Dissertação
dissertacao_2009_everson.pdf
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O Problema de Cauchy para a
Equação Não Linear de Schrödinger
com Dados Não Nulos no Infinito
Everson Fernando Santos Feitosa
Maceió
Fevereiro de 2009
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado
O Problema de Cauchy para a
Equação Não Linear de Schrödinger
com Dados Não Nulos no Innito
Everson Fernando Santos Feitosa
Maceió, Brasil
11 de fevereiro de 2009
1
Everson Fernando Santos Feitosa
O Problema de Cauchy para a Equação Não Linear de
Schrödinger com Dados Não Nulos no Innito
Dissertação submetida ao Programa de
Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do
título de Mestre em Matemática.
Orientador: Prof Dr. Adán José Corcho Fernández
Maceió
2009
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
F311p
Feitosa, Everson Fernando Santos.
O problema de Cauchy para a equação não linear de Schrödinger com dados
não nulos no infinito / Everson Fernando Santos Feitosa. – Maceió, 2009.
54f.
Orientador: Adán José Corcho Fernández.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2009.
Bibliografia: f. 53-54.
1. Cauchy, problemas de. 2. Zhidkov, Espaço de. 3. Schrödinger, Equação não
linear de. 4. Formulação integral. 5. Boa colocação. I. Título.
CDU: 517.955
Aos meus pais Raimundo Alves Feitosa
e Maria do Carmo Santos Feitosa.
4
Agradecimentos
• Agradeço em primeiro lugar a Deus, por ter me dado as oportunidades certas, e ter me
dado condições de aproveitá-las.
• Agradeço também à minha família, que foi e ainda é a base de toda minha formação.
Em especial, dedico essa realização a meus pais, que não mediram esforços, para me
proporcionar esse momento.
• Quero agradecer também a todos que contribuíram para a minha educação, desde a
infância no Colégio 29 de Julho, onde recordo com saudades as aulas da "tia Socorro",
e as minhas primeiras aulas de Matemática com a professora Emir, e com os professores
Flávio e Victor. Lembro também dos professores da antiga Etfal, em especial o Professor
Fernando Medeiros. E dos professores da minha graduação na Ufal, em especial, Adroaldo
de Vasconcelos Dorvilé, Francisco Vieira Barros e José Adonai Pereira Seixas.
• Ao professor Adán Corcho, meu orientador, pela paciência e dedicação com que me
orientou nesse trabalho, e também pelo companheirismo e amizade nos últimos anos.
• Aos membros da banca examinadora, professores Amauri da Silva Barros e Lucas Catão
de Freitas Ferreira pelas críticas e sugestões ao presente texto dissertativo, as quais foram
fundamentais para melhorias e correções do mesmo.
• Quero registrar os meus agradecimentos aos professores do programa que contribuíram
diretamente
para
minha
formação
Guadalupe e Krerley Oliveira.
matemática,
em
especial
Ediel
Azevedo,
José
Agradeço a todos os funcionários do Instituto de
Matemática da UFAL, em especial à Dona Maria, pela alegria, pela disponibilidade e
pelos muitos cafezinhos.
5
• Agradeço a todos os companheiros de mestrado, Alex Santana, Arlyson Alves, André
Pizzaia, Carlos Alberto, Darliton Romão, Daniel Brandão, Erikson Alexandre, Fabio
Boia, Leandro Favacho, Leonardo Carvalho, Marcius Petrúcio e Priscila Ramos.
Aqui,
agradeço especialmente a José Eduardo Santana, que, com muita paciência me ajudou
bastante durante o mestrado, inclusive na produção desse texto.
• Por m, agradeço à Capes/Fapeal que foram responsáveis pelo nanciamento dos meus
estudos; com certeza, foram fundamentais para a conclusão desta dissertação.
6
Resumo
Neste
trabalho
fazemos
um
estudo
do
Problema
de
Cauchy
associado à equação não linear de Schrödinger com dados iniciais
não nulos no innito.
No primeiro capítulo, apresentamos os espaços de Zhidkov em uma
dimensão, e mostramos algumas de suas propriedades.
No segundo capítulo, provamos que o operador de Schrödinger é um
grupo de operadores fortemente contínuos nos espaços de Zhidkov.
Finalmente, no capítulo 3 apresentamos uma família especial de
soluções para a equação não linear de Schrödinger, provamos a
Formulação Integral, e chegamos ao nosso objetivo principal que
é provar que o problema de Cauchy para a equação não linear de
Schrödinger é bem posto nos espaços de Zhidkov.
Palavras-chave:
Problema de Cauchy,
Espaços de Zhidkov,
Equação Não Linear de Schrödinger, Boa Colocação, Formulação
Integral.
7
Abstract
In this work we study the Cauchy Problem associated to the
nonlinear Schrödinger equation with data nonvanishing at innity.
In the rst chapter, we present the Zhidkov space in one dimension,
and show some of its properties.
In the second chapter, we show that the operator of Schrödinger is
a group of operators strongly continuous in Zhidkov spaces.
Finally, in Chapter 3 present a special family of solutions for the
nonlinear Schrödinger equation, prove the Integral Formulation,
and got to our main goal is to prove that the Cauchy problem for
the nonlinear Schrödinger equation is well-posedness in Zhidkov
spaces.
Key words:
Cauchy
Problem,
Zhidkov
Spaces,
Nonlinear
Schrödinger Equation, Well-Posedness, Integral Formulation.
8
Sumário
Introdução
9
1 Os Espaços de Zhidkov em Uma Dimensão
14
1.1
Denições e Exemplos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Aproximação por Convolução
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.3
Propriedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2 A Equação Linear de Schrödinger Unidimensional
2.1
Conservação da Energia Cinética
2.2
O Grupo Livre de Schrödinger em Espaços de Zhidkov
14
26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
27
29
3 O Problema de Cauchy associado à Equação não Linear de Schrödinger
37
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.1
Família especial de soluções em X
3.2
A Formulação Integral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.3
Boa Colocação do Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Referências Bibliográcas
54
9
Introdução
Para introduzir a noção de dispersão,
consideraremos uma equação diferencial com
coecientes constantes na forma
F (∂t , ∂x )u(x, t) = 0
(1)
onde F é um polinômio nas derivadas parciais.
Buscamos soluções elementares do tipo onda plana para (1) que tenham a forma
u(x, t) = Aei(kx−ωt) ,
(2)
onde A, k e ω são constantes que representam a amplitude, o número de onda e a freqüência
respectivamente.
Uma solução do tipo (2) existe se, e somente se ω e k estão relacionados pela equação
F (ik, −iω) = 0.
Esta equação é conhecida como
relação de dispersão.
A relação de dispersão caracteriza a evolução da onda plana. Em alguns problemas podemos
escrever ω como uma função real da variável k, isto é
ω = ω(k).
A fase e a velocidade do grupo são denidas respectivamente por
Cj (k) =
ω
,
k
e
Cg (k) =
10
dω
.
dk
0
As soluções (2) são dispersivas se a velocidade do grupo Cg = ω (k) é não constante. Em
outras palavras, se ω
00
(k) é diferente de zero. Fisicamente, quando o tempo evolui, as ondas
diferentes se dispersam no meio, tendo como resultado que um perl se decompõe em um trem
de ondas.
Em geral, a equação (1) é
dispersiva se ω(k) é real e o determinate
2
∂ ω(k)
det
∂ki ∂kj
é não-nulo.
Durante os últimos 35 anos, a teoria das Equações Diferenciais Parciais (EDPs) de tipo
dispersivo tem crescido de tal modo que tem atraído a atenção tanto de físicos quanto de
matemáticos devido a suas importantes aplicações e a constante inovação dos problemas. Uma
das descobertas matemáticas relacionadas é a possibilidade de estudar certas equações não
lineares desta área por métodos que foram desenvolvidos para analisar o problema de dispersão
quântica inversa; as quais são chamadas solúveis pelo método do problema da dispersão inversa.
Ao mesmo tempo, a classe de EDPs não lineares atualmente conhecidas que são solúveis por
esse método não é muito abrangente. Por outro lado, existe outra abordagem, chamada teoria
qualitativa das EDPs que inclui investigações sobre a boa colocação do Problema de Valor
Inicial (PVI) associado a estas equações.
