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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA UFAL-UFBA
MARLON CESAR SANTOS OLIVEIRA
UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO PARA FERRADURAS
PARCIALMENTE HIPERBÓLICAS
Maceió
2017
MARLON CESAR SANTOS OLIVEIRA
UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO PARA FERRADURAS
PARCIALMENTE HIPERBÓLICAS
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de
Pós-graduação em Matemática UFBA-UFAL
da Universidade Federal de Alagoas, como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor
em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Krerley Irraciel Martins
Oliveira.
Maceió
2017
O48u
Oliveira, Marlon Cesar Santos.
Unicidade de estados de equilíbrio para ferraduras parcialmente hiperbólicas /
Marlon Cesar Santos Oliveira. – 2017.
39 f.
Orientador: Krerley Irraciel Martins Oliveira..
Tese (Doutorado em Matemática) – Doutorado Interinstitucional UFBA/UFAL.
Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Matemática. Programa de
Pós-Graduação em Matemática. Maceió, 2017.
Bibliografia: f. 37-39.
1. Ferraduras. 2. Estados de equilíbrio. 3. Hölder continuidade. 4. Esquema
induzido. 5. Shift enumerável. I. Título.
CDU: 517.93
À minha família
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus.
A minha família pelo apoio e incentivo dado durante essa jornada.
Ao professor Krerley Oliveira pela orientação e aos membros da banca.
A todos os professores que fizeram parte de minha vida acadêmica.
Enfim, a todos amigos e colegas que estiveram comigo nessa etapa, meus sinceros agradecimentos.
Agradeço a CAPES pelo suporte financeiro.
RESUMO
Nesta tese nós mostramos a unicidade de estados de equilíbrio para uma família de ferraduras
parcialmente hiperbólicas consideradas em [9] e com respeito a uma classe de potenciais Hölder
contínuos e hiperbólicos. O método usado consiste em construir um sistema simbólico com
infinitos símbolos, mostrar que o potencial induzido é Hölder e recorrente e fazer o uso da teoria
de Sarig para shifts enumeráveis. Além disso provamos a unicidade de medidas de máxima
entropia para a classe de ferraduras introduzida em [8].
Palavras-chaves: Ferraduras; Estados de equilíbrio; Hölder continuidade; Esquema induzido;
Shift enumerável.
ABSTRACT
In this work we show the uniqueness of equilibrium state for a family of partially hyperbolic horseshoes introduced by [9] associated to a class of hyperbolic Hölder continous
potentials. The method used here is to build a symbolic system with infinitely many symbols,
show that the induced potential is Hölder and recurrent and make use of Sarig’s theory for
countable shifts. Moreover, we prove the uniqueness of maximal entropy measures for a class
of horseshoes intruduced by [8].
Keywords: Horseshoe; Equilibrium state; Hölder continuity; Inducing scheme; Countable shift.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 DEFINIÇÕES E RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Ferraduras parcialmente hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Construção de um esquema induzido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Formalismo do shift enumerável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Prova do teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Exemplos de potenciais admissíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 OUTRAS FERRADURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Ferraduras porco-espinho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
4
4
6
12
12
14
16
20
26
26
29
2
1 INTRODUÇÃO
O Formalismo Termodinâmico é uma área da Teoria Ergódica que usa métodos de Mecânica Estatística para analisar o comportamento de sistemas dinâmicos caóticos. O principal
ingrediente é o princípio variacional, que consiste na relação entre a energia do sistema associada com um potencial contínuo φ e o invariante topológico Ptop (φ ), que chamamos de pressão
topológica. Em outras palavras
Z
Ptop (φ ) := sup hµ (F) + φ dµ ,
(1.1)
onde o supremo é tomado sobre todas as medidas de probabilidade F-invariantes.
Um dos objetivos do Formalismo Termodinâmico é o estudo das medidas que realizam
o supremo do princípio variacional, e uma medida assim é chamada de estado de equilíbrio (em
particular, se φ ≡ 0 nós chamamos medida de máxima entropia).
Compreender o Formalismo Termodinâmico além do contexto uniformemente hiperbólico é uma tarefa desafiadora e difícil no estudo da Teoria Ergódica de aplicações diferenciáveis.
Recentemente, alguns autores obtiveram progressos importantes com respeito a unicidade de
estados de equilíbrio (veja [4], [5], [6], [13], [15], [22], [23], [24] e [27] como referências de alguns resultados), sendo a maioria sobre medidas de máxima entropia, aplicações não invertíveis
ou então exemplos com aplicações e potenciais específicos.
Por outro lado, inúmeros resultados foram obtidos sob a estrutura de aplicações parcialmente hiperbólicas. Esses resultados descrevem a estrutura e a prevalência dessas aplicações em
alguns cenários e fornecem uma boa extensão da teoria hiperbólica clássica. No entanto, existem poucos resultados com relação a unicidade de estados de equilíbrio para potenciais Hölder
contínuos e sobre o fenômeno de transição de fase no contexto parcialmente hiperbólico.
O resultado principal desta tese é sobre o Formalismo Termodinâmico de uma família
de ferraduras parcialmente hiperbólicas F, introduzida por Diaz et al em [9]. Essas aplicações
estão simultaneamente no bordo dos sistemas uniformemente hiperbólicos e no conjunto dos
sistemas persistentemente não hiperbólicos. Além disso, dessas aplicações possuem ciclo heterodimensional e também são semi-conjugadas a um subshift de tipo finito.
Em [12] foi mostrado que estados de equilíbrio para a aplicação ferradura F sempre
existem para potencias contínuos. Sobre a unicidade, mostraram que em C0 (Λ) existe um conjunto residual de potenciais que admitem um único estado de equilíbrio. Verificaram também
que para potenciais Hölder contínuos a unicidade não necessariamente é garantida. De fato,
provaram que a família de potenciais C∞ dados por φt = t log |DF|E c | tem uma transição de
fase, i.e., pelo menos dois estados de equilíbrio.
Em [1], considerando potenciais constantes ao longo da direção centro-estável, os autores mos-
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
3
traram a unicidade de estados de equilíbrio. O resultado foi obtido reduzindo o estudo ao formalismo termodinâmico do subshift, isto é, fazendo o uso da unicidade de estados de equilíbrio
obtida em [2].
Rios e Siqueira em [23] consideraram uma família de sistemas não-uniformemente expansores obtidos a partir da ferradura F através da projeção de sua inversa ao longo de dois
planos centro-estáveis. Eles mostram a unicidade de estados de equilíbrio com respeito aos potenciais definidos no plano e com variação pequena, seguindo argumentos similares aos feitos
em [17]. Usaram a aplicação projeção para transferir os resultados para a ferradura original
e potenciais constantes na direção instável e com variação pequena. Em [21] esse resultado
foi melhorado, retirando a condição sobre a direção e além disso, foram obtidas propriedades
estatísticas do estado de equilíbrio.
Neste trabalho mostramos a unicidade de estados de equilíbrio para a ferradura F através
de uma abordagem diferente de [1, 21, 23] e com respeito a uma classe de potenciais Hölder
contínuos.
O segundo capítulo está dividido em duas seções. Na primeira seção definimos precisamente a família de ferraduras e os resultados obtidos sobre a mesma em [9]. A segunda seção
contém os resultados anteriores sobre as propriedades ergódicas de F obtidas em [1, 21, 23].
Na mesma seção fazemos o estudo dos expoentes de Lyapunov na direção central dos estados
de equilíbrio relativos à classe de potencias considerada. Por fim, apresentamos o resultado
principal.
No terceiro capítulo demonstramos o teorema principal. Esse capítulo está dividido em
quatro seções. Na primeira seção construímos um esquema induzido que será usado para a recodificação da dinâmica em um shift enumerável. Na segunda seção apresentamos os resultados
sobre o formalismo dos shifts enumeráveis que serão utilizados. Na terceira seção demonstramos o teorema principal. Na última seção apresentamos um exemplo de potencial que satisfaz
nossas condições e não está incluso nas classes de potenciais dos trabalhos anteriores.
No quarto capítulo provamos a unicidade de medidas de máxima entropia para as ferraduras porco-espino, que foram introduzidas em [8].
4
2 DEFINIÇÕES E RESULTADOS
Neste capítulo definimos precisamente a família de ferraduras parcialmente hiperbólicas
e também apresentamos alguns resultados já existentes sobre as características dessas aplicações
e suas propriedades ergódicas. Fazemos o estudo dos expoentes de Lyapunov na direção central
dos estados de equilíbrio associados à classe de potenciais que iremos considerar neste trabalho
e também apresentamos o resultado principal.
