Dissertação
dissertacao_sofia_melo_2005.pdf
Documento PDF (506.9KB)
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Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação em Matemática
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Rio São Francisco
Estabilidade de Hipersuperfícies com
Curvatura Média Constante
MATEMÁTICA
A ciência
do infinito
Sofia Carolina Costa Melo
Maceió
20 de Dezembro de 2005
Universidade Federal de Alagoas
Departamento de Matemática
Programa de Mestrado em Matemática
Dissertação de Mestrado
Estabilidade de Hipersuperfı́cies com Curvatura
Média Constante
Sofia Carolina da Costa Melo
Maceió, Brasil
Dezembro de 2005
Ao meu pai Antonio (in memoriam).
Agradecimentos
Primeiramente, a Deus pela luz diária.
Ao Professor Hilário Alencar por muitas coisas, dentre elas, pela grande amizade
nesses seis anos de convivência, pelo companheirismo em momentos difı́ceis da minha
vida, pela confiança depositada em mim, pelas oportunidades acadêmicas, por me mostrar
toda a dedicação e amor pela matemática e, finalmente, por ter me ajudado a crescer
como pessoa e como profissional.
Ao Professor Manfredo do Carmo pelas apropriadas conversas matemáticas.
À Professora Walcy Santos pelas valiosas sugestões dadas para a melhoria deste trabalho e pelas palavras encorajadoras para a próxima fase da minha vida acadêmica.
Ao Professor Fernando Codá Marques pela sugestão dada para o apêndice deste trabalho.
Aos Professores Krerley Oliveira e Adán Corcho pela contribuição na minha formação
acadêmica.
Ao colega Claudemir Leandro pela ajuda dada neste trabalho.
À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Alagoas pelo apoio financeiro.
E, finalmente, a minha mãe pela força de todos os dias.
4
Resumo
Descrevemos um resultado obtido por João Lucas Barbosa e Manfredo Perdigão do
Carmo, publicado na Mathematische Zeitschrift em 1984, sobre estabilidade de hipersuperfı́cies com curvatura média constante não-nula imersas no espaço Euclidiano de
dimensão n + 1. A motivação principal deste trabalho é a demonstração do seguinte
resultado:
Sejam M uma variedade Riemanniana de dimensão n, compacta, orientável e x uma
imersão com curvatura média constante não-nula da variedade M no espaço Euclidiano
de dimensão n + 1. Então x é estável se, e somente se, a imagem de M por x é uma
esfera redonda.
Fazemos a demonstração deste resultado em duas partes, na primeira mostramos,
através de um exemplo, que a esfera redonda é uma hipersuperfı́cie estável. Na segunda
parte, demonstramos que todos os pontos de uma hipersuperfı́cie com essas caracterı́sticas
são umbı́licos e pela compacidade da hipersuperfı́cie, é a esfera redonda.
Observamos que muitos outros trabalhos se originam do artigo de Barbosa e do Carmo
dentre eles, citamos dois trabalhos, um de Barbosa, do Carmo e Eschenburg de 1988 e o
outro de Wente de 1991. O primeiro, trata de uma generalização do Teorema de Barbosa
e do Carmo, e o segundo, traz uma nova demonstração do mesmo resultado usando uma
variação paralela.
Índice
Introdução
7
1 Preliminares
10
2 Primeira Variação e Problemas Variacionais
18
2.1 Primeira Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Problema Variacional para Hipersuperfı́cies com Curvatura Média Constante 25
3 Teorema de Barbosa-do Carmo
36
Referências Bibliográficas
45
Introdução
Este trabalho descreve um resultado obtido por João Lucas Barbosa e Manfredo
Perdigão do Carmo, publicado na Mathematische Zeitschrift em 1984, sobre estabilidade
de hipersuperfı́cies com curvatura média constante não-nula imersas no espaço Euclidiano
Rn+1 . A motivação principal deste trabalho é a demonstração do seguinte resultado:
Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta, orientável e x : M n −→ Rn+1 uma
imersão com curvatura média constante não-nula. Então x é estável se, e somente se,
x(M n ) ⊂ Rn+1 é uma esfera redonda Sn ⊂ Rn+1 .
Inicialmente, observamos que a condição de x ter curvatura média constante, H, é
equivalente ao fato conhecido de x ser ponto crı́tico de um problema variacional. Mais
precisamente, a imersão x tem curvatura média constante não-nula se, e somente se, x
é um ponto crı́tico da n-área A(t) para todas as variações com suporte compacto xt de
x, t ∈ (−, ), x0 = x, que deixam constante o “volume” V (t) de xt , isto é, V (t) = V (0)
para qualquer t ∈ (−, ). Os detalhes de tais fatos serão vistos na seção 1.2 .
Problemas variacionais do tipo acima são chamados problemas isoperimétricos. Um
procedimento padrão para determinar os pontos crı́ticos destes problemas é, em analogia
com os multiplicadores de Lagrange, procurar os pontos crı́ticos da função J, dada por
J(t) = A(t) + λV (t),
onde λ é constante e as variações xt de x possuem suporte compacto.
No entanto, quando calcularmos a segunda variação, os dois problemas não estão distantes de uma certa equivalência. Tal fato tinha sido indicado no texto clássico Calculus
of Variations, ver [3]. Quando λ = nH, os pontos crı́ticos para ambos os problemas são
os mesmos. Assim encontramos uma relação entre eles da seguinte forma: A00 (0) ≥ 0
para variações de suporte compacto se, e somente se, J 00 (0) ≥ 0 para variações de suporte
compacto e que satisfazem a hipótese adicional de ter média zero, ou seja,
Z
f dM = 0,
Mn
onde f é a componente normal do vetor variacional. Ver Proposição 2.2.2.
7
A definição de estabilidade, que será usada neste trabalho, está associada ao fato da
segunda variação A00 (0) ser não negativa para variações de suporte compacto. Então,
pelas considerações acima, temos que, para uma imersão x com curvatura média constante não-nula ser estável, basta que J 00 (0) ≥ 0 para variações de suporte compacto
que satisfazem a condição de média zero. Neste trabalho a hipótese de média zero é
fundamental porém, em Mori [8], podemos encontrar uma definição de estabilidade sem
usar a condição de média zero. Assim, com a nossa definição de estabilidade, a esfera
Sn ⊂ Rn+1 é estável, como demonstrado no Exemplo 2.2.1. Daı́, temos que se x(M n ) é a
esfera Sn ⊂ Rn+1 então x é estável. A recı́proca dessa afirmação, ou seja, a completude
da demonstração do resultado principal, depende de um critério de estabilidade, dado
por uma fórmula integral. Além disso, vários resultados preliminares são usados antes
de concluı́rmos esta prova.
Observamos que, em [7], Hsiang, Teng e Yu apresentaram exemplos de hipersuperfı́cies
não esféricas x : M n −→ Rn+1 , n > 2, que tem curvatura média constante. Claramente,
pelo resultado principal, estas imersões são exemplos de hipersuperfı́cies não-estáveis.
O trabalho está dividido em três capı́tulos. No capı́tulo 1 abordamos os conceitos
de curvatura média, obtendo resultados que serão fundamentais para o desenvolvimento
deste trabalho. Iniciaremos o capı́tulo 2 com os conceitos de variação de uma imersão,
área e volume de um certo domı́nio. Logo em seguida, demonstraremos as fórmulas da
primeira variação (área) e da primeira variação do volume. Apresentaremos os problemas
variacionais e o Teorema 2.2.1. Também neste capı́tulo, introduziremos o conceito de
estabilidade e mostraremos uma relação entre A00 (0) e J 00 (0) com a hipótese adicional
de média zero. Usando este fato, mostraremos que a esfera é estável. O capı́tulo 3
contém resultados sobre a função suporte de x e a demonstração do teorema principal.
Finalmente, usando a fórmula de Bochner-Lichnerowicz, escreveremos um apêndice com
a demonstração do cálculo do primeiro autovalor não-nulo do Laplaciano na esfera.
Depois da adequada definição de hipersuperfı́cies estáveis, dada por Barbosa e do
Carmo, ocorreu um grande avanço na linha de estabilidade. Dentre os vários trabalhos
que usam o artigo [1], vejamos alguns resultados.
Em 1987, ver [10], Alexandre Silveira considerou uma variedade M completa nãocompacta de dimensão 2 e mostrou que, se x : M −→ R3 é uma imersão com curvatura
média constante estável, então x(M ) ⊂ R3 é um plano.
Em [2], João Lucas Barbosa, Manfredo do Carmo e Jost Eschenburg generalizaram o
Teorema de Barbosa-do Carmo, a saber:
Sejam M̄ n+1 (c) uma variedade Riemanniana simplesmente conexa com curvatura seccional c e x : M n −→ M̄ n+1 (c) uma imersão de uma variedade diferenciável M n com
curvatura média constante. Então x é estável se, e somente se, x(M n ) ⊂ M̄ n+1 (c) é a
esfera geodésica.
Ernst Heintze, ver [6], usando estimativas do primeiro autovalor do Laplaciano,
demonstrou o Teorema de Barbosa-do Carmo no caso em que M̄ n+1 = Rn+1 , Hn+1 .
No ano de 1991, Henry Wente, no artigo [11], deu uma prova alternativa do Teorema
de Barbosa-do Carmo. Ele exibiu uma variação paralela da imersão x : M n −→ Rn+1
8
que preserva volume, permitindo calcular a segunda variação da área A00 (0).
