Dissertação

dissertacao_nayane_versão_ final.pdf
Documento PDF (2.9MB)
                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA

NAYANE CARVALHO FREITAS

ESTIMATIVA DO VETOR NORMAL AFIM EM SUPERFÍCIES DISCRETAS

Maceió
2014

NAYANE CARVALHO FREITAS

ESTIMATIVA DO VETOR NORMAL AFIM EM SUPERFÍCIES DISCRETAS

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da
Universidade Federal de Alagoas, como requisito
parcial para obtenção do tı́tulo de mestre em
Matemática.

Orientador: Profo Dr. Dimas Martı́nez Morera
Co-orientadora: Profa Dr. Maria Andrade

Maceió
2014

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Maria Auxiliadora G. da Cunha
F866e

Freitas, Nayane Carvalho.
Estimativa do vetor normal afim em superfícies discretas / Nayane
Carvalho Freitas. – 2014.
44 f.
Orientador: Dimas Martínez Morera.
Co-orientadora: Maria Andrade.
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2014.
Bibliografia: f. 43-44.
1. Superfície discreta . 2. Vetor normal afim. 3. Vetor conormal afim. 4.
Retalho triangular de Bézier. I. Título.
CDU: 514.142

3

AGRADECIMENTOS
Agradeço infinitamente a Deus que me deu toda força necessária para superar os obstáculos
encontrados ao longo desse perı́odo.
Aos meus pais, Maria Stela Freitas e Wanderley Freitas, pela confiança, pelo apoio e por
terem sidos tão presentes em minha vida mesmo estando distantes, sem eles nada seria possı́vel.
Também a minha tia Ivani Freitas, por sempre me confortar com suas palavras de carinho e
motivação.
Ao meu orientador profo . Dr. Dimas Martı́nez, por cada palavra de incentivo em meus
momentos de incertezas, por sua acolhida, por me apoiar e me ajudar a superar todos os tipos
de dificuldades.
A minha co-orientadora profa . Dr. Maria Andrade, pela sua gentil disponibilidade em nos
ajudar nesta pesquisa.
Ao meu querido amigo profo Dr. Adelailson Peixoto, pelas lições de como enfrentar as
grandes adversidades com coragem, determinação e confiança e por me doar uma famı́lia
arapiraquense a qual levarei pra sempre em meu coração.
Aos meus amigos do laboratório de Computação Gráfica Tiago Novello, Augusto Ícaro,
Ailton Felix e Leandro Miranda por toda a ajuda com a programação. De modo muito especial,
agradeço imensamente ao meu amigo Fabrı́cio Lira pela sua paciência e generosidade estando
sempre disposto a me ajudar no que fosse preciso.
As minhas amigas Rosely e Aline Karoline que conviveram comigo durante esse perı́odo,
compartilhando dos meus momentos de tristezas e felicidades. Agradeço pelas nossas boas
risadas e principalmente por estarem ao meu lado por todo esse tempo.
A cada um, muito obrigada!

Lista de Figuras
1.1

Plano tangente Tp S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2

Retalho quadrático de Bézier junto a sua malha de controle. . . . . . . . . . . . .

27

3.3

Algoritmo de de Casteljau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.4

Vetores conormal e normal afins no retalho triangular de Bézier quadrático. . . . .

31

4.5

Triângulos que compartilham as arestas do domı́nio T . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.6

Quatro tetraedros que podem ser formados por dois triângulos adjacentes junto ao
centro de massa da união das k-vizinhanças dos vértices da aresta comum desses dois
triângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.7

3-vizinhança de um vértice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.8

Relação entre o valor de α e a concavidade do poliedro. . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.9

Discretização do elipsóide por retalhos triangulares de Bézier quadráticos.

. . . . .

36

4.10 Imagens da n-partição de um triângulo no retalho de Bézier quadrático. . . . . . .

37

5.11 Estimativa do vetor normal afim.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

5.12 Estimador normal afim e tamanho da vizinhança. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5.13 Estimativa do normal afim nos pontos de variação do sinal da curvatura gaussiana
euclidiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5.14 Formato do retalho quando o seu domı́nio é um triângulo obtusângulo. . . . . . . .

40

5.15 À esquerda o vetor conormal afim e à direita o vetor normal afim antes e depois de
uma transformação equiafim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

42

RESUMO
A invariância de propriedades geométricas é um fator crucial em diversas áreas da Matemática,
em particular da Computação Gráfica. Neste sentido, a geometria afim tem ocupado um
espaço significativo nesse campo de aplicação, por ter uma posição intermediária entre as
geometrias euclidiana e projetiva. A geometria afim é uma generalização da euclidiana, porém
mais simples de ser trabalhada que a projetiva, tanto analı́tica quanto computacionalmente, e
permite descrever boa parte das operações usadas em Computação Gráfica. No entanto, ainda
não encontramos na literatura estimadores de propriedades geométricas afins em superfı́cies
discretas. Por este motivo, a proposta desse trabalho é dar o primeiro passo no estudo de
invariantes afins para essas superfı́ces, apresentando aqui uma estimativa para o vetor normal
afim. Tal estimativa foi obtida a partir de uma representação discreta da superfı́cie usando
como elementos pedaços de parabolóides ao invés de planos.
Palavras-chave: Superfı́cie Discreta; Vetor Normal Afim; Vetor Conormal Afim; Retalho
Triangular de Bézier.

ABSTRACT
The invariance of geometric properties is an important factor in many areas of Mathematics,
particularly in Computer Graphics. Accordingly, the affine geometry has occupied a significant
place in this field of application, since it has an intermediate position between euclidean and
projective geometries. Affine geometry is a generalization of euclidean, but working with it
is simpler than working with projective geometry, both analytically and compucionally, and
allows to describe much of the operations used in Computer Graphics. However, we have not
found in literature estimators of affine geometrical properties for discrete surfaces. Therefore,
the aim of this work is to take the first step in the study of affine invariants in these surfaces,
presenting here an estimate of the affine normal vector. This estimate is obtained from a
discrete representation of the surface using paraboloids instead of planes.
Keywords: Discrete Surface; Affine Normal Vector; Affine Conormal Vector; Triangular
Patch Bezier.

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1 Coordenadas Baricêntricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Geometria Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 VETORES CONORMAL E NORMAL AFIM EM SUPERFÍCIES
REGULARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Medidas Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Transformações Afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Curvas Assintóticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Primeira Forma Fundamental Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Conormal e Normal Afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 RETALHO TRIANGULAR DE BÉZIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Polinômios de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Representação de Bézier de Retalhos Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Algoritmo de de Casteljau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
3.4 Vetores Conormal e Normal Afins no Retalho Triangular de Bézier
Quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 CÁLCULO DO NORMAL AFIM DISCRETO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1 Representação de Superfı́cies Discretas por Retalhos Triangulares de Bézier
Quadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Normal Afim no Vértice da Malha Triangular de uma Superfı́cie Discreta. .36
5 RESULTADOS E CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8

INTRODUÇÃO

Felix Klein (1872) classificou os tipos de geometria de acordo com as propriedades invariantes
dos objetos geométricos quando eles são sujeitos a vários grupos de transformações. A geometria
euclidiana, por exemplo, estuda as propriedades sob a ação do grupo dos movimentos rı́gidos,
enquanto a geometria afim abrange todas as transformações afins. Dessa forma, uma vez que
movimentos rı́gidos são transformações afins, podemos dizer que a geometria euclidiana é um
estudo particular da geometria afim.
Contrário às transformações euclidianas (movimentos rı́gidos) as afins não preservam
comprimento e medidas angulares, portanto, elas podem mudar a forma de um objeto. Uma
circunferência, por exemplo, se torna uma elipse após uma transformação afim. Assim, qualquer
resultado para a circunferência onde só intervêm propriedades e relações invariantes, nesta
geometria, é válido para todas as elipses com a mesma área. Isto se torna importante, por
exemplo, para classificação e reconhecimento de objetos geométricos em imagens (ver [1]), isto
é, regiões de uma imagem original podem ser identificadas em uma imagem deformada, de
modo que a área seja preservada pela transformação, a partir de invariantes afins.
Na Computação Gráfica é essencial poder movimentar e deformar objetos geométricos, o
que se faz aplicando a esses objetos transformações geralmente lineares, afins ou projetivas.
Nessa abordagem, uma vantagem da geometria afim sobre a geometria euclidiana é o fato da
primeira englobar um grupo maior de transformações, o que permite descrever boa parte dos
objetos e operações da Computação Gráfica. Além disso, alguns problemas, como reconstrução,
exigem a invariância de propriedades geométricas nos pontos amostrados. Daı́ a importância
de estudar invariantes discretos afins compatı́veis com o modelo afim diferencial.
Com intuito de utilizar todas as vantagens que a geometria afim nos traz, o objetivo deste
trabalho é apresentar uma forma de calcular computacionalmente o vetor normal afim em
superfı́cies discretas, de modo que tal estimativa preserve, no modelo discreto, as caracterı́sticas
geométricas desse vetor no modelo contı́nuo.
A motivação para a realização desse estudo surgiu por não encontrarmos na literatura

9
estimadores para as propriedades geométicas afins, em superfı́cies discretas, tendo em vista a
importância dos mesmos nas áreas de Modelagem Geométrica e Visão Computacional.
Este trabalho encontra-se dividido em cinco capı́tulos. No capı́tulo 1, fazemos uma breve
revisão dos resultados preliminares necessários para o bom entendimento do texto. No capı́tulo 2,
apresentamos os vetores conormal e normal afins em superfı́cies regulares e vemos que tais
vetores são, respectivamente, contravariante e covariante por transformações equiafins. No
capı́tulo 3, mostramos como os vetores conormal e normal afins podem ser calculados em
um retalho de Bézier quadrático. No capı́tulo 4, apresentamos o estimador do normal afim
em superfı́cies discretas. Por fim, no capı́tulo 5, mostramos os resultados e as limitações da
implementação deste estimador discreto e fazemos um breve estudo dos parâmetros envolvidos.

