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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
EM ASSOCIAÇÃO COM A UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

ABRAÃO MENDES DO RÊGO

RIGIDEZ DE HIPERSUPERFÍCIES EM VARIEDADES RIEMANNIANAS

MACEIÓ-AL
2016

ABRAÃO MENDES DO RÊGO

Rigidez de Hipersuperfícies em Variedades Riemannianas

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas
em Associação com a Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para
obtenção do grau de Doutor em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Marcos Petrúcio
Cavalcante
Coorientador: Prof. Dr. Fernando Codá
Marques

Maceió-AL
2016

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecário Responsável: Valter dos Santos Andrade
R343r

Rêgo, Abraão Mendes do.
Rigidez de hipersuperfícies em variedades Riemannianas / Abraão Mendes do
Rêgo. – 2016.
52 f.
Orientador: Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante.
Coorientador: Fernando Codá dos Santos Cavalcanti Marques.
Tese (Doutorado em Matemática) – Doutorado Interinstitucional UFBA/UFAL.
Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Matemática. Programa de
Pós-Graduação em Matemática. Maceió, 2016.
Bibliografia: f. 45-47.
Apêndice: f. 48-52.
1. MOTSs estáveis. 2. Rigidez de superfícies. 3. Variedades Riemannianas.
4. Free Boundary. I. Título.
CDU: 514.764.27

À minha esposa, Janaína Rose, e ao meu filho, Jônatas Abraão.

AGRADECIMENTOS
Ao meu Deus acima de tudo!
“Todas as coisas foram feitas por Ele, e sem Ele nada do que foi feito se fez.” João 1:3.
À minha esposa, Janaína Rose, que esteve comigo desde o início desta jornada, quando
ainda éramos adolescentes com muitos sonhos. Sempre acreditando em mim, mesmo nos
momentos em que não acreditei. Seu apoio foi imprescindível.
Aos meus pais, Natalício Farias (in memoriam) e Palmira Mendes, pelo amor incondicional.
À minha família, em especial ao meu irmão Natalício Júnior, à minha sogra Rosa Elisa e
ao meu cunhado Djalma Júnior, pelo amor e carinho.
Ao meu orientador Prof. Marcos Petrúcio Cavalcante por todo apoio durante estes seis
anos em que trabalhamos juntos desde o mestrado. Pelo seu exemplo de pessoa e de
profissional. Pelo seu prazer em ensinar.
Ao meu coorientador Prof. Fernando Codá Marques por todo apoio durante minha experiência em Princeton. Que me acolheu prontamente e me mostrou como ser um profissional
exemplar.
Ao meu professor e amigo Márcio Henrique Batista da Silva pelas muitas conversas, tanto
sobre matemática como sobre política e cinema. Pelos belos cursos ministrados, sejam no
mestrado ou no doutorado.
Aos membros da Banca Examinadora pela disponibilidade e leitura crítica do trabalho.
À Universidade Federal de Alagoas, em especial ao Instituto de Matemática, pela estrutura e todo apoio desde o Ensino Médio quando ainda era bolsista de Iniciação Científica
Júnior.
À Princeton University pelo apoio e acolhimento durante um ano de estágio de Doutorado
Sanduíche, onde parte deste trabalho foi feito.
À Capes pelo apoio financeiro durante estes quatro anos. Em especial pelo apoio durante o período de estágio de Doutorado Sanduíche através do Programa de Doutorado
Sanduíche no Exterior (PDSE).

RESUMO
Nesta tese nós obtemos alguns resultados de rigidez de hipersuperfícies em variedades
Riemannianas que satisfazem certas condições geométricas. Na primeira parte do trabalho
nós provamos um teorema de splitting local para uma 3-variedade M tipo-espaço em um
espaço-tempo M quando M possui uma MOTS esférica fracamente outermost e outer area
minimizing que satura um determinado limite superior para a área. Além disso, provamos
um resultado que caracteriza a geometria extrínseca local de M , onde nós mostramos
que esta variedade pode ser mergulhada de maneira isométrica em um Espaço-tempo de
Nariai com constante cosmológica adequada. Ainda, sob uma condição de convexidade,
generalizamos nosso teorema de splitting para dois diferentes casos: o primeiro caso para
MOTSs de gênero maior que um e o segundo caso para MOTSs de dimensão alta com
σ-constante negativa. Na segunda parte da tese demonstramos um resultado de rigidez
infinitesimal para uma superfície mínima free boundary de índice um que satura um certo
limite superior para o comprimento do bordo em uma 3-variedade Riemanniana compacta
com fronteira. Além disso, sob uma hipótese adicional, provamos um teorema de rigidez
global para a variedade ambiente. Finalizamos o trabalho com extensões destes dois
últimos resultados para superfícies estacionárias estáveis.
Palavras-chave: MOTSs estáveis. Rigidez de superfícies. Variedades Riemannianas.
Free Boundary.

ABSTRACT
In this thesis we obtain some rigidity results for hypersurfaces in Riemannian manifolds
satisfying certain geometric conditions. In the first part of this work we prove a local
splitting theorem for a spacelike 3-manifold M into a spacetime M when M has a weakly
outermost and outer area minimizing spherical MOTS which saturates an upper bound for
the area. Furthermore, we prove a result that characterizes the extrinsic local geometry
of M , where we show that this manifold can be isometrically embedded into a Nariai
spacetime with appropriate cosmological constant. More, under a convexity condition,
we generalize our splitting theorem to two different cases: the first case to MOTSs of
genus greater than one and the second case to MOTSs of high dimension with negative
σ-constant. In the second part of this thesis we prove an infinitesimal rigidity result for a
free boundary minimal surface of index one that saturates a certain upper bound for the
length of the boundary in a compact Riemannian 3-manifold with boundary. Moreover,
under an additional hypothesis, we prove a rigidity theorem for the ambient manifold.
We finish the work with extensions of these two last results for stationary stable surfaces.
Keywords: Stable MOTSs. Rigidity of Surfaces. Riemannian Manifolds. Free Boundary.

SUMÁRIO
Sumário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1

INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2
2.1
2.2
2.3
2.3.1
2.4
2.5

RIGIDEZ DE MOTSs ESTÁVEIS . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O Caso Esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espaço-tempo de Nariai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O Caso de Gênero Alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O Caso de Dimensão Alta com σ-Constante Negativa . . . . . .

13
13
14
19
23
26
31

3
3.1
3.2
3.3

RIGIDEZ DE SUPERFÍCIES FREE BOUNDARY . . . . . .
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Superfícies Mínimas Free Boundary de Índice Um . . . . . . . .
Superfícies Estacionárias Estáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37
37
39
43

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

A
A.1
A.2

APÊNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Demonstração da Proposição 2.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Demonstração do Lema 2.2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8

1 INTRODUÇÃO
Seja M 3 = (M 3 , g) uma 3-variedade Riemanniana. É uma questão bastante interessante
saber como a topologia de uma superfície mínima Σ2 ⊂ M 3 pode influenciar na geometria
de M 3 , e vice-versa.
Usando o Teorema de Gauss-Bonnet, a Equação de Gauss e a Desigualdade de Estabilidade para superfícies mínimas, R. Schoen e S.-T. Yau observaram que se M 3 tem
curvatura escalar positiva, então M 3 não possui superfícies mínimas fechadas orientáveis
de gênero positivo. Além disso, eles provaram o seguinte resultado (veja [39]):
Teorema 1.1 (Schoen-Yau). Seja M 3 uma 3-variedade Riemanniana com curvatura escalar não-negativa. Se o grupo fundamental de M possui um subgrupo abstratamente
isomorfo ao grupo fundamental do 2-toro, então M é plana.
Para provar este resultado, Schoen e Yau primeiramente observaram que a hipótese
sobre o grupo fundamental de M 3 garante a existência de um 2-toro mínimo estável.
Depois eles usaram que se M admite uma métrica de curvatura escalar não-negativa que
não é plana, então M também admite uma métrica de curvatura escalar positiva (veja
[28]). Portanto, o resultado segue.
Como observado por D. Fischer-Colbrie e R. Schoen em [15], se Σ2 é uma superfície
mínima estável fechada orientável de gênero g(Σ) ≥ 1 em uma 3-variedade Riemanniana
completa orientável com curvatura escalar R ≥ 0, então Σ2 é um 2-toro plano totalmente
geodésico, com R = 0 sobre Σ. Além disso, Fischer-Colbrie e Schoen também propuseram o problema de estabelecer uma rigidez mais forte (global) se, digamos, o 2-toro é
adequadamente área-minimizante; confira [15, Remark 4].
Parcialmente motivados por questões relativas à topologia dos buracos negros, M.
Cai e G. J. Galloway [10] resolveram o problema proposto por Fischer-Colbrie e Schoen,
em um artigo que tem inspirado uma gama de trabalhos subsequentes nesta área (e.g.
[8, 35, 33, 1]). Cai e Galloway provaram o seguinte:
Teorema 1.2 (Cai-Galloway). Seja M 3 uma 3-variedade Riemanniana com curvatura
escalar não-negativa. Se Σ2 ⊂ M 3 é um 2-toro mergulhado two-sided que é localmente
área-minimizante, então uma vizinhança de Σ em M é isométrica ao produto
((−ε, ε) × Σ, dt2 + g0 ),
onde g0 , a métrica sobre Σ induzida de M , é plana. Além disso, se M é completa e Σ
minimiza área em sua classe de isotopia, então M é globalmente plana.

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

9

Como observado por Cai e Galloway, na primeira parte do teorema acima, M não
precisa ser globalmente plana. Também, a segunda parte permanece verdadeira se M for
uma variedade com fronteira, assumindo que sua fronteira é convexa em média.
Dois resultados similares ao Teorema 1.2 foram obtidos por H. Bray, S. Brendle e A.
Neves [8] e por I. Nunes [35] sob diferentes hipóteses sobre a curvatura escalar de M 3 e a
topologia de Σ2 , os quais nós parafraseamos da seguinte maneira:
Teorema 1.3 (Bray-Brendle-Neves). Seja M 3 uma 3-variedade Riemanniana com curvatura escalar limitada inferiormente por 2c, onde c > 0. Se Σ2 ⊂ M 3 é uma 2-esfera
mergulhada que é localmente área-minimizante, então a área de Σ satisfaz
A(Σ) ≤

4π
.
c

(1.1)

Além disso, se vale a igualdade acima, então uma vizinhança de Σ em M é isométrica
√
ao produto ((−ε, ε) × Σ, dt2 + g0 ), onde (Σ2 , g0 ) é a 2-esfera redonda de raio 1/ c. Neste
caso, se além disso M é completa e Σ minimiza área em sua classe de isotopia, então o
recobrimento universal de M é isométrico ao produto (R × Σ, dt2 + g0 ).
Teorema 1.4 (Nunes). Seja M 3 uma 3-variedade Riemanniana com curvatura escalar
limitada inferiormente por −2c, onde c > 0. Se Σ2 ⊂ M 3 é uma superfície de Riemann
fechada mergulhada two-sided de gênero g(Σ) ≥ 2 que é localmente área-minimizante,
então a área de Σ satisfaz
A(Σ) ≥

4π(g(Σ) − 1)
.
c

Além disso, se vale a igualdade acima, então uma vizinhança de Σ em M é isométrica ao
produto ((−ε, ε) × Σ, dt2 + g0 ), onde (Σ2 , g0 ) tem curvatura Gaussiana constante igual a
−c. Neste caso, se além disso M é completa e Σ minimiza área em sua classe de isotopia,
então o recobrimento universal de M é isométrico ao produto (R × Σ, dt2 + g0 ).
As demonstrações originais de Cai-Galloway, Bray-Brendle-Neves e Nunes são bastante diferentes. Contudo, M. Micallef e V. Moraru [33] apresentaram uma demonstração
unificada para os Teoremas 1.2, 1.3 e 1.4.
Do ponto de vista da Teoria da Relatividade, os Teoremas 1.2, 1.3 e 1.4 podem ser vistos como resultados acerca de conjuntos de dados iniciais tempos-simétricos (totalmente
geodésicos). Na primeira parte deste trabalho (Capítulo 2) provaremos versões dos Teoremas 1.3 e 1.4 para conjuntos de dados iniciais gerais (não-tempos-simétricos). Nesta
situação mais geral, superfícies mínimas são substituídas por marginally outer trapped
surfaces (MOTSs).
Na Seção 2.3 do Capítulo 2 provaremos um resultado de rigidez infinitesimal (Proposição 2.3.1) para MOTSs estáveis que saturam uma estimativa de área análoga a (1.1). Isto
será então usado para provar um teorema de splitting (Teorema 2.3.3), que é o análogo

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

10

do Teorema 1.3 para espaços-tempos. Algumas conexões com o Espaço-tempo de Nariai
serão feitas na Subseção 2.3.1, onde classificaremos completamente a geometria extrínseca
local dos conjuntos de dados iniciais considerados na Seção 2.3. Na Seção 2.4 obteremos
um resultado de rigidez infinitesimal (Proposição 2.4.1) e um teorema de splitting (Teorema 2.4.4) para MOTSs de gênero g ≥ 2. Este último é o análogo do Teorema 1.4 para
espaços-tempos. Na Seção 2.5 estenderemos os principais resultados da Seção 2.4 para
MOTSs de dimensão n ≥ 2 com σ-constante negativa.
Abaixo enunciaremos o primeiro teorema obtido neste trabalho, onde, sob certas
condições, classificaremos a geometria (intrínseca) local do conjunto de dados iniciais
(M 3 , g, K). (Definições serão apresentadas na Seção 2.2.)
Teorema 1.5 (Teorema 2.3.3). Seja (M 3 , g, K) um conjunto tridimensional de dados
4
4
iniciais em um espaço-tempo M = (M , g). Seja Σ2 uma MOTS esférica fracamente
outermost e outer area minimizing em M 3 . Suponha que existe uma constante c > 0 tal
que µ − |J| ≥ c em M+ . Então,
A(Σ) ≤

4π
.
c

Além disso, se vale a igualdade, então uma vizinhança exterior U ≈ [0, ε) × Σ de Σ em
M é isométrica ao produto ([0, ε) × Σ, dt2 + g0 ), onde (Σ2 , g0 ) é a 2-esfera redonda de raio
√
1/ c. Também, para cada slice Σt ≈ {t} × Σ, temos que K|Tx Σt ×Tx Σt = 0, qualquer que
seja x ∈ Σt . Em particular, tais slices são MOTSs.
Acima, µ e J são definidos em termos do tensor de Einstein de M , G = Ric − R2 g, por
µ = G(u, u) e J(·) = G(u, ·)|Tp M , para p ∈ M .
Em seguida, na Subseção 2.3.1, classificaremos a geometria extrínseca local do conjunto
de dados iniciais (M 3 , g, K).
Teorema 1.6 (Teorema 2.3.5). Seja (M 3 , g, K) um conjunto tridimensional de dados
inicias. Sob as mesmas hipóteses do Teorema 1.5, se A(Σ) = 4π/c, então uma vizinhança
exterior U ≈ [0, ε) × Σ de Σ em M pode ser isometricamente mergulhada no Espaçotempo de Nariai (N , h) (com constante cosmológica adequada) como uma hipersuperfície
tipo-espaço de tal maneira que g restrita a U é a métrica induzida de N e K restrita a U
é a segunda forma fundamental de U em N .
Vale ressaltar que as MOTSs apareceram em um contexto puramente matemático no
trabalho de Schoen e Yau [40] concernente à existência de soluções da Equação de Jang,
em conexão com sua demonstração do Teorema da Massa Positiva. A teoria matemática
das MOTSs tem sido bastante desenvolvida nos últimos anos. O survey [2] descreve muitos
destes desenvolvimentos.
Outro resultado de rigidez bastante conhecido é devido ao matemático V. A. Toponogov [41]. Ele provou o seguinte:

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

11

Teorema 1.7 (Toponogov). Seja M 2 uma superfície Riemanniana fechada com curvatura
Gaussiana K ≥ 1. Então, o comprimento de qualquer geodésica simples fechada γ ⊂ M 2
satisfaz
L(γ) ≤ 2π.

