Tese
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA UFBA-UFAL
ADINA ROCHA DOS SANTOS
ESPECTRO DO LAPLACIANO PONDERADO E HIPERSUPERFÍCIES EM
GRADIENT RICCI SOLITONS
Maceió
2016
ADINA ROCHA DOS SANTOS
ESPECTRO DO LAPLACIANO PONDERADO E HIPERSUPERFÍCIES EM
GRADIENT RICCI SOLITONS
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de
Pós-graduação em Matemática UFBA-UFAL
da Universidade Federal de Alagoas, como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor
em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Hilário Alencar da Silva
Maceió
2016
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
S237t
Santos, Adina Rocha dos.
Espectro do laplaciano ponderado e hipersuperfícies em gradient Ricci
solitons / Adina Rocha dos Santos. – 2016.
78 f. : il.
Orientador: Hilário Alencar da Silva.
Tese (doutorado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2011.
Bibliografia: f. 75-78.
1. Espectro essencial. 2. Operador laplaciano ponderado. 3. Hipersuperfície –
Crescimento de volume. 4. Curvatura média. 5. Índice de ƒ-estabilidade. I. Título.
CDU: 514.764.27
A Deus, meu criador.
Aos meus queridos pais Ahilud e Francisco.
A minha irmã Flávia Adaís.
AGRADECIMENTOS
Ao professor Hilário Alencar pelo apoio e incentivo, por sua orientação durante o Doutorado; pelas conversas e discussões, as quais contribuíram de forma significativa em minha
formação acadêmica e profissional, principalmente, por mostrar as possíveis saídas em momentos complicados.
Sou grata ao professor Detang Zhou da Universidade Federal Fluminense (UFF) por
discutir e levantar possíveis problemas matemáticos durante minhas visitas a UFF, em Niterói;
alguns dos quais foram resolvidos e estão presentes nesta Tese.
Agradeço ao professor Gregório Pacelli Bessa da Universidade Federal do Ceará (UFC)
por dar sugestões que melhoram alguns resultados presentes nesta tese.
A CAPES pelo suporte financeiro ao longo de todo o curso de Doutorado.
“E conhecereis a verdade e a verdade vos libertará.”
(João 8:32)
RESUMO
Obtemos estimativas superiores do ínfimo do espectro essencial do operador Laplaciano ponderado de variedades ponderadas não compactas e completas, assumindo condições de crescimento de volume ponderado. Além disso, encontramos exemplos onde ocorre a igualdade
em tais estimativas. Como uma aplicação, estimamos a curvatura média ponderada de hipersuperfícies imersas isometricamente em variedades ponderadas com índice de f -estabilidade
finito. Mostramos ainda que dada uma hipersuperfície imersa isometricamente em um gradient
shrinking Ricci soliton com curvatura média ponderada constante, volume ponderado finito e
satisfazendo mais algumas condições, tem índice de f -estabilidade maior que ou igual a dois.
Palavras-chaves: Espectro Essencial; Laplaciano Ponderado; Crescimento de Volume; Estimativa; Curvatura Média; Índice.
ABSTRACT
We obtain upper estimates to the greatest lower bound of the essential spectrum of
weighted Laplacian operator of non-compact weighted manifold under assumptions of the
weighted volume growth. Furthermore, we find examples where the equality occurs in the estimates obtained. As a consequence, we give estimates for the weighted mean curvature of
complete noncompact hypersurfaces into weighted manifold with with finite index f -stability.
Although we show that given a hypersurface isometrically immersed in a Ricci soliton gradient
weighted with constant weighted mean curvature, finite weighted volume and satisfying more
some conditions, has index of f -stability greater than or equal to two.
Keywords: Essential Spectrum; Weighted Laplacian; Volume growth; Estimate; Mean Curvature; Index.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – A função χr com suporte compacto em M ∖ Ω. . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 2 – A função h j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 3 – A função λ : [0, +∞) → R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 4 – A função λ : [0, +∞) → R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
32
36
40
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 PRELIMINARES E NOTAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Variedade Riemanniana, Curvatura de Ricci, Laplaciano . . . . . . . . . . . . .
2.2 Curvatura de Ricci Bakry-Émery e Laplaciano Ponderado . . . . . . . . . . . .
2.3 Alguns Resultados Espectrais para o Laplaciano Ponderado . . . . . . . . . . .
3 ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL . . . . . . . . . . .
3.1 Estimativa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Estimativa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 OPERADOR f -ESTABILIDADE E ÍNDICE DE f -ESTABILIDADE . . . . . .
5 ESTIMATIVAS PARA CURVATURA MÉDIA PONDERADA . . . . . . . . . .
6 GRADIENT RICCI SOLITON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Subvariedade Própria e Volume Ponderado Finito . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Índice de f -estabilidade de hipersuperfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
21
21
24
26
30
30
38
42
47
52
60
60
65
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
10
1 INTRODUÇÃO
O L2 -espectro do operador Laplaciano, denotado por σ (−∆), tem sido analisado e computado para uma grande classe de variedades não compactas e completas. Por exemplo, assumindo que a variedade não compacta e completa tem curvatura de Ricci não negativa e crescimento de volume Euclidiano, foi provado por Donnelly (DONNELLY, 1997) que o espectro
essencial do operador Laplaciano σess (−∆) deve ser [0, +∞). É clássico que o espectro essencial
do operador Laplaciano em variedade compacta é vazio, e assim, seu L2 -espectro é discreto.
Dado que o L2 -espectro do operador Laplaciano para uma classe de variedades não compactas e completas é essencial, torna-se importante estimar o ínfimo do espectro essencial de
−∆, denotado por inf σess (−∆), de variedades não compactas e completas. Existem muitos resultados interessantes sobre espectro essencial e estimativas para inf σess (−∆) de variedades não
compactas e completas, a saber, (CHENG, 1975), (PINSKY, 1978), (PINSKY, 1979), (DONNELLY; LI, 1979), (BROOKS, 1981), (BROOKS, 1984), (ESCOBAR, 1986), (ESCOBAR;
FREIRE, 1992), (ZHOU, 1994), (HIGUCHI, 2001) e (LI; WANG, 2002).
O problema de estimar o inf σess (−∆) de variedade não compactas e completas M sob
suposições geométricas simples tem sido intensamente estudado ao longo destas últimas décadas. Por exemplo, Donnelly (DONNELLY, 1981) provou que
inf σess (−∆) ≤ (n − 1)2 k/4
para variedades com curvatura de Ricci limitada inferiormente pela constante −(n − 1)k, onde
n = dim M e k ≥ 0.
Em (BROOKS, 1981) e (BROOKS, 1984), Brooks generalizou a estimativa obtida por
Donnelly. De fato, ele mostrou que se M tem volume infinito, então
inf σess (−∆) ≤ µ̄v2 /4,
onde µ̄v = lim supr→∞ 1r log Vol(Br ); e se M tem volume finito,
inf σess (−∆) ≤ µ̄w2 /4,
onde µ̄w = lim supr→∞ −1
r log(Vol(M) − Vol(Br )). Mais tarde, Higuchi (HIGUCHI, 2001) melhorou as estimativas de Brooks.
Em muitas ocasiões, é natural considerar ao longo de uma variedade Riemanniana
(M n , g) uma estrutura adicional de medida ponderada e− f dσ , onde f é uma função suave em
M, chamada função potencial, e dσ é o elemento de volume induzido pela métrica g = ⟨ , ⟩.
As variedades Riemannianas, munidas com medidas ponderadas, surgem naturalmente como
resultado do limite Gromov-Hausdorff de sequências colapsadas (ver Cheeger e Colding (CHEEGER; COLDING, 1997), (CHEEGER; COLDING, 2000a), (CHEEGER; COLDING, 2000b)
11
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
e Fukaya (FUKAYA, 1987)) e também desempenham um papel essencial nos trabalhos de Hamilton (HAMILTON, 1982) sobre fluxo de Ricci.
Uma variedade ponderada é uma tripla M nf = (M n , g, e− f dσ ). O operador Laplaciano
ponderado ∆ f , definido por
∆ f u := ∆u − ⟨∇ f , ∇u⟩,
está associado a e− f dσ bem como ∆ está associado a dσ . Além disso, ∆ f é um operador
autoadjunto e positivo no espaço L2f das funções quadrado integráveis em M com respeito a
medida e− f dσ , e logo, o L2f -espectro de −∆ f em M, denotado por σ (−∆ f ), é um subconjunto
de [0, +∞).
O espectro de ∆ f pode ser decomposto na união disjunta σd (−∆ f ) ∪ σess (−∆ f ), onde
σd (−∆ f ) é o conjunto de autovalores isolados com multiplicidade finita, chamado espectro discreto, e seu complemento σess (−∆ f ), chamado espectro essencial, é o conjunto de autovalores
com multiplicidade infinita e pontos de acumulação do espectro.
Seja Br a bola geodésica de M centrada em um ponto fixado o ∈ M e raio r > 0. O
volume ponderado de Br é dado por
Z
Vol f (Br ) =
e− f dσ
Br
e o volume ponderado de M é definido por
Z
Vol f (M) =
e− f dσ .
M
O primeiro objetivo desta tese é dar estimativas para inf σess (−∆ f ) para variedades não
compactas e completas em função do crescimento de volume ponderado das bolas e esferas
geodésicas. A seguir, enunciamos nossos principais resultados.
Teorema 1.1. Seja M f uma variedade ponderada não compacta e completa.
(i) Se Vol f (M) = +∞, então
inf σess (−∆ f ) ≤
µv2
,
4
inf σess (−∆ f ) ≤
µw2
,
4
1
onde µv = lim inf log Vol f (Br ).
r→∞ r
(ii) Se Vol f (M) < +∞, então
−1
log(Vol f (M) − Vol f (Br )).
r→∞ r
onde µw = lim inf
Além disso, se M f = (Rn , g, e− f dσ ) com
f=
r
2
e
g = dr2 + λ 2 (r)dθ 2 ,
(1.1)
12
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
tal que λ : [0, +∞) → R é uma função suave não negativa satisfazendo
r
−
λ (0) = 0, λ ′ (0) = 1 e λ (r) = e 2(n−1) para todo r ≥ r0 > 0,
(1.2)
então ocorre a igualdade em (1.1). Aqui dθ 2 denota a métrica canônica da esfera unitária
(n − 1)-dimensional S1n−1 ⊂ Rn centrada na origem e r(x) é a distância Euclidiana à origem.
Observação 1.1. Agora, supondo que f = C é uma função constante, temos
∆ f = ∆,
Vol f = e−C Vol,
vol f = e−C vol .
e
Além disso, inf σess (−∆ f ) = inf σess (−∆) é o ínfimo do espectro essencial do Laplaciano agindo
em L2 (M). Neste caso, o Teorema 1.1 foi provado por Higuchi, ver Corolário 2 de (HIGUCHI,
2001).
Seja Ω ⊂ M um domínio compacto. O ínfimo do espectro de ∆ f em M ∖ Ω, com a
condição de contorno de Dirichlet em ∂ Ω, admite a caracterização variacional
Z
f
λ1 (M ∖ Ω) =
|∇u|2 e− f dσ
M∖Ω
inf
Z
u∈Cc∞ (M∖Ω)
u2 e− f dσ
,
M∖Ω
onde Cc∞ (M ∖ Ω) denota o conjunto das funções suaves u : M ∖ Ω → R com suporte compacto
em M ∖ Ω.
Seja ∂ Br a esfera geodésica de M com centro em um ponto fixado o ∈ M e raio r > 0.
O volume ponderado de ∂ Br é dado por
Z
vol f (∂ Br ) =
e− f dA,
∂ Br
onde dA é a forma volume em ∂ Br .
Agora, estamos prontos para enunciar o segundo resultado deste trabalho, a saber:
Teorema 1.2. Sejam M f uma variedade ponderada não compacta completa e Ω um subconjunto compacto de M. Se existe uma constante real positiva α, tal que
d
log vol f (∂ Br ) ≤ α para todo r ≥ r0 ,
dr
então
f
λ1 (M ∖ Ω) ≤
α2
.
4
(1.3)
α2
.
4
(1.4)
Consequentemente,
inf σess (−∆ f ) ≤
Além disso, se M f = (Rn , g, e− f dσ ) com
f=
αr
2
e
g = dr2 + λ 2 (r)dθ 2 ,
13
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
tal que λ : [0, +∞) → R é uma função suave não negativa satisfazendo
−
α
r
λ (0) = 0, λ ′ (0) = 1 e λ (r) = e 2(n−1) para todo r ≥ r0 > 0,
(1.5)
então ocorre a igualdade em (1.3) e (1.4) para qualquer compacto Ω ⊃ Br0 . Aqui dθ 2 denota a
métrica canônica da esfera unitária (n − 1)-dimensional S1n−1 ⊂ Rn centrada na origem e r(x)
é a distância Euclidiana à origem.
Observação 1.2. Existe uma classe de variedades Riemannianas completas que satisfazem as
condições do Teorema 1.2 (ver Exemplo 3.1 no Capítulo 2).
Agora, iremos enunciar algumas aplicações decorrentes do Teorema 1.1:
β
Teorema 1.3. Sejam β > 0 uma constante real e Mβ = (Rn , gcan , e−r dσ ) uma variedade ponderada com potencial f (r) = rβ , onde gcan é a métrica canônica do espaço Euclidiano Rn e
dσ denota a medida de volume induzida por gcan em Rn .
(i) Se β > 1, então inf σess (−∆ f ) = +∞. Ou seja, σ (−∆ f ) é discreto.
1
(ii) Se β = 1, então inf σess (−∆ f ) = .
4
(iii) Se 0 < β < 1, então inf σess (−∆ f ) = 0.
Continuaremos a enunciar aplicações decorrentes do Teorema 1.1 e do Teorema 1.2.
Mas agora, para isto, é necessário introduzir algumas definições que serão úteis na compreensão
dos enunciados de tais aplicações.
Uma extensão natural do tensor curvatura de Ricci para este novo contexto é o tensor
curvatura de Ricci Bakry-Émery dado por
Ric f = Ric +∇2 f ,
onde ∇2 f é a hessiana de f em M. Bakry-Émery (BAKRY; ÉMERY, 1985) estudou a relação entre este tensor com processos de difusão. O tensor curvatura de Ricci Bakry-Émery tem
interessantes conexões com as desigualdade de Sobolev logarítmicas, desigualdades isoperimétricas e semigrupos do calor (ver (LEDOUX, 2000)). Além disso, a equação Ric f = λ g, para
alguma constante real λ , é exatamente a equação do gradient Ricci soliton, o qual desempenha
um papel importante na teoria do fluxo de Ricci (ver (CAO; ZHOU, 2010)).
|f|
= 0, o L2f Se M f é variedade não compacta e completa com Ric f ≥ 0 e limr→∞
r
espectro essencial de −∆ f foi provado ser [0, +∞) por Silvares (SILVARES, 2014). Além disso,
para variedades ponderadas compactas com Ric f ≥ kg para constante k > 0, o L2f -espectro de
−∆ f é discreto, ver (HEIN; NABER, 2014). Ainda podemos considerar a generalização do
tensor curvatura de Ricci Bakry-Émery:
Ric f nm = Ric f −
d f ⊗d f
,
nm
m > 0,
14
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
onde Ric f é o tensor curvatura de Ricci Bakry-Émery da variedade ponderada M f (ver (WEI;
WYLIE, 2009)).
n+1
Seja x : M n → M f uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana orientável
n+1
M n em uma variedade ponderada M f . A segunda forma fundamental A de x é definida por
A(X,Y ) = (∇X Y )⊥ ,
X,Y ∈ Tp M, p ∈ M,
onde ⊥ simboliza a projeção no fibrado normal de M. O vetor curvatura média ponderada de
M é definida por
H f = H + (∇ f )⊥ ,
com H = traço A. A hipersuperfície M é chamada f -mínima quando o vetor curvatura média
ponderada H f é identicamente nulo; e, quando existe uma constante real C, tal que H f = −Cη,
onde η é campo vetorial normal unitário, dizemos que a hipersuperfície M tem curvatura média
ponderada.
O operador
L f = ∆ f + |A|2 + Ric f (η, η)
é chamado operador f -estabilidade da imersão x e está associado com a forma quádrica
I f (u, u) = −
Z
M
uL f ue− f dσ .
Para cada domínio compacto Ω ⊂ M, defina o índice, ind f Ω, de L f em Ω como a dimensão do
maior subespaço de Cc∞ (Ω) no qual a forma quádrica I f é negativa definida. O índice, ind f M,
de L f em M (ou simplesmente, o índice de M) é definido por
ind f M = sup ind f Ω,
Ω⊂M
onde o supremo é tomado sobre todos domínios compactos Ω ⊂ M. Para mais detalhes, ver
(CHENG; ZHOU, 2015).
Como aplicação das estimativas do ínfimo do espectro essencial do operador Laplaciano
ponderado dadas no Teorema 1.1 e no Teorema 1.2, obtemos os seguintes resultados:
Teorema 1.4. Seja M n uma hipersuperfície não compacta e completa imersa isometricamente
n+1
em uma variedade ponderada completa e orientada M f com campo vetorial normal unitário
η. Sejam
1
−1
µv = lim inf log Vol f (Br ) e µw = lim inf
log(Vol f (M) − Vol f (Br )).
r→∞ r
r→∞ r
Se M tem curvatura média ponderada constante H f e ind f M < ∞, então
(
)
H 2f
µ2
⟨∇ f , η⟩2
≥ − + inf Ric f (η, η) +
nm
4 M∖Br
n(1 + m)
(1.6)
15
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
e
H 2f
n(1 + m)
≤
o
n
µ2
nm
− inf Ric f (η, η)
4 M∖Br
para qualquer constante m > 0, onde µ = µv se Vol f (M) = +∞ e µ = µw se Vol f (M) < +∞.
Em particular, se
µ2
nm
Ric f (η, η) ≥
4
para alguma constante positiva m, então M é uma hipersuperfície f -mínima.
Observação 1.3. É conhecido que, se uma variedade ponderada completa M f satisfaz Ric f ≥
kg para alguma constante k > 0,
compacta. Um dos exemplos
então M f não2 é necessariamente
|x|
1
é o Gaussian shrinking soliton Rn , gcan , e− 4 dσ com a métrica canônica gcan e Ric f = g.
2
Dizemos que o volume ponderado de M tem crescimento polinomial se existem constantes positivas α, C e R0 , tais que
Vol f (Br ) ≤ Crα
para qualquer r ≥ R0 .
Como consequência do Teorema 1.4, segue-se o
n+1
Corolário 1.1. Seja M f uma variedade ponderada completa e orientada com Ric f ≥ kg,
onde k > 0 é uma constante fixada. Então, não existe hipersuperfície f -mínima não compacta
n+1
e completa M n imersa em M f com ind f M < ∞ e satisfazendo
√
(i) µv < 2 k se Vol f (M) = +∞ ou
√
(ii) µw < 2 k se Vol f (M) < +∞.
Corolário 1.2. Seja M n uma hipersuperfície não compacta e completa imersa isometricamente
n+1
em uma variedade ponderada completa e orientada M f . Assuma que o volume ponderado de
M é infinito e tem crescimento polinomial. Se M tem curvatura média ponderada constante H f
e ind f M < ∞, então existe uma constante r0 > 0, tal que para todo r ≥ r0 ,
(
)
2
H 2f
⟨∇ f , η⟩
≥ inf Ric f (η, η) +
(1.7)
nm M∖Br
n(1 + m)
e
H 2f
n(1 + m)
≤ − inf
M∖Br
n
o
nm
Ric f (η, η) ,
onde m é uma constante positiva e η é o campo vetorial unitário normal a M. Em particular, se
nm
Ric f (η, η) ≥ 0
para alguma constante m > 0, então M é uma hipersuperfície f -mínima.
16
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
Corolário 1.3. Seja M n uma hipersuperfície não compacta e completa imersa isometricamente
n+1
em uma variedade ponderada completa e orientada M f . Assuma que o volume ponderado de
M é infinito e satisfaz Vol f (Br ) ≤ Ceαr para r ≥ R0 e para constantes positivas C e α. Se M
tem curvatura média ponderada constante H f e ind f M < ∞, então existe uma constante r0 > 0,
tal que, para todo r ≥ r0 ,
(
)
H 2f
α2
⟨∇ f , η⟩2
≥ − + inf Ric f (η, η) +
(1.8)
nm
4 M∖Br
n(1 + m)
e
H 2f
n
o
α2
nm
≤
− inf Ric f (η, η) ,
n(1 + m)
4 M∖Br
onde m é uma constante positiva e η é o campo vetorial unitário normal a M. Em particular, se
α
nm
Ric f (η, η) ≥
2
4
para algum m > 0, então M é uma hipersuperfície f -mínima.