Trabalhos Relacionados
Na literatura é possı́vel encontrar estimadores das propriedades geométricas euclidianas
em superfı́ces discretas sob diversos pontos de vista. Em [12], por exemplo, é proposta uma
aplicação da fórmula de Euler para estimar as curvaturas gaussiana e média em uma malha
triangular, enquanto em [6] esses invariantes discretos são obtidos com base no teorema de
Gauss-Bonnet. Já Tabin [11], propõe uma estimativa das propriedades geométricas euclidianas
em malhas poligonais a partir de uma matriz simétrica definida por uma fórmula integral.
Estimativas de propriedades geométricas afins podem ser encontradas em [1], [2] e [4]. Em
[1] e [2] são apresentados estimadores para as curvaturas gaussiana e média afins e vetores
conormal e normal afins em superfı́ces paramétricas ou implı́citas (no capı́tulo 2 deste trabalho
mostramos como os últimos foram obtidos). Em [4] utilizam-se polı́gonos parabólicos como
modelos de curvas discretas e estimativas como comprimento de arco afim e curvatura afim são
apresentadas neste modelo discreto de curvas.
Neste trabalho, apresentamos uma estimativa para o vetor normal afim em superfı́cies
discretas. Para isso, foi necessário construir uma representação dessas superfı́ces de maneira
adequada para a geometria afim. Dessa forma, construı́mos um modelo de superfı́cie discreta
usando pedaços de parabolóides ao invés de planos, obtendo, portanto, o estimador do normal
afim a partir dessa representação.

10

1 PRELIMINARES
Neste capı́tulo, apresentamos algumas definições que serão usadas no decorrer do trabalho,
tais como, coordenadas baricêntricas, essenciais no estudo das superfı́cies triangulares de Bézier,
e conceitos da geometria euclidiana que permitem definir propriedades da geometria afim. As
definições apresentadas aqui são encontradas nas referências [5], [8] e [10].

1.1

COORDENADAS BARICÊNTRICAS

Dados três pontos, não colineares, P1 , P2 e P3 em Rd , qualquer ponto P do plano definido
por eles pode ser expresso como:
P = uP1 + vP2 + wP3 ,
onde os escalares u, v e w são chamados de coordenadas baricêntricas de P e são tais que
u + v + w = 1, ou seja, são uma combinação afim de P1 , P2 e P3 . Se u, v, w ≥ 0, então a
combinação é convexa e P pertence ao triângulo formado pelos três pontos.
Como consequência, as coordenadas baricêntricas tem a importante propriedade da invariância afim. Isto é, aplicando uma transformação afim ao triângulo T (P1 , P2 , P3 ) e ao ponto
P , o ponto transformado terá as mesmas coordenadas baricêntricas de P com respeito ao novo
triângulo.
Considerando o triângulo canônico, T ((0, 0), (1, 0), (0, 1)), por exemplo, temos que qualquer
ponto (x, y) ∈ R2 pode ser escrito como:
(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) + (1 − x − y)(0, 0).
Logo, como as coordenadas baricêntricas são invariantes por transformações afins, aplicando
uma transformação afim A no plano, a imagem AP de um ponto P de coordenadas (x, y)
arbitrário, ainda terá coordenadas baricêntricas (x, y, 1 − x − y) em relação à imagem AT do
triângulo canônico. Por esse motivo, é comum em várias aplicações realizar todas as contas no
triângulo canônico e aplicar o resultado a um triângulo arbitrário via transformação afim.

11
Os números u, v e w podem ser calculados como:
u=

área(P, P2 , P3 )
área(P1 , P2 , P3 )

v=

área(P1 , P, P3 )
área(P1 , P2 , P3 )

w=

área(P1 , P2 , P )
.
área(P1 , P2 , P3 )

No capı́tulo 3, veremos que um algoritmo para avaliar uma superfı́cie triangular de Bézier
deriva da utilização de coordenadas baricêntricas de pontos do plano, gerado por uma estrutura
triangular.

1.2

GEOMETRIA EUCLIDIANA

Definição 1.1. Um subconjunto S ⊂ R3 é uma superfı́cie regular se, para cada p ∈ S, existe
uma vizinhança V de p em R3 e uma aplicação X : U → V ∩ S de um aberto U de R2 sobre
V ∩ S ⊂ R3 tal que:
1. X é diferenciavel;
2. X é um homeomorfismo;
3. Para todo q ∈ U a diferencial dXq : R2 → R3 é injetiva.
Definição 1.2. Seja S uma superfı́cie regular, p ∈ S, e consideremos todas as curvas definidas
sobre S passando por p, definimos o plano tangente em p, denotado como Tp S, como o espaço
vetorial de dimensão 2 que contêm todos os vetores tangentes à famı́lia de curvas no ponto p.
Dado p ∈ S seja α : (−, ) → S uma curva parametrizada diferenciável, com α(0) = p. O
0

vetor velocidade α (0) é chamado de vetor tangente a S em p.
0

A figura 1.1 ilustra o vetor w ∈ Tp S, que é o vetor velocidade α (0) de uma curva α = X ◦ β,
onde β : (−, ) → U é dada por β(t) = (u(t), v(t)), com β(0) = q = X −1 (p).
A escolha de uma parametrização X de S determina uma base {Xu , Xv } de Tp S, chamada
base associada a X.
Definição 1.3. Seja p ∈ S, a forma quadrática Ip : Tp S → R, definida por:
Ip (w) = < w, w > = kwk2 ≥ 0,
é chamada a primeira forma fundamental euclidiana da superfı́cie regular S em p.

12

Figura 1.1: Plano tangente Tp S.

Fonte: Autor, 2014.

A primeira forma fundamental euclidiana, pode ser expressa na base {Xu , Xv } associada a
uma parametrização X(u, v) em p, da seguinte maneira:
0

Seja w = α (0) = aXu + bXv ∈ Tp S. Logo,
Ip (w) = < aXu + bXv , aXu + bXv >
= a2 E + 2abF + b2 G,
onde, E =< Xu , Xu >, F =< Xu , Xv > e G =< Xv , Xv > são os coeficientes da primeira
forma fundamental euclidiana na base {Xu , Xv } de Tp S.
Fixada uma parametrização, X : U ⊂ R2 → S em p ∈ S, definimos o vetor normal
euclidiano em cada ponto q ∈ X(U ), como:
Ne (p) =

X u × Xv
(q).
kXu × Xv k

Definição 1.4. A aplicação Ne : S → R3 , que toma seus valores na esfera unitária é chamada
de aplicação de Gauss de S.
A diferencial da aplicação de Gauss dNep : Tp S → Tp S, é uma aplicação linear auto-adjunta
(ver [5]), isto é,
< dNep (w1 ), w2 > = < w1 , dNep (w2 ) >, w1 , w2 ∈ Tp S.
Logo, podemos associar a dNep uma forma quadrática Q em Tp S, dada por:
Q(w) = < dNep (w), w >, w ∈ Tp S.

13
Definição 1.5. Seja p ∈ S, a forma quadrática IIp : Tp S → R, definida por:
IIp (w) = − < dNep (w), w >,
é chamada a segunda forma fundamental euclidiana de S em p.
Também podemos expressar a segunda forma fundamental euclidiana na base {Xu , Xv }
associada a uma parametrização X(u, v) em p.
De fato, seja Ne o vetor normal a S em p ∈ S e α(s) = X(u(s), v(s)) uma curva parametri0

0

0

zada em S, com α(0) = p. Logo, o vetor tangente a α(s) em p é α = Xu u + Xv v . Indiquemos
por Ne (s) a restrição do vetor normal à curva α(s), dessa forma, temos:
0

00

0

0

< Ne (s), α (s) >= 0 ⇒ < Ne (s), α (s) > = − < Ne (s), α (s) > .
Daı́,
0

0

0

IIp (α (0)) = − < dNep (α (0)), α (0) >
0

0

00

= − < Ne (0), α (0) > = < Ne (0), α (0) >
0

00

0

0

0

00

= < Nep , Xuu (u )2 + Xu u + 2Xuv u v + Xvv (v )2 + Xv v > .
Como < Nep , Xu > = < Nep , Xv >= 0, segue que:
0

0

0

0

0

IIp (α ) = e(u )2 + 2f u v + g(v )2 ,
onde, e =< Nep , Xuu >, f =< Nep , Xuv >, g =< Nep , Xvv > são os coeficientes da segunda
forma fundamental euclidiana.
Definição 1.6. Seja p ∈ S e seja dNp : Tp S → Tp S a diferencial da aplicação de Gauss. O
determinante de dNp é chamado a curvatura Gaussiana euclidiana, Ke , de S em p.
Por fim, em [5] observamos que a curvatura Gaussiana euclidiana, pode ser obtida pelos
coeficientes da primeira e da segunda forma fundamental da seguinte forma:
Ke =

eg − f 2
.
EG − F 2

No capı́tulo seguinte, veremos que as definições apresentadas nessa seção são ferramentas
fundamentais no estudo das propriedades geométricas afins.

