Dissertação
Dissertação Ana Paula Dantas.pdf
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Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Ana Paula Dantas de Souza
Equações Integro-Diferenciais de Ordem Fracionária
Maceió
2013
Ana Paula Dantas de Souza
Equações Integro-Diferenciais de Ordem Fracionária
Dissertação de mestrado na área de concentração de Análise submetida em 18 de setembro de 2013 à Banca Examinadora, designada pelo Colegiado do Programa de PósGraduação em Matemática da Universidade
Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre
em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Julio Cesar de Souza
Almeida
Maceió
2013
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Fabiana Camargo dos Santos
S729e
Souza, Ana Paula Dantas de.
Equações integro-diferenciais de ordem fracionária / Ana Paula Dantas de
Souza. – 2013.
67 f. : il.
Orientador: Julio Cesar de Souza Almeida.
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2013.
Bibliografia: f. 66-67.
1. Semigrupos de operadores lineares limitados. 2. Semigrupos analíticos.
3. Equações integro-diferenciais de ordem fracionária. I. Título.
CDU: 517.98
AGRADECIMENTOS
A Deus por me proteger nos momentos difíceis, me dar força interior para vencer
as dificuldades e mostrar os caminho nas horas incertas. À minha família pelo apoio
incondicional em todos os momentos deste mestrado.
Em especial, agradeço à minha mãe Marlene que sempre esteve ao meu lado me apoiando e dando forças para que eu conseguisse meus objetivos. Ao meu pai Cândido, que
com sua responsabilidade e honestidade, me ensinou a escolher sempre o melhor caminho.
Ao meu namorado Allan que esteve comigo durante toda a minha vida acadêmica e
sempre me incentivou com seus valiosos conselhos.
Ao meu orientador Prof. Julio Cesar, pela liberdade e confiança referente ao presente
trabalho, além da compreensão em todos os momentos necessários. Agradeço aos membros
da banca examinadora, Professores Krerley Oliveira e Adán Corcho, pela disponibilidade
de participar e pelas contribuições acerca da dissertação. Agradeço também a todos os
professores do Instituto de Matemática, os quais se mostram grandes mestres.
Meus agradecimentos aos colegas de turma e com certeza futuros excelentes profissionais: Allan, Felipe, Marcos e Max, pelo convívio, troca de ideias e crescimento mútuo.
À FAPEAL, pelo apoio financeiro.
RESUMO
Nesta dissertação apresentaremos a demonstração de um Teorema obtido por C. Cuevas e J.C. de Souza, o qual estabelece a existência e unicidade de solução branda Sassintoticamente ω-periódica para uma equação semilinear fracionária. Além disso, abordaremos uma aplicação deste problema para uma equação diferencial parcial de ordem
fracionária. Este artigo foi publicado em 2008 no Applied Mathematics Letters, com
o título S-asymptotically ω-periodic solutions of semilinear fractional integro-differential
equations.
Palavras-chave: Semigrupos fortemente contínuos de operadores limitados. Semigrupos Analíticos. Equações integro-diferenciais de ordem fracionária.
ABSTRACT
In this work we demonstrate a theorem obtained by C. Cuevas e J.C. de Souza, which
establishes the existence and uniqueness of mild solution S-asymptotically ω-periodic for
a semilinear fractional equation. In addition, we discuss an application of this problem
for a partial differential equation of fractional order. This article was published in 2008
in Applied Mathematics Letters, as the title S-asymptotically ω-periodic solutions of semilinear fractional integro-differential equations.
Keywords: Strongly continuous semigroups of bounded operators. Analytic semigroups.
Integro-differential equations of fractional order.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
7
1 PRELIMINARES
1.1 Integração de funções com valores vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Um Pouco de Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Teorema de Ponto Fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Medidas de Não-Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Cálculo Fracionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Operador Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Operador Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
12
12
14
15
17
19
2 FUNÇÕES S-ASSINTOTICAMENTE ω-PERIÓDICAS
21
3 SEMIGRUPOS DE OPERADORES LINEARES LIMITADOS
3.1 Semigrupos Uniformemente Contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Semigrupos Fortemente Contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 O Teorema de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Semigrupos Analíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 O Semigrupo Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
26
29
34
40
48
4 SOLUÇÕES S-ASSINTOTICAMENTE ω-PERIÓDICAS DE EQUAÇÕES DE EVOLUÇÃO FRACIONÁRIA
53
4.1 Operador Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Soluções brandas S-assintoticamente ω-periódica . . . . . . . . . . . . . 56
REFERÊNCIAS
66
7
INTRODUÇÃO
Esta dissertação está baseada no artigo S-asymptotically ω-periodic solutions of semilinear fractional integro-differential equations de 2008. Neste artigo Cuevas e Souza provaram a existência e a unicidade de soluções brandas S-assintoticamente ω-periódicas
da equação de evolução semilinear do tipo fracionária
Z t
(t − s)α−2
′
v (t) =
Av(s)ds + f (t, v(t)) t ≥ 0,
(1)
0 Γ(α − 1)
v(0) = u0 ∈ X,
(2)
onde 1 < α < 2, A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear densamente definido do tipo
setorial num espaço de Banach complexo X e f : [0, ∞) × X → X é uma função contínua
satisfazendo uma condição tipo Lipschitz.
O objetivo deste trabalho é demonstrar o resultado citado acima obtido por Cuevas
e Souza. Com esse intuito, na primeira seção do Capítulo 1, abordamos o conceito de
Integração de Bochner, que estende o conceito de integral de Lebesgue para funções com
valores em um espaço de Banach. Ao longo desta dissertação, salvo menção contrária, X
munido da norma k · kX representará um espaço de Banach.
Na seção 1.2, apresentamos uma breve exposição de Medidas de Não-compacidade
e enunciamos um Teorema de Ponto Fixo, sendo este, ferramenta fundamental para a
demonstração do principal resultado deste trabalho.
A seção 1.3 trata do estudo do cálculo fracionário. De acordo com a abordagem feita
neste capítulo, a integral do tipo convolução em (??) é conhecida como a integral de
Riemann-Liouville de ordem α − 1 > 0, ou seja,
Z t
(t − s)α−2
Av(s)ds = J α−1 Av(t).
Γ(α
−
1)
0
O estudo das funções contínuas e limitadas f : [0, ∞) → X, para as quais existe ω > 0
tal que limt→∞ (f (t + ω) − f (t)) = 0, é apresentado no Capítulo 2 e retomado no Capítulo
4. No decorrer do segundo capítulo, chamaremos estas funções de S-assintoticamente ωperiódicas e estudaremos as principais propriedades desta classe de funções. Já no quarto
capítulo, verificamos a existência de soluções brandas S-assintoticamente ω-periódica para
o problema (??)-(??).
Os Semigrupos Lineares Limitados são abordados no Capítulo 3. Nas seções 3.1, 3.2 e
3.4, nos dedicamos ao estudo qualitativo dos Semigrupos Uniformemente Contínuos, dos
C0 -semigrupos e dos Semigrupos Analíticos, respectivamente. Na seção 3.3, estabelecemos
vários resultados com a finalidade de demonstrar o Teorema de Hille-Yosida. Por fim,
8
na seção 3.5, apresentamos um exemplo de semigrupo analítico, a saber, o Semigrupo
Gaussiano, o qual será novamente citado no último resultado deste trabalho.
O último capítulo está dividido em duas seções. Na primeira, introduzimos algumas
definições relevantes para o entendimento da segunda seção. Por exemplo, veremos a
importante definição de operador linear setorial tipo µ.
Definição 0.1. Um operador linear A : D(A) ⊂ X → X fechado é dito setorial do tipo
µ se existem µ ∈ R, 0 < θ < π2 e M > 0 tais que seu resolvente existe fora do setor
µ + Sθ = {µ + λ; λ ∈ C, | arg(−λ) |< θ}
e
k (λI − A)−1 k≤
M
, λ∈
/ µ + Sθ .
|λ−µ|
Na seção final, definimos o conceito de solução branda S-assintoticamente ω-periódica
para o problema (??)-(??).
Definição 0.0.1. Suponha que A é o gerador de um operador solução integrável Sα (t).
Uma função u ∈ Cb ([0, ∞), X) é dita uma solução branda S-assintoticamente ωperiódica do problema (??)-(??) se u : R+ → X for uma função S-assintoticamente
ω-periódica e satisfaz
Z t
u(t) = Sα (t)u0 +
Sα (t − s)f (s, u(s))ds,
∀t ≥ 0.
(3)
0
Além disso, utilizamos os capítulos anteriores para mostrar alguns resultados importantes que garantem a existência e unicidade de solução branda S-assintoticamente ωperiódica. Entre esses, destacamos o resultado abaixo:
Teorema 0.1. Sejam A um operador setorial do tipo µ < 0, f : [0, ∞) × X → X uma
função contínua tal que f (·, 0) é integrável em [0, ∞) e L : [0, ∞) → R uma função
contínua e integrável tal que
k f (t, x) − f (t, y) k≤ L(t) k x − y k,
para todo x, y ∈ X, t ≥ 0.
Então o problema (??) e (??) tem uma única solução branda S-assintoticamente ωperiódica. Além disso, vale
k u k∞ ≤ C(k u0 k + k f (·, 0) k1 ) exp(C k L k1 ),
onde C é uma constante suave e positiva.
9
1 PRELIMINARES
Neste capítulo fixamos notações e apresentamos os requisitos necessários para a compreensão desta dissertação.
1.1 Integração de funções com valores vetoriais
Neste seção temos como objetivo apresentar uma breve introdução da integral de
Bochner. Abordaremos apenas o necessário para compreensão dos Capítulos 3 e 4. Para
um estudo mais detalhado consulte [?] e [?]. Como já convencionamos, X representará
um espaço de Banach com a norma k · kX . Além disso, L(X) é o espaço de Banach dos
operadores lineares limitados de X em X com a norma usual.
A integral de Bochner estende a definição de integral de Lebesgue para funções com
valores em um espaço de Banach, como o limite de integrais de funções simples. Para
isto, consideremos f uma função
f :J →X
definida em algum intervalo J ⊂ R.
Definição 1.1.1. Uma função vetorial f : J ⊂ R → X é dita simples se f pode ser
representada por
n
X
x k χ Jk ,
(1.1)
f=
k=1
para algum n ∈ N, onde xk ∈ X e Jk são subconjuntos mensuráveis de J com medida de
Lebesgue finita µ(Jk ).
Se f é uma função simples, definimos sua integral por
Z
f (s)ds :=
J
n
X
xk µ(Jk ),
k=1
a qual independe da representação em (??).
Definição 1.1.2. Se f pode ser aproximada pontualmente por funções simples, ou seja,
se existe uma sequência (fn )n∈N de funções simples em J tal que
lim kf (s) − fn (s)k = 0
n→∞
µ − q.t.p.
então f é dita (fortemente) mensurável.
Com esta definição, o conjunto das funções mensuráveis é um espaço vetorial.
(1.2)
10
Definição 1.1.3. Se f é mensurável e existe uma sequência (fn )n∈N de funções simples
em J, tal que
Z
kf (s) − fn (s)kds = 0,
lim
n→∞
(1.3)
J
então dizemos que f é (Bochner) integrável. A integral acima é uma integral de Lebesgue.
Se f é integrável, definimos sua integral por
Z
Z
f (s)ds := lim
fn (s)ds,
n→∞
J
J
a qual independe da sequência (fn )n∈N na definição acima.
No que se segue, listaremos algumas propriedades elementares das funções mensuráveis. As demonstrações podem ser encontradas em [?].
Proposição 1.1. Seja f : J → X uma função vetorial, então
1. Se (fn )n∈N é uma sequência de funções mensuráveis definidas em J que converge
para f no sentido (??), então f também é mensurável.
2. Se f é mensurável e F : J → L(X) é fortemente contínua, então a composição
F ◦ f : J → X também é mensurável.
Proposição 1.2. Se f é mensurável, então as afirmações são equivalentes:
(i) f é integrável.
R
(ii) J kf (s)kds < ∞.
Como consequência imediata das Proposições ?? e ??, podemos observar que se f :
J → X é uma função integrável e F : J → L(X) é fortemente contínua, então a composta
F ◦ f : J → X é também integrável. Além disso, as seguintes propriedades são válidas
para a integral de Bochner.
R
R
(i) k J f (s)ds k≤ J k f (s) k ds;
(ii) (Teorema de Fubini) Seja I = I1 ×I2 um retângulo em R2 . Seja f : I → X mensurável
e suponha que
Z Z
kf (s, t)kdtds < ∞.
I1
I2
Então f é Bochner integrável e
Z Z
f (s, t)dtds e
I1
I2
Z Z
I2
f (s, t)dsdt
I1
existem e são iguais. Além disso as integrais acima coincidem com
R
I
f (s, t)d(s, t).
(iii) (Teorema da Convergência Dominada) Sejam fn : I → X, com n ∈ N, funções
Bochner integráveis. Se f (t) := limn→∞ fn (t) existe em µ-q.t.p. e existe uma função
integrável g : I → R tal que kfn (t)k ≤ g(t) em µ-q.t.p. para todo n ∈ N, então f é
Bochner integrável e
Z
Z
f (t) = lim
fn (t)dt.
n→∞ I
I
R
Além disso, I kf (t) − fn (t)kdt → 0, quando n → ∞.
11
A proposição ?? será utilizada no capítulo 3 e sua demonstração segue diretamente
do próximo resultado.
Teorema 1.1. Sejam T : X → Y um operador linear limitado entre os espaços de Banach
X e Y e f : I → X Bochner integrável. Então T ◦ f : t 7→ T (f (t)) é Bochner integrável e
Z
Z
f (s)ds = T (f (s))ds.
T
J
J
R
R
Demonstração.
Sabemos que I f (t)dt = limn→∞ I gn (t)dt, onde gn : I → X são
funções simples. Assim
Z
kn
X
gn (t)dt =
xin µ(Jin ).
I
i=1
Com isso, temos
T
R
f (t)dt
J
= T
=
lim
n→∞
kn
X
xin µ(Jin )
i=1
kn
X
T xin µ(Jin ) .
lim
n→∞
i=1
Por outro lado,
Z
Logo
kT (f (t)) − T (gn (t))kdt ≤ kT k
I
Z
T (f (t))dt =
I
=
lim
n→∞
lim
n→∞
Z
Z
kf (t) − gn (t)kdt → 0.
I
T (gn (t))dt
I
kn
X
T (xin )µ(Jin ).
i=1
O resultado a seguir nos garante, sob algumas hipóteses, que podemos comutar integração com aplicações de operadores fechados.
Proposição 1.3. Sejam X, Y espaços de Banach e A : D(A) ⊂ X → Y um operador
fechado. Se f : J → X é uma função integrável, f (s) ∈ D(A)
para quase todo s ∈ J e
R
Af : J → Y dado por (Af )(s) := Af (s) é integrável, então J f (s)ds ∈ D(A) e
Z
Z
A
f (s)ds = Af (s)ds.
J
J
Demonstração. Consideremos o espaço de Banach X × X com a norma k(x, y)k =
kxk + kyk. Se denotamos por G(A) o gráfico de A, por definição G(A) é um subespaço
12
fechado de X × X. Defina g : I → G(A) ⊂ X × X por g(t) := (f (t), A(f (t))). Portanto,
g é mensurável e, como f e A ◦ f são integráveis, temos
Z
Z
Z
kg(t)kdt = kf (t)kdt + kA(f (t))kdt < ∞.
I
I
I
Logo g é Bochner integrável. Considere os operadores limitados Pi : X × X → X
definidos por Pi (x1 , x2 ) = xi , para i = 1, 2. Do teorema (??), obtemos
Z
Z
Z
g(t)dt = P1
g(t)dt , P2
g(t)dt
I
I
=
=
Além disso,
R
I
Z
Z
I
(P1 ◦ g)(t)dt,
I
f (t)dt,
I
Z
I
Z
(P2 ◦ g)(t)dt
I
A(f (t))dt .
R
g(t)dt ∈ G(A), pois I g(t)dt é limite de pontos de G(A). Portanto,
Z
Z
Z
f (t)dt ∈ D(A) e A
f (t)dt = A(f (t))dt.
I
I
I
1.2 Um Pouco de Topologia
Nesta segunda seção, apresentaremos um Teorema de Ponto Fixo e a noção de medidas
de não-compacidade, os quais são requisitos necessários para a compreensão dos principais
resultados desta dissertação, a saber, os Teoremas ?? e ??.
1.2.1 Teorema de Ponto Fixo
O próximo teorema é uma consequência do Teorema do ponto fixo de Banach e sua
demonstração pode ser encontrada em [?].
Sejam Y e Z espaços de Banach com normas k · kY e k · kZ , respectivamente. Suponha
a existência de uma relação de ordem parcial em Z e uma aplicação m : Y → Z
satisfazendo as condições abaixo:
(i) Para todo y ∈ Y , 0 m(y);
(ii) a norma k · kZ é monótona com respeito a ordem parcial , ou seja, se 0 z1 z2 ,
então kz1 kZ ≤ kz2 kZ ;
(iii) Existem constantes C1 , C2 > 0, tais que
kykY ≤ C1 km(y)kZ e km(y)kZ ≤ C2 kykY , para todo y ∈ Y.
