Dissertação
dissertacao_thiago_fontes_2007.pdf
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Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação em Matemática
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Rio São Francisco
Aproximações de Funções Preservando
Formas Simpléticas
MATEMÁTICA
A ciência
do infinito
Thiago Fontes Santos
Maceió
21 de Dezembro de 2006
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Instituto de Matemática
Programa de Pós-graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado
Aproximações de funções preservando
formas simpléticas
Thiago Fontes Santos
Orientador:
Prof. Dr. Krerley Oliveira
Apoio Financeiro:
Centro de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES
Maceió - Dezembro de 2006
3
Aos meus avós paternos Maria dos Prazeres Santos e Luiz Antônio
dos Santos(In memorian), minha Irmã Shirleny Fontes Santos e
minha futura esposa Mônica Teles Santos.
4
Agradecimentos
Inicialmente agradeço a Deus por ter me proporcionado mais esta realização, dando-me coragem
necessária para enfrentar as ocasiões difíceis e a minha família pelo apoio e o incentivo durante todo
esse período que estive distante.
Ao professor Krerley Oliveira pela amizade, orientação, paciência e benevolência durante todo o
mestrado.
Aos professores Manuel Bernardino, Natanael , Paulo Rabelo de Souza que muito contribuíram
no inicio da minha formação acadêmica. Agradeço aos professores do Instituto de Matemática da
Universidade Federal de Alagoas (UFAL) e em especial Adan Corcho, Ediel Azevedo, Fernando Echaiz
e Marcos Petrúcio pelas contribuições acadêmicas e a amizade.
Agradeço a amizade de José Anderson, André Vinicius, Naldisson, Almir Rogerio, José Arnaldo,Clarissa
Codá, Davy Souza, Márcio Henrique, Claudemir Silvino, Fábio Bóia, Daniel Nicolau, André Pizzaia e
companheirismo Maria de Andrade, Julio Cesar. Enm, a todos amigos e colegas que compartilharam
minha história acadêmica, meus sinceros agradecimentos.
Ao Prof. Dr. Jairo Bochi e Prof. Dr. Leonardo Macarini pelo estudo atencioso desta dissertação.
Agradeço a CAPES pelo suporte nanceiro.
A minha amável noiva, Mônica Teles, motivadora deste e de futuros trabalhos.
5
Resumo
Mostraremos que é possível aproximar um difeomorfismo simplético com
derivada contínua por um difeomorfismo simplético, infinitamente
diferenciáveis, sobre uma variedade simplética compacta. Além disso,
provamos o Teorema de Darboux e Moser.
Palavras-chave: Difeomorfismo Simplético; Preservar Volume.
Introdução
As funções como sen (x), e
x
, log (x) se encaixam numa classe de funções chamada de analíticas,
ou seja, em torno de cada ponto do seu domínio existe um desenvolvimento, o qual representa a
função dada como soma de uma série de potências:
f (x) =
∞
X
an (x − x0 )n .
n=0
n
Deste modo, escrevendo fn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 ) , vemos que cada fn é um
polinômio e f (x) =
lim fn (x) para todo x no intervalo de convergência da série. Pode-se mostrar
n→∞
ainda que em cada intervalo compacto de convergência, tem-se fn → f uniformemente.
Um resultado que generaliza o que vimos acima foi feito por K. Weierstrass em 1885. Conforme
Weierstrass, qualquer função contínua
f : [a, b] → R é limite uniforme de uma seqüência de
polinômios no seu intervalo de denição [a, b]. Portanto, dada f contínua em [a, b] e ε > 0, existe
um polinômio p tal que kf (x) − p(x)k < ε para todo x ∈ [a, b]. Observe que estamos aproximando
f por funções innitamente diferenciáveis pois polinômios são funções de classe C ∞ . Para a prova
do resultado de Weierstrass recomendamos [6].
Num contexto mais geral, podemos nos perguntar se dada uma função contínua f : U ⊆ R
n
→
R, U aberto, ela pode ser aproximada por funções classe C ∞ . Isto é possível, vejamos um exemplo
∞
(Rn ) por
1
C exp
|x|2 − 1
η(x) :=
0
de como fazer isso. Dena η ∈ C
se |x| < 1
se |x| ≥ 1
Z
onde C é escolhida de forma que
η dx = 1. Agora, para cada ε > 0, seja
Rn
ηε (x) :=
1 x
η
.
ε
ε
7
8
Não difícil vericar que as funções ηε são de classe C
∞
e satisfazem
Z
ηε dx = 1, supp.ηε ⊂ B(0; ε).
Rn
Dena f
ε
Z
(x) :=
ηε (x − y)f (y)dy . Por uma mudança de variável, podemos escrever f ε (x) =
U
Z
ε→∞
ηε (y)f (x−y)dy . Por razões que mais adiante caram claras, f ε é de classe C ∞ e f ε −−−→ f
B(0; ε)
uniformemente nas partes compactas de U .
Neste trabalho, estamos interessados em aproximar funções preservando volume, o qual no
método descrito acima nem sempre conseguimos. Resolveremos este problema sob a luz da Geometria Simplética.
Chamaremos de variedades simplética o par (M, σ) onde M é uma superfície suave e σ uma
2-forma fechada e não-degenerada. Um difeomorsmo φ : (M1 , σ1 ) → (M2 , σ2 ) entre variedades
∗
simpléticas é dito simplético se φ σ2 = σ1 .
Por exemplo, dado (p, q) = (p1 , . . . , pn , q1 , . . . , qn ) ∈ R
w0 (p, q) =
n
X
2n
podemos considerar a 2-forma
dpi ∧ dqi .
i=1
Com esta forma, (R
2n
, w0 ) é uma variedade simplética.
Apesar de ser um exemplo muito simples, é o que sempre ocorre, em coordenadas locais, numa
variedade simplética qualquer. Este é um resultado clássico da geometria simplética provado por
Darboux. Daremos uma prova deste fato seguindo as idéias de [12].
Um motivo básico para escolhermos a geometria simplética para tentarmos solucionar o problema de aproximar funções preservando volume é o fato de que difeomorsmos simpléticos preservam volumes simpléticos e desta maneira basta que suavizemos estes difeomorsmos. Mais precisamente, se φ : (M1 , σ1 ) → (M2 , σ2 ) é um difeomorsmo entre variedades simpléticas tal que
φ∗ σ2 = σ1 então (σ1 )n e (σ2 )n são formas de volume sobre M1 e M2 , respectivamente, e
Z
Z
n
(σ1 ) =
(σ2 )n ,
A
φ(A)
para todo boreliano A ⊂ M1 .
Este trabalho está organizado como segue. No Capítulo 1 apresentaremos os conceitos básicos
sobre formas alternadas e diferenciais bem como a fórmula mágica de Cartan que relaciona a
derivada de Lie com a diferencial exterior e o produto interior. A seguir denimos as topologias C
na qual duas funções de classe C
k
k
estarão próximas se além de estarem próximas quando avaliamos
num ponto suas derivadas também estão próximas até a ordem k .
9
O Capítulo 2 começa com algumas noções sobre a Cohomologia de de Rham. A seguir, calculamos os grupos de de Rham de alguns casos particulares. Usaremos esta teoria grandemente no
próximo capitulo.
No Capítulo 3 aduzimos os conceitos mais importantes deste trabalhos, a saber, os de Topologia
Simplética. Dentre os tópicos ali abordados, destacamos o Teorema de Darboux e o Teorema de
Moser. Outra seção de relevante presença é a de Funções Geradoras, as quais servem de base
para chegarmos ao nosso objetivo nal.
Por m, o Capítulo 4 traz métodos de aproximações de funções. Dentre eles, veremos como
podemos aproximar funções preservado o volume simplético.
Maceió, 21 dezembro 2006.
10
Sumário
1 Preliminares
13
1.1 Formas Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.1 Denições e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.2 Produto Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.2 Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.2.1 Pull-Back de uma forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.2.2 Diferencial Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.2.3 Produto Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.2.4 Derivada de Lie de formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.3 Partição da unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.4 Integração de formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.5 Topologias C
40
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Cohomologia de de Rham
43
2.1 Denição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.2 Invariância homotópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.3 Alguns exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3 Topologia Simplética
57
3.1 Álgebra linear simplética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.2 Variedades simpléticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.2.1 Teorema de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.2.2 Teorema de Moser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
11
12
SUMÁRIO
3.2.3 Algumas obstruções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.2.4 Funções geradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4 Aproximações de funções
79
4.1 Suavização padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.2 Suavização Simplética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
5 Aproximações C 1 e outros resultados
5.1 Aproximações C
89
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.2 Fluxos C 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
5.3 Aproximações em Regiões com Bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
1,α
Referências Bibliográcas
93
Índice Remissivo
95
Capítulo 1
Preliminares
1.1 Formas Alternadas
1.1.1 Denições e exemplos
Consideraremos uma base num espaço vetorial
E como uma família linearmente independente
máxima (ei )i∈I , de elementos de E, com índices num conjunto I. Uma lista com índices no conjunto
I = 1, 2, . . . , r é chamada uma r−lista.
Dados espaços vetoriais E, F , uma aplicação ϕ : E × E × . . . × E → F , diz-se r−linear quando
|
{z
}
r−vezes
seus valores ϕ(v1 , . . . , vr ) dependem linearmente de cada uma das variáveis v1 , . . . , vr ∈ E , ou seja,
ϕ(v1 , v2 , . . . , vi + wi , . . . , vr )
ϕ(v1 , v2 , . . . , λvi , . . . , vr )
= ϕ(v1 , v2 , . . . , vi , . . . , vr ) + ϕ(v1 , v2 , . . . , wi , . . . , vr )
= λϕ(v1 , v2 , . . . , vi , . . . , vr ),
quaisquer que sejam v1 , v2 , . . . , vr ∈ E e λ ∈ R.
As operações usuais de soma de aplicações e produto de um aplicação por uma escalar fazem do
conjunto das aplicações r−lineares ϕ : E × E × . . . × E → F um espaço vetorial, que denotaremos
por Lr (E; F ).
Diremos que uma aplicação ϕ ∈ Lr (E; F ) é alternada se ϕ(v1 , v2 , . . . , vr ) = 0 sempre que a
seqüencia (v1 , v2 , . . . , vr ) possuir repetições, ou seja, se existirem i 6= j com vi = vj , e diremos que
é anti-simétrica se
ϕ(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vr ) = −ϕ(v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vr )
13
(1.1)
14
[CAP. 1:
PRELIMINARES
para quaisquer v1 , . . . , vr ∈ E .
A proposição seguinte dá um critério simples para as aplicações r−lineares serem alternadas.
Proposição 1.1.1. Seja ϕ ∈ Lr (E; F ). Então ϕ é alternada se, e somente se, for anti-simétrica.
Demonstração. Dados v1 , v2 , . . . , vr
∈ E , consideremos ϕ(vi , vj ) = ϕ(v1 , v2 , ..., vi , ..., vj , ..., vr ).
Como ϕ é alternada então
0
= ϕ(vi + vj , vi + vj )
= ϕ(vi , vi ) + ϕ(vi , vj ) + ϕ(vj , vi ) + ϕ(vj , vj )
= ϕ(vi , vj ) + ϕ(vj , vi ),
Portanto ϕ(vi , vj ) = −ϕ(vj , vi ), ou seja, ϕ é anti-simétrica.
Reciprocamente, usando a notação anterior, se ϕ é anti-simétrica então ϕ(v, v) = −ϕ(v, v).
Segue daí que ϕ(v, v) = 0, logo ϕ é alternada.
Vamos denotar por Ar (E; F ) o conjunto das aplicações r−lineares alternadas de E em F. Claro
que Ar (E; F ) é subespaço de Lr (E; F ).
A partir de agora, as aplicações r−lineares alternadas
ϕ : E × E × . . . × E → R serão chamadas de formas r−lineares alternadas ou simplesmente
r−formas e indicaremos por Ar (E; R) = Ar (E). Os elementos de Ar (E) são também chamados
formas de grau r . Convencionaremos que Ar (E) = {0} para r < 0 e A0 (E) = R, ou seja, as formas
de grau zero são os escalares. De acordo com a nossa notação A1 (E) = E
∗
= dual de E .
Proposição 1.1.2. Seja ϕ : E ×E ×. . .×E → F uma aplicação r-linear alternada. Se v1 , . . . , vr ∈
E são linearmente dependentes então ϕ(v1 , . . . , vr ) = 0.
Em particular, se r
> dim E então
Ar (E) = {0}.
Demonstração. Como v1 , . . . , vr são linearmente dependentes, um desses vetores é combinação
r
X
αi · vi . Então
linear dos demais. Digamos que v1 =
i=2
ϕ(v1 , v2 , . . . , vr ) =
r
X
αi · ϕ(vi , v2 , . . . , vr ) = 0.
i=2
Se r
> dim E então quaisquer r vetores E são linearmente dependentes.
{0}.
Vejamos alguns exemplos dessas r−formas:
Segue que Ar (E)
=
[SEC. 1.1:
15
FORMAS ALTERNADAS
Exemplo 1.1.1.
O determinante de uma matriz
m × m poderá ser considerado como uma
m−forma alternada det ∈ Am (Rm ) se, para v1 , v2 , . . . , vm ∈ Rm pusermos det(v1 , v2 , . . . , vm ) =
determinante da matriz m × m cujas colunas são os vetores v1 , v2 , . . . , vm .
Exemplo 1.1.2. Dados r−funcionais lineares f 1 , . . . , f r de E ∗ , obtemos a forma linear alternada
f 1 ∧ . . . ∧ f r : E × . . . × E −→ R chamada de produto exterior desses funcionais, denida por
f 1 ∧ . . . ∧ f r (v1 , . . . , vr ) = det(f i (vj )) com i, j = 1, . . . r. A multilinearidade desta forma segue da
linearidade de cada funcional f j e das propriedades de determinante.
Exemplo 1.1.3. Considere Λ : E ∗ × . . . × E ∗ −→ Ar (E) a aplicação denida por
Λ(f 1 , . . . , f r ) = f 1 ∧ . . . ∧ f r .
Como o determinante uma matriz é uma r−linear alternada nos seus vetores-coluna, temos que
Λ é uma aplicação r−linear alternada de E ∗ em Ar (E). Algumas vezes escreveremos, para I =
{i1 , . . . , ir },
f I = f i1 ∧ . . . ∧ f ir .
(1.2)
Lema 1.1.1. Sejam ϕ, ψ : E × . . . × E −→ F aplicações r−lineares e G um conjunto de geradores
de E. Se ϕ(v1 , . . . , vr ) = ψ(v1 , . . . , vr ) qualquer que seja a r−lista (v1 , . . . , vr ) de elementos de G,
então ϕ = ψ .
Demonstração. Provaremos usando indução sobre r . Se r = 1, dado x ∈ E podemos escrevê-lo
m
X
como x =
aj vj . Daí,
j=1
ϕ(x)
=
=
m
X
j=1
m
X
aj ϕ(vj )
aj ψ(vj )
j=1
m
X
= ψ(
aj (vj ))
j=1
= ψ(x).
Suponha que a armação valha para r − 1. Para cada v ∈ G, denamos as aplicações r − 1 lineares
ϕv , ψv por
ϕv (x1 , . . . , xr−1 )
= ϕ(x1 , . . . , xr−1 , v)
ψv (x1 , . . . , xr−1 )
= ψ(x1 , . . . , xr−1 , v)
16
[CAP. 1:
PRELIMINARES
Por hipótese de indução, ϕv = ψv para qualquer (r−1)-lista de elementos de G, ou seja, ϕ(x1 , . . . , xr−1 , v) =
ψ(x1 , . . . , xr−1 , v) quaisquer que sejam x1 , . . . , xr−1 ∈ E e v ∈ G. Como G é um conjunto de geradores de E, dado xr ∈ E temos que
ϕ(x1 , . . . , xr−1 , xr )
= ϕ(x1 , . . . , xr−1 ,
m
X
ai vi )
i=1
=
=
m
X
i=1
m
X
ai ϕ(x1 , . . . , xr−1 , vi )
ai ψ(x1 , . . . , xr−1 , vi )
i=1
= ψ(x1 , . . . , xr ).
Lema 1.1.2. Sejam ϕ, ψ : E × . . . × E −→ F aplicações r−lineares alternadas e {e1 , . . . , em } uma
base de E. Se ϕ(ei1 , . . . , eir ) = ψ(ei1 , . . . , eir ) para toda seqüencia crescente i1 < . . . < ir de r
inteiros contidos em {1, . . . , m} então ϕ = ψ .
Demonstração. Seja (j1 , . . . , jr ) uma r−lista de inteiros contidos em {1, . . . , m}. Se houver repetição
de elementos nessa lista, então ϕ(ej1 , . . . , ejr ) = ψ(ej1 , . . . , ejr ) = 0 pois as aplicações são alternadas.
Suponha que os elementos dessa
r−lista sejam todos distintos.
Daí, por meio de su-
cessivas transposições (trocas de posições entre 2 elementos apenas), podemos pôr os números
(j1 , . . . , jr ) na ordem crescente (i1 < . . . < ir ).
k
Se são necessárias k tranposições, temos que
k
ϕ(ej1 , . . . , ejr ) = (−1) ϕ(ei1 , . . . , eir ) = (−1) ψ(ei1 , . . . , eir ) = ψ(ej1 , . . . , ejr ) Assim, pelo lema
anterior, ϕ = ψ .
Agora, procuraremos explicitar uma base para Ar (E) a partir de uma base de E . Para tanto,
considere
{e1 , . . . , em } ⊂ E base dual de {e1 , . . . , em } ⊂ E ∗ .
Dados
I = {i1 < . . . < ir } e
J = {j1 < . . . < jr } contidos em {1, . . . , m}, armamos que
0, se I 6= J
eI (ej1 , . . . , ejr ) =
1, se I = J.
De fato, se I
6= J então existe ik ∈ I − J tal que eik (ej ) = 0 para todo j ∈ J . Segue que
eI (ej1 , . . . , ejr ) = 0 pois teremos um determinante de uma matriz cuja k−ésima linha é nula. Se,
no entanto, I = J , então eI (ej1 , . . . , ejr ) = det(Id) = 1 onde Id é a matriz identidade r × r . No
[SEC. 1.1:
17
FORMAS ALTERNADAS
caso geral, sejam v1 , . . . , vr ∈ E , com vj =
m
X
aij ei para j = 1, . . . r. Para cada i ∈ I , temos que
i=1
ei (vj ) = aij . Então
eI (v1 , . . . , evr )
= det(eik (vj ))
= det(aik j )
= det(aI ),
onde
aI denota a matriz r × r obtida da matriz (aij ) escolhendo-se as r−linhas cujos índices
pertencem ao conjunto I.
Teorema 1.1.1. Seja {e1 , . . . , em } uma base de E ∗ . As r−formas eI = ei ∧ . . . ∧ ei , onde
1
r
I = {i1 , . . . , ir } percorre os subconjuntos de {1, . . . , m} com r elementos, constituem uma base de
Ar (E). Em particular, dim Ar (E) = m
r .
Demonstração. Dado w ∈ Ar (E), seja αI
= w(ei1 , . . . , eir ) para cada I = {i1 < . . . < ir }.
X
αI eI é tal que para toda lista J
I
{1, . . . , m} temos que
r−forma ϕ =
ϕ(ej1 , . . . , ejr )
=
X
A
= {j1 < . . . < jr } de inteiros contidos em
αI eI (ej1 , . . . , ejr )
I
= αJ
= w(ej1 , . . . , ejr ).
Logo, a partir do Lema 1.1.2, ϕ = w , ou seja, w =
X
αI eI . Isto mostra que as r−formas eI
I
geram Ar (E). Notemos que estas r−formas são linearmente independente pois se tivermos uma
combinação
X
αI eI = 0 tiramos, para toda lista J = {j1 < . . . < jr }, 0 = ϕ(ej1 , . . . , ejr ) =
I
αJ .
∗
Dados f 1 , . . . f r funcionais de E , vamos dar uma expressão para f 1 ∧ . . . ∧ f r em termos da
base formada pelas r−formas eI como no teorema anterior. Podemos exprimir este funcionais em
termos da base (ej ) como
fi
=
m
X
aij ej .
(1.3)
j=1
Pelo que vimos no Teorema 1.1.1, existe uma expressão única f 1 ∧ . . . ∧ f r =
X
αJ eJ , com
J
αJ = f 1 ∧ . . . ∧ f r (ej1 , . . . , ejr ) = det(f i (ejk )) para todo J = {j1 < . . . < jr } ⊂ {1, . . . , m}. Daí,
18
[CAP. 1:
αJ = det(aJ ). Assim f 1 ∧ . . . ∧ f r =
X
PRELIMINARES
det(aJ )eJ a soma estendendo-se a todos os subconjuntos
J
J ⊂ {1, . . . , m} com r elementos. Em particular, quando r = m temos, simplesmente, que f 1 ∧
. . . ∧ f m = det(a).e1 ∧ . . . ∧ em , onde a = (aij ) é a matriz de passagem de {e1 ∧ . . . ∧ em } para
{f 1 , . . . , f m }.
Vejamos como mudam as coordenadas de uma forma w ∈ Ar (E) quando fazemos uma mudança
de base em E.
Sejam {e1 . . . , em } e {f1 . . . , fm } base de E com ej =
{e1 . . . , em } e {f 1 . . . , f m }, cumprem as relações f i =
m
X
aij fi , (j = 1, . . . , m). Suas base duais,
i=1
m
X
aij ej , (i = 1, . . . , m). Dados conjuntos
j=1
I, J com r elementos, indicamos com aIJ a sub-matriz r × r da matriz a = (aij ) com i ∈ I e j ∈ J .
X
Pelo que vimos, f I =
det(aIJ )eJ . Agora, se uma forma w ∈ Ar (E) admite as expressões
J
X
X
w=
αJ eJ =
βI f I relativamente as bases (eJ ) e (f J ) temos que
J
I
w
=
X
αJ eJ
J
=
X
βI
X
I
=
"
X X
J
Segue que αJ =
det(aIJ )eJ
J
#
βI det(aIJ ) eJ
I
X
βI det(aIJ ).
I
Agora, note que para todo r ≥ 1, uma transformação linear A : E −→ F determina uma nova
∗
transformação linear A
: Ar (F ) −→ Ar (E), a qual chamaremos de transposta, denida por
(A∗ · w)(v1 , . . . , vr ) = w(A · v1 , . . . , A · vr )
(1.4)
para quaisquer w ∈ Ar (F ) e v1 , . . . , vr ∈ E .
