Dissertação
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IM
MATEMÁTICA – UFAL
O PROBLEMA DE CAUCHY PARA AS
EQUAÇÕES KdV E mKdV
por
Carlos Alberto Silva dos Santos
sob a orientação de
Prof. Dr. Amauri da Silva Barros
Maceió – Fevereiro – 2009
Universidade Federal de Alagoas - UFAL
Instituto de Matemática - IM
Programa de Pós-graduação em Matemática
O Problema de Cauchy para as
equações KdV e mKdV
Dissertação submetida à Banca Examinadora designada pelo colegiado do Programa de Pós-Graduação em Matemática da
Universidade Federal de Alagoas - UFAL,
como requisito parcial para obtenção do
tı́tulo de Mestre em Matemática.
Maceió, 12 de fevereiro de 2009.
Banca Examinadora :
.
À minha avó (em memória), aos meus
pais Aristeu e Eunice e aos meus
irmãos José Cicero, Valéria e Cristiano.
Agradecimentos
Ao meu “Papai do Céu”, que nunca desiste de minha vida e insiste em me
abençoar mesmo sem eu merecer. Tenho plena consciência que sem Ele não
estaria aqui, sem Ele não sou nada e não posso nada - “Te amo Senhor”.
À minha querida avó Maria e aos meus avôs que estão ao lado de Deus
torcendo pelo meu sucesso e dos meus irmãos.
Aos meus queridos pais Aristeu e Eunice que me sustentam com seu amor.
Aos meus amados irmãos José Cicero, Valéria e Cristiano, pelo grande amor
que me dão.
À minha famı́lia que sempre acreditou em mim, em especial à minha prima
Alcira, pelo apoio e incentivo.
Aos meus amigos em especial a Silvanilda, presente de Deus, por todo apoio,
incentivo e carinho.
Ao Prof.
Dr.
Amauri da Silva Barros pela orientação nesse trabalho de
dissertação, pelo incentivo, pela paciência durante este tempo e por ter acreditado em mim desde o princı́pio - “Que Deus o abençoe”.
Pelo companheirismo de todos os alunos e amigos que fazem parte do Instituto de Matemática e do Programa de Pós-graguação em Matemática, em especial
pela amizade de Alex Santana, Arlyson Alves, Darliton Romão, Everson Feitosa,
Erikson Alexandre, Fábio Bóia, Isnaldo Isaac, Leandro Favacho e Priscila Ramos,
pessoas com quem dividi tantos momentos alegres e também os não tão alegres
durante esses dois anos.
Aos professores deste Instituto que contribuı́ram na minha formação acadêmica.
Destaco a presença dos professores: Prof.
Dr.
Adán José Corcho
Fernández, por quem tive a honra de ser orientado no projeto de Iniciação
Cientı́fica e no Trabalho de Conclusão de Curso da Graduação; Prof. Antonio
José S. C. de Gusmão, pelo incentivo, pela grande contribuição acadêmica e
principalmente pela amizade; Prof. Dr. Hilário Alencar da Silva, pelo incentivo
e pelas dicas; e Prof. Francisco Vieira Barros e Prof. Paulo Roberto Lemos de
Messias que foram de grande importância, visto que foram professores não só
nas disciplinas desse curso, mas em humildade, desempenho, respeito, e ensinamento para minha vida.
Ao Prof. Dr Lucas Catão de Freitas Ferreira pela revisão e contribuição deste
trabalho na etapa final.
Aos funcionários desta Universidade, pela eficiência e presteza, especialmente
a “Dona Maria”.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior (CAPES) e
a Fundação de Âmparo a Pesquisa do Estado de Alagoas (FAPEAL), pelo apoio
financeiro. Apoio esse que proporcionou um maior desenvolvimento acadêmico,
incentivando a pesquisa, e assim ao meu crescimento.
Enfim, a todos que direta ou indiretamente contribuı́ram para a realização
deste trabalho. Deus abençoe a todos.
Carlos Alberto Silva dos Santos.
Resumo
Neste trabalho demonstraremos que o problema de Cauchy associado as equações de Korteweg-de Vries, denotada por KdV, e de Korteweg-de Vries modificada, denotada por mKdV, com dado inicial no espaço de Sobolev H s (R), é bem
posto localmente em H s (R), com s > 3/4 para a KdV e s ≥ 1/4 para a mKdV,
onde a noção de boa postura inclui a existência, unicidade, a propriedade de
persistência da solução e dependência contı́nua da solução com relação ao dado
inicial. Este resultado é baseado nos trabalhos de Kenig, Ponce e Vega em [6]. A
técnica utilizada para obter tais resultados se baseia no Teorema do Ponto Fixo
de Banach combinada com os efeitos regularizantes do grupo associado com a
parte linear.
7
Abstract
In this work we will demonstrate that the Cauchy problem associated with
the Korteweg-de Vries equation, denoted by KdV, and Korteweg-de Vries modified
equation, denoted by mKdV, with initial data in the space of Sobolev H s (R), is
locally well-posed on H s (R), with s > 3/4 for KdV and s ≥ 1/4 for mKdV, where the
notion of well-posedness includes existence, uniqueness, persistence property of
solution and continuous dependence of solution with respect to the initial data.
This result is based on the works of Kenig, Ponce and Vega in [6]. The technique
used to obtain these results is based on fixed point Banach theorem combined
with the regularizantes effects of the group associated with the linear part.
8
Sumário
Resumo
7
Abstract
8
Introdução
11
1 Preliminares
13
1.1 Resultados Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2 Interpolação de Operadores
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3 A Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3.1 A Transformada em L1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.3.2 O Espaço de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.3.3 Operação de Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.4 Distribuições Temperadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.5 Os Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.6 Espaços de Banach Mistos e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . .
31
2 Grupo Associado à KdV Linear
33
2.1 KdV Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.2 Propriedades do Operador associado à KdV . . . . . . . . . . . . . .
34
2.3 Estimativas Lineares
39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 O problema de Cauchy para a equação KdV em espaços de Sobolev
H s (R), com s > 3/4
48
9
4 O Problema de Cauchy para a equação mKdV em espaços de Sobolev
H s (R), com s ≥ 1/4
61
5 Considerações finais - Propriedades da equação KdV
71
5.1 Sólitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5.2 Sistemas Integráveis e Leis de Conservação . . . . . . . . . . . . . .
74
5.3 Scaling (Solução tipo escala) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.4 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Referências Bibliográficas
80
10
Introdução
Consideremos a famı́lia
∂u ∂ 3 u
∂u
+ 3 + uk
=0
∂t
∂x
∂x
(1)
das conhecidas equação Korteweg-de Vries generalizada de ordem k e denotada
por k-gKdV.
Nesta trabalho estudaremos o problema de Cauchy também chamado de
Problema de Valor Inicial ou simplesmente PVI
3
∂u + ∂ u + uk ∂u = 0
∂t
∂x3
∂x
u(x, 0) = u0 (x)
(2)
para k = 1, 2. Para o caso k = 1 temos a conhecida equação Korteweg-de Vries
denotada por KdV. A equação no caso k = 2 é chamada de equação modificada
Korteweg-de Vries e denotada por mKdV.
A equação de Korteweg-de-Vries batizada dessa forma devido a seus criadores Diederik Johannes Korteweg e Gustav de Vries, teve como base para sua
criação as observações de John Scott Russell durante o século XIX. Russell, engenheiro naval britânico, primeiro observou o que se denominou a grande “onda
de translação”(a onda solitária). Isto ocorreu enquanto ele observava o movimento de um barco, que era puxado rapidamente ao longo de um estreito canal
por um par de cavalos, quando o barco repentinamente parou, formando assim uma grande elevação solitária, um arredondamento, suave e bem-definido
monte d’água, que continuou seu curso ao longo do canal aparentemente sem
mudança de forma ou diminuição de velocidade. Ele a seguiu sobre seu cavalo
11
até perdê-la na curva do canal. Após 1834, Russell dedicou-se a este tópico
experimentalmente, e aparentemente verificou ser de interesse matemático.
O trabalho de Diederik Johannes Korteweg e Gustav de Vries em 1895 mostrou
que o mesmo estava correto. Neste trabalho eles deduziram uma equação para
o movimento de ondas d’água baixas, regularmente pequenas, e por esse meio
encontraram exemplos de ondas viajantes uniformes.
Existe uma relação importante entre estas duas equações dada pela transformação de Miura, ver [17].
As equações KdV e mKdV tem infinitas leis de conservações, do tipo polinomial, isto é, funcionais do tipo A(u) que são invariantes com o tempo quando
u satisfaz a equação. em consideração, ver [17] e [18]. Para a equação k-gKdV
temos as seguintes leis de conservação, ver [18],
Z
Z
A1 (u) =
u(x, t)dx =
u0 (x)dx,
R
Z
A2 (u) =
R
u2 (x, t)dx =
R
Z
u20 (x)dx,
R
e
Z
2
k+2
((∂x u) − ck u
A3 (u) =
Z
)(x, t)dx =
R
R
d
u0
dx
2
!
− ck uk+2
0
(x)dx,
onde ck = 2 {(k + 1)(k + 2)}−1 .
Para estudarmos o problema (2) precisaremos de alguns conceitos que serão
mencionados no capı́tulo 1, e principalmente de uma introdução à teoria de
grupos que será feita no capı́tulo 2.
Nos capı́tulos 3 e 4 estão todo o desenvolvimento dos cálculos necessários
para alcançarmos o objetivo principal do trabalho que é mostrar a existência e
unicidade de solução para o problema (2) numa certa classe.
Já no capı́tulo 5 faremos nossas considerações finais apresentando algumas
propriedades da equação KdV.
12
Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo temos como objetivo apresentar a teoria necessária para o desenvolvimento dos capı́tulos posteriores deste trabalho. As demonstrações de
alguns teoremas e lemas serão omitidas, mas indicaremos precisamente onde
encontrá-las.
1.1
Resultados Básicos
Nesta seção escreveremos algumas desigualdades e teoremas, que serão aplicados nos próximos capı́tulos. Resultados importantes como a desigualdade de
Hölder, Teorema do Ponto Fixo de Banach e o Teorema da Função Implı́cita.
Estes resultados constituem ferramentas necessárias para obtermos certas estimativas que aparecem no contexto deste trabalho.
Definição 1.1 Seja p ≥ 1. Denotaremos por Lp (R) o espaço das funções mensuráveis com a norma p finita, isto é
(
Lp (R) =
Z
f : R → R mensurável : kf kLp = kf kp =
|f (x)|p dx
1/p
)
<∞ ,
R
o número kf kp é a norma de f . Se p = ∞, então
||f ||∞ = inf {c : |f (x)| ≤ c, x ∈ R} .
Segue que Lp (R) é um espaço de Banach, ver [11], Lp (R) é espaço de Hilbert se
13
e somente se p = 2. Neste caso o produto interno definido é dado por
Z
< f, g >=
f (x)g(x)dx.
R
Alem disso, Lq (R) é o espaço dual de Lp (R) satisfazendo a relação
1 1
+ = 1.
p q
Lema 1.1 (Desigualdade de Hölder) Sejam f ∈ Lp (R) e g ∈ Lq (R) onde p, q ≥ 1 e
1 1
+ = 1. Então f g ∈ L1 (R) e
p q
kf gkL1 ≤ kf kLp kgkLq .
(1.1)
A demonstração deste resultado pode ser vista em [1].
Lema 1.2 (Desigualdade Integral de Minkowski) Seja 1 ≤ p ≤ ∞. Então
|f (x, y)| dx
R
p1
p
Z Z
dy
Z Z
≤
R
p
p1
|f (x, y)| dy
R
dx.
R
A demonstração deste resultado pode ser vista em [1].
Lema 1.3 Seja α ∈ (0, 1) e p, q, p1 , p2 , q2 ∈ (1, ∞), q1 ∈ (1, ∞] tal que
1
1
1
1
1
1
=
+
e =
+ .
p
p 1 p2 q
q 1 q2
Então
kDα F (f )kLpx Lq ≤ c kF 0 (f )|kLpx1 Lq1 kDα f kLpx2 Lq2
T
T
T
A demonstração deste resultado pode ser vista em [6]. O mesmo será utilizado
na demonstração de algumas desigualdades do capı́tulo 4.
Lema 1.4 Seja α ∈ (0, 1), α1 , α2 ∈ [0, α] onde α = α1 +α2 . Seja p, p1 , p2 , q, q1 , q2 ∈ (1, ∞)
1
1
1
1
1
1
tal que =
+
e =
+ . Então
p
p1 p2 q
q1 q 2
kDxα (f g) − f Dxα g − gDxα f kLpx Lq ≤ c kDxα1 f kLpx1 Lq1 kDxα2 gkLpx2 Lq2 .
T
T
T
(1.2)
Além disso, para α1 = 0 o valor q1 = ∞ é escolhido.
A demonstração deste resultado pode ser vista em [6]. O mesmo será utilizado
na demonstração de algumas desigualdades dos capı́tulos 3 e 4.
14
Teorema 1.1 (Teorema do Ponto Fixo de Banach.) Sejam M um espaço métrico
completo, onde M 6= Ø, e f : M → M uma contração. Então f possui um único ponto
fixo em M , isto é, existe x ∈ M tal que f (x) = x.
A demonstração deste resultado pode ser vista em [7].
1.2
Interpolação de Operadores
A seguir enunciaremos resultados básicos sobre interpolação de operadores
nos espaços Lp e o teorema de Stein, ver [8], que serão usados na demonstração
da desigualdade (2.21).
Definição 1.2 Seja F a faixa definida por F = {z = x + iy : 0 ≤ x ≤ 1}. Suponhamos que para cada z ∈ F corresponde um operador linear Tz . A famı́lia de
operadores {Tz } é chamada admissı́vel se a aplicação
Z
z 7→
(TZ f )gdν
Y
é analı́tica no interior de F, contı́nua sobre F e existe uma constante a < π tal que
−a|y|
e
Z
log
(TZ f )gdν
Y
é uniformemente limitada na faixa F.
Definição 1.3 Seja 0 < α < n. O potencial de Riez de ordem α, denotado por Iα é
definido por
Z
Iα f (x) = cα
f (y)
dy = cα kα ∗ f (x),
n−α
R |x − y|
(1.3)
onde cα = π n/2 2α Γ(n/2 − α/2), e Γ é a função gama, definida por
Z ∞
Γ(s) =
e−t ts−1 dt.
0
Teorema 1.2 (Hardy-Littlewood-Sobolev) Seja 0 < α < n, 1 ≤ p < q < ∞, com
1
1 α
= − .
q
p n
15
1. Se f ∈ Lp (R), então a integral (1.3) é absolutamente convergente para quase
todo ponto x ∈ R
2. Se p > 1, então Iα é do tipo (p, q), isto é,
||Iα f || ≤ cp,α,n ||f ||p .
(1.4)
A demonstração deste resultado pode ser vista em [10].
Teorema 1.3 (Stein) Supondo que {Tz } , z ∈ F, seja uma famı́lia admissı́vel de
operadores satisfazendo
kTiy f kq0 ≤ M0 (y) kf kp0 e
kT1+iy f kq1 ≤ M1 (y) kf kp1
para todas funções simples f ∈ Lp1 , onde 1 ≤ pj , qj ≤ ∞, Mj (y), j = 0, 1, são
independentes de f e satisfazem a desigualdade
sup
eb|y| log Mj (y) < ∞,
−∞<y<∞
para algum b < π. Se 0 ≤ t ≤ 1, existe uma constante Mt tal que
kTt f kqt ≤ Mt kf kpt ,
para toda funcão simples f e
1
1−t
t
1
1−t
t
=
+ ,
=
+ .
pt
p0
p1 qt
q0
q1
A demonstração deste resultado pode ser vista em [8].