Denição 0.1. Sejam X e Y espaços de Banach e F : X −→ Y uma função contínua. Dizemos
que o problema de Cauchy
(
∂t u(t) = F (u(t)) ∈ X,
u(0) = φ ∈ Y
é localmente bem posto se existe uma única u ∈ C([0, T ], Y ) tal que
(a) u(0) = φ e
lim
h→0
u(t + h) − u(t)
− F (u(t))
= 0 ∀t ∈ [0, T ],
h
X
com a devida derivada lateral em t = 0.
11
Y
(b) a aplicação φ −→ u é contínua no seguinte sentido: seja φn −→
φ∞ e sejam un , n =
1, 2, · · · , ∞ as correspondentes soluções. Então para cada T > 0 xado temos
lim sup kun (t) − u∞ (t)kY = 0.
n−→∞ [0,T ]
Nesse trabalho, consideramos o problema de Cauchy associado à equação não linear de
Schrödinger com dados não nulos no innito, isto é:
(
i∂t u + ∂x2 u = |u|2 u,
u(x, 0) = φ(x),
x ∈ R,
t ∈ I,
(3)
lim φ(x) = φ± 6= 0.
x→±∞
No primeiro capítulo, lembramos alguns conceitos e resultados fundamentais de Análise
onde
p
Funcional e da teoria das Equações Diferenciais Parciais, tais como a denição de Espaços L ,
Espaços de Schwartz, Funções de Classe C
k
, Convolução de Funções, entre outros. Também
apresentamos algumas desigualdades clássicas dentre as quais estão a Desigualdade de Hölder
e a Desigualdade de Minkowski que serão muito úteis no decorrer do trabalho.
Ainda nesse
capítulo, denimos o nosso ambiente de trabalho, os espaços de Zhidkov, denotados por X
k
,
k ∈ Z+ , e fazemos algumas observações sobre as propriedades mais importantes desses espaços.
No segundo capítulo, consideramos a Equação Linear de Schrödinger, e introduzimos o
Grupo Livre de Schrödinger em Espaços de Zhidkov, denido por
φ, t = 0,
+∞
Z
S(t)φ =
K(x − y, t)φ(y)dy,
(4)
t 6= 0,
−∞
onde K(x, t) = (4πit)
−1/2
ix2
e 4t é a solução fundamental do operador L = i∂t + ∂x2 .
Mostramos ainda que (4) é um grupo de operadores fortemente contínuos em X
k
.
Por último, no terceiro capítulo, apresentamos uma família especial de soluções para a
equação
i∂t u + ∂x2 u = |u|2 u,
12
(5)
solução esta que pertence ao espaço X
k
, k ∈ Z+ . Esta família é de grande interesse físico no
estudo dos dark solitons da óptica não linear.
Em seguida enunciamos e provamos a Formulação Integral, que trata da equivalência entre
o PVI (3) e a equação integral
Zt
u(x, t) = S(t)φ + i
S(t − s)|u|2 uds.
0
Finalmente, chegamos ao nosso principal objetivo, que é provar que o problema de Cauchy (3)
é localmente bem posto nos espaços X
k
(R). Mais precisamente, provamos o seguinte resultado:
Teorema 0.1. Sejam k um inteiro positivo e φ ∈ X k (R). Então, existem um tempo positivo
T = T (kφkX k ) e uma única solução u ∈ C([0, Tk ], X k ) do problema de valor inicial (3). Além
disso, a aplicação dado-solução φ −→ u é Lipschitz-contínua, ou seja, dada uma seqüência
k
{φn }∞
n=1 ⊂ X tal que lim kφn − φkX k = 0, então as correspondentes soluções un associadas
n→∞
aos dados φn satisfazem lim sup kun (·, t) − u(·, t)kX k = 0. Ainda, u pode ser estendida a um
intervalo maximal
n→∞ [0,T ]
[0, Tk∗ ]
com as seguintes alternativas:
• Tk∗ = +∞
ou, caso contrário,
• lim∗ ku(x, t)kX k = +∞.
t→Tk
13
Capítulo 1
Os Espaços de Zhidkov em Uma Dimensão
1.1 Denições e Exemplos
k
Neste capítulo, apresentaremos a teoria básica dos espaços de Zhidkov, denotados por X ,
os quais serão nosso ambiente de trabalho.
Denição 1.1 (Funções de classe C k ). Seja I ⊂ R aberto. Dizemos que f : I −→ R é de
classe C k , e escrevemos f ∈ C k , para signicar que f é k vezes derivável em I. Em particular,
f ∈ C 0 signica que f é contínua em I. Diremos que f : I −→ R é de classe C ∞ em I quando
f ∈ C k para todo k ∈ {0, 1, 2, . . .}.
Denição 1.2 (Espaços Lp ). Sejam 1 ≤ p ≤ ∞ e A ⊂ R. Denotaremos por Lp (A) o conjunto
das funções f : A −→ C mensuráveis tais que
kf kLp =
Z
p1
|f (x)| dx
< ∞, se 1 < p < ∞
A
inf {λ > 0 ; µ(A ) = 0} < ∞, se p = ∞
λ
p
onde Aλ = {a ∈ A ; |f (x)| > 0} .
Denição 1.3. Sejam p, q ∈ [1, ∞]. Dizemos que p e q são conjugados quando
1 1
+ = 1.
p q
Denotaremos por p0 o conjugado de p. Além disso, diremos que 1 e +∞ são conjugados.
14
Teorema 1.1 (Desigualdade de Hölder). Sejam 1 ≤ p ≤ ∞, X ⊂ R um conjunto mensurável
e f ∈ Lp e g ∈ Lp funções mensuráveis. Então, f g ∈ L1 e vale a desigualdade
0
Z
Z
p1 Z
p
f g dx ≤
10
p
g dx
p0
f dx
X
X
X
ou, em notação de normas
kf gkL1 ≤ kf kLp kgkLp0 .
Demonstração. (Consultar teoremas 3.5 e 3.8 de [10])
Teorema 1.2. Sejam 1 ≤ p ≤ ∞ e X ⊂ R. Se f ∈ Lp (X), então
Z
kf kLp = sup
f (x)g(x)dx; kg(x)kLp0 = 1 .
X
Demonstração. Ver teorema 1.3 de [3] .
Teorema 1.3 (Desigualdade de Minkowski). Sejam I e J intervalos da reta, e f : I × J −→ C
mensurável. Então, para todo 1 ≤ p ≤ ∞ vale a desigualdade
|f (x, y)| dy
I
p1
p
Z Z
Z Z
p1
|f (x, y)| dx
≤
dx
J
J
p
dy.
I
Demonstração. A armação é clara se p = ∞. Se p < ∞ fazemos F (x) = Y |f (x, y)| dy . Pelo
R
teorema de dualidade e pela desigualdade de Hölder, segue que
kF kLp0 =
x
sup
kgk p0 =1
Lx
Z
Z
|f (x, y)| dy dx
g(x)
J
I
Z Z
=
|f (x, y)| g(x)dxdy
sup
kgk p0 =1
Lx
J
I
Z
≤
sup
kgk p0 =1
Lx
J
kf kLpx kgkLp0 dy
x
Z
=
J
kf kLpx dy.
15
Deste modo,
|f (x, y)| dy
I
p1
p
Z Z
Z Z
p
|f (x, y)| dx
≤
dx
J
p1
J
dy.
I
Denição 1.4 (Espaços de Schwartz). O espaço de Schwartz, que denotaremos por S(R), é
a coleção das funções f : R −→ C innitamente diferenciáveis em R, tais que, quaisquer que
sejam α, β ∈ Z+ existe uma constante Cα,β com
kf kα,β = sup xα ∂ β f (x) < Cα,β .
x∈R
Denição 1.5. Dado um inteiro não negativo k. O espaço de Sobolev H k (R) é denido pelo
completamento do espaço S(R) na norma
k
X
di f
kf kH k =
dxi
i=0
.
L2
Observação 1.1. Notemos que quando k = 0 então H 0 (R) = L2 (R). Além disso, é fácil
comprovar a seguinte cadeia de inclusões:
S(R) ⊂ H ∞ (R) ⊂ H k+1 (R) ⊂ H k (R) ⊂ L2 (R),
para todo k ∈ N.
