Dissertação
dissertacao_2009_erikson.pdf
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O Teorema de Comparação de
Volume de Bishop-Gromov
Erikson Alexandre Fonseca dos Santos
Maceió
27 de Fevereiro de 2009
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado
O Teorema de Comparação de Volume
de Bishop-Gromov
Erikson Alexandre Fonseca dos Santos
Orientador: Profo . Dr. Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante
Maceió, Brasil
27 de fevereiro de 2009
1
Erikson Alexandre Fonseca dos Santos
O Teorema de Comparação de Volume
de Bishop-Gromov
Dissertação
de
Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-Graduação em Matemática
da Universidade Federal de Alagoas, como
parte dos requisitos necessários à obtenção
do grau de mestre em Matemática.
Orientador: Profo . Dr. Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante
Maceió
2009
2
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
S237t
Santos, Erikson Alexandre Fonseca dos.
O teorema de comparação de volume de Bishop-Gromov / Erikson Alexandre
Fonseca dos. – Maceió, 2009.
66 f.
Orientador: Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2009.
Bibliografia: f. 64.
Índice: f. 65-66.
1. Weitzenböck, Fórmula de. 2. Bishop-Gromov, Comparação de volume.
3. Comparação laplaciano. 4. Região aberta e conexa – Volume. I. Título.
CDU: 514.774
Aos meus pais Vera e Enoch,
aos meus irmão Fernando e Júnior
e à minha querida avó Terezinha,
com muito amor, dedico.
4
“A arrogância que nos leva a acreditar
que somos superiores aos outros
tem origem no medo de sermos inferiores.”
(Provérbio espiritual)
5
AGRADECIMENTOS
»
Agradeço, primeiramente, ao meu bom Deus pelo dom precioso da vida, pelo amor
incondicional e por me amparar sempre, ante tantas dificuldades que a vida nos
surpreende.
»
Agradeço à minha mãe Vera, e minha avó Terezinha pelo amor, carinho, incentivo,
presença e arrimo durante toda minha existência.
»
Agradeço ao meu pai Enoch, e aos meus irmãos Fernando e Júnior pelo amor, desvelo e
carinho em toda minha vida, ainda que contidos.
»
Agradeço à minha família, e de uma maneira muito especial aos “meus” tesouros Gustavo
e Lisianne e à minha cunhada Lindiane pelo exemplo de perseverança, pelo apoio e por
acreditarem sempre.
»
Agradeço ao meu eterno amigo César por sua presença constante, confiança, honestidade,
encorajamento, e pelas valiosas conversas, que muito contribuíram para meu crescimento
pessoal e profissional.
»
Agradeço ao meu orientador, Marcos Petrúcio, por me acompanhar desde 2005 como seu
orientando, pela paciência, confiança, incentivo, apoio, pelas conversas matemáticas e
não matemáticas, e por acreditar sempre.
»
Agradeço aos professores Antonio Caminha e Fernando Echaiz pelas valiosas, ponderadas
e relevantes sugestões acrescidas a este trabalho e por assentirem em participar da banca
6
de defesa desta dissertação.
»
Agradeço aos professores do Programa de Pós-Graduação do Instituto de Matemática da
Universidade Federal de Alagoas; em particular, aos professores Adán Corcho, Ediel
Guerra e Krerley Oliveira pela contribuição significativa à minha formação acadêmica
neste programa de Mestrado. Agradeço, de modo especial, ao professor José Adonai por
seu valioso material de Geometria Diferencial cedido, gentilmente, durante o curso da
disciplina.
»
Agradeço à Márcia e Silvinha, secretárias da Pós-Graduação, pela presteza e competência
na execução de suas atribuições em todos os momentos e, em particular, dos que mais
necessitei.
»
Agradeço a todos os colegas da Pós-Graduação deste Instituto, em particular aos da
minha turma: Arlyson, Borges, Carlos, Darliton, Everson, Leandro e Leonardo pelo
companherismo e cumplicidade sempre. Agradeço também a Eduardo pela disposição e
paciência, sempre, em compartilhar seus conhecimentos.
»
Agradeço, de maneira muito especial, a Alex, Fábio e Priscila pela sincera amizade
que sempre demonstraram, pelo companherismo, estímulo e presença constantes, pelos
valiosos fins de semana de estudo e por todos os momentos de lazer dos quais eu nunca
fui esquecido, ainda que eu não pudesse estar presente. O meu sincero afeto por vocês.
»
Agradeço a todos os colegas da Computação, que sempre se dispuseram a resolver
nossos problemas técnicos, principalmente no surto dos laptops. De maneira particular,
agradeço a Michel por sua eterna disposição em solucionar nossos problemas.
»
Agradeço a todos os colegas, servidores e professores que fazem o Instituto de Matemática
da Universidade Federal de Alagoas, e de modo particular, à D. Maria.
»
Agradeço à CAPES e à FAPEAL pelo fundamental apoio financeiro concedido durante
estes dois anos.
»
Enfim, agradeço a todos que de forma direta ou indireta contribuíram para que mais esta
etapa de minha vida fosse concluída. O meu eterno e saudoso agradecimento.
Erikson Alexandre Fonseca
7
RESUMO
N
ESTA DISSERTAÇÃO , usamos o teorema de comparação do Laplaciano para demonstrar
o teorema de comparação de volume de Bishop-Gromov, o qual assegura que, se as
curvaturas de Ricci de uma variedade Riemanniana completa são maiores ou iguais a (n − 1)k,
k uma constante real, então, para todo p ∈ M e para todo R > 0, o volume de uma bola
centrada em p e de raio R é menor ou igual que o volume de uma bola geodésica de raio R
na forma espacial de curvatura seccional constante k. Ademais, a igualdade ocorre se toda
curvatura seccional ao longo de geodésicas ligando p e x, para planos contendo o vetor radial
for constante e igual a k.
Palavras-chave: Volume de uma região aberta e conexa, fórmula de Weitzenböck, teorema
de comparação do Laplaciano, teorema de comparação de volume de Bishop-Gromov.
8
ABSTRACT
I
N THIS dissertation, we use the Laplacian comparison theorem to prove the comparison of
volume Bishop-Gromov’s theorem, which assures that if the Ricci curvatures of a complete
Riemannian manifold are larger than or equal to (n − 1)k, the volume of a ball with center in
p and radius R is smaller than or equal to the volume of a geodesic ball with radius R in the
space form of sectional constant curvature k, for all p ∈ M and R > 0, where k ∈ R. Moreover,
equality occurs if all sectional curvature throughout geodesics connecting p and x, for plans
which contain the radial vector, is constant and equal to k.
Keywords: Volume of an open and connected region, Weitzenböck’s formula, Laplacian
comparison theorem, comparison of volume Bishop-Gromov’s theorem.
9
CONTEÚDO
1
Definições Básicas
1.1 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Variedades Completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Operadores em Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
21
23
35
2
Resultados Preliminares
43
2.1 Fórmula de Weitzenböck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 O Hessiano da Função Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3
Teoremas de Comparação
52
3.1 Teorema de Comparação do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 O Teorema de Comparação de Volume de Bishop-Gromov . . . . . . . . . . . . . 59
Referências Bibliográficas
64
Índice Remissivo
65
10
LISTA DE FIGURAS
1.1
Ilustração da definição de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1
Comparação entre volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
11
INTRODUÇÃO
O
S TEOREMAS de comparação são um tópico substancialmente estudado em Geometria
Riemanniana e podem ser observados e compreendidos de diversas maneiras. Em
particular, nosso interesse estará em um dos teoremas que compara volumes, a saber, o teorema
de comparação de volume de Bishop-Gromov.
Como podemos ver em [2], R. L. Bishop demonstrou em 1964 o teorema que enunciamos a
seguir e que é o principal resultado desta dissertação:
Teorema 0.1. Seja ( M, g) uma variedade Riemanniana completa e suponhamos que, para k constante,
Ric( g) ≥ (n − 1)kg.
Então
Vol ( BR ( p)) ≤ Vol ( BRk ),
onde BRk é uma bola geodésica de raio R na forma espacial de curvatura seccional constante k. A igualdade
ocorre, se toda curvatura seccional ao longo de geodésicas ligando p e x, para planos contendo o vetor
radial, for constante e igual a k.
Entre 1982 e 1986, M. Gromov generalizou o resultado acima demonstrando que o quociente
Vol ( BR ( p))
Vol ( BRk )
é decrescente com relação a R, e em função disso, o teorema passou a receber o nome de ambos,
12
embora alguns autores o intitulem apenas como Bishop, veja a referência [3].
No primeiro dos três capítulos do nosso trabalho, iniciamos revisitando as formas
diferenciais, que serão ferramentas imprescindíveis para a elucidação da definição de volume.
Passamos, então, a fixar notações e recordar alguns conceitos de Geometria Riemanniana, como
as variedades completas, ao passo que também fazemos um estudo dos operadores Laplaciano
e Hessiano nestas variedades. Finalizamos este capítulo inicial com o estudo das curvaturas
em variedades Riemannianas.
Iniciamos o capítulo subsequente com a apresentação e demonstração de uma identidade
sobejamente utilizada em diversos contextos, bem como nesta dissertação, a saber a fórmula
de Weitzenböck, também conhecida como fórmula de Bochner-Lichnerowicz, descrita a seguir:
Proposição 0.1. Seja f : M → R uma função diferenciável. Então
1
∆ |∇ f |2 = | Hess f |2 + h∇ f , ∇(∆ f )i + Ric (∇ f , ∇ f ) ,
2
onde Hess f denota o Hessiano de f .
Concluímos esta segunda parte com uma seção que é destinada ao estudo do Hessiano da
função distância e que culmina com a seguinte proposição:
Proposição 0.2. Seja Rn munido com a métrica Riemanniana g, que em coordenadas polares é escrita
como
ds2 = dr2 + f 2 (r )dw2 ,
onde dw2 representa a métrica canônica em Sn−1 . Seja r ( x ) = d( x, p), onde d é a função distância
∂
correspondente. Então, para x = rw, r > 0, w ∈ Sn−1 e para quaisquer X, Y ortogonais a ∂r
,
Hess r ( X, Y ) =
f 0 (r )
g( X, Y ).
f (r )
Além disso,
∆r ( x ) = (n − 1)
f 0 (r )
.
f (r )
Finalizamos o terceiro capítulo desta dissertação com duas seções.
Na primeira,
enunciamos e demonstramos o teorema de comparação do Laplaciano, descrito a seguir, que
13
além de ser um teorema considerável em Geometria Riemanniana, é também a ferramenta
fundamental que usamos para o conclusão do teorema de Bishop-Gromov.