Observação 1.1.1. Considere dim(E )=dim(F )=m. Se {e1 , . . . , em } ⊂ E ∗ e {f 1 , . . . , f m } ⊂ F ∗
são bases então
A∗ (f 1 ∧ . . . ∧ f m ) = det(a) e1 ∧ . . . ∧ em ,
(1.5)
onde a = (aij ) representa a matriz de passagem das bases duais às bases {e1 , . . . , em } e {f 1 , . . . , f m }.
De fato, sejam {e1 , . . . , em } ⊂ E e {f1 , . . . , fm } ⊂ F bases, duais respectivamente das bases
{e1 , . . . , em } ⊂ E ∗ e {f 1 , . . . , f m } ⊂ F ∗ . Seja a = (aij ) a matriz em relação a essas bases, ou seja,
[SEC. 1.1:
A · ej =
19
FORMAS ALTERNADAS
m
X
aij fi para j = 1, . . . , m. Pelo Teorema 1.1.1, dim Am (E) = 1 e {e1 ∧ . . . ∧ em } é uma
i=1
base para esse espaço. Daí,
A∗ (f 1 ∧ . . . ∧ f m ) = λ e1 ∧ . . . ∧ em ,
onde
λ
=
A∗ (f 1 ∧ . . . ∧ f m ) (e1 , . . . , em )
=
(f 1 ∧ . . . ∧ f m )(A · e1 , . . . , A · em )
=
det(f i (A · ej ))
=
det(a).
Exemplo 1.1.4. A forma elemento de volume. Seja E um espaço vetorial de dimensão m, orientado e munido de um produto interno. Tomemos uma base ortonormal positiva {e1 , . . . , em } em
E . Dada a seqüencia de vetores v1 , . . . , vm ∈ E , escrevamos
vj =
m
X
aij ej ,
i=1
para cada j = 1, . . . , m. Considere a = (ai j )m×m a matriz assim obtida. Dena a forma elemento
de volume w por
w(v1 , . . . , vm ) = det(a).
Evidentemente w ∈ Am (E).
(1.6)
Resta mostrar que w não depende da escolha da base.
Para isso,
dena a matriz
g = (h vi , vj i)m×m
na qual o elemento situado na i-ésima linha e j -ésima coluna é o produto h vi , vj i. Note que
h vi , vj i = h
X
aki ek ,
X
asj es , i
s
k
=
X
aki akj .
k
T
Daí, obtemos que g = a
a. Isto implica que det(g) = (det(a))2 . Portanto
p
w(v1 , . . . , vm ) = ± det(g),
onde o sinal depende da orientação tomada.
(1.7)
20
[CAP. 1:
PRELIMINARES
1.1.2 Produto Exterior
∗
No exemplo 1.1.2 vimos o produto de funcionais em E , a qual chamamos de produto exterior de
funcionais. Agora, vamos denir o que seja o produto exterior de uma k−forma por uma r−forma.
r−forma exterior em E é a aplicação w que associa para cada p ∈ E um elemento
X
w(p) ∈ Ar (E). Pelo teorema 1.1.1, podemos escrever w(p) =
aI (p)eI , I = (i1 < . . . < ir ) ⊂
Uma
I
{1, . . . , m}. Agora, vamos denir algumas operações das r−formas em E. Primeiro, se w1 e w2 são
X
duas r−formas, podemos denir a soma como w1 + w2 =
(aI + bI )eI . Se w1 é uma r−forma e
I
w2 uma s-forma é possível denir uma operação, chamada produto exterior w1 ∧ w2 obtendo uma
r + s-forma da seguinte maneira: dados
X
w1 =
aI eI
I
e
X
w2 =
bI eJ
J
dena
w1 ∧ w2 =
X
aI bI eI ∧ eJ
I,J
As operações com o produto exterior gozam de certas propriedades. Veremos algumas delas a
seguir.
Proposição 1.1.3. Seja w1 uma r−forma, w2 uma s-forma e w3 uma k-forma. Então:
a) (w1 ∧ w2 ) ∧ w3 = w1 ∧ (w2 ∧ w3 ),
rs
b) (w1 ∧ w2 ) = (−1) w2 ∧ w1 ,
Demonstração. Pelo Teorema 1.1.1, escrevamos
w1 =
X
aI eI , I = (i1 < . . . ir )
I
w2 =
X
bJ eJ , J = (j1 < . . . jr )
J
w2 =
X
L
cL eL , L = (l1 < . . . lr ).
[SEC. 1.2:
21
FORMAS DIFERENCIAIS
a) Segue diretamente da denição.
b) Notemos que
w1 ∧ w2
=
X
aI bJ ei1 ∧ . . . ∧ eir ∧ ej1 ∧ . . . ∧ ejs
I,J
=
X
(−1)aI bJ ei1 ∧ . . . ∧ eir−1 ∧ ej1 ∧ eir ∧ ej2 ∧ . . . ∧ ejs
I,J
=
X
(−1)k aI bJ ej1 ∧ ei1 ∧ . . . ∧ eir−1 ∧ eir ∧ ej2 ∧ . . . ∧ ejs .
I,J
Desde que J tem s elementos, nós obtemos, repetindo o argumento para cada ejq , jq ∈ J ,
w1 ∧ w2
=
X
(−1)ks aI bJ ej1 ∧ . . . ∧ ejs ∧ ei1 ∧ . . . ∧ eir
I,J
=
(−1)ks w2 ∧ w1 .
Dada uma forma w , usaremos a notação abreviada w
n
:= |w ∧ .{z
. . ∧ w}.
n−vezes
Observação 1.1.2. Apesar de que ei ∧ ei = 0 não é verdade que para qualquer forma w tem -se
w ∧ w = 0. Por exemplo se w = a1 e1 ∧ e2 + a2 e3 ∧ e4 , temos w ∧ w = a1 a2 e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4 .
1.2 Formas Diferenciais
n
p
De agora em diante, M representará uma superfície m−dimensional contida no R , de classe C ,
p ≥ 1, X(M ) o conjunto dos campos de vetores denidos em M e por Tx M o espaço vetorial
tangente a M no ponto x ∈ M .
1
Diremos que uma superfície é orientável se existir um atlas
{(Uα , φα )} tal que para todo α, β com Uα ∩ Uβ 6= ∅
det(d(φβ ◦ φ−1
α )) > 0.
(1.8)
Esse atlas nós chamaremos de orientação e as cartas neste atlas nós chamaremos de cartas positivas.
Mais adiante, usando técnicas de partição da unidade, mostraremos que uma condição necessária
e suciente para que superfície n−dimensional M seja orientável é que exista uma forma de volume
em M .
1 Uma atlas numa superfície M é uma coleção de cartas tais que seus domínios cobrem M .
22
[CAP. 1:
PRELIMINARES
Uma forma diferencial de grau r numa superfície M é uma aplicação
w : x ∈ M 7→ w(x) ∈ Ar (Tx M )
que associa a cada ponto x ∈ M uma forma r−linear alternada w(x) no espaço vetorial tangente
Tx M .
Representação por meio de parametrizações
Seja ϕ : U0 → U uma parametrização de um aberto U ⊂ M . Para cada x = ϕ(u) ∈ U temos uma
base
∂ϕ
∂ϕ
(u), . . . ,
(u) ⊂ Tx M.
∂u1
∂um
∗
Denotaremos por {du1 , . . . , dum } ⊂ (Tx M )
a base dual de (1.9).
(1.9)
Pelo Teorema 1.1.1, para
cada x = ϕ(u) ∈ U , as r−formas duI = dui1 ∧ . . . ∧ duir , com I = {i1 < . . . < ir } constituem uma
base de Ar (Tx M ). Assim dada uma forma diferencial w , de grau r em M , podemos escrever, para
cada x = ϕ(u) ∈ U :
w(x) = w(ϕ(u)) =
X
aI (u)duI
(1.10)
I
Daí, a forma w dene, para cada parametrização ϕ : U0 → U em M , as funções aI
: U0 → R.
Convém mostrar que esta representação não depende da parametrização. De fato, seja ψ : V0 → V
outra parametrização em M , com U ∩ V
6= ∅. Para todo x = ϕ(u) = ψ(v) ∈ U ∩ V temos as bases
∂ψ
∂ψ
(v), . . . ,
(v) ⊂ Tx M.
∂v1
∂vm
e
{dv1 , . . . , dvm } ⊂ (Tx M )∗
que se relacionam com as base determinadas por ϕ do seguinte modo:
∂ϕ
∂uj
=
dvi
=
m
X
∂vi ∂ψ
i=1
m
X
∂uj ∂vi
∂vi
duj
∂uj
j=1
[SEC. 1.2:
23
FORMAS DIFERENCIAIS
Pelo que já vimos na seção anterior, se x = ϕ(u) = ψ(v) ∈ U ∩ V e w(x) =
X
aJ (u)duJ =
J
X
bI (u)dvI então
I
aJ (u) =
X
I
onde
∂vI
∂uJ
det
∂vI
∂uJ
é a matriz r × r formada pelos elementos
bI (v),
(1.11)
∂vi
tais que i ∈ I e j ∈ J . Portanto ca
∂uj
estabelecido a não dependência da parametrização.
k
Diremos que uma r -forma diferencial w sobre M é de classe C , k < p, quando M pode ser
k
coberta por imagens U de parametrizações ϕ : U0 → U , de classe C , relativamente às quais se
tem w =
X
aI duI as funções aI sendo todas de classe C k . Salvo menção ao contrário, as formas
I
tratadas neste trabalho serão de classe C
∞
.
Denição 1.2.1. Uma forma de volume em uma superfície n−dimensional M é uma forma
diferencial w de grau n sobre M tal que w(m) 6= 0, ∀ m ∈ M .
r
Usaremos a notação Ω (M ) para designar o conjunto das r -formas sobre M . Observe que, pela
r
Proposição 1.1.2, se r > dim M então Ω (M ) = {0}.
1.2.1 Pull-Back de uma forma
k
Sejam M e N superfícies e F : M → N uma aplicação de classe C , k ≥ 1. Dada uma forma w , de
grau r sobre N, deniremos o pull-back de w pela função F e escreveremos F
∗
w pondo para cada
x ∈ M e cada r−lista de vetores w1 , . . . , wr ∈ Tx M ,
[(F ∗ w)(x)](w1 , . . . , wr ) = w(F (x))(F 0 (x).w1 , . . . , F 0 (x).wr )
Em particular, se w é uma 0−forma, ou seja, w = g : R
m
(1.12)
→ Rn é uma aplicação diferenciável
então
(F ∗ g)(x) = (g ◦ F )(x)
De acordo com a denição dada em (1.12), temos que
(F ∗ w)(x) = [F 0 (x)]∗ · w(F (x)).
(1.13)
24
[CAP. 1:
PRELIMINARES
Pull-back de w pela função F .
Observação 1.2.1. Se F : Rn → Rn uma aplicação diferenciável e w = dx1 ∧ . . . ∧ dxm então,
pela observação (1.1.1),
F ∗ (dx1 ∧ . . . ∧ dxn )(x) = det(F 0 (x))dy1 ∧ . . . ∧ dyn ,
onde y1 , . . . , yn são as funções coordenadas de F .
Proposição 1.2.1. Sejam M1 , M2 , M3 superfícies, f : M1 → M2 e g : M2 → M3 aplicações
diferenciáveis. Então:
a) f
∗
(cw + w) = cf ∗ (w) + f ∗ (w), ∀c ∈ R, ∀w, w ∈ Ωr (M2 );
∗
∗ ∗
r
b) (g ◦ f ) (w) = f (g (w)),∀w ∈ Ω (M3 );
c) f
∗
(w ∧ w) = f ∗ (w) ∧ f ∗ (w), ∀w ∈ Ωr (M2 ).
Demonstração.
a) Dado c ∈ R, p ∈ M1 e v1 , . . . , vr ∈ Tp M1 , temos que,
f ∗ (cw + w)(p)(v1 , . . . , vr )
=
0
0
(cw + w)(f (p)).(f (p).v1 , . . . , f (p).vr )
0
0
= cw(f (p)).(f (p).v1 , . . . , f (p).vr ) +
0
0
w(f (p)).(f (p).v1 , . . . , f (p).vr )
=
Logo, f
∗
(cw + w) = f ∗ (cw) + f ∗ (w).
(cf ∗ (w)(p) + f ∗ (w)(p)) (v1 , . . . , vr ).
[SEC. 1.2:
25
FORMAS DIFERENCIAIS
b) Dados arbitrariamente x ∈ M1 , uma r−forma w ∈ M3 e v1 , . . . , vr ∈ Tx M1 , temos que
((g ◦ f )∗ w)(x)(v1 , . . . , vr )
0
0
= w(g(f (x))).((g ◦ f ) (x).v1 , . . . , (g ◦ f ) (x).vr )
Por outro lado,
(f ∗ (g ∗ (w)))(x)(v1 , . . . , vr )
0
0
(g ∗ (w))(f (x))(f (x).v1 , . . . , f (x).vr )
=
0
0
= w(g(f (x))).((g ◦ f ) (x).v1 , . . . , (g ◦ f ) (x).vr )
∗
Logo (g ◦ f ) (w) = f
∗
(g ∗ (w)).
c) Inicialmente, seja f1 , . . . , fr 1-formas de M2 .
Omitindo o ponto x e denotando por df a
derivada de f neste ponto, nós obtemos
f ∗ (f1 ∧ . . . ∧ fr )(v1 , . . . , vr )
(f1 ∧ . . . ∧ fr )(df.v1 , . . . , df.vr )
=
= det(fi (df.vj ))
= det(f ∗ (fi (vj )))
(f ∗ (f1 ) ∧ . . . ∧ f ∗ (fr ))(v1 , . . . , vr ).
=
Agora, sejam (x1 , . . . , xr ) coordenadas para M1 e (y1 , . . . , yr ) coordenadas para M2 onde yi =
fi (x1 , . . . , xr ) sendo fi as funções coordenadas de f : M1 → M2 . Sejam w =
X
bJ dyJ duas k−formas em M2 . Então,
J
f ∗w =
X
f ∗ (aI ) f ∗ dyi1 ∧ . . . ∧ f ∗ dyik
I
e
f ∗w =
X
f ∗ (bJ ) f ∗ dyj1 ∧ . . . ∧ f ∗ dyjk .
J
Conseqüentemente,
f ∗ (w ∧ w)
X
= f ∗(
aI bJ dyI ∧ dyJ )
I,J
=
X
=
X
=
X
(aI ◦ f )(bJ ◦ f )f ∗ (dyI ∧ dyJ )
I,J
(aI ◦ f )(bJ ◦ f )f ∗ dyI ∧ f ∗ dyJ
I,J
I,J
∗
(aI ◦ f )f ∗ (dyI ) ∧
X
J
∗
= f (w) ∧ f (w)
(bJ ◦ f )f ∗ (dyJ )
X
I
aI dyI , w =
26
[CAP. 1:
Exemplo 1.2.1. Forma elemento de ângulo.
α(x, y) =
Claro que α(x, y) · v =
Considere a 1−forma α sobre R
2
PRELIMINARES
r { 0 } dada por
−y dx + x dy
.
x2 + y 2
(1.14)
−y · v1 + x · v2
2
2
, para todo vetor v = (v1 , v2 ) ∈ R . Seja ϕ : R → R r { 0 }
x2 + y 2
uma aplicação diferenciável denida por
ϕ(t) = (cos t, sen t).
Usando a denição (1.12), obtemos que,
[(ϕ∗ α)(t)](q)
= α(ϕ(t))(ϕ0 (t) · q)
=
(−sen t) (−q sen t) + (cos t) (q cos t)
= q
∗
ou seja, ϕ α = dq .
Exemplo 1.2.2. Forma induzida por uma aplicação.
w ∈ Ωr (M ) e ϕ : U0 → U uma
∂ϕ
∂ϕ
parametrização de M . Em cada ponto x = ϕ(u) ∈ U , os vetores
(u), . . . ,
(u) constituem
∂u1
∂um
∗
uma base do espaço vetorial tangente Tx M , cuja dual é {du1 , . . . , dum } ⊂ (Tx M ) . Escrevendo
X
duI = dui1 ∧ . . . ∧ duir , com I = {i1 < . . . < ir }, temos w(x) =
aI (u)duI . Denote por
Seja
I
dxI = dxi1 ∧. . .∧dxir , onde {dx1 , . . . , dxm } é a base canônica de (Rm )∗ , dual de {e1 , . . . , em } ⊂ Rm .
∂ϕ
0
Sabemos que ϕ (u) · ei =
(x). Segue que
∂ui
(ϕ∗ dui )(ej )
= dui (ϕ0 (u) · ej )
0, se i 6= j
∂ϕ
.
= dui
=
∂uj
1, se i = j
∗
Assim ϕ dui = dxi . Além disso, se I = {i1 , . . . ir }
[ϕ∗ w(u)](ei1 ∧ . . . ∧ eir ) = w(x)
∗
Logo, ϕ w =
X
I
aI dxI .
∂ϕ
∂ϕ
(u), . . . ,
(u) = aI (u).
∂ui1
∂uir
[SEC. 1.2:
27
FORMAS DIFERENCIAIS
1.2.2 Diferencial Exterior
O propósito desta seção é estender a diferencial de funções para uma aplicação
d : Ωr (M ) → Ωr+1 (M )
para qualquer r ≥ 0.
n
Iniciaremos com formas em abertos de R . Para o que segue, as formas consideradas são pelos
1
menos de classe C .
r
Dado w ∈ Ω (U ), usaremos a representação em termos de parametrização na qual podemos
escrever
w=
X
aI dxI .
I
Deniremos a diferencial exterior de uma forma w por
dw
=
X
daI ∧ dxI
I
=
X ∂aI
j,I
∂xj
dxj ∧ dxI .
Observação 1.2.2. A diferencial exterior de funções (0−formas) coincide com a denição usual
de diferencial no R
dw = da =
X ∂a
j
∂xj
m
.
De fato, se w é uma 0−forma, ou seja, w
= a : U ⊂ Rm → R então
dxj .
Agora veremos algumas propriedades deste operador que serão importantes ao longo deste
trabalho.
Proposição 1.2.2. Sejam U ⊂ Rm , V ⊂ Rn abertos, w, w formas diferenciais de classe C 1
denidas em V e f : U → R
n
de classe C
2
tal que f (U ) ⊂ V . Então:
1. d(w + w) = dw + dw ;
2. Se w ∈ C
2
então d(dw) = 0;
gr w
3. d(w ∧ w) = dw ∧ w + (−1)
(w ∧ dw);
4. d(f
∗
w) = f ∗ (dw).
28
[CAP. 1:
X
1. Basta observar que se w =
Demonstração.
aI dxI e w =
X
I
=
dw + dw
X ∂aI
∂xj
j,I
X
=
dxj ∧ dxI +
X ∂aL
j,L
dxj (
j,I,L
bJ dxJ então
J
∂xj
dxj ∧ dxL
∂aI
∂bL
dxI +
dxL )
∂xj
∂xj
= d(w + w).
2. Seja w =
X
X ∂aI
aI dxI então dw =
∂xj
j,I
I
ddw
=
dxj ∧ dxI . Daí,
X ∂ 2 aI
dxk ∧ (dxj ∧ dxI )
∂xk ∂xj
k,j,I
=
X X ∂ 2 aI
dxk ∧ dxj ∧ dxI
∂xk ∂xj
=
XX
=
0,
I
k,j
I
k<j
(
∂ 2 aI
∂ 2 aI
−
)dxk ∧ dxj ∧ dxI
∂xk ∂xj
∂xj ∂xk
pelo teorema de Schwarz.
3. Sejam w =
X
aI dxI e w =
I
X
bJ dxJ . Então,
J
d(w ∧ w)
=
X ∂(aI bJ )
∂xr
r,I,J
=
X
bJ
∂aI
dxr ∧ dxI ∧ dxJ
∂xr
aI
∂bJ
dxr ∧ dxI ∧ dxJ
∂xr
r,I,J
+
X
r,I,J
=
dxr ∧ dxI ∧ dxJ
X ∂aI
X
dxr ∧ dxI ) ∧
bj dxJ
(
∂xr
J
r,I
+
X
X ∂bJ
(−1)gr w (
aI dxJ ) ∧ ( (
dxr ∧ dxJ )
∂xr
I
r,J
gr w
= dw ∧ w + (−1)
w ∧ dw
4. Se w é uma 0-forma então, pela regra da cadeia, em todo ponto x ∈ U tem-se
0
dg(f (x)).f (x) = d(g ◦ f )(x).
PRELIMINARES
[SEC. 1.2:
29
FORMAS DIFERENCIAIS
0
v ∈ Rm temos f ∗ (dg)(x).v = dg(f (x)).f (x).v . Logo f ∗ (dg) = d(g ◦
X
f ) = d(f ∗ g). Agora, considere w =
aI dxI uma r−forma, r ≥ 1. Segue que f ∗ w =
X
X I
(f ∗ aI )(f ∗ dxi1 ∧ . . . ∧ f ∗ dxir ) =
(f ∗ aI ) (d(xi1 ◦ f ) ∧ . . . ∧ d(xir ◦ f )). Portanto,
Daí, para todo
I
I
d(f ∗ w)
=
X ∂(f ∗ aI )
∂xj
j,I
=
X
dxr ∧ (d(xi1 ◦f ) ∧ . . . ∧ d(xir ◦ f ))
(f ∗ (daI ) ∧ (d(xi1 ◦ f ) ∧ . . . ∧ d(xir ◦ f )))
I
= f ∗ (dw)).
A seguir, deniremos a diferencial exterior de uma forma em M .
C1.
∗
= d(ϕ∗ w).
∈ Ωr (M ), classe
→ U ⊂ M , existe uma única forma dϕ w, de grau r + 1
Para toda parametrização ϕ : U0
em U , tal que ϕ (dϕ w)
Seja w
Isto se deve ao fato de que o pull-back w
bijeção das formas em U sobre as formas em U0 . Se w|U =
X
7→ ϕ∗ w é uma
aI (u)duI então, pelo exemplo 1.2.2,
I
ϕ∗ w =
X
aI (u)dxI donde d(ϕ∗ w) =
I X
que dϕ w =
daI ∧ duI .
