Dissertação

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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado

Estabilidade de Variações que Preservam
Área em Formas Espaciais

Arlyson Alves do Nascimento

Maceió, Brasil
23 de Abril 2009
1

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale

N244e

Nascimento, Arlyson Alves do.
Estabilidade de variações que preservam áreas em formas espaciais / Arlyson
Alves do Nascimento, 2009.
98 f. : il.
Orientador: Fernando Enrique Echaiz Espinoza.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2009.
Bibliografia: f. 96-97.
1. r-ésima. 2. Curvatura média. 3. r-estáveis. 4. Variações que preservam área.
5. Imersão isométrica. 6. Geometria diferencial.
CDU: 514.7

Arlyson Alves do Nascimento

Estabilidade de Variações que Preservam
Área em Formas Espaciais

Dissertação de Mestrado na área de concentração de Geometria Diferencial submetida em 23 de Abril de 2009 à Banca Examinadora, designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em
Matemática da Universidade Federal de
Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em
Matemática.

Orientador: Prof◦ Dr. Fernando Enrique Echaiz Espinoza

Maceió
2009

... querer o meu,
não é roubar o seu,
pois o que eu quero,
é só função de eu ...
(Novo aeon - Raul Seixas).

4

A Deus
e Aos meus pais.

5

Agradecimentos

Primeiramente, a Deus por tudo.
Ao professor Fernando Enrique Echaiz Espinoza, meu orientador, por esses anos de orientação acadêmica, pela confiança depositada em mim, pela grande amizade e, finalmente,
por ter me ajudado a crescer como pessoa e como profissional.
Aos professores Henrique Fernandes, Marcos Petrúcio e Hilario Alencar pelas valiosas
correções e sugestões dadas para melhoria desta dissertação.
Aos professores do Mestrado Vinı́cius Mello, Krerley Oliveira, Ediel Azevedo, Adán
Corcho e Guadalupe Reis pela pela contribuição em minha formação acadêmica.
Aos meus amigos do Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFAL, Alex
Santana, Borges, Carlos Alberto, Darliton Cezário, Erickson Fonseca, Everson Fernando,
Fabio Boia, Isnaldo Barbosa, Leandro Favacho, Leonardo, Priscila Santos.
Aos meus amigos e professores Marcius Petrúcio e Márcio Henrique, um agradecimento
todo especial pelas importantes dúvidas esclarecidas, as quais deram firmeza a vários argumentos matemáticos desta dissertação.
Aos meus amigos Askery Alexandre, José Eduardo, André Pizzaia e Daniel Nicolau
pela força dada, assim como também agradeço a, Gelsivânio Souza, Daniel lemos, Isaura
Maria e Rinaldo.
Sou muito grato aos professores Adonai Pereira Seixas e Adroaldo Durvillé pelos cursos ministrados durante a graduação e as dúvidas esclarecidas durante minha formação
matemática.
A todos os professores do Instituto de Matemática da UFAL que colaboraram com
minha formação matemática, em especial aos profesores Francisco Potiguar, Sinvaldo
Gama, José Carlos e Arnon Tavares.
Agradeço a todas as amizades que eu fiz na Ufal, aos companheiros de festa e diversão,
agradeço também aos meus companheiros de banda (Absurdos) pela paciência e confiança.
E, finalmente, aos meus padrinhos Silvio Pimentel e Maria do Amparo de coração por
todo o carinho e apoio dado até hoje, aos meus irmãos Anderson e Anne e em especial aos
meus pais Antônio e Jô.
À Fundação de Amparo à pesquisa do Estado de Alagoas - FAPEAL - pelo apoio
financeiro.
6

Resumo

O objetivo desta dissertação é estudar as hipersuperfı́cies compactas sem bordo e imersas em formas espaciais com SSr+1
constante, onde Sr+1 é a (r + 1)-ésima função simétrica
1
das curvaturas principais. Tais hipersuperfı́cies são os pontos crı́ticos de um problema
variacional que preserva área. Demonstraremos que tais imersões são r-estáveis se, e somente se, elas forem hipersuperfı́cies totalmente umbı́licas.

Palavras-chave: r-ésima curvatura média, r-estáveis, variações que preservam área.

7

Sumário
1 Introdução

9

2 Preliminares
2.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Aplicação exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Imersões isométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Operadores diferenciais sobre variedades Riemannianas. . . . . . . . . . . .
2.5.1 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 O operador de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Hessiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Operadores lineares elı́pticos de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . .

10
10
11
12
14
17
17
18
20
21
22

3 O operador Lr
3.1 Identidades de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Os polinômios de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 O operador Lr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Elipticidade dos operadores Lr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Elipticidade dos operadores L̃r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
25
26
30
54
58

4 O problema variacional que preserva área

65

5 Estabilidade de hipersuperfı́cies em M (c)

77

Referências Bibliográficas

96

8

Capı́tulo 1
Introdução
O trabalho aqui realizado baseia-se no artigo de autoria de Yijun He e Haizhong Li [18].
Considere Mn como sendo uma variedade Riemanniana n dimensional, conexa, orientada,
n+1
compacta e sem bordo. Seja M (c) o espaço euclidiano Rn+1 , um hemisfério aberto de
Sn+1 (1) ou o espaço hiperbólico Hn+1 (−1), de acordo com c = 0, 1 ou −1, respectivamente
n+1
e x : Mn −→ M  (c) uma imersão isométrica. A r-ésima curvatura média Hr é definida
por Hr = Sr / nr , onde Sr é a r-ésima função simétrica elementar. Claramente H1 é a
curvatura média H.
O problema variacional que preserva volume tem sido estudado por muitos autores
(consulte [1-8]). É bem sabido que imersões com curvatura média constante são pontos
crı́ticos para o problema variacional de minimizar o funcional área mantendo o balanço
do volume zero. Uma solução local para este problema variacional diz-se estável. Este
conceito foi introduzido por Barbosa, do Carmo e Eschenburg em [8].
Para imersões de hipersuperfı́cies com a (r + 1)-ésima curvatura média constante em
formas espaciais, Alencar, do Carmo e Rosenberg estudaram o caso de Rn+1 em [3], Barbosa
e Colares estudaram o caso de um hemisfério aberto de Sn+1 (1) e o espaço hiperbólico
Hn+1 (−1) em [5].
Estas hipersuperfı́cies são os pontos crı́ticos de um problema variacional de minimizar
um funcional do tipo
Z
Ar = Fr (S1 , . . . , Sr )dM,
M

mantendo o balanço do volume zero, onde Fr é uma função adequada.
Para o estudo desse problema Y. He e H. Li [18] introduziram o conceito de r-estabilidade de hipersuperfı́cies o qual generaliza o conceito de estabilidade dado em [8]. Outro
problema variacional para hipersuperfı́cies envolvendo funções de S1 , . . . , Sr pode ser encontrada em [23].
Nesta dissertação cosideraremos hipersuperfı́cies orientadas, compactas, conexas e sem
n+1
constante. Veremos que a imersão
bordo em M (c) com curvatura média positiva e SSr+1
1
é r-estável se, e somente se, é totalmente umbilica; no caso em que c = 0 o resultado vale
para qualquer r, enquanto para c 6= 0 o resultado é somente válido para r par (veja [18]).
9

Capı́tulo 2
Preliminares
O objetivo deste capı́tulo é dar um breve resumo de alguns resultados fundamentais
da Geometria Riemanniana, que serão utilizados neste trabalho. O conceito de variedade
diferenciável serve para estender os métodos do cálculo diferencial a espaços mais gerais
que o Rn , baseados nesta noção apresentaremos a noção de campo de vetores, variedade
Riemanniana, conexão afim, aplicação exponencial, curvatura, imersões isométricas, gradiente, divergente, laplaciano, hessiano. Maiores detalhes podem ser encontrados em [16],[15]
e [12].

2.1

Definições

Definição 2.1.1. Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma
correspondência que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ Tp M, onde Tp M é o
plano tangente a M no ponto p. O campo é diferenciável se a aplicação X : M −→ T M
é diferenciável, onde T M é chamado de fibrado tangente de M que
[é a união disjunta dos
espaços tangentes a M em todos os pontos de M (isto é, T M =
Tp M).
p∈M

Definição 2.1.2. Uma métrica Riemanniana em uma variedade diferenciável Mn é uma
correspondência que associa a cada ponto p ∈ M um produto interno h ·, · ip no espaço
tangente Tp M, tal que: se x : U ⊂ Rn −→ M é um sistema de coordenadas locais em
1 , . . . , 0), então para
torno de p, com x(x1 , . . . , xn ) = q ∈ x(U ) e ∂x∂ i (q) = dx(0, . . . , |{z}
i
D
E
∂
∂
cada i, j ∈ {1, . . . , n}, ∂xi (q), ∂xj (q) é uma função diferenciável em U .
q

E
D
Definição 2.1.3. As funções gij := ∂x∂ i , ∂x∂ j são chamadas componentes da métrica
Riemanniana no sistema de coordenadas x : U ⊂ Rn −→ Mn . Uma variedade diferenciável
com uma métrica Riemanniana é chamada variedade Riemanniana.
Definição 2.1.4. Seja X (M) o conjunto dos campos de vetores de classe C ∞ em M e
D(M) o anel das funções reais de classe C ∞ definidas em M. Uma conexão afim ∇ em
10

M é uma aplicação
∇ : X (M) × X (M) −→ X (M)
tal que, ∀ X, Y, Z ∈ X (M) e ∀ f, g ∈ D(M), tem-se
(i) ∇f X+gY Z = f ∇X Z + g∇X Z
(ii) ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z
(iii) ∇X f Y = f ∇X Y + X(f )Y .
Definição 2.1.5. Dizemos que uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é
simétrica se
∇X Y − ∇Y X = [X, Y ], ∀ X, Y ∈ X (M).
Dizemos que uma conexão afim ∇ em uma variedade Riemanniana M é compatı́vel
com a métrica se
X hY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi , ∀ X, Y, Z ∈ X (M).
O próximo Teorema é fundamental em Geometria Riemanniana.
Teorema 2.1.1 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanniana M, existe uma única
conexão afim ∇ em M que é simétrica e compatı́vel com a métrica Riemanniana.
Demonstração. Ver [16], página 61.



Tal conexão é denominada conexão de Levi-Civita (ou Riemanniana) de M.

2.2

Aplicação exponencial

D 0
α (t) = 0.
Uma curva α em M é uma geodésica em t ∈ I se dt
Antes de definir a aplicação exponencial, lembraremos um resultado que é uma consequência direta do Teorema de existência e unicidade de equações diferenciais ordinárias:

Proposição 2.2.1. Dados p ∈ M e v ∈ Tp M, existe uma única geodésica α : I −→ M tal
que α(0) = p e α0 (0) = v, onde I ⊂ R é um intervalo contendo o zero.
Se v ∈ Tp M, vamos denotar por γv a única geodésica de M que passa por p ∈ M com
vetor velocidade v ∈ Tp M.
Seja Σp = {v ∈ Tp M; γv está definida num intervalo contendo [0, 1]}.
Definição 2.2.1. A aplicação expp : Σp −→ M, definida por expp (v) = γv (1), é denominada aplicação exponencial.
Proposição 2.2.2. As seguintes propriedades são satisfeitas:
11

1. para cada v ∈ Tp M, a geodésica γv é dada por γv (t) = expp (tv), para todo t ∈ R onde
os dois lados estão definidos;
2. a aplicação expp é diferenciável.
Demonstração. Ver [16], página 71.



Proposição 2.2.3. Para todo p ∈ M, existem uma vizinhança V da origem de Tp M e
uma vizinhança U de p, tais que expp : V −→ U é um difeomorfismo.
Demonstração. De fato,
d
(expp (tv)) t=0 ,
dt
d
=
(γv (t)) t=0 ,
dt
= γv0 (0),
= v.

d(expp )0 (v) =

Logo, d(expp )0 é a identidade de Tp M, segue-se então do Teorema da função inversa
que expp é um difeomorfismo local numa vizinhança de 0 em Tp M.

O aberto U dado pela proposição anterior é chamado vizinhança normal de p.

2.3

Curvatura

Considere M uma variedade Riemanniana de dimensão n e de classe C ∞ , seja ∇ sua
conexão Riemanniana e Tp M o espaço tangente a M em p.
Definição 2.3.1. O tensor de curvatura R de M é a aplicação que a cada par X, Y ∈
X (M) associa a correspondência
R(X, Y ) : X (M) −→ X (M)
dada por
R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z, ∀ Z ∈ X (M).
Proposição 2.3.1. O tensor de curvatura R de uma variedade Riemanniana goza das
seguintes propriedades:
(i) R é bilinear em X (M) × X (M).
(ii) ∀ X, Y ∈ X (M), o tensor curvatura R(X, Y ) : X (M) −→ X (M) é linear.
Proposição 2.3.2. O tensor de curvatura R satisfaz as seguintes propriedades para todo
X, Y, Z, T ∈ X (M):
12

(i) hR(X, Y )Z, T i + hR(Y, Z)X, T i + hR(Z, X)Y, T i = 0;
(ii) hR(X, Y )Z, T i = −hR(Y, X)Z, T i;
(iii) hR(X, Y )Z, T i = −hR(X, Y )T, Zi;
(iv) hR(X, Y )Z, T i = hR(Z, T )X, Y i.
Para um espaço vetorial V com produto interno h, i, dados dois vetores linearmente
independentes x, y ∈ V ,
q
|x ∧ y| =

|x|2 |y|2 − hx, yi2

é a área do paralelogramo gerado por {x, y}.
Pode-se verificar que, se σ ⊂ Tp M é um subespaço de dimensão 2 com base {x, y},
então
hR(x, y)x, yi
K(x, y) =
|x ∧ y|2
só depende de σ.
Definição 2.3.2. Considere p ∈ M e seja σ ⊂ Tp M um subespaço de dimensão 2.
K(σ) := K(x, y),
é chamada de curvatura seccional de σ em M no ponto p, onde {x, y} é uma base qualquer
de σ.
Usaremos a notação Mn (c) para indicar as variedades com curvatura seccional constante
c de dimensão n. Uma variedade Riemanniana de curvatura seccional constante que seja
completa e simplesmente conexa é chamada de forma espacial.
Note que quando multiplicamos uma métrica Riemanniana por uma constante positiva
c, então a sua curvatura seccional é multiplicada por 1c .
A esfera Sn (r) para r > 0 é definida por

Sn (r) = x ∈ Rn+1 ; hx, xi = r2 ,
onde h., .i denota o produto interno canônico de Rn+1 , o qual mune Sn (r) como uma métrica
1
Riemanniana. Pode-se provar que Sn (r) tem curvatura 2 .
r
Antes de dar um modelo para o espaço hiperbólico definamos para cada 0 ≤ s ≤ n:
(
)
s
n
X
X
−
−
Rn,s := Rn munido com a forma bilinear: bn,s (→
x ,→
y)=−
xy +
xy ,
i i

i=1

j j

j=s+1

−
−
onde →
x = (x1 , . . . , xn ) e →
y = (y1 , . . . , yn ). Pode-se verificar que bn,s é uma forma bilinear
simétrica não degenerada.
13

O espaço hiperbólico Hn (r) para r < 0 é definido por
−
−
−
Hn (r) = →
x = (x0 , x1 , . . . , xn ) ∈ Rn+1,1 ; h→
x ,→
x i = −r2 , x0 > 0 ,
onde h., .i é a métrica pseudo-Riemannian definida por
hv, wi = −v0 w0 +

n
X

vi w i .

i=1

1
Pode-se provar que Hn (r) tem curvatura − 2 .
r
Seja Mn uma forma espacial com curvatura seccional constante c ∈ R. Então o recobrimento universal M̃ de M, com a métrica do recobrimento é isometrico a
  
1


para c > 0;
Sn √


c

Rn 
 para c = 0;


1


H n √
para c < 0.
−c
(Cf. Cap. 8, página 181 do [16]).

2.4

Imersões isométricas
n+k

Seja x : Mn −→ M
uma imersão, isto é, x é uma aplicação diferenciável e dxp :
Tp M −→ Tx(p) M é injetiva para todo p ∈ M. Se M tem uma métrica Riemanniana, x
induz uma métrica Riemanniana em M, dada por
hu, vip := hdxp (u), dxp (v)ix(p) , u, v ∈ Tp M.
Com efeito, como dxp é injetiva, h·, ·i é positivo definido. As demais condições da
definição de métrica Riemanniana podem ser facilmente verificadas.
A métrica de M é então chamada a métrica induzida por x e a aplicação x é dita
uma imersão isométrica. Pelo teorema da forma local das imersões, dado p ∈ M existe
um aberto U 3 p de M tal que x|U : U −→ M é um mergulho, ou seja, x(U) é uma
subvariedade de M; por este resultado é natural identificar os pontos de U com os pontos
de x(U) pensando x como uma inclusão. Com está identificação, o Tp M é identificado com
dxp (Tp M), ou seja, identificamos v ∈ Tp M com dxp (v).
Tomando a métrica induzida em M, x torna-se uma isometria local e x|U torna-se
isometria sobre x(U). Com isto a aplicação dxp pode ser considerada como a inclusão ou
Tp M ser considerado como subespaço vetorial do espaço vetorial Tx(p) M. Para cada p ∈ M
tem-se,
Tp M = Tp M ⊕ (Tp M)⊥ ,
14

onde (Tp M)⊥ é o complemento ortogonal de Tp M em Tp M. Com isto, para cada X ∈ Tp M,
existem unicos v ∈ Tp M e w ∈ (Tp M)⊥ tal que X = v + w. Chamaremos v a componente
tangencial de X e w a componente normal de X.
Consideremos ∇ como sendo a conexão Riemanniana de M. Denotemos por ∇ a
conexão Riemanniana em M induzida pela sua métrica. Prova-se que
∇X Y = (∇X Y )> ,

∀X, Y ∈ X (M),

onde X e Y são extensões locais em M. Verifica-se que está é a conexão Riemanniana
relativa a métrica induzida em M.
Por outro lado, para X, Y campos vetoriais locais em M definimos a aplicação
α(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y,
onde X e Y são extensões locais de X e Y , respectivamente, em M. A aplicação α está
bem definida e independe da extensão escolhida(veja [16], pag. 126), também prova-se que
α é bilinear e simétrica.
Se ξ é campo normal unitário num aberto U ⊂ M e X, Y ∈ X (U), definimos uma forma
bilinear e simétrica Hξ : Tp M × Tp M −→ R por
Hξ (X, Y ) = hα(X, Y ), ξi.
A forma quadrática IIξ , definida em Tp M por
IIξ (X) = Hξ (X, X),
é chamada segunda forma fundamental da imersão x segundo o vetor normal ξ; à forma
Hξ está associada a um operador linear auto-adjunto Aξ : Tp M −→ Tp M por
hAξ (X), Y i = Hξ (X, Y ).
Dados p ∈ M, X ∈ Tp M e ξ ∈ (Tp M)⊥ , vale a seguinte igualdade:
Aξ (X) = −(∇X ξ)> .
Além disso, a componente normal de ∇X ξ é chamada a conexão normal ∇⊥ da imersão,
de modo que temos a seguinte igualdade:
N
>
∇⊥
X ξ = (∇X ξ) = ∇X ξ − (∇X ξ) = ∇X ξ + Aξ (X).

Observação 2.4.1. Se a codimensão for 1 podemos dispensar o ı́ndice ξ. Então,
A(X) = −(∇X ξ)> ,
onde A é chamado operador forma.

15

n+k

Por outro lado, consideremos x : Mn −→ M
uma imersão isométrica e seja
{e1 , . . . , en , en+1 , . . . , en+k }, um referencial ortogonal tangente a M numa vizinhança de
p ∈ Mn , adaptado a M, ou seja, com {e1 , . . . , en } tangente a Mn e {en+1 , . . . , en+k } normal
à M. Certamente, para cada campo normal N sobre Mn tem-se
hAN (X), Y i = HN (X, Y ) = hα(X, Y ), N i.
Podemos expressar α(X, Y ) da seguinte forma
α(X, Y ) =

n+k
X

hθ (X, Y ) eθ .