Finalmente, gostarı́amos de ressaltar que são inúmeros os trabalhos envolvendo o
conceito de estabilidade dado por Barbosa e do Carmo.
9
Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo, introduziremos alguns conceitos e resultados básicos que serão úteis
no desenvolvimento deste trabalho. Começaremos com os conceitos de curvatura média
e segunda forma fundamental, posteriormente, apresentaremos alguns resultados. Parte
substancial desse capı́tulo encontra-se em [5].
Sejam M n uma variedade Riemanniana de dimensão n ≥ 2 e x : M n −→ Rn+1
uma imersão. Denotemos por h, i a métrica em Rn+1 e, associada a esta métrica, seja
∇ a conexão Riemanniana em Rn+1 . Considere em M n a métrica induzida por x e ∇
a conexão Riemanniana de M n . Lembremos que, se X e Y são campos locais em M n ,
obtemos
∇X Y = ∇X̄ Ȳ
T
,
onde X̄ e Ȳ são as extensões locais, respectivamente, de X e Y a Rn+1 e T , como expoente,
significa a componente tangente do vetor. Indicaremos, para simplificar a notação, a extensão do campo local X por X.
Consideremos χ(M n ) o espaço dos campos de vetores diferenciáveis em M n e χ(M n )⊥
o espaço dos campos de vetores diferenciáveis normais à M n . A segunda forma fundamental da imersão x é a aplicação B : χ(M n ) × χ(M n ) −→ χ(M n )⊥ , definida por
B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y,
∀X, Y ∈ χ(M n ).
Visto que, para todo p ∈ M n , B é uma aplicação bilinear simétrica, então, para
cada vetor unitário N normal à M n em p, podemos associá-la a uma aplicação linear
auto-adjunta SN : Tp M n −→ Tp M n , dada por
hSN (X), Y i = hB(X, Y ), N i ,
∀X, Y ∈ Tp M n ,
onde Tp M n representa o espaço tangente à M n em p.
Daı́, vamos definir a curvatura média H da imersão x : M n −→ Rn+1 por
H=
1
tr (SN ) .
n
10
(1.1)
Aqui tr (SN ) significa o traço da matriz da aplicação SN .
Agora, vamos escrever a norma da segunda forma fundamental por
kBk2 = tr SN (SN )t ,
onde (SN )t representa a transposta da matriz associada a aplicação linear SN .
Seja {x1 , ..., xn } uma base ortonormal de χ(M n ) de forma que diagonalize a matriz
(SN ). Chamamos de curvaturas principais de x os números reais k1 , ..., kn , tais que
SN (xi ) = ki xi .
Assim a matriz da aplicação SN na base {x1 , ..., xn } é
(SN ) = (δij ki ) ,
onde δij é o delta de Kronecker.
Portanto, reescrevendo kBk2 e nH em termos das curvaturas principais, temos
kBk2 = tr (SN (SN )t ) =
n
X
ki2
e
nH = tr (SN ) =
i=1
n
X
ki .
(1.2)
i=1
Inicialmente, vamos expressar a norma da segunda forma fundamental e a curvatura
média da imersão x em coordenadas.
Lema 1.0.1. Sejam {e1 , ..., en } um campo de vetores ortonormais definidos numa vizinhança V de p ∈ M n e N ∈ χ(M n )⊥ . Então
n
n
X
X
2
2
∇ei ej , N
(p) =
∇ei N, ∇ei N (p);
(i) kBk (p) =
i=1
i,j=1
(ii) nH(p) =
n
X
g ik (p) ∇ei ek , N , ∀ p ∈ V . Aqui g ik (p) são as entradas da matriz
i,k=1
inversa da matriz (gik (p)) = (hei , ek i)(p).
Demonstração. (i) Sejam N ∈ χ(M n )⊥ e X, Y ∈ χ(M n ). Então hN, Y i = 0. Isto
implica que
∇X Y, N = −∇X N, Y .
Daı́
hSN (X), Y i = hB(X, Y ), N i = ∇X Y, N = −∇X N, Y ,
D
E
pois hB(X, Y ), N i = ∇X Y − ∇X Y, N = ∇X Y − (∇X Y )T , N = ∇X Y, N .
Visto que SN (X) é um campo vetorial tangente à M n , podemos escrever
(1.3)
SN (X) = −∇X N.
Representamos a aplicação linear auto-adjunta SN na base {e1 , ..., en } pela matriz
11
t
−∇ek N, ej
(SN ) =
Assim (SN (SN ) ) = (cki ), onde cki =
n
X
.
∇ek N, ej
∇ej N, ei .
j=1
Logo
n
n
X
X
cii =
∇ei N, ej
kBk2 = tr SN (SN )t =
i=1
∇ej N, ei .
(1.4)
i,j=1
Sabemos que hN, ei i = 0 implica
∇ej N, ei = − N, ∇ej ei .
Daı́, usando (1.3) na igualdade acima, tem-se
= − hB(ej , ei ), N i
∇ej N, ei
= − hB(ei , ej ), N i
= − N, ∇ei ej
∇ei N, ej .
=
(1.5)
Desta forma, substituindo (1.5) em (1.4), temos que
n
X
kBk2 (p) =
∇ei N, ej
2
(p).
i,j=1
Agora, como hN, N i = 1, então
∇ei N, N = 0.
(1.6)
Ou seja, ∇ei N é tangente à M n e pode ser escrito da forma
∇ei N =
n
X
∇ei N, ek ek .
k=1
Finalmente, vemos que
n
X
∇ei N, ∇ei N (p) =
i=1
=
n
X
n
X
i=1
j,k=1
n
X
!
∇ei N, ej
∇ei N, ej
i,j=1
Portanto
12
2
(p).
∇ei N, ek hej , ek i (p)
(1.7)
2
kBk (p) =
n
X
∇ei N, ∇ei N (p).
i=1
(ii) Considerando SN (ei ) =
n
X
aij ej , temos
j=1
(SN ) =
* n
X
+!
aij ej , ei
.
j=1
Daı́, tr (SN ) =
n
X
aii .
i=1
Logo
hSN (ei ), ek i =
* n
X
+
aij ej , ek
=
j=1
n
X
aij gjk .
j=1
Assim
aii =
n
X
g ik hSN (ei ), ek i .
k=1
Usando (1.1) e a definição de SN , obtemos
nH = tr (SN ) =
n
X
i=1
n
X
aii =
ik
g hSN (ei ), ek i =
n
X
ik
g hB(ei , ek ), N i =
g ik ∇ei ek , N .
i,k=1
i,k=1
i,k=1
n
X
Agora, sejam M n uma variedade Riemanniana e p ∈ M n . Um referencial geodésico
de p é o campo de vetores ortonormais {e1 , ..., en } ∈ χ(M n ) definidos numa vizinhança
V ⊂ M n de p, tal que ∇ei ej (p) = 0, ∀i, j = 1, ..., n.
O próximo resultado nos fornece mais uma relação em coordenadas para a norma da
segunda forma fundamental.
Proposição 1.0.1. Sejam x : M n −→ Rn+1 uma imersão e {e1 , ..., en } um campo de
vetores ortonormais definidos numa vizinhança de p ∈ M n . Então
n
X
∇ei ∇ei N, N (p) = − kBk2 (p).
i=1
Além disso, se a curvatura média H é constante e {e1 , ..., en } é um referencial geodésico
de p ∈ M n , temos
n
X
∇ei ∇ei N, ek (p) = 0,
i=1
13
∀k = 1, ..., n.
Demonstração. Derivando a equação (1.6),
∇ei N, ∇ei N = − ∇ei ∇ei N, N .
(1.8)
Daı́, substituindo (1.7) em (1.8) vemos que
n
X
n
X
∇ei ∇ei N, N = −
i=1
∇ei N, ej
2
.
i,j=1
Logo, pelo item (i) do Lema 1.0.1, temos
n
X
∇ei ∇ei N, N = − kBk2 .
i=1
Agora, provaremos a última afirmação da Proposição 1.0.1. Com efeito, sabemos que
∇ei N, ek = − N, ∇ei ek .
Então, calculando ei ∇ei N, ek = −ei N, ∇ei ek , encontramos
∇ei ∇ei N, ek + ∇ei N, ∇ei ek = − ∇ei N, ∇ei ek − N, ∇ei ∇ei ek .
(1.9)
T
T
Sabemos que ∇ei ek = (∇ei ek ). Como o referencial é geodésico, então ∇ei ek =
0. Usando este fato e observando que ∇ei N ∈ χ(M n ), obtemos
D
T
N E D
N E
= ∇ei N, ∇ei ek
= 0.
∇ei N, ∇ei ek = ∇ei N, ∇ei ek + ∇ei ek
Segue-se, por (1.9),
∇ei ∇ei N, ek (p) = − N, ∇ei ∇ei ek (p).
Visto que a segunda forma fundamental é simétrica e o espaço Euclidiano possui
curvatura seccional nula, temos, respectivamente,
∇ei ek (p) = ∇ek ei (p)
e
∇ei ∇ek ei (p) = ∇ek ∇ei ei (p).
Assim
n
X
∇ei ∇ei N, ek (p) = −
i=1
= −
= −
n
X
i=1
n
X
i=1
n
X
i=1
Portanto
14
N, ∇ei ∇ei ek (p)
N, ∇ei ∇ek ei (p)
N, ∇ek ∇ei ei (p).
*
n
X
n
X
∇ei ∇ei N, ek (p) = − N, ∇ek
i=1
!+
∇ei ei
(p).