2.1
Ferraduras parcialmente hiperbólicas
Seja f : M → M um difeomorfismo sobre uma variedade diferenciável compacta e sem
bordo M. Um subconjunto K ⊂ M compacto e invariante é parcialmente hiperbólico para f se
existem uma métrica riemanniana em M e uma decomposição contínua e DF-invariante TK M =
E s ⊕ E c ⊕ E u do fibrado tangente sobre K tal que para x ∈ M e vetores unitários v* ∈ E * (x),
* = s, c, u são satisfeitas as seguintes propriedades
1. ||Dx f (vs )|| < 1 e ||Dx f (vu )|| > 1,
2. ||Dx f (vs )|| < ||Dx f (vc )|| < ||Dx f (vu )||.
O fibrado central pode admitir desenvolvimento contrativo ou expansor, mas deve ter taxas mais
fracas do que o desenvolvimento nas direções E s e E u respectivamente.
Em [9] os autores construíram uma família de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos que
definiremos abaixo em dimensão 3, mas os resultados são válidos para dimensões maiores.
Considere em R3 o cubo R = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] e os retângulos
R0 := I × I × [0, 1/6]
e
R1 := I × I × [5/6, 1],
onde as constantes são 0 < λ0 < 31 , β0 > 6, 0 < σ < 13 e 3 < β1 < 4.
Seja f o tempo 1 do campo de vetores y′ = (1 − y)y, definida por
f n (y) =
1
,
1 − (1 − 1/y)e−n
para todo n ∈ Z e y ̸= 0. A família de aplicações ferraduras F : R → R3 é definida por
F0 (x, y, z) = (λ0 x, f (y), β0 z),
sempre que (x, y, z) ∈ R0 e
F1 (x, y, z) = (3/4 − λ0 x, σ (1 − y), β1 (z − 5/6)) ,
5
Capítulo 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS
para (x, y, z) ∈ R1 . Os pontos X ∈ R − R0 ∪ R1 são enviados injetivamente fora de R.
Observe que f (0) = 0 e f (1) = 1, logo os pontos Q = (0, 0, 0) e P = (0, 1, 0) são selas
hiperbólicas com índices1 2 e 1 respectivamente.
Em [9] os autores mostraram que o conjunto maximal invariante de F
Λ=
\
F n (R),
n∈N
é parcialmente hiperbólico e tem ciclo heterodimensional. De fato, Λ contém as selas Q e P que
possuem índices diferentes e satisfazem a condição de ciclo
W s (P) ∩W u (Q) ̸= 0/ e W s (Q) ∩W u (P) ̸= 0.
/
A classe homoclínica de P, definida por H(P, F) = W s (P) ∩W u (P), coincide com Λ e a classe
homoclínica de Q é trivial, ou seja,
{Q} = H(Q, F) ⊂ H(P, F) = Λ.
Seja Σ11 o subshift de tipo finito
n
o
Σ11 = w = (wk )k∈Z ; wk wk+1 ̸= 11 .
Em [9] também foi provado que existe uma sobrejeção contínua h : Λ → Σ11 dada por
h(X) = (wk )k∈Z ,
onde F k (X) ∈ Rwk para todo k ∈ Z e também satisfaz h ∘ F = σ ∘ h. Em outras palavras, a
aplicação F|Λ é semi-conjugada ao subshift de tipo finito σ : Σ11 → Σ11 . Esses resultados são
sintetizados no seguinte teorema:
Teorema 2.1. ([9], Teorema 1) Considere F : R → R3 a aplicação ferradura, então
1. O difeomorfismo F tem um ciclo heterodimensional associado às selas P e Q. Além disso,
existe uma interseção não-transversal entre W s (Q, F) e W u (P, F) cuja órbita está contida
em H(P, F).
2. A classe homoclínica de Q é trivial e está contida na classe homoclínica de P. Em particular, H(P, F) é não hiperbólica.
3. Existe uma sobrejeção contínua
h : Λ → Σ11
com
h ∘ F = σ ∘ h.
Além disso existem infinitos segmentos centrais não-triviais J = {x} × [a, b] × {z} contidos na classe homoclínica H(P, F) e são tais que h é constante nos mesmos.
1
O índice de um ponto periódico hiperbólico é a dimensão da sua variedade instável.
6
Capítulo 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS
Dado um ponto X = (xs , xc , xu ) ∈ Λ, nós consideramos a variedade central tangente ao
subespaço central E c em X por
W c (X) := {(xs , y, xu ); y ∈ [0, 1]} .
Considere o conjunto invariante
Λ̂ := {X ∈ Λ ; Λ ∩W c (X) = {X}},
e sua imagem Σ := h(Λ̂).
Dessa forma, temos que a restrição h : Λ̂ ⊂ Λ → Σ é injetiva e se X ∈ Λ̂c , então Λ contém
um segmento não trivial de W c (X) que é colapsado por h em um único ponto. O conjunto Λ̂c
pode ser composto por uma união não enumerável e disjunta desses segmentos. Além disso, os
conjuntos Λ̂ e Λ̂c são densos em Λ.
2.2
Resultados
Considere F : Λ → Λ a aplicação ferradura definida na seção anterior e MF (Λ) o espaço
das medidas de probabilidade F-invariantes em Λ. Dada uma medida µ em MF (Λ) ergódica,
nós definimos seu expoente de Lyapunov central como
λµc =
Z
log |DF|E c | dµ.
Em nosso caso E c é unidimensional, então pelo teorema ergódico de Birkhoff
1
log |DF|En c (X)|,
n→∞ n
λµc = lim
para µ quase todo ponto X ∈ Λ.
O estudo das propriedades ergódicas da aplicação F teve início em [12], onde os autores
provaram que toda medida invariante é hiperbólica, ou seja, que µ quase todo ponto possui
expoente de Lyapunov diferente de zero. Também foi mostrado que existe um gap no conjunto
dos expoentes de Lyapunov na direção central. Além disso, provaram que todo ponto recorrente
diferente de Q e P pertence a Λ̂. Como consequência desses resultados, mostraram que a função
µ → hµ (F),
é semi-contínua superiormente em MF (Λ) e assim garantindo a existência de estados de equilíbrio para todo potencial contínuo e também unicidade para um conjunto residual de potenciais
em C0 (Λ).
Mais precisamente, eles mostraram
Teorema 2.2. ([12], Teoremas 2.1 e 2.2 , Proposição 3.3)
Considere F a aplicação ferradura parcialmente hiperbólica. Então
7
Capítulo 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS
1. Para qualquer ponto recorrente X diferente de Q:
1
lim inf log |DF n (X)|E c | ≤ 0.
n→+∞ n
Além disso, qualquer medida invariante ergódica para F diferente de δQ tem expoente de
Lyapunov central negativo.
2. Seja X um ponto em Λ. Se existe algum número inteiro positivo k tal que h(F n (X)) pertence ao cilindro2 [10...0
|{z}1] para infinitos n ∈ Z, então
k
Λ ∩W c (X) = {X}.
3. Qualquer função contínua φ : Λ → R admite algum estado de equilíbrio. Além disso,
existe um conjunto residual de funções em C0 (Λ) tal que o estado de equilíbrio é único.
Note que se µ é uma medida invariante ergódica tal que µ(R1 ) = 0, logo por invariância
do suporte e também como suppµ ⊂ R0 , temos que suppµ deve estar contido em {0} × [0, 1] ×
{0}, pois qualquer outro ponto eventualmente em alguma iteração estará fora de R0 . Dessa
maneira, como qualquer ponto em {0} × [0, 1] × {0} é atraído para P, a medida µ deve ser δQ ou
δP . Caso µ seja qualquer medida invariante tal que µ(R1 ) = 0, pelo teorema da decomposição
ergódica, concluímos que µ deve ser uma combinação convexa dessas duas medidas de Dirac.
Nós acabamos de mostrar o seguinte lema :
Lema 2.1. Considere uma medida µ ∈ MF (Λ) tal que µ(R1 ) = 0. Então ou µ é uma das
medidas de Dirac nos pontos P e Q ou é uma a combinação convexa dessas medidas.
Observação 2.1. Como consequências dos resultados anteriores, uma vez que
√
1+ 5
> 0,
htop (F) = log
2
nós temos que µmax , a única medida de máxima entropia de F, satisfaz µmax (R1 ) > 0. Além
disso, se µ é uma medida invariante ergódica tal que µ(R1 ) > 0, então pelo Teorema 2.2 temos
que µ(Λ̂) = 1.
