Dissertação

dissertacao.diogo.albuquerquea.pdf
Documento PDF (994.8KB)
                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado

Superfı́cies de Curvatura Média Constante
Imersas em um Slab

Diogo Albuquerque Gonçalves

Maceió, Brasil
Fevereiro de 2011

DIOGO ALBUQUERQUE GONÇALVES

Superfı́cies de Curvatura Média Constante
Imersas em um Slab

Dissertação de Mestrado, na área de concentração de Geometria Diferencial submetida em 23 de Fevereiro de 2011 à banca examinadora, designada pelo Programa de Mestrado em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em
Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Márcio Henrique Batista da Silva.

Maceió
2011

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
G635s

Gonçalves, Diogo Albuquerque.
Superfícies de curvatura média constante imersas em um slab / Diogo
Albuquerque Gonçalves. – 2011.
73 f.
Orientador: Márcio Henrique Batista da Silva.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2011.
Bibliografia: f. 70-71.
Índice: f: 72-73.
1. Geometria diferencial. 2. Curvatura média. 3. Espaço hiperbólico. 4. Espaços warped. 5. Imersão própria (Matemática). I. Título.
CDU: 514.764.27

“As misericórdias do SENHOR são a causa
de não sermos consumidos, porque as suas
misericórdias não têm fim.” (Lm 3.22)

Aos meus pais.

Agradecimentos
Primeiramente ao SENHOR dos Exércitos, pois Ele é o meu Deus, meu
refúgio e fortaleza.
Aos meus pais pelo belo exemplo de dedicação e perseverança.
Ao professor Márcio Henrique Batista da Silva pela excelente orientação,
inefável competência e brilhantismo ao falar sobre matemática.
Aos professores Feliciano Vitório Aguiar e Almir Rogério Silva Santos
pelas inúmeras e valiosas sugestões.
Aos bons professores e demais servidores que são parte do Instituto de
Matemática da Universidade Federal de Alagoas.
Aos colegas do mestrado pelos bons momentos. Agradeço, em especial,
aos amigos Joaby Jucá, Márcio Silva e Fabio Honorato (vulgo “Arapiraca”).
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior pelo
importante apoio financeiro.

Resumo
Nesta dissertação estudaremos as superfı́cies completas propriamente imersas
contidas em um slab do produto warped R ×% P2 , onde P2 é uma superfı́cie
Riemanniana completa com curvatura Gaussiana não negativa. Sob certas
restrições sobre a curvatura média da superfı́cie, mostraremos que tal imersão
ou não existe ou deve ser uma folha da folheação trivial totalmente umbı́lica
t ∈ R 7→ {t} × P2 .

Palavras-chave: curvatura média, espaço hiperbólico, espaços warped, imersão
própria.

Abstract
We study complete properly immersed surfaces contained in a slab of a warped product R ×% P2 , where P2 is complete with nonnegative Gaussian curvature. Under certain restrictions on the mean curvature of the surface we
show that such an immersion does not exists or must be a leaf of the trivial
totally umbilical foliation t ∈ R 7→ {t} × P2 .

Keywords: mean curvature, hyperbolic space, warped spaces, proper immersion.

Sumário
1 Preliminares
1.1 Variedades diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Campos de vetores e métricas Riemannianas . . . . . . . . . .
1.3 Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Algumas funções importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Imersões e segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Hipersuperfı́cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Aplicação exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 O espaço hiperbólico Hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 O modelo do semi-espaço superior . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Superfı́cies umbı́licas em Hn . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Teorema de comparação do Laplaciano . . . . . . . . . . . . .

13
13
15
21
24
28
31
32
34
35
36
37

2 Espaços Warped
2.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 O espaço produto M 3 = R ×% P2 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Folheação de M 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
39
42
49

3 Resultados Principais
3.1 Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Resultados auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Teoremas principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51
52
53
63

Referências Bibliográficas

70

Introdução
Para provar que toda hipersuperfı́cie compacta com curvatura média constante mergulhada no espaço euclidiano é uma esfera redonda, Alexandrov [1]
introduziu o que hoje é conhecido como método de reflexão de Alexandrov.
Ele observou que o método também funciona no espaço hiperbólico padrão,
gerando um resultado semelhante:
Toda hipersuperfı́cie compacta com curvatura média constante mergulhada no espaço hiperbólico Hn+1 é uma esfera redonda.
Para ver este resultado no contexto desta dissertação, é conveniente
observar que é totalmente equivalente a assumir compacidade ou completude adicionada à propriedade de que não há qualquer ponto na fronteira
assintótica de Hn+1 .
Uma vez que no espaço hiperbólico existem outras hipersuperfı́cies totalmente umbı́licas, nomeadamente, horoesferas e hiperesferas, houve necessidade de caracterizar essas também. Isto foi feito por do Carmo e Lawson
[4], utilizando o método de Alexandrov. Em particular, eles mostraram que:
Toda hipersuperfı́cie completa com curvatura média constante mergulhada no espaço hiperbólico Hn+1 com um único ponto na fronteira assintótica é uma horoesfera.
Além disso, eles também observaram que este resultado não é mais verdadeiro se substituirmos mergulhada por imersa.
10

O principal objetivo deste trabalho é apresentar a demonstração de Luis
J. Alı́as e Marcos Dajczer para o seguinte teorema:
Teorema 1. Em um slab de R ×% P2 com fronteira Pt1 ∪ Pt2 não há
superfı́cie Σ2 completa propriamente imersa com curvatura média
satisfazendo
~ < min H(t).
sup ||H||
Σ

[t1 ,t2 ]

No Teorema acima, as folhas da folheação Pt = {t} × P2 são hipersuperfı́cies
totalmente umbı́licas com curvatura média constante
H(t) = (log %)0 (t) = (%0 /%)(t).

O resultado acima foi publicado no periódico Commentarii Mathematici
Helvetici no ano de 2006 (ver [2]).
No primeiro capı́tulo desta dissertação, trataremos de conceitos e resultados básicos sobre geometria Riemanniana. Além disso, definiremos o espaço
hiperbólico e teceremos um breve comentário sobre as superfı́cies umbı́licas
em Hn . Finalizaremos o capı́tulo enunciando o Teorema de Comparação do
Laplaciano, que tem um importante papel na demonstração do Teorema 1.
No segundo capı́tulo introduziremos o espaço produto warped R ×% P2
e mostraremos que o espaço hiperbólico H3 é isométrico ao espaço produto
warped R ×et R2 . Encerraremos o capı́tulo provando que as folhas da folheação {t} × P2 são hipersuperfı́cies totalmente umbı́licas com curvatura
média constante H(t) = (%0 /%)(t).
Finalmente, no terceiro capı́tulo, apresentaremos a demonstração do Teorema 1. Antes, porém, provaremos vários lemas que serão bastante úteis
para nos auxiliar e tornar breve a demonstração do principal teorema. Concluiremos o capı́tulo exibindo a demonstração de Luis J. Alı́as e Marcos
Dajczer (ver [2]) para o teorema seguinte:
11

Teorema 2. Se f : Σ2 → M 3 = R ×et P2 é uma superfı́cie com~ ≤1
pleta propriamente imersa com curvatura média constante kHk
contida em um slab, então f (Σ) é a folha Pt .

12

Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo apresentaremos alguns resultados básicos sobre geometria Riemanniana que serão utilizados no decorrer desta dissertação. A referência
principal para este capı́tulo é [5].

1.1

Variedades diferenciáveis

A noção de variedade diferenciável é necessária para estender os métodos
do Cálculo Diferencial a espaços mais gerais que o Rn .
Definição 1.1.1. Uma variedade diferenciável de dimensão n é um conjunto
M munido de uma famı́lia de aplicações injetivas xα : Uα ⊂ Rn → M ,
definidas em abertos Uα de Rn , satisfazendo as seguintes propriedades:
(i)

S

α x(Uα ) = M ;

(ii) Para todo par de ı́ndices α, β, com xα (Uα ) ∩ xβ (Uβ ) = W 6= ∅, os
−1
−1
n
conjuntos x−1
α (W ) e xβ (W ) são abertos em R e as aplicações xβ ◦xα
são diferenciáveis;
(iii) A famı́lia {(xα , Uα )} é maximal relativamente às condições (i) e (ii).

13

A famı́lia {(xα , Uα )} é denominada atlas. Cada (xα , Uα ) é chamado
parametrização ou sistema de coordenadas. Ao conjunto xα (Uα ) chamaremos
vizinhança coordenada de p. Uma famı́lia {(xα , Uα )} satisfazendo (i) e (ii)
é nomeada uma estrutura diferenciável. Indicaremos por M n uma variedade
diferenciável de dimensão n.
Uma estrutura diferenciável em um conjunto M induz de maneira natural uma topologia em M . Diremos que uma variedade diferenciável M é
compacta quando M é um espaço topológico compacto.
Definição 1.1.2. Sejam M m e N n variedades diferenciáveis de dimensão
m e n. Dizemos que uma aplicação f : M → N é diferenciável em p ∈
M se dada uma parametrização y : V ⊂ Rn → N em f (p), existe uma
parametrização x : U ⊂ Rm → M em p tal que f (x(U )) ⊂ y(V ) e a aplicação
y−1 ◦ f ◦ x : U ⊂ Rm → Rn

(1.1)

é diferenciável em x−1 (p). A aplicação f é diferenciável em um aberto de M
se for diferenciável em todos os pontos deste aberto.
Decorre do item (ii) da Definição 1.1.1 que a definição anterior independe
da escolha das parametrizações. A aplicação (1.1) é chamada expressão de
f nas parametrizações x e y.
Definição 1.1.3. Seja M uma variedade diferenciável. Uma aplicação diferenciável α : (−ε, ε) → M é denominada curva (diferenciável) em M. Sejam
p = α(0) e D(M ) o conjunto das funções diferenciáveis de M em R. O vetor
tangente à curva α em t = 0 é a aplicação
α0 (0) : D(M )
f

→

R
d(f ◦ α)
.
7−→
dt
t=0

O conjunto de todos os vetores tangentes a M em p é um espaço vetorial
denominado espaço tangente a M em p, o qual indicaremos por Tp M.
14

Exemplo 1.1.1. O conjunto T M = {(p, v); p ∈ M e v ∈ Tp M } é uma
variedade diferenciável de dimensão 2m, denominada fibrado tangente. (Ver
[5], página 13.)
Sejam M e N variedades diferenciáveis. Uma aplicação f : M → N é
dita uma imersão se dfp : Tp M → Tf (p) N for injetiva para todo p ∈ M . Se,
além disso, f for um homeomorfismo sobre ϕ(M ) ⊂ N, então dizemos que f
é um mergulho.
Definição 1.1.4 (Variedade orientável). Dizemos que uma variedade diferenciável M é orientável quando admite uma estrutura diferenciável {(Uα , xα )}
tal que
(i) para todo α, β com xα (Uα ) ∩ xβ (Uβ ) = W 6= ∅, a matriz da diferencial da
mudança de coordenadas x−1
β ◦ xα tem determinante positivo.
Caso contrário, diz-se que M é não orientável. Se M é orientável, a escolha
de uma parametrização satisfazendo (i) é chamada de orientação de M e,
neste caso, dizemos que M está orientada.
Se M é orientável e conexa, existem exatamente duas orientações distintas em M .

1.2

Campos de vetores e métricas Riemannianas

Definição 1.2.1. Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável
M é uma correspondência que a cada ponto p ∈ M associa um vetor em
Tp M . Em termos de aplicações, X é uma aplicação de M no fibrado tangente
T M . Se a aplicação X : M → T M é diferenciável diz-se que o campo é
diferenciável.
Às vezes é conveniente pensar em um campo de vetores como uma
15

aplicação X : D(M ) → F, do conjunto D das funções diferenciáveis em
M no conjunto F das funções em M , definida da seguinte maneira

Xf =

n
X
i=1

ai

∂f
.
∂ui

Neste contexto, diremos que X é diferenciável se, e somente se, Xf ∈
D(M ) para todo f ∈ D(M ). Denotaremos por X (M ) o conjunto de todos
os campos diferenciáveis de vetores.
Se X e Y são campos de vetores diferenciáveis em M e f : M → R é
uma função diferenciável, podemos considerar as funções X(Y f ) e Y (Xf ).
Tais operações, na maioria das vezes, não conduzem a campos de vetores.
No entanto, a aplicação
[·, ·] : X (M ) × X (M ) −
7 → X (M )
(X, Y )
→ [X, Y ] = XY − Y X,
define um campo de vetores chamado colchete de X e Y.
A operação colchete possui as seguintes propriedades.
Proposição 1.2.1. Se X, Y e Z são campos de vetores em M, a, b são
números reais e f, g são funções diferenciáveis, então:
(a) [X, Y ] = −[Y, X] (anticomutatividade);
(b) [aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z] (linearidade);
(c) [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0 (identidade de Jacobi);
(d) [f X, gY ] = f g[X, Y ] + f X(g)Y − gY (f )X.
Demonstração. Ver [5], página 25.