13
Nestas condições, enunciamos o seguinte Teorema:
Teorema 1.2. Sejam S ⊂ Y um conjunto fechado e não vazio e P : S → S uma aplicação
contínua. Suponha que existe um operador linear e limitado B : Z → Z tal que:
(I) O raio espectral r(B) < 1;
(II) O operador B é crescente com relação a ordem parcial , ou seja, se 0 z1 z2 ,
então Bz1 Bz2 ;
(III) Para todo y1 , y2 ∈ S, tem-se que m(P y1 − P y2 ) Bm(y1 − y2 ).
Então, P tem um único ponto fixo.
A seguir mostraremos um exemplo de uma aplicação m : Y → Z, a qual satisfaz as
hipóteses (i), (ii) e (iii). Este exemplo será utilizado na demonstração do Teorema ??.
Exemplo 1.1. Seja Cb ([0, ∞), X) o espaço das funções contínuas e limitadas munido
da norma da convergência uniforme. Considere os espaços Y = Cb ([0, ∞), X) e Z =
Cb ([0, ∞), R). Considere Z com a ordem pontual, isto é, se u1 , u2 ∈ Z, dizemos que
u1 u2 , quando u1 (t) ≤ u2 (t) para todo t ≥ 0. Para cada u ∈ Cb ([0, ∞), X), defina
m(u)(t) = sup ku(s)k,
t ≥ 0.
s∈[0,t]
Então, m é uma aplicação m : Cb ([0, ∞), X) → Cb ([0, ∞), R) que satisfaz as hipóteses
(i), (ii) e (iii).
Primeiramente mostraremos que m toma valores em Cb ([0, ∞), R). Seja u uma função
no espaço Cb ([0, ∞), X). Então, temos que
| m(u)(t) |≤ sup ku(s)k = kuk∞ ,
t ≥ 0,
s∈[0,∞)
o que mostra que m(u) é limitada. Além disso, dados ε > 0 e t ≥ 0, tome h = h(ε, t) > 0
′
′
tal que se θ, θ ∈ [t, t + h], então ku(θ) − u(θ )k < ε. Se sups∈[0,t+h] ku(s)k for atingido no
intervalo [0, t], então
| m(u)(t + h) − m(u)(t) | = |
sup ku(s)k − sup ku(s)k |= 0 < ε.
s∈[0,t+h]
s∈[0,t]
Suponha agora que sups∈[0,t+h] ku(s)k seja atingido no intervalo (t, t + h] e seja s′ o menor
valor em (t, t + h] tal que sups∈[0,t+h] ku(s)k = ku(s′ )k. Seja também s′′ o maior valor
em [0, t] tal que sups∈[0,t] ku(s)k = ku(s′′ )k. Sabemos que ku(s′′ )k < ku(s′ )k e ku(s′′ )k ∈
[ku(s′′ )k, ku(s′ )k]. Segue do Teorema do Valor Intermediário que existe s̃ ∈ [s′′ , s′ ] tal que
ku(s̃)k = ku(s′′ )k. Da escolha de s′ e s′′ temos que s̃ ∈ [t, s′ ] ⊆ [t, t + h]. Logo,
| m(u)(t + h) − m(u)(t) | = |
sup ku(s)k − sup ku(s)k |
s∈[0,t+h]
′
s∈[0,t]
′′
= ku(s )k − ku(s )k
= ku(s′ )k − ku(s̃)k
≤ ku(s′ ) − u(s̃)k < ε.
14
Com um processo análogo, mostra-se a desigualdade acima, para h < 0 com t + h ≥ 0.
Com isso, mostramos que m(u) é contínua e, portanto, m(u) ∈ Cb ([0, ∞), R). As hipóteses
(i) e (ii) são obviamente satisfeitas. Se u ∈ Cb ([0, ∞), X), temos
km(u)(t)kZ =
sup | m(u)(t) |
t∈[0,∞)
=
sup
t∈[0,∞)
=
sup ku(s)k
s∈[0,t]
sup ku(t)k = kukY ,
t∈[0,∞)
o que mostra que vale (iii), com C1 = C2 = 1.
1.2.2 Medidas de Não-Compacidade
A definição de medida de não compacidade de subconjuntos limitados mostra-se bastante útil na teoria de equações diferenciais em espaços de Banach. A seguir, definiremos
medidas de não compacidade e abordaremos algumas propriedades que serão utilizadas
nas próximas seções.
Definição 1.1. Sejam E um espaço de Banach, B um subconjunto limitado de E e ε > 0.
Uma cobertura {Vi } de B é uma ε-cobertura se diam(Vi ) < ε para todo i. A medida de
não compacidade de B é definida por
ψE (B) = inf{ε > 0; existe uma ε-cobertura finita de B}.
Uma cobertura {Bi } de B por bolas de raio ≤ ε é chamada de ε-cobertura restrita de
B. Assim, a medida restrita de não compacidade é definida por
ψE (B) = inf{ε > 0; existe uma ε-cobertura restrita finita de B}.
A proposição a seguir apresenta várias propriedades das medidas de não compacidade
que serão utilizadas no capítulo 4, cujas demonstrações podem ser encontradas em [?].
Proposição 1.4. Sejam A e B subconjuntos limitados de um espaço de Banach E. Então
(a) ψE (A) = 0 se, e somente se, A é compacto;
(b) ψE (A) = ψE (A);
(c) ψE (λA) =| λ | ψE (A);
(d) Se A ⊂ B, então ψE (A) ≤ ψE (B);
(e) ψE (A + B) ≤ ψE (A) + ψE (B).
15
1.3 Cálculo Fracionário
O principal objetivo do cálculo fracionário é manter, num sentido generalizado, a relação entre operadores diferenciais e operadores integrais dada pelo Teorema Fundamental
do Cálculo. A seguir, serão introduzidas algumas notações convenientes para o operador
diferencial e para o operador integral.
Definição 1.2. Denotemos por D o operador que corresponde uma função diferenciável
a sua derivada, isto é
′
Df (x) := f (x).
Definição 1.3. Denotemos por Ja o operador que correponde uma função f , assumindo
ser (Riemann) integrável no intervalo compacto [a, b] a sua primitiva centrada em a, isto
é
Z x
f (t)dt,
Ja f (x) :=
a
para a ≤ x ≤ b.
Definição 1.4. Para n ∈ N, usaremos o símbolo Dn e Jan para denotar a n-ésima iteração
de D e Ja , respectivamente, isto é
D1 := D
e
Ja1 := Ja ,
e
Dn := DDn−1
e
Jan := Ja Jan−1 ,
para n ≥ 2.
Com estas notações o Teorema Fundamental do Cálculo pode ser reescrito como
DJa f = f
o que implica
Dn Jan f = f,
para n ∈ N.
Ou seja, Dn é a inversa a esquerda de Jan , num espaço adequado de funções. Nosso
objetivo será estender num certo sentido a definição ??, para n ∈ R. Para isto, desejamos preservar esta propriedade. Existem várias generalizações possíveis, em nosso caso,
estamos interessados na generalização de Riemann-Liouville.
Antes de definirmos os operadores Dn e Jan , para n ∈ R, lembraremos algumas propriedades já conhecidas para o caso n ∈ N. O resultado a seguir pode ser demonstrado por
indução e tem como utilidade reduzir o cálculo de Jan a uma única integral tipo convolução.
Lema 1.1. Seja f uma função Riemann integrável em [a, b]. Então, para a ≤ x ≤ b e
n ∈ N, temos
Z x
1
n
Ja f (x) =
(x − t)n−1 f (t)dt.
(n − 1)! a
O lema abaixo é uma consequência do Teorema Fundamental do Cálculo.
16
Lema 1.2. Sejam m, n ∈ N tais que m > n. Seja f uma função contínua com n-ésima
derivada no intervalo [a, b]. Então,
Dn f = Dm Jam−n f.
O lema ?? nos mostra que será útil generalizar a noção de fatorial para n ∈ R. A esta
generalização, que definiremos a seguir, denominaremos de Função Gamma.
Definição 1.5. A função Γ : (0, ∞) → R, definida por
Z ∞
tx−1 e−t dt,
Γ(x) :=
0
é chamada Função Gamma de Euler.
O resultado a seguir prova, num certo sentido, a generalidade que propomos à Função
Gamma ter:
Teorema 1.3. Para n ∈ N, vale que
Γ(n) = (n − 1)!
Demonstração. A demonstração será feita por indução. Para n = 1, temos
Z ∞
Z k
−t
e dt = lim
e−t dt = lim (1 − e−k ) = 1.
Γ(1) =
k→∞
0
k→∞
0
Agora, suponha que o teorema valha para n = x e verifiquemos para n = x + 1, isto é
Z ∞
Z k
x −t
Γ(x + 1) =
t e dt =
lim +
tx e−t dt
k→∞,y→0
0
=
lim
k→∞,y→0+
= x
Z ∞
−y x
−k x
y
e y −e k +x
Z k
y
tx−1 e−t dt
tx−1 e−t dt = xΓ(x).
0
Portanto,
Γ(x + 1) = xΓ(x) = x(x − 1)! = x!
Definição 1.6. Para α, β ∈ R+ , a integral de Beta de Euler é definida por
Z 1
B(α, β) =
tα−1 (1 − t)β−1 dt.
0
Uma propriedade importante que relaciona a integral beta e a integral gama é dada
pela relação
Γ(α)Γ(β)
.
B(α, β) =
Γ(α + β)
17
1.3.1 Operador Integral
Definição 1.7. Seja n ∈ (0, ∞). O operador Jan , definido em L1 [a, b] por
Z x
1
n
Ja f (x) :=
(x − t)n−1 f (t)dt,
Γ(n) a
para a ≤ x ≤ b, é chamado de Operador Integral de Riemann-Liouville de ordem
n. Para n = 0, definimos Ja0 f (x) := I, onde I representa o operador identidade.
Segue do lema ?? e do Teorema ?? que a integral fracionária de Riemann-Liouville
coincide com a definição clássica de Jan , para n ∈ N, exceto pelo fato de estendemos o
domínio de Riemann integrável para Lebesgue integrável. Além disso, podemos observar
que no caso n ≥ 1, a integral Jan f (x) existe para todo x ∈ [a, b], pois o integrando é o
produto de uma função integrável f com uma função contínua g(t) = (x − t)n−1 .
No caso em que 0 < n < 1, a situação não é tão clara, mas é justificada pelo próximo
resultado.
Lema 1.3. Sejam f ∈ L1 [a, b] e n > 0. Então, a integral Jan f (x) existe em quase todo
ponto x ∈ [a, b]. Além disso, a função Jan f pertence a L1 [a, b].
Demonstração. Basta observar que
Z x
Z ∞
n−1
(x − t) f (t)dt =
φ1 (x − t)φ2 (t)dt = (φ1 ∗ φ2 )(x)
−∞
a
onde
φ1 (u) =
e
n−1
u , para 0 < u ≤ b − a
φ2 (u) =
caso contrário.
0,
f (u), para a < u ≤ b
0,
caso contrário.
Por construção φj ∈ L1 (R) para j ∈ {1, 2}. Portanto segue da Desigualdade de Young
que Jan f existe em q.t.p. e Jan f ∈ L1 [a, b].
A seguir, abordaremos um exemplo que será utilizado posteriormente.
Exemplo 1.2. Considere f (x) = (x − a)β , onde β, n ∈ R são tais que β > −1 e n > 0.
Então
Γ(β + 1)
(x − a)n+β .
Jan f (x) =
Γ(n + β + 1)
18
De fato, temos
Jan f (x)
1
=
Γ(n)
Z x
1
=
Γ(n)
Z 1
(t − a)β (x − t)n−1 dt
a
(s(x − a))β (x − a − s(x − a))n−1 (x − a)ds
0
1
=
(x − a)n+β
Γ(n)
Z 1
sβ (1 − s)n−1 ds
0
=
1
(x − a)n+β B(β + 1, n)
Γ(n)
=
Γ(β + 1)
(x − a)n+β .
Γ(n + β + 1)
Outra propriedade importante dos operadores integrais de ordem inteira também será
preservada pela nossa generalização:
Teorema 1.4. Sejam m, n ≥ 0 e φ ∈ L1 [a, b]. Então
Jam Jan φ = Jam+n φ,
em quase todo ponto em [a, b]. Além disso, se φ ∈ C[a, b] ou m + n ≥ 1, então a igualdade
vale em todo [a, b].
Demonstração. Temos que
Jam Jan φ(x) =
1
Γ(m)Γ(n)
Z x
(x − t)
m−1
a
Z t
(t − τ )n−1 φ(τ )dτ dt.
a
Do lema ??, segue que a integral existe. Além do mais, pelo Teorema de Fubini,
podemos comutar a ordem de integração, obtendo
Z xZ x
1
m n
(x − t)m−1 (t − τ )n−1 φ(τ )dtdτ
Ja Ja φ(x) =
Γ(m)Γ(n) a τ
Z x
Z x
1
φ(τ )
(x − t)m−1 (t − τ )n−1 dtdτ.
=
Γ(m)Γ(n) a
τ
Fazendo a substituição t = τ + s(x − τ ), temos
Z x
Z 1
1
m n
Ja Ja φ(x) =
φ(τ )
[(x − τ )(1 − s)]m−1 [s(x − τ )]n−1 (x − τ )dsdτ
Γ(m)Γ(n) a
0
1
=
Γ(m)Γ(n)
Z x
a
φ(τ )(x − τ )
m+n−1
Z 1
0
(1 − s)m−1 sn−1 dsdτ.
19
Como
R1
0
(1 − s)m−1 sn−1 ds = B(n, m) = Γ(m)Γ(n)
, teremos que
Γ(m+n)
Z x
1
m n
φ(τ )(x − τ )m+n−1 dτ = Jam+n φ(x),
Ja Ja φ(x) =
Γ(m + n) a
em quase todo [a, b]. Além disso, se φ ∈ C[a, b], então Jan φ ∈ C[a, b] e, portanto, Jam Jan φ ∈
C[a, b] e Jam+n φ ∈ C[a, b]. Assim, utilizando que duas funções contínuas que coincidem
em quase todo ponto, coincidem em todo [a, b].Segue que, Jam Jan φ(x) = Jam+n φ(x), para
todo x ∈ [a, b].
Finalmente, se φ ∈ L1 [a, b] e m + n ≥ 1, segue do resultado acima que
Jam Jan φ = Jam+n φ = Jam+n−1 Ja1 φ,
em q.t.p. Como Ja1 φ é contínua, temos que Jam+n φ = Jam+n−1 Ja1 φ é contínua. Utilizando
novamente que duas funções contínuas que coincidem quase todo ponto devem coincidir
em todo intervalo [a, b], o resultado segue.
Para finalizar esta subseção, enunciaremos um corolário que é uma consequencia direta
do teorema anterior.
Corolário 1.1. Sejam φ ∈ L1 [a, b] e m, n ∈ R, tais que m, n ≥ 0. Então
Jam Jan φ = Jan Jam φ.
1.3.2 Operador Diferencial
Definição 1.8. Sejam n ∈ R+ e m = ⌈n⌉. O operador Dan , definido por
Dan f := Dm Jam−n f
é chamado Operador Diferencial de Riemann-Liouville de ordem fracionária n.
Para n = 0, definimos Da0 := I, onde I é o operador identidade.
Em consequência do lema ??, o operador Dan coincide com a definição clássica para
n ∈ N. O lema ?? também pode ser estendido para o caso onde n ∈ R+ , como veremos a
seguir.
Lema 1.4. Sejam n ∈ R+ e m ∈ N, tal que m > n. Então
Dan = Dm Jam−n .
Demonstração. Como m ≥ ⌈n⌉ e m, ⌈n⌉ ∈ N, temos Dm−⌈n⌉ J m−⌈n⌉ = I e, assim,
Dm Jam−n = D⌈n⌉ Dm−⌈n⌉ J m−⌈n⌉ J ⌈n⌉−n = D⌈n⌉ Ja⌈n⌉−n = Dan .
Teorema 1.5. Sejam n1 , n2 ≥ 0 e φ ∈ L1 [a, b]. Se f = Jan1 +n2 φ, então
Dan1 Dan2 f = Dan1 +n2 f.
20
Demonstração. Pela definição de derivada de ordem fracionária e pelo teorema fundamental do cálculo para o caso natural, temos que
⌈n ⌉−n1
D⌈n2 ⌉ Ja 2
⌈n ⌉−n1
D⌈n2 ⌉ Ja 2
⌈n ⌉−n1
D⌈n2 ⌉ Ja 2 Jan1 φ
⌈n ⌉−n1
Jan1 φ
Dan1 Dan2 f = D⌈n1 ⌉ Ja 1
= D⌈n1 ⌉ Ja 1
= D⌈n1 ⌉ Ja 1
= D⌈n1 ⌉ Ja 1
⌈n ⌉−n2
Jan1 +n2 φ
⌈n ⌉+n1
φ
⌈n ⌉
⌈n ⌉
= D⌈n1 ⌉ Ja 1 φ = φ.
Analogamente, podemos ver que Dan1 +n2 f = φ.
Com tudo que foi visto até aqui, será possível estender o Teorema Fundamental do
Cálculo.
Teorema 1.6. Seja n ≥ 0. Se f ∈ L1 [a, b], então
Dan Jan f = f,
em quase todo ponto.
Demonstração. Para n = 0, temos por definição que os operadores Dan e Jan são iguais
ao operador identidade. Assim não há nada o que ser demonstrado.