Denição 1.6. Uma função f : [a, b] ⊂ R −→ C é absolutmente contínua se para cada ε > 0,
existir algum δ > 0, tal que, se {(xi , yi )}i=1,2,...,n é uma família de intervalos disjuntos contidos
em [a, b] com
n
P
(yi − xi ) < δ, então
i=1
n
X
|f (yi ) − f (xi )| < ε.
i=1
Exemplo 1.1. Toda função f : I −→ C lipschitziana é absolutamente contínua. De fato, como
f é lipschitziana vale
|f (x) − f (y)| < c|x − y|,
Dado ε > 0, tome δ = ε/c. Daí, concluímos que
16
∀x, y ∈ I.
n
X
n
X
ε
|f (bi ) − f (ai )| < c
(bi − ai ) < c · = ε,
c
i=1
i=1
quaisquer que sejam n e os escalares a1 < b1 < a2 < b2 < . . . < an < bn .
Dentre as propriedades mais importantes das funções absolutamente contínuas temos as
seguintes:
1. Toda função absolutamente contínua é contínua. No entanto, há funções contínuas que
não são absolutamente contínuas.
√
Exemplo 1.2. Seja f a função denida em R por: f (x) =
x para 0 ≤ x ≤ 1/2,
√
f (x) = − 2(x − 1) para 1/2 ≤ x ≤ 1 e f (x + k) = f (x) para todo k ∈ Z e para todo x.
Pela maneira como está denida, f é contínua em [0, 1], e logo contínua em toda reta, mas
não é absolutamente contínua. De fato, dado δ, 0 ≤ δ ≤ 1/2, sejam xi = i, e yi = i + δ/i2 .
Então
n
P
(yi − xi ) < 2δ, mas
i=1
n
P
|f (yi ) − f (xi )| =
i=1
Portanto f não é absolutamente contínua.
n √
P
δ
i=1
i
tende para innito, se n −→ ∞.
2. Toda função absolutamente contínua é derivável em quase todo ponto.
Ver [2] página
161.
Denição 1.7 (Espaços de Zhidkov). Dado k ∈ Z+ , o espaço X k (R) é o completamento do
espaço
n
f ∈ L∞ (R) ∩ C k (R);
com a norma
f é absolutamente contínua e f ∈ H k−1 (R)
0
k
X
di f
kf kX k = kf kL∞ +
dxi
i=1
Como exemplos de funções em X
k
.
L2
citamos tgh(x) e arctg(x).
17
o
Denição 1.8. Denotaremos por C([0, T ], X k ) o espaço das aplicações contínuas f : [0, T ] −→
X k com a norma
kf kL∞
k = sup kf kX k .
T X
[0,T ]
1.2 Aproximação por Convolução
Nesta seção, vamos denir a convolução de funções, e mostrar algumas de suas propriedades
mais importantes.
A convolução de duas funções f, g : R −→ C é denida pela fórmula
Z+∞
f (x − y)g(y)dy
(f ∗ g)(x) =
−∞
sempre que o lado direito zer sentido.
A convolução tem as seguintes propriedades algébricas:
1.
(λf ) ∗ g = λ(g ∗ f ) = g ∗ λ(f );
2.
f ∗ g = g ∗ f;
3.
(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h);
4.
(f + g) ∗ h = f ∗ h + g ∗ h;
5. sejam f ∈ S(R) e g contínua e limitada, então f ∗ g ∈ C
∞
(R) e vale
(f ∗ g)(n) = (f (n) ) ∗ g.
Para vericar as quatro primeiras propriedades usamos diretamente a denição, já a prova
de (5) é um exercício simples de derivação sob o sinal de integral.
Teorema 1.4 (Desigualdade de Young). Sejam f ∈ L1 (R) e g ∈ Lp (R), então f ∗ g ∈ Lp (R) e
vale a desigualdade
kf ∗ gkLp ≤ kf kL1 kgkLp .
18
Demonstração. Seja p ∈ [1, ∞), então
1
1
|f (x − y)g(y)| = |f (x − y)| p |f (x − y)| p0 |g(y)|
Agora, segue que
|f ∗ g| =
Z+∞
f (x − y)g(y)dy
−∞
Z+∞
≤
|f (x − y)g(y)|dy
−∞
Z+∞
1
1
|f (x − y)| p |f (x − y)| p0 |g(y)| dy
=
−∞
10
+∞
p1 +∞
p
Z
Z
0
p
≤ |f (x − y)| dy |f (x − y)| |g(y)| dy ,
−∞
−∞
onde usamos a desigualdade de Hölder para obter a última desigualdade.
0
Integrando agora em relação a variável x e elevando à potência p , obtemos
+∞
pp0 +∞ +∞
Z
Z
Z+∞
Z
0
0
|f (x − y)| |g(y)|p dy dx
|f ∗ g|p dx ≤ |f (x − y)| dy
−∞
−∞
−∞
≤ kf k
p0
p
L1
Z+∞
|f (x − y)| dx
−∞
= kf k
p0
p
L1
0
−∞
Z+∞
−∞
0
kf kL1 kgkpLp0
0
= kf kpL1 kgkpLp0
Portanto,
kf ∗ gkLp0 ≤ kf kL1 kgkLp0 .
19
0
|g(y)|p dy
(1.1)
Agora, vamos enunciar o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, que será
utilizado na prova do resultado seguinte.
Teorema 1.5 (Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue). Sejam {fn }n≥1 uma
seqüência de funções integráveis que converge em quase toda parte para uma função real
mensurável f. Se existe uma função integrável g tal que |fn | ≤ g, para todo n, então f é
integrável e
Z
Z
f dµ = lim
fn dµ.
Demonstração. (Consultar teorema 5.6 de [1])
Teorema 1.6 (Aproximação por Convolução). Sejam f ∈ Lp (R), com 1 ≤ p ≤ +∞ e
−x2
ϕt (x) = (4πt)− 2 e 4t . Então
1
lim kf ∗ ϕt − f kLp = 0.
t→0
Demonstração. Seja primeiro 1 ≤ p < +∞. Como
+∞
R
ϕt (y)dy = 1, para todo t > 0, temos que
−∞
Z+∞
[f (x − y) − f (x)]ϕt (y)dy
kf ∗ ϕt − f kLp =
−∞
.
(1.2)
Lp
Por outro lado, o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue garante que
lim kf (x − y) − f (x)kLp = 0,
y→0
pois f (x − y) → f (x) pontualmente quando y → 0 e kf (x − y)kLp = kf (x)kLp , para todo y.
Assim, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que kf (x − y) − f (x)kLp < ε/2 se |y| < δ. Então, de (1.2)
temos que
Z
kf ∗ ϕt − f kLp ≤
Z
[f (x − y) − f (x)]ϕt (y)dy
|y|≤δ
20
[f (x − y) − f (x)]ϕt (y)dy
+
Lp
|y|>δ
.
Lp
Usando a desigualdade de Minkowski, temos que
Z
Z
[f (x − y) − f (x)]ϕt (y)dy
|y|≤δ
≤
Lp
kf (x − y) − f (x)kLp ϕt (y)dy
Z
ε
≤
ϕt (y)dy
2
|y|≤δ
ε
.
≤
2
|y|≤δ
Temos também que
Z
Z
[f (x − y) − f (x)]ϕt (y)dy
|y|>δ
≤
Lp
kf (x − y) − f (x)kLp ϕt (y)dy
Z
ϕt (y)dy
≤ 2kf kLp
|y|>δ
|y|>δ
ε
≤ 2kf kLp
4kf kLp
ε
.
=
2
Assim,
kf ∗ ϕt − f kLp ≤
ε ε
+ = ε.
2 2
O que conclui a demonstração.
1.3 Propriedades Básicas
Nesta seção faremos algumas observações sobre as propriedades mais importantes dos
espaços X
k
(R).
Proposição 1.1. X k+1 (R) é denso em X k (R).
−x2
Demonstração. Sejam f ∈ X k e ϕt (x) = (4πt)− 2 e 4t , com t > 0. Denamos ft (x) = f ∗ ϕt (x).
1
21
Primeiramente, provaremos que ft (x) ∈ X
kft (x)kL∞ =
k+1
, para todo t > 0. Com efeito,
Z+∞
f (y)ϕt (x − y)dy
−∞
L∞
Z+∞
≤ kf kL∞
−∞
−x2
e 4t
p
dx
(4πt)
≤ kf kL∞ .
