Dissertação

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                    Instituto de Matemática
Universidade Federal de Alagoas

Existência e Estabilidade de Soluções do
Tipo Ondas Solitárias para a Equação
Korteweg-de Vries (KdV)

autor: Isnaldo Isaac Barbosa
orientador: Amauri da Silva Barros

Outubro, 2009

Existencia e Estabilidade de Solucoes do Tipo Ondas Solitarias
para a Equacao Korteweg-de Vries (KdV)

Dissertacao de Mestrado na area de concen
tracao de Analise submetida em 06 de out
ubro de 2009 a Banca Examinadora, desig
nada pelo Colegiado do Programa de P6s
Graduacao em Maternatica da Universidade
Federal de Alagoas, como parte dos req
uisitos necessaries a obtencao do grau de
mestre em Maternatica.

Banca Examinadora:

Dr. Adan Jose Corcho Fenandez-Uf

cL2

2

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale

B238e

Barbosa, Isnaldo Isaac.
Existência e estabilidade de soluções do tipo ondas solitárias para a equação
Korteweg-DE Vries (KdV) / Isnaldo Isaac., 2009.
68 f.
Orientador: Amauri da Silva Barros.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2009.
Bibliografia: f. 67-68.
1.

Equações diferenciais. 2. Ondas (Matemática). I. Título.
CDU: 517.9

Agradecimentos

Primeiramente agradeço a Deus por ter me tirado do lamaçal do pecado e posto nos
seus caminhos. Agradeço a minha amada, Sirlene Vieira de Souza, que esteve sempre ao meu
lado nos momentos felizes e nos momentos tristes. Agradeço também aos Professor Doutores
Amauri Barros, Adán Corcho, Krerley Oliveira, Marcos Petrúcio, Adelaı́lson Peixoto e Adriano Aguiar pela grande contribuição e incentivo que foi dada à minha formação acadêmica e
profissional. Quero agradeçe ao Marcos Petrúcio, aos Professores Mestres Paulo Lemos, Francisco Barros e Adroaldo Dorvillé pelos excelentes cursos ministrados, em particular ao último,
responsável por quatro disciplinas importantes na minha formação.
Agradeço aos amigos que ganhei durante o curso de Mestrado em Matemática pelas
boas conversas, ambiente agradável e crı́ticas construtivas.
Agradeço aos meus companheiro de todas as horas: Adriano Barbosa, Karla Katerine, Abrãao Rêgo, Joab Jucá e Gregório Manoel, pela amizade e apoio. Gostaria de citar todos
que contribiram para esta conquista mas isto consumiria muitas páginas.

i

Resumo

Neste trabalho demonstraremos um teorema de Boa Colocação Local e em seguida
de Boa Colocação Global para a Equação Korteweg-de Vries nos espaços de Sobolev fazendo
uso das leis de conservação desta equação, das propriedades do grupo associada a mesma e
de algumas estimativas obtidas por Kenig, Ponce e Vega em ([6]). Demonstraremos ainda a
existência e estabilida de soluções tipo ondas solitárias para a Equação Korteweg-de Vries, para
obter o resultado de estabilidade usamos o Lema de Compacidade Concentrada de P. Lions,
nesta parte o resultado de boa colocação global é utilizado de forma essencial, assim como as
leis de conservação para esta equação, pois para utilizar esta técnica resolvemos um problema
variacional de minimização. A última parte desta dissertação esta baseada no trabalho de Jonh
Albert ([20]).

iii

Abstract

In this paper we demonstrate a theorem of Well-Posedness Local and followed
by Well-Posedness Global Equation Korteweg-de Vries in Sobolev spaces by making use of
conservation laws of this equation, the properties of the group associated with it, and some
estimates obtained by Kenig , Ponce and Vega in ([6]). We also demonstrated the existence and
stability of solitary wave type solutions for Equation Korteweg-de Vries, to obtain the result
of stability we use the lemma Concentrated compactness of P. Lions, in part the result of good
global placement is used in a critical, and the conservation laws for this equation, because using
this technique to solve a variational minimization problem. Latter part of this thesis is based on
the work of John Albert ([20]).

v

Sumário

Introdução

1

1

Preliminares
1.1 Resultados Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 A Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 O Espaço de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Distribuições Temperadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Operação de Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Derivadas Fracionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Os Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Espaços de Banach Mistos e suas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Variação de Gâteaux e derivada de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
7
8
11
12
13
13
15
18

2

Boa Colocação Local e Global para a Equação Korteweg-de Vries
2.1 Sistemas Integráveis e Leis de Conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 KdV Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Estimativas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 O problema de Cauchy para a equação KdV em espaços de Sobolev H s (R),
com s > 3/4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Boa Colocação Global para a equação KdV em espaços de Sobolev H s (R),
com s ≥ 1, s ∈ N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
23
26
27

Existência e Estabilidade de soluções tipo Ondas solitárias para a Equação KdV
3.1 Existência de soluções tipo Ondas solitárias para a Equação KdV . . . . . . . .
3.2 Lema de Compacidade Concentrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Estabilidade de soluções tipo Ondas Solitárias para a Equação KdV . . . . . .

45
45
48
50

3

Referências Bibliográficas

31
43

70

vii

Introdução

Nossa proposta neste trabalho é estudar um resultado de boa colocação global e as
propriedades de existência e estabilidade de soluções tipo ondas solitárias para a Equação de
Korteweg-de Vries (KdV)
ut + uux + uxxx = 0

(1)

para x, t ∈ R e u(x, t) ∈ R, ou seja, u : R × R −→ R.
Associado a esta equação temos o Problema de Valor Inicial (PVI)

ut + uux + uxxx =
0,
u(x, 0)
= u0 (x).

(2)

A equação (1) possui infinitas leis de conservação, sendo duas delas muito úteis, a saber, o
momento
Z
1
u2 dx
M (u) =
2 R
e a energia
1
E(u) =
2

Z 
 
1 3
2
(ux ) − u dx .
3
R

Estas duas quantidades são importantes tanto na demonstração da boa colocação global, como
na investigação de estabilidade.
Destacamos que cronologicamente, o primeiro tratamento matemático do problema da estabilidade de ondas solitárias foi feito por Jeseph Valentin Boussinesq, em 1871, com relação às
ondas solitárias associadas à equação
 2

3u
2 uxx
utt − ghuxx − gh
+h
= 0.
(3)
2h
3 xx
1

Tal equação, que viria a ser conhecida como equação de Boussinesq clássica, modela a propagação
unidimensional de ondas de água ao longo de um canal com fundo plano e profundidade constante h, as quais têm um largo comprimento de onda e uma pequena amplitude em comparação
com h. Assim, a elevação u da superfı́cie de água, considerada como função da coordenada x
ao longo do canal e do tempo t, satisfaz aproximadamente à equação (3), onde g é a aceleração
gravitacional. Usando esta equação, Boussinesq obteve uma representação explı́cita de ondas
solitárias,
u(x, t) = φ(x − ct),
em termos de funções elementares, a saber, φ(z) = k1 (c)sech2 (k2 (c)z), onde k1 (c) = 3c/2,
k2 (c) = c/2. O tipo de estabilidade que Boussinesq estudou foi aquele chamado de estabilidade
orbital, o qual consiste essencialmente em ver que uma pequena pertubação da onda solitária
φ irá evoluir pelo fluxo gerado por (3) sem fortes mudanças de forma e perto da onda φ, para
todo tempo t. Atualmente, sabe-se que seus resultados formais continham algumas lacunas.
A primeira prova rigorosa da estabilidade de ondas solitárias assoaciada à equação de evolução
não-lineares apareceu um século mais tarde, em 1972, apresentada por T. B. Benjamim, sobre
as ondas solitárias associadas à equação KdV (1). Tais ondas são dadas por
φ(x − ct) = k1 (c)sech2 (k2 (c)(x − ct)) .

(4)

Quanto a resultados de Boa Colocação Local e Global, Kenig, Ponce e Vega, fazendo uso
do Lema de Compacidade Concentrada de Lions nos espaços de Bourgain tem obtidos bons
resultados, apresentaremos alguns resultados neste dissertação.
No primeiro capı́tulo desta dissertação apresentamos os resultados que serão utilizados no
decorrer deste trabalho. No capı́tulo seguinte apresentamos as ferramentas a serem usadas
para se obter a boa colocação local e em seguida global para a equação KdV nos espaços de
Sobolev. Iniciamos o último capı́tulo mostrando a existência de soluções tipo onda solitária
para a equação KdV, em seguida apresentamos o Lema de Compacidade Concentrada de Lions
o qual não demonstramos. Porém explicamos como usaremos o mesmo para obtermos o resultado de estabilidade. Por fim, encerramos este capı́tulo demonstrando que as soluções tipo onda
solitária formam um conjunto orbitalmente estável em H1 (R), obeservando que
kuk2H1 (R) = kuk2L2 (R) + kuk2L2 (R)
com respeito ao fluxo gerado pela equação KdV (1).
Para o bom entendimento do que pretendemos fazer, segue abaixo a definição do que entendemos por Boa Colocação.
2

Definição 0.1 (Boa Colocação) Dados X e Y dois espaços de Banach e T0 ∈ (0, +∞), dizemos que o problema de Cauchy

∂t u(t) = F (t, u(t)) ∈ X,
(5)
u(0)
= φ ∈ Y.
onde F : [0, T0 ] × Y −→ X é uma função contı́nua, é localmente bem posto se
(a) existe T ∈ (0, T0 ] e uma função u ∈ C([0, T ]; Y ) tal que u(0) = φ e a equação diferencial
é satisfeita no sentido que
lim

h−→0

u(t + h) − u(t)
− F (t, u(t))
= 0, ∀t ∈ [0, T ],
h
X

onde as derivadas em 0 e T são calculdas à direita e à esquerda;
(b) o problema (5) tem, no máximo, uma solução em C([0, T ]; Y );
(c) a aplicação φ 7−→ u é contı́nua. Mais precisamente, sejam φn ∈ Y , n ∈ N, tal que
−→
φn Y φ∞ , e sejam un ∈ C([0, Tn ]; Y ) as correspondentes soluções. Seja T ∈ (0, T∞ ).
Então as soluções un podemser estendidas ao intervalo [0, T ] para todo n suficientemente
grande e
lim sup kun (t) − u(t)kY = 0.
n−→∞ t∈[0,T ]

Se qualquer uma dessas condições não for satisfeita, o problema é dito mal-posto.
Os principais resultados deste trabalho são:
Teorema de Boa Colocação Local
Consideremos o PVI (2.16) e seja s > 3/4. Então para cada u0 ∈ H s (R) existe T =
T (||u0 ||Hs ) > 0 (com T (ρ) → ∞ para ρ → 0) e uma única solução u(t) de (2.16) satisfazendo
u ∈ C([−T, T ] : H s (R)),
∂x u ∈ L4 ([−T, T ] : L∞ (R)),
∂u
< ∞,
Dxs
∂x L∞
2
x L

(6)
(7)
(8)

T

kukL2x L∞ < ∞.
T

(9)

Além disso, para qualquer T 0 ∈ (0, T ) existe uma vizinhança V de u0 em H s (R) tal que a
função u
e0 → u
e(t) de V sobre a classe definida por (2.17)-(2.20) com T 0 no lugar de T é
Lipschitz.
3

Teorema de Boa Colocação Global
Se s ∈ N, então o PVI (2) é globalmente bem posto em Hs (R).
Teorema de Estabilidade Orbital
Para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que se
ku0 − φc kH1 (R) < δ,
então a solução u(x, t) do PVI (2) com u(x, 0) = u0 satisfaz
inf ku(·, t) − φc (· + y)kH1 (R) < ε, ∀t ∈ R.

y∈R

4

1

Preliminares

Neste capı́tulo temos como objetivo apresentar a teoria necessária para o desenvolvimento dos capı́tulos posteriores deste trabalho.

1.1

Resultados Básicos

Nesta seção escreveremos algumas desigualdades e teoremas que serão aplicados nos próximos
capı́tulos.
Iniciamos fixando a notação de alguns espaços de funções.
O conjunto de todas as funções de U ⊂ Rn em R que são k vezes diferenciáveis e sua késima derivada é contı́nua será denotado por C k (U ). O conjunto das funções de U ⊂ Rn em
R que são infinitamente diferenciáveis será donotado por C ∞ (U ). Quando escrevermos C0k (U )
estaremos falando das funções que pertencem a C k (U ) porém tendem a zero quando a variável
independente se aproxima da fronteira do conjunto. Analogamente, definimos C0∞ (U ).
Agora definimos os espaços Lp (Rn ).
Definição 1.1 Seja 1 ≤ p ≤ ∞ e U ⊂ Rn . Denotaremos por Lp (U ) o conjunto de todas as
funções f : U → C mensuráveis, tais que
 Z
1/p

p

|f (x)| dx
< ∞, se 1 ≤ p < ∞,
kf kLp (U ) =
U

 sup |f (x)| < ∞, se p = ∞.
x∈U

Nos espaços Lp (U ) temos as seguites desigualdades:
5

(1.1)

Lema 1.1 Considere p, q ≥ 1 e

1 1
+ = 1.
p q

(i) Desigualdade de Hölder: Sejam f ∈ Lp (R) e g ∈ Lq (R). Então f g ∈ L1 (R) e
kf gkL1 (R) ≤ kf kLp (R) kgkLq (R) .

(1.2)

(ii) Desigualdade Integral de Minkowski:
 p1
p  p1 Z Z
Z Z
p
|f (x, y)| dx dy
|f (x, y)| dy
≤
dx.
X

Y

Y

X

(iii) Desigualdade de Young: Dados a, b > 0 tem-se que
1
1
ab ≤ ap + bq .
p
q

(1.3)

Além disso, para todo ε > 0 tem-se que existe Cε > 0 tal que
ab ≤ εap + Cε bq .

(1.4)

Demonstração. Demonstraremos apenas as duas última desigualdade, a primeira pode ser
encontradas em diversos textos de análise funcional, por exemplo, em [11].
Demonstração
do item (ii). A afirmação é clara se p = ∞. Se p < ∞ fazemos F (x) =
Z
|f (x, y)| dy. Pelo teorema de dualidade e pela desigualdade de Hölder, segue que
Y

kF kLp0 =
x

sup

|f (x, y)| dy dx

g(x)

kgk p0 =1

Y

X

Lx



Z

Z

Z Z
=

|f (x, y)| g(x)dxdy

sup
kgk p0 =1

Y

Lx

X

Z
≤

sup
kgk p0 =1
Lx

Y

kf kLpx kgkLp0 dy
x

Z
=
Y

kf kLpx dy.

