Dissertação
dissertacao_2009_darliton.pdf
Documento PDF (647.0KB)
Documento PDF (647.0KB)
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado
Um estudo sobre a boa colocação local
da equação não linear de Schrödinger
cúbica unidimensional
em espaços de Sobolev periódicos
Darliton Cezario Romão
Maceió, Brasil
Março de 2009
Darliton Cezario Romão
Um estudo sobre a boa colocação local
da equação não linear de Schrödinger
cúbica unidimensional
em espaços de Sobolev periódicos
Dissertação de Mestrado na área de
concentração de Análise submetida em 25
de março de 2009 à Banca Examinadora,
designada pelo Colegiado do Programa de
Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do
grau de mestre em Matemática.
Orientador: Adán José Corcho
Maceió, Brasil
Março de 2009
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
R761u
Romão, Darliton Cezario.
Um estudo sobre a boa colocação local da equação não linear de Schrödinger
cúbica unidimensional em espaços de Sobolev periódicos / Darliton Cezario
Romão, 2009.
89 f.
Orientador: Adán José Corcho.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2009.
Bibliografia: f. 88-89.
1. Cauchy, problemas de. 2. Sobolev, Espaço de. 3. Schrödinger, Equação não
linear de. 4. Boa colocação local. 5. Má colocação. I. Título.
CDU: 517.955
Um estudo sobre a boa colocaC;8n local
da equac;ao nao linear de Schrbdinger
CLI bica unidin1ensional
em espac;os de Sobolev peri6dicos
Disserta<;ao de l'vlestrado na area de
concentra<;ao de An{dise su bmetida em 25
de rnar<;o de 2009 ,1 l3anca Examinadora,
designacla pelo Colegiado do Program a de
P6s-Gradua<;iio pm l'vbterruitica da Cni
versidade Federal ele Alagoas, como parte
dos requisitos necessarios ,} obten<;ao do
grau de mestre em l'vIatematica.
Prof. Dr.
~~~
Prof. Dr. \idiel i\zevedo Guerra
dJU~;.Ju.tU1tJv_
Prof Dr. Jose Felipe Linares
Aprender é a única coisa de que a mente nunca se cansa,
nunca tem medo e nunca se arrepende.
Leonardo da Vinci
Aos meus pais Manoel Romão Neto e Wilza Cezario Romão,
a minha irmã Darliane Cezario Romão
e a minha querida companheira Bianca Silva de Almeida.
Agradecimentos
Inicio meus agradecimentos a meu Pai Celeste, que me acompanha ao
longo da vida e oportuniza tantas experiências maravilhosas e edicantes.
Agradeço ainda a meus familiares e amigos pela presença em minha
vida e constante apoio. Vale a pena ressaltar minha gratidão aos colegas
e amigos feitos ao longo de minha vida acadêmica, em especial durante o
mestrado, com os quais compartilhei alegrias e frustrações. Aos colegas e
amigos Everson, Arlyson, Priscila, Erikson, Fabio, Carlos Alberto, Leandro,
Alex, Leonardo, Isnaldo, Pacato, Marcius, Daniel, meus sinceros agradecimentos.
Não posso esquecer, também, de mencionar e agradecer aos caros professores do IM da UFAL com os quais não só aprendi matemática, mas a
postura mais coerente de um professor, conduzindo sua prática docente com
moral e ética. Aos professores Krerley Oliveira, Ediel Guerra, Adán Corcho
e Vinícius Mello, minha gratidão. Além disso, agradeço as secretárias e colaboradores do IM da UFAL, entre elas dona Maria, Marcia e Silvinha, com
as quais vivi bons momentos de descontração.
Pela sugestão do tema e os meses dedicados a esse trabalho, agradeço
ao meu orientador, professor Adán Corcho. Agradeço, ainda, aos demais
membros da banca, professores Ediel Guerra e Felipe Linares, pela leitura
de uma das versões preliminares e enumeras sugestões. Não posso esquecer
também de, mais uma vez, agradecer ao Isnaldo pelas conversas matemáticas
e sugestões sobre o trabalho.
Esse trabalho não seria possível se não fosse pelas sugestões de literatura
dos professores Felipe Linares e Carlos Matheus, bem como pela ajuda na
aquisição de um dos materiais pelo amigo Leonardo.
6
Graças aos citados acima e outros, dos quais espero o perdão pela minha
péssima memória, concluo essa dissertação e mais essa etapa em minha vida.
É também a eles que eu dedico esse trabalho.
7
Resumo
Neste trabalho, fazemos um estudo detalhado do problema de
Cauchy para a equação não-linear cúbica de Schrödinger, com dados
iniciais em espaços de Sobolev no toro. Especicamente, provares
,
mos que este modelo é localmente bem posto para dados em Hper
com s ≥ 0. Em particular, para dados iniciais em L2 o modelo
é globalmente bem posto, devido à lei de conservação da equação
neste espaço.
Além disso, provaremos que os resultados obtidos são os melhores
possíveis, visto que exibiremos exemplos que mostram que o uxo
da equação não é localmente uniformemente contínuo para dados
iniciais com regularidade menor que L2 .
Palavras-chave: Problema de Cauchy, Espaços de Sobolev periódicos, Equação não-linear de Schrödinger, Boa colocação local,
Má colocação.
8
Abstract
In this work we study, in details, the Cauchy problem of the nonlinear Schrödinger equation, with initial datas in periodic Sobolev
spaces. Specically, we prove that this problem is locally well posed
s
, with s ≥ 0. Particularly, for initial datas in L2
for datas in Hper
the problem is globally well posed, due to the conservation law of
the equation in this space.
Moreover, we prove the this result is the best one, seeing we
expose examples that show that the equation ow is not locally
uniformly continuous for initial datas with regularity less than L2 .
Key words: Cauchy problem, periodic Sobolev spaces, non-linear
Schrödinger equation, locally well-posed, ill-posed.
9
Sumário
Introdução
11
1 Preliminares
15
1.1 Alguns resultados de análise funcional e medida . . . . . . . . 15
1.2 Outros resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Espaços Funcionais
25
2.1 Espaços de Sobolev Periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Distribuições Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
2.1.3 Série de Fourier em P . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Denição de espaços de Sobolev periódicos . . . . . . .
2.2 Espaços de Sobolev na Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 A transformada de Fourier na reta . . . . . . . . . . .
2.2.2 A transformada de Fourier no espaço de Schwarz . . .
2.2.3 Distribuições temperadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Denição de espaço de Sobolev na reta . . . . . . . . .
25
25
27
29
30
35
35
36
38
41
3 A Equação Não-Linear de Schrödinger em espaços de alta
regularidade
43
3.1 As propriedades do problema homogêneo . . . . . . . . . . . .
3.2 Problema não-homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Caso s > 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Caso 0 ≤ s ≤ 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Caso s < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
43
49
51
57
85
Referências Bibliográcas
88
11
Introdução
Neste trabalho realizamos um estudo sobre a boa colocação local da
equação não-linear de Schrödinger cúbica unidimensional em espaços de Sobolev
periódicos, isto é, a boa colocação do problema de Cauchy
(
iut + uxx = |u|2 u
s
u (x, 0) = u0 (x) ∈ Hper
.
(1)
Este modelo é de grande interesse físico e aparece no contexto da mecância
e optica não-linear, como pode-se ver nos trabalhos [5] e [11].
Vamos denir, precisamente, o que entendemos por boa colocação na
seguinte
Denição 0.1. (Boa Colocação) Dados X e Y espaços de Banach e T0 ∈
(0, ∞), dizemos que o problema de Cauchy
(
∂t u (t) = F (t, u (t)) ∈ X
u (0) = φ ∈ Y,
(2)
onde F : [0, T0 ]×Y −→ X é uma função contínua, é localmente bem-posto
se
(a) existe T ∈ (0, T0 ] e uma função u ∈ C ([0, T ] ; Y ) tal que u (0) = φ e a
equação diferencial é satisfeita no sentido que
lim
h→0
u (t + h) − u (t)
− F (t, u (t))
= 0, ∀ t ∈ [0, T ] ,
h
X
onde as derivadas em 0 e T são calculadas à direita e à esquerda;
12
(b) o problema (2) tem, no máximo, uma solução em C ([0, T ] ; Y );
(c) a aplicação φ 7−→ u é contínua. Mais precisamente, sejam φn ∈ Y ,
Y
n = 1, 2, . . . , ∞, tal que φn → φ∞ , e sejam un ∈ C ([0, Tn ] ; Y ) as
correspondentes soluções. Seja T ∈ (0, T∞ ). Então as soluções un
podem ser estendidas ao intervalo [0, T ] para todo n sucientemente
grande e
lim sup kun (t) − u (t)kY = 0.
n→∞ [0,T ]
Se qualquer uma dessas condições não for satisfeita, o problema é dito malposto.
Objetivamos vericar que (1) é localmente bem posto para s ≥ 0 e mal
posto para s < 0. Para tanto, dividimos nossa dissertação em três capítulos.
No primeiro listamos os principais resultados de análise funcional e medida
que usaremos. Seguimos com um capítulo dedicado às denições e resultados
de análise de Fourier na reta para os casos periódico e contínuo, bem como
s
, e contínuo, H s , com suas
denimos os espaços de Sobolev periódico, Hper
respectivas particularidades.
No capítulo 3 apresentaremos, na seção 3.1, um estudo para o caso homogêneo do problema (1), e seguimos, nas seções restantes, o estudo do
problema (1) dividindo-o em três partes. Na primeira, estudamos a boa
colocação local do problema (1) para s > 1/2. Como esse estudo é um pouco
mais antigo que os apresentados nas seções posteriores, há uma literatura
mais vasta abordando o assunto. Seguiremos, de perto, a obra de R. Iório e
V. Iório [7].
Em seguida estudaremos a boa colocação local do problema (1) para
0 ≤ s ≤ 1/2. A necessidade de dividir o estudo da boa colocação em s >
s
1/2 e 0 ≤ s ≤ 1/2, parte do fato de Hper
não ser uma álgebra de Banach
para s ≤ 1/2, logo os métodos aplicados no caso s > 1/2 já não são úteis.
13
Usaremos a moderna teoria de Bourgain [2] e [3] para concluir nosso estudo
sobre a boa colocação, apoiandonos também nos trabalhos de Linares [9] e
Terence [12].
Por m, demonstraremos a má colocação para s < 0 apresentando um
exemplo que contraria o item c) da denição de boa colocação local. Precisamente, mostraremos um exemplo onde o uxo não é uniformemente contínuo.
Aqui, seguiremos o trabalho de Burq, Gérard e Tzvetkov [4].
14
Capítulo 1
Preliminares
Neste capítulo apresentamos as denições e resultados básicos de Análise
Funcional, Teoria de Medida e outras teorias que serão necessários ao longo
de todo texto.
1.1
Alguns resultados de análise funcional e medida
No que se segue, a não ser que armemos explicitamente o contrário,
lidaremos com espaços vetoriais sobre o corpo C dos números complexos.
Dado p ∈ [1, ∞), o espaço `p = `p (Z) das sequências complexas α =
(αn )n∈Z tais que
X
|αn |p < ∞
n∈Z
é um espaço vetorial, com a soma e a multiplicação por escalar denidos
componente a componente
(αn ) + (βn ) = (αn + βn )
λ (αn ) = (λαn ) .
15
O espaço `p munido da norma
!1/p
X
kαk`p =
(1.1)
|αn |p
n∈Z
é completo. O espaço `∞ = `∞ (Z) das sequências complexas limitadas é
também um espaço de Banach, com a norma
(1.2)
kαk`∞ = sup |αn |
n∈Z
Seja C ([a, b] ; R) = C ([a, b]) o espaço das funções contínuas de [a, b] em
R. Para cada p ∈ [1, ∞), dena k · kLp em C ([a, b]) por
Z b
p
1/p
|f (x)| dx
kf kLp =
.
(1.3)
a
Então, qualquer que seja p ∈ [1, ∞), (C ([a, b]) , k · kLp ) é um espaço vetorial
que não é completo. Fixado p ∈ [1, ∞), o completamento de tal espaço é
denotado por Lp [a, b], ou simplesmente por Lp caso não haja dúvidas quanto
ao intervalo [a, b]. A norma kf kLp é chamada a norma Lp , 1 ≤ p ≤ ∞.
Os espaços `2 e L2 [a, b] = L2 são espaços de Hilbert, com os produtos
internos
Z
(α|β) =
X
b
αn βn e (f |g) =
f (x) g (x)dx,
a
n∈Z
onde α, β ∈ `2 e f, g ∈ L2 .
Os espaços `p , Lp e C ([a, b]), para p ∈ [1, ∞) − {2} e com as normas
denidas nos exemplos acima, não são espaços de Hilbert.
O espaço C ([a, b]) é um espaço de Banach em relação à norma
kf k∞ = sup |f (x)| .
(1.4)
x∈[a,b]
Os resultados apresentados aqui valem para intervalos de qualquer tipo:
abertos, abertos e fechados, limitados e ilimitados, bem como para funções
complexas.
16
k
k
Denotamos por Cper
= Cper
([−π, π]), k = 0, 1, 2, . . . , a coleção das
funções f : R → C periódicas de período 2π e de classe C k . No caso k = 0
0
simplesmente por Cper . É claro que, para k = 0, 1, 2, . . . ,
denotaremos Cper
k
Cper é um espaço vetorial e, de fato, é um espaço de Banach em relação à
norma
=
kf kCper
k
k
X
f (j) ∞ .
(1.5)
j=0
O espaço Cper pode ser identicado, de maneira natural, com
{f ∈ C ([−π, π]) ; f (−π) = f (π)} .
Portanto, podemos denir a norma Lp , 1 ≤ p < ∞, em Cper como em (1.3),
k
com a = −π e b = π . Note que Cper
não é completo em relação à norma Lp ,
1 ≤ p < ∞.
Na demonstração da boa colocação do problema de Cauchy (1) para s >
s
formarem uma álgebra de
1/2, usaremos o fato dos espaços de Sobolev Hper
Banach, quando s > 1/2. Assim, vale a pena apresentar alguns conceitos
que apresentamos agora.
Uma álgebra de Banach é um espaço de Banach X , com um produto
(x, y) ∈ X × X 7→ xy ∈ X tal que, para todo x, y, z ∈ X e para todo r ∈ C,
(a) (xy) z = x (yz),
(b) r (xy) = (rx) y = x (ry),
(c) (x + y) z = xz + yz e x (y + z) = xy + xz ,
(d) kxykX ≤ kxkX kykX .
Seja X um espaço de Banach. Um semigrupo a um-parâmetro fortemente contínuo em X (ou, simplesmente, um C 0 -semigrupo), é uma aplicação
S : [0, ∞) → B (X)
tal que
17
(a) S (0) = I (a identidade em X ),
(b) S (t + s) = S (t) S (s) , ∀ t, s ∈ [0, ∞),
(c) lim
kS (t) φ − S (s) φkX = 0, ∀ t ∈ [0, ∞) , φ ∈ X.
s→t
Se
kS (t)kB(X) ≤ 1, ∀ t ∈ [0, ∞) ,
(1.6)
dizemos que S (t) é um semigrupo de contração.
