Dissertação
Dissertacao.Abraao.Mendes.do.Rego.pdf
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
ABRAÃO MENDES DO RÊGO
Dois processos de curve shortening e o Teorema de Lyusternik-Fet
Maceió
2013
ABRAÃO MENDES DO RÊGO
Dois processos de curve shortening e o Teorema de Lyusternik-Fet
Dissertação de Mestrado na área de concentração de Geometria Diferencial submetida
em 14 de dezembro de 2012 à Banca
Examinadora, designada pelo Colegiado do
Programa de Pós-Graduação em Matemática
da Universidade Federal de Alagoas, como
parte dos requisitos necessários à obtenção
do grau de mestre em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Marcos Petrúcio de
Almeida Cavalcante
Maceió
2013
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
R343d
Rêgo, Abraão Mendes do.
Dois processos de curve shortening e o teorema de Lyusternik-Fet / Abraão
Mendes do Rêgo. – 2012.
63 f.
Orientador: Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2012.
Bibliografia: f. 29.
1. Birkhoff, Processo de. 2. Curve Shortening Flow. 3. Lyusternik-Fet,
Teorema de. I. Título.
CDU: 514.76
À minha esposa, Janaína Rose.
AGRADECIMENTOS
Ao meu Deus pela vida e pelo verdadeiro milagre que fez em mim:
“Tirou-me de um lago horrível, de um charco de lodo; pôs os meus pés sobre uma rocha,
firmou os meus passos...” Sl 40.2
À minha esposa Janaína Rose por todo amor, carinho e companheirismo. Um presente
de Deus para mim. Não chegaria aqui sem a sua ajuda.
À minha família, em especial aos meus pais Natalício Farias e Palmira Mendes por tudo,
ao meu irmão Natalício Júnior por todos os momentos juntos, e à minha sogra Rosa Elisa
por todo apoio durante todos estes anos, minha segunda mãe.
Ao meu orientador Prof. Marcos Petrúcio pelo apoio, disponibilidade e muitas conversas
sobre matemática, as quais foram de grande importância para o desenvolvimento deste
trabalho.
Aos Professores Fernando Codá e Márcio Henrique por aceitarem participar da banca e
pelas correções feitas ao texto.
Aos docentes do Instituto de Matemática da Ufal por tudo que têm feito pela Matemática
no Estado de Alagoas e pelas belas aulas ministradas que tanto contribuíram na minha
formação acadêmica e que me fizeram gostar ainda mais da “Rainha das Ciências”.
Aos meus amigos de turma por todos os momentos juntos - sejam estudando ou jogando
boliche. Em especial ao Wagner Ranter por todos os momentos de descontração, ao
Davi Lima pelas várias “resenhas” e belas soluções em matemática, ao Felipe Leandro
pelas muitas conversas durante o almoço e dicas no cubo mágico, ao Allan George pelos
“cafezinhos” juntos, e ao Rodrigo Santos pelas conversas sobre tudo: “Vida simples é
massa!”
Aos funcionários do IM, em especial à Josenilda por sua cordialidade e disponibilidade
em nos atender e à Dona Maria pelos eternos cafezinhos.
À CAPES pelo apoio financeiro durante estes dois anos.
RESUMO
Nesta dissertação apresentamos duas demonstrações para o Teorema de LyusternikFet em superfícies compactas, que diz que em toda superfície compacta existe uma geodésica fechada não-constante. Em ambas utilizamos processos de curve shortening para
encontrar uma curva não-constante com energia mínima dentre uma classe de curvas fechadas. Tal curva é na verdade uma geodésica. Na primeira demonstração utilizamos o
Processo de Birkhoff e na segunda o Curve Shortening Flow.
Palavras-chave: Birkhoff, Processo de. Curve Shortening Flow. Lyusternik-Fet, Teorema de.
ABSTRACT
In this dissertation we present two proofs of Lyusternik-Fet’s Theorem on compact
surfaces. This theorem asserts that every compact surface admits a (non constant) closed
geodesic. In booth solutions we use a curve shortening approach to find a non constant
curve with minimal energy into its homotopy class. The constructions allow us to show
that this curve is a geodesic. In the first proof we use the Birkhoff approach, and in the
second one we use the curvature flow.
Keywords: Birkhoff Process. Curve Shortening Flow. Lyusternik-Fet’s Theorem.
LISTA DE FIGURAS
1
F(f )(p) = f ¶ Ap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 19
2
A deformação D‡
aplicada a c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 24
3
A deformação D‡ , com x = 12 e j = 8, aplicada a c . . . . . . . . . . .
p. 24
4
A deformação D, com x = 12, aplicada a c . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 24
[a,b]
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO
p. 10
2 PRELIMINARES
p. 12
2.1
Um pouco sobre geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 12
2.2
Um pouco sobre homotopia de pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 17
3 DOIS PROCESSOS DE CURVE SHORTENING
p. 23
3.1
O Processo de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 23
3.2
Curve Shortening Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 28
4 O TEOREMA DE LYUSTERNIK-FET
p. 33
4.1
Primeira Demonstração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 33
4.2
Segunda Demonstração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 34
5 CONCLUSÃO
p. 36
BIBLIOGRAFIA
p. 37
10
1
INTRODUÇÃO
O problema de existência de geodésicas fechadas em variedades Riemannianas é objeto
de investigação desde o começo da geometria diferencial global no século XIX.
O caso mais simples ocorre em superfícies compactas de curvatura negativa. Aqui o
grupo fundamental é “muito grande” e, como mostrou Hadamard em 1898, toda curva
fechada homotopicamente não-trivial pode ser deformada em uma curva fechada com
comprimento mínimo em sua classe de homotopia livre. Esta curva mínima é, a menos
de reparametrização, uma geodésica fechada.
A questão de existência de geodésicas fechadas em uma superfície compacta simplesmente conexa é bem mais difícil. Poincaré esboçou em 1905 uma demonstração de que em
uma superfície compacta convexa analítica que não “difere muito” de uma esfera canônica,
sempre existe uma geodésica fechada.
Em 1917, Birkhoff provou, usando o processo que leva o seu nome, que em qualquer
superfície compacta simplesmente conexa existe pelo menos uma geodésica fechada.
Durante as três primeiras décadas do século XX, Birkhoff e Morse, de um lado, e
Lyusternik e Schnirelmann, de outro, desenvolveram métodos poderosos para provar a
existência de uma ou possivelmente várias geodésicas fechadas em variedades Riemannianas arbitrárias. Mesmo assim, foram obtidos poucos resultados sobre a existência de
mais de uma geodésica fechada em variedades Riemannianas compactas e simplesmente
conexas. Provavelmente o resultado mais notável é o teorema devido a Lyusternik e Schnirelmann de 1929, onde eles provaram que sobre toda superfície compacta simplesmente
conexa existem pelo menos três geodésicas fechadas mergulhadas.
Em 1951, Lyusternik e Fet generalizaram o Teorema de Birkhoff para variedades
Riemannianas compactas, onde eles provaram que sobre qualquer variedade Riemanniana
compacta existe pelo menos uma geodésica fechada.
Nesta dissertação apresentaremos duas demonstrações para o Teorema de Lyusternik-
11
Fet em superfícies compactas (simplesmente conexas ou não).
Na primeira demonstração usaremos o Processo de Birkhoff, que consiste em construir
uma deformação D do espaço P k M das curvas diferenciáveis por partes com energia Æ k
na superfície compacta M , onde k é um número real positivo, com a propriedade de que
E(Dc) Æ E(c), onde E(c) simboliza a energia da curva c. Além disso, vale a igualdade se,
e somente se, c é uma geodésica fechada. Em seguida iteraremos o processo e, a partir de
argumentos topológicos, garantiremos que {Dn c} converge para uma geodésica fechada.
Na segunda demonstração, substituiremos o Processo de Birkhoff pelo Curve Shortening Flow e repetiremos os principais argumentos apresentados na primeira demonstração.