Deste modo,
|f (x, y)| dy
X

 p1

p

Z Z

dx

Z Z
≤

Y

Y

6

X

 p1
|f (x, y)| dx dy.
p

Demonstração do item (i). Como a, b > 0, temos que
a · b = exp(log(a · b))
= exp(log a + log b)


1
1
p
q
= exp
log a + log b
p
q
1
1
≤
exp (log ap ) + exp (log bq )
p
q
1 p
1
=
a + bq .
p
q

(pela convexidade de exp(x))

Isso demonstra a primeira afirmação. Para mostrar a segunda afirmação basta observar que para
todo ξ > 0, usando a afirmação já provada, temos que
a · b = ξa ·

1 q
ξp
b
≤ ap +
b.
ξ
p
qξ q

Agora, dado ε > 0 tomamos ξ > 0 satisfazendo ε = ξ p /p, ou seja, ξ = (pε)1/p , isso prova a
1
ε1−q
segunda afirmação onde Cε = q = q−1 .
qξ
qp

Apresentaremos agora o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que será utilizado para provar a
boa colocação local e global.
Teorema 1.1 (Teorema Ponto Fixo de Banach.) Se M é um espaço métrico completo, toda
contração f : M → M possui um único ponto fixo em M . Mais precisamente, se escolhermos
um ponto qualquer x0 ∈ M e x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), ..., xn+1 = f (xn ), ... a seqüência (xn )
converge em M e a = lim xn é o único ponto fixo de f .
Demonstração. Por ser um resultado clássico não o demonstraresmo aqui, porém podemos
citar ([7]) como uma boa referência para a demonstração deste resultado.


1.2

A Transformada de Fourier

Nesta seção estudaremos as principais propriedades da transformada de Fourier no espaço
de Schwarz S(R) e em seguida apresentação de forma sucinta as Distribuições Temperadas
7

(definimos os conjunto das Distribuições Temperadas como sendo o dual topológico do espaço
de Schwarz). Para finalizar, definiremos a convolução para funções não-periódicas e apresentamos, através da Transforma de Fourier, o que entedemos por derivadas Fracionárias.

1.2.1

O Espaço de Schwartz

Definição 1.2 O Espaço de Schwartz, que denotaremos por S (R), é a coleção das funções
f : R → C infinitamente diferenciáveis em R tais que, para todos α, β ∈ Z+ , existe uma
constante Cα,β com
xα f (β) (x) ≤ Cα,β , ∀x ∈ R,

(1.5)

onde f (β) é a β-ésima derivada de f .
Note que se f ∈ S(R) então |x2 f (β) (x)| ≤ C2,β e portanto |f (β) (x)| ≤ C2,β /x2 . Com isso,
podemos concluir que f (β) ∈ Lp (R) quaisquer que sejam p ∈ [1, +∞] e β ∈ N. Esta observação
prova que S(R) ⊂ Lp (R) com p ∈ [1, +∞], o teorema abaixo nos fornece uma propriedade do
espaço de Schawartz bastante explorada neste trabalho, de forma implı́cita.
Teorema 1.2 O espaço de Schwartz, é denso em Lp (R) com p ∈ [1, +∞].
( n
)
X
Demonstração. Sabemos que o conjunto S =
χAj das combinações lineares de funções
j=1

caracterı́sticas χAj de subconjuntos Aj ⊂ R mensuráveis e limitados é denso em Lp (R). Então,
só resta mostrar que se A ⊂ R for limitado e mensurável , para cada ε > 0, existe φ ∈ S(R) tal
que kφ − χA kLZp < ε. Com efeito, dado ε > 0, sejam K um compacto e O um aberto tais que
χpO−K (x)dx < εp . Escolhamos φ ∈ C0∞ (R) com 0 ≤ φ ≤ 1, supp φ ⊂ O e

K⊂A⊂Oe
R

φ K = 1. Então
kφ − χA kpLp (R) =

Z

p

Z

|φ − χA | dx =
R

χpO−K (x)dx < εp .

R


Proposição 1.1 Se f ∈ S(R), então a função g(x) = xα f (β) (x) também está em S(R), quaisquer que sejam α, β ∈ Z+ .
0

0

Demonstração. A função g é infinitamente diferenciável e xα g (β ) (x), quaisquer que sejam
α0 , β 0 ∈ Z+ , é uma soma finita de termos da forma xn f (m) (x), logo limitada.

8

Agora daremos a definição da Transformada de Fourier em S(R).
Definição 1.3 A função fb : R → C dada por
fb(ξ) = (2π)−1/2

Z

f (x) e−iξx dx, com ξ ∈ R,

(1.6)

R

é chamada transformada de Fourier da função f : R → C.
Teorema 1.3 Se f ∈ S (R), então fb ∈ S (R).
Demonstação. Se α , β ∈ Z+ , obtemos

ξ α fˆ(β) (ξ) = (−i)β+α (iξ)α xβ f b(ξ)
 α


d
β+α
β
= (−i)
x f b(ξ)
dxα
= gb (ξ) ,

dα
onde g = (−i)β+α α xβ f . Então, vemos que g ∈ S(R) ⊆ L1 (R), logo gb é limitada, isto é,
dx
ξ α fˆ(β) (ξ) é limitada, o que prova que fb ∈ S(R).

Assim, podemos saber quem é o espaço das transformadas de S(R):
Teorema 1.4 A transformada de Fourier define uma bijeção linear de S(R) em si mesmo e sua
inversa é dada por
1
f (x) = √
2π
∨

Z +∞

f (ξ) eiξx dξ, x ∈ R, f ∈ S(R).

(1.7)

−∞

Agora podemos iniciar o estudo do tema central desta seção, a saber, o comportamento da
transformada de Fourier em S(R).
Teorema 1.5 Seja f ∈ S (R). Então f (α) ∈ S (R) para todo α ∈ N e

f (α) b(ξ) = (iξ)α fb(ξ), ξ ∈ R.
9

(1.8)

Demonstração. Já vimos que f (α) ∈ S (R) para todo α ∈ N. Agora note que integrando por
partes obtem-se,
−1/2

0

Z +∞

(f )b(ξ) = (2π)

f 0 (x) e−iξx dx


−∞
Z +∞
−1/2
−iξx
−iξx x=∞
(−iξ)f (x) e
dx
f (x) e
|x=−∞ −
= (2π)
−∞


Z +∞
−1/2
−iξx
−iξx x=∞
f (x) e
dx
f (x) e
|x=−∞ + iξ
= (2π)
−∞

= iξ fb(ξ) , ξ ∈ R,
pois os termos de fronteira são nulos uma vez que f ∈ S (R). Agora, vamos utilizar indução
simples e integração por partes, para concluir a demonstração. Suponha que a sentença é válida
para todo β ∈ N tal que β < α. Então
f

(α)


b(ξ) = (2π)−1/2

Z +∞

f (α) (x) e−iξx dx

−∞
x=+∞

−1/2

f (α−1) e−iξx

= (2π)

Z +∞
+iξ

x=−∞

= iξi

!
f (α−1) (x) e−iξx dx

−∞

α−1 α−1 b

ξ

f (ξ)

α αb

= i ξ f (ξ) .
o que completa a demonstração.

α

d
dxα
agindo em S (R) é transformado no operador de multiplicação por (iξ)α . Por exemplo se α = 2
temos,
O teorema acima tem extrema relevância na teoria. O mesmo nos diz que o operador



d2 f
− 2
dx

∧

(ξ) = ξ 2 fb(ξ) .

(1.9)

Isso nos permite transformar equações diferenciais ordinárias em equações algébricas e nos
pemitirá, mais tarde, reduzir equações diferenciais parciais a equações diferenciais ordinárias.
Tendo em vista as observações precedentes, é natural tentar identificar a imagem de S (R) sob
a transformada de Fourier e descobrir se podemos invertê-la.
10

Proposição 1.2 Se f ∈ S (R) então fb é infinitamente diferenciável e vale

fˆ(β) (ξ) = (−i)β xβ f b(ξ) .

(1.10)

Demonstração. Derivando sob o sinal de integração, mostramos que fb é infinitamente diferenciável e
Z +∞
∂ (β)
−1/2
(β)
ˆ
f (ξ) = (2π)
f (x) e−iξx dx
∂ξ
−∞
Z +∞
(−ix)β f (x) e−iξx dx
= (2π)−1/2
−∞

β
β
= (−i) x f b(ξ).


1.2.2

Distribuições Temperadas

Vamos agora introduzir um produto interno em S(R): se f, g ∈ S(R),
Z +∞
(f |g) =
f (x)g(x)dx.

(1.11)

−∞

Podemos mostrar que (·|·) definido em (1.11) é de fato um produto interno em S(R) (veja a
proposição 1.1 do capı́tulo 6 de [1]). Se f ∈ S(R), definiremos
1/2
Z +∞
2
1/2
|f (x)| dx
.
(1.12)
kf kL2 (R) = (f |f ) =
−∞

Pelo Teorema da Representação de Riesz, todo funcional linear T : S(R) → R é da forma
T (φ) = (f |φ), para algum f ∈ S.
Definição 1.4 O conjunto das distribuições temperadas, denotado por S 0 (R), é o dual topológico
de S(R). Em outras palavras, T ∈ S 0 (R) se e só se T : S(R) → R é um funcional linear
contı́nuo. Notemos que para verificar que um funcional linear T : S(R) → R é contı́nuo, basta
provar que T ϕk → 0 para toda ϕk → 0.
Vamos considerar o seguinte exemplo: os elementos de Lp (R) com 1 ≤ p ≤ ∞ definem
distribuições temperadas através da fórmula
Z
Tf (ϕ) =
f (x)ϕ(x)dx, f ∈ Lp (R), ϕ ∈ S(R).
(1.13)
R

11

De fato, pela desigualdade de Hölder, temos,
|Tf (ϕ)| ≤ kf kLp kϕkLq , p−1 + q −1 = 1

(1.14)

e a afirmação acima segue de (1.14).

1.2.3

Operação de Convolução

Definição 1.5 Se f ∈ L1 (R) e g : R → C é limitada e seccionalmente contı́nua em qualquer
intervalo fechado, a convolução de f e g é a função f ∗ g : R → C definida por
Z +∞
f (y) g (x − y) dy, x ∈ R.
(1.15)
(f ∗ g) (x) =
−∞

Uma observação importante a fazer é que, a integral em (1.15) converge, pois como g é limitada,
existe M > 0 tal que
|g (x)| ≤ M, ∀x ∈ R,
e portanto
Z +∞
|f (y) g (x − y)| ≤ M |f (y)| ⇒
−∞

|f (y) g (x − y)| dy ≤ M kf kL1 (R) < +∞.

O estudo da convolução para funções de L1 (R) é bem delicado. Se f e g são funções de
L1 (R), não é verdade, em geral, que o produto f g pertença a L1 (R); portanto, para tais funções
a integral em (1.15) pode não estar definida para todo x. Por esse motivo, vamos estudar a
convolução no espaço de Schwarz, que é um bom espaço para a convolução. Mostraremos mais
adiante que a convolução de fato define uma operação em S.
Proposição 1.3 Sejam f, g, h ∈ S(R) e λ ∈ C. Então:
(a)f ∗ g ∈ S(R),
(b) f ∗ g = g ∗ f ,
(c) (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h),
(d) (f + g) ∗ h = f ∗ h + g ∗ h,
(e) (λf ) ∗ g = λ(f ∗ g) = f ∗ (λg).
Demonstração. A demonstração dos itens acima segue usando alguns teoremas de análise.

Nota 1.1 Salientamos que a expressão (f ∗ g) ∗ h faz sentido uma vez que f ∗ g ∈ L1 (R) pelo
lema anterior e h é limitada.
12

Teorema 1.6 Se f, g ∈ S(R), então
(f ∗ g)b(ξ) =

√
2π fb(ξ)b
g (ξ), ∀ξ ∈ R.

(1.16)

Além disso vale a identidade de Parseval
kf k2L2 (R) = kfˆk2L2 (R) .

(1.17)

Demonstração. Ver ([18]).

1.2.4

Derivadas Fracionárias

A partir da Transformada de Fourier podemos generalizar a noção de derivadas.
Podemos ver a derivação como um operador de S(R) em S(R), ou seja,
D : S(R) → S(R)
f
7→ f 0 .
Assim, fica bem definido o que viria a ser a k-ésima derivada de uma função; bastaria aplicar o
operador D k-vezes à função em questão.
Tendo em vista o operador acima, fixando s ∈ R, definimos o seguinte Operador de Riesz:
Ds : S(R) → S(R)
f


∨
7→ Ds f := (iξ)s fb .

Pelo que já vimos, se s ∈ N esta noção coincide com a derivada já conhecida.

1.3

Os Espaços de Sobolev

Seja s ∈ R. Os espaços de Sobolev (do tipo L2 ) em R são os seguintes subconjuntos de
S (R):
o
n
s
0
2
s
2 2 ˆ
f (ξ) ∈ L (R) .
H (R) = f ∈ S (R) ; 1 + ξ
0

O espaço H s (R) , s ∈ R, é de Hilbert quando munido do produto interno
13

Z

1 + ξ2

hf, gis :=

s

fˆ (ξ) ĝ (ξ)dξ.

R

A norma proveniente deste produto interno é
Z
2
s
2
kf kHs (R) =
1 + ξ 2 fˆ (ξ) dξ.

(1.18)

R

Em particular, H 0 (R) = L2 (R). No caso de s ∈ N, temos que
kf k2Hs (R) =

s
X

2

∂xj f L2 (R) .

(1.19)

j=0

Também utilizaremos os espaços de Sobolev homogêneos, definidos para s ∈ R por
n
o
0
Ḣ s := Ḣ s (R) = f ∈ S (R) ; Ds f ∈ L2 (R) ,
com
sf
d
kf kH˙ s = D

L2 (R)

.

(1.20)

Note que se f ∈ H s (R), então
Z ∞
kf kH˙ s =

sf
d
D

L2 (R)

|ξ|

=

s
2

2

fˆ (ξ) dξ

 12
< ∞.

−∞

Logo, concluı́mos que H s (R) ⊆ Ḣ s (R), para todo s ∈ R.
Exibiremos agora algumas propriedades dos espaços definidos anteriormente.
Proposição 1.4 Propriedades dos espaços de Sobolev.
0

(i) Se s < s0 , então Hs (Rn ) ⊆ Hs (Rn );
(ii) Se s1 ≤ s ≤ s2 , com s = θs1 + (1 − θ)s2 , 0 ≤ θ ≤ 1, então
1−θ
kf kHs (R) ≤ kf kθHs1 (R) kf kH
s2 (R) .

14


Definição 1.6 Sejam X e Y espaços de Banach. Diremos que X está imerso compactamente
em Y , e escreveremos
X ,→ Y,
quando:
(i) kxkY ≤ C kxkX , ∀x ∈ X e alguma contante C.
(ii) Cada sequência limitada em X é pré-compacta em Y .
Teorema 1.7 (Rellich-Kondrachov) Assuma que U contido em Rn é aberto e limitado com
∂U de classe C 1 . Suponha 1 ≤ p < n. Então,
H1 (U ) ,→ Lq (U ),
para cada 1 ≤ q <

(1.21)

2n
.
n−2


Teorema 1.8 (Desigualdade de Gagliardo-Niremberg) Sejam q, r ∈ [1, +∞) e j, m ∈ N ∪
{0}, tal que 0 ≤ j ≤ m. Então
k∂xj ukLp (R) ≤ C(j, m, q, r, θ)k∂xm ukLr (R) · kukLq (R)
para todo θ ∈ [

j
, 1] e p satisfazendo
m
1
=j+θ
p




1
1
− m + (1 − θ)
r
q

A demonstração pode ser vista em ([17]).