(1.10)
i=1
Agora, sabendo que nH = tr (SN ) e que cada entrada da matriz (SN ) é dada por
hSN (ei ), ej i = hB(ei , ej ), N i = ∇ei ej , N ,
podemos escrever nH da seguinte forma:
nH =
n
X
hSN (ei ), ei i =
n
X
i=1
∇ei ei , N .
(1.11)
i=1
Usando o fato que H é constante, obtemos
*
+!
n
X
N,
= ek (nH)
ek
∇ei ei
i=1
*
∇ek N,
n
X
+
∇ei ei
*
+
N, ∇ek
n
X
i=1
*
∇ek N,
n
X
!+
∇ei ei
=0
i=1
+
*
∇ei ei
= − N, ∇ek
i=1
n
X
!+
∇ei ei
.
i=1
Finalmente, substituindo a expressão acima em (1.10), vemos que
+
*
n
n
X
X
∇ei ∇ei N, ek (p) =
∇ek N,
∇ei ei (p)
i=1
i=1
*
∇ek N,
=
n
X
∇ei ei
T
+ ∇ei ei
N
+
(p)
i=1
=
D
∇ek N, ∇ei ei
N E
(p) = 0,
pois ∇ei N é tangente à M n em p.
Mostraremos agora uma relação entre a norma da segunda forma fundamental e a
curvatura média da imersão x.
Lema 1.0.2. Sejam x : M n −→ Rn+1 uma imersão e p ∈ M n . Então
kBk2 (p) ≥ nH 2 (p).
Além disso, a igualdade ocorre em p se, e somente se, p é um ponto umbı́lico.
15
Demonstração. Primeiramente, afirmamos que
n
X
n
X
ki2 + kj2 = (n − 1)
ki2 .
i<j
(1.12)
i=1
Provaremos a afirmação usando indução finita. De fato, para n = 2,
k12 + k22 = (2 − 1) k12 + k22 .
Agora, vamos supor que a igualdade (1.12) seja verdadeira para n = s. Assim
s
X
ki2 + kj2
= (s − 1)
s
X
i=1
i<j
Somando
s+1
X
ki2 .
ki2 + kj2 em ambos os membros da equação acima, encontramos
i<j
s+1
X
ki2 + kj2
i<j
+
s
X
ki2 + kj2
=
i<j
s+1
X
ki2 + kj2
+ (s − 1)
i<j
s
X
ki2 ,
i=1
ou seja,
s+1
X
ki2 + kj2
= (s − 1)
i<j
s
X
ki2 +
i=1
= s
s+1
X
s+1
X
ki2 + kj2
i<j
−
s
X
ki2 + kj2
i<j
ki2 .
i=1
Logo (1.12) também é verdadeira para n = s + 1. Portanto verdadeira para todo n,
provando nossa afirmação.
Com isso, voltaremos a demonstração do Lema.
Tomando k1 , ..., kn as curvaturas principais de x em p ∈ M n , então, por (1.2), podemos
escrever
!2
n
n
X
X
2
2
kBk − (nH) =
ki2 −
kj
i=1
= −2
j=1
n
X
ki kj .
(1.13)
i<j
Sabemos que,
n
X
i<j
2
(ki − kj ) =
n
X
ki2 + kj2
−
n
X
2ki kj .
i<j
i<j
Então, substituindo as expressões (1.12) e (1.13) na equação acima, obtemos
16
n
X
2
(ki − kj ) (p) = (n − 1)
i<j
n
X
ki2 (p) −
i=1
n
X
2ki kj (p)
i<j
= (n − 1) kBk2 (p) + kBk2 (p) − n2 H 2 (p)
= n kBk2 (p) − nH 2 (p) .
Daı́, como
n
X
(1.14)
(ki − kj )2 (p) ≥ 0, temos
i<j
kBk2 (p) ≥ nH 2 (p).
Usando a expressão (1.14), a igualdade acima ocorre em p se, e somente se, ki = kj ,
∀i, j. Isto é, se p for um ponto umbı́lico.
17
Capı́tulo 2
Primeira Variação e Problemas
Variacionais
Neste capı́tulo trataremos das fórmulas para a primeira variação da área e de volume,
apresentaremos problemas variacionais para hipersuperfı́cies com curvatura média constante e definiremos estabilidade.
2.1
Primeira Variação
Esta seção aborda a definição de variação para a imersão x e as fórmulas para a primeira
variação da área e do volume. Vamos iniciar com um importante conceito que, a partir
deste momento, será muito utilizado neste trabalho.
Definição 2.1.1. Sejam D um domı́nio relativamente compacto com bordo suave e D̄ o
fecho deste domı́nio. Uma variação da imersão x : D̄ ⊂ M n −→ Rn+1 é uma aplicação
X : (−, ) × D̄ ⊂ M n −→ Rn+1 de classe C ∞ , para > 0, tal que
(i) cada aplicação xt : D̄ −→ Rn+1 , definida por xt (p) = X(t, p), é uma imersão;
(ii) x0 = x.
Dizemos que xt é uma variação que fixa o bordo ∂D, se, para todo p ∈ ∂D,
xt (p) = x0 (p).
Denotaremos por
ξ(p) =
∂xt (p)
|t=0 ,
∂t
o vetor variação de xt , para p ∈ D̄.
Uma variação é dita normal, se, para todo p ∈ D̄, o vetor variação é da forma
ξ(p) = f (p)N (p), onde f (p) é um número real.
Agora, vamos ver a expressão local da métrica h, it em M n induzida por xt . Sejam
{e1 , ..., en } um referencial ortonormal numa vizinhança de p ∈ D e {du1 , ..., dun } suas
respectivas 1-formas locais duais, isto é, para um campo local Y ,
18
dui (Y ) = hei , Y i ,
i = 1, ..., n.
Dados Y, Z ∈ χ(D), podemos escrever
Y =
n
X
yi ei e Z =
i=1
n
X
zi ei .
i=1
Logo
hY, Zit = hdxt Y, dxt Zi
n
X
=
i,j=1
n
X
=
i,j=1
n
X
=
yi zj hdxt ei , dxt ej i
dui (Y )duj (Z)gij (t)
(dui ⊗ duj ) (Y, Z) gij (t)
i,j=1
n
X
=
!
gij (t)dui ⊗ duj
(Y, Z) ,
i,j=1
onde gij (t) = hdxt ei , dxt ej i e (dui ⊗ duj ) (Y, Z) = dui (Y )duj (Z).
Desta forma, obtemos
t
h, i =
n
X
gij (t)dui ⊗ duj .
i,j=1
Vejamos que, para cada domı́nio relativamente compacto D ⊂ M n , a função área
A : (−, ) −→ R é definida por
Z
dMt ,
(2.1)
AD (t) =
D
n
onde dMt é o elemento de n-área de M na métrica induzida por xt .
Agora vamos definir a função volume num caso mais geral. Seja X : (−, ) × M n −→
n+1
M̄ (c), > 0, uma variação da imersão x : M n −→ M̄ n+1 (c), onde M̄ n+1 (c) é uma
variedade Riemanniana com curvatura seccional c. O volume de M n é da forma:
Z
VM n (t) =
X ∗ dM̄ .
(2.2)
[0,t]×M n
Aqui dM̄ é o elemento de volume na variedade M̄ n+1 (c).
Particularmente, quando M̄ n+1 (c) = Rn+1 , temos que a função volume V : (−, ) −→
R do domı́nio relativamente compacto D ⊂ M n é dada por
19
Z
VD (t) =
dx1 ...dxn+1
Z
1
=
div(x1 e1 + ... + xn+1 en+1 )dx1 ...dxn+1
n+1 D
Z
1
=
hxt , Nt i dMt ,
n + 1 ∂D
D
(2.3)
onde div representa o divergente do campo e a última igualdade foi obtida pelo Teorema
da Divergência.
Dizemos que uma variação preserva volume, se VD (t) = VD (0), para todo t ∈
(−, ).
Agora, escrevendo a expressão local do elemento de n-área de M n na métrica h, it ,
dMt =
p
g(t)du1 ∧ ... ∧ dun =
p
g(t)dM0 ,
(2.4)
onde g(t) = det(gij (t)) e dM0 = dM .
O próximo resultado, que envolve a derivada do elemento de n-área, nos auxiliará na
demonstração da Fórmula da Primeira Variação.
Lema 2.1.1. Para t = t0 ∈ (−, ) fixo e p ∈ M n , a derivada, com relação a t, do
elemento de n-área é dada por
n
X
d
dMt |t=t0 = −nHt0 ft0 (p)dMt0 +
ei hTt0 , ei i(t0 ,p) dMt0 ,
dt
i=1
onde Tt0 é um vetor tangente à M n em (t0 , p).
Demonstração. Sejam {u1 , ..., un } um sistema de coordenadas normais em p ∈ M n
∂
(t0 , q),
com relação à métrica h, it0 , definido numa vizinhança V ⊂ M n de p e eti0 =
i
∂u
para i = 1, ..., n e q ∈ D. Então, pela definição de coordenadas normais, et10 , ..., etn0
forma uma base ortonormal de Tp M n com relação à métrica h, it0 e ∇et0 etj0 (p) = 0.
i
∂
∂x
t0
Denotaremos por ei = dxt .et e E = dx. =
.
