Dissertação
dissertacao_maria_andrade_2007.pdf
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Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação em Matemática
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Rio São Francisco
O Teorema de H. Hopf e as Inequações
de Cauchy-Riemann
MATEMÁTICA
A ciência
do infinito
Maria de Andrade Costa
Maceió
4 de Dezembro o de 2006
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado
O Teorema de H. Hopf e as Inequações de
Cauchy-Riemann
Maria de Andrade Costa
Maceió, Brasil
Dezembro 2006
1
A Clarissa e Claudemir.
Agradecimentos
Primeiramente a Deus, por tudo.
Ao professor Hilário Alencar, meu orientador, pelas conversas matemáticas, incentivos
durante todo o programa de Mestrado em Matemática e, principalmente, por ter me dado
a oportunidade de fazer uma disciplina de doutorado no IMPA, a qual me proporcionou
um crescimento matemático qualitativo.
Aos meus colegas de turma: Júlio de Almeida, Thales Vieira, pelas conversas, crı́ticas
construtivas e amizade, aos meus colegas de sala de estudo: André Pizzaia, Daniel
Nicolau, José Arnaldo dos Santos e Sofia Melo, pelo companherismo.
Aos professores Adán Corcho, Krerley Oliveira e Marcos Petrúcio Cavalcante que
contribuiram, de forma significativa, na minha formação acadêmica com conversas
matemáticas e não-matemáticas.
Ao professor Manfredo do Carmo pelas conversas matemáticas, super agradáveis, que
tivemos, as quais me ajudaram a concluir esse trabalho.
Ao professor Fernando Codá pelas sugestões nas correções desse trabalho, pelo
incentivo que me deu para estudar mais e por ser um professor esclarecedor dos meus
questionamentos.
Ao professor Marcos Petrúcio Cavalcante por ter me ajudado a fazer o apêndice desse
trabalho e pelas várias conversas interessantes acadêmicas.
Aos meus queridos pais, Josefa Pereira de Andrade Costa e Miguel Francisco da Costa
(in memorian), aos meus irmãos e a minha querida famı́lia pelos incentivos.
Aos meus amigos e professores da Universidade Federal de Sergipe que sempre me
apoiaram, especialmente: Paulo Rabelo, Valdenberg Araújo e Natanael Dantas.
A todas as pessoas que me recepcionaram aqui em Alagoas. Um agradecimento muito
especial a famı́lia Codá Marques por me acolher com muito carinho em sua residência e
por tudo que fizeram por mim.
Aos meus amigos do IMPA, pelas conversas matemáticas e não-matemáticas,
especialmente Cristina Levina e Ana Maria Luz.
Aos meus amigos que deram sugestões nesse trabalho, tanto nas correções como na
apresentação do mesmo, Claudemir Leandro, Clarissa Codá, Fábio Boia, Márcio Henrique
Batista, Marcius Petrúcio e Thiago Fontes.
Ao professor Adelailson Peixoto por seus valiosos conselhos e sua verdadeira amizade.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior (CAPES) pelo
financiamento da bolsa de mestrado concedida durante o perı́odo 03/2005 a 12/2006.
Resumo
Em 1951, H. Hopf publicou em um prestigiado artigo um famoso resultado:
Seja M uma superfı́cie compacta de gênero zero imersa no espaço Euclidiano de
dimensão três com curvatura média constante. Então M é isométrica à esfera redonda.
Neste trabalho descreveremos detalhadamente do ponto de vista matemático uma
generalização do resultado obtido por H. Hopf, a qual será publicada na revista
Communication in Analysis and Geometry em 2007, cujos autores são Hilário Alencar,
Manfredo Perdigão do Carmo e Renato Tribuzy. Neste artigo, os pesquisadores
classificaram as superfı́cies compactas de gênero zero imersas na variedade produto:
superfı́cies com curvatura Gaussiana constante cartesiano o espaço Euclidiano de
dimensão um e cuja diferencial da curvatura média satisfaz uma certa desigualdade
envolvendo uma forma quadrátrica.
Além disso, estudaremos uma extensão da classificação anterior no caso em que as
superfı́cies estão imersas numa variedade Riemanniana simplesmente conexa, homogênea
com um grupo de isometrias de dimensão quatro. Tais resultados foram obtidos
recentemente por Hilário Alencar, Isabel Fernández, Manfredo Perdigão do Carmo e
Renato Tribuzy. Nas demonstrações destes teoremas foram usadas técnicas de Análise
Complexa, fatos de Topologia e uma generalização do Teorema de H. Hopf obtida por
Abresch e Rosenberg, publicado em Acta Mathematica em 2004.
Palavras-chave: curvatura média, esfera, forma quadrática, função holomorfa,
inequações de Cauchy-Riemman, supefı́cie de gênero zero.
5
Sumário
1 Preliminares
1.1 Preliminares e Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 O Tensor Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 A Segunda Forma Fundamental e as Equações de Gauss, Ricci e Codazzi
1.4 O Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 A Métrica Produto e Conexão Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 O Teorema de Green-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 A Demonstração do Teorema de H. Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
14
16
21
21
22
25
2 O Teorema de Alencar, do Carmo e Tribuzy
2.1 A Demonstração do Teorema de Alencar, do Carmo e Tribuzy . . . . . .
2.2 A Demonstração do Lema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
38
3 Resultados e Generalizações
45
4 Apêndice
50
Referências Bibliográficas
52
Introdução
Nesta dissertação apresentaremos resultados que envolvem Geometria Diferencial,
Topologia e Análise Complexa. Inicialmente, provaremos o teorema de H. Hopf, ver [6],
cujo enunciado é o seguinte:
Seja M uma superfı́cie compacta de gênero zero imersa em R3 com curvatura média
constante. Então M é isométrica à esfera redonda.
H. Hopf forneceu duas provas para o teorema citado acima e os detalhes encontram-se
na seção 1.7.
Foi a partir de 1951, com a publicação do artigo de H. Hopf, que muitos geômetras
começaram a trabalhar com superfı́cies de curvatura média constante não-nula, pois, até
aquele momento, os pesquisadores ligados à Geometria Diferencial davam mais ênfase às
superfı́cies mı́nimas.
Em 1951, também foi observado por H. Hopf que o teorema acima é válido para
superfı́cies de Weingarten, ou seja, superfı́cies para as quais existe uma função W que
relaciona as duas curvaturas principais k1 e k2 da seguinte maneira: W (k1 , k2 ) = 0. Se
essa relação pode ser resolvida, digamos, em k2 , e dk2 /dk1 = −1 quando k1 = k2 , dizemos
que a superfı́cie de Weingarten é especial.
Em 2004, Abresch e Rosenberg generalizaram o Teorema de H. Hopf com o seguinte
resultado:
Teorema 0.0.1. Sejam M uma superfı́cie imersa em M 2 (c) × R e Q uma forma
quadrática definida por
Q(X, Y ) = 2Hα(X, Y ) − c hξX, ξY i ,
onde M 2 (c) é uma variedade Riemanniana com curvatura c, X, Y são vetores tangentes
a M , α é a segunda forma fundamental, H é curvatura média e ξ : M 2 (c) × R → R é
a projeção natural sobre R, isto é, ξ(p, t) = t; p ∈ M 2 (c), t ∈ R. Se a curvatura média
H é constante, então Q(2,0) é uma forma quadrática holomorfa. Como conseqüência,
se M é uma superfı́cie compacta de gênero zero, então M é uma superfı́cie mergulhada
invariante por rotações no espaço ambiente.
O resultado de Abresch e Rosenberg foi generalizado por Alencar, do Carmo e Tribuzy
em 2005, ver [2], mais precisamente eles provaram o teorema a seguir:
7
Teorema 0.0.2. Seja M uma superfı́cie compacta de gênero zero imersa em M 2 (c) × R.
Suponhamos que
|dH| ≤ h(z)|Q(2,0) |,
onde |dH| é a norma da diferencial da curvatura média H de M , h é uma função real
contı́nua, não-negativa e Q(2,0) é a parte (2, 0) da forma quadrática Q definida por Abresch
e Rosenberg. Então Q(2,0) é identicamente nula e M é uma superfı́cie invariante por
rotações em M 2 (c) × R.
O Teorema 0.0.2 foi a motivação para essa dissertação. Os detalhes do teorema acima
podem ser encontrados na seção 2.1, cuja demonstração utiliza-se do seguinte
Lema 0.0.1. (Lema Principal) Seja f : U ⊂ C → C uma função complexa definida em
um aberto U do plano complexo que contém a origem z = 0. Suponhamos que
∂f
≤ h(z)|f (z)|,
∂z
(1)
onde h é uma função real contı́nua, não-negativa. Assumamos que z = z0 é um zero de
f . Então f ≡ 0 em uma vizinhança de V ⊂ U de z0 ou
f (z) = (z − z0 )k fk (z), z ∈ V, k ≥ 1,
onde fk (z) é uma função contı́nua com fk (z0 ) 6= 0.
O Lema Principal foi inspirado em alguns resultados obtidos por Chern, ver seção
2.2.
Um resultado bastante interessante envolvendo as superfı́cies de Weingarten, foi
provado por R. Bryant, ver [4], a saber:
Teorema 0.0.3. Seja M uma superfı́cie compacta de gênero zero imersa em R3 e seja f
qualquer função suave definida em um intervalo aberto contendo o intervalo [0, ∞). Se
M satisfaz a relação de Weingarten na forma
H = f (H 2 − K) = f (|α(2,0) |2 ),
onde α(2,0) é a parte (2, 0) da segunda forma fundamental de M , então M é isométrica
à esfera.
O teorema anterior foi também generalizado por Alencar, do Carmo e Tribuzy em [2].
Eles provaram a seguinte
Proposição 0.0.1. Sejam M uma superfı́cie compacta de gênero zero, imersa em
M 2 (c) × R e f uma função suave como acima. Suponhamos que
H = f (|Q(2,0) |2 ).
Então Q(2,0) ≡ 0 e M é isométrica à esfera.
8
A demonstração desta Proposição é uma conseqüência do Teorema de Alencar, do
Carmo e Tribuzy, ver capı́tulo 3.
Recentemente, ver [3], Alencar, do Carmo, Fernández e Tribuzy generalizaram o
resultado obtido em [2] para superfı́cies imersas em E3 (k, τ ), τ 6= 0. Aqui E3 (k, τ ) é uma
variedade Riemanniana simplesmente conexa, homogênea com um grupo de isometrias
de dimensão 4. Tal variedade é um fibrado Riemanniano com curvatura τ , cuja base é
uma superfı́cie com curvatura seccional k. Eles provaram o seguinte resultado:
Teorema 0.0.4. Seja M uma superfı́cie compacta de gênero zero imersa em E3 (k, τ )
com curvatura média H. Suponhamos que
|dH| ≤ g|Q(2,0) |,
onde g é uma função contı́nua real não-negativa, E3 é uma variedade Riemanniana
simplesmente conexa homogênea e Q(X, Y ) = 2θα(X, Y )−chξ, Y ihξ, Y i, sendo θ = H+iτ
e c = k−4τ 2 . Então Q(2,0) é identicamente nula e, conseqüentemente, M é uma superfı́cie
invariante por rotações em E3 (k, τ ).
A demonstração do Teorema 0.0.4 encontra-se no capı́tulo 3.
Finalmente, no apêndice desta dissertação determinaremos a parte (2,0) da forma
quadrática Q definida por Abresch e Rosenberg. Além disso, calculamos a norma de
Q(2,0) .
9
Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo apresentaremos as definições básicas e os fatos que serão utilizados
nos capı́tulos posteriores. Na seção 1.1, definiremos a conexão de Levi-Civita, a qual
será fundamental para conceituarmos o tensor curvatura. Na seção 1.2, introduziremos
o tensor curvatura, essencial para definirmos curvatura seccional e curvatura escalar.
Na seção 1.3, discorremos a respeito da segunda forma fundamental de uma imersão
isométrica. Exporemos, na seção 1.4, o Teorema de Gauss, que relaciona a curvatura
seccional de duas variedades. Introduziremos, na seção 1.5, as definições de métrica
produto e conexão produto, que serão fundamentais na demonstração do Principal
Teorema do nosso trabalho. Tais definições podem ser encontradas em [8]. E, por
último, na seção 1.6, exibiremos alguns fatos de Análise Complexa, os quais serão úteis
na demonstração do Teorema de Green-Stokes.
1.1
Preliminares e Definições
Definição 1.1.1. Uma variedade diferenciável M de dimensão n e classe C ∞ é um
conjunto M e uma famı́lia de aplicações biunı́vocas ϕα : Uα ⊂ Rn → M de abertos Uα de
Rn em M , tais que
1. ∪α ϕα (Uα ) = M ;
−1
2. Para todo α, β com ϕα (Uα ) ∩ ϕβ (Uβ ) = W 6= ∅ os conjuntos ϕ−1
α (W ) e ϕβ (W )
n
−1
são abertos em R e as aplicações ϕβ ◦ ϕα são diferenciáveis;
3. A famı́lia (Uα , ϕα ) é máxima relativa às condições (1) e (2), ou seja qualquer outra
carta está contida em (Uα , ϕα ).
O par (Uα , ϕα ) (ou aplicação ϕα ), p ∈ ϕα (Uα ), é chamado uma parametrização (ou
sistema de coordenadas) de M em p; ϕα (Uα ) é então chamada uma vizinhança coordenada
em p. Uma famı́lia (Uα , ϕα ) satisfazendo (1) e (2) é chamada uma estrutura diferenciável
em M .
