Dissertação
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Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação em Matemática
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Rio São Francisco
Teorema de Decomposição de Cheeger-Gromoll
MATEMÁTICA
A ciência
do infinito
Marcius Petrúcio de Almeida Cavalcante
Maceió
14 de Dezembro de 2007
Aos meus pais Francisco Petrúcio Cavalcante
e Maria das Neves de Almeida Cavalcante.
3
O caminho do amor nunca é suave,
mas ele pode ser contínuo...
4
Agradecimentos
Agradeço ao professor Hilário Alencar, meu orientador, por esses anos de
orientação acadêmica e oportunidades dadas.
Ao professor Adán Corcho, pela orientação e amizade fornecidas de sua
parte durante os anos de graduação e mestrado.
Ao meu irmão e professor Marcos Petrúcio, pelo curso de Introdução à
Geometria Riemanniana dado no primeiro semestre de 2007, pela moradia
proporcionada nestes dois últimos anos, pela paciência, etc.
Aos professores Enaldo Vergasta e Fernando Codá Marques pelas valiosas
correções e sugestões dadas para melhoria desta dissertação.
Aos meus amigos do Programa de Pós-Graduação em Matemática da
UFAL, de forma especial a André Pizzaia, Arlyson Alves e Everson Fernando.
Aos meus amigos Askery Alexandre, Caio e Manoel do Instituto de Física
da UFAL pela força dada, assim como também agradeço a Darliton Cezário,
Gelsivânio Souza e José Eduardo.
Ao meu amigo Márcio Henrique, um agradecimento todo especial pelas
importantes dúvidas esclarecidas, as quais deram rmeza a vários argumentos
matemáticos desta dissertação.
Sou muito grato aos professores Adriano Aguiar e Eduardo Perdigão
pelos seminários de Espaços Métricos e Introdução à Análise Funcional
ministrados.
Ao professor Adelaílson Peixoto e seus orientandos pela amizade e apoio
nesta dissertação, isto inclui Clarissa Codá e Claudemir Silvino.
A todos os professores do Instituto de Matemática da UFAL que
colaboraram com minha formação matemática.
5
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientíco e Tecnológico CNPq - pelo apoio nanceiro.
A Deus por tudo...
6
Resumo
Demonstramos o Teorema de Decomposição de Cheeger-Gromoll,
o qual garante que uma variedade Riemanniana completa n dimensional, com curvatura de Ricci não-negativa, que possui
uma linha, pode ser decomposta isometricamente num produto
Riemanniano de uma variedade (n-1 )-dimensional com o conjunto
dos reais.
Palavras-chave: Isometria, Fórmula de Weitzenböck, Laplaciano,
Decomposição de Cheeger-Gromoll, Funções de Busemann.
7
Abstract
We demonstrate the Splitting Theorem due to Cheeger and
Gromoll, which ensures that a complete Riemannian n -manifold
which has nonnegative Ricci curvature and a line, can be split
isometrically into the Riemannian product of real with a (n-1 )manifold.
Key words:
Isometry, Weitzenböck's Formula, Laplacian,
Splitting Theorem of Cheeger-Gromoll, Busemann Functions.
8
Sumário
Introdução
9
1 Conceitos Básicos da Geometria Riemanniana
12
1.1
Variedades e Métricas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2
A Conexão de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3
Aplicação Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4
Variedades Completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5
Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Resultados Preliminares
24
2.1
Fórmula de Weitzenböck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2
A Hessiana da Função Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3
Teorema de Comparação do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . 33
3 O Teorema de Decomposição de Cheeger-Gromoll
39
3.1
Funções de Busemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2
Teorema de Cheeger-Gromoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Referências Bibliográcas
48
Índice Remissivo
50
9
Introdução
O Teorema de Decomposição de Cheeger-Gromoll é de fundamental
importância em Geometria Riemanniana e, além disso, possui muitas
aplicações. Inicialmente, este teorema foi provado por Cohn-Vossen, em
1936, para superfícies no espaço Euclidiano R3 e, em seguida, por Toponogov
em 1964, para variedades completas n-dimensionais, com a hipótese de
curvatura seccional não-negativa. A versão que apresentamos aqui, devida a
Cheeger e Gromoll, generaliza o Teorema de Decomposição para variedades
Riemannianas completas com curvatura de Ricci não-negativa, cujo resultado
foi publicado em 1971 no Journal of Dierential Geometry com o seguinte
enunciado:
Teorema 0.1. Seja (M n ; g) uma variedade Riemanniana completa com
curvatura de Ricci não-negativa. Então M é isométrica a um produto
Riemanniano da forma Rk N , onde N não contém linhas e Rk possui
a métrica canônica.
No entanto, com um argumento de indução nita, é suciente provar que
se (M n ; g ) é uma variedade Riemanniana completa, a qual contém uma linha
e Ric(M ) 0, então M é isométrica a um produto Riemanniano da forma
R N . Pois, teremos Ric(N ) 0 e N completa.
Esta dissertação está dividida da seguinte maneira.
No primeiro capítulo apresentamos conceitos básicos de Geometria
Riemanniana e procuramos xar as notações.
No segundo capítulo, alguns resultados preliminares são demonstrados, a
saber, por exemplo, a Fórmula de Weitzenböck.
10
Proposição 0.1. Seja f 2 C 3 uma função denida em M . Então
1
j grad f j2 = j Hess f j2 + hgrad f; grad(f )i + Ric (grad f; grad f ) :
2
Apresentamos também resultados sobre a Hessiana da função distância e
concluímos o capítulo com o Teorema de Comparação do Laplaciano:
Teorema 0.2. Seja (M n ; g) uma variedade Riemanniana completa. Suponhamos que a curvatura de Ricci de M satisfaz Ric(M ) (n 1)kg. Seja r
a distância geodésica ao ponto p 2 M . Suponhamos ainda que a função r é
diferenciável no ponto x. Então
r(x) rk (~x);
onde rk (~x) = r(x) = r0 e r0 < pk se k > 0.
Finalmente, no terceiro capítulo desta dissertação, demonstramos o Teorema de Decomposição de Cheeger-Gromoll. Antes, porém, ainda demonstramos alguns resultados com o intuito de apresentarmos o teorema nal
com uma boa objetividade. Dentre tais resultados, mostramos que a função
de Busemann b+ associada a um raio é super-harmônica no sentido das
distribuições e o Teorema de Comparação do Laplaciano no sentido das
distribuições.
Ressaltamos que a demonstração feita nesta dissertação é baseada no
seguinte artigo:
Eschenburg, J.-H., Heintze, E., An elementary proof of the Cheeger-
Gromoll splitting theorem, Ann. Glob. Analysis and Geometry, vol. 2,
(1984), 141151.
O qual apresenta novas técnicas de como atacar teoremas de
decomposição.
Vale observar que o teorema não é válido para variedades que possuem
curvatura escalar não negativa. Como contra-exemplo, podemos citar a variedade R2 S2 com a métrica de Schwarzschild.