∂t
∂t
Agora, derivando a expressão (2.4), temos
d
∂p
dMt |t=t0 =
g(t)|t=t0 dMt0 .
dt
∂t
Vamos calcular
∂p
g(t)|t=t0 , onde g(t) = detG(t, p). Assim,
∂t
20
∂p
∂√
g(t)|t=t0 =
detG|t=t0
∂t
∂t
∂
1 ∂t detG|t=t0
p
=
2 detG(t0 , p)
1∂
=
(detG(t, p)) |t=t0
2 ∂t
1∂
∂G(t, p)
=
(detG(t0 , p))
|t=t0
2 ∂t
∂t
1
∂G(t, p)
= tr
|t=t0 ,
2
∂t
(2.5)
pois G(t0 , p) = Id.
Os elementos da matriz
∂G
|t=t0
∂t
=
∂
|t=t gij (t) são dados por
∂t 0
∂
∂
∂
|t=t0 gij (t) = |t=t0 dxt eti0 , dxt etj0 = |t=t0 hei , ej i = ∇E ei , ej + ei , ∇E ej . (2.6)
∂t
∂t
∂t
Visto que (−, ) × M n tem estrutura diferencial de produto, obtemos que
∀i = 1, ..., n.
[ei , E] = 0,
Com efeito, fixe q ∈ M n e escolha uma parametrização y : W ⊂ Rn −→ M n ,
y = (y1 , ..., yn ), de M n em q. Agora, seja
ỹ : R × W −→ (−, ) × M n
a parametrização de (−, ) × M n em (t, q), dada por ỹ(t, p) = (t, y(t)).
Assim, nesta parametrização, temos
ei (t, q) =
n
X
ai (q)
i=1
∂
∂yi
e
E=
∂
.
∂t
n
Portanto, se g : (−, ) × M −→ R é diferenciável, então
[ei , E](g) = ei (E(g)) − E (ei (g))
!
∂g
= ei
−E
ai (q)
∂yi
i=1
!
n
n
X
∂2g
∂g
∂ X
=
ai (q)
ai (q)
−
= 0.
∂yi ∂t ∂t i=1
∂yi
i=1
∂g
∂t
n
X
Logo [ei , E] = 0 e, portanto,
∇ei E − ∇E ei = 0.
21
(2.7)
Daı́, usando a equação acima em (2.6), segue-se que
∂
|t=t gij (t) =
∂t 0
=
∇E ei , ej + ei , ∇E ej
∇ei E, ej + ei , ∇ej E
∂x
∂x
=
∇ei
, ej + ei , ∇ej
.
∂t
∂t
Desta forma, por (2.5), tem-se
n
n
X
1X ∂
∂x
∂p
g(t)|t=t0 =
|t=t0 gii (t) =
∇ei
, ei
.
∂t
2 i=1 ∂t
∂t
(t
,p)
0
i=1
(2.8)
Sabemos que
∂x(p)
= ft (p)Nt (p) + Tt (p),
∂t
onde Tt (p) é um vetor tangente à M n em (t, p).
Como Nt0 é um vetor normal à M n com relação à métrica h, it0 , vamos reescrever
(2.8) da seguinte forma:
n
n
n
X
X
X
∂p
g(t)|t=t0 =
∇ei T, ei (t0 ,p)
ei (f ) hN, ei i(t0 ,p) +
ft0 (p) ∇ei N, ei (t0 ,p) +
∂t
i=1
i=1
i=1
n
n
X
X
∇ei T, ei (t0 ,p) ,
=
ft0 ∇ei N, ei (t0 ,p) +
i=1
i=1
(2.9)
pois N é ortogonal a ei em p.
Agora calcularemos cada termo de (2.9). Começaremos com o termo
n
X
ft0 (p) ∇ei N, ei (t0 ,p) .
i=1
Usando a expressão (1.3) em (1.11), vemos que
nHt0 = tr SNt0 =
= −
n
X
n
X
SNt0 (ei ), ei (t ,p)
0
i=1
∇ei Nt0 , ei (t0 ,p) = −
i=1
n
X
aii .
i=1
Daı́,
ft0 (p)
n
X
∇ei Nt0 , ei (t0 ,p) = −nHt0 ft0 (p).
i=1
Para o termo
n
X
∇ei T, ei (t0 ,p) de (2.9), obtemos
i=1
22
(2.10)
∇ei Tt0 , ei
= ei hTt0 , ei i(t0 ,p) − Tt0 , ∇ei ei (t0 ,p)
(2.11)
= ei hTt0 , ei i(t0 ,p) ,
N
pois ∇ei ei (p) = ∇ei ei (p).
Desta forma, substituindo (2.10) e (2.11) em (2.9), temos
n
X
∂p
g(t)|t=t0 = −nHt0 ft0 +
ei hTt0 , ei i(t0 ,p) .
∂t
i=1
Portanto
n
X
d
∂p
dMt |t=t0 =
g(t)|t=t0 dMt0 = −nHt0 ft0 dMt0 +
ei hTt0 , ei i(t0 ,p) dMt0 .
dt
∂t
i=1
Neste momento, já dispomos de todas as ferramentas necessárias para a demonstração
da Fórmula da Primeira Variação.
Teorema 2.1.1. (Fórmula da Primeira Variação.) Para toda variação X : (−, ) ×
D̄ −→ Rn+1 que deixa o bordo fixo, temos, em t = 0,
Z
0
f HdM,
(2.12)
AD (0) = −n
D
onde f =
∂X
(0, p), N
∂t
é a componente normal do vetor variação ξ.
Demonstração. Iniciaremos a prova para t = t0 ∈ (−, ) fixo.
Derivando a equação (2.1) em relação a t e, em seguida, fazendo t = t0 , obtemos
Z
Z
d
d
0
AD (t0 ) =
dMt |t=t0 =
dMt |t=t0 .
dt D
D dt
Usando o Lema 2.1.1, temos
A0D (0)
Z
d
dMt |t=t0
D dt
Z
Z X
n
= −
nHt0 ft0 dMt0 +
ei hTt0 , ei i(t0 ,p) dMt0
D i=1
ZD
= −
nHt0 ft0 dMt0
=
D
Z
+
d
D
n
X
!
i+1
(−1)
ci ∧ ... ∧ dun ,
hTt0 , ei i(t0 ,p) du1 ∧ ... ∧ du
i=1
23
onde u
b indica que o termo u não aparece.
Aplicando o Teorema de Stokes, podemos reescrever a igualdade acima da seguinte
forma:
A0D (0) = −
Z
nHt0 ft0 dMt0 +
D
n Z
X
i=1
∂D
ci ∧ ... ∧ dun .
(−1)i+1 hTt0 , ei i(t0 ,p) du1 ∧ ... ∧ du
Por outro lado, temos que Tt0 ≡ 0 em ∂D, pois a variação fixa o bordo de D. Logo
Z
ci ∧ ... ∧ dun = 0.
(−1)i+1 hTt0 , ei i(t0 ,p) du1 ∧ ... ∧ du
∂D
Daı́,
A0D (t0 ) = −
Z
nHt0 ft0 dMt0
D
para todo t0 fixo. Em particular, para t = 0,
Z
0
AD (0) = −
nHf dM.
D
Vejamos agora a fórmula para variação de volume.
Lema 2.1.2. Seja X : (−, ) × D̄ −→ Rn+1 uma variação que deixa o bordo fixo. Então
a primeira variação de volume em t = 0 é dada por
Z
0
f dM,
(2.13)
VD (0) =
D
onde f =
∂X
(0, p), N
∂t
é a componente normal do vetor variação ξ.
Demonstração. Dada a variação X : (−, ) × M n −→ M̄ n+1 (c), sejam p ∈ M n fixo e
{e1 , ..., en } um referencial ortonormal numa vizinhança V de x(p). Assim
X ∗ dM̄ = b(t, p)dt ∧ dM,
onde
b(t, p) =
=
=
=
∂
X ∗ dM̄ = b(t, p)dt ∧ dM
, e1 , ..., en
∂t
∂X
dM̄
, dxt e1 , ..., dxt en
∂t
∂X
vol
, dxt e1 , ..., dxt en
∂t
∂X
,N .
∂t
24
Agora, usando o Teorema de Fubini, podemos escrever
Z
Z Z
b(t, p)dt ∧ dM =
b(t, p)dM dt.
[0,t]×D
[0,t]
D
Logo, derivando a expressão (2.2) em relação a t e, em seguida, fazendo t = 0, temos
Z
d
dVD
0
VD (0) =
|t=0 =
X ∗ dM̄ |t=0
dt
dt [0,t]×D
Z Z
d
=
b(t, p)dM dt|t=0
dt [0,t]
D
Z
=
b(t, p)dM |t=0
D
Z
∂X
=
(t, p), N dM |t=0 .
∂t
D
Portanto
VD0 (0) =
Z
f dM.
D
Particularmente, quando M̄ n+1 (c) = Rn+1 o resultado é válido.
2.2
Problema Variacional para Hipersuperfı́cies com
Curvatura Média Constante
Nesta seção, veremos o problema variacional para hipersuperfı́cies de curvatura média
constante, definiremos estabilidade para estas hipersuperfı́cies, apresentaremos condições
de estabilidade e finalizaremos com um exemplo de hipersuperfı́cie estável.
Seja f : D̄ ⊂ ZM n −→ R uma função suave por partes. Dizemos que f tem média
zero em M n , se
f dM = 0.
M
O seguinte resultado nos fornecerá condições para a existência de uma variação normal
que preserva volume.
Z
Lema 2.2.1. Seja f : D̄ −→ R uma função suave por partes tal que
f dM = 0.