(1.2)

Além disso, se L(γ) = 2π, então M 2 é isométrica à 2-esfera unitária canônica S2 ⊂ R3 .
Com o intuito de obter uma versão do Teorema de Toponogov em dimensão 3, H.
Bray et. al. [7] consideraram um plano projetivo real Σ2 mergulhado em uma 3-variedade
Riemanniana compacta M 3 . Eles provaram que se Σ tem a menor área dentre todos os
planos projetivos em M , e M tem curvatura escalar R ≥ 6, então a área de Σ satisfaz
A(Σ) ≤ 2π. Além disso, se A(Σ) = 2π, então M 3 é isométrica ao RP3 munido da métrica
canônica.
Em um trabalho mais recente, F. C. Marques e A. Neves [31] consideraram o caso
de 2-esferas mínimas instáveis em 3-esferas Riemannianas com curvatura escalar R ≥ 6.
Dentre outras coisas, eles provaram o seguinte:
Teorema 1.8 (Marques-Neves). Se g é uma métrica Riemanniana sobre S 3 , com curvatura escalar R ≥ 6, que não possui curvatura seccional constante igual a um, então existe
uma 2-esfera mínima Σ2 mergulhada em M 3 = (S 3 , g) satisfazendo A(Σ) < 4π. Além
disso, Σ tem índice zero ou um.
Como observado por Marques e Neves, isto pode ser visto como um resultado análogo
ao Teorema de Toponogov em dimensão 3, visto que, em geral, não existe limitação de
área de 2-esferas mínimas em M 3 .
No Capítulo 3 desta tese provaremos uma estimativa semelhante a (1.2) para curvas
que são realizadas como o bordo ∂Σ de uma superfície mínima free boundary Σ2 de índice
um em uma 3-variedade Riemanniana M 3 com bordo ∂M estritamente convexo. Além
disso, provaremos um resultado de rigidez infinitesimal para as superfícies mínimas cujos
bordos saturam tal estimativa (Teorema 3.2.5). Como consequência (Corolário 3.2.8)
obteremos um resultado de rigidez global para M , assumindo uma hipótese adicional sobre
a geometria de M ao longo de ∂M . Para finalizar, consideraremos o caso de superfícies
estacionárias estáveis em 3-variedades com fronteira estritamente convexa.
Abaixo enunciaremos o primeiro resultado obtido no Capítulo 3. (Definições serão
apresentadas na Seção 3.2.)
Teorema 1.9 (Teorema 3.2.5). Seja M 3 uma 3-variedade Riemanniana compacta com
fronteira ∂M não-vazia. Suponha Ric ≥ 0 e II ≥ 1, onde Ric é o tensor de Ricci de M e
II é a segunda forma fundamental de ∂M em M . Se Σ2 ⊂ M 3 é uma superfície mínima
free boundary propriamente mergulhada de índice um, então
L(∂Σ) ≤ 2π(g + r),

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

12

onde g é o gênero de Σ e r é o número de componentes conexas de ∂Σ. Além disso, se vale
a igualdade, então Σ é totalmente geodésica em M , Σ (com respeito à métrica induzida)
é isométrica ao disco Euclidiano unitário D e ∂Σ é uma geodésica de ∂M .
Como consequência do Teorema 1.9, temos o seguinte:
Corolário 1.10. O único domínio limitado Ω ⊂ R3 com fronteira suave ∂Ω satisfazendo
II ≥ 1 que admite um disco mínimo free boundary propriamente mergulhado Σ2 ⊂ Ω de
índice um com L(∂Σ) = 2π é a bola unitária.

13

2 RIGIDEZ DE MOTSs ESTÁVEIS
2.1

Introdução

Neste capítulo obteremos versões dos Teoremas de Bray-Brendle-Neves e Nunes para
MOTSs em conjuntos de dados iniciais gerais (não-tempos-simétricos). Definições serão
apresentadas na Seção 2.2.
O primeiro resultado que gostaríamos de destacar é devido ao matemático M. Cai [9],
que estendeu o Teorema 1.2 para variedades de dimensão n ≥ 3.
Teorema 2.1.1 (Cai). Seja (M n+1 , g) uma (n + 1)-variedade Riemanniana, n ≥ 3, com
curvatura escalar não-negativa e suponha que Σn ⊂ M n+1 é uma hipersuperfície fechada
two-sided localmente área-minimizante. Se Σ não é do tipo Yamabe positivo, então uma
vizinhança de Σ em M é isométrica ao produto ((−ε, ε) × Σ, dt2 + g0 ), onde (Σ, g0 ) é Ricci
plana.
Veja [25] para uma demonstração simplificada do teorema acima.
Outro resultado que devemos destacar é devido ao matemático V. Moraru [34], que
estendeu o Teorema de Nunes para variedades de dimensão n ≥ 3.
Teorema 2.1.2 (Moraru). Seja (M n+1 , g) uma (n + 1)-variedade Riemanniana completa,
n ≥ 3, com curvatura escalar R ≥ −2c, onde c > 0. Se Σn ⊂ M n+1 é uma hipersuperfície
fechada two-sided localmente área-minimizante com σ(Σ) < 0, então a área de Σ satisfaz
n

A(Σ ) ≥

|σ(Σn )|
2c

!n
2

.

Além disso, se vale a igualdade, então uma vizinhança de Σ em M é isométrica ao produto
((−ε, ε) × Σ, dt2 + g0 ), onde (Σ, g0 ) é Einstein.
Acima, σ(Σ) simboliza a σ-constante de Σ (invariante topológico introduzido por R.
Schoen [38] e O. Kobayashi [29] independentemente).
n+2
n+2
Agora, seja M
= (M , g) um espaço-tempo de dimensão n + 2, com n ≥ 2. Se
n+2
M n+1 é uma hipersuperfície tipo-espaço em M , podemos ver M como um conjunto de
dados iniciais M n+1 = (M n+1 , g, K), onde g é a métrica (Riemanniana) sobre M induzida
de M e K é a segunda forma fundamental de M em M . Dada uma hipersuperfície fechada
two-sided Σn mergulhada em M n+1 , podemos introduzir dois vetores nulos que apontam
para o futuro e são normais a Σ, l+ = u + ν e l− = u − ν, onde u é o campo unitário (tipotempo) normal a M que aponta para o futuro e ν é o campo unitário normal a Σ em M .
Como introduzido por R. Penrose, se ambas as curvaturas médias θ+ e θ− de Σ em M com
respeito a l+ e l− , respectivamente, são negativas, dizemos que Σ é uma trapped surface.

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

14

Se fixamos o campo de vetores ν como apontando para fora de Σ, dizemos que Σ é uma
outer trapped surface se θ+ < 0, independentemente do sinal de θ− . Finalmente, se θ+ é
identicamente nula, dizemos que Σ é uma marginally outer trapped surface (MOTS). Sob
circunstâncias adequadas, a existência de uma MOTS sinaliza a presença de um buraco
negro (veja [12]).
Em um certo sentido, a noção de MOTS estende a noção de superfície mínima para
um contexto mais geral. Neste caso, alguns conceitos sobre superfícies mínimas podem
ser estendidos para MOTSs; por exemplo, o conceito de estabilidade (veja [3, 4]). Em um
contexto puramente matemático, MOTSs apareceram primeiramente em um trabalho de
Schoen e Yau [40] sobre o Teorema da Massa Positiva.
Por causa da sua importância tanto no contexto físico quanto matemático, nos últimos
anos o estudo sobre MOTSs tem crescido significativamente (veja [13, 32]).
De maneira similar ao caso de superfícies mínimas, saber como a topologia de uma
MOTS pode influenciar na geometria de um conjunto de dados iniciais, e vice-versa, são
questões bastante interessantes.
Nosso primeiro objetivo neste capítulo é estender o Teorema de Bray-Brendle-Neves
para espaços-tempos gerais, o que será feito na Seção 2.3, onde classificaremos a geometria
(intrínseca) local do conjunto de dados iniciais (M 3 , g, K). Em seguida, na Subseção
2.3.1, classificaremos a geometria extrínseca local de (M 3 , g, K). Nas duas últimas seções
estenderemos os Teoremas de Nunes e Moraru para o contexto de espaços-tempos.
Vale lembrar que Galloway [20] generalizou o Teorema de Cai para espaços-tempos,
n+2
onde ele demonstrou que se (M , g) é um espaço-tempo que satisfaz a condição de
energia dominante (CED) e Σn ⊂ M n+1 é uma MOTS fechada fracamente outermost
que não admite métrica de curvatura escalar positiva, onde M n+1 é uma hipersuperfície
n+2
tipo-espaço em M , então existe uma vizinhança exterior U ≈ [0, ε) × Σ de Σ em M
tal que cada slice Σt = {t} × Σ é uma MOTS. Além disso, cada um destes slices possui
segunda forma fundamental nula identicamente nula e curvatura de Ricci identicamente
zero.

2.2

Preliminares
n+2

n+2

Seja M
= (M , g) um espaço-tempo de dimensão n + 2, onde n ≥ 2. Mais pren+2
cisamente, M
é uma variedade Lorentziana conexa orientada e tempo-orientada de
n+2
dimensão n + 2. Dada uma hipersuperfície tipo-espaço M n+1 ⊂ M , seja u o vetor
unitário (tipo-tempo) normal a M que aponta para o futuro. Neste caso, podemos ver M
como um conjunto de dados iniciais M n+1 = (M n+1 , g, K), onde g é a métrica (Riemanniana) sobre M induzida de M e K é a segunda forma fundamental de M em M com
respeito a u, ou seja, K(V, W ) = g(∇V u, W ), para V, W ∈ Tp M , para cada p ∈ M , onde
∇ é a conexão de Levi-Civita de M .

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

15

Dada uma hipersuperfície two-sided Σn ⊂ M n+1 , fixamos um vetor unitário ν normal
a Σ em M . Por convenção, diremos que ν aponta para fora de Σ. Podemos então definir
dois vetores nulos normais a Σ que apontam para o futuro, l+ = u + ν e l− = u − ν, que
apontam para fora e para dentro de Σ, respectivamente.
Definição 2.2.1. As segundas formas fundamentais nulas χ+ e χ− de Σ em M são
definidas por
χ± (X, Y ) = g(∇X l± , Y ), X, Y ∈ Tx Σ,
em cada ponto x ∈ Σ, ou seja, χ+ e χ− são as segundas formas fundamentais de Σ em M
com respeito aos vetores l+ e l− , respectivamente.
Observe que
χ± = K|Tx Σ×Tx Σ ± A,

(2.1)

em cada x ∈ Σ, onde A é a segunda forma fundamental de Σ em M com respeito a ν.
Definição 2.2.2. As curvaturas médias nulas θ+ e θ− de Σ em M são definidas por
θ± = tr χ± ,
respectivamente.
Observe que
θ± = trΣ K ± H,
onde H = tr A é a curvatura média de Σ em M com respeito a ν.
Definição 2.2.3. Se θ− e θ+ são ambas negativas, dizemos que Σ é uma trapped surface.
Se θ+ < 0 (sem nenhuma hipótese sobre θ− ), dizemos que Σ é uma outer trapped surface. Finalmente, se θ+ = 0, dizemos que Σ é uma marginally outer trapped surface ou
simplesmente uma MOTS.
De agora em diante, por simplicidade, denotaremos as entidades l+ , χ+ e θ+ por l, χ e
θ, respectivamente.
Observação 2.2.4. No caso em que M é tempo-simétrica, i.e., quando K = 0, χ e θ são
apenas a segunda forma fundamental A e a curvatura média H de Σ em M , respectivamente. Neste caso, uma MOTS nada mais é que uma hipersuperfície mínima.
A seguir, apresentaremos a noção de estabilidade para MOTSs introduzida pelos matemáticos L. Andersson, M. Mars e W. Simon (veja [3, 4]).
Seja G = Ric − R2 g o tensor de Einstein de (M , g), onde Ric e R são o tensor de Ricci e
a curvatura escalar de (M , g), respectivamente. Defina µ = G(u, u) e J(·) = G(u, ·)|Tp M ,

