Dissertação

Dissertacao-Sidney-Final.pdf
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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Sidney Donato da Silva

˜ DO PROBLEMA DE YAMABE
SOLUÇAO

Maceió - AL
Março de 2015

Sidney Donato da Silva

˜ DO PROBLEMA DE YAMABE
SOLUÇAO

Dissertação de Mestrado na área de
concentração de Geometria Diferencial,
submetida à banca examinadora designada
pelo Programa de Mestrado em Matemática da
Universidade Federal de Alagoas, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do grau
de mestre em Matemática.
Orientador: Dr.
Vitório.

Maceió - AL
Março de 2015

Feliciano Marcı́lio Aguiar

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária : Lucia Lima do Nascimento
S586s

Silva, Sidney Donato da.
Solução do problema de Yamabe/ Sidney Donato da Silva. – Maceió, 2015.
103 f.
Orientador: Feliciano Marcilio Aguiar Vitório.
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal de
Alagoas. Instituto de Matemática. Programa de Pós Graduação em Matemática.
Maceió, 2015.
Bibliografia: f. 97-98.
1. Geometria Conforme. 2. Problema de operadores elípticos. 3. Teoria de
operadores elípticos. 4. Coordenadas normais conformes. 5. Teorema de massa
positiva. I. Título.
CDU: 514.152.2

À minha famı́lia.
Em especial à minha mãe Valdira Pacheco.

Agradecimentos
Ao término desse trabalho, deixo aqui meus sinceros agradecimentos:
X Ao professor Feliciano Vitório pela orientação no mestrado, por sua paciência, por sua
disposição em contribuir sempre, pela confiança e amizade desde o Pic-Junior, por acreditar no meu potencial de crescimento profissional e por ser um excelente profissional
que consegue estimular seus alunos à pesquisa e à dedicação aos estudos.
X Ao professor Marcos Petrúcio por fazer parte da banca e estar sempre presente na minha
formação, antes mesmo de iniciar a graduação, por suas sugestões e contribuições, e por
sempre querer o melhor aos seus alunos.
X Ao professor Márcio Batista por sugestões que foram implementadas e ao professor Davi
Máximo pela disposição em participar da banca, e por suas sugestões para a melhoria
do trabalho.
X Aos professores André Flores e André Contiero por estarem presentes em minha formação
e por seus conselhos. Aos professores Fernando Echaiz, Fernando Micena e demais professores do Instituto de Matemática que contribuiram de forma direta ou indireta para a
minha obtenção do grau.
X Aos colegas de curso e aos funcionários do instituto pelo bom convı́vio.
X À minha famı́lia pela paciência e compreensão. Especialmente às minhas irmãs e minha
mãe por suas orações e apoio sempre.
X À Deus por toda força e coragem que me concedeu para concluir esse trabalho.
X A todos que contribuiram para a realização desse trabalho.
X À CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro.

“Nas questões matemáticas não se compreende a
incerteza nem a dúvida, assim como tampouco
se podem estabelecer distinções entre
verdades médias e verdades de grau superior.”
(David Hilbert)

Resumo
Nesse trabalho expomos a solução completa do Problema de Yamabe: “Dada uma variedade
Riemanniana compacta conexa (M, g) de dimensão n ≥ 3, encontrar uma métrica conforme
à g com curvatura escalar constante”. Inicialmente, Yamabe transforma esse problema para
um problema de operadores elı́pticos. Juntamente com os trabalhos de Trundiger e Aubin,
mostraremos que para uma certa classe de variedades sempre existe solução. Veremos também
com resultados devido a Aubin, simplificados pelo uso de coordenadas normais conformes,
que boa parte das variedades pertencem à essa classe. Um caso importante é a solução sobre a
esfera, na qual usamos principalmente o Teorema de Yamabe e o Teorema de Obata. Por fim,
expomos como Schoen usa o Teorema de Massa Positiva para completar os resultados obtidos
por Aubin e concluir que o problema sempre tem a solução.

Palavras-chave: Problema de Yamabe. Geometria Conforme. Teoria de Operadores Elı́pticos.
Coordenadas Normais Conformes. Teorema de Massa Positiva.

Abstract
In this work we expose the complete solution of the Yamabe Problem: “Given a compact connected Riemannian manifold (M, g) of dimension n ≥ 3, find a metric conformal to g with
constant scalar curvature”. Initially, Yamabe transforms this problem to a problem of elliptic
operators. Together with the works of Trundiger and Aubin, we show that for a certain class
of manifolds there is always solution. We will also see with results due to Aubin, simplified by
the use of conformal normal coordinates, that many of the manifolds belong to this class. An
important case is the solution on the sphere, in which we mainly use Yamabe’s Theorem and
Obata’s Theorem. Finally, we show explain how Schoen uses the Positive Mass Theorem to
complete the results obtained by Aubin and conclude that the problem always has a solution.

Keywords: Yamabe Problem. Conformal Geometry. Theory of Elliptic Operators. Conformal
Normal Coordinates. Positive Mass Theorem.

Sumário
Introdução

p. 10

1 Preliminares

p. 12

1.1

Geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 12

1.2

Alguns Resultados de Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 24

2 Fórmulas para Mudança de Métrica

p. 29

2.1

Mudanças Conformes de Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 29

2.2

Mudanças por Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 36

3 O Trabalho de Yamabe

p. 40

4 As Contribuições de Aubin e Trudinger

p. 56

5 Solução na esfera S n

p. 63

6 A Solução Parcial de Aubin

p. 70

6.1

O Invariante de Yamabe é Limitado Superiormente . . . . . . . . . . . . . . .

p. 70

6.2

Coordenadas Normais Conformes e Uma Solução Parcial . . . . . . . . . . .

p. 73

7 A Contribuição de Schoen e A Solução Completa

p. 77

7.1

Função de Green do Operador  e a Projeção Estereográfica . . . . . . . . .

p. 77

7.2

Os Teoremas de Massa Positiva e A Solução Completa . . . . . . . . . . . . .

p. 89

8 Considerações Finais

p. 96

Referências

p. 97

Apêndice

p. 99

Introdução
Em 1960, no artigo [31], Hidehiko Yamabe propôs o seguinte problema:
Problema de Yamabe: Dada uma variedade Riemanniana compacta conexa (M, g) de
dimensão n ≥ 3, encontre uma métrica conforme à g com curvatura escalar constante.
O próprio Yamabe tentou resolver seu problema usando técnicas do cálculo variacional e
equações parciais elı́pticas. Infelizmente sua demonstração continha um erro descoberto por
Neil Sidney Trudinger e publicado em 1968. Trudinger conseguiu adaptar a demonstração feita
por Yamabe, mas com o acréscimo de mais hipótese sobre M. Ele introduziu o chamado Invariante de Yamabe da variedade M, denotado por λ(M ). Veremos no Capı́tulo 3 que a constante
λ(M ) depende apenas da classe conforme da variedade e da classe conforme das métricas.
Trudinger verificou que a ideia de Yamabe estava correta, desde que λ(M ) ≤ 0. Também ele
verifica que existe uma constante positiva α(M ) tal que se λ(M ) < α(M ), então a conclusão
de Yamabe é válida e o problema tem solução.
Em 1976, Thierry Aubin mostrou que α(M ) = λ(S n ), onde S n ⊂ Rn+1 denota a esfera
n-dimensional com a métrica canônica induzida da métrica Euclidiana.
Assim, com os resultados desses três matemáticos foi estabelecido o seguinte teorema:
Teorema: (Yamabe, Trudinger, Aubin) O problema de Yamabe pode ser resolvido desde
que λ(M ) < λ(S n ).
Com o teorema acima em mente, podemos pensar em procurar quais variedades satisfazem
λ(M ) < λ(S n ), se elas possuem algo em comum, ou mais profundo: será que para toda
variedades M, nas hipóteses do problema, satisfaz λ(M ) < λ(S n )? A resposta afirmativa a
essa pergunta resolveria completamente o problema de acordo com o teorema acima. Por sorte,
veremos ao longo desse trabalho que de fato vale a desigualdade estrita.
A motivação para essa pergunta também vem do fato de que Aubin no mesmo artigo que
complementou o teorema acima, ele verifica dois resultados importantes:
Teorema: (Aubin) Seja M nas hipóteses acima.
(a) Vale λ(M ) ≤ λ(S n ) para toda M.
(b) Se M tem dimensão n ≥ 6 e não é localmente conformemente plana, então λ(M ) <
λ(S n )
Assim, Aubin obtém uma solução parcial e reforça a ideia de que a conjectura λ(M ) <

λ(S n ) seja verdade.
Concomitantemente, Morio Obata [21] em 1971 estabelece um resultado importante que
culminaria na solução completa na esfera S n através de vários métodos utilizados e várias
contribuições. Mais ainda, como consequência do Teorema de Obata temos que existem infinitas soluções na esfera. Uma outra consequência disso é que isso é um exemplo da nãounicidade do problema.
Em 1984, Richard Schoen [23] consegue dar uma respota afimativa à nossa pergunta, verificando para os casos restantes:
Teorema: (Schoen) Seja M nas hipóteses acima, se M tem dimensão 3, 4, ou 5, ou M é
localmente conformemente plana, então λ(M ) < λ(S n ), a menos que M seja conforme a S n
(S n com a métrica canônica).
O trabalho de Schoen consistiu em notar que a função de Green do Laplaciano Conforme
tem a expansão em coordenadas normais conformes dada por G = r2−n + A + O00 (r), para
n = 3, 4, ou 5, ou M localmente conformemente plana. Usando essa função de Green, ele
observa que a projeção estereográfica definida gera uma variedade assintoticamente plana e
para resolver o problema no caso em que M não é conforme à esfera, bastava que a constante
A fosse positiva. Ele assim o fez para esses casos. Notando que existia uma relação direta entre
essa constante e o Teorema de Massa Positiva, o qual é provado para dimensões 3 ≤ n ≤ 7 em
alguns artigos de Scheon e S. T. Yau. Mas como veremos, a aplicação desse teorema na solução
do problema de Yamabe é estritamente limitada aos casos não provados por Aubin.

12

1
1.1

Preliminares

Geometria Riemanniana

Variedade e Campos Diferenciáveis
Uma variedade M n de dimensão n é uma espaço topológico de Hausdorff tal que cada
ponto de M n tem uma vizinhança homeomorfa a Rn . Dizemos que M n é uma variedade diferenciável de classe C ∞ se é uma variedade com uma classe equivalente de atlas de classe C ∞ .
Dados um ponto p ∈ M e (Ω, Φ) uma carta local, as coordenadas de p ∈ Ω, relativas a φ, são
as coordenadas de Φ(p) ∈ Rn . Para nós, diferenciável significará de classe C ∞ .
Definição 1.1. Sejam M1n e M2m variedades diferenciáveis. Uma aplicação f : M1 −→ M2 é
diferenciável em p ∈ Ω ⊂ M1 se Ψ ◦ f ◦ Φ−1 é diferenciável em Φ(p), onde (Ω, Φ) é uma carta
local em torno de p e (Ω0 , Ψ) é uma carta local em torno de Φ(p).
Definição 1.2. Dada M uma variedade diferenciável, uma curva diferenciável em M é uma
aplicação diferenciável α : (−ε, ε) −→ M. Se α(0) = p ∈ M, o vetor tangente à curva α em
t = 0 é a função α0 (0) : C ∞ (M ) −→ R dada por
α0 (0)f =

d(f ◦ α)
dt

f ∈ C ∞ (M ).

,
t=0

Um vetor tangente em p é o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : (−ε, ε) −→ M
com α(0) = p.
O espaço tangente Tp M em p ∈ M n é o conjunto de todos os vetores tangentes em p. Ele
tem umanatural
 estrutura de espaço vetorial. Em uma carta local (Ω, Φ) em torno de p, os
∂
vetores
, definidos por
∂xi p
i

(∂ )p (f ) =



∂
∂xi




∂(f ◦ Φ−1 )
(f ) =
,
∂xi
p
Φ(p)





∂
formam uma base para Tp M, chamada de base associada à carta. Note que
é o vetor
∂xi p
tangente em p à curva Φ−1 ◦ αi , onde αi (t)p = (x1 , · · · , xi + t, · · · , xn ) e Φ(p) = (x1 , · · · , xn ).
De fato,
−1

(Φ

d(f ◦ Φ−1 ◦ αi )
◦ α ) (0)p f =
dt


∂(f ◦ Φ−1 )
=
.
∂xi
Φ(p)


i 0

t=0

13

∂
∂
= ∂i = ∂ i , quando conveniente.
=
i
∂x
∂xi
Também em somas com ı́ndices repetidos, às vezes omitimos o sı́mbolo de soma e fica implı́cito

Observação 1.1. Usaremos também as notações

que estamos somando nos ı́ndices repetidos (notação de Einstein).

♦

Definição 1.3. Sejam M1n e M2m variedades diferenciáveis e seja f : M1 −→ M2 uma
aplicação diferenciável. Definimos a diferencial de f em p como sendo a aplicação linear
dfp : Tp M1 −→ Tf (p) M2 , dada por dfp (v) = β 0 (0), onde v ∈ Tp M e α : (−ε, ε) −→ M1
é uma curva diferenciável tal que α(0) = p, α0 (0) = v e β = f ◦ α.
Definição 1.4. Definimos o espaço tangente como sendo T M =

S

p∈M Tp M. Ele tem uma

natural estrutura de fibrado vetorial. Se Tp∗ M denota o espaço dual de Tp M, o espaço cotangente

S
é dado por T ∗ M = p∈M Tp∗ M. No caso dos kl -tensores (k-covariante, l-contravariante
k
l
S
tensor), definimos o fibrado Tlk M = p∈M ⊗ Tp M ⊗ Tp∗ M.
Definição 1.5. Um campo diferenciável de vetores é uma seção de T M. Uma seção de um
fibrado vetorial (E, π, M ) é uma aplicação diferenciável ξ : M −→ E, tal que π ◦ξ = IdM . No
caso em que E = T M, π é a aplicação sobrejetiva de E sobre M definida por Tp M 3 X −→ p.
Assim, um campo diferenciável de vetores sobre M é uma correspondência:
p ∈ M 7−→ X(p) ∈ Tp M.
Em coordenadas locais:
X(p) =

X
i

ai (p)

∂
,
∂xi

onde cada ai é uma função diferenciável.
Por definição:
(Xf )(p) =

X

ai (p)

i

∂f
(p) = hX, gradf i.
∂xi

O espaço de todos os campos diferenciáveis de vetores sobre M será denotado por T(M ).
E denotaremos por Γ(E) o espaço de todas as seções de E.

Para kl -tensores um campo diferenciável é uma seção de Tlk (M ) e o espaço de todos os

campos de kl -tensores sobre M é denotado por Tlk (M ).
Definição 1.6. Dado o fibrado Λk M =

S

k
p∈M Λ (Tp M ) dos k-tensores alternados sobre M.
k

Definimos uma k-forma diferencial ω como sendo uma seção de Λ M. Em uma carta local,
ω=

X
j1 <j2 <···<jk

aj1 ···jk dxj1 ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjk ,

14

e a diferenciação exterior de dω é dada por
X

dω =

daj1 ···jr ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjk .

j1 <j2 <···<jk

Definição 1.7. Definimos o colchete [X, Y ] de dois campos diferenciáveis X e Y como sendo
o campo diferenciável
[X, Y ](f ) = X(Y f ) − Y (Xf ).
Métrica e Elemento de Volume
Definição 1.8. Uma variedade Riemanniana é um par (M n , g), onde M n é uma variedade
diferenciável (C ∞ ) e g é uma métrica Riemanniana. Uma métrica Riemanniana g (denotada
por h , i) em uma variedade diferenciável M é um campo tensorial 2-covariante (isto é, uma
seção de T ∗ M ⊗ T ∗ M ), tal que em cada ponto P ∈ M, gp é uma forma bilinear positiva
definida:
gp (X, Y ) = gp (Y, X) e gp (X, X) > 0,

se X 6= 0,

∀X, Y ∈ Tp M.

Assim, g determina um produto interno h , i sobre cada Tp M que varia diferenciavelmente
no seguinte sentido: se Φ : Ω ⊂ M −→ Rn é uma carta local em torno de p ∈ M, então para
todo q ∈ Ω, com Φ(q) = (x1 , · · · , xn ), a aplicação


∂
∂
i
j
(q), j (q) = gij (x1 , · · · , xn )
∂ (q), ∂ (q) q =
i
∂x
∂x
q
é diferenciável em Φ(Ω).
Dada uma carta local em M n , temos que {∂ 1 , · · · , ∂ n } é uma base local de T M e denotamos por {dx1 , · · · , dxn } a base dual local de T ∗ M correspondente. A métrica pode ser
expressa como
g = gij dxi ⊗ dxj ,
onde gij = h∂ i , ∂ j i são as componentes da métrica e estamos usando a notação de somatório
de Einstein na igualdade acima.
Proposição 1.1. Toda variedade diferenciável de Hausdorff e com base enumerável possui
uma métrica Riemanniana. (Ver DO CARMO [9], p. 43.)
Definição 1.9. Dadas M n , N n+k duas variedades diferenciáveis, dizemos que M n é imersa
em N n+k se existe uma imersão φ : M n −→ N n+k , isto é, φ é diferenciável e dφp : Tp M −→
Tφ(p) M é injetiva para todo p ∈ M. Se N possui uma métrica Riemanniana ge, φ induz uma

15

métrica Riemanniana g em M dada por
g(X, Y )p = ge(dφp X, dφp Y )φ(p) , X, Y ∈ Tp M.
É simples verificar que g define uma métrica Riemanniana em M. Essa métrica é chamada
de métrica induzida por φ.
Observação 1.2. Dadas M uma variedade diferenciável, (N, ge) uma variedade Riemanniana
e um difeomorfismo φ : M −→ N, a métrica induzida é chamada de métrica pull-back sobre
M induzida por ge, representada por φ∗ ge. Por definição de métrica induzida: para todo p ∈ M
e todo X, Y ∈ Tp M,
g(X, Y )p = ge(dφp (X), dφp (Y ))φ(p) = (φ∗ ge)p (X, Y ).
♦
Observação 1.3. Se ψ : N n+k −→ M n é uma função diferenciável e p ∈ M é um valor
regular de ψ, isto é, dψq : Tq N −→ Tψ(q) N é sobrejetiva para todo q ∈ ψ −1 (p). Nesse caso
sabemos que ψ −1 (p) ⊂ N será uma subvariedade de N de dimensão n. Logo podemos dar-lhe
a métrica induzida pela inclusão.
Em particular, se ψ : Rn+1 −→ R é dada por ψ(x1 , · · · , xn+1 ) =

n+1
P

x2i − 1, temos que

i=1
n

0 é valor regular de ψ (ver DO CARMO [8], p. 61). Também ψ −1 (0) = S é a esfera unitária
do Rn+1 . A métrica induzida em S n pela métrica Euclidiana de Rn+1 é chamada de métrica
canônica de S n e vamos denotá-la por g.

♦

Definição 1.10. Duas métricas g1 , g2 sobre uma variedade M são ditas conformes uma em
relação à outra, se existe uma função estritamente positiva F ∈ C ∞ (M ) tal que g2 = Fg1 .
Duas variedades Riemannianas (M, g) e (M, ge) são ditas conformemente equivalentes se existe
f tal que ϕ∗ ge é conforme g. Nesse caso, dizemos que ϕ é um
um difeomorfismo ϕ : M −→ M
difeomorfismo conforme. Quando ϕ∗ ge = g, dizemos que (M, g) e (M, ge) são isométricas e ϕ é
uma isometria.
Definição 1.11. Sejam (M n , g) uma variedade Riemanniana orientada e A um atlas compatı́vel com a orientação. Em um sistema de coordenadas {xi } correspondente a (Ω, Φ) ∈ A,
definimos a forma de volume como sendo a n-forma difereciável dVg , dada por
dVg =

p

|g| dx1 ∧ · · · ∧ dxn ,

onde |g| é o determinante da matriz (gij ). Ás vezes por simplicidade denotaremos dx = dx1 ∧
· · · ∧ dxn . De modo geral, quando tiramos a hipótese de orientabilidade, definimos a densidade

16

Riemanniana como
dVg =

p
|g| |dx|.

No caso em que M é compacta, o volume de M é dado por
Z
dVg .
volg (M ) =
M

É bem conhecido da geometria Riemanniana que dV independe das coordenadas escolhidas. No caso da esfera unitária (n − 1)-dimensional sobre Rn com a métrica g induzida da
métrica euclidiana de Rn , denotamos dVg por dω e denotamos por dωr = rn−1 dω a forma de
volume sobre a esfera de raio r.
Observação 1.4. Lembremos que dada M n uma variedade orientada, nós definimos a integral
de ω, uma n-forma diferenciável com suporte compacto, como segue: Sejam (Ωα , Φα )α∈J um
atlas compatı́vel com a orientação escolhida e {φα }α∈J uma partição da unidade subordinada
a cobertura {Ωα }α∈J . Seja ω dada sobre Ωα igual fα (x)dx1 ∧ · · · ∧ dxn . Por definição
Z
XZ
1
n
ω=
(φα fα ) ◦ Φ−1
α dx ∧ · · · ∧ dx .
M

Φα (Ωα )

α∈J

Assim, se (M n , g) é compacta, temos
XZ
p

1
n
volg (M ) =
φα |gα | ◦ Φ−1
α dx ∧ · · · ∧ dx ,
α∈J

Φα (Ωα )

onde |gα | é o determinante da matriz (gij ) em cada ponto da carta local (Ωα , φα ).

♦

Definição 1.12. Nas hipóteses e notações da observação anterior e supondo (M n , g) uma
variedade Riemanniana orientada. Dizemos que uma função f : M −→ R é integrável se cada
−1
f ◦ Φ−1
α : Φα (Ωα ) −→ R for integrável à Riemann e definimos a integral de f sobre Ωα por
Z
Z
p

1
n
f (p)dVg =
f (p) |gα | ◦ Φ−1
α dx · · · dx .
Ωα

Φα (Ωα )

Sedo M é compacta, podemos tomar uma partição da unidade {φα } finita, isto é, J =
{1, · · · , r}. Dizemos que f é integrável sobre M se φα f é integrável sobre Ωα para cada α. Por
definição
Z
f (p)dVg =
M

=

r Z
X

(φα f )(p)dVg

α=1 Ωα
r Z
X
α=1

Φα (Ωα )

p


1
n
(φα f )(p) |gα | ◦ Φ−1
α dx · · · dx .

17

Distância Riemanniana, Distância Geodésica e Coordenadas Normais
Seja γ : [a, b] −→ M uma curva diferenciável por partes, isto é, existe uma subdivisão
finita a = a0 < a1 < · · · < ak = b tal que que γ é diferenciável quando restrita a cada
subintervalo [ai−1 , ai ]. Sendo M uma variedade Riemanniana, definimos o comprimento de
um segmento γ|[ai−1 ,ai ] por
Z ai 
L(γ|[ai−1 ,ai ] ) =
ai−1

dγ dγ
,
dt dt


dt.

E o comprimento L(γ) da curva é dado como a soma de todos os segmentos γ|[ai−1 ,ai ] .
Definição 1.13. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana conexa. Para quaisquer dois pontos
P, Q ∈ M, definimos a distância Riemanniana dg (P, Q) = d(P, Q) como sendo o ı́nfimo dos
comprimentos de todas as curvas diferenciáveis por partes ligando P a Q.
É fácil verificar que dg (P, Q) define uma métrica e que a topologia induzida coincide com
a topologia inicial da variedade.
Definição 1.14. Dado P ∈ M, uma vizinhança normal de P é uma vizinhaça Ω de P tal que
existe uma vizinhança V da origem de TP M que é difeomorfa a Ω pela aplicação exponencial.
Se ε > 0 é tal que expP é um difeomorfismo sobre a bola Bε (0) ⊂ TP M, então o conjunto
imagem expP (Bε (0)) é chamado uma bola geodésica em M.
Dada uma base ortonormal {Zi } para TP M obtemos um isomorfismo Z : Rn −→ TP M,
dado por Z(x1 , · · · , xn ) = xi Zi . Se Ω é uma vizinhaça normal de P, podemos compor esse
isomorfismo com a aplicação exponencial, obtendo um carta
n
Φ : Z −1 ◦ exp−1
P : U −→ R .

Tais coordenadas são chamadas de coordenadas normais centradas em P. Em qualquer sistema de coordenadas normais centrado em P ←→ (0, · · · , 0), definimos a função distância
radial r de um ponto Q a P por
!1/2
r(x) :=

X
(xi )2
i

onde (x1 , · · · , xn ) são as coordenadas do ponto Q.
O campo vetorial radial unitário ∂/∂r é definido por
∂
xi ∂
:=
.
∂r
r ∂xi

,

18

A seguir listamos algumas propriedades que ilustram o quão importante é um sistema de
coordenadas normais. Esses resultados podem ser encontrados em LEE [16].

Propriedades das Coordenadas Normais:
Seja {Ω, (xi )} um sistema de coordenadas normais centrado em P.
(a) As componentes da métrica em P são gij = δij .
(b) As derivadas de ordem um de gij e os sı́mbolos de Christofell se anulam em P.
(c) Seja Bε (0) uma bola geodésica centrada em P e contida em Ω, nesse sistema de coorde∂
nadas tem-se que grad r =
sobre Ω \ {P }.
∂r
(d) No interior de quaquer bola geodésica centrada em P, a função distância radial de um
ponto Q a P é igual à distância Riemanniana de P a Q.
Sempre que fizermos referência a um sistema de coordenadas normais centrado em P,
estaremos supondo que a vizinhança é uma bola geodésica.

Conexões Lineares
Definição 1.15. Uma conexão linear ∇ em uma variedade diferenciável M é uma aplicação
∇ : T(M ) × T(M ) −→ T(M ),
∇

denotada por (X, Y ) −→ ∇X Y e satisfazendo as seguintes propriedades:
i) ∇f X1 +gX2 Y = f ∇X1 Y + g∇X2 Y,

para f, g ∈ C ∞ (M ).

ii) ∇X (aY1 + bY2 ) = a∇X Y1 + b∇X Y2 ,

a, b ∈ R.

para f ∈ C ∞ (M ).

iii) ∇X (f Y ) = f ∇X Y + X(f )Y,

É importante notar que a noção de conexão linear é uma noção local e cada variedade
admite uma conexão linear (ver LEE [16], p. 50-53). Dizemos que ∇X Y é a derivada covariante
de Y na direção de X.
Escolhendo uma carta local em torno de p e sejam X, Y ∈ T(M ) dois campos dados nessa
carta local por
X=

X
i

ai ∂i ,

Y =

X
j

bj ∂j .

19

Temos
!
∇X Y

=

X

ai bj ∇∂i ∂j +

X

ij

ai ∂i (bj )∂j =

ij

X X
k

ai bj Γkij + X(bk ) ∂k ,

(1.1)

ij

onde as funções Γkij são chamadas de sı́mbolos de Christoffel da conexão ∇ com respeito à base
P k
associada {∂ i }, definidas por ∇∂i ∂j =
Γij ∂k .
k

Derivada Covariante de Campos de Tensores
Em LEE [16], p. 54, temos que se ∇ é uma conexão linear sobre M e F ∈ Tlk (M ), então a
aplicação ∇F : T(M ) × · · · × T(M ) × T 1 (M ) × · · · × T 1 (M ) −→ C ∞ (M ), dada por
∇F (Y1 , · · · , Yk , ω1 , · · · , ωl , X) = ∇X F (Y1 , · · · , Yk , ω1 , · · · , ωl )
:= X(F (Y1 , · · · , Yk , ω1 , · · · , ωl ))
k
X
−
F (Y1 , · · · , ∇X Yi , · · · , Yk , ω1 , · · · , ωl )
−

i=1
l
X

F (Y1 , · · · , Yk , ω1 , · · · , ∇X ωj , · · · , ωl ),

j=1

é um campo de

k+1
-tensores. Onde T 1 (M ) é o conjunto das 1-formas.
l



Definição 1.16. O campo de vetores ∇F é chamado de derivada covariante (total) de F.
Em particular, se f ∈ C ∞ (M ) temos ∇f ∈ T 1 (M ) e ∇2 f = ∇∇f ∈ T 2 (M ). ∇∇f é
chamado de a Hessiana covariante de f. De modo geral usaremos a seguinte notação:
∇α1 · · · ∇αm f = ∇α1 ···αm f

e ∇i f = ∂i (f ) = fi .