11
Capítulo 1
Conceitos Básicos da Geometria
Riemanniana
Neste capítulo introduzimos conceitos e resultados básicos de Geometria
Riemanniana, tais como variedades e métricas Riemannianas, a conexão de
Levi-Civita, curvaturas, variedades completas e outros conceitos que precisaremos para os próximos capítulos desta dissertação.
1.1
Variedades e Métricas Riemannianas
Sabemos que dada uma variedade diferenciável M n , um campo de vetores
X em M é uma aplicação que a cada ponto p 2 M associa um vetor X (p)
pertecente ao espaço tangente Tp M .
Considerando uma parametrização x : U Rn ! M , podemos escrever,
para cada p 2 x(U ),
n
X
@
X (p) =
(p);
i (p)
@xi
i=1
onde f @x@ 1 (p); : : : ; @x@n (p)g é a base de vetores tangentes em p 2 M associada
à x, e
1 ; : : : ; n são funções diferenciáveis em U . Com abuso de notação,
escrevendo f ao invés de f x, podemos também pensar em um campo
de vetores como uma aplicação X : D ! F do conjunto D das funções
12
diferenciáveis em M no conjunto F das funções em M , denida por
X (f )(p) =
n
X
i (p)
i=1
@f
(p):
@xi
O conjunto de todos os campos de vetores em M será denotado por X (M ).
A seguir, apresentaremos o colchete de Lie de dois campos.
P
P
Exemplo 1.1. Sejam X = i ai @x@ i e Y = j bj @x@ j pertencentes a X (M ).
Então [X; Y ] := XY Y X pertence a X (M ).
De fato,
!
@f
XY (f ) = X
bj
@xj
j
X
@f
=
X bj
@xj
j
XX
@f
@
=
ai
bj
@x
@xj
i
j
i
XX
@bj @f
@ 2f
=
ai
+b
@xi @xj j @xi @xj
j
i
XX
@ 2f
@bj @f X X
+
ai bj
:
=
ai
@x
@x
@x
@x
i
j
i
j
j
i
j
i
X
Analogamente, vemos que
Y X (f ) =
XX
i
j
@a @f X X
@ 2f
bj i
+
bj ai
:
@xj @xi
@x
@x
j
i
i j
Daí, usando o teorema de Schwartz, obtemos
XY (f ) Y X (f ) =
XX
j
i
@b
ai j
@xi
@a @f
bj i
:
@xj @xi
Isso mostra que [X; Y ] é um campo de vetores.
Denominamos [X; Y ] o colchete de Lie dos campos X e Y .
13
Passemos agora à seguinte denição:
Uma métrica Riemanniana em uma variedade diferenciável M n é uma
correspondência que associa a cada ponto p 2 M um produto interno h; ip =
gp (; ) no espaço tangente Tp M , tal que: se x : U Rn ! M é um sistema
de
D coordenadas
E locais em torno de p, então para cada i; j 2 f1; : : : ; ng,
@ (q ); @ (q ) é uma função diferenciável em U .
@xi
@xj
q
As funções gij
:=
D
@
@
@xi ; @xj
E
são chamadas componentes da métrica
Riemanniana no sistema de coordenadas x : U Rn
! M n. Uma
variedade diferenciável com uma métrica Riemanniana é chamada variedade
Riemanniana. Denotaremos por (M n ; g ) uma variedade Riemanniana de
dimensão n com uma métrica g .
Exemplo 1.2. A esfera unitária Sn 1 (1) = fx = (x1 ; : : : ; xn ) 2 Rn ; jxj = 1g
é uma variedade Riemanniana. Com efeito, basta denirmos a métrica g por
g(u; v)p = hu; viRn , onde u; v 2 Tp Sn 1 .
Exemplo 1.3. O espaço hiperbólico Hn .
Considere a variedade diferenciável U = Rn+ = f(x1 ; : : : ; xn ) 2 Rn ; xn > 0g,
com a carta id : U Rn ! U . Dado p 2 U , p = (x1 ; : : : ; xn ), sejam
v; w 2 Tp U = Rn .
Denimos
1
hp (v; w) = 2 hv; wiRn :
xn
Vê-se que (U; h) := Hn é uma variedade Riemanniana, denominada
espaço hiperbólico.
Exemplo 1.4. Variedades Imersas.
Seja f : M n ! N n+k uma imersão, isto é, f é uma aplicação diferenciável
e dfp : Tp M ! Tf (p) N é injetiva para todo p 2 M . Se N tem uma métrica
Riemanniana, f induz uma métrica Riemanniana em M , dada por
hu; vip = hdfp(u); dfp(v)if (p) ; u; v 2 TpM:
Com efeito, como dfp é injetiva, h; i é positivo denido. As demais
condições da denição de métrica Riemanniana podem ser facilmente
14
vericadas.
A métrica de M é então chamada a métrica induzida por f e f é uma
imersão isométrica.
Quando f : M n
! N n+k é uma imersão e, além disso, f é um
homeomorsmo sobre f (M ) N , onde f (M ) tem a topologia induzida por
N , diz-se que f é um mergulho. Se M N e a inclusão i : M ,! N é um
mergulho, diz-se que M é uma subvariedade de N .
Uma classe importante de variedades Riemannianas é dada no exemplo
seguinte.
Exemplo 1.5. Métrica Produto.
Sejam (M1n ; g1 ) e (M2n ; g2 ) variedades Riemannianas e considere o produto
cartesiano M = M1 M2 com a estrutura diferenciável produto. Sejam
1 : M1 M2 ! M1 e 2 : M1 M2 ! M2 as projeções naturais.
Podemos introduzir em M1 M2 uma métrica Riemanniana pondo, para
cada (p; q) 2 M1 M2 e u; v 2 T(p;q) (M1 M2 ),
1
2
hu; vi(p;q) = hd1 u; d1 vip + hd2 u; d2 viq :
Como casos particulares temos, por exemplo, S1 S1 = T2 ou, mais
geralmente, S1 S1 = Tn , os quais têm uma estrutura Riemanniana
obtida quando escolhemos no círculo S1 R2 a métrica Riemanniana
induzida por R2 e, em seguida, tomamos a métrica produto em Tn . O toro
Tn com esta métrica Riemanniana é chamado toro plano ou toro at.
Teorema 1.1. Toda variedade com base enumerável, diferenciável e de
Hausdor possui uma métrica Riemanniana.
Demonstração. Ver [3], página 47.
Denição 1.1. Sejam (M n ; g) e (M n ; g) variedades Riemannianas. Um
difeomorsmo ' : M ! M é dito uma isometria se
g'(p) (d'p (v); d'p (w)) = gp (v; w); 8 p 2 M; 8 v; w 2 Tp M:
15
1.2
A Conexão de Levi-Civita
Uma conexão am r em uma variedade diferenciável M é uma aplicação
r : X (M ) X (M ) ! X (M )
tal que, 8 X; Y; Z 2 X (M ) e 8 f; g 2 D(M ), tem-se
(i) rfX +gY Z = f rX Z + g rX Z
(ii) rX (Y + Z ) = rX Y + rX Z
(iii) rX fY = f rX Y + X (f )Y .
