Dissertação

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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado

As esferas que admitem uma estrutura
de grupo de Lie

Kennerson Nascimento de Sousa Lima

Maceió, Brasil
02 de Março de 2010

KENNERSON NASCIMENTO DE SOUSA LIMA

As esferas que admitem uma estrutura
de grupo de Lie

Dissertação de Mestrado, na área de
concentração de Análise submetida em 02
de Março de 2010 à banca examinadora,
designada pelo Programa de Mestrado
em Matemática da Universidade Federal
de Alagoas, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do grau de Mestre em
Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Ediel Azevedo Guerra.

Maceió
2010

KENNERSON NASCIMENTO DE SOUSA LIMA

As esferas que admitem uma estrutura
de grupo de Lie

Dissertação de Mestrado, na área de
concentração de Análise submetida em 02
de Março de 2010 à banca examinadora,
designada pelo Programa de Mestrado
em Matemática da Universidade Federal
de Alagoas, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do grau de Mestre em
Matemática.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Ediel Azevedo Guerra (Orientador)

Prof. Dr. Ramón Orestes Mendoza Ahumada

Prof. Dr. Feliciano Marcı́lio Aguiar Vitório

Dedico este trabalho aos meus pais,
Damião de Sousa Lima e Ivânia
Nascimento de Sousa Lima.

Agradecimentos
Aos meus pais, Damião de Sousa Lima e Ivânia Nascimento de Sousa Lima e aos
meus irmãos, Karolina Nascimento de Sousa Lima e Kelson Nascimento de Sousa Lima,
pelo apoio incondicional e por outras incontáveis contribuições de inestimável valor.
Agradeço ao Prof. Dr. Ediel Azevedo Guerra pelo seu comprometimento, apoio e
solicitude durante o exercı́cio de sua orientação, fator fundamental para o êxito deste
trabalho.
Agradeço ao Prof. Dr. Ramón Orestes Mendoza Ahumada, da Universidade Federal
de Pernambuco, pelo envolvimento neste trabalho, colaborando com uma boa sugestão
de tema para esta dissertação.
Agradeço Prof. Dr. Feliciano Marcı́lio Aguiar Vitório da Universidade Federal de
Alagoas por contribuir para a melhoria deste trabalho com suas correções e relevantes
sugestões.
Agradeço a todo corpo docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática do
Instituto de Matemática da UFAL por contribuirem, direta ou indiretamente, para minha
formação acadêmica durante todo o curso de Mestrado. Agradeço em especial aos professores Adán José Corcho Fernández, José Carlos Almeida de Lima, Krerley Irraciel
Martins de Oliveira e Marcos Petrúcio de A. Cavalcante, com os quais estabeleci um
proveitoso convı́vio através das disciplinas que cursei com os mesmos.
Finalmente, agradeço aos meus colegas de turma pela amizade, pela nobre convivência
e por compartilharem momentos de colaboração mútua nos estudos e momentos descontraı́dos. Agradeço especialmente aos colegas Fábio Henrique de Carvalho, Isadora Maria
de Jesus, Isnaldo Isaac Barbosa e Rodrigo Fernandes de Moura Melo.

1

Resumo
Mostraremos que as únicas esferas euclidianas conexas que admitem uma estrutura
de grupo de Lie são S1 e S3 , para todo n ≥ 1. Faremos isso por intermédio do estudo
de propriedades dos grupos de cohomologia de De Rham das esfereas Sn e dos grupos de
Lie compactos e conexos.

Palavras Chave: Esfera; Grupo de Lie; Álgebra de Lie; Grupo de cohomologia de De
Rham; Métrica bi-invariante.

2

Abstract
We will show that the only connected Euclidean spheres admitting a structure of Lie
group are S1 and S3 , for all n ≥ 1. We will do this through the study of properties of the
De Rham cohomology groups of sphere Sn and of compact connected Lie groups.

Key Words: Spheres; Lie Group; Lie Algebra; De Rham Cohomology Group;
Bi-invariant Metric.

Índice
Introdução

5

1 Preliminares
1.1 Variedades diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Campo de Vetores e Métrica Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Subvariedades, Formas diferenciais e Orientação . . . . . . . . . . . . . .

7
7
14
17

2 Grupos de Lie e Grupos de Cohomologia de De Rham
2.1 Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Representação adjunta de um grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Grupos de Cohomologia De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
26
32
36

3 As Esferas que Admitem Estrutura de Grupo de Lie

43

Referências Bibliográficas

49

Introdução
Neste trabalho, consideramos a questão da caracterização das esferas euclidianas Sn
que admitem uma estrutura de grupo de Lie. Isto significa determinar quais esferas Sn
possuem uma estrutura algébrica de grupo e uma estrutura diferenciável tal que, relativamente às coordenadas locais dessa estrutura diferenciável, as operações de multiplicação
e de inversão nesse grupo sejam diferenciáveis.
Na verdade, nem toda esfera Sn admite uma tal estrutura. De fato, mostraremos que
as únicas que são grupos de Lie são S1 e S3 , para todo n ≥ 1. Estabeleceremos essa
caracterização aplicando alguns resultados das teorias de grupos de Lie e de grupos de
cohomologia de De Rham, esta última sendo tradicionalmente do domı́nio da Topologia
Algébrica. Porém, não necessitaremos de nenhum conhecimento aprofundado desta área.
O primeiro capı́tulo deste trabalho é dedicado à uma breve introdução às noções
de variedade diferenciável, métrica riemanniana e formas diferenciais sobre variedades
diferenciáveis.
No segundo, além de conceituar e exemplificar grupos de Lie e grupos de cohomologia
de De Rham, listaremos propriedades importantes de ambos. A respeito de grupos de Lie,
podemos destacar os exemplos das esferas S1 e S3 , o conceito de representação adjunta de
um grupo de Lie e o resultado que nos garante que todo grupo de Lie compacto e conexo
admite uma métrica bi-invariante. Quanto aos grupos de cohomologia de De Rham de
dimensão k, H k (M ), de uma variedade diferenciável M , listaremos propriedades elementares e calcularemos alguns exemplos úteis. Dentre esses cálculos, podemos destacar
o critério dado pelo seguinte teorema chave:
“Para cada 0 < k < n − 1, temos H k (Rn − {0}) = H k (Sn−1 ) = 0, ∀n ≥ 1.”
Finalmente, no capı́tulo 3, chegaremos ao resultado principal, a saber, que as únicas
esferas Sn que admitem uma estrutura de grupo de Lie são S1 e S3 . O primeiro resultado
apresentado nesta seção nos fornece um importante critério de invariância para p-formas
multilineares sobre a álgebra de Lie de um grupo de Lie compacto e conexo, do qual
decorre algumas consequências úteis para a demonstração do teorema seguinte:
Teorema Se H 1 (G) = {0}, então a correspondência η 7→ ω, dada por ω(X, Y, Z) =
η([X, Y ] , Z), é uma correspondência biunı́voca do espaço das 2-formas simétricas invariantes sobre G no espaço das 3-formas alternadas invariantes sobre G.
Esse teorema, junto com o fato da existência de uma métrica bi-invariante para todo
grupo de Lie compacto e conexo, nos permite chegar ao resultado principal, aplicando
o critério apresentado acima para o cálculo do grupo de cohomologia de De Rham da
esfera Sn .
5

A elaboração deste trabalho consistiu em uma pesquisa bibliográfica especı́fica, baseada naqueles livros que continham os resultados e parte da teoria mais relevantes para
a nossa finalidade. Dentre estes, destacamos [2], de onde foi baseada a maior parte
da teoria de variedades diferenciáveis, grupos de Lie e grupos de cohomologia de De
Rham apresentada no texto, [7] no qual nos baseamos para obtermos o critério para a
determinação do grupo de cohomologia de De Rham da esfera e [1], de onde extraı́mos
os resultados mais importantes do capı́tulo 3.

6

Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo apresentaremos o conceito de variedade diferenciável além das noções
de variedade riemanniana, orientação e subvariedade. Também definiremos campos de
vetores e formas diferenciais sobre variedades diferenciáveis.

1.1

Variedades diferenciáveis

Será tratado nesta seção, além do conceito e exemplos de variedades diferenciáveis,
da noção de diferenciabilidade de uma aplicação definida sobre uma variedade. A partir
desse conceito, definiremos vetor tangente a uma variedade e fibrado tangente.
Definição 1.1. Uma variedade diferenciável de dimensão n é um conjunto M e uma
famı́lia de aplicações injetivas fα : Uα ⊂ Rn −→ M de abertos Uα de Rn em M tais que:
[
fα (Uα ) = M ;
(1)
α

(2) ∀ α, β, com fα (Uα ) ∩ fβ (Uβ ) = W 6= ∅, os conjuntos fα−1 (W ) e fβ−1 (W ) são abertos
em Rn e as aplicações fβ−1 ◦ fα são diferenciáveis em Uα ;
O par (Uα , fα ) (ou a aplicação fα ) com p ∈ fα (Uα ) é chamado uma parametrização (ou
um sistema de coordenadas locais) de M em p; fα (Uα ) é então chamada uma vizinhança
coordenada de p em M . Uma famı́lia {(Uα , fα )} satisfazendo (1) e (2) é chamada estrutura
diferenciável em M .
Observação 1.1. A famı́lia {(Uα , fα )} é máxima em relação às condições (1) e (2). Em
outras palavras, se g : V ⊂ Rn −→ M é injetiva e tal que sempre que V ∩ Uα = W 6= ∅
implique g −1 (W ) e fα−1 (W ) abertos em Rn e fα−1 ◦ g e g −1 ◦ fα diferenciáveis ∀α, então
o par (g, V ) ∈ {(Uα , fα )}.
Exemplo 1.1. O espaço euclidiano Rn , com a estrutura {(Rn , id)} dada pela aplicação
identidade id : Rn −→ Rn é um exemplo trivial de variedade diferenciável. Identificando
o espaço das matrizes m × n sobre R com o espaço euclidiano Rmn e admitindo que esses
espaços são homemorfos, podemos cobri-los usando a aplicação identidade citada acima.
A mesma identificação pode ser usada se quisermos munir um espaço vetorial qualquer
sobre R de uma estrutura diferenciável.
7

Exemplo 1.2. Seja U ⊂ M um subconjunto aberto de uma variedade diferenciável
M . Dado p ∈ M , sabemos que existe uma vizinhança coordenada fα (Uα ) de p em M .
Considere a restrição de fα a V = fα−1 (U ∩ fα (Uα )), fα |V . Estas parametrizações de p em
U cobrem U e a mudança de coordenadas entre duas restrições de duas parametrizações
de p em M , digamos fα e fβ , a fα−1 (fα (Uα ) ∩ U ) e fβ−1 (fβ (Uβ ) ∩ U ), respectivamente,
também é diferenciável. Temos com isso que todo subconjunto aberto de uma variedade
M também é uma variedade de dimensão igual a de M e com estrutura diferenciável
dada pelas restrições das parametrizações que mapeiam uma vizinhança de p em U .
Um caso particular do exemplo acima é dado pelo conjunto das matrizes n × n sobre
R, não-singulares, que denotaremos por Gl(n, R). É bem sabido que A ∈ Gl(n, R) se e
somente se det A 6= 0. Como det A é uma função contı́nua, o complementar do conjunto
das matrizes com determinante não-nulo, U = {A; det A = 0}, é fechado, por ser imagem
do fechado {0}. Portanto, Gl(n, R) é aberto no conjunto das matrizes n×n que, como foi
observado, trata-se de uma variedade de dimensão n2 . Assim, Gl(n, R) é uma variedade
de dimensão n2 .
Exemplo 1.3 (Superfı́cies regulares do Rn ). Um subconjunto S k ⊂ Rn é uma superfı́cie
regular de dimensão k se, para todo ponto p ∈ S k , existem uma vizinhança V de p em
Rn e uma aplicação f : U ⊂ Rk −→ V ∩ S k de um aberto U ⊂ Rk sobre V ∩ S k , tais que:
(a) f é um homeomorfismo diferenciável;
(b) A diferencial (df )q : Rk −→ Rn é injetiva para todo q ∈ U .
A aplicação f é chamada uma parametrização de S k em p.
Uma consequência da definição de superfı́cie dada acima é o fato de que a mudança
de parametrizações é um difeomorfismo e, portanto, S k é uma variedade de dimensão
k. Mais precisamente, se f : U −→ S k e g : V −→ S k são duas parametrizações tais
que f (U ) ∩ g(V ) = W 6= ∅, então as aplicações h = g −1 ◦ f : f −1 (W ) −→ g −1 (W )
e h−1 = f −1 ◦ g : g −1 (W ) −→ f −1 (W ) são diferenciáveis. Vamos mostrar que h é
diferenciável; verifica-se que h−1 é diferenciável de maneira análoga.
Observe que h = g −1 ◦f é um homeomorfismo, uma vez que f e g são homeomorfismos.
Sejam r ∈ g −1 (W ) e q = h(r). Se (u1 , . . . , uk ) ∈ U e (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn , escreva f nestas
coordenadas como
f (u1 , . . . , uk ) = (v1 (u1 , . . . , uk ), . . . , vn (u1 , . . . , uk )).
Pela condição (b) o posto de (df )q é igual a k para todo r ∈ U . Assim, a menos de uma
reordenação de ı́ndices, temos
∂(v1 , . . . , vk )
(q) 6= 0.
∂(u1 , . . . , uk )
Defina F : U × Rn−k −→ Rn por
F (u1 , . . . , uk , tk+1 , . . . , tn ) = (v1 (u1 , . . . , uk ), . . . , vn (u1 , . . . , uk ), vk+1 (u1 , . . . , uk )+
tk+1 , . . . , vn (u1 , . . . , uk ) + tn ),
8

com (tk+1 , . . . , tn ) ∈ Rn−k .
Temos que F é diferenciável e sua restrição a U × {(0, . . . , 0)} coincide com a parametrização f ; além disso, temos
(dFq̃ ) =

∂(v1 , . . . , vk )
(q) 6= 0, q̃ = (u1 , . . . , uk , 0, . . . , 0).
∂(u1 , . . . , uk )

Portanto, pelo teorema de função inversa, existe uma vizinhança Q ⊂ Rn de F (q̃) =
f (q) onde F −1 existe e é diferenciável. Por continuidade de g, existe uma vizinhança
R ⊂ g −1 (W ) de r tal que g(R) ⊂ Q. Como h | R = π ◦ F −1 ◦ g | R, onde π é a projeção
de F −1 ◦g(u), u ∈ R, sobre U . Segue que h é uma composição de aplicações diferenciáveis
em r e portanto, é diferenciável em r. Como r é arbitrário, temos que h é diferenciável
em g −1 (W ), como querı́amos mostrar.
Exemplo 1.4 (A esfera Sn ). Seja
n

S = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ R

n+1

;

n+1
X

x2i = 1}

i=1

a esfera de raio 1 e centro na origem de Rn+1 . Seja N = (0, . . . , 0, 1) o polo norte e
S = (0, . . . , 0, −1) o polo sul de Sn . Defina a aplicação π1 : Sn − {N } −→ Rn , projeção
estereográfica de Sn a partir do pólo norte, que leva p ∈ Sn , p = (x1 , . . . , xn+1 ) na
intersecção do plano xn+1 = 0 de Rn+1 com a semi-reta N p ⊂ Rm+1 . Os pontos da semireta N p são da forma N + t(p − N ), com t > 0. Portanto, o ponto de intersecção desta
semi-reta com o plano xn+1 = 0 ocorre quando sua última coordenada 1 + t(1 − xn+1 )
é igual a zero, i.e, quando t = 1−x1n+1 . Portanto, temos que π1 (p) = π1 (x1 , . . . , xn+1 ) é
igual ao ponto da semi-reta N p obtido quando tomamos t = 1−x1n+1 , ou seja,
π1 (x1 , . . . , xn+1 ) = (

x1
xn
,...,
).
1 − xn+1
1 − xn+1

De maneira análoga, obtemos para π2 : Sn − {S} −→ Rn , projeção estereográfica de Sn
a partir do pólo sul S, usando a semi-reta S + t(p − S), t > 0, a seguinte expressão
π2 (p) = π2 (x1 , . . . , xn+1 ) = (

x1
xn
,...,
).
1 + xn+1
1 + xn+1

As aplicações π1 e π2 são diferenciáveis; se definirmos ζ1 : Rn −→ Sn − {N } e
ζ2 : Rn −→ Sn − {S} por
ζ1 (q) = ζ1 (y1 , . . . , yn ) = (

