Dissertação

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                    Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação em Matemática

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Rio São Francisco

Fórmulas Integrais para a Curvatura r-Média e
Aplicações

MATEMÁTICA

A ciência
do infinito

Viviane de Oliveira Santos

Maceió
Janeiro de 2010

Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado

Fórmulas Integrais para a Curvatura r-Média e
Aplicações

Viviane de Oliveira Santos

Maceió, Brasil
29 de Janeiro de 2010

VIVIANE DE OLIVEIRA SANTOS

Fórmulas Integrais para a Curvatura r-Média e
Aplicações

Dissertação de Mestrado na área de
concentração de Geometria Diferencial submetida em 29 de janeiro de 2010 à banca examinadora, designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Matemática da
Universidade Federal de Alagoas, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do grau
de mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Hilário Alencar da Silva.

Maceió
2010

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Maria Auxiliadora Gonçalves da Cunha
S237f

Santos, Viviane de Oliveira.
Fórmulas integrais para a Curvatura r-Média e Aplicações. /Viviane de Oliveira
Santos, 2010.
66 f. : il.
Orientador: Hilário Alencar da Silva.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de
Alagoas. Instituto de Matemática, 2010.
Bibliografia: f. 63-64.
Índice: f. 65-66.
1. Geometria diferencial. 2. Hipersuperfícies. 3. Curvatura r-média.
4. Estabilidade. I. Título.
CDU: 514.7

Formulas Integrais para a Curvatura r-Media e
A p Iicacoes
Viviane de Oliveira Santos

Dissertacao de Mestrado na area de
concentracao de Geometria Diferencial sub
metida em 29 de janeiro de 2010 it banca exa
minadora, design ada pelo Colegiado do Pro
grama de Pos-Craduacao em Matematica da
Universidade Federal de Alagoas, como parte
dos requisitos necessaries it obtencao do grau
de mestre em Matematica.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Hilario Alencar da Silva (Orientador)

Aos meus pais João de Deus e Rosangela Pereira.

Agradecimentos
Ao Professor Hilário Alencar por toda sua dedicação e contribuição ao Programa de
Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, um exemplo que
sempre seguirei em minha vida profissional; por todo apoio e orientação durante meus
cursos de graduação e mestrado, pela amizade e por ter contribuı́do de modo especial em
minha formação acadêmica, profissional e pessoal.
Ao Professor Adán José Corcho Fernández por acreditar em minha capacidade acadêmica, pela sua alegria e prazer ao ensinar, ver sua motivação foi um grande privilégio
para mim.
Aos Professores Abdênago Barros e Walcy Santos pelas sugestões apresentadas sobre
esta dissertação.
Ao Rodrigo Fernandes de Moura Melo pela ajuda em momentos acadêmicos, pela
amizade e companheirismo, uma pessoa especial nesses dois anos de mestrado.
A Natália Rocha Pinheiro pela amizade e pelas infinitas caronas, as quais sempre
foram repletas de ótimas conversas.
Ao Gregório Manoel da Silva Neto pelas sugestões para a melhoria deste trabalho.
Ao Márcio Henrique Batista pela ajuda na demonstração que o operador linearizado
em formas espaciais é dado pelo divergente de um determinado campo.
Ao Glaudston da Silva por estar presente em minha vida, por ter me ajudado a
superar alguns obstáculos que surgiram neste perı́odo e por sempre acreditar em meus
sonhos.
A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior (CAPES) pela bolsa
concedida durante o mestrado.

5

Resumo
Nesta dissertação, descrevemos resultados obtidos por Hilário Alencar e A. Gervasio
Colares, publicado no Annals of Global Analysis and Geometry em 1998. Inicialmente,
obtemos fórmulas integrais para a curvatura r-média, as quais generalizam fórmulas de
Minkowski. Além disso, usando estas fórmulas, caracterizamos as hipersuperfı́cies compactas imersas no espaço Euclidiano, esférico ou hiperbólico cujo conjunto de pontos
nestes espaços que não pertencem as hipersuperfı́cies totalmente geodésicas tangentes às
hipersuperfı́cies compactas é aberto e não vazio. Outrossim, obtemos ainda resultados
relacionados com a estabilidade.
As demonstrações destes resultados são obtidas através da fórmula integral de Dirichlet para o operador linearizado da curvatura r-média de uma hipersuperfı́cie imersa no
espaço Euclidiano, esférico ou hiperbólico, bem como do uso de um resultado recente
provado por Hilário Alencar, Walcy Santos e Detang Zhou no preprint Curvature Integral Estimates for Complete Hypersurfaces.
Ressaltamos que esta dissertação foi baseada na versão corrigida por Hilário Alencar
do artigo publicado no Annals of Global Analysis and Geometry.

Palavras-chave: Geometria diferencial; Hipersuperfı́cie; Fórmula integral; Operador
linearizado; Curvatura r-média; Estabilidade.

6

Abstract
In this dissertation, we describe results obtained by Hilário Alencar and A. Gervasio
Colares, published on the Annals of Global Analysis and Geometry in 1998. Initially, we
obtain integral formulas for the r-mean curvature, which generalize Minkowski formulas.
Moreover, using these formulas, we characterize compact hypersurfaces immersed in the
Euclidean, spherical or hyperbolic space whose the set of points in these spaces that
doesn’t belong to the totally geodesic hypersurfaces tangent to compact hypersurfaces is
open and nonempty. Also, we still obtained results related with the stability.
The proofs of these results are obtained by using the Dirichlet integral formula for
the r-mean curvature linearized operator of a hypersurface immersed in the Euclidean,
spherical or hyperbolic space, as well as the use of a recent result proved by Hilário
Alencar, Walcy Santos and Detang Zhou in the preprint Curvature Integral Estimates
for Complete Hypersurfaces.
We point that this work was based on the version corrected by Hilário Alencar of the
article published on the Annals of Global Analysis and Geometry.

Keywords: Differential geometry; Hypersurface; Integral formula; Linearized operator; r-mean curvature; Stability.

Índice
Introdução

9

1 Preliminares
1.1 Variedades Diferenciáveis e Métricas Riemannianas . . . . . . . . . . . .
1.2 Conexões Afins e Conexão Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Operadores Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Imersões Isométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
13
17
21
25
26

2 Fórmulas Integrais para a Curvatura r-Média
2.1 A r-ésima Transformação de Newton Pr . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Operador Linearizado Lr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Operador Linearizado Lr em Formas Espaciais . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Fórmulas Integrais para a Curvatura r-Média . . . . . . . . . . . . . . .

30
30
33
37
47

3 Aplicações

55

Referências Bibliográficas

63

Introdução
Seja x : M n → N n+1 uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana M n
na variedade Riemanniana N n+1 com segunda forma fundamental B. Sejam λ1 , ..., λn os
autovalores de B associados aos vetores e1 , ...en . As funções simétricas elementares Sr
associadas a B são definidas por
X
Sr =
λi1 ...λir , 1 ≤ r ≤ n
i1 <...<ir

e a curvatura r-média é definida por
Hr =

onde nr =

n
r

1
Sr ,
nr


.

Consideremos S0 = H0 = 1 e Sr = Hr = 0 se r ∈
/ {0, 1, ..., n}. As funções S1 , S2 e Sn
são conhecidas como curvatura média, escalar e de Gauss-Kronecker, respectivamente.
A r-ésima transformação de Newton Pr : Tp M → Tp M é definida, indutivamente, por
P0 = I

e

Pr = Sr I − BPr−1 , r ≥ 1.

Associado a cada transformação de Newton Pr , temos um operador diferencial de
segunda ordem Lr : C ∞ (M n ; R) → R, definido por
Lr f = tr(Pr (Hessf )),
onde Hessf é a matriz Hessiana da função f .
Denominamos este operador de operador linearizado Lr . Em particular, quando r = 0,
L0 f = ∆f . Por este motivo, dizemos que este operador generaliza, em certo sentido, o
Laplaciano. Tal operador foi introduzido por Voss na conexão com argumentos variacionais, ver [19].
Ao considerarmos uma imersão isométrica x : M n → Qn+1
, onde Qn+1
é uma varic
c
edade Riemanniana com curvatura seccional constante c, Rosenberg em [17], p. 225,
provou que Lr é um operador dado pelo divergente de um determinado campo, isto é,
Lr (f ) = divM (Pr (gradM f ))
para toda função suave f : M → R.
9

Se x : M n → Qn+1
é uma imersão isométrica em uma forma espacial simplesmente
c
conexa Qn+1
,
X
uma
variação
normal de x e η é um campo vetorial normal unitário em
t
c
n
M , Reilly, ver [16], provou que
d
Sr+1 (t)
= Lr f + (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 )f + c(n − r)Sr f,
dt
t=0


∂Xt
onde f =
, η e Lr é o operador linearizado de Sr+1 obtido das variações
∂t t=0
normais de x.
Fixado um ponto p ∈ Qn+1
, sejam ρ : Qn+1
→ R a função distância geodésica ao
c
c
n
n+1
ponto p e x : M → Qc
uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana
orientada M n em uma forma espacial Qn+1
. Definimos o vetor posição X : M n → Qn+1
c
c
com respeito a p, por
X(x(p)) = Sc (ρ(p))gradQ ρ(p),
onde Sc é a solução da equação y 00 + cy = 0 com condições iniciais y(0) = 0 e y 0 (0) = 1,
isto é,

ρ(p),√se c = 0;




 sen (ρ(p) c)
√
, se c > 0;
Sc (ρ(p)) =
c√


senh (ρ(p) −c)


√
, se c < 0.

−c
Denotando θc (s) = Sc0 (s) e X T a componente de X tangente a M n , apresentaremos
resultados obtidos por Alencar e Colares publicado no Annals of Global Analysis and
Geometry em 1998.
uma imersão isométrica de uma variedade RieTeorema 0.1. Sejam x : M n → Qn+1
c
manniana compacta orientada M n e 0 ≤ q ≤ n, 1 ≤ s ≤ n inteiros. Então, para qualquer
c,
(
s−1
Z
hX, Xi
q
(a)
hX, ηi
[θc (ρ)((n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1)Sr+1 hX, ηi)
2
Mn
)
s−2


hX, Xi
−c Pr (X T ), X T + (s − 1)
(θc (ρ))2 Pr (X T ), X T
2
!
s−1

hX, Xi
q−1
−q hX, ηi
θc (ρ) Pr (B(X T )), X T
dM = 0;
2
Z

(b)
hX, ηiq (θc (ρ))s−1 [(n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1)Sr+1 hX, ηi]
Mn

−c(s − 1)(θc (ρ))s−2 Pr (X T ), X T
−q(θc (ρ))s−1 hX, ηiq−1 Pr (B(X T )), X T

10



dM = 0;



Z
(c)
Mn

hX, Xi
2

q



hX, ηis−1 [−(r + 1)Sr+1 θc (ρ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hX, ηi

− hgradM Sr+1 , Xi] + (s − 1) hX, ηis−2 Pr (B 2 (X T )), X T
!

q−1
hX, Xi
−q
hX, ηis−1 θc (ρ) Pr (B(X T )), X T
dM = 0.
2
O teorema anterior é uma versão corrigida por Alencar do artigo publicado em [1],
cujos resultados originais não implicaram quaisquer mudanças nas aplicações.
As fórmulas em (a) e (b) generalizam as fórmulas de Minkowski obtidas por Hsiung
em [12] e Bivens em [8], respectivamente.
uma imersão isométrica de uma variedade RieCorolário 0.1. Sejam x : M n → Qn+1
c
manniana compacta orientada M n em uma forma espacial Qn+1
. Então
c
Z
(a)
[Hr + Hr+1 hX, ηi]dM = 0;
Mn

Z
[Hr θc + Hr+1 hX, ηi]dM = 0.

(b)
Mn

Teorema 0.2. Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta orientada e uma imersão
com curvatura Hr+1 constante não-nula, onde 0 ≤ r ≤ n − 1.
isométrica x : M n → Qn+1
c
. Então, o
Se c > 0, assuma que x(M n ) está contida em um hemisfério aberto de Qn+1
c
conjunto de pontos
[
W = Qn+1
−
(Qnc )p ,
c
p∈M

pelas hipersuperfı́cies totalmente geodésicas (Qnc )p tangentes a
que são omitidos em Qn+1
c
x(M n ) é não-vazio, se e somente se, x(M n ) é uma esfera geodésica em Qn+1
.
c
No caso em que r = 0, o Teorema 0.2 foi provado por Alencar e Frensel em [4].
Corolário 0.2. Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta orientada e uma
imersão isométrica x : M n → Qn+1
com curvatura Hr+1 constante não-nula. Se c > 0,
c
suponha também que x(M n ) está contida em um hemisfério aberto. Então W é não-vazio,
se e somente se, x é r-estável.
Teorema 0.3. Seja x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica de uma variedade Riemanc
niana M n conexa, compacta e orientada. Seja p0 ∈ Qn+1
relativo ao qual
c
Hr θc + Hr+1 hX, ηi
não muda de sinal para algum 0 ≤ r ≤ n − 1. Se c > 0, assuma que x(M n ) está contida
em um hemisfério aberto de Qn+1
centrado em p0 . Então, x(M n ) é uma esfera geodésica.
c

11

Esta dissertação está organizada da seguinte forma:
Inicialmente, estenderemos os métodos do Cálculo Diferencial a espaços mais gerais
que o Rn . Definiremos variedades diferenciáveis e métricas Riemannianas. A partir daı́,
discutiremos sobre conexões, operadores diferenciáveis, curvaturas e imersões isométricas.
Na segunda parte, estudaremos a r-ésima transformação de Newton, o operador linearizado e demonstraremos algumas propriedades destes operadores. Em seguida, demonstraremos o Teorema 0.1 e o Corolário 0.1, obtendo assim fórmulas integrais para a curvatura r-média.
Finalmente, apresentaremos algumas aplicações das fórmulas obtidas envolvendo esferas geodésicas e estabilidade, as quais foram enunciadas no Teorema 0.2, no Corolário
0.2 e no Teorema 0.3.

12

Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo, iremos estender os métodos do Cálculo Diferencial a espaços mais
gerais que o Rn . As demonstrações dos resultados deste capı́tulo que foram omitidas
podem ser encontradas no livro Geometria Riemanniana escrito por Manfredo do Carmo,
ver [9]. Ao longo deste trabalho, variedades compactas serão compactas sem bordo.