Derivada Covariante em End(E)
Sejam (E1 , π1 , M ) e (E2 , π2 , M ) dois fibrados vetorias. Um homomorfismo h : E −→ F é
uma aplicação diferenciável linear em cada ponto. A união de todos os espaços de homomorfismos dessa forma será denotado por Hom(E1 , E2 ) e tem uma estrutura natural de fibrado vetorial. Uma seção de Hom(E1 , E2 ) é um homomorfismo de E1 em E2 . Quando E1 = E2 = E,
dizemos que o homomorfismo é um endomorfismo e denotamos Hom(E, E) = End(E). Se
b em End(E) como
∇ é uma conexão linear em E. Podemos definir uma derivada covariante ∇
segue:
b X L)(s) := ∇X L(s) − L(∇X s),
(∇
b = ∇.
onde L ∈ Γ(End(E)), s ∈ Γ(E) e X ∈ T(M ). Por simplicidade escrevemos ∇

20

Conexão Riemanniana
Definição 1.17. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana. Uma conexão linear ∇ é dita compatı́vel com a métrica g se satisfaz a seguinte regra do produto para todo X, Y, Z ∈ T(M ) :
∇X hY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi.
Assim, ∇ é compatı́vel com g se, e somente se ∇g = 0.
A conexão ∇ é dita simétrica se
∇X Y − ∇Y X = [X, Y ].
O tensor torsão de uma conexão é a aplicação τ : T(M ) × T(M ) −→ T(M ) definida por
τ (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ].
Segue que a conexão é simétrica quando seu tensor torsão for identicamente nulo.
Teorema 1.1. (Levi-Civita) Dada uma variedade Riemanniana M, existe uma única conexão
afim ∇ em M simétrica e compatı́vel com a métrica Riemanniana.
Em LEE [16], pp. 68-70, encontramos a demonstração desse teorema e uma fórmula que
determina unicamente ∇ a partir da métrica g :
hZ, ∇Y Xi =

1
{XhY, Zi + Y hZ, Xi − ZhX, Y i
2
−h[X, Z], Y i − h[Y, Z], Xi − h[X, Y ], Zi}.

A conexão dada pelo teorema anterior é chamada de conexão Riemanniana (ou Levi-Civita).
Em coordenadas locais, temos
X
l

D X
E
1
Γlij glk = ∂k ,
Γkij ∂l = h∂k , ∇∂i ∂j i = {∂i (gjk ) + ∂j (gki ) − ∂k (gij )}
2
l
∴ Γm
ij =

1X
{∂i (gjk ) + ∂j (gki ) − ∂k (gij )} g km .
2 k

(1.2)

Curvaturas
Definição 1.18. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que
associa a cada par X, Y ∈ T(M ) uma aplicação R : T(M ) × T(M ) × T(M ) −→ T(M ) dada

21

por
R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z,
para cada Z ∈ T(M ) e ∇ é a conexão Riemanniana de M.

Obviamente, R é um campo de 31 -tensores. Em um sistema de coordenadas locais, temos
R(∂i , ∂j )∂k =

X

m
Rkij
∂m ,

m
m
onde Rkij
são as componentes da curvatura R.

Definição 1.19. Definimos o tensor curvatura como sendo o tensor 4-covariante definido pela
relação R(X, Y, Z, W ) = hX, R(Z, W )Y i. Em componentes,
Rlkij := R(∂l , ∂k , ∂i , ∂j ) = h∂l , R(∂i , ∂j )∂k i =

X

m
Rkij
glm ,

m

daı́,
s
∴ Rkij
=

X

Rlkij g sl .

l

As expressões acima afirmam que de fato R(X, Y )Z calculado no ponto p depende unical
mente dos valores de X, Y, Z em p e dos valores das funções Rijk
em p.

Proposição 1.2. (Propriedades do Tensor Curvatura):
1) Rijkl = −Rjikl .
2) Rijkl = −Rijlk .
3) Rijlk = Rlkij .
4) Rijkl + Riklj + Riljk = 0. (Primeira Identidade de Bianchi)
5) Rijkl,m + Rijlm,k + Rijmk,l = 0. (Segunda Identidade de Bianchi)
Demonstração. Ver LEE [16], p. 121-124.
Assim, temos que R(X, Y, Z, W ) = hR(X, Y )W, Zi.
Definição 1.20. Seja σ ⊂ Tp M um subespaço bi-dimensional do espaço tangente Tp M definido pelos vetores X e Y , os quais são escolhidos ortonormais. Definimos
K(σ) = R(X, Y, X, Y ) = hR(X, Y )Y, Xi
como sendo a curvatura seccional de σ em p.

22

Quando K é constante, dizemos que M tem curvatura constante.
Definição 1.21. Definimos o tensor de Ricci como sendo a aplicação bilinear Ric : Tp M ×
Tp M −→ R, cujas componentes são definidas pela contração
k
Rij = Rikj
= Rlikj g kl ,

na notação de Einstein. Assim, se {Z1 , · · · , Zn } é uma base ortonormal de Tp M, tem-se
Ric(Zi , Zj ) = Rij =

XX
l

hZl , Zi , Zj , Zk ihZk , Zl i =

k

n
X

hR(Zk , Zi )Zj , Zk i.

k=1

Se reorganizamos os ı́ndices tal que Zn = Zi , obtemos R(Xi , Xj ) =

n−1
P

hR(Zk , Zi )Zj , Zk i.

k=1

De todo modo, a soma acima possui um termo nulo, ou seja, na verdade estamos somando n−1
termos.
Notemos também que Ric(X, Y ) = traço da aplicação Z 7−→ R(Z, X)Y, para cada X, Y ∈
Tp M. Também é imediato que o tensor de Ricci é simétrico.
Definição 1.22. Acurvatura escalar S de uma variedade Riemanniana em um ponto p é o traço
Rii do tensor de Ricci, isto é,
S = Rii = g ij Rij =

X

hZi , Zj iRic(Zi , Zj ) =

ij

n
X

Ric(Zi , Zi ).

i=1

É conhecido da geometria Riemanniana que as definições acima não dependem da base
ortonormal escolhida.
Definição 1.23. Dada uma variedade Riemanniana (M, g), dizemos que ela é uma variedade
de Einstein quando o tensor de Ricci é um múltiplo escalar da métrica g.
Dessa forma, sendo M Einstein, existe λ ∈ R tal que Ric = λg, ou seja, em componentes
Rij = λgij . Tomando o traço de ambos os lados, obtemos
S = λ (dimensão de M ) = λn.
∴ Ric =

1
Sg.
n

Assim, M ser de Einstein é equivalente à parte sem traço do tensor de Ricci Bij = Rij −
1
Sgij ser identicamente nula, devido à seguinte proposição:
n
Proposição 1.3. Se M é uma variedade de Einstein (conexa) de dimensão n ≥ 3, então sua
curvatura escalar é constante.

23

Demonstração. Primeiro vamos mostrar a Identidade de Bianchi Contraı́da :
1
i
= S,m .
Rm,i
2

(1.3)

De fato, contraindo a Segunda Identidade de Bianchi sobre os ı́dices i, k e depois sobre
j, l :


g jl g ik (Rijkl,m + Rijlm,k + Rijmk,l ) = 0


g jl Rjl,m + g ik Rijlm,k − Rjm,l = 0
j
j
Rj,m
− g ik Rim,k − Rm,j
= 0
i
= 0.
S,m − 2Rm,i

Tomando a derivada covariante na igualdade Rij = n1 Sgij na direção do k-ésimo vetor de
uma base ortonormal fixada, tem-se
Rij,k =

1
1
1
1
∇k (Sgij ) = S,k gij + S∇k (gij ) = S,k gij .
n
n
n
n

Contraindo a expressão acima sobre os ı́ndices i, k, obtemos
i
Rj,i
=

1
S,j .
n

Comparando com a identidade de Bianchi contraı́da (1.3), tem-se
1
1
S,j = S,j .
2
n
Segue que para n > 2 vale S,j = 0, implicando que ∇S = 0. Sendo M conexa, conclui-se
que S é constante.
Observação 1.5. Quando S é constante, temos imediatamente da Identidade de Bianchi Conj
j
traı́da que Rm,j
≡ 0, isto é, Rji ,j = g mi Rm,j
= 0. Agora, tomando a derivada covariante na
S
expressão Bkm = Rkm − gkm e depois fazendo uma elevação de ı́ndices, obtemos
n


S
kj mi
kj mi
g g Bkm,j = g g
Rkm,j − gkm,j = g kj g mi Rkm,j =⇒ B ji ,j = Rji ,j ≡ 0.
n
♦

Definição 1.24. Definimos o tensor de Weyl denotado por W dado em componentes por
1
(Rik gjl − Ril gjk + Rjl gik − Rjk gil )
n−2
S
+
(gik gjl − gil gjk ).
(n − 1)(n − 2)

Wijkl = Rijkl −

24

Essa fórmula é escolhida tal que a contração de W sobre qualquer par de ı́ndices seja
identicamente nula. Notemos também que W ≡ 0 para n = 3.
E definimos o tensor de Schouten dado pelas componentes


1
S
Sij =
2Rij −
gij .
n−2
(n − 1)
Observação 1.6. Podemos escrever o tensor curvatura da seguinte forma:
Rijkl = Wijkl +
+

1
(Bik gjl − Bil gjk + Bjl gik − Bjk gil )
n−2

S
(gik gjl − gil gjk ).
n(n − 1)

Como B ≡ 0 implica S constante, temos da expressão acima que se W ≡ 0 e B ≡ 0,
então o tensor curvatura é determinado completamente pela curvatura escalar (constante) S
e mais, M terá curvatura constante. De fato, teremos
Rijkl =

S
(gik gjl − gil gjk ).
n(n − 1)

Agora, dado σ ⊂ Tp M um subespaço bidimensional definido pelos vetores X e Y, escolhidos ortonormais, por definição e da expressão acima:


S
g(X, X)g(Y, Y ) − g(X, Y )g(Y, X)
n(n − 1)
S
.
=
n(n − 1)

K(σ) = R(X, Y, X, Y ) =

♦

Segue que K é constante.

Teorema 1.2. (Schouten) Uma condição necessária e suficiente para uma variedade Riemanniana ser localmente conformemente plana é que Wijkl ≡ 0 quando n > 3 e ∇k Sij = ∇j Sik
quando n = 3.
Demonstração. Ver AUBIN [3], p. 117.

1.2

Alguns Resultados de Espaços de Sobolev

Definição 1.25. Se q ≥ 1, definimos o espaço de Lebesgue Lq (M ) como sendo o conjunto de
funções localmente integráveis u (dizemos u ∈ L1loc ) sobre M tais que a norma
Z
kukq :=

q

|u| dVg
M

1/q

25

é finita. Adicionalmente, se k é um inteiro não negativo, definimos o espaço de Sobolev Lqk (M )
como sendo o conjunto de funções u ∈ Lq (M ) tais que ∇i u ∈ Lq M, i ∈ {0, · · · , k} (no
sentido fraco) para todo multi-ı́ndice i de ordem ≤ k. Definimos a norma de Sobolev k kq,k
sobre Lqk M por:
kukq,k :=

k Z
X
i=0

!1/q
|∇i u|q dVg

.

M
◦

Um outro espaço importante é o fecho de Cc∞ (M ) em Lqk (M ), representado por Lqk (M ).
Proposição 1.4. Se M é uma variedade Riemanniana completa, então Cc∞ (M ) é denso em
Lq1 (M ).
Demonstração. Ver AUBIN [3], p. 34.
Em paticular, se M é compacta, sabemos do Teorema de Hopf-Rinow que M é completa,
daı́ Cc∞ (M ) é denso em Lq1 (M ).
Definição 1.26. Denotamos por C k (M ) como sendo o espaço das funções u sobre M que são
k vezes continuamente diferenciáveis tais que a norma
kukC k =

k
X

sup |∇i u|

i=0

é finita. E definimos o espaço de Hölder C k,α , para 0 < α < 1, como sendo o conjunto das
funções u ∈ C k (M ) tais que a norma
|∇k u(x) − ∇k u(y)|
dg (x, y)α
x,y

kukC k,α= = kukC k + sup

é finita, onde consideramos x 6= y e y está contido em uma vizinhança de coordenadas normais
de x. E dg (x, y) representa a função distância Riemanniana com relação à métrica g, definida
como sendo o ı́nfimo dos comprimentos de todas as curvas diferenciáveis por partes ligando
x a y.
Proposição 1.5. Supondo M compacta e sejam u, v ∈ C α (M ), então uv ∈ C α (M ) e
kuvkC α ≤ kukC α kvkC α .
Demonstração. Ver JOST [14] p. 330.
Notemos que na Definição 1.25 tem-se Lq0 = Lq e na Definição 1.26, convencionamos
C 0,α = C α . Também, não é difı́cil verificar que os espaços C k,α são espaços de Banach, com a
norma acima definida.

26

Teorema 1.3. (Teoremas de Mergulho de Sobolev para Variedades Compactas). Supondo M uma variedade Riemanniana compacta de dimensão n.
(a) Se
1≥

1 k
1
≥ − > 0,
r
q n

(1.4)

então Lqk (M ) está mergulhado continuamente em Lr (M ).
(b) (Rellich-Kondrakov) Suponha que vale a desigualdade estrita em (1.4). Então a inclusão Lqk (M ) ⊂ Lr (M ) é um operador compacto.
(c) Suponha 0 < α < 1 e
k−α
1
≤
,
q
n

(1.5)

então a inclusão Lqk (M ) ⊂ C α (M ) é um operador contı́nuo. E se em (1.5) a desigualdade
é estrita, então o operador inclusão é compacto.
(d) A inclusão C k,α (M ) ⊂ C k (M ) é um operador compacto.
Demonstração. Uma demonstração pode ser vista em AUBIN [3], pp. 50-55. Notar que a
demonstração do item a) é feita para o caso que vale a igualdade (p. 50) e o caso que vale a
desigualdade é o item b) (p. 55). Ver pp. 51 e 55 para o item c). Por fim ver ADAMS-FOURNIER
[1], p. 12, para uma prova do item (d) sobre compactos de Rn , notando que a norma k kC α,k
definida em [1] é uma norma equivalente à norma aqui definida.
Corolário 1.1. Se M é compacta e ϕ ∈ C k+1 (M ), para 0 ≤ k ≤ ∞, então ϕ ∈ C k,α (M ) para
todo 0 < α < 1.
Demonstração. Como ϕ ∈ C k (M ), resta verificar que ∇k ϕ ∈ C α . Sendo M compacta, temos
que ∇k ϕ ∈ Lq1 (M ), para todo q, implicando pelo item (c) do teorema anterior que ∇k ϕ ∈
C α (M ).
Observação 1.7. Para M = Rn , a conclusão do item (c) continua válida e o item (a) continua válido se supomos que vale apenas a igualdade (ver AUBIN [3], p. 35). Assim, quando
q = 2, k = 1, r = p = 2n/(n − 2), vale a igualdade no item (a) acima e tem-se a chamada
Desigualdade de Sobolev:
kuk2p ≤ σn

Z
Rn

|∇u|2 dx,

u ∈ L21 (Rn ).

(1.6)

27

Dizemos que a desigualdade acima é ótima quando tomamos a menor σn tal que continua válida a desigualdade. A essa menor constante chamamos de constante de Sobolev ndimensional.

♦

No seguinte teorema, devido a Aubin, tem-se uma versão da desigualdade de Sobolev para
variedades compactas.
Teorema 1.4. (Aubin) Seja (M, g) uma variedade Riemanniana compacta, p = 2n/(n − 2)
e σn a constante de Sobolev de (1.6). Então para cada ε > 0, existe uma constante Cε tal que
para toda ϕ ∈ C ∞ (M ),
kϕk2p ≤ (1 + ε)σn

Z

Z

2

|∇ϕ| dVg + Cε
M

ϕ2 dVg .

M

Uma demonstração pode ser vista em LEE-PARKER [17], Teorema 2.3.
Definição 1.27. Seja Ω um conjunto aberto limitado de Rn . Dada u ∈ L21 (Ω), dizemos que u
◦

satisfaz ∆u = f (u, x) no sentido fraco se, para toda v ∈ L21 (Ω),
Z
Z
f v dx.
h∇u, ∇vi dx =
Ω

Ω

Equivalentemente, u é solução fraca de ∆u = f (u, x) se, para toda v ∈ Cc∞ (Ω),
Z
Z
f v dx.
u∆v dx =
Ω

Ω

Analogamente definimos solução fraca sobre uma variedade compacta M e nesse caso temos
◦

◦

L21 (M ) = L21 (M ), onde L21 (M ) é o fecho de Cc∞ (M ) em L21 (M ).
Teorema 1.5. (Regularidade Elı́ptica Local) Sejam Ω um conjunto aberto em Rn e u ∈
L21 (Ω) uma solução fraca para ∆u = f.
(a) Se f ∈ Lqk (Ω), então u ∈ Lqk+2 (K) para todo compacto K ⊂⊂ Ω, e se u ∈ Lq (Ω), temos

kukLqk+2 (K) ≤ C k∆ukLqk (Ω) + kukLq (Ω) .
(b) (Estimativas de Schauder) Se f ∈ C k,α (Ω), então u ∈ C k+2,α (K) para todo compacto
K ⊂⊂ Ω, e se u ∈ C α (Ω), temos

kukC k+2,α (K) ≤ C k∆ukC k,α (Ω) + kukC α (Ω) .
Uma demonstração desse teorema pode ser encontrada em AUBIN [3], p. 85 ou com mais
detalhes em JOST [14] pp. 277 e 339. Podemos obter o teorema acima para variedades com-

28

pactas usando partição da unidade e coordenadas normais (veja LEE-PARKER [17], p. 46 ou
MELROSE [20], p. 43). Assim,
Teorema 1.6. (Regularidade Elı́ptica Global) Seja M uma variedade Riemanniana compacta e suponha que u ∈ L21 (M ) é uma solução fraca para ∆u = f.
(a) Se f ∈ Lqk (M ), então u ∈ Lqk+2 (M ) e

kukq,k+2 ≤ C k∆ukq,k + kukq .
(b) Se f ∈ C k,α (M ), então u ∈ C k+2,α (M ) e

kukC k+2,α ≤ C k∆ukC k,α + kukC α .
Os teoremas de regularidade acima poderiam ser enunciados de forma similar para operadores elı́pticos linerares de ordem 2m com coeficientes C ∞ mais gerais além do operador de
Laplace (ver AUBIN [3], p. 85). Um caso particular é o seguinte teorema.
Teorema 1.7. Seja M uma variedade Riemanniana compacta e considere o operador elı́ptico
∆ + h, onde h ∈ C k,α (M ). Se f ∈ C k,α (M ) e
∆u + hu = f,

(1.7)

então u ∈ C k+2,α (M ). Mais ainda, se h > 0, então existe uma única solução de (1.7).
Demonstração. Esse teorema é uma versão de um resultado mais gereal encontrado em AUBIN
[3] p. 114.
Teorema 1.8. (Princı́pio do Máximo) Seja M n uma variedade Riemanniana compacta. Se
ψ ∈ C 2 , ψ ≥ 0, satisfaz ∆ψ ≥ ψf (p, ψ), onde f é uma função real contı́nua sobre M × R,
então ψ é estritamente positiva, ou ψ é identicamente nula.
Demonstração. Ver AUBIN [3], p. 98.

29

2

Fórmulas para Mudança de
Métrica

2.1

Mudanças Conformes de Métrica
Sejam g, g̃ duas métricas conformes em uma variedade Riemanniana M. Sempre que apa-

recereou hh , ii, estaremos nos referindo à métrica g̃, do contrário nos referimos à métrica g.
Temos as seguintes relações:
Lema 2.1. Sejam M uma variedade diferenciável e g, g̃ duas métricas conformes em M com
g̃ = e2f g, onde f é uma função diferenciável. Valem as seguintes transformações
ek = Γk + ∂i (f )δjk + ∂j (f )δik −
(i) Γ
ij
ij

P

∂m (f )gij g km .

m

e = e−2f ∇u, ∀u ∈ C ∞ (M ).
(ii) ∇u


e = e−2f ∆u − (n − 2)h∇f, ∇ui , ∀u ∈ C ∞ (M ).
(iii) ∆u
e X Y = ∇X Y + X(f )Y + Y (f )X − hX, Y i∇f.
(iv) ∇
h
i
hX, Zi(Hess f )(Y ) − hY, Zi(Hess f )(X)
h
i
− (Hess f )(Y, Z) − Y (f )Z(f ) + hY, Zi|∇f |2 X
h
i
2
+ (Hess f )(X, Z) − X(f )Z(f ) + hX, Zi|∇f | Y
h
i
+ X(f )hY, Zi − Y (f )hX, Zi ∇f.

e
(v) R(X,
Y )Z = R(X, Y )Z +

eij = Rij − (n − 2)[fij − fi fj ] + [∆f − (n − 2)|∇f |2 ]gij .
(vi) R
h
i
−2f
2
e
(vii) S = e
S + 2(n − 1)∆f − (n − 1)(n − 2)|∇f | .


eij = Bij − (n − 2) [fij − fi fj ] − n − 2 ∆f + |∇f |2 gij
(viii) B
n
fijkl = e2f Wijkl . Em particular, W
fi = W i .
(vx) W
jkl
jkl

Demonstração. (i) Dado que ge = e2f g, temos que geij = e−2f g ij . Usando (1.2) obtida do Teorema de Levi-Civita, temos

30


1 X
k
e
∂i (e
gjm ) + ∂j (e
gim ) − ∂k (e
gij ) gekm
Γij =
2 m
1 X 2f
=
2e ∂i (f )gjm + e2f ∂i (gjm ) + 2e2f ∂j (f )gim + e2f ∂j (gim ) − 2e2f ∂m (f )gij
2 m

2f
−e ∂m (gij ) e−2f g km

X
= Γkij +
∂i (f )gjm + ∂j (f )gim − ∂m (f )gij g km
m

X

= Γkij + ∂i (f )δjk + ∂j (f )δik −

∂m (f )gij g km .

m

(ii) Dado Y ∈ T(M ), seja Ye = e−f Y (ver notação na demonstração de (vii)). Assim,
e Ye ii = e2f h∇u,
e e−f Y i = ef h∇u,
e Y i.
e−f h∇u, Y i = e−f du(Y ) = du(Ye ) = hh∇u,
Como vale a igualdade para todo Y ∈ T(M ), devemos ter
e = e−2f ∇u.
∇u
(iii) Do item (i), obtemos
X



!



(i)

ekij − Γkij (∂k (u)) =
g ij Γ

X

=

X

ijk

g ij

∂i (f )δjk + ∂j (f )δik −

X
m

ijk
ik

g ∂i (f )∂k (u) +

ik

−n

∂m (f )gij g km (∂k (u))

X

kj

g ∂j (f )∂k (u)

jk

XX
k

g km ∂m (f )∂k (u)

m

= (2 − n)h∇f, ∇ui.
Por outro lado, dado que geij = e−2f g ij e usando (ii), temos
e − ∆u =
e2f ∆u

X

=

X

g ij ∇i ∇j u − e2f

ij

X

e i∇
e ju
geij ∇

ij

g ij (∂i (h∇u, ∂j i) − h∇∂i ∂j , ∇ui)

ij

−e2f

X

 


e ∂j ii − hh∇
e ∂ ∂j , ∇uii
e
geij ∂i hh∇u,
i

ij
(ii)

=

X

g ij (∂i (h∇u, ∂j i) − h∇i ∂j , ∇ui)

ij

−

X

g

ij




e
∂i (h∇u, ∂j i) − h∇∂i ∂j , ∇ui

ij

=

X
ijk



ek − Γk (∂k (u)) .
g ij Γ
ij
ij

31

Assim,
e = e−2f ∆u − e−2f (n − 2)h∇f, ∇ui.
∆u
(iv) Dados os campos X =

X

ai ∂i e Y =

i

X

bj ∂j , temos por (1.1) e o item (i),

j

!
e XY
∇

(1.1)

=

X X

ek + X(bk ) ∂k
ai b j Γ
ij

ij

k

!
(i)

=

X X

ai bj Γkij + X(bk ) ∂k

k

ij

+

X X

!!

=

∂i (f )δjk + ∂j (f )δik −

X

X

X

ai b j

k

ij

∇X Y +

X

∂m (f )gij g km

∂k

m

bk ∂k

ai ∂i (f ) +

i

k

X

ak ∂k

k

bj ∂j (f )

j

!
−

X
ij

=

ai bj gij

X

∂m (f )g km ∂k

km

∇X Y + X(f )Y + Y (f )X − hX, Y i∇f.

(v) Por definição,
e
e X∇
eY Z − ∇
eY ∇
e XZ − ∇
e [X,Y ] Z.
R(X,
Y )Z = ∇
Pelo item (iv), vale
e Y Z = ∇Y Z + Y (f )Z + Z(f )Y − hY, Zi∇f.
∇
Novamente usando (iv), obtemos
e X∇
eY Z = ∇
e X (∇Y Z) + ∇
e X (Y (f )Z) + ∇
e X (Z(f )Y ) − ∇
e X (hY, Zi∇f )
∇
= ∇X ∇Y Z + X(f )∇Y Z + (∇Y Z)(f )X − hX, ∇Y Zi∇f
+∇X (Y (f )Z) + X(f )Y (f )Z + (Y (f )Z)(f )X − hX, Y (f )Zi∇f
+∇X (Z(f )Y ) + X(f )Z(f )Y + (Z(f )Y )(f )X − hX, Z(f )Y i∇f
−∇X (hY, Zi∇f ) − X(f )hY, Zi∇f − (hY, Zi∇f )(f )X + hX, hY, Zi∇f i∇f.
Ou seja,
e X∇
e Y Z = ∇X ∇Y Z + X(f )∇Y Z + (∇Y Z)(f )X − hX, ∇Y Zi∇f + X(Y (f ))Z
∇
+Y (f )∇X Z + X(f )Y (f )Z + Y (f )Z(f )X − Y (f )hX, Zi∇f + X(Z(f ))Y
+Z(f )∇X Y + X(f )Z(f )Y + Z(f )Y (f )X − Z(f )hX, Y i∇f − X(hY, Zi)∇f
−hY, Zi∇X ∇f − X(f )hY, Zi∇f − hY, Zi|∇f |2 X + hY, ZiX(f )∇f.