2y1
2yn
kqk2 − 1
,
.
.
.
,
,
),
kqk2 + 1
kqk2 + 1 kqk2 + 1

e
ζ2 (q) = ζ1 (y1 , . . . , yn ) = (

2y1
2yn
1 − kqk2
,
.
.
.
,
,
)
kqk2 + 1
kqk2 + 1 kqk2 + 1

com q = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn , teremos ζ1 (π1 (p)) = p e π1 (ζ1 (q)) = q, assim como ζ2 (π2 (p)) =
p e π2 (ζ2 (q)) = q. Portanto ζ1 = π1−1 e ζ2 = π2−1 .
9

Como as aplicações ζ1 e ζ2 são contı́nuas, temos que π1 e π2 são homeomorfimos
diferenciáveis. Além disso, um cálculo direto nos mostra que as matrizes jacobianas de
π1−1 e π2−1 tem posto igual a n. Logo são injetivas, para todo q ∈ Rn .
É claro que π1−1 (Rn ) ∪ π2−1 (Rn ) = Sn . Portanto, π1−1 e π2−1 podem ser tomadas como
parametrizações na esfera Sn . Com isso, temos que a esfera Sn é uma superfı́cie regular
de dimensão n do Rn+1 e, portanto, temos que Sn é uma variedade de dimensão n.
Proposição 1.1 (Variedade produto). Sejam M e N variedades diferenciáveis de dimenções m e n respectivamente. Então M ×N é uma variedade diferenciável de dimensão
m + n com estrutura diferenciável determinada por vizinhanças coordenadas de (p, q) em
Rm × Rn = Rm+n da forma {(Uα × Vβ , fα × gβ )}, onde (Uα , fα ) e (Vβ , gβ ) são vizinhanças
coordenadas de p e q em M e N , respectivamente, e (fα × gβ )(p, q) = (fα (p), gβ (q)).
Demonstração. Faça hλ = fα × gβ , onde λ = (α, β). Segue da injetividade de fα e gβ
que hλ também é uma aplicação injetiva. Note também que
[
[
[
[
hλ =
(fα (Uα ) × gβ (Vβ )) =
fα (Uα ) ×
gβ (Vβ ) = M × N.
λ

(α,β)

α

β

Nos resta mostrar que qualquer mudança de coordenadas do tipo h−1
λ ◦ hθ , λ = (α, β)
m+n
e θ = (δ, ) é diferenciável em Uα × Vβ ⊂ R
. De fato temos que
−1
h−1
◦ (fδ × g ) = (fα−1 , gβ−1 ) ◦ (fδ , g ) = (fα−1 ◦ fδ , gβ−1 ◦ g ).
λ ◦ hθ = (fα × gβ )

Segue da diferenciabilidade das mudanças de coordenadas fα−1 ◦fδ e gβ−1 ◦g em fα−1 (Uα )
m+n
e gβ−1 (Vβ ), respectivamente, que a mudança h−1
,
λ ◦ hθ é diferenciável em Uα × Vβ ⊂ R
como querı́amos mostrar. Assim, M × N é uma variedade de dimensão m + n.

Antes de apresentarmos o próximo exemplo de variedade diferenciável, necessitamos
introduzir a noção de vetor tangente a uma variedade num ponto pertecente a mesma.
Para isso, iremos estender a noção de diferenciabilidade às aplicações entre variedades.
Definição 1.2. Sejam M1n e M2m variedades diferenciáveis de dimenções m e n, respectivamente. Uma aplicação ϕ : M1 −→ M2 é diferenciável em p ∈ M1 se dada uma
parametrização g : U ⊂ Rm −→ M2 em ϕ(p) existe uma parametrização f : U ⊂ Rn −→
M1 de p em M1 tal que ϕ(f (U )) ⊂ g(v) e a aplicação
g −1 ◦ ϕ ◦ f : U ⊂ Rn −→ Rm

(1.1)

é diferenciável em f −1 (p). ϕ é diferenciável em um aberto de M1 se é diferenciável em
todos os pontos deste aberto.
Observação 1.2. Uma estrutura diferenciável {(Uα , fα )} numa variedade M induz de
uma maneira natural uma topologia em M . Basta definir que A ⊂ M é um aberto de
M se fα−1 (A ∩ fα (Uα )) ⊂ Rn é um aberto de Rn , ∀α.
10

Decorre do item (2) da Definição 1.1 que a definição de diferenciabilidade num
ponto p ∈ M1 de uma aplicação ϕ : M1 −→ M2 , entre as variedades M1 e M2 , não
depende da escolha das parametrizações. Para mostar isso, sejam g1 : V1 −→ M2 uma
parametrização de uma vizinhança de ϕ(p) e f1 : U1 −→ M1 uma parametrização de uma
vizinhança de p em M1 , satisfazendo as condições da definição. Seja agora g2 : V2 −→ M2
uma outra parametrização de M2 numa vizinhança de ϕ(p) e seja f2 : U2 −→ M1 uma
outra parametrização de M1 numa vizinhança de p tais que ϕ(f2 (U2 )) ⊂ g(V2 ). Como a
mudança de coordenadas é sempre diferenciável e a aplicação g1−1 ◦ ϕ ◦ f1 é diferenciável,
segue que
g2−1 ◦ f2 = (g2−1 ◦ g1 ) ◦ (g1−1 ◦ ϕ ◦ f1 ) ◦ (f1−1 ◦ f2 )
é diferenciável, como havı́amos afirmado.
A aplicação (1.1) é chamada a expressão de ϕ nas parametrizações f e g.
Definição 1.3 (Vetor tangente). Seja M uma variedade diferenciável. Uma aplicação
diferenciável α : (−ε, ε) −→ M é chamada curva diferenciável em M . Suponha que
α(0) = p ∈ M , e seja D o conjunto das funções ϕ : M −→ R diferenciáveis em p. O
vetor tangente a curva α em t = 0 é a função α0 (0) : D −→ R dada por
α0 (0)ϕ =

d(ϕ ◦ α)
, ϕ ∈ D.
dt
t=0

Um vetor tangente a M em p é o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α :
(ε, ε) −→ M com α(0) = p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p será indicado
por Tp M .
Dada uma parametrização f : U ⊂ Rn −→ M em p = f (0), sejam
ϕ ◦ f (q) = ϕ(x1 , . . . , xn ), (x1 , . . . , xn ) = q ∈ U
e
f −1 ◦ α(t) = (x1 (t), . . . , xn (t))
as expressões de ϕ e α na parametrização f . Restringindo a expressão de ϕ a α, temos
d
d(ϕ ◦ α)
= ϕ(x1 (t), . . . , xn (t))
dt
dt
t=0
t=0



!
n
n
X
X
∂ϕ
∂
=
x0i (0)
=
ϕ.
x0i (0)
∂xi
∂xi 0
i=1
i=1

α0 (0)ϕ =

Dessa forma, o vetor α0 (0) pode ser expresso na parametrização f por


n
X
∂
0
xi (0)
.
∂xi 0
i=1
 
é o vetor tangente em
Um cálculo direto nos dá, por exemplo, que o vetor ∂x∂ i
0
p ∈ M à curva coordenada
t 7→ f (0, . . . , xi (t) = t, . . . , 0).
11

Portanto, temos que o vetor tangente a α em p depende apenas das derivadas de α
em um sistema de coordenadas. Temos que o conjunto de vetores
tangentes em p, Tp M , é

igual ao espaço vetorial gerado pelos vetores tangentes

∂
∂xi

, i = 1, . . . , n, determinados

0

0

pela parametrização f . De fato, segue da expressão n
de α (0)
f que
 na parametrização
 o
∂
Tp M está contido no conjunto gerado pelos vetores
, . . . , ∂x∂n
. Por outro
∂x1
0
0


n
X
∂
lado, dado v =
, defina α : (−ε, ε) −→ M , na parametrização f , por
λi
∂xi 0
i=1


n
X
∂
0
xi (t) = λi t. Então, α (0) =
λi
= v. Portanto, Tp M é o espaço vetorial gerado
∂xi 0
i=1
 
pelos vetores ∂x∂ i , i = 1, . . . , n. Como estes vetores são linearmente independentes,
0
segue que Tp M tem dimensão n. O espaço vetorial Tp M é chamado espaço tangente a
M em p. A escolha de uma parametrização
f : U 
−→
n 
o M em uma vizinhança de p em M
∂
∂
determina uma base associada
, . . . , ∂xi
em Tp M .
∂x1
0

0

Definição 1.4. Sejam M1n e M2m variedades diferenciáveis de dimensões m e n e seja
ϕ : M1 −→ M2 uma aplicação diferenciável. Para cada p ∈ M1 e cada v ∈ Tp M1 , escolha
uma curva diferenciável α : (−ε ε) −→ M1 com α(0) = p e α0 (0) = v. Tome β = ϕ ◦ α.
A aplicação (dϕ)p : Tp M1 −→ Tϕ(p) M2 dada por (dϕ)p (v) = β 0 (0) é chamada diferencial
de ϕ em p.
Proposição 1.2. A aplicação (dϕ)p é linear e não depende da escolha da curva α.
Demonstração. Sejam f : U ⊂ Rn −→ M1 e g : V ⊂ Rm −→ M2 parametrizações em p
e ϕ(p), respectivamente. Portanto, a expressão de ϕ nessas parametrizações é dada por
g −1 ◦ ϕ ◦ f : U −→ V com
g −1 ◦ ϕ ◦ f (q) = (y1 (x1 , . . . , xn ), . . . , ym (x1 , . . . , xn )),
onde q = (x1 , . . . , xn ) ∈ U e (y1 , . . . , ym ) ∈ V . Temos também que a expressão de α na
parametrização f é
f −1 ◦ α(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)).
Então, a expressão de β = ϕ ◦ α na parametrização g é
g −1 ◦ β(t) = (y1 (x1 (t), . . . , xn (t)), . . . , ym (x1 (t), . . . , xn (t))).
n  o
∂
, i = 1, . . . , m, associada a g, dada por
Daı́, temos a expressão de β 0 (0) na base
∂yi
0

0

β (0) = (

n
X
∂y1
i=1

∂xi

x0i (0), . . . ,

n
X
∂ym
i=1

∂xi

x0i (0)) ∈ Tϕ(p) M2 ,

que por sua vez, não depende de α.
Além disso, podemos escrever β 0 (0) como


∂yi
0
β (0) = (dϕ)p (v) =
(x0j (0)), i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n,
∂xj
12



∂yi
∂xj



indica uma matriz m × n e (x0j (0)) indica uma matriz coluna n × 1. Portanto,
n  o
∂
(dϕ)p é uma aplicação linear de Tp M1 em Tϕ(p) M2 , cuja matriz nas bases
e
∂xj
0
n  o
∂
associadas às parametrizações f e g é precisamente
∂yi

onde

0



∂yi
∂xj


.


Dadas as definições de espaço tangente e de diferencial de uma aplicação diferenciável
entre duas variedades, podemos apresentar o seguinte exemplo de variedade.
Exemplo 1.5 (Fibrado tangente). Seja M n uma variedade de dimensão n e seja T M =
{(p, v); p ∈ M, v ∈ Tp M }. Queremos mostrar que T M pode ser munido de uma estrutura
diferenciável. Com esta estrutura, T M é a variedade chamada fibrado tangente de M n .
α
α
Seja {(Uα , fα )} a estrutura
n diferenciável
o máxima de M . Indicaremos por (x1 , . . . , xn )
as coordenadas de Uα e por ∂x∂α , . . . , ∂x∂α as bases associadas nos espaços tangentes de
n
1
fα (Uα ).
Defina gα : Uα × Rn ⊂ R2n −→ T M por
gα (xα1 , . . . , xαn , u1 , . . . , un )

n
X

∂
)
∂xi

=

(fα (xα1 , . . . , xαn ),

=

i=1
α
α
(fα (x1 , . . . , xn ), (dfα )p (u1 , . . . , un )),

ui

(u1 , . . . , un ) ∈ Rn , p = fα (xα1 , . . . , xαn ). É claro que
[
fα (Uα ) = M.
α

Como (dfα )fα (q) (Rn ) = Tfα (q) M ,q = (xα1 , . . . , xαn ) ∈ Uα , temos que
[
gα (Uα × Rn ) = T M.
α

Resta mostrar que toda mudança de coordenadas gβ−1 ◦gα é diferenciável. Para mostrar
isto, seja (p, v) ∈ gα (Uα × Rn ) ∩ gβ (Uβ × Rn ). Então
(p, v) = (fα (xα1 , . . . , xαn ), (dfα )(vα )) = (fβ (xβ1 , . . . , xβn ), (dfα )(vβ )),
onde vα , vβ ∈ Rn e qα = (xα1 , . . . , xαn ) ∈ Uα e qβ = (xβ1 , . . . , xβn ) ∈ Uβ . Portanto,
gβ−1 ◦ gα (qα , vα ) = gβ−1 (fα (qα ), (dfα )(vα )) = (fβ−1 ◦ fα (qα ), d(fβ−1 ◦ fα )(vα )).
Segue da diferenciabilidade de fβ−1 ◦ fα que gβ−1 ◦ gα é diferenciável. Portanto, temos
que T M é uma variedade diferenciável de dimensão 2n.
13

1.2

Campo de Vetores e Métrica Riemanniana

Definição 1.5 (Campo de vetores). Um campo de vetores sobre uma variedade M é uma
correspondência que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ Tp M . Em termos de
aplicações, X é uma aplicação de M em T M . Diz-se que X é um campo diferenciável
se a aplicação X : M −→ T M é diferenciável.
Considerando uma parametrização f : U ⊂ Rn −→ Rn é possı́vel escrever
X(p) =

n
X
i=1

ai

∂
,
∂xi

n  o
∂
onde cada função ai : U −→ R é uma função em U e
é a base associada a f ,
∂xi
0
i = 1, . . . , n. Segue facilmente que X é diferenciável se, e somente se, as funções ai são
dieferenciáveis; de fato, a expressão X̂ : U ⊂ Rn −→ U ×Rn de X, nas coordenadas locais
de M e T M , é q 7→ (x1 , . . . , xn , a1 (q), . . . , ai (q), . . . , an (q)), q = (x1 , . . . , xn ) ∈ U , com as
funções coordenadas ai representando, com um certo abuso de linguagem, as expressões
em coordenadas locais das funções ai : M −→ R. Representamos por X(M ) o conjunto
de todos os campos diferenciáveis sobre M .
Exemplo 1.6. Se considerarmos M = R3 −{0}, então campo gravitacional de um objeto
de massa igual a 1 na posição (0, 0, 0) é um campo diferenciável cujas componentes α1 , α2
e α3 relativas a base ∂x∂ 1 , ∂x∂ 2 e ∂x∂ 3 são dadas por
xi
αi = − 3 , i = 1, 2, 3 com r = (x21 + x22 + x33 )1/2 .
r
Podemos pensar em um campo de vetores X como sendo uma aplicação X : D −→ F
do conjunto D das fuções diferenciáveis em M no conjunto F das funções em M , definida
por
X ∂ϕ
Xϕ(p) =
ai
(p),
∂x
i
i
onde, por um abuso de notação, ϕ é a expressão de ϕ numa parametrização f : U ⊂
Rn −→ M .
Com esta interpretação, podemos considerar os iterados de X, no sentido de que,
dados X, Y campos diferenciáveis em M e ϕ : M −→ R uma função diferenciável,
podemos considerar as funções X(Y ϕ) e Y (Xϕ). Feito isto, podemos definir a operação
entre campos chamada colchete de campos diferenciáveis. Antes de enunciarmos esta
definição, precisamos do seguinte lema.
Lema 1.1. Sejam X e Y campos diferenciáveis de vetores sobre uma variedade M . Então
existe um único campo diferenciável Z sobre M tal que
Zϕ = (XY − Y X)ϕ, ∀ϕ ∈ D.

