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                    Hugo Santos Nunes

Curvas Elípticas e o Teorema de Mordell–Weil

Maceió
Abril de 2015

Hugo Santos Nunes

Curvas Elípticas e o Teorema de Mordell–Weil

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação do Instituto de Matemática, da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários
à obtenção do título de Mestre em Matemática.

Universidade Federal de Alagoas
Insituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação

Orientador: Prof. Dr. André Luís Contiero

Maceió
Abril de 2015

Hugo Santos Nunes
Curvas Elípticas e o Teorema de Mordell–Weil/ Hugo Santos Nunes. – Maceió,
Abril de 201579 p. : il. (algumas color.) ; 30 cm.
Orientador: Prof. Dr. André Luís Contiero
Dissertação de Mestado – Universidade Federal de Alagoas
Insituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação, Abril de 2015.
1. Curvas Elíticas. 2. Pontos Racionais. 3. Teorema de Mordell I. Universidade
Federal de Alagoas. I. Instituto de Matemática. III. O Teorema de Mordell-Weil
CDU 02:141:005.7

A todos que, de alguma forma, me ajudaram a chegar nesse momento tão especial!

Agradecimentos
Primeiramente, gostaria de agradecer ao meu professor e orientador André Luís
Contiero. Quero dizer que foi um orgulho e uma honra tê-lo como orientador desde o quinto
período, quando comecei minha iniciação científica, passando pela graduação e o mestrado.
Sempre com muita paciência, companheirismo, apoio e amizade. Jamais esquecerei suas
palavras, seus conselhos e sua confiança.
Ao Prof. Dr. Marcus Bronzi, que junto com o meu orientador, foi quem me confiou
uma carta de recomendação e me ajudou a ingressar no programa de pós-graduação.
Aos meus professores da pós-graduação Prof. Dr. Luiz Guilhermo, Prof. Dr. Feliciano Vitório, Prof. Dr. Fernando Micena, Prof. Dr. Júlio Cesar, Prof. Dr. Krerley Oliveira,
Prof. Dr. Ricardo Abreu-Blaya.
Aos professores Prof. Dr. Renato Vidal, Prof. Dr. Luiz Guilhermo e Prof.a. Dr.a.
Elisa Cañete por terem aceitado, gentilmente, fazerem parte da banca examinadora de
minha dissertação.
Aos amigos do mestrado Lucyan, Jamerson, Rogério, Robson, José Anderson, Fabiane, Denise e Carol, pelo apoio, pelas horas de estudo e pelas dúvidas tiradas. Sem
dúvida nenhuma tiveram uma importância fundamental nessa jornada.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e ao
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pela concessão da
bolsa durante todo o período de realização deste Mestrado, e ao Instituto de Matemática
da Universidade Federal de Alagoas por todo suporte que me foi dado.
A minha família, meus pais Anacleon e Fátima, e meu irmão Yuri, que são os meus
pilares.
Por fim, e não menos importante, a todos os meus amigos, em especial Didica,
David, Zayr, Junior, Luiz e Emerson que sempre me apoiaram e acreditaram em mim.
A todos que de forma direta ou indireta auxiliaram na concretização deste trabalho.

”Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente esta ciência
acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma. Em verdade, o que proporciona o
máximo prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem, não é a posse, mas a
aquisição, não é a presença, mas o ato de atingir a meta.”
(Carl Friedrich Gauss)

Resumo
Na presente dissertação apresentamos uma prova do Teorema de Mordell, que nos assegura
que o grupo dos pontos racionais de uma curva elíptica definida sobre o corpo dos números
racionais é finitamente gerado, desde que possua pontos de ordem dois.
Palavras-chaves: Curvas Elíticas. Pontos Racionais. Teorema de Mordell.

Abstract
In this work we present a proof of the remarkable theorem of Mordell which states that the
group of the rational points of an elliptic curve defined over the field of rational numbers
is finitely generated.
Key-words: Elliptic Curves. Rational Points. Mordell Theorem.

Lista de ilustrações
Figura 1 – Comutatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 2 – Elemento Neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 3 – Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 4 – Associatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 5 – Adicionando pontos na forma normal de Weierstrass . . . . . . . . . .
Figura 6 – O ponto negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 7 – Derivando a fórmula para a lei de adição . . . . . . . . . . . . . . . . .

31
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35

Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Curvas projetivas e pontos racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Cúbicas e Formas Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 O Grupo de uma Curva Elíptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Construção geométrica do grupo de uma curva elíptica . . . . . . . . . . .
2.2 Fórmulas Explicitas para a lei de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Pontos de Ordem Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Pontos de Ordem Dois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Pontos de Ordem Três . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 O Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 O Teorema de Nagell-Lutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Tereoma de Mordell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Teorema de Descida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Altura de Pontos Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Teorema de Mordell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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29
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55
57
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79

19

Introdução
O estudo de soluções inteiras de equações polinomiais com coeficientes inteiros remete a Diofanto (200 − 284). Rapidamente tais estudos contribuíram e, ainda contribuem,
com uma quase inesgotável fonte de bonitos problemas em Matemática, fáceis de serem
entendidos, porém, muitos deles longe de terem soluções triviais. Não obstante, temos
contato com as tão conhecidas equações diofantinas em qualquer curso introdutório de
teoria dos números. Através da história vimos muitos grandes matemáticos dando generosas contribuições no estudo das equações diofantinas, seja com conjecturas ou seja
com técnicas. Com apenas alguns poucos segundos podemos citar o Pequeno e o Último
Teoremas de Fermat, o Teorema de Lagrange, o Teorema e os Símbolos de Legendre, a
Reciprocidade Quadrática de Gauss as Equações de Pell e Pell-Dirichlet, etc.
Somente a partir do século XX, mais precisamente, após os anos 50, é que a geometria passou a contribuir de forma significante no estudo das equações polinomiais com
coeficientes inteiros. Principalmente através do desenvolvimento da Geometria Algébrica
feito por A. Grothendieck nos Éléments de Géométrie Algébrique. Após Grothendieck
tivemos significantes contribuições feitas por Cassels, Manin, A. Weil, Mordell, Hasse,
Hilbert, Serre, Deligne e outros tantos grandes da matemática. Assim, chegamos a Geometria Aritmética que, dentre outras virtudes, funde Equações Diofantinas com a Geometria
Algébrica.
Agora, na Geometria Aritmética, não só os polinômios com coeficientes inteiros
desempenham papel fundamental, mas sim, as variedades algébricas definidas sobre um
corpo k, em que k pode ser um corpo finito F𝑝 , o corpo dos números racionais Q ou um
corpo de números Q[𝜉]. Logo, os problemas mais clássicos passam a ser a procura por
pontos k-racionais em k-variedades bem como a estrutura algébrica de tais pontos. Um
dos principais estudos da Geometria Aritmética recém criada foram as Curvas Elípticas,
feitos, principalmente, através do trabalho de Cassels. Muitos dos principais problemas
sobre variedades abelianas e suas histórias podem ser encontrados em [CT].
A presente dissertação se concentra no estudo das curvas elípticas (Def. 1.2.2), que
são uma classe especial, porém genérica, de curvas cúbicas planas não singulares (Def.
1.2.1 e Teor. 1.2.1). O principal objetivo é o completo entendimento de um Teorema
atribuído, primeiramente, a Mordell (1922): se o grupo do pontos racionais sobre uma
curva elíptica possui pontos de ordem dois, então ele é finitamente gerado. Escolhemos
trilhar o seguinte caminho:
No Capítulo 1 tratamos de lembrar os conceitos e teoremas da Teoria de Curvas
Algébricas, que desempenham um papel fundamental desde o entendimento da definição

20

Introdução

de uma curva elíptica, da estrutura de grupo de uma cúbica até a boa colocação do
Teorema de Mordell, com destaque para os Teoremas de Bézout e Fundamental de Max
Noether.
No Capítulo 2 especializamos nosso estudo para as curvas cúbicas, destacamos os
teoremas de classificação das cúbicas planas singulares (Teor. 1.2.1) e das cúbicas lisas
(Teor. 1.2.2). Após introduzirmos o conceito de curva elíptica (Def. 1.2.2), apresentamos a
prova do importante Teorema da Forma Normal de Weierstrass. Até este último teorema,
os capítulos 1 e 2 estão integralmente inseridos no livro de W. Fulton [F]. A partir da
Forma Normal de Weierstrass seguimos o livro de Silverman–Tate [S-T]. Apresentamos as
construções geométrica e explícita da estrutura de grupo que uma curva elíptica admite.
No Capítulo 3 estudamos os pontos de ordem 2 e 3 (Teor 3.1.1 e 3.2.1) de uma
curva elíptica. Algum pré-requisito sobre classificação de grupos abelianos finitos pode ser
requerido, cuja referência é [G-L]. Após lembrarmos o discriminante entre dois polinômios,
apresentamos a prova do Teorema de Nagel-Lutz (Teor. 3.4.1), que nos dá condições
necessárias para um ponto de uma curva elíptica ter ordem finita.
Finalmente no Capítulo 4 tratamos do Teorema de Mordell. Antes de apresentarmos
sua prova, fazemos a prova do fundamental Teorema da Descida, que dá uma condição
suficiente para um grupo abeliano munido de uma função altura ser finitamente gerado.
Em seguida, definimos uma função altura no grupo 𝐸(Q) dos pontos racionais de uma
curva elíptica e verificamos, sob certas condições, que as hipóteses do Teorema da Descida
são satisfeitas pelo grupo 𝐸(Q), que culmina com o Teorema de Mordell.

21

1 Preliminares
1.1 Curvas projetivas e pontos racionais
Nesta seção lembraremos alguns resultados e conceitos essenciais para o completo
entendimento desta dissertação.
Considere k um corpo e K := k seu fecho algébrico. Dados dois polinômios 𝐹, 𝐺 ∈
K[𝑋, 𝑌, 𝑍], dizemos que 𝐹 e 𝐺 são equivalentes se existe 𝜆 ∈ K* tal que 𝐹 = 𝜆𝐺.
Por uma curva entendemos uma curva algébrica projetiva plana definida sobre k1 .
Assim uma curva 𝐶 é o conjunto dos zeros de um representante não constante de uma
classe de polinômios homogêneos em K[𝑋, 𝑌, 𝑍] cujos coeficientes estão em k.
Fixado um polinômio homogêneo não constante 𝐹 ∈ K[𝑋, 𝑌, 𝑍], definimos:
𝑉 (𝐹 ) := {𝑃 ∈ P2 (K) | 𝐹 (𝑃 ) = 0}
e notamos que se 𝐹 é equivalente a 𝐺, então 𝑉 (𝐹 ) = 𝑉 (𝐺).
Desta forma, uma curva definida sobre k é dada por:
𝒞 = 𝑉 (𝐹 ) onde 𝐹 ∈ k[𝑋, 𝑌, 𝑍] homogêneo .
A relação de equivalência definida acima entre polinômios preserva o grau. Logo, o grau
de uma curva 𝑉 (𝐹 ) é o grau do (de qualquer) polinômio homogêneo (da classe de) 𝐹 .
Definição 1.1.1. Um ponto 𝑃 = (𝑎 : 𝑏 : 𝑐) ∈ 𝒞 é dito um ponto racional se existe 𝜆 ∈ K*
tal que (𝜆 𝑎 : 𝜆 𝑏 : 𝜆 𝑐) ∈ P2 (k).
Por definição o conjunto dos pontos racionais de uma curva 𝒞 é 𝒞 ∩ P2 (k).
Definição 1.1.2. Um ponto (𝑎 : 𝑏 : 𝑐) ∈ 𝒞 = 𝑉 (𝐹 ) é dito um ponto singular se
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝜕𝐹
(𝑎 : 𝑏 : 𝑐) =
(𝑎 : 𝑏 : 𝑐) =
(𝑎 : 𝑏 : 𝑐) = 0.
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Se 𝒞 tiver pelo menos um ponto singular, será chamada de uma curva singular, caso
contrário será uma curva suave (ou lisa).
Se 𝑃 é um ponto não singular da curva 𝒞 = 𝑉 (𝐹 ), então a reta de P2 dada por
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝜕𝐹
(𝑃 ) · 𝑋 +
(𝑃 ) · 𝑌 +
(𝑃 ) · 𝑍 = 0
𝜕𝑋
𝜕𝑌
𝜕𝑍
é chamada a reta tangente a 𝒞 em 𝑃 e é denotada por 𝑇𝑃 𝒞.
1

sempre que k não for essencial, podemos supor k algebricamente fechado.

22

Capítulo 1. Preliminares

Definição 1.1.3. Uma curva 𝑉 (𝐹 ) é dita irredutível se 𝐹 for um polinômio irredutível.
Notamos que a relação de equivalência entre polinômios preserva a irredutibilidade
de polinômios, logo está bem definida a irredutibilidade de uma curva. Segue, do fato que
um anel de polinômios sobre um corpo é um domínio de fatoração única, que toda curva
pode ser escrita de forma única como a reunião de curvas irredutíveis, que são chamadas
componentes da curva.
Considere a carta afim 𝑈𝑖 := {(𝑎1 : 𝑎2 : 𝑎3 ) ∈ P2 | 𝑎𝑖 ̸= 0}. Vemos diretamente que
a curva afim 𝒞 ∩ 𝑈3 é dada por 𝒞* := {(𝑎, 𝑏) ∈ A2 | 𝐹* (𝑎, 𝑏) = 0} em que o polinômio
𝐹* (𝑋, 𝑌 ) := 𝐹 (𝑋, 𝑌, 1) é a desomogeneização do polinômio 𝐹 , quando tomamos 𝑉 (𝑍)
como a reta no infinito. Analogamente para 𝑈1 e 𝑈2 e as respectivas retas 𝑉 (𝑋) e 𝑉 (𝑌 ) no
infinito. Nestes termos, vemos que uma curva projetiva plana é a colagem de três curvas
planas afins.
Sabemos que todas as propriedades locais de uma curva projetiva são traduzidas e
entendidas pelas propriedades locais de uma curva afim apropriada, ver [F, Cap. 3–6].
Seja 𝒞 uma curva irredutível e o domínio de integridade 𝐾[𝒞] := K[𝑋, 𝑌, 𝑍]/(𝐹 ).
No corpo quociente de 𝐾[𝒞] definimos o corpo das funções racionais definidas em subconjuntos2 de 𝒞 com valores em K, a saber:
{︃

𝐾(𝒞) :=

𝑓
| 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐾[𝒞] com deg 𝑓 = deg 𝑔
𝑔

}︃

Dado um ponto 𝑃 ∈ 𝒞 denotamos por 𝒪𝑃 (𝒞) o conjunto das funções racionais que estão
definidas em 𝑃 , assim
{︃

𝒪𝑃 (𝒞) :=

}︃

𝑓
| 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐾[𝒞] com deg 𝑓 = deg 𝑔 e 𝑔(𝑃 ) ̸= 0
𝑔

Observamos que como 𝐾[𝒞] não é (em geral) um domínio de fatoração única, a representação 𝑓𝑔 de uma função racional não é única.
Não é difícil ver que o anel local de uma curva projetiva e o da curva afim associada
e apropriada são isomorfos. Assim todas as propriedades locais (que dependem somente
do anel local) são propriedades locais de uma curva afim. De certa forma, afirmamos que
o mundo local é afim. Se 𝑃 = (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑈3 , então o anel local de 𝒞 é a localização da álgebra
das funções regulares 𝐾[𝐶* ] da curva afim 𝑉 (𝐹* ) no ideal maximal (𝑋 −𝑎, 𝑌 −𝑏) do ponto
𝑃 . Assim 𝒪𝑃 (𝒞) é um anel de valorização cujo ideal maximal é o conjunto das funções
que se anulam em 𝑃 . Pode-se mostrar que um ponto 𝑃 é não singular se, e somente se,
o anel local 𝒪𝑃 (𝒞) é um anel de valorização discreta, i.e, um domínio local noetheriano
cujo ideal maximal é principal, cf. [F, ?].
2

subconjuntos dados pelo complementar de conjuntos finitos, ver [F, ?]

1.1. Curvas projetivas e pontos racionais

23

Para um bom entendimento das próximas seções precisaremos de dois resultados
básicos (e fundamentais) da teoria de curvas planas, a saber, o Teorema de Bézout e
o Teorema Fundamental de Max Noether, cujas provas podem ser encontradas em [F].
Nestas notas apenas enunciaremos tais resultados, introduzindo todos os objetos para um
completo entendimento dos enunciados.
Sejam 𝒞 = 𝑉 (𝐹 ) uma curva projetiva plana irredutível e 𝑃 ∈ 𝒞. Podemos supor,
através de uma mudança de coordenadas que 𝑃 = (0 : 0 : 1). Assim tomamos a curva afim
∑︀
𝒞* := 𝒞 ∩ 𝑈3 , dada por 𝒞* = 𝑉 (𝐹* ), e escrevemos 𝐹* = 𝑛𝑖=𝑚 𝐹𝑖 , onde 𝐹𝑖 é um polinômio
homogêneo de grau 𝑖. Definimos a multiplicidade de 𝑃 em 𝒞 como o inteiro não negativo
𝑚𝑃 (𝐶) = 𝑚. Por definição, dizemos que 𝑚𝑃 (𝒞) = 0 se 𝑃 ∈
/ 𝒞.
Segue da definição que 𝑚𝑃 (𝒞) = 1 se, e somente se, 𝑃 é um ponto não singular
de 𝒞. No caso de 𝑃 ser singular, temos que deg 𝐹𝑚 > 1, como 𝐹𝑚 ∈ K[𝑋, 𝑌 ] podemos
∏︀
escrever 𝐹𝑚 = 𝑚
𝑖=1 𝐿𝑚,𝑖 onde cada 𝐿𝑚,𝑖 é um polinômio homogêneo de grau 1. Neste caso,
dizemos que cada 𝐿𝑚,𝑖 é uma tangente a 𝒞 em 𝑃 , contadas com multiplicidade3 .
Sejam 𝒞 = 𝑉 (𝐹 ) e 𝒟 = 𝑉 (𝐺) duas curvas planas projetivas. Para cada 𝑃 ∈ P2
considere uma carta afim 𝑈𝑖 ∼
= A2 tal que 𝑃 ∈ 𝑈𝑖 . Sem perda de generalidade, vamos supor
𝑈𝑖 = 𝑈3 . Tomando as respectivas curvas afins 𝒟* := 𝒟∩𝑈𝑖 = 𝑉 (𝐺* ) e 𝒞* = 𝒞∩𝑈𝑖 = 𝑉 (𝐹* ),
consideramos:
(︃
)︃
𝒪𝑃 (A2 )
𝐼(𝑃, 𝐹 ∩ 𝐺) := dimK
(𝐹* , 𝐺* )
denominado índice de intersecção de 𝒞 e 𝒟 em 𝑃 .
Teorema 1.1.1. O inteiro 𝐼(𝑃, 𝐹 ∩ 𝐺) dado acima é o único que satisfaz as seguintes
condições:
1. 0 ≤ 𝐼(𝑃, 𝐹 ∩ 𝐺) < ∞ se 𝒞 e 𝒟 não possuem componente em comum passando por
𝑃 , e 𝐼(𝑃, 𝐹 ∩ 𝐺) = ∞ caso contrário;
2. 𝐼(𝑃, 𝐹 ∩ 𝐺) = 0 ⇔ 𝑃 ∈
/ 𝒞 ∩ 𝒟;
3. 𝐼(𝑃, 𝐹 ∩ 𝐺) é invariante por mudança de coordenadas (projetivas);
4. 𝐼(𝑃, 𝐹 ∩ 𝐺) = 𝐼(𝑃, 𝐺 ∩ 𝐹 );
5. 𝐼(𝑃, 𝐹 ∩ 𝐺) ≥ 𝑚𝑃 (𝒞) · 𝑚𝑃 (𝒟), e a igualdade ocorre se, e somente se, 𝒞 e 𝒟 não
possuem reta tangente comum em 𝑃 ;
6. Se 𝐹 =

∏︀

𝐹𝑖𝑟𝑖 e 𝐺 =

∏︀

𝑠

𝐺𝑗 𝑗 , então 𝐼(𝑃, 𝐹 ∩ 𝐺) =

𝑖,𝑗 𝑟𝑖 𝑠𝑗 𝐼(𝑃, 𝐹𝑖 ∩ 𝐺𝑗 );

∑︀

7. 𝐼(𝑃, 𝐹* ∩ 𝐺* ) = 𝐼(𝑃, 𝐹* ∩ (𝐺* + 𝐴𝐹* )) para todo 𝐴 ∈ K[𝑋, 𝑌 ].
3

não estamos supondo que 𝐿𝑚,𝑖 ̸= 𝐿𝑚,𝑗 para 𝑖 ̸= 𝑗.

24

Capítulo 1. Preliminares

Demonstração. Ver [F, thm. 3, p. 37].
Já estamos em condições de enunciar o célebre Teorema de Bézout, que de maneira
informal diz que duas curvas de graus 𝑚 e 𝑛 e sem componentes em comum se encontram
em 𝑚 · 𝑛 pontos, contados com multiplicidades. Uma prova do referido teorema pode ser
encontrada em [F, p. 57].
Teorema de Bézout. Sejam 𝒞 = 𝑉 (𝐹 ) e 𝒟 = 𝑉 (𝐺) duas curvas planas projetivas
de graus 𝑚 e 𝑛, respectivamente. Assumindo que 𝒞 e 𝒟 não possuem componentes em
comum, vale:
∑︁

𝐼(𝑃, 𝐹 ∩ 𝐺) = 𝑚 · 𝑛

𝑃 ∈P2

Passamos a trilhar um curto caminho para enunciar o teorema Fundamental de
Max Noether para curvas planas.
Definição 1.1.4. Sejam 𝑃 ∈ P2 e 𝑉 (𝐹 ) e 𝑉 (𝐺) duas curvas projetivas sem componentes
em comum passando por 𝑃 e 𝑉 (𝐻) uma curva projetiva qualquer. Dizemos que as condições de Max Noether são satisfeitas em 𝑃 com respeito as curvas 𝑉 (𝐹 ), 𝑉 (𝐺) e 𝑉 (𝐻)
se 𝐻* ∈ (𝐹* , 𝐺* ) ⊂ 𝒪𝑃 (P2 ).
Proposição 1.1.1. Sejam 𝑉 (𝐹 ), 𝑉 (𝐺) e 𝑉 (𝐻) curvas planas, com 𝑃 ∈ 𝑉 (𝐹 ) ∩ 𝑉 (𝐺).
Então as condições de Max Noether são satisfeitas se qualquer uma das seguintes condições
são satisfeitas:
1. 𝑃 ∈ 𝑉 (𝐻) e 𝑉 (𝐹 ) e 𝑉 (𝐺) se encontram transversalmente em 𝑃 ;
2. 𝑃 é um ponto não singular de 𝑉 (𝐹 ) e 𝐼(𝑃, 𝐻 ∩ 𝐹 ) ≥ 𝐼(𝑃, 𝐹 ∩ 𝐺);
3. 𝑉 (𝐹 ) e 𝑉 (𝐺) possuem tangente distintas em 𝑃 e 𝑚𝑃 (𝑉 (𝐻)) ≥ 𝑚𝑃 (𝑉 (𝐹 )) +
𝑚𝑃 (𝑉 (𝐺)) − 1.
Demonstração. Ver [F, prop. 1, p. 61].
Teorema Fundamental de Max Noether. Sejam 𝑉 (𝐹 ), 𝑉 (𝐺) e 𝑉 (𝐻) curvas planas
projetivas com 𝑉 (𝐹 ) e 𝑉 (𝐺) sem componentes em comum. Existem polinômios homogêneos 𝐴 e 𝐵 tais que 𝐻 = 𝐴𝐹 + 𝐵𝐺 se, e somente se, as condições de Max Noether são
satisfeitas para todo 𝑃 ∈ 𝑉 (𝐹 ) ∩ 𝑉 (𝐺).
Demonstração. Pode ser encontrada em [F, p. 61].