No contexto uniformemente hiperbólico, a Hölder continuidade é uma condição suficiente sobre o potencial para obter a unicidade de estados de equilíbrio, mas em [12] os autores
mostraram que propriedade de Hölder continuidade não é uma condição suficiente para garantir
a unicidade para a ferradura F. Eles mostraram que a família de potencias Hölder contínuos
φt = t log |DF|E c | possui transição de fase.
Teorema 2.3 ([12], Teorema 2.3). Seja φt a família a 1-parâmetro de potenciais C∞ (Λ) dados
por φt (X) = t log |DF(X)|E c |. Então existe um número real positivo t0 tal que:
2
Um cilindro [i0 ...ik ] é um subconjunto de Σ11 formado pelas sequências w = (wn )n∈Z tais que w0 = i0 , w1 =
i1 , ..., wk = ik .
8
Capítulo 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS
1. Para t > 0 a medida de Dirac δQ é o único estado de equilíbrio.
2. Para t < t0 , qualquer estado de equilíbrio para φ tem expoente de Lyapunov na direção
central negativo. Em particular, essa medida é singular com respeito à medida δQ .
3. Para t = t0 , a medida δQ é um estado de equilíbrio para φt . Além disso, existe pelo menos
um outro estado de equilíbrio, singular com respeito à medida δQ .
Posteriormente em [1], considerando os chamados u-potenciais, isto é, os potenciais
Hölder contínuos φ : Λ → R que satisfazem
φ (x, y, z) = φ (z),
provaram a unicidade de estados de equilíbrio. Usaram a semi-conjugacão h para reduzir a análise ao subshift, considerando o potencial h* φ , que está bem definido (aqui foi usado condição
sobre as coordenadas) e além disso é localmente Hölder contínuo, dessa forma pelo resultado
clássico de Bowen (veja em [2], Teorema 1.22), obtiveram unicidade de estados de equilíbrio
para o subshift. Por fim mostraram que as fibras obtidas da semi-conjugação não contribuem
para a pressão topológica, assim sendo possível estender a unicidade para a aplicação F com
respeito a φ .
Em [23] foi introduzida uma família de aplicações obtidas através da projeção de F −1
nos planos centro-estáveis
P0 = [0, 1] × [0, 1] × {0}
P1 = [0, 1] × [0, 1] × {5/6}.
e
As aplicações são definidas nos retângulos
R0 = [0, λ0 ] × [0, 1] × {0},
R1 = [3/4 − λ0 , 3/4] × [0, σ ] × {0},
R2 = [0, λ0 ] × [2, 3] × {5/6},
pelas respectivas restrições Gi
G1 (x, y, z) = (λ0−1 x, f0−1 (y), 0),
G2 (x, y, z) = (λ0−1 (3/4 − x), 1 − σ −1 y, 5/6),
G3 (x, y, z) = (λ0−1 x, f0−1 (y), 0).
Dessa maneira, as aplicações G :
S3
i=1 Ri → P0 ∪ P1 restritas aos subconjuntos
ΛG =
\
n∈N
−n
G (
3
[
Ri ),
i=1
são semi-conjugadas a um subshift de tipo finito σ : ΣA → ΣA .
Eles obtêm o seguinte resultado sobre estados de equilíbrio dessa aplicação:
9
Capítulo 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS
Teorema 2.4. ([23], Teorema A) Sejam G : ΛG → ΛG a aplicação definida acima e φ : ΛG → R
um potencial Hölder contínuo que satisfaz
Var(φ ) := sup φ − inf φ <
onde ω =
log ω
,
2
(2.1)
√
1+ 5
. Então existe um único estado de equilíbrio para φ .
2
Uma vez que G é uma aplicação não-uniformemente expansora, os autores utilizam o
operador de transferência para obter o estado de equilíbrio seguindo argumentos similares aos
feitos em [17]. Como consequência do Teorema 2.4, os autores constroem um estado de equilíbrio para a aplicação ferradura F com respeito aos potenciais Hölder contínuos que dependem
apenas da direção centro-estável, e consequentemente essa medida será a única maximizante.
Teorema 2.5 ([23], Teorema C). Sejam F a ferradura parcialmente hiperbólica e φ : R → R um
potencial Hölder contínuo que satisfaz (2.1). Se φ não depende da coordenada z em R0 ∪ R1 ,
então existe um único estado de equilíbrio para F com respeito ao potencial φ .
Dizemos que duas funções φ , φ̃ : Λ → R são homólogas a F, se satisfazem
φ − φ̃ = u ∘ F − u,
para alguma função contínua u : Λ → R. Uma propriedade importante dessas funções é que elas
possuem os mesmos estados de equilíbrio.
Em [21] é feita uma generalização do Teorema 2.5. É mostrado que todo potencial
Hölder contínuo possui um homólogo que não depende da coordenada instável, assim sendo
possível obter a unicidade de estados de equilíbrio para potenciais com variação pequena.
Agora, nós introduzimos a classe de potenciais que será considerada em nosso resultado
principal.
Definição 2.1. Dizemos que um potencial Hölder contínuo φ : Λ −→ R é admissível com respeito a F se satisfaz
(C1 ) O induzido do potencial ϕ := φ ∘ h−1 é localmente Hölder (com respeito a uma indução
que apresentaremos no próximo capítulo).
(C2 ) Existe um número natural n ∈ N tal que
φn (X)
,
n
X∈Λ
Ptop (φ ) > sup
k
onde φn (X) = ∑n−1
k=0 φ (F (X)).
Sejam φ um potencial que satisfaz a condição (C2 ) e o potencial ψ = φn /n. Uma vez
que Ptop (ψ) = Ptop (φ ) e os conjuntos dos estados de equilíbrio de ψ e φ coincidem, podemos
assumir sem perda de generalidade que n = 1.
10
Capítulo 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS
Observação 2.2. Não é de difícil verificação que todo u-potencial satisfaz a condição (C1 ).
Além disso, todos os potenciais φ tais que sup |φ | é suficientemente pequeno satisfazem a condição (C2 ) (como exemplo temos os potenciais que satisfazem (2.1)).
A seguir nós obtemos informações sobre os expoentes de Lyapunov na direção central
dos estados de equilíbrios associados aos potenciais admissíveis.
Primeiramente, enunciamos abaixo um resultado fundamental da teoria ergódica que
será usado posteriormente:
Teorema 2.6 (Teorema da Decomposição Ergódica). Sejam X um espaço métrico compacto,
T : X → X uma aplicação contínua e sobrejetiva e uma medida µ ∈ MT (X). Então, existem
um conjunto mensurável X̃ com µ(X̃) = 1, uma partição mensurável P de X̃, uma família de
medidas de probabilidade {µP : P ∈ P} e uma probabilidade µ̂ sobre P tais que
∙ µP (P) = 1 para µ̂-q.t.p P ∈ P;
∙ A função P ↦→ µP (A) é mensurável para todo conjunto mensurável A;
∙ µP é invariante e ergódica para µ̂-q.t.p P ∈ P;
R
∙ µ(A) = µP (A) d µ̂ para todo conjunto mensurável A.
Para a demonstração do teorema veja [16].
Proposição 2.1. Se µ é um estado de equilíbrio associado a φ , então λµc < 0.
Para a prova da proposição precisamos do seguinte resultado:
Lema 2.2. Sejam F a aplicação ferradura e φ : Λ → R um potencial admissível com respeito
a F. Então qualquer estado de equilíbrio é singular com respeito a medida δQ .
Demonstração. A propriedade (C2 ) implica que a medida δQ não pode ser um estado de equilíbrio. Nós supomos por contradição que exista um estado de equilíbrio µ tal que µ({Q}) > 0.
Portanto, do teorema da decomposição de medidas, existe uma medida invariante ν, singular
com respeito a δQ tal que
µ = µ({Q})δQ + (1 − µ({Q}))ν.
R
Além disso, φ dδQ = φ (Q) e uma vez que a função entropia métrica com respeito à medida é
afim, temos
Z
Ptop (φ , F) = hµ (F) +
φ dµ
Z
= µ({Q})φ (Q) + (1 − µ({Q})) hν (F) + φ dν
Z
< µ({Q})Ptop (φ ) + (1 − µ({Q})) hν (F) + φ dν ,
11
Capítulo 2. DEFINIÇÕES E RESULTADOS
R
logo Ptop (φ , F) < hν (F) + φ dν, o que contradiz (1.1).