Enunciaremos, aqui, alguns teoremas da teoria dos espaços de Banach
que serão usados ao longo do texto.
Teorema 1.1. Sejam V e W espaços vetoriais normados e seja T : V −→ W
uma transformação linear. As seguintes armações são equivalentes
(a) T é contínua em V ;
(b) T é contínua em 0 ∈ V ;
(c) ∃ c > 0 tal que kT vkW ≤ c kvkV , ∀ v ∈ V.
Demonstração. Ver teorema 2.7-9 em Kreyszig [8], página 97. O enunciado
em [8] é equivalente.
Sejam Hj , j = 1, 2, espaços de Hilbert. Um operador U ∈ B (H1 , H2 ) é
uma isometria se kU hkH2 = khkH1 , ∀ h ∈ H1 , em particular U é injetiva.
U é unitário se é uma isometria sobrejetiva em H2 .
Seja H um espaço de Hilbert. Um grupo unitário a um parâmetro
fortemente contínuo em H é uma aplicação t ∈ R 7−→ U (t) ∈ B (H) tal
que
(a) U (t) é unitário ∀ t ∈ R,
(b) U (t + s) = U (t) U (s) , ∀ t, s ∈ R,
(c) lim
kU (t) φ − U (s) φkH = 0, ∀ t ∈ R, φ ∈ H.
s→t
18
Note que tomando t = s = 0 em (b) concluímos que U (0) = I . Daí
segue-se que todo grupo unitário a um parâmetro fortemente contínuo é, em
particular, um C 0 -semigrupo.
Sejam α = (αk )k∈Z e β = (βk )k∈Z duas sequências de números complexos.
A convolução de α e β é a sequência α ∗ β denida por
(α ∗ β)k =
X
αj βk−j
j∈Z
sempre que o segundo membro dessa equação zer sentido.
Proposição 1.1. (Teorema de Young) Seja α ∈ `1 e β ∈ `2 . Então
α ∗ β ∈ `2 e
kα ∗ βk`2 ≤ kαk`1 kβk`2 .
Em particular, para todo α ∈ `1 xo, a aplicação β 7−→ α ∗ β dene um
operador linear limitado de `2 nele mesmo.
Demonstração. Escrevendo |αj | = |αj |1/2 |αj |1/2 e aplicando a desiguldade de
Cauchy-Schwarz obtemos, para todo k ∈ Z,
|(α ∗ β)k | ≤
X
|αj βk−j |
j∈Z
"
X
=
|αj |1/2
|αj |1/2 |βk−j |
#
j∈Z
#1/2 "
"
≤
X
|αj |
j∈Z
#1/2
X
|αj | |βk−j |2
j∈Z
#1/2
"
=
1/2
kαk`1
X
2
|αj | |βk−j |
.
j∈Z
Elevando ao quadrado, somando sobre k e intercalando a ordem da soma,
19
chegamos a
kα ∗ βk2`2 =
X
|(α ∗ β)k |2
k∈Z
≤ kαk`1 (Z)
XX
|αj | |βk−j |2
k∈Z j∈Z
= kαk`1
X
|αj |
j∈Z
X
|βk−j |2
k∈Z
!1/2 2
!
= kαk`1
X
X
|αj |
j∈Z
=
|βm |2
m∈Z
kαk2`1 kβk2`2 .
Teorema 1.2. (Desigualdade de Hölder) Sejam f ∈ Lp e g ∈ Lq , onde
1 1
p > 1 e + = 1. Então f g ∈ L1 e kf gkL1 ≤ kf kLp kgkLq .
p
q
Demonstração. Observe que ex é convexa, logo dados a, b > 0, temos
1
p 1
q
1
1
1
1
p
q
ab = eln ab = eln a+ln b = e p ln a + q ln b ≤ eln a + eln b = ap + bq . (1.7)
p
q
p
q
Sejam a (x) =
|f (x)|
|g (x)|
, b (x) =
. Daí
kf kLpx
kgkLqx
Z
a (x) b (x) dx =
X
R
|f (x)| |g(x)|
dx
X kf kLp kgkLq
x
x
1
=
kf kLpx kgkLqx
Z
|f (x) g (x)| dx
(1.8)
X
e, por (1.7)
#
1 |f (x)|p 1 |g (x)|q
+
dx
p
q kgkqLqx
X p kf kLpx
1 1
≤
+ = 1.
p q
|f (x)| |g (x)|
dx ≤
X kf kLpx kgkLqx
Z
Z "
A desigualdade segue de (1.8) e (1.9).
20
(1.9)
Corolário 1.1. (Desigualdade de Hölder generalizada) Sejam f ∈ Lp
1
1 1
e g ∈ Lq , onde p > 1 e + = . Então f g ∈ Lr e kf gkLrx ≤ kf kLpx kgkLqx .
p
q
r
Demonstração. Basta aplicar a desigualdade de Hölder com p1 =
1
e q1 =
p/r
1
.
q/r
Teorema 1.3. (Desigualdade de Minkowski) Se f, g ∈ Lp , p ≥ 1, então
f + g ∈ Lp e
kf + gkLp ≤ kf kLp + kgkLp .
Demonstração. Ver proposição 6.11 em Bartle [1], página 57.
Teorema 1.4. (Desigualdade de Minkowski) Se f é mensurável então
p
Z Z
|f (x, y)| dy
X
1/p
1/p Z Z
p
≤
|f (x, y)| dx
dy.
dx
Y
Y
X
Demonstração.
A armação é clara se p = ∞. Se p < ∞ fazemos F (x) =
Z
|f (x, y)| dy e, por dualidade, temos
kF kLpx =
|f (x, y)| dy dx
g (x)
sup
kgkLq ≤1
Y
X
x
Z
Z
Z Z
=
|f (x, y)| g (x) dxdy
sup
kgkLq ≤1
Y
x
X
Z
≤
sup
kgkLq ≤1
Y
kgkLqx kf (x, y)kLpx dy
Z
=
Y
1.2
kf (x, y)kLpx dy.
Outros resultados importantes
Teorema 1.5. (Desigualdade de Gronwall) Sejam α, β, δ ∈ C ([a, b] ; R),
21
tais que β ≥ 0 e
Z x
δ (x) ≤ α (x) +
(1.10)
β (s) δ (s) ds.
x0
Então
Z x
β (u) du
Z x
δ (x) ≤ α (x) +
β (s) α (s) e s
ds.
(1.11)
x0
Em particular se α (x) = K constante, temos
Z x
β (s) ds
δ (x) ≤ Ke
Demonstração. Seja w (x) =
Z x
x0
(1.12)
.
β (s) δ (s) ds. Então, w (x) = β (x) δ (x). E
0
x0
daí, usando (1.10),
0
w (x) ≤ β (x) α (x) + β (x) w (x)
que pode ser escrita como
0
w (x) e−B(x) ≤ β (x) α (x) e−B(x) ,
onde B (x) = β (x). Daí se segue
0
w (x) e
−B(x)
Z x
≤
β (s) α (s) e−B(s) ds,
x0
e nalmente, por (1.10)
δ (x) ≤ α (x) + e
B(x)
Z x
β (s) α (s) e−B(s) ds,
x0
o que implica (1.11). A vericação de (1.12) é imediata pois, valendo (1.11)
22
e α (x) = K , temos
Z x
β (u) du
δ (x) ≤ K +
β (s) Ke s
ds
x0
Z 0
u
= K 1 − R x β(u)du e du
e x0
Z x
β (u) du
= K e x0
.
Z x
Lema 1.1. Sejam a, b ∈ [0, ∞) e s ≥ 0. Então existem constantes positivas
ms e Ms , dependendo apenas de s, tais que
ms (as + bs ) ≤ (a + b)s ≤ Ms (as + bs ) .
(1.13)
Demonstração. Se a = 0 não há o que provar. Assuma a > 0. Então (1.13)
é equivalente a
ms
s
s
s
b
b
b
1+
≤ Ms 1 +
≤ 1+
,
a
a
a
então é suciente provar que existem ms e Ms tal que
ms (1 + rs ) ≤ (1 + r)s ≤ Ms (1 + rs ) , ∀ r ∈ [0, ∞) .
Isso segue do fato da função
F (r) =
(1 + r)s
1 + rs
ser limitada.
De fato, observe que para todo r, s ≥ 0, tem-se
1 ≤ (1 + r)s
e
rs ≤ (1 + r)s .
23
Logo,
1 + rs ≤ 2 (1 + r)s ,
ou seja,
1
(1 + r)s
≤
.
2
1 + rs
Agora, para r > 1 tem-se
(1 + r)s ≤ (r + r)s = (2r)s .
Portanto
(1 + r)s ≤ 2s (1 + rs ) ,
ou seja,
(1 + r)s
≤ 2s .
1 + rs
(1 + r)s
é contínua em [0, 1] e não se anula
1 + rs
(1 + r)s
nesse intervalo. Logo, existe C1 = min
> 0. Tomando C =
r∈[0,1]
1 + rs
max {2s , C1 }, vemos que
Observe que a função r 7−→
(1 + r)s
≤ C,
1 + rs
e isso conclui a prova.
24
Capítulo 2
Espaços Funcionais
Neste capítulo apresentaremos dois dos principais espaços necessários ao
nosso estudo, quais sejam espaços de Sobolev periódico e na reta. Na primeira
seção apresentamos os espaços de Sobolev periódicos e alguns resultados que
usaremos no decorrer do texto. Concluímos o capítulo com uma seção dedicada aos espaços de Sobolev na reta, importante ao estudo dos espaços de
Bourgain (apresentado no capítulo 3), e algumas de suas propriedades.
2.1
Espaços de Sobolev Periódicos
2.1.1 Série de Fourier
Seja f : [a, b] → C uma função integrável. Seja L o comprimento do
intervalo [a, b]. O k -ésimo coeciente de Fourier de f é denido por
1
fb(k) =
L
Z b
f (x) e−2πikx/L dx,
k ∈ Z.
(2.1)
a
A série de Fourier de f é dada (formalmente) por
X
fb(k) e2πikx/L ,
k∈Z
25
(2.2)
e denotaremos a n-ésima soma parcial por
Sn (f ) =
X
fb(k) e2πikx/L ,
n ∈ N.
(2.3)
|k|≤n
A menos de menção contrária, usaremos [a, b] = [−π, π].
Sejam f, g ∈ Cper . A convolução de f e g , denotada por f ∗g , é denida
por
1
f ∗ g (x) =
2π
Z π
f (x − y) g (y) dy.
(2.4)
−π
Proposição 2.1. (Propriedades da convolução)
Sejam f, g, h funções integráveis. Então valem
(a) f ∗ g é contínua, se f ou g for contínua
(b) f ∗ g = g ∗ f
(c) f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h
(d) f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h
(e) f[
∗ g (k) = fb(k) gb (k) .
Demonstração. Deixaremos a prova como exercício para o leitor.
Teorema 2.1. (Identidade de Parseval) A série de Fourier restrita a
L2 ([−π, π]) é uma bijeção entre L2 ([−π, π]) e `2 (Z). Além disso, vale a
identidade de Parseval,
2
fb
`2
=
1
kf k2L2
2π
(2.5)
ou, equivalentemente,
Z π
X
1
1
b
b
f (x) g (x) =
(f |g)L2 .
f |b
g
=
f (k) gb (k) =
2
2π −π
2π
`
k∈Z
(2.6)
Demonstração. Ver corolário 2.54 em R. Iório e V. Iório [7], página 109.
26
2.1.2 Distribuições Periódicas
∞
Seja P = Cper
a coleção de todas as funções φ : R −→ C que são C ∞ e
periódicas, com período 2π . O espaço vetorial P não é completo com relação
n
introduzidas no capítulo anterior. Podemos, todavia,
às normas em Cper
denir uma distância natural em P dada por
d (φ, ψ) =
X
2−j
j∈N
φ(j) − ψ (j) ∞
,
1 + kφ(j) − ψ (j) k∞
φ, ψ ∈ P.
(2.7)
Observação 2.1. A distância d introduz uma métrica em P . Além disso,
P
(j)
φn → φ se e somente se φn − φ(j)
→ 0 quando n → ∞, para todo
∞
j = 0, 1, 2, . . ..
Apresentaremos alguns resultados importantes à teoria apresentada aqui.
Teorema 2.2. (P, d) é um espaço métrico completo. Além disso, se considerarmos {φn } ⊂ P e φ ∈ P , então
(j)
φn → φ ⇔ φ(j)
→ 0 para todo j ≥ 0.
n −φ
∞
d
Demonstração. Ver teorema 3.1 em R. Iório e V. Iório [7], página 133.
Corolário 2.1. Para todo φ ∈ P , Sn (φ) converge a φ em P .
Demonstração. Ver corolário 3.2 em R. Iório e V. Iório [7], página 134.
Denotamos por S (Z) o espaço das sequências rapidamente decrescentes, isto é, o conjunto de todas sequências complexas (αk )k∈Z tal que
X
|k|j |αk | < ∞ ∀ j ∈ N.
k∈Z
Observe que de denida por
de(α, β) =
X
j∈N
2−j
kα − βk∞,j
,
1 + kα − βk∞,j
27
α, β ∈ S (Z) ,
com
kαk∞,j = sup |αk | |k|j ,
k∈Z
também dene uma métrica em S (Z), com a qual, S (Z) é um espaço métrico
completo.
Seja α ∈ S (Z). A transformada inversa de Fourier de α é a função
α̌ (x) =
X
αk eikx ,
x ∈ R.
k∈Z
Teorema 2.3. A transformada de Fourier b : P −→ S (Z) é um isomorsmo e um homeomorsmo, isto é, é linear, bijetiva sobre S (Z), e contínua
com uma inversa contínua.
Demonstração. Ver teorema 3.6 em R. Iório e V. Iório [7], página 135.
Um funcional linear em P , T : P −→ C, é chamado uma distribuição
periódica se existe uma sequência (ψn )n≥1 ⊂ P tal que
Z π
T (φ) = hT, φi = lim
n→∞
ψn (x) φ (x) dx,
∀φ∈P
−π
O conjunto de todas as distribuições periódicas será denotado por P .
0
Exemplo 2.1. É facil ver que f ∈ Cper dene uma distribuição periódica Ψf
pela fórmula
Z π
hΨf , φi =
f (x) φ (x) dx,
φ ∈ P.
−π
Dizemos que a sequência {Ψj } ⊂ P converge a Ψ em P se
0
0
hΨj , φi → hΨ, φi , quando j → ∞ ∀ φ ∈ P.
A operação de diferenciação nas distribuições é denida de tal maneira
que elas sejam innitamente diferenciáveis.
0
0
0
Seja f ∈ P . Sua derivada distribucional f ∈ P é denida pela
relação
D
E
D
E
0
f , φ = − f, φ
28
0
, φ ∈ P.
Em geral
f (n) , φ = (−1)n f, φ(n) .
2.1.3 Série de Fourier em P
0
A Transformada de Fourier de f ∈ P é a função fb : Z −→ C denida
pela fórmula
0
1
f, e−ikx
2π Z
π
1
f (x) e−ikx dx,
=
2π −π
fb(k) =
k ∈ Z.