14

2 VETORES CONORMAL E NORMAL AFIM EM
SUPERFÍCIES REGULARES

Neste capı́tulo, apresentamos os vetores conormal e normal afins em superfı́cies regulares,
propriedades geométricas fundamentais no estudo de invariantes, tais como, as curvaturas
gaussianas e médias afins. Veremos que esses vetores são, respectivamente, contravariante e
covariante por transformações equiafins. Para tanto, definimos as transformações equiafins e
apresentamos uma métrica invariante por essas transformações.

2.1

MEDIDAS INVARIANTES

Definição 2.7. Sejam S uma superfı́cie regular e G um grupo de transformações associadas
a uma geometria. Dizemos que uma medida geométrica m é invariante pelo grupo G se
∀ p ∈ S, ∀A ∈ G, m(A(p)) = m(p), covariante se m(A(p)) = A(m(p)) e contravariante se
m(A(p)) = A−T (m(p)), onde A−T é a transformação cuja matriz é a transposta da inversa da
matriz da transformação A. Ou seja, A−T = (A−1 )T .
Medidas númericas, isto é m(p) ∈ R, ∀ p ∈ S, tais como o comprimento e a curvatura
são geralmente invariantes dependendo da geometria e do grupo G. Porém quando a medida
gera uma estrutura como um vetor, uma matriz ou um tensor, normalmente elas não são
invariantes ([2]).
Como exemplo, seja α : I → R3 uma curva regular e seja A : R3 → R3 uma transformação
0

afim. Se aplicarmos A em α, o vetor tangente à nova curva é A ◦ α , ou seja, o novo vetor
tangente é dado pela transformação aplicado à curva inicial, portanto são covariantes pelo
grupo das transformações afins, o que implica o plano tangente ser também covariante por esse
grupo.

15

2.2

TRANSFORMAÇÕES AFINS

Definição 2.8. Uma transformação T : R3 → R3 é afim se T preserva combinações afins de
pontos, ou seja,
n
X
i=1

ai = 1 ⇒ T

n
X

n
 X
ai P i =
ai T (Pi ), ai ∈ R, Pi ∈ R3 .

i=1

i=1

Proposição 2.1. A transformação T : R3 → R3 é afim se, e somente se, T é da forma
T (u) = L(u) + v0 , onde L é linear e v0 ∈ R3 .
Demonstração:
⇒) Suponha que T é afim e defina L(u) = T (u) − v0 , onde v0 = T (0, 0, 0). Mostremos que L é
linear.
De fato, dados u, v ∈ R3 e α ∈ R, segue que:
L(αu + v) = T (αu + v) − T (0, 0, 0)
= T (αu + v − α(0, 0, 0)) − T (0, 0, 0).
Como por hipótese T é uma transformação afim então pela definição 2.8, temos:
L(αu + v) = αT (u) + T (v) − αT (0, 0, 0) − T (0, 0, 0)
= α(T (u) − T (0, 0, 0)) + T (v) − T (0, 0, 0)
= αL(u) + L(v).
⇐) Suponhamos que T (u) = L(u) + v0 , mostremos que T é afim. Para isso, sejam {ri }ni=1 ∈ R,
P
tais que, ni=1 ri = 1, e p1 , p2 , . . . , pn pontos em R3 , temos:
T (r1 p1 + · · · + rn pn ) = L(r1 p1 + · · · + rn pn ) + v0
= r1 L(p1 ) + · · · + rn L(pn ) + v0
n
X

= r1 L(p1 ) + · · · + rn L(pn ) +
ri v0
i=1

= r1 (L(p1 ) + v0 ) + · · · + rn (L(pn ) + v0 )
= r1 T (p1 ) + · · · + rn T (pn ).


Definição 2.9. Uma transformação afim T : R3 → R3 é dita equiafim se é da forma
T (x) = L(x) + v0 , onde det(L) = 1 e v0 ∈ R3 , ou seja, são transformações afins que
preservam volume.

16
Neste texto vamos trabalhar com transformações equiafins. Sendo assim, buscamos encontrar
uma métrica invariante por esse tipo de transformação. Pelo fato das curvas assintóticas serem
invariantes pelas transformações equiafins, as equações que definem estas curvas nos permitem
definir medidas invariantes da geometria afim. Dessa forma, uma motivação para obter tal
métrica surge do estudo de curvas assintóticas em superfı́cies regulares, como veremos a seguir.

2.3

CURVAS ASSINTÓTICAS

Definição 2.10. Sejam C uma curva regular, em uma superfı́cie S, que passa por p ∈ S, k a
curvatura de C e cos θ =< η, N >, onde η é o normal a C e N normal a S em p. O número
kη = k(p) cos θ é chamado de curvatura normal de C em p.
Definição 2.11. Sejam X : U ⊂ R2 → R3 uma parametrização da superfı́cie regular S e
γ : I ⊂ R → U uma curva no domı́nio da parametrização, ou seja, γ(t) = (u(t), v(t)). Dizemos
que a curva X ◦ γ : I → R3 é assintótica se para cada t ∈ I, o vetor tangente (X ◦ γ)t é uma
direção na qual a curvatura normal é zero.
Notação 2.1: Denotamos por [u, v, w] o determinante de uma matriz 3 × 3 formada pelos
vetores colunas u, v, w ∈ R3 .
Pela definição 2.11, dizemos que a curva X ◦ γ : I → R3 é assintótica se, e somente se,
[Xu , Xv , (X ◦ γ)tt ] = 0, ∀ t ∈ I.

(2.1)

De fato, como Xu e Xv definem o plano tangente à superfı́cie em cada ponto e (X ◦ α)tt
define a direção do vetor normal à curva X ◦ γ nos pontos onde sua curvatura é não nula, então,
kη = k cos θ = 0 se, e somente se, o vetor normal a curva é perpendicular ao vetor normal à
superfı́cie, equivalentemente, se (X ◦ γ)tt ∈ Tp S, e portanto [Xu , Xv , (X ◦ γ)tt ] = 0, ∀ t ∈ I.
A equação (2.1) é invariante por transformações equiafins, pois o plano tangente é covariante
afim. Além disso, temos que:
(X ◦ γ)t = (Xu ◦ γ)

du
dv
+ (Xv ◦ γ)
= (Xu ◦ γ)u̇ + (Xv ◦ γ)v̇,
dt
dt




 2
du 2
du dv
dv
= (Xuu ◦ γ)
+ 2(Xuv ◦ γ)
.
+ (Xvv ◦ γ)
dt
dt dt
dt
2
2
d u
d v
+ (Xu ◦ γ) 2 + (Xv ◦ γ) 2
dt
dt
2
= (Xuu ◦ γ)u̇ + (2Xuv ◦ γ)u̇v̇ + (Xvv ◦ γ)v̇ 2 + (Xu ◦ γ)ü + (Xv ◦ γ)v̈,


(X ◦ γ)tt

17
onde u̇ =

du
dv
, v̇ =
. Assim, no ponto p = γ(t), obtem-se:
dt
dt

[Xu (p), Xv (p), (X ◦ γ)tt ] = [Xu (p), Xv (p), u̇2 Xuu (p) + 2u̇v̇Xuv (p) + v̇ 2 Xvv (p)
+ Xu (p)ü + Xv (p)v̈]
= u̇2 [Xu (p), Xv (p), Xuu (p)] + 2u̇v̇[Xu (p), Xv (p), Xuv (p)]
+ v̇ 2 [Xu (p), Xv (p), Xvv (p)].

Definindo, L = [Xu , Xv , Xuu ], M = [Xu , Xv , Xuv ] e N = [Xu , Xv , Xvv ], segue que:
[Xu , Xv , (X ◦ γ)tt ] = Lu̇2 + 2M u̇v̇ + N v̇ 2 .
Portanto, a curva X ◦ γ é assintótica se, e somente se,
Lu̇2 + 2M u̇v̇ + N v̇ 2 = 0.
Os determinantes L, M, N e a forma quadrática acima, são invariantes sobre um sistema
fixo de parâmetros u e v. Dessa forma, tomando um novo sistema de coordenadas ū, v̄ ([1]),
tem-se:
X̄(ū, v̄) = X(u(ū, v̄), v(ū, v̄)).
Considerando, γ̄(t) = (ū(t), v̄(t)), como a curva definida no domı́nio da nova parametrização,
então, γ(t) = (u(γ̄(t)), v(γ̄(t))), é tal que:
X̄(γ̄(t)) = X(u(γ̄(t)), v(γ̄(t))) = X(γ(t)).
Portanto, pela Regra da Cadeia, segue-se:
∂u
∂v
∂u
∂v
+ Xv , Xu
+ Xv , (X ◦ γ)tt ]
∂ ū
∂ ū
∂v̄
∂v̄
∂u ∂v
∂u ∂v
= [Xu , Xv , (X ◦ γ)tt ]
+ [Xv , Xu , (X ◦ γ)tt ]
∂ ū ∂v̄
∂v̄ ∂ ū
∂u ∂v
∂u ∂v
= [Xu , Xv , (X ◦ γ)tt ]
− [Xu , Xv , (X ◦ γ)tt ]
∂ ū ∂v̄
∂v̄ ∂ ū
= [Xv , Xu , (X ◦ γ)tt ]J,

[X̄ū , X̄v̄ , (X̄ ◦ γ̄)tt ] = [Xu

(2.2)

∂u ∂v ∂u ∂v
−
é o jacobiano da mudança de parâmetros. A equação (2.2) pode ser
∂v̄ ∂ ū ∂v̄ ∂ ū
escrita na forma,
onde J =