O Curve Shortening Flow consiste em fazer com que uma curva inicial “0 : S 1 æ M evolua
de acordo com a equação
Y
_
] ˆ“ = DT em S 1 ◊ (0, Ê),
ˆt
ˆs
_
[ “(·, 0) = “ (·),
0
onde “ : S 1 ◊ [0, Ê) æ M é uma família de curvas imersas fechadas suaves, T = T (·, t) é
o campo de vetores unitário tangentes a “(·, t) e s = s(·, t) é o comprimento de arco da
curva “(·, t). Veremos que sob certas condições a equação acima é global, ou seja, possui
solução para todo tempo positivo e, além disso, limtæŒ “(·, t) é uma geodésica fechada.
Este trabalho foi baseado principalmente em [7] e [8].
12
2
PRELIMINARES
Neste capítulo apresentaremos os conceitos e resultados necessários para o desenvolvimento deste trabalho.
2.1
Um pouco sobre geodésicas
Sejam (M, g) uma variedade Riemanniana conexa e D/dt a derivada covariante as-
sociada a sua conexão de Levi-Civita. Uma curva diferenciável “ : I æ M , onde I é um
intervalo aberto da reta, é uma geodésica, se
D d“
= 0 em I.
dt dt
Se “ : I æ M é uma geodésica e [a, b] µ I, por abuso de linguagem, também diremos que
“|[a,b] é uma geodésica.
Observação. Em todo o texto a palavra “diferenciável” significa C Œ .
Seja c : [a, b] æ M uma curva diferenciável por partes. O comprimento e a energia de
c são definidos, respectivamente, por
L(c) =
⁄ b
a
ÎcÕ (t)Îdt e E(c) =
1⁄ b Õ
Îc (t)Î2 dt,
2 a
onde ÎcÕ (t)Î2 = gc(t) (cÕ (t), cÕ (t)). Dados p, q œ M , definimos a distância entre p e q por
dg (p, q) = inf L(c),
cœ
onde
pq
pq é o conjunto das curvas diferenciáveis por partes que ligam p a q. Se c œ
pq é
tal que dg (p, q) = L(c), dizemos que c é minimizante. Sabemos que (M, dg ) é um espaço
métrico e que a topologia induzida por dg em M coincide com a topologia inicial de M ,
como podemos verificar em [1], pp. 161-162. Em geral, denotaremos dg por dM ou d. Ao
longo do texto identificaremos (M, g) e (M, dg ) com a própria M .
13
A proposição seguinte nos diz que, a menos de reparametrização, toda curva minimizante é uma geodésica.
Proposição 2.1. Seja c : [a, b] æ M uma curva diferenciável por partes e parametrizada
proporcionalmente ao comprimento de arco, i.e.,
L(c|[a,t] ) =
t≠a
L(c).
b≠a
Se c é minimizante, então c é uma geodésica.
Demonstração. Ver p. 81 de [1].
A seguir temos um resultado que relaciona L(c) com E(c).
Proposição 2.2. Seja c : [a, b] æ M uma curva diferenciável por partes. Então
L(c)2 Æ 2(b ≠ a)E(c)
e vale a igualdade se, e somente se, c está parametrizada proporcionalmente ao comprimento de arco.
Demonstração. Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos que
2
L(c)
=
Æ
A⁄
b
a
⁄ b
a
B2
Îc (t)Îdt
Õ
2
Îc (t)Î dt
Õ
= 2(b ≠ a)E(c)
⁄ b
a
12 dt
e vale a igualdade se, e somente se, existe ⁄ œ R tal que ÎcÕ (t)Î = ⁄ · 1 = ⁄ para quase
todo ponto t œ [a, b], o que equivale a dizer que c está parametrizada proporcionalmente
ao comprimento de arco.
Proposição 2.3. Seja “ : [a, b] æ M uma geodésica minimizante. Se c : [a, b] æ M é uma
curva diferenciável por partes que liga “(a) a “(b), então E(“) Æ E(c). Além disso, vale
a igualdade se, e somente se, c é uma geodésica minimizante.
Demonstração. Visto que uma geodésica sempre está parametrizada proporcionalmente
ao comprimento de arco, usando a Proposição 2.2, temos que
2(b ≠ a)E(“) = L(“)2 = d(c(a), c(b))2 Æ L(c)2 Æ 2(b ≠ a)E(c).
(2.1)
14
Logo, E(“) Æ E(c). Além disso, se vale a igualdade E(“) = E(c), então valem todas as
igualdades em (2.1) ∆ L(c)2 = 2(b ≠ a)E(c) e L(c) = d(c(a), c(b)). Portanto, usando as
Proposições 2.1 e 2.2, temos que c é uma geodésica minimizante.
Reciprocamente, se c é uma geodésica minimizante, novamente pela Proposição 2.2,
temos que 2(b ≠ a)E(“) = L(“)2 = d(c(a), c(b))2 = L(c)2 = 2(b ≠ a)E(c). Portanto, E(“) =
E(c).
A proposição acima nos diz que as geodésicas minimizantes (do comprimento) também minimizam energia.
Sabemos que dado p œ M existe um ÷(p) > 0 tal que a bola B÷(p) (p) µ M é uma
vizinhança totalmente normal e fortemente convexa de p. Com isso, para cada q œ B÷(p) (p)
existe uma única geodésica minimizante “pq : [0, 1] æ M que liga p a q. Além disso, “pq é
a única geodésica que liga p a q e está completamente contida em B÷(p) (p). Outrossim, a
aplicação expp : B÷(p) (0) µ Tp M æ B÷(p) (p) µ M é um difeomorfismo. Quando o domínio
não for necessariamente o intervalo [0, 1], denotaremos por “pq |[a, b] a única geodésica
minimizante ligando p a q definida em [a, b]. Se p = q, então “pq é constante.
Proposição 2.4. Se M é uma variedade Riemanniana compacta, então existe um ÷M >
0 tal que para todo p œ M a bola B÷M (p) µ M é uma vizinhança totalmente normal e
fortemente convexa de p.
Demonstração. Basta cobrirmos M com as bolas B÷(p) (p) e em seguida tomarmos ÷M > 0
como um número de Lebesgue desta cobertura.
De agora em diante, salvo menção contrária, M denotará uma variedade Riemanniana
compacta. Por simplicidade, denotaremos ÷M apenas por ÷.
Seja C 0 ([a, b], M ) o espaço de todas as curvas contínuas c : [a, b] æ M munido com a
topologia da convergência uniforme.
Proposição 2.5. Sejam {pn } e {qn } sequências em M com d(pn , qn ) Æ ÷/2 para todo n.
Se pn æ p e qn æ q, então “pn qn æ “pq em C 0 ([0, 1], M ). Além disso, E(“pn qn ) æ E(“pq ).
Demonstração. Pelo Corolário 1.4.4 da página 23 de [2], temos que “pn qn æ “pq . Além
disso, 2E(“pn qn ) = L(“pn qn )2 = d(pn , qn )2 æ d(p, q)2 = L(“pq )2 = 2E(“pq ).
15
Logo abaixo temos uma observação importante que usaremos mais adiante.
Observação 2.6. Sejam – = “pq |[a, b] e –n = “pn qn |[an , bn ] com d(pn , qn ) Æ ÷/2, ’n. Se
–n (an ) = pn æ p, –n (bn ) = qn æ q, an æ a e bn æ b, é possível demonstrar que –
˜n æ –
˜,
u
onde –
˜ : R æ M é definida por
Y
_
_ –(a), se t < a,
_
]
–
˜ (t) = _ –(t), se a Æ t Æ b,
_
_
[
–(b), se b < t,
e–
˜ n : R æ M é definida de forma semelhante. Além disso, se a < b, então
E(“pn qn |[an , bn ]) =
d(pn , qn )2
d(p, q)2
æ
= E(“pq |[a, b]).
2(bn ≠ an )
2(b ≠ a)
Usaremos a notação “pn qn |[an , bn ] æ “pq |[a, b] para dizer que –
˜n æ –
˜ . Aqui, æ significa
u
u
convergência uniforme.
Lema 2.7. Seja {cn } uma sequência em C 0 ([a, b], M ). Temos que cn æ c em C 0 ([a, b], M )
se, e somente se, lim cn (tn ) = c(lim tn ) para toda sequência convergente {tn } em [a, b].
Demonstração. Suponha que cn æ c e seja {tn } uma sequência convergente em [a, b] com
limite igual a t0 . Pela desigualdade triangular,
dM (cn (tn ), c(t0 )) Æ dM (cn (tn ), c(tn )) + dM (c(tn ), c(t0 ))
Æ d(cn , c) + dM (c(tn ), c(t0 )) æ 0 quando n æ Œ.