P
Em coordenadas locais, Xi = @x@ i , pode-se facilmente ver, para X =
i xi Xi e Y =
P
i yi Yi , que
rX Y =
Os coecientes
X
X
k
i;j
!
xi yj kij + X (yk ) Xk :
k , denidos por
ij
símbolos de Christoel da conexão.
rX Xj = Pk kij Xk , são chamados
i
Em termos dos coecientes da métrica Riemanniana, os símbolos de
Christoel possuem a seguinte expressão:
m= 1
ij
2
X
k
@
@
gjk +
g
@xi
@xj ki
@
g gkm ;
@xk ij
onde (g km ) é a matriz inversa de (gkm ), ver [3], página 62.
: I R ! M , um campo ao
longo de é uma função V : I ! T M tal que V (t) 2 T (t) M , onde
T M = f(p; v)jp 2 M; v 2 Tp M g é o brado tangente de M .
d g em T I = R. Por
Seja t 2 I . Em coordenadas, temos a base f dt
t
d
0
denição, t ( dt ) é o vetor tangente à curva em (t). Usaremos a notação:
d dtd = 0 (t).
Dada uma curva diferenciável
16
Proposição 1.1. Sejam M uma variedade Riemanniana com uma conexão
am r e : I ! M uma curva diferenciável. Então para cada campo V
ao longo de , existe um único campo denotado por DV
dt tal que
D (V + W ) = DV + DW ;
(a) dt
dt
dt
D (fV ) = df V + f DV ;
(b) dt
dt
dt
(c) Se V (t) é a restrição de um campo Y denido numa vizinhança de
(I ), então DV
dt = r 0 (t) Y .
Demonstração. Ver [3], página 57.
Dizemos que uma conexão am r em uma variedade diferenciável M é
simétrica se
rX Y rY X = [X; Y ]; 8 X; Y 2 X (M ):
A justicativa para tal nomenclatura vem do seguinte fato:
f1; ; ng,
8 i; j 2
rX Xj rX Xi = [Xi; Xj ] = 0;
i
j
o que é equivalente a kij = kji .
Dizemos que uma conexão am r em uma variedade Riemanniana M é
compatível com a métrica se
X hY; Z i = hrX Y; Z i + hY; rX Z i ; 8 X; Y; Z 2 X (M ):
O próximo teorema é fundamental em Geometria Riemanniana.
Teorema 1.2 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanniana M , existe
uma única conexão am r em M que é simétrica e compatível com a métrica
Riemanniana.
Demonstração. Ver [3], página 61.
Tal conexão é denominada conexão de Levi-Civita (ou Riemanniana) de
M . A partir daqui estaremos sempre considerando variedades Riemannianas
com suas respectivas conexões de Levi-Civita.
17
1.3
Aplicação Exponencial
Uma curva
D 0 (t) = 0.
em M é uma geodésica em t 2 I se dt
Neste caso, se v (t) =
p
h 0(t); 0(t)i é a velocidade de , temos que
d 2
d 0
(v (t)) =
h
(t); 0 (t)i
dt
dt
D 0
0
= 2
(t); (t)
dt
= 0:
Portanto, se
é geodésica, então o vetor velocidade de
possui norma
constante.
Denição 1.2. Um campo V ao longo de uma curva
DV = 0.
dt
é dito paralelo se
Proposição 1.2. Sejam : I ! M diferenciável e V0 2 T (t ) M . Então
existe um único campo paralelo V , ao longo de , tal que V (t0 ) = V0 .
0
Demonstração. Ver [3], página 58.
Como consequência do teorema de existência e unicidade de soluções de
equações diferenciais ordinárias, obtemos o seguinte resultado:
Proposição 1.3. Dados p 2 M e v 2 Tp M , existe uma única geodésica
: I ! M tal que (0) = p e 0 (0) = v.
Se v 2 Tp M , vamos denotar por v a única geodésica de M que passa por
p 2 M com velocidade v 2 Tp M .
Seja p = fv 2 Tp M ;
g
v está denida num intervalo contendo [0; 1] .
Denição 1.3. A aplicação expp : p
é denominada aplicação exponencial.
! M , denida por expp(v) = v (1),
Proposição 1.4. As seguintes propriedades são satisfeitas:
1. cada conjunto p Tp M é estrelado em relação a p;
18
2. para cada v 2 Tp M , a geodésica v é dada por
todo t 2 R onde os dois lados estão denidos;
v (t) = expp (tv ), para
3. a aplicação expp é diferenciável.
Demonstração. Ver [3], página 71.
É possível aumentar a velocidade de uma geodésica diminuindo o
seu intervalo de denição e vice-versa.
Isso segue de uma propriedade
conhecida, chamada homogeneidade das geodésicas. Em termos matemáticos, expressamos isso da seguinte forma:
v (t) = v (t);
8 v 2 TpM e 8 ; t 2 R:
Proposição 1.5. Para todo p 2 M , existem uma vizinhança V da origem de
Tp M e uma vizinhança U de p, tais que expp : V ! U é um difeomorsmo.
Demonstração. De fato,
d
(expp (tv)) t=0
dt
d
( (t)) t=0
=
dt v
= v0 (0)
= v:
d(expp )0 (v) =
Logo, d(expp )0 é a identidade de Tp M , segue-se então do teorema da
função inversa que expp é um difeomorsmo local numa vizinhança de 0 em
Tp M .
O aberto U dado pela proposição anterior é chamado vizinhança normal
de p.
1.4
Variedades Completas
Quando se está interessado em estudar propriedades globais de uma variedade Riemanniana, ca conveniente considerarmos variedades completas.
19
Denição 1.4. Uma variedade Riamanniana M é (geodesicamente)
completa se, para todo p 2 M , a aplicação exponencial expp está denida
para todo v 2 Tp M , isto é, as geodésicas (t) que partem de p estão denidas
para todos os valores do parâmetro t 2 R.
Podemos denir uma distância d(p; q ) numa variedade Riemanniana, a
qual estaremos sempre supondo conexa, da seguinte maneira: d(p; q ) = ínmo
dos comprimentos de todas as curvas p;q , onde p;q é uma curva diferenciável
por partes ligando p a q . Não é difícil ver que (M; d) é um espaço métrico.
Teorema 1.3 (Hopf-Rinow). Uma variedade Riemanniana é completa se, e
somente se, é completa como um espaço métrico.
Demonstração. Ver [8], página 108.
O Teorema (1.3) possui várias conseqüências, por exemplo:
(i) se M é completa, então dois pontos quaisquer de M podem ser ligados
por um segmento de geodésica minimizante;
(ii) se M é compacta, então M é completa.
1.5
Curvaturas
Nesta seção, introduzimos o conceito de curvatura numa variedade
Riemanniana, culminando com as denições de curvatura de Ricci e
curvatura escalar. Mais considerações sobre curvaturas podem ser vistas,
por exemplo, em [8], capítulo 7.