1.3
A Transformada de Fourier
Nesta seção estudaremos as principais propriedades da transformada de
Fourier no espaço L1 . Dedicaremos uma sub-seção ao estudo desta no espaço
de Schwarz S(R), ressaltando a grande riqueza da transformada de Fourier neste
espaço. Para finalizar, definiremos a convolução para funções não-periódicas.
16
1.3.1
A Transformada em L1
Definição 1.4 Se f : R → C é uma função integrável em cada intervalo [a, b] e
Z b
Z
|f (x)| dx = a→−∞
lim
|f (x)| dx = kf k1 < ∞
(1.5)
R
b→+∞
a
diremos que f é absolutamente integrável.
Notemos que se f é absolutamente integrável, então
Z b
Z
−iξx
−iξx
f (x) e
dx
f (x)e
dx = a→−∞
lim
R
b→+∞
a
Z b
=
f (x) [cos ξx − i sin ξx] dx
lim
a→−∞
b→+∞
a
Z b
=
f (x) cos ξxdx − i
lim
a→−∞
b→+∞
Z b
a
f (x) sin ξxdx ,
a
e este limite existe. Portanto, podemos definir a transformada de Fourier para
uma função absolutamente integrável como segue
Definição 1.5 A função fb : R → C dada por
Z
−1/2
b
f (x) e−iξx dx , ξ ∈ R
f (ξ) = (2π)
(1.6)
R
é chamada transformada de Fourier da função f : R → C.
Denotaremos por L1 o espaço das funções f : R → C absolutamente integráveis, isto é, integravéis em qualquer intervalo [a, b] e satisfazendo (1.5).
Vamos, a partir de agora, voltar nosso estudo para a verificação de algumas
propriedades da transformada de Fourier.
Proposição 1.1 Sejam f, g : R → C absolutamente integráveis, então:
(i) (f + λg)b(ξ) = fb(ξ) + λb
g (ξ) , ∀λ ∈ C , ∀ξ ∈ R;
(ii) fb (ξ) = fb(−ξ) , ∀ξ ∈ R;
(iii) se y ∈ R e fy (x) = f (x − y) , x ∈ R , fby (ξ) = fb(ξ) e−iξy ;
17
(iv) fb(x) ≤ (2π)−1/2 kf k1 , ∀ξ ∈ R.
Demonstração:
Provaremos apenas os itens (i) e (iv). Os outros podem ser vista em [19].
(i) Usando a linearidade da integral temos as seguintes igualdades
−1/2
Z
[(f + λg) (x)]e−iξx dx
Z
Z
−1/2
−iξx
−iξx
f (x) e
dx + λ g (x) e
dx
= (2π)
R
R
Z
Z
−1/2
−1/2
−iξx
= (2π)
f (x) e
dx + λ · (2π)
g (x) e−iξx dx
(f + λg)b(ξ) = (2π)
R
R
R
= fb(ξ) + λb
g (ξ) .
(iv) Finalmente,
fb(ξ)
=
−1/2
Z
f (x) e−iξx dx
(2π)
−1/2
ZR
≤ (2π)
−1/2
f (x) e−iξx dx
ZR
|f (x)| dx
= (2π)
R
= (2π)−1/2 kf k1 .
Teorema 1.4 Seja f ∈ L1 . Então sua transformada de Fourier fb é uniformemente
contı́nua em R.
Demonstração:
Como f é absolutamente integrável, então dado > 0, existe uma constante
M > 0 tal que
√
Z
|f (x)| dx <
|x|>M
18
2π
.
4
Seja N > 0 tal que N ≥ kf k1 . Como a função y → eiy é contı́nua em y = 1,
existe δ1 > 0 tal que
√
2π
|y| < δ1 ⇒ eiy − 1 <
.
2N
Mas então, se δ = δ1 /M ,
|η| < δ ⇒ |xη| < δ1 , ∀x ∈ [−M, M ]
e portanto, como |eiηx − 1| ≤ 2, |η| < δ ⇒ ∀ξ ∈ R ,
Z
Z
1
−i(ξ+η)x
−iξx
fb(ξ + η) − fb(ξ) = √
f (x)e
dx − f (x)e
dx
2πZ R
R
1
|f (x)| e−i(ξ+η)x − e−iξx dx
≤ √
2π ZR
1
= √
|f (x)| e−iξx e−iηx − 1 dx
2π ZR
1
= √
|f (x)| eiηx − 1 dx
2π ZR
Z
1
1
iηx
= √
|f (x)| e − 1 dx + √
|f (x)| eiηx − 1 dx
2π |x|≤M
2π |x|>M
√
Z
Z
1
2π
1
< √
|f (x)| dx + √ 2
|f (x)| dx
2π 2N
2π |x|>M
|x|≤M
<
kf k1 + ≤ .
2N
2
Proposição 1.2 Se f ∈ L1 , então
lim fb(ξ) = 0.
|ξ|→∞
Demonstração:
Tomemos > 0 e, a seguir, um intervalo [−a, a] tal que
Z
|f (x)| dx < /2.
|x|>a
Por outro lado, a proposição anterior assegura que
Z a
lim
e−ixξ f (x)dx = 0.
|ξ|→∞
−a
19
Logo, para |ξ| > ξ0 , para um ξ0 conveniente, temos
Z a
fb(ξ) ≤
e
−ixξ
Z
|f (x)| dx < .
f (x)dx +
−a
|x|>a
O principal objetivo da teoria é recuperar a função f através de sua transformada. Nem sempre é possı́vel alcançar esse objetivo. Na verdade, queremos
provar a fórmula da inversão
1
f (x) = √
2π
Z
fb(ξ)eiξx dξ.
(1.7)
R
O espaço L1 é “muito grande” para podermos inverter a transformada de
Fourier: se f ∈ L1 nem sempre fb ∈ L1 , logo a integral acima pode não existir.
1.3.2
O Espaço de Schwartz
Definição 1.6 O Espaço de Schwartz, que denotaremos por S = S (R), é a coleção
das funções f : R → C infinitamente diferenciáveis em R tais que, para quaisquer
que sejam α, β ∈ Z+ , existe uma constante Cα,β com
xα f (β) (x) ≤ Cα,β , ∀x ∈ R,
(1.8)
onde f (β) é a β-ésima derivada de f .
Proposição 1.3 Se f ∈ S(R), então a função g(x) = xα f (β) (x) também está em S(R)
quaisquer que sejam α, β ∈ Z+ .
Demonstração:
0
0
A função g é infinitamente diferenciável e xα g (β ) (x), quaisquer que sejam
α0 , β 0 ∈ Z+ , é uma soma finita de termos da forma xn f (m) (x), logo limitada.
Proposição 1.4 Se f ∈ S(R) então f ∈ L1 .
20
Demonstração:
Em cada intervalo [−M, N ], a função f é contı́nua, e, portanto, limitada e
integrável, o que implica que |f | seja integrável aı́.
Para mostrar que a integral imprópria de f converge, usamos (1.8) com α =
2 e β = 0 para fazer a seguinte estimativa
x2 f (x) ≤ C2,0 ⇒ |f (x)| ≤
C2,0
, x 6= 0.
|x2 |
Então
Z
Z
|f (x)| dx ≤ C2,0
|x|≥1
|x|−2 dx = 2C2,0
|x|≥1
e, daı́,
Z 1
Z
|f (x)| dx ≤
|f (x)| dx + 2C2,0 < ∞.
−1
R
Agora podemos iniciar o estudo do tema central desta seção, a saber, o comportamento da transformada de Fourier em S(R).
Teorema 1.5 Seja f ∈ S (R). Então f (α) ∈ S (R) para todo α ∈ N e
(f α )b(ξ) = (iξ)α fb(ξ), ξ ∈ R.
(1.9)
Demonstração:
Já vimos que f (α) ∈ S (R) para todo α ∈ N. Agora note que integrando por
partes obtem-se,
0
−1/2
(f )b(ξ) = (2π)
Z
f 0 (x) e−iξx dx
R
Z
−1/2
−iξx x=∞
−iξx
= (2π)
f (x) e
|x=−∞ − (−iξ)f (x) e
dx
R
Z
−1/2
−iξx x=∞
−iξx
= (2π)
f (x) e
|x=−∞ + iξ f (x) e
dx
R
= iξ fb(ξ) , ξ ∈ R
pois os termos de fronteira são nulos uma vez que f ∈ S (R).
21
Agora, vamos utilizar indução simples bem como integração por partes para
concluir a demonstração. Suponha que a sentença é válida para todo β ∈ N tal
que β < α.
Então,
−1/2
α
Z
f (α) (x) e−iξx dx
(f )b(ξ) = (2π)
R
Z
−1/2
(α−1)
−iξx
(α−1) −iξx +∞
(x) e
dx
= (2π)
f
e
|−∞ + iξ f
R
= iξi
α−1 α−1 b
ξ
f (ξ)
= iα ξ α fb(ξ) .
O teorema acima, apesar de seu aspecto inocente, tem extrema relevância
dα
na teoria. Ele nos diz que o operador
agindo em S (R) é transformado no
dxα
operador de multiplicação por (iξ). Por exemplo se α = 2 temos,
2
df
− 2 b(ξ) = ξ 2 fb(ξ) .
(1.10)
dx
Isso nos permite transformar equações diferenciais ordinárias em equações
algébricas e nos pemitirá, mais tarde, reduzir equações diferenciais parciais a
equações diferenciais ordinárias.
Tendo em vista as observações precedentes, é natural tentar identificar a
imagem de S (R) sob a transformada de Fourier e descobrir se podemos invertêla.
Proposição 1.5 Se f ∈ S (R) então fb será infinitamente diferenciável e
fˆ(β) (ξ) = (−i)β xβ f b(ξ) .
(1.11)
Demonstração:
Pelo fato de podermos derivar abaixo do sinal de integral quantas vezes quisermos, mostramos que fb é infinitamente diferenciável e
Z
∂
−1/2
(β)
ˆ
f (ξ) = (2π)
f (x) e−iξx dx
∂ξ
R
22
= (2π)
−1/2
= (−i)β
Z
(−ix)β f (x) e−iξx dx
R
β
x f b.
Agora, podemos começar a identificar a imagem de S (R) sob a transformada
de Fourier provando o seguinte o seguinte teorema:
Teorema 1.6 Se f ∈ S (R) então fb ∈ S (R).
Demonstração:
Se α , β ∈ Z+ , usando a proposição 1.6 e o teorema 1.3, obtemos
ξ α fˆ(β) (ξ) = (−i)β+α (iξ)α xβ f b(ξ)
α
d
β+α
β
= (−i)
x f b(ξ)
dxα
= gb (ξ) ,
dα
xβ f . Então, vemos que g ∈ S ⊆ L1 , logo, gb é limitada, isto é,
onde g = (−i)β+α dx
α
ξ α fˆ(β) (ξ) é limitada, o que prova que fb ∈ S.
Assim, podemos saber quem é o espaço das transformadas de S:
Teorema 1.7 A transformada de Fourier F define uma bijeção linear de S em si
mesmo e sua inversa é dada por
Z
1
−1
∨
F f (x) = f (x) = √
f (ξ) eiξx dξ, x ∈ R, f ∈ S.
(1.12)
2π R
Observe que, se soubermos que F : S → S é uma bijeção, as fórmulas
Z
1
f (x) = √
fb(ξ)eiξx dξ
(1.13)
2π R
e (1.12) são equivalentes. De fato, se (1.13) é válida, como F é uma bijeção, toda
f ∈ S é da forma f = gb para algum g ∈ S e portanto
Z
Z
1
1
−1
−1
iξx
F f (x) = F Fg (x) = g (x) = √
gb (ξ) e dξ = √
f (ξ) eiξx dξ;
2π R
2π R
reciprocamente, se (1.22) é válida,
Z
1
−1
−1 b
f (x) = F Ff (x) = F f (x) = √
fb(ξ) eiξx dξ
2π R
23
1.3.3
Operação de Convolução
Definição 1.7 Se f ∈ L1 e g : R → C é limitada e seccionalmente contı́nua em
qualquer intervalo fechado, a convolução de f e g é a função f ∗ g : R → C definida
por
Z
(f ∗ g) (x) =
f (y) g (x − y) dy, x ∈ R.
(1.14)
R
Uma observação importante a fazer é a de que, a integral em (1.14) converge,
pois como g é limitada, existe M > 0 tal que
|g (x)| ≤ M, ∀x ∈ R,
e portanto
Z
|f (y) g (x − y)| ≤ M |f (y)| ⇒
|f (y) g (x − y)| dy ≤ M kf k1 < +∞.
R
O estudo da convolução para funções de L1 é bem delicado. Se f e g são
funções de L1 , não é verdade, em geral, que o produto f g pertença a L1 ; portanto,
para tais funções a integral em (1.14) pode não estar definido para todo x. Por
esse motivo, vamos estudar a convolução no espaço de Schwarz, que é um bom
espaço para a convolução; mostraremos mais adiante que a convolução de fato
define uma operação em S.
Lema 1.5 Se f, g ∈ S, então f ∗ g ∈ CC (R) ∩ L1 e
kf ∗ gk ≤ kf k1 kgk1 .
(1.15)
Demonstração:
Como a função F (x, y) = f (y) g (x − y) é infinitamente diferenciável e, para
cada x fixo, F (x, ·) e todas as suas derivadas estão em S (logo, em particular, em
L1 ), pelo teorema 2.1 do capı́tulo 9 de [19], podemos ver que f ∗ g é infinitamente
diferenciável.
24
Para mostrar então que f ∗ g ∈ L1 e que vale a desigualdade (1.15), é suficiente
mostrar que
Z b
|(f ∗ g) (x)| dx ≤ kf k1 kgk1
a
quaisquer que sejam a, b ∈ R com a < b. De fato,
Z b
Z b Z
| (f ∗ g) (x) |dx =
|f (y) g (x − y)| dy dx
a
a
R
Z bZ
≤
a
Z b
=
|f (y)| |g (x − y)| dy dx
Z n
|f (y)| |g (x − y)| dy dx
lim
R
a n→+∞
−n
Z b
lim Gn (x) dx,
=
a n→+∞
onde
Z n
|f (y)| |g (x − y)| dy.
Gn (x) =
−n
Pelo fato de Gn ∈ C (R), logo para trocar a ordem da integral com o limite
acima basta mostrar que o limite é uniforme (veja o teorema 1.4 do capı́tulo 7 de
[19]): de fato, como g é limitada, existe M > 0 tal que
|g (x)| ≤ M, ∀x ∈ R;
por outro lado, como f ∈ L1 , dado > 0 existe N ∈ N tal que
Z
|f (x)| dx <
|x|≥N
;
M
então, qualquer que seja x ∈ R, n ≥ N implica que
Z +∞
Gn (x) −
Z
|f (y)| |g (x − y)| dy
−∞
≤
|f (y)| |g (x − y)| dy
|y|≥n
Z
≤ M
|f (y)| dy < ,
|y|≥n
logo Gn converge uniformemente para
Z
|f (y)| |g (x − y)| dy
G (x) =
R
25
e portanto
Z bZ n
Z b
| (f ∗ g) (x) |dx ≤
a
|f (y)| |g (x − y)| dy dx
lim
n→+∞
a
−n
Z b
Z n
dx |g (x − y)| dx dy
dy |f (y)|
lim
a
−n
Z
Z
≤
|f (y)| |g (x − y)| dx dy
ZR
ZR
=
|f (y)| |g (z)| dz dy
=
n→+∞
R
R
≤ kf k1 kgk1 .
Proposição 1.6 Seja f, g, h ∈ S e λ ∈ C. Então:
(i) f ∗ g = g ∗ f,
(ii) (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h),
(iii) (f + g) ∗ h = f ∗ h + g ∗ h,
(iv) (λf ) ∗ g = λ(f ∗ g) = f ∗ (λg).