¯ 2 + 2M̄ du
¯ dv
¯ + N̄ dv
¯ 2 = (Ldu2 + 2M dudv + N dv 2 )J,
L̄du
onde (ver [1]),




∂u ∂u
∂u ∂v
∂u ∂v
∂v ∂v
L̄ =
L
+M
+
+N
J,
∂ ū ∂ ū
∂ ū ∂ ū ∂ ū ∂ ū
∂ ū ∂ ū




∂u ∂v
∂v ∂u
∂u ∂u
∂v ∂v
M̄ =
L
+M
+
+N
J,
∂ ū ∂v̄
∂ ū ∂v̄ ∂ ū ∂v̄
∂ ū ∂v̄




∂u ∂u
∂u ∂v ∂u ∂v
∂v ∂v
N̄ =
L
+M
+
+N
J.
∂v̄ ∂v̄
∂v̄ ∂v̄
∂v̄ ∂v̄
∂v̄ ∂v̄

(2.3)

18
Dessa forma, observe que:
L̄N̄ − M̄ 2 = (LN − M 2 )J 4 .

(2.4)

Portanto, das equações (2.3) e (2.4) obtem-se:
[X̄ū , X̄v̄ , (X̄ ◦ γ̄)tt ] 2
dt =
| L̄N̄ − M̄ 2 |1/4
=
=
=

L̄dū2 + 2M̄ dūdv̄ + N̄ dv̄ 2
| L̄N̄ − M̄ 2 |1/4
(Ldu2 + 2M dudv + N dv 2 )J
| L̄N̄ − M̄ 2 |1/4
(Ldu2 + 2M dudv + N dv 2 )J
| J 4 (LN − M 2 ) |1/4
[Xu , Xv , (X ◦ γ)tt ] 2
dt .
| LN − M 2 |1/4

Logo, conclui-se que, a menos de mudança de sinal decorrente de

J
| J 4 |1/4

(2.5)

, a forma diferencial

quadrática em (2.5) é invariante por transformações equiafins.
Observação 2.3.1. A diferença de sinal pode ser resolvida se fixarmos uma orientação.
Essa forma quadrática define, portanto, a métrica de Berwald-Blaschke dada por:
ds2 =

Ldu2 + 2M dudv + N dv 2
,
| LN − M 2 |1/4

onde, L = [Xu , Xv , Xuu ], M = [Xu , Xv , Xuv ] e N = [Xu , Xv , Xvv ] são tais que o coeficiente da
métrica, d = LN − M 2 , é diferente de zero.

2.4

PRIMEIRA FORMA FUNDAMENTAL AFIM

Definição 2.12. A métrica de Berwald-Blaschke é o que chamamos de Primeira Forma
Fundamental Afim, e denotaremos por Ia , ou seja,
Ia =

X

gij didj,

i,j=u,v

onde guu =

M
N
L
, guv = gvu =
, gvv =
.
2
1/4
2
1/4
| LN − M |
| LN − M |
| LN − M 2 |1/4

Observação 2.4.1. No capı́tulo 1, vimos que a curvatura gaussiana euclidiana pode ser
det(lij )
definida pela expressão Ke =
, onde E, G, F e lij={u,v} são, respectivamente, os
EG − F 2
coeficientes da primeira e da segunda forma fundamental euclidiana. Portanto, sendo
lij = < Ne , Xij > =

Xu × Xv
, Xij
kXu × Xv k

=

[Xu , Xv , Xij ]
,
kXu × Xv k

19
temos:
luu =

M
N
L
, luv = lvu =
, lvv =
.
kXu × Xv k
kXu × Xv k
kXu × Xv k

Dessa forma, a curvatura gaussiana euclidiana pode ser obtida da seguinte forma:
Ke =

d
.
kXu × Xv k4

(2.6)

Portanto, o sinal de Ke está relacionado com o de d = LN − M 2 , ou seja,
1. Ke < 0 ⇔ d < 0;
2. Ke = 0 ⇔ d = 0;
3. Ke > 0 ⇔ d > 0.
O ponto onde d < 0, d = 0, d > 0 é chamado, respectivamente, hiperbólico, parabólico, ou
elı́ptico. Neste trabalho, estamos desconsiderando os pontos parabólicos visto que consideramos
o coeficiente da métrica d diferente de zero.

2.5

CONORMAL E NORMAL AFINS

Seja S uma superfı́cie regular e X : U ⊂ R2 → S ⊂ R3 uma parametrização de S. Dada a
matriz A de ordem 3 com det(A) = 1, denotando por A−T a transposta da inversa da matriz
A, isto é, A−T = (A−1 )T , temos que:
AXu × AXv = A−T (Xu × Xv ).
De fato, sejam


a b c







A =  d e f ,


g h i



0

u1









Xu =  u02  ,


0
u3

0

v1







Xv =  v20  .


0
v3

Observe que,


 

0





0

0

0



a b c
u
au1 + bu2 + cu3


  1  

  0   0
0
0 
AXu =  d e f  .  u2  =  du1 + eu2 + f u3  ,

 

 
0
0
0
0
gu1 + hu2 + iu3
g h i
u3

20



 

0





0

0

0



a b c
v
av1 + bv2 + cv3

  1  


  0   0
0
0 
AXv =  d e f  .  v2  =  dv1 + ev2 + f v3  .

 
 

0
0
0
0
g h i
v3
gv1 + hv2 + iv3
Logo,
0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

AXu × AXv = (au1 + bu2 + cu3 , du1 + eu2 + f u3 , gu1 + hu2 + iu3 )
0

0

0

0

0

0

0

× (av1 + bv2 + cv3 , dv1 + ev2 + f v3 , gv1 + hv2 + iv3 )
0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

= ((ei − hf )(u2 v3 − u3 v2 ) + (f g − di)(u3 v1 − u1 v3 ) + (dh − eg)(u1 v2 − u2 v1 ),
0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(ch − bi)(u2 v3 − u3 v2 ) + (ai − gc)(u3 v1 − u1 v3 ) + (bg − ah)(u1 v2 − u2 v1 ),
0

0

0

0

0

0

0

0

(bf − ec)(u2 v3 − u3 v2 ) + (cd − af )(u3 v1 − u1 v3 ) + (ae − bd)(u1 v2 − u2 v1 )).
Por outro lado, como o det(A) = 1, então a inversa da matriz A é dada pela transposta da
matriz dos seus cofatores, dessa forma, temos que:


ei − hf f g − di dh − eg




−T
A =  ch − bi ai − gc bg − ah  .


bf − ec cd − af ae − bd
Assim,


ei − hf

f g − di dh − eg

 

0

0

0

0

u2 v3 − u3 v2





 


 
A−T (Xu × Xv ) =  ch − bi ai − gc bg − ah  .  u03 v10 − u01 v30  .

 

0 0
0 0
bf − ec cd − af ae − bd
u1 v2 − u2 v1
Daı́, segue que:


0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(ei − hf )(u2 v3 − u3 v2 ) + (f g − di)(u3 v1 − u1 v3 ) + (dh − eg)(u1 v2 − u2 v1 )







A−T (Xu ×Xv ) =  (ch − bi)(u02 v30 − u03 v20 ) + (ai − gc)(u03 v10 − u01 v30 ) + (bg − ah)(u01 v20 − u02 v10 )  .


0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(bf − ec)(u2 v3 − u3 v2 ) + (cd − af )(u3 v1 − u1 v3 ) + (ae − bd)(u1 v2 − u2 v1 )
Portanto, concluı́mos que AXu × AXv = A−T (Xu × Xv ). Dessa forma, tomando p ∈ S,
temos:
Xu (A(p)) × Xv (A(p))
k Xu (A(p)) × Xv (A(p)) k
A(Xu (p)) × A(Xv (p))
=
k A(Xu (p)) × A(Xv (p)) k
A−T (Xu × Xv )(p)
=
k A−T (Xu × Xv )(p) k
1
=
A−T Ne (p).
−T
k A Ne (p) k

Ne (A(p)) =

21
Logo, o vetor normal euclidiano, Ne , não é contravariante por transformações equiafins.
Porém, uma vez que relações de ortogonalidade não se preservam por transformações afins
e sendo o plano tangente covariante por essas transformações, é possı́vel definir um vetor
contravariante afim na mesma direção de Ne . Este vetor é chamado de conormal afim e definido
pela seguinte expressão:
ν =| Ke |−1/4 Ne .
Como, por definição, ν está na mesma direção de Ne , então < ν, dX > = 0. Note ainda,
que a métrica afim satisfaz d1/4 = ±[ν, νu , νv ], onde o sinal ± depende do ponto ser elı́ptico
ou hiperbólico.
De fato, sejam Du (Ne ) e Dv (Ne ) as derivadas parciais do vetor normal euclidiano com
respeito as coordenadas (u, v) de um ponto no domı́nio da parametrização da superfı́cie S.
Como Du (Ne ) e Dv (Ne ) pertencem a Tp S, podemos escrever:
Du (Ne ) = a11 Xu + a21 Xv ,
Dv (Ne ) = a12 Xu + a22 Xv .
Assim, temos que:
νu = (| Ke |−1/4 )u Ne + | Ke |−1/4 Du (Ne )
= (| Ke |−1/4 )u Ne + | Ke |−1/4 (a11 Xu + a12 Xv ),
νv = (| Ke |−1/4 )v Ne + | Ke |−1/4 Dv (Ne )
= (| Ke |−1/4 )v Ne + | Ke |−1/4 (a21 Xu + a22 Xv ).
Portanto, utilizando a multilinearidade e a antisimetria da função determinante, obtemos:
[ν, νu , νv ] = [ | Ke |−1/4 Ne , | Ke |−1/4 (a11 Xu + a12 Xv), | Ke |−1/4 (a21 Xu + a22 Xv)]
= | Ke |−3/4 [Ne , a11 Xu + a12 Xv, a21 Xu + a22 Xv]
= | Ke |−3/4 (a11 a22 − a12 a21 )[Ne , Xu , Xv ].
Pela definição 1.6, temos que Ke = a11 a22 − a12 a21 , daı́ segue-se que:
[ν, νu , νv ] = ± Ke1/4 < Ne , Xu × Xv >
Xu × Xv
= ± Ke1/4
, X u × Xv
kXu × Xv k
2
1/4 kXu × Xv k
= ± Ke
kXu × Xv k
1/4
= ± Ke kXu × Xv k.