X
daI ∧ dxI . Logo, a igualdade ϕ∗ (dϕ w) = d(ϕ∗ w) signica
I
I
Vamos vericar que se ψ : V0 → V é outra parametrização então dϕ w = dψ w em U ∩ V . Com
efeito, temos que ϕ = ψ ◦ ξ : ϕ
parâmetro. Logo ϕ
∗
−1
(U ∩ V ) → U ∩ V , onde ξ é o difeomorsmo de mudança de
= ξ ∗ ◦ ψ ∗ . Daí, em U ∩ V :
ϕ∗ (dψ w)
= ξ ∗ ψ ∗ (dψ w)
= ξ ∗ d(ψ ∗ w)
= d(ξ ∗ ψ ∗ w)
= d(ϕ∗ w)
= ϕ∗ (dϕ w).
Portanto dψ w = dϕ w em U ∩ V .
r
Denimos a diferencial exterior dw da forma w ∈ Ω (M ) como a forma de grau r + 1 em M
cujo valor em cada ponto x ∈ M é dado por (dw)(x) = (dϕ w)(x), onde ϕ : U0 → U é qualquer
parametrização em M tal que x ∈ U .
30
[CAP. 1:
1
Por m, diremos que uma r−forma, de classe C , w é
é
PRELIMINARES
fechada se dw = 0. Diremos que w
exata quando existe uma forma α de grau r − 1 e classe C 2 tal que dα = w. Em virtude da
proposição acima, toda forma exata é fechada.
1.2.3 Produto Interior
r+1
Dado X ∈ X(M ), considere a aplicação ιX : Ω
(M ) → Ωr (M ), denida por
[(ιX w)(x)] (v1 , . . . , vr ) := w(x)(X(x), v1 , . . . , vr ).
(1.15)
0
Quando w ∈ Ω (M ) nós colocaremos ιX w = 0. Esta aplicação é chamada de produto interior, ou
contração, da forma w pelo campo X .
Proposição 1.2.3. Se w1 ∈ Ωr (M ) , w2 ∈ Ωl (M ) e Y ∈ X(M ) então
ιY (w1 ∧ w2 )
(ιY w1 ) ∧ w2 + (−1)r w1 ∧ (ιY w2 ).
=
(1.16)
1
m
Demonstração. Dado x ∈ M , considere {e1 (x), . . . , em (x)} uma base de Tx M e {e (x), . . . , e (x)}
⊂ (Tx M )∗ o dual dessa base. Pelo Teorema 1.1.1 é suciente provarmos para w1 = e1 ∧ . . . ∧ er e
w2 = er+1 ∧ . . . ∧ er+s , r + s ≤ m. Observe que, para todo Y ∈ X(M ),
ιY (e1 ∧ . . . ∧ er ) =
r
X
(−1)j−1 ιY (ej ) e1 ∧ . . . ∧ ebj ∧ . . . ∧ er ,
j=1
j
onde ebj signica que omitimos o termo e . De fato, para todo v1 , . . . , vr−1 ∈ Tx M ,
ιY (e1 ∧ . . . ∧ er )(v1 , . . . , vr−1 )
=
=
=
det
r
X
j=1
r
X
j=1
e1 (Y ) e1 (v1 ) . . .
e1 (vr−1 )
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
er (Y )
er (v1 )
...
er (vr−1 )
(−1)j−1 ej (Y )(e1 ∧ . . . ∧ ebj ∧ . . . ∧ er )(v1 , . . . , vr−1 )
(−1)j−1 ιY (ej )(e1 ∧ . . . ∧ ebj ∧ . . . ∧ er )(v1 , . . . , vr−1 ).
[SEC. 1.2:
31
FORMAS DIFERENCIAIS
Usando este fato obtemos que,
ιY (w1 ∧ w2 )
=
r+s
X
(−1)j−1 ιY (ej )(e1 ∧ . . . ∧ ebj ∧ . . . ∧ er+s )
j=1
=
+
r+s
X
(−1)l−1 ιY (el )(e1 ∧ . . . ∧ er ∧ . . . ∧ ebl ∧ . . . ∧ er+s )
l=r+1
r
X
(−1)j−1 ιY (ej )(e1 ∧ . . . ∧ ebj ∧ . . . ∧ er ∧ . . . ∧ er+s )
j=1
=
(−1)r
s
X
l+r ∧ . . . ∧ er+s )
(−1)l−1 ιY (el )(e1 ∧ . . . ∧ er ∧ . . . ∧ ed
l=1
+
r
X
(−1)j−1 ιY (ej )(e1 ∧ . . . ∧ ebj ∧ . . . ∧ er ∧ . . . ∧ er+s )
j=1
=
(−1)r w1 ∧ ιY w2 + ιY w1 ∧ w2
1.2.4 Derivada de Lie de formas
Antes de prosseguir, precisamos de algumas denições. Um uxo numa superfície M é uma aplicação Φ : R × M → M tal que para todo p ∈ M e s, t ∈ R,
1.
Φ(0, p) = p;
2.
Φ(t, Φ(s, p)) = Φ(t + s, p).
Um uxo local é uma aplicação Φ : A → M , onde A é uma aberto com A ⊃ {0} × M , que
satisfaz as duas propriedade de uxo no domínio de denição. Algumas vezes escreveremos Φt (·)
t
ou Φ (·) para representar o uxo Φ(t, ·). Um uxo ϕt está associado ao campo X se
d
(ϕt ) = X ◦ ϕt .
dt
Uma denição dinâmica da derivada de Lie é dada a seguir.
1
Seja X um campo de vetores,
r
de classe C , em M e w ∈ Ω (M ). A derivada de Lie da forma w com respeito ao campo X , e
escreveremos £X , é uma r -forma dada por
£X (w) :=
onde ϕt é o uxo local de X .
d ∗
(ϕ w) t=0
dt t
(1.17)
32
[CAP. 1:
PRELIMINARES
Exemplo 1.2.3. Se w é uma 0-forma, ou seja, w : U ⊂ Rn → R, então, por (1.13),
£X (w)
d ∗
(ϕ w) t=0
dt t
d
=
(w ◦ ϕt ) t=0
dt
= dw(X)
=
= ιX dw.
Existe uma fórmula explícita para o cálculo da derivada de Lie de formas, conhecida como
Fórmula de Cartan. Antes de nós enunciarmos e provarmos esta fórmula, precisamos estabelecer
um par de lemas.
Lema 1.2.1. Para todo X ∈ X(M ) temos que
£X (w1 ∧ w2 ) = (£X w1 ) ∧ w2 + w1 ∧ (£X w2 ),
(1.18)
r
s
para quaisquer que sejam w1 ∈ Ω (M ) e w2 ∈ Ω (M ).
r
s
Demonstração. Sejam w1 ∈ Ω (M ) e w2 ∈ Ω (M ).
Considere ϕt o uxo local de X
∈ X(M ).
Segue do ítem (c) da Proposição (1.2.1) que
ϕ∗t (w1 ∧ w2 ) = ϕ∗t (w1 ) ∧ ϕ∗t (w2 ).
(1.19)
Desde que o produto exterior é bilinear, podemos diferenciar a igualdade acima que obtendo
£X (w1 ∧ w2 )
d ∗
ϕ (w1 ∧ w2 ) t=0
dt t
d ∗
=
(ϕt (w1 ) ∧ ϕ∗t (w2 )) t=0
dt
d ∗
d ∗
∗
∗
ϕ (w1 ) t=0 ∧ ϕ0 (w2 ) + ϕ0 (w1 ) ∧
ϕ (w2 ) t=0
=
dt t
dt t
= (£X w1 ) ∧ w2 + w1 ∧ (£X w2 ),
=
∗
onde usamos que ϕ0 = id, já que ϕ0 (x) = x ∀ x ∈ M .
Lema 1.2.2. Para todo X ∈ X(M ) e w ∈ Ωr (M ) temos que
d£X w = £X dw.
(1.20)
[SEC. 1.2:
33
FORMAS DIFERENCIAIS
Demonstração. A partir da denição de derivada de Lie de formas e das propriedades de pull-back,
temos que
£X (dw)
d
(ϕ∗ (dw)) t=0
dt t
d
(d(ϕ∗t w)) t=0
=
dt
d ∗
(ϕ w) t=0
= d
dt t
= d£X w.
=
Teorema 1.2.1 (Fórmula de Cartan). Seja X ∈ X(M ) e w ∈ Ωr (M ). Então
£X (w) = d(ιX w) + ιX (dw).
(1.21)
Demonstração. Faremos a prova usando indução sobre o grau da forma w sobre M . Seja X ∈
X(M ). Para 0−formas isso foi feito no Exemplo (1.2.3). Admita que (1.21) seja verdadeira para
formas de grau r . Note que uma (r + 1)−forma pode ser escrita como
X
dfi ∧ wi ,
i
onde wi é uma r−forma e fi é uma aplicação diferenciável (0−forma), numa vizinhança de m ∈ M .
Pelo Lema (1.2.1) temos que
£X (df ∧ w) = (£X df ) ∧ w + df ∧ (£X w)
Por outro lado, juntando a hipótese de indução, a Proposição (1.2.3) e as propriedades de produto
exterior de formas, obtemos as seguintes igualdades
ιX d(df ∧ w) + dιX (df ∧ w)
= −ιX (df ∧ dw) + d((ιX df ) ∧ w − df ∧ (ιX w))
= −ιX df ∧ dw + df ∧ ιX dw + d(ιX df ) ∧ w + ιX df ∧ dw
+ df ∧ dιX w
= df ∧ £X w + d£X f ∧ w.
Usando o Lema (1.2.2), segue-se o resultado.
A derivada de Lie pode ser usada na descrição da variação de formas diferenciais, como veremos
no resultado seguinte.
34
[CAP. 1:
PRELIMINARES
Teorema 1.2.2 (Teorema da Derivada de Lie). Seja ϕt : M → M o uxo associado ao campo X .
Então
d
(ϕ∗ w) = ϕ∗t (£X w) ,
dt t
(1.22)
r
para toda w ∈ Ω (M ).
Demonstração. Faremos a prova usando indução sobre o grau da forma w sobre M . Se w é uma
0−forma em M então, ∀ m ∈ M ,
ϕ∗t (£X w)(m)
=
(£X w)(ϕt (m))
d ∗
(ϕ w) t=0 (ϕt (m))
dt t
d
(w ◦ ϕt ) t=0 (ϕt (m))
dt
dw
(ϕt (m)) X((ϕt (m)))
dt
d
(w ◦ ϕt )(m)
dt
d ∗
(ϕ w)(m).
dt t
=
=
=
=
=
Suponha que (1.22) seja verdadeira para formas de grau r em M . Assim como zemos anteriormente, escrevemos uma (r + 1)−forma como
X
dfı ∧ wı ,
ı
onde wi é uma r−forma e fi é uma aplicação diferenciável (0−forma), numa vizinhança de m ∈ M .
Usando o ítem (c) da Proposição 1.2.1 temos que
d ∗
d
(ϕt (df ∧ w)) = (ϕ∗t df ∧ ϕ∗t w).
dt
dt
Por outro lado, juntando a bilinearidade do produto exterior, hipótese de indução e as propriedade
de pull-back teremos que
d ∗
(ϕ df ∧ ϕ∗t w)
dt t
d ∗
ϕt f ∧ ϕ∗t w + ϕ∗t df ∧ ϕ∗t £X w
dt
= d(ϕ∗t £X f ) ∧ ϕ∗t w + ϕ∗t df ∧ ϕ∗t £X w
= d
= ϕ∗t d(£X f ) ∧ ϕ∗t w + ϕ∗t (df ∧ £X w)
= ϕ∗t (d£X f ∧ w + df ∧ £X w)
= ϕ∗t £X (df ∧ w)
[SEC. 1.3:
35
PARTIÇÃO DA UNIDADE
Isto naliza a prova.
Observação 1.2.3. Usando a mesma notação do Teorema 1.2.2, a equação (1.22) pode ser generalizada para tratar, ainda, a variação de formas diferenciais tempo-dependentes wt :
d ∗
(ϕ wt )
dt t
=
=
=
=
=
ϕ∗t+h wt+h − ϕ∗t wt
h→ 0
h
∗
∗
ϕ∗ wt − ϕ∗t wt
(ϕ
w
t+h − ϕt wt )
lim ϕ∗h t
+ t+h
h→ 0
h
h
d ∗
d ∗
+
(ϕ wy )
(ϕ wt )
dy t
dx x
y=t
x=t
dw
y
ϕ∗t
+ ϕ∗t (£X wt )
dy y=t
dwt
∗
ϕt
+ £X wt
dt
lim
Corolário 1.2.1. Se ϕt é o uxo local associado a X então, para toda forma w,
£X w = 0 ⇔ ϕ∗t w = w,
(1.23)
∀ t onde ϕt está denido.
Demonstração. Pelo Teorema 1.2.1, temos que
d ∗
ϕ w = ϕ∗t 0 = 0. Logo ϕ∗t w = c ∀t. Desde que
dt t
c = ϕ∗0 w = w, tem-se ϕ∗t w = w.
Reciprocamente, se
ϕ∗t w = w para todo t, então
d
(ϕ∗ (w)) |t=0 = 0.
dt t
d ∗
ϕ (w) = 0, ∀t.
dt t
Em particular,
£X w =
1.3 Partição da unidade
Seja f uma aplicação denida em M . O suporte de f é o conjunto {m ∈ M : f (m) 6= 0}. Denotaremos este conjunto por supp. f . Dizemos que f tem suporte compacto se supp. f é compacto
em M .
Uma coleção de subconjuntos {Cλ } de M é dita localmente nita se para cada m ∈ M existe
uma vizinhança U de m em M tal que U
T
Cλ = ∅ exceto para uma quantidade nita de índices
λ.
Denição 1.3.1. Seja M uma superfície de classe C k . Uma partição da unidade de classe C k em
M é uma família de funções ξ = (ξλ )λ∈Λ de classe C k em M tais que:
36
[CAP. 1:
PRELIMINARES
1. Para quaisquer λ ∈ Λ e x ∈ M , tem-se ξλ (x) ≥ 0;
2. A família C = (supp.ξλ )ξλ ∈Λ é localmente nita;
X
3. Para todo x ∈ M ,
ξλ (x) = 1.
λ∈ Λ
X
ξα = 1 está subordinada à cobertura C = (Cλ )λ∈Λ0 da
α∈Λ
0
superfície M quando para cada α ∈ Λ existe algum λ ∈ Λ tal que supp ξα ⊂ Cλ . Dizemos que a
Dizemos que a partição da unidade
X
ξα = 1 está estritamente subordinada à cobertura C = (Cλ )λ∈Λ quando
α∈Λ
tem índices no mesmo conjunto que as funções ξα e, além disso, supp ξα ⊂ Cα para todo α ∈ Λ.
partição da unidade
Teorema 1.3.1. Seja M uma superfície de classe C k . Para toda cobertura aberta C = (Cλ )λ∈Λ de
M existe uma partição da unidade
X
ξλ = 1 de classe C k , estritamente subordinada à cobertura
λ∈Λ
C.
Demonstração. Ver [10].
Com esta ferramenta podemos provar o próximo resultado.
Proposição 1.3.1 (Critério de orientabilidade). Uma superfície n−dimensional M é orientável
se, e somente se, existir uma forma de volume em M .
Demonstração. Seja {(Uα , φα )} uma orientação para M e {pα } uma partição da unidade subordinada a Uα . Assuma que todos os Uα são conexos. Dena
w=
X
pα · (φ∗α (dx1 ∧ . . . ∧ dxn ))
α
Basta mostrar que wx 6= 0 para todo x ∈ M . Fixe x ∈ M . Então pα (x) 6= 0 para uma quantidade
nita de índices α, digamos α1 , . . . , αk . Daí, juntando a condição de orientabilidade e o observação
1.2.1,
∗
(φ−1
α1 ) w
=
k
X
∗
∗
(φ−1
α1 ) (pα · (φα (dx1 ∧ . . . ∧ dxn )))
i=1
=
k
X
−1 ∗
(pα ◦ φ−1
α1 ) [(φαi ◦ φα1 ) dx1 ∧ . . . ∧ dxn ]
i=1
=
k
X
i=1
6= ∅.
−1
(pα ◦ φ−1
α1 ) det d(φαi ◦ φα1 ) dx1 ∧ . . . ∧ dxn
[SEC. 1.4:
37
INTEGRAÇÃO DE FORMAS
Logo wx 6= 0 ∀x ∈ M .
Reciprocamente, seja w uma forma de volume em M . Vamos produzir uma orientação {Vβ , ϕβ }
para M do seguinte modo: Considere {(Uα , φα )} uma atlas para M . Podemos assumir que todos
∗
Uα são conexos. Então (φ−1
α ) w = fα (x)dx1 ∧ . . . ∧ dxn , para alguma fα . Desde que w é não-nula
então fα
6= 0 e como Uα é conexo, fα (x) > 0 ∀x ∈ Uα ou fα (x) < 0 ∀x ∈ Uα .
Se fα (x) > 0
dena Vα = Uα e ϕα = φα . Caso contrário, dena Vα = Uα e ϕα = T ◦ φα onde T
: Rn → Rn
é dada por T (x1 , . . . , xn ) = (−x1 , x2 , . . . , xn ). Vamos vericar que isto dene uma orientação em
∗
M . Para tanto, sejam α, β tais que Vα ∩ Vβ 6= ∅. Como (φ−1
α ) w = fα (x)dx1 ∧ . . . ∧ dxn então
∗
∗
(φ∗α )(φ−1
α ) w = fα ◦ φα (x)φα (dx1 ∧ . . . ∧ dxn ), ou seja,
φ∗α (dx1 ∧ . . . ∧ dxn ) =
w
,
fα ◦ φα (x)
para todo α. Daí,
∗
(φβ ◦ φ−1
α ) (dx1 ∧ . . . ∧ dxn )
=
fα
dx1 ∧ . . . ∧ dxn .
fβ ◦ φβ ◦ φ−1
α
=
det(d(φβ ◦ φ−1
α )) dx1 ∧ . . . ∧ dxn .
Por outro lado, pela observação 1.2.1,
∗
(φβ ◦ φ−1
α ) (dx1 ∧ . . . ∧ dxn )
Logo
det(d(φβ ◦ φ−1
α ))
=
fα
>0
fβ ◦ φβ ◦ φ−1
α
como queríamos demonstrar.
1.4 Integração de formas
Nesta seção nós deniremos a integração de uma
n−forma numa superfície n−dimensional.
Primeiro consideraremos o caso de um subconjunto aberto conexo
U ⊂ Rn com coordenadas
x1 , . . . , xn .
Para uma forma w dena o suporte de w , supp. w , pelo conjuntos {x : w(x) 6= 0}.
Seja w uma n−forma em U ⊂ R
todo R
n
n
com suporte compacto. Note então que w estende-se para
por 0 com suporte em algum cubo. Sabemos que w pode ser escrita como
w = f (x1 , . . . , xn )dx1 ∧ . . . ∧ dxn ,
38
[CAP. 1:
PRELIMINARES
para alguma função f . Portanto nós podemos denir
Z
Z
Z Z
w=
w=
Z
...
Rn
U
f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn ,
(1.24)
Rn
onde a integral do lado direito é a integral de Riemann usual. Para esta denição fazer sentido
necessitamos que f seja Riemann-integrável com suporte compacto.
Agora, suponha que W ∈ R
n
é outro conjunto aberto e h : W → U seja um difeomorsmo. Já
vimos na seção 1.2.1 que
h∗ w = (f ◦ h) det(h0 )dx1 ∧ . . . ∧ dxn .
Conseqüentemente, pelo Teorema de mudança de variável,
Z
h∗ w
Z Z
Z
...
f (h(x1 , . . . , xn )) det(h0 (x1 , . . . , xn ))dx1 . . . dxn
Rn
Z Z
Z
= ±
...
f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn
Rn
Z
= ± w,
=
0
onde o sinal é o sinal de det(h ).
Assuma que M seja uma superfície n−dimensional orientada, com a orientação positiva. Usaremos somente cartas nesta orientação. Seja w uma n−forma na qual seu suporte está contido
num conjunto aberto U domínio de uma carta φ : U
n−forma em W ⊂ Rn . Assim nós deniremos
Z
Z
w =
→ W ⊂ Rn . Sabemos que (φ−1 )∗ w é uma
(φ−1 )∗ w.
(1.25)
Rn
M
Para mostrar que esta denição independe da escolha da carta, seja ψ outra carta e denote
h := ψ ◦ φ−1 . Então ψ −1 ◦ h = φ−1 e pelo que vimos anteriormente
Z
Z
−1 ∗
(φ ) w =
(ψ −1 ◦ h)∗ w
Z
=
(ψ −1 )∗ w
como queríamos demonstrar.
Agora seja w uma n−forma arbitrária em M com suporte compacto K . Seja {Ui } uma cobertura localmente nita de M e {fi } uma partição da unidade subordinada a esta cobertura. Note
que o conjunto K intersecta somente uma quantidade nita dos Ui . Nós denimos
Z
w
=
XZ
i
fi · w.
(1.26)
[SEC. 1.4:
39
INTEGRAÇÃO DE FORMAS
Considere {gj } uma outra tal partição.
Vamos mostrar que isto está bem denido.
1=
X
fi gj . Segue que fi = fi
i,j
X
gj =
X
j
Então
fi gj . Daí,
j
Z
fi w =
XZ
fi gj w.
j
Portanto
XZ
Z
w
=
fi w
i
XXZ
=
i
XZ
=
fi gj w
j
gj w
j
como queríamos.
Agora, consideremos M e N duas superfícies n−dimensionais conexas e orientáveis e ϕ : M → N
2
um difeomorsmo que preserva a orientação . Se w ∈ Ω
Z
ϕ∗ w =
n
(N ) tem suporte compacto então
Z
M
w
N
De fato, seja {Ui } uma cobertura localmente nita de M com cada Ui domínio de uma carta,
que denotaremos por ψi , e {fi } uma partição da unidade subordinada a esta cobertura.
Auto-
maticamente, {ϕ(Ui )} é uma cobertura localmente nita de N com cada ϕ(Ui ) domínio da carta
ψi ◦ ϕ−1 e {fi ◦ ϕ−1 } é uma partição da unidade subordinada à cobertura {ϕ(Ui )}. De acordo com
a denição de integração que vimos aqui, temos que
Z
w
=
N
XZ
i
=
XZ
i
=
(fi ◦ ϕ−1 ) ◦ (ϕ ◦ ψi−1 ) · (ϕ ◦ ψi−1 )∗ w
ψi (Ui )
XZ
i
=
fi ◦ ϕ−1 · w
ϕ(Ui )
XZ
i
=
fi ◦ ϕ−1 · w
N
ψi (Ui )
XZ
Zi
=
(fi ◦ ψi−1 ) · (ψi−1 )∗ ◦ ϕ∗ w
fi · ϕ∗ w
M
ϕ∗ w.