M
Então, existe uma variação normal, que preserva volume, cujo vetor variacional é dado
por f N . Além disso, se f ≡ 0 no ∂D, a variação pode ser escolhida de modo que deixe
o bordo fixo.
Demonstração. Inicialmente, consideremos a seguinte variação normal dada por
x(t, t̄) = x0 + tf N + t̄gN,
25
(2.14)
Z
onde g : D̄ −→ R é uma função suave por partes, que se anula no bordo ∂D e
gdM 6=
M
0.
Como queremos uma variação que preserva volume, vamos impor a condição
VD (t, t̄) = cte.
Assim, usando (2.3), temos
Z
1
hx(t, t̄), N i dM(t,t̄)
VD (t, t̄) =
n+1 D
Z
1
=
(hx0 , N i + htf N, N i + ht̄gN, N i) dM(t,t̄)
n+1 D
Z
1
=
(hx0 , N i + tf + t̄g) dM(t,t̄) .
n+1 D
Derivando VD (t, t̄) com relação a t e t̄, temos, respectivamente,
1
∂VD
=
∂t
n+1
Z
Z
∂
tf dM(t,t̄)
f dM(t,t̄) +
∂t
D
D
∂VD
1
e
=
∂ t̄
n+1
Z
∂
t̄g dM(t,t̄) .
gdM(t,t̄) +
∂ t̄
D
D
Fazendo t = t̄ = 0, tem-se
Z
∂VD
∂VD
1
gdM 6= 0.
|t=0 = 0 e
|t=0 =
∂t
∂ t̄
n+1 D
Z
(2.15)
Sabemos que a derivada de VD com relação a t̄ é não-nula, VD é de classe C k e VD (0, 0)
é constante. Portanto, o Teorema da Função Implı́cita garante a existência de uma função
ϕ suave numa vizinhança de t = 0, tal que t̄ = ϕ(t) e cuja derivada é dada por
∂VD
∂t
.
ϕ0 (t) = −
∂VD
∂ t̄
Agora, reescrevendo a variação (2.14),
yt = xt (t, ϕ(t)) = x0 + tf N + ϕ(t)gN,
obtemos uma variação normal que preserva volume.
Usando as expressões de (2.15) para calcular a derivada ϕ0 , em t = 0, vemos que
∂VD
Z
Z
−1
|t=0
∂t
0
=−
f dM
gdM
=0
ϕ (0) = −
∂VD
D
D
|t=0
∂ t̄
Daı́, o vetor variacional de yt é dado por
26
d
yt |t=0 = f N + ϕ0 (0)gN = f N.
dt
Portanto encontramos uma variação normal que preserva volume, cujo vetor variacional é f N .
Finalmente, se f ≡ 0 no ∂D, então
yt (p) = x0 (p) + (tf (p) + ϕ(t)g(p)) N = x0 (p) = y0 (p),
∀p ∈ ∂D.
Vemos que, dada uma variação xt : D̄ −→ Rn+1 da imersão x, podemos escrever
Z
−1
H = AD (0)
HdM,
(2.16)
D
e, logo, definir JD : (−, ) −→ R por
JD (t) = AD (t) + nHVD (t).
(2.17)
No próximo resultado, relacionaremos AD (t) com JD (t) em t = 0.
Proposição 2.2.1. Seja x : M n −→ Rn+1 uma imersão. As seguintes afirmações são
equivalentes:
(i) x tem curvatura média constante H 6= 0;
(ii) Para cada domı́nio relativamente compacto D ⊂ M com bordo suave e cada variação
xt : D̄ −→ R que preserva volume e deixa o bordo fixo, temos A0D (0) = 0;
(iii) Para cada D ⊂ M relativamente compacto e cada variação (não necessariamente
preservando volume) que fixa o bordo ∂D, tem-se JD0 (0) = 0.
Demonstração. Demonstraremos a Proposição na seguinte ordem: (i) =⇒ (iii),
(iii) =⇒ (ii) e (ii) =⇒ (i).
(i) =⇒ (iii) Seja xt : D̄ −→ Rn+1 uma variação de x que deixa o bordo fixo.
Derivando a expressão (2.17), em relação a t e, em seguida, fazendo t = t0 , vemos
que
JD0 (0) = A0D (0) + nHVD0 (0).
(2.18)
Substituindo as expressões (2.12) e (2.13) em (2.18), pois o bordo é fixo, temos
Z
Z
0
JD (0) = −
nHf dM + nH
f dM = 0.
D
D
(iii) =⇒ (ii) Visto que JD0 (0) = 0, temos, por (2.18), que
A0D (0) = −nHVD0 (0).
Tomando uma variação que preserva volume, segue-se que VD0 (0) = 0.
27
Portanto
A0D (0) = 0.
(ii) =⇒ (i) Suponhamos que, para algum ponto p ∈ D, H = H0 ou seja,
(H − H0 )(p) 6= 0.
Agora, sem perda de generalidade, assumiremos
(H − H0 )(p) > 0.
Sejam os conjuntos
D+ = {q ∈ D; (H − H0 )(q) > 0} e D− = {q ∈ D; (H − H0 )(q) < 0} .
Vamos definir funções suaves ϕ, ψ : D̄ −→ R, não-negativas, tais que
Z
(ϕ + ψ)(H − H0 )(p)dM = 0
D
para p ∈ suppϕ ⊂ D e suppψ ⊂ D− . Aqui suppϕ denota o suporte de ϕ.
Dado > 0, a função contı́nua β : R −→ R é dada por
2 (t + ) t +
2 , − < t < − ;
exp
2
β(t) =
h
0, t ∈ (−∞, ] ∪ − , ∞ .
2
Z ∞
Z −
2
Para b =
β(s)ds =
β(s)ds e a ∈ [0, ∞), definimos
−∞
−
Z
a t
γa (t) =
β(s)ds,
b −∞
onde γa (t) = 0, se t ≤ − e γa (t) = a, se t ≥ − .
2
Considerando a função não-negativa ϕ : D̄ −→ R, para > 0, p ∈ D+ e B(p; ) ⊂ D+ ,
escrevemos ϕa : D̄ −→ R como sendo
+
ϕa (q) = γa (− |q − p|) ,
tal que ϕa (q) = 0 se |q − p| > e ϕa (q) = a se |q − p| < . Isto é,
2
ϕa (q) = 0, se q ∈
/ B(p; ) e ϕa (q) = a, se q ∈ B(p; ).
2
Agora, seja F : [0, ∞) −→ [0, ∞) a função dada por
Z
F (a) =
ϕa hdM,
D
28
onde h(p) = (H − H0 ) (p) > 0, pois p ∈ D+ .
Visto que F é sobrejetora, então existe a0 ∈ [0, ∞), tal que
Z
Z
F (a0 ) =
hdM =
ϕa0 hdM.
D+
D
Assim, como ϕa é não-negativa, tomaremos ϕ = ϕa .
Faremos cálculos análogos para a função ψ : D̄ −→ R, ψ ≥ 0.
Vejamos que
Z
Z
Z
(ϕ + ψ) (H − H0 ) dM =
ϕ (H − H0 ) dM +
Z
Z
=
hdM +
hdM
D−
D+
Z
=
ψ (H − H0 ) dM
D−
D+
D
Z
(H − H0 ) dM.
hdM =
D
D
Por outro lado, usando (2.16), vamos obter
Z
(H − H0 ) dM = 0.
D
Portanto
Z
(ϕ + ψ) (H − H0 ) dM = 0,
D
e, além disso, suppϕ ⊂ D+ e suppψ ⊂ D− .
Z
Agora, tomando f = (ϕ + ψ) (H − H0 ), temos que f ≡ 0 no ∂D e
f dM = 0. Logo,
D
pelo Lema 2.2.1, obtemos uma variação que preserva volume, cujo vetor variacional é f N .
Por hipótese
Z
0
AD (0) = −
nHf dM = 0.
D
Isto implica
Z
Hf dM = 0
D
Z
Z
Hf dM − H0
D
f dM = 0
D
Z
f (H − H0 ) dM = 0.
D
Desta forma
Z
Z
f (H − H0 ) dM =
0=
D
(ϕ + ψ) (H − H0 )2 dM > 0,
D
29
pois (ϕ + ψ) ≥ 0, (H − H0 ) > 0 e H − H0 é contı́nua. Assim obtemos uma contradição.
Logo H = H0 em D. Como D ⊂ M n é arbitrário, temos que a imersão x tem curvatura
média constante H0 .
Vimos na Proposição 2.2.1 que os problemas variacionais descritos em (ii) e (iii) são
equivalentes enquanto consideramos apenas a primeira variação, e que os pontos crı́ticos
de ambos os problemas são as hipersuperfı́cies de curvatura média constante. Entretanto,
quando consideramos a segunda variação em tais pontos crı́ticos, os problemas não são
mais equivalentes. Assim, vamos estabelecer uma relação entre A00D (0) e JD00 (0). Porém,
antes vejamos o seguinte resultado:
Teorema 2.2.1. Dada uma imersão x com curvatura média constante, sejam xt : D̄ ⊂
M n −→ Rn+1 uma variação normal de x que fixa o bordo ∂D e f N o vetor variação de
xt . Então
Z
00
JD (0)(f ) =
−f ∆f − kBk2 f 2 dM,
(2.19)
D
onde ∆f denota o Laplaciano de f .
Demonstração. Inicialmente, vamos derivar (2.17). Assim encontramos
JD0 (t) = A0D (t) + nHVD0 (t).