16

Uma métrica Riemanniana (ou estrutura Riemanniana) em uma variedade diferenciável M n é uma correspondência que associa a cada ponto p ∈ M
um produto interno
h , ip : Tp M × Tp M → R
que varia diferencialmente no seguinte sentido: se x : U → M é um sistema
de coordenadas locais em torno de p e x(x1 , . . . , xn ) = q ∈ x(U ), então

gij (x1 , . . . , xn ) =


∂
∂
(q),
(q)
∂xi
∂xj
q

é uma função diferenciável em U para cada i, j = 1, . . . , n. As funções
gij = gji são denominadas expressões da métrica Riemanniana no sistema de
coordenadas x : U ⊂ Rn → M.
Definição 1.2.2. Uma variedade diferenciável munida de uma métrica Riemanniana é denominada variedade Riemanniana.
∂
Exemplo 1.2.1. Considere o conjunto M = Rn com
identificado com
∂xi
ei = (0, . . . , 1, . . . , 0). A métrica é dada por hei , ej i = δij . Rn é chamado
espaço euclidiano de dimensão n e a geometria Riemanniana deste espaço é
a geometria métrica euclidiana.
Exemplo 1.2.2 (Variedade produto). Sejam M e M variedades diferenciáveis,
onde {(Uα , xα )} e {(Vβ , yβ )} são, respectivamente, suas estruturas diferenciáveis.
O produto cartesiano
M × M = {(p, p); p ∈ M, p ∈ M }
é uma variedade diferenciável, denominada variedade produto de M e M .
As aplicações
zαβ (p, p) = (xα (p), yβ (p)),

(p, p) ∈ Uα × Vβ

são parametrizações de M × M , i.e., {(Uα × Vβ , zαβ )} é uma estrutura diferenciável em M × M . Em relação a essa estrutura diferenciável, as projeções
π : M × M → M e π : M × M → M são aplicações diferenciáveis. Além
17

disso, se M e M possuem estruturas Riemannianas h , i1 e h , i2 , respectivamente, então podemos introduzir uma métrica Riemanniana em M × M
por
hu, vi(p,p) = hdπ(p,p) (u), dπ(p,p) (v)i1 + hdπ (p,p) (u), dπ (p,p) (v)i2 ,
onde (p, p) ∈ M × M e u, v ∈ T(p,p) (M × M ). Portanto a variedade produto
é uma variedade Riemanniana.
Definição 1.2.3. Sejam M e N variedades Riemannianas. Um difeomorfismo f : M → N é uma isometria se
hu, vip = hdfp (u), dfp (v)if (p) para todo p ∈ M, u, v ∈ Tp M.
Observação 1.2.1. A definição acima nos diz que duas variedades isométricas
são indistinguı́veis do ponto de vista métrico.
Definição 1.2.4. Seja f : M n → N n+k uma imersão. Se N possui uma
estrutura Riemanniana, f induz uma estrutura Riemanniana em M por
hu, vip := hdfp (u), dfp (v)if (p) para todo p ∈ M, u, v ∈ Tp M.
A métrica de M é chamada então a métrica induzida por f , e f é denominada
imersão isométrica.
Introduziremos agora a noção de conexão Riemanniana. A conexão é
uma generalização da derivada covariante de superfı́cies.
Definição 1.2.5. Uma conexão Riemanniana, ou conexão de Levi-Civita,
em uma variedade Riemanniana M é uma aplicação
∇ : X (M ) × X (M ) → X (M )
(X, Y )
7 → ∇X Y
−
que satisfaz as seguintes propriedades:
(i) ∇f X+gY Z = f ∇X Z + g∇Y Z;
18

(ii) ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇Y Z;
(iii) ∇X (f Y ) = f ∇X Y + (Xf )Y ;
(iv) ∇X Y − ∇Y X = [X, Y ] (simetria);
(v) XhY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi (compatibilidade da métrica),
onde X, Y, Z ∈ X (M ) e f, g ∈ D(M ).
A existência e a unicidade da conexão Riemanniana são garantidas pelo
teorema de Levi-Civita. (Ver [5], página 47)
Escolhendo um sistema de coordenadas (x1 , . . . , xn ) em torno de p e
escrevendo
X
X
X=
xi X i ,
Y =
yj Xj ,
i

onde Xi =

i

∂
, teremos
∂xi
!
∇X Y =

X X

xi yj Γkij + X(yj ) Xk .

ij

k

Os coeficientes Γkij , definidos por ∇X Y =

X

Γkij Xk , são denominados sı́mbolos

k

de Christoffel da conexão.
Podemos expressar os sı́mbolos de Christoffel, em termos dos coeficientes
da métrica Riemanniana, da seguinte forma
1
Γm
ij =
2

X ∂
k


∂
∂
gjk +
gki −
gij g km ,
∂xi
∂xj
∂xk

onde (g km ) é a matriz inversa de (gkm ).
A proposição a seguir estabelece a relação entre conexão e derivada covariante.

19

Proposição 1.2.2. Sejam M uma variedade Riemanniana e ∇ sua conexão.
Então existe uma única correspondência que associa a cada campo de vetores
DV
V ao longo de uma curva α : I ⊂ R → M um outro campo de vetores
dt
ao longo de α, denominado derivada covariante de V ao longo de α, tal que
DV
DW
D
(V + W ) =
+
;
dt
dt
dt
D
df
DV
(b)
(f V ) = V + f
, onde f é uma função diferenciável em I;
dt
dt
dt
(a)

(c) Se V é induzido por um campo de vetores Y ∈ X (M ), isto é, V (t) =
DV
= ∇dα/dt Y.
Y (α(t)), então
dt
Em termos dos sı́mbolos de Christoffel, a derivada covariante possui a
seguinte expressão
X
DV
=
dt
k

(

dv k X k j dxi
+
Γij v
dt
dt
i,j

)
Xk .

Definição 1.2.6. Seja M uma variedade diferenciável. Um campo vetorial
DV
V ao longo de uma curva α : I → M é chamado paralelo quando
= 0,
dt
para todo t ∈ I
Proposição 1.2.3. Sejam α : I → M diferenciável e V0 ∈ Tα(t0 ) M . Então
existe um único campo de vetores paralelo V , ao longo de α, tal que V (t0 ) =
V0 . Neste caso, V (t) é chamado o transporte paralelo de V (t0 ) ao longo de
α.
Demonstração. Ver [5], página 44.

Definição 1.2.7. Um conjunto {E1 , . . . , En } é dito um referencial para M
se, para cada p ∈ M , o conjunto {E1 (p), . . . , En (p)} for uma base de Tp M .
Isto implica que todo campo de vetores X ∈ X (M ) pode ser escrito da forma
X=

n
X
i=1

20

xi E i ,

onde as funções xi são diferenciáveis. Diz-se que um referencial é ortonormal
quando {E1 (p), . . . , En (p)} for uma base ortonormal de Tp M para cada p ∈
M . Um referencial é dito geodésico em p ∈ M se, para todo i, j ∈ {1, . . . , n},
tem-se ∇Ei Ej (p) = 0.
A existência do referencial geodésico em p numa vizinhança normal U
é garantida tomando E(q), ∀ q ∈ U , como o transporte paralelo de E(p) ao
longo da geodésica que liga p à q.

1.3

Curvaturas

Nesta seção, recordaremos os conceitos básicos de curvatura em uma
variedade Riemanniana. A curvatura, intuitivamente, mede o quanto uma
variedade Riemanniana deixa de ser euclidiana.
Definição 1.3.1. O tensor curvatura ou, simplesmente, a curvatura R de
uma variedade Riemanniana M , é uma lei que associa a cada par X, Y ∈
X (M ) uma aplicação R(X, Y ) : X (M ) → X (M ) dada por
R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z, Z ∈ X (M ),
onde ∇ é a conexão Riemanniana de M .
Exemplo 1.3.1. Se M = Rn , então é fácil verificar que R(X, Y )Z = 0, para
todo X,Y ,Z ∈ X (Rn ).
A seguir, enunciaremos algumas das propriedades da curvatura.
Proposição 1.3.1. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M goza
das seguintes propriedades:
(i) R é bilinear em X (M ) × X (M ), isto é,
R(f X + gY, Z) = f R(X, Z) + gR(Y, Z)
R(X, f Z + gW ) = f R(X, Z) + gR(X, W ),
21

com f, g ∈ D(M ), X, Y, Z, W ∈ X (M );
(ii) Para cada X, Y ∈ X (M ), o operador curvatura R(X, Y ) : X (M ) →
X (M ) é linear, ou seja,
R(X, Y )(Z + W ) = R(X, Y )Z + R(X, Y )W
R(X, Y )(f Z) = f R(X, Y )Z,
com f ∈ D(M ) e Z, W ∈ X (M );
(iii) (Primeira identidade de Bianchi) Para quaisquer X, Y, Z ∈ X (M ) vale
R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0.

Demonstração. Ver [5], página 79.

Escolhendo um sistema de coordenadas (x, U ) em torno do ponto p ∈ M ,
∂
onde
=: Xi , escrevamos
∂xi
R(Xi , Xj )Xk =

X

l
Rijk
Xl .

l
l
l
Assim, Rijk
são as componentes da curvatura R em (x, U ) e exprimindo Rijk
em termos dos coeficientes Γkij da conexão Riemanniana, obtemos

s
Rijk
=

X
l

Γlik Γsjl −

X

Γljk Γsil +

l

∂ s
∂ s
Γik −
Γ .
∂xj
∂xi jk

Além disso, é conveniente fazer a seguinte identificação
hR(Xi , Xj )Xk , Xs i =

X

l
Rijk
gls = Rijks .

l

O operador curvatura está intimamente relacionado com o conceito de
curvatura seccional (ou Riemanniana), que passamos a definir.
22

Proposição 1.3.2. Seja σ um espaço bidimensional do espaço tangente Tp M
e x, y ∈ σ dois vetores linearmente independentes. Então
hR(x, y)x, yi
K(x, y) = p
,
|x|2 |y|2 − hx, yi2
não depende da escolha dos vetores x, y ∈ σ.
Demonstração. Ver [5], página 82.

Definição 1.3.2. Sejam p ∈ M e σ ⊂ Tp M um subespaço bidimensional.
O número real K(p, σ) =: K(x, y), onde {x, y} é uma base qualquer de σ, é
chamado de curvatura seccional de σ em p.
O próximo resultado garante que, numa variedade de curvatura seccional
constante, o tensor curvatura pode ser escrito de uma forma mais simples.
Proposição 1.3.3. Sejam M uma variedade Riemanniana, p um ponto de
M e {e1 , . . . , en }, n = dim M uma base ortonormal de Tp M . Escreva Rijkl =
hR(ei , ej )ek , el i, i,j,k,l = 1, . . . , n. Então K(p, σ) = K0 para todo σ ⊂ Tp M
se, e somente se, Rijij = K0 e Rijkl = 0 se i 6= k e j 6= l.
Demonstração. Ver [5], página 84.

