Dissertação

dissertacao.fabio.henrique.pdf
Documento PDF (627.3KB)
                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado

O Grupo de Schrödinger
em Espaços de Zhidkov

Fábio Henrique de Carvalho

Maceió, Brasil
16 de Março de 2010

Fábio Henrique de Carvalho
O Grupo de Schrödinger
em Espaços de Zhidkov

Dissertação de Mestrado submetida em
16 de março de 2010 à Banca Examinadora, designada pelo Colegiado do Programa de Pos-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas,
como parte dos requisitos necessários à
obtenção do grau de mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Adán J. Corcho Fernández

Maceió
Março 2010

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
C331g

Carvalho, Fábio Henrique de.
O grupo de Schrödinger em espaços de Zhidkov / Fábio Henrique de Carvalho,
2010.
68 f. : il.
Orientador: Adán José Corcho Fernández.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2010.
Bibliografia: f. 66-67.
Índices: f. 68.
1. Equações diferenciais parciais. 2. Schrödinger, Equação de. 3. Equações de
evolução. 4. Zhidkov, Espaços de. I. Título.
CDU: 517.958

.

o Grupo de Schrodingcr
ern Espacos de Zhidkoy

Fabio Henrique de Carvalho

Dissertacao de Mestrado subrnetida ern
16 de marco de 2010 ZI B:'1I1ca Examina
dora. designada pelo Co1egiado do Pro
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rica da Universidade Federal de Alagoas,
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Banca Examinadora: /,~:?

Prof. Dr. Adan J. Corcho Fernandez (UFAL/Orientador)
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•

Prof. Dr. Maheii7i'ra Prasad Panthec r Universidade do Minho - UM, Portugal)

·~A~~lva

Barros (llI'ALi

"O binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso (...)"
(Álvaro de Campos)

À minha mãe Maria.
À meus irmãos.
À Fabrisa.

Agradecimentos
Para que concluísse esse estágio de minha vida acadêmica, muitas pessoas
merecem ser mencionadas. Para começar, é lógico, minha mãe Maria Anunciada
de Carvalho, que conseguiu transformar um recém nascido, desenganado pelos
médicos, em um homem; mas também a seu obstetra, Lício Henrique, a quem
devo meu segundo nome mas, por sorte minha e por um momento de lucidez dela,
não devo o primeiro.
Já durante minha vida escolar anterior ao ingresso no Mestrado, ainda no estado do Espírito Santo, gostaria de ressaltar o papel fundamental de três pessoas.
A primeira, professor Sandro Daré Lorenzoni na escola estadual "Hunney Everest
Piovesan"(ou, como é mais conhecida, "Polivalente de Campo Grande"), localizada em Cariacica - ES, que, após suas minuciosas aulas de matemática, tornou
um adolescente pouco estudioso, que apenas tinha boas notas, num voraz leitor
dos livros de Matemática - a culpa de ter primeiramente me inclinado a prestar
vestibular e depois decidir pela Matemática, ao invés de Psicologia, Física ou
Filosofia, é exclusivamente dele! A segunda, professora Luzia Maria Casatti, durante o seu curso de Álgebra, viu num aluno de graduação que estudava em um
turno e lecionava nos demais, alguém que podia dar um pouco mais de si, e o
fez se entusiasmar pela profissão tanto quanto ela. A terceira e última (mas não
menos importante), professor Florêncio Ferreira Guimarães Filho, transformou o
entusiasta num leitor curioso e crítico de demonstrações; o que teve como causa
um feliz desempenho durante seu agradável e enriquecedor curso de Análise Real.
Também a Florêncio, devo a informação sobre o Programa de Pós Graduação em
Matemática da Universidade Federal de Alagoas.
Aos colegas professores de matemática da Universidade Federal do Vale do
São Francisco - UNIVASF, por terem propiciado a oportunidade de meu afastamento para cursar este mestrado, vão meus sinceros agradecimentos. Certamente,
eles tiveram que trabalhar também por mim durante estes dois anos. Também
agradeço aos professores e professoras, Adriana Moreno, José Aliçandro(com o
cedilha mesmo), Carmem Sueze, Leonardo Cavalcanti, Maria Zucci e Vanessa
Donzeli, do Colegiado de Engenharia Agrícola e Ambiental da UNIVASF, que
1

passaram um dia inteiro aguardando para que a reunião que decidiu meu afastamento tivesse coro. A reunião que deveria começar pela manhã só pôde se
concretizar a noite, após o fim das inúmeras atividades que o professor Mário Miranda tinha à frente da Pró Reitoria de Pesquisa, a ele também fica minha eterna
gratidão. Por outro lado, fico feliz por não ter que prestar agradecimentos aos sete
prefessores que faltaram à reunião (embora o Estatuto da instituição, em seu artigo
80, esclareça, pelo menos aos que sabem ler, a obrigatoriedade de presença nas
sessões das instâncias deliberativas da universidade); assim fico à vontade para
prestar meus agradecimentos apenas àqueles pelos quais tenho estima e admiro o
caráter e hombridade, e compareceram para votar, a favor ou até mesmo contra
(se fosse o caso) a solicitação.
Aos integrantes do Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFAL,
sejam eles docentes, discentes ou pessoal de apoio e limpeza, agradeço pelo fato
de ter sido muito bem recebido; a Ufal e Maceió se tornaram mais um lar para
mim, e já sinto as saudades da partida. Todos os amigos que fiz durante esses dois
anos, tenho certeza que serão amigos para o resto de minha vida.
Alguns merecem menção especial: Darliton e Everson - “irmãos” por parte
de orientador, que abriram caminho para a elaboração deste trabalho, sendo que
o primeiro fez algumas sugestões prontamente acatadas; Kennerson, Isnaldo, Robério e Rodrigo, sempre dispostos a ajudar; Rafael, Alex Néo e Michel, pelos
auxílios técnicos com as figuras e comandos até então desconhecidos por mim.
Aos professores do Programa de Pós Graduação em Matemática da UFAL,
Adelailson, Dimas, Feliciano, Júlio (meu conterrâneo) e Krerley, pela cordialidade e pelas palavras que ajudaram a me acalmar nos últimos momentos prédefesa. Adelailson, por exemplo, me tirou de um grande desespero ao me emprestar um projetor durante o “rufar dos tambores”.
Agradeço também ao professor Clément Gallo, do Departamento de matemática e Estatística da Universidade McMaster, no Canadá, tanto por ter elaborado o
artigo em que se basea este trabalho, quanto por atender prontamente e responder
por e-mail uma dúvida que lhe remeti. A ele queria dizer que, assim como foi seu
desejo, finalmente recuperei meu sono, mas perdê-lo lendo seu artigo foi muito
enriquecedor para a minha vida acadêmica. Sempre que o motivo for parecido,
ficarei contente em manter-me insone.
Aos membros da banca Prof. Dr. Amauri Barros, da UFAL, e Prof. Dr.
Mahendra Prasad Panthee, da Universidade do Minho - Portugal, agradeço as
inúmeras sugestões e aconselhamentos para melhorar este trabalho.

2

Ao meu orientador, Prof. Dr. Adán Corcho, pela escolha do tema e pelo
pronto atendimento de urgência nos momentos mais penosos. Por muitas vezes,
debruçado sobre folhas e mais folhas de rascunho, julguei que ele tivesse superestimado minha capacidade. Mas, como sempre acreditei: “amamos algo, na direta
proporção a que nos custa” e, sem dúvida, este trabalho custou muito. O Prof.
Adán, além de um brilhante pesquisador é um sujeito que em pouco tempo conquistou minha admiração e simpatia, seu papel foi muito além da orientação. Já
desde o primeiro dia em que cheguei a Maceió, sem saber que rumo iria tomar,
recebeu-me como se fosse um conhecido de longa data, e isso não será esquecido.
A execução deste trabalho foi financiada pela Fundação de Amparo à Pesquisa
do Estado de Alagoas - FAPEAL, durante os cinco primeiros meses, e pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq, durante
os dezenove meses restantes. A estas instituições devo meu reconhecimento e
aplausos por fomentarem e ajudarem a divulgar a pesquisa científica e auxiliar na
formação de recursos humanos para a pesquisa no Brasil.
“Não há país desenvolvido com universidade subdesenvolvida.”
(Larent Schwartz)

3

Resumo
Este trabalho é dedicado ao estudo da boa colocação local e global do Problema
de Cauchy associado à equação não linear de Schrödinger, com dado inicial não
nulo no infinito.

Palavras-chave: equações diferenciais parciais, equações de evolução, equação de Schrödinger, espaços de Zhidkov.

4

Abstract
This work is dedicated to the local and global well-possednes study of Cauchy’s
Problem associated to the nonlinear Schrödinger equation, to the initial data nonzero at infinity.
Palavras-chave: partial differential equations, evolution equations, Schrödinger equation, Zhidkov spaces.

5

Sumário
1

Preliminares
9
1.1 Os Espaços de Lebesgue e a Transformada de Fourier . . . . . . . 9
1.2 O Espaço de Schwartz e as Distribuições Temperadas . . . . . . . 12
1.3 Os Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Os Espaços de Zhidkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2

O Grupo de Schrödinger em Espaços de Zhidkov
26
k
2.1 Família Contínua de Operadores de Schrödinger sobre X . . . . . 26
2.2 A continuidade da família de operadores {S(t)} . . . . . . . . . . 32
2.3 Gerador Infinitesimal do grupo {S(t)}t∈R . . . . . . . . . . . . . 37

3

Existência de soluções
43
3.1 Existência Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Regularidade da Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4

Leis de Conservação e Boa Colocação Global
54
4.1 Leis de Conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Boa Colocação Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Algumas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

A Mudança de Coordenadas

70

B Teorema do Traço

71

C Alguns Resultados Adicionais

73

Referênciais Bibliográficas

75

6

Introdução
O objetivo central deste trabalho é fazer um estudo detalhado do problema de
valor inicial



iut + ∆x u + f |u|2 u = 0, x ∈ Rn , t ∈ R,
(1)
u(x, 0)
= ϕ,
associado à equação não linear de Schrödinger, onde a aplicação f : R+ → C, é,
pelo menos, diferenciável. A informação relevante, por ora, é a respeito do dado
inicial; pretendemos estudar o problema quando ϕ não está no espaço das funções
quadrado integráveis L2 , mas mantem algumas propriedades de regularidade, a saber: ϕ é limitada, uniformemente contínua, k vezes diferenciável e seu gradiente
pertence ao espaço de Sobolev clássico de ordem k − 1. Os conjuntos de aplicações ϕ com tais propriedades são denominados espaços de Zhidkov e denotados
por Xk . Nos baseamos no trabalho desenvolvido primeiramente por Peter Zhidkov em [Zh], para dimensão 1 e, na sua posterior generalização, feita por Clément
Gallo em [Ga], para o caso n-dimensional.
No capítulo 1, serão apresentadas algumas definições, como dos espaços de
Lebesgue e de Schwartz, bem como da transformada de Fourier em L1 e no espaço
de Schwartz, além de alguns dos resultados utilizados no decorrer desta monografia. As propriedades e proposições listadas, na maior parte das vezes, tem sua
validade confirmada por uma simples manipulação da definição e teoremas anteriores; quando não for descrita uma demonstração cabal de algum dos teoremas
listados, deixaremos a indicação de uma demonstração completa na bibliografia.
Ainda no capítulo 1, introduziremos os espaços de Zhidkov, Xk , e apresentaremos alguns exemplos de funções que pertencem a Xk . Demonstraremos algumas
propriedades importantes, tais como o fato de Xk ser uma álgebra e, como espaço,
ser denso sobre Xk−1 .
No capítulo 2, definiremos o grupo de Schrödinger sobre os espaços de Zhidkov, {S(t)}t∈R , e mostraremos que este é uniformemente contínuo sobre Xk . Para
tanto, nos valeremos de propriedades importantes a respeito da integração em Rn ,
7

que serão detalhadas no apêndice. A continuidade uniforme do grupo {S(t)} será
exaustivamente explorada na obtenção de estimativas de boa colocação para o
problema. Além disso, concluíremos que o gerador infinitesimal do grupo é o
operador i∆.
O capítulo 3 é destinado ao estudo da boa colocação local do problema (1).
Como ponto de partida, damos as definições de boa colocação local e de boa colocação global para equações de evolução e mostramos alguns resultados a respeito
da existência e unicidade de soluções de (1) em um intervalo [−T, T ]. Em síntese,
mostramos que, se a norma em Xk do dado inicial é limitada, então existe um
intervalo maximal e uma única solução clássica de (1) neste intervalo.
No quarto e último capítulo encontram-se alguns resultados a respeito das leis
de conservação de energia para o problema (1), quando n = 1 ou n = 2. Para
ilustrar,
destacamos como exemplos a Equação de Gross-Pitaevskii - caso em que


2
f |u| = 1 − |u|2 em (1); bem como suas generalizações.

8

Capítulo 1
Preliminares
1.1

Os Espaços de Lebesgue e a Transformada de
Fourier

Muitos dos avanços na generalização do conceito de integral são devidos ao
matemático francês Henry Léon Lebesgue (1875-1941). Aqui e no decorrer do
texto, a não ser que haja menção explícita em contrário, a integração é sempre no
sentido dado por Lebesgue .
Definição 1.1.1. Sejam Ω um subconjunto aberto de Rn e 1 ≤ p < ∞. O conjunto
Z
p
L (Ω) = ϕ : Ω −→ R; |ϕ(x)|p dx < ∞
(1.1)
Ω

é um espaço vetorial cuja norma k.kLp (Ω) é definida pondo, para cada função
ϕ ∈ Lp (Ω),


kϕkLp (Ω) =

Z
p

1
p

|ϕ (x)| dx

.

(1.2)

Ω

Munido da norma k·kLp (Ω) o espaço Lp (Ω) é um espaço de Banach; L1 (Ω)
é o espaço das funções módulo integráveis e L2 (Ω) é o espaço das funções quadrado integráveis.
Também é um espaço vetorial o conjunto
L∞ (Ω) = ϕ : Ω −→ R; kϕ (x)kL∞ (Ω) < ∞ ,

(1.3)

onde a norma k·kL∞ (Ω) é dada por
kϕkL∞ (Ω) = sup |ϕ(x)|.
x∈Ω

9

(1.4)

O espaço L∞ (Ω) é, simplesmente, o espaço das funções limitadas em Ω; e,
assim como os anteriores, também é um espaço de Banach ([Fe], p. 78).
A transformada de Fourier surge a partir das considerações do matemático
francês Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) a respeito da decomposição de
funções periódicas em séries trigonométricas, nos seus estudos sobre a condução
do calor. Suas propriedades são importantíssimas no estudo de equações diferenciais, e faremos aqui um breve resumo de algumas delas.
Definição 1.1.2 (Transformada de Fourier). Seja ϕ ∈ L1 (Rn ), a transformada de
Ò (ou F (ϕ)) definida por
Fourier de ϕ é a função ϕ
Z
n
−
2
Ò
ϕ(x)e−i(ξ·x) dx,
(1.5)
F (ϕ)(ξ) = ϕ(ξ)
= (2π)
Rn

onde x = (x1 , · · · , xn ), ξ = (ξ1 , · · · , ξn ) e (ξ · x) =

n
X

xj ξ j .

j=1

Valem algumas observações a respeito da transformada de Fourier, ver [Io]:
Ò é linear. Além disso, ϕ
Ò ∈ L∞ (Rn ) com
Propriedade 1.1.1. A aplicação ϕ −→ ϕ

n

kϕkL∞ ≤ (2π)− 2 kϕkL1 .
Ò : Rn −→ C é contínua.
Propriedade 1.1.2. ϕ

Propriedade 1.1.3 (Lema de Riemann-Lebesgue). Seja ϕ ∈ L1 (Rn ), então
Ò
lim ϕ(ξ)
= 0.

kξk→0

Propriedade 1.1.4. Se Th f(x) = f(x − h), para h ∈ Rn , então
−i(h·ξ) b
b
−i(x·ξ) f(x)(ξ) = (T f)(ξ).
TÔ
f(ξ) e eÛ
h f(ξ) = e
−h

Propriedade 1.1.5. Sejam f, g ∈ L1 (Rn ), então
Z
Z
b
b
f(y)g(y)dy =
f(y)g(y)dy.
Rn

(1.6)

Rn

Propriedade 1.1.6. Se f é o conjugado de f, então
b

b
f(ξ) = f(−ξ).

Uma ferramenta fundamental no estudo das equações diferenciais é dada pela
convolução entre duas funções que destacamos a seguir.
10

Definição 1.1.3 (convolução). Sejam f, g ∈ L1 (Rn ), a convolução de f e g é definida por
Z
(f ∗ g)(x) =

f(x − y)g(y)dy,

(1.7)

Rn

para quase todo x ∈ Rn .
Agrupamos abaixo algumas das principais propriedades das convoluções, que
podem ser utilizadas no decorrer do texto. Para maiores detalhes vale a pena
consultar [Io].
Proposição 1.1.1. São válidas as seguintes propriedades:
1. Sejam f ∈ Lp (Rn ), g ∈ Lq (Rn ), onde p, q ∈ [1, ∞] com p1 + q1 = 1 + 1r para
algum r ∈ [1, ∞], então, vale a Desigualdade de Young para convoluções,
f ∗ g ∈ Lr (Rn ) e kf ∗ gkLr ≤ kfkLp kgkLq .
2. f ∗ g = g ∗ f.
3. λ(f ∗ g) = (λf) ∗ g = f ∗ (λg) para todo λ ∈ C.
4. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).
5. f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h).
6. Sejam f, g ∈ L1 (Rn ), então
n

×
b
b
(f
∗ g)(ξ) = (2π) 2 f(ξ)
g(ξ).

Para finalizar esta seção, introduzimos a noção de diferenciabilidade em Lp .
Definição 1.1.4. Uma função f ∈ Lp (Rn ) é diferenciável com relação à k-ésima
variável se existe g ∈ Lp (Rn ) tal que, para
Z
p
f(x + h) − f(x)
h = hk ek tem-se lim
− g(x) dx = 0;
hk →0 Rn
hk
quando existe (e, neste caso, é única) uma tal função g é chamada derivada parcial de f com relação à k-ésima coordenada na norma Lp .

11

1.2

O Espaço de Schwartz e as Distribuições Temperadas

Laurent Schwartz(1915-2002), matemático e pensador dos mais influentes, é
o inventor da Teoria das Distribuições e, por conta do seu desenvolvimento, foi o
primeiro matemático francês a ser agraciado com a medalha Fields. É considerado
um dos ícones da história recente da França.
Para definir o espaço de Schwartz, necessitamos de algumas noções preliminares. Uma notação importantíssima (e que será usada em todo o texto) é a noção
de multi-índice que apresentamos a seguir. Aqui denotaremos por N o conjunto
dos inteiros positivos e por N0 o conjunto dos números inteiros não negativos.
Definição 1.2.1. Uma n-upla α = (α1 , α2 , · · · , αn ) ∈ Nn0 é chamada um multiíndice.
Sejam α e β são multi-índices, e seja x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn . Escrevemos:
(i) |α| = α1 + α2 + · · · + αn ;
(ii) xα = xα1 xα2 · · · xαn ;
(iii)

∂α
∂xα =



∂α1
α
∂x1 1



∂α2
α
∂x2 2





···

∂α n
n
∂xα
n



ou ∂αx = ∂αx11 ∂αx22 · · · ∂αxnn ;
(iv) α > β (respectivamente, α ≥ β) quando αi > βi (respectivamente, αi ≥ βi ),
para todo i ∈ {1, · · · , n} ;
(v) Se α > β, α − β = (α1 − β1 , α2 − β2 , · · · , αn − βn );
(vi) α! = α1 !α2 ! · · · αn !;
 

α!
(vii) Se α > β, βα = β!(α−β)!
.