32

Permutando X com Y na expressão acima, obtemos
eY ∇
e X Z = ∇Y ∇X Z + Y (f )∇X Z + (∇X Z)(f )Y − hY, ∇X Zi∇f
∇
+Y (X(f ))Z + X(f )∇Y Z + Y (f )X(f )Z + X(f )Z(f )Y − X(f )hY, Zi∇f
+Y (Z(f ))X + Z(f )∇Y X + Y (f )Z(f )X + Z(f )X(f )Y − Z(f )hY, Xi∇f
−Y (hX, Zi)∇f − hX, Zi∇Y ∇f − Y (f )hX, Zi∇f − hX, Zi|∇f |2 Y
+hX, ZiY (f )∇f.
Usando (iv) mais uma vez,
e [X,Y ] Z = ∇[X,Y ] Z + [X, Y ](f )Z + Z(f )[X, Y ] − h[X, Y ], Zi∇f.
∇
Assim, das relações acima
e
e X∇
eY Z − ∇
eY ∇
e XZ − ∇
e [X,Y ] Z
R(X,
Y )Z = ∇
= R(X, Y )Z + (∇Y Z − Y Z)(f )X − hX, ∇Y Zi∇f + [X, Y ](f )Z
−Y (f )hX, Zi∇f + (XZ − ∇X Z)(f )Y + Z(f )(∇X Y − ∇Y X)
+Z(f )Y (f )X − X(hY, Zi)∇f − hY, Zi∇X ∇f − hY, Zi|∇f |2 X
+X(f )hY, Zi∇f + hY, ∇X Zi∇f − X(f )Z(f )Y + Y (hX, Zi)∇f
+hX, Zi∇Y ∇f + hX, Zi|∇f |2 Y − [X, Y ](f )Z − Z(f )[X, Y ]
+h[X, Y ], Zi∇f.
Usando a equação de compatibilidade XhY, Zi = h∇X Y, Zi + h∇X Z, Y i e a equação de
simetria [X, Y ] = ∇X Y − ∇Y X, obtemos
n
o
−hX, ∇Y Zi − XhY, Zi + hY, ∇X Zi + Y hX, Zi + h[X, Y ], Zi ∇f
n
o
= −hX, ∇Y Zi − XhY, Zi + hY, ∇X Zi + Y hX, Zi + h∇X Y, Zi − h∇Y X, Zi ∇f
n
o
= −Y hX, Zi − XhY, Zi + XhY, Zi + Y hX, Zi ∇f
= 0.
E como também [X, Y ](f )Z + Z(f )(∇X Y − ∇Y X) − [X, Y ](f )Z − Z(f )[X, Y ] = 0, teremos,
e
R(X,
Y )Z = R(X, Y )Z + (∇Y Z − Y Z)(f )X − Y (f )hX, Zi∇f + (XZ − ∇X Z)(f )Y
+Z(f )Y (f )X − hY, Zi∇X ∇f − hY, Zi|∇f |2 X + X(f )hY, Zi∇f
−X(f )Z(f )Y + hX, Zi∇Y ∇f + hX, Zi|∇f |2 Y,
ou, reescrevendo,

33

e
R(X,
Y )Z = R(X, Y )Z +

h

i
hX, Zi(Hess f )(Y ) − hY, Zi(Hess f )(X)

−

h

2

i

(Hess f )(Y, Z) − Y (f )Z(f ) + hY, Zi|∇f | X
i
+ (Hess f )(X, Z) − X(f )Z(f ) + hX, Zi|∇f |2 Y
h
i
+ X(f )hY, Zi − Y (f )hX, Zi ∇f.
h

(vi) Assumimos que {Zi } é uma base ortonormal de Tp M na métrica g. Em p temos
ge(e−f Zi , e−f Zj ) = e−2f ge(Zi , Zj ) = e−2f e2f g(Zi , Zj ) = δij , ou seja, denotando Zei = e−f Zi ,
temos que {Zei } é uma base ortonormal de Tp M na métrica ge. Por definição o tensor de Ricci
na métrica ge = hh , ii é dado por
n DD
X

g Z) =
Ric(Y,

e −f Zi , Y )Z, e−f Zi
R(e

EE

i=1
n
X

=

D
E
e −f Zi , Y )Z, e−f Zi
e2f R(e

i=1
n D
X

=

i=1
n D
X

(iii)

=

e i , Y )Z, Zi
R(Z

E

R(Zi , Y )Z + hZi , Zi(Hess f )(Y ) − hY, Zi(Hess f )(Zi )

i=1

−(Hess f )(Y, Z)Zi + Y (f )Z(f )Zi − hY, Zi|∇f |2 Zi
+(Hess f )(Zi , Z)Y − Zi (f )Z(f )Y + hZi , Zi|∇f |2 Y
E
+Zi (f )hY, Zi∇f − Y (f )hZi , Zi∇f, Zi .
Ora,
XD

hZi , Zi(Hess f )(Y ), Zi

E

=

X

D

hZi , Zi ∇Y (∇f ), Zi

E

i

i

=

X

=

X



hZi , Zi Y h∇f, Zi i − h∇f, ∇Y Zi i

i



hZi , Zi Y Zi (f ) − (∇Y Zi )(f )

i

= Y Z(f ) − ∇Y Z(f )
= (Hess f )(Y, Z).
Também, por definição do laplaciano, tem-se
XD

E
hY, Zi(Hess f )(Zi ), Zi = −hY, Zi∆f.

i

Com cálculos similares obtemos:

34

XD

E
(Hess f )(Zi , Z)Y, Zi = (Hess f )(Y, Z),

XD

i

XD

E
Zi (f )Z(f )Y, Zi = Y (f )Z(f ),

i

E

2

2

hZi , Zi|∇f | Y, Zi = hY, Zi|∇f | ,

i

XD

E

Zi (f )hY, Zi∇f, Zi = hY, Zi|∇f |2 ,

i

XD

E

Y (f )hZi , Zi∇f, Zi = Y (f )Z(f ).

i

Segue que
g Z) = Ric(Y, Z) + (Hess f )(Y, Z) + hY, Zi∆f − n(Hess f )(Y, Z) + nY (f )Z(f )
Ric(Y,
−nhY, Zi|∇f |2 + (Hess f )(Y, Z) − Y (f )Z(f ) + hY, Zi|∇f |2 + hY, Zi|∇f |2
−Y (f )Z(f )
= Ric(Y, Z) − (n − 2)[(Hess f )(Y, Z) − Y (f )Z(f )] + hY, Zi[∆f − (n − 2)|∇f |2 ].
Portanto,
Rij = Rij − (n − 2)[fij − fi fj ] + [∆f − (n − 2)|∇f |2 ]gij .
(vii) Temos por definição e usando (vi):
Se =

n
X

g −f Zi , e−f Zi )
Ric(e

i=1

= e−2f
= e−2f

n
X

g i , Zi )
Ric(Z

"i=1n
X

Ric(Zi , Zi ) − (n − 2)

n
X

(Hess f )(Zi , Zi )

i=1
i=1
#
n
n

X
X
+ ∆f − (n − 2)|∇f |2
hZi , Zi i + (n − 2)
Zi (f )Zi (f )
i=1
h

i=1
2
= e
S + (n − 2)∆f + n ∆f − (n − 2)|∇f | + (n − 2)|∇f |2
h
i
= e−2f S + 2(n − 1)∆f − (n − 1)(n − 2)|∇f |2 .
−2f

(viii) Usando (vi) e (vii):
e
eij = R
eij − S geij
B
n
= Rij − (n − 2)[fij − fi fj ] + [∆f − (n − 2)|∇f |2 ]gij
i
1  −2f h
−
e
S + 2(n − 1)∆f − (n − 1)(n − 2)|∇f |2 e2f gij
n

n−2
= Bij − (n − 2) [fij − fi fj ] −
∆f + |∇f |2 gij .
n
(vx) Usando o item (v) em componentes, obtemos

35

eijkl = R
eklij = hh∂k , R(∂
e i , ∂j )∂l ii
R
e i , ∂j )∂l i
= e2f h∂k , R(∂
D
= e2f ∂k , R(∂i , ∂j )∂l + [gil ∇j (∇f ) − gjl ∇i (∇f )]
−[∇j ∇l f − fj fl + gjl |∇f |2 ]∂i + [∇i ∇l f − fi fl + gil |∇f |2 ]∂j
E
+[gjl fi − gil fj ]∇f

2f
= e Rijkl + gil ∇j ∇k f − gjl ∇i ∇k f − [∇j ∇l f − fj fl + gjl |∇f |2 ]gik

+[∇i ∇l f − fi fl + gil |∇f |2 ]gjk + gjl fi fk − gil fj fk .
Usando (vi), (vii) e a expressão acima,

1 e
e
e
e
Rik gejl − Ril gejk + Rjl geik − Rjk geil
n−2
Se
(e
gik gejl − geil gejk )
+
(n − 1)(n − 2)

= e2f Rijkl + gil ∇j ∇k f − gjl ∇i ∇k f − [∇j ∇l f − fj fl + gjl |∇f |2 ]gik

2
+[∇i ∇l f − fi fl + gil |∇f | ]gjk + gjl fi fk − gil fj fk

e2f gjl 
−
Rik − (n − 2)[∇i ∇k f − fi fk ] + [∆f − (n − 2)|∇f |2 ]gik
n−2

e2f gjk 
2
+
Ril − (n − 2)[∇i ∇l f − fi fl ] + [∆f − (n − 2)|∇f | ]gil
n−2

e2f gik 
2
−
Rjl − (n − 2)[∇j ∇l f − fj fl ] + [∆f − (n − 2)|∇f | ]gjl
n−2

e2f gil 
+
Rjk − (n − 2)[∇j ∇k f − fj fk ] + [∆f − (n − 2)|∇f |2 ]gjk
n − 2h

i
e−2f S + 2(n − 1)∆f − (n − 1)(n − 2)|∇f |2 gik gjl − gil gjk e4f
+
(n − 1)(n − 2)






S
g
g
−
g
g
ik jl
il jk 
1
2f
= e
Rijkl −
Rik gjl − Ril gjk + Rjl gik − Rjk gil +

n−2
(n − 1)(n − 2) 

fijkl = R
eijkl −
W

= e2f Wijkl .
Em particular,
fsjkl = e2f g is e2f Wsjkl = W i .
f i = geis W
W
jkl
jkl

36

2.2

Mudanças por Isometrias
Vimos que se uma variedade M está imersa em uma variedade Riemanniana N , então

podemos definir em M uma estrutura Riemanniana induzida pela métrica de N. Um análogo
pode ser feito para a conexão de Levi-Civita:
Proposição 2.1. Sejam (M, g) e (N, ge) duas variedades Riemannianas e φ : (M, g) −→ (N, ge)
e é a conexão de Levi-Civita de (N, ge), então a conexão de Levi-Civita ∇
uma isometria. Se ∇
e dφX dφY, para todo X, Y ∈ T(M ).
de (M, g) é dada por ∇X Y = dφ−1 ∇
Demonstração. Vamos denotar g = h , i e ge = hh , ii. Agora, dados X, Y, Z ∈ T(M ), sejam
p ∈ M e α : (−ε, ε) −→ M uma curva diferenciável com α(0) = p e α0 (0) = X(p). Como
hY, Zi ∈ C ∞ (M ), temos
X(p)hY, Zi = α0 (0)hY, Zip =

d
hY (α(t)), Z(α(t))iα(t)
dt

.
t=0

Por outro lado, definindo β = φ ◦ α, temos que β(0) = φ(p) e dφp X = β 0 (0). Também,
por hipótese hhdφp Y, dφp Ziiφ(p) = hY, Zip , daı́
dφp Xhhdφp Y, dφp Ziiφ(p) = β 0 (0)hhdφp Y, dφp Ziiφ(p)
=
=

d
hhdφα(t) Y, dφα(t) Ziiβ(t)
dt
d
hY (α(t)), Z(α(t))iα(t)
dt

t=0

.
t=0

Segue que dφXhhdφY, dφZii = XhY, Zi.
∂
∂
Sabemos que em uma carta local (Ω, Φ) em torno de p os vetores 1 , · · · , n formam
∂x

 ∂x
∂
−1
= (Φ ◦ αi )0 (0). Se
uma base de Tp M e com as notações da Definição 1.2, temos
i
∂x p
∂
∂
q = Φ(p), então (φ(Ω), Φ ◦ φ−1 ) é uma carta local em torno de q e os vetores 1 , · · · , n
∂y 
∂y
∂
=
formam uma base de Tq N, onde (y1 , · · · , yn ) = Φ ◦ φ−1 (q) = (x1 , · · · , xn ), daı́
∂y i q
(φ ◦ Φ−1 ◦ αi )0 (0). Assim,




∂
∂
−1
i 0
dφp
= (φ ◦ Φ ◦ α ) (0) =
.
(2.1)
∂xi
∂y i q
Se na carta (Ω, Φ) temos X =

X
i

ai

X
∂
∂
e
Y
=
bj j , sabemos que
i
∂x
∂x
j

37


X  ∂bj
∂
∂aj
[X, Y ] =
ai i − b i i
.
j
∂x
∂x
∂x
ij
Por linearidade de dφ, temos
dφp X =

X


ai (p)

i

Analogamente, dφp Y =

X

∂
∂y i



−1



X
∂
−1
=
.
(ai ◦ φ )(q)
i
∂y
q
q
i

(bj ◦ φ )(q)

j



∂
∂y j


. Segue das expressões acima e pela
q

linearidade de dφ :
−1
∂(bj ◦ φ−1 )
−1 ∂(aj ◦ φ )
[dφX, dφY ] =
(ai ◦ φ )
−
(b
◦
φ
)
i
∂y i
∂y i
ij


X  ∂bj
∂
∂aj
=
dφ ai i − bi i
= dφ[X, Y ].
∂x
∂x ∂xj
ij

X

−1



∂
∂y j

e dφX dφY e usando a
Definindo ∇ : T(M ) × T(M ) −→ T(M ), dada por ∇X Y = dφ−1 ∇
e obtemos
expressão do Teorema de Levi-Civita para a conexão ∇,
e dφX dφY ii
hZ, ∇X Y i = hhdφZ, ∇
1
=
{dφXhhdφY, dφZii + dφY hhdφZ, dφXii − dφZhhdφX, dφY ii
2
−hh[dφX, dφZ], dφY ii − hh[dφY, dφZ], dφXii − hh[dφX, dφY ], dφZii}
1
=
{XhY, Zi + Y hZ, Xi − ZhX, Y i
2
−h[X, Z], Y i − h[Y, Z], Xi − h[X, Y ], Zi}.
Segue do Teorema de Levi-Civita que ∇ é a conexão de Levi-Civita de (M, g).
A conexão dada pela proposição acima é denominada de conexão pull-back.
Agora verifiquemos o que ocorre com os demais objetos de duas variedades Riemannianas
isométricas. As expressões do lema seguinte são chamadas de propriedades de naturalidade.
Lema 2.2. Sejam (M, g) e (N, ge) duas variedades Riemannianas e φ : M −→ N uma isometria, então
−1

(i) ∇f = dφ





−1
e
∇ (f ◦ φ ) , para toda f ∈ C ∞ (M );

e f ◦ φ−1
(ii) ∆f = ∆
C ∞ (N );




e ◦ φ = ∆(h ◦ φ), ∀h ∈
◦ φ, ∀f ∈ C ∞ (M ). Equivalentemente, ∆h

38

e
(iii) R(X, Y )Z = dφ−1 R(dφX,
dφY )dφZ;
eij ◦ φ;
(iv) Rij = R
(v) S = Se ◦ φ.
Demonstração. Com as notações da proposição anterior, temos:
(i) Dado qualquer Y ∈ T N qualquer, tem-se
hhdφ∇f, Y ii = hhdφ∇f, dφ(dφ−1 Y )ii = h∇f, dφ−1 Y i

= df dφ−1 Y
=

d(f ◦ φ−1 )Y =


e f ◦ φ−1 , Y
∇

.

Segue o resultado.
(ii) Com as notações do item (i) e da proposição anterior, obtemos





 
∂
∂
−1 e
−1
∇j (h ◦ φ)(p) = ∇(h ◦ φ), j
=
dφp ∇h , dφp
∂x p
∂y j
p


∂
e
∇h,
=
∂y j
φ(p)
e j h(φ(p)).
= ∇
Daı́,
h

i
h
i
e jh ◦ φ = ∇
ej ∇
e j h ◦ φ ◦ φ−1 ◦ φ
∇i ∇j (h ◦ φ) = ∇i ∇
e j∇
e j h ◦ φ.
= ∇
Como gij = geij ◦ φ, temos que a inversa de gij é dada por g ij = geij ◦ φ. Portanto,


 
e i∇
e j (h) ◦ φ = ∆h
e
∆(h ◦ φ) = −g ij ∇i ∇j (h ◦ φ) = − geij ∇
◦ φ.
iii) Pela Proposição 2.1 sabemos que a conexão de Levi-Civita em (M, g) é dada por ∇X Y =
e dφX dφY. Daı́,
dφ−1 ∇
R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z
e dφY dφZ − ∇Y dφ−1 ∇
e dφX dφZ − dφ−1 ∇
e dφ[X,Y ] dφZ
= ∇X dφ−1 ∇
e dφX ∇
e dφY dφZ − dφ−1 ∇
e dφY ∇
e dφX dφZ − dφ−1 ∇
e [dφX,dφY ] dφZ
= dφ−1 ∇
e
= dφ−1 R(dφX,
dφY )dφZ.

39

iv), v) Da definição das métricas e do item anterior, temos








∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
dφp l , dφp R
,R
,
,
∂xl
∂xi ∂xj ∂xk p
∂x
∂xi ∂xj ∂xk
φ(p)




∂ e ∂
∂
∂
=
,
,R
, j
l
i
∂y
∂y ∂y
∂y k
φ(p)
elkij ◦ φ.
ou seja, Rlkij = R
Segue que
elkij ) ◦ φ = R
eij ◦ φ,
Rij = g kl Rlkij = (e
g kl R
e
eij ) ◦ φ = Se ◦ φ.
S = g ij Rij = (e
g ij R

40

3

O Trabalho de Yamabe

A partir desse capı́tulo, sempre que não mecionarmos as hipóteses sobre M, iremos supor
que (M, g) é uma variedade Riemanniana compacta conexa de dimensão n ≥ 3.
Em YAMABE [31] H. Yamabe propôs o seguinte:
Problema de Yamabe: Dada uma variedade Riemanniana compacta (M, g) de dimensão
n ≥ 3, encontre uma métrica conforme à g com curvatura escalar constante.
Em 1960, Yamabe tentou resolver esse problema usando técnicas do cálculo das variações e
equações parciais diferenciais elı́pticas. Infelizmente sua demonstração continha um erro, descoberto por Neil Sidney Trudinger em 1968. Trudinger conseguiu consertar a demonstração,
mas acrescentando mais hipóteses sobre M.
Vamos introduzir as notações que serão usadas de agora em diante:
Notações:
n ≥ 3,

Onde p =

e2f = ϕp−2 ,

ge = ϕp−2 g,

a=4

n−1
,
n−2

 = a∆ + S.

2n
, ou seja,
n−2
4

4

e2f = ϕ n−2 ,
O operador

ge = ϕ n−2 g.

 = a∆ + S é chamado de Laplaciano conforme. Veremos depois o sentido

dessa denominação para esse operador, antes façamos a seguinte observação:
Observação 3.1. Podemos simplificar um pouco a fórmula de mudança de curvatura escalar
(Lema 2.1 (vi)) com as notações acima.
Comecemos extraindo a raiz quadrada e derivando a penúltima expressão acima. Temos
4−n
2
ϕ n−2 ∂i ϕ
n−2
2
∴ ∂i (f ) =
ϕ−1 ∂i ϕ.
n−2

ef ∂i (f ) =

Como na métrica g temos |∇f |2 =
obtemos
2

|∇f | =



(3.1)

p
P ij
1 X
g ∂i f ∂j f e ∆f = − p
∂i (g ij |g|∂j f ),
|g| ij
ij

2
n−2

2 X
ij

ϕ−2 g ij ∂i (ϕ)∂j (ϕ)

41

e
1 X
∆f = − p
∂i
|g| ij
= −



2
p
(n − 2) |g|

2
=
n−2


p
2
−1 ij
ϕ g
|g|∂j ϕ
n−2
 p

X
p
−2
ij
−1
ij
−ϕ ∂i (ϕ)g
|g|∂j ϕ + ϕ ∂i g
|g|∂j ϕ
ij

!
X

ϕ−2 g ij ∂i (ϕ)∂j (ϕ) + ϕ−1 ∆ϕ .

ij

Assim,
2

S + 2(n − 1)∆f − (n − 1)(n − 2)|∇f |


= S+4

n−1
n−2

X
ij


−(n − 1)(n − 2)

= S+4

n−1
n−2


ϕ−2 g ij ∂i (ϕ)∂j (ϕ) + ϕ−1 ∆ϕ



2
n−2

2 X

ϕ−2 g ij ∂i (ϕ)∂j (ϕ)

ij


ϕ−1 ∆ϕ .

Portanto,
h
h
i
n − 1 −1 i
n−1
Se = e−2f S + 4
ϕ ∆ϕ = ϕ2−p ϕ−1 Sϕ + 4
∆ϕ
n−2
n−2
h
i
n
−
1
= ϕ1−p Sϕ + 4
∆ϕ
n−2
1−p
= ϕ
ϕ.

(3.2)
(3.3)

Em particular, a curvatura escalar Se é igual a uma constante λ se, e somente se, ϕ satisfaz
a equação:
ϕ = λϕp−1 .

(3.4)
♦

Veremos a seguir duas propriedades importantes do operador  : a invariância conforme
(em um certo sentido) e a naturalidade.
Proposição 3.1. O operador  = a∆ + S é um invariante conforme no seguinte sentido: Se
e é definido de forma similar na norma ge, tem-se
ge = ϕp−2 g e 
e
(u)
= ϕ1−p (ϕu),
para toda u ∈ C ∞ (M ).
Demonstração. De (3.1), temos que

42

∇f =

X

g ij ∂i (f )∂j =

ij

X
ij

g ij

2
2ϕ−1
ϕ−1 ∂i ϕ∂j =
∇ϕ.
n−2
n−2

Agora, substituindo ϕp−2 = e2f e a expressão acima em (iii) do Lema 2.1, obtemos


2
2−p
e
e + 2 h∇ϕ, ∇ui.
∆u − h∇ϕ, ∇ui
∆u = ϕ
=⇒ ∆u = ϕp−2 ∆u
ϕ
ϕ
Por fim, usando a identidade ∆(ϕu) = u∆ϕ + ϕ∆u − 2h∇ϕ, ∇ui, a última expressão
acima e a expressão (3.2),
ϕ1−p (ϕu) = ϕ1−p [a∆(ϕu) + S(ϕu)] = ϕ1−p [au∆ϕ + aϕ∆u − 2ah∇ϕ, ∇ui + Sϕu]
"


e + 2 h∇ϕ, ∇ui
= ϕ1−p aϕ ϕp−2 ∆u
ϕ
#
−2ah∇ϕ, ∇ui + uϕ1−p (a∆ϕ + Sϕ)
e + Su
e = (u).
e
= a∆u

Proposição 3.2. O operador  tem a seguinte propriedade de naturalidade: Dada φ : (M, g) −→
(N, ge) uma isometria, então para toda função u ∈ C ∞ (N ),
e
(φ∗ u) = φ∗ (u).
Demonstração. Basta aplicar os itens (ii) e (v) do Lema 2.2:
e ◦ φ + (Su)
e ◦ φ = a∆(u ◦ φ) + S(u ◦ φ) = (φ∗ u).
e = (a∆u)
φ∗ (u)

No trabalho de Yamabe, ele procede com métodos analı́ticos, visto que a equação (3.4)
transforma o problema geométrico de Yamabe em um problema de autovalores de uma equação
não-linear:
Formulação do Problema de Yamabe em EDP: Seja (M, g) uma variedade Riemanniana de
dimensão n ≥ 3. O problema de Yamabe tem solução se, e somente se, existem ϕ ∈ C ∞ (M ), ϕ >
0 e λ ∈ R tais que
ϕ = λϕp−1 .

(3.5)

A equação (3.5) é um problema de autovalor não-linear. Será visto no Teorema 3.1 que para
(p − 1) igual ou próximo a 1 a equação é resolvı́vel pelo método linear, mas para valores altos

43

é o valor crı́tico para
de (p − 1), essa técnica torna-se muito difı́cil, mais ainda p − 1 = n+2
n−2
a solução do problema, em outras palavras, abaixo desse valor é relativamente fácil resolver a
equação e acima torna-se quase impossı́vel pela teoria linear.
Uma das primeiras contribuições de Yamabe foi verificar que equação (3.4) é a equação de
Euler-Lagrange para o funcional
R
Q(e
g ) := 

M

R

M

e ge
SdV
(3.6)

2/p ,
dVge

onde o domı́nio de Q é a classe Υg de métricas corformes a g. De fato, veremos a seguir que
os pontos crı́ticos do funcional acima são exatamente as soluções de (3.4).
Como para cada ge existe uma única função extritamente positiva ϕ ∈ C ∞ (M ) tal que
ge = ϕp−2 g, podemos reescrever Q da seguinte forma:
Q(e
g ) = Qg (ϕ) =
onde

Z

E(ϕ)
,
kϕk2p

(3.7)

a|∇ϕ|2 + Sϕ2 dVg .

E(ϕ) =

(3.8)

M

De fato, a verificação de (3.7) é um cálculo direto usando (3.6) e (3.2:)
R

Sϕ2−p + aϕ1−p ∆ϕ dVge
M
Q(e
g) =
 p2
R
dV
g
e
M

R

=

=
=
(Int. Partes)

=

(p−2)n

[Sϕ2−p + aϕ1−p ∆ϕ] ϕ 2 dVg
M
R
 p2
(p−2)n
2
ϕ
dVg
M
R
[Sϕ2−p + aϕ1−p ∆ϕ] ϕp dVg
M
2
R
p dV p
ϕ
g
M
R
2
Sϕ
+
aϕ∆ϕ
dVg
M
2
kϕkp
E(ϕ)
.
kϕk2p

Como estamos sempre supondo M compacta temos que S é limitada, visto que é uma
função real diferenciável sobre M. Assim, |S| ≤ k, sendo k uma serta constante positiva. Se
ϕ ∈ C ∞ (M ), ϕ > 0 temos pela inequação de Hölder:
Z
0
ϕ2 dVg ≤ k1kq0 kϕ2 kq = k1kq0 kϕk2p = vol(M )1/q · kϕk2p . (onde p = 2q, 1/q + 1/q 0 = 1)
M

Daı́,
E(ϕ)
Qg (ϕ) =
≥
kϕk2p

R

R
2
Sϕ
dV
ϕ2 dVg
0
g
M
M
≥
−k
≥ −kvol(M )1/q
2
2
kϕkp
kϕkp

(3.9)

44

Com isso, vemos que o funcional Q é limitado inferiormente sob o conjunto das funções
estritamente positivas de C ∞ (M ). Podemos assim definir o invariante de Yamabe:
Definição 3.1. Dada (M, g) variedade Riemanniana compacta e conexa de dimensão n ≥ 3,
definimos o invariante de Yamabe λ(M ) = λ((M, g)) da variedade como sendo
λ(M ) = inf{Q(e
g ); ge é conforme a g}
= inf{Qg (ϕ); ϕ ∈ C ∞ (M ) e ϕ > 0}.
A constante λ(M ) é chamada de invariante pois de fato é um invariante conforme:
Proposição 3.3. λ(M ) é um invariante conforme.
e = λ, sendo ge = ϕp−2 g. É suficiente verificar que dada
Demonstração. Devemos verificar que λ
ψ ∈ C ∞ (M ), ψ > 0, existe φ ∈ C ∞ (M ), φ > 0, tal que Qge(ψ) = Qg (φ). Por um lado, usando
o Lema 2.1 (ii) e a expressão (3.2), obtemos
R
R
e 2 + Sψ
e 2 dVge
a|∇ψ|
[aϕ2−p |∇ψ|2 + (Sϕ2−p + aϕ1−p ∆ϕ) ψ 2 ] ϕp dVg
= M
Qge(ψ) = M 
2/p

2/p
R
R
p
p
p
ψ dVge
ψ ϕ dVp
M
M
R
aϕ2 |∇ψ|2 + Sϕ2 ψ 2 + aϕψ 2 ∆ϕ dVg
.
= M
kψϕk2p
Por outro lado,
R
a|∇(ϕψ)|2 + S(ϕψ)2 dVg
Qg (ϕψ) = M 
2/p
R
p
(ϕψ) dVg
M
R
a (ϕ2 |∇ψ|2 + ψ 2 |∇ϕ|2 + 2hψ∇ϕ, ϕ∇ψi) + Sϕ2 ψ 2 dVg
= M
kψϕk2p


R
ψ2
2
2
2
a ϕ |∇ψ| + 2 (2ϕ∆ϕ − ∆ϕ ) + 2hψ∇ϕ, ϕ∇ψi + Sϕ2 ψ 2 dVg
M
=
kψϕk2p

R
a ϕ2 |∇ψ|2 + ψ 2 ϕ∆ϕ − 12 h∇ψ 2 , ∇ϕ2 i + 2hψ∇ϕ, ϕ∇ψi + Sϕ2 ψ 2 dVg
= M
kψϕk2p
R
aϕ2 |∇ψ|2 + aψ 2 ϕ∆ϕ + Sϕ2 ψ 2 dVg
= M
.
kψϕk2p
Onde na segunda e na última igualdade acima usamos a identidade ∇(ϕψ) = ϕ∇ψ+ψ∇ϕ,
na terceira igualdade usamos ∆(ϕψ) = ϕ∆ψ + ψ∆ϕ − 2h∇ϕ, ∇ψi e na penúltima igualdade
usamos integração por partes. O resultado segue tomando φ = ϕψ.