22
Pela equação 2.6, d = Ke kXu × Xv k4 , portanto concluı́mos que d1/4 = ±[ν, νu , νv ].
Por uma questão de simplicidade no texto, estamos agora considerando somente os pontos
eliptı́cos. A menos de um sinal, os resultados são os mesmos nos pontos hiperbólicos.
Como [ν, νu , νv ] = d1/4 6= 0, então, as derivadas νu e νu definem um plano em todo ponto
p ∈ S. O vetor normal afim ξ pode ser obtido através do vetor ortogonal ao plano gerado por
νu e νv , podendo ser definido localmente pela relação (ver [3]):
< ν, ξ > = 1, < ξ, νu > = < ξ, νv > = 0.
Portanto, o normal afim satisfaz, < ν, ξu > = < ν, ξv > = 0 e d1/4 = [Xu , Xv , ξ].
De fato, sabendo que < ν, ξ > = 1, pela definição do vetor conormal, temos:
Ke−1/4 < Ne , ξ > = 1 ⇒ < Ne , ξ > = Ke1/4 ,
logo,
< Xu × Xv , ξ >
Xu × X v
, ξ
= kXu × Xv k
kXu × Xv k
= kXu × Xv k < Ne , ξ >

[Xu , Xv , ξ] =

= Ke1/4 kXu × Xv k = d1/4 .
Dessa forma, como d 6= 0, o vetor nomal afim não pertence ao plano tangente à superfı́cie
qualquer que seja p ∈ S. Além disso, como < ν, ξ > = 1, < ξ, νu > = 0 e < ξ, νv > = 0
então existe uma função λ : U → R tal que:
ξ = λ(u,v) (νu × νv ).
Assim, calculando o produto interno do normal afim com o cornormal, temos:
1

1

< ξ, ν > = λ[νu , νv , ν] ⇒ 1 = λd 4 ⇒ λ = d− 4 .
Portanto, dada um parametrização X : U ⊂ R2 → R3 de uma superfı́cie S no ponto p ∈ S,
definimos o vetor normal afim em p como:
ξ(p) = [ν(p), νu (p), νv (p)]−1 (νu (p) × νv (p)).

Proposição 2.2. O vetor normal afim é constante nos parabolóides elı́pticos e hiperbólicos.

23
Demonstração: Considerando a parametrização X(u, v) = (u, v, 21 (u2 + v 2 )) do parabolóide
elı́ptico. Observe que:
Xu = (1, 0, u);

Xuu = (0, 0, 1);

Xv = (0, 1, v);

Xuv = (0, 0, 0);

Xvv = (0, 0, 1).

Logo,
d = [Xu , Xv , Xuu ][Xu , Xv , Xuv ] − [Xu , Xv , Xvv ]2 = 1.
Daı́,
ν = | Ke |−1/4 Ne =
=

kXu × Xv k Xu × Xv
| d |1/4 kXu × Xv k

Xu × Xv
= (−u, −v, 1).
d1/4

Assim, νu = (−1, 0, 0) e νv = (0, −1, 0). Portanto,
ξ = d−1/4 (νu × νv ) = (0, 0, 1).
Considerando a parametrização do parabolóide hiperbólico como S(u, v) = (u, v, 12 (u2 − v 2 )),
de forma analoga, mostra-se que o normal afim em qualquer ponto dessa superfı́cie é vetor
(0, 0, 1).


Proposição 2.3. Os vetores conormal e normal afins são, respectivamente, contravariante e
covariante por transformações equiafins.
Demonstração: Primeiramente mostremos que o vetor conormal afim é contravariante por
transformações equiafins.
Com efeito, sejam X : U ⊂ R2 → S uma parametrização da superfı́cie S, A uma matriz de
Ke (p)
ordem 3, com det(A) = 1 e p ∈ S. Observe que Ke (A(p)) =
.
−T
kA Ne (p)k4
De fato, temos que:
[Xu (A(p)), Xv (A(p)), Xuu (A(p))].[Xu (A(p)), Xv (A(p)), Xuv (A(p))]
kXu (A(p)) × Xv (A(p))k4
[Xu (A(p)), Xv (A(p)), Xvv (A(p))]2
−
.
kXu (A(p)) × Xv (A(p))k4

Ke (A(p)) =

24
Como {Xu , Xv } formam uma base do plano tangente e sendo este covariante por transformações equiafins, segue que:
Ke (A(p)) =
−
=
−
=
=

[A(Xu (p)), A(Xv (p)), A(Xuu (p))].[A(Xu (p)), A(Xv (p)), A(Xuv (p))]
kA(Xu (p)) × A(Xv (p))k4
[A(Xu (p)), A(Xv (p)), A(Xvv (p))]2
kA(Xu (p)) × A(Xv (p))k4
det(A).[Xu (p), Xv (p), Xuu (p)].det(A).[Xu (p), Xv (p), Xuv (p)]
kA(Xu (p)) × A(Xv (p))k4
[Xu (p), Xv (p), Xvv (p)]2
det(A)2 .
kA(Xu (p)) × A(Xv (p))k4
[Xu (p), Xv (p), Xuu (p)].[Xu (p), Xv (p), Xuv (p)] − [Xu (p), Xv (p), Xvv (p)]2
kA(Xu (p)) × A(Xv (p))k4
d
.
kA(Xu (p)) × A(Xv (p))k4

Portanto, pela equação 2.6, temos:
Ke (p)
Ke (p)kXu (p) × Xv (p)k4
Ke (p)
Ke (A(p)) =
= kA−T (X ×X )(p)k4 =
.
4
−T
u
v
kA(Xu (p)) × A(Xv (p))k
kA Ne (p)k4
4
k(Xu ×Xv )(p)k

Assim, visto que Ne (A(p)) =

1
k A−T Ne (p) k

A−T Ne (p), resulta que:

ν(A(p)) = | Ke (A(p)) |−1/4 Ne (A(p))

−1/4
Ke (p)
1
=
A−T Ne (p)
−T
4
−T
kA Ne (p)k
kA Ne (p)k
= A−T (ν(p)).
Mostremos agora que o normal afim é covariante por transformações equiafins.
Com efeito, como o conormal é contravariante, temos que:
ξ(A(p)) = λ(νu (A(p)) × νv (A(p)))
= λ(A−T (νu (p)) × A−T (νv (p)))
= λA((νu (p) × νv (p))
= A(ξ(p)).


No próximo capı́tulo, calculamos tais vetores no caso particular de uma superfı́cie triangular
de Bézier.

25

3 RETALHO TRIANGULAR DE BÉZIER
Neste capı́tulo, mostramos como os vetores conormal e normal afins podem ser calculados em um retalho triangular de Bézier quadrático. Os resultados apresentados aqui serão
essenciais para o cálculo do estimador do vetor normal afim em superfı́cies discretas, que
serão representadas por um conjunto desses retalhos no capı́tulo seguinte. Começamos então
fazendo uma breve apresentação do retalho triangular de Bézier. Maiores detalhes podem ser
encontrados nas referências [7], [8] e [9].

3.1

POLINÔMIOS DE BERNSTEIN

n
Os polinômios de Bernstein de grau n, Bijk
: R3 → R, são definidos como:

n
Bijk
(u, v, w) =

n! i j k
u v w , com i, j, k ⩾ 0 e i + j + k = n.
i!j!k!

Os escalares u, v e w são as coordenadas baricêntricas dos pontos em um domı́nio triangular.
n
Por simplicidade no texto escrevemos Bijk
(u, v, w) como Bin (u), onde i = (i, j, k) ∈ {0, 1, . . . , n}3 ,

| i |= i + j + k = n e u = (u, v, w).
Tais polinômios satisfazem as seguintes propriedades (ver [9]):
(3.1.1) São linearmente independentes;
(3.1.2) Formam uma base para o espaço de polinômios de grau total ≤ n;
n
(3.1.3) São simétricos, ou seja, Bin (u) = Bπ(i)
(π(u)), para qualquer permutação π;

(3.1.4) Formam uma partição da unidade
X

Bin (u) ≡ 1;

|i|=n

(3.1.5) São positivos para u > 0, isto é, se todas as coordenadas de u forem positivas;

26
(3.1.6) Satisfazem a relação de recorrência:
n−1
n−1
n−1
Bin (u) = uBi−e
(u) + vBi−e
(u) + wBi−e
(u),
1
2
3

onde e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1), B00 = 1 e Bin (u) = 0 se i tem alguma coordenada
negativa e | cj |= n − 1, onde cj = i − ej com j ∈ {1, 2, 3}.

