k )η˜k
k=1

=
=

m
X
k=1
m
X
k=1

g̃(S̃η˜k (Ẽi ), Ẽj )η˜k
e−f g(S̃η˜k (Ei ), Ej )ηk .

51
Por outro lado, desde que S̃η˜k (Ei ) = −(D̃Ei Ñk )T , onde Ñk é uma extensão normal de
η̃k , temos, aplicando a Proposição 3.1.1 ao segundo membro dessa identidade, que
S̃η˜k (Ei ) = − DEi Ñk + df (Ei )Ñk + df (Ñk )Ei

T

= − Ei (e−f )Nk + e−f DEi Nk + df (Ei )Ñk + e−f df (Nk )Ei
T
= −e−f DEi Nk + df (Nk )Ei

T

= e−f (Sηk (Ei ) − df (Nk )Ei ),
onde Nk = e−f Ñk . Logo,
2
X

Ãij =

e−2f g(Sηk (Ei ) − df (Nk )Ei , Ej )ηk

k=1
−2f

= e

(Ai,j −

2
X

g(df (Nk )Ei , Ej )ηk )

k=1

= e−2f (Ai,j − δij η),
onde Aij = A(Ei , Ej ) e η =

P2

k=1 df (Nk )ηk . Portanto,

2
X
1
1
2
|A˜ij − δij trÃ|2g̃
||Ã − trÃg̃|| =
2
2
i,j=1

=

2
X

1
(|A˜ij |2g̃ − δij g̃(A˜ij , trÃ) + δij |trÃ|2g̃ )
4
i,j=1
−2f

2
X

−2f

2
X

1
(|Ai,j − δij η|2 − δij g(Ai,j − δij η, tr A − 2η) + δij |tr A − 2η|2 )
4
i,j=1
 X


2
1
−2f
2
2
=e
(|Ai,j − δij η| − g(tr A − 2η, tr A − 2η) + |tr A − 2η| )
2
i,j=1
 X


2
1
−2f
2
2
=e
(|Ai,j − δij η| − |tr A − 2η| )
2
i,j=1

 X

2
1
2
−2f
2
=e
|Ai,j | − |tr A|
2
i,j=1
=e

=e

1
|Aij − δij trA|2
2
i,j=1

1
= e−2f ||A − tr Ag||2 ,
2
o que mostra que ||A − 21 tr Ag||2 dV é invariante no sentindo já mencionado.

52
Utilizando a equação de Gauss (1.1) obtemos que


 X
2
1
1
2
2
2
2||A − tr Ag|| = 2
|Ai,j | − |tr A|
2
2
i,j=1


1
= 2 |A12 |2 + |A21 |2 + |A11 + A22 |2 − 2g(A11 , A22 ) − |tr A|2
2
1 2
= 2( H − 2K)
2
2
= H − 4K,
o que implica que
Z

Z

2

(H̃ 2 − 4K̃)dṼ ,

(H − 4K)dV =
Σ

f (Σ)

onde dṼ é o elemento de área de f (Σ) e H̃,K̃ são suas curvaturas média e Gaussiana,
respectivamente. Assim, desde que Σ é mı́nima (H = 0), temos que
Z
Z
− 4 KdV =
(H̃ 2 − 4K̃)dṼ .
Σ

(3.23)

f (Σ)

Por outro lado, sabemos do Teorema de Gauss-Bonnet que
Z
Z
KdA = 2πχ(Σ) −
κds
Σ

∂Σ

e
Z

Z
K̃dÃ = 2πχ(f (Σ)) −

f (Σ)

k̃ds̃.
∂f (Σ)

Desde que a caracterı́stica de Euler é invariante por homeomorfismo, temos 2πχ(Σ) =
2πχ(f (Σ)). Substituindo os valores acima em (3.23) temos
Z
Z
Z
2
4
κg ds =
H̃ dṼ + 4
κ˜g ds̃
∂Σ
f (Σ)
∂f (Σ)
Z
≥4
κ˜g ds̃.
∂f (Σ)

Se T é o vetor tangente unitário orientado e ν é o vetor normal unitário ao longo ∂Σ que
aponta para dentro de Σ, então