A curvatura R de uma variedade Riemanniana é a aplicação que a cada
par X; Y 2 X (M ) associa a correspondência
R(X; Y ) : X (M )
dada por
R(X; Y )Z = rX rY Z
20
! X (M )
rY rX Z r[X;Y ]Z:
Para um espaço vetorial V com produto interno h; i, dados dois vetores
linearmente independentes x; y 2 V ,
q
jx ^ yj = jxj2jyj2 hx; yi2
é a área do paralelogramo gerado por fx; y g.
Pode-se vericar que, se Tp M é um subespaço de dimensão 2 com
base fx; y g, então
K (x; y) =
hR(x; y)y; xi
jx ^ yj2
não depende da escolha da base de .
Fica então bem denida a curvatura seccional de em M no ponto p
como sendo o número real dado por K ( ) := K (x; y ).
Seja x = zn um vetor unitário em Tp M , tomemos uma base ortonormal
B = fz1; : : : ; zn 1g do hiperplano de TpM ortogonal a x e consideremos as
seguintes médias:
Denição 1.5. Curvatura de Ricci
Ricp (x) =
1
X
n 1 i
hR(x; zi)zi; xi ; i = 1; : : : ; n
1:
Denição 1.6. Curvatura Escalar
S (p) =
1X
Ricp (zj ):
n j
Em [3], página 108, é demonstrado que a curvatura de Ricci e a curvatura
escalar não dependem das correspondentes bases ortonormais, portanto estão
bem denidas.
Ainda considerando a base ortonormal B , observamos que
Ricp (x) =
1
n 1
X
n 1 i=1
K (x; zi ):
Portanto, se M é uma variedade Riemanniana com curvatura seccional
21
não-negativa em todos os pontos, então o mesmo acontece com a curvatura
de Ricci, isto é, Ric(M ) 0.
Observação 1.1. Algumas vezes usaremos a notação de Einstein, ou seja,
omitiremos o sinal de somatório em somas que aparecem índices repetidos,
por exemplo
X
k
kX = kX :
ij k
ij k
Seja fe1 ; : : : ; en g uma base ortonormal de campos de vetores em torno de
l , denidos por
um ponto p 2 M . Os coecientes Rijk
R(ei ; ej )ek =
X
l
l e
Rijk
l
l e;
= Rijk
l
(1.1)
são denominados componentes do tensor curvatura.
Temos ainda que
hR(ei; ej )ek ; esi =
=
*
X
l
X
+
l e ;e
Rijk
l s
l
Rijk
ls
l
s
Rijk
=
:= Rijks :
Os coecientes Rijks são denominados coecientes de Ricci.
Outra notação que utilizaremos é a seguinte:
Ric(v; w) =
X
i
hR(v; ei)ei; w)i = hR(v; ei)ei; w)i :
Os coecientes de Ricci têm uma expressão em termos dos símbolos de
22
Christoel dada por
s =
Rijk
X
l
l s
jk il
X
l
l s + @
ik jl @e
i
s
jk
@ s
;
@ej ik
(1.2)
a qual, na notação de Einstein, se expressa como
s =
Rijk
l s
jk il
l s + @
ik jl @e
i
s
jk
@ s
:
@ej ik
A expressão (1.2) pode ser encontrada, por exemplo, em [3], página 103.
23
Capítulo 2
Resultados Preliminares
Os resultados deste capítulo formarão uma base para o próximo e último
capítulo desta dissertação.
2.1
Fórmula de Weitzenböck
Apresentaremos a seguir um resultado de grande importância, a saber: a
fórmula de Weitzenböck. Antes, porém, mostraremos a identidade de Ricci,
a m de fazermos uso adiante.
Lema 2.1 (Identidade de Ricci). Dada f 2 C 3 (M ), para quaisquer 1
i; j; k n, vale a igualdade:
fikl = filk + Rklsi fs ;
onde Rklsi são os coecientes de Ricci.
Demonstração. Temos que
@f )
@ ( @e
i
@ek
@ 2f
=
@ei @ek
fik =
24
@f u
@eu ki
@f u
:
@eu ki
Daí,
fikl =
@fik
@el
uf
li uk
uf ;
lk ui
filk =
@fil
@ek
uf
ki ul
uf :
kl ui
uf
li uk
@fil
+ uki ful :
@ek
e
Como ulk = ukl , segue-se que
fikl
filk =
@fik
@el
(2.1)
Mas
@ @ 2f
@fik
u @f
=
ik @e
@el
@el @ei ek
u
3
@f
@ u @f
=
( )
@el @ei @ek @el ik @eu
u @ f
ik @e @e
l u
@ 3f
@fil
=
@ek
@ek @ei @el
u @ f :
il @e @e
k u
2
e
@ u @f
( )
@ek il @eu
2
Assim,
@fik
@el
@fil
=
@ek
@ u @f
( )
@el ik @eu
2
2
u @ f + @ ( u ) @f + u @ f :
ik @e @e
il @e @e
@ek il @eu
l u
k u
Aplicando essa última equação a (2.1), obtemos
fikl
filk =
=
2
2
2
2
@ u @f
( )
@el ik @eu
uf + u f
li uk
ki ul
u @ f + @ ( u ) @f + u @ f
ik @e @e
il @e @e
@ek il @eu
l u
k u
@ u @f
( )
@el ik @eu
@ 2f
u
li @e @e
u k
u @ f + @ ( u ) @f + u @ f
ik @e @e
il @e
il @e @e
@e
l u
u
k 2
k u
@f
s @f + u
s @f :
uk @e
ki @e @e
ul @e
s
u l
s
25
Usando mais uma vez a simetria dos símbolos de Christoel, vemos que
fikl
filk =
u s + @ ( s)
ki ul @e
il
k
u s
li uk
= Rklsi fs :
@ s @f
( )
@el ik @es
Proposição 2.1 (Fórmula de Weitzenböck). Seja f 2 C 3 uma função
denida em M . Então
1
j grad f j2 = j Hess f j2 + hgrad f; grad(f )i + Ric (grad f; grad f ) :
2
Demonstração. Seja fE1 ; :::; En g uma base ortonormal em torno de um ponto
P
p 2 M . Armamos que j grad f j2 = ni=1 fi2 . De fato, em p 2 M ,
o campo grad f pode ser escrito na base fE1 ; :::; En g como grad f (p) =
Pn
i=1 i (p)Ei (p), onde cada i : U ! R é uma aplicação diferenciável em
U.
Visto que
fi = Ei (f )
= hEi ; grad f i
= i;
temos que grad f =
Pn
i=1 fi Ei e, portanto,
j grad f j2 = h*grad f; grad f i
=
=
n
X
fi E i ;
i=1
n
X
fi2 :
i=1
Isto prova a armação.
