Dissertação
dissertação_Joás_Elias.pdf
Documento PDF (745.5KB)
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Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Joás Elias dos Santos Rocha
Dimensão de Hausdorff de Conjuntos Quase-Morán
Maceió
2014
Joás Elias dos Santos Rocha
Dimensão de Hausdorff de Conjuntos Quase-Morán
Dissertação de Mestrado, na Área de concentração de Sistemas Dinâmicos submetida
em 25 de Março de 2014 à banca examinadora, designada pelo Programa de Mestrado em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em
Matemática.
Orientador: Prof.
Martins Oliveira.
Maceió
2014
Dr.
Krerley Irraciel
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Maria Auxiliadora G. da Cunha
R672d
Rocha, Joás Elias dos Santos.
Dimensão de Hausdorff de conjuntos Quase-Morán / Joás Elias dos
Santos. – 2014.
43 f.
Orientador: Krerley Irraciel Martins Oliveira.
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2014.
Bibliografia: f. 43.
1. Dimensão de Hausdorff . 2. Conjuntos Quase-Morán. 3. Formalismo.
I. Título.
CDU: 517.97
Agradecimentos
Agradeço a Deus por tudo, à minha famı́lia pelo apoio, aos meus amigos, ao professor Krerley
Oliveira pela orientação, e a banca pelas sugestões feitas.
5
“
Resumo
Neste trabalho abordamos um problema clássico do cálculo da dimensão de Hausdorff de
uma certa classe de conjuntos. Para isto, no capı́tulo 2 introduzimos a definição de dimensão
de Hausdorff e achamos a dimensão dos conjuntos de Moran . No capı́tulo 3, introduzimos
conceitos que serão úteis para estudar a dimensão de Hausdorff dos conjuntos Quase-Moran.
No capı́tulo 4, encerramos o trabalho com o teorema principal devido a Pesin e Weiss.
Palavras chave: Dimensão de Hausdorff, Conjuntos Quase-Moran, Formalismo
Termodinâmico .
7
Abstract
In this work we will approach a classic problem about Hausdorff Dimension computation
of a certain kind of sets. In chapter 2, we introduce the definition of Hausdorff Dimension
and we find the Hausdorff dimension of Moran sets. In the Chapter 3 , we present useful
topics to study Hausdorff Dimension of Moran-like sets. In the last chapter, we present the
main theorem of this work, due to Pesin and Weiss.
Keywords: Hausdorff Dimension, Moran-like sets, Thermodynamic Formalism .
Sumário
1 Introdução
10
2 Dimensão de Hausdorff de conjuntos de Moran
11
2.1
Dimensão de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Conjuntos de Morán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3 Algumas Noções de Dimensão
25
3.1
Capacidade Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2
Construção de Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2.1
Dimensão de Carathéodory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2.2
Capacidade Limite de Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Pressão Topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3
4 Dimensão de Hausdorff de Conjuntos Quase-Morán
36
Apêndice
44
4.1
Lema de Densidade de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.2
Equação de Bowen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.3
Alguns Resultados de Teoria Ergódica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.4
Entropia Métrica ou de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Referências Bibliográficas
51
Capı́tulo 1
Introdução
Em 1927, Abram Besicovitch propôs aos seus alunos o problema de calcular a dimensão de
Hausdorff de uma certa classe de conjuntos. Patrick Moran resolveu o problema e a tal
classe de conjuntos hoje leva seu nome. Pesin e Weiss perceberam que a idéia de Moran
podia ser usada para calcular a dimensão de Hausdorff de uma classe ainda mais ampla de
conjuntos, modeladas por um shift, via formalismo termodinâmico. Neste trabalho, veremos
como a dimensão de Hausdorff desses conjuntos se relacionam com outras outras espécies de
dimensão.
10
Capı́tulo 2
Dimensão de Hausdorff de conjuntos
de Moran
2.1
Dimensão de Hausdorff
Por vezes o conjunto no qual estamos interessados tem medida de Lebesgue nula, mas
não é completamente negligenciável. Isso pede então uma definição mais fina de dimensão
que ’enxergue’ tais conjuntos. Tendo isso em vista, neste capı́tulo vamos ver uma noção de
dimensão que generaliza aquela de espaços vetoriais.
Seja A ⊂ Rn . Definimos o diâmetro de A como diam(A) = sup{|x − y|; x, y ∈ A}
Definição 1. Seja X ⊂ Rn e δ, s ≥ 0. Definimos
X
Hδs (X) = inf{
s
diam(Ai ) ; X ⊂
i
∞
[
Ai e diam|Ai | ≤ δ para todo Ai }.
i=0
Uma cobertura {Ai }i de X é chamada de δ-cobertura se diamAi ≤ δ para todo i. É
claro que se δ ≥ δ̃, então toda δ̃-cobertura de X é uma δ-cobertura de X e portanto,
Hδs (X) ≤ Hδ̃ (X) (se A ⊂ B então inf A ≥ inf B). Assim, definimos a medida s-dimensional
de Hausdorff como:
Definição 2. Hs (X) = lim Hδs (X) = sup Hδs (X).
δ→0
δ≥0
Proposição 2.1. Seja {Xi }i∈N uma famı́lia enumerável de conjuntos. Então:
∞
∞
[
X
s
1.Hδ ( Xi ) ≤
Hδs (Xi )
i=0
i=0
s
2.H (
∞
[
i=0
Xi ) ≤
∞
X
Hs (Xi )
i=0
11
Demonstração.
Seja {Ai,j }j uma δ-cobertura de Xi . Então {Ai,j }i,j é uma δ-cobertura de
S
X ≡ Xi . Da definição:
XX
Hδs (X) ≤
|Ai,j |s
i
j
e tomando o ı́nfimo sobre todas as coberturas vem:
∞
∞
[
X
s
Hδ ( X i ) ≤
Hδs (Xi ).
i=0
i=0
E assim obtemos a primeira desigualdade. Da definição:
∞
X
Hδs (Xi ) ≤
i=0
assim, por 1:
∞
X
Hs (Xi )
i=0
∞
∞
[
X
s
Hδ ( Xi ) ≤
Hs (Xi ).
i=0
i=0
Agora, tomando o limite quando δ vai para zero, o resultado segue.
Se U ⊂ Rn e λ > 0 definimos λU ≡ {λx : x ∈ U }.
Proposição 2.2. Seja A ⊂ Rn e λ > 0. Então Hs (λA) = λs Hs (A).
Demonstração. Seja δ > 0. Considere {Un }n uma δ-cobertura de A. Então {λUn }n é uma
λδ-cobertura de λA. Da definição, Hδs (A) = inf{Λs (C) : C é uma δ-cobertura de A} onde
∞
∞
∞
X
X
X
s
s
s
s
s
Λ (C) ≡
(diamUi ) e C = {Un }n . Temos Λ (λC) =
|λUi | = λ
|Ui |s = λs Λ(C).
i=1
i=1
i=1
Assim:
˜ C˜ é λδ-cobertura de λA} =⇒ Hs (λA) ≤
λs {Λs (C); C é δ-cobertura de A } ⊂ {Λs C;
λδ
s s
≤ λ Hδ (A). Fazendo δ ↓ 0 :
Hs (λA) ≤ λs Hs (A).
B
1
Seja B ⊂ Rn e α > 0. Na desigualdade obtida acima façamos λ = e A = . Então:
α
λ
s
B
1
B
Hs λ
≤
Hs
λ
α
λ
1 s
Hs (B) ≤
H (αB)
αs
αs Hs (B) ≤ Hs (αB)
12
Juntando os dois resultados, já que eles valem em geral, o resultado segue.
Proposição 2.3. Se f : A ⊂ Rn −→ Rm é α-Hölder , i.e., existe c ∈ R tal que |f (x)−f (y)| ≤
c|x − y|α então
s
s
H α (f (A)) ≤ c α Hs (A).
Demonstração. Seja C = {Un }n uma δ-cobertura de A. Então f (C) ≡ {f (Un )}n é uma
cδ α -cobertura de f (A). Além disso,
∞
X
s
|f (Ui )| α ≤
X
s
s
c α |Ui | = c α
X
|Ui |α .
i=1
s
s
Assim Λ α (f (C)) ≤ c α Λs (C). Logo:
s
s
Hδα (f (A)) ≤ c α Hs (A).
s
s
Fazendo δ ↓ 0 obtemos H α (f (A)) ≤ c α Hs (A).
Faremos agora algumas considerações a respeito da medida de Hausdorff.
Suponha que Hα (A) = ∞. Seja s < α e δ > 0 e faça ε = α − s > 0. Tome uma
δ-cobertura qualquer {Ui } de A. Então:
X
|Ui |s =
i
X
|Ui |α−ε =
i
X
|Ui |α |Ui |−ε ≥ δ −ε
i
X
|Ui |α .
i
Como a cobertura foi tomada arbitrária, vem:
Hδs (A) ≥ δ −ε Hδα (A).
H(A)α
=∞
δ→0
δε
Fazendo δ ↓ 0 temos Hs (A) ≥ lim
Suponha agora que Hα (A) < ∞. Seja s > α e δ > 0 tal que Hδs (A) < ∞. Considere uma
δ-cobertura de A, {Un } e ε = s − α. Temos:
X
X
X
|Ui |α =
|Ui |s |Ui |−ε ≥ δ −ε
|Ui |s .
i
i
i
Como consequência, δ ε Hδα (A) ≥ Hδs (A). Fazendo δ ↓ 0 vem 0 ≥ Hs (A). Obtemos então:
13
Proposição 2.4. Seja A ⊂ Rn então existe α ∈ R tal que
n
se s > α,
Hs (A) = 0,
∞, se s < α.
Definição 3. O número α da proposição acima é chamado dimensão de Hausdorff de A e
escrevemos α ≡ dimH A , ou ainda, HD(A).
Exemplo 2.5. Seja B(x, r) ⊂ Rn a bola de centro x e raio r. Então :
n
se s > n,
Hs (B(x, r)) = 0,
∞, se s < n.