Teorema 0.2. Sejam M uma variedade Riemanniana completa e r a distância geodésica ao ponto p ∈ M.
Suponhamos que a curvatura de Ricci de M satisfaz
Ric( M) ≥ (n − 1)k
e que a função r é diferenciável no ponto x. Então
∆r ( x ) ≤ ∆rk ( xe),
onde rk ( xe) = r ( x ) = r0 , r0 < √π se k > 0, com rk sendo a distância geodésica a partir de um
k
ponto fixado numa forma espacial de curvatura seccional constante k e r é a distância geodésica a partir
de um ponto fixado numa variedade completa. A igualdade é satisfeita, se toda curvatura seccional ao
longo de geodésicas ligando p e x, para planos contendo o vetor radial for constante e igual a k.
Na segunda seção, demonstramos o teorema de comparação de volume de Bishop-Gromov,
na qual usamos como referência o livro [6]. Para isto, consideramos o Laplaciano das
funções r ( x ) e rk ( xe), a fim de usar o teorema de comparação do Laplaciano; além disso,
usamos a definição de volume de uma região aberta e conexa juntamente com integração em
coordenadas polares para concluir a demonstração.
Finalizamos nosso trabalho com um apêndice que esclarece o fato visto na expressão (3.4),
na demonstração do teorema de comparação de volume de Bishop-Gromov.
14
CAPÍTULO 1
DEFINIÇÕES BÁSICAS
N
ESTE CAPÍTULO introduzimos algumas definições e resultados básicos de Geometria
Riemanniana com o intuito de fixar algumas notações, admitindo que o leitor seja
familiarizado com os pré-requisitos que envolvem tais definições e resultados.
principais referências serão os livros [5] e [8].
Nossas
Em todo o trabalho, vamos supor que ( Mn , g) é uma variedade diferenciável conexa e
orientada de dimensão finita n ≥ 2, munida da métrica Riemanniana g, a qual denotaremos
por M apenas. A conexão de Levi-Civita de M será denotada por ∇. Como é usual, muitas
vezes escreveremos h X, Y i para denotar g( X, Y ), X, Y ∈ Tp M, p ∈ M, ou ainda, algumas
vezes também utilizaremos a notação clássica ds2 para representar a métrica Riemanniana g.
Usaremos X ( M) para denotar o conjunto dos campos de vetores de classe C ∞ em M.
1.1
Volume
Nesta seção desenvolvemos os fundamentos algébricos necessários para estudar as formas
diferenciais. Inicialmente faremos um estudo em espaços vetoriais com produto interno
e, posteriormente, o faremos em variedades Riemannianas. Maiores detalhes podem ser
encontrados nas referências [4] e [10].
Sejam E e F espaços vetoriais e ϕ : E × · · · × E → F uma aplicação definida no produto
cartesiano de r fatores iguais a E. Dizemos que ϕ é r-linear quando seus valores ϕ(v1 , . . . , vr )
15
dependem linearmente de cada uma das variáveis v1 , . . . , vr ∈ E. Com as operações usuais de
soma de duas aplicações e produto de uma aplicação por um número, o conjunto das aplicações
r-lineares ϕ : E × · · · × E → F é um espaço vetorial, e o denotaremos por Lr ( E, F ).
Dizemos que uma aplicação r-linear ϕ : E × · · · × E → F é alternada quando
ϕ ( v1 , . . . , vr ) = 0
sempre que a sequência (v1 , . . . , vr ) possuir repetições, ou seja, quando existirem i 6= j com
vi = v j . A fim de que ϕ ∈ Lr ( E, F ) seja alternada, é necessário e suficiente que ϕ seja antisimétrica, ou seja, que
ϕ ( v1 , . . . , v i , . . . , v j , . . . , vr ) = − ϕ ( v1 , . . . , v j , . . . , v i , . . . , vr )
para quaisquer v1 , . . . , vr ∈ E. De fato, escrevamos o primeiro membro da igualdade acima
como ϕ(vi , v j ). Daí, supondo ϕ alternada, temos que
0 = ϕ ( vi + v j , vi + v j ) = ϕ ( vi , vi ) + ϕ ( vi , v j ) + ϕ ( v j , vi ) + ϕ ( v j , v j )
= ϕ ( v i , v j ) + ϕ ( v j , v i ),
ou seja,
ϕ ( v i , v j ) = − ϕ ( v j , v i ).
Reciprocamente, se ϕ é antissimétrica, então
ϕ(v, v) = − ϕ(v, v).
Daí, 2 · ϕ(v, v) = 0 e ϕ(v, v) = 0. Portanto, ϕ é alternada. Denotaremos por Ar ( E, F ) o conjunto
das aplicações r-lineares alternadas de E em F. Notemos que Ar ( E, F ) é um subespaço vetorial
de Lr ( E, F ).
Estaremos interessados, de modo especial, nas aplicações r-lineares alternadas
ϕ : E × · · · × E → R, as quais chamaremos formas r-lineares alternadas ou, simplesmente,
r-formas. Denotaremos o espaço vetorial Ar ( E, R) apenas por Ar ( E). Os elementos de Ar ( E)
são também chamados formas alternadas de grau r. Por convenção, Ar ( E) = {0} para r < 0 e
A0 ( E) = R.
16
Vejamos alguns exemplos que ilustram o conceito de r-formas.
Exemplo 1.1. O determinante de uma matriz m × m é uma m-forma alternada se, para
v1 , . . . , vm ∈ Rm , pusermos det(v1 , . . . , vm ) igual ao determinante da matriz m × m cujas colunas são
os vetores v1 , v2 , . . . , vm escritos numa base fixada. Denotaremos isto simplesmente por det ∈ Am (Rm ).
Exemplo 1.2 (Produto Exterior). Seja E∗ o espaço dual de E e consideremos r funcionais lineares
f 1 , . . . , f r ∈ E∗ . Definimos o produto exterior desses funcionais como sendo a r-forma
f1 ∧ · · · ∧ fr : E × . . . × E → R
dada por
( f 1 ∧ · · · ∧ f r )(v1 , . . . , vr ) = det[ f i (v j )],
i, j = 1, . . . , r.
A seguir, enunciamos o fato mais importante a respeito das r-formas, cuja demonstração
pode ser encontrada em [10], página 401.
Teorema 1.1. Seja {ei }im=1 uma base de E∗ . As r-formas e I = ei1 ∧ · · · ∧ eir , onde I = {i1 <
· · · < ir } percorre os subconjuntos de {1, 2, . . . , m} com r elementos, constituem uma base de Ar ( E).
Em particular, dim Ar ( E) = (mr).
Um caso particular importante ocorre quando m = dim E. Neste caso, dim Am ( E) = 1, ou
seja, a menos de um fator constante, existe apenas uma forma alternada de grau m sobre um
espaço m-dimensional.
Introduziremos agora o conceito de forma de volume em um espaço vetorial. Para isto, seja
E um espaço vetorial m-dimensional, orientado,1 munido de um produto interno e seja {ei }im=1
uma base ortonormal positiva em E.
Definimos a forma de volume de E como sendo a forma vol ∈ Am ( E), dada por
vol(e1 , . . . , em ) = 1.
1 Orientar um espaço vetorial é escolher nele uma base, chamá-la de “positiva” e declarar também positivas
todas as demais bases que dela se obtenham por meio de uma matriz de passagem com determinante positivo.
17
Sabemos que, dada a sequência de vetores v1 , . . . , vm ∈ E, podemos escrever
m
v j = ∑ aij ei ,
i =1
para cada j = 1, . . . , m. Consideremos a matriz a = ( aij )m×m assim obtida. Afirmamos que
vol(v1 , . . . , vm ) = det a.
Ora, por um lado temos que det(e1 , . . . , em ) = 1. Por outro, como dim Am ( E) = 1 então, para
cada ω ∈ Am ( E), existe λ ∈ R tal que
ω (v1 , . . . , vm ) = λ det(v1 , . . . , vm )
quaisquer que sejam v1 , . . . , vm ∈ E. Pondo
vol(v1 , . . . , vm ) = ω (v1 , . . . , vm ),
segue que
vol(v1 , . . . , vm ) = λ det(v1 , . . . , vm ),
para quaisquer v1 , . . . , vm ∈ E e, em particular,
vol(e1 , . . . , em ) = λ det(e1 , . . . , em ),
donde λ = 1. Portanto,
vol(v1 , . . . , vm ) = det a.
Agora, vamos mostrar que vol independe da escolha da base que fizemos. Com efeito,
definamos a matriz
g = ( vi , v j )n×n ,
na qual o elemento situado na i-ésima linha e j-ésima coluna é o produto interno vi , v j .
18
Como
*
vi , v j
=
=
m
m
k =1
m
s =1
∑ aki ek , ∑ asj es
+
∑ aki asj hek , es i
k,s=1
m
=
∑ aki akj ,
k =1
temos que
g = a T a.
Logo,
det( g) = det a T a = [det( a)]2 ,
e, portanto,
vol(v1 , . . . , vm ) = ±
q
det( g),
onde o sinal depende da orientação tomada. A igualdade obtida acima mostra que a definição
independe da escolha de uma base.
Exemplo 1.3. Sejam {ei }in=1 a base canônica do Rn e {dxi }in=1 sua base dual. Notemos aqui que a
forma de volume de Rn é dada por dx1 ∧ · · · ∧ dxn , ou seja,
(
dx1 ∧ · · · ∧ dxn (ei1 , . . . , ein ) =
1, se 1 = i1 , . . . , n = in ,
0,
caso contrário.
Este exemplo também pode ser visto em [4], página 10.
Passamos a estudar, agora, as formas diferenciais em variedades Riemannianas, e veremos
que estas são os integrandos naturais das integrais em variedades.
Definimos a forma elemento de volume em uma variedade Riemanniana orientada M como a
aplicação que faz corresponder a cada ponto p ∈ M, a forma de volume dM do espaço tangente
Tp M, munida com a orientação induzida.
A seguir veremos como exibir a forma elemento de volume num sistema de coordenadas
locais.
19
Seja X : U → M
positiva C ∞ em torno de p = X (q) ∈ M. Neste caso,
uma parametrização
n
∂
a base coordenada Xi =
correspondente à base canônica de Rn pela parametrização
∂xi i=1
X, define a orientação positiva de Tp M . Neste sistema de coordenadas podemos escrever
a métrica em sua forma matricial, pondo G = ( gij ), onde gij :=
denotaremos por G −1 = ( gij ) sua inversa.