Observação 1.1.1. Uma estrutura diferencial em um conjunto M induz de uma maneira
natural uma topologia em M . Com efeito, basta definir que A ⊂ M é um aberto de M se
10
n
ϕ−1
α (A ∩ ϕα (Uα )) é um aberto do R para todo α. É imediato verificar que M e o vazio
são abertos, que a união de abertos é aberto e a intersecção finita de abertos é aberto.
Observe que a topologia é definida de tal modo que os conjuntos ϕα (Uα ) são abertos e as
aplicações ϕα são contı́nuas.
n
Definição 1.1.2. Sejam M m e M variedades diferenciáveis . Uma aplicação ψ : M →
M é diferenciável em p ∈ M , se dada uma parametrização y : V ⊂ Rn → M em ψ(p)
existe uma parametrização x : U ⊂ Rn → M em p, tal que ψ(x(U )) ⊂ y(V ) e a aplicação
y −1 ◦ ψ ◦ x : U ⊂ Rn → Rm
é diferenciável em x−1 (p). Dizemos que ψ é diferenciável em um aberto de M , se é
diferenciável em todos os pontos abertos deste aberto.
n
Definição 1.1.3. Sejam M m e M variedades diferenciáveis.
Uma aplicação
diferenciável ψ : M → M é uma imersão, se dψp : Tp M → Tψ(p) M é injetiva para
todo p ∈ M .
Observação 1.1.2. Uma imersão φ : M → N de uma variedade diferenciável M de
dimensão n numa variedade N de dimensão n + 1 é dita hipersuperfı́cie.
Definição 1.1.4. Seja M uma variedade diferenciável. Dizemos que M é orientável, se
M admite uma famı́lia (Uα , ϕα ) satisfazendo (1) e (2) da definição 1.1.1, tal que para
todo par α, β, com ϕα (Uα ) ∩ ϕβ (Uβ ) = W 6= ∅, a diferencial da mudança de coordenadas
ϕα ◦ ϕ−1
β tem determinante positivo.
Observação 1.1.3. Entenderemos por variedade diferenciável um espaço de Hausdorff
com base enumerável, isto é, a variedade pode ser coberta por uma quantidade enumerável
de vizinhanças coordenadas e orientável.
Definição 1.1.5. Uma métrica Riemanniana em uma variedade diferenciável M é
uma correspondência que associa a cada ponto p de M um produto interno h, ip (isto
é, uma forma bilinear simétrica, positiva definida) no espaço tangente Tp M , o qual
varia diferenciavelmente no seguinte sentido: se ϕα : Uα ⊂ Rn → M é um sistema
∂
de coordenadas locais em torno de p , com ϕα (x1 , ..., xn ) = q ∈ ϕα (U ) e
(q) =
∂ϕj
∂
∂
dϕq (0, ..., 1, ..., 0), então
(q),
(q) = gij (x1 , ..., xn ) é diferenciável em U.
∂ϕj
∂ϕi
q
Definição 1.1.6. Uma variedade diferenciável com uma métrica Riemanniana chama-se
uma variedade Riemanniana.
Definição 1.1.7. Sejam M e M variedades Riemannianas. Um difeomorfismo f : M →
M é chamado uma isometria, se
hu, vip = hdfp (u), dfp (v)if (p) , para todo p ∈ M, u, v ∈ Tp M.
Definição 1.1.8. Uma variedade Riemanniana é homogênea, se dados p, q ∈ M , existe
uma isometria de M que leva p em q.
11
Teorema 1.1.1. Toda variedade diferenciável M possui uma métrica Riemanniana.
Demonstração. Ver [8], página 47.
Definição 1.1.9. Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma
correspondência que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ Tp M .
Agora definiremos o conceito de conexão afim. Utilizaremos a seguinte notação:
X (M ) denotará o campo de vetores de classe C ∞ em M e D(M ) o anel das funções
reais de classe C ∞ definidas em M .
Definição 1.1.10. Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é uma
aplicação
∇ : X (M ) × X (M ) → X (M )
que se indica por
∇
(X, Y ) −→ ∇X Y,
tal que
1. ∇f X+gY Z = f ∇X Z + g∇Y Z;
2. ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z;
3. ∇X (f Y ) = f ∇X Y + X(f )Y.
Aqui X,Y ,Z ∈ X (M ) e f ,g ∈ D(M ).
Definição 1.1.11. Sejam M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇ e h, i
uma métrica Riemanniana . A conexão ∇ é dita compatı́vel com a métrica h, i, quando
X hY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi , ∀X, Y, Z ∈ X (M ).
Lema 1.1.1. Sejam X e Y campos diferenciáveis de vetores em uma variedade
diferenciável M . Então existe um único campo vetorial Z = [X, Y ], tal que, para todo
f ∈ D(M ), tem-se
Zf = (XY − Y X)f = [X, Y ]f.
Demonstração. Primeiro provaremos que, se Z existe, ele é único. Admitamos,
portanto, a existência de um tal Z. Sejam p ∈ M e ϕ : U → M uma parametrização em
p. Sejam
X=
X
i
ai
X
∂
∂
,Y =
bj
∂xi
∂xj
j
as expressões de X e Y nesta parametrização. Então, para todo f ∈ D,
!
X
X ∂bj ∂f
X
∂
∂2f
XY f = X
bj
f=
ai
+
ai b j
∂xj
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj
j
i,j
i,j
!
X ∂
X ∂ai ∂f
X
∂2f
Y Xf = Y
ai
f=
bj
+
ai b j
.
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
i
j
i
i
j
i
i,j
i,j
12
Portanto, Z é dado na parametrização ϕ por
Zf = XY f − Y Xf =
∂bj
∂aj
ai
− bi
∂xi
∂xi
i,j
!
X
∂f
.
∂xj
Isto mostra a unicidade de Z. A existência do campo Z é demonstrada da seguinte
forma: defina-se Zα pela expressão acima em cada vizinhança coordenada ϕα (Uα ) de uma
estrutura diferenciável (Uα , ϕα ) de M . Por unicidade, Zα = Zβ em ϕα (Uα ) ∩ ϕβ (Uβ ) 6= ∅,
o que permite definir Z em toda a variedade M .
Observação 1.1.4. O campo vetorial Z dado no lema acima é chamado o colchete
[X, Y ] = XY − Y X entre X e Y .
Definição 1.1.12. Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é dita
simétrica, quando
∇X Y − ∇Y X = [X, Y ], ∀X, Y ∈ X (M ).
Teorema 1.1.2. Dada uma variedade Riemanniana M , existe uma única conexão afim
∇ em M satisfazendo as condições:
1. ∇ é simétrica;
2. ∇ é compatı́vel com a métrica Riemanniana.
Demonstração. Suponhamos inicialmente a existência de uma tal conexão ∇. Então
X hY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi ,
(1.1)
Y hZ, Xi = h∇Y Z, Xi + hZ, ∇Y Xi ,
(1.2)
Z hX, Y i = h∇Z X, Y i + hX, ∇Z Y i .
(1.3)
Adicionando (1.1) e (1.2) e subtraindo (1.3), temos, usando a simetria de ∇, que
X hY, Zi + Y hZ, Xi − Z hX, Y i
= h[X, Z], Y i + h[Y, Z], Xi + h[X, Y ], Zi + 2 hZ, ∇Y Xi .
Portanto
1
{X hY, Zi + Y hZ, Xi − Z hX, Y i
2
− h[X, Z], Y i − h[Y, Z], Xi − h[X, Y ], Zi}.
hZ, ∇Y Xi =
(1.4)
A expressão (1.4) mostra que ∇ está univocamente determinada pela métrica h, i.
Logo, caso exista, ela será única. Mostraremos que ∇ existe. De fato, defina ∇ por (1.4).
É fácil verificar que ∇ está bem definida e que satisfaz às propriedades desejadas.
Observação 1.1.5. A conexão dada pelo teorema acima é denominada de conexão LeviCivita de M .
13
1.2
O Tensor Curvatura
Nesta seção, apresentaremos uma definição de curvatura que, intuitivamente, mede
o quanto uma variedade Riemanniana deixa de ser Euclidiana. Logo em seguida
discutiremos a noção de curvatura seccional.
Definição 1.2.1. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma
correspondência que associa a cada par de vetores X, Y ∈ X (M ) uma aplicação
R(X, Y ) : X (M ) → X (M )
dada por
R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z, Z ∈ X (M ).
Observe que, se M = Rn , então R(X, Y )Z = 0 para todo X, Y, Z ∈ X (Rn ). Com
efeito, se indicarmos por Z = (z1 , ..., zn ) as componentes do campo Z nas coordenadas
naturais do Rn , obteremos que
∇X Z = (Xz1 , ..., Xzn ),
donde
∇Y ∇X Z = (Y Xz1 , ..., Y Xzn ),
o que implica
R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z = 0,
como havı́amos afirmado.
A expressão de R em um sistema de coordenadas (U, X) em torno do ponto p ∈ M é
dada por
X
m
Rijk
Xm .
R(Xi , Xj )Xk =
m
Denotaremos
Rijks = hR(Xi , Xi )Xk , Xs i .
Estes coeficientes satisfazem:
Rijks + Rjkis + Rkijs
Rijks
Rijks
Rijks
=
=
=
=
0 (Identidade de Biancchi),
−Rjiks ,
−Rijsk ,
Rksij .
Proposição 1.2.1. Seja σ ⊂ Tp M um espaço bi-dimensional do espaço tangente Tp M e
sejam x, y ∈ σ dois vetores linearmente independentes. Então
K(x, y) =
(x, y, x, y)
|x ∧ y|2
não depende da escolha dos vetores x, y ∈ σ. Aqui (x, y, x, y) = hR(x, y)x, yi .
14
Demonstração. Ver [8], página 105.
Definição 1.2.2. Sejam p ∈ M e σ ⊂ Tp M um subespaço bidimensional. O número
hR(x, y)x, yi
real K(x, y) =
, onde x e y é uma base qualquer de σ e kx ∧ yk =
kx ∧ yk2
q
kxk2 kyk2 − hx, yi2 , é chamado curvatura seccional de σ em p.
Lema 1.2.1. Seja V um espaço vetorial de dimensão ≥ 2 munido de um produto interno
h, i. Sejam R : V × V × V → V e R0 : V × V × V → V aplicações tri-lineares tais que
as propriedades da curvatura R sejam satisfeitas para
(x, y, z, t) = hR(x, y)z, ti, (x, y, z, t)0 = hR0 (x, y)z, ti.
Se x, y são dois vetores linearmente independentes, escrevamos,
K(x, y) =
(x, y, x, y)
(x, y, x, y)0
0
,
K
(x,
y)
=
,
|x ∧ y|2
|x ∧ y|2
onde σ é o subespaço bi-dimensional gerado por x e y. Se K(σ) = K 0 (σ) para todo
σ ⊂ V , então R = R0 .
Demonstração. Ver [8], página 105.
Lema 1.2.2. Sejam M uma variedade Riemanniana e p um ponto de M . Defina uma
aplicação trilinear R0 : Tp (M ) × Tp (M ) × Tp (M ) → Tp (M ) por
hR0 (X, Y, W ), Zi = hX, W i hY, Zi − hY, W i hX, Zi ,
onde X, Y, W, Z ∈ Tp (M ). Então M tem curvatura seccional constante igual a K0 se, e
só se, R = K0 R0 , onde R é a curvatura de M .
Demonstração.
Admita que K(p, σ) = K0 para todo σ ⊂ Tp (M ) e faça
hR0 (X, Y, W ), Zi = (X, Y, W, Z)0 . Observe que R0 satisfaz as propriedades da curvatura
de uma variedade Riemanniana. Como
(X, Y, X, Y )0 = hX, XihY, Y i − hX, Y i2 ,
temos que, para todo par de vetores X, Y ∈ Tp (M ),
R(X, Y, X, Y ) = K0 (|X|2 |Y |2 − hX, Y i2 ) = K0 R0 (X, Y, X, Y ).
Usando o Lema 1.2.1, isto implica que, para todo X, Y, W, Z,
R(X, Y, W, Z) = K0 R0 (X, Y, W, Z),
donde R = K0 R0 . A recı́proca é imediata.
15
1.3
A Segunda Forma Fundamental e as Equações
de Gauss, Ricci e Codazzi
Definição 1.3.1. Uma imersão f : M n → M
é dita isométrica, se
n+m=k
entre duas variedades Riemannianas
hu, vip = hdfp (u), dfp (v)if(p) , ∀ u, v ∈ Tp M, ∀ p ∈ M n .
(1.5)
n+m=k
é uma imersão e M é uma variedade
Observação 1.3.1. Se f : M n → M
Riemanniana, então a métrica Riemanniana M induz de maneira natural uma métrica
Riemanniana em M dada por (1.5). Tal métrica é chamada de métrica Riemanniana
induzida por f .
A conexão Riemanniana de M será indicada por ∇. Se X, Y são campos locais de
vetores em M e X, Y extensões locais a M , definimos
∇X Y = (∇X Y )T ,
(1.6)
onde (∇X Y )T é a componente tangencial de (∇X Y ). A expressão (1.6) define uma
conexão Riemanniana à métrica induzida de M .
n+m=k
Seja f : M n → M
uma imersão de uma variedade Riemanniana M . Então,
para cada p ∈ M , o produto interno em Tp M decompõe Tp M na soma direta
Tp M = Tp M ⊕ (Tp M )⊥ ,
onde (Tp M )⊥ é o complemento ortogonal de Tp M em Tp M . Tal decomposição varia
diferenciavelmente com p. Ou seja, localmente a parte do fibrado tangente T M que se
projeta sobre M decompõe-se em um fibrado tangente T M e em um fibrado tangente
normal T M ⊥ . A seguir, usaremos as letra latinas X, Y, Z, etc., para indicar os campos
diferenciáveis de vetores tangentes e as letras gregas ξ, η, ς, etc., para indicar os campos
diferenciáveis de vetores normais.