θ=n+1

Denotemos por
hθij = hθ (ei , ej ),

i, j = 1, . . . , n,

isto é,
hθij = hα(ei , ej ), eθ i = hAeθ (ei ), ej i,
com i, j = 1, . . . , n e θ = n + 1, . . . , n + k. Podemos notar que sendo Aeθ auto-adjunta,
segue-se que hθij = hθji .
Para cada θ fixado, θ = n + 1, . . . , n + k e p ∈ M, a matriz (hθij (p)) é chamada Matriz
da Segunda Forma Fundamental relativa a eθ em relação a base {ei }, i = 1, . . . , n, no ponto
p. No caso em que k = 1, temos a seguinte igualdade:
∇ei ej , ξ = hij .
Com efeito,
hej , ξi = 0, ∀ i, j = 1, 2, . . . , n
ei hej , ξi = 0,
∇ei ej , ξ + ej , ∇ei ξ = 0
∇ei ej , ξ = − ej , ∇ei ξ
D
E
>
⊥
= − ej , ∇ei ξ + ∇ei ξ
D
E D
E
>
⊥
= − ej , ∇ei ξ − ej , ∇ei ξ
D
E
>
= ej , −∇ei ξ = hej , Aei i
∇ei ej , ξ = hij .
As equações básicas para subvariedades são: a equação de Gauss, de Codazzi e Ricci. A
seguir enunciaremos as equações de Gauss e Codazzi, dando como referência o texto [14].
16

Proposição 2.4.1. ( Equação de Gauss)
hR (X, Y ) Z, W i = R (X, Y ) Z, W + hα(X, W ), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W )i ,
onde R e R são os tensores de curvatura de M e M, respectivamente. Em particular,
se K(X, Y ) = hR (X, Y ) Y, Xi e K(X, Y ) = R (X, Y ) Y, X denotam as curvaturas seccionais em M e M do plano gerado pelos vetores ortonormais X, Y ∈ Tp M, a equação de
Gauss toma a forma
K(X, Y ) = K(X, Y ) + hα(X, X), α(Y, Y )i − kα(X, Y )k2 .
No caso em que M é uma forma espacial , isto é, M(c), a equação de Gauss toma a
forma:
hR (X, Y ) Z, W i = c h(X ∧ Y ) Z, W i + hα(X, W ), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W )i .
Proposição 2.4.2. (Equação de Codazzi)
⊥


⊥
R (X, Y ) Z = ∇⊥
α
(Y,
Z)
−
∇
α
(X, Z),
X
Y
onde por definição

∇⊥
α
(Y, Z) = ∇⊥
X
X α(Y, Z) − α(∇X Y, Z) − α(Y, ∇X Z).
No caso em que M é uma forma espacial , isto é, M(c), a equação de Codazzi toma a
seguinte forma:
∇X A (Y, ξ) = ∇Y A (X, ξ) .

2.5

Operadores diferenciais sobre variedades Riemannianas.

2.5.1

Gradiente

Definição 2.5.1. Seja f ∈ D(M). O gradiente de f , denotado por grad f , é o único
campo vetorial em M dado pela seguinte condição:
hgrad f, Xi := X(f ) = df (X), ∀ X ∈ X (M).
Da definição tem-se
(i) grad (f + g) = grad f + grad g ∀ f, g ∈ D(M).
Com efeito,
hgrad (f + g), Xi = X(f + g),
= X(f ) + X(g),
= hgrad f, Xi + hgrad g, Xi,
= hgrad f + grad g, Xi.
17

(ii) grad (f g) = f grad g + g grad f ∀ f, g ∈ D(M).
De fato,
hgrad (f g), Xi = X(f g),
= f X(g) + g X(f ),
= f hgrad g, Xi + ghgrad f, Xi,
= hf grad g, Xi + hg grad f, Xi,
= hf grad g + g grad f, Xi.
Observação 2.5.1. (Referencial móvel) Sejam Mn uma variedade Riemanniana de dimensão n, e p ∈ M. Então existem uma vizinhança U ⊂ M de p e n campos de vetores
e1 , · · · , en ∈ X (U ), tais que hei , ej i = δij , ∀ i, j = 1, · · · , n. O conjunto {e1 , · · · , en } é
chamado de referencial ortonormal local, se além de disso (∇ei ej )(p) = 0, ∀ i, j = 1, · · · , n,
então dizemos que {e1 , · · · , en } é um referencial geodésico em p.
Proposição 2.5.1. Se {e1 , · · · , en } é um referencial ortonormal local em M, então
grad f =

n
X

ei (f )ei .

(2.1)

i=1

Demonstração. Escrevendo grad f =

n
X

αi ei , temos que

i=1

ej (f ) = hgrad f, ej i = h

n
X

αi ei , ej i = αj .

i=1

Logo,
grad f =

n
X

ei (f )ei .

i=1



2.5.2

Divergente

Definição 2.5.2. Seja M uma variedade Riemanniana munida da conexão ∇. Para cada
X ∈ X (M ) definimos o divergente de X, denotado por div X, dada por
div : X (M) −→ C ∞ (M, R)
X
7−→ (div X)(p) := traço (Y 7−→ ∇Y X), onde Y ∈ Tp M.
Decorre da definição que, para quaisquer X, Z ∈ X (M) e qualquer f ∈ D(M):

18

(i) div (X + Z) = div (X) + div (Z).
Com efeito,
div (X + Z) = traço (Y 7−→ ∇Y (X + Z)),
= traço (Y 7−→ ∇Y X + ∇Y Z),
= traço (Y 7−→ ∇Y X) + traço (Y 7−→ ∇Y Z),
= div (X) + div (Z).
(ii) div (f X) = f div (X) + hgrad f, Xi.
De fato, pois
div (f X) = traço (Y 7−→ ∇Y (f X)),
n
X
=
hei , ∇ei (f X)i ,
i=1

=

n
X

hei , f ∇ei X + ei (f )Xi ,

i=1

=

n
X

n
X

hei , f ∇ei Xi +

i=1
n
X

=f

hei , ∇ei Xi +

i=1

hei , ei (f )Xi ,

i=1
n
X

hei (f )ei , Xi ,

i=1

= f [traço (Y 7−→ ∇Y X)] +

* n
X

+
ei (f )ei , X

,

i=1

= f div (X) + hgrad f, Xi .
Proposição 2.5.2. Se X =

n
X

Xi ei , onde {e1 , · · · , en } é um referencial ortonormal local

i=1

em M, então
div X =

n
X

(ei (Xi ) − h∇ei ei , Xi).

i=1

Demonstração. Temos,
n
n
n
X
X
X
div X =
h∇ei X, ei i =
h∇ei (
Xj ej ), ei i,
i=1

=

n
X

i=1

hei (Xj )ej , ei i +

i,j=1

j=1
n
X
i,j=1

19

Xj h∇ei ej , ei i.

(2.2)

Como hei , ej i = δij , tem-se que
0 = ei hei , ej i = h∇ei ei , ej i + hei , ∇ei ej i,
ou seja,
h∇ei ei , ej i = −hei , ∇ei ej i.
Daı́,
div X =
=

n
X
i=1
n
X

ei (Xi ) −
ei (Xi ) −

i=1

n
X

Xj h∇ei ei , ej i,

i,j=1
n
X

n
X

i=1

i=1

h∇ei ei ,

Xj ej i.

Logo,
div X =

n
X

(ei (Xi ) − h∇ei ei , Xi).

i=1


Teorema 2.5.1. (Da divergência I) Seja X um campo vetorial C 1 (M) em M com suporte
compacto, sem nenhuma condição sobre a orientabilidade de M temos:
Z
div (X)dV = 0.
M

Demonstração. Ver [12], página 149.

2.5.3



O operador de Laplace

Definição 2.5.3. Seja M uma variedade Riemanniana munida da conexão ∇. O operador
de Laplace, define-se por
∆ : D(M) −→ D(M)
f
7−→ ∆f := div (grad f ).
Decorre das propriedades do gradiente e do divergente que:
(i) ∆(f + g) = ∆f + ∆g.
Com efeito,
∆(f + g) = div (grad (f + g)),
= div (grad f + grad g),
= div (grad f ) + div (grad g),
= ∆f + ∆g.
20

(ii) ∆(f g) = f ∆g + g∆f + 2h grad f, grad gi, para quaisquer f, g ∈ D(M).
De fato, pois
∆(f g) = div ( grad (f g)),
= div (f grad g + g grad f ),
= div (f grad g) + div (g grad f ),
= f div ( grad g) + h grad f, grad gi + gdiv ( grad f ) + h grad g, grad f i ,
= f ∆g + g∆f + 2h grad f, grad gi.
Proposição 2.5.3. Se {e1 , · · · , en } é um referencial ortonormal local em M, então
∆f =

n
X

(ei (ei (f )) − (∇ei ei )(f )).

i=1

Demonstração. Por definição
∆f = div ( grad f ),
por (2.2) e usando 2.1:
∆f =

n
X

(ei (ei (f )) − h∇ei ei , grad f i)

i=1

da definição de gradiente
∆f =

n
X

(ei (ei (f )) − (∇ei ei )(f )).

i=1



2.5.4

Hessiano

Definição 2.5.4. Seja M uma variedade Riemanniana munida da conexão ∇ e f ∈ D(M).
Definimos o Hessiano de f em p ∈ M, denotado por (Hessf )p como o operador linear
(Hessf )p : Tp M −→ Tp M, dado por:
(Hessf )X = ∇X grad f, ∀ X ∈ Tp M.
Verifica-se que h(Hessf )p X, Y i = hX, (Hessf )p Y i, mostrando que o (Hessf )p é autoadjunto e portanto determina uma forma bilinear simétrica em Tp M.
Hess fp (X, Y ) = h∇X grad fp , Y i.
21

Observemos que
Hess fp (X, Y ) = h∇X grad fp , Y i;
por ser a conexão compatı́vel com a métrica, num ponto p ∈ M, temos:
Hess f (X, Y ) = Xhgrad f, Y i − hgrad f, ∇X Y i;
mas sabemos que hgrad f, Zi = Z(f ),

∀Z ∈ X (M), de onde:

Hess f (X, Y ) = X(Y (f )) − (∇X Y ) (f ).
Em particular se {e1 , . . . , en } é um referencial geodésico num ponto p ∈ M,
Hess f (ei , ej ) = ei (ej (f )) − (∇ei ej ) (f ).
Portanto,
Hess fp (ei , ej ) = ei (ej (f ))p ,
denotando Hess fp (ei , ej ) por fij , segue-se que
fij (p) = Hess fp (ei , ej ) = ei (ej (f ))p .

2.6

Operadores lineares elı́pticos de segunda ordem

Um multi-indice é um vetor α = (α1 , α2 , . . . , αn ) satisfazendo αi ∈ Z+ . Quando α e β
denotam multi-indices usaremos a notação α ≥ β para indicar que αi ≥ βi para cada i.
Para qualquer multi-indice α define-se:
|α| =α1 + α2 + · · · + αn ;
α! =α1 ! α2 ! . . . αn !.
Por outro lado, para qualquer x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , define-se
xα =xα1 1 xα2 2 . . . xαnn .
Usaremos a seguinte notação para escrever equações diferenciais parciais
Dα =

∂ |α|
.
∂xα1 1 ∂xα2 2 . . . ∂xαnn

22

Por exemplo quando α = (1, 2), temos
Dα u =

∂ 3u
,
∂x1 ∂x22

onde u : Rn → R é uma função.
Considere agora um operador diferencial linear
X
L(x, D)u =
aα (x) Dα u,

(2.3)

|α|≤m

onde u : Rn → R. Com este operador agindo em funções vamos associar-lhe um operador
algebrico, chamado de o simbolo.
Definição 2.6.1. O simbolo da expressão L(x, D), definida em (2.3) é
X
L(x, iξ) :=
aα (x) (iξ)α .
|α|=m

A parte principal do simbolo define-se por
X

Lp (x, iξ) :=

aα (x) (iξ)α .

|α|≤m

O simbolo nos diz como um operador diferencial age nas funções que tem seu suporte
contido numa pequena vizinhança do ponto x. Se os coeficientes são suaves, então eles são
aproximadamente constantes naquela pequena vizinhança. Por outro lado, se a função u
varia rapidamente, então suas derivadas de maior ordem dominam sobre as derivadas de
menor ordem, logo a parte principal contem os termos mais importantes. A classificação
das equações diferenciais parciais em classes baseia-se na parte principal do simbolo.
Agora, seja Ω um conjunto aberto e não vazio de Rn . Diz-se que um operador linear
em derivadas parciais é de ordem dois, se é da forma:
L u(z) :=

n
X



aij (z) ∂j aij (z) ∂i u(z) +

i,j=1

n
X

bi (z) ∂i u(z) + c(z) u(z)

(2.4)

i=1

ou
L u(z) :=

n
X
i,j=1

aij (z) ∂i ∂j u(z) +

n
X

bi (z) ∂i u(z) + c(z) u(z),

(2.5)

i=1

onde aij , bi , c : Ω → R são funções mensuráveis
u ∈ C 2 (Ω) e z ∈ Ω. O operador que é da forma (2.4) chama-se de operador na forma
”divergente” e o operador que é da forma (2.5) chama-se de operador na forma ”não divergente”. Observamos ainda que se as funções aij são funções C 1 (Ω), então um operador dado
na forma divergente pode ser expressado na forma de não divergente, e reciprocamente.
23

Sem perda de generalidade, podemos supor que aij (z) = aji (z), de forma que a matriz
 
A(z) := aij
i,j=1,··· ,n

Pn

é simétrica. L diz-se elı́ptico em Ω se i,j=1 aij (z) ξi ξj > 0 para todo z ∈ Ω e para todo
0 6= ξ ∈ Rn . Para qualquer z ∈ Ω existe
λ(z) := min{aij (z) ξi ξj ; |ξ| = 1},
λ(z) deve ser positivo (na verdade é o menor auto-valor de A(z)). De modo que podemos
expressar a elipticidade, na seguinte forma: o operador L é elı́ptico em z ∈ Ω se existe um
número λ(z) > 0 tal que
n
X

aij (z) ξi ξj ≥ λ(z) |ξ|2 ,

∀ξ ∈ Rn .

i,j=1

Diremos que L é elı́ptico em Ω, se é elı́ptico em cada z ∈ Ω e diremos que o operador L é
uniformemente elı́ptico em Ω, se existe uma constante λ0 > 0 tal que λ(z) ≥ λ0 para cada
z ∈ Ω.
Observação 2.6.1. É possivel demonstrar que ∆ é auto–adjunto relativo a C 2 (M, g) e
que é eliptico.
Seja M uma variedade conexa, com fecho compacto e fronteira suave. O problema de
Dirichlet de auto-valores consiste em
todos os números reais λ tais que exista
T encontrar
2
0
uma solução não trivial ϕ ∈ C (M) C (M) satisfazendo
(
∆ϕ + λϕ = 0
(2.6)
ϕ|∂M
=0
O Espetro de uma variedade Riemanniana (M, g) para o problema 2.6 é o conjunto
Spec(M) = {λ ∈ R; ∃ϕ ∈ C 2 (M) ∩ C 0 (M) satisfazendo 2.6}
Os números λ ∈ Spec(M) são chamados de auto-valores e as soluções associadas aos λ
são as auto-funções.
Proposição 2.6.1. O espectro de uma variedade Riemanniana é discreto iniciando-se
com o valor 0 e tendo +∞ como seu único ponto de acumulação, será conveniente listar
os auto-valores da seguinte forma 0 = λ0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . com repetições apropriadas
para os casos degenerados, cada auto–valor neste espectro tem multiplicidade finita. As
auto–funções associadas a estes auto–valores são funções C ∞ .
Seja Ej o auto–espaço correspondente ao auto–valor λj , então dim Ej < +∞ e Ej é subspaço
de C ∞ (M).
Podemos escolher os auto–espaços Ej de modo que formem uma base ortonormal para
C 2 (M, g) e a soma direta destes espaços é todo C 2 (M, g).
Demonstração: Veja [9].


24

Capı́tulo 3
O operador Lr
3.1

Identidades de Newton

Definição 3.1.1. As somas de potências wr : Rn → R, são definidas por
n
X
wr (X) = wr (x1 , . . . , xn ) :=
(xi )r ,
i=1

e observe que w0 (X) = n.
A próxima proposição relacionará as funções wr (X) com as funções simétricas Sk (X).
Proposição 3.1.1 (Identidades de Newton). Dado X ∈ Rn , então:
w1 (X) = S1 (X),
w2 (X) = S1 (X)w1 (X) − 2S2 (X),
w3 (X) = S1 (X)w2 (X) − S2 (X)w1 (X) + 3S3 (X),
..
..
.
.
em geral,

r−1
P


 (−1)k Sk (X)wr−k (X) + (−1)r rSr (X) = 0




k=0
n
P

(−1)k Sk (X)wr−k (X) = 0

, se 1 ≤ r ≤ n,
, se r > n.

k=0

Demonstração. Seja g : R → R definida por
g(t) =

n
Y

(1 + txj ) = 1 + S1 (X)t + S2 (X)t2 + · · · + Sn (X)tn ,

j=1

25

onde X = (x1 , . . . , xn ).
n
n
X
X
g 0 (t)
d
d
xj
=
log g(t) =
log(1 + txj ) =
g(t)
dt
dt
1 + txj
j=1
j=1

usando que

∞
P
xj
=
(−1)k (xj )k+1 tk , temos
1 + txj k=0
n
∞
g 0 (t) X X
=
(−1)k (xj )k+1 tk
g(t)
j=1 k=0

=

∞
X
(−1)k wk+1 (X) tk .
k=0

Donde,
g 0 (t) =

∞
X

!
(−1)k wk+1 (X) tk

g(t).

k=0

Também temos,
g 0 (t) = S1 (X) + 2S2 (X)t + · · · + nSn (X)tn−1 .
Comparando os coeficientes das potências de tk obtemos as identidades de Newton.

3.2



Os polinômios de Newton.

Definição 3.2.1. Seja A um operador auto-adjunto. O r-ésimo polinômio simétrico associado a A, é a função Sr : Rn −→ R definida por

Sr =






1, se r = 0
X



 1≤i1 <···<ir ≤n

ki1 . . . kin , se r ∈ {1, · · · , n}
0, se r ∈ Z − {0, · · · , n},

onde k1 , · · · , kn são os auto-valores do operador auto-adjunto A.
Seja A um operador auto-adjunto e considere {e1 , · · · , en } uma base ortonormal de A,
isto é, Aei = ki ei .
Define-se
Ai := A span{ei }⊥ ,
isto é, Ai é a restrição de A ao subespaço normal a ei .
Denotamos por Sr (Ai ) a r-ésima função simétrica associada a Ai . Pode-se verificar que
Sr+1 (Ai ) = Sr+1 − ki Sr (Ai ).
26

(3.1)

n+1

Definição 3.2.2. Seja x : Mn → M
uma imersão isométrica e A a segunda forma
fundamental de x. Para cada r ∈ {0, 1, 2, · · · , n − 1} definimos de forma recursiva os
polinômios de Newton Pr : Tp M → Tp M, por:
P0 = I
P1 = S1 I − A
..
.
Pr = Sr I − APr−1 , r > 1.
Segue-se da fórmula de recorrêcia dada acima que
Pr =

r
X

(−1)j Sr−j Aj .

j=0
n+1

Proposição 3.2.1. Seja x : Mn → M
uma imersão isométrica entre duas variedades
Riemannianas e seja A o operador linear associado à segunda forma fundamental. Os
polinômios de Newton associado a A satisfazem:
(a) Pr (ei ) = Sr (Ai ) ei ; para cada 1 ≤ i ≤ n;
(b) traço(Pr ) = (n − r)Sr ;
(c) traço(APr ) = (r + 1)Sr+1 ;
(d) traço(APr ) =

n
X

λk Sr (Ak );

k=1

(e) traço(A2 Pr ) = S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ;
(f ) traço(A2 Pr ) =

n
X

λ2 k Sr (Ak ).

k=1

Demonstração. a) Faremos a prova por indução sobre r. Para r = 1, temos P1 = S1 I − A.
Portanto,
P1 (ei ) = S1 ei − Aei ,
= S1 ei − ki ei ,
= (S1 − ki )ei ,
= (k1 + · · · + b
ki + · · · + kn ),
= S1 (Ai )ei .
27

Suponhamos que vale para r − 1, isto é, Pr−1 (ei ) = Sr−1 (Ai )ei . Então
Pr (ei ) = Sr ei − APr−1 ei ,
= Sr ei − A(Sr−1 (Ai )ei ),
= (Sr − Sr−1 (Ai )ki )ei ,
= Sr (Ai )ei .
b) Seja λk um auto-valor e vk seu correspondente auto-vetor associado a segunda forma
fundamental A (isto é, Avk = λk vk , com hvi , vj i = δij ); pela definição do traço de um
operador temos:
traço (Pr ) =
=

n
X

r
n X
X
h (−1)j Sr−j Aj vk , vk i
hPr vk , vk i =

k=1
r
n X
X

k=1 j=0

(−1)j Sr−j λjk hvk , vk i

k=1 j=0

=

r
X

j

(−1) Sr−j

j=0

= nSr +

n
X

!
j

(λk )

k=1

=

r
X

(−1)j Sr−j wj (A)

j=0

r
X

(−1)j Sr−j wj (A)

j=1

= nSr +

r−1
X

(−1)r−k Sk wr−k (A) (fizemos k = r − j)

k=0
r

= nSr + (−1)

r−1
X

(−1)k Sk wr−k (A).

k=0

Usando as identidades de Newton
r−1
X
(−1)k Sk wr−k (A) = −(−1)r rSr
k=0

temos:
traço (Pr ) = nSr + (−1)r (−1)(−1)r rSr = (n − r)Sr .
c) Da identidade Pr+1 = Sr+1 I − APr , segue-se que APr = Sr+1 I − Pr+1 . Tomando o
traço, temos que
traço(APr ) = Sr+1 traço(I) − traço(Pr+1 ),
= nSr+1 − traço(Pr+1 ).
28

Usando a parte (b) obtemos
traço(APr ) = nSr+1 − (n − (r + 1))Sr+1 ,
= (n − n + r + 1)Sr+1 ,
= (r + 1)Sr+1 .
d) Seja λk um auto-valor e vk seu correspondente auto-vetor associado a segunda forma
fundamental A (isto é, Avk = λk vk , com hvi , vj i = δij ); pela definição do traço de um
operador temos:
traço(APr ) =

n
X

hAPr vk , vk i ,

k=1

=

n
X

hPr vk , Avk i ,

k=1

=
=
=

n
X
k=1
n
X
k=1
n
X

hSr (Ak )vk , λk vk i ,
λk Sr (Ak ) hvk , vk i ,
λk Sr (Ak ).

k=1

e) Da identidade Pr+1 = Sr+1 I − APr , segue-se que APr+1 = Sr+1 A − A2 Pr .
Assim, temos que A2 Pr = Sr+1 A − APr+1 . Tomando o traço, temos que
traço(A2 Pr ) = Sr+1 traço(A) − traço(APr+1 ),
= Sr+1 S1 − [(r + 1) + 1]S(r+1)+1 ,
= S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 .
f) Seja λk um auto-valor e vk seu correspondente auto-vetor associado a segunda forma
fundamental A (isto é, Avk = λk vk , com hvi , vj i = δij ); pela definição do traço de um
operador temos:
2

traço(A Pr ) =

n
X

A2 Pr vk , vk ,

k=1

=
=

n
X
k=1
n
X
k=1

29

Pr vk , A2 vk ,
Sr (Ak )vk , λ2 k vk ,

=

n
X

λ2 k Sr (Ak ) hvk , vk i ,

k=1

=

n
X

λ2 k Sr (Ak ).

k=1

o que completa a demonstração.