 

dT
dν
dφ
κg =
, ν = − T,
= T,
= T, T = 1,
ds
ds
ds
onde da segunda para a terceira igualdade usamos o fato de que ν = −φ, já que Σ encontra
∂B n ortogonalmente ao longo de ∂Σ. Desde que f é conforme, f (Σ) também encontra ∂B n
ao longo de ∂f (Σ) e assim também teremos que κ˜g = 1. Assim, por (3.24), temos
L(∂Σ) ≥ sup L(f (∂Σ)) = Vcb (Σ, n, φ) ≥ L(∂Σ).
f ∈G

53
Teorema 3.1.3. Seja Σ uma superfı́cie mı́nima em B n com bordo ∂Σ ⊂ ∂B n a qual
encontra ∂B n ortogonalmente ao longo de ∂Σ. Então
2A(Σ) = L(∂Σ) ≥ 2π.
Demonstração. Desde de que Σ é superfı́cie mı́nima que encontra ∂B n ortogonalmente ao
longo de ∂Σ temos que o Laplaciano da função módulo ao quadrado |.|2 em Σ é dada por
∆|x|2 = div∇|x|2
2
X
=
∇Ej (∇|x|2 ), Ej
j=1

=

2
X

∇Ej (2(x − x⊥ )), Ej

j=1

=

2
X

DEj (2(x − x⊥ )), Ej

j=1

= 2(

= 2(

2
X

DEj (x), Ej −

j=1

j=1

2
X

2
X

DEj (x), Ej −

j=1

= 2

2
X

2
X

DEj ((x)⊥ , Ej )
x, (DEj (Ej ))⊥ )

j=1

Ej , Ej − 2 x, H

j=1

= 4,
onde {E1 , E2 } é um referencial ortonormal de Σ. De (1.6.1) segue-se que
Z
Z
Z
∂|x|2
2
ds = 2
x, x ds = 2L(∂Σ).
4A(Σ) =
∆|x| dA =
∂Σ
Σ
∂Σ ∂ν
Pelo teorema anterior, fazendo φ igual a aplicação inclusão de Σ em B n , e da Observação
3.1.1 temos que
2A(Σ) = L(∂Σ) = Vcb (Σ, n, φ) ≥ Vcb (Σ, n) ≥ 2π.

Corolário 3.1.1. Vale então a desigualdade isoperimétrica para soluções de bordo livre na
bola:
A≤

L2
.
4π

54
Demonstração. Para superfı́cies mı́nimas na bola temos que 2A(Σ) = L(∂Σ), como mostrado
no teorema anterior. Segue-se portanto que
 2
L2
L
=
π −1 = A2 π −1 ≥ A
4π
2
é equivalente a desigualdade A ≥ π, a qual é verdadeira de acordo com o teorema passado.

Definição 3.1.2. Seja Σ uma variedade Riemanniana compacta k-dimensional com bordo a
qual admite uma aplicação conforme φ : Σ → B n com φ(∂Σ) ⊂ ∂B n . O n-volume conforme
relativo de φ é definido como
Vrc (Σ, n, φ) = sup V (f (φ(Σ)))
f ∈G

e o n-volume conforme de Σ por
Vrc (Σ, n) = inf Vrc (Σ, n, φ),
φ

onde o ı́nfimo é tomado sobre todas aplicações não-degeneradas φ : Σ → B n com φ(∂Σ) ⊂
∂B n .
Lema 3.1.1. Se m e n são inteiros positivos tais que m ≥ n, então Vrc (Σ, n) ≥ Vrc (Σ, m).
Demonstração. Sejam φ : Σ → B n ⊂ B m uma aplicação conforme, com φ(∂Σ) ⊂ ∂B n ⊂
∂B m , A = φ(Σ) ⊂ B n e f ∈ G. Então f (A) esta na calota esférica f (B n ) em B m cujo
bordo esta ∂B m . Considere agora uma transformação ortogonal T que rotaciona a calota
esférica de modo que seu bordo fique sobre um plano n-dimensional paralelo ao plano
n-dimensional que contém o bordo de B n e P a projeção conforme de T (f (B n )) em B n ,
onde P não diminui volume, assim, se A0 = P (T (f (A))), temos que
V (A0 ) ≥ V (A).
Porém, A0 é imagem de A por uma transformação conforme de B n , o que implica
sup V (F (A)) ≥ sup V (f (A)),
F ∈G

f ∈G0

onde G denota o grupo das transformações conformes de B n e G0 o grupo das transformações
conformes de B m .