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

16

em cada p ∈ M . Seja RΣ a curvatura escalar de Σ = (Σ, h , i), onde h , i é a métrica
induzida de M . Além disso, denote por X ∈ Γ(T Σ) o campo de vetores sobre Σ definido
em cada ponto x ∈ Σ como sendo o dual a K(ν, ·)|Tx Σ .
Fazendo uso das Equações de Gauss-Codazzi, podemos expressar µ e J apenas em
termos do conjunto de dados iniciais M = (M, g, K):
1
(R + τ 2 − |K|2 ),
2
J = div K − dτ,
µ =

onde R é a curvatura escalar de M e τ = tr K é a curvatura média de M em M com
respeito a u.
Agora, considere t 7−→ Σt ⊂ M , t ∈ (−ε, ε), uma variação de Σ = Σ0 com campo
∂
|t=0 = φν, φ ∈ C ∞ (Σ). Seja θ(t) a curvatura média nula de Σt com respeito
variacional ∂t
a lt = u + νt , onde νt é o vetor unitário normal a Σt em M que aponta para fora de Σt .
Proposição 2.2.5. Em cada ponto x ∈ Σ,
∂θ
1
= −∆φ + 2hX, ∇φi + Q − |X|2 + div X − θ(0)2 + θ(0)τ φ,
∂t t=0
2




onde ∆, ∇ e div são os operadores Laplaciano, gradiente e divergente de Σ, respectivamente, e
1
1
Q = RΣ − (µ + J(ν)) − |χ|2 .
2
2
Demonstração. Veja o Apêndice A.1.
Definição 2.2.6. O operador L : C ∞ (Σ) → C ∞ (Σ) definido por
Lφ = −∆φ + 2hX, ∇φi + (Q − |X|2 + div X)φ

(2.2)

é conhecido como operador de estabilidade para MOTSs.
Fazendo uso da Equação de Gauss, Ric(ν, ν) + |A|2 = 21 (R − RΣ + |A|2 + H 2 ), onde
Ric é o tensor de Ricci de M , podemos ver que no caso tempo-simétrico, L se reduz ao
operador de estabilidade para hipersuperfícies mínimas, −∆ − (Ric(ν, ν) + |A|2 ), quando
Σ é uma MOTS (neste caso, uma hipersuperfície mínima).
Definição 2.2.7. Se Σ é fechada (compacta sem bordo), dizemos que φ ∈ C ∞ (Σ, C) é
uma autofunção de L se existe λ ∈ C tal que Lφ = λφ, onde L(u + iv) := Lu + iLv para
u, v ∈ C ∞ (Σ) = C ∞ (Σ, R). Neste caso, λ é chamado um autovalor de L e φ é dita uma
autofunção associada ao autovalor λ.
Mesmo no caso compacto sem bordo, o operador L não é auto-adjunto em geral.
Contudo, ele possui as seguintes propriedades:

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

17

Lema 2.2.8. Se Σ é uma MOTS fechada, então:
(i) Existe um autovalor real λ1 = λ1 (L) de L, chamado autovalor principal, tal que
qualquer outro autovalor λ de L satisfaz Re(λ) ≥ λ1 . A autofunção φ1 associada a
λ1 é única a menos de multiplicação por constante e pode ser escolhida estritamente
positiva;
(ii) λ1 ≥ 0 (respectivamente, λ1 > 0) se, e somente se, existe ψ ∈ C ∞ (Σ) tal que ψ > 0
e Lψ ≥ 0 (respectivamente, Lψ > 0);
(iii) O operador adjunto formal L∗ de L (com respeito ao produto interno L2 ) possui o
mesmo autovalor principal que L.
Demonstração. Veja o Apêndice A.2.
Definição 2.2.9. Uma MOTS fechada Σ é dita estável se existe uma função ψ ∈ C ∞ (Σ)
tal que ψ > 0 e Lψ ≥ 0. Segue diretamente do item (ii) do lema anterior que Σ é estável
se, e somente se, λ1 (L) ≥ 0.
Observação 2.2.10. Se Σ é fechada, o operador adjunto formal L∗ : C ∞ (Σ) → C ∞ (Σ)
de L é dado por
L∗ φ = −∆φ − 2hX, ∇φi + (Q − |X|2 − div X)φ.
De fato, dadas φ, ψ ∈ C ∞ (Σ),
Z

φhX, ∇ψidA =

Σ

=

Z
ZΣ

div(ψφX) − ψ div(φX)dA
ψ(−hX, ∇φi − φ div X)dA.

Σ

Portanto, tomando q = Q − |X|2 + div X,
Z

φLψdA =

Σ

=

Z
ZΣ

φ(−∆ψ + 2hX, ∇ψi + qψ)dA
ψ(−∆φ − 2hX, ∇φi + (q − 2 div X)φ)dA.

Σ

Observação 2.2.11. O lema anterior é verdadeiro para qualquer operador da forma
−∆ + 2hX, ∇(·)i + q, onde X ∈ Γ(T Σ) e q ∈ C ∞ (Σ) (veja o Apêndice B de [4]). Em
particular, o mesmo vale para o operador L∗ .
Agora, considere o operador “simetrizado” L0 : C ∞ (Σ) → C ∞ (Σ),
L0 φ = −∆φ + Qφ,
obtido formalmente de (2.2) tomando X = 0. O próximo lema foi obtido como parte do
principal resultado em [24] (veja também [4, 21]). Por questão de completude, apresentamos sua demonstração aqui.

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

18

Lema 2.2.12. Se Σ é fechada, então λ1 (L0 ) ≥ λ1 (L). Em particular, se λ1 (L) ≥ 0,
temos
Z

(|∇f |2 + Qf 2 )dA ≥ 0,

(2.3)

Σ

qualquer que seja f ∈ C ∞ (Σ).
Demonstração. Seja φ uma autofunção de L associada ao autovalor principal λ = λ1 (L).
Sem perda de generalidade, podemos assumir que φ > 0. Então, de (2.2),
1
∆φ
+ 2hX, ∇φi − |X|2 + div X + Q
φ
φ
2
∆φ |∇φ|
1
= −
+
− |X − ∇φ|2 + div X + Q
2
φ
φ
φ
2
= −∆ ln φ − |X − ∇ ln φ| + div X + Q

λ = −

= div Y − |Y |2 + Q,
onde Y = X − ∇ ln φ. Desta forma, dada f ∈ C ∞ (Σ) \ {0}, segue das identidades acima,
λf 2 − Qf 2 = f 2 div Y − f 2 |Y |2
= div(f 2 Y ) − 2f h∇f, Y i − f 2 |Y |2
≤ div(f 2 Y ) + 2|f ||∇f ||Y | − f 2 |Y |2
≤ div(f 2 Y ) + (|∇f |2 + f 2 |Y |2 ) − f 2 |Y |2
= div(f 2 Y ) + |∇f |2 .
Finalmente, o resultado segue das últimas desigualdades acima, do Teorema da Divergência e da Fórmula de Rayleigh,
2
2
Σ (|∇f | + Qf )dA
R
,
2
(Σ)\{0}
Σ f dA

R

λ1 (L0 ) =

f ∈C

inf
∞

(2.4)

que caracteriza o autovalor principal do operador L0 .
Abaixo enunciaremos um lema que aparece como parte da demonstração do principal
resultado de [20].
Lema 2.2.13. Seja Σ uma MOTS fechada em um conjunto de dados iniciais (M, g, K).
Se λ1 (L) = 0, então existe uma variação t 7−→ Σt ⊂ M , t ∈ (−ε, ε), de Σ = Σ0 tal
que Σt é uma hipersuperfície de curvatura média nula constante θ = θ(t), para cada
t ∈ (−ε, ε). Além disso, {Σt }t∈(−ε,ε) é uma folheação de uma vizinhança de Σ em M com
∂
campo variacional ∂t
= φt νt , onde νt é o vetor unitário normal a Σt em M que aponta
para fora de Σt e φt : Σt ≈ {t} × Σ → R é uma função positiva.
Antes de passarmos para a próxima seção, fixaremos algumas terminologias.

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

19

Definição 2.2.14. Se Σ é uma MOTS em M que separa, denotamos por M+ a região
de M consistindo de Σ e da região fora de Σ. Dizemos que Σ é fracamente outermost
se não existe uma outer trapped surface em M+ homóloga a Σ. Além disso, Σ é outer
area minimizing se sua área é menor ou igual à área de qualquer hipersuperfície em M+
homóloga a Σ.
Observação 2.2.15. Segue da Proposição 2.2.5 e do Lema 2.2.8 que se Σ é uma MOTS
fechada fracamente outermost, então Σ é estável. Caso contrário, tomando uma variação
de Σ com campo variacional φ1 ν, onde φ1 > 0 é a autofunção de L associada ao autovalor
principal λ1 < 0, teremos hipersuperfícies (arbitrariamente próximas de Σ) em M+ homólogas a Σ com curvatura média nula estritamente negativa. Da mesma maneira, usando a
Fórmula da Primeira Variação de Área, se Σ é outer area minimizing, então a curvatura
média de Σ em M é não-negativa.

2.3

O Caso Esférico

Nesta seção estudaremos uma estimativa de área para MOTSs esféricas bidimensionais
estáveis sob uma hipótese geométrica no conjunto de dados iniciais. Além disso, provaremos a rigidez local do conjunto de dados iniciais quando esta estimativa é atingida.
Esta seção faz parte do trabalho [22] em colaboração com G. J. Galloway.
Nesta seção, Σ2 denotará uma MOTS fechada de dimensão 2.
Proposição 2.3.1. Seja Σ2 uma MOTS esférica (topologicamente S 2 ) estável em um
conjunto tridimensional de dados iniciais (M 3 , g, K). Suponha que existe uma constante
c > 0 tal que µ + J(ν) ≥ c sobre Σ, onde ν é o vetor unitário normal a Σ em M que
aponta para fora de Σ. Então, a área de Σ satisfaz
A(Σ) ≤

4π
.
c

(2.5)

Além disso, se vale a igualdade, então Σ2 é a 2-esfera redonda com curvatura Gaussiana
κ = c, a segunda forma fundamental nula χ (com respeito ao vetor nulo que aponta para
fora) de Σ é identicamente nula, µ + J(ν) = c sobre Σ e λ1 (L0 ) = λ1 (L) = 0.
Demonstração. Por hipótese, λ1 (L) ≥ 0, onde L é o operador de estabilidade para

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

20

MOTSs. Então, usando (2.3) com f = 1 e o Teorema de Gauss-Bonnet, temos
Z

0 ≤

QdA

Σ

1
κ − (µ + J(ν)) − |χ|2 dA
2
Σ

Z 
1 2
≤
κ − c − |χ| dA
2
Σ
Z


Z 

=

≤

(κ − c)dA

Σ

= 4π − cA(Σ),
o que prova (2.5).
Agora, se vale a igualdade em (2.5), então todas as desigualdades acima devem ser
R
igualdades. Desta forma, χ = 0, µ + J(ν) = c sobre Σ e Σ QdA = 0. Observe que
Q = κ − c. Usando novamente (2.3),
0 ≤
=

Z

(|∇(α + ψ)|2 + Q(α + ψ)2 )dA

ZΣ

(|∇ψ|2 + Qψ 2 )dA + 2α

Z

QψdA,

Σ

Σ

quaisquer que sejam α ∈ R e ψ ∈ C ∞ (Σ). Isto implica que Σ QψdA = 0 para toda
ψ ∈ C ∞ (Σ), e assim Q = κ − c = 0. Finalmente, λ1 (L0 ) = λ1 (L) = 0 segue do Lema
2.2.12 e de (2.4), lembrando que λ1 (L) ≥ 0.
R

Observação 2.3.2. Supondo apenas que Σ é orientável, a hipótese topológica sobre Σ na
proposição anterior não é necessária. De fato, usando a estabilidade de Σ e procedendo
exatamente como na primeira parte da demonstração da proposição, temos que
0 ≤ 2πχ(Σ) − cA(Σ),
o que implica χ(Σ) > 0. Logo, Σ2 é topologicamente S 2 .
Abaixo demonstraremos um dos principais resultados deste capítulo.
Teorema 2.3.3. Seja (M 3 , g, K) um conjunto tridimensional de dados iniciais. Seja Σ2
uma MOTS esférica fracamente outermost e outer area minimizing em M 3 . Suponha que
existe uma constante c > 0 tal que µ − |J| ≥ c em M+ . Então,
A(Σ) ≤

4π
.
c

Além disso, se vale a igualdade, então uma vizinhança exterior U ≈ [0, ε) × Σ de Σ em
M é isométrica ao produto ([0, ε) × Σ, dt2 + g0 ), onde (Σ2 , g0 ) é a 2-esfera redonda de raio
√
1/ c. Também, para cada slice Σt ≈ {t} × Σ, temos que K|Tx Σt ×Tx Σt = 0, qualquer que
seja x ∈ Σt . Em particular, tais slices são MOTSs.