3.3



O operador Lr

Definição 3.3.1. Considere Mn uma variedade orientável conexa e diferenciável e x :
n+1
uma imersão isométrica. Define-se o operador diferencial de segunda ordem
Mn → M
Lr : C ∞ (M, R) → C ∞ (M, R)
em cada ponto p ∈ Mn , como sendo:


 
traço P Hess(f )
r
(p)
Lr (f )(p) =

0

, r ∈ {0, · · · , n − 1};
, r ∈ Z \ {0, · · · , n − 1};

onde A é a segunda forma fundamental associada a um campo vetorial normal unitário N
globalmente definido.
Esse operador foi introduzido por Cheng e Yau (Veja [13]). Na literatura este operador
é chamado o operador Lr . (Veja [5], [22])
Lema 3.3.1. Seja x : Mn −→ M

n+1

(c) uma imersão isométrica, então temos que

traço (u 7−→ ∇u Pr ei ) = traço (u 7−→ ∇Pr u ei ),
onde {ei } para i = 1, 2, . . . , n é um referencial ortonormal numa vizinhança de um ponto
p fixado.
Demonstração. Para todo u ∈ Tp M, temos
∇Pr u ek = ∇Prj=0 (−1)j Sr−j Aj u ek ,
r
X
=
(−1)j Sr−j ∇(Aj u) ek ,
j=0

como u ∈ Tp M, então u =

n
X

ai ei , assim

i=1

30

∇Pr u ek =
=

r
X
j=0
r
X

(−1)j Sr−j ∇(Aj Pni=1 ai ei ) ek ,
(−1)j Sr−j ∇(Pni=1 ai Aj ei ) ek ,

j=0

mas Aj ei = λi j ei , então
∇Pr u ek =

r
X

(−1)j Sr−j ∇(Pni=1 ai λi j ei ) ek ,

j=0

=

r
X

j

(−1) Sr−j

j=0

n
X

ai λi j ∇ei ek ,

i=1

como ∇ei ek = 0, então
∇Pr u ek = 0.
Portanto,
traço (u 7−→ ∇Pr u ei ) = 0.
Logo nossa Proposição é equivalente a mostrar que
traço (u 7−→ ∇u Pr ei ) = 0.
Portanto,
traço (u 7−→ ∇u Pr ei ) = traço (u 7−→ ∇Pr u ei )
m
traço (u 7−→ ∇u Pr ei ) = 0.
Por outro lado Pr = Sr I − Pr−1 A, então
traço (u 7−→ ∇u Pr ei ) = 0
m
traço (u 7−→ ∇u (Sr I − Pr−1 A)ei ) = 0
m
traço (u 7−→ ∇u Sr ei ) = traço (u 7−→ ∇u Pr−1 Aei ).
De onde temos as seguintes equivalências:
traço (u 7−→ ∇u Pr ei ) = traço (u 7−→ ∇Pr u ei )
m
31

(I)

traço (u 7−→ ∇u Pr ei ) = 0

(II)

m
traço (u 7−→ ∇u Sr ei ) = traço (u 7−→ ∇u Pr−1 Aei ).

(III)

A prova do nosso Lema será feita por indução.
(i) Vejamos o caso r = 1 e para esté caso provaremos a identidade (III).
Para r = 1, devemos mostrar que
traço (u 7−→ ∇u S1 ek = traço (u 7−→ ∇u Aek ) =

n
X

hei , ∇ei Aek i

i=1

Como ei diagonaliza a segunda forma fundamental (isto é, Aei = λi ei ), o fato do
referencial ser geodésico e usando a equação de codazzi, temos que:
traço (u 7−→ ∇u Aek ) =

n
X

hei , ∇ei Aek i ,

i=1

=
=
=

n
X
i=1
n
X
i=1
n
X

hei , ∇ek Aei i ,
hei , ∇ek λi ei i ,
hei , λi ∇ek ei + ek (λi )ei i ,

i=1

=

n
X

hei , λi ∇ek ei i +

i=1

= 0+

i=1
n
X

hei , ek (λi )ei i ,

i=1

=

n
X

ek (λi ) hei , ei i ,

i=1

=
=

n
X
i=1
n
X

n
X

ek (λi ),
hgrad λi , ek i ,

i=1

32

hei , ek (λi )ei i ,

*
traço (u 7−→ ∇u Aek ) =

grad (

n
X

+
λi ), ek

,

i=1

= hgrad (S1 ), ek i ,
= ek (S1 ).
Por outro lado,
traço (u 7−→ ∇u S1 ek ) =
=

n
X
i=1
n
X

hei , ∇ei S1 ek i ,
hei , S1 ∇ei ek + ei (S1 )ek i ,

i=1

=

n
X

hei , S1 ∇ei ek i +

hei , ei (S1 )ek i ,

i=1

i=1

= 0+

n
X

n
X

hei , ei (S1 )ek i ,

i=1

=

n
X

ei (S1 ) hei , ek i ,

i=1

= ek (S1 ) hek , ek i ,
= ek (S1 ).
Isto mostra que
traço (u 7−→ ∇u S1 ek = traço (u 7−→ ∇u Aek ).
(ii) vamos supor que vale para r − 1, isto significa que as identidades (I), (II) e (III)
são todas validas para r − 1.
(iii) Vamos mostrar que vale para r.
Vamos verificar que vale para a identidade (III). Por um lado,
traço (u 7−→ ∇u Sr ek ) =

n
X

hei , ∇ei Sr ek i ,

i=1

mas (∇ei Sr )ek = ∇ei Sr ek − Sr ∇ei ek .
Por ser referencial gedésico ∇ei ek = 0, então
(∇ei Sr )ek = ∇ei Sr ek .
33

Daı́,
traço (u 7−→ ∇u Sr ek ) =

n
X

hei , (∇ei Sr )ek i ,

i=1
n
X
=
(∇ei Sr ) hei , ek i ,
i=1

= ∇ek Sr hek , ek i ,
= ∇ek Sr .
Falta mostrar que
traço (u 7−→ ∇u Pr−1 Aek ) = ∇ek Sr .
Mas,
traço (u 7−→ ∇u Pr−1 Aek ) =

n
X

hei , ∇ei Pr−1 Aek i ,

i=1

como nossa identidade (I) é valida para r − 1, temos que
n
X

hei , ∇ei Pr−1 Aek i =

i=1

n
X

ei , ∇Pr−1 ei Aek =

i=1

n
X

hei , Pr−1 ∇ei Aek i .

i=1

Por ser um referencial geodésico e usando codazzi temos que
n
X

hei , Pr−1 ∇ei Aek i =

n
X

hei , Pr−1 ∇ek Aei i .

i=1

i=1

Assim,
traço (u 7−→ ∇u Pr−1 Aek ) =

n
X

hei , Pr−1 ∇ek Aei i ,

i=1

onde nos resta mostrar que
n
X

hei , Pr−1 ∇ek Aei i = ∇ek Sr ,

i=1

como Pr−1 é auto-adjunto, então
n
X

hei , Pr−1 ∇ek Aei i =

i=1

n
X
i=1

34

hPr−1 ei , ∇ek Aei i ,

mas Pr−1 ei = Sr−1 (Ai )ei e Ai = λi ei , então
n
X

hPr−1 ei , ∇ek Aei i =

i=1

n
X

hSr−1 (Ai )ei , ∇ek λi ei i =

i=1

n
X

Sr−1 (Ai ) hei , ∇ek λi ei i ,

i=1

mas (∇ek λi )ei = ∇ek λi ei − λi ∇ek ei .
Por ser referencial geodésico ∇ek ei = 0, então
(∇ek λi )ei = ∇ek λi ei .
Daı́,
n
X

hei , Pr−1 ∇ek Aei i =

n
X

Sr−1 (Ai ) hei , (∇ek λi )ei i ,

i=1

i=1

=
=

n
X
i=1
n
X

Sr−1 (Ai )(∇ek λi ) hei , ei i ,
Sr−1 (Ai )(∇ek λi ),

i=1

= ∇ek Sr .
Assim, fica provado o nosso Lema.

n+1

Proposição 3.3.1. Seja x : Mn −→ M

(c) uma imersão isométrica, então temos que

traço (u 7−→ ∇u Pr v) = traço (u 7−→ ∇Pr u v),
onde u e v são campos diferenciais em M.
Demonstração. Já que nosso Lema é verdadeiro para um ek vejamos que ele é válido para
um λek , assim pela propriedade das conexões,
∇Pr u λek = λ∇Pr u ek + (Pr u)(λ)ek ,
de onde,
traço (u 7−→ ∇Pr (u) λek ) = traço (u 7−→ λ∇Pr u ek + (Pr u)(λ)ek ),
= traço (u 7−→ λ∇Pr u ek ) + traço (u 7−→ (Pr u)(λ)ek ),
= λ traço (u 7−→ ∇Pr u ek ) + traço (u 7−→ (Pr u)(λ)ek ),
pelo Lema anterior, temos
35

traço (u 7−→ ∇Pr (u) λek ) =λ traço (u 7−→ ∇u Pr ek ) + traço (u 7−→ (Pr u)(λ)ek ),
= traço (u 7−→ λ∇u Pr ek ) + traço (u 7−→ (Pr u)(λ)ek ),
mas por definição,
traço (u 7−→ (Pr u)(λ)ek ) =
=

n
X
i=1
n
X

hei , (Pr ei )(λ)ek i ,
hei , hgrad λ, Pr ei i ek i .

i=1

Mas Pr ei = Sr (Ai )ei , então
traço (u 7−→ (Pr u)(λ)ek ) =
=

n
X
i=1
n
X

hei , hgrad λ, Sr (Ai )ei i ek i ,
hei , Sr (Ai ) hgrad λ, ei i ek i ,

i=1

=
=

n
X
i=1
n
X

hSr (Ai )ei , hgrad λ, ei i ek i ,
hPr ei , hgrad λ, ei i ek i ,

i=1

por ser Pr auto-adjunto, temos
traço (u 7−→ (Pr u)(λ)ek ) =

n
X

hei , hgrad λ, ei i Pr ek i ,

i=1

=

n
X

hei , ei (λ)Pr ek i ,

i=1

= traço (u 7−→ u(λ)Pr ek ).
Assim, temos que
traço (u 7−→ ∇Pr (u) λek ) = traço (u 7−→ λ∇u Pr ek ) + traço (u 7−→ u(λ)Pr ek ),
= traço (u 7−→ ∇u λPr ek ),
= traço (u 7−→ ∇u Pr (λek )).
Finalmente para cada v ∈ Tp M temos que v =

n
X
i=1

36

ai ei , assim

traço (u 7−→ ∇Pr u v) = traço (u 7−→ ∇Pr u

n
X

ai ei ),

i=1

=
=

n
X
i=1
n
X

traço (u 7−→ ∇Pr u ai ei ),
traço (u 7−→ ∇u Pr (ai ei )),

i=1

= traço (u 7−→ ∇u

n
X

Pr (ai ei )),

i=1

= traço (u 7−→ ∇u Pr (

n
X

ai ei )),

i=1

= traço (u 7−→ ∇u Pr v).

Quando a variedade ambiente é uma forma espacial M(c) simplesmente conexa com
curvatura seccional constante c, provaremos que Lr (f ) = div (Pr grad f ):
Teorema 3.3.1. Sejam Mn uma variedade orientável conexa e diferenciável e x : Mn →
n+1
M (c) uma imersão isométrica. Para qualquer número inteiro r ∈ [0, n − 1] e qualquer
função f ∈ D(M), tem-se

 
Lr (f )(p) = divM Pr gradM (f )
∀p ∈ M,
(p)

onde A é a segunda forma fundamental associada a um campo vetorial normal unitário N
globalmente definido.
Demonstração.
Lr (f ) = traço (Pr Hessf )
n
X
=
hei , Pr Hessf ei i
i=1

=

n
X

hei , Pr (∇ei grad f )i

i=1

=
=

n
X
i=1
n
X

hPr ei , ∇ei grad f i
hSr (Ai )ei , ∇ei grad f i

i=1

37

=
=

n
X
i=1
n
X

hei , Sr (Ai )∇ei grad f i
ei , ∇Sr (Ai )ei grad f

i=1

=

n
X

hei , ∇Pr ei grad f i

i=1

= traço (u 7−→ ∇Pr u grad f )
pela Proposição 3.3.1, temos que
= traço (u 7−→ ∇u Pr grad f )
= div (Pr grad f ).

Observamos que
L0 (f ) = traço (P0 Hessf ) = traço (Hessf ) = ∆f.
Podemos considerar Lr como uma extensão do Laplaciano.
Lema 3.3.2. ([5]) Sejam M uma variedade Riemanniana de dimensão n, compacta e sem
n+1
bordo. Considere x : Mn −→ M (c) uma imersão isométrica de M em uma forma
espacial de dimensão n + 1 e curvatura seccional c, então
Z
Lr (f )dM = 0, ∀f ∈ D(M);
(3.2)
M

e
Z

Z
f Lr (g)dM = −

M

Demonstração.
Z

∀f, g ∈ D(M).

M

Z
Lr (f )dM =

M

hPr grad f, grad gidM,

div (Pr grad f )dM,
M

a igualdade (3.2) segue-se diretamente do Teorema da Divergência.
Z
Z
f Lr (g)dM = f div (Pr grad g)dM
M

M

38

(3.3)

de f div (X) = div (f X) − hgrad f, Xi segue-se que
Z
Z
f Lr (g)dM = { div (f Pr grad g) − hgrad f, Pr grad gi} dM,
M

M

pelo Teorema da Divergência
Z
Z
f Lr (g)dM = − hgrad f, Pr grad gi dM
M

M

como Pr é auto-adjunto
Z
Z
f Lr (g)dM = − hPr grad f, grad gi dM.
M

M


Observação 3.3.1. O Lema 3.3.2 também é válido quando M não for compacta, porém
f tem suporte compacto.
Proposição 3.3.2. Considere Mn uma variedade orientável conexa e diferenciável e x :
n+1
Mn → M
uma imersão isométrica, se {e1 , e2 , · · · , en } é um referencial geodésico num
ponto p ∈ M, então
X
Lr (f )(p) =
(Hessf )(p) (ei , ej ) hPr ei , ej ip
i,j

Demonstração. Por definição
Lr (f )(p) = traço (Pr Hessf )(p)
X
=
hPr Hessf ei , ei ip
i

=

X

hHessf ei , Pr ei ip

i

=

X

h∇ei grad f, Pr ei ip

i

mas grad f =

X

ej (f )ej

j

*

+

=

X
i

j

=

X

h∇ei ej (f )ej , Pr ei ip

∇ei

X

ej (f )ej , Pr ei
p

i,j

=

X

hej (f )∇ei ej + ei (ej (f ))ej , Pr ei ip

i,j

39

mas como o referencial é geodésico ∇ei ej = 0, assim
=

X

ei (ej (f ))hej , Pr ei ip

i,j

mas sabemos que Hessf p (ei , ej ) = ei (ej (f ))
=

X

(Hessf )(p) (ei , ej ) hPr ei , ej ip .

i,j


Temos o seguinte Teorema:
Teorema 3.3.2. Seja x : Mn −→ M
unitário N . Assim, temos que

n+1

(c) uma hipersuperfı́cie com campo vetorial normal

Lr (x) =(r + 1)Sr+1 N − c(n − r)Sr x,
e
Lr (N ) = − grad (Sr+1 ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 )N + c(r + 1)Sr+1 x.

(3.4)

Demonstração. Vejamos o caso c = 0, neste caso x : Mn −→ Rn+1 é uma imersão
isométrica com campo vetorial normal unitário N . Seja {e1 , e2 , . . . , en+1 } uma base ortonormal em Rn+1 tangente a M numa vizinhança de um ponto p ∈ M. X
Dado p ∈ M, podemos observar que x(p) ∈ Rn+1 , então x(p) =
αk ek .
k
X
X
αk hek , ei i =
αk δki = αi .
Assim, hx(p), ei i =
k

k

Logo, αi = hx(p), ei i.
Desse modo, x(p) fica escrito em coordenas na base {e1 , e2 , . . . , en+1 } como:
x(p) = (hx(p), e1 i , hx(p), e2 i , . . . , hx(p), en+1 i) ,
isto é,
x = (hx, e1 i , hx, e2 i , . . . , hx, en+1 i) .
Para cada 1 ≤ i ≤ n + 1, definamos fi := hx, ei i.
Assim,
hgrad fi , Xi =X(fi ),
= hei , Xi + ∇X ei , X , ∀ X ∈ T M,

40

mas ∇X ei = 0, então
hgrad fi , Xi = hei , Xi
= ei > + ei ⊥ , X
= ei > , X + ei ⊥ , X
mas ei ⊥ , X = 0, então
hgrad fi , Xi = ei > , X , ∀ X ∈ T M.
Portanto,
grad fi = ei > .
Como
Mn −→ Rn+1 .
Temos,
Rn+1 = Tp M ⊕ [N ] .
Sendo ei = ei > + µi N e ei = ei > + ei ⊥ , temos que
ei ⊥ = µi N.
Desse modo,
hei , N i = ei > , N + µi hN, N i .
Logo,
µi = hei , N i .
Portanto,
ei ⊥ = hei , N i N.
De modo que
ei = ei > + hei , N i N.
Assim,
grad fi = ei − hei , N i N.