26
n
X
i=1
fi E i
+
Agora,
(j grad f j2 )j = (
i
X
=
ou seja,
X
i
fi2 )j
2fi fij ;
X
1
(j grad f j2 )j =
fi fij :
2
i
Temos também que
X
1
(j grad f j2 )jj = (fij2 + fi fijj );
2
i
donde
X
1
j grad f j2 =
2
j
=
X
i;j
X
i
!
(fij2 + fi fijj )
(fij2 + fi fijj ):
(2.2)
Agora, como a Hessiana de uma função é um 2-tensor simétrico, temos
que fijj = fjij . Usando este fato juntamente com a identidade de Ricci,
obtemos que
fijj = fjij = fjji + Rijsj fs :
Aplicando esta última igualdade a (2.2), vemos que
X
1
j grad f j2 =
(fij2 + fi (fjji + Rijsj fs )):
2
i;j
27
Finalmente, obtemos que
X
X
X
1
j grad f j2 =
fij2 + fi fjji + Rijsj fs fi
2
i;j
i;j
i;j
= j Hess f j2 + hgrad f; grad(f )i +
X
i;s
Ric(Es ; Ei )fs fi
= j Hess f j2 + hgrad f; grad(f )i + Ric(
X
s
f s Es ;
X
i
f i Ei )
= j Hess f j2 + hgrad f; grad(f )i + Ric(grad f; grad f ):
2.2
A Hessiana da Função Distância
Nesta seção, obteremos dois resultados sobre a Hessiana da função
distância.
Tais resultados serão importantes para a demonstração do
Teorema de Comparação do Laplaciano na próxima seção.
Proposição 2.2. Seja r : M ! R denida por r(x) = d(x; p), onde d é a
função distância. Então Hess r( @r@ ; @r@ ) = 0. Além disso, se 8 X ? @r@ , vale
Hess r( @r@ ; X ) = 0, onde @r@ é o vetor velocidade.
Demonstração. Usando a denição de Hessiana para a função r e o fato que
@,
as curvas r 7 ! rw, para w xado, são geodésicas com vetor velocidade @r
temos que
@ @
Hess r
;
@r @r
@ @
r
@r @r
@
=
(1)
@r
= 0:
=
@
r @r
r
@
@r
Agora, pelo Lema de Gauss, ver [8], página 102, temos que
grad r =
28
@
:
@r
@ , obtemos
Portanto, se X ? @r
Hess r(
@
@
; X ) = Hess r(X; )
@r
@r
@
@
= X r (rX )r
@r
@r
@ @
=
rX @r ; @r ;
@ )r = X (1) = 0.
pois X ( @r
Usando a compatibilidade da métrica, obtemos
@
Hess r( ; X ) =
@r
Finalmente,
1
@ @
X
;
:
2
@r @r
como as geodésicas radiais são parametrizadas por
comprimento de arco,
Hess r(
@
1
; X ) = X (1) = 0:
@r
2
Proposição 2.3. Consideremos Rn munido com a métrica g, escrita em
coordenadas polares como dr2 + f 2 (r)dw2 , onde dw2 representa a métrica
canônica em S n 1 . Seja r(x) = d(x; p), onde d é a função distância. Então,
se x = rw, r > 0, w 2 S n 1 , para quaisquer X; Y ortogonais a @r@ ,
Hess r(X; Y ) =
f 0 (r )
g(X; Y ):
f (r)
Além disso,
r(x) = (n 1)
f 0 (r)
:
f (r )
Demonstração. Sejam X; Y campos de vetores tangentes ao conjunto de nível
29
r = c, onde c é uma constante positiva. Temos que
Hess r(X; Y ) = Y (X (r)) rY X (r)
@
@
rY X; @r
= Y X;
@r
@
@
+ X; rY
= rY X;
@r
@r
@
= X; rY
@r
@
= Y; rX
:
@r
@
rY X; @r
Na última igualdade usamos a simetria da Hessiana.
@ o campo normal a hipersuperfície r = c e @ ; : : : ;
Agora, sejam @x@n = @r
@x1
@ , os campos coordenados em Sn 1 .
@xn 1
Assim, para 1 i; j n
1, temos que
@ @
Hess r
;
@xi @xj
@
@
; r @x@
=
@xj
i @xn
@ @
k
=
ni @x ; @x
k
j
k
= ni gkj
Usando a fórmula dos símbolos de Christoel
E em termos dos coecientes
D
da métrica e usando o fato que gni =
encontramos
k
ni
@ @
@r ; @xi
1 X kl @gln @gli
=
g
+
2 l
@xi @xn
1 X kl @gli
=
g
:
2 l
@r
= 0; 8 i = 1; : : : ; n
@gni
@xl
Mas, por outro lado,
@gli
= 2ff 0 (dw2 )li
@r
e
30
gkl = f 2 (dw2 )kl :
1,
Daí,
k
ni
1 X 2 2 kl 0 2
f (dw ) 2ff (dw )li
2 l
f0
=
:
f ik
=
Portanto,
@ @
;
Hess r
@xi @xj
f0
g
f ik kj
f0
@ @
=
g
;
:
f @xi @xj
=
@ , então
Logo, se X e Y são ortogonais a @r
f0
Hess r(X; Y ) = g(X; Y ):
f
Agora, sabemos que existe A : T S
! T S tal que tr Hess r = trA e
Hess r(X; Y ) = hAX; Y i, 8 X; Y 2 T S . Ora, A(Xi ) = aij Xj . Isto implica
que hA(Xi ); Xk i = aij gjk , ou seja, aij = g jk Hess r(Xi ; Xk ).
Assim,
r = tr Hess r = trA
X
f0
=
gik g(Xi ; Xk )
f
i
f0
= (n 1) :
f
Exemplo 2.1. Calcularemos o Laplaciano da função distância rk , com respeito a métrica
dr2 + fk2 dw2 ;
31
onde
fk ( r ) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
p
p1 sin( kr);
r;
k
1
p
k
sinh(
p
se k > 0
se k = 0
kr); se k < 0:
Observamos que, quando k > 0, obtemos a métrica da esfera Sn de raio k12
que tem curvatura seccional constante k. Quando k < 0, obtemos a métrica
do espaço hiperbólico Hn , também com curvatura seccional constante igual a
k. Quando k = 0, obetmos a métrica canônica do Rn em coordenadas polares.
É fácil ver que
f 0 (r) =
k
8
>
< cos(
>
:
p
kr);
1;
p
cosh( kr);
se k > 0
se k = 0
se k < 0:
Assim, para k > 0, temos
Hess rk
p
p
k cos( kr)
p g
=
sin( kr)
p
p
= k cot( kr)g:
Quando k = 0,
1
Hess r = g:
r
E
Hess rk
p
p
k cosh( kr)
p g
=
sinh( kr)
p
p
= k coth( kr)g;
se k < 0.
32
Portanto
1
n 1
2.3
r k =
8
>
>
>
<
p
p
k cot( kr);
1;
r
>
>
>
:
p
p
k coth(
se k > 0
se k = 0
kr); se k < 0:
Teorema de Comparação do Laplaciano
Partimos agora para o teorema de Comparação do Laplaciano, o qual será
demonstrado com o uso da fórmula de Weitzenböck.