A n-ésima soma parcial da série de Fourier associada a f é dada por
Sn (f ) (x) = Sn (f, x) =
X
fb(k) eikx .
|k|≤n
0
P
Teorema 2.4. Seja f ∈ P 0 . Então Sn (f ) ∈ P para todo n ∈ N e Sn (f ) →
f.
Demonstração. Ver teorema 3.166 em R. Iório e V. Iório [7], página 187.
Corolário 2.2. Seja φ ∈ P e f ∈ P 0 . Então,
hf, φi = 2π
X
fb(k) φb (−k) .
k∈Z
Demonstração. Ver corolário 3.167 em R. Iório e V. Iório [7], página 188.
Denotamos por S (Z) o espaço das sequências lentamente crescentes, isto é, o conjunto de todas sequências complexas (αk )k∈Z , para qual
existem C > 0 e n ∈ N tal que
0
|αk | ≤ C |k|n , ∀ k ∈ Z∗ .
Teorema 2.5. Seja α ∈ S 0 (Z). Então existe uma única f ∈ P 0 tal que
0
0
fb = α. Reciprocamente, se f ∈ P então fb ∈ S (Z) .
Demonstração. Ver teorema 3.172 em R. Iório e V. Iório [7], página 191.
29
2.1.4 Denição de espaços de Sobolev periódicos
Seja s ∈ R. O espaço de Sobolev periódico de ordem s é o conjunto
o
n
0
s
s
≤
∞
,
Hper
= Hper
([−π, π]) = f ∈ P ; kf kHper
s
onde
= 2π
kf k2Hper
s
X
1 + |k|2
s
2
(2.8)
fb(k) .
k∈Z
s
O espaço Hper
é um espaço de Hilbert com respeito ao produto interno
(f |g)Hper
= 2π
s
X
1 + |k|2
s
(2.9)
fb(k) gb (k).
k∈Z
Começaremos nosso estudo sobre os espaços de Sobolev periódicos provando
que eles formam uma sequência decrescente de espaços de Hilbert e caracterizar seus respectivos espaços duais.
s
r
s
é
, isto é, Hper
,→ Hper
Proposição 2.2. Sejam r, s ∈ R, s ≥ r. Então Hper
r
continuamente e densamente mergulhado em Hper e
s
kf kHper
≤ kf kHper
, ∀ f ∈ Hper
.
r
s
0
s
s
Em particular, se s ≥ 0, Hper
⊂ L2 ([−π, π]). Mais ainda, Hper
, o dual
s
−s
topológico de Hper
, é isometricamente isomorfo a Hper
para todo s ∈ R. A
dualidade é realizada pelo par
hf, gis = 2π
X
−s
s
, g ∈ Hper
.
fb(k) gb (k) , f ∈ Hper
k∈Z
Demonstração. Ver proposição 3.193 em R. Iório e V. Iório [7], página 201.
Agora apresentaremos um resultado que signica o fato dos espaços de
0
Sobolev proverem uma classicação dos elementos de P em termos de sua
suavidade.
30
m
Proposição 2.3. Seja m ∈ N. Então f ∈ Hper
se e somente se ∂ j f = f (j) ∈
0
L2per , j ∈ {0, 1, 2, . . . , m} onde as derivadas são tomadas nos sentido de P .
e
Mais ainda, kf kHper
m
kf kHper
m =
#1/2
" m
X
2
L2per
∂j f
(2.10)
j=0
são equivalentes, isto é, existem constantes positivas Cm e Cm0 tais que
0
2
2
m
Cm kf k2Hper
m ≤ kf kH m ≤ Cm kf kH m , ∀ f ∈ Hper .
per
per
Demonstração. Ver proposição 3.194 em R. Iório e V. Iório [7], página 203.
s
Teorema 2.6. (Lema de Sobolev) Se s > 1/2, então Hper
,→ Cper e
kf k∞ ≤ fb
`1
(2.11)
s
≤ C kf kHper
, ∀ f ∈ Hper
.
s
Demonstração. Observe que
X
fb(k) =
2
X 1 + |k|
1 + |k|2
k∈Z
k∈Z
s/2
fb(k)
(2.12)
.
s/2
Como s > 1/2, aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz em (2.12),
temos
"
X
fb(k)
X
≤
k∈Z
2
s
1 + |k|2 fb(k)
X
−s
1 + |k|2
k∈Z
k∈Z
"
=
#1/2 "
X
1 + |k|2
−s
#1/2
k∈Z
31
kf kHper
< ∞,
s
#1/2
ou seja,
"
X
fb(k) ≤
k∈Z
X
−s
1 + |k|2
#1/2
.
kf kHper
s
(2.13)
k∈Z
b
Logo f (k)
k∈Z
∈ `1 , portanto
g (x) =
X
fb(k) eikx
k∈Z
converge absolutamente e uniformemente em [−π, π]. Assim, g ∈ Cper . Armamos que f e g coincidem como distribuições. Caso contrário, pelo corolário
2.2 e a convergência uniforme das séries, teriamos
Z π
hg, φi =
g (x) φ (x) dx
−π
Z π
=
=
!
X
−π
k∈Z
X
fb(k)
fb(k) e
Z π
= 2π
φ (x) dx
φ (x) eikx dx
−π
k∈Z
X
ikx
fb(k) φb (−k)
k∈Z
= hf, φi ∀ φ ∈ P,
donde f = g no sentido de P . A desigualdade (2.11) segue de (2.13) pois
0
|f (x)| ≤
X
fb(k)
k∈Z
"
≤
X
−s
1 + |k|2
#1/2
kf kHper
∀ x ∈ [−π, π] .
s
k∈Z
A continuidade do mergulho é uma consequência imediata da inclusão
s
P ⊂ Hper
.
s
Sejam f, g ∈ Hper
, s > 1/2. Devido o lema de Sobolev, podemos denir
32
o produto f g ∈ Cper ⊂ P pela fórmula
0
Z π
f (x) g (x) φ (x) dx, ∀ φ ∈ P.
hf g, φi =
(2.14)
−π
s
A importância deste produto é que, com ele, os espaços Hper
, s > 1/2,
tornam-se uma álgebra de Banach.
s
é uma álgebra de Banach. Em particular,
Teorema 2.7. Se s > 1/2, Hper
existe uma constante Cs ≥ 0, dependendo apenas de s tal que
s
, ∀ f, g ∈ Hper
.
kgkHper
≤ Cs kf kHper
kf gkHper
s
s
s
(2.15)
Demonstração. A prova do Lema de Sobolev mostra que, para s > 1/2, a
s
converge absolutamente e uniformesérie de Fourier de uma função em Hper
s
temos
mente em [−π, π]. Portanto, se f, g ∈ Hper
1
2π
Z π
f (x) g (x) e−ikx dx
−π
!
Z π X
1
=
fb(j) eijx g (x) e−ikx dx
2π −π j∈Z
Z π
1 Xb
=
f (j)
g (x) e−i(k−j)x dx
2π j∈Z
−π
X
=
fb(j) gb (k − j) ,
fcg (k) =
j∈Z
ou seja,
fcg (k) =
X
fb(j) gb (k − j)
j∈Z
O lema 1.1 implica que
1 + |k|2
s/2
≤ Ks (1 + |k|s )
≤ Ks (1 + |k − j|s + |j|s ) ∀ k, j ∈ Z,
33
(2.16)
onde Ks é uma constante não-negativa. Portanto
X
fb(j) gb (k − j)
j∈Z
2 −s/2
≤ Ks
X
≤ Ks
X
1 + |k|
[(1 + |k − j|s + |j|s )] fb(j) gb (k − j)
j∈Z
fb(j) gb (k − j)
j∈Z
+Ks
X
+Ks
X
fb(j) |(k − j)s gb (k − j)|
j∈Z
g (k − j)| .
j s fb(j) |b
j∈Z
Como
e
ms fb(m)
fb(m)
m∈Z
m∈Z
, (ms gb (m))m∈Z ∈ `2
, (b
g (m))m∈Z ∈ `1 ∩ `2 ,
o Teorema de Young combinado com (2.16) mostra que
!
s/2 X
fb(j) gb (k − j)
1 + |k|2
∈ `2
j∈Z
k∈Z
e
kf gk2s =
X
2
1 + |k|2
s/2
1 + |k|2
s/2 X
fcg (k)
k∈Z
=
X
j∈Z
k∈Z
≤ Ks
h
fb(j) gb (k − j)
fb
`1
kb
g k`2 + k(·)s gb (·)k`1 fb
≤ Cs kf kHper
kgkHper
.
s
s
Isto termina a prova.
34
`2
+ (·)s fb(·)
`1
kb
g k`2
i
2.2
Espaços de Sobolev na Reta
2.2.1 A transformada de Fourier na reta
Se f : R → C é uma função integrável (no sentido de Riemann) em R e
kf kL1 < ∞,
diremos que f é absolutamente integrável. Se f é absolutamente integrável, para todo x ∈ R, existe a integral imprópria
Z
f (ξ) e−ixξ dξ.
R
Denimos a transformada de Fourier de f como sendo a função fb :
R → C dada por
fb(ξ) = (2π)−1/2
Z
f (x) e−ixξ dx,
x ∈ R.
Proposição 2.4. Sejam f, g : R → C absolutamente integráveis. Então
(a) (f + λg)b (ξ) = fb(ξ) + λbg (ξ) , ∀λ ∈ C, ξ ∈ R,
(b) fb (ξ) = fb(−ξ), ∀ ξ ∈ R,
(c) Se y ∈ R e fy (x) = f (x − y), x ∈ R, então fby (ξ) = fb(ξ) e−iξy ,
(d) fb(ξ) ≤ (2π)−1/2 kf kL1 , ∀x ∈ R.
(e) f[
∗ g (ξ) = fb gb (ξ).
Proposição 2.5. Se f é absolutamente integrável, então fb é uniformemente
contínua e limitada com fb ≤ (2π)−1/2 kf kL1 .
∞
Demonstração. Ver proposição 2.2 em R. Iório e V. Iório [6], página 190.
Proposição 2.6. (Lema de Riemann-Lebesgue) Seja f : R → C absolutamente integrável e suponha que f é seccionalmente contínua em cada
intervalo [a, b] ⊂ R. Então fb(ξ) → 0, quando |ξ| → ∞.
Demonstração. Ver proposição 2.3 em R. Iório e V. Iório [6], página 191.
35
2.2.2 A transformada de Fourier no espaço de Schwarz
O espaço de Schwarz, denotado por S (R), é a coleção das funções
f : R → C tais que
f ∈ C ∞ (R)
e
kf kα,β = sup xα f (β) (x) < ∞
x∈R
para todo par (α, β) ∈ N2 . Note que toda função em S (R) é absolutamente
integrável. S (R) é um espaço métrico completo quando munido da distância
d (f, g) =
X
2−α−β
α,β∈N
kf − gkα,β
.
1 + kf − gkα,β
Seja C0∞ (R) a coleção das funções f : R → C de classe C ∞ e suporte
compacto. Temos que C0∞ ⊂ S (R). Finalmente, observe que, se f ∈ S (R),
então xα f (β) ∈ S (R) e, além disso, xα f (β) (x) tende a zero quando |x| tende
a innito, para todo α, β ∈ N.
Agora vamos iniciar o estudo do comportamento da transformada de
Fourier em S (R). Nosso primeiro resultado é
Teorema 2.8. Seja f ∈ S (R). Então f (α) ∈ S (R) para todo α ∈ N e
f (α) b (x) = (ix)α fb(x) ,
x ∈ R.
Demonstração. Ver teorema 3.1 em R. Iório e V. Iório [6], página 195.
dα
O teorema acima diz que o operador α agindo em S (R) é transfordx
mado no operador de multiplicação por (ix)α . Podemos, portanto, transformar equações diferenciais lineares com coecientes constantes em equações
algébricas, por isto é importante tentar identicar a imagem de S (R) sob a
transformada de Fourier e descobrir se podemos inverter. A resposta vem
nos seguintes resultados
Teorema 2.9. Seja f ∈ S (R). Então fb ∈ S (R).
36
Demonstração. Ver teorema 3.2 em R. Iório e V. Iório [6], página 195.
Teorema 2.10. Seja f ∈ S (R). Então vale a fórmula de inversão
f (x) = (2π)
Z
−1/2
fb(y) eixy dy
para todo x ∈ R.
Demonstração. Ver teorema 3.3 em R. Iório e V. Iório [6], página 196.
Se f ∈ S (R) dena a transformada inversa pela fórmula
−1/2
fˇ (x) = (2π)
Z
f (y) eixy dy.
O teorema acima mostra que
fbˇ = f = fˇb
para todo f ∈ S (R). Em particular, b : S (R) → S (R) é bijetiva.
Introduzindo o produto interno e a norma L2 em S (R), temos o seguinte
resultado
Corolário 2.3. Sejam f, g ∈ S (R). Então valem a identidade de Parseval
b
g ,
(f |g) = f |b
e a identidade de Plancherel
kf kL2 = fb
L2
.
Demonstração. Ver corolário 3.4 em R. Iório e V. Iório [6], página 198.
37
2.2.3 Distribuições temperadas
Uma distribuição temperada é um funcional linear T : S (R) → C
com a propriedade que existe uma sequência {ψn }n∈N ⊂ S (R) tal que
Z
T (φ) = lim
n→∞
ψn (x) φ (x) dx
para todo φ ∈ S (R) . A coleção de todas as distribuições temperadas forma
0
um espaço vetorial sobre os complexos e será denotado por S (R). Além
disso adotaremos, no que segue, a notação
T (φ) = hT, φi ,
0
T ∈ S (R) , φ ∈ S (R) .
Teorema 2.11. Seja f : R → C contínua e limitada. Então f dene um
elemento Tf ∈ S 0 (R) através da fórmula
Z
hTf , ψi =
f (x) ψ (x) dx,
ψ ∈ S (R) .
Demonstração. Ver teorema 5.1 em R. Iório e V. Iório [6], página 205.
Visto o teorema acima, é natural dizer que T ∈ S (R) provém de uma
função contínua limitada se, e só se, existe uma tal função com a propriedade
que T = Tf . Escreveremos simplesmente
0
hf, ψi = hTf , ψi ,
ψ ∈ S (R)
se a distribuição em questão provém da função f .
S
0
Diremos que {Tn }n∈N ⊂ S (R) converge a T ∈ S (R) e escrevemos Tn →
T se, e só se,
0
0
lim hTn , ψi = hT, ψi
n→∞
para todo ψ ∈ S (R).
0
Se f ∈ S (R), dena sua derivada no sentido das distribuições, ou
38
derivada distribucional, denotada por f 0 , através da fórmula
E
D 0 E
D
0
f , ψ = (−1) f, ψ ,
ψ ∈ S (R) .
As derivadas de ordem mais alta podem ser denidas da mesma forma. Se
f e suas derivadas até ordem α são contínuas e limitadas, integrando por
partes α vezes, temos
f (α) , ψ = (−1)α f, ψ (α)
para toda ψ ∈ S (R). Observe que com a denição acima, todo elemento de
0
S é innitamente diferenciável.