14

Demonstração. Provaremos primeiro a unicidade. Suponha então a existência de um
tal campo Z. Dado p ∈ M , seja f : U −→ M uma parametrização em p. Se
X=

X

ai

i

X
∂
∂
e Y =
bj
∂xi
∂xj
j

são as expressões de X e Y na parametrização f , então, para toda ϕ ∈ D temos
!
X ∂ϕ
X ∂bj ∂ϕ X
∂ 2ϕ
XY ϕ = X
bj
=
ai
+
ai b j
,
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
j
i
j
i
j
j
i,j
i,j
Y Xϕ = Y

X
i

∂ϕ
ai
∂xi

!
=

X

bj

i,j

∂ai ∂ϕ X
∂ 2ϕ
+
ai b j
.
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
i,j

Portanto, a expressão de Z é dada, na parametrização f , por

X  ∂bj
∂aj ∂ϕ
− bi
Zϕ = XY ϕ − Y Xϕ = (XY − Y X)ϕ =
ai
∂x
∂xi ∂xj
i
i,j
que, por sua vez, é única. Note que Z definida assim, é diferenciável.
Para mostrarmos a existência, defina Zα numa vizinhança coordenada fα (Uα ) pela
expressão acima. Seja fβ (Uβ ) uma vizinhança coordenada tal que W = fα (Uα )∩fβ (Uβ ) 6=
∅. Os valores das expressões de ai em fα e fβ restrito aos pontos de W são iguais. O
mesmo vale para as expressões de bi . Portanto, em W , Zα = Zβ , o que nos permite
definir Z em toda variedade M .

Definição 1.6. O campo vetorial diferenciável Z dado pelo Lema 1.1 é chamado o
colchete [X, Y ] = XY − Y X de X e Y .
Proposição 1.3. Se X, Y e Z são campos diferenciáveis em M , a, b são números reais,
e f, g são funções diferenciáveis em M , então:
(1) [X, Y ] = − [Y, X] (anticomutatividade);
(2) [aX + bY, Z] = a [X, Z] + b [Y, Z] (linearidade);
(3) [[X, Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z, X] , Y ] = 0 (identidade de Jacobi).
Demonstração. Demonstraremos apenas (3). Observe que, por um lado,
[[X, Y ] , Z] = [XY − Y X, Z] = XY Z − Y XZ − ZXY + ZY X
e, por outro lado,
[[Y, Z] , X] + [[Z, X] , Y ] = XY Z − XZY − Y ZX + ZY X
+Y ZX − Y XZ − ZXY + XZY.
15

Como os segundos membros das expressões acima são iguais, concluimos (3) usando
(1).

Definição 1.7 (Métrica riemanniana). Uma métrica riemanniana em uma variedade
diferenciável M n é uma correspondência que associa a cada ponto p ∈ M um produto interno h, ip : Tp M ×Tp M −→ R tal que se f : U ⊂ Rn −→ M é um sistema de coordenadas
locais em torno de p, com f (x1 , . . . , xn ) = q ∈ f (U ) e ∂x∂ i (q) = (df )q (0, . . . , 1, . . . , 0),
então


∂
∂
(q),
(q) = gij (x1 , . . . , xn )
∂xi
∂xj
q
é diferenciável em U , i, j = 1, . . . , n.
As funções gij (= gji ) são chamadas expressão da métrica riemanniana no sistemas
de coordenadas f : U ⊂ Rn −→ M . Uma variedade com uma dada métrica é chamada
variedade riemanniana.
Definição 1.8. Sejam M n e N m variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciável
F : M −→ N é uma imersão se (dF )p : Tp M −→ TF (p) N é injetiva para todo p ∈ M . Se
além disso, F for um homeomorfismo sobre F (M ) ⊂ N , onde F (M ) possui a topologia
induzida por N , F é um mergulho
Em particular, temos que todo mergulho é uma imersão. A recı́proca dessa afirmação,
em geral, é falsa. Porém, é possı́vel mostrar que localmente, toda imersão é um mergulho.
Em Geometria Riemanniana, a noção de isometria é, num certo sentido, uma relação de
equivalência entre variedades riemannianas. Vamos enunciar a seguir a definição precisa
de isometria.
Definição 1.9 (Isometria). Sejam M e N variedades riemannianas. Um difeomorfismo
F : M −→ N é chamado uma isometria se
hu, vip = h(dF )p (u), (dF )p (v)iF (p) , ∀p ∈ M, u, v ∈ Tp M.
n  o
∂
identificada com a base canônica do
Exemplo 1.7. Seja M = Rn com a base
∂xi
0
n
R . A métrica é dada por
hei , ej ip = δij
onde δij é o delta de Kronecker. Cada função gij = δij é constante e, portanto diferenciável. Poranto, este produto define uma métrica riemanniana em Rn .
Exemplo 1.8 (Variedade imersa). Seja F : M n −→ N n+k uma imersão e N uma variedade riemanniana. Podemos munir M de uma métrica h, ip fazendo
hu, vip = h(dF )p (u), (dF )p (v)iF (p) , p ∈ M, u, v ∈ Tp M.
Como (dF )p é injetiva, segue que h, ip é positivo definido. Além disso, cada vetor ∂x∂ i ∈
D
E
∂
∂
Tp M é levado por (dF )p num vetor da base de TF (p) N . Logo, as funções gij = ∂xi , ∂xj
p

16

são diferenciáveis. Como h, ip também é claramente bilinear e simétrica, segue que h, ip
define, de fato, uma métrica em M . Esta métrica é chamada métrica induzida por F e
F é chamada imersão isométrica.
Como caso particular de variedade imersa, temos as superfı́cies regulares de dimensão
k, S k ⊂ Rn . Como a aplicação inclusão i : S k ,→ Rn é um mergulho, temos, em particular,
que esta aplicação inclusão é uma imersão. Portanto, i : S k ,→ Rn induz uma métrica em
S k . No caso da esfera Sn ⊂ Rn+1 chamamos essa métrica induzida de métrica canônica
de Sn .
Exemplo 1.9 (Métrica produto). Seja M1 e M2 variedades rimannianas e considere o
produto cartesiano M1 ×M2 com a estrutura de variedade produto, dada na Proposição
1.1. Sejam π1 : M1 × M2 −→ M1 e π2 : M1 × M2 −→ M2 as projeções naturais. Defina
em M1 × M2
hu, vi(p,q) = hdπ1 (u), dπ1 (v)ip + hdπ2 (u), dπ2 (v)iq , para todo
(p, q) ∈ M1 × M2 , u, v ∈ T(p,q) (M1 × M2 ).
Com esta estrutura, temos que, dadas as parametrizações f : U −→ M1 de M1
em
p∈M
base deoT(p,q) (M1 × M2 ) é
 o den
 1oe g : V −→ M2 em torno de q ∈ M2 , an
n torno

∂
, com i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , m, onde
é a base de Tp M1
∂xi
0
0
0
n  o
∂
nas coordenadas de f e
é a base de Tq M2 nas coordenadas de g. Aplicando
∂yj
∂
∂xi

×

∂
∂yj

0

h, i(p,q) sobre dois vetores dessa base de T(p,q) (M1 ×M2 ), veremos que a soma dos produtos
no segundo membro da definição de h, i(p,q) nos dará funções g1 ij em M1 e g2 ij em M2
diferenciáveis. Além disso, as propriedades do produto interno são facilmente verificadas.
Assim, o produto definido acima define uma métrica riemanniana em M1 × M2 .
Se escolhermos para S1 ⊂ R2 a estrutura riemanniana induzida por R2 , o toro Tn =
S × . . . × S1 com a métrica produto chama-se toro plano.
1

1.3

Subvariedades, Formas diferenciais e Orientação

Iremos estabelecer a seguir a importante noção de subvariedade de uma variedade
diferenciável.
Definição 1.10. Seja ϕ : M −→ N um mergulho de M em N . O conjunto ϕ(M ) é
chamado subvariedade mergulhada de M .
Uma consequência direta da definição de superfı́cie regular S k do Rn dada no Exemplo 1.3, é que as suas parametrizações fα : Uα −→ S k ∩ V são mergulhos de Uα em
V ∩ S k , onde V ⊂ Rn é uma vizinhança de p em Rn .
Temos também que aplicação inclusão i : S k ,→ Rn é um mergulho. De fato, temos
que i é diferenciável, pois para todo p ∈ S k existe uma parametrização f : U ⊂ Rk −→ S k
e uma parametrização j : V ⊂ Rn −→ V de Rn em i(p), onde V é uma vizinhança de
p em Rn e j é aplicação identidade, tais que j −1 ◦ i ◦ f = f é diferenciável. Como a
17

expressão de i é igual a expressão f nessas parametrizações, temos que sua diferencial é
injetiva. Como i também é um homeomorfismo sobre sua imagem, segue que i : S k ,→ Rn
é um mergulho de S k em Rn e, portanto, que S k é uma subvariedade mergulhada em Rn .
Um caso particular de subvariedade mergulhada do Rn+1 é a esfera Sn ⊂ Rn+1 .
Definição 1.11 (Subvariedade). Seja M uma variedade diferenciável e N ⊂ M um
subconjunto de M . Diz-se que N é uma subvariedade de M se a aplicação inclusão
i : N ,→ M é um mergulho.
Pela observação acima, temos que S k é uma subvariedade do Rn .
Uma definição equivalente à definição de subvariedade dada acima será apresentada a
seguir, com o intúito de usá-la na demonstração de um fato que se mostrará importante
num momento deste trabalho. Para maiores detalhes a respeito dessa equivalência entre
as duas definições de subvariedade apresentadas aqui, conferir [2] páginas 74-77. Para
enunciarmos a próxima definição, precisamos estabelecer a seguinte notação. Um cubo
aberto em Rm com centro em x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm é por definição o conjunto
Cεm (x) := {y = (y1 , . . . , ym ) ∈ Rm | kxi − yi k < ε, ∀i = 1, . . . , m}.
Na definição a seguir, a função ϕ : V −→ Rm , chamada de parametrização de uma
vizinhança coordenada V ⊂ M em torno de um ponto p ∈ V sobre uma variedade M ,
trata-se da inversa de uma parametrização (f, U ) de V 3 p, tal que V ⊂ f (U ).
Definição 1.12. Um subconjunto N de uma varidade diferenciável M de dimensão m é
uma subvariedade (de dimensão n) de M se, para cada p ∈ N , existir uma vizinhança
coordenada V de p em M e uma parametrização ϕ : V −→ Rm de p, com coordenadas
locais x1 , . . . , xm , tais que
(i) ϕ(p) = (0, . . . , 0) ∈ Rm ;
(ii) ϕ(V ) = Cεm (0);
(iii) ϕ(V ∩ N ) = {x ∈ Cεm (0) | xn+1 = . . . = xm = 0}.
O sistema de coordenadas de p ∈ N dado pelo par (ϕ, V ) na definição acima é
chamado de coordenadas preferenciais relativas a N . Esse sistema determina de fato
uma estrutura diferenciável em N . O subconjunto N ⊂ M é portanto uma variedade
diferenciável com essa estrutura. Aplicaremos a definição acima à seguinte proposição.
Proposição 1.4. Seja F : A −→ M uma aplicação diferenciável entre variedades diferenciáveis e suponha que f (A) ⊂ N , onde N é uma subvariedade de M . Então F é
diferenciável como uma aplicação sobre N .
Demonstração. Sejam p ∈ A e q = F (p). Como N é uma subvariedade M (no sentido
da definição 1.7), temos que existe uma vizinhança coordanada V de q em M e uma
parametrização ϕ : V −→ Rm tais que ϕ(q) = 0, a origem de Rm , e ϕ(V ) = Cεm (0),
m = dim M ; ϕ(V ∩ N ) consiste nos pontos de ϕ(V ) cujas últimas m − n coordenadas
são nulas, onde n = dim N . Sejam (x1 , . . . , xp ) as coordenadas locais da parametrização
18

f : U ⊂ Rp −→ A de p em A tal que F (f (U )) ⊂ V . Então a expressão de F nessas
coordenadas locais é ϕ ◦ F ◦ f = F̂ : U −→ Rm dada por
ϕ ◦ F ◦ f = F̂ (x1 , . . . , xp ) = (f1 (x), . . . , fn (x), 0, . . . , 0),
isto é, fn+1 (x) = . . . = fm (x) = 0 pois F (A) ⊂ N .
Porém, V ∩ N , π ◦ ϕ|V ∩N , onde π é a projeção das n primeiras coordenadas (projeção
de Rm sobre Rn ), é uma vizinhança coordenada de q em N . Então F , considerada como
uma aplicação sobre N , é dada em coordenadas locais por
(x1 , . . . , xp ) 7→ (f1 (x), . . . , fn (x)).
Esta aplicação é a projeção por π de F̂ de suas n primeiras coordenadas, que é uma
aplicação diferenciável, devido ao fato de ser uma composição de aplicações diferenciáveis,
como querı́amos mostrar.