Portanto, lim cn (tn ) = c(t0 ) = c(lim tn ).
Suponha que cn ”æ c. Neste caso, existe um Á > 0 e uma subsequência {cnk } tal que
d(cnk , c) Ø Á para todo k. Como estamos considerando em C 0 ([a, b], M ) a topologia da
convergência uniforme, existe uma sequência {snk } em [a, b] tal que dM (cnk (snk ), c(snk )) Ø
Á para todo k. Visto que {snk } é limitada, existe uma subsequência {snkÕ } convergente.
Seja s0 = lim
snkÕ . Defina {tn } da seguinte maneira: tn = sn se n = nkÕ e tn = s0 se
Õ
k
n ”= nkÕ . É claro que tn æ s0 . Afirmamos que cn (tn ) ”æ c(lim tn ) = c(s0 ). Caso contrário,
temos que cnkÕ (snkÕ ) = cnkÕ (tnkÕ ) æ c(s0 ), o que implica 0 < Á Æ dM (cnkÕ (snkÕ ), c(snkÕ )) Æ
dM (cnkÕ (snkÕ ), c(s0 )) + dM (c(s0 ), c(snkÕ )) æ 0, que é um absurdo.
Proposição 2.8. Seja {cn : [a, b] æ M } uma sequência de curvas diferenciáveis por partes.
Escreva pn = cn (a), qn = cn (b) e assuma que d(pn , qn ) Æ ÷/2 para todo n. Se as sequências
{d(pn , qn )2 } e {2(b ≠ a)E(cn )} convergem para o mesmo valor, então {cn } possui uma
16
subsequência convergente em C 0 ([a, b], M ), cujo limite é uma geodésica minimizante
c : [a, b] æ M . Além disso, L(c) Æ ÷/2.
Demonstração. Como M é compacta, existe uma subsequência de {cn } (que também denotaremos por {cn }) tal que {pn } e {qn } são convergentes. Sejam p = lim pn e q = lim qn .
Como d(pn , qn ) Æ ÷/2, e consequentemente d(p, q) Æ ÷/2, existem as geodésicas minimi-
zantes c := “pq |[a, b] e “pn qn |[a, b]. Afirmamos que cn converge para c em C 0 ([a, b], M ).
De fato, seja {tn } uma sequência convergente em [a, b] com limite igual a t0 . Queremos
provar que rn := cn (tn ) æ c(t0 ). Sejam {rnk } uma subsequência convergente de {rn } e
r = lim rnk . Considere as sequências {–k } e {—k } definidas por
k
–k = “pnk rnk |[a, tnk ] e —k = “rnk qnk |[tnk , b].
Pela Observação 2.6, temos que –k e —k convergem para
– = “pr |[a, t0 ] e — = “rq |[t0 , b],
respectivamente. Analisemos os três possíveis casos: t0 œ (a, b), t0 = a e t0 = b.
• Se t0 œ (a, b), mais uma vez pela Observação 2.6, temos que E(–) = lim E(–k ) e
E(—) = lim E(—k ). Como –(t0 ) = r = —(t0 ), podemos considerar – fi — : [a, b] æ M ,
onde (– fi —)|[a,t0 ] = – e (– fi —)|[t0 ,b] = —. Portanto,
E(– fi —)
=
E(–) + E(—)
=
lim E(–k ) + lim E(—k )
=
lim E(“pnk rnk |[a, tnk ]) + E(“rnk qnk |[tnk , b])
Prop.2.3
Æ
=
=
ı
=
Prop.2.3
=
1
1
2
lim E(cnk |[a,tn ] ) + E(cnk |[tn ,b] )
k
lim E(cnk )
d(pnk , qnk )2
lim
2(b ≠ a)
d(p, q)2
2(b ≠ a)
k
2
E(“pq |[a, b]).
Em ı usamos a hipótese de que lim(2(b ≠ a)E(cn )) = lim d(pn , qn )2 . Temos então
que – fi — é uma curva regular por partes ligando os ponto p e q cuja energia é
menor ou igual a energia de “pq |[a, b]. Usando a Proposição 2.3, temos que – fi —
é uma geodésica minimizante. Portanto, pela unicidade de “pq |[a, b], temos que
17
– fi — = “pq |[a, b]. Em particular, r = (– fi —)(t0 ) = “pq |[a, b](t0 ) = c(t0 ).
• Se t0 = a, temos que
0 Æ d(pnk , rnk )2
=
Prop.2.2
=
Prop.2.3
Æ
Æ
L(“pnk rnk |[a, tnk ])2
2(tnk ≠ a)E(“pnk rnk |[a, tnk ])
2(tnk ≠ a)E(cnk |[a,tn ] )
k
2(tnk ≠ a)E(cnk ) æ 0 quando k æ Œ,
visto que lim tnk = t0 = a e que {E(cnk )} é convergente. Portanto,
k
d(p, r)2 = lim d(pnk , rnk )2 = 0 ∆ r = p = c(a) = c(t0 ).
k
• A demonstração do caso t0 = b é análoga à demonstração do caso t0 = a.
Provamos com isso que c(t0 ) é o único ponto aderente da sequência {rn = cn (tn )} no espaço
métrico compacto M . Portanto, lim cn (tn ) = c(t0 ). Usando o lema anterior, concluímos
que cn æ c = “pq |[a, b] em C 0 ([a, b], M ). Além disso, L(c) = d(p, q) Æ ÷/2.
2.2
Um pouco sobre homotopia de pares
De agora em diante I denotará o intervalo [0, 1], J o intervalo [≠1, 1] e S a variedade
compacta [0, 1]/{0, 1} com a topologia quociente. Denotaremos por ˆJ o conjunto {≠1, 1}.
Seja X um espaço métrico. Diremos que (X, A) é um par de espaços métricos quando
A for um subespaço de X. Dados dois pares de espaços métricos (X, A) e (Y, B), escreveremos f : (X, A) æ (Y, B) para simbolizar uma aplicação f : X æ Y tal que f (A) µ B.
Diremos que f : (X, A) æ (Y, B) é contínua (resp. injetiva, isometria, etc.) se f : X æ Y
for contínua (resp. injetiva, isometria, etc.). Dadas f, g : (X, A) æ (Y, B), diremos que
f é p≠homotópica a g, e simbolizaremos por f ƒp g, se existir uma aplicação contínua
H : (X ◊ I, A ◊ I) æ (Y, B), denominada homotopia de pares, tal que H(x, 0) = f (x) e
H(x, 1) = g(x) para todo x œ X. Observe que ƒp é uma relação de equivalência. Por
simplicidade, denotaremos o par (X ◊ I, A ◊ I) por (X, A) ◊ I.
Observação. Quando B = Y acima, a noção de funções p≠homotópicas coincide com a
noção de funções homotópicas, a qual admitiremos conhecida.
Considere C 0 (S, M ) com a topologia da convergência uniforme. Observe que C 0 (S, M )
18
pode ser visto como o subespaço de C 0 ([0, 1], M ) formado pelas curvas fechadas. Seja P M
o subespaço de C 0 (S, M ) formado pelas curvas diferenciáveis por partes. Dado k Ø 0,
defina P k M = {c œ P M ; E(c) Æ k}. Observe que P 0 M é o subconjunto de C 0 ([0, 1], M )
formado pelas curvas constante.
Proposição 2.9. Se k = ÷ 2 /2, então P 0 M é um retrato por deformação forte de P k M
sobre P M , ou seja, existe uma aplicação contínua
(1)
0 (c) = c para toda c œ P
kM ;
(2)
t (c) = c para toda c œ P
0 M e todo t œ I;
(3)
1 (c) œ P
Acima,
: P k M ◊ I æ P M tal que
0 M para toda c œ P k M .
t (c) denota
(c, t).