M
2 Preservar orientação signica que para toda carta positiva ψ em M , ψ ◦ ϕ−1 é uma carta positiva em N .
40
[CAP. 1:
PRELIMINARES
Consequentemente, como todo aberto A ⊂ M pode ser considerado uma superfície n−dimensional
conexa e ϕ : A → ϕ(A) um difeomorsmo, segue que
Z
ϕ∗ w =
A
n
Chamaremos Rj
Z
w.
(1.27)
ϕ(A)
= {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; xj ≥ 0} de j -ésimo
n
semi-espaço de R . Um conjunto
M ⊂ Rn chama-se superfície com bordo (de dimensão m e classe C k ) quando cada ponto x ∈ M
pertence a um aberto U
⊂ M que é imagem de uma parametrização ϕ : U0 → U , de classe C k ,
numa aberto U0 de algum semi-espaço de R
m
.
O bordo (ou fronteira) de M é o conjunto ∂M formados pelos pontos x ∈ M tais que, para
toda parametrização ϕ : U0
→ U , de classe C 1 , de um aberto U ⊂ M , com x = ϕ(u), tem-se
necessariamente u ∈ ∂U0 .
Observação 1.4.1. Sempre que dissermos simplesmente superfície, sem qualicações, estaremos
nos referindo a uma superfície sem bordo, de classe C
∞
.
Finalizaremos esta seção enunciando o Teorema de Stokes cuja prova pode ser encontrada em
[3].
Teorema 1.4.1 (Stokes). Seja M uma superfície n-dimensional orientável com bordo e w uma
(n − 1)-forma em M com suporte compacto. Então
Z
Z
dw =
w.
M
(1.28)
∂M
1.5 Topologias C k
Considere C
k
(M, Rs ) o espaço das aplicações continuas de classe C k , 0 ≤ k < ∞, denidas em uma
superfície compacta M . As operações usuais de soma e produto de funções tornam C
k
(M, Rs ) um
espaço vetorial. Seja V1 , . . . , Vn uma cobertura de M tal que cada Vi esteja contida no domínio de
uma carta local {xi , Ui } com xi (Ui ) = B(2) e xi (Vi ) = B(1). Estas escolhas são sempre possíveis,
ver [10]. Para f ∈ C
k
(M, Rs ) denote por f i := f ◦ x−1
: B(2) → Rs . Deniremos
i
kf kC k = max sup {kf i (u)k, kDf i (u)k, . . . , kDk f i (u)k}.
i
u∈B(1)
Na denição acima, considere kD
k ≥ 1.
k i
f (u)k = sup{kDk f i (u)(v1 , . . . , vk )k; kvi k = 1, 1 ≤ i ≤ k},
[SEC. 1.5:
TOPOLOGIAS
41
CK
Proposição 1.5.1. k kC é uma norma.
k
Demonstração. Como estamos tomando o supremo de elementos não-negativos, temos que kf kC k ≥
0.
Além disso, se
kf kC k = 0 então kf i kC k ≤ kf kC k = 0 para todo i = 1, . . . , n.
Daí,
0 =
f ◦ x−1
i (B(1)) = f (Vi ), ∀i = 1, . . . , n. Logo f ≡ 0. É claro que kαf kC k =| α | kf kC k , ∀α ∈ R.
Agora, dados f, g ∈ C
kf + gkC k
=
k
(M, Rs ) temos que
max sup {kf i + g i (u)k, kDf i (u) + Dg i (u)k, . . . , kDk f i (u) + Dk g i (u)k}
i
u∈B(1)
≤ max[ sup {kf i (u)k, kDf i (u)k, . . . , kDk f i (u)k}
i
+
u∈B(1)
sup {kg i (u)k, kDg i (u)k, . . . , kDk g i (u)k}]
u∈B(1)
= kf kC k + kgkC k .
Logo k
kC k é de fato uma norma.
Veremos na proposição abaixo que com esta norma o espaço das aplicações de classe C
k
denidas
numa superfície compacta M é completo.
Proposição 1.5.2. C k (M, Rs ) com a norma k kC é um espaço vetorial completo.
k
Demonstração. Devemos mostrar que, nesta norma, toda seqüencia de Cauchy em C
verge para algum elemento desse espaço. Seja fλ : M
k
(M, Rs ) con-
→ Rs um seqüencia de Cauchy na norma
k kC k . Dado p ∈ M , existe l ∈ 1, . . . , n tal que p ∈ Vl e para algum u ∈ B(1) temos que
fλ (p) = f ◦ x−1
l (u).
Daí,
kfλ (p) − fλb (p)k ≤ kfλ − fλb kC k < ε ,
Esta desigualdade diz que fλ (p) é uma seqüencia de Cauchy em R
f (p) = lim
λ→∞
s
e portanto converge. Denote
fλ (p). Em particular, fλi (u) → f i (u) para todo u ∈ B(1) e i = 1, . . . , n. Por outro lado,
i
para cada u ∈ B(1), Dfλ (u) é uma seqüencia de Cauchy em L(R
converge para uma transformação linear T
i
m
× Rm , Rs ) e, por conseguinte,
(u). Vamos mostrar que tal convergência é uniforme.
Com efeito, dado ε > 0, existe n0 ∈ Z tal que se λ1 , λ2 > n0 então
kDfλi 1 (u) − Dfλi 2 (u)k <
ε
, ∀u ∈ B(1).
2
42
[CAP. 1:
i
Como, para cada u ∈ B(1), Dfλ (u) → T
i
PRELIMINARES
(u) então existe n1 ∈ Z que depende de u tal que se
m ≥ n1 então
i
kDfm
(u) − T i (u)k <
ε
.
2
Assim, para λ > max{n0 , n1 },
kDfλi (u) − T i (u)k
≤
<
i
i
kDfλi (u) − Dfm
(u)k + kDfm
(u) − T i (u)k
ε ε
+ =ε
2 2
Pelo Teorema de derivação termo a termo, ver [10], temos que f
i
é C
1
e Df
i
= T i . Segue que
fn → f na norma k kC 1 . Com a mesma argumentação, mostramos, por indução, que f ∈ C k e
fn → f na norma k kC k .
Capítulo 2
Cohomologia de de Rham
n
Neste capitulo, salvo menção ao contrário, M, N e P denotarão superfícies contidas no R .
2.1 Denição
r
Dizemos que duas formas fechadas w1 , w2 ∈ Ω (M ) são cohomólogas, e escrevemos w1 ∼ w2 , se
existir alguma foma λ ∈ Ω
r−1
(M ) tal que w1 − w2 = dλ. Vamos vericar que tal relação é de
r
equivalência. Sejam w1 , w2 , w3 ∈ Ω (M ) formas fechadas então:
• w1 ∼ w1 pois se λ é uma (r − 1)-forma fechada então w1 − w1 = 0 = dλ;
e ∈ Ωr−1 (M ) tais que w1 − w2 = dλ e
• Se w1 ∼ w2 e w2 ∼ w3 então w1 ∼ w3 pois existem λ, λ
e implicando que w1 − w3 = d(λ + λ)
e ;
w2 − w3 = dλ
• Se w1 ∼ w2 então w2 ∼ w1 pois como existe λ ∈ Ωr−1 (M ) tal que w1 − w2 = dλ, basta tomar
λ0 = −λ para obter w2 − w1 = dλ0 .
r
Deste modo, se w ∈ Ω (M ) é forma fechada, denotaremos por
[w] = w + dλ; λ ∈ Ωr−1 (M )
a sua classe de cohomologia. Repare que a classe [0] é a coleção das r -formas exatas sobre M .
r
Proposição 2.1.1. O conjunto HdR
(M ) = { [w] : w ∈ Ωr (M ) com dw = 0} forma um grupo
aditivo, para todo r > 0.
43
44
[CAP. 2:
COHOMOLOGIA DE
DE RHAM
Demonstração. Sabemos que se w1 , w2 são formas fechadas em M então w1 + w2 é forma fechada
pois d(w1 + w2 ) = dw1 + dw2 = 0. Assim, deniremos a operação de adição da maneira natural,
ou seja, dadas w1 , w2 são formas fechadas em M então [w1 ] + [w2 ] = [w1 + w2 ]. Logo, as seguinte
propriedades são facilmente vericadas:
i)
([w1 ] + [w2 ]) + [w3 ] = [w1 ] + ([w2 ] + [w3 ]), ∀ w1 , w2 , w3 ∈ Ωr (M ) formas fechadas;
ii)
[w] + [0] = [0] + [w] = [w], ∀ w ∈ Ωr (M ) forma fechada;
r
iii) Para toda w ∈ Ω (M ) forma fechada, [−w] é o seu inverso.
r
Portanto, HdR (M ) é, de fato, um grupo.
r
O grupo HdR (M ) é chamado de r -ésimo grupo de cohomologia de de Rham de M . Algumas
vezes escrevermos simplesmente grupos de de Rham.
r
Por convenção e pela Proposição 1.1.2 temos que HdR (M ) é o grupo nulo
1 se r < 0 ou r > dim M
0
. Como não existe forma de grau −1, temos que HdR (M ) = {f : M → R diferenciáveis; df = 0}.
Notemos que se df
= 0 então f é localmente constante. Se M for conexa então f é constante e
portanto HdR (M ) ∼
= R. Mas adiante calcularemos HdR (M ) quando M não for conexa. Decorre
0
0
r
da denição que se HdR (M ) = 0 então toda r -forma fechada é exata, para 0 < r ≤ dim M .
p
q
p+q
Note que existe um produto HdR (M ) × HdR (M ) → HdR
(M ) dado por [w] × [η] 7→ [w ∧ η].
Vamos vericar que este produto está bem denido. Ora, se w e η são formas fechadas, de graus
p e q , respectivamente, então, pela Proposição 1.2.2,
(w + dλ1 ) ∧ (η + dλ2 )
= w ∧ η + w ∧ dλ2 + dλ1 ∧ η + dλ1 ∧ dλ2
= w ∧ η + dθ
−gr w
onde θ = (−1)
w ∧ λ2 + λ1 ∧ η + λ1 ∧ dλ2 . Deste modo, [w + dλ1 ] × [η + dλ2 ] = [w] × [η],
cando provado que a aplicação acima está bem denida. Assim, dada uma classe [w], denotaremos
[w]n := [w] × · · · × [w].
Na seção 1.2.1, vimos que uma aplicação diferenciável
G : M → N induz uma aplicação
G∗ : Ωr (N ) → Ωr (M ), que a chamamos de pull-back. Além disso, pela Proposição 1.2.2, segue
que
• Se w ∈ Ωr (N ) é fechada então G∗ w é forma fechada pois d(G∗ w) = G∗ (dw) = 0;
1 Algumas vezes usaremos 0 para denotar este grupo.
[SEC. 2.1:
45
DEFINIÇÃO
• Se w = dλ é exata então (G∗ w) = G∗ (dλ) = d(G∗ λ).
Existe ainda uma outra aplicação induzida de
∗
r
r
HdR
(N ) em HdR
(M ), que continuaremos a
r
denotar por G , em que se w ∈ Ω (N ) é forma fechada então
G∗ [w] = [G∗ w].
Chamaremos esta aplicação de aplicação cohomóloga induzida. Perceba que se w
0
= w + dλ então
[G∗ w0 ] = [G∗ w + d(G∗ λ)] = [G∗ w]. Assim esta aplicação está bem denida. A partir do que já
sabemos de pull-back, segue as seguintes propriedades:
P1. Se F : N → P é outra aplicação diferenciável então
r
r
(F ◦ G)∗ = G∗ ◦ F ∗ : HdR
(P ) → HdR
(M ).
P2. Se
IdM denota a aplicação identidade de M então (IdM )∗ é a aplicação identidade de
r
HdR
(M ).
Observação 2.1.1. Superfícies difeomorfas têm grupos de cohomologia de de Rham isomorfos.
Com efeito, se F
: M → N é difeomorsmo então F ∗ : Ωr (N ) → Ωr (M ) é um isomorsmo.
Assim, a aplicação cohomóloga induzida F
∗
r
r
: HdR
(N ) → HdR
(M ) também é isomorsmo.
Exemplo 2.1.1. Os grupos de de Rham do círculo S1 são
r
HdR
(S1 ) ∼
=
1
Sendo S
0
R,
se r = 0, 1.
0,
se r > 1.
1
é conexo então HdR (S ) = R.
r
1
Ademais, HdR (S ) = 0 para r
> 1.
Falta apenas
1
HdR
(S1 ).
2 sobre U = R2 r {0}. Considerando a aplicação inclusão
Seja α a 1-forma elemento de ângulo
i : S 1 ,→ U , temos que i∗ α é uma 1-forma em S 1 . Segue que
Z
Z 2π
∗
i α=
dθ = 2π.
S1
(2.1)
0
∗
∗
Deste modo, i α não pode ser uma forma exata pois se existisse uma 0-forma λ tal que i α = dλ
então pelo Teorema de Stokes
Z
i∗ α =
S1
2 Vimos a denição dessa forma no exemplo 1.2.1.
Z
dλ = 0
S1
46
[CAP. 2:
1
e isto contraria (2.1). Mais ainda, toda 1-forma w sobre S
COHOMOLOGIA DE
DE RHAM
é fechada pois dw é uma 2-forma em
S1 e pela Proposição 1.1.2 tem-se dw = 0.
Assuma, por um momento, que se λ é uma 1-forma então λ − kdθ é exata para algum k ∈
R. Deste modo, toda 1-forma sobre S1 difere de um múltiplo real de dθ por uma forma exata.
Conseqüentemente, HdR (S ) ∼
= R.
1
1
Vamos provar o que assumimos anteriormente.
1
Escreva λ = f (θ)dθ e seja k =
2π
Z
λ.
S1
Considere a seguinte função
Z θ
(f (θ) − k)dθ.
g(θ) =
0
Note que g(0) = g(2π). Ademais, dg = (f (θ) − k)dθ = λ − kdθ .
2.2 Invariância homotópica
Nesta seção faremos uma generalização da observação 2.1.1, na qual mostraremos que os grupos
de de Rham são topologicamente invariantes. Na verdade eles são algo mais, são homotopicamente
invariantes.
Sejam X e Y espaços topológicos. Diremos que duas aplicações contínuas f, g : X → Y são
homotópicas, e escreveremos f ' g , se existir uma aplicação contínua H : X × [0, 1] → Y tal que
H(x, 0) = f (x) e H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ X .
Uma aplicação contínua F
aplicação continua G : Y
: X → Y é dita ser uma equivalência homotópica se existir uma
→ X tal que F ◦ G ' IdY e G ◦ F ' IdX . Tal aplicação G é chamada
homotopia inversa de F . Quando existir uma equivalência homotópica entre X e Y diremos que
eles são homotopicamente equivalentes e escreveremos X ' Y .
Exemplo 2.2.1. Sn−1 ' Rn r {0}, n ≥ 1.
n−1
De fato, a aplicação inclusão i : S
,→ Rn r {0} é uma equivalência homotópica com homo-
x
n
pois r ◦ i = IdSn−1 e a aplicação identidade de R r {0} é homotópica a
kxk
x
i ◦ r via a homotopia H(x, t) = tx + (1 − t)
.
kxk
topia inversa r(x) =
Teorema 2.2.1 (Invariância homotópica dos grupos de de Rham). Se M e N são superfícies
r
r
homotopicamente equivalente então HdR (M ) é isomorfo a HdR (N ) para cada r .
Demonstração. Ver [8].
[SEC. 2.3:
47
ALGUNS EXEMPLOS
Em particular, os grupos de de Rham de duas superfícies homeomorfas são também isomorfos
pois todo homeomorsmo é uma equivalência homotópica.
2.3 Alguns exemplos
O cálculo direto dos grupos de de Rham não é nada fácil em geral. Dedicaremos está seção em
n
n
calcular alguns casos particulares, tais como R , S .
Comecemos com uniões disjuntas.
Proposição 2.3.1 (Cohomologia de uniões disjuntas). Seja Mj uma coleção enumerável de superfícies disjuntas e M
=
[
Mj .
Para cada r , a aplicação inclusão ij
: Mj ,→ M induz um
j
r
isomorsmo de HdR (M ) para
Y
r
HdR
(Mj ).
j
Demonstração. Os pull-backs
Y
i∗j : Ωr (M ) → Ωr (Mj ) induzem uma aplicação entre Ωr (M ) e
Ωr (Mj ), a saber:
j
i∗ :
Ωr (M ) →
Y
Ωr (Mj )
j
w
7→ (i∗1 w, i∗2 w, . . .)
= (w|M1 , w|M2 , . . .).
Vamos vericar que esta aplicação é, de fato, um isomorsmo. Note que para qualquer r -forma
w tal que w|Mj = 0 para cada j então w ≡ 0. Isso prova a injetividade. Agora, seja (w1 , w2 , . . .)
Y
um elemento de
Ωr (Mj ), com wj ∈ Ωr (Mj ). Dena w ∈ Ωr (M ) por w(x) = wj (x) se x ∈ Mj .
j
∗
Assim, i w = (w|M1 , w|M2 , . . .) = (w1 , w2 , . . .) provando a sobrejetividade.
r
Por m, notemos que a aplicação i sugere o isomorsmo b
i : HdR (M ) →
Y
r
HdR
(Mj ) dado por
j
bi[w] = [i∗ w].
Em particular, os grupos de de Rham de uma superfície desconexa é o produto dos grupos
correspondentes nas suas componentes conexas.
0
Corolário 2.3.1. Se M é uma superfície desconexa então HdR
(M ) ∼
= Rc , onde é a quantidade de
componentes conexas de M .
48
[CAP. 2:
Demonstração. De fato, como M =
da Proposição 2.3.1 que HdR (M ) ∼
=
0
c
[
COHOMOLOGIA DE
DE RHAM
Mj , onde cada Mj é uma componente conexa de M , segue
j=1
c
Y
0
HdR
(Mj ) ∼
=
j=1
c
Y
Rj = Rc .
j=1
Examinaremos a cohomologia do espaço Euclideano.
Um subconjunto V
⊆ Rn é dito estrelado com respeito ao ponto q ∈ V se para todo todo x ∈ V ,
o segmento de reta de q a x está inteiramente contido em V . Os subconjuntos convexos e as bolas
(abertas ou fechadas) de R
n
são exemplos deste tipo de conjunto.
r
Teorema 2.3.1 (Poincaré). Se U ⊆ Rn um subconjunto aberto do tipo estrela então HdR
(U ) = 0,
para r ≥ 1.
Demonstração. Suponha U ⊆ R
n
do tipo estrela com respeito a q . Note que existe uma homotopia
H entre a aplicação identidade de U e a aplicação constante τ que envia U em {q} dada por:
H(x, t) = q + t(x − q).
Daí, a aplicação inclusão i : {q} ,→ U é uma equivalência homotópica pois i ◦ τ
= τ ' IdU e
r
r
τ ◦ i = Id{q} . Segue do Teorema 2.2.1 que HdR
(U ) = HdR
({q}) = 0 para r ≥ 1.
Exemplo 2.3.1. Grupos de de Rham de Rn .
Como R
n
r
é do tipo estrela, HdR (R
n
) = 0 para r ≥ 1.
Corolário 2.3.2. Seja M uma superfície e w uma r−forma fechada em M , r ≥ 1. Para qualquer
q ∈ M existe uma vizinhança U de q na qual w|U é exata.
Demonstração. Todo q
∈ M tem uma vizinhança U difeomorfa a uma bola aberta em Rn , a
qual é um conjunto do tipo estrela.
Logo, juntando e o Teorema 2.2.1 e a Proposição 2.3.1,
r
HdR
(U ) = 0.
Dois caminhos fechados µ1 , µ2 : [a, b] → X
⊂ Rn são livremente homotópicos se existir uma
aplicação contínua H : [a, b]×[0, 1] → X tal que H(s, 0) = µ1 (s), H(s, 1) = µ2 (s) e H(a, t) = H(b, t)
para quaisquer s ∈ [a, b] e t ∈ [0, 1].
Um subconjunto U ⊂ R
n
é simplesmente conexo se é conexo por caminhos e, além disso, todo
caminho fechado em U é livremente homotópico a um caminho constante.
1
Teorema 2.3.2. Se M é uma superfície simplesmente conexa então HdR
(M ) = 0.
[SEC. 2.3:
49
ALGUNS EXEMPLOS
Demonstração. Ver [8].
Passemos ao cálculo do n-ésimo grupo de de Rham de uma superfície M n-dimensional, compacta e orientável.
Não é difícil vericar que a aplicação I : Ω
n
Z
(M ) → R dada por I(w) =
w é linear. Além
M
do mais, pelo Teorema de Stokes, a integral de qualquer forma exata é zero. Assim, esta aplicação
n
nos sugere uma outra aplicação linear, que denotaremos pelo mesmo símbolo, de HdR (M ) para R
dada por:
n
I : HdR
(M )
→
R
(2.2)
Z
7−→
[w]
w
M
Note que tal aplicação esta bem denida pois se w
b = w + dλ (outro representante para a classe
[w]) então
Z
I([w])
b
=
M
w
b
Z
=
(w + dλ)
ZM
=
w
M
= I([w]).
Teorema 2.3.3 (De Rham). Para qualquer superfície compacta, conexa, orientável e n-dimensional
n
M , a aplicação I : HdR
(M ) → R é um isomorsmo.
Demonstração. Assumiremos que n ≥ 1 pois o caso 0-dimensional decorre da nossa denição. Pela
Z
Proposição 1.3.1 existe uma forma de volume em M e a denotaremos por Ω.
Note que podemos assumir que
c >
Seja c =
Ω.
M
0 pois podemos reescrever, localmente, a forma Ω como
f (x)dx1 . . . dxn com f (x) 6= 0 para todo x ∈ M . Assim, tomamos a orientação de modo que f seja
sempre positiva.
Provaremos, primeiro, a sobrejetividade.
Z
I([w]) =
a
a
Ω=
c
c
M
Z
Dado qualquer
a ∈ R, tome w =
a
Ω.
c
Assim,
Ω = a.
M
Para provar a injetividade, mostraremos que ker I = {[ 0 ]}. Em outras palavras, nós temos
que mostrar que se w ∈ Ω
n
Z
(M ) satisfaz
w = 0 então w é exata.
M
n
Seja {U1 , . . . , Um } uma cobertura nita de M por abertos que são difeomorfos ao R e considere
Mk = U1 ∪ · · · ∪ Uk para k = 1, . . . , m. Como M é conexa, reodernando os conjuntos se necessário,
50
[CAP. 2:
COHOMOLOGIA DE
DE RHAM
podemos assumir que Mk ∩ Uk+1 6= ∅ para cada k .