Com efeito, Hn (B(x, r)) = 2n rn ( ver [4]).
Algumas propriedades da dimensão de Hausdorff são:
Corolário 2.6. Se f : A ⊂ Rn −→ Rm é α-Hölder, então:
dimH (A) ≥ α dimH (f (A)).
s
Demonstração. Se Hs (A) = 0 então H α (f (A)) = 0.
Assim s > dimH A =⇒ αs > dimH (f (A)). Logo:
dimH (A) ≥ α dimH (f (A)).
Corolário 2.7. (Invariância por aplicações bi-Lipschitz)
Seja f : A ⊂ Rn −→ Rm uma aplicação bi-Lipschitz ,i.e., existem 0 < c, d ∈ R tais que
c|x − y| ≤ |f (x) − f (y)| ≤ d|x − y| ∀x, y ∈ A. Então:
dimH A = dimH (f (A)).
Corolário 2.8. (Invariância por normas equivalentes)Se |.|1 e |.|2 são normas equivalentes, então
dim(H,|.|1 ) (A) = dim(H,|.|2 ) (A).
Demonstração. A aplicação i : (M, |.|1 ) −→ (M, |.|2 ) dada por i(x) = x é bi-Lipschitz.
Assim, usando o corolário acima, o resultado segue.
Proposição 2.9. Se A ⊂ B então dimH A ≤ dimH B.
14
Demonstração. Se U é uma δ-cobertura de B então é uma δ-cobertura de A. Logo, para
todo s > 0:
Hδs (A) ≤ Hδs (B).
Portanto:
sup{s; Hs (A) = ∞} ≤ sup{s; Hs (B) = ∞}.
Proposição 2.10. Seja {An }n uma famı́lia de subconjuntos de Rn . Então vale:
dimH (∪∞
i=1 Ai ) = sup{dimH (Ai )}.
i
Demonstração.Seja s = sup{dimH Ai } e ε > 0. Então:
i
∀i ∈ N.
s + ε > dimH Ai
Pelo item 2 da proposição 2.1:
H
s+ε
(∪∞
i=1 Ai ) ≤
∞
X
Hs+ε (Ai ) = 0.
i=1
Da definição, s + ε ≥ dimH ∪∞
i=1 Ai como ε é arbitrário, temos s ≥ dimH (∪Ai ).
Por outro lado, dimH (∪Ai ) ≥ dim An , pois An ⊂ ∪Ai para todo n ∈ N e portanto
dimH (∪Ai ) ≥ sup{dimH Ai }. Juntando as duas desigualdades o resultado segue.
Enunciaremos agora dois lemas que seram utilizados adiante.
Lema 2.11. Se existe C constante
X com ∞ > C > 0 e tal que para todo ε , existe uma
ε-cobertura U = {Ui }i de A com
|Ui |α ≤ C então,
dimH A ≤ α.
Demonstração. Hεα (A) = inf{
Assim:
Logo,
α
i |Ui | ; U = {Ui }i
P
é uma ε − cobertura} ≤ C.
Hα (A) ≤ C < ∞.
α ≥ inf{s; Hs (A) = 0} = dimH A.
15
Lema 2.12.
X Se existem ε > 0 e C > 0 constante tal que para toda ε-cobertura U = {Ui }i de
A temos
|Ui |α ≥ C então
i
dimH A ≥ α.
Demonstração. Hεα (A) = inf{
α
i |Ui | ; U = {Ui }i
P
é ε − cobertura de A} ≥ C.
Assim, Hα (A) ≥ C > 0. Logo:
α ≤ sup{s; Hs (A) > 0} = dimH A.
Note que é mais fácil, em geral, obter um estimativa superior para a dimensão de Hausdorff do que uma estimativa inferior .
2.2
Conjuntos de Morán
Vamos definir conjuntos de Moran na reta. Façamos a seguinte construção:
X
Sejam λ1 , ..., λk ∈ (0, 1) tais que
λi < 1.
Na primeira etapa, considere k intervalos disjuntos I1 , ..., Ik ⊂ [0, 1]. Na n-ésima etapa
considere intervalos Ii1 ...in−1 j ⊂ Ii1 ...in−1 , j = 1, ..., k com |Ii1 ...in−1 j | = λj |Ii1 ...in−1 | , ∀j = 1, ...k,
ou seja, |Ii1 ...in | = λi2 ...λin |Ii1 | , além disso, exija que Ii1 ,...,in ∩ Ij1 ...jn = ∅ , se (i1 , ..., in ) 6=
(j1 , ..., jn )
Figura 2.1: caso λ1 = λ2 = 1/3
Em 1927, Patrick Moran provou que:
Teorema 2.13. A dimensão de Hausdorff de K ≡
[
∞
\
(i1 ...in ,...) n=1
em t de
k
X
λti = 1.
i=1
Demonstração.
16
Ii1 ,...in é igual a única solução
Parte 1: dimH K ≤ t
Seja λmax =máx{λ1 , ..., λk }. Temos:
|Iw1 ...wn | = |Iw1 |
n
Y
(λwj ).
j=2
n−1
Além disso, lim λn−1
max = 0, pois λmax < 1. Dado ε > 0 , existe n e de K tal que λmax < ε.
n→∞
Considere então:
U = {Iw1 ...wn ; 1 ≤ wj ≤ k , ∀1 ≤ j ≤ n}. Da definição de n segue que U é uma
ε-cobertura. Assim, da definição
X de t:
t
Hε (K) ≤
|Iw1 ...wn |t
(w1 ,...,wn )
X
≤
|Iw1 ...wn−1 1 |t + ... + |Iw1 ...wn−1 k |t
(w1 ,...,wn−1 )
X
≤
|Iw1 ...wn−1 |t (λt1 + ... + λtk )
(w1 ,...,wn−1 )
X
≤
|Iw1 ...wn−1 |t
(w1 ,...,wn−1 )
Por indução:
Hεt (K) ≤
X
|Iw1 |t = C = constante
w1
Assim, pelo Lema 1.10 vem :
dimH K ≤ t.
Parte 2: dimH K ≥ t
Agora vamos usarPo lema 1.11 para provar que dimH K ≥ t, i.e., vamos mostrar que
existe C para o qual
|Ui |t ≥ C para toda U = {Ui }, ε-cobertura. Para isso vamos dividir
a prova em dois casos, à saber: quando a cobertura é feita por intervalos básicos e quando
a cobertura é arbitrária.
Caso 1 : A cobertura de U é formada por intervalos básicos.
P
Seja C = kj=1 |Ij |t e considere uma cobertura U = {Ui } uma ε-cobertura por intervalos
básicos. Como K é compacto então existe uma subcobertura de U finita. Essa cobertura
pode ser tomada minimal, no sentido de que não pode conter subcobertura própria. Continuaremos chamando tal cobertura de U.
Seja A = {m :existe Iw1 ...wm ∈ U}. Considere n = max A. Seja então Iw1 ...wn ∈ U.
Como U é minimal, então Iw1 ...wn−l ∈
/ U se l > 0 (Se Iw1 ...wn−l ∈ U, então Ũ = U \{Iw1 ...wn }
ainda seria um cobertura) e portanto Iw1 ...wn−1 j ∈ U para todo j = 1, ..., k (Se Iw1 ...wn−1 j ∈
/U
então existe Iw1 ...wn−1 jwn+1 ∈ U uma contradição, pela definição de n, ou Iw1 ...wk ∈ U com
k < n uma contradição pelo que foi observado acima).
17
Note que:
k
X
t
|Iw1 ...wn−1 j | =
k
X
j=1
|Iw1 ...wn−1 |t λtj
j=1
o que implica que
k
X
|Iw1 ...wn−1 j |t = |Iw1 ...wn−1 |t
j=1
então:
k
X
λtj
j=1
k
X
|Iw1 ...wn−1 j |t = |Iw1 ...wn−1 |t
j=1
Assim, se definimos C = {Iw1 ...wn−1 } ∪ U \ {Iw1 ...wn−1 1 , ..., Iw1 ...wn−1 k } teremos:
X
|U |t =
U ∈U
X
|V |t
V ∈C
Assim, fazendo indução em n = max A segue que para toda cobertuta por intervalos básicos
U = {Ui }:
X
t
|Ui | ≥
k
X
|Ij |t
j=1
i≥1
Isso conclui a prova no caso de cobertura por intervalos básicos.
Seja então V(r) o conjunto dos intervalos básicos Iw1 ,...wn tais que
rλmin ≤ |Iw1 ...wn | ≤
r
λmin
.
É claro que :
λmin |Iw1 ...wn−1 | ≤ |Iw1 ...wn | ≤ λmax |Iw1 ...wn−1 |.
Seja Vm (r) = {Iw1 ...wm ; Iw1 ...wm ∈ V(r)}. Se Vm (r) 6= ∅ então :
r
1. λm
min ≤ λmin
2. rλmin ≤ λm
max
Portanto m ≥ 1 , m ≥
log r − log λmin
log r + log λmin
em≤
. Logo:
log λmin
log λmax
card({m; Vm (r) 6= ∅}) ≤
log r + log λmin log r − log λmin
−
.
log λmax
log λmax
18
Portanto:
card({m; Vm (r) 6= ∅}) ≤ 2
log λmin
.
log λmax
log λmin
elementos de V(r) uma vez que
log λmax
ele não pode estar em dois elementos distintos da mesma etapa da construção.
Assim, x ∈ K esta contido em no máximo M ≡ 2
Vamos usar o seguinte lema:
Lema 2.14. Se U = [a, b] ⊂ R e |U | = r então U intersecta no máximo M 0 = 2
elementos de V(r)
M
λmin
Demonstração. Sejam x0 = a, x1 , ..., xm = b ∈ U com x0 < x1 < ... < xm−1 < xm = b tais
1
que xj+1 − xj < rλmin e m ≤
+ 1.