A seguir iremos introduzir o conceito de k-forma diferencial sobre uma variedade, que
se mostrará essencial no decorrer deste trabalho. Para isso, denotaremos por Λk (Tp M )∗
o conjunto de todas as aplicações k-lineares alternadas do espaço tangente Tp M .
Definição 1.13. Seja M n uma variedade diferenciável de dimensão n. Uma k-forma
exterior ω em M (ou simplesmente uma k-forma em M n ) é uma aplicação que a cada
ponto p ∈ M associa um elemento ω(p) no espaço Λk (Tp M )∗ .
Dada uma k-forma exterior ω em M n e uma parametrização fα : Uα −→ M n , em
torno de um ponto p ∈ fα (Uα ), definimos a representação de ω nesta parametrização
como sendo a k-forma ωα em Uα ⊂ Rn dada por
ωα (v1 , . . . , vk ) = ω(dfα (v1 ), . . . , dfα (vk )), v1 , . . . , vk ∈ Rn .
Temos que ω está bem definida pois, dada uma outra parametrização fβ : Uβ −→ M
em torno de p ∈ M com fβ (Uβ ) ∩ fα (Uα ) = W 6= ∅
(fβ−1 ◦ fα )∗ ωβ (v1 , . . . , vk ) = ωβ (d(fβ−1 ◦ fα )(v1 ), . . . , d(fβ−1 ◦ fα )(vk ))
= ω((dfβ ◦ d(fβ−1 ◦ fα )(v1 )), . . . , (dfβ ◦ d(fβ−1 ◦ fα )(vk )))
= ωα .
Dizemos que uma tal k-forma ω em M n é diferenciável se, dados quaisquer campos de
vetores diferenciáveis X1 , . . . , Xr em um aberto U de M , então a função ω(X1 , . . . , Xr ) :
U −→ R, definida por ω(X1 , . . . , Xr )(p) = ω(p)(X1 (p), . . . , Xr (p)) é diferenciável em U .
Um importante fato é que todas as operações definidas para formas em Rn podem ser
estendidas às formas em M n por meio de suas representações. Por exemplo, se ω é uma
k-forma em M , temos que dω é a (k + 1)-forma em M cuja representação é dωα . Temos
que dw também está bem definida dessa forma, pois em fα−1 (W ) temos
dωα = d((fβ−1 ◦ fα )∗ ωβ ) = (fβ−1 ◦ fα )∗ dωβ .
Quando ω for uma k-forma diferenciável, a chamaremos de k-forma diferencial. Vamos apenas enunciar a seguinte proposição, que nos fornece uma fórmula para dω, onde
ω é uma k-forma sobre uma variedade diferenciável.
19

Proposição 1.5. Seja ω uma k-forma diferencial em uma variedade diferenciável M .
Dados X1 , . . . , Xr+1 ∈ X(M ), temos
dω(X1 , . . . , Xr+1 ) =

r+1
X

(−1)i−1 Xi (ω(X1 , . . . , X̂i , . . . , Xr+1 ))

i=1

+

X

(−1)i+j ω([Xi , Xj ] , X1 , . . . , X̂i , . . . , X̂j , . . . , Xr+1 ),

i<j

onde cada termo X̂i está omitido.
A seguir, daremos a noção de variedade orientável.
Definição 1.14. Diz-se que uma variedade M de dimensão n é orientável se é possı́vel
definir uma n-forma diferenciável Ω em M , de maneira que Ω(p) ∈ Λk (Tp M )∗ é diferente
de zero, para todo p ∈ M . Neste caso, a escolha de Ω é dita uma orientação de M e M
é dita orientada. Caso não exista uma tal Ω, diz-se que M é não-orientável.
O espaço euclidiano Rn com a forma Ω = dx1 ∧ . . . ∧ dxn é um primeiro exemplo de
variedade orientada. Esta orientação é conhecida como a orientação natural de Rn .
Duas orientações Ω1 e Ω2 para M determinam a mesma orientação se Ω1 = λΩ2 ,
onde λ é uma função diferenciável em M . Um difeomorfismo F : M1 −→ M2 entre duas
variedades orientadas por Ω1 e Ω2 , respectivamente, preserva orientação se F ∗ Ω2 = λΩ1 ,
onde λ > 0 é uma função diferenciável em M1 .
Uma noção de orientação equivalente a que foi dada acima pode ser introduzida
baseada no seguinte resultado.
Teorema 1.1. Uma variedade M é orientável se e somente se M admite uma estrutura
diferenciável {(Uα , fα )} tal que ∀α, β com fα (Uα ) ∩ fβ (Uβ ) = W 6= ∅, a diferencial da
aplicação fβ−1 ◦ fα tem determinante positivo para todo q ∈ fα−1 (Uα ).
Demonstração. Ver [2], pg.210, teorema (7.6).
Baseandos nesta noção de orientação, dada por uma estrutura que satisfaz as hipóteses
do último teorema, podemos, de maneira equivalente, estabelecer as seguintes noções de
orientação, variedade orientada e de difeomorfismos que preservam orientação.
Diz-se que a escolha de uma estrutura diferenciável numa variedade M satisfazendo
as hipóteses do teorema acima é uma orientação de M e que M é orientada por esta
estrutura. Duas orientações, nesse mesmo sentido, determinam a mesma orientação se a
união delas ainda satisfaz as hipóteses do Teorema 1.1. Dadas duas variedades M1 e
M2 , com M1 orientada, ou seja, possuindo uma estrutura {(Uα , fα )} dada pelo Teorema
1.1, temos que F induz uma orientação em M2 , a saber {(Uα , fα0 )}, com fα0 = F ◦ fα .
Um difeomorfismo F : M1 −→ M2 entre duas variedades orientadas M1 e M2 preserva
orientação se a orientação induzida por F em M2 determina a mesma orientação de M2 ,
considerada inicialmente.
Exemplo 1.10. Se M pode ser coberta por duas vizinhanças coordenadas V1 e V2 de
modo que V1 ∩ V2 é um conjunto conexo, então M é orientável. De fato, como o determinante do jabiano da mudança de coordenadas f2−1 ◦ f1 , onde f1 e f2 correspondem às
20

vizinhanças V1 e V2 , respectivamente, é diferente de zero, e como V1 ∩ V2 é conexo, temos
que este determinante não muda de sinal aı́, uma vez que a função det é contı́nua; se
esse determinante é negativo em algum ponto de V1 ∩ V2 , basta trocar o sinal de uma das
coordenadas para que passe a ser positivo neste ponto e, portano, em V1 ∩ V2 .
Exemplo 1.11. Vimos no Exemplo 3 que a esfera Sn pode ser coberta por duas vizinhanças, dadas pelas projessões estereográficas em relação aos polos norte e sul. Temos
que as projessões π1−1 e π2−1 , que parametrizam a esfera Sn nos dão π1−1 (Rn ) ∩ π2−1 (Rn ) =
Sn − {N } ∪ {S}, onde N e S são os polos norte e sul, respectivamente, de Sn . Portanto,
temos que Sn pode ser coberta por duas vizinhanças cuja intercção é um conjunto conexo.
Pelo Exemplo 5, temos que Sn é orientável.
Definiremos agora a integral de uma n-forma em uma variedade M de dimensão n.
Para isso, vamos estabelecer a definição de integral de uma n-forma em M n = Rn .
Seja ω uma n-forma diferencial definida em um conjunto aberto U ⊂ M n . O suporte
K de ω é dado pelo fecho do conjunto
A = {p ∈ M n ; ω(p) 6= 0}.
Seja ω uma n-forma e M n = Rn . Então
ω = a(x1 , . . . , xn )dx1 ∧ . . . ∧ dxn .
Assuma que o suporte K de ω é compacto e está contido num aberto U ⊂ Rn .
Definimos
Z
Z
ω=
adx1 . . . dxn ,
U

K

onde no lado direito da igualdade, temos uma integral múltipla usual no Rn .
Vamos assumir agora que M é uma variedade compacta; então, o suporte K de ω,
por ser um conjunto fechado num espaço compacto, também é compacto. Como veremos
adiante, será necessário assumirmos que M também é orientada, i.e, que M é coberta por
uma famı́lia de vizinhanças coordenadas tal que cada mudança de coordenadas possui
determinante jacobiano positivo.
Se K estiver contido em alguma vizinhança coordenada Vα = fα (Uα ), então, se a
representação local de ω em Uα ⊂ Rn é ωα temos
ωα = aα dx1 ∧ . . . ∧ dxn ,
e definimos

Z

Z
ω=

M

Z
ω=

Vα

aα dx1 . . . dxn ,
Uα

onde o lado direito é uma integral no Rn .
É possı́vel que K esteja contido em uma outra vizinhança coordenada Vβ = fβ (Uβ )
da mesma famı́lia. Mostraremos que a definição acima, não depende da escolha da
vizinhança coordanada.
Para isso, seja W = fα (Uα ) ∩ fβ (Uβ ) e considere a mudança de coordenadas
f = fα−1 ◦ fβ : fβ−1 (W ) −→ fα−1 (W ),
21

dada por
xi = fi (y1 , . . . , yn ), i = 1, . . . , n,
(x1 , . . . , xn ) ∈ Uα , (y1 , . . . , yn ) ∈ Uβ .
Como ωβ = f ∗ (ωα ), temos
ωβ = det(df )aβ dy1 ∧ . . . ∧ dyn ,
onde
aβ = aα (f1 (y1 , . . . , yn ), . . . , fn (y1 , . . . , yn )).
por outro lado, pela fórmula de mudança de variáveis para integrais múltiplas no Rn ,
obtemos
Z
Z
| det(df ) | aβ dy1 . . . dyn .
aα dx1 . . . dxn =
fα−1 (W )

fβ−1 (W )

Então, como M é orientada, det(df ) > 0. Assim
Z
Z
Z
Z
ωα =
aα dx1 . . . dxn =
det(df )aβ dy1 . . . dyn =
fα−1 (W )

fα−1 (W )

fβ−1 (W )

fβ−1 (W )

ωβ .

Portanto,
Z

Z

ω,

ω=
Vβ

Vα

o que mostra a independência das vizinhanças coordenadas.
Note que sem a hipótese de que M é orientada, o sinal da integral de ω não é bem
definido. A escolha de uma orientação para M fixa um sinal para a integral de ω que
pode mudar com uma mudança de orientação.
Vamos considerar agora o caso em que o suporte de ω não está contido em nenhuma
vizinhança coordanada. Para isso, precisamos do conceito de partição diferenciável da
unidade.
Dada uma cobertura {Vα } de uma variedade diferenciável M , dizemos que uma familia
de funções ϕ1 , . . . , ϕm diferenciáveis em M é uma partição da unidade subordinada a
cobertura {Vα } (quando M é orientada, escolhemos {Vα } compatı́vel com a orientação
de M ) se
(a)

m
X

ϕi = 1,

i=1

(b) 0 ≤ ϕi ≤ 1, e o suporte, supp ϕi , de cada ϕi está contido em algum Vαi = Vi .
A existência de uma partição da unidade será assumida sem demonstração. Para
maiores detelhes conferir [8]. Vamos definir a integral de uma n-forma sobre uma variedade orientada M n como segue. Note primeiramente que o suporte da forma ϕi ω está
contido em Vi . Feita essa observação, iremos definir a integral de ω neste caso por
Z
m Z
X
ω=
ϕi ω.
M

i=1

22

M

Esta definição não depende da escolha da partição da unidade. De fato, considere
uma outra cobertura {Wβ } que determina a mesma orientação que {Vα } determina em
M , e seja {ψj }, j = 1, . . . , n, uma partição da unidade subordinada a {Wβ }. Então
{Vα ∩ Wβ } será uma cobertura par a M e a familia ϕi ψj será uma partição da unidade
subordinada a {Vα ∩ Wβ }. Então
!
m Z
m Z
n
X
X
X
XZ
ϕi ω =
ϕi
ψj ω =
ϕi ψj ω,
i=1

M

i=1

M

j=1

i,j

M

onde na última igualdade foi usado que, para cada i, as funções ϕi ψj estão definidas em
Vi . Similarmente,
!
n Z
n Z
m
X
X
X
XZ
ψj ω =
ψj
ϕi ω =
ϕi ψj ω,
j=1

M

j=1

M

i=1

i,j

M

que mostra a independência requerida. Estabelecida a definição de integral sobre uma
variedade, podemos enunciar o seguinte resultado.
Proposição 1.6 (Mudança de Variáveis). Sejam M1 e M2 variedades orientadas. Se
F : M1 −→ M2 é um difeomorfismo que preserva orientação e se ω é uma n-forma em
M2 , onde n = dim M2 = dim M1 , então
Z
Z
∗
F ω=
ω.
M1

M2

Demonstração. Seja F : M1 −→ M2 um difeomorfismo que preserva orientação.
Suponha que o suporte K de ω está contido em uma vizinhança coordenada W2 de M2 .
Portanto, o suporte de F ∗ ω, estará contindo na vizinhança coordenada W1 = F −1 (W2 )
de M1 . Usando as parametrizações f : U ⊂ Rn −→ W1 de W1 ⊂ M1 e a parametrização
induzida por F em W2 dada por g = F ◦ f : U ⊂ Rn −→ W2 , teremos a mesma expressão
para ω em W2 ⊂ M2 e para F ∗ ω em W1 ⊂ M1 , digamos f (x)dx
R ∧ . . . ∧ dxn . Além
disso, como F preserva orientação, temos que o sinal da integral M2 ω, considerando a
orientação induzida por F em M2 , é igual ao sinal desta mesma integral considerando a
orientação inicial de M2 . Portanto, pela nossa definição de integral, teremos
Z
Z
∗
F ω=
ω.
M1

M2

23

O caso em que o suporte de ω não está contido em nenhuma vizinhança coordenada é provado usando o mesmo argumento acima para cada n-forma ϕi ω em M2 , onde
ϕ1 , . . . , ϕm é uma partição da unidade.

Um semi-espaço de Rn é o conjunto H n = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; x1 ≤ 0}. Um subconjunto U ⊂ H n é aberto se U = H n ∩ V , onde V é um aberto do Rn . Dizemos que uma
aplicação f : V −→ Rn definida em um aberto V de H n é diferenciável se existe um
conjunto aberto U ⊃ V e uma aplicação diferenciável f¯ em U tal que a restrição de f¯
a V é igual a f . Neste caso, a diferencial dfp , p ∈ V , de f em p é definida como sendo
dfp = df¯p .
Definição 1.15. Uma variedade diferenciável de dimensão n com bordo (ou simplesmente uma variedade com bordo) é um conjunto e uma familia de aplicações injetivas
fα : Uα ⊂ H n −→ M de abertos de H n em M tais que
[
(1)
fα (Uα ) = M ;
α

(2) ∀ α, β, com fα (Uα ) ∩ fβ (Uβ ) = W 6= ∅, os conjuntos fα−1 (W ) e fβ−1 (W ) são abertos
em Rn e as aplicações fβ−1 ◦ fα e fα−1 ◦ fβ são diferenciáveis;
(3) A familia {(Uα , fα )} é maximal relativamente a (1) e (2).
Dizemos que um ponto p ∈ M pertence ao bordo de M (ou que p é um ponto no bordo
de M ) se para alguma parametrização fα : Uα ⊂ H n −→ M em torno de p tivermos
fα (0, x2 , . . . , xn ) = p. O conjunto dos pontos no bordo de M será denotado por ∂M e
chamado bordo de M . Se ∂M = ∅, a definição acima coincide com a Definição 1.1 de
uma variedade diferenciável, dada no começo deste capı́tulo.
Observação 1.3. A definição de ponto no bordo não depende de parametrizações. Portanto, o conjunto dos pontos no bordo ∂M de M está bem definido. Além disso, se a
dimensão de M é igual a n, temos que ∂M é uma variedade diferenciável de dimensão
n − 1 e, se M for orientada, uma orientação para M induz uma orientação para ∂M .
As definições de funções diferenciáveis, espaço tangente, orientação, etc, para variedades com bordo, são introduzidas de maneira análoga às definições para variedades
diferenciáveis, trocando Rn por H n .
Intuitivamente, uma variedade com bordo é um conjunto que pode ser coberto por
vizinhanças que são homeomorfas a abertos de H n . Note que nem todo aberto de H n é
um aberto do Rn , a saber, os abertos de H n que contêm pontos da forma (0, x2 , . . . , xn ).
De acordo com a definição de variedade dada no inı́cio deste capı́tulo, uma variedade
diferenciável não possui vizinhanças desse tipo, i.e, uma vizinhança coordenada de um
ponto sobre uma variedade (no sentido da Definição 1.1) é difeomorfa apenas a abertos
do Rn , caso em que a variedade tem dimensão n. Então, toda variedade diferenciável,
no sentido da Definição 1.1 tem bordo vazio, i.e, ∂M = ∅. Podemos agora enunciar o
importante Teorema de Stokes. Uma demonstração deste teorema pode ser conferida em
[3].
24

Teorema 1.2. Seja M n uma variedade diferenciável com bordo, compacta e orientada.
Seja ω uma (n − 1)-forma em M , e seja i : ∂M ,→ M a aplicação inclusão do bordo ∂M
em M . Então
Z
Z
∗
iω=
dω.
∂M

M

25

Capı́tulo 2
Grupos de Lie e Grupos de
Cohomologia de De Rham
Neste capı́tulo desenvolveremos toda a teoria de grupos de Lie e de grupo de cohomologia de De Rham necessária. Dois resultados fundamentais neste trabalho serão
apresentados. O primeiro garante que todo grupo de Lie compacto e conexo pode ser
munido de uma métrica bi-invariante. E o segundo nos fornece o cálculo do grupo de
cohomologia de De Rham da esfera Sn para alguns casos especiais.