Xi , X j . Para uso futuro,
Sabemos que a forma pull back X ∗ (dM ) de dM é uma n-forma em U e, portanto, existe uma
(única) função diferenciável a : U → R tal que
X ∗ (dM)(q) = a(q)dx1 ∧ · · · ∧ dxn (q).
Vejamos agora que esta função é facilmente determinada. De fato, segue da nossa discussão à
página 17 que
a = X ∗ (dM )(e1 , . . . , en )
= dM( X1 , . . . , Xn )
q
det(h Xi , X j i)
=
q
=
det( gij ).
Para finalizar esta seção, vejamos como a forma elemento de volume é usada para definir o
volume de certas regiões de uma variedade Riemanniana.
Seja R ⊂ M uma região aberta e conexa cujo fecho é compacto e seja p ∈ M. Vamos supor
que R está contida na vizinhança coordenada X (U ) da parametrização X : U → M dada acima,
e que a fronteira de X −1 ( R) ⊂ U tem medida nula em Rn , como ilustra a figura 1.1.
Definimos o volume de R, que denotamos por Vol( R), como sendo a integral em Rn
Vol( R) =
Z
R
dM :=
=
Z
X −1 ( R )
Z
X −1 ( R )
20
X ∗ dM
q
det( gij )dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
(1.1)
Figura 1.1: Ilustração da definição de volume
1.2
Variedades Completas
Nesta seção recordaremos alguns fatos sobre variedades Riemannianas completas. Para
isto, dados p, q ∈ M, definimos a distância de p a q em M, que denotamos por d( p, q), como
sendo o ínfimo dos comprimentos de todas as curvas diferenciáveis por partes ligando p a q.
Como M é conexa, esta definição está bem posta.
Um primeiro fato sobre a função distância é que ela torna M um espaço métrico.
Lema 1.1. Com a distância d definida acima, toda variedade Riemanniana conexa é um espaço métrico,
tal que topologia induzida por d em M coincide com a topologia inicial de M.
Demonstração. Veja [8], página 94.
Seja α : I = [ a, b] → M uma curva suave em M. Dizemos que α é uma geodésica, se
∇α0 (t) α0 (t) = 0.
Isto significa que α tem aceleração nula na variedade. Um fato básico é que geodésicas
minimizam comprimento localmente, veja por exemplo [5].
21
Dizemos que uma geodésica é maximal quando não é possível estendê-la a um intervalo e
I
que contenha I propriamente.
Definimos o comprimento de α em M, que denotamos por l (α), pela expressão
l (α) =
onde |α0 (t)| =
q
Z
I
|α0 (t)|dt,
gα(t) (α0 (t), α0 (t)).
Uma geodésica α : I → M é dita minimizante se o seu comprimento for menor ou igual que
o comprimento de qualquer outra curva α̃, diferenciável por partes, ligando α( a) e α(b), ou
seja, se l (α) ≤ l (α̃). Da definição de distância, segue que α é minimizante se, e somente se, l (α)
é igual à distância entre seus extremos.
Dizemos que uma variedade Riemanniana é geodesicamente completa se toda geodésica
maximal está definida para todo t ∈ R. O teorema que enunciamos a seguir nos mostra
um critério simples para determinar quando uma variedade Riemanniana é geodesicamente
completa, e devido a este resultado diremos que M é, simplesmente, completa.
Teorema 1.2 (Hopf-Rinow). Uma variedade Riemanniana é geodesicamente completa se, e somente se,
é completa como espaço métrico.
Demonstração. Veja [8], página 108.
Uma consequência importante deste teorema é dada no seguinte corolário.
Corolário 1.1. M é completa se, e somente se, dois pontos quaisquer em M podem ser ligados por uma
geodésica minimizante.
Vejamos alguns exemplos que ilustram o conceito de completude.
Exemplo 1.4. O espaço Rn munido da métrica Euclidiana ds20 = dx12 + . . . + dxn2 é uma variedade
Riemanniana completa, mas Rn \ F, onde F 6= ∅ é fechado, não é completa.
Exemplo 1.5. O semiplano Rn+ = {( x1 , . . . , xn ); xn > 0}, munido da métrica Euclidiana não é
1
uma variedade Riemanniana completa. Contudo, munido da métrica hiperbólica ds2 ( p) = 2 ds20 ,
xn
p = ( x1 , . . . , xn ), é uma variedade completa.
22
Para finalizar esta seção trazemos o conceito de cut-locus de um ponto p ∈ M em uma
variedade Riemanniana completa, onde usamos como referêcia principal o livro [1].
Sabemos, do teorema de Hopf-Rinow, que a aplicação exponencial exp p (rv) com |v| = 1
está definida para todo r ∈ R e v ∈ Sn−1 (1) ⊂ Tp M. Além disso, a aplicação exponencial é
diferenciável, como pode ser visto em [5], página 73.
Agora, consideremos a aplicação ψ : v ∈ Sn−1 (1) 7→ µ(v) de modo que µ(v) ∈ ]0, ∞]
seja a cota superior do conjunto dos r’s, tal que a geodésica γ : s ∈ [0, r ] → C (s), onde
C (s) = exp p (sv), é minimizante. É claro que, para 0 < r ≤ µ(v), a geodésica γ é minimizante.
Definimos o cut-locus de p, que denotamos por Cm ( p), como o conjunto dos pontos
exp p [µ(v)v], quando v varia em Sn−1 (1).
É possível mostrar que µ(v) é uma função contínua em Sn−1 (1) com valor em ]0, ∞], veja por
exemplo, em [2] seção 11.6. Assim, o cut-locus é um subconjunto fechado de medida nula em
M, veja em [7], página 137. Então, quando M é completa, exp p , que é definida e diferenciável
em todo Rn , é um difeomorfismo de E p em Ω = exp p (E p ), onde
E p = {rv ∈ Rn ; 0 ≤ r < µ(v), v ∈ Sn−1 (1)}.
Por vezes, escrevemos M como a união disjunta dos conjuntos Ω e Cm ( p).
1.3
Operadores em Variedades
Nesta
seção
definiremos
os
operadores
Laplaciano
e Hessiano em variedades Riemannianas, os quais serão usados nos capítulos subsequentes.
Iniciamos estentendo alguns conceitos clássicos do cálculo em várias variáveis para o contexto
de variedades Riemannianas, utilizando a métrica Riemanniana e a conexão de Levi-Civita.
Dada uma função diferenciável f : M → R, definimos o gradiente de f , o que denotamos
por ∇ f , como o (único) campo vetorial em M que satisfaz
h∇ f , X i = X ( f ),
para qualquer campo vetorial X de M.
Outro conceito importante é o de divergente de um campo. Dado um campo X em M,
23
definimos o divergente de X, que será denotado por div X, como sendo a aplicação
div : X ( M) → D( M)
dada por
p 7→ div X ( p) := tr(Y ( p) → ∇Y X ( p)),
onde D( M ) denota o anel das funções diferenciáveis em M.
Agora estamos aptos à apresentar os principais conceitos desta seção.
Definimos o Laplaciano de f como a aplicação
∆f : M → R
dada por
∆ f ( p) = div(∇ f )( p).
O Hessiano de f , que denotamos por Hess f , é a forma bilinear simétrica
Hess f : X ( M ) × X ( M ) → D( M)
dada por
Hess f ( p)( X, Y ) = ( XY f )( p) − ∇ X Y ( f )( p).
De agora em diante, em geral omitiremos o ponto p explicitando, apenas, quando houver
perigo de confusão.
Podemos também definir de forma equivalente, o Hessiano de f a partir da expressão
acima. Com efeito,
Hess f ( X, Y ) = X (Y ( f )) − (∇ X Y )( f )
= X hY, ∇ f i − h∇ X Y, ∇ f i
= h∇ X Y, ∇ f i + hY, ∇ X ∇ f i − h∇ X Y, ∇ f i
= hY, ∇ X ∇ f i .
(1.2)
A fim de apresentarmos os operadores acima de forma mais palpável, introduziremos o
conceito de um referencial local.
Inicialmente, vamos fixar um sistema de coordenadas locais dado por uma parametrização
X : U → M numa vizinhança de p ∈ M. Também numa vizinhança de p iremos considerar
24
um referencial ortonormal geodésico { Ei }in=1 , ou seja, uma família { Ei } de campos de vetores
ortonormais em cada ponto de um vizinhança V de p, tal que, em p, ∇ Ei Ej ( p) = 0.
Ao longo desta dissertação faremos uso alternadamente dos campos X1 , . . . , Xn e E1 , . . . , En
em uma vizinhança de um ponto p ∈ M, conforme for mais conveniente para os cálculos. Em
alguns casos usaremos os dois referenciais e, por isso, no que segue estabelecemos como é feita
a mudança de um para o outro.
Fixado p ∈ M, temos que as coleções { Xi } e { Ei } são bases para Tp M. Daí, podemos
expressar uma em termos da outra,
n
n
Ei = ∑ aij X j
Xi = ∑ bij Ej .
e
j =1
(1.3)
j =1
Escrevendo A = ( aij )n×n e B = (bij )n×n , afirmamos que
A = B −1
G −1 = At A.
e
Observemos que isto é equivalente a mostrar que
n
δij = ∑ aik bkj
e
k =1
n
g = ∑ aki akj .
ij
(1.4)
k =1
Ora, da expressão (1.3) temos que, para quaisquer i e j,
n
Ei =
∑ aik Xk
k =1
n
=
=
∑
n
∑
aik
bkj Ej
j =1
k =1
n n
∑ ∑ aik bkj Ej .
j =1
k =1
n
n
k =1
k =1
Pela unicidade da combinação linear, se i = j, então ∑ aik bkj = 1, e caso contrário ∑ aik bkj =
0, verificando assim a primeira identidade em (1.4).
Para verificarmos a segunda identidade de (1.4), inicialmente observamos que esta é
equivalente a G = BBt , simplesmente tomando a inversa. Dessa forma, para quaisquer i e
25
j, temos
gij =
Xi , X j
n
n
=
∑ bik Ek , ∑ bjl El
k =1
n
=
l =1
∑ bik bjl hEk , El i
k,l =1
n
=
∑ bik bjk ,
k =1
que é a (i, j)-ésima entrada em BBt , provando assim a segunda parte de (1.4).