(3.5)

Por outro lado, sabemos que ∀ X, Y ∈ T M
Hess fi (X, Y ) = ∇X grad fi , Y .
41

(3.6)

Substituindo (3.5) em (3.6), temos que
Hess fi (X, Y ) = ∇X (ei − hei , N i N ), Y
= ∇X ei , Y − ∇X hei , N i N, Y
mas ∇X ei = 0, então
= − ∇X hei , N i N, Y
Definamos gi := hei , N i , ∀ i = 1, 2, . . . , n + 1, então
Hess fi (X, Y ) = − ∇X gi N, Y
= − gi ∇X N + X(gi )N, Y
= − gi ∇X N, Y − X(gi ) hN, Y i
mas hN, Y i = 0, então
= − gi ∇X N, Y
D
>
⊥ E
= − gi ∇X N + ∇X N , Y
nD
> E D
⊥ Eo
= − gi
∇X N , Y + ∇X N , Y
mas

D

∇X N

⊥

,Y

E

= 0, então
D
> E
= gi − ∇X N , Y
= gi hAX, Y i ,

onde A é a segunda forma fundamental da imersão x.
Logo,
Hess fi (X, Y ) = gi hAX, Y i , ∀ X, Y ∈ T M.
Agora seja {E1 , E2 , . . . , En } um referencial geodésico no ponto p ∈ M que diagonaliza
o operador A.
Portanto,
Hess fi (Ek , El ) = gi hAEk , El i .
Pela Proposição 3.3.2, temos que
X
Lr (fi )(p) =
(Hess fi )(p) (Ek , El ) hPr Ek , El ip
k,l

=

X

gi hAEk , El i hPr Ek , El ip

k,l

42

como AEk = λk Ek e pelo item (a) da Proposição 3.2.1, segue-se que
X
=gi
hλk Ek , El i hSr (Ak )Ek , El ip
k,l

= gi

X

= gi

X

= gi

X

λk Sr (Ak )hEk , El i2 p

k,l

λk Sr (Ak )δkl 2

k,l

λk Sr (Ak )

k

pelo item (d) da Proposição 3.2.1, segue-se que
= gi traço(APr )
mas do item (c) da Proposição 3.2.1, temos que
= gi (r + 1)Sr+1
onde gi := hei , N i, então
Lr (fi )(p) =(r + 1)Sr+1 hei , N i .
Observe que
x =f1 e1 + f2 e2 + · · · + fn+1 en+1 .
Assim,
Lr (x) := Lr (f1 )e1 + Lr (f2 )e2 + · · · + Lr (fn+1 )en+1
= (r + 1)Sr+1 he1 , N i e1 + (r + 1)Sr+1 he2 , N i e2 + · · · + (r + 1)Sr+1 en+1 hen+1 , N i
= (r + 1)Sr+1 {he1 , N i e1 + he2 , N i e2 + · · · + hen+1 , N i en+1 }
= (r + 1)Sr+1 N.
Analogamente,
hgrad gi , Xi =X(gi ),
=X(hei , N i)
= ∇X ei , N + ei , ∇X N , ∀ X ∈ T M,
mas ∇X ei = 0, então
= ei , ∇X N
D
>
⊥ E
= ei , ∇X N + ∇X N
D
> E D
⊥ E
= ei , ∇X N
+ ei , ∇X N
43

D
⊥ E
mas ei , ∇X N
= 0, então
= hei , −AXi
= − ei > + ei ⊥ , AX
= − ei > , AX − ei ⊥ , AX
mas ei ⊥ , AX = 0, então
= − ei > , AX
= −Aei > , X
hgrad gi , Xi = −Aei > , X , ∀ X ∈ T M.
Portanto,
grad gi = − Aei > .

(3.7)

Por outro lado, sabemos que ∀ X, Y ∈ T M
Hess gi (X, Y ) = ∇X grad gi , Y .

(3.8)

Substituindo (3.7) em (3.8), temos que
Hess gi (X, Y ) = ∇X (−Aei > ), Y
= − ∇X (Aei > ), Y .
Assim,
Hess gi (X, Y ) = −



∇X A ei > + A ∇X ei > , Y ,

usando codazzi, temos que
=−
=−



∇ei > A X + A ∇X ei > , Y


∇ei > A X, Y − A ∇X ei > , Y

mas ei = ei > + hei , N i N , então
Hess gi (X, Y ) = −
=−
=−
=−
=−


∇ei > A X, Y

∇ei > A X, Y

∇ei > A X, Y

∇ei > A X, Y

∇ei > A X, Y

− A∇X (ei − hei , N i N ) , Y
− A∇X ei − A∇X hei , N i N, Y
− A∇X ei , Y + A∇X (gi N ), Y
− A∇X ei , Y + gi ∇X N + X(gi )N, AY
− A∇X ei , Y + gi ∇X N, AY + X(gi ) hN, AY i
44

como hN, AY i = 0 e ∇X ei = 0, então

∇ei > A X, Y + gi ∇X N, AY

=−
mas ∇X N = ∇X N

>

+ ∇X N

=−
=−
como

D

∇X N

⊥

, AY

E

=−
mas ∇X N

>

⊥

, então

D
E

>
⊥
∇ei > A X, Y + gi ∇X N + ∇X N , AY
D
E
D
E

>
⊥
∇ei > A X, Y + gi ∇X N , AY + gi ∇X N , AY
= 0, então
D
E

>
∇ei > A X, Y + gi ∇X N , AY

= −AX, então

Hess gi (X, Y ) = −


∇ei > A X, Y − gi hAX, AY i .

Pela Proposição 3.3.2, temos que
X
Lr (gi )(p) =
(Hess gi )(p) (Ek , El ) hPr Ek , El ip
k,l

=

X

−



∇ei > A Ek , El − gi hAEk , AEl i hPr Ek , El ip

k,l

=−

X

=−

X

=−

X

=−

X

X

∇ei > A Ek , El hPr Ek , El ip − gi
A2 Ek , El hPr Ek , El ip
k,l

k,l

X

∇ei > A Ek , El Sr (Ak )hEk , El ip − gi
λk 2 Sr (Ak )hEk , El ip 2
k,l

k,l

X

∇ei > A Ek , El Sr (Ak )δkl − gi
λk 2 Sr (Ak )δkl 2
k,l

k,l

X

∇ei > A Ek , Ek Sr (Ak ) − gi
λk 2 Sr (Ak )

k

k

pelo item (f) da Proposição 3.2.1, segue-se que
=−

X

=−

X


∇ei > A Sr (Ak )Ek , Ek − gi traço(A2 Pr )

k


∇ei > A Pr Ek , Ek − gi traço(A2 Pr )

k


= − traço Pr ∇ei > A − gi traço(A2 Pr )
45

mas do item (e) da Proposição 3.2.1, temos que
Lr (gi )(p) = − hgrad (Sr+1 ), ei i − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hei , N i .
Observe que
N =g1 e1 + g2 e2 + · · · + gn+1 en+1 .
Assim,
Lr (N ) := Lr (g1 )e1 + Lr (g2 )e2 + · · · + Lr (gn+1 )en+1
= (− hgrad (Sr+1 ), e1 i − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) he1 , N i) e1 + · · · + (− hgrad (Sr+1 ), en+1 i
−(S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hen+1 , N i) en+1
= − hgrad (Sr+1 ), e1 i e1 − · · · − hgrad (Sr+1 ), en+1 i en+1
− (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) he1 , N i e1 − · · · − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hen+1 , N i en+1
= − grad (Sr+1 ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) {he1 , N i e1 + · · · + hen+1 , N i en+1 }
= − grad (Sr+1 ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 )N.
n+1

Vejamos o caso c 6= 0, neste caso x : Mn −→ M
(c) é uma imersão isométrica
n+1
com campo vetorial normal unitário N , onde M (c) = hemisfério de Sn+1 (1) ⊂ Rn+2
n+1
ou M (c) = Hn+1 (−1) ⊂ R1 n+2 . Seja {e1 , e2 , . . . , en+2 } uma base ortonormal em Rn+2
tangente a M numa vizinhança de um ponto p ∈ M.
Analogamente ao que foi feito no caso c = 0, temos que
hgrad fi , Xi =X(fi ),
= hei , Xi + ∇X ei , X , ∀ X ∈ T M,
mas ∇X ei = 0, então
hgrad fi , Xi = hei , Xi
= ei > + ei ⊥ , X
= ei > , X + ei ⊥ , X
mas ei ⊥ , X = 0, então
hgrad fi , Xi = ei > , X , ∀ X ∈ T M.
Portanto,
grad fi = ei > .
Como
Mn −→ M

n+1

(c) −→ Rn+2 .

46

Temos,
Rn+2 = Tp M ⊕ [N ] ⊕ [x] .
Sendo ei = ei > + γi N + βi x e ei = ei > + ei ⊥ , temos que
ei ⊥ = γi N + βi x.
Desse modo,
hei , N i = ei > , N + γi hN, N i + βi hx, N i .
Logo,
γi = hei , N i .
De modo analogo,
hei , xi = ei > , x + γi hN, xi + βi hx, xi .
Logo,
βi = c. hei , xi .
Portanto,
ei ⊥ = hei , N i N + c. hei , xi x.
De modo que
ei = ei > + hei , N i N + c. hei , xi x.
Assim,
grad fi = ei − hei , N i N − c. hei , xi x.

(3.9)

Por outro lado, sabemos que ∀ X, Y ∈ T M
Hess fi (X, Y ) = ∇X grad fi , Y .
Substituindo (3.9) em (3.10), temos que
Hess fi (X, Y ) = ∇X (ei − hei , N i N − c. hei , xi x), Y
= ∇X ei , Y − ∇X hei , N i N, Y − c. ∇X hei , xi x, Y
mas ∇X ei = 0, então
= − ∇X hei , N i N, Y − c. ∇X hei , xi x, Y .
47

(3.10)

Como gi := hei , N i e fi := hei , xi , ∀ i = 1, 2, . . . , n + 2, então
Hess fi (X, Y ) = − ∇X gi N, Y − c. ∇X fi x, Y
= − gi ∇X N + X(gi )N, Y − c. fi ∇X x + X(fi )x, Y
= − gi ∇X N, Y − X(gi ) hN, Y i − c.fi ∇X x, Y − c.X(fi ) hx, Y i
mas hN, Y i = 0 = hx, Y i, então
= − gi ∇X N, Y − c.fi hX, Y i
D
>
⊥ E
= − gi ∇X N + ∇X N , Y − c.fi hX, Y i
nD
> E D
⊥ Eo
∇X N , Y + ∇X N , Y
− c.fi hX, Y i
= − gi
D
⊥ E
mas ∇X N , Y = 0, então
D
> E
= − gi ∇X N , Y − c.fi hX, Y i
= gi hAX, Y i − c.fi hX, Y i ,
onde A é a segunda forma fundamental da imersão x.
Logo,
Hess fi (X, Y ) = gi hAX, Y i − c.fi hX, Y i , ∀ X, Y ∈ T M.
Agora seja {E1 , E2 , . . . , En , En+1 = N, En+2 = x} um referencial geodésico no ponto
p ∈ M que diagonaliza o operador A.
Portanto,
Hess fi (Ek , El ) = gi hAEk , El i − c.fi hEk , El i .
Pela Proposição 3.3.2, temos que
X
Lr (fi )(p) =
(Hess fi )(p) (Ek , El ) hPr Ek , El ip
k,l

=

X

(gi hAEk , El i − c.fi hEk , El i) hPr Ek , El ip

k,l

como AEk = λk Ek e pelo item (a) da Proposição 3.2.1, segue-se que
X
X
hλk Ek , El i hSr (Ak )Ek , El ip − c.fi
hEk , El i hSr (Ak )Ek , El ip
=gi
k,l

= gi

X

= gi

X

= gi

X

k,l
2

λk Sr (Ak )hEk , El i p − c.fi

k,l

Sr (Ak )hEk , El i2 p

k,l

λk Sr (Ak )δkl 2 − c.fi

k,l

k

X

X

Sr (Ak )δkl 2

k,l

λk Sr (Ak ) − c.fi

X

Sr (Ak )

k

48

pelo item (d) da Proposição 3.2.1, segue-se que
= gi traço(APr ) − c.fi traço(Pr )
mas do item (b) e (c) da Proposição 3.2.1, temos que
= gi (r + 1)Sr+1 − c.fi (n − r)Sr
onde gi := hei , N i e e fi := hei , xi, então
Lr (fi )(p) =(r + 1)Sr+1 hei , N i − c(n − r)Sr hei , xi .
Observe que
x =f1 e1 + f2 e2 + · · · + fn+2 en+2 .
Assim,
Lr (x) := Lr (f1 )e1 + Lr (f2 )e2 + · · · + Lr (fn+2 )en+2
= (r + 1)Sr+1 he1 , N i e1 + · · · + (r + 1)Sr+1 hen+2 , N i en+2
− c(n − r)Sr he1 , xi e1 − · · · − c(n − r)Sr hen+2 , xi en+2
= (r + 1)Sr+1 {he1 , N i e1 + · · · + hen+2 , N i en+2 }
− c(n − r)Sr {he1 , xi e1 − · · · − hen+2 , xi en+2 }
= (r + 1)Sr+1 N − c(n − r)Srx.
Analogamente,
hgrad gi , Xi =X(gi ),
=X(hei , N i)
= ∇X ei , N + ei , ∇X N , ∀ X ∈ T M,
mas ∇X ei = 0, então
= ei , ∇X N
D
>
⊥ E
= ei , ∇X N + ∇X N
D
> E D
⊥ E
= ei , ∇X N
+ ei , ∇X N
D
⊥ E
mas ei , ∇X N
= 0, então
= hei , −AXi
= − ei > + ei ⊥ , AX
= − ei > , AX − ei ⊥ , AX
49

mas ei ⊥ , AX = 0, então
= − ei > , AX
= −Aei > , X
hgrad gi , Xi = −Aei > , X , ∀ X ∈ T M.
Portanto,
grad gi = − Aei > .

(3.11)

Por outro lado, sabemos que ∀ X, Y ∈ T M
Hess gi (X, Y ) = ∇X grad gi , Y .

(3.12)

Substituindo (3.11) em (3.12), temos que
Hess gi (X, Y ) = ∇X (−Aei > ), Y
= − ∇X (Aei > ), Y .
Assim,
Hess gi (X, Y ) = −



∇X A ei > + A ∇X ei > , Y ,

usando codazzi, temos que
=−
=−



∇ei > A X + A ∇X ei > , Y


∇ei > A X, Y − A ∇X ei > , Y

mas ei = ei > + hei , N i N + c. hei , xi x, então
Hess gi (X, Y ) = −
=−
=−
=−


∇ei > A X, Y

∇ei > A X, Y

∇ei > A X, Y

∇ei > A X, Y

− A∇X (ei − hei , N i N − c. hei , xi x) , Y
− A∇X ei − A∇X hei , N i N − A∇X c. hei , xi x, Y
− A∇X ei , Y + A∇X (gi N ), Y + c. A∇X (fi x), Y
− A∇X ei , Y + gi ∇X N + X(gi )N, AY

+ c. fi ∇X x + X(fi )x, AY

= − ∇ei > A X, Y − A∇X ei , Y + gi ∇X N, AY + X(gi ) hN, AY i
+ c.fi hX, AY i + c.X(fi ) hx, AY i
como hN, AY i = 0 = hx, AY i e ∇X ei = 0, então
Hess gi (X, Y ) = −


∇ei > A X, Y + gi ∇X N, AY + c.fi hX, AY i
50

>

+ ∇X N

=−

, então
D
E

>
⊥
∇ei > A X, Y + gi ∇X N + ∇X N , AY + c.fi hX, AY i
D
E
D
E

>
⊥
∇ei > A X, Y + gi ∇X N , AY + gi ∇X N , AY + c.fi hX, AY i

⊥

E

= 0, então

mas ∇X N = ∇X N
=−

como

D

∇X N

, AY

=−
mas ∇X N

⊥

D
E

>
∇ei > A X, Y + gi ∇X N , AY + c.fi hX, AY i

>

= −AX, então

Hess gi (X, Y ) = − ∇ei > A X, Y − gi hAX, AY i + c.fi hX, AY i .
Pela Proposição 3.3.2, temos que
X
Lr (gi )(p) =
(Hess gi )(p) (Ek , El ) hPr Ek , El ip
k,l

=

X

−



∇ei > A Ek , El − gi hAEk , AEl i + c.fi hEk , AEl i hPr Ek , El ip

k,l

=−

X

X

∇ei > A Ek , El hPr Ek , El ip − gi
A2 Ek , El hPr Ek , El ip
k,l

k,l

+ c.fi

X

hAEk , El i hPr Ek , El ip

k,l

=−

X

X

∇ei > A Ek , El Sr (Ak )hEk , El ip − gi
λk 2 Sr (Ak )hEk , El ip 2
k,l

k,l

+ c.fi

X

λk Sr (Ak )hEk , El ip 2

k,l

=−

X

X

∇ei > A Ek , El Sr (Ak )δkl − gi
λk 2 Sr (Ak )δkl 2
k,l

k,l

+ c.fi

X

λk Sr (Ak )δkl

2

k,l

=−

X

X
X

∇ei > A Ek , Ek Sr (Ak ) − gi
λk 2 Sr (Ak ) + c.fi
λk Sr (Ak )
k

k

k

pelo item (d) e (f) da Proposição 3.2.1, segue-se que
X

=−
∇ei > A Sr (Ak )Ek , Ek − gi traço(A2 Pr ) + c.fi traço(APr )
k

=−

X


∇ei > A Pr Ek , Ek − gi traço(A2 Pr ) + c.fi traço(APr )

k


= − traço Pr ∇ei > A − gi traço(A2 Pr ) + c.fi traço(APr )
51

mas do item (c) e (e) da Proposição 3.2.1, temos que
= − hgrad (Sr+1 ), ei i − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hei , N i + c.(r + 1)Sr+1 hei , xi .
Observe que
N =g1 e1 + g2 e2 + · · · + gn+2 en+2 .
Assim,
Lr (N ) := Lr (g1 )e1 + Lr (g2 )e2 + · · · + Lr (gn+2 )en+2
= (− hgrad (Sr+1 ), e1 i − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) he1 , N i
+c.(r + 1)Sr+1 he1 , xi) e1 + · · · + (− hgrad (Sr+1 ), en+2 i
−(S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hen+2 , N i + c.(r + 1)Sr+1 he1 , xi) en+2
= − hgrad (Sr+1 ), e1 i e1 − · · · − hgrad (Sr+1 ), en+2 i en+2
− (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) {he1 , N i e1 + · · · + hen+2 , N i en+2 }
+ c.(r + 1)Sr+1 {he1 , xi e1 + · · · + hen+2 , xi en+2 }
= − grad (Sr+1 ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 )N + c.(r + 1)Sr+1 x.

Para uma hipersuperfı́cie M em Rn+1 , tomando f = hx, N i e g = 21 |x|2 no Lema 3.3.2,
obtemos a seguinte Proposição:
Proposição 3.3.3. Seja x : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperfı́cie com campo vetorial normal
unitário N . Assim, temos que
Z
Z
hx, N i {(n − r)Sr + (r + 1)Sr+1 hx, N i} dM =
Pr Ax> , x> dM,
M

M

onde x> denota a componente tangente de x.
Demonstração. Consideremos {e1 , . . . , en } como sendo um referencial geodésico num ponto
p ∈ M. Definamos f = hx, N i e g = 21 |x|2 . Então
1
1
ei (g) = ei ( hx, xi) = ( ∇ei x, x + x, ∇ei x )
2
2
= ∇ei x, x = hdx(ei ), xi
= hei , xi .
Por outro lado,
gij = ej (ei (g)) = ej (hei , xi) = ∇ej ei , x + ei , ∇ej x ,
= ∇ej ei , x + hei , dx(ej )i = ∇ej ei , x + hei , ej i ;
52

mas ∇ej ei = ∇ej ei + ∇ej ei , N N . De onde,
gij = ∇ej ei + ∇ej ei , N N, x + δij ;
por ser o referencial geodésico, segue-se que:
=

∇ej ei , N N, x + δij ,

= ∇ej ei , N hN, xi + δij ,
gij = hij f + δij .
Por outro lado, da definição de f = hx, N i temos que:
hgrad f, ei i =ei (f ) = ei (hx, N i);
= ∇ei x, N + x, ∇ei N ,
= hdx(ei ), N i + x, ∇ei N ,
= x, ∇ei N ;
mas ∇ei N = −Aei + ∇⊥
ei N = −Aei . Então,
hgrad f, ei i = − hx, Aei i ;
decompondo x, restrito a M, em uma componente x> tangente a M e uma componente
x⊥ normal a M temos
hgrad f, ei i = − x> , Aei − x⊥ , Aei = − x> , Aei ;
por ser A auto adjunta
hgrad f, ei i = −Ax> , ei .
Portanto,
grad f = − Ax> .
De forma análoga,
hgrad g, ei i = ei (g);
mas demostramos que ei (g) = hei , xi. Assim,
hgrad g, ei i = x> + x⊥ , ei = x> , ei .
53

Logo,
grad g = x> .
Por outro lado, por definição
n
X

Lr g =traço (Pr Hess g) =

(Pr )ij gij

i,j=1

substituindo gij por hij f + δij temos que
=
=

n
X

(Pr )ij (hij f + δij )

i,j=1
n
X

n
X

i,j=1
n
X

i,j=1
n
X

(Pr )ij hij f +

=f

(Pr )ij hij +

i,j=1

(Pr )ij δij
(Pr )ij δij

i,j=1

=f traço (Pr A) + traço (Pr ).
Pela Prop. 3.2.1, temos que
Lr g = f (r + 1)Sr+1 + (n − r)Sr
lembrando que f = hx, N i, finalmente obtemos
= hx, N i (r + 1)Sr+1 + (n − r)Sr .
Já que grad f = −Ax> e grad g = x> , segue-se imediatamente do Lema 3.3.2 que
Z
Z
hx, N i {(n − r)Sr + (r + 1)Sr+1 hx, N i} dM =
Pr AxT , xT dM.
M

M



3.3.1

Elipticidade dos operadores Lr
n+1

Proposição 3.3.4. Sejam Mn uma variedade conexa e diferenciável e x : Mn → M
(c)
n+1
uma imersão isométrica, onde M
(c) é de curvatura seccional constante c. Lr é elı́ptico
se, e somente se, Pr é definido positivo, isto é, Sr (Ai ) > 0 ∀ i = 1, 2, . . . , n − 1.