Como o bordo é suave, podemos substituir as equações (2.12) e (2.13) na expressão
acima, obtendo
Z
Z
0
JD (t) =
(−nHt + nH) ft dMt =
−n (Ht − H) ft dMt ,
D
D
onde Ht é a curvatura média da imersão xt , ft =
∂x
, Nt
∂t
e Nt é o vetor unitário
normal à xt .
Calculando a segunda derivada de JD0 (t), temos
JD00 (t) =
Z
Z
Z
∂
∂
∂
−n (Ht − H) ft dMt + −n (Ht − H) ft dMt + −n (Ht − H) ft dMt .
∂t
∂t
∂t
D
D
D
Para t = 0, sabemos que Ht = H. Então
Z
∂Ht
00
JD (0) =
−n
(0, p)f dM.
∂t
D
Agora, seja {e1 , ..., en } um referencial geodésico de p ∈ D. Denotamos ei (t, p) = dxt ett0
∂
e E = dx .
∂t
∂nHt
Usando o item (ii) do Lema 1.0.1, vamos calcular
. Logo
∂t
30
∂nHt
∂
|t=0 (p) =
∂t
∂t
=
n
X
g ik (t) ∇ei ek , Nt (t, p) |t=0
i,k=1
n
X
∂g ik
∂t
i,k=1
+
!
n
X
(t)|t=0 ∇ei ek (p), N +
n
X
g ik (0) ∇E ∇ei ek (p), N
i,k=1
g ik (0) ∇ei ek (p), ∇E Nt |t=0 .
i,k=1
Visto que ∇E Nt é um vetor tangente à M n em p, então
n
n
X
X
∂g ik
∂nHt
|t=0 (p) =
(t)|t=0 ∇ei ek (p), N +
∇E ∇ei ei (p), N .
∂t
∂t
i,k=1
i,k=1
(2.20)
Agora, derivando a expressão
n
X
g ij (t)gjk (t) = δik ,
j=1
em relação a t, fazendo t = 0 e usando g ij (0) = gij (0) = δij e a expressão (2.6), obtemos
∂gik
∂g ik
(0) = −
(0) = −E (hei , ek i (t, p)) |t=0 = − ∇E ei , ek − ei , ∇E ek .
∂t
∂t
Conhecendo (2.7) e o fato de E = f N , pois a variação é normal, segue-se que
∂g ik
(0) = − ∇ei E, ek + ei , ∇ek E
∂t
= −f ∇ei N, ek + ei , ∇ek N .
Substituindo (1.3) na igualdade acima, vemos que
∂g ik
(0) = 2f hB(ei , ek ), N i = 2f ∇ei ek , N .
∂t
n
X
∂g ik
Assim podemos reescrever o termo
|t=0 ∇ei ek (p), N de (2.20) da seguinte
∂t
i,k=1
forma:
n
X
∂g ik
∂t
i,k=1
|t=0 ∇ei ek (p), N =
n
X
2f ∇ei ek (p), N
∇ei ek (p), N = 2f kBk2 .
i,k=1
Aqui a última igualdade foi obtida pelo item (i) do Lema 1.0.1.
31
(2.21)
Por outro lado, usando o fato do espaço ser o Euclidiano e a expressão(2.7), no termo
n
X
∇E ∇ei ei , N de (2.20), obtemos
i,k=1
∇E ∇ei ei , N = ∇ei ∇E ei , N = ∇ei ∇ei E, N = ei ∇ei E, N − f ∇ei N, ∇ei N .
Visto que f = hE, N i e usando (1.6) temos
ei (f ) = ∇ei E, N + E, ∇ei N = ∇ei E, N + f N, ∇ei N = ∇ei E, N .
Logo
∇ei E, N
ei ei (f ) = ei
e, portanto, pelo item (i) do Lema 1.0.1, encontramos
n
X
i=1
∇E ∇ei ei , N =
n
X
i=1
ei ei (f ) −
n
X
f ∇ei N, ∇ei N = ∆f − f kBk2 .
(2.22)
i=1
Substituindo (2.21) e (2.22) em (2.20), vemos que
∂nHt
|t=0 = ∆f + 2f kBk2 − f kBk2 .
∂t
Finalmente, concluı́mos que
Z
Z
∂nHt
00
− f ∆f + kBk2 f 2 dM.
f dM =
JD (0) =
−
∂t
D
D
Observação 2.2.1. Enunciamos e demonstramos o Teorema 2.2.1 para uma variação
normal, porém este resultado é verdadeiro para qualquer variação. A demonstração pode
ser vista no apêndice do artigo de Barbosa e do Carmo, ver [1].
Agora, usando o Teorema 2.2.1, estabeleceremos uma relação entre as segundas
derivadas de AD (t) e JD (t) em t = 0. Além disso, denotaremos por =D o conjunto
de todas as funções suaves por partes f : D̄ −→ R, tais que f ≡ 0 no bordo ∂D e
Z
f dM = 0.
D
Proposição 2.2.2. Para toda variação xt : D̄ ⊂ M n −→ Rn+1 da imersão x que preserva
volume e que fixa o bordo, temos A00D (0) ≥ 0 se, e somente se, JD00 (0)(f ) ≥ 0 para toda
f ∈ =D .
32
Demonstração. Seja f ∈ =D . Então, pelo Lema 2.2.1, existe uma variação normal
yt : D̄ −→ Rn+1 que preserva volume e que fixa o bordo.
Assim, por (2.17), obtemos
JD00 (0) = A00D (0) + nHVD00 (0).
(2.23)
Como, por hipótese, a variação preserva volume e A00D (0) ≥ 0, vemos que
JD00 (0)(f ) = A00D (0) ≥ 0.
Vamos supor agora, que JD00 (0) ≥ 0 para toda f ∈ =D .
Agora, consideremos xt : D̄ −→ Rn+1 uma variação que preserva volume, fixa o bordo
∂D e tal que f N seja a componente normal do seu vetor variação.
Sabemos que
xt (p) = x0 (p) + tf (p)v(p),
onde v(p) é a direção da variação.
Tomando p ∈ ∂D, temos xt (p) = x0 (p), ou seja, f ≡ 0 para todo p ∈ ∂D. Daı́, por
(2.13), vemos que
Z
f dM = VD0 (0) = 0.
D
Isto implica que f ∈ =D .
Visto que xt preserva volume temos, por (2.23)
JD00 (0) = A00D (0) + nHVD00 (0) = A00D (0).
Portanto A00D (0) ≥ 0 para a variação x, pois JD00 (0) ≥ 0. Finalmente, pelo Lema 2.2.1,
JD00 (0)(f ) depende apenas de f .
Neste momento, definiremos estabilidade para imersões x : M n −→ Rn+1 com curvatura média constante não-nula. Como vimos, os problemas variacionais descritos em
(i) e (ii) da Proposição 2.2.1 caracterizam estas imersões. Assim escolheremos um dos
problemas para trabalharmos nossa definição. Aqui optamos pelo problema descrito no
item (ii).
Definição 2.2.1. Sejam x : M n −→ Rn+1 uma imersão com curvatura média constante
e D ⊂ M n um domı́nio relativamente compacto com bordo suave ∂D. O domı́nio D
será dito estável, se A00D (0) ≥ 0 para toda variação que preserva volume e fixa o bordo.
Dizemos que x é uma imersão estável, se qualquer D ⊂ M n é estável.
Uma conseqüência da Proposição 2.2.2 nos fornece uma condição para um domı́nio
ser estável relacionando as segundas derivadas de AD (t) e JD (t) em t = 0.
Corolário 2.2.1. O domı́nio D ⊂ M n será dito estável se, e somente se, JD00 (0)(f ) ≥ 0
para toda f ∈ =D .
33
Demonstração. Pela Definição 2.2.1, sabemos que D ⊂ M n é estável se A00D (0) ≥ 0,
para toda variação que preserva volume e deixa o bordo fixo.
Daı́, pela Proposição 2.2.2, temos que JD00 (0)(f ) ≥ 0 para toda f ∈ =D .
Vejamos, no próximo exemplo, que a esfera
Sn (r) = x ∈ Rn+1 ; |x | = r ,
(2.24)
é estável.
Exemplo 2.2.1. Sn (r) ⊂ Rn+1 é estável.
Tomaremos Sn (1) a esfera de raio 1 e D ⊂ Sn (1) um domı́nio. Seja f ∈ =D . Assim,
podemos estender a função f : D̄ −→ R para uma função suave por partes f¯ : Sn (1) −→
R tal que f¯ ≡ 0 em Sn (1) − D.
Denotaremos por λ1 (Sn (1)) o primeiro autovalor não-nulo do problema
∆g + λg = 0.
É conhecido que,
λ1 (Sn (1)) = inf
(Z
|∇g|2 dM
Z
g 2 dM
−1 )
,
(2.25)
Sn (1)
Sn (1)
Z
n
para toda função suave por partes g : S (1) −→ R que satisfaz
gdM = 0, onde ∇g
Sn (1)
denota o gradiente de g na métrica induzida pela inclusão Sn (1) ⊂ Rn+1 .
Donde decorre claramente a desigualdade
−1
Z
Z
2
2
n
g dM
,
|∇g| dM
λ1 (S (1)) ≤
Sn (1)
Sn (1)
Integrando sobre D a igualdade
∆f 2 = 2f ∆f + 2 |∇f |2 ,
vamos obter
1
2
Z
2
Z
∆f dM =
D
Z
f ∆f dM +
D
|∇f |2 dM.
