Dissertação

Dissertação Rodrigo Santos_final.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática

Rodrigo Silva dos Santos

Teorema de Aleksandrov para Curvaturas Médias Altas

Maceió
2014

Rodrigo Silva dos Santos

Teorema de Aleksandrov para Curvaturas Médias Altas

Dissertação de Mestrado, na área de concentração de Geometria Diferencial submetida em 26 de Março de 2014 à banca examinadora, designada pelo Programa de Mestrado em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em
Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Márcio Henrique
Batista da Silva

Maceió
2014

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Maria Auxiliadora G. da Cunha
S237t

Santos, Rodrigo Silva dos Santos.
Teorema de Aleksandrov para curvaturas médias altas / Rodrigo Silva dos
Santos. – 2014.
63 f. : il.
Orientador: Márcio Henrique Batista da Silva .
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2014.
Bibliografia: f. 63-64.
1. Curvaturas médias altas . 2. Desigualdade de Heintze-Karcher-Ros.
3. Teorema de Aleksandrov. I. Título.
CDU: 514.772.2

Às minhas meninas, Fabiana e Sophia.

Agradecimentos

A Deus pela vida e por me conceder a força e determinação necessárias para a realização
de mais um sonho.
A minha esposa Fabiana, pelo amor, compreensão e paciência a mim conferidos durante
esses anos, principalmente estes últimos, em que estive tão ausente pelas minhas estadias em Maceió e a minha pequena Sophia, que nas coisas mais simples, apesar de sua
inocência, me faz tão feliz.
Ao Professor Dr. Márcio Henrique Batista pela orientação, presteza e direcionamento na
elaboração desta dissertação, um exemplo de mestre e pessoa.
Aos professores Drs. Feliciano Aguiar Vitório e Ivaldo Paz Nunes por aceitarem participar
da banca e pelas sugestões feitas.
Aos colegas de mestrado, Allan George, Felipe Leandro, Max Manoel, Marcos Raniere
pela boa amizade, momentos de descontração e pelo compartilhamento mútuo, ao Abraão
Mendes por tudo isso e por muito me ajudar desde o meu inı́cio no mestrado, ao José
Lucyan pela boa receptividade e consideração e à Nayane Freitas por me ajudar com o
inkscape.
Aos meus familiares pelo apoio concedido em todos estes anos, pelo incentivo e carinho
nos momentos difı́ceis e por sempre acreditarem em mim.
E a Dona Maria, pelos revigorantes e “eternos” cafezinhos.

6

“We are such stuff as dreams are made on.”
—William Shakespeare

Resumo

Neste trabalho demonstramos o teorema de Aleksandrov obtido por António Ros em
[18] e uma generalização obtida por Choe & Park em [4] para hipersuperfı́cies compactas
mergulhadas com alguma curvatura média alta constante. Mais precisamente, mostramos
os seguintes teoremas:
1) “Uma hipersuperfı́cie compacta mergulhada no Espaço Euclidiano com Hr constante para algum r = 1, ..., n é uma esfera.”
2) “Se S ⊂ Rn+1 é uma hipersuperfı́cie compacta mergulhada com alguma H` constante em um cone convexo suave por partes C e perpendicular a ∂C, então S é parte de
uma hiperesfera redonda.”

Palavras chave: curvaturas médias altas, desigualdade de Heintze-Karcher-Ros,
teorema de Aleksandrov.

8

Abstract

In this work we show the Aleksandrov’s Theorem due to António Ros in [18] and a
generalization obtained by Choe & Park in [4] for compact embedded hypersurfaces with
some constant higher mean curvature. More precisely, we show the following theorems:
1) “The sphere is the only embedded compact hypersurface in the Euclidean space with
Hr constant for some r = 1, . . . , n”
2) “If S ⊂ Rn+1 is a compact embedded hypersurface with constant higher order mean
curvature in a convex piecewise smooth cone C which is perpendicular to ∂C, then S is
part of a round hypersphere.”

Keywords: higher order mean curvatures, Heintze-Karcher-Ros inequality,
Aleksandrov’s theorem.

Sumário

Introdução

11

1 Noções Preliminares
1.1 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Aplicação Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Imersões Isométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 A segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 As Transformações de Newton Pr . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 As r-ésimas curvaturas médias Hr . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
13
17
19
21
21
24
27

2 Resultados importantes
2.1 Fórmula de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Fórmula de Reilly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Desigualdade de Heintze-Karcher-Ros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
32
34
43

3 Aplicações
3.1 O Teorema de Aleksandrov para r-curvatura média constante . . . . . .
3.2 Uma extensão do Teorema de Aleksandrov . . . . . . . . . . . . . . . . .

48
48
50

4 Aleksandrov Generalizado
4.1 Hipersuperfı́cies mergulhadas em um cone convexo . . . . . . . . . . . . .

53
53

Referências Bibliográficas

63

Introdução
Uma questão fundamental sobre hipersuperfı́cies no espaço euclidiano é decidir se
uma hipersuperfı́cie compacta(imersa ou mergulhada) com curvatura média Hr , de ordem
superior, para algum r = 1, ..., n é uma esfera.
Seja ϕ : M n → Rn+1 uma hipersuperfı́cie compacta, orientável e denote por λ1 , . . . , λn
as curvaturas principais de ϕ. Se σr é o r-ésimo polinômio simétrico elementar, então a
r-ésima curvatura média de Hr de ϕ em um ponto p ∈ M é definida por
Hr =

1

n

X

r

1≤i1 <···<ir ≤n

λi1 . . . λir .

Neste caso H0 = 1 e Hr = 0 sempre que r > n. No caso em que r = 1, H1 = H é a
curvatura média de ϕ, para r = 2, H2 é a curvatura escalar de ϕ e no caso em que r = n,
Hn é a curvatura de Gauss-Kronecker de ϕ.
Em 1954, Hsiung mostrou em [9] que se M n é uma hipersuperfı́cie estritamente convexa ou estrelada com Hr constante para todo r = 1, . . . , n então M n é necessariamente
uma esfera. Em particular se a curvatura de Gauss-Kronecker Hn é constante e M n é
mergulhada no espaço euclidiano, então pelo Teorema de Hadamard para hipersuperfı́cies
convexas, M n é uma esfera. O caso convexo foi estudado previamente por Liebmann[13]
e Süs[23], sendo que o primeiro mostrou em 1899 que as esferas são as únicas superfı́cies
compactas em R3 com curvatura Gaussiana constante. Ele também mostrou que as
esferas são as únicas superfı́cies ovais com curvatura média H constante.
Em 1958, Aleksandrov em [1] estendeu o resultado de Liebmann mostrando que a
única hipersuperfı́cie compacta e mergulhada no espaço euclidiano com curvatura média
H1 constante é uma esfera. No caso de hipersuperfı́cies compactas imersas, Hsiang, Teng
e Yu[10] e Wente[24] foram capazes de construir exemplos não esféricos em R2n e em R3 ,
respectivamente.
Em 1988, Ros provou em [19] que se a curvatura escalar H2 é constante e a hipersuperfı́cie é mergulhada então ela deve ser uma esfera. Entretanto, em 1987, Ros em [18]
estendera este resultado para qualquer Hr . Em linhas gerais, ele provou o seguinte
Teorema 0.1. Uma hipersuperfı́cie compacta mergulhada no Espaço Euclidiano com Hr
constante para algum r = 1, ..., n é uma esfera.
Nesta dissertação provaremos o resultado acima e assim como em [19], usaremos o
método de Reilly[16] como principal suporte. Em 1991, Ros e Montiel em [14] obtiveram
uma prova diferente do teorema acima. Outra prova foi publicada por N. Korevaar
em [25]. Recentemente, Choe & Park no artigo [4] estenderam o Teorema acima para
11

hipersuperfı́cies compactas mergulhadas em um cone convexo, mais precisamente eles
provaram o
Teorema 0.2. Se S ⊂ Rn+1 é uma hipersuperfı́cie compacta mergulhada com alguma H`
constante em um cone convexo suave por partes C e perpendicular a ∂C, então S é parte
de uma hiperesfera redonda.
Para provar este teorema, estenderemos uma fórmula integral de Minkowski obtida
em [9] e uma desigualdade integral inspirada no trabalho de Heintze & Karcher [6] e
obtida por Ros em [18], ambas enunciadas e demonstradas nesta dissertação em ambas
as versões. Dito isto, apresentamos o principal objetivo desta dissertação, que é provar os
dois teoremas supracitados e para isso subdividimos este trabalho em quatro capı́tulos,
os quais são descritos a seguir. No primeiro capı́tulo estabelecemos a notação e apresentamos os resultados e definições relacionados à Geometria Riemanniana, além disso
introduzimos as Transformações de Newton e as curvaturas médias de ordem superior,
os quais desempenham papel fundamental no decorrer de todo o trabalho.
No segundo capı́tulo enunciamos e demonstramos a Fórmula de Minkowski, a Fórmula
de Reilly e a Desigualdade de Heintze-Karcher-Ros, que são os principais resultados que
formam a base necessária para a demonstração dos Teoremas principais.
Como aplicações destes resultados, no terceiro capı́tulo, enunciamos e demonstramos
o Teorema de Aleksandrov, bem como uma extensão do mesmo ao considerar um domı́nio
compacto que é um ponto crı́tico do funcional isoperimétrico.
Por fim, no quarto capı́tulo abordamos as hipersuperfı́cies compactas mergulhadas
em um cone convexo suave por partes e feito isto, estendemos o resultado obtido por Ros
apresentado no capı́tulo anterior.
As principais fontes que inspiraram este trabalho foram os artigos de Ros [18] e de
Choe & Park [4].

12

Capı́tulo 1
Noções Preliminares
Ao longo deste capı́tulo, apresentaremos as definições e os resultados básicos no tocante à Geometria Riemanniana, que servirão como base para a compreensão e desenvolvimento dos capı́tulos seguintes. A maior parte deste capı́tulo encontra-se em [3], sendo
assim, a prova dos resultados omitidos estarão claramente referenciados. Denotaremos
por M n (ou simplesmente por M ) uma variedade Riemanniana de dimensão n e classe
C ∞ , h , i denotará sua métrica Riemanniana e ∇ a sua conexão Riemanniana, sendo que
em alguns momentos este mesmo ∇ denotará o gradiente de uma função, no entanto,
nestes casos ficará claro no contexto tal diferença, excluindo assim qualquer possibilidade
de confusão.
Denotaremos por X(M ) o conjunto dos campos de vetores de classe C ∞ e por D(M )
o anel das funções reais de classe C ∞ definidas em M. Dado p ∈ M , Tp M denotará o
plano tangente à variedade M no ponto p.

1.1

Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano

Definição 1. Seja f ∈ D(M ). O gradiente de f é o campo vetorial suave ∇f , definido
sobre M da seguinte maneira :
X(f ) = h∇f, Xi
para todo X ∈ X(M ).
É imediato da definição que, se f, g ∈ D(M ) então:
1. ∇(f + g) = ∇f + ∇g;
2. ∇(f g) = f ∇g + g∇f.
Proposição 1.1. Seja f ∈ D(M ). Dados p ∈ M e v ∈ Tp M , seja γ : (−, ) → M uma
curva suave tal que γ(0) = p e γ 0 (0) = v. Então
h∇f, vip =

d
(f ◦ γ)(t)
.
dt
t=0

Em particular, se p é ponto de máximo ou mı́nimo local para f , então ∇f (p) = 0.
13

Demonstração. Para provarmos a primeira parte basta observar que, sendo X uma
extensão local de γ 0 , então
h∇f, vip = (X(f ))(p) =

d
(f ◦ γ)(t)
.
dt
t=0

Agora, suponha que p é ponto de máximo local para f (o outro caso é análogo). Então
existe U ⊂ M vizinhança aberta de p tal que f (p) ≥ f (q) para todo q ∈ U. Se v ∈ Tp M
e γ : (−, ) → U é como no enunciado, então f ◦ γ : (−, ) → R tem um máximo local
em 0, donde
d
= 0.
h∇f, vip = (f ◦ γ)(t)
dt
t=0
Como a relação acima é válida para todo v ∈ Tp M, segue que ∇f (p) = 0.

Definição 2. Seja X ∈ X(M ). A divergência de X é a função suave div X : M → R,
definida por
div X(p) = tr[Y (p) 7−→ (∇Y X)(p)],
onde tr significa o traço da aplicação ∇• X : Tp M → Tp M.
Decorre diretamente da definição que, se X, Y ∈ X(M ) e f ∈ D(M ) então:
1. div(X + Y ) = div X + div Y ;
2. div(f.X) = f. div X + h∇f, Xi.
Teorema 1.1 (Teorema da Divergência). Seja M uma variedade Riemanniana compacta
com bordo e X ∈ X(M ). Então
Z
Z
hX, νidS,
div XdM =
M

∂M

onde ν é um campo unitário normal à ∂M apontando para fora de M.
O Teorema da Divergência é uma consequência direta do Teorema de Stokes(o Teorema de Stokes pode ser visto, por exemplo, em [21], capı́tulo 5). Uma prova do Teorema
da Divergência pode ser encontrada em [12], página 206.
Corolário 1.1. Seja M uma variedade Riemanniana sem bordo e X ∈ X(M ). Então:
Z
div XdM = 0.
M

Observação 1. Diz-se que um referencial ortornomal {E1 , . . . , En } em um aberto U ⊂
M, é geodésico em p , se (∇Ei Ej )(p) = 0 para todos 1 ⩽ i, j ⩽ n.