Para n > 0, basta considerar m = ⌈n⌉ ∈ N, para assim obter que
Dan Jan f = Dam Jam−n Jan f = Dam Jam f = f.
Para finalizar esta subseção, introduziremos a noção de transformada de Laplace, com
a finalidade de obter uma relação entre esta e a integral de ordem fracionária, a qual será
utilizada na demonstração da Proposição ??.
Definição 1.9. Sejam X um espaço de Banach e f : R+ → X uma função mensurável,
exponencialmente limitada com expoente ω ∈ R. Então, definimos a transformada de
Laplace Lf : {λ ∈ C; Reλ > ω} → X por
Z ∞
Lf (λ) :=
e−λt f (t)dt.
0
Com isso, pode-se demonstrar que
L(J α f )(z) =
L(f )(z)
, α > 0.
zα
21
2 FUNÇÕES S-ASSINTOTICAMENTE ω-PERIÓDICAS
Consideremos Cb ([0, ∞), X) o espaço das funções contínuas e limitadas definidas em
[0, ∞) com valores em X, dotado da norma da convergência uniforme, a qual denotaremos
por k · k∞ . Além disso, C0 ([0, ∞), X) e Cω ([0, ∞), X), para ω > 0, serão subespaços de
Cb ([0, ∞), X) definidos por
C0 ([0, ∞), X) = {f ∈ Cb ([0, ∞), X); lim k f (t) k= 0},
t→∞
Cω ([0, ∞), X) = {f ∈ Cb ([0, ∞), X); f é ω-periódica }.
Agora, introduziremos algumas definições importantes que serão utilizadas no decorrer
deste capítulo e do capítulo 4.
Definição 2.1. Sejam P ⊂ R um conjunto de números reais e l > 0. Dizemos que P é
l-denso em R, se [a, a + l] ∩ P 6= ∅ para todo a ∈ R.
Alternativamente, dizemos que o conjunto P é relativamente denso em R.
Definição 2.2. Uma função f ∈ Cb (R, X) é chamada quase periódica se, para cada
ε > 0, existe um subconjunto de R relativamente denso, denotado por H(ε, f ), tal que
k f (t + ξ) − f (t) k< ε, ∀t ∈ R e ∀ξ ∈ H(ε, f ).
Definição 2.3. Uma função f ∈ Cb ([0, ∞), X) é chamada assintoticamente quase
periódica se existe uma função quase periódica g e uma função ϕ ∈ C0 ([0, ∞), X), tais
que f = g + ϕ. Se g é ω-periódica, f é dita assintoticamente ω-periódica.
Vale ressaltar que a Proposição 1.12 em [?], garante a unicidade da decomposição
f = g + ϕ na definição acima.
No restante desta seção, por simplicidade, fixaremos algumas notações. Para um
número positivo fixado ω e para cada t ≥ 0, consideremos a decomposição
t = ξ(t) + τ (t)ω,
(2.1)
com ξ(t) ∈ [0, ω) e τ (t) ∈ N ∪ {0}. Além disso, para h ≥ 0 e f ∈ Cb ([0, ∞), X),
denotaremos por fh a função fh : [0, ∞) → X definida por fh (t) = f (t + h).
Agora, veremos algumas propriedades qualitativas das funções contínuas e limitadas
f : [0, ∞) → X, para as quais existe ω > 0 tal que limt→∞ (f (t + ω) − f (t)) = 0
(estas funções serão chamadas funções S-assintoticamente ω-periódicas). Começaremos
estabelecendo algumas terminologias.
22
Definição 2.4. Uma função f ∈ Cb ([0, ∞), X) é dita S-assintoticamente periódica
se existe ω > 0 tal que
lim (f (t + ω) − f (t)) = 0.
t→∞
Neste caso, dizemos que ω é um período assintótico de f e que f é S-assintoticamente
ω-periódica.
Observe que dadas duas funções S-assintoticamente ω-periódicas , a dizer f e g, e α ∈
F (R ou C), então a função F := f + αg também é S-assintoticamente ω-periódica. Com
isso, usaremos a notação SAPω (X) para denotar o subespaço de Cb ([0, ∞), X) formado
pelo conjunto das funções S-assintoticamente ω-periódicas.
O resultado a seguir é uma consequência imediata das definições anteriores.
Lema 2.1. Sejam f : [0, ∞) → X uma função S-assintoticamente ω-periódica e (tn )n∈N
uma sequência tal que tn → ∞, quando n → ∞. Se ftn → F uniformemente em compactos de [0, ∞), então F ∈ Cω ([0, ∞), X).
Demonstração. Como F é limite uniforme em subconjuntos compactos de [0, ∞) de
funções contínuas e limitadas, então F ∈ Cb ([0, ∞), X). Para t ≥ 0 e ε > 0, podemos
escolher n0 ∈ N, tal que
k F (s) − ftn (s) k = k F (s) − f (tn + s) k ≤
e
ε
, s ∈ [t, t + ω]
3
ε
k f (µ + tn + ω) − f (µ + tn ) k ≤ , µ ≥ 0,
3
para todo n ≥ n0 . Assim, para n ≥ n0 , temos que
k F (t + ω) − F (t) k ≤ k F (t + ω) − f (t + ω + tn ) k + k f (t + ω + tn ) − f (t + tn ) k
+ k f (t + tn ) − F (t) k
≤ ε.
Portanto F (t + ω) = F (t).
É importante notar que nem toda função S-assintoticamente µ-periódica é assintoticamente µ-periódica. Daremos um exemplo disso a seguir.
Exemplo 2.1. Seja X = {(xn )n∈N ; xn ∈ R e limn→∞ xn = 0}, munido da norma
k (xn )n∈N k= sup |xn |.
n∈N
2nt
. A função f assim
t2 + n2 n∈N
definida é limitada, uniformemente contínua e S-assintoticamente µ-periódica para cada
µ > 0. No entanto, f não é assintoticamente µ-periódica.
Consideremos f : [0, ∞) → X definida por f (t) =
23
De fato, sabemos que (t − n)2 ≥ 0 para todo t ≥ 0 e n ∈ N. Logo,
k f (t) k= sup
n∈N
2nt
t 2 + n2
≤ 1, ∀t ∈ [0, ∞).
(2.2)
Agora, sejam s, t ∈ [0, ∞), temos que
f (t + s) − f (t) =
2nt
2n(t + s)
−
(t + s)2 + n2 n∈N
t2 + n2 n∈N
=
(t2 + n2 )(2nt + 2ns) − 2nt(n2 + t2 + s2 + 2ts)
=
[(t + s)2 + n2 ](t2 + n2 )
n∈N
2sn(n2 − st − t2 )
.
[(t + s)2 + n2 ](t2 + n2 ) n∈N
Logo,
2sn(n2 − st − t2 )
2
2
2
2
n∈N [(t + s) + n ](t + n )
kf (t + s) − f (t)k = sup
2sn | n2 − st − t2 |
2
2
2
2
n≥1 [(t + s) + n ](t + n )
≤ sup
≤ 2s.
Desta desigualdade e de (??), f é limitada e uniformemente contínua. Além disso,
para µ > 0 e t ≥ 1 temos
2nµ
2
2
n≥1 (t + n )
kf (t + µ) − f (t)k ≤ sup
≤
µ
.
t
Portanto f é S-assintoticamente µ-periódica para todo µ > 0. No entanto, f não
é assintoticamente µ-periódica. Para mostrar esta afirmação, suponha que existem g ∈
Cµ ([0, ∞), X) e ϕ ∈ C0 ([0, ∞), X) tal que f = g + ϕ. Se f = (fn )n∈N , então cada
coordenada fn é assintoticamente µ-periódica e fn (t + kµ) = gn (t) + ϕn (t + kµ), para cada
k, n ∈ N e t > 0. Como limk→∞ fn (t + kµ) = 0, então gn (t) = 0, para todo n ∈ N e t ≥ 0.
Consequentemente, a função g é identicamente nula e f = ϕ, o que não pode ocorrer, pois
kf (n)k = 1 para cada n ∈ N. Isto prova que f não é assintoticamente µ-periódica.
Proposição 2.1. Seja f : [0, ∞) → X uma função S-assintoticamente ω-periódica e
assintoticamente quase periódica. Então, f é assintoticamente ω-periódica.
Demonstração. Podemos decompor f como f = g + ϕ, onde g é uma função quase
periódica e ϕ ∈ C0 ([0, ∞), X). Como f é assintoticamente quase periódica, existe uma
sequência de número reais (tn )n∈R tal que tn → ∞ e gtn → g uniformemente em [0, ∞).
24
Portanto ftn = gtn + ϕtn → g uniformemente em [0, ∞). Segue do Lema (??) que
g ∈ Cω ([0, ∞), X) o que, por sua vez, implica que a função f é assintoticamente ωperiódica.
A definição que se segue será crucial para a compreensão dos próximos resultados:
Definição 2.5. Definimos o espaço F (R+ , X), como sendo o espaço das funções contínuas
h : [0, ∞) → X que satisfazem a seguinte propriedade:
I) Dado ε > 0, existe T = T (ε) ≥ 0 tal que o conjunto de números reais
T+,T (h, ε) := {τ ≥ 0; sup kh(t + τ ) − h(t)k < ε}
t≥T
é relativamente denso em [0, ∞). Desta forma, podemos encontrar L(ε) tal que
T+,T (h, ε) ∩ [a, a + L(ε)] 6= ∅, para todo a ≥ 0.
Assim, se f é uma função assintoticamente quase periódica, então f ∈ F (R+ , X).
Mais geralmente, vale o próximo Teorema, cuja demonstração pode ser encontrada em
[?].
Teorema 2.1. Uma função f é assintoticamente quase periódica se, e somente se, f ∈
F (R+ , X).
O seguinte corolário do Teorema acima nos dará um bom método para saber se uma
dada função é assintoticamente ω-periódica.
Corolário 2.1. Seja ϕ ∈ Cb ([0, ∞), X). Suponha que existe uma sequência (nj )j∈N ⊂ N,
com n1 = 1 e nj → ∞ quando j → ∞, tal que
α = sup(nj+1 − nj ) < ∞
lim (ϕ(t + nj ω) − ϕ(t)) = 0
e
t→∞
j∈N
uniformemente para j ∈ N, então ϕ é assintoticamente ω-periódica.
Demonstração. Tomando j = 1, no limite posto no enunciado, obtemos
lim (ϕ(t + ω) − ϕ(t)) = lim (ϕ(t + n1 ω) − ϕ(t)) = 0.
t→∞
t→∞
Portanto, ϕ é S-assintoticamente ω-periódica. Agora, mostremos que ϕ é assintoticamente quase periódica. Dado ε > 0, existe N = N (ε) > 0, tal que
sup kf (t + nj ω) − f (t)k < ε,
j ∈ N.
t≥N
Tome L(ε) = αω +ε. Para a ≥ 0, existe ja ∈ N tal que nja ω ∈ [a, a+L(ε)]. Além disso, se
definimos Tω = {nj ω, j ∈ N; supt≥N kf (t + nj ω) − f (t)k < ε}, podemos ver que nja ω ∈ Tω .
Assim, [a, a + L(ε)] ∩ Tω 6= ∅. Além do mais, como a ≥ 0 foi tomado arbitrariamente,
segue que o conjunto Tω é relativamente denso em [0, ∞). Mas,
Tω ⊂ T+,T (f, ε) := {τ ≥ 0; sup kf (t + τ ) − f (t)k < ε}.
t≥T
25
Daí, T+,T (f, ε) também é relativamente denso em [0, ∞). Com isso, temos que f ∈
F (R+ , X) , utilizando o Teorema ??, segue que f é assintoticamente quase periódica.
Concluiremos esta seção com alguns conceitos e propriedades do espaço SAPω (X).
Teorema 2.2. O subespaço SAPω (X) ⊂ Cb ([0, ∞), X) é um espaço de Banach.
Demonstração.
Seja (fn )n∈N uma sequência em SAPω (X) que converge para f ∈
Cb ([0, ∞), X). A decomposição
f (ω + t) − f (t) = f (ω + t) − fn (ω + t) + fn (ω + t) − fn (t) + fn (t) − f (t),
nos mostra que limt→∞ f (ω + t) − f (t) = 0. Portanto, f ∈ SAPω (X).
Definição 2.6. Seja f : [0, ∞) × X → X uma função contínua. Dizemos que f é
uniformemente S-assintoticamente ω-periódica em conjuntos limitados se, para todo K ⊂
X limitado, o conjunto {f (t, x); t ≥ 0, x ∈ K} é limitado e, além disso,
lim (f (t + ω, x) − f (t, x)) = 0,
t→∞
uniformemente em K.
Definição 2.7. Seja f : [0, ∞) × X → X uma função contínua. Dizemos que f é
assintoticamente uniformemente contínua em conjuntos limitados se, para todo ε > 0 e
K ⊂ X limitado, existem Lε,K ≥ 0 e δε,K > 0 tais que kf (t, x) − f (t, y)k ≤ ε, para todo
t ≥ Lε,K e x, y ∈ K, com kx − yk ≤ δε,K .
Teorema 2.3. Sejam X, Y espaços de Banach, u : [0, ∞) → X uma função S-assintoticamente ω-periódica e f : [0, ∞) × X → Y uniformemente S-assintoticamente ω-periódica
em conjuntos limitados e uniformemente contínua em conjuntos limitados. Então, v(t) =
f (t, u(t)) é uma função S-assintoticamente ω-periódica.
Demonstração. Como u ∈ Cb ([0, ∞), X), a imagem de u é um subconjunto limitado
de X. Da definição ??, temos que o conjunto {v(t) = f (t, u(t)); t ≥ 0} é limitado, ou seja,
v é uma função limitada. Assim, como u e f são contínuas segue que v ∈ Cb ([0, ∞), X).
Das Definições ?? e ??, temos que para todo ε > 0, existem L1ε > 0 e δ > 0 tais que
max{kf (t + ω, z) − f (t, z)k, kf (t, x) − f (t, y)k} ≤ ε,
para todo t ≥ L1ε , x, y, z ∈ I(u), com kx − yk < ε. Além disso, como u ∈ SAPω (X), existe
L2ε > 0 tal que ku(t + ω) − u(t)k < δ, para todo t ≥ L2ε . Assim, para t ≥ max{L1ε , L2ε },
temos que
kv(t + ω) − v(t)k = kf (t + ω, u(t + ω)) − f (t, u(t))k
≤ kf (t + ω, u(t + ω)) − f (t, u(t + ω))k + kf (t, u(t + ω)) − f (t, u(t))k
≤ 2ε.
Portanto v ∈ SAPω (X).
26
3 SEMIGRUPOS DE OPERADORES LINEARES LIMITADOS
3.1 Semigrupos Uniformemente Contínuos
Como já convencionamos, ao longo desta seção, consideremos X como sendo um espaço
de Banach com norma k · k X e L(X) como sendo o conjunto dos operadores lineares
limitados de X em X, com a norma
k T k L(X ) =
k T x kX
.
x∈X,x6=0 k x k X
sup
Por simplicidade, denotaremos ambas as normas citadas anteriormente por k · k. O
operador identidade em X será denotado por I.
Definição 3.1. Seja X um espaço de Banach. Uma família {T (t)}t≥0 de operadores
lineares limitados de X em X é um semigrupo de operadores lineares limitados em
X se
(i) T (0) = I;
(ii) T (t + s) = T (t)T (s), para todo t, s ≥ 0.
Além do mais, diremos que um semigrupo de operadores lineares limitados {T (t)}t≥0
em X é uniformemente contínuo se
lim k T (t) − I k= 0.
t→0+
É possível demonstrar diretamente da definição que se {T (t)}t≥0 é um semigrupo
uniformemente contínuo de operadores lineares limitados, então
lim k T (s) − T (t) k= 0.
s→t
Definição 3.2. Denotaremos por D(A) ⊂ X o conjunto dado por
T (t)x − x
existe .
D(A) = x ∈ X; lim+
t→0
t
O operador linear A definido por
d+
T (t)x − x
Ax = lim+
para x ∈ D(A).
=
T (t)x
t→0
t
dt
t=0
é chamado gerador infinitesimal do semigrupo T (t) e D(A) é o domínio de A.
27
O teorema a seguir nos dará uma condição necessária e suficiente para que um operador
linear seja gerador infinitesimal de um semigrupo uniformemente contínuo. Para provar
este resultado, antes enunciaremos e demonstraremos um lema de Análise Funcional.
Lema 3.1. Seja T ∈ L(X), com k T k< 1. Então I − T é inversível e pertence a L(X).
Demonstração. Defina o operador linear
S :=
∞
X
T j.
j=0
Logo,
S(I − T ) = (I − T )S = S − T.S =
∞
X
j
T −
j=0
= I+
∞
X
j
T −
j=1
∞
X
∞
X
T j+1
j=0
Tj
j=1
= I.
Portanto S = (I − T )−1 . Tomando x ∈ X, temos que
∞
X
k Sx k =
T jx
j=0
≤
∞
X
k T jx k
j=0
≤ kxk
∞
X
k T kj .
j=0
Como k T k< 1, temos que
∞
X
j=0
k T kj =
1
=: K
1− k T k
Assim, para todo x ∈ X, existe K > 0, tal que k Sx k≤ K k x k. Portanto S = (I − T )−1
e S ∈ L(X).