45

Também λ(M ) é um invariante por difeomorfismos conformes, precisamente:
Proposição 3.4. Sejam M e N variedades Riemannianas orientadas compactas e φ : (M, g) −→
(N, ge) um difeomorfismo conforme, então λ(N ) = λ(M ).
Demonstração. Seja {φ1 , · · · , φk } uma partição da unidade associada ao atlas {Ωα , Φα }, α ∈
{1, · · · , k}, de M, o qual é compatı́vel com a orientação de M. Também, seja {ψ1 , · · · , ψl } uma
partição da unidade associada ao atlas {Ω0β , Ψβ }, β ∈ {1, · · · , l}, de N, o qual é compatı́vel
com a orientação de N. Por definição existe f ∈ C ∞ (M ), f > 0, tal que φ∗ ge = f g. Vamos
inicialmente supor que f ≡ 1, ou seja, (M, g) e (N, ge) serão isométricas e as formas de volume
serão dadas, respectivamente, por
dVg =

p

det(g) dx1 ∧ · · · ∧ dxn

e dVge =

p
det(e
g ) dy 1 ∧ · · · ∧ dy n .


Para cada p ∈ Ωα ∩ φ−1 Ω0β , temos que (Ωα , Φα ) é uma carta local em torno de p e nessa




∂
∂
∗
−1
0
,
.
Por
outro
lado,
Ω
∩
φ
Ω
,
Ψ
◦
φ
é outra carta local em
carta (φ ge)ij =
α
β
β
∂xi ∂xj


∂
∂
∗
p e as novas componentes da métrica φ ge são dadas por hij =
,
. Daı́, pela fórmula
∂z i ∂z j
de mudança de coordenadas (ver DO CARMO [9], p. 44), temos
p

p
det(g) = det(J) det(h),

0
onde J é a matriz Jacobiano da mudança de coordenadas Ψβ ◦ φ ◦ Φ−1
α . Dado que (Ωβ , Ψβ ) é


∂ ∂
,
uma carta local em N e sejam geij =
as componentes de ge nessa carta, temos
∂yi ∂yj
pela isometria e por (2.1) da Proposição 2.1:







∂
∂
∂ ∂
, dp φ
,
hij (p) =
dp φ
=
= geij (φ(p)),
∂zi
∂zj
∂yi ∂yj
φ(p)
φ(p)

ou seja,
p
p
det(g)(p) = det(J)(p) det(e
g )(φ(p)).

Notemos que a coleção (Ωα ∩ φ−1 Ω0β , Φα ) é um atlas em M e {φα · (ψβ ◦ φ)} é uma
partição da unidade associada a esse atlas. Do Lema 2.2 (v) obtemos S = Se ◦ φ e, usando a
fórmula de mudança de variáveis para integrais (ver Teorema 8.1), temos
Z
XZ
p
[φα · (ψβ ◦ φ)S] ◦ Φ−1
SdVg =
g ) dx1 · · · dxn
α det(J) det(e
0
−1
M
α,β Φα (Ωα ∩φ (Ωβ ))
Z
h
i
X
p
e ◦ φ ◦ Φ−1
=
φα · (ψβ S)
det(J)
det(e
g ) dx1 · · · dxn
α
0
−1
α,β Φα (Ωα ∩φ (Ωβ ))

46

=

XZ
Ψβ ◦φ(Ωα ∩φ−1 (Ω0β ))

α,β

=

XZ
Ψβ (Ω0β )

β

ψβ Se ◦ Ψ−1
β

φα · ψβ Se ◦ Ψ−1
β

p

det(e
g ) dy 1 · · · dy n

p
det(e
g ) dy 1 · · · dy n

Z
=
N

e ge.
SdV

E, do mesmo modo
Z

Z
dVg =

M

N

dVge.

Conclusão,
R
e ge
SdV
Q(e
g ) = RM
= Q(g).
dVge
M
Como g = φ∗ ge, temos que para cada ϕ ∈ C ∞ (N ), ϕ > 0,
φ∗ (ϕp−2 ge) = (ϕp−2 ◦ φ)φ∗ (e
g ) = (ϕp−2 ◦ φ)g,

onde claramente (ϕp−2 ◦ φ) ∈ C ∞ (M ), daı́ Q(ϕp−2 ge) = Q (ϕp−2 ◦ φ)g , implicando
λ(N ) =

inf

ϕ∈C ∞ (N ),ϕ6≡0

Qge(ϕ) ≥

inf

ϕ∈C ∞ (M ),ϕ6≡0

Qg (ϕ) = λ(M ).

Usando a isometria inversa obtemos a outra desigualdade. Segue que λ(N ) = λ(M ), no
caso g = φ∗ g. E no caso geral φ∗ g = f g, o resultado segue da Proposição anterior.
Observação 3.2. Notemos que substituindo Se por uma função f ∈ C ∞ (N ) na integral do
teorema anterior, obtemos
Z

Z

∗

f ◦ φ dVg =

φ f dVg =
M

Z

M

N

f dVge,

isto é, a integral é invariante por isometrias. Também, sendo f integrável, a igualdade acima
ainda é válida independente da compacidade de M e de N, bastando serem orientáveis, em
vista dos cálculos do teorema anterior.
Observação 3.3. Notemos que a Definição 3.1 pode ser estendida para o conjunto das funções
u ∈ L21 , u 6≡ 0, pois

n−2
1 1
1
=
= − ,
p
2n
2 n

implicando pelo teorema de mergulho que L21 ⊂ Lp e, portanto, Q(u) = E(u)/kuk2p faz
sentido. Como também vale (3.9), segue que podemos definir inf{Qg (u); u ∈ L21 (M ), u 6≡ 0}.
Mais ainda,
λ(M ) = inf{Qg (u); u ∈ L21 (M ), u 6≡ 0}.

47

De fato, notemos que o funcional Qg é contı́nuo sobre o conjunto das funções não-nulas
de L21 (M ), pois dadas u, v nesse conjunto, considere ∗ = Qg (u) − Qg (v), temos

Z
∗ =

(a|∇u|2 + Su2 ) kvk2p − (|∇v|2 + Sv 2 ) kuk2p
dVg
kuk2p kvk2p
M

Z
=

(a|∇u|2 + Su2 ) (kvk2p − kuk2p ) + kuk2p (a|∇u|2 + Su2 − a|∇v|2 − Sv 2 )
dVg ,
kuk2p kvk2p
M

daı́,

Z
|∗| ≤

a|∇u|2 + Su2 · kvk2p − kuk2p + kuk2p a(|∇u|2 − |∇v|2 ) + S(u2 − v 2 )
kuk2p kvk2p

M

dVg .

Sabemos do teorema de mergulho (Teorema 1.3 (a)) que se u −→ v em L21 , implica u −→ v
em Lp , em particular kuk2p −→ kvk2p , segue que o primeiro termo da integral acima tende a
zero quando u −→ v em L21 , pois u ∈ L21 implica que a|∇u|2 + Su2 é limitado. Para o
segundo termo, notamos que para todo α, β ∈ R, vale |α|2 − |β|2 ≤ (|α| + |β|)|α − β|, assim
Z

2

2

2

Z

2

a(|∇u| − |∇v| ) + S(u − v ) dVg ≤
M

a(|∇u| + |∇v|) |∇u − ∇v| dVg
ZM
S(|u| + |v|)|u − v| dVg

+
M

−→ 0,
quando u −→ v em L21 , pois ku − vk2,1 =

R
M

|∇u − ∇v|2 + |u − v|2 dVg .

Agora, pela Proposição 1.4 sabemos que Cc∞ (M ) é denso em L21 (M ), também do Lema
3.2 sabemos que Qg (|u|) = Qg (u) para toda u ∈ Lp1 (M ). Assim, dada u ∈ L12 , u 6≡ 0 existe
{ϕn } ⊂ Cc∞ (M ), ϕn > 0, tal que ϕn −→ |u| em L21 , implicando que Q(ϕn ) −→ Qg (|u|) =
Qg (u). Como
inf Qg (u) ≤ inf∞ Qg (u) ≤ inf∞ Qg (u),

u∈L2
1
u6≡0

u∈C
u>0

u∈Cc
u>0

e não vale a segunda desigualdade estrita, conclui-se que
inf Qg (u) = inf∞ Qg (u) = inf∞ Qg (u)

u∈L2
1
u6≡0

u∈C
u>0

u∈Cc
u>0

=⇒ λ(M ) = inf{Qg (u); u ∈ L21 e u 6≡ 0}.
♦

Observação 3.4. Em particular da observação anterior, temos que
inf

u∈Cc∞ (Rn )

Qds2 (u) =

inf

u∈L21 (Rn )

Qds2 (u),

onde ds2 é a métrica euclidiana sobre Rn . Como nessa métrica a curvatura escalar é identica-

48

mente nula, devemos verificar que
R
R
a|∇u|2 dx
a|∇u|2 dx
Rn
Rn
inf
=
inf

 .
R
R
u∈Cc∞ (Rn )
p dx 2/p
p dx 2/p
u∈L21 (Rn )
|u|
|u|
Rn
Rn
De fato, isso segue dos cálculos da Observação anterior, pois nesta verificamos que
inf

u∈Cc∞ (M )

Qg (u) =

inf

u∈L21 (M )

Qg (u),

e para verificar isso, usamos apenas os seguintes argumentos:
(1) L21 (M ) está mergulhado continuamente em Lp (M ), o que é válido também para M =
Rn , como mencionado na Observação 1.7;
(2) |S| é limitado, o que é válido também para M = Rn , visto que a curvatura escalar é
identicamente nula sobre (Rn , ds2 );
(3) Cc∞ (M ) é denso em L21 (M ), o que é válido para M = Rn , pois Cc∞ (Rn ) é denso em
L21 (Rn ).

♦

Na proposição seguinte verificamos que resolver o problema de Yamabe é equivalente a
determinar os valores crı́ticos do funcional (3.7).
Definimos o funcional pertubado Qs (ϕ) = E(ϕ)/kϕk2s para 2 ≤ s ≤ p e naturalmente
λs = inf{Qs (ϕ); ϕ ∈ C ∞ , ϕ > 0}. Notemos que se s ≤ p, então por imersão de Sobolev vale
L21 (M ) ⊂ Ls (M ).
Dada uma aplicação T : B1 −→ B2 entre espaços de Banach B1 e B2 . A derivada direcional (ou de Gateaux) dF (x; y) de F em x ∈ B1 na direção y ∈ B1 é definida por
F (x + ty) − F (x)
d
= F (x + ty)
,
t−→0
t
dt
t=0

dF (x; y) = lim
se esse limite existe.

Consideraremos a derivada de Qs como sendo a derivada direcional.
Proposição 3.5. Seja u ∈ L21 (M ) com u 6≡ 0 e u ≥ 0 em quase todo ponto. Para 1 < s ≤ p,
u é ponto crı́tico do funcional Qs se, e somente se, u é solução fraca da equação
a∆u + Su = λ us−1 ,
onde λ =

E(u)
.
kukss

49

Demonstração. Dada v ∈ L21 (M ) qualquer, sempre podemos escolher t ∈ R pequeno tal que
ku + tvks 6= 0. De fato, fixadas u, v, teremos
0 < kuks − ktvks ≤ ku + tvks ,
para t suficientemente pequeno, visto que kuks > 0. Assim, faz sentido considerar Qs (u + tv)
d
d
para t −→ 0. Queremos calcular Qs (u+tv)
, para tanto, vamos calcular E(u+tv)
dt
dt
t=0
t=0
d
2
e ku + tvks
:
dt
t=0
Z
E(u + tv) =
ah∇(u + tv), ∇(u + tv)i + S(u + tv)2 dVg
ZM


=
a |∇u|2 + 2th∇u, ∇vi + t2 |∇v|2 + S(u2 + 2tuv + t2 v 2 )dVg .
M

Daı́,


E(u + tv) − E(u)
lim
t−→0
t



Z
1
2ath∇u, ∇vi + at2 |u|2 + 2tSuv + t2 Sv 2 dVg
= lim
t−→0 t M
Z
=
2ah∇u, ∇vi + 2Suv dVg .
M

Notemos que dados a, b ∈ R com a ≥ 0, então
|a + tb|s − |a|s
= sas−1 b.
t−→0
t
lim

(3.10)

Obviamente (3.10) é válido para a = 0. Supondo a > 0, temos que a > tb para t −→ 0,
daı́ |a + tb|s = (a + tb)s . A generalização do binômio de Newton diz que para todo x, y, z ∈ R,
com |x| > |y| tem-se
∞  
X
z z−k k
(x + y) =
x y ,
k
k=0
z

k ∈ Z,

(3.11)

onde a soma acima converge absolutamente (Ver GRAHAM [12], p. 162). Assim,
X s
s
s
s−1
(a + tb) = a + sa tb +
as−k (tb)k .
k
k≥2
Como a soma acima converge absolutamente, podemos aplicar o limite termo a termo. To1
mando (|a + tb|s − |a|s ) e observando que apenas o primeiro termo dessa expressão não
t
possue fator tk , k ≥ 1, obtemos o afirmado:


|a + tb|s − |a|s
lim
= sas−1 b.
t−→0
t
Também,

50

|u + tv|s ≤ (1 − t)|u|s + t|u + v|s , para |t| ≤ 1
|u + tv|s − |u|s
≤ |u + v|s − |u|s , para t 6= 0.
∴
t

(3.12)

|u + tv|s − |u|s
. De (3.10) sabemos que ft (x) −→ f (x) para
t
todo ponto x, onde f = sus−1 v. Usando (3.12), temos pelo Teorema de Convergência DomiConsidere as funções ft =

nada que

Z

Z

lim

ft dVg =

t−→0

M

d
ku + tvkss
= lim
t−→0
dt
t=0



f dVg .
M

Portanto,
ku + tvkss − kukss
t



Z

sus−1 vdVg .

=
M

Segue pela regra da cadeia que
Z

d
2
ku + tvk2s
=
dt
s
t=0

s

 2s −1 Z
su

u dVg

= 2


vdVg

M

M

Z

s−1

kuks2−s us−1 v dVg .

M

Usando a regra da derivada do quociente,
d
Qg (u + tv)
dt

t=0

d
=
dt
=



E(u + tv)
ku + tvk2s



t=0
2 d
ku + tvks dt E(u + tv) − E(u + tv) dtd ku + tvk2s
ku + tvk4s


R t=0 2−s s−1
2ah∇u,
∇vi
+
2Suv
dV
−
2E(u)
kuks u v dVg
g
M
M
=
kuk4s
R
R
s−1
2ah∇u,
∇vi
+
2Suv
dV
−
2E(u)
kuk−s
v dVg
g
s u
M
= M
2
kuks
Z
2
s−1
=
ah∇u, ∇vi + Suv − E(u)kuk−s
v dVg .
s u
kuk2s M
kuk2s

R

Assim,
d
Qg (u + tv)
dt

Z
=0
t=0

Z

⇐⇒

ah∇u, ∇vidVg =
M

s−1
−Suv + E(u)kuk−s
vdVg .
s u

M

Sendo v ∈ L21 (M ) qualquer, tem-se que u é ponto crı́tico de Qs se, e somente se, u é solução
fraca da equação
a∆u + Su =

E(u) s−1
u .
kukss

51

Corolário 3.1. Seja ϕ ∈ C 2 (M ), ϕ 6≡ 0. Então ϕ é ponto crı́tico de Qs se, e somente se, ϕ é
solução (forte) da equação
a∆ϕ + Sϕ = λ ϕs−1 ,
onde λ =

E(ϕ)
.
kϕkss

Demonstração. Como Cc2 (M ) ⊂ L21 (M ), dada qualquer ψ ∈ Cc2 (M ), temos pela proposição
anterior
d s
Q (ϕ + tψ)
dt

=
t=0
(Int. Partes)

=

2
kϕk2p

Z

2
kϕk2p

Z

p−1
aϕ∆ψ + Sϕψ − E(ϕ)kϕk−p
ψ dVg
p ϕ

M


p−1
ψ dVg .
a∆ϕ + Sϕ − E(ϕ)kϕk−p
p ϕ

M

Como ψ ∈ Cc2 (M ) é qualquer, temos
d s
Q (ϕ + tψ)
dt

=0

⇐⇒ a∆ϕ + Sϕ =

t=0

E(ϕ) p−1
ϕ .
kϕkpp

Assim, pela Proposição e Lema anteriores, o problema de Yamabe para uma variedade
Riemanniana compacta (M, g) pode ser resolvido determinando uma métrica conforme a g tal
que minimize o funcional (3.6). É o que faremos no próximo capı́tulo para o caso da esfera
(S n , g).
Na abordagem de YAMABE [31] ele considera primeiro o funcional perturbado Qs (ϕ) =
E(ϕ)/kϕk2s , para 2 ≤ s < p. Definindo λs = inf{Qs (ϕ); ϕ ∈ C ∞ , ϕ 6≡ 0}. Na demonstração
do Teorema 3.1 abaixo veremos que uma função ϕ minimizante de Qs com kϕks = 1 satisfaz
ϕ = λs ϕs−1 .

(3.13)

A equação acima será chamada de equação subcrı́tica e no Teorema seguinte veremos que
ela sempre tem solução para s < p, com kϕks = 1, ou seja, sempre existe um minimizante
para o funcional perturbado Qs .
Lema 3.1. (Regularidade) Supondo que ϕ ∈ L21 (M ) é uma solução fraca de (3.13) com ϕ ≥ 0
em quase todo ponto e seja 2 ≤ s ≤ p.
(i) Se ϕ ∈ Lr (M ) para algum r tal que


n(s − 2)
,
r > máx s − 1,
2
então ϕ ≡ 0 ou ϕ > 0 e C ∞ (M ).

(3.14)

52

(ii) Se r = s < p ou s = p < r, então vale (3.14) e, consequentemente, ϕ ≡ 0 ou ϕ > 0 e
C ∞ (M ).
(iii) Se |λs | ≤ K, tem-se que kϕkC 2,α ≤ C(K,M,g,kϕkr ) . onde C(K,M,g,kϕkr ) é uma constante positiva que depende apenas de M, g, K e kϕkr tal que se kϕkr é uniformemente limitada,
então kϕkC 2,α também o será.
Demonstração. (i) Dado s ∈ [2, p] e supondo ϕ ∈ Lr , defina q = r/(s − 1) > 1. Como
q ≤ r, segue do Teorema de Mergulho (Teorema 1.3 (a)) que ϕ ∈ Lq . Também ϕs−1 ∈ Lq , pois
R
q
|ϕs−1 | dVg = kϕkrr < ∞. Sendo S limitada, segue de (3.13) que a∆ϕ = λs ϕs−1 −Sϕ ∈ Lq .
M
Então, pelo Teorema de Regularidade (Teorema 1.6 (a)) temos que ϕ ∈ Lq2 .
Se 1/q < 2/n, escolha 0 < α < 1 tal que 1/q < (2 − α)/n, daı́ pelo Teorema de Mergulho
(Teorema 1.3 (c)) Lq2 ⊂ C α . Caso q = n/2, escolha ε > 0 suficientemente pequeno e defina
r0 = r − ε, q0 = r0 /(s − 1). Temos ϕ ∈ Lr0 e ϕ ∈ Lq20 como antes, mas agora q0 < n/2, daı́
r0
n
<
s−1
2

=⇒

ns − n − 2r0 > 0

e podemos definir r1 = nr0 /(ns − n − 2r0 ). Por hipótese

2
(s − 2)
>
, daı́
n
r0

2 s−2
1
1
1
s−1 2
−
=
−
+ = −
> 0,
r0 r1
r0
r0
n
n
r0
segue que r1 > r0 , mais ainda, como 2r0 − ns + n < 0, temos
r1 − r0 >

r1 − r0
nr0
nr0
=
>
= r0 ,
r0 r1
2r0 − ns + 2n
n

daı́, q1 = r1 /(s − 1) > n/2 e Lq21 ⊂ C α . Como
s−1 2
1
2
1
=
− =
− ,
r1
r0
n
q0 n
temos Lq20 ⊂ Lr1 . Assim, ϕ ∈ Lr1 , daı́ ϕ ∈ Lq1 e por regularidade ϕ ∈ Lq21 ⊂ C α .
Caso q < n/2, procedemos como acima e indutivamente definindo rk , observando que
Lrk ⊂ Lqk e Lq2k ⊂ Lrk+1 . Seja N ≥ 0 o primeiro inteiro não-negativo tal que qN > n/2, então
pelo visto acima tem-se ϕ ∈ Lq2N ⊂ C α .
Pela Proposição 1.5 e o Corolário 1.1 temos (λs ϕs−1 − Sϕ) ∈ C α . Agora por regularidade
(Teorema 1.3 (b)) conclui-se que ϕ ∈ C 2,α . Em seguida temos pelo Corolário 1.1 que (λs ϕs−1 −
Sϕ) ∈ C 1,α e por regularidade (Teorema 1.3 (b)) vale ϕ ∈ C 2+1,α . Repetindo o processo
sucessivamente, conclui-se que ϕ ∈ C ∞ .
Por fim, como a∆ϕ = λs ϕs−1 − Sϕ e ϕ ≥ 0, temos pelo princı́pio do máximo (Teorema

53

1.8) que ϕ é identicamente nula ou estritamente positiva.
(ii) Supondo r = s < p, temos obviamente r > s − 1. Sendo s < p = 2n/(n − 2), temos
n(s − 2)/2 < s = r, ou seja, vale (3.14). Por outro lado, se s = p < r, tem-se r > s > s − 1 e
r > p = n(p − 2)/2 = n(s − 2)/2 e novamente vale (3.14).
(iii) No item (i) vimos que kϕs−1 kqk = (kϕkrk )s−1 , kϕkqk ≤ C1 kϕkrk e kϕkrk+1 ≤ C2 kϕkqk ,2 ,
para todo k ∈ {0, 1, 2, · · · }. Também, tı́nhamos kϕkC α ≤ C3 kϕkqN ,2 . Dado que ∆ϕ =
(λs ϕs−1 − Sϕ)/a, usando o Teorema 1.6 e a Proposição 1.5, obtemos
h
i
kϕkC 2,α ≤ C4 k∆ϕkC α + kϕkC α
h
i
s−1
≤ aC4 K kϕkC α
+ kSkC α kϕkC α + kϕkC α
h
i
s−1
+ kϕkqN ,2
(3.15)
≤ C30 C4 kϕkqN ,2
h
i
s−1

≤ C5 k∆ϕkqN + kϕkqN
+ k∆ϕkqN + kϕkqN
h
s−1
i
+ kϕs−1 kqN + kϕkqN
≤ C6 kϕs−1 kqN + kϕkqN
h
s−1
i
≤ C6 C10 (kϕkrN )s−1 + kϕkrN
(3.16)
+ kϕkrN )s−1 + kϕkrN
h
s−1
i
0
s−1
s−1
≤ C7 C2 (kϕkqN −1 ,2 ) + kϕkqN −1 ,2
+ kϕkqN −1 ,2 ) + kϕkqN −1 ,2 .
Na última expressão acima usamos (3.15) e (3.16) e procedemos por indução, obtendo
kϕkC 2,α ≤ CK,M,g,kϕkr ,
onde CK,M,g,kϕkr é uma constante positiva que envolve somas e potências em (s − 1) da norma
kϕkr . Em particular, se kϕkr é uniformemente limitada, teremos que kϕkC 2,α também será
uniformemente limitada.
Lema 3.2. Seja M n uma variedade Riemanniana e ϕ ∈ Lp1 (M ). Então |∇|ϕ|| = |∇ϕ| em
quase todo ponto.
Demonstração. Ver AUBIN [3], p. 82.
Teorema 3.1. (Yamabe) Para 2 ≤ s < p, existe uma função ϕs estritamente positiva C ∞
satisfazendo a equação subcrı́tica (3.13) tal que Qs (ϕs ) = λs e kϕks = 1.
Demonstração. Dividimos a demonstração em etapas:
a) Existe {ui } sequência limitada em L21 que converge fracamente em L21 e fortemente em
Ls para uma função ϕs ∈ Ls , com kϕs ks = 1 e ui converge pontualmente em quase todo
ponto. Com efeito, Por definição de ı́nfimo existe {ui } ⊂ C ∞ (M ) tal que Qs (ui ) −→ λs .

54




ϕ
Como Q (ϕ) = Q
, podemos assumir que kui ks = 1 para cada i. Também, vale
kϕk
Qs (ui ) = Qs (|ui |), pois pelo Lema 3.2 vale |∇|ui || = |∇ui | em quase todo ponto de M. Assim,
s

s

podemos considerar que ui ≥ 0. Agora, notemos que
Z
2
kui k2,1
=
|∇ui |2 + u2i dVg
ZM
S
S
=
|∇ui |2 + u2i + u2i − u2i dVg
a
a
M

Z 
1 s
S
=
Q (ui ) +
1−
u2i dVg
a
a
M
(Hölder)

1 s
Q (ui ) + Ckui k2s .
a

≤

(3.17)

Segue que {ui } é limitada em L21 (M ), visto que {Qs (ui )} é convergente e, portanto, limitada. Como L21 é espaço de Hilbert, existe uma subsequência de {ui } (que consideramos com
os mesmos ı́ndices) que converge fracamente em L21 para ϕs ∈ L21 . Pelo Teorema 1.3 item (b),
a aplicação inclusão L21 ⊂ Ls é um operador compacto, visto que
1
1 1
> − ,
s
2 n

para s <

2n
.
n−2

Assim, essa subsequência converge fortemente em Ls para ϕs com kϕs ks = 1. Por fim, por um
teorema de medida existe uma subsequência dessa subsequência que converge pontualmente
em quase todo ponto para ϕs .
b) Vamos ver que Qs (ϕs ) = λs . De fato, pela desigualdade de Hölder a norma L2 é dominada
R
pela norma Ls , daı́ ui −→ ϕs em L2 . Considere o funcional T (f ) := M h∇f, ∇ϕs idVg , T :
L21 −→ R. T é linear contı́nuo pois:
Z

Z
|T (f )| ≤

2

1/2 Z

|∇f | dVg

|h∇f, ∇ϕs i| dVg ≤
M

2

1/2

|∇ϕs | dVg

M

≤ Ckf k2,1 .

M

Daı́, como {ui } converge fracamente em L21 para ϕs , temos T (ϕs ) = lim T (ui ) :
i−→∞

Z

|∇ϕs |2 dVg =

M

Z
h∇ui , ∇ϕs idVg

lim

i−→∞

M

Z

2

≤ lim sup

|∇ui | dVg

i−→∞

Z

|∇ϕs | dVg ≤ lim sup

∴
M

Segue que

M

Z

2

i−→∞

1/2 Z

M

|∇ui |2 dVg .

2

|∇ϕs | dVg
M

1/2

55
s

Z

a|∇ϕs |2 + Sϕ2s dVg
M
Z
= lim
a|∇ϕs |2 + Sui 2 dVg
i−→∞ M
Z
≤ lim sup
a|∇ui |2 + Sui 2 dVg

Q (ϕs ) =

i−→∞

=

M

lim Qs (ui ) = λs .

i−→∞

Mas, sendo λs o ı́nfimo de Qs , temos Qs (ϕs ) = λs .
c) ϕs é uma solução fraca da equação subcrı́tica (3.13). Isso segue do fato de que ϕs ≥ 0 em
quase todo ponto e ϕs ser um ponto crı́tico do funcional Qs , daı́ pela Proposição 3.5, temos
que ϕs é uma solução fraca da equação subcrı́tica (3.13).
d) ϕs ∈ C ∞ e ϕs > 0. Como ϕs ∈ Ls e s < p, juntamos isso com o item c) acima e notando
que ϕs 6≡ 0, concluimos do Lema 3.1 (ii) que ϕs ∈ C ∞ e ϕs > 0.
Yamabe tentou dar uma solução completa ao seu problema, e ele pensou ter obtido, mas
anos depois Trudinger descobriu um erro em sua demonstração, precisamente, Yamabe afirmou que as funções ϕs do teorema acima são uniformemente limitadas quando s −→ p. Essa
afirmação é falsa em geral como veremos depois.

56

4

As Contribuições de Aubin e
Trudinger

O objetivo desse capı́tulo é concluir que se λ(M ) < λ(S n ), então o problema de Yamabe
tem solução. Esse resultado seguirá do Teorema de Yamabe e resultados devido a Aubin e
Trudinger.
Nesse capı́tulo supomos vol(M ) = 1, o que basta multiplicar a métrica por uma constante
se necessário. Como veremos no lema abaixo, uma consequência dessa convenção será o fato
de kuks ≤ kuks0 , sempre que s ≤ s0 .
Lema 4.1. (Aubin) Se

R
M

dVg = 1, então |λs | é não-crescente como função de s ∈ [2, p].