λmin
Se V ∈ V(r) intersecta U , então deve conter algum xj (V é um intervalo de comprimento
≥ rλmin . Digamos V = [c, d]. Se a, b ∩ V 6= ∅ não há o que fazer. Se não , então a > c ,
d < b. Tome xj tal que xj − a = min(xk − a)). Mas cada xj está contido em no máximo, M
k
elementos de V(r). Portanto:
card{V ∈ V(r); V ∩ U 6= ∅} ≤
m+1
X
M ≤ 2M m ≤ 2
i=0
M
.
λmin
Assim, concluimos a prova do lema.
Considere uma ε-cobertura {Ui }i de K. Seja ri ≡ |Ui | e Ui,1 , ..., Ui,m(i) os intervalos
básicos de V(ri ) que intersectam Ui .
Pelo que acabamos de mostrar , m(i) ≤ M .
Da definição de V(r):
|Ui,j | ≤
|Ui |
.
λmin
Logo
m(i)
X
t
|Ui,j | ≤
j=1
m(i)
X
|Ui |t
j=1
≤ M0
Como Ui,j é cobertura por intervalos básicos :
19
λtmin
|Ui |t
.
λtmin
X
|Ui |t ≥
∞
λtmin X X
|Ui,j |t
M 0 i=1
≥
λtmin X
|Ij |t > 0.
M0
E usando o Lema 1.11 concluı́mos a prova.
Exemplo 1. Considere para j = 1, ...k conjuntos [aj , bj ] ⊂ [0, 1] disjuntos. Defina a
1
aplicação f : [a1 , b1 ] ∪ ... ∪ [ak , bk ] −→ [0, 1] por f (x) = |bk −a
(x − ak ).
k|
T
−l
Seja C = ∞
l=0 f ([a1 , b1 ] ∪ ... ∪ [ak , bk ]), ou seja, C é o conjunto dos pontos que podem
ser iterados para sempre.
I
2
I1
I2 2
I2 1
I 12
I 11
I2
I1
Figura 2.2: caso I1 = [0, 1/3], I2 = [3/2, 1]
O conjunto C é um conjunto de Morán.
20
[
De fato, f −1 ([0, 1]) = I1 ∪ ... ∪ Ik e f −j ([0, 1]) =
Ii1 ...ij onde os interva-
(i1 ,...,ij )∈{1,...,k}j
los Ii1 ...in são definidos recursivamente como segue. Escreva Ii1 ...ij = [ai1 ...in , bi1 ...in ]. Ora,
k
[
−1
f (Ii1 ...im ) =
Iji1 ...im onde aji1 ...im = aj + |I1j | ai1 ...im e bji1 ...im = aj + |I1j | bi1 ...im .
j=1
Defina λj ≡
1
. Temos:
|Ij |
|bji1 ...im − aji1 ...im | = λj |ai1 ...im − bi1 ...im |.
Usando então indução vem:
|Ii1 ...im | = λi1 ....λim .
Vamos mostrar que dado n, Ii1 ...in j ⊂ Ii1 ...in qualquer que seja a n-úpla (i1 , ...in ) e para todo
j = 1, ...k. Isto será feito por indução forte em n.
De fato , aij = ai + λi aj ≥ ai , para todo j = 1, ..., k e para todo i. De modo análogo
podemos provar que bi ≤ bij quaisquer que sejam i, j = 1, ...k. Assim, a prova esta feita no
caso n = 1
Suponha agora que a afirmação é válida para um certo l. Então, dado m = 1, ...k temos:
am + λm ai1 ...il ≥ am + λm ai1 ...il−1 . O que nos dá:
ami1 ...il ≥ ami1 ...il−1 .
E de modo análogo bmi1 ...il ≤ bmi1 ...il−1 . O que conclui a demonstração.
Portanto estamos em condições de aplicar Morán. Logo, dimH (C) = t onde t é a única
solução de :
t
X
1
= 1.
|bj − aj |
j
Exemplo 2. Considere o conjunto C dos pontos em [0, 1] que não possuem 2 em sua expansão decimal infinita.
2
3
] ∪ [ 10
, 1] −→ [0, 1] dada por f (x) = 10x −
Então , basta considerar a aplicação f : [0, 10
[10x] onde [x] representa a parte inteira de x. Tal aplicação é como a do exemplo anterior
k k+1
com Ij = [ j−1
, j ] se 1 ≤ j ≤ 2 e Ik = [ 10
, 10 ] para 3 ≤ k ≤ 9. Portanto a dimensão de
10 10
9
X 1
Hausdorff t de C é tal que
( )t = 1. Logo:
10
j=1
t=
log 9
.
log 10
21
Exemplo 3. Ainda nessa linha temos o conjunto de Cantor ternário, K. O cálculo da
dimensão de K é feito de maneira análoga a feita acima (notando que o conjunto de Cantor
é o conjunto de pontos que não possuem digito 1 na sua expansão binária):
dimH K =
log 2
.
log 3
O teorema de Moran se aplica a uma classe mais ampla de conjuntos. Façamos a seguinte
construção:
Dizemos que A ⊂ Rd é semelhante a B ⊂ Rd com razão α(ou fator de escala) se existe
L : Rd −→ Rd com L = αO + P onde O é uma transformação ortogonal e P ∈ Rd tal que
A = L(B).
1. Considere conjuntos 4j ⊂ Rd , j = 1, ..., k fechados sem pontos isolados e λi > 0 com
Pk
j=1 λj < 1.
2. Na n-ésima etapa construa 4i1 ....in disjuntos e com 4i1 ...in semelhante à 4i1 ...in−1 com
fator de escala λin . Além disso, 4i1 ...in−1 j ⊂ 4i1 ...in−1 para todo j = 1, ..., k.
\ [
4i1 ...in .
3. Defina K ≡
n≥1 i1 ...in
A prova de que dimH K é a única solução em t de
k
X
λtj = 1 é praticamente a mesma feita
j=1
acima, exceto na estimativa do Lema 2.14. Não faremos aqui, mas no capı́tulo de Dimensão
de Hausdorff de conjuntos quase-Moran (capı́tulo 4) faremos uma estimativa que serve em
geral.
Exemplo 4. (Triângulo de Sierpinski)
Considere um triângulo 4 eqüilátero. Retire de 4 o triângulo com vértices nos pontos
médios dos lados do triângulo 4. Desse modo, restam 3 triângulos 41 , 42 e 43 que são
1
semelhantes à 4 com razão de semelhança λ = . Em cada triângulo 4i , com i = 1, 2, 3,
2
repita o procedimento feito com 4. Desse modo, obtemos para cada i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3 um
1
triângulo 4ij com 4ij ⊂ 4i , e 4ij semelhante a 4i com razão . Continuando o processo
2
T
S
indutivamente, obtemos um conjunto K = n≥1 4i1 ...in para o qual podemos aplicar o
teorema de Morán. Assim:
3 dimH K
X
1
i=1
2
=1
e portanto
dimH K =
22
log 3
.
log 2
Figura 2.3:
O conjunto K é conhecido como Triângulo de Sierpinski.
Exemplo 5. (Esponja de Menger)
Considere agora um cubo . Para facilitar a construção, suponhamos = [0, 3]3 . Divida
em 27 cubos com lados de mesmo comprimento. Mais precisamente, considere os cubos:
k,l,m = [k, k + 1] × [l, l + 1] × [m, m + 1]
com k, l, m = 0, 1, 2. Agora retire todos cubos k,l,m para os quais vale pelos menos uma das
3 alternativas: k = l = 1 ou k = m = 1 ou l = m = 1, isto é , retire os cubos ’centrais’.
Desse modo, restam agora 20 cubos, digamos i com i = 1, ..., 20 que são semelhantes a
1
com razão λ = . Repita então o processo indutivamente para cada um desses cubos. O
3
T
S
conjunto limite desta construção K = n≥1 i1 ...in é conhecido como Esponja de Menger.
E pelo que fizemos, sua dimensão é t tal que
20 t
X
1
s=1
3
23
=1
Figura 2.4:
e portanto
t=
log 20
log 3
24
Capı́tulo 3
Algumas Noções de Dimensão
3.1
Capacidade Limite
A noção de dimensão de Hausdorff é uma das noções de dimensão mais utilizadas e, como
vimos, apresenta propriedades bastante razoáveis. No entanto, existem outras noções de
dimensão importantes. Falaremos um pouco mais à respeito.
Seja A ⊂ Rn . Denote por Nδ (A) o número mı́nimo de conjuntos de diâmetro no máximo
δ necessários para cobrir A. Então definimos:
dimB (A) = lim
dimB = lim
Nδ (A)
− log δ
Nδ (A)
− log δ
Quando essas dois números coincidem nós os chamamos capacidade limite. e denotamos
por dimB (A). Temos a seguinte relação entre as noções de dimensão até agora definidas:
Proposição 3.1.
dimH A ≤ dimB A ≤ dimB A.
Demonstração. Para ver isso, comece notando que Hδs (A) ≤ Nδ (A)δ s (Da definição,
Nδ (A)
X
existe uma cobertura {Ui }i=1,...,Nδ com |Ui | < δ ∀i = 1, .., .Nδ (A) assim
|Ui |s ≤ Nδ (A)δ s
i=0
e portanto da definição, Hδs (A) ≤ Nδ (A)δ s ).
Suponha que Hs (A) > 1. Da definição existe 1 > δ0 > 0 tal que se δ
s
Hδ (A) > 1 logo 1 < Nδ (A)δ s e portanto , 0 < log Nδ (A) + s log δ de onde vem:
s<
log Nδ (A)
, ∀δ < δ0
log δ −1
25
< δ0 então
e finalmente:
s ≤ dimB (A), ∀s > dimH A.
A outra desigualdade é direta, o que prova a afirmação inicial.
Como exemplo onde a dimensão de Hausdorff difere da capacidade limite, temos o conjunto A = Q ∩ [0, 1] para o qual vale, dimH A = 0, já que A é enumerável, dimB A = 1 , já
que A é denso em [0, 1].
Observação 3.1.1. Em geral, não temos a igualdade. De fato, dados α, β ∈ [0, 1] com
0 < α < β existe um conjunto F ⊂ [0, 1] fechado, tal que dimH = 0, dimB F = α e
dimB F = β. Uma prova para este fato pode ser encontrada em [1].