Prova da Proposição 2.1. Sejam µ um estado de equilíbrio com respeito a φ e {µξ }ξ ∈T1 a família de medidas ergódicas obtida do Teorema 2.6. Pelo Lema 2.2, temos µ({Q}) = 0, portanto
para Lebesgue quase todo ponto ξ ∈ T1 acontece µξ ({Q}) = 0. Usando o Corolário 3.6 de [12]
R
concluímos que log |DF|E c |dµξ < 0 para cada ξ , então
λµc
Z
log |DF|E c | dµ
Z Z
=
log |DF|E c | dµξ dµ
:=
T1
< 0.
Note que para obter os resultados acima, nós usamos apenas a condição (C2 ). A condição (C1 ) será necessária para obter a unicidade de estados de equilíbrio.
Teorema Principal. Considere F : Λ −→ Λ a aplicação ferradura e um potencial φ : Λ −→ R
admissível com respeito a F. Então existe um único estado de equilíbrio µ associado a φ .
A estratégia para demonstração do teorema principal consiste em:
∙ Supomos que existem dois estados de equilíbrio ergódicos distintos µ1 e µ2 com respeito
a um potencial Hölder contínuo φ e que não são medidas de Dirac (δQ e δP ).
∙ Reduzindo a análise ao subshift, consideramos as medidas ν1 e ν2 em Σ11 que são os
push forward dos estados de equilíbrio pela semi-conjugação h. Consideramos o potencial
ϕ = h* φ , que não necessariamente está definido em Σ11 e além disso pode não ser regular.
∙ Considerando um subconjunto Σα que tem medida total com respeito às medidas ν1 e
ν2 , nós definimos a aplicação induzida T = σ ρ e um potencial induzido ϕρ relacionado
a ϕ. Nós provamos que o sistema (T, ϕρ , Σα ) é equivalente a um shift total relativo a um
alfabeto enumerável (σ , SZ , Ψ).
∙ Nós provamos que o potencial Ψ é localmente Hölder contínuo e limitado. Usando o
formalismos termodinâmico para shift enumerável de Sarig, nós mostramos também que
existe um único estado de equilíbrio para Ψ.
∙ Finalmente, pela equivalência entre os sistemas (T, ϕρ , Σα ) e (σ , SZ , Ψ) nós obtemos a
unicidade de medidas de equilíbrio para (T, ϕρ , Σα ). Para finalizar, provamos que ambas
as medidas ν1 e ν2 são levantáveis com respeito a um sistema induzido e seus levantamentos também são estados de equilíbrio, então pela unicidade obtida antes, nós concluímos
que ν1 = ν2 e consequentemente µ1 = µ2 .
12
3 UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO
Neste capítulo demonstramos o nosso resultado principal.
3.1
Construção de um esquema induzido
A seguir construímos um esquema induzido que admite uma representação simbólica
com respeito a um alfabeto infinito enumerável.
Para cada n e w ∈ Σ11 considere
dn+ (w) =
]{k ; wk = 1, 0 ≤ k ≤ n − 1}
n
dn− (w) =
e
]{k ; w−k = 1, 0 ≤ k ≤ n − 1}
.
n
Dada uma constante α > 0 nós consideramos o subconjunto
Σα = {w ∈ [1]; lim dn+ (w) > α e lim dn− (w) > α}.
n
n
(3.1)
O conjunto Σα é σ -invariante e composto pelas sequências com frequências de dígitos 1 maior
que α. Usando o item 2 do Teorema 2.2, temos que para qualquer w ∈ Σα o conjunto h−1 (w)
consiste de um único ponto, assim obtemos Σα ⊂ h(Λ̂).
Definimos em Σα a função α-retorno ρ : Σα → N por
ρ(w) = min{k > 1 ; wk−1 = 1 e dk+ (w) > α}.
Podemos decompor Σα em conjuntos de nível da função ρ,
Σα =
[
Σi ,
i
onde Σi é dado por Σi = {w ∈ Σα ; ρ(w) = i}. Definimos a aplicação induzida T : Σα → Σα
associada a ρ com
T (ω) = σ ρ(ω) (ω).
Considere a Torre associada a ρ, definida por
W=
[ i−1
[
σ k (Σi ).
(3.2)
i>1 k=0
R
Seja ν uma medida T -invariante, tal que ρ dν < ∞, então definimos a medida σ -invariante
L (ν)(A) :=
−1
Z
ρdν
i−1
∑ ∑ ν(σ −k (A) ∩ Σi),
i>1 k=0
para A ⊂ Σ11 , que chamaremos de medida levantada de ν.
(3.3)
13
Capítulo 3. UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO
A aplicação L que age de MT (W ) em Mσ (Σ11 ) não é necessariamente sobrejetiva.
Dada uma medida ν ∈ Mσ (Σ11 ), se existe uma medida νT tal que L (νT ) = ν, então dizemos
que ν é uma medida levantável. Nós consideramos a classe dessas medidas por
ML (σ ,W ) := {ν ∈ Mσ ; ∃ νT , L (νT ) = ν, ν(W ) = 1 }.
(3.4)
Dados um conjunto mensurável A ⊂ Σ e um inteiro i > 1, nós definimos
e(i, A) :=
]{0 ≤ k ≤ i − 1; σ k (Σi ) ∩ A ̸= 0}
/
.
i
O próximo resultado nos dá condições para verificar quando uma medida é levantável.
Teorema 3.1 ([19], Teorema 3.1). Uma medida σ -invariante e ergódica ν, que satisfaz ν(Σα ) >
0, é levantável se existem um número N ≥ 0 e subconjunto A ⊂ Σ tal que
ν(A) > sup e(i, A).
i>N
Considere um potencial ϕ : Σ → R. Nós definimos ϕρ : Σα → R o potencial induzido
de ϕ por
i−1
ϕρ (w) := ∑ ϕ(σ k (w)),
(3.5)
k=0
sempre que w ∈ Σi .
As fórmulas generalizadas de Abramov-Kač fornecem relações importantes entre a entropia do
sistema original e a entropia do sistema induzido.
Proposição 3.1 (Veja [29], Teorema 5.1 e [18], Teorema 2.3). Considere uma medida νT ∈
R
MT (W ). Se ρ dνT < ∞, então
Z
hL (νT ) (σ )·
ρ dνT = hνT (T ).
R
Dados um potencial ϕ e seu induzido ϕρ , se ϕρ dνT < ∞ então
Z
Z
ϕ dL (νT )·
Z
ρ dνT =
ϕρ dνT .
Dessa maneira, definimos a quantidade
Z
PL (ϕ) :=
sup
hν (σ ) + ϕ dν ,
ν∈ML (σ ,W )
W
que chamaremos de pressão relativa. Dizemos que uma medida de probabilidade invariante é
um estado de equilíbrio relativo se realiza o supremo.
Agora, nós iremos estabelecer uma relação entre o sistema induzido e um shift enumerável.
14
Capítulo 3. UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO
Primeiramente, nós consideramos ρ−1 (w) = min{k ; dk− (w) > α} e o conjunto
Σ−k := {w ∈ Σα ; ρ−1 (w) = k}.
Note que cada Σk (e também Σ−k ) pode ser decomposto de modo único como uma união finita
e disjunta de k-cilindros, isto é,
rk
[
Σk =
Dki ,
i=1
onde Dki = [wi0 wi1 ...wik ], para alguns wik .
Definimos a aplicação que envia um cilindro em uma palavra
π̂(Dki ) = wi0 wi1 ...wik .
Considere o alfabeto formado pelos conjuntos de α-retorno, ou seja,
S = {Dki ; k ≥ 1, 1 ≤ i ≤ rk }.
Definimos a aplicação de codificação Π : SZ → Σα por amalgamação
k
Π(ŵ) = (...π̂(Dik−1 )π̂(Dkik0 )π̂(Dkik1 )...),
−1
0
1
onde ŵ = (Dkikn )n∈Z ∈ SZ .
n
A aplicação Π está bem definida e conjuga os sistemas T e σ (o shift enumerável que
age em SZ ). De fato, dada uma sequência w ∈ Σα , por definição sabemos que existe uma única
sequência ŵ = (Dkikn )n∈Z em SZ tal que σ kn−1 (w) ∈ Σkn , dessa forma nós obtemos Π(ŵ) = w.
n
3.2
Formalismo do shift enumerável
Nesta seção apresentaremos noções sobre o formalismo termodinâmico de shifts enumeráveis. As principais referências são [20], [24] e [25].