Demonstração:
Demonstraremos apenas os itens (i) e (iv) os outros podemos ver em [19].
Usando a definição de convolução temos
(i)
Z
(f ∗ g)(x) =
f (y)g(x − y)dy
ZR
f (x − z)g(z)dz
=
ZR
g(z)f (x − z)dz = (g ∗ f )(x)
=
R
e
26
(iv)
Z
((λf ) ∗ g)(x) =
(λf )(y)g(x − y)dy
ZR
λf (y)g(x − y)dy
=
RZ
f (y)g(x − y)dy = λ(f ∗ g)(x).
= λ
R
Observação 1 Salientamos que a expressão (f ∗ g) ∗ h faz sentido uma vez que
f ∗ g ∈ L1 pelo Lema 1.5 anterior e h é limitada.
Vamos agora introduzir um produto interno em S. Se f, g ∈ S, então
Z
f (x)g(x)dx.
< f, g >=
(1.16)
R
É fácil ver que < f, g > definido em (1.16) é de fato um produto interno em S.
Se f ∈ S, definiremos
kf k2 = (< f, f >)
1/2
Z
2
1/2
|f (x)| dx
=
.
(1.17)
R
Além disso temos que k·k2 definida por (1.17) define uma norma em S.
Teorema 1.8 Se f, g ∈ S, então f ∗ g ∈ S e
(f ∗ g)b(ξ) =
√
2π fb(ξ)b
g (ξ), ∀ξ ∈ R.
(1.18)
Além disso vale a identidade de Parseval
kf k22 = fˆ
2
.
2
(1.19)
Demonstração:
Como f ∗ g ∈ L1 pelo Lema 1.5, podemos calcular a transformada de Fourier de
f ∗ g; além disso, como as integrais convergem uniformemente (veja a demonstração do Lema 1.5 ), podemos trocar a ordem de integração obtendo
Z
Z
1
−iξx
(f ∗ g)b(ξ) = √
e
f (y)g(x − y)dy dx
2π R
R
27
Z
Z
1
= √
f (y) e−iξx g(x − y)dx dy
2π ZR
R
Z
1
−iξy
= √
f (y)e
e−iξz g(z)dz dy
2π R
R
√
b
=
2π f (ξ)b
g (ξ).
Como f, g ∈ S, fb(ξ) , gb (ξ) ∈ S, logo (f ∗ g)b ∈ S e portanto, f ∗ g ∈ S. Falta
apenas mostrar (1.19). Para isso, note primeiro que, usando (1.18) e a fórmula de
inversão em S, se f, g ∈ S,
Z
Z
Z
1
b
f (ξ)b
g (ξ)dξ = √
(f ∗ g)b(ξ) dξ = (f ∗ g)(0) =
f (y)g(−y)dy,
2π R
R
R
mas então, dada f ∈ S, se g(y) = f (−y), g ∈ S e sua transformada de Fourier é
Z
1
g(x)e−iξx dx
gb(ξ) = √
2π ZR
1
= √
f (−x)e−iξx dx
2π ZR
1
f (x)eiξx dx
= √
2π R
Z
1
f (x)e−iξx dx = fˆ (ξ),
= √
2π R
logo
fˆ
2
2
1
= √
Z 2π
Z
|fˆ(ξ)|2 dξ
R
fˆ(ξ)ĝ(ξ)
=
R
= (f ∗ g)(0)
Z
=
f (y)g(−y)dy
ZR
=
|f (y)|2 dy = kf k22 .
R
1.4
Distribuições Temperadas
Definição 1.8 O conjunto das distribuições temperadas, denotado por S 0 (R), é o
dual topológico de S(R). Em outras palavras T ∈ S 0 (R) se e só se T : S 0 (R) → C é
28
um funcional linear contı́nuo. Notemos que para verificar que um funcional linear
T : S(R) → C é contı́nuo, basta provar que T ϕk → 0 para toda ϕk → 0.
Vamos considerar o seguinte exemplo: os elementos de Lp (R), 1 ≤ p ≤ ∞ definem distribuições temperadas através da fórmula,
Z
f (x)ϕ(x)dx, f ∈ Lp (R), ϕ ∈ S(R).
Tf (ϕ) =
(1.20)
R
De fato, pela desigualdade de Hölder temos,
|Tf (ϕ)| ≤ kf kLp |ϕ|Lq , p−1 + q −1 = 1
(1.21)
e a afirmação acima segue de (1.21) e do seguinte fato que encontra demonstrado
em [16], na página 325: Se fk → f então fk → f, 1 ≤ p ≤ ∞ .
1.5
Os Espaços de Sobolev
Sejam S(R) o espaço de Schwartz e S 0 (R) o espaço das distribuições temperadas. Para s ∈ R, os espaços de Sobolev (de tipo L2 ) em R são os seguintes
0
subconjuntos de S (R):
n
o
s/2
H s := H s (R) = f ∈ S 0 (R) : 1 + ξ 2
fˆ ∈ L2 (R) .
cuja norma é
Z
kf kH s := kf ks =
1+ξ
2
2 s
fˆ (ξ) dξ
1/2
.
(1.22)
R
O espaço H s (R) , s ∈ R, é de Hilbert quando munido do produto interno,
Z
s
< f, g >s =
1 + ξ 2 fˆ (ξ) ĝ (ξ)dξ.
(1.23)
R
Em particular, H 0 (R) = L2 (R). No caso de s ∈ N, temos que
kf k2s =
s
X
2
∂xj f 0 ,
j=0
onde k·k0 denota a norma em L2 (R).
29
(1.24)
Também utilizaremos os espaços de Sobolev homogêneos, definidos para s ∈ R
por
Ḣ s := Ḣ s (R) = f ∈ S 0 (R) ; Ds f ∈ L2 (R) ,
com
sf
d
kf kH˙ s = D
(1.25)
0
s f (ξ) = |ξ|s fb(ξ).
d
onde D
Notemos que H s (R) ⊆ Ḣ s (R), para todo s ∈ R, pois se f ∈ H s (R), então
Z ∞
sf
d
kf kH˙ s = D
|ξ|
=
0
s
2
2
fˆ (ξ) dξ
21
< ∞.
−∞
Já o espaço de Sobolev com peso H s (x2 dx), para s ∈ N, é definido por
H s x2 dx = f ∈ L2 (R) ; x∂xi f ∈ L2 (R) , 0 ≤ i ≤ s ,
cuja norma é
kf k2s,2 := kf k2H s (x2 dx) =
s
X
2
x∂xi f 0 .
(1.26)
i=0
Exibiremos agora algumas propriedades dos espaços definidos anteriormente.
Proposição 1.7
(i) Se s > 21 , então H s (R) é uma álgebra de Banach com relação à multiplicação
de funções. Além disso, para f, g ∈ H s (R) vale
kf gks ≤ c (s) kf ks kgks ;
k
(ii) Sejam s ∈ R e k ∈ N com s > 12 + k, então H s (R) ⊆ C∞
(R).
A demonstração deste resultado pode ser vista em [1].
30
1.6
Espaços de Banach Mistos e Propriedades
Para 1 ≤ p, q < ∞. Lpx LqT é o espaço de Banach Misto definido por
Lpx LqT :=
n
o
f : R × [−T, T ] → R : kf kLpx Lq < +∞ ,
T
onde
pq ! p1
|f (x, t)|q dt dx
.
Z +∞ Z T
kf kLpx Lq =
T
−∞
(1.27)
−T
Quando p = ∞ ou q = ∞ usaremos uma definição similar, envolvendo a norma
do supremo essencial. O espaço LpT Lqx é definido como acima, invertendo-se
apenas a ordem de integração. Vale mencionar também que se escrevemos T = t
na norma acima significa
Z +∞ Z +∞
kf kLpx Lqt =
−∞
pq ! p1
|f (x, t)|q dt dx
.
(1.28)
−∞
Um resultado que será utilizado com muita frequência e por isso, será demonstrada, é a desigualdade dada pelo lema a seguir.
2 2
∞ 2
Lema 1.6 Sejam f ∈ L2x L∞
T e g ∈ Lx LT , então f g ∈ Lx LT e vale
kf gkL2x L2 ≤ kf kL2x L∞ kgkL∞
2 .
x L
T
T
T
Demonstração:
Pela desigualdade de Hölder, (1.1), temos as seguintes desigualdades
Z +∞ Z T
kf gkL2x L2
T
=
−∞
−T
Z +∞ Z T
=
−∞
21
|(f g)(x, t)| dtdx
2
|f (x, t)|2 |g(x, t)|2 dtdx
−T
! 21
Z +∞ Z T
≤
sup
−∞
|f (x, t)|2 |g(x, t)|2 dtdx
−T [−T,T ]
Z +∞
=
21
sup
|f (x, t)|2
Z T
−∞ [−T,T ]
−T
31
! 21
|g(x, t)|2 dtdx
Z +∞
≤
sup
Z T
|f (x, t)|2
sup
x
−∞ [−T,T ]
Z +∞
=
sup
Z T
x
!2
sup {|f (x, t)|}
[−T,T ]
−∞
−T
|f (x, t)|2 dx sup
−∞ [−T,T ]
Z +∞
=
! 21
|g(x, t)|2 dt dx
! 21
|g(x, t)|2 dt
−T
21
dx
Z T
sup
x
12 !
|g(x, t)|2 dt
−T
= kf kL2x L∞ kgkL∞
2 ,
x L
T
T
o que prova o Lema.
32
Capı́tulo 2
Grupo Associado à KdV Linear
Neste capı́tulo descreveremos algumas propriedades do grupo associado à
equação KdV linear, que serão úteis na demonstração dos teoremas de boa
colocação.
2.1
KdV Linear
Consideremos o problema de Cauchy envolvendo a equação Korteweg-de-Vries
(KdV) linear, isto é,
∂ u(x, t) + ∂ 3 u(x, t) = 0
t
x
(2.1)
u(x, 0) = u (x).
0
Aplicando formalmente a transformada de Fourier neste sistema obtemos as
relações
∂u
b(ξ, t) + (iξ)3 u
b(ξ, t) = 0
t
u
b(ξ, 0) = u
b (ξ).
0
Multiplicando a primeira equação do sistema anterior pelo fator integrante
3
e(iξ) t temos a equação
3
3
∂t u
b(ξ, t)e(iξ) t + (iξ)3 e(iξ) t u
b(ξ, t) = 0.
Observando que
∂t u
b(ξ, t)e
(iξ)3 t
3
3
= ∂t u
b(ξ, t)e(iξ) t + (iξ)3 e(iξ) t u
b(ξ, t)
33
obtemos a relação
∂t u
b(ξ, t)e
(iξ)3 t
= 0.
Integrando em relação a variável t, temos a igualdade
3
u
bt (ξ, t)e(iξ) t = u
b0 (ξ),
ou seja,
3
3
u
bt (ξ, t) = e−(iξ) t u
b0 (ξ) = eiξ t u
b0 (ξ).
Agora aplicando a transformada inversa obtemos uma descrição para a solução
do sistema (2.1) que é da forma
3
3
u(x, t) = (eiξ t u
b0 (ξ))ˇ(x) = ((eiξ t )ˇ ∗ u0 )(x).
(2.2)
Denotaremos por W (t) o operador de L2 (R) em L2 (R) dado por
W (t)u0 (x) := (St ∗ u0 )(x),
onde
iξ 3 t
St (x) = (e
Z ∞
)ˇ(x) = c
3
eiξ t eiξx dξ.
−∞
Temos então
u(x, t) = W (t)u0 (x) := (St ∗ u0 )(x).
Além disso, temos que W (t)u0 é dado por
Z ∞
3
W (t)u0 (x) = c
u
b0 (ξ)eiξ t eiξx dξ,
−∞
onde c é uma contante real.
2.2
Propriedades do Operador associado à KdV
Definição 2.1 Uma famı́lia {St }t∈R de aplicações lineares de um espaço de Banach X em X é chamada um grupo se as seguintes condições são satisfeitas
(i) S0 = Id,
34
(ii) St+s = St ◦ Sr , ∀ t, s ∈ R,
(iii) para qualquer u ∈ X a aplicação t → St u é contı́nua, de R → X.
Se além disso tivermos ||St u||X = ||u||X ou equivalentemente ||St u||X = 1, o grupo
St é chamado unitário. Caso ocorra ||St u||X ≤ 1, o grupo é chamado grupo de
contrações.
Teorema 2.1 A famı́lia de operadores {W (t)}t∈R satisfaz as condições da Definição
2.1, com X = L2 (R).
Demonstração:
(i) Usando a desigualdade (2.2) e as propriedades de transformada de Fourier
obtemos
3
W (0)u0 (x) = (eiξ 0 u
b0 (ξ))ˇ(x)
= (b
u0 (ξ))ˇ(x)
= u0 (x) = Id u0 (x).
(ii) De modo análogo obtemos
3
W (t + s)u0 (x) = (eiξ (t+s) u
b0 (ξ))ˇ(x)
3
3
3
3
= (eiξ t · eiξ s )b
u0 (ξ))ˇ(x)
= (eiξ t ((eiξ s u
b0 (ξ))ˇ(x)) b (ξ)) ˇ (x)
h 3
i
= W (t) (eiξ s u
b0 (ξ))ˇ(x)
= W (t) [W (s)u0 (x)]
= [W (t) ◦ W (s)] u0 (x).
(iii) Finalmente,
3
lim (eiξ t u
b(ξ))ˇ(x)
iξ 3 t
=
lim e u
b(ξ) ˇ(x)
lim W (t)u(x) =
u→u0
u→u0
u→u0
3
= (eiξ t ub0 (ξ))ˇ(x)
= W (t)u0 (x).
35
Então temos que {W (t)}t∈R é um grupo de operadores em L2 (R).
Segue abaixo algumas propriedades deste operador.
Propriedades 2.1
1. (Isometria do Operador W (t))
||W (t)φ||L2 = ||φ||L2 .
(2.3)
2. (Comutatividade da Derivada com o Operador W (t))
∂x W (t)φ(x) = W (t)∂x φ(x).
(2.4)
Dα W (t)φ(x) = W (t)Dα φ(x), onde Dα f (x) = (|ξ|α fb(ξ))ˇ(x).
(2.5)
3.
4. (Simetria do Operador W (t))
h(W (t)φ)(·), ψ(·)iL2 (R) = hφ(·), (W (t)ψ)(·)iL2 (R) .
(2.6)
5.
Z Z
W (t)φ(x)ψ(x, t)dtdx =
R
W (t)ψ(x, t)dt dx.
(2.7)
∂x W (t)ψ(x, t)dt dx.
(2.8)
Z
Z
φ(x)
R
R
R
6.
Z Z
∂x W (t)φ(x)ψ(x, t)dtdx = −
R
Z
Z
R
φ(x)
R
R
7.
h(Dα W (t)φ)(·), ψ(·)iL2 (R) = hφ(·), (Dα W (t)ψ)(·)iL2 (R) .
(2.9)
8.
Z Z
α
(D W (t)φ)(x)ψ(x, t)dtdx =
R
R
Z
Z
φ(x)
R
36
R
(D W (t)ψ)(x, t)dt dx.
α
(2.10)
Demonstração:
1. Calculando a norma em L2 de W (t)φ e usando o Teorema de Pancherel, na
variável x, obtemos as relações
||W (t)φ||2L2
Z ∞
=
|W (t)φ(x)|2 dx
Z−∞
∞
2
3
b
dx
(eiξ t φ(ξ))ˇ(x)
=
Z−∞
∞
2
3
b
eiξ t φ(ξ)
dξ
=
Z−∞
∞
2
=
b
φ(ξ)
dξ.
