Dissertação

dissertacao.2009.leandro.favacho.pdf
Documento PDF (413.8KB)
                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA - IM
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

O PROBLEMA DE CAUCHY PARA A EQUAÇÃO KURAMOTO-VELARDE E
PARA O SISTEMA SUPER KDV.

Autor: Leandro Favacho da Costa
Orientador: Prof. Dr. Amauri da Silva Barros

Maceió
Fevereiro, 2009

Leandro Favacho da Costa

O Problema de Cauchy para a equação
Kuramoto-Velarde e para o sistema super KdV

Dissertação de Mestrado na área de
concentração de Análise submetida em 05
de fevereiro de 2009 à Banca Examinadora,
designada pelo Colegiado do Programa de
Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do
grau de mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Amauri da Silva Barros

Maceió
Fevereiro, 2009

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale

C837p

Costa, Leandro Favacho da.
O problema de Cauchy para a equação Kuramoto-Velarde e para o sistema
super KDV / Leandro Favacho da Costa. – Maceió, 2009.
70f.
Orientador: Amauri da Silva Barros.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2009.
Bibliografia: f. 60-70.
1. Cauchy, problemas de. 2. Efeitos regularizadores . 3. Kuramoto-Velarde,
Equação de. 4. Sistema super KDV. 5. Boa colocação. I. Título.
CDU: 517.955

o Problema de Cauchy para a equag8n
Kuramoto-Velarde e para 0 sistema super KdV

Dissertac;ao de Mestrado na area de con
centrac;ao de Analise submetida em 05 de
fevereiro de 2009 a Banca Examinadora,
designada pelo Colegiado do Programa de
P6s-Graduac;ao em Matematica da Uni
versidade Federal de Alagoas, como parte
dos requisitos necessarios a obtenc;ao do
grau de mestre em Matematica.

anca Examinadora:

a A3=(JXr-

Prof. Dr. Carlos Matheus Silva Santos

@/)-'fE£c-j

-------"'-----

Prof. Dr. A an Jose Corcho Fernandez

Dr. Amauri da Silva Barros (Orientador)

Aos meus pais Laércio Favacho da Costa
e Maria das Graças Costa.
2

Agradecimentos
• Ao Professor Doutor Amauri da Silva Barros por, desde a época de minha graduação,
ter acreditado em meu potencial e me dado oportunidades para elevar meus
conhecimentos em Matemática e alcançar meus objetivos. Agradeço também pelos
conselhos e pela amizade durante todos esses anos.
• À todos os professores que contribuı́ram direta ou indiretamente em minha formação
acadêmica. Em especial ao Professor Doutor Ediel de Azevedo Guerra, pela
orientação em meu T.C.C. e pela grande contribuição dada ao trabalho, e ao Professor Mestre Francisco Vieira Barros, por ter me dado minha primeira oportunidade na graduação, me ajudando a desenvolver minhas habilidades na monitoria
de Cálculo I. Agradeço também pela amizade de ambos. Não poderia esquecer
também do Professor Mestre Adroaldo Dorvillé e do Professor Doutor José Adonai
pelos excelentes cursos ministrados em minha graduação. Também ao Professor
Doutor Adán José Corcho por ter participação decisiva neste trabalho.
• À toda minha famı́lia, em especial minha esposa Edvane por estar do meu lado até
hoje me ajudando a crescer cada vez mais como pessoa e como profissional. Sem
ela não teria conseguido tantas vitórias.
• Aos meus amigos André Pizzaia, Daniel Lemos, Darliton Romão, Everson Fernando
e Marcius Petrúcio, por todos esses anos de companherismo e amizade. Também
por estarem ao meu lado nos desafios que se apresentaram até hoje desde o inı́cio
da graduação.
• Aos colegas do Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFAL. Em especial
à Eduardo Santana pelos grandes ensinamentos passados à mim com maestria.
3

• Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientı́fico e Tecnológico (CNPq) pela
concessão de bolsa de iniciação cientı́fica pelo projeto institulado “Transformada de
Fourier e Aplicações”orientado pelo Professor Doutor Amauri da Silva Barros. À
Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Alagoas (FAPEAL) e a Coordenação
de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior (CAPES) pela concessão de bolsa
de mestrado pelo projeto intitulado “Estudo do Problema de Cauchy para Modelos
que Generalizam a Equação de Korteweg de Vries”orientado pelo Professor Doutor
Amauri da Silva Barros.
• A Deus por tudo...

4

Resumo
Neste trabalho, mostramos que o problema de Cauchy com dado inicial pequeno
associado à equação Kuramoto-Velarde generalizada com dispersão sem o termo dissipativo

 ∂ u + α ∂ 3 u + γ (∂ u)2 + δup ∂ 2 u = 0
t



x

x

x

,

u(0) = φ

é localmente bem-posto em H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx) ,

s ≥ 5. Mostramos também que o

problema de Cauchy associado ao sistema super KdV

1 2 2
1

2
3

∂
u
+
∂ v =0
∂
u
+
∂
u
+
x
t

x

2
2 x
∂t v + ∂x3 v + ∂x (uv) = 0, x, t ∈ R ,



 (u (x, 0) , v (x, 0)) = (ϕ (x) , ψ (x))
é localmente bem-posto nos espaços de Sobolev Xs,3 = (H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx))
× (H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx)), com s ≥ 5. Em ambos os casos, usamos os efeitos regularizantes do tipo Kato e o Princı́pio de Contração.

Palavras-chave: Boa-colocação, efeitos regularizantes, equação Kuramoto-Velarde,
sistema super KdV.

5

Abstract
In this work, we show that the Cauchy problem with small initial data associated to the
generalized Kuramoto-Velarde equation with dispersion without a dissipative term

 ∂ u + α ∂ 3 u + γ (∂ u)2 + δup ∂ 2 u = 0
x
t
x
x
,

u(0) = φ
is locally well-posed on H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx) ,

s ≥ 5. We show too that the Cauchy

problem associated to the super KdV system

1
1 2 2

2
3


 ∂t u + ∂x u + 2 ∂x u + 2 ∂x v = 0
∂t v + ∂x3 v + ∂x (uv) = 0, x, t ∈ R ,



 (u (x, 0) , v (x, 0)) = (ϕ (x) , ψ (x))
is locally well-posed on the Sobolev spaces Xs,3 = (H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx))
× (H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx)), com s ≥ 5. Both of cases, we use the smoothing effects of
Kato type and the contraction principle.

Key-words: Well-posedness, smoothing effects, Kuramoto-Velarde equation, super
KdV system.

6

Sumário
1 Preliminares

10

1.1

Espaços Lp e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2

Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3

Espaços de Sobolev e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4

Espaços de Banach Mistos e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5

Resultados Técnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2 Equação de Kuramoto-Velarde Generalizada com Dispersão

21

2.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Estimativas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3

Boa Colocação

27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Boa colocação para o sistema super Korteweg-de Vries

61

3.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.2

Estimativas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.3

Teoria local com dado inicial pequeno: Prova do Teorema 3.1 . . . . . . .

63

4 Considerações Finais

69

Introdução

Em nosso trabalho, vamos estudar a boa colocação local para dois problemas de
Cauchy. Diremos que um problema de valor inicial é localmente bem-posto em algum
espaço funcional X, se para todo dado inicial φ ∈ X, existe um tempo T > 0 e uma
única solução u da equação integral associada ao PVI (existência e unicidade), tal que
u ∈ C ([0, T ] ; X) (persistência) e a aplicação fluxo dado-solução é ao menos contı́nua de
uma vizinhança de φ ∈ X para C ([0, T ] ; X) (dependência contı́nua).
Começamos com o problema de Cauchy associado à equação Kuramoto-Velarde generalizada com dispersão

 ∂ u + α ∂ 3 u + ν (∂ 2 u + ∂ 4 u) + γ (∂ u)2 + δup ∂ 2 u = 0
x
t
x
x
x
x
,

u(0) = φ

(0.1)

na ausência de dissipação (ν = 0), onde α, γ, δ ∈ R e p ≥ 1 é um inteiro.
O problema de valor inicial (PVI) (0.1) é um caso particular da famı́lia de PVIs

 ∂ u + ∂ 2j+1 u = P (u, ∂ u, ..., ∂ 2j u) , x, t ∈ R, j ∈ N
t
x
x
x
,
(0.2)

u(0) = φ
onde
P : C2j+1 → C
é um polinômio sem termos constantes ou termos lineares.
Vamos obter como resultado principal a boa colocação local com dado inicial pequeno
de (0.1) (sem dissipação) nos espaços de Sobolev H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx) ,

s ≥ 5. Tal

resultado foi obtido por Argento em [2]. A técnica utilizada aqui é a mesma. Vamos

8

utilizar os chamados efeitos regularizantes locais do tipo Kato presentes no grupo W (t),
o qual descreve a solução do problema linear homogêneo associado à

 ∂ u + α ∂ 3 u = g (x, t)
t
x
,

u(0) = φ

(0.3)

e o lema da contração.
O segundo problema trabalhado nesta monografia é o problema de Cauchy com dado
inicial pequeno associado ao sistema super KdV

1 2 2
1

2
3


 ∂t u + ∂x u + 2 ∂x u + 2 ∂x v = 0
∂t v + ∂x3 v + ∂x (uv) = 0, x, t ∈ R ,



 (u (x, 0) , v (x, 0)) = (ϕ (x) , ψ (x))

(0.4)

onde u = u (x, t) e v = v (x, t) são funções de valor real. Com a mesma técnica utilizada
por Barros em [3], provamos que o problema (0.4) é localmente bem-posto nos espaços de
Sobolev Xs,3 = (H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx)) × (H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx)), com s ≥ 5. A técnica
é essencialmente a mesma utilizada no estudo do problema (0.1).
O sistema super KdV é um caso particular da famı́lia de sistemas

 ∂ u + ∂ 2j+1 u + P (u , ..., u , ..., ∂ 2j u , ..., ∂ 2j u ) = 0
k
k
1
n
t k
x n
x 1
x
,

uk (x, 0) = u0 (x) , x, t ∈ R,

(0.5)

k

onde k = 1, 2, ..., n, uk (x, t) é uma função de valor real ou complexo e Pk : Cn(2j+1) → C
é um polinômio que não possui termos lineares ou constantes, isto é,
Pk (z) =

N
X

akα z α ,

ρ≥2

|α|≥ρ


para z = z10 , ..., zn0 , ..., z12j , ..., zn2j .
O sistema (0.5) generaliza vários modelos presentes na Fı́sica e na Matemática. Em
particular, ele contém toda a hierarquia da equação de Korteweg-de Vries (KdV),
modelos de ordem superior em problemas de onda de água, média elástica,
entre outros (veja [10]).
A equação KdV possui uma série de propriedades (ingredientes) relevantes que auxiliam no estudo da boa colocação local e global em espaços de Sobolev como existência e
estabilidade de soluções tipo onda solitárias, infinitas leis de conservação, solução do tipo
9

escala (scaling) entre outras. Nosso interesse agora é saber quais dessas propriedades
continuam válidas para o sistema super KdV. É de nosso conhecimento que dentre estas boas propriedades, apenas a existência de um argumento do tipo scaling destaca-se.
Tal argumento sugere que (0.4) não é bem posto em X r,s = H r (R) × H s (R) para todo
r < −3/2 e s < −1, com r, s ∈ R (veja [3]). Mais sobre estas propriedades o leitor
encontrará no último capı́tulo deste trabalho denominado “Considerações Finais”.
Organizamos o presente trabalho da seguinte maneira:
No Capı́tulo 1, exibimos os alicerces para tudo que faremos ao longo do trabalho.
Destacamos na seção 1.1 as desigualdades de Minkowski e Hölder; na seção 1.2 a Identidade de Parseval e a Fórmula de Inversão da Transformada de Fourier no espaço das
distribuições; na seção 1.3 o Lema de Imersão de Sobolev e na seção 1.5 os Teorema do
Ponto fixo de Banach e da Função Implı́cita.
No Capı́tulo 2, mostramos que o problema de Cauchy para a equação de KuramotoVelarde sem o termo dissipativo

 ∂ u + α ∂ 3 u + γ (∂ u)2 + δup ∂ 2 u = 0
x
t
x
x
,

u(0) = φ
com o dado inicial pequeno é localmente bem posto em H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx) ,

(0.6)
s ≥ 5.

Para isso usamos os efeitos regularizantes do tipo Kato associados ao grupo W (t) presente
na solução da parte linear do problema (0.6) e o Princı́pio da Contração.
No Capı́tulo 3, mostramos que o problema (0.4) com dado inicial pequeno é localmente
bem posto em Xs,3 = (H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx)) × (H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx)), com s ≥ 5.
Finalmente no capı́tulo 4, fazemos algumas considerações sobre os principais pontos
abordados no trabalho, complementando com informações relevantes sobre a teoria desenvolvida. Em especial, vamos encontrar referências de outras técnicas desenvolvidas
no estudo da boa colocação dos problemas aqui abordados bem como propriedades dos
mesmos.

10

Capı́tulo 1
Preliminares
1.1

Espaços Lp e Propriedades

Nesta seção, vamos apresentar alguns resultados e propriedades referentes aos espaços
Lp . Vamos supor que o leitor esteja familiarizado com os principais conceitos de medida
e integração, como por exemplo os conceitos de função mensurável, integrabilidade, conjuntos de medida nula, entre outros.
Definição 1.1. Seja Ω um aberto de R. Definimos L1 (Ω) como sendo o espaço das
funções integráveis sobre Ω com valores em R e escrevemos
Z
kf kL1 =
|f (x)| dx.
Ω

Definição 1.2. Seja p ∈ R com 1 ≤ p < ∞; define-se

Lp (Ω) = f : Ω → R; f mensurável e |f |p ∈ L1 (Ω)
e escreve-se
Z
kf kLp =

1/p
|f (x)| dx
.
p

Ω

Teorema 1.1. (Desigualdade de Young) Sejam x, y ≥ 0 e 1 ≤ p < ∞. Então
xy ≤
com

1 p 1 q
x + y
p
q

1 1
+ = 1.
p q
11

Demonstração. Como a função log é côncava sobre (0, ∞), temos que


1 p 1 q
1
1
log
x + y ≥ log xp + log y q = log xy,
p
q
p
q
e assim o teorema está demonstrado.
Teorema 1.2. (Desigualdade de Hölder) Sejam f ∈ Lp e g ∈ Lq onde p > 1 e p1 + 1q = 1.
Então f g ∈ L1 e kf gkL1 ≤ kf kLp kgkLq .
Demonstração. A conclusão é clara se p = 1 e se p = ∞. Suponhamos então que
1 < p < ∞. Então, pela desigualdade de Young (Teorema 1.1), temos que
|f (x)| |g (x)| ≤

1
1
|f (x)|p + |g (x)|q ,
p
q

q.t.p, x ∈ Ω.

Daı́, resulta que f g ∈ L1 e
Z
|f g| ≤

1
1
kf kpLp + kgkqLq .
p
q

Substituindo na desigualdade acima f por λf (λ > 0) temos que
Z
λp−1
1
|f g| ≤
kf kpLp +
kgkqLq .
p
λq
Escolhendo λ = kf k−1
Lp kgkLq , obtemos a desigualdade presente no Teorema, o que conclui
q/p

a demonstração.

Teorema 1.3. (Desigualdade de Minkowski) Sejam 1 ≤ p ≤ ∞ e F (x, y) mensurável
no espaço-produto de medida sigma-finito X × Y . Então
|F (x, y)| dx
Y

 p1

p

Z Z

dy

Z Z
≤

X

p

|F (x, y)| dy
X

Y

Demonstração. Veja o apêndice de [15].
Teorema 1.4. Lp é um espaço de Banach para todo 1 ≤ p < ∞.
Demonstração. Veja [6] pág. 57.

12

 p1
dx.

1.2

Transformada de Fourier

Nesta seção exibiremos alguns resultados sobre a Transformada de Fourier. Tais
resultados foram escolhidos pela importância que estes apresentam principalmente para
a resolução do problema de Cauchy associado a KdV linear. (Para mais detalhes veja [13].
Outros resultados a cerca da teoria da Transformada de Fourier podem ser encontrados
com detalhes em [7].
Definição 1.3. A Transformada de Fourier de uma função f ∈ L1 (R), denotada por fb,
é definida como
−1/2

Z +∞

fb(ξ) = (2π)

f (x) e−iξx dx , ξ ∈ R.