Vejamos agora como ficam os nossos operadores no referencial ortonormal geodésico
{ Ei }in=1 . Afirmamos que o gradiente de f é dado pela expressão
n
∇ f = ∑ ( Ei ( f )) Ei .
i =1
n
Com efeito, escrevendo ∇ f = ∑ bi Ei e tomando o produto interno com Ej temos
i =1
n
h∇ f , Ej i = h ∑ bi Ei , Ej i
i =1
= bj .
Por outro lado, usando a definição de gradiente,
h∇ f , Ej i = Ej ( f ),
ou seja, b j = Ej ( f ), como queríamos demonstrar.
Como consequência direta deste fato temos que
n
|∇ f |2 = ∑ Ei2 ( f ).
i =1
Usaremos este fato na demonstração da fórmula de Weitzenböck, no próximo capítulo.
26
(1.5)
n
Agora, escrevendo X =
∑ ai Ei , afirmamos que div X =
i =1
div X = tr(Y → ∇Y X ), podemos escrever
n
∑ Ei (ai ).
De fato, como
i =1
n
(div X )( p) =
∑ ∇Ei X, Ei
i =1
n
=
=
n
∑
∑ a j Ej , Ei
∇ Ei
i =1
n n
j =1
∑ ∑ ∇Ei a j Ej , Ei
i =1
j =1
n n
=
∑ ∑ (a j ∇Ei Ej + Ei (a j )Ej ), Ei
i =1
j =1
n n
=
∑ ∑ Ei (a j )Ej , Ei
i =1
n
j =1
∑ Ei (a j ) Ej , Ei
=
i,j=1
n
=
∑ Ei (ai ),
i =1
onde na quinta igualdade usamos o fato que { Ei }in=1 é um referencial geodésico em p.
Vamos obter agora as expressões dos operadores estudados anteriormente em coordenadas
locais. Para isso, vamos simplesmente utilizar as expressões do referencial { Ei }in=1 em termos
dos campos coordenados, conforme vimos em (1.3). Como antes, iniciaremos pelo gradiente.
Afirmamos que
n
n
k =1
j =1
∇f = ∑
∑ g X j ( f ) Xk .
kj
27
(1.6)
Ora,
n
∇f =
∑ (Ei ( f ))Ei
i =1
n
=
∑
aij aik X j ( f ) Xk
i,j,k=1
n n
∑
=
j,k=1
n
∑ aij aik Xj ( f )Xk
i =1
∑ g jk Xj ( f )Xk
=
j,k=1
n n
=
∑ ∑ g X j ( f ) Xk .
k =1
kj
j =1
De maneira parecida encontramos a expressão do divergente em coordenadas. Para isto
utilizaremos os símbolos de Christoffel, que são as funções Γijk determinadas pela igualdade
n
∇ Xj Xi = ∑ Γijk Xk .
(1.7)
k =1
Aqui vale observar que num sistema de coordenadas, o fato de ser ∇ simétrica implica que
∀ i, j = 1, . . . , n
∇ Xi X j − ∇ Xj Xi = [ Xi , X j ] = 0,
(1.8)
e isto é equivalente ao fato que Γijk = Γkji .
n
Também vamos precisar escrever o campo X na base coordenada, digamos X = ∑ xi Xi .
i =1
28
Assim,
n
X =
∑ x i Xi
i =1
n
=
=
∑
n
∑
xi
bij Ej
i =1
j =1
n n
∑ ∑ xi bij Ej
j =1
n
=
i =1
∑ a j Ej ,
j =1
n
onde, a j = ∑ xi bij .
i =1
Feito isto, podemos encontrar a expressão para o divergente de X da seguinte maneira
divX =
=
=
n
n
n
j =1
n
j =1
i =1
∑ Ej (a j ) = ∑ Ej ∑ xi bij
n
= ∑ Ej ( xi bij )
i,j=1
n
∑
∑
Ej ( xi )bij +
Ej (bij ) xi
i,j=1
i,j=1
n n
n n
∑ ∑ bij Ej (xi ) + ∑ ∑ Ej (bij ) xi
i =1
n
=
j =1
i =1
n n
j =1
∑ Xi (xi ) + ∑ ∑ Ej (bij ) xi .
i =1
i =1
j =1
Para concluir afirmamos que
n
n
j =1
j =1
∑ Ej (bij ) = ∑ Γij .
29
j
Com efeito, em p temos
n
∇ Xj Xi = ∇(∑nk=1 bjk Ek )
n
n
k =1
n
l =1
n
k =1
n
l =1
l =1
∑ bjk ∑ ∇Ek (bil El )
=
∑ bjk ∑ (bil ∇Ek El + Ek (bil )El )
=
∑ bjk Ek (bil )El
=
k,l =1
n
=
∑ bil El
∑
b jk Ek (bil )
k,l =1
n n
∑
=
n
∑ alm Xm
m =1
∑ alm bjk Ek (bil ) Xm .
m =1
k,l =1
Comparando a expressão acima com a expressão (1.7) dos símbolos de Christoffel, obtemos
que
n
Γijm = ∑ alm b jk Ek (bil ).
k,l =1
Logo,
n
Γij = ∑ alj b jk Ek (bil ).
j
k,l =1
e, portanto,
n
∑
j =1
j
Γij
n
=
∑
∑
n
j =1
n
=
k,l =1
n
=
n
∑ alj bjk Ek (bil )
k,l =1
∑ alj bjk Ek (bil )
j =1
∑ δlk Ek (bil )
k,l =1
n
=
∑ Ej (bij ),
j =1
30
como queríamos.
Obtemos, assim, a expressão do divergente em coordenadas, dada por
n
n
i =1
i,j=1
divX = ∑ Xi ( xi ) + ∑ Γij xi .
j
(1.9)
A seguir, demonstramos dois fatos que serão úteis para chegar à expressão do Laplaciano
em coordenadas locais. Primeiramente, afirmamos que
n
Xk ( g) = ∑ gij gXk ( gij ),
i,j=1
onde g : M → R é a função determinante da métrica, definida por g( p) = det( G ( p)) que é
sempre uma função positiva.
De fato, pela regra da cadeia temos que
n
∂g
X ( g ).
∂gij k ij
i,j=1
Xk ( g ) = ∑
(1.10)
Agora recordemos que
G
−1
(−1)i+ j
Gij
,
=
g
n×n
onde Gij é a matriz dos cofatores, ou seja, Gij é o determinante da matriz (n − 1) × (n − 1)
obtida eliminando-se a i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz G. Por outro lado, sabemos da
fórmula de Laplace, veja [9], que
n
g := det G = ∑ (−1)i+ j gij Gij ,
i =1
para qualquer j = 1, . . . , n. Portanto,
∂g
= (−1)i+ j Gij ,
∂gij
31
para quaisquer i e j. Assim,
G
−1
1 ∂g
=
g ∂gij
,
n×n
ou seja,
gij =
1 ∂g
.
g ∂gij
Daí, a expressão (1.10) pode ser reescrita da seguinte maneira
n
Xk ( g) = ∑ gij gXk ( gij ),
i,j=1
como queríamos.
Desta última conclusão, temos que
n
1
∑ gij Xk ( gij ) = g Xk ( g) = Xk (log( g)).
(1.11)
i,j=1
Agora, recordemos que a expressão dos símbolos de Christoffel em termos da métrica é
dada por
j
Γij =
1 n hj
g
X j ( gih ) + Xi ( ghj ) − Xh ( g ji ) .
2 h∑
=1
Com o auxílio desta expressão verificaremos o segundo fato, ou seja,
n
1
∑ Γij = 2 Xi (log( g)).
j
j =1
32
(1.12)
Ora,
n
1 n
n
∑ Γij = 2 ∑ ∑ ghj Xj ( gih ) + Xi ( ghj ) − Xh ( gji )
j
j =1
j =1 h =1
n
n
n
1
1
hj
hj
∑ g Xj ( gih ) + 2 ∑ g Xi ( ghj ) − 2 ∑ g Xh ( gji )
j,h=1
j,h=1
j,h=1
n
n
1
1 n hj
hj
hj
=
g
X
(
g
)
−
g
X
(
g
)
+
j ih
h ij
∑
∑ g Xi ( ghj )
∑
2
2
j,h=1
j,h=1
j,h=1
n
n
1
1 n hj
hj
hj
=
g
X
(
g
)
g Xi ( ghj )
−
g
X
(
g
)
+
h ij
h ij
∑
∑
2
2 j,h∑
j,h=1
=1
j,h=1
1
=
2
hj
=
1 n hj
g Xi ( ghj )
2 h,j∑
=1
=
1
X (log( g)),
2 i
como havíamos afirmado.
Retornando à expressão do divergente em coordenadas, vista em (1.9), e usando o fato
acima, obtemos que
divX =
n
n
n
i =1
n
i =1
j =1
∑ Xi ( x i ) + ∑ ∑
j
Γij
xi
1 n
∑ Xi (log( g))xi
2
i =1
i =1
n
1
= ∑ Xi ( xi ) + Xi (log( g)) xi .
2
i =1
=
∑ Xi ( x i ) +
33
(1.13)
Por outro lado, observemos que
√
√
1
1 √
√ Xi ( gxi ) = √ Xi ( g) xi + Xi ( xi ) g
g
g
1
1
− 12
= Xi ( x i ) + √
X ( g) g
xi
g 2 i
1 Xi ( g )
xi
= Xi ( x i ) +
2
g
1
= Xi ( xi ) + Xi (log( g)) xi ,
2
n
e a expressão (1.13) para o divergente do campo X = ∑ xi Xi pode ser reescrita como
i =1
n
√
1
divX = ∑ √ Xi ( gxi ).
g
i =1
Pela definição do Laplaciano, temos que ∆ f = div(∇ f ). Recordemos da expressão (1.6) que
n
n
k =1
j =1
∇f = ∑
∑ g X j ( f ) Xk .
kj
n
Assim, sendo f i = ∑ gkj X j ( f ), temos
j =1
n
∆ f = div ∑ f i Xi
i =1
n
=
1
√
∑ √ g Xi ( g f i )
i =1
n
n
√
1
ij
= ∑ √ Xi g ∑ g X j ( f )
g
i =1
j =1
n
√ ij
1
= √ ∑ Xi
gg X j ( f ) ,
g i,j=1
que é a expressão do Laplaciano em coordenadas locais.
34
1.4
Curvaturas
Apresentaremos nesta seção o conceito do tensor curvatura em uma variedade
Riemanniana, o qual se faz necessário para as definições de curvatura de Ricci e curvatura
escalar.
Definimos o tensor curvatura, ou simplesmente a curvatura, R de M como a aplicação
R : X ( M) × X ( M) × X ( M) → X ( M)
dada por
R( X, Y, Z ) = ∇Y ∇ X Z − ∇ X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z.