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

21

Demonstração. Tendo em vista que Σ é fracamente outermost e fechada, segue da Observação 2.2.15 que Σ é estável. Portanto, observando que µ + J(ν) ≥ µ − |J| ≥ c, segue da
Proposição 2.3.1 que A(Σ) ≤ 4π/c. Além disso, se A(Σ) = 4π/c, então λ1 (L) = 0. Neste
caso, sejam {Σt }t∈(−ε,ε) , θ = θ(t) e φ = φt dados pelo Lema 2.2.13. Segue da Proposição
2.2.5 que
dθ
1
= −∆φ + 2hX, ∇φi + Q − |X|2 + div X − θ2 + θτ φ,
dt
2




onde ∆ = ∆t , h , i = h , it , X = Xt , ∇ = ∇t (operador gradiente), Q = Qt e div = divt
são as respectivas entidades associadas a Σt , para cada t ∈ (−ε, ε). Então,
∆φ
1
1
θ0
= −
+ 2hX, ∇φi − |X|2 + div X + Q − θ2 + θτ
φ
φ
φ
2
1
= div Y − |Y |2 + Q − θ2 + θτ
2
≤ div Y + Q + θτ,
onde Y = X − ∇ ln φ. Assim, observando que θ0 (t) também é constante sobre Σt e usando
o Teorema da Divergência, para cada t ∈ [0, ε), temos
θ0 (t)

Z
Z
1
QdAt
τ dAt ≤
dAt − θ(t)
Σt φ
Σt
Σt

Z

1
=
κ − (µ + J(ν)) − |χ|2 dAt
2
Σt

Z 
1 2
κ − (µ − |J|) − |χ| dAt
≤
2
ZΣt
Z

≤

≤

ZΣt
Σt





(κ − (µ − |J|))dAt
(κ − c)dAt

= 4π − cA(Σt )
= cA(Σ) − cA(Σt )
≤ 0,
i.e.,
Z
1
θ (t)
dAt ≤ θ(t)
τ dAt ,
Σt φ
Σt
0

Z

onde acima nós usamos o Teorema de Gauss-Bonnet e a hipótese de que Σ é outer area miR
R
nimizing. Definindo h(t) = Σt τ dAt / Σt φ1 dAt , segue diretamente da última desigualdade
que
Rt
d
θ(t)e− 0 h(s)ds ≤ 0, ∀t ∈ [0, ε).
dt




Portanto, 0 ≤ θ(t) ≤ θ(0) = 0, i.e., θ(t) = 0 para todo t ∈ [0, ε). Isto prova que cada slice
Σt ≈ {t} × Σ, t ∈ [0, ε), é uma MOTS.

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

22

Visto que θ(t) = 0 para todo t ∈ [0, ε), todas as desigualdades acima devem ser
igualdades. Então, Y = X − ∇ ln φ = 0, χ = 0 e µ + J(ν) = µ − |J| = c sobre
U ≈ [0, ε) × Σ. Além disso, A(Σt ) = A(Σ) = 4π/c para todo t ∈ [0, ε). Visto que
θ0 (t) = 0, segue da Proposição 2.2.5 e do Lema 2.2.8 que Σt é estável. Assim, usando a
Proposição 2.3.1, temos que Σt é uma esfera redonda com curvatura Gaussiana κt = c,
√
i.e., uma esfera redonda de raio 1/ c, para cada t ∈ [0, ε).
Agora, visto que A(Σt ) = A(Σ), Σ é outer area minimizing e Σt ⊂ M+ é homóloga a
Σ, segue que Σt também é outer area minimizing, para cada t ∈ [0, ε). Então, a curvatura
média Ht de Σt em M é não-negativa, para cada t ∈ [0, ε) (veja a Observação 2.2.15).
Segue então da Fórmula da Primeira Variação de Área que
Z
d
Ht φdAt ,
0 = A(Σt ) =
dt
Σt

o que implica Ht = 0 para cada t ∈ [0, ε), pois φ = φt > 0.
Tendo em vista que Σt é uma MOTS mínima, segue que trΣt K = 0 para cada t ∈ [0, ε).
Então, a curvatura média nula θ− (t) = trΣt K − Ht de Σt com respeito a l− (t) = u − νt
também se anula. Desta forma, aplicando a Proposição 2.2.5 para θ− e φ− = −φ no lugar
de θ = θ+ e φ, respectivamente, temos
0
0 = θ−
= −∆φ− + 2hX− , ∇φ− i + (Q− − |X− |2 + div X− )φ− ,

(2.6)

onde
1
Q− = κ − (µ + J(−ν)) − |χ− |2
2
1
= c − (µ + |J|) − |χ− |2
2
1
= −2|J| − |χ− |2 ,
2
1
X− = (K(−νt , ·)|Tx Σt )] = −X = − ∇φ,
φ

(2.7)
(2.8)

em cada x ∈ Σt . Substituindo (2.7) e (2.8) em (2.6) (e lembrando que φ− = −φ), obtemos
|∇φ|2
1
+ |J| + |χ− |2 φ = 0,
φ
4


∆φ +



o que, após integração sobre Σt , implica
|∇φ| = |χ− | = |J| = 0 sobre U.
A equação (2.1) implica que K|Tx Σt ×Tx Σt = 0 e que (Σ, gt ) é totalmente geodésica em
M para cada t ∈ [0, ε), onde gt é a métrica sobre Σt ≈ {t} × Σ induzida de (M, g).
Escrevendo g = φ2 dt2 + gt sobre U ≈ [0, ε) × Σ e observando que φ = φt depende apenas
de t ∈ [0, ε), segue que gt não depende de t ∈ [0, ε). Com a simples mudança de variável
ds = φ(t)dt, φ(t) = φt , obtemos que g tem a estrutura de produto ds2 + g0 sobre U ,
√
onde (Σ, g0 ) é a esfera redonda de raio 1/ c. Isto completa a demonstração do Teorema
2.3.3.

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

23

Observação 2.3.4. Continuando com a notação acima, uma vez que J = div K − τ = 0,
K|Tx Σt ×Tx Σt = 0, K(νt , ·)|Tx Σt = 0 e Σt é totalmente geodésica em M , segue que τ não
depende de x ∈ Σt , i.e., τ depende apenas de t ∈ [0, ε). De fato, seja x = (x1 , x2 ) um
sistema local de coordenas em Σ e considere a mudança de variável anterior ds = φ(t)dt.
Observando que ∇∂s ∂s = 0, g(∂s , ∂s ) = 1 e g(∂s , ∂xi ) = 0, temos
∂k τ = (div K)(∂k )
= g ij (∇∂i K)(∂k , ∂j ) + (∇∂s K)(∂k , ∂s )
= g ij (∂i K(∂k , ∂j ) − K(∇∂i ∂k , ∂j ) − K(∂k , ∇∂i ∂j ))
+∂s K(∂k , ∂s ) − K(∇∂s ∂k , ∂s ) − K(∂k , ∇∂s ∂s )
= K(∇∂k ∂s , ∂s )
= 0.

2.3.1

Espaço-tempo de Nariai

Nesta subseção caracterizaremos a geometria extrínseca local de (M 3 , g, K) quando, sob
as mesmas hipóteses do Teorema 2.3.3, vale a igualdade A(Σ) = 4π/c.
Dado Λ ∈ R, dizemos que um espaço-tempo M = (M , g) é solução da Equação de
Einstein no vácuo com constante cosmológica Λ se
G + Λg = 0,
onde G = Ric − R2 g é o tensor de Einstein de (M , g). O Espaço-tempo de Nariai de
dimensão 4 é a solução da Equação de Einstein no vácuo com constante cosmológica
Λ > 0 dada por
N = R × S1 × S2 , h =

1
(−dt2 + cosh2 tdθ2 + dΩ2 ),
Λ

onde dθ2 e dΩ2 são as métricas canônicas de S1 e S2 , respectivamente. Observe que (N , h)
é localmente isométrica a
Ñ = R × R × S2 , h̃ =

1
(−dt2 + cosh2 tdr2 + dΩ2 ).
Λ

(2.9)

Nosso resultado é o seguinte:
Teorema 2.3.5. Seja (M 3 , g, K) um conjunto tridimensional de dados inicias. Sob as
mesmas hipóteses do Teorema 2.3.3, se A(Σ) = 4π/c, então uma vizinhança exterior
U ≈ [0, ε) × Σ de Σ em M pode ser isometricamente mergulhada no Espaço-tempo de
Nariai (N , h) (com constante cosmológica adequada) como uma hipersuperfície tipo-espaço
de tal maneira que g restrita a U é a métrica induzida de N e K restrita a U é a segunda
forma fundamental de U em N .
Antes de demonstrarmos este teorema, vejamos um exemplo bastante útil.

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

24

Exemplo 2.3.6. Seja Ñ = (Ñ , h̃) definida por (2.9) com Λ = 1. Dada uma função suave
t : [0, ε) → R, considere a hipersuperfície N = {(t(s), r(s), z) : s ∈ [0, ε), z ∈ S2 } ⊂ Ñ ,
onde
r(s) =

Z s
0

q

1 + (t0 (w))2
cosh t(w)

(2.10)

dw.

Seja Φ̃(t, r, x, y) = (t, r, ϕ(x, y)) uma parametrização local de Ñ , onde ϕ é uma parametrização local de S2 . Agora, considere a parametrização local Φ(s, x, y) = Φ̃(t(s), r(s), x, y)
de N . Os campos coordenados {∂s , ∂x , ∂y } em N (em relação a Φ) são dados por
∂s = t0 ∂˜t + r0 ∂˜r , ∂x = ∂˜x , ∂y = ∂˜y ,

(2.11)

onde {∂˜t , ∂˜r , ∂˜x , ∂˜y } são os campos coordenados em Ñ (em relação a Φ̃). Segue diretamente
de (2.9) (com Λ = 1), (2.10) e (2.11) que
h̃(∂s , ∂s ) = −(t0 )2 + (r0 )2 cosh2 t = 1,
h̃(∂s , ∂x ) = h̃(∂s , ∂y ) = 0,
h̃|Tz S2 ×Tz S2 = dΩ2 ,
para cada z ∈ S2 . Disto, temos que ([0, ε) × S2 , ds2 + dΩ2 ) é isométrica a (N, h), onde h é
a métrica induzida de Ñ , com isometria dada por (s, z) 7−→ (t(s), r(s), z). Em particular,
N é uma hipersuperfície tipo-espaço em Ñ .
Fixe ∂˜t como uma tempo-orientação positiva em Ñ , ou seja, por definição, ∂˜t aponta
para o futuro. Denote por P a segunda forma fundamental de N em Ñ e por u o vetor
unitário (tipo-tempo) normal a N que aponta para o futuro. Podemos ver que
u = a∂˜t + b∂˜r , onde a =

q

1 + (t0 )2 e b =

t0
.
cosh t

˜ ˜ ∂˜j ) = ∂˜i h̃jk + ∂˜j h̃ik − ∂˜k h̃ij , para os campos
Usando a Fórmula de Koszul, 2h̃(∂˜k , ∇
∂i
˜
˜
˜
˜
˜
˜
˜
coordenados ∂i , ∂j , ∂k ∈ {∂t , ∂r , ∂x , ∂y }, segue que
˜ ∂x ∂ x )
P (∂x , ∂x ) = −h̃(u, ∇
˜ ˜ ∂˜x )
= −h̃(a∂˜t + b∂˜r , ∇
∂x

a˜ ˜ ˜
b
∂t h̃(∂x , ∂x ) + ∂˜r h̃(∂˜x , ∂˜x )
=
2
2
= 0.
Analogamente, P (∂x , ∂y ) = P (∂y , ∂y ) = 0. Também,
˜ ∂s ∂ x )
P (∂s , ∂x ) = −h̃(u, ∇
˜ 0˜
= −h̃(a∂˜t + b∂˜r , ∇

˜

t ∂t +r0 ∂˜r ∂x )
0

= −
= 0.

at0 ˜ ˜ ˜
br ˜ ˜ ˜
∂x h̃(∂t , ∂t ) −
∂x h̃(∂r , ∂r )
2
2

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

25

Da mesma maneira, P (∂s , ∂y ) = 0. Assim, a curvatura média σ = tr P de N em Ñ é dada
por P (∂s , ∂s ). Neste caso,
σ = P (∂s , ∂s )
˜ ∂s ∂ s )
= −h̃(u, ∇
˜ ∂s (t0 ∂˜t + r0 ∂˜r ))
= −h̃(a∂˜t + b∂˜r , ∇
˜ ∂s ∂˜t + r0 ∇
˜ ∂s ∂˜r )
= −h̃(a∂˜t + b∂˜r , t00 ∂˜t + r00 ∂˜r + t0 ∇
˜ ∂s ∂˜t + r0 ∇
˜ ∂s ∂˜r )].
= −[−at00 + br00 cosh2 t + h̃(a∂˜t + b∂˜r , t0 ∇

(2.12)

Observe que
˜ ∂s ∂˜t ) = 1 ∂s h̃(∂˜t , ∂˜t ) = 0,
h̃(∂˜t , ∇
2
˜
˜
˜ 0 ˜ 0 ˜ ∂˜r )
˜
h̃(∂t , ∇∂s ∂r ) = h̃(∂˜t , ∇
t ∂t +r ∂r
0
r0
t ˜ ˜ ˜
∂r h̃(∂t , ∂t ) − ∂˜t h̃(∂˜r , ∂˜r )
=
2
2
= −r0 senh t cosh t,
˜ ∂s ∂˜t ) = −h̃(∂˜t , ∇
˜ ∂s ∂˜r ) = r0 senh t cosh t,
h̃(∂˜r , ∇
˜ ∂s ∂˜r ) = 1 ∂s h̃(∂˜r , ∂˜r ) = t0 senh t cosh t.
h̃(∂˜r , ∇
2

(2.13)

(2.14)
(2.15)
(2.16)

Usando (2.13), (2.14), (2.15) e (2.16) em (2.12), obtemos
σ = −[−at00 + br00 cosh2 t − a(r0 )2 senh t cosh t + 2bt0 r0 senh t cosh t]
= at00 − br00 cosh2 t + (ar0 − 2bt0 )r0 senh t cosh t.
a
t0 t00
e a0 =
, podemos escrever
cosh t
a

Observando que r0 =

0
t0
a
at − br cosh t = at −
cosh2 t
cosh t cosh t
0 00
! t t cosh t − at0 senh t
0
t
a
cosh2 t
= at00 −
2
cosh t
cosh t
0 2 00
(t ) t
= at00 −
+ a(t0 )2 tanh t
a
(a2 − (t0 )2 )t00
=
+ a(t0 )2 tanh t
a
t00
=
+ a(t0 )2 tanh t.
a
00

(2.17)

00

2

00





(2.18)

Também,
t0 0
a
a
(ar − 2bt )r senh t cosh t = a
−2
t
senh t cosh t
cosh t
cosh t
cosh t
= (a2 − 2(t0 )2 )a tanh t.
!

0

0

0

(2.19)

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

26

Finalmente, usando (2.18) e (2.19) em (2.17), obtemos
σ=

t00
t00 + a2 tanh t
+ ((t0 )2 + a2 − 2(t0 )2 )a tanh t =
,
a
a

i.e.,
σ=

t00 + (1 + (t0 )2 ) tanh t
q

1 + (t0 )2

.