14

Sejam X um campo diferenciável
Pn de vetores em M e {E1 , ..., En } um referencial
geodésico em p. Escrevendo X = i=1 xk Ek , em p ∈ M , temos que
div X =
=
=
=

n
X

h∇Ei X, Ej ihEi , Ej i

i,j=1
n
X

h∇Ei

i,j=1
n
X

n
X

xk Ek , Ej ihEi , Ej i

k=1

hEi (xk )Ek , Ej ihEi , Ej i

i,j,k=1
n
X

Ei (xi ).

i=1

Proposição 1.2. Seja f ∈ D(M ) e {e1 , . . . , en } um referencial geodésico em M , então
∇f =

n
X

ei (f )ei

i=1

Demonstração. Ao escrever

n
X

aj ej ,

j=1

temos que
n
X
ei (f ) = h∇f, ei i = h
aj ej , ei i = ai .
j=1

Logo
∇f =

n
X

ei (f )ei

i=1


Definição 3. Seja f ∈ D(M ). O Laplaciano de f é o operador ∆ : D(M ) → D(M ),
definido por
∆f = div(∇f )
Tomando, em p ∈ M , o referencial geodésico {E1 , . . . , En } é possı́vel expressar o
Laplaciano de f por
∆f (p) = div ∇f (p)
n
X
= div(
fi Ei )(p)
i=1

=

n
X

fii (p).

i=1

Segue das propriedades do gradiente e do divergente que, se f, g ∈ D(M ), então:
15

1. ∆(f + g) = ∆(f ) + ∆(g);
2. ∆(f.g) = f.∆g + g.∆f + 2h∇f, ∇gi;
3. div(h(∇f )) = h(∆f ) + h∇f, ∇hi.
Vejamos a prova de (b):
De fato, fixe p ∈ M e escolha, em p ∈ M , um referencial ortonormal {E1 , . . . , En } em
uma vizinhança de p. Então,
∆(f g)(p) =

n
X

Ek Ek (f g)(p)

k=1

=
=

n
X
k=1
n
X

Ek (gEk f + f Ek g)(p)
gEk Ek f (p) +

k=1

n
X

Ek gEk f (p) +

k=1

n
X

Ek gEk f (p) +

k=1

= f ∆(g)(p) + g∆(f )(p) + 2

n
X

n
X

f Ek Ek g(p)

k=1

gk Ek fk Ek (p)

k=1

= f ∆(g) + g∆(f ) + 2h∇f, ∇gi(p).
Em particular, ∆f 2 = 2f ∆f + 2|∇f |2 .
A prova de (c) segue diretamente da propriedade (b) da divergência.
Definição 4. Seja f ∈ D(M ). Definimos o hessiano de f no ponto p, para v ∈ Tp M,
como o operador linear Hess fp : Tp M → Tp M, dado por
Hess fp (v) = ∇v ∇f.
Segue das propriedades de conexão Riemanniana que, se X é uma extensão local de
v então Hess fp (v) = (∇X ∇f )(p).
Proposição 1.3. Se f ∈ D(M ), então o hessiano de f no ponto p é um operador linear
auto-adjunto.
Demonstração. Dados x, y ∈ Tp M, sejam X, Y extensões de x, y respectivamente a
campos definidos em uma vizinhança de p em M. Então,
hHess fp (x), yi =
=
=
=
=
=

h∇X ∇f, Y ip
Xh∇f, Y ip − h∇f, ∇X Y ip
(X(Y (f )))p − h∇f, ∇Y X + [X, Y ]ip
(Y (X(f )))p + ([X, Y ](f ))p − h∇f, ∇Y Xip − ([X, Y ](f ))p
h∇Y ∇f, Xip
hHess fp (y), xi.

16

Proposição 1.4. Se f ∈ D(M ), então para todo p em M vale a igualdade
∆f (p) = tr(Hess fp ).
Demonstração. Seja {ν1 , . . . , νn } uma base ortonormal de Tp M, então
n
X
tr(Hess fp ) =
h(Hess f )p (νi ), νi i

=

i=1
n
X

h∇νi ∇f, νi ip

i=1

= div ∇f (p)
= ∆f (p).

Seja f ∈ D(M ). Como Hess fp é um operador auto-adjunto, este operador induz de
modo natural, uma forma bilinear simétrica em Tp M chamada forma hessiana de f em
p. Abusando da notação, também denotaremos a forma hessiana de f em p por Hess fp .
Dados x, y ∈ Tp M, a forma hessiana de f em p é definida da seguinte maneira:
Hess fp (x, y) = hHess fp (x), yi

1.2

Aplicação Exponencial

Definição 5. Sejam M uma variedade Riemanniana e I ⊂ R um intervalo
Uma
 aberto.

D dγ
curva parametrizada γ : I → M é uma geodésica se, para todo t ∈ I,
= 0.
dt dt
p
Neste caso, se v(t) = hγ 0 (t), γ 0 (t)i é a velocidade de γ, temos que
d 0
d 2
(v (t)) =
hγ (t), γ 0 (t)i
dt
dt

D 0
0
= 2
γ (t), γ (t)
dt
= 0.
Concluı́mos, portanto, que se γ é geodésica, então o vetor velocidade de γ possui
norma constante.
Dizemos que uma geodésica γ é normalizada ou que está parametrizada pelo comprimento de arco quando |γ 0 (t)| = 1, para todo t ∈ I.
Como uma consequência do teorema de existência e unicidade das soluções de equações
diferenciais ordinárias, temos o seguinte resultado.
Proposição 1.5. Seja M uma variedade Riemanniana. Dados p ∈ M e v ∈ Tp M, existe
uma única geodésica γ : I → M tal que γ(0) = p e γ 0 (0) = v.
17

Denotaremos por γv a única geodésica que no instante t = 0 passa por p com velocidade v ∈ Tp M.
Definição 6. Sejam M uma variedade Riemanniana e p ∈ M. A aplicação exponencial
expp : Tp M → M é a aplicação diferenciável


v
expp (v) = γ(1, p, v) = γ |v|, p,
,
|v|
onde γ(t) = γ(t, p, v) é a única geodésica satisfazendo γ(0) = p e γ 0 (0) = v.
Geometricamente, expp (v) é o ponto de M obtido percorrendo-se um comprimento
v
|v|, a partir de p, sobre a geodésica que passa por p com velocidade
.
|v|
É possı́vel aumentar a velocidade de uma geodésica diminuindo o seu intervalo de
definição e vice-versa. Isso segue de uma propriedade conhecida, chamada homogeneidade
das geodésicas. Precisamente, expressamos isso da seguinte maneira: ∀v ∈ Tp M e ∀λ, t ∈
R, temos
γλv (t) = γv (λt)
Proposição 1.6. Para todo p ∈ M , existem uma vizinhança V da origem de Tp M e
uma vizinhança U de p, tais que expp : V → U é um difeomorfismo.
Demonstração. De fato,
d
(expp (tv))
dt
t=0
d
=
(γv (t))
dt
t=0
= γv0 (0)
= v.

d(expp )0 (v) =

Logo, d(expp )0 é a identidade de Tp M , então, pelo Teorema da Aplicação Inversa,
expp é um difeomorfismo local numa vizinhança de 0 em Tp M.

O aberto U dado pela proposição anterior é chamado vizinhança normal de p.
Definição 7. Dados p, q ∈ M , a distância d de p a q é definida por
d(p, q) = inf {l(αp,q );

αp,q

é

uma

curva

diferenciável

por

partes

ligando

p

onde l(α) indica o comprimento da curva α.
Podemos ver uma demonstração em [3], página 161, por exemplo, que munido da
distância d, M é um espaço métrico.
18

a

q},

1.3

Curvaturas

A seguir apresentaremos a definição de curvatura que, intuitivamente, mede o quanto
uma variedade Riemanniana deixa de ser Euclidiana.
Definição 8. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma atribuição que
associa a cada par X, Y ∈ X(M ) uma aplicação R(X, Y ) : X(M ) → X(M ) dada por
R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z,

Z ∈ X(M ),

onde ∇ é a conexão Riemanniana de M.
Proposição 1.7. A curvatura R de uma variedade Riemanniana goza das seguintes
propriedades:
1. R é bilinear em X(M ) × X(M ), isto é
R(f X + gY, Z) = f R(X, Z) + gR(Y, Z)
R(X, f Z + gW ) = f R(X, Z) + gR(X, W ),
com f, g ∈ D(M ) e X, Y, Z, W ∈ X(M );
2. Para cada X, Y ∈ X(M ) o operador curvatura R(X, Y ) : X(M ) → X(M ) é linear,
ou seja
R(X, Y )(Z + W ) = R(X, Y )Z + R(X, Y )W
R(X, Y )(f Z) = f R(X, Y )Z,
com f ∈ D(M ) e Z, W ∈ X(M );
3. (Primeira identidade de Bianchi) Para quaisquer X, Y, Z ∈ X(M ) vale:
R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0
Demonstração. A prova destas propriedades pode ser vista em [3], pág. 100.

Reescrevendo as propriedades acima, obtemos o seguinte corolário
Corolário 1.2. (a) hR(X, Y )Z, T i + hR(Y, Z)X, T i + hR(Z, X)Y, T i = 0;
(b) hR(X, Y )Z, T i = −hR(Y, X)Z, T i;
(c) hR(X, Y )Z, T i = −hR(X, Y )T, Zi;
(d) hR(X, Y )Z, T i = hR(Z, T )X, Y i.
Relacionado com o operador curvatura está a curvatura seccional (ou Riemanniana),
que passamos a definir.
19

Proposição 1.8. Seja σ ⊂ Tp M um subespaço bi-dimensional do espaço tangente Tp M
e sejam x, y ∈ σ dois vetores linearmente independentes. Então
Kp (σ) = Kp (x, y) =

hR(x, y)x, yi
|x ∧ y|2

não depende da escolha dos vetores x, y ∈ σ.
Definição 9. Dado um ponto p ∈ M e um subespaço bi-dimensional σ ⊂ Tp M , o número
real Kp (σ) = Kp (x, y), onde {x, y} é uma base qualquer de σ, é chamado curvatura
seccional de σ em p.
A proposição seguinte mostra que, em uma variedade Riemanniana de curvatura
seccional constante, a curvatura pode ser escrita de uma forma mais simples.
Proposição 1.9. Sejam M uma variedade Riemanniana e p um ponto de M . Defina
uma aplicação trilinear R0 : X(M ) × X(M ) × X(M ) → X(M ) por
hR0 (X, Y )Z, T i = hX, ZihY, T i − hY, ZihX, T i,
para todos X, Y, Z, T ∈ X(M ). Então M tem curvatura seccional constante igual a K0
se, e somente se, R = K0 R0 , onde R é a curvatura de M .
Eis agora a curvatura de Ricci, objeto muito importante nos principais resultados
desta dissertação.
Sejam p ∈ M e x um vetor unitário de Tp M . Definimos a curvatura de Ricci no ponto
p na direção de x da seguinte maneira:
Se {e1 , . . . , en−1 } é uma base ortonormal do hiperplano de Tp M ortogonal a x, então
n−1
n−1
1 X
1 X
hR(x, ei )x, ei i =
K(x, ei ).
Ricp (x) =
n − 1 i=1
n − 1 i=1

Portanto, se M é uma variedade Riemanniana com curvatura seccional não-negativa
em todos os pontos, então o mesmo acontece com a curvatura de Ricci, isto é, Ric(M ) ≥ 0.
Observação 2. Algumas vezes usaremos a notação de Einsten, ou seja, omitiremos o
sinal do somatório em somas que aparecem ı́ndices repetidos, por exemplo
X
Γkij Xk = Γkij Xk .
k

Seja {e1 , . . . , en } uma base ortonormal de campos de vetores em torno de um ponto
l
p ∈ M. Os coeficientes Rijk
, definidos por
X
l
R(ei , ej )ek =
Rijk
el
=

l
l
Rijk
el

são denominados componentes do tensor curvatura.
20

Temos ainda que
hR(ei , ej )ek , es i =

*
X

+
l
el , es
Rijk

l

=

X

l
Rijk
δls

l
s
Rijk

=
:= Rijks
Os coeficientes Rijks são denominados coeficientes de Ricci.
Não é difı́cil verificar que a função Ric : Tp M → R é uma forma quadrática associada
à forma bilinear simétrica
Ricp : Tp M × Tp M −→ R
(x, y) 7−→ tr(z 7−→ R(x, z)y).
Ao variar p sobre M obtemos uma aplicação bilinear Ric : X(M ) × X(M ) −→ D(M ),
também chamada tensor Ric de ordem 2, dado por
Ric(X, Y ) = tr(Z 7−→ R(X, Z), Y )
Notemos que, se M tem dimensão 2, então Ricp é a curvatura Gaussiana de M em p.
Além disso
1
Ric(X, X)(p)
Ricp (x) =
n−1
Exemplo 1.1. Se M é conexa e tem curvatura seccional constante igual a K, então
Ricp (x) =

n−1
n−1
1 X
1 X
K(x, ei ) =
K = K.
n − 1 i=1
n − 1 i=1

1.4

Imersões Isométricas

1.4.1

A segunda forma fundamental
n+m=k

variedades Riemannianas. Uma aplicação suave
Definição 10. Sejam M n , M
f : M → M é uma imersão se df p : Tp M → Tp M é injetiva para todo p ∈ M.
n+m=k

Sejam (M
, h , i, ∇) uma variedade Riemanniana, M n uma variedade n-dimensional
k
e f : M n → M uma imersão. Nestas condições, a métrica Riemanniana de M induz de
maneira natural uma métrica Riemanniana em M através da definição
hu, vip = hdf p (u), df p (v)if (p) , ∀p ∈ M, ∀u, v ∈ Tp M.
Dessa forma, a aplicação f é uma imersão isométrica.
21

Dado p ∈ M , existe uma vizinhança U ⊂ M de p tal que f(U ) ⊂ M é uma
subvariedade de M . Portanto existem uma vizinhança U de f(p) e um difeomorfismo
Φ : U → V ⊂ Rk em um aberto V do Rk , tais que Φ aplica difeomorficamente f(U ) ∩ U
em um aberto do subespaço Rn ⊂ Rk . Identificaremos U com f(U ) e cada vetor v ∈ Tq M ,
q ∈ U , com o vetor df q (v) ∈ Tf(q) M . Assim, para cada p ∈ M , o produto interno em Tp M
decompõe Tp M na soma direta
Tp M = Tp M ⊕ (Tp M )⊥ ,
onde (Tp M )⊥ é o complemento ortogonal de Tp M em Tp M . Se ν ∈ Tp M , p ∈ M, podemos
escrever
ν = ν T + ν ⊥ , ν T ∈ Tp M, ν ⊥ ∈ (Tp M )⊥ .
Denominamos por ν T a componente tangencial de ν e ν ⊥ a componente normal de ν.
Se X, Y são campos locais de vetores em M e X, Y são extensões locais a M , definimos
∇X Y = (∇X Y )T .
Verifica-se(cf. Cap. II de [3]) que esta é a conexão Riemanniana relativa à métrica
induzida de M por f.
Definição 11. Sejam f : M → M uma imersão isométrica, U ⊂ M uma vizinhança de
p ∈ M tal que f(U ) ⊂ M é uma subvariedade de M e N ∈ X(U ) um campo local de M ,
com U ⊂ M aberto e f(U ) ⊂ U . O campo N diz-se normal a M se X(p) = X p ∈ (Tp M )⊥ ,
para todo p ∈ U.
Assim, segue da definição acima que, σ(X, Y ) := ∇X Y − ∇X Y é um campo local em
M normal à M. Prova-se que σ(X, Y ) está bem definida, isto é, σ(X, Y ) não depende das
extensões X e Y . Indicaremos por X(U )⊥ o espaço dos campos de vetores diferenciáveis
em U normais à f(U ) ≈ U .
Proposição 1.10. Se X, Y ∈ X(U ), a aplicação σ : X(U ) × X(U ) → X(U )⊥ dada por
σ(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y
é bilinear e simétrica.
A demonstração desta proposiçao pode ser vista em [3] com mais detalhes, apenas
indicaremos o principal fato usado, a saber: exprimindo σ em um sistema de coordenadas,
verifica-se que o valor de σ(X, Y )(p) depende apenas de X(p) e de Y (p).
Definiremos agora a segunda forma fundamental: Sejam p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ . A
aplicação Hη : Tp M × Tp M → R dada por
Hη (x, y) = hσ(x, y), ηi,

x, y ∈ Tp M,

é, pela proposição anterior, uma forma bilinear e simétrica.
Definição 12. A forma quadrática IIη definida em Tp M por IIη (x) = Hη (x, x) =
hσ(x, x), ηi, é denominada a segunda forma fundamental de f em p segundo o vetor normal η.
22

Às vezes se utiliza também a expressão segunda forma fundamental para designar
a aplicação σ que em cada p ∈ M é uma aplicação bilinear, simétrica, tomando valores
em (Tp M )⊥ .
Associada à aplicação Hη temos uma aplicação linear auto-adjunta Aη : Tp M → Tp M ,
definida por
hAη (x), yi = Hη (x, y) = hσ(x, y), ηi.
Definição 13. A curvatura média H de M em p com relação à η é dada por
Pn
Hη (Ei , Ei )
,
H = i=1
n
onde {Ei }ni=1 é uma base qualquer de Tp M.
Proposição 1.11. Sejam p ∈ M , x ∈ Tp M e η ∈ (Tp M )⊥ . Seja N uma extensão local
de η normal à M . Então
Aη (x) = −(∇x N )T .
Demonstração. Seja y ∈ Tp M e X, Y extensões locais de x, y respectivamente. Então
hN, Y i = 0, donde concluı́mos que
hAη (x), yi =
=
=
=
=

hσ(X, Y )(p), N i
h∇X Y − ∇X Y, N i(p)
h∇X Y, N i(p)
−hY, ∇X N i(p)
h−∇x N, yi,

para todo y ∈ Tp M . Donde obtemos que Aη (x) = −(∇x N )T .