Observação 1.4. Quando f é uma função constante, o Corolário 1.2 foi obtido por Alencar
e do Carmo, ver Teorema 1.1 de (ALENCAR; CARMO, 1993), e melhorado por do Carmo e
Zhou, ver Teorema 4.1 de (CARMO; ZHOU, 1999). Ainda, o Corolário 1.3 foi provado por do
Carmo e Zhou, ver Teorema 4.4 de (CARMO; ZHOU, 1999).
n+1
Corolário 1.4. Seja M f uma variedade ponderada completa e orientada com Ric f ≥ kg,
onde k > 0 é uma constante fixada. Então, não existe hipersuperfície f -mínima não compacta
n+1
e completa M n imersa em M f com ind f M < ∞, Vol f (M) = +∞ e crescimento de volume
ponderado polinomial.
n+1
Corolário 1.5. Seja M f uma variedade ponderada completa e orientada com Ric f ≥ kg,
onde k > 0 é uma constante fixada. Então, não existe hipersuperfície f -mínima não compacta
n+1
e completa M n imersa em M f com ind f M < ∞, Vol f (M) = +∞ e Vol f (Br ) ≤ Ceαr para
√
qualquer r ≥ R0 , onde C e α < 2 k são constantes positivas.
Agora, usando a estimativa de λ1 (M ∖ Ω) vista no Teorema 1.2, obtemos a aplicação:
Teorema 1.5. Seja M n uma hipersuperfície não compacta e completa imersa isometricamente
n+1
em uma variedade ponderada completa e orientada M f . Assuma que
d
log vol f (∂ Br ) ≤ α para todo r ≥ t0 > 0.
dr
Se M tem curvatura média ponderada constante H f e ind f M < ∞, então existe uma constante
r0 > 0, tal que para todo r ≥ r0 ,
(
)
H 2f
α2
⟨∇ f , η⟩2
≥ − + inf Ric f (η, η) +
(1.9)
nm
4 M∖Br
n(1 + m)
17
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
e
H 2f
n(1 + m)
≤
o
n
α2
nm
− inf Ric f (η, η) ,
4 M∖Br
onde m é uma constante positiva e η é o campo vetorial unitário normal a M. Em particular, se
α
nm
Ric f (η, η) ≥
2
4
para algum real m > 0, então M é uma hipersuperfície f -mínima.
Como uma consequência do Teorema 1.5, segue-se
n+1
Corolário 1.6. Seja M f uma variedade ponderada completa e orientada com Ric f ≥ kg,
onde k > 0 é uma constante fixada. Então, não existe hipersuperfície f -mínima não compacta
n+1
e completa M n imersa em M f com ind f M < ∞ e
√
d
log vol f (∂ Br ) ≤ α < 2 k
dr
para todo r ≥ t0 > 0.
m
Uma variedade Riemanniana completa (M , g) é chamada gradient Ricci soliton quando
m
existe uma função f ∈ C∞ (M), tal que o tensor curvatura de Ricci de (M , g) satisfaz
2
Ric + ∇ f = kg
para alguma constante k. Para k = 0, o Ricci soliton é steady, para k > 0, ele é shrinking e para
k < 0, expanding. A função f é chamada de função potencial do gradient Ricci soliton.
Os gradient Ricci solitons são generalizações naturais das variedades de Einstein e correspondem às soluções autossimilares do fluxo de Ricci de Hamilton (ver (HAMILTON, 1982)
e (HAMILTON, 1988)). Um exemplo de um gradient Ricci soliton é o Gaussian shrinking
soliton
n+1
−f
Rn+1
=
R
,
g
,
e
dσ
can
f
que satisfaz
1
2
Ric + ∇ f = g,
2
|x|2
onde gcan é a métrica canônica e f (x) =
é o potencial.
4
Podemos considerar hipersuperfícies f -mínimas ou com curvatura média ponderada
constante em gradient Ricci solitons. Em particular, uma self-shrinker para o fluxo de curvatura
média é uma hipersuperfície f -mínima do Gaussian shrinking soliton Rn+1
= Rn+1 , gcan , e− f dσ .
f
Em (CHENG; ZHOU, 2013), Cheng e Zhou mostraram que as seguintes condições são
equivalentes para um self-shrinker completo Σ ⊂ Rn+1
f :
18
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
∙ Σ é própria;
∙ Σ tem crescimento de volume Euclidiano;
∙ Σ tem crescimento de volume polinomial;
∙ Σ tem volume ponderado finito.
Estas equivalências continuam sendo válidas para hipersuperfícies f -mínimas imersas em um
1
gradient shrinking Ricci soliton completo M f satisfazendo Ric f = g, onde f é uma função
2
convexa (ver (CHENG et al., 2015)).
O resultado a seguir fornece condições necessárias para que uma subvariedade seja
própria.
Teorema 1.6. Seja M n uma subvariedade completa não compacta de uma variedade pondem
rada completa M f . Se M n tem volume ponderado finito e a norma do vetor curvatura média
ponderada é limitada superiormente, então M n é própria.
Dizemos que uma função f ∈ C∞ (M) é dita convexa se a hessiana de f é não negativa,
2
isto é, ∇ f (X, X) ≥ 0 para todo X ∈ T M.
m
Teorema 1.7. Sejam f ∈ C∞ (M) uma função convexa e M f um gradient Ricci soliton completo.
m
Se x : M n → M f é uma imersão própria, não compacta e completa, com vetor curvatura média
ponderada satisfazendo
sup ⟨H f , ∇ f ⟩ < +∞,
x∈M
n
então M tem volume ponderado finito e crescimento de volume polinomial.
Um campo vetorial diferenciável X ∈ X(M) é paralelo, se
∇Y X = 0
para todos campos vetoriais Y ∈ T M. Seja PM o conjunto de todos campos vetoriais tangentes
a M que são paralelos e globalmente definidos.
2
Por exemplo, o Gaussian shrinking soliton Rn+1 , gcan , e−|x| /4 tem exatamente n + 1
campos vetoriais paralelos linearmente independentes que são globalmente definidos em Rn+1 .
Um outro exemplo é o cylinder shrinking soliton Sn+1−k × Rk , g, e− f , k ≥ 1, com
métrica
g = 2(n − k − 1)gSn−k + gRk
e função potencial
f (θ , x) =
|x|2
, θ ∈ Sn−k , x ∈ Rk .
4
Neste exemplo,
dim PSn+1−k ×Rk = k.
19
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
1
um gradient Ricci soliton satisfazendo Ric f = g, PM f o conjunto
2
dos campos vetoriais e paralelos globalmente definidos em M f e M n uma hipersuperfície pron+1
priamente imersa em M f . Assuma que M tem curvatura média ponderada constante e volume
ponderado finito. Se a função unidade 1 ̸∈ {⟨X, η⟩; X ∈ PM f }, então
n+1
Teorema 1.8. Sejam M f
dim PM f − Ind f M ≤ dim{X ∈ PM f ; ⟨X, η⟩ ≡ 0},
onde η é o campo normal unitário. Além disso, se assumirmos que existe um campo X0 ∈ PM f ,
tal que ⟨X0 , η⟩ ̸≡ 0, então
dim{X ∈ PM f ; ⟨X, η⟩ ≡ 0} ≤ dim PM f − 1.
Observação 1.5. Seja Σ ⊂ Rn+1 uma subvariedade orientada, não planar, própria e satisfa1
zendo Vol f (M) < +∞, H = ⟨x, η⟩ +C e Ind f M ≤ n, onde H é a curvatura média, x é o vetor
2
posição de Rn+1 , η é o campo normal unitário da hipersuperfície e C é uma constante real.
McGonagle e Ross ((MCGONAGLE; ROSS, 2015), pg. 288, Theorem 5.6) mostraram que existe
um número natural k, tal que n + 1 − Ind f M ≤ k ≤ n e Σ = Σ0 × Rk . Além disso, Ind f M ≥ 2.
Vale ressaltar que o resultado devido a McGonagle e Ross ainda é válido quando não
supomos que Σ é própria. Isto pode ser visto no Teorema 1.6.
Observação 1.6. Vale ressaltar que o Teorema 1.8, no caso em que M é uma subvariedade,
ainda é válido quando não supomos que M é própria. Isto pode ser visto no Teorema 1.6.
Como consequências do Teorema 1.8, temos
1
um gradient Ricci soliton satisfazendo Ric f = g, PM f o conjunto
2
n+1
n
dos campos vetoriais e paralelos globalmente definidos em M f e M uma hipersuperfície propriamente imersa em M f . Assuma que M tem curvatura média ponderada constante e volume
ponderado finito. Se a função unidade 1 ̸∈ {⟨X, η⟩; X ∈ PM f } e existe um campo X0 ∈ PM f ,
tal que ⟨X0 , η⟩ ̸≡ 0, então
Ind f M ≥ 1.
n+1
Corolário 1.7. Sejam M f
Além disso, se Ind f M = 1, então
dim{X ∈ PM f ; ⟨X, η⟩ ≡ 0} = dim PM f − 1.
n+1
Corolário 1.8. Sejam M f = (Σn+1−k × Rk , g, e− f dσ ) um gradient Ricci soliton satisfazendo
1
Ric f = g e M n uma hipersuperfície propriamente imersa em M f com curvatura média
2
ponderada constante e volume ponderado finito. Assuma que M ̸= M0 × Rk−1 , onde M0 ⊂ Σ. Se
dim PM f = k e existe um campo X0 ∈ PM f , tal que ⟨X0 , η⟩ ̸≡ 0, então Ind f M ≥ 2.
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
20
Esta Tese de Doutorado está estruturada da seguinte forma:
Capítulo 1 - Neste capítulo, revisamos alguns conceitos elementares de Geometria Riemanniana (ver (PETERSEN, 2006)), tais como: tensor curvatura de Ricci, campo gradiente,
hessiana e operador Laplaciano. Estendemos, de modo natural, alguns destes conceitos para
variedades ponderadas, como por exemplo: tensor curvatura de Ricci Bakry-Émery e Laplaciano ponderado. Finalizamos o capítulo, apresentado alguns resultados da Teoria Espectral para
o Laplaciano ponderado (ver (BÉRARD, 1985)). Além disso, fixamos as notações usadas ao
longo desta tese.
Capítulo 2 - Demonstramos os resultados relacionados ao espectro essencial do operador Laplaciano ponderado. A saber: Teorema 1.1, Teorema 1.2 e Teorema 1.3. Além disso,
damos algumas consequências de tais resultados. Vale ressaltar que neste capítulo, obtemos
uma classe de variedades completas que satisfazem as hipóteses do Teorema 1.2.
Capítulo 3 - Neste capítulo, mostramos que uma hipersuperfície com curvatura média
ponderada constante é o ponto crítico para a primeira variação da área ponderada. Também, obtemos a segunda variação da área ponderada para hipersuperfícies com curvatura média ponderada constante e definimos naturalmente o operador f -estabilidade e o índice de f -estabilidade.
Capítulo 4 - Damos algumas aplicações dos teoremas obtidos no Capítulo 2. De fato,
enunciamos e demonstramos o Teorema 1.4 e o Teorema 1.5, e seus respectivos corolários. Estes resultados tratam-se de estimativas da curvatura média ponderada de hipersuperfícies não
compactas com índice de f -estabilidade finito.
Capítulo 5 - Neste capítulo, vamos analisar os volumes ponderados de subvariedades
próprias não compactas de um gradient Ricci soliton. Além disso, iremos demonstrar alguns
resultados sobre o índice de f -estabilidade de hipersuperfícies em gradient Ricci solitons. Os
resultados que serão demonstrados neste capítulo são: Teorema 1.6, Teorema 1.7, Teorema 1.8,
Corolário 1.7 e Corolário 1.8.
Os resultados do Capítulo 2 e Capítulo 4 podem ser encontrados em (ROCHA, 2016).
21
2 PRELIMINARES E NOTAÇÕES
Neste capítulo, revisamos alguns conceitos elementares de Geometria Riemanniana (ver
(PETERSEN, 2006)), tais como: tensor curvatura de Ricci, campo gradiente, hessiana e operador Laplaciano. Estendemos, de modo natural, alguns destes conceitos para variedades ponderadas, como por exemplo: tensor curvatura de Ricci Bakry-Émery e Laplaciano ponderado.
Finalizamos o capítulo, apresentado alguns resultados da Teoria Espectral para o Laplaciano
ponderado (ver (BÉRARD, 1985)). Além disso, fixamos as notações usadas ao longo desta
tese.
2.1
Variedade Riemanniana, Curvatura de Ricci, Laplaciano
Sejam M uma variedade diferenciável e Tp M o espaço tangente de M em p ∈ M. Uma
métrica diferenciável em M é uma correspondência p ↦→ ⟨·, ·⟩ p , que associa a cada p ∈ M um
produto interno ⟨·, ·⟩ p em Tp M, o qual varia diferencialmente, isto é, para quaisquer campos
vetoriais diferenciáveis X,Y ∈ T M, a função g : M → R, definida por p ↦→ ⟨X| p ,Y | p ⟩ p , é diferenciável.
Definição 2.1. Uma variedade Riemanniana, denotada por (M, g), é uma variedade diferenciável M, munida de uma métrica diferenciável g = ⟨·, ·⟩.
Seja C∞ (M) o conjunto das funções u : M → M de classe C∞ , ou simplesmente, o conjunto das funções u que são suaves. Denote por X(M) o conjuntos dos campos vetoriais de
classe C∞ tangentes a M.
A conexão de Levi-Civita ∇ de uma variedade Riemanniana (M, g) é unicamente determinada pelas seguintes propriedades:
1. Y ↦→ ∇Y X é um (1, 1)-tensor:
∇αY +β Z X = α∇Y X + β ∇Z X,
onde X, Y , Z ∈ T M, α e β são funções reais definidas em M.
2. X ↦→ ∇Y X é uma derivação:
∇Y (X1 + X2 ) = ∇Y X1 + ∇Y X2
e ∇Y ( f X) = Y ( f )X + f ∇Y X,
onde f ∈ C∞ (M), X1 , X2 ∈ X(M) e Y ∈ T M.
3. ∇ é compatível com a métrica g = ⟨·, ·⟩ :
Z(⟨X,Y ⟩) = ⟨∇Z X,Y ⟩ + ⟨X, ∇ZY ⟩
22
Capítulo 2. PRELIMINARES E NOTAÇÕES
para X, Y, Z ∈ X(M).
4. ∇ é livre de torção:
∇X Y − ∇Y X = [X,Y ]
para X,Y ∈ X(M)
Definição 2.2. O tensor curvatura Riemanniana é um (1, 3)-tensor definido por
R(X,Y )Z := ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z,
onde X, Y ∈ T M e Z ∈ X(M).
O tensor curvatura Riemanniana também pode ser definido por
R(X,Y, Z,W ) := ⟨R(X,Y )Z,W ⟩,
o qual é um (0, 4)-tensor que satisfaz
R(X,Y, Z,W ) = −R(Y, X, Z,W ) = R(Y, X,W, Z) = R(W, Z,Y, X).
Definição 2.3. O tensor curvatura de Ricci é o (0, 2)-tensor
Ric(X,Y ) = traço(W ↦→ R(W, X)Y ),
onde X,Y, Z ∈ T M são campos vetorial suaves.
Considere um referencial ortonormal {e1 , e2 , . . . , en } no fibrado tangente T M. Assim
n
n
Ric(V,W ) = traço(X ↦→ R(X,V )W ) = ∑ ⟨R(ei ,V )W, ei ⟩ = ∑ R(ei ,V,W, ei ).
i=1
i=1
Visto que
R(ei ,V,W, ei ) = R(W, ei , ei ,V ) = −R(ei ,W, ei ,V ) = R(ei ,W,V, ei ),
temos
Ric(V,W ) = Ric(W,V ).
O qual mostra que o tensor de Ricci é simétrico. Dado um número real k, dizemos que
Ric ≥ kg,
se Ric(X, X) ≥ k⟨X, X⟩ = k|X|2 para todo X ∈ X(M).
Agora, vamos continuar definindo objetos intrínsecos da variedade Riemanniana (M, g),
ou seja, objetos que dependem da métrica g, como por exemplo: campo gradiente, hessiana e
operador Laplaciano.
23
Capítulo 2. PRELIMINARES E NOTAÇÕES
Definição 2.4. Seja f ∈ C∞ (M). O único campo vetorial suave ∇ f satisfazendo
⟨∇ f , X⟩ = d f (X)
para todo X ∈ T M, é chamado gradiente de f .
O campo gradiente satisfaz as seguintes propriedades:
1. ∇( f + g) = ∇ f + ∇g;
2. ∇( f g) = f ∇g + g∇ f ,
para quaisquer funções f , g ∈ C∞ (M). Além disso, dados p ∈ M e uma curva suave γ : (−ε, ε) →
M, tal que γ(0) = p e γ ′ (0) = v ∈ Tp M, então
⟨∇ f , v⟩ p = ( f ∘ γ)′ (0).
Definição 2.5. Seja f ∈ C∞ (M). A hessiana de f é dada por
∇2 f (X,Y ) := ⟨∇X ∇ f ,Y ⟩
para todos X,Y ∈ T M. Além disso, o operador Laplaciano de f , denotado por ∆ f , é definido
por
∆ f := traço∇2 f .
A hessiana de f é um (0,2)-tensor simétrico, isto é,
∇2 f (X,Y ) = ∇2 f (Y, X)
para todos X,Y ∈ T M.
Definição 2.6. Seja X ∈ X(M). O divergente de X é definido por
div X := traço (Y ↦→ ∇Y X) .
Considere um referencial ortonormal {e1 , e2 , . . . , en } em uma vizinhança U ⊂ M de p ∈
M. Portanto, o operador Laplaciano de f , na vizinhança U ⊂ M, é dado por
n
∆ f = ∑ ⟨∇ei ∇ f , ei ⟩ = div ∇ f .
i=1
Sejam (M, g) uma variedade Riemanniana orientada e {e1 , e2 , . . . , en } uma base ortonormal positiva de Tp M. A forma de volume, induzida pela métrica g p = ⟨·, ·⟩ p , é definida por
dσ (v1 , v2 , . . . , vn ) = det(⟨vi , e j ⟩).
24
Capítulo 2. PRELIMINARES E NOTAÇÕES
Exemplo 2.1. Sejam I ⊂ R um intervalo e §n−1
⊂ Rn a esfera unitária (n − 1)-dimensional
1
centrada na origem. Considere a variedade ponderada n-dimensional
(I × S1n−1 ) f = (I × S1n−1 , g, e− f dσ ),
onde f = f (r) é a função potencial,
g = dr2 + λ 2 (r)dθ 2
é uma métrica rotacionalmente simétrica e λ : [0, +∞) → R é uma função suave não negativa.
Logo, em coordenadas, dσ = (λ (r))n−1 dr ∧ dθ e o volume ponderado da bola geodésica de
raio r é dado por
Z
Vol f (Br ) =
e− f dσ =
Z rZ
0
Br
(λ (t))n−1 e− f (t) dθ dt = ωn
n−1
S1
Z r
(λ (t))n−1 e− f (t) dt,
(2.1)
0
onde ωn é o volume (n − 1)-dimensional de S1n−1 . O volume ponderado da fronteira de Br é
igual a
Z
vol f (∂ Br ) = n−1 (λ (r))n−1 e− f (r) dθ = ωn (λ (r))n−1 e− f (r) .
(2.2)
S1
2.2
Curvatura de Ricci Bakry-Émery e Laplaciano Ponderado
É natural considerar uma variedade Riemanniana (M n , g) munida com uma forma de
volume ponderado e− f dσ , onde f ∈ C∞ (M) é chamada função potencial e dσ é a forma de
volume induzido pela métrica g. Uma variedade ponderada é uma tripla
M nf = (M n , g, e− f dσ ).
Estendemos, de modo natural, alguns destes conceitos para variedades ponderadas,
como por exemplo: Laplaciano ponderado.
Definição 2.7. Sejam M nf uma variedade ponderada e u ∈ C∞ (M). O operador Laplaciano
ponderado ∆ f de u é definido por
∆ f u := ∆u − ⟨∇ f , ∇u⟩,
onde ∆u denota o operador Laplaciano de u com respeito a métrica g.
O operador Laplaciano ponderado ∆ f está associado a e− f dσ , bem como ∆ está associado a dσ . Isto é visto no seguinte resultado:
Teorema 2.1 (Teorema de Green para Laplaciano ponderado). Sejam Ω ⊂ M um conjunto compacto e u, v ∈ C∞ (Ω). Então
Z
−f
(u∆ f v)e
Ω
Z
dσ +
Ω
−f
⟨∇u, ∇v⟩e
Z
dσ =
∂Ω
uη(v)e− f d∂ Ω,
(2.3)
25
Capítulo 2. PRELIMINARES E NOTAÇÕES
Z
−f
(u∆ f v − v∆ f u)e
Z
dσ =
Ω
(uη(v) − vη(u))e− f d∂ Ω,
(2.4)
∂Ω
onde η denota a normal unitária exterior a Ω ao longo de ∂ Ω.
Demonstração. De fato,
div(e− f u∇v) = e− f u div ∇v + ⟨∇(e− f u), ∇v⟩
= e− f u∆v − e− f u⟨∇ f , ∇v⟩ + e− f ⟨∇u, ∇v⟩
= e− f u∆ f v + e− f ⟨∇u, ∇v⟩.
Integrando ambos os lados da igualdade acima e aplicando o teorema da divergência para o
campo X = e− f u∇v, segue-se a igualdade (2.3). A desigualdade (2.4) é obtida integrando a
diferença u∆ f v − v∆ f u e em seguida aplicando a igualdade (2.3).