Vamos definir a segunda forma fundamental da imersão f : M → M . Inicialmente,
convém introduzir previamente a seguinte definição: se X e Y são campos locais em M ,
B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y
é um campo local em M normal a M . É claro que, B(X, Y ) não depende das extensões
X, Y . Com efeito, se X 1 é uma outra extensão de X, teremos
(∇X Y − ∇X Y ) − (∇X 1 Y − ∇X Y ) = ∇X−X1 Y ,
que se anula em M , pois X − X1 = 0 em M . Além disso, se Y1 é uma outra extensão de
Y , então
(∇X Y − ∇X Y ) − (∇X Y1 − ∇X Y ) = ∇X (Y − Y1 ) = 0,
pois Y − Y1 = 0 ao longo de uma trajetória de X. Portanto B(X, Y ) está bem definida.
No que se segue, indicaremos por X (U )⊥ os campos diferenciáveis em U de vetores
normais a f (U ) ≈ U .
16
Proposição 1.3.1. Se X, Y ∈ X (M ), então a aplicação B : X (U ) × X (U ) → X (U )⊥
dada por
B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y
é bilinear e simétrica.
Demonstração. Usando as propriedades de linearidade de uma conexão, conclui-se
imediatamente que B é aditiva em X, Y e, além disso, B(f X, Y ) = f B(X, Y ), f ∈ D(U ).
Indicando por f uma extensão de f a U , temos
B(f X, Y ) = ∇X f Y − ∇X (f Y )
= f ∇X Y − f ∇X Y + X(f )Y − X(f )Y.
Como em M , f = f e X(f ) = X(f ), concluı́mos que as duas últimas parcelas se anulam,
donde B(f X, Y ) = f B(X, Y ), isto é, B é bilinear.
A aplicação B é simétrica. De fato, usando a simetria da conexão Riemanniana,
obtemos
(1.7)
B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y = ∇Y X + [Y , X] − ∇Y X − [X, Y ].
Como [X, Y ] = [X, Y ] em M , concluı́mos que B(X, Y ) = B(Y, X).
Definição 1.3.2. Sejam p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ . Definimos a aplicação Hη : Tp (M ) ×
Tp (M ) → R por
Hη (x, y) = hB(x, y), ηi, x, y ∈ Tp M.
Usando a proposição anterior temos que Hη é uma forma bilinear e simétrica.
A forma quadrática IIη em Tp M , definida por
IIη (x) = Hη (x, x),
é chamada a segunda forma fundamental de f em p, segundo o vetor normal η.
Observação 1.3.2. Como a aplicação Hη é uma forma bilinear e simétrica, podemos
sempre associá-la uma aplicação auto-adjunta, a saber:
Sη : Tp M → Tp M,
definida por
hSη x, yi = Hη (x, y) = hB(x, y), ηi.
Proposição 1.3.2. Sejam p ∈ M , x ∈ Tp M e η ∈ (Tp M )⊥ . Seja N uma extensão local
de η normal a M . Então
Sη (x) = −(∇x N )T .
Demonstração. Sejam x, y ∈ Tp M e X, Y extensões locais, respectivamente, de x, y.
Então, hN, Y i = 0 e, portanto,
hSη (x), yi = hB(X, Y )(p), N i = h∇X Y − ∇X Y, N i(p)
= h∇X Y, N i(p) = −hY, ∇X N i(p) = h−∇x N, yi,
∀ y ∈ Tp M .
17
n+1=k
Exemplo 1.3.1. Sejam f : M n → M
uma hipersuperfı́cie, p ∈ M , Sη , η ∈ (Tp M )⊥
e kηk = 1. Como Sη : Tp M → Tp M é linear e simétrica, então pode ser diagonalizada por
uma base ortonormal de autovetores {e1 , ..., en } com valores próprios reais {λ1 , ..., λn },
isto é, Sη (ei ) = λi ei , i = 1, ..., n. Visto que M e M são orientadas, denominamos os ei
de direções principais e os λi = ki curvaturas principais de f .
Dados X e η, já vimos que a componente tangente de ∇X N é dada por (∇X N )> =
−Sη (X). Vamos estudar, agora, a componente normal de ∇X N , que será chamada de
conexão normal ∇⊥ da imersão. Explicitamente,
N
T
∇⊥
X η = (∇X N ) = ∇X N − (∇X N ) = ∇X N + Sη (X).
A conexão normal ∇⊥ possui as propriedades usuais de uma conexão, isto é, ∇⊥ é
linear e aditiva em η.
De maneira análoga ao caso do fibrado tangente introduz-se, a partir de ∇⊥ , uma
noção de curvatura no fibrado normal, a qual é chamada curvatura normal R⊥ da imersão.
Esta curvatura normal é definida por
⊥ ⊥
⊥
⊥
R⊥ (X, Y )η = ∇⊥
Y ∇X η − ∇X ∇Y η + ∇[X,Y ] η.
Tudo se passa como se a geometria da imersão se decompusesse em duas geometrias:
uma geometria do fibrado tangente e uma geometria do fibrado normal. Estas geometrias
se relacionam com a segunda forma fundamental da imersão por meio de expressões que
generalizam as equações clássicas de Gauss e Codazzi da teoria das superfı́cies. A seguir,
estabelecemos tais relações.
Proposição 1.3.3. As equações seguintes se verificam:
1. Equação de Gauss:
R(X, Y )Z, T = hR(X, Y )Z, T i − hB(Y, T ), B(X, Z)i + hB(X, T ), B(Y, Z)i .
2. Equação de Ricci:
R(X, Y )η, ζ − R⊥ (X, Y )η, ζ = h[Sη , Sζ ]X, Y i ,
onde [Sη , Sζ ] = Sη ◦ Sζ − Sζ ◦ Sη .
Demonstração. Observe que ∇X Y = ∇X Y + B(X, Y ). Como
R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z
= ∇Y (∇X Z + B(X, Z)) − ∇X (∇Y Z + B(Y, Z)) + ∇[X,Y ] Z + B([X, Y ], Z),
temos
R(X, Y )Z =
=
−
=
−
∇Y ∇X Z + ∇Y B(X, Y ) − ∇X ∇Y Z − ∇X B(Y, Z) + ∇[X,Y ] Z + B([X, Y ], Z)
∇Y ∇X Z + B(∇X Z, Y ) + ∇⊥
Y B(X, Z) − SB(X,Z) (Y ) − ∇X ∇Y Z − B(∇Y Z, X)
⊥
∇X B(Y, Z) + SB(Y,Z) (X) + ∇[X,Y ] Z + B([X, Y ], Z)
R(X, Y )Z + B(Y, ∇X Z) + ∇⊥
Y B(X, Z) − SB(X,Z) (Y ) − B(∇Y Z, X)
⊥
∇X B(Y, Z) + SB(Y,Z) (X) + ∇[X,Y ] Z + B([X, Y ], Z).
(1.8)
18
Tomando o produto interno de (1.8) com T , vemos que os termos normais se anulam e,
portanto,
= hR(X, Y )Z, T i − SB(X,Z) (Y ), T − SB(Y,Z) (X), T
= hR(X, Y )Z, T i − hB(Y, T ), B(X, Z)i + hB(X, T ), B(Y, Z)i ,
R(X, Y )Z, T
onde a última igualdade foi obtida a partir da observação (1.3.2). Assim, encontramos a
equação de Gauss.
Agora, obteremos a equação de Ricci. Com efeito,
R(X, Y )η = ∇Y ∇X η − ∇X ∇Y η + ∇[X,Y ] η
⊥
⊥
= ∇Y (∇⊥
X η − Sη (X)) − ∇X (∇Y η − Sη (Y )) + ∇[X,Y ] η − Sη [X, Y ]
⊥
⊥
= ∇Y ∇⊥
X η − ∇Y Sη (X) − ∇X ∇Y η + ∇X Sη (Y ) + ∇[X,Y ] η − Sη [X, Y ]
⊥
⊥
= ∇⊥
(Y ) − ∇Y Sη (X) − ∇⊥
(X) + ∇X Sη (Y )
Y ∇ X η − S∇ ⊥
X ∇ Y η − S∇ ⊥
Xη
Yη
+ ∇⊥
[X,Y ] η − Sη [X, Y ]
⊥
= R (X, Y )η − S∇⊥X η (Y ) − ∇Y Sη (X) − B(Sη (X), Y ) + S∇⊥Y η (X)
+ ∇X Sη (Y ) + B(X, Sη Y ) − Sη [X, Y ].
Fazendo o produto interno da última equação com ζ e observando que hB(X, Y ), ηi =
hSη (X), Y i, obtemos
R(X, Y )η, ζ
=
R⊥ (X, Y )η, ζ − hB(Sη (X), Y ), ζi + hB(X, Sη Y ), ζi .
=
R⊥ (X, Y )η, ζ + h(Sη Sζ − Sζ Sη )X, Y i .
Logo
R(X, Y )η, ζ = R⊥ (X, Y )η, ζ + h[Sη , Sζ ]X, Y i .
Esta última expressão é denominada de Equação de Ricci.
Observação 1.3.3. Dizemos que o fibrado normal de uma imersão é plano, se R⊥ = 0.
Admitamos que o espaço ambiente M tem curvatura seccional constante. Então a equação
de Ricci se escreve
R⊥ (X, Y )η, ζ = − h[Sη , Sζ ]X, Y i .
Decorre daı́ que R⊥ = 0 se, e só se, [Sη , Sζ ] = 0, quaisquer que sejam η, ζ ∈ T ⊥ M .
As equações de Gauss e de Ricci são expressões algébricas que relacionam,
respectivamente, as curvaturas dos fibrados tangente e normal com a segunda forma
fundamental da imersão. Uma relação não-algébrica é dada pela equação de Codazzi.
Neste caso, precisamos “derivar”a segunda forma fundamental considerada como um
tensor.
19
Dada uma imersão isométrica, convém indicar por X (M )⊥ o espaço dos campos
diferenciáveis de vetores normais a M . A segunda forma fundamental da imersão pode
ser considerada como o tensor
B : X (M ) × X (M ) × X (M )⊥ → D(M )
definido por
B(X, Y, η) = hB(X, Y ), ηi .
A definição de derivada covariante se estende a este tipo de tensor de maneira natural, a
saber:
(∇X B)(Y, Z, η) = X(B(Y, Z, η)) − B(∇X Y, Z, η) − B(Y, ∇X Z, η) − B(Y, Z, ∇⊥
X η).
Proposição 1.3.4. (Equação de Codazzi). Com a notação acima,
R(X, Y )η, ζ = (∇Y B)(X, Z, η) − (∇X B)(Y, Z, η).
Demonstração. Observe, inicialmente, que
(∇X B)(Y, Z, η) = X hB(Y, Z), ηi − hB(∇X Y, Z), ηi − hB(Y, ∇X Z), ηi
− B(Y, Z), ∇⊥
X η)
=
⊥
∇⊥
X B(Y, Z), η + B(Y, Z), ∇X η) − hB(∇X Y, Z), ηi
− hB(Y, ∇X Z), ηi − B(Y, Z), ∇⊥
X η)
=
∇⊥
X B(Y, Z), η − hB(∇X Y, Z), ηi − hB(Y, ∇X Z), ηi .
Considere agora a expressão (1.8) na demonstração da Proposição 1.3.3 e tome o produto
interno de (1.8) por η .Logo, levando em consideração a observação acima, vemos que
hR(X, Y )η, ζi = hB(Y, ∇X Z), ηi + h∇⊥
Y B(X, Z), ηi
− hB(X, ∇Y Z), ηi − h∇⊥
X B(Y, Z), ηi + hB(∇X Y, Z), ηi − hB(∇Y X, Z), ηi
= −(∇Y B)(X, Z, η) + (∇X B)(Y, Z, η),
portanto, obtivemos a Equação de Codazzi.
Observação 1.3.4. Se o espaço ambiente M tem curvatura seccional constante, então
a Equação de Codazzi se reduz à expressão
(∇Y B)(X, Z, η) = (∇X B)(Y, Z, η).
Se, além disso, a codimensão da imersão é um, ∇⊥
X η = 0, ou seja,
∇X B(Y, Z, η) = X h Sη (Y ), Zi − hSη (∇X Y ), Zi − h Sη (Y ), ∇X Zi
= h∇X (Sη (Y )), Zi − hSη (∇X Y ), Zi .
Nesse caso, a equação de Codazzi se escreve da seguinte forma:
∇X (Sη (Y ) − ∇Y (Sη (X)) = Sη ([X, Y ]).
A importância das equações de Gauss, Codazzi e Ricci é que, no caso em que o espaço
ambiente tem curvatura seccional constante, elas desempenham um papel ao análogo das
equações de compatibilidade na teoria das superfı́cies.
20
1.4
O Teorema de Gauss
m
Seja f : M n → M uma imersão isométrica entre variedades Riemannianas.
Relacionaremos agora a curvatura de M com a curvatura de M e as segundas formas
fundamentais de duas variedades Riemannianas. Sejam x, y ∈ Tp M ⊂ Tp M linearmente
independentes, indicaremos por K(x, y) e K(x, y) as curvaturas seccionais de M e M ,
respectivamente, no plano gerado por x e y.
Teorema 1.4.1. (Gauss). Se p ∈ M e x, y são vetores ortonormais de Tp M , então
K(x, y) − K(x, y) = hB(x, x), B(y, y)i − |B(x, y)|2 .