Também, se λ(M ) ≥ 0, então λs é contı́nuo pela esquerda.
Demonstração. a) |λs | é não-decrescente. Com efeito, para quaisquer s e s0 , e qualquer u ∈
C ∞ (M ), u 6≡ 0, vale
0

Qs (u) =

kuk2s s
Q (u).
kuk2s0

(4.1)

Supondo s ≤ s0 , exite q > 1 tal que s0 = qs. Tomando q 0 tal que 1/q + 1/q 0 = 1, temos
pela desigualdade de Hölder:
Z
us dVg ≤ k1kq0 kus kq = kukss0

=⇒ kuks ≤ kuks0 .

(4.2)

M

Assim, se s ≤ s0 , temos de (4.1) e (4.2) que |λs0 | ≤ |λs |.
b) Para λ(M ) ≥ 0, λs é contı́nua pela esquerda. De fato, notemos que se λs < 0 para algum
0

s, significa que existe u ∈ C ∞ (M ) tal que Qs (u) < 0, daı́ (4.1) mostra que Qs (u) < 0 para
todo s0 , isto é, λs < 0 para todo s. Assim, se λ(M ) ≥ 0, temos que λs ≥ 0 para todo s.
Dados s0 ∈ [2, p] e ε > 0, temos por definição de ı́nfimo que existe u ∈ C ∞ (M ) tal que
0

Qs (u) < λs0 + ε. Notemos que a função kukss é uma função contı́nua em s, pois a função |u|s
é contı́nua em s, implicando que
Z
0
0
s0
s
kuks0 − kuks =
|u|s − |u|s dVg ≤ |u|s − |u|s −→ 0,

quando s −→ s0 .

M

Em particular kuks é uma função contı́nua em s, daı́ podemos tomar s suficientemente
próximo a s0 , com s ≤ s0 , tal que

57

kuk2s0
< 1 + ε1 ,
kuk2s
onde tomamos 0 < ε1 <
Qs (u) =

ε
. Por (4.1), temos
λs0 + ε

kuk2s0 s0
Q (u)
kuk2s

0

=⇒ Qs (u) < (1 + ε1 )Qs (u) < λs0 + 2ε.

Por a) sabemos que λs0 ≤ λs e como λs ≤ Qs (u), ∀u, concluimos da expressão acima que
|λs − λs0 | = λs − λs0 < 2ε, ou seja, λs é contı́nua pela esquerda.
Seja NR = (0, · · · , 0, R) o polo norte sobre SRn ⊂ Rn+1 . Definimos a projeção estereográfica σR : SRn \ {NR } −→ Rn , dada por
σR (ζ 1 , · · · , ζ n , ξ) = σR (ζ, ξ) =

Rζ
.
R−ξ

(4.3)

É conhecido que σR é um difeomorfismo e sua inversa é dada por


|x|2 − R2
2R2 x
−1
,R
σR (x) =
, ∀x ∈ Rn ,
|x|2 + R2 |x|2 + R2

(4.4)

mais ainda:
Lema 4.2. A projeção estereográfica é uma equivalência conforme entre SRn \ {NR } e Rn .
Consequentemente, SRn é localmente conformemente plana.
Em LEE [16], p. 36 encontramos uma demonstração desse fato e mais, se ds2 denota a
métrica Euclidiana sobre Rn , então
(σR−1 )∗ g =

4R4
ds2 .
(R2 + |x|2 )2

Observação 4.1. Considerando σ = σ1 e R = α, podemos escrever
cada α > 0, onde δα é a dilatação sobre Rn dada por δα (x) = α−1 x.

(4.5)
1 −1
σ = σ −1 ◦ δα , para
α α

Por (4.5), temos
(σ −1 )∗ g =

4
ds2 ,
(1 + |x|2 )2

(4.6)

que pode ser escrito como
ρ∗ g = 4u1p−2 ds2 ,
onde ρ = σ −1

e u1 (x) = (|x|2 + 1)

(2−n)/2

.

(4.7)

58

Através da projeção estereográfica é simples escrever difeomorfismos conformes da esfera.
Tal grupo de difeomorfismos é gerado por rotações, juntamente com aplicações da forma σ −1 ◦
τv ◦ σ e σ −1 ◦ δα ◦ σ, onde τv : Rn −→ Rn é a translação tal que para cada v ∈ Rn ,
τv (x) = x − v.
Isso pelo fato de rotações, translações e σ −1 ◦ δα serem difeomorfismos conformes e, consequentemente, as compostas ainda são difeomorfismos conformes.
Denotando φ = σ −1 ◦ δα , obtemos do Lema acima que para todo X, Y ∈ Tp Rn ,

1
−1
−1
g
d(σ
)
(X),
d(σ
)
(Y
)
p
p
φ(p)
α
α
α2
1
((σα−1 )∗ g)p (X, Y )
=
2
α
4α2
ds2 (X, Y ),
=
(α2 + |x|2 )2

(φ∗ g)p (X, Y ) = g φ(p) (dφp (X), dφp (Y )) =

ou seja,
σ

visto que

−1

◦ δα

∗

2
g = 4up−2
α ds ,


onde

uα (x) =

α
2
α + |x|2

(n−2)/2
,

(p − 2)(n − 2)
= 2.
2

(4.8)

♦

Teorema 4.1. A forma ótima da desigualdade de Sobolev (1.6) sobre Rn é dada por
Z
a
2
|∇u|2 dx, u ∈ L21 (Rn ),
kukp ≤
Λ Rn
onde Λ = λ(S n ).
Demonstração. Dada ϕ ∈ C ∞ (S n ) qualquer, definamos ϕ = u1 ρ∗ ϕ, daı́ da observação anterior:
ρ∗ (ϕp−2 g) = (ρ∗ ϕ)p−2 ρ∗ g = 4ϕp−2 ds2 ,
ou seja, pela Proposição 3.4 temos Q(ϕp−2 g) = Q(4ϕp−2 ds2 ). Daı́,
λ(S n ) =

inf

ϕ∈Cc∞ (S n )

Q(ϕp−2 g) =

inf

ϕ∈Cc∞ (S n )

Q(4ϕp−2 ds2 )

Q(ϕp−2 ds2 )
R
a|∇ϕ|2 dx
Rn
=
inf
2/p ,
R
ϕ∈Cc∞ (S n )
|ϕ|p dx
Rn

=

inf

ϕ∈Cc∞ (S n )

onde usamos que a curvatura escalar em Rn com a métrica Euclidiana é identicamente nula.
Notemos que dado que ρ é um difeomorfismo, temos que {ϕ; ϕ = u1 ρ∗ ϕ, ϕ ∈ Cc∞ (S n \

59

{N })} ⊃ Cc∞ (Rn ). E como Cc∞ (Rn ) é denso nesse conjunto, obtemos
R
a|∇u|2 dx
n
Rn
Λ = λ(S ) = inf
 .
R
u∈Cc∞ (Rn )
p dx 2/p
|u|
Rn

(4.9)

Agora, pela Observação 3.4,
R

R
a|∇u|2 dx
a|∇u|2 dx
Rn
2/p = inf
 .
R
R
p dx
p dx 2/p
u∈L21 (Rn )
|u|
|u|
n
n
R
R
Rn

inf

u∈Cc∞ (Rn )

(4.10)

Portanto, de (4.9) e (4.10),
a
kuk2p ≤

Λ

e claramente

Z

|∇u|2 dx,

Rn

u ∈ L21 (Rn )

a
é a melhor constante de Sobolev.
Λ

Observação 4.2. Em AUBIN [3], p. 40 e TALENTI [28] é verificado também que a igualdade no
teorema acima somente ocorre para funções que são múltiplas ou translações das funções uα .
Esse resultado e o teorema acima foram obtidos de forma independente pelos autores citados.
Verificaremos que as funções uα são funções extremas, isto é, vale a igualdade no teorema
anterior. De fato, temos

uα (x) =

∴

∴

(2−n)/2

−n/2
 (2−n)/2
−n/2
α2 + |x|2
2xi
1
= (2 − n)
α2 + |x|2
xi
α
α
α
 (2−n)/2 h
(−n−2)/2 2 i
−n/2 n 2
1
2
α + |x|2
∂i uα = (2 − n)
α2 + |x|2
2xi
−
α
2

(2 − n)
∂i uα =
2

∴

α2 + |x|2
α

∆uα



 (2−n)/2 h
−n/2
(−n−2)/2 2 i
1
α2 + |x|2
− α2 + |x|2
|x|
= −n(2 − n)
α
 2
(−n−2)/2
α + |x|2
= n(n − 2)
= n(n − 2)(uα )(n+2)/(n−2) .
α

Daı́,
∴
∴

uα ∆uα = n(n − 2)(uα )2n/(2−n)
R
R
uα ∆uα dx = n(n − 2) (uα )p dx
Rn
Rn
R
R
|∇uα |2 dx = n(n − 2) (uα )p dx.
Rn

Rn

Assim,
R
Z
(p−2)/p
Z
2/n
a Rn |∇uα |2 dx
p
p
uα dx
= 4n(n − 1)
uα dx
.
2/p = an(n − 2)
R
p
n
n
R
R
u
dx
α
Rn

60


Usando (4.8) temos que (σ −1 ◦ δα ) é uma isometria entre Rn , 4uαp−2 ds2 e ((S n \ {N }), g).
2
n/2 p
uα dx, pela Observação
Como o elemento de volume de Rn na métrica 4up−2
α ds é igual a 4

3.2, obtemos
Z
Rn

4n/2 upα dx =

Z

Z
dVg =

(S n \{N })

dVg = ωn ,
Sn

onde ωn é o volume da esfera unitária n-dimensional. Com isso, vemos que uα ∈ L21 (Rn ).
Também,
R
2/n
Z
a Rn |∇uα |2 dx
n/2 p
= n(n − 1)ωn2/n .
4 uα dx
2/p = n(n − 1)
R
p
Rn
u dx
Rn α
2/n

Veremos no próximo capı́tulo (Corolário 5.1) que Λ = n(n − 1)ωn , portanto vale a
igualdade
a
kuα k2p =

Λ

Z

|∇uα |2 dx.

Rn

♦

Teorema 4.2. (Trudinger, Aubin) Suponha λ(M ) < λ(S n ) e seja {ϕs } a coleção de funções
dadas pelo Teorema 3.1. Então existem constantes s0 < p, r > p e C > 0 tais que kϕs kr ≤ C
para todo s ≥ s0 .
Demonstração. Seja δ > 0. Multiplicando (3.13) por ϕ1+2δ
e integrando por partes, obtemos
s
aϕ1+2δ
4ϕs + Sϕ2+2δ
= λs ϕs+2δ
s
s
Z s
aϕ1+2δ
∴
4ϕs + Sϕ2+2δ
λs ϕs+2δ
dVg =
dVg
s
s
s
M
M
Z
Z
2δ
∴
a (1 + 2δ)ϕs ∇ϕs , ∇ϕs dVg =
λs ϕs+2δ
− Sϕ2+2δ
dVg .
s
s
Z

M

M

∇w
, daı́
(1 + δ)ϕδs
Z
Z
1 + 2δ
2
a|∇w| dVg =
λs w2 ϕs−2
− Sw2 dVg .
s
2
(1 + δ) M
M

Fazendo w = ϕ1+δ
s , temos que ∇ϕs =

Agora, usando a expressão do Teorema 1.4, onde sabemos do Teorema 4.1 que podemos
a
tomar σn = . Para qualquer ε > 0,
Λ
Z
Z
a
2
2
kwkp ≤ (1 + ε)
|∇w| dVg + Cε
w2 dVg
Λ M
M
2 Z
(1 + δ)
λs w2 ϕs−2
− Sw2 + Cε w2 dVg
= (1 + ε)
s
Λ(1 + 2δ) M

61

Z
(1 + δ)2
0
2
(1 + ε)
λs w2 ϕs−2
s dVg + Cε kwk2
Λ(1 + 2δ) M
λs (1 + δ)2
0
2
(1 + ε)
kw2 kp/2 kϕs−2
s kn/2 + Cε kwk2
Λ(1 + 2δ)
λs (1 + δ)2
0
2
kwk2p kϕs ks−2
(1 + ε)
(s−2)n/2 + Cε kwk2 .
Λ(1 + 2δ)

≤
(Ineq. Hölder)

≤
=

Dado s < p = 2n/(n − 2), temos que (s − 2)n/2 < s, daı́ kϕ2 k(s−2)n/2 ≤ kϕs ks = 1. Se
0 ≤ λ(M ) < Λ, sabemos do Lema 4.1 que λs é não-crescente e contı́nua pela esquerda, daı́
λs ≥ λ(M ), ∀s, e existe s0 < s tal que λ(M ) ≤ λs0 < Λ, segue que para todo s ≥ s0 ,
λs
λs
≤ 0 < 1.
Λ
Λ
Por outro lado, se λ(M ) < 0 < Λ, vimos no Lema 4.1 que isso implica que λs < 0, ∀s, daı́
vale λs /Λ < 1, ∀s.
Assim, para todo s ≥ s0 podemos escolher ε, δ suficientemente pequenos tais que
(1 + ε)

visto que (1 + ε)

λs (1 + δ)2
λs (1 + δ)2
≤ (1 + ε) 0
< 1,
Λ(1 + 2δ)
Λ(1 + 2δ)

(1 + δ)2
−→ 1, quando ε, δ −→ 0. Portanto,
(1 + 2δ)


λs (1 + δ)2
2
kwkp 1 − (1 + ε)
≤ Cε0 kwk22
Λ(1 + 2δ)
∴ kwk2p ≤ Cε00 kwk22 .

Por fim, notemos que
Z
kwk2 =

ϕ(1+δ)s
dVg
s

1/2

M

1+δ
= kϕs k1+δ
= 1.
2(1+δ) ≤ kϕs ks

Conclusão, kwkp = kϕs k1+δ
p(1+δ) é limitado e independe de s. Assim, tome r = p(1 + δ).

Vamos agora verificar que o problema de Yamabe tem solução se λ(M ) < λ(S n ).
Teorema 4.3. Seja {ϕs } a coleção de funções dada pelo Teorema 3.1 e assuma que λ(M ) <
λ(S n ). Considerando a sequência com s −→ p, existe uma subsequência que converge uniformemente para uma função positiva ϕ ∈ C ∞ (M ), satisfazendo
ϕ = λ(M )ϕp−1 ,

Qg (ϕ) = λ(M ).

E nesse caso, M tem curvatura escalar constante λ(M ) na métrica ge = ϕp−2 g.

62

Demonstração. No teorema anterior vimos que kϕs kr ≤ C, onde r = p(1 + δ) > p > s >
(s − 2)n/2. Sabemos de (3.9) que λs é limitado inferiormente por uma constante. Também,
visto que λs é o ı́nfimo de Qs , temos
s

Z

λs ≤ Q (1) =

S dVg , ∀s.
M

Assim, |λs | é limitado por uma constante e podemos usar o Lema de Regularidade (Lema 3.1
(iii)). Para s próximo a p, {ϕs } é uniformemente limitada em Lr (M ) daı́, por esse lema {ϕs } é
uniformemente limitada em C 2,α (M ). Segue pelo Teorema 1.3 (d) que existe uma subsequência
(que ainda denotamos por {ϕs }) que converge na norma C 2 para uma função ϕ ∈ C 2 (M ).


−→ a∆ϕ + Sϕ − λϕp−1 na norma uniforme, onde definimos
Daı́ a∆ϕs + Sϕs − λs ϕs−1
s
λ = lim λs , pois o limite lim λs existe, dado que {λs } é uma sequência monótona (Lema 4.1)
s−→p

s−→p

= 0, obtemos
e limitada de números reais. Como a∆ϕs + Sϕs − λs ϕs−1
s
a∆ϕ + Sϕ = λϕp−1 .
Também temos do Teorema de Yamabe que kϕs ks = 1 e Qs (ϕs ) = λs , sendo k ks uma
função contı́nua em s, obtemos kϕkp = 1 e Q(ϕ) = λ.
Agora, se λ(M ) ≥ 0, do Lema 4.1 sabemos que lim λs = λp , daı́ λ = λ(M ). E se λ(M ) <
s−→p

0, do mesmo lema temos que λs é não-decrescente, o que implica λ = lim λs ≤ λp ; mas sendo
s−→p

λ(M ) o ı́nfimo de Qg , devemos ter também nesse caso λ = λ(M ).
Aplicando o Lema de Regularidade (Lema 3.1 (ii)), obtemos que ϕ ∈ C ∞ e estritamente
positiva.
Por fim, de (3.4) da Observação 3.1, temos que Se é constante e igual a λ(M ).

63

5

Solução na esfera S n

Nesse capı́tulo vamos descrever a solução do problema de Yamabe para (S n , g), que será
nosso caso modelo.
A métrica g induzida da métrica Euclidiana sobre Rn+1 é tal que sua curvatura seccional
é constante e vale K = +1 sobre S n (Ver BOOTHBY [5], p. 389-390). Daı́, sua curvatura
escalar será a constante S = n(n − 1). Calculando o valor do funcional de Yamabe (3.6) para
g, obtemos
R

R
SdVg
dVg
1−2/p
Sn
Q(g) = R
= n(n − 1)ωn 2/n , (5.1)
2/p = n(n − 1) R
2/p = n(n − 1)ωn
dVg
dVg
Sn
Sn
Sn

onde ωn denota o volume da esfera S n . Assim, λ(S n ) ≤ n(n − 1)ωn 2/n .
Veremos como consequência dos dois teoremas seguintes que g é um minimizante para o
funcional Q sobre (S n , g), isto é, Λ = λ(S n ) = Q(g) = n(n − 1)ωn 2/n .
Teorema 5.1. (Obata). Se g é uma métrica sobre S n que é conforme à métrica padrão g e
tem curvatura escalar constante então, a menos de um fator de escala constante, g é obtida de
g por um difeomorfismo conforme da esfera.
Demonstração. Primeiro, verificaremos que g é Einstein. Por hipótese, podemos escrever g =
ϕ−2 g, onde ϕ ∈ C ∞ (S n ) é estritamente positiva. Assim, estamos tomando e2f = ϕ−2 no
Lema 2.1. Como f = − ln ϕ, temos com respeito à métrica g :
fi fj = ϕ−2 ϕi ϕj ,

fij = ϕ−2 ϕj ϕi − ϕ−1 ϕij ,
∆f = −

|∇f |2 =

|∇ϕ|2
,
ϕ2

∆ϕ
− ϕ−2 |∇ϕ|2 .
ϕ

Dado que a métrica canônica g é Einstein, vale B ij = 0. Substituindo os cálculos acima
em (viii) do Lema 2.1: vspace-0.2cm
0 = B ij

n−2
∆f + |∇f |2 gij
n


 −2
 n−2
∆ϕ
|∇ϕ|2
−1
−2
−2
2
= Bij − (n − 2) ϕ ϕj ϕi − ϕ ϕij − ϕ ϕi ϕj −
−
− ϕ |∇ϕ| +
gij
n
ϕ
ϕ2


1
−1
= Bij + (n − 2)ϕ
ϕij + ∆ϕgij .
n

= Bij − (n − 2) [fij − fi fj ] −

Usando que o traço de Bij é nulo e da Observação 1.5 sabemos que B ji ,j ≡ 0, temos:

64

Z

2

ϕ|B| dVg

Z
=

ϕBij B ji dVg

Sn

Sn

Z
=

−(n − 2)

B

ji




1
ϕij + ∆ϕgij dVg
n

Sn

Z
=

−(n − 2)

B ji ϕij +

1
∆ϕgij B ji dVg
n

B ji ϕij +

1
∆ϕBii dVg
n

Sn

Z
=

−(n − 2)
Sn

Z
=
(Int. Partes)

=

−(n − 2)
ZS
(n − 2)

B ji ϕij dVg

n

B ji ,j ϕi dVg = 0.

Sn

Segue que B ≡ 0, implicando que g é Einstein.
Dado que g é conforme à métrica canônica g sobre a esfera, temos que W ≡ 0, pois W ≡ 0
(Lema 4.2) e aplicando (vx) do Lema 2.1. Segue da Observação 1.6 que (S n , g) tem curvatura
constante, dada por
K=

S
.
n(n − 1)

Notemos que K é positivo, pois de (vii) do Lema 2.1,


S = e−2f S + 2(n − 1)∆f − (n − 1)(n − 2)|∇f |2




|∇ϕ|2
∆ϕ
2
−2
2
− ϕ |∇ϕ| − (n − 1)(n − 2) 2
= ϕ S + 2(n − 1) −
ϕ
ϕ

2
2
2
∴ ϕ S = S + 2(n − 1) ϕ∆ϕ + |∇ϕ| + (n − 1)(n − 2)|∇ϕ| ,

(5.2)

R
integrando essa expressão, obtemos S n ϕ2 SdVg > 0, implicando que a constante S é positiva.
Assim, sendo K uma constante positiva, o Teorema 8.2 afirma que (S n , g) é isométrica
a (SRn , g), onde K = 1/R2 . Reescalando g tal que K = 1, obtemos que existem γ ∈ R+
e φ : (S n , γg) −→ (SRn , g) isometria, isto é, γg = φ∗ g. Essa isometria é o difeomorfismo
desejado.
Proposição 5.1. Existe uma função ψ positiva C ∞ sobre S n satisfazendo Qg (ψ) = λ(S n ).
Demonstração. Para 2 ≤ s < p, seja ϕs a solução sobre S n para o problema subcrı́tico (3.13),
dada pelo Teorema 3.1. Sabemos da demonstração do Teorema 4.3 que se {ϕs } é uniformemente limitado, existe uma subsequência que converge para um ponto crı́tico e a demonstração
terminaria aqui. Assim, vamos supor o oposto, isto é, sup ϕs −→ ∞.

65

Também, compondo com uma rotação, podemos assumir que o supremo de ϕs é atingido
no polo sul para cada s. De fato, isso é devido ao fato de que rotações R são isometrias, implicando pela Proposição 3.4 que λs é invariante e juntamente com as Proposições 3.2 e 3.1,
obtemos




e s = R∗ 11−p (1 · ϕs ) = R∗ λs ϕs−1
(ϕs ◦ R) = (R∗ ϕs ) = R∗ ϕ
s
= (λs ◦ R) (ϕs ◦ R)s−1 = λs (ϕs ◦ R)s−1 .
Segue que (ϕs ◦ R) satisfaz a mesma equação subcrı́tica que ϕs satisfaz.
Agora, seja κα = σ −1 ◦ δα ◦ σ : S n \ {N } −→ S n \ {N } o difeomorfismo conforme, como
descrito na Observação 4.1. Denotando gα = κ∗α g, temos que
κ∗α g

=
(4.8)

=

=
=
(4.6)

=

=
(4.3)

=

=

∗ 
σ ∗ ◦ σ −1 ◦ δα
(g)
!

2
α
σ∗ 4
ds2
2
2
|x| + α
!

2
2
2
2
1
α
(|x|
+
1)
4
ds2
σ∗
2
2
2
2
(|x| + α )
|x| + 1
!

2
 2

2
2
α
(|x|
+
1)
1
σ∗
σ∗ 4
ds2
2
2
2
2
(|x| + α )
|x| + 1

 2
2
2
α (|x| + 1)
g
σ∗
(|x|2 + α2 )2
 2

α (|σ(ζ, ξ)|2 + 1)2
g
(|σ(ζ, ξ)|2 + α2 )2
 
2 
2 1+ξ
 α 1−ξ + 1 
 
2  g
1+ξ
2
+
α
1−ξ

2
2α
g = tp−2
α g.
(1 + ξ) + α2 (1 − ξ)

(n−2)/2
(p − 2)(n − 2)
2α
Onde tα (ζ, ξ) =
, visto que
= 2. Assim, no
2
(1 + ξ) + α (1 − ξ)
2
polo sul, temos tα (0, −1) = α(2−n)/2 e tα é uma função suave extritamente positiva.


Para cada s, defina ψs = tα κ∗α ϕs , com α = αs escolhido tal que ψs = 1 no polo sul. Com
efeito, no polo sul temos ψs (0, −1) = (tα κ∗α ϕs ) (0, −1) = α(2−n)/2 (sup ϕs ), e basta escolher
αs = (sup ϕs )2/(n−2) . Assim, αs −→ ∞ quando s −→ p e ψs ≤ tα α(n−2)/2 . Também, sobre
qualquer conjunto com distância positiva de N temos tα −→ 0, quando s −→ p.
Denotando o Laplaciano conforme com respeito à métrica gα por α ; como gα = κ∗α g e
gα = tp−2 g podemos aplicar as Proposições 3.1 e 3.2 para κα : S n \ {N } −→ S n \ {N }, visto

66

que nessas proposições não usamos compacidade (S n \ {N } não é compacta). Assim,
∗
s−1
p−1 ∗
ψs = (tα κ∗α ϕs ) = tαp−1 α (κ∗α ϕs ) = tp−1
α κα (ϕs ) = tα κα (λs ϕs )
s−1
s−1
= λs tp−s
t−1
(κ∗α ϕs )s−1 = λs tp−1
= λs tp−1
α ψs .
α ψs
α
α

(5.3)

Sendo ψs ∈ C ∞ sobre S n \ {N }, temos que para cada compacto K ⊂ {S n \ {N }}, vale
ψs ∈ Lr (K) para todo r, daı́ pelo Teorema 1.3 (c) temos ψs ∈ C γ (K), para todo γ. Segue
s−1
∈ C β (K) para algum β, implicando pelo Teorema 1.5 que ψs ∈ C 2,β (K).
que λs tp−s
α ψs

Continuando argumentando como na demonstração do Lema 3.1 (iii), obtemos para s próximo
≤ 1) que kψs kC 2,β ≤ Ckψs kr .
a p (suficiente para tp−s
α

(n−2)/2
2
(n−2)/2
Agora, como tα α
=
e α −→ ∞, temos que sobre K
(1 + ξ) + α2 (1 − ξ)
existe uma constante A tal que tα α(n−2)/2 ≤ A. Daı́, sobre K obtemos
ψs ≤ tα α(n−2)/2 ≤ A,
ou seja, {ψs } é limitado e independe de s sobre K, em particular é limitado em Lr para cada r.
Segue da desigualdade kψs kC 2,β ≤ Ckψs kr que {ψs } é uniformemente limitado em C 2,β (K).
S
Seja K1 ⊂ K2 ⊂ · · · uma sequência de compactos tais que Ki = S n \ {N }. Sabemos do
i

Teorema 1.3 (d) que para cada Ki existe uma subsequência de {ψs } que converge em C 2 (Ki ).
Tomando uma subsequência diagonal, a função limite ψ é C 2 em S n \ {N }.
Como, a menos de tomar uma subsequência, ψs −→ ψ na norma C 2 (S n \ {N }), temos
s−1
deve convergir na norma uniforme;
ψs −→ ψ na norma uniforme. Por (5.3), λs tp−s
α ψs

sendo λ(S n ) = Λ > 0, temos pelo Lema 4.1 que λs −→ Λ e dado que tp−s
≤ 1 para s próximo
α
p−1
s−1
) , para alguma função contı́nua f com 0 ≤ f ≤ Λ.
a p, devemos ter (λs tp−s
α ψs ) −→ (f ψ

Ou seja, ψ = f ψ p−1 sobre S n \ {N }.
Como κα : (S n \ {N }, gα ) −→ (S n \ {N }, g) é isometria, temos para s próximo a p,
Z
Z
Z
p p
p
p
∗
∗
kψs kp
=
(κα ϕs ) tα dVg =
(κα ϕs ) dVgα =
κ∗α (ϕps ) dVgα
Sn

Sn

(Obs. 3.2)

Z

ϕps dVg

=

Sn

=

(Hölder)

≤

kϕps ks/p k1ks/(s−p) =

Sn

Z
Sn

ϕss dVg

p/s Z

(s−p)/s
dVg

Sn

V ol(S n )1−p/s ,

implicando kψkp ≤ 1. Segue que
R
R
Z
1−2/p
e ge
SdV
f
dV
dVge
g
e
n
S
Sn
Qg (ψ) = Q(e
g) = R
dVge
2/p = R
2/p ≤ Λ R
2/p = Λ
Sn
dV
dV
dV
g
e
g
e
g
e
n
n
n
S
S
S
R

Sn

= Λkψkp−2
≤ Λ.
p

67

Sendo Λ o ı́nfimo de Qg , temos Qg (ψ) = Λ.