3.2

REPRESENTAÇÃO DE BÉZIER DE RETALHOS TRIANGULARES

Como, pela propriedade 3.1.2, os polinômios de Bernstein formam uma base para o espaço
de polinômios, então, toda superfı́cie polinomial b(u) tem uma única representação de Bézier,
b(u) =

X

bi Bin (u),

|i|=n

com respeito a um triângulo de referência T (a0 , a1 , a2 ).
Observação 3.2.1. A definição acima pode ser generalizada para o caso d-dimensional com
relação a um simplexo de dimensão d > 1.
Os coeficientes bi são chamados pontos (ou ordenadas) de Bézier de b e são os vértices da
chamada malha de Bézier (ou malha de controle) de b(u). Portanto, a malha de controle define
uma única representação de Bézier. O número de vértices da malha é dado por (n + 1)(n + 2)/2,
onde n é o grau do polinômio (ver figura 3.2).
Definimos a representação de Bézier b(u), como a parametrização ϕ : T ⊂ R2 → R3 de um
retalho triangular de Bézier, ou seja,
ϕ(x, y) =

X

bi Bin (u),

|i|=n

com u = (x, y, 1 − x − y).
Dessa forma, obtemos as seguintes propriedades:
(3.2.1) ϕ é uma combinação afim de pontos de Bézier (isto segue diretamente da propriedade 3.1.4). Consequentemente, é covariante por transformações afins.
(3.2.2) Para todo u ≥ 0, ϕ(u) é uma combinação convexa dos pontos de Bézier bi (pois
os polinômios de Bernstein são não negativos sobre T ). Portanto, sua imagem satisfaz a
propriedade do fecho convexo.
(3.2.3) A fronteira da imagem de ϕ são Curvas de Bézier, logo interpola os extremos da sua
malha de controle.

27
A figura 3.2 ilustra o retalho de Bézier quadrático, à esquerda, com sua malha de controle,
à direita. Note que cada uma das três curvas que formam o bordo do retalho é a parábola de
Bézier definida pelos três pontos de controle correspondentes na malha de controle do retalho.

Figura 3.2: Retalho quadrático de Bézier junto a sua malha de controle.

Fonte: Autor, 2014.

3.3

ALGORITMO DE DE CASTELJAU

A reprentação de Bézier, b(u) =

n
|i|=n bi Bi (u),

P

pode ser avaliada usando o seguinte

algoritmo recursivo proposto por de Casteljau (ver [7]):
Entrada: Conjunto de pontos bi ∈ R3 (vértices da malha da representação de Bézier), as
coordenadas baricêntricas u de um ponto do plano e o grau n do polinômio.
Saı́da

: Avaliação da representação de Bézier em um ponto do seu domı́nio triangular
com coordenadas baricêntricas u.

1

Considere multi-ı́ndices i = (i, j, k), com i, j, k ∈ {0, 1, . . . , n}3 tais que
| i |= i + j + k = n.

2

Tome e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1).

3

Considerando b0i (u) = bi , para r = 1 faça:
bri (u) = ub0i+e1 (u) + vb0i+e2 (u) + wb0i+e3 (u).

4

Para r ∈ {2, 3, . . . , n}. Se | i |= n − r, então recursivamente faça:
r−1
r−1
bri (u) = ubr−1
i+e1 (u) + vbi+e2 (u) + wbi+e3 (u).

5

Retorne bn0 (u), o qual corresponde ao ponto com valor de parâmetro u na superfı́cie de
Bézier.

28
A figura 3.3 ilustra como o ponto do domı́nio é levado a um retalho de Bézier quadrático
pelo algoritmo de de Casteljau. Nela, observe que, dada a malha de controle de um retalho
de Bézier quadrático R e as coordenadas baricêntricas, u = (u, v, w), de um ponto do plano
com respeito ao domı́nio T (a0 , a1 , a2 ), no primeiro passo do algoritmo, isto é, para r = 1 temos
que i ∈ {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Logo, encontramos uma nova malha {b100 , b010 , b001 }, da
seguinte maneira:
b1100 (u) = ub0200 (u) + vb0110 (u) + wb0101 (u) = ub200 + vb110 + wb101 ;
b1010 (u) = ub0110 (u) + vb0020 (u) + wb0011 (u) = ub110 + vb020 + wb011 ;
b1001 (u) = ub0101 (u) + vb0011 (u) + wb0002 (u) = ub101 + vb011 + wb002 .
No próximo passo, para r = 2, temos que i = (0, 0, 0) e assim obtemos a imagem do ponto
p ∈ R2 , com coordenadas baricêntricas u em relação ao domı́nio T , na superfı́cie de Bézier R
como:
b2000 = ub1100 (u) + vb1010 (u) + wb1001 (u).

Figura 3.3: Algoritmo de de Casteljau.

Fonte: Autor, 2014.

3.4

VETORES CONORMAL E NORMAL AFINS NO RETALHO TRIANGULAR DE BÉZIER QUADRÁTICO

Para o cálculo do normal afim em um retalho triangular de Bézier quadrático R, precisamos
definir sua parametrização ϕ : T ⊂ R2 → R3 . Para isso, vamos encontrar os polinômios
de Bernstein, Bi2 (u), onde i = (i, j, k) são inteiros não-negativos, tais que, i + j + k = 2 e
u = (u, v, w) são as coordenadas baricêntricas dos pontos referente ao domı́nio triangular T de
2! i j k
R. Logo, sabendo que Bi2 (u) =
u v w , temos:
i!j!k!

29
2
(u) = u2
B200

2
(u) = v 2
B020

2
(u) = w2
B002

2
(u) = 2uv
B110

2
B101
(u) = 2uw

2
B011
(u) = 2vw.

Definidos os polinômios de Bernstein e uma malha de controle {b200 , b020 , b002 , b110 , b101 , b011 },
tomando u = (x, y, 1 − x − y), obtemos a seguinte parametrização:
ϕ(x, y) = (b200 + b002 − 2b101 )x2 + (b020 + b002 − 2b011 )y 2 + (2b002 − 2b011 − 2b101 + b110 )xy
+ 2(b101 − b002 )x + 2(b011 − b002 )y + b002 .
Uma vez definida a parametrização, podemos calcular o vetor conormal afim, e consequentemente o vetor normal afim, em R. Para isso, note que:
Ke =

LN − M 2
kϕx × ϕy k4

⇒ | Ke |−1/4 =

kϕx × ϕy k
.
| LN − M 2 |1/4

Logo, considerando D = LN − M 2 , temos:
ν = | Ke |−1/4 Ne =

kϕx × ϕy k ϕx × ϕy
ϕx × ϕy
.
=
.
1/4
|D|
kϕx × ϕy k
| D |1/4

Tomando, os vetores a, b, c, d, e, f ∈ R3 , como:
a = b200 + b002 − 2b101 ;

d = 2(b101 − b002 );

b = b020 + b002 − 2b011 ;

e = 2(b011 − b002 );

c = 2(b002 − b011 − b101 + b110 );

f = b002 .

Temos,
ϕ(x, y) = (a1 x2 + b1 y 2 + c1 xy + d1 x + e1 y + f1 , a2 x2 + b2 y 2 + c2 xy
+ d2 x + e2 y + f2 , a3 x2 + b3 y 2 + c3 xy + d3 x + e3 y + f3 ).
onde ai , bi , ci , di , ei , fi com i ∈ {1, 2, 3}, são as coordenadas dos vetores a, b, c, d, e, f . Assim,
ϕx = (2a1 x + c1 y + d1 , 2a2 x + c2 y + d2 , 2a3 x + c3 y + d3 );
ϕy = (2b1 y + c1 x + e1 , 2b2 y + c2 x + e2 , 2b3 y + c3 x + e3 );
ϕxx = (2a1 , 2a2 , 2a3 );
ϕyy = (2b1 , 2b2 , 2b3 );
ϕxy = (c1 , c2 , c3 ).

30
Daı́, segue que:
1
(2(a2 c3 − a3 c2 )x2 + 2(b3 c2 − b2 c3 )y 2 + 4(a2 b3 − a3 b2 )xy + (2a2 e3 − 2a3 e2 + d2 c3 −
1/4
|D|
d3 c2 )x + (2d2 b3 − 2d3 b2 + c2 e3 − c3 e2 )y + d2 e3 − d3 e2 , 2(a3 c1 − a1 c3 )x2 + 2(b1 c3 − b3 c1 )y 2 +
ν=

4(a3 b1 − a1 b3 )xy + (2a3 e1 − 2a1 e3 + d3 c1 − d1 c3 )x + (2d3 b1 − 2d1 b3 + c3 e1 − c1 e3 )y + d3 e1 −
d1 e 3 ,

2(a1 c2 − a2 c1 )x2 + 2(b2 c1 − b1 c2 )y 2 + 4(a1 b2 − a2 b1 )xy + (2a1 e2 − 2a2 e1 + d1 c2 − d2 c1 )x +

(2d1 b2 − 2d2 b1 + c1 e2 − c2 e1 )y + d1 e2 − d2 e1 );
1
(4(a2 c3 − a3 c2 )x + 4(a2 b3 − a3 b2 )y + 2a2 e3 − 2a3 e2 + d2 c3 − d3 c2 , 4(a3 c1 −
| D |1/4
a1 c3 )x + 4(a3 b1 − a1 b3 )y + 2a3 e1 − 2a1 e3 + d3 c1 − d1 c3 , 4(a1 c2 − a2 c1 )x + 4(a1 b2 − a2 b1 )y +
νx =