Como é usual, algumas vezes denotaremos R( X, Y ) Z por R( X, Y, Z ).
Considerando a base coordenada { Xi }in=1 de uma parametrização X : U → M em torno de
um ponto p ∈ M, podemos reescrever a definição acima da seguinte maneira
R ( Xi , X j ) X k = ∇ X j ∇ Xi X k − ∇ Xi ∇ X j X k ,
onde usamos o fato que [ Xi , X j ] = 0. Isto significa que a curvatura mede a não-comutatividade
da derivada covariante.
Ainda neste sistema, ponhamos
n
s
Xs ,
R( Xi , X j ) Xk = ∑ Rijk
(1.14)
s =1
s são como as componentes do tensor curvatura R no sistema de coordenadas
ou seja, Rijk
( X1 , . . . , X n ) .
Agora, consideremos os campos X, Y e Z de modo que
n
X = ∑ u i Xi ,
i =1
n
Y = ∑ vj Xj ,
j =1
n
e
Z = ∑ w k Xk .
k =1
Como R é trilinear, segue-se que
n
R( X, Y, Z ) =
∑
i,j,k,s=1
35
s
Rijk
u i v j w k Xs .
s em termos dos símbolos de Christoffel.
Vamos obter a expressão de Rijk
Para isto,
n
consideremos a definição de curvatura em coordenadas e a igualdade ∇ Xj Xi = ∑ Γijk Xk , vista
k =1
em (1.7).
Assim,
R ( X i , X j ) X k = ∇ X j ∇ Xi X k − ∇ Xi ∇ X j X k
n
n
l
l
= ∇ Xj ∑ Γik Xl − ∇ Xi ∑ Γ jk Xl
l =1
l =1
n
=
n
l
l
X
+
X
(
Γ
)
X
−
Γ
∇
∑ ik Xj l j ik l ∑ Γljk ∇Xi Xl + Xi (Γljk )Xl
l =1
n n
=
∑ ∑
s =1
l =1
l s
Γ jl −
Γik
n
∑
s
) − Xi (Γsjk )
Γljk Γils + X j (Γik
Xs .
l =1
l =1
Comparando a expressão acima com a igualdade vista em (1.14), obtemos
n
n
s
l s
s
) − Xi (Γsjk ).
Rijk
= ∑ Γik
Γ jl − ∑ Γljk Γils + X j (Γik
l =1
(1.15)
l =1
Feito isto, consideremos a expressão R( Xi , X j ) Xk e tomemos o produto interno dela com
Xm . Daí,
n
s
Rijkm := h R( Xi , X j ) Xk , Xm i = ∑ Rijk
gsm .
(1.16)
s =1
Definida a curvatura, podemos introduzir a noção de curvatura seccional.
Para isto,
consideremos p ∈ M e um subespaço bidimensional σ ⊂ Tp M gerado pelos vetores
linearmente independentes X, Y ∈ Tp M. Definimos a curvatura seccional de σ em p pela
expressão
K ( X, Y ) := K (σ) =
h R( X, Y ) X, Y i
.
| X |2 |Y |2 − h X, Y i2
Não é difícil de se verificar que esta definição não depende das escolhas dos geradores X e Y,
veja [5], página 104.
As variedades completas que possuem curvatura seccional constante são chamadas formas
espaciais. No teorema principal desta dissertação, trabalharemos com bolas geodésicas neste
36
tipo de variedade.
A seguir apresentamos o teorema de classificação de Cartan, o qual afirma que
essencialmente as únicas variedades Riemannianas completas, simplesmente conexas, com
curvatura seccional constante são o espaço Euclidiano Rn , a esfera unitária Sn ⊂ Rn+1 e o
espaço hiperbólico Hn de dimensão n.
Teorema 1.3 (Cartan). Seja M uma variedade Riemanniana completa, simplesmente conexa e de
curvatura seccional constante K. Então M é isométrica a:
(a) Hn , se K = −1,
(b) Rn , se K = 0,
(c) Sn , se K = 1.
Demonstração. Veja [5], página 181.
O tensor de Ricci, que denotaremos por Ric, é definido como sendo o traço do tensor R. Mais
especificamente, se { Ei }in=1 é uma base ortonormal de Tp M, então
Ric( X, Y ) = tr( Z 7−→ R( X, Z )Y )
n
=
∑ h R(X, Ei )Y, Ei i .
i =1
Exprimindo o que acabamos de fazer em um sistema de coordenadas, temos que os
coeficientes Rik := Ric( Xi , Xk ) do tensor de Ricci nesta base satisfazem as seguintes igualdades
n
n
j,s=1
j =1
Rik = ∑ Rijks g js = ∑ Rijk .
37
j
Com efeito,
n
Rik = Ric( Xi , Xk ) =
∑ h R(Xi , Em )Xk , Em i
m =1
n
=
m =1
n
=
m =1
∑ Rijks g js
∑ Rijk g ps g js
p
j,s,p=1
n
=
∑ Rijk δpj
j,p=1
n
=
s =1
n
j,s=1
n
=
j =1
∑ Rijks ∑ amj ams
j,s=1
n
=
n
∑ h R(Xi , Xj )Xk , Xs iamj ams
m,j,s=1
n
=
n
∑ h R(Xi , ∑ amj Xj )Xk , ∑ ams Xs i
p
∑ Rijk ,
j
j =1
como queríamos, onde na sétima igualdade usamos a expressão (1.16).
Para fins de aplicação futura vamos recordar a definição de derivada covariante para
tensores covariantes. Sejam T um tensor covariante de ordem r e Yi , Z ∈ X ( M ) campos
vetoriais em M, com i = 1, . . . , r. Definimos a derivada covariante ∇ T de T como o tensor
covariante de ordem (r + 1) dado por
∇ T (Y1 , . . . , Yr , Z ) = Z ( T (Y1 , . . . , Yr )) − T (∇ Z Y1 , . . . , Yr )
− · · · − T (Y1 , . . . , Yr−1 , ∇ Z Yr ).
Exemplo 1.6. Seja f : M → R uma função diferenciável. Podemos considerar f como sendo um
tensor covariante de ordem 0, e denotaremos este fato por ∇0 f . Mais geralmente, ∇k+1 f é um tensor
38
covariante de ordem k + 1, definido indutivamente da seguinte maneira:
∇k+1 f ( X1 , . . . , Xk , Y ) := Y (∇k f ( X1 , . . . , Xk )) − ∇k f (∇Y X1 , . . . , Xk )
− · · · − ∇ k f ( X1 , . . . , X k − 1 , ∇ Y X k ) .
Assim, dados X, Y ∈ X ( M), temos que ∇1 f ( X ) e ∇2 f ( X, Y ) coincidem com o gradiente de f e
com Hess f , respectivamente. Com efeito,
∇1 f ( X ) = X (∇0 f ) = X ( f )
e
∇2 f ( X, Y ) = Y (∇ f ( X )) − ∇ f (∇Y X )
= YX ( f ) − ∇Y X ( f ).
Observação 1.1. Se a conexão é simétrica, então o Hessiano também o é. De fato,
∇2 f ( X, Y ) := YX ( f ) − ∇Y X ( f )
= XY ( f ) − ∇ X Y ( f )
=: ∇2 f (Y, X )
= Hess f ( X, Y ).
Em um sistema de coordenadas locais em p ∈ M, sabemos que
f i : = d f p ( Xi ) =
∂
( f ) = h∇ f , Xi i.
∂xi
39
Daí,
f kj = ∇2 f ( Xk , X j )
∂
=
∇ f ( Xk ) − ∇ f ∇ X j Xk
∂x j
n
∂
∂f
l ∂
− ∇ f ∑ Γ jk
=
∂x j ∂xk
∂xl
l =1
=
n
∂2 f
∂f
− ∑ Γljk
.
∂x j ∂xk l =1
∂xl
(1.17)
De maneira inteiramente análoga, poderíamos calcular as componentes f kji de um tensor
covariante de ordem 3, ∇3 f , cuja expressão é dada por:
f kji =
n
n
∂ f kj
l
f lj − ∑ Γijl f lk .
− ∑ Γik
∂xi
l =1
l =1
(1.18)
Agora, provaremos dois fatos importantes que usaremos na demonstração da fórmula de
Weitzenböck, no capítulo 2.
Observação 1.2. Considerando umsistema de coordenadas
normais em torno de p ∈ M, ou seja, uma
∂
parametrização E : U → M tal que Ei :=
é uma base ortonormal em p e Γijk ( p) = 0, temos que
∂xi
f ijj = f jij . Ora,
f ijj − f jij = ∇3 f ( Ei , Ej , Ej ) − ∇3 f ( Ej , Ei , Ej )
= Ej ∇2 f ( Ei , Ej ) − ∇2 f (∇ Ej Ei , Ej ) − ∇2 f ( Ei , ∇ Ej Ej )
− Ej ∇2 f ( Ej , Ei ) + ∇2 f (∇ Ej Ej , Ei ) + ∇2 f ( Ej , ∇ Ej Ei )
= 0,
(1.19)
em p. Observamos ainda que o sistema de coordenadas normais pode ser considerado como sendo um
referencial ortonormal geodésico num ponto fixo p ∈ M, ou seja, os cálculos feitos com o sistema de
coordenadas normais valem também para um referencial ortonormal geodésico.
n
Observação 1.3. Considerando a expressão do gradiente, dada por ∇ f = ∑ f i Ei , e usando o fato que
i =1
40
f i = ∇ f ( Ei ), afirmamos que
n
∆ f = ∑ f ii .
(1.20)
i =1
Com efeito, usando as definições do Laplaciano e da derivada covariante, obtemos em p que
∆ f = div(∇ f ) = div
n
∑ fi Ei
i =1
n
∑ Ei ( fi )
=
i =1
n
∑ Ei ∇ f (Ei )
=
i =1
n
∑ ∇2 f (Ei , Ei ) + ∇ f (∇Ei Ei )
=
i =1
n
∑ ∇2 f (Ei , Ei )
=
i =1
n
∑ fii .
=
i =1
Finalizaremos esta seção provando a Identidade de Ricci que, assim como os dois fatos
anteriores, será utilizada na demonstração da fórmula de Weitzenböck.