=
−∞
b 2 2 = ||φ||2 2
||φ||
L
L
2. Derivando com relação a variável x e usando as propriedades de transformada de Fourier obtemos as seguintes igualdades
Z ∞
1
i(ξ 3 t+ξx) b
∂x W (t)φ(x) = ∂x √
e
φ(ξ)dξ
2π −∞
Z ∞ h
i
1
3
b
= √
∂x ei(ξ t+ξx) φ(ξ)dξ
2π −∞
Z ∞
1
3
b
= √
ei(ξ t+ξx) iξ φ(ξ)dξ
2π −∞
Z ∞
1
3
= √
ei(ξ t+ξx) ∂d
x φ(ξ)dξ
2π −∞
= W (t)∂x φ(x).
3. Usando as propriedades da Tranformada de Fourier e a dedinição de Dα
obtemos
h 3
i
iξ t
D W (t)u0 (x) = D (e u
b0 (ξ))ˇ(x)
α
α
3
= |ξ|α ((eiξ t u
b0 (ξ))ˇ)b(ξ))ˇ(x)
3
= (|ξ|α (eiξ t u
b0 (ξ))ˇ(x)
3
3
= (eiξ t ((|ξ|α (eiξ t u
b0 (ξ))ˇ)b(ξ))ˇ(x)
h
i
3
= W (t) (|ξ|α (eiξ t u
b0 (ξ))ˇ(x)
= W (t)Dα u0 (x).
37
4. Usando as propriedades de produto interno em L2 e as propriedades da
transformada de Fourier segue-se que
E
D 3
b
ψ(·)
h(W (t)φ)(·), ψ(·)iL2 (R) = (eiξ t φ(ξ))ˇ(·),
L2 (R)
E
D 3
b
b
ψ(·)
= eiξ t φ(ξ)(·),
L2 (R)
E
D
3
b
b
= φ(ξ)(·),
eiξ t ψ(·)
L2 (R)
D
E
3
b
= φ(·), (eiξ t ψ(ξ))ˇ(·)
L2 (R)
= hφ(·), (W (t)ψ)(·)iL2 (R) .
5. Basta usar o Teorema de Fubini e escrever a igualdade (2.6) na igualdade
(2.7).
6. Basta usar a desigualdade (2.6) e integração por partes obtemos a desigualdade (2.8).
7. Usando as propriedades do produto interno em L2 , o item (2.5) e as propriedades da transformada de Fourier temos
h(Dα W (t)φ)(·), ψ(·)iL2 (R) = h(W (t)Dα φ)(·), ψ(·)iL2 (R)
D
E
b
= (W (t)(|ξ|α φ(ξ))ˇ(·),
ψ(·)
L2 (R)
D 3
E
b
= (eiξ t |ξ|α φ(ξ))ˇ(·),
ψ(·)
L2 (R)
E
D 3
b
b
= eiξ t |ξ|α φ(ξ)(·),
ψ(ξ)(·)
L2 (R)
D
E
3
b
b
= φ(ξ)(·),
eiξ t |ξ|α ψ(ξ)(·)
L2 (R)
D
E
3
b
= φ(·), (eiξ t |ξ|α ψ(ξ))ˇ(·)
L2 (R)
D
E
b
= φ(·), (W (t)(|ξ|α ψ(ξ))ˇ(·)
L2 (R)
α
= hφ(·), (W (t)D ψ)(·)iL2 (R)
= hφ(·), (Dα W (t)ψ)(·)iL2 (R) .
8. Da mesma forma podemos expressar a relação (2.9) na identidade (2.10).
38
2.3
Estimativas Lineares
Teorema 2.2
1. Se u0 ∈ L2 (R) então
∂
W (t)u0
≤ c||u0 ||L2
∂x
2
L∞
x L
(2.11)
∂
W (t)u0
≤ c||Ds u0 ||L2 , s ∈ R.
∂x
2
L∞
x L
(2.12)
t
e
Dxs
t
2. Se g ∈ L1x L2t , então para qualquer T > 0
Z t
∂
W (t − t0 )g(x, t0 )dt0
≤ c||g||L1x L2T
∂x 0
L∞ L2x
(2.13)
T
e
∂2
∂x2
Z t
W (t − t0 )g(x, t0 )dt0
2
L∞
x Lt
0
≤ c||g||L1x L2t .
(2.14)
Demonstração:
1. Consideremos u0 ∈ L2 (R) e
Z ∞
W (t)u0 (x) = c
−∞
3
u
b0 (ξ)eiξ t eiξx dξ.
Derivando W (t)u0 (x) com relação a variável x e fazendo a mudança de variável
ξ 3 = η temos
∂x W (t)u0 (x) =
=
=
=
Z ∞
iξ 3 t iξx
∂x c
u
b0 (ξ)e e dξ
−∞
Z ∞
3
c
u
b0 (ξ)eiξ t iξeiξx dξ
Z−∞
∞
1/3
c
u
b0 (η 1/3 )eiηt η 1/3 eiη x η −2/3 dη
Z−∞
∞
1/3
c
ei(tη+xη ) u
b0 (η 1/3 )η −1/3 dη.
−∞
Usando agora o Teorema de Plancherel, na variável t, temos
Z ∞
2
k∂x W (t)u0 kL2t =
|∂x W (t)u0 (x)|2 dt
−∞
39
c
=
2
Z ∞
Z ∞
i(tη+xη 1/3 )
e
−∞
Z ∞
−∞
Z ∞h
Z−∞
∞
−∞
= c
η
= c
Z−∞
∞
= c
Z−∞
∞
= c
Z−∞
∞
= c
Z−∞
∞
= c
−1/3 ixη 1/3
e
η −1/3 eixη
η −1/3
2
u
b0 (η
1/3
1/3
u
b0 (η
)η
1/3
−1/3
dη dt
2
i
itη
) e dη dt
2
u
b0 (η 1/3 ) dη
eixη
1/3
2
2
u
b0 (η 1/3 ) dη
2
|η|−2/3 u
b0 (η 1/3 ) dη
ξ3
−2/3
|b
u0 (ξ)|2 ξ 2 dη
|b
u0 (ξ)|2 dη
−∞
= c kub0 k2L2 = c ku0 k2L2 .
Logo,
n
o
∂
W (t)u0
= sup k∂x W (t)u0 kL2t
∂x
2
x∈R
L∞
x Lt
n
o
= sup c ku0 kL2t
x∈R
= c ku0 kL2 ,
o que demonstra (2.11).
Para demonstrarmos (2.12) observemos que
Ds [∂x W (t)u0 (x)] = Ds [W (t)∂x u0 (x)]
= W (t)Ds [∂x u0 (x)]
= W (t)∂x [Ds u0 (x)]
= ∂x [W (t)Ds u0 (x)] .
Agora usando a observação acima e a desigualdade (2.11) temos
kDxs ∂x W (t)u0 kL∞
= k∂x [W (t)Ds u0 (x)]kL∞
2
2
x Lt
x Lt
≤ c||Ds u0 ||L2
≤ c||u0 ||L2 ,
40
o que completa a demostração de (2.12).
2. Inicialmente afirmamos que
Z ∞
∂x
W (−t0 ) g (x, t0 ) dt0
−∞
2
≤ c kgkL1x L2t .
(2.15)
De fato, por dualidade, temos
Z ∞
∂x
W (−t0 ) g (x, t0 ) dt0 =
2
−∞
Z ∞ Z ∞
0
0
0
2
= sup
∂x
W (−t ) g (x, t ) dt f (x) dx; ∀f ∈ Lx com kf k2 = 1 .
−∞
−∞
Integrando por partes, e usando a desigualdade de Cauchy-Schwartz bem
como a desigualdade (2.12), obtemos
Z ∞ Z ∞
0
0
0
∂x
W (−t ) g (x, t ) dt f (x) dx
−∞
−∞
Z ∞Z ∞
= −
g (x, t0 ) ∂x W (−t0 ) f (x) dt0 dx
Z ∞ −∞
Z ∞ −∞
|g (x, t0 ) ∂x W (−t0 ) f (x)| dt0 dx
≤
−∞ −∞
Z
Z "Z
1/2
∞
∞
2
0
∞
0
|g (x, t )| dt
≤
−∞
x
1/2 #
dx
−∞
2
0
0
1/2 Z ∞ Z ∞
|∂x W (−t ) f (x)| dt
≤ sup
0
|∂x W (−t ) f (x)| dt
−∞
Z ∞
2
0
0
2
0
1/2
|g (x, t )| dt
−∞
−∞
dx
−∞
= k∂x W (−t0 ) f kL∞
2 kgkL1 L2
x Lt
x t
≤ c kf k0 kgkL1x L2t ,
donde concluı́mos a afirmação aplicando o sup em ambos os membros e usando
o fato de que kf k2 = 1.
Agora, repetindo os argumentos acima e usando a desigualdade de CauchySchwartz, temos que para t ∈ [0, T ](T > 0) vale
Z t
Z t
0
0
0
∂x
W (t − t ) g (x, t ) dt
= ∂x
W (t) W (−t0 ) g (x, t0 ) dt0
0
2
L∞
T Lx
2
L∞
T Lx
0
Z t
=
W (t) ∂x
W (−t0 ) g (x, t0 ) dt0
2
L∞
T Lx
0
Z t
=
sup
t∈[0,T ]
41
W (t) ∂x
0
W (−t0 ) g (x, t0 ) dt0
2
Z t
=
sup
∂x
t∈[0,T ]
W (−t0 ) g (x, t0 ) dt0
0
2
≤ c kgkL1x L2t .
Desta útima desigualdade e do fato de o grupo W (t) conserva a norma em L2 (R),
temos o item (2.13).
Para provar (2.14), inicialmente relembramos que f ∈ D⊗ (R2 ) quando podemos
N
X
escrevê-la como f (x, t) =
fi (x) f̃i (t), com fi , f̃i ∈ C0∞ (R), para i = 1, 2, ..., N .
i=1
Além disso, Pode-se demonstrar que D⊗ (R2 ) = Lpx Lqt e D⊗ (R2 ) = Lqt Lpx , para p, q ∈
[1, ∞), veja [6].
Afirmamos agora que
Z ∞
2
∂x
W (t − t0 ) g (x, t0 ) dt0
−∞
2
L∞
x LT
≤ c kgkL1x L2t .
(2.16)
De fato, para f ∈ D⊗ (R2 ) com kf kL1x L2t = 1 temos que
Z ∞
2
∂x
W (t − t0 ) g (x, t0 ) dt0
−∞
L∞ L2
x
T
Z ∞ Z ∞ Z ∞
2
0
0
0
= sup
∂x
W (t − t ) g (x, t ) dt f (x, t) dxdt; kf kL1x L2t = 1 .
−∞
−∞
−∞
Aplicando o Teorema de Fubini, as propriedades do grupo W (t), integração
por partes, a desigualdade de Cauchy-Schwarz e a desigualdade (2.13), temos
que
Z ∞Z ∞
∂x2
Z ∞
0
0
0
2
W (t − t ) g (x, t ) dt f (x, t) dxdt
0
0
0
2
=
∂x
W (−t ) g (x, t ) dt W (t) f (x, t) dtdx
−∞ −∞
−∞
Z ∞
Z ∞ Z ∞
0
0
0
= −
∂x
W (−t ) g (x, t ) dt
∂x
W (t) f (x, t) dt dx
−∞
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞ Z ∞
0
0
0
≤
∂x
W (−t ) g (x, t ) dt
∂x
W (−t) f (x, t) dt dx
−∞
Z−∞
∞ Z ∞
−∞
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
!1/2 Z
∞
≤
∂x
−∞
Z ∞
=
Z−∞
∞
∂x
W (−t0 ) g (x, t0 ) dt0 dx
∂x
−∞
−∞
0
0
∂x
L2x
W (−t) f (x, t) dt
−∞
≤ c kgkL1x L2t kf kL1x L2t .
42
!1/2
W (−t) f (x, t) dt dx
−∞
Z ∞
0
W (−t ) g (x, t ) dt
−∞
2
Z ∞
L2x
Assim, tomando o sup em ambos os membros da desigualdade acima e usando
o fato de que kf kL1x L2t = 1, obtemos a desigualdade (2.16).
Agora, afirmamos que
Z ∞
Z ∞
(t)
itτ
K (x − y, τ ) ĝ (y, τ ) dy dτ
e
−∞
−∞
≤ c kgkL1x L2t ,
2
L∞
x Lt
ξ2
eizξ 3
dξ.
ξ −τ
<|ξ 3 −τ |< 1
Z
onde K (z, τ ) := lim
→0
De fato, usando a identidade de Parserval e a desigualdade de Minkowsky,
temos
Z ∞
e
Z ∞
itτ
K (x − y, τ ) ĝ
(y, τ ) dy dτ
2
L∞
x Lt
= sup
itτ
f (τ ) e dτ
−∞
Z ∞
= sup
!1/2
2
Z ∞ Z ∞
x
−∞
−∞
x
(t)
dt
−∞
1/2
2
ˇ
f (t) dt
−∞
Z ∞
1/2
|f (τ )| dτ
= sup
x
2
−∞
Z ∞ Z ∞
≤ sup
K (x − y, τ ) ĝ
(t)
2
1/2
(y, τ ) dτ
dy
x
−∞
−∞
Z ∞ Z ∞
1/2
2
|ĝ (y, τ )| dτ
≤ c
−∞
−∞
Z ∞ Z ∞
= c
−∞
−∞
dy
1/2
|g (y, t)| dt
dy = c kgkL1x L2t .
2
Teorema 2.3 Se u0 ∈ Ḣ 1/4 (R) então
≤ c D1/4 u0 L2 .
kW (t)u0 kL4x L∞
t
(2.17)
Demonstração:
−1/4
1/4
Fazendo Dx u0 = v0 e portanto u0 = Dx
v0 , temos que a desigualdade (2.17) é
equivalente a seguinte desigualdade
Dx−1/4 W (t)v0 L4 L∞ ≤ c kv0 k2 .
x
43
t
(2.18)
Agora demonstraremos que a desigualdade (2.18) é equivalente a estimativa
Z
Dx−1/4 W (t)g(·, t)dt ≤ c kgkL4/3
(2.19)
1 .
x L
t
2
R
4/3
com g ∈ Lx L1t .