1.2. Cúbicas e Formas Normais

25

1.2 Cúbicas e Formas Normais
Definição 1.2.1. Uma curva plana projetiva de grau três é denominada cúbica.
Para uso posterior fazemos a seguinte aplicação do Teorema Fundamental de Max
Noether.
Proposição 1.2.1. Sejam três cúbicas 𝐶, 𝐶 ′ e 𝐶 ′′ com 𝐶 irredutível. Se 𝐶 e 𝐶 ′ se
intersectam em nove pontos não singulares e distintos de 𝐶 e, adicionalmente, 𝐶 ′′ e 𝐶 se
intersectam em oito desses nove pontos, então o nono ponto da intersecção de 𝐶 ′′ com 𝐶
é também um ponto de interseção de 𝐶 com 𝐶 ′ .
Demonstração. Temos que 𝐶 ′ · 𝐶 = 9𝑖=1 𝑃𝑖 , enquanto que 𝐶 ′′ · 𝐶 = 8𝑖=1 𝑃𝑖 + 𝑄. Seja
𝐿 um reta através de 𝑃9 que não passa por 𝑄., então 𝐿 · 𝐶 = 𝑃9 + 𝑅 + 𝑆. Tomando
𝑉 (𝐿) ∪ 𝐶 ′′ , temos que 𝐿𝐶 ′′ · 𝐶 = 𝐶 ′ · 𝐶 + 𝑄 + 𝑅 + 𝑆. Logo, pelo Teorema Fundamental de
Max Noether, existe uma reta 𝐿′ tal que 𝐿′ · 𝐶 = 𝑄 + 𝑅 + 𝑆. Logo, 𝐿 = 𝐿′ e 𝑄 = 𝑃9 .
∑︀

∑︀

Tratemos da classificação projetiva das cúbicas irredutíveis. Primeiramente das
cúbicas singulares.
Teorema 1.2.1. Supondo k algebricamente fechado e char k ̸= 3, a menos de transformações projetivas existem apenas duas cúbicas singulares, a saber:
𝑉 (𝑋𝑌 𝑍 + 𝑋 3 + 𝑌 3 )

cúbica nodal

𝑉 (𝑌 2 𝑍 + 𝑋 3 ) cúbica cuspidal
Demonstração. Podemos supor que o ponto singular da cúbica 𝒞 é 𝑃 = (0 : 0 : 1). Então
𝐹* (𝑋, 𝑌 ) = 𝐹 (𝑋, 𝑌, 1) = 𝐹2 + 𝐹3 com 𝐹2 e 𝐹3 homogêneos de grau 2 e 3 respectivamente,
com 𝐹2 ̸= 0 visto que 𝐹* é irredutível. Logo, podemos supor que 𝐹2 = 𝑋𝑌 ou 𝐹2 = 𝑌 2 , a
menos de mudança de coordenadas.
𝐹2 = 𝑋𝑌 : neste caso 𝐹 = 𝑋𝑌 𝑍 + 𝑎0 𝑋 3 + 𝑎1 𝑋 2 𝑌 + 𝑎2 𝑋𝑌 2 + 𝑎3 𝑌 3 . Como 𝐹 é irredutível
temos que 𝑎0 ̸= 0 e 𝑎3 ̸= 0. Fazendo a transformação 𝑋 ′ = (𝑎0 )1/3 𝑋, 𝑌 ′ = (𝑎3 )1/3 𝑌 e
𝑍 ′ = (𝑎0 𝑎𝑍3 )1/3 , podemos supor que 𝑎0 = 𝑎3 = 1. Fazendo, então 𝑍 ′ = 𝑍 + 𝑎1 𝑋 + 𝑎2 𝑌 ,
podemos supor que 𝑎1 = 𝑎2 = 0. Logo a cúbica é projetivamente equivalente a
cúbica nodal.
𝐹2 = 𝑌 2 : neste caso 𝐹 = 𝑌 2 𝑍 + 𝑎0 𝑋 3 + 𝑎1 𝑋 2 𝑌 + 𝑎2 𝑋𝑌 2 + 𝑎3 𝑌 3 . Como 𝐹 é irredutível,
temos que 𝑎0 ̸= 0, logo podemos supor 𝑎0 = 1. Transformando 𝑋 ′ = 𝑋 + 13 𝑎1 𝑌
podemos supor 𝑎1 = 0. Transformando agora, 𝑍 ′ = 𝑍 + 𝑎2 𝑋 + 𝑎3 𝑌 , podemos supor
𝑎2 = 𝑎3 = 0. Logo a cúbica é projetivamente equivalente a cúbica cuspidal.

26

Capítulo 1. Preliminares

Notamos que as duas cúbicas não são profeticamente equivalentes, visto que uma possui
um nó como singularidade e a outra uma cúspide, e não possui outras singularidades.
Teorema 1.2.2. Seja k algebricamente fechado e char k ̸= 2. Se 𝒞 é uma cúbica não
singular, então 𝒞 é projetivamente equivalente a 𝑉 (𝐹 ) onde 𝐹 = 𝑌 2 𝑍 −𝑋(𝑋 −𝑍)(𝑋 −𝜆𝑍)
com 𝜆 ∈ k ∖ {0, 1}.
Demonstração. Sabemos que 𝒞 = 𝑉 (𝐹 ) possui um ponto de inflexão4 , logo podemos supor
que tal inflexão é (0 : 1 : 0) e sua tangente é 𝑉 (𝑍). Assim 𝐹 (𝑋, 1, 𝑍) = 𝑍 + 𝑎1 𝑋𝑍 +
𝑎2 𝑌 𝑍 +𝑎3 𝑋 3 +𝑎4 𝑋 2 𝑍 +𝑎5 𝑋𝑍 2 +𝑎6 𝑍 3 . Homogeinizando por 𝑌 e depois desomonegeizando
por 𝑍 temos 𝐹* = 𝑌 2 + 𝑎1 𝑋𝑌 + 𝑎2 𝑌 + 𝑎3 𝑋 3 + 𝑎4 𝑋 2 + 𝑎5 𝑋 + 𝑎6 . Como deg 𝐹* = 3
podemos supor 𝑎3 ̸= 0. Tomamos a seguinte transformação 𝑌 ′ = 𝑌 + 21 𝑎1 𝑋 + 21 𝑎2 𝑍,
logo podemos supor 𝑎1 = 𝑎2 = 0. Des forma, podemos escrever 𝐹* da forma 𝐹* =
𝑌 2 + 𝑎3 (𝑋 − 𝜆0 )(𝑋 − 𝜆1 )(𝑋 − 𝜆) com 𝜆𝑖 ∈ k. Como 𝒞 é suposta não singular, temos
que 𝜆0 , 𝜆1 e 𝜆2 são distintos dois a dois. Fazendo uma transformação projetiva, podemos
supor que 𝜆0 = 0, 𝜆1 = 1 e 𝑎3 = 1.
Os dois últimos teoremas nos dão uma classificação projetiva de cúbicas, supondo
que o corpo k seja algebricamente fechado e com característica distintas de dois e três.
Nos concentramos agora no caso em que o corpo base k não é algebricamente fechado
e possui característica zero. Tomando uma cúbica definida sobre k, buscamos transformações projetivas em P2 (k) afim de obtermos resultados semelhantes aos dos teoremas
acima.
Definição 1.2.2. Uma curva elíptica definida sobre k é um par (𝐸, 𝒬) em que 𝐸 é uma
cúbica plana projetiva (não singular) definida sobre k e 𝒬 é um ponto racional de 𝐸 e
que não é de inflexão.
Forma Normal de Weierstrass. Toda curva elíptica (podendo ser singular) pode ser
escrita da forma 𝐸 = 𝑉 (𝐹 ) com 𝐹 = 𝑌 2 𝑍 − 𝑋 3 − 𝑎𝑋 2 𝑍 − 𝑏𝑋𝑍 − 𝑐𝑍 3 com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ k.
Demonstração. Como 𝐹 ∈ k[𝑋, 𝑌, 𝑍] e 𝒬 ∈ P2 (k) podemos assumir que a reta tangente
a 𝐸 em 𝒬 é 𝑉 (𝑍). Tal reta tangente intersecta 𝐸 em outro ponto, que também será
um ponto racional, pois 𝐼(𝑃, 𝐹 ∩ 𝑇𝒬 (𝒞)) = 2 (resolvemos uma equação de grau três
onde duas soluções já são racionais). Novamente, podemos assumir que a tangente a 𝒞
neste último ponto é 𝑉 (𝑋). Tome qualquer secante racional em 𝑃 e suponha que seja
𝑉 (𝑌 ). Assim, o polinômio 𝐹* tem a forma 𝐹* = 𝑋𝑌 2 + (𝑎𝑋 + 𝑏)𝑌 − 𝑐𝑋 2 − 𝑑𝑋 − 𝑒, com
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 ∈ k. Trabalhando no anel de funções coordenadas 𝐾[𝒞* ] de 𝒞* , podemos escrever
𝑥𝑦 2 + (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑦 = 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑒. Onde 𝑥, 𝑦 são as classes de 𝑋 e 𝑌 em K[𝐶* ]. Multiplicando
por 𝑥, obtemos (𝑥𝑦)2 + (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑥𝑦 = 𝑐𝑥3 + 𝑑𝑥2 + 𝑒𝑥 e denotando 𝑥𝑦 por 𝑦 ′ , podemos
4

um ponto simples cujo índice de intersecção em 𝑃 de 𝒞 com a tangente a 𝒞 em 𝑃 é maior que 2.

1.2. Cúbicas e Formas Normais

27

supor que 𝑦 2 + (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑦 = 𝑐𝑥3 + 𝑑𝑥2 + 𝑒𝑥. Fazendo a transformação 𝑦 ′ = 𝑦 − 21 (𝑎𝑥 + 𝑏),
podemos supor que 𝑦 2 = 𝛼𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝛼, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ k. Temos que 𝛼 ̸= 0, assim
podemos normalizar 𝛼 = 1.

29

2 O Grupo de uma Curva Elíptica
Deste ponto em diante uma curva elíptica será uma curva elíptica definida sobre o
corpo dos números racionais Q.

2.1 Construção geométrica do grupo de uma curva elíptica
Se temos quaisquer dois pontos sobre uma curva elíptica, dizemos 𝑃 e 𝑄, então
traçamos uma reta ligando 𝑃 a 𝑄, obtendo um terceiro ponto que denotaremos por 𝑃 * 𝑄.
Poderíamos perguntar sobre a estrutura algébrica deste conjunto e esta lei de composição,
por exemplo se seria um grupo. Notavelmente estamos bastante perto de ter uma estrutura
de grupo, mas é bastante claro que não há nenhum elemento de neutro.
Fixe 𝒪 ∈ 𝐸 um ponto racional1 qualquer sobre 𝐸. Seja (+) a operação que dado
dois pontos de 𝐸 associa o ponto 𝑃 + 𝑄 ∈ 𝐸 da seguinte forma:
constução: tomemos a reta que passa pelos pontos 𝑃 e 𝑄, ambos pertencentes a 𝐸. Seja
𝑃 * 𝑄 o terceiro ponto de intersecção com a curva elíptica. A reta que passa por 𝒪
e por 𝑃 * 𝑄 intersecta a cúbica num novo ponto que chamaremos 𝒪 * (𝑃 * 𝑄). Por
definição, chamaremos esse ponto 𝒪 * (𝑃 * 𝑄) de 𝑃 + 𝑄.
Lema 2.1.1. Seja 𝑆 un conjunto com uma lei de composição (*) satisfazendo as seguintes
propriedades:
1. 𝑃 * 𝑄 = 𝑄 * 𝑃 , para todo 𝑃, 𝑄 ∈ 𝑆.
2. 𝑃 * (𝑃 * 𝑄) = 𝑄, para todo 𝑃, 𝑄 ∈ 𝑆.
Fixemos um elemento 𝒪 ∈ 𝑆, e defina uma nova lei de composição (+) da seguinte forma
𝑃 + 𝑄 = 𝒪 * (𝑃 * 𝑄).
Assuma que 𝑅 * (𝒪 * (𝑃 * 𝑄)) = 𝑃 * (𝒪 * (𝑄 * 𝑅)) para todo 𝑃, 𝑄, 𝑅 ∈ 𝑆. Então 𝑆 carrega
a estrutura de um grupo abeliano.
Demonstração. Primeiramente devemos mostrar que (+) é comutativo com 𝒪. Temos que
𝑃 +𝑄 = 𝒪*(𝑃 *𝑄) = 𝒪*(𝑄*𝑃 ) = 𝑄+𝑃 (por 1) e 𝑃 +𝒪 = 𝒪*(𝒪*𝑃 ) = 𝑃 (por 1 e 2).
1

para estrutura de grupo em uma cúbica não é necessário supor 𝒪 racional, porém no corolário 2.1.1
abaixo essa suposição se faz necessária.

30

Capítulo 2. O Grupo de uma Curva Elíptica

Agora, mostraremos que para qualquer 𝑃, 𝑄 ∈ 𝑆, a equação 𝑋 + 𝑃 = 𝑄 tem a única
solução 𝑋 = 𝑃 * (𝑄 * 𝒪), em particular, se definir −𝑃 para 𝑃 * (𝒪 * 𝒪), então −𝑃 é a
única solução para a equação 𝑋 + 𝑃 = 𝒪. Primeiramente
(𝑃 * (𝑄 * 𝒪)) + 𝑃 = 𝒪 * ((𝑃 * (𝑄 * 𝒪)) * 𝑃 )
= 𝒪 * (𝑃 * (𝑃 * (𝑄 * 𝒪))) por (1)
= 𝒪 * (𝑄 * 𝒪) por (2)
= 𝒪 * (𝒪 * 𝑄) por (1)
= 𝑄 por (ii)
Agora, vamos supor que 𝑋 + 𝑃 = 𝑌 + 𝑃 . Então
𝒪 * (𝑋 * 𝑃 ) = 𝒪 * (𝑌 * 𝑃 ) ⇔ 𝒪 * (𝒪 * (𝑋 * 𝑃 )) = 𝒪 * (𝒪 * (𝑌 * 𝑄))
⇔ 𝑋 *𝑃 =𝑌 *𝑃

por (2)

⇔ 𝑃 *𝑋 =𝑃 *𝑌

por (1)

⇔ 𝑃 * (𝑃 * 𝑋) = 𝑃 * (𝑃 * 𝑌 )
⇔ 𝑋=𝑌

por (2)

Agora mostraremos que (+) é associativa se, e somente se 𝑅 * (𝒪 * (𝑃 * 𝑄)) = 𝑃 * (𝒪 *
(𝑄 * 𝑅)), para todo 𝑃, 𝑄, 𝑅 ∈ 𝑆. Temos
(𝑃 + 𝑄) + 𝑅 = 𝑃 + (𝑄 + 𝑅) ⇔ (𝒪 * (𝑃 * 𝑄)) + 𝑅 = 𝑃 + (𝒪 * (𝑄 * 𝑅))
⇔ 𝒪 * ((𝒪 * (𝑃 * 𝑄)) * 𝑅) = 𝒪 * (𝑃 * (𝒪 * (𝑄 * 𝑅)))
⇔ 𝒪 * (𝒪 * ((𝒪 * (𝑃 * 𝑄)) * 𝑅)) = 𝒪 * (𝒪 * (𝑃 * (𝒪 * (𝑄 * 𝑅))))
⇔ (𝒪 * (𝑃 * 𝑄)) * 𝑅 = 𝑃 * (𝒪 * (𝑄 * 𝑅)) por (2)
⇔ 𝑅 * (𝒪 * (𝑃 * 𝑄)) = 𝑃 * (𝒪 * (𝑄 * 𝑅)) por (1)

Pela nossa afirmação, vemos que (+) é associativa.
Este resultado nos dá uma maneira de estender a nossa lei de composição de modo
que o conjunto 𝐸 torna-se um grupo abeliano. Usamos a operação (*) para obter 𝑃 * 𝑄.
Então, traçamos a reta que liga nosso ponto racional 𝒪 e 𝑃 * 𝑄 e definimos o terceiro
ponto desta reta com a curva, que é 𝑃 + 𝑄. Em outras palavras 𝑃 + 𝑄 = 𝒪 * (𝑃 * 𝑄).
Sob esta operação que fizemos, de fato temos um grupo com 𝒪 como o elemento neutro.
Teorema 2.1.1. Seja 𝐸 uma curva elíptica definida sobre Q. Então (𝐸, +) é um grupo
abeliano.

2.1. Construção geométrica do grupo de uma curva elíptica

31

Figura 1 – Comutatividade

Demonstração. A comutatividade é direta, temos que
𝑃 + 𝑄 = 𝒪 * (𝑃 * 𝑄) = 𝒪 * (𝑄 * 𝑃 ) = 𝑄 + 𝑃.
Para obtermos o elemento neutro, tomamos 𝑃 ∈ 𝒞 um ponto qualquer da curva.
Traçamos uma reta pelos pontos 𝑃 e 𝒪, obtendo assim o terceiro ponto de interssecção
com a cúbica que chamaremos de 𝑃 * 𝑂. Dessa forma, vemos que 𝑃 , 𝒪 e 𝑃 * 𝒪 estão sobre
a mesma reta. Traçando uma reta pelos pontos 𝒪 e 𝑃 * 𝒪 obtemos o ponto 𝒪 * (𝑃 * 𝒪).
Assim, obtemos 𝑃 como o terceiro ponto. Temos que
𝒪 * (𝑃 * 𝒪) = 𝑃 =⇒ 𝑃 + 𝒪 = 𝑃.

Figura 2 – Elemento Neutro

O fato da cúbica ser não singular, nos dá que a reta tangente está bem definida
em todo ponto. Sendo assim, seja a reta tangente à 𝒞 no ponto 𝒪. Tomemos o ponto de
intersseção da reta com a curva e chamemos esse ponto e 𝑆. Seja 𝑃 um ponto qualquer
na curva. Tracemos uma reta entre 𝑃 e 𝑆, obtendo assim o ponto 𝑃 * 𝑆. Depois tracemos
uma reta entre 𝑃 e 𝑃 * 𝑆, obtendo assim o ponto 𝑆. Passando uma reta pelos pontos 𝑆 e
𝒪 obtemos 𝒪, pois a reta que passa pelos pontos 𝑆 e 𝒪 é tangente a 𝒞, logo passa duas
vezes por 𝒪 e uma por 𝑆. Portanto
𝑃 + (𝑃 * 𝑆) = 𝒪 * [𝑃 * (𝑃 * 𝑆)] = 𝒪 * 𝑆 = 𝒪 =⇒ 𝑃 * 𝑆 = −𝑃.

32

Capítulo 2. O Grupo de uma Curva Elíptica

Figura 3 – Inverso

Sejam 𝑃, 𝑄, 𝑅 ∈ 𝒞. Queremos mostrar que (𝑃 + 𝑄) + 𝑅 = 𝑃 + (𝑄 + 𝑅). Traçando
uma reta pelos ponto 𝑃 * 𝑄 e 𝒪 obtemos o terceiro ponto da interssecção da reta com a
cúbica, o ponto 𝑃 + 𝑄. Em seguida, traçamos a reta que passa pelos pontos 𝑃 + 𝑄 e 𝑅,
assim, encontramos o ponto (𝑃 + 𝑄) * 𝑅. Traçamos uma reta pelos pontos 𝑄 e 𝑅, obtendo
o ponto 𝑄 * 𝑅. Em seguida, traçamos uma reta pelos pontos 𝑄 * 𝑅 e 𝒪 e obtemos 𝑄 + 𝑅.
Agora ligamos os pontos 𝑄+𝑅 e 𝑃 , obtendo assim o ponto 𝑃 *(𝑄+𝑅). Seja 𝒞1 o conjuntos
dos pontos situados sobre as retas tracejadas e 𝒞2 o conjunto dos pontos sobre as retas
não tracejadas. Temos assim duas cúbicas degeneradas. Dessa forma, temos os pontos
𝒪, 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑃 * 𝑄, 𝑄 * 𝑅, 𝑃 + 𝑄, 𝑃 + 𝑅 e o ponto de interssecção entre as duas retas. Por
construção, temos que as cúbicas 𝒞1 e 𝒞2 passam por nove pontos, mas a cúbica original
passa por oito pontos desses nove pontos, logo ela passará pelo nono, que é a interssecção
das duas retas que passam por 𝒞. Portanto, temos que (𝑃 + 𝑄) * 𝑅 = 𝑃 * (𝑄 + 𝑅).

Figura 4 – Associatividade

2.2. Fórmulas Explicitas para a lei de Grupo

33

Corolário 2.1.1. Seja 𝐸(Q) := 𝐸 ∩ P2 (k) o conjunto dos pontos racionais de 𝐸. Então
(𝐸(Q), +) é um subgrupo de (𝐸, +).
Demonstração. Dados dois pontos 𝑃, 𝑄 ∈ 𝐸(Q), a reta 𝐿 que passa por estes dois pontos
está definida sobre Q. Logo, o terceiro ponto de intersecção 𝑃 * 𝑄 de 𝐿 com 𝐸 é um
ponto racional, pois é a terceira solução de uma equação cúbica sobre Q que já possui
duas soluções racionais. Deste que 𝒪 ∈ 𝐸(Q), obtemos que 𝑃 + 𝑄 ∈ 𝐸(Q).

2.2 Fórmulas Explicitas para a lei de Grupo
Seja 𝐸 uma curva elíptica escrita na forma normal de Weierstrass
𝑌 2 𝑍 = 𝑋 3 + 𝑎𝑋 2 𝑍 + 𝑏𝑋𝑍 2 + 𝑐𝑍 3 .
Substituindo 𝑍 = 0 nesta equação temos 𝑋 3 = 0, que tem a raíz tripla 𝑋 = 0. Isto
significa que a cúbica encontra a reta no infinito no ponto (0 : 1 : 0) com multiplicidade
3. Então, a cúbica tem exatamente um ponto no infinito que é de inflexão.
Observação 2.2.1. Denotaremos por 𝒪 o único ponto do infinito da curva elíptica 𝐸.
Agora iremos discutir a estrutura do grupo um pouco mais perto. Para adicionarmos dois pontos 𝑃 e 𝑄 sobre uma equação cúbica na forma de Weierstrass primeiramente
traçamos um reta através 𝑃 e 𝑄 e encontramos o terceiro ponto de interssecção, que chamamos de 𝑃 * 𝑄. A vantagem de 𝐸 estar na forma normal de Weierstrass está no seguinte
roteiro:
Observação 2.2.2. A reta através de 𝑃 * 𝑄 e 𝒪, é a reta vertical através de 𝑃 * 𝑄. E
como a curva elípita está na forma normal de Weierstrass, ela é simétrica em relação ao
eixo-𝑥. Podemos, então, refletir o ponto 𝑃 * 𝑄, encontrando assim a soma 𝑃 + 𝑄.