1.4

Espaços de Banach Mistos e suas Propriedades

Para 1 ≤ p, q < ∞. Lpx LqT é o espaço de Banach Misto definido por
o
n
p q
Lx LT := f : R × [−T, T ] :−→ R; kf kLpx Lq < +∞ ,
T

15

onde

Z

kf kpLq [−T,T ]

kf kLpx Lq =
T

1/p

Z +∞ Z T
=
−∞

R

 pq ! p1
.
|f (x, t)|q dt dx

(1.22)

−T

Quando p = ∞ ou q = ∞ usaremos uma definição similar, envolvendo a norma do supremo
essencial. O espaço LpT Lqx é definido como acima, invertendo-se apenas a ordem de integração.
Vale mencionar também que se escrevemos T = ∞ na norma acima significa

Z
kf kLpx Lqt =

kf kpLq (R)

1/p

Z +∞ Z +∞
=
−∞

R

 pq ! p1
.
|f (x, t)|q dt dx

−∞

Um resultado que será utilizado com muita frequência é a desigualdade:

∞ 2
2 2
Lema 1.2 Sejam f ∈ L2x L∞
T e g ∈ Lx LT , então f g ∈ Lx LT e vale

kf gkL2x L2 ≤ kf kL2x L∞ kgkL∞
2 .
x L
T

T

16

T

(1.23)

Demonstração. Pela desigualdade de Hölder, (1.2) temos
Z +∞ Z T
kf gkL2x L2

T

=
−∞

 21
|(f g)(x, t)| dtdx
2

−T

Z +∞ Z T
=
−∞

|f (x, t)|2 |g(x, t)|2 dtdx

−T

! 21

Z +∞ Z T
≤

sup



|f (x, t)|2 |g(x, t)|2 dtdx

−T t∈[−T,T ]

−∞

Z +∞
=

sup



|f (x, t)|2

Z +∞
≤

sup

sup

=

|g(x, t)|2 dtdx

−T



Z T

|f (x, t)|2

sup
x

−∞ t∈[−T,T ]

Z +∞

! 21

Z T

−∞ t∈[−T,T ]



|f (x, t)|2 dx sup

sup {|f (x, t)|}

−T

dx

t∈[−T,T ]

−∞

! 21
|g(x, t)|2 dt

 21

!2

= 

Z T

x

Z +∞

 ! 21
|g(x, t)|2 dt dx

−T

−∞ t∈[−T,T ]



 21

Z T
sup
x

 12 !
|g(x, t)| dt
2

−T

= kf kL2x L∞ kgkL∞
2 ,
x L
T

T

o que prova o Lema.

Teorema 1.9 (Teorema das Três Linhas) Seja F uma função contı́nua e limitada definida sobre
S = {z = x + iy; 0 ≤ x ≤ 1}
com F analı́tica no interior de S. Se para cada y ∈ R
|F (iy)| ≤ M0 e |F (1 + iy)| ≤ M1 ,
então para todo z = x + iy ∈ S
|F (x + iy)| ≤ M01−x M1x .
Este teorema apesar de seu aspecto simples tem como consequência resultados fortes como por
exemplo o teorema de Riesz-Thorin enuciado abaixo.
17

Teorema 1.10 (Riesz-Thorin) Sejam p0 6= p1 e q0 6= q1 . Seja T um operador linear limitado
de Lp0 (X, A, µ) em Lq0 (Y, B, ν) com norma M0 e de Lp1 (X, A, µ) em Lq1 (Y, B, ν) com norma
M1 . Então T é limitado de Lpθ (X, A, µ) em Lqθ (Y, B, ν) com norma Mθ tal que
Mθ ≤ M01−θ M1θ .
kT f kqθ
com
f 6=0 kf kpθ

Aqui, Mθ = sup

1−θ
θ
1
1−θ
θ
1
=
+ ,
=
+ , ∀θ ∈ (0, 1).
pθ
p0
p1 qθ
q0
q1
Demonstração: A demonstração do mesmo pode ser encontrada em [10].
Lema 1.3 Sejam α ∈ (0, 1) e α1 , α2 ∈ [0, α] onde α = α1 + α2 . Sejam p, p1 , p2 , q, q1 , q2 ∈
1
1
1
1 1
1
(1, ∞) tal que =
+
e =
+ . Então
p
p1 p2 q
q1 q2
kDxα (f g) − f Dxα g − gDxα f kLpx Lq ≤ c kDxα1 f kLpx1 Lq1 kDxα2 gkLpx2 Lq2 .
T

T

T

(1.24)

Além disso, para α1 = 0 o valor q1 = ∞ é permitido.
Demonstração: A demonstração do mesmo é feita no apêndice de [6].

1.5

Variação de Gâteaux e derivada de Fréchet

Nesta seção vamos introduzir alguns conceitos básicos do cálculo variacional. Podemos olhar
o cálculo variacional como o cálculo diferencial no espaço de funções onde tentamos, sobre
espaços apropriados, encontrar curvas que minimizem certos funcionais.
Definição 1.7 Sejam X um espaço de Banach e F : X −→ R um funcional. Se existe um
funcional linear L em X tal que

1
F (u + sh) − F (x) − L(sh) = 0,
s−→∞ s
lim

(1.25)

para todo h ∈ X tal que o limite existe, então δu F (h) := L(h) é chamada de Variação de
Gâteaux de F em u na direção de h ∈ X.
18

Fixando u ∈ X, o subconjunto Λu = {h ∈ X; ∃ δu F (h)} de direções cuja variação de Gâteux
existe é chamado espaço das variações admissı́veis de X. Note que Λu é um subespaço vetorial de X. Com efeito, dados α, β ∈ R e h1 , h2 ∈ Λu temos, pela linearidade de L, que:
αL(h1 ) + βL(h2 ) = L(αh1 + βh2 ),

(1.26)

ou seja, αh1 + βh2 ∈ Λu .
A função δu F : Λu −→ R tal que para cada h associe δu F (h) é chamada de Variação de
Gâteaux de F e u no espaço de variações admissı́veis de X.
Definição 1.8 Se Λu = X, δu F é chamada de derivada de Gâteaux de F em u.
Neste ponto, fazemos a observação se s ∈ R (suficientemente pequeno), podemos pensar numa
função real
s 7−→ F (u + sh)
e logo, se existe a variação de Gâteaux de F em u na direção h, devemos ter
δu F (h) =

d
F (u + sh)
.
ds
s=0

Agora, afim de esclarecer a noção de derivada de Gâteaux e também para uso futuro calcularemos a derivada de Gâteaux de dois funcionais.
Z
1
u2 dx. Pela observação feita
Exemplo 1.1 Seja M : S(R) −→ R definido por M (u) =
2 R
acima, se a deriva de Gâteaux existe na direção u então
δu M (h) =
=
=
=
=

d
M (u + sh)
ds
s=0

 Z
d 1
2
(u + sh) dx
ds 2 R

 Z
Z s=0
Z
d 1
2
2 2
u (x)dx + 2su(x)h(x)dx + s h (x)dx
ds 2 R
R
s=0
Z
 R
 Z

 Z

1 d
d
1
d
2
2
u (x)dx
+
s u(x)h(x)dx
+
s
h(x)dx
2 ds
ds
2 ds
R
R
R
s=0
s=0
s=0
Z
uhdx.
R

Assim, vemos que a derivada de Gâteaux de M em u é o funcional linear δu M (h) = hu, hiL2 (R) ,
onde u, h ∈ C0∞ (R), isso pelo Teorema de Representação de Riesz.
19

Vamos agora para o próximo exemplo.
1
Exemplo 1.2 Defina E : S(R) −→ R por E(u) =
2
lar a derivada de Gâteaux de E.
δu E(h) =
=
=
−
−
=
=
=
=

Z
R

1
u2x dx −
3

Z


u dx . Vamos calcu3

R

d
E(u + sh)
ds
s=0
Z

Z
d 1
1
2
3
[(u + sh)x ] dx −
(u + sh) dx
ds 2
3 R
R
s=0
 Z

 Z

 Z

d
d s2
d 1
2
2
u dx
s ux hx dx
h dx
+
+
ds 2 R x
ds
ds 2 R x
R
s=0
s=0
 Z
 Z
 2Z


 s=0
s
s
d 1
d
d
u3 dx
−
u2 hdx
−
uh2 dx
ds 6 R
ds
2
ds
2
R
R
s=0
s=0
s=0
 Z
d s3
h3 dx
ds 6 R
Z s=0
Z
1
u2 hdx
ux hx dx −
2
RZ
ZR
− uxx hdx − u2 hdx
R

ZR 
1 2
−
uxx + u h dx
2
R
2
h−uxx − u , hiL2 (R) .

Portanto,
δu E(h) = h−uxx − u2 , hiL2 (R) , ∀u, h ∈ C0∞ (R).
Escolhemos estes dois funcionais pois os mesmos estm ligados diretamente com a equação
KdV, como veremos no final do próximo capı́tulo.
Daremos agora a definição de derivada de Fréchet.
Definição 1.9 Seja X um espaço de Banach e F : X −→ R. F é dita diferenciável no sentido
de Fréchet em u ∈ X, se existe um funcional linear limitado em X, denotado por DF (u), tal
que

1 
F (u + h) − F (u) − DF (h) = 0.
khk−→0 khk
lim

20

(1.27)

Se DF (u) = 0, então u é chamado ponto crı́tico de F . Se X0 ⊂ X é um subespaço e DF (u) =
0 como funcional linear em X0 , então u é chamado ponto crı́itico de F em X0 .
Note que se F é diferenciável no sentido de Fréchet em u ∈ X, então existe a derivada de
Gâteaux de F em u. De fato, sendo F diferenciável no sentido de Fréchet,

1 
lim
F (u + h) − F (u) − DF (h) = 0,
khk−→0 khk
ou seja,


1 
1
lim
F (u + sh) − F (u) − DF (sh) = lim
F (u + sh) − F (u) − DF (sh) = 0.
s−→0 s
kshk−→0 kshk
Assim DF (u) = δu F .
Apresentaremos agora o Teorema de Multiplicador de Lagrange para espaços de dimenção infinita.
Teorema 1.11 (Multiplicador de Lagrange) Sejam f, h : X −→ Z dois funcionais continuamente diferenciáveis no sentido de Fréchet. Se o funcional f tem um extremo local restrito
a h(u) = c que é um valor relugar no ponto u0 , então existe um elemento z0∗ ∈ Z ∗ tal que o
funcional Lagrangiano
L(u) = f (u) + z0∗ h(u)
é estacionário em x0 , ou seja,
δu0 f + z0∗ δu0 h = 0.
Este teorema será fundamental na caracterização da órbita da solução tipo onda solitária para a
KdV. Usaremos o mesmo para os funcionais M e E, para obter o resultado de estabilidade das
soluções tipo ondas solitárias.

21

2

Boa Colocação Local e
Global para a Equação
Korteweg-de Vries

Neste capı́tulo demonstraremos a Boa Colocação Local e Global para a Equação
Korteweg-de Vries.
Estes resultados, principalmente o de boa colocação global, são essenciais para obtermos o
resultado sobre estabilidade.
Inicialmente estabeleceremos algumas leis de conservação para a equação KdV e em seguida
encontraremos uma solução formal para a KdV usando a Transformada de Fourier. Feito isto,
demonstraremos algumas estimativas para a KdV e em seguida provaremos um teorema de boa
colocação local. Encerramos este capı́tulo provando um teorema de boa colocação global.

2.1

Sistemas Integráveis e Leis de Conservação

Nesta seção veremos como muitas propriedades das soluções da KdV podem ser obtidas apenas
a partir do estudo da expressão da equação, ou seja, de suas propriedades algébricas.
Lembremos da expressão da Equação KdV
em R × R.

ut + uux + uxxx ,

(2.1)

Estamos interessados nas soluções que tendem a zero quando a variável independente tende ao
infinio juntamente com todas as suas derivadas.
Para começarmos a estudar tais propriedades, reescrevemos a equação (2.1) na seguinte forma:


1 2
(2.2)
ut = ∂x −uxx − u .
2
23

Integrando sobre a reta e lembrando que u → 0 (assim como todas as suas derivadas) quando
x → ±∞, podemos escrever




Z
Z
Z
d
1 2 x=∞
1 2
dx = −uxx − u
= 0.
u dx =
ut dx =
∂x −uxx − u
dt R
2
2
x=−∞
R
R
Ou seja,
Z
u dx = A1 ,
R

onde A1 é uma constante.
Z
T1 dx,

A expressão acima é uma grandeza conservada, ou seja, ao longo do fluxo pela KdV,
R

onde T1 = u, não se altera. Fisicamente significa que a massa não se altera, portanto, temos
uma expressão para a conservação da massa. Podemos começar a procurar por outras grandezas
conservadas, em particular associadas a outras entidades fı́sicas.
Multiplicando a equação (2.1) por u obtemos


uut + uuxxx + u2 ux = uut + (ux uxx + uuxxx ) − ux uxx + u2 ux = 0,

(2.3)

que podemos reescrevê-la na forma




1 2
1 2 1 3
∂t
u + ∂x uuxx − ux + u = 0,
2
2
3
ou ainda,

∂t

1 2
u
2




= −∂x


1 2 1 3
uuxx − ux + u .
2
3

(2.4)

Integrando sobre a reta e lembrando que u → 0 (assim como todas as suas derivadas) quando
x → ±∞, podemos escrever


Z
Z
1 2
d
1 2
u dx =
∂t
u dx
dt R 2
2
R


Z
1 2 1 3
= − ∂x uuxx − ux + u dx
2
3
R

x=∞
1
1
= − uuxx − u2x + u3
= 0,
2
3
x=−∞
ou seja,
Z

u2 dx = A2 ,

R

24

onde A2 é uma constante.
Z

2

Portanto, escrevendo T2 = u temos que

T2 dx é constante, e temos uma segunda lei de
R

conservação, esta associada a conservação do momento.
Com um pouco mais de trabalho podemos obter uma terceira lei de conservação, desta vez
associada a energia.
Multiplicando a equação (2.1) por 3u2 obtemos
3u2 ut + 3u2 uxxx + 3u3 ux = 0.

(2.5)

Agora, derivando a equação (2.1) em relação a x e em seguida multiplicando por 6ux , temos
6ux utx + 6ux uxxxx + 6u3x + 6ux uuxx = 0.