Z
Sn

∗
Dado que t−1
α ψs = κα ϕs , obtemos da Observação 3.2 que
Z
Z
Z
Z
s p
s
s
∗
s
∗
−1
ϕs dVg =
κα (ϕs ) dVgα =
(κα ϕs ) dVgα =
tα ψs tα dVg =
Sn

Sn

Sn

Sn

s
tp−s
α ψs dVg .

Da igualdade (5.3), temos ψs ψs = λs tαp−s ψss e sabemos que ϕs ϕs = λs ϕss , juntando
com a igualdade acima, obtemos
Z

Z
ψs ψs dVg =

Sn

ϕs ϕs dVg ,
Sn

daı́,
kψs k22,1

Z

2

n
SZ

≤

C
n
ZS

=

C
Sn

(3.17)

≤

Z

ψs ∆ψs + ψs2 dVg
Sn
Z
2
ψs ψs dVg
aψs ∆ψs + Sψs dVg = C

|∇ψs |

=

+ ψs2 dVg =

(5.4)

Sn

ϕs ϕs dVg ≤ C 0 kϕs k22,1

C 00 (λs + 1) ≤ C 000 ,

implicando que {ψs } é limitada em L21 (S n ) e existe uma subsequência que converge fracamente para uma função em L21 (S n ) que, obviamente, coincide com ψ. Assim, como ψ ∈ L21 (S n )
e Qg (ψ) = Λ, temos da Proposição 3.5 que vale a igualdade ψ = Λψ p−1 no sentido fraco
sobre toda a esfera S n . Com isso, estamos nas hipóteses do Lema de Regularidade (Lema 3.1)
e com isso para ver que ψ ∈ C ∞ (M ), ψ > 0, é suficiente mostrar que ψ ∈ Lr (S n ) para algum
r > n(p − 2)/2 = p.
Seja 4n/(n + 2) < q < n, daı́ 2 < q e consideremos o operador linear limitado  : Lq2 −→
Lq . Dado que Lq2 , Lq ⊂ L2 e como u = a∆u + Su com S = constante > 0, temos pelo
Teorema de Hodge (ver ROSENBERG [22], p. 32) que  é invertı́vel. Sendo  um operador
−1

linear limitado, o operador inverso 

é linear limitado. Seja a perturbação

η =  − ηΛψ p−2 ,
para η ∈ C ∞ (S n ) com suporte em uma vizinhança pequena B2ε de N, com 0 ≤ η ≤ 1 e
−1

η ≡ 1 sobre Bε . Sendo Lq2 e Lq espaços de Banach e 

um operador limitado, temos que

η também será invertı́vel se a norma do operador do termo da perturbação ηΛψ p−2 satisfaz
−1

kηΛψ p−2 k · 

< 1 (ver KATO [15], p. 206). Seja o conjunto r = nq/(n − q). Assim,

r > 4n2 /(n2 − 2n) > 2n/(n − 2) = p e
1
n − 2q
1 2
>
= − ,
r
qn
q n

68

segue pelo Teorema 1.3 (a) que existe C > 0 tal que kukr ≤ Ckukq,2 , ∀u ∈ Lq2 . Também,
kηΛψ

p−2

Z
ukq = Λ

ηψ

p−2

1/q

q

u dVg

Sn



≤ Λ

q

η ψ

= Λ
Sn

Z
= Λ





 de de Hölder, pois



r/(r−q)
(r − q)/r + q/r = 1
!1/q
(r−q)/r
kukqr
η qr/(r−q) ψ (p−2)qr/(r−q) dVg

(p−2)q

Z

1/q

usando a desigualda-

q

ku kr/q

η

n/2

η

p/(p−2)

ψ

(p−2)n/2

2/n
dVg

kukr

Sn

Z
= Λ

ψ

p

(p−2)/p
dVg

kukr

Sn

= Λ η 1/(p−2) ψ

p−2
p

kukr ≤ CΛ η 1/(p−2) ψ

p−2
p

kukq,2 .

Como 0 ≤ η ≤ 1, tomando ε pequeno podemos considerar a norma kΛηψ p−2 k tão pequena quanto quisermos, segue que podemos tomar η invertı́vel.
Agora, η ψ = (1 − η)Λψ p−1 ∈ Lq (S n ), pois ψ ∈ C 2 (S n \ {N }) e η ≡ 1 sobre Bε 3 N.
Sendo η invertı́vel, existe θ ∈ Lq2 (S n ) ⊂ L21 (S n ) tal que η θ = (1 − η)Λψ p−1 . Usando a
desigualdade (5.4) e o fato de que existe q 0 conjugado de q, pois q > 1, temos
Z
Z
2
kuk2,1 ≤ C0
uu dVg = C0
uη u + ηΛψ p−2 u dVg
n
Sn
ZS
≤ C0
uη u dVg + C0 kηΛψ p−2 ukq k1kq0
n
ZS
= C0
uη u dVg + C00 kηΛψ p−2 ukq .
Sn

Assim, se η u = η v sobre L21 (S n ), teremos da expressão acima
ku − vk22,1 ≤ C00 kηΛψ p−2 (u − v)kq .
Vimos que kηΛψ p−2 (u − v)kq −→ 0 quando ε −→ 0, segue que ku − vk22,1 = 0, ou
seja, η é injetivo sobre L21 (S n ). Portanto ψ = θ ∈ Lq2 (S n ) ⊂ Lr (S n ). Por fim, sendo r >
2n/(n − 2) = p, temos pelo Lema de Regularidade (Lema 3.1) que ψ ∈ C ∞ (S n ) e sendo ψ = 1
no polo sul, temos pelo mesmo lema que ψ é estritamente positiva.
Corolário 5.1.
(i) O funcional de Yamabe sobre (S n , g) é minimizado por múltiplos constantes e imagens

69
2/n

por difeomorfismos conformes da métrica g. Em particular Λ = λ(S n ) = n(n − 1)ωn .
(ii) Essas são as únicas métricas que são conformes à métrica g sobre S n que têm curvatura
escalar constante.
Demonstração. (i) Pelo teorema anterior existe ψ ∈ C ∞ (S n ) tal que Qg (ψ) = λ(S n ). Seja
ge = ψ p−2 g. Agora pelo Teorema de Obata (Teorema 5.1) existem γ ∈ R+ e φ isometria entre
(S n , γe
g ) e (S n , g), daı́ sabemos da demonstração da Proposição 3.4 que Q(γe
g ) = Q(g). Por2/n

tanto, λ(S n ) = Q(e
g ) = Q(γe
g ) = Q(g) = n(n − 1)ωn . Assim, g é um minimizante e claro
que múltiplos constantes e imagens por difeomorfismos conformes da métrica g minimizam
Q, usando novamente a demonstração da Proposição 3.4.
(ii) Segue imediatamente do Teorema de Obata (Teorema 5.1).

70

6

A Solução Parcial de Aubin

Nesse capı́tulo veremos uma estratégia para resolver completamente o problema de Yamabe. De fato, no capı́tulo 4 vimos que o problema tem solução desde que λ(M ) < (S n ). Ora,
veremos agora que λ(M ) ≤ λ(S n ) para toda variedade Riemanniana compacta (conexa) de
dimensão n ≥ 3. Mais ainda, se M tem dimensão n ≥ 6 e é uma variedade não-localmente
conformente plana, então λ(M ) < λ(S n ), implicando que o problema tem solução. Isso sugere que poderı́amos tentar verificar se λ(M ) < λ(S n ) é válido para os demais casos para
obter a solução completa, isso é justamente o que faremos no próximo capı́tulo.

6.1

O Invariante de Yamabe é Limitado Superiormente

Lema 6.1. Seja k ∈ Z com k > −n e seja ε ∈ R com 0 < ε < 1 qualquer fixado. Então para
α −→ 0,

Z ε
I(α) =

rk u2α rn−1 dr

0

é limitada por baixo e por cima por certos múltiplos positivos de αk+2 se n > k+4, αk+2 log(1/α)
se n = k + 4, e αn−2 se n < k + 4.
2/(2−n)

Demonstração. Fazendo σ = r/α, temos αdσ = dr e (σ 2 + 1) = (α2 + r2 )/α2 = uα

α−1 .

Daı́,
Z ε
I(α) =

k

2

(σα) (σ + 1)

2−n

α

2−n

(σα)

n−1

dr = α

k+2

0

Z ε/α

σ k+n−1 (σ 2 + 1)2−n dσ.

0

Como α −→ 0, podemos assumir que ε/α > 1. Notemos que para σ ≥ 1, vale σ 2 ≤
σ 2 + 1 ≤ 2σ 2 . Dado que k + n > 0, temos que k + n − 1 ≥ 0 e σ k+n−1 (σ 2 + 1)2−n é contı́nua
e positiva em [0, 1], segue que
Z 1

σ k+n−1 (σ 2 + 1)2−n dσ = C1 > 0.

0

Com isso, I(α) é limitado abaixo e acima, respectivamente, por
!
Z
Z
α

C1 +

!

ε/α

ε/α

k+2

σ

k+3−n

dσ

e

α

k+2

C1 + 2

1

Agora, se
(i) n > k + 4, temos k + 3 − n < −1 e como α −→ 0,

2−n

σ
1

k+3−n

dσ .

(6.1)

71

Z ε/α
σ

k+3−n

1

 

1
α n−k−4
1
dσ =
= C2
−1 ≤
k+4−n
ε
n−k−4

e
Z ε/α

σ k+3−n dσ > 0.

1

Segue de (6.1) que C1 αk+2 ≤ I(α) ≤ (C1 + 22−n C2 )αk+2 = C3 αk+2 .
(ii) n = k + 4, temos k + 3 − n = −1, daı́
Z ε/α
C1 +

!
σ k+3−n dσ

> log(ε/α) > C4 log(1/α)

1

e
C1 + 22−n

Z ε/α

!
σ k+3−n dσ

≤ 22−n 2log(1/α),

1

para α −→ 0. Assim, temos de (6.1) que
C4 αk+2 log(1/α) ≤ I(α) ≤ C5 αk+2 log(1/α).
(iii)n < k + 4, temos k + 3 − n ≥ 0, daı́ para α −→ 0,
C1 + 2

2−n

!

Z ε/α
σ

k+3−n

≤ C1 + 2

dσ

2−n

1

= C1 + C6 α

σ k+4−n
k+4−n

n−k−4

ε/α

0

≤ C7 αn−k−4

e
!

Z ε/α
σ

C1 +

k+3−n

1

dσ

Z ε/α
≥

σ k+3−n dσ = C8 αn−k−4 .

ε/(2α)

Portanto, de (6.1) tem-se que
C8 αn−2 ≤ I(α) ≤ C7 αn−2 .

Proposição 6.1. (Aubin) Se M é uma variedade Riemanniana compacta de dimensão n ≥ 3,
então λ(M ) ≤ λ(S n ).
Demonstração. Para qualquer ε > 0 fixado, seja Bε a bola com centro na origem e raio ε em
Rn e tomemos uma função de corte radial 0 ≤ η ≤ 1 com suporte em B2ε e η ≡ 1 sobre Bε .
Seja ϕ = ηuα , temos que ϕ é uma função suave e tem suporte compacto. Temos,

72

Z

Z

2

a|η∇uα + uα ∇η|2 dx
Z
ZB2ε

2
2
aη |∂r uα | dx +
2aηuα h∇η, ∂r uα i + au2α |∇η|2 dx
=
Aε
ZB2ε
Z

2
(6.2)
≤
a|∂r uα | dx + C1,ε
uα |∂r uα | + u2α dx,

a|∇ϕ| dx =
Rn

Rn

Aε

onde Aε denota o anel B2ε \ Bε e C1,ε é uma constante que depende de ε. Notemos que
 2
(2−n)/2
r + α2
uα (x) =
=⇒
|uα | ≤ α(n−2)/2 r2−n ,
(6.3)
α
−n/2
 2
r + α2
−1
=⇒
|∂r uα | ≤ (n − 2)α(n−2)/2 r1−n .
|∂r uα | = (2 − n)rα
α
R
Segue das expressões acima que o termo C1,ε Aε (uα |∂r uα | + u2α ) dx é da ordem de αn−2
quando α −→ 0, isto é,
Z


uα |∂r uα | + u2α dx ≤ C2,ε αn−2 .

C1,ε

(6.4)

Aε

Para o primeiro termo de (6.2), usando a Observação 4.2 que diz que ak∇uα k22 = Λkuα k2p
sobre Rn , temos
Z

Z

2

a|∂r uα | dx = Λ
Rn

Rn

Z

upα dx

2/p
Z

upα dx +

= Λ

Rn \Bε

Bε

Z

Z

p

≤ Λ

upα dx

n −2n

α r

ϕ dx +
ϕp dx+

= Λ

2/p
dx

Rn \Bε
2/p

B2ε

Z

2/p

+ O(αn ),

(6.5)

B2ε

onde a última igualdade segue do fato de
Z
Z ∞Z
Z ∞
−2n
−2n n−1
r dx =
s s dωds =
s−n−1 sn−1 ωn−1 ds
Rn \Bε

ε

∂Bs

ε
∞

= −ωn−1 s−1

< ∞,
ε

para cada ε > 0 fixado.Assim,

R

função x 7−→ x2/p em torno de

R

Z

p

Rn \Bε
B2ε

Z

ϕ dx +
B2ε

αn r−2n dx = O(αn ) e usando a expansão de Taylor da

ϕp dx, obtemos
n −2n

α r

2/p
dx

Rn \Bε

Substituindo (6.4) e (6.5) em (6.2), obtemos

Z
=
B2ε

2/p
ϕ dx+
+ O(αn ).
p

73

Z

Z

2

a|∇ϕ| dx ≤ Λ
Rn

p

2/p

ϕ dx

+ C3,ε αn−2 .

(6.6)

B2ε

Agora, sobre uma variedade compacta M , seja ϕ = ηuα em coordenadas normais em uma
vizinhaça de P ∈ M, estendida por zero para uma função suave sobre M. Sendo uα uma
∂
função radial e em coordenadas normais sabemos que ∇r = , assim
∂r


∂
∂
(uα ) = ∇uα ,
= h∇uα , ∇ri = ∇uα (r) =⇒ |∇uα |2 = |∂r uα |2 ,
∂r
∂r
como antes. As únicas correções nas estimativas acima são introduzidas pela curvatura escalar
de M e a diferença entre dVg e dx. Pelo Corolário 8.2 sabemos que em coordenadas normais
vale dVg = (1 + O(r2 ))dx. Assim, da estimativa (6.6) e da definição de ϕ obtemos
Z

a|∇ϕ|2 + Sϕ2 dVg
E(ϕ) =
B2ε


Z 2ε Z
2
2
n−2
2 n−1
≤ (1 + C4 ε ) Λkϕkp + C3,ε α
+ C5
uα r dωdr
0
∂Br


Z 2ε
2
2
n−2
2 n−1 n−1
= (1 + C4 ε ) Λkϕkp + C3,ε α
+ C5 ωn−1
uα r r dr

(6.7)

0

Pelo Lema anterior, sabemos que o último termo acima é limitado por um múltiplo constante
de αn−2 . Sendo n ≥ 3 e α pequeno, o último termo acima é limitado por um múltiplo constante
de α. Tomando C = max{C4 , C5 }, temos da expressão acima que
Qg (ϕ) =

E(ϕ)
≤ (1 + Cε2 ) (Λ + C6,ε α) = Λ + C6,ε α + ΛCε2 + CC6,ε αε2 .
kϕk2p

Assim, escolhendo ε arbitrariamente pequeno e depois α arbitrariamente pequeno também,
devemos ter necessariamente, Qg (ϕ) ≤ Λ. Portanto, λ(M ) ≤ Λ.

6.2

Coordenadas Normais Conformes e Uma Solução Parcial
Introduziremos a noção de coordenadas normais conformes, as quais serão bastante úteis

para fazer uma demonstração simples da solução parcial devido a Aubin e mais ainda na
solução completa do problema de Yamabe.
Teorema 6.1. (Coordenadas Normais Conformes) Sejam M uma variedade Riemanniana
e P ∈ M. Existe uma métrica conforme ge sobre M tal que em coordenadas normais em P
det geij (x) ≡ 1 em
onde ΩP é uma vizinhança pequena de P.

ΩP ,

74

Demonstração. Ver CAO [6] ou GÜNTHER [13].
De agora em diante iremos supor que localmente as coordenadas normais na métrica são
da forma do Teorema 6.1. Assim, subistituimos ge por g.
Corolário 6.1. Em coordenadas normais conformes a curvatura escalar de g satisfaz S =
O(r2 ) e ∆S = 61 |W |2 em P.
Demonstração. Pelo teorema acima det gij (x) ≡ 1 em ΩP , daı́ comparando com a expansão
da métrica da Proposição 8.1, devemos ter necessariamente que os coeficientes são nulos em
P, ou seja,
(a)

(6.8)

0 = Rij ,

0 = Rij,k + Rjk,l + Rkl,j


2
(c) 0 = Sym Rij,kl + Rpijm Rpklm .
9

(6.9)

(b)

(6.10)

Sendo gij = δij em P, temos por (6.8) que Rijkl (P ) = Wijkl (P ). Também substituindo
(6.8) na identidade de Ricci, temos
m
m
Rij,kl − Rij,lk = Rikl
Rmj + Rjkl
Rim = 0.

(6.11)

Temos de (6.10) e (6.11) no ponto P

0 = 2 Rij,kl + Rji,kl + Rik,jl + Rki,jl + Ril,jk + Rli,jk + Rjk,il + Rkj,il + Rjl,ik
 4
Wpijm Wpklm + Wpijm Wplkm + Wpjim Wpklm
+Rlj,ik + Rkl,ij + Rlk,ij +
9
+Wpjim Wplkm + Wpikm Wpjlm + Wpikm Wpljm + Wpkim Wpjlm + Wpkim Wpljm

+Wpilm Wpjkm + Wpilm Wpkjm + Wplim Wpjkm + Wplim Wpkjm .
Escolhendo um ponto nessa vizinhança tal que as coordenadas sejam (x1 , · · · , xn ) =
(c, · · · , c), onde c é constante (obviamente c 6= 0). Usando isso e a simetria de Rij , vemos
que a igualdade acima é equivalente a


0 = 2 Rij,kl + 2Rik,jl + 2Ril,jk + Rkl,ij xi xj
4
+ Wpijm Wpklm + Wpijm Wplkm + Wpikm Wpjlm
9

+Wpikm Wpljm + Wpkim Wpjlm + Wpkim Wpljm xi xj ,
contraindo sobre k, l, e usando a Identidade de Bianchi Contraı́da (1.3) obtemos


2
Wpikm Wpjkm + Wpikm Wpkjm + Wpkim Wpjkm
0 = Rij,kk + 3S,ij xi xj +
9

+Wpkim Wpkjm xi xj ,

75

Usaremos agora as seguintes igualdades
1
1
Wpikm Wpkjm = Wpikm (Wpkjm − Wpmjk ) = Wpikm Wpjkm .
2
2

(6.12)

De fato, a primeira igualdade segue-se permutando os ı́ndices de soma m e k do termo
Wpmjk , depois permutando os dois últimos ı́ndices e usando a antisimetria do tensor de Weyl
nesses ı́ndices. A segunda igualdade segue diretamente da Primeira Identidade de Bianchi.
Assim, usando (6.12) e as simetrias do tensor de Weyl,
1
1
2
0 = Rij,kk + 3S,ij x x +
Wpikm Wpjkm + Wpikm Wpjkm + Wpikm Wpjkm
9
2
2

i j
+Wpkim Wpkjm x x



2
= Rij,kk + 3S,ij xi xj +
2Wpikm Wpjkm + Wpkim Wpkjm xi xj .
9




i j

Em seguida, contraindo sobre i, j teremos
0 = 4S,ii +


2
3|W |2 ,
9

ou seja, ∆S = 16 |W |2 em P.
Por fim, de (6.8) temos que S(P ) = Rii (P ) = 0. Também contraindo (6.9) sobre j,k e
usando a identidade de Bianchi contraı́da, obtemos 0 = (2Rik,k +Rkk,i (P ) = 2S,i (P ). Portanto
tomando a expansão de Taylor de S, tem-se
∞

S=

1
1 X
∂K S(P )xK = S,ij (P ) xi xj + O(r3 ).
K!
2!

(6.13)

|K|=0

Em particular S = O(r2 ).
Teorema 6.2. (AUBIN) Se M é uma variedade Riemanniana compacta não-localmente conformemente plana com dimensão n ≥ 6, então λ(M ) < λ(S n ). Em particular, o problema de
Yamabe sobre M tem solução.
Demonstração. Seja {xi } um sistema de coordenadas normais conformes em uma vizinhança
de P ∈ M. Como nessas coordenadas dVg ≡ dx, procedendo como na demonstração da
Proposição 6.1, a estimativa (6.7) não tem o fator (1 + C4 r2 ), ou seja,
Z
2
n−2
E(ϕ) ≤ Λkϕkp + C3,ε α
+
Sϕ2 dx.
B2ε

1
Pelo corolário anterior, ∆S(P ) = |W (P )|2 , então
6

76

Z

2

Sϕ dx

Z
≤

B2ε

Su2α dx + C5

Bε
(6.13), (6.3)

=

∂Br




1
i j
3
S,ij (P )x x + O(r ) u2α dωr dr + O(αn−2 )
2

Zε Z

Zε Z

0

0

=

≤

u2α dx

Aε

Zε Z
0

Z

1
− ∆S(P )r2 u2α dωr dr +
2
∂Br

1
− |W (P )|2
12

Zε

∂Br

r2 u2α ωn−1 rn−1 dr + C7

=

−C8 |W (P )|2

0

Zε

r3 u2α ωn−1 rn−1 dr + O(αn−2 )

0

0

Zε

(O(r3 ))u2α dωr dr + O(αn−2 )

r2 u2α rn−1 dr + C9

Zε

r3 u2α rn−1 dr + O(αn−2 ).

0

Pelo Lema 6.1, a primeira integral do termo
  acima é limitado inferiormente por algum
1
múltiplo positivo de α4 , se n > 6 e α4 log
, se n = 6. E pelo mesmo lema a segunda
α
integral é limitada superiormente por algum múltiplo positivo de α4 se n = 6, α5 log(1/α), se
n = 7 e α5 se n > 7. Portanto,

 
1

2
2 4


Λkϕkp − C10,ε |W (P )| α log
+ C11,ε α4


α

 
1
2
2 4
5
E(ϕ) ≤
Λkϕkp − C12,ε |W (P )| α + C13,ε α log


α



 Λkϕk2 − C14,ε |W (P )|2 α4 + C15,ε α5
p

 
1

2 4


Λ − C16,ε |W (P )| α log
+ C17,ε α4


α

 
E(ϕ)
1
2 4
5
∴ Qg (ϕ) =
≤
Λ − C18,ε |W (P )| α + C19,ε α log

kϕk2p

α



 Λ − C20,ε |W (P )|2 α4 + C21,ε α5

se

n = 6,

se

n = 7,

se

n > 7.
se

n = 6,

se

n = 7,

se

n > 7.

Sendo M não localmente conformemente plana, pelo Teorema 1.2 podemos escolher P tal
que |W (P )|2 > 0. Assim, escolhido ε > 0 pequeno, ficam definidas as constantes na expressão
acima e em seguida escolhemos α tão pequeno quanto quisermos, implicando que Qg (ϕ) < Λ.
Portanto, λ(M ) < Λ e o problema de Yamabe tem solução de acordo com o Teorema 4.3.

77

7

A Contribuição de Schoen e A
Solução Completa

Nesse capı́tulo concluiremos a solução do problema de Yamabe, visto que resta solucionar
o problema para dimensões 3, 4, 5, e para variedades localmente conformemente planas. De
fato, a grande ideia de Schoen foi usar a projeção estereográfica para obter uma nova variedade
assintoticamente plana e usar o Teorema de Massa Positiva para inferir sobre a positividade
da constante A do Teorema 7.1 (b) a seguir.
A projeção estereográfica definida recebe esse nome pois, como veremos a seguir, a curvac = M \ {P } é identicamente nula. Mais ainda,
tura escalar na métrica gb sobre a variedade M
c = M \ {P } é assintoticamente plana. Isso simplificará bastante o problema, similarmente
M
ao que fizemos no caso da esfera no qual usamos a projeção estereográfica de S n sobre Rn e
simplificamos as contas, visto que sobre Rn a curvatura escalar é identicamente nula.

7.1

Função de Green do Operador  e a Projeção Estereográfica
Verificaremos a existência da função de Green para o laplaciano conforme e faremos uma

expansão assintótica dessa função de Green em coordenadas normais conformes.
Uma função de Green para o operador de Laplace ∆ sobre M em um ponto P é uma
aplicação suave ΓP sobre M \ {P } tal que
∆ΓP = δP
no sentido de distribuição, onde δP é a medida de Dirac em P. Podemos pensar na função
de Green definida em (M × M ) \ DM , onde DM é o subconjunto de M × M composto por
(P, P ), P ∈ M. Assim, ΓP = Γ(P, ·).
Proposição 7.1. Seja M uma variedade Riemanniana compacta de dimensão n ≥ 3 com
λ(M ) > 0 e seja h ∈ C k,α tal que existe µ > 0 satisfazendo
Z
Z


2
2
Ih (u) =
|∇u| + hu dVg ≥ µ
|∇u|2 + u2 dVg ,
M

∀u ∈ L21 (M )

(7.1)

M

e tal que inf Ih (u) > 0, onde o ı́nfimo é tomado no conjunto das funções em L21 (M ) com
u

kuk2,1 = 1. Então existe uma função contı́nua Γ : (M × M ) \ DM −→ R tal que para todo
P ∈ M, ΓP = Γ(P, ·) está em L1 (M ), satisfaz

78

(7.2)

(∆ + h)ΓP = δP
no sentido de distribuição e valem as seguintes propriedades:

(P1) Para quaisquer P, Q ∈ M, Γ(P, Q) = Γ(Q, P ) e Γ(P, Q) > 0. Mais ainda, para todo P ∈
k+2,α
M, a função ΓP : M \ {P } −→ R dada por ΓP (Q) = Γ(P, Q) pertence a Cloc
(M \

{P }).
(P2) Para todo P, Q ∈ M, P 6= Q, dg (P, Q)n−2 Γ(P, Q) ≤ C.
(P3) Existe δ > 0 tal que para todo P, Q ∈ M, P 6= Q, se dg (P, Q) < δ, então
dg (P, Q)n−2 Γ(P, Q) −

1
(n − 2)ωn−1

dg (P, Q)n−1 |∇ΓP (Q)| −

≤ Cdg (P, Q),

1

≤ Cdg (P, Q).

ωn−1

Em particular, da penúltima igualdade acima obtemos
ΓP (Q) =

1
r2−n (1 + O(r)),
(n − 2)ωn−1

(7.3)

onde r é a distância de Q a P em uma bola geodésica centrada em P com raio menor
que δ.
Demonstração. Ver DRUET-HEBEY-ROBERT [10], apêndices A e B.
Observação 7.1. Nas hipóteses anteriores, se h é estritamente positiva, então pelo Teorema
1.7, a função de Green é única.
Lema 7.1. Supondo λ(M ) > 0. Então em cada ponto P ∈ M existe uma única função de
∞
Green ΓP para , a qual é estritamente positiva e ΓP ∈ Cloc
(M \ {P }).

Demonstração. Seja ϕ = ϕs > 0 a solução suave e estritamente positiva da equação subcrı́tica
(3.13) para qualquer 2 ≤ s < p dada pelo Teorema de Yamabe (Teorema 3.1) e defina a nova
métrica g 0 = ϕp−2 g. De (3.3) e (3.13) temos que S 0 = ϕ1−p ϕ = ϕ1−p λs ϕs−1 = λs ϕs−p .
Como λ(M ) > 0, pela demonstração do Lema de Aubin 4.1, vale λs > 0 e, portanto, S 0 ∈
C ∞ é estritamente positiva. Assim, vale (7.1) e também inf IS 0 (u) ≥ λ(M ) > 0. Segue da
u

Observação anterior que existe uma única função de Green Γ0P para o operador 0 = a∆0 +S 0 ,
∞
a qual deve satisfazer (P1) e, portanto, Γ0P > 0 e Γ0P ∈ Cloc
(M \ {P }).