Demonstração. Observe que E(c) Æ k = ÷ 2 /2 ∆ L(c)2 Æ 2E(c) Æ ÷ 2 ∆ L(c) Æ ÷ ∆ diam(c) Æ
L(c)/2 Æ ÷/2. Portanto, d(c(0), c(s)) Æ ÷/2 para todo s œ S. Podemos então definir
1
2
(c, t)(s) = “c(0)c(s) (1 ≠ t) = expc(0) (1 ≠ t) exp≠1
c(0) (c(s)) ,
para s œ S e t œ I. Agora, basta usarmos o Lema 2.7 e a Proposição 2.5 para garantirmos
a continuidade de
. Observa-se facilmente que
satisfaz as propriedades (1), (2) e (3)
acima.
Corolário 2.9.1. Seja G : (J, ˆJ) æ (P M, P 0 M ) contínua. Se E(G(p)) Æ ÷ 2 /2 para todo
p œ J, então G é p≠homotópica a uma aplicação constante.
Demonstração. Defina H : (J, ˆJ) ◊ I æ (P M, P 0 M ) por H(p, t) =
(G(p), t), onde
é dada na proposição anterior. H é uma homotopia de pares. Observe que H1 (p) =
1 (G(p)) œ P
0 M para todo p œ J. Podemos então considerar
H1 : (J, ˆJ) æ (P 0 M, P 0 M ).
Portanto, H1 é p≠homotópica (= homotópica) a uma aplicação constante, visto que J é
contrátil. Portanto, G = H0 ƒp H1 ƒp constante.
Corolário 2.9.2. Se k = ÷ 2 /2 e c œ P k M , então c é livremente homotópica a uma constante.
Demonstração. Basta definir H : S ◊ I æ M por H(s, t) = (c, t)(s).
19
Ò
Ò
Seja A : J ◊ S æ S 2 definida por A(p, t) = ( 1 ≠ p2 cos 2fit, 1 ≠ p2 sen 2fit, p). Observe
que A é a função que leva os paralelos do cilindro nos paralelos da esfera, veja Figura 1.
Dada f œ C 0 (S 2 , M ), defina F(f ) : (J, ˆJ) æ (C 0 (S, M ), P 0 M ) por F(f )(p) = f ¶ Ap onde
Ap œ C 0 (S, S 2 ) é dada por Ap (t) = A(p, t).
Figura 1: F(f )(p) = f ¶ Ap
Proposição 2.10. F(f ) : (J, ˆJ) æ (C 0 (S, M ), P 0 M ) é contínua.
Demonstração. Como estamos considerando em C 0 (S, M ) a topologia da convergência
uniforme, devemos provar que se {pn } é uma sequência de pontos em J que converge para
p œ J, então F(f )(pn ) = f ¶ Apn converge uniformemente para F(f )(p) = f ¶ Ap . Uma
vez que f é uniformemente contínua, visto que S 2 é compacta, basta provarmos que Apn
converge uniformemente para Ap . De fato, definindo sn =
Ò
Ò
1 ≠ p2n ≠ 1 ≠ p2 , temos que
dR3 (A(pn , t), A(p, t)) = ÎA(pn , t) ≠ A(p, t)Î
= Î(sn cos 2fit, sn sen 2fit, pn ≠ p)Î
=
1
s2n + (pn ≠ p)2
21/2
=: an æ 0 quando n æ Œ.
Por outro lado, como dS 2 (p, q) = 2 arcsen(dR3 (p, q)/2), temos que
d(Apn , Ap ) = sup(dS 2 (A(pn , t), A(p, t))
tœS
= sup(2 arcsen(an /2))
tœS
= 2 arcsen(an /2) æ 0 quando n æ Œ.
20
A proposição acima nos permite dizer que a aplicação
1
2
F : C 0 (S 2 , M ) æ C 0 (J, ˆJ), (C 0 (S, M ), P 0 M )
está bem definida.
Agora, dada g œ C 0 ((J, ˆJ), (C 0 (S, M ), P 0 M )), defina G(g) : S 2 æ M por
A
Y
_
_
]
A
1
x
y
g(z)
arg Ô
,Ô
2
2fi
1≠z
1 ≠ z2
G(g)(x, y, z) =
_
_
[ g(z)(0),
BB
,
se z ”œ ˆJ,
se z œ ˆJ,
onde arg é a aplicação contínua arg : S 1 æ [0, 2fi]/{0, 2fi} que satisfaz cos(arg(c, s)) = c e
sen(arg(c, s)) = s.
Proposição 2.11. A aplicação G(g) : S 2 æ M é contínua.
Demonstração. Seja (xn , yn , zn ) œ S 2 ≠ {±(0, 0, 1)} tal que (xn , yn , zn ) æ (x0 , y0 , z0 ) œ S 2 .
Defina
Q
R
1
xn
yn b
tn =
arg a Ò
,Ò
œ S para todo n Ø 1.
2fi
1 ≠ z2 1 ≠ z2
n
n
Se z0 œ ˆJ, temos que g(z0 ) œ P 0 M , portanto, g(z0 )(tn ) = g(z0 )(0). Assim,
dM (G(g)(xn , yn , zn ), G(g)(x0 , y0 , z0 )) = dM (g(zn )(tn ), g(z0 )(0))
= dM (g(zn )(tn ), g(z0 )(tn ))
Æ sup dM (g(zn )(t), g(z0 )(t))
tœS
= d(g(zn ), g(z0 )) æ 0 quando n æ Œ,
visto que g é contínua e zn æ z0 . Por outro lado, se z0 ”œ ˆJ, temos que
Q
Assim,
R
1
x0
y0 b
tn æ t0 :=
arg a Ò
,Ò
.
2
2fi
1≠z
1 ≠ z2
0
0
dM (G(g)(xn , yn , zn ), G(g)(x0 , y0 , z0 )) = dM (g(zn )(tn ), g(z0 )(t0 ))
Æ dM (g(zn )(tn ), g(z0 )(tn ))
+ dM (g(z0 )(tn ), g(z0 )(t0 ))
Æ d(g(zn ), g(z0 )) + dM (g(z0 )(tn ), g(z0 )(t0 ))
æ 0 quando n æ Œ,
21
visto que g e g(z0 ) são contínuas. Isto prova que G(g) é contínua.
A proposição acima nos permite dizer que a aplicação
1
2
G : C 0 (J, ˆJ), (C 0 (S, M ), P 0 M ) æ C 0 (S 2 , M )
está bem definida.
Usaremos o lema abaixo para demonstrar o último item da próxima proposição.
Lema 2.12. Sejam X um espaço métrico compacto e Y um espaço métrico qualquer.
Considere C 0 (X, Y ) munido com a topologia da convergência uniforme. Então duas aplicações contínuas f, g : X æ Y são homotópicas se, e somente se, f e g pertencem à mesma
componente conexa por caminhos do espaço C 0 (X, Y ). Além disso, a homotopia
H : X ◊I æ Y
entre f e g e o caminho Ĥ : I æ C 0 (X, Y ) que liga f a g estão relacionados por
Ĥ(t)(x) = H(x, t).
Demonstração. Ver [3].
Proposição 2.13. A respeito das aplicações F e G definidas acima, valem as seguintes
propriedades:
(a) G = F ≠1 .
(b) F e G são isometrias.
(c) F(C Œ (S 2 , M )) µ C 0 ((J, ˆJ), (C Œ (S, M ), P 0 M )) µ C 0 ((J, ˆJ), (P M, P 0 M )).
(d) F(constante) = constante e G(constante) = constante.
(e) Dadas f, g œ C 0 (S 2 , M ), temos f ƒ g se, e somente se, F(f ) ƒp F(g).
Acima, f ƒ g significa que f é homotópica a g.
Demonstração. Os itens (a), (c) e (d) seguem diretamente das definições de F e G.
22
(b) Como G = F ≠1 , para provarmos que F e G são isometrias, basta provarmos que F
é uma isometria. Neste caso, dadas f, g œ C 0 (S 2 , M ), temos que
d(F(f ), F(g)) = sup d(F(f )(p), F(g)(p))
pœJ
A
B
= sup sup dM (F(f )(p)(t), F(g)(p)(t))
=
=
pœJ
tœS
sup
(p,t)œJ◊S
sup
dM (f (A(p, t)), g(A(p, t)))
xœA(J◊S)=S 2
dM (f (x), g(x))
= d(f, g).