1.1

Variedades Diferenciáveis e Métricas Riemannianas

Nesta seção, apresentaremos a definição de variedade diferenciável. O conceito será
dado para uma dimensão n qualquer. A palavra diferenciável significará de classe C ∞ .
Introduziremos em cada ponto de uma variedade diferenciável uma maneira de medirmos
comprimentos de vetores tangentes que varia diferenciavelmente com o ponto.
Definição 1.1.1. Uma variedade diferenciável de dimensão n é um conjunto M munido
de uma famı́lia de aplicações biunı́vocas xα : Uα ⊂ Rn → M de abertos Uα de Rn em M
que satisfazem as seguintes propriedades:
S
(a) α xα (Uα ) = M ;
(b) Para todo par α, β tal que xα (Uα ) ∩ xβ (Uβ ) = W 6= ∅, os conjuntos x−1
α (W ) e
−1
−1
n
xβ (W ) são abertos em R e as aplicações xβ (W ) ◦ xα (W ) são diferenciáveis;
(c) A famı́lia {(Uα , xα )} é máxima relativa às condições (a) e (b).
O par (Uα , xα ) (ou a aplicação xα ), com p ∈ xα (Uα ), é denominado uma parametrização
ou sistema de coordenadas de M em p e xα (Uα ) é chamada vizinhança coordenada em p.
Uma famı́lia {(Uα , xα )} que satisfaz (a) e (b) é denominada uma estrutura diferenciável
em M .

13

Figura 1.1: Representação geométrica da definição de variedade
n
Observação 1.1.1. O conjunto ζ = {A ⊂ M ; x−1
α (A∩xα (Uα )) é aberto do R para todo α}
define uma topologia em M .

Diremos que M é compacta quando M é um espaço topológico compacto.
Definição 1.1.2. Sejam M e N variedades diferenciáveis. Uma aplicação ϕ : M → N é
diferenciável em p ∈ M se dada uma parametrização y : V ⊂ Rm → N em ϕ(p), existe
uma parametrização x : U ⊂ Rn → M em p tal que ϕ(x(U )) ⊂ y(V ) e a aplicação
y−1 ◦ ϕ ◦ x : U ⊂ Rn → Rm

(1.1)

é diferenciável em x−1 (p). A aplicação ϕ é diferenciável em um aberto de M se é diferenciável em todos os pontos deste aberto. A aplicação (1.1) é chamada expressão de ϕ
nas parametrizações x e y.

Figura 1.2: Representação geométrica da definição de aplicação diferenciável

14

Exemplo 1.1.1. Se x : U ⊂ Rn → M é uma parametrização, então x−1 : x(U ) → Rn é
diferenciável. De fato, para qualquer parametrização y : V ⊂ Rn → M em p, temos que
x−1 ◦ y : y−1 (W ) → x−1 (W ), onde W = x(U ) ∩ y(V ), é diferenciável. Isso mostra que
U e x(U ) são difeomorfos (isto é, toda variedade é localmente difeomorfa a Rn ).
Definição 1.1.3. Seja M uma variedade diferenciável. Uma aplicação α : (−, ) → M
é denominada uma curva (diferenciável) em M . Sejam α(0) = p ∈ M e D o conjunto das
funções diferenciáveis definidas em M. O vetor tangente à curva α em t = 0 é a função
α0 (0) : D → R dada por
d(f ◦ α)
α0 (0)f =
, f ∈ D.
dt
t=0
Um vetor tangente em p é o vetor em t = 0 de alguma curva α : (−, ) → M com
α(0) = p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p será indicado por Tp M . O
conjunto T M = {(p, v); p ∈ M e v ∈ Tp M } é uma variedade diferenciável de dimensão
2n, denominado fibrado tangente.
Proposição 1.1.1. Sejam M n , N m variedades diferenciáveis e ϕ : M → N uma aplicação
diferenciável. Dados p ∈ M e v ∈ Tp M , escolha uma curva diferenciável α : (−, ) → M
com α(0) = p e α0 (0) = v e seja β = ϕ ◦ α. A aplicação dϕp : Tp M → Tϕ(p) N dada por
dϕp (v) = β 0 (0) é uma aplicação linear que não depende da escolha de α.
A aplicação linear dϕp dada na proposição anterior é denominada diferencial de ϕ em
p.
Definição 1.1.4. Sejam M m e N n variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciável
ϕ : M → N é uma imersão se dϕp : Tp M → Tϕ(p) N é injetiva para todo p ∈ M . Se, além
disso, ϕ é um homeomorfismo sobre ϕ(M ) ⊂ N , onde ϕ(M ) tem a topologia induzida
por N , dizemos que ϕ é um mergulho. Se M ⊂ N e a inclusão i : M → N é um mergulho,
dizemos que M é uma subvariedade de N .
Se ϕ : M m → N n é uma imersão, então m ≤ n. A diferença (n − m) é chamada
codimensão da imersão ϕ.
Exemplo 1.1.2. Seja f : R → R2 dada por f (t) = (cos t, sen t). A aplicação f é
uma imersão diferenciável tal que f : R → f (R) = S1 . Assim, S1 é uma subvariedade
diferenciável do R2 .
Definição 1.1.5. Dizemos que uma variedade diferenciável M é orientável se admite uma
estrutura diferenciável {(Uα , xα )} tal que, para todo par α, β com xα (Uα ) ∩ xβ (Uβ ) =
W 6= ∅, a matriz da diferencial da mudança de coordenadas x−1
α ◦ xβ tem determinante
positivo. Caso contrário, dizemos que M é não-orientável. Se M é orientável, a escolha
da parametrização que satisfaça essa definição é denominada orientação de M e, neste
caso, dizemos que M é orientada.
Definição 1.1.6. Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma
correspondência que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ Tp M .

15

Às vezes é conveniente pensar em campos de vetores como uma aplicação X : D → F
do conjunto D das funções diferenciáveis em M no conjunto F das funções em M , definida
do seguinte modo
X
∂f
(p),
(Xf )(p) =
ai (p)
∂xi
i
onde f indica a expressão de f na parametrização x. Neste contexto, dizemos que X é
diferenciável se, e somente se, Xf ∈ D para todo f ∈ D.
A interpretação de X como um operador em D permite considerarmos os iterados de
X. O problema é que, na maioria das vezes, XY e Y X de campos de vetores X e Y em
M não são campos de vetores. Entretanto, podemos afirmar o seguinte resultado:
Lema 1.1.1. Sejam X e Y campos diferenciáveis de vetores em uma variedade diferenciável M . Então, existe um único campo de vetores Z tal que
Zf = (XY − Y X)f, ∀f ∈ D.
O campo de vetores Z = XY − Y X é denominado colchete de X e Y , o qual será
denotado por [X, Y ].
Definição 1.1.7. Uma métrica Riemanniana (ou estrutura Riemanniana) em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p de M um
produto interno h , ip (isto é, uma forma bilinear simétrica e positiva definida) no espaço
tangente Tp M , que varia diferenciavelmente no seguinte sentido: se x : U ⊂ Rn → M
é um sistema de coordenadas locais em torno de p,com x(x1 , x2 , ..., xn ) = q ∈ x(U )
∂
∂
∂
(q) = dx(0, ..., 1, ..., 0), então
(q),
(q)
= gij (x1 , ..., xn ) é uma função
e
∂xi
∂xi
∂xj
q
diferenciável em U .
As funções gij (= gji ) são chamadas expressão da métrica Riemanniana (ou os gij da
métrica) no sitema de coordenadas x : U ⊂ Rn → M .
A definição de métrica Riemanniana não depende da escolha do sistema de coordenadas.
Definição 1.1.8. Uma variedade diferenciável munida de uma métrica Riemanniana é
denominada uma variedade Riemanniana.
Definição 1.1.9. Consideremos M e N variedades Riemannianas. Um difeomorfismo
f : M → N (isto é, f é uma bijeção diferenciável com inversa diferenciável) é chamado
uma isometria se
hu, vip = hdfp (u), dfp (v)if (p) , ∀p ∈ M, ∀u, v ∈ Tp M.

(1.2)

Definição 1.1.10. Sejam M e N variedades Riemannianas. Uma aplicação diferenciável
f : M → N é uma isometria local em p ∈ M , se existe uma vizinhança U ⊂ M de p
tal que f : U → f (U ) é um difeomorfismo satisfazendo (1.2). Dizemos que a variedade
Riemanniana M é localmente isométrica à variedade N se para todo p em M existem
uma vizinhança U de p em M e uma isometria local f : U → f (U ) ⊂ N .
16

Exemplo 1.1.3. (Variedades Imersas) Seja f : M n → N n+k uma imersão. Se N possui uma estrutura Riemanniana, f induz uma estrutura Riemanniana em M dada por
hu, vip = hdfp (u), dfp (v)if (p) , u, v ∈ Tp M . A métrica de M é chamada a métrica induzida
por f e dizemos que f é uma imersão isométrica.

1.2

Conexões Afins e Conexão Riemanniana

Nosso interesse em conexões afins reside no fato que a escolha de uma métrica Riemanniana em uma variedade M determina univocamente uma certa conexão afim de M .
Podemos, deste modo, derivar de uma certa forma campos de vetores em M . Indicaremos
por X(M ) o conjunto dos campos de vetores diferenciáveis em M e por D(M ) o anel das
funções reais diferenciáveis definidas em M .
Definição 1.2.1. Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é uma aplicação
∇ : X(M ) × X(M ) −→ X(M )
(X, Y )
−→ ∇X Y
que satisfaz as seguintes propriedades:
(a) ∇f X+gY Z = f ∇X Z + g∇Y Z;
(b) ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z;
(c) ∇X (f Y ) = f ∇X Y + X(f )Y ,
onde X, Y, Z ∈ X(M ) e f, g ∈ D(M ).
Proposição 1.2.1. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇.
Então existe uma única correspondência que associa a um campo vetorial V ao longo
DV
da curva diferenciável c : I → M um outro campo vetorial
ao longo de c, denomidt
nado derivada covariante de V ao longo de c, tal que
(a)

D
DV
DW
(V + W ) =
+
;
dt
dt
dt

(b)

df
DV
D
(f V ) = V + f
;
dt
dt
dt

(c) Se V é um campo vetorial induzido de Y ∈ X(M ), isto é, V (t) = Y (c(t)), então
DV
= ∇ dc Y,
dt
dt
onde V, W são campos vetoriais ao longo de c e f : I → R é uma função diferenciável.
Definição 1.2.2. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇. Um
DV
campo vetorial V ao longo de uma curva c : I → M é paralelo quando
= 0 para
dt
todo t ∈ I.
17

Definição 1.2.3. Sejam M uma variedade diferenciável com uma conexão afim e h , i
uma métrica Riemanniana. A conexão ∇ é dita compatı́vel com a métrica h , i quando
para toda curva diferenciável c e quaisquer pares de campos de vetores paralelos P e P 0
ao longo de c, tivermos hP, P 0 i = k, onde k é uma constante.
Proposição 1.2.2. Seja M uma variedade Riemanniana. Uma conexão ∇ em M é
compatı́vel com a métrica se, e somente se, para todo par V, W de campos de vetores ao
longo da curva diferenciável c : I → M , tem-se

 

d
DV
DW
hV, W i =
, W + V,
, t ∈ I.
(1.3)
dt
dt
dt
Corolário 1.2.1. Uma conexão ∇ em uma variedade Riemanniana M é compatı́vel com
a métrica se, e somente se,
X hY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi , X, Y, Z ∈ X(M ).
Definição 1.2.4. Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é dita simétrica
quando
∇X Y − ∇Y X = [X, Y ] para todo X, Y ∈ X(M ).
Teorema 1.2.1 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanniana M , existe uma única
conexão afim ∇ em M simétrica e compatı́vel com a métrica Riemanniana.
Tal conexão é denominada conexão de Levi-Civita (ou Riemanniana) de M .
Definição
  1.2.5. Uma curva parametrizada γ : I → M é uma geodésica em t0 ∈ I se
D dγ
= 0 no ponto t0 ; se γ é geodésica em t, para todo t ∈ I, dizemos que γ é uma
dt dt
geodésica.
Exemplo 1.2.1. Podemos mostrar que qualquer geodésica do parabolóide de revolução
que não é meridiano se auto-intersecta uma infinidade de vezes.

Figura 1.3: Geodésicas de um parabolóide

18

O próximo resultado permite introduzirmos o conceito de aplicação exponencial.
Proposição 1.2.3. Dado p ∈ M , existem uma vizinhança V de p em M , um número
 > 0 e uma aplicação diferenciável,
γ : (−2, 2) × U → M,
onde U = {(p, w) ∈ T M ; p ∈ V, w ∈ Tp M, |w| < }, tal que t → γ(t, p, w), t ∈ (−2, 2), é
a única geodésica de M que no instante t = 0 passa por p com velocidade w, para cada
p ∈ V e cada w ∈ Tp M , |w| < .
Sejam p ∈ M e U ⊂ T M um aberto dado pela Proposição 1.2.3. Então a aplicação
exp : U → M , dada por


v
exp(p, v) = γ(1, p, v) = γ |v|, p,
, (p, v) ∈ U,
|v|
é chamada a aplicação exponencial em U.
A aplicação exponencial é diferenciável e usaremos a restrição da exp a um aberto do
espaço tangente Tp M , isto é, definiremos
expp : B (0) ⊂ Tp M → M
por expp (v) = exp(p, v). De agora em diante, indicaremos por B (0) uma bola aberta
de centro na origem 0 de Tp M e de raio . Além da expp ser diferenciável, temos que
expp (0) = p.
Geometricamente, expp (v) é o ponto de M obtido percorrendo um comprimento igual
v
.
a |v|, a partir de p, sobre a geodésica que passa por p com velocidade igual a
|v|

Figura 1.4: A aplicação exponencial

19

Proposição 1.2.4. Dado p ∈ M , existe um  > 0 tal que expp : B (0) ⊂ Tp M → M é
um difeomorfismo da bola B (0) de centro na origem de Tp M e raio  sobre um aberto
de M.
Exemplo 1.2.2. Se M = Rn , a derivação covariante coincide com a usual. Assim,
as geodésicas são retas parametrizadas proporcionalmente ao comprimento de arco e a
exponencial é a identidade.
Lema 1.2.1 (de Gauss). Sejam p ∈ M e v ∈ Tp M tal que expp v esteja definida. Seja
w ∈ Tp M ≈ Tv (Tp M ). Então
(dexpp )v (v), (dexpp )v (w) = hv, wi .
Seja V ⊆ Tp M uma vizinhança da origem tal que expp |V é um difeomorfismo. O
conjunto U = expp (V ) é denominado vizinhança normal (ou geodésica) de p. Se B (0) é
a bola de centro na origem de Tp M e raio , então B (p) = expp (B (0)) é denominado
bola normal (ou geodésica) de centro p e raio .