(1.9)
Demonstração. Decorre da Proposição 1.3.3 item 1.
n+1
Observação 1.4.1. No caso em que f : M n → M
é uma hipersuperfı́cie, a fórmula
de Gauss (1.9) admite uma expressão mais simples. De fato, sejam p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ .
Seja e1 , ..., en uma base ortonormal de autovetores de Tp M para a qual Sη é diagonal, isto
é, Sη (ei ) = λi ei , i = 1, ..., n, onde λ1 , ..., λn são os autovalores próprios de Sη . Portanto,
a expressão (1.9) se escreve
K(ei , ej ) − K(ei , ej ) = λi λj .
(1.10)
Exemplo 1.4.1. A curvatura seccional da esfera unitária S n ⊂ Rn+1 é igual a constante
1. Com efeito, orientando S n pelo campo normal unitário N (x) = −x ∈ S n , temos
−x = dNp (x) =
d
N ◦ c(t)|t=0 = ∇x N = (∇x N )T = −Sη x, ∀ p ∈ M, ∀ x ∈ Tp M,
dt
onde c(0) = p e c0 (0) = x. Os valores próprios de Sη são todos iguais a 1. Além disso, a
curvatura seccional de Rn é zero, portanto usando a equação (1.10), temos
K(ei , ej ) = 1, ∀ i, j = 1, ..., n
1.5
A Métrica Produto e Conexão Produto
Sejam M e M variedades Riemannianas e consideremos o produto cartesiano M × M
com a estrutura diferencial produto. Sejam π : M × M → M e π : M × M → M
as projeções naturais. Definiremos uma métrica Riemanniana em M × M da seguinte
maneira:
hu, vi(p,q) = hdπu, dπvip + hdπu, dπviq ,
para todo (p, q) ∈ M × M , u, v ∈ T(p,q) (M × M ). Denominamos a métrica definida acima
de métrica produto.
Por exemplo, o toro S 1 × ... × S 1 = T n tem uma estrutura Riemanniana produto. De
fato, basta escolhermos no cı́rculo S 1 ⊂ R2 a métrica Riemanniana induzida por R2 e
tomarmos a métrica produto. O toro T n com esta métrica Riemanniana chama-se toro
plano.
21
Sejam M e M variedades Riemannianas e consideremos o produto M × M com a
métrica produto. Sejam ∇1 e ∇2 as conexões, respectivamente, de M e M . Denotaremos
por ∇ a conexão Riemanniana de M × M definida por
∇Y1 +Y2 (X1 + X2 ) = ∇1 Y1 X1 + ∇2 Y2 X2 , ∀ X1 , Y1 ∈ X (M ) e X2 , Y2 ∈ X (M ).
Tal conexão chama-se conexão produto.
1.6
O Teorema de Green-Stokes
Nesta seção, apresentaremos alguns fatos sobre Análise Complexa, os quais serão úteis
na demonstração do Teorema Principal, além de auxiliar para o entendimento do próximo
capı́tulo.
Definição 1.6.1. Seja f : U ⊂ C → C definida por f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Dizemos
que f é C k , se as funções u(x, y) e v(x, y) são C k . Se u e v são C ∞ , dizemos que f é
C ∞ . Aqui estamos identificando z = x + iy = (x, y).
Lema 1.6.1. Sejam P : U ⊂ C → C e Q : U ⊂ C → C funções C ∞ definidas num
aberto U ⊂ C, então existem funções g e h ∈ C ∞ , tais que
P dx + Qdy = gdz + hdz.
Demonstração. Sabemos que, para z = x + iy,
dz = dx + idy
dz = dx − idy.
Logo
dz + dz
dz − dz
P dx + Qdy = P
+Q
2
2i
P
P
Q
Q
=
dz + dz + dz − dz
2
2i
2i
2
iP + Q
iP − Q
=
dz +
dz.
2i
2i
Tomando g =
iP + Q
iP − Q
eh=
vemos que g e h são funções C ∞ e, além disso,
2i
2i
P dx + Qdy = gdz + hdz.
Usando as expressões acima, obtemos
Lema 1.6.2.
dz ∧ dz = −2idxdy.
22
(1.11)
Demonstração.
(dz ∧ dz) = (dx + idy) ∧ (dx − idy)
= (dx ∧ dx) − i(dx ∧ dy)) + i(dy ∧ dx) − i2 (dy ∧ dy).
Como (dx ∧ dx) = 0 = (dy ∧ dy) e (dy ∧ dx) = −(dx ∧ dy) temos
dz ∧ dz = −2i(dx ∧ dy)
= −2idxdy.
Definição 1.6.2. Seja U ⊂ C um subconjunto não-vazio e aberto. Dizemos que U é um
domı́nio, se U for conexo.
Definição 1.6.3. Suponhamos que U ⊂ C seja um domı́nio e B ⊂ U um conjunto
compacto, cuja fronteira ∂B consiste de um número finito de curvas de Jordan suaves
por partes e tal que B − ∂B é um domı́nio. Para cada uma dessas curvas, adotaremos o
sentido de percurso tal que o interior de B está sempre a esquerda quando a percorremos.
Nesssas condições, dizemos que B e ∂B têm orientações compatı́veis.
Teorema 1.6.1. (Teorema de Green-Stokes Complexo). Sejam f e g funções C ∞
definidas num domı́nio U ⊂ C. Seja B um conjunto compacto cuja fronteira, ∂B, consiste
de um número finito de curvas de Jordan suaves por partes. Além disso, suponhamos
que B − ∂B seja um domı́nio, com B e a ∂B tendo orientações compatı́veis. Então
Z
ZZ
∂h ∂g
−
dz ∧ dz.
gdz + hdz =
∂z
∂z
∂B
B
∂f
1 ∂f
∂f
∂f
1 ∂f
∂f
Demonstração. Como
=
+i
e
=
−i
, usando o Lema
∂z
2 ∂x
∂y
∂z
2 ∂x
∂y
1.6.2, obtemos
ZZ
B
∂h ∂g
−
∂z
∂z
1
∂h
∂h
∂g
∂g
dz ∧ dz =
−i
−
+i
(−2idxdy)
∂x
∂y
∂x
∂y
B 2
ZZ
∂h ∂h
∂g ∂g
=
−i
−
+i
−
dxdy
∂x ∂y
∂x ∂y
B
ZZ
∂g
∂h
∂g ∂h
=
i
−i
−
+
dxdy.
∂x
∂x
∂y ∂y
B
ZZ
Definindo
P = g + h e Q = ig − ih,
(1.12)
vemos
ZZ
B
∂h ∂g
−
∂z
∂z
ZZ
dz ∧ dz =
B
23
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
dxdy.
Usando o Teorema de Green-Stokes , tem-se
ZZ
Z
∂h ∂g
P dx + Qdy.
−
dz ∧ dz =
∂z
∂z
B
∂B
iP + Q
iP − Q
Agora, por (1.12), temos que g =
eh=
. Logo, utilizando o Lema 1.6.2,
2i
2i
obtemos
Z
ZZ
∂h ∂g
gdz + hdz.
−
dz ∧ dz =
∂z
∂z
∂B
B
Definição 1.6.4. Sejam ϕ : U ⊂ C → C uma função definida num domı́nio U em torno
da origem e D um disco centrado em 0 e raio r. Sejam z0 ∈ D e B(a) = D − B(z0 , a).
Definimos
ZZ
ZZ
ϕ
ϕ
dz ∧ dz = lim
dz ∧ dz,
a→0
D z − z0
B(a) z − z0
se o limite existir.
Proposição 1.6.1. Existe o limite dado pela definição 1.6.4.
Figura 1.1: Definição da região B(a)
Demonstração. Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
z = z0 + reiθ .
Assim
z = x + iy
= (x0 + rcosθ) + i(y0 + rsenθ),
onde z0 = x0 + iy0 . Dessa forma,
x = x0 + rcosθ
24
y = y0 + rsenθ
e, conseqüentemente,
dx = (cosθ)dr − (rsenθ)dθ
dy = (senθ)dr + (rcosθ)dθ.
Usando o Lema 1.6.2, temos
dz ∧ dz =
=
=
=
=
=
−2i(dx ∧ dy)
−2i((cosθ)dr − (rsenθ)dθ) ∧ (senθ)dr + (rcosθ)dθ)
−2i(rcos2 θ)dr ∧ dθ − (rsen2 θ)dθ ∧ dr
−2i(rcos2 θ)dr ∧ dθ + (rsen2 θ)dr ∧ dθ
−2irdr ∧ dθ
−2irdrdθ.
Fazendo a mudança de variável, obtemos
ZZ
ZZ
ϕ(z)
ϕ(z)
dz ∧ dz = lim
dz ∧ dz
a→0
D z − z0
B(a) z − z0
ZZ
ϕ(z0 + reiθ )
(−2irdrdθ)
= lim
a→0
reiθ
B1 (a)
ZZ
ϕ(z0 + reiθ )
= lim
(−2idrdθ),
a→0
eiθ
B1 (a)
onde B1 (a) é a região obtida através da mudança de coordenadas de B(a).
1.7
A Demonstração do Teorema de H. Hopf
Provaremos o Teorema de H. Hopf, que é um dos objetivos do trabalho, o qual tem
o seguinte enunciado:
Teorema 1.7.1. Seja M uma superfı́cie compacta de gênero zero imersa em R3 com
curvatura média H constante. Então M é isométrica à esfera redonda.
Antes de definirmos a forma quadrática de Hopf, necessitaremos estabelecer alguns
fatos.
Sejam (u, v) parâmetros isotérmicos em um conjunto aberto U ⊂ R2 e X : U ⊂ R2 →
M uma parametrização compatı́vel com a orientação do campo de vetores normais N de
M e consideremos a segunda forma fundamental para superfı́cies
II = edu2 + 2f dudv + gdv 2 ,
onde e = hN, Xuu i, f = hN, Xuv i e g = hN, Xvv i.
25
(1.13)
A curvatura Gaussiana e a curvatura média em tal sistema de parâmetros são dadas,
respectivamente, por
eg − f 2
K = k1 k2 =
E2
1
e+g
H = (k1 + k2 ) =
,
2
2E
onde E = hXu , Xu i. As linhas de curvatura são dadas por
−f du2 + (e − g)dudv + f dv 2 = 0.
As equações de Codazzi são
Como EH =
ev − fu =
Ev
(e + g) = Ev H
2E
fv − gu = −
Eu
(e + g) = −Eu H.
2E
e+g
, vemos que
2
Ev H = −EHv +
ev + gv
2
eu + gu
.
2
Portanto, as equações de Codazzi podem ser escritas como
Eu H = −EHu +
(
e−g
)u + fv = EHu
2
e−g
)v − fu = −EHv
2
Vamos reescrever (1.13) em parâmetros complexos. Inicialmente, observamos que
(
e
1
g
(dz + dz)2 − if (dz + dz)(dz − dz) − (dz − dz)2
4
2
4
e
1
g
2
2
2
2
=
(dz + 2dzdz + dz ) − if (dz − dz ) − (dz 2 − 2dzdz + dz 2 )
4
2
4
e−g 1
1
e−g 1
2
=
− if dz + (e + g)dzdz +
+ if dz 2 .
4
2
2
4
2
II =
Agora, fazendo ψ(z, z) =
e−g
e+g
− if e φ(z, z) =
, vemos que
2
2
1
II = (ψdz 2 + 2φdzdz + ψdz 2 ).
2
A expressão H = ψdz 2 é chamada a forma quadrática de Hopf.
26
Nosso objetivo é mostrar que, se H é constante, então a diferencial de Hopf H é
holomorfa sobre M . Além disso, os zeros de H são isolados e coincidem com os pontos
umbı́licos da superfı́cie, a menos que a superfı́cie seja umbı́lica.
Analisaremos a função ψ(z, z) definida acima. Inicialmente, notemos que
2
e−g
e2 − 2eg + g 2 + 4f 2
(e2 + 2eg + g 2 ) − 4(eg − f 2 )
2
|ψ| =
+ f2 =
=
2
4
4
2
e+g
− (eg − f 2 ) = E 2 H 2 − E 2 K = E 2 (H 2 − K).
=
2
Utilizamos na penúltima igualdade o fato de (u, v) serem parâmetros isotérmicos. Daı́,
decorre que
2
|ψ|2
1 2
1 2
k1 − k2
2
2
= (k1 + 2k1 k2 + k2 − 4k1 k2 ) = (k1 − 2k1 k2 + k2 ) =
,
E2
4
4
2
donde
k 1 − k2
|ψ|
=
.
|E|
2
(1.14)
Portanto, os pontos umbı́licos (k1 = k2 ) de uma superfı́cie M são os zeros de ψ.
Por outro lado, observe que
e−g
2
2
2
Im{ψ(dz) } = Im
− if (du + 2idudv − dv ) = (e − g)dudv − f du2 + f dv 2 .
2
Logo as linhas de curvatura são determinadas por
Im{ψ(dz)2 } = 0.
(1.15)
Utilizando as equações de Codazzi, obtemos
e−g
+ fv = EHu ,
2
u
e−g
− fu = −EHv .
2
v
Daı́
i
e−g
2
− fu +
v
e−g
2
+ fv = E[Hu − iHv ],
u
o que implica, ψz = EHz .
O fato de H ser holomorfa é equivalente a curvatura média ser constante. Além disso,
φ não depende da mudança de parâmetros. Com efeito,
e−g
1
− if = − (Xu Nu − Xv Nv ) − i(Xu Nu + Xv Nv )
2
2
1
= − (Xu − iXv )(Nu − iNv ) = −2Xz Nz .