Exemplo 1.3.2 (A curvatura de S n ). A curvatura seccional da esfera unitária
S n ⊂ Rn+1 é constante igual a 1. (Ver [5], página 112)
Sejam p ∈ M e x um vetor unitário de Tp M. Definimos a curvatura de
Ricci no ponto p na direção de x por
Ricp (x) =

1
tr(y 7→ R(x, y)x).
n−1

23

Se {e1 , . . . , en−1 , x} é uma base ortonormal de Tp M , então
n−1
n−1
1 X
1 X
Ricp (x) =
hR(x, ei )x, ei i =
K(x, ei ).
n − 1 i=1
n − 1 i=1

Observe que se M tem dimensão 2, então Ricp é a curvatura Gaussiana de
M em p.
Exemplo 1.3.3. Se M é conexa e tem curvatura seccional constante igual
a K, então
Ricp (x) =

1.4

n−1
n−1
1 X
1 X
K(x, ei ) =
K = K.
n − 1 i=1
n − 1 i=1

Algumas funções importantes

O objetivo desta seção é definir alguns operadores que serão usados com
frequência no decorrer da presente dissertação.
Definição 1.4.1 (Gradiente). Dada uma função f ∈ D(M ), definimos o
gradiente de f como sendo o único campo vetorial ∇f ∈ X (M ) que satisfaz
a equação
h∇f, Xi = Xf, para todo X ∈ X (M ).
Definição 1.4.2 (Divergência). Sejam M uma variedade Riemanniana e
X ∈ X (M ) um campo de vetores. A divergência de X é o traço do operador
Y 7→ ∇Y X.
Sejam X um campo diferenciável de vetores em M e {E1 , . . . , En } um
n
X
referencial geodésico em p. Escrevendo X =
xk Ek temos que
k=1

div X =

n
X

h∇Ei X, Ej ihEi , Ej i

i,j=1

24

=
=
=

n
X

h∇Ei

i,j=1
n
X

n
X

xk Ek , Ej ihEi , Ej i

k=1

hEi (xk )Ek , Ej ihEi , Ej i

i,j,k=1
n
X

Ei (xi ), em p ∈ M.

i=1

Definição 1.4.3 (Hessiana). Sejam M uma variedade Riemanniana e f uma
função diferenciável. A Hessiana de f é o tensor simétrico
Hess f : X (M ) × X (M )

→

D(M )

7−→ h∇X ∇f, Y i .

(X, Y )

Definição 1.4.4 (Laplaciano). Seja f : M → R uma função diferenciável.
O Laplaciano de f em M é a função
∆f : M → R
p −
7 → div(∇f ).
Observe que ∇f ∈ D(M ). Se {ξ1 , . . . , ξn } é um referencial ortonormal,
então
n
X
∆f = div(∇f ) = tr(X 7→ ∇X ∇f ) =
h∇ξi ∇f, ξi i = tr(Hess f ).
i=1

Tomando, em p ∈ M , o referencial geodésico {E1 , . . . , En } é possı́vel
expressar o Laplaciano de f por
∆f (p) = div (∇f )(p)
!
n
X
= div
fi Ei (p)
i=1

=

n
X

fii (p).

i=1

25

Lema 1.4.1. Sejam f, g ∈ D(M ). Então
∆(f g) = f ∆g + g∆f + 2h∇f, ∇gi.

Demonstração. Fixe p ∈ M e escolha, em p ∈ M , um referencial geodésico
{E1 , . . . , En } em uma vizinhança de p. Então,

∆(f g)(p) =

n
X

Ek Ek (f g)(p)

k=1

=
=

n
X
k=1
n
X
k=1

Ek (gEk f + f Ek g)(p)
gEk Ek f (p) +

n
X

Ek gEk f (p) +

k=1

n
X
k=1

= f ∆g(p) + g∆f (p) + 2

n
X

Ek gEk f (p) +

n
X

f Ek Ek g(p)

k=1

Ek gEk f (p)

k=1

= f ∆g(p) + g∆f (p) + 2

n
X

gk Ek fk Ek (p)

k=1

= f ∆g + g∆f + 2h∇f, ∇gi(p).

Em particular,
∆f 2 = 2f ∆f + 2|∇f |2 ,
onde |∇f |2 é o quadrado da norma do campo ∇f .
Concluiremos esta seção escrevendo parte do que foi tratado acima em
um sistema de coordenadas locais. Indicaremos, como de costume, ∂x∂ i = Xi .
Seja f ∈ C ∞ (M ), então podemos escrever
Xf =

n
X
i=1

26

xi

∂
f.
∂xi

Seja h , i a métrica Riemanniana, definimos

gij =

∂
∂
,
∂xi ∂xj


,

G−1 = (g ij ),

G = (gij ),

g = det G,

onde i, j = 1, . . . , n. Então
n
X

n
X
∂
∂
Xf =
xi
f=
f=
xi gik g kj
∂x
∂x
i
j
i=1
i,j,k=1

*

+
n 
X
∂
X,
g kj
f
.
∂x
j
k,j=1

Segue-se da definição de gradiente que
n 
X

∇f =

j,k=1

Se Y =

n
X

∂
g
f
∂xj
kj


.

(1.2)

yj Xj é um campo de vetores, então, conforme foi visto na

j=1

seção 1.2, temos que
∇Y X =

n
X

(
yj

Xj (xk ) +

n
X

)
xi Γkij

Xk .

i=1

j,k=1

Agora, pela definição 1.4.1, temos que
divX =

n
X

(
Xj (xj ) +

j=1

n
X

)
xi Γjij

.

i=1

Por outro lado, foi visto na seção 1.2 que
1
Γkij =

n
X

2 l=1

g

kl




∂
∂
∂
glj +
gil −
gij .
∂xi
∂xj
∂xl

Logo

27

(1.3)

n
X
i,j=1

xi Γjij

1
=
2

(

n
X

n
n
X
X
∂
jl ∂
jl ∂
glj +
gil −
gij
xi g
xi g
xi g jl
∂xi
∂xj
∂xl
i,j,l=1
i,j,l=1
i,j,l=1

)

n
n
1 X X jl ∂
=
glj
xi
g
2 i=1 j,l=1 ∂xi


n
1X
−1 ∂
=
xi tr G
G
2 i=1
∂xi
n

1X
∂
(log g).
=
xi
2 i=1 ∂xi

(1.4)

Substituindo (1.4) em (1.3), encontramos
n 
X
∂


1
∂
div X =
(xj ) + xj
(log g)
∂x
2
∂x
j
j
j=1

n 
1 X √ ∂
∂
1√
= √
g
gxj
(xj ) +
(log g)
g j=1
∂xj
2
∂xj
n

1 X ∂
√
(xj g).
= √
g i=1 ∂xj

(1.5)

Usando a definição de Laplaciano e combinando as equações (1.2) e (1.5),
vemos que


n
1 X ∂
∂
ij √
g g
f ,
(1.6)
∆f = √
g i,j=1 ∂xi
∂xj
é a expressão do Laplaciano em coordenadas locais.

1.5

Imersões e segunda forma fundamental

Sejam M e M variedades Riemannianas e f : M → M uma imersão.
Sejam ∇ a conexão Riemanniana de M , X, Y ∈ X (M ) e X, Y ∈ X (M )
extensões locais de X e Y, respectivamente. Seja U ⊂ M um aberto tal que

28

f |U é um mergulho.
Para cada p ∈ M , é possı́vel decompor Tp M na soma direta
Tp M = Tp M ⊕ (Tp M )⊥ ,
onde (Tp M )⊥ é o complemento ortogonal de Tp M em Tp M . Assim, se v ∈
Tp M , podemos escrever
v = vT + vN ,
onde v T ∈ Tp M é a componente tangencial de v e v N ∈ (Tp M )⊥ é a componente normal de v.
Para definir a segunda forma fundamental da imersão f : M → M é
conveniente introduzir previamente a seguinte definição.
Se X, Y são campos locais em M ,
B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y
é um campo local em M normal a M .
Observação 1.5.1. B(X, Y ) não depende das extensões X, Y .
No que se segue, denotaremos por X (U )⊥ o conjunto dos campos diferenciáveis de vetores normais a U ≈ f (U ).
Proposição 1.5.1. Se X, Y ∈ X (U ), a aplicação B : X (U ) × X (U ) →
X (U )⊥ dada por
B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y = ∇X Y

⊥

,

é bilinear e simétrica.
Demonstração. Ver [5], página 108.

29

Seja p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ . A aplicação Hη : Tp M × Tp M → R dada por
Hη (x, y) = hB(x, y), ηi;

x, y ∈ Tp M,

é, pela proposição anterior, uma forma bilinear simétrica.
Definição 1.5.1. A segunda forma fundamental IIη da imersão f segundo
o vetor normal η é a forma quadrática associada a forma bilinear Hη , isto é,
IIη (x) = Hη (x, x).
Como Hη é uma forma bilinear simétrica, a ela está associada uma única
transformação linear auto-adjunta Sη : Tp M → Tp M que satisfaz
hSη (x), yi = Hη (x, y) = hB(x, y), ηi.
O operador Sη é denominado operador (ou 1− tensor ) de Weingarten de
f segundo η. A proposição a seguir expressa o operador de Weingarten em
termos da conexão de M .
Proposição 1.5.2. Sejam p ∈ M, x ∈ Tp M e η ∈ (Tp M )⊥ . Seja N uma
extensão local de η normal a M . Então
Sη (x) = −(∇x N )> .
Demonstração. Ver [5], página 110.

Relacionaremos agora a curvatura de M com a curvatura de M . Se x,
y ∈ Tp M ⊂ Tp M , são linearmente independentes, indicaremos por K(x, y) e
K(x, y) as curvaturas seccionais de M e M , respectivamente, no plano gerado
por x e y.
Teorema 1.5.1 (Gauss). Sejam p ∈ M e x, y vetores ortonormais em Tp M.
30

Então
K(x, y) − K(x, y) = hB(x, x), B(y, y)i − |B(x, y)|2 .
Demonstração. Ver [5], página 111.

Uma imersão f : M → M é geodésica em p ∈ M quando para todo
η ∈ (Tp M )⊥ a segunda forma fundamental Hη é identicamente nula em p. A
imersão f é totalmente geodésica se é geodésica para todo p ∈ M .
Diz-se que uma imersão f : M → M é mı́nima quando para todo p ∈ M
e todo η ∈ (Tp M )⊥ tem-se que o traço de Sη é nulo.
Definição 1.5.2. Escolhendo o referencial ortonormal ξ1 , . . . , ξk de vetores
em (Tp M )⊥ , o vetor curvatura média de f em p é definido por
H=

1X
(tr Sξk )ξk .
n k

Observação 1.5.2. Verifica-se sem dificuldade que f é mı́nima se, e somente
se, H(p) = 0 para todo p ∈ M .

1.5.1

Hipersuperfı́cies
n+1

Seja f : M n → M
uma imersão isométrica. Neste caso, diz-se que
f (M ) ⊂ M é uma hipersuperfı́cie. Às vezes é utilizado o termo hipersuperfı́cie para designar a imersão isométrica f . Se M e M são orientáveis e
estão orientadas, então o vetor unitário η normal a M fica unicamente determinado ao exigirmos que sendo {e1 , . . . , en } uma base na orientação de M ,
{e1 , . . . en , η} seja uma base na orientação de M . Assim, escrevendo II, H,
S para indicar IIη , Hη , Sη , definimos a curvatura média da imersão como
sendo a aplicação
H : M −→ R
p 7−→ tr II.
31

n+1

Tratando-se de uma hipersuperfı́cie f : M n → M , a fórmula de Gauss
admite uma expressão mais simples. De fato, seja η ∈ (Tp M )⊥ unitário e
p ∈ M . Como S : Tp M → Tp M é simétrica, existe uma base ortonormal de
vetores próprios {e1 , . . . , en } de Tp M com valores próprios reais λ1 , . . . , λn ,
i.e., S(ei ) = λi ei , 1 ≤ i ≤ n. Considere uma base ortonormal de Tp M
para a qual S é diagonal, ou seja, S(ei ) = λi ei , onde λi é autovalor próprio
de S para i = 1, . . . , n. Logo, B(ei , ei ) = λi η e B(ei , ej ) = 0, se i 6= j.
Possibilitando-nos escrever a equação de Gauss da seguinte forma
K(ei , ej ) − K(ei , ej ) = λi λj .
No caso em que f : M 2 → R3 , o produto λi λj é conhecido como curvatura
Gaussiana da superfı́cie M 2 . Neste caso, em uma superfı́cie, a curvatura
Gaussiana coincide com a curvatura seccional.