(1.1)

−∞

Apesar de ser possı́vel desenvolver a teoria da Transformada de Fourier tomando
L1 (R) como “base de operações”, é extremamente conveniente introduzir um espaço de
funções “muito bem comportadas”para estudar a aplicação f → fb e várias questões
relacionadas. Tal espaço é definido como segue
Definição 1.4. O espaço de Schwartz (ou das funções C ∞ rapidamente decrescentes),
denotado por S (R), é a coleção das funções f : R → C tais que,
f ∈ C ∞ (R)

(1.2)

kf kα,β = sup xα f β (x) < ∞

(1.3)

x∈R

para todo par (α, β) ∈ N × N.
Teorema 1.5.
1. Se f ∈ S (R), então f (α) ∈ S (R) para todo α ∈ N e

f (α) b(ξ) = iα ξ α fˆ (ξ) , ξ ∈ R;
2. Se f ∈ S (R), então fˆ ∈ S (R) e vale a fórmula de inversão
Z +∞
1
f (x) = √
fˆ (ξ) eiξx dξ
2π −∞
para todo x ∈ R, ou seja,
(fˆ)ˇ = f = (fˇ)ˆ
para toda f ∈ S (R).
13

(1.4)

(1.5)

(1.6)

3. Se f, g ∈ S (R), então f ∗ g ∈ S (R) e
(f ∗ g)b(ξ) =

√

2π fˆ (ξ) ĝ (ξ) , ∀ξ ∈ R,

(1.7)

onde ∗ denota a convolução de f por g.
4. Se f ∈ S (R), então
kf kL2 (R) = fb

L2 (R)

(identidade de P arseval em S (R)) .

(1.8)

Demonstração. : Ver [7] capı́tulo V seção III.
Veremos agora algumas propriedades da Transformada de Fourier no espaço das distribuições, definido como segue
Definição 1.5. Uma distribuição temperada é um funcional linear T : S (R) → C com
a propriedade que existe uma sequência {φn }∞
n=1 ⊂ S (R) tal que,
Z +∞
T (ϕ) = lim
φn (x) ϕ (x) dx
n→∞

(1.9)

−∞

para toda ϕ ∈ S (R).
A coleção de todas as distribuições temperadas forma um espaço vetorial sobre os
0

complexos o qual é denotado por S (R).
Teorema 1.6.
0

1. A aplicação f ∈ Lp → Tf ∈ S (R) , 1 ≤ p ≤ ∞ é contı́nua no sentido de Lp .
0

0

2. A aplicaçãob: S (R) → S (R) é injetiva e sobrejetiva, e valem as fórmulas
(fˆ)ˇ = f = (fˇ)ˆ.

(1.10)


f (α) b= iα ξ α fˆ

(1.11)

 (α)
fˆ
= (−i)α (xα f )b.

(1.12)

0

3. Se f ∈ S (R) então

e

Demonstração. Ver [7] capı́tulo V seção V.
14

1.3

Espaços de Sobolev e Propriedades

Seja s ∈ R. Os espaços de Sobolev (de tipo L2 ) em R são os seguintes subconjuntos
0

de S (R):
n
o
s
0
H s (R) = f ∈ S (R) : 1 + ξ 2 2 fˆ ∈ L2 (R) .
O espaço H s (R) , s ∈ R, é de Hilbert quando munido do produto interno
Z
s
(f |g)s =
dξ 1 + ξ 2 fˆ (ξ) ĝ (ξ).

(1.13)

R

A norma proveniente deste produto interno é
Z
2
s
2
kf ks =
dξ 1 + ξ 2 fˆ (ξ) .

(1.14)

R

Em particular, H 0 (R) = L2 (R). No caso de s ∈ N, temos que
kf k2s =

s
X

2

∂xj f 0 ,

(1.15)

j=0

onde k·k0 denota a norma em L2 (R).
Também utilizaremos os espaços de Sobolev homogêneos, definidos para s ∈ R por
n
o
0
Ḣ s := Ḣ s (R) = f ∈ S (R) ; Ds f ∈ L2 (R) ,
com
sf
d
kf kH˙ s = D

,

(1.16)

0

s f é como em (1.4). Note que se f ∈ H s (R), então
d
onde D

Z ∞
sf
d
kf kH˙ s = D

|ξ|

=
0

s
2

2

fˆ (ξ) dξ

 21
< ∞.

−∞

Logo, concluı́mos que H s (R) ⊆ Ḣ s (R), para todo s ∈ R.
Já o espaço de Sobolev com peso H s (R; x2 dx), para s ∈ N, é definido por
 
H s R; x2 dx = f ∈ L2 (R) ; x∂xi f ∈ L2 (R) , 0 ≤ i ≤ s ,

15

cuja norma é
kf k2s,2 := kf k2H s (x2 dx) =

s
X

2

x∂xi f 0 .

(1.17)

i=0

Exibiremos agora alguns resultados acerca dos espaços de Sobolev definidos anteriormente. Algumas demonstrações serão omitidas por conveniência, seguindo várias
referências onde se podem encontrá-las.
Proposição 1.1.
(a) Se s > 21 , então H s (R) é uma álgebra de Banach com relação à multiplicação de
funções. Além disso, para f, g ∈ H s (R) vale a desigualdade
kf gks ≤ c (s) kf ks kgks ;
k
(b) Sejam s ∈ R e k ∈ N com s > 21 + k, então H s (R) ,→ C∞
(R)(Imersão de

Sobolev).
Demonstração. Veja [1].
c1 (R). Além disso, se g ∈ L2 (R)∩L2 (R; x2 dx) vale a desigualdade
Lema 1.1. H 1 (R) ⊆ L


kgkL1 (R) ≤ c kgkL2 (R) + kxgkL2 (R) .
Demonstração. Seja f ∈ H 1 (R). Então, utilizando a desigualdade de Hölder, temos que
Z
=
fˆ (ξ) dξ
fˆ
L1 (R)

R
1

(1 + ξ 2 ) 2 ˆ
=
1 f (ξ) dξ
R (1 + ξ 2 ) 2
Z
 12 Z
2

2
≤
1 + ξ fˆ (ξ) dξ
Z

1
dξ
2
R (1 + ξ )

R

 21

≤ c kf kH 1 (R) ,
Z
onde c :=

1
dξ
2
R (1 + ξ )

 21

c1 (R).
< ∞. Dessa forma, concluı́mos que H 1 (R) ⊆ L

16

c temos, usando a primeira parte da demonstração e a
Denotando agora g := (ǧ)
identidade de Parseval, que


kgkL1 (R) ≤ c kǧkH 1 (R)


≤ c kǧkL2 (R) + k∂x ǧkL2 (R)


≤ c kǧkL2 (R) + (xg)ˇ L2 (R)


≤ c kgkL2 (R) + k(xg)kL2 (R) ,
e isto conclui a demonstração do lema.
Corolario 1.1. Para s, r ∈ Z com r > 0 temos que H s (R) ∩ H r (R; x2 dx) ⊆ H s (R) ∩
L1 (R).
Demonstração. Vamos mostrar que H r (R; x2 dx) ⊆ L1 (R), e daı́ o resultado é imediato.
Observe inicialmente que se f ∈ H r (R; x2 dx) , r ≥ 1, então f ∈ L2 (R) ∩ L2 (R; x2 dx),
pois H r (R; x2 dx) ⊂ H 0 (R; x2 dx) = L2 (R; x2 dx), para todo r ≥ 1.
Assim, podemos aplicar o lema anterior para f , ou seja,


kf kL1 (R) ≤ c kf kL2 (R) + k(xf )kL2 (R) < ∞,
pois f ∈ H r (R; x2 dx) implica xf ∈ L2 (R), para todo r ∈ Z, r ≥ 1.

1.4

Espaços de Banach Mistos e Propriedades

Para 1 ≤ p, q < ∞, Lpx LqT é o espaço de Banach misto definido por
o
n
Lpx LqT := f : R × [−T, T ] → R; kf kLpx Lq < +∞ ,
T

onde
 pq ! p1
|f (x, t)|q dt dx
.

Z +∞ Z T
kf kLpx Lq =
T

−∞

(1.18)

−T

Quando p = ∞ ou q = ∞, usaremos as seguintes definiçõs adaptadas de (1.18):
Z +∞
kf kLpx L∞ =
T

! p1
sup |f (x, t)|p dx

−∞ t∈[−T,T ]

17

;

(1.19)

 1q
|f (x, t)| dt .

Z T
q = sup
kf kL∞
x L
T

x

q

(1.20)

−T

Se escrevermos T = t em (1.18), significa que
Z +∞ Z +∞
kf kLpx Lqt =

−∞

 pq ! p1
.
|f (x, t)|q dt dx

(1.21)

−∞

Vamos agora demonstrar um lema utilizado ao longo do trabalho.
2 2
∞ 2
Lema 1.2. Sejam f ∈ L2x L∞
T e g ∈ Lx LT , então f g ∈ Lx LT e vale

kf gkL2x L2 ≤ kf kL2x L∞ kgkL∞
2 .
x L
T

T

T

Demonstração. Pela desigualdade de Hölder, temos que

Z +∞ Z T
2
2
|f g (x, t)| dt dx
kf gkL2x L2 =
T
−∞
−T

Z +∞ Z T
2
2
=
|f (x, t)| |g (x, t)| dt dx
−∞
−T
!
Z
Z
+∞

T

sup |f |2

≤

[−T,T ]

−∞

Z +∞
≤

|g|2 dt dx

−T
2

sup |f | dx

!

Z T

sup
x

−∞ [−T,T ]


|g| dt
2

−T

= kf k2L2x L∞ kgk2L∞
2 ,
x L
T

T

o que prova o lema.

1.5

Resultados Técnicos

Guardamos para o fim deste capı́tulo alguns resultados técnicos utilizados no trabalho.
Teorema 1.7. (Teorema do Ponto Fixo de Banach) Considere um espaço métrico X =
(X, d), onde X 6= ∅. Suponha que X é completo e seja T : X → X uma contração em
X. Então T tem precisamente um ponto fixo.
Demonstração. A idéia da demonstração é a seguinte: Construimos uma sequência (xn )
e mostramos que esta é de Cauchy, e então convergente em um espaço completo X. A

18

seguir, provamos que o limite x desta sequência é um ponto fixo de T , e T não tem pontos
fixos adicionais.
Comecemos escolhendo x0 ∈ X de forma arbitrária. Então, construimos a sequência
x0 ,

x1 = T x0 ,

x2 = T x1 = T 2 x0 , ...,

xn = T n x0 , ...

Note que tal sequência nada mais é que a sequência obtida por repetidas aplicações de
T à x0 . Mostremos que esta sequência é de Cauchy.
Observe que
d (xm+1 , xm ) = d (T xm , T xm−1 )
≤ αd (xm , xm−1 )
= αd (T xm−1 , xm−2 )
≤ α2 d (xm−1 , xm−2 )
... ≤ αm d (x1 , x0 ) .
Assim, usando a desigualdade triangular e a fórmula para soma dos termos de uma P.G.
finita, obtemos, para n > m,
d(xm , xn ) ≤ d(xm , xm+1 ) + d(xm+1 , xm+2 ) + · · · + d(xn−1 , xn )
≤ αm · d(x0 , x1 ) + αm+1 · d(x0 , x1 ) + · · · + αn−1 · d(x0 , x1 )
= [αm + αm+1 + · · · + αn−1 ] · d(x0 , x1 )
1 − αn−m
· d(x0 , x1 )
≤ αm ·
1−α
Como 0 ≤ α < 1, temos que 1 − αn−m < 1, e então,
d (xm , xn ) ≤

αm
d (x1 , x0 ) .
1−α

Também pelo fato de 0 ≤ α < 1, αm → 0 quando m → 0 (1 − α e d (x1 , x0 ) são fixos).
Logo, o lado direito da desigualdade acima se torna tão pequeno quanto desejamos
fazendo m → 0. Assim, concluı́mos que (xn ) é de Cauchy. Como X é completo, (xn )
converge, digamos para x. Vamos mostrar que x é um ponto fixo de T .
Pela desigualdade triangular, temos que
d (x, T x) ≤ d (x, xm ) + d (xm , T x)
= d (x, xm ) + d (T xm−1 , T x)
≤ d (x, xm ) + αd (xm−1 , x) ,
19

e o lado direito da desigualdade acima vai a zero quando m → 0, pois xm → x. Logo,
d (x, T x) ≡ 0, e consequentemente, T x = x. Assim, mostramos que x é um ponto fixo de
T.
Suponha agora que T x = x e T y = y. Então
d (x, y) = d (T x, T y) ≤ αd (x, y) ,
e como α < 1, seque que d (x, y) ≡ 0, o que nos dá x = y. Isto conclui a demonstração.
Teorema 1.8. (Teorema da Função Implı́cita) Sejam U ⊂ E , V ⊂ F abertos (E
e F espaços de Banach) e f : U × V → G uma aplicação de classe C k . Considere
(a, b) ∈ U × V e assuma que D2 f (a, b) : F → G é um isomorfismo. Se f (a, b) = 0,
então existe uma aplicação contı́nua g : U0 → V , onde U0 ⊂ U é uma vizinhança aberta
de a tal que g (a) = b e f (x, g (x)) = 0, para todo x ∈ U0 . Além disso, se U0 é uma bola
suficientemente pequena, então g é determinada de maneira única e é de classe C k .
Demonstração. Veja [12].
Teorema 1.9. Sejam E um espaço de Banach e T ∈ B(E) tal que kT k < 1. Então,
(I − T ) é inversı́vel e seu inverso é dado pela série de Neumann
−1

(I − T )

=

∞
X

T n,

n=0

onde a convergência vale na norma de B(E). Além disso,
(I − T )−1 ≤ (1 − kT k)−1 .
Demonstração. Veja [7].
Definição 1.6. Seja F a faixa definida por F = {z = x + iy : 0 ≤ x ≤ 1}. Suponhamos
que para cada z ∈ F corresponde um operador linear Tz . A famı́lia de operadores {Tz } é
chamada admissı́vel se a aplicação
Z
z 7→

(TZ f )gdν
Y

é analı́tica no interior de F, contı́nua sobre F e existe uma constante a < π tal que
Z
−a|y|
e
log
(TZ f )gdν
Y

é uniformemente limitada na faixa F.
20

Teorema 1.10 (Stein). Supondo que {Tz } , z ∈ F, seja uma famı́lia admissı́vel de operadores satisfazendo
kTiy f kq0 ≤ M0 (y) kf kp0 e

kT1+iy f kq1 ≤ M1 (y) kf kp1

para todas funções simples f ∈ Lp1 , onde 1 ≤ pj , qj ≤ ∞, Mj (y), j = 0, 1, são
independentes de f e satisfazem a desigualdade
sup

eb|y| log Mj (y) < ∞,

−∞<y<∞

para algum b < π. Se 0 ≤ t ≤ 1, existe uma constante Mt tal que
kTt f kqt ≤ Mt kf kpt ,
para toda funcão simples f e
1
1−t
t
1
1−t
t
=
+ ,
=
+ .
pt
p0
p1 qt
q0
q1
Demonstração. Veja [16].

21

Capı́tulo 2
Equação de Kuramoto-Velarde
Generalizada com Dispersão
2.1

Introdução

O presente capı́tulo tem como objetivo estudar o problema de Cauchy para a Equação
de Kuramoto-Velarde com dispersão sem o termo dissipativo, isto é,

 ∂ u + α ∂ 3 u + γ (∂ u)2 + δup ∂ 2 u = 0
t

x

x

x

,

(2.1)

u(0) = φ



onde x ∈ R, t ∈ R+ , u é uma função que toma valores reais e, vamos supor que α, γ e
δ são constantes reais não nulas.
Será explorado diretamente o caráter dispersivo da equação, desconsiderando suas
propriedades dissipativas (veja [2]). O efeito da dispersão é traduzido pelos chamados
efeitos regularizantes locais do tipo Kato, presentes no grupo unitário {W (t)}t∈R , o qual
descreve a solução do problema linear homogêneo associado à

 ∂ u + α ∂ 3 u = g (x, t)
t
x

u(0) = φ.

(2.2)

Tal solução, obtida com a utilização da Transformada de Fourier (veja [13]), é dada por
u (x, t) = W (t) φ (x) = St ∗ φ (x) ,
22

(2.3)

3

onde W (t) = e−αt∂x e St é a integral oscilatória
Z ∞
3
eixξ eitαξ dξ.
St (x) = c

(2.4)

−∞

O desenvolvimento do método de solução aqui empregado se deve principalmente a Kenig,
Ponce e Vega.

2.2

Estimativas Lineares

Nesta seção vamos estabelecer as estimativas lineares necessárias à obtenção da solução
de (2.1). Tais estimativas aparecem demonstradas nos dois lemas seguintes.