Figura 1.5: Bolas geodésicas
Observação 1.2.1. Decorre, usando o Lema de Gauss, que a fronteira de uma bola
normal S (p) = expp (∂B (0)) é uma hipersuperfı́cie (subvariedade de codimensão 1) em
M ortogonal as geodésicas que partem de p, a qual denominamos esfera normal (ou
geodésica) de centro p e raio .
Definição 1.2.6. Uma variedade Riemanniana M é (geodesicamente) completa se para
todo p ∈ M , a aplicação exponencial expp está definida para todo v ∈ Tp M , isto é, se as
geodésicas γ(t) que partem de p estão definidas para todo t ∈ R.
Definição 1.2.7. Dizemos que um conjunto {X1 , ..., Xn } de campos
X de vetores é um
referencial quando todo X ∈ X(M ) pode ser escrito como X =
ai Xi . O referencial
i

é dito ortonormal quando hXi (p), Xj (p)i = δij , para todo i, j = 1, ..., n e p ∈ M . Um
referencial geodésico em p ∈ M é o campo de vetores ortonormais {e1 , ..., en } ∈ X(M )
definidos numa vizinhança V ⊂ M de p, tal que ∇ei ej (p) = 0, ∀i, j = 1, ..., n.
20

1.3

Operadores Diferenciáveis

Nesta seção, definiremos operadores importantes num contexto de variedades. Apresentaremos também algumas propriedades desses operadores. Ao longo desta seção, M
será uma variedade Riemanniana.
Definição 1.3.1. Seja f ∈ D(M ). Definimos o gradiente de f como o campo de vetores
gradM f tal que
hgradM f (p), vi = dfp (v), p ∈ M, v ∈ Tp M.
Resulta da definição, que para todo X ∈ X(M ), gradM f ∈ X(M ) é o único campo de
vetores tangentes e diferenciáveis sobre M caracterizado por
hgradM f, Xi = X(f ).
Proposição 1.3.1. O gradiente satisfaz às seguintes propriedades:
(a) gradM (f + g) = gradM f + gradM g;
(b) gradM (f g) = f gradM g + ggradM f ;
(c) gradM (f q ) = qf q−1 gradM f ;
(d) Se {e1 , ..., en } é um referencial ortonormal em M , então
gradM f =

n
X

ei (f )ei

i=1

para quaisquer f, g ∈ D(M ) e todo inteiro positivo q. Aqui denotamos f q = f f...f ,
q-vezes.
Demonstração. Consideremos f, g ∈ D(M ) e X ∈ X(M ).
(a) hgradM (f + g), Xi = X(f + g) = X(f ) + X(g) = hgradM f, Xi + hgradM g, Xi
= hgradM f + gradM g, Xi .
(b) hgradM (f g), Xi = X(f g) = f X(g) + gX(f ) = f hgradM g, Xi + g hgradM f, Xi
= hf gradM g + ggradM f, Xi .
(c) Demonstraremos a afirmação usando o processo de indução finita. Se q = 1, não há
nada a fazer. Se q = 2, usando o item (b), a equação deste item é satisfeita.
Agora, suponhamos que nossa igualdade vale para q − 1, isto é,
gradM (f q−1 ) = (q − 1)f q−2 gradM f.
Usando o item (b) e a igualdade anterior, temos
gradM (f q ) = gradM (f f q−1 ) = f gradM f q−1 + f q−1 gradM f
= f (q − 1)f q−2 gradM f + f q−1 gradM f
= qf q−1 gradM f.
21

(d) Seja {e1 , ..., en } uma base ortonormal de Tp M . Então gradM f =

n
X

ai ei , onde

i=1

ai = hgradM f, ei i. Por outro lado, usando a Definição 1.3.1,
hgradM f, ei i = df (ei ) = ei (f ),
o que conclui nossa demonstração.

Definição 1.3.2. Definimos o traço de um operador T : V → V , onde V é um espaço
vetorial de dimensão finita com produto interno, como sendo o traço de qualquer matriz
associada a T .
Note que se {e1 , ..., en } é uma base ortonormal de V , então
T (v) =

n
X

hT (v), ei i ei .

i=1

Como as colunas da matriz de T na base {e1 , ..., en } são vetores T (ei ), podemos escrever
a matriz do operador T na base {e1 , ..., en } como
(hT (ei ), ej i)n×n
e, portanto,
tr T =

n
X

hT (ei ), ei i .

i=1

Definição 1.3.3. Seja X ∈ X(M ). Definimos a divergência como a função divM X :
M → R dada por
divM X(p) = tr (Y (p) → ∇Y X(p)), p ∈ M.
Se {e1 , ..., en } é uma base ortonormal de Tp M , então
divM X =

n
X

h∇ei X, ei i .

i=1

Proposição 1.3.2. A divergência satisfaz às seguintes igualdades:
(a) divM (X + Y ) = divM X + divM Y ;
(b) divM (f X) = X(f ) + f divM X = hgradM f, Xi + f divM X
para quaisquer X, Y ∈ X(M ) e f ∈ D(M );
(c) Se {e1 , ..., en } é um referencial geodésico, então
divM X =

n
X
i=1

onde X =

X

fi e i .

i

22

ei (fi ),

Demonstração. Consideremos X, Y ∈ X(M ) e f ∈ D(M ).
n
X

(a) divM (X + Y ) =

h∇ei (X + Y ), ei i =

n
X

i=1

h∇ei X, ei i + h∇ei Y, ei i

i=1

= divM X + divM Y.
(b) divM (f X) =

n
X

h∇ei (f X), ei i =

i=1
n
X

= f

h∇ei X, ei i +

i=1

n
X

hf ∇ei X + ei (f )X, ei i

i=1
n
X

*

hei (f )X, ei i = f divM X +

X,

i=1

n
X

+
ei (f )ei

i=1

= f divM X + hX, gradM f i = f divM X + X(f ).
(c) Seja X =

n
X

fj ej , onde {e1 , ..., en } é um referencial geodésico. Então

j=1
n
X

!

n
X

*

n
X

!

+

divM X = divM
fj e j =
∇ei
fj ej , ei
i=1
* nj=1
+
* j=1 n
!
+
n
n
X
X
X
X
=
fj ∇ei ej , ei +
ei
fj ej , ei .
i=1

j=1

i=1

j=1

Como o referencial é geodésico, obtemos
divM X =

n
X

ei (fi ).

i=1


Definição 1.3.4. Seja f ∈ D(M ). Definimos a Hessiana de f por
Hessf : X(M ) × X(M ) −→ C ∞ (M )
(X, Y )
−→ h∇X (gradM f ), Y i .
Proposição 1.3.3. A Hessiana satisfaz às seguintes propriedades:
(a) Hessf (X + Y, Z) = Hessf (X, Z) + Hessf (Y, Z);
(b) Hess(f + g)(X, Y ) = Hessf (X, Y ) + Hess g(X, Y );
(c) Hess(f g)(X, Y ) = f Hess g + gHessf + hX(f )gradM g, Y i + hX(g)gradM f, Y i;
(d) Hess(f q )(X, Y ) = q[f q−1 Hessf (X, Y ) + hX(f q−1 )gradM f, Y i];
(e) Hessf (X, Y ) = Hessf (Y, X)
para quaisquer X, Y, Z ∈ X(M ), f, g ∈ D(M ) e todo inteiro q.

23

Demonstração. Sejam X, Y, Z ∈ X(M ) e f, g ∈ D(M ).
(a) Hessf (X + Y, Z) = h∇X+Y (gradM f ), Zi
= h∇X (gradM f ), Zi + h∇Y (gradM f ), Zi
= Hessf (X, Z) + Hessf (Y, Z).
(b) Hess(f + g)(X, Y ) = h∇X (gradM (f + g)), Y i
= h∇X (gradM f ), Y i + h∇X (gradM g)), Y i
= Hessf (X, Y ) + Hess g(X, Y ).
(c) Hess(f g)(X, Y ) = h∇X gradM (f g), Y i = h∇X (f gradM g + ggradM f ), Y i
= h∇X (f gradM g), Y i + h∇X (ggradM f ), Y i
= hf ∇X gradM g + X(f )gradM g, Y i
+ hg∇X gradM f + X(g)gradM f, Y i
= hf ∇X gradM g, Y i + hX(f )gradM g, Y i
+ hg∇X gradM f, Y i + hX(g)gradM f, Y i
= f Hessg + gHessf + hX(f )gradM g, Y i + hX(g)gradM f, Y i .
(d) Hess(f q )(X, Y ) = h∇X gradM (f q ), Y i = h∇X (qf q−1 gradM f ), Y i
= q h∇X (f q−1 gradM f ), Y i
= q[hf q−1 ∇X gradM f, Y i + hX(f q−1 )gradM f, Y i]
= q[f q−1 Hessf (X, Y ) + hX(f q−1 )gradM f, Y i].
(e) Temos que
X hgradM f, Y i = h∇X (gradM f ), Y i + hgradM f, ∇X Y i .
Usando as definições de gradiente e Hessiana, obtemos
XY f = Hessf (X, Y ) + (∇X Y )f,
ou seja,
Hessf (X, Y ) = XY f − (∇X Y )f.

24

Logo
Hessf (X, Y ) − Hessf (Y, X) = XY f − (∇X Y )f − (Y Xf − (∇Y X)f )
= (XY f ) − (Y Xf ) − (∇X Y − ∇Y X)f
= [X, Y ]f − [X, Y ]f = 0.

Definição 1.3.5. Seja f ∈ D(M ). Definimos o Laplaciano de f em M por
∆f = divM (gradM f ).
Observe que se {e1 , ..., en } é um referencial ortonormal, então
∆f = divM (gradM f ) = tr (X 7→ ∇X (gradM f )) =

n
X

h∇ei (gradM f ), ei i = tr(Hessf ).

i=1

O próximo resultado será útil para cálculos posteriores.
Teorema 1.3.1 (Teorema da Divergência). Sejam M uma variedade Riemanniana compacta e X um campo de vetores definido em M . Então
Z
divM XdM = 0.
M

1.4

Curvaturas

Apresentaremos uma definição de curvatura que, intuitivamente, mede o quanto uma
variedade Riemmaniana deixa de ser Euclidiana.
Definição 1.4.1. A curvatura R de uma variedade Riemmaniana M é uma correspondência que associa a cada par X, Y ∈ X(M ) uma aplicação R(X, Y ) : X(M ) → X(M )
dada por
R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z, Z ∈ X(M ),
onde ∇ é a conexão Riemanniana de M .
O aparecimento do termo ∇[X,Y ] Z na definição de curvatura está ligado ao fato de
desejarmos que a aplicação R(X, Y ) : X(M ) → X(M ) seja linear.
De agora em diante, usaremos a notação
hR(X, Y )Z, T i = (X, Y, Z, T ).
Relacionado com o operador curvatura está a curvatura seccional (ou Riemanniana).

25

Proposição 1.4.1. Sejam σ ⊂ Tp M um subespaço bidimensional do espaço tangente
Tp M e x, y ∈ σ dois vetores linearmente independentes. Então
K(x, y) =

(x, y, x, y)
|x ∧ y|2

q
não depende da escolha dos vetores x, y ∈ σ. Aqui |x ∧ y| = |x|2 |y|2 − hx, yi2 representa
a área do paralelogramo bidimensional determinado pelo par de vetores x, y ∈ V , onde V
é um espaço vetorial.
O número real K(x, y) = K(σ) é chamado curvatura seccional de σ em p.
Definição 1.4.2. As variedades completas com curvatura seccional constante são chamadas
formas espaciais.
Entres as variedades Riemannianas, aquelas de curvatura seccional constante são as
mais simples. Além disso, o teorema a seguir mostra que as variedades Rn , Sn e Hn
são as únicas variedades Riemannianas completas, simplesmente conexas com curvatura
seccional constante.
Teorema 1.4.1. Seja M n uma variedade Riemanniana completa e de curvatura seccional
f de M , com a métrica do recobrimento,
constante K. Então, o recobrimento universal M
é isométrico a:
(a) Hn , se K = −1;
(b) Rn , se K = 0;
(c) Sn , se K = 1.

1.5

Imersões Isométricas

Nesta seção, consideraremos a seguinte situação. Seja f : M → M uma imersão de
uma variedade diferenciável M de dimensão n em uma variedade Riemanniana M de
dimensão igual a k = n + m. Estudaremos as relações entre as geometrias de M e de M .
n+m=k
Seja f : M n → M
uma imersão. Pela forma local das imersões, para cada
p ∈ M , existe uma vizinhança U ⊂ M de p tal que f (U ) ⊂ M é uma subvariedade de
M . Em outras palavras, existem uma vizinhança U ⊂ M de f (p) e um difeomorfismo
ϕ : U → V ⊂ Rk .
Identificaremos U com f (U ) e cada vetor v ∈ Tq M, q ∈ U , com dfq (v) ∈ Tf (q) M . Para
cada p ∈ M , o produto interno em Tp M decompõe Tp M na soma direta
Tp M = Tp M ⊕ (Tp M )⊥ ,
onde Tp M = dfp (Tp M ) e (Tp M )⊥ = (dfp (Tp M ))⊥ é o complemento ortogonal de Tp M em
Tp M . Portanto, cada vetor v ∈ Tp M pode ser decomposto de modo único como
v = vT + vN ,
onde v T ∈ Tp M e v N ∈ (Tp M )⊥ .
26

Denominamos v T a componente tangencial de v e v N a componente normal de v. Tal
decomposição é diferenciável no sentido que as aplicações de T M em T M dadas por
(p, v) → (p, v T ) e (p, v) → (p, v N )
são diferenciáveis.
Sejam ∇ a conexão Riemanniana de M , X, Y campos locais de vetores em M e X, Y
extensões locais a M . Definimos
∇X Y = (∇X Y )T .
Seja X(U )⊥ o conjunto dos campos de vetores em U normais a f (U ) ≈ U . A aplicação
B : X(U ) × X(U )⊥ dada por
B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y
é um campo local em M normal a M .
A aplicação B não depende das extensões X, Y .
Proposição 1.5.1. A aplicação B é bilinear e simétrica.
Demonstração. Dados g ∈ D(U ) e X, Y, Z ∈ X(U ), sejam g, X, Y , Z suas respectivas
extensões locais a M . Temos que
B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y
= ∇X Y − ∇Y X + ∇Y X − ∇Y X − (∇X Y − ∇Y X)
= [X, Y ] + B(Y, X) − [X, Y ].
Como [X, Y ] = [X, Y ] em M ,
B(X, Y ) = B(Y, X),
ou seja, B é simétrica.
Além disso,
B(gX, Y ) = ∇gX Y − ∇gX Y = g∇X Y − g∇X Y = gB(X, Y ).
Usando a simetria de B,
B(X, gY ) = B(gY, X) = gB(Y, X) = gB(X, Y ).
Temos também que
B(X + Y, Z) = ∇X+Y Z − ∇X+Y Z
= ∇X Z + ∇X Z + ∇Y Z − ∇Y Z
= B(X, Z) + B(Y, Z)
e como B é simétrica, obtemos
B(X, Y + Z) = B(X, Y ) + B(X, Z).
Portanto, B é bilinear.