Consideremos, por exemplo, o caso particular em que a codimensão da imersão é 1,
n+1
é uma imersão isométrica. Neste caso, f(M ) ⊂ M é então
ou seja, f : M n → M
denominada uma hipersuperfı́cie.
Sejam f(M ) ⊂ M uma hipersuperfı́cie, p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ , |η| = 1. Segue do Teorema Espectral que, como Aη : Tp M → Tp M é auto-adjunta existe uma base ortonormal
{e1 , . . . , en } de Tp M formada por autovetores com autovalores associados λ1 , . . . , λn , isto
é, Aη (ei ) = λi ei , 1 ≤ i ≤ n. Supondo que M e M são orientáveis e estão orientadas
então o vetor η fica univocamente determinado se exigirmos que sendo {e1 , . . . , en } uma
base na orientação de M , {e1 , . . . , en , η} seja uma base na orientação de M . Neste caso,
chamamos os ei de direções principais e os λi := ki de curvaturas principais da imersão
f. A aplicação A = Aη é denominada o operador de Weingarten associado à segunda
forma fundamental. Nesse caso, vale a igualdade A(X) = −(∇X N )T = −∇X N.
Relacionaremos agora as curvaturas seccionais de M e M . Se x, y ∈ Tp M ⊂ Tp M são
linearmente independentes, indicaremos por K(x, y) e K(x, y) as curvaturas seccionais
de M e M , respectivamente, segundo o plano gerado por x e y.
23

Teorema 1.2. (Equação de Gauss) Sejam f : M n → M
p ∈ M e x, y vetores ortonormais de Tp M. Então

n+m

uma imersão isométrica,

K(x, y) − K(x, y) = hσ(x, x), σ(y, y)i − |σ(x, y)|2 .
Demonstração. Vide [3], pág. 144.

n+1

No caso de uma hipersuperfı́cie f : M n → M , a Equação de Gauss admite uma
expressão mais simples. Sejam p ∈ M , η ∈ (Tp M )⊥ (com |η| = 1) e {e1 , . . . , en } uma
base ortonormal de Tp M para a qual A = Aη é diagonal, isto é, A(ei ) = ki ei para
todo i = 1, . . . , n. Então H(ei , ei ) = hA(ei ), ei i = ki e H(ei , ej ) = 0, se i 6= j. Assim,
σ(ei , ej ) = 0 e σ(ei , ei ) = ki η. Portanto a Equação de Gauss escreve-se da seguinte forma
K(ei , ej ) − K(ei , ej ) = ki kj .

1.4.2

As Transformações de Newton Pr

Definição 14. Uma função f : Rn → R é dita simétrica se f é invariante por permutação
de suas variáveis independentes, isto é,
f (x1 , . . . , xn ) = f (xρ(1) , . . . , xρ(n) ),
para todas as bijeções ρ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}.
Definição 15. Um polinômio σ, com coeficientes em um corpo ou em um anel associativo
e comutativo K com unidade, é simétrico, se σ for uma função simétrica.
Definição 16. Definimos o k-ésimo polinômio simétrico elementar σk : Rn → R por

k=0

 1, P
xi1 . . . xik , k ∈ {1, . . . , n}
σk (x1 , . . . , xn ) =
1≤i1 <···<ik ≤n


0,
k > n.
Proposição 1.12. Se σk : Rn → R é o k-ésimo polinômio simétrico elementar, então
1.

∂
σk (x1 , . . . , xn ) = σk−1 (x1 , . . . , xbj , . . . , xn );
∂xj

2. σk (x1 , . . . , xbi , . . . , xn )−σk (x1 , . . . , xbj , . . . , xn ) = (xj −xi )σk−1 (x1 , . . . , xbi , . . . , xbj , . . . , xn );
3.

Pn

j=1 xj

∂
σk (x1 , . . . , xn ) = k.σk (x1 , . . . , xn ),
∂xj

onde xbj indica que o elemento xj foi omitido.
Demonstração. Usando indução, os itens (1.) e (2.) decorrem diretamente da definição.
A prova do item (3.) pode ser consultada em [2].

24

n+1

Definição 17. Seja ϕ : M n → M
uma imersão isométrica entre duas variedades Riemannianas e seja A : Tp M → Tp M o operador linear auto-adjunto associado à segunda
forma fundamental da imersão ϕ em cada ponto p ∈ M. Associado a A, tem-se os n
invariantes Sr (A), 1 ≤ r ≤ n, dados pela igualdade
det(tI − A) =

n
X
(−1)r Sr (A)tn−r ,
r=0

onde S0 (A) = 1 por definição.
Quando {e1 , . . . , en } é uma base de Tp M formada por autovetores de A, com autovalores respectivamente {λ1 , . . . , λn }, vê-se que
Sr (A) = σr (λ1 , . . . , λn ),
onde σr é o r-ésimo polinômio simétrico elementar.
As transformações Pr (A) : Tp M → Tp M conhecidas também como o r-ésimo Tensor
de Newton, são definidas, para cada r ∈ {0, . . . , n − 1}, por
P0 (A) = I
P1 (A) = S1 (A)I − A
..
.
Pr (A) = Sr (A)I − APr−1 (A),
onde I é a identidade. De maneira mais geral,

r=0
 I,
Pr
j
j
(−1)
S
(A)A
,
r
∈ {1, . . . , n − 1}
Pr (A) =
r−j
 j=0
0,
r ≥ n,
onde 0 denota a transformação linear identicamente nula.
Observação 3. Por simplicidade, doravante, escreveremos Pr e Sr ao invés de Pr (A) e
Sr (A), respectivamente.
Note que sendo Pr um polinômio em A, para todo r, ele é também auto-adjunto e
comuta com A. Então toda base que diagonaliza A em p ∈ M também diagonaliza todos
os Pr em p ∈ M. Sendo {e1 , . . . , en } uma tal base, com A(ei ) = λi ei , e denotando por Ai
a restrição de A a hei i⊥ ⊂ Tp M , definimos
X
Sr (Ai ) =
λj1 . . . λjr = σr (λ1 , . . . , λbi , . . . , λn )
1≤j1 <···<jr ≤n
j1 ,...,jr 6=i

n+1

Proposição 1.13. Seja ϕ : M n → M
uma imersão isométrica entre duas variedades
Riemannianas e seja A o operador linear associado à sua segunda forma fundamental.
O r-ésimo Tensor de Newton associado a A satisfaz:
25

1. tr[Pr ] = (n − r)Sr ;
2. tr[APr ] = (r + 1)Sr+1 .
Demonstração. Se {e1 , . . . , en } é uma base que diagonaliza A, vejamos que
Pr (ei ) = Sr (Ai )ei .
Usaremos indução sobre r. Para r = 1, temos: P1 = S1 I − A. Portanto,
P1 (ei ) = S1 ei − A(ei ) = (S1 − λi )ei = S1 (Ai )ei .
Suponha que a sentença é válida para r − 1. Então
Pr (ei ) = Sr ei − APr−1 (ei ) = Sr ei − A(Sr−1 (Ai )e) = (Sr − Sr−1 (Ai )λi )ei = Sr (Ai )ei .
Usando a proposição 1.12 e pelo que vimos acima segue que
tr[Pr ] =
=

n
X
i=1
n
X

hPr (ei ), ei i
hSr (Ai )ei , ei i

i=1

=

n
X

Sr (Ai )

i=1

=

n
X

(Sr − λi Sr−1 (Ai ))

i=1

= nSr −

n
X

λi Sr−1 (Ai )

i=1

= (n − r)Sr ,
o que prova o item (1.).
Para provar o item (2.), observemos que a igualdade Pr+1 = Sr+1 I − APr implica
APr = Sr+1 I − Pr+1 .
Logo,
tr[APr ] = tr[Sr+1 I] − tr[Pr+1 ] = nSr+1 − (n − r − 1)Sr+1 = (r + 1)Sr+1 .

Associado a cada operador Pr temos o operador diferencial linear de segunda ordem
Lr : D(M ) → D(M ), que passamos a definir.
Definição 18. Dada uma função diferenciável f : M n → R e r ∈ N, com 0 ≤ r ≤ n − 1,
definimos o operador diferencial de segunda ordem Lr em M n por:
Lr (f )(p) = tr[(Pr Hess f )(p)].
26

Note que para r = 0, L0 (f ) = tr[Hess f ] = ∆f é o Laplaciano. Conforme vemos em
n+1
[20], fora provado que, se M
é uma variedade Riemanniana de curvatura seccional
constante, então Lr pode ser escrito na forma divergente, mais precisamente
Lr (f ) = divM (Pr ∇f ),
n
onde divM denota o divergente
R de um campo vetorial sobre M . Segue do teorema 1.1
que, se M é compacta então M Lr (f )dM = 0.

1.4.3

As r-ésimas curvaturas médias Hr
n+1

uma imersão isométrica entre duas variedades Riemannianas. As
Seja ϕ : M n → M
curvaturas médias de ordem superior Hr de ϕ, são definidas, para 0 ≤ r ≤ n por
Hr =

Sr
σr (λ1 , . . . , λn )


.
n =
n
r

r

A seguir provaremos uma proposição, onde estaremos estabelecendo algumas desigualdades algébricas sobre as r-ésimas curvaturas médias Hr , que são denominadas Desigualdades de Newton.
Lema 1.1. Se um polinômio f ∈ R[X] possui n ≥ 1 raı́zes reais, então sua derivada f 0
possui ao menos n − 1 raı́zes reais. Em particular, se todas as raı́zes de f forem reais
então todas as raı́zes de f 0 também serão reais.
Demonstração. Sem perda, supomos n > 1. Sejam x1 < · · · < xk raı́zes reais de f , com
multiplicidades respectivamente m1 , . . . , mk tais que m1 + . . . mk = n. Então cada xj é
raiz de f 0 com multiplicidade mj − 1, se mj ≥ 2. Por outro lado, entre xj e xj+1 há, pelo
teorema de Rolle, ao menos uma outra raiz de f 0 , de modo que contabilizamos ao menos
(m1 − 1) + · · · + (mk − 1) + (k − 1) = n − 1
raı́zes reais para f 0 . O resultado segue.

Proposição 1.14. Sejam n > 1 inteiro
 e λ1 , . . . , λn números reais. Defina, para 0 ≤
n −1
r ≤ n, Sr = σr (λi ) e Hr = Hr (λi ) = r σr (λi ).
1. Para 1 ≤ r < n, tem-se Hr2 ≥ Hr−1 .Hr+1 . Além disso, se a igualdade ocorrer
para r = 1 ou para algum 1 < r < n, com Hr+1 6= 0 neste último caso, então
λ1 = · · · = λn .
2. Se H1 , H2 , . . . , Hr−1 são não negativas e Hr é positivo para algum 1 < r ≤ n,
1

1

1

então H1 ≥ H22 ≥ H33 ≥ · · · ≥ Hrr . Além disso, se a igualdade ocorrer para algum
1 ≤ j < r, então λ1 = · · · = λn .

27

Demonstração. Usaremos indução no item (1.) sobre a quantidade de números reais.
Para n = 2, veja que H12 ≥ H2 é equivalente a (λ1 − λ2 )2 ≥ 0, com a igualdade se e só se
λ1 = λ2 .
Suponhamos agora que para quaisquer n − 1 números reais as desigualdades valham,
com a igualdade ocorrendo para Hr+1 6= 0 se e só se os n − 1 números forem todos iguais.
Dados n ≥ 3 números reais λ1 , . . . , λn , seja
n  
X
n
f (x) = (x + λ1 ) . . . (x + λn ) =
Hr (λi )xn−r .
r
r=0

Então

 
n
X
n
f (x) =
(n − r)
Hr (λi )xn−r−1 .
r
r=0
0

Pelo lema anterior, existem reais γ1 , . . . , γn−1 tais que
f 0 (x) = n(x + γ1 ) . . . (x + γn−1 )
n−1
X
Sr (γi )xn−1−r
= n
r=0
n−1
X 


n−1
n
Hr (γi )xn−1−r .
=
r
r=0


Usando que (n − r) nr = n n−1
, por comparação, obtemos Hr (λi ) = Hr (γi ) para
r
0 ≤ r ≤ n − 1. Portanto, segue da hipótese de indução que, para 1 ≤ r ≤ n − 2,
Hr2 (λi ) = Hr2 (γi ) ≥ Hr−1 (γi ).Hr+1 (γi ) = Hr−1 (λi ).Hr+1 (λi ).
Por outro lado, se tivermos igualdade para os λi , com Hr+1 (λi ) 6= 0, então também
teremos igualdade para os γi , com Hr+1 (γi ) 6= 0. Novamente pela hipótese de indução,
segue que γ1 = · · · = γn−1 , e daı́ λ1 = · · · = λn . Para concluir a prova, é suficiente
2
(λi ) ≥ Hn−2 (λi ).Hn (λi ), com igualdade para Hn 6= 0 se e só se todos
provarmos que Hn−1
os λi forem iguais. Se algum λi = 0 o resultado segue. Caso contrário, Hn 6= 0 e
"
#2 "
#
−1 X
−1 X
n
H
n
H
n
n
2
Hn−1
≥ Hn−2 .Hn ⇔
≥
Hn
n−1
λ
n
−
2
λ
λ
i
i
j
i<j
i
!2
X 1
X 1
⇔ (n − 1)
≥ 2n
.
λ
λ
λ
i
i
j
i
i<j
Se denotarmos βi = λ1i , então a última desigualdade acima é equivalente a
!2
(n − 1)

X

≥ 2n

βi

i

X
i<j

28

βi βj .