Teorema 3.1. Um operador linear A é o gerador infinitesimal de um semigrupo uniformemente contínuo se, e somente se, A é um operador linear limitado.
Demonstração. Seja A : X → X um operador linear limitado. Defina
T (t) := etA =
∞
X
(tA)n
n=0
n!
.
(3.1)
28
Vê-se facilmente que o lado direito da equação (??) converge em norma para cada
t ≥ 0 e, além disso, define um operador linear limitado T (t). Além do mais, T (0) = I
e T (s + t) = T (s)T (t), para todo t, s ≥ 0. Portanto, {T (t)}t≥0 é um semigrupo de
operadores lineares limitados em X. Mas
k T (t) − I k =
∞
X
(tA)n
n!
n=1
≤
∞ n
X
t k A kn
n!
n=1
∞ n−1
X
t
k A kn−1
= tkAk
n!
n=1
∞ n−1
X
t
k A kn−1
≤ tkAk
(n − 1)!
n=1
= t k A k etkAk .
Logo,
lim k T (t) − I k= 0.
t→0+
Assim, {T (t)}t≥0 é um semigrupo uniformemente contínuo de operadores lineares limitados em X. Além disso, A é o gerador infinitesimal deste semigrupo, pois
T (t) − I
−A
t
∞
=
1 X tn n
A −I −A
t n=0 n!
=
∞ n−1
X
t
n=2
≤
∞
X
|t|n−1
n=2
=
n!
n!
An
k A kn
etkAk − 1
−kAk.
t
Daí,
lim+
t→0
T (t) − I
−A
t
= 0.
Reciprocamente, considere {T (t)}t≥0 um semigrupo uniformemente contínuo de operadores lineares limitados em X. Como k T (t) − I k−→ 0, quando t → 0+ , então existe
δ > 0 tal que
k T (t) − I k< 1, sempre que 0 < t < δ.
Assim, fixado 0 < ρ < δ, temos que
29
1
I−
ρ
Z ρ
1 h
T (s)ds =
ρ
0
Z ρ
(I − T (s))ds
0
1
≤
ρ
i
Z ρ
k I − T (s) k ds < 1.
0
Rρ
Utilizando o lema ??, temos que 0 T (s)ds é inversível e sua inversa é um operador
linear limitado. Agora, seja h ∈ (0, ρ). Então
1
(T (h) − I)
h
Z ρ
1n
T (s)ds =
h
0
Z ρ
T (h + s)ds −
0
Z ρ
T (s)ds
0
o
1n
=
h
Z ρ+h
h
Z ρ
1n
=
h
Z ρ
Z ρ+h
T (s)ds −
1n
=
h
Z ρ+h
Z h
o
T (s)ds .
T (s)ds −
T (s)ds
0
T (s)ds +
h
o
0
ρ
T (s)ds −
0
ρ
T (s)ds −
Z h
Z ρ
h
T (s)ds
o
Assim,
T (h) − I
1
=
h
h
Z ρ+h
T (s)ds −
ρ
Z h
0
T (s)ds
Z ρ
0
T (s)ds
−1
.
(3.2)
Lembrando que, para todo t ≥ 0, vale
Z
1 t+h
lim
T (s)ds = T (t),
h→0 h t
se fizermos h → 0+ na igualdade (??), concluímos que h−1 (T (h) − I)
R ρ converge em norma
e, portanto, fortemente para o operador linear limitado (T (ρ) − I)( 0 T (s)ds)−1 , o qual é
por definição o gerador de T (t).
3.2 Semigrupos Fortemente Contínuos
Nesta seção, definiremos a noção de semigrupo fortemente contínuo. Veremos que
o gerador de um semigrupo fortemente contínuo é linear, mas em geral não é limitado.
Também mostraremos que o domínio do gerador é um subconjunto denso de X.
Definição 3.3. Um semigrupo T (t), 0 ≤ t < ∞ de operadores lineares limitados em X é
um semigrupo fortemente contínuo de operadores lineares limitados, se
lim T (t)x = x, para cada x ∈ X.
t→0
(3.3)
Um semigrupo fortemente contínuo de operadores lineares limitados em X é chamado de
semigrupo de classe C0 ou simplesmente de C0 -semigrupo.
30
No Teorema a seguir, veremos que todo C0 -semigrupo possui uma limitação exponencial.
Teorema 3.2. Considere T (t) um C0 -semigrupo. Existem constantes ω ≥ 0 e M ≥ 1,
tais que
kT (t)k ≤ M eωt para 0 ≤ t < ∞.
(3.4)
Demonstração. Primeiramente, mostremos que existe η > 0 tal que kT (t)k é limitado
para t ∈ [0, η]. De fato, supondo o contrário, para cada n ∈ N, tomando η = n1 , existiria
0 ≤ tn ≤ n1 com kT (tn )k ≥ n. Logo, existiria uma sequência {tn }n∈N , com tn ≥ 0,
satisfazendo limn→∞ tn = 0 e kT (tn )k ≥ n. Assim, pelo Princípio da Limitação Uniforme,
deve existir x ∈ X tal que T (tn )x → ∞ quando n → ∞, contrariando (??). Desta forma,
existem constantes η > 0 e M ≥ 0 tais que kT (t)k ≤ M para todo t ∈ [0, η]. E como
kT (0)k = 1, temos M ≥ 1.
Seja t ≥ 0, existem constantes k ∈ N e δ ∈ [0, η] tais que t = kη + δ. Portanto, pelas
propriedades de semigrupos, temos
t
k T (t) k=k T (kη + δ) k≤k T (η) kk k T (δ) k≤ M M η .
Tomando ω := η −1 log M , temos
k T (t) k≤ M etω , para t ≥ 0.
Corolário 3.1. Se T (t) é um C0 -semigrupo, então para cada x ∈ X, a função fx : R+
0 →
X definida por fx (t) := T (t)x é contínua definida R+
(a
reta
real
não
negativa)
e
tomando
0
valores em X.
Demonstração. Para todo t ≥ 0, mostraremos que lims→t fx (s) = fx (t) (observe que
para t = 0, este limite só faz sentido quando s > 0, ou seja, quando s → t+ ). De fato,
quando s → t+ , tomando h := s − t > 0, temos
k fx (s) − fx (t) k = k T (t + h)x − T (t)x k
≤ k T (t) kk T (h)x − x k−→ 0 , quando h → 0+ .
Logo,
lim fx (s) = fx (t).
s→t+
Além disso, quando s → t− , para 0 ≤ h ≤ t, tomando h := t − s, temos
k fx (s) − fx (t) k = k T (t − h)x − T (t)x k
≤ k T (t − h) kk x − T (h)x k
≤ M eω(t−h) k T (h)x − x k−→ 0 , quando h → 0+ .
31
Portanto,
lim fx (s) = fx (t), para todo t > 0.
s→t
Teorema 3.3. Seja T (t) um C0 -semigrupo e seja A seu gerador infinitesimal. Então
(a) Para cada x ∈ X,
Z
1 t+h
lim
T (s)xds = T (t)x.
h→0 h t
Rt
(b) Para cada x ∈ X,temos que 0 T (s)xds ∈ D(A) e
Z t
T (t)xds = T (t)x − x.
A
0
(c) Para cada x ∈ D(A), temos que T (t)x ∈ D(A) e
d
T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax.
dt
(3.5)
(d) Para cada x ∈ D(A), vale
T (t)x − T (s)x =
Z t
T (τ )Axdτ =
Z t
AT (τ )xdτ.
s
s
Demonstração.
a) Seja x ∈ X. Como fx (t) = T (t)x é contínua, então
Z
1 t+h
lim
T (s)xds = T (t)x.
h→0 h t
b) Sejam x ∈ X e h > 0, temos
Z
Z
Z
T (h) − I t
1 t
1 t
T (s)xds =
T (h + s)xds −
T (s)xds
h
h 0
h 0
0
1
=
h
Z h+t
1
=
h
Z t
h
1
T (s)xds +
h
h
1
−
h
1
=
h
1
T (s)xds −
h
Z t
Z t
T (s)xds
0
Z h+t
1
T (s)xds −
h
Z h
T (s)xds.
t
T (s)xds
h
Z h+t
t
1
T (s)xds −
h
0
Z h
0
T (s)xds
32
Da letra (a) deste Teorema, sabemos que
Z
T (h) − I t
lim+
T (s)xds = T (t)x − x.
h→0
h
0
Portanto,
Z t
0
Z t
T (s)xds ∈ D(A) e A
T (t)xds = T (t)x − x.
0
c) Seja x ∈ D(A) e h > 0. Então
T (t)T (h)x − T (t)x
T (h) − I
T (t)x =
h
h
= T (t)
T (h) − T (t)
h
(x).
Logo,
lim+
t→0
T (h) − T (t)
T (h) − I
T (t)x = lim+ T (t)
(x) = T (t)Ax.
t→0
h
h
(3.6)
Portanto, T (t)x ∈ D(A), AT (t)x = T (t)Ax e (??) implica que
d+
T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax.
dt
Assim, a derivada à direita de T (t)x é T (t)Ax. Para provar (??), temos que mostrar
que para t > 0, a derivada à esquerda de T (t)x existe e coincide com T (t)Ax. Mas, lembre
que
T (h)x − x
T (t)x − T (t − h)x
− T (t)Ax = T (t − h)
− Ax + T (t − h)Ax − T (t)Ax.
h
h
Ambos os termos do lado direito vão para zero, quando h → 0+ . De fato, x ∈ D(A) e
k T (t − h) k é limitado em 0 ≤ h ≤ t, então
T (t − h)
T (h)x − x
h
− Ax
≤ kT (t − h)k
T (h)x − x
− Ax −→ 0, quando h → 0+ .
h
Por outro lado, como T (t) é fortemente contínua, temos que
lim T (t − h)Ax = T (t)Ax.
h→0+
Portanto,
d−
T (t)x − T (t − h)x
T (t)x = lim+
= T (t)Ax.
h→0
dt
h
33
d) Seja x ∈ D(A). Segue da identidade (??) que
Z t
Z t
Z t
d
T (t)x − T (s)x =
T (τ )xdτ =
AT (τ )xdτ =
T (τ )Axdτ.
s dτ
s
s
Corolário 3.2. Se A é o gerador infinitesimal de um C0 semigrupo T (t), então D(A), o
domínio de A, é denso em X e A é um operador linear fechado.
Demonstração. Seja x ∈ X. Para cada t > 0, defina
Z
1 t
xt =
T (s)xds.
t 0
Segue do item (b) do Teorema ?? que xt ∈ D(A) e do item (a) do mesmo Teorema,
temos que
lim+ xt = T (0)x = x.
t→0
Assim, D(A) = X.
Sabemos que o gerador de um semigrupo é um operador linear. Agora mostremos que
A é um operador fechado. Com efeito, seja {xn }n∈N ∈ D(A) com xn → x e Axn → y.
Segue do item (d) do Teorema (??) que, para cada n ∈ N, temos
Z t
T (s)Axn ds.
(3.7)
T (t)xn − xn =
0
O integrando do lado direito de (??) converge uniformemente em intervalos compactos
para T (s)y . Assim, fazendo n → ∞ em (??), temos
Z t
T (t)x − x =
T (s)yds.
0
Desta forma, para t > 0, temos
T (t)x − x
=
lim+
t→0
t
1
lim+
t→0 t
Z t
T (s)yds
0
= T (0)y = y.
Portanto, x ∈ D(A) e Ax = y. Desta forma concluímos que A é um operador linear
fechado.
Lema 3.2. Seja H : I → X, onde I := [a, b] ⊂ R e X é um espaço normado. Se H é
diferenciável e dtd H(t) = 0, ∀t ∈ I, então H(t) ≡ C.
34
Demonstração. Com efeito, fixado λ ∈ X ∗ , consideremos a função f : I → C definida
por f (t) = λ(H(t)). Observe que f é deferenciável, pois
f (t + h) − f (t)
λ(H(t + h)) − λ(H(t))
= lim
h→0
h→0
h
h
lim
H(t + h) − H(t)
= λ lim
h→0
h
= λ(0) = 0.
Logo, f (t) = c, para todo t ∈ I. Em particular para t0 ∈ I, temos
λ(H(t)) = f (t) = f (t0 ) = λ(H(t0 )), ∀t ∈ I.
Teorema 3.4. Sejam T (t) e S(t) C0 -semigrupos de operadores lineares limitados com
geradores infinitesimais A e B, respectivamente. Se A = B, então T (t) = S(t), para
t ≥ 0.
Demonstração. Primeiramente, observe que para t = 0, temos T (0) = I = S(0).
Agora, sejam x ∈ D(A) = D(B) e t > 0. Do item (c) do Teorema ??, segue que a função
fx (s) := T (t − s)S(s)x, definida em [0, t] com valores em X, é diferenciável e que
d
d
fx (s) =
T (t − s)S(s)x
ds
ds
= −AT (t − s)S(s)x + T (t − s)BS(s)x
= −T (t − s)AS(s)x + T (t − s)BS(s)x = 0.
Assim, fx (s) é constante e, em particular, temos
T (t)x = fx (t) = fx (0) = S(t)x ,
∀ x ∈ D(A).
Portanto, S(t) e T (t) coincidem em D(A). Como D(A) é denso em X, dado x ∈ X,
existe uma sequência {xn }n∈N ⊂ D(A) com xn → x. Logo, T (t)x = S(t)x para todo
x ∈ X, pois S(t) e T (t) são operadores contínuos.
3.3 O Teorema de Hille-Yosida
Seja T (t) um C0 -semigrupo. Já vimos, no Teorema ??, que existem constantes ω ≥ 0 e
M ≥ 1 tais que k T (t) k≤ M eωt , para cada t ≥ 0. Se ω = 0, T (t) é dito uniformemente
limitado e se M = 1, T (t) é dito C0 -semigrupo de contrações. Esta seção é voltada
para a caracterização do gerador infinitesimal de C0 -semigrupos de contrações. Condições
serão dadas sobre o resolvente de um operador A, as quais são necessárias e suficientes
para que A seja o gerador infinitesimal de um C0 -semigrupo de contrações.
35
Teorema 3.5. Se um operador linear A (não limitado) é o gerador infinitesimal de um
C0 -semigrupo de contrações {T (t)}t≥0 , então valem:
(i) A é fechado e D(A) = X;
(ii) O conjunto resolvente de A, ρ(A), contém R+ e para cada λ > 0, temos
k R(λ : A) k≤
1
.
λ
(3.8)
Demonstração. Seja A o gerador infinitesimal de um C0 -semigrupo. Segue do Corolário
?? que A é fechado e D(A) é denso em X, logo vale (i). Agora, para λ > 0 e x ∈ X,
defina
Z ∞
e−λt T (t)xdt.
(3.9)
R(λ)x =
0
Como t 7→ T (t)x é contínua e uniformemente limitada, a integral em (??) existe e
define um operador linear limitado R(λ) satisfazendo
Z ∞
Z ∞
1
−λt
e
k T (t)x k dt ≤k x k
e−λt dt ≤ k x k .
k R(λ)x k≤
(3.10)
λ
0
0
Além disso, para h > 0, temos
T (h)R(λ)x =
=
lim
N →∞
lim
N →∞
−
Z N
e−λt T (t + h)xdt
0
Z N +h
e
−λ(t−h)
T (t)xdt +
Z h
e
−λ(t−h)
T (t)xdt
0
h
Z h
e−λ(t−h) T (t)xdt
lim
Z N +h
0
=
= e
N →∞
λh
Z ∞
e
−λ(t−h)
T (t)xdt −
0
e
−λt
T (t)xdt − e
0
λh
Z h
Z h
e−λ(t−h) T (t)xdt
0
e−λt T (t)xdt.
0
Logo,
T (h)R(λ)x − R(λ)x
T (h) − I
R(λ)x =
h
h
Z
Z
Z
eλh ∞ −λt
eλh h −λt
1 ∞ −λt
=
e T (t)xdt −
e T (t)xdt −
e T (t)xdt
h 0
h 0
h 0
eλh − 1
=
h
Z ∞
0
e
−λt
eλh
T (t)xdt −
h
Z h
0
e−λt T (t)xdt.
36
Quando h → 0+ , o lado direito da igualdade acima converge para λR(λ)x − x. Isto
implica que, para cada x ∈ X e λ > 0, R(λ)x ∈ D(A) e AR(λ) = λR(λ) − I, ou
(λI − A)R(λ) = I.
Para x ∈ D(A), pela Proposição ??, temos
Z ∞
R(λ)Ax =
e−λt T (t)Axdt
Z0 ∞
=
e−λt AT (t)xdt
0
Z ∞
= A
e−λt T (t)xdt
(3.11)
0
= AR(λ)x.
(3.12)
De (??) e (??), segue que
R(λ)(λI − A)x = x para x ∈ D(A).
Portanto, R(λ) é a inversa de λI − A e existe para todo λ > 0, ou seja, R+ ⊂ ρ(A).
Segue de ?? que, para todo x 6= 0, temos
k R(λ)x k
k R(λ)x k
1
1
≤ =⇒ k R(λ) k = sup
≤ .
kxk
λ
kxk
λ
x∈X,kxk≤1
Para mostrar que as condições (i) e (ii) são de fato suficientes para que A seja o gerador
infinitesimal de um C0 -semigrupo de contrações precisamos de mais alguns lemas.