Definição 1.2.2. O espaço de Schwartz (ou das funções rapidamente decrescentes) em Rn , que denotaremos por S (Rn ), é formado pelas funções
f : Rn −→ C tais que f ∈ C∞ (Rn ) e kfkα,β = sup xα ∂β f(x) < ∞, quaisquer
x∈Rn

que sejam os multi-índices α e β.
O espaço de Schwartz goza das seguintes propriedades, que podem ser consultadas em [Io].

12

Propriedade 1.2.1. S (Rn ) é um espaço vetorial sobre C, e, quando munido da
métrica
d(f, g) =

X

2−(|α|+|β|)

α,β∈Nn

kf − gkα,β
1 + kf − gkα,β

é um espaço métrico completo.
|x|2

− 2 é um exemplo de função
n
Propriedade 1.2.2. C∞
0 ⊂ S (R ), mas f(x) = e
∞
n
que está no complementar de C0 em S (R ).

Propriedade 1.2.3. S (Rn ) é subconjunto próprio de Lp (Rn ) e denso sobre
p
n
Lp (Rn ), para todo p ∈ [1, ∞) (Observe que C∞
0 também é denso sobre L (R )).
Porém, S (Rn ) não é denso sobre L∞ (Rn ).
Temos ainda, aplicando a definição, as seguintes regras de derivação no espaço
de Schwartz:
Teorema 1.2.1. Seja f ∈ S (Rn ). Então, xα f, ∂α f ∈ S (Rn ) para todo multiíndice α. Valem ainda:




Ö
α f)(ξ);
(i) ∂α fb (ξ) = (−i)|α| (x
Ö
b
α f)(ξ) = (i)|α| |ξα |f(ξ).
(ii) (∂

Além disso, a transformada de Fourier no espaço de Schwartz é um isomorfismo e, por isso, temos a seguinte definição:
Definição 1.2.3. Seja f ∈ S (Rn ), a transformada de Fourier inversa é definida
pela fórmula
Z
−1
−n
2
ei(x·ξ) f(ξ)dξ.
(1.8)
F (ϕ)(x) = f̌(x) = (2π)
Rn

Nossa noção de convergência em S é definida do modo usual.
n
Definição 1.2.4. Uma sequência (ϕ)∞
m=1 em S (R ) converge para uma certa
função ϕ ∈ S (Rn ) se, e somente se,

lim kϕm − ϕkα,β = 0,

m→∞

quaisquer que sejam os multi-índices α e β.

13

S

Neste caso, denotamos ϕm → ϕ.
Agora, para introduzir os espaços de Sobolev, necessitamos definir as distribuições temperadas (ou funções-teste), que nada mais são que funcionais lineares
contínuos.
Definição 1.2.5. Uma aplicação linear T : S (Rn ) → C é uma distribuição tempeC
S
rada quando T é contínua; isto é, quando T (ϕm ) → T (ϕ) sempre que ϕm → ϕ.
Denotamos por S 0 (Rn ) o conjunto de todas as distribuições temperadas.
Usamos a notação hT, ϕi, para representar a imagem em C de ϕ ∈ S (Rn )
pela distribuição temperada T.
0
n
Definição 1.2.6. Dizemos que uma sequência (Tm )∞
m=1 em S (R ) converge
n
para T ∈ S (R ) quando,

lim hTm , ϕi = hT, ϕi , ∀ϕ ∈ S (Rn ).

m→∞

(1.9)

S0

Neste caso, denotamos ϕm → ϕ.
Dada uma função em Lp , com p ≥ 1, é possível construir uma distribuição
temperada como segue:
Proposição 1.2.1. Sejam f ∈ Lp (Rn ) e p ∈ [1, ∞). A aplicação Tf , definida por
Z
hTf , ϕi = Tf (ϕ) =
f(x)ϕ(x)dx,
Rn

para toda ϕ ∈ S (Rn ), é uma distribuição temperada.
Esse resultado, que também pode ser consultado em [Io], nos remete à seguinte
definição.
Definição 1.2.7. Dizemos que uma distribuição temperada provém de uma função
em Lp (Rn ), quando existe uma função f ∈ Lp (Rn ) tal que T = Tf .
Observação 1.2.1. Nem toda distribuição temperada provém de uma função em
Lp , o exemplo clássico é dado pela função delta de Dirac, definida por
δx (ϕ) = ϕ(x), ∀ϕ ∈ S (Rn ).
Para finalizar esta seção, destacamos as seguintes regras, que relacionam as
distribuições temperadas com a derivação e com a transformada de Fourier, respectivamente.

14

Definição 1.2.8. Sejam T ∈ S 0 (Rn ) e α um multi-índice, definimos a derivada
de ordem α da distribuição T pondo
h∂α T, ϕi = (−1)|α| hT, ∂α ϕi , ∀ϕ ∈ S (Rn ).

(1.10)

Definição 1.2.9. Seja T ∈ S 0 (Rn ) podemos definir a transformadada de Fourier
da distribuição T, bem como sua inversa, pondo, para toda função ϕ ∈ S (Rn ),
¬

hF (T ), ϕi = hT, F (ϕ)i e
¶

¬

¶

F −1 (T ), ϕ = T, F −1 (ϕ) .

(1.11)

Observação 1.2.2. A transformada de Fourier F : S 0 (Rn ) −→ S 0 (Rn ) é um
isomorfismo topológico.

1.3

Os Espaços de Sobolev

Sergei Lvovich Sobolev(1908-1989) foi um dos fundadores do Instituto de
Matemática da Akademgorodok (que surgiu como resultado da criação da Divisão
Siberiana da Academia de Ciências Russa, da qual foi um dos idealizadores),
atualmente, Instituto de Matemática Sobolev. Também atuou como vice-diretor
do Instituto de Energia Atômica soviético, entre 1943 e 1957, onde participou do
projeto da bomba atômica da extinta URSS.
Definição 1.3.1. Seja s ∈ R. O espaço de Sobolev de ordem s, classicamente
denotado por Hs (Rn ), é o subespaço de S 0 (Rn ) definido por


s

b
∈ L2 (Rn ) .
Hs (Rn ) = f ∈ S 0 (Rn ); 1 + |ξ|2 2 f(ξ)


(1.12)

s

Ô
b
s f(ξ) = 1 + |ξ|2 2 f(ξ)
a transformada de Fourier no esDenotaremos por Λ
paço de Sobolev. A norma k·kHs , ou k·ks,2 , é definida por

kfkHs = kΛs fkL2 .

(1.13)

Observação 1.3.1. Ho (Rn ) = f ∈ S0 (Rn ) ; fb(ξ) ∈ L2 (Rn ) = L2 (Rn ) .
A seguir, além de destacarmos um exemplo clássico de uma classe de funções
no espaço de Sobolev Hs , para s < 21 , introduzimos a notação usada para denotar a
função característica de um conjunto, que nos acompanhará no decorrer do texto.
Exemplo 1.3.1. Para n = 1, consideremos a função característica do intervalo
[a, b] , isto é,

1, se x ∈ [a, b] ;
χ[a,b] =
0, se x ∈
/ [a, b] .
15



Temos
Ö(ξ) =
χ
[a,b]

sen(2πξ)
πξ ,

2

se ξ 6= 0;
se ξ = 0.

Logo,
χ[a,b]

Hs

= Λs χ[a,b] 2
L
!1
Z +∞ 
2
s
2
2 2Ö
=
1 + |ξ|
χ[a,b] (ξ) dξ =

(1.14)

−∞

Z +∞ 
=
−∞

!1
2

s
sen2 (2πξ)
1 + |ξ|2
dξ
π2 ξ 2

<∞

se, e somente se, s < 12 .
A seguir, agrupamos algumas propriedades dos espaços de Sobolev. Outras
podem ser encontradas em [Io].
Proposição 1.3.1. Sejam s, s1 , s2 ∈ R, então
(i) Se s1 ≥ s ≥ 0, então Hs1 (Rn ) ( Hs (Rn ) ;
(ii) Se o produto interno em Hs (Rn ) está definido por
Z
hf, gis =
Λs f(ξ)Λs g(ξ)dξ,
Rn

para todos f, g ∈ Hs (Rn ), então Hs (Rn ) é um espaço de Hilbert;
(iii) S(Rn ) é denso em Hs (Rn );
(iv) Se s1 ≤ s ≤ s2 , com s = θs1 + (1 − θ)s2 , θ ∈ [0, 1], então
kfkHs ≤ kfkθHs1 kfk1−θ
Hs2 .
Demonstração. (i) Sejam s ≤ s1 , então (1 + |ξ|2 )s ≤ (1 + |ξ|2 )s1 o que implica


Z
(1 + |ξ| ) |f(ξ)| dξ
2 s b

Rn

2

1
2

Z



≤
Rn

1
2

(1 + |ξ| ) |f(ξ)| dξ
2 s1 b

2

.

(1.15)

Logo, se f ∈ Hs1 (Rn ), a integral no segundo membro de (1.15) é finita e, portanto,
a integral no primeiro membro também converge; assim, f também pertence a
Hs (Rn ). Além disso, a inclusão é contínua.
As demonstrações dos demais itens podem ser encontradas em [Io] e [Po].
16

Observação 1.3.2. Em particular, se s ≥ 0 então Hs (Rn ) ( H0 (Rn ).
Uma caracterização importante dos espaços de Sobolev, que relaciona os espaços Hk e L2 , e que será útil à introdução dos espaços de Zhidkov, é dada pelo
seguinte resultado.
Teorema 1.3.1. Sejam k ∈ N0 e α um multi-índice. Então, Hk (Rn ) coincide com
o espaço

f ∈ L2 (Rn ); ∂αx f ∈ L2 (Rn ) sempre que |α| ≤ k .
Demonstração. Seja f ∈ Hk (Rn ). Para todo multi-índice α temos:
|ξα | = |ξα1 1 ξα2 2 · · · ξαnn |
α2

α

αn

≤ (1 + |ξ1 |) 2 (1 + |ξ|) 2 · · · (1 + |ξ|) 2
|α|

≤ (1 + |ξ|) 2 .
Combinando este fato ao Teorema 1.2.1, juntamente com o conhecido Teorema
de Plancherel, temos:
Z
2
2
α 2
Ô
α f(ξ) dξ
α
k∂ fkL2 = ∂ f =
∂Ô
2
Rn
Z
2
b
i|α| |ξα |f(ξ)
=
dξ
n
R
Z
2
b
= c
|ξ2α | f(ξ)
dξ
n
R
Z
α

2
b
dξ.
1 + |ξ|2 f(ξ)
≤ c
Rn

Logo, sempre que |α| ≤ k, temos
Z
k

2
α 2
b
k∂ fkL2 ≤ c
1 + |ξ|2 f(ξ)
dξ ≤ c kfkk,2 < ∞.
Rn

Então, ∂α f ∈ L2 (Rn ).
Reciprocamente, seja f ∈ L2 (Rn ) e suponha que ∂α f ∈ L2 (Rn ) sempre que
|α| ≤ k. Daí,
k
X


2
2
2 k b
b
1 + |ξ|
f(ξ) =
cj |ξ|2j f(ξ)
j=0
2

b
que, por sua vez, é combinação linear de termos da forma ξα f(ξ)
, com |α| ≤ k.
Z
Z
k
X

k
2
2
b
b
Então, kfkHk =
1 + |ξ|2 f(ξ)
dξ =
cj
|ξ|2j f(ξ)
dξ < ∞.

Rn

j=0

17

Rn

Para finalizar esta seção, introduzimos dois resultados relevantes para o andamento desta dissertação, ambos conhecidos como Mergulho de Sobolev, que
relacionam as funções em Hs e Ck , e Hs e Lp , respectivamente. Maiores detalhes
podem ser encontrados em [LP].
Teorema 1.3.2. Sejam k ∈ N0 e s ∈ R, tais que s > n2 + k. Então, Hs (Rn ) está
continuamente imerso no espaço Ck∞ (Rn ), das funções com k derivadas contínuas e que se anulam no infinito. Isto é, se f ∈ Hs (Rn ), com s > n2 + k, então (após uma possível modificação de f sobre um conjunto de medida nula)
f ∈ Ck∞ (Rn ) e kfkCk = cs kfkHs .
Demonstração. Consideremos no primeiro caso, k = 0.
Seja s ∈ R, s > n2 . Da desigualdade de Hölder (ver, por exemplo, [Io]) segue:
Z
b
b
dξ
f(ξ)
f 1 =
L
n
R
Z
− s

s

b
1 + |ξ|2 2 f(ξ)
=
1 + |ξ|2 2 dξ
Rn



Z



≤
Rn



2 −s

1 + |ξ|

Além disso, kfkLp = F −1 (F (f))

1
2

dξ

Lp

kΛs fkL2 = cs kfkHs .

≤ fb

L1

≤ cs kfkHs .

Para o caso geral, k ≥ 1, seja f ∈ Hs (Rn ) com s > n2 + k. Então, para todo
multi-índice α, satisfazendo |α| ≤ k < s − n2 , temos ∂α f ∈ Hs−k (Rn ). Do caso
k = 0 segue ∂α f ∈ C∞ (Rn ) e, portanto, f é Ck .
2n
Teorema 1.3.3. Seja n ∈ N, e sejam s, p ∈ R tais que 0 < s < n2 e p = n−2s
.
s
n
p
n
Então, H (R ) está continuamente imerso em L (R ). Além disso,

kfkLp ≤ c kfkHs .
Uma demonstração deste resultado pode ser consultada na página 51 de [LP].

1.4

Os Espaços de Zhidkov

Assim como introduzidos por P. E. Zhidkov em [Zh] para o caso unidimensional (ver também [Fe]) e, posteriormente, batizados e estendidos para o caso
n-dimensional por Clemént Gallo em [Ga], trataremos aqui do espaço das funções limitadas, uniformemente contínuas, k vezes diferenciáveis com a seguinte
condição adicional: para cada uma delas, o gradiente está no espaço de Sobolev
clássico de ordem k − 1. Mais especificamente, temos a seguinte definição:
18

Definição 1.4.1. Sejam k e n números naturais. O espaço de Zhidkov Xk (Rn ) é
é o completamento do espaço

ϕ ∈ L∞ (Rn )∩Ck (Rn ); ϕ é uma função uniformemente contínua e ∇ϕ ∈ Hk−1 (Rn )
na norma
kϕkXk := kϕkL∞ +

X

k∂α ϕkL2 .

(1.16)

|α|≤k

Exemplo 1.4.1. Para cada t > 0, a função φt : Rn −→ R definida por
n

|x|2

φt (x) = (4πt)− 2 e− 4t (núcleo do calor) pertence a Xk (Rn ), para todo k ∈ N.
T
Evidentemente φt ∈ L∞ (Rn ) C∞ (Rn ) e é uniformemente contínua. Além disso,
∂xi φt = − 2xi n φt e, portanto,
4t(4πt) 2

∇φ(x) = − n 2x n+2 φ(x).
π 2 (4t)

2

Daí, ∂α φt (x) = C(t)xα φt (x), para todo multi-índice α.
Logo,


Z

k∂ φt kL2 =

Rn

2

1
2

|C(t)x φt (x)| dx
α

α

Z



= |C(t)|

2α

x (4πt)

|x|4

−n − 16t

e

1
2

dx

Rn

< ∞.

Então, φ ∈ Xk .
Exemplo 1.4.2. Fixado k > n2 , sejam ϕ ∈ Hk (Rn ) e z ∈ C uma constante. Então,
φ := ϕ + z ∈ Xk (Rn ). Em particular, Hk (Rn ) ⊂ Xk (Rn ), sempre que k > n2 .
Exemplo 1.4.3. Para n = 1 as funções tangente hiperbólica e arco tangente estão
em Xk (Rn ), qualquer que seja k ∈ N.
Naturalmente, somos levados a algumas comparações com as propriedades
conhecidas dos espaços métricos mais usuais. Por exemplo, se duas funções estão
em Ck , o produto de ambas ainda está em Ck . Para os espaços de Zhidkov, a
resposta à mesma pergunta é também positiva e é obtida como consequência da
desigualdade de Gagliardo-Nirenberg (Teorema C.0.6) e da fórmula de Leibniz:
Proposição 1.4.1. O espaço Xk (Rn ) é uma álgebra, o que significa que, para
todas f, g ∈ Xk (Rn ) existe uma constante C tal que
kfgkXk ≤ C kfkXk kgkXk , ∀k ∈ N.
19

(1.17)

Demonstração. Evidentemente, kfgkL∞ ≤ kfkL∞ kgkL∞ . Por outro lado, dado
um multi-índice α temos, da fórmula de Leibniz,
!

X α
∂ (fg) =
∂β f∂α−β g.
β
α

β≤α

A desigualdade triangular nos permite escrever
!

X α
k∂α (fg)kL2 ≤
β

∂β f∂α−β g

L2

β≤α

≤ f∂β g



+



∂β f g

+
L2
X

!

α
β

06=β<α

L2

+

(1.18)

∂β f∂α−β g

L2

.

Mas,
Z



β

f∂ g



=

L2

β

2

1
2

β

2

f(x)∂ g(x) dx

Rn

Z





≤ sup f(x)

1
2

∂ g(x) dx

(1.19)

kgkL∞ ≤ kfkXk kgkXk .

(1.20)

x∈Rn

Rn

≤ kfkL∞ ∂β g

L2

≤ kfkXk kgkXk .
Analogamente,




∂β f g

L2

≤ ∂β f

L2

Nos resta, portanto, mostrar que
X
06=β<α

!

α
β

∂β f∂α−β g

L2

≤ C kfkXk kgkXk .