Figura 5 – Adicionando pontos na forma normal de Weierstrass

34

Capítulo 2. O Grupo de uma Curva Elíptica

Naturalmente gostaríamos de saber qual é o negativo do ponto 𝑄. O negativo de
𝑄 é a reflexão dele através do eixo 𝑥, a saber, se 𝑄 = (𝑥, 𝑦), então −𝑄 = (𝑥, −𝑦). Para
verificarmos isso, suponha que adicionaremos 𝑄 ao ponto que chamamos de −𝑄. A reta
através de 𝑄 e −𝑄 é vertical, de modo que o terceiro ponto de interseção é o ponto 𝒪.
Agora tracemos a tangente a 𝒪. Essa é a reta no infinito e possui multiplicidade 3 em 𝒪,
logo 𝒪 * 𝒪 = 𝒪. Portanto,
𝑄 + (−𝑄) = 𝒪,

logo −𝑄 é o inverso de 𝑄. Vale destacar que isso não se aplica no caso em que 𝑄 = 𝒪,
mas obviamente −𝒪 = 𝒪.

Figura 6 – O ponto negativo

Vamos, finalmente, às contas. Vimos que uma curva elíptica possui somente um
ponto no infiito, a saber (0 : 1 : 0). Afim de buscar fórmulas explítitas para a operação de
grupo da curva elíptica, podemos, sem perda de generalidade, supor que a curva elípitica
𝐸 é afim. Ou seja, determinada pela forma normal de Weierstrass:

𝑦 2 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

Considere dois pontos da curva elípitca 𝐸, 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 ), e 𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2 ). Buscamos as
descrições das coordenadas dos pontos

𝑃1 * 𝑃2 = (𝑥3 , 𝑦3 ) e 𝑃1 + 𝑃2 = (𝑥3 , −𝑦3 ).

2.2. Fórmulas Explicitas para a lei de Grupo

35

Figura 7 – Derivando a fórmula para a lei de adição

Primeiramente, olhemos para a equação da reta que passa por (𝑥1 , 𝑦1 ) e (𝑥2 , 𝑦2 ),
que é dada por
𝑦2 − 𝑦1
𝑦 = 𝜆𝑥 + 𝑣,
onde 𝜆 =
e
𝑣 = 𝑦1 − 𝜆𝑥1 = 𝑦2 − 𝜆𝑥2 ,
𝑥2 − 𝑥1
supondo que 𝑥1 ̸= 𝑥2 . Por construção, a reta acima intersecta a curva elíptica nos dois
pontos (𝑥1 , 𝑦1 ) e (𝑥2 , 𝑦2 ). Para encontrarmos o terceiro ponto de intersecção, substituiremos a equação da reta na cúbica, desenvolvemos a equação e obteremos uma equação do
terceiro grau na variável 𝑥:
𝑦 2 = (𝜆𝑥 + 𝑣)2 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝜆2 𝑥2 + 2𝜆𝑥𝑣 + 𝑣 2 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Colocando todos os termos para um lado obtemos:
𝑥3 + (𝑎 − 𝜆2 )𝑥2 + (𝑏 − 2𝜆𝑣)𝑥 + (𝑐 − 𝑣 2 ) = 0.
Temos uma equação cúbica na variável 𝑥, e suas três raízes 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 são as coordenadas
das três interssecções. Portanto,
𝑥3 + (𝑎 − 𝜆2 )𝑥2 + (𝑏 − 2𝜆𝑣)𝑥 + (𝑐 − 𝑣 2 ) = (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 ),
e assim,
𝑥3 +(𝑎−𝜆2 )𝑥2 +(𝑏−2𝜆𝑣)𝑥+(𝑐−𝑣 2 ) = 𝑥3 +(−𝑥1 −𝑥2 −𝑥3 )𝑥2 +(𝑥1 𝑥2 +𝑥1 𝑥3 +𝑥2 𝑥3 )𝑥−𝑥1 𝑥2 𝑥3 .
Igualando os coeficientes de termo 𝑥2 em ambos os lados, temos que
𝑎 − 𝜆2 = −𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 =⇒ 𝑥3 = 𝜆2 − 𝑎 − 𝑥1 − 𝑥2 .
Então
𝑥3 = 𝜆2 − 𝑎 − 𝑥1 − 𝑥2 ,

𝑦3 = 𝜆𝑥3 + 𝑣.

Estas fórmulas são a forma mais eficiente para calcular a soma de dois pontos com abcissas
distintas.

36

Capítulo 2. O Grupo de uma Curva Elíptica

Exemplo 1. Consideremos a curva elíptica
𝑦 2 = 𝑥3 + 17.
Sejam 𝑃1 = (−1, 4) e 𝑃2 = (2, 5) dois pontos sobre a curva. Calcule 𝑃1 + 𝑃2 .
Solução. Primeiro, devemos achar a reta que passa pelos dois pontos. Assim:
𝜆=

𝑦2 − 𝑦1
5−4
1
=
=
𝑥2 − 𝑥1
2 − (−1)
3

Agora,
𝑣 = 𝑦1 − 𝜆𝑥1 = 4 −

1
1
13
· (−1) = 4 + =
3
3
3

Dessa forma, temos
(︂ )︂2

1
3
)︂

8
− 0 − (−1) − 2 = − .
9
(︂
8
13
109
1
+
=
= 𝜆𝑥3 + 𝑣 = · −
3
9
9
27

𝑥3 = 𝜆 2 − 𝑎 − 𝑥1 − 𝑥2 =
𝑦3

8 109
Portanto, 𝑃1 + 𝑃2 = (𝑥3 , −𝑦3 ) = − , −
.
9
27
(︂

)︂

As fórmulas dadas acima envolve a inclinação da reta que passa pelos dois pontos.
Veremos agora o caso em que os dois pontos coincidem. Vamos supor que temos 𝑃0 =
(𝑥0 , 𝑦0 ) e queremos achar 𝑃0 + 𝑃0 = 2𝑃0 . Precisamos achar a reta que liga 𝑃0 a 𝑃0 . Não
podemos usar a fórmula para 𝜆, pois temos 𝑥1 = 𝑥2 e 𝑦1 = 𝑦2 . A fórmula que descrevemos
para a adição de um ponto a ele mesmo é a reta que liga 𝑃0 a 𝑃0 , ou seja, é a reta tangente
a cúbica em 𝑃0 . Derivamos implicitamente a relação 𝑦 2 = 𝑓 (𝑥) e encontramos
𝜆=

𝑓 ′ (𝑥)
𝑑𝑦
=
,
𝑑𝑥
2𝑦

para calcularmos o dobro de um ponto procedendo como no caso em que as abcissas são
distintas.
Exemplo 2. Usando a mesma curva cúbica
𝑦 2 = 𝑥3 + 17.
e o ponto 𝑃1 = (−1, 4). Calcule 2𝑃1 .
Solução. Primeiro achamos 𝜆. Assim:
𝜆=

𝑓 ′ (𝑥1 )
3
3𝑥2
3(−1)2
= 1 =
=
2𝑦1
2𝑦1
2·4
8

Para acharmos 𝑣, temos
3
35
𝑣 = 𝑦1 − 𝑥1 =
8
8

2.2. Fórmulas Explicitas para a lei de Grupo

37

Logo, a reta tangente a curva que passa por 𝑃1 é
3
35
𝑦 = 𝑥+ .
8
8
Usamos a fórmula que temos para achar (𝑥2 , 𝑦3 ) e temos que
137 2651
2𝑃1 = (𝑥3 , −𝑦3 ) =
,−
.
64
512
(︂

)︂

Algumas vezes é conveniente ter uma expressão explícita para 2𝑃 em termos das
coordenadas de 𝑃 . Para isso, substituiremos
𝜆=

𝑓 ′ (𝑥)
2𝑦

nas fórmulas dadas acima. Seja 2𝑃 = (𝑥2𝑃 , 𝑦2𝑃 ) Assim:
(︃
2

2

𝑥2𝑃 = 𝜆 − 𝑎 − 𝑥1 − 𝑥2 = 𝜆 − 𝑎 − 2𝑥 =
(︃

𝑥2𝑃

𝑓 ′ (𝑥)
2𝑦

)︃2

− 𝑎 − 2𝑥

)︃2

3𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑏
− 𝑎 − 2𝑥
=
4𝑦
𝑥4 − 2𝑏𝑥2 − 8𝑐𝑥 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐
=
4𝑥3 + 4𝑎𝑥2 + 4𝑏𝑥 + 4𝑐

Para achar a coordenada 𝑦2𝑃 de 2𝑃 basta substituir em
𝑦2𝑃 =

𝑓 ′ (𝑥)
𝑥2𝑃 + 𝑣.
2𝑦

Esta fórmula é frequentemente chamada de fórmula de duplicação. Estas são as fórmulas
básicas para adição de pontos sobre uma cúbica quando ela está na forma de Weierstrass.
Essas fórmulas serão usadas para provarmos muitos fatos sobre pontos racionais sobre
curvas cúbicas, inclusive o Teorema de Mordell.

39

3 Pontos de Ordem Finita
Seja 𝑃 um elemento de um grupo qualquer. Dizemos que 𝑃 tem ordem 𝑚 se
𝑚𝑃 = 𝑃 + 𝑃 + · · · + 𝑃 = 𝒪,
mas 𝑚′ 𝑃 ̸= 0 para todo inteiro 1 ≤ 𝑚′ < 𝑚. Se tal 𝑚 existe, então 𝑃 tem ordem finita,
caso contrário tem ordem infinita. Começaremos nosso estudo sobre pontos de ordem
finita sobre curvas elípticas olhando para pontos de ordem dois e três. Como de costume,
assumiremos nossa curva elíptica na forma de Weierstrass
𝑦 2 = 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,
e que o ponto no infinito 𝒪 é o elemento zero para a lei de grupo.

3.1 Pontos de Ordem Dois
Dizemos que um ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦), com 𝑃 ̸= 𝒪, tem ordem dois se 2𝑃 = 𝒪. Temos
que
2𝑃 = 𝒪 ⇔ 𝑃 = −𝑃 ⇔ (𝑥, 𝑦) = (𝑥, −𝑦),
ou seja, 𝑦 = 0.
Teorema 3.1.1. Os pontos de ordem 2 de uma curva elíptica é um grupo isomorfo ao
produto de dois grupos cíclicos de ordem 2.
Demonstração. Seja 𝑃 um ponto de ordem dois, logo temos que 𝑦 = 0, assim
𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
Admitindo raízes complexas, a equação acima terá três raízes
𝑃1 = (𝛼1 , 0),

𝑃2 = (𝛼2 , 0),

𝑃3 = (𝛼3 , 0),

todas de ordem dois e distintas, já que uma curva elíptica não tem singularidades. Logo,
Z
Z
os pontos que satisfazem a equação são 𝒪, 𝑃1 , 𝑃2 e 𝑃3 . Temos que
×
é o único
2Z
2Z
grupo com quatro elementos de ordem dois, com exceção de 𝒪. Portanto
Z
Z
{𝒪, 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 } ∼
×
.
=
2Z 2Z

40

Capítulo 3. Pontos de Ordem Finita

3.2 Pontos de Ordem Três
Dizemos que um ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦), com 𝑃 ̸= 𝒪, tem ordem três se 3𝑃 = 𝒪. Dessa
forma, podemos escrever 2𝑃 = −𝑃 , então um ponto de ordem três deve satisfazer
𝑥2𝑃 = 𝑥𝑃 = 𝑥−𝑃 .
Reciprocamente, se 𝑃 ̸= 𝒪 satisfaz 𝑥2𝑃 = 𝑥𝑃 , então 2𝑃 = ±𝑃 . Então, 𝑃 = 𝒪 ou 3𝑃 = 𝒪.
Em outras palavras, os pontos de ordem três são os pontos que satisfazem
𝑥2𝑃 = 𝑥𝑃 .
Para achar esses pontos que satisfazem essas condições, usamos a fórmula de duplicação
do ponto. Assim
𝑥4 − 2𝑏𝑥2 − 8𝑐𝑥 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐
=𝑥
4𝑥3 + 4𝑎𝑥2 + 4𝑏𝑥 + 4𝑐
donde
3𝑥4 + 4𝑎𝑥3 + 6𝑏𝑥2 + 12𝑐𝑥 + 4𝑎𝑐 − 𝑏2 = 0
Portanto, um ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ̸= 0 sobre 𝐸 tem ordem três se, e somente se, 𝑥 é raiz do
polinômio
3𝑥4 + 4𝑎𝑥3 + 6𝑏𝑥2 + 12𝑐𝑥 + 4𝑎𝑐 − 𝑏2 = 0.
Teorema 3.2.1. Os pontos de ordem 3 de uma curva elíptica é um grupo isomorfo ao
produto de dois grupos cíclicos de ordem 3.
Demonstração. Chamemos a equação acima de 𝑔(𝑥) e derivemos, temos
𝑔(𝑥) = 3𝑥4 + 4𝑎𝑥3 + 6𝑏𝑥2 + 12𝑐𝑥 + 4𝑎𝑐 − 𝑏2
𝑔 ′ (𝑥) = 12𝑥3 + 12𝑎𝑥2 + 12𝑏𝑥 + 12𝑐
𝑔 ′ (𝑥) = 12(𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)
𝑔 ′ (𝑥) = 12𝑓 (𝑥)
A reta tangente a 𝑃 tem equação
𝑦 = 𝜆𝑥 + (𝑦1 − 𝜆𝑥1 ),
onde

𝑓 ′ (𝑥)
.
2𝑦
Sabemos que a coordenada 𝑥2𝑃 do ponto 2𝑃 é igual a coordenada 𝑥 da interssecção de 𝑦
a curva. Assim,
𝑃 = (𝑥1 , 𝑦1 )

e

𝜆=

𝑥2𝑃 = 𝜆2 − 𝑎 − 2𝑥
(︃
)︃2
𝑓 ′ (𝑥)
=
− 𝑎 − 2𝑥
2𝑦
𝑓 ′ (𝑥)2
=
− 𝑎 − 2𝑥
4𝑓 (𝑥)

3.3. O Discriminante

41

Sabemos que 𝑃 tem ordem 3 se, e somente se
𝑥2𝑃
𝑓 ′ (𝑥)2
− 𝑎 − 2𝑥
4𝑓 (𝑥)
𝑓 ′ (𝑥)2
− 𝑎 − 3𝑥
4𝑓 (𝑥)
𝑓 ′ (𝑥)2 1 ′′
− 𝑓 (𝑥)
4𝑓 (𝑥) 2
𝑓 ′ (𝑥)2 − 2𝑓 (𝑥) · 𝑓 ′′ (𝑥)
4𝑓 (𝑥)
′
2
𝑓 (𝑥) − 2𝑓 (𝑥) · 𝑓 ′′ (𝑥)

= 𝑥⇔
= 𝑥⇔
= 0⇔
= 0⇔
= 0⇔
= 0

Mas 𝑓 ′ (𝑥)2 − 2𝑓 (𝑥) · 𝑓 ′′ (𝑥) e 𝑔(𝑥) são polinômios com as mesmas raízes, donde
𝑓 ′ (𝑥)2 − 2𝑓 (𝑥) · 𝑓 ′′ (𝑥) = 𝑔(𝑥),
o que contraria a afirmação de que 𝐸 é não singular. Portanto 𝑔(𝑥) tem quatro raízes
complexas distintas.
Agora, sejam 𝛽1 , 𝛽2 , 𝛽3 , 𝛽4 as quatro raízes de 𝑔(𝑥). Para cada valor de 𝑥 teremos
dois valores para 𝑦. Assim, sejam ±𝛿1 , ±𝛿2 , ±𝛿3 , ±𝛿4 os valores de 𝑦. Logo, a curva terá
oito pontos distintos de ordem três e mais um único ponto de ordem um, a saber o ponto
𝒪, formando assim um grupo abeliano com nove elemento. O único grupo abeliano com
Z
Z
nove elementos tais que todo elemento têm ordem três é o
×
.
3Z 3Z
Z
Z
×
.
{𝒪, (𝛽1 , ±𝛿1 ), (𝛽2 , ±𝛿2 ), (𝛽3 , ±𝛿3 ), (𝛽4 , ±𝛿4 )} ∼
=
3Z 3Z

3.3 O Discriminante
O objetivo dessa seção é provar o Teorema de Nagel-Lutz, que nos dirá como achar
todos os pontos racionais de ordem finita. Esse teorema diz que um ponto racional (𝑥, 𝑦) de
ordem finita deve ter coordenadas inteiras. Em particular, uma curva cúbica tem somente
um número finito de pontos racionais de ordem finita.
Lema 3.3.1. Suponha que 𝐷 é um dominio de fatoração única, e
𝑓 (𝑥) = 𝑎0 𝑥𝑚 + · · · + 𝑎𝑚

(𝑎0 ̸= 0),

𝑔(𝑥) = 𝑏0 𝑥𝑛 + · · · + 𝑏𝑛

(𝑏0 ̸= 0),

42

Capítulo 3. Pontos de Ordem Finita

são polinômios sobre 𝐷. Então uma condição necessária e suficiente para 𝑓 e 𝑔 possuirem
um fator comum não trivial é que existam dois polinômios 𝐹, 𝐺 ∈ 𝐷[𝑥], ambos não nulos,
que satisfaça
deg 𝐹 < 𝑚,

deg 𝐺 < 𝑛,

𝑓 𝐺 = 𝑔𝐹.

Demonstração. Pelo Lema de Gauss, 𝐷[𝑥] é também um domínio de fatoração única.
Suponha que ℎ é um fator comum não trivial de 𝑓 e 𝑔. Então,
𝑓 = 𝐹 ℎ,

𝐹 ∈ 𝐷[𝑥],

deg 𝐹 < 𝑚,

𝑔 = 𝐺ℎ,

𝐺 ∈ 𝐷[𝑥],

deg 𝐺 < 𝑛.

Isto é, temos
𝑓 𝐺 = 𝑔𝐹.
Reciprocamente, se existem dois polinômios 𝐹, 𝐺 ∈ 𝐷[𝑥], não ambos 0, que satisfazem
deg 𝐹 < 𝑚,

deg 𝐺 < 𝑛,

𝑓 𝐺 = 𝑔𝐹,

então os fatores não triviais de 𝑓 não podem ser todos fatores de 𝐹 , uma vez que deg 𝐹 <
deg 𝑓 . Como 𝐷[𝑥] é um D.F.U, deve existir um fator não trivial de 𝑓 que divide 𝑔.

Os polinômios 𝐹 e 𝐺 no lema acima podem ser escritos explictiamentre como
𝐹 (𝑥) = 𝐴0 𝑥𝑚−1 + · · · + 𝐴𝑚−1 ,
𝐺(𝑥) = 𝐵0 𝑥𝑛−1 + · · · + 𝐵𝑛−1 .

Comparando os coeficientes de ambos os lados de 𝑓 𝐺 = 𝑔𝐹 , temos
𝑎0 𝐵0 = 𝑏0 𝐴0 ,
𝑎1 𝐵0 + 𝑎0 𝐵1 = 𝑏1 𝐴0 + 𝑏0 𝐴1 ,
..
.
𝑎𝑚 𝐵𝑛−1 = 𝑏𝑛 𝐴𝑚−1 .
Podemos pensar da expressão acima como um sistema de equação lineares homogêneas
em 𝐵0 , . . . , 𝐵𝑛−1 , 𝐴0 , . . . , 𝐴𝑚−1 , de modo que uma condição necessária e suficiente para

3.3. O Discriminante

43

este sistema ter uma solução não nula é que o determinante seja igual a 0
⃒
⃒𝑎
⃒ 0
⃒
⃒𝑎
⃒ 1
⃒
⃒ ..
⃒ .
⃒
⃒ .
⃒ ..
⃒
⃒ .
⃒ .
⃒ .
⃒
⃒
⃒ 𝑎𝑚
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒

𝑎0
𝑎1
..
.
..
.
..
.
𝑎𝑚

..
.
..
. 𝑎0
..
. 𝑎1
.. ..
. .
.. ..
. .
..
.

𝑏0
𝑏1 𝑏0
..
. 𝑏1
.. ..
. .
.
𝑏𝑛 ..
𝑏𝑛

𝑎𝑚

..
.
..
.
..
. 𝑏0
..
. 𝑏1
.. ..
. .
..
.
𝑏𝑛

⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ = 0.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒

Ao transpor a matriz deste determinante podemos resumir o que foi mencionado acima
no seguinte teorema.
Teorema 3.3.1. Suponha que 𝐷 é um D.F.U, e
𝑓 (𝑥) = 𝑎0 𝑥𝑚 + 𝑎1 𝑥𝑚−1 + · · · + 𝑎𝑚 (𝑎0 ̸= 0),
𝑔(𝑥) = 𝑏0 𝑥𝑛 + 𝑏1 𝑥𝑛−1 + · · · + 𝑏𝑛
são dois polinômios em 𝐷. Então para 𝑓 e 𝑔 terem um fator comum não trivial, uma
condição necessária e suficiente é que
𝑅(𝑓, 𝑔) = 0,
onde

⃒
⃒
⃒ 𝑎0
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑅(𝑓, 𝑔) = ⃒⃒
⃒ 𝑏0
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒

𝑎1 . . . . . .
𝑎0 𝑎1 . . .
... ...
𝑎0
𝑏1 . . . . . .
𝑏0 𝑏1 . . .
... ...

...
...
...
𝑎1
𝑏𝑛
...
...
𝑏0

𝑎𝑚
. . . 𝑎𝑚
... ...
. . . . . . . . . 𝑎𝑚
𝑏𝑛
... ...
𝑏1 . . . . . . 𝑏𝑛

⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒

Definição 3.3.1. Este determinante, 𝑅(𝑓, 𝑔), é chamado resultante de 𝑓 e 𝑔.
Corolário 3.3.1. Sobre a hípotese no teorema acima, existem polinômios 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷[𝑥],
com deg 𝑎 < 𝑛, deg 𝑏 < 𝑚, tal que
𝑎(𝑥)𝑓 (𝑥) + 𝑏(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑅(𝑓, 𝑔).

44

Capítulo 3. Pontos de Ordem Finita

Demonstração. No resultante, denote o cofator do elemento na (𝑚 + 𝑛)-ésima coluna e
𝑖-ésima linha por𝐴𝑖 , e escreva
𝑎(𝑥) = 𝐴1 𝑥𝑛−1 + · · · + 𝐴𝑛 ,
𝑏(𝑥) = 𝐴𝑛+1 𝑥𝑚−1 + · · · + 𝐴𝑛+𝑚 .
Podemos ver que
𝑎(𝑥)𝑓 (𝑥) + 𝑏(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑅(𝑓, 𝑔).