Para isto, usando argumentos de dualidade, isto é,
)
(Z Z
Z
1/2
Z
−1/4
−1/4
2
Dx W (t)g(·, t)dt = sup
Dx W (t)g(x, t)v0 (x)dtdx :
|v0 (x)| dx
=1
v0
2
R
R
R
e as desigualdades (1.1) e (2.18) obtemos as estimativas
Z
Dx−1/4 W (t)g(·, t)dt
≤ sup kgkL4/3
Dx−1/4 W (t)v0 L4 L∞
1
x L
x
t
v0
2
R
t
≤ c kgkL4/3
1 kv0 k2 ≤ c kgkL4/3 L1 .
x
x L
t
t
Por outro lado, usando os mesmos argumentos, obtemos as desigualdades
Z ∞Z ∞
−1/4
−1/4
Dx W (t)v0 (x)g(x, t)dxdt : kgkL4/3
Dx W (t)v0 (x) L4 L∞ = sup
1 = 1
x Lt
x x
g
−∞ −∞
Z ∞
Z ∞
v0 (x)
Dx−1/4 W (t)g(x, t)dtdx
≤ sup
g
−∞
−∞
Z ∞
Dx−1/4 W (t)g(x, t)dt
≤ sup kv0 k2
g
−∞
L2x
≤ c kv0 k2 kgkL4/3
1 ≤ c kv0 k2 .
x L
t
Resta mostrar a desigualdade (2.19). Para isto usamos as relações
Z ∞
Z ∞ Z ∞
2
2
−1/4
−1/4
Dx W (t)g(·, t)dt
=
Dx W (t)g(t)dt dx
−∞
−∞
L2x
−∞
Z ∞ Z ∞
=
=
=
≤
Z ∞
dx
−∞
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞ Z ∞
−1/4
0
−1/4
0
0
Dx W (−t )g(t )dt dx
Dx W (t)g(t)dt
−∞
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞Z ∞
−1/2
0
0
0
g(x, t)
Dx W (t − t )g(t )dt dtdx
−∞ −∞
−∞
Z ∞
kgkL4/3
Dx−1/2 W (t − t0 )g(t0 )dt0
.
x
Dx−1/4 W (t)g(t)dt
−∞
Dx−1/4 W (t0 )g(t0 )dt0
L4x L∞
t
Sendo que na última passagem, usamos a desigualdade de Hölder, (1.1). Assim é suficiente provar que
Z ∞
Dx−1/2 W (t − t0 )g(·, t0 )dt0
−∞
L4x L∞
t
44
≤ c kgkL4/3
1 .
x L
t
Para isto observemos as relações
Z ∞
Z ∞
0 3
−1/2
0
0
0
Dx W (t − t )g(·, t )dt =
|ξ|−1/2 ei(t−t )ξ gb(ξ, t0 ) ˇdt0
−∞
Z−∞
∞
−1/2 i(t−t0 )ξ 3
=
|ξ|
e
ˇ ∗ g(x, t0 )dt0
Z−∞
∞ Z ∞
i(xξ−(t−t0 )ξ 3 ) dξ
∗ g(ξ, t0 )dt0
=
e
1/2
|ξ|
−∞
Z−∞
∞ Z ∞
i(xξ−(t−t0 )ξ 3 ) dξ
∗ g(ξ, t0 ) dt0
≤
e
1/2
|ξ|
−∞
Z −∞
∞ Z ∞
dξ
0 3
ei(xξ−(t−t )ξ ) 1/2 ∗ |g(ξ, t0 )| dt0 .
≤
|ξ|
−∞
−∞
Afirmamos agora que para qualquer x ∈ R,
Z ∞
c(1 + |γ|)
dξ
3
,
|It (x)| =
ei(xξ−tξ ) 1/2+iγ ≤
|ξ|
|x|1/2
−∞
para γ real.
A demonstração dessa afirmação se encontra em [5].
Usando a afirmação acima obtemos a seguinte estimativa
Z
Z ∞
c
−1/2
0
0
0
Dx W (t − t )g(·, t )dt ≤ 1/2 ∗
|g(·, t0 )| dt0 .
|x|
R
−∞
Logo, segue do Teorema 1.2, que o operador
c
∗ é do tipo (4/3, 4), isto é,
|x|1/2
c
∗ : L4/3 → L4 ,
|x|1/2
com
c
∗
|x|1/2
Z ∞
0
Z ∞
0
|g(·, t )| dt
−∞
≤c
−∞
L4x
|g(·, t0 )| dt0
.
4/3
Lx
Assim obtemos as estimativas
Z
Z ∞ Z ∞
Dx−1/2 W (t − t0 )g(·, t0 )dt0
R
=
L4x
≤
!1/4
4
Dx−1/2 W (t − t0 )g(·, t0 )dt0 dx
−∞
−∞
c
∗
|x|1/2
Z ∞
−∞
|g(·, t0 )| dt0 ≤ c kgkL4/3
1 ,
x L
t
o que demonstra (2.17).
45
Lema 2.1 Seja s > 3/4. Então para qualquer u0 ∈ H s (R) e qualquer ρ > 3/4
≤ c(1 + T )ρ ||u0 ||s,2 .
||W (t)u0 ||L2x L∞
T
(2.20)
A demonstração dessa desigualdade podem ser vistas em [6].
Teorema 2.4 Se u0 ∈ L2 (R) então
(i)
kW (t)u0 kL5x L10
≤ c ku0 kL2 .
t
(2.21)
kDx W (t)u0 kL20 L5/2 ≤ D1/4 u0 L2 .
(2.22)
Dx1/4 W (t)u0 L4 L∞ ≤ c||u0 ||L2 .
(2.23)
(ii)
x
t
(iii)
t
x
Demonstração:
(i) Consideremos a famı́lia de operadores admissı́veis, definida por
Tx u0 = Dx−z/4 Dx(1−z) W (t)u0 ,
com z ∈ C.
Fazendo z = iγ em (2.24), temos a igualdade
Tiγ u0 = Dx−iγ/4 Dx(1−iγ) W (t)u0
∂
=
W (t)D−i5γ/4 u0 .
∂x
Assim pela estimativa (2.11) temos as desigualdades
kTiγ u0 kL∞
=
2
x L
t
∂
W (t)D−i5γ/4 u0
∂x
2
L∞
x L
t
≤ c D
−i5γ/4
u0 L2 ≤ c ku0 kL2 .
Agora fazendo z = 1 + iγ em (2.24), obtemos a relação
T1+iγ u0 = Dx−i(1+iγ)/4 Dx(1−iγ(1+iγ)) W (t)u0
= Dx−1/4 W (t)Dx−i5γ/4 u0 .
46
(2.24)
Logo da estimativa (2.17), temos a desigualdade
kT1+iγ u0 kL4x L∞ =
t
Dx−1/4 W (t)Dx−i5γ/4 u0 L4 L∞
x
t
≤ c Dx−i5γ/4 u0 L2 ≤ c ku0 kL2 .
A seguir usaremos o Teorema de Stein, Teorema 1.3, com p0 = p1 = 2 e por4
tanto pt = 2. Fazendo z = em (2.24), temos que
5
T4/5 u0 = W (t)u0 .
Comparando esta relação com a notação usada no Teorema de Stein, con4
cluı́mos que t = , logo obtemos a relação
5
1
1
4
=
+
.
qt
5q0 5q1
Das desigualdades (2.25) e (2.25), obtemos as estimativas
kTiγ u0 kL2 ≤ c ku0 k2 e kT1+iγ u0 kL∞ ≤ ku0 k2 .
t
t
Então temos que q0 = 2 e q1 = ∞, assim qt = 10 e portanto vale a desigualdade
T4/5 u0 L10 ≤ c ku0 k2 .
t
Além disso (2.25) e (2.25) fornece outras desigualdades, a saber
kTiγ u0 kL∞
≤ c ku0 k2 e kT1+iγ u0 kL4x ≤ ku0 k2 .
x
Segue então que q0 = ∞, q1 = 4 e qt = 5, logo obtemos outra estimativa
T4/5 u0 L5 ≤ c ku0 k2 .
x
Assim temos a desigualdade desejada, isto é,
≤ c ku0 kL2 .
kW (t)u0 kL5x L10
t
(ii) e (iii) A demonstração dessas desigualdades podem ser vistas em [6]. As
mesmas são de muita importância na demonstração do Teorema 4.1.
47
Capı́tulo 3
O problema de Cauchy para a
equação KdV em espaços de Sobolev
H s(R), com s > 3/4
A seguir desenvolveremos uma das partes principais do nosso trabalho que é
a boa colocação local no tempo para o PVI
3
∂u + ∂ u + u ∂u = 0
∂t
∂x3
∂x
.
u(x, 0) = u0 (x)
(3.1)
Mais precisamente, provaremos o seguinte teorema:
Teorema 3.1 Consideremos o PVI (3.1) e seja s > 3/4. Então para cada u0 ∈ H s (R)
existe T = T (||u0 ||s,2 ) > 0 (com T (ρ) → ∞ para ρ → 0) e uma única solução u(t) de
(3.1) satisfazendo
u ∈ C([−T, T ] : H s (R)),
(3.2)
∂x u ∈ L4 ([−T, T ] : L∞ (R)),
(3.3)
Dxs
∂u
<∞
∂x L∞
2
L
x
(3.4)
T
e
kukL2x L∞ < ∞.
T
48
(3.5)
Além disso, para qualquer T 0 ∈ (0, T ) existe uma vizinhança V de u0 em H s (R)
tal que a função u
e0 → u
e(t) de V sobre a classe definida por (3.2) − (3.5) com T 0 no
lugar de T é Lipschitz.
Antes de demonstramos o Teorema 3.1, faremos uma motivação para o funcional, utilizado na prova deste teorema.
Tomando a transformada de Fourier com respeito a variável x no sitema (3.1),
obtemos
3
∂u
[
b(ξ, t) + u∂
t b(ξ, t) + (iξ) u
x u(ξ, t) = 0
(3.6)
u
b(ξ, 0) = ub (ξ).
0
3
Multiplicando a primeira equação de (3.6) pelo fator integrante e(iξ) t obtemos
3
3
3
u
bt e(iξ) t + (iξ)3 u
be(iξ) t + e(iξ) t fb(t) = 0
onde f (x, t) = u(x, t)∂x u(x, t) é uma constante.
Observando que,
d
3
3
3
(b
ue(iξ) t ) = u
bt e(iξ) t + (iξ)3 u
be(iξ) t
dt
obtemos a relação
d
3
3
(b
ue(iξ) t ) = −fb(t)e(iξ) t .
dt
Integrando em relação a variável t, temos a igualdade
(iξ)3 t
e
Z t
u
b(t) = ub0 −
3 0
fb(t0 )e(iξ) t dt0 ,
0
ou ainda,
u
b(t) = ub0 e
−(iξ)3 t
−e
−(iξ)3 t
Z t
3 0
fb(t0 )e(iξ) t dt0 .
0
Portanto, aplicando a transformação inversa obtemos a equação
Z t
3 t0
0
(iξ)
0
−(iξ)3 t
dt ˇ
u(t) = (ub0 e
)ˇ − e
fb(t )e
0
Z t
3
0
iξ 3 t
= (ub0 e )ˇ −
eiξ (t−t ) fb(t0 ) ˇdt0
−(iξ)3 t
0
49
Sabemos que W (t)u0 = (e
iξ 3 t
f (t ) ˇ = W (t − t0 )f (t0 ) = (u∂x u)(t0 ) ,
iξ 3 (t−t0 ) b 0
ub0 )ˇ e e
então temos a identidade
Z t
∂u
W (t − t ) u
u(t) = W (t)u0 −
∂x
0
0
(t0 )dt0
(3.7)
Isto é, se u satisfaz o sistema (3.1) então u satisfaz a equação integral (3.7).
Demonstração do Teorema 3.1:
Consideremos um intervalo [-T, T] e uma função
w : R × [−T, T ] → R.
Com o objetivo de simplificar as notações considere as normas
λT1 (w) := max ||w(t)||s,2 ,
t∈[−T,T ]
λT2 (w) :=
Z T
−T
!1/4
4
∂w
(·, t) dt
,
∂x
∞
∂
λT3 (w) := Dxs w
= sup
∂x L∞
2
x
x L
!1/2
2
∂
Dxs w(x, t) dt
,
∂x
−T
(3.8)
(3.9)
Z T
T
(3.10)
λT4 (w) := (1 + T )−ρ ||w||L2x L∞
, para ρ > 3/4,
T
(3.11)
ΛT (w) := max λTj (w),
(3.12)
j=1,...,4
e também o espaço métrico completo
XT := {w ∈ C([−T, T ] : H s (R))/ΛT (w) < ∞},
(3.13)
com a métrica
d(w1 , w2 ) := ΛT (w1 − w2 ).
Vale destacar que a escolha do conjunto de normas acima e do espaço métrico
XT é a essência da demonstração do teorema. Tais escolhas decorre de várias
tentativas e observações na busca de estimativas da norma H s (R).
50
Vejamos inicialmente que XT 6= Ø. Para tanto, obsevemos que se u0 ∈ H s (R)
então usando as propriedades do grupo e as desigualdades (2.23), (2.11) e (2.20)
temos que
λT1 (W (t)u0 ) =
max ||W (t)u0 ||s,2
t∈[−T,T ]
max ||u0 ||s,2 = ||u0 ||s,2 ,
=
t∈[−T,T ]
λT2 (W (t)u0 ) =
!1/4
4
∂W (t)u0
(·, t) dt
∂x
∞
Z T
−T
∂u0
(·, t)
∂x
L4 L∞
x
=
W (t)
≤
∂u0
W (t)
(·, t)
∂x
L4 L∞
x
T
t
∂u0
≤ c Dx1/4
∂x L2
≤ c||u0 ||2 ≤ c||u0 ||s,2 ,
λT3 (W (t)u0 ) =
Dxs
∂
W (t)u0
∂x
2
L∞
x L
T
≤
∂
Dxs W (t)u0
∂x
2
L∞
x L
t
≤ c||Dxs u0 ||2
≤ c||u0 ||2 ≤ c||u0 ||s,2
e
λT4 (W (t)u0 ) = (1 + T )−ρ ||W (t)u0 ||L2x L∞
T
≤ (1 + T )−ρ c(1 + T )ρ ||u0 ||s,2
= c||u0 ||s,2 .
Assim, se u0 ∈ H s (R) então para qualquer T > 0, W (t)u0 ∈ XT com ΛT (W (t)u0 ) =
max λTj (W (t)u0 ) dependendo de ||u0 ||s,2 mas não de T e portanto XT 6= Ø.
j=1,...,4
Nosso principal objetivo agora será mostrar que existe T = T (||u0 ||s,2 ) > 0
(dependendo de ||u0 ||s,2 de uma maneira apropriada) e a = a(||u0 ||s,2 ) > 0 tal que se
51
v ∈ XTa então u = φ(v) ∈ XTa e φ : XTa → XTa é uma contração. Uma vez provado isto
segue-se, do Teorema do Ponto Fixo de Banach, que existe um único u ∈ XTa tal
que φu0 (u) = u, isto é,
Z t
∂u
(t0 )dt0 .
W (t − t ) u
u(t) = W (t)u0 −
∂x
0
0
Para isto, denotemos por u = φ(v) = φu0 (v) a solução do PVI linear nãohomogêneo
∂ u + ∂ 3 u + v∂ v = 0
t
x
x
(3.14)
u(x, 0) = u (x),
0
onde u0 ∈ H s (R) e XTa := {w ∈ XT /ΛT (w) ≤ a}.
Agora considermos a equação integral de PVI (3.14), ou seja,
Z t
∂v
0
(t0 )dt0 .
W (t − t ) v
u(t) = W (t)u0 −
∂x
0
(3.15)
A seguir, estabeleceremos uma sequência de Lemas, a qual fornece estimativas que serão utilizadas mais adiante.
Lema 3.1
Dxs
∂v
∂v
+ v
≤ c(1 + T )ρ (ΛT (v))2 .
v
∂x L2x L2
∂x L2x L2
T
(3.16)
T
Demonstração:
Usando as definições das normas e propriedades do sup obtemos as seguintes
desigualdades
∂v
v
∂x L2x L2
!1/2
2
∂v
dx
v
∂x L2
−∞
T
!1/2
2
Z T Z ∞
∂v
2
|v| sup
dxdt
∂x
x
−T −∞
! !1/2
2
Z ∞
Z T
∂v
sup
sup
|v|2 dx dt
∂x
x
[0,T ] −∞
−T
!
1/2
2 !1/2
Z ∞
Z T
∂v
sup
|v|2 dx
sup
dt
∂x
x
[0,T ] −∞
−T
Z ∞
=
T
≤
≤
=
52
sup ||v||2s,2
≤
!1/2 Z
T
[0,T ]
−T
Z T
= sup ||v||s,2
[0,T ]
−T
Z T
≤ sup ||v||s,2
[0,T ]
−T
2
!1/2
2
∂v
dt
∂x ∞
!1/2
∂v
dt
∂x ∞
!1/4 Z
1/4
4
T
∂v
1dt
dt
∂x ∞
−T
= cT 1/4 λT2 (v)λT1 (v) ≤ c(1 + T )ρ (ΛT (v))2 .