1.6

Aplicação exponencial

Seja M uma variedade Riemanniana. Uma curva α em M é uma
p
geodésica em t ∈ I se ∇α0 (t) α0 (t) = 0. Neste caso, se v(t) = hα0 (t), α0 (t)i é
a velocidade de α, temos que
d 2
d 0
(v (t)) =
hα (t), α0 (t)i
dt
dt

D 0
0
α (t), α (t)
= 2
dt
= 0.
Concluı́mos que se α é geodésica, então o vetor velocidade de α possui norma
constante.
Exemplo 1.6.1. Toda reta r contida em uma superfı́cie S é uma geodésica
de S, pois γ 00 (s) = 0 para todo s ∈ I, onde γ : I → S é uma parametrização
pelo comprimento de arco.

32

Definiremos a seguir a curvatura geodésica de uma curva regular numa
superfı́cie S ⊂ R3 cujo sinal depende da orientacão da curva e da superfı́cie, e
caracterizaremos as geodésicas como sendo as curvas que possuem curvatura
geodésica nula em todos os seus pontos.
Definição 1.6.1. Seja w um campo diferenciável de vetores unitários ao
longo de uma curva parametrizada α : I → S sobre uma superfı́cie orientada
S. Como kw(t)k = 1 para todo t ∈ I, temos que hw0 (t), w(t)i = 0 para
Dw
todo t ∈ I. Portanto,
(t) é paralelo ao vetor N (t) ∧ w(t), isto é, existe
dt
λ(t) ∈ R, tal que
Dw
(t) = λ(t)(N (t) ∧ w(t)),
dt


Dw
(t) , é chamado
onde N (t) = N ◦α(t). O número real λ(t) denotado por
dt
valor algébrico da derivada covariante de w em t.




Dw
dw
Observação 1.6.1. Note que λ(t) =
(t) (t) =
(t), N (t) ∧ w(t) ,
dt
dt
Dw
dw
pois
(t) é a componente tangente de
(t) e N (t) ∧ w(t) é um vetor
dt
dt


Dw
tangente a S em α(t). Além disso, vale observar que o valor algébrico
dt
depende da orientação de S e de α.
Definição 1.6.2. Seja C uma curva regular orientada contida em uma superfı́cie orientada S, e seja α : I → C uma parametrização de C, numa
vizinhança de p ∈ C, pelo comprimento de arco positivamente orientada.
Dα0
O valor algébrico
(s) = kg (s) da derivada covariante de α0 em s é
ds
chamada curvatura geodésica de α em p, onde α(s) = p.
Observação 1.6.2. As geodésicas são as curvas em S que têm curvatura
geodésica nula em todos os seus pontos.
O próximo resultado é consequência do teorema de existência e unicidade
de soluções de equações diferenciais ordinárias.
Proposição 1.6.1. Dados p ∈ M e v ∈ Tp M , existe uma única geodésica
α : I → M tal que α(0) = p e α0 (0) = v.
33

Denotaremos por γv a única geodésica de M que passa por p ∈ M com
velocidade v ∈ Tp M .
Exemplo 1.6.2. Os grandes cı́rculos são as únicas geodésicas da esfera S n .
Os grandes cı́rculos de S n são obtidos intersectando-a com um plano bidimensional que passa pelo centro da esfera. A demonstração desta afirmação
pode ser consultada em [5], página 57.
Definição 1.6.3. Sejam M uma variedade Riemanniana e p ∈ M . A
aplicação exponencial expp : Tp M → M é a aplicação diferenciável


v
expp (v) = γ(1, p, v) = γ |v|, p,
,
|v|
onde γ(t) = γ(t, p, v) é a única geodésica satisfazendo γ(0) = p e γ 0 (0) = v.
Geometricamente, expp é o ponto de M obtido percorrendo a partir de
v
, um comprip sobre a geodésica que passa por p com velocidade igual a
|v|
mento igual a |v|.
Exemplo 1.6.3. Na esfera S 2 , expp (v) está definida para todo v ∈ Tp S 2 ,
uma vez que toda geodésica γ da esfera está definida em toda a reta. Se
v ∈ Tp S 2 , com |v| = 0, 2π, 4π, . . . , (2n + 1)π, então expp v é o ponto antı́poda
−p de p. Para v ∈ Tp S 2 , com |v| = 0, 2π, 4π, . . . , (2n)π, expp (v) é o próprio
p.

1.7

O espaço hiperbólico Hn

Os espaços de curvatura seccional constante destacam-se por serem as
variedades Riemannianas mais simples. Uma importante propriedade dos
espaços de curvatura constante é que eles possuem uma grande quantidade
de isometrias locais.
Na seção (1.3) vimos dois exemplos de variedades Riemannianas de curvatura seccional K constante, a saber, o espaço euclidiano Rn com K ≡ 0
34

e a esfera unitária S n ⊂ Rn+1 com K ≡ 1. Nesta seção introduziremos
uma variedade Riemanniana, o espaço hiperbólico Hn de dimensão n, que
possui curvatura seccional K ≡ −1. Para maiores detalhes sobre o assunto,
sugerimos a referência [6].
O espaço euclidiano Rn , a esfera S n e o espaço hiperbólico Hn constituem
essencialmente as únicas variedades Riemannianas completas e simplesmente
conexas, com curvatura seccional constante. Uma demonstração para esta
afirmação pode ser encontrada no capı́tulo VIII de [5].

1.7.1

O modelo do semi-espaço superior

Apresentaremos a seguir um exemplo de um espaço de curvatura constante −1.
Considere o semi-espaço do Rn dado por
Hn = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; xn > 0}
e introduza em Hn a seguinte métrica
gij (x1 , . . . , xn ) =

δij
.
x2n

(1.7)

Observação 1.7.1. Observe que Hn é simplesmente conexo.
Proposição 1.7.1. O espaço Hn munido da métrica (1.7) é uma variedade
completa cuja curvatura seccional é constante igual a −1. Hn é chamado o
espaço hiperbólico de dimensão n
Demonstração. Ver [5], página 134.

As geodésicas neste modelo são as semi-retas e os semicı́rculos que intersectam o plano {xn = 0} ortogonalmente. Uma demonstração para a
afirmação anterior pode ser encontrada em [5], página 136.
35

1.7.2

Superfı́cies umbı́licas em Hn

Descreveremos a seguir as superfı́cies umbı́licas no espaço hiperbólico, a
saber: as esferas, horosferas e as hiperesferas (ou superfı́cies equidistantes).
As esferas hiperbólicas são as esferas euclidianas que estão totalmente
contidas em Hn . Um esfera em Hn possui curvatura média constante maior
do que 1.

Figura 1.1: Esfera
Uma horoesfera pode ser descrita como uma esfera euclidiana em Rn+
tangente a ∂Hn ou como o hiperplano euclidiano horizontal em Hn . A curvatura média de uma horoesfera é constante igual a 1.

Figura 1.2: Horoesferas
As hiperesferas podem ser caracterizadas pelo fato de serem um conjunto
de pontos equidistantes de um dado hiperplano. Os hiperplanos são exemplos
triviais de hiperesferas. Uma hiperesfera possui curvatura média constante
K ∈ [0, 1).

Figura 1.3: Hiperplanos

36

Figura 1.4: Esferas equidistantes

1.8

Teorema de comparação do Laplaciano

Nesta seção discutiremos resultados fundamentais para a demonstração
do principal teorema do último capı́tulo. Inicialmente demonstraremos um
resultado sobre a Hessiana da função distância e, em seguida, enunciaremos
o teorema de comparação do Laplaciano.
Proposição 1.8.1. Seja r : M
por r(x) = d(x, p), onde d é a
 → R definida

∂ ∂
∂
função distância. Então ∇2 r
,
, vale
= 0. Além disso, se X ⊥
∂r ∂r
∂r


∂
∂
, X = 0, onde
é o vetor velocidade.
∇2 r
∂r
∂r
Demonstração. Aqui usaremos o fato que, para cada w fixado em Tp M , as
∂
curvas r → expp (rw) são geodésicas com o vetor velocidade . Combinando
∂r
esse fato com a definição de Hessiana para a função distância r, temos
2

∇r



∂ ∂
,
∂r ∂r



∂ ∂
∂
r−∇∂
r
∂r
∂r ∂r
∂r
∂
=
(1)
∂r
= 0.
=

Agora, aplicando o lema de Gauss (ver [5], página 59), temos que
∇r =

37

∂
.
∂r

∂
, obtemos
∂r




∂
∂
∂
2
,X
= X r − ∇X
r
∇r
∂r
∂r
∂r


∂ ∂
= − ∇X ,
,
∂r ∂r

Portanto, se X ⊥


pois X

∂
∂r


r = X(1) = 0.

Pela compatibilidade da métrica, encontramos que
2

∇r



∂
,X
∂r



1
=− X
2



∂ ∂
,
∂r ∂r


.

Finalmente, como as geodésicas radiais são parametrizadas por comprimento de arco,


∂
1
2
∇r
, X = − X(1) = 0.
∂r
2

Teorema 1.8.1 (Teorema de comparação do Laplaciano). Seja (M n , g) uma
variedade Riemanniana completa. Suponhamos que a curvatura de Ricci de
M satisfaz Ric(M ) ≥ (n−1)kg. Seja r a distância geodésica ao ponto p ∈ M .
Suponhamos ainda que a função r é diferenciável no ponto x. Então
∆r(x) ≤ ∆rk (x̄),
onde rk (x̄) = r(x) = r0 e r0 < √πk se k > 0. Se a igualdade é satisfeita,
então a curvatura seccional de qualquer plano que contenha o vetor radial,
ao longo de geodésicas ligando p e x, é constante e igual a k.
Demonstração. Ver [9], página 287.


38

Capı́tulo 2
Espaços Warped
Neste capı́tulo introduziremos o espaço produto warped R ×% P2 e mostraremos que o produto warped R ×et R2 é isométrico ao espaço hiperbólico H3 .
Encerraremos o capı́tulo demonstrando que as folhas da folheação {t} × P2
são hipersuperfı́cies totalmente umbı́licas com curvatura média constante
H(t) = (%0 /%)(t).

2.1

Motivação

O produto warped W = I ×% M de um intervalo de reta I por uma
variedade Riemanniana M é o produto topológico I × M munido com a
métrica do produto warped:
∗
ds2 = πI∗ dt2 + (% ◦ πI )2 πM
gM ,

onde % : I → (0, ∞) é uma função suave positiva e πI , πM são as projeções
ortogonais de I × M sobre seus fatores correspondentes.
O estudo desta classe de variedades Riemannianas foi motivado a partir
de um artigo de S. Montiel [10] no qual são classificadas as variedades Riemannianas que são isométricas (localmente ou globalmente) a um produto
39

warped deste tipo.
Nesta classe de variedades Riemannianas incluem-se as variedades de
curvatura constante.
δij
Proposição 2.1.1. O espaço hiperbólico H3 com a métrica gij (x, y, z) = 2
z
é isométrico ao espaço warped R ×et R2 .
Demonstração. Considere o espaço W 3 = R ×et R2 e introduza em W 3 a
métrica Riemanninana ds2 = dt2 + e2t (du2 + dv 2 ). Seja H3 = {(x, y, z) ∈
R3 ; z > 0}. Defina a aplicação
W3
−→ H3
(t, u, v) 7−→ (x, y, z) = (u, v, e−t ).

f :

Temos que f é diferenciável, pois suas funções coordenadas são diferenciáveis
e, como z > 0, temos que
f −1 :

H3
−→ W 3
(x, y, z) 7−→ (t, u, v) = (−ln(z), x, y)

é diferenciável. Assim, f é um difeomorfismo e podemos introduzir um produto interno em H3 fazendo
hdfp (w1 ), dfp (w2 )if (p) = hw1 , w2 ip ,
o que torna f uma isometria.
Sabemos que


∂
∂t

dfp

dfp
e


dfp


= a11

∂
∂u

∂
∂v

∂
∂
∂
+ a21
+ a31 ,
∂x
∂y
∂z


= a12


= a13

∂
∂
∂
+ a22
+ a32
∂x
∂y
∂z

∂
∂
∂
+ a23
+ a33 .
∂x
∂y
∂z
40

Por outro lado,
 df

df1
du
df2
du
df3
du

1

 dt

 df2
(dfp ) = 
 dt


df3
dt

df1 
dv 

df2 
,
dv 


df3
dv

e, portanto,


 

0
1 0
a11 a12 a13

 

(dfp ) =  0
0 1  =  a21 a22 a23  .
−e−t 0 0
a31 a32 a33
Então


dfp

∂
∂t



∂
∂
∴
= −et dfp
= (−e )
∂z
∂z
 
∂
∂
=
dfp
∂u
∂x
−t

e





dfp

∂
∂v

∂
∂u





∂
∂u



∂
∂v



∂
∂v





∂
∂t


,

∂
.
∂y

=

Logo


∂ ∂
,
∂x ∂x





∂ ∂
,
∂y ∂y

∂ ∂
,
∂z ∂z




=


dfp

f (p)




=

dfp

f (p)




=
f (p)



t

−e dfp



∂
∂t

, dfp




, dfp

t



, −e dfp

41


=

f (p)

∂
∂t


=

f (p)

∂ ∂
,
∂u ∂u

∂ ∂
,
∂v ∂v


=e
f (p)

2t





= e2t =

1
,
z2

= e2t =

1
,
z2

p


p

∂ ∂
,
∂t ∂t



= e2t =
p

1
,
z2







∂ ∂
,
∂x ∂y

∂ ∂
,
∂x ∂z



∂ ∂
,
∂y ∂z






=


dfp

f (p)


=


dfp

f (p)


=
f (p)


dfp

∂
∂u

∂
∂u



∂
∂v






, dfp

, −et dfp

t

, −e dfp





∂
∂v



∂
∂t



∂
∂t




=
f (p)

∂ ∂
,
∂u ∂v

= −et



f (p)

= −e

t



f (p)




=0=

∂ ∂
,
∂y ∂x

∂ ∂
,
∂u ∂t





∂ ∂
,
∂v ∂t



p

=0=
p


=0=
p


,

∂ ∂
,
∂z ∂x



∂ ∂
,
∂z ∂y



,

.