Lema 2.1. (Estimativas lineares homogêneas) Se ϕ ∈ L2x (R), então
(i)
s
k∂xs (∂x W (t) ϕ)kL∞
2 ≤ c k∂x ϕk0 , s ∈ R,
x Lt

(2.5)

kW (t) ϕkL2x L∞ ≤ c (1 + T )ρ kϕkr ,

(2.6)

(ii) Para T > 0,

T

para r, ρ > 43 .
Demonstração. (i): Seja ϕ ∈ L2x (R). Então temos que
W (t) ϕ (x) = (St ∗ ϕ) (x)
Z ∞
=
St (x − y) ϕ (y) dy
−∞

Z ∞ Z ∞
i(x−y)ξ itξ 3
=
c
e
e dξ ϕ (y) dy
−∞
−∞
Z ∞
3
=c
ei(tξ +xξ) ϕ̂ (ξ) dξ.
−∞

23

Z ∞
Assim, ∂x W (t) ϕ (x) = c

ei(tξ +xξ) ξ ϕ̂ (ξ) dξ.
3

−∞

Faça então ξ = η 1/3 . Logo,
Z ∞


1
1/3
ei(tη+xη ) ϕ̂ η 1/3 η 1/3 η −2/3 dη
3
Z−∞
∞

1/3
ei(tη+xη ) ϕ̂ η 1/3 η −1/3 dη.
=c

∂x W (t) ϕ (x) = c

−∞

Usando a identidade de Parseval na variável t, temos que para cada x ∈ R vale
Z ∞

Z ∞ Z ∞

2

|∂x W (t) ϕ (x)| dt = c
−∞

−∞

=c
=c
Z−∞
∞
=c
Z−∞
∞
=c

1/3

2

ϕ̂ η 1/3 η −1/3 dη dt

−∞

Z ∞ Z ∞
Z−∞
∞

eitη eixη

2

f (η) eitη dη dt

−∞

|f (η)|2 dη
eixη

1/3

2

ϕ̂ η 1/3 η −1/3 dη

|η|−2/3 ϕ̂ η 1/3

Z−∞
∞

ξ3

=c

−2/3

2

dη

|ϕ̂ (ξ)|2 3ξ 2 dξ

−∞

= c kϕk20 .
Agora afirmamos que ∂xs [∂x W (t) ϕ (x)] = ∂x [W (t) ∂xs ϕ (x)]. De fato, temos que:
∂x [W (t) ∂xs ϕ (x)] = ∂x [(St ∗ ∂xs ϕ) (x)]
= (∂x St ∗ ∂xs ϕ) (x) ,
e também
∂xs [∂x W (t) ϕ (x)] = ∂xs [∂x (St ∗ ϕ (x))]
= ∂xs [(∂x St ∗ ϕ) (x)]
= (∂xs ϕ ∗ ∂x St ) (x)
= (∂x St ∗ ∂xs ϕ) (x) ,

24

e assim obtemos a igualdade. Finalmente
k∂xs (∂x W (t) ϕ)k2L∞
2 = sup
x Lt
x∈R

Z ∞

|∂xs (∂x W (t) ϕ (x))|2 dt

Z−∞
∞

|∂xs (W (t) ∂xs ϕ (x))|2 dt
= sup
x∈R −∞
Z ∞
|∂x (W (t) ∂xs ϕ (x))|2 dt
≤c
−∞

= c k∂xs ϕk20 ,
o que encerra a demonstração de (i).
Para a demonstração de (ii), veja [3].
Lema 2.2. (Estimativas lineares não-homogêneas) Se g ∈ L1x L2t e T > 0, então valem:
Z t
(i) ∂x
W (t − τ ) g (x, τ ) dτ
≤ c kgkL1x L2t ,
(2.7)
2
L∞
T Lx

0

(ii) ∂x2

Z t
W (t − τ ) g (x, τ ) dτ
2
L∞
x Lt

0

Demonstração. (i): Inicialmente afirmamos que
Z ∞
∂x
W (−t0 ) g (x, t0 ) dt0
−∞

0

≤ c kgkL1x L2t .

≤ c kgkL1x L2t .

(2.8)

(2.9)

De fato, por dualidade, temos
Z ∞
∂x

W (−t0 ) g (x, t0 ) dt0

−∞

0



Z ∞  Z ∞
0
0
0
2
∂x
W (−t ) g (x, t ) dt f (x) dx; ∀f ∈ Lx , kf k0 = 1 .
= sup
−∞

−∞

Integrando por partes, usando a desigualdade de Hölder e o item (i) do lema anterior,

25

obtemos

Z ∞ Z ∞
0
0
0
∂x
W (−t ) g (x, t ) dt f (x) dx
−∞
−∞
Z ∞Z ∞
= −
g (x, t0 ) ∂x W (−t0 ) f (x) dt0 dx
Z ∞ −∞
Z ∞ −∞
|g (x, t0 ) ∂x W (−t0 ) f (x)| dt0 dx
≤
−∞ −∞
 Z
Z "Z
1/2

∞

∞

2

0

∞

0

Z ∞
≤ sup
x

1/2 #
dx

−∞

−∞

−∞

0

|∂x W (−t ) f (x)| dt

|g (x, t )| dt

≤

2

0

2

0

0

1/2 Z ∞ Z ∞

0

2

0

1/2

|g (x, t )| dt

|∂x W (−t ) f (x)| dt

−∞

−∞

dx

−∞

= k∂x W (−t0 ) f kL∞
2 kgkL1 L2
x Lt
x t
≤ c kf k0 kgkL1x L2t ,
donde concluı́mos a afirmação aplicando o sup em ambos os membros, com kf k0 = 1.
Agora, usando (2.9) e o fato de o grupo W (t) preservar a norma em L2 (R), temos
Z t
Z t
0
0
0
∂x
W (t − t ) g (x, t ) dt
= ∂x
W (t) W (−t0 ) g (x, t0 ) dt0
2
L∞
T Lx

0

2
L∞
T Lx

0

Z t
= W (t) ∂x

W (−t0 ) g (x, t0 ) dt0
2
L∞
T Lx

0

Z t
= sup

W (t) ∂x

t∈[0,T ]

0

Z t
= sup

W (−t0 ) g (x, t0 ) dt0

∂x

t∈[0,T ]

0

W (−t0 ) g (x, t0 ) dt0

0

0

≤ c kgkL1x L2t ,
e o item (i) está demonstrado.
(ii): Dizemos que uma função f ∈ D⊗ (R2 ) se podemos escrevê-la como f (x, t) =
PN

∞
i=1 fi (x) f̃i (t), com fi , f̃i ∈ C0 (R), para i = 1, 2, ..., N . Pode-se demonstrar que
D⊗ (R2 ) = Lpx Lqt e D⊗ (R2 ) = Lqt Lpx , para p, q ∈ [1, ∞)(veja [10]).

Afirmamos agora que
∂x2

Z ∞

W (t − t0 ) g (x, t0 ) dt0

−∞

2
L∞
x LT

26

≤ c kgkL1x L2t .

De fato, para f ∈ D⊗ (R2 ) com kf kL1x L2t = 1 temos que
∂x2

Z ∞

W (t − t0 ) g (x, t0 ) dt0

−∞

2
L∞
x LT



Z ∞ Z ∞  Z ∞
2
0
0
0
∂x
W (t − t ) g (x, t ) dt f (x, t) dxdt; kf kL1x L2t = 1 .
= sup
−∞

−∞

−∞

Note que como D⊗ (R2 ) ⊂ D⊗ (R2 ) = Lpx Lqt , temos que f ∈ L1x L2t e assim kf kL1x L2t
está bem definida. Aplicando Fubini, as propriedades do grupo W (t), integração por
partes, a desigualdade de Hölder e o item (i) do lema, temos que

Z ∞Z ∞ Z ∞
2
0
0
0
∂x
W (t − t ) g (x, t ) dt f (x, t) dxdt
−∞ −∞
−∞

Z ∞Z ∞ Z ∞
0
0
0
2
W (−t ) g (x, t ) dt W (t) f (x, t) dtdx
=
∂x
−∞ −∞
−∞
 Z ∞

Z ∞ Z ∞
0
0
0
=−
∂x
W (−t ) g (x, t ) dt
∂x
W (t) f (x, t) dt dx
−∞
−∞
−∞
 Z ∞

Z ∞  Z ∞
0
0
0
≤
∂x
W (−t ) g (x, t ) dt
∂x
W (−t) f (x, t) dt dx
−∞

−∞

−∞

Z ∞

Z ∞

!1/2 Z
∞

≤

∂x
−∞

2

W (−t0 ) g (x, t0 ) dt0 dx

Z ∞
= ∂x

∂x

−∞

−∞
0

0

!1/2

W (−t) f (x, t) dt dx
−∞

Z ∞

0

∂x

W (−t ) g (x, t ) dt
−∞

2

Z ∞

L2x

W (−t) f (x, t) dt
−∞

L2x

≤ c kgkL1x L2t kf kL1x L2t ,
e assim, considerando o sup em ambos os membros da desigualdade acima, com kf kL1x L2t ,
temos a afirmação.
Agora, afirmamos que
Z ∞

Z ∞
itτ
(t)
e
K (x − y, τ ) ĝ (y, τ ) dy dτ
−∞

−∞

2
L∞
x Lt

≤ c kgkL1x L2t ,

ξ2
eizξ 3
dξ (veja [10]).
ξ −τ
<|ξ 3 −τ |< 1
De fato, usando a identidade de Parserval, a desigualdade de Minkowsky, e o fato de
Z

onde K (z, τ ) := lim→0

27

K ∈ L∞ (R2 ), temos
Z ∞

itτ

Z ∞
K (x − y, τ ) ĝ

e

(y, τ ) dy dτ

−∞

−∞

Z ∞ Z ∞
= sup
x∈R

−∞

2
L∞
x Lt

!1/2

2

f (τ ) eitτ dτ

dt

−∞

Z ∞

2

1/2

|f (τ )| dτ

= sup
x∈R



(t)

−∞
Z ∞ Z ∞

K (x − y, τ ) ĝ

≤ sup

(t)

2

(y, τ ) dτ

1/2
dy

x∈R

−∞
−∞
Z ∞ Z ∞

1/2

2

|ĝ (y, τ )| dτ

≤c
−∞

dy

−∞

= c kgkL1x L2t .
Com essa afirmação e utilizando as proposições 3.2 e 3.3 e o lema 3.4 de [10] concluı́mos
a demonstração do item (ii).

2.3

Boa Colocação

O objetivo desta seção é demonstrar dois teoremas que tratam da boa colocação local
com dado inicial pequeno para o problema de Cauchy (2.1). Eis o primeiro:
Teorema 2.1. Seja φ ∈ H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx), com s ≥ 5 inteiro. Então, existe η > 0
tal que, se
kφk5 + kφk3,2 < η,
o problema (2.1) com p = 1 tem uma única solução u (·) definida no intervalo [0, T ],


onde T = T kφk5 + kφk3,2 > 0 com T (θ) → ∞ quando θ → 0, satisfazendo

u ∈ C [0, T ] ; H s (R) ∩ H 3 R; x2 dx ≡ ZTs
e


u ∈ v : R × [0, T ] → R; ∂xs+1 v ∈ L∞ R; L2 [0, T ] ≡ YTs .
0

Além disso, qualquer que seja T ∈ (0, T ), existe uma vizinhança Vφ de φ em H s (R) ∩
H 3 (R; x2 dx), tal que a aplicação φ̃ → ũ (t) de Vφ em ZTs 0 ∩ YTs0 é Lipschitziana.

28

Demonstração. Faremos a demonstração do caso em que s = 5, o qual corresponde ao
ı́ndice de Sobolev mais baixo. A demonstração para o caso geral é feita de maneira
análoga e ficará a cargo do leitor. (veja a observação no fim da demonstração, a qual
exibe as normas necessárias à obtenção da demonstração no caso s ≥ 6).
Inicialmente, definiremos um espaço métrico completo conveniente, o qual será denotado por χaT . Para φ ∈ H 5 (R) ∩ H 3 (R; x2 dx) fixo, denotaremos por Av = Aφ (v) a
solução do problema linear não homogêneo

 ∂ u + α ∂ 3 u + γ (∂ v)2 + δ ∂ 2 (v 2 ) = 0
x
t
x
x
,

u(0) = φ

(2.10)

em sua versão integral, onde v ∈ χaT . A seguir, mostraremos que existem η > 0, a > 0 e


T = T kφk5 + kφk3,2 > 0, tais que se kφk5 + kφk3,2 < η, então v ∈ χaT implica Av ∈ χaT
e A : χaT → χaT é uma contração. Neste caso, o ponto fixo de A em χaT é solução de (2.1)
em sua versão integral.
Observação 2.1. Como ∂x2 (v 2 ) = 2 (vx2 + vvxx ), reescrevemos a equação original em
(2.1) na forma (2.10), para o caso p = 1. Tal opção foi feita apenas para simplificar a
notação nas demonstrações seguintes.
Agora, para v : R × [0, T ] → R, definimos
λT1 (v) =

sup kv (t)k5 ,

(2.11)

sup kv (t)k3,2 ,

(2.12)

t∈[0,T ]

λT2 (v) =

t∈[0,T ]

λT3 (v)

−2

!1/2

Z ∞

= (1 + T )

2

sup v (x, t) dx

,

(2.13)

,

(2.14)

−∞ t∈[0,T ]

λT4 (v) = (1 + T )−2

Z ∞

!1/2
sup vx2 (x, t) dx

−∞ t∈[0,T ]

λT5 (v) = (1 + T )−2

!

Z ∞

sup |v (x, t)| dx ,

(2.15)

−∞ t∈[0,T ]

λT6 (v)

Z T
= sup
x∈R

1/2

2
∂x5 vx (x, t) dt



,

(2.16)

0

onde
(

H 3 R; x2 dx :=

φ : R → R; kφk3,2 :=

3
X
j=0

29

)
x∂xj 0 < ∞

(2.17)

e


T
T
χT := v : R × [0, T ] → R; Λ (v) := max λj (v) < ∞
1≤j≤6

Seja o espaço métrico completo dado por

χaT := v ∈ χT ; ΛT (v) ≤ a ,

(2.18)

onde d (u, v) := ΛT (u − v).
Vamos demonstrar a seguir proposições que tratam das estimativas, em termos de
ΛT (v), das partes homogênea e não homogênea de u = Av, na versão integral
Z t


u (t) = Av (t) = W (t) φ −
W (t − τ ) γvx2 + δ ∂x2 v 2 dτ.

(2.19)

0

Proposição 2.1.
Z t
(i)
W (t − τ ) vx2 dτ
0

≤ cT sup kvk22 .

Z t
(ii)
(iii)

∂x5

Z t

∂x5

0


2
≤ cT λT1 (v) + cT 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v) (. 2.22)

W (t − τ ) vx2 dτ

Z t

(2.21)

t∈[0,T ]

0

0

(iv)

≤ cT sup kvk22 .

W (t − τ ) ∂x2 v 2 dτ

0

(2.20)

t∈[0,T ]

0

0


2
≤ cT λT1 (v) + c (1 + T )2 λT5 (v) λT6 (v)

W (t − τ ) ∂x2 v 2 dτ
0

(2.23)

2

+ cT 1/2 (1 + T ) λT1 (v) λT4 (v) .
Demonstração. (i): Utilizando as desigualdades de Minkowsky e de Hölder e o lema de

30

imersão de Sobolev, temos que
Z t

Z ∞ Z t

W (t − τ ) vx2 (x, τ ) dτ

0

=
−∞

0

W (t − τ ) vx2 (x, τ ) dτ

2
W (t − τ ) vx2 (x, τ ) dx

≤

1/2
dτ

−∞

0

Z T
=
0

Z T
=
0

W (t − τ ) vx2 (x, τ ) 0 dτ
vx2 (x, τ ) 0 dτ

Z T Z ∞

2
vx2 (x, τ ) dx



=

1/2
dτ

−∞

0

Z T Z ∞

vx4 (x, τ ) dxdτ

≤
1/2

Z T
0

dτ
0

sup vx2
x∈R

"

Z ∞

vx2 dx

sup
t∈[0,T ]

1/2

sup
t∈[0,T ]

vx2 dx

0

t∈[0,T ]

≤ cT sup kvk2 sup kvx k0
t∈[0,T ]

≤ cT sup
t∈[0,T ]

o que demonstra (i).

31

0

!1/2 Z

≤ T sup kvx k0 sup kvx k∞
t∈[0,T ]

t∈[0,T ]

kvk22 ,

dτ

! Z

−∞

kvx k20

1/2



−∞

Z ∞

≤ T 1/2

1/2

1/2 Z T

−∞

0

≤T

dx

0

Z T Z ∞

≤T

!1/2

2

T

T

sup vx2 dτ

#1/2

x

2
vx2 ∞ dτ

1/2

(ii): Combinando as desigualdades de Hölder e Minkowsky, obtemos
Z t

Z T Z ∞

W (t − τ ) ∂x2 v 2 dτ

0

≤
Z T

W (t − τ ) ∂x2 v 2 0 dτ

=
0

Z T Z ∞
=

2
∂x2 v 2 dx

1/2
dt

−∞

0

1/2

Z T Z ∞

1/2

≤T

dτ

−∞

0

0

1/2

2
W (t − τ ) ∂x2 v 2 dx

2
∂x2 v 2 dxdt

−∞

0

Z ∞
≤ T sup
t∈[0,T ]

1/2

2
∂x2 v 2 dx

−∞

∂x2 v 2 0

= T sup
t∈[0,T ]

≤ cT sup kvk22 .
t∈[0,T ]

(iii): Pelas desigualdades de Hölder e Minkowsky, temos
∂x5

Z t

Z ∞ Z t

W (t − τ ) vx2 dτ

0

=
−∞

0

!1/2

2

W (t − τ ) ∂x5 vx2 dτ

dx

0

Z T Z ∞
≤
−∞
Z T Z ∞

2
W (t − τ ) ∂x5 vx2 dx

1/2
dτ

0

=

1/2
dt

−∞

0

≤T

2
∂x5 vx2 dx

1/2

Z T Z ∞
0

2
∂x5 vx2 dxdt

1/2

−∞

Pela regra de Leibniz, temos
∂x5 vx2 = 20∂x3 v ∂x4 v + 10∂x2 v ∂x5 v + 2∂x v ∂x6 v,
e isso mostra que
∂x5

Z t
0

W (t − τ ) vx2 dτ

≤T
0

1/2

6
X

Z T Z ∞
cj
0

j=1

2
∂xj v

1/2

2
∂x7−j v dxdt

.