Lema 3.3. Seja A um operador satisfazendo (i) e (ii) do Teorema ?? e seja R(λ : A) =
(λI − A)−1 . Então
lim λR(λ : A)x = x, para cada x ∈ X.
λ→∞
Demonstração. Suponha que x ∈ D(A). Então
k λR(λ : A)x − x k = k (λR(λ : A) − I)x k
= k AR(λ : A)x k
= k R(λ : A)Ax k≤ λ1 k Ax k→ 0, quando λ → ∞.
Portanto,
lim λR(λ : A)x = x, ∀x ∈ D(A).
λ→∞
Como D(A) é denso em X e k λR(λ : A) k≤ 1 então, para cada x ∈ X, existe
(xn )n∈N ⊂ D(A) tal que xn → x e
k λR(λ : A)x − x k = k λR(λ : A)x − λR(λ : A)xn k + k λR(λ : A)xn − xn k
+ k xn − x k
≤ k λR(λ : A) kk x − xn k + k λR(λ : A)xn − xn k + k xn − x k
≤ k x − xn k + k λR(λ : A)xn − xn k + k xn − x k
ε ε ε
+ + = ε.
<
3 3 3
37
Portanto, para cada x ∈ X, temos que λR(λ : A)x → x, quando λ → ∞.
A aproximação de Yosida de um operador A é definido por
Aλ = λAR(λ : A) = λ2 R(λ : A) − λI.
Observe que desta última igualdade temos que, se [0, ∞) ⊂ ρ(A), então Aλ ∈ L(X),
pois neste caso sabemos que R(λ : A) ∈ L(X).
Lema 3.4. Seja A um operador satisfazendo as condições (i) e (ii) do Teorema ??. Se
Aλ é a aproximação Yosida de A, então
lim Aλ x = Ax, para cada x ∈ D(A).
λ→∞
Demonstração.
??, temos que
Com efeito, para todo x ∈ D(A), tem-se que Ax ∈ X. Logo do lema
lim Aλ x = lim λR(λ : A)Ax = Ax.
λ→∞
λ→∞
Lema 3.5. Considere A um operador satisfazendo as condições (i) e (ii) do Teorema ??.
Se Aλ é a aproximação de Yosida de A, então Aλ é o gerador infinitesimal do semigrupo
uniformemente contínuo de contrações etAλ . Além disso, para cada x ∈ X, λ, µ > 0,
temos
k etAλ x − etAµ x k≤ t k Aλ x − Aµ x k .
Demonstração. Como já observamos que Aλ ∈ L(X), segue do Teorema ?? que Aλ é
o gerador infinitesimal do semigrupo uniformemente contínuo etAλ de operadores lineares
limitados. Além disso,
2
k etAλ k = k e−tλI etλ R(λ:A) k
2
= e−tλ k etλ R(λ:A) k
≤ e−tλ etλkλR(λ:A)k
≤ e−tλ etλ = 1 .
Portanto etAλ é um semigrupo de contrações. Agora, como para qualquer λ, µ > 0, (e
t > 0) os operadores etAλ , etAµ , Aλ e Aµ comutam, temos que
Z 1
d tsAλ t(1−s)Aµ
tAλ
tAµ
ke x−e xk =
e
e
x ds
ds
0
Z 1
k t (etsAλ et(1−s)Aµ ) · (Aλ x − Aµ x) k ds
=
0
Z
1
k Aλ x − Aµ x k ds
≤ t
0
= t k Aλ x − Aµ x k .
Teorema 3.6. (Hille-Yosida).
Um operador linear A (não limitado) é o gerador infinitesimal de um C0 -semigrupo
de contrações T (t), t ≥ 0 se, e somente se, valem:
38
(i) A é fechado e D(A) = X;
(ii) O conjunto resolvente de A, ρ(A), contém R+ e para cada λ > 0, temos
k R(λ : A) k≤
1
.
λ
(3.13)
Demonstração. Se A é o gerador de um C0 -semigrupo de contrações T (t), segue do
Teorema ?? que valem (i) e (ii). Reciprocamente, consideremos um operador linear A
satisfazendo (i) e (ii) e sejam λ, µ > 0 e t ∈ [0, t0 ], para t0 ≥ 0 fixado. Do Lema ??, segue
que para x ∈ D(A) vale
k etAλ x − etAµ x k ≤ t k Aλ x − Aµ x k
≤ t0 k Aλ x − Ax k + t0 k Aµ x − Ax k .
Do Lema ??, segue que
k etAλ x − etAµ x k→ 0 , quando λ, µ → ∞.
Portanto, para x ∈ D(A), etAλ x converge quando λ → ∞ e a convergência é uniforme
em intervalos limitados. Assim, para todo x ∈ D(A) e t ∈ [0, t0 ], dado ε > 0 existe
N1 ∈ N tal que
ε
(3.14)
k etAλ x − etAµ x k< , para todo λ, µ ≥ N1 .
3
Agora consideremos x ∈ X. Como D(A) é denso em X, existe (xn )n∈N ⊂ D(A), onde,
para todo ε > 0, existe N2 ∈ N tal que
ε
k xn − x k< , para todo n ≥ N2 .
(3.15)
3
Assim, para x ∈ X e t ∈ [0, t0 ], dado ε > 0 podemos tomar N suficientemente grande,
de forma que
k etAλ x − etAµ x k ≤ k etAλ x − etAλ xN k + k etAλ xN − etAµ xN k + k etAµ x − etAµ xN k
≤ k etAλ kk x − xN k + k etAλ xN − etAµ xN k + k etAµ kk x − xN k
≤ 2 k xN − x k + k etAλ xN − etAµ xN k
2ε ε
<
+ = ε.
3
3
Portanto, etAλ x é uma sequência de Cauchy. Logo etAλ x converge quando λ → ∞, para
todo x ∈ X e t ∈ [0, t0 ], isto é, etAλ x converge uniformemente em intervalos limitados.
Assim, mostraremos que, para todo t ≥ 0 e x ∈ X, se definimos T (t)x := limλ→∞ etAλ x,
então {T (t)}t≥0 ⊂ L(X) é um semigrupo fortemente contínuo de contrações. Primeiramente, observe que {T (t)}t≥0 ⊂ L(X), pois como k etAλ k≤ 1 para todo t ≥ 0, temos
que
k T (t)x k= lim k etAλ x k≤ lim k etAλ kk x k≤k x k, para todo x ∈ X.
λ→∞
λ→∞
Agora, mostremos que {T (t)}t≥0 é um semigrupo de contrações. Com efeito, pela
definição de T (t) e por {etAλ }t≥0 ser um semigrupo uniformemente contínuo de contrações,
valem
39
(i) T (0) = I, pois para todo x ∈ X, temos
T (0)x = lim x = x.
λ→∞
(ii) Para todo t, s ≥ 0, temos T (t)T (s) = T (t + s), pois para todo x ∈ X vê-se que
T (t)T (s)x = T (t) limλ→∞ esAλ x = limλ→∞ etAλ etAλ x
= limλ→∞ e(t+s)Aλ x = T (t + s)x.
(iii) Por fim, temos k T (t) k≤ 1, pois para todo x ∈ X, já vimos que kT (t)xk ≤k x k e,
daí,
k T (t)x k
k T (t) k= sup
≤1
kxk
x∈X,x6=0
Portanto, {T (t)}t≥0 é um semigrupo de contrações. Também sabemos que t 7→ T (t)x,
definida para t ≥ 0, é contínua, pois é limite uniforme das funções contínuas t 7→ etAλ x,
logo limt→0+ T (t)x = T (0)x = x, ou seja, {T (t)}t≥0 é um semigrupo fortemente contínuo de contrações. Para concluir a demonstração, basta mostrar que A é o gerador
infinitesimal de T (t). Se x ∈ D(A), temos
Z t
d sAλ
tAλ
(e x)ds
T (t)x − x = lim (e x − x) = lim
λ→∞
λ→∞ 0 ds
Z t
Z t
esAλ Aλ xds =
lim esAλ Aλ xds
= lim
λ→∞ 0
λ→∞
0
Z t
=
T (s)Axds.
0
Na terceira igualdade utizamos a letra (c) do Teorema ?? e a quarta e quinta igualdades
valem porque esAλ Aλ x → T (t)Ax, quando λ → ∞, onde a convergência é uniforme em
intarvalos limitados. Sejam B o gerador infinitesimal de T (t) e x ∈ D(A). Para t > 0,
segue do item (a) do Teorema ?? que
Z
1 t
T (t)x − x
T (t)Axds = T (0)Ax = Ax.
= lim+
lim
t→0+
t→0 t 0
t
Portanto x ∈ D(B) e Bx = Ax. Como tomamos x arbitrariamente em D(A), temos
que D(A) ⊂ D(B) e B|D(A) = A, ou seja, o operador B é uma extensão do operador A.
Assim
(I − B)D(A) = (I − A)D(A).
(3.16)
Do Teorema ?? temos que 1 ∈ ρ(B), pois B é o gerador de um C0 -semigrupo de
contrações e por hipótese temos 1 ∈ ρ(A). Desta forma (I − A)−1 e (I − B)−1 são
densamente definidos, ou seja, (I − A)D(A) = X = (I − B)D(B). Como I − A e I − B
são operadores fechados, segue que
(I − B)D(B) = X = (I − A)D(A).
(3.17)
De (??) e (??), segue que D(A) = D(B) e, portanto, A = B.
40
3.4 Semigrupos Analíticos
Nessa seção, generalizamos a ideia de C0 -semigrupos. Iniciaremos com algumas propriedades acerca de funções definidas em subconjuntos do corpo complexo C tomando valores
num espaço de Banach X. Em seguida, definiremos a noção de semigrupos holomorfos.
Definição 3.4. Sejam X um espaço de Banach e Ω um subconjunto aberto de C. Uma
função f : Ω → X é dita holomorfa em Ω se, para cada z0 ∈ Ω, o limite
f (z0 + h) − f (z0 )
h→0
h
lim
′
existe. Neste caso, denotamos este limite por f (z0 ) que é chamada a derivada de f em
z0 .
Se f é holomorfa é de fácil demonstração que f é contínua e fracamente holomorfa (ou
seja, x∗ ◦ f : Ω → C é holomorfa, para todo x∗ ∈ X ∗ ). O próximo teorema nos diz que
vale a recíproca. Para demonstrá-lo usaremos o lema dado a seguir, cuja a demonstração
pode ser encontrada em [?], página 89.
Lema 3.6. Seja X um espaço de Banach. A sequência {xn } ⊂ X é de Cauchy se, e
somente se, {x∗ (xn )} é uniformemente de Cauchy para x∗ ∈ X ∗ com kx∗ k ≤ 1.
Teorema 3.7. Sejam X um espaço de Banach, Ω ⊂ C aberto e f : Ω → X. Se f é
fracamente holomorfa, então f é holomorfa.
Demonstração. Sejam f : Ω → X fracamente holomorfa, z0 ∈ Ω e Γ = ∂D(z0 , r) uma
esfera em Ω, onde D(z0 , r) ⊂ Ω. Se x∗ ∈ X ∗ , então x∗ ◦ f : Ω → C é holomorfa e
x∗
f (z + h) − f (z )
0
0
′
− (x∗ ◦ f ) (z0 )
h
Z h
i
1
1
1
1
1
−
x∗ (f (z))dz.
−
=
2
2πi Γ h z − (z0 + h) z − z0
(z − z0 )
Como x∗ ◦ f é contínua em Γ e Γ é um conjunto compacto, então | (x∗ ◦ f )(z) |≤ Cx∗ ,
para todo z ∈ Γ. Se olharmos f (z) como sendo uma família de aplicações f (z) : X ∗ → C,
temos que f (z) é pontualmente limitada para cada x∗ ∈ X ∗ . Então, pelo Teorema da
Limitação Uniforme, temos que supz∈Γ kf (z)k ≤ C < ∞. Logo
f (z + h) − f (z )
0
0
′
− (x∗ ◦ f ) (z0 )
h
Z
1
1
−1
∗
−
dz.
≤ (2π) kx k sup kf (z)k
(z − z0 )2
z∈Γ
Γ (z − (z0 + h))(z − z0 )
x
∗
A estimativa mostra que x∗ [(f (z0 + h) − f (z0 ))/h] é uniformemente de Cauchy para
kx k ≤ 1.
∗
41
Do lema anterior concluímos que [f (z0 + h) − f (z0 )]/h converge em X, logo f (·) é
fortemente holomorfa.
Sejam γ : [a, b] → C uma curva finita e parcialmente suave, Ω ⊂ C aberto e Γ o traço
da curva γ. Consideremos Γ ⊂ Ω e f : Ω → X uma função contínua ao longo de Γ. A
integral de linha de f ao longo da curva γ é definida por
Z b
′
(f ◦ γ)(s)γ (s)ds,
a
e denotada por
Z
f (z)dz.
Γ
Teorema 3.8. Sejam X e Y espaços de Banach em C, T ∈ L(X, Y ) e γ uma curva como
na definição acima. Se f : Ω → X é uma função contínua ao longo de Γ, então
Z
Z
T
f (z)dz = T (f (z))dz.
(3.18)
Γ
Γ
Demonstração. Sabemos do Teorema ?? que se f ◦ γ : [a, b] → X é Bochner integrável,
então T (f ◦ γ) : [a, b] → Y é Bochner integrável e vale
Z b
Z b
T
(f ◦ γ)(s)ds =
T ((f ◦ γ)(s))ds.
a
a
O Teorema de Hahn-Banach junto com o Teorema ?? nos permite, sem muito esforço
adicional, estender uma parte significativa da teoria de funções de variáveis complexas
para funções com valores vetoriais. Um exemplo importante é a fórmula de Cauchy
Z
f (z)
1
f (w) =
dz,
2πi |z−z0 |=r z − w
onde f é holomorfa em Ω, B(z0 , r) ⊂ Ω e w ∈ B(z0 , r). Com efeito, para todo x∗ ∈ X ∗ ,
temos que x∗ (f ) é holomorfa, logo
Z
1 Z
1
x∗ (f (z))
f (z)
∗
∗
dz = x
dz .
x (f (w)) =
2πi |z−z0 |=r z − w
2πi |z−z0 |=r z − w
Lema 3.7. Sejam Y um subespaço fechado de um espaço de Banach X e Y 0 := {y ∗ ∈
X ∗ ; hy, y ∗ i = 0, ∀y ∈ Y }. Se y ∈ X satisfaz hy ∗ , yi = 0, para todo y ∗ ∈ Y 0 , então y ∈ Y .
Demonstração. Caso contrário, pelo Teorema de Hahn-Banach, existiria y ∈ X −Y , tal
que hy ∗ , yi = 0, para todo y ∗ ∈ Y 0 . Assim, existe x∗ ∈ X ∗ tal que x∗ (y) = dist(y, Y ) 6= 0
e x∗ = 0, para todo y ∈ Y . (Ver lema 4.6-7 de [?]).
42
Teorema 3.9. Sejam Y um subespaço fechado de um espaço de Banach X e Ω ⊂ C aberto
e conexo. Se f : Ω → X é holomorfa e existe uma sequência convergente {zn }n∈N ⊂ Ω tal
que lim zn ∈ Ω e f (zn ) ∈ Y , para todo n ∈ N, então f (z) ∈ Y , para todo z ∈ Ω.
Demonstração. Se x∗ ∈ Y 0 , então (x∗ ◦ f )(zn ) = 0 para todo n ∈ N. Como x∗ ◦ f :
Ω → C é holomorfa e lim zn também é um zero de x∗ ◦ f , segue do Teorema 6.20 de [?]
que (x∗ ◦ f )(z) = 0, para todo z ∈ Ω. Portanto f (z) ∈ X com hx∗ , f (z)i = 0, para todo
x∗ ∈ Y 0 e todo z ∈ Ω. Assim, o resultado segue do lema anterior.
Agora, generalizemos a ideia de semigrupo abordada na seção 3.2.
Definição 3.5. Uma aplicação T : (0, ∞) → L(X) fortemente contínua é dita semigrupo
se satisfaz:
(a) T (t + s) = T (t)T (s), para todo t, s > 0;
(b) Existe c > 0, tal que k T (t) k≤ c, para todo t ∈ (0, 1];
(c) Se T (t)x = 0, para todo t ≥ 0, então x = 0.
O próximo teorema, cuja a demonstração pode ser encontrada em [?], será utilizado
para garantir a existência de um operador A que é o gerador de um semigrupo, no
sentido da definição ??.
Teorema 3.10. Seja S : R+ → L(X) uma função fortemente contínua satisfazendo
Z t
S(s)ds ≤ M eωt ,
t ≥ 0,
0
R∞
para M, ω ≥ 0. Se k ∈ N e R(λ) := λk 0 e−λt S(t)dt, para λ > ω, então são equivalentes:
i) Existe um operador A tal que (ω, ∞) ⊂ ρ(A) e R(λ) = (λ − A)−1 para λ > ω;
ii) Para s, t ≥ 0, valem
1
S(t)S(s) =
(k − 1)!
Z t+s
(s + t − r)
k−1
S(r)dr −
Z s
0
t
(s + t − r)k−1 S(r)dr
e
S(t)x = 0, ∀t ≥ 0 ⇒ x = 0.