55
Definição 3.1.3. O volume relativo conforme de Σ é o valor
Vrc (Σ) = lim Vrc (Σ, n).
n→∞

Observação 3.1.2. Para qualquer variedade k-dimensional Σ com bordo, o n-volume
relativo conforme de Σ é limitado inferiormente pelo volume da bola k-dimensional:
Vrc (Σ, n) ≥ V (B k ).
Para verificar isso, suponha que φ : Σ → B n é uma aplicação conforme com φ(∂Σ) ⊂ ∂B n , a
qual tem posto k em x ∈ ∂Σ. O difeomorfismo conforme f−φ(x) (t) considerado na Observação
3.1.1 estende-se a um difeomorfismo conforme de B n e

lim f−φ(x) (t)(φ(∂Σ)) = mV (B k ),

t→∞

para algum m inteiro positivo, a multiplicidade de φ(∂Σ) em φ(x).

56

4 RELAÇÃO ENTRE O PRIMEIRO AUTOVALOR DE STEKLOV E O
VOLUME CONFORME

4.1

O primeiro autovalor de Steklov e volume conforme

Lema 4.1.1. Sejam (Σ, g) uma variedade Riemanniana compacta e φ uma aplicação
conforme de Σ sobre S n−1 ⊂ Rn+1 . Existe uma aplicação f ∈ G tal que ψ = f ◦ φ =
(ψ1 , ..., ψn ) satisfaz
Z
ψi dV = 0
Σ

para i = 1, ..., n.
Demonstração. Dados um ponto p ∈ S n−1 e um número real k ∈ (0, 1], consideremos a
−1
aplicação γ p,k = π−p
◦ Hk ◦ π−p , onde π−p é a projeção estereográfica de S n−1 em Rn−1 por

−p e Hk é a homotetia em Rn−1 correspondente a k. Fazendo ψ p,k = γ p,k ◦ φ, a aplicação
F : (0, 1] × S n−1 → B0n de (0, 1] × S n−1 na bola aberta unitária de Rn com centro na origem
B0n dada por
1
F (k, p) =
V (Σ)

Z
Σ

ψ1p,k dV, ...,

Z

ψnp,k dV



Σ

é contı́nua. Antes de provarmos a continuidade de F mostraremos que sua imagem realmente

57
é um subconjunto de B0n . De fato, pois para (k, p) ∈ (0, 1] × S n−1 temos
2
n+1  Z
1 X
p,k
2
ψi dV
||F (p, k)|| =
V (Σ)2 i=1
Σ
Z
1/2 2
n+1 
1 X
p,k 2
1/2
<
(ψi ) dV
V (Σ)
V (Σ)2 i=1
Σ
Z X
n+1
1
=
(ψ p,k )2 dV
V (Σ) Σ i=1 i
Z
1
=
dV
V (Σ) Σ
= 1,

onde a desigualdade acima segue-se da desigualdade de Hölder e do fato que |ψ1p,k |, ..., |ψnp,k |
não é constante. Para a continuidade, sejam (km , pm ) ∈ (0, 1] × S n−1 uma sequência
convergindo para (k, p) e x ∈ S n−1 um ponto distinto de −p. Sem perda de generalidade,
podemos supor que x 6= −pm para todo m, assim



(1 − km )|x + pm |4 pm + 2km |x + pm |2 (x + pm )
pm ,km
lim γ
(x) = lim − pm + 2
|(1 − km )|x + pm |2 pm + 2km (x + pm )|2



(1 − k)|x + p|4 p + 2k|x + p|2 (x + p)
= −p+2
|(1 − k)|x + p|2 p + 2k(x + p)|2
= γ p,k (x).
Como a função ||γ pm ,km || é constante igual 1 para todo m, segue-se do Teorema da Convergência Dominada (Ver [5]) que
Z
lim