Demonstração do Teorema 2.3.5. Após um possível escalonamento, podemos assumir que
Λ = c = 1. Usando o Teorema 2.3.3, uma vizinhança exterior U ≈ [0, ε) × Σ de Σ em
M é isométrica ao produto ([0, ε) × S2 , ds2 + dΩ2 ). Além disso, pela Observação 2.3.4, a
curvatura média τ de U em M depende apenas de s ∈ [0, ε). Então, escolhendo ε > 0
possivelmente menor, podemos tomar uma solução t : [0, ε) → R para o problema
t00 + (1 + (t0 )2 ) tanh t
q

1 + (t0 )2

= τ, t(0) = t0 (0) = 0.

Assim, definindo Ψ : [0, ε) × Σ → Ñ por Ψ(s, z) = (t(s), r(s), z), onde r é dada por
(2.10) como no Exemplo 2.3.6, temos um mergulho isométrico de U em Ñ . Aqui estamos
identificando Σ com S2 . É claro que K restrita a U é a segunda forma fundamental de
N ≈ U em Ñ . De fato, basta lembrar que, neste caso, K é determinada pela curvatura
média τ = K(ν, ν), pois K|Tz Σs ×Tz Σs = 0 e K(νs , ·)|Tz Σs = 0, para cada z ∈ Σs , e a
segunda forma fundamental P de N em Ñ é determinada pela curvatura média σ = τ .
Isto garante o resultado, tendo em vista que (R × [0, δ) × S2 , h̃) pode ser isometricamente
mergulhada em (N , h), se δ > 0 é suficientemente pequeno.

2.4

O Caso de Gênero Alto

O objetivo desta seção é desenvolver resultados similares àqueles obtidos na Seção 2.3
para MOTSs bidimensionais fechadas orientáveis Σ de gênero g(Σ) ≥ 2.
O próximo resultado é bastante conhecido (veja [26] para o caso tempo-simétrico
e [43] para o caso geral). Contudo, por questão de completude, apresentaremos sua
demonstração aqui.
Proposição 2.4.1. Seja Σ2 uma MOTS fechada estável orientável de gênero g(Σ) ≥ 2
em um conjunto tridimensional de dados iniciais (M 3 , g, K). Suponha que existe uma
constante c > 0 tal que µ + J(ν) ≥ −c sobre Σ, onde ν é o vetor unitário normal a Σ em
M que aponta para fora de Σ. Então, a área de Σ satisfaz
4π(g(Σ) − 1)
.
(2.20)
c
Além disso, se vale a igualdade, então Σ tem curvatura Gaussiana constante κ = −c, a
segunda forma fundamental nula χ (com respeito ao vetor nulo que aponta para fora) de
Σ é identicamente nula, µ + J(ν) = −c sobre Σ e λ1 (L0 ) = λ1 (L) = 0.
A(Σ) ≥

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

27

Demonstração. Por hipótese, λ1 (L) ≥ 0, onde L é o operador de estabilidade para
MOTSs. Então, usando (2.3) com f = 1 e o Teorema de Gauss-Bonnet, temos
Z

0 ≤

QdA

Σ

1
=
κ − (µ + J(ν)) − |χ|2 dA
2
Σ

Z 
1 2
≤
κ + c − |χ| dA
2
ZΣ


Z 

≤

(κ + c)dA

Σ

= 4π(1 − g(Σ)) + cA(Σ),
o que prova (2.20).
Agora, se vale a igualdade em (2.20), então todas as desigualdades acima devem ser
R
igualdades. Desta forma, χ = 0, µ + J(ν) = −c sobre Σ e Σ QdA = 0. Observe que
Q = κ + c. Usando novamente (2.3),
0 ≤
=

Z

(|∇(α + ψ)|2 + Q(α + ψ)2 )dA

ZΣ

2

2

(|∇ψ| + Qψ )dA + 2α

Σ

Z

QψdA,

Σ

quaisquer que sejam α ∈ R e ψ ∈ C ∞ (Σ). Isto implica que Σ QψdA = 0 para toda
ψ ∈ C ∞ (Σ), e assim Q = κ + c = 0. Finalmente, λ1 (L0 ) = λ1 (L) = 0 segue do Lema
2.2.12 e de (2.4), lembrando que λ1 (L) ≥ 0.
R

Antes de passarmos para o principal resultado desta seção, demonstraremos um lema
de Cálculo e apresentaremos a definição de n-convexidade para K.
A demonstração seguinte está baseada nas técnicas apresentadas em [33].
Lema 2.4.2. Sejam f ∈ C 1 ([0, ε)) e η, ξ, ρ ∈ C 0 ([0, ε)) tais que max{f, ρ} ≥ 0, ξ ≥ 0,
η > 0, f (0) = 0 e
0

f (t)η(t) ≤

Z t

f (s)ξ(s)ds + f (t)ρ(t), ∀t ∈ [0, ε).

0

Então, f ≤ 0. Em particular, se f ≥ 0, então f é identicamente nula.
Demonstração. Defina
I = {δ ∈ (0, ε) : f ≤ 0 em [0, δ]}.
Afirmação 1. I 6= ∅.
Demonstração da Afirmação 1. Por continuidade, existe uma constante C > 0 satisfazendo
(

max

t∈[0,ε/2]

1 Zt
ρ(t)
ξ(s)ds,
η(t) 0
η(t)

)

≤ C.

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

28

Escolha δ ∈ (0, ε/2] tal que 0 < 1 − 2Cδ. Afirmamos que δ ∈ I. Caso contrário, tome
t0 ∈ (0, δ] tal que f (t0 ) > 0 e defina
t1 = inf{t ∈ [0, t0 ] : f (t) ≥ f (t0 )}.
Por continuidade, f (t1 ) = f (t0 ) > 0. Além disso, por definição, f (t) ≤ f (t1 ) para todo
t ∈ [0, t1 ] (observe que t1 > 0, visto que f (0) = 0). Então, pelo Teorema do Valor Médio,
existe t∗ ∈ (0, t1 ) tal que f (t1 ) = f 0 (t∗ )t1 . Desta forma,
f (t1 )
= f 0 (t∗ )
t1
∗
1 Z t∗
∗ ρ(t )
≤
f
(s)ξ(s)ds
+
f
(t
)
η(t∗ ) 0
η(t∗ )
Z t∗
∗
f (t1 )
∗ ρ(t )
ξ(s)ds
+
f
(t
) ∗
≤
η(t∗ ) 0
η(t )
∗
ρ(t )
≤ Cf (t1 ) + f (t∗ ) ∗ .
η(t )
Agora, observe que f (t∗ )ρ(t∗ )/η(t∗ ) ≤ Cf (t1 ). De fato, se f (t∗ )ρ(t∗ ) ≤ 0, não há o que
demonstrar. Caso f (t∗ )ρ(t∗ ) > 0, então f (t∗ ) > 0 e ρ(t∗ ) > 0, pois max{f (t∗ ), ρ(t∗ )} ≥ 0
por hipótese. Portanto, f (t∗ )(ρ(t∗ )/η(t∗ )) ≤ f (t∗ )C ≤ f (t1 )C. Segue então que
f (t1 )
≤ 2Cf (t1 ),
t1
o que implica 1 ≤ 2Ct1 ≤ 2Cδ. Isto é uma contradição, pois 0 < 1 − 2Cδ.
Afirmação 2. sup I = ε.
Demonstração da Afirmação 2. Defina δ0 = sup I. Observe que δ0 > 0, visto que I 6= ∅.
˜ = ξ(t + δ0 ) e ρ̃(t) = ρ(t + δ0 ), para
Se δ0 < ε, defina f˜(t) = f (t + δ0 ), η̃(t) = η(t + δ0 ), ξ(t)
t ∈ [0, ε − δ0 ). Observando que f ≤ 0 em [0, δ0 ] (i.e., δ0 ∈ I), temos
f˜0 (t)η̃(t) = f 0 (t + δ0 )η(t + δ0 )
≤

Z t+δ0
0

=

Z δ0

f (s)ξ(s)ds +

=

Z t+δ0
δ0
Z t
0

Z t+δ0

f (s)ξ(s)ds + f˜(t)ρ̃(t)

δ0

0

≤

f (s)ξ(s)ds + f (t + δ0 )ρ(t + δ0 )

f (s)ξ(s)ds + f˜(t)ρ̃(t)

˜
f˜(w)ξ(w)dw
+ f˜(t)ρ̃(t), ∀t ∈ [0, ε − δ0 ),

onde acima usamos a substituição s = w +δ0 . Segue da definição de δ0 que f˜(0) = f (δ0 ) =
0. Então, usando a Afirmação 1 para estas novas funções, existe δ1 ∈ (0, ε − δ0 ) tal que
f˜ ≤ 0 em [0, δ1 ], o que implica f ≤ 0 em [0, δ0 + δ1 ], contradizendo a definição de δ0 .
O resultado segue diretamente da Afirmação 2.

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

29

Definição 2.4.3. Seja (M n+1 , g, K) um conjunto de dados iniciais de dimensão n + 1.
Dizemos que K é n-convexo (sobre M ) se trπ K ≥ 0 quaisquer que sejam π ⊂ Tp M e
p ∈ M , onde π é um subespaço vetorial de dimensão n. Dizer que K é n-convexo é
equivalente a dizer que a soma dos n menores autovalores de K é sempre não-negativa.
Teorema 2.4.4. Seja (M 3 , g, K) um conjunto tridimensional de dados iniciais. Seja
Σ2 uma MOTS fechada fracamente outermost orientável de gênero g(Σ) ≥ 2 em M 3 .
Suponha que existe uma constante c > 0 tal que µ − |J| ≥ −c e que K é 2-convexo, ambos
sobre M+ . Então,
A(Σ) ≥

4π(g(Σ) − 1)
.
c

Além disso, se vale a igualdade, então uma vizinhança exterior U ≈ [0, ε) × Σ de Σ em
M é isométrica ao produto ([0, ε) × Σ, dt2 + g0 ), onde (Σ, g0 ) tem curvatura Gaussiana
constante κ = −c. Também, para cada slice Σt ≈ {t} × Σ, temos que K|Tx Σt ×Tx Σt = 0,
qualquer que seja x ∈ Σt . Em particular, tais slices são MOTSs.
Observação 2.4.5. Apesar de termos assumido que K é 2-convexo sobre M+ , no Teorema
2.4.4 não supomos que Σ é outer area minimizing, diferentemente do Teorema 2.3.3.
Demonstração do Teorema 2.4.4. A desigualdade segue diretamente da Proposição 2.4.1.
Suponhamos então que A(Σ) = 4π(g(Σ) − 1)/c. Segue mais uma vez da Proposição 2.4.1
que λ1 (L) = 0. Neste caso, sejam {Σt }t∈(−ε,ε) , θ = θ(t) e φ = φt dados pelo Lema 2.2.13.
Segue da Proposição 2.2.5 que
1
dθ
= −∆φ + 2hX, ∇φi + Q − |X|2 + div X − θ2 + θτ φ,
dt
2




onde ∆ = ∆t , h , i = h , it , X = Xt , ∇ = ∇t (operador gradiente), Q = Qt e div = divt
são as respectivas entidades associadas a Σt , para cada t ∈ (−ε, ε). Então,
∆φ
1
1
θ0
= −
+ 2hX, ∇φi − |X|2 + div X + Q − θ2 + θτ
φ
φ
φ
2
1
= div Y − |Y |2 + Q − θ2 + θτ
2
≤ div Y + Q + θτ,
onde Y = X − ∇ ln φ. Assim, observando que θ0 (t) também é constante sobre Σt e usando

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

30

o Teorema da Divergência, para cada t ∈ [0, ε), temos
Z
Z
1
dAt − θ(t)
τ dAt ≤
QdAt
θ (t)
Σt
Σt
Σt φ
Z

0

1
=
κ − (µ + J(ν)) − |χ|2 dAt
2
Σt

Z 
1 2
≤
κ − (µ − |J|) − |χ| dAt
2
ZΣt


Z

≤

Σt

Z

≤

Σt



(κ − (µ − |J|))dAt
(κ + c)dAt

= 4π(1 − g(Σ)) + cA(Σt )
= −cA(Σ0 ) + cA(Σt ),
onde acima nós usamos o Teorema de Gauss-Bonnet. Segue do Teorema Fundamental do
Cálculo, da Fórmula da Primeira Variação de Área e de θ(t) = trΣt K + Ht ≥ Ht para
t ∈ [0, ε), que
θ0 (t)

Z t
Z
d
1
τ dAt ≤
dAt − θ(t)
A(Σs )ds
0 ds
Σt
Σt φ

Z

=

Z t Z
0

≤

Z t



Σs

Hs φdAs ds

Z

θ(s)

0

Σs



φdAs ds,

i.e.,
Z t
1
θ (t)
θ(s)
dAt ≤
Σt φ
0
0

Z

Z
Σs



φdAs ds + θ(t)

Z
Σt

τ dAt , ∀t ∈ [0, ε).