Pela Definição ?? é fácil ver que k T (t) k≤ M eωt , para todo t > 0. Dessa forma, faz
sentido definir
Z t
S(t) :=
T (s)ds.
0
Escolhendo k = 1 no Teorema ?? observamos que S(·) : R+ → L(X) satisfaz a
condição (ii) deste teorema. Com efeito, para s, t > 0, temos
43
S(s)S(t) =
Z s
T (r)dr
0
=
T (r)T (ω)dωdr
Z sZ t
T (r + ω)dωdr
0
0
=
T (ω)dω
0
Z sZ t
0
=
Z t
0
Z s Z t+r
0
T (ω)dωdr
r
=
Z s Z t+r
=
Z s
0
T (ω)dω −
0
0
S(r + t)dr −
0
=
Z r
Z s
T (ω)dω dr
S(r)dr
0
Z t+s
S(r)dr −
Z s
S(r)dr.
0
t
Portanto, existe um operador A : D(A) ⊂ X → X tal que (ω, ∞) ⊂ ρ(A) e, para
λ > ω, vale que
Z ∞
e−λt S(t)dt
R(λ, A) = λ
0
=
Z ∞
e−λt T (t)dt.
0
Tal operador A é chamado gerador do semigrupo T . Do Corolário 3.3.11 de [?],
podemos observar que um semigrupo é um C0 -semigrupo se, e somente se, seu gerador
for densamente definido.
Nos próximos resultados, consideraremos Σθ := {z ∈ C − {0}; |argz| < θ} o setor no
plano complexo de ângulo θ ∈ (0, π].
Definição 3.6. Considere θ ∈ (0, π2 ]. Um semigrupo T em X é chamado holoformo
de ângulo θ se T admite uma extensão holomorfa definida em Σθ a qual é limitada em
Σθ′ ∩ {z ∈ C; |z| ≤ 1}, para todo θ′ ∈ (0, θ).
No que segue ao restante desta seção, quando não houver confusão, a extensão de T
em Σθ também será denotada por T .
Lema 3.8. Sejam 0 < θ ≤ π e f : Σθ → X uma função holomorfa tal que
sup k f (z) k< ∞,
z∈Σ ′
θ
44
para todo θ′ ∈ (0, θ). Seja x ∈ X.
a) Se lim f (t) = x, então
t→∞
b) Se lim+ f (t) = x, então
t→0
lim
f (z) = x, para todo θ′ ∈ (0, θ);
|z|→∞,z∈Σθ ′
lim
f (z) = x, para todo θ′ ∈ (0, θ).
|z|→0,z∈Σθ ′
Demonstração.
a) Seja fk (z) = f (kz). Segue do Teorema de Vitali, (ver [?], Teorema A.5, pág. 467), que
limk→∞ fk (z) = x, uniformemente nos subconjuntos compactos de Σα . Se 0 < β < α
e ε > 0, existe k0 ∈ N tal que kfk (z) − xk ≤ ε, para todo z ∈ Σβ , 1 ≤| z |≤ 2 e
k ≥ k0 . Para z ∈ Σβ e | z |≥ k0 , escolha k ∈ N tal que k ≤| z |≤ k + 1, então
z
− x ≤ ε.
kf (z) − xk = fk
k
b) Utilizar o item (a) para a função z 7→ f (z −1 ).
Proposição 3.1. Sejam θ ∈ (0, π2 ] e T um semigrupo em X com gerador A. Se T é
holomorfa de ângulo θ, então valem:
(a) T (z + z ′ ) = T (z)T (z ′ ), para todo z, z ′ ∈ Σθ ;
(b) Para todo θ′ ∈ (0, θ), existem M ≥ 0 e ω ≥ 0 tais que k T (z) k≤ M eωRez , para todo
z ∈ Σθ ′ ;
(c) Seja α ∈ (−θ, θ). Denote por Tα o semigrupo dado por Tα (t) := T (eiα t), para t ≥ 0.
Então eiα A é o gerador de Tα ;
(d) Se T é um C0 -semigrupo e z ∈ Σθ′ , então
lim T (z)x = x,
z→0
para todo x ∈ X e para todo θ′ ∈ (0, θ).
Demonstração.
(a) Para z ′ ∈ (0, ∞) fixado, considere as funções holomorfas S(z) = T (z + z ′ ) e R(z) =
T (z)T (z ′ ) definidas em Σθ tomando valores no espaço de Banach L(X). Considere
Y := {0} ⊂ L(X), Ω := Σθ e defina f := R − S. Considere {zn }n∈N ⊂ Σθ uma
sequência dada por zn := 1 + n1 . Assim, lim zn ∈ Σθ e, como S e T coincidem em
(0, ∞), temos que f (zn ) = 0, para todo n ∈ N, ou seja, f (zn ) ∈ Y para todo n ∈ N.
Assim, pelo teorema ??, concluímos que f (z) = 0 para todo z ∈ Σθ e, portanto,
T (z + z ′ ) = T (z)T (z ′ ), ∀z ∈ Σθ e z ′ ∈ (0, ∞).
Analogamente, fixando z ∈ Σθ , as funções z ′ 7→ T (z+z ′ ) e z ′ 7→ T (z)T (z ′ ) coincidem
para todo z ′ ∈ (0, ∞). Utilizando o Teorema ??, o resultado segue.
45
(b) Seja θ′ ∈ (0, θ). Como a extensão T : Σθ → L(X) é limitada em Σθ′ ∩{z ∈ C; |z| ≤ 1},
podemos definir
M :=
sup
k T (z) k e ω ′ := max{log M, 0}.
z∈Σθ′ ,|z|≤1
Seja z = teiβ ∈ Σθ′ , onde t = |z| e |β| < θ′ . Escreva t = n + s, onde n é o maior
natural menor do que ou igual a t e s ∈ [0, 1). Defina Tβ (t) := T (teiβ ). Assim,
temos que
k T (z) k = k Tβ (t) k
= k Tβ (n + s) k
≤ k Tβ (1) kn k Tβ (s) k
≤ M.M n
≤ M enω
′
′
≤ M e|z|ω .
Como |z| ≤
Rez
ω′
′
para
todo
z
∈
Σ
,
tomando
ω
:=
, obtemos
θ
cos θ′
cos θ′
k T (z) k≤ M eωRez .
(c) Seja α ∈ (−θ, θ). Denote por Tα (t) := T (teiα ), onde t ≥ 0. Primeiramente, verifiquemos que, de fato, Tα é um semigrupo. Com efeito, valem:
(i) Para todo s, t > 0, segue do item (a) deste Teorema que Tα (t + s) = Tα (t)Tα (s).
(ii) Cmo para todo t ≥ 0, temos que Tα (t)x = 0, então T−α (t)Tα (t)x = 0. Mas
T−α (t)Tα (t)x = T (te−iα )T (teiα )x
= T (t(e−iα + eiα ))x
= T (t(2 cos α))x
= T (s)x,
onde s := t(2 cos α) ≥ 0, pois α ∈
é um semigrupo, segue que x = 0.
−π π
,
2 2
e t ≥ 0. Como T restrito a (0, ∞)
46
(iii) Se t ∈ (0, 1], temos que Tα (t) = T (teiα ). Seja zt := teiα , com t = |zt | ∈ (0, 1] e
α ∈ (−θ, θ). Então zt ∈ Σθ′ ∩ {z ∈ C; |z| ≤ 1}, para algum θ′ ∈ (0, θ). Logo,
existe C > 0 tal que
k Tα (z) k=k T (teiα ) k=k T (zt ) k≤ C,
∀t.
Assim, concluímos que Tα é um semigrupo. Agora basta mostrar que seu gerador
é e A, onde A é o gerador de T .
iα
De fato, para R > 0, consideremos as curvas Γ1R = {γ1 (t) = t; 0 ≤ t ≤ R},
= {γ2 (t) = Reit ; 0 ≤ t ≤ α} e Γ3R = {γ3 (t) = teiα ; 0 ≤ t ≤ R}. Defina
ΓR = Γ1R ∪ Γ2R ∪ −Γ3R (o sinal de menos na última integral, significa que a curva
coincide com Γ3R mas tem direção oposta) e seja λ > 0. Pelo Teorema ??, temos
que f (z) := exp(−λe−iα z)T (z) é holoforma em Σθ e ΓR − {0} ⊂ Σθ é uma curva
fechada e suave por partes. Logo do Teorema de Cauchy para funções com valores
vetoriais, temos que
Z
f (z)xdz = 0, ∀x ∈ X.
Γ2R
ΓR
Mas
Z
Z
f (z)xdz =
ΓR
f (z)xdz +
Γ1R
Z R
=
0
Z R
=
Z
f (z)xdz −
Γ2R
′
f (γ1 (t))γ1 (t)dt +
exp(−λe
−iα
Z α
0
−e
iα
f (z)xdz
Γ3R
′
f (γ2 (t))γ2 (t)dt −
t)T (t)xdt +
0
Z
Z α
0
Z R
Z R
0
′
f (γ3 (t))γ3 (t)dt
′
f (γ2 (t))γ2 (t)dt
e−λt Tα (t)xdt.
0
Fazendo R → ∞, obtemos
e
iα
Z ∞
e
−λt
Tα (t)dt =
0
Com efeito,
Z α
0
′
f (γ2 (t))γ2 (t)dt
Z ∞
exp(−λe−iα t)T (t)dt.
0
=
Z α
exp[−iλR(cos(t − α) + isen(t − α)]
0
T (Reit )Rieit xdt
≤
Z α
| exp[−λR(cos(t − α) + isen(t − α))] |
0
M eωR cos t Rkxkdt
(3.19)
47
≤
Z α
e−λR cos(t−α) RM eRω cos t kxkdt
0
≤ kxkM
Z α
ReR(ω cos t−λ cos(t−α)) dt
Z α
ReR(cos t)(ω−λ cos α) dt.
0
≤ kxkM
0
A última desigualdade segue da identidade − cos t cos α = − cos(t − α) + sent.senα.
Daí, escolhendo λ > cosω α , temos
Z α
′
f (γ2 (t))γ2 (t)dt → 0, quando R → 0.
0
Seja Aα o gerador de Tα . Assim, utilizando (??), temos que, para todo x ∈ X,
R∞
eiα R(λ, Aα )x = eiα 0 e−λt Tα (t)xdt
=
R∞
0
exp(−λe−iα t)T (t)xdt
= R(λe−iα , A)x.
Portanto,
eiα (λI − Aα )−1 = (λe−iα I − A)−1
⇒
eiα A−1
= A−1
α
⇒
Aα = eiα A.
(d) Sejam x ∈ X e θ′ ∈ (0, θ). Considere a função holomorfa f : Σθ → X dada por
f (z) = e−ωz T (z)x.
Do item (b) deste teorema segue que existem M ≥ 0 e ω ≥ 0 tais que
k f (z) k ≤ |e−ωz | k T (z) kk x k
= e−ωRez k T (z) kk x k
≤ M kxk,
∀z ∈ Σθ′ .
48
Portanto,
∀θ′ ∈ (0, θ).
sup k f (z) k< ∞,
z∈Σθ′
Como T é um C0 -semigrupo, temos
lim+ f (t) = lim+ e−ωt T (t)x = x.
t→0
t→0
Logo, utilizando o Lema ??, concluímos que
lim
z→0,z∈Σθ′
e−ωz T (z)x =
lim
z→0,z∈Σθ′
f (z) = x.
Note que, na Proposição ??, Tα é um C0 -semigrupo para cada α ∈ (−θ, θ) quando
T é um C0 -semigrupo, isto é, se D(A) é denso. Em seguida, definiremos semigrupos
holomorfos limitados.
Definição 3.7. Seja θ ∈ (0, 2θ ]. Um semigrupo T é dito semigrupo holomorfo limitado
de ângulo θ se T admite uma extenção holomorfa limitada em Σθ′ para cada θ′ ∈ (0, θ).
É necessária uma certa prudência sobre esta terminologia. De fato, se T é um semigrupo limitado que é holomorfo, então ele não é necessariamente um semigrupo holomorfo
limitado, pois é apenas limitado em R+ e, assim, pode não ser limitado num setor. Um
exemplo em que ocorre isto é com o espaço X = C e com a função T (t) = eit , t ≥ 0. A
proposição a seguir segue diretamente do Teorema ??.
Proposição 3.2. Um operador A é gerador de um semigrupo holomorfo T se, e somente
se, existe ω ≥ 0 tal que A − ωI é gerador de um semigrupo holomorfo limitado S.
3.5 O Semigrupo Gaussiano
Da teoria de Fourier, sabemos que
−∆f = F −1 MFf,
∀f ∈ L2 (Rn ).
(3.20)
Aqui, F : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) é transformada de Fourier e M é o operador multiplicação
definido em
D(M) = {g ∈ L2 (Rn , dξ); | ξ |2 g ∈ L2 (Rn , dξ)}
por
(Mg)(ξ) =| ξ |2 g(ξ).
Pela identidade de Parseval, temos que
hFf, FgiL2 = hf, giL2 ,
∀f, g ∈ L2 (Rn ).
Para maiores detalhes acerca destes conceitos veja [?], capítulo IX.
Observamos que a igualdade (??) acima é uma característica dos operadores autoadjuntos, como pode ser visto no Teorema abaixo.
49
Teorema 3.11. Seja A um operador auto-adjunto num espaço de Hilbert separável H
com domínio D(A). Existem um espaço de medida (M, µ), onde µ é uma medida finita,
um operador unitário U : H → L2 (M, dµ) e uma função com valores reais f definida em
M a qual é finita em quase toda parte, tais que
1. ψ ∈ D(A) se, e somente se, f (·)(U ψ)(·) ∈ L2 (M, dµ).
2. Se ϕ ∈ U (D(A)), então (U AU −1 ϕ)(m) = f (m)ϕ(m).
Demonstração. Ver [?], pág.261.
O operador M é um operador densamente definido e fechado.
Com efeito, considere ψ ∈ L2 (Rn , dξ). Para cada n ∈ N, defina a função ψn por
ψn (x) = ψ(x), se | g(x) |≤ n e ψn (x) = 0 caso contrário. Assim, para cada n ∈ N,
ψn ∈ D(M). Além disso, ψn → ψ na norma L2 (Rn , dξ), pois | ψn |≤| ψ | q.t.p. e
| gψn |≤ n | ψ |. Conclui-se que ψn ∈ L2 (Rn , dξ). Também, temos que ψn → ψ em q.t.p.
e, utilizando o teorema da convergência dominada, vemos que ψn → ψ em L2 (Rn , dξ).
Portanto, M é um operador densamente definido. Agora mostremos que M é um operador
linear fechado. Para isso, suponha que {ψn } é uma sequência em L2 (Rn , dξ), tal que
ψn → ψ e Mψn → φ ambas as convergências em L2 (Rn , dξ). Tomando subsequências,
se necessário, podemos supor que ψn → ψ em q.t.p. e g(ψn ) → φ em q.t.p.. Logo,
g(ψn ) → g(ψ) em q.t.p. e portanto g(ψ) = φ em q.t.p. Assim, concluímos que ψ ∈ D(M)
e Mψ = φ. Como é fácil verificar que D(M) é um espaço vetorial e que M é linear neste
domínio, concluímos que M é um operador densamente definido e fechado. Também é
possível mostrar que M é um operador não limitado.
Dando continuidade ao estudo do Laplaciano, considere {fn } uma sequência em D(∆),
tal que
fn → f e ∆fn → g em L2 .
Assim, Ffn → Ff em L2 , já que F é unitário. Além disso, como F −1 MFfn → g, segue
que MFfn → Fg. Logo Ff ∈ D(∆) e MFf = Fg. Daí, pelo Teorema ??, temos que
f ∈ D(∆) e ∆f = F −1 MFf = g. Com isso, concluímos que ∆ é operador fechado.
A seguir, daremos um exemplo de semigrupo holomorfo.
Exemplo 3.1. (Semigrupo Gaussiano) Sejam t > 0, f ∈ X := L2 (Rn ) e x ∈ Rn . Então
Z
kyk2
−n
(G(t)f )(x) := (4πt) 2
f (x − y)e− 4t dy
Rn
define um C0 -semigrupo holomorfo limitado de ângulo π2 em L2 (Rn ). Seu gerador é o
Laplacioano ∆X em X com domínio maximal, ou seja,
D(∆X ) = {f ∈ X; ∆f ∈ X}
∆X f = ∆f,
′
onde X é identificado como um subespaço de D(Rn ) e ∆f =
Pn
2
j=1 Dj f .
50
Com efeito, seja kt ∈ S(Rn ) dado por
kt (x) =
kxk2
1
− 4t
, t > 0, x ∈ Rn .
n e
(4πt) 2
2
Então G(t)f = kt ∗ f ∈ X. Note que Fkt = ht , onde ht (x) := e−tkxk e ht+s = ht hs .
′
′
Como F é um isomorfismo de S(Rn ) em S(Rn ) , tal que F(ψ ∗ f ) = Fψ.Ff , para todo
′
′
ψ ∈ S(Rn ) e f ∈ S(Rn ) , então F(G(t)f ) = ht .Ff . Assim,
F(G(t + s)f ) = ht+s .Ff = ht .hs Ff = F(G(t)G(s)f ).