δij
Portanto o espaço H3 com a métrica gij (x, y, z) = 2 é isométrico à
z
variedade W 3 .


2.2

O espaço produto M 3 = R ×% P2

Sejam P2 uma superfı́cie Riemanniana completa e M 3 = R ×% P2 a variedade produto R × P2 dotada com a seguinte métrica Riemanniana warped
h , i = dt2 + %2 (t) h , iP2
onde % : R → (0, +∞) é suave.
Em M 3 = R × P2 a métrica se expressa matricialmente por



1
0
0


G = (g ij ) =  0 %2 g11 %2 g12  ,
0 %2 g21 %2 g22
onde
g11 g12
g21 g22

G = (gij ) =
42

!

é métrica em P2 .
Escreveremos

1
0
0
−1


G = (g ij ) =  0 %−2 g 11 %−2 g 12 
0 %−2 g 21 %−2 g 22


e
G−1 = (g ij ) =

g 11 g 12
g 21 g 22

!

para indicar as matrizes inversas de G e G, respectivamente.
k

Denotaremos por Γij e Γ̂kij , respectivamente, os sı́mbolos de Christoffel
¯ e ∇,
ˆ onde ∇
¯ é uma representação para a conexão de Levidas conexões ∇
ˆ representa a conexão de Levi-Civita em P2 . Com o intuito
Civita em M 3 e ∇
de não sobrecarregar a notação, quando for conveniente faremos a seguinte
identificação (x1 , x2 , x3 ) ∼ (t, u, v).
Para calcular os sı́mbolos de Christoffel vale lembrar que
1
Γkij =

3 
X
∂

2 m=1


∂
∂
gjm +
gmi −
gij g mk ,
∂xi
∂xj
∂xm

donde concluı́mos que

1

Γ11 = 0,
2
Γ22




∂
1
∂
∂
22
g 22 g +
2 g 23 −
g 22 g 32
∂u
2
∂u
∂v




1 ∂
1
∂
∂
11
=
g11 g +
2 g12 −
g11 g 21
2 ∂u
2
∂u
∂v
1
=
2



= Γ̂111 ,

43

3
Γ33




1
∂
∂
∂
33
g
g +
g
g 23
2 g 23 −
∂v 33
2
∂v
∂u 33




1 ∂
1
∂
∂
22
=
g22 g +
2 g12 −
g22 g 12
2 ∂v
2
∂v
∂v
1
=
2



= Γ̂222 ,
2

3

Γ11 = Γ11 = 0,
1

Γ22 = −%%0 g11 ,
3
Γ22




∂
∂
1
∂
23
2 g 23 −
g 22 g +
g 22 g 33
∂u
2
∂u
∂v




1 ∂
∂
1
∂
12
=
g11 g +
g11 g 22
2 g12 −
2 ∂u
2
∂u
∂v
1
=
2



= Γ̂211 ,
1

Γ33 = −%%0 g22 ,
2
Γ33




∂
1
∂
∂
32
g
g +
2 g 32 −
g
g 22
∂v 33
2
∂v
∂u 33




1
∂
1 ∂
∂
21
g22 g +
g22 g 11
=
2 g21 −
2 ∂v
2
∂v
∂u
1
=
2



= Γ̂122 ,
1

1

2

2

2
Γ23

2
Γ32

1

1

Γ12 = Γ21 = Γ13 = Γ31 = 0,
Γ21 = Γ12 =

=

%0
,
%




∂
1 ∂
22
g 22 g +
g 33 g 32
∂v
2 ∂u




1 ∂
1
∂
11
=
g11 g +
2 g22 g 21
2 ∂v
2
∂u
1
=
2



= Γ̂112 = Γ̂121 ,

44

3

3

Γ31 = Γ13 =
3
Γ32

%0
,
%




∂
1 ∂
23
=
g 22 g +
g 33 g 33
∂v
2 ∂u




1
∂
1 ∂
12
g11 g +
2 g22 g 22
=
2 ∂v
2
∂u
3
Γ23

1
=
2



= Γ̂221 = Γ̂212 ,
3

3

2

2

1

1

Γ12 = Γ21 = 0,
Γ13 = Γ31 = 0,
e

Γ23 = Γ32 = −%%0 g12 .
Para o cálculo das curvaturas seccionais do espaço R ×% P2 , observemos
que
R1212 =

3
X

l

2

3

l

2

3

l

2

3

R121 g l2 = R121 %2 g11 + R121 %2 g21 ,

l=1

R1313 =

3
X

R131 g l3 = R131 %2 g12 + R131 %2 g22

l=1

e

R2323 =

3
X

R232 g l3 = R232 %2 g12 + R232 %2 g22 .

l=1

A curvatura seccional segundo o plano gerado por
que

∂
∂
,
são ortogonais)
∂x1 ∂x2
2

3

∂
∂
,
é (observe
∂x1 ∂x2

3

R1212
R %2 g11 + R121 %2 g21
R g21
2
K 12 =
= 121
= R121 + 121 .
2
g 11 g 22
% g11
g11

45

Por outro lado,
2
R121

=

3
X

3
X
∂ 2
∂ 2
l
2
l
2
Γ11 Γ2l −
Γ21 Γ1l +
Γ11 − Γ21
∂u
∂t
l=1
l=1
2

2

= −Γ21 Γ12 −
= −

∂ 2
Γ
∂t 21

%00
%

e
3
R121

=

3
X

3
X
∂ 3
∂ 3
l
3
l
3
Γ11 Γ2l −
Γ21 Γ1l +
Γ11 − Γ21
∂u
∂t
l=1
l=1

= 0.

Portanto
2

K 12 = R121 = −
No plano gerado por
(lembrando que

%00
.
%

∂
∂
,
temos a seguinte curvatura seccional
∂x1 ∂x3

∂
∂
,
são ortogonais)
∂x1 ∂x2
2

3

2

R1313
R %2 g12 + R131 %2 g22
R g12
3
K 13 =
= 131
= 131
+ R131 .
2
g 11 g 33
% g22
g22
Porém
2
R131

=

3
X

3
X
∂ 2
∂ 2
l
2
l
2
Γ11 Γ3l −
Γ31 Γ1l +
Γ11 − Γ31 = 0
∂v
∂t
l=1
l=1

46

e
3
R131

=

3
X

3
X
∂ 3
∂ 3
l
3
l
3
Γ11 Γ3l −
Γ31 Γ1l +
Γ11 − Γ31
∂v
∂t
l=1
l=1
3

3

= −Γ31 Γ13 −
= −

∂ 3
Γ
∂t 31

%00
.
%

Logo
3

K 13 = R131 = −

%00
.
%

A curvatura seccional segundo o plano gerado por
2

∂
∂
,
é dada por
∂x2 ∂x3

3

2

3

R2323
R232 %2 g12 + R232 %2 g22
R g12 + R232 g22
K 23 =
=
= 2232
.
2
2
2
4
2
g 22 g 33 − (g 23 )
% g11 % g22 − % (g12 )
% [g11 g22 − (g12 )2 ]
Mas
2

R232 =

3
X

l

2

Γ22 Γ3l −

l=1

3
X

l

2

Γ32 Γ2l +

l=1

1

2

3

2

2

2

3

2

∂ 2
∂ 2
Γ22 −
Γ
∂v
∂u 32
1

2

2

2

= Γ22 Γ31 + Γ22 Γ32 + Γ22 Γ33 − Γ32 Γ21 − Γ32 Γ22
− Γ32 Γ23 +

∂ 2
∂ 2
Γ22 −
Γ
∂v
∂u 32

1
= R121
+ (%0 )2 g21

e
3
R232

=

3
X

3
X
∂ 3
∂ 3
l
3
l
3
Γ22 Γ3l −
Γ32 Γ2l +
Γ22 −
Γ
∂v
∂u 32
l=1
l=1
1

3

2

3

3

3

1

3

2

3

= Γ22 Γ31 + Γ22 Γ32 + Γ22 Γ33 − Γ32 Γ21 − Γ32 Γ22

47

3

3

− Γ32 Γ23 +

∂ 3
∂ 3
Γ22 −
Γ
∂v
∂u 32

2
= R121
− (%0 )2 g11

Portanto
K 23 =
=

2
1
g22 − (%0 )2 g11 g22
g12 + (%0 )2 (g12 )2 + R121
R121
%2 [g11 g22 − (g12 )2 ]
2
1
g22
g12 + R121
R121
(%0 )2 [g11 g22 − (g12 )2 ]
−
%2 [g11 g22 − (g12 )2 ]
%2 [g11 g22 − (g12 )2 ]

KP
=
−
%2

 0 2
%
,
%

onde KP é a curvatura de P2 .
Em suma, as curvaturas seccionais de M 3 = R ×% P2 são

%00


K 12 = K 13 = −


%


2
K ij =
%0
KP


K = 2 −
.


 23
%
%
Segue que o produto warped R ×% P2 possui curvatura constante κ se, e
somente se, P2 tem curvatura constante c e % satisfaz as seguintes equações
diferenciais: %00 = −κ% e (%0 )2 + c%2 = κ.
Exemplo 2.2.1. Considere o espaço W 3 = R ×et R2 , i.e., W 3 é a variedade
produto R × R2 dotada com a seguinte métrica
h , i = dt2 + e2t h , iR2 .
As curvaturas seccionais de W 3 são dadas por

48


et


K
=
K
=
−
= −1

13
 12
et
K ij =
 t 2

K
e

R

= −1.
 K 23 = 2t −
e
et
Fazendo uso da Proposição 1.3.3, concluı́mos que a curvatura seccional de
W 3 = R ×et R2 é constante e igual a −1.

2.3

Folheação de M 3

A famı́lia de superfı́cies Pt = {t} × P2 forma uma folheação de M 3 por
folhas totalmente umbı́licas com curvatura média constante
H(t) = (log %)0 (t) = (%0 /%)(t).
Com efeito, é conhecido que
∇Xj Xi =

X

Γkij Xk

k

e, portanto,
 0
3
X
∂
%
k
1 ∂
2
3
¯
∇Xu =
Γ12 Xk = Γ12 + Γ12 Xu + Γ12 Xv =
Xu
∂t k=1
∂t
%
e

 0
3
X
%
∂
k
1 ∂
2
3
¯ Xv
∇
=
Γ13 Xk = Γ13 + Γ13 Xu + Γ13 Xv =
Xv .
∂t k=1
∂t
%

Donde
A(Xu ) = −

%0
Xu
%

A(Xv ) = −

%0
Xv ,
%

e

49

utilizamos acima os valores dos simbolos de Christoffel obtidos na seção anterior.
Por sua vez, os coeficientes da segunda forma fundamental são

%0
%0


h
=
hA(X
),
X
i
=
−
hX
,
X
i
=
−
g11

11
u
u
u
u


%
%




%0
%0



hX
,
X
i
=
−
g12
h
=
hA(X
),
X
i
=
−
u
v
12
u
v

%
%
hij =

%0
%0


h
=
hA(X
),
X
i
=
−
hX
,
X
i
=
−
g21

21
v
u
v
u

%
%





%0
%0


 h22 = hA(Xv ), Xv i = − hXv , Xv i = − g22
%
%
e, portanto, a matriz da segunda forma fundamental é dada por


%0
%0
− g11 − g12
%0


%
%
=
−
gij .
hij = 

%0
%0
%
− g21 − g22
%
%
Logo as folhas da folheação Pt são totalmente umbı́licas.