Corolário 2.1. Sejam Ω ⊂ M um conjunto compacto e u ∈ C∞ (Ω), tal que u|∂ Ω ≡ 0. Então
Z
∆ f ue− f dσ = 0.
(2.5)
Ω
Demonstração. Basta usar o Teorema 2.1, igualdade 2.4, escolhendo a função v ≡ 1 em Ω.
Uma extensão natural do tensor curvatura de Ricci, para este novo contexto, é o tensor
curvature de Ricci Bakry-Émery que foi definido por Bakry e Émery (BAKRY; ÉMERY, 1985).
Definição 2.8. O tensor curvatura de Ricci Bakry-Émery é definido por
Ric f = Ric +∇2 f ,
onde Ric é o tensor curvatura de Ricci de M e ∇2 f é a hessiana de f em M.
É conhecido que, se uma variedade ponderada completa M f satisfaz Ric f ≥ kg para
alguma constante k > 0, então
compacta. Um dos exemplos é o
M f não é 2necessariamente
|x|
1
Gaussian shrinking soliton Rn , gcan , e− 4 dσ com a métrica canônica gcan e Ric f = g.
2
Podemos considerar uma generalização do tensor curvatura de Ricci Bakry-Émery dado
por
d f ⊗d f
nm
para alguma constante real m > 0 (ver (WEI; WYLIE, 2009)).
Ric f
nm
= Ric f −
26
Capítulo 2. PRELIMINARES E NOTAÇÕES
2.3
Alguns Resultados Espectrais para o Laplaciano Ponderado
Finalizamos este capítulo, apresentado alguns resultados da Teoria Espectral para o Laplaciano ponderado.
Seja H o espaço de Hilbert, isto é, um espaço vetorial com um produto interno (·, ·)
p
o qual é ainda completo com respeito a norma ‖v‖ = (v, v). Seja T : D(T ) ⊂ H → H um
operador (ilimitado) densamente definido em H . Relembramos que o conjunto resolvente de
T é o conjunto dos pontos λ ∈ C, tais que (T − λ ) tem imagem R(T − λ ) densa em H e
(T − λ )−1 se estende a um operador limitado em H .
O espectro de T , denotado por σ (T ), é o complemento do conjunto resolvente de T .
Ainda, σ (T ) pode ser decomposto na união disjunta σd (T ) ∪ σess (T ), onde σd (T ) é o conjunto
de autovalores isolados com multiplicidade finita, chamado espectro discreto, e seu complemento σess (T ), chamado espectro essencial, é o conjunto de autovalores com multiplicidade
infinita e pontos de acumulação do espectro. Assim definidos, podemos ver que o espectro e o
espectro essencial são fechados de R.
O operador adjunto é definido por
D(T * ) = {y ∈ H ; x ↦→ (T x, y) é um funcional linear limitado em D(T )}
e T * y é definido via o teorema da representação de Riesz pela identidade (x, T * y) = (T x, y) para
qualquer x ∈ D(T ).
Definição 2.9. Dizemos que T é um operador simétrico se (T x, y) = (x, Ty) para todos x, y ∈
D(T ) e T é um operador autoadjunto se T = T * .
É conhecido que o espectro de um operador autoadjunto T é real, ou seja, σ (T ) ⊂ R.
Além disso, se T é um operador positivo, isto é, (T x, x) ≥ 0 para qualquer x ∈ D(T ), então
σ (T ) ⊆ [0, +∞).
Agora, iremos analisar o espectro do operador Laplaciano ponderado −∆ f , onde M f é
uma variedade ponderada não compacta e completa. Denote por L2 (M, g, e− f dσ ) ou, simplesmente L2f (M), o conjunto das funções u : M → R quadrado integráveis com respeito a medida
e− f dσ , isto é,
Z
|u|2 e− f dσ < +∞.
Ω
Este espaço é um espaço de Hilbert, com produto interno
Z
(u, v)L2 =
f
1/2
e L2f -norma ‖u‖L2 := (u, u)L2 .
f
f
Ω
uve− f dσ
27
Capítulo 2. PRELIMINARES E NOTAÇÕES
Sabe-se que o conjunto Cc∞ (M), das funções u : M → R de classe C∞ com suporte compacto, é denso em L2f (M) para norma ‖ · ‖L2 . Assim, podemos ver o Laplaciano
f
−∆ f : Cc∞ (M) → L2f (M)
como um operador elíptico densamente definido em L2f (M). Decorre do teorema de Green, ver
(2.3) e (2.4), que −∆ é simétrico e positivo. De fato,
(u, −∆ f v)L2 − (v, −∆ f u)L2 = −
f
Z
f
e
(u, −∆ f u)L2 = −
Z
M
−f
(u∆ f u)e
f
(u∆ f v − v∆ f u)e− f dσ = 0
Z
|∇u|2 e− f dσ ≥ 0
dσ =
M
M
∞
para quaisquer funções u, v ∈ Cc (M). Um teorema clássico da teoria espectral afirma que o
operador Laplaciano −∆ f : Cc∞ (M) → L2f (M) tem uma única extensão autoadjunta em L2f (M),
que também denotaremos por −∆ f . Logo o espectro de −∆ f é real e não negativo, isto é,
σ (−∆ f ) ⊆ [0, +∞).
Para um domínio compacto K ⊂ M, considere o problema dos autovalores de Dirichlet:
(
∆ f u + λ u = 0, em K ∖ ∂ K
u = 0, em ∂ K.
É conhecido que L2f -espectro do operador −∆ f restrito ao espaço C∞ (K) é discreto. O conjunto
de todos os autovalores de Dirichlet contados com sua multiplicidade é uma sequência não
decrescente
f
f
f
0 < λ1 (K) < λ2 (K) ≤ λ3 (K) ≤ . . .
f
f
com λ j (K) → ∞ quando j → ∞. A caracterização variacional para o primeiro autovalor λ1 (K),
dada por
Z
f
λ1 (K) =
|∇u|2 e− f dσ
inf
u∈C∞ (K)
ZK
2 −f
|u| e
,
dσ
K
implica que
f
f
λ1 (Ω) ≤ λ1 (K)
para quaisquer domínios compactos K e Ω tais que K ⊆ Ω ⊂ M. O primeiro autovalor de −∆ f
em M ∖ Ω é caracterizado por
f
f
λ1 (M ∖ Ω) = inf{λ1 (K) : K ⊂ M ∖ Ω é um domínio compacto}
Z
=
inf
u∈Cc∞ (M∖Ω)
|∇u|2 e− f dσ
M∖Ω
Z
M∖Ω
2 −f
|u| e
.
dσ
28
Capítulo 2. PRELIMINARES E NOTAÇÕES
Além disso, pode ser visto no Teorema 6.1 em (BESSA et al., 2013) que
f
inf σess (−∆ f ) = sup λ1 (M ∖ Ω),
(2.6)
Ω
onde Ω pertence ao conjunto de domínios compactos de M.
Seja o ∈ M um ponto fixado e Br a bola geodésica de M com centro em o ∈ M e raio
r > 0. Denote por A(r0 , r) = Br ∖ Br0 para algum real positivo fixado r0 . O primeiro autovalor
de M ∖ Br0 também pode ser dado como
f
f
λ1 (M ∖ Br0 ) = inf λ1 (A(r0 , r)).
r>r0
O seguinte resultado é essencialmente uma adaptação de um resultado devido a Cheng e Yau
(ver (CHENG; YAU, 1975), Corollary 1).
Proposição 2.1. Sejam M f = (M, g, e− f dσ ) uma variedade ponderada e u ∈ C∞ (M) uma função positiva. Então
∆f u
f
λ1 (M ∖ Br0 ) ≥ inf −
u
M∖Br0
para qualquer constante positiva r0 .
Demonstração. Seja o ∈ M um ponto fixado e A = A(r0 , r) = Br ∖ Br0 . Considere uma função
w : M → R não nula e não negativa satisfazendo
f
∆ f w + λ1 (A)w = 0,
(2.7)
com w(∂ A) = 0 e w(x) ≥ 0 para todo x ∈ A e, defina
h(x) =
w
.
u
Como ∆ f é um operador elíptico e
2
∆ f h + ⟨∇u, ∇h⟩ =
u
∆f w ∆f u
−
h.
w
u
Assim,
ou
∆f w ∆f u
−
≥0
em A
w
u
∆f w
∆f u
inf
(x) −
(x) < 0.
x∈A
w
u
(2.8)
(2.9)
Se a desigualdade (2.8) ocorre, segue do princípio do máximo que h não pode atingir o seu
máximo no interior de A = A(r0 , r), a menos que h seja constante. Assim, teríamos h ≡ 0, pois
h(∂ A) ≡ w(∂ A) ≡ 0. Entretanto, w é uma função não nula, portanto h não pode ser nula. Logo,
∆f w
∆f u
inf
(x) −
(x) < 0.
x∈A
w
u
29
Capítulo 2. PRELIMINARES E NOTAÇÕES
Segue da igualdade (2.7) e da desigualdade (2.9) que
∆f u
f
inf −λ1 (A) −
< 0,
x∈A
u
ou seja,
f
λ1 (A) ≥
∆f u
inf −
.
u
M∖Br0
30
3 ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL DO LAPLACIANO PONDERADO
Neste capítulo, iremos demonstrar os resultados enunciados na Introdução relacionados
ao espectro essencial do operador Laplaciano ponderado. A saber: Teorema 1.1, Teorema 1.2 e
Teorema 1.3. Além disso, damos algumas consequências interessantes de tais resultados. Vale
ressaltar que neste capítulo, obtemos uma classe de variedades completas que satisfazem as
hipóteses do Teorema 1.2.
3.1
Estimativa 1
Sejam M f = (M n , g, e− f dσ ) uma variedade ponderada e K ⊂ M um conjunto compacto.
Para cada número positivo δ > 0, defina o conjunto
Aδ (∂ K) = {x ∈ M ∖ K; d(x, ∂ K) ≤ δ },
com d(x, ∂ K) denotando a distância geodésica entre x e ∂ K. Além disso, vamos considerar a
função µδ : R*+ → R, definida por
µδ (r) =
1
log Vol f (Aδ (∂ Br )),
r
(3.1)
onde ∂ Br é a esfera geodésica de raio r > 0 e centro o ∈ M.
Estabelecidas as notações acima, temos o seguinte:
Lema 3.1. Seja M f uma variedade ponderada não compacta e completa. Para cada δ > 0
fixado, considere
µδ = lim inf µδ (r) e
µ̄δ = lim sup µδ (r),
(3.2)
r→∞
r→∞
com µδ (r) definido em (3.1).
(i) Se Vol f (M) = +∞, então inf σess (−∆ f ) ≤ µδ2 /4. Além disso, inf σess (−∆ f ) = 0 se µδ < 0.
(ii) Se Vol f (M) < +∞, então inf σess (−∆ f ) ≤ µ̄δ2 /4.
Demonstração. Para um domínio compacto arbitrário Ω ⊂ M, é conhecido que
Z
f
λ1 (M ∖ Ω) =
inf
u∈Cc∞ (M∖Ω)
|∇u|2 e− f dσ
M∖Ω
Z
M∖Ω
u2 e− f dσ
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
31
e, por (2.6),
f
inf σess (−∆ f ) = sup λ1 (M ∖ Ω).
Ω⊂M
Assim, para concluir a prova deste lema, basta mostrar a seguinte desigualdade: para cada δ > 0
e cada domínio compacto Ω ⊂ M, existe uma função u ∈ Cc∞ (M) com suporte compacto em
M ∖ Ω, tal que
Z
|∇u|2 e− f dσ
M
Z
u2 e− f dσ
< α 2 (ε) + ε1 ,
M
para ε, ε1 > 0 suficientemente pequenos, onde α 2 (ε) → µδ2 /4 quando ε → 0.
Agora, vamos construir uma função u(x) = eh j (x) · χr (x) com suporte compacto em M ∖
Ω. Para isso, sejam o ∈ M um ponto fixado e ρ(x) = d(x, o) a função distância de o até x ∈
M. Defina χr e h j , ver Figura 1 e Figura 2, da seguinte forma: para r suficientemente grande
satisfazendo Ω ⊂ Br−δ , seja
0,
se x ∈ Ω ou ρ(x) > r + δ ,
d(x, Ω)/δ ,
se 0 < d(x, Ω) ≤ δ ,
χr (x) =
1 − d(x, Br )/δ ,
se r < ρ(x) ≤ r + δ ,
1,
caso contrário,
e para cada número real α ≥ 0 e inteiro positivo j, seja
(
αρ(x),
se ρ(x) ≤ j,
h j (x) =
2α j − αρ(x), se ρ(x) > j.
Figura 1 – A função χr com suporte compacto em M ∖ Ω.
Fonte: (ROCHA, 2016)
32
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
Figura 2 – A função h j .
Fonte: (ROCHA, 2016)
Note que ∇χr tem suporte em Aδ (∂ Br ) ∪ Aδ (∂ Ω), |∇χr | ≤ 1/δ e |∇h j |2 ≤ α 2 . Para j e r
suficientemente grandes satisfazendo r > j, temos
Z
|∇u|2 e− f dσ
M∖Ω
Z
=
M∖Ω
e2h j (|∇h j · χr + ∇χr |2 )e− f dσ
Z
Z
e2h j (2χr · ⟨∇h j , ∇χr ⟩ + |∇χr |2 )e− f dσ +
u2 |∇h j |2 e− f dσ
M∖Ω
M∖Ω
Z
Z
Z
2α
1
2
2 −f
2h j − f
2h j − f
+ 2
e e dσ +
e e dσ .(3.3)
≤ α
u e dσ +
δ
δ
M∖Ω
Aδ (∂ Ω)
Aδ (∂ Br )
≤
Note que podemos considerar r0 , tal que Ω ⊂ Br0 −δ ⊂ Br−δ para qualquer r suficientemente
grande. Assim,
Z
2h j − f
e
e
dσ ≤
Aδ (∂ Ω)
Z
Aδ (∂ Ω)
e2αρ e− f dσ ≤ e2αr0 Vol f (Aδ (∂ Ω)).
Logo, existe uma constante finita C, que não depende de r e j, tal que
Z
2α
1
+ 2
e2h j e− f dσ ≤ C.
δ
δ
Aδ (∂ Ω)
(3.4)
(3.5)
(i) Note que
Z
u2 e− f dσ =
M∖Ω
Z
M∖Ω
e2h j χr2 e− f dσ → ∞ quando r, j → ∞.
(3.6)
De fato, suponha que j < r é tal que (Ω ∪ Aδ (∂ Ω)) ⊂ B j . Assim,
Z
2 −f
u e
Z
dσ =
M∖Ω
2h j
e
M∖Ω
χr2 e− f dσ ≥
Z
B j ∖Aδ (∂ Ω)
e2αρ e− f dσ ≥ e2αC Vol f (B j ∖ Aδ (∂ Ω)),
onde C é o raio da primeira bola geodésica que toca Aδ (∂ Ω) quando fazemos uma variação
decrescente de B j . Como Vol f (M) = +∞, por hipótese, então
Z
M∖Ω
u2 e− f dσ ≥ e2αC Vol f (B j ∖ Aδ (∂ Ω)) → ∞
quando r, j → ∞.
33
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
Se µδ ≥ 0, então existe uma sequência {rn } com rn > 2 j(2 + µδ /ε), para cada ε > 0 ,
satisfazendo
1
µδ (rn ) = log Vol f (Aδ (∂ Brn )) ≤ µδ + ε.
rn
Ao escolher α = α(ε) = (µδ + 2ε)/2, obtemos
h j (x) = (2 j − ρ(x))α ≤ (2 j − rn )(µδ + 2ε)/2
e
Z
e2h j e− f dσ ≤ e(2 j−rn )(µδ +2ε) e(µδ +ε)rn = e(2 j(µδ +2ε)−rn ε) ≤ 1.
(3.7)
Aδ (∂ Brn )
Portanto, por (3.3), (3.5), (3.6) e (3.7), podemos encontrar n e j, tais que un = eh j χrn e
Z
|∇un |2 e− f dσ
MZ
M
u2n e− f dσ
≤ α 2 (ε) + ε1
para ε1 > 0, onde α = (µδ + 2ε)/2. Agora, quando µδ < 0, temos que, para cada ε > 0 satisfazendo µδ +ε < 0, existe uma sequência {rn }, tal que µδ (rn ) ≤ µδ + ε. Para α = 0 e eh j = 1,
Z
Aδ (∂ Brn )
e2h j e− f dσ = Vol f (Aδ (∂ Brn )) ≤ e(µδ +ε)rn < 1.
Daí, para todo ε1 > 0 e n suficientemente grande,
Z
M
Z
|∇un |e− f dσ
u2n e− f dσ
M
≤ ε1 ,
onde un = 1χrn .
(ii) Visto que Vol f (M) < +∞, por hipótese, e inf σess (−∆ f ) ≤ +∞, então podemos assumir que −∞ < µ̄δ ≤ 0. Decorre da definição de µ̄δ que, para todo ε > 0 suficientemente
pequeno, existe uma sequência {rn }, tal que rn > 2 j(2ε − µ̄δ )/(ε − 2µ̄δ ) e
µ̄δ − ε ≤ µδ (rn ) =
1
log Vol f (Aδ (∂ Brn )) ≤ µ̄δ + ε.
rn
Aqui, podemos assumir que esta sequência {rn } satisfaz rn+1 − rn ≥ δ . Escolhendo α = α(ε) =
−(µ̄δ − 2ε)/2 e g(x) = eαρ(x) , obtemos
Z
2 −f
g e
Z
dσ ≥
∑ B
Br
rn +δ ∖Brn
A(r)
g2 e− f dσ ≥ ∑ e2αrn · Vol f (Aδ (∂ Brn ))
A(r)
∑ e2αrn e(µ̄δ −ε)rn = ∑ eεrn → ∞
≥
A(r)
quando r → ∞,
A(r)
onde A(r) = {n; rn + δ ≤ r}. Portanto,
Z
2 −f
u e
Z
dσ =
M∖Ω
≥
M∖Ω
Z
2 −f
g e
Bj
dσ −
e2h j χr2 e− f dσ
Z
Ω
g2 e− f dσ → ∞ quando r, j → ∞
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
e
Z
34
e2h j e− f dσ ≤ e(2 j−rn )(2ε−µ̄δ ) e(µ̄δ +ε)rn ≤ 1.
Aδ (∂ Brn )
Logo, tomando n e j suficientemente grandes e usando argumentos análogos aos apresentados
no caso do volume ponderado infinito, obtemos a estimativa desejada.
Observe que µδ1 ≤ µδ2 e µ̄δ1 ≤ µ̄δ2 para δ1 < δ2 . Assim, existe o limite
µ0 = lim µδ
δ →0
µ̄0 = lim µ̄δ ,
e
δ →0
com µδ definido em (3.2).
Lema 3.2. Seja M f uma variedade ponderada não compacta e completa. Então
inf σess (−∆ f ) ≤ µ 2 /4,
onde µ = max{µ0 , 0} se Vol f (M) = +∞ e µ = µ̄0 se Vol f (M) < +∞.
Demonstração. Decorre diretamente do Lema 3.1 que inf σess (−∆ f ) ≤ µ02 /4 se M f tem volume
ponderado infinito e inf σess (−∆ f ) ≤ µ̄02 /4 se M f tem volume ponderado finito. Agora, quando
Vol f (M) = +∞ e µ0 = limδ →0 µδ < 0, existe δ > 0 tal que µδ < 0. Usando o Lema 3.1 (i),
obtemos inf σess (−∆ f ) = 0. Isto conclui a prova deste lema.
Vamos agora usar o Lema 3.1 e o Lema 3.2 para provar o próximo resultado que também
foi enunciado na Introdução (ver Teorema 1.1):
Teorema 3.1. Seja M f uma variedade ponderada não compacta e completa.
(i) Se Vol f (M) = +∞, então
inf σess (−∆ f ) ≤
µv2
,
4
1
onde µv = lim inf log Vol f (Br ).
r→∞ r
(ii) Se Vol f (M) < +∞, então
µw2
inf σess (−∆ f ) ≤
,
4
(3.8)
−1
log(Vol f (M) − Vol f (Br )).
r→∞ r
onde µw = lim inf
Além disso, se M f = (Rn , g, e− f dσ ) com
r
f=
e g = dr2 + λ 2 (r)dθ 2 ,
2
tal que λ : [0, +∞) → R é uma função suave não negativa satisfazendo
−
r
λ (0) = 0, λ ′ (0) = 1 e λ (r) = e 2(n−1) para todo r ≥ r0 > 0,
(3.9)
então ocorre a igualdade em (3.8). Aqui dθ 2 denota a métrica canônica da esfera unitária
(n − 1)-dimensional S1n−1 ⊂ Rn centrada na origem e r(x) é a distância Euclidiana à origem.
35
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
Demonstração. (i) Sejam
1
1
µδ = lim inf log Vol f (Aδ (∂ Br )) e µv = lim inf log Vol f (Br ).
r→∞ r
r→∞ r
Visto que µδ1 ≤ µδ2 sempre que δ1 < δ2 , então µ0 = limδ →0 µδ (r) satisfaz µ0 ≤ µδ . Para δ > 0
arbitrariamente fixado, podemos tomar r suficientemente grande, tal que
Vol f (Aδ (∂ Br )) ≤ Vol f (Br ).