27

Agora, podemos definir a segunda forma fundamental. Sejam p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ .
Usando a Proposição 1.5.1, a aplicação Hη : Tp M × Tp M → R dada por
Hη (x, y) = hB(x, y), ηi , x, y ∈ Tp M
é uma forma bilinear simétrica.
Definição 1.5.1. A forma quadrática IIη definida em Tp M por
IIη (x) = Hη (x, x)
é denominada a segunda forma fundamental de f em p segundo o vetor normal η.
Como a aplicação Hη é bilinear simétrica, existe uma única aplicação auto-adjunta
Sη : Tp M → Tp M associada a Hη tal que
hSη (x), yi = Hη (x, y) = hB(x, y), ηi .
A aplicação Sη é denominada operador de Weingarten de f .
Proposição 1.5.2. Sejam p ∈ M, x ∈ Tp M e η ∈ (Tp M )⊥ . Seja N uma extensão local
de η normal a M . Então
Sη (x) = −(∇x N )T .
Exemplo 1.5.1. No caso particular em que a codimensão da imersão é 1, ou seja,
n+1
f : M n → M , f (M ) ⊂ M é denominada uma hipersuperfı́cie.
Neste caso, sejam p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ com |η| = 1. Como Sη : Tp M → Tp M
é simétrica, existe uma base ortonormal de autovetores {e1 , ..., en } de Tp M associada a
autovalores reais λ1 , ..., λn , isto é, Sη (ei ) = λi ei , 1 ≤ i ≤ n. Se M e M estão previamente
orientadas, então η está determinado de modo único se exigirmos que {e1 , ..., en } esteja
na orientação de M . Deste modo, denominamos os ei direções principais e os λi = ki
curvaturas principais de f . As funções simétricas de λ1 , ..., λn são invariantes da imersão.
Por exemplo, det(Sη ) = λ1 ...λn é denominada a curvatura de Gauss-Kronecker de f e
1
(λ1 + ... + λn ) é denominada curvatura média de f .
n
Definição 1.5.2. Uma imersão f : M → M é geodésica em p ∈ M se, para todo
η ∈ (Tp M )⊥ , a segunda forma fundamental IIη é identicamente nula em p. A imersão f
é totalmente geodésica se ela é geodésica para todo p ∈ M .
Proposição 1.5.3. Uma imersão f : M → M é geodésica em p ∈ M se, e somente se,
toda geodésica γ de M partindo de p é geodésica de M em p.
Vimos que a componente tangente de ∇X η é dada por (∇X η)T = −Sη (X). Estudaremos agora a componente normal de ∇X η, a qual denominamos a conexão normal ∇⊥
Xη
da imersão, isto é,
N
T
∇⊥
X η = (∇X η) = ∇X η − (∇X η) = ∇X η + Sη (X).

28

Denotando por X(M )⊥ o espaço dos campos diferenciáveis de vetores normais a M ,
podemos considerar a segunda forma fundamental com um tensor B : X(M ) × X(M ) ×
X(M )⊥ → D(M ), definido por
B(X, Y, η) = hB(X, Y ), ηi .
Podemos estender a definição de derivada covariante a este tipo de tensor de maneira
natural
(∇X B)(Y, Z, η) = X(B(Y, Z, η)) − B(∇X Y, Z, η) − B(Y, ∇X Z, η) − B(Y, Z, ∇⊥
X η).
Proposição 1.5.4 (Equação de Codazzi). Com a notação anterior, temos
R(X, Y )Z, η = (∇Y B)(X, Z, η) − (∇X B)(Y, Z, η).
Corolário 1.5.1. Se o espaço ambiente M tem curvatura seccional constante, a equação
de Codazzi se reduz a
(∇X B)(Y, Z, η) = (∇Y B)(X, Z, η).

29

Capı́tulo 2
Fórmulas Integrais para a Curvatura
r-Média
Neste capı́tulo, definiremos a r-ésima transformação de Newton, o operador linearizado Lr e demonstraremos algumas propriedades desses operadores. Além disso, serão
obtidas fórmulas integrais envolvendo a curvatura r-média.

2.1

A r-ésima Transformação de Newton Pr

Seja x : M n → N n+1 uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana M n
na variedade Riemanniana N n+1 com segunda forma fundamental B. Sejam λ1 , ..., λn os
autovalores de B associados aos vetores e1 , ...en . As funções simétricas elementares Sr
associadas a B são definidas por
X
Sr =
λi1 ...λir
i1 <...<ir

e a curvatura r-média é definida por
Hr =

onde nr =

n
r

1
Sr ,
nr


.

Consideremos S0 = H0 = 1 e Sr = Hr = 0 se r ∈
/ {0, 1, ..., n}. As funções S1 , S2 e Sn
são conhecidas como curvatura média, escalar e de Gauss-Kronecker, respectivamente.
Definição 2.1.1. A r-ésima transformação de Newton Pr : Tp M → Tp M é definida,
indutivamente, por
P0 = I e
Pr = Sr I − BPr−1 , r ≥ 1.

30

Se λ1 , ..., λn são autovalores de B, então denotamos
Sr (Bj ) = Sr (λ1 , ..., λj−1 , λj+1 , ..., λn )
a r-função elementar simétrica associada a restrição Bj de B ao subespaço ortogonal ao
autovetor correspondente ej .
Finalizaremos esta seção demonstrando algumas propriedades envolvendo o operador
Pr .
Proposição 2.1.1. A r-ésima transformação de Newton Pr e a segunda forma fundamental B comutam.
Demonstração. Faremos a demonstração por indução. O resultado é válido para P0 .
Suponhamos que BPr−1 = Pr−1 B. Assim
BPr = B(Sr I − BPr−1 ) = B(Sr I − Pr−1 B) = Sr B − BPr−1 B
= (Sr I − BPr−1 )B = Pr B.

Proposição 2.1.2. A r-ésima transformação de Newton Pr é auto-adjunta.
Demonstração. A demonstração será feita por indução. O resultado é válido para
P0 = I. Suponhamos que Pr−1 é auto-adjunta e sejam X, Y ∈ X(M ). Então
hPr (X), Y i = h(Sr I − BPr−1 )X, Y i = hSr X, Y i − hBPr−1 (X), Y i .
Como B é uma forma bilinear, temos
hPr (X), Y i = hX, Sr Y i − hPr−1 (X), B(Y )i = hX, Sr Y i − hX, Pr−1 (B(Y ))i
= hX, (Sr I − Pr−1 B)Y i = hX, Pr (Y )i .

Proposição 2.1.3. Sejam λi , i = 1, ..., n, os autovalores da segunda forma fundamental
B. Fixemos λi , logo
Sr (Bi ) = Sr − λi Sr−1 (Bi ).
Demonstração. Podemos dividir a soma Sr em duas parcelas, uma onde λi aparece
e outra onde λi não aparece. Assim, Sr = A + λi C. A primeira parcela é exatamente
Sr (Bi ) e C é a soma cujas parcelas são somas de todos produtos de (r − 1) curvaturas
principais, exceto λi , ou seja, é Sr−1 (Bi ). Logo
Sr = Sr (Bi ) + λi Sr−1 (Bi ).

Nosso próximo resultado apresenta alguns resultados clássicos sobre os autovalores de
Pr . A demonstração destes resultados podem ser encontrados, por exemplo, em [5], p.
279.
31

Proposição 2.1.4. Para cada 1 ≤ r ≤ n − 1, temos
(a) Pr (ei ) = Sr (Bi )ei para cada 1 ≤ i ≤ n;
(b) tr(Pr ) =

n
X

Sr (Bi ) = (n − r)Sr ;

i=1

(c) tr(BPr ) =

n
X

λi Sr (Bi ) = (r + 1)Sr+1 ;

i=1

2

(d) tr(B Pr ) =

n
X

λi 2 Sr (Bi ) = S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 .

i=1

Demonstração.
(a) Demonstraremos por indução, usando a identidade Sr+1 (Bi ) = Sr+1 − λi Sr (Bi ).
Suponhamos que nossa igualdade vale para r, isto é, Pr (ei ) = Sr (Bi )ei . Mostraremos que
também vale para r + 1. De fato,
Pr+1 (ei ) = Sr+1 ei − BPr (ei ) = Sr+1 ei − B(Sr (Bi )ei ) = Sr+1 ei − Sr (Bi )B(ei )
= Sr+1 ei − Sr (Bi )λi ei = (Sr+1 − λi Sr (Bi ))ei = Sr (Bi )ei .
(b) Observemos que
tr(Pr ) =

n
X

hPr (ei ), ei i =

i=1

n
X

hSr (Bi )ei , ei i =

i=1

n
X

Sr (Bi ).

i=1

A fim de demonstrarmos a segunda igualdade, consideremos Sr e Sr (Bi ) polinômios homogêneos nas variáveis λi ’s. Cada monômio λj1 λj2 ...λjr de Sr também é um monômio de
Sr (Bi ) para i ∈
/ {j1 , j2 , ..., jr }. Como temos exatamente (n − r) termos, concluı́mos este
item.
(c) Temos que
tr(BPr ) =

n
X
i=1

hBPr (ei ), ei i =

n
X

hPr (ei ), B(ei )i =

i=1

n
X

hSr (Bi )ei , λi ei i =

i=1

Por outro lado,
tr(Pr+1 ) = tr(Sr+1 I − BPr ) = tr(Sr+1 I) − tr(BPr ),
isto é,
tr(BPr ) = nSr+1 − tr(Pr+1 ).
Logo, usando o item (b), obtemos
tr(BPr ) = nSr+1 − (n − (r + 1))Sr+1 = (r + 1)Sr+1 .

32

n
X
i=1

λi Sr (Bi ).

(d) Temos que
2

tr(B Pr ) =

n
X
i=1

2

B Pr (ei ), ei =

n
X

2

Pr (ei ), B (ei ) =

n
X

i=1

Sr (Bi )ei , λ2i ei

i=1

=

n
X

λ2i Sr (Bi ).

i=1

Além disso,
tr(BPr+1 ) = tr(B(Sr+1 I − B 2 Pr )) = tr(Sr+1 BI) − tr(B 2 Pr ),
ou seja,
tr(B 2 Pr ) = S1 Sr+1 − tr(BPr+1 ).
Portanto, usando o item (c), obtemos
tr(B 2 Pr ) = S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 .


2.2

Operador Linearizado Lr

Nesta seção, apresentaremos o operador Lr , essencial no nosso trabalho. Em seguida,
veremos alguns resultados gerais sobre este operador.
Associado a cada transformação de Newton Pr , temos um operador diferencial de
segunda ordem Lr : C ∞ (M n ; R) → R, definido por
Lr f = tr(Pr (Hessf )),
onde Hessf é a matriz Hessiana da função f .
Se {e1 , ..., en } é uma base ortonormal de M n , então Lr pode ser escrito como
Lr f =

n
X

h∇ei (gradM f ), Pr (ei )i .

i=1

Denominamos este operador de operador linearizado Lr . Em particular, quando r = 0,
L0 f = ∆f . Por este motivo, dizemos que este operador generaliza, em certo sentido, o
Laplaciano. Tal operador foi introduzido por Voss na conexão com argumentos variacionais, ver [19].
Proposição 2.2.1. Sejam f, g : M n → R funções suaves. Então
(a) Lr (f q ) = q(f q−1 Lr f + hPr (gradM f ), gradM f q−1 i) para algum inteiro positivo q;
(b) Lr (f g) = f Lr g + gLr f + 2 hPr (gradM f ), gradM gi.

33

Demonstração. Seja {e1 , ..., en } uma base ortonormal de M n .
(a) Usando a definição de Lr , temos que
n
X

Lr (f q ) =

h∇ei (gradM f q ), Pr (ei )i = q

n
X

i=1

= q

∇ei (f q−1 gradM f ), Pr (ei )

i=1

" n
X

f q−1 ∇ei gradM f, Pr (ei ) +

i=1

"
= q f q−1 Lr f +

n
X

#
ei (f q−1 )gradM f, Pr (ei )

i=1

*
Pr (gradM f ),

n
X

+#
ei (f q−1 )ei

i=1

= q(f q−1 Lr f + Pr (gradM f ), gradM f q−1 ).
(b) Usando a definição de Lr , obtemos que
Lr (f g) =

n
X

h∇ei gradM (f g), Pr (ei )i =

i=1

=
=

n
X
i=1
n
X

n
X

h∇ei (f gradM g + ggradM f ), Pr (ei )i

i=1

h∇ei (f gradM g), Pr (ei )i +

n
X

h∇ei (ggradM f ), Pr (ei )i

i=1

[hf ∇ei gradM g, Pr (ei )i + hei (f )gradM g, Pr (ei )i]

i=1

n
X

[hg∇ei gradM f, Pr (ei )i + hei (g)gradM f, Pr (ei )i]
i=1
*
+
n
n
X
X
= f
h∇ei gradM g, Pr (ei )i + Pr (gradM g),
ei (f )ei
i=1
i=1
+
*
n
n
X
X
+g
h∇ei gradM f, Pr (ei )i + Pr (gradM f ),
ei (g)ei
+

i=1

i=1

= f Lr f + hPr (gradM g), gradM f i + gLr f + hPr (gradM f ), gradM gi
= f Lr f + gLr f + 2 hPr (gradM f ), gradM gi).

Sejam M n e N n+1 variedades Riemannianas orientadas e x : M n → N n+1 uma imersão
isométrica. Consideremos a identificação usual de Y ∈ Tp M com dxp (Y ) e seja F : N →
R uma função suave. Se considerarmos a composição f = F ◦ x : M n → R, temos que
em p ∈ M ,
hgradM f, Y i (p) = dfp (Y ) = d(F ◦ x)p Y = dFx(p) dxp Y = hgradN F, Y i (x(p)) ∀ Y ∈ Tp M,
onde gradM e gradN denotam o gradiente em M e o gradiente em N , respectivamente.

34

Assim
gradN F = gradM f + (gradN F )⊥ ,

(2.1)

onde (gradN F )⊥ significa a parte normal do gradN F .
Sejam ∇ a derivada covariante em N e B a segunda forma fundamental de x. A
matriz de B com respeito à base ortonormal {e1 , ..., en } é dada por
hij = ∇ei ej , η , i, j = 1, ..., n,
onde η é o campo vetorial normal unitário.
O próximo resultado pode ser encontrada em [3], Lema 2.1.
Proposição 2.2.2. Seja x : M n → N n+1 uma imersão isométrica. Seja F : N → R
uma função suave e consideremos f = F ◦ x : M → R. Para um referencial ortonormal
{ei , ..., en } numa vizinhança U ⊂ M , temos
Lr f =

n
X

Hess(F )(ei , Pr (ei )) + (r + 1)Sr+1 hgradN F, ηi ,

i=1

onde η denota o campo vetorial normal unitário da imersão e gradN é o gradiente em
N.
Demonstração. Usando a definição de Lr , temos que
n
X

Lr f =

h∇ei (gradM f ), Pr (ei )i

i=1
n
X

=

∇ei (gradM f ) − [∇ei (gradM f ) − ∇ei (gradM f )], Pr (ei ) .

i=1

Como B(ei , gradM f ) = ∇ei (gradM f ) − ∇ei (gradM f ), onde B a segunda forma fundamental da imersão, obtemos que
Lr f =
=

n
X
i=1
n
X

∇ei (gradM f ) − B(ei , gradM f ), Pr (ei )
∇ei (gradM f ), Pr (ei ) .

i=1

Usando (2.1), obtemos
Lr f =

n
X

∇ei (gradN F − (gradN F )⊥ ), Pr (ei )

i=1

=

n
X

∇ei gradN F, Pr (ei ) −

i=1

=
=

n
X
i=1
n
X

n
X

∇ei (gradN F )⊥ ), Pr (ei )

i=1

Hess(F )(ei , Pr (ei )) −
Hess(F )(ei , Pr (ei )) −

i=1

n
X
i=1
n
X
i=1

35

∇ei (hgradN F, ηi η), Pr (ei )
hgradN F, ηi ∇ei (η), Pr (ei ) .