Por outro lado, as propriedades regularizantes de convolução garantem que ft ∈ C
Além disso, se 1 ≤ i ≤ k temos que
di
(f ∗ ϕt )
=
dxi
L2
di
(f ) ∗ ϕt
dxi
L2
i
d
f
kϕt kL1
dxi L2
di
f
,
dxi L2
≤
≤
e se i = k + 1 temos que
dk+1
(f ∗ ϕt )
=
dxk+1
L2
≤
≤
≤
Portanto, ft (x) ∈ X
k
d
d
f ∗ ϕt
dx dxk
L2
k
d
d
f ∗ ϕt
k
dx
dx
L2
i
d
d
f
ϕt
i
dx
L2 dx
L1
i
d
f
.
dxi L2
k+1
para todo t > 0.
Xk
Finalmente, provaremos que f ∗ ϕt −→ f quando t → 0. De fato, temos que
• f ∗ ϕt −→ f na reta, e
•
di
di
(f ∗ ϕt ) − dx
i (f )
dxi
t→0
L2
−→ 0, se 1 ≤ i ≤ k.
O que demonstra o resultado.
22
∞
(R).
Vamos agora enunciar e provar dois resultados que serão usados na prova da próxima
proposição:
Lema 1.1. Sejam f ∈ L∞ (R) e g ∈ Lp (R). Então,
kf gkLp ≤ kf kL∞ kgkLp .
Demonstração. Sejam f ∈ L∞ (R) e g ∈ Lp (R), então
kf gkLp
+∞
1/p
Z
= |f |p |g|p dx
−∞
+∞
1/p
Z
≤ (sup |f |)p |g|p dx
−∞
1/p
Z+∞
≤ (sup |f |)p
|g|p dx
−∞
+∞
1/p
Z
= sup |f | |g|p dx
−∞
= kf kL∞ kgkLp .
Lema 1.2 (Imersão de Sobolev). Seja f : R −→ C absolutamente contínua tal que f 0 ∈ L2 (R),
então
kf kL∞ ≤ kf kH 1 (R) .
23
Demonstração. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos que
f 2 (x) =
Zx
0
2f (t)f (t)dt
0
Zx
≤
0
[f 2 (t) + (f )2 (t)]dt
0
Z+∞
Z+∞
0
f (t)dt +
(f )2 (t)dt.
≤
2
−∞
−∞
Daí, concluímos que
+∞
12
Z
Z+∞
0
(f )2 (t)dt
|f (x)| ≤ f 2 (t)dt +
−∞
−∞
+∞
21 +∞
21
Z
Z
0
≤ f 2 (t)dt + (f )2 (t)dt
−∞
−∞
0
≤ kf kL2 + kf kL2 .
Portanto,
0
kf kL∞ ≤ kf kL2 + kf kL2
= kf kH 1 (R) .
Proposição 1.2. Sejam f, g ∈ X k . Então existe uma constante positica c tal que
kf gkX k ≤ c kf kX k kgkX k
para todo k ∈ Z+ .
24
Demonstração. Temos que
k
X
di (f g)
kf gkX k = kf gkL∞ +
.
dxi L2
i=1
Mas,
kf gkL∞ ≤ kf kL∞ kgkL∞
≤ kf kX k kgkX k .
E
i
X
di (f g)
di−j (f ) dj (g)
·
≤
c
j
i−j
dxi L2
dx
dxj L2
j=0
=
i−1
X
di (g)
di−j (f ) dj (g)
di (f )
·
g
+
c
·
+
f
·
j
dxi
dxi−j
dxj L2
dxi L2
L2
j=1
i−1
X
di−j (f )
dj (g)
di (g)
di (f )
kgk
+
c
+
kf
k
j
L∞
L∞
dxi L2
dxi−j L∞ dxj L2
dxi L2
j=1
i−j
j
i−1
X
d (f )
di−j+1 (f )
d (g)
≤ 2 kf kX k kgkX k +
cj
+
i−j
i−j+1
dx
dx
dxj L2
L2
L2
j=1
i−j
i−1
X
dj (g)
di−j+1 (f )
dj (g)
d (f )
≤ 2 kf kX k kgkX k +
+
cj
i−j
j
dx
dx
dxi−j+1 L2 dxj L2
2
2
L
L
j=1
≤
≤ c kf kX k kgkX k .
Assim,
kf gkX k ≤ c kf kX k kgkX k .
25
Capítulo 2
A Equação Linear de Schrödinger
Unidimensional
Estudaremos neste capítulo as propriedades das soluções para a Equação Linear de
Schrödinger
i∂t u + ∂x2 u = 0,
nos espaços X
k
(2.1)
.
Fazendo uso da Transformada de Fourier, sabemos que as soluções nos espaços de Sobolev
s
clássicos H (R) para o problema de Cauchy associado a equação (2.1),
(
i∂t u + ∂x2 u = 0
u(x, 0) = φ(x)
(2.2)
são dadas pelo operador integral
φ, t = 0
+∞
Z
S(t)φ =
K(x − y, t)φ(y)dy,
t 6= 0,
−∞
onde K(x, t) = (4πit)
−1/2
ix2
e 4t é a solução fundamental do operador L = i∂t + ∂x2 .
26
O ponto principal nesse contexto é o fato de S(t) ser um grupo unitário de operadores
s
contínuos nos espaços H (R). Nosso trabalho é direcionado para o estudo das propriedades
deste grupo nos espaços X
k
, dado que alguns modelos não lineares vinculados à esta equação
s
possuem soluções que não estão nos espaços de Sobolev H (R), com s ∈ N, como veremos na
Seção 3.1.
2.1 Conservação da Energia Cinética
Lema 2.1. Seja u(x, t) uma solução do problema (2.2) no intervalo [0, T ]. Então,
Z+∞
Z+∞
2
|∂x u(x, t)| dx =
|∂x φ(x)|2 dx,
−∞
−∞
para todo t ∈ [0, T ].
Demonstração. Temos de (2.1) que
∂t u = i∂x2 u.
(2.3)
iu∂t u + u∂x2 u = 0.
(2.4)
Z+∞
Z+∞
i
u∂t udx +
u∂x2 udx = 0.
(2.5)
Multiplicando (2.1) por u, obtemos
Integrando (2.4) temos que
−∞
−∞
|
{z
I
}
Integrando I por partes obtemos
Z+∞
Z+∞
|∂x u|2 dx.
I=−
∂x u∂x udx = −
−∞
−∞
27
Portanto, de (2.5) segue-se que
Z+∞
Z+∞
i
u∂t udx =
|∂x u|2 dx.
−∞
−∞
Assim,
d
dt
Z+∞
Z+∞
Z+∞
d
2
|∂x u| dx = i
u∂t udx = i
{u∂t2 u + ∂t u∂t u}dx
dt
−∞
−∞
−∞
Z+∞
=
{−u∂t ∂x2 u − ∂x2 u∂t u}dx
−∞
Z+∞
Z+∞
2
u∂t ∂x udx −
∂x2 u∂t u}dx
= −
−∞
−∞
= −(I1 + I2 ),
onde usamos (2.3).
Usando integração por partes duas vezes e usando novamente (2.3), temos que
Z+∞
Z+∞
2
I1 =
u∂t ∂x udx = i
|∂x u|2 dx.
−∞
−∞
Também é fácil vericar que
Z+∞
Z+∞
I2 =
∂x2 u∂t u}dx = −i
|∂x u|2 dx.
−∞
−∞
Assim, (I1 + I2 ) = 0. Portanto
d
dt
Z+∞
|∂x u(x, t)|2 dx = 0,
−∞
que nos dá o resultado desejado.
28
2.2 O Grupo Livre de Schrödinger em Espaços de Zhidkov
Nesta seção, vamos mostrar que {S(t)}t≥0 é um grupo de operadores fortemente contínuos
em X
k
.