2
ψ(z, z) =
27
Se w é outro parâmetro complexo e φ(w, w) denota outra função definida como a função
dw
dw
ψ(z, z), então φ = −2Xw Nw . Como Xz = Xw
e Nz = Nw , segue que
dz
dz
2
2
dw
dw
dw
dw
= −2Xw Nw
=φ
.
ψ = −2Xz Nz = −2Xw Nw
dz
dz
dz
dz
Logo
ψdz 2 = φdw2 ,
o que demonstra o afirmação. Falta mostrar que ψ é identicamente nula para concluirmos
que a superfı́cie é uma esfera redonda. De fato, precisaremos do seguinte
Teorema 1.7.2. Dada uma superfı́cie compacta M de gênero 0, não existe diferencial
quadrática holomorfa ψdz 2 não-nula.
Demonstração. Ver [6], página 140.
Assim ψ é identicamente nula, donde segue por (1.14) que a superfı́cie é umbı́lica.
Como a superfı́cie é compacta temos que M é uma esfera, o que conclui nossa afirmação.
Agora daremos uma segunda prova para o Teorema de H. Hopf, a qual é considerada
mais interessante, pois a idéia dessa demonstração será utilizada na prova do Teorema
Principal do nossa dissertação. Antes precisaremos de alguns fatos.
Inicialmente, notemos que (1.15) é equivalente a
argψ + 2arg dz = mπ
m ∈ Z ou arg dz =
mπ 1
− arg ψ,
2
2
(1.16)
onde dz é o elemento tangente das linhas de curvatura.
Definição 1.7.1. Dizemos que um campo de linhas tem singularidade em um ponto p,
se é impossı́vel estender o campo para p continuamente.
Definição 1.7.2. Seja α : [0, l] → R2 uma curva plana fechada. Definiremos por ı́ndice
de rotação da curva α, o número inteiro m tal que
Z l
k(s)ds = 2πm,
0
onde k é a curvatura da curva.
Definição 1.7.3. O ı́ndice j de uma singularidade isolada é definido como segue. Sejam
p uma singularidade isolada de um campo de elementos de linha e C uma curva simples
fechada tais que
1. p é a única singularidade no interior de C;
2. Não existem singularidades em C.
28
Seja p um ponto umbı́lico isolado. Então p é uma singularidade isolada de cada uma
das duas famı́lias de linhas de curvatura (uma famı́lia correspondente a k1 e a outra a
k2 , onde mantemos a convenção k1 ≥ k2 ). Portanto p tem ı́ndice com respeito a cada
uma dessas famı́lias, como cada linha da famı́lia são ortogonais, segue imediatamente
da definição do ı́ndice que os dois ı́ndices são iguais. Logo, o ı́ndice de pontos isolados
umbı́licos está definido e satisfaz
j=
1
δ(argdz),
2π
onde δ significa a variação em volta de p em uma pequena curva no sentido positivo e dz
tem a expressão dada em (1.16). Como o número inteiro m não varia, segue que
j=−
1 1
δ(argψ).
2π 2
Teorema 1.7.3. Sejam R uma região contida em uma superfı́cie com curvatura média
constante, U o conjunto dos pontos umbı́licos e p ∈ U . Então
1. p é um ponto interior de U ;
2. p é um ponto isolado de U e o ı́ndice de p é negativo.
Demonstração. Podemos supor, sem perda de generalidade, que R está contida na
imagem da parametrização. Por (1.14), U é o conjunto dos zeros da função ψ definida
em sistema de coordenadas, a qual é holomorfa , pois a curvatura média é constante .
Portanto, ou ψ ≡ 0 e todos os pontos pertencem a U ou ψ 6= 0 e p é um ponto isolado
de U . Neste caso, podemos aplicar a definição 1.7. Como ψ é analı́tica, temos
ψ(z) = cz n + ...,
onde c 6= 0, n ≥ 1. Portanto, δ(argψ) = 2πn. Conseqüentemente,
j=−
1 1
n
δ(argψ) = − < 0,
2π 2
2
como querı́amos demonstrar.
Teorema 1.7.4. (Poincaré) Se F é um campo de elementos de linha em M com um
número finito de singularidades , então
X
j = 2 − 2g,
onde g é o gênero de M .
Demonstração. Ver [6], página 113.
Observação 1.7.1. Segue do Teorema 1.7.4 que qualquer campo na superfı́cie tem pelo
menos uma singularidade. Caso tenha no máximo um número finito de singularidades,
então tem pelo menos uma singularidade de ı́ndice positivo.
29
Além disso, podemos provar o Teorema de H.Hopf da seguinte maneira:
A equação quadrática Im(ψdz 2 ) = 0 determina dois campos de direções, cujas
singularidades são os zeros de ψ. Sejam U o conjunto de pontos umbı́licos de M e
U ∗ o conjunto de todos os pontos interiores de U . Então U ∗ é aberto e fechado, o que
implica U ∗ = ∅ ou U ∗ = M . Como ψ é holomorfa, se z0 é um zero de ψ, então ψ ≡ 0 em
uma vizinhança V de z0 ou ψ = (z − z0 )k fk (z), z ∈ V , k ≥ 1, onde fk é uma função de z
com fk (z0 ) 6= 0. Neste último caso, z0 é uma singularidade isolada do campo de direções
e o ı́ndice é (−k/2), pelo Teorema 1.7.3. Logo ψ ≡ 0 em M e temos que M é uma esfera
redonda ou todas as singularidades são isoladas e temos ı́ndice negativo. Como g = 0,
pelo Teorema 1.7.4, a soma dos ı́ndices de todas as singularidades para qualquer campo
de direções é 2 (portanto positivo). Isto é uma contradição. Assim ψ ≡ 0 em M . O que
demonstra nossa afirmação.
30
Capı́tulo 2
O Teorema de Alencar, do Carmo e
Tribuzy
Neste capı́tulo demonstraremos o resultado principal do nosso trabalho. Analisaremos
o mesmo problema estudado por Abresch e Rosenberg em 2004 com uma significativa
mudança, a saber: a curvatura média não é assumida constante, mas satisfaz |dH| ≤
g|Q(2,0) |, onde |dH| é a norma da diferencial da curvatura média H de M e g é
uma função real, contı́nua e não-negativa. Na seção 2.1, usaremos cartas isotérmicas
para calcularmos a diferencial ZQ(Z, Z), cuja expressão nos garante a generalização do
Teorema de Abresch-Rosenberg. Na seção 2.2, provaremos o Lema Principal, o qual
nos dará condições para concluı́rmos a demonstração do resultado principal da nossa
dissertação. Demonstraremos, na seção 2.3, o Teorema de Alencar, do Carmo e Tribuzy.
2.1
A Demonstração do Teorema de Alencar, do
Carmo e Tribuzy
Nesta seção, demontraremos o principal resultado do nosso trabalho, mas antes
exibiremos o Teorema de Abresch e Rosenberg, cujo enunciado é o seguinte:
Teorema 2.1.1. (Abresch-Rosenberg-2004) Sejam M uma superfı́cie imersa em M 2 (c)×
R e Q uma forma quadrática definida por
Q(X, Y ) = 2Hα(X, Y ) − c hξX, ξY i ,
onde M 2 (c) é uma variedade Riemanniana com curvatura c, X e Y são vetores tangentes
a M , α é a segunda forma fundamental, H é a curvatura média e ξ : M 2 (c) × R → R é
a projeção natural sobre R, isto é, ξ(p, t) = t; p ∈ M 2 (c), t ∈ R. Se a curvatura média
H é constante, então Q(2,0) é uma forma quadrática holomorfa. Como conseqüência,
se M é uma superfı́cie compacta de gênero zero, então M é uma superfı́cie mergulhada
invariante por rotações no espaço ambiente.
Demonstração. Ver [1].
Agora provaremos o resultado principal da nossa dissertação, a saber:
31
Teorema 2.1.2. (Teorema de Alencar, do Carmo e Tribuzy) Seja M uma superfı́cie
compacta de gênero zero imersa em M 2 (c) × R. Suponhamos que
|dH| ≤ h(z)|Q(2,0) |,
onde |dH| é a norma da diferencial da curvatura média H de M , h é uma função real
contı́nua, não-negativa e Q(2,0) é a parte (2, 0) da forma quadrática definida por Abresch
e Rosenberg. Então Q(2,0) é identicamente nula e M é uma superfı́cie invariante por
rotações em M 2 (c) × R.
O resultado acima generaliza o Teorema 2.1.1, pois não temos a hipótese da curvatura
média ser constante.
Sejam (u, v) parâmetros isotérmicos em um conjunto aberto U ⊂ M , z = u + iv, z =
1
u − iv, dz = du + idv e dz = du − idv. Visto que Q(2,0) = ψ(z)(dz)2 , assumiremos que
2
exista um ponto z0 ∈ U tal que ψ(z0 ) = 0. Definamos
1
∂
∂
1
∂
∂
Z=√
−i
eZ= √
+i
.
∂v
∂v
2 ∂u
2 ∂u
Como (u, v) são parâmetros isotérmicos, temos
h
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
, i = h , i = λ2 , h , i = 0 e hZ, Zi = λ2 .
∂u ∂u
∂v ∂v
∂u ∂v
Note que Q(Z, Z) = ψ(z) e |Q(Z, Z)| = |ψ(z)|.
Para futuros propósitos vamos considerar o espaço ambiente M n (c)×R, onde M n (c) é
uma variedade Riemanniana com curvatura seccional constante c. Seja M uma variedade
imersa em M n (c) × R. Consideremos
→
−
Q(X, Y ) = 2hα(X, Y ), H i − chξ(X), ξ(Y )i,
(2.1)
→
−
onde H = HN é o vetor curvatura média da imersão, α é a segunda forma fundamental
e ξ : M n (c) × R → R é a projeção ξ(p, t) = t. Inicialmente, observenos que
→
−
∂ψ
= ZQ(Z, Z) = 2Zhα(Z, Z), H i − cZhξ(Z), ξ(Z)i.
∂z
O primeiro termo nos dá
→
−
→
−
→
−
2Zhα(Z, Z), H i = 2h∇⊥
α(Z, Z), H i + 2hα(Z, Z), ∇⊥
H i.
Z
Z
Por definição
(∇Z⊥ α)(Z, Z) = ∇⊥
α(Z, Z) − 2α(∇Z Z, Z) = ∇⊥
Z α(Z, Z),
Z
pois
∇Z Z = ∇Z Z = 0.
32
Com efeito, utilizando o fato da conexão ser simétrica, temos
∇Z Z − ∇Z Z = [Z, Z].
Por outro lado, [Z, Z] = 0. Com efeito,
[Z, Z](f ) = ZZ(f ) − ZZ(f )
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
−i
+i
(f ) −
+i
−i
(f )
∂u
∂v
∂u
∂v
∂u
∂v
∂u
∂v
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
=
+
i
+
−
i
−
+
i
−
i
−
∂u2
∂u∂v ∂v 2
∂u∂v ∂u2
∂u∂v
∂u∂v ∂v 2
= 0.
Isto implica
∇Z Z = ∇Z Z.
Agora, podemos escrever
∇Z Z = aZ + bZ
Visto que hZ, Zi = 0, temos
1
0 = ZhZ, Zi = h∇Z Z, Zi = bλ2 .
2
Daı́, segue que b = 0 e ∇Z Z = aZ. Analogamente, como hZ, Zi = 0,
1
0 = ZhZ, Zi = h∇Z Z, Zi = aλ2 .
2
Temos que a = 0 e, portanto, ∇Z Z = ∇Z Z = 0, como havı́amos afirmado. Logo
→
−
→
−
→
−
2Zhα(Z, Z), H i = 2h(∇⊥
α)(Z, Z), H i + 2hα(Z, Z), ∇⊥
H i.
Z
Z
e a curvatura do espaço ambiente,
Usando a equação de Codazzi e denotando por R
obtemos
→
−
→
−
→
−
→
⊥−
e
2Zhα(Z, Z), H i = 2h(∇⊥
Z α)(Z, Z), H i + 2hR(Z, Z)Z, H i + 2hα(Z, Z), ∇Z H i.
Vamos calcular cada termo da última igualdade.
Lema 2.1.1. Com respeito à notação acima , temos
→
−
→
−
e
hR(Z,
Z)Z, H i = cλ2 hξZ, ξ H i.
33
Demonstração. Seja π : M n (c) × R → R definida por π(p, t) = p. Indentificaremos, por
conveniência de notação, π e ξ com suas respectivas derivadas. Portanto X = πX + ξX.
Como o espaço ambiente é um produto de espaços, sendo cada espaço com curvatura
e é dada por
seccional constante, temos que a curvatura R
→
−
→
−
→
−
e
hR(Z,
Z)Z, H i = c{hπZ, πZihπZ, π H i − hπZ, πZihπZ, π H i}.
e isto é,
Vamos calcular os termos de R,
hπZ, πZi = hZ − ξZ, Z − ξZi
= hZ, Zi − hZ, ξZi − hξZ, Zi + hξZ, ξZi
= λ2 − hπZ + ξZ, ξZi − hξZ, πZ + ξZi + hξZ, ξZi.
Assim,
hπZ, πZi = λ2 − hξZ, ξZi.
Por outro lado, como hZ, N i = 0, temos
→
−
→
−
→
−
hπZ, π H i = hZ − ξZ, H − ξ H i
→
−
→
−
→
−
→
−
= hZ, H i − hZ, ξ H i − hξZ, H i + hξZ, ξ H i
→
−
→
−
→
−
= −hZ, ξ H i − hξZ, H i + hξZ, ξ H i
→
−
= −hξZ, ξ H i.