54

Demonstração. Fazendo uso de um sistema de coordenadas locais, verificaremos que o
operador Lr é elı́ptico, para isto, seja φ : U ⊂ Mn −→ Rn um sistema de coordenadas
locais na vizinhança de um ponto p ∈ M.
∂
∂
∂
Denotemos por
,
,......,
os campos coordenados a φ.
∂x1 ∂x2
∂xn
Definamos


∂
∂
gij :=
,
∂xi ∂xj
G := (gij )

G−1 := g ij .
Consideremos um campo vetorial diferenciável X definido em M, usando as coordenadas locais dadas acima, podemos representar X nestas coordenadas como:
X=

X

xi

i

∂
,
∂xi

e prova-se que o divergente deste campo X, no sistema de coordenadas dado, é dado
por (veja a página 151 de [12])
div (X) = √


X ∂  √
1
xi det G .
det G i ∂xi

(3.13)

Por outro lado consideremos uma função diferenciável f : M −→ R. Podemos provar
que o gradiente de f neste sistema de coordenadas é dado por
grad f =

X

fk

k

∂
,
∂xk

∂f
.
∂xj
j
Por outro lado

onde fk =

X

g jk


Pr

∂
∂xj


=

X

βlj

l

∂
.
∂xl

(3.14)

Assim,
Pr (grad f ) = Pr

X
j

55

∂
fj
∂xj

!
,

como Pr é um operador linear, então
Pr (grad f ) =



X



f j Pr

j

=

X

X

fj

j

=

l

X X

∂
∂xj

,

∂
βlj
∂xl
!

fj βlj

j

l



!
,

∂
.
∂xl

(3.15)

Quando M está isometricamente imersa em uma forma espacial, vimos no Teorema
3.3.1 que:
Lr (f ) = div (Pr grad f ),
usando 3.15 em 3.13 temos que
Lr (f ) = √
Mas,
"

∂
∂xi

!
X

fj βij

j

1
det G

"

X ∂
i

X

∂xi

!

#
√
det G .

+

X

fj βij

j

#
√
√
∂
det G = det G
∂xi

!
X

fj βij

j

!
fj βij

j


∂ √
det G .
∂xi

De modo que
!


XX
∂ √
1
fj βij
det G
∂xi
∂xi
det G i j
i
j

X
X ∂
1
∂ √
=
(fj βij ) + √
fj βij
det G .
∂xi
∂xi
det G i,j
i,j

Lr (f ) =

X ∂

X

fj βij

+√

Desconsiderando todos os termos que não contém derivadas de segunda ordem, temos
que a parte principal do operador Lr é dada por
X ∂
i,j

∂xi

(fj βij ) .

A elı́pticidade do operador Lr é dada pela sua parte principal.
Mas,
∂
∂fj
∂βij
(fj βij ) = βij
+ fj
.
∂xi
∂xi
∂xi
56

Assim,
X ∂
i,j

Lembrando que fj =

∂xi

X

g kj

k

X ∂

(fj βij ) =

X

βij

i,j

∂fj X ∂βij
+
.
fj
∂xi
∂xi
i,j

∂f
, temos
∂xk

∂
(fj βij ) =
βij
∂xi
∂xi
i,j
i,j

kj ∂f

!

∂βij
∂xk
∂xi
i,j
k


X ∂βij
X X ∂f ∂g kj
∂ 2f
+ g kj
+
fj
=
βij
∂x
∂x
∂x
∂x
∂xi
k
i
i
k
i,j
i,j
k
X

X

g

+

X

fj

X ∂g kj ∂f
X ∂βij
∂ 2f
+
βij
+
fj
.
∂xi ∂xk i,j,k
∂xi ∂xk
∂xi
i,j
i,j,k
!
X
βik g jk
De onde Lr é elı́ptico se, e somente se, a matriz A =
for definida
=

X

βij g kj

k

ij

positiva.
Observe que A = BG−1 , onde B := (βij ).
Logo, Lr é elı́ptico se, e somente se, BG−1 for definida positiva.
Por outro lado, Pr será semidefinido positivo se, e somente se, hPr W, W i > 0 para todo
campo W . Mas para um campo W qualquer fixado, podemos escreve-ló em coordenadas
locais como:
X
∂
.
W =
xi
∂x
i
i
Assim,
*
hPr W, W i =

Pr

∂
xi
∂xi

X
i

!
,

X
j

∂
xj
∂xj

+



∂
∂
i j
=
x x Pr
,
.
∂xi ∂xj
i,j
X

Mas de (3.14) temos que:
*
X

∂
∂
hPr W, W i =
xi xj
βki
,
∂xk ∂xj
i,j
k


X
∂
∂
i j
=
x x βki
,
∂xk ∂xj
i,j,k
X
=
xi xj βki gkj .
X

i,j,k

57

+

De modo que a matriz associada a forma quadratica associada a Pr . Assim a forma
quadratica hPr W, W i associada a Pr tem a seguinte matriz
!
X
D=
βki gkj
.
k

ij

Observe que D = B > G, onde B := (βij ).
Logo, Pr é elı́ptico se, e somente se, B > G for definida positiva.
Vejamos que BG−1 é definida positivo ⇐⇒ B > G é definida positivo. Com efeito,
>
B GW, W ≥ 0, ∀W ⇐⇒ hGW, BW i ≥ 0, ∀W ⇐⇒ hGW, BG−1 (GW )i ≥ 0, ∀W ⇐⇒
hZ, BG−1 Zi ≥ 0, ∀Z.
Portanto B > G ≥ 0 ⇐⇒ BG−1 ≥ 0.
Logo Lr (f ) é elı́ptico ⇐⇒ Pr é definido positivo.


3.3.2

Elipticidade dos operadores L̃r

Vamos definir um operador L̃r por
L̃r (f ) = Lr (f ) −

Sr+1
∆f, S1 6= 0.
S1

Podemos ver que
Sr+1
traço (Hessf )
S1
Sr+1
traço (Hessf )
= traço (Pr Hessf ) −
S1
Sr+1
= traço (Pr Hessf −
Hessf )
S1



Sr+1
= traço
Pr −
I Hessf .
S1

L̃r (f ) = Lr (f ) −

n+1

Proposição 3.3.5. Sejam Mn uma variedade conexa e diferenciável e x : Mn → M
(c)
n+1
uma imersão isométrica, onde M
(c) é de curvatura seccional constante c. Considerando
Sr+1
que
é constante temos que Lr é elı́ptico se, e somente se, os valores próprios de
S1
Sr+1
Pr −
I são positivos.
S1
Demonstração. Temos que
L̃r (f ) = traço (Pr Hessf ) −
58

Sr+1
∆f, S1 6= 0.
S1

Pela Proposição 3.3.1, temos que
L̃r (f ) = div (Pr grad f ) −

Sr+1
∆f,
S1

mas ∆f = div (grad f ),
Sr+1
div (grad f ),
S1




Sr+1
Sr+1
Sr+1
mas div
grad f =
div (grad f ) + grad
, grad f ,
S1
S1
S1
L̃r (f ) = div (Pr grad f ) −

Sr+1
=⇒
div (grad f ) = div
S1



Sr+1
grad f
S1






Sr+1
− grad
, grad f .
S1

Logo


 

Sr+1
Sr+1
L̃r (f ) = div (Pr grad f ) − div
grad f + grad
, grad f ,
S1
S1
 


Sr+1
Sr+1
grad f + grad
, grad f ,
= div Pr grad f −
S1
S1


 

Sr+1
Sr+1
= div
Pr −
I grad f + grad
, grad f ,
S1
S1
Sr+1
é constante,
S1



Sr+1
L̃r (f ) = div
Pr −
I grad f .
S1

por hipótese

(3.16)

Fazendo uso de um sistema de coordenadas locais, verificaremos que o operador L̃r é
elı́ptico, para isto, seja φ : U ⊂ Mn −→ Rn um sistema de coordenadas locais na vizinhança
de um ponto p ∈ M.
∂
∂
∂
Denotemos por
,
,......,
os campos coordenados a φ.
∂x1 ∂x2
∂xn
Definamos


∂
∂
gij :=
,
∂xi ∂xj
G := (gij )

G−1 := g ij .
59

Consideremos um campo vetorial diferenciável X definido em M, usando as coordenadas locais dadas acima, podemos representar X nestas coordenadas como:
X=

X

xi

i

∂
,
∂xi

e prova-se que o divergente deste campo X, no sistema de coordenadas dado, é dado
por (veja a página 151 de [12])

X ∂  √
1
div (X) = √
xi det G .
(3.17)
det G i ∂xi
Por outro lado consideremos uma função diferenciável f : M −→ R. Podemos provar
que o gradiente de f neste sistema de coordenadas é dado por
grad f =

X
k

fk

∂
,
∂xk

∂f
.
∂xj
j
Por outro lado

onde fk =

X

g jk



 X
∂
Sr+1
∂
I
βlj
.
Pr −
=
S1
∂xj
∂xl
l

(3.18)

Assim,
!



 X
Sr+1
Sr+1
∂
Pr −
,
I (grad f ) = Pr −
I
fj
S1
S1
∂x
j
j


Sr+1
como Pr −
I é um operador linear, então
S1




X 
Sr+1
∂
Sr+1
I (grad f ) =
fj
Pr −
I
,
Pr −
S1
S1
∂xj
j
!
X
X
∂
=
fj
βlj
,
∂x
l
j
l
!
X X
∂
=
fj βlj
.
∂xl
j
l

(3.19)

Quando M está isometricamente imersa em uma forma espacial, vimos em 3.16 que:



Sr+1
L̃r (f ) = div
Pr −
I grad f ,
S1
60

usando 3.15 em 3.13 temos que
X ∂
1
L̃r (f ) = √
det G i ∂xi
Mas,
"

∂
∂xi

!
X

fj βij

j

"
X

!

#
√
det G .

+

X

fj βij

j

#
√
√
∂
det G = det G
∂xi

!
X

fj βij

j

!
fj βij

j


∂ √
det G .
∂xi

De modo que
!


XX
1
∂ √
fj βij
det G
∂xi
∂xi
det G i j
i
j

X ∂
X
1
∂ √
=
(fj βij ) + √
fj βij
det G .
∂xi
∂xi
det G i,j
i,j

L̃r (f ) =

X ∂

X

+√

fj βij

Desconsiderando todos os termos que não contém derivadas de segunda ordem, temos
que a parte principal do operador L̃r é dada por
X ∂
∂xi
i,j

(fj βij ) .

A elı́pticidade do operador L̃r é dada pela sua parte principal.
Mas,
∂
∂fj
∂βij
(fj βij ) = βij
+ fj
.
∂xi
∂xi
∂xi
Assim,
X ∂
i,j

Lembrando que fj =

∂xi

X

g kj

k

(fj βij ) =

βij

i,j

∂fj X ∂βij
+
fj
.
∂xi
∂xi
i,j

∂f
, temos
∂xk

∂
(fj βij ) =
βij
∂xi
∂xi
i,j
i,j

X ∂

X

=

X
i,j,k

βij g kj

X

∂f
g kj
∂xk

!

∂βij
∂xi
i,j
k


2
X X ∂f ∂g kj
X ∂βij
kj ∂ f
+g
+
fj
=
βij
∂xk ∂xi
∂xi ∂xk
∂xi
i,j
i,j
k
X

+

X

fj

X ∂g kj ∂f
X ∂βij
∂ 2f
+
βij
+
fj
.
∂xi ∂xk i,j,k
∂xi ∂xk
∂x
i
i,j
61

!
De onde L̃r é elı́ptico se, e somente se, a matriz A =

X

βik g jk

k

for definida
ij

positiva.
Observe que A = BG−1 , onde B := (βij ).
−1
Logo, L̃r é elı́ptico
 se, BG for definida positiva.



 se, e somente
Sr+1
Sr+1
I será semidefinido positivo ⇔
Pr −
I W, W >
Por outro lado, Pr −
S1
S1
0 para todo campo W . Mas para um campo W qualquer fixado, podemos escreve-ló em
coordenadas locais como:
W =

X

xi

i

∂
.
∂xi

Assim,


!
+
*


 X
X
Sr+1
∂
Sr+1
∂
Pr −
,
xj
I W, W =
I
xi
Pr −
S1
S1
∂x
∂xj
i
j
i



X
Sr+1
∂
∂
=
xi xj
Pr −
I
,
.
S1
∂xi ∂xj
i,j

Mas de (3.14) temos que:


+
*


X
X
Sr+1
∂
∂
Pr −
I W, W =
xi xj
βki
,
S1
∂x
∂xj
k
i,j
k


X
∂
∂
i j
=
x x βki
,
∂xk ∂xj
i,j,k
X
=
xi xj βki gkj .
i,j,k



Sr+1
De modo que a matriz associada a forma quadratica associada a Pr −
I . Assim




 S1
Sr+1
Sr+1
a forma quadratica
Pr −
I W, W associada a Pr −
I tem a seguinte
S1
S1
matriz
!
X
D=
βki gkj
.
k

ij

>
Observe
 que D = B G, onde B := (βij ).
Sr+1
I é elı́ptico se, e somente se, B > G for definida positiva.
Logo, Pr −
S1

62

Vejamos que BG−1 é definida positivo ⇐⇒ B > G é definida positivo. Com efeito,
B GW, W ≥ 0, ∀W ⇐⇒ hGW, BW i ≥ 0, ∀W ⇐⇒ hGW, BG−1 (GW )i ≥ 0, ∀W ⇐⇒
hZ, BG−1 Zi ≥ 0, ∀Z.
Portanto B > G ≥ 0 ⇐⇒ BG−1 ≥ 0.

Sr+1
Logo L̃r (f ) é elı́ptico ⇐⇒ Pr −
I é definido positivo.
S1

>

Proposição 3.3.6. Considere Mn uma variedade Riemanniana conexa, orientada, sem
n+1
bordo e compacta. Seja M (c) uma forma espacial (isto é, se c = 0 é o espaço Euclidiano
Rn+1 , se c = 1 é o hemisfério aberto da esfera unitária Sn+1 (1) e quando c = −1 é o espaço
n+1
hiperbólico Hn+1 (−1)). Se x : Mn −→ M (c) é uma imersão isométrica e tanto S1 como
Sr+1 são positivos em M, então para cada 1 ≤ j ≤ r temos que
(i) os operadores Lj e L̃j são ambos elı́pticos, e
(ii) cada r-ésima curvatura média satisfaz Hj > 0.
Demonstração. Foi provado em [5] que para cada j ∈ {1, 2, . . . , r} os Lj são elı́pticos e os
Hj > 0.
A elipticidade dos L̃j é equivalente a mostrar que os valores próprios do operador
Sj+1
I são positivos.
Pj −
S1
Mas,
1
Sj+1
I=
(Pj S1 − Sj+1 I)
Pj −
S1
S1
Sj+1
I é equivalente
de modo que a positividade dos valores próprios do operador Pj −
S1
a positividade dos valores próprios do operador S11 (Pj S1 − Sj+1 I), sendo S1 > 0 a positiviSj+1
I é equivalente a positividade dos valores
dade dos valores próprios do operador Pj −
S1
próprios do operador Pj S1 − Sj+1 I.
De (a) e (c) da Prop. 3.2.1 e sabendo que Sr+1 (Ai ) = Sr+1 − ki Sr (Ai ), os outovalores
de S1 Pj − Sj+1 I são:
S1 Sj (Ai ) − Sj+1 = (S1 (Ai ) + ki )Sj (Ai ) − Sj+1
= S1 (Ai )Sj (Ai ) + [Sj+1 − Sj+1 (Ai )] − Sj+1
= S1 (Ai )Sj (Ai ) − Sj+1 (Ai ).
Como Hj (Ai ) =

Sj (Ai )
 para 1 ≤ j ≤ n − 1, então temos
n−1
j





n−1
n−1
S1 (Ai )Sj (Ai ) − Sj+1 (Ai ) = (n − 1)
H1 (Ai )Hj (Ai ) −
Hj+1 (Ai ),
j
j+1
63

a partir da elipticidade de Lj e (a) da Prop. 3.2.1, temos que Hj (Ai ) > 0 para cada
1 ≤ j ≤ r, por isso temos H1 (Ai )Hj (Ai ) ≥ Hj+1 (Ai ) (V er[17, 24]).
Daı́, temos


 

n−1
n−1
S1 (Ai )Sj (Ai ) − Sj+1 (Ai ) ≥ (n − 1)
−
H1 (Ai )Hj (Ai )
j
j+1


n
=j
H1 (Ai )Hj (Ai ) > 0.
(3.20)
j+1

Corolário 3.3.1. Nas mesmas condições da proposição anterior, temos
(r + 2)S1 Sr+2 − 2S2 Sr+1 < 0.

(3.21)

Demonstração. Faremos uso da seguinte desigualdade
Hi 2 − Hi−1 Hi+1 ≥ 0,
sua demonstração encontra-se na página 52 de [17] (também pode consultar [24]). De modo
que
Hi Hi ≥ Hi−1 Hi+1 .
Pela positividade dos Hi e Hi−1 , temos
Hi+1
Hi
≥
.
Hi−1
Hi
De modo que
H3
H4
Hr+1
Hr+2
H2
≥
≥
≥ ··· ≥
≥
.
H1
H2
H3
Hr
Hr+1
Segue-se por transitividade que
H2
Hr+2
≥
ou equivalentemente H1 Hr+2 ≥ H2 Hr+1 .
H1
Hr+1
Por outro lado,




n
n
(r + 2)S1 Sr+2 − 2S2 Sr+1 = (r + 2)n
H1 Hr+2 − n(n − 1)
H2 Hr+1
r+2
r+1




n
n
≤ ((r + 2)n
− n(n − 1)
)H2 Hr+1
r+2
r+1


n
H2 Hr+1 .
= − nr
r+1
Finalmente da positividade dos Hr , temos que
(r + 2)S1 Sr+2 − 2S2 Sr+1 < 0.

64

Capı́tulo 4
O problema variacional que preserva
área
Ao longo deste capı́tulo vamos supor Mn uma variedade conexa, compacta e orientável,
e
x : Mn → M

n+1

(c)

uma imersão isométrica.
Como M é orientável podemos escolher ao longo de M um campo vetorial normal
unitário N globalmente definido. Seja {e1 , . . . , en , en+1 } um referencial adaptado ortonormal numa vizinhança U ⊂ M de x(p), p ∈ M; de modo que os e1 , . . . , en são tangentes a
x(M) com dM(e1 , . . . , en , en+1 ) > 0 onde dM é o elemento de volume de M, e podemos
escolher N := en+1 como sendo a orientação de M.
Seja A a segunda forma fundamental de x associada a N .
n+1

Definição 4.0.2. Considerando Mn e M (c) segundo as hipóteses dadas acima. Uma
n+1
variação de x : Mn → M (c) é uma aplicação diferenciável X : Mn ×] − ε, ε[→
n+1
M (c), ε > 0 tal que ∀t ∈] − ε, ε[ a aplicação
n+1

Xt : Mn → M (c)
p
7→ Xt (p) := X(p, t)
é uma imersão para cada t ∈] − ε, ε[, e X0 = x.
Observação 4.0.2. A definição acima pode ser estendida a um caso mais geral, em que
∂M 6= ∅. Neste caso acrescentamos a seguinte condição
Xt|∂M = x|∂M , ∀t ∈] − ε, ε[
Denotemos por Nt como sendo um campo vetorial normal unitário ao longo da imersão
Xt .

65

Definição 4.0.3. Para uma variação X : Mn ×] − ε, ε[7−→ M
nimos a área de x(Mt ) por
Z
A(t) :=

n+1

(c), da imersão x, defi-

dMt
M

onde dMt é o elemento de volume de M na métrica induzida por Xt .
Definição 4.0.4. Dizemos que uma variação X de x preserva a área se
A(t) = A(0), ∀t ∈] − ε, ε[.
Definição 4.0.5. Para uma variação X da imersão x, definimos a função balanço de
volume (esta função também é conhecida na literatura como a função volume) de x(Mt )
por
Z
V(t) :=
X∗ dM
M×[0,t]

onde dM é o elemento de volume de M.
Definição 4.0.6. Dizemos que uma variação X de x preserva o volume se V(t) = V(0) =
0, ∀t ∈] − ε, ε[, onde V é o balanço de volume da variação X de x.
∂X(p, t)
é chamado de campo variacional de X ou vetor variacional
∂t |t=0
>

∂X
∂X
a componente tangencial de
.
de X. Denotaremos por
∂t
∂t |t=0

Definição 4.0.7.