ψipm ,km dV

Σ

Z
=

ψip,k dV

Σ

para todo i = 1, ..., n, o que mostra a continuidade de F .
Desde que limk→0 γ k,p (x) = p para todo x ∈ S n , temos que F poder ser estendida
continuamente para uma aplicação [0, 1] × S n−1 → B n colocando F (0, p) = p, já que por
argumentos análogos ao usado para mostrarmos a continuidade de F , temos que
Z
Z
Z
pm ,km
p,0
lim ψi
dV =
ψi dV =
pi dV = pi V (Σ),
Σ

Σ

Σ

onde (km , pm ) ∈ [0, 1] × S n−1 → B n é uma sequência convergindo para (0, p). Daı́ e do fato
de que F (1, .) é constante, já que γ 1,p = IdS n−1 , temos que F é sobrejetiva. De fato, pois se
y ∈ B0n não está na imagem de F , temos que

H(k, p) =

kF (1 − k, p) + (1 − k)y
|kF (1 − k, p) + (1 − k)y|

58
é uma homotopia entre IdS n−1 e uma constante em S n−1 , implicando assim que S n é
contrátil, o que é uma contradição (ver [ 32]). Segue-se que existe (k, p) ∈ [0, 1] × S n−1 tal
que F (k, p) = 0.

Teorema 4.1.1. Sejam (Σ, g) uma variedade Riemanniana k-dimensional compacta com
bordo e σ1 seu primeiro autovalor de Steklov. Então
2−k

2

σ1 V (∂Σ)V (Σ) k ≤ kVcr (Σ, n) k ,
para todo n para o qual esteja definido Vcr (Σ, n), ou seja, para todo n para o qual exista
uma aplicação conforme φ : Σ → B n com φ(∂Σ) ⊂ ∂B n . A igualdade implica na existência
de uma aplicação conforme φ : Σ → B n a qual, após um reescalonamento da métrica g, é
uma isometria sobre ∂Σ, com φ(∂Σ) ⊂ ∂B n e tal que φ(Σ) encontra ∂B n ortogonalmente.
Para k > 2 essa aplicação é uma imersão isométrica minimal de Σ sobre sua imagem.
Mais ainda, imersão é dada por subespaço do espaço de autofunções associada ao primeiro
autovalor de Steklov.
Demonstração. Sejam φ : Σ → B n uma aplicação conforme com φ(∂Σ) ⊂ ∂B n (φ =
(φ1 , ..., φn )), a qual podemos assumir pelo Lema 4.1.1 que satisfaz
Z
φi ds = 0

(4.24)

∂Σ

para todo i = 1, ..., n, e φ̂i uma extensão harmônica de φi |∂Σ . Sabemos da caracterização
variacional (2.7) que
R
R
|∇φ̂i |2 dV
|∇φi |2 dV
Σ
RΣ
σ1 ≤ R
≤
.
(φi )2 ds
(φi )2 ds
∂Σ
∂Σ
P
Aplicando a desigualdade de Hölder a ni=1 |∇φi |2 obtemos
Z X
n

2

|∇φi | dV ≤ V (Σ)

k−2
k

Z X
n

Σ i=1

Σ

= V (Σ)

k−2
k

2

(4.25)

k/2

|∇φi |

2/k
dV

i=1

Z

2 k/2

(kλ )

2/k
dV

Σ

= V (Σ)

k−2
k

Z
k

k/2 ∗

φ dVS n−1

Σ
k−2

= V (Σ) k [k k/2 V (φ(Σ))]2/k
k−2

≤ kV (Σ) k Vcr (Σ, n, φ)2/k ,

2/k

(4.26)

59
onde da primeira para segunda linha usamos o fato de que

Pn

2
2
2
i=1 |∇φi | = kλ , onde λ é o

coeficiente de conformidade de φ. Assim, desde que φ(∂Σ) ⊂ ∂B n e consequentemente que
n Z
X
i=1

Z

2

(φi ) ds =

ds = V (∂Σ)

∂Σ

∂Σ

segue-se das desigualdades (4.25) para cada i = 1, ..., n e (4.26), que
σ1 V (∂Σ) = σ1

n Z
X
i=1

≤

Z X
n

(φi )2 ds

∂Σ

.