Assim, µδ ≤ µv e µ0 ≤ µδ ≤ µv para todo δ > 0. Se µ0 ≥ 0, então, segue do Lema 3.2, que
inf σess (−∆ f ) ≤
µ02 µv2
≤
.
4
4
Além disso, inf σess (−∆ f ) = 0, se µ0 < 0.
(ii) Sejam
1
µ̄δ = lim sup log Vol f (Aδ (∂ Br )) e
r→∞ r
−1
log(Vol f (M) − Vol f (Br )).
r→∞ r
µw = lim inf
Como µ̄δ1 ≤ µ̄δ2 sempre que δ1 < δ2 , então existe µ̄0 = limδ →0 µ̄δ e
1
µ̄0 ≤ µ̄δ ≤ lim sup log(Vol f (M) − Vol f (Br )) = −µw ≤ 0.
r→∞
r
(3.10)
A segunda desigualdade da expressão acima decorre da desigualdade
Vol f (Aδ (∂ Br )) ≤ Vol f (M) − Vol f (Br ).
Seja µ̄δ < 0. Para cada ε > 0 satisfazendo µ̄δ + ε < 0, existe r0 tal que
1
log Vol f (Aδ (∂ Br )) < µ̄δ + ε
r
e
∞
∞
k=0
k=0
Vol f (M) − Vol f (Br ) = ∑ Vol f (Aδ (∂ Br+kδ )) ≤ ∑ e(µ̄δ +ε)(r+kδ ) ,
para cada r ≥ r0 . Daí,
1
1
log(Vol f (M) − Vol f (Br )) ≤ µ̄δ + ε − log(1 − e(µ̄δ +ε)δ ),
r
r
o qual implica −µw ≤ µ̄δ + ε. Logo, tomando ε > 0 suficientemente pequeno, obtemos −µw ≤
µ̄δ e, usando a desigualdade (3.10), concluímos que −µw = µ̄δ = µ̄0 . Além disso, µ̄δ = −µw =
0 se µ̄δ = 0. Portanto, |µ̄0 | = µw . O item (ii) resulta do Lema 3.2.
Seja M f = (Rn , g, e− f dσ ) com
f=
r
2
e g = dr2 + λ 2 (r)dθ 2 ,
36
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
Figura 3 – A função λ : [0, +∞) → R.
Fonte: (AUTORA, 2016)
tal que λ : [0, +∞) → R, ver Figura 3, é uma função suave não negativa satisfazendo
−
r
λ (0) = 0, λ ′ (0) = 1 e λ (r) = e 2(n−1) para todo r ≥ r0 > 0.
Note que
1 E 1 1
1 1D
1 1
1 1
1 1
∇r, ∇ e 2 r = e 2 r ∆r + e 2 r |∇r|2 − e 2 r |∇r|2 = e 2 r ∆r,
∆f u = ∆ e2r −
2
2
4
4
2
onde
∆r = (n − 1)
d
dr
− r
e 2(n−1)
=−
r
− 2(n−1)
1
2
e
para todo r ≥ r0 > 0. Portanto u é uma solução positiva da equação
1
∆f u+ u = 0
4
para todo r ≥ r0 > 0. Visto que
f
λ1 (M ∖ Br ) ≥
∆f u
inf −
u
M∖Br
para cada função positiva, então
1
4
para todo r ≥ r0 > 0. Decorre da expressão (2.1), ver Exemplo 2.1 do Capítulo 1, que
f
λ1 (M ∖ Br ) ≥
Z r0
Vol f (Br ) = ωn
n−1 −t/2
(λ (t))
e
0
Z r
= Vol f (Br0 ) + ωn
−
t
e 2(n−1)
r0
e−t dt
r0
−r0
= Vol f (Br0 ) + ωn e
dt + ωn
Z r
− e−r
e
Vol f (M) = lim Vol f (Br ) = Vol f (Br0 ) + ωn e−r0 .
r→∞
n−1
e−t/2 dt
(3.11)
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
37
Portanto Vol f (M) < +∞. Neste caso, vamos calcular µw :
−1
log(Vol f (M) − Vol f (Br ))
µw = lim inf
r→∞ r
−1
log ωn e−r
= lim
r→∞ r
= 1.
Assim, usando as desigualdades (3.11) e (2.6) e o item (ii) do Teorema 3.1, obtemos que
1
µ2
1
f
≤ λ1 (M ∖ Br ) ≤ inf σess (−∆ f ) ≤ w = .
4
4
4
Isto conclui a prova do Teorema 3.1.
Observação 3.1. No Teorema 6.2 de (BESSA et al., 2013), Bessa, Pigola e Setti deram uma
limitação superior para inf σess (−∆ f ) em termos do crescimento do volume ponderado das
bolas geodésicas da variedade ponderada. De fato, eles mostraram que:
(i) Se Vol f (M) = +∞, então
1
inf σess (−∆ f ) ≤ lim sup log Vol f (Br ).
r→∞ r
(ii) Se Vol f (M) < +∞, então
inf σess (−∆ f ) ≤ lim sup
r→∞
−1
log(Vol f (M) − Vol f (Br )).
r
Logo, o Teorema 3.1 fornece uma estimativa melhorada para inf σess (−∆ f ) em relação a obtida
por Bessa, Pigola e Setti.
Agora, supondo que f = C é uma função constante, temos
∆ f = ∆,
Vol f = e−C Vol
e
vol f = e−C vol .
Além disso, inf σess (−∆ f ) = inf σess (−∆) é o ínfimo do espectro essencial do Laplaciano. Logo,
como uma consequência do Teorema 3.1, segue o
Corolário 3.1. Seja M uma variedade não compacta e completa.
(i) Se Vol(M) = +∞, então
inf σess (−∆) ≤
µv2
,
4
inf σess (−∆) ≤
µw2
,
4
1
onde µv = lim inf log Vol(Br ).
r→∞ r
(ii) Se Vol(M) < +∞, então
−1
log(Vol(M) − Vol(Br )).
r→∞ r
Observação 3.2. O Corolário 3.1 foi provado por Higuchi, ver Corolário 2 de (HIGUCHI,
2001).
onde µw = lim inf
38
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
3.2
Estimativa 2
Seja Ω ⊂ M um domínio compacto. O ínfimo do espectro de −∆ f em M ∖ Ω, com a
condição de contorno de Dirichlet em ∂ Ω, admite a caracterização variacional
Z
f
λ1 (M ∖ Ω) =
inf
u∈Cc∞ (M∖Ω)
|∇u|2 e− f dσ
M∖Ω
Z
2 −f
u e
,
dσ
M∖Ω
onde Cc∞ (M ∖ Ω) denota o conjunto das funções suaves u : M ∖ Ω → R com suporte compacto
em M ∖ Ω. Além disso, pode ser visto no Teorema 6.1 em (BESSA et al., 2013) que
f
inf σess (−∆ f ) = sup λ1 (M ∖ Ω),
(3.12)
Ω
onde Ω pertence ao conjunto de domínios compactos de M.
f
Estamos interessados em estimar λ1 (M ∖ Ω), onde Ω é um subconjunto compacto arbitrário de M. Para isso, vamos olhar para o comportamento oscilatório de soluções de equações
diferenciais ordinárias de segunda ordem. Vamos precisar de um resultado obtido por Fite (veja
(FITE, 1918), Teorema I):
Teorema 3.2 ((FITE, 1918)). Assuma que q e λ são funções contínuas para t ∈ [t0 , +∞) tais que
|q(t)| ≤ α e λ (t) ≥ h > 0 para todo t ≥ t0 , onde α e h são constantes satisfazendo 4h − α 2 > 0.
Então cada solução para a equação diferencial
y′′ + qy′ + λ y = 0
(3.13)
muda de sinal um número infinito de vezes, ou seja, cada solução para (3.13) é oscilatória.
Observação 3.3. Os critérios de oscilação na forma integral foram usados primeiramente por
do Carmo e Zhou (CARMO; ZHOU, 1999) para obter estimativas para o primeiro autovalor
λ1 (M ∖ Ω) do operador Laplaciano, supondo crescimento polinomial ou exponencial de volume. Outros autores também têm utilizado este critério para estimar o primeiro autovalor de
outros operadores elípticos, supondo condições sob o volume, por exemplo, veja (BIANCHINI
et al., 2009), (ELBERT, 2002) e (IMPERA; RIMOLDI, 2015). Nesta última referencia, Impera
f
e Rimoldi têm obtido estimativas para λ1 (M ∖ Ω) do operador Laplaciano ponderado.
Agora, podemos usar o resultado sobre soluções oscilatórias para provar o Teorema 3.3
que também foi enunciado na Introdução, ver Teorema 1.2.
Teorema 3.3. Sejam M f uma variedade ponderada não compacta completa e Ω um subconjunto compacto de M. Se existe uma constante real positiva α, tal que
d
log vol f (∂ Br ) ≤ α para todo r ≥ r0 ,
dr
39
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
então
f
λ1 (M ∖ Ω) ≤
α2
.
4
(3.14)
α2
.
4
(3.15)
Consequentemente,
inf σess (−∆ f ) ≤
Além disso, se M f = (Rn , g, e− f dσ ) com
αr
f=
e g = dr2 + λ 2 (r)dθ 2 ,
2
tal que λ : [0, +∞) → R é uma função suave não negativa satisfazendo
α
−
r
λ (0) = 0, λ ′ (0) = 1 e λ (r) = e 2(n−1) para todo r ≥ r0 > 0,
(3.16)
então ocorre a igualdade em (3.14) e (3.15) para qualquer compacto Ω ⊃ Br0 . Aqui dθ 2 denota
a métrica canônica da esfera unitária (n−1)-dimensional S1n−1 ⊂ Rn centrada na origem e r(x)
é a distância Euclidiana à origem.
Demonstração. Seja v(t) = vol f (∂ Bt ) a área ponderada para esfera geodésica ∂ Bt centrada em
o ∈ M e raio t > 0. Então, pela fórmula da co-área, temos
Z
Vol f (Br ) =
−f
e
Z rZ
−f
dσ =
e
0
Br
Escolha t0 ≥ r0 tal que Ω ⊂ Bt0 e defina q(r) :=
|q(r)| =
Z r
dA dt =
v(t)dt.
0
∂ Bt
v′ (r)
, r ≥ t0 . Visto que, por hipótese,
v(r)
d
(log v(r)) ≤ α,
dr
para todo r ≥ t0 , obtemos que a equação diferencial
y′′ (r) +
v′ (r) ′
y (r) + λ y(r) = 0,
v(r)
r ≥ t0 ,
(3.17)
satisfaz a condição do Teorema 3.2. Portanto, para cada λ > 0, tal que
4λ − α 2 > 0,
a equação diferencial (3.17) é oscilatória, ou seja, cada solução y(r), r ∈ [t0 , +∞), da equação
(3.17), muda de sinal um número infinito de vezes. Fixado um valor inicial y(t0 ) = y0 e y′ (t0 ) =
y′0 , temos que cada solução para (3.17) pode ser estendida para [t0 , +∞).
Seja y : [t0 , +∞) → R uma solução oscilatória não trivial de (3.17) com v(r) = vol f (∂ Br ).
Assim, existem dois números r1 e r2 em [t0 , +∞), tais que r1 < r2 e y(r1 ) = y(r2 ) = 0 e y(t) ̸= 0
para cada t ∈ (r1 , r2 ). Defina ϕ(x) = y(r(x)) e Ωλ = Br2 ∖Br1 , onde r(x) = dist(x, o) é a distância
geodésica de x ∈ M a um ponto fixado o ∈ M. Segue da fórmula da co-área que
Z
f
f
|∇ϕ|2 e− f dσ
Ωλ
(y′ (t))2 v(t) dt
r
Ω
0 ≤ λ1 (M ∖ Ω) ≤ λ1 (Ωλ ) ≤ Z λ
Z r2
2 −f
|ϕ| e
dσ
= Z 1r2
.
2
(y(t)) v(t) dt
r1
40
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
Como, pela equação (3.17),
v′ ′
′′
(yvy ) = (y ) v + yv y + yvy = (y ) v + y + y yv = (y′ )2 v − λ y2 v,
v
′ ′
′ 2
′ ′
′′
′ 2
então
Z r2
λ (y(t))2 v(t) dt
r
f
0 ≤ λ1 (M ∖ Ω) ≤ Z1 r2
= λ.
(y(t))2 v(t) dt
r1
Sabendo que λ é uma constante positiva maior que
α2
, então
4
f
λ1 (M ∖ Ω) ≤
α2
.
4
Logo, aplicando a desigualdade anterior em (3.12), obtemos
α2
.
inf σess (−∆ f ) ≤
4
Agora, seja M f = (Rn , g, e− f dσ ) com
f=
αr
2
e g = dr2 + λ 2 (r)dθ 2 ,
tal que λ : [0, +∞) → R, ver Figura 4, é uma função não negativa satisfazendo
−
α
r
λ (0) = 0, λ ′ (0) = 1, e λ (r) = e 2(n−1) para todo r ≥ r0 > 0.
α
Para cada constante α, defina a função u(r) = e 2 r . Note que
Figura 4 – A função λ : [0, +∞) → R.
Fonte: (AUTORA, 2016)
α αD
α E α α
α2 α
α2 α
α α
∆f u = ∆ e 2 r −
∇r, ∇ e 2 r = e 2 r ∆r + e 2 r |∇r|2 − e 2 r |∇r|2 = e 2 r ∆r,
2
2
4
4
2
onde
∆r = (n − 1)
d
dr
− α r
e 2(n−1)
α
− 2(n−1)
r
e
=−
α
2
41
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
para todo r ≥ r0 > 0. Portanto u é uma solução positiva de
∆f u+
α2
u=0
4
para todo r ≥ r0 > 0. Segue da Proposição 2.1 que
f
λ1 (M ∖ Br ) ≥
∆f u
inf −
,
u
M∖Br
para qualquer função positiva, então
f
λ1 (M ∖ Br ) ≥
α2
.
4
Logo,
α2
(3.18)
4
para qualquer compacto Ω ⊃ Br0 . Por outro lado, usando a igualdade (2.1), ver Exemplo 2.1 do
Capítulo 1, obtemos
f
f
λ1 (M ∖ Ω) ≥ λ1 (M ∖ Br0 ) ≥
d
d
log vol f (∂ Br ) =
log(ωn e−αr = | − α| = α para todo r ≥ r0 > 0.
dr
dr
Decorre do item (i) do Teorema 3.3 que
λ1 (M ∖ Ω) ≤
α2
.
4
Assim, usando a desigualdade (3.18) e a desigualdade acima, concluímos que
λ1 (M ∖ Ω) = inf σess (−∆ f ) =
α2
4
para cada compacto Ω ⊃ Br0 .
Exemplo 3.1. Existe uma classe de variedades Riemannianas que satisfazem as condições
do Teorema 3.3. De fato, seja M nf = (Rn , g, e− f dσ ) com potencial f = f (r) e uma métrica
suave g = dr2 + λ 2 (r)dθ 2 , onde dθ 2 denota a métrica canônica (n − 1)-dimensional da esfera
unitária S1n−1 ⊂ Rn centrada na origem e λ : [0, +∞) → R é uma função suave não negativa,
tal que λ (0) = 0, λ ′ (0) = 1 e
(n − 1)
λ ′ (r)
− f ′ (r) ≤ α,
λ (r)
α > 0,
para todo r ≥ r0 > 0. Decorre do Exemplo 2.1, igualdade (2.1), que
d
d
n−1 − f (r)
log(vol f (∂ Br )) =
log ωn (λ (r)) e
dr
dr
λ ′ (r)
− f ′ (r)
= (n − 1)
λ (r)
para todo r ≥ r0 . Logo
d
λ ′ (r)
log(vol f (∂ Br )) = (n − 1)
− f ′ (r) ≤ α.
dr
λ (r)
(3.19)
42
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
Observação 3.4. A condição
d
log vol f (∂ Br ) ≤ α,
dr
r > 0,
implica que
Vol f (Br ) ≤ Ceαr ,
onde C = 1/α. Mas M não tem necessariamente volume ponderado infinito. Olhe para M f =
(Rn , g, e− f dσ ) com f = αr/2 e g = dr2 + λ 2 (r)dθ 2 , tal que λ : [0, +∞) → R é uma função
suave não negativa satisfazendo (3.16); M f tem volume ponderado finito, ou seja,
Z r
Vol f (Br ) = Vol f (Br0 ) + ωn
r0
e−αt dt = Vol f (Br0 ) +
ωn
−e−αr + e−αr0 ,
α
e, portanto,
Vol f (M) = lim Vol f (Br ) = Vol f (Br0 ) +
r→∞
ωn
.
αeαr0
Isto pode ser visto nas expressão (2.1) do Exemplo 2.1.
Agora, supondo que f = C é uma função constante, decorre do Teorema 3.3 a seguinte
consequência:
Corolário 3.2. Sejam M uma variedade não compacta completa e Ω um subconjunto de M. Se
d
(log vol(∂ Br )) ≤ α para r ≥ r0 ,
dr
então
λ1 (M ∖ Ω) ≤
α2
.
4
(3.20)
Consequentemente,
α2
.
(3.21)
4
Além disso, se M = (Rn , g) com g = dr2 + λ 2 (r)dθ 2 , tal que λ : [0, +∞) → R é uma função
suave não negativa satisfazendo
inf σess (−∆) ≤
−
α
r
λ (0) = 0, λ ′ (0) = 1 e λ (r) = e (n−1) para todo r ≥ r0 > 0,
então ocorre a igualdade em (3.20) e em (3.21) para qualquer compacto Ω ⊃ Br0 . Aqui dθ 2 denota a métrica canônica da esfera unitária (n − 1)-dimensional S1n−1 ⊂ Rn centrada na origem
e r(x) é a distância Euclidiana à origem.
3.3
Aplicação
Sejam I ⊂ R um intervalo e S1n−1 ⊂ Rn a esfera unitária (n − 1)-dimensional centrada
na origem. Considere a variedade ponderada n-dimensional
(I × S1n−1 ) f = (I × S1n−1 , g, e− f dσ ),
43
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
onde f = f (r) é a função potencial,
g = dr2 + λ 2 (r)dθ 2
é uma métrica rotacionalmente simétrica e λ : [0, +∞) → R é uma função suave não negativa.
Para esta variedade, o volume ponderado da bola geodésica Br = Br (o), onde o ∈ M é um ponto
fixado, é dado por
Z
r
Vol f (Br ) = ωn
(λ (t))n−1 e− f (t) dt,
(3.22)
0
(ver Exemplo 2.1), igualdade (2.1), onde ωn é a área da esfera unitária (n − 1)-dimensional
S1n−1 .
Dada uma função u = u(r), temos que
λ ′ (r)
′
∆ f u = ∆u − ⟨∇u, ∇ f ⟩ = u (r) + (n − 1)
− f (r) u′ (r).
λ (r)
′′
(3.23)
Lema 3.3. Seja β > 0. Então
Z r
lim
r→∞ 0
β
t n−1 e−t dt < +∞.
Demonstração. Fazendo a substituição u = t β , obtemos
Z r
t
1
dt =
β
n−1 −t β
e
0
Z rα
n−β
u β e−u du.
(3.24)
2 −rβ /2
e
− e−r0 /2 .
β
(3.25)
0
Existe uma constante real u0 , tal que
n−β
u β ≤ eu/2
para u ≥ u0 ; e, portanto,
1
β
Z rβ
n−β
u β e−u du ≤
r0
1
β
Z rβ
e−u/2 du = −
r0
Agora, usando a igualdade (3.24) e a desigualdade (3.25), concluímos
Z r
t
n−1 −t β
e
0
Logo
Z r
lim
r→∞ 0
t
1
dt ≤
β
n−1 −t β
e
Z r0
n−β
u β e−u du −
0
1
dt ≤
β
Z r0
0
n−β
2 −rβ /2
e
− e−r0 /2 .
β
u β e−u du +
2 −r0 /2
e
< +∞.
β
β
Teorema 3.4. Sejam β > 0 uma constante real e Mβ = (Rn , gcan , e−r dσ ) uma variedade ponderada com potencial f (r) = rβ , onde gcan é a métrica canônica do espaço Euclidiano Rn e
dσ denota a medida de volume induzida por gcan em Rn .
44
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
(i) Se β > 1, então inf σess (−∆ f ) = +∞. Ou seja, σ (−∆ f ) é discreto.
1
(ii) Se β = 1, então inf σess (−∆ f ) = .
4
(iii) Se 0 < β < 1, então inf σess (−∆ f ) = 0.
Demonstração. Inicialmente, vamos mostrar que
0, se 0 < β < 1;
1
, se β = 1;
inf σess (−∆ f ) ≤
4
+∞, se β > 1.
(3.26)
De fato, note que g = dr2 + r2 dθ 2 , onde dθ 2 denota a métrica canônica da esfera (n − 1)dimensional. Assim, podemos usar a igualdade (3.22) com λ (r) = r, ou seja,
Z r
Vol f (Br ) = ωn
β
t n−1 e−t dt.