Denição 2.1. Dado um espaço de Hilbert H, um operador linear U ∈ B(H) isómetrico e
sobrejetor é dito unitário. Uma família {U (t) : t ∈ R} de operadores unitários em H é um
grupo unitário de operadores fortemente contínuo se:
(i) U (t + s) = U (t)U (s),
∀s, t ∈ R;
(ii) U (0) = Id;
(iii) ∀f ∈ H, ∀s ∈ R,
lim kU (t)f − U (s)f k = 0.
t→s
Teorema 2.1. Para qualquer k = 1, 2, . . . o operador S(t) considerado em X k satisfaz as
seguintes propriedades:
(a) para qualquer intervalo limitado I ⊂ R, a família de operadores S(t) : X k −→ X k é
uniformemente limitada com respeito a t ∈ I ;
(b) para qualquer φ ∈ X k a função S(t)φ : I −→ X k é contínua e lim
S(t)φ = φ no sentido do
t→0
espaço X k .
Demonstração. Para vericar (a), precisamos mostrar que
kS(t)φkX k ≤ C(t) kφkX k .
Com efeito, seja t 6= 0, e considere φ ∈ X
Z+∞
S(t)φ =
−∞
k
. Dessa forma,
i(x−y)2
1
√
e 4t φ(y)dy.
4πit
29
Fazendo a mudança de variável z =
Z+∞
S(t)φ =
−∞
y−x
√ obtemos,
2 t
√
√
1
2
√ √ eiz φ(x + 2 tz)2 tdz
2 t πi
1
= √
πi
1
= √
πi
Z+∞
√
2
eiz φ(x + 2 tz)dz
−∞
Z−β
√
iz 2
Zβ
Z+∞
√
iz 2
e φ(x + 2 tz)dz
e φ(x + 2 tz)dz +
−β
β
e φ(x + 2 tz)dz +
−∞
√
iz 2
= (πi)−1/2 (I1 + I2 + I3 )
√
onde β > 0 arbitrário é xado. Para calcular I1 fazemos a mudança z = −
nossos extremos de integração passam a ser +∞ e
Z−β
I1 =
2
√
eiz φ(x + 2 tz)dz =
−∞
β
Zβ 2
2
e portanto,
√ √ −ds
eis φ(x − 2 t s) √
2 s
+∞
Zβ 2
√
√
Z+∞ is
eis φ(x − 2 ts)
e φ(x − 2 ts)
√
√
ds =
ds
2 s
2 s
+∞
β2
= −
√
Zα2 is
e φ(x − 2 ts)
√
= lim
ds.
α→+∞
2 s
β2
30
s. Desse modo,
Usando integração por partes, obtemos
I1
√
is
α2
e φ(x − 2 ts)
√
= lim
α→+∞
i
2 s
β2
2
√
√
Zα is √ 0
e
− tφ (x − 2 ts) φ(x − 2 ts)
−
−
ds
3
i
2s
4s 2
β2
√
is
α2
e φ(x − 2 ts)
√
= lim
α→+∞
i
2 s
β2
2
√
√
Zα is √ 0
tφ (x − 2 ts) φ(x − 2 ts)
e
+
ds
+ lim
3
α→+∞
i
2s
4s 2
β2
1
=
i
(
√
lim
is φ(x − 2
√
2 s
e
α→+∞
α2
1
+ lim
2 α→+∞
Z
eis
√
β2
ts)
α2
β2
√
√ )
tφ0 (x − 2 ts) φ(x − 2 ts)
ds .
+
3
s
2s 2
Assim,
|I1 | =
1
i
√
lim
α2
Z
lim
α→+∞
α2
β2
√
√
√ 0
tφ (x − 2 ts) φ(x − 2 ts)
e
+
ds
3
s
2s 2
√
is φ(x − 2
√
2 s
e
α2
1
+ lim
2 α→+∞
ts)
is
β2
≤
√
2 s
e
α→+∞
1
+ lim
2 α→+∞
is φ(x − 2
Z
β2
eis
√
ts)
α2
β2
√
√
tφ0 (x − 2 ts) φ(x − 2 ts)
+
ds
3
s
2s 2
1
= I11 + I12 .
2
31
Logo,
√
α2
φ(x
−
2
ts)
√
lim eis
α→+∞
2 s
β2
I11 =
=
lim
α→+∞
√
√
2
2
eiα φ(x − 2 tα)
eiβ φ(x − 2 tβ)
lim
+
,
α→+∞
2α
2β
≤
mas,
√ !
√
2
2
eiα φ(x − 2 tα) eiβ φ(x − 2 tβ)
−
2α
2β
√
2
2
eiα
eiα φ(x − 2 tα)
= lim
lim
α→+∞ 2α
α→+∞
2α
√
φ(x − 2 tα) = 0.
Assim,
eiβ
I11 ≤
2
2β
√
1
φ(x − 2 tβ) ≤ β −1 kφkL∞ .
2
Temos também que
Zα2
I12 =
lim
is
e
α→+∞
β2
√
√
√
tφ0 (x − 2 ts) φ(x − 2 ts)
+
ds
3
s
2s 2
α2
√
√
Zα2
√ Z eis φ0 (x − 2 ts)
φ(x − 2 ts)
= lim
t
ds +
ds
3
α→+∞
s
2s 2
β2
≤
lim
α→+∞
β2
!
α2
√
√
Zα2
√ Z eis φ0 (x − 2 ts)
φ(x − 2 ts)
t
ds +
ds
3
s
2
2s
2
2
β
=
√
β
√
√
Zα2 is 0
Zα2
e φ (x − 2 ts)
φ(x − 2 ts)
t lim
ds + lim
ds
3
α→+∞
α→+∞
s
2s 2
β2
β2
= I121 + I122 .
32
√
Fazendo agora a mudança z = −2
√
I121 =
ts obtemos,
√
Zα2 is 0
e φ (x − 2 ts)
ds
t lim
α→+∞
s
β2
√
=
√
−2α
Z t
t lim
α→+∞
√
≤ 2 t lim
e
√
−2β t
√
−2β
Z t
α→+∞
√
−2α t
iz 2
4t
2
φ (x + z) −
dz
|z|
0
|φ0 (x + z)|
dz.
|z|
Utilizando a Desigualdade de Hölder, temos que
√
−2β
Z t
√
−2α t
√
√
−2β
21 −2β
12
Z t
Z t
|φ (x + z)|
1
2
0
dz ≤
|φ (x + z)| dz
2 dz
|z|
|z|
√
√
0
−2α t
−2α t
√
−2β
Z t
0
≤ kφ kL2
√
1
dz
|z|2
21
.
−2α t
Mas,
√
−2β
Z t
√
−2α t
√
1
dz
|z|2
−2β
Z t
12
=
√
−2α t
=
=
− z −1
1
dz
z2
12
√
−2β t 12
√
−2α t
−1
−1
√ −
√
−2β t −2α t
Portanto,
√
I121 ≤ 2 t kφ0 kL2
33
1
√
2β t
12
.
12
.
Além disso,
I122 ≤ kφkL∞ β −1 .
Dessa forma
2 1 1
I12 ≤ β −1 kφkL∞ + √ t 4 β − 2 kφ0 kL2 .
2
Portanto,
2 1 −1 0
−1
β kφkL∞ + √ t 4 β 2 kφ kL2
2
1
1
= C1 β −1 kφkL∞ + C2 t 4 β − 2 kφ0 kL2
√
4
= C(1 + t) kφkX k .
1 −1
1
|I1 | ≤
β kφkL∞ +
2
2
Analogamente, temos que
1
1
|I3 | ≤ C3 β −1 kφkL∞ + C4 t 4 β − 2 kφ0 kL2
√
4
= C(1 + t) kφkX k .
Também é fácil ver que
|I2 | ≤ 2β kφkL∞ .
Assim,
|S(t)φ(x)| ≤ C(1 +
√
4
t) kφkX k .
O que nos dá
kS(t)φkL∞ = sup |S(t)φ(x)| ≤ C(1 +
x∈R
√
4
t) kφkX k ,
para todo t ∈ I.
0
Além disso, para φ ∈ C∞ (R) temos que
1
d
[S(t)φ] = (πi)− 2
dx
Z+∞
√
2
eiz φ0 (x + 2 tz)dz
−∞
para cada intervalo [a, b] , onde φ 6= 0.