|∇φi |2 dV

(4.27)

Σ i=1
k−2

≤ kV (Σ) k Vcr (Σ, n, φ)2/k .
Observe que se F ∈ G, então Vcr (Σ, n, φ) = Vcr (Σ, n, F ◦ φ). Isto pode ser provado
observando que a aplicação que associa cada F̃ ∈ G a F̃ ◦ F tem imagem igual a
G e assim, supF̃ ∈G V (F̃ (∂φ(Σ)) = supF̃ ∈G V (F̃ (∂F (φ(Σ)))). Em particular, temos que
inf φ Vrc (Σ, n, φ) = Vrc (Σ, n), onde o ı́nfimo é tomado sobre o conjunto das aplicações conformes φ : Σ → B n com φ(∂Σ) ⊂ ∂B n que satisfazem a propriedade (4.24). Segue-se de
(4.27) que
2−k

σ1 V (∂Σ)V (Σ) k ≤ kVcr (Σ, n)2/k ,
concluı́do assim a primeira parte da demonstração.
2−k

Suponhamos agora que temos a igualdade σ1 V (∂Σ)V (Σ) k = kVcr (Σ, n)2/k e consideremos uma sequência de aplicações conformes φj : Σ → B n com φj (∂Σ) ⊂ ∂B n tal que
limj→∞ Vcr (Σ, n, φj ) = Vcr (Σ, n). Desde que mudanças na ordem dos eixos-coordenados de
Rn quando restrita a bola pertencem a G, podemos supor sem perda de generalidade que
Z
φji ds = 0
∂Σ

para todo j, i, e que

 > 0, se i = 1, ..., N
lim (φji )2 dg =
j→∞ Σ
 = 0, se i = N + 1, ..., n
Z

60
Aplicando (4.25), (4.26) e (4.27) a cada φji , obtemos
σ1 V (∂Σ) = σ1

n Z
X
∂Σ

i=1

≤

(φji )2 ds

n Z
X

|∇φji |2 dg

Σ

i=1

≤ V (Σ)

k−2
k

Z X
n
Σ

|∇φji |2

k/2

2/k
dV

i=1

j 2/k

≤ kVcr (Σ, n, φ )

k−2

V (Σ) k

e assim que
σ1 V (∂Σ) = lim σ1
j→∞

= lim

j→∞

n Z
X

i=1
n Z
X
i=1

(φji )2 ds

∂Σ

|∇φji |2 dV

Σ

(4.28)

Z X
n
k−2

= lim V (Σ) k
j→∞

Σ

|∇φji |2

k/2

2/k
dV

i=1

= σ1 V (∂Σ),
2−k

onde a última igualdade vem da hipótese que σ1 V (∂Σ)V (Σ) k = kVcr (Σ, n)2/k e do modo
como foi tomada a sequência (φj ). Das igualdades acima, concluı́-se que para cada i fixado,
R
(φji ) é uma sequência limitada de funções em W 1,k (Σ), uma vez que Σ |φji |2 ds ≤ V (Σ),
R
P R
P R
|∇φji |2 dV ≤ ni=1 Σ |∇φji |2 dV e ni=1 Σ |∇φji |2 dV é limitada. Segue-se portanto do
Σ
Teorema 1.8.1 e de que W 1,k (Σ) está compactamente contido em L2 (Σ) (ver [1]) que,
passando a uma subsequência se necessário, (φji ) converge fracamente para uma função
ψi0 : Σ → R em W 1,k (Σ) e fortemente para uma função ψi : Σ → R em L2 (Σ). Cabe
observamos entretanto que os limites fraco e forte neste caso são os mesmos. De fato, pois
desde que W 1,k (Σ) esta compactamente contido em L2 (Σ), todo funcional linear limitado
em L2 (Σ) também é limitado em W 1,k (Σ) e consequentemente que (φji ) converge fracamente
para ψi0 em L2 (Σ). Segue-se do Lema 1.8.2 que ψi0 = ψi . A convergência forte em L2 (Σ)
P
P
P
P
implica ainda que φji → ψi , ni=1 (φji )2 → ni=1 (ψi )2 em Σ e ni=1 (φji )2 → ni=1 (ψi )2 em ∂Σ,
P
P
onde as convergências são q.t.p.. Em particular, ni=1 (ψi )2 ≤ 1 em Σ q.t.p. e ni=1 (ψi )2 = 1
em ∂Σ q.t.p..
De (4.25) temos
Z
σ1
∂Σ