(e) Observe que para cada homotopia H : S 2 ◊ I æ M , existe uma homotopia de pares
H̃ : (J, ˆJ) ◊ I æ (C 0 (S, M ), P 0 M ) entre F(H0 ) e F(H1 ), dada por
H̃(p, t) = F(Ĥ(t))(p),
onde Ĥ é dado pela lema anterior. Reciprocamente, para cada homotopia de pares
L : (J, ˆJ) ◊ I æ (C 0 (S, M ), P 0 M ), existe uma homotopia L̃ : S 2 ◊ I æ M entre
G(L0 ) e G(L1 ), dada por
L̃(q, t) = G(L̂(t))(q).
Com isso, f ƒ g ∆ F(f ) ƒp F(g) ∆ G(F(f )) ƒ G(F(g))
Item (a)
∆
f ƒ g.
Corolário 2.13.1. Dada f œ C 0 (S 2 , M ), temos que f é homotópica a uma constante se,
e somente se, F(f ) é p≠homotópica a uma constante.
Demonstração. Basta usar os itens (d) e (e) da proposição.
23
3
DOIS PROCESSOS DE CURVE SHORTENING
O objetivo deste capítulo é apresentar os dois processos de curve shortening que serão
utilizados para demonstrar o Teorema de Lyusternik-Fet: o Processo de Birkhoff e o Curve
Shortening Flow.
3.1
O Processo de Birkhoff
Lema 3.1. Fixe k > 0 e escolha um inteiro par x > 0 com 4k/x Æ ÷ 2 /4. Para toda c œ P k M
e todos t, tÕ œ [0, 1], com 0 Æ tÕ ≠ t Æ 2/x, temos d(c(t), c(tÕ )) Æ ÷/2.
Lembramos que M é uma variedade Riemanniana compacta e ÷ = ÷M .
Demonstração. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos
2
d(c(t), c(t ))
Õ
Æ
Æ
t
Õ
Îc (s)Îds
B2
⁄ tÕ
ÎcÕ (s)Î2 ds
⁄ tÕ
A⁄ Õ
t
t
Æ 2E(c)(2/x)
t
12 ds
Æ 4k/x
Æ ÷ 2 /4.
Definição 3.2. Fixe k > 0 e escolha um inteiro par x > 0 como no lema anterior. Sejam
[a,b]
a, b œ [0, 1] com 0 Æ b ≠ a Æ 2/x e ‡ œ [a, b]. Definimos a deformação D‡
por
Y
] “
[a,b]
Observe que D‡
D‡[a,b] c = [
c(a)c(‡) |[a, ‡]
c|[a,‡]c
: P kM æ P kM
em [a, ‡],
em [a, ‡]c .
c está bem definida, visto que, pelo lema anterior, d(c(a), c(‡)) Æ ÷/2.
Veja a ilustração a seguir.
24
[a,b]
Figura 2: A deformação D‡
aplicada a c
Seja j um inteiro par satisfazendo 0 Æ j Æ x ≠ 2. Para ‡ œ [j/x, (j + 2)/x], definimos
D‡ : P k M æ P k M por
[(j≠2)/x,j/x]
D‡ = D‡[j/x,(j+2)/x] ¶ Dj/x
[2/x,4/x]
¶ · · · ¶ D4/x
[0,2/x]
¶ D2/x
.
Veja a ilustração abaixo.
Figura 3: A deformação D‡ , com x = 12 e j = 8, aplicada a c
Por fim, dado ‡ œ (1, 2], definimos D‡ : P k M æ P k M por
D‡ c = (D‡≠1 (D1 c ¶ ◊)) ¶ ◊≠1 ,
onde ◊ : S æ S é dada por ◊(t) = t + x1 (mod[0, 1]). Denotaremos D2 apenas por D.
Figura 4: A deformação D, com x = 12, aplicada a c
25
[a,b]
Proposição 3.3. E(D‡
c) Æ E(c) e vale a igualdade se, e somente se, c|[a,‡] é uma
[a,b]
geodésica minimizante. Além disso, D‡
c = c se, e somente se, c|[a,‡] é uma geodésica
minimizante.
[a,b]
Demonstração. Segue diretamente da definição de D‡
, da Proposição 2.3 e da unicidade
de “c(a)c(‡) |[a, ‡].
Corolário 3.3.1. E(D1 c) Æ E(c) e vale a igualdade se, e somente se, c|[j/x,(j+2)/x] é
geodésica minimizante para todo j par satisfazendo 0 Æ j Æ x ≠ 2. Além disso, D1 c = c
se, e somente se, para todo j par satisfazendo 0 Æ j Æ x ≠ 2 temos que c|[j/x,(j+2)/x] é
geodésica minimizante.
Lema 3.4. Se c œ P k M é uma geodésica, então dados t, tÕ œ [0, 1] com 0 Æ tÕ ≠ t Æ 2/x,
temos que c|[t,tÕ ] = “c(t)c(tÕ ) |[t, tÕ ].
Demonstração. Segue diretamente do Lema 3.1 que d(c(t), c(s)) Æ ÷/2 para todo s œ [t, tÕ ].
Portanto, c([t, tÕ ]) µ B÷ (c(t)). Assim, pela unicidade da geodésica ligando c(t) a c(tÕ ) que
está inteiramente contida em B÷ (c(t)), temos que c|[t,tÕ ] = “c(t)c(tÕ ) |[t, tÕ ].
Lembremos que D = D2 .
Proposição 3.5. Seja c œ P k M . Então E(Dc) Æ E(c) e vale a igualdade se, e somente
se, c é uma geodésica. Além disso, Dc = c se, e somente se, c é uma geodésica.
Demonstração. Segue diretamente da definição de energia que
E(– ¶ ◊) = E(–) = E(– ¶ ◊≠1 )
para toda – œ P M . Portanto, pelo Corolário 3.3.1, temos que
1
E(Dc) = E (D1 (D1 c ¶ ◊)) ¶ ◊≠1
= E(D1 (D1 c ¶ ◊))
2
Æ E(D1 c ¶ ◊)
= E(D1 c)
Æ E(c).
Portanto, E(Dc) Æ E(c). Além disso, se vale E(Dc) = E(c), então valem todas as igualdades acima. Portanto, pelo Corolário 3.3.1, como E(D1 c) = E(c), temos que c|[j/x,(j+2)/x]
é uma geodésica minimizante para todo j par satisfazendo 0 Æ j Æ x ≠ 2. Por outro
26
lado, considere — = D1 c ¶ ◊ = c ¶ ◊. Segue mais uma vez do Corolário 3.3.1, visto que
E(D1 —) = E(—), que —|[j/x,(j+2)/x] = c ¶ ◊|[j/x,(j+2)/x] é uma geodésica minimizante para
todo j par satisfazendo 0 Æ j Æ x ≠ 2. Isso prova que c é uma geodésica.
Reciprocamente, se c é uma geodésica, então segue do Lema 3.4 e do Corolário 3.3.1
que D1 c = c. Assim, D1 c ¶ ◊ = c ¶ ◊ também é uma geodésica. Portanto, pelo mesmo
argumente, D1 (D1 c ¶ ◊) = D1 c ¶ ◊. Assim, Dc = (D1 (D1 c ¶ ◊)) ¶ ◊≠1 = (D1 c ¶ ◊) ¶ ◊≠1 =
(c ¶ ◊) ¶ ◊≠1 = c (isto demonstra a parte “se” da segunda parte da proposição). Portanto,
E(Dc) = E(c).
[a,b]
Proposição 3.6. A aplicação D[a,b] : P k M ◊[a, b] æ P k M definida por D[a,b] (c, ‡) = D‡
c
é contínua.
Demonstração. Seja (cn , ‡n ) œ P k M ◊ [a, b] convergente para (c, ‡) œ P k M ◊ [a, b]. Que[a,b]
[a,b]
remos provar que D[a,b] (cn , ‡n ) = D‡n cn converge para D[a,b] (c, ‡) = D‡
c em P k M .
Usaremos o Lema 2.7. Seja tn œ [0, 1] convergente para t0 œ [0, 1].
• Defina N1 = {n œ N; 0 Æ tn < a}. Se ˘N1 = Œ, então 0 Æ t0 Æ a e
lim D‡[a,b]
cn (tn )
n
nœN1
=
lim cn (tn )
nœN1
Lema 2.7
=
c(t0 )
=
D‡[a,b] c(t0 ).