(2.24)

−∞

Observe que na desigualdade (2.24), o termo que envolve a maior derivada de v é

32

vx ∂x6 v e pode ser estimado por
Z T Z ∞

2
(vx )2 ∂x6 v dxdt

1/2

Z ∞

−∞ t∈[0,T ]

−∞

0

sup (vx )2

≤

!1/2

2
∂x6 v dtdx

Z T
0

!1/2

1/2 Z ∞
Z T
(2.25)

2
≤ sup
∂x6 v dt
sup vx2 dx
x∈R

−∞ t∈[0,T ]

0

= (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v) .
Observe também que, utilizando a desigualdade de Hölder e o lema de imersão de Sobolev,
o termo que envolve ∂x2 v∂x5 v pode ser estimado por
Z T Z ∞

2
∂x2 v

2
∂x5 v dxdt

1/2

Z T
≤

sup

−∞

0

x∈R

0

Z T
0

≤T

sup
t∈[0,T ]

≤ cT 1/2 sup
t∈[0,T ]

≤ cT 1/2 sup
t∈[0,T ]

Z ∞

1/2

2
∂x5 v dxdt

−∞

2
∂x2 v ∞

=
1/2

2
∂x2 v

1/2

2
∂x5 v 0 dt

∂x2 v ∞ ∂x5 v 0
∂x2 v 1 sup

t∈[0,T ]

∂x5 v 0

∂x2 v 0 + ∂x3 v 0

∂x5 v 0



2
≤ cT 1/2 λT1 (v) .
Analogamente, os demais termos podem ser estimados, usando a desigualdade de Hölder
2
e o lema de imersão de Sobolev, por cT 1/2 λT1 (v) . Utilizando este fato, bem como as
estimativas (2.24) e (2.25), concluı́mos a demonstração de (iii).
(iv): Pela regra de Leibniz, temos que
2

∂x6 v 2 = c1 ∂x3 v + c2 ∂x2 v∂x4 v + c3 ∂x v∂x5 v + c4 v∂x6 v,
e assim,
∂x5

Z t
0

Z t

W (t − τ ) ∂x2 v 2 dτ

= ∂x

W (t − τ ) ∂x6 v 2 dτ

0

0

≤

6
X

0

Z t
cj ∂ x
0

j=0

(2.26)

W (t − τ ) ∂xj v∂x6−j vdτ

.
0

Analisando a parcela correspondente a j = 2 em (2.26), vemos que podemos estimála, usando as desigualdades de Hölder e de Minkowsky, e a proposição 1.1 item (a), da
33

seguinte maneira
Z t

W (t − τ ) ∂x ∂x2 v∂x4 v



Z T Z ∞
≤

dτ

0

W (t − τ ) ∂x ∂x2 v∂x4 v

1/2
dx

dt

−∞

0

0

2

∂x ∂x2 v∂x4 v

≤ T sup


0

t∈[0,T ]

≤ T sup
t∈[0,T ]

∂x2 v∂x4 v 1

≤ cT sup kv (t)k25
t∈[0,T ]

= cT λT1 (v)

2

.

Procedendo da mesma forma para j = 3 e j = 4, podemos obter estimativa similar,
ou seja,
Z t


2
≤ cT λT1 (v) ,



W (t − τ ) ∂xj+1 v∂x6−j v + ∂xj v∂x7−j v dτ

0

(2.27)

0

para j = 2, 3 e 4. Podemos estimar o termo associado a j = 0, 6 combinando o efeito
regularizante (2.7) e as normas (2.15) e (2.16). De fato,
Z t
∂x
W (t − τ ) v∂x6 vdτ ≤ c v∂x6 v L1 L2
0

x

0

T

Z ∞ Z T
v

=c
−∞

2

1/2

2
∂x6 v dt

dx

Z T

1/2

0

Z ∞

2
∂x6 v dt

sup |v|

≤c

−∞ t∈[0,T ]

Z T
≤ c sup
x∈R

dx

(2.28)

0

1/2 Z ∞

2
∂x6 v dt

0

sup |v| dx
−∞ t∈[0,T ]

= c (1 + T )2 λT5 (v) λT6 (v) .
Para finalizar a demonstração, fazendo uso de (2.7), (2.14), da desigualdade de Hölder

34

e do Teorema de Fubini, obtemos
Z t
∂x

Z ∞ Z T

W (t − τ ) vx ∂x5 vdτ

0

≤c
−∞

0

vx2

2
∂x5 v dτ

dx

0

Z ∞

Z T

2
∂x5 v dτ

sup |vx |

≤c

1/2

−∞ t∈[0,T ]
2

!1/2 Z

1/2

∞ Z T

2
∂x5 v dτ dx

sup (vx ) dx
−∞ t∈[0,T ]

−∞

Z ∞

2

=c

!1/2 Z

0

1/2

T

2
∂x5 v 0 dt

sup (vx ) dx
−∞ t∈[0,T ]

≤ cT

dx

0

Z ∞
≤c

1/2

1/2

Z ∞

0

!1/2
sup (vx )2 dx

sup

−∞ t∈[0,T ]

t∈[0,T ]

∂x5 v 0

≤ cT 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v) ,
(2.29)
e dessa forma, o resultado segue das estimativas (2.26)-(2.29).
Proposição 2.2.
Z t
(i)

W (t − τ ) vx2 dτ
L2x L∞
T

0

Z t
(ii)

L2x L∞
T

Z t
∂x

W (t − τ ) vx2 dτ
L2x L∞
T

0

Z t
(iv)

∂x

≤ cT (1 + T )2 sup kvk23 .

(2.31)

≤ cT (1 + T )2 sup kvk23 .

(2.32)

t∈[0,T ]

W (t − τ ) ∂x2 v 2 dτ
L2x L∞
T

0

t∈[0,T ]

≤ cT (1 + T )2 sup kvk24 .
t∈[0,T ]

Demonstração. (i): Observe que
Z t
Z t
Z t
2
2
W (t − τ ) vx dτ =
W (t) W (−τ ) vx dτ = W (t)
W (−τ ) vx2 dτ.
0

0

0

35

(2.30)

t∈[0,T ]

W (t − τ ) ∂x2 v 2 dτ

0

(iii)

≤ cT (1 + T )2 sup kvk22 .

(2.33)

Portanto, aplicando a estimativa (2.6) com r = 1 e ρ = 2, temos que
Z t
Z t
2
2
W (t − τ ) vx dτ
≤ c (1 + T )
W (−τ ) vx2 dτ
L2x L∞
T

0

0
2

1

 Z t

≤ c (1 + T )

≤ c (1 + T )2

0
Z T

≤ c (1 + T )2

0

+ ∂x

vx2 0 dτ +

Z T
0



W (−τ ) vx2 dτ

0

0

0

Z T

Z t

W (−τ ) vx2 dτ

∂x vx2 0 dτ

0



vx2 1 dτ

2

≤ cT (1 + T ) sup kvk22 ,
t∈[0,T ]

e com isso, encerramos a demonstração de (i).
(ii):
Z t

Z t

2

W (t − τ ) ∂x2 v 2 dτ

≤ c (1 + T )
L2x L∞
T

0

W (−τ ) ∂x2 v 2 dτ

0

≤ c (1 + T )2

Z T
0

1

∂x2 v 2 1 dτ

2

≤ cT (1 + T ) sup
t∈[0,T ]

∂x2 v 2 1

≤ cT (1 + T )2 sup kvk23 .
t∈[0,T ]

Analogamente, demonstra-se (iii) e (iv).
Proposição 2.3.
2

(i) kW (t) φkL1x L∞ ≤ c (1 + T )
T

Z t
(ii)
0





kφk5 + kφk3,2 .

(2.34)


2
≤ c (1 + T )2 (T λT1 (v) + T 3/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v)

W (t − τ ) vx2 dτ
L1x L∞
T

+ T 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v) + T λT1 (v) λT2 (v)

2
+ T 2 λT1 (v) ).
(2.35)

36

Z t
(iii)
0


2

≤ c (1 + T )2 T λT1 (v) λT2 (v) + T 2 λT1 (v)

W (t − τ ) ∂x2 v 2 dτ
L1x L∞
T


2
+ T λT1 (v) + T 3/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v)
+ T 3/2 (1 + T )2 λT3 (v) λT6 (v) + (1 + T )2 λT5 (v) λT6 (v)

+ T 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v) + T (1 + T )2 λT3 (v) λT6 (v) .
(2.36)
Demonstração. (i): Observe que
Z ∞
Z TZ ∞
Z Z
1 T ∞
sup |W (t) φ| dx ≤
|W (t) φ| dxdt + c
|W (t) φ000 | dxdt. (2.37)
T
−∞ t∈[0,T ]
0
−∞
0
−∞
De fato, pelo Teorema do Valor Médio para integrais, existe t0 ∈ (0, T ), tal que W (t0 ) φ =
Z
1 T
W (t) φ dt. Além disso, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
T 0
Z t
W (t) φ = W (t0 ) φ +
∂τ W (τ ) φ dτ.
t0

Logo
1
|W (t) φ| ≤
T
≤

1
T

Z T

Z t
W (τ ) φ dτ +

0
Z T

∂τ W (τ ) φ dτ

t0
Z t

|W (τ ) φ| dτ +
0

|∂τ W (τ ) φ| dτ.
t0

Aplicando o sup com relação a t em ambos os membros da desigualdade anterior, obtemos
Z
Z T
1 T
|W (τ ) φ| dτ +
|∂τ W (τ ) φ| dτ.
sup |W (t) φ| ≤
T 0
t∈[0,T ]
0
Portanto, integrando, usando o Teorema de Fubini e o fato de que W (t) φ é solução do
problema linear associado a (2.10), obtemos (2.37).
Para estimar os dois termos à direita de (2.37), usamos a desigualdade presente no
lema 1.1 seção 1.3. Dessa forma, obtemos
Z ∞
Z
Z
1 T
1 T
sup |W (t) φ| dx ≤
kφk0 dt +
kxW (t) φk0 dt
T 0
T 0
−∞ t∈[0,T ]
Z T
Z T
000
+c
kφ k0 dt + c
kxW (t) φ000 k0 dt
0
0
Z
1 T
000
kxW (t) φk0 dt
= kφk0 + cT kφ k0 +
T 0
Z T
+c
kxW (t) φ000 k0 dt.
0

37

(2.38)

Mostremos agora que o operador L = ∂t + α∂x3 comuta com Γ (x, t) = x − 3αt∂x2 . De
fato:

xf − 3αt∂x2 f

= ∂t (xf ) − 3α∂t t∂x2 f + α∂x3 (xf ) − 3α2 t∂x5 f


= x∂t f − 3α ∂x2 f + t∂t ∂x2 f + α 3∂x2 f + x∂x3 f − 3α2 t∂x5 f

(L ◦ Γ) f = ∂t + α∂x3



= x∂t f − 3α∂x2 f − 3αt∂t ∂x2 f + 3α∂x2 f + αx∂x3 f − 3α2 t∂x5 f
= x∂t f − 3αt∂x2 ∂t f + αx∂x3 f − 3α2 t∂x5 f
e
(Γ ◦ L) = Γ ∂t f + α∂x3 f



= x∂t f + αx∂x3 f − 3αt∂x2 ∂t f − 3α2 t∂x5 f.
Dessa forma, L ◦ Γ = Γ ◦ L, ou seja, L comuta com Γ.
Logo, como W (t) φ é solução do problema linear associado à (2.10), L (ΓW (t) φ) =
Γ (LW (t) φ) = 0, isto é, ΓW (t) φ é solução do problema linear associado à (2.10) com
dado inicial xφ. Portanto, ΓW (t) φ = W (t) xφ, ou seja, temos as igualdades
xW (t) φ = W (t) xφ + 3αtW (t) (φ00 )

(2.39)

xW (t) φ000 = W (t) xφ000 + 3αtW (t) φ(v) .

(2.40)

e

Utilizando (2.39) e (2.40) em (2.38), temos que
Z ∞
Z
Z T
1 T
000
kxφk0 dt + c
t kφ00 k0 dt
sup |W (t) φ| dx ≤ kφk0 + cT kφ k0 +
T
0
0
−∞ t∈[0,T ]
Z T
Z T
+c
kxφ000 k0 dt + c
t φ(v) 0 dt
0

0

000

= kφk0 + cT kφ k0 + kxφk0 + cT 2 kφ00 k0 + cT kxφ000 k0 + cT 2 φ(v) 0


≤ c (1 + T )2 kφk5 + kφk3,2 ,
e daı́ concluı́mos a demonstração de (i).
(ii): Na demonstração de (ii), utilizamos a seguinte igualdade
Z t
Z t
2
W (t − τ ) vx dτ
= W (t)
W (−τ ) vx2 dτ
0

L1x L∞
t

0

38

L1x L∞
t

e usamos a estimativa linear (2.34), para obter
Z t
W (t − τ ) vx2 dτ
L1x L∞
t

0

≤ c (1 + T )2

" Z

t

Z t

W (−τ ) vx2 dτ

+

0

W (−τ ) vx2 dτ

0

5

(2.41)

#
.
3,2

Estimamos o primeiro termo de (2.41) da seguinte maneira
Z t
Z t
Z t
2
2
5
W (−τ ) vx dτ =
W (−τ ) vx dτ + ∂x
W (−τ ) vx2 dτ
0

0

5

Z T
≤
0

vx2 0 dτ +

0

0
4
X

Z t

cj ∂ x

t∈[0,T ]

3
X

Z t
∂x

+ c W (t) ∂x

0

W (−τ ) ∂xj+1 v∂x5−j vdτ

0

j=1

Z t

W (−τ ) ∂xj+1 v∂x5−j vdτ

0

j=0

≤ T sup kvk21 +

0

0

0

0

≤ T sup kvk21 + T 1/2
t∈[0,T ]

2

(2.42)

W (−τ ) vx ∂x5 vdτ
3
X

Z TZ ∞
cj (

j=1

∂xj+2 v

2

∂x5−j v

2

−∞

0

2

+ ∂xj+1 v ∂x6−j v dxdτ )1/2
Z t
+ c ∂x
W (t − τ ) vx ∂x5 vdτ
0

.
0

Note que que na segunda desigualdade acima fizemos o uso do seguinte resultado sobre
interpolação:

2
3/4
1/4
f 2 0 = kf k2L4 ≤ kf kL2 k∇f kL2 .
Utilizando o efeito regularizante (2.7), o Teorema de Fubini e a desigualdade de Hölder,

39

podemos estimar o último termo de (2.42) como segue
1/2
Z ∞ Z T
Z t
5 2
5
dx
vx ∂x v dτ
W (t − τ ) vx ∂x vdτ ≤
∂x
0

−∞

0

0

Z ∞

sup |vx |2

≤

t∈[0,T ]

−∞

Z T

2
∂x5 v dτ

sup |vx |
−∞ t∈[0,T ]

dx

1/2
dx

0

Z ∞
≤

2

∂x5 v dτ

0

Z ∞
≤

!1/2

Z T

!1/2 Z

2

1/2

∞ Z T

2
∂x5 v dτ dx

sup |vx | dx
−∞ t∈[0,T ]

−∞

Z ∞
≤

0

!1/2
2

sup |vx | dx

Z ∞

1/2

T

−∞ t∈[0,T ]

sup
t∈[0,T ]

2
∂x5 v dx

1/2

−∞

≤ T 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v) .
(2.43)
Logo, segue de (2.42) e (2.43) que
Z t

W (−τ ) vx2 dτ

0

≤ T sup
t∈[0,T ]

5

+ ∂xj+1 v

kvk21 + T 1/2

3
X

Z TZ ∞
cj (

2

2

∂x5−j v

2

−∞

0

j=1

∂xj+2 v

2

∂x6−j v dxdτ )1/2 + cT 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v) .