Agora, defina ΓP (Q) = ϕ(P )ϕ(Q)Γ0P (Q). Para toda f ∈ Cc∞ (M ), temos

79

Z

−1

Γ0P 0 (ϕ−1 f )dVg0

ϕ (P )f (P ) =
ZM
=
ZM
=


Γ0P ϕ1−p (f ) dVg0

ϕ−1 (P )ϕ−1 ΓP ϕ1−p (f ) dVg0

ZM

ϕ−1 (P )ΓP (f )ϕp dVg0
M
Z
−1
ΓP (f ) dVg ,
= ϕ (P )
=

M

onde na segunda igualdade usamos a Proposição 3.1. Da expressão acima obtemos que ΓP =
δP .
Como podemos definir inversamente uma função de Green para 0 a apartir de ΓP usando
as igualdades acima, devemos ter que ΓP é única pela unicidade de Γ0P .
∞
Por fim, temos ΓP > 0 e ΓP ∈ Cloc
(M \ {P }).

De agora em diante, ΓP significará a função de Green do operador  em P.
Definição 7.1. Suponha que (M, g) é uma variedade Riemanniana compacta com λ(M ) > 0.
c = M \ {P }, onde
Dado P ∈ M, defina a métrica gb = Gp−2 g sobre M
G = (n − 2)ωn−1 aΓP .

(7.4)

c, gb) juntamente com a aplicãção natural σ : M \ {P } −→ M
c é chamada de
A variedade (M
projeção estereográfica de M a partir de P. Notemos que de (7.3), temos
G(Q) = r2−n (1 + O(r)),

Q 6= P,

(7.5)

em um sistema de coordenadas normais centrado em P.
Notações: Denotamos por Ck o conjunto de funções de classe C ∞ (M ) que se anulam juntamente com suas derivadas de ordem até k no ponto P. O conjunto dos polinômios homogêneos
em x de grau k será denotado por Pk . Escrevemos f = O00 (rk ) significando que f = O(rk ),
∂f = O(rk−1 ) e ∂∂f = O(rk−2 ).
Teorema 7.1. Em um sistema de coordenadas normais conformes (Φ, Ω) em P, a função G
tem uma expansão assintótica da forma
(a)
G(x) = rn−2 1 +

n
X
k=4

!
ψk (x)

+ (c + u1 + u2 ) log r + α(x),

(7.6)

80

para todo x ∈ Φ(Ω) \ {0}, onde r = |x|, ψk ∈ Pk , α(x) ∈ C 2,µ , u1 e u2 são funções
harmônicas com u1 ∈ P1 , u2 ∈ P2 e os termos com log aparecem apenas se n é par.
(b) Se n = 3, 4, 5, ou M é localmente conformemente plana em uma vizinhança de P, então
a expressão do item (a) é simplificada e é dada por
G(x) = r2−n + A + O00 (r),
onde A é uma constante (não necessariamente positiva).
Demonstração.
(a) De (7.5), podemos escrever G = r2−n (1 + ψ), onde ψ = O(r) e queremos expressar ψ
tal que G = (n − 2)ωn−1 aδP sobre o sistema de coordenadas normais conforme em pontos
diferentes de P. Notemos que se f depende apenas de r, então em um sistema de coordenadas
normais temos


p
1
n−1
∆f = − n−1 √
∂r r
det g ∂r f .
r
det g
Como det g ≡ 1 em coordenadas normais conformes, temos da igualdade acima,
∆f = −∂r2 f −

n−1
∂r f = ∆0 f,
r

onde ∆0 denota o laplaciano Euclidiano. Sendo n ≥ 3, sabemos que para r0 6= 0, Υ =
r02−n /((n − 2)ωn−1 ) é a solução fundamental da equação de Laplace sobre Rn e vale ∆0 Υ = δ0
(ver EVANS [11] pp. 22-25), onde r0 denota a distância euclidiana de um ponto x à origem.
Sabemos que r = r0 ◦ Φ, daı́ para toda f ∈ Cc∞ (Ω)
Z
Z
Z

2−n
2−n
−1 √
r ∆0 f dVg =
r ∆0 f ◦ Φ
g dx =
r02−n ∆0 (f ◦ Φ−1 ) dx
Ω
Φ(Ω)
Φ(Ω)
Z
=
r02−n ∆0 (f ◦ Φ−1 ) dx = (n − 2)ωn−1 (f ◦ Φ−1 )(0)
Rn

= (n − 2)ωn−1 f (P ).
Assim, ∆r = ∆0 r = (n − 2)ωn−1 δP sobre Ω e a equação G = r2−n +  (r2−n ψ) =
(n − 2)ωn−1 aδP torna-se

Sr2−n +  r2−n ψ = 0.
(7.7)
Sendo det g ≡ 1, temos ∆ψ −∆0 ψ =

P
i

∂i2 ψ −

P


∂i (g ij ∂j ) = ∂i (δ ij −g ij )∂j ψ . Fazendo

ij


Kψ := ∆ψ − ∆0 ψ = ∂i (δ ij − g ij )∂j ψ ,
L := r2 ∆0 + 2(n − 2)r∂r

(7.8)
(7.9)

81

e multiplicando (7.7) por rn /a, obtemos
0 =
=
=
=
=

r2 S
Sr2 ψ
+ rn ∆(r2−n ψ) +
a
a


2
2
r S Sr ψ
2−n
2−n
2−n
n
+
+ r r ∆ψ + ψ∆(r ) − 2hgrad ψ, grad r i
a
a



r2 S Sr2 ψ
+
+ rn r2−n ∆0 ψ + Kψ + 0 − 2(2 − n)r1−n hgrad ψ, grad ri
a
a


r2 S Sr2 ψ
∂
2
2
+
+ r ∆0 ψ + r Kψ + 2(n − 2)r grad ψ,
a
a
∂r

r2
S + Sψ + aKψ ,
Lψ +
a

onde na penúltima igualdade usamos o fato de grad r = ∂/∂r em coordenadas normais. Assim,
G = (n − 2)ωn−1 aδp é equivalente a
Lψ +


r2
S + Sψ + aKψ = 0,
a

(7.10)

para pontos diferentes de P. Vamos expressar uma solução assintótica para essa equação, escrevendo ψ = ψ1 + · · · + ψn , com ψk ∈ Pk , resolvendo indutivamente. De (6.13), S =
1
S,ij (P )xi xj + O(r3 ), daı́ r2 S ∈ C3 . Disso, escolha ψ1 = ψ2 = ψ3 = 0 e suponha por indução
2
termos encontrado ψ = ψ1 + · · · + ψk−1 tal que
Lψ +


r2
S + Sψ + aKψ ∈ Ck−1 .
a

(7.11)

Para cada f ∈ Pm , temos
xi ∂f
r∂r f = r
= xi ∂i f = mf,
i
r ∂x
onde a última igualdade segue da fórmula de Euler para funções homogêneas (ver lema abaixo).
Assim, com a hipótese de indução Lψ é uma soma de polinômios homogêneos de grau no
máximo k − 1, daı́ ∂K (Lψ)(P ) = 0, se |K| = k.
Do Corolário 8.1 sabemos que g ij tem a expansão
ij

ij

g (x) = δ +

s
X

wl + C s ,

onde

wl ∈ Pl .

!

!

l=2

Substituindo em (7.8),
Kψ =

X
ij

isto é,

∂i

s
X

wl + Cs

∂j ψ ,

l=2

r2
Kψ é a soma de polinômios homogêneos de cujo grau máximo depende do número
a

82

r2
(S + Sψ), em vista da expansão
a
(6.13). Em suma, podemos escrever a expressão (7.11) como bk + Ck , onde bk ∈ Pk .
de termos da expansão de g ij . O mesmo vale para o termo

De acordo com o lema abaixo, o operador L = r2 ∆0 + 2k(n − 2) é invertı́vel sobre Pk se,
e somente se, −2k(n − 2) 6= λi = −2i(n − 2 + 2k − 2i). Sendo k > 3, a igualdade ocorre
somente se
k(n − 2) = 2i(k − i) + i(n − 2)

⇐⇒

(n − 2)(k − i) = 2i(k − i)

⇐⇒

(n − 2) = 2i.

(7.12)

Se n é ı́mpar, (7.12) não possui solução e L é invertı́vel sobre Pk . Assim, podemos definir
ψk = −L−1 bk e obtemos
(7.13)

Lψk + bk = 0,

e como r2 Sψk ∈ Ck+3 ⊂ Ck e r2 Kψk ∈ Ck+1 ⊂ Ck , concluimos o passo de indução nesse caso
definindo ψ = ψ1 + · · · + ψk e (7.11) é satisfeito com k − 1 substituido por k :
Lψ +



r2
r2
S + Sψ + aKψ ∈ Ck−1 = bk + Ck + Lψk +
Sψk + aKψk
a
a

r2
= Ck +
Sψk + aKψk ∈ Ck .
a

Também, (rn /a)(Sr2−n + (r2−n ψ)) = Lψ + (r2 /a)(S + Sψ + aKψ), assim para k = n,
(r2−n ψ) + Sr2−n ∈ r−n Cn .

(7.14)

Se n é par e k < n − 2, então podemos usar o mesmo argumento para o caso n ı́mpar,
visto que isso implica que i < (n − 2)/2, daı́ (7.12) não tem solução e L é invertı́vel. Por outro
lado, se n é par e k ≥ n − 2, então (7.12) sempre possui solução e L não é invertı́vel. Contudo,
dado que dim Pk < ∞, podemos escrever Pk = Ker L + Im L. Como para n par e k ≥ n − 2
tem-se Ker L 6= 0, para resolver Lψk + bk = 0 com bk ∈ Pk , tomamos −bk = qk + Lpk , onde
qk ∈ Ker L, qk 6= 0 e definimos
ψk = pk + (n − 2 − 2k)−1 qk log r.

(7.15)

De fato, (7.15) é solução de (7.13), pois usando que xi ∂i (qk ) = kqk (fórmula de Euler) e Lqk =
0, teremos
2

−1

Lψk = Lpk + r (n − 2 − 2k)


(∆0 qk ) log r + qk ∆0 log r − 2

X
i

+(n − 2 − 2k)−1 2(n − 2)r∂r (qk log r)


∂i (qk )∂i (log r)

83
2

−1

= Lpk + r (n − 2 − 2k)




(∆0 qk ) log r − qk


+(n − 2 − 2k)−1 2(n − 2) r∂r (qk ) log r + qk

1
n−1
− 2+
r
r2





1 X i
x ∂i (qk )
−2 2
r i

= Lpk + (n − 2 − 2k)−1 (Lqk ) log r + (n − 2 − 2k)−1 (1 − n + 1 − 2k + 2(n − 2))qk
= Lpk + qk = −bk .
Como Lqk = 0, significa que qk é uma autofunção de r2 ∆0 com autovalor −2k(n − 2). Do
lema abaixo qk = r2i u, onde u ∈ Pk−2i é harmônica. Usando (7.12), vemos que i = (n − 2)/2,
daı́ qk = rn−2 u e u ∈ Pk−(n−2) . Assim, para k = n − 2, temos que u é uma constante e por
(7.15) podemos escrever ψn−2 = pn−2 + crn−2 log r, com c ∈ R e Lψn−2 + bn−2 = 0.
Do Corolário 8.1 temos g ij (x) = δ ij − 31 Riklj (P )xk xl + C2 . Substituindo em (7.8), obtemos



1
k l
Riklj (P )x x + C2 ∂j f ,
(7.16)
Kf = ∂i
3
daı́ Kpn−2 ∈ Cn−3 . Por outro lado, K(rn−2 log r) = 0, daı́ K(ψn−2 ) ∈ Cn−3 . Voltando à
hipótese de indução para n par e k < n − 2, se ψ = ψ1 + · · · + ψn−3 , podı́amos escrever (7.11)
como Cn−2 + bn−2 . Assim, para ψ = ψ1 + · · · + ψn−2 , tem-se
Lψ +

r2
r2
(S + Sψ + aKψ) = Cn−2 + bn−2 + Lψn−2 + (Sψn−2 + aKψn−2 )
a
a
2
r
= Cn−2 + (Sψn−2 + aKpn−2 ) ∈ Cn−2 + Cn log r.
a

Para k = n − 1, escrevemos a expressão acima como Cn−1 + bn−1 + Cn log r. Nesse caso,
usando os argumentos acima, tem-se qk = rn−2 u1 , onde u1 ∈ P1 é uma função harmônica e
por (7.15) temos ψn−1 = pn−1 + crn−2 u1 log r e Lψn−1 + bn−1 = 0. Notando que Riklj xk xl xj =

(1/3)(Riklj + Riljk + Rijkl )xk xl xj = 0 e ∂j (u1 rn−2 log r) = ∂j (u1 ) rn−2 log r + u1 ((n −
2)xj rn−4 log r + xj rn−4 ), substituimos em (7.16) e obtemos
"

X


1
k l
n−2
Riklj (P )x x + C2
∂j (u1 ) rn−2 log r
K r u1 log r =
∂i
3
ij
#


+C2 u1 ((n − 2)xj rn−4 log r + xj rn−4 )
" 


1
k l
∂i
Riklj (P )x x + C2
∂j (u1 ) rn−2 log r
=
3
ij



1
k l
+
Riklj (P )x x + C2
∂i ∂j (u1 ) rn−2 log r
3

+∂j (u1 ) (n − 2)xi rn−4 log r + xi rn−4
X

84

+∂i C2




j n−4

u1 ((n − 2)x r
j n−4

+C2 ∂i u1 x r

j n−4

log r + x r

)



#



i −2
j n−4
(n − 2)x r
,
((n − 2) log r + 1) + u1 x r


daı́ K rn−2 u1 log r ∈ Cn−1 + Cn−2 log r e como K(pn−1 ) ∈ Cn−2 , temos K(ψn−1 ) ∈ Cn−2 +
Cn−1 log r. De forma análoga ao passo anterior, definimos ψ = ψ1 + · · · + ψn−1 e obtemos
Lψ +


r2
S + Sψ + aKψ ∈ Cn−1 + Cn log r.
a

Por fim, para k = n, tem-se qn = r2−n u2 , onde u2 ∈ P2 e ψn = pn +qn log r satisfaz Lψn +

bn = 0. Com os mesmos argumentos e em vista da expressão acima para K rn−2 u2 log r ,
concluimos que K(ψn−1 ) ∈ Cn−1 + Cn−1 log r e definindo ψ = ψ1 + · · · + ψn , obtemos
Lψ +


r2
S + Sψ + aKψ ∈ Cn + Cn log r
a

e (7.14) torna-se

 r2−n ψ + Sr2−n ∈ r−n Cn + r−n Cn log r.

(7.17)

Agora, para cada n, definamos ϕ = ψ − ψ. Temos de (7.7),



 r2−n ϕ = (r2−n ψ) −  r2−n ψ = −Sr2−n −  r2−n ψ ,

(7.18)

daı́, de (7.14), (7.17) e da expressão acima, (r2−n ϕ) é da forma r−n Cn ou da forma r−n Cn +
r−n Cn log r. Notemos que r−n Cn , r−n Cn log r ∈ C µ (Ω), para todo µ ∈ (0, 1), pois se f ∈ Cn ,
f = O(rn+1 ), daı́
f log r
f
= 0 e lim
= 0.
n
r−→0
r−→0 r
rn


Assim, r−n f e r−n f log r serão contı́nuas em todo Ω se definirmos r−n f (0) = r−n f log r (0) =

µ
0. Dado que são funções diferenciáveis em Ω \ {P }, temos que pertencem à Cloc
Ω \ {P } e
lim

resta verificar a condição de Hölder no ponto P. Ora,


r−n f (x) − r−n f (0)
|f (x)|
|f (x)|
sup
= sup n+µ ≤ sup n+1 < ∞,
µ
|x − 0|
x6=0
x6=0 r
x6=0 r
implicando r−n f ∈ C µ (Ω). Analogamente, r−n f log r ∈ C µ (Ω). Em resumo, (r2−n ϕ) ∈
C µ (Ω), implicando pelo Teorema 1.7 que r2−n ϕ ∈ C 2,µ e (7.6) está provado, visto que G =
r2−n (1 + ψ) + α(x), tomando α(x) = r2−n ϕ(x) e as expressões acima de ψ resultam na
expressão (7.6).
(b) Se M é localmente conformemente plana próximo a P, temos que S ≡ 0 em Ω e de (7.18)

85

temos que r2−n ϕ, r2−n ψ ∈ C 2,µ , implicando que r2−n ψ ∈ C 2,µ . Agora usando (7.7), concluimos que r2−n ψ é harmônica e, portanto, de classe C ∞ (Ω). Como G − r2−n = r2−n ψ, fazemos
a expansão de Taylor em torno de P no lado direito, obtendo G = r2−n + A + O00 (r), onde A

é a constante A = r2−n ψ (P ).
Se n = 3, temos ψ = ψ1 + ψ2 + ψ3 = 0, daı́
G = r2−n (1 + ψ) = r2−n + r2−n ψ + r2−n ϕ = r2−n + r2−n ϕ,
e expandimos o termo r2−n ϕ ∈ C 2,µ (Ω) em torno de P, obtendo novamente G = r2−n + A +

O00 (r), onde agora A = r2−n ϕ (P ).
Se n = 4, então n é par e temos ψ = ψ1 + ψ2 + ψ3 + ψ4 = ψ4 = p4 + q4 log r, onde vimos
acima que q4 = cr4−2 u, com u harmônica e u ∈ P2 . Um cálculo simples e direto mostra que
r2−n ψ = r−2 ψ = r−2 p4 + cu log r = O00 (r). Assim,
G = r2−n + r2−n ψ + r2−n ϕ = r2−n + A + O00 (r).
Por fim, se n = 5, então n é ı́mpar e temos ψ = ψ1 +ψ2 +ψ3 +ψ4 +ψ5 = ψ4 +ψ5 = p4 +p5 .
Um cálculo simples mostra que r2−n ψ = r−3 p4 + r−3 p5 = O00 (r). Segue que G = r2−n + A +
O00 (r).
Lema 7.2. Os autovalores de r2 ∆0 sobre Pk são

 
k
,
λi = −2i(n − 2 + 2k − 2i); i = 0, · · · ,
2
onde dk/2e denota o maior inteiro que é menor ou igual a k/2. As autofunções hi correspondentes a λi são funções da forma r2i u, onde u ∈ Pk−2i é hamônica.
Demonstração. O lema obviamente é válido para k = 0 ou k = 1, pois
(
k = 0 =⇒ i = 0, λi = 0 e hi = u, onde u ∈ P0 é harmônica,
k = 1 =⇒ i = 0, λi = 0 e hi = u, onde u ∈ P1 é harmônica.
Seja f ∈ Pk satisfazendo r2 ∆0 f = λf com k ≥ 2. A fórmula de Euler para polinômios
homogêneas diz que se F ∈ Pm , então xj ∂j F = mf. Como ∆0 f ∈ Pk−2 , temos
λ∆0 f = ∆0 (λf ) = ∆0 (r2 ∆0 f ) = ∆0 (r2 )∆0 f + r2 ∆0 (∆0 f ) − 2 2xj ∂j (∆0 f ))
= −2n∆0 f + r2 ∆0 (∆0 f ) − 4(k − 2)∆0 f,
segue que r2 ∆0 (∆0 f ) = (λ+2n+4k −8)∆0 f. Isso implica que ou ∆0 f = 0, nesse caso λ = 0

86

e f é harmônica; ou (λ + 2n + 4k − 8) é um autovalor de r2 ∆0 sobre Pk−2 com autofunção
∆0 f, nesse caso f = λ−1 r2 ∆0 f.
Assim, por indução suponhamos o lema válido para k − 1, k − 2. Pelo visto acima se λi
é autovalor de r2 ∆0 sobre Pk , então λi = 0, ou λi + 2n + 4k − 8 é autovalor de r2 ∆0 sobre
Pk−2 . Por hipótese de indução, os únicos autovalores de r2 ∆0 sobre Pk−2 são



k−2
λj = −2j(n − 2 + 2(k − 2) − 2j); j = 0, · · · ,
,
2
o que implica que os únicos autovalores de de r2 ∆0 sobre Pk são



k−2
λi = 0, ou λi = −2j(n − 2 + 2(k − 2) − 2j) − 2n − 4k + 8; j = 0, · · · ,
.(7.19)
2
Fazendo i = j + 1, obtemos
λi = −2(i − 1)(n − 2 + 2(k − 2) − 2(i − 1)) − 2n − 4k + 8
= −2i(n − 2 + 2k − 2i)
e dado que d(k − 2)/2e + 1 = dk/2e, vemos que (7.19) é igual a

 
k
λi = −2i(n − 2 + 2k − 2i); i = 0, · · · ,
.
2
Por fim, se hi são as autofunções correspondentes, vimos acima que hi = u, onde u ∈ Pk
é harmônica, quando λi = 0, isto é, para i = 0; ou ∆0 hi é autofunção de r2 ∆0 sobre Pk−2 . Por
hipótese de indução, as autofunções de r2 ∆0 sobre Pk−2 são hj = r2j u, onde u ∈ Pk−2−2j é
harmônica, para j = 0, · · · , d(k − 2)/2e. Assim, para i ≥ 1,
∆0 hi = hj = r2j u, u ∈ Pk−2−2j .
−1
2
2(j+1)
2i
Sendo hi = λ−1
∆0 (λ−1
i r ∆0 hi , concluimos que hi = r
i u) = r ∆0 (λi u), onde

(λ−1
i u) ∈ Pm−2−2j = P2−2i .

c = M \ {P } com a
Como consequência do Teorema 7.1 (b) mostraremos a seguir que M
métrica gb = Gp−2 g é assintoticamente plana.
Definição 7.2. Dada (N, g) uma variedade Riemanniana, (N, g) é chamada assintoticamente
plana de ordem τ > 0 se existe uma decomposição N = N0 ∪ N∞ com N0 compacta, N∞
difeomorfa a Rn \B R para algum R > 0 e o difeomorfismo fornece um sistema de coordenadas
{z i } sobre N∞ tal que

87

gij = δij + O(ρ−τ ),

∂k gij = O(ρ−τ −1 ),

∂k ∂l gij = O(ρ−τ −2 ),

para ρ = |z| −→ ∞. As coordenadas {z i } são chamadas de coordenadas assintóticas.
c = M \ {P } com a métrica gb = Gp−2 g. Então
Teorema 7.2. Considere a variedade M
c é assintoticamete plana de ordem (n − 2) se n = 3, ou M é localmente plana próxima
(a) M
a P. Mais ainda, gb admite a seguinte expressão

gij = 1 + (p − 2)A δij + O00 (ρ1−n )

(7.20)

em algum sistema de coordenadas assintóticas, onde A é a constante do Teorema 7.1.
c é assintoticamete plana de ordem 2 para n ≥ 4.
(b) M
Demonstração. Seja (Ω, Φ) uma carta de um sistema de coordenadas normais conforme {xi }
em P, onde consideramos Ω como sendo uma bola geodésica e, portanto, Ω é difeomorfo a
xi
BR , para algum R > 0 pequeno. Defina z i = 2 = r−2 xi sobre Ω \ {P }. Esse novo sistema
|x|
i
c0 =
de coordenadas {z } é chamado de coordenadas normais conformes invertidas. Tomando M
c \ Ω, M
c0 é compacta e no sistema de coordenadas {z i } temos evidentemente que M
c∞ = Ω é
M
c=M
c0 ∪ M
c∞ da definição acima. Agora
difeomorfa a Rn \ B R . Assim, vale a decomposição M
vamos calcular as componentes da métrica gb no sistema de coordenadas {z i }.

 

∂
∂
−1
−1
Seja ρ = |z| = |x| = r . Sendo
e
bases do espaço tangente, temos
∂xi
∂z i
∂
∂
∂
= ai1 1 + · · · + ain n .
i
∂x
∂z
∂z
c −→ R que associa cada Q ∈
Aplicando a expressão acima à função coordenada hj : M
Ω \ {P } à sua j-ésima coordenada no sistema {z j }, obtemos
aij =

∂z j
∂r−2 xj
∂
j
(h
)
=
=
= −2r−3 xi r−1 xj + r−2 δij = r−2 δij − 2r−4 xi xj
∂xi
∂xi
∂xi
= ρ2 δij − 2z i z j .

Note que a matriz (bij ) dada por bij = ρ−2 δij − 2ρ−4 z i z j é a inversa de (aij ). De fato,
X

bik akj =

X

=

X

k



ρ−2 δik − 2ρ−4 z i z k ρ2 δkj − 2z k z j

k

δik δkj − 2

k

X

ρ−2 δik z k z j − 2

k
−2 i j

−2 i j

X

ρ−2 δkj z i z k + 4

k
−2 i j

= δij − 2ρ z z − 2ρ z z + 4ρ z z = δij .

X
k

ρ−4 z i z k z k z j

88

Portanto,
X
 ∂
∂
=
ρ−2 δij − 2ρ−2 z i z j
.
i
j
∂z
∂x
j
Escreva γ = ρ2−n G, daı́ Gp−2 = γ p−2 ρ4 e




∂
∂
∂
∂
p−2 4
p−2
=γ ρ g
gbij (z) = G g
,
,
∂z i ∂z j
∂z i ∂z j
X


= γ p−2
δik − 2ρ−2 z i z k δjl − 2ρ−2 z j z l gkl (ρ−2 z)
k,l

= γ p−2

X


δik δjl − 2δik ρ−2 z j z l − 2δjl ρ−2 z i z k + 4ρ−4 z i z k z j z l gkl (ρ−2 z)

k,l

= γ

p−2



gij − 2

X

−2 j l

ρ z z gil − 2

X

l

−2 i k

ρ z z gkj + 4

k

X

−4 i k j l



ρ z z z z gkl (ρ−2 z).

k,l

Se M é localmente plana próximo a P, temos gij = δij e a expressão acima reduz-se a
gb(z) = γ p−2 δij .

(7.21)

No caso geral, de (8.1) sabemos que gij (x) = δij + O00 (r2 ). Se substituimos x = ρ−2 z em
(8.1) obtemos gij (ρ−2 z) = δij + O00 (ρ−2 ). Daı́,
gb(z) = γ

p−2



δij + O00 (ρ−2 ) − 2

X

X


ρ−2 z j z l δil + O00 (ρ−2 ) − 2
ρ−2 z i z k δkj + O00 (ρ−2 )

l

+4

X

k


−4 i k j l
00 −2
ρ z z z z δkl + O (ρ )

k,l



= γ p−2 δij + O00 (ρ−2 ) .

(7.22)

Se n = 3, 4, 5, ou M é localmente plana próximo a P , temos do Teorema 7.1 (b) que

γ = rn−2 G = rn−2 r2−n + A + O00 (r) = 1 + Aρ2−n + O00 (ρ1−n ).
Usando a expansão de Taylor da função x 7−→ xp−2 em torno de x = 1, obtemos

p−2

1 + Aρ2−n + O00 (ρ1−n )
δij + O00 (ρ−2 )
h



2 i 
= 1 + (p − 2) Aρ2−n + O00 (ρ1−n ) + O Aρ2−n + O00 (ρ1−n )
δij + O00 (ρ−2 ) .

gb(z) =

Notemos que Aρ2−n + O00 (ρ1−n ) = O00 (ρ2−n ), pois O00 (ρ1−n ) ⊂ O00 (ρ2−n ). Também, como
2

2(2 − n) ≤ 1 − n, temos (O00 (ρ2−n )) = O00 (ρ1−n ), daı́




gb(z) = 1 + (p − 2) Aρ2−n + O00 (ρ1−n ) + O00 (ρ1−n ) δij + O00 (ρ−2 ) .

(7.23)

89

a) Se M é localmente plana próximo a P, de (7.21), (7.23) e do fato de O00 (ρ1−n ) ⊂ O00 (ρ2−n ),
temos



1 + (p − 2) Aρ2−n + O00 (ρ1−n ) + O00 (ρ1−n ) δij

= 1 + (p − 2)Aρ2−n δij + O00 (ρ1−n )

(7.24)

= δij + O00 (ρ2−n ).

(7.25)

gb(z) =

c, gb) é assintoticamente plana de ordem (n − 2) e (7.24)
Assim, de (7.25) concluimos que (M
prova (7.20).
De (7.24) e (7.23), temos

gb(z) = 1 + (p − 2)Aρ2−n δij + O00 (ρ1−n ) + O00 (ρ−2 ) + O00 (ρ−n ) + O00 (ρ−1−n ).