• Defina N2 = {n œ N; a Æ tn Æ ‡n }. Se ˘N2 = Œ, então a Æ t0 Æ ‡ e
lim D‡[a,b]
cn (tn )
n
nœN1
=
lim “cn (a)cn (‡n ) |[a, ‡n ](tn )
nœN1
Obs.2.6 + Lema 2.7
=
“c(a)c(‡) |[a, ‡](t0 )
D‡[a,b] c(t0 ).
=
• Defina N3 = {n œ N; tn > ‡n }. Se ˘N3 = Œ, então t0 Ø ‡ e
lim D‡[a,b]
cn (tn )
n
nœN1
[a,b]
=
Lema 2.7
lim cn (tn )
nœN1
=
c(t0 )
=
D‡[a,b] c(t0 ).
[a,b]
Como N = N1 fi N2 fi N3 , temos que lim D‡n cn (tn ) = D‡
c(t0 ). Portanto, mais uma vez
[a,b]
[a,b]
pelo Lema 2.7, temos que D‡n cn æ D‡ c, como queríamos demonstrar.
27
Corolário 3.6.1. A aplicação L : P k M ◊ [0, 2] æ P k M definida por L(c, ‡) = D‡ (c) é
contínua.
O corolário acima nos diz que c e Dc são livremente homotópicas.
Lema 3.7. Sejam {a1n }, . . . , {asn }, {b1n }, . . . , {bsn } sequências limitadas de números reais,
satisfazendo ain Æ bin para todo (i, n) œ {1, . . . , s} ◊ N. Se
s
s
q
q
ai =
bi
i=1
n
i=1
n para todo n œ N,
então existem subsequências convergentes {aink } e {bink } tais que lim aink = lim bink para
k
todo i œ {1, . . . , s}.
k
Demonstração. Como todas as 2s sequências {ain } e {bin } são limitadas, existem sub-
sequências convergentes {aink } e {bink }, para todo i. Sejam ai = lim aink e bi = lim bink .
k
k
s
s
s
s
q
q
q
q
i
i
i
i
i
i
i
i
Assim, ank Æ bnk e
ank =
bnk ∆ a Æ b e
a =
b ∆ ai = bi , ’i = 1, . . . , s.
i=1
i=1
i=1
i=1
Proposição 3.8. Seja {cn } uma sequência em P k M tal que {E(cn )} e {E(Dcn )} con-
vergem para o mesmo limite k0 > 0. Então {cn } possui uma subsequência convergente em
P k M cujo limite c0 é uma geodésica fechada não-constante. Além disso, E(c0 ) = k0 .
Demonstração. Observe que E(Dcn ) Æ E(D1 cn ) Æ E(cn ) e lim E(Dcn ) = lim E(cn ) = k0 ∆
lim E(D1 cn ) = k0 . Por outro lado, E(D1 cn |[j/x,(j+2)/x] ) Æ E(cn |[j/x,(j+2)/x] ) e
lim
n
ÿ
j
E(D1 cn |[j/x,(j+2)/x] ) = lim
E(D1 cn )
n
= lim E(cn )
n
= lim
n
ÿ
j
E(cn |[j/x,(j+2)/x] ).
Portanto, o lema anterior nos diz que, passando a uma subsequência se necessário, temos
lim
E(D1 cn |[j/x,(j+2)/x] ) = lim
E(cn |[j/x,(j+2)/x] ), para todo j par satisfazendo 0 Æ j Æ x≠2.
n
n
Logo,
lim d(cn (j/x), cn ((j + 2)/x))2
n
=
ú
Prop.2.3
=
=
lim L(D1 cn |[j/x,(j+2)/x] )2
n
lim
2(2/x)E(D1 cn |[j/x,(j+2)/x] )
n
lim 2(2/x)E(cn |[j/x,(j+2)/x] ), para todo j.
n
Observação: em ú usamos o fato de que D1 cn |[j/x,(j+2)/x] é a geodésica minimizante que
liga cn (j/x) a cn ((j + 2)/x) e está definida em [j/x, (j + 2)/x]. Portanto, pela Proposição
2.8, passando a subsequências se necessário, temos que cn |[j/x,(j+2)/x] converge para uma
geodésica minimizante c0 |[j/x,(j+2)/x] e vale E(c0 |[j/x,(j+2)/x] ) = lim E(cn |[j/x,(j+2)/x] ), para
n
28
todo j. Assim, cn æ c0 . Observe que
E(c0 ) =
ÿ
j
E(c0 |[j/x,(j+2)/x] ) =
ÿ
j
lim E(cn |[j/x,(j+2)/x] ) = lim E(cn ) = k0 > 0.
n
n
Além disso, como c0 |[j/x,(j+2)/x] é geodésica minimizante para cada j par satisfazendo
0 Æ j Æ x ≠ 2, temos, pelo Corolário 3.3.1, que D1 c0 = c0 . Agora, repetindo o mesmo
processo acima com D1 cn ¶ ◊ no lugar de cn , temos que D1 cn ¶ ◊ (ou uma subsequência
de) converge para uma curva c̃0 tal que D1 c̃0 = c̃0 . Como D1 é contínua e cn æ c0 ,
temos c̃0 = lim(D1 cn ¶ ◊) = D1 c0 ¶ ◊ = c0 ¶ ◊. Logo, D1 (c0 ¶ ◊) = c0 ¶ ◊. Desta forma, Dc0 =
(D1 (D1 c0 ¶ ◊)) ¶ ◊≠1 = (D1 (c0 ¶ ◊)) ¶ ◊≠1 = (c0 ¶ ◊) ¶ ◊≠1 = c0 . Portanto, pela Proposição
3.5, c0 é uma geodésica fechada não-constante, visto que E(c0 ) = k0 > 0.
Dado k > 0, seja Ck = {c œ C Œ (S, M ); c é uma geodésica e E(c) = k} µ P k M .
Lema 3.9. Sejam k0 > 0 e U uma vizinhança aberta de Ck0 em C 0 (S, M ). Se Ck0 = ÿ
escolha U = ÿ. Seja k > k0 e considere a deformação D : P k M æ P k M . Então existe um
Á = Á(U) > 0, que satisfaz 0 < k0 ≠ Á < k0 + Á Æ k, tal que
D(P k0 +Á M ) µ U fi P k0 ≠Á M.
Demonstração. Podemos supor que U µ P k M . Caso contrário basta substituir U por
U fl P k M . Como D(Ck0 ) = Ck0 µ U e D é uma aplicação contínua, existe um aberto
U Õ com Ck0 µ U Õ µ U tal que D(U Õ ) µ U. Afirmamos que existe um Á > 0, que satisfaz
0 < k0 ≠ Á < k0 + Á Æ k, tal que D(P k0 +Á M ) µ U fi P k0 ≠Á M. Caso contrário, para todo
Án = n1 suficientemente pequeno, existe um cn œ P k0 +Án M tal que Dcn ”œ U fi P k0 ≠Án M .
Em particular, cn ”œ U Õ e
k0 ≠
1
1
< E(Dcn ) Æ E(cn ) Æ k0 + .
n
n
Assim,
lim E(Dcn ) = lim E(cn ) = k0 > 0.
Portanto, pela Proposição 3.8, existe uma subsequência de {cn } que converge para uma
geodésica fechada c0 com E(c0 ) = k0 . Logo, c0 œ Ck0 µ U Õ . Por outro lado, cn ”œ U Õ ∆ c0 ”œ U Õ
visto que U Õ é aberto, o que é um absurdo.
3.2
Curve Shortening Flow
Nesta seção M denotará uma variedade Riemanniana conexa com dim M Ø 2.
29
Definição 3.10. Dizemos que uma família suave de curvas imersas fechadas suaves
“ = “(u, t) : S 1 ◊ [0, Ê) æ M é um Curve Shortening Flow (CSF), se satisfaz
ˆ“ DT
=
ˆt
ˆs
(3.1)
em S 1 ◊ (0, Ê), onde T é o campo de vetores tangentes unitários “u /Γu Î e s = s(·, t) é o
comprimento de arco da curva “(·, t). Lembremos que, pela definição de comprimento de
arco,
ˆs
= Γu Π=: v.