0
Suponha que f ∈ S (R). Então fb ∈ S (R) dene um elemento de S (R)
da maneira usual. Logo
D
fb, ψ
E
Z
=
=
=
=
=
fb(x) ψ (x) dx
Z
Z
−1/2
−ixy
(2π)
f (y) e
dy ψ (x) dx
Z
Z
−1/2
−iyx
(2π)
ψ (x) e
dx f (y) dy
Z
ψb (y) f (y) dy
D
E
f, ψb
para todo ψ ∈ S (R) . Assim, se f ∈ S (R) a transformada de Fourier de
f é denido por
D
E D
E
0
fb, ψ = f, ψb ,
ψ ∈ S (R) .
De maneira análoga, a transformada inversa é dada pela fórmula,
fˇ, ψ = f, ψ̌ ,
ψ ∈ S (R) .
Teorema 2.12. A aplicação b : S 0 (R) → S 0 (R) é bijetiva e valem as
fórmulas
fbˇ= f = fˇb
39
para todo f ∈ S 0 (R). Mais ainda, a aplicação é contínua com inversa conn o
0
S
f então fbn
e fˇn n∈N tendem a fb e fˇ,
tínua, no sentido que se fn →
n∈N
respectivamente, no sentido de S 0 (R).
Demonstração. Ver teorema 5.3 em R. Iório e V. Iório [6], página 212.
Uma função ψ ∈ C ∞ (R) é dita de crescimento lento se, e só se, para
todo α ∈ N existem C = C (α) > 0 e k = k (α) ∈ N tais que
ψ (α) (x) ≤ C 1 + |x|2
k
para todo x sucientemente grande. Seja f uma função contínua e limitada.
0
Então ψf dene um elemento de S (R) pela fórmula
Z
hψf, φi =
ψ (x) f (x) φ (x) dx
= hf, φψi
para todo φ ∈ S (R). Portanto, se f ∈ S (R), é natural denir o produto
de f e ψ por
0
hψf, φi = hf, ψφi ,
φ ∈ S (R) .
Teorema 2.13. Seja f ∈ S (R). Então,
f (α) b = (ix)α fb,
(α)
fb
= (−i)α (xα f )b
onde xα fb denota o produto da função ψ (x) = xα com a distribuição temperada fb (respectivamente f ).
Demonstração. Ver teorema 5.4 em R. Iório e V. Iório [6], página 213.
40
2.2.4 Denição de espaço de Sobolev na reta
Seja s ∈ R. Denimos espaço de Sobolev na reta de ordem s,
denotado por H s (R), por
n
s
o
f (ξ) ∈ L (R) ,
2 s/2 b
0
H (R) = f ∈ S (R) ; 1 + |ξ|
2
com norma k · kH s = k · ks,2 denida por
kf kH s =
1 + |ξ|2
s/2
fb
L2ξ
.
Da denição apresentada deduzimos as seguintes propriedades
Proposição 2.7. (a) Se 0 ≤ s < r, então H r ⊂ H s .
(b) H s é um espaço de Hilbert com respeito ao produto interno ( · | · )H s =
( · | · )s denida a seguir
Se f, g ∈ H (R), então (f |g)s =
s
Z
1 + |ξ|2
s
f (ξ) g (ξ) dξ.
R
(c) Para todo s ∈ R, o espaço de Schwarz é denso em H s , ∀ s ∈ R+
(d) Se s1 ≤ s ≤ s2 , com s = θs1 + (1 − θ) s2 , 0 ≤ θ ≤ 1, então
kf ks,2 ≤ kf kθs1 ,2 kf k1−θ
s2 ,2 .
Demonstração. Ver proposição 3.6 em Linares e Ponce [10], página 48.
Teorema 2.14. (Imersão de Sobolev) Se f > 1/2 + k, então H s é conk
tinuamente mergulhado em C∞
(R), o espaço das funções com k derivadas e
que anula-se no innito. Em outras palavras, se f ∈ H s , s > 1/2 + k, então
(depois de uma possível modicação de f em um conjunto de medida nula)
k
f ∈ C∞
(R) e
kf kC k ≤ cs kf ks,2 .
Demonstração. Ver teorema 3.11 em Linares e Ponce [10], página 50.
41
Teorema 2.15. Se s ∈ (0, 1/2), então H s (R) é continuamente mergulhada
em Lp (R), com p = 2/ (1 − 2s), isto é, s = 1/2 − 1/p. Mais ainda, para
f ∈ H s (R), s ∈ (0, 1/2),
kf kLp ≤ Cn,s kDs f kL2 ≤ c kf kH s ,
onde
h
i
s b
D f = (iτ ) f ˇ.
s
Demonstração. Ver teorema 3.13 em Linares e Ponce [10], página 51.
Teorema 2.16. Se s > 1/2, então H s é uma álgebra com respeito ao produto
de funções. Isto é, se f, g ∈ H s , então f g ∈ H s com
kf gks,2 ≤ cs kf ks,2 kgks,2 .
Demonstração. Ver teorema 3.14 em Linares e Ponce [10], página 52.
Teorema 2.17. (Regra de Leibniz) Sejam α ∈ (0, 1) , α1 , α2 ∈ [0, α] com
α = α1 + α2 . Sejam p, p1 , p2 ∈ (1, ∞) tais que
1/p = 1/p1 + 1/p2 .
Então
kDα (f g) − f Dα g − gDα f kLp ≤ c kDα1 f kLp1 kDα2 gkLp2 .
Demonstração. Ver lema 7.11 em Linares e Ponce [10], página 150.
Finalizamos apresentando uma generalização da denição de espaço de
Sobolev na reta. Precisamente,denimos espaço de Sobolev na reta de ordem
s e peso p, denotado por H s,p (R), por
n
h
o
s/2 i
0
H s,p (R) = f ∈ S ; 1 + |ξ|2
fb ˇ∈ Lp .
42
Capítulo 3
A Equação Não-Linear de
Schrödinger em espaços de alta
regularidade
3.1
As propriedades do problema homogêneo
Nesta seção mostraremos que o problema de Cauchy, também dito problema de valor inicial (PVI),
s
u ∈ C [0, ∞) ; Hper
i∂t u + ∂x2 u = 0
s
,
u (0) = φ ∈ Hper
(3.1)
é localmente bem-posto, para todo s ∈ R. Mais precisamente, provaremos
que (3.1) tem uma única solução que depende continuamente dos dados iniciais. Nosso método é considerar a equação diferencial parcial (EDP) (3.1)
como uma equação diferencial ordinária (EDO) em um espaço de Banach
apropriado. Como veremos, pelo menos dois desses espaços são necessários,
em geral: um onde as soluções vivem, e outro para acomodar suas derivadas
temporais.
Nosso primeiro passo é esclarecer o signicado da derivada temporal em
43
(3.1). Observemos que
s
s−2
∀f ∈ Hper
⇒ −i∂x2 f ∈ Hper
.
s−2
s
. Portanto
é uma solução de (3.1), devemos ter ∂t u ∈ Hper
Então, se u ∈ Hper
é natural requerer que a derivada temporal exista nesta topologia, isto é,
lim
h→0
u (t + h) − u (t)
− i∂x2 u (t)
= 0.
h
s−2
Hper
(3.2)
Em t = 0, a derivada é tomada à direita.
Teorema 3.1. (Unicidade) O problema (3.1) tem, no máximo, uma solução.
Demonstração. Suponha que não temos unicidade. Assim, sejam v1 e v2 duas
soluções de (3.1). Então w = v1 − v2 satisfaz o PVI
(
iwt + ∂x2 w = 0
w (x, 0) = 0.
(3.3)
s
s−2
s−2 e (w|wt ) s−2
Como s − 2 < s, temos que Hper
,→ Hper
. Daí, (wt |w)Hper
Hper
2
s−2
estão bem denidos (pois ∂x w ∈ Hper ) e segue daí que
d
d
s−2
kw (t)k2Hper
=
dt
dt
!
2π
X
1+k
2 s−2
|w
b (k, t)|2
k∈Z
!
Z π
2
1
d
s−2
w (x, t) e−ikx dx
= 2π
1 + k2
dt
2π
−π
k∈Z
X
s−2
= 2π
1 + k2
b (k)
wbt (k) w
X
k∈Z
+2π
X
1 + k2
s−2
w
b (k) wbt (k)
k∈Z
s−2 + (w|wt ) s−2
= (wt |w)Hper
Hper
s−2 .
= 2Re (wt |w)Hper
44
Observe ainda que
X
s−2
2
= 2π
∂x2 w|w Hper
1 + k2
b (k, t)
∂d
s−2
x w (k, t) w
k∈Z
= 2π
X
1 + k2
s−2
(ik) ∂d
x w (k, t)
k∈Z
= −2π
X
1 + k2
s−2
1 d
∂x w (k, t)
ik
2
∂d
x w (k, t)
k∈Z
s−2 ≤ 0.
= − k∂x wk2Hper
Portanto,
d
s−2
s−2
kw (t)k2Hper
= 2Re (wt |w)Hper
dt
= 2Re i∂x2 w|w Hper
s−2
2
s−2
= 2Re −i k∂x wkHper
= 0.
s−2
Hper
Assim, kw (t)k é constante para todo t ≥ 0. Da condição inicial, concluímos que v1 = v2 .
Usando um método clássico no estudo de EDPs, a transformada de Fourier,
podemos encontrar um candidato a solução do PVI (3.1). Agora, valendo-nos
de tal método, apresentaremos o candidato à solução e logo depois vericaremos que, de fato, este é a solução.
Aplicando a transformada de Fourier no PVI (3.1), na variável espacial,
obtemos a seguinte família de EDOs, em função da variável temporal.
vb ∈ C ([0, ∞) ; `2s (Z))
ib
vt (k, t) − k 2 vb (k, t) = 0
s
vb (k, 0) = φb (k) ∈ Hper
,
onde `2s é a coleção das sequências complexas α = (αk )k∈Z , tal que
X
1 + k2
s
k
45
|αk |2 < ∞.
(3.4)
As soluções de (3.4) são
2
vb (k, t) = e−ik t φb (k) , ∀ k ∈ Z, t ∈ [0, ∞) .
Assim, a transformada de Fourier da solução de (3.1) é
o
n
2
e−ik t φb
k∈Z
e o candidato natural a solução, pelo teorema 2.3, é
v (x, t) =
hn
o
φ (k)
−ik2 t b
e
i
(3.5)
ˇ(x) .
k∈Z
r
Teorema 3.2. A aplicação S : R → B Hper
tal que S (t) = e−it∂x2 é um
grupo unitário a um-parâmetro fortemente contínuo. Em particular, a aplir
r
cação φ ∈ Hper
→ S (t) φ ∈ Hper
é contínua no seguinte sentido. Para todo
r ∈ R, tem-se
kS (t) φ1 − S (t) φ2 kHper
≤ kφ1 − φ2 kHper
, ∀ t ∈ R.
r
r
Demonstração. É claro que S (0) = I .
kS (t) φkHper
= 2π
r
X
= 2π
X
= 2π
X
1 + k2
r
|(S (t) φ)ˆ(k)|2
1 + k2
r
e−ik t φb (k)
1 + k2
r
φb (k)
k∈Z
2
2
k∈Z
2
= kφkHper
,
r
k∈Z
r
para todo φ ∈ Hper
. Além disso, quaisquer que sejam t, h ∈ R, escrevendo
46
S (t + h) f em função de sua série de Fourier, temos
S (t + h) f =
=
=
X
k∈Z
X
k∈Z
X
2
e−ik (t+h) fb(k) eikx
2
2
e−ik t e−ik h fb(k) eikx
−ik2 t
e
gb (k) e
(3.6)
ikx
k∈Z
= S (t) g,
onde g é tal que gb (k) = e−ik h fb(k), ∀ k ∈ Z. Observe que, escrevendo a
série de Fourier de g é S (h) f , por denição
2
g (x) =
X
2
e−ik h fb(k) eikx = S (h) f (x) .
k∈Z
Daí,
S (t + h) f = S (t) S (h) f.
Agora vamos tratar a continuidade. Seja t ∈ R xo e h 6= t. Então
kS (t + h) φ − S (t) φk2Hper
r
X
2
r
1 + k 2 S (t\
+ h) φ (k) − S\
(t) φ (k)
= 2π
k∈Z
= 2π
X
= 2π
X
r
e−i(t+h)k φb (k) − e−itk φb (k)
1+k
2 r
2
−itk2 b
−ihk2
e
φ (k) e
−1
1+k
2 r
2
−ihk2
b
φ (k) e
−1 .
1 + k2
k∈Z
k∈Z
= 2π
X
2
2
2
(3.7)
k∈Z
r
Como φ ∈ Hper
e
1+k
2 r
2
2
−ihk2
b
φ (k) e
−1
≤ 4 1 + k 2 φb (k) ,
(3.8)
o teste-M de Weierstrass implica que a série em (3.7) converge absolutamente
e uniformemente com respeito a h. Combinando esta observação com o fato
que o primeiro membro de (3.8) tende a 0 quando h → 0, para todo k ∈ Z
47
xo, concluímos que
(3.9)
= 0.
lim kS (t + h) φ − S (t) φk2Hper
r
h→0
Em seguida vamos a diferenciabilidade.
Teorema 3.3. Tem-se
lim
h→0
v (t + h) − v (t)
− i∂x2 v (t)
=0
h
s−2
Hper
(3.10)
uniformemente com respeito a t ≥ 0, onde v é dado por (3.5).
Demonstração. Seja t ≥ 0 xo. Então, por (3.5),
2
v (t + h) − v (t)
− i∂x2 v (t)
h
s−2
Hper
2
X
b (t + h) − vb (t)
2 s−2 v
2
d
− i∂x v (t)
1+k
=
h
k∈Z
2
2
=
X
=
X
1+k
2 s−2
e−ik (t+h) φb − e−ik t φb
2
+ ik 2 e−ik t φb
h
1+k
2 s−2
−itk2
k
e
2
φb (k)
k∈Z
2
2
(3.11)
2
e−ihk − 1
+ ik 2 ,
h
2
e−ihk − 1
+ ik 2 = 0, é suciente
para todo h > 0. Como, por L'Hôpital, lim
h→0
h
provar que a série no segundo membro de (3.11) converge uniformemente com
respeito a h. Aplicando o Teorema do Valor Médio obtemos
2
e−ihk − 1
≤ k 2 , ∀ k ∈ Z.
h
48
Portanto
1+k
2 s−2
e
−itk2 b
e−ihk − 1
+ ik 2
h
k2
2
φ (k)
≤ 4 1 + k2
s−2
2
2
2
2
φb (k)
2 2
2
k
2
b (k)
=4 1+k
φ
1 + k2
2
s
≤ 4 1 + k 2 φb (k) , ∀ h > 0.
Uma aplicação do teste-M de Weierstrass conclui a prova da existência da
derivada à direita. Um argumento similar, com t > 0 xo e h ∈ (0, t/2),
mostra que a derivada à esquerda também existe e é igual a i∂x2 v (t). Isto
conclui a prova.
Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3 implicam que (3.1) é bem-posto. Resumiremos
isto no
Corolário 3.1. O problema (3.1) é bem-posto. Sua única solução, que depende continuamente dos dados iniciais, é dada por (3.5).
3.2
Problema não-homogêneo
Finalmente voltamos ao problema não-homogêneo
s
u ∈ C [0, T ] ; Hper
iut + ∂x2 u = |u|2 u
s
u (x, 0) = φ (x) ∈ Hper
.
(3.12)
Como no caso homogêneo, vamos apresentar um candidato a solução do PVI
(3.12). Para tal objetivo, usaremos o método de variação de parâmetros.
Tomando a transformada de Fourier, com relação a variável espacial x, da
equação diferencial parcial e a condição inicial, obtemos uma família de EDOs
49
(
2
[
iubt (k, t) − k 2 u
b (k, t) = |u|
u (k, t)
u
b (k, 0) = φb (k) .
(3.13)
Fixado k ∈ Z e multiplicando a EDO (3.13) pelo fator de integração eik t ,
temos
2
d
2
2
2
[
ib
u (k, t) eik t = |u|
u (k, t) eik t .
dt
Integrando no intervalo [0, t], usando a condição inicial e aplicando a trans-
formada de Fourier inversa, obtemos
Z t
u (t) = S (t) φ − i
(3.14)
S (t − τ ) |u|2 u (τ ) dτ.
0
s
Proposição 3.1. Seja u ∈ C [0, T ] ; Hper
uma solução de (3.12). Então, u
satisfaz
Z t
u (t) = S (t) φ − i
(3.15)
S (t − s) |u (s)|2 u (s) ds,
0
s
onde S (t) = exp (−it∂x2 ) . Reciprocamente, se u ∈ C [0, T ] ; Hper
é uma
1
s−2
solução de (3.15), então u ∈ C [0, T ] ; Hper e satisfaz (3.12) com a derivada
temporal calculada por
lim
h→0
u (t + h) − u (t)
= 0.
− i ∂x2 u (t) − |u (t)|2 u (t)
h
s−2
Hper
Demonstração. Como
S (t) φ (x) =
X
2
eixk e−ik t φb (k) ,
k∈Z
temos que
X
d
2
S (t) φ (x) = i
eikx −k 2 e−ik t φb (k) .
dt
k∈Z
50
(3.16)
De (3.5), temos
d
S (t) φ (x) = i∂x2 S (t) φ (x) .
dt
(3.17)
Agora, pelo teorema do valor médio, tomando w = |u|2 u, temos que
Z t+h
S (t + h − τ ) w (τ ) dτ = S (t + h − γ) w (γ) h,
(3.18)
t
onde γ ∈ (t, t + h).
Dividindo ambos os membros de (3.18) por h e calculando o limite quando
h tende a zero, temos que
1
lim
h→0 h
Z t+h
S (t + h − τ ) w (τ ) dτ = w (t) .
(3.19)
[S (t + h − τ ) − S (t − τ )] w (τ ) dτ
Z t
d
=
S (t − τ ) w (τ ) dτ
dt
0 Z
t
S (t − τ ) w (τ ) dτ.
= i∂x2
(3.20)
t
Por outro lado,
1
lim
h→0 h
Z t
0
0
De (3.19) e (3.20) temos que
d
dt
Z t
S (t − τ ) w (τ ) dτ = w (t) + i∂x2
0
Z t
S (t − τ ) w (τ ) dτ.
(3.21)
0
Derivando ambos os membros de (3.15) com relação a variável temporal,
de (3.17) e (3.20), temos (3.12).
3.2.1 Caso s > 1/2
Observação 3.1. Observe que a aplicação g, dada por g (u) = |u|2 u, satisfaz, para s > 1/2, as propriedades
s
(a) g leva Hper
nele mesmo, e g (0) = 0;
51
(b) g satisfaz a condição local de Lipschitz
,
kv − wkHper
, kwkHper
≤ L kvkHper
kg (v) − g (w)kHper
s
s
s
s
(3.22)
s
, onde L (· , ·) é uma função contínua, nãopara todo v, w ∈ Hper
decrescente com respeito a cada um dos argumentos.
s
, então
Demonstração. É claro que g (0) = 0. Se u ∈ Hper
kuk2s = 2π
X
1 + |k|2
s
(3.23)
|b
u (k)|2 < ∞.
k∈Z
Como u é contínua e periódica, sabemos que tem um máximo M . Assim,
de (3.23), segue que
2
2
|u| u s = 2π
X
2 s
1 + |k|
2
2
[
|u|
u (k)
k∈Z
≤ 2π
X
1 + |k|2
s
2
2 u (k)
[
M
k∈Z
2
= M 2π
X
1 + |k|2
s
|b
u (k)|2
k∈Z
2
= M kukHper
s
< ∞.
s
s
s
, ou seja, g Hper
⊂ Hper
.
Logo, |u|2 u ∈ Hper
Agora, observe que
kg (v) − g (w)kHper
= |v|2 v − |w|2 w H s
s
per
2
2
2
2
= |v| v − |w| v + |w| v − |w| w H s
per
2
2
2
= |v| − |w| v + |w| (v − w) H s
per
2
2
2
≤ |v| − |w| v H s + |w| (v − w) H s
per
per
2
2
= |v| − |w|
2
s
Hper
kvkHper
+ |w|
s
= A1 + A2 .
52
s
Hper
kv − wkHper
s
s
= kukHper
Pelo teorema 2.7 e o fato de kukHper
s
s , para todo u ∈ Hper .
A1 =
≤
≤
≤
≤
|v|2 − |w|2 H s kvkHper
s
per
k(v − w) (v + w)kHper
+ kvw − vwkHper
kvkHper
s
s
s
+ kv (v − w) + v (v − w)kHper
kv + wkHper
Cs kv − wkHper
kvkHper
s
s
s
s
kvkHper
kv − wkHper
+ 2 kvkHper
kv + wkHper
Cs kv − wkHper
s
s
s
s
s
,
kv − wkHper
+ 3 kvk2Hper
kvkHper
Cs kwkHper
s
s
s
s
e
A2 =
|w|2 H s kv − wkHper
s
=
kwk2Hper
kv − wkHper
,
s
s
per
concluímos que
kg (v) − g (w)kHper
≤
L
kvk
,
kwk
kv − wkHper
,
s
s
s
s
Hper
Hper
onde L kvkHper
, kwkHper
= Cs
s
s
kwk2Hper
+ kwkHper
kvkHper
+ 3 kvk2Hper
s
s
s
s
.
s
s
e u, v ∈ C [0, T ] ; Hper
duas
Proposição 3.2. Sejam s > 1/2 e φ, ψ ∈ Hper
soluções do problema (3.12) satisfazendo u (0) = φ e v (0) = ψ. Então
ku (t) − v (t)kHper
≤ kφ − ψkHper
eL(Ms ,Ms )t , ∀ t ∈ [0, T ] ,
s
s
onde Ms é dado por
(
)
Ms = Ms (u, v) = max sup ku (t)kHper
, sup kv (t)kHper
s
s
[0,T ]
[0,T ]
Em particular, (3.12) tem, no máximo, uma solução.
53
.
Demonstração. Equação (3.15) implica
u (t) − v (t) = S (t) (φ − ψ)
Z t
S (t − τ ) |u|2 u (τ ) − |v|2 v (τ ) dτ.
−i
(3.24)
0
s
Como S (t) é unitário em Hper
segue que
Z t
+
≤ kφ − ψkHper
ku (t) − v (t)kHper
s
s
0
|u|2 u (τ ) − |v|2 v (τ ) H s dτ
per
≤ kφ − ψkHper
s
Z t
dτ
ku (τ ) − v (τ )kHper
, kw (τ )kHper
+
L kv (t)kHper
s
s
s
0
Z t
≤ kφ − ψkHper
+ L (Ms , Ms )
ku (τ ) − v (τ )kHper
dτ,
s
s
0
por (3.22). A desigualdade de Gronwall implica o resultado.
s
. Então existe um T > 0 e um único u ∈
Teorema 3.4. Seja φ ∈ Hper
s
C [0, T ] ; Hper satisfazendo (3.12), com a derivada temporal calculada como
em (3.16).
Demonstração. Seja γ > 0 xo. Observe que
n
o
s
Λ (T, γ, φ) = v ∈ C [0, T ] ; Hper
: kv (t) − S (t) φkHper
≤ γ, ∀ t ∈ [0, T ]
s
com a distância
d (v, w) = sup kv (t) − w (t)kHper
s
[0,T ]
é um espaço métrico completo.
Considere a aplicação
Z t
(Av) (t) = S (t) φ − i
S (t − τ ) |v|2 v (τ ) dτ,
(3.25)
0
s
v ∈ Λ (T, γ, φ). É fácil vericar que Av ∈ C [0, T ] ; Hper
para todo v ∈
Λ (T, γ, φ) e T > 0.
54
Mostraremos que existe um T > 0 tal que A é uma contração estrita em
s
Λ (T, γ, φ). Combinando o fato que S (t) é unitário em Hper
e a desigualdade
(3.22), obtemos
Z t
−i
=
k(Av) (t) − S (t) φkHper
s
S (t − τ ) |v|2 v (τ ) dτ
0
Z t
≤
Z0 t
=
Z0 t
≤
0
s
Hper
S (t − τ ) |v|2 v (τ ) H s dτ
per
|v|2 v (τ ) H s dτ
per
dτ.
, 0 kv (τ )kHper
L kv (τ )kHper
s
s
Como v ∈ Λ (T, γ, φ), temos
kv (τ )kHper
≤ kv (τ ) − S (τ ) φkHper
+ kS (τ ) φkHper
s
s
s
≤ γ + kφkHper
, ∀ τ ∈ [0, T ] .
s
(3.26)
Portanto
Z t
L γ + kφkHper
, 0 γ + kφkHper
dτ
s
s
0
≤ L γ + kφkHper
,
0
γ
+
kφk
T,
s
s
Hper
k(Av) (t) − S (t) φkHper
≤
s
qualquer que seja t ∈ [0, T ].
Daí segue que Av ∈ Λ (T, γ, φ), ∀ v ∈ Λ (T, γ, φ), sempre que
h
i−1
0 < T ≤ L γ + kφkHper
, 0 γ + kφkHper
= α γ, kφkHper
. (3.27)
s
s
s
55
A seguir, tome T satisfazendo (3.27) e sejam v, w ∈ Λ (T, γ, φ). Então
Z t
≤
|v|2 v (τ ) − |w|2 w (τ ) H s dτ
k(Av) (t) − (Aw) (t)kHper
s
per
0
Z t
dτ
kv (τ ) − w (τ )kHper
, kw (τ )kHper
≤
L kv (τ )kHper
s
s
s
0
Z t
dτ
, γ + kφkHper
kv (τ ) − w (τ )kHper
≤ L γ + kφkHper
s
s
s
0
T d (v, w) ,
,
γ
+
kφk
≤ L γ + kφkHper
s
s
Hper
para todo t ∈ [0, T ]. Portanto,
d (Av, Aw) ≤ L γ + kφkHper
, γ + kφkHper
T d (v, w) .
s
s
(3.28)
Observe que o coeciente de d (v, w) torna-se menor que 1 se tomarmos
0 < T < L γ + kφkHper
, γ + kφkHper
s
s
−1
= β γ, kφkHper
.
s
(3.29)
Combinando (3.27) e (3.28), concluímos que A é uma contração em
Λ (T, γ, φ) sempre que
n
o
e
e
0 < T < T = T γ, kφkHper
= min α γ, kφkHper
, β γ, kφkHper
(3.30)
s
s
s
e isto conclui a prova.
Hs
per
s
,
n = 1, 2, . . . , ∞, tal que φn → φ∞ . Sejam
Teorema
3.5.
Sejam
φn ∈ Hper
h
i
s
un ∈ C 0, Ten ; Hper
, onde Ten = Te γ, kφn kHper
, as soluções construidas
s
e
no teorema 3.4. Seja T ∈ 0, T∞ . Então as soluções un são denidas em
[0, T ] para todo n sucientemente grande e
lim sup kun (t) − u∞ (t)kHper
= 0.
s
n→∞ [0,T ]
Demonstração. Como Te γ, kφkHper
é uma função contínua de φ, existe
s
n0 ∈ N tal que Ten > T , ∀ n ≥ n0 . Então un é denida em [0, T ] para todo n.
56
Daí, segue que, un ∈ Λ (T, γ, φn ), ∀ n ≥ n0 , e satisfaz
(3.31)
+γ ≤K +γ
≤ kφn kHper
kun (t)kHper
s
s
onde K = sup kφn kHper
s . Combinando a proposião 3.2 com (3.31) obtemos
n
eKs,n T
≤ kφn − φ∞ kHper
kun (t) − u∞ kHper
s
s
onde
Ks,n = L (Ms (un , u∞ ) , Ms (un , u∞ )) ≤ L (K + γ, K + γ) = K ∗ < ∞.
Portanto,
∗
kun (t) − u∞ (t)kHper
≤ kφn − φ∞ kHper
eK T ,
s
s
para todo t ∈ [0, T ]. Isto concluí a prova.
3.2.2 Caso 0 ≤ s ≤ 1/2
A diculdade do método empregado no seção anterior para dados iniciais
s
s
não ser uma álgebra de Banach para
com s ≤ 1/2 é o fato de Hper
φ ∈ Hper
tais valores de s. Nesta seção contornamos este problema trabalhando num
s
, denotado por Xs,b e conhecido na literatura como espaços
subespaço de Hper
de Bourgain.
Como na demonstração da boa colocação local usamos, fortemente, a
desigualdade de Strichartz periódica, apresentada mais adiante, temos daí
que s ≥ 0.
Seja ψ uma função C ∞ (R) com suporte supp ψ ⊂ (−2, 2) tal que ψ (t) =
1, para t ∈ [−1, 1]. Seja ψT ( · ) = ψ ( · /T ). Consideremos agora a equação
integral associada ao problema (3.12), isto é
Z t
u (t) = ψT S (t) u0 − iψT
0
57
S (t − γ ) |u|2 udγ
(3.32)
Seja A o espaço das funções f tais que
(i) f : [0, L] × R → C
(ii) f (x, ·) ∈ S , para cada x ∈ [0, L]
(iii) f (· , t) ∈ C ∞ ([0, L]), para cada t ∈ R.
Para s ∈ R se dene o espaço Xs,b como sendo o completamento de A
com relação à norma
b b
kf kXs,b = hnis τ + n2
f (n, τ )
`2n L2τ
(3.33)
,
onde h · i = 1 + | · |.
Proposição 3.3. A denição dos espaços Xs,b é tal que
(3.34)
kf kXs,b = kS (−t) f kHtb Hper
s
Demonstração.
kS (−t) f k2Htb Hper
=
s
hτ ib hnis S\
(−t) f (n, τ )
`2n L2τ
Z
X
2
2b
2s
hτ i hni S\
(−t) f (n, τ ) dτ
=
n∈Z
=
n∈Z
=
=
=
Z
hτ i hni
2
itn2 b
e
f (n, τ ) e
−itτ
dt dτ
R
2b
2s
Z
hτ i hni
2
e−it(τ −n ) fb(n, τ ) dt dτ
2
R
hτ i2b hni2s fb n, τ − n
2
2
dτ
R
XZ
n∈Z
2s
R
XZ
n∈Z
2b
R
XZ
n∈Z
=
R
XZ
τ + n2
2b
2
hni2s fb(n, τ ) dτ
R
b
hni hτ + n2 i fb(n, τ )
s
= kf kXs,b .