Teorema 2.1. Seja (M n ; g) uma variedade Riemanniana completa. Suponhamos que a curvatura de Ricci de M satisfaz Ric(M ) (n 1)kg. Seja r
a distância geodésica ao ponto p 2 M . Suponhamos ainda que a função r é
diferenciável no ponto x. Então
r(x) rk (~x);
(2.3)
onde rk (~x) = r(x) = r0 e r0 < pk se k > 0. Se a igualdade é satisfeita,
então a curvatura seccional de qualquer plano que contenha o vetor radial,
ao longo de geodésicas ligando p e x, é constante e igual a k.
Demonstração. A Hessiana da função r possui um autovalor igual a zero, pois
Hess r @r@ ; @r@ = 0 e Hess r( @r@ ; X ) = 0; 8 X ? @r@ . Esse fato e a desigualdade
de Cauchy-Schwarz aplicada às matrizes Hessiana de r e Identidade nos dão
2
r)
j Hess rj2 (
:
n 1
33
(2.4)
Usando a fórmula de Weitzenböck e o fato de que j grad rj = 1, obtemos
@ @
;
@r @r
@
@ @
2
= j Hess rj +
; grad(r) + Ric
;
@r
@r @r
@
@ @
2
= j Hess rj + r + Ric
;
@r
@r @r
@ @
2
0
= j Hess rj + (r) + Ric
;
:
@r @r
0 = j Hess rj2 + hgrad r; grad(r)i + Ric
Seja '
= r .
Usando a hipótese sobre a curvatura de Ricci e a
desigualdade (2.4), vemos que
'0 +
'2
n 1
+ (n 1)k 0:
Estudando o caso da igualdade, observamos que
0
= rk = (n 1) ffkk sa-
tisfaz a igualdade, onde rk é a função distância sobre a variedade de curvatura
seccional cons-tante k e
fk ( r ) =
Visto que
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
p
p1 sin( kr);
r;
k
1
p
k
sinh(
p
se k > 0
se k = 0
kr); se k < 0:
é injetiva em seus respectivos domínios, podemos escolher
uma função (t), denida em [0; r0 ), satisfazendo
(0) = 0;
((t)) = '(t):
Agora, como
'0 (t) +
2 ((t))
'2 (t)
+ (n 1)k 0 = 0 ((t)) +
+ (n 1)k;
n 1
n 1
34
segue-se diretamente que
'0 (t) 0 ((t)):
Mas '0 (t) = 0 ((t))0 (t) e, portanto,
0 ((t))0 (t) 0 ((t)):
Como
0 (t) < 0, temos 0 (t) 1. Integrando esta última desigualdade
segue-se que (t) t, donde
'(t) = ((t)) (t);
pois a função
é decrescente. Isto é, vale a desigualdade (2.3).
Quanto à igualdade em (2.3), sabemos que a mesma ocorre se, e somente
se, a Hessiana é múltipla da identidade, ou seja, Hess r = I , para alguma
@ ; @ = 0 implica, neste caso, que o
constante . Mas o fato de Hess r @r
@r
termo ann da matriz Hessiana de r é nulo e, portanto, j Hess rj2 = (n 1)2 .
Por outro lado,
j Hess rj2 =
2
n 1
:
Dessas duas últimas igualdades, segue-se que
consideremos a base B =
diagonaliza a Hessiana de r.
e1 ; : : : ; en 1 ; @r@
j
e:
1 j
@ na base B , temos
De fato, escrevendo rej @r
n 1
@ X
@
rej @r =
k ek + a :
@r
k=1
35
n 1.
Agora,
de vetores ortonormais que
Armamos que
@
re @r
=
n
=
Daí,
re @r@ ; @r@ = a = 0, pois
j
1
@ @
0 = ej
;
2
@r @r
@ @
= rej ;
@r @r
= a:
Para i 6= j , temos
re @r@ ; ei = Hess r(ej ; ei) = 0, ou seja, i = 0 para
j
todo i 6= j .
Assim, obtemos que
@
re @r
= j ej :
j
Como j =
re @r@ ; ej = Hess r(ej ; ej ) = , temos
j
@
=
re @r
n
j
e:
1 j
E a armação está provada.
Temos então
@
K ej ;
@r
x
@ @
= R ej ; ; ; ej
@r @r
@
@
r
= rej r @r@
@ rej
@r
@r
@r
=
=
=
=
= k:
r
@
@r
0
n 1
ej ; ej
@
r[ej ; @r@ ] @r
; ej
e +
r @ e ;e
n 1 j n 1 @r j j
0
D
r ej ; ej
n 1 n 1
1
n 1
0+
36
2
n 1
@
@r
E
Denição 2.1. Dizemos que r f no sentido das distribuições, se
Z
M
r '
Z
M
'f; 8 ' 0; ' 2 C01 (M ):
O Teorema de Comparação do Laplaciano também é válido no sentido
das distribuições.
Teorema 2.2. Sejam (M n ; g) uma variedade Riemanniana completa e r a
função distância geodésica. Suponhamos que a curvatura de Ricci de g satisfaz Ric(M ) (n 1)kg. Então r(x) rk no sentido das distribuições.
P
Demonstração. Seja p 2 M e consideremos o mergulho expp : p ! M .
Consideremos também uma família de abertos estrelados f " ; " > 0g tal
P
que, quando " ! 0, " ! p . Pelo Teorema de Comparação do Laplaciano,
Z
"
r'
Z
"
rk '; ' 0:
(2.5)
Agora, a primeira identidade de Green nos dá
Z
r' =
"
Como ' 0 e
Z
"
hgrad r; grad 'i +
Z
@r
':
@ @
é estrelado, temos que a integral sobre
é maior ou
igual a zero. Daí
Z
"
r'
Z
"
hgrad r; grad 'i :
Fazendo " ! 0 e usando a desigualdade (2.5), obtemos
Z
Z
P hgrad r; grad 'i P rk ':
p
p
Como a função distância é Lipschitziana, conseqüentemente é q:t:p: diferenciável e, portanto, sua derivada coincide com a derivada fraca em H 1 , ver
[6], páginas 81 e 235.
37
Por outro lado, a denição de derivada fraca em H 1 nos diz que
Z
M
hgrad r; grad 'i =
Z
M
r'; 8 ' 0; ' 2 C01 (M ):
Portanto
Z
M
r '
Z
M
rk '; 8 ' 0; ' 2 C01 (M ):
38
Capítulo 3
O Teorema de Decomposição de
Cheeger-Gromoll
Neste capítulo estaremos sempre nos direcionando ao Teorema de
Decomposição de Cheeger-Gromoll, obtendo antes importantes resultados
que faremos uso em sua demonstração.
3.1
Funções de Busemann
As funções de Busemann desempenham um papel importante na demonstração que daremos do Teorema de Cheeger-Gromoll sobre decomposição de
variedades Riemannianas com curvatura de Ricci não-negativa.