Usando a Proposição 1.5.2,
Lr f =

n
X

Hess(F )(ei , Pr (ei )) − hgradN F, ηi

i=1

n
X

h−B(ei ), Pr (ei )i .

i=1

Lembrando que B é uma forma bilinear, temos que
n
X

Lr f =

Hess(F )(ei , Pr (ei )) + hgradN F, ηi

i=1

n
X

=

n
X

hei , BPr (ei )i

i=1

Hess(F )(ei , Pr (ei )) + hgradN F, ηi tr(BPr ).

i=1

Como tr(BPr ) = (r + 1)Sr+1 , ver item (c) da Proposição 2.1.4, concluı́mos que
Lr f =

n
X

Hess(F )(ei , Pr (ei )) + (r + 1)Sr+1 hgradN F, ηi .

i=1


Proposição 2.2.3. Sejam x : M n → N n+1 uma imersão isométrica e F : N → R uma
função suave. Se f = F ◦ x : M → R, então
Lr (f q ) = q(F q−1 Lr f + Pr (gradN f ), gradN f q−1 ),
onde gradN é o gradiente em N e q é inteiro positivo.
Demonstração. Seja {e1 , ..., en } um referencial ortonormal em M . Como f q = (F ◦ x)q ,
usando a Proposição 2.2.2, temos que
Lr (f q ) =

n
X

Hess(F q )(ei , Pr (ei )) + (r + 1)Sr+1 hgradN F q , ηi

i=1
n
X
 q−1

= q
F Hess(F )(ei , Pr (ei )) + ei (F q−1 )gradN F, Pr (ei )
i=1

+(r + 1)Sr+1 hqF q−1 gradN F, ηi
= q

n
X

F q−1 Hess(F )(ei , Pr (ei )) + q

i=1

+qF q−1 (r + 1)Sr+1 hgradN F, ηi
= q

n
X

F q−1 Hess(F )(ei , Pr (ei )) + q

i=1

+qF p−1 (r + 1)Sr+1 hgradN F, ηi

36

n
X

ei (F q−1 ) hgradN F, Pr (ei )i

i=1

n
X
i=1

ei (F q−1 ) hgradM f, Pr (ei )i

= q

n
X

*
F q−1 Hess(F )(ei , Pr (ei )) + q

Pr (gradM f ),

i=1

+qF p−1 (r + 1)Sr+1 hgradN F, ηi
= q

n
X

n
X

+
ei (F q−1 )ei

i=1

F q−1 Hess(F )(ei , Pr (ei )) + q Pr (gradM f ), gradN F q−1

i=1

+qF p−1 (r + 1)Sr+1 hgradN F, ηi
= q

n
X

F q−1 Hess(F )(ei , Pr (ei )) + q Pr (gradM f ), gradM f q−1

i=1

+qF p−1 (r + 1)Sr+1 hgradN F, ηi
= q(F q−1 Lr f + Pr (gradN f ), gradN f q−1 ).


2.3

Operador Linearizado Lr em Formas Espaciais

. Fixado um ponto
Nesta seção, vamos considerar N n+1 uma forma espacial Qn+1
c
n+1
n+1
p ∈ Qc , sejam ρ : Qc → R a função distância geodésica ao ponto p e x : M n → Qn+1
c
uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana orientada M n . Definimos o vetor
posição X : M n → Qn+1
com respeito a p por
c
X(x(p)) = Sc (ρ(p))gradQ ρ(p),
onde Sc é a solução da equação y 00 + cy = 0 com condições iniciais y(0) = 0 e y 0 (0) = 1,
isto é,

ρ(p),√se c = 0;




 sen (ρ(p) c)
√
, se c > 0;
Sc (ρ(p)) =
c√


senh (ρ(p) −c)


√
, se c < 0.

−c
Denotaremos Sc0 (ρ(p)) = θc (ρ(p)).
Os dois próximos resultados são consequências da Proposição 2.2.2 e da Proposição
2.2.3, com a condição de N n+1 ser uma forma espacial Qn+1
. A partir desta seção X
c
sempre será o vetor posição X(x(p)) = Sc (ρ(p))gradQ ρ(p).
Proposição 2.3.1. Seja x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica de uma variedade
c
n
Riemanniana orientada M em uma forma espacial Qn+1
. Então
c
1
Lr (θc ) = −[(n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1)Sr+1 hX, ηi], se c 6= 0.
c
Identificamos θc com θc ◦ ρ ◦ x.
37

Demonstração. Considere F = θc ◦ ρ na Proposição 2.2.2 e seja {e1 , ..., en } um referencial ortonormal numa vizinhança U ⊂ M . Então
Lr (θc ) =

n
X

Hess(θc (ρ))(ei , Pr (ei )) + (r + 1)Sr+1 gradQ θc (ρ), η .

i=1

Inicialmente, observemos que
Hess(θc (ρ))(ei , Pr (ei )) =

∇ei (gradQ (θc (ρ))), Pr (ei ) = ∇ei (θc0 (ρ)gradQ ρ), Pr (ei )

= θc0 (ρ) ∇ei gradQ ρ, Pr (ei ) + θc00 (ρ)

gradQ ρ, ei gradQ ρ, Pr (ei )

= θc0 (ρ)Hessρ(ei , Pr (ei )) + θc00 (ρ) gradQ ρ, ei

gradQ ρ, Pr (ei ) .

Como Sc é solução de y 00 +cy = 0, temos que Sc00 (ρ)+cSc (ρ) = 0. Lembrando que Sc0 = θc ,
obtemos
θc0 (ρ) = −cSc (ρ) e θc00 (ρ) = −cθc (ρ).
Logo
Hess(θc (ρ))(ei , Pr (ei )) = −cSc (ρ)Hessρ(ei , Pr (ei ))
−cθc (ρ) gradQ ρ, ei gradQ ρ, Pr (ei ) .
Usando o resultado
Hessρ(X, Y ) = ∇X gradQ ρ, Y =

θc (ρ)
[hX, Y i − gradQ ρ, X
Sc (ρ)

gradQ ρ, Y ],

(2.2)

o qual pode ser encontrado em [14], p. 36, Proposição 2.4.1, obtemos
Hessρ(ei , Pr (ei )) =

θc (ρ)
[hei , Pr (ei )i − gradQ ρ, ei
Sc (ρ)

gradQ ρ, Pr (ei ) ].

Portanto
Hess(θc (ρ))(ei , Pr (ei )) = −cθc (ρ)[hei , Pr (ei )i − gradQ ρ, ei gradQ ρ, Pr (ei ) ]
−cθc (ρ) gradQ ρ, ei gradQ ρ, Pr (ei )
= −cθc (ρ) hei , Pr (ei )i .
Assim
Lr (θc ) = −cθc (ρ)

n
X

hei , Pr (ei )i + (r + 1)Sr+1 gradQ θc (ρ), η

i=1

= −cθc (ρ)tr(Pr ) + (r + 1)Sr+1 θc0 (ρ)gradQ ρ, η
= −cθc (ρ)tr(Pr ) + (r + 1)Sr+1 −cSc (ρ)gradQ ρ, η
= −cθc (ρ)tr(Pr ) − c(r + 1)Sr+1 hX, ηi .
Como tr(Pr ) = (n − r)Sr , ver item (b) da Proposição 2.1.4, concluı́mos a demonstração.


38

Proposição 2.3.2. Seja x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica de uma variedade
c
Riemanniana orientada M n em uma forma espacial Qn+1
. Então
c
1
Lr |X|2 = θc (ρ)[(n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1)Sr+1 hX, ηi] − c Pr (X T ), X T
2

para qualquer c.

Aqui, designamos X T como a componente tangente de X e identificamos X com X ◦ x.
Demonstração. Observemos que
|gradQ ρ| = 1,
e, portanto,
|X|2 = Sc (ρ)gradQ ρ, Sc (ρ)gradQ ρ = (Sc (ρ))2 .
Assim

1
1
Lr |X|2 = Lr ((Sc (ρ))2 ).
2
2
Usando a Proposição 2.2.3, temos que
1
Lr ((Sc (ρ))2 ) = Sc (ρ)Lr (Sc (ρ)) + Pr (gradQ Sc (ρ)), gradQ Sc (ρ)
2
= Sc (ρ)Lr (Sc (ρ)) + Pr (Sc0 (ρ)gradQ ρ), Sc0 (ρ)gradQ ρ
= Sc (ρ)Lr (Sc (ρ)) + (Sc0 (ρ))2 Pr (gradQ ρ), gradQ ρ .
Como Sc0 (ρ) = θc (ρ), obtemos
1
Lr ((Sc (ρ))2 ) = Sc (ρ)Lr (Sc (ρ)) + (θc (ρ))2 Pr (gradQ ρ), gradQ ρ .
2
A Proposição 2.2.2 nos diz que
Lr (Sc (ρ)) =
=

n
X
i=1
n
X

Hess(Sc (ρ))(ei , Pr (ei )) + (r + 1)Sr+1 gradQ Sc (ρ), η
Hess(Sc (ρ))(ei , Pr (ei )) + (r + 1)Sr+1 θc (ρ) gradQ ρ, η .

i=1

Por outro lado,
Hess(Sc (ρ))(ei , Pr (ei )) = ∇ei (gradQ Sc (ρ)), Pr (ei ) = ∇ei (Sc0 (ρ)gradQ ρ), Pr (ei )
= Sc0 (ρ) ∇ei gradQ ρ, Pr (ei ) + Sc00 (ρ) gradQ ρ, ei gradQ ρ, Pr (ei ) .
Lembrando que Sc0 (ρ) = θc (ρ) e Sc00 (ρ) = −cSc , temos
Hess(Sc (ρ))(ei , Pr (ei )) = θc (ρ)Hessρ(ei , Pr (ei )) − cSc (ρ) gradQ ρ, ei

gradQ ρ, Pr (ei ) .

Agora, usando (2.2), obtemos
Hess(Sc (ρ))(ei , Pr (ei )) =

(θc (ρ))2
[hei , Pr (ei )i − gradQ ρ, ei gradQ ρ, Pr (ei ) ]
Sc (ρ)
−cSc (ρ) gradQ ρ, ei gradQ ρ, Pr (ei )
39

e, portanto,
n

Lr (Sc (ρ)) =

(θc (ρ))2 X
[hei , Pr (ei )i − gradQ ρ, ei gradQ ρ, Pr (ei ) ]
Sc (ρ) i=1
n
X
−cSc (ρ)
gradQ ρ, ei gradQ ρ, Pr (ei )
i=1

+(r + 1)Sr+1 θc (ρ) gradQ ρ, η .
Logo
n

X
1
Lr |X|2 = (θc (ρ))2 tr(Pr ) − (θc (ρ))2
gradQ ρ, ei gradQ ρ, Pr (ei )
2
i=1
n
X
gradQ ρ, ei gradQ ρ, Pr (ei )
−c(Sc (ρ))2
i=1

+(r + 1)Sc (ρ)Sr+1 θc (ρ) gradQ ρ, η + (θc (ρ))2 Pr (gradQ ρ), gradQ ρ .
Mas
Pr (gradQ ρ), gradQ ρ =

n
X

gradQ ρ, ei

gradQ ρ, Pr (ei ) .

i=1

Assim
n
X
1
Lr |X|2 = (θc (ρ))2 tr(Pr ) + (r + 1)Sr+1 θc (ρ) hX, ηi − c
hX, ei i hX, Pr (ei )i .
2
i=1

Como
+

*
X
i

hX, ei i hX, Pr (ei )i =

X

hX, ei i Pr (ei ),

X

hX, ej i ej
X
=
hX, ei i Pr (ei ), X =
hX, ei i Pr (X T ), ei
*i
+ i
X
=
Pr (X T ),
hX, ei i ei = Pr (X T ), X T
i
X

j
T

i

e tr(Pr ) = (n − r)Sr , concluı́mos a demonstração.

Agora, usando as proposições anteriores, demonstraremos o próximo resultado que
será essencial na Seção 2.4.

40

Proposição 2.3.3. Seja x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica de uma variedade Riec
manniana orientada M n em uma forma espacial Qn+1
. Então, para todo inteiro positivo
c
q,
"

q
q−1
hX, Xi
hX, Xi
(a) Lr
= q
{θc (ρ)[(n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1)Sr+1 hX, ηi]
2
2
−c Pr (X T ), X T
#
q−2

hX, Xi
T
T
2
;
+ (q − 1)
(θc (ρ)) Pr (X ), X
2
(b) Lr θcq = q((θc (ρ))q−1 [−c((n − r)Sr θc (ρ) + (r+ 1) hX, ηi Sr+1 )]
+(q − 1)(θc (ρ))q−2 c2 Pr (X T ), X T ,
onde identificamos X com X ◦ x e θcq com (θc ◦ ρ ◦ x)q .
Demonstração. Sejam X = X ◦ x e θcq = (θc ◦ ρ ◦ x)q .
(a) Usando a Proposição 2.2.3, temos que
"

q
q−1 

hX, Xi
hX, Xi
hX, Xi
Lr
= q
Lr
2
2
2
* 


q−1 +#

hX, Xi
hX, Xi
, gradQ
.
+ Pr gradQ
2
2
Como

hX, Xi
1
(Sc (ρ))2
=
,
Sc (ρ)gradQ ρ, Sc (ρ)gradQ ρ =
2
2
2

temos que

gradQ

hX, Xi
2


n
X
(Sc (ρ))2
0
= gradQ
= Sc (ρ)Sc (ρ)
gradQ ρ, ei ei
2
i=1
n
X
= θc (ρ)
hX, ei i ei = θc (ρ)X T .





i=1

Por outro lado,

gradQ

hX, Xi
2

q−1


= (q − 1)

hX, Xi
2

q−1



q−2


gradQ

hX, Xi
2


.

Logo

gradQ

hX, Xi
2

= (q − 1)

41

hX, Xi
2

q−2

θc X T .