A Matriz de Weingarten é


%0
%0
− g11 − g12


%
%
W = −hij g ij = − 

%0
%0
− g21 − g22
%
%

11

12

g
g
21
g
g 22

!

Logo
1
%0
H = tr(W) =
2
%
e

Kg = det(W) =

%0
%

2

são as curvaturas média e Gaussiana, respectivamente.

50

%0

= %
0


0




%0  .
%

Capı́tulo 3
Resultados Principais
Iniciaremos este capı́tulo introduzindo conceitos que serão diretamente aplicados na demonstração dos teoremas descritos na última seção do presente
capı́tulo.
O objetivo principal deste capı́tulo é apresentar a demonstração do seguinte teorema:
Em um slab de R ×% P2 com fronteira Pt1 ∪ Pt2 não há superfı́cie Σ2
completa propriamente imersa com curvatura média satisfazendo
~ < min H(t).
sup ||H||
Σ

[t1 ,t2 ]

O teorema acima foi demonstrado por J. Alı́as e M. Dajczer em [2].
No Teorema acima, as folhas da folheação Pt = {t} × P2 são hipersuperfı́cies totalmente umbı́licas com curvatura média constante
H(t) = (log %)0 (t) = (%0 /%)(t).

No contexto do teorema anterior, há dois casos a considerar para os
quais H(t) = H0 é constante. Se % = 1, então H0 = 0 e o espaço ambiente
51

é exatamente o produto Riemanniano M 3 = R × P2 . No caso % = et , temos
H0 = 1 e M 3 = R ×et P2 . Neste último, M 3 pertence à classe de variedades
chamada em [11] de espaço pseudo-hiperbólico.
Finalizaremos abordando mais um resultado devido a J. Alı́as e M. Dajczer (ver Teorema 4 de [2]).

3.1

Considerações iniciais

Ao longo deste capı́tulo, M 3 = R ×% P2 denota a variedade produto
completa dotada da seguinte métrica Riemanniana warped
h , i = πR∗ (dt2 ) + %2 (πR )πP∗ (h , iP )

(3.1)

onde % : R → (0, +∞) é uma função warping, πR e πP são as projeções
canônicas de R × P2 em cada fator, e h , iP é uma métrica Riemanniana em
P2 .
Admitiremos ainda que P2 é completa, possui curvatura Gaussiana não
negativa, e a curvatura geodésica dos cı́rculos geodésicos (partindo de um
ponto fixado p0 ) de raio r̂ ≥ r0 > 0 satisfaz kg ≥ −c/r̂ para alguma constante
positiva c.
Seja Σ2 uma superfı́cie Riemanniana. A função altura h ∈ C ∞ (Σ) ao
longo da imersão isométrica f : Σ2 → R ×% P2 é definida por
h = πR ◦ f.
Definição 3.1.1. Diz-se que uma superfı́cie está em um slab quando sua
função altura está limitada de ambos os lados.

52

3.2

Resultados auxiliares

Fixada uma orientação para R, considere T ∈ T R denotando um campo
vetorial regular unitário e, simultaneamente, seu levantamento para um campo
¯ R = ∂/∂t = T ,
vetorial em T M . Portanto, o gradiente de πR ∈ C ∞ (M ) é ∇π
e o gradiente de h ∈ C ∞ (Σ) é
¯ R )> = T − hT, N i N,
∇h = (∇π

(3.2)

onde h , i é referente a métrica Riemanniana em Σ2 , ( )> denota a componente tangencial do campo vetorial ao longo da imersão, e N é um campo
vetorial (local) regular normal e unitário.
Proposição 3.2.1. Se Z ∈ T M é um levantamento do campo vetorial Z ∈
¯ a conexão de Levi-Civita em M 3 . Então ∇
¯TT = 0 e
T P, e ∇
0
¯ ZT = ∇
¯ T Z = T (log %)Z = % Z = HZ,
∇
%

(3.3)

onde H = (log %)0 = %0 /%.
Demonstração. De fato, conhecemos a seguinte relação
¯ X Xi =
∇
j

X

k

Γij Xk .

k

Daı́,
¯TT =
∇

3
X

k

1

Γ11 Xk = Γ11

k=1

∂
2
3
+ Γ11 Xu + Γ11 Xv = 0,
∂t
1

2

3

pois, conforme cálculos feitos na seção 2.2, os sı́mbolos Γ11 = Γ11 = Γ11 = 0.
Temos ainda
¯ Xu T =
∇

3
X
k=1

k
1 ∂
Γ12 Xk = Γ12

∂t

2
3
+ Γ12 Xu + Γ12 Xv =

53



%0
%


Xu ,

3
X

¯ Xv T =
∇

k
1 ∂
Γ13 Xk = Γ13

∂t

k=1

¯ T Xu =
∇

3
X

k
1 ∂
Γ21 Xk = Γ21

2
3
+ Γ21 Xu + Γ21 Xv =

k
1 ∂
Γ31 Xk = Γ31

2
3
+ Γ31 Xu + Γ31 Xv =

∂t

k=1

e
¯ T Xv =
∇

3
X

2
3
+ Γ13 Xu + Γ13 Xv =

∂t

k=1







%0
%


Xv ,

%0
%



%0
%



Xu

Xv ,

vale lembrar, mais uma vez, que os sı́mbolos de Christoffel foram calculados
na seção 2.2.
Assim, se Z = aXu + bXv ∈ T M e a, b ∈ R, temos
¯TZ = ∇
¯ T (aXu + bXv ) = ∇
¯ T (aXu ) + ∇
¯ T (bXv )
∇
¯ T (Xu ) + T (a)Xu + (b∇
¯ T Xv + T (b)Xv )
= (a∇
 0 
 0 
%
%
¯
¯
= a∇ T X u + b ∇ T X v = a
Xu + b
Xv
%
%
=

%0
%0
(aXu + bXv ) =
Z = T (log %)Z = HZ
%
%

e
¯ ZT = ∇
¯ aXu +bXv T = a∇
¯ Xu T + b∇
¯ Xv T
∇
 0 
 0 
%
%
= a
Xu + b
Xv
%
%
=

%0
%0
(aXu + bXv ) =
Z
%
%

= T (log %)Z = HZ,
onde a igualdade H = log % = %0 /% encontra-se demonstrada na seção 2.3.

Por simplicidade, usaremos a mesma notação para um campo vetorial
em P2 e seu levantamento para M 3 , bem como para as funções em R (i.e., % e
54

%0 ) e seus levantamentos para M 3 (i.e., % ◦ πR e %0 ◦ πR ). Mais tarde usaremos
que
¯ ZW = ∇
ˆ Z W − H hZ, W i T,
∇
(3.4)
ˆ é a conexão de
onde Z, W ∈ T M são levantamentos de campos em T P, e ∇
Levi-Civita em P2 .
Com a finalidade de demonstrar a afirmação anterior, considere, em p,
¯ Z W = aE1 + bE2 + cE3 ,
o referencial geodésico {E1 , E2 , E3 = T } e escreva ∇
E1 , E2 ∈ T P. Observe que
¯ Z W, E1 iM = ZhW, E1 iM − hW, ∇
¯ Z E1 iM = Z(%2 hW, E1 iP )
h∇
= Z(%2 )hW, E1 iP + %2 ZhW, E1 iP
ˆ Z W, E1 iP
= 2%Z(%)hW, E1 iP + %2 h∇
=

2
ˆ Z W, E1 iM
Z(%)hW, E1 iM + h∇
%

e, de forma análoga é possı́vel obter
¯ Z W, E2 iM = 2 Z(%)hW, E2 iM + h∇
ˆ Z W, E2 iM .
h∇
%
Além disso,
¯ Z W, E3 iM = h∇
¯ Z W, T iM = ZhW, T iM − hW, ∇
¯ Z T iM = −hW, HZiM .
h∇
Portanto
¯ ZW =
∇


2 
X
Z(%)
ˆ
hW, Ei iM + h∇Z W, Ei iM Ei + (−hW, HZiM )E3
2
%
i=1

= 2

Z(%)
ˆ Z W − HhW, ZiT = ∇
ˆ Z W − HhW, ZiT.
W +∇
%

Note que (3.3) é tensorial em Z e, portanto, se mantém para cada Z ∈
T M satisfazendo hZ, T i = 0. Para todo campo vetorial V ∈ T M , temos que
¯VT = ∇
¯ V −hV,T iT T = H(V − hV, T i T ).
∇

55

(3.5)

Em particular, observe que Y = %T ∈ T M determina um campo vetorial
conforme não nulo em R ×% P2 uma vez que
¯ V Y = Y (log %)V = %T (log %)V = %
∇



%0
%



V = %0 V

para cada V ∈ T M .
De (3.2) e (3.5), obtemos
¯ X T = H(h)(X − hX, ∇hi T ) para cada X ∈ T Σ.
∇
Com efeito, note que, devido à equação (3.2), T = ∇h + hT, N iN . Se X ∈
T Σ, então
¯ XT = ∇
¯ X−hX,T iT T
∇
¯ X−hX,∇h+hT,N iN iT T
= ∇
¯ X−hX,∇hiT T
= ∇
= H(h)(X − hX, ∇hiT ).
Segue que
¯ X (T − hT, N i N ))> = (∇
¯ X T − hT, N i ∇X N ))>
∇X (∇h) = (∇
= H(h)(X − hX, ∇hi (T − hT, N iN )) − hT, N i(−AX)
= H(h)(X − hX, ∇hi ∇h) + hN, T i AX para cada X ∈ T Σ,
onde ∇ é a conexão de Levi-Civita em Σ2 e A = AN denota a segunda forma
fundamental de f .
~ o campo vetorial curvatura média de f , então o
Proposição 3.2.2. Seja H
Laplaciano de h é dado por
~ T i.
∆h = H(h)(2 − k∇hk2 ) + 2hH,

56

(3.6)

Demonstração. De fato, se {Ei }i=1,2 uma base ortonormal para Σ2 temos que
2
X
∆h = div(∇h) =
hEi , ∇Ei ∇hi.
i=1

Daı́,
∆h =

2
X
hEi , H(h)(Ei − hEi , ∇hi∇h) + hN, T iAEi i
i=1

= H(h)

2
X

hEi , Ei i − H(h)

i=1
2
X

+ hN, T i

2
X

hEi , ∇hihEi , ∇hi

i=1

hEi , AEi i

i=1

= 2H(h) − H(h)k∇hk2 + hN, T i2H
~ T i.
= 2H(h) − H(h)k∇hk2 + hH,

Em seguida, observe que cada função ψ̂ ∈ C ∞ (P) define uma função
ψ̄ ∈ C ∞ (M ) do seguinte modo
ψ̄(t, x) = ψ̂(x).
Por sua vez, podemos associar a ψ̂ ∈ C ∞ (P) uma função ψ ∈ C ∞ (Σ) definida
por ψ = ψ̄ ◦ f .
¯ ψ̄ = %−2 ∇
ˆ ψ̂.
Proposição 3.2.3. Nas condições acima, provaremos que ∇
Demonstração. Com efeito, de (1.2) obtemos
ˆ ψ̂ =
∇

h
i
1
(g
ψ̂
−
g
ψ̂
)X
+
(−g
ψ̂
+
g
ψ̂
)X
22 u
12 v
u
12 u
12 v
v
g11 g22 − (g12 )2

(3.7)

e
¯ ψ̄ = %−2
∇

h
i
1
(g
ψ̂
−
g
ψ̂
)X
+
(−g
ψ̂
+
g
ψ̂
)X
.
22
u
12
v
u
12
u
12
v
v
g11 g22 − (g12 )2
57