Denição 3.1. Uma geodésica : ( 1; 1) ! M , parametrizada pelo
comprimento de arco, é chamada uma linha, se d( (t1 ); (t2 )) = jt1 t2 j,
8 t1; t2 2 ( 1; 1).
Denição 3.2. Uma geodésica : [0; 1) ! M , parametrizada pelo
comprimento de arco, é chamada um raio, se d( (t1 ); (t2 )) = jt1 t2 j,
8 t1; t2 2 [0; 1).
p
Observamos que se M é completa e não compacta, então, para todo
2 M , existe um raio
tal que
(0) = p, ver [2], página 405. Porém
nem toda variedade completa e não compacta possui uma linha, como é
39
o caso do parabolóide de revolução f(x; y; z ) 2 R3 j z = x2 + y 2 g. Uma
demonstração deste último fato pode ser encontrada em [2], páginas 309 e
363.
Denição 3.3. Dado um raio , a função de Busemann associada a esse
raio, b , é denida por
b (x) = tlim
(d(x; (t)) t):
!1
Dada uma linha
: ( 1; 1)
! M , podemos associar a ela duas funções
de Busemann, a saber:
b+ (x) = tlim
d(x; (t)) t;
!1
e
b (x) = tlim
d(x; ( t)) t:
!1
Denindo
b+t (x) := d(x; (t)) t;
temos, pela desigualdade triangular, que
b+t (x) d(x; (0)) + d( (0); (t)) t
= d(x; (0)):
Portanto, a família de funções fb+
t gt0 é uniformemente limitada nos
compactos de M . Armamos agora que esta família é não-crescente.
De fato, se t1 < t2 , pela desigualdade triangular, temos
b+t (x) = d(x; (t2 )) t2
d(x; (t1)) + d( (t1); (t2)) t2
= d(x; (t1 )) + t2 t1 t2
= b+t (x):
2
1
+
+
A família t 7! b+
t é, portanto, monótona não-crescente. Assim, bt ! b
40
uniformemente nos compactos de M e b+ está bem denida.
Observamos ainda que, como
b+t (x) b+t (y) = d(x; (t)) d(y; (t))
d(x; y) + d(y; (t)) d(y; (t))
= d(x; y);
as funções b+
t são Lipschitzianas para t > 0, com constante de Lipschitz igual
a 1, claro que a função b+ também é Lipschitziana, sendo, portanto, q:t:p:
diferenciável, ver [6], página 81.
3.2
Teorema de Cheeger-Gromoll
A idéia da prova consiste em construir uma função h suave e harmônica,
denida em M , tal que j grad hj = 1. Então, com o auxílio da fórmula de
Weitzenböck, mostramos que os conjuntos de nível de h são subvariedades
totalmente geodésicas de M . Denimos então N = h 1 (0). Para tal construção, contaremos com as funções de Busemann b+ e b associadas à linha
.
Proposição 3.1 (Desigualdade do Valor Médio). Seja (M n ; g) uma
variedade Riemanniana completa com Ric(M ) 0. Seja f 0 uma função
Lipschitziana tal que f 0 no sentido das distribuições. Então
1
f (x)
wn Rn
Z
BR (x)
f:
Demonstração. É suciente mostrar que a função h : (0; 1)
denida por
1
h(R) =
wn Rn
Z
BR (x)
f;
é não crescente. Pois, como
1
lim
R!0 wn Rn
Z
BR (x)
41
f = f (x);
! (0; 1),
uma vez mostrado que h é não crescente, teremos o seguinte: se R > R1 >
> Rn > > 0, então h(R) h(R1) h(Rn) f (x).
Observemos que h é localmente Lipschitziana, portanto, h é q:t:p: dife-
renciável.
Temos que
h0 (R) 0
1
wn Rn
,
Z
,
Ainda,
R
lim sup
B(R+")
Z
BR ( x )
pdetg dx
P
f
\
p
R
f
Z
n
f 0
wn Rn+1 BR (x)
Z
f
Rn
BR (x)
pdetg dx
P
f
B \
R
"
"!0
f
BR (x)
0
0
p
=
onde SR0 = expp (int(SR \
P
Z
p
P f detgd
int(SR \
Z
SR0
p
)
fdg ;
p )).
Precisamos então mostrar que
R
Z
SR0
f n
Z
f:
BR
(3.1)
Vale observar que estamos omitindo em (3.1) o elemento de área na
integral da esquerda e o elemento de volume da integral do lado direito.
Agora,
Z
Z
f r2 = "lim
f r 2
!0 expp (BR (0)\ " )
BR
Z
= "lim
!0
Z
BR
Z
@r2
grad f; grad r2 +
f
expp (BR (0)\ " )
@ expp (BR (0)\ " ) @
grad f; grad r2 + 2R
42
Z
SR0
f;
!
ou seja,
2R
Z
SR0
f
Z
grad f; grad r2
BR
Z
BR
f r 2 :
Ora, pelo Teorema de Comparação do Laplaciano no sentido das
distribuições,
r2 = 2rr + 2 hgrad r; grad ri
2(n 1) + 2 = 2n:
Portanto,
2R
Z
f
SR0
Z
grad f; grad r2
BR
2n
Z
BR
f:
(3.2)
Temos também que
Z
BR
grad f; grad r2
Z
=
=
Z
grad f; grad(r2
BR
BR
f (r 2
R2 )
0;
pois f 0 e r2 (x)
R2 )
(3.3)
R 2 0 ; 8 x 2 BR .
A desigualdade (3.3) aplicada a (3.2) nos fornece
2R
Z
SR0
f 2n
Z
BR
f:
Corolário 3.1. Sejam (M n ; g) uma variedade Riemanniana completa com
Ric(M ) 0 e f : M ! R uma função não-negativa com f 0.
Suponhamos que existe x0 2 M tal que f (x0 ) = 0. Então f 0.
Demonstração. De fato,
0
Z
BR (x0 )
f; 8 R:
43
Lema 3.1. Seja (M n ; g) uma variedade Riemanniana completa com
curvatura de Ricci não-negativa. A função b+ : M ! R, é super-harmônica
no sentido das distribuições, isto é, b+ 0 no sentido das distribuições.
Demonstração. O Teorema 2:2 implica, para todo t > 0 e para toda ' 2 C01 ,
' 0, que
Z
M
Z
b+t ' =
ZM
=
M
'b+t
d(x; (t))'
(n
1)
Z
M
'
1
d(x; (t))
:
Ora,
d(x; (t)) d( (t); (0)) d( (0); x):
Temos então que, xada a função ' diferenciável, não-negativa e de
suporte compacto,
lim
t !1
Z
M
'
1
d(x; (t))
= 0:
Logo, obtemos
Z
M
b+ ' 0:
Vale observar que, analogamente, podemos provar que b
também é
super-harmônica no sentido das distribuições.
Estamos agora em condições de demonstrar o principal resultado desta
monograa, o Teorema de Decomposição de Cheeger-Gromoll.