Armação: Se w é uma n-forma com suporte compacto contido em Mk e satisfaz
Z
w = 0
Mk
então existe uma (n − 1)-forma η com suporte compacto contido em Mk tal que dη = w .
Observe que quando k = m, a armação acima resolve o problema da injetividade que queremos,
pois toda forma sobre uma superfície compacta tem suporte compacto.
Prova da armação. Faremos a prova por indução sobre k . Para k = 1, como M1 = U1 é difeomorfo
n
n
a R , o armação se reduz às formas com suporte compacto em R .
Por ser a prova disto um
tanto trabalhosa, deixaremos para mais adiante (Lema 2.3.1). Assumindo isto a partir de agora,
continuaremos com a indução.
Suponha que a armação é verdadeira para k ≥ 1 e que a n-forma w tenha suporte compacto
Z
contido em Mk+1
= Mk ∪ Uk+1 satisfazendo
w = 0.
Escolha uma n-forma auxiliar α ∈
Mk+1
Ωn (Mk+1 ) com suporte compacto em Mk ∩ Uk+1 e que satisfaz
Z
α = 1.
Mk+1
Seja {ϕ, ψ} uma partição da unidade para Mk+1 estritamente subordinada a cobertura {Mk , Uk+1 }.
Z
ϕ w. Note que a n-forma (ϕ w − rα) tem suporte compacto contido em Mk e
Seja r =
Mk
Z
Z
Z
(ϕ w − rα) =
Mk
ϕw − r
α = 0.
Mk
Mk
Portanto, por hipótese de indução, existe uma (n − 1)-forma λ com suporte compacto contido em
Mk tal que dλ = ϕ w − rα. Analogamente, (ψ w + rα) é uma n-forma com suporte compacto em
Uk+1 e
Z
Z
(ψ w + rα)
Z
(1 − ϕ) w + r
=
Uk+1
Mk+1
Mk+1
=
Z
w−
=
α
Mk+1
Z
ϕw + r
Mk+1
0
Logo, pelo Lema 2.3.1, existe outra (n − 1)-forma β com suporte compacto em Uk+1 , tal que
dβ = ψw + rα. Ambas λ e β podem ser estendidas para zero de forma suave com suporte compacto
em Mk+1 . Assim,
d(λ + β) = (ϕ w − rα) + (ψ w + rα) = (ϕ + ψ)w = w
o que completa o passo indutivo.
(2.3)
[SEC. 2.3:
51
ALGUNS EXEMPLOS
Lema 2.3.1. Seja n ≥ 1 e w ∈ Ωn (Rn ) com suporte compacto tal que
uma (n − 1)-forma η com suporte compacto em R
n
Z
tal que dη = w .
w = 0. Então existe
Rn
Demonstração. Faremos a prova por indução por n. Para n = 1, podemos escrever w = f dx para
alguma função f suave com suporte compacto. Escolha R > 0 tal que supp.f ⊆ [−R, R], e dena
F : R → R por
Z x
F (x) =
f (t) dt.
−R
0
Segue que dF = F (x) dx = f dx. Quando x < −R, F (x) = 0 pela escolha do R. Se x > R então,
Z
w = 0, temos que
pelo fato de
Rn
Z x
Z R
F (x) =
f (t) dt =
−R
Z x
f (t) dt +
−R
f (t) dt = 0.
R
Diante disso, supp.f ⊆ [−R, R]. Isto completa a prova para o caso n = 1.
n
Agora, seja n ≥ 1 e suponha que este Lema é verdadeiro para R . Vamos considerar R
n+1
como
n
espaço produto R × R , com coordenadas (y, x) = (y, x1 , . . . , xn ). Seja Ω(y, x) = dx1 ∧ . . . ∧ dxn
n
uma n-forma sobre R × R .
Suponha que w é qualquer (n + 1)-forma com suporte compacto em R × R
n
tal que
Z
w = 0.
R×Rn
Então podemos escrever w como
w = f dy ∧ Ω
para alguma função suave f com suporte compacto. Escolha R > 0 tal que supp.f ⊆ {(y, x); |y| ≤
R e |x| ≤ R}.
Z
Seja ϕ : R → R uma função bump com suporte em [−R, R] e satisfaz
e :R×R
funções suaves e, E, F, F
n
ϕ(y)dy = 1. Dena
R
→ R como segue:
e(y, x)
= ϕ(y);
Z y
E(y, x) =
ϕ(t)dt;
−R
Z y
F (y, x) =
f (t, x)dt;
−R
Z R
Fe(y, x)
=
f (t, x)dt.
−R
Estas funções têm as seguintes propriedades:
52
[CAP. 2:
P1.
∂e
∂E
=
= 0;
∂xj
∂xj
P2.
∂E
= e;
∂y
P3.
∂F
= f;
∂y
P4.
∂ Fe
= 0.
∂y
∗
Σ
Rn
DE RHAM
,→ R × Rn é o mergulho i(x) = (0, x). Note que
Z
=
Fe(0, x) dx1 . . . dxn
Rn
Z Z
f (y, x) dydx1 . . . dxn
=
n
ZR ZR
=
w
eΩ), onde i : R
Denote por Σ = i (F
Z
COHOMOLOGIA DE
n
Rn
=
R
0.
Logo, pela hipótese de indução, existe uma (n − 1)-forma σ com suporte compacto em R
n
tal que
dσ = Σ.
Denamos uma n-forma η em R × R
n
por
η = (F − FeE)Ω − e dy ∧ π ∗ σ,
onde π : R × R
n
→ Rn é a projeção canônica. Quando y < −R, nós temos F = E = e = 0 então
η ≡ 0. Se y > R então e = 0, E ≡ 1 e F = Fe, assim η ≡ 0 também. Logo η tem suporte compacto
n
em R × R .
Para mostrar que dη = w , comecemos calculando
dη = dF ∧ Ω − Fe dE ∧ Ω − E dFe ∧ Ω − de ∧ dy ∧ π ∗ σ + e dy ∧ d(π ∗ σ).
Analisaremos cada um destes termos separadamente. Como dxj ∧ Ω = 0, o 1
dF ∧ Ω
∂F
∂F
dy +
dxj
∂y
∂xj
= f dy ∧ Ω
=
∧Ω
= w.
o termo nós temos que
Para o 2
−Fe dE ∧ Ω = −Fe
∂E
dy ∧ Ω = −Fee dy ∧ Ω.
∂y
o termo ca
[SEC. 2.3:
53
ALGUNS EXEMPLOS
Desde que
∂ Fe
= 0, o 3o termo reduz para
∂y
−E dFe ∧ Ω = −E
∂ Fe
dxj ∧ Ω = 0.
∂xj
o termo também é igual a zero pois de ∧ dy = ϕ0 (y)dy ∧ dy = 0. Por m, para o 5o termo,
O 4
nós observamos que π
portanto π
∗
∗ ∗e
i F = Fe pois Fe é independente de y e π ∗ i∗ Ω = Ω por um calculo direto e
Σ = FeΩ. Deste modo
e dy ∧ d(π ∗ σ)
= e dy ∧ π ∗ dσ
= e dy ∧ π ∗ Σ
= Fee dy ∧ Ω,
que cancela com o 2
o termo. Logo dη = w.
Finalizando esta seção, enunciaremos um teorema (Mayer-Vietoris) que pode ser usado para
calcular os grupos de de Rham de diversos espaços, expressando como uniões de subconjuntos
abertos com cohomologia simples.
i
j
Dados i : A → B e j : B → C homomorsmo de grupos, diremos que uma seqüência A −
→B−
→
C é exata se Im(i) = ker(j).
Considere M uma superfície e U, V subconjuntos abertos de M tal que U ∪ V
= M . Temos o
seguinte diagrama de inclusões:
k
UO
/M
O
i
(2.4)
l
U ∩V
j
/V
o qual as aplicações pull-back induzem o seguinte diagrama sobre as formas diferenciais:
Ωp (U )
O
i∗
(2.5)
j∗
k∗
Ωp (M )
/ Ωp (U ∩ V )
O
l∗
/ Ωp (V )
Claro que também existe um diagrama análogo a (2.5) para os grupos de cohomologia de de
Rham.
54
[CAP. 2:
Dena as aplicações (k
∗
COHOMOLOGIA DE
DE RHAM
×l∗ ) : Ωp (M ) → Ωp (U )×Ωp (V ) e (i∗ −j ∗ ) : Ωp (U )×Ωp (V ) → Ωp (U ∩V )
por
(k ∗ × l∗ )(ω)
=
(i∗ − j ∗ )(ω, η)
(k ∗ ω, l∗ ω),
= i∗ ω − j ∗ η.
Teorema 2.3.4 (Mayer-Vietoris). Seja M uma superfície e U, V subconjuntos abertos de M tais
que U ∪ V
p
p+1
= M . Para cada p, existe um operador linear δ : HdR
(U ∩ V ) → HdR
(M ) tal que a
seguinte seqüência é exata:
δ
i∗ −j ∗
k ∗ × l∗
k ∗ × l∗
δ
p
p
p
p
p+1
··· −
→ HdR
(M ) −−−−→ HdR
(U ) × HdR
(V ) −−−−→ HdR
(U ∩ V ) −
→ HdR
(M ) −−−−→ · · ·
Uma prova para este teorema pode ser encontrada em [8].
(2.6)
A seqüência (2.6) é chamada se-
qüência Mayer-Vietoris para a cobertura aberta {U, V }.
Usaremos este fato para calcular os grupos de cohomologia de de Rham da esfera.
Exemplo 2.3.2. Grupos de de Rham de S n , n ≥ 1.
Vamos vericar que para n ≥ 1,
p
HdR
(Sn ) ∼
=
R,
se p = 0 ou p = n
0,
se 0 < p < n.
(2.7)
n
= Sn r {S} e
Seja N e S o pólo norte e o pólo sul de S , respectivamente, e considere U
V = Sn r {N }. Pela projeção estereográca, sabemos que U e V são difeomorfos ao Rn , e portanto
U ∩ V é difeomorfo a Rn r {0}.
Parte da seqüência de Mayer-Vietoris para {U, V } é
p−1
p−1
p−1
p
p
p
HdR
(U ) × HdR
(V ) −→ HdR
(U ∩ V ) −→ HdR
(Sn ) −→ HdR
(U ) × HdR
(V ).
Desde que U e V são difemorfos a R
n
p
p
então, pelo exemplo 2.3.1, HdR (U ) = HdR (V ) = 0 para
p
p−1
p > 1. Daí, HdR
(Sn ) ∼
= HdR (U ∩ V ). Visto que U ∩ V é difeomorfo a Rn r {0} e, pelo exemplo
2.2.1, R
n
r {0} ' Sn−1 então, para p > 1,
p
p−1
HdR
(Sn ) ∼
= HdR (Sn−1 ).
Seguiremos agora por indução sobre n.
O caso n
n−1
suponha que n ≥ 2 e que (2.7) é verdadeira para S
(2.8)
= 1 já foi feito no exemplo 2.1.1, assim
0
n
. Sabemos que HdR (S
)∼
= R e pelo Teorema
[SEC. 2.3:
ALGUNS EXEMPLOS
1
n
2.3.2 temos que HdR (S
55
) = 0. Para p > 1, juntamos a hipótese de indução e (2.8) e obtemos que
R, se p = n
p
p−1
HdR (Sn ) ∼
= HdR (Sn−1 ) ∼
=
0, se p < n.
Isto completa nossa vericação.
56
[CAP. 2:
COHOMOLOGIA DE
DE RHAM
Capítulo 3
Topologia Simplética
3.1 Álgebra linear simplética
Denição 3.1.1. Um espaço vetorial simplético é um par (V, w) onde V é um espaço vetorial real
de dimensão nita e w é uma 2-forma que satisfaz a seguinte propriedade:
1. (não degenerescência) A aplicação F : V → V
∗
dada por F (v) = w(v, ·) é isomorsmo linear
∗
de V sobre o seu dual V . Isto é equivalente a dizer que se w(v, u) = 0 para todo u ∈ V
então v = 0.
Exemplo 3.1.1. Considere em R2n a aplicação w0 denida por
w0 (u, v) = h J · u, vi, ∀u, v ∈ R2n
onde
J=
0n
In
−In
0n
,
2n×2n
n
com 0n e In representando a matriz nula e a matriz identidade de R , respectivamente. Observe
T
que J
= −J e det J 6= 0. Como h Ju, vi = h u, JT vi = −h u, Jvi então w0 é anti-simétrica. Agora,
xando u ∈ R
2n
, note que se w0 (u, v) = 0 para todo v ∈ R
interno, temos que u = 0.
2n
então, por propriedade de produto
Isto diz que w0 é não degenerada.
Logo R
2n
com a forma w0 é um
espaço simplético. Observe que se denotarmos por z = (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ) ∈ R
w0 =
n
X
dyi ∧ dxi .
i=1
57
2n
então
58
[CAP. 3:
De fato, dados u, v ∈ R
2n
TOPOLOGIA SIMPLÉTICA
temos que
w0 (u, v)
= h J · u, vi
n
X
=
(vi ui+n − ui vi+n )
i=1
=
n
X
dyi ∧ dxi (u, v).
i=1
Este espaço é também chamado
espaço simplético padrão .
Um conceito fundamental em espaços simpléticos é o de ortogonalidade, o qual é dado a seguir.
Seja (V, w) um espaço simplético.
Dados u, v
∈ V dizemos que u é ortogonal a v (no sentido
simplético), e escreveremos u ⊥ v , se w(u, v) = 0. Se E é subespaço vetorial de V , denamos o
complemento ortogonal simplético por
E w = {u ∈ V ; w(u, v) = 0, ∀ v ∈ E}
Não é difícil vericar que E
w
é um subespaço vetorial de V .
Observação 3.1.1. Se E ⊂ V então dim E w + dim E = dim V .
De fato, escolhendo uma base
e1 , . . . , ed em E , o subespaço E w é o núcleo dos funcionais
linearmente independentes w(ej , ·) em V de modo que dim E
w
= dim V − dim E .
Observação 3.1.2. E e E w não são necessariamente subespaços complementares.
Com efeito, observe que todo v ∈ V é ortogonal a si mesmo pois w(v, v) = −w(v, v), ou seja,
w(v, v) = 0. Logo se dim E = 1 então E ⊆ E w .
Isso nos motiva a seguinte a próxima denição.
Denição 3.1.2. Seja (V, w) um espaço vetorial simplético. Um subespaço E ⊆ V é dito
• simplético se E ∩ E w = {0};
• isotrópico se E ⊆ E w ;
• coisotrópico se E w ⊆ E ;
• lagrangiano se E = E w .
[SEC. 3.1:
59
ÁLGEBRA LINEAR SIMPLÉTICA
Observação 3.1.3. Um subespaço E ⊆ V é simplético se, e somente se, w restrita ao subespaço
E é, ainda, não degenerada. Com efeito, w|E é não degenerada ⇔ quando w(v, u) = 0 para todo
u ∈ E então v = 0 ⇔ E ∩ E w = {0}.
O próximo resultado é o análogo simplético do fato de que todo espaço vetorial com produto
interno admite uma base ortonormal.
Proposição 3.1.1. A dimensão de todo espaço simplético (V, w) é par. Se dim V = 2n existe uma
base {e1 , . . . , en , f1 , . . . , fn } de V tal que para i, j = 1, 2, . . . , n,
w(ei , ej )
w(f , f )
i
j
w(fi , ej )
= 0
= 0
1,
=
0,
(3.1)
i=j
i 6= j
Demonstração. Comece escolhendo algum vetor e1 6= 0 em V . Como w é não degenerada, podemos
encontrar um vetor u ∈ V tal que w(u, e1 ) 6= 0. Dena
f1 =
Conseqüentemente,
mamos que E ∩ E
u
w(u, e1 )
f1 , e1 são linearmente independentes.
w
= {0}.
Considere E
Para vericar este fato, tome v
= span{e1 , f1 }1 .
∈ E ∩ Ew.
existem constantes α, β tais que v = αe1 + βf1 . Desde que v ∈ E
w
Como v
Ar-
∈ E então
, temos que 0 = w(v, f1 ) = α
e 0 = w(v, e1 ) = β . Portanto v = 0, como queríamos. Logo, E é subespaço vetorial simplético de
dimensão 2. Se dim V
= 2 então a proposição está provada. Se dim V > 2, repita a argumentação
acima para o complementar do subespaço simplético E
w
de V e numa quantidade nita de passos
encontraremos a base desejada.
Denição 3.1.3. Sejam (V1 , w1 ) e (V2 , w2 ) espaços vetoriais simpléticos. Uma aplicação linear
T : V1 → V2 é dita simplética se
T ∗ w2 = w1
Exemplo 3.1.2.
No caso
(3.2)
(V1 , w1 ) = (V2 , w2 ) = (R2n , w0 ), uma matriz A é simplética ⇔
h JAu, Avi = h Ju, vi para todo u, v ∈ R2n . Equivalentemente,
AT JA = J.
(3.3)
1 span{v , . . . , v } representa o espaço gerado pelos vetores v , . . . , v .
1
n
1
n
60
[CAP. 3:
A partir de (3.3) obtemos que | det A|
= 1.
TOPOLOGIA SIMPLÉTICA
Em particular, matrizes simpléticas em (R
2n
, w0 )
preservam volume.
Observação 3.1.4. Aplicações lineares simpléticas são sempre injetivas.
De fato, seja T
: (V1 , w1 ) → (V2 , w2 ) uma aplicação linear simplética.
Vamos vericar que
ker T = {0}. Se v ∈ ker T então T · v = 0. Como T é simplética então
0 = w2 (T · v, T · u) = w1 (v, u), ∀u ∈ V1 .
Desde que w1 é não degenerada obtemos que v = 0. Portanto ker T = {0}.
Proposição 3.1.2. Todo espaço simplético é simplectomorfo a (R2n , w0 ).
Demonstração. Seja (V, w) um espaço simplético. Seja {e1 , . . . , en , f1 , . . . , fn } ⊂ V a base dada
pela Proposição 3.1.1. Dados u, v ∈ V , podemos reescreve-los nesta base como segue
u
v
=
=
n
X
i=1
n
X
xi ei + xn+i fi
yi ei + yn+i fi
i=1
com x = (x1 , . . . , x2n ), y = (y1 , . . . , y2n ) ∈ R
2n
. Daí, usando as propriedades da nossa base e a
multi-linearidade da forma w , obtemos que
w(u, v)
=
=
n
X
j=1
n
X
xj w(ej ,
X
yi ei + yn+i fi ) +
i
n
X
j=1
xn+j w(fj ,
X
yi ei + yn+i fi )
i
(−xi yn+i + xn+i yi )
i=1
= w0 (x, y).
Agora, seja {e1 , . . . , en , f 1 , . . . , f n }
aplicação linear T
vimos acima, T
∗
:V →R
2n
⊂ R2n a base dada pela Proposição 3.1.1.
Considere a
em que T (ei ) = ei e T (f i ) = fi para todo i = 1, . . . , n. Pelo que
w0 = w.
3.2 Variedades simpléticas
Nesta seção veremos o conceito de variedade simplética. Claro que nem toda superfície(m-dimensional)
admite uma estrutura simplética pois a existência de um tal estrutura impõe sobre uma superfície
[SEC. 3.2:
61
VARIEDADES SIMPLÉTICAS
M certas condições. Por exemplo, uma superfície com uma tal estrutura deve ter dimensão par e
ser orientável.
Denição 3.2.1. Uma estrutura simplética em uma superfície M é uma 2−forma w em M satisfazendo:
i) dw = 0, ou seja, é fechada;
ii) Para cada x ∈ M , w(x) é não degenerada no espaço vetorial tangente Tx M .
Denição 3.2.2. O par (M, w) é chamado variedade simplética.
Exemplo 3.2.1. Considere M = R2n com a forma w0 , denida no exemplo 3.1.1. Já sabemos que
w0 é não degenerada e como w0 é constante, temos que dw0 = 0. Logo (R2n , w0 ) é uma variedade
simplética.
Decorre da denição acima que se (M, w) é uma variedade simplética então, para cada x ∈ M ,
(Tx M, w(x)) é um espaço vetorial simplético. Em particular, M tem dimensão par.
Uma importante generalização do exemplo 3.2.1 são os brados cotangentes, como veremos no
próximo exemplo.
Exemplo 3.2.2 (Fibrados Cotangentes).
trária.
Para cada q
Seja Q uma superfície n-dimensional orientável arbi-
∈ Q, denotaremos por Tq∗ Q := (Tq Q)∗ o espaço dos funcionais do espaço
tangente Tq Q de Q no ponto q . Chamaremos de brado cotangente o conjunto T
∗
Q = {(q, ξ) :
q ∈ Q, ξ ∈ Tq∗ Q}. Vamos vericar que este conjunto é, na verdade, um superfície de dimensão 2n.
n
→U ⊂Q
o
∂φ
∂φ
constituem uma
∂q1 (x), . . . , ∂qn (x)
Como Q é uma superfície, para cada q ∈ Q, existe uma parametrização φ : U0 ⊂ R
com q
= φ(x) ∈ U , para algum x ∈ U0 .
Sabemos que
n
∗
base do espaço vetorial tangente Tq Q. Denotaremos por {dq1 , . . . , dqn } ⊂ Tq Q o dual desta base.
Assim, dado ξ
∈ Tq∗ Q existem (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Rn tais que ξ =
n
X
ξi dqi .
i=1
parametrização ψ : U0 × R
n
→ T ∗ Q dada por ψ(x, ξ1 , . . . , ξn ) = (φ(x),
n
X
Isto nos induz outra
ξi dqi ). Algumas vezes
i=1
∗
chamaremos estas cartas de coordenadas cotangentes. Isso mostra que T
Q é, de fato, uma super-
fície 2n-dimensional. Agora, veremos que todo brado cotangente possui uma estrutura simplética
canônica. Seja (q1 , . . . , qn ) ∈ U
Dena a 2-forma w em T
∗
⊂ Q coordenadas locais para Q e (q1 , . . . , qn , ξ1 , . . . , ξn ) ∈ T ∗ U .
U por
w(q, ξ) =
n
X
i=1
dqi ∧ dξi .
(3.4)
62
[CAP. 3:
TOPOLOGIA SIMPLÉTICA
Para vericar que esta denição não depende das coordenadas, considere a 1-forma em T
α(q, ξ) =
n
X
ξi dqi .