Considere S um conjunto enumerável e um potencial Ψ : SZ → R, a k-variação é definida por
Vark (Ψ) =
sup
sup
{|Ψ(ŵ) − Ψ(v̂)|},
[i−k+1 ...i0 ...ik−1 ] ŵ,v̂∈[i−k+1 ...i0 ...ik−1 ]
onde o conjunto [i−k+1 ...i0 ...ik−1 ] é chamado de cilindro e consiste de todas as sequências ŵ =
(wi )i∈Z com w−k+1 = i−k+1 , ..., w0 = i0 , ..., wk−1 = ik−1 . Nós dizemos que Ψ tem variação
somável forte se
∑ kVark (Ψ) < ∞.
k≥1
Dizemos que Ψ é localmente Hölder contínuo, se existem constantes C > 0 e a ∈ (0, 1) tais que
para todo k ≥ 1
Vark (Ψ) ≤ Cak .
15
Capítulo 3. UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO
É fácil ver que todo potencial localmente Hölder contínuo tem variação somável forte.
Seja Ψ : SZ → R um potencial localmente Hölder contínuo então a pressão de Gurevich
de Ψ é
1
PG (Ψ, a) := lim
n→∞ n
log
eΨn (ŵ) χ[a] (ŵ),
∑
n
(3.6)
σ (ŵ)=ŵ
ŵ∈[a]
k
onde χ[a] é a função indicador no cilindro [a] e Ψn (ŵ) := ∑n−1
k=0 Ψ(σ (ŵ)).
Em [24] é provado que o limite existe e não depende de a ∈ S sempre que o potencial
tem variação somável, dessa forma nós denotamos a pressão simplesmente por PG (Ψ).
Sejam Mσ (SZ ) o conjunto das medidas de probabilidade σ -invariante em SZ e o subconjunto
Z
Mσ (Ψ) := η ∈ Mσ (SZ );
Ψ dη > −∞ .
Uma medida σ -invariante ηΨ é um estado de equilíbrio para Ψ, se satisfaz
Z
Z
hηΨ (σ ) + Ψ dηΨ = sup
hη (σ ) + Ψ dη .
η∈Mσ (Ψ)
Uma medida η é Gibbs para Ψ, se existe uma constante C tal que para quaisquer cilindro
[i0 ...ik−1 ] e ŵ ∈ [i0 ...ik−1 ] temos
C−1 ≤
η([i0 ...ik−1 ])
≤ C.
e(Ψn (ŵ)−nPG (Ψ))
O próximo resultado pode ser encontrado em [20] Teorema 3.1 (veja também [24] e [25]).
Teorema 3.2. Seja Ψ : SZ → R um potencial que satisfaz supŵ∈SZ Ψ(ŵ) < +∞ e que tem variação somável forte. Então
1. acontece o princípio variacional para Ψ
PG (Ψ) =
sup
Z
hη (σ ) + Ψ dη .
η∈Mσ (Ψ)
2. se PG (Ψ) < ∞, então existe uma única medida σ -invariante ergódica e Gibbs ηΨ para
Ψ.
3. se hηΨ (σ ) < ∞, então ηΨ ∈ Mσ (Ψ) e além disso é o único estado de equilíbrio para Ψ.
Considere X uma espaço métrico, uma aplicação contínua T : X → X e uma medida
invariante µ associada a T . Dizemos que µ tem decaimento exponencial de correlação como
respeito a uma classe H de funções h : X → R, se existe 0 < θ < 1 tal que, para quaisquer
h1 , h2 ∈ H acontece
Z
h1 (T n x)h2 (x)dµ −
Z
Z
h1 (x)dµ
h2 (x)dµ ≤ Kθ n ,
16
Capítulo 3. UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO
para algum K = K(h1 , h2 ) > 0. Dizemos que µ satisfaz o Teorema do Limite Central (ou simplesmente TLC) com respeito à classe de funções H , se para qualquer h ∈ H , que não está no
cobordo (i.e h ̸= g ∘ T − g para qualquer g ), existe γ > 0 tal que
Z
Z t −τ 2
n 1 n−1
o
1
i
e 2γ 2 dτ
µ x; √ ∑ (h(T (x)) − h(x)dµ) < t → √
n i=0
γ 2π −∞
quando n → ∞.
Teorema 3.3. ([20], Teorema 3.4) Assuma que PG (Ψ), supw∈SZ (Ψ(w)) < ∞ e que Ψ tem variação somável forte. Se hηΨ (σ ) < ∞ então a medida ηΨ tem decaimento exponencial de correlações e satisfaz o TLC com respeito a classe dos potenciais localmente Hölder contínuos.
O resultado é consequência do gap espectral do operador de Ruelle obtido em [25] (ver
também [11] e [26]).
3.3
Prova do teorema principal
A prova do Teorema Principal será dividida em duas partes. A primeira parte será mostrar a unicidade de estados de equilíbrio relativo e a segunda consiste em obter a unicidade para
a aplicação ferradura.
Dados α ∈ (0, 23 ) e o esquema induzido (ρ, Σα ), obtido como na Seção 3.1. Com respeito a esse esquema induzido, mostramos a unicidade de estados de equilíbrio relativos para
uma classe de potenciais.
Teorema 3.4. Sejam ϕ : Σ → R um potencial e ϕρ o seu induzido. Se PL (ϕ) < ∞ e também
(P1 ) o potencial Ψ := ϕρ ∘ Π é localmente Hölder contínuo
(P2 ) existe um número natural n ∈ N tal que PL (ϕ) > sup ϕnn .
Então existe um único estado de equilíbrio relativo νϕ . Além disso νϕ tem decaimento exponencial de correlações e satisfaz (TCL) com respeito à classe de funções cujas induzidas associadas
são limitadas e localmente Hölder contínuas em Σα .
Demonstração. Por hipótese a pressão PL (ϕ) é finita, então o potencial induzido ϕρ = ϕ − PL (ϕ)
está bem definido. Com respeito a esse potencial temos o seguinte resultado:
Lema 3.1. Se ϕ satisfaz (P2 ), então existe uma constante ε > 0 tal que
sup eϕρ (w)+iε < ∞.
∑ i w∈Σ
i>1
i
(3.7)
17
Capítulo 3. UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO
Demonstração. Uma vez que o potencial ϕ satisfaz (P2 ), então existe ε0 > 0 tal que PL (ϕ) >
sup ϕ + ε0 , assim para P := PL (ϕ), w ∈ Σi e todo i temos
k
∑i−1
k=0 ϕ(σ (w))
− P,
−ε0 >
i
k
que implica em ∑i−1
k=0 ϕ(σ (w)) − iP < −iε0 e
eϕρ (w) < e−iε0 .
Como a estimativa é independente da sequência, então existe uma constante ε suficientemente
pequena tal que
sup{eϕρ (w)+iε ; w ∈ Σi } ≤ e−iε0 .
(3.8)
Portanto, somando a expressão (3.8) com respeito a i, nós podemos concluir:
∑ i sup{eϕρ (w)+iε ; w ∈ Σi} ≤ ∑ ie−iε0 < +∞.
i
i
Assim provamos o lema.
Considere o potencial Ψ = ϕρ ∘ Π. Pela condição (P1 ), Ψ tem variação somável forte
e satisfaz supŵ∈SZ Ψ(ŵ) < +∞, então a pressão de Gurevich PG (Ψ) está bem definida e além
disso veremos a seguir que ela é finita. De fato, dados um inteiro positivo n e um cilindro
[Dli11 ...Dlinn ] em SZ , existe uma única sequência w ∈ Π([Dli11 ...Dlinn ]) tal que T n (w) = w. Dessa
maneira, fixados a > 1 e 1 ≤ j ≤ ra , obtemos a seguinte estimativa:
!n
sup eϕρ (w)
∑ w∈Σ
i>1
=
sup eϕρ (w) ... sup eϕρ (w)
∑ Ci1...in w∈Σ
w∈Σ
i1 ,...in
i
≥
i1
sup e
∑ Ca,i2...in w∈Σ
i2 ,...in
≥
in
ϕρ (w)
w∈Σi2
a
k
∑n−1
k=0 ϕρ (T w)
∑ e
sup eϕρ (w) ... sup eϕρ (w)
w∈Σin
.
T n (w)=w
w∈Daj
Então por (3.7) e (3.10), temos
n−1
j
1
log ∑ e∑ j=0 Ψ(σ (ŵ))
n→∞ n
σ n (ŵ)=ŵ
PG (Ψ) = lim
ŵ∈[Daj ]
= lim
1
n→∞ n
log
1
≤ lim log
n→∞ n
n−1
k
e∑k=0 ϕρ (T (w))
∑
n
T (w)=w
w∈Daj
!n
sup eϕρ (w)
∑ w∈Σ
i>1
< +∞,
i
assim confirmamos que PG (Ψ) é finita. De maneira semelhante também podemos provar que a
pressão de Gurevich do potencial Ψδ : SZ → R dado por Ψδ (ŵ) = ϕρ (w) + δ ρ(w), é finita para
18
Capítulo 3. UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO
algum δ > 0 suficientemente pequeno. Um potencial Ψ que tem essa propriedade é chamado
de potencial recorrente positivo.