D
Aplicando o Teorema de Stokes, e substituindo em (2.19) encontramos
Z
Z
2 2
00
JD (0)(f ) =
−f ∆f − kBk f dM =
|∇f |2 − kBk2 f 2 dM,
D
D
pois o bordo é vazio.
Pelo Lema 1.0.2, kBk2 = n. Daı́
Z
Z
Z
2
2
2
00
|∇f | dM − nf dM =
|∇f | dM − n
f 2 dM.
JD (0)(f ) =
D
D
34
D
(2.26)
Visto que f¯ : Sn (1) −→ R e
Z
f¯dM =
Z
f dM = 0
Sn (1)
D
podemos usar a expressão (2.26). Logo
Z
Z
2
00
JD (0)(f ) =
|∇f | dM − n
f 2 dM
D
D
Z
2
∇f¯ dM − n
=
Z
f¯2 dM
Sn (1)
Sn (1)
Z
n
f¯2 dM − n
≥ λ1 (S (1))
Sn (1)
= λ1 (Sn (1))
Z
D
Z
f 2 dM − n
f¯2
Sn (1)
Z
f2
D
f 2 (λ1 (Sn (1)) − n) dM.
=
Z
(2.27)
D
Agora, usando o apêndice deste trabalho que nos dá os autovalores do Laplaciano
na esfera unitária, temos em particular, que o primeiro autovalor λ1 (Sn (1)) é igual a n.
Assim, substituindo λ1 (Sn (1)) = n em (2.27) obtemos
Z
00
JD (0)(f ) ≥
f 2 (λ1 (Sn (1)) − n) dM = 0.
D
Logo JD00 (0) ≥ 0 para toda f ∈ =D .
Portanto, pelo Corolário 2.2.1, D é estável e como D é arbitrário, concluı́mos que
S (1) é estável.
n
35
Capı́tulo 3
Teorema de Barbosa-do Carmo
Neste capı́tulo, escreveremos o Laplaciano da função suporte de x em termos da segunda forma fundamental e da curvatura média da imersão e apresentaremos a Fórmula
de Minkowski. Logo em seguida, demonstraremos o resultado principal deste trabalho, a
saber: o Teorema de Barbosa-do Carmo.
Definiremos agora, campo de Jacobi e equação de Jacobi.
Definição 3.0.2. Sejam x : M n −→ Rn+1 uma imersão com curvatura média constante
e D ⊂ M n um domı́nio relativamente compacto com bordo suave. Um campo de Jacobi
em D é o campo vetorial normal J = f N , que satisfaz a equação de Jacobi
∆f + kBk2 f = 0,
onde f ∈ =D .
Veremos agora uma boa ferramenta para encontrar soluções da equação de Jacobi.
Proposição 3.0.3. Sejam x : M n −→ Rn+1 uma imersão com curvatura média constante
H e v um vetor unitário fixo em Rn+1 . Então a função f = hv, N i satisfaz a equação de
Jacobi, ou seja, ∆f + kBk2 f = 0.
Demonstração. Vamos considerar um referencial geodésico {e1 , ..., en } de p ∈ M n . É
conhecido que o Laplaciano de uma função f neste referencial é dado por
∆f (p) =
n
X
i=1
Daı́,
36
ei ei f (p).
(3.1)
∆f (p) =
=
=
n
X
i=1
n
X
i=1
n
X
ei ei hv, N i (p)
ei
∇ei v, N + v, ∇ei N
(p)
ei v, ∇ei N (p)
i=1
=
=
n
X
i=1
n
X
∇ei v, ∇ei N + v, ∇ei ∇ei N
(p)
v, ∇ei ∇ei N (p).
i=1
Escrevendo v como combinação linear da base {e1 , ..., en , N } de Rn+1 , obtemos
v = hv, e1 i e1 + ... + hv, en i en + hv, N i N.
Logo
n
X
v, ∇ei ∇ei N = hv, e1 i
n
X
e1 , ∇ei ∇ei N + ... + hv, N i
i=1
i=1
n
X
N, ∇ei ∇ei N .
i=1
Visto que H é constante, então, usando a Proposição 1.0.1, temos
n
X
v, ∇ei ∇ei N = hv, N i
i=1
n
X
N, ∇ei ∇ei N = − hv, N i kBk2 .
i=1
Portanto
∆f (p) =
n
X
v, ∇ei ∇ei N (p) = − kBk2 f (p).
i=1
No próximo resultado, mostraremos que a função suporte de uma imersão satisfaz
uma equação diferencial parcial.
Lema 3.0.2. Sejam x : M n −→ Rn+1 uma imersão com curvatura média constante
não-nula H e g = hx, N i a função suporte de x. Então g satisfaz a seguinte equação:
∆g = −nH − kBk2 g.
Demonstração. Tomaremos um referencial geodésico de p ∈ M n . Assim
∇ei x = ei .
37
(3.2)
Usando (3.1), vemos que
∆g(p) =
n
X
ei ei hx, N i (p).
i=1
Logo
∆g(p) =
=
=
n
X
i=1
n
X
i=1
n
X
ei
∇ei x, N + x, ∇ei N
ei hei , N i + x, ∇ei N
(p)
(p)
ei x, ∇ei N (p)
i=1
=
n
X
∇ei x, ∇ei N (p) +
i=1
=
n
X
n
X
x, ∇ei ∇ei N (p)
i=1
ei , ∇ei N (p) +
n
X
x, ∇ei ∇ei N (p).
(3.3)
i=1
i=1
Escrevendo x como combinação linear da base {e1 , ..., en , N } de Rn+1 , temos
x = hx, e1 i e1 + ... + hx, en i en + hx, N i N.
(3.4)
Daı́, vamos reescrever o termo x, ∇ei ∇ei N de (3.3) da seguinte forma:
x, ∇ei ∇ei N = hx, e1 i e1 , ∇ei ∇ei N + ... + hx, N i N, ∇ei ∇ei N
.
Pela Proposição 1.0.1, segue-se que
x, ∇ei ∇ei N = hx, N i N, ∇ei ∇ei N .
(3.5)
Finalmente, substituindo (1.5) e (3.5) em (3.3), obtemos
∆g(p) = −
n
X
i=1
∇ei ei , N (p) +
n
X
hx, N i N, ∇ei ∇ei N (p) = −nH(p) − g(p) kBk2 .
i=1
Agora, o próximo resultado apresenta uma clássica fórmula integral, a saber: Fórmula
de Minkowski, que será diretamente usada na demonstração do Teorema de Barbosa-do
Carmo.
Proposição 3.0.4. (Fórmula de Minkowski.) Sejam M n uma variedade Riemanniana
compacta sem bordo e x : M n −→ Rn+1 uma imersão. Então a função suporte g = hx, N i
satisfaz
38
Z
Z
gHdM = −
dM.
M
M
Demonstração. Sejam X o vetor posição com origem em p e {e1 , ..., en } um referencial
geodésico de p ∈ M n .
Calculando o divergente da componente tangente de X, vemos que
T
divM X =
n
X
∇ej X, ej −
n
X
∇ej X N , ej .
(3.6)
j=1
j=1
Aqui X = X T + X N , onde X N é a componente normal de X.
Como o referencial é geodésico, temos ∇ej X = ej . Logo
n
X
∇ej X, ej =
n
X
j=1
Vamos calcular
n
X
hej , ej i = n.
(3.7)
j=1
∇ej X N , ej . Visto que X N , ej = 0, obtemos
j=1
D
N E
∇ej X N , ej = − X N , ∇ej ej = − X, ∇ej ej
.
Desta forma
n
X
N
∇ej X , ej = −
j=1
n D
X
X, ∇ej ej
N E
= −nHg.
(3.8)
j=1
Substituindo (3.7) e (3.8) em (3.6), tem-se
divM X T = nHg + n = n (gH + 1) .
Integrando a expressão acima sobre M n temos
Z
Z
T
divM X dM = n
(gH + 1) dM.
M
M
Finalmente, usando o Teorema de Stokes e o fato de M n ser uma variedade compacta
sem bordo, ∂M n = ∅, encontramos
Z
Z
gHdM = −
dM.
(3.9)
M
M
Agora, usando os principais resultados deste trabalho, vamos demonstrar o Teorema
de Barbosa-do Carmo.
Teorema 3.0.2. Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta, orientável e x :
M n −→ Rn+1 uma imersão com curvatura média constante não-nula. Então x é estável
se, e somente se, x(M n ) ⊂ Rn+1 é uma esfera Sn ⊂ Rn+1 .
39
Demonstração. Inicialmente, vamos supor que a imersão x com curvatura média constante H seja estável. Tomemos a função suporte g = hx, N i de x.
Integrando (3.2) sobre M n , obtemos
Z
Z
∆gdM = −
(nH + kBk2 g)dM.
M
M
Usando o Teorema de Stokes e o fato de ∂M n = ∅, vemos que
Z
(nH + kBk2 g)dM = 0,
M
isto é,
Z
Z
kBk2 gdM.
dM = −
nH
M
M
Multiplicando a equação acima por H, segue-se que
Z
Z
2
kBk2 gdM.
nH
dM = −H
(3.10)
M
M
Seja f = gH + 1. Substituindo f em (3.9), tem-se
Z
f dM = 0.