2.1

Grupos de Lie

Definição 2.1. Um grupo de Lie é um grupo G com uma estrutura diferenciável tal que
as aplicações G × G −→ G dadas por (x, y) 7→ xy e G −→ G dada por x 7→ x−1 , são
mapas diferenciáveis.
Exemplo 2.1 (Gl(n, R)). Decorre do Exemplo 1.2 que Gl(n, R), por ser um subconjunto aberto do conjunto das matrizes n × n, também é uma variedade de dimensão n2 .
Para mostrarmos que Gl(n, R) é um grupo de Lie, nos resta mostrar que este possui
uma estrutura de grupo tal que as operações de soma e inversão são diferenciáveis em
Gl(n, R) × Gl(n, R) e em Gl(n, R), respectivamente.
Note que uma matriz A n × n é não-singular se, e somente se, det A 6= 0; portanto,
como det(AB) = det A det B, para quaisquer matrizes quadradas A,B, temos que se A e
B são não-singulares, segue que AB também é. Além disso, uma matriz é não-singular,
i.e, det A 6= 0 se, e somente se, possui uma matriz inversa em relação a multiplicação
de matrizes. Logo, G(n, R) tem estrutura de grupo. A aplicação (A, B) 7→ AB é diferenciável, pois o produto AB possui entradas que são polinômios nas entradas de A e
B. Essas entradas são, exatamente, as expressões em coordenadas locais da aplicação
(A, B) 7→ AB, que é portanto diferenciável. A inversa de A = (aij ) pode ser escrita
como A−1 = (1/ det A)(a˜ij ), onde os (a˜ij ) são os cofatores de A, que são polinômios nas
entradas de A e onde det A é um polinômio nessas entradas, que por sua vez, não se anula
em Gl(n, R). Segue que as entradas de A−1 são funções racionais em Gl(n, R), que não
se anulam no seu denominador. Portanto, são funções diferenciáveis. Assim, temos que

26

o produto e a inversão são diferenciáveis em Gl(n, R) e, portanto, Gl(n, R) é um grupo
de Lie. Um caso particular é o grupo multiplicativo R∗ dos números reais não-nulos.
Exemplo 2.2. Seja C∗ o conjunto dos números complexos não-nulos. Com respeito
à multiplicação de números complexos, com inverso multiplicativo z −1 = z1 , C∗ é um
grupo. Além disso, C∗ com a estrutura {R2 − {0}, ϕ}, com (x, y) 7→ ϕ(x, y) = x + iy,
é uma variedade diferenciável de dimensão 2. Usando estas coordenadas, o produto
(z, z 0 ) 7→ zz 0 , com z = x + iy e z 0 = x0 + iy 0 é dado nessas coordenadas por
(x, y)(x0 , y 0 ) 7→ (xx0 − yy 0 , xy 0 + yx0 )
e a aplicação z 7→ z −1 por

(x, y) 7→

x
−y
, 2
2
2
x + y x + y2


.

Portanto, zz 0 e z −1 são diferenciáveis., donde C∗ é um grupo de Lie.
Proposição 2.1. Se G1 e G2 são grupos de Lie, então o produto cartesiano G1 × G2
com a estrutura de variedade produto é um grupo de Lie.
Demonstração. Sejam m1 : G1 × G1 −→ G1 e m2 : G2 × G2 −→ G2 os produtos em
G1 e G2 , respectivamente. Defina o produto m : (G1 × G2 ) × (G1 × G2 ) −→ G1 × G2 em
G1 × G2 por
m((g1 , h1 ), (g2 , h2 )) = (g1 g2 , h1 h2 ), g1 , g2 ∈ G1 , h1 , h2 ∈ G2 .
Seja α = (f, g) uma parametrização (da variedade produto) em torno de (g1 g2 , h1 h2 ) ∈
G1 × G2 e β uma parametrização em torno de ((g1 , h1 ), (g2 , h2 )) ∈ (G1 × G2 ) × (G1 ×
G2 ). Sejam f1 , f10 parametrizações em torno de g1 e g2 , respectivamente, em G1 e f2 , f20
parametrizações em torno de h1 e h2 , respectivamente, em G2 . Temos que mostrar que
a expressão de m
α−1 ◦ m ◦ β : β −1 (V 0 ) ⊂ R2(m+n) −→ α−1 (V ) ⊂ Rn+m
é diferenciável, onde V é uma vizinhança de (g1 g2 , h1 h2 ) em G1 ×G2 e V 0 é uma vizinhança
de ((g1 , h1 ), (g2 , h2 )) em (G1 ×G2 )×(G1 ×G2 ). Se ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) ∈ β −1 (V 0 ) ⊂ R2(m+n) ,
teremos que
α−1 ◦ m ◦ β((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) =
=
=
=
=

α−1 (m((f1 (x1 ), f2 (y1 )), (f10 (x2 ), f20 (y2 ))
α−1 (f1 (x1 )f10 (x2 ), f2 (y1 )f20 (y2 ))
α−1 (m1 (f1 (x1 ), f10 (x2 )), m2 (f2 (y1 ), f20 (y2 )))
α−1 (m1 ◦ (f1 , f10 )(x1 , x2 ), m2 ◦ (f2 , f20 )(y1 , y2 )
(f −1 ◦ m1 ◦ (f1 , f10 )(x1 , x2 ), g −1 ◦ m2 ◦ (f2 , f20 )(y1 , y2 )),

é diferenciável, uma vez que suas entradas são as expressões de m1 e m2 em coordenadas
locais, que são diferenciáveis. Análogamente, mostre-se que g 7→ g −1 é diferenciável.
Portanto, G1 × G2 é um grupo de Lie.
27


O toro Tn = S1 × . . . × S1 é um exemplo de variedade produto que é um grupo de
Lie, de acordo com o Exemplo 1.13 e com a Proposição 1.5.
Daremos a seguir um importante critério para determinarmos mais exemplos de grupos de Lie.
Teorema 2.1. Seja G um grupo de Lie e seja H ⊂ G um subgrupo de G que também é
uma subvariedade de G. Então H é um grupo de Lie.
Demonstração. Como H é uma subvariedade de G, segue que a aplicação inclusão
I : H × H −→ G × G é um mergulho, ou seja, I é diferenciável. Se P1 : G × G −→ G é a
aplicação (g, g 0 ) 7→ gg 0 e P = P1 ◦ I a composta, então P é uma aplicação diferenciável de
H × H −→ G com imagem contida em H. Seja P̃ esta aplicação considerada como uma
aplicação sobre H; note que P̃ 6= P , pois seus contradomı́nios são diferentes. Mas, pela
Proposição 1.3, como P̃ (H × H) = H ⊂ G é uma subvariedade de G, temos que P é uma
aplicação diferenciável como uma aplicação sobre H, i.e, P̃ é diferenciável. Segue que o
produto em H é diferenciável. Similarmente, mostra-se que g 7→ g −1 é diferenciável em
H. Logo, H é um grupo de Lie.

Aplicaremos o teorema acima para mostrarmos que, de fato, as esferas S1 e S3 são
grupos de Lie.
Exemplo 2.3 (S1 ). Vamos identificar a esfera unitária S1 com o conjunto dos números
complexos de norma 1. Como o produto e a inversão de números complexos de norma
igual a 1 preservam essa norma, temos que S1 é um subgrupo de C∗ .
Como S1 ⊂ R2 −{0} é uma subvariedade de R2 −{0} (e portanto de C∗ ), pelo teorema
acima, S1 é um grupo de Lie.
Exemplo 2.4 (S3 ). O conjunto dos quatérnios é definido como sendo o conjunto dos
elementos da forma
w = t + xi + yj + zk,
onde (t, x, y, z) ∈ R4 e os vetores i, j, k são chamados unidades imaginárias do conjunto
dos quatérnios enquanto 1 = 1 + 0i + 0j + 0k é chamado unidade real. Dizemos que um
tal elemento é um quatérnio. Neste conjunto, dados dois quatérnios w = t + xi + yj + zk
e w0 = t0 + x0 i + y 0 j + z 0 k e um número real α, definimos a soma e o produto por escalar
por
w + w0 = (t + t0 ) + (x + x0 )i + (y + y 0 )j + (z + z 0 )k
e
αw = αt + αxi + αyj + αzk.
É imediato que com essas operações, o conjunto dos quatérnios é um espaço vetorial.
A multiplicação de quatérnios fica definida, por bilinearidade, quando são dados os
produtos das unidades 1, i, j, k, como apresentado na tabela abaixo

28

·
1
i
j
k

1
1
i
j
k

i
i
−1
−k
j

j
j
k
−1
−i

k
k
−j
i
−1

Assim, dados dois quatérnios w = t + xi + yj + zk e w0 = t0 + x0 i + y 0 j + z 0 k, o produto
ww é dado por
0

ww0 = (tt0 − xx0 − yy 0 − zz 0 ) + (tx0 + t0 x + yz 0 − zy 0 )i + (ty 0 − xz 0 + yt0 + zx0 )j
+(tz 0 + xy 0 − yx0 + zt0 )k.
Como 1w = w1 = w, a unidade real é o elemento neutro dessa multiplicação. Além disso,
temos que todo quatérnio w 6= 0, 0 = 0 + 0i + 0j + 0k, possui um inverso multiplicativo
w−1 . Para verificarmos este fato, defina o conjugado w̄ de w = t + xi + yj + zk por
w̄ = t − xi√
− yj − zk. Tem-se que ww̄ = w̄w = t2 + x2 + y 2 + z 2 = |w|2 , onde denotamos
por |w| = ww̄ o módulo do quatérnio w. Logo se w 6= 0, temos que
w−1 =

w̄
|w|2

cumpre ww−1 = w−1 w = 1. Portanto, com a multiplicação de quatérnios, o conjunto
dos quatérnios não-nulos R4 − {0} é um grupo. Além disso, o conjunto dos quatérnios
não-nulos com a estrutura {(R4 − {0}, ϕ)}, ϕ(t, x, y, z) = t + xi + yj + zk é uma variedade
diferenciável de dimensão 4. Nesse sistema de coordenadas, temos que a expressão da
aplicação (w, w0 ) 7→ ww0 , w e w0 quatérnios não-nulos, é
(t, x, y, z)(t0 , x0 , y 0 , z 0 ) 7→ (tt0 − xx0 − yy 0 − zz 0 , tx0 + t0 x + yz 0 − zy 0 ,
ty 0 − xz 0 + yt0 + zx0 , tz 0 + xy 0 − yx0 + zt0 ),
que é diferenciável em R4 − {0} × R4 − {0}. Temos também que a expressão da aplicação
aplicação w 7→ w−1 nesse sistema de coordenadas é
t
−x
, 2
,
(t, x, y, z) 7→ ( 2
2
2
2
2
t + x + y + z t + x + y2 + z2
−y
t2 + x2 + y 2 + z 2

−z
, 2
),
2
t + x + y2 + z2

que, por sua vez, é diferenciável em R4 − {0}. Segue daı́ que o conjunto dos quatérnios
não-nulos é um grupo de Lie.
Note que o produto dos módulos dos quatérnios w e w0 cumpre |ww0 | = |w| |w0 |. Segue
daı́ que, se identificarmos a esfera S3 com o conjunto dos quatérnios de módulo 1, S3 com
o produto de quatérnios é um subgrupo do conjunto dos quatérnios não-nulos. Como
S3 ⊂ R4 − {0} é uma subvariedade de R4 − {0} (a aplicação inclusão i : S3 ,→ R4 − {0}
é um mergulho), pelo Teorema 1.3, S3 é um grupo de Lie.
29

Fixado um g ∈ G, definimos as aplicações Lg , Rg : G −→ G por Lg (h) = gh e
Rg (h) = hg; Lg é chamada translação à esquerda e Rg é chamada translação à direita.
Decorre diretamente da definição de grupo de Lie que Lg e Rg são diferenciáveis e que
suas inversas também são, a saber (Lg )−1 = Lg−1 e (Rg )−1 = Rg−1 .
Dizemos que uma métrica riemanniana em um grupo de Lie G é uma métrica invariante à esquerda se Lg for uma isometria, para todo g ∈ G, i.e, se
hu, vih = h(dLg )h u, (dLg )h vigh , u, v ∈ Th G,
∀g, h ∈ G. Analogamente define-se métrica invariante à direita em G. Se uma métrica
riemanniana for invariante à esquerda e à direita, dizemos que ela é uma métrica biinvariante.
Dado um produto interno qualquer h, ie em Te G, é possı́vel definir uma métrica riemanniana invariante à esquerda em G por
hu, vig := h(dLg−1 )g u, (dLg−1 )g vie , ∀g ∈ G, u, v ∈ Tg G.
Como Lg depende diferencialmente de g em G, segue que h, ig varia diferencialmente
em G. Portanto, a métrica acima define uma métrica riemanniana. Além disso, h, ig
também é invariante à esquerda pois
h(dLg )h u, (dLg )h vigh =

(dL(gh)−1 )gh [(dLg )h u] , (dLgh−1 )gh [(dLg )h v] e

= (dL(gh)−1 ◦ Lg )h u, (dLgh−1 ◦ Lg )h v e
= h(dLh−1 )h u, (dLh−1 )h vie = hu, vih .
De maneira análoga construimos métricas invariantes à direita em G.
Diz-que uma k-forma ω em um grupo de Lie G de dimensão n é uma k-forma invariante
à esquerda se L∗g ω = ω e que ω é uma k-forma invariante à direita quando Rg∗ ω = ω, para
todo g ∈ G. Quando uma k-forma ω é invariante à esquerda e à direita, diz-se que ω é
uma k-forma bi-invariante. Dada qualquer k-forma linear ωe em Te G, podemos definir a
partir dela, uma k-forma ω em G invariante à esquerda. De fato, basta definirmos
ω(g)(X1 , . . . , Xk ) := ωe ((dLg−1 )g X1 , . . . , (dLg−1 )g Xn ),
pois
L∗g ω(h)(X1 , . . . , Xk ) =
=
=
=
=
=

ω(Lg (h))((dLg )h X1 , . . . , (dLg )h Xn )
ω(gh)((dLg )h X1 , . . . , (dLg )h Xn )
ωe ((dL(gh)−1 )gh [(dLg )h X1 ] , . . . , (dL(gh)−1 )gh [(dLg )h Xn ])
ωe ((dL(gh)−1 ◦ Lg )h X1 , . . . , (dL(gh)−1 ◦ Lg )h Xn
ωe ((dLh−1 )h X1 , . . . , (dLh−1 )h Xn )
ω(h)(X1 , . . . , Xk ),

o que mostra que ω é invariante à esquerda. A seguir, vamos mostrar que todo grupo de
Lie compacto admite uma métrica bi-invariante.
30

Proposição 2.2. Seja G um grupo de Lie compacto, conexo e de dimensão n. Então,
G admite uma métrica bi-invariante.
Demonstração. Seja ω uma n-forma positiva diferenciável em G, invariante à direita
e seja h, i uma métrica invariante à direita em G. Defina
Z
hhu, viix :=
h(dLy )x u, (dLy )x viyx ω, ∀u, v ∈ Tx G, x, y ∈ G.
G

Note que hh, iig é diferenciável, positiva e definida, donde é uma métrica riemanniana.
Vamos mostrar que hh, iig é bi-invariante. Vamos mostrar isto em duas etapas.
(1) hh·, ·iig é invariante à esquerda. De fato, dados x, y, z ∈ G, temos
Z
hh(dLz )x u, (dLz )x viizx =
ZG
=
ZG
=
G

h(dLy )zx [(dLz )x u] , (dLy )zx [(dLz )x v]iy(zx) ω
h(d(Ly ◦ Lz )x u, d(Ly ◦ Lz )x vi(yz)x ω
h(dLyz )x u, (dLyz )x vi(yz)x ω, u, v ∈ Tx G.