Segue do Lema 2.4.2 que θ(t) = 0, i.e., Σt é uma MOTS, para cada t ∈ [0, ε).
Visto que θ(t) = 0 para todo t ∈ [0, ε), todas as desigualdades acima devem ser
igualdades. Então, Y = X − ∇ ln φ = 0, χ = 0 e µ + J(ν) = µ − |J| = −c sobre
U ≈ [0, ε) × Σ. Além disso, A(Σt ) = A(Σ0 ) = 4π(g(Σ) − 1)/c para todo t ∈ [0, ε). Visto
que θ0 (t) = 0, segue da Proposição 2.2.5 e do Lema 2.2.8 que Σt é estável. Assim, usando
a Proposição 2.4.1, temos que Σt tem curvatura Gaussiana constante κt = −c, para cada
t ∈ [0, ε).
Agora, como t 7−→ A(Σt ), t ∈ [0, ε), é constante,
Z
d
0 = A(Σt ) =
Ht φdAt .
dt
Σt

O que implica Ht = 0 para cada t ∈ [0, ε), visto que 0 = θ(t) ≥ Ht e φ = φt > 0. Uma
vez que Σt é uma MOTS mínima, trΣt K = 0 para cada t ∈ [0, ε). Então, a curvatura
média nula θ− (t) = trΣt K − Ht de Σt com respeito a l− (t) = u − νt também se anula.
Desta forma, aplicando a Proposição 2.2.5 para θ− e φ− = −φ no lugar de θ = θ+ e φ,
respectivamente, temos
0
0 = θ−
= −∆φ− + 2hX− , ∇φ− i + (Q− − |X− |2 + div X− )φ− ,

(2.21)

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

31

onde
1
Q− = κ − (µ + J(−ν)) − |χ− |2
2
1
= −c − (µ + |J|) − |χ− |2
2
1
= −2|J| − |χ− |2 ,
2
1
X− = −X = − ∇φ.
φ

(2.22)
(2.23)

Substituindo (2.22) e (2.23) em (2.21) (e lembrando que φ− = −φ), obtemos
|∇φ|2
1
∆φ +
+ |J| + |χ− |2 φ = 0,
φ
4




o que, após integração sobre Σt , implica
|∇φ| = |χ− | = |J| = 0 sobre U.
A equação (2.1) implica que K|Tx Σt ×Tx Σt = 0 e que (Σ, gt ) é totalmente geodésica em
M para cada t ∈ [0, ε), onde gt é a métrica sobre Σt ≈ {t} × Σ induzida de (M, g).
Escrevendo g = φ2 dt2 + gt sobre U ≈ [0, ε) × Σ e observando que φ = φt depende apenas
de t ∈ [0, ε), segue que gt não depende de t ∈ [0, ε). Com a simples mudança de variável
ds = φ(t)dt, φ(t) = φt , obtemos que g tem a estrutura de produto ds2 + g0 sobre U , onde
(Σ, g0 ) tem curvatura Gaussiana constante κ = −c, garantindo o Teorema 2.4.4.

2.5

O Caso de Dimensão Alta com σ-Constante Negativa

Nesta seção estenderemos os principais resultados da seção anterior para MOTSs de dimensão alta com σ-constante negativa. Porém, antes de enunciarmos nossos resultados,
apresentaremos algumas terminologias.
Seja Σn uma n-variedade fechada (compacta sem bordo), com n ≥ 3. Denote por
M(Σ) o conjunto de todas as métricas Riemannianas sobre Σ. O funcional de HilbertEinstein E : M(Σ) → R é definido por
Z

E(g) =

Σ

Rg dvg
n−2

Vol(Σn , g) n

,

onde Rg é a curvatura escalar de (Σ, g). Denote por [g] := {e2f g : f ∈ C ∞ (Σ)} ⊂ M(Σ)
a classe conforme de g ∈ M(Σ). O invariante de Yamabe de (Σ, [g]) é definido como o
seguinte invariante conforme:
Y(Σ, [g]) = inf E(g̃).
g̃∈[g]

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

32
4

Dada u ∈ C ∞ (Σn ) positiva, sabemos que se g̃ = u n−2 g, então
!

4(n − 1)
−
∆g u + Rg u ,
n−2

n+2
− n−2

Rg̃ = u

onde ∆g é o operador Laplaciano de (Σ, g). Portanto, usando o Teorema da Divergência
e a Desigualdade de Hölder, temos
Z
Σ

Rg̃ dvg̃

!

4(n − 1)
∆g u + Rg u dvg
=
u −
n−2
Σ
!
Z
4(n − 1) g 2
2
=
|∇ u|g + Rg u dvg
n−2
Σ
Z

≥ −

Z

|Rg |u2 dvg

Σ

≥ −

Z

n

Σ

= −

Z

|Rg | 2 dvg
n
2

Σ

|Rg | dvg

 2 Z
n

Σ

2

n

 n−2

2n

u n−2 dvg

n

n−2

Vol(Σ, g̃) n .

Logo,
E(g̃) ≥ −

Z

n

Σ

|Rg | 2 dvg

2

n

,

qualquer que seja g̃ ∈ [g]. Isto implica
n

Y(Σ , [g]) ≥ −

Z
Σ

n
2

|Rg | dvg

2

n

> −∞.

A solução clássica do Problema de Yamabe dada por H. Yamabe [45], N. Trudinger
[42], T. Aubin [5] (veja também [6]) e R. Schoen [37] diz que toda classe conforme [g]
contém métricas ĝ, chamadas métricas de Yamabe, que realizam o mínimo
E(ĝ) = Y(Σ, [g]).
Tais métricas possuem curvatura escalar constante dada por
2

Rĝ = Y(Σn , [g]) Vol(Σn , ĝ)− n .
Além disso,
Y(Σn , [g]) ≤ Y(Sn , [gcan ])
e vale a igualdade se, e somente se, (Σn , [g]) é conformemente difeomorfa à n-esfera Euclidiana Sn ⊂ Rn+1 munida da métrica canônica gcan .
R. Schoen [38] e O. Kobayashi [29] introduziram de maneira independente o seguinte
invariante topológico:

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

33

Definição 2.5.1. Dada uma n-variedade diferenciável fechada Σn , n ≥ 3, a σ-constante
de Σn é definida por
σ(Σn ) =

sup

Y(Σn , [g]).

g∈M(Σn )

Observação 2.5.2. Não é difícil demonstrar que σ(Σn ) > 0 se, e somente se, Σn admite
uma métrica Riemanniana de curvatura escalar positiva. De fato, suponha que σ(Σ) > 0.
Então existe g ∈ M(Σ) tal que Y(Σ, [g]) > 0. Portanto, tomando uma métrica de
2
Yamabe ĝ ∈ [g], temos que Rĝ = Y(Σn , [g]) Vol(Σn , ĝ)− n > 0. Reciprocamente, suponha
4
que g ∈ M(Σ) possui curvatura escalar positiva. Seja ĝ = u n−2 g uma métrica de Yamabe,
onde u ∈ C ∞ (Σn ) é positiva. Assim,
n

Rĝ Vol(Σ , ĝ) =

!

4(n − 1) g 2
|∇ u|g + Rg u2 dvg > 0.
n−2

Z
Σ

Observação 2.5.3. Se Y(Σn , [g]) < 0, dado c > 0 existe uma única métrica g̃ ∈ [g]
tal que Rg̃ ≡ −2c. A existência segue diretamente da solução do Problema de Yamabe.
Vamos provar a unicidade. Suponha que existem g1 , g2 ∈ [g] tais que Rg1 ≡ −2c ≡ Rg2 .
4
Como g2 ∈ [g1 ], temos que g2 = u n−2 g1 para alguma u ∈ C ∞ (Σ) positiva. Assim,
n+2

−2cu n−2 = −

4(n − 1)
∆g1 u − 2cu,
n−2

ou seja,
n+2

2cu n−2 =

4(n − 1)
∆g1 u + 2cu.
n−2

Tomando x0 ∈ Σ tal que u(x0 ) = min u, temos que
n+2

2c(u(x0 )) n−2 =

4(n − 1)
∆g1 u(x0 ) + 2cu(x0 ) ≥ 2cu(x0 ),
n−2

o que implica u(x0 ) ≥ 1. Analogamente, tomando x1 ∈ Σ tal que u(x1 ) = max u, temos
que u(x1 ) ≤ 1. Portanto, u ≡ 1, como queríamos demonstrar.
A desigualdade (2.24) abaixo foi demonstrada em [23]. Nossa contribuição consiste na
rigidez infinitesimal obtida quando a igualdade acontece. A demonstração da Proposição
2.5.4 abaixo está baseada em [34].
Proposição 2.5.4. Seja Σn uma MOTS fechada estável com σ(Σ) < 0 em um conjunto
de dados iniciais (M n+1 , g, K), onde n ≥ 3. Suponha que existe uma constante c > 0 tal
que µ + J(ν) ≥ −c sobre Σ, onde ν é o vetor unitário normal a Σ em M que aponta para
fora de Σ. Então, a área de Σ satisfaz
n

A(Σ ) ≥

|σ(Σn )|
2c

!n
2

.

(2.24)

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

34

Além disso, se vale a igualdade, então a métrica gΣ sobre Σ induzida de M é Einstein
com curvatura escalar RΣ = −2c, a segunda forma fundamental nula χ (com respeito ao
vetor nulo que aponta para fora) de Σ é identicamente nula, µ + J(ν) = −c sobre Σ e
λ1 (L0 ) = λ1 (L) = 0.
Demonstração. Visto que Σ é fechada e estável, temos que λ1 (L) ≥ 0, onde L é o operador
de estabilidade para MOTSs. Portanto, segue de (2.3) que
0 ≤ 2
=
≤

Z

(|∇u|2 + Qu2 )dA

(2.25)

Z Σ
ZΣ
Σ

(2|∇u|2 + (RΣ − 2(µ + J(ν)) − |χ|2 )u2 )dA
(2|∇u|2 + (RΣ + 2c)u2 )dA,

(2.26)

e a Desigualdade de Hölder em (2.26),
para toda u ∈ C ∞ (Σ) positiva. Usando 2 < 4(n−1)
n−2
temos
0 ≤

!

Z
4(n − 1)
|∇u|2 + RΣ u2 dA + 2c u2 dA
n−2
Σ

Z
Σ

≤

!

2
4(n − 1)
|∇u|2 + RΣ u2 dA + 2cA(Σ) n
n−2

Z
Σ

Z

=

u
Σ

2n
n−2

dA

 n−2 
n

4

2

(2.27)

Z

u

2n
n−2

 n−2

dA

n

(2.28)

Σ



E(u n−2 gΣ ) + 2cA(Σ) n ,

para toda u ∈ C ∞ (Σ) positiva. Então,
4

2

0 ≤ E(u n−2 gΣ ) + 2cA(Σ) n ,

(2.29)

para toda u ∈ C ∞ (Σ) positiva, o que implica
2

2

0 ≤ Y(Σ, [gΣ ]) + 2cA(Σ) n ≤ σ(Σ) + 2cA(Σ) n ,

(2.30)

e isto prova (2.24).
Agora, suponha que vale a igualdade em (2.24). Então valem as igualdades em (2.30).
4

Escolha u0 ∈ C ∞ (Σ) positiva tal que ĝ = u0n−2 gΣ é uma métrica de Yamabe. Assim, as
igualdades em (2.25), (2.26), (2.27), (2.28) e (2.29) devem ocorrer quando u = u0 . Desta
forma, χ = 0, µ + J(ν) = −c sobre Σ e |∇u0 | = 0, visto que 2 < 4(n−1)
. Isto implica
n−2
R
que u0 é constante (em particular gΣ também é de Yamabe) e que Σ QdA = 0. De
maneira análoga às demonstrações das Proposições 2.3.1 e 2.4.1, temos que RΣ = −2c e
λ1 (L0 ) = λ1 (L) = 0. Finalmente, as igualdades em (2.30) implicam que gΣ realiza σ(Σ),
i.e., E(gΣ ) = Y(Σ, [gΣ ]) = σ(Σ). Então, por [38, pp. 126-127], gΣ é Einstein.
O principal resultado desta seção é o seguinte:
Teorema 2.5.5. Seja (M n+1 , g, K) um conjunto de dados inicias de dimensão n + 1,
onde n ≥ 3. Seja Σn uma MOTS fechada fracamente outermost em M n+1 com σ(Σ) < 0.

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

35

Suponha que µ − |J| ≥ −c e que K é n-convexo, ambos sobre M+ . Então, a área de Σ
satisfaz
n

A(Σ ) ≥

|σ(Σn )|
2c

!n
2

(2.31)

.

Além disso, se vale a igualdade, então uma vizinhança exterior U ≈ [0, ε) × Σ de Σ em
M é isométrica a ([0, ε) × Σ, dt2 + gΣ ), onde (Σ, gΣ ) é Einstein com curvatura escalar
RΣ = −2c. Também, para cada slice Σt = {t} × Σ, temos que K|Tx Σt ×Tx Σt = 0, qualquer
que seja x ∈ Σt . Em particular, tais slices são MOTSs.
Demonstração. Tendo em vista que MOTSs fechadas fracamente outermost são estáveis
(vide Observação 2.2.15), a desigualdade (2.31) segue da Proposição 2.5.4, uma vez que
µ + J(ν) ≥ µ − |J| ≥ −c sobre M+ (em particular sobre Σ).
Suponha que a igualdade em (2.31) acontece. Segue da Proposição 2.5.4 que λ1 (L) = 0.
Portanto, podemos tomar {Σt }t∈(−ε,ε) , θ = θ(t) e φ = φt como no Lema 2.2.13. Usando a
Proposição 2.2.5, temos
1
θ0 = −∆φ + 2hX, ∇φi + Q − |X|2 + div X − θ2 + θτ φ
2


1
= −|Y |2 + div Y + Q − θ2 + θτ φ
2

2
≤ −|Y | + div Y + Q + θτ φ,




(2.32)

onde Y = X − ∇ ln φ. Aqui, ∆ = ∆t , h , i = h , it , X = Xt , ∇ = ∇t (operador gradiente),
Q = Qt e div = divt são as respectivas entidades associadas a Σt , para cada t ∈ (−ε, ε).
Segue de (2.32) que
θ0 (t)

u2
− θ(t)τ u2 ≤ −u2 |Y |2 + u2 div Y + Qu2
φ
= −u2 |Y |2 + div(u2 Y ) − 2uh∇u, Y i


1
1 2 2
+ RΣt − (µ + J(ν)) − |χ| u
2
2
2
2
2
≤ −u |Y | + div(u Y ) + 2|u||∇u||Y |


1 2 2
1
+ RΣt − (µ − |J|) − |χ| u
2
2
1
≤ −u |Y | + div(u Y ) + |∇u| + u |Y | +
RΣt + c u2
2
1
= div(u2 Y ) + |∇u|2 + RΣt u2 + cu2 ,
2
2

2

2

2

2

2





quaisquer que sejam u ∈ C ∞ (Σt ) e t ∈ [0, ε). Acima usamos o fato de µ − |J| ≥ −c sobre
M+ . Integrando sobre Σt , observando que θ0 (t) também é constante sobre Σt e usando a

Capítulo 2. Rigidez de MOTSs Estáveis

36

Desigualdade de Hölder, obtemos
Z
u2
dAt − θ(t)
τ u2 dAt
2 θ (t)
Σt
Σt φ
Z

0

!