Da Desigualdade de Young, temos
∂β f∂α−β g

≤ ∂β f p ∂α−β g ep
L2
L
L
2p
1
1
1
e =
desde que p + ep = 2 (ou seja, p
p−2 para p 6= 2). Aqui aparece uma dificuldade,
não temos nenhuma hipótese a respeito da regularidade das funções do espaço de
Zhidkov Xk quando vistas em L∞ . Além disso, uma imersão em um espaço de
20

Sobolev adequado nos levaria a formular uma hipótese ainda mais restritiva a
respeito de k (a saber, k > 2n ao invés de k > n2 ).
Por
outro
lado, a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg nos força a encontrar
h
i
j
θ ∈ m , 1 de modo a obter
X

k∂α fkLp ≤ C

k∂γ fkθLq kfk1−θ
Lr ,

(1.21)

|γ|≤m<|α|<k

onde j = |β|, |γ| = m ≤ α, C = C(j, m, p, q, r) e




1 j
1 m
1
− =θ
−
+ (1 − θ) .
p n
q n
r

(1.22)

2(n−jp)
Tomando q = 2 e r = ∞ temos θ = p(n−2m)
. Assumindo que mj ≤ θ ≤ 1 e
que n > 2m segue

2n − 2jp ≤ p(n − 2m),
n(2m − jp) ≤ mp(n − 2m),
fazendo m = |γ| = |β| + 1 = j + 1,
n(2 − P) ≤ 2jp − 2(j + 1)p = −2p,
p ≤ 2j+2
= 2 + 2j ,
j
e, portanto,



≥ 1−2 2 ,

n

p

2 ≤ p ≤ 2 + 2j .
Uma conclusão semelhante é obtida ao considerar n < 2m; portanto, é possível obter θ satisfazendo a desigualdade (1.22). Substituindo (1.22) em (1.18),
com o auxílio de (1.19) e (1.20) e procedendo da mesma forma a fim de obter uma
estimativa semelhante para ∂α−β g ep , concluímos a demonstração.
L

21

Proposição 1.4.2. Xk+1 (Rn ) é denso sobre Xk (Rn ), para todo k ∈ N.
|x|2

n

Demonstração. Sejam ϕ ∈ Xk (Rn ) e φt (x) = (4πt)− 2 e− 4t .
Definimos
Z
ϕ(x − y)φt (y)dy.
ϕt (x) = ϕ ∗ φt (x) =
Rn
Z
φt (y)dy = kϕkL∞ .
Logo, |ϕt (x)| ≤ kϕkL∞
Rn

Portanto, ϕt ∈ L∞ (Rn ).
Para todo α ∈ Nn , temos
Z
α
∂αx ϕ(x − y)φt (y)dy = [(∂αx ϕ) ∗ φt ](x).
∂x (ϕ ∗ φt (x)) =

(1.23)

Rn

Assim, se 1 ≤ |α| ≤ k,
k∂αx (ϕ ∗ φt )kL2 = k(∂αx ϕ) ∗ φt kL2 ≤ k∂αx ϕkL2 kφt kL1 = k∂αx ϕkL2 .
No caso |α| = k + 1 temos
∂
∂α1
∂αi−1 ∂αi −1
∂αn
∂ =
◦
◦···◦
◦
◦···◦
∂x i
∂x 1
∂xi−1
∂xi
∂xn

!

α

=

∂
◦ ∂β .
∂xi

Logo,

k∂α (ϕ ∗ φt )kL2 =


∂  β
∂ (ϕ ∗ φt )
∂xi
L2

=


∂  β
∂ ϕ ∗ φt
∂xi
L2

=


∂ 
φt ∗ ∂β ϕ
∂xi
L2

=

∂
φt ∗ ∂β ϕ
∂xi
L2

≤

∂
φt
∂β ϕ 2
L
∂xi
L1

≤ ∂β ϕ

L2

(1.24)

.

Então, ϕt , ∂α ϕt ∈ L2 (Rn ), para todo multi-índice α com |α| ≤ k + 1, o que
significa que ϕt ∈ Xk+1 (Rn ), qualquer que seja t > 0.

22

Agora avaliemos lim kϕt − ϕkXk . Usando o Teorema da Convergência Dot→∞

minada de Lebesgue e a Desigualdade de Minkowski mostra-se que kϕt − ϕkLp →
0, para todo 1 ≤ p ≤ ∞ (uma demonstração para o caso n = 1 pode ser encontrada na página 20 de [Fe]). Com o auxílio da desigualdade (1.23) mostra-se
que vale k∂α (ϕt − ϕ)kL2 → 0. Portanto, dado qualquer  > 0, é possível encontrar T suficientemente grande tal que, para todo t > T, kϕt − ϕkL∞ < 2 e
X

k∂α (ϕt − ϕ)kL2 < . Isto garante o nosso resultado.
2

|α|≤k

Proposição 1.4.3. Sejam n ∈ N, k =



p > n,
p = 2n,

n
2



+ 1, e seja p ∈ R tal que
se n é par,
se n é ímpar.

Então, ∇u ∈ Lp (Rn ) para todo u ∈ Xk (Rn ) e, além disso, existe uma constante
C > 0 tal que:
n
(1.25)
|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|1− p k∇ukLp ,
para todos x, y ∈ Rn .




Demonstração. Suponha n par. Temos que p > n e k−1 = n2 = n2 > n2 − np = s,
portanto Hk−1 ⊂ Hs e ainda, do Teorema 1.3.3 segue, para u ∈ Xk (Rn ),
k∇ukLp (Rn ) ≤ c k∇ukHk−1 (Rn ) ≤ c k ukXk (Rn ) .

(1.26)

Analogamente, é possível mostrar a mesma desigualdade quando n é ímpar.
Seja K ⊂ Rn um compacto e sejam r > 0 tal que Q = [−r, r]n é um cubo
contendo K. Pelo Teorema de Morrey (ver página 166 de [B]), é possível encontrar
uma constante C > 0, que depende somente de n e p, tal que, quaisquer que sejam
x, y ∈ K, u ∈ Hkloc (Rn )
n

|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|1− p k∇ukLp (Q) .

(1.27)

De (1.26) e (1.27) juntamente com o fato Xk (Rn ) ⊂ Hkloc (Rn ) fica estabelecido o resultado desejado.

23

Proposição 1.4.4. Fixados n, k ∈ N, ϕ ∈ Xk (Rn ), β > 0, x ∈ Rn e t > 0, definamos g : (β, ∞) −→ C do seguinte modo:
Z
√
ϕ(x + 2 2trv)dv.
g(r) :=
Sn−1

Então, g ∈ Xk ((β, ∞)) e, para todo j ∈ {1, ..., k},
g(j) ∈ L2 ((β, ∞), rn−1 dr)
com

(1.28)

√
n
1
kg(j) kL2 ((β,∞),rn−1 dr) ≤ (2 2t)j− 2 |Sn−1 | 2 kϕkXk .

Demonstração. Seja r ∈ (β, ∞), temos
Z
√
|g(r)| ≤
|ϕ(x + 2 2trv|dv
Sn−1 Z
≤ kϕkXk
dv

(1.29)
(1.30)

Sn−1

≤ |Sn−1 |kϕkXk ,

(1.31)

portanto, g ∈ L∞ (β, ∞).
Seja agora  > 0. Como ϕ é uniformemente contínua, podemos encontrar
δ > 0 tal que |y − z| < δ implica
|ϕ(y) − ϕ(z)| <


|Sn−1 |

.

(1.32)

δ
Tomando r1 , r2 ∈ (β, ∞) tais que |r1 − r2 | < 2√
, como
t

√
√
√
|(x + 2 tr1 v) − (x + 2 tr2 v)| = 2 t|r1 − r2 | < δ,
segue que

√
√
|ϕ(x + 2 tr1 v) − ϕ(x + 2 tr2 v)| <

Daí,
|g(r1 ) − g(r2 )| <



Z

|Sn−1 | Sn−1

e, portanto, g é uniformemente contínua.

24


|Sn−1 |

dv = 

.

Seja agora j ∈ {1, ..., k}. Temos
Z∞

|g(j) (r)|2 rn−1 dr =
β
Z∞ Z
2
√
j
ϕ(x + 2 trv)dv rn−1 dr
∂r
=
n−1
Zβ∞ Z S
√
√
|Dj (ϕ(x + 2 trv))(v, v, ..., v)|2 (2 t)2j rn−1 dvdr
≤
β Sn−1
Z
Z
n−1
√ 2j ∞
j
2 R √dvdr
|D
(ϕ(x
+
2Rv))(v,
v,
...,
v)|
≤ (2 t)
√
(2 t)n
2 tβ Sn−1
√ 2j−n
n
n−1
≤ (2 2t)
|S |kϕkXk (R ).
Portanto, |∇g| ∈ Hk−1 (β, ∞).

25

(1.33)

Capítulo 2
O Grupo de Schrödinger em
Espaços de Zhidkov
2.1

Família Contínua de Operadores de Schrödinger sobre Xk

Consideremos o problema de Cauchy associado à equação linear de Schrödinger

iut + ∆x u = 0,
(2.1)
u(·, 0)
= ϕ(·).
Quando o dado inicial ϕ pertence ao espaço de Sobolev Hs (Rn ) sabe-se que
S(t)ϕ, definido por


2



S(t)ϕ(x) = F −1 e−it|ξ| F (ϕ)(ξ) ,

(2.2)

é um grupo uniformemente contínuo de operadores em Hs , especificamente:
(i) S(0)ϕ = ϕ, ou seja, S(0) = I;
(ii) S(t1 + t2 ) = S(t1 ) ◦ S(t2 );
(iii) S(−t) = [S(t)]−1 ;
(iv) lim kS(t) − Ik = 0.
t→0

Nosso objetivo fundamental nesta seção é descrever propriedades de S(t)
quando o dado inicial pertence a Xk , e não necessariamente a L2 (Rn ).

26

Trabalhando sem muita formalidade,
Z
Z
i(x·ξ) −it|ξ|2
−n
e−i(y·ξ) ϕ(y)dydξ
e
e
S(t)ϕ(x) = (2π)
n
Rn
ZR
√
√
n
2
e−it|ξ| e−i2 t(z·ξ) ϕ(x + 2 tz)(4t) 2 dzdξ
= (2π)−n
n
ZR Z
√ 2 √
√
n
2
2
e−i[| tξ| +2 t(z·ξ)+|z| ] ei|z| ϕ(x + 2 tz)dzdξ
= π−n t 2
n
n
Z RZ R √

√
2
−i| tξ+z|2 n
−n
2
e
t dξ ei|z| ϕ(x + 2 tz)dz
= π
n
n
ZR  Z R

√
2
−i|w|2
−n
e
dw ei|z| ϕ(x + 2 tz)dz.
= π
Rn

Rn

Como as integrais acima não estão definidas em todo o Rn , é necessário introduzir uma pequena perturbação na exponencial complexa; como
Z
n
π
2
lim
e(−i+)|w| dw = π 2 e−in 4 ,
→0 Rn

adotaremos a seguinte definição:
Definição 2.1.1. Sejam n ∈ N, k > n2 e ϕ ∈ Xk (Rn ). Sejam t ∈ R e x ∈ Rn ,
definimos a família de operadores {S(t)}, pondo
Z

√
2
n
π
−
−in

 e 4 π 2 lim
e(i−)|z| ϕ(x + 2 tz)dz, t ≥ 0
→0
Z Rn
S(t)ϕ(x) =
(2.3)
√
2
π
n

 ein 4 π− 2 lim
e(−i−)|z| ϕ(x + 2 −tz)dz, t < 0.
→0 Rn

A primeira pergunta a respeito da família de operadores {S(t)}, obviamente, é
se ela está bem definida. A resposta para isto é sim, e é obtida como consequência do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue. Seguiremos os passos
dados em [Ga] apenas para o caso t ≥ 0; o caso t < 0 é análogo.
Lema 2.1.1. Se ϕ ∈ Xk então, S(t)ϕ ∈ Xk .
Demonstração. Considere a função radial ψ ∈ C∞ (Rn ), não decrescente ao longo
de toda semi-reta à partir da origem, tal que

0, se x ∈ B1 (0),
ψ(x) =
1, se x ∈ Rn \B1 (0).


Para todo β > 0, usaremos a notação adicional ψβ (·) para representar ψ
Por vezes abusaremos da notação representando ψβ (| · |) por ψβ (·).
27

·
β



.

Figura 2.1: Gráfico da função ψ para n=2
A função ψ é chamada função “bump”.
Assumamos que k = b n2 c + 1. O limite dado em (2.3) está bem definido. De
fato, sejam fixados t, β,  > 0, podemos decompor a integral em (2.3) em duas
partes:
Z
√
2
e(i−)|z| ϕ(x + 2 2tz)dz = I1 + I2 ,
Rn

Z

onde:
I1 =

Rn

√
2
e(i−)|z| (1 − ψβ (z))ϕ(x + 2 2tz)dz

Z

e
I2 =

Rn

√
2
e(i−)|z| ψβ (z)ϕ(x + 2 2tz)dz.

28

Figura 2.2: Gráfico da função 1-ψ para n=2
Consideremos primeiramente a integral I1 . Como,

√
2
e(i−)|z| 1 − ψβ (z) ϕ(x + tz)

≤ 1 − ψβ (z) kϕkL∞
kϕkL∞ , se |z| < 2β,
=
0, se |z| ≥ 2β.

(2.4)

Então, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, o limite de I1
quando  tende a zero existe e,
Z
lim

→0 Rn

√

2
e(i−)|z| 1 − ψβ (z) ϕ(x + tz)dz

≤ B2β (0) kϕkL∞

(2.5)

= (2β) |B1 (0)| kϕkL∞ .

Para a integral I2 , usamos a mudança para coordenadas polares z = rυ, onde
r ∈ R e υ ∈ Sn−1 , e a notação da Proposição 1.4.4 obtendo
Z
Z∞ Z
√
√
2
(i−)|z|2
e
ψβ (z)ϕ(x + tz)dz =
e(i−)|rυ| ψβ (r)ϕ(x + trυ)dυdr
Rn

0

Z∞
=

Sn−1

e

ψβ (r)r

=


√
ϕ(x + trυ)dυ dr

n−1

0

Z∞

Z



(i−)|r|2

Sn−1

2

e(i−)r ψβ (r)rn−1 g(r)dr

β

Z ∞ "



#

d k  (i−)r2 
1
=
e
ψβ (r)rn−1 g(r)dr
2(i − )r dr
β
Z

k
k ∞



(i−)r2 1 d
−1
= 2(i−)
e
ψβ (r)rn−1 g(r) dr
r dr
β
29



=


=

Z
k
k ∞
X

1
dj 
(i−)r2
−1
e
a
ψ
(r)g(r)
dr
k,j
β
2(i−)
r2k−n+1−j dr
β
j=0

−1
2(i−)

k

k
X
j=0



=

Z∞

2

3

!

j
X
j (`)
(j−`)
(i−)r2 1 4
e
g (r)ψβ (r)5 rn−1 dr
ak,j
2k−j
`
r
β
!

j
k
k X
X
−1
a
k,j
2(i−)
j=0
`=0

j
`

Z∞

`=0

1

2

e(i−)r

(j−`)

r2k−j

β

g(`) (r)ψβ

(r)rn−1 dr. (2.6)

Novamente usamos o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, agora
em cada uma das parcelas de (2.6).
Para ` = 0 e j ∈ {0, ..., k}, temos da Proposição 1.4.4:
e(i−)r

1

2

r

(j)

g(r)ψβ (r)rn−1 ≤
2k−j

kϕkL∞ Sn−1
r2k−n+1

,

quando j=0.
Já no caso em que j ∈ {1, ..., k} e r ≤ 2β,
e

1

(i−)r2

r

(j)
g(r)ψβ (r)rn−1
2k−j

kϕkL∞ Sn−1  r j

≤

r2k−n+1

β

ψ(j)

L∞

.

Finalmente, quando j ∈ {1, ..., k} e r > 2β temos:
1

2

e(i−)r

(j)

r2k−j

g(r)ψβ (r)rn−1 = 0.

Portanto, podemos escrever,
e

1

(i−)r2

r

(j)
g(r)ψβ (r)rn−1
2k−j

Como k > n2 , 2k − n + 1 > 1 e
Z
lim

→0 Rn

1

2

e(i−)r

r

≤

Z∞
β

kϕkL∞ Sn−1
r2k−n+1

dr

r

=
2k−n+1

(j)

g(r)ψβ (r)rn−1 dr ≤
2k−j

2j ψ(j)

(j−`)

kϕkL∞ Sn−1
(2k − n)β2k−n

r
1
(r) = ψ(j−`) ( ) ≤ j−` kψkL∞ ,
β
β
30

.

βn−2k
< ∞, segue
2k − n

Já no caso ` ≥ 1, j ∈ `, ..., k, observemos que
ψβ

L∞

2j ψ(j)

L∞

. (2.7)

e, portanto,
e(i−)r

1

2

(j−`)

r2k−j

g(`) (r)ψβ

(r)rn−1 ≤

1

1

(j−`)

β2k−j

ψβ

2k−j
L∞ r

g(`) (r) rn−1 .

Como 2k > n e k > j temos 2k − j > n2 . Logo,
Z∞ 

1

β

r2k−j

ZB 

2

r

n−1



1

dr = lim

dr
r2(2k−j)−(n−1)
#
B2j−4k+n
β2j−4k+n
= lim
−
B→∞ 2j − 4k + n
2j − 4k + n
β2j−4k+n
= − 2j−4k+n
< ∞.
B→∞ β
"

1
Então, a aplicação r 7−→ r2k−j
está em L2 ((β, ∞), rn−1 dr).
Lançando mão mais uma vez da Proposição 1.4.4 e da desigualdade de CauchySchwarz segue:

Z∞

1

β

r2k−j

(`)

g (r) r

n−1

Z∞

1

β

r2(2k−j)

dr ≤

r

n−1

!1
2

(`)

g (r) r

dr

1
(2
2k−j− n
2
4k−2j−nβ

≤√

Z∞

n−1

!1
2

dr

β

√ `− n n−1 12
kϕkXk .
t) 2 S

O Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue garante:
Z∞
2
1
lim
e(i−)r 2k−j g(`) (r)ψ(j−`) (r)rn−1 dr
→0 β
r
√
1
2 t
n−1 2
≤√
ψ(j−`) ∞ kϕkXk .
n S
2k−j−
L
2
4k − 2j − nβ

(2.8)

Observemos que, para todo j ∈ {1, ..., k}, é possível encontrar uma constante
C tal que


1− n
k− n
 √ j− n
2
2
2
2
2
≤C t
+t
.
(2.9)
2 t
Isto é evidentemente verdadeiro para t = 0. Para todos t > 0, e j ∈ {1, ..., k},
 √ j
√ j
2 t = 2j t . Assim, se t ≥ 1 é possível encontrar C1 ∈ R tal que
 √ j
√ k
2 t ≤ C1 t , e se 0 < t < 1 é possível encontrar C2 ∈ R tal que

 √ j
 √ j
√
√ √ k 
2 t ≤ C2 t. De qualquer maneira, 2 t ≤ C t + t
. Multiplin
√ −
cando ambos os membros desta desigualdade por
t 2 obtém-se (2.9).
31

Fixando agora β = 1 em (2.8), com o auxílio de (2.9), obtemos para todo
t > 0,

n
n 
1−

2

kS(t)ϕkL∞ ≤ C 1 + t 2 + t

k−
2
2

kϕkXk .