Ou seja,
d
[S(t)φ] = S(t)φ0 ,
dx
34
e como o operador S(t) : L2 −→ L2 é unitário, para quaquer φ ∈ X
k
em um intervalo nito
I ⊂ R, temos
d
d
d
S(t)φ
= S(t) φ
≤ kS(t)k
φ
= kφ0 kL2 ≤ kφkX k
dx
dx
dx
2
2
2
L
L
L
e
d2
S(t)φ
≤ kφkX k .
dx2
L2
Usando indução obtemos
dl
S(t)φ
≤ kφkX k , l ∈ {1, 2, . . . , k}.
dxl
L2
Assim
kS(t)φkX k = kS(t)φkL∞ +
k
X
j=1
√
√
dj
4
4
≤ C(1 + t) kφkX k + k kφkX k ≤ C(1 + t) kφkX k ,
S(t)φ
j
dx
L2
o que demonstra o item (a).
Faremos agora a prova do item (b). Note que para provar este item é suciente demonstrar
que S(t)φ −→ φ se t −→ 0 em X
k
, pois a outra armação pode ser vericada por analogia.
Fixe um ε > 0 arbitrário. Temos que existe β > 0 tal que para todo t com |t| < 1, as duas
desigualdades seguintes acontecem:
−1/2
(πi)
ε
(|I1 | + |I3 |) <
3(k + 1)
e
|(πi)
−1/2
Zβ
2
eix dx − 1| <
ε
,
3(k + 1)
−β
onde usamos o fato de que
1
√
πi
Temos também que a função φ(x+2
√
Z+∞
2
eix dx = 1.
−∞
tz) converge uniformemente para φ(x) quando t −→ 0
com respeito a z ∈ [−β, β].
35
Por essa razão, existe t0 > 0 tal que se |t| < t0 , então
|(πi)−1/2
Zβ
√
2
eiz φ(x + 2 tz)dz − φ(x)| <
ε
.
3(k + 1)
−β
Além disso, pela continuidade forte do grupo unitário e
k
dl
ε
(l)
2 <
S(t)φ
−
φ
k
L
dxl
(k + 1)
itD
no espaço L
2
(l = 1, 2, . . . , k)
para t sucientemente pequeno. Dessa forma, kS(t)φ − φkX k < ε para todo t, o que demonstra
a proposição.
36
Capítulo 3
O Problema de Cauchy associado à
Equação não Linear de Schrödinger
Neste capítulo, estudaremos a teoria da existência local, no tempo, para o Problema de
Valor Inicial (PVI)
(
i∂t u + ∂x2 u = |u|2 u,
u(x, 0) = φ ∈ X k .
x ∈ R,
t∈I
3.1 Família especial de soluções em X k
Nesta seção, vamos procurar soluções do tipo
u(x, t) = e−iwt f (x)
(3.1)
i∂t u + ∂x2 u = |u|2 u.
(3.2)
para a equação
Derivando (3.1) em relação a t, obtemos
∂t u = −iwe−iwt f (x)
37
e derivando duas vezes em relação a x, obtemos
00
∂x2 u = e−iwt f (x).
Substituindo na equação (3.2) temos
00
i(−iwe−iwt f (x)) + e−iwt f (x) = f (x)2 e−iwt f (x),
que nos dá
00
wf (x) + f (x) = [f (x)]3 .
(3.3)
Fazendo y = f (x), a equação (3.3) é equivalente ao sistema autônomo de primeira ordem
(
0
y =z
0
z = y 3 − wy
que tem os seguintes pontos de equilíbrio:
√
(− w, 0),
(0, 0)
e
√
( w, 0),
se w > 0.
0
Multiplicando a equação (3.3) por f (x) e depois integrando obtemos,
1
0
(f (x))2 + w(f (x))2 = (f (x))4 + B.
2
2
Tomando o limite quando x −→ ±∞, temos B = w /2 e conseqüentemente a equação acima
toma a forma
0
(f (x))4
w2
− w(f (x))2 +
2
2
1
=
[(f (x))2 − w]2 .
2
(f (x))2 =
38
(3.4)
Separando as variáveis obtemos
√
dy
2
dx,
=
2
2
y −b
2
y < b.
com
Que depois de intergrarmos nos dá
√
y−b
2
1
ln
x,
=
2b
y+b
2
ou seja
ln
b−y
b+y
√
= b 2 x.
Usando a aplicação exponencial obtemos
√
b−y
= eb 2 x .
b+y
Fazendo b =
√
w, temos
√
√
w−y
√
= e 2w x
w+y
que nos dá
√
(1 − e 2w x ) √
√
y=
w.
(1 + e 2w x )
Multiplicando o numerador e o denominador por e
√
y=
(e
2w x
2
√
x
− 2w
2
−
(e
−
√
2w x
2
√
−e
+e
2w x
2
√
2w x
2
)√
)
Ou ainda
√
y=−
(e
(e
2w x
2
√
2w x
2
√
2w x
2
√
x
− 2w
2
−
−e
)√
+e
)
39
, obtemos
w.
w.
Ou seja
√
√
2w x
y = f (x) = w tgh(
).
2
Portanto,
−iwt
u(x, t) = −e
√
√
w tgh(
2w x
),
2
é uma solução da equação (3.2).
3.2 A Formulação Integral
Nesta seção, provaremos a equivalência entre o Problema de Cauchy associado à ENLS e a
equação integral
Zt
u(x, t) = S(t)φ + i
S(t − s)|u|2 uds.
0
Lema 3.1. Seja f uma função integrável, então
z
Z
Zz
∂
f (z, s)ds = fz (z, s)ds + f (z, z).
∂z
0
0
Demonstração. De fato, considere a função
Zz
H(z) =
f (z, s)ds.
0
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos que
H(z) = F (z, z) − F (z, 0),
onde F é uma antiderivada de f.
40
Dessa forma,
∂H
∂z
∂
=
∂z
Zz
f (z, s)ds
0
= Fz (z, z) + Fs (z, z) − Fz (z, 0) + Fs (z, 0)0
= Fz (z, z) − Fz (z, 0) + f (z, z)
Zz
=
fz (z, s)ds + f (z, z).
0
Teorema 3.1 (A Formulação Integral). Uma função u(x, t) ∈ C(I; X 3 ) ∩ C 1 (I; X 1 ) satisfaz o
problema
(
i∂t u + ∂x2 u + |u|2 u = 0,
u(x, 0) = φ ∈ X 3
x ∈ R,
t ∈ I,
(3.5)
se, e somente se, u(x, 0) = u0 (x) para todo x ∈ R e esta função é uma solução de
Zt
u(x, t) = S(t)φ + i
S(t − s)|u|2 uds.
(3.6)
0
Demonstração. Inicialmente, seja u(x, t) ∈ C(I; X 3 ) uma função satisfazendo a equação (3.6).
Mostraremos que ela é uma solução do problema (3.5). Para isto, devemos vericar que esta
função satisfaz a primeira igualdade do problema (3.5), pois a segunda é obviamente satisfeita.
2
3
Claramente, |u| u ∈ C(I; X ). Vamos mostrar que L[S(t)φ] = 0 para todo t.
Temos que
Z+∞
S(t)φ =
K(x − y, t)φ(y)dy,
−∞
41
t 6= 0.
Fazendo a mudança z = y − x, obtemos
Z+∞
S(t)φ =
K(−z, t)φ(x + z)dz.
−∞
Mas, K é uma função par na primeira variável, logo
Z+∞
S(t)φ =
K(y, t)φ(x + y)dy.
−∞
Desse modo,
∂2
d2 φ
[S(tφ]
=
S(t)(
),
∂x2
dx2
onde o lado direito é contínuo.
Vamos mostrar a existência de
∂
[S(t)φ]. Temos que
∂t
Z+∞
1
iy 2
S(t)φ =
(4πit)− 2 e 4t φ(x + y)dy
−∞
Z0
=
(4πit)
− 21
e
iy 2
4t
Z+∞
1
iy 2
φ(x + y)dy +
(4πit)− 2 e 4t φ(x + y)dy
−∞
0
= S1 + S2 .
Fazendo a mudança z = −y, obtemos
Z0
S1 =
1
iz 2
(4πit)− 2 e 4t φ(x − z) − dz
−∞
Z+∞
1
iz 2
=
(4πit)− 2 e 4t φ(x − z)dz.
0
Portanto,
− 12
S(t)φ = (4πit)
Z+∞ 2
iy
e 4t (φ(x − y) + φ(x + y))dy.