P
P
2
Fazendo T (βi ) = (n − 1) ( ni=1 βi ) − 2n i<j βi βj , obtemos
n
X

T (βi ) = n

!2
βi

n
X

−

i=1


= n

= n

βi

− 2n

i=1

n
X



βi

−2

X

βi2 −

i=1

βi βj  −

i<j
n
X

X

βi βj

i<j

!2

i=1
n
X

!2

n
X

!2
βi

i=1

!2
βi

≥ 0.

i=1

Neste caso, concluı́mos que a igualdade ocorre se e só se todos os βi (e portanto os λi )
forem iguais.
Agora, como T (λi ) = n2 (n − 1)[H12 (λi ) − H2 (λi )], vemos que o argumento acima
também prova que H12 = H2 se e só se todos os λi forem iguais.
1

No item (2), como consequência do item (1), observe que H1 ≥ H22 . Então suponha a
desigualdade válida para algum 2 ≤ k < r. Assim, podemos assumir H1 , H2 , . . . , Hk ≥ 0
e Hk+1 > 0 donde, pelo item (1), Hk > 0. De fato, Hk = 0 ⇒ 0 ≥ Hk−1 .Hk+1 ⇒ Hk−1 =
0 ⇒ Hk2 = 0 = 0.Hk+1 = Hk−1 .Hk+1 , isto é, Hk2 = Hk−1 .Hk+1 com Hk+1 6= 0, então, pelo
item (1), λ = λ1 = · · · = λn , daı́ λk = Hk = 0, isto é, λ = 0 e, portanto, Hk+1 = 0, o que
1

1

é um absurdo. Consequêntemente, H1 ≥ H22 ≥ · · · ≥ Hkk , e então
k−1

Hk2 ≥ Hk−1 .Hk+1 ≥ Hk k .Hk+1 ,
1

1

k+1
ou ainda Hkk ≥ Hk+1
. Agora, segue imediatamente das desigualdades acima que, caso
1

1

k+1
Hkk = Hk+1
para algum 1 ≤ k < n, então Hk2 = Hk−1 .Hk+1 . Logo, o item (1) garante
que λ1 = · · · = λn .


n+1

Teorema 1.3. Seja ϕ : M n → M
uma imersão isométrica entre duas variedades
Riemannianas(M n conexa). Suponha que exista um ponto de M n onde todas as curvaturas principais λ1 , . . . , λn são positivas. Então, se Hr é sempre maior que zero em M n ,
temos que o mesmo vale para Hk , k = 1, . . . , r − 1. Além disso,
k−1

1

Hk k ≤ Hk−1 e Hkk ≤ H, k = 1, . . . , r.
Se k ≥ 2, a igualdade nas desigualdades acima ocorre somente nos pontos umbı́licos.
Demonstração. As desigualdades e a última linha são consequência imediata da Proposiçao 1.14. Portanto, devemos mostrar que Hk é sempre positivo em M qualquer que
seja k = 1, . . . , r − 1.
Por hipótese, existe um ponto p ∈ M onde as curvaturas principais são todas positivas.
Então, por verificação direta, em p ∈ M, Hk > 0. Como as funções Hk são contı́nuas,
existe uma bola aberta B(p) ⊂ M com centro em p ∈ M tal que as Hk > 0 em B(p).
29

Pela conexidade de M , dado q ∈ M , existe um caminho γ : [0, 1] → M ligando p e q
com γ(0) = p e γ(1) = q. Defina Λ = {t ∈ [0, 1]; Hk > 0 em γ|[0,t] , k = 1, . . . , r − 1}.
Seja t0 = sup Λ. Note que Hk > 0 em B(p) implica t0 > 0. Por continuidade, em t0 ,
1

1

1

r−1
Hk ≥ 0, então, pela Proposição 1.14, H1 ≥ H22 ≥ · · · ≥ Hr−1
≥ Hrr > 0 em t0 e,
portanto, t0 ∈ Λ. Afirmamos que t0 = 1. De fato, se não, então t0 < 1, e por continuidade
existiria uma bola B(γ(t0 )) ⊂ M com centro em γ(t0 ) tal que Hk > 0 em B(γ(t0 )) ⊂ M,
o que contradiz a nossa escolha de t0 = sup Λ. Daı́, t0 = 1.
Desta forma, Hk > 0 em q ∈ M para todo k = 1, . . . , r −1 e, como q ∈ M é arbitrário,
o resultado está provado.


A seguir, mostraremos que toda imersão isométrica ϕ : M n → Rn+1 de uma hipersuperfı́cie compacta possui um ponto onde todas as curvaturas principais são positivas.
Fixaremos as seguintes notações e relembraremos alguns fatos.
Seja d : Rn+1 → R a função distância para um ponto fixo p0 ∈ Rn+1 , isto é, d(p) =
d(p, p0 ). Sabemos que d é suave em Rn+1 − {p0 } e ||∇d|| = 1.
Seja agora uma hiperesfera de centro p0 e raio r, de Rn+1 , a saber:
Sn (r) = {p ∈ Rn+1 : d(p) = r}.
x
Então o campo unitário normal(interior) a Sn (r) é N (x) = − , onde x é o vetor
r
posição em Sn . Por outro lado, o operador A : Tp M → Tp M é dado por A = −dN.
Portanto,
1
N (x + tv) − N (x)
= v,
Av = −dN.v = − lim
t→0
t
r
1
isto é Av = v.
r
Ou seja, todas as curvaturas principais de Sn (r) são constantes e iguais a 1r .
Proposição 1.15. Seja ϕ : M n → Rn+1 uma imersão isométrica de uma hipersuperfı́cie
compacta, então M n possui um ponto onde todas as curvaturas principais são positivas.
Demonstração. Denotaremos por q0 a origem de Rn+1 . Seja p ∈ M n o ponto onde a
função d(q) = d(q, q0 ) atinge o máximo. No ponto p, a hipersuperfı́cie M n tem curvatura
maior do que a da esfera Sn (r), então λi ≥ 1r > 0.

Daqui em diante, admitiremos que as imersões mencionadas são isométricas e quando
for conveniente vamos denominar a imersão ϕ : M n → Rn+1 de hipersuperfı́cie, entendendo que ϕ é um mergulho e que estamos nos referindo à subvariedade M ≈ ϕ(M n ) de
Rn+1 .
Vejamos agora um resultado que nos auxiliará na demonstração da Desigualdade de
Heintze-Karcher-Ros.
Proposição 1.16. Seja ϕ : M n → Rn+1 hipersuperfı́cie compacta. Então existe um
ponto x0 ∈ M tal que a segunda forma fundamental A é positiva definida.
30

Demonstração. Consideremos a função f : M → R dada por f (x) = 12 kϕ(x)k2 , que é
claramente diferenciável, e note que ϕ(x) pode ser vista como um vetor posição em Rn+1 .
Assim, dado p ∈ M e X ∈ Tp M temos que ∇X ϕ = X(ϕ(x)), podemos identificar com
X, onde ∇ é a conexão riemanniana de Rn+1 .
Como M é compacta, existe um x0 ∈ M, tal que f assume um valor máximo. Assim,
para todo X ∈ Tx0 M temos
1
0 = X(f )(x0 ) = X( hϕ, ϕi)(x0 ) = hX, ϕ(x0 )i.
2
Por conseguinte, segue que ϕ(x0 ) é normal a M em x0 .
Por outro lado, sendo σ a segunda forma fundamental de ϕ temos que
0 ≥ X(X(f ))(x0 ) = XhX, ϕi(x0 ) = h∇X X, ϕ(x0 )i + hX, Xi =
h∇X X, ϕ(x0 )i + kXk2 = hσ(X, X), ϕ(x0 )i + kXk2 .
Agora, tomando ξ = −ϕ(x0 ) ∈ (Tx0 M )⊥ , obtemos hσ(X, X), ξi ≥ kXk2 , ou seja
hAξ X, Xi ≥ kXk2 , ∀X ∈ T M e o resultado segue.


31

Capı́tulo 2
Resultados importantes
2.1

Fórmula de Minkowski

Nos próximos resultados denotaremos por ∇ a conexão Riemanniana de Rn+1 e por
∇ a conexão Riemanniana de qualquer hipersuperfı́cie M n de Rn+1 . Para provarmos a
fórmula de Minkowski precisaremos do seguinte lema.
Lema 2.1. Seja ϕ : M n → Rn+1 uma hipersuperfı́cie orientável imersa no espaço euclidiano Rn+1 e N um campo normal unitário interior de vetores sobre M n . Então, para
r = 0, . . . , n − 1, temos
Lr (|ϕ|2 ) = 2[(n − r)Sr + (r + 1)Sr+1 hϕ, N i].
Demonstração. Dado p ∈ M n , seja {e1 (p), . . . , en (p)} uma base ortonormal em Tp M
que diagonaliza o operador A em p e denotemos por {e1 , . . . , en } o referencial geodésico
que estende a base acima a uma vizinhança de p em M n . Sejam λ1 , . . . , λn os autovalores
de A associados a e1 (p), . . . , en (p), respectivamente.
Veja que ∇ei ei (p) = 0, ∀i = 1, . . . , n, implica que existe ai ∈ R tal que ∇ei ei = ai N.
E, como hei , N i = 0 temos h∇ei ei , N i = −hei , ∇ei N i = hei , −∇ei N i = λi . Então, ∇ei ei =
λi N.
Qualquer que seja o X ∈ X(M n ) temos X|ϕ|2 = 2hX, ϕi, o que acarreta
XX|ϕ|2 = 2|X|2 + 2hϕ, ∇X Xi.

(2.1)

Veja que
2

2

Lr (|ϕ| ) = tr[Pr Hess |ϕ| ] =

n
X

h(Pr Hess |ϕ|2 )ei , ei i

i=1

=
=
=

n
X
i=1
n
X
i=1
n
X

2

hPr (∇ei ∇|ϕ| ), ei i =
λri h∇ei ∇|ϕ|2 , ei i =
λri ei ei |ϕ|2 ,

i=1

32

n
X

h∇ei ∇|ϕ|2 , Pr (ei )i

i=1
n
X

n
X

i=1

j=1

λri h∇ei [

ej (|ϕ|2 )ej ], ej i

em que λri é o autovalor de Pr associado a ei (p). Portanto,
2

Lr (|ϕ| )(p) =

n
X

λri ei ei |ϕ|2 (p).

(2.2)

i=1

Finalmente, substituindo a Igualdade (2.1) na Igualdade (2.2) obtemos
2

Lr (|ϕ| ) =

n
X

λri ei ei |ϕ|2

i=1

=

n
X

λri (2|ei |2 + 2hϕ, ∇ei ei i)

i=1
n
X

= 2

λri + 2

i=1

= 2

n
X

n
X

λri hϕ, λi N i

i=1

λri + 2hϕ, N i

i=1

n
X

λi λri

i=1

= 2tr[Pr ] + 2tr[APr ]hϕ, N i
= 2(n − r)Sr + 2(r + 1)Sr+1 hϕ, N i,
isto é,
Lr (|ϕ|2 ) = 2[(n − r)Sr + (r + 1)Sr+1 hϕ, N i].

(2.3)


Como uma consequência direta temos o seguinte:
Teorema 2.1 (Fórmula de Minkowski). Seja ϕ : M n → Rn+1 uma imersão de uma
hipersuperfı́cie compacta orientável M n no espaço euclidiano Rn+1 e N um campo de
vetores normal unitário sobre M n . Então, para todo r = 0, . . . , n − 1, vale
Z
(Hr + Hr+1 hϕ, N i)dA = 0.
(2.4)
M

Demonstração. Inicialmente, ao multiplicar ambos os membros da igualdade (2.3) por
r!(n−r−1)!
, onde r = 0, . . . , n − 1, obtemos
n!
r!(n − r − 1)!
Lr (|ϕ|2 ) = 2[Hr + Hr+1 hϕ, N i].
n!
Integrando sobre M n , obtemos, via o Teorema da Divergência que
Z
Z
r!(n − r − 1)!
(Hr + Hr+1 hϕ, N i)dA =
Lr (|ϕ|2 )dA
2(n!)
M
ZM
r!(n − r − 1)!
=
divM [Pr (∇|ϕ|2 )]dA
2(n!)
M
= 0.
Logo
Z
(Hr + Hr+1 hϕ, N i)dA = 0, ∀r = 0, . . . , n − 1.
M


33

2.2

Fórmula de Reilly

Doravante denotaremos por Ωn+1 uma variedade Riemanniana (n + 1)-dimensional,
compacta com fronteira suave ∂Ω = M n , por dV o elemento de volume de Ω e por dA o
elemento de área de M.
Para provarmos a fórmula de Reilly precisaremos da conhecida fórmula de BochnerLichnerowicz, introduzamos, portanto, as famosas fórmulas de Green que serão úteis em
sua prova.
Lema 2.2 (Fórmulas de Green). Sejam h e f funções diferenciáveis em Ω. Então valem
Z
Z
{h∆f + h∇f, ∇hi}dV =
hh∇f, ηidA
(2.5)
Ω

e

∂Ω

Z

Z
{h∆f − f ∆h}dV =

Ω

{hh∇f, ηi − f h∇h, ηi}dA

(2.6)

∂Ω

Demonstração. Segue diretamente do Teorema da Divergência fazendo X = h∇f e
usando a propriedade (c) do Laplaciano.