Logo G(t + s) = G(t)G(s), para t, s > 0. Como {kt ; t > 0} é uma aproximação da
identidade, segue do Lema 1.3.3 de [?] que kG(t)f − f k = kkt ∗ f − f k → 0, quando
t → 0+ , para todo f ∈ X. Portanto G é um C0 -semigrupo.
Agora observe que kz também é definida para Rez > 0 e a função z 7→ kz : C+ →
L1 (Rn ) é um holomorfismo satisfazendo supz∈Pθ kkz kL1 (Rn ) < ∞, para cada 0 < θ < π2 .
De fato,
Z
kxk2
1 n2
kkz kL1 =
e− 4z dx
(4πz)
Rn
1
=
n
(4π|z|) 2
Z
1
=
n
(4π|z|) 2
Z
=
e
−
kxk2 |z|cos θ
4|z|2
e
−
1
kx(cos θ) 2 k2
4|z|
dx
Rn
dx
Rn
1
n .
(cos θ) 2
Assim, G(z) := kz ∗ f define uma extensão de G para C+ com valores em L(X) e
supz∈Pθ kG(z)k < ∞, para cada 0 < θ < π2 .
Desta forma, basta mostrar que o gerador de G é o Operador Laplaciano. Primeiramente, observe que, se f ∈ X com ∆f ∈ X e m(x) = − | x |2 , então
F(∆(G(t)f )) = mF(G(t)f ) = mht Ff = ht mFf = ht F(∆f ) = F(G(t)∆f ).
Portanto ∆(G(t)f ) = G(t)(∆f ).
Agora observe que se ψ ∈ S(Rn ) e G1 é um semigrupo gaussiano em L1 (Rn ), então
Z t
Z t
F
G1 (s)∆ψds (x) =
F(G1 (s)∆ψ)(x)ds
0
0
=
Z t
2
e−s|x| (− | x |)2 (Fψ)(x)ds
0
2
= (e−t|x| − 1)(Fψ)(x)
= (F(G1 (t)ψ − ψ))(x).
51
Segue da unicidade da transformada de Fourier que
Z t
G1 (s)∆ψds = G1 (t)ψ − ψ.
0
Agora, seja f ∈ X, t > 0. Mostremos que
Z t
∆
G(s)f ds = G(t)f − f.
0
Se ψ ∈ S(Rn ), temos que
Z t
Z t
D
E
D
E
G(s)f ds = ∆ψ,
G(s)f ds
ψ, ∆
0
0
=
Z t
h∆ψ, G(s)f ids
Z t
hG1 (s)∆ψ, f ids
0
=
0
=
DZ t
G1 (s)∆ψds, f
0
E
= hG1 (t)ψ − ψ, f i
= hψ, G(t)f − f i.
Daí,
1 Z t
G(t)f − f
lim+ ∆
= B(f ),
G(s)f ds = lim+
t→0
t→0
t 0
t
onde B é o gerador de G(t) e f ∈ D(B). Mas, do Teorema ??, item (a), temos
Z
1 t
G(s)f ds = f.
lim
t→0+ t 0
Usando o fato de ∆ ser um operador fechado, concluímos que
D(B) ⊂ D(∆) e Bf = ∆f,
∀f ∈ D(B).
Para finalizar, façamos duas observações:
Observação 3.1. Suponha que exista u ∈ C([0, τ ], X) tal que
Z t
Z t
u(s)ds ∈ D(A) e ∆
u(s)ds = u(t) − x.
0
0
(3.21)
52
Rt
Defina v(t) = 0 (u(s) − G(s)x)ds. Por hipótese e pelo item (b) do Teorema ??, temos
que v(t) ∈ D(∆). Assim, se
Z
t
S(t)y =
G(s)yds,
0
então ∆S(t)y = G(t)y − y, para todo y ∈ X. Por fim, se definimos w(s) = S(t − s)v(s),
0 ≤ s ≤ t, temos que
′
′
w (s) = −G(t − s)v(s) + S(t − s)v (s)
= −G(t − s)v(s) + S(t − s)Av(s)
= −G(t − s)v(s) + AS(t − s)v(s)
= −v(s).
Portanto,
0 = w(s) =
Z t
′
w (s)ds = −
0
Z t
v(s)ds,
0
e v(s) = 0, para todo s ∈ [0, τ ]. E desta última conclusão, chegamos que
u(t) = G(t)x.
Observação 3.2. Sabemos pelo Teorema ??, que existem ω ≥ 0 e M ≤ 1, tais que
kG(t)k ≤ M eωt ,
∀t ≥ 0.
Então para λ > ω, temos
(λ − ∆)(λ − B)−1 f = f.
(3.22)
Na identidade anterior foi utilizada a identidade (??) e o fato de R+ ⊂ ρ(B) que segue
do Teorema ??.
Vamos mostrar que (λ−∆) é um operador injetivo. Se (λ−∆)f = 0, então u(t) := eλt f
satisfaz
Z t
Z t
u(s)ds ∈ D(∆) e ∆
u(s)ds ∈ D(∆) = u(t) − f.
0
0
Segue da observação ?? que u(t) = G(t)f . Mas,
eλt kf k = keλt f k = ku(t)k = kG(t)f k ≤ M eωt kf k.
Isso só é possível se f = 0.
Da observação ?? e (??), temos que ∆ = B.
53
4 SOLUÇÕES S-ASSINTOTICAMENTE ω-PERIÓDICAS DE EQUAÇÕES
DE EVOLUÇÃO FRACIONÁRIA
4.1 Operador Solução
Consideremos o setor µ + Sθ = {µ + λ; λ ∈ C, | arg(−λ) |< θ}, como podemos ver
abaixo:
Deste modo, dizemos que um operador linear A : D(A) ⊂ X → X fechado, com
D(A) = X é um operador setorial do tipo µ se existem µ ∈ R, 0 < θ < π2 e M > 0,
tais que seu resolvente existe fora do setor µ + Sθ e além disso
k (λ − A)−1 k≤
M
, λ∈
/ µ + Sθ .
|λ−µ|
Definição 4.1.1. Sejam X um espaço de Banach, k ∈ C(R+ ) e a ∈ L1loc (R+ ). Dizemos
que um operador linear fechado A : D(A) ⊂ X → X, com D(A) = X é o gerador de
uma família (a, k)-regularizada, {S(t)}t≥0 ⊂ L(X), se as seguintes condições são
satisfeitas:
(i) S(t) é fortemente contínua, para todo t ≥ 0. Além disso S(0) = k(0)I, onde I é o
operador identidade.
(ii) S(t)x ∈ D(A), para todo t ≥ 0 e x ∈ D(A). Além disso, vale
A(S(t)x) = S(t)(Ax).
(iii) Vale a equação resolvente (a, k)-regularizada
Z t
a(t − s)AS(s)xds,
S(t)x = k(t)x +
0
para todo x ∈ D(A) e t ≥ 0.
54
Definição 4.1.2. Um operador linear fechado A, com domínio D(A) ⊂ X, é dito o
gerador de um operador solução se existem µ > 0 e uma função Sα : R+ → L(X)
fortemente contínua tais que:
(i) {λα ; Reλ > µ} ⊂ ρ(A);
Z ∞
α−1 α
−1
(ii) λ (λ − A) x =
e−λt Sα (t)xdt, Reλ > µ x ∈ X.
0
Neste caso, Sα é o operador solução gerado por A.
Proposição 4.1. Se A é o gerador de uma família (a, k)-regularizada e exponencialmente
tα−1
limitada {S(t)}t≥0 , onde a(t) =
e k(t) ≡ 1, com 1 < α < 2, então A é o gerador de
Γ(α)
um operador solução Sα , com Sα = S.
Demonstração. Como a família {S(t)}t≥0 é exponencialmente limitada, então existem
constantes M e ω > 0, tais que
k S(t) k≤ M eωt ,
∀t ≥ 0.
Assim, para cada λ ∈ C, com Reλ > ω e x ∈ X, temos
Z ∞
Z ∞
−λt
e S(t)xdt ≤
e−Reλt k S(t) kk x k dt
0
0
≤
Z ∞
e−Reλt M eωt k x k dt
0
≤ M kxk
Z ∞
et(ω−Reλ) dt < ∞.
0
Deste modo, podemos definir o operador H(λ) : X → X pondo
Z ∞
H(λ)x =
e−λt S(t)xdt,
0
Por hipótese, para x ∈ D(A), temos que
Z t
(t − s)α−1
AS(s)xds
S(t)x = x +
Γ(α)
0
= x + J α AS(t)x.
Usando as propriedades de integração fracionária e aplicando a transformada de Laplace, temos
Z
∞
e−λt (x + J α AS(t)x)dt
H(λ)x =
0
= x
Z ∞
e−λt dt + L(J α AS(t)x)
0
=
x
+ L(J α AS(t)x)
λ
=
x L(AS(t)x)
.
+
λ
λα
55
Deste modo, temos que L(AS(t)x) = λα (H(λ)x−x). Portanto Ae−λt S(t)x é integrável.
Segue da Proposição ?? que H(λ)x ∈ D(A) e que
Z ∞
Z ∞
−λt
A
e S(t)xdt =
e−λt AS(t)xdt.
0
0
Daí, obtemos que
H(λ)x =
x AH(λ)x
+
.
λ
λα
Portanto,
λ1−α (λα − A)H(λ)x = x, ∀x ∈ D(A).
Como D(A) = X, temos que H(λ) é a inversa a direita de λ1−α (λα − A). Além disso, por
(ii) da definição de família (a, k )-regularizada, temos que H(λ) é a inversa de λ1−α (λα −A).
Assim,
(λ1−α (λα − A))−1 = H(λ) =⇒ (λα − A)−1 = λ1−α H(λ).
Logo λα ∈ ρ(A), para todo λ ∈ C, com Reλ > ω, ou seja,
{λα ; Reλ > ω} ⊂ ρ(A).
E
λ
α−1
α
−1
(λ − A) x =
Z ∞
e−λt S(t)xdt.
0
Portanto, S(t) é um operador solução gerado por A.
Sendo assim, uma forma de garantir que A seja gerador de uma operador solução Sα (t)
α−1
é determinar que A é o gerador de uma família ( tΓ(α) , 1)−regularizada. Condições para
que isso ocorra podem ser encontradas em [??]. No entanto, tais possibilidades ainda não
foram estudadas.
De qualquer forma, faremos uma outra abordagem: Usaremos, sem detalhes, os resultados obtidos na referência [??]. Tais são apresentados a seguir:
Lema 4.1. Se A é um operador setorial do tipo µ, com 0 < θ < π(1 − α2 ), então A é o
gerador de um operador solução dado por
Z
1
eλt λα−1 (λα − A)−1 dγ,
Sα (t) :=
2πi γ
onde γ é um caminho suave no exterior do setor µ + Sθ
A seguir apresentamos um esboço da demonstração deste Lema.
Demonstração. A convergência absoluta de Sα (t) é dada pelo Teorema ?? a seguir.
Observe agora que
Z
Z ∞
Z ∞
1
−λt
α−1 α
−1
e Sα (t) =
η (λ − A)
e−(λ−η)t dtdη
2πi
0
γ
0
1
=
2πi
Z
η α−1 (λα − A)−1
dη
η−λ
γ
= λα−1 (λα − A)−1 ,
56
onde acima estamos usando o teorema de Fubini e a Fórmula de Cauchy.
A condição {λα ; Reλ > µ} ⊂ ρ(A) pode ser encontrada na prova do Teorema 1 de [??]
Teorema 4.1. Se A é um operador setorial tipo µ < 0, para algum M > 0 e 0 ≤ θ <
π(1 − α2 ), então existe C > 0, tal que
k Sα (t) k≤
CM
,
1+ | µ | tα
Observe que
Z ∞
0
t ≥ 0.
(4.1)
1
1
| µ |− α π
dt
=
,
1+ | µ | tα
α sen ( απ )
1 < α < 2.
Assim, de fato Sα (t) é integrável.
4.2 Soluções brandas S-assintoticamente ω-periódica
Nesta seção consideremos a existência e unicidade de soluções brandas S-assintoticamente ω-periódicas para o problema
Z t
(t − s)α−2
Av(s)ds + f (t, v(t)) t ≥ 0,
0 Γ(α − 1)
v(0) = u0 ∈ X,
′
v (t) =
(4.2)
(4.3)
onde 1 < α < 2, A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear densamente definido do tipo
setorial definido num espaço de Banach complexo X e f : [0, ∞) × X → X é uma função
contínua satisfazendo uma condição tipo Lipschitz.
Podemos observar que a integral tipo convolução em (??) é a integral fracionária de
Riemann-Liouville de ordem α − 1, denotada por J α−1 Av(t). Seja A é gerador de um
operador solução integrável Sα (t). Aplicando o operador J 1 em (??), obtemos
v(t) = J α Av(t) + J 1 f (t, v(t)) + v0 .
Aplicando a transformada de Laplace e considerando suas propriedades citadas na
seção 1.3, temos que
L(v)(λ) =
1
v0 1
+ L(f )(λ) + α L(Av)(λ).
λ
λ
λ
Uma vez que λα ∈ ρ(A), para todo λ ∈ C com Reλ > µ, temos que
(λα − A)L(v)(λ) = λα−1 v0 + λα−1 L(f )(λ)
⇒
L(v)(λ) = λα−1 (λα − A)−1 v0 + λα−1 (λα − A)−1 L(f )(λ).
Da Definição ??, sabemos que
λ
α−1
α
(λ − A)
−1
=
Z ∞
0
e−λt Sα (t)dt = L(Sα )(λ).
57
Assim,
L(v)(λ) = L(Sα )(λ)v0 + L(Sα )(λ) · L(f )(λ)
= L(Sα )(λ)v0 + L(Sα ∗ f )(λ).
Da unicidade da transformada de Laplace, obtemos
Z t
v(t) = Sα (t)v0 +
Sα (t − s)f (s)ds.
0
Motivados por isso, definimos solução branda para o problema (??)-(??).
Definição 4.2.1. Suponha que A é o gerador de um operador solução integrável Sα (t).
Uma função u ∈ Cb ([0, ∞), X) é dita uma solução branda S-assintoticamente ωperiódica do problema (??)-(??) se u : R+ → X for uma função S-assintoticamente
ω-periódica e satisfaz
Z t
u(t) = Sα (t)u0 +
Sα (t − s)f (s, u(s))ds,
∀t ≥ 0.
(4.4)
0
Teorema 4.2. Sejam A um operador setorial do tipo µ < 0, com 0 < θ < π(1 − α2 ),
f : [0, ∞) × X → X uma função contínua tal que f (·, 0) é integrável em [0, ∞) e L :
[0, ∞) → R uma função contínua e integrável tal que
k f (t, x) − f (t, y) k≤ L(t) k x − y k,
para todo x, y ∈ X, t ≥ 0.
Então o problema (??)-(??) tem uma única solução branda S-assintoticamente ω-periódica.
Além disso, vale
k u k∞ ≤ C(k u0 k + k f (·, 0) k1 ) exp(C k L k1 ),
onde C é uma constante suave e positiva.
Demonstração.
SAPω (X) por
Seja Sα o operador do lema (??), defina o operador Γα no espaço
(Γα )u(t) := Sα (t)u0 +
Z t
Sα (t − s)f (s, u(s))ds = Sα (t)u0 + vα (t).
(4.5)
0
Mostremos que Γα é um operador com valores em SAPω (X). Seja x ∈ X. Como
Sα : R+ → L(X) é fortemente contínua, temos que Sα (·)x é contínua. Além disso,
kSα (t)xk ≤
CM
kxk → 0, quando t → ∞.
1+ | µ | tα
Portanto, Sα (·)x ∈ Cb ([0, ∞), X). Para ω > 0 , temos que
CM
CM
kSα (t + ω)x + Sα (t)xk ≤
+
kxk → 0, quando t → ∞.
1+ | µ | (t + ω)α 1+ | µ | tα
Assim, Sα (·)x ∈ SAPω (X) , para todo x ∈ X. Com isso, o problema se reduz em
mostrar que vα ∈ SAPω (X). Para isto, primeiramente, note que existe Cα,x > 0 tal que
sup kSα (t)xk ≤ Cα,x , x ∈ X.
t∈[0,∞)
58
Daí segue pelo Princípio da Limitação Uniforme que existe uma constante Cα > 0 tal
que supt∈[0,∞) kSα (t)k ≤ Cα . Sejam u ∈ SAPω (X) e s ≥ 0, da desigualdade
kf (s, u(s))k ≤ kf (s, u(s)) − f (s, 0)k + kf (s, 0)k
≤ L(s)ku(s)k + kf (s, 0)k,
segue que a função s 7→ f (s, u(s)) é integrável em [0, ∞). Seja ε > 0, fixemos a > 0 tal
que
Z ∞
ε
kf (s, u(s))k <
.
3Cα
a
Também sabemos que, como a função s 7→ f (s, u(s)) é contínua, o conjunto Ka :=
{f (s, u(s)); s ∈ [0, a]} é compacto em X. Assim, para ω > 0 e s ∈ [0, a] existe Tε,Ka > 0,
tal que
ε
kSα (t + ω)f (s, u(s)) − Sα (t)f (s, u(s))k < ,
3a
para todo t ≥ T e s ∈ [0, a]. Para t > a, podemos fazer a seguinte decomposição
Z t+ω
Z t
vα (t + ω) − vα (t) =
Sα (t + ω − s)f (s, u(s))ds −
Sα (t − s)f (s, u(s))ds
0
0
Z a
=
(Sα (t + w − s) − Sα (t − s))f (s, u(s))ds
0
Z t
Z t+ω
Sα (t + ω − s)f (s, u(s))ds −
Sα (t − s)f (s, u(s))ds.