(2.10)

Isto é, S(t)ϕ ∈ L∞ .
Mostremos agora que, para todo multi-índice α tal que |α| ≤ k, a derivada
multi-índice ∂α S(t)ϕ ∈ L2 . De ϕ ∈ Xk (Rn ) e |α| ≤ k, segue ∂α ϕ ∈ L2 (Rn ) e,
portanto, S(t)∂α ϕ ∈ L2 (Rn ). Como os operadores S(t) e ∂α comutam, temos
k∂α S(t)ϕkL2 = kS(t)∂α ϕkL2 .

2.2

A continuidade da família de operadores {S(t)}

Nosso objetivo agora é mostrar que se t → 0 então S(t)ϕ → ϕ em Xk . Primeiramente, verifiquemos a convergência em L∞ . Para tanto, damos a seguinte
definição:
Definição 2.2.1. Sejam ` ∈ {0, ..., k} e h ∈ L2 ((β, ∞), rn−1 dr), definimos
Z∞
2
`
Th :=
e(i−)r h(r)g(`) (r)rn−1 dr
(2.11)
β

e diremos que tal integral é “do tipo T (`) ”. No caso em que h pode ser escrita sob
a forma
(p)
ψβ (r)
com 2q − n > 0,
(2.12)
h(r) =
rq
n
X
n
`
diremos que a ordem de Th em β é p + q − 2 . Se h =
ci hi , onde cada hi é
i=1

da forma descrita em (2.12), definimos a ordem de h em β como a ordem mais
baixa dentre as ordens dos monômios não nulos do somatório acima (observe que
a ordem de h depende de sua decomposição).
Voltemos nossa atenção novamente à integral I2 . Através das igualdades (2.6)
obtivemos


−1
I2 =
2(i − )

k

k
X
j=0

!Z
j
X
j ∞ (i−)r2 1 (`)
(j−`)
ak,j
e
g (r)ψβ (r)rn−1 dr.
2k−j
` β
r

`=0

32

Isto é, I2 , de certo modo, representa uma combinação linear de termos do tipo T ` .
A fim de estimar uma ordem para a combinação dos termos em (2.6) podemos
fazer uma nova decomposição para I2 em termos do tipo T ` de acordo com o
seguinte resultado, que nos será útil no objetivo desta seção.




1
Lema 2.2.1. Sejam α ∈ 0, 2n+1
e m > 0 tais que m ≥ n−2
2α , então a integral I2
pode ser reescrita como combinação linear de termos do tipo T ` com ` ∈ {0, ..., k},
de modo que para ` 6= 0 e ` 6= k, a ordem dos termos do tipo T ` na combinação
linear é maior do que ou igual a m.

Demonstração. Sejam p, q ∈ N tais que 2q − p > 0. Consideremos a aplicação
(p)

ψ (r)
h dada por h(r) = βrq . Fixado ` ∈ {1, ..., k}, usamos integração por partes em

(2.11) obtendo:
Th` =

Z∞

2

e(i−)r h(r)g(`) (r)rn−1 dr

β

Z ∞ "

#



d k−` (i−)r2
1
e
h(r)g(`) (r)rn−1 dr
=
2(i
−
)r
dr
β
"
#

k Z ∞

−1
1 d k
(i−)r2
(`)
=
e
h(r)g (r) rn−1 dr
2(i − )
r dr
β


Z
(p)

k ∞
k
j
X
ψ
(r)
2
1
−1
d
β
ak,j 2k−n+1−j
=
e(i−)r
g(`) (r) dr.
q
2(i − )
r
dr
r
β
j=0

(2.13)
Portanto,
Th` =



k
k X
−1
ak,j ×
2(i−)
j=0

Z∞

×
β

e(i−)r

2

1
r2k−j

!

j
X
j
c

(p)

ψβ (r)
rq

c=0



(j−c)

g(`+c) (r)

rn−1 dr,

o que nos fornece após a troca de ordem do sinal de integração com o somatório
e aplicações sucessivas da regra de derivação de quociente de funções,
! j−c
!
j
k−`
k−` X

X
j X j−c
−1
`
ak−`,j
(−q)(−q−1)(−q−2)×· · ·×
Th = 2(i−)
c
b
j=0
c=0
b=0
Z∞
(p+b)
ψ
(r)g(`+c) (r) n−1
(i−)r2 β
[−q − (j − c − b − 1)]
e
r dr.
r2(k−`)+q−c−b
β
33

Como k ≥ 1, 2q − n > 0 e 2[2(k − `) + q − c − b] − n > 2(k − `) + 2q − n, podemos escrever Th` como combinação linear de termos do tipo T (`) , T (`+1) , · · · , T (k) ,
cada um deles correspondendo a um valor de c. Em particular, os termos do tipo
T (`) correspondem a c = 0 e sua ordem na soma acima é dada por
p + 2(k − `) + q −

n
n
= p + q − +2 (k − `) .
2 | {z 2} | {z }
ordem de Th`

≥1

Concluí-se daí que, após uma modificação como acima, a ordem dos termos
do tipo T (`) recebe um incremento igual ou superior a 2.
Considere agora, para ` ∈ {0, · · · , k − 1}, a afirmação: a integral I2 pode ser
reescrita como soma de termos do tipo T (γ) , onde 0 ≤ γ ≤ k; de modo que para
1 ≤ γ ≤ `, os termos do tipo T (γ) na soma tem ordem ≥ m. Representaremos esta
afirmação por H` .
!
(j−`)
k
k
X
X
j ψβ (r)
`
(`)
, de
Como I2 =
Th(`) (.), com h (r) =
r2k−j
`
`=0

j=`

2(2k − j) − n ≤ 2k − n > 0, e da expressão já obtida anteriomente para I2 segue
que H0 é válida. Seja ` ∈ {1, · · · , k − 1} e suponha agora que a afirmação seja
válida para H`−1 , queremos mostrar que ela também é válida para H` .
De fato, temos pela hipótese de indução que I2 pode ser reescrita sob a forma
k
(p)
X
ψ (r)
I2 =
λγ Thγγ , onde hγ é uma combinação linear de termos do tipo βrq , de
γ=0

modo que para γ ∈ {1, · · · , ` − 1}, a ordem de Thγγ é no mínimo m. Procedendo
novamente como em (2.13) obtemos uma nova expressão para I2 onde os termos
do tipo T (γ) , com γ ≤ ` − 1, permanecem os mesmos, e a ordem dos termos do
tipo T (`) recebe um incremento de 2(k − `) ≥ 2. Repetindo o processo um número
finito de vezes, observa-se que os termos do tipo T (`) tem ordem maior ou igual
que m e, portanto a afirmação H` é verdadeira.
(p)

Em tempo, observermos que se h(r) =
Th`

Z∞
≤

(p)

ψβ (r)

≤

g(`) (r) rn−1 dr

rq

β

≤

ψβ (r)
rq , ` ∈ {1, ..., k} e 2q−n > 0, então

ψ(p)

Z∞

1 (`)
g (r) rn−1 dr
q
r
β
√ `− n
(p)
1
ψ
2
∞
2 (2 t)
n−1
L
√
kϕkXk S
n ,
p+q−
2
2q − n
β
L∞

(2.14)

βq

34

(2.15)
(2.16)

aqui usamos mais uma vez a desigualdade de Cauchy-Schwartz e a Proposição
1.4.4. Quando β > 1 e a ordem de Th` é maior ou igual que m, então
√
n
(2 t)`− 2
`
.
(2.17)
Th ≤ C
βm
n
n
n−2
Como ` ≥ 1 e m ≥ n−2
2α temos ` − 2 + αm ≥ ` − 2 + 2 = ` − 1 ≥ 0. Fazendo
e

Ü
β = (2√βt)α , onde t ≤ 1, podemos escolher β
> 2α suficientemente grande tal que
para todo t ≤ 1
√
n
(2 t)`− 2 +αm
< δ, ` ∈ {1, ..., k}
Üm
β
e
Sn−1 kϕkL∞ 2j ψ(j) ∞ √ α(2k−n)
L (2 t)
≤ δ, j ∈ {0, ..., k}.
Ü2k−n
(2k − n)β

O Lema 2.2.1 juntamente com as desigualdades (2.7) e (2.16) implicam na
existência de uma constante C > 0 (independente de δ) tal que, para todo  > 0,
Z
√
2
√
e(i−)|z| ψβ/(2
(z)ϕ(x
+
2
tz)dz ≤ Cδ.
(2.18)
e
t)α
Rn

Aplicando a Proposição 1.4.3, na página 23, com p = 2n segue
Z
lim

→0 Rn

e

(i−)|z|2

Z
√
(1 − ψβ (z))ϕ(x + 2 tz)dz − lim

→0 Rn

Z

≤

√
(1 − ψβ (z)) ϕ(x + 2 tz) − ϕ(x) dz
Rn Z
√
1
C(2 t2β) 2 ||∇ϕ| |Lp dz

≤

√ 1
√ 1
1
1
Ü
C(2 t) 2 βn+ 2 = C(2 t) 2 −α(n+ 2 ) β.

≤

2

e(i−)|z| (1 − ψβ (z))ϕ(x)dz

|z|<2β





Pela nossa escolha de α, 21 − α n − 12 > 0. Assim, podemos tomar t0 < 1 tal
que para todo t ≤ t0 ,
√ 1
1
1
Ün+ 2
C(2 t) 2 −α(n− 2 ) β
≤ δ.

35

(2.19)

Portanto, para t ≤ t0 ,
Z
Z
√
2
(i−)|z|2
lim
e
ϕ(x + 2 tz)dz − lim
e(i−)|z| ϕ(x)dz
→0 Rn
→0 Rn
Z
Z
√
2
(i−)|z|2
e
ψβ (z)ϕ(x + 2 tz)dz + lim
≤ lim
e(i−)|z| ψβ (z)ϕ(x)dz +
→0 Rn
→0 Rn
Z
√
2
e(i−)|z| (1 − ψβ (z))[ϕ(x + 2 tz) − ϕ(x)]dz
+ lim
→0 Rn

≤ Cδ + Cδ + δ.
(2.20)
Z

Como

2

lim

→0 Rn

n

π

e(i−)|z| dz = π 2 ein 4 ,

das desigualdades (2.18) a (2.20) decorre que u(·, t) → ϕ(·) em L∞ quando t
tende a 0 por valores positivos. Analogamente, é possível mostrar o mesmo para
t < 0, e portanto, S(t)ϕ é contínua em t = 0. Como veremos na próxima seção,
{S(t)} é um grupo, e a propriedade terá sua validade confirmada para para todo
t ∈ R.
Para finalizar, algumas considerações
sobre o caso geral: k > n2 (até o mo 
mento, só consideramos o caso k = n2 + 1). Seja α um multi-índice, 1 ≤ |α| ≤ k.
Dado t > 0, como a integral na expressão de u(x, t) converge, podemos escrever
Z
√
π
2
α
−n
−in
∂ u(x, t) = π 2 e 4 lim
(2.21)
e(i−)|z| ∂α ϕ(x + 2 tz)dz
→0 Rn

e ∂α ϕ ∈ L2 (Rn ), usando mais uma vez o fato de ser {S(t)} um grupo, temos
imediatamente que ∂α u(·, t) ∈ L2 (Rn ) e, além disso
k∂α u(·, t)kL2 (Rn ) = k∂α ϕ(·)kL2 (Rn ) .
De maneira análoga, é possível mostrar o mesmo para t < 0.
Portanto, se ϕ ∈ Xk (Rn ) então u(·, t) ∈ Xk (Rn ), para todo t ∈ R; ou seja, a
aplicação t 7−→ S(t)ϕ ∈ C(R, Xk (Rn )).
Além disso, como S(·)ϕ é limitada em [−1, 1], temos que kS(t)kL (Xk ) é limitado em [-1,1]; o que, em conjunto com (2.10), nos fornece a seguinte consequência:
Corolário 2.2.1. Se ϕ ∈ Xk (Rn ) e t ∈ R então existe uma constante C > 0, dependente apenas de n e k, tal que
kS(t)ϕkXk ≤ C (1 + |t|ρ ) kϕkXk ,


onde
ρ=

1
2,
1
4,

se n é par,
se n é ímpar.
36

(2.22)

2.3

Gerador Infinitesimal do grupo {S(t)}t∈R

Nesta seção seguiremos de perto a notação e os resultados expostos no capítulo
1 de [P] e no capítulo 3 de [CH]. Assim, se X é um espaço de Banach, uma
família de operadores lineares {T (t)}, a um parâmetro t ∈ R, definidos em X é
um grupo de operadores lineares quando T (0) = I, T (t1 + t2 ) = T (t1 ) ◦ T (t2 ) e
T (−t) = T −1 (t), onde I é o operador identidade e t1 , t2 , t ∈ R. Caso tenhamos
as propriedades apenas para t1 , t2 , t ∈ R+ , diremos que {T (t)} é um semi-grupo.
Em geral, representaremos por D(T ) o domínio de {T (t)} e diremos que {T (t)} é
fortemente contínuo quando
lim kT (t) − Ik = 0.

(2.23)

t→0

O operador linear A cujo domínio é D(A) =

T (t)ϕ − ϕ
existe
t→0
t

ϕ ∈ X; lim

é

T (t)ϕ − ϕ
= T 0 (0)ϕ, para todo ϕ ∈ D(A), é o gerador
t→0
t
infinitesimal de {T (t)}.
De volta ao nosso caso particular, primeiramente observemos que a família
{S(t)} é um grupo, chamado o grupo de Schrödinger .
definido por Aϕ := lim

Lema 2.3.1. A família de operadores {S(t)}t∈R definida em (2.3) é um grupo.
π

n

Demonstração. Obviamente, se escrevemos c = e−in 4 π− 2 , então
Z
2
S(0)ϕ(x) = c lim
e(i−)|z| ϕ(x)dz = ϕ(x).
→0 Rn

Consideremos agora t1 , t2 > 0. Faremos, por simplicidade, a demonstração no
caso n = 1. No caso, geral a demonstração segue os mesmos passos.
Temos
Z
√
2
φ(x) = S(t1 )ϕ(x) = c lim
e(i−1 )|z1 | ϕ(x + 2 t1 z1 )dz1 ,
1 →0 R

e
S(t2 ) ◦ S(tZ1 )ϕ(x) = S(t2 )φ(x)

√
2
e(i−2 )|z2 | φ(x + 2 t2 z2 )dz2
2 →0 R
Z Z
√
√
2
2
2
=c
lim
e(i−1 )|z1 | +(i−2 )|z2 | ϕ(x + 2 t1 z1 + 2 t2 z2 )dz1 dz2 .
= c lim

(1 ,2 )→(0,0) R R

37

Sem perda de generalidades, podemos tomar  = 1 = 2 . Façamos a mudança
das variáveis z1 e z2 para as variáveis z e w, de acordo com as seguintes equações:

 t1 + t2 = t,
Az1 + Bz2 = z,

Bz1 − Az2 = w,
√

√

1
2
onde A = √t t+t
e B = √t t+t
.
1

2

1

2

1/2
1/2
Deste modo, |z1 |2 + |z2 |2 = |z|2 + |w|2 e t2 dz1 + t1 dz2 = (t1 − t2 )1/2 dw,

portanto:
1/2

dz1 =

1/2

1/2

1/2

t t1/2 dz − t1 t1/2 dw
t1 t1/2 dz + t2 t1/2 dw
e dz2 = 2
.
t1 + t2
t1 + t2

Logo,
dz1 dz2 =

t
dwdz = dwdz,
t1 + t2

e daí:
S(t2 ) ◦ S(t1Z)ϕ(x)
Z =

√
2
2
e(i−)(|z| +|w| ) ϕ(x + 2 t1 + t2 z)dwdz
→0 ZR R
Z

√
2
(i−)|w|2
2
e
dw e(i−)|z| ϕ(x + 2 t1 + t2 z)dz
= c lim
→0Z R R
√
2
= c lim e(i−)|z| ϕ(x + 2 t1 + t2 z)dz

= c2 lim

→0 R

= S(t1 + t2 )ϕ(x).
Para finalizar, basta observar que S(t) ◦ S(−t)ϕ(x) = S(0)ϕ(x).
O operador i∆ está definido para funções ao menos duas vezes diferenciáveis
e, portanto, podemos defini-lo no espaço de Zhidkov Xk+2 (Rn ). Mais especificamente, aplicaremos este operador do seguinte modo:
Lema 2.3.2. Se ϕ ∈ Xk+2 (Rn ) temos
π

1
e−in 4
i∆ϕ(x) =
lim
n
2t →0 π 2

Z

√
√
2
e(i−)|z| D2 ϕ(x) · (2 tz, 2 tz)dz,
Rn

38

(2.24)

√
√
onde D2 ϕ é a matriz hessiana de ϕ e D2 ϕ(x) · (2 tz, 2 tz) é a representação
da forma quadrática
2

√ 
2 t z1 z2 · · · zn

6
6
6
6
6
6
6
4

∂2 ϕ
(x)
∂x21
∂2 ϕ
∂x2 ∂x1 (x)

..
.

∂2 ϕ
∂x1 ∂x2 (x)
∂2 ϕ
(x)
∂x22

..
.

∂2 ϕ

∂xn ∂x1 (x)

∂2 ϕ

∂xn ∂x2 (x)

···
···
..
.