Lema 1.2. (Identidade de Ricci) Sejam f : M → R uma função diferenciável e E : U → M um
sistema de coordenadas normais em torno de p. Usando as notações acima temos que, para quaisquer
1 ≤ i, j, k ≤ n, vale a igualdade:
n
s
f kji = f kij + ∑ Rijk
fs.
s =1
Demonstração. Vimos em (1.17) e (1.18) que as expressões de f kj e f kji são dadas por:
f kj =
n
∂f
∂2 f
− ∑ Γljk
∂x j ∂xk l =1
∂xl
e
f kji =
41
n
n
∂ f kj
l
− ∑ Γik
f lj − ∑ Γijl f lk .
∂xi
l =1
l =1
(1.21)
Usando a simetria dos símbolos de Christoffel, segue que
n
n
∂ f kj ∂ f ki
l
−
− ∑ Γik
f lj + ∑ Γljk f li .
∂xi
∂x j
l =1
l =1
f kji − f kij =
(1.22)
Por outro lado,
n
n
∂ f kj
∂2 f
∂3 f
∂
∂f
− ∑ Γljk
.
=
−∑
(Γljk )
∂xi
∂xi ∂xk ∂x j l =1 ∂xi
∂xl l =1
∂xi ∂xl
Daí,
∂ f kj ∂ f ki
−
∂xi
∂x j
n
n
n
n
2
∂
∂2 f
∂
l ∂f
l ∂f
l
l ∂ f
= −∑
(Γ )
(Γ )
−
+
+
.
Γ jk
Γik
∂xi jk ∂xl l∑
∂xi ∂xl l∑
∂x j ik ∂xl l∑
∂x j ∂xl
l =1
=1
=1
=1
Substituindo a expressão acima em (1.22), obtemos
n
n
n
n
2
∂f
∂
∂2 f
∂
l ∂f
l ∂ f
)
(Γljk )
− ∑ Γljk
+∑
(Γik
+ ∑ Γik
∂xi
∂xl l =1
∂xi ∂xl l =1 ∂x j
∂xl l =1 ∂x j ∂xl
l =1
!
!
n
n
n
n
2
2
∂ f
∂f
∂ f
∂f
l
− ∑ Γik
− ∑ Γsjl
+ ∑ Γljk
− ∑ Γils
.
∂xl ∂x j s=1 ∂xs
∂xl ∂xi s=1 ∂xs
l =1
l =1
f kji − f kij = − ∑
Novamente pela simetria dos índices inferiores dos símbolos de Christoffel após alguns
cancelamentos e usando (1.15), vemos que
f kji − f kij =
=
n
n
n
s =1
n
l =1
l =1
∑ ∑ Γikl Γsjl − ∑ Γljk Γils + Xj (Γiks ) − Xi (Γsjk )
!
fs
s
fs,
∑ Rijk
s =1
o que completa a prova deste lema.
Observação 1.4. Observemos que, para este resultado, a função f precisou apenas ser C3 .
42
CAPÍTULO 2
RESULTADOS PRELIMINARES
N
ESTE CAPÍTULO demonstramos resultados importantes que nos auxiliarão na prova
dos teoremas de comparação, que estudaremos no próximo capítulo. Os fatos aqui
demonstrados tiveram [6] como principal referência.
2.1
Fórmula de Weitzenböck
Mostramos nesta seção a fórmula de Weitzenböck, uma identidade básica utilizada em
vários contextos e que nos será útil na demonstração do teorema de comparação do Laplaciano.
Proposição 2.1 (Fórmula de Weitzenböck). Seja f : M → R uma função diferenciável. Então
1
∆ |∇ f |2 = | Hess f |2 + h∇ f , ∇(∆ f )i + Ric (∇ f , ∇ f ) ,
2
onde Hess f denota ao Hessiano de f .
Demonstração. Consideremos um sistema de coordenadas normais E : U → M,
em torno de p ∈ M. Como usual, poremos
f i = Ei ( f ) =
∂
( f ) = h∇ f , Ei i.
∂xi
43
∂
Ei =
,
∂xi
Recordemos de (1.5) que a norma do gradiente de f nesse sistema de coordenadas é dada por
n
|∇ f |2 = ∑ f i2 .
i =1
Derivando a expressão acima em relação a j, obtemos
n
n
i =1
i =1
(|∇ f |2 ) j = ( ∑ f i2 ) j = 2 ∑ f i f ij ,
ou seja,
n
1
(|∇ f |2 ) j = ∑ f i f ij .
2
i =1
Derivando, novamente, a expressão acima em relação a j, temos que
n
1
(|∇ f |2 ) jj = ∑ ( f ij2 + f i f ijj ).
2
i =1
n
Daí, somando em j e usando o fato que ∆ f = ∑ f jj , visto em (1.20), para a função |∇ f |2
j =1
obtemos
1
∆ |∇ f |2 =
2
n
n
j =1
n
i =1
∑ ∑
( f ij2 + f i f ijj )
∑ ( fij2 + fi fijj ).
=
(2.1)
i,j=1
Visto que o Hessiano de uma função é um 2-tensor covariante simétrico, segue que f ijj = f jij ,
como vimos em (1.19). Este fato e a identidade de Ricci, vista em (1.21), nos mostram que
n
f ijj = f jij = f jji + ∑ Rsjij f s .
s =1
Substituindo esta última igualdade em (2.1), vemos que
1
∆ |∇ f |2 =
2
n
∑ [ fij2 + fi ( f jji + Rsjij f s )].
i,j,s=1
44
Portanto,
1
∆ |∇ f |2 =
2
n
n
n
i,j=1
i,j=1
∑ fij2 + ∑ fi f jji + ∑ Rsjij f s fi
i,j,s=1
n
n
i =1
i,s=1
= | Hess f |2 + ∑ f i (∆ f )i + ∑ Rsi f s f i
n
= | Hess f |2 + h∇ f , ∇(∆ f )i + ∑ Ric( Es , Ei ) f s f i
i,s=1
= | Hess f | + h∇ f , ∇(∆ f )i + Ric
2
n
n
∑ f s Es , ∑ fi Ei
s =1
i =1
= | Hess f | + h∇ f , ∇(∆ f )i + Ric ∇ f , ∇ f ,
2
o que finaliza a demontração da fórmula de Weitzenböck.
2.2
O Hessiano da Função Distância
O caráter local dos resultados desta seção nos permitem trabalhar num aberto U ⊂ Rn do
espaço Euclidiano munido de uma métrica Riemanniana g, que em coordenadas polares (r, w)
pode ser escrita como
ds2 = dr2 + f 2 (r )dw2 ,
(2.2)
onde dw2 representa a métrica canônica em Sn−1 .
Nesse contexto, inicialmente, observamos que fixado p ∈ U, se r ( x ) := d( x, p) é a função
distância induzida por g, então
∇r =
∂
,
∂r
∂
é o vetor velocidade das geodésicas dadas pelas curvas
onde, para cada w fixado em Tp M, ∂r
r 7−→ exp p (rw), com exp denotando a aplicação exponencial.
De fato, por um lado, temos que
∂
∇r,
∂r
=
45
∂r
= 1.
∂r
(2.3)
via definição de gradiente. Por outro,
∂
∇r,
∂wi
=
∂r
= 0,
∂wi
∂
pois, r não depende dos wi0 s. Assim, ∇r é um múltiplo de ∂r
e, pela expressão (2.3), o múltiplo
de ∇r é igual a 1. Logo,
∇r =
∂
,
∂r
como afirmamos.
A seguir, apresentamos o principal resultado dessa seção, o qual usaremos na demonstração
do teorema de comparação do Laplaciano.
Proposição 2.2. Seja Rn munido com a métrica Riemanniana g em coordenadas polares, vista em (2.2).
∂
Então, para x = rw, r > 0, w ∈ Sn−1 , para quaisquer X, Y ortogonais a ∂r
, temos
Hess r ( X, Y ) =
f 0 (r )
g( X, Y ).
f (r )
Além disso,
∆r ( x ) = (n − 1)
f 0 (r )
.
f (r )
(2.4)
Demonstração. Inicialmente consideremos X, Y campos de vetores tangentes ao conjunto de
nível r = c, onde c é uma constante positiva. Daí, considerando a função r e usando a expressão
(1.2), temos que
Hess r ( X, Y ) =
∂
Y, ∇ X
∂r
.
∂
Sejam agora ∂x∂n = ∂r
o campo normal à hiperesfera r = c e ∂x∂ , . . . , ∂x∂ os campos
1
n −1
coordenados tangentes à tal hiperesfera. Dessa forma, para quaisquer 1 ≤ i, j ≤ n − 1, temos
46
que
∂ ∂
,
∂xi ∂x j
Hess r
!
∂
∂
=
,∇ ∂
∂xi ∂x n
∂x j
n
∂
k ∂
= ∑
,Γ
∂x j ni ∂xk
k =1
n
∂
k ∂
,
= ∑ Γni
∂x
∂x j
k
k =1
n
=
∑ Γkni gkj .
k =1
Agora, encontraremos uma expressão para Γkni nesse sistema de coordenadas. Para isto,
usaremos a fórmula dos símbolos
de
E Christoffel em termos dos coeficientes da métrica, vista
D
∂ ∂
em (1.12), e o fato que gni = ∂r , ∂x = 0, ∀ i = 1, . . . , n − 1. Assim,
i
Γkni
1 n kl
=
g
2 l∑
=1
∂gln ∂gli ∂gni
+
−
∂xi
∂xn
∂xl
1 n kl ∂gli
g
.
2 l∑
∂r
=1
=
(2.5)
Por outro lado, como g(r, w) = dr2 + f 2 (r )dw2 , segue que
gkl = f −2 (dw2 )kl
e
∂gli
= 2 f f 0 (dw2 )li ,
∂r
k, l = 1, . . . , n − 1.
Retornando para (2.5) com as expressões acima, temos que
Γkni =
=
1 n −2
f (dw2 )kl 2 f f 0 (dw2 )li
2 l∑
=1
f0
δ .
f ik
47
Daí,
Hess r
∂ ∂
,
∂xi ∂x j
!
f0
∑ f δik gkj
k =1
f0 ∂ ∂
=
,
.
f ∂xi ∂x j
n
=
∂
, então
Portanto, usando linearidade, se X e Y são ortogonais a ∂r
f0
g( X, Y ).
f
Hess r ( X, Y ) =
Para mostrar a segunda parte da proposição, observemos que dada a aplicação bilinear
Hess r : X ( M ) × X ( M) → R, para p ∈ M fixado, sabemos que existe uma aplicação linear
A : X ( M) → X ( M)
dada por
h AX, Y i = Hess r ( X, Y ).