(3.11)
M
Então, pelo Lema 2.2.1, existe uma variação normal que preserva volume, fixa o bordo
e tal que f N é seu vetor variacional. Assim, pelo Teorema 2.2.1, temos
Z
00
JM (0)(f ) =
(−f ∆f − kBk2 f 2 )dM.
(3.12)
M
Agora, afirmamos que
−f ∆f − kBk2 f 2 = nH 2 f − kBk2 f.
(3.13)
Com efeito,
−f ∆f − kBk2 f 2 = −(gH + 1)H∆g − kBk2 (H 2 g 2 + 2Hg + 1).
Logo, usando (3.2) na igualdade acima, obtemos
−f ∆f − kBk2 f 2 = −(H 2 g + H)(−nH − kBk2 g) − kBk2 (H 2 g 2 + 2Hg + 1)
= nH 3 g + nH 2 + kBk2 H 2 g 2 + kBk2 Hg − kBk2 H 2 g 2 − 2 kBk2 Hg − kBk2
= nH 2 (gH + 1) − kBk2 (gH + 1)
= nH 2 f − kBk2 f.
Portanto provamos a afirmação.
Daı́, substituindo (3.13) em (3.12) vamos obter que
40
00
JM
(0)(f ) =
Z
2
2
(nH f − kBk f )dM = nH
M
2
Z
Z
f dM −
M
kBk2 f dM.
M
Sabemos por (3.11) que f tem média zero, então
Z
00
JM (0) = −
kBk2 f dM.
M
Como x é estável e f ∈ =D , temos, pelo Corolário 2.2.1, que
00
JM (0)(f ) ≥ 0.
Logo
Z
−
Z
2
kBk2 (gH + 1)dM ≥ 0.
kBk f dM = −
M
M
Ou seja,
Z
−
Z
2
kBk gHdM ≥
M
kBk2 dM.
(3.14)
M
Substituindo (3.14) na expressão (3.10) segue-se
Z
Z
Z
2
2
nH
dM = −
kBk gHdM ≥
kBk2 dM.
M
M
M
Agora, pelo Lema 1.0.2, obtemos
Z
Z
Z
2
2
2
kBk dM ≥ nH
dM,
nH
dM ≥
M
M
M
o que implica
nH
2
Z
Z
dM =
kBk2 dM.
M
M
Além disso, pelo Lema 1.0.2, x é uma imersão umbı́lica em todos os pontos. Usando
o fato de M n ser compacta, temos que x(M n ) ⊂ Rn+1 é uma esfera geodésica.
41
Apêndice
O Primeiro Autovalor do Laplaciano na Esfera
Neste apêndice, vamos determinar o primeiro autovalor não-nulo, λ1 (Sn (1)), n > 1,
para o problema
∆f + λf = 0
(3.15)
na esfera Sn (1).
Tal λ1 será determinado usando o seguinte resultado:
Seja f ∈ C 3 (M ), onde M é uma variedade Riemanniana. Então
1
∆(|gradf |2 ) = |Hessf |2 + hgradf, grad∆f i + Ric(gradf, gradf ),
2
onde grad f denota o gradiente de f , Hess f é a Hessiana de f e Ric é a curvatura de
Ricci.
A equação acima é a conhecida Fórmula de Bochner-Lichnerowicz e sua
demonstração pode ser encontrada em [9] na p.15.
O próximo teorema explicita o primeiro autovalor λ1 não-nulo do Laplaciano na esfera
unitária.
Teorema 3.0.3. Seja λ1 o primeiro autovalor de Sn (1). Então λ1 (Sn (1)) = n.
Demonstração. Integrando sobre Sn (1) a fórmula de Bochner-Lichnerowicz, temos
1
2
Z
2
Z
|Hessf |2 + hgradf, grad∆f i + Ric(gradf, gradf ) dM.
∆(|gradf | )dM =
Sn (1)
Sn (1)
Aplicando o Teorema de Green, obtemos que
Z
|Hessf |2 + hgradf, grad∆f i + Ric (gradf, gradf ) dM = 0.
Sn (1)
Visto que
n
X
n
X
1
|Hessf | =
fij2 ≥
fii2 ≥
n
i=1
i,j=1
2
então
42
n
X
i=1
!2
fii
,
(3.16)
|Hessf |2 ≥
(∆f )2
.
n
(3.17)
Por outro lado, na esfera Sn (1), temos
( n−1
)
X
Ric (gradf, gradf ) =
K(ej , en ) |gradf |2 = (n − 1) |gradf |2 ,
(3.18)
i=1
onde {e1 , ..., en } é uma base de Tp Sn (1), en =
gradf
e K(ej , en ) representa a curvatura
|gradf |
seccional.
Agora, usando a condição ∆f + λf = 0 em Sn (1) e substituindo as expressões (3.17)
e (3.18) em (3.16), vemos que
λ2
n
Z
2
Z
f dM − λ
Sn (1)
Z
2
|gradf | dM + (n − 1)
Sn (1)
|gradf |2 dM ≤ 0.
Sn (1)
Integrando sobre Sn (1) a igualdade ∆f 2 = 2f ∆f + 2 |gradf |2 , temos
Z
Z
2
∆f dM =
2f ∆f + 2 |gradf |2 dM.
Sn (1)
Sn (1)
Aplicando o Teorema de Green na expressão acima, obtemos
Z
Z
|gradf |2 dM.
f ∆f dM =
−
Sn (1)
Sn (1)
Utilizando novamente o fato do ∆f + λf = 0, vemos que
Z
Z
2
λ
f dM =
|gradf |2 dM.
Sn (1)
Sn (1)
Dessa forma, usando a desigualdade (3.19), observamos que
Z
Z
Z
λ2
2
2
2
f dM − λ
f dM + (n − 1)λ
f 2 dM ≤ 0
n Sn (1)
Sn (1)
Sn (1)
Z
λ (λ − nλ + (n − 1)n)
f 2 dM ≤ 0
Sn (1)
Z
f 2 dM ≤ 0
λ (−λ(n − 1) + (n − 1)n)
Sn (1)
Z
f 2 dM ≤ 0.
λ(n − λ)(n − 1)
Sn (1)
Logo
n − λ ≤ 0.
43
(3.19)
Daı́, concluı́mos que λ ≥ n.
Agora, vamos exibir uma autofunção f , não-constante, para o problema (3.15) tal
que λ = n.
Inicialmente, seja F : Rn+1 −→ R a função definida por
F (x1 , ..., xn+1 ) = x1 + ... + xn+1 .
Notemos que, dados f : Sn (r) −→ R uma função e k um inteiro não-negativo, F pode
ser escrita como
F (x) = rk f (ξ),
(3.20)
onde r = 1 e f = F |Sn .
O Laplaciano em Rn+1 de (3.20) é dado por
∆Rn+1 F = rk−2 {∆Sn f + k (k + n − 1) f } .
A Demonstração da equação acima pode ser vista, por exemplo, em [4] na p.35.
Daı́, para k = 1, tem-se
∆Rn+1 F = ∆Sn f + nf.
Visto que F é harmônica, pois ∆Rn+1 F = 0, temos que f é uma autofunção associada
ao autovalor λ. Portanto,
λ1 (Sn (1)) = n.
44
Referências Bibliográficas
[1] BARBOSA, J. L. & DO CARMO, M. Stability of hypersurfaces with constant mean
curvature. Mathematische Zeitschrift 185, 339-353, 1984.
[2] BARBOSA J. L., DO CARMO M. & ESCHENBURG. Stability of hypersurface of
constant mean curvature in Riemannian manifolds. Mathematische Zeitschrift 197,
123-138 (1988).
[3] BOLZA, O. Vorlesungen über Variationsrechnung. Berlin-Leipzig: Teubner, 1909.
[4] CHAVEL, I. Eigenvalues in Riemannian Geometry, volume 115, Second Edition,
Pure and Applied Mathematics Series, Academic Press, Florida, 1984.
[5] DO CARMO, M. Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, Terceira Edição,
IMPA, Rio de Janeiro, 2005.
[6] HEINTZE, E. Extrinsic upper bounds for λ1 . Mathematische Annalen 280, 389-402
(1988).
[7] HSIANG, W., TENG, Z & YU, W. New examples of constant mean curvature immersions of (2k − 1)-spheres into euclidean 2k-space. Annals of Mathematics 117,
609-625 (1983).
[8] MORI, H. Stable complete constant mean curvature surfaces in R3 and H3 . Transactions of the American Mathematical Society 278, No 2, 671-687 (1983).
[9] SCHOEN, R. & YAU, S. Lectures on Differential Geometry. Vol. 1, International
Press Inc, Boston, 1994.
[10] SILVEIRA, A. Stability of complete noncompact surfaces with constante mean curvature. Mathematische Annalen 277, 629-638 (1987).
[11] WENTE, H. A note on the stability theorem of J.L. Barbosa and M. do Carmo for
closed surfaces of constant mean curvature . Pacific Journal of Mathematics 147,
No 2, 375-379 (1991).
45
Índice Remissivo
Área, 19
Campo de Jacobi, 36
Curvatura
Média, 10
Principal, 11
Domı́nio Estável, 33
Equação de Jacobi, 36
Fórmula
da Primeira Variação, 23
de Bochner-Lichnerowicz, 42
de Minkowski, 38
Imersão Estável, 33
Média Zero, 25
Referencial Geodésico, 13
Segunda Forma Fundamental, 10
Variação
da imersão, 18
normal, 18
bordo fixo, 18
preserva volume, 20
vetor, 18
Volume, 19
Primeira Variação, 24
46