3

∂2 ϕ
∂x1 ∂xn (x) 7
7
∂2 ϕ
7
∂x2 ∂xn (x) 7

···

3

z1
6
√ 6 z2 7
7
7.
72 t6
.
6
7
.
7
4 . 5

..
.
∂2 ϕ
∂x2n

2

7
5

zn

(x)

Demonstração. De fato, temos
2

n
X
X
√
√
∂2 ϕ
z2k
D2 ϕ(x) · (2 tz, 2 tz) = 4t 4
(x) + 2
∂xk
k=1

1≤j<`≤n

3

∂ϕ
(x)zj z` 5 .
∂xj ∂x`

Observe que como j 6= `,
Z
2
∂ϕ
e(i−)|z|
(x)zj z` dz = 0,
∂xj ∂x`
Rn
pois
Z
e

(i−)|z|2

Rn

n Z∞
Y
2
∂ϕ
∂ϕ
(x)zj z` dz =
e(i−)zp
(x)zj z` dzp = 0.
∂xj ∂x`
∂xj ∂x`
−∞
p=1

(2.25)
∂ϕ
Se p 6= j e p 6= `,
e
(x)zj z` dzp = 0, pois a aplicação
∂xj ∂x`
−∞
2
zp 7→ e(i−)zp é par. Caso tenhamos p = j ou p = `, podemos integrar diretamente
2
1
obtendo também 2(i−)
e(i−)zp ]+∞
−∞ = 0.
Logo,
Z∞

Z
e

(i−)|z|2

(i−)z2p

Z
√
√
D ϕ(x) · (2 tz, 2 tz)dz = 4t
2

Rn

e
Rn

Assim,

39

(i−)|z|2

n
X
k=1

z2k

∂2 ϕ
(x)dz.
∂xk

π

1
e−in 4
lim
n
2t →0 π 2

Z

√
√
2
e(i−)|z| D2 ϕ(x) · (2 tz, 2 tz)dz

Rn
π Z
−in
e 4

n
X

∂2 ϕ
(x)dz
∂xk
Rn
k=1
Z∞
Z∞
π n
−in
2
X
2
1 e 4
∂ ϕ
e(i−)|z| 2z2k dzk
···
(x)
= lim
n
→0 i −  π 2
∂xk
−∞
−∞
k=1
Z
π n


1 e−in 4 X ∂2 ϕ
(i−)|z|2
= lim
e
dz
(x) −
n
→0 i −  π 2
∂xk
Rn
=

1
lim
n
2t →0 π 2

2

e(i−)|z| 4t

z2k

(2.26)

k=1

= lim

n
−1 X ∂2 ϕ

→0 i − 

k=1

∂xk

(x)

= i∆ϕ(x),
onde, na terceira igualdade em (2.26), usamos integração por partes.
Nosso objetivo agora é mostrar que i∆ é o gerador infinitesimal do grupo de
Schrödinger.
Teorema 2.3.1. Seja k > n2 . O gerador infinitesimal do grupo S(t)t∈R é i∆, com
D(i∆) = Xk+2 (Rn ).
Demonstração. Primeiramente, afirmamos que para ϕ ∈ Xk+4 (Rn ) então, quando
t → 0,
S(t)ϕ − ϕ Xk
−→ i∆ϕ,
(2.27)
t


o que implica Xk+4 (Rn ), i∆ ⊂ (D(A), A), onde A = S 0 (0).
Seja t > 0. Observamos que,
Z
√
2
S(t)ϕ − ϕ
1 −in π − n
(x) = e 4 π 2 lim
e(i−)|z| [ϕ(x+2 tz)−ϕ(x)]dz. (2.28)
→0 Rn
t
t
Como
Z
n Z∞
n √
Y
X
√
∂
(i−)z2j
(i−)|z|2
2 tz
ϕ(x) = 0, (2.29)
e
∇ϕ(x).2 tzdz =
e
∂xk
Rn
−∞
j=1

k=1

da fórmula de Taylor com resto integral (ver página 262 de [Li]) temos
Z1
√
√
√
√
√
ϕ(x+2 tz)−ϕ(x) = ∇ϕ(x).2 tz+ (1−s)D2 ϕ(x+2s tz)(2 tz, 2 tz)ds
0

40

(2.30)

e, portanto,




S(t)ϕ − ϕ
− i∆ϕ (x)
t
Z
π
2
e−in 4
e(i−)|z| ×
= 4 n lim
π 2 →0 Rn
Z1
√
√
√


× (1 − s) D2 ϕ(x + 2s tz)(2 tz, 2 tz) − D2 ϕ(x) (z, z)dsdz
0
Z1
π
e−in 4
= 4 n lim (1 − s)×
π 2 →0 0
Z
√
√
√
2
e(i−)|z| [D2 ϕ(x + 2s tz)(2 tz, 2 tz) − D2 ϕ(x)](z, z)dzds.
×
Rn

(2.31)

Agora,
Z
√
√
√
2
e(i−)|z| [D2 ϕ(x + 2s tz)(2 tz, 2 tz) − D2 ϕ(x)](z, z)dz
Rn
Z

2
√
√
2
1
= − 2(i−)
e(i−)|z| ∆2 ϕ(x + 2s tz)(2s tz)2 dz
Z Rn
√
2
1
− 2(i−)
e(i−)|z| [∆ϕ(x + 2s tz) − ∆ϕ(x)]dz,

(2.32)

Rn

portanto,




S(t)ϕ − ϕ
− i∆ϕ (x) =
t
 Z

1

= −4 t

(1 − s)s2 S(ts2 )∆2 ϕ(x)ds +

0


Z


1 1
2
+
(1 − s) S(ts )∆ϕ − ∆ϕ (x)ds .
2i 0
Como ∆2 ϕ ∈ Hk (Rn ) ⊂ Xk (Rn ), já que k > n2 , temos que o operador
{S(ts2 )∆2 ϕ}t,s∈[0,1] é limitado em Xk e, logo
Z1
−4t

Xk

(1 − s)s2 S(ts2 )∆2 ϕ(x)ds → 0, quando t → 0.

0

Por outro lado, de ∆ϕ ∈ Hk+2 (Rn ) ⊂ Xk+2 (Rn ) ⊂ Xk (Rn ), temos




Xk

S(ts2 )∆ϕ − ∆ϕ → 0, quando t → 0,
41

(2.33)

uniformemente para s ∈ [0, 1]. Isto conclui a prova de nossa primeira afirmação,
isto é ϕ ∈ Xk+4 (Rn ) ⇒ ϕ ∈ D(A) e Aϕ = i∆ϕ.
Consideremos
agora ϕ ∈ Xk+2 . Queremos mostrar que ainda vale a inclusão

Xk+2 (Rn ), i∆ ⊂ (D(A), A) .
Já temos que Xk+4 (Rn ) ⊂ Xk+2 (Rn ) e, como consequência imediata da Proposição 1.4.2 na página 22, Xk+4 (Rn ) é denso sobre Xk+2 (Rn ). Logo existe uma
sequência (φl0 )l∈N ⊂ Xk+4 (Rn ) convergindo para ϕ em Xk+2 (Rn ) ⊂ Xk (Rn ),
quando l → ∞. Como o operador i∆ é contínuo, i∆φl0 converge para i∆ϕ em
Hk ⊂ Xk quando l → ∞. Isto significa que (ϕ, i∆ϕ) pertence ao fecho do conjunto (φ, i∆φ); φ ∈ Xk+4 (Rn ) em Xk × Xk . Como o gerador infinitesimal de
um semi-grupo fortemente contínuo é um operador
fechado (ver [P]), temos que

k+2
ϕ ∈ D(A) e Aϕ = i∆ϕ o que significa que X (Rn ), i∆ ⊂ (D(A), A) .


42

Capítulo 3
Existência de soluções
3.1

Existência Local

Esta seção será dedicada ao estudo da boa colocação local do problema de
valor inicial
iut + ∆u + F(u) = 0,
(3.1)
u(·, 0)
= ϕ(·),
com k > n2 , ϕ ∈ Xk (Rn ) e F : Xk (Rn ) −→ Xk (Rn ). Aqui, e em todo o restante do
texto, nossa noção de boa colocação local e de boa colocação global é a que se dá
naturalmente para equações de evolução (ver, por exemplo, [IN]):
Definição 3.1.1 (Boa Colocação). Sejam X e Y espaços de Banach e seja T0 um
número real tal que 0 < T0 < ∞. Considere t ∈ [0, T0 ] e F : [0, T0 ] × Y −→ X
contínua com respeito às topologias correspondentes. Dizemos que o problema
de valor inicial
ut = F(t, u) ∈ X,
(3.2)
u(·, 0) = ϕ ∈ Y,
tem boa colocação local (ou é bem posto localmente) quando ocorrem, simultaneamente:
(i) Existem T ∈ (0, T0 ] e u ∈ C([0, T0 ]; Y) tais que (3.2) é satisfeito.
(ii) Existe no máximo uma solução de (3.2) em qualquer vizinhança da origem
contida em (0, T0 ).
(iii) A aplicação ϕ 7−→ u é contínua em relação às topologias dos espaços de
Banach Y e C([0, T0 ], Y), respectivamente.
Notemos que, nossa existência local de solução pressupõe que esta solução
permaneça no espaço de Banach Y ao qual pertence nossa condição inicial ϕ;
43

tal propriedade é chamada persistência da solução. Quando ao menos uma das
três condições acima deixa de ser satisfeita o problema é dito mal posto (podemos
também dizer que o problema tem má colocação).
No caso em que T0 = ∞ e são válidas as três condições acima dizemos que
(3.2) tem boa colocação global (ou é bem posto globalmente).
Observemos que (3.1) equivale a
ut
= i∆u + iF(u),
u(·, 0) = ϕ(·);

(3.3)

e, além disso, podemos considerar iF = f : I −→ Xk (Rn ), onde I é um intervalo
da reta. Suporemos f diferenciável o que, juntamente com o Teorema do Valor
Médio implica f e F localmente Lipschitzianas. Aproveitaremos, neste momento,
alguns resultados que, em sua maior parte, podem ser encontrados em [CH].
Lema 3.1.1. Sejam T > 0, ϕ ∈ Xk (Rn ) e f ∈ C([0, T ], Xk (Rn )).
Se u ∈ C1 ([0, T ], Xk (Rn )) é solução de (3.1) então
Zt
u(t) = S(t)ϕ(·) + i

S(t − τ)F(u(·, τ))dτ,

(3.4)

0

para todo t ∈ [0, T ].
Demonstração. Consideremos 0 ≤ t ≤ T e defina para todo τ ∈ [0, T ]
w(τ) = S(t − τ)u(τ).

(3.5)

Se h ∈ (0, t − τ) temos
w(τ+h)−w(τ)
h

= S(t−τ−h)u(τ+h)−S(t−τ)u(τ)
h
= S(t − τ − h) u(τ+h)−u(τ)
− S(t−τ−h+h)−S(t−τ−h)
u(τ)
h
h
= S(t − τ − h)

u(τ+h)−u(τ)
− S(h)−I
h
h u(τ)

.

S(h) − I
= i∆. Logo,
h→0
h

Pelo Teorema 2.3.1, lim

w(τ + h) − w(τ)
= S(t − τ) {ut (τ) − i∆u} = S(t − τ)f(τ).
h→0
h
lim

Mas, S(t − ·)f(·) ∈ C([0, T ], Xk (Rn )). Portanto, para todo τ ∈ [0, t), temos que
w ∈ C1 ([0, t), Xk (Rn )) e w 0 (τ) = S(t − τ)f(τ).

44

Zs

Zs

0

S(t − τ)f(τ)dτ, isto é,

w (τ)dτ = w(s) − w(0) =

Para s < t temos

0

0

Zs
S(s − τ)f(τ)dτ.

w(s) = S(s)u(0) +
0

Finalmelnte, fazendo u(0) = ϕ (ou, mais precisamente, u(·, 0) = ϕ(·)) e
f(τ) = iF(u(·, τ)) garantimos o resultado.
Mostremos agora que uma tal solução está bem definida, pois é univocamente
determinada.
Lema 3.1.2. Sejam T > 0, ϕ ∈ Xk (Rn ). Se u, v ∈ C([0, T ], Xk (Rn )) são duas soluções do problema (3.1), então u = v.
Demonstração. Considere M = sup max{ku(t)kXk , kv(t)kXk }. Como F é lot∈[0,T ]

calmente lipschitziana temos,
kF(u(·, τ)) − F(v(·, τ))kXk ≤ L(M) ku(·, τ) − v(·, τ)kXk ,
e, portanto,
Zt
ku(t) − v(t)kXk ≤



S(t − τ) F(u(·, τ)) − F(v(·, τ))
0
Zt







Xk

dτ


C 1 + (t − τ)ρ F(u(·, τ)) − F(v(·, τ)) k dτ
X
0
Zt


ku(·, τ) − v(·, τ)kXk dτ.
≤ CL(M) 1 + T ρ

≤

(3.6)

0

Zt
Do Lema de Gronwall (ver página 21 de [Ro]), se φ(t) ≤ C1 + C2 λ(τ)dτ
0
"
#
Zt
então, φ(t) ≤ C1 exp C2 λ(τ)dτ , para quase todo t ∈ (0, T ). Temos, em (3.6),
0

C2 = CL(M) ((1 + T ρ )) e C1 = 0 logo, ku(t) − v(t)kXk = 0, para quase todo
t ∈ (0, T ), o que implica u = v.
Observação 3.1.1. Da demosntração acima, podemos garantir ainda
Zt


ku(t) − v(t)kXk ≤ CL(M)
1 + (T − τ)ρ ku(·, τ) − v(·, τ)kXk dτ.
0

45

(3.7)

Teorema 3.1.1. Sejam M > 0 e ϕ ∈ Xk (Rn ) tais que kϕkXk ≤ M. Então, existe
um tempo positivo T = T (M) e uma única solução u ∈ C([0, T (M)], Xk (Rn )) do
problema (3.1).
Demonstração. Basta mostrar que existe tal solução já que a unicidade resulta
imediatamente do Lema 3.1.2. Para tanto, tomemos M e ϕ como nas condições
acima e assumamos T ≤ 1.


Fixado K > 0, definamos o subconjunto de C [0, T ], Xk (Rn ) ,




E := u ∈ C [0, T ], Xk (Rn ) ; ku(·, t)kXk ≤ K, ∀t ∈ [0, T ] .
Consideremos para todos os elementos u e v de E a métrica proveniente da norma
de C([0, T ], Xk (Rn )), ou seja,
d(u, v) = max ku(·, t) − v(·, t)kXk ,
t∈[0,T ]

de modo que E torna-se também um espaço métrico completo.
Dada u ∈ E, definimos Φu pondo,
Zt
Φu (t) := S(t)ϕ + i S(t − τ)F(u(·, τ))dτ, ∀t ∈ [0, T ].
0

Aplicando a desigualdade triangular
 1 1 e a propriedade 2.22, vista no Corolário
2.2.1 da página 36, segue, para ρ ∈ 2 , 4 ,
Zt
kΦu (t)kXk (Rn ) ≤ kS(t)ϕkXk +

S(t − τ)F(u(·, τ))dτ
0

Zt

Xk

≤ C (1 + tρ ) kϕkXk + C (1 + (t − τ)ρ ) kF(u(·, τ))kXk dτ
0
Zt
≤ 2CM + 2C kF(u(·, τ))kXk dτ,
0

(3.8)
já que t, τ, t − τ ∈ [0, T ], e T ≤ 1.
Temos
kF(u(τ))kXk = kF(0) + F(u(τ)) − F(0)kXk
≤ kF(0)kXk + kF(u(τ)) − F(0)kXk
≤ kF(0)kXk + L(K) ku(τ)kXk
≤ kF(0)kXk + KL(K).
46

(3.9)

Podemos escolher K = 4CM + 2C kF(0)kXk e supor
T = min

1
1
,
.
4 4CL(K)

(3.10)

M+kF(0)kXk
+KL(K) , pois 2CL(K) ≥ 1. Portanto,
Xk

1
Observemos que 4CL(K)
≤ kF(0)k

kF(0)kXk + KL(K) ≤

M + kF(0)kXk
T

e, de (3.8) e (3.9) segue
kΦu (t)kXk (Rn ) ≤ 2CM + 2Ct

M + kF(0)kXk
≤ K,
T

o que significa que Φ está bem definida e leva elementos de E em elementos de E.
Para todos u, v ∈ E, tem-se
d(Φu (t), Φv (t)) = max kΦv (t) − Φu (t)kXk
t∈[0,T ]

ZT

≤ L(K)

max kS(T − τ)[v(τ) − u(τ)]kXk dτ

0 t∈[0,T ]
ZT

≤ L(K)
0

(3.11)

C (1 + (T − τ)ρ ) max kv(τ) − u(τ)kXk dτ
t∈[0,T ]

≤ 2CT (M)L(K)d(u, v).
Para que Φ seja uma contração basta, por exemplo, que T (M)L(K) = 12 , ou seja,
1
é suficiente escolher T (M) = 4CL(K)
.
1
Mas, de (3.11), como T (M) ≤ 4CL(K)
, segue que Φ é uma contração em E e,
portanto, possui um único ponto fixo u ∈ E que, pela construção do subespaço E,
satisfaz a condição do enunciado.

Observação 3.1.2. Observe que a unicidade obtida à partir da contração na demonstração do Teorema 3.1.1 se reduz ao espaço E, ali definido. Por outro lado,
a unicidade obtida no Lema 3.1.2, à partir do Lema de Gronwall, é mais geral,
valendo em todo o espaço Xk .
Analogamente, podemos também fazer os procedimentos descritos nas demonstrações anteriores para intervalos de números reais negativos. Para tanto,
basta tomar −T ao invés de T nos Lemas 3.1.1 e 3.1.2 e, −t ao invés de t na Proposição 3.1.1, com t, T > 0. Como consequência, podemos agrupar os resultados
anteriores no seguinte resultado:
47

Teorema 3.1.2. Seja M > 0. Então, existem T+ (M) > 0 e T− (M) < 0 tais que,
para toda ϕ ∈ Xk (Rn ) com kϕkXk ≤ M, existe uma única solução de (3.1)
u ∈ C([T− (M), T+ (M)], Xk (Rn )).
Nosso interesse agora será um pouco mais focado nas extremidades de um tal
intervalo [T− (M), T+ (M)]. Para iniciar, temos o seguinte resultado:
Teorema 3.1.3. Existe uma função T ∗ : Xk (Rn ) −→ (0, +∞] tal que para toda
ϕ ∈ Xk (Rn ) é possível encontrar u ∈ C([0, T ∗ (ϕ)], Xk (Rn )) de maneira que,
para todo T ∈ (0, T ∗ (ϕ)), u é a única solução de (3.4) em C([0, T ], Xk (Rn )).
Além disso, vale apenas uma das condições abaixo:
(i) T ∗ (ϕ) = ∞, ou;
(ii) T ∗ (ϕ) < ∞ e

lim ku(t)kXk = ∞.

t%T ∗ (ϕ)

Demonstração. Sejam ϕ ∈ Xk (Rn ) e

T ∗ (ϕ) = sup T > 0; ∃u ∈ C([0, T ], Xk (Rn )) solução de (3.4) .
Pela proposiçao 3.1.1 temos T ∗ (ϕ) > 0. Por outro lado, o Lema 3.1.2 nos permite construir uma única solução maximal u ∈ C([0, T ∗ (ϕ)), Xk (Rn )) da equação
(3.4).
Suponhamos T ∗ (ϕ) < ∞. Fixado t ∈ [0, T ∗ (ϕ)], sejam
Zt
u(t) = S(t)ϕ + i S(t − τ)F(u(·, τ))dτ
0

e Mt = ku(t)kXk (Rn ) . Consideremos a equação integral
Zτ
S(τ − σ)F(v(·, σ))dσ. ∀τ ∈ [0, T (M)].

v(τ) = S(τ)u(t) + i
0

Definamos agora w ∈ C([0, t + T (M)], XK (Rn )), dada por
w(τ) =

se τ ∈ [0, t];
se τ ∈ (t, t + T (M)].

u(τ),
v(τ − t),

É fácil verificar que w é solução de (3.4) com T = t + T (M). Do Lema 3.1.2
e da definição de T ∗ (ϕ) segue T ∗ (ϕ) ≥ t + T (M). Daí,
1
T ∗ (ϕ) − t

≤

48

1
.
T (M)

(3.12)

Evidentemente, quando t → T ∗ (ϕ), não pode ser T (M) finito em (3.10). Fa1
zendo T (M) = 4CL(K)
, segue de K = 4CM + 2C kF(0)kXk e M = ku(t)kXk ,




4CL 4C ku(t)kXk + 2C kF(0)kXk =

1
1
≥ ∗
T (M) T (ϕ) − t

(3.13)

e, portanto,
lim ku(t)kXk (Rn ) = +∞.

t%T ∗ (ϕ)

Observação 3.1.3. Nas mesmas condições do Teorema 3.1.3 é possível obter uma
única solução u de (3.4) em C([−T, 0], Xk (Rn )), sempre que T∗ (ϕ) < −T < 0,
onde

T∗ (ϕ) = inf − T > 0; ∃u ∈ C([−T, 0], Xk (Rn )) solução de (3.4) .
Além disso, vale uma e só uma das propriedades:
(i) T∗ (ϕ) = −∞, ou;
(ii) |T∗ (ϕ)| < ∞ e

lim ku(t)kXk = ∞.

t&T∗ (ϕ)

Como aplicação direta dos resultados anteriores, temos o seguinte resultado
em [Ga]:
Teorema 3.1.4. Dada ϕ ∈ Xk (Rn ), existem T∗ (ϕ) ∈ [−∞, 0) e T ∗ (ϕ) ∈ (0, +∞]
tais que:
a) existe uma única solução maximal u ∈ C([T∗ (ϕ), T ∗ (ϕ)], Xk (Rn )) e, para
todos T− , T+ ∈ R satisfazendo T∗ (ϕ) < T− < 0 < T+ < T ∗ (ϕ), u é a única
solução da equação integral
Z1
S(t − τ)F(u(τ))dτ, t ∈ [T− , T+ ].

u(t) = S(t)ϕ(x) + i
0

b) T∗ (ϕ) = −∞ ou
c) T ∗ (ϕ) = +∞ ou

lim ku(·, t)kXk = +∞.

t&T∗ (ϕ)

lim ku(·, t)kXk = +∞.

t%T ∗ (ϕ)

49

3.2

Regularidade da Solução

Voltemos nossa atenção ao tipo de regularidade da solução u encontrada através
dos resultados acima. Sejam T > 0, t ∈ [0, T ] e
i∆ : Xk+2 (Rn ) ⊂ Xk (Rn ) → Xk+2 (Rn ) o gerador do grupo {S(t)}. O problema
ut
= i∆u(t) + F(u), t ∈ [0, T ],
u(0) = ϕ,

(3.14)

é chamado problema de evolução. O problema homogêneo associado a (3.14)
é obtido fazendo F(u) ≡ 0. Uma função u : [0, T ] → X é uma solução clássica
do problema de evolução acima quando u é contínua em [0,T], satisfaz (3.14),
u(t) ∈ Xk+2 (Rn ), ∀t ∈ (0, T ], e u é continuamente diferenciável em (0,T].
Nessas condições, temos o seguinte resultado:
Teorema 3.2.1. Para todo ϕ ∈ Xk (Rn ), o problema homogêneo associado a
(3.14) possui uma única solução clássica u.
Demonstração. Usaremos o método de iterações de Picard. Já sabemos que o
operador i∆ é limitado. Consideremos
α = ki∆kXk .
Definimos φ : C([0, T ], Xk (Rn )) → C([0, T ], Xk (Rn )) por
Zt
(φu)(t) = ϕ + i∆u(τ)dτ.