(φji )2 ≤

Z
Σ

|∇φji |2 dV

61
e de (4.28) que
lim σ1

j→∞

n Z
X

(φji )2 dV

= lim

j→∞

∂Σ

i=1

n Z
X
i=1

|∇φji |2 dV,

Σ

o que implica que
Z
Z
Z
Z
j 2
j 2
2
lim
|∇φi | dV = lim σ1
(φi ) ds = σ1
(ψi ) ds ≤
|∇ψi |2 dV.
j→∞

j→∞

Σ

∂Σ

∂Σ

(4.29)

Σ

Por outro lado, de (4.28), temos que (φji ) é uma sequência limitada em W 1,2 (Σ) e assim,
passando a uma subsequência se necessária, converge fracamente emW 1,2 (Σ). Entretanto,
como ||.||L2 (Σ) ≤ ||.||W 1,k (Σ) , temos que ψi é o limite fraco de (φji ) em W 1,2 (Σ). Então, de
acordo com o Lema (1.8.3), temos
Z

2

Z

|ψi | dV +
Σ

1/2

2

|∇ψi | dV

Z

|φji |2 dV +

≤ lim

j→∞

Σ

Σ

Z

|∇φji |2 dV

1/2
,

Σ

o que implica
Z

Z

2

|∇φji |2 dV

|∇ψi | dV ≤ lim

j→∞

Σ

Σ

e portanto que
Z
lim

j→∞

|∇φji |2 dV

Z

|∇ψi |2 dV.

=

Σ

Σ

Logo, (φji ) converge fortemente para ψi em W 1,2 (Σ) e cada ψi satisfaz a equação
Z
σ1

2

Z

(ψi ) dV =
∂Σ

|∇ψi |2 dV,

Σ

ou seja, cada ψi é uma autofunção associada ao primeiro autovalor não-nulo de Steklov,
consequentemente harmônica ( ve (2.7) e Lema (1.5.2)), e assim diferenciável.
Desde de que as aplicações φj são conformes e cada φji converge fortemente para ψi em
W 1,2 (Σ), i = 1, ..., N , temos que a aplicação ψ : Σ → B N dada por ψ(x) = (ψ1 (x), ..., ψN (x)),
para todo x ∈ Σ, é conforme. Assim, ψ : Σ → B N é uma aplicação conforme e harmônica
com ψ(∂Σ) ⊂ ∂B N e que satisfaz
∂ψ
= σ1 ψ.
∂ν

(4.30)

Para verificarmos conformidade de ψ, observe que é suficiente mostrarmos a condição
de conformidade para um referencial ortonormal {E1 , ..., Ek } de Σ, ou seja, a existência
de uma função positiva λ2 : Σ → R tal que dψ(El ), dψ(Em ) = λ2 g(El , Em ) para todo
l, m = 1, ..., k. Mostraremos então existência dessa função λ2 . De fato, se
|dψi (El ) − dφji (El )|2 ≤

k
X

(dψi (Em ) − dφji (Em ))2 = |∇ψi − ∇φji |2 ≤ ||ψi − φji ||2L2 (Σ) ,

m=1

62
temos que dφji (El ) → dψi (El ). Assim, desde que
j

j

dφ (El ), dφ (Em ) =

N
X

dφji (El )dφji (Em ),

i=1

segue-se que
dψ(El ), dψ(Em ) = lim dφj (El ), dφj (Em )
= lim(λj )2 g(El , Em )
= λ2 g(El , Em ),
onde λ2 = lim(λj )2 . As demais propriedades de ψ segue-se das propriedades das funções
coordenadas. Se considerarmos Σ com a métrica induzida por ψ e ν̃ sendo o vetor conormal
∂Σ com respeito a essa métrica, temos que
∂ψ
∂ψ
=λ
= λσ1 ψ,
∂ ν̃
∂ν