(3.27)
0
Assim, pelo Lema 3.3,
Z ∞
Vol f (M) = lim Vol f (Br ) = ωn
r→∞
e
Vol f (M) − Vol f (Br ) = ωn
β
t n−1 e−t dt < +∞
Z ∞
β
t n−1 e−t dt.
r
Agora, defina as funções
Z ∞
h(r) =
β
t n−1 e−t dt
e g(r) =
r
1 n−β −rβ
r
e .
β
Observe que tais funções satisfazem a seguinte igualdade:
g(x)
= 1.
r→∞ h(x)
lim
Com efeito, como
lim g(x) = lim h(x) = 0,
r→∞
r→∞
então podemos usar a regra de L’Hospital,
h(x)
h′ (x)
= lim ′ ,
r→∞ g(x)
r→∞ g (x)
lim
onde
h′ (x) = −rn−1 e−r
e
′
−rβ
g (x) = e
(3.28)
0
β
(n − β ) n−β −1
n−1
r
−r
.
β
(3.29)
45
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
Daí,
g(x)
= lim
lim
r→∞
r→∞ h(x)
(n−β ) n−β −1
− rn−1
(n − β ) −β
β r
=
lim
−
r + 1 = 1.
r→∞
−rn−1
β
Assim,
µw
Z∞
−1
−1
n−1 −t β
= lim inf
log(Vol f (M) − Vol f (Br )) = lim inf
log ωn
t e dt
r→∞ r
r→∞ r
r
−1
−1
= lim inf
log (ωn h(x)) = lim inf
(log ωn + log h(x))
r→∞ r
r→∞ r
1
1
1
g(x)
= lim − log ωn − log g(x) + log
,
r→∞
r
r
r
h(x)
onde
1
−1
1 n−β −rβ
lim log g(x) = lim
log
r
e
r→∞ r
r→∞ r
β
−1
1
n−β
−rβ
= lim
log + log r
+ log e
r→∞ r
β
1
log r
1
β −1
+r
.
= lim − log − (n − β )
r→∞
r
β
r
Logo
µw =
0,
se 0 < β < 1;
1, se β = 1;
+∞, se β > 1;
e, usando o Teorema 3.1, obtemos (3.26).
Vamos mostrar que vale a igualdade em (3.26). Com efeito, aplique a função u(r) = er/2
na expressão obtida em (3.23),
1 r/2
n−1
1 β β −1 n − 1 −r/2
β −1 1 r/2
∆f u = e +
−βr
e =
− r
+
e
.
(3.30)
4
r
2
4 2
2r
Agora, aplicando a Proposição 2.1 à função positiva u(r) = e−r/2 e usando a expressão (3.12),
obtemos
∆f u
f
inf σess (−∆ f ) = sup λ1 (M ∖ Br ) ≥ sup inf −
u
Br
Br M∖Br
1 β
n−1
= sup inf − + rβ −1 −
4 2
2r
Br M∖Br
1 β
n−1
= lim − + rβ −1 −
,
r→∞
4 2
2r
no qual implica,
+∞, se β > 1;
1
, se β = 1;
inf σess (−∆ f ) ≥
4
0, se β < 1.
(3.31)
Capítulo 3. ESTIMATIVAS DO ÍNFIMO DO ESPECTRO ESSENCIAL
Logo, a prova dos itens (i), (ii) e (iii) deste teorema decorre das expressões (3.31) e (3.26).
46
47
4 OPERADOR f -ESTABILIDADE E ÍNDICE DE f ESTABILIDADE
Neste capítulo, mostramos que uma hipersuperfície com curvatura média ponderada
constante é o ponto crítico para a primeira variação da área ponderada. Também, obtemos a segunda variação da área ponderada para hipersuperfícies com curvatura média ponderada constante e definimos naturalmente o operador f -estabilidade e o índice de f -estabilidade.
n+1
Seja x : M n → M f uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana n-dimensional
n+1
orientável M n em uma variedade ponderada M f . A segunda forma fundamental A de x é definida por
X,Y ∈ Tp M, p ∈ M,
A(X,Y ) = (∇X Y )⊥ ,
onde ⊥ denota a projeção sobre o fibrado normal de M.
Definição 4.1. O vetor curvatura média poderada de M é definido por
H f = H + (∇ f )⊥ ,
onde
H = traço A.
A hipersuperfície M é chamada f -mínima quando o vetor curvatura média ponderada H f é
identicamente nulo; quando existe uma constante real C, tal que H f = −Cη, onde η é o campo
vetorial normal unitário, dizemos que a hipersuperfície M tem curvatura média ponderada
constante.
Definição 4.2. Uma variação de x é uma aplicação F : (−ε, ε) × M → M f tal que, para todo
t ∈ (−ε, ε), a aplicação Ft : M → M f , definida por Ft (p) = F(t, p), é uma imersão isométrica
com F0 (p) = x(p) para todo p ∈ M. A variação é própria, se existe um compacto K ⊂ M, tal
que Ft (p) = x(p) para todo p ∈ M ∖ K.
Se e− f dσt denota o elemento de volume ponderado da métrica induzida em M pela
imersão Ft , o funcional área ponderada, associado a variação F, é a função A f : (−ε, ε) → R
dada por
Z
A f (t) =
e− f dσt = Vol f (Ft (M)).
M
O funcional volume ponderado é a função V f : (−ε, ε) → R definida por
Z
*
−f
V f (t) =
F e dµ ,
[0,t]×M
onde e− f dµ denota o elemento de volume ponderado da variedade M f .
48
Capítulo 4. OPERADOR f -ESTABILIDADE E ÍNDICE DE f -ESTABILIDADE
Teorema 4.1 (Primeira Fórmula da Variação). Sejam x : M → M f uma imersão isométrica e
F : (−ε, ε) × M → M f uma variação própria com campo variacional ∂t F(t, p). Então
A f′ (0) =
Z
M
H f ue− f dσ
(4.1)
ue− f dσ .
(4.2)
e
Z
V f′ (0) =
M
onde H f = −H f η e u(p) = ⟨∂t F(0, p), η(p)⟩ para todo p ∈ M.
Demonstração. De fato,
d
d −f
dσt + e− f (dσt ) .
e
dt
M
M dt
Z
Z
A f′ (0) =
Seja Et (p) = ∂t F(t, p) o campo variacional da variação F. É conhecido que
h
i
d
dσt = −⟨E0 , H⟩ + div(E0⊤ ) dσ .
dt t=0
Além disso,
d −f
e = −e− f ⟨E, ∇ f ⟩.
dt
Logo,
A f′ (0)
= −
= −
= −
Z
−f
e
ZM
ZM
h
i
e− f −⟨E0 , H⟩ + div(E0⊥ ) dσ
M Z
e− f ⟨E0 , H + ∇ f ⟩dσ +
−f
e
M
⟨E0 , ∇ f ⟩dσ +
Z
⟨E0 , H f ⟩dσ −
Z
M
−f
e
M
e− f div(E0⊥ ) dσ
⟨E0⊤ , ∇ f ⟩dσ +
Z
M
e− f div(E0⊥ ) dσ .
Visto que
div(e− f E0⊤ ) = e− f div(E0⊤ ) − e− f ⟨∇ f , E0⊤ ⟩
e F é uma variação própria (E = 0 em M ∖ K), obtemos
A f′ (0) = −
Z
−f
e
M
⟨E0 , H f ⟩dσ =
Z
M
H f ue− f dσ ,
onde u = ⟨E, η⟩. Isto prova a igualdade (4.1).
Agora, fixe um ponto p ∈ M e escolha um referencial ortonormal adaptado e positivo
{e1 , e2 , . . . , en , η} em uma vizinhança de p. Assim,
F * (e− f dµ) = a(t, p)dt ∧ dσ ,
onde
a(t, p) = F * (e− f dµ)(e1 , e2 , . . . , en , ∂t )
= e− f dµ (dFt (e1 ), dFt (e2 ), . . . , dFt (en ), ∂t F(t, p))
= e− f vol (dFt (e1 ), dFt (e2 ), . . . , dFt (en ), ∂t F(t, p))
q
−f
= e ⟨∂t F(t, p), ηt ⟩ det(⟨dFt (ei ), dFt (e j )⟩)
Capítulo 4. OPERADOR f -ESTABILIDADE E ÍNDICE DE f -ESTABILIDADE
49
e ηt é o campo vetorial unitário normal à imersão Ft . Portanto,
V f′ (0)
d
a(t, p)dt ∧ dσ =
dt t=0 [0,t]×M
Z
=
Z
=
ZM
=
Z
a(0, p)dσ
M
⟨∂t F(0, p), ηt ⟩ e− f dσ
ue− f dσ ,
M
onde u = ⟨∂t F(0, p), ηt ⟩ .
A expressão (4.1) é conhecida como a primeira fórmula da variação do funcional área
ponderada.
Observação 4.1. Em (MCGONAGLE; ROSS, 2015), McGonagle e Ross obtiveram a primeira
n+1
(ver
fórmula da variação para hipersuperfícies M n ⊂ Rn+1
f , isto é, no caso onde M f = R f
(MCGONAGLE; ROSS, 2015), igualdade (2.1), pg. 282).
Definição 4.3. Dizemos que uma variação F é normal quando o campo variacional ∂t F é
normal a Ft (M). A variação F preserva volume ponderado, se V f (t) = V f (0) para todo t ∈
(−ε, ε).
Lema 4.1. Dada uma função u ∈ Cc∞ (M) satisfazendo M ue− f dσ = 0, existe uma variação
própria e normal F : (−ε, ε) × M → M f , com campo variacional ∂t F(0, p) = u(p)η(p) e
V f (t) = V f (0) para todo t ∈ (−ε, ε).
R
Demonstração. A prova deste lema segue de argumentos análogos aos apresentados por Barbosa, do Carmo e Eschenburg na prova do Lema 2.2 de (BARBOSA et al., 1988). Por isso,
omitiremos tal demonstração.
Decorre do Lema 4.1 que cada função u ∈ Cc∞ (M), satisfazendo a condição
Z
ue− f dσ = 0,
M
está associada a uma variação própria, normal e que preserva o volume ponderado.
Corolário 4.1. Seja x : M → M f uma imersão isométrica. Então, a hipersuperfície M tem
curvatura média ponderada constante se, e somente se, A f′ (0) = 0 para toda variação própria
e normal que preserva volume ponderado.
Demonstração. Suponha que M tem curvatura média ponderada constante, isto é H f = C. Seja
F uma variação própria e normal de x : M → M f que preserva volume ponderado, então decorre
do Teorema 4.1 que
A f′ (0) = C
Z
M
e− f ⟨∂t F(0, p), η⟩dσ = CV ′ (0) = 0.
A conclusão deste resultado segue de argumentos análogos aos apresentados por Barbosa e do
Carmo na prova da Proposição 2.7 de (BARBOSA; CARMO, 1984).
50
Capítulo 4. OPERADOR f -ESTABILIDADE E ÍNDICE DE f -ESTABILIDADE
Observação 4.2. As hipersuperfícies f -mínimas são pontos críticos do funcional área ponderada, ver Teorema 4.1 e Corolário 4.1. Já, as hipersuperfícies com curvatura média ponderada
constante são pontos críticos do funcional área ponderada restrito às variações próprias e normais que preservam o volume ponderado, ou melhor, para funções u ∈ Cc∞ (M) que satisfazem
a condição adicional
Z
ue− f dσ = 0.
M
Para cada ponto crítico, obtemos a segunda variação do funcional área ponderada:
Teorema 4.2 (Segunda Fórmula da Variação). Sejam x : M → M f uma imersão isométrica com
curvatura média ponderada constante e F : (−ε, ε) × M → M f uma variação própria e normal.
Então
Z
′′
A f (0) = −
(4.3)
u∆ f u + |A|2 + Ric f (η, η) u2 e− f dσ ,
M
2
onde A é a segunda forma fundamental e Ric f = Ric + ∇ f é o tensor curvatura de Ricci
Bakry-Émery.
Demonstração. De fato, sejam Et = ∂t F(t, ·) o campo variacional associado a variação F e
H f = C, onde C é uma constante real. Assim,
A f′ (t) =
Z
M
H f (t)⟨Et , ηt ⟩e− f dσt
e, portanto,
Z
′′
A (0) =
M
Z
=
M
Z
=
ZM
=
M
H ′f (0)ue− f dσ +
Z
M
Hf
d
⟨Et , ηt ⟩e− f dσt
dt t=0
d
H ′f (0)ue− f dσ +C
Z
dt t=0 M
⟨Et , ηt ⟩e− f dσt
H ′f (0)ue− f dσ +CV f′ (0)
H ′f (0)ue− f dσ .
Note que
−H ′f (0) = −H ′ (0) +
d
2
⟨∇ f , ηt ⟩ = −H ′ (0) + ∇ f (η, η)u + ⟨∇ f , ∇E0 η⟩,
dt t=0
(4.4)
onde u = ⟨E0 , η⟩. É conhecido que
−H ′ (0) = ∆u + |A|2 u + Ric(η, η)u.
(4.5)
Seja {e1 , e2 , . . . , en } um referencial ortonormal de T M. Como [E0 , ei ] = 0 para cada i = 1, 2, . . . , n,
então
n
n
n
n
∇u = ∑ ei (⟨E0 , η⟩)ei = ∑ ⟨∇ei E0 , η⟩ei + ∑ ⟨E0 , ∇ei η⟩ei = ∑ ⟨∇E0 ei , η⟩ei = −∇E0 η. (4.6)
i=1
i=1
i=1
i=1
Capítulo 4. OPERADOR f -ESTABILIDADE E ÍNDICE DE f -ESTABILIDADE
51
Assim, substituído (4.5) e (4.6) em (4.4), obtemos
2
−H ′f (0) = ∆u + |A|2 u + Ric(η, η)u + ∇ f (η, η)u − ⟨∇ f , ∇u⟩
= ∆ f u + |A|2 u + Ric f (η, η)u.
Logo,
A f′′ (0) = −
Z
M
u∆ f u + |A|2 + Ric f (η, η) u2 e− f dσ .
Observação 4.3. A segunda fórmula da variação do funcional área ponderada, A f′′ (0), pode
ser vista em (MCGONAGLE; ROSS, 2015), Lema 2.3, para imersões isométricas de hipersuperfícies M n em Rn+1
com curvatura média ponderada constante. Quando f é uma função
f
constante, a primeira e segunda fórmula da variação foram dadas por Barbosa e do Carmo
(BARBOSA; CARMO, 1984) e Barbosa, do Carmo e Eschenburg (BARBOSA et al., 1988).
Definição 4.4. O operador
L f = ∆ f + |A|2 + Ric f (η, η)
é chamado operador f -estabilidade da imersão x. No caso f -mínima, o operador f -estabilidade
age em F = Cc∞ (M); no caso da hipersuperfície com curvatura média ponderada constante, o
operador f -estabilidade age em
Z
∞
−f
F = u ∈ Cc (M);
ue dσ = 0 .
M
O operador L f é um operador autoadjunto e está associado à forma quadrática
I f (u, u) = −
Z
M
uL f ue− f dσ .
Definição 4.5. Para cada domínio compacto Ω ⊂ M, defina o índice, Ind f Ω, de L f em Ω como
a dimensão do maior subespaço de F , no qual I f é negativa definida. O índice, Ind f M, de L f
em M (ou simplesmente, o índice de M) é então definida por
Ind f M = sup Ind f Ω,
Ω⊂M
onde o supremo é tomado sobre todos domínios compactos Ω ⊂ M.
Se Ind f M = 0, dizemos que M é L f −estável. Caso contrário, ou seja, Ind f M > 0, M é
L f −instável.
52
5 ESTIMATIVAS PARA CURVATURA MÉDIA PONDERADA
Damos algumas aplicações dos teoremas obtidos no Capítulo 2. De fato, enunciamos
e demonstramos o Teorema 1.4 e o Teorema 1.5, e seus respectivos corolários, os quais foram
enunciados na Introdução. Estes resultados tratam-se de estimativas da curvatura média ponderada de hipersuperfícies não compactas com índice de f -estabilidade finito.
n+1
Sejam x : M n → M f uma imersão isométrica de uma hipersuperfície orientável M n
n+1
em uma variedade ponderada M f e
H f = H + (∇ f )⊥
o vetor curvatura média ponderada da hipersuperfície M. O operador f -estabilidade é dado por
L f = ∆ f + |A|2 + Ric f (η, η),
2
onde Ric f = Ric + ∇ f é o tensor curvatura de Ricci Bakry-Émery. No caso f -mínima, o operador f -estabilidade age em F = Cc∞ (M); no caso da hipersuperfície com curvatura média
ponderada constante, o operador f -estabilidade age em
Z
∞
−f
F = u ∈ Cc (M);
ue dσ = 0 .
M
O operador L f é um operador autoadjunto e está associado à forma quadrática
I f (u, u) = −
Z
M
uL f ue− f dσ .
Definição 5.1. Para cada domínio compacto Ω ⊂ M, defina o índice, Ind f Ω, de L f em Ω como
a dimensão do maior subespaço de F no qual I f é negativa definida. O índice, Ind f M, de L f
em M (ou simplesmente, o índice de M) é então definido por
Ind f M = sup Ind f Ω,
Ω⊂M
onde o supremo é tomado sobre todos domínios compactos Ω ⊂ M.
Observação 5.1. No caso da hipersuperfície com curvatura média ponderada constante, podemos analisar o índice de L f em M, com L f agindo em Cc∞ (M) ao invés de
Z
∞
−f
u ∈ Cc (M);
ue dσ = 0 .
M
Isto define o índice forte de L f em M, denotado por ind f M. Entretanto, pode-se verificar que
Ind f M < ∞ é equivalente a ind f (M) < ∞, então no Teorema 5.1, Teorema 5.2 e seus respectivos
corolários, torna-se irrelevante supor ind f M < ∞ ao invés de Ind f M < ∞.
53
Capítulo 5. ESTIMATIVAS PARA CURVATURA MÉDIA PONDERADA
Lema 5.1. Seja m um número real, tal que m < −1 ou m > 0. Então
(a + b)2 ≥
a2
b2
−
1+m m
para todos a, b ∈ R.
Demonstração. Inicialmente, note que
1
a + kb
k
2
r
≥ 0,
onde k =
1+m
.
m
Logo,
1
0 ≤ 2 a2 + 2ab + k2 b2 =
k
1
− 1 a2 + (k2 − 1)b2 + (a + b)2 ,
k2
isto é,
b2
1
a2
(a + b) ≥ 1 − 2 a2 + (1 − k2 )b2 =
− .
k
1+m m
2
Seja
Ric f
nm
= Ric f −
d f ⊗d f
,
nm
m > 0,
uma generalização do tensor curvatura de Ricci Bakry-Émery.
Como uma aplicação das estimativas do ínfimo do espectro essencial do operador Laplaciano ponderado dadas no Teorema 3.1, obtemos o seguinte resultado:
Teorema 5.1. Seja M n uma hipersuperfície não compacta e completa imersa isometricamente
n+1
em uma variedade ponderada completa e orientada M f com campo vetorial normal unitário
η. Sejam
1
−1
log(Vol f (M) − Vol f (Br )).
µv = lim inf log Vol f (Br ) e µw = lim inf
r→∞ r
r→∞ r
Se M tem curvatura média ponderada constante H f e ind f M < ∞, então
(
)
H 2f
µ2
⟨∇ f , η⟩2
≥ − + inf Ric f (η, η) +
nm
4 M∖Br
n(1 + m)
e
H 2f
n(1 + m)
≤
(5.1)
n
o
µ2
nm
− inf Ric f (η, η)
4 M∖Br
para qualquer constante m > 0 fixada, onde µ = µv se Vol f (M) = +∞ e µ = µw se Vol f (M) <
+∞. Em particular, se
µ2
nm
Ric f (η, η) ≥
4
para alguma constante positiva m, então M é uma hipersuperfície f -mínima.
Capítulo 5. ESTIMATIVAS PARA CURVATURA MÉDIA PONDERADA
54
Demonstração. Note que a função f : M → R, restrita a M, induz uma medida ponderada
e− f dσ em M. Seja
M nf = (M, g, e− f dσ )
a variedade ponderada induzida pela imersão.