Portanto, o primeiro termo do lado direito de (2.2) torna-se
→
−
→
−
hπZ, πZihπZ, π H i = −(λ2 − hξZ, ξZi)(hξZ, ξ H i)
→
−
→
−
= −λ2 hξZ, ξ H i + hξZ, ξZihξZ, ξ H i.
No caso do segundo termo, usando o fato hZ, Zi = 0, obtemos,
hπZ, πZi = h Z − ξZ, Z − ξZi
= −h Z, ξZi − hξZ, Zi + hξZ, ξZi.
Fazendo cálculos análogos aos anteriores, concluı́remos que
hπZ, πZi = −hξZ, ξZi.
Analogamente,
Portanto
→
−
→
−
→
−
→
−
hπZ, π H i = hZ − ξZ, H − ξ H i = −hξZ, ξ H i.
→
−
→
−
hπZ, πZihπZ, π H i = hξZ, ξZihξZ, ξ H i.
Disto segue que
→
−
→
−
→
−
→
−
e
hR(Z,
Z)Z, H i = c{−λ2 hξZ, ξ H i + hξZ, ξZihξZ, ξ H i − hξZ, ξZihξZ, ξ H i}
→
−
= −cλ2 hξZ, ξ H i.
34
(2.2)
Finalmente, usando a simetria do tensor curvatura, concluı́mos que
→
−
−
→
e
hR(Z,
Z)Z, H i = cλ2 hξZ, ξ H i,
o que conclui a prova do Lema 2.1.1.
Voltando ao cálculo de ZQ(Z, Z), temos
→
−
→
−
→
2
⊥−
ZQ(Z, Z) = 2h(∇⊥
Z α)(Z, Z), H i + 2cλ hξZ, ξ H i + 2hα(Z, Z), ∇Z H i − cZhξZ, ξZi.
Precisamos de mais um resultado auxiliar, a saber:
→
−
Lema 2.1.2. cZhξZ, ξZi = 2cλ2 hξZ, ξ H i.
Demonstração. Com efeito, inicialmente observemos que
α(Z, Z) = ∇Z Z − (∇Z Z)T = ∇Z Z,
pois ∇Z Z = 0. Como o espaço ambiente é o produto M n (c)×R com as projeções naturais
π e ξ, podemos escrever
∇Z Z = ∇Z (ξZ + πZ) = ∇1Z (ξZ) + ∇2Z (πZ),
onde ∇1 e ∇2 são as conexões de R e M n (c), respectivamente . Portanto,
ξα(Z, Z) = ξ∇Z Z = ξ∇1Z (ξZ) + ξ∇2Z (πZ) = ∇1Z (ξZ).
Daı́,
hξα(Z, Z), ξZi = h∇1Z (ξZ), ξZi = h∇Z (ξZ), ξZi.
Agora, observemos que
ZhξZ, ξZi = 2h∇Z (ξZ), ξZi = 2hξα(Z, Z), ξZi.
∂
1
∂
Seja E = √ (e1 −ie2 ), onde e1 e e2 são os vetores unitários de
e
, respectivamente.
∂u ∂v
2
Assim, Z = λE e
e1 − ie2 e1 + ie2
2
2
√
α(Z, Z) = λ α(E, E) = λ α
, √
2
2
2
→
−
λ
=
{α(e1 , e1 ) + α(e2 , e2 )} = λ2 H .
2
Logo
→
−
ZhξZ, ξZi = 2h∇Z (ξZ), ξZi = 2hξα(Z, Z), ξZi = λ2 hξ H , ξZi,
o que conclui a prova do Lema 2.1.2.
Segue dos cálculos acima que
→
−
→
−
→
2
⊥−
ZQ(Z, Z) = 2h(∇⊥
Z α)(Z, Z), H i + 2cλ hξZ, ξ H i + 2h(α(Z, Z), ∇Z H i − cZhξZ, ξZi.
35
Assim, utilizando novamente o Lema 2.1.2, obtemos que
→
−
→
⊥−
ZQ(Z, Z) = 2h(∇⊥
Z α)(Z, Z), H i + 2h(α(Z, Z), ∇Z H i.
Calcularemos o primeiro termo do lado direito da última iguadade acima. Por definição,
⊥
(∇⊥
Z α)(Z, Z) = ∇Z (α(Z, Z)) − α(∇Z Z, Z) − α(Z, ∇Z Z)
→
−
= Z(hZ, Zi H ) − α(Z, ∇Z Z),
→
−
onde estamos usando os seguintes fatos: α(Z, Z) = λ2 H e ∇Z Z = 0. Portanto,
→
−
→
−
→
⊥−
(∇⊥
Z α)(Z, Z) = h∇Z Z, Zi H + hZ, ∇Z Zi H + hZ, Zi∇Z H − α(Z, ∇Z Z).
Agora, seja E definido como na demonstração do Lema 2.1.2. Então qualquer vetor
complexo em M é dado por X = ξE, onde ξ é um número complexo. Portanto, se
Y = ηE, então
→
−
α(X, Y ) = ξηα(E, E) = hX, Y i H .
Tomando X = ∇Z Z e Y = Z acima, temos
→
−
→
→
−
→
⊥−
⊥−
(∇⊥
Z α)(Z, Z) = hZ, ∇Z Zi H + hZ, Zi∇Z H − h∇Z Z, Zi H = hZ, Zi∇Z H .
Voltando ao cálculo de ZQ(Z, Z), obtemos finalmente
→ −
−
→
→
⊥−
ZQ(Z, Z) = 2hhZ, Zi∇⊥
Z H , H i + 2hα(Z, Z), ∇Z H i.
(2.3)
Notemos que o lado direito da equação é expresso em termos da derivada covariante
do vetor curvatura média.
Observação 2.1.1. Obtemos a seguinte generalização do Teorema 1 de Abresch
eRosenberg, ver [1]. Seja M uma superfı́cie imersa em M n (c) × R tal que o vetor
→
−
curvatura média H é paralelo no fibrado normal. Introduzindo uma estrutura complexa
em M compatı́vel com a métrica induzida. Então a parte (2, 0) da forma quadrática em
M
→
−
Q(X, Y ) = 2hα(X, Y ), H i − chξX, ξY i
é holomorfa.
Aqui α é a segunda forma fundamental da imersão e ξ é a projeção do espaço ambiente
sobre R. Uma questão natural: quais superfı́cies em M n (c) × R satisfazem a condição
que a forma quadrática acima é holomorfa?
Antes da prova do Teorema de Alencar, do Carmo e Tribuzy vamos particularizar para
n = 2 a expressão (2.3). Como a codimensão é um, segue que ∇⊥
XN = 0 ∀ X ∈ T M,
onde N é o vetor unitário normal da superfı́cie M . Portanto
→
−
(HN ) = (ZH)N.
∇Z⊥ H = ∇⊥
Z
36
Assim
ZQ(Z, Z) = 2λ2 Z(H)H + 2α(Z, Z)(ZH).
Como
|Z(H)| = |dH(Z)| ≤ |dH||Z| = |dH|λ,
temos, analogamente, que |Z(H)| = |dH(Z)| ≤ |dH||Z| = |dH|λ, temos
|ZQ(Z, Z)| ≤ {2λ3 |H| + 2λ|α(Z, Z)|}|dH|.
Por hipótese do teorema, |dH| ≤ g|Q(2,0) |. Portanto, obtemos
|ZQ(Z, Z)| ≤ h(Z)|Q(Z, Z)|,
onde h(Z) = g{2λ3 |H| + 2λ|α(Z, Z)|} é uma função contı́nua não-negativa. Então
podemos aplicar o Lema Principal, cujo enunciado é o seguinte:
Lema 2.1.3. (Lema Principal) Seja f : U ⊂ C → C uma função complexa definida em
um aberto U do plano complexo que contém a origem z = 0. Suponhamos que
∂f
≤ h(z)|f (z)|,
∂z
(2.4)
onde h é uma função real contı́nua, não-negativa. Assumamos que z = z0 é um zero de
f . Então f = 0 em uma vizinhança de V ⊂ U de z0 ou
f (z) = (z − z0 )k fk (z), z ∈ V, k ≥ 1.
Aqui fk (z) é uma função contı́nua com fk (z0 ) 6= 0.
A demonstração do Lema Principal encontra-se na seção posterior.
Seja U ⊂ M um conjunto aberto coberto por coordenadas isotérmicas. Assumamos que
o conjunto dos zeros de Q(Z, Z) em U é não-vazio e seja z0 ∈ U um zero de Q(Z, Z). Pelo
Lema Principal, Q(Z, Z) é identicamente nula em uma vizinhança V de z0 ou os zeros são
isolados e o indı́ce de campos de direções determinado por Im[Q(Z, Z)dz 2 ] = 0 é (−k/2)
(portanto negativo). Se para alguma vizinhança coordenada V de zero, Q(Z, Z) = 0,
isto será para qualquer M . Caso contrário, os zeros na vizinhança de V iram contradizer
o Lema Principal. Então, se Q(Z, Z) não é identicamente nula, todos os zeros são
isolados e segue-se que o ı́ndice é negativo. Como M tem gênero zero a soma dos ı́ndices
de singularidades de qualquer campo de direções é 2 (portanto positivo). Isto é uma
contradição. Logo Q(Z, Z) é identicamente nula. Usando a classificação de AbreschRosenberg, segue o Teorema Principal.
Observação 2.1.2. Na verdade o resultado de Alencar, do Carmo e Tribuzy é o seguinte:
ou o conjunto de zeros de Q(2,0) é vazio ou em uma vizinhança V do zero de Q(2,0) , onde
a condição |dH| ≤ g|Q(2,0) | vale, temos duas possibilidades:
1. Q(2,0) ≡ 0 em V ou
2. Tal zero é isolado em algum campo de direção em V tem uma singularidade isolada
neste ponto com ı́ndice negativo. Dessa forma, a condição pode ser aplicada para
a imersão de gênero um em uma superfı́cie M satisfazendo |dH| ≤ g|(2,0) | para
concluir que o conjunto de zeros de Q(2,0) é identicamente zero ou vazio em M .
37
2.2
A Demonstração do Lema Principal
Lema 2.2.1. (Lema Principal) Seja f : U ⊂ C → C uma função complexa definida em
um aberto U do plano complexo que contém a origem z = 0. Suponhamos que
∂f
≤ h(z)|f (z)|,
∂z
(2.5)
onde h é uma função real contı́nua, não-negativa. Assumamos que z = z0 é um zero de
f . Então f = 0 em uma vizinhança de V ⊂ U de z0 ou
f (z) = (z − z0 )k fk (z), z ∈ V, k ≥ 1.
Aqui fk (z) é uma função contı́nua com fk (z0 ) 6= 0.
Inicialmente, demonstraremos dois lemas auxiliares e logo em seguida provaremos o
Lema Principal. Agora vamos assumir, sem perda de generalidade, que o zero de f é a
origem e, além disso, U é um disco de raio R e centro 0.
Lema 2.2.2. Assumindo as hipóteses do Lema Principal e o fato do limz→0
r ≥ 1, temos que o limz→0
f (z)
existe.
zr
f (z)
= 0,
z r−1
Demonstração. Definamos uma forma diferencial
f (z)
dz
z r (z − w)
em DR (0) com z 6= 0, z 6= w e r ≥ 1. Aqui DR (0) é o disco de raio R e centro em 0.
Usando o Teorema de Stokes -Green (1.6), obtemos que
Z
Z
Z
f (z)
f (z)
f (z)
dz +
dz +
dz =
r
r
r
∂DR (0) z (z − w)
∂Da (w) z (z − w)
∂Da (0) z (z − w)
ZZ
1
∂f
=−
dz ∧ dz,
(2.6)
r
DR (0)\{Da (0)∪Da (w)} z (z − w) ∂z
pois
∂
∂z
e
f (z)
z r (z − w)
1
1
∂f
f
(z)
+
z r (z − w)
z r (z − w) ∂z
1
∂f
= r
∀ z, w ∈ DR (0) \ {Da (0) ∪ Da (w)}
z (z − w) ∂z
∂
=
∂z
1
é uma função holomorfa em DR (0) \ {Da (0) ∪ Da (w)}.
z r (z − w)
38
Figura 2.1: Definição da região DR (0) \ {Da (0) ∪ Da (w)}
Agora, calcularemos as integrais de (2.6). Inicialmente, definiremos uma função
f (z)
auxiliar g(z) = r e faremos a seguinte mudança de variáveis z = w + aeiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π,
z
na integral
Z
f (z)
dz.
r
∂Da (w) z (z − w)
Daı́,
Z
g(z)
dz = −
r
∂Da (w) z
Z
g(z)
dz = −
r
∂Da− (w) z
Z 2π
0
g(w + aeiθ ) iθ
aie dθ,
aeiθ
onde ∂Da− (w) é ∂Da (w) com orientação anti-horária e dz = aeiθ dθ.
Figura 2.2: Fronteira do disco Da (w)
Voltando ao cálculo da integral, vemos que
Z
Z 2π
g(z)
dz = −
ig(w + aeiθ )dθ.
r
z
∂Da (w)
0
Usando a continuidade da função g(z) em Da (w), temos que
lim g(w + aeiθ ) = g(w)
a→0
e, portanto,
Z
g(z)
lim
dz = −ig(w)
a→0 ∂D (w) z r
a
Z 2π
dθ = −2πig(w) = −2πif (w)w−r .