ˆu
Portanto,
D
1 D
= · .
ˆs v ˆu
(3.2)
Seja –t (·) = “(·, t). Olhemos para –t (S 1 ) como uma subvariedade 1-dimensional de
M (sempre podemos fazer isto localmente, uma vez que “(·, t) é uma imersão). Com a
métrica induzida de M , o vetor curvatura média de –t (S 1 ) em M é dado por
H = (ÒT T )‹ .
Como ÈT, T Í = 1, temos que ÈÒT T, T Í = 0. Isto implica que ÒT T ‹ T . Portanto,
H = ÒT T =
DT
.
ˆs
Assim, um CSF é um fluxo pela curvatura média de co-dimensão alta na variedade M .
Sabemos que em um curto intervalo de tempo, existe, é única e suave a solução
para o fluxo pela curvatura média que tem por condição inicial uma subvariedade imersa
compacta, como podemos ver na seção 2 de [4]. Portanto, temos a seguinte proposição:
Proposição 3.11. Dada uma curva imersa fechada suave “0 : S 1 æ M , existe um tempo
positivo Ê > 0 para o qual existe, é única e suave a solução para o problema de Cauchy
Y
_
] ˆ“ = DT
ˆt
em S 1 ◊ (0, Ê),
ˆs
_
[ “(·, 0) = “ (·).
0
De agora em diante Ê0 œ (0, Œ] denotará o tempo máximo de solução para o problema
de Cauchy acima.
.
.
.
.
Sejam k(·, t) = . DT
ˆs (·, t). a curvatura não-negativa, L(t) o comprimento e E(t) a ener-
30
gia da curva “(·, t).
Proposição 3.12. Se “ : S 1 ◊ [0, Ê0 ) é um CSF, então
LÕ (t) = ≠
⁄ L(t)
0
k 2 ds Æ 0 e E Õ (t) = ≠
⁄ L(t)
0
vk 2 ds Æ 0,
para todo t œ (0, Ê0 ).
Demonstração. Em primeiro lugar, observe que
K
L
DT
D2 T
DT DT
ÈT, T Í = 1 ∆
,T = 0 ∆
,T +
,
ˆs
ˆuˆs
ˆs ˆu
=
>
=
>
= 0.
Portanto,
K
D2 T
,T
ˆuˆs
L
=
(3.2)
=
=
=
>
DT DT
,
ˆs ˆu
=
>
DT DT
≠v
,
ˆs ˆs
2
≠vk .
≠
Por outro lado,
2vvt
=
=
=
=
ú
(3.1)
=
=
onde em ú usamos que
implica
ˆ 2
(v )
ˆt K
L
ˆ ˆ“ ˆ“
,
ˆt ˆu ˆu
K
L
D ˆ“ ˆ“
2
,
ˆt ˆu ˆu
K
L
D ˆ“
2v
,T
ˆu ˆt
K
L
D2 T
2v
,T
ˆuˆs
≠2v 2 k 2 ,
D ˆ“ D ˆ“
=
, isto pelo Lema de Simetria, e que “u = vT . O que
ˆu ˆt ˆt ˆu
vt = ≠vk 2 .
31
Assim,
d⁄
L (t) =
vdu
1
⁄dt S
Õ
=
1
S⁄
= ≠
= ≠
vt du
S1
vk 2 du
⁄ L(t)
0
k 2 ds.
Da mesma forma,
3
d 1⁄
E (t) =
v 2 du
1
dt
2
S
⁄
Õ
=
1
S⁄
= ≠
= ≠
4
vvt du
v 2 k 2 du
S1
⁄ L(t)
0
vk 2 ds.
A proposição anterior nos diz que o comprimento e a energia de um CSF não crescem
quando ele evolui com o tempo, visto que suas derivadas são não-positivas. Isto nos permite indagar: “caso o limite “(·, Ê0 ) = limtæÊ0 “(·, t) exista (em algum sentido adequado),
será “(·, Ê0 ) uma geodésica?”, tendo em vista que “(·, Ê0 ) terá comprimento e energia
mínimos. Uma resposta para esta pergunta foi dada em 1986 por M. E. Gage e R. S.
Hamilton, como podemos ver em [4], onde eles demostraram o seguinte teorema:
Teorema 3.13 (Gage-Hamilton, 1986). Seja “0 : S 1 æ R2 uma curva suave, convexa,
mergulhada em R2 . Então, sob ação do CSF, ela se contrai a um ponto em tempo finito.
Além disso, ela permanece convexa e torna-se circular, no seguinte sentido:
(a) a razão entre o raio do círculo inscrito e o raio do círculo circunscrito converge a
1;
(b) a razão entre a curvatura máxima e a curvatura mínima converge a 1;
(c) as derivadas de ordens altas da curvatura convergem a 0 uniformemente.
Uma resposta muito mais geral que esta foi dada por M. A. Grayson em 1989, como
podemos ver em [5], onde ele demonstrou o seguinte teorema:
32
Teorema 3.14 (Grayson, 1989). Seja M uma superfície que é convexa no infinito. Para
qualquer curva suave, fechada, mergulhada em M, ao longo do CSF, ou ela se contrai
a um ponto em tempo finito ou sua curvatura converge a zero na topologia C Πquando
t æ Œ.
Para nós superfície significa uma variedade Riemanniana conexa bi-dimensional. Uma
superfície é convexa no infinito quando o fecho convexo de qualquer conjunto compacto é
compacto. Em particular, toda superfície compacta é convexa no infinito.
Em 2007, L. Ma e D. Chen obtiveram um resultado sobre o comportamento do CSF
que parte de uma rampa em uma variedade produto.
Considere a variedade produto (M ◊ S 1 , g + d‡ 2 ). Seja “0 : S 1 æ M ◊ S 1 uma curva
imersa suave. Denote por fiS 1 a projeção canônica de M ◊ S 1 em S 1 . Dizemos que “0 é
uma rampa, se existe um campo U de vetores unitários tangentes a S 1 tal que
È(fiS 1 )ú (T0 ), U ÍS 1 > 0
ao longo de “0 , onde T0 é o campo de vetores unitários tangentes a “0 .
Teorema 3.15 (Ma-Chen, 2007). Seja M uma variedade Riemanniana compacta.
(1) Se “ : S 1 ◊ [0, Œ) æ M é um CSF tal que limtæŒ L(t) > 0, então para todo n > 0,
1.
.
n
.2
.
limtæŒ sup . DˆsnT . = 0. Além disso, a curva limite “(·, Œ) = limtæŒ “(·, t) existe
e é uma geodésica fechada em M .
(2) Se “ : S 1 ◊ [0, Ê0 ) æ M ◊ S 1 é um CSF tal que “(·, 0) é uma rampa, então “ é um
fluxo global que converge a uma geodésica fechada em M ◊ S 1 na topologia C Œ .
Dizemos que um CSF é um fluxo global quando Ê0 = Œ.
A demonstração deste resultado encontra-se em [6].
33
4
O TEOREMA DE LYUSTERNIK-FET
Teorema 4.1 (Lyusternik-Fet). Em toda superfície compacta existe uma geodésica fechada não-constante.
4.1
Primeira Demonstração
Seja M uma superfície compacta. Se M não é simplesmente conexa, tome c1 : S æ M
diferenciável e não-livremente homotópica a uma constante. Fixe k > k1 := E(c1 ) > 0 e
considere D : P k M æ P k M . Defina cn = Dcn≠1 œ P k M e kn = E(cn ) para cada n Ø 2.
Pela Proposição 3.5, temos que
k1 Ø k2 Ø · · · Ø 0.
Seja k0 = lim kn Ø 0. Afirmamos que k0 > 0. Caso contrário, existe m œ N tal que km Æ
÷ 2 /2 ∆ pelo Corolário 2.9.2, cm é livremente homotópica a uma constante. Como c1 é
livremente homotópica a cada uma das cn , em particular a cm , temos que c1 é livremente
homotópica a uma constante, o que é um absurdo.
Afirmamos que Ck0 ”= ÿ. Caso contrário, pelo Lema 3.9, existe um Á > 0 tal que
D(P k0 +Á M ) µ P k0 ≠Á M.