≤

Z
Σt

≤

(2|∇u|2 + RΣt u2 )dAt + 2c

Z
Σt

u2 dAt

!

4(n − 1)
|∇u|2 + RΣt u2 dAt
n−2

Z
Σt

+2cA(Σt )

2
n

Z

u

2n
n−2

Σt

 n−2
n

dAt

,

quaisquer que sejam u ∈ C ∞ (Σt ) positiva e t ∈ [0, ε). Segue da Observação 2.5.3 que para
4

cada t ∈ [0, ε) existe uma única ut ∈ C ∞ (Σt ) positiva tal que utn−2 gΣt é uma métrica de
Yamabe com curvatura escalar constante igual a −2c, visto que Y(Σt , gΣt ) ≤ σ(Σ) < 0,
onde gΣt é a métrica sobre Σt induzida de M . Segue da unicidade da solução do Problema
de Yamabe, que ut depende continuamente de t ∈ [0, ε). Assim,


0

2 θ (t)

Z
Σt

u2t φ−1 dAt − θ(t)
Z
Σt

2n
n−2

ut

Z

τ u2t dAt

Σt


4

2

≤ E(utn−2 gΣt ) + 2cA(Σt ) n

 n−2
n

dAt

2

= Y(Σt , gΣt ) + 2cA(Σt ) n
2

≤ σ(Σ) + 2cA(Σt ) n
=
=



2

2

−2cA(Σ) n + 2cA(Σt ) n



2−n d
4c Z t
A(Σs ) n
A(Σs )ds,
n 0
ds

para cada t ∈ [0, ε). Usando que θ(t) = trΣt K + Ht ≥ Ht para t ∈ [0, ε), visto que K é
n-convexo sobre M+ , juntamente com a Fórmula da Primeira Variação de Área, obtemos
0

θ (t)

Z
Σt

u2t φ−1 dAt − θ(t)
2n
n−2

Z
Σt

ut

Z
Σt

τ u2t dAt

 n−2

dAt

2−n
2c Z t
A(Σs ) n
n 0

≤

n

Z
Σs



Hs φdAs ds

Z
2−n
2c Z t
≤
θ(s) A(Σs ) n
φdAs ds.
n 0
Σs




Então, usando o Lema 2.4.2 com
Z

f (t) = θ(t), η(t) =
Σt

Z

ρ(t) =
Σt

τ u2t dAt

 Z
Σt

u2t φ−1 dAt

2n

utn−2 dAt

 Z
Σt

ut

− n−2
n

2n
n−2

e ξ(t) =

− n−2

dAt

n

,

Z
2−n
2c
A(Σt ) n
φdAt ,
n
Σt

temos que θ(t) = 0 para todo t ∈ [0, ε). De maneira totalmente análoga ao que fizemos
nas demonstrações dos Teoremas 2.3.3 e 2.4.4, obtemos o resultado.

37

3 RIGIDEZ DE SUPERFÍCIES FREE
BOUNDARY
3.1

Introdução

Nosso objetivo neste capítulo é obter uma versão do Teorema de Toponogov em dimensão
3 para variedades compactas com fronteira não-vazia. Contudo, antes de enunciarmos
nossos resultados, deixe-nos lembrar um importante resultado neste cenário.
Seja M 3 uma 3-variedade Riemanniana compacta com fronteira ∂M não-vazia. Denote por FM o conjunto de todos os discos imersos em M cujas fronteiras são curvas
homotopicamente não-triviais em ∂M . Se FM 6= ∅, defina
A(M ) = inf A(Σ) e L(M ) = inf L(∂Σ).
Σ∈FM

Σ∈FM

Teorema 3.1.1 (Ambrozio, [1]). Seja M 3 uma 3-variedade Riemanniana compacta com
fronteira ∂M não-vazia. Assuma que ∂M é convexa em média e que FM 6= ∅. Então,
1
A(M ) inf R + L(M ) inf H ∂M ≤ 2π,
M
∂M
2
onde R é a curvatura escalar de M e H ∂M é a curvatura média de ∂M em M . Além disso,
se vale a igualdade, então o recobrimento universal de M é isométrico a (R×Σ0 , dt2 +g0 ),
onde (Σ0 , g0 ) é um disco com curvatura Gaussiana constante igual a inf M R/2 e ∂Σ0 tem
curvatura geodésica constante igual a inf ∂M H ∂M em Σ0 .
Como consequência imediata do Teorema de Ambrozio temos que se inf ∂M H ∂M = 1,
inf M R = 0 e L(M ) = 2π, então o recobrimento universal de M é isométrico ao cilindro
sólido R × D, onde D é o disco unitário em R2 munido da métrica canônica.
Observe que o Teorema de Ambrozio é um resultado análogo ao Teorema de BrayBrendle-Neves (Teorema 1.3) para 3-variedades com fronteira. Assim como Marques e
Neves consideraram o caso de 2-esferas mínimas instáveis em 3-variedades fechadas [31],
nós consideraremos o caso de superfícies mínimas instáveis em 3-variedades com fronteira
não-vazia.
Agora enunciaremos nossos resultados. Definições serão apresentadas na Seção 3.2.
Teorema 3.1.2 (Teorema 3.2.5). Seja M 3 uma 3-variedade Riemanniana compacta com
fronteira ∂M não-vazia. Suponha Ric ≥ 0 e II ≥ 1, onde Ric é o tensor de Ricci de M e
II é a segunda forma fundamental de ∂M em M . Se Σ2 ⊂ M 3 é uma superfície mínima
free boundary propriamente mergulhada de índice um, então
L(∂Σ) ≤ 2π(g + r),

(3.1)

Capítulo 3. Rigidez de Superfícies Free Boundary

38

onde g é o gênero de Σ e r é o número de componentes conexas de ∂Σ. Além disso, se vale
a igualdade, então Σ é totalmente geodésica em M , Σ (com respeito à métrica induzida)
é isométrica ao disco Euclidiano unitário D e ∂Σ é uma geodésica de ∂M .
Em [18], A. Fraser e R. Schoen provaram que se Σ2 é uma superfície compacta orientável com fronteira não-vazia, então σ1 (Σ)L(∂Σ) ≤ 2π(g + r), onde σ1 (Σ) é o primeiro
autovalor não-nulo de Steklov de Σ. Por outro lado, A. Fraser e M. M.-C. Li [17] provaram que se Ric ≥ 0, II ≥ 1 e Σ2 é uma superfície mínima propriamente mergulhada em
M 3 com fronteira livre em ∂M , então σ1 (Σ) ≥ 1/2. Como corolário, eles obtiveram que
L(∂Σ) ≤ 4π(g + r). Contudo, esta estimativa não é sharp. Portanto, o Teorema 3.1.2 é
uma melhoria no resultado de Fraser e Li para uma estimativa sharp quando assumimos
que Σ tem índice um.
Segue do trabalho de J. Chen, A. Fraser e C. Pang [11] que sob as mesmas hipóteses
do Teorema 3.1.2 temos que g + r ≤ 3 se g é par e g + r ≤ 4 se g é ímpar. As mesmas
estimativas foram obtidas por A. Ros e E. Vergasta [36] para superfícies estacionárias estáveis na bola unitária de R3 . Não é difícil demonstrar que tanto no caso mínimo de índice
um quanto no caso estacionário estável é suficiente supor que H 2 ≥ −2 inf Σ Ric(N, N )
e inf ∂Σ II ≥ 0, onde H é a curvatura média de Σ e N é um campo de vetores unitários
normais a Σ.
Se assumirmos uma hipótese adicional sobre a geometria de M ao longo de ∂M ,
seremos capazes de caracterizar a geometria global de M quando a igualdade em (3.1)
ocorrer.
Teorema 3.1.3 (Corolário 3.2.8). Sob as mesmas hipóteses do Teorema 3.1.2, se vale a
igualdade em (3.1) e, adicionalmente, KM (Tp ∂M ) ≥ 0 para todo x ∈ ∂M , onde KM é a
3
curvatura seccional de M , então M 3 é isométrica à 3-bola Euclidiana unitária B e Σ2 é
isométrica ao disco unitário D.
Como consequência do Teorema 3.1.3, temos que:
Corolário 3.1.4. O único domínio limitado Ω ⊂ R3 com fronteira suave ∂Ω satisfazendo
II ≥ 1 que admite um disco mínimo free boundary propriamente mergulhado Σ2 ⊂ Ω de
índice um com L(∂Σ) = 2π é a bola unitária.
Seria muito interessante saber se quando M 3 satisfaz Ric ≥ 0 e II ≥ 1, mas M 3 não
3
é isométrica a B , existe uma superfície mínima free boundary propriamente mergulhada
Σ2 ⊂ M 3 , de índice um, satisfazendo L(∂Σ) < 2π(g + r).
Na Seção 3.3 apresentaremos resultados similares aos Teoremas 3.1.2 e 3.1.3 e ao
Corolário 3.1.4 para superfícies estacionárias estáveis.

Capítulo 3. Rigidez de Superfícies Free Boundary

3.2

39

Superfícies Mínimas Free Boundary de Índice Um

Seja M 3 uma 3-variedade Riemanniana compacta com fronteira ∂M não-vazia. Ao longo
deste capítulo, assumiremos que M tem curvatura de Ricci não-negativa e que ∂M é
estritamente convexa, i.e., II(V, V ) = hDV X, V i > 0 quaisquer que sejam V ∈ Tp ∂M \ {0}
e p ∈ ∂M , onde X é o campo de vetores unitários normais a ∂M que apontam para fora
de M e D é a conexão de Levi-Civita de M . Aqui, II é a segunda forma fundamental de
∂M em M . Neste caso, pelo Teorema 2.11 de [17], M 3 é difeomorfa à 3-bola Euclidiana
3
unitária B . Em particular, M 3 é orientável.
Seja Σ2 uma superfície compacta com fronteira ∂Σ não-vazia. Suponha que Σ2 está
propriamente mergulhada em M 3 , i.e., Σ2 está mergulhada em M 3 e Σ ∩ ∂M = ∂Σ.
3
Visto que M 3 é difeomorfa à bola unitária B , que é simplesmente conexa, temos que
Σ é orientável. Fixe um campo de vetores unitários normais a Σ em M , digamos N , e
denote por A a segunda forma fundamental de Σ em M . Mais precisamente, A(Y, Z) =
hDY N, Zi, Y, Z ∈ Tx Σ, x ∈ Σ. Além disso, denote por ν o conormal de ∂Σ em Σ que
aponta para fora de Σ.
Definição 3.2.1. Dizemos que Σ é free boundary se Σ intersecta ∂M ortogonalmente.
Em outras palavras, Σ é free boundary se ν = X ao longo de ∂Σ.
Seja t 7−→ Σt , t ∈ (−ε, ε), uma variação de Σ = Σ0 em M . É bastante conhecido que
a Fórmula da Primeira Variação de Área é dada por
Z
Z
Z
d
hξ, νids,
A(Σt ) = divΣ (ξ)dA = HφdA +
dt t=0
∂Σ
Σ
Σ

(3.2)

∂
onde ξ = ∂t
|t=0 é o campo variacional, φ = hξ, N i e H = tr A é a curvatura média de
Σ. Segue de (3.2) que Σ é um ponto crítico para o funcional área para variações que
preservam a propriedade Σ ∩ ∂M = ∂Σ se, e somente se, Σ é mínima e free boundary.
Também, se Σ é mínima e free boundary e ξ = φN , então a Fórmula da Segunda Variação
de Área é dada por

d2
A(Σt ) = I(φ, φ),
dt2 t=0
onde I : C ∞ (Σ) × C ∞ (Σ) → R é a forma de índice de Σ dada por
(

)

∂φ
I(ψ, φ) = − ψ{∆φ + (Ric(N, N ) + |A| )φ}dA +
ψ
− II(N, N )φ ds.
∂ν
Σ
∂Σ
Z

2

Z

Aqui, Ric é o tensor de Ricci de M e ∆ é o operador Laplaciano de Σ com respeito
à métrica induzida. (Veja o Apêndice B de [16] para demonstrações das Fórmulas da
Primeira e Segunda Variações de Área.)

Capítulo 3. Rigidez de Superfícies Free Boundary

40

Definição 3.2.2. Dizemos que φ ∈ C ∞ (Σ) é uma autofunção de I associada ao autovalor
λ ∈ R se I(ψ, φ) = λhψ, φiL2 (Σ) para toda ψ ∈ C ∞ (Σ). Isto é equivalente a dizer que φ
resolve o problema de fronteira do tipo Robin


 Lφ = λφ

em Σ,

∂φ


= II(N, N )φ
∂ν

sobre ∂Σ,

onde L = −∆ − (Ric(N, N ) + |A|2 ) é o operador de Jacobi de Σ. Se Σ é mínima free
boundary, o índice de Σ é definido como o número de autovalores negativos de I contados
com multiplicidades. O índice de Σ é denotado por ind(Σ).
Observação 3.2.3. É bastante conhecido que o primeiro autovalor λ1 de I é caracterizado
pela Fórmula de Rayleigh
λ1 =

I(φ, φ)
.
φ∈C (Σ)\{0} Σ φ2 dA
inf
∞

R

(3.3)

Portanto, segue diretamente de (3.3) que, sob as hipóteses Ric ≥ 0 e II > 0, toda superfície
mínima free boundary tem índice pelo menos um, visto que I(1, 1) < 0.
Antes de demonstrarmos nosso primeiro resultado, vejamos um lema bastante útil.
Este lema está baseado em um argumento apresentado em [27] (veja também [30]).
Lema 3.2.4. Sejam Σ2 uma superfície Riemanniana compacta com fronteira ∂Σ nãovazia e F : Σ → D e φ1 : Σ → [0, ∞) funções contínuas. Suponha que F (Σ \ ∂Σ) ⊂ D.
R
Então, existe h ∈ Aut(D) tal que Σ (h ◦ F )φ1 dA = 0.
Demonstração. Se φ1 = 0, o resultado é imediato. Então, sem perda de generalidade,
R
podemos assumir que Σ φ1 dA = 1. Sejam ma ∈ Aut(D) dadas por
ma (z) =

z−a
, z ∈ D ⊂ C,
1 − az

para cada a ∈ D. Defina f : D → C por
f (a) =

Z
Σ\∂Σ

(ma ◦ F )φ1 dA.