Lema 2.3 (Fórmula de Bochner-Lichnerowicz). Seja Ωn+1 uma variedade Riemanniana
(n + 1)-dimensional, compacta e f ∈ C ∞ (Ω). Então, em cada ponto de Ω tem-se
1
∆(|∇f |2 ) = | Hess(f )|2 + h∇(∆f ), ∇f i + Ric(∇f, ∇f )
2

(2.7)

Demonstração. Sejam p ∈ Ω e {Ei }n+1
i=1 um referencial geodésico em p, isto é, existe uma
vizinhança V de p tal que {Ei }n+1
são
ortonormais em cada ponto de V e (∇Ei Ej )(p) =
i=1
0, ∀i, j = 1 . . . , n + 1. Usando que {Ei }n+1
i=1 é geodésico, escrevemos
∆f (p) =

n+1
X

h∇Ei ∇f, Ei i(p)

i=1

=

n+1
X

*
∇Ei

i=1

=

=

n+1
X

!
Ej (f )Ej

* n+1
X

(p)

i=1

j=1

n+1 X
n+1
X

+
Ej (f )∇Ei Ej + Ei (Ej (f ))Ej , Ei

Ei (Ej (f ))hEj , Ei i(p)

i=1 j=1

=

, Ei

j=1

n+1
X

n+1
X

+

Ei (Ei (f ))(p).

i=1

34

(p)

Daı́, obtemos
n+1

1
1X
∆(|∇f |2 ) =
Ei (Ei (h∇f, ∇f i))
2
2 i=1
=
=

n+1
X
i=1
n+1
X

Ei h∇Ei ∇f, ∇f i
n+1
X
h∇Ei ∇Ei ∇f, ∇f i +
h∇Ei ∇f, ∇Ei ∇f i.

i=1

Reescreveremos

(2.8)

i=1

Pn+1

i=1 h∇Ei ∇Ei ∇f, ∇f i da seguinte maneira

*
h∇Ei ∇Ei ∇f, ∇f i =

∇Ei ∇Ei ∇f,

n+1
X

+
Ej (f )Ej

j=1

=

n+1
X

Ej (f )h∇Ei ∇Ei ∇f, Ej i

j=1

=

n+1
X

h∇f, Ej ih∇Ei ∇Ei ∇f, Ej i,

j=1

em que h∇Ei ∇Ei ∇f, Ej i pode ser escrito assim
h∇Ei ∇Ei ∇f, Ej i =
=
=
=
=

Ei (h∇Ei ∇f, Ej i)
Ei (Hess(f )(Ei , Ej ))
Ei (Hess(f )(Ej , Ei ))
Ei (h∇Ej ∇f, Ei i)
h∇Ei ∇Ej ∇f, Ei i.

Assim, a equação (2.8) é equivalente a
n+1
n+1
X
X
1
2
∆(|∇f | ) =
h∇f, Ej ih∇Ei ∇Ej ∇f, Ei i +
h∇Ei ∇f, ∇Ei ∇f i.
2
i,j=1
i=1

Usando a definição de curvatura temos:
hR(Ei , Ej )∇f, Ei i = h∇Ei ∇Ej ∇f − ∇Ej ∇Ei ∇f − ∇[Ei ,Ej ] ∇f, Ei i.
Do fato de que {Ei }n+1
i=1 é um referencial geodésico em p, temos
[Ei , Ej ](p) = ∇Ei Ej (p) − ∇Ej Ei (p) = 0
donde
h∇Ei ∇Ej ∇f, Ei i = hR(Ei , Ej )∇f, Ei i + h∇Ej ∇Ei ∇f, Ei i.
35

(2.9)

Como, por propriedades de curvatura, vale
hR(Ei , Ej )∇f, Ei i = hR(Ej , Ei )Ei , ∇f i,
implica que (2.9) é equivalente a
n+1
X
1
2
∆(|∇f | ) =
h∇f, Ej ihR(Ej , Ei )Ei , ∇f i
2
i,j=1

+

n+1
X

h∇f, Ej ih∇Ej ∇Ei ∇f, Ei i

(2.10)

i,j=1

+

n+1
X

h∇Ei ∇f, ∇Ei ∇f i.

i=1

Em

Pn+1

i,j=1 h∇f, Ej ihR(Ej , Ei )Ei , ∇f i podemos reescrever

n+1
X

h∇f, Ej ihR(Ej , Ei )Ei , ∇f i =

i,j=1

*

n+1
X

n+1
X

R

i=1

=

n+1
X

!
h∇f, Ej iEj , Ei

+
Ei , ∇f

j=1

hR(∇f, Ei )Ei , ∇f i

i=1

= Ric(∇f, ∇f ).
Reescrevendo
que
n+1
X

Pn+1

i,j=1 h∇f, Ej ih∇Ej ∇Ei ∇f, Ei i em (2.10) de maneira conveniente, veja

h∇f, Ej ih∇Ej ∇Ei ∇f, Ei i =

n+1
X

Ej (f )h∇Ej ∇Ei ∇f, Ei i

i,j=1

i,j=1

=

n+1
X

h∇Ej (f )Ej ∇Ei ∇f, Ei i

i,j=1

=
=

n+1
X
i=1
n+1
X

h∇∇f ∇Ei ∇f, Ei i
∇f (h∇Ei ∇f, Ei i)

i=1

Por outro lado,
n+1
X

∇f (h∇Ei ∇f, Ei i) = ∇f (∆f ) = h∇f, ∇(∆f )i.

i=1

36

Por último, na equação (2.10), vamos reescrever
maneira:
n+1
X
h∇Ei ∇f, ∇Ei ∇f i =

n+1
X

i=1

i,j,k=1

=

n+1
X

Pn+1

i=1 h∇Ei ∇f, ∇Ei ∇f i, da seguinte

h∇Ei Ej (f )Ej , ∇Ei Ek (f )Ek i

h∇Ei Ej (f )Ej , ∇Ei Ej (f )Ej i

i,j=1

=

n+1
X

hEi (Ej (f ))Ej , Ei (Ej (f ))Ej i

i,j=1

=

n+1
X

|Ei (Ej (f ))|2

i,j=1

=

n+1
X

|Ei h∇f, Ej i|2 .

i,j=1

Agora, como
n+1
X

|Ei h∇f, Ej i|2 =

i,j=1

n+1
X

|h∇Ei ∇f, Ej i|2

i,j=1

=

n+1
X

| Hess(f )(Ei , Ej )|2

i,j=1

= | Hess(f )|2 ,
obtemos finalmente que
1
∆(|∇f |2 ) = Ric(∇f, ∇f ) + h∇f, ∇(∆f )i + | Hess(f )|2
2
e o resultado segue.

Dada f ∈ C ∞ (Ω), e fixado um ponto p ∈ Ω, utilizaremos a seguinte notação:
fij = Hess(f )(Ei , Ej ),
fi = h∇f, Ei i
onde {Ei }ni=1 é uma base ortonormal definida em uma vizinhança de p. Além disso, ∇f,
∆f e Hess f denotam o gradiente, Laplaciano e o Hessiano de f em Ω, Ric a curvatura
de Ricci de Ω, enquanto ∇z e ∆z denotam o gradiente e o Laplaciano de z = f |M .
A prova do teorema 2.2 consiste basicamente em integrar a fórmula de BochnerLichnerowicz (2.7).
37

Teorema 2.2 (Reilly). Seja Ω uma variedade Riemanniana compacta de dimensão n + 1
com bordo M = ∂Ω. Suponha que f é uma função definida em Ω satisfazendo ∆f = g
em Ω e f |M = z. Então
Z
Z
2
2
[2(∆z)u + nHu2 + Hη (∇z, ∇z)]dA,
[g − | Hess f | − Ric(∇f, ∇f )]dV =
M

Ω

onde H e Hη (∇z, ∇z) denotam, respectivamente, a curvatura média e a segunda forma
fundamental de M em relação ao normal exterior unitário η, u = ∂f /∂η e Ric(∇f, ∇f )
é a curvatura de Ricci de Ω.
Demonstração. Integrando a fórmula (2.7), temos
Z
Z
1
2
∆(|∇f | )dV = [| Hess(f )|2 + h∇g, ∇f i + Ric(∇f, ∇f )]dV.
Ω
Ω 2

(2.11)

Seja {E1 , . . . , En+1 } uma base ortonormal definida numa vizinhança do bordo de Ω
tal que em q ∈ ∂Ω, {E1 , . . . , En } são tangentes a M e En+1 = η é o vetor unitário normal
exterior a M.
Usando a fórmula de Green (2.5) na equação (2.11), obtemos
Z
Z
Z
2
gu.
h∇f, ∇gi = − g +
Sendo g = ∆f =

M

Ω

Ω

Pn+1

i=1 fii , escrevemos

g = fn+1,n+1 +

n
X

fkk .

k=1

Então,
Z

Z
h∇f, ∇gi = −

Ω

Ω

g2 +

Z
u fn+1,n+1 +
M

n
X

!
fkk

.

(2.12)

k=1

Pelo Teorema (1.1), temos
Z
Z
1
1
2
div(∇(|∇f |2 ))dV
∆(|∇f | ) =
2 Ω
2 Ω
Z
1
=
h∇(|∇f |2 ), ηidA.
2 M
Além disso,
1
1
h∇(|∇f |2 ), ηi =
η(|∇f |2 )
2
2
1
=
η(h∇f, ∇f i)
2
= h∇η ∇f, ∇f i.
38

(2.13)

Na equação (2.13), escrevendo convenientemente
∇f =

n+1
X

h∇f, Ei iEi ,

i=1

acarreta que
*

1
h∇(|∇f |2 ), ηi =
2

∇η ∇f,

n+1
X

+
h∇f, Ei iEi

i=1

n+1
X
=
h∇f, Ei ih∇η ∇f, Ei i
i=1
n+1
X

=

fi fn+1,i

i=1

= ufn+1,n+1 +

n
X

fk fn+1,k .

k=1

Portanto, escrevemos
1
2

Z

∆(|∇f |2 ) =

Z
ufn+1,n+1 +
M

Ω

n
X

!
fk fn+1,k

.

(2.14)

k=1

Agora, ao subtrair (2.12) de (2.14) obtemos
Z
Z
1
2
∆(|∇f | ) −
h∇f, ∇gi =
2 Ω
Ω
! Z
Z
n
X
ufn+1,n+1 +
fk fn+1,k + g 2
=
M

−

u fn+1,n+1 +
M

Z
=
M

Ω

k=1

Z
n
X

n
X

!
fkk

k=1
n
X

fk fn+1,k − u

k=1

k=1

!
fkk

Z
+

g2.

Ω

Observe que
fn+1,k =
=
=
=

fk,n+1 = h∇Ek ∇f, En+1 i
Ek h∇f, En+1 i − h∇f, ∇Ek En+1 i
Ek (u) − h∇z + uEn+1 , ∇Ek En+1 i
Ek (u) − h∇z, ∇Ek En+1 i − uhEn+1 , ∇Ek En+1 i.

Lembrando que |En+1 | = 1, segue que
Ek (|En+1 |2 ) = 0,
39

(2.15)

donde

1
hEn+1 , ∇Ek En+1 i = Ek (|En+1 |2 ) = 0.
2
Logo, o terceiro termo da direita da equação (2.15) é igual a zero. Por conseguinte
fk,n+1 = Ek (u) − h∇z, ∇Ek En+1 i
* n
+
X
= Ek (u) −
El (z)El , ∇Ek En+1
= Ek (u) −

* l=1
n
X

+
zl El , ∇Ek En+1

l=1

= Ek (u) −

n
X

zl hEl , ∇Ek En+1 i

l=1

e, desta forma, escrevemos
n
X

fk fk,n+1 =

k=1

=

n
X
k=1
n
X

zk

Ek (u) −

n
X

!
zl hEl , ∇Ek En+1 i

l=1
n
X

zk Ek (u) −

zk zl hEl , ∇Ek En+1 i,

(2.16)

k,l=1

k=1

uma vez que, para k = 1, . . . , n, temos que
fk = h∇f, En+1 i
= h∇z + uEn+1 , Ek i
= h∇z, Ek i
= zk .
Pn
Em (2.16), reescreveremos k=1 zk Ek (u) como:
n
X

zk Ek (u) =

k=1

n
X

zk h∇u, Ek i

k=1
*

∇u,

=

n
X

+
zk Ek

(2.17)

k=1

= h∇u, ∇zi.
A parcela

Pn

k,l=1 zk zl hEl , ∇Ek En+1 i em (2.16), escrevemos da seguinte forma
n
X

zk zl hEl , ∇Ek En+1 i =

k,l=1

n
X

hfl El , ∇fk Ek En+1 i

k,l=1

=
=
=
=
40

h∇z, ∇∇z En+1 i
−h∇∇z ∇z, En+1 i
hσ(∇z, ∇z), ηi
Hη (∇z, ∇z).

(2.18)

Agora, substituindo (2.17) e (2.18) em (2.16), temos
n
X

fk fk,n+1 = h∇u, ∇zi − Hη (∇z, ∇z).

k=1

Precisamos mostrar agora que:
n
X

u

!
fkk

= u(∆z + nuH)

k=1

Inicialmente, decompomos ∇Ek Ek da seguinte maneira:
∇Ek Ek = (∇Ek Ek )N + (∇Ek Ek )T ,
onde ( )N é a componente de ∇Ek Ek normal a T M ( )T é a componente de ∇Ek Ek
tangente a T M.
Observe que
n
X

fkk

n
X
=
h∇Ek ∇f, Ek i

k=1

k=1

=

n
X

Ek h∇f, Ek i −

Na igualdade anterior, somando e subtraindo
fkk =

n
X

h∇f, ∇Ek Ek i.

k=1

k=1

n
X

n
X

Pn

k=1 h∇f, (∇Ek Ek )

Ek h∇f, Ek i − h∇f, (∇Ek Ek )T i

T

i, obtemos



k=1

k=1

−

n
X


h∇f, ∇Ek Ek i − h∇f, (∇Ek Ek )T i .

k=1

Além disso, veja que
n
X
∆z =
h∇Ek ∇z, Ek i

=
=

k=1
n
X

(Ek h∇z, Ek i − h∇z, ∇Ek Ek i)

k=1
n
X

(Ek h∇f − uEn+1 , Ek i − h∇f − uEn+1 , ∇Ek Ek i)

k=1
n
X
=
(Ek h∇f, Ek i − h∇f − uEn+1 , ∇Ek Ek i).
k=1

41

(2.19)

Por outro lado, escrevemos
n
X
h∇f − uEn+1 , ∇Ek Ek i =
k=1

=

n
X

h∇f − uEn+1 , (∇Ek Ek )N + (∇Ek Ek )T i

k=1

=

n
X

(h∇f, (∇Ek Ek )N i + h∇f, (∇Ek Ek )T i

k=1

− uhEn+1 , (∇Ek Ek )N i − uhEn+1 , (∇Ek Ek )T i)
n
X
=
(uhEn+1 , (∇Ek Ek )N i + h∇f, (∇Ek Ek )T i
k=1

− uhEn+1 , (∇Ek Ek )N i − uhEn+1 , (∇Ek Ek )T i)
n
X
h∇f, (∇Ek Ek )T i.
=
k=1

Assim,
∆z =

n
X


Ek h∇f, Ek i − h∇f, (∇Ek Ek )T i .

k=1

Portanto, a equação (2.19) é equivalente a
n
X

fkk = ∆z −

k=1

= ∆z −
= ∆z −

n
X

∇f, ∇Ek Ek − (∇Ek Ek )T

k=1
n+1
n X
X
k=1 i=1
n+1
n X
X

h∇f, Ei iEi , (∇Ek Ek )N
h∇f, Ei i Ei , (∇Ek Ek )N .

k=1 i=1

Como En+1 = η, o produto hEi , (∇Eα Eα )N i =
6 0 somente se i = n + 1.
Logo,
n
X
k=1

fkk

n
X
= ∆z −
h∇f, En+1 ihEn+1 , ∇Ek Ek i
k=1

= ∆z + u
= ∆z + nu

n
X
k=1
n
X
k=1

= ∆z + nuH.
42

!
−hEn+1 , ∇Ek Ek i

Hη (Ek , Ek )

Portanto, podemos escrever
Z
Z
Z
1
2
h∇f, ∇gi =
g2
∆(|∇f | ) −
2 Ω
Ω
ZΩ
+
[h∇u, ∇zi − H(∇z, ∇z) − u(∆z + nuH)].