Como ind f M < ∞ por hipótese, então, usando a Proposição 5 de (IMPERA; RIMOLDI,
2015), existem um conjunto compacto Ω e uma função positiva u em M, tais que
0 = L f u = ∆ f u + |A|2 u + Ric f (η, η)u
em M ∖ Ω. Sejam o ∈ M e r0 um número real suficientemente grande, de modo que Ω esteja
contido em Br0 (o). Logo, segue da igualdade (3.12) e do Teorema 3.1 que
µ2
f
,
λ1 (M ∖ Br ) ≤ inf σess (−∆ f ) ≤
4
onde µ = µv se Vol f (M) = +∞ e µ = µw se Vol f (M) < +∞. Agora, usando a Proposição 2.1 e
a desigualdade anterior, obtemos
2
∆f u
µ2
H
f
≥ λ1 (M ∖ Br ) ≥ inf −
≥ inf
+ Ric f (η, η) ,
4
u
n
M∖Br
M∖Br
pois |A|2 ≥
H2
. Visto que H f = H − ⟨∇ f , η⟩ é constante, decorre do Lema 5.1 que
n
2
⟨∇ f , η⟩2 H f
H = ((H f ) + ⟨∇ f , η⟩) ≥
−
1+m
m
2
2
e
H 2f
⟨∇ f , η⟩2
H = ((H f ) + ⟨∇ f , η⟩) ≥
−
1+m
m
2
2
para m > 0. Portanto,
µ2
f
≥ λ1 (M ∖ Br ) ≥ inf
4
M∖Br
(
)
2
⟨∇ f , η⟩2 H f
−
+ Ric f (η, η)
n(1 + m) nm
e
µ2
f
≥ λ1 (M ∖ Br ) ≥ inf
4
M∖Br
(
)
⟨∇ f , η⟩2
−
+ Ric f (η, η) .
n(1 + m)
nm
H 2f
Logo,
)
(
⟨∇ f , η⟩2
µ2
≥ − + inf Ric f (η, η) +
nm
4 M∖Br
n(1 + m)
H 2f
e
H 2f
n
o
µ2
nm
≤
− inf Ric f (η, η) ,
n(1 + m)
4 M∖Br
pois H f é constante. Em particular, se
µ2
,
4
então, usando a última desigualdade, obtemos que M é uma hipersuperfície f -mínima.
nm
Ric f (η, η) ≥
Capítulo 5. ESTIMATIVAS PARA CURVATURA MÉDIA PONDERADA
55
Observação 5.2. É conhecido que, se uma variedade ponderada completa M f satisfaz Ric f ≥
kg para alguma constante k > 0,
compacta. Um dos exemplos
então M f não2 é necessariamente
|x|
1
é o Gaussian shrinking soliton Rn , gcan , e− 4 dσ com a métrica canônica gcan e Ric f = g.
2
n+1
Corolário 5.1. Seja M f uma variedade ponderada completa e orientada com Ric f ≥ kg,
onde k > 0 é uma constante fixada. Então, não existe hipersuperfície f -mínima não compacta
n+1
e completa M n imersa em M f com ind f M < ∞ e satisfazendo
√
(i) µv < 2 k se Vol f (M) = +∞ ou
√
(ii) µw < 2 k se Vol f (M) < +∞.
Demonstração. De fato, como Ric f (η, η) ≥ k por hipótese, e ⟨∇ f , η⟩2 ≥ 0, então
(
)
⟨∇ f , η⟩2
inf Ric f (η, η) +
≥ k.
n(1 + m)
M∖Br
Portanto, decorre do Teorema 5.1, desigualdade (5.1), que
(
)
H 2f
µ2
⟨∇ f , η⟩2
µ2
≥ − + inf Ric f (η, η) +
≥ − + k,
nm
4 M∖Br
n(1 + m)
4
onde µ = µv se Vol f (M) = +∞ ou µ = µw se Vol f (M) < +∞. Logo, H f não pode ser nula
√
√
se µv < 2 k ou µw < 2 k.
É dito que o volume ponderado de M tem crescimento polinomial quando existem constantes positivas α, C e R0 , tais que
Vol f (Br ) ≤ Crα
para qualquer r ≥ R0 . Assim,
1
1
0 ≤ µv = lim inf log Vol f (Br ) ≤ lim inf log(Crα ) = 0,
r→∞ r
r→∞ r
isto é, µv = 0. Logo, segue do Teorema 5.1 a seguinte consequência:
Corolário 5.2. Seja M n uma hipersuperfície não compacta e completa imersa isometricamente
n+1
em uma variedade ponderada completa e orientada M f . Assuma que o volume ponderado de
M é infinito e tem crescimento polinomial. Se M tem curvatura média ponderada constante H f
e ind f M < ∞, então existe uma constante r0 > 0 tal que, para todo r ≥ r0 ,
(
)
H 2f
⟨∇ f , η⟩2
(5.2)
≥ inf Ric f (η, η) +
nm M∖Br
n(1 + m)
e
H 2f
n(1 + m)
n
o
nm
≤ − inf Ric f (η, η) ,
M∖Br
Capítulo 5. ESTIMATIVAS PARA CURVATURA MÉDIA PONDERADA
56
onde m é uma constante positiva e η é o campo vetorial unitário normal a M. Em particular, se
nm
Ric f (η, η) ≥ 0
para alguma constante m > 0, então M é uma hipersuperfície f -mínima.
Observe ainda que, se assumirmos Vol f (Br ) ≤ Ceαr para r ≥ R0 , então
1
1
µv = lim inf log Vol f (Br ) ≤ lim inf log(Ceαr ) = α.
r→∞ r
r→∞ r
Logo, como uma consequência do Teorema 5.1, obtemos o seguinte:
Corolário 5.3. Seja M n uma hipersuperfície não compacta e completa imersa isometricamente
n+1
em uma variedade ponderada completa e orientada M f . Assuma que o volume ponderado de
M é infinito e satisfaz Vol f (Br ) ≤ Ceαr para r ≥ R0 e para constantes positivas C e α. Se M
tem curvatura média ponderada constante H f e ind f M < ∞, então existe uma constante r0 > 0
tal que, para todo r ≥ r0 ,
(
)
2
2
H 2f
⟨∇ f , η⟩
α
≥ − + inf Ric f (η, η) +
(5.3)
nm
4 M∖Br
n(1 + m)
e
H 2f
n(1 + m)
≤
n
o
α2
nm
− inf Ric f (η, η) ,
4 M∖Br
onde m é uma constante positiva fixada e η é o campo vetorial unitário normal a M. Em
particular, se
α2
nm
Ric f (η, η) ≥
4
para algum m > 0, então M é uma hipersuperfície f -mínima.
Observação 5.3. Quando f é uma função constante, o Corolário 5.2 foi obtido por Alencar
e do Carmo, ver Teorema 1.1 de (ALENCAR; CARMO, 1993), e melhorado por do Carmo e
Zhou, ver Teorema 4.1 de (CARMO; ZHOU, 1999). Ainda, o Corolário 5.3 foi provado por
do Carmo e Zhou, ver Teorema 4.4 de (CARMO; ZHOU, 1999), supondo que f é uma função
constante.
Usando a desigualdade (5.2) do Corolário 5.2 e a desigualdade (5.3) do Corolário 5.3,
podemos obter os próximos dois resultados:
n+1
Corolário 5.4. Seja M f uma variedade ponderada completa e orientada com Ric f ≥ kg,
onde k > 0 é uma constante fixada. Então, não existe hipersuperfície f -mínima não compacta
n+1
e completa M n imersa em M f com ind f M < ∞, Vol f (M) = +∞ e crescimento de volume
ponderado polinomial.
Capítulo 5. ESTIMATIVAS PARA CURVATURA MÉDIA PONDERADA
57
n+1
Corolário 5.5. Seja M f uma variedade ponderada completa e orientada com Ric f ≥ kg,
onde k > 0 é uma constante fixada. Então, não existe hipersuperfície f -mínima não compacta
n+1
e completa M n imersa em M f com ind f M < ∞, Vol f (M) = +∞ e Vol f (Br ) ≤ Ceαr para
√
qualquer r ≥ R0 , onde C e α < 2 k são constantes positivas.
Agora, usando a estimativa de λ1 (M ∖ Ω) vista no Teorema 3.3, obtemos o seguinte
resultado:
Teorema 5.2. Seja M n uma hipersuperfície não compacta e completa imersa isometricamente
n+1
em uma variedade ponderada completa e orientada M f . Assuma que
d
log vol f (∂ Br ) ≤ α para todo r ≥ t0 > 0.
dr
Se M tem curvatura média ponderada constante H f e ind f M < ∞, então existe uma constante
r0 > 0 tal que, para todo r ≥ r0 ,
(
)
H 2f
α2
⟨∇ f , η⟩2
≥ − + inf Ric f (η, η) +
(5.4)
nm
4 M∖Br
n(1 + m)
e
H 2f
o
n
α2
nm
≤
− inf Ric f (η, η) ,
n(1 + m)
4 M∖Br
onde m é uma constante positiva e η é o campo vetorial unitário normal a M. Em particular, se
nm
Ric f (η, η) ≥
α2
4
para algum real m > 0, então M é uma hipersuperfície f -mínima.
Demonstração. Note que a função f : M → R, restrita a M, induz uma medida ponderada
e− f dσ em M. Assim, temos uma variedade ponderada induzida M nf = (M, g, e− f dσ ).
Como ind f M < ∞ por hipótese, então, usando a Proposição 5 de (IMPERA; RIMOLDI,
2015), existem um conjunto compacto Ω e uma função positiva u em M, tais que
0 = L f u = ∆ f u + |A|2 u + Ric f (η, η)u
em M ∖ Ω. Sejam o ∈ M e r0 > 0 satisfazendo Ω ⊂ Br0 . Logo, decorre do Teorema 3.3 e da
igualdade (3.12) que
α2
f
λ1 (M ∖ Br ) ≤ inf σess (−∆ f ) ≤
.
4
Segue da Proposição 2.1 e da desigualdade anterior que
2
∆f u
α2
H
f
≥ λ1 (M ∖ Br ) ≥ inf −
≥ inf
+ Ric f (η, η) ,
4
u
n
M∖Br
M∖Br
58
Capítulo 5. ESTIMATIVAS PARA CURVATURA MÉDIA PONDERADA
pois |A|2 ≥
H2
. Visto que H f = H − ⟨∇ f , η⟩ é constante, então decorre do Lema 5.1 que
n
H 2 = ((H f ) + ⟨∇ f , η⟩)2 ≥
e
H 2 = ((H f ) + ⟨∇ f , η⟩)2 ≥
2
⟨∇ f , η⟩2 H f
−
1+m
m
H 2f
1+m
−
⟨∇ f , η⟩2
m
para m > 0. Portanto,
α2
f
≥ λ1 (M ∖ Br ) ≥ inf
4
M∖Br
(
)
2
⟨∇ f , η⟩2 H f
−
+ Ric f (η, η)
n(1 + m) nm
e
α2
f
≥ λ1 (M ∖ Br ) ≥ inf
4
M∖Br
(
)
⟨∇ f , η⟩2
−
+ Ric f (η, η) .
n(1 + m)
nm
H 2f
Logo,
(
)
α2
⟨∇ f , η⟩2
≥ − + inf Ric f (η, η) +
nm
4 M∖Br
n(1 + m)
H 2f
e
H 2f
n(1 + m)
≤
n
o
α2
nm
− inf Ric f (η, η) .
4 M∖Br
Em particular, se
α2
4
para algum m > 0, então M é uma hipersuperfície f -mínima.
nm
Ric f (η, η) ≥
Como uma consequência da desigualdade (5.4) do Teorema 5.2, segue-se
n+1
Corolário 5.6. Seja M f uma variedade ponderada completa e orientada com Ric f ≥ kg,
onde k > 0 é uma constante fixada. Então, não existe hipersuperfície f -mínima não compacta
n+1
e completa M n imersa em M f com ind f M < ∞ e
√
d
log vol f (∂ Br ) ≤ α < 2 k
dr
para todo r ≥ t0 > 0.
Demonstração. De fato, como Ric f (η, η) ≥ k por hipótese, e ⟨∇ f , η⟩2 ≥ 0, então
)
(
⟨∇ f , η⟩2
inf Ric f (η, η) +
≥ k.
n(1 + m)
M∖Br
Portanto, decorre do Teorema 5.2, desigualdade (5.4), que
(
)
H 2f
α2
⟨∇ f , η⟩2
α2
≥ − + inf Ric f (η, η) +
≥ − +k
nm
4 M∖Br
n(1 + m)
4
Capítulo 5. ESTIMATIVAS PARA CURVATURA MÉDIA PONDERADA
para hipersuperfícies que satisfazem
d
log vol f (∂ Br ) ≤ α
dr
√
para todo r ≥ t0 > 0. Logo, H f não pode ser nula se α < 2 k.
59
60
6 GRADIENT RICCI SOLITON
Os gradient Ricci solitons são generalizações naturais das variedades de Einstein e correspondem as soluções autossimilares do fluxo de Ricci de Hamilton (ver (HAMILTON, 1982)
e (HAMILTON, 1988)). Um exemplo de um gradient Ricci soliton é o Gaussian shrinking
soliton
n+1
n+1
−f
R f = R , gcan , e dσ
que satisfaz
1
2
Ric + ∇ f = gcan ,
2
|x|2
onde gcan é a métrica canônica e f (x) =
é o potencial.
4
m
Definição 6.1. Uma variedade Riemanniana completa (M , g) é chamada gradient Ricci som
liton quando existe uma função f ∈ C∞ (M), tal que o tensor curvatura de Ricci de (M , g)
satisfaz
2
Ric + ∇ f = kg
para alguma constante k. Para k = 0, o Ricci soliton é steady, para k > 0, ele é shrinking e para
k < 0, expanding. A função f é chamada de função potencial do gradient Ricci soliton.
Neste capítulo, vamos analisar os volumes ponderados de subvariedades próprias não
compactas de um gradient Ricci soliton. Além disso, iremos demonstrar alguns resultados sobre
o índice de f -estabilidade de hipersuperfícies imersas isometricamente em um gradient Ricci
soliton. Os resultados que serão demonstrados neste capítulo foram enunciados na Introdução.
A saber: Teorema 1.6, Teorema 1.7, Teorema 1.8, Corolário 1.7 e Corolário 1.8.
6.1
Subvariedade Própria e Volume Ponderado Finito
Podemos considerar subvariedades imersas isometricamente em um gradient Ricci soliton. Em particular, uma self-shrinker Σn para o fluxo de curvatura média é uma f -mínima do
Gaussian shrinking soliton Rn+1
f .
Definição 6.2. Uma aplicação contínua ϕ : X → Y entre espaços topológicos é própria se para
cada subconjunto compacto K ⊂ Y , a ϕ −1 (K) ⊂ X é compacta. Em particular, dizemos que
m
m
uma subvariedade M n ⊂ M é própria se a aplicação inclusão i : M n → M é própria.
Em ((CHENG; ZHOU, 2013), pg. 688, Theorem 1.3), Cheng e Zhou mostraram que as
seguintes condições são equivalentes para uma self-shrinker completa Σ ⊂ Rn+1
f :
∙ Σ é própria;
Capítulo 6. GRADIENT RICCI SOLITON
61
∙ Σ tem crescimento de volume Euclidiano;
∙ Σ tem crescimento de volume polinomial;
∙ Σ tem volume ponderado finito.
Estas equivalências continuam sendo válidas para hipersuperfícies f -mínimas imersas em um
1
gradient shrinking Ricci soliton completo M f com Ric f = g, onde f é uma função convexa
2
(ver (CHENG et al., 2015), pg. 4049, Corollary 1).
O resultado a seguir fornece condições necessárias para que uma subvariedade seja
própria.
Teorema 6.1. Seja M n uma subvariedade não compacta e completa de uma variedade pondem
rada completa M f . Se M n tem volume ponderado finito e a norma do vetor curvatura média
ponderada é limitada superiormente, então M n é própria.
Demonstração. Suponhamos que M não é própria. Assim existe um número real positivo R, tal
M
M
que BR (o) ∩ M não é compacta em M, onde BR (o) denota o fecho de BM
R (o). Então para qualquer a > 0 suficiente pequeno com a < 2R, existe uma sequência {pk } de pontos em BM
R (o) ∩ M
com distM (pk , p j ) ≥ a > 0 para quaisquer k e j distintos.
M
M
Visto que BM
/ para quaisquer k ̸= j, obtemos BM
a/2 (pk ) ∩ Ba/2 (p j ) = 0
a/2 (p j ) ⊂ B2R (o),
M
onde BM
a/2 (pk ) e Ba/2 (p j ) denotam as bolas intrínsecas de M de raios a/2, centradas em pk e
p j , respectivamente.
Seja {e1 , e2 , . . . , en } uma base ortonormal de Tx M. Se x ∈ BM
a/2 (p j ), então a função distância extrínseca a p j , denotada por r j (x) = distM (x, p j ), satisfaz
2
∇ r j (ei , ei ) = ⟨∇ei ∇r j , ei ⟩ = ⟨∇ei ∇r j , ei ⟩ + ⟨∇ei (∇r j )⊥ , ei ⟩
= ⟨∇ei ∇r j , ei ⟩ − ⟨(∇r j )⊥ , ∇ei ei ⟩
= ⟨∇ei ∇r j , ei ⟩ + ⟨(∇ei ∇r j )⊥ , ei ⟩ − ⟨A(ei , ei ), ∇r j ⟩
= ∇2 r j (ei , ei ) − ⟨H, ∇r j ⟩.
(6.1)
Observe que M tem geometria limitada na bola BM
2R (o), isto é, existem números reais positivos
k e i0 , tais que a curvatura seccional de M é limitada superiormente por k e o raio de injetividade
de M é limitado inferiormente por i0 em uma vizinhança de um ponto o ∈ M. Escolhendo R > 0,
√
tal que 2R < min{i0 , 1/ k}, decorre da conhecida comparação da Hessiana da função distância
(ver Lema 7.1, (COLDING; MINICOZZI II, 2011)), que
√
1
2
∇ r j (ei , ei ) ≥ − k + |ei − ⟨ei , ∇r j ⟩∇r j |2
rj
(6.2)
62
Capítulo 6. GRADIENT RICCI SOLITON
M
em B2R (o). Portanto, decorre das expressões em (6.1) e (6.2) que
n
∆r j =
n
2
∑ ∇2r j (ei, ei) = ∑ ∇ r j (ei, ei) + ⟨H, ∇r j ⟩
i=1
n
i=1
√
1
2
≥ ∑ − k + |ei − ⟨ei , ∇r j ⟩∇r j | + |H| |∇r j | + ⟨(∇ f )⊥ , ∇r j ⟩ − ⟨(∇ f )⊥ , ∇r j ⟩
rj
i=1
√
n |∇r j |2
≥ −n k + −
− |H f | − |(∇ f )⊥ |
rj
rj
M
M
em B2R (o) ∩ M. Visto que B2R (o) é compacta, e, por hipótese, a norma de H f é limitada superiormente, temos que
√
n |∇r j |2
−
sup
∆r j ≥ −n k + −
|H f (p)| −
sup
|(∇ f (p))⊥ |
rj
rj
p∈BM (o)∩M
p∈BM (o)∩M
2R
2R
n |∇r j |2
≥
−
−C,
rj
rj
onde
√
C = n k+
|H f (p)| + sup |∇ f (p)| < +∞.
sup
p∈BM
2R (o)∩M
M
p∈B2R (o)
Logo, em BM
2R (o) ∩ M,
∆r2j = 2r j ∆r j + 2|∇r j |2 ≥ 2r j
n |∇r j |2
−
−C + 2|∇r j |2 = 2n − 2Cr j .
rj
rj
Escolhendo a < min{2n/C, 2R}, temos para 0 < ζ ≤ a/2,
Z
BM
(p j )
ζ
(2n − 2Cr j ) dσ ≤
≤
Z
BM
(p j )
ζ
Z
∆r2j dσ =
Z
∂ BM
(p j )
ζ
∂ BM
(p j )
ζ
2r j |∇r j ||ν|dA ≤
⟨∇r2j , ν⟩ dσ
Z
∂ BM
(p j )
ζ
2r j dA
≤ 2ζ A j (ζ ),
(6.3)
onde ν denota o campo vetorial normal unitário apontando para fora de ∂ BM
ζ (p j ) e A j (ζ ) denota
M
área de ∂ Bζ (p j ). Segue da fórmula da coárea que
Z
BM
(p j )
ζ
(n −Cr j ) dσ =
≥
Z ζZ
(n −Cr j )dAt dt
0
∂ BtM (p j )
Z ζ
Z
(n −Ct)
0
∂ BtM (p j )
dAt dt
≥ (n −Cζ )V j (ζ ),
onde V j (ζ ) denota o volume de BM
ζ (p j ). Portanto, usando a desigualdade (6.3),
(n −Cζ )V j (ζ ) ≤ ζ A j (ζ ).
(6.4)
63
Capítulo 6. GRADIENT RICCI SOLITON
Novamente, usando a fórmula da coárea, obtemos
V j′ (ζ ) =
d
dζ
d
dσ =
dζ
(p j )
BM
ζ
Z
Z ζZ
0
Z
∂ BtM (p j )
dAt dt =
(p j )
∂ BM
ζ
dA = A j (ζ ).
Assim, segue da igualdade anterior e da desigualdade (6.4) que
V j′ (ζ ) A j (ζ ) n
d
logV j (ζ ) =
=
≥ −C.
dζ
V j (ζ ) V j (ζ ) ζ
(6.5)
Integrando (6.5) de ε > 0 a ζ ,
logV j (ζ ) − logV j (ε) ≥ n log ζ − n log ε −C(ζ − ε),
ou seja,
V j (ζ ) ζ n −C(ζ −ε)
≥ ne
.