Ademais, trA = tr(Hess r ) e se A( Xi ) = aij X j , então
D
E
Hess r ( Xi , Xk ) = h A( Xi ), Xk i = aij X j , Xk = aij g jk ,
ou seja,
aij = g jk Hess r ( Xi , Xk ).
Daí,
∆r = tr(Hess r ) = trA
n −1
=
∑g
0
ik f
i =1
= ( n − 1)
48
f
g ( Xi , X k )
f0
.
f
Um caso particular da proposição anterior, pode ser visto no seguinte resultado:
Proposição 2.3. Seja r : M −→ R a função dada por r ( x ) = d( x, p). Então,
Hess r
∂ ∂
,
∂r ∂r
= 0.
∂
, então
Ademais, se X ⊥ ∂r
Hess r
∂
,X
∂r
= 0.
Demonstração. Sabemos que, para cada w fixado em Tp M, as curvas r 7−→ exp p (rw) são
∂
geodésicas com vetor velocidade ∂r
. Este fato e a definição do Hessiano para a função r nos
dão
∂ ∂
∂
∂
∂
Hess r
,
=
r − ∇∂
r
∂r ∂r
∂r ∂r
∂r ∂r
∂
(1)
=
∂r
= 0,
e isto demonstra a primeira parte da proposição.
Para provar a segunda parte, vemos que
Hess r
∂
∂r
∂
,X
∂r
∂
= Hess r X,
∂r
∂
∂
= X
(r ) − ∇ X
(r )
∂r
∂r
∂ ∂
= − ∇X ,
,
∂r ∂r
(r ) = X (1) = 0.
Pela compatibilidade da métrica, segue que
pois X
Hess r
∂
,X
∂r
1
= − X
2
49
∂ ∂
,
∂r ∂r
.
Por fim, como as geodésicas radiais são parametrizadas pelo comprimento de arco, concluímos
que
Hess r
∂
,X
∂r
1
= − X (1) = 0,
2
como queríamos.
Como aplicação das duas proposições que acabamos de mostrar, apresentamos o seguinte
exemplo:
Exemplo 2.1. Vamos calcular o Laplaciano da função distância rk , considerando a métrica
dr2 + f k2 (r )dw2 ,
onde
√
1
√ sin(r k),
se k > 0
k
f k (r ) =
r,
se k = 0
√
1
√
sinh(r −k), se k < 0.
−k
Diferenciando a função f k (r ) temos que
√
se k > 0
cos(r k ),
f k0 (r ) =
1,
se k = 0
√
cosh(r −k), se k < 0.
Usando o resultado das duas proposições acima, vemos que
√
k cot(r k ) g
1
k=0⇒
Hess r = g
r √
√
k < 0 ⇒ Hess rk = −k coth(r −k ) g.
k>0⇒
Portanto,
Hess rk =
√
k cot(r k ),
se k > 0
1
1
∆r =
,
se k = 0
n−1 k
r
√
√
−k coth(r −k), se k < 0.
√
√
50
(2.6)
É possível mostrar que, usando a expressão (2.6) da métrica obtém-se, após alguns cálculos com a
fórmula (1.15), que a curvatura seccional é constante e igual a k. Daí, pelo teorema de classificação de
Cartan (teorema 1.3), se k > 0 existe uma isometria entre esta métrica e a métrica da esfera Sn de raio
1
que tem curvatura seccional constante k. Se k < 0, a métrica (2.6) é isométrica à métrica do espaço
k2
hiperbólico Hn , também com curvatura seccional constante igual a k e, por fim, quando k = 0, obtemos
a isometria entre a tal métrica e a métrica canônica do Rn em coordenadas polares.
51
CAPÍTULO 3
TEOREMAS DE COMPARAÇÃO
N
ESTE CAPÍTULO faremos a demonstração do principal resultado desta dissertação. Para
isto, usaremos alguns fatos vistos nos capítulos anteriores e o teorema de comparação
do Laplaciano, que introduzimos a seguir.
3.1
Teorema de Comparação do Laplaciano
Teorema 3.1 (Comparação do Laplaciano). Sejam M uma variedade Riemanniana completa e r a
distância geodésica ao ponto p ∈ M. Suponhamos que a curvatura de Ricci de M satisfaz
Ric( M) ≥ (n − 1)k
e que a função r é diferenciável no ponto x. Então
∆r ( x ) ≤ ∆rk ( xe),
onde rk ( xe) = r ( x ) = r0
e
r0 < √π
k
se
(3.1)
k > 0, com rk sendo a distância geodésica a partir de um
ponto fixado numa forma espacial de curvatura seccional constante k e r é a distância geodésica a partir
de um ponto fixado numa variedade completa. A igualdade ocorre, se toda curvatura seccional ao longo
de geodésicas ligando p e x, para planos contendo o vetor radial for constante e igual a k.
52
Demonstração. Como
Hess r
∂ ∂
,
∂r ∂r
=0 e
Hess r
∂
,X
∂r
= 0,
∀X⊥
∂
,
∂r
concluímos que o Hessiano da função r possui um autovalor igual a zero. Este fato e a
desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada às matrizes Hessiano de r e Identidade nos dão
| Hess r |2 ≥
(∆r )2
.
n−1
(3.2)
Com efeito,
T
tr Hess r |h ∂ i⊥ · Id |h ∂ i⊥
∂r
= |hHess r, Idi|
∂r
≤ | Hess r | · |Id|,
onde omitimos |h ∂ i⊥ , por comodidade. Daí
∂r
| Hess r |2 · |Id|2 = | Hess r |2 · (n − 1) ≥ |∆r |2
= (∆r )2 ,
pois
|Id|2 = tr(Id · IdT ) = n − 1.
Logo,
| Hess r |2 ≥
(∆r )2
.
n−1
Do fato que |∇r | = 1 e fazendo uso da fórmula de Weitzenböck para a função r, obtemos
0 = | Hess r |2 + h∇r, ∇(∆r )i + Ric (∇r, ∇r )
∂
2
, ∇(∆r ) + Ric (∇r, ∇r )
= | Hess r | +
∂r
∂
= | Hess r |2 + ∆r + Ric (∇r, ∇r )
∂r
= | Hess r |2 + (∆r )0 + Ric (∇r, ∇r ) .
53
Agora, consideremos ϕ = ∆r.
Usando a hipótese sobre a curvatura de Ricci e a
desigualdade (3.2) na expressão acima, vemos que
0 = | Hess r |2 + ϕ0 + Ric (∇r, ∇r )
ϕ2
≥
+ ϕ0 + Ric (∇r, ∇r )
n−1
ϕ2
≥
+ ϕ0 + (n − 1)k.
n−1
(3.3)
Vamos estudar o caso da igualdade na expressão anterior. Para isto, consideremos a aplicação
f0
ψ = ∆rk = (n − 1) k
fk
e vejamos que ψ satisfaz tal igualdade, onde rk é a função distância sobre a variedade de
curvatura seccional constante k e
√
1
√
sin
(
r
k ),
se k > 0
k
f k (r ) =
r,
se k = 0
√
1
√
sinh(r −k ), se k < 0.
−k
Ora, supondo k = 0, temos que
fk = r
Daí
ψ=
( n − 1)
r
f k0 = 1.
e
ψ0 = −
e
( n − 1)
.
r2
Logo,
ψ2
( n − 1) ( n − 1)
+ ψ 0 + ( n − 1) k =
−
= 0.
n−1
r2
r2
Para o caso k > 0, vemos que
√
1
f k = √ sin(r k )
k
e
54
√
f k0 = cos(r k ).
Assim,
√
ψ=
√
cos(r k )
√
k ( n − 1)
sin(r k)
e
ψ0 = −
k ( n − 1)
√ ,
sin2 (r k )
donde,
√
ψ2
cos2 (r k )
k ( n − 1)
0
√ + ( n − 1) k
+ ψ + ( n − 1) k = k ( n − 1) 2 √ −
n−1
sin (r k) sin2 (r k )
k ( n − 1) − k ( n − 1)
√
= 0.
sin2 (r k )
=
Finalmente supondo k < 0, obtemos que
√
1
sinh(r −k )
fk = √
−k
Daí,
ψ=
√
√
cosh(r −k )
√
− k ( n − 1)
sinh(r −k)
√
f k0 = cosh(r −k).
e
e
ψ0 = −
k ( n − 1)
√
.
sinh2 (r −k )
Portanto,
√
2
ψ2
k ( n − 1)
cosh
(
r
−k)
√
√
−
+ ( n − 1) k
+ ψ 0 + ( n − 1) k = − k ( n − 1)
2
n−1
sinh (r −k ) sinh2 (r −k)
=
k ( n − 1) − k ( n − 1)
√
= 0,
sinh2 (r −k)
donde ψ satisfaz a igualdade em (3.3).
Como ψ é injetiva em seu domínio, é possível escolher uma função contínua θ (t), definida
em [0, r0 ), de modo que
Daí,
(
θ (0) = 0
ψ(θ (t)) = ϕ(t).
ϕ2 ( t )
ψ2 (θ (t))
+ ϕ 0 ( t ) + ( n − 1) k ≤ 0 =
+ ψ0 (θ (t)) + (n − 1)k,
n−1
n−1
o que nos dá
ϕ0 (t) ≤ ψ0 (θ (t)).
55
Como
ϕ0 (t) = ψ0 (θ (t)) · θ 0 (t),
segue que
ψ0 (θ (t)) · θ 0 (t) ≤ ψ0 (θ (t)).
Visto que ψ0 (t) < 0, temos θ 0 (t) ≥ 1 e assim
θ (t) ≥ t.
Do fato de ψ ser decrescente, obtemos que
ϕ(t) = ψ(θ (t)) ≤ ψ(t).
Portanto,
∆r ( x ) ≤ ∆rk ( xe).
Se a igualdade vale em (3.1), então todas as desigualdades na demonstração tornam-se
igualdades. Em particular, a igualdade em (3.2) ocorre se, e somente se, Hess r |h ∂ i⊥ = λId, λ
∂r
∂ ∂
uma constante. Como Hess r ∂r , ∂r = 0 então, neste caso, o termo ann da matriz Hessiano de
r é nulo e, assim,
| Hess r |2 = (n − 1)λ2 .