0
42
2
Fazendo agora a mudança z = y /4 otemos,
S(t)φ = (4πi)
1
√
t
− 21
√
√
Z+∞
√
iz φ(x + 2 tz) + φ(x − 2 tz)
√
e
tdz
z
0
= (4πi)
√
√
Z+∞
iz φ(x + 2 tz) + φ(x − 2 tz)
√
e
dz.
z
− 21
0
Dessa forma
1
∂
[S(t)φ] = (4πi)− 2
∂t
√
√
Z+∞
0
0
iz φ (x + 2 tz) − φ (x − 2 tz)
√
e
dz,
t
0
pois
√
√
√ 1 1
∂
[φ(x + 2 tz)] = φ0 (x + 2 tz)2 z t− 2
∂t
2
√ √
φ0 (x + 2 tz) z
√
=
t
e
√ √
√
∂
−φ0 (x − 2 tz) z
√
[φ(x − 2 tz)] =
.
∂t
t
Assim,
1
∂
[S(t)φ] = (4πi)− 2
∂t
√
√
Z+∞ √ 0
z φ (x + 2 tz) − φ0 (x − 2 tz)
iz
√
e √
dz
z
t
0
− 12
Z+∞
= (4πi)
e
0
iz φ (x + 2
√
√
tz) − φ0 (x − 2 tz)
√
dz.
t
0
Seja c > 0 e consideremos
Zc
J :=
e
0
iz φ (x + 2
√
√
tz) − φ0 (x − 2 tz)
√
dz,
t
0
43
Integrando por partes, obtemos
√
√
√
√
Zc
c
0
00
0
00
tz)
−
φ
(x
−
2
tz)
φ
(x
+
2
iz
iz φ (x + 2 tz) + φ (x − 2 tz)
√
√
J = −ie
− −ie
dz
z
t
0
0
√
√
√
√
Zc
0
00
0
00
ic φ (x + 2 tc) − φ (x − 2 tc)
iz φ (x + 2 tz) + φ (x − 2 tz)
√
√
= −ie
+i e
dz,
z
t
0
0
onde φ (x) −→ 0 se |x| −→ ∞ e, conseqüentemente o primeiro termo do lado direito dessa
igualdade tende a zero se c −→ ∞ uniformemente com respeito a t para qualquer intervalo
limitado.
Assim, devido as estimativas de I1 e I3 do teorema anterior, o segundo termo do lado direito
é uma integral imprópria que converge uniformemente em t para qualquer intervalo limitado
que não contenha zero. Para qualquer t > 0 e x ∈ R a derivada
1
∂
[S(t)φ] = i (4πi)− 2
∂t
∂
[S(t)φ] é determinada e
∂t
√
√
Z+∞
00
00
iz φ (x + 2 tz) + φ (x − 2 tz)
√
dz
e
z
0
Z+∞
(x−y)2
ei 4t φ00 (y)dy,
− 12
= i (4πit)
−∞
pois
√
√
√
√
Z+∞
Z+∞
Z+∞
00
00
00
00
φ
(x
+
2
tz)
+
φ
(x
−
2
tz)
φ
(x
+
2
tz)
φ
(x
−
2
tz)
√
√
√
eiz
dz =
eiz
dz +
eiz
dz
z
z
z
0
0
= I4 + I5 .
Em I4 , fazendo a mudança y = x + 2
√
tz obtemos
Z+∞ i (x−y)2 00
e 4t φ (y)
√
I4 =
dy,
t
x
√
tz obtemos
e em I5 , fazendo y = x − 2
44
0
Z−∞ i (x−y)2 00
e 4t φ (y)
√
dy
= −
t
I5
x
Zx
=
ei
(x−y)2
4t
√
−∞
φ00 (y)
dy
t
com isso
I4 + I5
+∞
Z
Zx
2
2
(x−y)
(x−y)
1
ei 4t φ00 (y)dy +
ei 4t φ00 (y)dy
= √
t
−∞
x
Z+∞
(x−y)2
− 12
= t
ei 4t φ00 (y)dy.
−∞
Portanto,
∂2
∂
[S(t)φ] = i 2 [S(t)φ].
∂t
∂x
Isto nos dá
∂
∂2
[S(t)φ] + 2 [S(t)φ]
∂t
∂x
2
∂2
∂
2
= i
[S(t)φ] + 2 [S(t)φ]
∂x2
∂x
= 0.
L[S(t)φ] = i
Como se nota claramente, a prova dessa relação para
t < 0 pode ser feita de maneira
análoga.
Se t = 0, então obviamente
acima
∂2
[S(t)φ] = φ00 . Além disso, de acordo com os argumentos
∂x2
∂
∂
∂
[S(t)φ] = iS(t)φ00 e portanto lim ∂t
[S(t)φ] = iφ00 . Assim, existe ∂t
[S(t)φ]
∂t
t→0
dessa forma L[S(t)φ]
= 0.
t=0
45
= iφ00 e,
t=0
Usando esses argumentos vamos mostrar que
( Zt
)
S(t − s)(|u|2 )ds
L i
= −|u|2 u.
0
Seja agora
Zt
F (t) = i
S(t − s)(|u|2 u)ds.
0
Assim,
L(F ) =
Mas
∂ 2F
=i
∂x2
∂ 2F
∂F
.
+
i
∂x2
∂t
Zt
S(t − s)
∂2
|u|2 uds,
∂x2
0
e, de acordo com o lema anterior
∂F
∂t
Zt
∂
S(t − s)|u|2 uds + i|u|2 u
∂t
= i
0
Zt
= i
i
∂2
S(t − s)|u|2 uds + i|u|2 u
∂x2
0
Zt
= −
S(t − s)
∂2
|u|2 uds + i|u|2 u,
2
∂x
S(t − s)
∂2
|u|2 uds − |u|2 u.
∂x2
0
ou seja,
∂F
i
= −i
∂t
Zt
0
Que nos dá
∂ 2F
∂F
L(F ) =
+
i
= −|u|2 u.
2
∂x
∂t
Desta maneira, a primeira armação de que qualquer solução X
o problema (3.5) está provada, pois claramente u(x, 0) = φ.
46
3
da equação (3.6) satisfaz
Agora vamos provar que qualquer solução X
3
do problema (3.5), satisfaz à equação (3.6).
Seja u uma solução do problema (3.5), e dena
Zt
w(x, t) = S(t)φ + i
S(t − s)|u|2 uds.
0
Dessa dorma, w é solução da equação
i∂t u + ∂x2 u = −|u|2 u,
e como u é solução do problema (3.5), segue que u também é solução dessa equação.
Segue assim, que u − w é solução do problema linear homogêneo
(
Lu = 0, x ∈ R,
u(x, 0) = 0
t∈I
Nos resta então provar que esse problema tem como única solução, a trivial u ≡ 0 de C(I : X
Vamos supor que u(x, t) é uma solução X
3
3
).
do problema no intervalo de tempo I. Mostramos
no Lema 2.1 que
d
dt
Z+∞
|ux (x, t)|2 dx = 0
−∞
para todo t ∈ I. Por esse motivo, a função u(x, t) é constante em x para qualquer t xado.
Mas, como u(x, 0) ≡ 0, a demonstração está completa.
3.3 Boa Colocação do Problema de Cauchy
Nesta seção vamos provar que o Problema de Cauchy associado à Equação Não Linear de
Schrödinger é localmente bem posto nos espaços de Zhidkov.
Teorema 3.2. Sejam k um inteiro positivo e φ ∈ X k (R). Então, existem um tempo positivo
T = T (kφkX k ) e uma única solução u ∈ C([0, Tk ], X k ) do problema de valor inicial (3.5). Além
disso, a aplicação dado-solução φ −→ u é Lipschitz-contínua, ou seja, dada uma seqüência
k
{φn }∞
n=1 ⊂ X tal que lim kφn − φkX k = 0, então as correspondentes soluções un associadas
n→∞
47
aos dados φn satisfazem lim sup kun (·, t) − u(·, t)kX k = 0. Ainda, u pode ser estendida a um
intervalo maximal
n→∞ [0,T ]
[0, Tk∗ ]
com as seguintes alternativas:
• Tk∗ = +∞
ou, caso contrário,
• lim∗ ku(x, t)kX k = +∞.
t→Tk
Demonstração. Primeiro provaremos a existência e, para isso, usaremos a equação integral
equivalente ao problema (3.5), ou seja, procuraremos uma solução para a equação
Zt
u(x, t) = S(t)φ + i
S(t − s)|u(x, s)|2 u(x, s)ds.