(2.1)

Fixados u, v ∈ Tx G, seja ψ(y) = h(dLy )x u, (dLy )x viyx . Então
Z

Z
G

h(dLyz )x u, (dLyz )x vi(yz)x ω =

ψ(yz)ω
ZG

=
ZG
=

ψ ◦ Rz (y)Rz∗ ω
Rz∗ (ψω)

ZG
=

ψω
Rz (G)=G

Z
=

ψ(y)ω
ZG

=
G

h(dLy )x u, (dLy )x viyx ω

= hhu, viix .
De (1.2) e (1.3) segue que hh·, ·iig é invariante à esquerda.
(2) hh·, ·iig é invariante à direita. De fato, temos

31

(2.2)

Z
hh(dRz )x u, (dRz )x viixz =
ZG
=
ZG
=
ZG
=
ZG
=
G

h(dLy )xz [(dRz )x u] , (dLy )xz [(dRz )x v]iy(xz) ω
hd(Ly ◦ Rz )x u, d(Ly ◦ Rz )x vi(yx)z ω
hd(Rz ◦ Ly )x u, d(Rz ◦ Ly )x vi(yz)x ω
h(dRz )yx u, (dRz )yx vi(yz)x ω
h(dLy )x u, (dLy )x viyx ω

= hhu, viix .


2.2

Representação adjunta de um grupo de Lie

Dizemos que um campo X sobre um grupo de Lie G é um campo invariante à esquerda
se (dLg )h X(h) = X(gh), para quaisquer g, h ∈ G. A fim de simplificarmos a notação,
diremos que um campo X é invariante à esquerda se (dLg )X = X, onde (dLg ) é o campo
dado por V 3 Tg G 7→ (dLg )h V ∈ Tgh G, ∀h ∈ G.
Se F : G −→ G é uma aplicação diferenciável em G, f : G −→ R é uma função
diferenciável e X um campo em G, temos que
dF (X)f = X(f ◦ F ).
De fato, se as funções coordenadas da expressão de F em coordenadas locais são as
funções y1 , . . . , yn , n = dim G, e considerando a expressão de f nessas mesmas coordenadas, temos
X(g)(f ◦ F ) =
=

n
X
i=1

∂(f ◦ F )
∂xi

n
X

n
X
∂yj ∂f

ai
ai

i=1

=

X
i,j

Como

j=1

ai

∂xi ∂xj

∂yj ∂f
.
∂xi ∂xj

n
n
X
X
∂y1
∂yn
(dF )X = (
ai
,...,
ai
),
∂xi
∂xi
i=1
i=1

temos

32

(2.3)

n
n
X
X
∂yj
(dF )X(f ) =
ai
∂x
i
j=1
i=1
X ∂yj ∂f
=
ai
.
∂x
∂x
i
j
i,j

!

∂f
∂xj
(2.4)

Portanto, segue de (2.3) e de (2.4) a nossa afirmação. Segue desse fato que, se X
e Y são campos em G, invariantes à esquerda, então o colchete desses campos [X, Y ] é
invariante à esquerda. De fato, dado g ∈ G, temos
dLg [X, Y ] f =
=
=
=
=

[X, Y ] (f ◦ Lg )
XY (f ◦ Lg ) − Y X(f ◦ Lg )
X(Y (f ◦ Lg )) − Y (X(f ◦ Lg ))
X((dLg )Y )f − Y ((dLg )X)f
XY f − Y Xf = [X, Y ] f.

Definição 2.2 (Álgebra de Lie). Dizemos que um espaço vetorial V sobre R é uma
álgebra de Lie (real) se além de sua estrutura de espaço vetorial, possui um produto, i.e,
uma aplicação V × V −→ V que associa a cada par (X, Y ) um elemento [X, Y ] em V ,
possuindo as seguintes propriedades:
(1) bilinearidade sobre R:
[α1 X1 + α2 X2 , Y ] = α1 [X1 , Y ] + α2 [X2 , Y ]
e
[X, α1 Y1 + α2 Y2 , Y ] = α1 [X, α1 Y1 ] + α2 [X, α2 Y2 ] ;
(2) anticomutatividade:
[X, Y ] = − [Y, X] .
(3) satisfaz a identidade de Jocobi:
[[X, Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z, X] , Y ] = 0.
Exemplo 2.5. Seja Mn (R) o conjunto das matrizes n × n em R. Com o produto usual
de matrizes XY de X e Y em Mn (R), temos que o comutador [X, Y ] = XY − Y X,
define uma estrutura de álgebra de Lie sobre Mn (R).
Exemplo 2.6. Seja X(M ) o conjunto de todos os campos diferenciáveis de vetores sobre
uma variedade diferenciável M . É imediato que X(M ) é um espaço vetorial. Além disso,
já vimos na Proposição 1.4, que o colchete [X, Y ] de dois campos X, Y ∈ X(M ), satifaz
as condições (1), (2) e (3) da definição acima. Temos portanto que X(M ) é uma álgebra
de Lie.
33

Considere G ⊂ X(G) o subespaço de X(G) de todos os campos invariantes à esquerda,
onde G é um grupo de Lie. Vimos que o colchete de campos invariantes à esquerda
também é invariante à esquerda. Se do fato do colchete de campos ser uma operação que
satisfaz (1), (2) e (3) e do mesmo ser uma operação fechada em G que G é uma álgebra de
Lie, com a operação colchete de campos de campos de vetores. Diz-se que G é a álgebra
de Lie do grupo G.
Definição 2.3. Seja F : G1 −→ G2 um homomorfismo entre os grupos de Lie G1 e G2 .
Diz-se que F é um homomorfismo de grupos de Lie se F também é diferenciável.
Exemplo 2.7. Seja G1 = R o grupo aditivo dos números reais e seja G2 = S1 . Então
a aplicação F : R −→ S1 dada por F (t) = e2πit é um homomorfismo de grupos de
Lie, pois F é analı́tica e é claramente um homomorfismo. Similarmente, fazendo G1 =
Rn = R × . . . × R e G2 = Tn = S1 × . . . × S1 , a aplicação F : Rn −→ Tn dada por
F (t1 , . . . , tn ) = (e2πit1 , . . . , e2πitn ) é um homomorfismo de grupos de Lie entre Rn e Tn .
A fim de definirmos representação adjunta de um grupo de Lie G, faremos algumas
observações a respeito das translações Lg e Rg e do automorfismo interno de G, Ig =
Lg ◦ Rg−1 . Dado X ∈ G, ou seja, dado X invariante à esquerda, temos
dLg (dRg (X)) = dRg (dLg (X)) = dRg (X),
i.e, Rh (X) ∈ G. Em particular, fazendo h = g −1 , temos que dIg (X) ∈ G. Logo dIg leva
vetores de G em vetores de G. Note também que Igh = Ig ◦Ih , de modo que dIgh = dIg ◦dIh .
Além disso, dIgh : G −→ G é um automorfismo da álgebra de Lie G de G. Essa última
afirmação é uma consequência do
Teorema 2.2. Seja F : N −→ M uma aplicação diferenciável e sejam X1 e X2 campos
de vetores diferenciáveis em N . Então
dF [X1 , X2 ] = [dF X1 , dF X2 ] .
Demonstração. Provaremos inicialmente o seguinte lema.
Lema 2.1. Seja Y um campo em M e X um campo em N . Então
dF (X) = Y ⇔ (Y g) ◦ F = X(g ◦ F ) em F −1 (V ),

(2.5)

onde V ⊂ M é um aberto e g : V −→ R é uma função diferenciável.
Demonstração do Lema 1.2.
Dado q ∈ F −1 (V ), sabemos que dFq (X(q))g = X(g ◦ F )(q). Além disso, temos que
o valor da função diferenciável Y g em F (q), i.e, (Y g ◦ F )(q) é igual a YF (q) g. Portanto,
(dF )q X(q) = Y (F (q)) ⇔ (Y g ◦ F )(q) = X(g ◦ F )(q). Como a função g é arbitrária, (2.5)
vale para toda g diferenciável.
Vamos agora à demonstração do Teorema. Considere então f uma função diferenciável
em um aberto V ⊂ M , de modo que Y1 f e Y2 f são funções diferenciáveis, onde Y1 =
dF (X1 ) e Y2 = dF (X2 ). Aplicando (1.6) com g = Y2 f e em seguida com g = f , teremos
[Y1 (Y2 f )] ◦ F = X1 ((Y2 f ) ◦ F ) = X1 [X2 (f ◦ F )] .
34

Analogamente,
[Y2 (Y1 f )] ◦ F = X2 [X1 (f ◦ F )] .
Portanto,
([Y1 , Y2 ] f ) ◦ F = [Y1 (Y2 f )] ◦ F − [Y2 (Y1 f )] ◦ F
= X1 [X2 (f ◦ F )] − X2 [X1 (f ◦ F )]
= [X1 , X2 ] (f ◦ F ).
Segue de (1.6) que
dF [X1 , X2 ] = [Y1 , Y2 ] = [dF X1 , dF X2 ] .

Como Ig : G −→ G é um difeomorfismo, temos dIg [X, Y ] = [dIg X, dIg Y ] para
todo X, Y ∈ G, pelo Teorema 1.4 acima. Além disso, temos que dIg é uma bijeção.
Portanto, dIg : G −→ G é um automorfismo da álgebra de Lie G, como havı́amos afirmado.
Denotemos por Ad : G −→ Gl(G), com Gl(G) representando o grupo das aplicações
lineares não-singulares de G, a aplicação definida por
Ad(g) = dIg .
Vimos que dIgh = dIg ◦ dIh , para quaisquer g, h ∈ G. Portanto, Ad é um homomorfismo (algébrico) dos grupos G e Gl(G). Temos que Ad também é diferenciável. Para
verificarmos isto, será conviniente interpretarmos Ad da seguinte forma:
Dado e ∈ G o elemento neutro de G, como G e Te G são isomorfos pelo isomorfismo
Π : Te G −→
G
Xe 7−→ Π(Xe )
dado por Π(Xe ) = X, onde X : G −→ T G é o campo sobre G defido por
X(g) = (dLg )e (Xe ),
podemos identificar G com Te G e Ad(g) = dIg com (dIg )e : Te G −→ Te G, i.e, podemos
olhar para Ad(g) como um automorfismo de Te G.
Dessa forma, a matriz (αij (g)) de Ad(g) é uma submatriz da matriz jocobiana, avaliada em (g, e), da matriz da aplicação diferenciável G × G −→ G dada por (g, h) 7→
ghg −1 = Ig (h). Portanto, g 7→ (αij (g)) é diferenciável, donde Ad(g) é diferenciável. Com
isso, concluimos que Ad :−→ Gl(G) é um homomorfismo dos grupos de Lie G e G.
Definição 2.4 (Representação adjunta). Uma representação de um grupo de Lie sobre
um espaço vetorial V é um homomorfismo de grupos de Lie de G no grupo Gl(V ) das
aplicações lineares não-singulares de V em V . O seu grau ou dimensão é a dimensão de
V . Uma representação matricial de G de grau n é um homomorfismo de G em Gl(n, R).
A representação Ad : G −→ Gl(G) é chamada representação adjunta de G.
35

2.3

Grupos de Cohomologia De Rham

Nesta seção, estabeleceremos o conceito de grupo de cohomologia de De Rham de uma
variedade diferenciável. Além de apresentarmos sua definição precisa, apresentaremos
alguns exemplos que ilustram como calculá-los em alguns casos particulares assim como
exemplos que nos fornecem critérios mais gerais para determinarmos alguns destes grupos.
Definição 2.5. Uma k-forma ω em uma variedade M (com bordo possivelmente vazio)
é uma k-forma fechada se dω = 0 em todo ponto de M e é uma k-forma exata se existir
uma (k − 1)-forma η em M tal que dη = ω.
Seja Z k (M ) o conjunto das k-formas fechadas em M . Como Z k (M ) é o núcleo da
aplicação d : Λk (M ) −→ Λk+1 (M ), dada por ω 7→ dω, onde Λk (M ) denota o conjunto
de todas as k-formas em M , temos que Z k (M ) ⊂ Λk (M ) é um subespaço vetorial de
Λk (M ). Seja agora B k (M ) o conjunto das k-formas exatas em M . Como B k (M ) é a
imagem da aplicação linear d : Λk−1 (M ) −→ Λk (M ), temos que B k (M ) também é um
subespaço vetorial de Λk (M ). Como toda forma exata é fechada, uma vez que d2 ω = 0,
temos B k (M ) ⊂ Z k (M ). Isso nos permite definir o seguinte conjunto de classes de
equivalência.
Definição 2.6 (Grupo de cohomologia de De Rham). O espaço quociente H k (M ) =
Z k (M )/B k (M ) é chamado grupo de cohomologia De Rham de dimensão k da variedade
M.
Observação 2.1. Um elemento de H k (M ) é uma classe de equivalência [ω] de uma kforma fechada ω; duas k-formas ω1 e ω2 são equivalentes se, e somente se, diferem por
uma k-forma exata, i.e, se e somente se
ω1 − ω2 = dη,
para alguma (k − 1)-forma η em M .
Vamos calcular H k (M ) em alguns casos particulares. Inicialmente, trataremos do
caso em que M é contrátil, no seguinte sentido.
Definição 2.7. Uma veriedade diferenciável M é dita uma variedade contrátil (à algum
ponto p0 ∈ M ) se existe uma aplicação diferenciável H : M × [0, 1] −→ M , H(p, t) ∈ M ,
p ∈ M , t ∈ R, tal que
H(p, 1) = p, H(p, 0) = p0 , ∀p ∈ M.
É fácil ver que Rn é contrátil a qualquer ponto p0 ∈ Rn ; basta definirmos H(p, t) =
p0 + (p − p0 )t. Temos também que a bola B(r, 0) = {p ∈ Rn ; | p |< r} é contrátil ao ponto
0 ∈ Rn , pois H(p, t) = tp, p ∈ B(r, 0), satisfaz as condições da definição de variedade
contrátil. Vamos enunciar em seguida o importante Lema de Poincaré.
Teorema 2.3 (Lema de Poincaré). Seja M uma variedade diferenciável contrátil,
e seja ω uma k-forma diferenciável fechada em M . Então ω é exata, i.e, existe uma
(k − 1)-forma α em M tal que dα = ω.
36

Demonstração. Ver [3].
Pelo lema de Poincaré, se M é contrátil e se k > 0, teremos H k (M ) = {0}; de
fato, como toda k-forma fechada em M também é exata, segue que Z k (M ) = B k (M ) e,
portanto, a única classe de equivalência de H k (M ) é a classe da k-forma identicamente
nula.
Seja agora M uma variedade conexa (contrátil ou não). Para calcularmos H 0 (M ),
note que B 0 (M ) = {0}, pois não existem 0-formas exatas não-nulas. Logo H 0 (M ) =
Z 0 (M ), i.e, H 0 (M ) é o conjunto das funções f : M −→ R com df = 0, ∀p ∈ M . Como
M é conexo, df = 0 ⇒ f = const.. Portanto, H 0 (M ) ∼
= R. Mais geralmente, H 0 (M ) é
0
um espaço vetorial de dimensão r (sobre R), pois H (M ) ∼
= {(a1 , . . . , ar ); ai ∈ R}, onde
(a1 , . . . , ar ) corresponde à função tomando o valor constante ai em Mi , i = 1, . . . , r, Mi
sendo uma componente conexa de M .
Provaremos a seguir uma afirmação a respeito do grupo de cohomologia de De Rham
n
H (M ) de maior dimensão de uma variedade M de dimensão n.
Teorema 2.4. Seja M uma variedade compacta e orientada de dimensão n e com
∂M = ∅. Então existe um homomorfismo sobrejetivo de H n (M ) sobre R. Em particular,
H n (M ) 6= {0}.
Demonstração. Como dim M = n, toda n-forma em M é fechada;
portanto Z n (M ) =
R
Λn (M ). Defina o homomorfismo h : Z n (M ) −→ R por h(Ω) = M Ω. Se Ω ∈ B n (M ),
então Ω = dω para alguma (n − 1)-forma ω ∈ Λn−1 (M ). Como ∂M = ∅, pelo teorema
de Stokes temos
Z
Z
ω = 0.
dω =
h(Ω) = h(dω) =
M

∂M

n

Logo, B (M ) = ker h. Portanto, h determina o homomorfismo natural
h0 : Z n (M )/B n (M ) = H n (M ) −→ R.
Como M é orientada, existe uma
R n-forma Ω0 que é não-nula sobre M e que determina
a orientação de M . Então h(Ω0 ) = M Ω0 6= 0. A última afirmação segue do fato de que se
considerarmos um sistema de coordenadas compatı́vel com a orientação Ω0 , teremos uma
representação Ω0 = p(x)dx1 ∧ R. . . ∧ dxn , p(x) > 0, onde (x1 , . . . , xn ) são as coordenadas
desse sistema. Logo, teremos M Ω0 > 0.
c, podemos fazer h(cΩ) =
R Então, para uma escolha apropriada de uma constante
0
c M Ω0 = ch(Ω0 ) assumir qualquer valor real. Logo, h e h são sobrejetivas.