(3.15)

0

Se denotamos kukL∞ Xk = max ku(t)kXk , então
T

t∈[0,T ]

ZT
kφu(t) − φv(t)kXk ≤

0

ki∆kXk ku(τ) − v(τ)kXk dτ

(3.16)

≤ αT ku − vkL∞ Xk .
T

Logo, se supomos
αn tn
ku − vkL∞ Xk ,
(3.17)
T
n!
para algum n ≥ 1 e para todo t ∈ [0, T ], segue
Zt
n+1
n+1
ki∆kXk kφn u(τ) − φn v(τ)kXk dτ
φ u(t) − φ v(t) k ≤
X
0
Z1 n n
α τ
ku − vkL∞ Xk dτ
≤ α
T
0 n!
αn+1 tn+1
ku − vkL∞ Xk .
=
T
(n + 1)!
kφn u(t) − φn v(t)kXk ≤

50

Portanto, (3.17) vale para todo natural n.
n n
Para n suficientemente grande, α n!t < 1 e φ possui um único ponto fixo em
C([0, T ], Xk (Rn )), isto é, existe u ∈ C([0, T ], Xk (Rn )) tal que
Zt
(3.18)
u(t) = ϕ + i∆u(τ)dτ.
0
d
Como u é contínua temos de (3.18), dt
u(t) = i∆u(t). Então, u é solução
do problema homogêneo associado a (3.14) e, como toda solução do problema
homogêneo associado a (3.14) é também solução de (3.18), a solução do problema
homogêneo é única.

Como aplicação direta do resultado acima temos o seguinte Teorema em [Ga]
Teorema 3.2.2. Sejam ϕ ∈ Xk+2 (Rn ) e F : Xk (Rn ) −→ Xk (Rn ). Então, a solução
u ∈ C([T∗ (ϕ), T ∗ (ϕ)], Xk (Rn )) da equação
Zt
u(t) = S(t)ϕ + i S(t − τ)F(u(τ))dτ, t ∈ [T− , T+ ]
(3.19)
0

descrita nos Teoremas 3.1.2 e 3.1.4 é uma solução clássica do problema (3.1) em
Xk (Rn ), ou seja,
u ∈ C([T∗ (ϕ), T ∗ (ϕ)], Xk+2 (Rn )) ∩ C1 ([T∗ (ϕ), T ∗ (ϕ)], Xk (Rn )).
Demonstração. É claro que u ∈ C([T∗ (ϕ), T ∗ (ϕ)], Xk+2 (Rn )). Para mostrar que
u ∈ C1 ([T∗ (ϕ), T ∗ (ϕ)], Xk (Rn )), basta derivar (3.19) em relação a t. Como S(t)ϕ
é a solução do problema
iut +

∆x u = 0,
u(·, 0) = ϕ(·),

d
S(t)ϕ(x) = i∆x ϕ ∈ Xk (Rn ), já que i∆ : Xk+2 (Rn ) → Xk (Rn ). Logo, de
temos dt
F : Xk (Rn ) → Xk (Rn ), segue

d
u(t) = i∆x ϕ + iF(u(t)) ∈ C([T∗ (ϕ), T ∗ (ϕ)], Xk (Rn )).
dt
Logo, u é solução clássica de (3.1).
Proposição 3.2.1. Seja f : R+ → R de classe Ck+1 . Então, F : Xk (Rn ) → Xk (Rn )
definida por F(u) = f(|u|2 )u é de classe C1 .
51

Demonstração. Seja u ∈ Xk (Rn ). Queremos mostrar que F(u) ∈ Xk (Rn ) e que
F 0 (u) é uma aplicação continua de Xk (Rn ) em Xk (Rn ).
Observemos inicialmente que u ∈ L∞ e, do fato de f ser de classe Ck+1 , decorre que f(|u|2 ) é limitado e, portanto, F(u) ∈ L∞ (Rn ).
Utilizando mais uma vez a fórmula de Leibniz e a desigualdade de GagliardoNirenberg, a exemplo do que foi feito na demonstração da Proposição 1.4.1,
mostra-se que, para todo multi-índice α com 1 ≤ |α| ≤ k, tem-se ∂α F(u) ∈ L2 (Rn ),
e, portanto, ∂α F(u) ∈ Xk (Rn ).
Por outro lado, como |u|2 = uu, temos, para cada j ∈ {1, · · · , n},
∂
∂
0
2
2
2 ∂
0
∂xj F(u) = [f (|u| )u + f(|u| )] ∂xj u + (u) ∂xj u contínua. Daí, F (u) é contínua
e, repetindo o argumento feito para F(u) acima verifica-se que, se u ∈ Xk (Rn )
então, F 0 (u) ∈ Xk (Rn ).
Proposição
3.2.2. Sejam n ∈ N, k > n2 + 1, ϕ ∈ Xk (Rn ) e f ∈ Ck+1 (R+ ). Para
 
cada ` ∈ { n2 + 1, · · · , k}, seja u ∈ C([T∗ (`), T ∗ (`)], X` (Rn )) a solução da equação integral
Zt
u(t) = S(t)ϕ + i S(t − τ)F(u(τ))dτ, t ∈ [T− , T+ ],
0

com F(u) = f(|u|2 )u, onde (T∗ (`), T ∗ (`)) é o intervalo maximal de existência de
u em X` (Rn ). Então,
T ∗ := T ∗ (
e, analogamente,





T∗ := T∗ (

n
+ 1) = · · · = T ∗ (k)
2

n
+ 1) = · · · = T∗ (k).
2

Demonstração. Xk+1 (Rn ) ⊂ Xk (Rn ) logo, para todo ` ≥
Suponhamos que T ∗ > T ∗ (`) e seja t ∈ (T∗ , T ∗ ). Temos
Zt
u(t) = S(t)ϕ + i



n
2



+ 1, T ∗ ≥ T ∗ (`).

S(t − τ)f(|u(τ)|2 )u(τ)dτ

0

e, portanto,
Zt
ku(t)kX` ≤ kS(t)kL (X` ,X` ) kϕkX` +

0

kS(t)kL (X` ,X` ) f(|u(τ)|2 )u(τ)

X`

dτ.

n
Como kS(t)kL (X` ,X` ) é limitada para t ∈ [0, T ∗ (`)], e u : [0, T ∗ (`)] → Xb 2 c+1 (Rn )
é uma aplicação contínua, existe M > 0 tal que, para todo t ∈ [0, T ∗ (`)], temos

52

ku(t)k b n c+1 ≤ M. Assim, vale também ku(t)kL∞ ≤ M e, como f ∈ Ck+1 (R+ )
X

2

Ý
> 0 tal que:
é limitada para t ∈ [0, T ∗ (`)], e ku(τ)kX` ≤ ku(t)kL∞ existe M

f(|u(τ)|2 )u(τ)
Logo,

X`

Ý
ku(τ)kX` .
≤M

Zt

"
Ý

ku(t)kX` ≤ C kϕkX` + M

0

#

ku(s)kX` ds ,

e, portanto, ku(t)kX` não pode tender a infinito quanto t % T ∗ (`), o que contradiz a hipótese de ser (T∗ (`), T ∗ (`)) o intervalo (aberto) maximal de definição da
aplicação u : (T∗ (`), T ∗ (`)) → X` (Rn ). Então, T ∗ = T ∗ (`).
Analogamente, temos também T∗ = T∗ (`).

53

Capítulo 4
Leis de Conservação e Boa
Colocação Global
4.1

Leis de Conservação

Sejam ϕ ∈ Xk+2 (Rn ) e f ∈ Ck+1 (R+ ). Consideremos
u ∈ C([T∗ , T ∗ ], Xk+2 (Rn )) ∩ C1 ([T∗ , T ∗ ], Xk (Rn ))
a solução do problema de Cauchy

iut + ∆x u + f(|u|2 )u = 0, (x, t) ∈ Rn × R,
u(x, 0)
= ϕ(x).

(4.1)

Nosso objetivo agora é mostrar a conservação da energia para (4.1) nos casos
n = 1 ou n = 2. Temos, inicialmente, o seguinte resultado.
Zr
R
Teorema 4.1.1. Seja V(r) := − f(τ)dτ. Suponhamos que Rn V(|ϕ(x)|2 )dx
0
Z
∗
converge. Então, para todo t ∈ (T∗ , T ),
|u(x, t)|2 dx também converge, e a
energia é conservada; isto é,
Z
Z


2
2
|∇u(x, t)| + V(|u(x, t)| ) dx =
Rn

Demonstração. Temos V(|u|2 ) = −

Rn



Rn

Z |u|2
f(τ)dτ e,
0

∂t V(|u|2 ) = −2f(|u|2 )(ut u + uut ).
54



|∇ϕ(x)|2 + V(|ϕ(x)|2 ) dx.

(4.2)

Multiplicando a primeira equação em (4.1) e sua equação conjugada por ut e ut ,
respectivamente, obtemos

i|ut |2 + ut ∆x u
= −ut f(|u|2 )u,
(4.3)
−i|ut |2 + ut ∆x u = −ut f(|u|2 )u.
Daí, somando membro a membro,
2Re(ut ∆x u) =
=
=
=

−f(|u|2 )(uut + ut u)
−f(|u|2 )(uu)t
−f(|u|2 )(|u|2 )t
∂t V(|u|2 ).

(4.4)

Para todos t ∈ (T∗ , T ∗ ), x ∈ Rn , integrando (4.4) no intervalo [0, t], tem-se
!
Zt
2Re
∆u(x, τ)ut (x, τ)dτ = V(|u(x, t)|2 ) − V(|ϕ(x)|2 ).
(4.5)
0

Consideremos agora uma função θ ∈ C∞
c (R) tal que

1, se r ≤ 1
θ(r) =
0, se r ≥ 2.


Para R > 0, definimos θR (x) := θ

|x|
R
2



, x ∈ Rn . Temos então,

Z



31
2

 2

|x|
k∇θR k2L (Rn ) = 4
∇θ
dx5
n
R
R
1
Z
2
0
−1 2 n
θ (|y|) R
R dy
=
Rn

=R

Z



n
2 −1

0

2

θ (|y|) dy

(4.6)

1
2

.

Rn
n
Como θ 0 (| · |) ∈ C∞
c (R ), a última integral é finita, em particular, {∇θR }R≥1 é
limitada em L2 (Rn ). Multiplicando agora (4.5) por θR (x) e integrando sobre Rn
obtemos:
"Z
!
#
Zt
2Re
∆u(x, τ)ut (x, τ)dτ θR (x)dx
Rn
0
(4.7)
Z
Z
2
2
=
V(|u(x, τ)| )θR (x)dx −
V(|ϕ(x)| )θR (x)dx.
Rn

Rn

55

Usando o Teorema de Fubini e integrando por partes no lado esquerdo de (4.7),
temos:
"Z
!
#
Z
t

∆u(x, τ)ut (x, τ)dτ θR (x)dx

2Re
Rn

Z



=−
Rn

0
"



|∇u(x, t)| − |∇ϕ(x)| θR (x)dx−2Re
2

2

Zt Z

#

0 Rn

∇u(x, τ)∇θR (x)ut (x, τ)dxdτ .

Por conveniência, assumamos t > 0. Como ∇θR tem suporte compacto em
Ω = {x ∈ Rn ; |x| ≥ R}, a desigualdade de Cauchy-Schwartz implica
Zt Z
0 Rn

∇u(x, τ)∇θR (x)ut (x, τ)dxdτ
Zt

≤ sup kut (τ)kL∞ (Rn )
τ∈[0,t]

0

!

k∇u(τ)kL2 (Ω) dτ k∇θR kL2 (Rn ) ,

e esta última quantidade
converge para 0 quando R → ∞. Por outro lado, quando
Z
R → ∞, temos





Rn

|∇u(x, t)|2 − |∇ϕ(x)|2 θR (x)dx convergindo para
k∇u(x, t)k2L2 − k∇ϕ(x)k2L2 .

Então, se assumimos que existe o limite
Z
Z
2
V(|ϕ(x)| )dx := lim
V(|ϕ(x)|2 )θR (x)dx,
R→∞ Rn

Rn

o que depende da nossa escolha da função θ, e tomamos o limite em (4.7), obtemosZa partir de (4.5):
Z
V(|u(x, t)|2 )dx −
Rn

V(|ϕ(x)|2 )dx =
Rn

Z

"

Rn

=

0

"

Zt

Z

!

#

lim 2Re
∆u(x, τ)ut (x, τ)dτ θR (x)dx
Rn
0
Z
Z

2
2
lim
V(|u(x, τ)| )θR (x)dx −
V(|ϕ(x)| )θR (x)dx .

R→∞

R→∞

Z

Rn

Z
2

V(|u(x, t)| )dx = lim

Portanto,
conservada.

#

∆u(x, τ)ut (x, τ)dτdx

2Re

=
=

Zt

Rn

R→∞ Rn

56

Rn

V(|u(x, τ)|2 )θR (x)dx, e a energia é

Observação 4.1.1. Vale aqui mencionar que uma demonstração para n ≥ 3 não
n
poderia ser obtida do mesmo modo. De fato, uma função θR ⊂ C∞
c (R ), com
θR (x) = 1 sempre que |x| ≤ R, e tal que ∇θR seja limitada em L2 (Rn ) não existe
para n/geq3.
Sejam agora θ, θ0 : R −→ R funções não crescentes, de classe C∞ , tais que,
em R − (0, 1)
1, se x ≤ 0
θ(x) = θ0 (x) ≡
.
0, se x ≥ 1
−
−
Para R > 0, defina θ+
R (x) = θ(x − R)θ0 (−x) e θR (x) = θR (x).
Z
V(|ϕ(x)|2 )θ±
Proposição 4.1.1. Se lim
R (x)dx existe, então
R→∞ R

Z

lim

R→∞ R

V(|u(x, t)|2 )θ±
R (x)dx

também existe.
Demonstração. Basta trocar θR por θ±
R na demonstração da Proposição 4.1.1 obtendo:
Z


V(|u(x, t)|2 ) − V(|ϕ(x)|2 ) + |∇u(x, t)|2 − |∇ϕ(x)|2 θ±
R (x)dx =
R

"

Zt Z

= ∓2Re

#

∇u(x, τ) [∇θ(±x − R)θ0 (∓x) − θ(±x − R)∇θ0 (∓x)] ut (x, τ)dxdτ .
0 R

Avaliando o limite quando R → ∞, como {∇θ(±x − R)}R≥0 é limitado em L2
temos
Z
Z
2 ±
lim
V(|u(x, τ)| )θR (x)dx − limR→∞ V(|ϕ(x)|2 )θ±
R (x)dx =
R→∞ R
R
Z


=−
|∇u(x, τ)|2 − |∇ϕ(x)|2 θ0 (±x)dx
RhR R
i
t
±2Re 0 R ∇u(x, τ)∇θ0 (±x)ut (x, τ)dxdτ .
Z
Observe que o limite lim
V(|u(x, τ)|2 )θ±
R (x)dx depende apenas de θ0 mas
R→∞ R
Z
não de φ no caso em que lim
V(|ϕ(x)|2 )θ±
R (x)dx não existe.
R→∞ R

Proposição 4.1.2. Sejam n ∈ N, k > n2 e ϕ ∈ Xk (Rn ). Então, para quaisquer
x, y ∈ Rn , a aplicação f : [0, 1] −→ C, definida por
f(t) = ϕ(x + t(y − x)),
é absolutamente contínua.
57

Demonstração. Sejam x 6= y em Rn e considere uma sequência {υ` }`∈N de funções em Ck (Rn ) convergindo para ϕ (onde o limite é considerado em Xk ). Como
toda função contínua definida em um intervalo fechado é absolutamente contínua,
para cada `
f` : [0, 1] −→ C, definida por f` (t) = υ` (x + t(y − x)),
é absolutamente contínua. Afirmamos que os módulos das aplicações f` são uniformemente limitados.
De fato, para cada `, como υ` converge para ϕ ∈ Xk , temos que υ` é limitada.
Escolhidos m ∈ N, {αj }j∈N , {βj }j∈N , com 0 ≤ α1 < β1 < α2 < · · · < αm < βm ≤ 1
m
X
e tais que
(βj − αj ) < δ, então, para todo `, temos
j=1
m
X

|f` (βj ) − f` (αj )| =

j=1

m Z βj
X
αj

j=1

Z
≤

∪m
j=1 (αj , βj )


≤

≤

f`0 (s)ds
|f`0 (s)|ds

Z

1 
2

∪m
j=1 (αj , βj )
m
X
(βj − αj )

ds

Z

1
2

∪m
j=1 (αj , βj )

1
2

Z1
0

j=1

|f`0 (s)|2 ds

!1
2

|f`0 (s)|2 ds

.