2a1 e2 − 2a2 e1 + d1 c2 − d2 c1 );
1
(4(b3 c2 − b2 c3 )y + 4(a2 b3 − a3 b2 )x + 2d2 b3 − 2d3 b2 + c2 e3 − c3 e2 , 4(b1 c3 − b3 c1 )y +
| D |1/4
4(a3 b1 − a1 b3 )x + 2d3 b1 − 2d1 b3 + c3 e1 − c1 e3 , 4(b2 c1 − b1 c2 )y + 4(a1 b2 − a2 b1 )x + 2d1 b2 −
νy =

2d2 b1 + c1 e2 − c2 e1 ).
Como o retalho triangular de Bézier quadrático é um parabolóide (ver [7]) e sabendo que
os normais afins nos parabolóides são constantes, logo, constante em todo o retalho, podemos
calculá-los nos pontos com coordenadas baricêntricas (0, 0, 1), dessa forma, temos:
ν(0, 0) =

1
(d2 e3 − d3 e2 , d3 e1 − d1 e3 , d1 e2 − d2 e1 );
| D |1/4

νx (0, 0) =

1
(2a2 e3 − 2a3 e2 + d2 c3 − d3 c2 , 2a3 e1 − 2a1 e3 + d3 c1 − d1 c3 , 2a1 e2 − 2a2 e1 + d1 c2 −
| D |1/4

d2 c1 );
νy (0, 0) =

1
(2d2 b3 −2d3 b2 +c2 e3 −c3 e2 , 2d3 b1 −2d1 b3 +c3 e1 −c1 e3 , 2d1 b2 −2d2 b1 +c1 e2 −c2 e1 ).
| D |1/4

onde,
D = [ϕx (0, 0), ϕy (0, 0), ϕxx (0, 0)][ϕx (0, 0), ϕy (0, 0), ϕxy (0, 0)] − [ϕx (0, 0), ϕy (0, 0), ϕyy (0, 0)]2 .

Portanto, o normal afim no retalho triangular de Bézier quadrático, ξR , é definido por:
ξR = [ν(0, 0), νx (0, 0), νy (0, 0)]−1 (νx (0, 0) × νy (0, 0)).
Observe que este vetor depende apenas dos vértices da malha de controle do retalho. A
figura 3.4 ilustra os vetores conormal, em preto, e normal afins, em vermelho, no retalho
triangular de Bézier quadrático.

31

Figura 3.4: Vetores conormal e normal afins no retalho triangular de Bézier quadrático.

Fonte: Autor, 2014.

32

4 CÁLCULO DO NORMAL AFIM DISCRETO
Na Geometria Euclidiana o plano tem normal constante e portanto curvatura gaussiana nula,
porém, o mesmo não é estudado na Geometria Afim uma vez que consideramos o coeficiente da
métrica afim d = LN − M 2 6= 0. Como os parabolóides elı́pticos e hiperbólicos possuem normal
afim constante e curvatura gaussiana afim nula, podemos dizer que os mesmos são equivalentes
a planos euclidianos na geometria afim. Dessa forma, sendo o retalho triangular de Bézier
quadrático um parabolóide, buscamos representar a superfı́cie por um conjunto desses retalhos
obtendo, assim, sua representação discreta. Neste capı́tulo, apresentamos nosso estimador
normal afim, obtido a partir dessa representação discreta da superfı́cie. Vejamos, primeiramente,
como contruı́mos a discretização da superfı́ce considerando pedaços de parabolóides ao invés
de planos, possibilitando, dessa forma, o estudo de invariantes discretos afins.

4.1

REPRESENTAÇÃO DE SUPERFÍCIES DISCRETAS POR RETALHOS
TRIANGULARES DE BÉZIER QUADRÁTICOS

Dada uma malha triangular de uma superfı́cie S, consideramos cada face dessa malha
como o domı́nio da parametrização de um retalho triangular de Bézier quadrático Rl , com
l ∈ {1, 2, . . . , n}, onde n é a quantidade de triângulos da malha.
No capı́tulo anterior, vimos que uma parametrização de retalho triangular de Bézier é
definida pelos polinômios de Bernstein e pela malha de controle do retalho, onde a quantidade
de vértices dessa malha depende do grau do polinômio. Lembramos ainda que uma malha de
controle define um único retalho de Bézier.
Como estamos considerando retalhos de Bézier quadráticos precisamos para cada Rl definir
seis pontos, {b200 , b020 , b002 , b110 , b101 , b011 }, da sua malha de controle. Neste trabalho, tomamos
os pontos extremos, b200 , b020 e b002 , da malha de controle dos retalhos como os vértices da
face referente ao domı́nio de cada um deles, dessa forma, pela propriedade 3.2.3, tais retalhos

33
interpolará os vértices da malha da superfı́cie. Os outros três vértices, b110 , b101 e b011 , obtivemos
da seguinte maneira:
1. Para cada triângulo T (b200 , b020 , b002 ) da malha da superfı́cie, correspondente ao domı́nio de
0

0

00

00

um retalho, consideramos os seus triângulos adjacentes T (b002 , b020 , b200 ), T (b200 , b002 , b020 )
000

000

e T (b020 , b200 , b002 ).
Figura 4.5: Triângulos que compartilham as arestas do domı́nio T .

Fonte: Autor, 2014.

2. Para cada um dos triângulos adjacentes a T , consideramos quatro tetraedros cujos lados
são triângulos formados pelos vértices das arestas de T e os vértices das arestas de
um dos seus triângulos adjacentes, com o centro de massa da união das k-vizinhanças
estreladas dos vértices da aresta comum a esses dois triângulos. Como por exemplo,
0

na figura 4.6, tomando os triângulos T e T teremos os tetraedros A(b200 , b020 , b002 , M ),
0

0

0

B(b200 , b020 , b002 , M ), C(b002 , b200 , b200 , M ) e D(b020 , b200 , b200 , M ), com
m

M=

1 X
Φi ,
m i=1

onde Φi são pontos da união da k-vizinhança estrelada de b200 , com a k-vizinhança
estrelada de b020 e m é a quantidade de pontos dessa união. Observe que as bases desses
0

tetraedros são: o domı́nio triangular T , um dos seus triângulos vizinhos T e outros dois
0

triângulos obtidos fazendo um flip na aresta comum a T e T .

34

Figura 4.6: Quatro tetraedros que podem ser formados por dois triângulos adjacentes junto ao
centro de massa da união das k-vizinhanças dos vértices da aresta comum desses dois triângulos.

Fonte: Autor, 2014.

Ressaltamos que, dado um vértice vi da malha de uma superfı́cie, a k−vizinhança
estrelada de vi é o conjunto de vértices {v1 , . . . vn } que está separado de vi por exatas
k arestas. A primeira vizinhança estrelada de vi , por exemplo, é composta dos vértices
adjacentes a este, ou seja, que compartilham uma mesma aresta. A 2-vizinhança de vi ,
então, é o conjunto de vértices adjacentes a cada um dos seus primeiros vizinhos, e assim
sucessivamente. A figura 4.7 mostra os 3-vizinhos do vértice em preto, 1-vizinhança são
os vértices em branco, a 2-vizinhança é formada pelos vértices em branco e em vermelho
e a 3-vizinhança são os vértices em branco, vermelho e amarelo.

Figura 4.7: 3-vizinhança de um vértice.

Fonte: Autor, 2014.

35
3. Para cada triângulo incidente a uma aresta de T , calculamos o quociente das somas
dos volumes dos dois tetraedros cujas bases são o domı́nio triangular T e um dos seus
triângulos vizinhos, pela soma dos volumes dos outros dois tetraedros cujas bases são
obtidas fazendo um flip na aresta comum a esses dois triângulos, pelo exemplo do item
anterior, terı́amos:
V ol(A) + V ol(B)
.
V ol(C) + V ol(D)

α=

(4.7)
0

O valor de α nos dá informações sobre a concavidade do poliedro formado por T e T .
Note que, se α > 1 então o soma dos volumes dos tetraedro A e B é maior que a soma
0

dos volumes dos tetraedros C e D, portanto o poliedro formado por T e T é convexo.
Caso contrário, se α < 1, o poliedro é côncavo (ver figura 4.8). Sendo assim, tomamos:

 α(1 + ), se α > 1
β=
 α(1 − ), se α < 1
com  ∈ (0, 12 ].
Isso faz com que os pontos que buscamos da malha de controle, b110 , b101 , b011 , se
distancie das aresta de T , controlando assim, a curvatura (euclidiana) do retalho. Quanto
maior o valor de  maior a curvatura desse retalho, isto é, mais distantes esses três pontos
serão das arestas de T .
Figura 4.8: Relação entre o valor de α e a concavidade do poliedro.

Fonte: Autor, 2014.

4. Obtemos os outros três pontos da malha de controle de cada Rl , como:
0

b110
b011
b101

β
0
0
=
(b200 + b020 ) + (1 − β )M ;
2
00
β
00
00
(b020 + b002 ) + (1 − β )M ;
=
2
000
β
000
000
=
(b002 + b200 ) + (1 − β )M ,
2

36
0

0

00

00

com, β = α (1 ± ), β = α (1 ± ) e β

000

000

= α (1 ± ), onde α0 , α00 , α000 são

tomados de maneira análoga a equação (3.7), considerando os quatro tetraedros formados,
0

00

respectivamente, por T e T , T e T , T e T
00

M eM

000

000

0

com os respectivos centros de massa M ,

da união da k-vizinhança estrelada dos vértices das arestas comum de cada um

desses triângulos. O tamanho k das k-vizinhanças vai depender da malha da superfı́cie.
O sinal de ± está relacionado com da concavidade do poliedro formado por T e cada um
dos seus triângulos adjacentes.
Uma vez definida a malha de controle de cada retalho Rl , obtemos as suas parametrizações
ϕl : Tl ⊂ R2 → R3 , como na seção 3.4. Como as transformações equiafins preservam
combinações afins de pontos e o centro de massa é covariante por essas transformações, pela
forma como definimos os vértices da malha de controle dos retalhos, garantimos que cada ϕl
satisfaça a propriedade (3.2.1).
A figura 4.9 ilustra em (a) um único retalho quadrático de Bézier em uma malha triangular
do elipsóide e em (b) a representação discreta do elipsóide por um conjunto desses retalhos.