Definição 3.3.2. Suponha que 𝐷 é um D.F.U., 𝑓 ∈ 𝐷[𝑥] e sua derivada 𝑓 ′ ∈ 𝐷[𝑥]. O
elmento de 𝐷 denotado por
Δ(𝑓 ) = (−1)

𝑛(𝑛−1)
2

·

1
· 𝑅(𝑓, 𝑓 ′ ),
𝑎𝑛

onde 𝑛 é o grau de 𝑓 e 𝑎𝑛 é seu coeficiente líder, é chamado o discriminante de 𝑓 .
Exemplo 3. Seja 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 a equação da curva elíptica. Temos que o
polinômio 𝑓 é mônico e o seu grau é 3. Assim
1
· 𝑅(𝑓, 𝑓 ′ )
1
Δ(𝑓 ) = (−1)3 · 𝑅(𝑓, 𝑓 ′ )

Δ(𝑓 ) = (−1)

3(3−1)
2

·

Δ(𝑓 ) = −𝑅(𝑓, 𝑓 ′ )

Δ(𝑓 ) =

=

=

=

⃒
⃒
⃒
⃒
⃒1 𝑎
⃒
𝑏
𝑐
0
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒0 1
⃒
𝑎
𝑏
𝑐
⃒
⃒
⃒
− ⃒3 2𝑎 𝑏 0 0⃒⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒0 3 2𝑎 𝑏 0⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒0 0
3 2𝑎 𝑏 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1 − (0 · 𝑎)
⃒
𝑎
−
(0
·
𝑏)
𝑏
−
(0
·
𝑐)
𝑐
−
(0
·
0)
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒2𝑎 − (3 · 𝑎) 𝑏 − (3 · 𝑏)
⃒
0
−
(3
·
𝑐)
0
−
(0
·
0)
⃒
⃒
−⃒
⃒
⃒ 3 − (0 · 𝑎) 2𝑎 − (0 · 𝑏) 𝑏 − (0 · 𝑐) 0 − (0 · 0)⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 0 − (0 · 𝑎)
3 − (0 · 𝑏) 2𝑎 − (0 · 𝑐) 𝑏 − (0 · 0) ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
𝑎
𝑏
𝑐
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒−𝑎 −2𝑏 −3𝑐 0⃒
⃒
⃒
−⃒
⃒
⃒ 3
⃒
2𝑎
𝑏
0
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 0
3
2𝑎 𝑏 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒−2𝑏 − (−𝑎 · 𝑎) −3𝑐 − (−𝑎 · 𝑏) 0 − (−𝑎 · 𝑐)⃒
⃒
⃒
⃒
− ⃒⃒ 2𝑎 − (3 · 𝑎)
⃒
𝑏
−
(3
·
𝑏)
0
−
(3
·
𝑐)
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 3 − (0 · 𝑎)
2𝑎 − (0 · 𝑏)
𝑏 − (0 · 𝑐) ⃒

3.3. O Discriminante

=

45

⃒
⃒
⃒−2𝑏 + 𝑎2
⃒
⃒
− ⃒⃒ −𝑎
⃒
⃒
3

⃒
⃒

−3𝑐 + 𝑎𝑏 𝑎𝑐 ⃒⃒
⃒
−2𝑏
−3𝑐⃒⃒
⃒
2𝑎
𝑏 ⃒

= −(4𝑏3 − 2𝑎2 𝑏2 + 27𝑐2 − 9𝑎𝑏𝑐 − 2𝑎3 𝑐 − 3𝑎𝑏𝑐 + 𝑎2 𝑏2 − 12𝑎𝑏𝑐 + 6𝑎3 𝑐 + 6𝑎𝑏𝑐)
Δ(𝑓 ) = −4𝑎3 𝑐 + 𝑎2 𝑏2 + 18𝑎𝑏𝑐 − 4𝑏3 − 27𝑐2 .
Corolário 3.3.2. Suponha que 𝐷 é um D.F.U.. Então uma condição necessária e suficiente para 𝑓 ∈ 𝐷[𝑥] ter fatores múltiplos é que seu discriminante seja igual a 0
Δ(𝑓 ) = 𝑅(𝑓, 𝑓 ′ ) = 0.
Tomemos nossa curva elíptica na forma normal de Weierstrass
𝑦 2 = 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,
onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 são números racionais. Se tomamos
𝑋 = 𝑑2 𝑥

e

𝑌 = 𝑑3 𝑡,

então nossa equação
𝑌 2 = 𝑋 3 + 𝑑2 𝑎𝑋 2 + 𝑑4 𝑏𝑋 + 𝑑6 𝑐
(𝑑3 𝑦)2 = (𝑑2 𝑥)3 + 𝑑2 𝑎(𝑑2 𝑥)2 + 𝑑4 𝑏𝑑2 𝑥 + 𝑑6 𝑐
𝑑6 𝑦 𝑦 = 𝑑6 𝑥3 + 𝑑6 𝑎𝑥2 + 𝑑6 𝑏𝑥 + 𝑑6 𝑐
𝑑6 𝑦 2 = 𝑑6 (𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)
𝑦 2 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
Observação 3.3.1. Ao escolher um número inteiro 𝑑 suficientemente grande, podemos
limpar os denominadores em 𝑎, 𝑏, 𝑐, assumindo que nossa curva é dada por uma equação
com coeficientes inteiros.
Nosso objetivo é provar o Teorema de Nagel-Lutz, que nos diz como procurar todos
os pontos racionais de ordem finita. Esse teorema diz que um ponto (𝑥, 𝑦) de ordem finita
deve ter coordenadas inteiras, nesse caso ou 𝑦 = 0, para pontos de ordem dois, ou 𝑦 | Δ,
onde Δ é o discriminante do polinômio 𝑓 (𝑥). Em particular, uma curva elíptica tem
somente um número finito de pontos racionais de ordem finita.
Portanto, o problema de procurar os pontos racionais de ordem finita pode ser
determinado em um número finito de passos. Tome o inteiro Δ, e considere um número
finito de inteiros 𝑦 com 𝑦 | Δ. Pegue todos esses valores de 𝑦 e os substitua na equação
𝑦 2 = 𝑓 (𝑥). O polinômio 𝑓 (𝑥) tem coeficientes inteiros e coeficiente líder 1.
Se ele tem uma raiz inteira, essa raiz dividirá o termo constante. Portanto, existe
um número finito de casos para checar, e assim teremos a certeza de encontrar todos os

46

Capítulo 3. Pontos de Ordem Finita

pontos de ordem finita em um número finito de passos. Uma observação que precisa ser
feita é que não estamos afirmando que um ponto (𝑥, 𝑦) com coordenadas inteiras e 𝑦 | Δ
deve ter ordem finita. O teorrema de Nagell-Lutz não é um "se e somente se".
Lema 3.3.2. Seja 𝑃 = (𝑥, 𝑦) um ponto sobre nossa curva elíptica tal que ambos 𝑃 e 2𝑃
tenham coordenadas inteiras. Então, ou 𝑦 = 0 ou 𝑦 | Δ.
Demonstração. Vamos assumir que 𝑦 ̸= 0 e provar que 𝑦 | Δ. Sabemos que
𝑦 ̸= 0 =⇒ 2𝑃 ̸= 𝒪 .
Então, podemos escrever 2𝑃 = (𝑋, 𝑌 ). Por hípotese, 𝑥, 𝑦, 𝑋, 𝑌 são todos inteiros. Usando
a fórmula da duplicação, temos
2𝑥 + 𝑋 = 𝜆2 − 𝑎,

onde , 𝜆 =

𝑓 ′ (𝑥)
.
2𝑦

Como 𝑥, 𝑋 e 𝑎 são todos inteiros, segue que 𝜆 também é inteiro. Uma vez que 2𝑦 e 𝑓 ′ (𝑥)
são inteiros, vemos que 2𝑦 | 𝑓 ′ (𝑥), em particular, 𝑦 | 𝑓 ′ (𝑥). Mas 𝑦 2 = 𝑓 (𝑥), então 𝑦 | 𝑓 (𝑥).
Usando a relação
Δ = 𝑎(𝑥)𝑓 (𝑥) + 𝑏(𝑥)𝑓 ′ (𝑥).
Os coeficientes de 𝑎 e 𝑏 são inteiros, então 𝑎(𝑥) e 𝑏(𝑥) tomam valores inteiros quando
calculados no inteiro 𝑥. Logo 𝑦 | Δ.

3.4 O Teorema de Nagell-Lutz
Agora, mostraremos que todos os pontos racionais de ordem finita sobre uma curva
elíptica deve ter coordenadas inteiras. Seja 𝑝 um primo qualquer, vamos tentar mostrar
que 𝑝 não divide os denominadores de 𝑥 e 𝑦. Para isso, consideremos os pontos racionais
(𝑥, 𝑦) onde 𝑝 divide os denominadores de 𝑥 e 𝑦.
Definição 3.4.1. Todo número racional não nulo pode ser escrito de forma única como
𝑟= 𝑚
𝑝𝜈 , em que mdc(𝑚, 𝑝) = 𝑚𝑑𝑐(𝑛, 𝑝) = 1, 𝑚, 𝜈 ∈ Z e 𝑛 ∈ Z* .Definimos a ordem de
𝑛
tal número racional como
𝑜𝑟𝑑𝑝 (𝑟) = 𝜈
Observação 3.4.1. Fixado um primo 𝑝, 𝑜𝑟𝑑𝑝 (𝑟) é a valorização 𝑝-ádica de Q em Z.
Se 𝑝 divide o denominador do número racional, então a ordem do número racional
será negativa. Similarmente, se 𝑝 divide o numerador do número racional, então a ordem
do número racional será positiva. A ordem de um número racional é zero se, e somente se
𝑝 não divide nem seu numerador e nem seu denominador.

3.4. O Teorema de Nagell-Lutz

47

Proposição 3.4.1. Seja (𝑥, 𝑦) um ponto racional na curva elíptica. Para cada primo 𝑝
temos ord𝑝 (𝑥) < 0 se, e somente se, ord𝑝 (𝑦) < 0.
Demonstração. Seja (𝑥, 𝑦) um ponto sobre a curva elíptica, onde existe um primo 𝑝 que
divida o denominador de 𝑥. Como 𝑥 e 𝑦 são números racionais, podemos expressá-los da
seguinte forma
𝑢
𝑚
.
𝑥= 𝜇 e 𝑦=
𝑛𝑝
𝑤𝑝𝜎
Como 𝑝 divide o denominador de 𝑥, temos que 𝜇 > 0. Com isso, temos como objetivo
mostrar que 𝜎 > 0. Por construção, temos também que 𝑝 - 𝑚, 𝑛, 𝑢, 𝑤. Substituindo 𝑥 e 𝑦
na equação da nossa curva elíptica, temos
𝑢2
𝑚3
𝑎𝑚2
𝑏𝑚
=
+
+
+ 𝑐.
𝑤2 𝑝2𝜎
𝑛3 𝑝3𝜇 𝑛2 𝑝2𝜇 𝑛𝑝𝜇
Colocando em denominador comum
𝑢2
𝑚3 + 𝑎𝑚2 𝑛𝑝𝜇 + 𝑏𝑚𝑛2 𝑝2𝜇 + 𝑐𝑛3 𝑝3𝜇
=
.
𝑤2 𝑝2𝜎
𝑛3 𝑝3𝜇
Agora, podemos examinar as ordens de ambos os lados da equação. Temos que
𝑝 - 𝑢 =⇒ 𝑝 - 𝑢2
assim

(︃

𝑢2
𝑜𝑟𝑑
𝑤2 𝑝2𝜎

)︃

𝑝 - 𝑤 =⇒ 𝑝 - 𝑤2 ,

e
(︃

𝑢2 −2𝜎
𝑝
= 𝑜𝑟𝑑
𝑤2

)︃

= −2𝜎.

Para o outro lado da equação, sabemos que
𝑝 - 𝑛 =⇒ 𝑝 - 𝑛3

e

𝑝 - 𝑚 =⇒ 𝑝 - (𝑚3 + 𝑎𝑚2 𝑛𝑝𝜇 + 𝑏𝑚𝑛2 𝑝2𝜇 + 𝑐𝑛3 𝑝3𝜇 ).

Portanto, temos
𝑚3 + 𝑎𝑚2 𝑛𝑝𝜇 + 𝑏𝑚𝑛2 𝑝2𝜇 + 𝑐𝑛3 𝑝3𝜇
𝑜𝑟𝑑
𝑛3 𝑝3𝜇
(︃

)︃

= −3𝜇.

Como ambos os lados da nossa equação devem ter a mesma ordem, temos então que
2𝜎 = 3𝜇. Como afirmamos que 𝜇 > 0, este resultado prova que 𝜎 > 0, e portanto 𝑝 divide
o denominador de 𝑦.
Além disso, a relação 2𝜎 = 3𝜇 significa que 2 | 𝜇 e 3 | 𝜎, assim, temos que 𝜇 = 2𝜈
e 𝜇 = 3𝜈 para algum inteiro 𝜈 > 0. Então, se 𝜈 divide 𝑥 ou 𝑦, então divide ambos, e
a recíproca da prova acima também é verdade. ou seja, se assumirmos que 𝑝 divide o
denominador de 𝑦, acharemos o mesmo resultado.
Suplemento 3.4.1. Um ponto racional de uma curva elíptica 𝐶 pode ser escrito da forma
𝑃 = ( ℓ𝑚2 , ℓ𝑛3 ) onde 𝑚, 𝑛, ℓ são inteiros, ℓ > 0 e 𝑚𝑑𝑐(𝑚, ℓ) = 𝑚𝑑𝑐(𝑛, ℓ) = 1.

48

Capítulo 3. Pontos de Ordem Finita

Demonstração. Suponha que
𝑚
𝑛
e 𝑦= ,
𝑀
𝑁
irredutíveis e com 𝑀, 𝑁 > 0. Substituindo na equação da nossa curva elíptica temos:
𝑥=

𝑦 2 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
(︂ )︂2
(︂
(︂
(︂
)︂
)︂
)︂
𝑛
𝑚 3
𝑚 2
𝑚
=
+𝑎
+𝑏
+𝑐
𝑁
𝑀
𝑀
𝑀
𝑚3
𝑚2
𝑚
𝑛2
=
+
𝑎
+𝑏 +𝑐
2
3
2
𝑁
𝑀
𝑀
𝑀
𝑛2 𝑀 3
𝑚3 𝑁 2 + 𝑎𝑁 2 𝑀 𝑚2 + 𝑏𝑁 2 𝑀 2 𝑚 + 𝑐𝑁 2 𝑀 3
=
𝑁 2𝑀 3
𝑁 2𝑀 3
3 2
2 3
2
𝑀 𝑛 = 𝑁 𝑚 + 𝑎𝑁 𝑀 𝑚2 + 𝑏𝑁 2 𝑀 2 𝑚 + 𝑐𝑁 2 𝑀 3 .
Temos, do lado direito da equação, que 𝑁 2 é um fator comum a todos os termos, logo
𝑁 2 | 𝑀 3 𝑛2 . Porém 𝑚𝑑𝑐(𝑛, 𝑁 ) = 1, logo 𝑁 2 | 𝑀 3 . Agora, vamos mostrar em três passos
que 𝑀 3 | 𝑁 2 . Da equação acima, temos que 𝑀 | 𝑁 2 𝑚3 , e como 𝑚𝑑𝑐(𝑚, 𝑀 ) = 1 temos
𝑀 | 𝑁 2 . Assim,
𝑀 2 | 𝑀 3 𝑛2 ,

𝑀 2 | 𝑎𝑁 2 𝑀 𝑚2 ,

𝑀 2 | 𝑏𝑁 2 𝑀 2 𝑚

e

𝑀 2 | 𝑐𝑁 2 𝑀 3 .

Dessa forma 𝑀 2 | 𝑁 2 𝑚3 , e como 𝑚𝑑𝑐(𝑚, 𝑀 ) = 1, temos que 𝑀 2 | 𝑁 2 , ou seja 𝑀 | 𝑁 .
Com isso, temos que
𝑀 3 | 𝑀 3 𝑛2 − 𝑎𝑁 2 𝑀 𝑚2 − 𝑏𝑁 2 𝑀 2 𝑚 − 𝑐𝑁 2 𝑀 3 .
Dai, temos que 𝑀 3 | 𝑁 2 𝑚3 e como 𝑚𝑑𝑐(𝑚, 𝑀 ) = 1 temos 𝑀 3 | 𝑁 2 . Assim, vemos que
𝑁 2 | 𝑀 3 e 𝑀 3 | 𝑁 2 , logo 𝑀 3 = 𝑁 2 .
𝑁
,
Durante a demonstração, mostramos que 𝑀 | 𝑁 . Então, se nós deixarmos ℓ = 𝑀
então teremos que

ℓ2 =

𝑀3
𝑁2
=
=𝑀
𝑀2
𝑀2

e

ℓ3 =

𝑚
ℓ2

e

𝑦=

𝑁2
𝑁3
=
= 𝑁.
𝑀3
𝑁2

Portanto,
𝑥=

𝑛
.
ℓ3

Definição 3.4.2. Definimos 𝐶(𝑝𝜈 ) como o conjunto dos pontos racionais sobre a curva
elíptica tal que 𝑝2𝜈 divide o denominador de 𝑥 e 𝑝3𝜈 divide o denominador de 𝑦. Em outras
palavras,
𝐶(𝑝𝜈 ) = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(Q) | 𝑜𝑟𝑑(𝑥) ≤ −2𝜈 e 𝑜𝑟𝑑(𝑦) ≤ −3𝜈}.
Por convenção, incluiremos o elemento 𝒪 em todo 𝐶(𝑝𝜈 ).

3.4. O Teorema de Nagell-Lutz

49

Por exemplo, temos que 𝐶(𝑝) é o conjunto onde 𝑝 está no denominador de 𝑥 e 𝑦,
e então existe ao menos um 𝑝2 em 𝑥 e um 𝑝3 em 𝑦. Temos a inclusão
𝐸(Q) ⊃ 𝐶(𝑝) ⊃ 𝐶(𝑝2 ) ⊃ 𝐶(𝑝3 ) ⊃ · · · .
Nosso objetivo é mostrar que se (𝑥, 𝑦) é um ponto de ordem finita, então 𝑥 e 𝑦 são inteiros.
Para isso, nossa estratégia é mostrar que para todo primo 𝑝, os denominadores de 𝑥 e
𝑦 não são divisíveis por 𝑝. Isto significa que queremos mostrar que um ponto de ordem
finita não pertence a 𝐶(𝑝𝜈 ). O primeiro passo para mostrar isso é provar a proposição a
seguir.
Proposição 3.4.2. 𝐶(𝑝𝜈 ) é um subgrupo de 𝐸(Q).
Demonstração. Façamos a seguinte mudança de coordenada

𝑡=

𝑥
𝑦

e

1
𝑠= .
𝑦

Então, a nossa curva 𝑦 2 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ficará da seguinte forma
𝑠 = 𝑡3 + 𝑎𝑡2 𝑠 + 𝑏𝑡𝑠2 + 𝑐𝑠3 .
Com isso, transformamos nosso plano (𝑥, 𝑦) no plano (𝑡, 𝑠). Com exceção de 𝒪 no plano
(𝑥, 𝑦) e quando 𝑦 = 0, os pontos de ordem dois, no plano (𝑡, 𝑠), existe uma bijeção entre
os planos. Temos também que retas no plano (𝑥, 𝑦) também corresponde a retas no plano
(𝑡, 𝑠). Tomemos a equação da reta no plano (𝑥, 𝑦)
𝑦 = 𝜆𝑥 + 𝜈.
Podemos dividir a equação acima por 𝜈𝑦, que nos dá uma equação para a reta correspondente no plano (𝑡, 𝑠)
𝜆𝑥 1
𝜆
1
1
=
+ , então 𝑠 = 𝑡 + .
𝜈
𝜈𝑦 𝑦
𝜈
𝜈
Observe que as retas que passam pela origem no plano (𝑥, 𝑦) correspondem as retas
verticais no plano (𝑡, 𝑠). Portanto, podemos somar pontos no plano (𝑡, 𝑠) pelo mesmo
procedimento como no plano (𝑥, 𝑦). Precisamos encontrar fórmulas explicítas.
Definimos o anel 𝑅𝑝 como o conjunto de todos os números racionais tal que 𝑝 não
divide o denominador. Isto significa que
{∀ 𝑥 ∈ 𝑅𝑝 | 𝑜𝑟𝑑(𝑥) ≥ 0}.
As unidades em 𝑅𝑝 serão os números de ordem zero onde 𝑝 não aparece no numerador ou
no denominador.
Vamos olhar para a divisibilidade de nossas coordenadas 𝑡, 𝑠 por potências de 𝑝,
em particular, para pontos em 𝐶(𝑝). Seja (𝑥, 𝑦) um ponto com coordenadas racionais em

50

Capítulo 3. Pontos de Ordem Finita

𝐶(𝑝𝜈 ). Por definição, temos que 𝑜𝑟𝑑(𝑥) ≤ −2𝜈 e 𝑜𝑟𝑑(𝑦) ≤ −3𝜈, então podemos escrever
𝑥 e 𝑦 como
𝑚
𝑢
𝑥 = 2(𝜈+𝑖) e 𝑦 =
,
3(𝜈+𝑖)
𝑛𝑝
𝑤𝑝
para algum 𝑖 ̸= 0. Usando nossas equações para 𝑡 e 𝑠, temos
𝑡=

𝑚𝑤 𝜈+𝑖
𝑥
=
𝑝
𝑦
𝑛𝑢

e

𝑠=

1
𝑤
= 𝑝3(𝜈+𝑖) .
𝑦
𝑢

Portanto, nosso ponto (𝑡, 𝑠) está em 𝐶(𝑝𝜈 ) se, e somente se 𝑡 ∈ 𝑝𝜈 𝑅𝑝 e 𝑠 ∈ 𝑝3𝜈 𝑅𝑝 . Isto nos
diz que 𝑝𝜈 divide o númerador de 𝑡 e 𝑝3𝜈 divide o numerador de 𝑠. Então, para mostrar
que 𝐶(𝑝𝜈 ) é um subgrupo, basta mostrar que se uma potência arbitrária de 𝑝 divide a
coordenada 𝑡 de dois pontos 𝑃1 e 𝑃2 , então a mesma potência de 𝑝 dividirá a coordenada
𝑡 da soma desses dois pontos.
Seja 𝑃1 = (𝑡1 , 𝑠1 ) e 𝑃2 = (𝑡2 , 𝑠2 ) dois pontos distintos sobre a curva. Existem dois
casos possíveis a considerar:
∙ 𝑡1 = 𝑡2
Se 𝑡1 = 𝑡2 , então 𝑃1 = −𝑃2 , pela lei de adição. Então 𝑃1 + 𝑃2 deve ser um elemento
de 𝐶(𝑝𝜈 ), pois a soma desses pontos é o ponto (0, 0).
∙ 𝑡1 ̸= 𝑡2
Seja 𝑠 = 𝛼𝑡 + 𝛽 a reta que passa pelos pontos 𝑃1 e 𝑃2 . O coeficiente angular da reta
é dado por
𝑠2 − 𝑠2
𝛼=
.
𝑡2 − 𝑡1
Também sabemos que 𝑃1 e 𝑃2 satisfazem a equação
𝑠 = 𝑡3 + 𝑎𝑡2 𝑠 + 𝑏𝑡𝑠2 + 𝑐𝑠3 .
Assim, podemos tentar expressar o coeficente angular como uma função das coordenadas de 𝑃1 e 𝑃2 . Assim,
𝑠1 = 𝑡31 + 𝑎𝑡21 𝑠1 + 𝑏𝑡1 𝑠21 + 𝑐𝑠31

e

𝑠2 = 𝑡32 + 𝑎𝑡22 𝑠2 + 𝑏𝑡2 𝑠22 + 𝑐𝑠32 .