Pelo Teorema 3.2, temos o princípio variacional
Z
PG (Ψ) = sup
hη (σ ) + Ψ dη .
η∈Mσ (Ψ)
Além disso, existe uma única medida Gibbs ηΨ para Ψ. Dessa maneira, a medida ν = Π* ηΨ
também tem essa propriedade com respeito ao potencial ϕρ , isto é, existe uma constante K > 0
n
tal que, para n > 1 e Σn = ∪ri=1
Dni nós temos
K −1 ≤
ν(Dni )
e(ϕρ (w)−nP)
≤ K,
(3.9)
para w ∈ Dni e P = PG (Ψ).
Portanto somando (3.9) com respeito a n e usando (3.7), obtemos
Z
ρ dν =
∑ nν(Σn)
Σα
n>1
rn
∑ n ∑ ν(Dni)
=
n>1 i=1
K
nrn sup {eϕρ (w) } < +∞.
∑
P
e n>1
w∈Dni
≤
(3.10)
Por (3.10) e usando as fórmulas Abramov-Kač, podemos concluir
hηΨ (σ ) = hν (T )
Z
=
ρ dν · hL (ν) (σ ) < +∞.
R
Além disso, como PL (ϕ) > −∞ e ϕ dL (ν) > −∞ temos
Z
Z
Ψ dηΨ =
ϕρ dν
Z
Z
=
ρ dν · ϕ − PL (ϕ) dL (ν) > −∞.
Portanto ηΨ ∈ Mσ (Ψ) e novamente pelo Teorema 3.2, temos que a medida ηΨ é o único estado
de equilíbrio de Ψ. Consequentemente ν é o único estado de equilíbrio para (T, ϕρ ). Por (3.10),
podemos definir a medida L (ν) que pertence ao conjunto ML (σ ,W ). Mostraremos que essa
medida é o único estado de equilíbrio relativo para PL (ϕ).
Afirmamos que PG (Ψ) = 0. De fato, uma vez que L (ν) ∈ ML (σ ,W ) temos
Z
hL (ν) (σ ) +
ϕ dL (ν) − PL (ϕ) ≤ 0.
19
Capítulo 3. UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO
Então
Z
PG (Ψ) = hηΨ (σ ) + Ψ dηΨ
Z
Z
=
ρ dν · hL (ν) (σ ) + ϕ − PL (ϕ) dL (ν) ≤ 0.
Por outro lado, dado um δ > 0 existe uma medida µδ ∈ ML (W ) tal que
Z
hµδ (σ ) +
ϕ dµδ − PL (ϕ) + δ ≥ 0.
(3.11)
Consideramos também as medidas associadas νδ = L −1 (µδ ). Assim, por (3.12) e também pelo
fato do potencial Ψ ser recorrente positivo, para um δ suficientemente pequeno ocorre
Z
PG (Ψδ ) ≥ hνδ (T ) + ϕρ (w) + δ ρ(w) dνδ
Z
Z
ρ dν · hµδ (σ ) + ϕ − PL (ϕ) dµδ + δ ≥ 0.
=
Por continuidade de PG (Ψδ ) em função de δ , obtemos PG (Ψ) ≥ 0, estando assim provado a
afirmação.
Portanto, nós temos
Z
Z
PG (Ψ) =
ρ dν · hL (ν) (σ ) + ϕ − PL (ϕ) dL (ν) = 0,
R
e sendo ρ dν não nulo, concluímos que
Z
PL (ϕ) = hL (ν) (σ ) +
ϕdL (ν).
Assim, verificamos que a medida L (ν) é um estado de equilíbrio relativo. A unicidade decorre
da unicidade do estado de equilíbrio ηΨ .
Para completar a prova do teorema, resta somente verificar as propriedades estatísticas,
e para isso precisamos do seguinte lema:
Lema 3.2 (Cauda Exponencial). Existem constantes K0 e θ ∈ (0, 1) tais que para todo m > 0,
ν ({w ∈ Σα ; ρ(w) ≥ m}) ≤ K0 θ m .
n
Demonstração. Usando (3.9), para n > 1 e Σn = ∪ri=1
Dni nós temos
K −1 ≤
ν(Dni )
e(ϕρ (w)−nP)
≤ K,
onde w ∈ Dni .
i i
−ε0 , obtemos
Considere as constantes ε0 do Lema 3.7 e s = ∑∞
i=1 2 θ tal que θ = e
∞
ν({w ∈ Σα ; ρ(w) ≥ m}) =
rn
∑ ∑ ν(Dni)
n≥m i=1
∞
≤
K
sup eϕρ (w)
∑ rn w∈D
n
eP n≥m
i
≤ K0 θ m ,
para K0 = eKP s e todo m > 1.
Capítulo 3. UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO
20
Portanto segue do Lema 3.2 e dos resultados de [28] (Teorema 2 e Teorema 3) que
a medida L (ν) tem decaimento exponencial de correlação e satisfaz o (TCL) com respeito
a classe de funções cujas induzidas em Σα são limitadas e localmente Hölder contínuas. Isso
finaliza a prova do teorema.
Prova do Teorema Principal. Pelo Teorema 2.2, temos que todo potencial contínuo φ admite
um estado de equilíbrio. Suponha que µ1 e µ2 sejam estados de equilíbrio ergódicos para F,
então mostraremos que µ1 = µ2 .
Observe que pela hipótese (C2 ), a medida de Dirac δQ não pode ser um estado de equilíbrio para φ , pois
φn
φ (Q) ≤ sup < Ptop (φ ).
n
Similarmente, temos também que a medida δP não é um estado de equilíbrio para φ .
Pelo Lema 2.1 sabemos que as medidas δQ e δP são as únicas medidas invariantes
ergódicas que dão medida zero ao conjunto R1 , então µ1 (R1 ) e µ2 (R1 ) são positivos. Fixemos
α > 0 suficientemente pequeno de modo que µi (R1 ) > α para i = 1, 2.
Considere o esquema induzido (ρ, Σα ), onde Σα ⊂ Σ11 é o subconjunto das sequências
com frequência de símbolos 1’s pelo menos α, como definido em (3.1), e a torre associada W
como em (3.2).
Para cada i = 1, 2, denotamos por νi a medida push-forward de µi por h a semi-conjugação
definida na Seção 1., ou seja, a medida definida para todo boreleano A ⊂ Σ11 por
νi (A) = µi (h−1 (A)).
Note que a medida νi é invariante e ergódica para σ e satisfaz
νi ([1]) = µi (R1 ) > α > 0.
(3.12)
Uma vez que W é um subconjunto σ -invariante, pela ergodicidade de νi e por (3.12) temos
νi (W ) = 1. Aplicando o Lema 3.1 para A = [1], concluímos que a medida νi é levantável e além
disso, é um estado de equilíbrio relativo para ϕ = h* φ . Por outro lado, o potencial φ satisfaz a
condição (C1 ) e (C2 ), logo ϕ satisfaz as condições (P1 ) e (P2 ), então pelo Teorema 3.4 existe
um único estado de equilíbrio relativo, portanto ν1 = ν2 e consequentemente concluímos que
µ1 = µ2 . Finalizando assim a demonstração do teorema.
3.4
Exemplos de potenciais admissíveis
Nesta seção apresentamos uma família de exemplos de potenciais admissíveis com respeito à F. Esses potenciais não possuem variação pequena (não satisfaz a Condição (2.1)).
Iniciaremos com algumas definições e resultados que serão necessários para a verificação das condições (C1 ) e (C2 ).
21
Capítulo 3. UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO
Seja n um inteiro positivo, nós denotamos as palavras
bn = 0...0
|{z} 1.
n vezes
Dados w ∈ [1] e um inteiro positivo i, definimos o i-segmento de w por
[w]i := w0 w1 ...wi .
Se σ i (w) ∈ [1], então o i-segmento de w é uma concatenação de palavras bn , isto é,
1bn1 bn2 ...bnr .
Nós denotamos a quantidade de bn no i-segmento de w por a(w, i, n). Note que se uma sequência
w está em Σα , então ele é composta por concatenações de infinitas palavras do tipo bn .
1
Lema 3.3. Considere uma constante τ < α e o inteiro positivo N = ⌊ α−τ
⌋. Então dada uma
sequência w ∈ Σi nós temos
N−1
1 + ∑ a(w, i, k) ≥ τ(i + 1).