∗
U
(3.5)
i=1
Evidentemente, w = −dα. Bem, basta mostrarmos que α não depende das coordenadas. Sejam
(U, q1 , . . . , qn , ξ1 , . . . , ξn ) e (U 0 , q10 , . . . , qn0 , ξ10 , . . . , ξn0 ) duas coordenadas cotangentes com U ∩U 0 6= ∅.
Note que se q ∈ U ∩ U
0
∗
e ξ ∈ Tq Q então
ξ=
n
X
ξi dqi =
i=1
0
onde ξj =
n
X
ξi
i=1
∂qi
∂qj0
n
X
ξi
i,j
∂qi
∂qj0
!
. Pelo que vimos acima, α =
!
dqj0 =
n
X
ξj0 dqj0
j=1
n
X
ξi dqi =
i=1
n
X
ξj0 dqj0 = α0 , o que mostra que
j=1
α não depende das coordenadas.
Denição 3.2.3. Sejam (M1 , τ1 ) e (M2 , τ2 ) variedades simpléticas. Uma aplicação diferenciável
ϕ : M1 → M2 é dita simplética se
ϕ ∗ τ2 = τ1
(3.6)
Observação 3.2.1. Aplicações simpléticas são automaticamente imersões. Basta notar que, para
0
todo x ∈ M1 , ϕ (x) : Tx M1 → Tϕ(x) M2 é uma aplicação linear entre espaços vetoriais simpléticos.
0
Dai, pela Observação 3.1.4, ϕ (x) é injetiva.
Exemplo 3.2.3.
Seja
ϕ : (R2n , w0 ) → (R2n , w0 ) um difeomorsmo simplético.
A partir da
denição,
h J ϕ0 (x) a, ϕ0 (x) bi = h J a, bi ⇐⇒ ϕ0 (x)T Jϕ0 (x) = J, ∀x ∈ R2n
0
Daí, | det ϕ (x)| = 1. Portanto, pelo Teorema de mudança de variável, difeomorsmos simpléticos
em (R
2n
, w0 ) preservam volume.
3.2.1 Teorema de Darboux
a vez em 1882 pelo próprio Darboux. A prova que daremos aqui será
Este teorema foi provado pela 1
seguindo a idéia de J. Moser [12], o qual descobriu uma prova mais elegante para este resultado.
2
Convém observar que se M é uma superfície n−dimensional e Λ ∈ Ω (M ), r ≤ n, é uma forma
não-degenerada em M então a aplicação
X(M ) → Ω1 (M )
X
7→
ιX Λ
(3.7)
[SEC. 3.2:
63
VARIEDADES SIMPLÉTICAS
é um isomorsmo. De fato, dados X, Y
∈ X(M ) e c ∈ R vemos que, usando a linearidade da forma
Λ,
[ιX+cY Λ(x)](·)
=
Λ(x)(X + cY, ·)
=
Λ(x)(X, ·) + cΛ(x)(Y, ·)
= ιX Λ(x)(·) + c ιY Λ(x)(·) , ∀ x ∈ M
O que prova a linearidade desta aplicação. Para mostrar que é isomorsmo, vericaremos que o
seu núcleo contém apenas o campo nulo. Ora, se X ∈ X(M ) é tal que ιX Λ(x) = 0,
∀x ∈ M, então
Λ(x)(X, ·) = 0. Como Λ é não-degenerada temos que X = 0. No caso em que Λ é forma de volume
em M obtemos um isomorsmo entre X(M ) e Ω
r−1
(M ).
Teorema 3.2.1 (Darboux). Suponha que w é uma 2−forma não degenerada em uma superfície
M de dimensão 2n.
Se dw = 0 então para cada p ∈ M existem coordenadas (U, ϕ) onde ϕ :
(x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ) ∈ R2n → q ∈ U ⊂ M satisfaz ϕ(0) = p e
ϕ∗ w = w0 =
n
X
dyi ∧ dxi .
i=1
Demonstração. Inicialmente, como w é uma aplicação bilinear não-degenerada e anti-simétrica,
podemos escolher alguma coordenada local tal que w é uma 2−forma em R
2n
dependente em
z ∈ R2n e que p corresponde a z = 0. Pela Observação 3.1.2 temos que
w(0) = w0 =
n
X
dyi ∧ dxi
i=1
em z = 0. Agora, nosso objetivo é encontrar um difeomorsmo ϕ numa vizinhança de 0 deixando
a origem xa e que satisfaz
ϕ∗ w = w0 .
Resolveremos esta equação por argumentação de deformação. Vamos interpolar w e w0 por uma
família wt de formas denidas por
wt = w0 + t(w − w0 ), 0 ≤ t ≤ 1,
tal que wt = w0 para t = 0 e w1 = w , e olhemos para a família ϕ
t
de difeomorsmos satisfazendo
ϕ0 = id e
(ϕt )∗ wt = w0 , 0 ≤ t ≤ 1.
(3.8)
64
[CAP. 3:
TOPOLOGIA SIMPLÉTICA
Observe que a equação (3.8) para t = 1 é a solução do nosso problema. Para encontrar ϕ
construiremos um campo de vetores t−dependentes Xt gerando ϕ
t
t
nós
como seu uxo. Diferenciando
(3.8) e usando a Observação (1.2.3), obtemos que tal campo de vetores Xt terá que satisfazer a
identidade:
d t ∗
d
t ∗
0 = (ϕ ) wt = (ϕ ) £Xt wt + wt
dt
dt
(3.9)
Note que dwt = d(w0 + t(w − w0 )) = 0, isto é, dwt são formas fechadas. Usando a formula de
Cartan em (3.9) encontramos
0 = (ϕt )∗ (d(ιXt wt ) + w − w0 ).
Como w − w0 é uma 2−forma fechada, pelo Lema 2.3.1, existe uma 1−forma λ que localmente
satisfaz
w − w0 = dλ e λ(0) = 0.
Portanto, basta que o campo Xt satisfaça a seguinte equação:
ιXt wt + λ = 0.
Já que wt (0)
(3.10)
= w0 então as 2−formas wt são não-degeneradas, para cada t ∈ [0, 1], numa
vizinhança de 0. Isto implica que a aplicação, para cada t ∈ [0, 1],
X(M ) → Ω1 (M )
X
7→
ιX wt
é isomorsmo, e portanto existe um único campo de vetores Xt tal que
ιXt wt = −λ
(3.11)
o qual é solução de (3.10). Como nós normalizamos λ(0) = 0 e pelo fato de wt ser não-degenerada,
temos que Xt (0) = 0. Então há uma vizinhança de 0 na qual o uxo ϕ
t
de Xt existe para todo
0 ≤ t ≤ 1 e ainda satisfaz ϕ0 (0) = id e ϕt (0) = 0. Por construção, estes difeomorsmos satisfazem
a equação
d
((ϕt )∗ )wt = 0, 0 ≤ t ≤ 1.
dt
t ∗
0 ∗
Portanto (ϕ ) wt = (ϕ ) w0 = w0 para todo 0 ≤ t ≤ 1, como nós queríamos provar.
[SEC. 3.2:
65
VARIEDADES SIMPLÉTICAS
Observação 3.2.2. As coordenadas locais (U, ϕ) dadas pelo teorema anterior são chamadas coordenadas simpléticas .
Corolário 3.2.1. Toda variedade simplética é orientável.
Demonstração. Seja (M, Ω) uma variedade simplética.
Pelo Teorema 3.2.1, temos que existem
coordenadas locais (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn )
Ω=
n
X
dyi ∧ dxi
i=1
Dena a 2n−forma
n(n−1)
(−1) 2
Λ=
n!
Ω
. . ∧ Ω}
| ∧ .{z
(3.12)
n−vezes
Pela expressão de Ω em coordenadas, armamos que, em coordenadas locais,
Λ = dy1 ∧ . . . ∧ yn ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dxn .
Vericaremos isso por indução sobre
n.
Assume que (3.13) seja válida para
n.
(3.13)
n = 1 temos diretamente que Λ = dy1 ∧ dx1 .
n
X
Denote por w0 =
dyi ∧ dxi . Então, para n + 1,
Para
i=1
Ω = w0 + dyn+1 ∧ dxn+1 . Note que
Ω∧Ω
=
(w0 + dyn+1 ∧ dxn+1 ) ∧ (w0 + dyn+1 ∧ dxn+1 )
= w0 ∧ w0 + 2 · w0 ∧ dyn+1 ∧ dxn+1 .
Repetindo este processo, obteremos
. . ∧ Ω} = w0 ∧ . . . ∧ w0 +(n + 1) · w0 ∧ . . . ∧ w0 ∧ dyn+1 ∧ dxn+1 .
|Ω ∧ .{z
|
{z
}
|
{z
}
n+1−vezes
n+1−vezes
n−vezes
(3.14)
66
[CAP. 3:
TOPOLOGIA SIMPLÉTICA
Assim, juntando (3.12) e (3.14) com a hipótese de indução, vemos que
n(n+1)
2
Λ
=
=
(−1)
w0 ∧ . . . ∧ w0 +(n + 1) · w0 ∧ . . . ∧ w0 ∧ dyn+1 ∧ dxn+1
{z
}
|
{z
}
|
(n + 1)!
n−vezes
n+1−vezes
n(n−1)
(−1)n (−1) 2
w0 ∧ . . . ∧ w0 ∧ w0
{z
}
|
n+1
(n)!
n−vezes
+
n(n−1)
(−1)n (−1) 2
n+1
(n)!
(n + 1) w0 ∧ . . . ∧ w0 ∧ dyn+1 ∧ dxn+1
|
{z
}
n−vezes
(−1)n
=
dy1 ∧ . . . ∧ yn ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dxn ∧ w0
n+1
+ (−1)n dy1 ∧ . . . ∧ yn ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dxn ∧ dyn+1 ∧ dxn+1
= dy1 ∧ . . . ∧ yn ∧ dyn+1 ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dxn ∧ dxn+1 .
Logo, denimos uma forma de volume sobre M . Portanto, pela Proposição 1.3.1, M é orientável.
Corolário 3.2.2. A mudança de coordenadas numa variedade simplética preserva a forma.
Demonstração. De fato, considere (U1 , ϕ1 ) e (U2 , ϕ2 ) cartas coordenadas numa variedade simplética (M, w), com U1 ∩ U2 6= ∅, tal que o Teorema de Darboux é válido, ou seja,
ϕ∗j w = w0 , j = 1, 2.
Portanto
∗
(ϕ−1
2 ◦ ϕ1 ) w0
=
∗
(ϕ∗1 ) ◦ (ϕ−1
2 ) w0
= (ϕ∗1 )w
= w0 .
Denição 3.2.4. Seja (M, w) uma variedade simplética de dimensão 2n. Chamaremos de forma
n
de volume simplético a forma de volume w . Deniremos o volume simplético como o volume dado
pela forma de volume simplético, ou seja, para todo A ⊂ M aberto,
Z
volw (A) :=
A
wn .
(3.15)
[SEC. 3.2:
67
VARIEDADES SIMPLÉTICAS
Devemos pontuar que difeomorsmos simpléticos preservam o volume simplético.
De fato,
sejam (M1 , w1 ) e (M2 , w2 ) variedades simpléticas e ϕ : M1 → M2 difeomorsmo simplético. Pelas
propriedades de pull-back, segue que
ϕ∗ (w2 )n
= ϕ∗ (w2 ∧ . . . ∧ w2 )
= ϕ∗ (w2 ) ∧ . . . ∧ ϕ∗ (w2 )
= w1 ∧ . . . ∧ w1
=
(w1 )n .
Portanto, por (1.27), volw1 (A) = volw2 (ϕ(A)) para todo A ⊂ M aberto.
3.2.2 Teorema de Moser
Já vimos na seção 1.4 que se M é uma superfície orientável e ϕ : M → M um difeomorsmo que
Z
∗
preserva a orientação e ϕ w2 = w1 , onde w1 e w2 são formas de volume em M , então
w1 =
M
Z
w2 .
M
O nosso propósito é prover, com mais alguma hipótese, a recíproca deste fato.
Teorema 3.2.2 (Moser). Seja M uma superfície m-dimensional, compacta, conexa, orientável.
Se Λ0 e Λ1 são duas formas de volume tais que
Z
Z
Λ0 =
M
Λ1
(3.16)
M
então existe um difeomorsmo ϕ de M satisfazendo
ϕ∗ Λ1 = Λ0 .
Demonstração. Considere a família Λt de formas denidas por
Λt = tΛ0 + (1 − t)Λ1 .
(3.17)
t
Para construir o difeomorsmo ϕ, deniremos uma família ϕ de difeomorsmos de M de modo
que ϕ
0
= id e
(ϕt )∗ Λt = Λ0 .
(3.18)
Como Λ0 6= 0 e Λ1 6= 0 então, para cada t, Λt 6= 0. Visto que Λ0 e Λ1 têm a mesma integral
sobre M então, pelo Teorema 2.3.3, existe (m − 1)-forma λ em M tal que
Λ1 = Λ0 + dλ.
68
[CAP. 3:
TOPOLOGIA SIMPLÉTICA
Conseqüentemente,
Λt = Λ1 + tdλ.
Por esta expressão, vemos que dΛt
= 0.
(3.19)
Como M é compacta, podemos denir ϕ
t
através do
campo de vetores Xt que o gera, ou seja,
d t
ϕ = X t ◦ ϕt .
dt
Uma condição necessária e suciente para que estes difeomorsmos satisfaçam (3.18) é que cumpram
a igualdade
∗
d t ∗
0=
ϕ Λ t = ϕt
dt
d
Λt + £Xt Λt .
dt
Daí, podemos usar a formula de Cartan para obter que
(3.20)
d
Λt + dιXt Λt = d(ιXt Λt + λ). Assim, a
dt
expressão em (3.20) se torna
0 = (ϕt )∗ (d(ιXt Λt + λ)).
(3.21)
Portanto, basta que os campos Xt satisfaçam
ιXt Λt + λ = 0.
(3.22)
Desde que Λt é forma de volume, para cada t, a aplicação
X(M ) → Ωm−1 (M )
X
é isomorsmo.
7→
ιX Λ t
Então, para cada t, (3.22) tem solução única.
t ∗
Por construção, (ϕ ) Λt
= Λ0 e
ϕ = ϕ1 é o difeomorsmo desejado.
3.2.3 Algumas obstruções
Já vimos que a existência de uma estrutura simplética numa superfície torna obrigatório que tal
superfície seja orientável e tenha dimensão par.
É natural perguntarmos se uma superfície M
satisfazendo tais condições sempre admite alguma estrutura simplética. A resposta em geral é não.
Descreveremos nessa seção uma simples obstrução na cohomologia (de de Rham) de M .
Proposição 3.2.1. Seja M uma superfície compacta de dimensão 2n. Se M admite alguma
2
n
estrutura simplética, então existe um elemento a ∈ HdR (M ) tal que a 6= 0.
[SEC. 3.2:
69
VARIEDADES SIMPLÉTICAS
2
2
Demonstração. Se w ∈ Ω (M ) é estrutura simplética, seja a = [w] ∈ HdR (M ). Vimos no Corolário
3.2.1 que w
n
∈ Ω2n (M ) é uma forma de volume, e portanto
Z
wn 6= 0.
M
n
Por outro lado, se a
= 0 então wn é exata, ou seja, existe uma 1-forma θ tal que wn = dθ. Pelo
Teorema de Stokes, temos
Z
Z
n
w =
dθ =
M
n
o que não é possível. Portanto a
Z
M
θ = 0,
∂M
6= 0.
2n
É imediato desta proposição que S
, n > 1, não possui estrutura simplética pois como vimos
2
2n
no exemplo 2.3.2, HdR (S
) = 0 para n > 1.
3.2.4 Funções geradoras
Nesta seção, veremos que toda aplicação simplética pode ser localmente representada em termos
de uma função escalar, também chamada de função geradora.
Comecemos com aplicações denidas em (R
2n
, w0 ) pois pelo Teorema de Darboux toda var-
iedade simplética, localmente, pode ser vista assim.
Consideremos uma aplicação simplética ϕ : (η, ξ) 7→ (x, y) em (R
2n
, w0 ) representada por
x = a(η, ξ)
y = b(η, ξ)
em que a, b são funções suaves em R
2n
(3.23)
. Vamos assumir que
det(aξ ) 6= 0.
(3.24)
Então, pelo Teorema da Função Implícita, existe uma função α tal que, localmente,
ξ = α(η, x)
a equação de (3.23), nós encontramos a seguinte representação equiva-
Inserindo esta solução na 2
lente para a aplicação ϕ:
ξ
= α(η, x)
y
= β(η, x),
(3.25)
70
[CAP. 3:
onde β(η, x) = b(η, α(η, x)).
TOPOLOGIA SIMPLÉTICA
o igualdade de (3.23) com relação a x,
Ademais, diferenciando a 1
obteremos que
det(aξ ) · det(αx ) = 1.
(3.26)
A vantagem de arrastarmos as variáveis para esta maneira aparentemente desagradável é que a
condição para ϕ ser simplética é mais fácil expressar em termos de α e β que em termos de a e b.
Proposição 3.2.2. Toda aplicação simplética ϕ como em (3.23) satisfazendo (3.24) pode ser
localmente representada na forma implícita
ξ
=
y
=
∂S
(η, x)
∂η
(3.27)
∂S
(η, x),
∂x
2
∂ S
para alguma função suave S com det
6= 0.
∂x∂η
Demonstração. Comecemos por considerar, em R
σ(η, ξ, x, y) =
n
X
4n
, a 1−forma
yj dxj + ξj dηj .
j=1
Pelo que vimos acima, (3.24) ⇒ (3.25). Sejam f1 , f2 : R
2n
→ R4n aplicações denidas por
f1 (η, x)
=
(η, α(η, x), x, β(η, x))
f2 (η, ξ)
=
(η, ξ, a(η, ξ), b(η, ξ)).
Como a condição (3.24) implica (3.26), podemos denir um difeomorsmo local F
: R2n → R4n
por
F (η, x) = (η, α(η, x)).
∗
∗
Daí, segue que f1 = f2 ◦ F . Não é difícil vericar que (f2 dσ) = ϕ w0 − w0 . De fato, considerando
a = (a1 , . . . , an ) e b = (b1 , . . . , bn ) temos
[(f2∗ dσ)(η, ξ)] · (u, v)
= dσ(f2 (η, ξ)) · (f20 (η, ξ) · u, f20 (η, ξ) · v)
n
X
=
(dbj ∧ daj ) (a0 (η, ξ) · u, b0 (η, ξ) · v) − (dnj ∧ dξj )(u, v)
j=1
=
[(ϕ∗ w0 − w0 )(η, ξ)] · (u, v)
[SEC. 3.2:
71
VARIEDADES SIMPLÉTICAS
para todo (η, ξ) ∈ R
2n
e (u, v) ∈ R
4n
. Conseqüentemente,
d(f1∗ σ)
= f1∗ (dσ)
= F ∗ (f2∗ dσ)
= F ∗ (ϕ∗ w0 − w0 ).
∗
Deste modo, se ϕ é simplética então f1 σ é fechada. Logo, pelo Lema 2.3.1, existe uma função S
tal que, localmente,
f1∗ σ(η, x)
=
n
X
βj (η, x)dxj + αj (η, x)dnj
j=1
= dS(η, x) =
Por construção, det
n
X
∂w
∂xj
j=1
(η, x)dxj +
∂w
(η, x)dηj .
∂ηj
∂α
∂2S
(η, x) = det
(η, x) 6= 0, como queríamos.
∂x∂η
∂x
Observação 3.2.3. Se S é uma função suave satisfazendo (3.27) então uma aplicação tal como
(3.23) é simplética.
Com efeito, seja S = S(η, x) qualquer função suave satisfazendo (3.27). Como
dS(η, x)
=
=
n
X
∂w
j=1
n
X
∂xj
(η, x)dxj +
∂w
(η, x)dηj
∂ηj
yj dxj + ξj dηj
j=1
temos que
0 = ddS =
n
X
dyj ∧ dxj − dηj ∧ dξj .
j=1
Tomando uma aplicação ϕ tal como (3.23), teremos conseqüentemente que
ϕ∗ w0 − w0
=
=
n
X
j=1
n
X
j=1
=
ou seja, ϕ é simplética.
0,
dbj ∧ daj − dηj ∧ dξj .
dyj ∧ dxj − dηj ∧ dξj
72
[CAP. 3:
TOPOLOGIA SIMPLÉTICA
Exemplo 3.2.4. Considere ϕ = idR , ou seja, ϕ(x, y) = (x, y) com (x, y) ∈ R2n . Esta aplicação
2n
2n
→ R dada por S(x,y) = h x, yi.Calculando
∂
∂
∂2S
suas derivadas parciais temos que
S(x, y) = y e
S(x, y) = x e det
(x, y) = 1. Logo
∂x
∂y
∂x∂y
S é uma função geradora de ϕ.
naturalmente preserva a 2-forma w0 . Seja S : R
Exemplo 3.2.5. Seja S : R2n → R dada por S(η, x) = −
kη − xk2
∂S
. Como
(η, x) = xi − ηi e
2
∂ηi
2
∂S
∂ S
(η, x) = ηi − xi segue que det
(η, x) = 1. Pela proposição anterior, podemos construir
∂xi
∂η∂x
2n
uma aplicação ϕ : (η, ξ) 7→ (x, y), em (R , w0 ), simplética, bastando que
ξi
=
∂S
(η, x) = xi − ηi
∂ηi
yi
=
∂S
(η, x) = ηi − xi
∂xi
Explicitamente, ϕ(η, ξ) = (η + ξ, −ξ).
Passemos para a um caso mais geral, ou seja, consideraremos aplicações simpléticas f : (M, σ) →
(N, τ ) entre variedades simpléticas arbitrárias e procuraremos, localmente, expressar f em termos
de alguma função S . Antes disso, precisamos de mais um par de denições.
Denição 3.2.5. Seja (M, w) uma variedade simplética e ψ : M → R uma aplicação de classe
C r , r ≥ 1. Dena o campo de vetores associado a ψ , Xψ , por
w(Xψ (x), ·) = −dψ(x) ∀x ∈ M.
(3.28)
Os campos que satisfazem (3.28) são chamados de campos Hamiltonianos e o uxo associado a
este campo é chamado de uxo Hamiltoniano.
Um caso particular, e bem interessante, é quando consideramos na denição acima a variedade
simplética (R
Como J
2
2n
, w0 ). Neste caso, a condição (3.28) é equivalente a h J Xψ (x), ·i = −h ∇ψ(x), ·i.
= −I2n , estes campos cam explicitamente determinados, a saber:
Xψ (x) = J ∇ψ(x), x ∈ R2n .