(2.20)

M

Voltando à (2.11), vemos que
Z
Z
Z
1
2
∆(|∇f | ) − h∇f, ∇gi = [Ric(∇f, ∇f ) + | Hess(f )|2 ],
2 Ω
Ω
Ω

(2.21)

e agora, substituindo (2.20) em (2.21) temos
Z
Z
[h∇u, ∇zi − Hη (∇z, ∇z) − u(∆z + nuH)] + g 2 =
M
Ω
Z
=
[Ric(∇f, ∇f ) + | Hess f |2 ],
Ω

isto é,
Z
Z
2
2
[g − | Hess f | − Ric(∇f, ∇f )] =
[u(∆z + nuH) − h∇u, ∇zi + Hη (∇z, ∇z)] (2.22)
Ω

M

R
Finalmente, note que pela fórmula de Green (2.5) e usando o fato de que ∂M hu∇z, ηi =
0, obtemos
Z
Z
h∇u, ∇zi = −
M

u∆z.
M

Substituindo na igualdade (2.22), segue que
Z
Z
2
2
[2(∆z)u + nHu2 + Hη (∇z, ∇z)]
[g − | Hess f | − Ric(∇f, ∇f )] =
M

Ω

e concluı́mos a demonstração.


2.3

Desigualdade de Heintze-Karcher-Ros

A Desigualdade de Heintze-Karcher-Ros, que passaremos a apresentar, consiste basicamente em aplicarmos a Fórmula de Reilly em sua demonstração. Esta desigualdade
nos auxiliará na demonstração do Teorema de Aleksandrov.
Antes, precisamos de dois teoremas. Para provar o segundo deles, precisaremos de
um lema.
Teorema 2.3. Seja ϕ : M → Rn+1 uma hipersuperfı́cie compacta tal que Ω é o domı́nio
compacto limitado por M. Então existe uma única função diferenciável f : Ω → R que é
a solução do seguinte problema de Dirichlet:

∆(f ) = 1,
em Ω
z = f |M = 0, em M = ∂Ω.
43

Demonstração. Uma prova deste resultado pode ser vista em [7].

Lema 2.4 (Identidade de Ricci). Dada f ∈ C 3 (M ), para quaisquer 1 ≤ i, j, k ≤ n, vale
a igualdade:
fikl = filk + Rklsi fs ,
(2.23)
onde Rklsi são os coeficientes de Ricci.
Demonstração. Uma prova deste fato pode ser vista em [22], página 214.
Teorema 2.4. Suponha que Ω admite uma função f : Ω → R e uma constante L 6= 0
tal que
1. Hess(f ) = Lh , i;
2. z = f |M é constante.
Então Ω é isométrica a uma bola euclidiana.
Demonstração. Considere h , i = g. Sem perda de generalidade podemos assumir que
L = 1 e que o valor máximo de f em Ω é 0, isto é
maxΩ f = 0
Usando o item (a), temos que
∆(f ) = tr Hess(f ) = trg =

n
X
i,j=1

g ij gij =

n
X

δii = n > 0

i=1

logo f é uma função subharmônica, portanto pelo princı́pio do máximo para funções
subharmônicas, f não pode assumir esse máximo em um ponto de Ω \ M. Combinando
este fato com o item (b), isto implica que z ≡ 0 e que f < 0 em Ω \ M. Assim, f assume
um valor mı́nimo negativo, digamos −R2 /2, em algum ponto q ∈ Ω \ M, uma vez que Ω
é variedade Riemanniana compacta.
Seja agora γ(s) uma geodésica qualquer parametrizada pelo comprimento de arco, tal
que γ(0) = q, e ponha h(s) = f (γ(s)). O item (a) juntamente com L = 1 implica que
d
h0 (s) = (f ◦ γ)(s) = h∇f (γ(s)), γ 0 (s)i, donde
ds
D
D
(∇f (γ(s)), γ 0 (s)i + h∇f (γ(s)), (γ 0 (s))
ds
ds
0
= h∇γ 0 (s) ∇f (γ(s)), γ (s)i
= hHess(f )γ(s) (γ 0 (s)), γ 0 (s)i
= 1,

h00 (s) = h

D 0
(γ (s)) = 0. Assim, h(s) deve ser um polinômio quadrático
ds
da forma s2 /2 + as + b em s. Usando o fato de que f (q) = −R2 /2 e ∇f (q) = 0 temos que
posto que Hess(f ) = g e

44

h(0) = f (γ(0)) = f (q) = −R2 /2 e com isso, b = −R2 /2. Por outro lado, h0 (s) = s + a,
daı́ h0 (0) = a, ou seja, h0 (0) = h∇f (q), γ 0 (0)i = a, isto implica que a = 0, donde
h(s) = (s2 − R2 )/2.
Sabemos que γ pode ser estendida, pelo menos, até a fronteira M = f −1 (0) e f ≤ 0
em Ω, isso significa que cada geodésica é definida para 0 ≤ s ≤ R mas não para s > R.
Segue-se da Proposição 1.6 que a aplicação exponencial expq : Tq Ω → Ω é um difeomorfismo de B(0, ) ⊂ Tq Ω sobre um aberto de Ω e que
f (p) = (d(p, q)2 − R2 )/2,
pois s é o próprio comprimento de arco, onde p ∈ Ω e d é a distância Riemanniana
em Ω. Para finalizar a prova, devemos mostrar que a métrica em Ω é plana. Para tal,
introduziremos coordenadas locais em Ω e usaremos a notação padrão da análise tensorial
clássica. Desta forma, o item (a) toma a seguinte forma:
f,ij = gij .
A expressão (2.23) no Lema 2.4 fica assim:
X
l
l
f,l Rijk
= f,l Rijk
f,ijk −f,ikj =

(2.24)

(2.25)

l
l
Sabemos de [3], página 103, que Rijk
glt = Rijkt e multiplicando ambos os membros
ts
l
.δls = Rijkt .g ts , donde
desta igualdade por g à direita, obtemos Rijk
l
Rijk
= g tl Rijkt = g lt Rktij = g lt Rtikj .

(2.26)

Substituindo (2.26) em (2.25) e levando em conta que f,ijk = (gij )k = (gji )k = (gkj )i =
(gik )j = f,ikj obtemos
0 = f,ijk −f,ikj = f,l g lt Rtikj
(2.27)
Diferenciando a expressão (2.27) uma vez mais, vemos que
0 = f,lr g lt Rtikj + f,l g lt ,r Rtikj + f,l g lt Rtikj ,r ,
consequêntemente
0 = Rrikj + f,l g lt Rtikj ,r

(2.28)

uma vez que f,lr = glr , g lt ,r = 0 e δrt = 1 quando r = t. Permutando i com r e j com k
em (2.28) e somando com (2.28) temos
0 = (Rirkj + Rrikj ) + g lt f,l (Rtrjk ,i +Rtikj ,r )

(2.29)

e usando a simetria do tensor curvatura com a conhecida identidade de Bianchi
Rtikj ,r +Rrtkj ,i +Rirkj ,t = 0
em (2.29) vem que
0 = 2Rrikj + g lt f,l (Rtrjk ,i −Rrtkj ,i −Rirkj ,t )
= 2Rrikj + g lt f,l (Rtrjk ,i +Rtrkj ,i −Rirkj ,t )
= 2Rrikj + g lt f,l Rrikj ,t .
45

(2.30)

Agora, usando o fato de que ∇f (q) = 0, de (2.30) implica que Rrikj (q) = 0.
A seguir, considere p ∈ Ω, p 6= q. Existe, portanto, uma única geodésica γ(s), 0 ≤
s ≤ d = d(p, q), ligando q a p. Escolhendo coordenadas de Fermi ao longo de γ(isto é,
∂gij
coordenadas para as quais gij = δij e
= 0 nos pontos de γ, mais detalhes em [5]).
∂xk
Por (2.24), temos f,ss = 1 e f,sj = 0, j 6= s, donde f,s = s usando que f,x (q) = 0, ∀x.
Como cada função h(s) = (Rrikj ◦ γ)(s) é tal que h0 (s) = Rrikj ,s (γ(s)) então, em γ(s), a
expressão (2.30) pode ser reescrita como
0 = 2h(s) + δ ls f,l Rrikj ,s
= 2h(s) + f,s Rrikj ,s
= 2h(s) + sh0 (s)

(2.31)

Sabemos que toda solução da EDO (2.31) é da forma Cs−2 , onde C é constante; em
particular, a única solução que é contı́nua em s = 0 é h ≡ 0. Segue-se daı́ que Rrikj = 0
em cada ponto de Ω, donde concluı́mos que a métrica é plana em Ω, o que prova o
resultado.

Agora estamos em condições de enunciar e provar a Desigualdade de Heintze-KarcherRos, principal resultado deste capı́tulo. De agora em diante, salvo menção explı́cita em
contrário, M denota uma hipersuperfı́cie compacta mergulhada em Rn+1 e Ω ⊂ Rn+1
representa um domı́nio compacto que tem M como fronteira.
Teorema 2.5 (Desigualdade de Heintze-Karcher-Ros). Seja Ωn+1 uma variedade Riemanniana compacta com fronteira suave M , curvatura de Ricci não negativa e considere
sobre M a orientação dada pelo campo normal unitário interior. Seja H a curvatura
média de M . Se H é positiva em todo ponto de M , então
Z
1
dA ≥ (n + 1)V.
(2.32)
M H
A igualdade ocorre se, e somente se, Ω é isométrica a uma bola Euclidiana.
Demonstração. Seja f ∈ C ∞ (Ω) solução do problema de Dirichlet dada pelo Teorema
2.3, e considerando f |M temos ∇f (x) = 0 e ∆f (x) = 0 para todo x ∈ M.
Desta forma, usando o Teorema 2.2 obtemos
Z
Z
2
(1 − | Hess f | − Ric(∇f, ∇f ))dV = n
Hu2 dA
(2.33)
Ω

M

Agora veja que, sendo {e1 , . . . , en+1 } a base canônica de Rn+1 , temos o seguinte
!2
n+1
n+1
X
X
2
(∆f ) =
Hess(f )(ei , ei ) ≤ (n + 1)
| Hess(f )(ei , ei )|2
i=1

≤ (n + 1)

i=1
n+1
X

| Hess(f )(ei , ej )|2 = (n + 1)| Hess(f )|2

i,j=1

46

(2.34)

onde a segunda relação é a desigualdade de Cauchy-Schwarz. A igualdade vale nessa
relação se e somente se Hess(f )(ek , ek ) = Hess(f )(el , el ) para todo par de ı́ndices k e l.
A terceira relação de (2.34) é uma igualdade se e somente se Hess(f )(ei , ej ) = 0 para
todo i 6= j. Portanto,(∆f )2 ≤ (n + 1)| Hess(f )|2 , e a igualdade vale em algum x ∈ Ω se
e somente se existe um escalar λ(x) tal que Hess(f )(., .) = λ(x)h., .i. Mas, ∆f = 1 e daı́
1
λ(x) deve ser n+1
. Por conseguinte, temos
| Hess(f )|2 ≥

1
,
n+1

(2.35)

1
h., .i neste
onde a igualdade é válida em algum x ∈ Ω se e somente se Hess(f )(., .) = n+1
ponto.
Assim, substituindo (2.35) em (2.33) resulta que
Z
Z
Z
n
2
2
dV,
n
Hu dA = (1 − | Hess(f )| − Ric(∇f, ∇f ))dV ≤
n+1 Ω
M
Ω
n
uma vez que 1 − | Hess(f )|2 ≤ n+1
e Ric(∇f, ∇f ) ≥ 0, isto é
Z
1
Hu2 dA ≤
V.
n+1
M

(2.36)

R
R
Por outro lado, segue, via Teorema 1.1, que V = Ω ∆f dV = − M udA, donde
aplicando a Desigualdade de Schwarz e (2.36) temos que
V

2

2 Z
2
√
1
( Hu) √ dA
udA =
=
H
M
M
Z
Z
Z
1
1
V
2
Hu dA
≤
dA ≤
dA,
n+1 M H
M H
M
Z

ou seja,
1
V ≤
n+1

Z

1
dA.
M H

(2.37)

Observe que (2.37) é uma igualdade se e somente se (2.36) é uma igualdade. Mas
(2.36) é uma igualdade se e somente se (2.35) o for, ou seja, se para todo x ∈ Ω a função
1
f satisfaz a igualdade Hess(f )(., .) = n+1
h., .i.
Pelo Teorema 2.4, usando o fato de que f |M = 0, segue que Ω é isométrica a uma
bola Euclidiana.