0
Calcularemos, agora, explicitamente a integral
Z
f (z)
dz, r ≥ 1.
r
∂Da (0) z (z − w)
39
Figura 2.3: Fronteira do disco Da (0)
Fazendo a mudança de variável z = aeiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π. Obtemos que,
Z
Z
f (z)
f (z)
dz = −
dz =
r
r
∂Da (0) z (z − w)
∂Da− (0) z (z − w)
Z 2π
Z 2π
f (aeiθ )
f (aeiθ )
iθ
=−
aie
dθ
=
−i
dθ.
ar eirθ (aeiθ − w)
a(r−1) ei(r−1)θ (aeiθ − w)
0
0
(2.7)
Por outro lado, por hipótese,
f (z)
= 0.
z→0 z r−1
Daı́, fazendo a → 0, vemos que z → 0. Logo, usando (2.7) encontramos que o
lim
Z
f (z)
lim
dz = −i lim
r
z→0 ∂D (0) z (z − w)
a→0
a
Z 2π
0
f (aeiθ )
dθ = 0.
ar−1 ei(r−1)θ (aeiθ − w)
Finalmente, tomando o limite em (2.6) quando a → 0, vemos que
ZZ
Z
f (z)
1
∂f
−r
−2iπf (w)w +
dz = −
dz ∧ dz.
r
r
∂DR (0) z (z − w)
DR (0) z (z − w) ∂z
(2.8)
Além disso, a integral dupla à direita (quando a → 0) acima existe, pois as integrais
à esquerda de (2.6), quando a → 0, existem. Agora, voltemos a expressão (2.8). Por
hipótese, existe A > 0 tal que
maxz∈DR (0) h(z) ≤ A.
(2.9)
Então, segue de (2.8) que
−r
2π |f (w)| |w|
ZZ
|f (z)|
1
∂f
≤
dz +
|dz ∧ dz|
r
r
∂DR (0) |z| |z − w|
DR (0) |z| |z − w| ∂z
Z
ZZ
|f (z)|
2A|f (z)|
≤
dz +
dxdy,
(2.10)
r
r
∂DR (0) |z| |z − w|
DR (0) |z| |z − w|
Z
pois dz ∧ dz = −2idxdy, com z = x + iy.
1
Tomando z0 ∈ D, z0 6= 0, multiplicando a inequação por |w−z
e integrando-a com
0|
respeito a dudv, onde w = u + iv, concluı́mos, com D = DR (0) \ D (z0 ), que
40
Z
2π
Z Z
|f (w)|
|f (z)| |dz|
dudv ≤
dudv +
r
r
D ∂DR (0) |z| |z − w| |w − z0 |
D |w − z0 | |w |
Z ZZ
|f (z)|
dxdydudv.
2A
r
D
DR (0) |z| |z − w| |w − z0 |
(2.11)
Figura 2.4: Definição da região D
Nosso objetivo agora é estimar as integrais à direita da desigualdade. Inicialmente
vamos calcular a
Z Z
|f (z)| |dz|
dudv.
r
D ∂DR (0) |z| |z − w| |w − z0 |
De fato, como
1
1
1
1
1
=
+
≤
|z − w| |w − z0 |
|z − z0 | z − w w − z0
|z − z0 |
vemos que
Z Z
D
|f (z)| |dz|
dudv ≤
r
∂DR (0) |z| |z − w| |w − z0 |
1
1
+
|z − w| |w − z0 |
,
|f (z)| |dz|
dudv +
D ∂DR (0) |z| |z − z0 | |z − w|
Z Z
|f (z)| |dz|
dudv. (2.12)
r
D DR (0) |z| |z − z0 | |w − z0 |
Z
Z
r
Por outro lado,
Z
dudv
≤
DR (0) |z − w|
Z
dudv
.
D2R (z) |z − w|
Agora, tomando w = u + iv, podemos reescrever w como
w = z + ρeiθ ,
onde 0 ≤ ρ ≤ 2R e 0 ≤ θ ≤ 2π. Como dw = eiθ dρ + iρeiθ dθ e dw = e−iθ dρ − iρe−iθ dθ,
obtemos
dw ∧ dw = −2iρdρ ∧ dθ e dudv = −ρdρ ∧ dθ = ρdθ ∧ dρ.
41
Usando os resultados anteriores, vemos que
Z
Z 2R Z 2π
dudv
=
dθ ∧ dρ = 4πR.
D2R(z) |z − w|
0
0
Portanto
Z
dudv
≤ 4πR.
DR (0) |z − w|
Figura 2.5: Definição da região D2R (z)
Logo, temos a estimativa para o primeiro termo do lado direito de (2.12), ou seja,
Z Z
Z Z
|f (z)| |dz|
|f (z)| |dz|
dudv ≤
dudv
r
r
D ∂DR (0) |z| |z − w| |w − z0 |
D ∂DR (0) |z| |z − z0 | |z − w|
Z Z
|f (z)||dz|
+
dudv
r
D ∂DR (0) |z| |z − z0 ||z − w|
Z
Z
|f (z)|
|f (z)|
≤ 4πR
|dz| +
|dz|
r
r
∂DR (0) |z| |z − z0 |
∂DR (0) |z| |z − z0 |
Z
|f (z)|
= 8πR
|dz|.
r
∂DR (0) |z| |z − z0 |
Agora, utilizando (2.11), segue que
Z ZZ
ZZ
|f (z)|
1
|f (z)|
2A
dxdydudv ≤ 16AπR
dxdy.
r
r
|z − w| |w − z0 |
D
DR (0) |z|
DR (0) |z| |z − z0 |
Portanto, podemos escrever a inequação (2.11) como
Z
Z
ZZ
|f (w)|
|f (z)|
|f (z)|
2π
dudv ≤ 8πR
|dz| + 16AπR
dxdy,
r
r
r
D |w − z0 | |w |
∂DR (0) |z| |z − z0 |
DR (0) |z| |z − z0 |
ou seja,
ZZ
2π(1 − 8AR)
Z
|f (z)|
|f (z)| |dz|
dxdy ≤ 8πR
.
r
r
DR (0) |z| |z − z0 |
∂DR (0) |z| |z − z0 |
42
Além disso, podemos escolher R tal que 1 − 8AR seja positivo. Então temos a seguinte
situação para z0 6= 0:
Z
ZZ
|f (z)| |dz|
|f (z)|
0 < 2π(1 − 8AR)
dxdy ≤ 8πR
≤ C(z0 ) ≤ k,
r
r
DR (0) |z| |z − z0 |
∂DR (0) |z| |z − z0 |
onde C é uma constante que depende de z0 . Logo
ZZ
|f (z)|
dxdy
r
DR (0) |z| |z − z0 |
é limitada qualquer que seja z0 ∈ DR (0). Quando z0 → 0, vemos que |z − z0 | → |z| e,
portanto, o integrando cresce monotonicamente. Logo, concluı́mos que o
ZZ
|f (z)|
lim
dxdy
(2.13)
r
z0 →0
DR (0) |z| |z − z0 |
existe.
Finalmente, usando o fato que (2.13) existe, obtemos, observando (2.10), que
|f (w)| |w|−r é limitado quando w → 0. Portanto, usando (2.8), vemos que
f (z)
z→0 z r
lim
(2.14)
existe.
∂f
Lema 2.2.3. Admitindo as hipóteses do Lema 2.2.2 , isto é,
≤ h(z) |f (z)| e supondo
∂z
que
lim
f (z)
z→0 z r−1
= 0, ∀ r ≥ 1,
temos, f ≡ 0 em uma vizinhança de 0.
Demonstração. Suponhamos que f não é identicamente nula em uma vizinhança de 0
e seja z0 tal que f (z0 ) 6= 0, |z0 | < R. Fazendo procedimentos análogos da demonstração
do Lema 2.2.2, integrando em relação dudv a desigualdade (2.10), obtemos
ZZ
Z
|f (w)|
|f (z)| |dz|
2π(1 − 8AR)
, ∀ r ≥ 1,
(2.15)
r dudv ≤ 8πR
|z|r
DR (0) |w|
∂DR (0)
onde
Z
dudv
≤ 4πR e maxz∈DR (0) h(z) ≤ A.
DR (0) |z − w|
Agora, definindo
∗
D =
|f (z0 )|
z ∈ DR (0), |z| ≤ |z0 | e |f (z)| ≥
2
43
,
encontramos
ZZ
|f (z)|
|f (z)|
r dxdy ≥ (1 − 8AR)
r dudv
DR (0) |z|
D∗ |z|
(1 − 8AR)
|f (z0 )| |z0 |−r volD∗
≥
2
= a |z0 |−r ,
ZZ
(1 − 8AR)
onde
a=
(1 − 8AR)
|f (z0 )| volD∗ .
2
Por outro lado,
|f (z)|
−r
r |dz| ≤ bR
|z|
∂DR (0)
Z
4R
com
Z
b = 4R max |f (z)|
∂DR (0)
|dz| .
∂DR (0)
Assim, pelas estimativas acima, temos a |z0 |−r ≤ bR−r , para todo r. Aqui a e b dependem
de r. Portanto, como |z0 | < R, vemos
r
|z0 |
a
0 ≤ lim ≤ lim
.
r→∞ b
r→∞
R
(1 − 8AR)
Usando o fato que a =
|f (z0 )| volD∗ , encontramos f (z0 ) = 0. Isto é uma
2
contradição com a definição z0 .
O Lema Principal segue dos Lemas 2.2.2 e 2.2.3. Na verdade, usando o Lema 2.2.3
obtemos que se f não é identicamente nula em uma vizinhança de 0, existe um r tal
que limz→0 f (z)/z r−1 = 0 e limz→0 f (z)/z r 6= 0 . Denotaremos tal limite por c. Logo,
podemos escrever
f (z) = cz r + R , lim R/z r = 0
z→0
ou
f (z) = z r fr (z) , fr (z) = c + R/z r , tal que fr (0) = c 6= 0.
Isto prova a nossa afirmação.
44
Capı́tulo 3
Resultados e Generalizações
R.Bryant, em [4] provou o seguinte resultado :
Teorema 3.0.1. Seja M uma superfı́cie compacta de gênero zero imersa em R3 e seja f
qualquer função suave definida em um intervalo aberto contendo o intervalo [0, ∞). Se
M satisfaz a relação de Weingarten na forma
H = f (H 2 − K) = f (|α(2,0) |2 ).
Aqui α(2,0) é a parte (2, 0) da segunda forma fundamental de M , então M é isométrica
à esfera.
Alencar, do Carmo e Tribuzy generalizaram o resultado acima.
Proposição 3.0.1. Sejam M uma superfı́cie compacta de gênero zero, imersa em
M 2 (c) × R e f uma função suave como acima. Suponhamos que
H = f (|Q(2,0) |2 ).
Então Q(2,0) ≡ 0 e M é isométrica à esfera.
(2,0)
Demonstração. Visto que |dH| = |df ||d(|Q(2,0) |2 )| e |Q(2,0) |2 = Q(2,0) Q
(2,0)
d|Q(2,0) |2 = dQ(2,0) Q
(2,0)
+ Q(2,0) dQ
temos
.
Portanto
(2,0)
|d|Q(2,0) |2 | ≤ |dQ(2,0) ||Q
(2,0)
| + |Q(2,0) ||dQ
(2,0)
= |Q(2,0) |{(|dQ(2,0) | + |dQ
|
|}.
Daı́, segue que
(2,0)
|dH| ≤ |df |(|dQ(2,0) | + |dQ
(2,0)
|)|Q(2,0) | = g|Q(2,0) |,
onde temos que g = |df |(|dQ(2,0) | + |dQ |). Logo, usando as condições do Teorema de
Alencar, do Carmo e Tribuzy, segue-se o resultado.
45
Uma questão natural é a seguinte: no caso do Teorema de Bryant é conhecido que
|α
| = H 2 − K. Portanto é interessante conhecer uma expressão de Q(2,0) em termos
dos invariantes geométricos simples M .
Hilário Alencar, Manfredo do Carmo e Renato Tribuzy fizeram os seguintes
comentários: Bryant construiu uma forma quadrática globalmente definida na superfı́cie
M de Weingarten, não necessariamente homeomorfa a esfera, a qual é mostrada ser
holomorfa em M . É possı́vel construir tal forma quadrática holomorfa em superfı́cies de
Weingarten imersas em M 2 (c) × R? Este caminho pode parecer útil mesmo com alguma
restrição sobre a relação de Weingarten. O problema geométrico relevante é: quais são
as superfı́cies imersas em M 2 (c) × R com curvatura Gaussiana extrı́nseca constante ?
(2,0) 2
Agora, vamos demonstrar os fatos mencionados na introdução do nosso trabalho a
respeito da generalização do resultado obtido em [3]. Mais precisamente, Hilário Alencar,
Isabel Fernández, Manfredo do Carmo e Renato Tribuzy provaram o seguinte resultado:
Teorema 3.0.2. Seja M uma superfı́cie compacta de gênero zero imersa em E3 (k, τ )
com curvatura média H. Suponhamos que
|dH| ≤ g|Q(2,0) |,
onde g é uma função contı́nua real não-negativa e E3 é uma variedade Riemanniana
simplesmente conexa homogênea. Então Q(2,0) é identicamente zero e, conseqüentemente,
M é uma superfı́cie invariante por rotações em E3 (k, τ ).
Antes de demonstrarmos o Teorema 3.0.2, precisaremos de algumas preliminares.
Vamos considerar uma variedade homogênea E de dimensão 3 com um grupo de isometrias
de dimensão 4, curvatura do fibrado τ e de curvatura k. Sejam R̃ o tensor curvatura
Riemanniano, M uma superfı́cie orientada E, ∇ a conexão Riemanniana de M , J a
rotação de ângulo π/2 em T M , N um campo unitário normal a M e S o operador de
forma de M . Sejam θ = H + iτ e c = k − 4τ 2 . Definamos Q como
Q(X, Y ) = 2θα(X, Y ) − chξ, Xihξ, Y i.