(3.29)
Uma propriedade interessante dos uxos Hamiltonianos são que eles preservam as estruturas
t
t ∗
simpléticas, ou seja, se φ é um uxo associado a um campo Hamiltoniano então (φ )
toda estrutura simplética w .
w = w para
[SEC. 3.2:
73
VARIEDADES SIMPLÉTICAS
Para vericar este fato, pelo Corolário 1.2.1, basta mostrarmos que se Xψ é um campo Hamiltoniano tendo
φt como seu uxo então £Xψ w = 0.
Ora, usando a fórmula de Cartan vemos
que
£Xψ w = d (ιXψ w) + ιXψ ( dw).
Como dw = 0 e d (ιXψ w) = −d(dψ) = 0, nós obtemos £Xψ w = 0.
Denição 3.2.6 (Colchete de Poisson). Seja (M, w) variedade simplética. O colchete de Poisson
de duas funções diferenciáveis F, G : M → R é a aplicação denida por
{F, G} := −w(XF , XG ),
(3.30)
onde XF , XG são os campos Hamiltonianos associados a F e G, respectivamente.
Claramente, {F, G} = −{G, F }. Desde que w(XF , ·) = −dF , nós temos
{F, G} = dF (XG ) = −dG(XF ).
(3.31)
Lema 3.2.1. Seja (R2n , w0 ) o espaço simplético padrão e gi , 1 ≤ i ≤ m < n, m funções denidas
numa vizinhança de 0 ∈ R
2n
e satisfazendo as seguintes condições:
1. {gi , gj }(0) = 0, para 1 ≤ i, j ≤ m;
2. {dg1 (0), . . . , dgm (0)} formam um conjunto linearmente independente.
Então existe uma base simplética {e1 , . . . , en , f1 , . . . , fn } tal que dgj (0) = dfj para 1 ≤ j ≤ m.
Demonstração. Considere Xgi , 1 ≤ i ≤ m, o campo Hamiltoniano associado a gi , ou seja,
X gi =
∂gi
∂gi
∂gi
∂gi
,...,
,−
,...,−
∂y1
∂yn
∂x1
∂xn
.
Como {dg1 (0), . . . , dgm (0)} é um conjunto linearmente independente então se
n
X
αi dgi (0) = 0
i=1
temos α1 = · · · = αn = 0. Em outras palavras, denotando
zi =
x ,
se 1 ≤ i ≤ n
y ,
se n + 1 ≤ i ≤ 2n
i
i
se
2n
X
∂gl
λi ∂z
(0) = 0 então cada λi = 0. Daí, segue que {Xg1 (0), . . . , Xgm (0)} é um conjunto de
i
i=1
vetores linearmente independentes. A condição (1) é o mesmo que
−w0 (Xgi (0), Xgj (0)) = 0
74
[CAP. 3:
TOPOLOGIA SIMPLÉTICA
para todo 1 ≤ i, j ≤ m. Tome ei = Xgi (0), 1 ≤ i ≤ m. Podemos completar {e1 , . . . , em } para uma
base simplética {e1 , . . . , en , f1 , . . . , fn }. Portanto,
dgj (0) · fi
= −w0 (Xgj (0), fi )
= w0 (fi , Xgj (0))
= w0 (fi , ej )
= δij
= dfj (fi ),
para todo 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Observação 3.2.4. Se a aplicação g : R2n → Rn tem por funções coordenadas g1 , . . . , gn como
no lema acima, então podemos escolher coordenadas simpléticas tal que det(Dy g(x, y)) 6= 0 numa
vizinhança de 0 ∈ R
2n
. Em particular, Dy g(x, y) é um isomorsmo numa vizinhança de 0 ∈ R
2n
.
De fato, escolhendo a base simplética {e1 , . . . , en , f1 , . . . , fn } dada pelo lema acima, temos que
dgi (0) = dfi , i = 1, . . . , n. Como
dgi (0) · fj =
n
X
∂gi
l=1
∂yl
(0) dfl (fj ) =
∂gi
(0),
∂yj
∂gi
(0) = δij . Portanto det(Dy g(0)) 6= 0. Por continuidade, det(Dy g(x, y)) 6= 0 numa
∂yj
2n
vizinhança de 0 ∈ R .
segue que
Teorema 3.2.3. Sejam (M, σ) e (N, τ ) variedades simpléticas tais que dim M = dim N = 2n.
k
Se f : M → N é uma aplicação simplética de classe C , k ≥ 1, então para todo m ∈ M existem
cartas simpléticas (U, φ) em M e (V, ψ) em N com m ∈ U , f (m) ∈ V e f (U ) ⊂ V tal que para a
−1
representação F de f , F := ψ ◦ f ◦ φ
∈ C k (φ(U ), ψ(V )) dada por
F (x, y) = (ξ, η)
(3.32)
nós temos
com S ∈ C
k+1
∂S
(x, η)
∂η
ξ
=
y
∂S
=
(x, η)
∂x
(3.33)
(W ), para algum W ⊂ R2n , satisfazendo det
∂2S
(x, η) 6= 0 para todo (x, η) ∈ W.
∂x∂η
[SEC. 3.2:
75
VARIEDADES SIMPLÉTICAS
Demonstração. Seja f ∈ C
k
(M, N ), k ≥ 1, simplética. Dado m ∈ M , pelo teorema de Darboux,
podemos escolher cartas simpléticas (U, φ) e (V, ψ) com m ∈ U , f (m) ∈ V , f (U ) ⊂ V , φ(m) = 0 e
ψ(f (m)) = 0. Dena F = ψ ◦ f ◦ φ−1 . Daí F (0) = 0. Escreveremos F (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) =
(ξ, η) com u = (u1 , . . . , un ), v = (v1 , . . . , vn ) e (x, y) ∈ φ(U ) ⊆ R2n . Considere as 1−formas
θ1 (x, y) =
X
xi dyi ,
i
θ2 (ξ, η) =
X
ξi dηi .
i
Desde que f é simplética e pela escolha das cartas, temos que F
∂u
∂u1
(z)
∂x2
1
(z)
∂x1
.
.
.
∂un
(z)
∂x1
F 0 (z) =
∂v
1
(z)
∂x1
.
.
.
∂v
n
(z)
∂x1
.
.
.
···
.
.
.
∂u1
(z)
∂xn
.
.
.
∂un
(z) · · ·
∂x2
∂un
(z)
∂xn
∂v1
(z)
∂x2
···
.
.
.
.
.
.
∂v1
(z)
∂xn
∂vn
(z)
∂x2
···
.
.
.
∂vn
(z)
∂xn
∗
(dθ2 ) = dθ1 . Como
∂u1
∂u1
(z) · · ·
(z)
∂y1
∂yn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂un
∂un
(z) · · ·
(z)
∂y1
∂yn
∂v1
∂v1
(z) · · ·
(z)
∂y1
∂yn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂vn
∂vn
(z) · · ·
(z)
∂y1
∂yn
temos que
duk (F 0 (z) · Xvi )
=
X ∂uk
∂xl
l
dvk (F 0 (z) · Xvi )
=
·
∂vi
∂uk ∂vi
−
·
∂yl
∂yl ∂xl
0
para todo 1 ≤ i, k ≤ n. Isto diz que
det
duk (F 0 (z) · Xvi ) duk (F 0 (z) · Xvj )
dvk (F 0 (z) · Xvi )
dvk (F 0 (z) · Xvj )
=0
para todo 1 ≤ i, j, k ≤ n. Logo,
{vi , vj }(z)
= dθ1 (z) · (Xvi , Xvj )
[(F ∗ dθ2 )(z)] · (Xvi , Xvj )
X
duk (F 0 (z) · Xvi ) duk (F 0 (z) · Xvj )
=
det
0
0
dv
(F
(z)
·
X
)
dv
(F
(z)
·
X
)
k
vi
k
vj
k
=
=
0,
76
[CAP. 3:
TOPOLOGIA SIMPLÉTICA
para todo 1 ≤ i, j ≤ n.
Visto que v1 , . . . , vn são linearmente independentes então pela Observação 3.2.4 podemos encontrar uma transformação simplética tal que Dy v(x, y) é um isomorsmo numa vizinhança de 0.
k
Assim, pelo Teorema da função implícita, existe uma única aplicação b ∈ C , com b(0) = 0 tal que
y = b(x, η) satisfazendo η = v(x, y). Vamos, agora, denir a ∈ C k por meio de ξ = u(x, b(x, η)) :=
a(x, η).
∂S
∂S
e b =
. Para isso, considere as aplicações locais
∂η
∂x
σ1 : (x, η) 7→ (x, b(x, η)) e σ2 : (x, η) 7→ (a(x, η), η). Evidentemente que σ1 (0) = 0 e σ2 (0) = 0.
Resta denir S ∈ C
k+1
tal que a =
Para o que segue é necessário mostrar que σ1 é um difeomorsmo local. De fato, como v(x, y) =
v(x, b(x, η)) = η podemos derivar em relação a η e obter que Dy v ◦ Dη b = I . Isto implica que
det(Dη b) 6= 0. Por outro lado,
det(σ10 )
=
det
I
0
Dx b
Dη b
=
det(Dη b)
6=
0.
Daí, pelo teorema da aplicação inversa, temos que σ1 é um difeomorsmo local.
Agora, como podemos escrever F
difeomorsmo local.
θ3 (x, y) =
maneira
X
Vamos mostrar que a 1−forma λ = adη + bdx é fechada.
yi dxi , podemos escrever λ = σ2∗ θ2 + σ1∗ θ3 . Segue que
i
σ1−1
= σ2 ◦ σ1−1 , no domínio adequado, obtemos que σ2 é um
∗
Denotando por
∗
σ1−1 λ = F ∗ θ2 + θ3 . Desta
dλ = F ∗ dθ2 + dθ3 = F ∗ dθ2 − dθ1 . Como F é simplética temos que (σ1−1 )∗ dλ = 0
e portanto dλ = 0.
Como toda forma fechada é localmente exata, existe uma aberto W e uma função S ∈ C
k+1
(W )
∂S
∂S
∂ S
∂b
tal que a =
e b =
em W . Por construção,
(x, η) =
(x, η) 6= 0 para (x, η) ∈ W .
∂η
∂x
∂η∂x
∂η
2
Observação 3.2.5. A recíproca do Teorema 3.2.3 é válida, ou seja, se S é uma função satisfazendo
(3.33) então a aplicação f é simplética.
De fato, seja F a representação local de f como (3.32) e S uma função que satisfaz (3.33).
= σ2 ◦ σ1−1 onde σ1 (x, η) = (x, Dx S(x, η)) e σ2 (x, η) = (Dη S(x, η), η) são
X
difeomorsmos locais. Denotando por θ3 =
yk dxk , segue que dS = (σ2 )∗ θ2 + (σ1 )∗ θ3 . Como
Podemos escrever F
k
[SEC. 3.2:
77
VARIEDADES SIMPLÉTICAS
dθ3 = −dθ1 então
F ∗ (dθ2 ) − dθ1
=
(σ1−1 )∗ (d(σ2∗ θ2 + (σ1 )∗ dθ3 ))
=
(σ1−1 )∗ ddS = 0.
Em particular, f é simplética.
Observação 3.2.6. Uma função S satisfazendo (3.33), com det
função geradora local de f e representaremos isso por F := E(S).
∂2S
∂x∂η
6= 0, será chamada
78
[CAP. 3:
TOPOLOGIA SIMPLÉTICA
Capítulo 4
Aproximações de funções
Finalmente chegamos ao objetivo deste trabalho. Neste capítulo abordaremos dois tipos de aproximações ou suavizações de funções.
O primeiro deles, já bem conhecido, é o que chamamos de
suavização padrão. Infelizmente, neste método não conseguimos garantir que a função aproximada
preserva volume . No entanto, nem tudo está perdido. Na seção 4.2 veremos que podemos resolver
este problema usando técnicas com funções geradoras.
4.1 Suavização padrão
Nesta seção temos por objetivo provar o seguinte resultado:
Teorema 4.1.1. Seja M uma superfície compacta. O subconjunto C ∞ (M, Rs ) é denso em C p (M, Rs ),
p ≥ 1.
Dadas duas funções h1 , h2 : U ⊂ R
n
→ R integráveis, deniremos a convolução de h1 com h2
n
→ R dada por
Z
h1 ∗ h2 (u) =
h1 (v)h2 (u + v)dv.
como uma aplicação h1 ∗ h2 : U ⊂ R
(4.1)
U
Para provar o Teorema 4.1.1, comecemos provando o seguinte lema.
Lema 4.1.1. Seja U ⊂ Rm aberto e f : U → Rs uma aplicação de classe C p , p ≥ 1. Considere
K ⊂ U compacto. Dado ε > 0, existe uma aplicação de classe C ∞ g : Rm → Rs tal que kf −gkC p <
ε em K .
79
80
[CAP. 4:
Demonstração. Considere ϕ : R
m
APROXIMAÇÕES DE FUNÇÕES
→ Rs uma função de classe C ∞ , com suporte em U , e que vale
1 em K e igual a zero fora de uma vizinhança de K contida em U . Dena h : U ⊂ Rm → Rs por
h = ϕ · f . Note que h = f em K e h = 0 fora de U . Como K é compacto e h é de classe C p (K),
j
temos que, para todo 1 ≤ j ≤ p, d h : K → L(R
m
, Rs ) é uniformemente contínua, ou seja, dado
ε > 0 existe δ > 0 tal que
sup{kdj h(u + v) − dj h(u)k : u ∈ K, |v| < δ} < ε.
(4.2)
Z
m
Seja ϕδ : R
→ R, de classe C ∞ , tal que ϕδ (v) = 0 se |v| ≥ δ e
ϕδ dv = 1. Tome g : Rm → Rs
dada por g := ϕδ ∗ h. Note que com uma simples mudança de variável obtemos que g(u) =
Z
ϕδ (z − u)h(z)dz . Então, diferenciando em relação a u,
dj g(u)
Z
=
=
ϕδ (v)dj h(u + v)dv
Z
(−1)j dj ϕδ (z − u)h(z)dz.
Daí, pela igualdade (4.4) temos que g é C
kdj g(u) − dj h(u)k =
∞
(4.3)
(4.4)
. Por outro lado, pela igualdade (4.3),
Z
Z
=
[ϕδ (v)dj h(u + v) − ϕδ (v)dj h(u)]dv
ϕδ (v)[dj h(u + v) − dj h(u)]dv
Z
ϕδ (v)εdv = ε,
<
para todo u ∈ K , kvk < δ e 0 ≤ j ≤ p.
Agora, considere {V1 , . . . , Vn } uma cobertura para K . Sejam {(Ui , φi )} coordenadas locais tais
−1
i
= f ◦ φ−1
e g = g ◦ φi .
i
ε
j
j
Pelo que vimos acima, dado ε > 0 podemos supor que, em K , kd f (v) − d g(v)k <
max{kφ−1
i kC p }
que cada Vi ⊂ Ui ⊂ U e φi (Ui ) = B(2), φi (Vi ) = B(1). Denote por f
i
i
para todo 0 ≤ j ≤ p.
Deste modo,
kdj f i (u) − dj g i (u)k
≤
<
−1
j
j −1
kdj f (φ−1
i (u)) − d g(φi (u))k kd φi (u)k
ε
kdj φ−1
i (u)k < ε.
p}
max{kφ−1
k
C
i
i
Logo, a função g satisfaz a condição desejada.
Demonstração do Teorema 4.1.1
[SEC. 4.2:
81
SUAVIZAÇÃO SIMPLÉTICA
Sejam
{(Ui , φi )}, i = 1, . . . , n cartas locais com φi (Ui ) = B(2) e M ⊂
[
Vi onde Vi =
i
∞
φ−1
estritamente subi (B(1)). Tomemos uma partição da unidade {ϕi : M → R} de classe C
ordinada a cobertura
{Vi }.
Sejam
f ∈ C p (M, Rs ) e ε > 0.
Denote por
f i = f ◦ φ−1
i .
Pelo
> 0 existe g i : Rm → Rs , C ∞ , tal que kf i − g i kC p < δ em B(1). Diminn
X
ε
i
uindo δ de necessário temos que kϕi f − ϕi g ◦ φi kC p <
. Logo g =
ϕi g i ◦ φi é C ∞ em M e
n
i=1
n
n
X
X
i
i
kf − gkC p = k
ϕi f − ϕi g ◦ φi kC p ≤
kϕi f − ϕi g ◦ φi kC p < ε.
Lema 4.1.1, dado δ
i=1
i=1
4.2 Suavização Simplética
O alvo do nosso trabalho está no teorema abaixo, cuja prova será dada mais adiante.
Teorema 4.2.1. Seja (M, σ) e (N, τ ) variedades simpléticas. O conjunto dos difeomorsmos
simpléticos de classe C
∞
de M em N é denso no espaço dos difeomorsmos simpléticos de classe
C k de M em N , para k ≥ 1.
Comecemos por mostrar o seguinte:
Lema 4.2.1. Seja W ⊂ R2n aberto.
Considere o conjunto
∂2S
(x, η) 6= 0, ∀(x, η) ∈ W }, k ≥ 1.
det ∂x∂η
Se S, S1
Dk+1 (W ) := {S ∈ C k+1 (W ) :
∈ Dk+1 (W ) e kS − S1 kC k+1 (K1 ) então
kE(S) − E(S1 )kC k (K2 ) , onde K1 ⊂ W e K2 contido no dominio de E(S) são conjuntos compactos.
As próximas duas proposições nos ajudaram na prova deste lema.
Proposição 4.2.1. Sejam U, V ⊂ R2n conjuntos abertos e K1 ⊂ U e K2 ⊂ V conjuntos compactos.
Denote por Dif
k
(U, V ) o conjunto dos difeomorsmos de classe C k de U em V . Para k ≥ 1, se
f, g ∈ Dif k (U, V ) e kf − gkC k (K1 ) então kf −1 − g −1 kC k (K2 ) .
Demonstração. Faremos a prova por indução sobre k .
difeomorsmo.
Comecemos com k = 1.
Admita que f, g
: K1 → K2 seja ainda
Dado ε > 0, suponha que kf − gkC 1 (K1 ) <
ε
2 , ou seja,
|f (x) − g(x)| < 2ε e |Df (x) − Dg(x)| < 2ε para todo x ∈ K1 . Como f |K1 é uniformemente contínua,
dados x, y ∈ K1 com |x − y| <
ε
ε
4 pode-se supor que |f (x) − f (y)| < 2 . Daí, se x, y ∈ K1 tal que
|x − y| < 4ε então
|f (x) − g(y)| ≤ |f (x) − f (y)| + |f (y) − g(y)| <
ε ε
+ = ε.
2 2
82
[CAP. 4:
Fato análogo com as funções Df e Dg .
Sendo f difeomorsmo, dado arbitrariamente w ∈ K2
existe a1 ∈ K1 tal que f (a1 ) = w . Pelo que vimos acima, f (a1 ) ∈ g
Então, existe a2 ∈ B(a1 ;
APROXIMAÇÕES DE FUNÇÕES
B(a1 ; 4ε ) ∩ K1 ⊂ B(w; ε).
ε
4 ) ∩ K1 tal que g(a2 ) = w . Segue que
|f −1 (w) − g −1 (w)| = |f −1 (f (a1 )) − g −1 (g(a2 ))| = |a1 − a2 | <
Deste que w é arbitrário, |f
−1
Notemos que como f
−1
ε
< ε.
4
(w) − g −1 (w)| < ε para todo w ∈ K2 .
◦ f = id e g −1 ◦ g = id então Df −1 (f (x)) = [Df (x)]−1 e Dg −1 (g(x)) =
[Dg(x)]−1 , ∀x ∈ K1 . Visto que a aplicação inversão de matrizes, com determinante não nulo, é
ε
2 podemos supor que
contínua, sendo |Df (x)−Dg(y)| <
Por outro lado, para cada w
[Df (x)]−1 − [Dg(y)]−1 < ε, ∀x, y ∈ K1 .
∈ K2 existem a1 , a2 ∈ K1 tais que w = f (a1 ) = g(a2 ) e como
|Df (a1 ) − Dg(a2 )| < 2ε então Df −1 (w) − Dg −1 (w) = [Df (a1 )]−1 − [Dg(a2 )]−1 < ε. Portanto,
f −1 − g −1 C 1 (K2 ) < ε.
temos provado que
Agora, assuma que a proposição seja verdadeira para
k > 1.
Dado
ε > 0, suponha que
kf − gkC k+1 (K1 ) < 2ε . Note que, para ponto x ∈ K1 , Df (x) e Dg(x) são difeomorsmos de classe
Ck.
Como
kDf (x) − Dg(x)kC k < 2ε , ∀x ∈ K1 , por hipótese de indução, podemos supor que
[Df (x)]−1 − [Dg(x)]−1 C k < ε. Desde que Df −1 (f (x)) = [Df (x)]−1 e Dg −1 (g(x)) = [Dg(x)]−1
para todo x ∈ K1 , temos que kDf
difeomorsmos, kDf
−1
podemos supor que |f
−1
(f (x)) − Dg −1 (g(x))kC k < ε. Em particular, como f e g são
(y) − Dg −1 (y)kC k < ε, ∀y ∈ K2 . Pelo que já vimos nos casos anteriores,
−1
(y) − g −1 (y)| < ε para todo y ∈ K2 . Assim, kf −1 − g −1 kC k+1 (K2 ) < ε.
Proposição 4.2.2. Sejam U, V, W ⊂ R2n conjuntos abertos. Então, para k ≥ 1,
a. Sejam Φ : V
e
→ W é uma função de classe C k , K1 ⊂ U e K2 ⊂ V conjuntos compactos
h1 , h2 ∈ C k (U, V ).
Dado
ε > 0 existe δ > 0 tal que se kh1 − h2 kC k (K1 ) < δ então
kΦ ◦ h1 − Φ ◦ h2 kC k (K1 ) < ε.
k
k
b. Sejam Ψ : U → V é uma função de classe C , K ⊂ U conjunto compacto e f1 , f2 ∈ C (V, W ).
Dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se kf1 − f2 kC k (Ψ(K)) < δ então kf1 ◦ Ψ − f2 ◦ ΨkC k (K) < ε.
c. Sejam f1 , f2 ∈ C
k
(U, V ) e g1 , g2 ∈ C k (V, W ).
Dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se kf1 −
f2 kC k (K1 ) < δ e kg1 − g2 kC k (K2 ) < δ então kg1 ◦ f1 − g2 ◦ f2 kC k (K1 ) < ε, onde K1 ⊂ U e
K2 ⊂ V são compactos.
Demonstração.