Definição 4.0.8. Seja N o campo vetorial normal unitário ao longo de x. Dizemos que
∂X(p, t)
∂X
é paralelo a N , isto é,
= f (p)N (p), onde
uma variação é normal se
∂t
∂t |t=0
f ∈ C ∞ (M, R).

>
∂X
∂X
É claro que
= ξ + f N , onde ξ =
.
∂t
∂t
n+1
Consideremos agora Mn sem bordo e x : Mn → M (c) uma imersão isométrica. Para
cada r ∈ {0, 1, . . . , n}, definimos os funcionais em M:
Z
Ar,c := Fr (S1 , S2 , . . . , Sr ) dM ,
(4.1)
M

onde as funções Fr são definidas de forma recursiva por
F0 := 1
F1 := S1
Fr := Sr +

c(n − r + 1)
Fr−2
r−1
66

r = 2, 3, . . . , n − 1

Considere o Problema Variacional
(
M in Ar,c
para variações de x tal que A(t) = A(0)

(4.2)

Para resolver este problema, começaremos supondo que um dos seus pontos crı́ticos
seja uma imersão dada x. Portanto, quando consideramos as variações que preservam a
área, estas variações devem ser um ponto crı́tico do funcional
Z
Ar,c (t) = Fr (S1 , S2 , . . . , Sr ) dMt ,
M

onde dMt é o elemento de volume da métrica induzida em M por Xt . Para determinar a
correspondente equação de Euler, usaremos os multiplicadores de Lagrange. Isto significa
considerar o operador
Jr,c (t) := Ar,c (t) + λA(t) ,
onde λ é uma constante a ser determinada.
A continuação enunciaremos três Lemas técnicos cujas demonstrações se encontram nas
referências [5] ou [21]:
n+1

uma imersão isométrica de uma variedade RiemanLema 4.0.3. Seja x : Mn → M
n+1
n
niana orientada e conexa M em uma variedade Riemanniana orientada M . Seja X
uma variação de x e A(t) a segunda forma fundamental de Mt = Xt (M). Então
∂
Sr+1 (A(t))(f (t)) = Lr (f (t)) + [S1 (A(t))Sr+1 (A(t)) − (r + 2)Sr+2 (A(t))] f (t)
∂t

+ f (t) traço Pr (A(t))RN + h grad Sr+1 (A(t)), ξi ,
n+1

onde RN (Y ) = R(N, Y )N e R é o tensor curvatura de M .
Em particular para imersões em formas espaciais com curvatura seccional constante c
e para uma variação geral, temos:
∂
Sr+1 (A(t))(f (t)) = Lr (f (t)) + [S1 (A(t))Sr+1 (A(t)) − (r + 2)Sr+2 (A(t))] f (t)
∂t
+ c(n − r)Sr (A(t))f (t) + h grad Sr+1 (A(t)), ξi .
Lema 4.0.4. Seja X uma variação da imersão isométrica x. Então
∂
(dMt ) = (−S1 f (t) + div ξ)dMt ,
∂t



∂X
onde f (t) =
, Nt é a projeção normal do campo variacional e dMt denota o elemento
∂t
de volume da métrica induzida em M por Xt .
67

Lema 4.0.5. Seja X uma variação da imersão isométrica x. Então
Z
0
A (t) = − nH1 f (t)dMt ,
M




∂X
onde H1 é a curvatura média da imersão x, f (t) =
, Nt é a projeção normal do
∂t
campo variacional e dMt denota o elemento de volume da métrica induzida em M por Xt .
Z
0
Lema 4.0.6. Se c = 0, então Ar (t) = −(r + 1) Sr+1 f (t)dMt .
M

Demonstração. Sabemos que
Z
Ar,c (t) = Fr (S1 (A(t)), S2 (A(t)), . . . , Sr (A(t))) dMt ,
M

onde
F0 := 1
F1 := S1 (A(t))
Fr := Sr (A(t)) +

c(n − r + 1)
Fr−2
r−1

r = 2, 3, . . . , n − 1

em particular, quando c = 0, obtemos Fr = Sr (A(t)). Assim
Z
Ar,0 (t) = Sr (A(t))dMt .
M

Derivando Ar,0 (t), temos
0

Z

Ar,0 (t) =

∂
Sr (A(t))dMt +
∂t

M

Z
Sr (A(t))

∂
dMt .
∂t

M

Usando simultaneamente os Lemas 4.0.3 e 4.0.4 temos
Z
0
Ar,0 (t) = {Lr−1 (f (t)) + [S1 (A(t))Sr (A(t)) − (r + 1)Sr+1 (A(t))] f (t)+
M

h grad Sr (A(t)), ξi + Sr (A(t)) (−S1 f (t) + div ξ)} dMt .
Logo
0

Z

Ar,0 (t) =

{Lr−1 (f (t)) − (r + 1)Sr+1 (A(t))f (t)+
M

h grad Sr (A(t)), ξi + Sr (A(t))div ξ} dMt .
68

Como div (f X) = f div (X) + hgrad f, Xi, temos
Z
0
Ar,0 (t) = {Lr−1 (f (t)) − (r + 1)Sr+1 (A(t))f (t) + div (Sr (A(t))ξ)} dMt
M

Z

Z
Lr−1 (f (t))dMt −

=
M

Z
(r + 1)Sr+1 (A(t))f (t)dMt +

M

div (Sr (A(t))ξ)dMt .
M

Por M ser compacta e pelo Teorema da Divergência a última integral se anula, assim
Z
Z
0
Ar,0 (t) = Lr−1 (f (t))dMt − (r + 1)Sr+1 (A(t))f (t)dMt .
M

M

Pelo Lema 3.3.2 a primeira integral se anula, portanto
Z
0
Ar,0 (t) = −(r + 1) Sr+1 (A(t))f (t)dMt .
M


Z

0

Lema 4.0.7. Se c 6= 0 e r é par, então Ar (t) = −(r + 1)

Sr+1 f (t)dMt .
M

Demonstração. Sabemos que
Z
Ar,c (t) = Fr (S1 (A(t)), S2 (A(t)), . . . , Sr (A(t))) dMt ,
M

onde
F0 := 1
F1 := S1 (A(t))
Fr := Sr (A(t)) +

c(n − r + 1)
Fr−2
r−1

r = 2, 3, . . . , n − 1.

Provaremos por indução sobre r que, para c 6= 0 e r par,
Z
0
Ar,c (t) = −(r + 1) Sr+1 (A(t))f (t)dMt .
M

Para r = 0, temos
0

Z

A0,c (t) = −

S1 (A(t))f (t)dMt ,
M

onde o Lema 4.0.5 nos garante a validade para r = 0.
69

Suponhamos que nosso Lema seja verdadeiro para r − 2, isto é
Z
0
Ar−2,c (t) = −(r − 1) Sr−1 (A(t))f (t)dMt .
M

Vamos verificar que vale para r.

Z 
c(n − r + 1)
Ar,c (t) =
Sr (A(t)) +
Fr−2 dMt ,
r−1
M

então


∂
c(n − r + 1)
Ar,c (t) =
Fr−2 dMt
Sr (A(t)) +
∂t
r−1
M

Z 
∂
c(n − r + 1)
Fr−2
dMt
+
Sr (A(t)) +
r−1
∂t
M
Z
Z
∂
c(n − r + 1)
∂
=
Sr (A(t))dMt +
{Fr−2 } dMt
∂t
r−1
∂t
M
M
Z
Z
c(n − r + 1)
∂
∂
+ Sr (A(t)) dMt +
Fr−2 dMt
∂t
r−1
∂t
M
M
Z
Z
∂
∂
Sr (A(t))dMt + Sr (A(t)) dMt
=
∂t
∂t
M
M


Z
Z


c(n − r + 1)
∂
∂
+
{Fr−2 } dMt + Fr−2 dMt
 ∂t

r−1
∂t
0

Z

M

M



Z
Z ∂

∂
0
Agora veremos que
{Fr−2 } dMt + Fr−2 dMt é Ar−2,c (t), com efeito
 ∂t

∂t
M

M

Z
Ar−2,c (t) =

Fr−2 (S1 (A(t)), S2 (A(t)), . . . , Sr−2 (A(t))) dMt ,
M

derivando Ar−2,c (t), temos
Z
∂
0
Ar−2,c (t) =
{Fr−2 (S1 (A(t)), S2 (A(t)), . . . , Sr−2 (A(t)))} dMt +
∂t
M
Z
∂
Fr−2 (S1 (A(t)), S2 (A(t)), . . . , Sr−2 (A(t))) {dMt } .
∂t
M

70

Logo
0

Z

Z

∂
Sr (A(t))dMt +
∂t

Ar,c (t) =
M

Sr (A(t))

∂
c(n − r + 1) 0
dMt +
Ar−2,c (t).
∂t
r−1

M

Usando simultaneamente os Lemas 4.0.3 e 4.0.4 temos
Z
0
Ar,c (t) = {Lr−1 (f (t)) + [S1 (A(t))Sr (A(t)) − (r + 1)Sr+1 (A(t))] f (t)+
M

c(n − r + 1)Sr−1 (A(t))f (t) + h grad Sr (A(t)), ξi} dMt +
Z
c(n − r + 1) 0
Sr (A(t)) {−S1 f (t) + div ξ} dMt +
Ar−2,c (t)
r−1
M
Z
Z
Z
= Lr−1 (f (t))dMt + S1 (A(t))Sr (A(t))f (t)dMt − (r + 1) Sr+1 (A(t))f (t)dMt
M

M

M

Z
+ c(n − r + 1)

Z

M

M

Z
−

Z
Sr (A(t))S1 f (t)dMt +

M

Sr (A(t)) div ξ dMt +

c(n − r + 1) 0
Ar−2,c (t)
r−1

M

Z

Z
Lr−1 (f (t))dMt − (r + 1)

=

h grad Sr (A(t)), ξi dMt

Sr−1 (A(t))f (t)dMt +

Sr+1 (A(t)f (t)dMt
M

M

Z
+ c(n − r + 1)

Z
{Sr (A(t)) div ξ + h grad Sr (A(t)), ξi} dMt

Sr−1 (A(t))f (t)dMt +
M

M

c(n − r + 1) 0
+
Ar−2,c (t)
r−1
Usando novamente que div (f X) = f div (X) + hgrad f, Xi, obtemos
Z
Z
0
Ar,c (t) = Lr−1 (f (t))dMt − (r + 1) Sr+1 (A(t))f (t)dMt
M

M

Z
+ c(n − r + 1)

Z
Sr−1 (A(t))f (t)dMt +

M

+

div (Sr (A(t))ξ) dMt
M

c(n − r + 1) 0
Ar−2,c (t).
r−1

Pela hipótese de indução,
0

Z

Ar−2,c (t) = −(r − 1)

Sr−1 (A(t))f (t)dMt .
M

71

Assim,
Z

Z

0

Lr−1 (f (t))dMt − (r + 1)

Ar,c (t) =
M

Sr+1 (A(t))f (t)dMt
M

Z

Z

+ c(n − r + 1)

Sr−1 (A(t))f (t)dMt +
M

div (Sr (A(t))ξ) dMt
M

c(n − r + 1)
−
(r − 1)
r−1

Z
Sr−1 (A(t))f (t)dMt .
M

Logo,
Z

0

Ar,c (t) =

Z
Lr−1 (f (t))dMt − (r + 1)

M
Z

Sr+1 (A(t))f (t)dMt
M

div (Sr (A(t))ξ) dMt .

+
M

Por M ser compacta e pelo Teorema da Divergência a última integral se anula, assim
Z
Z
0
Ar,c (t) = Lr−1 (f (t))dMt − (r + 1)Sr+1 (A(t))f (t)dMt .
M

M

Pelo Lema 3.3.2 a primeira integral se anula, portanto
Z
0
Ar,c (t) = −(r + 1) Sr+1 (A(t))f (t)dMt .
M


A partir dos Lemas 4.0.6 e 4.0.7, vamos imediatamente à fórmula variacional:
Proposição 4.0.7. (A primeira fórmula variacional) Suponha c = 0 ou c 6= 0 e r par,
1 ≤ r ≤ n − 1, então para qualquer variação de x, temos
Z
0
Jr,c (t) = − {(r + 1)Sr+1 + λS1 } f (t)dMt .
M

Demonstração. Sabemos que
Jr,c (t) = Ar,c (t) + λA(t).
Derivando, obtemos

0

0

0

Jr,c (t) = Ar,c (t) + λA (t).
72

Pelo Lema 4.0.5


0

0


Z

Jr,c (t) = Ar,c (t) − λ 

S1 f (t)dMt  .

M

Usando simultaneamente os Lemas 4.0.6 e 4.0.7
Z
Z
0
Jr,c (t) = −(r + 1) Sr+1 (A(t))f (t)dMt − λ S1 f (t)dMt
M

M

Z

0

Jr,c (t) = −

{(r + 1)Sr+1 (A(t)) + λS1 (A(t))} f (t)dMt .
M


A partir de Proposição 4.0.7, sabemos que os pontos crı́ticos do problema variacional
acima são para os quais a imersão x tem
Sr+1
λ
=−
= constante.
S1
r+1
A fim de decidir se x é ou não um mı́nimo local, nos limitamos à variações que preservam
área e computamos a segunda derivada de Ar (t) em t = 0. Como A(t) ≡ A, temos
00
00
Ar,c (0) = Jr,c (0). Assim podemos chegar a seguinte Proposição por um cálculo direto
utilizando o lema 4.0.3:
n+1

Proposição 4.0.8. (A segunda fórmula variacional) Seja x : Mn −→ M (c) uma hipersuperfı́cie para o qual S1 é positiva, Sr+1 /S1 = constante, onde c = 0, ou c 6= 0 e r é par,
1 ≤ r ≤ n − 1. Para uma variação que preserva área, a segunda derivada de Ar em t = 0
é dada por
00

Z

∂
[(r + 1)Sr+1 + λS1 ]t=0 f dM
∂t
M

Z 
Sr+1
2S2 Sr+1
= − (r + 1) f Lr f −
∆f + f
− (r + 2)Sr+2
S1
S1
M

cnSr+1
dM.
+ c(n − r)Sr −
S1

Ar,c (0) = −

Demonstração. Como
0

Z

Jr,c (t) = −

{(r + 1)Sr+1 (A(t)) + λS1 (A(t))} f (t)dMt .
M

73

0

Derivando Jr,c (t), temos
Z

00

Jr,c (t) = −

∂
{(r + 1)Sr+1 (A(t)) + λS1 (A(t))} f (t)dMt
∂t

ZM
0
− {(r + 1)Sr+1 (A(t)) + λS1 (A(t))} f (t)dMt
M

Z
−

{(r + 1)Sr+1 (A(t)) + λS1 (A(t))} f (t)

∂
dMt .
∂t

M

Observe que
Z

∂
{(r + 1)Sr+1 (A(t)) + λS1 (A(t))} f (t)dMt
∂t
M

Z 
Sr+1
0
−
(r + 1)S1 (A(t))
(A(t)) + λS1 (A(t)) f (t)dMt
S1
M

Z 
∂
Sr+1
(A(t)) + λS1 (A(t)) f (t) dM.
−
(r + 1)S1 (A(t))
S1
∂t

00

Jr,c (t) = −

M

Como

Sr+1
λ
= constante, então as duas últimas integrais são nulas. Assim,
=−
S1
r+1
Z
∂
00
{(r + 1)Sr+1 (A(t)) + λS1 (A(t))} f (t)dMt .
Jr,c (t) = −
∂t
M

Analisando em t = 0, temos
Z
∂
00
Jr,c (0) = −
{(r + 1)Sr+1 (A(t)) + λS1 (A(t))} f (t)dMt t=0
∂t
M
Z
∂
=−
{(r + 1)Sr+1 (A(t)) + λS1 (A(t))} t=0 f (t)dM.
∂t
M
00

00

Mas, Jr,c (0) = Ar,c (0).
Assim,
00

Z

∂
{(r + 1)Sr+1 (A(t)) + λS1 (A(t))} t=0 f (t)dM
∂t
M

Z 
∂
∂
=−
(r + 1) Sr+1 (A(t)) + λ S1 (A(t)) t=0 f (t)dM.
∂t
∂t

Ar,c (0) = −

M

74

Usando o Lema 4.0.3, temos
Z
00
Ar,c (0) = −(r + 1) {Lr (f (t)) + [S1 (A(t))Sr+1 (A(t)) − (r + 2)Sr+2 (A(t))] f (t)
M

+c(n − r)Sr (A(t))f (t) + h grad Sr+1 (A(t)), ξi} t=0 f (t)dM
Z



−λ
L0 (f (t)) + S1 2 (A(t)) − 2S2 (A(t)) f (t)
M

+cnf (t) + h grad S1 (A(t)), ξi} t=0 f (t)dM.
Substituindo o valor de −λ = (r + 1)

Sr+1 (A(t))
na expressão acima, temos
S1 (A(t))

Z

00

Ar,c (0) = −(r + 1)

{Lr (f (t)) + [S1 (A(t))Sr+1 (A(t)) − (r + 2)Sr+2 (A(t))] f (t)
M

+c(n − r)Sr (A(t))f (t) + h grad Sr+1 (A(t)), ξi} t=0 f (t)dM
Z


Sr+1 (A(t)) 
+ (r + 1)
∆(f (t)) + S1 2 (A(t)) − 2S2 (A(t)) f (t)
S1 (A(t))
M

+cnf (t) + h grad S1 (A(t)), ξi} t=0 f (t)dM.
Assim,
00

Z

Ar,c (0) = −(r + 1)

{Lr (f (t)) + [S1 (A(t))Sr+1 (A(t)) − (r + 2)Sr+2 (A(t))] f (t)
M

+c(n − r)Sr (A(t))f (t) + h grad Sr+1 (A(t)), ξi} t=0 f (t)dM


Z 
Sr+1 (A(t))S2 (A(t))
Sr+1 (A(t))
− (r + 1)
∆(f (t)) + −Sr+1 (A(t))S1 (A(t)) + 2
−
f (t)
S1 (A(t))
S1 (A(t))
M

Sr+1 (A(t))
Sr+1 (A(t))
−cn
f (t) −
h grad S1 (A(t)), ξi t=0 f (t)dM
S1 (A(t))
S1 (A(t))
Z
= −(r + 1) {Lr (f (t)) + (S1 (A(t))Sr+1 (A(t))) f (t) − (r + 2)Sr+2 (A(t))f (t)
M

+ c(n − r)Sr (A(t))f (t) + h grad Sr+1 (A(t)), ξi
Sr+1 (A(t))
Sr+1 (A(t))S2 (A(t))
−
∆(f (t)) − Sr+1 (A(t))S1 (A(t))f (t) + 2
f (t)
S1 (A(t))
S1 (A(t))

Sr+1 (A(t))
Sr+1 (A(t))
−cn
f (t) −
h grad S1 (A(t)), ξi t=0 f (t)dM
S1 (A(t))
S1 (A(t))

75

Z
= −(r + 1)

{Lr (f (t)) − (r + 2)Sr+2 (A(t))f (t) + c(n − r)Sr (A(t))f (t)
M

Sr+1 (A(t))S2 (A(t))
Sr+1 (A(t))
∆(f (t)) + 2
f (t)
+ h grad Sr+1 (A(t)), ξi −
S1 (A(t))
S1 (A(t))


Sr+1 (A(t))
Sr+1 (A(t))
−cn
f (t) −
grad S1 (A(t)), ξ
f (t)dM
t=0
S1 (A(t))
S1 (A(t))
Z
= −(r + 1) {Lr (f (t)) − (r + 2)Sr+2 (A(t))f (t) + c(n − r)Sr (A(t))f (t)
M

Sr+1 (A(t))S2 (A(t))
Sr+1 (A(t))
∆(f (t)) + 2
f (t)
+ h grad Sr+1 (A(t)), ξi −
S1 (A(t))
S1 (A(t))


 
Sr+1 (A(t))
Sr+1 (A(t))
−cn
f (t) − grad
S1 (A(t)) , ξ
f (t)dM
t=0
S1 (A(t))
S1 (A(t))
Z
= −(r + 1) {Lr (f (t)) − (r + 2)Sr+2 (A(t))f (t) + c(n − r)Sr (A(t))f (t)
M

Sr+1 (A(t))
Sr+1 (A(t))S2 (A(t))
∆(f (t)) + 2
f (t)
S1 (A(t))
S1 (A(t))

Sr+1 (A(t))
f (t) − h grad Sr+1 (A(t)), ξi t=0 f (t)dM
−cn
S1 (A(t))

Z 
Sr+1 (A(t))S2 (A(t))
Sr+1 (A(t))
= −(r + 1)
∆(f (t)) + f (t) 2
Lr (f (t)) −
S1 (A(t))
S1 (A(t))
M