Tal expressão foi inspirada na equação (2.3). Aqui valem as mesmas notações utilizadas
no capı́tulo 2.
Agora,
dψ
= ZQ(Z, Z) = Z{2θα(Z, Z) − chξ, Zi2 }
dz
= Z{2θhSZ, Zi − chξ, Zi2 },
onde S é o operador de forma correspondente a α.
Proposição 3.0.2. : ZQ(Z, Z) = 2Z(H)α(Z, Z) + 2θλ2 Z(H) .
46
Demonstração. É claro que
ZQ(Z, Z) = 2Z(θ)hSZ, Zi + 2θh∇Z (SZ), Zi
− 2chξ, Zih∇Z ξ, Zi − 2chξ, Zihξ, ∇Z ξi.
(3.1)
Utilizamos na última igualdade o fato de ∇Z Z = 0. Calcularemos a seguir cada termo
da equação (3.1).
Lema 3.0.4. h∇Z (SZ), Zi = h∇Z (SZ), Zi + cλ2 hξ, N ihξ, Zi.
Demonstração. Como ∇Z Z = 0, usando a Equação de Codazzi e a equação de Codazzi
e o corolário 3.2 de [7], temos
∇Z (SZ) = (∇Z S)(Z) + S(∇Z Z)
= (∇Z S)Z + R̃(Z, Z)N
= (∇Z S)Z + chN, ξi(hZ, ξiZ − hZ, ξiZ),
onde R̃ é a curvatura de E3 (k, τ ). Finalmente, visto que hZ, Zi = 0, obtemos
h∇Z (SZ), Zi = h∇Z (SZ), Zi + cλ2 hξ, N ihξ, Zi.
Lema 3.0.5. h∇Z ξ, Zi = iτ λ2 hξ, N i, onde N é o vetor normal da superfı́cie M .
Na demonstração do lema acima utilizaremos a prova da Proposição 3.3, a qual pode
ser encontrada em ([7]), ou seja
Proposição 3.1. Qualquer que seja X ∈ X (M ), temos
∇X T = ν(SX − τ JX), dν(X) + hSX − τ JX, T i = 0.
Aqui ν = hN, ξi e ξ = T + νN .
Demonstração. De fato,
∇X ξ = ∇X T + νN
= ∇X T + dν(X)N + ν∇X N
= ∇X T + hSX, T iN + dν(X)N − νSX.
Além disso,
∇X ξ = τ X × ξ
= τ X × (T + νN )
= τ (hJX, T iN − νJX).
Concluiremos a demonstração considerando as partes normais e tangenciais de cada
expressão. Assim, para finalizarmos a prova desse lema basta utilizar a Proposição 3.1,
para obtermos
∇Z ξ = τ ξ × Z = τ (hJZ, ξiN − hξ, N iJZ),
onde J é número complexo multiplicado por i. Portanto,
h∇Z ξ, Zi = iτ λ2 hξ, N i.
47
Lema 3.0.6. hξ, ∇Z i = λ2 Hhξ, N i .
Demonstração. Sabemos que ∇Z Z = ∇Z Z + α(Z, Z)N .
α(Z, Z) = λ2 H por (2.3) segue-se o resultado.
Logo, ∇Z Z = 0 e
Agora substituindo os lemas (3.0.4), (3.0.5) e (3.0.6) na expressão (3.1) de ZQ(Z, Z),
obtemos
ZQ(Z, Z) = 2Z(Hα(Z, Z) + 2θh∇Z (SZ), Zi + 2θcλ2 hN, ξihZ, ξi
− 2ciτ λ2 hξ, Zihξ, N i − 2cλ2 Hhξ, N ihξ, Zi.
Como θ = H +iτ , os dois penúltimos termos cancelam-se com o terceiro termo. Portanto,
ZQ(Z, Z) = 2Z(H)α(Z, Z) + 2θh∇Z (SZ), Zi.
(3.2)
Para concluirmos a prova da Proposição 3.0.2, precisaremos de informações sobre o termo
h∇Z (SZ), Zi.
Lema 3.0.7. h∇Z (SZ), Zi = λ2 Z(H).
Demonstração. Afirmamos que
Z(λ2 )
∇Z Z =
Z.
λ2
Com efeito, podemos escrever ∇Z Z = aZ + bZ. Daı́
1
h∇Z Z, Zi = bλ2 = ZhZ, Zi = 0.
2
Agora, segue-se que b = 0, portanto ∇Z Z = aZ. Por outro lado,
h∇Z Z, Zi = ZhZ, Zi = Z(λ2 ) = ahZ, Zi.
Isto implica a =
Z(λ2 )
, provando assim nossa afirmação. Agora, notemos que
λ2
Z(λ2 H) = Z(hSZ, Zi) = h∇Z (SZ), Zi + hSZ, ∇Z Zi.
Portanto
h∇Z (SZ), Zi = Z(λ2 H) + λ2 Z(H) − hSZ, ∇Z Zi
Z(λ2 )Z
= Z(λ2 )H + λ2 Z(H) − hSZ, Zi
λ2
2
= λ Z(H),
pois hSZ, Zi = λ2 H. Agora, para concluı́rmos a demonstração da Proposição 3.0.2, basta
substituı́rmos a expressão do Lema 3.0.7 na equação (3.2).
48
Finalmente, demonstraremos o Terorema 3.0.2. Usando a Proposiçao 3.0.2 ,temos
|ZQ(Z, Z)| = |2Z(H)α(Z, Z)| + 2θλ2 Z(H)|
≤ |dH||λ||2α(Z, Z) + 2θλ2 |,
pois
|ZH(Z)| = |dH(Z)| ≤ |dH||Z| = |dH||λ| e |Z(H)| = |dH(Z)| ≤ |dH||Z| = |dH||λ|.
Por hipótese, |dH| ≤ g|Q(2,0) |, onde g uma função contı́nua não-negativa. Logo
dψ
= |ZQ(Z, Z)| ≤ h|Q(2,0) | = h|ψ(z)|.
dz
(3.3)
Aqui
h = g|λ|(|α(Z, Z)| + 2λ2 |H + iτ |),
isto é, h é uma função contı́nua não negativa em M . Agora, usando o Lema Principal ,
o qual afirma que se a função ψ(z) satistaz a inequação (3.3) em uma vizinhança U de
z0 de ψ, então ψ ≡ 0 em uma vizinhança V ⊂ U de z0 , ou para todo z em V ,
ψ(z) = (z − z0 )k fk (z), k ≥ 1 fk (z0 ) 6= 0.
Para concluirmos o Teorema 3.0.2, basta usar o mesmo argumento utilizado no Teorema
de Alencar, do Carmo e Tribuzy. Isto conclui a demonstração.
49
Capı́tulo 4
Apêndice
Neste apêndice exibiremos a parte (2, 0) da forma quadrática
Q(X, Y ) = 2Hα(X, Y ) − c hξX, ξY i ,
definida por Abresch e Rosenberg em [1], onde ξ : M 2 (c) × R → R é a projeção natural
sobre R, isto é, ξ(p, t) = t; p ∈ M 2 (c), t ∈ R. Além disso, calcularemos a norma de Q(2,0) .
Sejam M uma superfı́cie Riemanniana e f : M → M 2 (c) × R uma imersão isométrica.
Se c ≥ 0, então consideraremos M imersa em R4 = R3 × R. Caso c < 0, admitiremos M
imersa em L3 × R, onde L3 é o espaço de Lorentz. De fato, podemos escrever f = (p, t),
com t ∈ R e p ∈ M 2 (c) ⊂ R3 para c ≥ 0 e p ∈ M 2 (c) ⊂ L3 para c < 0. Assim, ao
escrevermos M 2 (c) × R ⊂ E4 significará estas duas possibilidades.
Seja (u, v) coordenadas locais em M para as quais f (u, v) é uma imersão induzida
pela métrica conforme E(du2 + dv 2 ) em M . Sejam ∂u e ∂v os vetores coordenados
e e1 = E −1/2 ∂u, e2 = E −1/2 ∂v uma base ortonormal tangente a M . As direções
normais unitárias para M em E4 são denotadas por n1 , n2 , ou seja, {n1 , n2 } e {e1 , e2 }
são referenciais ortonormais, respectivamente, de T ⊥ M e T M . Denotaremos por
A = (aij ) e B = (bij ) as matrizes, respectivamente, de n1 e n2 . Sabemos que H = trA/2
e K = detA, onde H e K são as curvaturas média e Gaussiana, respectivamente. Sejam
X, Y ∈ T M . Seja ψ(X, Y ) = hdξ(X), dξ(Y )i. É claro que ψ é uma forma diferencial
quadrática. Daı́, temos que
ψ(., .) = ẽdu2 + 2f˜dudv + g̃dv 2 ,
onde b11 = ẽ = ψ(∂u, ∂u), b12 = f˜ = ψ(∂u, ∂v) e b22 = g̃ = ψ(∂v, ∂v). Isto implica,
ẽ = ψ(∂u, ∂u) = ξ(∂u)2 , f˜ = ψ(∂u, ∂v) = ξ(∂u)ξ(∂v) e g̃ = ψ(∂v, ∂v) = ξ(∂v)2 ,
pois dξ(X) = h∇ξ, Xi = ξ(X). Logo
ẽ − g̃
e−g
(2,0)
− if − c
− if˜ .
Q
= 2H
2
2
Definimos as funções de H. Hopf como
ψ1 =
e−g
ẽ − g̃
− if, ψ2 =
− if˜.
2
2
50
Portanto
Q(2,0) = 2Hψ1 − cψ2 = ψ.
Agora analisaremos a última equação. Notemos que
1
||A||2 = 4H 2 − 2K e |ψ1 |2 = ψ1 ψ¯1 = [||A||2 − 2K] = H 2 − K.
4
Além disso,
B(ei , ej ) := bij = −hei , ∇ej n2 i = hehi , ehj i = δij − hei , ∂t ihej , ∂t i,
onde na última igualdade usamos o fato X = X h + hX, ∂t i∂t , X ∈ T (M 2 × R). Daı́,
b11 = 1 − he1 , ∂t i2 ,
b12 = he1 , ∂t ihe2 , ∂t i,
b22 = 1 − he2 , ∂t i2 .
Como {e1 , e2 , n1 } é uma base ortonormal de T (M 2 × R), temos
1 = |∂t |2 = he1 , ∂t i2 + he2 , ∂t i2 + ν 2 .
Aqui ν = hn1 , ∂t i. Assim,
he1 , ∂t i2 + he2 , ∂t i2 = 1 − ν 2 .
Por outro lado,
trB = b11 + b22 = 2 − he1 , ∂t i2 − he2 , ∂t i2 = 1 + ν 2 .
Agora, finalmente, calcularemos a norma de Q(2,0) .
Proposição 4.0.3.
(2,0) 2
|Q
2
2
| = 4H (H − K) + c
2
1 − ν2
2
2
− 2HcRe(ψ1 ψ¯2 )
Demonstração. Mostraremos, inicialmente, que
2
1 − ν2
2
|ψ2 | =
.
2
De fato,
2
|ψ2 |
= ψ2 ψ¯2 =
b11 − b22
2
2
+ b212
2
he1 , ∂t i2 − he2 , ∂t i2
+ he1 , ∂t i2 he2 , ∂t i2
2
1
he1 , ∂t i4 + he2 , ∂t i4 − 2he1 , ∂t i2 he2 , ∂t i2 + 4he1 , ∂t i2 he2 , ∂t i2
4
2
1
he1 , ∂t i2 + he2 , ∂t i2
4
2
1 − ν2
.
2
=
=
=
=
51
Portanto, usando as expressões de |ψ1 |2 , |ψ2 |2 , temos
|ψ|2 = ψ ψ̄ = (2Hψ1 − cψ2 )(2H ψ¯1 − cψ¯2 )
= H 2 |ψ1 |2 − 2Hcψ1 ψ¯2 − 2Hcψ¯1 ψ2 + c2 |ψ2 |2
2
1 − ν2
2
2
2
− 2HcRe(ψ1 ψ¯2 ).
= 4H (H − K) + c
2
O que demonstra nossa afirmação.
Inclusive, no artigo de Alencar, do Carmo e Tribuzy, ver [2], tem a seguinte pergunta:
Qual o significado geométrico da |Q(2,0) |?
52
Referências Bibliográficas
[1] Abresch, U., Rosenberg, H. A Hopf differential for constant mean curvature in
S 2 × R and H 2 × R, Acta Math. 193 (2004), 141-174.
[2] Alencar, H., do Carmo, M. P., Tribuzy, R. A theorem of H. Hopf and the CauchyRiemann inequality, (a aparecer) Communication in Analysis and Geometry, 2007.
[3] Alencar, H., do Carmo, M. P., Fernández, I., Tribuzy, R. A theorem of H. Hopf and
the Cauchy-Riemann inequality II, Preprint, IMPA, 2006.
[4] Bryant, R., Complex Analysis and a class of Weingarten surfaces, Preprint, não
publicado.
[5] Cavalcante, M., Lira, J., Examples and structure of CMC surfaces in
some Riemannian and Lorentzian homogeneous spaces, (a aparecer) Michigan
Mathematical Journal, 2007.
[6] Hopf, H., Differential Geometry in the Large, Lectures Notes in Mathematics,
Springer-Verlag, vol. 1000, 1983.
[7] Daniel, B., Isometric immersions into 3-dimensional, homogeneous manifolds,
Preprint, IMPA, 2005.
[8] do Carmo, M. P., Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, Rio de Janeiro, 2005.
[9] Lang, S., Complex Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Fouth edition,
Springer.
53