(2.6)

Subtraindo (2.5) de (2.6) obtemos
6ux uxt + 6(ux )3 + 6uux uxx + 6ux uxxxx − 3u2 ut − 3u3 ux − 3u2 uxxx
= 6ux uxt − 3u2 ut + −3u3 ux + (6ux uxxxx + 6uxx uxxx ) + (6uxx uxxx )
+ 6(ux )3 + 12uux uxx + −3u2 uxxx − 6uux uxx = 0,
ou ainda,
2

3

∂t 3(ux ) − u





3 4
2
2
+ ∂x − u + 6ux uxxx − 6uxx + 6uux − 3u uxx = 0.
4

Esta última equação pode ser reescrita como




1 3
1 4
2
2
2
∂t (ux ) − u = −∂x − u + 2ux uxxx − 2uxx + 2uux − u uxx .
3
4

(2.7)

1
Assim obtemos T3 = (ux )2 − u3 que é nova lei de conservação para a equação KdV.
3
É importante notar que sempre que tivermos uma expressão da forma
∂T
∂X
+
=0
∂t
∂x
e condições de contorno apropriadas,
Z no caso X → 0 quando x → ±∞, teremos uma lei de
T dx = A, onde A é uma constante.

conservação, que pode ser escrita
R

25

Dado que em um problema fı́sico tı́pico as leis de conservação aplicadas são exatamente aquelas
associadas a massa e energia, poder-se-ia pensar, a primeira vista, que as três leis enunciadas
acima esgotam as leis de conservação da KdV. No entanto, com muito esforço, Miura, Gardner
e Kruskal em 1968, ver [15], encontraram mais oito leis de conservação independentes, totalizando onze. Para surpresa de muitos, provou-se em seguida que a KdV possui um número
infinito de leis de conservação, e que além disto, esta caracterı́stica é compartilhada por um
grande número de equações diferenciais (aquelas que recebem o nome de sistemas integráveis).
Maiores detalhes ver [8].
Durante nosso trabalho faremos uso de duas lei de conservação especiais. Por isso, destacaremos as mesmas e passaremos a denotá-las como funcionais.
Z
1
u2 dx
M (u) =
2 R
e
1
E(u) =
2

2.2

Z 
R


1 3
(ux ) − u dx.
3
2

KdV Linear

Consideremos o problema de Cauchy envolvendo a equação Korteweg-de Vries (KdV) linear,
isto é,

∂t u(x, t) + ∂x3 u(x, t) =
0,
(2.8)
u(x, 0)
= u0 (x).
Aplicando formalmente a Transformada de Fourier em relação a x neste sistema obtemos as
relações

∂t u
b(ξ, t) + (iξ)3 u
b(ξ, t) =
0,
u
b(ξ, 0)
= u
b0 (ξ).
3

Multiplicando a equação ∂t u
b(ξ, t) + (iξ)3 u
b(ξ, t) = 0 pelo fator integrante e(iξ) t , temos a
equação
3
3
∂t u
b(ξ, t)e(iξ) t + (iξ)3 e(iξ) t u
b(ξ, t) = 0.
Observando que


∂t u
b(ξ, t)e

(iξ)3 t



3

3

= ∂t u
b(ξ, t)e(iξ) t + (iξ)3 e(iξ) t u
b(ξ, t),
26

obtemos a relação


3
∂t u
b(ξ, t)e(iξ) t = 0.
Integrando em relação a variável t, temos a igualdade
3

u
bt (ξ, t)e(iξ) t = u
b0 (ξ),
ou seja,
3

3

u
bt (ξ, t) = e−(iξ) t u
b0 (ξ) = eiξ t u
b0 (ξ).
Agora, aplicando a Transformada inversa de Fourier obtemos uma descrição para a solução do
sistema (2.8) que é da forma
3

3

u(x, t) = (eiξ t u
b0 (ξ))∨ (x) = ((eiξ t )∨ ∗ u0 )(x).

(2.9)

Denotaremos por W (t) o operador de L2 (R) em L2 (R) dado por
W (t)u0 (x) := (St ∗ u0 )(x),
onde
3

St (x) = (eiξ t )∨ (x).
Temos então
u(x, t) = W (t)u0 (x) = (St ∗ u0 )(x).
Além disso, temos que W (t)u0 é dado por
Z ∞
W (t)u0 (x) = c
−∞

3

u
b0 (ξ)eiξ t eiξx dξ,

onde c é uma constante real.

2.3

Estimativas Lineares

Nesta seção demonstraremos algumas desigualdades fundamentais para a prova do teorema de
boa colocação local.
Teorema 2.1
27

(i) Se u0 ∈ L2 (R) então

∂
W (t)u0
≤ c||u0 ||L2 (R) .
∂x
2
L∞
x L

(2.10)

t

(ii) Se g ∈ L1x L2t então para qualquer T > 0

∂
∂x

Z t

W (t − t0 )g(x, t0 )dt0
2
L∞
T Lx

0

≤ c||g||L1x L2T .

Z ∞

2

Demonstração. Consideremos u0 ∈ L (R) e W (t)u0 (x) = c
−∞

(2.11)

3

u
b0 (ξ)eiξ t eiξx dξ.

Derivando W (t)u0 (x) com relação a variável x e fazendo a mudança de variável ξ 3 = η, temos
que

∂x W (t)u0 (x) =
=
=
=

 Z ∞

iξ 3 t iξx
∂x c
u
b0 (ξ)e e dξ
−∞
Z ∞
3
c
u
b0 (ξ)eiξ t iξeiξx dξ
Z−∞
∞
1/3
c
u
b0 (η 1/3 )eiηt η 1/3 eiη x η −2/3 dη
Z−∞
∞
1/3
c
ei(tη+xη ) u
b0 (η 1/3 )η −1/3 dη.
−∞

28

Usando agora a Identidade de Parseval (na variável t), temos
Z ∞
2
|∂x W (t)u0 (x)|2 dt
k∂x W (t)u0 kL2t =
−∞

i(tη+xη 1/3 )

e

c

=

2

Z ∞

Z ∞

−∞
Z ∞ Z ∞h

−∞

= c

2

= c2
= c2
= c2
= c2
= c2

Z−∞
∞
Z−∞
∞
Z−∞
∞
Z−∞
∞
Z−∞
∞

η

u
b0 (η

−1/3 ixη 1/3

e

−∞

η −1/3 eixη
η −1/3

2

1/3

1/3

)η

u
b0 (η

−1/3

1/3

i

dη dt
2
itη

) e dη dt

2

u
b0 (η 1/3 ) dη

eixη

1/3

2

2

u
b0 (η 1/3 ) dη

2

b0 (η 1/3 ) dη
|η|−2/3 u
ξ3

−2/3

|b
u0 (ξ)|2 ξ 2 dξ

|b
u0 (ξ)|2 dξ

−∞

= c kub0 k2L2 (R)
2

= c2 ku0 k2L2 (R) .
Logo,
n
o
∂
W (t)u0
= sup k∂x W (t)u0 kL2t
∂x
2
x∈R
L∞
x Lt
n
o
= sup c ku0 kL2 (R)
x∈R

= c ku0 kL2 (R) .
O que demonstra (2.10).
Para a prova de (ii) inicialmente afirmamos que
Z t
∂
W (t − t0 )g(x, t0 )dt0
≤ c||g||L1x L2t .
∂x 0
L2x

(2.12)

De fato, a desigualdade (2.12) é consequência imediata de (2.10), das propriedades do grupo e
da desigualdade que veremos a seguir.
29

Da isometria do grupo em L2 (R), e da comutatividade do grupo com relação a derivada, temos
as relações
Z ∞
Z ∞
∂
∂
0
0
0
=
W (t − t )g(x, t )dt
W (t)W (−t0 )g(x, t0 )dt0
∂x −∞
∂x
2
−∞
Lx
L2x
Z ∞
∂
= W (t)
W (−t0 )g(x, t0 )dt0
∂x −∞
L2x
Z ∞
∂
=
W (−t0 )g(x, t0 )dt0
∂x −∞
L2x
≤ c||g||L1x L2t ,
o que demonstra (2.12).
A desigualdade (2.12) implica na seguinte estimativa
Z t
∂
W (t − t0 )g(x, t0 )dt0
≤ c||g||L1x L2t .
∂x 0
L∞ L2x
T

O que completa a demonstração de (2.11).

Teorema 2.2 Estimativas Lineares:
(i) Se u0 ∈ Ḣ 1/4 (R) então
kW (t)u0 kL4x L∞
≤ c D1/4 u0 L2 (R) .
t

(2.13)

Dx1/4 W (t)u0 L4 L∞ ≤ c ku0 kL2 (R) .

(2.14)

(ii) Se u0 ∈ L2 (R) então
t

x

(iii) Seja s > 3/4. Então para qualquer u0 ∈ H s (R) e qualquer ρ > 3/4
||W (t)u0 ||L2x L∞
≤ c(1 + T )ρ ||u0 ||H s (R) .
T

(2.15)

Demonstração.
Este resultados são de extrema importância para nossos resultados de boa colocação local e
global.
O primeiro resultado é demonstrado em [5]. A prova do segundo e do terceiro resultado está
em [6], lema 2.4 e corolário 2.9, respectivamente.

30

2.4

O problema de Cauchy para a equação KdV em espaços
de Sobolev H s(R), com s > 3/4.

A seguir desenvolveremos uma das partes principais do nosso trabalho que é a boa colocação
local no tempo para o PVI

ut + uux + uxxx = 0
(2.16)
u(x, 0) = u0 (x).
Mais precisamente, provaremos o seguinte teorema:
Teorema 2.3 Consideremos o PVI (2.16) e seja s > 3/4. Então para cada u0 ∈ H s (R) existe
T = T (||u0 ||H s (R) ) > 0 (com T (ρ) → ∞ para ρ → 0) e uma única solução u(t) de (2.16)
satisfazendo
u ∈ C([−T, T ] : H s (R)),
ux ∈ L4 ([−T, T ] : L∞ (R)),
∂u
< ∞,
Dxs
∂x L∞
2
L
x

(2.17)
(2.18)

kukL2x L∞ < ∞.

(2.20)

(2.19)

T

T

Além disso, para qualquer T 0 ∈ (0, T ) existe uma vizinhança V de u0 em H s (R) tal que a
função u
e0 → u
e(t) de V sobre a classe definida por (2.17)-(2.20) com T 0 no lugar de T é
Lipschitz.
Antes de demonstrarmos o Teorema 2.3 faremos uma motivação para o funcional utilizado na
prova deste teorema.
Aplicando a transformada de Fourier com respeito a variável x no sistema (2.16), obtemos

[
∂t u
b(ξ, t) + (iξ)3 u
b(ξ, t) + u∂
x u(ξ, t) = 0
.
(2.21)
u
b(ξ, 0) = ub0 (ξ).
3

Multiplicando a primeira equação de (2.21) pelo fator integrante e(iξ) t , obtemos
3

3

3

u
bt e(iξ) t + (iξ)3 u
be(iξ) t + e(iξ) t fb(t) = 0,
onde f (x, t) = u(x, t)∂x u(x, t) é uma constante.
Observando que
d
3
3
3
(b
ue(iξ) t ) = u
bt e(iξ) t + (iξ)3 u
be(iξ) t ,
dt
31

obtemos a relação
d
3
3
(b
ue(iξ) t ) = −fb(t)e(iξ) t .
dt
Integrando em relação a variável t, temos a igualdade
Z t
3 0
(iξ)3 t
fb(t0 )e(iξ) t dt0 ,
e
u
b(t) = ub0 −
0

ou ainda,
−(iξ)3 t

−e

u
b(t) = ub0 e

−(iξ)3 t

Z t

3 0
fb(t0 )e(iξ) t dt0 .

0

Portanto, aplicando a transformação inversa obtemos a equação


−(iξ)3 t ∨

−(iξ)3 t

Z t

3 0
fb(t0 )e(iξ) t dt0

∨

) − e
0
Z t
∨
3
0
3
eiξ (t−t ) fb(t0 ) dt0 .
= (ub0 eiξ t )∨ −

u(t) = (ub0 e

0

 3 0
∨
3
Sabemos que W (t)u0 = (eiξ t ub0 )∨ e eiξ (t−t ) fb(t0 ) = W (t − t0 )f (t0 ) = W (uux )(t0 ) , então
temos a identidade


Z t
∂u
0
W (t − t ) u
u(t) = W (t)u0 −
(t0 )dt0 .
(2.22)
∂x
0
Isto é, se u satisfaz o sistema (2.16) então u satisfaz a equação integral (2.22).
Demonstração do Teorema 2.3. Consideremos um intervalo [−T, T ] e uma função
w : R × [−T, T ] → R,

em H s (R).

Com o objetivo de simplificar as notações considere as normas
λT1 (w) := max ||w(t)||H s (R) ,
t∈[−T,T ]

λT2 (w) :=

Z T
−T

!1/4
4
∂w
(·, t) dt
,
∂x
∞
32

(2.23)

(2.24)

λT3 (w) :=

Z T

∂
Dxs w
∂x

= sup
x

2
L∞
x LT

∂
Dxs w(x, t)
∂x

−T

!1/2

2

dt

,

(2.25)

, para ρ > 3/4,
λT4 (w) := (1 + T )−ρ ||w||L2x L∞
T

(2.26)

ΛT (w) := max λTj (w).

(2.27)

j=1,...,4

Vamos considerar também o espaço métrico completo
XT := {w ∈ C([−T, T ] : H s (R)); ΛT (w) < ∞},

(2.28)

com a métrica
d(w1 , w2 ) := ΛT (w1 − w2 ).
Vale destacar que a escolha do conjunto de normas acima e do espaço métrico XT é a essência
da demonstração do teorema. Tais escolhas decorrem de várias tentativas e observações na
busca de estimativas da norma H s (R).
Vejamos inicialmente que XT 6= Ø. Para tanto, obsevemos que se u0 ∈ H s (R) então usando as
propriedades do grupo e as desigualdades (2.10), (2.14) e (2.15) temos que
λT1 (W (t)u0 ) =
=

max ||W (t)u0 ||H s (R)

t∈[−T,T ]

max ||u0 ||H s (R) = ||u0 ||H s (R) ,

t∈[−T,T ]

λT2 (W (t)u0 ) =

4

Z T

∂W (t)u0
(·, t) dt
∂x
∞

−T

=

W (t)

∂u0
(·, t)
∂x
L4 L∞
x
T

≤

!1/4

W (t)

∂u0
(·, t)
∂x
L4 L∞
x
t

∂u0
≤ c Dx1/4
∂x L2 (R)
≤ c||u0 ||L2 (R) ≤ c||u0 ||H s (R) ,
33

λT3 (W (t)u0 ) =

Dxs

∂
W (t)u0
∂x
2
L∞
x L

T

≤

Dxs

∂
W (t)u0
∂x
2
L∞
x L
t

c||Dxs u0 ||L2 (R)

≤
≤ c||u0 ||L2 (R) ≤ c||u0 ||H s (R)
e
λT4 (W (t)u0 ) = (1 + T )−ρ ||W (t)u0 ||L2x L∞
T
≤ (1 + T )−ρ c(1 + T )ρ ||u0 ||H s (R)
= c||u0 ||H s (R) .
Assim, se u0 ∈ H s (R) então para qualquer T > 0, W (t)u0 ∈ XT com ΛT (W (t)u0 ) =
max λTj (W (t)u0 ) dependendo de ||u0 ||H s (R) mas não de T e portanto XT 6= Ø.
j=1,...,4

Nosso principal objetivo agora será mostrar que existe T = T (ku0 kH s (R) ) > 0 (dependendo
de ||u0 ||H s (R) de uma maneira apropriada) e a = a(ku0 kH s (R) ) > 0 tal que se v ∈ XTa então
u = φ(v) ∈ XTa e φ : XTa → XTa é uma contração. Uma vez provado isto segue-se, do Teorema
do Ponto Fixo de Banach, que existe um único u ∈ XTa tal que φu0 (u) = u, isto é,


Z t
∂u
0
(t0 )dt0 .
W (t − t ) u
u(t) = W (t)u0 −
∂x
0
Para isto, denotemos por u = φ(v) = φu0 (v) a solução do PVI linear não-homogêneo

∂t u + ∂x3 u + v∂x v = 0
u(x, 0) = u0 (x),

(2.29)

onde u0 ∈ H s (R) e XTa := {w ∈ XT ; ΛT (w) ≤ a}.
Agora considermos a equação integral de PVI (2.29), ou seja,