Observe que, para j = 1, usando a desigualdade de Hölder e o lema de imersão de
Sobolev, temos que
Z T Z ∞
1/2
3 2
4 2
2 2
5 2
∂x v ∂x v + ∂x v ∂x v dxdτ
−∞

0

Z T
≤

sup
x∈R

0

"
≤

2
∂x3 v

Z ∞
sup
t∈[0,T ]

Z ∞

2
∂x4 v dxdτ

t∈[0,T ]

Z T
+

sup

−∞
2

∂x4 v dx

0

Z T

−∞

≤ T 1/2 sup

1/2

0

∂x4 v 0 sup

t∈[0,T ]

#1/2
2

sup ∂x3 v dτ

x∈R

2
∂x2 v

"
+

Z ∞

1/2

−∞

Z ∞
sup

x∈R

t∈[0,T ]

∂x3 v ∞ + T 1/2 sup

∂x5 v 0 sup

t∈[0,T ]

2
∂x5 v dxdτ

2

∂x5 v dx

−∞

t∈[0,T ]

Z T
0

#1/2
2

sup ∂x2 v dτ
x∈R

∂x2 v ∞

2

≤ cT 1/2 λT1 (v) .
Analogamente, para j = 2, 3, podemos obter estimativa semelhante, ou seja,
Z TZ ∞
3
X

2
2
2
2
2
cj (
∂xj+2 v ∂x5−j v + ∂xj+1 v ∂x6−j v dxdτ )1/2 ≤ cT λT1 (v) .
j=1

0

−∞

40

Logo,
Z t


2
≤ T sup kvk21 + cT λT1 (v)

W (−τ ) vx2 dτ

0

(2.44)

t∈[0,T ]

5

+ cT

1/2

2

(1 + T )

λT4 (v) λT1 (v) .

Para estimar o segundo termo de (2.41), combinamos a definição (2.17) e a igualdade
(2.39). Assim
Z t
W (−τ ) vx2 dτ
0

=
3,2

≤

3
X

Z t

W (−τ ) ∂xj vx2 dτ

W (t) x

j=0

0

3
X

Z t
xW (t)

0

W (−τ ) ∂xj vx2 dτ

0

j=0

+ 3 |α|

3
X

0

Z t
tW (t)
0

j=0

≤

3 Z T
X
0

j=0

W (−τ ) ∂xj+2 vx2 dτ
0

x∂xj vx2 0 dτ + 3 |α|

Z t



τ W (−τ ) ∂xj+2 vx2 dτ

0

.
0

(2.45)
Observe que, podemos estimar o termo referente à j = 0 em (2.45), da seguinte forma
Z T
Z t
2
xvx 0 dτ + 3 |α|
τ W (−τ ) ∂x2 vx2 dτ ≤ cT sup kxvx k1 sup kvx k1
0

0

0

t∈[0,T ]

Z T
+ 3 |α|
0

t∈[0,T ]

τ ∂x2 vx2 0 dτ

≤ cT λT1 (v) sup kvk2,2
t∈[0,T ]

+ c |α| T 2 sup
t∈[0,T ]

∂x2 vx2 0

≤ cT λT1 (v) sup kvk2,2
t∈[0,T ]


2
+ c |α| T 2 λT1 (v) .
Analogamente, usando as desigualdades de Hölder, Minkowsky, e o lema de imersão de
Sobolev, podemos estimar todos os termos de (2.45), exceto o termo correspondente a
j = 3, da seguinte forma
Z t
W (−τ ) vx2 dτ
0


2
≤ cT λT1 (v) sup kvk2,2 + c |α| T 2 λT1 (v)
t∈[0,T ]

3,2

+ 3 |α|

∂x5

Z t
0

41

(2.46)

τ W (−τ ) vx2 dτ

.
0

Para finalizar a demonstração de (ii), usamos o mesmo raciocı́nio empregado em (2.42)
e (2.43) ao último termo de (2.46). Portanto,
Z t
2

≤ cT λT1 (v) λT2 (v) + cT 2 λT1 (v) + cT 3/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v) ,
W (−τ ) vx2 dτ
0

3,2

(2.47)
e assim, de (2.41), (2.44) e (2.47), concluı́mos a verificação de (ii).
(iii): Comecemos aplicando (2.34) ao lado esquerdo de (2.36). Então
Z t
W (t − τ ) ∂x2 v 2 dτ
L1x L∞
T

0

≤ c (1 + T )2

" Z

t

Z t

W (−τ ) ∂x2 v 2 dτ

+

0
2

 Z t

≤ c (1 + T )
Z t
+

W (−τ ) ∂x2 v 2 dτ

0

5

W (−τ ) ∂x2 v 2 dτ

+

0

#

∂x5

3,2

Z t
0

0

(2.48)

W (−τ ) ∂x2 v 2 dτ
0

#
W (−τ ) ∂x2 v 2 dτ

0

.
3,2

Estimemos então cada termo de (2.48).
Utilizando as desigualdades de Minkowsky e Hölder, o primeiro termo pode ser estimado
por
Z t

Z T Z ∞

W (−τ ) ∂x2 v 2 dτ

0

≤
≤T

1/2
dτ

−∞

0

0

2
∂x2 v 2 dx

1/2

Z T Z ∞
0

≤ T sup
t∈[0,T ]

2
∂x2 v 2 dxdt

1/2
(2.49)

−∞

∂x2 v 2 0

≤ cT sup kvk22 .
t∈[0,T ]

Aplicamos ao segundo termo de (2.48) a regra de Leibniz. Então
Z t
Z t
5
2 2
5
∂x
W (−τ ) ∂x v dτ = ∂x
W (t − τ ) ∂x2 v 2 dτ
0
0
0
0
Z t
= ∂x
W (t − τ ) ∂x6 v 2 dτ
0

≤

6
X

(2.50)

0

Z t
cj ∂ x
0

j=0

42

W (t − τ ) ∂xj v∂x6−j vdτ

.
0

Para j = 2, 3, 4, usamos as desigualdades de Hölder e Minkowsky e o lema de imersão de
Sobolev e chegamos à estimativa
Z t

W (t − τ ) ∂xj+1 v∂x6−j v + ∂xj v∂x7−j v dτ
0

2

≤ T λT1 (v) .

(2.51)

0

Note que (2.51) foi essencialmente estimado em (2.44). Quando j = 0, 1 (analogamente
j = 5, 6), utilizamos o efeito regularizante (2.7), e obtemos
Z t
W (t − τ ) ∂xj v∂x6−j vdτ ≤ c ∂xj v∂x6−j v L1 L2
∂x
0

x

0

2
∂xj v∂x6−j v dt

=c
−∞

dx

(2.52)

0

Z ∞
≤c

T

1/2

Z ∞ Z T

∂xj v

sup
−∞ t∈[0,T ]

Z T

1/2

2
∂x6−j v dt

dx.

0

Observe que, se j = 0, temos
Z t
∂x

Z ∞

W (t − τ ) v∂x6 vdτ

0

≤c

Z T
sup |v|

−∞ t∈[0,T ]

0

Z T


≤ c sup
x∈R

1/2

2
∂x6 v dt

dx

0

!
1/2 Z ∞
sup |v| dx
∂x6 v dt
2

(2.53)

−∞ t∈[0,T ]

0

= c (1 + T )2 λT5 (v) λT6 (v) ,
e para j = 1, usando a desigualdade de Hölder e o Teorema de Fubini em (2.52), segue
que
Z t
∂x
0

Z ∞

W (t − τ ) vx ∂x5 vdτ

≤c
0

≤c

Z T
sup |vx |

1/2

2
∂x5 v dt

dx

−∞ t∈[0,T ]

0

Z ∞

!1/2 Z

T Z ∞

0

−∞

2

sup |vx |
−∞ t∈[0,T ]

2
∂x5 v dxdt

1/2

(2.54)

≤ cT 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v) .
Note que (2.54) foi estimado com detalhes em (2.43).
Falta apenas estimar o último termo de (2.48). Começamos empregando a definição

43

de k·k3,2 , juntamente com a igualdade (2.39), para obter
Z t

W (−τ ) ∂x2 v 2 dτ

0

=
3,2

3
X

Z t

x∂xj

0

j=0

=

3
X

W (−τ ) ∂x2 v 2 dτ
0

Z t
xW (t)
0

j=0

≤

Z t
3
X
j=0

W (−τ ) ∂xj+2 v 2 dτ
0

Z t

W (−τ ) x∂xj+2 v 2 dτ

0

+c
0

τ W (−τ ) ∂xj+4 v 2 dτ

0

.
0

(2.55)
Note que, utilizando as desigualdades de Minkowsky e de Hölder, bem como o lema
de imersão de Sobolev, obtemos a sequência de estimativas para cada termo de (2.55)
Z t
W (−τ ) x∂x2 v 2 dτ
0
0
Z t

=
W (−τ ) 2 xvx2 + xvvxx dτ
0

0

Z T
≤

2 xvx
0

≤ 2T

1/2

Z T
0

≤ 2T

1/2

0

Z T
0

0
2
xvx2 dxdt

+ 2T

1/2

Z T Z ∞
0

1/2
|xvvxx | dxdt

−∞

0

1/2
Z T
1/2
2
1/2
2 2
2
vx 1 dt
+ 2T
x v 1 vxx 1 dt

x2 vx2 1

0

Z T Z ∞
0

1/2
2
|xvx | dxdt

−∞

Z T Z ∞
sup kvxx k1

t∈[0,T ]

0

1/2
|xv| dxdt
2

−∞

≤ 2T sup kvx k1 sup kxvx k0 + 2T sup kvxx k1 sup kxvk0
t∈[0,T ]

t∈[0,T ]

t∈[0,T ]

≤ 4T sup kvk3 sup kvk1,2 ,
t∈[0,T ]

2

1/2
Z T
1/2
1/2
2 2 2
2 4
+ 2T
x v vxx 1 dt
x vx 1 dt

t∈[0,T ]

+ 2T

1/2

−∞

≤ 2T 1/2 sup kvx k1
1/2

k2xvvxx k0 dt

dt +

Z T Z ∞
0

≤ 2T 1/2

Z T


2

t∈[0,T ]

44

t∈[0,T ]

(2.56)

Z t

W (−τ ) x∂x3 v 2 dτ

0

0

Z T

Z T

kc (xvvxxx )k0 dt

kc (xvx vxx )k0 dt +

≤

0

0

≤ cT

1/2

Z T Z ∞

|xvx vxx | dxdt
Z T

1/2
|xvvxxx | dxdt
2

−∞

0

≤ cT 1/2 sup kvxx k1

0

Z T Z ∞

t∈[0,T ]

+ cT

Z T Z ∞

1/2
Z T
1/2
2 2
2
2
1/2
x v 1 vxx 1 dt
vxx 1 dt
+ cT

x2 vx2 1

0

1/2

+ cT

1/2

−∞

0

≤ cT 1/2

1/2

2

0

−∞

Z T Z ∞
sup kvxx k1

t∈[0,T ]

0

|xvx |2 dxdt

(2.57)

1/2

1/2
|xv| dxdt
2

−∞

≤ cT sup kvxx k1 sup kxvx k0 + cT sup kvxx k1 sup kxvk0
t∈[0,T ]

t∈[0,T ]

t∈[0,T ]

t∈[0,T ]

≤ cT sup kvk4 sup kvk1,2 ,
t∈[0,T ]

t∈[0,T ]

Z t

W (−τ ) x∂x4 v 2 dτ

0

Z t

≤ cT sup kvk5 sup kvk2,2 ,
t∈[0,T ]

0

1/2
Z T Z ∞
4 2 2
∂x v dx
≤
t
dt

τ W (−τ ) x∂x4 v 2 dτ

0

(2.58)

t∈[0,T ]

−∞

0

0

≤ cT

2

sup
t∈[0,T ]

∂x4 v 2 0

(2.59)

≤ cT 2 sup kvk24 ,
t∈[0,T ]

Z t

≤ cT 2 sup kvk25 .

τ W (−τ ) x∂x5 v 2 dτ

0

(2.60)

t∈[0,T ]

0

Além disso, aplicando a regra de Leibniz a ∂x6 v 2 , obtemos
Z t
Z t
6
X
6 2
τ W (−τ ) ∂x v dτ ≤
cj
τ W (−τ ) ∂xj v∂x6−j vdτ
0

0

0

j=0

Z t
=c

τ W (−τ ) v∂x6 vdτ

0

+

5
X

cj
0

45

(2.61)
0

Z t

j=1

0

τ W (−τ ) ∂xj v∂x6−j vdτ

.
0

A primeira parcela de (2.61) é estimada usando as desigualdades de Minkowsky e Hölder,
como segue
Z t

1/2
Z T Z ∞
6 2
dt
t
v∂x v dx
≤

τ W (−τ ) v∂x6 vdτ

0

−∞

0

0

≤ T 3/2

Z T Z ∞
0

1/2
6
.
|v| ∂x v dxdt

(2.62)

2

2

−∞

Já a segunda parcela de (2.61) é estimada da seguinte maneira
"Z
1/2 #
Z t
5
5
T Z ∞
X
X
j
6−j
j
6−j 2
dt
τ W (−τ ) ∂x v∂x vdτ ≤
cj
t
∂x v∂x v dx
cj
0

j=1

0

≤ cT

2

−∞

0

j=1
5
X

sup

j=1 t∈[0,T ]

∂xj v∂x6−j v 0

(2.63)

≤ cT 2 sup kvk25 .
t∈[0,T ]

Assim,
Z t

τ W (−τ ) ∂x6 v 2 dτ

0

≤ cT

0
2

sup
t∈[0,T ]

kvk25 + T 3/2

≤ cT 2 sup kvk25 + T 3/2
t∈[0,T ]

Z T Z ∞

2

|v|
0

Z ∞

2
∂x6 v dxdt

1/2

−∞

sup |v|2

−∞ t∈[0,T ]

Z T

!1/2
2

∂x6 v dtdx

0

!1/2

1/2 Z ∞
Z T
2
∂x6 v dt
≤ cT 2 sup kvk25 + T 3/2 sup
sup |v|2 dx
t∈[0,T ]

x∈R

−∞ t∈[0,T ]

0

2

≤ cT 2 λT1 (v) + T 3/2 (1 + T )2 λT3 (v) λT6 (v)

46

(2.64)

e, aplicando a regra de Leibniz ao termo ∂x7 v, obtemos
Z t
τ W (−τ ) ∂x6 v 2 dτ
∂x
≤

0
5
X

0

Z t
cj

τ W (−τ ) ∂xj+1 v∂x6−j vdτ

0

j=1

Z t

0

Z t

τ W (−τ ) vx ∂x6 vdτ
+
0
0
0
0
Z t
≤ cT 2 sup kvk25 + c W (t) ∂x
τ W (−τ ) v∂x6 vdτ

+ c ∂x

τ W (−τ ) v∂x6 vdτ

t∈[0,T ]

0

0

1/2
Z T Z ∞
6 2
dt
+
t
vx ∂x v dx
0
−∞
Z t
2
2
τ W (−τ ) v∂x6 vdτ
≤ cT sup kvk5 + c W (t) ∂x
t∈[0,T ]

+ cT 3/2

0

Z ∞ Z T

0

1/2

2

(2.65)

vx ∂x6 v dtdx
−∞ 0
Z t
2
2
τ W (t − τ ) v∂x6 vdτ
≤ cT sup kvk5 + c ∂x
t∈[0,T ]

+ cT

3/2

0

0

!1/2

Z ∞

2

sup |vx | dx

≤ cT

sup
t∈[0,T ]

kvk25 +

sup
x∈R

−∞ t∈[0,T ]
2

Z T

Z ∞ Z T
−∞


2
≤ cT 2 λT1 (v) + T sup
x∈R

1/2

2
∂x6 v dt

0

2
τ v∂x6 v dτ

1/2

dx + cT 3/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v)

0

Z T

!1/2
1/2 Z ∞
∂x6 v dt
sup |v|2 dx
2

−∞ t∈[0,T ]

0

+ cT 3/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v)

2
= cT 2 λT1 (v) + T (1 + T )2 λT3 (v) λT6 (v) + cT 3/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v) .
Note que, para obtermos (2.65) fizemos uso das desigualdades de Minkowsky e Hölder,
bem como do efeito regularizante (2.7).
Finalmente, temos pelas desigualdades de Minkowsky e de Hölder, bem como pelo

47

lema de imersão de Sobolev que
Z t
W (−τ ) x∂x5 v 2 dτ
0
0
Z t

≤
W (−τ ) xS vx , ..., ∂x4 v dτ

Z t
+

0

≤T

1/2

0

0

Z T

vx , ..., ∂x4 v

xS

 2
0

0

≤ T sup

xS

vx , ..., ∂x4 v


0

t∈[0,T ]

t∈[0,T ]

0

1/2
dτ

+T

1/2

Z T Z ∞

1/2

Z T

1/2

Z T

t∈[0,T ]

2

x∈R

kxvk2∞

Z T Z ∞
sup kxvk∞

t∈[0,T ]

0

≤ T λT1 (v) λT2 (v) + T sup kxvk1 sup
t∈[0,T ]

t∈[0,T ]



≤ T λT1 (v) λT2 (v) + T sup
t∈[0,T ]

1/2

Z ∞

2
∂x5 v dxdτ

1/2

−∞

Z ∞

0

≤ T λT1 (v) λT2 (v) + T 1/2

2
∂x5 v dxdτ

−∞

sup |xv|
0

2

|xv|
0

+T

≤ T sup kvk5 sup kvk3,2 + T

W (−τ ) xv∂x5 vdτ

2
∂x5 v dxdτ

1/2

(2.66)

−∞
2
∂x5 v dxdτ

1/2

−∞

∂x5 v 0


kvk1,2 + kvk0 λT1 (v)


2
≤ 2T λT1 (v) λT2 (v) + T λT1 (v) ,
onde S (vx , ..., ∂x4 v) =

P4

5−j
j
j=1 cj ∂x v∂x v.