Subtraímos a equação para 𝑃1 da equação para 𝑃2 .
𝑠2 − 𝑠1 = 𝑡32 − 𝑡31 + 𝑎(𝑡22 𝑠2 − 𝑡21 𝑠1 ) + 𝑏(𝑡2 𝑠22 − 𝑡1 𝑠21 ) + 𝑐(𝑠32 − 𝑠31 )
Escrevemos de modo a incluir elementos em forma de (𝑡2 − 𝑡1 ) e (𝑠2 − 𝑠1 )
𝑠2 − 𝑠1 = 𝑡32 − 𝑡31 + 𝑎(𝑡22 − 𝑡21 ) + 𝑎𝑡21 (𝑠2 − 𝑠1 ) + 𝑏(𝑡2 − 𝑡1 ) + 𝑏𝑡(𝑠22 − 𝑠21 ) + 𝑐(𝑠32 − 𝑠31 )
Achamos agora uma equação para (𝑡2 − 𝑡1 )
𝑡2 − 𝑡1 =

−𝑠1 + 𝑡31 − 𝑡32 + 𝑎𝑡21 𝑠1 + 𝑐𝑠31 1 − 𝑎(𝑡22 − 𝑡21 ) − 𝑎𝑡1 𝑡1 𝑠21 𝑐𝑠2
+
+ 2 −
− 𝑡1
𝑏𝑠22
𝑏𝑠2
𝑠2
𝑏

3.4. O Teorema de Nagell-Lutz

51

Temos que alguns termos são divisíveis por (𝑠2 − 𝑠1 ) e outros são divisíveis por
(𝑡2 − 𝑡1 ). Podemos expressar essa relação em termos das equações acima, assim
𝛼=

𝑡22 + 𝑡1 𝑡2 + 𝑡21 + 𝑎(𝑡2 − 𝑡1 )𝑠2 + 𝑏𝑠22
𝑠2 − 𝑠1
=
.
𝑡2 − 𝑡1
1 − 𝑎𝑡21 − 𝑏𝑡1 (𝑠2 + 𝑠1 ) − 𝑐(𝑠22 + 𝑠1 𝑠2 + 𝑠21 )

(3.1)

Por definição, sabemos que 𝑡1 , 𝑡2 , 𝑠1 , 𝑠2 são todos elementos de 𝑝𝜈 𝑅𝑝 . O numerador,
satisfaz a condição que todo termo inclui dois dos elementos multiplicados juntos.
Portanto, 𝑝2𝜈 divide o numerador, portanto é um elemento de 𝑝2𝜈 𝑅𝑝 . O denominador,
em que todos os termos, excepto 1, são divisíveis por 𝑝2𝜈 pelo mesmo argumento.
Assim, se olharmos para todo o 𝛼, temos que 𝑝2𝜈 divide o numerador e não o
denominador, o que nos dá que 𝛼 ∈ 𝑝2𝜈 𝑅.
Similarmente, se 𝑃1 = 𝑃2 , então o coeficiente angular da reta tangente a curva em
𝑃1 é dando derivando implicitamente
𝛼=

𝑑𝑠
3𝑡21 + 2𝑎𝑡1 𝑠1 + 𝑏𝑠21
(𝑃1 ) =
.
𝑑𝑡
1 − 𝑎𝑡21 − 2𝑏𝑡1 𝑠1 − 3𝑐𝑠21

Podemos ver que a expressão para 𝛼 não muda quando (𝑡1 , 𝑠1 ) = (𝑡2 , 𝑠2 ), portanto
usaremos sempre a equação 3.1.
Seja 𝑃3 = (𝑡3 , 𝑠3 ) o terceiro ponto de intersecção da curva elíptica com a reta
𝑠 = 𝛼𝑡 + 𝛽 que passa pelos pontos 𝑃1 e 𝑃2 . Para econtrarmos a equação que tem
𝑡1 , 𝑡2 e 𝑡3 como raiz, tomemos a equação da reta e a equação da curva no plano (𝑡, 𝑠)
𝑠 = 𝛼𝑡 + 𝛽

e

𝑠 = 𝑡3 + 𝑎𝑡2 𝑠 + 𝑏𝑡𝑠2 + 𝑐𝑠3 ,

fazendo a substituição
𝛼𝑡 + 𝛽 = 𝑡3 + 𝑎𝑡2 (𝛼𝑡 + 𝛽) + 𝑏𝑡(𝛼𝑡 + 𝛽)2 + 𝑐(𝛼𝑡 + 𝛽)3 ,
fazendo a expansão
0 = (1 + 𝑎𝛼 + 𝛼2 𝑏 + 𝑐𝛼3 )𝑡3 + (𝛼𝛽 + 2𝛼𝑏𝛽 + 3𝑐𝛼2 𝛽)𝑡2 + (𝑏𝛽 2 + 3𝑐𝛼𝛽 2 − 𝛼)𝑡 + 𝑐𝛽 3 − 𝛽.
Com isso, comparamos os coeficientes de 𝑡3 e 𝑡2 e achamos a soma das raízes
𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 = −

𝛼𝛽 + 2𝛼𝑏𝛽 + 3𝑐𝛼2 𝛽
.
1 + 𝑎𝛼 + 𝛼2 𝑏 + 𝑐𝛼3

Com isto, temos uma fórmula para calcular 𝑡3 dados apenas 𝑡1 e 𝑡2 , e portanto nos
permite achar 𝑃1 + 𝑃2 para qualquer 𝑃1 , 𝑃2 sobre a curva.
Da nossa equação da reta que passa por 𝑃1 e 𝑃2 , sabemos que
𝑠1 = 𝛼𝑡1 + 𝛽,
pois 𝑠1 ∈ 𝑝𝜈 𝑅𝑝 , sabemos que

52

Capítulo 3. Pontos de Ordem Finita

Uma vez que 𝑠1 ∈ 𝑝3𝜈 𝑅𝑝 , 𝛼 ∈ 𝑝2𝜈 𝑅𝑝 e 𝑡1 ∈ 𝑝𝜈 𝑅𝑝 , segue da fórmula
𝛽 = 𝑠1 − 𝛼𝑡1
que 𝛽 ∈ 𝑝3𝜈 𝑅𝑝 . Portanto, vemos que o denominador de 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 é uma unidade
em 𝑅𝑝 . Assim, temos que
𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 ∈ 𝑝3𝜈 𝑅𝑝 .
Sabemos, por afirmação, que 𝑡1 e 𝑡2 são elementos de 𝑝𝜈 𝑅𝑝 , então 𝑡3 deve ser um
elemento de 𝑝𝜈 𝑅𝑝 , o que implica que −𝑡3 ∈ 𝑝𝜈 𝑅𝑝 . Portanto, se as coordenadas 𝑡 de
𝑃1 e 𝑃2 estão em 𝑝𝜈 𝑅𝑝 , então a coordenada 𝑡 de 𝑃1 + 𝑃2 também está em 𝑝𝜈 𝑅𝑝 .
Portanto, se a coordenada 𝑡 de 𝑃 = (𝑡, 𝑠) pertence a 𝑝𝜈 𝑅, então é claro que a
coordenada 𝑡 de −𝑃 = (−𝑡, −𝑠) tam,bém pertence a 𝑝𝜈 𝑅. Com isso, temos que
𝐶(𝑝𝜈 ) é fechado sobre a adição, e portanto é um subgrupo de 𝐸(Q).

Ao provar que 𝐶(𝑝𝜈 ) é um subgrupo de 𝐸(Q), também provamos um resultado um
pouco mais forte. Provamos que
𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 ∈ 𝑝3𝜈 𝑅𝑝 .
Assim, sabemos que, para qualquer 𝑃1 , 𝑃2 ∈ 𝐶(𝑝𝜈 ),
𝑡(𝑃1 ) + 𝑡(𝑃2 ) − 𝑡(𝑃1 + 𝑃2 ) ∈ 𝑝3𝜈 𝑅𝑝 ,
onde 𝑡(𝑃 ) é a coordenada 𝑡 de 𝑃 . Então, se 𝑃 é dado em coordenadas (𝑥, 𝑦), ou seja,
(𝑥𝑃 , 𝑦(𝑃 )), então
𝑥𝑃
𝑡(𝑃 ) =
.
𝑦(𝑃 )
Essa última fórmula nos diz mais do que o simples fato de que 𝐶(𝑝𝜈 ) é um subgrupo. Ela
nos diz que 𝑡1 , 𝑡2 e 𝑡3 devem ser divisiveis por 𝑝3𝜈 𝑅𝑝 . Em outras palavras
𝑡(𝑃1 + 𝑃2 ) ≡ 𝑡(𝑃1 ) + 𝑡(𝑃2 )

(mod 𝑝3𝜈 𝑅𝑝 ).

Note que o (+) em 𝑃1 + 𝑃2 é a adição sobre nossa curva, enquanto o (+) em 𝑡(𝑃1 ) + 𝑡(𝑃2 )
é a adição em 𝑅𝑝 , que é apenas uma adição de números racionais.
Considere a aplicação
𝐶(𝑝𝜈 ) −→ Q
𝑃 = (𝑥, 𝑦) ↦−→ 𝑡(𝑃 ) =

𝑥
𝑦

Essa aplicação parece ser um homomorfismo de elementos que segue a lei de adição de
uma curva elíptica a um grupo aditivo de números racionais, mas o fato de que
𝑡(𝑃1 + 𝑃2 ) ̸= 𝑡(𝑃1 ) + 𝑡(𝑃2 )

3.4. O Teorema de Nagell-Lutz

53

não chega a torná-lo um homomorfismo.
Contudo, o que queremos é um homomorfismo de 𝐶(𝑝𝜈 ) para o grupo quociente
𝑝𝜈 𝑅𝑝
,
𝑝3𝜈 𝑅𝑝
enviando 𝑃 em 𝑡(𝑃 ). O núcleo desse homomorfismo consiste de todos os pontos 𝑃 tal
que 𝑡(𝑃 ) ∈ 𝑝3𝜈 𝑅𝑝 . Portanto, o núcleo é apenas 𝐶(𝑝3𝜈 ), e pelo Teorema do Isomorfismo
obtemos
𝑝𝜈 𝑅𝑝
𝐶(𝑝𝜈 )
−→
𝐶(𝑝3𝜈 )
𝑝3𝜈 𝑅𝑝
𝑃 = (𝑥, 𝑦) ↦−→ 𝑡(𝑃 ) =

𝑥
,
𝑦

que é um o homomorfismo.
Corolário 3.4.1. Para todo primo 𝑝, o subgrupo 𝐶(𝑝) não contém pontos de ordem finita,
exceto 𝒪.
Demonstração. Seja 𝑃 um ponto de ordem 𝑚. Seja 𝑝 algum número primo. Como 𝑃 ̸= 𝒪,
sabemos que 𝑚 > 1. Queremos mostrar que 𝑃 ∈
/ 𝐶(𝑝). Vamos supor que 𝑃 ∈ 𝐶(𝑝). O
ponto 𝑃 está contido em algum subgrupo menor 𝐶(𝑝𝜈 ), pois o denominador de 𝑥 não
pode ser divísivel por potências arbitrariamentes altas de 𝑝. Portanto, deve existir algum
𝜈 > 0 tal que 𝑃 ∈ 𝐶(𝑝𝜈 ), mas 𝑃 ∈
/ 𝐶(𝑝𝜈+1 ). Tomemos esse 𝑝, nesse caso existe dois casos
possíveis para considerar.
Vamos supor primeiro que 𝑝 - 𝑚. Temos que
𝑡(𝑃1 + 𝑃2 ) ≡ 𝑡(𝑃1 ) + 𝑡(𝑃2 )

(mod 𝑝3𝜈 𝑅𝑝 ),

pois 𝑃 é um ponto de ordem 𝑚. Somando ele 𝑚 vezes, temos
𝑡(𝑚𝑃 ) ≡ 𝑚𝑡(𝑃 )

(mod 𝑝3𝜈 𝑅𝑝 ).

Uma vez que 𝑚𝑃 = 𝒪, temos 𝑡(𝒪) = 0. Por outro lado, como 𝑚𝑑𝑐(𝑚, 𝑝) = 1, ele é uma
unidade em 𝑅. Portanto
0 ≡ 𝑡(𝑃 ) (mod 𝑝3𝜈 𝑅𝑝 ).
Isto significa que 𝑃 ∈ 𝐶(𝑝3𝜈 ), o que contradiz o fato de que 𝑃 ∈
/ 𝐶(𝑝𝜈+1 ).
Agora, suponha que 𝑝 | 𝑚. Como 𝑝 divide 𝑚, temos que 𝑚 = 𝑝𝑛 para algum 𝑛 ∈ Z.
Se tomarmos 𝑃 ′ = 𝑛𝑃 , então 𝑃 ′ tem ordem 𝑝 e é um elemento de 𝐶(𝑝), pois 𝑃 ∈ 𝐶(𝑝).
Como 𝐶(𝑝) é um subgrupo, vemos que 𝑃 ′ ∈ 𝐶(𝑝𝜈 ), mas 𝑃 ′ ∈
/ 𝐶(𝑝𝜈+1 ). Simirlamente ao
primeiro caso, temos
0 = 𝑡(𝒪) = 𝑡(𝑝𝑃 ′ ) ≡ 𝑝𝑡(𝑃 ′ )

(mod 𝑝3𝜈 𝑅𝑝 ).

54

Capítulo 3. Pontos de Ordem Finita

Isso signfica que
𝑡(𝑃 ′ ) ≡ 0

(mod 𝑝3𝜈−1 𝑅𝑝 ).

Isto nos dá que 𝑃 ′ ∈ 𝐶(𝑝3𝜈−1 ), o que contradiz o fato de que 𝑃 ′ ∈
/ 𝐶(𝑝𝜈+1 ), uma vez que
3𝜈 − 1 > 𝜈 + 1.
Corolário 3.4.2. Se 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ̸= 𝒪 é um ponto racional de ordem finita, então 𝑥 e 𝑦
são inteirios.
Demonstração. Uma vez que não existe pontos de ordem finita em 𝐶(𝑝), para qualquer
𝑝 primo, todos os pontos de ordem finita não tem um denominador que possa ser divido
por qualquer primo, e portanto deve ter coordenadas inteiras.
O Teorema de Nagell-Lutz é importante na medida em que ele fornece um método
para encontrar os pontos de ordem finita em uma curva elíptica. Isso faz com que o
teorema seja uma ferramenta muito útil para analizar uma curva elíptica.
Teorema 3.4.1 (Nagell-Lutz). Seja
𝑦 2 = 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
uma curva elíptica com coeficentes inteiros, e seja
Δ(𝑓 ) = −4𝑎3 𝑐 + 𝑎2 𝑏2 + 18𝑎𝑏𝑐 − 4𝑏3 − 27𝑐2
o discriminante da curva. Seja 𝑃 = (𝑥, 𝑦) um ponto de ordem finita. Então 𝑥 e 𝑦 são
inteiros, e ou 𝑦 = 0, no caso 𝑃 tem ordem dois, ou então 𝑦 | Δ.
Demonstração. Já ”está” provado acima.
Devemos deixar claro que o Teorema de Nagell-Lutz não é uma afirmação "se e
somente se". É completamente possível que tenhamos pontos com coordeadas inteiras e
com 𝑦 | Δ, mas que tenha ordem infinita. O teorema pode ser usado para fornecer uma
lista de pontos que inclui todos os pontos de ordem finita, mas isso nunca pode ser usado
para provar que qualquer ponto em particular, na verdade, tem ordem finita.

55

4 Tereoma de Mordell
O objetivo deste capítulo é demonstrar o teorema de Mordell. Para isso, existe
uma ferrmamenta usada na prova chamada altura. A altura de um ponto racional mede
o quanto o ponto é complexo do ponto de vista da Teoria dos Números.

4.1 Teorema de Descida
Teorema 4.1.1 (Descida). Seja 𝐸(Q) um grupo comutativo. Suponha que existe uma
função
ℎ : 𝐸(Q) −→ [0, ∞)
com as seguintes propriedades.
1. Para cada número real 𝑀 , o conjunto
{𝑃 ∈ 𝐸(Q) | ℎ(𝑃 ) ≤ 𝑀 } < ∞
2. Para cada 𝑃0 ∈ 𝐸(Q), existe uma constante 𝜅0 tal que
ℎ(𝑃 + 𝑃0 ) ≤ 2ℎ(𝑃 ) + 𝜅0 ,

∀ 𝑃 ∈ 𝐸(Q).

3. Existe uma constante 𝜅 tal que
ℎ(2𝑃 ) ≥ 4ℎ(𝑃 ) − 𝜅,

∀ 𝑃 ∈ 𝐸(Q).

4. O subgrupo 2𝐸(Q) tem índice finito em 𝐸(Q).
Então 𝐸(Q) é finitamente gerado.
Demonstração. Como 2𝐸(Q) é um subgrupo de 𝐸(Q) com indíce finito então existem
somente um número finito de classes laterais de 2𝐸(Q) em 𝐸(Q). Seja
𝑃 = {𝑄 ∈ 𝐸(Q) | 𝑃 − 𝑄 ∈ 2𝐸(Q)}
= {𝑄 ∈ 𝐸(Q) | 𝑃 ∼ 𝑄}
𝐸(Q) =

⨆︁

𝑃

𝑃 ∈𝐸(Q)

Assuma que
𝐸(Q)
= {𝑄1 , . . . , 𝑄𝑛 }.
2𝐸(Q)

56

Capítulo 4. Tereoma de Mordell

Temos que
∀ 𝑃 ∈ 𝐸(Q) =⇒ 𝑃 = 𝑄𝑖 ,

𝑃 − 𝑄𝑖1 ∈ 2𝐸(Q),

ou seja,
𝑃 − 𝑄𝑖1 = 2𝑃1
para algum 𝑃1 ∈ 𝐸(Q). Fazendo esse processo, podemos escrever
𝑃1 − 𝑄𝑖2 = 2𝑃2
𝑃2 − 𝑄𝑖3 = 2𝑃3
..
.
𝑃𝑚−1 − 𝑄𝑖𝑚 = 2𝑃𝑚

Onde 𝑄𝑖𝑗 ∈ {𝑄1 , . . . , 𝑄𝑛 }. Dessa forma, temos
𝑃 = 𝑄𝑖1 + 2𝑃1
𝑃 = 𝑄𝑖1 + 2𝑄𝑖2 + 4𝑃2
𝑃 = 𝑄𝑖1 + 2𝑄𝑖2 + 4𝑄𝑖3 + 8𝑃3
..
.
𝑃 = 𝑄𝑖1 + 2𝑄𝑖2 + 22 𝑄𝑖3 + 23 𝑄𝑖3 + · · · + 2𝑚−1 𝑄𝑖𝑚 + 2𝑚 𝑃𝑚 .
Assim, todo 𝑃 ∈ 𝐸(Q) pode ser reprensentado pelo conjunto finito {𝑄1 , . . . , 𝑄𝑛 } e algum
𝑃𝑚 . Agora, se provarmos que se escolhermos um 𝑚 suficientemente grande, então a altura
de 𝑃𝑚 é sempre menor que alguma constante. Pelo item (𝑎), sabemos que os conjuntos
de 𝑃𝑚 será finito.
Usando o item (𝑏) e substituindo 𝑃0 por −𝑄𝑖 , acharemos a constante 𝜅𝑖 , e assim
ℎ(𝑃 − 𝑄𝑖 ) ≤ 2ℎ(𝑃 ) + 𝜅𝑖 ,

∀ 𝑃 ∈ 𝐸(Q).

Repetimos o processo para cada 𝑄𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Seja 𝜅′ = max{𝑘𝑖 , 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛}, então
ℎ(𝑃 − 𝑄𝑖 ) ≤ 2ℎ(𝑃 ) + 𝜅′ ,

∀ 𝑃 ∈ 𝐸(Q) e todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.

Podemos fazer isso pois existe um número finito de 𝑄𝑖 . Dos itens (𝑏) e (𝑐), temos a
desigualdade
4ℎ(𝑃𝑗 ) ≤ ℎ(2𝑃𝑗 ) + 𝜅 = ℎ(𝑃𝑗−1 − 𝑄𝑖𝑗 ) + 𝜅 ≤ 2ℎ(𝑃𝑗−1 ) + 𝜅′ + 𝜅.
Logo
1
𝜅′ + 𝜅
ℎ(𝑃𝑗−1 ) +
ℎ(𝑃𝑗 ) ≤
2
4
3
1
ℎ(𝑃𝑗−1 ) − (ℎ(𝑃𝑗−1 ) − (𝜅′ + 𝜅)).
=
4
4

4.2. Altura de Pontos Racionais

57

De modo que, se ℎ(𝑃𝑗−1 ) ≥ 𝜅′ + 𝜅, então
3
ℎ(𝑃𝑗 ) ≤ (𝑃𝑗−1 ).
4
Se ℎ(𝑃𝑚 ) ≤ 𝜅′ + 𝜅, temos por (𝑎) que 𝑃𝑚 é um conjunto finito. Se ℎ(𝑃𝑚 ) ≥ 𝜅′ + 𝜅, então
3
ℎ(𝑃𝑗 ) ≤ (𝑃𝑗−1 ).
4
De fato, sempre poderemos achar um ℎ(𝑃𝑚+𝑖 ) para algum 𝑖 > 0 tal que ℎ(𝑃𝑚+𝑖 ) ≤ 𝜅′ + 𝜅.
Ou seja, ℎ(𝑃𝑚+𝑖 ) é um conjunto finito.
Se 𝑃 ∈ 𝐸(Q), então podemos expressar 𝑃 da seguinte forma
𝑃 = 𝑎1 𝑄1 + 𝑎2 𝑄2 + · · · + 𝑎𝑛 𝑄𝑛 + 2𝑚 𝑅
para certos inteiros 𝑎1 , · · · , 𝑎𝑛 e algum ponto 𝑅 ∈ 𝐸(Q) satisfazendo a desigualdade
ℎ(𝑅) ≤ 𝜅′ + 𝜅. Uma vez que 𝑃 é um ponto arbitrário de 𝐸(Q), temos que o conjunto
{𝑄1 , 𝑄2 , . . . , 𝑄𝑛 } ∪ {𝑅 ∈ 𝐸(Q) | ℎ(𝑅) ≤ 𝜅′ + 𝜅}
gera 𝐸(Q). Dos itens (𝑎) e (𝑑), este conjunto é finito. Portanto 𝐸(Q) é finitamente gerado.

4.2 Altura de Pontos Racionais
Definição 4.2.1. Para todo 𝑥 ∈ Q, com 𝑥 = 𝑚
, onde 𝑚𝑑𝑐(𝑚, 𝑛) = 1, definimos a altura
𝑛
𝐻 : Q −→ Z+ como
𝐻(𝑥) = max{|𝑚|, |𝑛|}.
Propriedade 1 (Propriedade da finitude da Altura). Seja 𝐾 uma constante. Temos que
{︂

𝑚
𝑥=
∈ Q | 𝐻(𝑥) ≤ 𝐾 < ∞
𝑛
}︂

Demonstração. Seja 𝑥 = 𝑚
. Assim, temos que
𝑛
−𝑘 ≤ 𝑚 ≤ 𝑘

e

1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑘,

pois não precisamos considerar os valores negativos de 𝑛. Temos assim 2𝑘 + 1 escolhas
para 𝑚 e 𝑘 valores para 𝑛. Portanto, há, no máximo (2𝑘 +1)𝑘 = 2𝑘 2 +𝑘 números racionais
com a altura menor ou igual a 𝑘.
Definição 4.2.2. Se
𝑦 2 = 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
é uma curva elíptica com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ Z, e 𝑃 = (𝑥, 𝑦) é um ponto racional sobre a curva,
definiremos a altura de 𝑃 como a altura da coordenada 𝑥.
𝐻(𝑃 ) = 𝐻(𝑥).