Agora, usando o Lema 1.4 deduzimos a seguinte desigualdade
!1/2
!1/2
Z T
Z T Z ∞
2
2
∂v
∂v
∂v
Dxs v
dxdt
≤ c
v
||Dxs v||22 dt
vDxs
.
+c
∂x L2x L2
∂x
∂x
−T
−T −∞
∞
T
Como
!1/2
2
2
Z T
Z T
∂v
∂v
s
2
||Dx v||2 dt
≤
v
v
∂x ∞
∂x ∞
−T
−T
!2
sup {||Dxs v||2 }
1/2
dt
[−T,T ]
2 !1/2
Z T
∂v
= sup {||Dxs v||2 }
dt
v
∂x ∞
[−T,T ]
−T
4 !1/4 Z T
1/4
Z T
∂v
s
≤ sup {||Dx v||2 }
dt
1dt
v
∂x ∞
[−T,T ]
−T
−T
4 !1/4
Z T
∂v
1/4
s
≤ cT
sup {||Dx v||2 }
v
dt
∂x ∞
[−T,T ]
−T
= cT 1/4 λT2 (v)λT1 (v)
e
Z T Z ∞
−T
2
∂v
vDxs
dxdt
∂x
−∞
!1/2
2
Z ∞Z T
∂v
vDxs
dtdx
∂x
−T
=
−∞
=
vDxs
!1/2
∂v
∂x L2x L2
T
≤ kvkL2x L∞ Dxs
T
∂v
∂x L∞
2
x L
T
≤ (1 + T )ρ (1 + T )−ρ kvkL2x L∞ Dxs
T
∂v
∂x L∞
2
x L
T
= (1 + T )ρ λT4 (v)λT3 (v)
53
obtemos as seguintes sequências de desigualdades
∂v
s
≤ cT 1/4 λT2 (v)λT1 (v) + c(1 + T )ρ λT4 (v)λT3 (v)
Dx v
∂x L2x L2
T
≤ c(1 + T )ρ (ΛT (v))2 ,
o que completa a demostração da desigualdade (3.16).
Lema 3.2
λT1 (u)
Z T
∂v
v
≤ ||u0 ||s,2 +
(t0 )dt0 .
∂x
−T
s,2
(3.17)
Demonstração:
Usando as propriedades do grupo e a equação (3.15) obtemos
λT1 (u) =
max ||u||s,2
t∈[−T,T ]
Z t
=
=
=
≤
≤
=
∂v
W (t − t ) v
max W (t)u0 −
(t0 )dt0
t∈[−T,T ]
∂x
0
s,2
Z t
∂v
(t0 )dt0
max W (t) u0 −
W (−t0 ) v
t∈[−T,T ]
∂x
0
s,2
Z t
∂v
W (−t0 ) v
max u0 −
(t0 )dt0
t∈[−T,T ]
∂x
0
s,2
"
#
Z t
∂v
max ||u0 ||s,2 + −
W (−t0 ) v
(t0 )dt0
t∈[−T,T ]
∂x
0
s,2
#
"
Z T
∂v
max ||u0 ||s,2 +
v
(t0 )dt0
t∈[−T,T ]
∂x
−T
s,2
Z T
∂v
||u0 ||s,2 +
v
(t0 )dt0 ,
∂x s,2
−T
0
o que completa a demonstração de ( 3.17)
Lema 3.3
"
#
Z T
∂v
λT2 (u) ≤ c ||u0 ||s,2 +
v
(t0 )dt0 .
∂x s,2
−T
54
(3.18)
Demonstração:
Usando as propriedades do grupo, a equação (3.15) e a inequação (2.23) obtemos as seguintes desigualdades
λT2 (u) =
=
≤
≤
≤
≤
≤
!1/4
4
∂u
(·, t) dt0
∂x
−T
∞
!1/4
Z t
Z T
4
∂
∂v
W (t) u0 −
W (−t0 ) v
(t0 )dt0 (·, t) dt0
∂x
∂x
−T
0
∞
!1/4
Z T
Z t
4
∂
∂v
0
0
0
0
W (−t ) v
W (t) u0 −
(t )dt (·, t) dt
∂x
−T ∂x
0
∞
Z t
∂v
W (−t0 ) v
c u0 −
(t0 )dt0
∂x
0
2
Z t
∂v
c u0 −
W (−t0 ) v
(t0 )dt0
∂x
0
s,2
#
"
Z t
∂v
(t0 )dt0
c ||u0 ||s,2 + −
W (−t0 ) v
∂x
0
s,2
"
#
Z T
∂v
c ||u0 ||s,2 +
v
(t0 )dt0 .
∂x
−T
s,2
Z T
Lema 3.4
"
#
Z T
∂v
λT3 (u) ≤ c ||u0 ||s,2 +
(t0 )dt0 .
v
∂x
−T
s,2
Demonstração:
Usando as propriedades do grupo e a desigualdade (2.11) temos que
λT3 (u) =
=
≤
∂
u
∂x L∞
L2
x T
Z t
∂v
s ∂
0
0
0
Dx
W (t) u0 −
W (−t ) v
(t )dt
∂x
∂x
2
0
L∞
x LT
Z t
∂v
Dxs u0 −
W (−t0 ) v
(t0 )dt0
∂x
0
2
Dxs
55
(3.19)
Z t
∂v
W (−t ) v
≤ c u0 −
(t0 )dt0
∂x
0
s,2
"
#
Z T
∂v
v
≤ c ||u0 ||s,2 +
(t0 )dt0 .
∂x
−T
s,2
0
Lema 3.5
"
#
Z T
∂v
v
λT4 (u) ≤ c ||u0 ||s,2 +
(t0 )dt0 .
∂x s,2
−T
(3.20)
Demonstração:
Usando as propriedades do grupo e a desigualdade (2.20) temos que
λT4 (u) = (1 + T )−ρ ||u||L2x L∞
T
Z t
∂v
0
0
−ρ
0
W (−t ) v
W (t) u0 −
(t )dt
= (1 + T )
∂x
0
L2x L∞
T
Z t
∂v
≤ (1 + T )−ρ c(1 + T )ρ u0 −
W (−t0 ) v
(t0 )dt0
∂x
0
s,2
#
"
Z T
∂v
≤ c ||u0 ||s,2 +
v
(t0 )dt0 .
∂x s,2
−T
Agora, tomando o máximo dos λTi (u), usando as desigualdades (3.17) − (3.20) e
a desigualdade de Minkowski segue-se que
ΛT (u) =
max λTj (u)
j=1,...,4
"
Z
≤ c ku0 ks,2 +
T
−T
#
∂v
v
(t)dt
∂x s,2
!1/2 Z
1/2
2
T
∂v
2
≤ c||u0 ||s,2 + c
v
(t)dt
1 dt
∂x s,2
−T
−T
!1/2
Z T
2
∂v
≤ c||u0 ||s,2 + cT 1/2
v
(t)dt
∂x s,2
−T
Z T
≤ c||u0 ||s,2 + cT 1/2 (1 + T )ρ (ΛT (v))2 .
56
(3.21)
Agora, escolhemos a e T > 0 tal que
a = 2c||u0 ||s,2 ,
(3.22)
4cT 1/2 (1 + T )ρ a < 1.
(3.23)
com T satisfazendo
De nossa escolha em (3.22) e (3.23) resulta que
ΛT (φ(v)) = ΛT (u)
≤ c||u0 ||s,2 + cT 1/2 (1 + T )ρ (ΛT (v))2
1
3a
a
+
· a2 =
≤ a.
≤
2 4a
4
Assim, φ(v) = φu0 (v) ∈ XaT desde que v ∈ XaT . Concluimos que φ : XTa → XTa .
Para continuar nossa demonstração, consideremos os seguintes lemas:
Lema 3.6
λT1 (φu0 (v) − φu0 (e
v ))
Z T
≤
−T
∂e
v
∂v
ve − v
∂x
∂x
dt0 .
(t0 )
s,2
Demonstração:
Das propriedades do grupo obtemos
λT1 (φu0 (v) − φu0 (e
v )) =
=
=
≤
≤
=
max ||φu0 (v) − φu0 (e
v )||s,2
Z t
∂v
∂e
v
0
(t0 )dt0
W (−t ) ve − v
max W (t)
t∈[−T,T ]
∂x
∂x
0
s,2
Z t
∂v
∂e
v
(t0 )dt0
W (−t0 ) ve − v
max
t∈[−T,T ]
∂x
∂x
0
s,2
Z T
∂e
v
∂v
max
W (−t0 ) ve − v
(t0 )
dt0
t∈[−T,T ] −T
∂x
∂x
s,2
Z T
∂e
v
∂v
max
ve − v
(t0 )
dt0
t∈[−T,T ] −T
∂x
∂x
s,2
Z T
∂e
v
∂v
ve − v
(t0 )
dt0 .
∂x
∂x
−T
s,2
t∈[−T,T ]
57
Lema 3.7
v )) ≤ c
λT2 (φu0 (v) − φu0 (e
"Z
T
−T
∂e
v
∂v
ve − v
∂x
∂x
#
(t0 )
dt0 .
s,2
Demonstração:
Das propriedades do grupo e da inequação (2.23) temos que
λT2 (φu0 (v) − φu0 (e
v )) =
=
≤
≤
!1/4
4
∂(φu0 (v) − φu0 (e
v ))
(·, t) dt0
∂x
−T
∞
!1/4
Z t
Z T
4
∂
∂e
v
∂v
W (t)
W (−t0 ) ve − v
(t0 )dt0 (·, t) dt0
∂x
∂x
∂x
−T
0
∞
Z t
∂e
v
∂v
W (−t0 ) ve − v
c
(t0 )dt0
∂x
∂x
0
2
Z T
∂e
v
∂v
ve − v
dt0 .
c
(t0 )
∂x
∂x
−T
s,2
Z T
Lema 3.8
λT3 (φu0 (v) − φu0 (e
v )) ≤ c
"Z
T
−T
∂v
∂e
v
ve − v
∂x
∂x
#
(t0 )
dt0 .
s,2
Demonstração:
Das propriedades do grupo e da desigualdade (2.11) obtemos
∂
(φu (v) − φu0 (e
v ))
∂x 0
L∞
L2
x T
Z t
∂e
v
∂v
s ∂
0
0
0
= Dx
W (t)
W (−t ) ve − v
(t )dt
∂x
∂x
∂x
2
0
L∞
x LT
Z t
∂e
v
∂v
≤ Dxs
W (−t0 ) ve − v
(t0 )dt0
∂x
∂x
0
2
Z T
∂e
v
∂v
(t0 )
dt0 .
≤ c
ve − v
∂x
∂x
−T
s,2
λT3 (φu0 (v) − φu0 (e
v )) =
Dxs
58
Lema 3.9
λT4 (φu0 (v) − φu0 (e
v )) ≤ c
"Z
T
−T
ve
∂e
v
∂v
−v
∂x
∂x
#
(t0 )
dt0 .
s,2
Demonstração:
Das propriedades do grupo e da desigualdade (2.20) temos que
v )) = (1 + T )−ρ ||φu0 (v) − φu0 (e
v )||L2x L∞
λT4 (φu0 (v) − φu0 (e
T
Z t
∂e
v
∂v
0
−ρ
W (−t ) ve − v
= (1 + T )
W (t)
(t0 )dt0
∂x
∂x
0
L2x L∞
T
Z t
∂e
v
∂v
W (−t0 ) ve − v
≤ (1 + T )−ρ c(1 + T )ρ
(t0 )dt0
∂x
∂x
0
s,2
Z t
∂e
v
∂v
W (−t0 ) ve − v
= c
(t0 )dt0
∂x
∂x
0
s,2
Z T
∂e
v
∂v
ve − v
≤ c
(t0 )
dt0 .
∂x
∂x
−T
s,2
Tomando agora o máximo dos λTi 1 (φu0 (v) − φu0 (e
v )) obtemos
ΛT (φu0 (v) − φu0 (e
v )) =
≤
=
=
≤
max λTj (φu0 (v) − φu0 (e
v ))
Z T
∂v
∂e
v
(t)dt
ve − v
c
∂x
∂x s,2
−T
Z T
∂e
v
∂e
v
∂e
v
∂v
ve − v
c
+v
−v
(t)dt
∂x
∂x
∂x
∂x s,2
−T
Z T
∂e
v
∂(e
v − v)
c
(e
v − v)
+v
(t)dt
∂x
∂x
−T
s,2
Z T
Z T
∂e
v
∂(e
v − v)
c
+c
(t)dt
(e
v − v)
v
∂x s,2
∂x
−T
−T
s,2
j=1,...,4
≤ cT 1/2 (1 + T )ρ ΛT (v − ve){ΛT (v) + ΛT (e
v )}.
Mostraremos agora que φ : XTa → XTa é uma contração, para isto tomemos
v, ve ∈ XTa com a e T satisfazendo (3.22) e (3.23). Note que
ΛT (φu0 (v) − φu0 (e
v )) =
max λTj (φu0 (v) − φu0 (e
v ))
j=1,...,4
59
≤ cT 1/2 (1 + T )ρ ΛT (v − ve){ΛT (v) + ΛT (e
v )}
≤ 2cT 1/2 (1 + T )ρ aΛT (v − ve)
1 T
≤
Λ (v − ve).
2
Logo, para valores de T satisfazendo (3.22) e (3.23), φ : XTa → XTa é uma
contração e com isso existe um único u ∈ XTa tal que φu0 (u) = u, isto é,
Z t
∂u
0
W (t − t ) u
u(t) = W (t)u0 −
(t0 )dt0 .
∂x
0
De modo análogo para T1 ∈ (0, T ) obtemos
1/2
v )}.
v )) ≤ c||u0 − u
e0 ||s,2 + cT1 (1 + T1 )ρ ΛT1 (v − ve){ΛT1 (v) + ΛT1 (e
ΛT1 (φu0 (v) − φue0 (e
Para ver que a aplicação dado inicial-fluxo é Lipschitz, considere T1 ∈ (0, T ) e
v, ve ∈ XTa com a e T satisfazendo (3.22) e (3.23) . Assim,
ΛT1 (φu0 (v) − φue0 (e
v )) = ΛT1 (v − ve)
1/2
≤ c||u0 − u
e0 ||s,2 + cT1 (1 + T1 )ρ ΛT1 (v − ve){ΛT1 (v) + ΛT1 (e
v )}
1/2
≤ c||u0 − u
e0 ||s,2 + 2acT1 (1 + T1 )ρ ΛT1 (v − ve).
Portanto,
ΛT1 (φu0 (v) − φue0 (e
v )) ≤ K||u0 − u
e0 ||s,2
onde K > 0. Assim, para um T1 ∈ (0, T ) a aplicação u
e0 → u
e de V (vizinhança de u0
dependendo de T1 ) em XTa1 é Lipschitz.
Para estendermos a unicidade de nossa solução ao intervalo (0, T ), consideremos w ∈ XT1 para T1 ∈ (0, T ) uma solução do (3.1). O argumento usado em (3.21)
mostra que para T2 ∈ (0, T1 ), w ∈ XTa2 . Portanto mostra que w = u em R × [−T2 , T2 ].
Reaplicando este processo, um número finito de vezes, estendemos a unicidade de nossa solução ao intervalo (0, T ).
Portanto, está completa a demonstração do Teorema 3.1.