[SEC. 4.2:
83
SUAVIZAÇÃO SIMPLÉTICA
a. Dado
ε > 0, suponhamos que kh1 − h2 kC k (K1 ) < kΦk εk
C (K2 )
, ou seja,
|h1 (x) − h2 (x)| <
ε
ε
j
j
kΦkCk (K ) e |D h1 (x) − D h2 (x)| < kΦkCk (K ) , para todo x ∈ K1 e j = 1, . . . k . Como Φ|K2
2
2
uniformemente contínua, podemos supor que |Φ ◦ h1 (x) − Φ ◦ h2 (x)| < ε para todo x ∈ K1 .
Além disso, para todo x ∈ K1 e j = 1, . . . k ,
|Dj (Φ ◦ (h1 (x) − h2 (x))) |
≤ |Dj Φ(h1 (x) − h2 (x))| |Dj (h1 (x) − h2 (x))|
≤
kΦkC k (K2 ) kh1 − h2 kC k (K1 ) < ε,
Portanto, kΦ ◦ h1 − Φ ◦ h2 kC k (K1 ) < ε.
b. Notemos que
|Dj (f1 (Ψ(x)) − f2 (Ψ(x)))|
≤ |Dj f1 (Ψ(x)) − Dj f2 (Ψ(x))| |Dj Ψ(x)|
(4.5)
≤ kf1 − f2 kC k (Ψ(K)) kΨkC k (K)
para todo x ∈ K e j = 1, . . . k . Vamos vericar os dois casos possíveis.
Caso 1.
kΨkC k (K) ≤ 1.
Neste caso, suponha que
lar, |f1 (Ψ(x)) − f2 (Ψ(x))| < ε para todo x ∈ K .
kf1 − f2 kC k (Ψ(K)) < ε.
Em particu-
j
Além disso, por (4.5), |D (f1 (Ψ(x)) −
f2 (Ψ(x)))| < ε, para todo x ∈ K e j = 1, . . . k . Portanto, kf1 ◦ Ψ − f2 ◦ ΨkC k (K) < ε.
Caso 2.
kΨkC k (K) > 1.
Para esse caso, suponha que kf1 − f2 kC k (Ψ(K))
implica que |f1 (Ψ(x)) − f2 (Ψ(x))| <
< kΨk εk
ε
C (K)
.
Isto
j
kΨkCk (K) para todo x ∈ K . Por (4.5), |D (f1 (Ψ(x) −
f2 (Ψ(x)))| < ε, para todo x ∈ K e j = 1, . . . k . Como kΨk εk
C (K)
< ε, |f1 (Ψ(x))−f2 (Ψ(x))| < ε
para todo x ∈ K . Portanto kf1 ◦ Ψ − f2 ◦ ΨkC k (K) < ε.
c. Sejam K1
⊂ U e K2 ⊂ V compactos e ε > 0.
Pelo ítem (a), existe δ1
> 0, tal que se
kf1 − f2 kC k (K1 ) < δ1 então kg2 ◦ f1 − g2 ◦ f2 kC k (K1 ) < 2ε . Pelo ítem (b), existe δ2 > 0, tal que
se kg1 − g2 kC k (K2 ) < δ2 então kg1 ◦ f1 − g2 ◦ f1 kC k (K1 ) <
ε
2 . Deste modo, dado ε > 0, tome
δ = max{δ1 , δ2 }, e se kf1 − f2 kC k (K1 ) < δ e kg1 − g2 kC k (K2 ) < δ implica que
kg1 ◦ f1 − g2 ◦ f2 kC k (K1 )
≤
kg1 ◦ f1 − g2 ◦ f1 kC k (K1 ) + kg2 ◦ f1 − g2 ◦ f2 kC k (K1 )
ε ε
<
+ = ε.
2 2
Demonstraçao do Lema 4.2.1.
84
[CAP. 4:
Sejam
S1 , S2 ∈ Dk+1 (W ) e K ⊂ W compacto.
Dado
APROXIMAÇÕES DE FUNÇÕES
ε > 0, tome δ > 0 tal que kS1 −
S2 kC k+1 (K) < δ . Escolha U como sendo o contra-domínio da aplicação σ1 : W → U dada por
1
σ1 (x, η) = x, ∂S
∂x (x, η) .
Sabemos que tanto a aplicação σ1 como σ2 : W
→ V dada por σ2 (x, η) =
∂S1
∂η (x, η), η , são
difeomorsmos (ver Teorema 3.2.3). Analogamente para as aplicações τ1 : W → U e τ2 : W → V
dadas por
2
τ1 (x, η) = x, ∂S
∂x (x, η)
2
τ2 (x, η) = ∂S
(x,
η),
η
.
∂η
Evidentemente, como S1 e S2 estão C
k
−próximas, kσ1 − τ1 kC k (K) < δ e kσ2 − τ2 kC k (K) < δ .
−1
−1
k
e τ1
estão C −próximas. Denotemos F1 := E(S1 ) e
Daí, pela Proposição 4.2.1, as funções σ1
F2 := E(S2 ). Como vimos no Teorema 3.2.3, podemos reescrever estas funções por:
F1
= σ2 ◦ σ1−1
F2
= τ2 ◦ τ1−1 .
Portanto, pelo ítem (c) da Proposição 4.2.2, kF1 − F2 kC k (K1 ) < ε, onde K1 ⊂ U é compacto.
Observação 4.2.1. Podemos suavizar um difeomorsmo simplético F = E(S) através de uma
suavização(padrão) na sua função geradora S .
De fato, seja F
= E(S) um C k -difeomorsmo simplético, k ≥ 1, de U ⊂ R2n em V ⊂ R2n , U
simplesmente conexo e U compacto, o qual é dado pela função geradora S ∈ C
−1
Teorema 3.2.3. Podemos escrever F = σ2 ◦σ1
k+1
(W ) como no
onde σ1 : W → U e σ2 : W → V são difeomorsmos.
Vamos escolher subconjuntos W2 , W3 ⊂ W abertos tais que W 3 , W 2 são compactos e W 3 ⊂ W2 e
W 2 ⊂ W (abreviaremos isto por W3 ⊂⊂ W2 ⊂⊂ W ).
Para aproximar S em W3 por uma função C
∞
com ζ ≡ 1 em W 3 e γ ∈ C0
∞
∞
, comecemos escolhendo funções ζ ∈ C0
(W ) com γ ≡ 1 em W 2 .
∞
Pelo Lema 4.1.1, dado ε > 0, existe uma função Xε ∈ C0
(W ) tal que
kγ · [(ζ · S) − Xε ∗ (ζ · S)]kC k+1 (W ) < ε.
Dena S1 ∈ C
k+1
(W ) por
S1 = S − γ · [(ζ · S) − Xε ∗ (ζ · S)].
(W2 )
[SEC. 4.2:
85
SUAVIZAÇÃO SIMPLÉTICA
Segue que kS − S1 kC k+1 (W )
< ε.
Além disso,
S1 = S em W \ W 2 , pois ζ ≡ 0 fora de W2 , e
S1 = Xε ∗ S em W3 , pois γ ≡ ζ ≡ 1 em W3 . Portanto S1 |W3 ∈ C ∞ .
Agora, para ε sucientemente pequeno escolhemos U3 ⊂⊂ U2 ⊂⊂ U tal que U3 ⊂ σ1 (W3 ) e
σ1 (W2 ) ⊂ U2 . Dena
F1 := E(S1 ).
−1
Como podemos escrever F1 = τ2 ◦ τ1
, com τ1 (x, η) = (x,
∂S1
∂S1
∂x (x, η)) e τ2 (x, η) = ( ∂η (x, η), η),
se ε é sucientemente pequeno então
(P1)
F1 |U3 ∈ C ∞ (U3 ), pois τ1 e τ2 são C ∞ em W3 .
(P2) Pelo Teorema 3.2.3, F1 é um difeomorsmo simplético de U em F (U ).
(P3)
F1 = F em U \ U 2 , pois como S = S1 em W \ W 2 então σ1 = τ1 e σ2 = τ2 em W \ W 2 .
(P4)
F1 é de classe C p , k ≤ p ≤ ∞ nos abertos em que F é de classe C p , pois nestes abertos a
função S1 , denida acima, será de classe C
p+1
e como F1 = E(S1 ) então então F1 será de
p
classe C .
(P5) Pelo Lema 4.2.1, kF1 − F kC k (U ) < δ(ε) com δ(ε) → 0 quando ε → 0.
Demonstração do Teorema 4.2.1
Seja f ∈ C
k
(M, N ) um difeomorsmo simplético de M em N e Wf uma vizinhança aberta, sucienk
temente pequena de f na topologia C . Escolha uma cobertura localmente nita de M , consistindo
de cartas simpléticas (Ui , φi ), 1 ≤ i ≤ ∞, com as seguinte propriedades:
1.
U i é compacto;
2.
h(Ui ) ⊂ Vi para todo h ∈ C k (M, N ) ∩ Wf , com (Vi , ϕi ), 1 ≤ i ≤ ∞ sendo um atlas simplético
em N .
(3)
Além disso, tomemos uma cobertura (Ui
(3)
), 1 ≤ i ≤ ∞, em M , tal que Ui
(2)
⊂⊂ Ui
⊂⊂ Ui
e em Ui todo simplectomorsmo na vizinhança Wf é dado pela função geradora local de f como
(3)
no Teorema 3.2.3, onde a construção local é tomada previamente com respeito a φi (Ui
(2)
φi (Ui ) ⊂⊂ φi (Ui ).
) ⊂⊂
86
[CAP. 4:
APROXIMAÇÕES DE FUNÇÕES
∞
.
(3) é C
(3)
U1 ∪···∪Un
−1
k
A partir das propriedades da nossa cobertura, a aplicação local F1 := ϕ1 ◦f ◦φ1 ∈ C (φ1 (U1 ), ϕ1 (V1 ))
Agora, deniremos uma seqüencia de funções (fn ) tal que f0 = f e fn |
é um simplectomorsmo de φ1 (U1 ) sobre a sua imagem, o qual é dado por F1 := E(S1 ), onde S1
é a função geradora local de F1 . Pela Observação 4.2.1, existe uma aplicação G1 tal que
(2)
• G1 = F1 , fora de φ1 (U1 );
• G1 |φ1 (U (3) ) é de classe C ∞ ;
1
• G1 é C p nos abertos onde F1 é C p ;
• G1 é simplectomorsmo;
• Existe δ1 > 0 tal que kG1 − F1 kC k (φ1 (U1 )) < δ1 .
Denote por f0 = f . Dena a função f1 por
f1 (z) =
∞
f (z),
z ∈ M \ U1
ϕ−1 ◦ G ◦ φ (z),
1
1
1
z ∈ U1
0
(2)
e é de classe C
p
nos abertos em que f0 é C . Além disso, se δ1 é escolhido
sucientemente pequeno então f1 ∈ C
k
(M, N ) ∩ Wf e é um simplectomorsmo.
Note que f1 |
(3)
U1
é C
Assuma que, para n ≥ 2, fn−1 ∈ C
1.
fn−1 é simplectomorsmo;
2.
fn−1 |U (3) ∪···∪U (3)
1
3.
é C
∞
p
k
(M, N ) ∩ Wf está denido e
;
n−1
fn−1 é C p nos abertos em que fn−2 é C p .
−1
Deste modo, para o simplectomorsmo Fn := ϕn ◦ fn−1 ◦ φn
função Gn tal que
(2)
• Gn = Fn , fora de φn (Un );
• Gn |φn (U (3) ) é de classe C ∞ ;
n
• Gn é C p nos abertos onde Fn é C p ;
• Gn é simplectomorsmo;
• Existe δn > 0 tal que kGn − Fn kC k (φn (Un )) < δn .
∈ C k (φn (Un ), ϕn (Vn )) existe uma
[SEC. 4.2:
87
SUAVIZAÇÃO SIMPLÉTICA
Logo, dena
fn (z) =
f
(2)
z ∈ M \ Un
n−1 (z),
ϕ−1 ◦ G ◦ φ (z),
n
n
n
z ∈ Un
Se δn é escolhido sucientemente pequeno então fn é simplectomorsmo de M sobre N , o qual
pertence a vizinhança Wf de f , e fn |
(3)
(3)
(3)
U1 ∪...∪Un−1 ∪Un
é de classe C
∞
.
Finalmente, dena g(z) := lim fn (z). Este limite não é difícil de calcular pois a cobertura
n→∞
(3)
(Un ) é localmente nita. Com a escolha adequada de (δn ) nós concluímos que g ∈ C ∞ (M, N )∩Wf
é um simplectomorsmo de M sobre N e satisfaz o desejado.
88
[CAP. 4:
APROXIMAÇÕES DE FUNÇÕES
Capítulo 5
Aproximações C 1 e outros resultados
O problema de aproximar um difeomorsmo (resp. uxo) C
k
(k ≥ 1) preservando volume numa
variedade compacta com ou sem bordo por um difeomorsmo (resp. uxo), tem motivações nos
sistemas dinâmicos e foi colocado por Palis e Pugh (ver [22]).
Esse problema, apesar de sua
aparente simplicidade para os menos familiarizados com o assunto, esconde uma complexidade e
diculdade técnica extremamente apurada.
Até o momento, respostas para esse problema são parciais e a questão principal, quando k = 1,
permanece em aberto.
O interesse no estudo dessa questão solidicou-se recentemente com o
desenvolvimento de técnicas em sistemas dinâmicos que valem genericamente para difeomorsmos
C 1 e com o desenvolvimento de técnicas em teoria ergódica que valem para difeomorsmos C 2 . A
resposta positiva para tal pergunta, nos levará a conexões interessantes entre sistemas dinâmicos
e teoria ergódica (ver Arbieto-Matheus, [18], para um exemplo de tais conexões).
Assim, apresentaremos neste capítulo alguns resultados parciais envolvendo aproximações de
funções que preservam volume. No nosso trabalho apresentamos como Zehnder provou para caso de
difeomorsmos simpléticos em superfícies sem bordo. É natural perguntarmos se existem extensões
para tais resultados. Vamos a algumas delas:
5.1 Aproximações C 1,α
k,α
k,α
, k ≤ 0 e 0 < α < 1, o espaço de Hölder usual e se f ∈ C
deniremos
|f (x) − f (y)|
.
kf kα := sup
|x − y|α
x6=y
Denotaremos por C
89
90
[CAP. 5:
Para difeomorsmos
APROXIMAÇÕES
C 1 E OUTROS RESULTADOS
C 1,α que preservam volume temos uma resposta satisfatória feita por
Zehnder, a saber,
Teorema 5.1 (Zehnder, 77). Seja M uma variedade compacta, de classe C ∞ , de dimensão d
com forma de elemento de volume µ. Seja f ∈ C
1,α
(M ) um difeomorsmo preservando volume,
0 < α ≤ 1. Então f pode ser aproximada por um difeomorsmo, de classe C ∞ , preservando volume
no seguinte sentido. Existe uma seqüência (fn ) de difeomorsmos, de classe C
∞
∗
, com fn µ = µ,
tal que
n→∞
kfn − f kC 1 −−−−→ 0
(5.1)
kfn kα ≤ k,
(5.2)
com a constante k > 0 dependendo de kf kα , mas independente de n.
Vale frisar que a demonstração do resultado acima utiliza Teoria de Hodge e difere completamente do caso simplético.
5.2 Fluxos C 1
Seja M uma superfície m-dimensional, m ≥ 2, sem fronteira. Dizemos que um campo de vetores
X é conservativo se div X = 0 e denotamos por X ∈ Xm (M ). Uma condição equivalente para que
uma aplicação f de classe C
1
preserve o volume é que | det Df | ≡ 1. Uma prova desse fato pode
ser vista em [19].
Agora, suponha que f
t
1
seja o uxo associado ao campo de vetores X , de classe C . A fórmula
de Liouville exprime o jacobiano de f
t
t
em termos do divergente div X do campo de vetores X :
Z 1
det Df (x) = exp
s
div X(f (x))ds
(5.3)
0
Vemos facilmente que, por (5.3), se X é um campo conservativo então o seu uxo preserva volume.
O resultado abaixo provado por Zuppa, [20], (ver também Arbieto-Matheus, [18] ), mostra que
uxos de classe C
1
1
podem ser aproximados (no sentido da topologia C ) por uxos de classe C
1
1
Teorema 5.2 (Zuppa, 1979). X∞
m (M ) é C -denso em Xm (M ).
∞
.
[SEC. 5.3:
91
APROXIMAÇÕES EM REGIÕES COM BORDO
5.3 Aproximações em Regiões com Bordo
n
Tratando-se da questão de aproximar difeomorsmos em regiões com bordo do R , veremos uma
resultado mais forte do Teorema de Moser feito por Dacorogna e Moser.
Consideremos Ω ⊂ R
n
um conjunto aberto, conexo e limitado e duas formas de volume τ, β
τ = f (x)dx1 ∧ . . . dxn , β = g(x)dx1 ∧ . . . dxn ,
com f, g > 0.
Podemos mostrar, sob certas condições de regularidade em Ω, f, g , que existe um difeomorsmo
ϕ : Ω → Ω mantendo a condição de fronteira xa e tal que
ϕ∗ β = λ τ
onde λ =
R
β
R
τ.
O resultado acima é equivalente a
Teorema 5.3 (Dacorogna-Moser, 90). Seja k ≥ 0 inteiro e 0 < α < 1. Seja Ω ⊂ Rn conjunto
aberto, limitado, conexo e com fronteira ∂Ω de classe C
k+3,α
. Seja f, g ∈ C
k,α
(Ω), f, g > 0 em Ω.
−1
Então existe um difeomorsmo ϕ com ϕ, ϕ
∈ C k+1,α (Ω; Rn ) satisfazendo
g(ϕ(x)) det ∇ϕ(x) = λf (x),
x∈Ω
ϕ(x) = x,
x ∈ ∂Ω
onde λ =
R
g
R
(5.4)
f.
Para a prova deste teorema, ver [17].
É interessante notar que a solução utiliza a teoria clássica das Equações Diferenciais Parciais
Elípticas, sendo a redução do problema a encontrar um campo que satisfaça um problema do tipo
divY (x) = h(x),
x∈Ω
Y (x) = 0,
x ∈ ∂Ω
onde h é uma função C
α
(5.5)
convenientemente escolhida.
Uma tentativa natural para solucionar tal problema é tentar achar uma solução do tipo divY
∇u, o que transforma a equação (5.5) na equação envolvendo o operador Laplaciano
∆u = h(x), x ∈ Ω
∇u(x) = 0, x ∈ ∂Ω
=
(5.6)
92
[CAP. 5:
APROXIMAÇÕES
C 1 E OUTROS RESULTADOS
Com métodos tradicionais (estimativas de Schauder) prova-se a existência e regularidade das
soluções da equação (5.6).
Ao tentarmos tratar o caso
α = 0 pelos métodos nos deparamos
com a equação (5.5) com a função h somente contínua. Neste caso, nos deparamos com o seguinte
resultado negativo devido a McMullen:
Teorema 5.4 (McMullen, 1998). Para qualquer n > 1 existe uma função f ∈ L∞ (Rn ) a qual não
é o divergente de qualquer campo de vetores Lipschitz.
Ver demonstração deste teorema em [21]. Com base neste teorema, Bourgain e Brezis em [23]
obtiveram uma resultados negativos muito interessantes no estudo da equação 5.5, quando h é
somente uma função contínua.
Referências Bibliográcas
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diferencial, 2006.
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[10] Lima, Elon Lages - Curso de Análise Volume 2, Coleção Matemática Universitária, IMPA,
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[11] Marsden, J.E., Ratiu, T., Abraham, R. - Manifolds, tensor analysis and application, 3◦ edition,
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93
94
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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1965.
[13] McDu, D. - Introduction to Symplectic Topology, 2◦ edition, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, 1998.
[14] Spivak, M. - O Cálculo em variedades, Editora Ciência Moderna, 2003.
[15] Zehnder, E. - Note on smoothing symplectic and volume preserving dieomorphisms, Lect.
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[16] Zehnder, E., Hofer, H. - Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics, Birkhauser Advanced Texts: Basler Lehrbücher, Birkhauser Verlag, Basel,1994.
[17] Dacorogna, B., Moser, J. - On a partial dierential equation involving the jacobian determi, Ann. Inst. Poincaré, 1990.
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[18] Arbieto, A., Matheus, C. - A pasting lemma and some applications for conservative systems,
Preprint, IMPA, 2006.
[19] Oliveira, K., Viana, M. - Introdução à Teoria Ergódica.
[20] Zuppa, C. - Regularisation C ∞ des champs vectoriels qui préservent l'elément de volume,
Bol. Soc. Brasileira Matem., 10 (2), 51.56, 1979.
[21] McMullen, C. - Lipschitz maps and nets in Euclidean space, Geometric and Functional
Analysis,304-314, Volume 8, Number 2 1998.
[22] Palis, J., Pugh, C. - Fifty problems in dynamical systems, Springer Lecture notes in Mathematics, Vol. 468, p. 352, 1975.
[23] Bourgain, J., Brezis, H. - On the equation div Y = f and application to control of phases, J.
Amer. Math. Soc., pp. 393-426, 2002.
Índice Remissivo
Aplicação linear simplética, 59
Elemento de ângulo, 26
Exata, 30
Campos Hamiltonianos, 72
Fechada, 30
Cobertura localmente nita, 35
Volume, 23
Cohomologia de de Rham, 44
simplético, 66
Colchete de Poisson, 73
Complemento Ortogonal Simplético, 58
Homotopia
Conjunto
inversa, 46
Estrelado, 48
Partição da Unidade, 35
Simplesmente conexo, 48
Produto
Critério de orientabilidade, 36
Exterior, 20
Derivada
Interior, 30
de Lie de formas, 31
Pull-Back de uma forma, 23
Diferencial Exterior, 27
Seqüência Mayer-Vietoris, 54
Equivalência Homotópica, 46
Subespaço
Espaço simplético padrão, 57
coisotrópico, 58
Estrutura simplética, 61
isotrópico, 58
lagrangiano, 58
Fórmula de Cartan, 33
simplético, 58
Fibrados cotangentes, 61
Superfície, 21
Fluxo numa superfície, 31
com bordo, 40
Forma
orientável, 21
Alternadas, 13
Anti-simétrica, 13
Teorema
Diferenciais, 21
da Derivada de Lie, 34
95
96
ÍNDICE REMISSIVO
de Darboux, 63
de Moser, 67
de Stokes, 40
de De Rham, 49
Mayer-Vietoris, 54
Poincaré, 48
Transposta, 18
Volume simplético, 66