58

Capítulo 4. Tereoma de Mordell

Definição 4.2.3. Seja a curva elíptica 𝐸 com coeficientes inteiros. Definimos a altura
ℎ : 𝒞 −→ R+ como
ℎ(𝑃 ) = log 𝐻(𝑃 )
Por motivos de notação, é mais interessante ter uma função que se comporta de
forma aditiva e, por isso, trabalhar com ℎ é mais conveniente.
Definição 4.2.4. Seja 𝒪 o ponto no infinito. Definimos a altura de 𝒪 como
𝐻(𝒪) = 1

ou

ℎ(𝒪) = 0.

Observação 4.2.1. A condição de que 𝑚𝑑𝑐(𝑚, 𝑛) = 1 na definição de 𝐻(𝑥) implica que
com 𝑚𝑑𝑐(𝑚, 𝑛) = 1 é
𝐻(0) = 1, pois a única possibilidade de escrever o 0 na forma 𝑚
𝑛
0
quando ±1 . Como |𝑛| = | − 𝑛|, ∀𝑛 ∈ Z, a altura 𝐻 está bem definida para qualqer número
racional. Dai, temos
ℎ(𝑥) = log 𝐻(𝑥) ≥ log 1 = 0.
Portanto, ℎ ∈ R+ .
Nosso objetivo é mostrar que o grupo dos pontos racionais 𝐸(Q) é finitamente
gerado. Para isso, precisamos mostrar quatro lemas.
Lema 4.2.1. Para todo numéro real 𝑀 , temos que o conjunto
{𝑃 ∈ 𝐸(Q) | ℎ(𝑃 ) ≤ 𝑀 } < ∞.
Demonstração. Seja 𝑥 = 𝑚
, com 𝑚, 𝑛 ∈ Z, 𝑛 ̸= 0, e 𝑚𝑑𝑐(𝑚, 𝑛) = 1 e 𝐻(𝑥) = max{|𝑚|, |𝑛|}.
𝑛
Temos que
ℎ(𝑃 ) = ℎ(𝑥) = log 𝐻(𝑥) < 𝑀 ⇐⇒ 𝐻(𝑥) < 𝑒𝑀 ⇐⇒ |𝑚|, |𝑛| < 𝑒𝑀 .
Como −𝑒𝑀 < 𝑚, 𝑛 < 𝑒𝑀 , existe um número finito de possibilidades para escolhe-los.
Portanto, existe um número finito de escolhas para 𝑥, mas para cada 𝑥 temos no máximo
dois pontos, uma vez que 𝑦 é dado por 𝑦 2 = 𝑓 (𝑥). Portanto, existe somente um número
finito de escolhas para 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(Q).
Lema 4.2.2. Seja 𝑃0 um ponto racional fixo sobre a curva. Existe uma constante 𝜅0 ,
dependendo de 𝑃0 e de 𝑎, 𝑏, 𝑐 tal que
ℎ(𝑃 + 𝑃0 ) ≤ 2ℎ(𝑃 ) + 𝜅0 , ∀ 𝑃 ∈ 𝐸(Q).
Demonstração. Se 𝑃0 = 𝒪, o resultasdo é trivial pois
ℎ(𝑃 ) ≤ 2ℎ(𝑃 ) + 𝜅0 .

4.2. Altura de Pontos Racionais

59

Suponha agora que 𝑃0 = (𝑥0 , 𝑦0 ) ̸= 𝒪 e 𝑃 ∈ 𝐸(Q) com 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈
/ {𝑃0 , −𝑃0 , 𝒪}.
̃︀ 𝑦).
̃︀ Assim,
Tomemos 𝑃 + 𝑃0 = (𝑥,
𝑥̃︀ + 𝑥 + 𝑥0 = 𝜆2 − 𝑎,

𝜆=

𝑦 − 𝑦0
.
𝑥 − 𝑥0

Daí,
𝑥̃︀ = 𝜆2 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑥0
(︂
)︂
𝑦 − 𝑦0 2
𝑥̃︀ =
− 𝑎 − 𝑥 − 𝑥0
𝑥 − 𝑥0
(𝑦 − 𝑦0 )2 − 𝑎(𝑥 − 𝑥0 )2 − (𝑥 − 𝑥0 )2 (𝑥 + 𝑥0 )
𝑥̃︀ =
(𝑥 − 𝑥0 )2
𝑦 2 − 2𝑦𝑦0 + 𝑦02 − 𝑥3 + 𝑥2 𝑥0 − 𝑎𝑥2 + 𝑥𝑥0 + 2𝑎𝑥𝑥0 − 𝑥30 − 𝑎𝑥20
𝑥̃︀ =
𝑥2 − 2𝑥𝑥0 + 𝑥20
Podemos substituir 𝑦 2 − 𝑥3 usando a equação da curva elíptica, pois o ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈
𝐸(Q), assim
𝑥̃︀ =

(−2𝑦0 )𝑦 + (𝑥0 )𝑥2 + (𝑏 + 𝑥20 + 2𝑎𝑥0 )𝑥 + (𝑐 + 𝑦02 − 𝑥30 − 𝑎𝑥20 )
𝑥2 + (−2𝑥0 )𝑥 + 𝑥20

e ficamos com a expressão
𝑥̃︀ =

𝐴𝑦 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷
,
𝐸𝑥2 + 𝐹 𝑥 + 𝐺

onde 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 ∈ Q são constantes que dependem 𝑎, 𝑏 e (𝑥0 , 𝑦0 ). Conseguimos
uma expressão semelhante para 𝑥̃︀ com 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 ∈ Z multiplicando o numerador
e o denominador por um inteiro conveniente. Substituindo 𝑥 = ℓ𝑚2 e 𝑥 = ℓ𝑛3 , temos
2

𝐴 ℓ𝑛3 + 𝐵 𝑚ℓ4 + 𝐶 ℓ𝑚2 + 𝐷
𝑥̃︀ =
2
𝐸 𝑚ℓ4 + 𝐹 ℓ𝑚2 + 𝐺
𝐴ℓ𝑛 + 𝐵𝑚2 + 𝐶𝑚ℓ2 + 𝐷ℓ4
𝑥̃︀ =
𝐸𝑚2 + 𝐹 𝑚ℓ2 + 𝐺ℓ4
Agora, estamos próximos do resultado que queremos. Note que temos uma expressão para
𝑥̃︀ como um inteiro divido por um inteiro. Não sabemos como é esta expressão na forma
irredutível, mas certamente temos que
̃︀ ≤ max{|𝐴ℓ𝑛 + 𝐵𝑚2 + 𝐶𝑚ℓ2 + 𝐷ℓ4 |, |𝐸𝑚2 + 𝐹 𝑚ℓ2 + 𝐺ℓ4 |}.
𝐻(𝑃 + 𝑃0 ) = 𝐻(𝑥)

Temos que
1

𝐻(𝑃 ) = max{|𝑚|, |ℓ2 |} =⇒ |𝑚| ≤ 𝐻(𝑃 ) e ℓ2 ≤ 𝐻(𝑃 ) ⇒ ℓ ≤ 𝐻(𝑃 ) 2 .

60

Capítulo 4. Tereoma de Mordell

Podemos também limitar o numerador da coordenada 𝑦 em termos de 𝐻(𝑃 ). Para mostrar
(︁
)︁
isso, usamos o fato de que o ponto 𝑃 = ℓ𝑚2 , ℓ𝑛3 satisfaz a equação, assim
𝑦 2 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑚3
𝑚2
𝑚
𝑛2
=
+
𝑎
+
𝑏
+𝑐
ℓ6
ℓ6
ℓ4
ℓ2
𝑛2 = 𝑚3 + 𝑎𝑚2 ℓ2 + 𝑏𝑚ℓ4 + 𝑐ℓ6
|𝑛2 | ≤ |𝑚3 | + |𝑎𝑚2 ℓ2 | + |𝑏𝑚ℓ4 | + |𝑐ℓ6 |
≤ 𝐻(𝑃 )3 + |𝑎|𝐻(𝑃 )3 + |𝑏|𝐻(𝑃 )3 + |𝑐|𝐻(𝑃 )3
= (1 + |𝑎| + |𝑏| + |𝑐|)𝐻(𝑃 )3
Tome 𝐾 =

√︁

1 + |𝑎| + |𝑏| + |𝑐|, assim
|𝑛2 | ≤ 𝐾 2 𝐻(𝑃 )3
3

|𝑛| ≤ 𝐾𝐻(𝑃 ) 2

Usando essas desigualdades e a desigualdade triangular, temos
|𝐴ℓ𝑛+𝐵𝑚2 +𝐶𝑚ℓ2 +𝐷ℓ4 | ≤ |𝐴ℓ𝑛|+|𝐵𝑚2 |+|𝐶𝑚ℓ2 |+|𝐷ℓ4 | ≤ (|𝐴𝑘|+|𝐵|+|𝐶|+|𝐷|)𝐻(𝑃 )2 ,
e
|𝐸𝑚2 + 𝐹 𝑚ℓ2 + 𝐺ℓ4 | ≤ |𝐸𝑚2 | + |𝐹 𝑚ℓ2 | + |𝐺ℓ4 | ≤ (|𝐸| + |𝐹 | + |𝐺|)𝐻(𝑃 )2 .
Portanto
̃︀ ≤ max{|𝐴𝐾| + |𝐵| + |𝐶| + |𝐷|, |𝐸| + |𝐹 | + |𝐺|}𝐻(𝑃 )2 .
𝐻(𝑃 + 𝑃0 ) = 𝐻(𝑥)

Aplicando o logarítmo em ambos od lados
ℎ(𝑃 + 𝑃0 ) = log 𝐻(𝑃 + 𝑃0 ) ≤ 2ℎ(𝑃 ) + 𝜅0 ,
onde 𝜅0 = log max{|𝐴𝐾| + |𝐵| + |𝐶| + |𝐷|, |𝐸| + |𝐹 | + |𝐺|} dependedo somente de 𝑎, 𝑏, 𝑐
e (𝑥0 , 𝑦0 ) não depende de 𝑃 = (𝑥, 𝑦).
Lema 4.2.3. Existe uma constante 𝜅, dependendo de 𝑎, 𝑏, 𝑐 tal que
ℎ(2𝑃 ) ≥ 4ℎ(𝑃 ) − 𝜅, ∀ 𝑃 ∈ 𝐸(Q).
Demonstração. Seja 𝑃 = (𝑥, 𝑦) e 2𝑃 = (𝑥, 𝑦). Da fórmula da duplicação, temos
𝑥 + 2𝑥 = 𝜆2 − 𝑎,

𝜆=

𝑓 ′ (𝑥)
.
2𝑦

4.2. Altura de Pontos Racionais

61

Assim,
𝑥 = 𝜆2 − 𝑎 − 2𝑥
(︃
)︃2
𝑓 ′ (𝑥)
𝑥 =
− 𝑎 − 2𝑥
2𝑦
𝑓 ′ (𝑥)2
=
− 𝑎 − 2𝑥
4𝑓 (𝑥)
𝑓 ′ (𝑥)2 − 4(𝑎 + 2𝑥)𝑓 (𝑥)
=
4𝑓 (𝑥)
𝜙(𝑥)
𝑥 =
,
𝜓(𝑥)
onde 𝜙, 𝜓 ∈ Z[𝑥] e deg 𝜙 = 4 e deg 𝜓 = 3. Se 𝜙 e 𝜓 têm raízes comum, então 𝑓 e 𝑓 ′
teriam raízes em comum, o que contradiz o fato de que a curva elíptica é não singular.
Para finalizar a demonstração, precisamos do seguinte lema.
Lema 4.2.4. Seja 𝜙(𝑥), 𝜓(𝑥) ∈ Z[𝑥] polinômios sem raízes complexas comuns. Seja 𝑑 =
max{deg(𝜙), deg(𝜓)}. Então
1. Existe um inteiro 𝑅 ≥ 1, dependendo de 𝜙 e 𝜓, tal que
𝑚
𝑚
𝑚
∀
∈ Q, 𝑚𝑑𝑐 𝑛𝑑 𝜙
, 𝑛𝑑 𝜓
𝑛
𝑛
𝑛
(︂

(︂

)︂

(︂

)︂)︂

| 𝑅.

Demonstração. Note que
deg(𝜙), deg(𝜓) ≤ 𝑑 =⇒ 𝑛𝑑 𝜙

(︂

𝑚
𝑚
, 𝑛𝑑 𝜓
∈ Z.
𝑛
𝑛
)︂

(︂

)︂

Sem perda de generalidade, suponha deg(𝜙) = 𝑑 ≥ deg(𝜓) = 𝑒, com
𝜙(𝑥) = 𝑎0 𝑥𝑑 + 𝑎1 𝑥𝑑−1 + · · · + 𝑎𝑑
𝜓(𝑥) = 𝑏0 𝑥𝑒 + 𝑏1 𝑥𝑒−1 + · · · + 𝑏𝑒 ,
daí
𝑚
= 𝑎0 𝑚𝑑 + 𝑎1 𝑚𝑑−1 𝑛 + · · · + 𝑎𝑑 𝑛𝑑
𝑛
(︂ )︂
𝑚
Ψ(𝑚, 𝑛) = 𝑛𝑑 𝜓
= 𝑏0 𝑚𝑒 𝑛𝑑−𝑒 + 𝑏1 𝑚𝑒−1 𝑛𝑑−𝑒−1 + · · · + 𝑏𝑒 𝑛𝑑 .
𝑛
Φ(𝑚, 𝑛) = 𝑛𝑑 𝜙

(︂

)︂

Temos que 𝑚𝑑𝑐(𝜙(𝑥), 𝜓(𝑥)) = 1 em Q[𝑥], portanto eles geram um ideal unitário,
logo existem 𝐹 (𝑥), 𝐺(𝑥) ∈ Q[𝑥] tais que
𝐹 (𝑥)𝜙(𝑥) + 𝐺(𝑥)𝜓(𝑥) = 1.
Seja 𝐴 ∈ Z, grande o suficiente, de tal maneira que valha 𝐴𝐹 (𝑥), 𝐴𝐺(𝑥) ∈ Z[𝑥].
Tome 𝐷 = max{deg 𝐹 (𝑥), deg 𝐺(𝑥)}. Note que 𝐴 e 𝐷 não dependem de 𝑚 ou 𝑛.
Segue que
{︂

𝑛𝑑 𝐷𝐹

(︂

𝑚
𝑛

)︂}︂

{︂

Φ(𝑚, 𝑛) + 𝑛𝑑 𝐴𝐺

(︂

𝑚
𝑛

)︂}︂

Ψ(𝑚, 𝑛) = 𝐴𝑛𝐷+𝑑 .

62

Capítulo 4. Tereoma de Mordell

Seja 𝐸(Q) = 𝐸(Q)(𝑚, 𝑛) = 𝑚𝑑𝑐(Φ(𝑚, 𝑛), Ψ(𝑚, 𝑛)). Da equação acima, temos que
𝐸(Q) | 𝐴𝑛𝐷+𝑑 . Temos que
𝐸(Q) | Φ(𝑚, 𝑛) ⇒ 𝐸(Q) | 𝐴𝑛𝐷+𝑑−1 Φ(𝑚, 𝑛) = 𝐴𝑎0 𝑚𝑑 𝑛𝐷+𝑑−1 +𝐴𝑎1 𝑚𝑑−1 𝑛𝐷+𝑑 +· · ·+𝐴𝑎𝑑 𝑛𝐷+2𝑑−1 .
Disto, concluímos que
𝐸(Q) | 𝐴𝑎0 𝑚𝑑 𝑛𝐷+𝑑−1 ,
portanto
𝐸(Q) | 𝑚𝑑𝑐(𝐴𝑛𝐷+𝑑 , 𝐴𝑎0 𝑚𝑑 𝑛𝐷+𝑑−1 ) = 𝐴𝑛𝐷+𝑑−1 𝑚𝑑𝑐(𝑎0 𝑚𝑑 , 𝑛)
= 𝐴𝑛𝐷+𝑑−1 𝑚𝑑𝑐(𝑎0 , 𝑛)
= 𝐴𝑎0 𝑛𝐷+𝑑−1 .

Portanto, 𝐸(Q) | 𝐴𝑎0 𝑛𝐷+𝑑−1 . Para 𝑖 > 0, conseguimos provar que 𝐸(Q) | 𝐴𝑎𝑖0 𝑛𝐷+𝑑−𝑖 .
E para 𝑖 = 𝐷 + 𝑑, temos que
𝐸(Q) | 𝐴𝑎𝐷+𝑑
𝑛𝐷+𝑑−(𝐷+𝑑) = 𝐴𝑎𝐷+𝑑
.
0
0
Ou seja, provamos que 𝐸(Q) | 𝐴𝑎𝐷+𝑑
. Tomando 𝑅 = 𝐴𝑎𝐷+𝑑
, o lema segue.
0
0
2. Existem constantes 𝜅1 , 𝜅2 , dependendo de 𝜙 e 𝜓, tal que,
𝑚 ⎞
(︂ )︂
⎟
𝑚
𝑚
𝑚
𝑛
⎟
⎜
(︂
)︂
∀
∈ Q, que não são raízes de 𝜓, 𝑑ℎ
≤ 𝑑ℎ
− 𝜅1 ≤ ℎ ⎝
+ 𝜅2 .
⎠
𝑚
𝑛
𝑛
𝑛
𝜓
𝑛
⎛

(︂

(︂

)︂

⎜𝜙

)︂

Demonstração. Nesse caso, temos duas desigualdades a serem provadas. Porém,
só estamos interessados na primeira desigualdade, isto é, na existência de 𝜅1 . A
∈ Q que não anula
existência de 𝜅2 é provada de forma análoga ao Lema 2. Seja 𝑚
𝑛
+
𝜙. Por definição, para qualquer número 𝑟 ∈ Q , temos que
1
.
𝑟

(︂ )︂

ℎ(𝑟) = ℎ

Mais uma vez, podemos assumir que deg(𝜙) = 𝑑 ≥ deg(𝜓) = 𝑒. Queremos uma
estimativa para ℎ(𝑥), tal que
𝑚
𝑚
𝜙
𝑛𝑑 𝜙
Φ(𝑚, 𝑛)
𝑛 )︂ =
(︂ 𝑛 )︂ =
ℎ(𝑥) = (︂ 𝑚
.
𝑚
Ψ(𝑚, 𝑛)
𝜓
𝑛𝑑 𝜓
𝑛
𝑛
(︂

)︂

(︂

)︂

Provamos acima que existe um inteiro 𝑅 ≥ 1, que não depende de 𝑚 e 𝑛, tal que
𝑚𝑑𝑐(Φ(𝑚, 𝑛), Ψ(𝑚, 𝑛)) | 𝑅.

4.2. Altura de Pontos Racionais

63

Dai, temos que
{︃

|Φ(𝑚, 𝑛)|
|Ψ(𝑚, 𝑛)|
𝐻(𝑥) = max
,
𝑚𝑑𝑐(Φ(𝑚, 𝑛), Ψ(𝑚, 𝑛)) 𝑚𝑑𝑐(Φ(𝑚, 𝑛), Ψ(𝑚, 𝑛))
1
≥
max{|Φ(𝑚, 𝑛)|, |Ψ(𝑚, 𝑛)|}
𝑅
(︂ )︂⃒}︂
(︂ )︂⃒ ⃒
{︂⃒
⃒
𝑚 ⃒⃒
𝑚 ⃒⃒ ⃒⃒ 𝑑
1
𝑛
𝜓
,
max ⃒⃒𝑛𝑑 𝜙
=
⃒ ⃒
𝑅 (︂⃒
𝑛
𝑛 ⃒
(︂ )︂⃒)︂
(︂ )︂⃒ ⃒
𝑚 ⃒⃒
𝑚 ⃒⃒ ⃒⃒ 𝑑
1 ⃒⃒ 𝑑
.
≥
⃒𝑛 𝜙
⃒ + ⃒𝑛 𝜓
2𝑅
𝑛
𝑛 ⃒
Queremos comparar
⎛

𝜙

(︁ )︁ ⎞
𝑚

(︂

𝑛
𝐻(𝑥) = 𝐻 ⎝ (︁ 𝑚 )︁ ⎠
𝜓 𝑛

e

𝐻

𝑚
𝑛

)︂𝑑

}︃

= max{|𝑚|𝑑 , |𝑛|𝑑 }.

Assim, condiremos o quociente
⃒

𝐻(𝑥)
𝐻

(︁ )︁𝑑
𝑚
𝑛

(︁ )︁⃒

⃒

(︁ )︁⃒

⃒ 𝑑
⃒ 𝑑
𝑚 ⃒
𝑚 ⃒
1 ⃒𝑛 𝜙 𝑛 ⃒ + ⃒𝑛 𝜓 𝑛 ⃒
≥
2𝑅
max{|𝑚|𝑑 , |𝑛|𝑑 }
⃒ (︁ )︁⃒ ⃒ (︁ )︁⃒
⃒
⃒
𝑚 ⃒
𝑚 ⃒
1 ⃒𝜙 𝑛 ⃒ + ⃒𝜓 𝑛 ⃒
}︂ .
{︂⃒ ⃒
2𝑅 max ⃒⃒ 𝑚 ⃒⃒𝑑 , 1
𝑛

=
Consideremos a função

1 |𝜙(𝑡)| + |𝜓(𝑡)|
.
2𝑅 max{|𝑡|𝑑 , 1}
Como o denominador não se anula, temos que
𝑝(𝑡) =

𝑝(𝑡) = 0 ⇒ |𝜙(𝑡)| + |𝜓(𝑡)| = 0 ⇒ 𝜙(𝑡) = 𝜓(𝑡),
o que contradiz a hípotese de que 𝜙(𝑡) e 𝜓(𝑡) não tem raízes em comum. Logo, 𝑝(𝑡)
é uma função contínua que não se anula. Assim,
1 |𝜙(𝑡)| + |𝜓(𝑡)|
∈ R* .
𝑡→∞ 2𝑅
|𝑡|𝑑

lim 𝑝(𝑡) = lim

𝑡→∞

Por afirmação, temos que deg(𝜙) = 𝑑 e deg 𝜓 é no máximo 𝑑, logo 𝑝(𝑡) tem limite
diferente de zero quanto |𝑡| → ∞. A continuidade nos garante que 𝑝(𝑡) tem um
máximo e um mínimo em todo intervalo fechado, e o fato de que nunca se anula
nos diz que dentro de um compacto 𝑝(𝑡) possui um minimo positivo 𝐶1 > 0 tal que
𝑝(𝑡) > 𝐶1 . Dai,
(︂ )︂𝑑
𝐻(𝑥)
𝐶1
𝐶1
𝑚
≥
⇒
𝐻(𝑥)
≥
𝐻
,
(︁ )︁𝑑
2𝑅
2𝑅
𝑛
𝐻 𝑚
𝑛

aplicando o log em ambos os lados
(︃

𝐶1
𝑚
log 𝐻(𝑥) ≥ log
𝐻
2𝑅
𝑛
(︂

)︂𝑑 )︃

𝑚
⇒ ℎ(𝑥) ≥ 𝑑ℎ
− 𝜅1 ,
𝑛
(︂

)︂

onde 𝐶1 e 𝑅 não dependem de 𝑚 e 𝑛, para todo 𝑚
∈ Q.
𝑛
Com isso, concluímos a demonstração do lema.