V j (ε)
ε
Agora, observando que
V j (ε)
= ωn ,
ε→0+ ε n
lim
obtemos
V j (ζ ) ≥ ωn ζ n e−Cζ
para 0 < ζ ≤ a/2. Assim, concluímos que
Z
Vol f (M) =
−f
e
M
∞ Z
dσ ≥ ∑
j=1
!
≥
inf e− f
M
B2R (o)
BM
(p )
a/2 j
e− f dσ
∞
∑ V j (a/2) = +∞.
j=1
Isto contradiz a afirmação de que o volume ponderado de M é finito. Logo, M n é uma subvariem
dade própria de M f .
Definição 6.3. Uma função f ∈ C∞ (M) é dita convexa se a hessiana de f é não negativa, isto
2
é, ∇ f (Y,Y ) ≥ 0 para todo Y ∈ T M.
Observação 6.1. Seja M f = (M, g, e f dσ ) um gradient shrinking Ricci soliton completo satisfazendo
1
2
Ric + ∇ f = g.
2
Neste caso, Cao e Zhou (CAO; ZHOU, 2010) mostraram que, fazendo uma translação de f ,
R + |∇ f |2 − f = 0 e
R ≥ 0.
(6.6)
Assim, decorre das igualdades em (6.6) que
|∇ f |2 ≤ f .
(6.7)
64
Capítulo 6. GRADIENT RICCI SOLITON
Além disso, existem constantes c1 , c2 ∈ R, tais que
1
1
(r(x) − c1 )2 ≤ f (x) ≤ (r(x) + c2 )2 ,
4
4
(6.8)
onde r(x) = distM (x, o) é a distância de x ∈ M à um ponto fixado o ∈ M. A constante c2 depende
somente da dimensão da variedade e c1 depende da geometria de g na bola unitária centrada
em o (ver (CAO; ZHOU, 2010), Lemma 2.1, Lemma 2.2 e Theorem 1.1). Em (MUNTEANU;
WANG, 2012), Munteanu e Wang mostraram que as desigualdades em (6.8) são válidas su1
pondo apenas que Ric f ≥ g e |∇ f |2 ≤ f .
2
m
Teorema 6.2. Sejam f ∈ C∞ (M) uma função convexa e M f um gradient shrinking Ricci soliton
m
completo. Se x : M n → M f é uma subvariedade própria, não compacta e completa, com vetor
curvatura média ponderada satisfazendo
sup ⟨H f , ∇ f ⟩ < +∞,
x∈M
então M n tem volume ponderado finito e crescimento de volume polinomial.
Demonstração. Como M f é um gradient shrinking Ricci soliton, é bem conhecido que, escalonando a métrica g e fazendo uma translação de f , ainda denotando por g e f , podemos
normalizar a métrica e obter
1
Ric f = g.
2
Assim, segue da Observação 6.1 que
R + |∇ f |2 − f = 0,
R+∆f =
e, portanto,
∆ f − |∇ f |2 + f =
m
2
m
,
2
R ≥ 0,
e |∇ f |2 ≤ f .
(6.9)
É importante ressaltar que mesmo quando fazemos o escalonamento da métrica e a
translação de f , a subvariedade M continua sendo própria e satisfazendo
sup ⟨H f , ∇ f ⟩ < +∞.
x∈M
Assim, segue da igualdade em (6.9) que
2
∆ f f + f = ∆ f − |∇ f |2 + f = ∇ f (ei , ei ) + ⟨H, ∇ f ⊥ ⟩ − |∇ f |2 + f
m
2
= ∆ f − ∑ ∇ f (ηi , ηi ) + ⟨H f , ∇ f ⊥ ⟩ − |∇ f ⊥ |2 − |∇ f |2 + f
i=n+1
m
2
= ∆ f − ∑ ∇ f (ηi , ηi ) + ⟨H f , ∇ f ⊥ ⟩ − |∇ f |2 + f
i=n+1
m
≤
m
2
− ∑ ∇ f (ηi , ηi ) +C,
2 i=n+1
65
Capítulo 6. GRADIENT RICCI SOLITON
onde C = supx∈M ⟨H f , ∇ f ⊥ ⟩. Como f é uma função convexa, então
∆f f + f ≤
m
+C.
2
Observe que
1
1
(r(x) − c)2 ≤ f (x) ≤ (r(x) + c)2 ,
(6.10)
4
4
onde c é uma constante (ver Observação 6.1, desigualdades em (6.8)). Daí, podemos concluir
que f é própria em M e f |M : M → R é também uma função própria.
Assim, como f |M : M → R é própria,
|∇ f |2 ≤ f e ∆ f f + f ≤
m
+C,
2
então decorre do Theorem 1.1 de (CHENG; ZHOU, 2013) que M tem volume ponderado finito
e crescimento de volume polinomial no conjunto dos subníveis de f com respeito ao escalonamento da métrica e da translação de f , e, portanto, com respeito a métrica original e o potencial
original. Logo, segue-se de (6.10) que o volume de M tem crescimento polinomial.
6.2
Índice de f -estabilidade de hipersuperfície
n+1
Seja M f um gradient Ricci soliton com Ric f = kg. Considere uma imersão isométrica
n+1
n+1
n
x : M → M f de uma hipersuperfície M n em M f . Neste caso, o operador f -estabilidade de
M é dado por
L f = ∆ f + |A|2 + k
e
I f (u, u) = −
Z
M
uL f ue− f dσ
é a forma quádrica associada a L f (ver Capítulo 3, Teorema 4.2).
Definição 6.4. Dizemos que um campo vetorial diferenciável X ∈ X(M) é paralelo, se
∇Y X = 0
para todos campos vetoriais Y ∈ T M.
n+1
Lema 6.1. Sejam M f um gradient Ricci soliton, com Ric f = kg, e M n uma hipersuperfície
n+1
imersa isometricamente em M f . Se M tem curvatura média ponderada constante, então
L f ⟨X, η⟩ = k⟨X, η⟩
e
∆ f ⟨X, η⟩2 = −2|A|2 ⟨X, η⟩2 + 2|AX ⊤ |2
para todo X ∈ PM f , onde η é o campo vetorial unitário normal a M.
66
Capítulo 6. GRADIENT RICCI SOLITON
Demonstração. Por hipótese, H f = C, isto é, H = ⟨∇ f , η⟩ + C, onde C é uma constante real.
Assim
∇H = ∇⟨∇ f , η⟩.
Seja {e1 , e2 , . . . , en } um referencial geodésico em M. Note que
∇H = ei (H)ei = ⟨∇ei ∇ f , η⟩ei + ⟨∇ f , ∇ei η⟩ei
= ⟨∇ei ∇ f , η⟩ei − ⟨A(ei , e j ), η⟩⟨∇ f , e j ⟩ei .
Para u = ⟨X, η⟩ e ai j = ⟨Aei , e j ⟩, temos
∇u = e j (u)e j = ⟨∇e j η, X⟩e j = −a ji ⟨ei , X⟩e j .
(6.11)
Logo,
⟨∇H, X⟩ = ⟨∇ei ∇ f , η⟩⟨ei , X⟩ − ai j ⟨∇ f , e j ⟩⟨ei , X⟩ = ⟨∇X ⊤ ∇ f , η⟩ + ⟨∇ f , ∇u⟩.
Além disso,
ei (u) = ⟨∇ei η, X⟩ = −ai j ⟨e j , X⟩
e, derivando a expressão anterior e observando que ∇ek e j = 0, obtemos
ek (ei (u)) = −ai j,k ⟨e j , X⟩ − ai j ⟨X, ∇ek e j ⟩ = −ai j,k ⟨e j , X⟩ − ai j ak j ⟨X, η⟩.
Segue da equação de Codazzi que
R(e j , ek )e⊥
i = aki, j − a ji,k η,
ou seja,
⟨R(e j , ek )ei , η⟩ = aki, j − a ji,k .
Portanto,
ek (ei (u)) = −aki, j ⟨e j , X⟩ + ⟨R(e j , ek )ei , η⟩⟨e j , X⟩ − ai j ak j ⟨X, η⟩
e
∆u = ei (ei (u)) = −aii, j ⟨e j , X⟩ + ⟨R(e j , ei )ei , η⟩⟨e j , X⟩ − ai j ai j ⟨X, η⟩
= ⟨∇H, X⟩ + ⟨R(X ⊤ , ei )ei , η⟩ − |A|2 ⟨X, η⟩
= ⟨∇X ⊤ ∇ f , η⟩ + ⟨∇ f , ∇u⟩ + Ric(X ⊤ , η) − |A|2 u.
Por outro lado,
1
2
0 = ⟨X ⊤ , η⟩ = Ric f (X ⊤ , η) = Ric(X ⊤ , η) + ∇ f (X ⊤ , η) = Ric(X ⊤ , η) + ⟨∇X ⊤ ∇ f , η⟩.
2
Logo,
∆ f u = ∆u − ⟨∇ f , ∇u⟩
2
= ⟨∇X ⊤ ∇ f , η⟩ + ⟨∇ f , ∇u⟩ + ∇ f (X ⊤ , η) − |A|2 u − ⟨∇ f , ∇u⟩
= −|A|2 u
(6.12)
67
Capítulo 6. GRADIENT RICCI SOLITON
e
L f u = ∆ f u + |A|2 u + ku = ku.
Além disso, usando as igualdades (6.12) e (6.11), concluímos que
∆ f u2 = 2u∆ f u + 2|∇u|2 = −2|A|2 u2 + 2|AX ⊤ |2 .
Definição 6.5. O subespaço vetorial de C∞ (M) gerado por E ⊂ C∞ (M), denotado por Span E,
é o conjunto de todas as combinações lineares dos elementos de E.
1
um gradient Ricci soliton satisfazendo Ric f = g, e M n uma hiper2
n+1
superfície compacta imersa isometricamente em M f . Se M tem curvatura média ponderada
constante, então I f é negativa definida no
n+1
Lema 6.2. Sejam M f
Span{1, ⟨X, η⟩; X ∈ PM f }.
Demonstração. Decorre do Lema 6.1 que a função u = ⟨X, η⟩, com X ∈ PM f , satisfaz L f u =
1
u. Assim, como M é compacta, temos
2
Z
Z
Z
1
1
−f
−f
2
ue dσ =
L f ue dσ =
∆ f u + |A| u + u e− f dσ
2 M
2
M
M
Z
1
ue− f dσ .
=
|A|2 +
2
M
Portanto,
Z
|A|2 ue− f dσ = 0.
(6.13)
M
Observe que
I f (1, 1) = −
e
Z
M
−f
1L f 1e
dσ = −
Z
M
1 −f
|A| +
e dσ
2
2
1
I f (u, u) = − uL f ue dσ = −
u2 e− f dσ .
2 M
M
Logo, usando as expressões (6.13), (6.14) e (6.15), obtemos
Z
−f
(6.14)
Z
(6.15)
I f (c0 + u, c0 + u) = I f (c0 , c0 ) + I f (u, u) + 2I f (c0 , u)
Z
c20 1 2
1
2
2
2
= −
c0 |A| + + u + 2c0 ∆ f u + |A| u + u e− f dσ
2 2
2
M
Z
2
c
1
= −
c20 |A|2 + 0 + u2 + c0 u e− f dσ
2 2
M
Z
Z
1
2 −f
= −c0 |A| e dσ −
(c0 + u)2 e− f dσ < 0.
2
M
M
Isto mostra que I f é negativa definida no Span{1, ⟨X, η⟩; X ∈ PM f }.
68
Capítulo 6. GRADIENT RICCI SOLITON
Observação 6.2. Se M uma hipersuperfície compacta imersa isometricamente em M f , então
Z
(α + ⟨X, η⟩)e− f dσ = 0,
M
onde
α =−
Z
⟨X, η⟩e− f dσ .
M
Logo,
F ∩ Span{1, ⟨X, η⟩; X ∈ PM f } ̸= 0/
se PM f é não vazio. Ver definição do conjunto F no Capítulo 3.
Agora vamos analisar as hipersuperfícies não compactas. Para isto, consideramos as
funções que têm suporte compacto em M.
Lema 6.3. Seja M n uma hipersuperfície não compacta imersa isometricamente em um gradient
1
n+1
Ricci soliton M f satisfazendo Ric f = g. Se φ ∈ Cc∞ (M) e u ∈ C∞ (M), então
2
I f (φ u, φ u) = −
Z
2
M
φ uL f ue
−f
Z
dσ +
|∇φ |2 u2 e− f dσ .
M
Além disso, se M tem curvatura média ponderada constante e X ∈ PM f , então
Z
2
−f
2
φ |A| ⟨X, η⟩e
dσ = −2
Z
M
φ ⟨∇φ , AX ⊤ ⟩e− f dσ .
M
Demonstração. Note que
Z
(φ u)L f (φ u)e− f dσ
M
Z
1
2 2 −f
2
φ u e dσ
= −
(φ u)∆ f (φ u) + |A| +
2
M
Z
1
2
2
2
2 2 −f
= −
φ u∆ f u + φ u ∆ f φ + 2φ u⟨∇φ , ∇u⟩ + |A| +
φ u e dσ .
2
M
I f (φ u, φ u) = −
Como φ tem suporte compacto, então
Z
0=
2 −f
div(φ u e
Z
∇φ )dσ =
M
M
φ u2 ∆ f φ + 2uφ ⟨∇u, ∇φ ⟩ + u2 |∇φ |2 e− f dσ .
Logo, usando as duas últimas expressões, obtemos
Z
1
2
2 2
2
2 2 −f
I f (φ u, φ u) = −
φ u∆ f u − |∇φ | u + |A| +
φ u e dσ
2
M
= −
Z
2
M
φ uL f ue
−f
Z
|∇φ |2 u2 e− f dσ .
dσ +
M
Visto que H f é constante e X é um campo paralelo de M f , obtemos do Lema 6.1,
1
2
Z
M
2
−f
φ ⟨X, η⟩e
Z
dσ =
M
= −
φ 2 L f ⟨X, η⟩e− f dσ
Z
M
2
−f
⟨∇φ , ∇⟨X, η⟩⟩e
Z
dσ +
M
1
|A| +
φ 2 ⟨X, η⟩e− f dσ .
2
2
69
Capítulo 6. GRADIENT RICCI SOLITON
Portanto, segue da igualdade anterior e da expressão (6.11) que
Z
2 2
−f
|A| φ ⟨X, η⟩e
Z
⟨∇φ , ∇⟨X, η⟩⟩e
dσ =
M
−f
2
dσ = −2
M
Z
φ ⟨∇φ , AX ⊤ ⟩e− f dσ .
M
Seja PM o conjunto de todos campos vetoriais tangentes a M que são paralelos e globalmente definidos. Observe que PM é um subespaço vetorial de dimensão finita e menor que
ou igual a dimensão de M. De fato, dados X, Y ∈ PM , temos que ⟨X, η⟩, |X| e |Y | são funções
constantes, pois X e Y são campos vetoriais paralelos. Agora, suponha que M seja uma variedade n + 1-dimensional, logo se existissem n + 2 campos linearmente independentes em PM ,
então estes n + 2 campos no ponto x ∈ M formariam uma base do espaço tangente Tx M. Isto é
um absurdo, pois a dimensão de Tx M é igual a n + 1.
2
Exemplo 6.1. O Gaussian shrinking soliton Rn+1 , gcan , e−|x| /4 tem exatamente n+1 campos
vetoriais paralelos linearmente independentes e globalmente definidos em Rn+1 .
Exemplo 6.2. Um outro exemplo é o cylinder shrinking soliton Sn+1−k × Rk , g, e− f , k ≥ 1,
com métrica
g = 2(n − k − 1)gSn−k + gRk
e função potencial
f (θ , x) =
|x|2
, θ ∈ Sn−k , x ∈ Rk .
4
Neste exemplo, temos que
dim PSn+1−k ×Rk = k.
Lema 6.4. Seja M uma hipersuperfície imersa isometricamente em M f com campo vetorial
unitário η. Então
dimV ≤ dim PM f + 1,
onde V = Span{1, ⟨X, η⟩; X ∈ PM f }. Além disso,
dim(φV ) ≤ dimV
para qualquer φ ∈ Cc∞ (M).
Demonstração. Seja {X1 , X2 , . . . , Xk } uma base de PM f . Note que qualquer u ∈ V se escreve
como u = c0 + ⟨X, η⟩, onde c0 é uma constante real e X ∈ PM f , então
k
u = c0 · 1 + ∑ αi ⟨Xi , η⟩.
i=1
Isto nos mostra que {1, ⟨X1 , η⟩, ⟨X2 , η⟩, . . . , ⟨Xk , η⟩} gera V. Logo,
dimV ≤ dim PM f + 1.
70
Capítulo 6. GRADIENT RICCI SOLITON
Agora, sejam φ ∈ Cc∞ (M) e {u1 , u2 , . . . us } uma base de V . Assim o conjunto {φ u1 , φ u2 , . . . φ us }
gera φV e
dim(φV ) ≤ dimV.
1
um gradient Ricci soliton satisfazendo Ric f = g. Se M é uma hipersu2
perfície não compacta propriamente imersa em M f com curvatura média ponderada constante
e volume ponderado finito, então existe φ ∈ Cc∞ (M), tal que I f é negativa definida em φV e
n+1
Lema 6.5. Seja M f
dim(φV ) = dimV,
onde
V = Span{1, ⟨X, η⟩; X ∈ PM f }.
Demonstração. Observe que V é um subespaço vetorial não vazio de C∞ (M). Seja u = c0 +
⟨X, η⟩, onde c0 é uma constante real e X ∈ PM f . Visto que H f é constante e X ∈ PM f , pelo
Lema 6.1, temos
1
1
2
2
L f u = ∆ f u + |A| +
u = L f ⟨X, η⟩ + |A| +
c0
2
2
1
1
=
⟨X, η⟩ + |A|2 +
c0 .
2
2
Segue do Lema 6.3 que
Z
Z
φ 2 uL f ue− f dσ + |∇φ |2 u2 e− f dσ
M
M
Z
Z
1
1
2
2
−f
= − φ u
⟨X, η⟩ + |A| +
c0 e dσ + |∇φ |2 u2 e− f dσ
2
2
M
M
Z
Z
Z
1
= −
φ 2 u2 e− f dσ − φ 2 |A|2 c20 e− f dσ − φ 2 |A|2 c0 ⟨X, η⟩e− f dσ
2Z M
M
M
I f (φ u, φ u) = −
|∇φ |2 u2 e− f dσ .
+
M
Agora, usando mais uma vez o Lema 6.3 e a desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos
Z
M
2
2
−f
φ |A| c0 ⟨X, η⟩e
Z
dσ
= 2
M
≤ 2
≤
Z
Z M
φ
M
φ ⟨∇φ , AX ⊤ ⟩c0 e− f dσ
|φ | |∇φ | |A| |X ⊤ | |c0 | e− f dσ
2
|A|2 c20 e− f dσ +
Z
|∇φ |2 |X ⊤ |2 e− f dσ .
M
Logo,
1
I f (φ u, φ u) ≤ −
2
Z
2 2 −f
φ u e
M
Z
dσ +
M
|∇φ |2 (u2 + |X ⊤ |2 )e− f dσ .
(6.16)
71
Capítulo 6. GRADIENT RICCI SOLITON
Seja r(x) a distância extrínseca de x ∈ M à um ponto fixado o ∈ M f . Para R > 0 suficientemente
grande, defina a função φR : M → R, tal que
1,
r(x) ≤ R;
2R − r(x)
φR (x) =
, R ≤ r(x) ≤ 2R;
R
0,
r(x) ≥ 2R.
Observe que |∇φR | ≤ 1/R e φR ∈ Cc∞ (M), pois M é própria. Agora, substituindo φ = φR na
desigualdade (6.16), obtemos
I f (φR u, φR u) ≤ −
1
2
Z
M
φR2 u2 e− f dσ +
|X|2 + c20 + 2|c0 | |X|
R2
Z
e− f dσ ,
M∩(B2R ∖BR )
(lembre-se que |X| é constante, pois X é paralelo). Como Vol f (M) < +∞ e |X| é constante,
então, para cada u ∈ V , existe Ru suficiente grande, tal que
I f (φRu u, φRu u) < 0.
Vamos encontrar uma função φ ∈ Cc∞ (M) que não dependa da função u. De fato, considere o subconjunto
Z
u2 e− f dσ = 1 .
S = u ∈ V;
M
Decorre do Lema 6.4 que V ⊂ L2f (M) é um subespaço de dimensão finita menor que ou igual
a dim PM f + 1. Portanto, S é um conjunto compacto em L2f (M). Assim, existe um número
M
real positivo R0 , tal que qualquer função u ∈ S é não identicamente nula em M ∩ BR0f (o). Caso
contrário, poderíamos conseguir uma sequência R j → ∞ de números positivos tais que, para
M
cada j, existe u j ∈ S com u j ≡ 0 em M ∩ BR0f (o). Daí teríamos
u = lim u j ∈ S
j→∞
e u ≡ 0 em M. Mas isto não é possível, pois se u ∈ S, então
Z
u2 e− f dσ = 1.