+
a
a
Tomando t ≥ T + a, obtemos
Z a
kSα (t + w − s)f (s, u(s)) − Sα (t − s)f (s, u(s))kds
kvα (t + ω) − vα (t)k ≤
0
Z t+ω
Z t
+Cα
kf (s, u(s))kds + Cα
kf (s, u(s))kds
a
a
Z ∞
Z a
ε
≤
ds + 2Cα
kf (s, u(s))kds
0 3a
a
ε
ε
≤
+ 2Cα
= ε,
3
3Cα
o que mostra que limt→∞ (vα (t + ω) − vα (t)) = 0. Mais ainda, da desigualdade
Z t
kvα (t)k ≤
kSα (t − s)kkf (s, u(s))kds
0
Z ∞
kf (s, u(s))kds < ∞, t ≥ 0,
≤ Cα
0
temos que vα é limitada. Agora, mostremos a continuidade de vα e concluímos que
vα ∈ SAPω (X).
59
Para t ≥ 0 e h > 0, vale
Z t+h
Z t
vα (t + h) − vα (t) =
Sα (t + h − s)f (s, u(s))ds −
Sα (t − s)f (s, u(s))ds
0
0
Z t+h
Z h
Sα (t + h − s)f (s, u(s))ds +
Sα (t + h − s)f (s, u(s))ds
=
0
h
Z t
−
Sα (t − s)f (s, u(s))ds
0
Z t
=
Sα (t − s)[f (s + h, u(s + h)) − f (s, u(s))]ds
0
Z h
Sα (t + h − s)f (s, u(s))ds.
+
0
Para ε > 0, existe δt > 0 tal que para todo 0 < h < δt ,
ε
kf (s + h, u(s + h)) − f (s, u(s))k <
,
2(Cα t + 1)
Z h
ε
kf (s, u(s))kds <
.
2Cα
0
s ∈ [0, t + 1],
Assim, para todo 0 < h < δt , obtemos
kvα (t + h) − vα (t)k ≤ Cα
Z t
kf (s + h, u(s + h)) − f (s, u(s))kds
0
+Cα
Z h
kf (s, u(s))kds
0
ε
ε
+ Cα
2(Cα t + 1)
2Cα
ε ε
+ = ε,
≤
2 2
≤ Cα t
o que implica que vα é contínua à direita.
Do que foi visto até aqui, concluímos que Γα : SAPω (X) → SAPω (X). Agora, sejam
u1 , u2 ∈ SAPω (X), a desigualdade
Z t
kSα (t − s)kkf (s, u1 (s)) − f (s, u2 (s))kds
kΓα u1 (t) − Γα u2 (t)k ≤
0
Z t
L(s)ku1 (s) − u2 (s)kds
≤ Cα
0
Z ∞
≤ Cα
L(s)dsku1 − u2 k∞ ,
0
mostra que Γα é contínua. Defina o operador linear Bα : Cb ([0, ∞), R) → Cb ([0, ∞), R)
por
Z
t
(Bα g)(t) = Cα
L(s)g(s)ds,
para t ≥ 0.
0
Bα é contínua e além disso, Bα é completamente contínua. Para mostrar que Bα é
completamente contínua, observe que dado ε > 0, podemos escolher a > 0, tal que
Z ∞
Cα
L(s)ds < ε.
a
60
Para cada g ∈ Cb ([0, ∞)), defina as seguintes funções
Z t
L(s)g(s)ds, 0 ≤ t ≤ a
C
α 0
(Γ1 g)(t) =
Z a
L(s)g(s)ds,
t ≥ a.
Cα
0
e
(Γ2 g)(t) =
0,
Cα
0≤t≤a
Z a
L(s)g(s)ds,
t ≥ a.
0
Seja R = {Γ1 g; kgk∞ ≤ 1}. Se s, t ≥ a, temos | Γ1 g(s) − Γ1 g(t) |= 0. Se 0 ≤ s, t ≤ a,
para qualquer ε > 0, tome δ = Cδ . Logo, para | s − t |< δ, temos
Z s
L(u)g(u)du − Cα
Z s
L(u)g(u)du −
Z t
Z t
L(u)g(u) du
| (Γ1 g)(s) − (Γ1 g)(t) | = | Cα
0
≤ Cα
0
≤ Cα
Z t
L(u)g(u)du |
0
L(u)g(u)du
0
s
≤ Cα sup |L(u)g(u)||s − t| < ε.
u≤a
Analogomente, se s ≤ a e t > a, para ε > 0, tome δ = Cε , assim para |s − t| < δ, temos
|a − s| < δ, logo
Z s
Z a
| (Γ1 g)(s) − (Γ1 g)(t) | = | Cα
L(u)g(u)du − Cα
L(u)g(u)du |
0
≤ Cα
Z a
0
L(u)g(u) du < ε.
s
Portanto a família Rε = {Γ1 (g); kgk∞ ≤ 1} é equicontínua. Também podemos observar
que Rε é uniformemente limitada, pois se 0 ≤ t ≤ a, temos
Z t
| (Γ1 g)(t) |≤ Cα
kL(u)kkg(u)kdu < ∞,
0
do mesmo modo, para t ≥ a, temos
| (Γ1 g)(t) |≤ Cα
Z a
kL(u)kkg(u)kdu < ∞.
0
Do Teorema de Arzela-Ascoli concluimos que Rε é relativamente compacto. No entanto, observe que
Bα g(t) = Γ1 g(t) + Γ2 g(t), ∀t ≥ 0.
61
Portanto
Bα := {Bα g; kgk ≤ 1} ⊂ Rε + {β; β ∈ Cb ([0, ∞)), kβk∞ ≤ ε} = Rε + Dε
Pela Proposição ??, ψCb ([0,∞)) (Rε ) = 0, pois Rε é compacto. Logo
ψCb ([0,∞)) (B) ≤ ψCb ([0,∞)) (Rε ) + ψCb ([0,∞)) (Dε )
= ψCb ([0,∞)) (Dε ) < ε.
∀ε > 0.
Portanto, ψCb ([0,∞)) (Bα ) = 0. Assim, Bα é um operador completamente contínuo. Segue
da Teoria espectral para Operadores Compactos que 0 ∈ σ(Bα ) e que σ(Bα ) − {0} =
σp (Bα ) − {0}, onde σ(Bα ) e σp (Bα ) são o espectro de Bα e o espectro pontual de Bα ,
respectivamente. Observe que se λ 6= 0 é autovalor de Bα , associado ao autovetor g, por
definição temos que
Z t
| (Bα g)(t) |
Cα
≤
| L(s) || g(s) | ds,
t ≥ 0.
| g(t) |=
|λ|
|λ| 0
Pela Desigualdade de Gronwall, segue que | g(t) |= 0, para todo t ≥ 0, ou seja,
g = 0. Logo, λ 6= 0 não pode ser autovalor de Bα . Assim, σ(Bα ) = {0} e o raio
espectral de Bα , r(Bα ) = supλ∈σ(Bα ) | λ |= 0 < 1. Considere Cb ([0, ∞), R) com a
relação de ordem pontual e defina uma aplicação m, como no Exemplo ??, a saber,
m : Cb ([0, ∞), X) → Cb ([0, ∞), R) onde
(mu)(t) = sup ku(s)k,
t ≥ 0.
s∈[0,t]
Dados t ≥ 0, θ ∈ [0, t] e u1 , u2 ∈ SAPω (X), temos que
kΓα u1 (θ) − Γα u2 (θ)k ≤ Cα
Z θ
L(s)ku1 − u2 kds
Z θ
| L(s) | sup ku1 (θ̃) − u2 (θ̃)kds
Z θ
| L(s) | sup ku1 (θ̃) − u2 (θ̃)kds
0
≤ Cα
0
≤ Cα
0
θ̃
θ̃
= Bα m(u1 − u2 )(t).
Com isso,
m(Γα u1 − Γα u2 )(t) = sup kΓα u1 (θ) − Γα u2 (θ)k ≤ Bα m(u1 − u2 )(t),
t ≥ 0,
θ∈[0,t]
o que mostra que m(Γα u1 − Γα u2 ) ≤ Bα m(u1 − u2 ). Daí, segue que Γα , Bα e m verificam
as condições do Teorema ??, portanto Γα tem um único fixo u ∈ SAPω (X). Ainda temos
62
que
α
α
(1 + |µ|t )ku(t)k = (1 + |µ|t ) Sα (t)u0 +
Z t
Sα (t − s)f (s, u(s))ds
0
CM
≤ (1 + |µ|t )
ku0 k + (1 + |µ|tα )
1 + |µ|tα
α
≤ CM ku0 k + CM
Z t
≤ CM ku0 k + CM
Z t
+CM
Mas, para s ≤ t, temos
Z t
kSα (t − s)kkf (s, u(s))kds
0
(1 + |µ|tα )
kf (s, u(s))kds
α
0 (1 + |µ|(t − s) )
(1 + |µ|tα )
L(s)ku(s)kds
α
0 (1 + |µ|(t − s) )
Z t
(1 + |µ|tα )
kf (s, 0)kds.
α
0 (1 + |µ|(t − s) )
(1 + |µ|tα )
≤ 2α (1 + |µ|sα ).
(1 + |µ|(t − s)α )
Portanto,
α
α
(1 + |µ|t )ku(t)k ≤ CM ku0 k + 2 CM
Z t
(1 + |µ|sα )L(s)ku(s)kds
0
α
+2 CM
Z t
(1 + |µ|sα )kf (s, 0)kds
0
≤ CM ku0 k + 2α CM (1 + |µ|tα )kf (·, 0)k1
α
+2 CM
Z t
(1 + |µ|sα )L(s)ku(s)kds.
0
Da desigualdade de Gronwall, concluímos
ku(t)k∞ ≤ C(ku0 k + kf (·, 0)k1 ) exp(CkLk1 )
onde C = 2α CM .
Teorema 4.3. Sejam A um operador setorial tipo µ < 0 e f : [0, ∞) × X → X uma
função uniformemente S-assintoticamente ω-periódica em conjuntos limitados que satisfaz
a condição de Lipschitz
kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lkx − yk
1
∀x, y ∈ X, t ≥ 0.
(4.6)
Se CM | µ |− 2 πL < α sen ( απ ), onde C e M são constantes dadas por (??), então o
problema (??) e (??) tem uma solução branda S-assintoticamente ω-periódica.
63
Demonstração.
por
Como no Teorema (??), defina a aplicação Γα no espaço SAPω (X)
(Γα u)(t) := Sα (t)u0 +
Z t
Sα (t − s)f (s, u(s))ds = Sα (t)u0 + vα (t).
0
Mostraremos que Γα está bem definida e em seguida mostraremos que Γ(α) é uma
contração. De fato, seja u ∈ SAPω (X). Sabemos que Sα (t)u0 → 0, quando t → ∞, logo
Sα (·)u0 ∈ SAPω (X). Além disso, vα ∈ Cb ([0, ∞), X), pois f (·, u(·)) é limitada e temos
1
CM | µ |− α πkf (·, u(·))k∞
kvα k∞ ≤
.
α sen ( απ )
Do Teorema ??, segue que para todo ε > 0, existe Lε > 0 tal que kf (t + ω, u(t + ω)) −
f (t, u(t))k ≤ ε, para todo t ≥ Lε . Portanto, para todo t ≥ Lε , temos
kvα (t + ω) − vα (t)k ≤
Z ω
kSα (t + ω − s)f (s, u(s))kds
0
+
Z Lε
Sα (t − s)[f (s + ω, u(s + ω)) − f (s, u(s))] ds
Z t
Sα (t − s)[f (s + ω, u(s + ω)) − f (s, u(s))] ds
0
+
Lε
≤ CM kf (·, u(·))k∞
Z ∞
t
1
ds + 2
1+ | µ |α
Z ∞
1
ds
α
t−Lε 1+ | µ |
1
CM | µ |− α πε
.
+
α sen ( απ )
Logo vα (t + ω) − vα (t) → 0, quando t → ∞ e portanto Γα u ∈ SAPω (X). Por outro
lado, para u1 , u2 ∈ SAPω (X), pois
1
CM | µ |− α πL
ku1 − u2 k∞ .
k(Γα u1 )(t) − (Γα u2 )(t)k ≤
α sen ( απ )
Portanto, Γα é uma contração.
Corolário 4.1. Seja f : [0, ∞) × C → C uma função S-assintoticamente ω-periódica em
α sen π
conjuntos limitados que satisfaz a condições de Lipschitz (??). Se L < ρπ α , então o
problema (??) e (??) tem uma solução branda S-assintoticamente ω-periódica.
Teorema 4.4. Seja f (·, 0) limitada e limt→∞ (f (t, x) − f (t + nω, x)) = 0 uniformemente
1
em x ∈ K e n ∈ N, para todo K ⊂ X limitado. Suponha que CM · | µ |− α πL <
α sen ( απ ) e vale ??, então o problema (??) e (??) admite uma única solução branda Sassintoticamente ω-periódica.
64
Demonstração. Seja S(X) das funções u ∈ Cb ([0, ∞), X) tais que
lim (u(t) − u(t + nω)) = 0,
t→∞
uniformemente en n ∈ N. Observe que se uk → u0 , com {uk }k∈N ⊂ S(X), ou seja, para
todo k, temos uk ∈ Cb ([0, ∞), X) e limt→∞ (uk (t) − uk (t + nω)) = 0, então
ku0 − u0 (t + nω)k ≤ ku0 (t) − uk (t)k + kuk (t) − uk (t + nω)k
+ kuk (t + nω) − u0 (t + nk)k.
Logo limt→∞ (u0 − u0 (t + nω)) = 0, uniformemente em n ∈ N. Portanto, S(X) é um
subespaço fechado de Cb ([0, ∞), X). Assim, se u ∈ S(X), então
lim (f (t + nω, u(t + nω)) − f (t, u(t))) = 0,
t→∞
uniformemente em n ∈ N. Defina Γα : S(X) → S(X) como em (??). Como
1
CM | µ |− α π Lkuk∞ + kf (·, 0)k∞
kvα k∞ ≤
.
α sen ( απ )
E
kvα (t + nω) − vα (t)k ≤ CM Lkuk∞ + kf (·, 0)k∞
Z ∞
t
1
ds
1+ | µ | sα
1
Z ∞
CM | µ |− α πε
1
+ 2
ds
+
α
α sen ( απ )
t−Lε 1+ | µ | s
Portanto, Γα ∈ S(X). Assim, analogamente a demonstração do Teorema (??), concluímos
que Γα tem um único ponto fixo em S(X), logo o resultado segue do Teorema (??).
Para concluir este trabalho, analisemos a existência e unicidade de solução branda
S-assintoticamente ω-periódica para a seguinte equação fracionária
Dtα u(t, x) = Dx2 u(t, x) − µu(t, x) + Dtα−1 a(t)f (u(t, ∞)),
u(t, 0) = u(t, π) t ≥ 0,
u(0, x) = u0 (x) x ∈ [0, π],
t ≥ 0, x ∈ [0, π],
(4.7)
(4.8)
(4.9)
onde u0 : [0, π] → R e a, f : [0, ∞) → R são funções apropiadas.
Consideremos o problema (??) e (??) com X = L2 [0, π] e A definido em D(A) ⊂ X
′′
por Au = u − νu, ν > 0, com
′′
D(A) = {u ∈ L2 [0, π]; u ∈ L2 [0, π], u(0) = u(π) = 0}.
′′
Sabemos que ∆u = u é o gerador infinitesimal de um semigrupo analítico limitado
de ângulo π2 em L2 [0, π], a saber, o semigrupo gaussiano, estudado no Exemplo ??. Do
Teorema 3.7.11 de [?], temos que Σπ ⊂ ρ(∆) e
sup kλ(λI − ∆)−1 k < ∞,
λ∈Σπ−ε
∀ε > 0.
65
Seja S π2 := {λ ∈ C; |arg(−λ)| < π2 }, então
C − S π2 = Σ π2 ⊂ Σπ ⊂ ρ(∆).
Deste modo, se λ ∈ C − S π2 , então λ + ν ∈ ρ(∆). Logo, (λ − A)−1 = ((λ + ν)I − ∆)−1
existe, para todo λ no exterior do setor S π2 . Além disso, temos que
k(λI − A)−1 k = k((λ + ν)I − ∆)−1 k ≤
1
.
|λ + ν|
Portanto, A é setorial tipo −ν < 0. Assim, assuma que a(·) é uma função Sassintoticamente ω-periódica e que existe uma constante L > 0 tal que
| f (x) − f (y) |≤ L | x − y |,
Se kak∞ <
π
)
α sen ( α
1
CM |ν|− α πL
∀x, y ∈ [0, ∞).
, então pelo teorema (??), existe uma única solução branda S-
assintoticamente ω-periódica de (??) e (??). Se além disso, limt→∞ (a(t + nω) − a(t)) = 0,
uniformente em n ∈ N, então a solução é assintoticamente ω-periódica.
66
REFERÊNCIAS
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