Figura 4.9: Discretização do elipsóide por retalhos triangulares de Bézier quadráticos.

(a)

(b)
Fonte: Autor, 2014.

4.2

NORMAL AFIM NO VÉRTICE DA MALHA TRIANGULAR DE UMA
SUPERFÍCIE DISCRETA

Definimos o vetor normal afim no vértice de uma malha triangular da superfı́cie como a
média ponderada dos normais afins nos retalhos, cujos domı́nios são triângulos incidentes neste
vértice. O peso está dado pelas áreas dos respectivos retalhos.

37
Aproximamos a área de um retalho R, pela soma das áreas dos triângulos em R obtidos
pelo algoritmo de de Casteljau aplicado as coordenadas baricêntricas da n-partição do triângulo
T ((0, 0), (0, 1), (1, 0)), considerando a malha de controle de R (ver figura 4.10). A n-partição
de T é definida pelos pontos com coordenadas baricêntricas:


i j
i
j
, ,1 − −
, com i, j ∈ {0, 1, · · · , n}.
n n
n n

Figura 4.10: Imagens da n-partição de um triângulo no retalho de Bézier quadrático.

Fonte: Autor, 2014.

Como, por construção, os retalhos triangulares de Bézier interpolam os vértices dos triângulos
da malha da superfı́cie, correspondente ao seu domı́nio (ver figura 4.9), então um vértice vi
será comum aos retalhos que cujos domı́nios são triângulos que incidem nesse vértice. Assim,
sabendo que o vetor normal afim é constante em um retalho de Bézier quadrático, o definimos
em vi pela seguinte relação:
P
AR ξR
ξi = P i i .
ARi
Dessa forma, como áreas são preservadas por transformações equiafins, garantimos que esse
vetor normal afim discreto seja covariante por essas transformações.

38

5 RESULTADOS E CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste capı́tulo, apresentamos os resultados obtidos para a estimativa do vetor normal afim
em superfı́cies discretas, destacando também as limitações encontradas na sua implementação.
Estimador Normal Afim: A figura 5.11 ilustra o estimador normal afim nos vértice da
malha triangular da esfera e do elipsóide. Para definir os pontos da malha de controle dos
retalhos, como descrito no capı́tulo anterior, calculamos a 7-vizinhança dos vértices das arestas
de cada triângulo da malha da superfı́cie, e tomamos  = 0, 1. Vale lembrar que o tamanho
da vizinhança depende da discretização da malha. Na figura 5.12, por exemplo, observe que
uma boa aproximação do vetor normal afim, nos vértices de uma malha com 6000 faces, só foi
obtida com décima vizinhança.

Figura 5.11: Estimativa do vetor normal afim.

(a) Normais afim nos véritces da malha com

(b) Normais afim nos vértices da malha com 1730 triângulos.

1280 triângulos.
Fonte: Autor, 2014.

39

Figura 5.12: Estimador normal afim e tamanho da vizinhança.

(a) Normais afim com a quinta vizinhança.

(b) Normais afim com a sétima vizinhança.

(c) Normais afim com a décima vizinhança.
Fonte: Autor, 2014.

Limitações: Nosso trabalho, retringe-se a superfı́cies fechadas sem pontos planares ou
parabólicos, visto que o normal afim não está definido nos pontos com curvatura gaussiana
nula. Observe na figura 5.13, por exemplo, que nos pontos onde houve uma variação do sinal
da curvatura os normais não ficaram bem calculados. Além disso, ainda não sabemos de que
forma a discretização da superfı́ce pode influenciar no tamanho necessário de vizinhanças
para definir a malha de controle dos retalhos. Porém, observamos que a sétima vizinhança
nos dá uma boa aproximação do vetor normal afim, em malhas com 1000 à 3000 triângulos.
Evitamos também trabalhar com malhas cuja triangulação contenha triângulos obtusângulos,
pois, nesses casos, os três vértices da malha de controle do retalho definidos sobre as arestas
da face correspondente ao seu domı́nio, se distanciam bastante das arestas destes triângulos
gerando portanto retalhos alongados (ver figura 5.14).

40

Figura 5.13: Estimativa do normal afim nos pontos de variação do sinal da curvatura gaussiana
euclidiana.

(a)

(b)

(c)

Fonte: Autor, 2014.

Figura 5.14: Formato do retalho quando o seu domı́nio é um triângulo obtusângulo.

(a)

(b)
Fonte: Autor, 2014.

Caracterı́sticas geométricas preservadas: O vetor conormal no retalho triangular
de Bézier e o estimador normal afim são, respectivamente, contravariantes e covariantes por
transformações equiafins. A figura 5.15, ilustra tais vetores antes e depois de uma transformação

41
equiafim juntamente com o seu erro médio de contravariância e de covariância. Denotando por
νal , νdl , com l ∈ {1, ..., m}, o vetor conormal afim antes e depois de uma transformação equiafim
e por ξai , ξdi , com i ∈ {1, 2, . . . n}, o vetor normal afim antes e depois da mesma transformação,
onde m e n são respectivamente a quantidade de triângulos e vértices da malha da superfı́cie,
o erro médio de contravariância et e o erro médio de covariância ev , foram definidos como:
et =

m
X
kνa − νd k
l

l=1

ev =

l

m

n
X
kξa − ξd k
i

i=1

i

n

.

Ainda na figura 5.15, observe que essas propriedades são satisfeitas mesmo com as limitações
apresentadas acima. A matriz linear da transformação equiafim foi gerada aleatoriamente pelo
computador, de modo que o seu determinante seja um.

Trabalhos Futuros e Considerações Finais: Com este trabalho, dispomos agora de
propriedades geométricas afins, especificamente o vetor normal afim, em superfı́ceis discretas
compatı́veis com as do modelo afim diferencial. Como trabalho futuro, pretendemos encontrar
estimadores para as curvaturas gassianas e médias afins para essas superfı́cies. Este trabalho
torna-se, portanto, o primeiro passo para esse estudo.

42

Figura 5.15: À esquerda o vetor conormal afim e à direita o vetor normal afim antes e depois de
uma transformação equiafim.

(a) Erro médio contravariância igual a 1.34288e−15

(b) Erro médio covariância igual a 8.4281e−15

(c) Erro médio contravariância igual a 8.27393e−15

(d) Erro médio covariância igual a 6.33971e−14

(e) Erro médio contravariância igual a 4.30836e−12

(f) Erro médio covariância igual a 3.20841e−08

(g) Erro médio contravariância igual a 8.41602e−14

(h) Erro médio covariância igual a 3.47035e−11

Fonte: Autor, 2014.

43

Referências
[1] ANDRADE, M. Cálculo de Estruturas Afins e Aplicação às Isossuperfı́cies.2011. 82 f.
Tese (Doutorado em Matemática) - Departamento de Matemática, Pontifı́cia Universidade
Católica do Rio de Janeiro, Rio de janeiro. 2011.
[2] ANDRADE, M. e LEWINER, T. Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma
Introdução às Geometrias Euclidianas e Afim. 28 Colóquio Brasileiro de Matemática, Rio
de Janeiro, 2011.
[3] CALABI, E. Hypersurfaces with maximal affinely invariant area. American Journal of
Mathematics, 104(1): 91 - 126, 1982.
[4] CRAIZER, M., LEWINER T. e MORVAN J. Parabolic polygons and discrete affine
geometry. Sibgrapi 2006, pp. 19 - 26.
[5] DO CARMO, M. Geometria Diferencial de Curvas e Suferfı́cies - 4. ed.- Rio de Janeiro:
SBM, 2010.
[6] KIM, S. J., KIM C. H. e LEVIN D., Surface simplification using a discrete curvature
norm, Computers and Graphics 26 (5) (2002) 657-663.
[7] FARIN, G. Bézier Triangles. Curves and Surfaces for Computer-Aided Geometric Design:
A Practical Guide. páginas 279 - 307, 1996.
[8] FARIN, G. Triangular Bernstein - Bézier patches. Computer Aided Geometric Design.
páginas 83 - 127, 1986.
[9] PALUSZNY, M., PRAUTZSCH, H., BOEHM W. Representaciones de Bézier de patches
triangulares. Métodos de Bézier y B-Splines, páginas 141 - 153, 2005.
[10] SICHACÁ, B. M. Dinâmica das Linhas de Curvatura de Superfı́cies no Espaço Afim. 2013.
91f. (Mestrado em Matemática) - Instituto de Matemática e Estatı́stica, Universidade
Federal de Goiás, Goiânia. 2013.

44
[11] TAUBIN G., Estimating the tensor of curvature of a surface from a polyhedral approximation, in: Proceedings of the Fifth International Conference on Computer Vision, 1995,
pp. 902-907.
[12] WATANABE, K. e BELYAEV G. A., Detection of salient curvature features on polygonal
surfaces, Computer Graphics Forum 20 (3) (2001) 385-392.