58
`2n L2τ
(3.35)
Lema 3.1. Sejam s ∈ R e b > 1/2, então
(3.36)
.
kψ1 S (t) u0 kXs,b ≤ c ku0 kHper
s
Demonstração. Das denições dos espaços Xs,b e da função ψ1 , bem como
do fato de S ser um grupo unitário que age só na variável espacial, ψ1 estar
em função do tempo e u0 em função do espaço, podemos deduzir que
kψ1 S (t) u0 kXs,b = kψ1 S (t) u0 kHtb Hper
s
= kS (t) ψ1 u0 kHtb Hper
s
= kψ1 u0 kHtb Hper
s
(3.37)
= kψ1 kHtb ku0 kHper
,
s
obtendo-se (3.36).
No que segue usaremos a seguinte notação
Z t
−iS ∗R f := −iψT
S (t − γ ) f (γ ) dγ
(3.38)
0
e
Z t
(Lf ) (t) := ψT
(3.39)
f (γ ) dγ.
0
Proposição 3.4. As seguintes desigualdades são equivalentes
(a)
k−iS ∗R f kXs,b ≤ c kf kX
s,b
0
(3.40)
(b)
≤ c kf kH b0 H s .
k(Lf ) (t)kHtb Hper
s
t
per
(3.41)
Demonstração. Vamos provar, inicialmente, que se vale (3.41) então também
vale (3.40).
59
s
Seja f ∈ Xs,b . Da denição, S (−t) f ∈ Htb Hper
. Sendo assim
≤ c kgkH b0 H s = c kf kXs,b ,
k(Lg)kHtb Hper
s
per
t
onde g = S (−t) f .
= k−iS ∗R f kXs,b .
Resta provar que k(Lg) (t)kHtb Hper
s
Z t
=
k(Lg) (t)kHtb Hper
s
g (γ ) dγ
ψT
s
Htb Hper
0
Z t
=
ψT
S (−γ ) f (γ ) dγ
s
Htb Hper
Z t
S (−t) ψT
S (t − γ ) f (γ ) dγ
s
0
Htb Hper
Z t
ψT
S (t − γ ) f (γ ) dγ
0
=
=
0
Xs,b
= k−iS ∗R f kXs,b .
s
s
, e pela
então S (−t) [S (t) g] ∈ Htb Hper
Reciprocamente, se g ∈ Htb Hper
denição de Xs,b , temos que S (t) g ∈ Xs,b . Daí
k−iS ∗R f kXs,b ≤ c kf kX
0
s,b
onde f = S (t) g .
60
= c kgkH b0 H s ,
t
per
Resta provar que k−iS ∗R f kXs,b = k(Lg) (t)kHtb Hper
s .
Z t
k−iS ∗R f kXs,b =
−iψT
S (t − γ ) f (γ ) dγ
0
Xs,b
Z t
=
=
=
=
S (t) g (γ) dγ
−iψT
0
Xs,b
Z t
S (t) −iψT
g (γ) dγ
0
Xs,b
Z t
g (γ ) dγ
−iψT
s
0
Htb Hper
Z t
ψT
g (γ) dγ
s
Htb Hper
0
= k(Lg) (t)kHtb Hper
.
s
Lema 3.2. Sejam eb ≤ 0 ≤ b ≤ eb + 1 e T ≤ 1. Então
e
kLf kHtb ≤ c T 1−b+b kf kHeb + T 1/2−b hτ i−1 X{|τ |T ≥1} fb
t
kψT (S ∗R f )kXs,b
L1τ
(3.42)
√
−1 b
2s
1/2−b
2
hni hτ + n + θi f
≤ c 2 T
`2n L1τ
(3.43)
o
√ n 1−b+eb
+c 2 T
kf kXs,b
com c igual em (3.42) e (3.43).
Além disso, se eb > −1/2, então
(3.44)
kLf kHtb ≤ cT 1−b+b kf kHeb
e
t
kψT (S ∗R f )kXs,b ≤ cT 1−b+b kf kX e
e
s,b
(3.45)
com a mesma constante c em (3.44) e (3.45).
Demonstração. Dena J (t) = (Lf ) (t). A transformada de Fourier de J em
61
relação a t é dada por
ψT (τ − γ ) − ψT (τ )
fb(γ )
dγ.
γ
R
Z
Jb (τ ) = c
De fato, se g (t) =
Z t
(3.46)
f (γ ) dγ , das propriedades de transformada de Fourier
0
e convolução, tem-se
Z t
cT ∗
Jb (τ ) = ψ
0
f (γ ) dγ b(τ )
Z
=
=
fb(γ)
dγ
ψbt (τ − γ)
iγ
R
Z b
ψT (τ − γ) − ψT (τ )
fb(γ) dγ + ψT
iγ
R
Z b
ψT (τ − γ) − ψT (τ ) b
f (γ) dγ
=
iγ
R
Z b
f (γ)
dγ
R iγ
pois, usando a fórmula de inversão temos
Z b
Z
f (γ)
dγ =
gb (γ) dγ
R
R iγ
Z
=
ei0γ gb (γ) dγ = g (0) = 0.
R
Seja A = {τ ∈ R ; |τ | T > 1}. Agora, escrevemos f = f+ + f− com
fb+ (τ ) = fb(τ ) XA
e
fb− (τ ) = fb(τ ) XAc
e respectivamente J = J+ + J− .
Assim, a transformada de Fourier de J− com relação a t é dada por
Z Z 1
Jb− (τ ) = c
R
0
b
f− (γ) φbT (τ − λγ ) dλdγ.
0
62
(3.47)
De fato, observando-se que
Z 1
ψbT
0
(τ − λγ ) dλ =
0
ψbT (τ − γ) − ψt (τ )
,
γ
tem-se
Jb− (τ ) = Jb (τ ) XAc
Z
ψbT (τ − γ) − ψT (τ )
= 1/i fb(γ) XAc
dγ
γ
R
Z 1 0
Z
b
ψbT (τ − λγ ) dλdγ
= 1/i f− (γ)
0
ZR Z 1
0
= 1/i
fb− (γ) ψbT (τ − λγ ) dλdγ.
R
0
Agora, observe que, pelo lema 1.1, tem-se
hτ ib ≤ c hγ ib + |τ + λγ |b ,
sempre que |λ| ≤ 1, pois
|τ | = |τ − λγ + λγ|
≤ |τ − λγ| + |λγ|
≤ |τ − λγ| + |τ | ,
logo,
1 + |τ | ≤ 1 + |γ| + |τ − λγ|
hτ i ≤ hγi + |τ − λγ|
e pelo lema 1.1
b
hτ ib ≤ (hγi
+ |τ + λγ|)
≤ c hγib + |τ − λγ|b .
63
(3.48)
Multiplicando (3.47) por hτ ib , tomando a norma L2 e usando a desigualdade de Minkowski, vemos que
Z Z 1
0
hγ ib fb− ψbT (τ − λγ ) dλdγ
R 0
L2τ
Z Z 1
0
+c
|τ − λγ |b fb− ψbT (τ − λγ ) dλdγ
L2τ
Z Z 1 R 0
0
≤ c
hγib fb−
ψbT (τ − λγ)
dλdγ
2
R 0
L
Z Z 1
0 τ
b
fb− |τ − λγ| ψbT (τ − λγ)
dλdγ (3.49)
+c
2
R 0
L
τ
Z 1
Z
0
b
dλ
= c ψbT
hγi fb− dγ
0
L2τ R
Z
Z 1
0
b b
+c | · | ψT
fb− dγ
dλ
0
L2τ R
!
0
0
≤ c
h · ib fb−
ψbT
+ fb−
| · |b ψbT
kJ− kHtb ≤ c
L1γ
L2τ
L1γ
L2τ
Agora, observe que
ψbT (k) =
=
=
=
Z
1
ψT (t) e−ikt dt
2π ZR
1
ψ1 (t/T ) e−ikt dt
2π RZ
1
ψ1 (z) e−ikT z dz
T
2π
R
c1 (kT ) ,
Tψ
(3.50)
e
ψbT
0
0
(k) = T 2 ψb1 (kT ) .
64
(3.51)
Logo,
ψbT
0
=
T
2
ψb1
0
( · T)
L2
L2
Z
T4
=
ψb1
Z
= T 3/2
= T 3/2
ψb1
ψb1
!1/2
2
0
(tT ) dt
0
2
(3.52)
!1/2
(t) dt
0
L2
e
|·|
b
ψbT
0
=
b
|·| T
2
ψb1
0
( · T)
L2
L2
Z
=
=
|tT |2b T 4−2b
T 3−2b
= T 3/2−b
Z
ψb1
0
0
|tT |2b
ψb1
2b
0
Z
|z|
ψb1
0
= T 3/2−b | · |b (ψ1 )
L2
2
!1/2
(tT ) dt
2
!1/2
(tT ) T dt
2
(3.53)
!1/2
(z) dz
.
Além disso, das propriedades do suporte de fb− , temos
b
1
h2ib b
hT ib b
b
b
hti f− (t) ≤
f− (t) = b f− (t) ≤ b f− (t) ,
T
T
T
b
portanto,
h · i fb−
L1
≤
h2ib
|T |b
65
fb−
L1
.
(3.54)
De (3.49), (3.52), (3.53) e (3.54), temos
kJ− kHtb ≤ cT 3/2−b
h2i
0
φb
≤ cT 3/2−b
!
0
+ |τ | φb
fb−
1 L2
L1τ
1 L2
τ
! τ
0
b b
+ |τ | φ
fb−
.
0
φb
b
1 L2
τ
b
1 L2
τ
(3.55)
L1τ
Provaremos, ainda, que
fb−
(3.56)
≤ cT b−1/2 kf− kHeb .
e
L1τ
t
De fato, por Hölder, as propriedades do suporte de f− e pelos dados na
hipótese, temos
fb−
L1
1
=
hγib/2 fb−
e
e
b/2
hγi
−e
b/2
hγi
≤
≤ (1 + T
L2γ
e
−2 −b/2
)
e
2 −b/2
= (1 + T )
2 1/2
T
≤ (1 + T )
T
−1 1/2
e
b
≤ (2T
= cT
L1γ
e
b/2 b
hγi f−
)
T
e
b−1/2
fb−
fb−
e
b
e
b
(3.57)
H eb
fb−
fb−
fb−
L2γ
H eb
H eb
H eb
H eb
Combinando (3.55) e (3.56), teremos
(3.58)
kJ− kHtb ≤ cT 1−b+b kf− kHeb
e
t
para qualquer eb < 1/2 e, em particular, para qualquer eb ≤ 0.
Agora estimaremos J+ . É fácil ver que
Jb+ (τ ) = c
( · )−1 fb+
Z
∗ ψbT (τ ) + cψbT (τ )
R
66
γ −1 fb+ (γ) dγ.
(3.59)
Assim, escreva J+ = J1 + J2 tais que
Jb1 (τ ) = c
( · )−1 fb+
∗ ψbT (τ ) e Jb2 (τ ) = cψbT (τ )
Z
γ −1 fb+ (γ) dγ.
R
Começamos a estimar Jb1 . Pela desigualdade de Minkowski e por (3.48)
com λ = 1, vemos que
kJ1 kH b =
=
=
≤
≤
≤
hτ ib Jb1 (τ )
L2τ
b
−1 b
c hτ i ( · ) f+ ∗ φbT (τ )
L2τ
Z
c
hτ ib (τ − γ)−1 fb+ (τ − γ) ψbT (γ) dγ
L2τ
ZR
c
hτ − γib + |γ|b (τ − γ)−1 fb+ (τ − γ) ψbT (γ) dγ
L2τ
ZR
(3.60)
hτ − γib (τ − γ)−1 fb+ (τ − γ) ψbT (γ) dγ
c
2
R
L
τ
Z
+c
|γ|b (τ − γ)−1 fb+ (τ − γ) ψbT (γ) dγ
R
L2τ
Z
ψbT (γ) dγ
c
hτ − γib (τ − γ)−1 fb+ (τ − γ)
2
L
τ
R
Z
−1 b
|γ|b ψbT (γ) dγ
+c
(τ − γ) f+ (τ − γ)
L2τ
R
= c h · ib ( · )−1 fb+
L2
ψbT
L1
+ ( · )−1 fb+
L2
| · |b ψbT
L1
.
Observando que
ψbT (τ )
L2τ
=
T ψb1 (τ T )
L1τ
Z
=
T ψb1 (τ T ) dτ
Z
=
ψb1 (z) dz
=
ψb1
67
L1
,
(3.61)
|τ |b ψbT (τ )
L1τ
|τ |b T ψb1 (τ T )
L1τ
Z
b b
=
T |τ | ψ1 (τ T ) dτ
Z
=
T −b |z|b ψb1 (z) dz
=
= T −b | · |b ψ1
L1
(3.62)
,
com argumentos semelhantes aos usados em (3.57), temos
( · )−1 fb+
L2
=
e
e
τ −1 hτ i−b hτ ib fb+
≤
−e
b
≤
τ −1 hτ i
τ
−1
hτ i
≤ 2−b+b T
e
L2τ
−e
b
L2τ
−(1+e
b)
L2τ
e
b b
hτ i f+ (τ )
L2τ
kf+ kHeb
(3.63)
kf+ kHeb ,
e, com o mesmo argumento usado em (3.63), segue que
τ −1 hτ ib fb+ (τ )
e
L2τ
≤
τ −1 hτ i−b+b
e
≤ 2−b+b T
e
L2τ
−(1−b+e
b)
kf+ kHeb
kf+ kHeb .
(3.64)
De (3.60), (3.61), (3.62), (3.63) e (3.64), vemos
kJ1 kH b ≤ cT 1−b+b kf kHeb ,
e
para todo eb ≥ b − 1.
68
(3.65)
Finalmente teremos que
kJ2 kH b =
h · i Jb2
L2
Z
b
= hτ i cψT (τ ) γ −1 fb+ (γ) dγ
L2τ
Z
≤ c
γ −1 fb+ (γ) dγ hτ ib ψbT (τ )
b
≤ c ( · )−1 fb+
L2τ
hτ ib T ψb1 (τ T )
L2τ
Z
1/2
2
−1 b
b
b
= c ( · ) f+
hτ i T ψ1 (τ T ) dτ
L1
Z
1/2
2
−1 b
b 1−b b
≤ c ( · ) f+
hτ T i T ψ1 (τ T ) dτ
= cT 1/2−b
L1
L1
−1 b
( · ) f+
L1
ψb1
L2
(3.66)
.