44
Teorema 3.1. Seja (M n ; g) uma variedade Riemanniana completa com
curvatura de Ricci não-negativa. Se M possui uma linha. Então M é
isométrica a N R munida da métrica produto, onde N é uma variedade
Riemanniana de dimensão (n 1) com Ric(N ) 0.
Demonstração. Inicialmente, usando a desigualdade triangular, vemos que
a função f (x) = b+ (x) + b (x) é não-negativa. Além disso, f (x) = 0 para
x = (t). Pelo Lema 3.1, a função f é super-harmônica no sentido das
distribuições, uma vez que f é soma de funções super-harmônicas. Segue
então do Corolário da Proposição 3.1 que f = 0 em M. Portanto, f = 0,
isto é, b+ + b = 0. Isto implica que b+ = b = 0 no sentido
das distribuições, pois b+ 0 e b 0. Isto garante a suavidade das
funções de Busemann, pelo Lema de Weyl. Armamos agora que a função
h := b+ satisfaz j grad hj = 1. De fato, j grad hj2 1, pois já vimos que
h é Lipschitiziana com constante de Lipschitz igual a 1.
F := 1 j grad hj2 é não-negativa.
Logo a função
Usando a fórmula de Weitzenböck, temos
1
j grad hj2 = j Hess hj2 + hgrad h; grad(h)i + Ric (grad h; grad h)
2
j Hess hj2 0:
d h( (s)) = 1 (isso
Segue-se então que F 0. Por sua vez, temos que ds
segue da denição de b+ ) e, portanto, hgrad h; 0 (s)i = 1. A desigualdade
de Cauchy-Schwarz implica
1 = j hgrad h; 0 (s)i j j grad hjj 0 (s)j 1;
donde grad h =
0 . Daí, obtemos que F ( (s)) = 0. Finalmente, usando o
Corolário (3.1), temos F 0. Isto prova a armação, ou seja, j grad hj = 1.
Como conseqüência disso, ainda obtemos que j Hess hj = 0. Portanto grad h
é paralelo.
Podemos então denir uma isometria entre R cartesiano N := h 1 (0) e
45
M da seguinte maneira:
':RN !M
(t; x) ! expx (t grad h(x));
Com efeito, para vetores verticais basta observarmos que
@
@
d'(t;x)
; d'(t;x)
@t
@t
= hgrad h; grad hi
= 1
@ @
=
;
:
@t @t
Quando temos um vetor vertical e outro horizontal, o resultado segue do
Lema de Gauss.
Finalmente, no caso em que temos u e v , vetores horizontais, a função
f (t) := d'(t;x) (u); d'(t;x) (v) ;
é constante em t. Com efeito, pelo Lema de Simetria, ver [3], página 76, e
por grad h ser um campo paralelo, obtemos
f 0 (t) = rgrad h d'(t;x) (u); d'(t;x) (v) + d'(t;x) (u); rgrad h d'(t;x) (v)
D
E D
E
= rd' t;x (u) grad h; d'(t;x) (v) + d'(t;x) (u); rd' t;x (v) grad h
= 0:
(
)
(
Portanto,
= hd'0 (u); d'0 (v)i
= hu; vi ;
d'(t;x) (u); d'(t;x) (v)
para quaisquer u; v 2 T(t;x) R N .
46
)
Corolário 3.2. Seja M uma variedade Riemanniana completa com
curvatura de Ricci não-negativa. Então M é isométrica a um produto N Rk ,
onde N não contém linhas e Rk possui a métrica canônica.
Demonstração. De fato, se M n possuir uma linha, então pelo teorema
anterior, M é isométrica a um produto R N n 1 . Se, além disso, N possuir
uma linha, então usamos o teorema mais uma vez, já que Ric(N ) 0 e N é
completa. O resultado segue por indução.
47
Referências Bibliográcas
[1] Cheeger, J., Gromoll, D., The Splitting Theorem for Manifolds of
Nonnegative Ricci Curvature, J. Dierential Geometry, (1971), 119128.
[2] do Carmo, M. P., Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, Textos
Universitários, SBM, Rio de Janeiro, 2a edição, 2005.
[3] do Carmo, M. P., Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, Rio de
Janeiro, 3a edição, 2005.
[4] Eschenburg, J.-H., Heintze, E., An elementary proof of the Cheeger-
Gromoll splitting theorem, Ann. Glob. Analysis and Geometry, vol. 2,
(1984), 141151.
[5] Escobar, J. F., Topics in PDE'S and Dierential Geometry, XII Escola
de Geometria Diferencial, 2002.
[6] Evans, L. C., Gariepy, R. F., Measure Theory and Fine Properties of
Functions, CRC Press, 1992.
[7] Evans, L. C., Partial Dierential Equations, Graduate Studies in
Mathematics, Volume 19, 2002.
[8] Lee, J. M., Riemannian Manifolds - An Introduction to Curvature,
Springer, 1997.
[9] Schoen, R., Yau, S. T., Lectures on Dierential Geometry, International
Press Inc, Boston, vol. 1, 1994.
48
[10] Spivak, M., A Comprehensive Introduction to Dierential Geometry,
Publish or Perish, INC. Houston, Texas (U.S.A.), Volume II, 1970.
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Índice Remissivo
aplicação exponencial, 15, 17
tangente, 9
campo
Fórmula de Weitzenböck, 23
de vetores, 9, 10, 19
brado tangente, 13
de vetores tangentes, 26
função de Busemann, 35
paralelo, 15, 42
geodésica, 8, 1517, 25, 26, 30, 34, 36
coecientes
da métrica, 13, 27
Identidade de Ricci, 21
de Ricci, 19, 21
imersão, 11, 12
conexão, 9, 13
isométrica, 12
am, 13, 14
isometria, 12, 42
compatível, 14
Lema
de Levi-Civita, 14
de Gauss, 25
simétrica, 14
de Simetria, 42
conjunto
linha, 34, 41
dos campos de vetores, 10
curvatura, 17
de Ricci, 18, 19, 30, 31, 34, 36,
métrica
canônica, 26, 43
41, 43
da esfera, 29
escalar, 18
do espaço hiperbólico, 29
seccional, 18, 29, 31
induzida, 12
produto, 12, 41
difeomorsmo, 12, 16
esfera unitária, 11
espaço
hiperbólico, 11, 29
métrico, 17
Riemanniana, 1114
mergulho, 12
notação de Einstein, 19
parametrização, 9
50
produto interno, 11, 18
raio, 34
símbolos de Christoel, 13, 19, 23, 27
subvariedade, 12, 36
Teorema
da função inversa, 16
de Comparação do Laplaciano,
30, 36
de Decomposição de CheegerGromoll, 41
de Hopf-Rinow, 17
de Levi-Civita, 14
teorema
de Schwartz, 10
toro plano, 12
variedade
de Hausfor, 12
diferenciável, 9, 11, 13
imersa, 11
Riemanniana, 11, 12, 14, 17, 18,
34, 41
completa, 8, 17, 30, 34, 36, 37,
40, 41, 43
51