A partir de agora, desenvolveremos as ferramentas necessárias para o cálculo do grupo
de cohomologia De Rham de dimensão k da esfera Sn−1 , H k (Sn−1 ), para todo 0 < k <
n − 1. Este cálculo será essencial na demonstração do resultado final deste trabalho, a
saber:
“As únicas esferas que admitem uma estrutura de grupo de Lie são S1 ⊂ R2 e S3 ⊂
R4 ”.

37

Primeiro, precisamos da noção de aplicações deferencialmente homotópicas. Duas
aplicações f, g : M −→ N entre duas variedades diferenciáveis são ditas diferencialmente
homotópicas se existe uma aplicação diferenciável
H : M × [0, 1] −→ N
com


H(p, 0) = f (p)
H(p, 1) = g(p)

para todo p ∈ M ; a aplicação H é chamada de homotopia diferenciável entre f e g.
Para t ∈ [0, 1] definimos it : M −→ M × [0, 1] por
it (p) = (p, t).
A proposição abaixo será útil na demonstração do próximo teorema.
Proposição 2.3. Se ω é uma k-forma fechada em M × [0, 1], então i∗1 ω − i∗0 ω é uma
k-forma exata em M .
Demonstração. Ver Spivak [7], pp 301-03.
Seja f : M −→ N uma aplicação diferenciável entre duas variedades diferenciáveis.
Se ω é uma k-forma fechada em N , então f ∗ ω também é fechada, pois df ∗ ω = f ∗ dω = 0;
então f ∗ leva Z k (N ) em Z k (M ). Por outro lado, f ∗ também leva B k (N ) em B k (M ),
pois f ∗ (dη) = d(f ∗ η). Isso mostra que f ∗ induz uma aplicação Z k (N )/B k (N ) −→
Z k (M )/B k (M ) que também denotaremos por f ∗ , definida por [ω] 7→ [f ∗ w].
Teorema 2.5. Se f, g : M −→ N são diferencialmente homotópicas, então as aplicações
f ∗ : H k (N ) −→ H k (M )
g ∗ : H k (N ) −→ H k (M )
são iguais, i.e, f ∗ = g ∗ .
Demonstração. Por hipótese, existe uma aplicação diferenciável H : M × [0, 1] −→ N
com
f = H ◦ i0
g = H ◦ i1 .
Qualquer elemento de H k (N ) é uma classe de equivalência [ω] de uma k-forma fechada
em N . Então
g ∗ ω − f ∗ ω = (H ◦ i1 )∗ ω − (H ◦ i0 )∗ ω
= i∗1 (H ∗ ω) − i∗0 (H ∗ ω)
= dη,

38

para alguma (k −1)-forma η em M , pois como H ∗ ω é uma k-forma fechada em M ×[0, 1],
pela Proposição 2.1, temos que i∗1 (H ∗ ω) − i∗0 (H ∗ ω) é exata. Mas isso quer dizer que
[f ∗ ω] = [g ∗ ω], ou seja, como ω uma k-forma fechada qualquer, temos f ∗ = g ∗ .

Vamos aplicar o Teorema 2.3 para mostrarmos que H k (Sn−1 ) é isomorfo a H k (Rn −
{0}, para todo k. Para isso, considere a retração
r : Rn − {0} −→ Sn−1 , r(p) = p/ |p| .
Se i : Sn−1 ,→ Rn − {0} é a aplicação inclusão, então
r ◦ i : Sn−1 −→ Sn−1
é a aplicação identidade de Sn−1 .
A aplicação
i ◦ r : Rn − {0} −→ Rn − {0}, i ◦ r(p) = p/ |p|
não é a aplicação identidade, mas é homotópica a identidade; podemos definir a homotopia H : (Rn − {0}) × [0, 1] −→ Rn − {0}, entre i ◦ r e a identidade, por
H(p, t) = tp + (1 − t)i ◦ r(p) ∈ (Rn − {0}) × [0, 1] .
Uma retração com esta propriedade é chamada deformação por retração. Note que
sempre que r for uma deformação por retração, pelo Teorema 2.3, concluimos que (r◦i)∗
e (i ◦ r)∗ são iguais a identidade. Em particular, temos que (r ◦ i)∗ e (i ◦ r)∗ são iguais a
identidade de H k (Sn−1 ) e H k (Rn − {0}), respectivamente. Como
r∗ : H k (Sn−1 ) −→ H k (Rn − {0})
i∗ : H k (Rn − {0}) −→ H k (Sn−1 )
e
r∗ ◦ i∗ = (i ◦ r)∗ = identidade de H k (Rn − {0})
i∗ ◦ r∗ = (r ◦ i)∗ = identidade de H k (Sn−1 ),
temos que i∗ e r∗ são inversas uma da outra. Então
H k (Sn−1 ) ∼
= H k (Rn − {0}), ∀k.
Vamos agora calcular H k (Sn−1 ), para todo 0 < k < n − 1. Precisamos de mais uma
observação. A variedade
M × {0} ⊂ M × Rn
é uma deformação por retração de M × Rn . De fato, a retração r : M × Rn −→ M × {0}
dada por r(p, v) = (p, 0) é uma deformação por retração. Logo,
H k (M ) = H k (M × {0}) ∼
= H k (M × Rn ),
para todo n.
Podemos agora enunciar e provar o seguinte teorema.
39

Teorema 2.6. Para 0 < k < n − 1 temos H k (Rn − {0}) = H k (Sn−1 ) = {0}.
Demonstração. Aplicaremos um processo indutivo para chegarmos ao resultado geral.
O primeiro caso a ser considerado é quando n = 3, i.e, iremos, primeiramente, mostrar
que H 1 (R3 − {0}) = {0}.
Primeiro caso: H 1 (R3 − {0}) = {0}.
Seja ω uma 1-forma fechada em R3 − {0}. Queremos mostrar que ω também é exata.
Defina os conjuntos A e B por
A = R3 − {(0, 0) × (−∞, 0]}
B = R3 − {(0, 0) × [0, ∞)}.
Como A e B são contráteis aos pontos (0, 0, 1) e (0, 0, 1), respectivamente, e como ω é
fechada em A e em B, pelo lema de Poinceré, existem 0-formas, i.e, funções diferenciáveis
fA em A e fB e B tais que

ω = dfA em A
ω = dfB em B.
Assim, temos
dfA − dfB = d(fA − fB ) = 0 em A ∩ B = (R2 − {0}) × R.
Como A ∩ B é conexo, temos que fA − c = fB em A ∩ B, onde c é uma constante
real. Então

ω = d(fA − c) em A
ω =
dfB em B.
e como dfA = dfB em A ∩ B, temos que ω é uma 1-forma exata bem definida em
A ∪ B = R3 − {0}. Segue que H 1 (R3 − {0} = {0}.
Segundo caso: n = 4 (H 1 (R4 − {0}) = H 2 (R4 − {0}) = {0}).
Se ω é uma 1-forma em R4 − {0}, usando o mesmo argumento para
A = R4 − {(0, 0, 0) × (−∞, 0]}
B = R4 − {(0, 0, 0) × [0, ∞)}.
obtemos que H 1 (R4 − {0}) = 0.
Se ω é uma 2-forma fechada em R4 − {0} entã, como A e B são contráteis a (0, 0, 1)
e (0, 0, −1) respectivamente, pelo lema de Poincaré, temos que existem 1-formas ηA em
A e ηB em B tais que

ω = dηA em A
ω = dηB em B.
Portanto d(ηA − ηB ) = 0 em A ∩ B = (R2 − {0}) × R. Usando o fato de que H 1 ([R3 −
{0}] × R) = H 1 (R3 − {0}) = {0}, temos que ηA − ηB é uma 1-forma exata em A ∩ B.
Portanto, ηA − ηB = dλ, para alguma função diferenciável λ em A ∩ B. Ao contrário
do primeiro caso, dλ não está definida em A (no primeiro caso, a forma constante c
está definida em A). Portnato, não podemos simplesmente definir ω = ηA − dλ em A.
Para contornarmos essa dificuldade, note que existe uma partição da unidade {ΦA , ΦB }
40

subordinada a cobertura {A, B} de R4 − {0}, i.e, existem ΦA e ΦB diferenciáveis em
R4 − {0} tais que

ΦA + ΦB
= 1



dΦA + dΦB
= 0
supp ΦA ⊂ A



supp ΦB ⊂ B.
Defina


ΦB λ em
A∩B
0
em A − (A ∩ B),



ΦA λ em
A∩B
0
em B − (A ∩ B),

ΦB λ :=
e
ΦA λ :=

Portanto, ΦB λ é uma 0-forma diferenciável em A e ΦA λ é uma 0-forma diferenciável
em B. Em A ∩ B temos
ηA − d(ΦB λ) =
=
=
=

ηA − ΦB dλ − dΦB ∧ λ
ηA + (ΦA − 1)dλ + dΦA ∧ λ
ηA − dλ + d(ΦA λ)
ηB + d(ΦA λ).

Portanto, podemos definir ω em R4 − {0} por

ω = dηA = d(ηA − d(ΦB λ) em A
ω = dηB = d(ηB + d(ΦA λ) em B.

(2.6)

Segue que ω é exata em R4 − {0} e, portanto, H 2 (R4 − {0}) = {0}.
No caso geral, para calcularmos H 1 (Rn − {0}) procedemos como no primeiro caso
para
A = Rn − {(0, . . . , 0) × (−∞, 0]}, (0, . . . , 0) ∈ Rn−1
e
B = Rn − {(0 . . . , 0) × [0, ∞)}, (0, . . . , 0) ∈ Rn−1 .
Nos demais casos, usamos a partição da unidade {ΦA , ΦB } subordinada a cobertura
{A, B} de Rn − {0} para definirmos

ΦB λ em
A∩B
ΦB λ :=
0
em A − (A ∩ B),
e


ΦA λ :=

ΦA λ em
A∩B
0
em B − (A ∩ B),

onde ηA e ηB são (k − 1)-formas em A e B, respectivamente, tais que ω = dηA em A e
ω = dηB em B e λ é uma (k − 2)-forma tal que
ηA − ηB = dλ
41

em A ∩ B = (Rn−1 − {0}) × R. Isso é garantido pois d(ηA − ηB ) = 0 em A ∩ B = (Rn−1 −
{0}) × R e pelo fato de H k−1 (A ∩ B) = H k−1 (Rn−1 −{0}× R) = H k−1 (Rn−1 −{0}) = {0}.
Assim, podemos definir a k-forma ω de maneira similar a equação (2.6), donde ω é exata,
como querı́amos provar.


42

Capı́tulo 3
As Esferas que Admitem Estrutura
de Grupo de Lie
Neste capı́tulo, demonstraremos que as únicas esferas que admitem estrutura de grupo
de Lie são S1 ⊂ R2 e S3 ⊂ R4 . Para cumprirmos essa tarefa, é necessário apresentarmos alguns resultados que, juntos com outros apresentados ao longo deste trabalho, nos
permitirão provar a nossa afirmação. Começamos com a
Definição 3.1. Uma k-forma multilinear Φ em uma variedade diferenciável M é uma
aplicação que a cada ponto p ∈ M associa uma aplicação k-linear em Tp M × . . . × Tp M .
Diz-se que Φ é diferenciável se dados quaisquer X1 , . . . , Xk campos diferenciáveis de
vetores em um aberto U de M , a função Φ(X1 , . . . , Xk ) : U ⊂ M −→ R definida por
Φ(X1 , . . . , Xk )(p) = Φ(p)(X1 (p), . . . , Xk (p)) é diferenciável.
Uma k-forma multilinear Φ em uma variedade M é uma k-forma alternada se, para
cada p ∈ M , Φ(p) é uma aplicação k-linear alternada em Tp M × . . . × Tp M , ou seja, Φ
é uma k-forma diferencial; Φ é uma k-forma simétrica se Φ(p) é uma aplicação k-linear
tal que
Φ(p)(X1 , . . . , Xi , . . . , Xj , . . . , Xk ) = Φ(p)(X1 , . . . , Xj , . . . , Xi , . . . , Xk ),
∀i, j = 1, . . . , k, qualquer que seja p ∈ M . Diz-se que uma k-forma multilinear Φ em um
grupo de Lie G é invariante à esquerda (à direita) se, para quaisquer campos diferenciáveis de vetores X1 , . . . , Xk em G, tivermos L∗g Φ = Φ (Rg∗ Φ = Φ), isto é
L∗g Φ(p)(X1 (p), . . . , Xk (p)) = Φ(Lg (p))((dLg )p X1 (p), . . . , (dLg )p Xk (p))
= Φ(Lg (p))((dLg )p X1 (p), . . . , (dLg )p Xk (p))
= Φ(p)(X1 (p), . . . , X(p)),
para todo g, p ∈ G, onde Lg (Rg ) representa uma translação à esquerda (à direita) em G
por g. Dizemos que Φ é bi-invariante se for invariante à esquerda e invariante à direita.
Seja G um grupo de Lie e seja Φ uma k-forma multilinear sobre G. Se Φ é tal que
Φ(X1 , . . . , Xk ) = Φ(Ad(g)X1 , . . . , Ad(g)Xk ),
43

para quaisquer X1 , . . . , Xk ∈ G, Φ é dita invariante sobre G.
Note que se Φ é uma k-forma multilinear bi-invariante, então, dados X1 , . . . , Xk ∈ G
temos
Φ(Ad(g)X1 , . . . , Ad(g)Xk ) =
=
=
=
=

Φ((dLg ◦ dRg−1 )X1 , . . . , (dLg ◦ dRg−1 )Xk )
L∗g Φ((dRg−1 )X1 , . . . , (dRg−1 )Xk )
L∗g (Rg∗−1 Φ)(X1 , . . . , Xk )
L∗g (Φ)(X1 , . . . , Xk )
Φ(X1 , . . . , Xk ),

ou seja, Φ é invariante sobre a G.
Podemos agora enunciar o seguinte resultado.
Teorema 3.1. Seja G um grupo de Lie compacto e conexo e seja Φ uma k-forma multilinear em G. Então Φ é invariante sobre G se, somente se,
k
X

Φ(g)(X1 (g), . . . , Xi−1 (g), [Y, Xi ] (g), Xi+1 (g), . . . , Xk (g)) = 0,

(3.1)

i=1

para todo Y, X1 , . . . , Xk ∈ G e g ∈ G.
Demonstração.Ver [1], páginas 308-309. Na proposição seguinte, temos uma importante
caracterização das k-formas diferenciais bi-invariantes em um grupo de Lie compacto e
conexo.
Proposição 3.1. Se G é um grupo de Lie compacto e conexo, toda k-forma diferencial
bi-invariante sobre é fechada.
Demonstração. Seja ω uma r-forma diferencial bi-invariante em G. De acordo com a
Proposição 1.5, dados os campos X1 , . . . , Xr+1 ∈ G, temos

44

dω(X1 , . . . , Xr+1 ) =

r+1
X

(−1)i−1 Xi (ω(X1 , . . . , X̂i , . . . , Xr+1 ))

i=1

X
+
(−1)i+j ω([Xi , Xj ] , X1 , . . . , X̂i , . . . , X̂j , . . . , Xr+1 ),
i<j

onde cada termo X̂i está omitido. Note que cada função ω(X1 , . . . , X̂i , . . . , Xr+1 ) é constante, pois, como cada um dos campos X1 , . . . , Xr+1 são invariantes à esquerda e, além
disso, ω é em invariante à esquerda, dados p, g ∈ G temos
ω(p)(X1 (p), . . . , X̂i (p), . . . , Xr+1 (p)) = L∗gp−1 ω(p)(X1 (p), . . . , X̂i (p), . . . , Xr+1 (p))
= ω(g)((dLgp−1 )X1 (p), . . . , (dLgp−1 )Xr+1 (p))
= ω(g)(X1 (g), . . . , X̂i (g), . . . , Xr+1 (g)).
Segue que Xi (ω(X1 , . . . , X̂i , . . . , Xr+1 )) é identicamente nula. E como ω é por hipótese
bi-invariante, pelo Teorema 3.1, o segundo somatório na fórmula de dω é nulo. Portanto,
dω(X1 , . . . , Xr+1 ) = 0
para todo g ∈ G. Isso nos mostra que ω(e) é fechada em G e, portanto, que ω é fechada
em G.