(4.8)

Além disso,
Z1
Z1
0
2
|f` (s)| ds =
|(y − x) · ∇υ` (x + s(y − x))|2 ds
0

0

≤ |y − x|

Z |y−x|



∇υ`
0

y−x
x+s
|y − x|

 2

ds.


y−x
, t ∈ R , existe uma constante C > 0
Portanto, escrevendo Ω = x + t |y−x|
satisfazendo
!1
Z1
2
1
|f`0 (s)|2 ds
≤ |y − x| 2 k∇υ` |Ω kL2 (Ω)
0

1

≤ C|y − x| 2 k∇υ` kHk−1 (Rn )
1

≤ C|y − x| 2 sup kυ` kXk (Rn ) ,
`

58

(4.9)

onde, na segunda passagem, foi utilizada a desigualdade (5.6) proveniente da demonstração do Teorema do Traço (ver Apêndice).
Proposição
4.1.3. Seja f : R −→ R uma função uniformemente contínua. Se
Z∞
f(x)θ±
lim
R dx existe, então lim f(x) = 0.
x→±∞

R→∞ −∞

Demonstração. Suponhamos que lim f(x) 6= 0. Logo, existiria  > 0 tal que
x→±∞

para todo A > 0, seria possível encontrar x > A com |f(x)| > . Mas, f é uniformemente contínua e, portanto, existe δ > 0, δ < 2, tal que |x − y| < δ implica
|f(x) − f(y)| < 2 . Assim, é possível construir uma sequência {xn }n∈N tal que
xn → ∞ com |f(y)| ≥ 2 quando |y − xn | ≤ δ. Os termos da sequência podem
ser escolhidos de tal modo que cada intervalo (xn − δ, xn + δ) contenha apenas
um deles. Sem perda de generalidade, podemos assumir f(xn ) > 0. Seja

1, se x ≤ 0
θ(x) =
0, se x ≥ δ2 ,
então, usando a notação anterior, como θ é uma função não crescente,
!

y
θxn + δ (y) = θ
2
xn + δ2


y
= θxn −δ (y)
≥θ
xn − δ
e, portanto,
Z +∞
−∞

(4.10)

Z +∞
f(y)θxn −δ (y)dy −

−∞
Z +∞

2





f(y) θxn + δ (y) − θxn −δ (y) dy

=
≥

f(y)θxn + δ (y)dy
2

−∞
Z xn + δ
2

(4.11)

f(y)dy
xn − δ2

≥

δ
,
2

Z∞

o que contradiz nossa hipótese de existência do limite lim

R→∞ −∞

Então, lim f(x) = 0.
x→±∞

59

f(x)θ±
R dx.

Nosso objetivo agora é mostrar a Proposição 4.1.1 para ϕ ∈ Xk (Rn ), com
k > n2 . Para isso assumiremos uma hipótese adicional a respeito da não linearidade de f, além da seguinte notação: Sejam n = k ∈ {1, 2}. Suponhamos que
f ∈ Ck+1 (R+ ) e que, para algum ρ0 > 0, tenhamos f(ρ0 ) = 0 e f 0 (ρ0 ) < 0.
Definamos
Zr
f(τ)dτ.
V(r) := −
ρ0

Se n = 1, assuma que {r, V(r) = 0} é discreto; se n = 2, assuma que V é
não-negativa em R+ .
Temos, V(ρ0 ) = 0, V 0 (ρ0 ) = −f(ρ0 ) = 0 e V 00 (ρ0 ) = −f 0 (ρ0 ) > 0.
Dado 0 < δ0 < ρ0 , é possível encontrar 0 < C1 < 1 < C2 tais que
C1

V 00 (ρ0 )
V 00 (ρ0 )
(r − ρ0 )2 ≤ V(r) ≤ C2
(r − ρ0 )2 .
2
2

(4.12)

Nestas condições, temos o seguinte resultado:
Teorema 4.1.2. Sejam n = k ∈ {1, 2}, ϕ ∈ Xk (Rn ), x 7→ V(|ϕ0 (x)|2 ) ∈ L1 (Rn ) e
suponha que existam 0 < δ1 < δ0 e A > 0 tais que |x| ≥ A impliquem na desigualdade ||ϕ0 (x)|2 − ρ0 | < δ1 . Se (T∗ , T ∗ ) é o intervalo maximal de solução de (4.1)
então, a energia
Z
E(u(t)) :=
[|∇u(x, t)|2 + V(|u(x, t)|2 )]dx
(4.13)
Rn

é finita e conservada para todo t ∈ (T∗ , T ∗ ).

R
Demonstração. Consideremos a identidade aproximada ρ` ≤ 1, com ρ` = 1,
supp ρ` ⊂ B(0, 1` ) e ρ` ≥ 0. Primeiramente daremos uma estimativa para
ρ0 − |ρ` ∗ ϕ(x)|2 com ` suficientemente grande e |x| ≥ A. Podemos considerar
dois casos:
Caso 1) se |ρ` ∗ ϕ(x)| ≥

√
ρ0 , então

√
√
|ρ0 − |ρ` ∗ ϕ(x)|2 | ≤ ( ρ0 + kϕkL∞ )(|ρ` ∗ ϕ(x)| − ρ0 );

Caso 2) se |ρ` ∗ ϕ(x)| <

√
ρ0 , então

√
√
|ρ0 − |ρ` ∗ ϕ(x)|2 | ≤ ( ρ0 + kϕkL∞ )( ρ0 − |ρ` ∗ ϕ(x)|).

60

Para o primeiro caso, temos:
√
0 < |ρ` ∗ ϕ(x)| − ρ0 ≤

Z
Z Rn

≤
Rn

√
ρ` (x − y)(|ϕ(y)| − ρ0 )dy
√
ρ` (x − y) ||ϕ(y)| − ρ0 | dy.

(4.14)

Já no segundo caso, note que se |x| ≥ A,
|ϕ(x)|2 ≥ ρ0 − |ρ0 − |ϕ(x)|2 |
≥
p0 − δ1 > 0.

(4.15)

√
Seja α := ρ0 − δ1 , para cada x ∈ Rn , podemos escolher υ ∈ C tal que |υ| = 1
e υϕ(x) ∈ iR. Dado qualquer y ∈ Rn , podemos decompor ϕ(y), na R− base
{ϕ(x), υ} de C, com
ϕ(y) = Re[ϕ(y)ϕ(x)]

ϕ(x)
+ Pυ (ϕ(y))υ,
|ϕ(x)|2

onde Pυ (ϕ(y)) é a projeção de ϕ(y) sobre υ. Com efeito, se λ1 , λ2 ∈ R são tais
que ϕ(y) = λ1 ϕ(x) + λ2 υ então,
ϕ(y)ϕ(x) = λ1 ϕ(x)ϕ(x) + λ2 υϕ(x)
= λ1 |ϕ(x)|2 + λ2 υϕ(x),
1
e, pela escolha de υ, λ1 = Re(ϕ(y)ϕ(x)) |ϕ(x)|
2.
Logo:
√
0 <
ρ0 − |ρ` ∗ ϕ(x)|
Z
√
≤
ρ0 −
ρ` (x − y)ϕ(y)dy
Rn
Z
Z
√
ϕ(x)
ρ` (x − y)P(ϕ(y))υdy
ρ0 −
dy −
≤
ρ` (x − y)Re[ϕ(y)ϕ(x)]
|ϕ(x)|2
Rn
Rn
Z
√
ϕ(x)
≤
ρ` (x − y)Re[ϕ(y)ϕ(x)]
ρ0 −
dy .
|ϕ(x)|2
Rn

Procedendo como na Proposição 1.4.3, podemos escolher p ∈ N e `0 ∈ N tais
n
que |x − y| ≤ `10 implica |ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ C|x − y|1− p k∇ϕkLp ≤ α2 .
Como Re[ϕ(y)ϕ(x)] = |ϕ(x)|2 + Re[(ϕ(y) − ϕ(x))ϕ(x)], temos, para ` ≥ `0
e y ∈ B(x, `10 ),
Re[ϕ(y)ϕ(x)] ≥ |ϕ(x)|2 − |ϕ(y) − ϕ(x)||ϕ(x)|
αÈ
α2
2
≥ ρ0 − δ1 −
ρ0 − δ1 = α − .
2
2
61

2

Ou seja, Re[ϕ(y)ϕ(x)] ≥ α2 . Então, para ` ≥ `0 ,
√
0 ≤
ρ0 − |ρ` ∗ ϕ(x)|
Z
√
1
≤
ρ` (x − y)Re[ϕ(y)ϕ(x)]
dy
ρ0 −
|ϕ(x)|
Rn
Z
√
1
=
ρ` (x − y)Re[(ϕ(y) − ϕ(x))ϕ(x)]dy
ρ0 − |ϕ(x)| +
|ϕ(x)| Rn
Z
√
ρ` (x − y)|ϕ(y) − ϕ(x)|dy.
(4.16)
≤ | ρ0 − |ϕ(x)|| +
Rn

L∞

Tomemos  > 0, como ρ` ∗ ϕ → ϕ, existe `1 ≥ `0 tal que ` ≥ `1 implica
|ρ` ∗ ϕ|2 − |ϕ|2 ∞ ≤ δ0 − δ1 . Logo, sempre que |x| > A e ` > `1 , temos
L

|ρ` ∗ ϕ(x)|2 − ρ0 ≤ δ0 . Portanto, para |x| > A e ` > `1 , se tomamos
r = |ρ` ∗ ϕ(x)|2 em (4.12) temos:




0 ≤ V |ρ` ∗ ϕ(x)|2
2
V 00 (ρ0 )
≤ C2
|ρ` ∗ ϕ(x)|2 − ρ0 .
2
Sejam B ≥ A + 1, ` ≥ `1 , e considere o seguinte conjunto
√
Aρ0 = {x ∈ Rn ; |x| ≥ B e |ρ` ∗ ϕ(x)| − ρ0 ≥ 0}.

(4.17)

Se χAρ0 denota a função característica do conjunto Aρ0 , as desigualdades
(4.14), (4.16) e (4.17) implicam
Z
Z


√
V 00 (ρ0 ) √
2
2
( ρ0 + kϕkL∞ )
[|ρ` ∗ ϕ(x)| − ρ0 ]2 dx
V |ρ` ∗ ϕ(x)| ≤ C2
2
Rn
|x|≥B
≤ C2
"Z

Z
×


|x|≥B

√
+ | ρ0 − |ϕ(x)|| +

V 00 (ρ0 ) √
( ρ0 + kϕkL∞ )2 ×
2
2
√
ρ` (x − y) ||ϕ(y)| − ρ0 | dy χAρ0

Rn

Z

2

Rn

ρ` (x − y)|ϕ(y) − ϕ(x)|dy





1 − χ Aρ0

#

dx.

Então, podemos escrever
Z


V |ρ` ∗ ϕ(x)|2 ≤
Rn

Z
Z
√
V 00 (ρ0 ) √
2
( ρ0 + kϕkL∞ )
≤ C2
ρ` (x − y) ||ϕ(y)| − ρ0 |2 dy
2
|x|≥B Rn
Z
2 #
√ 2
+ 2 ||ϕ(x)| − ρ0 | + 2
ρ` (x − y)|ϕ(y) − ϕ(x)|dy
dx. (4.18)
Rn

62

Temos:

Z
Z

≤

Z

√
ρ` (x − y)||ϕ(y)| − ρ0 |2 dydx

|x|≥B Rn

Z

ρ` (x − y)

|x|≥B |y|≥B− 1`

Z

1
ρ0

≤

|y|≥B− 1`

||ϕ(y)|2 − ρ0 |2 dy

Z

2
C1 ρ0 V 00 (ρ0 )

≤

||ϕ(y)|2 − ρ0 |2
dydx
ρ0

Z
|x|≥B

V(|ϕ(x)|2 dx,

|y|≥B− 1`

(4.19)

√
2| ρ0 − |ϕ(x)||2 dx

Z

|ρ0 − |ϕ(x)|2 |2 dx
|x|≥B
Z
4
≤ C ρ V 00 (ρ )
V(|ϕ(x)|2 dx,
2
ρ0

≤

1 0

0

|x|≥B

(4.20)

e, para a terceira integral no segundo membro de (4.18) usaremos a Proposição
4.1.2. Da continuidade absoluta da aplicação t 7→ ϕ(x + t(y − x)), t ∈ [0, 1], podemos escrever
Z1
|ϕ(y) − ϕ(x)| = (y − x)∇ϕ(x + t(y − x))dt .
0
x−e
y
e = ty + (1 − t)x e x
e =
Daí, fazendo as mudanças de variáveis, y
t , respectivamente, temos:
Z
Z
2
ρ` (x − y)|ϕ(y) − ϕ(x)|dy dx

Z
≤

Z

|x|≥B

Rn

2

|x|≥B Rn

ρ` (x − y)|y − x|

Z1 Z

≤
≤
=

Z1

1
`2
1
`2

Z

0 |x|≥B Rn
Z1 Z
Z

∇ϕ(x + t(y − x))dtdydx
0

ρ` (

0 |x|≥B Rn

e −x
e
y
dy
e
dxdt
)|∇ϕ(y))
t
tn

e
e
ρ` (−xe )|∇ϕ(y))d
xe dydt

k∇ϕkL2
.
`2

63

(4.21)

Tomando B suficientemente grande, podemos assumir que
#
"Z
Z
√

2 C2
2
2
( ρ0 + kϕk∞ )
V(|ϕ| )dx < . (4.22)
V(|ϕ| )dy + 2
C1 ρ0 |y|≥B−1
2
|x|≥B
Escolhidos `2 ≥ `1 tais que
2C2

k∇ϕkL2 
V 00 (ρ0 ) √
( ρ0 + kϕk∞ )2
< .
2
2
`22

(4.23)

De volta à desigualdade (4.18), com o auxílio das desigualdades (4.19), (4.20),
(4.21), (4.22) e (4.23), temos:
Z
V(|(ρ` ∗ ϕ)(x)|2 )dx < .
(4.24)
|x|≥B

Como ρ` ∗ ϕ → ϕ em L∞ , podemos considerar B suficientemente grande e
assumir
Z
V(|ϕ|2 )dx < ;
(4.25)
|x|≥B

e, além disso, que existem `3 ≥ `2 tais que, para ` > `3 ,
Z




V |(ρ` ∗ ϕ)(x)|2 − V |ϕ(x)|2 dx < .
|x|<B

Evidentemente,
Z




V |(ρ` ∗ ϕ)(x)|2 − V |ϕ(x)|2 dx =
RnZ




=
V |(ρ` ∗ ϕ)(x)|2 − V |ϕ(x)|2 dx +
|x|<B
Z




+
V |(ρ` ∗ ϕ)(x)|2 − V |ϕ(x)|2 dx,
|x|≥B

donde, após aplicar a desigualdade triangular lançando mão das desigualdades
(4.24) e (4.25) na última parcela, obtém-se, para ` ≥ `3 ,
Z




V |(ρ` ∗ ϕ)(x)|2 − V |ϕ(x)|2 dx < 3,
Rn









o que significa que V |(ρ` ∗ ϕ)(x)|2 → V |ϕ(x)|2 em L1 (Rn ).
Seja ` ∈ N. Consideremos u` (t) a solução de

iut + ∆x u + f(|u|2 )u = 0, x ∈ Rn , t ∈ R+ ,
u(x, 0)
= ϕ,
64

e denotemos por (T∗ (`), T ∗ (`)) seu intervalo maximal de existência. Da Proposição 4.1.1 temos que, para t ∈ (T∗ (`), T ∗ (`)), vale
Z
Z




2
2
|∇u` (t)| + V(|u` (t)| ) dx =
|∇ρ` ∗ ϕ|2 + V(|ρ` ∗ ϕ|2 ) dx. (4.26)
Rn

Rn

Considere T∗ < Te1 < Te2 < T ∗ . Como vale a continuidade em relação ao dado
inicial ϕ, existem K, δ > 0 tais que kρ` ∗ ϕ − ϕkXk < δ implica
T∗ (`) < Te1 < Te2 < T ∗ (`) e ku` − u(t)kXk ≤ K kρ` ∗ ϕ − ϕkXk , t ∈ [Te1 , Te2 ].
Em particular, como ρ` ∗ϕ → ϕ em Xk (Rn ), vale ∇u` (t) → ∇u(t)
em L2 (Rn)

e ∇ρ` ∗ ϕ = ρ` ∇ϕ → ∇ϕ em L2 (Rn ). Resta mostrar que V |ρ` ∗ ϕ|2 → V |ϕ|2
em L1 (Rn ) o que faremos no que se segue.


Para o primeiro caso (n = 1), já temos que V |ρ` ∗ ϕ|2 ∈ L1 (Rn ), para ` ≥ `3 .
Tomando θ como na Proposição 4.1.1 segue
Z∞
Z∞




2
±
lim
V |ρ` ∗ ϕ(x)| θR (x)dx =
V |ρ` ∗ ϕ(x)|2 θ0 (±x)dx.
R→∞ −∞

Além disso, lim

−∞

Z∞





R→∞ −∞

V |u` (x, t)|2 θ±
R (x)dx existe para cada ` ∈ N e não de



pende da escolha de θ. Portanto, V |u` (x, t)|2 → 0 quando x → ±∞, por conta
da Proposição 4.1.3 acima.
Agora, {r; V(r) = 0} é, por hipótese, um conjunto discreto e u` (t) é contínua
e limitada na reta, logo existe r`± (t) ∈ R tal que




V r`± (t) = 0 e lim |u` (x, t)|2 = r`± (t).
x→∞

Fixados t ∈ (T∗ (`), T ∗ (`)) e h ∈ R tais que t + h ∈ (T∗ (`), T ∗ (`)) sejam x ∈ R e
 > 0. Temos da desigualdade triangular
r`± (t + h) − r`± (t) ≤ r`± (t + h) − u` (x, t + h) + |u` (x, t + h) − u` (x, t)|
+ u` (x, t) − r`± (t) .
(4.27)
Podemos escolher h suficientemente pequeno de modo que

kuell (t + h) − u` (t)k < .
3
Isso é possível já que u` ∈ C((T∗ (`), T ∗ (`), Xk ) ⊂ C((T∗ (`), T ∗ (`), L∞ ). Podemos
ainda escolher |x| suficientemente grande de modo que
r`± (t + h) − u` (x, t + h) <



e u` (x, t) − r`± (t) < .
3
3

65

Portanto, r`± (t + h) − r`± (t) < . Isso significa que a aplicação r`± é contínua
assumindo valores em um conjunto discreto, isto significa que r`± é constante.
Para ` ≥ `3 , temos |ρ` ∗ ϕ|2 − |ϕ|2 ∞ ≤ δ0 − δ1 e r`± (0) = ρ0 . Logo, para
L
todos ` ≥ `3 e t ∈ (T∗ (`), T ∗ (`)) temos
lim |u` (x, t)|2 = ρ0 .

x→±∞

Sejam ` ≥ `4 ≥ `3 , podemos afirmar
|u` (t)|2 − |u(t)|2 ∞ =
L
= k(u` (t) − u(t)) · (u` (t) + u(t))kL∞
≤ ku` (t) − u(t)kL∞ ku` (t) + u(t)kL∞
(ku` (t) − u(t)kL∞ + 2 ku(t)kL∞ )
≤ ku` (t) − u(t)kL∞
≤ K kρ` ∗ ϕ − ϕkXk



K kρ` ∗ ϕ − ϕkXk + 2 sup ku(t)kL∞
t∈[e
T1 ,e
T2 ]

1
≤ δ0 −δ
2 .