M
Logo, para R suficientemente grande e R ≥ R0 e para qualquer função u ∈ S, temos
1
I f (φR u, φR u) ≤ −
2
Z
|X|2 + c20 + 2c0 |X|
2 2 −f
φR u e dσ +
e− f dσ < 0,
2
R
M
M∩(B2R ∖BR )
Z
pois
Z
M(R) =
M
φR2 u2 e− f dσ > 0
é uma função crescente em R e, visto que Vol f (M) < +∞,
|X|2 + c20 + 2c0 |X|
lim
R→∞
R2
Z
M∩(B2R ∖BR )
e− f dσ = 0.
72
Capítulo 6. GRADIENT RICCI SOLITON
Com isso, podemos encontrar φ = φR independente de u, tal que I f (φ u, φ u) < 0 para toda u ∈ S.
1
Se u ∈ V , então
u ∈ S e, portanto, para u ̸≡ 0,
|u|L2
f
I f (φ u, φ u) = |u|2L2 I f
f
u
u
,φ
φ
|u|L2 |u|L2
f
!
< 0.
f
Agora mostraremos que dimV = dim(φV ). De fato, seja {u1 , u2 , . . . , us } uma base ortonormal para o subespaço vetorial V ⊂ L2f (M). Para função φ = φR0 aqui construída, temos que
M
φ ui ≡ ui ̸≡ 0 em M ∩ BR0f (o). Logo, {φ u1 , φ u2 , . . . , φ us } é linearmente independente, e pelo
Lema 6.4, podemos concluir que dim(φV ) = dimV.
Observação 6.3. Seja x : Σ → Rn+1 uma hipersuperfície orientada, não planar, própria e sa1
tisfazendo Vol f (M) < +∞, H = ⟨x, η⟩ + C e Ind f M ≤ n, onde H é a curvatura média, x
2
é o vetor posição de Rn+1 , η é o campo normal unitário da hipersuperfície e C é uma constante real. McGonagle e Ross (MCGONAGLE; ROSS, 2015) mostraram que existe um número
natural i, tal que n + 1 − Ind f M ≤ i ≤ n e Σ = Σ0 × Ri . Além disso, Ind f M ≥ 2.
Vale ressaltar que o resultado devido a McGonagle e Ross ainda é válido quando não
supomos que Σ é própria. Isto pode ser visto no Teorema 6.1.
1
um gradient Ricci soliton satisfazendo Ric f = g, PM f o conjunto
2
dos campos paralelos globalmente definidos em M f e M n uma hipersuperfície propriamente
n+1
imersa em M f . Assuma que M tem curvatura média ponderada constante e volume ponderado
finito. Se a função unidade 1 ̸∈ {⟨X, η⟩; X ∈ PM f }, então
n+1
Teorema 6.3. Sejam M f
dim PM f − Ind f M ≤ dim{X ∈ PM f ; ⟨X, η⟩ ≡ 0},
onde η é o campo normal unitário. Além disso, se assumirmos que existe um campo X0 ∈ PM f ,
tal que ⟨X0 , η⟩ ̸≡ 0, então
dim{X ∈ PM f ; ⟨X, η⟩ ≡ 0} ≤ dim PM f − 1.
Demonstração. Seja V ≡ Span{1, ⟨X, η⟩; X ∈ PM f }. Pelo Lema 6.5, existe uma função φ ∈
Cc∞ (M), tal que dim φV = dimV e I f é negativa definida em φV. Lembre-se que o Ind f M é a
dimensão do maior subespaço de F ∩Cc∞ (M) no qual I f é negativa definida, com F = Cc∞ (M)
se M é uma f -minimal e
Z
∞
−f
F = u ∈ Cc (M);
ue dσ = 0
M
se M tiver curvatura média ponderada constante. Agora, observe que ⟨X, η⟩ ≤ |X| |η| = |X|,
onde |X| é constante, pois X é um campo paralelo. Visto que o volume ponderado de M é finito,
73
Capítulo 6. GRADIENT RICCI SOLITON
obtemos que
satisfazendo
−f
−f
M φ ⟨X, η⟩e dσ ≤ |X| M φ e dσ < +∞. Portanto, existe um número real c0
R
R
Z
M
φ (c0 + ⟨X, η⟩)e− f dσ = 0.
Logo, φ (c0 +⟨X, η⟩) ∈ F ∩φV sempre que ⟨X, η⟩ ∈ {⟨X, η⟩; X ∈ PM f }. Como 1 ̸∈ {⟨X, η⟩; X ∈ PM f }
por hipótese, concluímos que
dim{⟨X, η⟩; X ∈ PM f } ≤ dim(F ∩ φV ).
Como I f é negativa definida em F ∩ φV , concluímos que
dim{⟨X, η⟩; X ∈ PM f } ≤ dim(F ∩ φV ) ≤ Ind f M.
Considere a transformação linear T : PM f → C∞ (M) definida por T (X) = ⟨X, η⟩. Agora,
aplicando o teorema do núcleo e da imagem, verifica-se que
dim PM f
= dim{X ∈ PM f ; ⟨X, η⟩ ≡ 0} + dim{⟨X, η⟩; X ∈ PM f }
≤ dim{X ∈ PM f ; ⟨X, η⟩ ≡ 0} + Ind f M.
(6.17)
dim{X ∈ PM f ; ⟨X, η⟩ ≡ 0} ≤ dim PM f − 1,
(6.18)
Além disso, temos que
pois assumimos que existe um campo X0 ∈ PM f , tal que ⟨X0 , η⟩ ̸≡ 0. Logo, usando as desigualdades (6.17) e (6.18), obtemos
dim PM f − Ind f M ≤ dim{X ∈ PM f ; ⟨X, η⟩ ≡ 0} ≤ dim PM f − 1.
Observação 6.4. Vale ressaltar que o Teorema 6.3, no caso em que M é uma subvariedade,
ainda é válido quando não supomos que M é própria. Isto pode ser visto no Teorema 6.1.
Exemplo 6.3. O produto Σn+1−k × Rk , de uma variedade de Einstein Σn+1−k com o Gaussian shrinking soliton Rk , é um gradient Ricci soliton não compacto. Em particular, o cilindro
esférico Sn+1−k × Rk é um gradient shrinking Ricci soliton não compacto. Observe que
dim PΣ×Rk ≥ k,
dim PRn+1 = n + 1
f
e
dim PSn+1−k ×Rk = k.
1
um gradient Ricci soliton satisfazendo Ric f = g, PM f o conjunto
2
n+1
dos campos paralelos globalmente definidos em M f e M n uma hipersuperfície propriamente
imersa em M f . Assuma que M tem curvatura média ponderada constante e volume ponderado
finito. Se a função unidade 1 ̸∈ {⟨X, η⟩; X ∈ PM f } e existe um campo X0 ∈ PM f , tal que
⟨X0 , η⟩ ̸≡ 0, então
Ind f M ≥ 1.
n+1
Corolário 6.1. Sejam M f
Além disso, se Ind f M = 1, então
dim{X ∈ PM f ; ⟨X, η⟩ ≡ 0} = dim PM f − 1.
74
Capítulo 6. GRADIENT RICCI SOLITON
Demonstração. Note que
dim PM f − Ind f M ≤ dim{X ∈ PM f ; ⟨X, η⟩ ≡ 0} ≤ dim PM f − 1.
Assim,
Ind f M ≥ 1.
Agora suponha Ind f M = 1, temos
dim{X ∈ PM f ; ⟨X, η⟩ ≡ 0} = dim PM f − 1.
n+1
Corolário 6.2. Sejam M f = (Σn+1−k × Rk , g, e− f dσ ) um gradient Ricci soliton satisfazendo
1
Ric f = g e M n uma hipersuperfície propriamente imersa em M f com curvatura média
2
ponderada constante e volume ponderado finito. Assuma que M ̸= M0 × Rk−1 , onde M0 ⊂ Σ. Se
dim PM f = k e existe um campo X0 ∈ PM f , tal que ⟨X0 , η⟩ ̸≡ 0, então Ind f M ≥ 2.
Demonstração. Temos, por hipótese, que dim PM f = k e M ̸= M0 × Rk−1 . Assim,
1 ̸∈ {⟨X, η⟩; X ∈ PM f }.
Visto que existe um campo X0 ∈ PM f , tal que ⟨X0 , η⟩ ̸≡ 0, segue do Corolário 6.1 que
Ind f M ≥ 1.
Mas, se Ind f M = 1, então teríamos
dim{X; ⟨X, η⟩ ≡ 0} = dim PM f − 1 = k − 1
e
M = M0 × Rk−1 ,
onde M0 ⊂ Σ. Isto não é possível. Logo,
Ind f M ≥ 2.
75
REFERÊNCIAS
ALENCAR, H.; CARMO, M. do. Hypersurfaces of constant mean curvature with finite index
and volume of polynomial growth. Arch. Math. (Basel), v. 60, n. 5, p. 489–493, 1993. ISSN
0003-889X. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/BF01202317>. Citado 2 vezes nas
páginas 16 e 56.
BAKRY, D.; ÉMERY, M. Diffusions hypercontractives. In: Séminaire de probabilités, XIX,
1983/84. Springer, Berlin, 1985, (Lecture Notes in Math., v. 1123). p. 177–206. Disponível
em: <http://dx.doi.org/10.1007/BFb0075847>. Citado 2 vezes nas páginas 13 e 25.
BARBOSA, J. L.; CARMO, M. do. Stability of hypersurfaces with constant mean
curvature. Math. Z., v. 185, n. 3, p. 339–353, 1984. ISSN 0025-5874. Disponível em:
<http://dx.doi.org/10.1007/BF01215045>. Citado 2 vezes nas páginas 49 e 51.
BARBOSA, J. L.; CARMO, M. do; ESCHENBURG, J. Stability of hypersurfaces of constant
mean curvature in Riemannian manifolds. Math. Z., v. 197, n. 1, p. 123–138, 1988. ISSN
0025-5874. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/BF01161634>. Citado 2 vezes nas
páginas 49 e 51.
BÉRARD, P. H. Lectures on spectral geometry. [S.l.]: Instituto de Matemática Pura e Aplicada
(IMPA), Rio de Janeiro, 1985. 247 p. (15o Colóquio Brasileiro de Matemática. [15th Brazilian
Mathematics Colloquium]). Some aspects of direct problems in spectral geometry, With an
appendix by Gérard Besson, With a bibliography by Bérard and M. Berger. Citado 2 vezes nas
páginas 20 e 21.
BESSA, G. P.; PIGOLA, S.; SETTI, A. Spectral and stochastic properties of the f -Laplacian,
solutions of PDEs at infinity and geometric applications. Rev. Mat. Iberoam., v. 29, n. 2,
p. 579–610, 2013. ISSN 0213-2230. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.4171/RMI/731>.
Citado 3 vezes nas páginas 28, 37 e 38.
BIANCHINI, B.; MARI, L.; RIGOLI, M. Spectral radius, index estimates for Schrödinger
operators and geometric applications. J. Funct. Anal., v. 256, n. 6, p. 1769–1820, 2009. ISSN
0022-1236. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2009.01.021>. Citado na página
38.
BROOKS, R. A relation between growth and the spectrum of the Laplacian. Math. Z.,
v. 178, n. 4, p. 501–508, 1981. ISSN 0025-5874. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/
BF01174771>. Citado na página 10.
BROOKS, R. On the spectrum of noncompact manifolds with finite volume. Math. Z.,
v. 187, n. 3, p. 425–432, 1984. ISSN 0025-5874. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/
BF01161957>. Citado na página 10.
CAO, H.-D.; ZHOU, D. On complete gradient shrinking Ricci solitons. J. Differential
Geom., v. 85, n. 2, p. 175–185, 2010. ISSN 0022-040X. Disponível em: <http:
//projecteuclid.org/euclid.jdg/1287580963>. Citado 3 vezes nas páginas 13, 63
e 64.
Referências
76
CARMO, M. P. do; ZHOU, D. Eigenvalue estimate on complete noncompact Riemannian
manifolds and applications. Trans. Amer. Math. Soc., v. 351, n. 4, p. 1391–1401, 1999. ISSN
0002-9947. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-99-02061-9>. Citado 3
vezes nas páginas 16, 38 e 56.
CHEEGER, J.; COLDING, T. H. On the structure of spaces with ricci curvature bounded
below. i. J. Differential Geom., Lehigh University, v. 46, n. 3, p. 406–480, 1997. Disponível
em: <http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214459974>. Citado na página 10.
CHEEGER, J.; COLDING, T. H. On the structure of spaces with ricci curvature bounded
below. ii. J. Differential Geom., Lehigh University, v. 54, n. 1, p. 13–35, 2000. Disponível em:
<http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214342145>. Citado na página 10.
CHEEGER, J.; COLDING, T. H. On the structure of spaces with ricci curvature bounded
below. iii. J. Differential Geom., Lehigh University, v. 54, n. 1, p. 37–74, 2000. Disponível em:
<http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214342146>. Citado na página 10.
CHENG, S. Y. Eigenvalue comparison theorems and its geometric applications. Math. Z.,
v. 143, n. 3, p. 289–297, 1975. ISSN 0025-5874. Citado na página 10.
CHENG, S. Y.; YAU, S. T. Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric
applications. Comm. Pure Appl. Math., v. 28, n. 3, p. 333–354, 1975. ISSN 0010-3640. Citado
na página 28.
CHENG, X.; MEJIA, T.; ZHOU, D. Stability and compactness for complete f -minimal
surfaces. Trans. Amer. Math. Soc., v. 367, n. 6, p. 4041–4059, 2015. ISSN 0002-9947.
Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2015-06207-2>. Citado 2 vezes nas
páginas 18 e 61.
CHENG, X.; ZHOU, D. Volume estimate about shrinkers. Proc. Amer. Math. Soc., v. 141,
n. 2, p. 687–696, 2013. ISSN 0002-9939. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1090/
S0002-9939-2012-11922-7>. Citado 3 vezes nas páginas 17, 60 e 65.
CHENG, X.; ZHOU, D. Stability properties and gap theorem for complete f-minimal
hypersurfaces. Bull. Braz. Math. Soc. (N.S.), v. 46, n. 2, p. 251–274, 2015. ISSN 1678-7544.
Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/s00574-015-0092-z>. Citado na página 14.
COLDING, T. H.; MINICOZZI II, W. P. A course in minimal surfaces. American Mathematical
Society, Providence, RI, 2011. v. 121. xii+313 p. (Graduate Studies in Mathematics, v. 121).
ISBN 978-0-8218-5323-8. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1090/gsm/121>. Citado na
página 61.
DONNELLY, H. On the essential spectrum of a complete Riemannian manifold. Topology,
v. 20, n. 1, p. 1–14, 1981. ISSN 0040-9383. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1016/
0040-9383(81)90012-4>. Citado na página 10.
DONNELLY, H. Exhaustion functions and the spectrum of Riemannian manifolds.
Indiana Univ. Math. J., v. 46, n. 2, p. 505–527, 1997. ISSN 0022-2518. Disponível em:
<http://dx.doi.org/10.1512/iumj.1997.46.1338>. Citado na página 10.
DONNELLY, H.; LI, P. Pure point spectrum and negative curvature for noncompact
manifolds. Duke Math. J., v. 46, n. 3, p. 497–503, 1979. ISSN 0012-7094. Disponível em:
<http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077313570>. Citado na página 10.
Referências
77
ELBERT, M. F. Constant positive 2-mean curvature hypersurfaces. Illinois J. Math., v. 46,
n. 1, p. 247–267, 2002. ISSN 0019-2082. Disponível em: <http://projecteuclid.org/euclid.ijm/
1258136153>. Citado na página 38.
ESCOBAR, J. F. On the spectrum of the Laplacian on complete Riemannian manifolds. Comm.
Partial Differential Equations, v. 11, n. 1, p. 63–85, 1986. ISSN 0360-5302. Disponível em:
<http://dx.doi.org/10.1080/03605308608820418>. Citado na página 10.
ESCOBAR, J. F.; FREIRE, A. The spectrum of the Laplacian of manifolds of positive
curvature. Duke Math. J., v. 65, n. 1, p. 1–21, 1992. ISSN 0012-7094. Disponível em:
<http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-92-06501-X>. Citado na página 10.
FITE, W. B. Concerning the zeros of the solutions of certain differential equations.
Trans. Amer. Math. Soc., v. 19, n. 4, p. 341–352, 1918. ISSN 0002-9947. Disponível em:
<http://dx.doi.org/10.2307/1988973>. Citado na página 38.
FUKAYA, K. Collapsing of riemannian manifolds and eigenvalues of la-place operator.
Inventiones mathematicae, v. 87, p. 517–548, 1987. Disponível em: <http://eudml.org/doc/
143434>. Citado na página 11.
HAMILTON, R. S. Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differential
Geom., v. 17, n. 2, p. 255–306, 1982. ISSN 0022-040X. Disponível em: <http:
//projecteuclid.org/euclid.jdg/1214436922>. Citado 3 vezes nas páginas 11, 17
e 60.
HAMILTON, R. S. The Ricci flow on surfaces. In: Mathematics and general relativity (Santa
Cruz, CA, 1986). Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988, (Contemp. Math., v. 71). p.
237–262. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1090/conm/071/954419>. Citado 2 vezes nas
páginas 17 e 60.
HEIN, H.-J.; NABER, A. New logarithmic Sobolev inequalities and an ε-regularity theorem
for the Ricci flow. Comm. Pure Appl. Math., v. 67, n. 9, p. 1543–1561, 2014. ISSN 0010-3640.
Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1002/cpa.21474>. Citado na página 13.
HIGUCHI, Y. A remark on exponential growth and the spectrum of the Laplacian.
Kodai Math. J., v. 24, n. 1, p. 42–47, 2001. ISSN 0386-5991. Disponível em: <http:
//dx.doi.org/10.2996/kmj/1106157294>. Citado 3 vezes nas páginas 10, 12 e 37.
IMPERA, D.; RIMOLDI, M. Stability properties and topology at infinity of f -minimal
hypersurfaces. Geom. Dedicata, v. 178, p. 21–47, 2015. ISSN 0046-5755. Disponível em:
<http://dx.doi.org/10.1007/s10711-014-9999-6>. Citado 3 vezes nas páginas 38, 54 e 57.
LEDOUX, M. The geometry of markov diffusion generators. Annales de la Faculté des
sciences de Toulouse : Mathématiques, UNIVERSITE PAUL SABATIER, v. 9, n. 2, p.
305–366, 2000. Disponível em: <http://eudml.org/doc/73517>. Citado na página 13.
LI, P.; WANG, J. Complete manifolds with positive spectrum. II. J. Differential
Geom., v. 62, n. 1, p. 143–162, 2002. ISSN 0022-040X. Disponível em: <http:
//projecteuclid.org/euclid.jdg/1090425532>. Citado na página 10.
MCGONAGLE, M.; ROSS, J. The hyperplane is the only stable, smooth solution to the
isoperimetric problem in Gaussian space. Geom. Dedicata, v. 178, p. 277–296, 2015. ISSN
0046-5755. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/s10711-015-0057-9>. Citado 4 vezes
nas páginas 19, 49, 51 e 72.
Referências
78
MUNTEANU, O.; WANG, J. Analysis of weighted Laplacian and applications to Ricci
solitons. Comm. Anal. Geom., v. 20, n. 1, p. 55–94, 2012. ISSN 1019-8385. Disponível em:
<http://dx.doi.org/10.4310/CAG.2012.v20.n1.a3>. Citado na página 64.
PETERSEN, P. Riemannian geometry. Second. [S.l.]: Springer, New York, 2006. v. 171.
xvi+401 p. (Graduate Texts in Mathematics, v. 171). ISBN 978-0387-29246-5; 0-387-29246-2.
Citado 2 vezes nas páginas 20 e 21.
PINSKY, M. A. The spectrum of the Laplacian on a manifold of negative curvature.
I. J. Differential Geom., v. 13, n. 1, p. 87–91, 1978. ISSN 0022-040X. Disponível em:
<http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214434349>. Citado na página 10.
PINSKY, M. A. Spectrum of the Laplacian on a manifold of negative curvature. II. J.
Differential Geom., v. 14, n. 4, p. 609–620 (1981), 1979. ISSN 0022-040X. Disponível em:
<http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214435241>. Citado na página 10.
ROCHA, A. Essential spectrum of the weighted laplacian on noncompact manifolds and
applications. Geometriae Dedicata, p. 1–23, 2016. ISSN 1572-9168. Disponível em:
<http://dx.doi.org/10.1007/s10711-016-0186-9>. Citado 3 vezes nas páginas 20, 31 e 32.
SILVARES, L. On the essential spectrum of the Laplacian and the drifted Laplacian.
J. Funct. Anal., v. 266, n. 6, p. 3906–3936, 2014. ISSN 0022-1236. Disponível em:
<http://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2013.12.014>. Citado na página 13.
WEI, G.; WYLIE, W. Comparison geometry for the bakry-emery ricci tensor. J.
Differential Geom., Lehigh University, v. 83, n. 2, p. 337–405, 10 2009. Disponível em:
<http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1261495336>. Citado 2 vezes nas páginas 14 e 25.
ZHOU, D. Essential spectrum of the Laplacian on manifolds of nonnegative curvature.
Internat. Math. Res. Notices, n. 5, p. 209 ff., approx. 6 pp. (electronic), 1994. ISSN 1073-7928.
Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1155/S1073792894000231>. Citado na página 10.