Note que para obtermos (2.66), foi necessário o

uso da seguinte desigualdade
kxvk1 ≤ kxvk0 + k∂x (xv)k0
≤ kxvk0 + kxvk0 + kvk0
= kvk1,2 + kvk0 .
Portanto, juntas as estimativas (2.48)-(2.66), nos dão o resultado procurado.
Proposição 2.4.
(i) kW (t) φk3,2 ≤ kφk3,2 + cT kφk5 .
Z t
(ii)
0

W (t − τ ) vx2 dτ

(2.67)

≤ cT λT1 (v) λT2 (v)
3,2

2

+ cT 2 λT1 (v)
+ cT 3/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v) .

48

(2.68)

Z t
(iii)

≤ cT λT1 (v) λT2 (v)

W (t − τ ) ∂x2 v 2 dτ

0

3,2


2

2
+ cT 2 λT1 (v) + cT λT1 (v)
+ T 3/2 (1 + T )2 λT3 (v) λT6 (v)

(2.69)

+ T (1 + T )2 λT3 (v) λT6 (v)
+ cT 3/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v) .
Demonstração. (i): Usando a identidade (2.39), obtemos
kW (t) φk3,2 =

3
X

xW (t) ∂xj φ 0

j=0

≤

3
X

W (t) x∂xj φ 0 + cT

j=0

3
X

W (t) ∂xj+2 φ 0

j=0

≤ kφk3,2 + cT kφk5 .
(ii) e (iii): Observe que (2.68) e (2.69) já foram demonstradas respectivamente em
(2.45) a (2.47) e (2.55) a (2.66).
Proposição 2.5.
(i)

∂x6

Z t


2
≤ cT λT1 (v)

W (t − τ ) vx2 dτ

0

2
L∞
x LT

+ cT 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v) .
(ii) ∂x6

Z t
0

(2.70)

≤ 2 (1 + T )2 λT6 (v) λT5 (v)

W (t − τ ) ∂x2 v 2 dτ
2
L∞
x LT

+ 2T 1/2 λT4 (v) λT1 (v)

2
+ cT λT1 (v) .

(2.71)

Demonstração. Aplicando o efeito regularizante (2.5), as desigualdades de Minkowsky e

49

de Hölder e o lema de imersão de Sobolev, temos que
Z T
Z t
2
6
W (−τ ) ∂x5 (vx )2 dτ
≤c
W (t − τ ) vx dτ
∂x
2
L∞
x LT

0

0

0

1/2
2 2
5
∂x (vx ) dx
dt

Z T Z ∞
≤c
−∞

0
1/2

≤ cT

Z T Z ∞

≤T

−∞

0

+ cT

1/2

2
5
S vxx , ..., ∂x v dxdt

Z T Z ∞

1/2

2

(vx )

2
∂x6 v dxdt

S vxx , ..., ∂x5 v

t∈[0,T ]

Z ∞

+ cT 1/2

1/2

−∞

0

≤ T sup

1/2

−∞

0

Z T Z ∞

1/2

2
∂x5 (vx )2 dxdt

sup (vx )2

−∞ t∈[0,T ]


0

Z T

!1/2
2
∂x6 v dxdt

0


2
≤ cT λT1 (v) + cT 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v) ,
onde S (vxx , ..., ∂x5 v) =

P4

j+1
6−j
j=1 cj ∂x v∂x v. Isto encerra a demonstração de (i).

(ii): Escrevemos ∂x6 v =
∂x6

Z t
0

P6

j
6−j
j=0 cj ∂x v∂x v, então

W (t − τ ) ∂x2 v 2 dτ

=

∂x2

Z t

2
L∞
x LT

W (t − τ ) ∂x6 v 2 dτ
2
L∞
x LT

0

≤ 2 ∂x2

Z t


W (t − τ ) v∂x6 v + vx ∂x5 v dτ
2
L∞
x LT

0

Z t
+ ∂x W (t)
0


W (−τ ) ∂x S vxx , vxxx , ∂x4 v dτ

.
2
L∞
x LT

Aplicando os efeitos regularizantes (2.5) e (2.8) e o lema de imersão de Sobolev,

50

obtemos
Z t
6
∂x
W (t − τ ) ∂x2 v 2 dτ
2
L∞
x LT

0

v∂x6 v + vx ∂x5 v L1 L2 +
x T

≤2

Z ∞ Z T

Z t


W (−τ ) ∂x S vxx , vxxx , ∂x4 v dτ

0

0

1/2
1/2
Z ∞ Z T
5 2
6 2
dx
vx ∂x v dt
dx + 2
v∂x v dt

≤2
−∞
0
Z T

∂x S vxx , vxxx , ∂x4 v 0 dt
+

−∞

0

0

Z ∞

Z T
sup |v|

≤2

−∞ t∈[0,T ]

+ T sup

1/2
Z ∞
6
dx + 2
∂x v dt
2

x∈R

1/2 Z ∞
sup |v| dx
−∞ t∈[0,T ]

0

Z ∞
+2

0

0

2
∂x6 v dt

2

!1/2 Z

∞ Z T

sup |vx | dx
−∞ t∈[0,T ]

−∞

1/2

2
∂x5 v dtdx


2
+ cT λT1 (v)

0


2
≤ 2 (1 + T )2 λT6 (v) λT5 (v) + 2T 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v) + cT λT1 (v) .

A proposição 2.1 nos fornece a seguinte estimativa
Z t


W (t) φ −
W (t − τ ) γvx2 + δ∂x2 v 2 dτ
0
5
Z t
 2

W (t − τ ) γvx + δ∂x2 v 2 dτ
= W (t) φ −
0
0


Z t
 2

5
2 2
+ ∂x W (t) φ −
W (t − τ ) γvx + δ∂x v dτ
0
Z t
Z t 0
W (t − τ ) γvx2 dτ +
W (t − τ ) δ∂x2 v 2 dτ
≤ kφk0 + ∂x5 φ 0 +
0
0
0
0
Z t
Z t
W (t − τ ) δ∂x2 v 2 dτ
+ ∂x5
W (t − τ ) γvx2 dτ + ∂x5
0

0

0


2
≤ kφk5 + cT λT1 (v) + cT 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v)
+ c (1 + T )2 λT5 (v) λT6 (v) + cT 1/2 (1 + T )2 λT1 (v) λT4 (v) .

51

0

1/2

2
∂x5 v dt



t∈[0,T ]

≤ 2 sup

T

sup |vx |
t∈[0,T ]

−∞

0

∂x S vxx , vxxx , ∂x4 v

Z T

2

!1/2 Z

dx

Logo,

2
λ1 (Av) ≤ kφk5 + cT λT1 (v) + cT 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v)

(2.72)

+ c (1 + T )2 λT5 (v) λT6 (v) + cT 1/2 (1 + T )2 λT1 (v) λT4 (v) .
Já a proposição 2.4 nos dá a seguinte estimativa
Z t


W (t − τ ) γvx2 + δ∂x2 v 2 dτ
W (t) φ −
0

3,2

Z t
≤ kW (t) φk3,2 +

Z t

W (t − τ ) γvx2 dτ

0

+
3,2

W (t − τ ) δ∂x2 v 2 dτ

0

3,2


2
≤ kφk3,2 + cT kφk5 + cT λT1 (v) λT2 (v) + cT 2 λT1 (v)

2
+ cT 3/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v) + cT λT1 (v) λT2 (v) + cT 2 λT1 (v)

2
+ cT λT1 (v) + T 3/2 (1 + T )2 λT3 (v) λT6 (v) + T (1 + T )2 λT3 (v) λT6 (v)
+ cT 3/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v) .
Assim, concluı́mos que

2
λ2 (Av) ≤ kφk3,2 + cT kφk5 + cT λT1 (v) λT2 (v) + cT 2 λT1 (v)

2
+ cT 3/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v) + cT λT1 (v) + T 3/2 (1 + T )2 λT3 (v) λT6 (v)
+ cT (1 + T )2 λT3 (v) λT6 (v) + cT 3/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v) .
(2.73)
Combinando (2.6), (2.30) e (2.31), encontramos
Z t
kAvkL2x L∞ ≤ kW (t) φkL2x L∞ +
W (t − τ ) γvx2 dτ
T

T

Z t
+

0

L2x L∞
T

W (t − τ ) δ∂x2 v 2 dτ
L2x L∞
T

0

≤ c (1 + T )2 kφk5 + cT (1 + T )2 sup kvk22
t∈[0,T ]

2

+ cT (1 + T ) sup
t∈[0,T ]

kvk23 .

Logo,

2
λ3 (Av) ≤ c kφk5 + cT λT1 (v) .

(2.74)

De forma análoga, unindo (2.6), (2.32) e (2.33), obtemos
2

λ4 (Av) ≤ c kφk5 + cT λT1 (v) .
52

(2.75)

Pela proposição (2.3), temos



2
λ5 (Av) ≤ c kφk5 + kφk3,2 + cT λT1 (v) + cT 3/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v)

2
+ cT 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v) + cT λT1 (v) λT2 (v) + cT 2 λT1 (v)
+ cT 3/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v) + cT 3/2 (1 + T )2 λT3 (v) λT6 (v)

(2.76)

+ c (1 + T )2 λT5 (v) λT6 (v) + T 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v)
+ cT (1 + T )2 λT3 (v) λT6 (v)
e de (2.5), (2.70) e (2.71), concluı́mos que
Z t
6
5
W (t − τ ) γvx2 dτ
λ6 (Av) ≤ ∂x ∂x W (t) φ L∞ L2 + ∂x
x

+ ∂x6

Z t
0

T

0

2
L∞
x LT

W (t − τ ) δ∂x2 v 2 dτ
2
L∞
x LT


2
≤ c ∂x5 φ 0 + cT λT1 (v) + cT 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v)

(2.77)


2
+ 2 (1 + T )2 λT6 (v) λT5 (v) + 2T 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT1 (v) + cT λT1 (v)

2
≤ c kφk5 + cT λT1 (v) cT 1/2 (1 + T )2 λT4 (v) λT6 (v)
+ 2 (1 + T )2 λT5 (v) λT6 (v) + 2T 1/2 (1 + T )2 λT1 (v) λT4 (v) .
Então, (2.72)-(2.77) nos dão a seguinte estimativa

2
ΛT (Av) ≤ cη0 (1 + T ) + c ΛT (v)

T + T 1/2 (1 + T )2 + (1 + T )2 + T 2 + T 3/2 (1 + T )2 + T (1 + T )2

2
≤ cη0 (1 + T ) + c (1 + T )4 ΛT (v) ,

(2.78)

onde η0 = kφk5 + kφk3,2 < η(a ser determinado) e c > 1 constante.
Primeiro, fixamos η, tal que 16c2 η = 1. A seguir, escolhemos
a = 2c (1 + T ) η0 ,

(2.79)

4c2 (1 + T )5 η0 ≤ 1/2.

(2.80)

com T satisfazendo

Então, ΛT (Av) < a e portanto Av ∈ χaT quando v ∈ χaT . Um argumento similar mostra
que se
v, w ∈ χaT , temos


ΛT (Aφ (v) − Aφ (w)) ≤ (1 + T )4 Λt (v) + ΛT (w) ΛT (v − w) .
53

(2.81)

Além disso, para T0 ∈ (0, T ) e ṽ ∈ χaT ,


T0

Λ (Aφ (v) − Aφ (ṽ)) ≤ (1 + T0 )


φ − φ̃

+ φ − φ̃
5

3,2

(2.82)



+ c (1 + T0 )4 ΛT0 (v) + ΛT0 (ṽ) ΛT0 (v − ṽ) .
De (2.80), obtemos


c (1 + T )4 ΛT (v) + ΛT (w) ≤ 4c2 (1 + T )5 η0 < 1.

(2.83)

Logo, de (2.81) e (2.83) segue que A : χaT → χaT é uma contração e portanto existe um
único u ∈ χaT , tal que Aφ (u) = u. De (2.80), (2.81) e (2.82), concluı́mos que a aplicação
φ̃ ∈ V 7→ ũ ∈ χaT0
é Lipschitziana, onde V é uma vizinhança de φ dependente de T0 .
Como próximo passo, vamos mostrar a continuidade de u, ou seja, vamos mostrar
que u ∈ C ([0, T ] ; H 5 (R) ∩ H 3 (R; x2 dx)). Utilizaremos o mesmo argumento do Teorema
5.88 (ver [2]). Assim, basta provar a continuidade de u em t = 0 e a unicidade da solução.
Iniciaremos com a prova da continuidade em t = 0. Pela equação integral, temos que
Z t


ku (t) − φk3,2 ≤ kW (t) φ − φk3,2 +
W (t − τ ) γu2x + δ∂x2 u2 dτ
.
(2.84)
0

3,2

Aplicando a identidade (2.39) e a propriedade de isometria do grupo W (t), obtemos
kW (t) φ − φk3,2 =

3
X

x (W (t) − I) ∂xj φ 0

j=0

≤

3
X

(W (t) − I) x∂xj φ 0 + ct

j=0

≤

3
X


(W (t) − I) ∂xj+2 φ 0

(2.85)

j=0

3
X

(W (t) − I) x∂xj φ 0 + ct kφk5 .

j=0

Combinando (2.68), (2.69) e (2.85) em (2.84), segue a continuidade de u na norma de
H 3 (R; x2 dx), quando t → 0+ .
As estimativas (2.20)-(2.23) e o fato de que u ∈ χaT , implicam
Z t


ku (t) − φk5 ≤ kW (t) φ − φk5 +
W (t − τ ) γu2x + δ∂x2 u2 dτ
0

5


2
≤ kW (t) φ − φk5 + ct λt1 (u) + ct1/2 (1 + t)2 λt4 (u) λt6 (u)
2

2

+ c (1 + t) λt5 (u) λt6 (u) + ct1/2 (1 + t) λt1 (u) λt4 (u)
≤ kW (t) φ − φk5 + cta2 + ct1/2 (1 + t)2 a2 + c (1 + t)2 aλt6 (u) .
54

(2.86)

Para mostrar que o lado direito de (2.86) pode ser feito tão pequeno quanto se queira,
quando t → 0+ , devemos ter λt6 (u) → 0 quando t → 0+ . Para isso, usamos a equação
integral, (2.70) e (2.71) para obter
1/2
Z T
2
6
T
∂x u dt
λ6 (u) = sup
x∈R

≤

0

∂x6 W (t) φ L∞ L2 +
x
T
Z T

≤ sup
x∈R

+ cT

1/2

∂x6

Z T



W (t − τ ) γu2x + δ∂x2 u2 dτ
2
L∞
x LT

0

1/2

2
∂x6 W (t) φ dt




2
+ cT λT1 (u)

0

(2.87)

(1 + T )2 λT4 (u) λT6 (u) + 2 (1 + T )2 λT6 (u) λT5 (u)

+ 2T 1/2 λT4 (u) λT1 (u)
Z T
1/2
2
6
+ cT a2 + cT 1/2 (1 + T )2 a2
≤ sup
∂x W (t) φ dt
x∈R

0

Z T

2

+ 2 (1 + T ) a sup
x∈R

1/2

2
∂x6 u dt



0

pois u ∈ χaT . Note que, de (2.80), obtemos
2a (1 + T )2 = 4c (1 + T )3 η0 < 4c2 (1 + T )5 ≤ 1/2.
Portanto, de (2.87), segue que
Z T
1/2
Z T
1/2
2
2
1
6
6
sup
∂x u dt
≤ sup
∂x W (t) φ dt
+ cT a2 + cT 1/2 (1 + T )2 a2 .
2 x∈R
x∈R
0
0
(2.88)
Agora, dado  > 0, tome φ ∈ H ∞ , tal que kφ − φk5 < , então, de (2.5) e do lema de
imersão de Sobolev, obtemos a estimativa
Z T
1/2
2
6
sup
∂x W (t) φ dt
= ∂x6 W (t) φ L∞ L2
x∈R

x

0

≤

T

∂x6 W (t) (φ − φ ) L∞ L2 + sup
x
T
x∈R

Z T

1/2

2
∂x6 W (t) φ dt

0

≤ ∂x5 (φ − φ ) 0 + T 1/2 ∂x6 φ ∞
≤ kφ − φ k5 + T 1/2 kφ k7
<  + T 1/2 kφ k7 .
(2.89)
55

De (2.88) e (2.89), temos que
Z T
sup
x∈R

1/2

2
∂x6 u dt



→ 0,

(2.90)

0

quando t → 0+ . Este fato aplicado a (2.86) nos dá a continuidade de u na norma de H 5 ,
em t = 0.
Provemos agora a unicidade.
Seja w uma solução de (2.1) no intervalo [0, T1 ], onde T1 < T e ΛT1 (w) < ∞. Suponha
que w ∈ χaT11 para algum a1 > a = 2c (1 + T ) η0 , com w ∈ C ([0, T1 ] ; H 5 (R) ∩ H 3 (R; x2 dx)).