Considere um espaço métrico X e µ uma medida em X (todas as medidas que aparecerão
ao longo do texto são medidas de probabilidade borelianas.)
Definição 4. A dimensão de Hausdorff de µ é dimH µ = inf{dimH (Z) : µ(Z) = 1} .
Uma consequência direta da definição é que dimH µ ≤ dimH X.
Definição 5. Definimos a dimensão pontual de µ em x como dµ (x) = lim
r→0
log µ(B(x, r))
se
log r
tal limite existir.
Além disso, definimos a dimensão pontual inferior e superior como:
log(µ(B(x, r)))
r→0
log r
log(µ(B(x, r)))
dµ (x) = lim sup
log r
r→0
dµ (x) = lim inf
.
Alguns resultados relacionam a dimensão de uma medida µ com a dimensão de X. De
fato, temos:
Teorema 3.2. (Princı́pio de Distribuição de Massa Não-Uniforme)
Suponha que µ é uma medida finita em Rd , E ⊂ Rd tem medida positiva e que existe
α > 0 tal que
dH (x) ≥ α
para µ-quase todo ponto x ∈ E. Então dimH E ≥ α.
Teorema 3.3. Suponha que µ é uma medida finita em Rd e que existe α > 0 tal que
dµ (x) ≤ α
para todo x ∈ Z. Então dimH Z ≤ α.
As provas dos teoremas acima podem ser encontradas em [1].
26
3.2
Construção de Carathéodory
3.2.1
Dimensão de Carathéodory
Seja X um conjunto e F uma coleção de subconjuntos de X.
Sejam η, ψ : F −→ R+ satisfazendo :
1. ∅ ∈ F; η(∅) = 0 ψ(∅) = 0; η(U ), ψ(U ) > 0 para todo ∅ =
6 U ∈ F.
2. Para todo δ > 0 existe ε > 0 tal que η(U ) ≤ δ se ψ(U ) ≤ ε.
3. Para todo ε > 0 existe G ⊂ F enumerável que cobre X e ψ(G) ≡ sup{ψ(U ); U ∈ G} ≤
ε.
Seja agora ξ : F −→ R+ uma função. Através das funções ψ, ξ, η introduzimos uma
estrutura de dimensão de Caratheódory τ = (F, ξ, η, ψ) em X ou C-estrutura. Dado Z ⊂ X
e α ∈ R e ε > 0 defina:
X
ξ(U )η(U )α }
mC (Z, α, ε) = inf {
G
U ∈G
onde o ı́nfimo tomado sobre todas as enumeráveis G ⊂ F que cobrem Z com ψ(G) ≤ ε.
Exemplo 6. Considere X = Rn . Tome F = {U ; Ué aberto} , ψ(U ) = η(U ) = |U | e
ξ : F −→ R+ como ξ(U ) = 1 para todo U ∈ F. (F, ξ, η, ψ) é uma C-estrutura em Rn . De
fato:
1. ∅ é aberto. Além disso, se U 6= ∅ é aberto então existe x ∈ U e portanto existe r > 0
tal que B(x, r) ⊂ U . Logo, ψ(U ) = η(U ) = |U | ≥ r > 0.
2. A propriedade 2 vale com ε = δ.
ε
3. Seja ε > 0. Considere {xi } uma enumeração de Qn . Então {B xi ,
; i ∈ N} é uma
2
ε
cobertura enumerável de X com ψ B xi ,
= ε para todo i ∈ N.
2
Quando dimuimos o ε as coberturas admissı́veis diminuem, assim existe :
mC (Z, α) ≡ lim mC (Z, α, ε).
ε→0
Proposição 3.4. Dado α ∈ R:
1. mC (∅, α) = 0.
2. mC (Z1 , α) ≤ mC (Z2 , α) se Z1 ⊂ Z2 .
[
X
3. mC ( Zi ) ≤
mC (Zi , α).
i≥0
i≥0
27
Demonstração.
1. ∅ ∈ F e η(∅) = 0 portanto mC (∅, α) = 0.
2. Dado que G é uma cobertura de Z2 com ψ(G) ≤ ε então G é uma cobertura de Z1 , o
resultado segue (Se A ⊂ B então inf A ≥ inf B).
3. Sejam ε, δ > 0. Para cada i ≥ 0 existe um cobertura Gi = {Uij ∈; F; j ≥ 0} de Zi com
ψ(Gi ) ≤ ε tal que :
X
δ
|mC (Zi , α) −
ξ(Uij )η(Uij )α | < i
2
j≥0
S
Assim G = {Uij , i ≥ 0, j ≥ 0} é uma cobertura de Z = i≥0 Zi e é claro que ψ(G) ≤ ε.
Portanto:
X
X
mC (Z, α, ε) ≤
ξ(Uij )η(Uij )α ≤ 2δ +
mC (Zi , α)
Uij ∈G
i≥0
Fazendo ε ir para zero e δ em seguida, temos o resultado.
A próxima proposição possibilita a definição de dimensão.
Proposição 3.5. Existe αC tal que mC (Z, α) = +∞ se α < αC e mC (Z, α) = 0 se α > αC .
Demonstração. Suponha que 0 ≤ mC (Z, α) < +∞. Considere β > α e δ > 0. Existe
ε0 > 0 tal que para todo ε < ε0 vale:
1. mC (Z, α, ε) < L < +∞.
2. η(U ) < δ se ψ(U ) ≤ ε (pela Propriedade 2 da estrutura de Carathéodory).
Considere então ε < ε0 . Temos para toda G cobertura de Z com ψ(G) < ε:
X
X
X
ξ(U )η(U )α (U )β−α < δ β−α
ξ(U )η(U )α < δ β−α L. Assim:
ξ(U )η(U )β =
U ∈G
U ∈G
U ∈G
mC (Z, β, ε) < δ β−α L
para todo ε < ε0 . Fazendo ε → 0 vem:
mC (Z, β) ≤ δ β−α L.
Fazendo, por fim, δ → 0 vem :
mC (Z, β) = 0
Suponha agora que mC (Z, α) = +∞. Se β < α então mC (Z, β) = +∞ (se não fosse
aasim, pelo que acabamos de provar mC (Z, α) < +∞)
28
Definição 6. A dimensão de Z (de acordo com a C-estrutura) é dimC Z = αC dado pela
proposição acima.
Exemplo 7. Quando a C-estrutura é aquela do exemplo 4 então αC = dimH Z.
Vejamos algumas propriedades básicas.
1. dimC ∅ = 0.
Proposição 3.6.
2. Se Z1 ⊂ Z2 temos dimC Z1 ≤ dimC Z2 .
S
3. dimC ( Zi ) = supi dimC Zi .
A prova da proposição acima segue da proposição 3.4.
3.2.2
Capacidade Limite de Carathéodory
Seja X um conjunto com a C-estrutura (F, ξ, η, ψ). Vamos definir em X uma nova noção
de dimensão.
Vamos assumir que vale a seguinte condição :
3’. Para todo ε > 0 suficientemente pequeno, existe uma subcoleção G ⊂ F que cobre X
tal que ψ(U ) = ε ∀ U ∈ G.
Dado α ∈ R , ε > 0 e Z ⊂ X , defina:
(
)
X
RC (Z, α, ε) = inf
ξ(U )η(U )α
G
U ∈G
onde o ı́nfimo é tomado sobre todas as coberturas enumeráveis G ⊂ F tais que ψ(U ) = ε
para todo U ∈ G.
Sejam
rC (Z, α) = lim inf RC (Z, α, ε)
ε→0
rC (Z, α) = lim sup RC (Z, α, ε).
ε→0
Proposição 3.7. Para todo Z ⊂ X existe αC , e αC tais que:
1. rC (Z, α) = ∞ se α < αC e rC (Z, α) = 0 se α > αC .
2. rC (Z, α) = ∞ para α < αC e r(Z, α) = 0 se α > αC .
Por fim definimos, respectivamente, a capacidade superior e inferior de Z :
CapC Z = αC = inf{α; rC (Z, α) = 0}
29
CapC Z = αC = inf{α; rC (Z, α) = 0}.
Algumas propriedades básicas seguem abaixo.
Proposição 3.8.
1. dimC Z ≤ CapC Z ≤ CapC Z para todo Z ⊂ X.
2. Se Z1 ⊂ Z2 então CapC Z1 ≤ CapC Z2 e CapC Z1 ≤ CapC Z2 .
3.
[
CapC ( Zi ) ≥ sup CapC Zi
[
CapC ( Zi ) ≥ sup CapC Zi .
Demonstração.
1. Temos
inf {
G:ψ(G)≤ε
X
ξ(U )η(U )α } ≤
U ∈G
inf {
G:ψ(G)=ε
X
ξ(U )η(U )α } . Assim, mC (Z, α) ≤ rC (Z, α).
U ∈U
Portanto, se mC (Z, α) = +∞ então rC (Z, α) = +∞. Logo:
{α : mC (Z, α) = +∞} ⊂ {α; rC (Z, α) = +∞}.
O que nos dá:
dimC Z ≤ CapC Z.
É claro que CapC Z ≤ CapC Z. E o resultado segue.
2. Se G é uma cobertura de Z2 com ψ(G) = ε então é tambem cobertura para Z1 . .
Assim, rC (Z1 , α) ≤ rC (Z2 , α) e portanto CapC Z1 ≤ CapC Z2 . A outra desigualdade é
análoga.
!
[
3. Do item anterior, CapC (Zn ) ≤ CapC
Zi para todo n ≥ 0.
i≥0
Logo:
!
CapC
[
Zi
≥ sup CapC Zi
i≥0
i≥0
A outra desigualdade é análoga.
30
3.3
Pressão Topológica
A construção acima aplicada no contexto de dinâmica, produz a noção de Pressão topológica,
como descrito abaixo.
Considere f : X −→ X contı́nua ,um conjunto Z ⊂ X invariante e ϕ : Z −→ R contı́nua.