60
Capı́tulo 4
O Problema de Cauchy para a
equação mKdV em espaços de
Sobolev H s(R), com s ≥ 1/4
Nosso objetivo neste capı́tulo é provar a boa colocação local para o seguinte
PVI
3
∂u + ∂ u + u2 ∂u = 0
∂t
∂x3
∂x
.
u(x, 0) = u0 (x)
(4.1)
Para isso, demonstraremos o seguinte Teorema:
Teorema 4.1 Consideremos o PVI (4.1). Então para cada u0 ∈ Ḣ 1/4 (R) existe T =
1/4
T (||Dx u0 ||2 ) > 0 (com T (ρ) → ∞ para ρ → 0) e uma única solução forte u(t) de (4.1)
satisfazendo
u ∈ C([−T, T ] : Ḣ 1/4 (R)),
D1/4
∂u
< ∞,
∂x L∞
2
L
x
(4.2)
(4.3)
T
∂u
< ∞,
5/2
∂x L20
x L
(4.4)
< ∞,
||Dx1/4 u||L5x L10
T
(4.5)
T
61
e
kukL4x L∞ < ∞.
(4.6)
T
Além disso, para qualquer T 0 ∈ (0, T ) existe uma vizinhança V de u0 em Ḣ 1/4 (R)
tal que a função u
e0 → u
e(t) de V na classe definida por (4.2) − (4.6), com T 0 no lugar
de T é Lipschitz.
Demonstração:
De maneira análoga ao que fizemos no capı́tulo anterior consideremos
w : R × [−T, T ] → R,
as normas
µT1 (w) := max ||Dx1/4 w||2 ,
(4.7)
µT2 (w) := kDx wkL20 L5/2 ,
(4.8)
µT3 (w) := Dx1/4 w L5 L10 ,
(4.9)
∂w
,
∂x L∞
2
L
x
(4.10)
t∈[−T,T ]
x
T
x
µT4 (w) := Dx1/4
T
T
µT5 (w) := ||w||L4x L∞
,
T
(4.11)
ΩT (w) := max µTj (w),
(4.12)
j=1,...,5
e também o espaço métrico completo
YT := {w ∈ C([−T, T ] : Ḣ 1/4 (R))/ΩT (w) < ∞},
com a métrica
d(w1 , w2 ) = ΩT (w1 − w2 ).
62
(4.13)
Vejamos inicialmente que YT 6= Ø.
Usando as propriedades do grupo e as desigualdades (2.11)−(2.13), (2.17), (2.21),
(2.22) mostramos que
µT1 (W (t)u0 ) :=
=
max ||Dx1/4 W (t)u0 ||2
t∈[−T,T ]
max ||W (t)Dx1/4 u0 ||2
t∈[−T,T ]
=
max ||Dx1/4 u0 ||2 = ||Dx1/4 u0 ||2 ,
t∈[−T,T ]
µT2 (W (t)u0 ) := kDx W (t)u0 kL20 L5/2
x
≤
T
||Dx1/4 u0 ||2 ,
µT3 (W (t)u0 ) :=
Dx1/4 W (t)u0 L5 L10
=
W (t)Dx1/4 u0 L5 L10
x T
x
T
≤ c||Dx1/4 u0 ||2 ,
µT4 (W (t)u0 ) :=
Dx1/4
∂
W (t)u0
∂x
2
L∞
x L
T
=
∂W (t) 1/4
Dx u0
∂x
2
L∞
x L
≤
c||Dx1/4 u0 ||2
T
e
µT5 (W (t)u0 ) := ||W (t)u0 ||L4x L∞
T
≤ c||Dx1/4 u0 ||2 .
Portanto,
ΩT (w) := max µTj (w) ≤ c||Dx1/4 u0 ||2 .
j=1,...,5
Assim, se u0 ∈ Ḣ 1/4 (R) para qualquer T > 0, então W (t)u0 ∈ YT e portanto
YT 6= Ø.
Para u0 ∈ Ḣ 1/4 (R) denotemos por φ(v) = φu0 (v) a solução do PVI linear nãohomogêneo
∂ u + ∂ 3u + v2∂ v = 0
t
x
x
u(x, 0) = u (x),
0
63
(4.14)
onde v ∈ XTa := {w ∈ YT /ΩT (w) ≤ a}.
Consideremos a equação integral
Z t
0
W (t − t ) v
u(t) = φ(v(t)) = W (t)u0 −
2 ∂v
0
∂x
(t0 )dt0 .
(4.15)
Primeiramente vamos provar a seguinte desigualdade:
Lema 4.1
Dx1/4
2 ∂v
v
≤ c(ΩT (v))3 .
∂x L2x L2
(4.16)
T
Demonstração:
Usando o Lema 1.4 com f = v 2 , g = ∂x v, α = α1 = 1/4, p = q = 2, p2 = 20 e
q2 = 5/2 e o Lema 1.3 deduzimos a seguinte sequência de desigualdades
Dx1/4
2 ∂v
v
∂x L2x L2
≤ c kvkL4x L∞
Dx1/4 v L5 L10 µT2 (v) + c(µT5 (v))2 µT4 (v)
x T
20/9
Lx
L10
T
T
Dx1/4
∂v
∂v
+ c v 2 L2 L∞ Dx1/4
x
T
5/2
∂x L20
∂x L∞
2
x L
x L
≤ c Dx1/4 v 2
T
T
T
T
≤ c(Ω (v))3 .
Usando as propriedades do grupo, as desigualdades (2.11)-(2.13), (2.17), (2.21)
e (2.22) na equação (4.15) mostramos que
µT1 (φ(v(t))) :=
=
=
=
=
max ||Dx1/4 φ(v(t))||2
Z t
1/4
0
2 ∂v
0
0
max Dx W (t) u0 −
W (−t ) v
(t )dt
t∈[−T,T ]
∂x
0
2
Z t
∂v
max W (t) Dx1/4 u0 −
W (−t0 ) v 2
(t0 )dt0
t∈[−T,T ]
∂x
0
2
Z t
∂v
max Dx1/4 u0 −
W (−t0 ) v 2
(t0 )dt0
t∈[−T,T ]
∂x
0
2
Z t
∂v
Dx1/4 u0 −
W (−t0 ) v 2
(t0 )dt0
,
∂x
0
2
t∈[−T,T ]
64
µT2 (φ(v(t))) := kDx φ(v(t))kL20 L5/2
x T Z t
0
2 ∂v
0
0
=
Dx W (t) u0 −
W (−t ) v
(t )dt
5/2
∂x
0
L20
x LT
Z t
∂v
1/4
u0 −
W (−t0 ) v 2
≤
Dx
(t0 )dt0
,
∂x
0
2
µT3 (φ(v(t))) :=
Dx1/4 φ(v(t)) L5 L10
x T Z t
1/4
0
2 ∂v
0
0
(t )dt
=
Dx W (t) u0 −
W (−t ) v
∂x
0
L5 L10
x T
Z t
∂v
W (−t0 ) v 2
=
W (t) Dx1/4 u0 −
(t0 )dt0
∂x
0
L5x L10
T
Z t
∂v
W (−t0 ) v 2
≤ c Dx1/4 u0 −
(t0 )dt0
,
∂x
0
2
∂
φ(v(t))
∂x
2
L∞
x LT
Z t
1/4 ∂
0
2 ∂v
0
0
=
Dx
W (t)u0 −
W (t − t ) v
(t )dt
∂x
∂x
2
0
L∞
x LT
Z t
∂W (t) 1/4
∂v
=
Dx
W (−t0 ) v 2
(t0 )dt0
u0 −
∂x
∂x
2
0
L∞
x LT
Z t
∂v
(t0 )dt0
≤ c Dx1/4 u0 −
W (−t0 ) v 2
∂x
0
2
µT4 (φ(v(t))) :=
Dx1/4
e
µT5 (φ(v(t))) := ||φ(v(t))||L4x L∞
ZT t
0
2 ∂v
W (t − t ) v
=
W (t)u0 −
(t0 )dt0
∂x
0
L4 L∞
x T
Z t
∂v
(t0 )dt0
=
W (t) u0 −
W (−t0 ) v 2
∂x
0
L4 L∞
x T
Z t
∂v
≤ c Dx1/4 u0 −
W (−t0 ) v 2
(t0 )dt0
.
∂x
0
2
Portanto, usando as desigualdades acima e a inequação (4.16) obtemos
ΩT (φ(v(t))) :=
max µTj (φ(v(t)))
Z t
1/4
0
2 ∂v
0
0
≤ c Dx
u0 −
W (−t ) v
(t )dt
∂x
0
2
j=1,...,5
65
≤ c
≤ c
≤ c
= c
= c
Z t
2 ∂v
D W (−t ) v
(t0 ) dt0
∂x
0
2
Z T
∂v
(t0 ) dt0
Dx1/4 u0 2 + c
D1/4 v 2
∂x
−T
2
!1/2
1/2 Z T
Z T
2
∂v
1 dt0
D1/4 v 2
Dx1/4 u0 2 + c
(t0 ) dt0
∂x
−T
−T
2
!
1/2
Z T
2
2 ∂v
1/4
1/2
1/4
0
v
Dx u0 2 + cT
D
(t ) dt0
∂x
−T
2
∂v
Dx1/4 u0 2 + cT 1/2 D1/4 v 2
∂x L2x L2
Dx1/4 u0 2 + c
1/4
0
T
≤ c Dx1/4 u0 2 + cT 1/2 (ΩT (v))3 .
(4.17)
Agora, escolha a e T > 0 tal que
a = 2c||Dx1/4 u0 ||2 ,
(4.18)
8cT 1/2 a2 < 1.
(4.19)
com T satisfazendo
De nossa escolha em (4.18) e (4.19) resulta que
ΩT (u(t)) = ΩT (φ(v(t)))
≤ c||Dx1/4 u0 ||2 + cT 1/2 (ΩT (v))3
a
1
≤
+ 2 · a3
2 8a
5a
=
≤ a.
8
Assim, φ(v) = φu0 (v) ∈ YaT desde que v ∈ YaT , com a e T satisfazendo (4.18) e
(4.19). Portanto, podemos concluir que φ : YTa → YTa .
De modo similar ao que fizemos anteriormente, usando as propriedades do
grupo, as desigualdades (2.11)-(2.13), (2.17), (2.21) e (2.22) na equação (4.15)
mostramos que
max ||Dx1/4 [φ(v(t)) − φ(ṽ(t))] ||2
Z t
1/4
0
2 ∂ṽ
2 ∂v
0
0
= max Dx
W (t − t ) ṽ
(t )dt
−v
t∈[−T,T ]
∂x
∂x
0
2
µT1 (φ(v(t)) − φ(ṽ(t))) :=
t∈[−T,T ]
66
=
=
=
≤
≤
Z t
0
2 ∂ṽ
2 ∂v
0
0
W (−t ) ṽ
W (t)
−v
(t )dt
∂x
∂x
0
2
Z t
∂v
∂ṽ
− v2
(t0 )dt0
max W (t) Dx1/4
W (−t0 ) ṽ 2
t∈[−T,T ]
∂x
∂x
0
2
Z t
∂v
∂ṽ
− v2
(t0 )dt0
max Dx1/4
W (−t0 ) ṽ 2
t∈[−T,T ]
∂x
∂x
0
2
Z t
∂ṽ
∂v
max
Dx1/4 W (−t0 ) ṽ 2
− v2
(t0 )dt0
t∈[−T,T ]
∂x
∂x
0
2
Z T
∂ṽ
∂v
max
Dx1/4 ṽ 2
− v2
(t0 ) dt0
t∈[−T,T ] −T
∂x
∂x
2
Z T
∂ṽ
∂v
Dx1/4 ṽ 2
− v2
(t0 ) dt0 ,
∂x
∂x
−T
2
max
t∈[−T,T ]
=
Dx1/4
µT2 (φ(v(t)) − φ(ṽ(t))) := kDx [φ(v(t)) − φ(ṽ(t))]kL20 L5/2
x
T
Z t
0
2 ∂ṽ
2 ∂v
0
0
W (t − t ) ṽ
−v
=
Dx
(t )dt
5/2
∂x
∂x
0
L20
x LT
Z t
0
2 ∂ṽ
2 ∂v
0
0
W (−t ) ṽ
−v
=
Dx W (t)
(t )dt
5/2
∂x
∂x
0
L20
x LT
Z t
∂ṽ
∂v
W (−t0 ) ṽ 2
− v2
(t0 )dt0
=
Dx1/4
∂x
∂x
0
2
Z t
∂ṽ
∂v
=
Dx1/4 W (−t0 ) ṽ 2
− v2
(t0 )dt0
∂x
∂x
0
2
Z T
∂ṽ
∂v
≤
Dx1/4 ṽ 2
− v2
(t0 ) dt0 ,
∂x
∂x
−T
2
µT3 (φ(v(t)) − φ(ṽ(t))) :=
=
=
=
≤
Dx1/4 [φ(v(t)) − φ(ṽ(t))] L5 L10
x T
Z t
∂ṽ
1/4
0
2
2 ∂v
0
0
Dx
W (t − t ) ṽ
−v
(t )dt
∂x
∂x
0
L5x L10
Z t
T
∂ṽ
∂v
W (−t0 ) ṽ 2
Dx1/4 W (t)
− v2
(t0 )dt0
∂x
∂x
0
L5 L10
Z t
x T
∂ṽ
∂v
W (t)Dx1/4
W (−t0 ) ṽ 2
− v2
(t0 )dt0
∂x
∂x
0
L5x L10
T
Z t
∂ṽ
∂v
c Dx1/4
W (−t0 ) ṽ 2
(t0 )dt0
− v2
∂x
∂x
0
2
67
Z t
= c
Dx1/4 W (−t0 )
0
Z T
≤ c
−T
µT4 (φ(v(t)) − φ(ṽ(t))) :=
=
=
=
=
=
≤
2 ∂ṽ
2 ∂v
−v
(t0 )dt0
∂x
∂x
2
∂v
∂ṽ
− v2
(t0 ) dt0 ,
Dx1/4 ṽ 2
∂x
∂x
2
ṽ
∂
[φ(v(t)) − φ(ṽ(t))]
∂x
2
L∞
x LT
Z t
0
2 ∂ṽ
2 ∂v
0
0
1/4 ∂
W (t − t ) ṽ
−v
(t )dt
Dx
∂x 0
∂x
∂x
L2
L∞
x T
Z t
∂
∂ṽ
∂v
Dx1/4 W (t)
W (−t0 ) ṽ 2
− v2
(t0 )dt0
∂x
∂x
∂x
0
L∞ L2
Z t
x T
∂ṽ
∂
∂v
W (−t0 ) ṽ 2
W (t)Dx1/4
− v2
(t0 )dt0
∂x
∂x
∂x
2
0
L∞
x LT
Z t
∂v
∂ṽ
− v2
(t0 )dt0
Dx1/4
W (−t0 ) ṽ 2
∂x
∂x
0
2
Z t
∂ṽ
∂v
Dx1/4 W (−t0 ) ṽ 2
− v2
(t0 )dt0
∂x
∂x
0
2
Z T
∂v
∂ṽ
− v2
(t0 ) dt0
Dx1/4 ṽ 2
∂x
∂x
−T
2
Dx1/4
e
µT5 (φ(v(t)) − φ(ṽ(t))) := kφ(v(t)) − φ(ṽ(t))kL4x L∞
T
Z t
0
2 ∂ṽ
2 ∂v
=
W (t − t ) ṽ
−v
(t0 )dt0
∂x
∂x
0
L4x L∞
T
Z t
2 ∂v
0
0
0
2 ∂ṽ
W (−t ) ṽ
−v
(t )dt
=
W (t)
∂x
∂x
0
L4x L∞
T
Z t
∂ṽ
∂v
W (−t0 ) ṽ 2
= c Dx1/4
− v2
(t0 )dt0
∂x
∂x
0
2
Z t
∂ṽ
∂v
= c
Dx1/4 W (−t0 ) ṽ 2
− v2
(t0 )dt0
∂x
∂x
0
2
Z T
∂ṽ
∂v
− v2
(t0 ) dt0 .