Como η0 ≤ supt∈[0,τ ] kw (t)k5 + kw (t)k3,2 ≤ a1 , para τ ∈ [0, T1 ], por continuidade,
existe T2 < T1 satisfazendo


sup
t∈[0,τ ]



kw (t)k5 + kw (t)k3,2 ≤ a.

(2.91)

Além disso, w satisfaz a equação integral associada a (2.1). De (2.91) e estimando λt3 (w),
λt4 (w) como em (2.74) e (2.75), encontramos
λtj (w) ≤ cη0 + cta2 ≤ a,

(2.92)

para t ∈ [0, T3 ], com T3 < T2 suficientemente pequeno e j = 3, 4. Analogamente, como
em (2.76) e usando (2.90) temos que
λTj (w) ≤ a,

(2.93)

para T4 < T3 suficientemente pequeno e j = 5, 6. Portanto, acabamos de mostrar que
w ∈ χaT4 para T4 < T1 suficientemente pequeno, o que implica que
w = u,

em [0, T4 ] .

(2.94)

Reaplicando este processo um número finito de vezes, estendemos a unicidade ao intervalo
[0, T ], e isso conclui a demonstração do Teorema (2.1) com s = 5.
Observação 2.2. Para demonstrar o Teorema (2.1), onde s ≥ 6 inteiro, utilizamos as
normas (2.12) a (2.15) e
λT1 (v) =

sup kv (t)ks ,

t∈[0,T ]

λT6 (v) = sup
x∈R

Z T

1/2

(∂xs vx (x, t))2 dt

.

0

As estimativas necessárias à obtenção da demonstração são obtidas da mesma forma que
no caso em que s = 5.
56

Vamos demonstrar agora o segundo teorema mencionado no inı́cio da seção.
Teorema 2.2. Seja φ ∈ H s (R), com s ≥ 2 inteiro. Então, existe η > 0 tal que, se
kφks < η,
o problema (2.1) com p ≥ 2 tem uma única solução u (·) definida no intervalo [0, T ],
onde T = T (kφks ) > 0 com T (θ) → ∞ quando θ → 0 satisfazendo
u ∈ C ([0, T ] ; H s (R)) ≡ ZTs
e


u ∈ v : R × [0, T ] → R; ∂xs+1 v ∈ L∞ R; L2 [0, T ] ≡ YTs .
0

Além disso, qualquer que seja T ∈ (0, T ), existe uma vizinhança Vφ de φ em H s (R), tal
que a aplicação φ̃ → ũ (t) de Vφ em ZTs 0 ∩ YTs0 é Lipschitziana.
Demonstração. Considere o problema (6.1) com s, p ≥ 2 inteiros. Neste caso, é suficiente
empregar as seguintes normas
λT1 (v) =

sup kv (t)ks ,

(2.95)

t∈[0,T ]

λT2 (v) = (1 + T )−2

Z ∞

!1/2

sup v 2 (x, t) + vx2 (x, t) dx

,

(2.96)

−∞ t∈[0,T ]

λT3 (v)

Z T
= sup
x∈R

1/2

|∂xs vx |2 dt

,

(2.97)

0

e definir o espaço métrico


a
T
T
χT := v : R × [0, T ] → R; Λ (v) := max λj (v) ≤ a ,
1≤j≤3

(2.98)

onde d (u, v) := ΛT (u − v).
Com a finalidade de tornar mais simples as contas, provaremos na proposição a seguir
as principais estimativas não homogêneas necessárias à obtenção da demonstração do
Teorema 2.2 no caso p = s = 2. As estimativas nos demais casos são inteiramente
análogas.

57

Proposição 2.6.
Z t
2
(i) ∂x
W (t − τ ) v 2 vxx dτ
0

2

≤ cT 1/2 (1 + T )2 λT2 (v) λT1 (v)

(2.99)

0

+c (1 + T )2 λT2 (v) λT3 (v) ≡ E1 .

(ii)

∂x2

Z t

≤ c (1 + T )2 λT2 (v) λT1 (v) ≡ E2 .

W (t − τ ) vx2 dτ

0

(iii)

∂x3

Z t

W (t − τ ) v 2 vxx dτ

≤ E1 .

(iv)

Z t

W (t − τ ) vx2 dτ

(v) ∂x

≤ E2 .

(2.102)

2
L∞
x LT

0

Z t

(2.101)

2
L∞
x LT

0

∂x3

(2.100)

0


2
≤ cT (1 + T )2 λT1 (v) + c (1 + T )2 E2 .

W (t − τ ) vx2 dτ

(2.103)

L2x L∞
T

0

Z t
(vi) ∂x
0


3
≤ cT (1 + T )2 λT1 (v)

W (t − τ ) v 2 vxx dτ
L2x L∞
T

+ cT 1/2 (1 + T )4 λT1 (v) λT2 (v) λT3 (v)

(2.104)

+ c (1 + T )2 E1 .
Demonstração. (i): Usando o efeito regularizante (2.7), o lema de imersão de Sobolev e

58

a desigualdade de Hölder, obtemos
Z t
Z t

2
2
∂x
W (t − τ ) v vxx dτ ≤ ∂x
W (t − τ ) ∂x v 2 vxx dτ
0

2
L∞
T Lx

0

0

≤c

Z ∞ Z T h
−∞

2

∂x v vxx

1/2
dt
dx

2 i2

0

1/2

Z ∞ Z T

2
v 2 vx2 vxx
dt

≤c
−∞

dx

0

Z ∞ Z T
+c
−∞

1/2

2
v 4 vxxx
dt

dx

0

Z ∞

1/2

Z T
sup |vvx |

≤c

vxx

−∞ t∈[0,T ]

Z ∞
+c

sup v

dx

0
2

Z T

−∞ t∈[0,T ]

1/2

2
vxxx
dt

Z ∞
≤ c sup kvx k∞
+c

sup v

−∞ t∈[0,T ]

2

Z T

−∞ t∈[0,T ]

≤ cT

1/2

Z T
sup |v|

t∈[0,T ]

Z ∞

dx

0

1/2

2
vxx
dt

dx

0

1/2

2
vxxx
dt

dx

0
2

(1 + T )

λT1 (v) λT2 (v)

Z ∞
sup
t∈[0,T ]

2
vxx
dx

1/2

−∞

+ c (1 + T )2 λT2 (v) λT3 (v)

2
≤ cT 1/2 (1 + T )2 λT2 (v) λT1 (v)
+ c (1 + T )2 λT2 (v) λT3 (v) ≡ E1 .
(ii): Procedendo analogamente ao item (i), de (2.7) obtemos
∂x2

Z t
0

Z ∞ Z T

W (t − τ ) vx2 dτ

≤c
−∞

0

dx

0

Z ∞
≤c

1/2

2
vx2 vxx
dt

Z T
sup |vx |

−∞ t∈[0,T ]

1/2

2
vxx
dt

dx

0

≤ cT 1/2 (1 + T )2 λT2 (v) λT1 (v) ≡ E2 .
(iii) e (iv): Combinando (2.5), o fato de W (t) ser um grupo unitário em L2 (R), e as

59

desigualdades (2.99) e (2.100), obtemos
Z t
3
∂x
W (t − τ ) v 2 vxx dτ

∂x2

≤c

Z t

2
L∞
x LT

0

W (−τ ) v 2 vxx dτ

0

= c ∂x2

0

Z t

W (t − τ ) v 2 vxx dτ

0

0

≤ E1
e
∂x3

Z t

W (t − τ ) vx2 dτ

∂x2

≤c

Z t

2
L∞
x LT

0

W (t − τ ) vx2 dτ

0

0

≤ E2 .
(v) e (vi): Usando (2.6) com r = 1 e ρ = 2, temos
Z t
Z t
2
2
∂x
W (t − τ ) vx dτ
≤ c (1 + T ) ∂x
W (−τ ) vx2 dτ
0

L2x L∞
T

0

Z t

≤ c (1 + T )2 ∂x

1

W (t − τ ) vx2 dτ

0

+ c (1 + T )2 ∂x2

Z t

0

W (t − τ ) vx2 dτ

0

≤ c (1 + T )2
+ c (1 + T )

2
vx2 vxx
dx

1/2

∂x2

Z t

W (t − τ ) vx2 dτ

0

≤ cT

1/2

2

0

Z T Z ∞

(1 + T )

0

+ c (1 + T )2 ∂x2

Z t

2
vx2 vxx
dxdt

≤ cT (1 + T ) sup
t∈[0,T ]

+ c (1 + T )

∂x2

Z t
0

1/2

−∞

W (t − τ ) vx2 dτ

0
2

2

dt

−∞

0
2

0

Z T Z ∞

0
2
vx2 vxx
0

W (t − τ ) vx2 dτ
0


2
≤ cT (1 + T )2 λT1 (v) + c (1 + T )2 E2 .
Note que utilizamos a desigualdade de Minkowsky e o lema de imersão de Sobolev.

60

Analogamente,
Z t
∂x
W (t − τ ) v 2 vxx dτ
0

2

≤ c (1 + T )

Z t
∂x

L2x L∞
T

W (t − τ ) v 2 vxx dτ

0

+ c (1 + T )2 ∂x2

Z t

0

W (t − τ ) v 2 vxx dτ

0

≤ cT

1/2

(1 + T )

2

0

Z T Z ∞
0

+ cT

1/2

(1 + T )

2

1/2

−∞

Z T Z ∞
0

2
dxdt
v 2 vx2 vxx

2
dxdt
v 4 vxxx

1/2

−∞

+ c (1 + T )2 E1

3
≤ cT (1 + T )2 λT1 (v)
+ cT 1/2 (1 + T )4 λT1 (v) λT2 (v) λT3 (v) + c (1 + T )2 E1 .

As demais estimativas à cerca da parte não-homogênea da equação integral
Z t

Av = W (t) φ −
W (t − τ ) γvx2 + δu2 uxx dτ
(2.105)
0

são demonstradas de maneira análoga às estimativas encontradas na proposição (2.6).
Para a parte homogênea de (2.105), usamos (2.5) e (2.6). Dessa forma, obtemos

3

2
ΛT (Av) ≤ kφk2 + cT 1/2 (1 + T )4 ΛT (v) + c (1 + T )4 ΛT (v)

3

2
+ cT 1/2 (1 + T )4 ΛT (v) + cT ΛT (v) .

(2.106)

Para finalizar a demonstração do Teorema 2.2, basta seguir mesmo argumento empregado
na prova do Teorema 2.1(a partir de 2.79) e por isso, será omitido.

61

Capı́tulo 3
Boa colocação para o sistema super
Korteweg-de Vries
3.1

Introdução

Neste capı́tulo, trataremos do problema de valor inicial (PVI) associado ao sistema super
Korteweg-de Vries (super KdV)

1
1
∂t u + ∂x3 u + ∂x u2 + ∂x2 v 2 = 0
2
2
3
∂
v
+
∂
v
+
∂
(uv)
=
0,
x, t ∈ R
t
x
x



 (u (x, 0) , v (x, 0)) = (ϕ (x) , ψ (x)) ,






(3.1)

onde u = u (x, t) e v = v (x, t) são funções de valor real. Vamos obter a boa colocação
local com dado inicial pequeno, ou mais precisamente, vamos demonstrar o seguinte
teorema:
~ ∈ Xs,3 = (H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx)) × (H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx)), com
Teorema 3.1. Seja φ
~
~ + φ
~
s ≥ 5, s inteiro. Então, existe η > 0 tal que, se φ
:= φ
< η, o
Xs,3

s

3,2

PVI (3.1) tem uma única solução ~u (·) = (u (·) , v (·)) definida no intervalo [0, T ], onde

62


T =T



~
φ

> 0 com T (θ) → ∞ quando θ → 0 satisfazendo
Xs,3

(i) ~u ∈ C ([0, T ] ; Xs,3 ) ;
(ii) sup ∂xk ~u L2 L∞ < ∞;
x

k=0,1

T

(iii) k~ukL1x L∞ < ∞.
T

~ em Xs,3 tal que a
Além disso, para cada T0 ∈ (0, T ) existe uma vizinhança Vφ~ de φ
~ → ~ũ (t), de V em X T é Lipschitziana.
aplicação φ̃
~
φ

Tal demonstração será obtida empregando a mesma idéia utilizada para demonstrar o
Teorema (2.1), ou seja, basicamente utilizaremos o princı́pio da contração combinado com
propriedades do grupo W (t) associado à parte linear do problema. Tais propriedades
foram deduzidas por Kenig, Ponce e Vega.
Para finalizar a presente seção, seguem listadas abaixo notações utilizadas ao longo
do capı́tulo.
• X r,s := H r (R) × H s (R) e Xs,k := H s (R) ∩ H k (R; x2 dx) × H s (R) ∩ H k (R; x2 dx).
• Para ~u = (u, v), |~u|2X = |u|2X + |v|2X e ~u ∈ X ⇐⇒ u ∈ X e v ∈ X.
• Denotemos c = c (·, ..., ·) uma constante positiva a qual é irrelevante em nossas
considerações (note que c pode depender de s). Dadas constantes positivas C, D,
C . D significa que existe uma constante c > 0 tal que C ≤ cD.

3.2

Estimativas Lineares

Nesta seção, vamos estabelecer as estimativas necessárias à obtenção da solução do
problema (3.1). Os resultados serão exibidos em forma de lema e proposição, sendo
que suas respectivas demonstrações são feitas de modo análogo as demonstrações das
proposições do capı́tulo 2, e por isso serão omitidas.
Considere o problema de valor inicial linear associado a equação (3.1),

 ∂ ~u + ∂ 3~u = 0
t
x
 ~u (x, 0) = φ
~ (x) ,
63

(3.2)

~ = (ϕ, ψ). A solução de (3.2) é dada por
onde ~u = (u, v) e φ
~ (x) = St ∗ φ
~ (x) ,
~u (x, t) := W (t) φ

(3.3)

3

com W (t) = e−t∂x e St é dada pela integral oscilatória
Z ∞
3
eitξ +ixξ dξ.
St (x) = c
−∞

Lema 3.1. Seja u~0 ∈ L2 (R). Então, temos que
s
~0 k0 , s ≥ 0;
(i) k∂xs (∂x W (t) u~0 )kL∞
2 ≤ c k∂x u
x L
T

3
(ii) kW (t) u~0 kL2x L∞ ≤ c (1 + T )ρ ku~0 kr , com r, ρ > .
T
4
Demonstração. Veja capı́tulo 2, lema 2.1.
Lema 3.2. Para ~g ∈ L1x L2t e T > 0, temos:
Z t
(i) ∂x
W (t − τ ) ~g (x, τ ) dτ
2
L∞
T Lx

0

(ii)

∂x2

≤ c k~g kL1x L2 ;
T

Z t
W (t − τ ) ~g (x, τ ) dτ

≤ c k~g kL1x L2 .
T

2
L∞
x LT

0

Demonstração. Veja capı́tulo 2, lema 2.2.
~ ∈ X5,3 , então temos:
Lema 3.3. Se φ
(i)
(ii)

~
W (t) φ
~
W (t) φ

2

L1x L∞
T



≤ c (1 + T )

~
≤c φ

3
2
L∞
T H (R;x dx)



~
+ φ

~
φ
5

;
3,2



~
+T φ
3,2

.
5

Demonstração. Para (i), veja proposição 2.3, item (i), enquanto para (ii), veja proposição
2.4, item (i).

3.3

Teoria local com dado inicial pequeno: Prova do
Teorema 3.1

Afim de simplificar a demonstração do teorema, faremos como no capı́tulo 2 e
demonstraremos o caso onde s = 5.
64

Para w
~ : R × [0, T ] → R × R, definimos os espaços de Banach


~ <∞ ,
XT = w
~ ∈ C [0, T ] ; X 5,5 ; ΛT (w)


X T (a) = w
~ ∈ X T ; ΛT (w)
~ < a , (3.4)


~ , onde
e definimos também d (~v , w)
~ := ΛT (~v − w),
~ com ΛT (w)
~ = max1≤j≤5 λj = λTj (w)
λT1 (w)
~ = kwk
~ L∞ H 5 (R) ;
T

λT2 (w)
~

= kwk
~ L∞ H 3 (R;x2 dx) ;

λT3 (w)
~

= (1 + T )−2 max ∂xk w
~ L2 L∞ ;

λT4 (w)
~
λT5 (w)
~

T

k=0,1

−2

= (1 + T )

x

T

kwk
~ L1x L∞ ;
T

∂x6 w
~ L∞ L2 .
x
T

=

~ = (ϕ, ψ) ∈ X5,3 , denotemos por ~u = Ψ (w)
Para φ
~ = Ψφ~ (w)
~ a solução do PVI linear
não-homogêneo

 ∂ ~u + ∂ 3~u + F (w)
~ =0
t

x

~ (x)
~u (x, 0) = φ



,

(3.5)



1
2
2
onde w
~ = (w, z) ∈ X T e F (w)
~ = − w∂x w + ∂x z , ∂x (wz) .
2 


~
~
φ
>0eT =T
Provemos que existem η > 0, a = a φ
X5,3

~
se φ


> 0 tais que,
X5,3

<η ew
~ ∈ X T (a) então ~u = Ψ (w)
~ ∈ X T (a) e Ψ : X T (a) → X T (a) é uma
X5,3

contração. Considere a equação integral associada a (3.5)
Z t
~
Ψ (w)
~ (t) = W (t) φ −
W (t − τ ) F (w)
~ dτ.