Considere U uma cobertura de X. Seja Sm (U) o conjunto dos cilindros :
V = {Ui0 ...Uim−1 ; Uij ∈ U}.
Faça agora S = S(U) =
[
Sm (U ).
m≥0
Dado um cilindro V = {Ui0 ...Uim−1 } ∈ S(U), defina m(V ) = m e
X(V ) = {x ∈ X; f j (x) ∈ Uij , j = 0, ..., m(V ) − 1}.
Ponha ainda
F = F(U) = {X(V ); V ∈ S(U)}.
Agora defina ξ, η, ψ : S(U) −→ R como
m(V )−1
ξ(U ) = exp sup
x∈X(U )
X
ϕ(f k (x))
k=0
η(U ) = exp(−m(U ))
ψ(U ) = m(U )−1 .
De acordo com a construção da secção acima:
mC (Z, α) = lim M (Z, α, ϕ, U, N )
N →∞
onde,
M (Z, α, ϕ, U, N ) = inf
G
X
m(V )−1
exp −αm(V ) + sup
x∈X(V )
V ∈G
X
k=0
k
ϕ(f (x))
todas as coleções enumeráveis de cilindros G ⊂ S(U), m(V ) ≥ N para todo V ∈ G onde G
cobre Z.
Além disso,
rC (Z, α) = lim inf R(Z, α, ϕ, U, N )
N →∞
31
rC (Z, α) = lim sup R(Z, α, ϕ, U, N )
N →∞
onde,
(
X
R(Z, α, ϕ, U, N ) = inf
G
exp −αN + sup
N
−1
X
!)
ϕ(f k (x))
x∈X(U ) k=0
U ∈G
Tomado sobre todas as coleções enumeráveis de cilindros G ⊂ S(U) tais que m(V ) = N para
todo V ∈ G e G cobre Z.
Por fim,
PZ (ϕ, U) = inf{α; mC (Z, α) = 0} = sup{α; mC (Z, α) = +∞}
CP Z (ϕ, U) = inf{α; rC (Z, α) = 0} = sup{α; rC (Z, α) = +∞}
CP Z (ϕ, U) = inf{α; rC (Z, α) = 0} = sup{α; rC (Z, α) = +∞}.
Note que as dimensões acima dependem da cobertura inicial U.
Teorema 3.9. Existem os limites:
1. PZ (ϕ) = lim PZ (ϕ, U)
|U |→0
2. CP Z (ϕ) = lim CP Z (ϕ, U)
|U |→0
3. CP Z (ϕ) = lim CP Z (ϕ, U)
|U |→0
Demonstração.
Considere uma cobertura V de diâmetro menor que o número de Lebesgue de U. Assim
dado V ∈ V existe U (V ) ∈ U tal que V ⊂ U (V ). Dado um cilindro V = {Vi0 ....Vim } ∈ S(V)
podemos associá-la a U(V) = {U (Vi0 ), ...U (Vim )} ∈ S(U). Além disso, é claro que se
G ∈ S(V) é uma cobertura de Z então U (G) = {U (V ); V ∈ G} cobre Z.
Seja γ = γ(U) = sup{|ϕ(x) − ϕ(y)|; x, y ∈ U para algum U ∈ U}. Assim:
m(V )−1
X
X
exp −(α − γ)m(V ) + sup
ϕ(f k (x)) =
E≡
x∈X(V )
V ∈G
=
k=0
m(V )−1
X
exp −αm(V ) + sup (
X
V ∈G
x∈X(V )
k=0
ϕ(f k (x)) + γ) .
Note que se x ∈ U (V ) então f k (x) ∈ U (Vik ) para todo k. Assim, se y ∈ V temos
|ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ γ.
32
Portanto:
E≥
X
m(V )−1
sup
X
y∈X(U (V ))
k=0
exp −αm(U (V )) +
U ∈U (G
ϕ(f k (y)) .
A desigualdade acima nos dá:
M (Z, α, ϕ, U, N ) ≤ M (Z, α − γ, V, N ).
Logo:
PZ (ϕ, U) − γ ≤ lim inf PZ (ϕ, V).
|V|→0
Como X é compacto, temos que ϕ é uniformemente contı́nua e portanto lim γ(U) = 0.
|U |→0
Logo:
lim sup PZ (ϕ, U) ≤ lim inf PZ (ϕ, U).
|U |→0
|U |→0
Portanto, o primeiro limite existe. Para os outros dois a prova é inteiramente análoga.
Definição 7. Os limites do teorema acima são chamados respectivamente de Pressão Topológica , Capacidade Inferior e Capacidade Superior de ϕ.
Em geral, PZ (ϕ) ≤ CP Z (ϕ) ≤ CP Z (ϕ). As propriedades que listaremos abaixo são as
traduções das propriedades da construção de Carathéodory para o nosso contexto.
Proposição 3.10.
1. P∅ (ϕ) ≤ 0
2. Se Z1 ⊂ Z2 então PZ1 (ϕ) ≤ PZ2 (ϕ)
[
3. se Z =
Zi PZ (ϕ) = supi PZi (ϕ)
i
Proposição 3.11.
1. CP ∅ ≤ 0, CP ∅ (ϕ) ≤ 0
2. Se Z1 ⊂ Z2 então CP Z1 ≤ CP Z1 (ϕ) e CP Z1 ≤ CP Z2 (ϕ).
S
3. Se Z = Zi então CP Z (ϕ) ≥ supi CP Zi e CP Z (ϕ) ≥ supi CP Zi (ϕ).
No caso que em o espaço em questão é compacto , esses números coincidem.
Teorema 3.12.
1. Se Z ⊂ X invariante então CP Z (ϕ) = CP Z (ϕ). Além disso, para
qualquer cobertura U de Z temos CP Z (ϕ, U) = CP Z (ϕ, U).
33
2. Se Z ⊂ X é invariante compacto então vale PZ (ϕ) = CP (ϕ) = CP (ϕ). Além disso
para toda cobertura aberta U temos PZ (ϕ, U) = CP Z (ϕ, U) = CP Z (ϕ, U)
A prova do teorema acima pode ser encontrada em [2].
O conjunto Σp = {1, ..., p}N é chamado shift com p sı́mbolos. No caso em que estamos
no shift e a dinâmica é a aplicação σ((i1 , ..., in , ...)) = (i2 , i3 , ...) as definições de Pressão,
Capacidade limite superior e inferior podem ser simplificadas . Seja Un uma cobertura por
cilindros de comprimento n, Ci1 ...in ≡ {(j1 , ...jm , ...); j1 = i1 , ..., jn = in }. Temos lim |Un | = 0
n→∞
e para todo U ∈ S(Un ), X(U ) é um cilindro. Assim, podemos escrever:
M (Z, α, ϕ, Un , N ) = inf
G
X
exp −α(m + 1) +
m
X
sup
w∈Ci0 ...in
Ci0 ...in
k=0
!
ϕ(σ k (ω))
onde o ı́nfimo
é tomado sobre todas as G coberturas por cilindros Ci0 ...im , m ≥ N ≥ n.
R(Z, α, ϕ, Un , N ) =
X
exp −α(N + 1) +
sup
w∈Ci0 ...iN
Ci0 ...iN ∈G
N
X
!
ϕ(σ k (ω))
onde a soma é
k=0
feita sobre todos os cilindros Ci0 ...iN que intersectam Z.
Teorema 3.13. (Princı́pio Variacional) Seja f : X −→ X contı́nua , e Z ⊂ X compacto
invariante . Então para toda ϕ : Z −→ R contı́nua temos:
Z
PZ (ϕ) = sup{hν (f ) + ϕdν; ν é f − invariante}.
Um prova para o teorema acima pode ser encontrada em [3].
Uma medida que realiza o supremo do teorema acima é chamada estado de equilı́brio.
Uma transformação f : X −→ X é dita expansiva de existe ε0 > 0 tal que se x, y ∈ X
e x 6= y então existe n ∈ N tal que d(f n (x), f n (y)) > ε0 . Note que esse é o caso dos shifts
P
k|
a esquerda σ : {1, .., p}N −→ {1, .., p}N com a métrica dβ , dβ ((xk ), (yk )) = k |xkβ−y
. Nesse
k
caso temos:
Teorema 3.14. Se f : X −→ X (X métrico compacto) é expansiva então todo potencial
ϕ : X −→ R admite estado de equilı́brio.
Não faremos a prova completa do Teorema acima, apenas um esboço é feito abaixo. Os
detalhes podem ser encontrados em [3].
Como X é compacto, M1 (f ) ≡ {µ; µ(X) = R1 e µ medida f -invariante} é compacto na
topologia f raca∗. Além disso, a aplicação µ −→ ϕdµ é contı́nua na mesma topologia. Pelo
34
Princı́pio Variacional, existe uma sequência {µn }n tal que
Z
lim hµn (f ) + ϕdµn = P (f, ϕ).
n→∞
Mas M1 (f ) é compacto e portanto {µn }n admite uma subsequencia convergente para um
certo ν. Como f é expansiva a aplicação µ −→ hµ (f ) é semi-contı́nua superiormente. Logo:
Z
hν (f ) +
Z
ϕdν ≥ lim inf hνn (f ) +
n
Logo, ν é um estado de equilı́brio.
35
ϕdµn = P (f, ϕ).
Capı́tulo 4
Dimensão de Hausdorff de Conjuntos
Quase-Morán
Os conjuntos quase-Moran são obtidos de acordo com a seguinte construção. Considere
λ1 , ..., λp ∈ (0, 1). Na etapa n considere conjuntos 4i0 ...in fechados tais que:
1. 4i0 ...in j ⊂ 4i0 ...in ⊂ Rl para todo j = 1, ..., p.
2. Existem bolas tais que B(xi0 ...in , ri0 ...in ) ⊂ 4i0 ...in ⊂ B(xi0 ...in , ri0 ...in ) qualquer que seja
a n-úpla (i1 , ...in ).
3. Os raios das bolas acima satisfazem:
ri0 ...in = K1 λi0 ...λin
ri0 ...in = K2 λi0 ...λin
K1 e K2 são constantes.