Combinando a equação anterior com (3.7), encontramos
¯ ψ̄ = %−2 ∇
ˆ ψ̂.
∇

Lema 3.2.1. Ao longo de f : Σ2 → R ×% P2 temos que
¯ ψ̄ = ∆ψ − 2(hH,
~ N i + H(h)hN, T i)hN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iP + ∇
ˆ 2 ψ̂(N ∗ , N ∗ ),
∆

(3.8)

onde N é um campo vetorial (local) regular normal unitário e N ∗ = πP∗ (N ) =
N − hN, T iT .
¯ ψ̄ = ∇ψ + (∇
¯ ψ̄)⊥ , onde ( )⊥ denota a componente
Demonstração. Como ∇
normal do campo vetorial ao longo de f , então as Hessianas de ψ̄ e ψ estão
relacionadas por
¯ ψ̄)⊥ , Xi = h∇X (∇
¯ ψ̄ − ∇ψ), Xi
h−A(∇¯ ψ̄)⊥ X, Xi = h∇X (∇
¯ X∇
¯ ψ̄, Xi − h∇X ∇ψ, Xi
= h∇
¯ 2 ψ̄(X, X) − ∇2 ψ(X, X),
= ∇
i.e,
¯ 2 ψ̄(X, X) = ∇2 ψ(X, X) − hA(∇¯ ψ̄)⊥ X, Xi
∇
onde X ∈ T Σ. Portanto, se {Ei }i=1,2 é uma base ortonormal, então, ao longo
da imersão, temos que
¯ ψ̄ =
∆

2
X

¯ 2 ψ̄(Ei , Ei) + ∇
¯ 2 ψ̄(N, N )
∇

i=1
2

= ∇ ψ(E1 , E1 ) + ∇2 ψ(E2 , E2 ) − hA(∇¯ ψ̄)⊥ E1 , E1 i
¯ 2 ψ̄(N, N )
− hA(∇¯ ψ̄)⊥ E2 , E2 i + ∇
~ ∇
¯ ψ̄i + ∇
¯ 2 ψ̄(N, N ).
= ∆ψ − 2hH,

58

(3.9)

¯ ψ̄ = %−2 ∇
ˆ ψ̂. Além disso, de (3.4) obtemos que
Pela Proposição 3.2.3, ∇
¯ N∗∇
ˆ ψ̂ = ∇
ˆ N∗∇
ˆ ψ̂ − H(h)hN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iT
∇
¯T∇
ˆ ψ̂ = H∇
ˆ ψ̂. Assim,
e de (3.3) que ∇
¯ N∇
¯ ψ̄ = ∇
¯ N (%−2 ∇
ˆ ψ̂) = N (%−2 )∇
ˆ ψ̂ + %−2 ∇
¯ N∇
ˆ ψ̂
∇
ˆ ψ̂ + %−2 ∇
¯ N∇
ˆ ψ̂
= (N ∗ + hN, T iT )(%−2 )∇
ˆ ψ̂ + %−2 ∇
¯ N∇
ˆ ψ̂
= [N ∗ (%−2 ) + hN, T iT (%−2 )]∇
ˆ ψ̂ + %−2 ∇
¯ N∇
ˆ ψ̂
= hN, T iT (%−2 )∇
ˆ ψ̂ + %−2 ∇
¯ N ∗ +hN,T iT ∇
ˆ ψ̂
= hN, T iT (%−2 )∇
ˆ ψ̂ + %−2 ∇
¯ N∗∇
ˆ ψ̂ + %−2 hN, T i∇
¯T∇
ˆ ψ̂
= hN, T iT (%−2 )∇
ˆ ψ̂ + %−2 (∇
ˆ N∗∇
ˆ ψ̂ − HhN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iT )
= hN, T iT (%−2 )∇
¯T∇
ˆ ψ̂
+ %−2 hN, T i∇
ˆ ψ̂ + %−2 ∇
ˆ N∗∇
ˆ ψ̂ − %−2 HhN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iT
= −2%−3 hN, T iT (%)∇
¯T∇
ˆ ψ̂
+ %−2 hN, T i∇
ˆ ψ̂ + %−2 ∇
ˆ N∗∇
ˆ ψ̂ − HhN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iP T
= −2%−2 (%0 /%)hN, T i∇
¯T∇
ˆ ψ̂
+ %−2 hN, T i∇
ˆ ψ̂ + %−2 ∇
ˆ N∗∇
ˆ ψ̂ − HhN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iP T
= −2%−2 HhN, T i∇
ˆ ψ̂
+ %−2 HhN, T i∇
ˆ ∗∇
ˆ ψ̂ − %−2 HhN, T i∇
ˆ ψ̂ − HhN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iP T
= %−2 ∇
N

ˆ N∗∇
ˆ ψ̂ − HhN, T i∇
ˆ ψ̂ − HhN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iP T,
= %−2 ∇
onde % = %(h) e H = H(h), e portanto, tomando o produto interno por N ,
obtemos
¯ N∇
¯ ψ̄, N i = %−2 h∇
ˆ N∗∇
ˆ ψ̂ − HhN, T i∇
ˆ ψ̂, N i − HhN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iP hT, N i
h∇
ˆ N∗∇
ˆ ψ̂ − HhN, T i∇
ˆ ψ̂, N ∗ + hN, T iT i
= %−2 h∇
ˆ ψ̂iP
− HhN, T ihN ∗ , ∇
ˆ N∗∇
ˆ ψ̂, N ∗ iP − HhN, T ih∇
ˆ ψ̂, N ∗ iP
= h∇

59

ˆ ψ̂iP
− HhN, T ihN ∗ , ∇
ˆ N∗∇
ˆ ψ̂, N ∗ iP − 2HhN, T ihN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iP ,
= h∇
isto é,
ˆ ψ̂iP .
ˆ 2 ψ̂(N ∗ , N ∗ ) − 2HhN, T ihN ∗ , ∇
¯ 2 ψ̄(N, N ) = ∇
∇

(3.10)

Por outro lado,
~ ∇
¯ ψ̄i = hHN, %−2 ∇
ˆ ψ̂i
hH,
ˆ ψ̂i
= H%−2 hN ∗ + hN, T iT, ∇
ˆ ψ̂i,
= H%−2 hN ∗ , ∇
mas
~ N i = hHN, N i = H.
hH,
obtemos, portanto, a seguinte equação
~ ∇
¯ ψ̄i = hH,
~ N i%−2 hN ∗ , ∇
ˆ ψ̂i = hH,
~ N ihN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iP .
hH,

(3.11)

Logo, segue de (3.8) e (3.11) que
¯ ψ̄ = ∆ψ − 2hH,
~ N ihN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iP + ∇
¯ 2 ψ̄(N, N ).
∆
Agora, aplicando (3.10) à equação anterior temos
¯ ψ̄ = ∆ψ − 2hH,
~ N ihN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iP + ∇
ˆ 2 ψ̂(N ∗ , N ∗ ) − 2HhN, T ihN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iP ,
∆
i.e,
¯ ψ̄ = ∆ψ − 2(hH,
~ N i + HhN, T i)hN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iP + ∇
ˆ 2 ψ̂(N ∗ , N ∗ ).
∆

Definição 3.2.1. Seja M uma variedade Riemanniana. Dizemos que uma

60

aplicação diferenciável f : M → R é subharmônica se
∆f ≥ 0,
onde ∆f é o operador Laplaciano de f . Se −f é subharmônica, então diz-se
que f é superharmônica.
Definição 3.2.2. Diz-se que uma variedade Riemanniana M é parabólica
quando não admite uma função subharmônica não constante limitada superiormente.
Lema 3.2.2. Seja (M, g) uma variedade compacta. Então, toda aplicação
f : M → R subharmônica em M é constante.
Demonstração. Sejam f : M → R uma aplicação diferenciável e (M, g) uma
variedade diferenciável compacta. Então, pelo teorema de divergência temos
que
Z
∆f dµg = 0.
M

Mas, por hipótese, ∆f ≥ 0, pois f é subharmônica. Então, concluı́mos que
∆f = 0.
Por outro lado,
∆f 2 = 2f ∆f + 2|∇f |2 .
Logo
∆f 2 = |∇f |2 ≥ 0.
Segue que f 2 é subharmônica. Aplicando o teorema de divergência, obtemos
que
Z
Z
∆f 2 dµg =

M

2|∇f |2 dµg = 0.

M

Temos pela equação anterior que ∇f = 0 e, portanto, f é constante.

Lema 3.2.3. (Khas’minskii) Seja M uma variedade Riemanniana. Se existir
uma função g ∈ C ∞ (M ) superharmônica fora de um conjunto compacto K
tal que g(x) → +∞ quando x → ∞, então M é parabólica.
61

Demonstração. Ver [8], página 168.

Lema 3.2.4. Seja ψ̂ = log r̂, onde r̂(q) = dP (p0 , q). Então
ˆ − r̂−1 ≤ 0.
∆r̂

Demonstração. Na demonstração deste resultado faremos uso do teorema de
comparação do Laplaciano, que nos servirá para comparar o Laplaciano da
função distância em P2 com o Laplaciano da função distância em R2 .
p
Escrevendo r0 = |x| = x21 + x22 , temos que

∂2
∂
r =
2 0
∂x1
∂x1
p
=
=

x1

!

p
x21 + x22

x1
x21 + x22 − x1 p 2
x1 + x22
(x21 + x22 )

x22
(x21 + x22 )3/2

e, analogamente,
∂2
x21
r
=
.
0
∂x22
(x21 + x22 )3/2
Assim, o Laplaciano de r0 é dado por
x21 + x22
(x21 + x22 )3/2
1
= p 2
x1 + x22
1
=
.
r0

∆r0 =

62

(3.12)

Por outro lado, em P2 temos que a curvatura seccional é não negativa e,
portanto, Ric(P2 ) ≥ 0. Aplicando o teorema de comparação do Laplaciano e
usando (3.12), obtemos que
ˆ ≤ ∆r0 = 1 = 1 .
∆r̂
r0
r̂


3.3

Teoremas principais

Teorema 3.3.1. Em um slab de R ×% P2 com fronteira Pt1 ∪ Pt2 não há superfı́cie Σ2 completa propriamente imersa com curvatura média satisfazendo
~ < min H(t).
sup ||H||
Σ

(3.13)

[t1 ,t2 ]

Demonstração. Com o intuito de demonstrar este teorema, inicialmente provaremos a seguinte afirmação: a superfı́cie Riemanniana Σ2 é parabólica.
Supondo que Σ2 é compacta, então decorre imediatamente do Lema 3.2.2
que Σ2 é parabólica.
Para provar esta afirmação quando Σ2 é não compacta, o lema 3.2.3 nos
diz que é suficiente mostrar que existe uma função g ∈ C ∞ (Σ) que é superharmônica fora de um conjunto compacto e tal que g(q) → +∞ enquanto
q → ∞. Aqui q → ∞ significa que q está deixando qualquer subconjunto
compacto de Σ2 .
Tomando ψ̂ = log r̂, onde r̂(q) = dP (p0 , q). Pelo Lema 3.2.4, ψ̂ é superharmônica visto que
ˆ ψ̂ = r̂−1 (∆r̂
ˆ − r̂−1 ) ≤ 0.
∆
¯ ψ̄ = %−2 ∆
ˆ ψ̂ temos que ψ̄ é, também, superharmônica, ou seja, ∆
¯ ψ̄ ≤ 0.
De ∆

63

Então, de (3.8) e possı́vel concluir que
~ N i + H(h)hN, T i)hN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iP − ∇
ˆ 2 ψ̂(N ∗ , N ∗ ).
∆ψ ≤ 2(hH,

(3.14)

Observe que
1/2

kN ∗ kP = hN ∗ , N ∗ iP

= (%−2 (h)hN ∗ , N ∗ i)1/2
= %−1 (h)hN − hN, T iT, N − hN, T iT i1/2
= %−1 (h)(hN, N i − 2hN, T i2 + hN, T i2 hT, T i)1/2
= %−1 (h)(hT, T i − 2hN, T i2 + hN, T i2 hN, N i)1/2
= %−1 hT − hN, T iN, T − hN, T iN i1/2
= %−1 (h)h∇h, ∇hi1/2
= %−1 (h)k∇hk,
onde
k∇hk2 = hT, T i − 2hN, T i2 + hN, T i2 hN, N i = 1 − hT, N i2 ≤ 1.
Por hipótese
−∞ < h := inf h ≤ h ≤ h := sup h < +∞,
Σ