É possı́vel mostrar que k-formas alternadas invariantes sobre G, com G compacto e
conexo, são fechadas. Apresentaremos um resultado essencial para as nossas pretenções.
Ele nos permite obter resultados sobre grupos de cohomologia de De Rham H p (G) de
um grupo de Lie compacto e conexo G utilizando um conjunto isomorfo a este, porém,
relativamente mais simples.
Teorema 3.2. Para um grupo de Lie G compacto e conexo, H p (G) é isomorfo ao espaço
vetorial de todas as p-formas lineares invariantes sobre G.
Demonstração. Faremos apenas um esboço da demonstração. Para maiores detalhes,
ver [1], página 309. Seja Ω(G) o espaço das p-formas em G e Ωinv (G) o espaço das
p-formas bi-invariantes sobre G. Dada ω ∈ Ω(G), defina I : Ω(G) −→ Ωinv (G) por
Z
Z
∗
I(ω)(g)(X1 , . . . , Xp ) = cσ ω(g)(X1 , . . . , Xp )dσ = ω(cσ (g))(d(cσ )X1 , . . . , d(cσ )Xp )dσ,
onde c : G × G −→ G, (g, σ) 7→ cσ (g), é a ação de G × G sobre G dada por cσ (g) =
σgσ −1 . É possı́vel mostrar que I(ω) é bi-invariante, se ω é bi-invariante I(ω) = ω e que
dI(ω) = I(dω). Além disso, se considerarmos a classe de ω, [ω] ∈ H p (G), teremos que
[ω] = [I(ω)] (observe que, como I(ω) é bi-invariante, temos que I(ω) também é fechada);
isso pode ser verificado se usarmos o isomorfismo de De Rham H p (G) −→ Rhom(Hp (G)),
onde Hp (G) é o grupo de homologia de dimensão p de G, dado por [ω] 7→ c ω, onde c é
um p-ciclo e ω é um representante fixado da classe [ω].
45

Sabemos que cada p-forma invariante sobre G determina unicamente uma p-forma
bi-invariante em G. Com isso, podemos estabelecer um isomorfismo do espaço das pformas invariantes em G no espaço H p (G), tomando, para cada p-forma ω(e) em G a
classe [ω] ∈ H p (G) da p-forma ω em G determinada por ω(e). De fato, dada uma classe
qualquer [ω] ∈ H p (G), associamos a esta classe a p-forma invariante em G dada pela
forma I(ω)(e) em G, onde ω é um representante da classe [ω] = [I(ω)]. Por outro lado, se
uma p-forma em G determina a classe nula em H p (G), isto é, se a p-forma bi-invariante
ω em G determinada por ela for exata, teremos que ω = dη, onde η é uma (p − 1)-forma
em G, bi-invariante. De fato, ω = I(ω) = I(dη) = d(I(η)), donde I(η) é bi-invariante.
Com isso, temos que η é fechada, ou seja, dη = 0. Assim, teremos ω = 0. Segue que
H p (G) é isomorfo ao espaço das p-formas invariantes em G.

Daqui por diante, assumiremos que G é um grupo de Lie compacto e conexo. Seja
[G, G] o subespaço de G gerado pelos elementos da forma [X, Y ], X, Y ∈ G.
Corolário 3.1.
[G, G] = G ⇔ H 1 (G) = {0}.
Demonstração. Suponha que [G, G] = G e seja ω(e) uma p-forma invariante sobre G.
Como ω(e) é fechada, dado Z = [X, Y ] ∈ G, temos
0 = dω(e)(X, Y ) = X(ω(e)(Y )) − Y (ω(e)(X)) − ω([X, Y ]) = −ω([X, Y ]) = −ω(Z),
pois X(ω(e)(Y )) = Y (ω(e)(X)) = 0. Segue que ω ≡ 0, e portanto, pelo Teorema 3.2,
H 1 (G) é isomorfo ao espaço trivial {0}, donde H 1 (G) = {0}.
Por outro lado, se [G, G] 6= G, i.e, se [G, G] ( G, defina ω(e) sobre G como sendo a
projeção ortogonal de G sobre o complemento ortogonal de [G, G] em G; dessa forma teremos uma 1-forma não-nula sobre G que se anula em [G, G]. Logo, ω(e)([X, Y ]) = 0, para
quaisquer X, Y ∈ G. Portanto, pelo Teorema 3.1, temos que ω(e) é invariante. Como
H 1 (G) é isomorfo ao espaço das 1-formas invariantes sobre G, temos que ter H 1 (G) 6= {0}.

Corolário 3.2.
H 1 (G) = {0} ⇒ H 2 (G) = {0}.
Demonstração. Seja ω(e) uma 2-forma invariante sobre G. Como ω(e) é fechada e
X(ω(e)(Y, Z)) = Y (ω(e)(X, Z)) = Z(ω(e)(X, Y )) = 0, usando a fórmula para dω, temos
0 = dω(e)(X, Y, Z) = −ω(e)([X, Y ] , Z) + ω(e)([X, Z] , Y ) − ω(e)([Y, Z] , X)
= −ω(e)([X, Y ] , Z) − {ω(e)([Z, X] , Y ) + ω(e)(X, [Z, Y ])}
= −ω(e)([X, Y ] , Z),

46

pois, como ω(e) é invariante, a parcela entre chaves na segunda igualdade acima é nula.
Com isso, como [G, G] = G pelo Corolário 3.1, segue que ω(e) ≡ 0.

Vamos agora apresentar o principal resutado desta seção. Ele nos fornece, sob
condições adequadas, uma correspondência biunı́voca entre o conjunto das 2-formas multilineares invariantes simétricas e o conjunto das 3-formas alternadas invariantes sobre
G, onde G é um grupo de Lie compacto e conexo.
Teorema 3.3. Se H 1 (G) = {0}, então a correspondência η 7→ ω, dada por ω(X, Y, Z) =
η([X, Y ] , Z), é uma correspondência biunı́voca do espaço das 2-formas simétricas invariantes sobre G no espaço das 3-formas alternadas invariantes sobre G.
Demonstração. Dada uma 3-forma alternada ω invariante sobre G, defina, para cada
Z ∈ G, uma 2-forma alternada invariante ωZ sobre G por ωZ (X, Y ) = ω(X, Y, Z). Afirmamos que ωZ é fechada. De fato, como ω é invariante, temos
0 = dω(X0 , X1 , X2 , Z)
= −ω([X0 , X1 ] , X2 , Z) + ω([X0 , X2 ] , X1 , Z) − ω([X1 , X2 ] , X0 , Z)
−ω([X0 , Z] , X1 , X2 ) + ω([X1 , Z] , X0 , X2 ) − ω([X2 , Z] , X0 , X1 )
= −ω([X0 , X1 ] , X2 , Z) + ω([X0 , X2 ] , X1 , Z) − ω([X1 , X2 ] , X0 , Z)
= dωZ (X0 , X1 , X2 ),
pois os trez últimos termos formam o somatório que se anulam, de acordo com o Teorema
3.1, devido à invariância de ω. Pelo Corolário 3.2, temos que H 2 (G) = {0}; segue que
ωZ é exata, ou seja, ωZ = dζZ , para alguma 1-forma (invariante) ζZ sobre G. Então
temos
ω(X, Y, Z) = ωZ (X, Y ) = ωZ (X, Y ) = dζZ (X, Y ) = −ζZ ([X, Y ]).
Defina η(S, T ) = ζT (S). Pela linearidade de ζZ , temos que η é linear em S. Note que η
também é linear em T , pois, como [G, G] = G, dados S = [X, Y ], T = [X 0 , Y 0 ] e R em G,
temos
η(S, R + T ) = ζT +R (S) =
=
=
=
=
=

ζ[X 0 ,Y 0 ]+R (S) = ζ[X 0 ,Y 0 ]+R ([X, Y ])
−ω(X, Y, [X 0 , Y 0 ] + R)
−ω(X, Y, [X 0 , Y 0 ]) − ω(X, Y, R)
ζT ([X, Y ]) + ζR ([X, Y ])
ζT (S) + ζR (S)
η(S, T ) + η(S, R).

Para g ∈ G e X ∈ G, denote Ad(g)(X) por X g . Lembremos que Ad(g)([X, Y ]) =
[Ad(g)(X), Ad(g)(Y )]. Então, pela invariância de ω, temos
η([X, Y ] , Z) = ω(X, Y, Z) = ω(X g , Y g , Z g )
= η([X g , Y g ] , Z g ) = η([X, Y ]g , Z g ).
47

Como [G, G] = G, segue que η é invariante.
Agora, para mostrar que η é simétrica, considere a decomposição η = η1 + η2 , onde
η1 (S, T ) = 21 (η(S, T ) + η(T, S)) é simétrica e η2 (S, T ) = 12 (η(S, T ) − η(T, S)) é alternada. Como a única 2-forma que é ao mesmo tempo simétrica e alternada é a 2-forma
nula, temos que essa decomposição é única. Com isso, temos que η1 e η2 são ambas
invariantes. Como H 2 (G) = 0, temos que η2 = 0. Logo, η é simétrica.
Reciprocamente, se η é dada e ω é definida por ω(X, Y, Z) = η([X, Y ] , Z), então
ω é invariante pelo mesmo argumento. Pela invariância de η temos η([X, Y ] , Z) =
−η(Y, [X, Z]). Usando isto com o fato de η ser simétrica, verifica-se que ω é alternada.

Vimos na Proposição 2.2 que todo grupo de Lie compacto e conexo admite uma
métrica bi-invariante h, i, isto é, admite uma 2-forma não-trivial simétrica (positiva e
definida) e bi-invariante sobre G. Consequentemente, teremos uma 2-forma não-trivial
simétrica invariante sobre G. Portanto, temos o seguinte resultado.
Corolário 3.3. Se G 6= {0} e H 1 (G) = {0}, então H 3 (G) 6= {0}.
Demonstração. De fato, teremos, associada ao produto interno em G uma 3-forma
(alternada) invariante sobre G que, por sua vez, determina uma classe não-nula em H 3 (G),
como vimos anteriormente.

Estamos agora prontos para estabelecer o resultado ao qual se dedica todo este trabalho. Ele nos fornece uma importamte caracterização das esferas Sn ⊂ Rn+1 , no que diz
respeito à possibilidade de se obter uma estrutura de grupo de Lie definida nestas esferas.
Na verdade, nem toda esfera Sn admite uma tal estrutura. No capı́tulo 2, verificamos
que as esferas S1 ⊂ R2 e S3 ⊂ R4 (Exemplo 2.3 e Exemplo 2.4 respectivamente)
admitem uma estrutura de grupo de Lie. O nosso resultado principal será dado pelo
seguinte teorema:
Teorema 3.4. As únicas esferas euclidianas compactas e conexas que admitem uma
estrtura de grupo de Lie são S1 ⊂ R2 e S3 ⊂ R4 .
Demonstração. De fato, de acordo com o Crolário 3.3, se G é não-trivial e H 1 (G) =
{0}, temos que ter H 3 (G) 6= {0}. Ora, mas pelo Teorema 2.6, para 0 < k < n − 1,
temos H k (Sn−1 ) = {0}. Logo, se existisse uma outra esfera Sn , n 6= 1, 3, que admite uma
estrutura de grupo de Lie, por ser compacta e conexa, terı́amos que ter H 3 (Sn ) 6= {0}; a
esfera S2 ⊂ R3 não pode admitir uma estrutura de grupo de Lie, uma vez que H 1 (S2 ) =
{0} e, como a única 3-forma sobre S2 é a identicamente nula, temos H 3 (S2 ) = {0}.
Também pelo teorema citado acima, H 1 (Sn−1 ) = H 3 (Sn−1 ) = {0}, para todo n > 4, isto
é, as esferas Sm , m ≥ 4, também não admitem uma estrutura de grupo de Lie.


48

Referências Bibliográficas
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[7] SPIVAK, M. Differential Geometry, Vol. 1, 2a ed, Publish or Perish, Houston, Texas,
1979.
[8] WARNER, Frank W. Foundations Of Differentiable Manifolds And Lie Groups. Sccot, Foresman and Company, Glenview, Illinois, 1971.

49

Índice Remissivo
k-forma
alternada, 43
bi-invariante, 30
diferencial, 19
exata, 36
fechada, 36
invariante à direita, 30
invariante à esquerda, 30
linear, 30
multilinear, 43
simétrica, 43
álgebra de Lie, 33
campo
de vetores, 14
diferenciável, 14
invariante à esquerda, 32
colchete, 14
coordenadas preferenciais, 18
cubo aberto, 18
curva diferenciável, 11
diferencial, 12
esfera, 9
estrutura diferenciável, 7
fibrado tangente, 13
grupo
de cohomologia de De Rham, 36
de Lie, 26
homotopia diferenciável, 38

canônica, 17
induzida, 17
invariante à direita, 30
invariante à esquerda, 30
produto, 17
riemanniana, 16
mergulho, 16
orientação, 20
parametrização, 7
partição da unidade, 22
projeção estereográfica, 9
quatérnios, 28
representação adjunta, 34
subvariedade, 18
translação
à direita, 30
à esquerda, 30
variedade
com bordo, 24
compacta, 21
contrátil, 36
diferenciável, 7
imersa, 17
orientável, 20
riemanniana, 16
vetor tangente, 10, 11
vizinhança coordenada, 7

imersão, 16
isometria, 16
métrica
bi-invariante, 30
50
Matemática

Dissertação

Instituto de Matemática

Universidade Federal de Alagoas