Para provar (3.44) observamos que para eb > −1/2, a desigualdade de
Cauchy-Schwarz e propriedades do suporte de fb+ implicam que
τ −1 fb+
(3.67)
≤ cT 1/2+b kf kHeb .
e
L1τ
t
Esta última desigualdade junto com (3.58), (3.66) e (3.66) produzem a desigualdade (3.44).
As desigualdades (3.43) e (3.45) são obtidas aplicando (3.42), (3.44) e a
proposição 3.4 para n xo, multiplicando hni2s e tomando a norma `2n .
Como discutido anteriormente, quando b > 1/2 é claro que
Xs,b ,→ C (R; H s )
(pela identidade (3.34) e o lema de Sobolev). Se b ≤ 1/2 isto não é certo
e teremos que encontrar um substituto para este resultado. Aqui aparece o
espaço Xs denido por via
kf kXs = hnis τ + n2
69
−1 b
f (τ )
`2n L1τ
.
(3.68)
Lema 3.3. Seja f ∈ Xs . Então S ∗R f ∈ C (R; H s ).
Demonstração. Sem perda de generalidade podemos supor s = 0. Como
S ( · ) é um grupo unitário fortemente contínuo em `2 , é suciente provar
a continuidade em `2 de S −1 SZ∗R f para f ∈ X0 , que é equivalente a cont
tinuidade em L2t de F (x, t) =
f (x, s) ds para hτ i fb(n, τ ) ∈ `2n L1τ .
0
Usando a transformada de Fourier podemos escrever
Z
F (x, t) =
eitτ − 1 τ −1 fb(x, τ ) dτ.
(3.69)
Observe que, pelo Teorema do Valor Médio, considerando a função t 7→
eitτ , temos
eitτ − eirτ τ −1 ≤ C1 |itτ − irτ | τ −1 = C1 |t − r|
(3.70)
eitτ − eirτ τ −1 ≤ 2τ −1 .
(3.71)
e,
Como queremos demonstrar a continuidade de (3.69) em L2t , suporemos
|t − r| ≤ 1 em (3.70).
Note que, para |τ | ≥ 1 segue que
|τ |−1 ≤ 2 hτ i−1 ,
donde, de (3.71), vemos
eitτ − eirτ τ −1 ≤ 2 hτ i−1
(3.72)
e para |τ | < 1, temos que
1 ≤ 2 hτ i−1 ,
donde, de (3.70), vemos
eitτ − eirτ τ −1 ≤ C1 |t − r| ≤ C2 hτ i−1 .
70
(3.73)
Portanto, de (3.70), (3.72) e (3.73), segue que
kF (n, t) − F (n, r)k2`2n
Z
XZ
−1
itτ
irτ
=c
τ fb(τ ) dτ (eiteτ − eireτ ) τe−1 fb(e
e −e
τ ) de
τ
n∈Z Z
X
=c
τ )dτ de
τ
eitτ − eirτ τ −1 fb(τ ) e−iteτ − e−ireτ τe−1 fb(e
(3.74)
n∈Z Z
X
≤c
τ )dτ de
τ
min |t − r| , hτ i−1 min |t − r| , he
τ i−1 fb(τ ) fb(e
n∈Z
≤ c hτ i−1 fb(τ )
2
`2n L1τ
.
O integrando na penúltima desigualdade em (3.74) tende a zero pontualmente em n, τ, τe quando |t − r| → 0 e é limitado uniformemente em
|t − r| pela expressão obtida depois de retirar |t − r| nos mínimos, a qual
é integrável como mostra a última desigualdade em (3.74). Portanto, pelo
teorema da convergência dominada segue-se que kF (n, t) − F (n, r)k`2n tende
a zero quando |t − r| → 0.
O seguinte resultado nos permite extrair regularidade adicional.
Lema 3.4. Sejam ψ, ψT ∈ C0∞ (R), para 0 < T ≤ 1, como em (3.32).
Então, se 1/2 > b > eb ≥ 0 ou 0 ≥ b > eb > −1/2, a seguinte desigualdade é
satisfeita
kψT f kX e ≤ cT b−b kf kXs,b .
e
s,b
Demonstração. Primeiro suporemos 1/2 > b > eb ≥ 0.
Sejam p, pe, q, qe > 0 tais que
(a) b = 1/2 − 1/eq
(b) b − eb = 1/2 − 1/ep
(c) 1/p + 1/ep = 1/q + 1/eq = 1/2
71
(3.75)
Então para g ∈ Htb , pelo teorema de Plancherel, Hölder generalizado e
propriedades da transformada de Fourier, temos
kψT gkHeb =
t
≤
d
htib/2 ψ
Tg
e
d
ψ
Tg
L2t
d
+ |t|b ψ
Tg
e
L2
= kψT gkL2 +
L2t
e
d
(it)b ψ
Tg
(3.76)
L2t
e
b (ψ g)
≤ kψT kLp kgkLpe + D\
T
L2
e
b
= kψT kLp kgkLpe + D (ψT g)
Sejam I1 = kψT kLp kgkLpe e I2 = Deb (ψT g)
por b ≥ eb, temos que
L2
L2
.
. Pela regra de Leibniz e
I1 = kψT kLp kgkLpe
≤ c kψT kLp kgkH b−eb
≤ c kψT kLp kgkH b .
(3.77)
Pelas desigualdades de Minkowski, de Hölder generalizada, regra de Leibniz, para f = ψT , α = α2 = eb e α1 = 0, e pelo teorema 2.15, temos que
I2 =
≤
Db (ψT g)
e
L2
e
b
D (ψT g) − gDb f − f Db g
e
e
+ gDb f + f Db g
e
L2
e
b
e
e
b
L2
≤ C kψT kLp D g
+ kgkLqe D ψT
+ kψT kLp Db g
p
e
Lpe
Lq
!
L
e
e
b/2
b/2
cT ˇ
≤ C kψT kLp
|τ |2
gb ˇ
+ kgkH b
ψ
|τ |2
p
e
L
Lqt (3.78)
!
t
eb/2
≤ C kψT kLp
|τ |2
gb ˇ
+ kψT kHeb,q kgkH b
e
Htb−b
!
e
e
b/2
≤ C kψ k
hti(b−b)/2 |t|2
gb
+ kψ k e kgk
T Lp
e
L2t
≤ C kψT kLp + kψT kHeb,q kgkH b .
72
T H b,q
Hb
De (3.76), (3.77), (3.78) e das propriedades do suporte de ψT , temos
kψT gkHeb ≤ C kψT kLp + kψT kHeb,q kgkH b
e
b/2 c
≤ C kψ1 (t/T )kLpt + hti ψ1 (t/T ) q kgkH b
Lt
e
b+1/q
1/p
kψ1 kHeb,q kgkH b
≤ C T kψ1 kLp + T
(3.79)
≤ CT b−b kgkH b .
e
Para f ∈ Xs,b segue-se, de (3.79), que
kψT f kX e = kS ( · ) ψT f kHeb H s
per
s,b
= kψT S ( · ) f kHeb H s
per
≤ cT b−b kS ( · ) f kH b Hper
s
e
(3.80)
= cT b−b kf kXs,b .
e
Intercambiando b e eb o caso 0 ≥ b > eb > −1/2, usando dualidade,
desigualdade de Cauchy-Schwarz e (3.79) segue-se que
kψT gkHeb =
hψT g, hi
sup
khk
e =1
H −b
≤
hg, ψT hi
sup
khk
e =1
H −b
≤
sup
khk
e =1
H −b
(3.81)
kgkHeb kψT hkH −eb
≤ T b−b kgkH b .
e
De (3.79), (3.80) e (3.81) concluímos o resultado.
Proposição 3.5. (Desigualdade de Strichartz periódica)
Temos
kukL4t L4x ≤ C kukX0,3/8
(3.82)
para qualquer u ∈ S .
Demonstração. Escrevemos u =
X
uM , onde M ∈ {2n ; n ∈ N}, e uM =
M
73
[b
uXAM ] ˇ, onde
AM = (k, τ ) ∈ Z × R; M < τ − k 2 ≤ 2M
.
Observe que, pelo Teorema de Plancherel, a dualidade e o suporte de uc
M,
temos
X
2
X
M 3/4 kuM k2L2t L2x =
M 3/8 uc
M L2 `2
τ k
M
M
X
≤
τ − k2
3/8
2
uc
M
M
X
=
L2τ `2k
kuM k2X0,3/8
M
= kuk2X0,3/8 .
Além disso, obeserve que
kuk2L4t L4x
Z
2 2
|u|
=
1/2
dxdt
= kuukL2x L2t
=
=
X
uM
X
N
X X
uM uN
N M ≤N
≤
uN
M
X X
L2t L2x
L2t L2x
kuM uN kL2t L2x .
N M ≤N
Assim, se provarmos que
X X
kuM uN kL2t L2x ≤ C
N M ≤N
X
M
concluímos que vale (3.82).
74
M 3/4 kuM kL2t L2x ,
(3.83)
Como
XX
N
kuM uN kL2t L2x =
XX
(3.84)
kuM u2m M kL2t L2x ,
m∈N M
M
se provarmos que existe ε > 0 tal que dado m ≥ 0 tem-se
X
kuM u2m M kL2t L2x ≤ C2−εm
X
(3.85)
M 3/4 kuM k2L2t L2x ,
M
M
de (3.84) e (3.85), segue-se que
X X
kuM uN kL2t L2x =
N M ≤N
≤
XX
kuM u2m M kL2t L2x
m
M
X
c2−εm
m
≤ c
X
X
M 3/4 kuM k2L2t L2
2
M
M 3/4 kuM k2L2t L2x ,
M
pois
X
c2−εm também converge. Assim, basta provarmos (3.85) para con-
m
cluirmos (3.83).
Por Cauchy-Schwarz temos que
X
2−εm M 3/8 kuM kL2t L2x (2m M )3/8 ku2m M kL2t L2x
M
P
kuM k2L2t L2x
≤2
M M
X
M 3/4 kuM k2L2t L2x .
≤ 2−εm
M
−εm
3/4
1/2 P
m
M (2
M)
3/4
ku2m M k2L2t L2x
1/2
(3.86)
Assim, se provarmos que
kuM u2m M kL2t L2x ≤ C2−εm M 3/8 kuM kL2t L2x (2m M )3/8 ku2m M kL2t L2x ,
(3.87)
de (3.86) e (3.87), concluímos (3.83).
Supondo que uM e u2m M são unitários em L2t L2x , por Plancherel e Parseval,
75
temos que
kuM u2m M kL2t L2x = k(uM u2m M )bkL2τ `2
k
=
=
uc
[
M ∗u
2m M L2 `2
τ k
Z
X
uc
[
M (τ − t, k − j) u
2m M (t, j) dt
j
(3.88)
,
L2τ `2k
donde provar (3.87) reduz-se a provar que
XZ
≤ C2(3/8−ε)m M 3/4 .
uc
[
M (k − j, τ − t) u
2m M (j, t) dt
j
(3.89)
L2τ `2k
Agora observe que, por Fubini e pela normalização de uM e u2m M , vem
XZ
!1/2 2
2
2
|uc
[
M (k − j, τ − t)| u
2m M (j, t) dt
j
=
XZ XZ
k
=
=
j
XZ
X
j
k
XZ
L2τ `2k
2
2
|uc
[
2m M (j, t) dtdτ
M (k − j, τ − t)| u
!
Z
2
|uc
M (k − j, τ − t)| dτ
2
kuc
M kL2τ `2
k
2
u[
2m M (j, t) dt
(3.90)
2
u[
2m M (j, t) dt
j
=
XZ
|b
u2m M (j, t)| dt
j
= u[
2m M L2 `2
t j
= 1.
Aplicando Cauchy-Schwarz em
XZ
uc
[
M (τ − t, k − j) u
2m M (t, j) dt, com re-
j
76
speito as funções XE (j, t) e uc
[
M (τ − t, k − j) u
2m M (t, j), temos
XZ
uc
[
M (τ − t, k − j) u
2m M (t, j) dt
j
≤
XZ
!1/2
XE (j, t) dt
j
XZ
2
uc
[
M (τ − t, k − j) u
2m M (t, j) dt
j
onde E ⊆ supp uc
[
M ∩ supp u
2m M .
Provar (3.89), por (3.90) e (3.91), reduz-se a provar que
XZ
(3.92)
dt ≤ C2(3/4−2ε)m M 3/2 ,
j
para todo k, τ .
É fácil ver que
!
supp uc
M = (Bk,j,−M ∪ Bk,j,M ) ∩
[
Cj
,
j
onde
Bk,τ,−M = (x, t) ∈ R2 ; τ − (k − x)2 − 2M + 1 ≤ t < τ − (k − x)2 − M + 1 ,
Bk,τ,M = (x, t) ∈ R2 ; τ − (k − x)2 + M − 1 < t ≤ τ − (k − x)2 + 2M − 1 ,
Cj = (x, t) ∈ R2 ; x = j ,
e que
!
supp u[
2m M = (D−2m M ∪ D2m M ) ∩
[
Cj
,
j
onde
D−2m M = (x, t) ∈ R2 ; x2 − 2m+1 M + 1 ≤ t < x2 − 2m M + 1 ,
D2m M = (x, t) ∈ R2 ; x2 + 2m M − 1 < t ≤ x2 + 2m+1 M − 1 .
77
!1/2 (3.91)
,
!
Figura 3.1: B1,0,−2 ∩ D−2 ∩
[
Cj
j
Como para todo x ∈ R, em particular para x ∈ Z, temos
Z
Z
1dt =
1dt = M,
Bk,τ,−M
e
Bk,τ,M
Z
Z
1dt =
D−2m M
donde,
1dt = 2m M,
D2m M
Z
XE (j, t) dt ≤ M,
para todo E ⊆ supp uc
[
M ∩ supp u
2m M .
Assim, vemos que provar (3.89), por (3.92), reduz-se a provar que
X
XE (j) ≤ C2(3/4−2ε)m M 1/2 ,
j
onde E ⊆ supp uc
[
M ∩ supp u
2m M .
78
(3.93)
Observe que
τ − j 2 − (k − j)2
≤ τ − t − (k − j)2 + ht − j 2 i
= O (2m M ) + O (M )
= O (2m M ) ,
(3.94)
donde
τ = j 2 + (k − j)2 + O (2m M ) .
Além disso
(k − 2j)2 = ((k − j) − j)2 = j 2 + (k − j)2 − 2j (k − j)
= 2 j 2 + (k − j)2 − (j + (k − j))2 (3.95)
= 2τ − k 2 + O (2m M ) .
Portanto, como (k − 2j)2 está contido num intervalo de comprimento
O (2m M ), então 2j−k está contido num intervalo I de comprimento O 2m/2 M 1/2 .
Assim
j∈
1
(k + I) = J
2
e como comprimento de J é majorado por O 2m/2 M 1/2 , concluímos que o
resultado segue tomando ε = 1/8 em (3.93).
Teorema 3.6. O problema de Cauchy
(
iut + uxx = |u|2 u
s
u (x, 0) = u0 (x) ∈ Hper
.
(3.96)
é localmente bem posto para s ∈ [0, 1/2].
Demonstração. Seja w = |u|2 u.