Seja D > 0 e suponha ||u`4 (x, t) − ρ0 | ≤ δ1 sempre que |x| ≥ D. Nestas condições, para ` ≥ `4 , |x| ≥ D, temos V (|u` (x, t)|) não negativa pois:
||u` (x, t)|2 − ρ0 |
≤ ||u` (x, t)|2 − |u(x, t)|2 | + ||u(x, t)|2 − |u`4 (x, t)|2 | + ||u`4 (x, t)|2 − ρ0 |
1
≤ 2 δ0 −δ
2 + δ1 = δ0 .
Logo,
Z


V |u` (x, t)|2 dx
|x|≥DZ
∞ 


=
|∇ρ` ∗ ϕ|2 + V |ρ` ∗ ϕ|2 dx
−∞
Z∞
Z


2
−
|∇u` (x, t)| dx −
V |u` (x, t)|2 dx.
|x|≤D

−∞

Z

Portanto, quando ` → ∞, da igualdade (4.26) segue que


|x|≥D



V |u` (x, t)|2 dx converge para

Z∞





|∇ϕ| + V |ϕ|
2

2



Z∞
dx −

−∞

Z
|∇u(x, t)| dx −

−∞




2



|x|≤D



V |u(x, t)|2 dx,

e a sequência {V |u` (·, t)|2 χ{|x|≥D} }`≥`4 é limitada em L1 . Como u` (t) converge






para u(t), V |u` (t)|2 converge para V |u(t)|2 , V |u(t)|2 ∈ L1 e
Z
Z




2
V |u(t)| dx ≤ lim inf V |u` (t)|2 dx.
`→∞

66

Fazendo ` → ∞ na equação (4.26) segue:
Z
Z




2
2
|∇u(t)| + V(|u(t)| ) dx ≤
|∇ϕ|2 + V(|ϕ|2 ) dx.

(4.28)

Analogamente, tomando t < 0, é possível mostrar que
Z
Z




2
2
|∇u(t)| + V(|u(t)| ) dx ≥
|∇ϕ|2 + V(|ϕ|2 ) dx.

(4.29)

Rn

Rn

e, portanto, vale (4.2) no caso n = 1.
Para o caso n = 2, já temos
por hipótese V ≥ 0. Além disso, para ` ≥ `3 a

2
aplicação x → V |u` (x, t)| está em L1 e, portanto, podemos repetir os mesmos
argumentos para verificar a validade de (4.2) neste segundo caso.

4.2

Boa Colocação Global

Para n = 1, as leis de conservação obtidas na seção anterior implicam a boa existência global para uma solução de (1) no espaço X1 (R), conforme o seguinte
resultado em [Ga].
Zr
k+1
Teorema 4.2.1. Sejam n = k = 1. Suponha f ∈ C , ρ0 > 0, V(r) = −
f(τ)dτ
ρ0

e ϕ ∈ X1 (R) nas mesmas condições do Teorema 4.1.2.
Se, para algum C > 0,

2
1
tem-se V(r) ≥ C (ρ0 − r) , então u ∈ Cb R, X (R) .
Demonstração. Considere (T∗ , T ∗ ) o intervalo maximal de existência da solução
u de (1). Definamos a energia em t = 0 por
Z


E0 =
|∂x ϕ(x)|2 + V(|ϕ(x)|2 ) dx.
R

O Teorema 4.1.2 garante que a energia é conservada para t ∈ (T∗ , T ∗ ). Do
Teorema 3.1.3 e da Observação 3.1.3 temos que, se T ∗ é finito, então
ku(t)kX1 → ∞ quando t → T ∗ ou t → T∗ Como V ≥ 0, da conservação de energia
segue que, para todo t,
Z


E0 =
|∂x u(x, t)|2 + V(|u(x, t)|2 ) dx,
R

Z

|∂x u(x, t)|2 dx ≤ E0 . Portanto, para mostrar que ku(t)kX1 não

e, portanto,
R

tende a ∞ em um tempo finito, é suficiente mostrar que ku(t)kL∞ não tende a
∞ em tempo finito.
67

Do teorema do mergulho de Sobolev temos H1 (R) ⊂ L∞ (R), e, portanto,
ku(t)k2L∞ ≤ ρ0 + |u(t)|2 − ρ0

L∞

≤ ρ0 + C |u(t)| − ρ0
2

r

≤ ρo + C

(4.30)

H1
2
|u(t)|2 − ρ0 2 +
L



∂x |u(t)|2 − ρ0



2
L2

.

De (4.30) e da hipótese V(r) ≥ C (ρ0 − r)2 , segue
Z

s

ku(t)k2L∞ ≤ ρ0 + C

|∂x u(t)|2 dx

E0 + 4 ku(t)k2L∞
R

È

≤ ρ0 + C E0 + 2C ku(t)kL∞

È

(4.31)

E0 .

Portanto, ku(t)kL∞ não pode tender a ∞ em tempo finito, o que implica que a
solução u está definida para todo t ∈ R. Isto, juntamente com o que foi mostrado
no capítulo 3, significa que o problema (1) tem boa colocação global. Além disso,
ku(t)kL∞ é limitada em R e, logo, (u(t))t∈R é limitada em X1 (R).

4.3

Algumas Aplicações

Exemplo 4.3.1 (A Equação de Gross-Pitaevskii). Seja n = 1 ou n = 2 e tomemos
f(|u|2 ) = 1 − |u|2 em (1), isto é, consideremos




iut + ∆u + 1 − |u|2 u = 0.

(4.32)

Então, fazendo r = |u|2 , temos f(1) = 0, f 0 (1) = −1 e
Zr
V(r) = −

f(s)ds =
1

(r − 1)2
≥ 0.
2

Portanto, estão garantidas as hipóteses do Teorema 4.1.2, e a energia é conservada.
O Exemplo 4.3.1 é um caso particular da equação de decaimento cúbico, obtida ao considerar f(|u|2 ) = ρ0 − |u|2 em (1). Mais geralmente, temos:
Exemplo 4.3.2.Sejam α > 0, p ≥ 12 se n = 1, e p ≥ 1, se n = 2. Tomemos em
(1), f(|u|2 ) = α ρp0 − |u|2p , isto é, consideremos




iut + ∆u + α ρp0 − |u|2p u = 0.
68

(4.33)

Fazendo, como
no Exemplo
4.32, r = |u|2 observamos que, para n = 1, a


p
p
função f(r) = α ρ0 − r só é diferenciável na origem quando p = 1 ou p ≥ 2; e
para n = 2, f só é diferenciável se p = 1, p = 2 ou p ≥ 3. Portanto, a hipótese
f ∈ Ck+1 (R+ ) nos é negada.
Entretanto, a aplicação
F : Xk (Rn ) −→ Xk (Rn )
u
7−→ f(|u|2 )u
é de classe C1 , o que é suficiente para a conclusão do Teorema 4.1.2 nos demais
casos.
No caso n = 1 e p ≥ 1, temos
V(r) = αρp0 (ρ0 − r) +


1  p+1
r
− ρ0p+1
p+1

ρ0 − r αρp−1
0
≥ αρp−1
(ρ
−
r)
=
(ρ0 − r)2 ,
0
0
2
2

(4.34)

satisfazendo assim a hipótese do Teorema 4.2.1. Portanto, neste caso, o problema
(1) tem boa colocação global.

69

Apêndice A
Mudança de Coordenadas
Definição A.0.1. Seja Ω um subconjunto aberto de Rn . Uma aplicação h :→ Rn
é uma mudança de coordenadas em Ω quando h é um difeormofismo em Ω; isto
é:
(i) h ∈ C1 (Ω);
(ii) h é injetiva;
(iii) a derivada de h é injetiva ou, equivalentemente, det Dg(x) 6= 0, para todo
x ∈ Ω.
Exemplos e aplicações de mudanças de coordenadas podem ser encontradas
em bons livros de Cálculo Diferencial e Integral. Dedicamos esta seção à apresentação da mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas que
utilizamos exaustivamenste no decorrer do texto.
Seja f : Rn → Rn uma aplicação integrável. Dado x ∈ Rn , sempre podemos
escrever x = ρυ, onde ρ ∈ R e υ ∈ Sn−1 , isto é, kυk = 1. Assim, considerando ρ
fixado na reta temos dx = ρn−1 dυ e, portanto,
Z
Z ∞ Z

n−1
f(ρυ)ρ dυ dρ.
f(x)dx =
Rn

0

Sn−1

70

Apêndice B
Teorema do Traço
Trascrevemos abaixo algumas considerações, encontradas em [AB], a respeito
do traço de uma aplicação.
Seja Ω um subconjunto aberto de Rn e considere a aplicação f : Ω → R. O
traço de f é a sua restrição ao bordo de Ω, quando é possível defini=la; isto é,
traço(f) = f|∂Ω .
Dados 0 < k < n em N, podemos decompor Rn = Rn−k ×Rk . Se φ ∈ C0 (Rn ),
então a aplicação restrição
R : C0 (Rn ) → C0 (Rn−k )
é definida por
Rφ(x) = φ(x, 0), ∀x ∈ Rn−k
(aqui 0 representa a origem de Rk ).
Teorema B.0.1. Sejam 0 < k < n em N. Então, é possível extender a aplicação
k
R a uma aplicação linear limitada de Hs (Rn ) em Hs− 2 (Rn−k ), desde que s > k2 .
Demonstração. Seja u ∈ Hs (Rn ). Temos que o espaço de Schwartz é denso em
k
k
Hs e Hs− 2 (obseve que Hs ⊂ Hs− 2 ).Podemos considerar, portanto, u ∈ S (Rn )
e, neste espaço, a aplicação R está bem definida. Considere v = Ru ∈ S (Rn−k ).
Da transformada de Fourier segue, para y ∈ Rn−k , a expressão
Z
− n−k
v(y) = (2π) 2
ei(η·y) vb(η)dη.
Rn−k

Fazendo ξ = (η, ζ) ∈ Rn−k × Rk , segue
Z
−n
b
v(y) = u(y, 0) = (2π) 2
ei[ξ·(y,0)] u(ξ)dξ
n
R
Z
Z


k
− n−k
−
i(η·y)
b
= (2π) 2
e
(2π) 2
u(η,
ζ)dζ dη.
Rn−k

Rk

71

s

s

Multiplicando o integrando por (1 + |η|2 + |ζ|2 ) 2 (1 + |η|2 + |ζ|2 )− 2 e aplicando
a desigualdade de Hölder, obtemos:
Z
Z
2
2
2
s
2
−k
b
(1 + |η|2 + |ζ|2 )−s dζ.
|u(η,
ζ)| (1 + |η| + |ζ| ) dζ
|vb(η)| ≤ (2π)
Rk

Rk

Z
Como
Rk

(1 + |η|2 + |ζ|2 )−s dζ é finita para s > k2 . Portanto, existe uma cons-

tante C > 0 tal que




Z

k

2 s− 2

|vb(η)| 1 + |η|
2

≤C



2
Rk

s

b
|u(η,
ζ)|2 1 + |η|2 + |ζ|2 dζ.

Integrando em relação à variável η segue:
kvk s− k
H

2 (Rn−k )

≤ C kukHs (Rn ) ,

(B.1)
k

o que significa que R é um operador linear limitado sobre Hs− 2 (Rn−k ).

72

Apêndice C
Alguns Resultados Adicionais
Aqui listamos alguns resultados adicionais utilizados neste trabalho. Assumiremos aqui os conceitos de conjunto mensurável e função mensurável como
conhecidos (na notação do Capítulo 1, podemos considerar as funções f ∈ Lp .)
Para detalhes consultar [AB].
1. O Teorema da Convergência Monótona de Lebesgue.
Teorema C.0.2. Se {fn }n∈N é uma sequência de funções mensuráveis satisfazendo, para quase todo x ∈ Ω, a condição
0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ · · · ≤ fn−1 (x) ≤ fn (x) ≤ · · · ,
Z

então
lim
n→∞

Z



fn (x)dx =
Ω

Ω



lim f (x) dx.
n→∞ n

(C.1)

2. O Lema de Fatou
Teorema C.0.3. Seja {fn }n∈N uma sequência de funções mensuráveis, não
negativas. Então,
Z 
Z

lim fn (x) dx ≤ lim inf fn (x)dx.
(C.2)
Ω

n→∞

n→∞

73

Ω

3. O Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue
Teorema C.0.4. Seja {fn }n∈N uma sequência de funções mensuráveis e suponha que cada uma delas converge pontualmente, para quase todo x ∈ Ω.
Se existe uma função mensurável g tal que, para quase todo x ∈ Ω,
kfn (x)k ≤ |g(x)|, ∀n ∈ N
Z

Z

então,
n→∞



Ω

Ω



lim fn (x) dx.

fn (x)dx =

lim

n→∞

(C.3)

4. O Teorema de Fubini
Teorema C.0.5. Seja f uma função mensurável em Rn+m . Então,
Z
Z Z
Z Z


f(x, y)dxdy =
f(x, y)dx dy =
f(x, y)dy dx.
Rn+m

Rm

Rn

Rn

Rm

(C.4)

5. A Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg
Teorema C.0.6. Sejam q, r ∈ [1, +∞) e j, m ∈ N0 tais que 0 ≤ j ≤ m.
Então, para todo θ ∈ [ mj , 1], existe uma contante C = C(j, m, q, r, θ) que
depende de j, m, q, r, e θ tal que
X
k∂α ukLp ≤ C
k∂γ ukθLq kuk1−θ
(C.5)
Lr .
|γ|≤m<|α|<k

74

Referências Bibliográficas
[AB] ARBOGAST, Todd; BONA, Jerry. Methods of Applied Mathematics. Fall
and Spring Semesters 1999-2001. Austin: University of Texas (1999)
[An] ANGULO, Jaime. Existence and Stability of Solitary Wave Solutions to
Nonlinear Dispersive Evolution Equations. In: Publicações Matemáticas.
24o Colóquio Brasileiro de Matemática. Rio de Janeiro: IMPA (2003).
[B] BREZIS, Haïm. Análisis funcional - Teoría y aplicaciones. Madrid: Alianza
Editorial (1984)
[Bo] BOYER, Carl B. História da Matemática. 2a ed. São Paulo: Editora Edgard
Blücher (1998).
[Ca] CAZENAVE, Thierry. Semilinear Schrödinger Equations. Courant Lecture
Notes, 10 (2003).
[CH] CAZENAVE, Thierry; HARAUX, Alain. An Introduction to Semilinear
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[Ev] EVANS, Lawrence C. Partial Differential Equations. In: Graduate Studies
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[Eves] EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Editora
da UNICAMP (2004).
[Fe] FEITOSA, Éverson F. S. O Problema de Cauchy para a Equação de Schrödinger com dados não nulos no infinito. Dissertação de Mestrado, Instituto
de Matemática - UFAL (2008).
[Ga] GALLO, Clemént. Scrödinger group on Zhidkov spaces. In: Advanced Differential Equations, 9 (2004), 509-538.
[Io] IÓRIO, Rafael José; IÓRIO, Valéria. Equações Diferenciais Parciais: uma
introdução. Projeto Euclides,Rio de Janeiro: IMPA (1988).

75

[IN] IÓRIO, Rafael José; NUNES, Wagner Vieira L. Introdução às Equações de
Evolução não Lineares. 18o Colóquio Brasileiro de Matemática. Rio Janeiro:
IMPA (1991).
[Li] LIMA, E. Lages. Análise Real, vol. 2. 2a ed. Rio de Janeiro: Coleção Matemática Universitária, IMPA (2006).
[LP] LINARES, Felipe; PONCE, Gustavo. Introduction to Nonlinear Dispersive
Equations. In: Publicações Matemáticas. 3a ed. Rio Janeiro: IMPA (2008).
[P] PAZY, Amnon. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial
Diferential Equations. 2a ed. Applied Mathematical Sciences, 44. New York:
Springer-Verlag (1983).
[Po] PONCE, Gustavo. Notas sobre el Problema de Valores Iniciales Asociado
a la Ecuación de Onda. III Escuela de Verano en Geometria Diferencial,
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Análisis Numérico. Santafé de Bogotá:
Universidad de los Andes (1995).
[Ro] ROMÃO, Darliton C. Um estudo sobre a boa colocação local da equação
não linear de Schrödinger cúbica unidimensional em espaços de Sobolev periódicos. Dissertação de Mestrado, Instituto de Matemática - UFAL (2009).
[Zh] ZHIDKOV, P. E. Korteweg-de-Vries and nonlinear Schrödinger equations: qualitative theory. Lecture Notes in Mathematics, 1756. New York:
Springer-Verlag (2001).

76

Índice Remissivo
boa colocação
global, 44
local, 43
convergência
em S 0 , 14
no espaço de Schwartz, 13
convolução, 10
derivada
de distribuição temperada, 15
no espaço de Schwartz, 13
parcial em Lp , 11
desigualdade
de Gagliardo-Nirenberg, 21, 74
de Young para convoluções, 11
distribuição temperada, 14
proveniente de uma função, 14
equação
de decaimento cúbico, 68
de Gross-Pitaevskii, 68
espaço
de Lebesgue, 9
de Schwartz, 12
de Sobolev, 15
de Zhidkov, 18
função
“bump”, 28
delta de Dirac, 14
diferenciável em Lp , 11
rapidamente decrescente, 12
grupo, 37

de Shcrödinger, 37
fortemente contínuo, 37
gerador infinitesimal do, 37
integral
de Lebesgue, 9
do tipo T ` , 32
Lema
de Fatou, 73
de Riemann-Lebesgue, 10
mergulho de Sobolev, 18
mudança de coordenadas, 70
multi-índice, 12
persistência da solução, 44
problema
de evolução, 50
semi-grupo, 37
solução clássica, 50
Teorema, da Convergência Monótona
de Lebesgue73
da Convergência Dominada de Lebesgue, 27, 29–31, 74
de Fubini, 74
do Traço, 59, 71
do Valor Médio, 44
transformada
de distribuição temperada, 15
de Fourier, 10
de Fourier inversa, 13
no espaço de Sobolev, 15
77