Σ

de modo que inf Σ %(h) = mint∈[h,h] %(t) > 0 e
kN ∗ kP =

k∇hk
k∇hk
1
≤
≤
.
%(h)
inf Σ %(h)
inf Σ %(h)

Se v, w ∈ Tq P e r̂ ≥ r0 > 0, então
ˆ 2 ψ̂(v, w) = h∇
ˆ v (∇
ˆ ψ̂), wiP
∇

64

(3.15)

ˆ v (∇(log
ˆ
= h∇
r̂)), wiP
ˆ v (r̂−1 ∇r̂),
ˆ wiP
= h∇
ˆ v (∇r̂)
ˆ + v(r̂−1 )∇r̂,
ˆ wiP
= hr̂−1 ∇
ˆ v (∇r̂),
ˆ wiP − r̂−2 h∇r̂,
ˆ viP h∇r̂,
ˆ wiP
= r̂−1 h∇
ˆ 2 r̂(v, w) − r̂−2 h∇r̂,
ˆ viP h∇r̂,
ˆ wiP .
= r̂−1 ∇
ˆ encontramos
Quando v = w = ∇r̂,
ˆ 2 r̂(v, v) − r̂−2 h∇r̂,
ˆ ∇r̂i
ˆ 2 = −r̂−2 .
ˆ 2 ψ̂(v, v) = r̂−1 ∇
∇
P
ˆ de comprimento unitário, tem-se
Quando v = τ ⊥ ∇r̂
ˆ 2 ψ̂(∇r̂,
ˆ τ ) = r̂−1 ∇
ˆ 2 r̂(∇r̂,
ˆ τ ) − r̂−2 h∇r̂,
ˆ ∇r̂i
ˆ P h∇r̂,
ˆ τ iP = 0
∇
e
ˆ 2 ψ̂(τ, τ ) = r̂−1 ∇
ˆ 2 r̂(τ, τ ) − r̂−2 h∇r̂,
ˆ τ i2 = r̂−1 kg (q).
∇
P
Assim, para qualquer v ∈ Tq P obtemos
ˆ 2 ψ̂(v, v) = −r̂−2 hv, ∇r̂i
ˆ 2 + r̂−1 kg (q)hv, τ i2
∇
P
P
ˆ 2 − cr̂−2 hv, τ i2
≥ −r̂−2 hv, ∇r̂i
P
P
ˆ 2 − cr̂−2 kvk2 kτ k2
≥ −r̂−2 kvk2P k∇r̂k
P
P
P
≥ −C r̂−2 kvk2P
onde C = max{1, c}. Em particular, de (3.15) concluı́mos que
ˆ 2 ψ̂(N ∗ , N ∗ ) ≥ −Cr−2 kN ∗ k2P
∇
≥
≥

65

−Ck∇hk2
r2 (inf Σ %(h))2
−C
,
2
Σ %(h))

r2 (inf

(3.16)

quando r = r̂ ◦ f é maior do que r0 . Por outro lado, de (3.13) vemos que
~ N i + HhN, T i)hN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iP = (kHk
~ + H(h))kN ∗ kP k∇
ˆ ψ̂kP
(hH,
~ + H(h))kN ∗ kP
= (kHk

1 ˆ
k∇r̂kP
r

≤

~ + H(h)
supΣ kHk
r inf Σ %(h)

≤

inf Σ H(h) + supΣ H(h)
,
r inf Σ %(h)

(3.17)

aqui inf Σ H(h) = mint∈[h,h] H(t) > 0 e supΣ H(h) = maxt∈[h,h] H(t) < +∞.
Em resumo, concluı́mos de (3.14) juntamente com (3.16) e (3.17) que
~ N i + H(h)hN, T i)hN ∗ , ∇
ˆ ψ̂iP − ∇
ˆ 2 ψ̂(N ∗ , N ∗ )
∆ψ ≤ 2(hH,


C
inf Σ H(h) + supΣ H(h)
≤ 2
+ 2
r inf Σ %(h)
r (inf Σ %(h))2


1
1
+
(3.18)
≤ a
r r2
para certa constante positiva a, quando r é maior que r0 .
Seja g ∈ C ∞ (Σ) definida por
g = ψ − σ(h) = log r − σ(h),
Rt
onde r = r̂ ◦ f e σ(t) =
%(u)du satisfaz σ 0 (t) = %(t). Temos que os
subconjuntos Kj = f −1 ([h, h] × B̄(p0 , j)) são compactos, pois f é própria.
Por isso, como Σ2 é não compacta, então r satisfaz r(q) → +∞ conforme
q → ∞.
Por outro lado, de (3.6) temos que
~ T i).
∆σ(h) = 2%(h)(H(h) + hH,

66

(3.19)

De (3.13), encontramos
~ T i ≥ inf H(h) − sup kHk
~ > 0.
H(h) + hH,
Σ

Σ

Consequentemente,


~
∆σ(h) ≥ 2 inf %(h) inf H(h) − sup kHk
> 0.
Σ

Σ

Σ

Além disso, obtemos de (3.18) que
∆g = ∆ψ − ∆σ(h)


1
1
~
+
≤ a
− 2 inf %(h)(inf H(h) − sup kHk)
Σ
Σ
r r2
Σ
≤ 0
se r ≥ r1 para certo r1 ≥ r0 . Logo, Σ2 é parabólica.
Uma vez que Σ2 é parabólica, é suficiente observar que ∆σ(h) > 0 e
que σ(h) ≤ supΣ σ(h) = σ(h). Isto implica que σ(h) deve ser constante e,
portanto, ∆σ(h) = 0, o que não é possı́vel. Concluı́mos assim a demonstração
do Teorema 3.3.1.

Teorema 3.3.2. Se f : Σ2 → M 3 = R ×et P2 é uma superfı́cie completa
~ ≤ 1 contida em
propriamente imersa com curvatura média constante kHk
um slab, então f (Σ) é a folha Pt .
Demonstração. Em virtude do Teorema 3.3.1, é suficiente estudar o caso
~ = 1. Procedendo como na demonstração anterior, primeiro
em que kHk
provaremos que Σ2 é parabólica. Isto é claro se Σ2 é compacta. Suponha
então que Σ2 é não compacta, tem-se, neste caso, que H(t) = 1 e, portanto,
(3.14) reduz-se em
ˆ ψ̂iP − ∇
ˆ 2 ψ̂(N ∗ , N ∗ )
∆ψ ≤ 2(1 + hN, T i)hN ∗ , ∇

(3.20)

~ é um campo global de vetores normais e unitários ao longo da
onde N = H
67

imersão. Assim, 1 + hN, T i ≥ 0 e utilizando (3.15) vem que
ˆ ψ̂iP ≤ (1 + hN, T i)kN ∗ kP k∇
ˆ ψ̂kP
(1 + hN, T i)hN ∗ , ∇
ˆ P
≤ (1 + hN, T i)kN ∗ kP kr−1 ∇r̂k
≤ (1 + hN, T i)

k∇hk 1 ˆ
k∇r̂kP
inf Σ %(h) r

≤ (1 + hN, T i)

k∇hk
.
r inf Σ %(h)

Usando isso em (3.20) concluı́mos que
∆ψ ≤ 2(1 + hN, T i)

k∇hk
ˆ 2 ψ̂(N ∗ , N ∗ ).
−∇
r inf Σ %(h)

O resultado obtido em (3.16) nos permite escrever a equação anterior como
se segue
k∇hk
Ck∇hk2
+ 2
r inf Σ %(h) r (inf Σ %(h))


2k∇hk
C(1 − hN, T i)
= (1 + hN, T i)
+ 2
r inf Σ %(h)
r (inf Σ %(h))2


1
1
≤ a(1 + hN, T i)
+
r r2

∆ψ ≤ 2(1 + hN, T i)

(3.21)

para certa constante positiva a, quando r é maior que r0 . Por outro lado,
Rh u
neste caso σ(h) =
e du = eh e (3.19) torna-se
∆eh = 2(1 + hN, T i)eh ≥ 2(1 + hN, T i)eh ≥ 0.
Consequentemente, obtemos de (3.21) que
∆g = ∆ψ − ∆σ(h)
= ∆ψ − ∆eh
≤ (1 + hN, T i)

a

68

r

+


a
h
−
2e
≤0
r2

(3.22)

se r > r1 para certo r1 ≥ r0 . Assim, raciocinando como na prova do teorema
3.3.1 vemos que Σ2 é parabólica.
Para concluir a prova, temos de (3.22) que ∆eh ≥ 0. Como eh ≤ eh
obtemos da parabolicidade de Σ2 que eh e, portanto, h devem ser constantes.


69

Referências Bibliográficas
[1] ALEXANDROV, A. D. A characterization property of spheres, Ann.
Mat. Pura Appl. 58 (1962), 303-315.
[2] ALÍAS, L. J. & DAJCZER, M. Uniqueness of constant mean curvature surfaces properly immersed in a slab, Comment. Math. Helvetici
81 (2006), 653-663.
[3] ALÍAS, L. J. & DAJCZER, M. Constant mean curvature hypersurfaces
in warped product spaces, Proc. Edin. Math. Soc. 50 (2007), 511-526.
[4] DO CARMO, M. P. & LAWSON, B. The Alexandrov-Bernstein theorems in hyperbolic space, Duke Math. J. 50 (1983), 995-1003.
[5] DO CARMO, M. P. Riemannian geometry, Boston: Birkhäuser, 1992.
[6] FREIRE, R. Hypersurfaces with Constant Mean Curvature and Bounded
Scalar Curvature in Euclidean and Hyperbolic Space. Rio de Janeiro:
IMPA, 2000. Tese (Doutorado).
[7] GOMES, J. Sobre hipersuperfı́cies com curvatura média constante no
espaço hiperbólico. Rio de Janeiro: IMPA, 1984. Tese (Doutorado).
[8] GRIGOR’YAN, A. Analytic and geometric background of recurrence and
non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds, Bull.
Amer. Math. Soc. (N.S.) 36 (1999), 135-249.
[9] LI, A,; SIMON, U.; ZHAO, G. Global affine differential geometry of
hypersurfaces, Berlin, New York: De Gruyter, 1993.
[10] MONTIEL, S. Unicity of constant mean curvature hypersurfaces in
some Riemannian manifolds, Indiana Univ. Math. J. 48 (1999), 711748.

70

[11] TASHIRO, Y. Complete Riemannian manifolds and some vector fields,
Trans. Amer. Math. Soc. 117 (1965), 251-275.

71

Índice Remissivo
Aplicação exponencial, 34
Atlas, 14
Campo
de vetores, 15
diferenciável, 15
paralelo, 20
Colchete, 16
Conexão
Riemanniana, 18
Curvatura
de S n , 23
de Ricci, 23
Gaussiana, 32
geodésica, 33
média, 31
seccional, 23
tensor, 21
Derivada
covariante, 20
Divergência, 24
Esfera hiperbólicas, 36
Espaço
hiperbólico, 35
pseudo-hiperbólico, 52
tangente, 14

Estrutura diferenciável, 14
Fibrado tangente, 15
Função
subharmônica, 61
superharmônica, 61
Geodésica, 32
Gradiente, 24
Hessiana, 25
Hiperesferas, 36
Hipersuperfı́cie, 31
Horoesfera, 36
Identidade
de Bianchi, 22
de Jacobi, 16
Imersão, 15
geodésica, 31
isométrica, 18
mı́nima, 31
Isometria, 18
Laplaciano, 25
Métrica
induzida, 18
Riemanniana, 17

72

Mergulho, 15
Operador de Weingarten, 30
Orientação, 15
Parametrização, 14
Produto warped, 39
Referencial, 20
geodésico, 21
ortonormal, 21
Sı́mbolos de Christoffel, 19
Segunda forma fundamental, 30
Slab, 52
Superfı́cie parabólica, 61
Teorema
de comparação do Laplaciano, 37
de Gauss, 30
Transporte paralelo, 20
Variedade
compacta, 14
diferenciável, 13
orientável, 15
produto, 17
Riemanniana, 17
Vetor
curvatura média, 31
tangente, 14
Vizinhança coordenada, 14

73