Vamos estimar
Z t
(Au) (t) = ψ1 (t) S (t) φ − iψ1 (t)
S (t − τ ) w (τ ) dτ.
(3.97)
0
Mostraremos que (3.96) satisfaz o princípio de contração nos espaços
79
Xs,b ([0, δ]), para b ∈ (1/2, 5/8) e δ > 0 pequeno suciente.
Pelos lemas 3.1 e 3.2, temos
Z t
k(Au) (t)kXs,b ≤ kψ1 (t) S (t) φkXs,b + ψ1 (t)
S (t − τ ) w (τ ) dτ
0
Xs,b
+
kwk
≤ c kφkHper
s
Xs,b−1 ,
onde tomamos eb = b − 1.
Agora, vamos trabalhar com kwkXs,b−1 .
Por dualidade, temos que
b−1
hnis λ − n2
w
b
`2n L2λ
b−1
=
sup
hnis λ − n2
w,
b cn,λ
`2n L2λ
kcn,λ k`2n L2 ≤1
λ
XZ
b−1
=
sup
cn,λ hnis λ − n2
wdλ.
b
c
≤1
k n,λ k`2n L2
n
kwkXs,b−1 =
λ
Mostraremos que a fórmula integral
Z t
S (t − τ ) w (τ ) dτ,
u (t) = S (t) φ − i
(3.98)
0
equivalente ao PVI (3.96), satisfaz o princípio de contração nos espaços
Xs,b ([0, δ]), para b ∈ (1/2, 5/8) e δ > 0 pequeno suciente.
Observe que
b
(f g)b = f ˇb
gˇ b
h
i
=
fb ∗ gb ˇ b
= fb ∗ gb,
80
e
Z
f ∗b
g (x) =
f (x − y) b
g (y) dy
Z
f (x − y) gb (−y)dy
Z
= − f (x + y) gb (y)dy,
=
em particular
d2 (n, λ) = u
cu (n, λ)
|u|
b (n, λ)
= u
b∗u
XZ
b (n1 , λ1 ) dλ1
u
b (n − n1 , λ − λ1 ) u
=
n1
XZ
=
b (−n1 , −λ1 )dλ1
u
b (n − n1 , λ − λ1 ) u
n1
= −
XZ
u
b (n + n1 , λ + λ1 ) u
b (n1 , λ1 )dλ1 ,
n1
portanto, temos
w
b (n, λ) = −
XZ
u
b (n − n1 + n2 , λ − λ1 + λ2 ) u
b (n2 , λ2 )b
u (n1 , λ1 ) dλ1 dλ2 .
n1 ,n2
Vamos estimar
XZ
(1 + |n|)s
n
(1 + |λ − n2 |)1−b
e
cn,λ w
b (n, λ) dλ
(3.99)
que é menor que
X Z
n1 ,n2 ,n3
(1 + |n|)s
e
(1 + |λ − n2 |)1−b
|cn,λ | |b
u (n3 , λ3 )|
× u
b (n2 , λ2 ) |b
u (n1 , λ1 )| dλ1 dλ2 dλ3
onde n3 = n − n1 + n2 e λ3 = λ − λ1 + λ2 .
81
(3.100)
Observe que
|n| ≤ c max {|n1 | , |n2 | , |n3 |} .
Assumindo |n| ≤ c |n1 |, temos que (3.100) é limitada por
|cn,λ |
X Z
n1 ,n2 ,n3
1−e
b
(1 + |n1 |)s |b
u (n1 , λ1 )|
(1 + |λ − n2 |)
× |b
u (n2 , λ2 )| |b
u (n3 , λ3 )| dλ1 dλ2 dλ3 .
(3.101)
cδ ≥ 0, ψδ = 1 em [−δ, δ],
Tomando uma função de corte ψδ , 0 ≤ ψδ ≤ 1, ψ
supp ψδ ⊂ [−2δ, 2δ] e substituindo u por uψδ , vemos que
cδ = (|b
|b
u| ≤ |b
u| ∗ ψ
u|ˇψδ )b.
Escrevendo f e v tais que
fb(n, λ) =
cn,λ
(1 + |λ − n2 |)1−b
,
e
vb (n, λ) = (1 + |n|)s u
b (n, λ) ,
denimos
F (x, t) = fb ˇ(x, t) ,
(3.102)
G (x, t) = |b
u|ˇ(x, t) ,
(3.103)
H (x, t) = |b
v |ˇ(x, t) .
(3.104)
Assim, temos que (3.101) é menor que
σ=
X Z
Fb (n, λ) (Hψδ )b(n1 , λ1 ) (Gψδ )b(n2 , λ2 ) (Gψδ )b(n3 , λ3 ) dλ1 dλ2 dλ3 ,
n1 ,n2 ,n3
82
que é igual a
σ =
XZ
Fb (n, λ) (Gψδ )b(n2 , λ2 ) dλdλ2
n,n2
×
XZ
(Hψδ )b(n1 , λ1 ) (Gψδ )b(n + n2 − n1 , λ + λ2 − λ1 )
n1
=
XZ
Fb (n, λ) (Gψδ )b(n2 , λ2 ) HGψδ2 b(n + n2 , λ + λ2 ) dλdλ2
n,n2
=
=
=
XZ
Fb (n, λ)
n
n2
XZ
XZ
Fb (n, λ)
n
n2
XZ
XZ
Fb (n, λ)
XZ
"2
Fb (n, λ) −
=
(Gψδ )b(n2 , λ2 ) HGψδ2 b(n + n2 , λ + λ2 ) dλ2 dλ
Gψδ b(−n2 , −λ2 ) HGψδ2 b(n − (−n2 ) , λ − (−λ2 )) dλ2 dλ
XZ
#
Gψδ b(n2 , λ2 ) HGψδ2 b(n − n2 , λ − λ2 ) dλ2 dλ
n2
n
XZ
(Gψδ )b(n2 , λ2 ) HGψδ2 b(n + n2 , λ + λ2 ) dλ2 dλ
n
n
=
XZ
Fb (n, λ) HG2 ψδ3 b(n, λ) dλ
n
=
XZ
Fb (n, λ) HG2 ψδ3 (n, λ) dλ
n
XZ b
=
F (−n, −λ) HG2 ψδ3 (n, λ) dλ
n
= F HG2 ψδ3 b(0, 0) ,
onde usamos o fato de Fb (n, λ) = Fb (n, λ), por Fb (n, λ) ser um número real.
Como
F HG2 ψδ3 b(0, 0) ≤ F HG2 ψδ3 L1 L1
x
t
que, pela desigualdade de Hölder, é menor que
kGk2L4x L4t kHkL4x L4t kF ψδ kL4x L4t ,
concluímos que (3.101) é menor que (3.105).
83
(3.105)
Pela desigualdade periódica de Strichartz, temos que
kGkL4x L4t ≤ c kGkX0,3/8 = c kukX0,3/8 ,
(3.106)
kHkL4x L4t ≤ c kHkX0,3/8 = c kukXs,3/8 ,
(3.107)
e
que decorrem imediatamente da denição de G e H .
Como eb ∈ (1/2, 5/8) temos que 1 − eb ∈ (3/8, 1/2), e pela desigualdade de
Strichartz periódica e o lema 3.4, temos que
kF ψδ kL4x L4t ≤ c kF ψδ kX0,3/8
(3.108)
≤ cδ 5/8−b kF kX
e
0,1−e
b
≤ cδ
5/8−e
b
,
pois
kF kX
≤
τ − n2
0,1−e
b
=
τ −n
1−e
b b
F
e
2 1−b b
f
L2τ `2n
L2τ `2n
= kcn,τ kL2τ `2n ≤ 1.
Por (3.106), (3.107) e (3.108) temos que (3.101) é menor que
kwkXs,b ≤ cδ 5/8−b kuk2X0,3/8 kukXs,3/8 ≤ cδ 5/8−b kuk3Xs,3/8 .
e
e
(3.109)
Assim, temos
3
5/8−b
k(Au) (t)kXs,b ≤ c kφkHper
+
δ
kuk
s
Xs,b ,
e para δ sucientemente pequeno, dependendo de kφkHper
s , T mapeará uma
bola no espaço Xs,b nele mesmo. n
o
De fato, dada uma bola Bα = u ∈ Xs,b ; kukXs,b ≤ α , com α = 2c kφkHper
s ,
84
1
5/8−b
1
é fácil ver que Au ∈ Bα se δ ≤ 2
.
8c kφk2Hper
s
Observação 3.2. Note que este método serve não só para 0 ≤ s ≤ 1/2, mas
para todo s ≥ 0.
3.2.3 Caso s < 0
Teorema 3.7. Seja s < 0. Então o problema de Cauchy
(
iut + uxx = |u|2 u
s
.
u (x, 0) = u0 (x) ∈ Hper
(3.110)
s
não é localmente bem posto para dados em Hper
.
Demonstração. Vamos provar por redução ao absurdo.
Dado n ∈ N, observe que
un (x, t) = Ce−it(n +C ) einx ,
2
2
onde C ∈ R será determinado mais adiante, é solução do PVI
(
iut + ∂x2 u = |u|2 u
u (x, 0) = Ceinx .
(3.111)
Fixe k ∈ (0, 1) e para cada n ∈ Z, tome C = kn−s . Seja kn uma sequência,
que especicaremos depois, que converge para k . Denamos
uk,n := kn−s e−it(n +k n
2
2 −2s
) einx ,
e
rn (x, t) := uk,n (x, t) − ukn ,n (x, t) .
Note que
rn (x, t) = kn−s einx − kn n−s einx
= (k − kn ) n−s einx ,
85
(3.112)
assim,
= (k − kn ) n−s einx H s
krn ( · , 0)kHper
s
per
X
2
2 s
in (m)
=
1 + |m|
(k − kn ) n−s ec
m∈Z
=
X
2 s
1 + |m|
(k − kn ) n
m∈Z
= 1 + |n|2
=
s
1 + |n|2
|n|2
(k − kn ) n−s
−s 1
2π
2
Z π
e
inx −imx
e
dx
−π
2
!s
(k − kn )2
≤ (k − kn )2 .
Assim, quando n → ∞, temos que krn ( · , 0)kHper
→ 0.
s
Agora, dado t > 0 temos
rn (x, t) = kn−s e−it(n +k n
2 −2s
2
) einx
2
2 −2s
− kn n−s e−it(n +kn n ) einx
2 −2s
2 −2s
2
= ke−itk n − kn e−itkn n
n−s e−itn einx .
e daí
krn ( · , t)kHper
=
s
X
2 s
1 + |m|
ke
−itk2 n−2s
2 n−2s
−itkn
− kn e
m∈Z
2
in (m)
n−s e−itn ec
2
s
2 −2s
2 −2s
= 1 + |n|2 |n|−2s ke−itk n − kn e−itkn n
s
1+|n2 |
2
(k cos (−tk 2 n−2s ) − kn cos (−tk 2 n−2s ))
=
|n|2
2
+ (k sen (−tk 2 n−2s ) − kn sen (−tk 2 n−2s ))
s
1+|n2 |
(k 2 + kn2 − 2kkn cos (−tn−2s (k 2 − kn2 )))
=
|n|2
≥ 2s (2kkn − 2kkn cos (−tn−2s (k 2 − kn2 ))) ,
pois
a2 + b2 ≥ 2ab, ∀ a, b ∈ R,
86
2 |n|2 ≥ 1 + |n|2 , ∀ n ∈ Z.
Daí,
≥ 2s (2kkn − 2kkn cos (−tn−2s (k 2 − kn2 )))
krn ( · , t)kHper
s
= 2s 2kkn (1 − cos (−tn−2s (k 2 − kn2 )))
= 2s+1 kkn |1 − cos (−tn−2s (k 2 − kn2 ))|
−2s
2
2
= 2s+1 kkn 1 − e−itn (k −kn ) + isen (−tn−2s (k 2 − kn2 ))
−2s
2
2
≥ 2s+1 kkn 1 − e−itn (k −kn ) − |isen (−tn−2s (k 2 − kn2 ))|
2
−itn−2s (k2 −kn
s+1
−δ
)
≥ 2 kk
1−e
−n
,
n
para todo n ∈ N e para algum δ > 0 real tal que
n−θ ≥ sen −tn−2s k 2 − kn2
,
para todo θ ≤ δ . Supondo que a sequência (kn ) é decrescente, concluímos
que
2
−itn−2s (k2 −kn
s+1
−δ
)
kuk,n (t, ·) − ukn ,n (t, ·)kHper
≥
2
kk
1
−
e
−
n
s
n
(3.113)
−2s
2
2
≥ C 1 − e−itn (k −kn ) − n−δ ,
donde temos que tal constande C independe de n e δ , pois C = 2s+1 k 2 .
s
Como supomos que (3.110) é localmente bem-posto em Hper
, s < 0, então
lim e−itn
(
2
−2s k2 −kn
n→∞
)
− 1 = 0.
(3.114)
Observe que, se tomarmos a sequência (kn ), tal que kn2 = k 2 + αn2s+β ,
onde α, β ∈ R e β satisfaz a desigualdade 2s + β < 0, temos que
−2s
e−itn
(k2 −kn2 ) = e−itn−2s (−αn2s+β )
β
= eiαn t .
Para tal sequência, (3.114) falha.
87
Referências Bibliográcas
, The Elements of Integration and Lebesgue Measure.
Wiley Classics Library Edition Published, John Wiley & Sons, 1995.
[1]
Bartle, R.G.
[2]
Bourgain, J.
[3]
Bourgain, J.
[4]
Burq, N., Gérard, P., Tzvetkov, N.,
, Fourier Transform Restriction Phenomena for Certain
Lattice Subsets and Applications to Nonlinear Evolution Equations. Geometric and Functional Analysis. Vol. 3, No 2, 107-156, 1993.
, Global solutions of nonlinear Schrödinger equations.
American Mathematical Society colloquium publications, Vol. 46, 1999.
An Instability Property of the
Nonlinear Schrödinger Equation on S . Mathematical Research Letters
d
9, 323-335, 2002.
[5]
[6]
, An introduction to nonlinear Schrödinger equations,
third edition. Instituto de Matemática - UFRJ, Rio de Janeiro, 1996.
Cazenave, T.
Iório, R., Iório, V.,
Equações diferenciais parciais: uma introdução,
Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 1988.
[7]
Iório, R., Iório, V.,
[8]
Kreyszig, E.
[9]
Linares, F.
Fourier Analysis and Partial Dierential Equa-
tions, Cambridge University Press, 2001.
, Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley Classics Library Edition Published, John Wiley & Sons, 1989.
, Ecuaciones Dispersivas No Lineales. Caso Periódico. XX
Escuela Venezolana de Matemáticas, 2007.
88
[10] Linares, F., Ponce, G., Introduction to Nonlinear Dispersive Equations, 2a ed. Publicações Matemáticas, IMPA, Rio de Janeiro, 2006.
[11] Sulem, C., Sulem P., The nonlinear Schrödinger equation: selffocusing and wave collapse. Springer-Verlag New Yourk, Inc. 1999.
[12] Terence, T., Nonlinear dispersive equations: Local and global analysis. Regional conference series in mathematics, no 106. American Mathematical Society, 2006.
89