4. int B i1 ...in ∩ int B j1 ...jm = ∅ se (i1 , ...., in ) 6= (j1 , ..., jn ) e m ≥ n.
Seja K o conjunto limite dessa construção.
T
Como lim | 4i1 ...in | = 0 (de acordo com a propriedade de 3) então ∞
n=1 4i1 ...in consiste
n→∞
de um ponto. Podemos então definir uma aplicação de maneira natural:
T
χ : {1, ..., p}N −→ K como χ((i1 , ..., in , ...)) = ∞
k=1 4i1 ...in .
P
|i −i0 |
Vamos considerar em Σp = {1, ..., p}N a métrica dβ (ω, ω 0 ) = k≥1 kβ k k se ω = (i1 , ..., in , ...)
e ω 0 = (i01 , ...i0n , ...). Isso nos permite obter informações sobre F através do shift.
Um subshift Q ⊂ {1, ..., p}N é um conjunto invariante pela aplicação shift σ : Σp −→ Σp
dada por σ((i1 , ..., in , ...)) = (i2 , i3 , ...). Seja Q ⊂ {1, ..., p}N subshift compacto. Dizemos que
uma n-úpla (i1 , ..., in ) é Q-admissı́vel se existe um elemento (jk )k ∈ Q tal que (j1 , ..., jn ) =
= (i1 , ...in ). Assim podemos falar no conjunto modelado pelo subshift, i.e.,
36
F =
∞
\
n=1
[
4i1 ,...,in .
(i1 ...in ) é
Q−admissível
Cobertura de Morán
Seja 0 < r < 1. Dado ω = (i1 , ...in , ...) ∈ Q existe, e é único, n(ω) ∈ N tal que:
λi1 ...λin(ω) > r e λi1 ....λin(ω)+1 ≤ r.
Considere então os cilindros Ci1 ...in(ω) ,com ω ∈ Q. Dois cilindros ou são disjuntos ou um
está contido no outro ( Suponha que ω ∈ Ci1 ...in(ω0 ) . Se isso ocorre então necessariamente
n(ω 0 ) ≤ n(ω) o que nos dá Ci1 ...in (ω) ⊂ Ci1 ...in(ω0 ) ). Considere então os cilindros maximais
( isto é, cilindros que não estão contidos em nenhum outro). É claro que esses cilindros
formam uma cobertura de Q.
Chamamos essa cobertura de cobertura de Morán, e denotamos por Ur,Q ou Ur se não
houver perigo de confusão. A cobertura de F formada pelos conjuntos χ(C(ω)), onde C(ω) ∈
Ur,Q , também é chamada cobertura de Morán. Quando estiver implı́cito o espaço em questão,
escreveremos apenas Ur .
Quando R ⊂ Q não é invariante ainda podemos construir uma cobertura de Moran
para R. Nesse caso os conjuntos C(ω) não são necessariamente disjuntos, mas satisfazem
C(ωi ) ∩ C(ωj ) ∩ R = ∅ se i 6= j.
A principal propriedade das coberturas de Moran é:
Proposição 4.1. Existe uma constante M , independente de r e x tal que B(x, r) intersecta
no máximo M elementos de Ur,F .
Demonstração. Considere a cobertura de Moran Ur de F , digamos, 4j com j = 1, ..., N .
r
K2
Se 4j ∩ B(x, r) 6= ∅ então 4j ⊂ B (x, r + diam 4j ). Lembrando que diam 4j ≤ 2 λmin
j
(de fato, 4 ⊂ B (xj , rj ) onde rj = K2 λ1 ...λn(ω) para algum ω ∈ Q e portanto, da definição
r
de cobertura de Morán, rj ≤ K2 λmin
). Assim:
rK2
j
4 ⊂ B x, r + 2
.
λmin
2
Mas existe B(xj , rj ) ⊂ 4j com rj ≥ K1 r e portanto B(xj , rj ) ⊂ B x, r 1 + 2 λKmin
.
K1 r l
√ Z . Como diam B(xj , rj ) ≥ 2K1 r
2 l
então B(xj , rj ) deve conter pelo menos um ponto de G de acordo com o lema 4.2 abaixo.
Considere então a grade de pontos em Rl , G =
37
Assim, como as bolas B(xj , rj ) são disjuntas ( pela Propriedade 4 dos conjuntos de Morán)
temos
K2
K2
card B(xj , rj ); B(xj , rj ) ⊂ B x, r 1 + 2
≤ card G ∩ B x, r 1 + 2
.
λmin
λmin
K2
Note que card B x, r 1 + 2
∩G≤
λmin
!l
√
4 l
K2
(1 +
) + 1 . Logo:
K1
λmin
K2
card{4 ; 4 ∩ B(x, r) 6= ∅} ≤ card B(xj , rj ); B(xj , rj ) ⊂ B x, r 1 + 2
λmin
j
j
K2
≤ card G ∩ B x, r 1 + 2
λmin
≤
!l
√
4 l
K2
(1 + 2
)+1 .
K1
λmin
E esse último número independe de r e de x.
Lema 4.2. Seja B = B(z, s) ⊂ Rl com s ≥ r. Então B contém pelo menos um ponto de
r
√ Zl .
2 l
r
Demonstração. Escreva z = (z1 , ...zl ). Podemos escrever zi = pi √ + ti para algum
2 l
r
pi ∈ Z e 0 < ti < √ , i = 1, .., l. Assim:
2 l
2 12
r
r
r
r
1
z − p1 √ , ..., pl √
= |(t1 , ...tl )| = (t21 + ... + t2l ) 2 ≤ l
= ≤ s.
4l
2
2 l
2 l
r
Em outras palavras (p1 , ..., pl ) √ ∈ B(z, s).
2 l
A equação PQ (s log λi0 ) = 0 é chamada equação de Bowen. Vamos denotar sua raiz por
sλ , i.e., PQ (sλ log λi0 ) = 0. A medida de equilı́brio para a aplicação ϕ = sλ log λi0 será
denotada por µλ , e mλ = χ∗ µ, i.e., mλ (E) = µλ (ϕ−1 (E)). Esses objetos se relacionam com
a dimensão de Hausdorff de conjuntos quase-Morán, como enunciado, e provado abaixo.
38
Teorema 4.3. (Pesin-Weiss) Seja F o conjunto de obtido através do sistema (Q, σ) de
acordo com a construção descrita acima. Então vale :
1. HD(F ) = dimB F = dimB F = sλ
2. dimH mλ = sλ
hµλ (σ|Q)
log λi0 dµλ
Q
3. sλ = − R
Demonstração. Seja d = HD(F ). Da definição, dado ε > 0 existe r > 0 para o qual
existe uma cobertura {Bl }l∈N por meio de bolas Bl com raio rl < r satisfazendo :
∞
X
rld+ε ≤ 1.
l=0
De fato, como d = HD(F ) então Hd+ε (F ) = 0 e portanto existe r > 0 tal que
1.
Hr d+ε (F ) <
m(l)
Para cada l > 0 considere a cobertura de Moran Url de F . Denotemos por 41l , ..., 4l
aqueles elementos da cobertura de Url que intersectam a bola Bl . Como observado anteriormente, como propriedade das coberturas de Morán, temos m(l) < M para todo l ∈ N ,onde
M é o fator de multiplicidade da cobertura. De fato, temos 4jl = 4i0 ,...,in(l,j) . Assim, de
acordo com a Propriedade 3 de conjuntos quase-Morán:
n(l,j)
K1
Y
n(l,j)
λik = ri0 ...in(l,j) ≤ ri0 ...in(l,j) = K2
Y
λik ≤ C1 rl .
k=0
k=0
A constante C1 independe de l e j (de fato, maxi { Kλi2 } serve). Assim {4jl ; j = 1, ..., m(l), l ∈
N} formam uma cobertura de F digamos G (se x ∈ F então dado l ∈ N temos x ∈ Al para
algum Al ∈ Url e além disso, como {Bl }l é uma cobertura temos x ∈ Bk para algum k ∈ N
m(k)
[ j
e portanto x ∈
4k ) assim os cilindros {Clj ≡ Ci0 ...in(l,j) ; j = 1, ..., m(l), l ∈ N} formam
j=0
uma cobertura para Q. Temos:
X n(l,j)
Y
4lj ∈G
k=0
λd+ε
ik =
m(l)
XX
n(l,j)
Y
l
k=0
d+ε
λik
≤
k=0
d+ε
d+ε X
d+ε
m(l)
∞
XX
C1
C1
C1
rl
≤M
rl ≤ M
.
≤
K1
K1
K1
l=0
l k=0
39
Dado N > 0 escolha r pequeno tal que n(l, j) > N para todo l e todo j. Seja Un cobertura
de Q por meio de cilindros de comprimento n, com n < N . Então, pela definição e pelo que
obtivemos acima:
d+ε
n(l,j)
X
X
X n(l,j)
Y
C1
d+ε
k
.
M (Q, 0, ϕ, Un , N ) ≤
exp sup
ϕ(σ (ω)) =
λik ≤ M
K
1
ω∈C j k=0
j
j
k=0
4l ∈G
4l ∈G
l
Portanto, mc (Z, 0) ≤ 0 , logo 0 ≥ PQ ((d + ε) log λi0 ). Assim, s ≤ d + ε já que PQ (t log λi0 ) é
decrescente. Fazendo ε ir a zero, vem s ≡ sλ ≤ d.
Vamos mostrar agora que dimB F ≤ s. Para simplificar a notação, façamos d ≡ dimB F .
log N (F, r)
. Seja ε > 0, da definição existe r tal que
Por definição, dimB F = lim sup
log r−1
N (F, r) ≥ rε−d Seja então C (j) = Ci0 ...in(ωj ) com j = 1, ..., Nr a cobertura de Moran Ur de F.