Por outro lado, como ∆r = ∆rk , ou seja, ϕ = ψ, temos que
| Hess r |2 =
ψ2
.
n−1
Logo,
λ=
ψ
,
n−1
ψ
e isto nos dá que o Hessiano de r tem n − 1 autovalores iguais a n−1 . Para finalizar a
demonstração deste resultado, devemos verificar que
∂
K ej,
∂r
56
= k,
x
k uma constante. Para isto, provaremos uma afirmação que será útil na finalização da prova
do teorema.
n
o
∂
Afirmação 3.1. Consideremos a base B = e1 , . . . , en−1 , ∂r
de vetores ortonormais que diagonaliza o
Hessiano de r. Afirmamos que
∇e j
∂
∂r
=
ψ
e.
n−1 j
∂
Com efeito, vamos escrever ∇e j ( ∂r
) na base B . Assim,
∇e j
Como
∂ ∂
∇e j ,
∂r ∂r
∂
∂r
n −1
= ∑ αk ek + αn
k =1
= αn
e
∂ ∂
∇e j ,
∂r ∂r
∂
.
∂r
1
= ej
2
segue-se que
αn = 0,
ou seja,
∂ ∂
∇e j ,
∂r ∂r
= 0.
Para i 6= j, temos
∂
∇ e j , ei
∂r
αi = 0
para todo
= Hess r (e j , ei ) = 0,
isto é,
i 6= j.
Dessa forma, obtemos que
∇e j
Visto que α j =
D
∇e j ∂r∂ , e j
E
∂
∂r
= αj ej.
= Hess r (e j , e j ) = λ, temos
∇e j
∂
∂r
=
ψ
e,
n−1 j
57
∂ ∂
,
∂r ∂r
=0
provando assim a afirmação.
Temos, portanto,
∂
K ej,
∂r
∂ ∂
= R ej, , , ej
∂r ∂r
∂
∂
∂
=
∇e j ∇ ∂
− ∇ ∂ ∇e j
− ∇[e , ∂ ]
, ej
j
∂r
∂r
∂r
∂r
∂r
∂r
∂
ψ
e j + ∇[e , ∂ ]
, ej
= − ∇∂
j ∂r
∂r
n−1
∂r
∂
ψ
∂
= − ∇∂
ej, ej − ∇
, ej + ∇
, ej
∂
∇e j ∂r
∇ ∂ ej
∂r
n−1
∂r
∂r
∂r
E
ψ D
∂
ψ0
−
∇ ∂ ej, ej − ∇ ψ , ej
= −
∂r
n−1 n−1
n−1 e j ∂r
*
+
∂
+
∇
,e
∂
∂
∂r j
∇ ∂ e j ,ei ei + ∇ ∂ e j , ∂r
∂r
( )
( )
∂r
∂r
0
ψ
ψ
∂
∂
=−
−
∇ e j , e j + ∇ ( ∂ ) e j , ei
∇ ei , e j
∂r
n−1 n−1
∂r
∂r
∂
∂
+
∇( ∂ ) e j ,
∇ ∂ , ej
∂r
∂r ∂r
∂r
0
ψ
ψ
ψ
ψ
−
e , e + ∇ ( ∂ ) e j , ei
e ,e
= −
∂r
n−1 n−1
n−1 j j
n−1 i j
ψ0
ψ2
ψ
= −
−
∇( ∂ ) e j , ei δij
−
∂r
n − 1 ( n − 1)2 ( n − 1)
ψ2
1
ψ0 +
= −
n−1
( n − 1)
1
= −
[−k(n − 1)]
n−1
= k,
x
o que nos mostra que a curvatura seccional ao longo de geodésicas, ligando p e x, é constante
e igual a k, finalizando assim a demonstração do teorema.
58
3.2
O Teorema de Comparação de Volume de Bishop-Gromov
Nesta seção provamos o teorema de comparação de volume de Bishop-Gromov, que é uma
aplicação do teorema de comparação do Laplaciano e o principal resultado de nosso trabalho.
Teorema 3.2 (Comparação de Volume de Bishop-Gromov). Seja M uma variedade Riemanniana
completa e suponhamos que, para k constante,
Ric( g) ≥ (n − 1)kg.
Então
Vol ( BR ( p)) ≤ Vol ( BRk ),
onde BRk é uma bola geodésica de raio R na forma espacial de curvatura seccional constante k. A igualdade
ocorre, se toda curvatura seccional ao longo de geodésicas ligando p e x, para planos contendo o vetor
radial, for constante e igual a k.
Figura 3.1: Comparação entre volumes
Demonstração. Como vimos em (2.4), a expressão do Laplaciano em coordenadas polares é
dada por
∆r ( x ) = (n − 1)
f 0 (r )
.
f (r )
Sabendo que g = det( gij ) e considerando a métrica g em coordenadas polares como sendo
ds2 = dr2 + f 2 (r )dw2 ,
59
vista em (2.2), segue que
g = f 2( n −1) .
Assim
√
donde
g = f n −1 ,
√
( g ) 0 = ( n − 1 ) f n −2 f 0 .
Daí,
∆r = (n − 1)
n
f
f2
= ( n − 1) n f 0
f
f
f0
f
f n −2
= ( n − 1 ) n −1 f 0
f
√ 0
g
=
√ .
g
Analogamente, obtemos que
∆rk = (n − 1)
f k0
fk
0
gk (r )
p
.
gk (r )
p
=
Do teorema de comparação do Laplaciano temos que ∆r ≤ ∆rk , e assim para qualquer ω vale
(
p
g(r, ω ))0
( gk (r ))0
p
≤ p
.
g(r, ω )
gk (r )
p
Da desigualdade acima, vemos que
p
g(r, ω )
p
gk (r )
!0
p
=
gk (r )(
p
p
p
g(r, ω ))0 − g(r, w)( gk (r ))0
gk (r )
≤ 0.
60
Daí, como pode ser visto no apêndice,
p
g(r, ω )
lim p
= 1,
r →0
gk (r )
(3.4)
e assim, segue que
q
g(r, ω ) ≤
q
gk (r ),
para todo r > 0.
Por fim, usando a definição de volume vista em (1.1) e integração em coordenadas polares
e, lembrando também que Ω = exp p (E p ) tem medida total, como vimos na seção 1.2, obtemos
Vol ( BR ( p)) =
=
=
Z
BR ( p )
dM
Z
BR ( p)∩Ω
dM
√
Z
BR (0)∩E p
≤
√
Z
BR (0)∩E p
gdrdω
gk drdω
= Vol ( BRk ),
como queríamos.
Quanto à igualdade, ela decorre do teorema de comparação do Laplaciano.
61
APÊNDICE
Neste apêndice apresentamos a justificativa para o limite visto na expressão (3.4) na
demonstração do teorema de comparação de volume de Bishop-Gromov.
Consideremos ( X, U ) um sistema de coordenadas normais em torno de p ∈ M, com
X (0) = p. Isto significa que
gij (0) = δij
∇ Xj Xi ( p) = 0,
e
como podemos ver, por exemplo, em [8] Proposição 5.11, página 78. Assim, na expansão de
Taylor para gij , não aparecem termos de ordem 1. Mais precisamente,
gij ( x ) = δij + O(| x |2 ),
ou seja, existem constantes C > 0 e ε > 0 tais que
| gij ( x ) − δij | ≤ C | x |2 ,
∀ x ∈ B(0, ε) ⊂ U.
Dessa forma, também obtemos uma expansão para o determinante g = det( gij ), com
i, j = 1, . . . , n, a saber
g( x ) = 1 + O(| x |2n ),
62
a qual pode ser escrita como
C | x |2n − 1 ≤ g( x ) ≤ 1 + C | x |2n .
Claramente obtemos a mesma expansão para a métrica gk de uma forma espacial de
curvatura seccional constante k, mudando apenas a constante, digamos Ck . Assim, obtemos
que
1 + C | x |2n
C | x |2n − 1
g( x )
≤
≤
,
gk ( x )
Ck | x |2n − 1
1 + Ck | x |2n
para valores de x próximos de 0.
Em particular, concluímos que
p
lim p
x →0
g( x )
gk ( x )
como queríamos.
63
= 1,
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Aubin, T., Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry, Springer, 1998.
[2] Bishop, R. L., Crittenden, R.J. Geometry of manifolds, Academic Press, New York-London,
1964.
[3] Chavel, I., Riemannian Geometry - A Modern Introduction, Cambridge University Press,
Second Edition, 2006.
[4] do Carmo, M. P., Differential Forms and Applications, Springer-Verlag, 1994.
[5] do Carmo, M. P., Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 3a edição,
2005.
[6] Escobar, J. F., Topics in PDE’S and Differential Geometry, XII Escola de Geometria
Diferencial, 2002.
[7] Gallot, S., Hulin, D., Lafontaine, J., Riemannian Geometry, Springer-Verlag, Berlin, 1987.
[8] Lee, J. M., Riemannian Manifolds - An Introduction to Curvature, Springer, 1997.
[9] Lima, E. L., Álgebra Linear, Coleção Matemática Universitária, IMPA, Rio de Janeiro, 7a
edição, 2006.
[10] Lima, E. L., Curso de Análise volume 2, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 9a edição,
2006.
64
ÍNDICE REMISSIVO
r-formas, 16
métrico, 22
vetorial orientado, 17
Aplicação
r-linear, 15
Fórmula de Weitzenböck, 43
alternada, 16
Forma
alternada de grau r, 16
de volume de um espaço vetorial, 17
anti-simétrica, 16
Base coordenada, 20
elemento de volume em variedade, 19
Bola geodésica, 59
espacial, 36
pull back, 20
Comprimento de curva, 22
Curvatura, 35
componentes da, 35
Geodésica, 21, 45, 49, 52
maximal, 22
de Ricci, 35, 52, 54
escalar, 35
seccional, 36
constante, 51, 54
minimizante, 22
radial, 50
Gradiente, 23
em coordenadas locais, 27
Cut-locus, 23
Derivada Covariante, 38
Hessiano, 23, 24
da função distância, 45
Distância, 21
Divergente, 24
em coordenadas locais, 31
Identidade de Ricci, 41
Laplaciano, 23, 24
em coordenadas locais, 34
Espaço
em coordenadas polares, 59
hiperbólico, 51
65
Métrica
canônica, 45
da esfera, 51
do espaço hiperbólico, 51
Produto exterior, 17
Referencial ortonormal geodésico, 25
Símbolos de Christoffel, 32, 42, 47
Sistema de coordenadas normais, 40, 43, 62
Tensor
curvatura, 35
de Ricci, 37
Teorema
de Hopf-Rinow, 22
de classificação de Cartan, 37
de Comparação
do Laplaciano, 52
de Volume de Bishop-Gromov, 59
Variedade
Riemanniana, 59
completa, 22, 52
geodesicamente completa, 22
Volume, 20
66