(2.3)

Usando a Proposição 2.3.2, obtemos
"

q
q−1
hX, Xi
hX, Xi
Lr
= q
{θc (ρ)[(n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1)Sr+1 hX, ηi]
2
2
*
+#

q−2
hX, Xi
T
T
T
T
−c Pr (X ), X } + Pr (θc (ρ)X ), (q − 1)
θc (ρ)X
2
"
q−1
hX, Xi
= q
{θc (ρ)[(n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1)Sr+1 hX, ηi]
2
#
q−2

hX, Xi
2
T
T
T
T
(θc (ρ)) Pr (X ), X
.
−c Pr (X ), X } + (q − 1)
2
(b) Temos que
gradQ θc (ρ) = θc0 (ρ)

n
X

gradQ ρ, ei ei = −c

i=1

n
X

Sc (ρ)gradQ ρ, ei ei = −c

i=1

n
X

hX, ei i ei .

i=1

Assim
gradQ θc = −cX T .

(2.4)

Logo, usando a Proposição 2.2.3 e a Proposição 2.3.1, concluı́mos que
Lr (θc )q = q((θc (ρ))q−1 Lr θc + Pr (gradQ θc (ρ)), gradQ (θc (ρ))q−1 )
= q((θc (ρ))q−1 [−c((n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1) hX, ηi Sr+1 )]
+ Pr (−cX T ), (q − 1)(θc (ρ))q−2 (−cX T ) )
= q((θc (ρ))q−1 [−c((n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1) hX, ηi Sr+1 )]
+(q − 1)(θc (ρ))q−2 c2 Pr (X T ), X T ).

A fim de demonstrarmos as fórmulas integrais, vamos obter mais dois resultados antes
de demonstrarmos a última proposição desta seção.
Lema 2.3.1. Seja x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica de uma variedade Riemannic
ana orientada M n em uma forma espacial Qn+1
. Então, temos as seguintes identidades:
c
(a) ∇ej X = θc (ρ)ej ;
(b) ∇ei ∇ej X = θc (ρ)hij η − c hX, ei i ej ;
X

(c) ∇ei ∇ej hX, ηi = −θc (ρ)hij −
∇ek hij hX, ek i − h2ij hX, ηi,
k

onde η é o campo vetorial normal unitário e {e1 , ..., en } é um referencial geodésico em
M n.
42

Demonstração. Inicialmente, observamos que
∇ei gradQ ρ =

θc (ρ)
(ei − gradQ ρ, ei gradQ ρ).
Sc (ρ)

(2.5)

De fato, temos que
∇ei gradQ ρ =

n
X

∇ei gradQ ρ, ej ej .

j=1

Usando (2.2) com X = ei e Y = ej ,
∇ei gradQ ρ, ej =

θc (ρ)
(hei , ej i − gradQ ρ, ei
Sc (ρ)

gradQ ρ, ej ),

obtemos
X
θc (ρ) X
∇ei gradQ ρ =
hei , ej i ej − gradQ ρ, ei
gradQ ρ, ej ej
Sc (ρ)
j
j
θc (ρ)
(ei − gradQ ρ, ei gradQ ρ).
=
Sc (ρ)

!

Agora, demonstraremos as identidades.
(a) Usando (2.5), obtemos
∇ej X = ∇ej (Sc (ρ)gradQ ρ) = Sc (ρ)∇ej gradQ ρ + Sc0 (ρ) gradQ ρ, ej gradQ ρ
θc (ρ)
(ej − gradQ ρ, ej gradQ ρ) + θc (ρ) gradQ ρ, ej gradQ ρ
= Sc (ρ)
Sc (ρ)
= θc (ρ)[ej − gradQ ρ, ej gradQ ρ + gradQ ρ, ej gradQ ρ],
ou seja,
∇ej X = θc (ρ)ej .
0
(b) ∇ei ∇ej X = ∇ei (θc (ρ)ej ) = θc (ρ)∇ei ej +
 θc (ρ) gradQ ρ, ei ej
= θc (ρ) ∇ei ej , η η + ∇ei ej − cSc (ρ) gradQ ρ, ei ej .

Como o referencial é geodésico, obtemos
∇ei ∇ej X = θc (ρ)hij η − c hX, ei i ej ,
onde (hij ) é a matriz da segunda forma fundamental B com respeito a ei .

43

(c) Consideremos o campo vetorial normal unitário η e o referencial geodésico {e1 , ..., en }
em M n . Então
!
!
X
X
∇ei ∇ej η = ∇ei
∇ej η, ek ek = ∇ei −
∇ej ek , η ek
k
k
!
X
= ∇ei −
hjk ek
k
X
X
hjk ∇ei ek
= −
(∇ei hjk )ek −
k
k
X
X
= −
(∇ei hjk )ek −
hjk ∇ei ek , η η
k
k
X
X
= −
hjk hik η
(∇ei hjk )ek −
k
k
X
= −
(∇ei hjk )ek − h2ij η.
k

Portanto, usando os itens (a) e (b), obtemos
∇ei ∇ej hX, ηi = ∇ei ( ∇ej X, η + X, ∇ej η )
= ∇ei ∇ej X, η + ∇ej X, ∇ei η + ∇ei X, ∇ej η + X, ∇ei ∇ej η
= hθc*
(ρ)hij η − c hX, ei i ej , ηi + θc (ρ)e
+ j , ∇ei η + θc (ρ)ei , ∇ej η
X
X
h2ij η
+ X, −
(∇ei hjk )ek −
k
k
X
(∇ei hjk ) hX, ek i
= θc (ρ)hij − θc (ρ) ∇ei ej , η − θc (ρ) ∇ej ei , η −
k
X
h2ij hX, ηi
−
k
X
X
= θc (ρ)hij − 2θc (ρ)hij −
(∇ei hjk ) hX, ek i −
h2ij hX, ηi .
k

k

Logo, usando o Corolário 1.5.1,
∇ei ∇ej hX, ηi = −θc (ρ)hij −

X


∇ek hij hX, ek i − h2ij hX, ηi .

k


A demonstração do próximo resultado pode ser encontrada em [15], p. 489, Lema A.
Lema 2.3.2. Suponhamos que (hij ) é uma matriz simétrica n × n de funções diferenciáveis reais em um conjunto aberto no Rm . Seja Sj a j-ésima função elementar
simétrica dos autovalores de (hij ) e hrkl o (k, l)-elemento da r-ésima entrada da matriz
(hij ). Então, para algum vetor x no domı́nio de (hij ),
X
hij (∇x (Pr )ij ),
r∇x Sr+1 =
ij

onde (Pr )ij = hPr (ei ), ej i.
44

Proposição 2.3.4. Seja x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica de uma variedade
c
Riemanniana orientada M n em uma forma espacial Qn+1
. Então
c
Lr hX, ηi = −(r + 1)Sr+1 θc (ρ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hX, ηi − hgradM Sr+1 , Xi .
Demonstração. Consideremos {e1 , ..., en } um referencial geodésico em M n . Inicialmente, temos que
"
#
X
∇ei gradM hX, ηi = ∇ei
ek (hX, ηi)ek
X k

=
(∇ei ∇ek hX, ηi)ek + ek hX, ηi)∇ei ek .
k

Usando o item (c) do Lema 2.3.1, obtemos
"
X
X
∇ei gradM hX, ηi =
−θc (ρ)hik ek −
(∇el hik ) hX, el i ek − h2ik hX, ηi ek
k
l

+(ek hX, ηi) ∇ei ek , η η .
Logo
X
X
h2ik hek , Pr (ej )i
hik hek , Pr (ej )i − hX, ηi
= −θc (ρ)
k
k
X
(∇el hik ) hX, el i hek , Pr (ej )i .

∇ei gradM hX, ηi , Pr (ej )

kl

Portanto
!
Lr hX, ηi = −θc (ρ)tr(BPr ) − hX, ηi tr(B 2 Pr ) − tr

X

(∇el hik Pr ) hX, el i .

l

Como tr(BPr ) = (r + 1)Sr+1 e tr(B 2 Pr ) = S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 , obtemos
!
Lr hX, ηi = −θc (ρ)(r+1)Sr+1 −(S1 Sr+1 −(r+2)Sr+2 ) hX, ηi−tr

X

(∇el hik Pr ) hX, el i .

l

Afirmamos que
!
tr

X

(∇el hik Pr ) hX, el i

= hgradM Sr+1 , Xi .

l

De fato, o Lema 2.3.2 implica
r∇el Sr+1 =
=

X
ik
X

hik (∇el (Pr )ik ) =
∇el (λk Sr (Bk )) −

k

X

λk (∇el Sr (Bk ))

k
X
(∇el λk )(Sr (Bk )),
k

onde λk e Sr (Bk ) são os autovalores de B e Pr , respectivamente.

45

Como tr(BPr ) = (r + 1)Sr+1 , temos que
∇el tr(BPr ) = (r + 1)∇el Sr+1 .
Portanto

X
∇el (λk Sr (Bk )) −
∇el λk (Sr (Bk ))
k
k
X
= ∇el tr(BPr ) −
∇el λk (Sr (Bk ))

r∇el Sr+1 =

X

k

= (r + 1)∇el Sr+1 − tr(∇el hik ((Pr )ik )).
Logo
∇el Sr+1 = tr(∇el hik ((Pr )ik )).
Assim

!
tr

X

(∇el hik Pr ) hX, el i

= hgradM Sr+1 , Xi ,

l

demonstrando a afirmação. Substituindo esta última igualdade na expressão de Lr hX, ηi,
finalizamos o lema.

uma imersão isométrica de uma variedade
Proposição 2.3.5. Seja x : M n → Qn+1
c
n
. Então
Riemanniana orientada M em uma forma espacial Qn+1
c
Lr hX, ηiq = q[hX, ηiq−1 (−(r + 1)Sr+1 θc (ρ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hX,
 ηi
q−2
2
T
T
− hgradM Sr+1 , Xi) + (q − 1) hX, ηi
Pr (B (X )), X
para todo inteiro positivo q.
Demonstração. Usando o item (c) da Proposição 1.3.1, temos
" n
#
X
q
q−1
q−1
gradM hX, ηi = q hX, ηi gradM hX, ηi = q hX, ηi
ej hX, ηi ej
j=1
" n
#
X
= q hX, ηiq−1
( ∇ej X, η + X, ∇ej η )ej .
j=1

Como ∇ej η = −

X

hjk ek , obtemos

k

gradM hX, ηiq = −q hX, ηiq−1

X

hjk hX, ek i ej .

jk

Agora, observemos que
X
X
X
X
B(X T ) =
hX, ek i B(ek ) =
hX, ek i
hjk ej =
hjk hX, ek i ej .
k

j

k

46

jk

Logo
gradM hX, ηiq = −q hX, ηiq−1 B(X T ).

(2.6)

Usando o item (a) da Proposição 2.2.1 e a Proposição 2.3.4, temos que
Lr hX, ηiq = q[hX, ηiq−1 Lr hX, ηi + Pr (gradM hX, ηi), gradM hX, ηiq−1 ]
= q[hX, ηiq−1 (−(r + 1)Sr+1 θc (ρ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hX, ηi 
− hgradM Sr+1 , Xi) + −Pr (B(X T )), −(q − 1) hX, ηiq−2 B(X T ) .
Portanto
Lr hX, ηiq = q[hX, ηiq−1 (−(r + 1)Sr+1 θc (ρ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hX,
 ηi
q−2
2
T
T
.
− hgradM Sr+1 , Xi) + (q − 1) hX, ηi
Pr (B (X )), X

(2.7)


2.4

Fórmulas Integrais para a Curvatura r-Média

Nesta seção, consideraremos uma imersão isométrica x : M n → Qn+1
, onde Qn+1
é
c
c
uma variedade Riemanniana com curvatura seccional constante c. Neste caso, como foi
provado por Rosenberg em [17], p. 225, Lr é um operador linear dado pelo divergente de
um determinado campo, isto é,
Lr (f ) = divM (Pr (gradM f ))
para toda função suave f : M → R.
Faremos uma demonstração deste resultado na próxima proposição.
uma imersão isométrica. O operador Lr é dado
Proposição 2.4.1. Seja x : M n → Qn+1
c
pelo divergente de um determinado campo, isto é,
Lr (f ) = tr(Pr (Hessf )) = divM (Pr (gradM f ))
para toda função suave f : M → R.
Demonstração. Consideremos um referencial geodésico {e1 , ..., en } em M . Podemos
escrever Lr como
X
Lr f =
(Pr )ij fij ,
ij

onde (Pr )ij = hPr (ei ), ej i e fij = Hessf (ei , ej ). Aqui, usaremos a notação fi = ei (f ).

47

Como
(Pr )ij fij = ((Pr )ij fi )j − (Pr )ijj fi ,
temos que
!
X
X
X X
Lr f =
((Pr )ij fi )j −
(Pr )ijj fi =
(Pr )ij fi
ij

ij

j

i

!
X X
−
(Pr )ijj

j

i

fi .

j

Visto que
Pr (gradM f ) =

X
(Pr (gradM f ))j ej ,
j

vemos que
hPr (gradM f ), ei i =

X

(Pr (gradM f ))j δij = (Pr (gradM f ))i .

j

Por outro lado,
Pr (gradM f ) =

X

fk Pr (ek ).

k

Logo
X

fk hPr (ek ), ei i = (Pr (gradM f ))i ,

k

ou seja,
X

fk (Pr )ki = (Pr (gradM f ))i .

k

Além disso, usando a definição de divergente e lembrando que o referencial é geodésico,
obtemos que
X
X
divM (Pr (gradM f )) =
(Pr (gradM f ))j )j e (divM Pr )i =
(Pr )ijj .
j

j

Portanto
X
X
Lr f =
(Pr (gradM f ))j )j −
(divM Pr )i fi = divM (Pr (gradM f )) − hdivM Pr , gradM f i .
j

i

Agora, basta mostrarmos que divM Pr = 0. Vejamos:
X
X
X
divM Pr =
(∇ei Pr )ei =
(∇ei (Sr I − BPr−1 ))ei =
(∇ei (Sr I) − ∇ei (BPr−1 ))ei .
i

i

i

Temos que
∇ei (Sr I)ei = ∇ei (Sr ei ) − Sr I(∇ei ei ).
Como o referencial é geodésico,
∇ei (Sr I)ei = (Sr )i ei − Sr ∇ei ei = (Sr )i ei ,
ou seja,
X

∇ei (Sr I)ei = gradM Sr .

i

48

Por outro lado,
∇ei (BPr−1 )ei = ∇ei (BPr−1 (ei )) − BPr−1 ∇ei ei = (∇ei B)Pr−1 (ei ) + B∇ei (Pr−1 (ei )).
X
Inicialmente, vamos calcular
(∇ei B)Pr−1 (ei ). Como B é auto-ajunta, ∇ei B também
i

é auto-ajunta, logo
*
X

+
(∇ei B)Pr−1 (ei ), ej

=

i

X

hPr−1 (ei ), (∇ei B)ej i .

i

Usando a Equação de Codazzi em formas espaciais, obtemos
*
+
X
X
X
(∇ei B)Pr−1 (ei ), ej
=
Pr−1 (ei ), (∇ej B)ei =
(∇ej B)(Pr−1 (ei )), ei
i

i

i

= tr((∇ej B)(Pr−1 )).
Como tr((∇ej B)(Pr−1 )) = hgradM Sr , ej i, ver [17], p. 226, concluı́mos que
X
(∇ei B)Pr−1 (ei ) = gradM Sr .
i

Logo
X
X
divM Pr = gradM Sr − gradM Sr −
B∇ei (Pr−1 (ei )) = −
B∇ei (Pr−1 (ei ))
i
i
X
X
= −
B((∇ei Pr−1 )ei + Pr−1 ∇ei ei ) = −B
(∇ei Pr−1 )ei = −BdivM Pr−1 .
i

i

Afirmamos que divM Pr = 0. De fato, se r = 0, obtemos
X
X
∇ei (Iei ) − I∇ei ei .
divM P0 = divM (I) =
(∇ei I)ei =
i

i

Como o referencial é geodésico, temos que divM P0 = 0.
Usando indução, vemos que divM Pr = 0.