Da definição, Nr ≥ N (F, r). Assim, existe A > 1 tal que
n(ωj )+1
Y
r
≤
λik ≤ r
A
k=0
(tome A = ( min λk )−1 como λi < 1 para todo i = 1, ...p , então pela definição das coberturas
1≤k≤p
n(ωj )
de Moran temos
Y
k=0
n(ωj )+1
λik > r e
Y
n(ωj )
λik ≤ r. Além disso, λin(ωj )+1
k=0
Y
k=0
λik > r min λi para
1≤i≤p
todo j = 1, ..., Nr ) Logo, (n(ωj )+2) min log λi ≤ log r e além disso, (n(ωj )+2) max log λi ≥
1≤i≤p
1≤i≤p
r
log . Assim,
A
A
1
C2 log − 2 ≤ n(ωj ) ≤ C3 log − 2
r
r
onde C2 e C3 são constantes para simplificar a notação(C2 ≡ (min log λi )−1 e C3 ≡
(max log λi )−1 ). Assim n(ωj ) pode tomar no máximo C3 log Ar − C2 log 1r + 1 valores. Chamaremos essa último número de B. Pelo princı́pio da casa dos pombos , existe um N ∈
[C2 log 1r − 2, C3 log Ar + 2] inteiro para o qual vale:
Nr
N (F, r)
rε−d
card{j : n(ω) = N } ≥
≥
≥
B
B
C3 log Ar
A
já que B ≤ C3 log Ar se r é suficientemente pequeno. Além disso, lim rε C3 log
= 0
r→0
r
ε
A
1
1/s
1
log sA = lim ε−1 = lim ε = 0). Portanto, se r é sufici(lim rε log
= lim
s→∞ εs
r→0
s→∞
s→∞ εs
r
s
A
ε
entemente pequeno, 1 ≥ r C3 log r e portanto
card{j : n(ωj ) = N } ≥ r2ε−d .
40
Seja G uma cobertura arbitrária de Q por cilindros de comprimento N, Ci0 ...iN e xj =
χ(ωj ). Então:
N
X Y
X n(x
Yj )
d−2ε
≥.
λik ≥
λid−2ε
k
Ci0 ...iN ∈G k=0
r d−2ε
X
≥
j:n(xj )=N k=0
j:n(xj )=N
A
≥ A2ε−d rd−2ε r2ε−d ≥
≥ A2ε−d ≡ C4 = constante.
Logo, se n > 0 e N > n, vem:
R(Q, 0, ϕ, Un , N ) =
X
exp
ω∈Ci0 ...in
Ci0 ...iN
=
sup
N
X Y
N
X
!
ϕ(σ k (ω))
k=0
λd−2ε
≥ C4
ik
Ci0 ...in k=0
Isso para ϕ = (d − 2ε) log λi0 . Portanto pelo teorema 3.19 (e aqui é usado o fato de que Q é
compacto) , vem:
CP Q ((d − 2ε) log λi0 ) = PQ ((d − 2ε) log λi0 ) ≥ 0
e portanto, d − 2ε ≤ s. Mas como ε é arbitrário vem d ≤ s. Temos d ≤ s ≤ d e é um fato
geral que d ≤ dimB F ≤ d , assim o a prova do item 1 segue.
Seja µλ medida de equilı́brio para s log λi0 . Da definição:
Z
hµλ (σ|Q) + s log λi0 dµλ = 0.
Q
Para simplificar a notação de agora em diante faremos h ≡ hµλ . Seja ε > 0 e suponhamos que
µλ é ergódica. Considerando a partição de Q por cilindros o teorema de Shannon-McMillanBreiman afirma que para µ-q.t.p ω ∈ Q existe N1 (ω) tal que para todo n > N1 (ω):
µλ (Ci0 ...in ) ≤ exp(−(h − ε))n).
Aqui Ci0 ...in (ω) é o cilindro de comprimento n que contém ω.
Pelo teorema de Birkhoff:
n−1
1X
s log λi0 (σ j ω) =
lim
n→∞ n
j=0
41
Z
s log λi0 dµλ
Visto de outro modo, para µ-q.t.p. ω ∈ Q existe N2 (ω) tal que
n
Y
1
s log λi0 dµλ ≤ log
λsij + ε.
n
Q
j=0
Z
Assim se n = n(ω) é suficientemente grande :
−(h−ε)n
µλ (Ci0 ...in ) ≤ e
R
sn Q log λi0 dµλ nε
≤e
e
≤e
1
n(ε+ n
Qn
s
j=0 λij )
nε
e
≤e
2nε
n
Y
λsij .
j=0
e portanto e2nε ≤
Seja α = min 2εlog 1 . Então α ≥ Pn 2nε
log 1
j
j=0
λj
λi
j
Q
n
j=0 λij
−α
. Assim, se
n = n(ω) é suficientemente grande vem:
µλ (Ci0 ...in ) ≤
n
Y
λs−α
ij .
j=0
Para cada l ∈ N defina Ql ≡ {ω ∈ Q; max{N1 (ω), N2 (ω)} ≤ l}. Temos :
1. Ql ⊂ Ql+1
2. µλ (Q \
∞
[
Ql ) = 0
l=1
S
O item 1 é de fácil verificação. A segunda afirmação é verdadeira porque ∞
l=1 Ql é a
intersecção de dois conjuntos de medida total , a saber, o conjunto dos pontos para os quais
vale a convergência no teorema da média de Birkhoff e o conjunto dos pontos para os quais
vale a convergência em Shannon-McMillan-Brieman. Assim, existe l0 > 0 tal que para todo
l ≥ l0 temos µλ (Ql ) > 0. Seja l > l0 e 0 < r < 1. Seja Ur,l a cobertura de Moran de Ql .
Tal cobertura é composta por elementos Clj = Ci0 ...in(ωj ) onde ωj ∈ Ql , j = 1, .., Nl,r . Seja
4jl = χ(Clj ).
Seja N = N (x, r, l) ≡ card{(l, j) : 4jl ∩ B(x, r) 6= ∅}. Sabemos que N (x, r, l) < M onde
M é a multiplicidade da cobertura de Morán. Assim, pelas propriedades dos quase-Morán
mλ (B(x, r) ∩ χ(Ql )) ≤
N
X
j=0
mλ (4jl ) ≤
N n(x
X
Yj )
λs−α
≤ K2 N (x, r, l)rs−α ≤ K2 M rs−α .
ik
j=0 k=0
Pelo Lema de densidade de Borel, enunciado no apêndice, como mλ (χ(Ql ) > 0 então para
quase todo x ∈ Ql existe um r0 = r0 (x) tal que 0 < r < r0 então :
mλ ≤ 2mλ (B(x, r) ∩ χ(Ql )).
42
Assim se l > l0 para µλ quase todo x ∈ Ql temos :
mλ (B(x, r)
mλ (B(x, r) ∩ χ(Ql ))
≥ lim inf log
.
r→0
r→0
log r
log r
dmλ (x) = lim inf
Mas log mλ (B(x, r)∩χ(Ql )) ≤ log K2 M +(s−α) log r o que nos dá
≥s−α+
log mλ (B ∩ χ(Ql ))
≥
log r
log K2 M
se r < 1. Portanto:
log r
dmλ (x) ≥ sλ − α.
log K2 M
= 0.
r→0
log r
Já que lim
Portanto pela propriedade 2 dos Ql ’s vem que dmλ (x) ≥ sλ −α para quase todo x ∈ Q, ou
seja, dimH mλ ≥ sλ − α. Como limε→0 α(ε) = 0, fazendo ε ir a zero vem que dimH mλ ≥ sλ
para quase todo x ∈ Q. É claro que dimH F ≥ dimH µλ (A medida esta suportada em F ) .
Portanto o item 2 esta provado.
No caso geral , considere a decomposição ergódica de µ , digamos (µP )P . Com efeito, µP
é medida de equilı́brio para µ̂P -quase todo P de acordo com a proposição 10.5.5 de [3]. Seja
Z ⊂ Q tal que µ(Z) = 1 . Então pela decomposição ergódica, temos que µP (Z) = 1 para
µ̂-quase todo ponto P . Assim, pelo que foi provado acima, dimH Z ≥ sλ . Logo da definição
vem:
dimH µ = sλ .
Por fim, como por definição, P (sλ log λi0 ) = 0 então temos, ja que µλ é medida de
equilı́brio:
Z
hµλ (σ|Q) + sλ
logi0 dµλ = 0.
Q
E portanto segue também o item 3.
43
Apêndice
Nesse apêndice, listaremos conceitos , propriedades e teoremas (sem provas) que foram usadas
no texto.
4.1
Lema de Densidade de Borel
Teorema 4.4. (Lema de Densidade de Borel) Seja A ⊂ X com µ(A) > 0. Então, para
µ-quase todo ponto x ∈ A temos:
lim
r→0
µ(B(x, r) ∩ A)
= 1.
µ(B(x, r)
Além disso, para cada δ > 0 existe Y ⊂ A com µ(Y ) > µ(A) − δ e r0 tal que para todo
x ∈ Y e 0 < r < r0 ,
1
µ(B(x, r) ∩ A) ≥ µ(B(x, r)).
2
4.2
Equação de Bowen
Seja X espaço métrico , f : X −→ X e ϕ : X −→ R contı́nuas.
Teorema 4.5. Se ϕ é negativa e Z ⊂ X então:
1. ψ(t) ≡ PZ (tϕ) é Lispschitz , convexa e estritamente decrescente.
2. Existe um único s tal que ϕ(s) = 0. No caso de Z compacto, s < +∞.
4.3
Alguns Resultados de Teoria Ergódica
As provas dos teoremas aqui citados podem ser encontradas em [V-O].
Definição 8. Seja f : M −→ M uma transformação mensurável e µ uma medida em M .A
medida µ é dita f -invariante se µ(E) = µ(f −1 (E)) para todo conjunto mensurável E.
44
Definição 9. Seja f : M −→ M uma transformação mensurável. Uma medida µ é dita
ergódica se f −1 (E) = E =⇒ µ(E) = 0 ou µ(E) = 1, ou seja, todo conjunto invariante tem
medida nula ou total. Escrevemos que (f, µ) é ergódica.