≤ c
Dx1/4 ṽ 2
∂x
∂x
−T
2
Portanto, usando as desigualdades acima obtemos
ΩT (φ(v(t)) − φ(ṽ(t))) :=
max µTj (φ(v(t)) − φ(ṽ(t)))
j=1,...,5
68
Z T
Dx1/4
≤ c
ṽ
−T
≤ cT
1/2
2 ∂ṽ
∂x
T
−v
2 ∂v
∂x
T
(Ω (v)) + (Ω (e
v ))
2
(t0 )
dt0
2
T
Ω (v − ve).
Mostraremos agora que φ : YTa → YTa é uma contração. Para tanto, tomemos
v, ve ∈ YTa com a e T satisfazendo (4.18) e (4.19) para obter
ΛT (φu0 (v) − φu0 (e
v )) =
max λTj (φu0 (v) − φu0 (e
v ))
2
≤ cT 1/2 (ΩT (v)) + (ΩT (e
v )) ΩT (v − ve)
j=1,...,4
≤ 4cT 1/2 a2 ΩT (v − ve)
1 T
≤
Ω (v − ve).
2
Logo, para valores de T satisfazendo (4.18) e (4.19), φ : YTa → YTa é uma
contração e com isso existe um único u ∈ YTa tal que φu0 (u) = u, isto é,
Z t
2 ∂u
u(t) = W (t)u0 −
W (t − t ) u
(t0 )dt0 .
∂x
0
0
De modo análogo ao que fizemos antes, para T1 ∈ (0, T ) obtemos
1/2
ΩT1 (φu0 (v) − φue0 (e
v )) ≤ c Dx1/4 (u0 − u
e0 ) 2 + cT1
(ΩT1 (v)) + (ΩT1 (e
v ))
2
ΩT1 (v − ve).
Para ver que a aplicação dado inicial-fluxo é Lipschitz, consideremos T1 ∈
(0, T ) e v, ve ∈ YTa com a e T satisfazendo (4.18) e (4.19) . Assim,
ΩT1 (φu0 (v) − φue0 (e
v )) = ΩT1 (v − ve)
1/2
≤ c Dx1/4 (u0 − u
e0 ) 2 + cT1
(ΩT1 (v)) + (ΩT1 (e
v ))
2
ΩT1 (v − ve)
1/2
≤ c Dx1/4 (u0 − u
e0 ) 2 + 4a2 cT1 ΩT1 (v − ve).
Portanto,
ΩT1 (φu0 (v) − φue0 (e
v )) ≤ K||Dx1/4 (u0 − u
e0 )||2
onde K > 0. Assim, para um T1 ∈ (0, T ) a aplicação u
e0 → u
e de V (vizinhança de u0
dependendo de T1 ) em YTa1 é Lipschitz.
69
Para estendermos a unicidade de nossa solução ao intervalo (0, T ), consideremos w ∈ YT1 para T1 ∈ (0, T ) uma solução do (4.1). O argumento usado em (4.17)
mostra que para T2 ∈ (0, T1 ), w ∈ YTa2 . Portanto mostra que w = u em R × [−T2 , T2 ].
Reaplicando este processo, um número finito de vezes, estendemos a unicidade de nossa solução ao intervalo (0, T ).
Portanto, está completa a demonstração do Teorema 4.1.
Como uma conseqüência do Teorema 4.1 temos que o PVI (4.1) para a equação
modificada KdV é localmente bem posto em H s (R) para s ≥ 1/4.
70
Capı́tulo 5
Considerações finais - Propriedades
da equação KdV
Neste capı́tulo apresentaremos algumas propriedades da solução da equação
∂t u + ∂x3 u + u∂x u = 0
em
R × (0, ∞)
(5.1)
tais como sólitons, scaling, leis de conservação, etc. Além disso, comentaremos
a importância dessas propriedades no estudo da Boa Colocação da KdV.
5.1
Sólitons
A palavra sóliton foi criada por M. Kruskal ao estudar soluções periódicas da
KdV. Com este termo fundiu-se o conceito de onda solitária com a terminação
on, radical designando partı́cula (tal como eletrón, fóton, etc). Muitas definições
rigorosas podem ser formuladas; neste texto definiremos sólitons da seguinte
forma:
Definição 5.1 Sóliton é uma solução de uma equação diferencial parcial nãolinear que goze das seguintes propriedades:
(i) representa uma onda de forma permanente, ou seja, é da forma v(x − σt),
onte σ é uma constante real;
71
(ii) é localizada, ou seja, v(ξ) → 0, assim como todas suas derivadas, quando
ξ → ±∞;
(iii) mantém sua identidade mesmo após interação com outros sólitons (e neste
sentido tem um comportamento de partı́culas, como sugere seu nome).
Podemos então começar a procurar sólitons para a equação (5.1). Suponhamos que
u(x, t) = v(x − σt).
(5.2)
Então u resolve a equação KdV (5.1), desde que v satisfaz a EDO
d
0
000
0
0
−σv + v + vv = 0 =
.
ds
(5.3)
Integrando (5.3) obtemos
1
−σv + v 00 + v 2 = a,
2
(5.4)
onde a denota alguma constante. Multiplicando esta igualdade por v 0 obtemos
1
−σvv 0 + v 00 v 0 + v 2 v 0 = av 0
2
e deduzimos que
−σ
Portanto,
v 2 (v 0 ) 2 1 3
+ v = av + b.
+
2
2
6
(v 0 ) 2
1
v2
= − v 3 + σ + av + b
2
6
2
(5.5)
onde b é outra constante arbitrária.
Investigado (5.5) olhamos agora somente para as soluções v que satisfazem
v, v 0 , v 00 → 0 quando s → ±∞. Então (5.4), (5.5) implica a = b = 0. A equação (5.5)
torna-se
(v 0 ) 2
1
σ
2
=v − v+
.
2
6
2
Portanto
1
v = ±v σ − v
3
0
72
1/2
.
Tomando o sinal negativo acima, por conveniência, obtemos então esta fórmula
implı́cita para v:
Z v(z)
dz
(5.6)
1/2 + c,
1
1
z σ− z
3
σ
sech 2 θ = 3σsech 2 θ, segue
para alguma constante c. Agora substituindo z =
1/3
então que
s=−
dz
= 3σsech θ(−sech θ tanh θ)
dθ
= −6σsech 2 θ tanh θ
e
1
z σ− z
3
1/2
= 3σsech 2 θ σ − σsech 2
1/2
= 3σsech 2 θσ 1/2 1 − sech 2 θ
1/2
= 3σ 3/2 sech 2 θ tanh θ.
Portanto (5.6) torna-se
Z v(z)
dz
1/2 + c
1
1
z σ− z
3
Z
−6σsech 2 θ tanh θdθ
= −
1/2 + c
1
2
2
3σsech θ σ − · 3σsech θ
3
Z
2
−6σsech θ tanh θdθ
= −
+c
3σsech 2 θσ 1/2 (1 − sech 2 θ)1/2
Z
−6σsech 2 θ tanh θdθ
= −
+ c = 2σ −1/2 θ + c,
3σ 3/2 sech 2 θ tanh θ
s = −
onde θ é dado implicitamente pela relação
3σsech 2 θ = v(s).
Combinando (5.7) e (5.7), obtemos
v(s) = 3σsech 2 θ
1/2
σ (s − c)
2
= 3σsech
(s ∈ R).
2
73
(5.7)
Consequentemente, v resolve a EDO (5.3). Como consequência
1/2
σ (x − σt − c)
2
u(x, t) = 3σsech
(x ∈ R, t ≥ 0)
2
é uma solução da equação KdV para cada c ∈ R, σ > 0.
É fácil verificar que esta função obdece às duas primeiras exigências para
ganhar o nome de sóliton; para a terceira, a demonstração se encontra em [9].
5.2
Sistemas Integráveis e Leis de Conservação
Nesta seção veremos como muitas propriedades das soluções da KdV podem
ser obtidas apenas a partir do estudo da expressão da equação, ou seja, de suas
propriedades algébricas.
Para começar a estudar tais propriedades reescrevemos a equação (5.1) na
seguinte forma:
1 2
ut = ∂x −uxx − u .
2
(5.8)
Integrando sobre a reta e lembrando que u → 0 (assim como todas as suas
derivadas) em x → ±∞ podemos escrever
Z
Z
Z
1 2
d
1 2 x=∞
∂x −uxx − u
ut dx =
u dx =
dx = −uxx − u
= 0,
dt R
2
2
x=−∞
R
R
ou seja,
Z
u dx = A1
R
onde A1 é uma constante.
A expressão acima
é uma grandeza conservada, ou seja, ao longo da evolução
Z
ditada pela KdV,
T1 dx, onde T1 = u não se altera. Fisicamente significa que
R
a massa não se altera, ou seja, temos uma expressão para a conservação da
massa. Podemos começar a procurar por outras grandezas conservadas, em
particular associadas a outras entidades fı́sicas.
Multiplicando a equação (5.1) por u obtemos
uut + uuxxx + u2 ux = uut + (ux uxx + uuxxx ) − ux uxx + u2 ux = 0,
74
(5.9)
que podemos reescrevê-la
1 2 1 3
1 2
∂t
u + ∂x uuxx − ux + u = 0,
2
2
3
ou ainda,
∂t
1 2
u
2
= −∂x
1 2 1 3
uuxx − ux + u .
2
3
(5.10)
Integrando sobre a reta e lembrando que u → 0 (assim como todas as suas
derivadas) em x → ±∞ podemos escrever
Z
Z
d
1 2
1 2
u dx =
∂t
u dx
dt R 2
2
R
Z
1 2 1 3
= − ∂x uuxx − ux + u dx
2
3
R
x=∞
1
1
= − uuxx − u2x + u3
= 0,
2
3
x=−∞
ou seja,
Z
u2 = A 2 ,
R
onde A2 é uma constante.
Z
2
Portanto escrevendo T2 = u temos que
T2 dx é constante, e temos uma
R
segunda lei de conservação, esta associada a conservação do momento.
Com um pouco mais de trabalho podemos obter uma terceira lei de conservação,
desta vez associada a energia.
Z
1 2
3
Assim obtemos T3 = u + ux e uma nova lei de conservação, T3 dx.
2
É importante notar que sempre que tivermos uma expressão da forma
∂T
∂X
+
=0
∂t
∂x
e condições de contorno apropriadas, noZcaso X → 0 com x → ±∞, teremos uma
lei de conservação, que pode ser escrita
T dx = A, onde A é uma constante.
R
Dado que em um problema fı́sico tı́pico as leis de conservação aplicadas
são exatamente aquelas associadas a massa, momento e energia, poder-se-ia
pensar, a primeira vista, que as três leis enunciadas acima esgotam as leis de
conservação da KdV. No entanto, com muito esforço, Miura, Gardner e Kruskal
75
em 1968, ver [18], encontraram mais oito leis de conservação independentes,
totalizando onze. Para surpresa de muitos provou-se, em seguida, que a KdV
possui um número infinito de leis de conservação, e que, além disto, esta caracterı́stica é compartilhada por um grande número de equações diferenciais (aquelas que recebem o tı́tulo de sistemas integráveis). Maiores detalhes ver [9].
5.3
Scaling (Solução tipo escala)
Afirmação: Se u(x, t) resolve (5.1) com u(x, 0) = u0 (x) então uλ (x, t) = λ3/2 (λx, λ3 t)
(λ > 0) com uλ (x, 0) = λ3/2 u0 (λx) também resolve (5.1).
Demonstração
De fato, pelas caracterı́ticas da parte linear em (5.1) devemos ter
uλ (x, t) = λβ u(λx, λ3 t) (λ > 0).
(5.11)
Assim,
∂t uλ (x, t) = λβ+3 ut (λx, λ3 t) , ∂x uλ (x, t) = λβ+1 ux (λx, λ3 t),
∂x2 uλ (x, t) = λβ+2 uxx (λx, λ3 t) e ∂x3 uλ (x, t) = λβ+3 uxxx (λx, λ3 t).
Substituindo uλ (x, t) em (5.1) obtemos
∂t uλ (x, t) + ∂x3 uλ (x, t) + uλ (x, t)∂x uλ (x, t) = 0,
ou seja,
λβ+3 ut (λx, λ3 t) + λβ+3 uxxx (λx, λ3 t) + λ2β+1 u(λx, λ3 t)ux (λx, λ3 t) = 0.
Para que (5.11) seja solução de (5.1) precisamos que λβ+3 = λ2β+1 , ou seja,
3
β= .
2
Portanto, se u(x, t) resolve (5.1) com u(x, 0) = u0 (x) então uλ (x, t) = λ3/2 (λx, λ3 t)
também resolve, o que prova a afirmação.
76
Agora queremos saber quantas derivadas são permitidas para kDr uλ kL2 se tornar invariante. Tomando a derivada homôgenea de ordem r em L2 (R) obtemos
Z
2
r
kD uλ (x, 0)kL2 =
|Dr uλ (x, 0)|2 dξ
ZR
|(|ξ|r u
cλ (ξ, 0))ˇ(x)|2 dξ
=
ZR
=
|ξ|2r |c
uλ (ξ, 0)|2 dξ
ZR
|λ|2r |y|2r |λ|2 |ub0 (y)|2 λdy
=
R
Z
2r+3
= λ
|y|2r |ub0 (y)|2 dy
R
2r+3
= λ
kDr u0 (x)k2L2
ξ
e a propriedades de dilatação (da
λ
ξ
2
transformada de Fourier) para escrever u
cλ (ξ) = λ ub0 (λξ) = λub0
. Portanto,
λ
3
Dr uλ (x, 0) é inavariante se 2r + 3 = 0, ou seja, r = − .
2
onde utilizamos a mudança de variável y =
5.4
Conclusões
As propriedades deduzidas acima e muitas outras, são da maior importância
no estudo da boa colocação local e global para a equação KdV, conforme a
vasta literatura sobre esta equação. Vale destacar ainda que o melhor resultado obtido para a KdV encontra-se em [4], onde Kenig, Ponce e Vega mostram
a boa colocação local e global em H s (R) para s ≥ −3/4. Tal resultado foi obtido
utilizando-se os espaços de Bourgain e o Teorema do Ponto Fixo de Banach.
Para o caso s = −3/4 o problema foi resolvido em [13], por Nakanishi, Takaoka e
Tsutsumi.
Para a equação modificada KdV, k = 2, a boa postura local é estabelecida em
H s (R) para s > 1/4 , ver [4]. Se s > 1 temos resultado global em H s (R), como pode
ser visto em [10].
77
No caso k = 3, temos o resultado local em H s para s > −1/6 , estabelecido por
Grunrock como pode ser visto em [2].
Além disso nos casos k = 1 ou 3, se v0 ∈ H s (R), para s > 0, então v ∈ C(R :
H s (R)), ver [10].
78
Referências Bibliográficas
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Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica, 2004.
[4] C. K ENIG , G. P ONCE , AND V. V EGA . A bilinear estmative with applications to
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[11] H. B RESIS .Analı́sis funcional - Teorı́a e aplicaciones Madrid, Aliança, 1984.
[12] J. B OURGAIN . Fourier transform restriction phenomena for certain lattice subsets and applications to nonlinear evolution equation. Geometric and Functional Anal.,3:107-156, 209-262, 1993.
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[14] L AWRENCE C. E VANS . Partial Differential Equations. IAMS Bookstore, 1998.
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[17] R. M IURA . The Korteweg-de Vries equation and generalizations-I. A remarkable explicit nonlinear transformation. J. Mathematical Phys., 9: 1202-1204,
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[18] R. M. M IURA , C. S. G ARDNER AND M. D. K RUSKAL . Korteweg-de Vries equation and generalizations - 2 - existence of conservation laws and constants of
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[19] VAL ÉRIA I ÓRIO . EDP: Um Curso de Graduação. Segunda Edição. IMPA: Rio
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80