(3.13)
k=1
Demonstração. Supomos que (3.13) não ocorra, ou seja,
N−1
1 + ∑ a(w, i, k) < τ(i + 1).
(3.14)
k=1
Note que o número de dígitos 1 em [w]i é dado por
s
1 + ∑ a(w, i, k),
k=1
onde s é o maior dos n tais que bn compõe o i-segmento de w, com a possibilidade de alguns
dos termos serem nulos.
Uma vez que ρ(w) = i nós temos
s
1 + ∑ a(w, i, k) > α(i + 1).
(3.15)
k=1
Por outro lado
s
1 + ∑ (k + 1)a(w, i, k) = (i + 1).
(3.16)
k=1
Isso implica que
a(w, i, N) + a(w, i, N + 1) + ... + a(w, i, s) > (α − τ)(i + 1).
Portanto nós concluímos que
s
s
!
∑ (k + 1)a(w, i, k) ≥ (N + 1) ∑ a(w, i, k)
k=N
k=N
> (N + 1)(α − τ)(i + 1)
> (i + 1).
O que contradiz (3.16).
22
Capítulo 3. UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO
Uma interpretação do lema anterior pode ser :
Se i é um α-retorno de uma sequência w ao cilindro [1], então as palavras b1 , ..., bN
representam pelo menos uma proporção τi de [w]i .
A aplicação F é semi-conjugada ao subshift σ : Σ11 → Σ11 e além disso a sua dinâmica
central é determinada pela funções unidimensionais
f0 (y) = f (y)
e
f1 (y) = σ (1 − y),
para y ∈ I = [0, 1]. Então podemos representar F por um skew-product F̃ : Σ11 × I → Σ11 × I
dado por
F̃(w, y) = (σ (w), fw0 (y)).
e : Λ → Σ11 × I, cuja imagem de cada X = (xs , xc , xu ) seja
De fato, basta considerar a aplicação Π
e
Π(X)
= (h(X), xc ).
e segue do fato da aplicação h ser contínua. Além disso, podemos verificar
A continuidade de Π
e é uma bijeção sobre sua imagem. Portanto, a análise do comportamento de F pode se
que Π
reduzir ao contexto unidimensional, através do sistema iterado de funções (SIF) gerado por
{ f0 , f1 }.
Dada um ponto X = (x, y, z) em Λ tal que h(X) = w, usamos a seguinte notação
Φ[w]n (y) = fwn−1 ∘ ... ∘ fw0 (y),
e também o caso inverso
Φ[w]−n (y) = fw−1 ∘ ... ∘ fw−n (y).
Usamos o próximo lema para obter contração não-uniforme.
Lema 3.4. ([12], Lema 3.1) Seja w ∈ Σ+
11 uma sequência com infinitos dígitos 1. Supomos
também que w0 = 1. Considere n0 , n1 , ... as posições sucessivas do símbolo 1 em w. Então,
existem uma sequência de números reais positivos (δ j ) j≥0 e uma constante C > 0 tais que
(i) C depende apenas de n0
(ii) Cada δ j depende somente dos ni , para i ≤ j e pertencem ao intervalo [0, σ ]
(iii) Para todo i > 0 e todo y ∈ [0, 1],
i−1
′
|Φ[w]n (y)| ≤ Cn0 ∏ θ j ,
i
δ
1− j
onde θ j = 1−δσj .
j=1
23
Capítulo 3. UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO
Observação 3.1. Para obter o Lema 3.4 os autores fazem o uso das contrações obtidas dos
blocos 0...01. Uma vez que os fatores do produto que aparece no item (iii) do lema são todos
estritamente menores que 1, eles mostram que caso alguma palavra bn apareça k vezes em um
ni -segmento, então temos
′
|Φ[w]n (y)| ≤ Cn0 θ k ,
i
onde a constate θ depende somente da palavra bn .
Dados os pontos X,Y ∈ Λ nós utilizamos a seguinte distância
||X −Y || = ||X −Y ||s + ||X −Y ||c + ||X −Y ||u ,
(3.17)
onde e ||X −Y ||* é a distância com respeito à direção * ∈ {s, c, u}.
Pelo comportamento hiperbólico da aplicação F nas direções estável e instável e também pelo uso da distância (3.17), dados pontos X,Y ∈ Λ tais que h(X), h(Y ) ∈ [w−n+1 ...wn−1 ],
dessa maneira concluímos
||X −Y ||s ≤ λ n
||X −Y ||u ≤ β −n
e
(3.18)
onde λ e β são respectivamente as maiores taxas de contração e expansão de F.
Dado c0 ∈ (5/6, 1), considere o conjunto de nível c0
Qc0 = {X = (x, y, z) ∈ R ; z ≤ c0 }.
Note que fixado um nível c0 , existe um m = m(c0 ) tal que para todo X ∈ Qc0 ∩ R1 temos que
h(X) ∈ [1 0...0
|{z}] para algum k ≥ m. De fato, basta considerar
k
m = min{k ; β k c0 > 1/6}.
Seja φ : Λ → R um potencial Hölder contínuo e constante em Qc0 , mostraremos a seguir
que φ satisfaz a Condição (C1 ).
l
l
Dadas as sequências ŵ e v̂ em um cilindro [Di−n+1
...Dli00 ...Din−1
] ⊂ SZ e suas respectivas
−n+1
n−1
projeções w e v por Π em Σα , que pertencem ao conjunto
n
}|r
{
z
n1
z }| {
Dli00 = [10...01 ...10..01],
onde os números n1 , ..., nr são as posições do dígito 1.
Sejam os pontos X0 = h−1 (w) e Y0 = h−1 (v) em Λ e nrk o k-ésimo retorno dos pontos X0 e Y0
ao conjunto R1 − Qc0 , então temos
|Ψ(ŵ) − Ψ(v̂)| = |ϕρ (w) − ϕρ (v)|
l0 −1
≤
∑ |φ (F i(X0)) − φ (F k (Y0))|
i=0
m
= C ∑ ||F nrk (X0 )) − F nrk (Y0 ))||ξ .
k=1
(3.19)
24
Capítulo 3. UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO
onde m é o número de iterados que o pontos X0 e Y0 que estão em R1 −Qc0 . Note que as parcelas
da soma relacionadas aos pontos que estão em Qc0 são nulas, pois φ é constante neste conjunto.
Além disso, pelo observado em (3.18), para a verificação da propriedade Hölder em (3.19), é
suficiente analisar a direção central.
Considere sn = ∑n−1
k=1 l−k , pelo Lema 3.3 temos que em cada segmento [w]sn as palavras
b1 , b2 , ..., bN aparecem com frequência pelo menos τsn . Dessa maneira, usando o Lema 3.4 e a
Observação 3.1, nós concluímos
′
|Φ[w]− (y)| ≤ CN θ n ,
(3.20)
sn
para y ∈ [0, 1] e constantes CN > 0 e θ ∈ (0, 1) que dependem apenas das palavras b1 , b2 , ..., bN .
Então, sejam X ? e Y ? os pontos em Λ tais que F sn (X ? ) = X0 e F sn (Y ? ) = Y0 , usando o Lema
3.4 e a Desigualdade (3.20) nós temos:
||F nrk (X0 ) − F nrk (Y0 )||c = ||F sn +nrk (X ? ) − F sn +nrk (Y ? )||c
′
≤ |Φ[σ nrk (w)]−
sn +nrk
|
(3.21)
rk
≤ CN θ n ∏ θn j
j=1
n k
≤ CN θ γ ,
onde 1 ≤ k ≤ m e a constante γ ∈ (0, 1) depende apenas da palavra bm . Portanto, usando (3.21)
na expressão (3.19), concluímos que
|Ψ(ŵ) − Ψ(v̂)| ≤ C̃Θn ,
k
onde Θ = max{λ , β −1 , θ } e C̃ = C.CN .ϒ, para ϒ = ∑∞
k=0 γ . Isso mostra que o potencial φ
satisfaz a condição (C1 ).
Suponha que o potencial φ também satisfaz:
sup φ = φ (Q)
e
X∈Λ
inf φ = −κ,
X∈Λ
para alguma constante κ > 0.
Considere a família de potenciais φt : Λ → R dados por
φt (X) = tφ (X),
para t ∈ R.
Usando os mesmos argumentos feitos anteriormente, podemos mostrar que φt satisfaz a
condição (C1 ) para todo t ∈ R.
Denotamos a pressão topológica de φt por P(t). Note que a função t ↦→ P(t) é convexa,
logo contínua em R, uma vez que htop (F) > 0.