(3.6)

0

~ ∈ X5,3 e w
Proposição 3.1. Para φ
~ ∈ X T , temos:
~
(i) λ1 (Ψ (w))
~ . φ
~
(ii) λ2 (Ψ (w))
~ . φ

5

+ T λ21 + T 1/2 (1 + T )2 λ3 λ5 + (1 + T )2 λ4 λ5 + T 1/2 (1 + T )2 λ1 λ3 ;
~
+T φ

3,2

5

~ + T λ2 ;
(iii) λ3 (Ψ (w))
~ . φ
1
 5
~ + φ
~
(iv) λ4 (Ψ (w))
~ .
φ
5

+ T λ1 λ2 + T 2 λ21 + T 3/2 (1 + T )2 λ1 λ3 + T λ21 + T 3/2 (1 + T )2 λ3 λ5 ;


3,2

+ T λ21 + T 3/2 (1 + T )2 λ1 λ3 + T 1/2 (1 + T )2 λ1 λ3 + T λ1 λ2

2

+ T 2 λ21 + T 3/2 (1 + T ) λ3 λ5 + (1 + T )2 λ4 λ5 + T (1 + T )2 λ3 λ5 ;
~
(v) λ5 (Ψ (w))
~ . φ

5

+ T λ21 + T 1/2 (1 + T )2 λ3 λ5 + (1 + T )2 λ4 λ5 + T 1/2 (1 + T )2 λ1 λ3 .
65

Demonstração. Para a demonstração da proposição, utilizamos o mesmo raciocı́nio utilizado na obtenção das estimativas (2.72)-(2.77)(capı́tulo 2). Usaremos a norma k|f |ks :=
kf k0 + k∂xs f k0 , a qual é equivalente a norma kf ks .
Note que
~
λ1 (Ψ (w))
~ . φ

Z t
kW (t − τ ) F (w)k
~ L∞ H 5 (R) dτ

+
5

T

Z 0t

. kφk5 +
kW (t − τ ) (wwx )kL∞ H 5 (R) dτ
T
0
Z t
+
W (t − τ ) ∂x2 z 2 L∞ H 5 (R) dτ
T
Z0 t
+
kW (t − τ ) ∂x (wz)kL∞ H 5 (R) dτ,

(3.7)

T

0

e, essencialmente os termos à direita de (3.7) já foram estimados no capı́tulo 2. Note que
estimar o termo ∂x (wz) = wx z + wzx é equivalente a estimar wwx , pois controla-se a
norma das coordenadas pela norma do vetor w
~ = (w, z). De maneira análoga, estimamos
λj (Ψ (w))
~ , para j = 2, ..., 5.
Agora, combinando as estimativas lineares, a proposição anterior e a equação integral
(3.6), obtemos
ΛT (Ψ (w))
~ ≤ cη0 (1 + T ) + c (1 + T )4
~
com η0 := φ

~
+ cT φ
3,2

 T
2
Λ (w)
~

(3.8)

< η(a ser determinado) e c > 1 é uma constante dependendo
5

apenas das estimativas lineares.
Primeiro, fixamos η, tal que 16c2 η = 1. A seguir, escolhemos
a = 2c (1 + T ) η0 ,

(3.9)

4c2 (1 + T )5 η0 ≤ 1/2.

(3.10)

com T satisfazendo

Então ΛT (Ψ (w))
~ ≤ a e consequentemente Ψ (w)
~ ∈ X T (a), para w
~ ∈ X T (a).
Para provar que Ψ (·) é uma contração procedemos como na proposição anterior e
obtemos


ΛT (Ψ (w)
~ − Ψ (~p)) ≤ c (1 + T )4 ΛT (w)
~ + ΛT (~p) ΛT (w
~ − p~)
66

(3.11)

para p~, w
~ ∈ X T (a). Como


c (1 + T )4 ΛT (w)
~ + ΛT (~p) ≤ 4c2 (1 + T )5 η0 < 1,

(3.12)

usando (3.9)-(3.12) obtemos o resultado. Logo, existe um único ~u ∈ X T (a) com Ψφ~ (~u) =
~u.
Agora, para T0 ∈ (0, T ) e p~ ∈ X T (a) com p~ (0) = θ~ temos



T0
~ − θ~
~ − θ~ + φ
Ψφ~ (w)
~ − Ψθ~ (~p) . (1 + T0 ) φ
Λ
5


3,2

(3.13)



~ − p~) .
~ + ΛT0 (~p) ΛT0 (w
. (1 + T0 )4 ΛT0 (w)
~ → ~ũ (de V a X T )
Por (3.9) juntamente com (3.12) e (3.13) vemos que a aplicação φ̃
~
φ
~ dependendo de T0 , com T0 ∈ (0, T ).
é Lipschitziana, onde V ~ é uma vizinhança de φ
φ

Consequentemente a solução ~u = (u, v) ∈ X T (a) da equação integral (3.6) é uma solução
forte do PVI (3.1). Em particular, ~u satisfaz a equação (3.1) no sentido das distribuições.
A unicidade da solução de (3.1) bem como o caso geral(s ≥ 6) são demonstradas
como no capı́tulo 2.
Corolario 3.1. Sob as mesmas hipóteses do teorema 3.1, existe uma vizinhança Ṽ de
~ ∈ Xs,3 (s ≥ 5) tal que a aplicação φ
~ → ~u (t) de Ṽ a X T é suave.
φ

Demonstração. Seja F (~u) = u∂x u + (∂x v)2 + v∂x2 v, u∂x v + v∂x u e defina
H : V × X T → X T por


Z t

~
~
H φ, w
~ (t) = w
~ (t) − W (t) φ −
W (t − τ ) F (w, z) (τ ) dτ ,


(3.14)

0

onde ~u = (u, v) e w
~ = (w, z). Note que H está bem definida e pelo Teorema 3.1


~ ~u = 0. Além disso,
H φ,
Z t

~
D~u H φ, ~u (t) w
~ (t) = w
~ (t) +
W (t − τ ) D~u F (~u) w
~ (τ ) dτ.


(3.15)

0

De forma similar, podemos calcular a derivada de ordem k de H com respeito a ~u = (u, v),
e consequentemente H é suave.


~ ~u (t) : X T → X T é invertı́vel, primeiro escrevemos
Para verificar que D~u H φ,
Z t
(I − D~u H) w
~ (t) = −

W (t − τ ) D~u F (~u) (w)
~ (τ ) dτ,
0

67

(3.16)



~ ~u (t). Depois, como na proposição (3.1) obtemos
onde I := IdX T e D~u H := D~u H φ,
estimativas para λTi ((I − D~u H) w
~ (t)) (i = 1, ..., 5), semelhantes as estimativas obtidas no
capı́tulo anterior, desta feita em relação à λTi (~u) e λTi (w).
~ Por exemplo, vamos estimar
alguns termos de
λT3 ((I − D~u H) w
~ (t)) = (1 + T )−2 max ∂xk ((I − D~u H) w
~ (t)) L2 L∞ .
k=0,1

x

T

~ (t)) controla-se da
Para k = 1, o termo com derivada mais alta em λT3 ((I − D~u H) w
seguinte forma:
Z t



W (t − τ ) ∂x2 (z∂x v + v∂x z) (τ ) dτ
L2x L∞
T

0

Z t

≤ c (1 + T )2



W (−τ ) ∂x2 (z∂x v + v∂x z) (τ ) dτ

0

1

Z t

= c (1 + T )2

W (−τ ) [zvxxx + vzxxx + 3vxx zxx + 3vx zxx ]
0

1

2

≤ cT (1 + T ) sup (kzvxxx k1 + kvzxxx k1 + kvxx zx k1 + kvx zxx k1 )
[0,T ]

≤ cT (1 + T )2 λT1 (~u) λT1 (w)
~ ,
onde utilizamos o efeito regularizante dado pelo lema (3.1) item (ii), com ρ = 2 e r = 1.
Os demais termos podem ser estimados de maneira análoga às proposições do capı́tulo 2
e, por isso, não iremos repetir.
~ (t)) (i = 1, ..., 5) e usando a definição de
Depois disso, computando λTi ((I − D~u H) w
ΛT [(I − D~u H) w
~ (t)] temos que, para w
~ ∈ X T , vale
ΛT [(I − D~u H) w
~ (t)] ≤ c̃ (1 + T )4 ΛT (~u) ΛT (w)
~
≤ 2c̃2 (1 + T )5 ΛT (w)
~
1
~
< ΛT (w)
2

(3.17)

escolhendo a e T como em (3.9) e (3.10) e ~u ∈ X T (a), onde c̃ > 1 como antes. Portanto
Λ

T





 
~
I − D~u H φ, ~u (t) < 1

(3.18)


e consequentemente (I − (I − D~u H)) = D~u H ∈ B X T , X T é invertı́vel (veja Teorema
~ ∈ H s (R) ∩
1.9). Pelo Teorema da Função Implı́cita existe Ṽ ⊂ V (Ṽ -vizinhança de φ
68

H 3 (x2 dx)) e uma aplicação h : Ṽ → X T tal que H (w~0 , h (w~0 )) = 0, ou seja,
Z t
h (w
~ 0 ) = W (t) w
~0 −
W (t − τ ) F (h (w
~ 0 )) (τ ) dτ := w
~ (t)
0

é a solução de (3.1) com dado inicial w
~ 0 ∈ Ṽ e h é suave.

69

Capı́tulo 4
Considerações Finais

O objetivo do presente capı́tulo é trazer ao leitor algumas considerações e observações
sobre a teoria desenvolvida neste trabalho.
No capı́tulo 2, mostramos a boa colocação local com dado inicial pequeno para o problema de Cauchy associado à equação Kuramoto-Velarde generalizada com dispersão sem
o termo dissipativo nos espaços de Sobolev H s (R) ∩ H 3 (R; x2 dx), com s ≥ 5. Podemos
destacar o fato de que em [14], o resultado foi melhorado, ou seja, foi mostrada a boa
colocação local com dado inicial pequeno nos espaços de Sobolev H k (R)∩H k−2 (R; x2 dx),
com k ∈ N k ≥ 3. Para isso, foram introduzidos os chamados espaços de Besov com
peso e os multiplicadores Littlewood-Paley (veja [14]). É importante destacar que a utilização dos espaços de Besov permitiu que a norma da função maximal de L1x podesse
ser estimada, de uma maneira fina, utilizando a norma da função maximal de L4x . Tal
estimativa, obtida por Kenig e Ruiz, possibilitou o desenvolvimento de resultados de boa
colocação nos espaços fracionais com peso de Besov (tais resultados aparentemente de
grande dificuldade se considerados os espaços de Sobolev com peso).
No capı́tulo 3, mostramos a boa colocação local com dado inicial pequeno para o
problema de Cauchy associado ao sistema super KdV. Na introdução deste trabalho,
começamos a questionar a existência de boas propriedades para o sistema super KdV,
como por exemplo leis de conservação, soluções tipo onda solitárias, scaling, entre outras.
Com relação as leis de conservação, é de nosso conhecimento a existência da média
Z
Q (u, v) = u + v dx,
70

contudo elas não auxiliam no que diz respeito à boa colocação global do problema de
Cauchy para a o sistema super KdV (veja [4]). No que diz respeito a soluções do tipo ondas solitárias (uc (x, t) , vc (x, t)) = (ϕ (x − ct) , ψ (x − ct)), conhecemos solução da forma


3c
√
(ϕc (x) , ψc (x)) =
,0 .
cosh2 ( c/2) x
A propriedade que aparece com mais destaque dentre estas é o scaling. A existência do
scaling para a super KdV sugere que (0.4) não é bem posto em X r,s = H r (R) × H s (R)
para todo r < −3/2 e s < −1, com r, s ∈ R. Com isso, é possı́vel aumentar a região
de má colocação para (0.4)(veja [4]). Como justificativa do comentário anterior, temos a
seguinte afirmação:
Afirmação 4.1. Se ~u = (u, v) é solução de (0.4) com dado inicial (u0 , v0 ), então

uλ (x, t) = λ2 u λx, λ3 t , com uλ (x, 0) = λ2 u0 (λx)

vλ (x, t) = λ3/2 v λx, λ3 t , com vλ (x, 0) = λ3/2 v0 (λx)

(4.1)

também é solução.
De fato, seja

 u (x, t) = λα u (λx, λ3 t) ,

λ > 0,

 vλ (x, t) = λβ v (λx, λ3 t) ,

λ > 0.

λ

(4.2)

Observemos primeiro que
∂t uλ + ∂x3 uλ + uλ ∂x uλ + ∂x2 vλ2 = 0 ⇐⇒
λα+3 ut + λα+3 uxxx + λ2α+1 uux + λ2β+2 (2vvxx + vx ) = 0 ⇐⇒
λα+3 (ut + uxxx ) = −λ2α+1 uux − λ2β+2 ∂x2 v 2 ⇐⇒

λα+3 −uux − ∂x2 v 2 = −λ2α+1 uux − λ2β+2 ∂x2 v 2 .
Logo, obtemos
λα+3 = λ2α+1 = λ2β+2 .
Agora, vemos que
∂t vλ + ∂x3 vλ + ∂x (uλ vλ ) = 0 ⇐⇒
λβ+3 vt + λβ+3 vxxx + λα+β+1 ∂x uv = 0 ⇐⇒
λβ+3 (−∂x (uv)) = −λα+β+1 ∂x (uv) .
71

(4.3)

Logo, obtemos
λβ+3 = λα+β+1 .

(4.4)

Por (4.3) e (4.4), chegamos a conclusão que α e β devem satisfazer as relações

 λα+3 = λ2α+1 = λ2β+2
(4.5)

λβ+3 = λα+β+1 ,
ou seja, α = 2 e β = 3/2. Portanto, se ~u = (u, v) resolve (0.1) então
u~λ = (uλ (x, t) , vλ (x, t)) como em (4.1) também resolve, o que prova a afirmação.
Agora gostarı́amos de saber quantas derivadas são permitidas para que kDr uλ (x, 0)k0
e kDs vλ (x, 0)k0 tornem-se invariantes. Tomando a derivada homogênea de ordem r e s
em L2 (R), respectivamente, para uλ e vλ obtemos:
Z
2
2
r
r u (·, 0) dξ
[
kD uλ (x, 0)k0 =
D
λ
ZR
|ξ|2r |c
uλ (·, 0)|2 dξ
=
ZR
=
|λ|2r |y|2r |λ|2 |uˆ0 (y)|2 λ dy
R
Z
2r+3
=λ
|y|2r |uˆ0 (y)|2 dy
R
2r+3

=λ

kDr u0 (x)k20 ,

onde utilizamos a mudança de variável y = λξ e a propriedade de dilatação da Transfor
mada de Fourier para escrever u
cλ (ξ) = λ2 uˆ0 (λξ) = λuˆ0 λξ . Portanto, kDr uλ (x, 0)k0
é invariante se 2r + 3 = 0, ou seja, r = −3/2. Analogamente aos cálculos feitos acima,
para a coordenada vλ , temos que kDs vλ (x, 0)k0 é invariante se s = −1.
Observe ainda que a relação entre r e s é dada por r − s = −1/2, pois se exigirmos
k(Dr uλ (x, 0) , Ds vλ (x, 0))k20 = kDr uλ (x, 0)k20 + kDs vλ (x, 0)k20
= kDr u0 (x)k20 + kDs v0 (x)k20
= k(Dr u0 (x) , Ds v0 (x))k20
devemos ter 2r + 3 = 2s + 2, ou seja, r − s = −1/2.
Para finalizar, mencionamos o fato de que existe uma grande expectativa para o
melhoramento do resultado presente no capı́tulo 3.
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Referências Bibliográficas
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[2] ARGENTO, C. R. R. O Problema de Cauchy para a Equação de Kuramoto-Velarde
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[3] BARROS, A.S.,O Problema de Cauchy para a equação super Korteweg-de Vries,
Tese de Doutorado, UNICAMP, Campinas, 2004.
[4] BARROS, A.S., Local well-posedness for super Korteweg-de Vries equations, Nonlinear Analysis, Vol.68, Number 6, 2008.
[5] BARTLE, R.G., The Elements of Integration, John Wiley and Sons, New York,
1966.
[6] BREZIS, H.,Análisis funcional: Teoria y aplicaciones. Alianza Editorial, Madrid,
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[7] IÓRIO, Rafael José, IÓRIO, Valéria, Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução, Projeto Euclides. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1988.
[8] IÓRIO, Rafael José, NUNES, W. V. L.,Introdução às Equações de Evolução não
Lineares. 18 Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA.
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equations, Ann. Inst. Henri Poincaré, Vol. 10, no 3, 1993, p.255-288.
[10] KENIG, C. E., PONCE, G.,VEGA, L., Well-Posedness and Scattering Results for
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de Doutorado apresentada no IMPA, Rio de Janeiro, Junho de 2006.
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