(3.7)
S(t − s)|u(x, s)|2 u(x, s)ds
(3.8)
0
Denamos então o operador
Zt
Φ[u] = S(t)φ + i
0
na bola de raio a de C([0, T ], X
k
), denida por
Bk [a, T ] := {u ∈ C([0, T ], X k ) : kukL∞ X k ≤ a}.
T
Nosso objetivo é achar os valores adequados para as constantes a e T de modo que o operador
Φ satisfaça as seguintes condições:
(i) Φ : Bk [a, T ] −→ Bk [a, T ];
(ii) Φ é uma contração, isto é, existe λ ∈ [0, 1) tal que
kΦ[u] − Φ[w]kL∞ X k ≤ λ ku − wkL∞ X k ,
T
T
para todo u, w ∈ Bk [a, T ].
Sendo satisfeitas as condições (i) e (ii) para Φ, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach,
temos que este operador possui um único ponto xo em Bk [a, T ] o qual é solução da equação
integral (3.8). Então resta fazer funcionar as condições (i) e (ii) acima para o operador Φ.
48
Das denições de Φ e X
k
, e fazendo uso do corolário da desigualdade de Minkowski temos
que
Zt
kΦ[u(·, t)]kX k ≤ kS(t)φkX k +
S(t − s)|u(·, s)|2 u(·, s)ds X k
(3.9)
0
para todo t ∈ [0, T ].
Já sabemos que
kS(t)φkX k ≤ C(1 +
√
4
t) kφkX k .
(3.10)
Por outro lado, usando a proposição 1.2 temos que
Zt
Zt
2
S(t − s)|u(·, s)| u(·, s)ds X k ≤ C
0
√
(1 + 4 t − s) ku(·, s)k3X k ds
0
Zt
√
4
≤ C(1 + t) ku(·, s)k3X k ds
0
≤ C(1 +
√
4
!3
t)t sup ku(·, s)kX k
(3.11)
[0,t]
Combinando (3.9), (3.10) e (3.11), obtemos
!3
√
4
kΦ[u(·, t)]kX k ≤ C(1 + t) kφkX k + t sup ku(·, s)kX k
.
[0,t]
(3.12)
Tomando o Supremo em [0, T ] em ambos os membros de (3.12) verica-se a desigualdade
kΦ[u]kL∞ X k ≤ C(1 +
T
√
√
4
4
T ) kφkX k + CT (1 + T ) kuk3L∞ X k .
T
Tomando a = 3C kφkX k e usando o fato de que u ∈ Bk [a, T ] temos que
49
√
√
a
4
4
(1 + T ) + CT (1 + T )a3
3
√
√
a a4T
4
≤
+
+ CT (1 + T )a3 .
3
3
kΦ[u]kL∞ X k ≤
T
Tomando T tal que
√
4
T ≤1
e
CT (1 +
√
4
T) ≤
1
3a2
(3.13)
segue-se que
kΦ[u]kL∞ X k ≤
T
a a a
+ + = a,
3 3 3
o que torna (i) verdadeira.
Das condições estabelecidas em (3.13) para T, obsevamos que (1 +
√
4
T ) ≤ 2.
Assim, am de satisfazer (3.13) é suciente tomar
(
Tk ≤ T1 = min 1,
1
54C 3 kφk2X k
)
.
Vamos agora renar o valor de T, se necessário, para provar que Φ é uma contração. Sejam
u, w ∈ Bk [a, T ], então usando a desigualdade de Minkowski segue-se que, para todo t ∈ [0, T ]
Zt
S(t − s)|u(·, s)|2 u(·, s) − |w(·, s)|2 w(·, s) X k ds
kΦ[u(·, t)] − Φ[w(·, t)]kX k ≤
0
Zt
≤ C
√
(1 + 4 t − s) |u(·, s)|2 u(·, s) − |w(·, s)|2 w(·, s) X k ds
0
Z
√
4
≤ C(1 + t)
t
0
50
|u(·, s)|2 u(·, s) − |w(·, s)|2 w(·, s) X k ds
Por outro lado,
2
2
2
2
|u| u − |w| w X k = |u| u − |w| w L∞ +
k
X
∂xi (|u|2 u − |w|2 w) L2 .
i=1
Onde
|u|2 u − |w|2 w L∞ =
=
|u|2 (u − w + w) − |w|2 w L∞
|u|2 (u − w) + w(|u|2 − |w|2 ) L∞
≤ k|u|2 kL∞ u − w L∞ + kwkL∞ |u| + |w| L∞ |u| − |w| L∞
≤ k|u|2 kL∞ u − w L∞ + kwkL∞ |u| + |w| L∞ u − w L∞
≤ u − w L∞ |u|2 L∞ + kwkL∞ |u| + |w| L∞
≤
u − w L∞ [a2 + a(a + a)]
≤
u − w X k 3a2 .
E
∂xi (|u|2 u − |w|2 w) = u∂xi |u|2 + ∂xi u|u|2 − w∂xi |w|2 − ∂xi w|w|2
= (u − w)∂xi |u|2 + w(∂xi |u|2 − ∂xi |w|2 )
{z
} |
{z
}
|
I
II
i
i
2
i
+ (∂x u − ∂x w)|u| + ∂x w(|u|2 − |w|2 ),
|
{z
III
}
|
que nos dá,
I L2 ≤
u − w L∞ ∂xi |u|2 L2
≤
u − w X k 2Re(u∂xi u) L2
≤
u − w X k 2 (u∂xi u) L2
≤
u − w X k 2 u L∞ ∂xi u L2
≤
u − w X k 2a2 ,
51
{z
IV
}
onde usamos o Lema 1.1. Com procedimentos análogos para II, III e IV temos que
∂xi (|u|2 u − |w|2 w) L2 ≤ u − w X k Ca2 .
O que nos dá
kΦ[u(·, t)] − Φ[w(·, t)]kX k ≤ C(1 +
√
4
t)ta2 sup u − w X k
[0,t]
para todo t ∈ [0, T ].
Tomando o supremo no intervalo [0, T ] em ambos os membros obtemos
√
4
kΦ[u] − Φ[w]kL∞ X k ≤ C(1 +
T
T )T a2 u − w L∞ X k
T
2
≤ 2CT a u − w L∞ X k
T
Escolhendo portanto
Tk ≤ T2 =
1
1
=
.
4Ca2
36C 3 kφkX k
o operador Φ satisfaz a condição (ii).
Finalmente, tomando
(
1
1
Tk = min 1,
2 ,
3
3
54C kφkX k 36C kφkX k
)
,
temos satisfeitas as condições (i) e (ii), o que prova a existência.
Vamos agora provar a unicidade.
A solução encontrada acima é única em
k
k
Bk [a, T ] ⊂
C([0, Tk ], X ). Agora provaremos a unicidade no espaço C([0, Tk ], X ). Com efeito, sejam
u, w ∈ C([0, Tk ], X k ) com M = u L∞ X k e N = w L∞ X k . Então, para todo 0 ≤ T ≤ Tk ,
T
T
usando argumentos análogos aos que foram usados anteriormente, temos que
Zt
ku(·, t) − w(·, t)kX k ≤ C(M, N )
ku(·, s) − w(·, s)kX k ds
0
52
para todo t ∈ [0, T ]. Assim,
ku(·, t) − w(·, t)kX k ≤ C(M, N )t ku(·, s) − w(·, s)kL∞
k ,
t X
para todo t ∈ [0, T ], e portanto
ku(·, t) − w(·, t)kL∞ X k ≤ C(M, N )T ku(·, s) − w(·, s)kL∞ X k .
T
T
Logo, se C(M, N )T ≤ 1/2, então
u(·, t) = w(·, t),
∀t ∈ [0, T ] T ≤
1
.
2C(M, N )
Repetindo esse argumento um número nito de vezes temos a unicidade em
conclui nossa demonstração.
53
[0, Tk ]. O que
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55