Sr+1 (A(t))
f (t)dM
−(r + 2)Sr+2 (A(t)) + c(n − r)Sr (A(t))f (t) − cn
t=0
S1 (A(t))

+ h grad Sr+1 (A(t)), ξi −



76

Capı́tulo 5
Estabilidade de hipersuperfı́cies em
M (c)
Uma variação X da imersão x é chamada de variação normal se o vetor campo variacional apresentado é paralelo à N . Temos o seguinte Lema:
Lema 5.0.8. Para qualquer função f : M −→ R que satisfaça
Z
f S1 dM = 0,

(5.1)

M

existe uma variação normal X da imersão x que preserva área, tal que o vetor campo
variacional é fN.
Z
Demonstração. Seja g : M −→ R uma função suave tal que gS1 dM 6= 0. Consideremos
M

a variação a dois parâmetros

X(t, t) := expx (tf + tg)N ,
onde exp é a aplicação exponencial em M(c). Denotemos a área de M sob a métrica
induzida da imersão X(t, t) por A(t, t), e consideremos a seguinte equação:
A(t, t) = constante.
Da propriedade da aplicação exponencial, temos
∂X
= f N,
∂t t=t=0
∂X
= gN.
∂t t=t=0
77

(5.2)

Assim, do Lema 4.0.6 temos
∂A(t, t)
=−
∂t
t=t=0
∂A(t, t)
=−
∂t
t=t=0

Z
f S1 dM = 0,
M

Z
gS1 dM 6= 0.
M

Assim, a partir do teorema da função implı́cita , em uma vizinhança de (t, t) = (0, 0),
podemos obter uma solução t = s(t) da eq. (5.2) que satisfaz s(0) = 0. Assim, obtemos
uma variação que preserva área
X(t) = expx {(tf + s(t)g)N } .
Observe que
0



s (0) = −

∂A(t, t) ∂A(t, t)
/
∂t
∂t



Z
=
t=t=0

Z
f S1 dM/

M

gS1 dM = 0.
M

Obtemos que a variação do vetor campo de X(t) é
∂X
0
= (f + s (0)g)N = f N.
∂t t=0

00

Do Lema 5.0.8 e da Proposição 4.0.8, a expressão de Ar (0) depende apenas da imersão
x e da função f que pode ser qualquer função que satisfaz a eq. (5.1).
Portanto, vamos fixar a seguinte notação:
Z
Ir (f ) = −




2S2 Sr+1
cnSr+1
f L̃r (f ) + f
− (r + 2)Sr+2 + c(n − r)Sr −
dM. (5.3)
S1
S1

M
n+1

Definição 5.0.9. Dizemos que uma hipersuperfı́cie x : Mn −→ M (c) com S1 positiva
e Sr+1 /S1 = constante é r-estável se Ir (f ) ≥ 0 para qualquer função f : M −→ R que
satisfaça 5.1, onde c = 0, ou c 6= 0 e r é par, 1 ≤ r ≤ n − 1.
n+1

Proposição 5.0.9. Hipersuperfı́cies totalmente umbilicas de M (c) que não são totalmente geodésicas são r-estáveis, onde c = 0, ou c 6= 0 e r é par, 1 ≤ r ≤ n − 1.
n+1

Demonstração. Seja Σ uma hipersuperfı́cie totalmente umbilica de M (c), e suponha
que Σ não é totalmente geodésica. Escolhemos o vetor normal de modo que a curvatura
principal de Σ é igual a k > 0.
78

Logo,
 




n j
n−1 j
n−1 r
Sj =
k , Sj (Aj ) =
k , e Lr (f ) =
k ∆f.
j
j
r
De fato,
X

Sj =

ki1 . . . kij .

1≤i1 <···<ij ≤n

Mas, ki1 = . . . = kij = k. Assim,
X

Sj =

k

j

1≤i1 <···<ij ≤n

 
n j
1=
k .
= k
j
1≤i <···<i ≤n
X

j

1

j

X

Sj (Ai ) =

ki1 . . . kij .

1≤i1 <···<ij ≤n−1

Mas, ki1 = . . . = kij = k. Assim,
X

Sj (Ai ) =

1≤i1 <···<ij ≤n−1

k

j



n−1 j
= k
1=
k .
j
1≤i <···<i ≤n−1
X

j

1

j

Seja {e1 , e2 , . . . , en } uma base ortonormal que diagonaliza A, isto é, Aei = ki ei .
Assim,




r
r
r
X
X
X
n
n
j
j
j
r−j j
j
Pr e i =
(−1) Sr−j A ei =
(−1)
k A ei =
(−1)
k r−j k j ei
r
−
j
r
−
j
j=0
j=0
j=0
!






r
X
n
n−1 r
r−j+j
j
r n−1
=k
(−1)
ei = k
ei =
k ei .
r−j
r
r
j=0
Logo,
Lr (f ) =traço (Pr Hessf ) =

n
X

hei , Pr Hessf ei i

i=1
n
X



n 
X
n−1 r
=
k ei , Hessf ei
hPr ei , Hessf ei i =
r
i=1
i=1




n
n−1 rX
n−1 r
hei , Hessf ei i =
k ∆f.
=
k
r
r
i=1
=
Observe que S1 > 0 e Sj > 0 ∀ j. Daı́, SSr+1
1
em cada ponto de Σ.

79

n
(r+1
)kr+1

nk

 r
n
= n1 r+1
k > 0 e é constante

Portanto, Σ é uma hipersuperfı́cie com S1 > 0 e SSr+1
> 0 é uma constante, a partir de
1
5.3 temos


Z 
cnSr+1
2S2 Sr+1
− (r + 2)Sr+2 + c(n − r)Sr −
dM
Ir (f ) = − f L̃r (f ) + f
S1
S1
Σ


Z 
Sr+1
2S2 Sr+1
Sr+1
= − f Lr f −
∆f + f
− (r + 2)Sr+2 + c(n − r)Sr − cn
dM
S1
S1
S1
Σ



Z 
n
n−1 r
1
k r ∆f
=− f
k ∆f −
n r+1
r
Σ



  
n
n
2 n
2 r+1
k k
− (r + 2)
k r+2
+f
r+1
r+2
nk 2
 

 
n r cn
n
+ c(n − r)
k −
kr
dM
r
n r+1



Z 
n−1
n
1
=−
−
k r f ∆f
r
n r+1
Σ  



2 n
n
n
+
− (r + 2)
k r+2 f 2
n 2
r+1
r+2

  


n
n
r 2
+ (n − r)
−
ck f dM
r
r+1






Z  
n
n
n
r
r
r+2 2
r 2
k f ∆f + r
k f +r
ck f dM
=−
n r+1
r+1
r+1
Σ

 Z

n
r
kr
=−
f ∆f + nk 2 f 2 + ncf 2 dM
n r+1
Σ

 Z

n
r
kr
f ∆f + n(k 2 + c)f 2 dM
=−
n r+1

 ZΣ

r
n
=
kr
−f ∆f − n(k 2 + c)f 2 dM
n r+1
Σ

Seja λ1 o primeiro autovalor do Laplaciano de Σ, então, pela caracterização variacional de
λ1 (Veja [11]).

 Z

r
n
Ir (f ) ≥
kr
λ1 − n(k 2 + c) f 2 dM = 0.
n r+1
Σ

Logo
Ir (f ) ≥ 0,
80

onde a última igualdade foi obtida da hipótese de que Σ é isométrica a uma n-esfera
euclidiana com curvatura seccional constante k 2 + c. Por isso λ1 = n(k 2 + c). Portanto, Σ
é r-estável.

Agora estamos diante do nosso principal Teorema.
Teorema 5.0.3. Considere Mn uma Variedade Riemanniana conexa, orientada e compacta sem bordo, 1 ≤ r ≤ n − 1. Uma imersão isometrica x : Mn −→ Rn+1 para o qual S1
positiva e Sr+1 /S1 = constante é r-estavél se, e somente se, M é uma esfera e x é a sua
inclusão, e é uma hipersuperfı́cie totalmente umbilica.
Demonstração. Da Proposição 5.0.9, a condição é suficiente. Agora vamos provar que
também Zé necessário. Pela proposição 3.3.6, o operador L̃r é elı́ptico.
Seja xS1 dM = C, vetor constante do Rn+1 , então
M

x̃ = x − Z

C

,

S1 dM
M

Z
satisfaz

x̃S1 dM = 0. De fato,
M

Z
S1 dM
x̃ = x− Z

C

S1

⇒ x̃S1 = xS1 − Z

S1 dM

C ⇒

S1 dM

M

Z

Z
x̃S1 dM =

Z
xS1 dM− M
S1 dM

M

M

M

C

M

Z
S1 dM
Z

Z
x̃S1 dM =

M

Z
xS1 dM − M

C
S1 dM

M
M

Z
xS1 dM − C

=
M

= C −C =0
Como as condições de (5.3) são as mesmas para x e x̃, assim, sem perda de generalidade,
podemos assumir que
Z
xS1 dM = 0.
M

81

Tome uma base ortonormal {E1 , E2 , . . . , En+1 } do Rn+1 e defina as funções fj , gj por
fj = hN, Ej i ,

gj = hx, Ej i .

(5.4)

A hipótese de r-estabilidade implica que Ir (gj ) ≥ 0 para cada j, 1 ≤ j ≤ n + 1. Assim,
usando (5.3) com c = 0 temos



Z
Sr+1
0 ≤ Ir (gj ) = − gj L̃r gj + gj 2S2
− (r + 2)Sr+2 dM
S1
M



Z
Sr+1
Sr+1
∆gj + gj 2S2
− (r + 2)Sr+2 dM
= − gj Lr gj −
S1
S1
M

usando o Teorema 3.3.2, no caso c = 0, para obter Lr gj e ∆gj = L0 gj obtemos



Sr+1
Sr+1
= − gj (r + 1)Sr+1 fj −
S1 fj + gj 2S2
− (r + 2)Sr+2 dM
S1
S1
M



Z
Sr+1
− (r + 2)Sr+2 dM
= − gj (r + 1)Sr+1 fj − Sr+1 fj + gj 2S2
S1
M



Z
Sr+1
= − gj rSr+1 fj + gj 2S2
− (r + 2)Sr+2 dM
S1
M


Z 
Sr+1
2
=−
− (r + 2)Sr+2 dM.
rSr+1 fj gj + gj 2S2
(5.5)
S1
Z

M

Tomando o somatório para 1 ≤ j ≤ n + 1, temos que
)

Z (
n+1
n+1
X
X
S
r+1
− (r + 2)Sr+2
dM.
0≤−
rSr+1
f j gj +
gj 2 2S2
S
1
j=1
j=1
M

(5.6)
Observe que
fj gj = hN, Ej i hx, Ej i
= hN, hx, Ej i Ej i
* n+1
+
n+1
X
X
fj gj = N,
hx, Ej i Ej = hN, xi .
j=1

j=1

82

Por outro lado,
gj 2 = hx, Ej i hx, Ej i
= hx, hx, Ej i Ej i
* n+1
+
n+1
X
X
gj 2 = x,
hx, Ej i Ej = |x|2 .
j=1

j=1

Assim,



Z 
Sr+1
2
0≤
−rSr+1 hx, N i − 2S2
− (r + 2)Sr+2 |x| dM
S1
M


Z 

Sr+1
2
T 2
=
−rSr+1 hx, N i − 2S2
− (r + 2)Sr+2
x
+ hx, N i
dM.
S1

(5.7)

M

Observe que


Z
Z 
Sr+1
T
T
P1 Ax , x dM =
Pr+1 −
S1

Pr+1 AxT , xT dM

M

M

Z 
+

Sr+1
P1 AxT , xT
−
S1


dM.

(5.8)

M

Pela Prop. 3.3.3 e sabendo que SSr+1
é uma constante, temos que
1
Z

T

T

Pr+1 Ax , x
M

Z
dM =



(n − r − 1)Sr+1 hx, N i + (r + 2)Sr+2 hx, N i2 dM.

(5.9)

M

e

Z
Z 
Sr+1 
Sr+1
T
T
P1 Ax , x dM = −
(n − 1)S1 hx, N i + 2S2 hx, N i 2 dM
−
S1
S1
M
M


Z
S2 Sr+1
2
=
−(n − 1)Sr+1 hx, N i − 2
hx, N i
dM. (5.10)
S1
M

83

Substituindo (5.9) e (5.10) na equação 5.8, obtemos



Z
Z

Sr+1
T
T
Pr+1 −
(n − r − 1)Sr+1 hx, N i + (r + 2)Sr+2 hx, N i2 dM
P1 Ax , x dM =
S1
M
M

Z 
S2 Sr+1
2
+
−(n − 1)Sr+1 hx, N i − 2
dM
hx, N i
S1
ZM
= {((n − r − 1) − (n − 1)) Sr+1 hx, N i
M




S2 Sr+1
2
− 2
− (r + 2)Sr+2 hx, N i dM
S1
Z
= {−rSr+1 hx, N i
M




S2 Sr+1
2
− 2
− (r + 2)Sr+2 hx, N i dM.
S1
(5.11)
Substituindo (5.11) na equação (5.7), temos




Z 
Sr+1
Sr+1
T 2
T
T
x
P1 Ax , x
+
Pr+1 −
dM. (5.12)
0≤
(r + 2)Sr+2 − 2S2
S1
S1
M

Seja {e1 , e2 , . . . , en } vetores ortonormais principais correspondentes as curvaturas principais {k1 , k2 , . . . , kn }, respectivamente. Assim,
T

x =

n
X

hx, ei i ei .

(5.13)

i=1

e
T

Ax =
=

n
X
i=1
n
X

hx, ei i Aei
hx, ei i ki ei

i=1

=

n
X

ki hx, ei i ei .

i=1

Substituindo (5.13) e (5.14) na expressão



Sr+1
T
T
P1 Ax , x .
Pr+1 −
S1
84

(5.14)

Temos que
+

 *

X
n
n
X
Sr+1
S
r+1
Pr+1 −
Pr+1 −
P1 AxT , xT =
P1
ki hx, ei i ei ,
hx, ej i ej
S1
S1
i=1
j=1



n
X
Sr+1
=
ki hx, ei i hx, ej i
Pr+1 −
P1 ei , ej
S
1
i,j=1


n
X
Sr+1
=
P1 ei , ej .
ki hx, ei i hx, ej i Pr+1 ei −
S
1
i,j=1
Utilizando a Prop.(3.2.1), temos que


 X


n
Sr+1
Sr+1
T
T
Pr+1 −
P1 Ax , x
P1 ei , ej
=
ki hx, ei i hx, ej i Pr+1 ei −
S1
S
1
i,j=1


n
X
Sr+1
S1 (Ai )ei , ej
=
ki hx, ei i hx, ej i Sr+1 (Ai )ei −
S1
i,j=1



n
X
Sr+1
=
ki hx, ei i hx, ej i
Sr+1 (Ai ) −
S1 (Ai ) ei , ej
S1
i,j=1


n
X
Sr+1
=
ki hx, ei i hx, ej i Sr+1 (Ai ) −
S1 (Ai ) hei , ej i
S1
i,j=1


n
X
Sr+1
=
ki hx, ei i hx, ej i Sr+1 (Ai ) −
S1 (Ai ) δij
S1
i,j=1
fazendo j = i e utilizando a equação (3.1), temos


n
X
Sr+1
2
S1 (Ai )
=
ki hx, ei i Sr+1 (Ai ) −
S
1
i=1
=
=

n
X
ki

S1
i=1
n
X
ki
i=1

S1

(S1 Sr+1 (Ai ) − Sr+1 S1 (Ai )) hx, ei i2
((ki S0 (Ai ) + S1 (Ai )) Sr+1 (Ai ) − (ki Sr (Ai )

+Sr+1 (Ai )) S1 (Ai )) hx, ei i2
n
X
ki
=
(ki Sr+1 (Ai ) + S1 (Ai )Sr+1 (Ai ) − ki S1 (Ai )Sr (Ai )
S
1
i=1
−S1 (Ai )Sr+1 (Ai )) hx, ei i2
n
X
ki 2
=
(Sr+1 (Ai ) − S1 (Ai )Sr (Ai )) hx, ei i2 .
S1
i=1
85

(5.15)

Usando 5.15, obtemos que





Sr+1
Sr+1
T
T
T 2
(r + 2)Sr+2 − 2S2
+
Pr+1 −
P1 Ax , x
x
S1
S1

n 
X
Sr+1 ki 2
=
(r + 2)Sr+2 − 2S2
+
(Sr+1 (Ai ) − S1 (Ai )Sr (Ai )) hx, ei i2
S
S
1
1
i=1
n

1 X
(r + 2)S1 Sr+2 − 2S2 Sr+1 + ki 2 (Sr+1 (Ai ) − S1 (Ai )Sr (Ai )) hx, ei i2 .
=
S1 i=1

(5.16)

Utilizando as equações (3.20) e (3.21), temos que
(r + 2)S1 Sr+2 − 2S2 Sr+1 + ki 2 (Sr+1 (Ai ) − S1 (Ai )Sr (Ai )) < 0.
Das equações (5.12) e (5.16), concluimos que xT = 0, isto significa que x = kN para
alguma função k. Dai, temos que
d|x|2 = 2 hdx, xi = 2 hdx, kN i = 2k hdx, N i = 0.
Isto significa que |x|2 é uma constante, ou seja, M é uma esfera. Isso completa a prova
do Teorema.

n+1

No caso de M (c) ser uma hipersuperfı́cie de um hemisfério aberto de Sn+1 (1) ou o
espaço hiperbólico Hn+1 (−1), temos o seguinte Teorema:
Teorema 5.0.4. Considere Mn uma Variedade Riemanniana conexa, orientada e comn+1
pacta sem bordo, 1 ≤ r ≤ n − 1. Seja M (c) um hemisferio aberto de Sn+1 (1) ou o
espaço hiperbólico Hn+1 (−1) se c = 1 ou c = −1 , respectivamente. Dado r ∈ [1, n − 1] ∩ N
n+1
com r par. Uma imersão isometrica x : Mn −→ M (c), satisfazendo simultaneamente
que S1 > 0 e Sr+1 /S1 = constante é r-estavél se, e somente se, M é uma esfera e x é a
sua inclusão, x não é totalmente geodesica e é totalmente umbilica.
Demonstração.
(⇐) Foi provada na Proposição 5.0.9.
Antes de provarmos a condição necessária, observamos que, pela Proposição 3.3.6, L̃r
é elı́ptico.
(⇒) Consideremos separadamente dois casos:
n+1
Caso 1: M (c) = hemisfério de Sn+1 (1) ⊂ Rn+2 .
Sendo N o campo normal unitário, definamos
Z
N̄ := N S1 dM.
M

Afirmamos que N̄ não é nulo, com efeito, a prova será feita por contradição, para isto
suponha que N̄ = 0.
86

Agora consideremos {E0 , E1 , . . . , En+1 } como sendo uma base ortonormal do Rn+2 .
Definamos: fj = hN, Ej i e gj = hx, Ej i. Temos
fj gj = hN, Ej i hx, Ej i = hN, hx, Ej i Ej i .
Logo,
n+1
X

*
fj gj = N,

j=0

n+1
X

+
hx, Ej i Ej

= hN, xi = 0.

j=0

Da mesma forma,
fj 2 = hN, Ej i hN, Ej i = hN, hN, Ej i Ej i .
Logo,
n+1
X

*
fj 2 = N,

j=0

n+1
X

+
hN, Ej i Ej

= hN, N i = 1.

j=0

Da relação (2) do Teorema 3.3.2 com c = 1, temos
Lr hN, Ej i = − hgrad (Sr+1 ), Ej i − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hN, Ej i + (r + 1)Sr+1 hx, Ej i
Lr fj = − hgrad (Sr+1 ), Ej i − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 )fj + (r + 1)(Sr+1 )gj .
e para r = 0, temos também que
L0 fj = − hgrad (S1 ), Ej i − (S1 S1 − 2S2 )fj + S1 gj
∆fj = − hgrad (S1 ), Ej i − (S1 2 − 2S2 )fj + S1 gj .
Por outro lado, como estamos supondo que a imersão é r-estavél, então Ir (fj ) ≥ 0. De
modo que para qualquer j ∈ {0, 1, 2, 3, . . . n + 1}, pela definição temos que



Z
Sr+1
Sr+1
Ir (fj ) = − fj L̃r (fj ) + fj 2S2
− (r + 2)Sr+2 + c(n − r)Sr − cn
dM.
S1
S1
M

como estamos no caso em que c = 1, então temos

Z
Sr+1
Ir (fj ) = − fj Lr fj −
∆fj
S1
M


Sr+1
Sr+1
+ fj 2S2
− (r + 2)Sr+2 + (n − r)Sr − n
dM ≥ 0.
S1
S1
Observe que
87

Lr fj −

Sr+1
∆fj = − hgrad (Sr+1 ), Ej i − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 )fj + (r + 1)Sr+1 gj
S1
Sr+1 
−
− hgrad (S1 ), Ej i − (S1 2 − 2S2 )fj + S1 gj
S1
= − hgrad (Sr+1 ), Ej i − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 )fj + (r + 1)Sr+1 gj
Sr+1
Sr+1
+
hgrad (S1 ), Ej i +
(S1 2 − 2S2 )fj − Sr+1 gj
S1
S1