Z t
∂v
0
(t0 )dt0 .
u(t) = W (t)u0 −
W (t − t ) v
∂x
0

(2.30)

A seguir, estabeleceremos uma sequência de Lemas, a qual fornece estimativas que serão utilizadas mais adiante.
34

Lema 2.1
Dxs



∂v
∂v
v
+ v
≤ c(1 + T )ρ (ΛT (v))2 .
∂x L2x L2
∂x L2x L2
T

(2.31)

T

Demonstração.
Usando as definições das normas e propriedades do supremo obtemos as seguintes desigualdades

∂v
v
∂x L2x L2

!1/2
2
∂v
dx
v
∂x L2
−∞
T
!1/2
2


Z T Z ∞
∂v
dxdt
|v|2 sup
∂x
x
−T −∞
! !1/2

2
Z T 
Z ∞
∂v
2
sup
sup
|v| dx dt
∂x
x
[0,T ] −∞
−T
!1/2 Z 

2 !1/2
Z ∞
T
∂v
|v|2 dx
sup
dt
sup
∂x
x
[0,T ] −∞
−T
!1/2 Z
!1/2
2
T
∂v
sup ||v||2H s (R)
dt
[0,T ]
−T ∂x L∞ (R)
!1/2
Z T
2
∂v
sup ||v||H s (R)
dt
[0,T ]
−T ∂x L∞ (R)
!1/4 Z
1/4
Z T
4
T
∂v
dt
1dt
sup ||v||H s (R)
[0,T ]
−T ∂x L∞ (R)
−T
Z ∞

=

T

≤

≤

=

≤

=

≤

= cT 1/4 λT2 (v)λT1 (v) ≤ c(1 + T )ρ (ΛT (v))2 .
∂v
Agora, usando o Lema (1.3) com f = v, g =
, α, p, q, p2 e q2 apresentado nos preliminares,
∂x
deduzimos a seguinte desigualdade
Dxs



∂v
v
∂x

Z T


≤ c
L2x L2T

−T

!1/2
!1/2
Z T Z ∞
2
2
∂v
∂v
+c
v
||Dxs v||2L2 (R) dt
vDxs
dxdt
.
∂x L∞ (R)
∂x
−T −∞
35

Como
Z T 
v
−T

∂v
∂x

!2 1/2
 2
Z T 

∂v
v
||Dxs v||2L2 (R) dt
sup ||Dxs v||L2 (R)
dt
≤ 
∂x L∞ (R) [−T,T ]
−T
L∞ (R)
!1/2
 2
Z T 
 s
∂v
dt
= sup ||Dx v||L2 (R)
v
∂x L∞ (R)
[−T,T ]
−T
!1/4 Z
 4
1/4
Z T 
T
 s
∂v
v
≤ sup ||Dx v||L2 (R)
dt
1dt
∂x L∞ (R)
[−T,T ]
−T
−T
!1/4
 4
Z T 

∂v
v
dt
≤ cT 1/4 sup ||Dxs v||L2 (R)
∂x L∞ (R)
[−T,T ]
−T
= cT 1/4 λT2 (v)λT1 (v)


!1/2

 2

e
!1/2
2
∂v
dxdt
=
vDxs
∂x
−∞

Z T Z ∞
−T

=

2

Z ∞Z T

∂v
vDxs
dtdx
∂x
−T

−∞

vDxs

!1/2

∂v
∂x L2x L2

T

≤ kvkL2x L∞ Dxs
T

∂v
∂x L∞
2
x L

T

≤ (1 + T )ρ (1 + T )−ρ kvkL2x L∞ Dxs
T

∂v
∂x L∞
2
x L

T

=

(1 + T )ρ λT4 (v)λT3 (v)

obtemos as seguintes sequências de desigualdades


∂v
s
Dx v
≤ cT 1/4 λT2 (v)λT1 (v) + c(1 + T )ρ λT4 (v)λT3 (v)
∂x L2x L2
T

≤ c(1 + T )ρ (ΛT (v))2 ,
o que completa a demonstração da desigualdade (2.31).

Lema 2.2
λT1 (u)


Z T 
∂v
(t0 )dt0 .
≤ ||u0 ||H s (R) +
v
∂x H s (R)
−T
36

(2.32)

Demonstração. Usando as propriedades do grupo e a equação (2.30) segue que

λT1 (u) =

max ||u||H s (R)

t∈[−T,T ]

Z t

=
=
=
=
≤
≤
=



∂v
max W (t)u0 −
W (t − t ) v
(t0 )dt0
t∈[−T,T ]
∂x
0
H s (R)


Z t
∂v
max W (t)u0 − W (t)
W (−t0 ) v
(t0 )dt0
t∈[−T,T ]
∂x
0
H s (R)




Z t
∂v
(t0 )dt0
max W (t) u0 −
W (−t0 ) v
t∈[−T,T ]
∂x
0
H s (R)


Z t
∂v
max u0 −
W (−t0 ) v
(t0 )dt0
t∈[−T,T ]
∂x
0
H s (R)
#
"


Z t
∂v
(t0 )dt0
max ||u0 ||H s (R) + −
W (−t0 ) v
t∈[−T,T ]
∂x
0
H s (R)
#
"

Z T 
∂v
(t0 )dt0
max ||u0 ||H s (R) +
v
t∈[−T,T ]
∂x
−T
H s (R)

Z T 
∂v
(t0 )dt0 ,
||u0 ||H s (R) +
v
∂x H s (R)
−T
0

o que completa a demonstração de ( 2.32)



Lema 2.3

"

#

Z T 
∂v
λT2 (u) ≤ c ||u0 ||H s (R) +
v
(t0 )dt0 .
∂x H s (R)
−T
37

(2.33)

Demonstração. Usando as propriedades do grupo, a equação (2.30) e a inequação (2.14) obtemos as seguintes desigualdades

λT2 (u) =
=

=

=

≤
≤
≤
=
≤
≤

!1/4
4
∂u
(·, t)
dt0
∂x
−T
L∞ (R)
!1/4




Z t
Z T
4
∂v
∂
W (t − t0 ) v
W (t)u0 −
(t0 )dt0 (·, t)
dt0
∂x
∂x
∞
0
−T
L (R)
!1/4




Z T
Z t
4
∂
∂v
W (−t0 ) v
dt0
W (t)u0 − W (t)
(t0 )dt0 (·, t)
∂x
−T ∂x
0
L∞ (R)
!1/4




Z T
Z t
4
∂
∂v
W (t) u0 −
W (−t0 ) v
(t0 )dt0 (·, t)
dt0
∂x
∂x
−T
0
L∞ (R)
!1/4




Z T
Z t
4
∂
∂v
W (−t0 ) v
W (t) u0 −
(t0 )dt0 (·, t)
dt0
∂x
∂x
∞
−T
0
L (R)


Z t
∂v
W (−t0 ) v
(t0 )dt0
c u0 −
∂x
0
L2 (R)


Z t
∂v
W (−t0 ) v
c u0 −
(t0 )dt0
∂x
0
H s (R)


Z t
∂v
W (−t0 ) v
(t0 )dt0
c u0 −
∂x
0
H s (R)
"
#


Z t
∂v
0
0
0
c ||u0 ||H s (R) + −
W (−t ) v
(t )dt
∂x
0
H s (R)
#
"


Z T
∂v
(t0 )dt0 .
c ||u0 ||H s (R) +
v
∂x H s (R)
−T
Z T


Lema 2.4
"

#

Z T 
∂v
λT3 (u) ≤ c ||u0 ||H s (R) +
v
(t0 )dt0 .
∂x
s
−T
H (R)

38

(2.34)

Demonstração. Usando as propriedades do grupo e a desigualdade (2.10) temos que

λT3 (u) =
=
=
=
≤
≤
=
≤
≤

∂
u
∂x L∞
L2


 x T

Z t
∂v
s ∂
0
0
0
Dx
W (t − t ) v
W (t)u0 −
(t )dt
∂x
∂x
2
0
L∞
x LT




Z t
∂v
∂
W (t)u0 − W (t)
W (−t0 ) v
(t0 )dt0
Dxs
∂x
∂x
2
0
L∞
x LT





Z t
∂
∂v
Dxs
W (t) u0 −
W (−t0 ) v
(t0 )dt0
∂x
∂x
2
0
L∞
x LT




Z t
∂v
Dxs u0 −
W (−t0 ) v
(t0 )dt0
∂x
0
L2 (R)


Z t
∂v
(t0 )dt0
c u0 −
W (−t0 ) v
∂x
0
H s (R)


Z t
∂v
(t0 )dt0
c u0 −
W (−t0 ) v
∂x
0
H s (R)
"
#


Z t
∂v
c ||u0 ||H s (R) + −
W (−t0 ) v
(t0 )dt0
∂x
0
H s (R)
#
"

Z T 
∂v
(t0 )dt0 .
c ||u0 ||H s (R) +
v
∂x
s
−T
H (R)
Dxs



Lema 2.5

#

Z T 
∂v
(t0 )dt0 .
λT4 (u) ≤ c ||u0 ||H s (R) +
v
∂x H s (R)
−T
"

39

(2.35)

Demonstração. Usando as propriedades do grupo e a desigualdade (2.15) temos que

λT4 (u) = (1 + T )−ρ ||u||L2x L∞
T
=
=
=
≤
=
≤
≤
≤
=

Z t




∂v
W (t − t ) v
(1 + T )
W (t)u0 −
(t0 )dt0
∂x
0
L2x L∞
T


Z t
∂v
(1 + T )−ρ W (t)u0 − W (t)
W (−t0 ) v
(t0 )dt0
∂x
0
L2x L∞
T




Z t
∂v
(1 + T )−ρ W (t) u0 −
W (−t0 ) v
(t0 )dt0
∂x
0
L2x L∞
T


Z t
∂v
(1 + T )−ρ c(1 + T )ρ u0 −
W (−t0 ) v
(t0 )dt0
∂x
0
H s (R)


Z t
∂v
(t0 )dt0
c u0 −
W (−t0 ) v
∂x
0
H s (R)
#
"


Z t
∂v
(t0 )dt0
c ||u0 ||H s (R) + −
W (−t0 ) v
∂x
0
H s (R)
"
#

Z T 
∂v
(t0 )dt0 .
c ||u0 ||H s (R) +
v
∂x
−T
H s (R)
"
#


Z t
∂v
(1 + T )−ρ kW (t)u0 kL2x L∞ +
(t0 )dt0
W (t − t0 ) v
T
∂x
0
L2x L∞
 T

Z t
∂v
(t0 )dt0
(1 + T )−ρ kW (t)u0 kL2x L∞ + (1 + T )−ρ
W (t − t0 ) v
T
∂x
0
L2x L∞
−ρ

0

T


40

Agora, tomando o máximo dos λTi (u), usando as desigualdades (2.32)−(2.35) e a desigualdade
de Minkowski segue-se que
ΛT (u) =

max λTj (u)
"

j=1,...,4

#
∂v
v
(t)dt
∂x H s (R)

Z T

≤ c ku0 kH s (R) +

−T

!1/2 Z
1/2
2
T
∂v
2
1 dt
≤ c||u0 ||H s (R) + c
(t)dt
v
∂x H s (R)
−T
−T
!1/2
Z T
2
∂v
≤ c||u0 ||H s (R) + cT 1/2
v
(t)dt
∂x H s (R)
−T
Z T

≤ c||u0 ||H s (R) + cT 1/2 (1 + T )ρ (ΛT (v))2 .

(2.36)

Escolhemos a e T > 0 tal que
a = 2c||u0 ||H s (R) ,

(2.37)

4cT 1/2 (1 + T )ρ a < 1.

(2.38)

com T satisfazendo

De nossas escolhas em (2.37) e (2.38) resulta que
ΛT (φ(v)) = ΛT (u)
≤ c||u0 ||H s (R) + cT 1/2 (1 + T )ρ (ΛT (v))2
1
3a
a
+
· a2 =
≤ a.
≤
2 4a
4
Assim, φ(v) = φu0 (v) ∈ XaT desde que v ∈ XaT e portanto φ : XTa → XTa .
Para continuar nossa demonstração, consideremos o seguinte lema:
Lema 2.6
T

Z T 

Λ (φu0 (v) − φu0 (e
v )) ≤
−T

∂e
v
∂v
ve − v
∂x
∂x



(t0 )

dt0 .
H s (R)

Demonstração. Usando a linearidade do grupo W (t) e as idéias utilizadas nas estimativas de
λTi , i = 1, 2, 3 e 4 segue a demonstração do lema.

41

Mostraremos agora que φ : XTa → XTa é uma contração. Para isto tomemos v, ve ∈ XTa com a e
T satisfazendo (2.37) e (2.38). Note que
ΛT (φu0 (v) − φu0 (e
v )) =

v ))
max λTj (φu0 (v) − φu0 (e

j=1,...,4

≤ cT 1/2 (1 + T )ρ ΛT (v − ve){ΛT (v) + ΛT (e
v )}
1/2
ρ
T
≤ 2cT (1 + T ) aΛ (v − ve)
1 T
≤
Λ (v − ve).
2
Portanto, para valores de T satisfazendo (2.37) e (2.38), φ : XTa → XTa é uma contração e com
isso existe um único u ∈ XTa tal que φu0 (u) = u, isto é,


Z t
∂u
0
u(t) = W (t)u0 −
W (t − t ) u
(t0 )dt0 .
∂x
0
De modo análogo, para T1 ∈ (0, T ) obtemos
1/2

ΛT1 (φu0 (v) − φue0 (e
v )) ≤ c||u0 − u
e0 ||H s (R) + cT1 (1 + T1 )ρ ΛT1 (v − ve){ΛT1 (v) + ΛT1 (e
v )}.
Para ver que a aplicação dado inicial-fluxo é Lipschitz, considere T1 ∈ (0, T ) e v, ve ∈ XTa com
a e T satisfazendo (2.37) e (2.38) . Assim,
ΛT1 (φu0 (v) − φue0 (e
v )) = ΛT1 (v − ve)
1/2

≤ c||u0 − u
e0 ||H s (R) + cT1 (1 + T1 )ρ ΛT1 (v − ve){ΛT1 (v) + ΛT1 (e
v )}
1/2

≤ c||u0 − u
e0 ||H s (R) + 2acT1 (1 + T1 )ρ ΛT1 (v − ve).
Portanto,
ΛT1 (φu0 (v) − φue0 (e
v )) ≤ K||u0 − u
e0 ||H s (R)
onde K > 0. Assim, para um T1 ∈ (0, T ) a aplicação u
e0 → u
e de V (vizinhança de u0
a
dependendo de T1 ) em XT1 é Lipschitz.
Para estendermos a unicidade de nossa solução ao intervalo (0, T ), consideremos w ∈ XT1 para
T1 ∈ (0, T ) uma solução do (2.16). O argumento usado em (2.36) mostra que para T2 ∈ (0, T1 ),
w ∈ XTa2 . Portanto mostra que w = u em R × [−T2 , T2 ].
Utilizando este mesmo processo um número finito de vezes, estendemos a unicidade de nossa
solução ao intervalo (0, T ).
Portanto, está completa a demonstração do Teorema 2.3.