47

Capı́tulo 3
Aplicações
3.1

O Teorema de Aleksandrov para r-curvatura média
constante

O tópico que estuda as hipersuperfı́cies compactas ϕ : M n → Rn+1 que possuem
alguma r-curvatura média constante teve como principal suporte o método de Reilly [17].
O caso em que H é constante configura um teorema clássico, provado por Aleksandrov
em [1]. Em 1988, Ros [19] pôde estender o Teorema de Aleksandrov para o caso das
hipersuperfı́cies compactas com curvatura escalar H2 constante. De maneira mais geral,
Ros [18] foi capaz de caracterizar as hiperesferas imersas ou mergulhadas no espaço
euclidiano estendendo este resultado ao caso de hipersuperfı́cies compactas com alguma
r-curvatura média constante. Mais precisamente, ele demonstrou o seguinte
Teorema 3.1. Seja ϕ : M n → Rn+1 uma hipersuperfı́cie compacta e mergulhada no
espaço Euclidiano Rn+1 . Se Hr é constante para algum r = 1, . . . , n, então M n é uma
esfera.
Demonstração.
Por M n ser compacta, segue da Proposição 1.15, que existe um ponto onde todas as
curvaturas principais, em relação ao normal interior, são positivas.
1
Portanto, pelo Teorema 1.3, Hr é uma constante positiva e além disso, Hrr ≤ H em
M. Utilizando o Teorema 2.5, temos que
Z
Z
1
1
(n + 1).V ≤
dA ≤
1 dA
M H
M Hrr
Z
A
1
=
dA = 1 ,
(3.1)
1
Hrr M
Hrr
ou seja,
1

(n + 1)Hrr .V ≤ A,

(3.2)

ocorrendo a igualdade se, e somente se, M n é umbı́lica. Mais uma vez pelo Teorema 1.3
temos
r−1
Hr−1 ≥ Hr r .
(3.3)
48

Combinando esta desigualdade com a Fórmula de Minkowski(Teorema 2.1) temos o
seguinte
Z
(Hr−1 + Hr hϕ, N i)dA
0 =
M
Z
r−1
≥
(Hr r + Hr hϕ, N i)dA
M
Z
r−1
1
r
(1 + Hrr hϕ, N i)dA.
= Hr
M

Assim

Z

1

(1 + Hrr hϕ, N i)dA ≤ 0.

(3.4)

M

Se Ω ∈ Rn+1 é o domı́nio compacto limitado por M n com ∂Ω = M n e x denota o
vetor posição em Rn+1 , então
2

∆|x| =

n+1 2
X
∂ |x|2
i=1

∂x2i

= 2(n + 1),

onde ∆ representa o Laplaciano euclidiano.
Portanto, pelo Teorema 1.1, obtemos
Z
Z
1
hϕ, N idA =
h2ϕ, −N idA
−
2 M
M
Z
1
=
div(∇|x|2 )dV
2 Ω
Z
1
=
∆|x|2 dV
2 Ω
= (n + 1).V,
isto é,
Z
hϕ, N idA = (n + 1).V,

−

(3.5)

M

onde N é escolhido sendo o campo normal interior em relação a Ω.
1
Ao multiplicar a igualdade (3.5) por Hrr e subrair A de ambos os membros considerando que Hr > 0, obtemos
Z
1
1
r
Hrr hϕ, N idA
A − Hr (n + 1).V = A +
M
Z
1
=
(1 + Hrr hϕ, N i)dA.
M

Por conseguinte, pela desigualdade (3.4), temos
1

A ≤ Hrr (n + 1).V.
49

Decorre disto, juntamente com a desigualdade (3.2), que
1

A = (n + 1)Hrr .V,
daı́ as desigualdades em (3.1) tornar-se-ão em igualdade, o que finaliza a prova.


3.2

Uma extensão do Teorema de Aleksandrov

Em linhas gerais, nesta seção, queremos provar o seguinte resultado: Se Ω é um ponto
crı́tico do funcional isoperimétrico
Ω 7−→

A(∂Ω)n+1
,
V(Ω)n

então Ω é isométrica a uma bola euclidiana.
Com este intuito, vamos introduzir as seguintes definições e fixar as seguintes notações
e resultados como se seguem.
Dada uma variedade Riemanniana M n , n-dimensional, compacta, orientada e com
bordo, seja Ω ⊂ M um domı́nio compacto com bordo suave e ϕ : Ω ⊂ M n → N n+1 uma
imersão de M n em uma variedade Riemanniana (n + 1)-dimensional N n+1 .
Uma variação de ϕ é uma aplicação diferenciável
Ψ : (−, ) × D → N,
tal que, para todo t ∈ (−, ), a aplicação Ψt : D → N para p ∈ D é definida por
Ψt (p) = Ψ(t, p), com Ψ0 = ϕ e Ψt ∂Ω = ϕ ∂Ω , para todo t ∈ (−, ).
O campo variacional associado a Ψ é o campo vetorial ao longo de ϕ dado por
X(p) =

e sua componente normal é f =

∂
Ψ(t, p)
∂t
t=0

, ν , onde ν é um campo de vetores, normal

∂
Ψ
∂t t=0

e unitário em M.
Uma variação é dita normal se o campo variacional X é normal a imersão em cada
ponto. Diremos que a variação Ψ tem suporte compacto se X o tiver. Nesse tipo de
variação a valores pequenos de t, temos que Ψt : D → N é uma imersão.
Consequêntemente, Rpodemos associar a Ψ o funcional área A(t) = A(Ψt ), o qual
é definido por A(t) = Ω dAt , onde dAt denota o elemento de área em M associado a
métrica induzida pela imersão Ψt e o funcional volume V(t) dado por
Z
V(t) =
|JΨ|dV,
[0,t]×Ω

o qual mede o volume delimitado entre Ψ0 = ϕ e Ψt e dV é o elemento de volume em N.
Escreveremos A(0) = A para representar a área de Ω.
50

Definição 19. Seja Ω um domı́nio limitado em M n . Dizemos que Ω é um ponto crı́tico
do funcional isoperimétrico se, para qualquer famı́lia a 1-parâmetro de difeomorfismos
Ψt : Ω → Ψt (Ω) = Ωt vale
d
A(Ψt (∂Ω))
= 0.
dt
t=0
A primeira variação da área de Ω ao longo do campo variacional X é definido por
Z
Z
d
d
d
A(t)
=
dAt
dAt
=
dt
dt Ω
Ω dt
t=0
t=0
t=0
Por outro lado, conforme vemos em [15], pág. 193, se uma função f : Ω → R, então
podemos escrever a igualdade acima da seguinte maneira:
Z
Z
0
0
A (0) = −n f HdA
e
V (0) = − f dA
(3.6)
Ω

Ω

onde H é a curvatura média de ϕ com relação ao campo normal exterior ν.
Agora, como consequência direta de (3.6), temos que, uma hipersuperfı́cie compacta
mergulhada no espaço euclidiano é um ponto crı́tico do funcional isoperimétrico se, e
somente se, tem curvatura média constante (cf. [15], pág. 197).
Vamos ao
n+1

Teorema 3.2. Sejam M
uma variedade Riemanniana com curvatura de Ricci nãonegativa e Ω um domı́nio compacto em M com bordo suave. Se Ω é um ponto crı́tico do
funcional isoperimétrico
A(∂Ω)n+1
,
Ω 7−→
V(Ω)n
então Ω é isométrica a uma bola euclidiana.
Demonstração. Dada uma função suave f em ∂Ω, consideremos a variação normal de
∂Ω dada por
Ψt : ∂Ω −→ M
p 7−→ expp (−tf (p)N (p)),
onde exp é a aplicação exponencial de M . Segue da compacidade de Ω, que Ψt determina
uma variação de Ω e Ωt para |t| < .
Por outro lado, colocando V(t) = V(Ωt ) e A(t) = A(∂Ωt ), a fórmula da primeira
variação da área dos funcionais V(t) e A(t) são dadas por
Z
Z
0
0
A (0) = n
f HdA
e
V (0) =
f dA.
∂Ω

∂Ω

Por hipótese, temos
d
A(t)n+1
= 0,
dt t=0 V(t)n
51

ou seja

que é equivalente a

ou ainda

An
(n + 1). n
V

Z

An+1
nf dA − n. n+1
V
∂Ω

An
n. n+1
V

Z

Z
f dA = 0,
∂Ω

f [(n + 1)HV − A]dA = 0,
∂Ω

Z
f [(n + 1)HV − A]dA = 0,

∀f.

∂Ω

Logo,
(n + 1)VH = A,
donde
H=

A
.
(n + 1)V

Portanto, temos a igualdade em (2.32) no Teorema 2.5 e o resultado segue.


52

Capı́tulo 4
Aleksandrov Generalizado
Neste capı́tulo estaremos estendendo o Teorema 3.1 no seguinte sentido: Se S ⊂ Rn+1
é uma hipersuperfı́cie compacta mergulhada com alguma curvatura média alta constante
em um cone convexo suave por partes C e perpendicular a ∂C, então S é parte de uma
hiperesfera redonda.
Em todos os resultados, seguiremos de perto o artigo de Choe & Park [4].

4.1

Hipersuperfı́cies mergulhadas em um cone convexo

A fim de provar o teorema supracitado, precisamos estender as fórmulas de Minkowski
e Reilly do capı́tulo 2. Façamos, então, as seguintes considerações.
Definição 20. Seja Ω ⊂ Sn+1 uma hipersuperfı́cie compacta imersa em Rn+1 e A o seu
volume. Definimos o cone C := p × Ω sobre Ω com vértice p como a união de todos os
segmetos de reta de p a q, sobre todos os pontos q ∈ Ω.
Sendo S ⊂ C e mergulhada, a região delimitada entre S e ∂C é um domı́nio D cujo
o volume é denotado por V.
Mesmo quando S possui auto-intersecções e fronteira não-vazia, pode-se definir o
volume V delimitado por S com relação a p ∈ Rn+1 de modo natural como sendo o
volume de p × S.
0

0

Note que ∂(p × S) é a união disjunta de ∂(C ) com S, onde C := p × ∂S. Se η denota o
−
normal unitário exterior a S e X(q) := →
pq, então integrando ∆|X|2 = 2(n + 1) em p × S,
onde ∆ é o Laplaciano em Rn+1 e levando em conta que h∇η X, Xi = 0 ao longo de X
0

0

em ∂(C ), onde η denota o normal exterior a ∂(C ), temos
Z
Z
1
1
1
2
(n + 1)V =
(2(n + 1)V ) =
∆|X| dV =
div(∇|X|2 )dV
2
2 p×S
2 p×S
Z
Z
Z
1
1
1
2
2
=
h∇|X| , ηidA =
η(|X| )dA =
ηhX, Xi
2 ∂(p×S)
2 ∂(p×S)
2 ∂(p×S)

53

Z

Z

Z
hη, XidA =

h∇η X, XidA =

=
∂(p×S)

∂(p×S)

Z
0

hX, ηi +

∂(C )

hη, XidA
S

Z
hη, XidA,

=
S

isto é,
Z
hX, ηi.

(n + 1)V =

(4.1)

S

Figura 4.1: Hipersuperfı́cie S mergulhada no cone C.
Por outro lado, veja que, pelo Lema 2.1, temos, para r = 0, que
∆|X|2 = L0 |X|2 = 2[n − S1 hX, ηi] = 2[n − nHhX, ηi] = 2n[1 − HhX, ηi],
ou seja,
1
∆|X|2 = 1 − HhX, ηi
(4.2)
2n
em S, onde ∆ é o Laplaciano em S.
À partir de (4.1) e (4.2) podemos estender a fórmula de Minkowski da seguinte maneira. Assuma que ∂S = ∅ e seja St uma superfı́cie paralela a S, isto é, o conjunto dos
pontos à distância t de S, na direção η. Seguindo, neste ponto, os argumentos contidos
em [15], temos um difeomorfismo φt : S → St para cada t, |t| <  e St = φt (S). Note que,
dados p ∈ S e v ∈ Tp S, temos
(dφt )p (v) = v + tAp (v),
daı́, para todo p ∈ S, o espaço tangente a S em p coincide com o espaço tangente a St
em pt = p − tη(p), de tal modo que ηt (pt ) = η(p) define uma orientação em St . Por outro
lado, ηt ◦ φt = η. Desta forma, para cada p ∈ S temos, usando a regra da cadeia, que
Ap = −dηp = −(dηt )φt (p) (dφt )p = (At )pt (dφt )p .
Denotando (At )pt por At , seja v ∈ Tp S um autovetor de Ap associado a um autovalor
λ. Assim, obtemos
λv = Ap (v) = At (dφt )p (v) = At (v + tAp (v)) = (1 + λt)At (v).
54

Agora, veja que, se 1 + λt = 0 para algum t ∈ (−, ), então (dφt )p (v) = 0 com v 6= 0,
contradizendo o fato de φt ser um difeomorfismo. Portanto,
At (v) =

λ
v,
1 + tλ

λ
. Em particular, se e1 , . . . , en ∈
1 + λt
Tp S são direções principais de S com curvaturas principais k1 (p), . . . , kn (p), respectivamente, então e1 , . . . , en também são direções principais de St em pt com curvaturas
principais
ki (p)
,
i = 1, . . . , n.
ki (pt ) =
1 + tki (p)
isto é, v é um autovetor de At associado ao autovalor

Como St = φt (S), usando o fato de que em uma base de Tp S formada por direções
principais, vale
(dφt )p = I + tAp = diag((1 + tk1 (p), . . . , 1 + tkn (p))),
então, sendo o determinante invariante por mudança de base, obtemos
det((dφt )p ) =

n
Y
(1 + tki (p)),
i=1

e se dS denota o elemento de volume de S, então o elemento de volume de St é dado por
dSt = (1 + k1 t) . . . (1 + kn t)dS = Pn (t)dS,
onde

(4.3)

 
 
n
n
Pn (t) := (1 + k1 t) . . . (1 + kn t) = 1 +
H1 t + · · · +
Hn tn .
1
n

Sabemos que, sendo o k-ésimo polinômio simétrico elementar em k1 , . . . , kn , Hk é a
k-ésima curvatura média de S, onde H1 = H. Além disso, denotando a curvatura média
H(pt ) de St no ponto pt por H(t), obtemos
n
n
1 X ki
P 0 (t)
1X
ki (pt ) =
= n
.
H(t) =
n i=1
n i=1 1 + ki t
nPn (t)

Consequêntemente, integrando (4.2) em St para t suficientemente pequeno e usando
(4.3) obtemos