2𝑅
𝜅1 = log
,
𝐶1
(︂

)︂

64

Capítulo 4. Tereoma de Mordell

4.3 Teorema de Mordell
A equação de 𝐸(Q) é dada por
𝑦 2 = 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,
com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ Z e Δ𝑓 ̸= 0. Vimos que os pontos 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(Q) de ordem dois são
dados quando
𝑦 = 0 ⇔ 𝑓 (𝑥) = 0.
Uma vez que 𝑓 (𝑥) = 0, e 𝑓 é um polinômio com coeficientes inteiros e coeficiente líder 1,
temos que 𝑥 é um número inteiro. Suponha que 𝑥0 é uma raiz inteira de 𝑓 . Fazendo uma
mudança de coordenadas
𝑥 → 𝑥 − 𝑥0 ,
podemos assumir que
𝑥0 = 0 ⇒ 𝑐 = 0.
A condição para a não singularidade de 𝐶 é
Δ𝑓 = −4𝑎3 𝑐 + 𝑎2 𝑏2 + 18𝑎𝑏𝑐 − 4𝑏3 − 27𝑐2
= 𝑎2 𝑏2 − 4𝑏3
= 𝑏2 (𝑎2 − 4𝑏) ̸= 0
Defina a curva 𝐸 dada pela equação
𝐸 : 𝑦 2 = 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥,
onde
𝑎 = −2𝑎

e

𝑏 = 𝑎2 − 4𝑏.

Temos que
2

Δ𝑓 = 𝑏 (𝑎2 − 4𝑏)
= (𝑎2 − 4𝑏)2 (4𝑎2 − 4𝑎2 + 16𝑏)
= 16𝑏(𝑎2 − 4𝑏)2 ̸= 0,
e portanto, 𝐸(Q) é uma curva elíptica suave.
Proposição 4.3.1. Seja 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸, com 𝑥 ̸= 0. A aplicação
𝜙 : 𝐸 −→ 𝐸
(︃

(𝑥, 𝑦) ↦−→ (𝑥, 𝑦) =
está bem definida.

𝑦 2 𝑦(𝑥2 − 𝑏)
,
𝑥2
𝑥2

)︃

4.3. Teorema de Mordell

65

Demonstração. Para mostrar que 𝜙 está bem definido, basta mostrar que 𝑥 e 𝑦 satisfazem
a equação de 𝐸.
𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑥(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏)
= 𝑥(𝑥2 − 2𝑎𝑥 + (𝑎2 − 4𝑏))
(︃
)︃
𝑦 2 𝑦 4 2𝑎𝑦 2
2
= 2
− 2 + 𝑎 − 4𝑏
𝑥 𝑥4
𝑥
(︃
)︃
4
2
𝑦 𝑦 − 2𝑎𝑥2 𝑦 2 + 𝑎2 𝑥4 − 4𝑏𝑥4
= 2
𝑥
𝑥4
(︃
)︃
𝑦 2 (𝑦 2 − 𝑎𝑥2 )2 − 4𝑏𝑥4
= 2
𝑥
𝑥4
𝑦2
= 6 ((𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥2 )2 − 4𝑏𝑥4 )
𝑥
𝑦2
= 6 ((𝑥3 + 𝑏𝑥)2 − 4𝑏𝑥4 )
𝑥
𝑦2
= 6 𝑥6 + 2𝑏𝑥4 + 𝑏2 𝑥2 − 4𝑏𝑥4
𝑥
𝑦2 3
= 6 (𝑥 − 𝑏𝑥)2
𝑥
(︃
)︃2
𝑦(𝑥3 − 𝑏𝑥)
=
𝑥3
(︃

𝑦𝑥(𝑥2 − 𝑏)
𝑥3

(︃

𝑦(𝑥2 − 𝑏)
𝑥2

=
=

)︃2

)︃2

= 𝑦2.

Com a mesma construção acima para 𝐸, temos
𝐸(Q) : 𝑦 2 = 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥,
onde
𝑎 = −2𝑎 = 4𝑎

e

𝑏 = 𝑎2 − 4𝑏 = 4𝑎2 − 4(𝑎2 − 4𝑏) = 16𝑏.

Fazendo uma mudança de coordenas
𝜙: 𝐸 → 𝐸
(︂
)︂
𝑥 𝑦
(𝑥, 𝑦) ↦→
,
4 8
temos que
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(Q) ⇔ 𝑦 2 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥
64𝑦 2 = 64𝑥3 + 64𝑎𝑥2 + 64𝑏𝑥
(8𝑦)2 = (4𝑥)3 + 4𝑎(4𝑥)2 + 16𝑏(4𝑥)
(8𝑦)2 = (4𝑥)3 + 𝑎(4𝑥)2 + 𝑏(4𝑥) = (4𝑥, 8𝑦) ∈ 𝐸(Q).

66

Capítulo 4. Tereoma de Mordell

Assim, o grupo de pontos racionais em 𝐸 é isomorfo ao grupo de pontos racionas em 𝐸.
Proposição 4.3.2. Sejam 𝐸 e 𝐸 as curvas elípticas definidas acima.
1. Existe um homomorfismo 𝜙 : 𝐸 → 𝐸 definido por:

𝜙(𝑃 ) =

)︃
⎧(︃ 2
𝑦 𝑦(𝑥2 − 𝑏)
⎪
⎪
⎨
,
,

se 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ̸= 𝒪, 𝑇,

⎪
⎪
⎩

se 𝑃 ∈ {𝒪, 𝑇 }

𝑥2

𝑥2

𝒪,

Assim ker 𝜙 = {𝒪, 𝑇 }, onde 𝑇 = (0, 0).
Demonstração. Vamos primeiro mostrar que 𝜙 está bem definida, ou seja, 𝜙(𝑃 ) ∈
𝐸, ∀𝑃 ∈ 𝐸. Se 𝑃 ∈ {𝒪, 𝑇 }, então 𝜙(𝑃 ) = 𝒪 ∈ 𝐸. Se 𝑃 ∈
/ {𝒪, 𝑇 }, implica que
𝑥 ̸= 0. Temos que 𝜙(𝑃 ) ∈ 𝐸 se, e somente se
(︃

)︃2

(︃

)︃3

(︃

)︃2

(︃

𝑦(𝑥2 − 𝑏)
𝑦2
𝑦2
𝑦2
=
+
𝑎
+
𝑏
𝑥2
𝑥2
𝑥2
𝑥2
𝑦 2 (𝑥2 − 𝑏)2
𝑦6
𝑦4
𝑦2
2
=
−
2𝑎
+
(𝑎
−
4𝑏)
𝑥4
𝑥6
𝑥4
𝑥2

)︃

Se 𝑦 = 0, a igualdade é verdadeira. Se 𝑦 ̸= 0, então a igualdade é equivalente a
(𝑥2 − 𝑏)2 𝑥2 = 𝑦 4 − 2𝑎𝑦 2 𝑥2 + (𝑎2 − 4𝑏)𝑥4
(𝑥2 − 𝑏)2 𝑥2 = (𝑦 2 − 𝑎𝑥2 )2 − 4𝑏𝑥4
(𝑥3 − 𝑏𝑥)2 = (𝑥3 + 𝑏𝑥)2 − 4𝑏𝑥4
que equivale a
(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 4𝑎𝑏
= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑏
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Logo, 𝜙 está bem definida. Dessa forma, vemos que 𝜙(𝐸(Q)) ⊂ 𝐸(Q). Provamos
que 𝜙 é um homomorfismo de grupos. Temos que
⎧
⎪
⎨𝜙(𝒪) = 𝒪.
⎪
⎩𝜙(𝑃 + 𝒪) = 𝜙(𝑃 ) = 𝜙(𝑃 ) + 𝒪 = 𝜙(𝑃 ) + 𝜙(𝒪).

Queremos provar que
𝜙(𝑃 + 𝑇 ) = 𝜙(𝑃 ) + 𝜙(𝑇 ) = 𝜙(𝑃 ) + 𝜙(𝒪) = 𝜙(𝑃 ), ∀𝑃 ∈ 𝐸.
Para 𝑃 = 𝒪:
𝜙(𝒪 + 𝑇 ) = 𝜙(𝑇 ) = 𝒪 = 𝜙(𝒪).

4.3. Teorema de Mordell

67

Para 𝑃 = 𝑇 :
𝜙(𝑇 + 𝑇 ) = 𝜙(2𝑇 ) = 𝜙(𝒪) = 𝒪 = 𝜙(𝑇 ).
Lembrando que, como 𝑇 = (0, 0), então 𝑇 é um ponto de ordem dois, pois 𝑦 = 0.
Agora, vamos assumir que 𝑃 ̸= {𝒪, 𝑇 }. Assim, temos que 𝑥 ̸= 0. Agora, tomemos
𝑃1 = 𝑇 = e pela fórmula da soma 𝑃 + 𝑇 = (𝑥2 , −𝑦2 ). Usando as fórmulas
⎧
⎪
⎪
𝑥2 = 𝜆2 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑥1
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑦
𝑦 −𝑦
1

=
𝑥1 − 𝑥
𝑥
𝑦2 = 𝜆𝑥2 + 𝜈
𝜆=

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩

Dai, temos
𝑥(𝑃 + 𝑇 ) = 𝜆2 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑥1
(︂ )︂2
𝑦
−𝑎−𝑥−0
=
𝑥
(︂ )︂2
𝑦
=
−𝑎−𝑥−0
𝑥
𝑏
=
𝑥
e
𝑦(𝑃 + 𝑇 ) = 𝜆𝑥(𝑃 + 𝑇 ) + 𝜈
𝑦𝑏
=
𝑥𝑥
𝑦𝑏
= 2
𝑥
Assim, 𝑃 + 𝑇 = (𝑥2 , −𝑦2 ) = (𝑥(𝑃 + 𝑇 ), 𝑦(𝑃 + 𝑇 )), ou seja, 𝜙(𝑃 + 𝑇 ) = (𝑥(𝑃 +
𝑇 ), 𝑦(𝑃 + 𝑇 )). Daí, temos que
(︃

𝑥(𝑃 + 𝑇 ) =

𝑦(𝑃 + 𝑇 )
𝑥(𝑃 + 𝑇 )

)︁
−𝑏𝑦 2
2
⎜ 𝑥
⎟
⎝ (︁ )︁2 ⎠
𝑏
𝑥2
2 2 2
⎛ (︁

=

⎞

𝑏𝑦 𝑥
𝑥 4 𝑏2
𝑦2
= 2 = 𝑥(𝑃 ),
𝑥
=

)︃2

68

Capítulo 4. Tereoma de Mordell

e também
𝑦(𝑃 + 𝑇 ) =

𝑦(𝑃 + 𝑇 )𝑥(𝑃 + 𝑇 )2 − 𝑏
(𝑥(𝑃 + 𝑇 ))2
⎞

⎛(︃ )︃
2

−𝑏𝑦 ⎝ 𝑏
𝑥2
𝑥
=

− 𝑏⎠

(︃ )︃2

𝑏
𝑥
(︃
)︃
𝑥2 −𝑏𝑦 𝑏2 − 𝑏𝑥2
= 2
𝑏
𝑥2
𝑥2
𝑏2 (−𝑏𝑦 + 𝑥2 𝑦)
=
𝑥 2 𝑏2
2
𝑦(𝑥 − 𝑏)
=
= 𝑦(𝑃 ).
𝑥2
Portanto, isso mostra que
𝜙(𝑃 + 𝑇 ) = 𝜙(𝑃 ).
Uma observação importante a se fazer é que, nos calculos acima, sempre assumimos
que 𝑏 ̸= 0, pois Δ𝑓 = 𝑏2 (𝑎2 − 4𝑏) ̸= 0. Da definição do inverso de 𝑃 , temos:
𝜙(−𝑃 ) = 𝜙(𝑥, −𝑦) =

(︃(︂

−𝑦
𝑥

)︂2

−𝑦(𝑥2 − 𝑏)
,
𝑥2

)︃

= −𝜙(𝑥, 𝑦) = −𝜙(𝑃 ).

Agora, queremos provar que
𝜙(𝑃1 ) + 𝜙(𝑃2 ) = 𝜙(𝑃1 + 𝑃2 ), ∀ 𝑃1 , 𝑃2 ∈ 𝐸(Q).
Isso é equivalente a mostrar que
𝜙(𝑃1 ) + 𝜙(𝑃2 ) − 𝜙(𝑃1 + 𝑃2 ) = 𝒪.
Para isso, é suficiente mostrar que dados três pontos colineares 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 ∈ 𝐸(Q)
temos que 𝜙(𝑃1 ) + 𝜙(𝑃2 ) + 𝜙(𝑃3 ) = 0. A colinearidade de 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 é equivalente a
𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 = 0. Pelas observações anteriores é suficiente considerar 𝑃𝑖 ∈
/ {𝒪, 𝑇 }
com 𝑖 = 1, 2, 3. Se dois ou três destes pontos coincidem, então a reta deve ser
apropriadamente tangente a curva. Vamos assumir que os três pontos são distintos.
Seja 𝑟 : 𝑦 = 𝜆𝑥 + 𝜈 a equação da reta que passa pelos três pontos colineares 𝑃1 , 𝑃2
e 𝑃3 . Para a reta que intercepta 𝐸, tomamos
𝑦 = 𝜆𝑥 + 𝜈,

onde

𝜈𝜆 − 𝑏
𝜆=
𝜈

e

𝜈 2 − 𝑎𝜈𝜆 + 𝑏𝜆2
𝜈=
.
𝜈

Notemos que 𝜈 ̸= 0, caso contrário, se 𝜈 = 0 significaria que a reta 𝑟 contém 𝑇 ,
e por Bezout 𝑃1 , 𝑃2 ou 𝑃3 seriam igual a 𝑇 , contradizendo a nossa suposição de

4.3. Teorema de Mordell

69

que 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 são distintos de 𝑇 . Seja 𝜙(𝑃𝑖 ) = 𝜙(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) = (𝑥𝑖 , 𝑦 𝑖 ), 𝑖 = 1, 2, 3. Para
mostrar que 𝜙(𝑃𝑖 ) está na reta 𝑟 é sufciente mostrar que 𝑦 = 𝜆𝑥 + 𝜈.
𝜆𝑥𝑖 + 𝜈 =
=
=
=
=

𝜈𝜆 − 𝑏 𝑦𝑖2 𝜈 2 − 𝑎𝜈𝜆 + 𝑏𝜆2
+
𝜈 𝑥2𝑖
𝜈
2
2
(𝜈𝜆 − 𝑏)𝑦𝑖 + (𝜈 − 𝑎𝜈𝜆 + 𝑏𝜆2 )𝑥2𝑖
𝜈𝑥2𝑖
𝜈𝜆𝑦𝑖2 − 𝑏𝑦𝑖2 + 𝜈 2 𝑥2𝑖 − 𝑎𝜈𝜆𝑥2𝑖 + 𝑏𝜆2 𝑥2𝑖
𝜈𝑥2𝑖
𝜈𝜆(𝑦𝑖2 − 𝑎𝑥2𝑖 ) − 𝑏(𝑦𝑖2 − 𝜆2 𝑥2𝑖 ) + 𝜈 2 𝑥2𝑖
𝜈𝑥2𝑖
𝜈𝜆(𝑦𝑖2 − 𝑎𝑥2𝑖 ) − 𝑏(𝑦𝑖 − 𝜆𝑥𝑖 )𝑏(𝑦𝑖 + 𝜆𝑥𝑖 ) + 𝜈 2 𝑥2𝑖
𝜈𝑥2𝑖

Substituindo 𝑦𝑖2 − 𝑎𝑥2𝑖 = 𝑥3𝑖 + 𝑏𝑥𝑖 e 𝑦𝑖 − 𝜆𝑥𝑖 = 𝜈
𝜈𝜆(𝑥3𝑖 + 𝑏𝑖 ) − 𝑏𝜈(𝑦𝑖 + 𝜆𝑥𝑖 ) + 𝜈 2 𝑥2𝑖
𝜈𝑥2𝑖
𝜆(𝑥3𝑖 + 𝑏𝑖 ) − 𝑏(𝑦𝑖 + 𝜆𝑥𝑖 ) + 𝜈𝑥2𝑖
𝑥2𝑖
𝜆𝑥3𝑖 + 𝜆𝑏𝑥𝑖 − 𝑏𝑦𝑖 − 𝑏𝜆𝑥𝑖 + 𝜈𝑥2𝑖
𝑥2𝑖
𝜆𝑥3𝑖 − 𝑏𝑦𝑖 + 𝜈𝑥2𝑖
𝑥2𝑖
𝑥2𝑖 (𝜆𝑥𝑖 + 𝜈 − 𝑏𝑦𝑖 )
𝑥2𝑖
𝑦𝑖 (𝑥2𝑖 − 𝑏)
𝑥2𝑖
𝑦𝑖,

𝜆𝑥𝑖 + 𝜈 =
=
=
=
=
=
=

para 𝑖 = 1, 2, 3. Portanto, 𝜙(𝑃1 ), 𝜙(𝑃2 ) e 𝜙(𝑃3 ) são colineares. Temos que 𝜙 : 𝐸 → 𝐸
é contínua, portanto, uma vez que 𝜙 é um homomorfismo para pontos distintos, por
continuidade temos que é um homomorfismo geral.
2. Existe um homomorfismo 𝜓 : 𝐸 → 𝐸 definido por

𝜓(𝑃 ) =

)︃
⎧(︃ 2
𝑦 𝑦(𝑥2 − 𝑏)
⎪
⎪
⎨
,
,

se 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ̸= 𝒪, 𝑇 ,

⎪
⎪
⎩

se 𝑃 ∈ {𝒪, 𝑇 }

4𝑥2

𝒪,

8𝑥2

A composição 𝜓 ∘ 𝜙 : 𝐶 → 𝐶 é a multiplicação 𝜓 ∘ 𝜙(𝑃 ) = 2𝑃 .
Demonstração. Podemos ver de duas formas diferentes que 𝜓 é um homomorfismo
bem definido. De forma análoga que fizemos para 𝜙, mostramos que 𝜓 é um homomorfismo de grupos bem definido com ker 𝜓 = {𝒪, 𝑇 }. Vimos acima que, 𝐸 é

70

Capítulo 4. Tereoma de Mordell

isomorfa a 𝐸. Do item acima, temos um homomorfismo 𝜙 : 𝐸 → 𝐸. Uma vez que
𝜓 : 𝐸 → 𝐸 é uma composição de 𝜙 com o isomorfismo 𝐸 → 𝐸, mais uma vez,
vemos que 𝜓 é um homomorfismo de grupos bem definido. No resta verificar que
𝜓 ∘ 𝜙(𝑃 ) = 2𝑃, ∀𝑃 ∈ 𝐸(Q). Se 𝑃 ∈ {𝒪, 𝑇 }, temos que 𝜓 ∘ 𝜙(𝑃 ) = 𝜓(𝒪) = 𝒪 = 2𝑃 ,
lembrando que 𝑇 tem ordem dois em 𝐸(Q). Agora, seja 𝑃 ∈
/ {𝒪, 𝑇 }, isto é, 𝑥, 𝑦 ∈ Q
e 𝑥 ̸= 0. Assim,
(︃

𝜓 ∘ 𝜙(𝑃 ) =

=

=
=

)︃

𝑦 2 𝑦(𝑥2 − 𝑏)
𝜓
,
𝑥2
𝑥2
(︃
)︃ ⎞
⎛
4
2 2
2 𝑦(𝑥2 − 𝑏)2
𝑦
𝑦 (𝑥 − 𝑏)
− 𝑎2 + 4𝑏 ⎟
⎜
2
4
⎜
⎟
𝑥
𝑥
4
𝑥
⎜
⎟
,
⎜
⎟
4
4
𝑦
𝑦
⎝
⎠
4 4
8 4
𝑥
𝑥
(︃
)︃)︃
(︃
2 2
4
2
2
(𝑥 − 𝑏) 𝑥 (𝑥 − 𝑏) 𝑦
2
,
− 𝑎 + 4𝑏
4𝑦 2
8𝑦 3
𝑥4
)︃
(︃
(𝑥2 − 𝑏)2 (𝑥2 − 𝑏)(𝑦 4 + (4𝑏 − 𝑎2 )𝑥4 )
,
4𝑦 2
8𝑦 3 𝑥2

Temos que 𝜙(𝑃 ) = 𝑇 ⇔ 𝑦 = 0 ⇔ 2𝑃 = 𝒪. Se 2𝑃 = 𝒪, então 𝜓(𝜙(𝑃 )) = 𝜓(𝑇 ) =
𝒪 = 2𝑃 . Vamos assumir que 𝑦 ̸= 0. Temos que 𝑦 2 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 ⇒ 𝑦 2 =
𝑥(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑛), logo 𝑦 4 = 𝑥2 (𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑛)2 . Substiuindo na última expressão, temos
(︃

𝜓 ∘ 𝜙(𝑃 ) =
=
=
=

(𝑥2 − 𝑏)2 (𝑥2 − 𝑏)(𝑥2 (𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑛)2 + (4𝑏 − 𝑎2 )𝑥4 )
,
4𝑦 2
8𝑦 3 𝑥2
(︃
)︃
(𝑥2 − 𝑏)2 (𝑥2 − 𝑏)((𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑛)2 + (4𝑏 − 𝑎2 )𝑥4 )
,
4𝑦 2
8𝑦 3
(︃
)︃
(𝑥2 − 𝑏)2 (𝑥2 − 𝑏)((𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑛)2 + (4𝑏 − 𝑎2 )𝑥4 )
,
4𝑦 2
8𝑦 3
(︃
)︃
(𝑥2 − 𝑏)2 (𝑥2 − 𝑏)(𝑥4 + 2𝑎𝑥3 + 6𝑏𝑥2 + 2𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2 )
,
4𝑦 2
8𝑦 3

)︃

Agora, para mostrar a igual, devemos calcular𝑥2𝑃 e 𝑦2𝑃 .
𝑥2𝑃 = 𝜆2 − 𝑎 − 2𝑥
𝑓 ′ (𝑥)2
− 𝑎 − 2𝑥
=
4𝑦 2
(3𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑏)2
=
− 𝑎 − 2𝑥
4(𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥)
(3𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑏)2 − 4(𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥)(2𝑥 + 𝑎)
=
4𝑦 2
9𝑥4 + 12𝑎𝑥3 + (4𝑎2 + 6𝑏)𝑥2 + 4𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2 − 8𝑥4 − 12𝑎𝑥3 − (4𝑎2 + 8𝑏)𝑥2 − 4𝑎𝑏𝑥
=
4𝑦 2
𝑥4 − 2𝑏𝑥2 + 𝑏2
(𝑥2 − 𝑏)2
=
⇒
𝑥
=
2𝑃
4𝑦 2
4𝑦 2

4.3. Teorema de Mordell

71

E agora 𝑦2𝑃
𝑦2𝑃 = −𝜆𝑥2𝑃 − 𝜈

𝑦2𝑃

= −𝜆𝑥2𝑃 − (𝑦 − 𝜆𝑥)
(︃
(︃
)︃
)︃
𝑓 ′ (𝑥) (𝑥2 − 𝑏)2
= −
−𝑥 +𝑦
2𝑦
4𝑦 2
3𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑏 𝑥4 − 2𝑏𝑥2 + 𝑏2 − 4𝑥(𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥)
−𝑦
= −
2𝑦
4𝑦 2
(3𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑥4 − 2𝑏𝑥2 + 𝑏2 − 4𝑥(𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥)) + 8(𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥)2
= −
8𝑦 3
𝑓 ′ (𝑥)((𝑥2 − 𝑏)2 − 4𝑥𝑓 (𝑥)) + 8(𝑓 (𝑥))2
= −
8𝑦 3
𝑓 ′ (𝑥)(𝑥2 − 𝑏)2 − 4𝑓 (𝑥)(𝑥𝑓 ′ (𝑥) − 2𝑓 (𝑥))
= −
8𝑦 3
𝑓 ′ (𝑥)(𝑥2 − 𝑏)2 − 4𝑓 (𝑥)(3𝑥3 + 2𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 2𝑥3 − 2𝑎𝑥2 − 2𝑏𝑥)
= −
8𝑦 3
𝑓 ′ (𝑥)(𝑥2 − 𝑏)(𝑥2 − 𝑏) + 4𝑥𝑓 (𝑥)
= −
4𝑥𝑓 (𝑥)
2
4
(𝑥 − 𝑏)(−3𝑥 − 2𝑎𝑥3 + 2𝑏𝑥2 + 2𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2 + 4𝑥4 + 4𝑎𝑥3 + 4𝑏𝑥2 )
=
8𝑦 3
(𝑥2 − 𝑏)(𝑥4 + 2𝑎𝑥3 + 6𝑏𝑥2 + 2𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2 )
=
8𝑦 3

Portanto, 𝜓 ∘ 𝜙(𝑃 ) = 2𝑃 . Analogamente, temos que 𝜙 ∘ 𝜓(𝑃 ) = 2𝑃 .
Podemos argumentar que sendo 𝜙 um homomorfismo, temos
𝜙(2𝑃 ) = 𝜙(𝑃 + 𝑃 ) = 𝜙(𝑃 ) + 𝜙(𝑃 ) = 2𝜙(𝑃 ).
Ou seja, provamos que 𝜓 ∘ 𝜙(𝑃 ) = 2𝑃 , sendo 𝜓(𝜙(𝑃 )) = 2(𝜙(𝑃 )). Agora, 𝜙 : 𝐸 → 𝐸 é
uma função de pontos complexos, então para qualquer 𝑃 ∈ 𝐸, nós podemos achar 𝑃 ∈ 𝐸
com 𝜙(𝑃 ) = 𝑃 . Portanto 𝜙 ∘ (𝑃 ) = 2𝑃 .
Lembremos que provamos que 𝜓 ∘ 𝜙(𝑃 ) = 2𝑃 para pontos com 𝑥, 𝑦 ̸= 0, pois as
fórmulas acima não são válidas se 𝑥 ou 𝑦 é zero. Nos casos em que 𝑃 é um ponto de ordem
dois, temos que 𝜓 ∘ 𝜙(𝑃 ) = 𝒪. Ou seja, se 𝑃 = (𝑥, 0) ⇒ 𝜙(𝑃 ) = 𝑇 , logo 𝜓 ∘ 𝜙(𝑃 ) = 𝒪.
Se 𝑥 = 0 ⇒ 𝑃 = 𝑇 , e então 𝜙(𝑇 ) = 𝒪.
Sejam as curvas
𝐸 : 𝑦 2 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥

e

𝐸 : 𝑦 2 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥,

onde
𝑎 = −2𝑎

𝑏 = 𝑎2 − 4𝑏,

e

e temos os homomorfismos
𝜙:𝐸→𝐸

e

𝜓 : 𝐸 → 𝐸.