42

2.5

Boa Colocação Global para a equação KdV em espaços
de Sobolev H s(R), com s ≥ 1, s ∈ N

Utilizaremos fortemente o resultado obtido na seção anterior juntamente com os funcionais para
os quais a equação KdV preserva.
Teorema 2.4 Se s ∈ N, então o PVI (2) é globalmente bem posto em H s (R), ou seja,
u ∈ L∞ (R, H s (R)).

(2.39)

Demonstração. Para isso é suficiente mostrar que
sup ku(·, t)kH s (R) < +∞

(2.40)

t∈R

Por simplicidade, demonstraremos apenas o caso s = 1, uma vez que este nos será útil para
concluir o resultado de estabilidade. De fato, sabemos que
ku(·, t)k2H 1 (R) = ku(·, t)k2L2 (R) + kux (·, t)k2L2 (R) .
Usando a quantidade conservada M (u(·, t)) = Q(u0 ), ∀t ∈ R concluimos que
ku(·, t)kL2 (R) = ku0 kL2 (R) , ∀t ∈ R.
Daı́, se u0 ∈ H s (R), então ku(·, t)kL2 (R) < ∞, ∀t ∈ R. Assim, resta mostrar que kux (·, t)kL2 (R)
é limitado. Para verificar isto, vamos usar outra quantidade conservada, a saber E(u(·, t)) =
E(u0 ). Usando esse fato temos que
Z
Z
Z
Z
1
1
2
3
2
2
u0 dx +
u3 (x, t)dx.
(2.41)
ux (x, t)dx =
∂x u0 dx −
kux (·, t)kL2 (R) =
3
3
R
R
R
R
Da desigualdade de Gagliardo-Niremberg segue que
1/6

5/6

ku(·, t)kL3 (R) ≤ c kux (·, t)kL2 (R) ku(·, t)kL2 (R) ,
daı́,

Z

1/2

5/2

u3 (x, t)dx ≤ c kux (·, t)kL2 (R) ku0 kL2 (R) .

R

Usando a desigualdade obtida em (2.41) ficamos com a seguinte desigualdade
1/2

kux (·, t)k2L2 (R) ≤ A + B kux (·, t)kL2 (R)
43

e daı́,
1/2
kux (·, t)kL2 (R)



3/2
kux (·, t)kL2 (R) − B



≤ A,

(2.42)

onde A e B são constantes que independem de t. Com isso, podemos concluir que kux (·, t)k2L2 (R)
é limitado para todo t ∈ R.
Isso encerra nossa demonstração.


44

3
3.1

Existência e Estabilidade de
soluções tipo Ondas
solitárias para a Equação
KdV

Existência de soluções tipo Ondas solitárias para a Equação
KdV

Em 1895, Diederik Korteweg e Gustav de Vries encontraram uma equação diferencial parcial que modela a altura da superfı́cie da água que se move em forma de onda ao longo
de um canal estreito de águas rasas, sobre a ação da gravidade.
O comprimento dessas ondas é muito grande quando comparado com a profundidade do meio
em que ela se encontra.
Trabalharemos com a Equação de Korteweg-de Vries
ut + uux + uxxx = 0.

(3.1)

Dediquemo-nos agora a encontrar uma solução tipo onda solitária para a equação KdV (3.1).
Inicialmente introduzimos a forma de onda solitária u(x, t) = f (x − ct), que deve ter a forma
de pulso (como mostra a figura abaixo) e c > 0 (que representa a velocidade da onda). Daı́,
φ(z), φ0 (z) e φ00 (z) tendem a zero quando |z| tende ao infinito.

45

Observamos que:
(i) ut =

d
φ(x − ct) = −cφ0 (x − ct);
dt

(ii) ux =

d
φ(x − ct) = φ0 (x − ct);
dx

(iii) uxxx =

d3
f (x − ct) = φ000 (x − ct).
dx3

Agora, fazendo a mudança de variável z = x − ct e introduzindo esta forma de onda solitária
na equação KdV, ficamos com uma equação diferencial ordinária para φ(z) da seguinte forma:
− cφ0 + φφ0 + φ000 = 0.

(3.2)

Aplicando a integral em relação a z em ambos os membros da igualdade, obtemos:
Z

0

0

000

Z

(−cφ + φφ + φ ) dz = 0 dz. Portanto,
Z
Z
0
0
(−cφ ) dz + (φφ ) dz + (φ000 ) dz = a, ou ainda,
Z  2 0
φ
dz + φ00 = a. Logo
− cφ +
2
1 2
− cφ + φ + φ00 = a,
2

Z

onde a é a constante de integração.
Usando a hipótese que φ(z), φ00 (z) −→ 0 quando z −→ ∞, concluı́mos que o valor de a é
exatamente zero. Logo,
1
− cφ + φ2 + φ00 = 0.
2
Agora, multiplicando ambos os membros da equação acima por φ0 , ficamos com:
1
−cφφ0 + φ2 φ0 + φ0 φ00 = 0.
2
46

(3.3)

Integrando a equação precedente em relação a z, obtemos:
Z
Z
1 2 0
0 00
0
(−cφφ + φ φ + φ φ ) dz = 0 dz
2 Z
Z
Z
1
0
2 0
⇐⇒ −c φφ dz +
φ φ dz + φ0 φ00 dz = b
2
Z  2 0
Z  0 2 0
Z  3 0
φ
(φ )
1
φ
⇐⇒ −c
dz +
dz +
dz = b
2
2
3
2
1
1
1
⇐⇒ −c φ2 + φ3 + (φ0 )2 = b
2
6
2
⇐⇒ −3cφ2 + φ3 + 3(φ0 )2 = 6b, onde b é uma constante.
Sabemos que φ(z), φ0 (z) −→ 0 quando z −→ ∞, pois estamos supondo que φ é uma onda tipo
pulso. Assim, a constante de integração b é igual a zero.
Colocando o termo (φ)2 em evidência, obtemos a seguinte equação:
3(φ0 )2 = (3c − φ)φ2 .

(3.4)

Observamos agora que é necessário φ(z) < 3c, ∀ z ∈ R. Além disso, pela fı́sica do problema,
podemos supor que φ(z) > 0, ∀ z ∈ R.
Daı́, 0 < φ(z) < 3c, , ∀ z ∈ R. Segue-se portanto de (3.4) que
√
3
√
|φ0 | = 1.
φ 3c − φ

(3.5)

Para simplificar os cálculos, façamos a substituição ψ 2 = 3c − φ. Assim, φ = 3c − ψ 2 e
φ0 = −2ψψ 0 . Portanto a equação (3.5) assume a forma:
√
√
3
2 3 0
0
p
(−2ψψ ) = 1 ⇒
ψ = −1.
3c − ψ 2
(3c − ψ 2 ) 3c − (3c − ψ 2 )
Queremos integrar mais uma vez com relação a z, mas antes disso vamos escrever a equação
acima na forma de frações parciais:
√
√
2 3 0
ψ0
ψ0
√
√
+
=
−
ψ
=
−1
⇒
c.
3c − ψ 2
3c − ψ
3c + ψ
47

Integrando a equação precedente em relação a z, temos que
Z
Z
Z
√
ψ0
ψ0
√
√
dz +
dz = − cdz e portanto
3c − ψ
3c + ψ
√
√
√
ln( 3c + ψ) − ln( 3c − ψ) = − cz + d.
Aplicando a função exponencial em ambos os membros da igualdade acima, obtemos:

 −z√c+d
hz √
i
√
√
−1
e
= − 3c tanh
ψ(z) = 3c −z√c+d
c−d .
2
+1
e

(3.6)

Portanto, como φ = 3c − ψ 2 , temos que:
φ(z) = 3c sech2

i
hz √
c−d .
2

(3.7)

Visto que d é a constante de integração, para simplificar nossa solução, admitiremos d = 0, e
ficamos com a equação:
hz √ i
c .
(3.8)
φ(z) = 3c sech2
2
Assim, a solução da equação KdV, tipo onda solitária, é


√
2 1
u(x, t) = φ(x − ct) = 3c sech
c(x − ct) .
2

(3.9)

Russell observou que no experimento das ondas de translação, a velocidade com a qual a onda
se desloca horizontalmente é constante e igual a c, e pela observação feita no texto, a amplitude
da onda é 3c.

3.2

Lema de Compacidade Concentrada

Nesta seção apresentaremos o Lema de Compacidade Concentrada e explicaremos como iremos
utilizá-lo.
A prova deste resultado pode ser encontrada nos trabalhos de Lions ([21]) e ([22]) ou na
dissertação de mestrado ([23]).
48

Lema 3.1 (Compacidade Concentrada) Seja (ρn ) uma sequência de funções em L1 (Rn ) satisfazendo:
Z
n
ρn ≥ 0 em R ,
ρn dx = λ
(3.10)
Rn

com λ > 0 fixado. Então existe uma subsequência (ρnk ) satisfazendo uma das três propriedades
abaixo:
(i) (Compacidade) existe yk ∈ Rn tal que ρnk (· + yk ) acumula-se, ou seja,
Z
∀ε > 0, ∃R < ∞,
ρnk dx ≥ λ − ε;

(3.11)

yk +BR

(ii) (Nulidade)

lim

k−→∞



Z
sup

y∈Rn

ρnk dx

= 0, ∀0 < R < ∞;

(3.12)

y+BR

(iii) (Dicotomia) Existe α ∈ (0, λ) tal que para todo ε > 0, existe k0 ≥ 1 e ρ1k , ρ2k ∈ L1 (Rn )
com ρ1k , ρ2k > 0 satisfazendo para k ≥ k0
Z
Z

1
 ρ − (ρ1 + ρ2 )
ρk dx − α < ε,
ρ2k dx − (λ − α) < ε
nk
k
k L1 (Rn ) < ε,
n
n
R
R
 k

dist Supp ρ1k , Supp ρ2k −→ ∞.
Para utilizar este lema trataremos nosso problema de estabilidade como um problema de minimização.
Na seção que segue, fixaremos um funcional. A saber,
Z
1
u2 dx,
M (u) =
2 R
e procuramos no conjunto das funções que pertencem a pré-imagem de um valor regular deste
funcional descrever o comportamente das sequências minimizantes de outro funcional,
Z 
 
1
1 3
2
E(u) =
(ux ) − u dx .
2
3
R
Fixaremos agora a notação para relacionar o lema apresentado acima com o prova da Estabilidade de soluções tipo Ondas solitárias para a Equação KdV que daremos na próxima seção.
49

No que segue a sequência (fn ) cumprirá o papel desempenhado pela sequência (ρn ), ou seja,
fn2 ∈ L1 (R)
que é o mesmo que
Z
fn ∈ L2 (R) e
Rn

fn2 dx = q,

onde q é uma constante. Feito isso, o Lema de Compacidade Concentrada é válido e temos que
existe uma subsequência
(fnk )
satisfazendo uma das três propriedades abaixo:
(i) (Compacidade) existe yk ∈ R tal que fnk (· + yk ) acumula-se, ou seja,
Z yk +r
∀z < q, ∃r < ∞,
fn2k (x)dx ≥ z;

(3.13)

yk −r

(ii) (Nulidade)


Z y+r
2
lim sup
fnk (x)dx = 0, ∀0 < r < ∞;

k−→∞

y∈R

(3.14)

y−r

(iii) (Dicotomia) Existe α ∈ (0, q) tal que para todo ε > 0, existe k0 ≥ 1 e gk , hk ∈ L1 (Rn )
com gk , hk > 0 satisfazendo para k ≥ k0
Z
Z

2
 kf − (g + h )k
gk dx − α < ε,
h2k dx − (q − α) < ε
nk
k
k L2 (R) < ε,
R
R

k
dist (Supp gk , Supp hk ) −→ ∞.
Para prosseguir na demonstração do resultado trabalharemos para eliminar os casos de Nulidade e Dicotomia restando apenas a Compacidade.

3.3

Estabilidade de soluções tipo Ondas Solitárias para a Equação
KdV

Nesta seção vamos mostrar nosso resultado principal, ilustrando assim o Método de Compacidade Concentrada. O teorema que demonstraremos é um resultado de Benjamin e Bona que
trata da Estabilidade das Soluções do Tipo Ondas Solitárias para a equação KdV (2).
50

Teorema 3.1 Para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que se
ku0 − φc kH 1 (R) < δ,

(3.15)

então a solução u(x, t) do problema (2) com u(x, 0) = u0 satisfaz
inf ku(·, t) − φc (· + y)kH 1 (R) < ε, ∀t ∈ R.

y∈R

(3.16)

Iniciamos definindo dois funcionais E, M : H 1 (R) −→ R que são conservados pelo fluxo da
equação KdV (2), dados por
1
M (u) =
2

Z

u2 dx

(3.17)


Z 
1 3
2
(ux ) − u dx.
3
R

(3.18)

R

e
1
E(u) =
2

Uma observação rápida nos mostra que M e E são funcionais contı́nuos. De fato, seja K ⊂
H 1 (R) um conjunto compacto arbitrário. Tomando u, v ∈ K vamos mostrar que M e E são
uniformemente contı́nuos em K e assim contı́nuos em H 1 (R).

|M (u) − M (v)| =
=
=
≤

Z
Z
1
1
2
u dx −
v 2 dx
2 R
2 R
1
kuk2L2 (R) − kvk2L2 (R)
2
1
kukL2 (R) + kvkL2 (R) kukL2 (R) − kvkL2 (R)
2
C kukL2 (R) − kvkL2 (R)

≤ C ku − vkL2 (R)
≤ C ku − vkH 1 (R) onde C depende apenas de K,
51

e
|E(u) − E(v)| =
≤
≤
=
+
≤

 Z 
   Z 
 
1
1
1 3
1 3
2
2
(ux ) − u dx −
(vx ) − v dx
2 R
3
2 R
3
Z
Z
Z
Z
1
1
(ux )2 dx − (vx )2 dx +
u3 dx − v 3 dx
2 R
6 R
R
R
1
1
kuk2L2 (R) − kvx k2L2 (R) + kuk3L3 (R) − kvk3L3 (R)
2
6
1
kux kL2 (R) + kvx kL2 (R) kux kL2 (R) − kvx kL2 (R)
2
1
kuk2L3 (R) + kukL3 (R) kvkL3 (R) + kvk2L3 (R) kukL3 (R) − kvkL3 (R)
6
C1 kux kL2 (R) − kvx kL2 (R) + C2 kukL3 (R) − kvkL3 (R)

≤ C1 kux − vx kL2 (R) + C2 ku − vkL3 (R)
≤ C ku − vkH 1 (R) , onde C depende apenas de K,
onde usamos a deigualdade triangular, o fato que u, v ∈ K e o Teorema de Imersão de Sobolev
para concluir as desigualdades acima.
hx√ i
Fixemos agora um número positivo c e seja φc (x) = 3c sech2
c .
2
Com o objetivo de usar o Lema de Compacidade Concentrada precisamos
estabelecer alguns
Z
1
2
φ dx e
resultados. Para isso, considere os números reais q = M (φc ) =
2 R c

Iq = inf E(ψ); ψ ∈ H 1 (R) e M (ψ) = q .
(3.19)
Definimos agora o conjunto minimizante para Iq como sendo

Gq = ψ ∈ H 1 (R); E(ψ) = Iq e M (ψ) = q .