Teorema 4.6. (Média de Birkhoff )
Seja f : M −→ M um transformação mensurável e µ uma medida invariante. Dado
ϕ : M −→ R integrável, para µ-quase todo ponto x existe o limite
n−1
1X
ϕ(f j (x)).
ϕ̃(x) = lim
n→∞ n
j=0
Além disso, ϕ̃ é integrável e satisfaz:
Z
Z
ϕdµ(x).
ϕ̃dµ(x) =
M
M
No caso em que µ é ergódica temos:
Teorema 4.7. A aplicação ϕ̃ do teorema acima é constante em µ-quase todo ponto x e
portanto:
Z
n−1
1X
ϕ(y)dµ(y) = lim
ϕ(f j (x))
n→∞ n
j=0
em quase todo ponto.
Seja M um espaço métrico e P uma partição de M por conjuntos mensuráveis. Vamos
colocar uma estrutura de espaço de probabilidade. Para isso, considere a aplicação π :
M −→ P que associa x ∈ M ao único conjunto P(x) ∈ P que o contém. Diremos que um
subconjunto Q ⊂ P é mensurável se π −1 (Q) for mensurável. Por fim, definimos a medida µ̂
em P como:
µ̂(Q) ≡ µ(π −1 (Q).
Temos então os ingredientes para o :
Teorema 4.8. Decomposição Érgódica
Seja f : M −→ M uma transformação mensurável num espaço métrico completo e
separável M e µ uma medida f -invariante. Então existem um conjunto M0 ⊂ M mensurável
com µ(M0 ) = 1, uma partição P de M0 e uma famı́lia (µP )P ∈P de medidas ergódicas em M
, tais que
45
1. µP (P ) = 1 para µ̂-quase todo P ∈ P.
2. P −→ µ̂P (E) é mensurável para todo conjunto mensurável E ⊂ M .
3. µP é invariante e ergódica para µ̂-quase todo ponto P ∈ P.
R
4. µ(E) = µP (E)dµ̂(P ).
4.4
Entropia Métrica ou de Kolmogorov
Seja M um espaço métrico. Considere f : M −→ M contı́nua e µ uma medida f invariante.
Dadas P e Q partições de M , definimos a soma dessas partições como a partição
P ∨ Q = {P ∩ Q; P ∈ P e Q ∈ Q}.
Mais geralmente, para uma famı́lia {Pn } definimos
∞
_
\
Pn = { Pn ; Pn ∈ Pn }.
n
n=1
Seja P uma partição finita de M . Definimos:
X
Definição 10. Hµ (P) = −
µ(P ) log µ(P ) é a entropia da partição P.
P ∈P
Dadas duas partições P e Q definimos a entropia condicinal de P em relação a Q como :
Hµ (P|Q) ≡
XX
−µ(P ∩ Q)
P ∈P Q∈Q
µ(P ∩ Q)
.
µ(Q)
Notação 4.9. Escrevemos P ≺ Q se todo elemento de Q está contido em algum elemento
de P.
Vamos listar algumas propriedades da entropia de partições no próximo lema.
Lema 4.10. Considere P ,Q e R partições de M . Então :
1. Hµ (P ∨ Q|R) = Hµ (P|R) + Hµ (Q|P ∨ R)
2. Se P ≺ Q então
Hµ (P|Q) ≤ Hµ (Q|P)
Hµ (R|P) ≥ Hµ (R|Q)
3. P ≺ Q ⇐⇒ Hµ (P|Q)
46
É claro que Hµ (P|M) = Hµ (P) , onde M é a partição trivial. Usando o item 2 do lema,
fazendo Q igual a partição trivial (A partição trivial é por definição Q = M ), temos:
Hµ (R|P) ≤ Hµ (R).
Por fim, usando o item 3 com R = M vem:
Hµ (P ∨ Q) = Hµ (P) + Hµ (Q ∨ P) ≤ Hµ (P) + Hµ (Q).
Escreva f −1 (P) ≡ {f −1 (P ); P ∈ P}. Se f preserva a medida µ então Hµ (P) =
Hµ (f −1 (P)). Escreva P n ≡ P ∨ f −1 (P) ∨ ... ∨ f −n+1 (P).
Lema 4.11. Hµ (P m+n ) ≤ Hµ (P m ) + Hµ (P n )
Demonstração.Temos P m+n = Hm ∨ f −m (P m ). Assim:
Hµ (P m+n ) ≤ Pµ (P m ) + Hµ (f −1 (P n )).
E pelo que foi observado acima vem (se f preserva µ então f m também o faz):
Hµ (P m+n ) ≤ Hµ (P m ) + Hµ (P n ).
Temos o seguinte resultado a respeito de sequências de números reais:
Lema 4.12. Seja {an }n uma sequência subaditiva de números reais,i.e., am+n ≤ am + an
então existe o limite:
an
.
L ≡ lim
n→∞ n
an
.
n n
Além disso, temos L = inf
Logo, graças aos lemas anteriores, existe o limite :
1
hµ (f, P) ≡ lim Hµ (P n ).
n n
Definição 11. O limite acima é chamado entropia de f com relação a partição P.
Por fim, definimos a entropia de f :
47
Definição 12. O supremo tomado sobre todas as partições finitas
hµ (f ) ≡ sup hµ (f, P)
P
é chamado entropia métrica ou entropia de Kolmogorov de f.
Alguns resultados ajudam no cálculo da entropia.
Vamos enunciar alguns.
Teorema 4.13. Sejam P1 , ..., Pn , ... partições de M com Pn ≺ Pn+1 . Se
[
P n gera a
n≥1
σ-álgebra dos mensuráveis então
hµ (f ) = lim h(f, Pn ).
n→∞
Demonstração. Ver [3].
Como corolário, temos:
[
P n gera a σ-álgebra dos conjuntos mensuráveis ,então :
Corolário 4.14. Se
n
hµ (f ) = hµ (f, P).
Definimos o diâmetro de uma partição P como diamP ≡ sup{diamU ; U ∈ P}
Corolário 4.15. Seja M um espaço métrico. Se lim diamP n = 0 então:
n→∞
hµ (f ) = h(f, P).
Em posse desse resultado vamos calcular a entropia do shift no espaço das sequências.
Exemplo 8. Seja M = ({1, ..., l}N , d) onde d({xn }n , {yn }n ) ≡ 21n com n = min{k; xk 6= yk }
e com a medida definida nos cilindros (definidos logo abaixo) do seguinte modo:
1. Sejam pm ∈ [0, 1]
m = 1, ..., l tais que
l
X
pj = 1
j=1
2. Os conjuntos (Ci0 ...in )(k) ≡ {(x1 , ..., xn , ...); xk = i0 , xk+1 = i1 , ...xk+n = in } são chamados cilindros. Defina
µ((Ci0 ...in ))(k) = pi0 pi1 ...pin .
A medida definida acima se estende, de maneira única, a todos os borelianos de {0, 1}N ,
e é chamada medida de Bernoulli.
48
Considere a aplicação σ : {1, ..., l}N −→ {1, ..., l}N definida por σ(x1 , ..xn , ...) = (x2 , ..., xn , ...).
É fácil ver que a medida é preservada na álgebra gerada pelos cilindros. Como os cilindros
geram a σ-álgebra dos borelianos, então essa medida é σ-invariante. Para detalhes, veja
Lema 1.3.1 em [3]).
Vamos agora calcular a entropia hµ (σ)
Note que σ −1 (Ci1 ...in )(k) = Ci1 ...in (k+1). Considere a partição de P = {C1 (1), C1 (1), ..., Cl (1)}.
Temos P n = {Ci1 ...in (1); (i1 , ...in ) ∈ {0, 1}n }. Note que
lim diam P n = 0
n→∞
1
). Assim, hµ (f ) = hµ (f, P).
( De fato diam Ci1 ...in (1) = 2n+1
Hµ (P n ) =
X
−µ(Ci1 ...in (1)) log µ(Ci1 ...in (1))
=
X
=
X
−pi1 ...pin log pi1 ...pin
X
−pi1 ...pin
log pij
=
XX
j
j
Essa última soma é igual a
l
X
−pij log pij
ij
X
pi1 ...pij−1 pij+1 ...pn .
ik ,k6=j
!n−1
pj
= 1 . Assim:
j=1
Hµ (P n ) = −n
X
pj log pj .
j
Logo, n1 Hµ (P n ) = −
P
j pj log pj e portanto:
hµ (f ) =
X
pj log pj .
j
Nessa linha, temos ainda o teorema de Shannon-McMillan-Breiman que é de carater mais
local, e que será enunciado logo abaixo.
Seja P uma partição de M . Denote por P n (x) o elemento da partição P n que contem x.
O teorema de Shannon-Mcmillan-Breiman afirma que:
Teorema 4.16. // Dada qualquer partiçao P com entropia finita existe
1
hµ (f, P, x) ≡ lim − log µ(P n (x))
n→∞
n
49
em µ-quase todo ponto. Além disso, a função que associa x −→ hµ (f, P, x) é µ-integrável e o
1
limite também vale em L1 (isto é, definindo gn (x) = − log µ(P n (x)) tais funções convergem
n
na norma L1 para a função que associa x −→ hµ (f, P, x)). Por fim,
Z
hµ (f, P, x)dµ(x) = hµ (f, P)
Demonstração.Ver [3].
Note que hµ (f, P, x) = hµ (f, P, f (x)) para todo x ∈ M . Assim, a média
n−1
1X
hµ (f, P, f j (x)) = h(f, P, x).
n j=0
Assim, se µ é ergódica, pelo teorema de ergódico de Birkhoff, temos que para µ-quase todo
ponto x:
hµ (f, P, x) = hµ (f, P).
50
Referências Bibliográficas
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[2]
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and Applications /Yakov B. Pesin.Chicago Lectures in Mathematics series, 1997.
[3]
K.Oliveira,M.Viana , Fundamentos da Teoria Ergódica, Sociedade Brasileira de
Matemática
[4]
Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy,Measure Theory and Fine Properties
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[5]
D. Ruelle. Thermodynamic Formalism. Addison-Wesley, Reading, MA,1978.
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