Agora, obteremos duas fórmulas integrais que são cruciais para a demonstração do
resultado principal desta seção.
Proposição 2.4.2. Seja x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica, onde M n é compacta.
c
Então, para quaisquer funções f e g em M n , o operador Lr satisfaz
Z
Z
(a)
(f Lr g)dM =
(gLr f )dM ;
Mn

Mn

Z
(f Lr g + hPr (gradM f ), gradM gi)dM = 0.

(b)
Mn

49

Demonstração. Consideremos as funções f, g ∈ M n .
(a) Usando o item (b) da Proposição 2.2.1 e o Teorema da Divergência, temos que
Z
Z
Z
f Lr gdM = −
gLr f dM − 2
hPr (gradM f ), gradM gi dM.
Mn

Mn

Mn

Como M n é compacta,
Z
Z
0=
divM (gPr (gradM f ))dM =
Mn

[hgradM g, Pr (gradM f )i+gdivM (Pr (gradM f ))]dM.

Mn

Logo
Z

Z
hPr (gradM f ), gradM gi dM = −
Mn

gLr f dM.
Mn

Portanto
Z

Z
f Lr gdM = −

Mn

Z
gLr f dM + 2

Mn

Z
gLr f dM =

Mn

gLr f dM.
Mn

(b) A demonstração deste item segue diretamente do item (a). De fato,
Z
Z
f Lr gdM = −
hPr (gradM f ), gradM gi dM.
Mn

Assim

Mn

Z
(f Lr g + hPr (gradM f ), gradM gi)dM = 0.
Mn


Resulta do item (a) que Lr é um operador linear auto-adjunto. Basta definir um produto
interno em D(M ), da seguinte forma: Dados f, g ∈ D(M ),
Z
f gdM.
hf, gi =
M

A fórmula em (b) é conhecida como fórmula integral de Dirichlet para o operador Lr .
Teorema 2.4.1. Sejam x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica de uma variedade
c
n
Riemanniana compacta orientada M e 0 ≤ q ≤ n, 1 ≤ s ≤ n inteiros. Então, para
qualquer c,
(
s−1
Z
hX, Xi
q
(a)
hX, ηi
[θc (ρ)((n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1)Sr+1 hX, ηi)
2
Mn
)

s−2

hX,
Xi
−c Pr (X T ), X T + (s − 1)
(θc (ρ))2 Pr (X T ), X T
2
!

s−1
hX,
Xi
−q hX, ηiq−1
θc (ρ) Pr (B(X T )), X T
dM = 0;
2
50

Z


hX, ηiq (θc (ρ))s−1 [(n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1)Sr+1 hX, ηi]

(b)
Mn

−c(s − 1)(θc (ρ))s−2 Pr (X T ), X T

−q(θc (ρ))s−1 hX, ηiq−1 Pr (B(X T )), X T dM = 0;
q
Z 
hX, Xi 
(c)
hX, ηis−1 [−(r + 1)Sr+1 θc (ρ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hX, ηi
2
n
M
− hgradM Sr+1 , Xi] + (s − 1) hX, ηis−2 Pr (B 2 (X T )), X T
!

q−1
hX, Xi
s−1
T
T
dM = 0.
−q
hX, ηi θc (ρ) Pr (B(X )), X
2
Demonstração.

s
hX, Xi
(a) Escolhendo f = hX, ηi e g =
no item (b) da Proposição 2.4.2, obtemos
2

s
Z 
hX, Xi
q
hX, ηi Lr
2
n
M
s 

(2.8)
hX, Xi
q
dM = 0.
+ Pr (gradM hX, ηi ), gradM
2


q

Tomando q − 1 = s em (2.3) e usando (2.6), temos


s 
hX, Xi
q
Pr (gradM hX, ηi ), gradM
2
*
+

s−1
hX, Xi
q−1
T
T
=
Pr (−q hX, ηi B(X )), s
θc (ρ)X
.
2
Logo

s 


hX, Xi
q
Pr (gradM hX, ηi ), gradM
2

s−1
hX, Xi
= −qs hX, ηiq−1
θc (ρ) Pr (B(X T )), X T .
2

(2.9)

Usando o item (a) da Proposição 2.3.3 e (2.9) em (2.8), concluı́mos que
(
s−1
Z
hX, Xi
q
[θc (ρ)((n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1)Sr+1 hX, ηi)
s hX, ηi
2
Mn
−c Pr (X T ), X


T

−qs hX, ηiq−1




+ (s − 1)

hX, Xi
2

s−1

hX, Xi
2

s−2

)
(θc (ρ))2 Pr (X T ), X T
!

θc (ρ) Pr (B(X T )), X T
51

dM = 0,

isto é,
Z

q

(

hX, ηi
Mn

hX, Xi
2

−c Pr (X T ), X

[θc (ρ)((n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1)Sr+1 hX, ηi)



T

+ (s − 1)



s−1

q−1

−q hX, ηi

s−1

hX, Xi
2

hX, Xi
2

s−2

)
(θc (ρ))2 Pr (X T ), X T
!

θc (ρ) Pr (B(X T )), X T

dM = 0.

(b) No caso em que c 6= 0 , escolhemos f = hX, ηiq e g = θcs em (b) da Proposição 2.4.2.
Então
Z
(hX, ηiq Lr θcs + hPr (gradM hX, ηiq ), gradM (θc (ρ))s i) dM = 0.
(2.10)
Mn

Usando (2.4) e (2.6), temos que
hPr (gradM hX, ηiq ), gradM (θc (ρ))s i = Pr (−q hX, ηiq−1 B(X T )), s(θc (ρ))s−1 gradQ θc (ρ)
= −q hX, ηiq−1 Pr (B(X T )), s(θc (ρ))s−1 (−cX T ) .
Logo
hPr (gradM hX, ηiq ), gradM (θc (ρ))s i = cqs(θc (ρ))s−1 hX, ηiq−1 Pr (B(X T )), X T . (2.11)
Substituindo (2.11) e usando o item (b) da Proposição 2.3.3 em (2.10), concluı́mos que
Z

s hX, ηiq (θc (ρ))s−1 [−c((n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1)Sr+1 hX, ηi)]
Mn

+c2 (s − 1)(θc (ρ))s−2 Pr (X T ), X T

+cqs(θc (ρ))s−1 hX, ηiq−1 Pr (B(X T )), X T



dM = 0,

ou seja,
Z


hX, ηiq (θc (ρ))s−1 [(n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1)Sr+1 hX, ηi]

Mn

−c(s − 1)(θc (ρ))s−2 Pr (X T ), X T

− q(θc (ρ))s−1 hX, ηiq−1 Pr (B(X T )), X T

No caso em que c = 0, tomemos s = 1 em (a). Portanto
Z
(hX, ηiq {(n − r)Sr + (r + 1)Sr+1 hX, ηi}
Mn

−q hX, ηiq−1 Pr (B(X T )), X T

52



dM = 0.



dM = 0.

q
hX, Xi
e g = hX, ηis no item (b) da Proposição 2.4.2.
(c) Agora, escolhemos f =
2
Assim
q
Z 
hX, Xi
Lr hX, ηis
2
n
M


q 

(2.12)
hX, Xi
s
+ Pr gradM
, gradM hX, ηi
dM = 0.
2


Por outro lado, temos que
 

q 

hX, Xi
s
Pr gradM
, gradM hX, ηi
2
*
!
+

q−1
hX, Xi
s−1
T
T
=
Pr q
θc (ρ)X
, −s hX, ηi B(X ) .
2
Logo

 

q 

hX, Xi
s
Pr gradM
, gradM hX, ηi
2

q−1
hX, Xi
= −qs
hX, ηis−1 θc (ρ) Pr (B(X T )), X T .
2

(2.13)

Substituindo (2.7) e (2.13) em (2.12), concluı́mos que
q
Z 
hX, Xi 
s hX, ηis−1 [−(r + 1)Sr+1 θc (ρ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hX, ηi
2
Mn
− hgradM Sr+1 , Xi] + s(s − 1) hX, ηis−2 Pr (B 2 (X T )), X T
!

q−1
hX, Xi
−qs
hX, ηis−1 θc (ρ) Pr (B(X T )), X T
dM = 0,
2
isto é,
Z
Mn



hX, Xi
2

q



hX, ηis−1 [−(r + 1)Sr+1 θc (ρ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hX, ηi

− hgradM Sr+1 , Xi] + (s − 1) hX, ηis−2 Pr (B 2 (X T )), X T
!

q−1
hX, Xi
hX, ηis−1 θc (ρ) Pr (B(X T )), X T
dM = 0.
−q
2

Como consequência as fórmulas em (a) e (b) do Teorema 2.4.1 generalizam as fórmulas
de Minkowski.

53

Corolário 2.4.1. Com as hipóteses do Teorema 2.4.1, obtemos as seguintes identidades:
Z
[Hr + Hr+1 hX, ηi]dM = 0;
(a)
Mn

Z
[Hr θc (ρ) + Hr+1 hX, ηi]dM = 0.

(b)
Mn

Demonstração.
(a) Tomando c = 0, q = 0 e s = 1 no item (a) do Teorema 2.4.1, temos
Z
θ0 (ρ)((n − r)Sr θ0 (ρ) + (r + 1)Sr+1 hX, ηi)dM = 0,
Mn

ou seja,
Z
((n − r)Sr + (r + 1)Sr+1 hX, ηi)dM = 0, pois θ0 (ρ) = 1.
Mn

Logo


Z
(n − r)nr
Mn

Como


(r + 1) nr+1
Hr +
Hr+1 hX, ηi dM = 0.
(n − r) nr

nr+1
(n − r)
=
, concluı́mos que
nr
(r + 1)
Z
(n − r)nr [Hr + Hr+1 hX, ηi]dM = 0.
Mn

Assim

Z
[Hr + Hr+1 hX, ηi]dM = 0.
Mn

(b) Fazendo q = 0 e s = 1 no item (b) do Teorema 2.4.1, temos que
Z
((n − r)Sr θc (ρ) + (r + 1)Sr+1 hX, ηi)dM = 0,
Mn

isto é,
Z
(n − r)nr [Hr θc (ρ) + Hr+1 hX, ηi]dM = 0.
Mn

Portanto

Z
[Hr θc (ρ) + Hr+1 hX, ηi]dM = 0.
Mn


As fórmulas em (a) e (b) foram provadas por Hsiung [12] e Bivens [8], respectivamente.

54

Capı́tulo 3
Aplicações
Neste capı́tulo, aplicaremos as fórmulas integrais obtidas na Seção 2.4 para obtermos
resultados interessantes.
Teorema 3.1 (Alencar e Colares). Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta
uma imersão isométrica com curvatura Hr+1 constante nãoorientada e x : M n → Qn+1
c
nula, onde 0 ≤ r ≤ n − 1. Se c > 0, assuma que x(M n ) está contida em um hemisfério
aberto de Qn+1
. Então, o conjunto de pontos
c
[
W = Qn+1
−
(Qnc )p ,
c
p∈M

pelas hipersuperfı́cies totalmente geodésicas (Qnc )p tangentes a
que são omitidos em Qn+1
c
x(M n ) é não-vazio, se e somente se, x(M n ) é uma esfera geodésica em Qn+1
.
c
Demonstração. Inicialmente, observemos que se W é não-vazio, existe um ponto p0 ∈
W tal que nenhum plano tangente à hipersuperfı́cie passa por este ponto p0 , ou seja,
existe um ponto p0 ∈ W tal que hX, ηi nunca se anula. Por hipótese, existe p ∈ M n tal
que todas as curvaturas principais de x têm o mesmo sinal. Assim, para uma escolha
apropriada do vetor normal η, podemos assumir que Hr+1 > 0 em p. Como Hr+1 é
constante, Hr+1 > 0 em M n .
 
n
Usando que Sr = nr Hr , onde nr =
, a Proposição 2.3.4 nos diz que
r
Z
Z
{−(r + 2)nr+2 Hr+2 + nnr+1 H1 Hr+1 } hX, ηi dM = −(r + 1)nr+1 Hr+1
θc dM.
Mn

Mn

Como M n é compacta e Hr+1 > 0, temos
r/r+1

Hr ≥ Hr+1 ,

1 ≤ r ≤ n − 1,

e a igualdade ocorre somente nos pontos umbı́licos, ver [13], p. 282, Lema 1.
Assim, se Hr+1 > 0 então Hr > 0.
Fazendo q = 0, s = 1 e r = 0 no Teorema 2.4.1 (b), obtemos
nS0 θc + S1 hX, ηi = 0,
55

(3.1)

ou seja,
θc + H1 hX, ηi = 0.
Como H1 > 0 e θc > 0 para qualquer c, concluı́mos que
0 = θc + H1 hX, ηi > H1 hX, ηi ,
isto é,
hX, ηi < 0.
Usando (3.1) e o item (b) do Corolário 2.4.1, obtemos
Z
Z
Z
r/r+1
Hr+1
θc dM ≤
Hr θc dM = −Hr+1
Mn

Mn

hX, ηi dM.