(3.20)

Além disso, definimos uma sequência minimizante para Iq como sendo uma sequência de
funções (fn ) em H 1 (R) satisfazendo
M (fn ) = q, ∀n ∈ N e lim E(fn ) = Iq .
n−→∞

A função g = lim fn , quando este limite existir, é chamada de minimizador de Iq .
n−→∞

Agora, pondo ρn = |fn |2 , vemos que a sequência (ρn ) ⊂ H 1 (R), pois fn ∈ L2 (R) e ρn ≥
0, ∀n ∈ N. Isso nos coloca nas hipóteses do Lema de Compacidade Concentrada (3.1).
52

O Lema de Compacidade Concentrada quando aplicado a esta situação, consiste em duas
observações: a primeira é que se α = q, então a sequência minimizante (fn ) possui uma subsequência que, quando seus termos são transladados adequadamente, converge fortemente em
H 1 (R) para um elemento de Gq ; a segunda é que algumas propriedades simples do problema
variacional implicam que α = q para cada sequência minimizante (fn ).
Segue-se então que não apenas existe um minimizador em H 1 (R), mas cada sequência minimizante converge em H 1 (R), na norma H 1 (R), para um elemento do conjunto Gq .
Precisamos agora dar alguns detalhes do método.
Lema 3.2 Suponha que são dados B > 0 e δ > 0. Então existe η = η(B, δ) > 0 tal que se
f ∈ H 1 (R) com kf kH 1 (R) ≤ B e kf kL3 (R) ≥ δ, então
Z y+1/2
sup
y∈R

|f (x)|3 dx ≥ η.

y−1/2

Demonstração. Temos que:
X Z j+1/2
j∈Z

0 2

2

f + (f )



dx = kf k2H s (R) ≤ B 2 =

j−1/2

X B 2 Z j+1/2
B2
3
kf kL3 (R) =
|f |3 dx.
3
kf k3L3 (R)
kf
k
L3 (R) j−1/2
j∈Z

Daı́, existe j0 ∈ Z tal que
Z j0 +1/2

2

0 2

f + (f )
j0 −1/2



B2
dx ≤
kf k3L3 (R)

Z j0 +1/2

|f |3 dx.

j0 −1/2

Agora, usando o teorema de Rellich-Kondrachov (1.7), temos que existe uma constante A (que
independe de f ) tal que
Z j0 +1/2

!1/3
|f |3 dx

j0 −1/2

Z j0 +1/2
= kF kL3 (U ) ≤ A kF kH 1 (U ) = A

!1/2
f 2 + (f 0 )2 dx

j0 −1/2

onde U = B ((j0 , 0, 0, 0, 0, 0); 1/2) ∈ R6 e F (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) = f (x1 ).
Daı́,
Z j0 +1/2
j0 −1/2

!1/3
|f |3 dx

≤

AB
3/2
kf kL3 (R)

53

! Z
j0 +1/2
j0 −1/2

!1/2
|f |3 dx

.

.

Elevando ao quadrado ambos os membros da desigualdade acima e usando a hipótese que |f |3 ≥
δ obtemos
Z j0 +1/2
δ9
|f |3 dx ≥ 6 6 .
AB
j0 −1/2
Agora, basta tomar η =

δ9
e observar que
A6 B 6
Z j0 +1/2
Z y+1/2
3
|f (x)| dx ≥
|f |3 dx
sup
y∈R

j0 −1/2

y−1/2

para concluir a demonstração.

No que segue-se, vamos estabelecer algumas propriedades do problema variacional e de suas
sequências minimizantes que não dependem do valor de α.
Lema 3.3 Para todo q1 > 0, tem-se que
−∞ < Iq1 < 0.
Demonstração.
Inicialmente vamos mostrar que Iq1 < 0. Escolha ψ ∈ H 1 (R) tal que M (ψ) =
Z
√
ψ 3 dx 6= 0. Para cada θ > 0, defina ψθ por ψθ (x) = θψ(θx). Então, para todo θ > 0
q1 e
R

tem-se que
Z √
Z
Z
2
dy
2
M (ψθ ) =
θψ(θx) dx = θ (ψ(θx)) dx = θ ψ 2 (y) = M (ψ),
θ
R
R
R
onde usamos, e usaremos abaixo, a mudança de variável y = θx. Agora, definimos
g : (0, +∞) → R por
Z
2 1 √
1
g(θ) = E(ψθ ) =
θ3/2 ψx (θx) − ( θψ(θx))3 dx
2 R
3
2 Z
1/2 Z
θ
θ
=
(ψy )2 dy −
ψ 3 dy.
2 R
6 R
Z
Sendo

ψ 3 6= 0, temos que para θ suficientemente pequeno g(θ) < 0. Logo,

R

Iq1 ≤ E(ψθ ) = g(θ) < 0.
54

Vamos mostrar que Iq1 > −∞.
De fato, denotando por ψ uma função arbitrária em H 1 (R) tal que M (ψ) = q1 . Para mostrar
que Iq1 > −∞, é suficiente mostrar que E(ψ) é limitado inferiormente por um número que
independe de ψ. Note que
Z
5/2
1/2
ψ 3 dx ≤ kψk3L3 (R) ≤ A kψk3H 1/6 (R) ≤ A kψkL2 (R) kψkH 1 (R) ,
R

onde usamos o teorema de Rellich-Kondrachov (1.7) na segunda desigualdade e o item (iv)
da proposição (1.4). Observamos que A denota várias constantes que independem de ψ. Daı́,
usando a desigualdade de Young (1.4) obtemos
Z
10/3
ψ 3 dx ≤ ε kψk2H 1 (R) + Aε kψkL2 (R) ,
R

onde ε é arbitrário e Aε depende de ε mas não de ψ. Sabendo que kψkL2 (R) = (2M (ψ))1/2 ,
temos que
Z
ψ 3 dx ≤ ε kψk2H 1 (R) + Aε,q1 e
R

novamente Aε,q1 independe de ψ. Agora,
E(ψ) = E(ψ) + M (ψ) − M (ψ)
Z
Z

1
1
0 2
2
(ψ ) + ψ dx −
ψ 3 dx − M (ψ)
=
2
6
ε
1
1
kψk2H 1 (R) − kψk2H 1 (R) − Aε,q1 − q1 .
≥
2
6
6
Escolhendo ε ≤ 3, temos que

1
ε
kψk2H 1 (R) − kψk2H 1 (R) ≥ 0 e com isso
2
6
1
E(ψ) ≥ − Aε,q1 − q1 ,
6

que completa a demonstração.

Lema 3.4 Se {fn } é uma sequência minimizante para Iq , então existe constantes B > 0 e
δ > 0 tais que
(i) kfn kH 1 (R) ≤ B para todo n, e
55

(ii) kfn kL3 (R) ≥ δ para todo n suficientemente grande.
Demonstração. Para provar o primeiro item é suficiente observar que
Z

1
1
2
kfn kH 1 (R) =
fn2 + (fn0 )2 dx
2
2
Z
1
fn3 dx
= E(fn ) + M (fn ) +
6
A
≤ sup E(fn ) + q + kfn k3H 1/6 (R)
6
n


5/2
1/2
≤ A 1 + kfn kL2 (R) kfn kH 1 (R)


1/2
≤ A 1 + q 5/2 kfn kH 1 (R) ,
onde usamos o teorema de Rellich-Kondrachov (1.7) da segunda para a terceira linha e o item
(iv) da proposição (1.4) da terceira à quarta linha. Lembramos que A denota várias constantes
que independem de n. Ficamos agora com a seguinte desigualdade


1
3/2
1/2
1/2
kfn k2H 1 (R) − Aq 5/2 kfn kH 1 (R) ≤ A =⇒ kfn kH 1 (R) kfn kH 1 (R) − Aq 5/2 ≤ A.
2
Daı́, existe B > 0 tal que kfn kH 1 (R) ≤ B.
Demonstraremos o item 2 argumentando por contradição.
Se não existe uma tal constante δ então
Z
lim inf
n−→∞

(fn )3 dx ≤ 0,

logo
 Z



Z
Z
1
1
1
3
0 2
3
Iq = lim
(fn ) −
fn dx ≥ lim inf −
(fn ) dx ≥ 0,
n−→∞
n−→∞
2
6
6
o que contradiz o lema anterior.

Lema 3.5 Para todo q1 , q2 > 0, tem-se que
I(q1 +q2 ) < Iq1 + Iq2 .
56

Demonstração. Inicialmente vamos mostrar que para todo θ > 0 e q > 0,
Iθq = θ5/3 Iq .
De fato, para cada ψ ∈ H 1 (R) defina ψθ por
ψθ (x) = θ2/3 ψ(θ1/3 x).
Assim,
M (ψθ ) =
=
=
=

Z
1
ψ 2 dx
2 R θ
Z
2
1
θ2/3 ψ(θ1/3 x) dx
2 R
Z
1 4/3
ψ 2 (θ1/3 x)dx
θ
2
R Z
1 4/3 1
θ
ψ 2 (y)dy = θM (ψ)
1/3
2
θ
R

e também
E(ψθ ) =
=
=
=

Z
Z
1
1
0 2
(ψ ) dx −
ψ 3 dx
2 R θ
6 R θ
Z
Z
2
1 2
1 2
0 1/3
θ
ψ (θ x) dx − θ
ψ 3 (θ1/3 x)dx
2
6
R Z
R Z
1 2 1
1
1
2
θ
ψ 3 (y)dy
(ψ 0 (y)) dy − θ2 1/3
2 θ1/3
6 θ
R

 Z
Z
1
1
2
0
3
5/3
(ψ (y)) dy −
ψ (y)dy
θ
2 R
6 R

= θ5/3 E(ψ).
Com isso, segue que
Iθq = inf {E(ψθ ); M (ψθ ) = θq}

= inf θ5/3 E(ψ); M (ψ) = q
= θ5/3 Iq .
Agora, usando o fato que (a + b)5/3 > a5/3 + b5/3 quando a, b > 0 (isso por um exercı́cio
simples de cálculo) e as desigualdades acima, temos que para todo q1 , q2 > 0


5/3
5/3
Iq1 +q2 = (q1 + q2 )5/3 I1 < q1 + q2
I1 = Iq1 + Iq2 .
57


Para o que segue vamos considerar (fn ) uma sequência minimizante para Iq e α como no Lema
de Compacidade Concentrada (3.1), vamos explorar agora as implicações para (fn ) de cada
uma das três possilidades: α = q, 0 < α < q e α = 0.
O primeiro destes casos é chamado de Compacidade.
Lema 3.6 Suponha α = q. Então existe uma sequência de números reais {yn } tal que
(i) Para todo z < q existe r = r(z) tal que
Z yn +r

|fn |2 dx > z

yn −r

para todo n suficientemente grande
(ii) A sequência {fen } definida por
fen (x) = f (x + yn ), para todo x ∈ R,
tem uma subsequência que converge na norma H 1 (R) para uma função g ∈ Gq . Em
particular, Gq é não vazio.
Demonstração. Como α = q, existe r0 tal que para todo n suficientemente grande tem-se
Z
1 y+r0
q
sup
|fn |2 dx > .
2
y∈R 2 y−r0
Portanto, dado n ∈ N podemos encontrar yn ∈ R tal que
Z
1 yn +r0
q
|fn |2 dx > .
2 yn −r0
2
Agora, dado z < q podemos assumir que z > q/2. Novamente, como α = q podemos encontrar
r0 (z) e n0 (z) tal que para todo n > n0 (z) tem-se
Z
1 yn (z)+r0 (z)
|fn |2 dx > z, para algum yn (z) ∈ R.
2 yn (z)−r0 (z)
Note que para concluir o item (i) resta
Z mostrar que yn (z) pode ser substituido pelo yn encontrado
1
anteriormente. Assim, visto que
|fn |2 dx = q, segue que para n suficientemente grande
2 R
[yn − r0 , yn + r0 ] ⊂ [yn (z) − r0 (z), yn (z) + r0 (z)] .
58

Tomando agora r = r(z) = 2r0 (z) − r0 segue facilmente que
[yn (z) − r0 (z), yn (z) + r0 (z)] ⊂ [yn − r, yn + r] .
Isso encerra a demonstração do item (i).
Provaremos agora o item (ii).
A primeira afirmativa já provada nos diz que para cada k ∈ N, existe rk ∈ R tal que ∀n
suficientemente grande
Z
1 rk e 2
1
|fn | dx > q − .
2 −rk
k
 
Pelo lema (3.4) acima, a sequência fen é unifomemente limitada em H 1 (R). Tomando U =
B(0; rk ) ⊂ R6 podemos aplicar o Teorema de Rellich-Kondrachov (1.7) para concluir que
H 1 (U ) ,→ L2 (U ).
Isso significa que conjuntos limitados de H 1 (U ) são conjuntos pré-compactos de L2 (U ).
 
Segue-se portanto que alguma subsequênca de fen converge em L2 ([−rk , rk ]) para uma
função limite g ∈ L2 ([−rk , rk ]) satisfazendo
Z
1
1 rk 2
|g| dx > q − .
2 −rk
k
Um argumento de Diagonalização de Cantor, juntamente com o fato que
Z
1
|g|2 dx = q, ∀n ∈ N,
2 R
 
mostra-nos que alguma subsequência de fen converge em L2 (R), em norma, para uma função
g ∈ L2 (R) satisfazendo
Z

|g|2 dx = q.

R

Usando novamente o lema 3.4 temos que:
1/6

fen − g

L3 (R)

≤ A fen − g

H 1/6 (R)

≤ A fen − g

onde A e C são constantes que independem de n.
59

H 1 (R)

5/6

· fen − g

L2 (R)

≤ C fen − g

L2 (R)

,

Assim, fen −→ g em L3 (R). Além disso, pela compacidade fraca da esfera unitária e a semicontinuidade inferior fraca da norma no espaço de Hilbert (Teorema de Banach-Alaoglu),
sabemos que fen * g em H 1 (R), ou seja,
kgkH 1 (R) ≤ lim inf fen
n−→∞

H 1 (R)

.

Segue-se então que
1
1
1
kgk2H 1 (R) − kgk2L2 (R) − kgk3L3 (R)
2
2
6


1 e 2
1 e 3
1 e 2
−
−
fn
fn
fn
≤ lim
n−→∞
2
2
6
H 1 (R)
L2 (R)
L3 (R)
= lim E(fen ) = Iq .

E(g) =

n−→∞


Como M (g) = q e Iq = inf E(ψ); ψ ∈ H 1 (R) e M (ψ) = q . temos que E(g) = Iq e daı́
g ∈ Gq . Finalmente, juntando os fatos que
E(g) = lim E(fen ), kgkL3 (R) = lim
n−→∞

n−→∞

fen

L3 (R)

e kgkL2 (R) = lim

n−→∞

fen

L2 (R)

,

temos que
kgkH 1 (R) = lim

n−→∞

fen

H 1 (R)

,

e daı́ concluı́mos que fen −→ g em H 1 (R).