Z
Z 
Pn0 (t)
0=
(1 − H(t)hX + tη, ηi) =
1−
hX + tη, ηi
nPn (t)
St
S

Z 
nPn (t) − Pn0 (t)hX + tη, ηi
.
=
nPn (t)
S

55

Assim, usando mais uma vez (4.3) e lembrando que hX + tη, ηi = hX, ηi + t, temos

Z 
Pn0 (t)
t 0
Pn (t) −
0=
hX, ηi − Pn (t) ,
(4.4)
n
n
S
donde

Z 
Pn0 (t)
t 0
(1 − H(t)hX + tη, ηi) =
Pn (t) −
0=
hX, ηi − Pn (t) .
n
n
St
S
Z

Por outro lado,
n
n  
Y
X
n
Pn (t) =
(1 + ki t) =
Hi ti
i
i=1
i=0

e

Pn0 (t) =

 
n
X
n
i
Hi ti−1 .
i
i=1

Assim, obtemos
 
 
n  
n
n
X
Pn0 (t)
t 0
n
tX n
1X n
i
i−1
Pn (t) −
hX, ηi − Pn (t) = 1 +
Hi t −
i
Hi t −
i
Hi ti−1 hX, ηi
i
n
n
n i=1
i
n i=1
i
i=1




n
n
Xn−i n
iX n
Hi ti −
Hi hX, ηiti−1
= 1+
n
i
n
i
i=1
i=1
 
 

n 
X
n−i n
i n
i
i−1
Hi t −
Hi hX, ηit
= 1+
.
n
i
n i
i=1
Agora, veja que
 
n−i
n!
n−i n
=
n
i
n i!(n − i)!
(i + 1)n!
=
n(i + 1)i!(n − (i + 1))!


n
i+1
,
=
i+1
n
assim, a soma dos termos i e i + 1 no último somatório acima, com i = 1, . . . , n − 1 nos
dá
 
 




n−i n
i n
n − (i + 1)
n
i+1
n
i
i−1
i+1
Hi t −
Hi hX, ηit +
Hi+1 t −
Hi+1 hX, ηiti =
n
i
n i
n
i+1
n
i+1
 




i n
n − (i + 1)
n
i+1
n
=−
Hi hX, ηiti−1 +
Hi+1 ti+1 +
{Hi − Hi+1 hX, ηi}ti .
n i
n
n
i+1
i+1
Portanto,


n−1
X
Pn0 (t)
t 0
i+1
n
Pn (t) −
hX, ηi − Pn (t) =
{Hi − Hi+1 hX, ηi}ti .
n
n
n
i
+
1
i=0
56

Substituindo esta igualdade em (4.4), temos

Z
i−1
X
i+1
n
{Hi − Hi+1 hX, ηi}ti dS = 0,
n
i
+
1
S
i=0
para todo t ∈ (−, ). Por fim, usando igualdade de polinômios, segue que
Z
{Hk − Hk+1 hX, ηi} = 0,
k = 1, . . . , n − 1,

(4.5)

S

com H0 = 1.
A seguir, obtemos a fórmula de Minkowski para hipersuperfı́cies imersas com bordo
não-vazio na seguinte
Proposição 4.1. Seja C um domı́nio em Rn+1 , o qual é um cone com bordo suave por
partes e vértice na origem. Seja S uma hipersuperfı́cie imersa em Rn+1 com ∂S ⊂ ∂C
tal que próximo a ∂S, S está contida em C e é perpendicular a ∂C. Então:
Z
(Hk−1 − Hk hX, ηi) = 0,
k = 1, . . . , n
(4.6)
S

Demonstração. Inicialmente, integrando (4.2) em St , aplicando o Teorema da Divergência e considerando que h∇|X + tη|2 , νi = ν(|X + tη|2 ) = 2|X + tη|ν(|X + tη|)
obtemos
Z
t 0
P 0 (t)
P (t)) =
(Pn (t) − n hX, ηi −
n
n n
S
Z
1
∆|X + tη|2
=
2n St
Z
1
=
div(∇|X + tη|2 )
2n St
Z
1
h∇|X + tη|2 , νi
= −
2n ∂St
Z
1
∂
= −
|X + tη| |X + tη|,
n ∂St
∂ν
portanto
Pn0 (t)
t
1
0 = (Pn (t) −
hX, ηi − Pn0 (t)) +
n
n
n
S
Z

Z
|X + tη|
∂St

∂
|X + tη|,
∂ν

(4.7)

onde ν é o vetor normal unitário exterior a ∂St em St . Note que ν é perpendicular a Tq ∂C
e que X(q) + tη é paralelo a Tq ∂C uma vez que S é perpendicular a C e X(q) + tη ∈ S,
para t suficientemente pequeno.
∂
Assim,
|X + tη| = 0 e por conseguinte a segunda integral em (4.7) é igual a zero.
∂ν
Então, para t suficientemente pequeno, a primeira integral em (4.7) é nula, logo
57

Z
(Hk−1 − Hk hX, ηi) = 0,

k = 1, . . . , n,

S

como querı́amos demonstrar.

Seja agora α uma 1-forma em uma variedade Riemanniana M com curvatura R, então
a identidade de Ricci é dada por
((∇X ∇Y − ∇Y ∇X )α)(Z) = α(R(X, Y )Z).
Dada uma função suave f em M, podemos obter a fórmula de Bochner aplicando a
identidade de Ricci a df e tomando o traço, assim
1
h∆ df, dfi = |∇ df |2 + ∆| df |2 + Ric(∇ f, ∇ f).
2
Note que, em um domı́nio D em M n+1 , do Teorema 2.2, temos


Z 
Z
∂f ∂f
2
2
+ Hη (∇ f, ∇ f) ,
2∆ f +nH
((∆ f) − | Hess f | − Ric(∇ f, ∇ f)) =
∂η ∂η
∂D
D
onde ∆ f, Hess f, ∇ f são o Laplaciano, Hessiano e o gradiente de f em M, respectivamente
e ∆ f, ∇ f, H, η, e Hη são o Laplaciano de f em ∂D, gradiente de f em ∂D, curvatura
média, normal unitário exterior e a segunda forma fundamental
∂D, respectivamente.
R de
1
Vimos que Ros usou a fórmula de Reilly para provar que S H ≥ (n + 1)V para uma
hipersuperfı́cie compacta mergulhada S ⊂ Rn+1 . Estendemos este resultado na seguinte
Proposição 4.2. Seja C um domı́nio em Rn+1 , o qual é um cone convexo com bordo
suave por partes e vértice na origem. Seja S ⊂ C uma hipersuperfı́cie mergulhada com
∂S ⊂ ∂C tal que S é perpendicular a ∂C ao longo de ∂S. Seja H a curvatura média de
S e V o volume do domı́nio D delimitado entre S e ∂C. Se H > 0 em S, então
Z
1
≥ (n + 1)V,
(4.8)
S H
e a igualdade ocorre se, e somente se, S é uma calota esférica.
Demonstração. Para aplicarmos a fórmula de Reilly é necessário suavizarmos o bordo
de D, ∂D. Seja D ⊂ D,  > 0, um domı́nio com bordo suave, obtido à partir de D,
b < , onde
“retirando” os pontos p, cuja distância d(p, ∂S ∪ C)
b := {q ∈ ∂C; ∂C
C

não possui plano tangente em q}.

Defina f ∈ C ∞ (D ), uma solução do seguinte problema com condição de fronteira
combinado


∆(f ) = 1, em D


f = 0,
em ∂D \ ∂C
∂f


= 0,
em ∂D ∩ ∂C.

∂η
58

Note que ∂D = (∂D \ ∂C) ∪ (∂D ∩ ∂C), então pela fórmula de Reilly e do fato de
que esta união é disjunta, obtemos
 2
 
Z
Z
Z
∂f
∂f
2
2
((∆f ) − | Hess f | ) =
nH
+
2∆f
∂η
∂η
D
(∂D \∂C)∪(∂D ∩∂C)
(∂D \∂C)∪(∂D ∩∂C)
Z
+
Hη (∇f, ∇f )
(∂D \∂C)∪(∂D ∩∂C)



Z
=

nH

∂f
∂η

2
+

nH



Z
2∆f



∂f
∂η

+
}

=0

}

=0



Z
nH

∂f
∂η

|

2

∂f
∂η



{z

|

=0

}

Z
Hη (∇f, ∇f )

∂D ∩∂C

∂D \∂C

{z

2∆f

Hη (∇f, ∇f ) +

+



Z

Z

∂D ∩∂C

=

2

∂D \∂C

{z

|

|

∂f
∂η

∂D ∩∂C

∂D \∂C

+



Z

{z

}

=0

Z
Hη (∇f, ∇f )

+

(4.9)

∂D ∩∂C

∂D \∂C

R
A convexidade de C implica que ∂D ∩∂C Hη (∇f, ∇f ) ≥ 0. Usando a desigualdade de
Cauchy-Schwarz já vimos que (∆f )2 ≤ (n + 1)| Hess f |2 , portanto
 2 Z
Z
Z
n
∂f
n
2
(1 − | Hess f | ) ≤
≤
H
=
Vol(D ),
n
∂η
n+1
D n + 1
D
∂D \∂C
consequêntemente,


Z
H
∂D \∂C

∂f
∂η

2
≤

1
Vol(D ),
n+1

n
.
n+1
Por outro lado, levando em conta as considerações acima e o Teorema da Divergência,
segue que
Z
2 Z
2 Z
2
2
(Vol(D )) =
∆f
=
div(∇f ) =
h∇f, ηi
posto que em D , 1 ≤ (n + 1)| Hess f |2 implica 1 − | Hess f |2 ≤

D

∂D \∂C

D

2



2
√ ∂f
∂f
1
√
=
=
H
∂η
H
∂D \∂C ∂η
∂D \∂C
 2 Z
Z
Z
∂f
1
1
Vol(D )
≤
H
≤
.
∂η
n + 1 ∂D \∂C H
∂D \∂C
∂D \∂C H
Z

Z

Assim, fazendo  → 0, temos
V
V ≤
n+1
2

59

Z

1
,
S H

(4.10)

donde

Z

1
.
S H

(n + 1)V ≤

(4.11)

Agora, se a igualdade ocorre na desigualdade (4.11), voltando à igualdade (4.9), ob(∆f )2
n
servando que (∆f )2 −
=
(∆f )2 e lembrando que, em D , ∆f = 1, temos
n+1
n+1
 Z
 2
Z 
(∆f )2 (∆f )2
∂f
2
2
(∆f ) −
nH
+
− | Hess f | ≥
,
n+1
n+1
∂η
D
∂D \∂C
separando as integrais do lado esquerdo, obtemos
 Z
 2
Z 
∂f
n
1
2
nH
Vol(D ) +
− | Hess f | ≥
,
n+1
n+1
∂η
∂D \∂C
D
o que é equivalente a
n
Vol(D ) −
n+1



Z
nH
∂D \∂C

∂f
∂η

2

Z
≥


| Hess f |2 −

D

1
n+1


≥ 0.

(4.12)

Note que, fazendo  → 0, o lado esquerdo de (4.12) tende a zero, pois por (4.10),
Vol(D )
lim(Vol(D )) = lim
→0
→0 n + 1
2

Z

1
= lim H
→0
∂D \∂C H

e D tende a D, consequêntemente
Z 
| Hess f |2 −
D

1
n+1



∂f
∂η

2 Z

1
,
∂D \∂C H


= 0,

1
1
, logo Hess f =
h., .i.
n+1
n+1
Isso significa que f é solução do sistema de equações de derivadas parciais

∂ 2f


= 0, se i 6= j

∂xi ∂xj
2

 ∂ f = 1 , se i = j = 1, . . . , n + 1.

∂x2i
n+1

então | Hess f |2 =

Integrando explicitamente a segunda equação deste sistema, obtemos
f (x) =

1
|x|2 + hy, xi + c,
2n + 2

onde

y ∈ Rn+1

Note que, pelo sistema acima, o termo linear hy, xi = 0, logo
f (x) =

1
|x|2 + c,
2n + 2
60

onde

c ∈ R.

e

c ∈ R.

Para finalizar, note que f (x) = 0 para cada x ∈ ∂D \ ∂C e por conseguinte, quando
 → 0, f (x) = 0 para cada x ∈ S, então
1
|x|2 = −c,
2n + 2
qualquer que seja o x ∈ S, e portanto, o lado direito da igualdade acima
p deve ser positivo.
Logo, S é uma calota esférica centrada na origem de raio a := −c(2n + 2).

De posse das proposições 4.1 e 4.2, estamos em condições de provar o Teorema de
Aleksandrov generalizado. Antes, porém, relembraremos alguns fatos e notações.
Se β = (β1 , . . . , βn+1 ) é um multi-ı́ndice em Rn+1 , isto é, uma (n + 1)-upla de inteiros
não-negativos β1 , . . . , βn+1 , a ordem de β é o inteiro não-negativo |β| = β1 + · · · + βn+1 .
Para k ≥ 0 inteiro e f ∈ C k (Ω), denotamos por ∂ β f a derivada parcial
∂ |β| f
β
.
∂ f=
∂xβ1 1 . . . ∂xβnn
Se Ω for aberto e f ∈ C k (Ω) for tal que ∂ β f ∈ C α (Ω) para todo multi-ı́ndice β de
ordem k, dizemos que f é de classe C k,α em Ω e escrevemos f ∈ C k,α (Ω).
Teorema 4.1. Seja C um domı́nio em Rn+1 , o qual é um cone convexo com bordo suave
por partes e vértice na origem. Seja S ⊂ C uma hipersuperfı́cie mergulhada com `-ésima
curvatura média constante e ∂S ⊂ ∂C tal que S é C 2,α (i.é., ϕ : S → Rn+1 é um mergulho
C 2,α ) e perpendicular a ∂C ao longo de ∂S. Então S é uma calota esférica.
Demonstração. Vimos no Teorema 1.3 que se Hn > 0 e m < n então Hm > 0. Pelo
mesmo Teorema, temos que
k
Hkk−1 ≤ Hk−1
,
desde que Hj > 0 para algum j ≥ k, onde a igualdade ocorre somente nos pontos
umbı́licos de S.
Note que no ponto de S mais distante da origem, S tem curvatura principal positiva
e consequêntemente H` ≡ cte > 0 e
k
0 < Hkk−1 ≤ Hk−1
,

k = 1, . . . , `.

(4.13)

Além disso,
1

0 < H`` ≤ H.

(4.14)

Segue da Proposição 4.1 e da relação (4.1) que
Z
Z
Z
0=
H`−1 − H` hX, ηi =
H`−1 − (n + 1)H` V.
S

S

S

Por outro lado, lembrando que V denota o volume do domı́nio delimitado entre S e
∂C, (4.13) implica
Z
Z
`−1
`−1
(n + 1)H` V =
H`−1 ≥
H` ` = H` ` Vol(S).
(4.15)
S

S

61

Combinando a Proposição 4.2 com (4.14) obtemos
Z
Z
1
1
−1/`
(n + 1)V ≤
≤
= H`
Vol(S).
1/`
S H
S H`
Portanto,
`−1

(n + 1)V H` ≤ H` ` Vol(S).

(4.16)

De (4.15) e (4.16) temos
−1/`

Vol(S).

Z

1

(n + 1)V = H`
Logo,
(n + 1)V =

1/`
S H`

,

que é equivalente a igualdade na proposição 4.2, e o resultado segue.


62

Referências Bibliográficas
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