Sr+1
2
=
(S1 − 2S2 ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) fj
S1
Sr+1
hgrad (S1 ), Ej i − hgrad (Sr+1 ), Ej i
+ [(r + 1)(Sr+1 ) − Sr+1 ] gj +
S1


Sr+1
= Sr+1 S1 − 2S2
− S1 Sr+1 + (r + 2)Sr+2 fj
S1
Sr+1
hgrad (S1 ), Ej i − hgrad (Sr+1 ), Ej i
+ (rSr+1 )gj +
S1


Sr+1
= (r + 2)Sr+2 − 2S2
fj + rSr+1 gj
S1
Sr+1
hgrad (S1 ), Ej i − hgrad (Sr+1 ), Ej i .
+
S1

Assim, temos:

Z
Sr+1
Ir (fj ) = − fj Lr fj −
∆fj
S1
M


Sr+1
Sr+1
− (r + 2)Sr+2 + (n − r)Sr − n
dM
(5.17)
+ fj 2S2
S1
S1


Z
Sr+1
Sr+1
= − fj
(r + 2)Sr+2 − 2S2
fj + (rSr+1 )gj +
hgrad (S1 ), Ej i
S1
S1
M


Sr+1
Sr+1
− hgrad (Sr+1 ), Ej i + fj 2S2
− (r + 2)Sr+2 + (n − r)Sr − n
dM
S1
S1

Z
Sr+1
= − fj (rSr+1 )gj +
hgrad (S1 ), Ej i − hgrad (Sr+1 ), Ej i
S1
M


Sr+1
Sr+1
Sr+1
+ fj (r + 2)Sr+2 − 2S2
+ 2S2
− (r + 2)Sr+2 + (n − r)Sr − n
dM
S1
S1
S1
 


Z
Sr+1
= − fj (rSr+1 )gj + (n − r)Sr − n
fj dM
S1
M

88

Z 
=−

 
Sr+1
fj 2 dM ≥ 0.
(rSr+1 )fj gj + (n − r)Sr − n
S1


M

Tomando somatório para 0 ≤ j ≤ n + 1, temos que



 
n+1  Z 

X
Sr+1
2
0≤
−
(rSr+1 )fj gj + (n − r)Sr − n
fj dM


S1
j=0
M

 n+1 )
Z (
n+1
X
Sr+1 X 2
(rSr+1 )
fj gj + (n − r)Sr − n
fj dM
0≤−
S1 j=0
j=0
M



Z 
Sr+1
0≤−
(rSr+1 ) hN, xi + (n − r)Sr − n
hN, N i dM,
S1
M

como hN, xi = 0 e hN, N i = 1, segue-se que



Z 
Sr+1
0≤−
hN, N i dM
(rSr+1 ) hN, xi + (n − r)Sr − n
S1
M

Z 
Sr+1
dM
0≤−
(n − r)Sr − n
S1
M
Z
1
0≤−
[(n − r)S1 Sr − nSr+1 ] dM.
S1
M

Por outro lado, temos que
Z
1
[(n − r)S1 Sr − nSr+1 ] dM
Ir (fj ) = −
S1
M

   



Z
1
n
n
n
=−
(n − r)H1
Hr
−n
Hr+1 dM
1
r
r+1
M S1

 



Z
1
n
n
n(n − r)
H1 Hr − n
Hr+1 dM
=−
S1
r
r+1
M

como H1 Hr ≥ Hr+1 , então

 



Z
1
n
n
≤−
n(n − r)
Hr+1 − n
Hr+1 dM
S1
r
r+1
M

 



Z
1
n
n
=−
n(n − r)
−n
Hr+1 dM
S1
r
r+1
M

89




n!
n
−n
Hr+1 dM
=−
r!(n − r)!
r+1
M




Z
1
n!
n
=−
n(n − r)
−n
Hr+1 dM
S1
r!(n − r)(n − r − 1)!
r+1
M




Z
1
(r + 1)n!
n
=−
n
−n
Hr+1 dM
S1
(r + 1)r!(n − r − 1)!
r+1
M




Z
1
(r + 1)n!
n
=−
n
−n
Hr+1 dM
S1
(r + 1)!(n − r − 1)!
r+1
M






Z
n
n
1
n(r + 1)
−n
Hr+1 dM
=−
S1
r+1
r+1
M




Z
n
1
(n(r + 1) − n)
Hr+1 dM
=−
S1
r+1
M




Z
n
1
(nr + n − n)
Hr+1 dM
=−
S1
r+1
M
 


Z
n
1
nr
Hr+1 dM
=−
S1
r+1
M
Z
1
[nrSr+1 ] dM
=−
S1
M
Z
nrSr+1
dM < 0.
=−
S1
Z

1
S1


n(n − r)

M

Portanto , chegamos a uma contradição. Assim, N̄ não pode ser zero.
Seja {E0 , E1 , . . . , En+1 } uma base ortonormal do Rn+2 , tome N̄ 6= 0 tal que E0 =
N̄ / N̄ , e defina fj e gj como em (5.4). Agora temos
Z
fj S1 dM = 0, para 1 ≤ j ≤ n + 1.
M

Note que
n+1
X

fj gj = 0 ⇒ f0 g0 +

j=0

e

n+1
X
j=0

n+1
X

fj gj = 0 ⇒

j=1

2

2

fj = 1 ⇒ f0 +

n+1
X

n+1
X

fj gj = −f0 g0 .

j=1

2

fj = 1 ⇒

j=1

n+1
X
j=1

90

fj 2 = 1 − f0 2 .

Para estas funções r-estáveis implica a validade de (5.17). Tomando o somatório para
1 ≤ j ≤ n + 1 obtemos que

 n+1 )
Z (
n+1
X
Sr+1 X 2
0≤
(−rSr+1 )
fj gj − (n − r)Sr − n
fj dM
S
1
j=1
j=1
M



Z 
Sr+1
2
=
(rSr+1 )f0 g0 − (n − r)Sr − n
(1 − f0 ) dM.
S1
M



n
Note que, n(n − r) nr ≥ n r+1
e como H1 Hr ≥ Hr+1 , então
 


n
n
n(n − r)
H1 Hr ≥ n
Hr+1 .
r
r+1
P
Sr+1
Sr+1
2
, isto é, (n − r)Sr − n
≥ 0. Como 1 = |E0 |2 = n+1
i=0 hE0 , ei i ≥
S1
S1
hE0 , xi2 + hE0 , N i2 = f0 2 + g0 2 , então

Daı́, (n − r)Sr ≥ n

1 ≥ f0 2 + g0 2 =⇒ 1 − f0 2 ≥ g0 2 .
Por outro lado, temos



Z 
Sr+1
2
0≤
(rSr+1 )f0 g0 − (n − r)Sr − n
(1 − f0 ) dM
S1
M
 

Z 
Sr+1
≤
(rSr+1 )f0 g0 − (n − r)Sr − n
g0 2 dM.
S1
M

Sabemos do Lema 3.3.2 que:
Z
Z
g0 Lr (g0 )dM = − hPr grad g0 , grad g0 idM.
M

M

∆g0 e multiplicando ambos os membros por g0 temos
Mas, L̃r g0 = Lr g0 − SSr+1
1
g0 L̃r g0 = g0 Lr g0 −

Sr+1
g0 ∆g0 .
S1

Integrando sobre M , temos
Z
Z
Z
Sr+1
g0 ∆g0 dM
g0 L̃r g0 dM = g0 Lr g0 dM −
S1
M
M
M
Z
Z
Sr+1
= − hPr grad g0 , grad g0 idM −
g0 ∆g0 dM.
S1
M

M

91

Mas,
grad (g0 2 ) = 2g0 grad g0 +2hgrad g0 , grad g0 i ⇒ g0 grad g0 = 21 grad (g0 2 )−hgrad g0 , grad g0 i.
temos
Multiplicando ambos os membros por SSr+1
1
1 Sr+1
Sr+1
Sr+1
g0 grad g0 =
grad (g0 2 ) −
hgrad g0 , grad g0 i
S1
2 S1
S1
1 Sr+1
Sr+1
=
grad (g0 2 ) − h
grad g0 , grad g0 i.
2 S1
S1
Integrando sobre M, temos
Z
Z
Z
Sr+1
1 Sr+1
Sr+1
2
g0 grad g0 dM =
grad (g0 )dM − h
grad g0 , grad g0 idM.
S1
2 S1
S1
M

M

M

Daı́,
Z

Z
g0 L̃r g0 dM = −

M

1
hPr grad g0 , grad g0 idM −
2

M

Z
h

+

Z

Sr+1
grad (g0 2 )dM
M S1

Sr+1
grad g0 , grad g0 idM.
S1

M

Assim,
Z
Z
Z
Sr+1
Sr+1
1
g0 L̃r g0 dM = − h(Pr −
I)grad g0 , grad g0 idM −
grad (g0 2 )dM.
S1
2
S1
M

Como

M

M

1
2

Z

1 Sr+1
Sr+1
grad (g0 2 )dM =
S1
2 S1

M

Z

grad (g0 2 )dM = 0, pelo Teorema de Stokes,

M

pois M é compacta, então
Z
Z
Sr+1
g0 L̃r g0 dM = − h(Pr −
I)grad g0 , grad g0 idM.
S1
M

M

Portanto, utilizando o Lema 3.3.2 e a elipticidade de L̃r , podemos obter
 

Z 
Sr+1
g0 2 dM
0≤
(rSr+1 )f0 g0 − (n − r)Sr − n
S1
M

 
Z  
Sr+1
=
g0 (rSr+1 )f0 − (n − r)Sr − n
g0
dM
S1
M

Z  
Sr+1
∆g0
=
g0 Lr g0 −
dM
S1
M
Z n
o
=
g0 L̃r g0 dM
M

92

Z
=−

h(Pr −

Sr+1
I)grad g0 , grad g0 idM ≤ 0.
S1

M

Dessse modo, todas as desigualdades devem ser igualdades. Em particular, obtemos
que grad g0 = 0, portanto g0 é uma constante. Assim, a imagem de x está contida na
intersecção de um hiperplano e uma esfera Sn+1 (1). Portanto, x(M) é uma hiperesfera
não-geodésica de Sn+1 (1).
n+1
Caso 2: M (c) = Hn+1 (−1) ⊂ R1 n+2 , onde R1 n+2 é o espaço de Lorentz.
Z
n+1
X
2
Definamos x̃ := xS1 dM. De hx, xi = −x0 +
xj 2 = −1 e x0 > 0, obtemos
j=1

M

v
u
n+1
X
u
t
xj 2 .
x0 = 1 +
j=1

Portanto, a partir da fórmula de Minkowski para integral, obtemos
2 
2

2

2  v
Z
Z
Z
Z u
n+1
n+1
X
X
u
 S1 dM +
 xj S1 dM ≤  t1 +
xj 2 S1 dM =  x0 S1 dM .
j=1

M

M

M

j=1

M

Assim, temos


2
2

2
Z
Z
Z
n+1
X
 xj S1 dM ≤ −  S1 dM < 0.
hx̃, x̃i = −  x0 S1 dM +
j=1

M

M

M

Tome E0 = x̃/ |x̃| e complete Za base ortonormal do R1 n+2 . Para essa base, defina fj e gj
gj S1 dM = 0, para 1 ≤ j ≤ n + 1. Assim, para tal gj ,

como em (5.4). É claro que
M

r-estável implica:



Z
Sr+1
Sr+1
Ir (gj ) = − gj L̃r (gj ) + gj 2S2
− (r + 2)Sr+2 + c(n − r)Sr − cn
dM,
S1
S1
M

como estamos no caso em que c = −1, então temos

Z
Sr+1
0 ≤ Ir (gj ) = − gj Lr gj −
∆gj
S1
M


Sr+1
Sr+1
+ gj 2S2
− (r + 2)Sr+2 − (n − r)Sr + n
dM.
S1
S1
93

Da relação (1) do Teorema 3.3.2 com c = −1, temos
Lr hx, Ej i =(r + 1)Sr+1 hN, Ej i − (n − r)Sr hx, Ej i
Lr gj =(r + 1)Sr+1 fj + (n − r)Sr gj ,
e para r = 0, temos também que
L0 gj =S1 fj + ngj
∆gj =S1 fj + ngj .
Daı́,
Lr gj −

Sr+1
Sr+1
∆gj =(r + 1)Sr+1 fj + (n − r)Sr gj −
(S1 fj + ngj )
S1
S1


Sr+1
gj
= [(r + 1)Sr+1 − Sr+1 ] fj + (n − r)Sr − n
S1


Sr+1
=(rSr+1 )fj + (n − r)Sr − n
gj .
S1

Assim,

Sr+1
∆gj
0 ≤ Ir (gj ) = − gj Lr gj −
S1
M


Sr+1
Sr+1
+ gj 2S2
− (r + 2)Sr+2 − (n − r)Sr + n
dM
S1
S1



Z
Sr+1
= − gj (rSr+1 )fj + (n − r)Sr − n
gj
S1
M


Sr+1
Sr+1
+ gj 2S2
− (r + 2)Sr+2 − (n − r)Sr + n
dM
S1
S1
Z
= − gj {(rSr+1 )fj + [(n − r)Sr − (n − r)Sr
Z

M

 
Sr+1
Sr+1
Sr+1
− (r + 2)Sr+2 − n
+n
gj dM
+ 2S2
S1
S1
S1


 
Z
Sr+1
= − gj (rSr+1 )fj + 2S2
− (r + 2)Sr+2 gj dM
S1
M


Z 
Sr+1
2
=
(r + 2)Sr+2 − 2S2
gj − (rSr+1 )fj gj dM.
S1
M

Note que
94

n+1
X

fj gj = 0 ⇒ −f0 g0 +

n+1
X

j=o

e

n+1
X

f j gj = 0 ⇒

j=1

2

2

gj = −1 ⇒ g0 +

j=o

n+1
X

2

g0 = −1 ⇒

j=1

n+1
X

fj gj = f0 g0 ,

j=1
n+1
X

gj 2 = −1 + g0 2 .

j=1

Tomando somatório para 1 ≤ j ≤ n + 1, temos que
)
 n+1
Z (
n+1
X
Sr+1 X 2
0≤
(r + 2)Sr+2 − 2S2
gj − (rSr+1 )
fj gj dM
S1 j=1
j=1
M


Z 

Sr+1
2
=
(r + 2)Sr+2 − 2S2
−1 + g0 − (rSr+1 )f0 g0 dM.
S1
M

Como −1 = |E0 |2 =

Pn+1

2
2
2
2
2
i=0 hE0 , ei i ≥ −hE0 , xi + hE0 , N i = −g0 + f0 , então

−1 ≥ −g0 2 + f0 2 =⇒ −1 + g0 2 ≥ f0 2 .
Por outro lado, usando o Corolário 3.3.1 obtemos


Z 

Sr+1
2
0≤
(r + 2)Sr+2 − 2S2
−1 + g0 − (rSr+1 )f0 g0 dM
S1
M


Z 
Sr+1
2
f0 − (rSr+1 )f0 g0 dM.
≤
(r + 2)Sr+2 − 2S2
S1
M

Portanto, utilizando o Lema 3.3.2 e a elipticidade de L̃r , podemos obter


Z 
Sr+1
2
0≤
f0 − (rSr+1 )f0 g0 dM
(r + 2)Sr+2 − 2S2
S1
M


Z  
Sr+1
f0 − (rSr+1 )g0
dM
=
f0 (r + 2)Sr+2 − 2S2
S1
M

Z  
Sr+1
=
f0 Lr f0 −
∆f0
dM
S1
M
Z n
o
f0 L̃r f0 dM
=
M

Z
=−

h(Pr −

Sr+1
I)grad f0 , grad f0 idM ≤ 0.
S1

M

Isto implica que f0 é constante e f0 2 − g0 2 = 1. Portanto g0 é também uma constante,
ficando assim provado para o caso 2. Isso completa a prova do Teorema.

95

Referências Bibliográficas
[1] Alencar, H., do Carmo, M., Colares, A.G.: Stable hypersurfaces with constant scalar
curvature, Math. Z. 213, (1993) 117-131.
[2] Alencar, H., do Carmo, M., Elbert, M.F.: Stability of hypersurfaces with vanishing
r-mean curvatures in Euclidean spaces, J. Reine Angew. math. 554, (2003) 201-216.
[3] Alencar, H., do Carmo, M., Rosenberg, H.: On the first eigenvalue of the linearized
operator of the r-th mean curbature of a hypersurface, Ann. Glob. Anal. Geom. 11,
(1993) 387-395.
[4] Alencar, H., Rosenberg, H., Santos, W.: On the Gauss map of hypersurfaces with
constant scalar curvature in spheres, Proc. Am. Math. Soc. 132, (2004) 3731-3739.
[5] Barbosa, J.L., Colares, A.G.: Stability of hypersurfaces with constant r-mean curvature, Ann. Glob. Anal. Geom. 15, (1997) 277-297.
[6] Barbosa, J.L., do Carmo, M.: On stability of cones in Rn+1 with zero scalar curvature,
Ann. Glob. Anal. Geom. 28, (2005) 107-127.
[7] Barbosa, J.L., do Carmo, M.: Stability of hypersurfaces with constant mean curvature,
Math. Z. 185, (1984) 339-353.
[8] Barbosa, J.L., do Carmo, M., Eschenburg, J.: Stability of hypersurfaces of constant
mean curvature in Riemannian manifolds, Math. Z. 197, (1988) 123-138.
[9] Berger, M., Gauduchon, P., Mazet, E.: Le Spectre d’une Varieté Riemannienne, Lecture Notes in Mathematics 194. Springer-Verlag, 1971.
[10] Cao, L.F., Li, H.: r-Minimal submanifolds in space forms, Ann. Glob. Anal. Geom.
32, (2007) 311-341.
[11] Chavel, I., Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press, Inc. 1984.
[12] Chavel, I., Riemannian Geometry: A Modern Introduction, Cambridge University
Press, 2nd edition, 2006.
[13] Cheng, S.Y., Yau, S.T.: Hypersurfaces with constant scalar curvature, Math. Ann.
225, (1977) 195-204.
[14] Dajczer, M. et al.: Submanifolds and Isometric Immersions, Publish or Perish, Inc.,
1990.
96

[15] do Carmo, M. P., Geometria Diferencial de Curvas e Superfı́cies, Textos Universitários, SBM, Rio de Janeiro, 2a edição, 2005.
[16] do Carmo, M. P., Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, Rio de Janeiro, 3a edição,
2005.
[17] Hardy, G.H., Littlewood, J.E., Polya, G.: Inequalities, Cambridge University Press,
London (1934).
[18] He, Y., Li, H.: Stability of area-preserving variations in space forms, Ann. Glob. Anal.
Geom. 34, (2008) 55-68.
[19] He, Y., Li, H.: A new variational characterization of the Wulff shape, Diff. Geom.
App., vol 26, No 4, (2008) 377 - 390.
[20] Hounie, J., Leite, M.L.: The Maximum Principle for Hypersurfaces with vanishing
curvature functions, Journal of Differential Geometry vol 41, (1995) 247-258.
[21] Reilly, R.: Variational properties of functions of the mean curvatures for hypersurfaces
in space forms, J. Differ. Geom. 8, (1973) 465 - 477.
[22] Rosenberg, H.: Hypersurfaces of constant curvature in space forms, Bull. Soc. Math.
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[23] Voss, K.: Variation of curvature integral, Results. Math. 20, (1991) 789 - 796.
[24] Yano, K.: Integral Formulas in Riemannian Geometry, Marcel Dekker, NY (1970).

97

Índice Remissivo
A primeira fórmula variacional, 72
A segunda fórmula variacional, 73
Anel das Funções, 10
Aplicação exponencial, 11
Campo
Variacional, 77
Campo de Vetores, 10
Conexão
Afim, 10
Simétrica, 11
Curvatura, 12
Seccional Constante, 13

Lr , 30
de Laplace, 20
Elı́ptico, 22
Forma, 15
Polinômio Simétrico, 26
Variação X, 77
Variedade
Diferenciável, 10
Riemanniana, 10

Divergente, 18
Equação
de Codazzi, 17
de Gauss, 17
Fibrado Tangente, 10
Forma espacial, 13
Geodésica, 11, 12
Gradiente, 17
Hessiano, 21
Hipersuperfı́cie r-estável, 78
Identidades de Newton, 25
Imersão, 14
isométrica, 14
Métrica
Riemanniana, 10
Induzida, 14
Operador
98