O lema que segue é usado para descrever o que acontece com a sequência minimizante quando
0 < α < q.
Lema 3.7 Para todo ε, existe um N ∈ N e sequências de funções {gN , gN +1 , gN +2 , · · · } e
{hN , nN +1 , hN +2 , · · · } em H 1 (R) tais que para todo n > N ,
(i) |M (gn ) − α| < ε;
(ii) |M (hn ) − (q − α)| < ε;
(iii) E(fn ) ≥ E(gn ) + E(hn ) − ε.
Demonstração.
Escolha φ ∈ C0∞ ([−2, 2]) tal que φ ≡ 1 em [−1, 1] e seja ψ ∈ C ∞ (R) tal que φ2 + ψ 2 ≡ 1
sobre R.
60

Para cada r ∈ R, defina φr (x) = φ(x/r) e ψr (x) = ψ(x/r). Para todos os valores de r
suficientemente grande temos que
Z
Z
1 yn +2r
1 yn +r
2
|fn | dx ≤ lim
|fn |2 dx ≤ α.
α − ε < lim
n−→∞ 2 y −2r
n−→∞ 2 y −r
n
n
Assumindo por um momento que o valor de r é escolhido e fixado, então podemos escolher n0
suficientemente grande tal que
Z
Z
1 yn +r
1 yn +2r
2
α−ε<
|fn | dx ≤
|fn |2 dx < α + ε, ∀n ≥ n0 .
2 yn −r
2 yn −2r
Portanto, para cada n ≥ n0 podemos encontrar yn tal que
Z
1 yn +r
|fn |2 dx > α − ε
2 yn −r

(3.21)

e
1
2

Z yn +2r

|fn |2 dx < α + ε.

(3.22)

yn −2r

Agora, defina gn (x) = φr (x − yn )fn (x) e hn (x) = ψr (x − yn )fn (x). Então, claramente as
afirmações (i) e (ii) são satisfeitas para gn e hn .
Com efeito, como para

x − yn
> 2 tem-se que gn (x) = 0, basta estudar gn (x) para
r

x − yn
< 2 ⇐⇒ −2r < x − yn < 2r ⇐⇒ yn − 2r < x < yn + 2r.
r
Daı́,
1
M (gn ) =
2

Z

1
gn2 (x)dx =

R

2

Z yn +2r

2

φ
yn −2r



x − yn
r



1
fn2 (x)dx ≤
2

Z yn +2r

|fn |2 (x)dx < α + ε.

yn −2r

Logo, |M (gn ) − α| < ε.
Note que
x − yn
hn (x) 6= 0 ⇐⇒
> 1 ⇐⇒
r



61

x − yn > r
←→ x > yn + r
.
x − yn < −r ←→ x < yn − r

Agora,
M (hn ) =
=
≤
=
<

Z
1
h2n (x)dx
2 R




Z
Z
1 yn −r 2 x − yn
1 ∞ 2 x − yn
2
ψ
fn (x)dx +
ψ
fn2 (x)dx
2 −∞
r
2 yn +r
r
Z
Z
1 ∞ 2
1 yn −r 2
fn (x)dx +
f (x)dx
2 −∞
2 yn +r n
Z
Z
1
1 yn +r 2
2
f (x)dx
f (x)dx −
2 R n
2 yn −r n
q − (α − ε).

Resta portanto, provar a afirmação (iii). Para tanto, note que
Z

Z



1
1
1
1
0 2
3
0 2
3
E(gn ) + E(hn ) =
(φr fn ) − [φr fn ] dx +
(ψr fn ) − [ψr fn ] dx
2
3
2
3
R
R

Z
Z
Z
1
2
2
φ2r (fn0 ) dx + 2 φr φ0r fn fn0 dx + (φ0r ) fn2 dx
=
2 R

Z
ZR
ZR
1
2
0 2
0
0
0 2 2
+
ψ (f ) dx + 2 ψr ψr fn fn dx + (ψr ) fn dx
2 R r n
R
R
Z
Z
1
1
−
φ2 f 3 dx −
ψ 2 f 3 dx
6 R r n
6 R r n
Z
Z
 3

1
1
2
3
+
φr − φr fn dx +
ψr2 − ψr3 fn3 dx.
6 R
6 R
Observe que simplificamos a escrita acima, onde φr denota φr (x − yn ) e ψr denota ψr (x − yn ).
Agora usando os fatos:
φ2 + ψ 2 ≡ 1,
kφ0 kL∞ (R)
0
(φr ) L∞ (R) =
r
e
0

(ψr )

,
r
juntamente com a Desilgualdade de Holder e o lema (3.4), podemos reescrever a equação acima
na forma
 
Z
 2


1
1
E(gn ) + E(hn ) = E(fn ) + O
+
φr − φ3r + ψr2 − ψr3 fn3 dx,
r
6 R
L∞ (R)

=

kψ 0 kL∞ (R)

62

 
A1
1
significa que o termo omitido, em valor absoluto, é menor do que
com A1
onde O
r
r
independente de r e n.
Note que,
Z
 2


φr − φ3r + ψr2 − ψr3 fn3 dx
R

Z


≤
2|fn | dx
r≤|x−yn |≤2r
Z

2
≤ 2
|fn | dx · kfn kL∞ (R) ≤ A2 ε.
3

r≤|x−yn |≤2r

Usando as desigualdades (3.21) e (3.22) e a última desigualdade acima observamos que
Z yn +2r
 Z yn +r

Z
2
2
2
|fn | dx =
|fn | dx −
|fn | dx ≤ (α + ε) − (α − ε) = 2ε.
r≤|x−yn |≤2r

yn −2r

yn −r

 
1
< ε. Pela escolha das sequências (gn ) e (hn ),
Agora, escolhemos r de modo que O
r
juntamente com as afirmações (i) e (ii) asseguramos que
E(fn ) ≥ E(gn ) + E(hn ) − (A2 + 1)ε, ∀n ≥ n0 (r).

(3.23)


ε
Finalmente, podemos retornar ao inı́cio da demonstração e substituir ε por min ε,
,
A2 + 1
transformando assim (3.23) na afirmação (iii).
0




Corolário 3.1 Se 0 < α < q então
Iq ≥ Iα + Iq−α .
Demonstração.
Primeiro observe que se g é uma função tal que |M (g) − α| < ε, então M (βg) = α, onde

1/2
α
β=
satisfaz |β − 1| < Cε com C independente de g e de ε.
M (g)
De fato,
1
M (βg) =
2

 Z

1
α
2
β g dx = β
g dx =
M (g) = α,
2 R
M (g)
R

Z

2 2

2

63

e
1/2

α1/2 − M (g)1/2
−1 =
M (g)1/2


α1/2 − M (g)1/2 α1/2 + M (g)1/2
M (g)1/2 (α1/2 + M (g)1/2 )


|β − 1| =
=

α
M (g)

|α − M (g)|
M (g)1/2 (α1/2 + M (g)1/2 )
ε

 ≤ Cε,
≤
1/2
1/2
(α/2)
(α/2) + α
=

onde na penúltima desigualdade acima usamos o fato que tomando ε < α/2, de
|M (g) − α| < ε
obtemos que M (g)1/2 > (α/2)1/2 . Com isso,
1
M (g)1/2 (α1/2 + M (g)1/2 )

≤

1


(α/2)1/2 (α/2)1/2 + α

.

Portanto,
Iα

Z
Z
1 2
1 3
2
≤ E(βg) = β
gx dx − β
g 3 dx
2
6
R
Z R
Z
1
1
2
2
3
≤
(1 + Cε)
gx dx − (1 + Cε)
g 3 dx
2
6
R
R
≤ E(g) + Aε.

Um resultado análogo vale para funções h tal que |M (h) − (q − α)| < ε.
Destas observações e do lema (3.7) segue-se que existe uma subsequência (fnk ) ⊂ (fn ) e
correspondentes funções gnk e hnk , tal que
1
E(gnk ) ≥ Iα − ,
k
E(hnk ) ≥ Iq−α −

1
e
k

1
E(fnk ) ≥ E(qnk ) + E(hnk ) − .
k
64

3
Daı́, E(fnk ) ≥ Iα + Iq−α − e tomando o limite, quando k −→ ∞, em ambos os membros
k
obtemos
Iq ≥ Iα + Iq−α .

O lema (3.7) e seu corolário abordam o caso 0 < α < q chamado de Dicotomia.
Finalmente vamos tratar do caso α = 0, chamado de Nulidade.
Lema 3.8 Para toda sequência minimizante, α > 0.
Demonstração.
Pelos lemas (3.2) e (3.4) concluimos que existem η > 0 e (yn ) ⊂ R tais que
1
2

Z yn +1/2

|fn |3 dx ≥ η, ∀n ∈ N.

yn −1/2

Portanto,
Z yn +1/2
2η ≤ kfn kL∞ (R)

!
|fn |2 dx

Z yn +1/2
≤A

yn −1/2

!
|fn |2 dx .

yn −1/2

Daı́,
1
α = lim lim
n−→∞ r−→∞ 2

Z yn +r

1
|fn | dx ≥ lim
n−→∞ 2
yn −r
2

Z yn +1/2

|fn |2 dx ≥

yn −1/2

η
> 0.
A


Teorema 3.2 O conjunto Gq é não vazio. Além disso, se {fn } é uma sequência minimizante
para Iq , então:
(i) Existe uma sequência {yn } e uma função g ∈ Gq tal que {fn (· + yn )} tem uma subsequência que converge fortemente em H 1 (R) para g.
(ii)
lim inf kfn (· + y) − gkH 1 (R) = 0.

n→+∞ g∈Gq
y∈R

(iii)
lim inf kfn − gkH 1 (R) = 0.

n→+∞ g∈Gq

65

Demonstração.
Pelos lemas (3.5), (3.8) e o corolário (3.1) temos que α = q. Portanto pelo lema (3.6) concluimos que Gq 6= ∅. Isso é suficiente para demonstrar (i).
Para mostrar (ii), suponha que existem uma subsequência (fnk ) ⊂ (fn ) e um número ε > 0 tal
que
inf kfnk (· + y) − gkH 1 (R) ≥ ε, ∀k ∈ N.
g∈Gq
y∈R

Mas como (fnk ) é ela própria uma sequência minimizante para Iq , da afirmativa (i) tem-se que
existe uma sequência (yn ) ⊂ R e g0 ∈ Gq tal que
lim kfnk (· + yk ) − g0 kH 1 (R) = 0.

n→+∞

O que é uma contradição, portanto, (ii) é válida.
Resta demonstrar (iii), para tanto iniciamos obeservando que os funcionais E e M são invariantes por translação.
De fato, para cada z ∈ R defina ψz (x) := ψ(x + z) e vamos mostrar que M (ψz ) = M (ψ) e que
E(ψz ) = E(ψ).
Z
Z
Z
1
1
1
2
2
ψz (x)dx =
ψ (x + z)dx =
ψ 2 (y)dy = M (ψ),
M (ψz ) =
2 R
2 R
2 R
usamos acima a mudança de variável y = x + z. Usando a mesma mudança de variável temos
que
Z
Z
1
1
2
0
E(ψz ) =
(ψ (x)) dx −
ψ 3 (x)dx
2 R z
6 R z
Z
Z
1
1
2
0
=
(ψ (x + z)) dx −
ψ 3 (x + z)dx
2 R
6 R
Z
Z
1
1
2
=
(ψ 0 (y)) dy −
ψ 3 (y)dy = E(ψ), e portanto
2 R
6 R
Gq tem como elemento qualquer translação de g, se g é um elemento de Gq . Com isso, a
afirmativa (ii) implica afirmativa (iii).

Uma consequência imediata do Teorema (3.2) acima é que Gq forma um conjunto estável para
o problema de valor inicial (2).
66

Corolário 3.2 Para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que se
inf ku0 − gkH 1 (R) < δ,

g∈Gq

então a solução do problema de Cauchy u(x, t) com u(x, 0) = u0 satisfaz
inf ku(·, t) − gkH 1 (R) < ε,

g∈Gq

para todo t ∈ R.
Demonstração. Suponha que o resultado é falso. Como consequência, existem um número
ε > 0, uma sequência (ψn ) ⊂ H 1 (R) e uma sequência de tempos (tn ) ⊂ R tais que
inf kψn − gkH 1 (R) <

g∈Gq

1
e inf kun (·, tn ) − gkH 1 (R) ≥ ε, ∀n ∈ N,
n g∈Gq

onde un (x, t) resolve o problema de Cauchy com un (x, 0) = ψn . Então, como E(g) = Iq e
M (g) = q, pois g ∈ Gq , temos que
E(un (·, tn )) = E(ψn ) −→ Iq e M (ψn ) −→ q.
Considere (αn ) ⊂ R, onde αn =

q
. Daı́ M (αn ψn ) = q e αn −→ 1.
M (ψn )

Portanto a sequência fn = αn un (·, tn ) satisfaz M (fn ) = q e com isso
lim E(fn ) = lim E(αn un ) = lim E(αn ψn ) = Iq .

n−→∞

n−→∞

n−→∞

Portanto, (fn ) é uma sequência minimizante para Iq . Pelo teorema que garante boa colocação
global para a Equação KdV com s = 1, segue que se ψn pertence a H 1 (R) então fn ∈ H 1 (R)
para cada n ∈ N. Portanto, pelo teorema (3.2) temos que para todo n suficientemente grande,
existe gn ∈ Gq tal que
kfn − gn kH 1 (R) < ε/2.
Com isso,
ε ≤ kun (·, tn ) − gn kH 1 (R) =
≤
=
≤

kun (·, tn ) − fn + fn − gn kH 1 (R)
kun (·, tn ) − fn kH 1 (R) + kfn − gn kH 1 (R)
kun (·, tn ) − αn un (·, tn )kH 1 (R) + kfn − gn kH 1 (R)
|1 − αn | kun (·, tn )kH 1 (R) + ε/2.
67

Tomando o limite quando n −→ ∞ e usando o fato que kun (·, tn )k1 é limitado temos que
0 < ε ≤ ε/2,
que é um absurdo.
Portanto o resultado é verdadeiro.

Na proposição que segue descreveremos o conjunto Gq .
Proposição 3.1 Se Gq é não vazio então Gq = {φ(· + x0 ); x0 ∈ R}.
Demonstração.
Se g ∈ Gq , então pelo Método Multiplicador de Lagrange, existe λ real tal que
E(g) + λM (g) = cte,
ou seja,
δE(g) + λδM (g) = 0,

(3.24)

onde δE(g) e δM (g) são as derivadas de Fréchet de E e M em g calculadas nos preliminares.
Agora, δE(g) e δM (g) são dadas (como distribuições em H −1 (R)) por
1
δE(g) = −g 00 − g 2 e δM (g) = g.
2
Portanto (3.24) é equivalente a seguinte EDO em g
1
g 00 + g 2 − λg = 0.
2

(3.25)

Observando que esta equação diferencial ordinária tem única solução tanto em L2 (R) como
em C ∞ (R), segue que a solução para (3.25), tipo distribuição em L2 (R), é suave (esse tipo
de argumento é conhecido como bootstrap). Como já resolvemos esta equação que aparece
em (3.3) e vimos que as únicas soluções de (3.25) são φλ (x + x0 ), onde x0 é arbitrário e φλ é
definido por (3.8).
Além disso, é fácil ver que M (φλ ) = q = M (φC ) ⇐⇒ λ = C.

A prova do teorema (3.1) segue portanto combinando o teorema (3.2), seu corolário e a proposição
acima.
68

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[6] K ENIG , C.; P ONCE , G. AND V EGA , L. Well-posedness and scattering results for the
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