ν̃ =

(4.31)

uma vez que ψ é vetor posição de Σ em RN , o que implica que ψ(Σ) encontra B N
ortogonalmente ao longo de ψ(∂Σ). Reescalonando a métrica original pelo fator σ1−2 ,
podemos assumir que σ1 = 1 e por (4.30) que
∂ψ
= ψ.
∂ν
Assim a equação (4.31) torna-se
ν̃ =

∂ψ
∂ψ
=λ
= λψ.
∂ ν̃
∂ν

Tomando a norma em ambos os lados da identidade acima e lembrando que |ν̃| = |ψ| = 1,
concluı́mos que λ = 1 e assim que ψ é uma isometria de ∂Σ sobre ∂B N quando consideramos
ψ com a métrica reescalada.
Finalmente, consideremos o caso onde k > 2. Sabemos das discussões anteriores que
Z X
N

2

|∇ψi | dV

=

Σ i=1

=

N Z
X

lim

j→∞

i=1

|∇φji |2 dV

Σ

lim V (Σ)

k−2
k

j→∞

Z X
N
Σ

|∇φji |2

k/2

2/k
dV

i=1

Desde que
Z
Σ

|∇φji |2 dV

Z
≤
Σ

|∇φji |2 dV

1/2  Z
Σ

|∇φji |2 dV

1/2

.

63
e
Z

Z

||∇φji |2 − |∇ψi |2 |dV

=

Σ

|(|∇φji | + |∇ψi |)(|∇φji | − |∇ψi |)|dV

Σ

Z
≤

||∇φji | + |∇ψi ||2 dV

1/2  Z

Σ

||∇φji | − |∇ψi ||2 dV

1/2
,

Σ

P
PN
PN
j 2
j 2
1
2
temos que ( N
|∇φ
|
)
converge
fortemente
para
|∇ψ
|
em
L
(Σ).
Como
(
i
i
i=1
i=1
i=1 |∇φi | )
é limitada em Lk/2 e da desigualdade de Hölder sabemos que existe uma constante C tal
P
j 2
que ||.||L1 ≤ C||.||Lk/2 , podemos admitir que ( N
i=1 |∇φi | ) converge fracamente para
PN
2
k/2
, implicando que
i=1 |∇ψi | em L
Z X
N

2

|∇ψi | dV

=

Σ i=1

lim V (Σ)

k−2
k

Z X
N

j→∞

Σ

k/2

2/k
dV

i=1

Z X
n
k−2

≥ V (Σ) k

Σ

|∇φji |2
2

k/2

|∇ψi |

2/k
dV

i=1

e consequentemente, obtemos a igualdade na seguinte desigualdade de Hölder
Z X
N

2

|∇ψi | dV

≤ V (Σ)

k−2
k

Σ i=1

Segue-se do Lema 1.7.1 que

Z X
n
Σ

2

2/k

k/2

|∇ψi |

dV

.

i=1

PN

j 2
i=1 |ψi | é constante. Logo, como
N

1X
λ =
|∇ψij |2 ,
k i=1
2

temos que λ2 é constante. Assim, desde que ψ é uma isometria sobre ∂Σ, temos que λ2 é
constante igual a 1 e portanto que ψ é uma isometria em Σ.
O seguinte corolário é imediato uma vez que é apenas um caso particular do Teorema
acima, mais precisamente quando k = 2.
Corolário 4.1.1. Sejam (Σ, g) uma superfı́cie compacta com bordo e σ1 seu primeiro
autovalor de Steklov. Então,
σ1 L(∂Σ) ≤ 2Vcr (Σ, n),
para todo n para o qual esteja definido Vcr (Σ, n), ou seja, para todo n para o qual exista
uma aplicação conforme φ : Σ → B n com φ(∂Σ) ⊂ ∂B n . A igualdade implica na existência
de uma aplicação conforme φ : Σ → B n a qual, após um rescalonamento da métrica g, é
uma isometria sobre ∂Σ, com φ(∂Σ) ⊂ ∂B n e tal que φ(Σ) encontra ∂B n ortogonalmente.

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