Como lim kn = k0 < k0 + Á, existe m œ N tal que E(cm ) = km < k0 + Á, o que implica
cm+1 = Dcm œ D(P k0 +Á M ) µ P k0 ≠Á M , ou seja, k0 Æ km+1 = E(cm+1 ) Æ k0 ≠ Á, que é um
absurdo. Isso prova que existe uma geodésica fechada em M com energia igual a k0 > 0,
portanto não-constante.
Se M é simplesmente conexa, então fi2 (M ) é não-trivial. Neste caso, tome f : S 2 æ M
diferenciável e não-homotópica a uma aplicação constante. Considere a aplicação
1
2
F(f ) : (J, ˆJ) æ C 0 (S, M ), P 0 M .
34
Como f é diferenciável, pelo item (c) da Proposição 2.13, temos que F(f )(J) µ P M .
Portanto, podemos considerar
F := F(f ) : (J, ˆJ) æ (P M, P 0 M ).
Defina
Ÿ0 = inf
Gƒp F
I
J
sup E(G(p)) Ø 0,
pœJ
onde o ínfimo está sendo tomando sobre todas as aplicações contínuas
G : (J, ˆJ) æ (P M, P 0 M )
p≠homotópicas a F . Afirmamos que Ÿ0 > 0. Caso contrário, pela própria definição de
Ÿ0 , existe uma aplicação contínua G : (J, ˆJ) æ (P M, P 0 M ) p≠homotópica a F com
suppœJ E(G(p)) Æ ÷ 2 /2. Portanto, pelo Corolário 2.9.1, temos que G é p≠homotópica a
uma constante, e por sua vez F = F(f ) também ∆ pela Corolário 2.13.1, f é homotópica
a uma constante, o que é um absurdo.
Afirmamos que CŸ0 ”= ÿ. Suponha por absurdo que não, ou seja, suponha que CŸ0 =
ÿ. Fixe Ÿ > Ÿ0 e considere a deformação D : P Ÿ M æ P Ÿ M . Então, pelo Lema 3.9,
existe ‘ > 0 tal que D(P Ÿ0 +‘ M ) µ P Ÿ0 ≠‘ M . Mais uma vez pela definição de Ÿ0 , existe
uma aplicação G : (J, ˆJ) æ (P M, P 0 M ) p≠homotópica a F tal que suppœJ E(G(p)) <
Ÿ0 + ‘. Portanto, D(G(p)) œ D(P Ÿ0 +‘ M ) µ P Ÿ0 ≠‘ M, ’p œ J ∆ suppœJ E(D(G(p))) Æ Ÿ0 ≠
‘. Defina
: (J, ˆJ) ◊ I æ (P Ÿ M, P 0 M ) por
do Corolário 3.6.1 que
suppœJ E(
(p, t) = L(G(p), 2t) = D2t (G(p)). Segue
é contínua. Assim, F ƒp G =
0 ƒp
1.
Desta forma, Ÿ0 Æ
1 (p)) = suppœJ E(D(G(p))) Æ Ÿ0 ≠ ‘, o que é um absurdo.
Isso mostra que
existe uma geodésica fechada em M com energia igual a Ÿ0 > 0, portanto não-constante.
4.2
Segunda Demonstração
Seja M uma superfície compacta. Se fi1 (M ) ”= 0, tome “0 : S 1 æ M suave, imersa
em M e não-livremente homotópica a uma constante. Defina “˜0 : S 1 æ M ◊ S 1 por
“˜0 (u) = (“0 (u), u). Observe que “˜0 é uma rampa. Assim, pelo item (2) do Teorema 3.15,
temos que “˜0 é livremente homotópica a uma geodésica fechada em M ◊S 1 , que denotamos
por “˜Œ , a saber, o limite do CSF que tem “˜0 como condição inicial. Seja “Œ = fiM ¶ “˜Œ ,
onde fiM : M ◊S 1 æ M é a projeção canônica. Então, por construção, “Œ é uma geodésica
fechada em M livremente homotópica a “0 , portanto não-constante.
Se fi1 (M ) = 0, então fi2 (M ) ”= 0. Neste caso, tome f : S 2 æ M diferenciável e não-
35
homotópica a uma constante. Considere a aplicação
1
2
F(f ) : (J, ˆJ) æ C 0 (S, M ), P 0 M .
Como f é diferenciável, temos que F(f )(J) µ C Œ (S, M ). Portanto, podemos considerar
F := F(f ) : (J, ˆJ) æ (C Œ (S, M ), P 0 M ).
Identificando S 1 com S, para cada p œ J, definimos a rampa “p (·, 0) : S 1 æ M ◊ S 1 por
“p (u, 0) = (F (p)(u), u). Então, pelo item (2) do Teorema 3.15, sob ação do CSF, temos
para cada p œ J uma geodésica fechada em M ◊ S 1 , digamos “p (·, Œ), que é o limite
do CSF que tem “p (·, 0) como condição inicial. Assim, fiM ¶ “p (·, Œ) é uma família de
geodésicas fechadas em M.
Afirmamos que existe p0 œ J tal que E(fiM ¶ “p0 (·, Œ)) > 0. Caso contrário,
E(fiM ¶ “p (·, Œ)) = 0
para todo p œ J. Logo, como J é compacto, existe t0 > 0 tal que
sup E(fiM ¶ “p (·, t0 )) Æ
pœJ
÷2
.
2
(4.1)
Defina H : (J, ˆJ) ◊ [0, t0 ] æ (P M, P 0 M ) por H(p, t)(u) = fiM ¶ “p (u, t). H é uma homotopia de pares. Assim, F(f ) = F = H0 ƒp Ht0
Cor.2.9.1+(4.1)
ƒp
constante. Portanto, pelo
Corolário 2.9.2, temos que f é homotópica a uma constante, o que é um absurdo. Assim,
fiM ¶ “p0 (·, Œ) é uma geodésica fechada em M com energia > 0, portanto não-constante.
36
5
CONCLUSÃO
As mesmas técnicas que utilizamos para demonstrar o Teorema de Lyusternik-Fet em
superfícies compactas podem ser utilizadas para demonstrá-lo em variedades Riemannianas compactas:
Em toda variedade Riemanniana compacta existe uma geodésica fechada não-constante.
Além disso, fazendo uso do Teorema de Grayson (Teorema 3.14) ao invés do Teorema
de Ma-Chen (Teorema 3.15), pode-se demonstrar uma versão um pouco mais geral do
Teorema de Lyusternik-Fet em superfícies compactas:
Em toda superfície compacta existe uma geodésica fechada mergulhada.
No caso em que a superfície compacta é uma 2≠esfera, é possível demonstrar um pouco
mais:
Uma 2≠esfera com uma métrica Riemanniana suave tem pelo menos três geodésicas
fechadas mergulhadas.
Este último resultado é conhecida como o Teorema das Três Geodésicas ou o Teorema
de Lyusternik-Schnirelmann. O próprio Grayson apresentou uma demonstração para este
resultado utilizando o seu teorema, como podemos ver em [5].
37
BIBLIOGRAFIA
[1] do CARMO, M. P. Geometria Riemanniana. 4a . ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2008.
(Projeto Euclides).
[2] JOST, J. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. 2nd. ed. Berlin: Springer,
1998. (Universitext).
[3] DUGUNDJI, J. Topology. Boston: Allyn and Bacon, 1966. (Advanced Mathematics).
[4] GAGE, M. E.; HAMILTON, R. S. The heat equation shrinking convex plane curves.
Journal of Differential Geometry, v. 23, n. 1, p. 69–96, 1986.
[5] GRAYSON, M. A. Shortening Embedded Curves. Annals of Mathematics, v. 129, n. 1,
p. 71–111, 1989.
[6] MA, L.; CHEN, D. Curve shortening in a Riemannian manifold. Annali di Matematica
Pura ed Applicata, v. 186, n. 4, p. 663–684, 2007.
[7] KLINGENBERG, W. Lectures on Closed Geodesics. Berlin - Heidelberg - New York:
Springer-Verlag, 1978. (A Series of Comprehensive Studies in Mathematics).
[8] SALVIANO, A. C. Existência de geodésicas fechadas. Dissertação (Dissertação de Mestrado) — Universidade Federal de Pernambuco, Recife, Março 2003.