(7.26)

Assim, se n = 3,
gb(z) =
=


1 + (p − 2)Aρ−1 δij + O00 (ρ−2 ) + O00 (ρ−3 ) + O00 (ρ−4 )

1 + (p − 2)Aρ−1 δij + O00 (ρ−2 )

= δij + O00 (ρ−1 ).
Concluindo a prova do item (a).
(b) Se n ≥ 4, temos −1 − n < −n < 1 − n < −2. Assim, usando (7.26),
gb(z) =


1 + (p − 2)Aρ2−n δij + O00 (ρ1−n ) + O00 (ρ−2 ) + O00 (ρ−n ) + O00 (ρ−1−n )

= δij + O00 (ρ−2 ).
c é assintoticamente plana de ordem 2.
O que mostra que M

7.2

Os Teoremas de Massa Positiva e A Solução Completa
Sempre que não citarmos explicitamente, estaremos supondo que λ(M ) > 0 para poder-

mos usar os resultados da seção anterior.
Definição 7.3. Dada uma variedade Riemanniana assintoticamente plana (N, g) com coordenadas assintóticas {z i }, definimos a massa da variedade como sendo o limite
Z
1
m(g) = lim
i(H)dz,
R−→∞ ωn−1 S
R
se o limite existe, onde i(H)dz denota o produto interior do campo

90

H=

X ∂
i,j


∂
∂
(gij ) − j (gii )
i
∂z
∂z
∂z j

pela forma de volume dz.
De acordo com BARTNIK [4], a definição de m(g) depende apenas de g quando a ordem
τ > (n − 2)/2.
c, gb) sempre é uma variedade assintoticamente plana.
Como vimos no Teorema 7.2, (M
c, gb) a projeção estereográfica de M a partir de P ∈ M. Se n = 3, 4, 5, ou
Lema 7.3. Seja (M
M é localmente conformemente plana próximo a P, então m(g) = 4(n − 1)A.
Demonstração. Ver LEE-PARKER [17] pp. 68 e 79.
A conjectura a seguir é a generalização do Teorema de Massa Positiva de Schoen-Yau:

Conjectura de Massa Positiva: Se (N, g) é uma variedade Riemanniana assintoticamente plana de ordem τ > (n−2)/2 com curvatura escalar S não-negativa e S ∈ L1 (N ),
então m(g) ≥ 0 e m(g) = 0 se, e somente se, (N, g) é isométrica ao espaço euclidiano
Rn .
De fato, sabe-se hoje que a conjectura acima está provada para dimensões 3 ≤ n ≤ 7.
Mais ainda, temos:
Teorema 7.3. (Schoen-Yau) Valem as seguintes afirmações:
(a) Se (M, g) uma variedade Riemanniana compacta (conexa) localmente conformemente
c satisfaz m(g) ≥ 0. Mais ainda m(g) = 0
plana de dimensão n ≥ 3 então a massa de M
se, e somente se, (M, g) é conformemente equivalente à esfera (S n , g).
(b) (Teorema de Massa Positiva) Supondo 3 ≤ n ≤ 7 e seja (N, g) uma variedade Riemanniana assintoticamente plana de ordem τ > (n − 2)/2 com curvatura escalar S
não-negativa e S ∈ L1 (N ). Então m(g) ≥ 0 e m(g) = 0 se, e somente se, (N, g) é
isométrica ao espaço Euclidiano Rn .
Demonstração. Para o item (a) ver SCHOEN-YAU [26]. Para o item (b) ver SCHOEN-YAU [25]
e SCHOEN [24]. Ver também WITTEN [30] e AMMANN-HUMBERT [2].
Usando o teorema acima e em vista do obtido na seção anterior, temos

91

Corolário 7.1. Se n = 3, 4, 5, ou (M, g) é localmente conformemente plana em uma vizinhança
de P, então a constante A na expansão de G no Teorema 7.1 (b) é não-negativa. Mais ainda,
c é isométrica ao espaço Euclidiano Rn . Em particular, se M não é
A = 0 se, e somente se, M
conformemente equivalente à S n , então A > 0.
Demonstração. Se M é localmente conformemente plana, o resultado segue do item (a) do
c, gb) estudada na
teorema acima e do lema anterior. Nos outros casos, considere a variedade (M
c = M \ {P } e gb = Gp−2 g. Sendo G = 0 sobre M
c, temos de (3.4) que
seção anterior, onde M
c tem curvatura escalar Sb ≡ 0 e, consequentemente, S ∈ L1 (M
c). Pelo Teorema 7.2 sabemos
M
c é assintoticamente plana de ordem τ = 1, 2 ou 2, se n = 3, 4, ou 5, respectivamente.
que M
Assim, nessas dimensões temos τ > (n−2)/2 e podemos aplicar o Teorema de Massa Positiva,
c é isométrica ao espaço Rn .
o qual implica que A ≥ 0 e A = 0 se, e somente se, M

Note que o corolário acima não se aplica a variedades arbitrárias de dimensões n ≥ 6, visto
c será τ = 2 para n ≥ 4, daı́ não vale τ > (n − 2)/2
que o Teorema 7.2 (b) diz que a ordem de M
para n ≥ 6.
A partir do resultado acima, Schoen conseguiu definir uma função teste que garante que
λ(M ) < λ(S n ) para n = 3, 4, 5, ou M localmente plana, daı́ o problema de Yamabe tem
solução nesses casos. Juntando com a solução parcial obtida no capı́tulo 6, concluimos a
solução completa do problema.
Teorema 7.4. (Schoen) Se n = 3, 4, 5, ou M é localmente conformemente plana, então
λ(M ) < λ(S n ), exceto se M é conforme à esfera. Consequentemente, o problema de Yamabe
tem solução.
Demonstração. Dado um ponto P ∈ M, seja {xi } um sistema de coordenadas normais conformes em P. Pelo Teorema 7.1 (b) temos que G = r2−n + A + α, onde α = O00 (r). Vamos
supor que M não é conformemente equivalente à esfera S n , visto que nesse caso já sabemos
resolver o problema. Assim, pelo Corolário 7.1 teremos A > 0.
Usaremos nessa demonstração argumentos similares da demostração da Proposição 6.1.
Considere η uma função radial em Rn com 0 ≤ η ≤ 1, η ≡ 1 sobre Bρ = Bρ (0) e
identicamente nula fora de B2ρ . Defina a seguinte função teste

φ(x) =




 uε (x),

se r ≤ ρ,

ε0 G(x) − η(x)α(x) , se ρ ≤ r ≤ 2ρ,



 ε G(x)
0

se r > 2ρ.

92


Lembrando que uε (x) =

ε
2
ε + kxk2

(n−2)/2
, para ε > 0. Também, tomamos ε0  ρ com

ε0 ρ2−n + A =




ε
2
ε + ρ2

 n−2
2
(7.27)

.

A igualdade acima garante que φ é contı́nua, e sendo cada subfunção diferenciável no domı́nio
de definição, temos que φ é uma função Lipschitz, daı́ φ ∈ Lk1 (M ), ∀k (ver AUBIN [3] p. 81),
em particular φ ∈ L21 (M ) e podemos tomá-la como uma função teste, pois pela Observação
3.3 sabemos que inf2 Qg (ϕ) = inf∞ Qg (ϕ).
ϕ∈L1
ϕ6≡0

ϕ∈C
ϕ>0

Vamos verficiar que Q(φ) < λ(S n ). Dividimos a demonstração em dois casos:
Caso (1): n = 3, 4, ou 5.
Sabemos que em coordenadas normais conformes temos
det g ≡ 1

e S = O(r2 ) em

Ω2ρ .

(7.28)

em Ω2ρ .

(7.29)

Também, da Proposição 7.1 (P2) e (P3), temos
|G| ≤ C1 r2−n

e |∇G| ≤ C2 r1−n

Pela definição de φ e usando (7.28) e (7.29), temos
Z
Z
Z


2
2
2
2
2
2
a|∇φ| + Sφ dVg = ε0
a|∇G| + SG dVg + ε0
M \Ωρ

M \Ω2ρ
2

a|∇G|2

Ω2ρ \Ωρ
2


−2ah∇G, ∇(ηα)i + a|∇(ηα)| + G − 2ηαG + η 2 α2 S dVg
Z
Z

2
2
2
2
≤ ε0
a|∇G| + SG dVg + ε0
2a|∇G||∇(ηα)|
M \Ωρ
Ω2ρ \Ωρ

+a|∇(ηα)|2 + 2|ηα||G| + η 2 α2 |S| dVg
Z
Z

2
2
2
2
≤ ε0
a|∇G| + SG dVg + ε0
2aC2 r1−n C3,ρ
M \Ωρ
2

2−n

Ω2ρ \Ωρ

+ (C4,ρ C5 r)2 C6 r2 dVg

+aC3,ρ + 2C4,ρ C5 rC1 r
Z
Z


2
2
2
2
≤ ε0
a|∇G| + SG dVg + ε0 C7,ρ
r1−n dx
M \Ωρ
B2ρ \Bρ
Z

(7.30)
≤ ε20
a|∇G|2 + SG2 dVg + C8,ρ ρε20 .
M \Ωρ

Usando integração por partes e o fato de a∆G + SG = 0 sobre M \ {P }, temos
Z
Z
Z
Z

2
2
a|∇G| + SG dVg =
aG∆GdVg −
aGh∇G, νidσ +
SG2 dVg
M \Ωρ
M \Ωρ
∂Ωρ
M \Ωρ
Z
= −
aGh∇G, νidσ
∂Ωρ

93

Z
∂ 2−n
aGhα, νidσ
+ A)dσ −
= −
aG (r
∂r
∂Ωρ
∂Ωρ
Z
Z
∂ 2−n
≤ −
aG (r
+ A)dσ + C9
ρ3−n dσ
∂
r
∂Ω
∂Ωρ
Z ρ
∂ 2−n
= −
aG (r
+ A)dσ + C10 ρ2 .
∂
r
∂Bρ
Z

onde ν é um campo vetorial normal apontando para o interior ao longo de ∂Ωρ . Assim, juntando com (7.30),
Z
Z

2
2
2
a|∇φ| + Sφ dVg ≤ −ε0
M \Ωρ

∂Ωρ

aG

∂ 2−n
(r
+ A)dσ + C11,ρ ρε20 .
∂r

(7.31)

Por outro lado, de (7.28), (7.27) e o fato de uε (r) ser uma função decrescente, temos
Z
Z


2
2
a|∇uε |2 + Suε 2 dVg
a|∇φ| + Sφ dVg =
Ω
Ωρ
Z ρ
Z
2
≤
a|∇uε | dVg + C12
r2 u2ε dx
Ωρ
Bρ
Z
h
i2 Z
2
2
2−n
≤
a|∇uε | dVg + C12 ρ ε0 (ρ
+ A)
dx
Ωρ
Bρ
Z
h
i
=
a|∇uε |2 dVg + C13 ε20 ρ6−n + 2Aρ4 + A2 ρ2+n
Ω
Z ρ
=
a|∇uε |2 dVg + ε20 O(ρ6−n ).
(7.32)
Ωρ

Onde a última igualdade segue do fato de 0 < 6 − n < 4 < 2 + n, para 3 ≤ n ≤ 5. Como
também 1 ≤ 6 − n, temos ρ6−n ≤ ρ. Assim, de (7.31) e (7.32),
Z
Z
Z

∂
2
2
2
2
a|∇φ| + Sφ dVg ≤
a|∇uε | dVg − ε0
aG (r2−n + A)dσ + ε20 C14,ρ ρ. (7.33)
∂r
M
Ωρ
∂Ωρ
Da Observação 4.2 sabemos que
Z
Z
p
2
uε ∆uε = n(n − 2)uε e
a|∇uε | dx = n(n − 2)
Rn

disso e integração por partes, obtemos
Z
Z
2
a|∇uε | dVg =
Ωρ

Rn

Z

aupε dx = λ(S n )kuε k2p ,

∂uε
auε ∆uε dVg +
uε
dσ
∂r
Ωρ
∂Ωρ
Z
Z
∂uε
p
= n(n − 2)
auε dVg +
uε
dσ
∂r
Ωρ
∂Ωρ
Z
∂uε
n
2
≤ λ(S )kφkp +
uε
dσ.
∂r
∂Ωρ

Usando (7.27), sobre r = ρ, temos

94

∂uε
uε
=
∂r



=
≤
=
=

 n−2
2

ρ
(2 − n)
ε

 n−2
2

ρ
(2 − n)
ε



ε
2
ε + ρ2

 n2

 n−2
2
ε
ε
2
2
2
ε +ρ
ε + ρ2


i2
ρ2
1h
2−n
+ A)
−(n − 2) ε0 (ρ
ρ
ε2 + ρ 2


h
i
2
ε2
1
2−n
+ A)
1− 2
−(n − 2) ε0 (ρ
ρ
ρ



 3−2n
ε2
2
1−n
2 −1
1− 2
−(n − 2)ε0 ρ
+ 2Aρ
+A ρ
ρ
 3−2n

2
1−n
2 −1
−1
−(n − 2)ε0 ρ
+ 2Aρ
+ A ρ + O(ρ ) ,


=

ε
2
ε + ρ2
ε
2
ε + ρ2



onde acima usamos a desigualdade (t2 + 1)−1 ≥ 1 − t2 para t = ε/ρ e o fato de ε  ρ.
Por outro lado, sendo G = r2−n + A + O00 (r), temos para r = ρ,
ε20 G




∂ 2−n
(ρ
+ A) = ε20 ρ2−n + A + O00 (ρ) (2 − n)ρ1−n + O(1)
∂r


= −(n − 2)ε20 ρ3−2n + Aρ1−n + O(ρ2−n ) ,

segue que
Z
Z
Z
∂uε
∂ 2−n
2
2
dσ −
ε0 aG (r
+ A)dσ ≤ −(n − 2)ε0
Aρ1−n + O(ρ2−n )dσ
uε
∂r
∂r
∂Ωρ
∂Ωρ
∂Ωρ
= −(n − 2)ε20 Aωn−1 + ε20 O(ρ).
Assim, (7.33) torna-se
Z

E(φ) =
a|∇φ|2 + Sφ2 dVg ≤ λ(S n )kφk2p − (n − 2)ωn−1 ε20 A + ε20 C15,ρ ρ,
M

dividindo por kφk2p , obtemos
Q(φ) ≤ λ(S n ) − C16 ε20 A + ε20 C17,ρ ρ.

(7.34)

Sendo A > 0, temos de (7.27),
ε0 (ρ2−n + A) ≤ ε(n−2)/2 ρ2−n

=⇒

ε0 < ε(n−2)/2 < ε.

Assim, escolhido ρ arbitrariamente pequeno, fica definida a constante C17,ρ e em seguida escolhemos ε arbitrariamente pequeno. Como ε0 < ε e ρ é pequeno, temos que ε20 ρ decresce mais
rápido do que ε20 . Daı́, sendo A > 0, de (7.34) temos que Q(φ) < λ(S n ).
Caso (2): M é localmente conformemente plana.

95

Nesse caso podemos assumir que gij = δij em Ω2ρ . Em particular S ≡ 0 em Ω2ρ e as
estimativas acima são simplificadas. Mais ainda, no caso anterior usamos o fato de 3 ≤ n ≤ 5
apenas em (7.32) para obter (7.33). Mas, sendo S ≡ 0 em Ω2ρ , não há o fator ε20 O(ρ6−n ) em
(7.32), implicando que (7.33) continua válido. Com isso, todas as demais estimativas continuam
válidas e temos novamente Q(φ) < λ(S n ).
Em resumo obtemos λ(M ) < λ(S n ), o que implica pelo Teorema 4.3 que o problema de
Yamabe tem solução.

96

8

Considerações Finais

Vimos como o problema de Yamabe, inicialmente geométrico, foi transformado num problema da teoria de operadores elı́pticos. O estudo das mudanças conformes de elementos da
variedade fora crucial para essa observação, principalmente a mudança conforme de curvatura
escalar. Apesar de Yamabe não ter conseguido resolver seu problema usando apenas a teoria
linear nesses operadores, ele deixou essa importante contribuição que serviu de base para a
busca de soluções.
Aubin e Trundiger complementaram o trabalho e introduziram o conceito de invariante
de Yamabe da variedade e precisaram encontrar a forma ótima da desigualdade de Sololev, ou
seja, obtiveram novos resultados para atacar o problema. Daı́ em diante o problema se resumia
a encontrar condições para que λ(M ) < λ(S n ).
A solução na esfera foi importante por dois motivos principais: primeiro que os resultados
que vinham sendo desenvolvidos não se aplicavam à esfera, pois assumimos que λ(M ) <
λ(S n ); segundo que com a solução na esfera conseguimos calcular explicitamente o valor de
λ(S n ). O Teorema de Obata foi fundamental para este último.
No capı́tulo 6 vimos dois resultados fundamentais devido a Aubin: para toda variedade Riemanniana compacta vale λ(M ) ≤ λ(S n ); e se a variedade é não-localmente conformemente
plana, então λ(M ) < λ(S n ) e o problema tinha solução. Note que o uso de coordenadas
normais conformes foi fundamental, em vista da expansão da métrica.
Por fim Schoen conclui a conjectura de que λ(M ) < λ(S n ) e, portanto, o problema sempre
tem solução. É fato notar que a inspiração de Schoen vem da solução na esfera, pois mudamos as contas para uma variedade com curvatura identicamente zero. Uma teoria nova foi a
conjectura de massa positiva, a qual é um problema resolvido para dimensões 3 ≤ n ≤ 7.
O problema de Yamabe tem sido uma área de interesse, principalmente outras generalizações como em variedades não-compactas. Um resultado belı́ssimo provado recentemente
garante que o conjunto de soluções do problema de Yamabe tem estrutura de uma variedade
compacta. Outra linha de pesquisa é a busca de resultados para operadores do tipo ∆ + q, os
quais aparecem com certa frequência em vários problemas de análise geométrica.

97

Referências
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99

Apêndice
Teorema 8.1. (Mudança de Variáveis) Seja h : U −→ V um difeomorfismo de classe C 1
entre abertos de Rn . Dado E um subconjunto compacto mensurável de U, então para toda
f : h(E) −→ R integrável
Z

Z
(f ◦ h)(x)|detJ(h)(x)|dx.

f (y)dy =
h(E)

E

Ver LIMA [19], p. 179.
Teorema 8.2. (Unicidade das Métricas de Curvatura Constante) Seja M n uma variedade
Riemanniana completa, simplesmente conexa e com curvatura seccional constante K. Então
M n é isométrica a:
a) SRn , se K =

1
> 0,
R2

b) RnR , se K = 0,
c) HnR , se K = −

1
< 0.
R2

Onde Rn , SRn e HnR são os chamados espaços modelo de curvatura constante: Rn com a
métrica Euclidiana (com a qual K ≡ 0); SRn com a métrica induzida da métrica Euclidiana
sobre Rn+1 (K ≡ 1/R2 ); e o espaço hiperbólico HnR de raio R, o qual é o semi-espaço {x ∈
P
Rn ; xn > 0} com a métrica hR := R2 (xn )−2 (dxi )2 (K ≡ −1/R2 ).
Demonstração. Ver [16], p. 204.
Expansão da Métrica e Elemento de Volume
Proposição 8.1. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana. Em coordenadas normais de g, a
função det(gij ) tem a expansão
1
1
det(gij ) = 1 − Rij xi xj − Rij,k xi xj xk
6
3

1
1
1
−
Rij,kl + Rpijm Rpklm − Rij Rkl xi xj xk xl + O(r5 ),
20
90
18
onde todas as curvaturas e suas derivadas são avaliadas em P.
Demonstração. Seja {xi } o sistema de coordenadas normais para g sobre uma vizinhança U
de p e usemos essas coordenadas para identificar U com um aberto de Rn e p como sendo a
origem. Assim, basta realizarmos a expansão sobre a origem.

100

Fixados τ, ξ ∈ Rn , considere a aplicação γ : R × R −→ Rn dada por γs (t) = t(τ + sξ),
a qual determina uma famı́lia a um parâmetro de geodésicas radiais e seja T = γs0 (t). Vamos
escolher ξ = (ξ 1 , · · · , ξ n ) tal que ξ i 6= 0 e |τ | = 1. Notemos que o campo
J = tξ
satisfaz a equação de Jacobi ∇2T J = RT (X), onde RT é o endomorfismo R(T, ·)T. De fato,
∂ ∂ 
sendo γs (t) uma geodésica, vale ∇T T = 0. Também como ∂t
, ∂s = 0, temos que 0 =
 ∂γ ∂γ 
= [T, J] = ∇T J − ∇J T. Com esses dois fatos concluimos o afirmado:
,
∂t ∂s
0 = ∇J ∇T T = ∇T ∇J T − ∇[T,J] T − R(T, J)T
= ∇T ∇T J − R(T, J)T.
Defina agora f (t) = hJ, Ji(γ0 (t)) = htξ, tξi(tτ ). Vamos expandir a função f em torno da
origem. Obviamente, f (0) = 0, J(0) = 0 e (∇2T J)(0) = R(T, J)T (0) = 0. Assim,

0

=⇒ f 0 (0) = 0,

 f = 2 ∇T J, J
f 00 = 2 ∇2T J, J + 2 ∇T J, ∇T J


 f 000 = 2 ∇3 J, J + 6 ∇2 J, ∇ J
T

T

T

=⇒

f 00 (0) = ξ, ξ (0),

=⇒

f 000 (0) = 0.

Derivando novamente, obtemos
f (4) = 2 ∇4T J, J + 8 ∇3T J, ∇T J + 6 ∇2T J, ∇2T J ,
onde podemos calcular ∇3T J usando a equação de Jacobi e a definição de derivada covariante
sobre End(T M ) :
∇3T J = ∇T (∇2T J) = ∇T (RT (J)) = (∇T RT )(J) + RT (∇T J),
daı́,
f (4) (0) = 8 RT (ξ), ξ (0).
Em seguida, como ∇4T J = ∇2T (RT (J)) = (∇2T RT )(J)+2(∇T RT )(∇T J)+RT (RT (J)), temos
f (5) = 2 ∇5T J, J + 10 ∇4T J, ∇T J + 20 ∇3T J, ∇2T J
∴ f (5) (0) = 20 (∇T RT )(ξ), ξ (0).
Analogamente, ∇5T J = (∇3T RT )(J) + 3(∇2T RT )(∇T J) + 3(∇T RT )(∇2T J) + RT (∇3T J), daı́
∇5T J(0) = 3(∇2T RT )(ξ) + RT (RT (ξ)). Como
f (6) = 2 ∇6T J, J + 12 ∇5T J, ∇T J + 30 ∇4T J, ∇2T J + 20 ∇3T J, ∇3T J

101

e RT é autoadjunto, obtemos
f (6) (0) = 36 (∇2T RT )(ξ), ξ (0) + 32 RT (ξ), RT (ξ) (0).
Com isso, tomando a expansão de Taylor de f em torno da origem e dividindo por t2 ,
obtemos:
t2
t3
hRT (ξ), ξi (0) + h(∇T RT )(ξ), ξi (0)
3
6
4
2t
t4
+
(∇2T RT )(ξ), ξ (0) +
hRT (ξ), RT (ξ)i (0) + O(t5 ).
24
45

hξ, ξi(tτ ) = hξ, ξi(0) +

Substituindo x = tτ, obtemos T = τ = (xi /t)∂i . Como também ξ = ξ p ∂p , temos
hξ, ξi(tτ ) = hξ p ∂p , ξ q ∂q i(x) = gpq (x)ξ p ξ q ,
hξ, ξi(0) = hξ p ∂p , ξ q ∂q i(0) = δpq ξ p ξ q ,

t2
t2
1
RT (ξ), ξ (0) =
hR (T, ξ) T, ξi (0) =
R xi ∂i , ξ p ∂p xj ∂j , ξ q ∂q (0)
3
3
3
1 i j p q
1 i j p q m
x x ξ ξ Rjip gmj = x x ξ ξ Rqjip ,
=
3
3
t3
1 k
t3
h(∇T RT )(ξ), ξi (0) =
h∇T R(T, ξ)T, ξi (0) =
x ∂k R(xi ∂i , ξ p ∂p )xj ∂j , ξ q ∂q (0)
6
6
6

1 i j k p q
1
m
x x x ξ ξ ∂k Rjip gmq = xi xj xk ξ p ξ q Rqjip,k ,
=
6
6
t4
1
(∇2T RT )(ξ), ξ (0) =
xl xk ∂l ∂k R(xi ∂i , ξ p ∂p )xj ∂j , ξ q ∂q (0)
24
20
1 i j k l p q
=
x x x x ξ ξ Rqjip,kl ,
20
2t4
2t4
hRT (ξ), RT (ξ)i (0) =
hR(T, ξ)T, R(T, ξ)T i (0)
45
45
2
=
R(xi ∂i , ξ p ∂p )xj ∂j , R(xk ∂k , ξ q ∂q )xl ∂l
45
2 i j k l p q m
s
=
x x x x ξ ξ Rjip ∂m , Rlkq
∂s
45
2 i j k l p q
=
x x x x ξ ξ Rmjip Rmlkq
45
Se |x| = r, temos r = |tτ | = t. Portanto, substituindo essa e as expressões acima na
expansão de f dividida por t2 ,

102

1
1
gpq (x) = δpq + Rpijq xi xj + Rpijq,k xi xj xk
6
 3

1
2
+
Rpijq,kl + Rpijm Rqklm xi xj xk xl + O(r5 ),
20
45

(8.1)

onde o termos com curvatura estão avaliados na origem. Podemos escrever gpq = exp Apq ,
onde
Apq (x) =

1
1
Rpijq xi xj + Rpijq,k xi xj xk
3
6

1
1
+
Rpijq,kl − Rpijm Rqklm xi xj xk xl + O(r5 ).
20
90

De fato, vimos que g = I + G2 + G3 + G4 + O(r5 ) e escrevendo A = A2 + A3 + A4 + O(r5 ),
onde os ı́ndices correspondem ao grau do termo. Dado que r é pequeno, temos


1 2
1 2
5
exp(A) = I + A + A + O(r ) = I + G2 + G3 + A4 + A2 + O(r5 )
2
2
5
= I + G2 + G3 + G4 + O(r ).
Por fim, pela fórmula de Jacobi concluimos que

det g = det(exp A) = exp(tr(A)) = exp g pq Apq
(
1
1
= exp − Rij xi xj − Rij,k xi xj xk
3
6
)


1
1
−
Rij,kl + Rpijm Rpklm xi xj xk xl + O(r5 )
20
90
(
)


1
1
1
1
= 1 + − Rij xi xj − Rij,k xi xj xk −
Rij,kl + Rpijm Rpklm xi xj xk xl
3
6
20
90

2
1
1
i j
+
− Rij x x
+ O(r5 )
2
3
1
1
= 1 − Rij xi xj − Rij,k xi xj xk
6
3

1
1
1
−
Rij,kl + Rpijm Rpklm − Rij Rkl xi xj xk xl + O(r5 ).
20
90
18

Corolário 8.1. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana. Em coordenadas normais de g, temse a seguinte expansão
1
g pq (x) = δ pq − Rpijq (P )xi xj + O(r3 ).
3
Demonstração. Dada uma matriz A e ε > 0 suficientemente pequeno, então usando a expansão

103

de Taylor da função B 7−→ B −1 em torno de B = I, obtemos
(I + εA)−1 = I − εA + O(ε2 ).
De (8.1) podemos escrever g = I + A + O(r3 ), onde A é a matriz dada por Apq =

1
Rpijq xi xj . Visto que |A| = O(r2 ) e r é pequeno, aplicamos a expansão acima, obtendo
3
g −1 = I − (A + O(r3 )) + O(r6 ) = I − A + O(r3 ).

A expressão acima conclui o corolário. Poderı́amos continuar o processo, usando a expansão de Taylor, obtendo uma expressão do tipo (8.1).

Corolário 8.2. O elemento de volume em coordenadas normais de uma variedade Riemanniana (M, g) tem a expansão
p
1
1
det g = 1 − Rij xi xj − Rij,k xi xj xk
12
6

1
1
1
−
Rij,kl +
Rpijm Rpklm − Rij Rkl xi xj xk xl + O(r5 ).
40
180
72
Demonstração. Como a expansão de Taylor da função
√

√

y em torno de y = 1 é dada por

1
1
y = 1 + (y − 1) − (y − 1)2 + O(|y − 1|3 ),
2
8

para |y| −→ 1, basta aplicá-la à fórmula obtida na proposição acima.