25
Capítulo 3. UNICIDADE DE ESTADOS DE EQUILÍBRIO
Considere o conjunto
∆ = {ϑ ; t ∈ [0, ϑ ) , P(t) > tφ (Q)},
que é não vazio, pois Ptop (0) > 0. Seja t1 o supremo de ∆, que pode ser obtido por
hµ (F)
R
t1 = sup
.
φ (Q) − φ dµ
µ∈MF (Λ)
µ̸=δQ
h
(F)
Como a medida de máxima entropia de F não é a medida de Dirac δQ , temos que t1 > φ (Q)−topR φ dµmax ,
h
(F)
top
logo t1 > φ (Q)+κ
.
Pelas suposições sobre o potencial φ temos:
Var(φt ) = t(κ + φ (Q)).
Dessa maneira, consideramos
htop (F)
.
t0 = sup t ; Var(φt ) <
2
Portanto, para todo t ∈ (t0 , t1 ) o potencial φt satisfaz as condições (C1 ) e (C2 ) e além disso,
h (F)
temos Var(φt ) ≥ top2 .
26
4 OUTRAS FERRADURAS
Neste capítulo estudaremos as medidas de máxima entropia para uma família de ferraduras chamadas de porco-espinho, que foram introduzidas em [8]. As ferraduras parcialmente
hiperbólicas que consideramos nos capítulos anteriores são essencialmente hiperbólicas, pois
suportam apenas medidas ergódicas hiperbólicas, a seguir iremos trabalhar com ferraduras que
suportam medidas não hiperbólicas.
4.1
Ferraduras porco-espinho
Considere uma família a 1-parâmetro de skew-products sobre um shift completo de dois
símbolos (σ , Σ2 ) com fibras unidimensionais
Ft : Σ2 × R → Σ2 × R,
(w, x) ↦→ (σ (w), fw0 ,t (x)).
(4.1)
As funções f0,t = f0 e f1,t que agem nas fibras devem satisfazer:
(I) f0 é uma função C2 , côncava, crescente e que possui dois pontos fixos hiperbólicos 0
(repulsor) e 1 (atrator) e não depende de t.
′
′
(II) As constantes β = f0 (0) > 1 e λ = f0 (1) < 1 são tais que
λ 2 (1 − λ )
> 1.
β (1 − β −1 )
(III) f1,t (x) é a função afim contrativa e que reverte orientação, dada por f1,t = t(1 − x) e que
satisfaz a condição de ciclo, isto é, f1,t (1) = 0.
Considere o skew-product Ft restrito ao conjunto maximal invariante
Λt =
\
Ftn (Σ2 × R).
n∈Z
Vejamos a definição da ferradura que estudaremos
Definição 4.1 (Porco-espinho). Dado um skew-product Ft : Σ2 ×R → Σ2 ×R, um conjunto compacto Λ é uma ferradura porco-espinho (ou simplesmente porco-espinho) se é topologicamente
transitivo e existe uma semi-conjugação Πt : Λt → Σ2 , tal que Π−1 (w) é não trivial para uma
quantidade infinita e não enumerável de w ∈ Σ2 e também Π−1 (w) é um único ponto para uma
quantidade infinita e não enumerável de w ∈ Σ2 .
27
Capítulo 4. OUTRAS FERRADURAS
Para cada w ∈ Σ2 , o conjunto Π−1 (w) é chamado espinho de w. Dizemos que um espino
é não trivial se não é um único ponto, caso contrário é chamado trivial. O conjunto Σ2 é decomtriv
posto em dois subconjuntos invariantes Σnon
2,t e Σ2,t consistindo das sequências com espinhos
não triviais e triviais respectivamente.
Pela definição de Ft os espinhos Πt−1 (w), ou são um único ponto ou segmentos fechados de
[0,1], ou seja, Πt−1 (w) = (w, xw,t ) ou então Πt−1 (w) = {w} × Iw,t onde
Iw,t = {x ∈ [0, 1]; ( fw−1
∘ ... ∘ fw−1
)(x) ∈ [0, 1], ∀i ∈ N}.
−i,t
−1,t
Em [8], considerando os skew-products Ft como em (4.1) e com as funções f0 e f1,t satisfazendo
as condições (I) , (II) e (III), foi mostrado que os conjuntos Λt são ferraduras porco-espinho,
com as semi-conjugações são dadas por Πt (w, x) = w, além disso eles provam que os subcontriv
juntos Σnon
2,t são não-enumeráveis e densos em Σ2 , e que os subconjuntos Σ2,t são residuais em
Σ2 . Essas aplicações possuem um comportamento parcialmente hiperbólico, pois a parte hiperbólica é representada pelo dinâmica simbólica e a parte central, pelo sistema iterado de funções
gerado pelas funções fibradas f0 e f1,t , que fazem uma mistura de comportamento contrativo e
expansor. Além disso, como os skew-products possuem fibras unidimensionais, então admitem
estados de equilíbrio para potenciais contínuos (veja [7] Corolário 1.5). Em particular, admitem
medidas de máxima entropia. No entanto a unicidade não ocorre em geral (veja [8], Proposição
5.6).
A seguir veremos que essas ferraduras admitem uma única medida de máxima entropia,
e para isso precisamos de um resultado com respeito às fibras do skew-product.
Sejam Σ2 o espaço de sequências e B a σ -álgebra gerada pelos seus cilindros. Nesse
espaço temos a medida de Bernoulli b p para p ∈ [0, 1], que dá peso p ao símbolo 0 e (1− p) para
1. Em [10] com respeito ao espaço de medida (Σ2 , B, b 1 ) é mostrado que quase todo sequência
2
tem espinho trivial.
Teorema 4.1 ([10], Teorema 2). Seja a família (Ft )t∈[0,1] descrita acima. Então
b 1 Σtriv
2,t = 1
2
para todo t ∈ (0, 1) e
b1
2
\
= 1.
Σtriv
2,t
t∈(0,β −1 )
Mostraremos que as ferraduras acima admitem uma única medida de máxima entropia.
Teorema 4.2. A família de skew-products (Ft )t∈[0,1] admite uma única medida de máxima entropia.
Demonstração. Uma vez que o shift σ : Σ2 → Σ2 admite uma única medida de máxima entropia,
que no caso é a medida de Bernoulli b 1 , usaremos a unicidade da medida de Bernoulli junto com
2
as propriedades da dinâmica nas fibras para mostrar que as ferraduras porcupine-like também
admitem uma única medida de máxima entropia.
28
Capítulo 4. OUTRAS FERRADURAS
Seja ν uma medida qualquer em MFt (Λt ) e sua projeção ν̂ = ν ∘ Πt−1 ( ν̂ é obtida pelo teorema
da desintegração de Rokhlin ). O princípio variacional de Ledrappier-Walters (ver em [14])
garante que
Z
sup hν (Ft ) = hν̂ (σ ) +
h(Ft , Π−1 (w)) d ν̂,
Σ2
ν : Π* ν=ν̂
então
hν (Ft ) ≤ hν̂ (σ ) +
Z
h(Ft , Π−1 (w)) d ν̂.
Σ2
Como um espinho Π−1 (w) ou é um único ponto ou um subintervalo fechado em [0,1], temos
que h(Ft , Π−1 (w)) = 0 para qualquer w ∈ Σ2 , então hν (Ft ) ≤ hν̂ (σ ). Por outro lado, sendo os
sistemas Ft e σ semi-conjugados, concluímos que hν (Ft ) = hν̂ (σ ).
Uma vez que os argumento acima são válidos para qualquer medida ν Ft -invariante, concluímos
que htop (F) = htop (σ ). Dessa forma uma medida µ ∈ MFt (Λt ) tal que b 1 = µ ∘ Πt−1 é de
2
máxima entropia para Ft .
Note que, dado um ponto X ∈ Λt tal que [X] = {X} então h(X) ∈ Σtrv
2,t , logo pelo Teorema 4.1
temos
µ {X ∈ Λt ; [X] = {X}} = 1.
Portanto usando os mesmos argumentos de [3] nós obtemos que µ é a única medida de máxima
entropia de Ft .
29
REFERÊNCIAS
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hyperbolic horseshoes, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 32 (2012), pp 2740. Citado 3 vezes nas páginas 2, 3 e 8.
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for certain partially hyperbolic, derived from Anosov systems, to appear in Ergodic Theory Dynamical Systems. Citado na página 28.
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phase transitions, Fund. Math. Systems, 216 (2012), pp 55-100. Citado 5 vezes nas
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