Mn

Logo
Z
{−(r + 2)nr+2 Hr+2 + nnr+1 H1 Hr+1 } hX, ηi dM
Z
(r+2)/(r+1)
≥ (r + 1)nr+1 Hr+1
hX, ηi dM.
Mn

(3.2)

Mn

Agora, observamos que se denotarmos
c(r) = (n − r)nr = (n − r)

n!
n!
=
,
r!(n − r)!
r!(n − (r + 1))!

obtemos
n!
n!
=
= c(r + 1),
(r + 2)!(n − (r + 2))!
(r + 1)!(n − (r + 2))!
n!
n
n!
n
nnr+1 = n
=
=
c(r)
(r + 1)!(n − (r + 1))!
r + 1 r!(n − (r + 1))!
r+1

(r + 2)nr+2 = (r + 2)

e

n!
n!
=
= c(r).
(r + 1)!(n − (r + 1))!
r!(n − (r + 1))!
Portanto, usando estas igualdades em (3.2), obtemos

Z 
Z
n
(r+2)/(r+1)
c(r)H1 Hr+1 hX, ηi dM ≥ c(r)Hr+1
−c(r + 1)Hr+2 + n
hX, ηi dM.
r+1
Mn
Mn
(r + 1)nr+1 = (r + 1)

Multiplicando esta desigualdade por (r + 1), temos
Z n
o
(r+2)/(r+1)
−(r + 1)c(r + 1)Hr+2 + nc(r)H1 Hr+1 − (r + 1)c(r)Hr+1
hX, ηi dM ≥ 0.
Mn

Por outro lado, Alencar, do Carmo e Rosenberg, ver [2], p. 392, mostraram que
(r+2)/(r+1)

−(r + 1)c(r + 1)Hr+2 + nc(r)H1 Hr+1 − (r + 1)c(r)Hr+1

≥ 0.

Como hX, ηi < 0, devemos ter a igualdade. Mas a igualdade ocorre nos pontos umbı́licos,
logo x(M n ) é uma esfera geodésica.

56

Observação 3.1. Se retirarmos a hipótese da variedade ser compacta, o teorema anterior não é válido. Por exemplo, o cilindro circular reto é uma superfı́cie completa
não-compacta em R3 com curvatura média constante não-nula e W não-vazio.
Antes de passarmos à próxima aplicação, introduziremos a noção de estabilidade.
Seja x : M n → Qn+1
uma imersão de uma variedade Riemanniana compacta M n em
c
. Consideremos
Qn+1
c
Z
Fr (S1 , S2 , ..., Sr )dM, 0 ≤ r ≤ n,
Ar =
M

onde as funções Fr são definidas indutivamente por
F0 = 1
F1 = S1
Fr = Sr +

c(n − r + 1)
Fr−2 , 2 ≤ r ≤ n − 1.
r−1

Uma variação de x é uma aplicação diferenciável Y : I × M n → Qn+1
tal que a
c
n
n+1
aplicação Yt : M → Qc dada por Yt (p) = Y (t, p) é uma imersão para cada t ∈ I e
Y0 = x.
A função volume V : I → R é definida por
Z
Y ∗ dQ,
V (t) =
[0,t]×M

.
onde dQ é o elemento de volume de Qn+1
c
Dizemos que uma variação preserva volume quando a função volume V : I → R é
constante.
Inicialmente, assumimos que um dos pontos crı́ticos de Ar é uma dada imersão x.
Portanto, com respeito a variações que preservam volume, deve ser um ponto crı́tico da
função
Z
Ar (t) =
Fr (S1 , ..., Sr )dMt ,
M

onde dMt é o elemento de volume da métrica induzida em M por Yt .
Alguns resultados de estabilidade podem ser vistos em [6] no caso em que r = 0, em
[2] quando r = 1 e em [5] para o caso r ≥ 2.
Definição 3.1. Seja x : M n → Qn+1
uma imersão de uma variedade Riemanniana
c
compacta com curvatura Hr constante. A imersão x é r-estável se A00 (0) ≥ 0 para todas
variações que preservam volume.
O próximo resultado nos dá um critério para establilidade, ver [4].

57

Proposição 3.1. Seja x : M n → Qn+1
uma imersão de uma variedade Riemanniana
c
compacta. Então x é r-estável se, e somente se,
Z
Ir (f ) = −
f {Lr (f ) + (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 )f + c(n − r)Sr f }dM ≥ 0
M

para toda função f : M n → R tal que
Z
f dM = 0.
M

são r-estáveis.
Proposição 3.2. As esferas geodésicas de Qn+1
c
P
P
Demonstração. Seja
uma esfera geodésica de Qn+1
. Como
é umbı́lica, então
c
suas curvaturas principais são todas iguais a uma certa constante k. Escolhendo um
vetor normal, podemos assumir que k > 0. Isto significa que
 
n
Sj =
kj .
j
Os autovalores das transformações de Newton Pr também são constantes e Lr é um
múltiplo do Laplaciano, isto é,


n−1
Lr (f ) =
k r ∆f.
r
Faremos uma demonstração dessa afirmação usando indução.
Para r = 1, temos que
L1 (f ) = divP (P1 (gradP f )) = divP ((S1 I − B)(gradP f ))
= nk∆f − k∆f
= (n − 1)k∆f,
ou seja, nossa afirmação é verdadeira para r = 1.
Suponhamos que nossa igualdade vale para r − 1, isto é,


n−1
Lr−1 (f ) =
k r−1 ∆f.
r−1
Temos que
P
P
P
Lr (f ) = 
divP (P
 r (grad f )) = div ((Sr I − BPr−1 )(grad f ))
n
=
k r ∆f − kLr−1 (f )
r
 


n
n−1
r
=
k ∆f − k
k r−1 ∆f
r
r
−
1
  

n
n−1
=
−
k r ∆f.
r
r−1

58




Como
−
=
, concluı́mos nossa afirmação.
Z
P
Agora, consideremos f :
→ R tal que P f dM = 0.
n
r





n−1
r−1





n−1
r

Denotaremos por λ1 o primeiro autovalor não-nulo do problema
∆g + λg = 0.
É conhecido que
(Z

|gradP g|2 dM

λ1 = inf

 Z

P

g 2 dM

−1 )
(3.3)

P

Z

P

→ R que satisfaz P gdM = 0, onde gradP g
P
.
denota o gradiente de g na métrica induzida pela inclusão
⊂ Qn+1
c
Decorre da igualdade (3.3) que
para toda função suave por partes g :

Z
λ1 ≤

 Z

2

|gradP g| dM

2

−1

g dM

P

.

P

Integrando a igualdade
∆f 2 = 2f ∆f + 2|gradP f |2 ,
obtemos

1
2

Z

Z

2

∆f dM =
P

Z
f ∆f dM +

P

|gradP f |2 dM.

P

Aplicando o Teorema de Stokes, encontramos
Z
Z
− P f ∆f dM = P |gradP f |2 dM.
Portanto

Z 




n−1
n−1
r
Ir (f ) = − P
k f ∆f + n
k r+2 f 2
r
r
 

n
+c(n − r)
k r f 2 dM
r

 Z
n−1
= −
k r P {f ∆f + n(k 2 + c)f 2 }dM
r

 Z
n−1
=
k r P {|gradP f |2 − n(k 2 + c)f 2 }dM.
r

Usando (3.4), obtemos

Ir (f ) ≥

n−1
r


k

r

Z

{λ1 − n(k 2 + c)}f 2 dM.

P

59

(3.4)

P
Além disso, como
é isométrica a uma esfera Euclidiana de dimensão n com curvatura
seccional constante igual a k 2 + c, temos que λ1 = n(k 2 + c), ver [7].
Logo
Ir (f ) = 0.
P
Portanto, usando a Proposição 3.1,
é r-estável.

Usando este resultado, obtemos uma consequência do Teorema 3.1.
Corolário 3.1. Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta orientada e x : M n →
Qn+1
uma imersão isométrica com curvatura Hr+1 constante. Se c > 0, suponha também
c
que x(M n ) está contida em um hemisfério aberto. Então W é não-vazio, se e somente
se, x é r-estável.
Demonstração. Como W é não-vazio, usando o Teorema 3.1, x(M n ) é uma esfera
geodésica. Logo, segue da Proposição 3.2, que x é r-estável.

Exemplo 3.1. Uma esfera geodésica de centro p0 em Qn+1
satisfaz
c
Hr θc + Hr+1 hX, ηi ≡ 0,

0 ≤ r ≤ n − 1,

onde X é o vetor posição relativo a p0 . De fato, como a esfera geodésica possui todas as
curvaturas pricipais iguais a uma certa constante k, temos que Hr = k r .
A fim de calcular as curvaturas principais, consideremos {e1 , ..., en } uma base de autovalores de Tp M . Então
k = hkei , ei i = hB(ei , ei ), ηi = ∇ei ei − ∇ei ei , η = ∇ei ei , η = ei hei , ηi − ei , ∇ei η .
Escolhendo η = −
obtemos

X
= −gradQ ρ e usando que gradQ ρ é normal à esfera geodésica,
Sc
k = ∇ei gradQ ρ, ei .

Usando (2.2), concluı́mos que
k=

θc
.
Sc

Logo

Hr θc + Hr+1 hX, ηi =

θc
Sc

r


θc +

θc
Sc

r+1
(−Sc ) = 0.

O próximo resultado estabelece a recı́proca. A prova da versão Euclidiana, ou seja,
c = 0, foi dada em [10], p. 2, Teorema 1.

60

Teorema 3.2 (Alencar e Colares). Seja x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica de
c
uma variedade Riemanniana M n conexa, compacta e orientada. Seja p0 ∈ Qn+1
relativo
c
ao qual
Hr θc + Hr+1 hX, ηi
não muda de sinal para algum 0 ≤ r ≤ n − 1. Se c > 0, assuma que x(M n ) está contida
centrado em p0 . Então, x(M n ) é uma esfera geodésica.
em um hemisfério aberto de Qn+1
c
Demonstração. Como Hr θc + Hr+1 hX, ηi não muda de sinal para algum 0 ≤ r ≤ n − 1,
usando o item (b) do Corolário 2.4.1, obtemos
Hr θc + Hr+1 hX, ηi ≡ 0

(3.5)

para qualquer c.
Inicialmente, provaremos que Hr+1 > 0.
Temos que, para qualquer c ≤ 0,
θc > 0.

(3.6)
n

Usando a convexidade do espaço ambiente e a compacidade de M , podemos escolher η
tal que exista um conjunto aberto U onde todas as curvaturas principais de x são positivas. Portanto, Hr+1 > 0 em U .
Além disso, assumimos que U é o maior subconjunto de M n com tal propriedade.
Mostraremos que U = M n .
Como Hr > 0 em U , usando (3.5) e (3.6), temos que
Hr+1 hX, ηi = −Hr θc < 0 em U.
Logo
hX, ηi < 0 em U.
Assim, aplicando (3.1) em (3.5), obtemos em U,
r/r+1

r/r+1

1/r+1

0 = Hr θc + Hr+1 hX, ηi ≥ Hr+1 θc + Hr+1 hX, ηi = Hr+1 (θc + Hr+1 hX, ηi).
Portanto
1/r+1

θc + Hr+1 hX, ηi ≤ 0 em U.
1/r+1

Por continuidade, θc + Hr+1 hX, ηi ≤ 0 no fecho U de U em M n . Por (3.6), temos que
θc > 0 em M n , logo em U . Assim, se Hr+1 (p) = 0 para algum p ∈ U , terı́amos θc (p) ≤ 0,
o que é um absurdo. Portanto, Hr+1 também é positivo em U . Isto prova que U = U .
Como M n é conexo, temos que U = M n . Logo, Hr+1 > 0 em M n .
Agora, lembrando que Sr = nr Hr e usando (3.5) na Proposição 2.3.1, obtemos
(i) Se c 6= 0,
Lr θc = −c[(n − r)Sr θc + (r + 1) hX, ηi Sr+1 ]
= −c[(n − r)nr Hr θc + (r + 1) hX, ηi nr+1 Hr+1 ].
Como nr+1 (r + 1) = nr (n − r), temos
Lr θc = −cnr (n − r)[Hr θc + Hr+1 hX, ηi] = 0,
isto é,
Lr θc = 0 em M n , se c 6= 0.
61

(ii) Se c = 0,
Lr |X|2 = [(n − r)Sr + (r + 1)Sr+1 hX, ηi]
= [(n − r)nr Hr + (r + 1)nr+1 Hr+1 hX, ηi]
= (n − r)nr [Hr + Hr+1 hX, ηi],
ou seja,
Lr |X|2 = 0 em M n , se c = 0.
Usando o item (a) da Proposição 2.2.1, temos que
Z
Z
Z
1
2
Lr (θc ) =
θc Lr θc +
hPr (gradM θc ), gradM θc i .
2 M
M
M
Logo, pelo Teorema da Divergência,
Z
hPr (gradM θc ), gradM θc i = 0.
M

Visto que Hr+1 > 0 em M n , Lr é elı́ptico, ver [5], p. 280, Proposição 3.2. Logo Pr é
positivo definido e, portanto,
gradM θc = 0,
isto é,
θc = cte. em M n , se c 6= 0.
Analogamente, concluı́mos que
|X|2 = cte. em M n , se c = 0.
.
Assim, em qualquer caso, x(M n ) é uma esfera geodésica em Qn+1
c


62

Referências Bibliográficas
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[4] Alencar, H. e Frensel, K. Hypersurfaces whose tangente geodesic omit a nonempty
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63

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Índice Remissivo
Aplicação
diferenciável, 14
exponencial, 19
Bola normal (geodésica), 20
Campo
de vetores, 15
paralelo, 17
Codimensão, 15
Colchete, 16
Componente
normal, 27
tangencial, 27
Conexão
afim, 17
compatı́vel, 18
Levi - Civita (Riemanniana), 18
normal, 28
simétrica, 18
Curva, 15
Curvatura, 25
de Gauss-Kronecker, 9, 28, 30
escalar, 9, 30
média, 9, 28, 30
seccional (Riemanniana), 26
Curvaturas principais, 28
Derivada covariante, 17
Diferencial, 15
Direções principais, 28
Divergência, 22

diferenciável, 13
Riemanniana, 16
Fibrado tangente, 15
Formas espaciais, 26, 37
Função
distância geodésica, 10, 37
volume, 57
Geodésica, 18
Gradiente, 21
Hessiana, 23
Hipersuperfı́cie, 20, 28
Imersão, 15
estável, 11, 57, 58, 60
geodésica, 28
isométrica, 17
Isometria, 16
local, 16
Laplaciano, 25
Métrica Riemanniana, 16
Mergulho, 15
Operador
de Weingarten, 28
linearizado, 9, 10, 33, 37
Parametrização, 13
Referencial, 20
geodésico, 20
ortonormal, 20

Equação de Codazzi, 29
Esfera normal (geodésica), 11, 20, 55, 58,
60, 61
Segunda Forma Fundamental, 28
Estabilidade, 57
Sistema de coordenadas, 13
Estrutura
Subvariedade, 15
65

Teorema da Divergência, 25
Traço, 22
Transformação de Newton, 9, 30
Variação, 57
Variedade
compacta, 14
completa, 20
diferenciável, 13
orientável, 15
Riemanniana, 16
Vetor tangente, 15
Vizinhança
coordenada, 13
normal (geodésica), 20

66