72

Capítulo 4. Tereoma de Mordell

Propriedade 2. Seja 𝜙(𝐸(Q)) o subgrupo de 𝐸(Q), tal que 𝑃 ∈ 𝐸(Q) é 𝜙(𝑃 ), com
𝑃 ∈ 𝐸(Q). Temos:
1. 𝒪 ∈ 𝜙(𝐸(Q))

Demonstração. Temos que 𝒪 ∈ 𝜙(𝐸(Q)), uma vez que nosso homomorfismo define
que 𝜙(𝒪) = 𝒪.
2. 𝑇 = (0, 0) ∈ 𝜙(𝐸(Q)) se, e somente se 𝑏 = 𝑎2 − 4𝑏 é um quadrado perfeito

Demonstração. Já vimos que
(︃

𝜙(𝑇 ) =

)︃

𝑦 2 𝑦(𝑥2 − 𝑏)
,
.
𝑥2
𝑥2

Sabemos que (𝑥, 𝑦) ̸= 0, uma vez que (0, 0) → 𝒪. Então 𝜙(𝑇 ) = (0, 0) ⇔ 𝑥 ̸=
0 e 𝑦 = 0. Sobre a condição de que 𝑦 = 0, temos
0 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑥(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏).
Precisamos que isso seja racional e não nula, por isso precisamos 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 tenha
uma raiz racional. Note que 𝑥 é racional se, e somente se 𝑎2 − 4𝑏 é um quadrado
perfeito. Portanto 𝑇 ∈ 𝜙(𝐸(Q)) se, e somente se 𝑎2 − 4𝑏 = 𝑏 é um quadrado
perfeito.

3. Seja 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(Q) com 𝑥 ̸= 0. Então, 𝑃 ∈ 𝜙(𝐸(Q)) se, e somente se 𝑥 é o
quadrado de um número racional.

Demonstração. Se (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(Q), com 𝑥 ̸= 0, então da definição de 𝜙 segue que
𝑦2
𝑦
𝑃 ∈ 𝜙(𝐸(Q)) ⇒ 𝑥 = 2 =
𝑥
𝑥

(︂ )︂2

.

Então 𝑥 é o quadrado de um número racional. Reciprocamente, suponha que 𝑥 = 𝑤2 ,
com 𝑤 ∈ Q. O homomorfismo 𝜙 tem dois elementos em seu núcleo, são eles 𝒪 e
𝑇 . Assim, se (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜙(𝐸(Q)) existirão dois pontos de 𝐸(Q) que são enviados em
(𝑥, 𝑦). Sejam eles
1
𝑦
𝑤2 − 𝑎 +
,
2 (︂
𝑤 )︂
1
𝑦
=
𝑤2 − 𝑎 +
,
2
𝑤
(︂

)︂

𝑥1 =

𝑦 1 = 𝑥1 𝑤

𝑥2

𝑦2 = −𝑥2 𝑤.

4.3. Teorema de Mordell

73

Afirmamos que 𝑃𝑖 = (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) ∈ 𝐸 e 𝜙(𝑃𝑖 ) = (𝑥, 𝑦), para 𝑖 = 1, 2. Assim,
𝑦
𝑦
1
1
𝑤2 − 𝑎 +
·
𝑤2 − 𝑎 −
2 (︃
𝑤
2)︃
𝑤
2
1
𝑦
(𝑤2 − 𝑎)2 − 2
4
𝑤
(︃
)︃
𝑦2
1
2
(𝑥 − 𝑎) −
4
𝑥
(︃
)︃
3
2
1 𝑥 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 𝑥 − 𝑦 2
4
𝑥
(︃
)︃
1 𝑥3 − 2𝑎𝑥2 + 𝑎2 𝑥 − 𝑥3 + 2𝑎𝑥2 − 𝑎2 𝑥 + 4𝑏𝑥
4
𝑥
(︃
)︃
1 4𝑏𝑥
4 𝑥
𝑏
(︂

𝑥1 𝑥2 =
=
=
=
=
=
=

)︂

(︂

)︂

Temos que
𝑦𝑖2
𝑏
= 𝑥𝑖 + 𝑎 +
2
𝑥𝑖
𝑥𝑖
𝑥
1 𝑥2
⇐⇒ 𝑤2 = 𝑥𝑖 + 𝑎 +
𝑥𝑖
2
⇐⇒ 𝑤 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑎

𝑃𝑖 = (𝑥1 , 𝑦1 ) ∈ 𝐸 ⇐⇒

Resta verificar que 𝜙(𝑃𝑖 ) = (𝑥, 𝑦). Pra isso, devemos mostrar que
𝑦𝑖2
=𝑥
𝑥2𝑖

e

𝑦𝑖 (𝑥2𝑖 − 𝑏)
= 𝑦.
𝑥2𝑖

Da primeira igualdade temos
𝑦𝑖2
(±𝑥𝑖 𝑤)2
𝑥2𝑖 𝑤2
= 𝑤2 = 𝑥.
=
=
2
2
2
𝑥𝑖
𝑥𝑖
𝑥𝑖
Da segunda igualdade usaremos o fato de que 𝑏 = 𝑥1 𝑥2 . Logo,
𝑥1 𝑤(𝑥21 − 𝑥1 𝑥2 )
𝑥21 𝑤(𝑥1 − 𝑥2 )
𝑦1 (𝑥21 − 𝑏)
=
=
= 𝑤(𝑥1 − 𝑥2 )
𝑥21
𝑥21
𝑥21
𝑦2 (𝑥22 − 𝑏)
−𝑥2 𝑤(𝑥22 − 𝑥1 𝑥2 )
−𝑥22 𝑤(𝑥2 − 𝑥1 )
=
=
= 𝑤(𝑥1 − 𝑥2 ).
𝑥22
𝑥22
𝑥22
E assim,
𝑦𝑖 (𝑥2𝑖 − 𝑏)
= 𝑤(𝑥1 − 𝑥2 )
𝑥2𝑖
(︂
)︂
1𝑦
1𝑦
= 𝑤
+
2𝑤 2𝑤
(︂ )︂
𝑦
= 𝑤
𝑤
= 𝑦
Portanto, temos que 𝜙((𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )) = (𝑥, 𝑦).

74

Capítulo 4. Tereoma de Mordell

Isto é uma aplicação dois a um, que resulta do fato que pontos racionais sobre uma
curva elíptica pode ser refletida sobre o eixo 𝑥. Queremos criar um homomorfismo um a
um a partir da aplicação dois a um.
Proposição 4.3.3. Seja Q* o grupo multiplicativo de números racionais não nulos, e seja
Q*2 = {𝑢2 | 𝑢 ∈ Q* }, o subgrupo dos quadrados dos elementos de Q* . Definimos
𝛼 : 𝐸(Q) →

Q*
,
Q*2

tal que
𝛼(𝑃 ) =

⎧
⎪
⎪
1
⎪
⎪
⎨

𝑏
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩𝑥

(mod Q*2 ),

se 𝑃 = 𝒪

(mod Q*2 ),

se 𝑃 = 𝑇

(mod Q*2 ), se 𝑃 = (𝑥, 𝑦) com 𝑥 ̸= 0.

Então
1. 𝛼 é um homomorfismo.
Demonstração. Primeiramente, vemos que 𝛼 está bem definida, isto porque 𝑏 ̸= 0,
logo Δ𝑓 = 𝑏2 (𝑎2 − 4𝑏) ̸= 0, e 𝑥 ̸= 0 se 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ̸= 𝒪, 𝑇 . Temos, da definição de 𝛼
e de 𝑥𝑃 = 𝑥−𝑃 , ∀ 𝑃 ∈ 𝐸(Q), que 𝛼(𝑃 ) = 𝛼(−𝑃 ). Assim,
𝛼(−𝑃 ) = 𝛼((𝑥, −𝑦)) = 𝑥 ⇒ 𝛼(𝑃 )𝛼(−𝑃 ) = 𝑥2 ≡ 1

(mod Q*2 )

e
𝛼(𝑇 )𝛼(−𝑇 ) = 𝑏2 ≡ 1

(mod Q*2 ).

Seja 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 ̸= 𝒪, 𝑇 . Então
𝛼(𝑃1 )𝛼(𝑃2 ) = 𝛼(𝑃1 + 𝑃2 ) ⇔ 𝛼(𝑃1 )𝛼(𝑃2 )𝛼(𝑃1 + 𝑃2 )−1 = 1
⇔ 𝛼(𝑃1 )𝛼(𝑃2 )𝛼(−(𝑃1 + 𝑃2 )) = 1
⇔ 𝛼(𝑃1 )𝛼(𝑃2 )𝛼(𝑃3 ) = 1 onde 𝑃3 = −𝑃1 + 𝑃2 .
Para 𝛼 ser um homomorfismo é suficiente provar que se 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 são pontos colineares em 𝐸(Q), então 𝛼(𝑃1 )𝛼(𝑃2 )𝛼(𝑃3 ) ≡ 1 (mod Q*2 ). Se 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 ̸= 𝒪, 𝑇 , então
seja 𝑦 = 𝜆𝑥 + 𝜈 a equação da reta que passa por esses três pontos. A condição de
que 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 ̸= 𝒪, 𝑇 implica que 𝜈 ̸= 0. Seja 𝑥(𝑃1 ) = 𝑥1 , 𝑥(𝑃2 ) = 𝑥2 , 𝑥(𝑃3 ) = 𝑥3 as
raízes da equação
⎧
⎪
⎨𝑦 2 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥
⎪
⎩𝑦 = 𝜆𝑥 + 𝜈

⇒ 𝑥3 + (𝑎 − 𝜆2 )𝑥2 + (𝑏 − 2𝜆𝜈)𝑥 − 𝜈 2 = 0.

4.3. Teorema de Mordell

75

Isto é, para a curva 𝑦 2 = 𝑥3 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 temos
𝑥 1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 𝜆 2 − 𝑎
𝑥1 𝑥2 + 𝑥2 𝑥3 + 𝑥1 𝑥3 = 𝑏 − 2𝜆𝜈
𝑥1 𝑥2 𝑥3 = 𝜈 2 .
Daí, temos que
𝑥1 𝑥2 𝑥3 = 𝜈 2 ⇒ 𝛼(𝑃1 )𝛼(𝑃2 )𝛼(𝑃3 ) = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 = 𝜈 2 ≡ 1

(mod Q*2 ).

Se um dos 𝑃1 , 𝑃2 ou 𝑃3 é 𝒪, então sem perda de generalidade podemos assumir que
𝑃3 = 𝒪 e que 𝑃2 = −𝑃1 . Assim,
𝛼(𝑃1 )𝛼(𝑃2 )𝛼(𝑃3 ) = 𝛼(𝑃1 )𝛼(−𝑃1 )𝛼(𝒪) = 𝛼(𝑃1 )𝛼(𝑃1 )·1 = 𝛼(𝑃1 )2 = 𝑥21 ≡ 1

(mod Q*2 ).

Para 𝑃3 = 𝑇 , e simirlamente para 𝑃1 e 𝑃2 = −𝑃1 , a equação da reta que passa por
𝑃1 , 𝑃2 e 𝑇 é 𝑦 = 𝜆𝑥. Então 𝑥1 , 𝑥2 e 𝑥(𝑇 ) = 0 são as raízes da equação
⎧
⎪
⎨𝑦 2 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥

⇒ 𝑥3 + (𝑎 − 𝜆2 )𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0.

⎪
⎩𝑦 = 𝜆𝑥

Assim,
𝑥1 𝑥2 = 𝑏 ⇒ 𝛼(𝑃1 )𝛼(𝑃2 )𝛼(𝑃3 ) = 𝑥1 𝑥2 𝑏 = 𝑏 · 𝑏 = 𝑏2 ≡ 1

(mod Q*2 ).

Os casos onde 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 = 𝒪 e 𝑃1 = 𝑇, 𝑃2 = 𝑇, 𝑃3 = 𝒪 são triviais. Portanto, 𝛼 é
um homomorfismo.
2. ker 𝛼 = Im 𝜓.
Demonstração. Temos que a 𝜓(𝐸(Q)) consiste dos quadrados. Uma vez que 𝛼 pega
*
os pontos em 𝐸(Q) e leva em QQ*2 , podemos ver que 𝜓(𝐸(Q)) é o núcleo de 𝛼.
Tomando 𝐸(Q) módulo o núcleo, 𝜓(𝐸(Q)), fazemos a aplicação injetiva.
𝐸(Q)
Q*
˓→ *2 .
Q
𝜓(𝐸(Q))

3. Sejam 𝑝1 , 𝑝2 , . . . , 𝑝𝑡 primos distintos que dividem 𝑏. Então a imagem de 𝛼 está con*
tida no subgrupo de QQ*2 que consiste dos elementos
{±𝑝𝜖11 𝑝𝜖22 · · · 𝑝𝜖𝑡 𝑡 | cada 𝜖𝑖 = 0 ou 𝜖𝑖 = 1}.

76

Capítulo 4. Tereoma de Mordell

Demonstração. Se 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(Q), 𝑃 ̸= 𝒪, 𝑇 . Sabemos que existem 𝑚, 𝑛, ℓ ∈ Z,
com ℓ ̸= 0, 𝑚𝑑𝑐(𝑚, ℓ) = 𝑚𝑑𝑐(𝑛, ℓ) = 1 tal que 𝑥 = ℓ𝑚2 e 𝑦 = ℓ𝑛3 . Dai, teremos que
𝑚 ̸= 0, caso contrário 𝑃 = 𝑇 . Substituindo na equação de 𝐸, temos
𝑦 2 = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥
𝑛2
𝑚3
𝑚2
𝑚
=
+
𝑎
+𝑏 2
6
6
4
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
𝑛2 = 𝑚3 + 𝑎𝑚2 ℓ2 + 𝑏𝑚ℓ4
𝑛2 = 𝑚(𝑚2 + 𝑎𝑚ℓ2 + 𝑏ℓ4 )
Seja 𝑑 = 𝑚𝑑𝑐(𝑚, 𝑚2 +𝑎𝑚ℓ2 +𝑏ℓ4 ). Uma vez que 𝑑 | 𝑚, ele também deve dividir 𝑏ℓ4 , já
que todo outro termo em 𝑚2 + 𝑎𝑚ℓ2 + 𝑏ℓ4 contém 𝑚 nele. Mas como 𝑚𝑑𝑐(𝑚, ℓ) = 1,
𝑑 | 𝑏. Podemos escrever 𝑑 como um produto destes fatores primos, e estes fatores
devem dividir 𝑚, 𝑏 ou ambos. Afirmamos que todo primo que divide 𝑚 é ainda uma
potência, exceto, possivelmente, os primos que dividem 𝑏. Suponha que 𝑝1 é um
fator primo de 𝑑 que não divide 𝑏. Então 𝑝1 - 𝑚2 + 𝑎𝑚ℓ2 + 𝑏ℓ4 e deve dividir 𝑚.
Uma vez que 𝑚(𝑚2 + 𝑎𝑚ℓ2 + 𝑏ℓ4 ) é um quadrado, 𝑝1 deve ser a mesma potência.
Agora, podemos escrever
𝑚 = ±𝑞 2 𝑝𝜖11 𝑝𝜖22 · · · 𝑝𝜖𝑡 𝑡 ,
onde 𝑞 ∈ Q, e cada 𝜖𝑖 = 0 ou 𝜖𝑖 = 1, e 𝑝1 , . . . , 𝑝𝑡 são primos distintos que dividem
𝑏. Lembremos que 𝛼 pega um ponto 𝑃 sobre nossa curva e aplica na coordenada 𝑥
módulo um quadrado. Assim, podemos escrever
𝛼(𝑃 ) = 𝑥 =

𝑚
≡ ±𝑝𝜖11 𝑝𝜖22 · · · 𝑝𝜖𝑡 𝑡
ℓ2

(mod Q*2 ).

4. (𝐸(Q) : 𝜓(𝐸(Q))) ≤ 2𝑡+1
Demonstração. Temos que o subgrupo acima tem exatamente 2𝑡+1 elementos. Sabe𝐸(Q)
mos que 𝛼 é injetiva e a imagem de 𝜓(𝐸(Q))
está contido no conjunto deste subgrupo.
Portanto, o indíce de 𝜓(𝐸(Q)) é no máximo 2𝑡+1 . E, portanto,
(𝐸(Q) : 𝜓(𝐸(Q))) ≤ 2𝑡+1 .

Lema 4.3.1. Sejam 𝐴 e 𝐵 dois grupos abelianos. Seja 𝜙 : 𝐴 → 𝐵 e 𝜓 : 𝐵 → 𝐴 dois
homomorfismos de grupos tais que
1. 𝜓 ∘ 𝜙 = 2𝑎, ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝜙 ∘ 𝜓 = 2𝑏, ∀ 𝑏 ∈ 𝐵.
2. (𝐵 : 𝜙(𝐴)) < ∞ e (𝐴 : 𝜓(𝐵)) < ∞.

4.3. Teorema de Mordell

77

Então (𝐴 : 2𝐴) < ∞. Mais precisamente
(𝐴 : 2𝐴) ≤ (𝐴 : 𝜓(𝐵))(𝐵 : 𝜙(𝐴)).
Demonstração. Como o homomorfismo 𝜓 ∘ 𝜙 : 𝐴 → 2𝐴 não é necessariamente sobrejetivo
temos que
(𝐴 : 2𝐴) ≤ (𝐴 : 𝜓 ∘ 𝜙(𝐴)) = (𝐴 : 𝜓(𝐵))(𝜓(𝐵) : 𝜓 ∘ 𝜙(𝐴)).
A imagem de 𝜙(𝐴) através da projeção canônica é dada por
𝐵 −→ 𝜓(𝐵) −→

𝜓(𝐵)
.
𝜓 ∘ 𝜙(𝐴)

Portanto, existe um homomorfismo sobrejetivo
𝐵
𝜓(𝐵)
𝜓(𝐵)
−→
⇒ (𝐵 : 𝜙(𝐴)) ≥
𝜙(𝐴)
𝜓 ∘ 𝜙(𝐴)
𝜓 ∘ 𝜙(𝐴))
= (𝜓(𝐵) : 𝜓 ∘ 𝜙(𝐴)).
Portanto
(𝐴 : 2𝐴) ≤ (𝐴 : 𝜓(𝐵))(𝜓(𝐵) : 𝜓 ∘ 𝜙(𝐴)) ≤ (𝐴 : 𝜓(𝐵))(𝐵 : 𝜙(𝐴)).

Finalmente e após todos os lemas, proposições e teoremas obtemos:
Teorema de Mordell-Weil. Seja 𝐸 uma curva elíptica lisa definida sobre Z. Se 𝐸
admite um ponto racional de ordem dois, então o grupo dos pontos racionais 𝐸(Q) é um
grupo abeliano finitamente gerado.
A vantagem de se ter um grupo abeliano finitamente gerado é que existe uma lista
de pontos racionais da curva, ou equivalentemente, de soluções da equação em números
racionas, tais que todos os outros pontos racionais, ou outras soluções, são obtidos a partir
desses usando a operação de somar pontos. Como a operação é relativamente simples, uma
lista deste tipo seria uma solução completa do problema de achar pontos racionais.
Vale ressaltar que aplicando métodos da Cohomologia Galoisiana e o Teorema da
Descida obtem-se a prova do Teorema de Mordell–Weil para curvas elípticas, que nos diz
a condição imposta no Teorema de Mordell para 𝐸(Q) satisfazer as hipóteses do Teorema
da Descida pode ser retirada, provando que 𝐸(Q) é finitamente gerado sob quaisquer
condições. Porém, a parte crucial do Teorema de Mordell–Weil é o Teorema de Mordell
aqui apresentado.

79

Referências
[CT] J-L Colliot-Thélène, L’arithmétique des variétés rationnelles. Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6), 1(3):295–336, 1992.
[F] W. Fulton, Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry, New York, W.
A. Benjamin,1969.
[G-L] A. Garcia e Y. Lequain, Álgebra: Um Curso de Introdução, Rio de Janeiro, IMPA,
Projeto Euclides,1988.
[S-T] J. Silverman e J. Tate, Rational Points on Elliptic Curves, New York, SpringerVerlage, 1994.