Segue do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue que f é contínua. Nosso
objetivo é estender f a todo o disco D de maneira contínua. Para isto, primeiro observe
que se a ∈ S1 , então
z−a
z−a
= −1
= −a,
1 − az
a (a − z)
para todo z ∈ D. Então,
Z
F −a
φ1 dA = −a
φ1 dA = −a,
Σ\∂Σ 1 − aF
Σ\∂Σ

Z

Capítulo 3. Rigidez de Superfícies Free Boundary

41

onde acima usamos que F (Σ \ ∂Σ) ⊂ D. Depois, se an −→ a ∈ S1 com an ∈ D \ {0},
temos
man (z) =

z − an
z−a
z − an
−→ −1
= −1
= −a,
2
1 − an z
an (an − |an | z)
a (a − z)

para todo z ∈ D. Então, definindo f (a) = −a para a ∈ S1 , segue mais uma vez do
Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue que f : D → C é contínua.
Agora, observe que |f (a)| ≤ 1 para todo a ∈ D. Então, f : D → D é uma função
contínua satisfazendo f (a) = −a para a ∈ S1 . Logo, f é sobrejetiva. Caso contrário, seja
y0 ∈ D tal que f (z) 6= y0 para todo z ∈ D. Defina g : D → S1 por
g(z) =

y0 − f (z)
|y0 − f (z)|

e seja i : S1 → D a imersão canônica. Então,
H1 : g ◦ i ' idS1 , onde H1 (t, a) =

(1 − t)y0 + a
.
|(1 − t)y0 + a|

Além disso,
H2 : i ◦ g ' idD , onde H2 (t, z) = (1 − t)

y0 − f (z)
+ tz.
|y0 − f (z)|

Desta forma, S1 e D têm o mesmo tipo de homotopia, o que é uma contradição. Portanto,
existe a0 ∈ D tal que f (a0 ) = 0. Tome h = ma0 .
O primeiro resultado é o seguinte.
Teorema 3.2.5. Seja M 3 uma 3-variedade Riemanniana compacta com fronteira ∂M
não-vazia. Suponha Ric ≥ 0 e II ≥ 1. Se Σ2 ⊂ M 3 é uma superfície mínima free
boundary com ind(Σ) = 1, então
L(∂Σ) ≤ 2π(g + r),

(3.4)

onde g é o gênero de Σ e r é o número de componentes conexas de ∂Σ. Além disso, se
vale a igualdade, então Σ é totalmente geodésica, Σ (com respeito à métrica induzida) é
isométrica ao disco Euclidiano unitário D e ∂Σ é uma geodésica de ∂M .
Demonstração. Seja φ1 : Σ → R a primeira autofunção de I. Sabemos que φ1 não muda
de sinal. Então, sem perda de generalidade, podemos assumir que φ1 ≥ 0. Visto que
ind(Σ) = 1, segue que I(f, f ) ≥ 0, ou seja,
Z

{|∇f |2 − (Ric(N, N ) + |A|2 )f 2 }dA −

Z

II(N, N )f 2 ds ≥ 0,

(3.5)

∂Σ

Σ

para toda f ∈ C ∞ (Σ) com Σ f φ1 dA = 0. Por outro lado, pelo Teorema 7.2 de [19], existe
um recobrimento próprio ramificado F : Σ → D satisfazendo grau(F ) ≤ g + r. Usando
R

Capítulo 3. Rigidez de Superfícies Free Boundary

42

R

o Lema 3.2.4, podemos assumir que Σ fi φ1 dA = 0, onde F = (f1 , f2 ). Então, usando as
fi ’s como funções-testes em (3.5), temos
0 ≤
≤

Z

2

ZΣ
Σ

{|∇fi |

2

2

− (Ric(N, N ) + |A| )fi2 }dA −

|∇fi | dA −

Z
∂Σ

Z
∂Σ

II(N, N )fi2 ds

fi2 ds,

onde acima usamos que Ric ≥ 0 e II ≥ 1. Logo, tendo em vista que F (∂Σ) ⊂ S1 (uma
vez que F é própria) e que F é conforme,
0 ≤

2 Z
X
i=1

Σ

|∇fi |2 dA −

Z
∂Σ



fi2 ds = 2

Z
Σ

dF ∗ gcan − L(∂Σ)

= 2π grau(F ) − L(∂Σ) ≤ 2π(g + r) − L(∂Σ),
o que garante (3.4).
Se a igualdade em (3.4) acontece, todas as desigualdades acima também são igualdades.
Então, A ≡ 0, Ric(N, N ) = 0 sobre Σ e II(N, N ) = 1 ao longo de ∂Σ. Usando a Equação
de Gauss, R + H 2 − |A|2 = 2(Ric(N, N ) + K), onde K é a curvatura Gaussiana de Σ e
R é a curvatura escalar de M , temos que 2K = R ≥ 0. Por outro lado, uma vez que Σ
é free boundary (ν = X ao longo de ∂Σ), a curvatura geodésica de ∂Σ em Σ é dada por
κ = g(DT ν, T ) = g(DT X, T ) = II(T, T ) ≥ 1, onde T é um vetor unitário tangente a ∂Σ.
Logo, pelo Teorema de Gauss-Bonnet,
2π(2 − 2g − r) = 2πχ(Σ) =

Z

KdA +

Σ

Z

κds

∂Σ

≥ L(∂Σ) = 2π(g + r),
i.e.,
2 ≥ 3g + 2r.
Isto implica r = 1 e g = 0. Portanto, todas as desigualdades acima devem ser igualdades.
Assim, K ≡ 0 e κ ≡ 1. Para concluir a demonstração do teorema, observe que a curvatura
geodésica κ de ∂Σ em ∂M (com respeito a N ) satisfaz κ = g(DT N, T ) = A(T, T ) = 0, ou
seja, ∂Σ é uma geodésica de ∂M .
Observação 3.2.6. Observe que o Teorema 3.1.2 continua verdadeiro para superfícies
two-sided propriamente imersas.
Agora, vamos relembrar um resultado bastante útil devido ao matemático C. Xia (veja
[44] para a demonstração). Usaremos este resultado no corolário subsequente.
Teorema 3.2.7 (Xia). Seja M n+1 uma (n + 1)-variedade Riemanniana compacta com
fronteira ∂M não-vazia. Suponha Ric ≥ 0 e II ≥ c > 0, onde Ric é o tensor de Ricci

Capítulo 3. Rigidez de Superfícies Free Boundary

43

de M e II é a segunda forma fundamental de ∂M em M . Então, o primeiro autovalor
não-nulo do operador de Laplace de ∂M (com respeito à métrica induzida) satisfaz
λ1 ≥ nc2 .
Além disso, a igualdade ocorre se, e somente se, M é isométrica à (n + 1)-bola Euclidiana
de raio 1/c.
Temos a seguinte consequência do Teorema 3.2.5.
Corolário 3.2.8. Seja M 3 uma 3-variedade Riemanniana compacta com fronteira ∂M
não-vazia. Suponha Ric ≥ 0, II ≥ 1 e KM (Tp ∂M ) ≥ 0 para todo p ∈ ∂M , onde KM é
a curvatura seccional de M . Seja Σ2 ⊂ M 3 uma superfície mínima free boundary com
ind(Σ) = 1. Se L(∂Σ) = 2π(g + r), então M 3 é isométrica à 3-bola Euclidiana unitária
3
B e Σ2 é isométrica ao disco unitário D.
Demonstração. Denote por K∂M a curvatura Gaussiana de ∂M . Também, denote por k1
e k2 as curvaturas principais de ∂M . Pela Equação de Gauss,
K∂M = KM (Tp ∂M ) + k1 k2 ≥ 1.
Agora, se L(∂Σ) = 2π(g+r), pelo Teorema 3.2.5, Σ2 é isométrica a D e ∂Σ é uma geodésica
de ∂M . Em particular, ∂Σ é uma geodésica simples de ∂M (pois Σ está mergulhada em
M ) com L(∂Σ) = 2π. Então, pelo Teorema de Toponogov, ∂M é isométrica à 2-esfera
3
unitária canônica S2 ⊂ R3 . Portanto, pelo Teorema de Xia, M 3 é isométrica a B .

3.3

Superfícies Estacionárias Estáveis

Nesta seção nós obtemos resultados similares ao Teorema 3.2.5 e ao seu Corolário 3.2.8
para superfícies estacionárias estáveis.
Assim como na Seção 3.2, seja M 3 uma 3-variedade Riemanniana compacta com fronteira ∂M não-vazia. Assumimos Ric ≥ 0 e II ≥ 1. Também, Σ2 ⊂ M 3 é uma superfície
compacta propriamente mergulhada com fronteira ∂Σ não-vazia. Dizemos que Σ é estacionária se ela é um pronto crítico para o funcional área para variações que preservam
a propriedade Σ ∩ ∂M = ∂Σ e que preservam volume (veja [36]). Tais variações são
chamadas admissíveis. Equivalentemente, Σ é estacionária se ela tem curvatura média
constante e é free boundary.
Definição 3.3.1. Uma superfície estacionária Σ é dita estável se sua segunda variação
de área for não-negativa para todas as variações admissíveis. O que equivale a dizer que
I(φ, φ) ≥ 0
para toda φ ∈ C ∞ (Σ) satisfazendo

R

Σ φdA = 0.

(3.6)

Capítulo 3. Rigidez de Superfícies Free Boundary

44

Teorema 3.3.2. Seja M 3 uma 3-variedade Riemanniana compacta com fronteira ∂M
não-vazia. Suponha Ric ≥ 0 e II ≥ 1. Se Σ2 ⊂ M 3 é uma superfície estacionária estável,
então
L(∂Σ) ≤ 2π(g + r),

(3.7)

onde g é o gênero de Σ e r é o número de componentes conexas de ∂Σ. Além disso, se vale
a igualdade, Σ é totalmente geodésica, Σ (com respeito à métrica induzida) é isométrica
ao disco Euclidiano unitário D e ∂Σ é uma geodésica de ∂M .
Demonstração. Visto que Σ é estacionária e estável, por (3.6), temos que
Z

2

2

2

{|∇f | − (Ric(N, N ) + |A| )f }dA −

Z

II(N, N )f 2 ds ≥ 0

∂Σ

Σ

para toda f ∈ C ∞ (Σ) satisfazendo Σ f dA = 0. Seja F = (f1 , f2 ) : Σ → D um recobrimento próprio ramificado como na demonstração do Teorema 3.2.5. Usando o Lema
R
3.2.4, podemos assumir que Σ fi dA = 0. Então,
R

0 ≤

2 Z
X
i=1

Σ

2

{|∇fi |

2

− (Ric(N, N ) + |A| )fi2 }dA −

Z
∂Σ

II(N, N )fi2 ds



≤ 2π(g + r) − L(∂Σ).
Isto demonstra (3.7).
Se ocorre a igualdade em (3.7), seguindo exatamente como na demonstração do Teorema 3.2.5, temos o resultado.
Corolário 3.3.3. Seja M 3 uma 3-variedade Riemanniana compacta com fronteira ∂M
não-vazia. Suponha Ric ≥ 0, II ≥ 1 e KM (Tp ∂M ) ≥ 0 para todo p ∈ ∂M , onde KM
é a curvatura seccional de M . Seja Σ2 ⊂ M 3 uma superfície estacionária estável. Se
3
L(∂Σ) = 2π(g + r), então M 3 é isométrica à 3-bola unitária B ⊂ R3 e Σ2 é isométrica
ao disco unitário D.
Corolário 3.3.4. O único domínio limitado Ω ⊂ R3 com fronteira suave ∂Ω satisfazendo
II ≥ 1 que admite um disco estacionário estável Σ2 ⊂ Ω com L(∂Σ) = 2π é a bola
unitária.

45

REFERÊNCIAS
[1] Ambrozio, L. C. Rigidity of area-minimizing free boundary surfaces in mean convex
three-manifolds. J. Geom. Anal., 25(2):1001–1017, 2015.
[2] Andersson, L.; Eichmair, M.; Metzger, J. Jang’s equation and its applications to
marginally trapped surfaces. In Complex analysis and dynamical systems IV. Part
2, volume 554 of Contemp. Math., pages 13–45. Amer. Math. Soc., Providence, RI,
2011.
[3] Andersson, L.; Mars, M.; Simon, W. Local existence of dynamical and trapping
horizons. Phys. Rev. Lett., 95:111102, Sep 2005.
[4] Andersson, L.; Mars, M.; Simon, W. Stability of marginally outer trapped surfaces
and existence of marginally outer trapped tubes. Adv. Theor. Math. Phys., 12(4):853–
888, 2008.
[5] Aubin, T. Équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant
la courbure scalaire. J. Math. Pures Appl. (9), 55(3):269–296, 1976.
[6] Aubin, T. Some nonlinear problems in Riemannian geometry. Springer Monographs
in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1998.
[7] Bray, H.; Brendle, S.; Eichmair, M.; Neves, A. Area-minimizing projective planes in
3-manifolds. Comm. Pure Appl. Math., 63(9):1237–1247, 2010.
[8] Bray, H.; Brendle, S.; Neves, A. Rigidity of area-minimizing two-spheres in threemanifolds. Comm. Anal. Geom., 18(4):821–830, 2010.
[9] Cai, M. Volume minimizing hypersurfaces in manifolds of nonnegative scalar curvature. Adv. Stud. Pure Math., 34:1–7, 2002.
[10] Cai, M.; Galloway, G. J. Rigidity of area minimizing tori in 3-manifolds of nonnegative scalar curvature. Comm. Anal. Geom., 8(3):565–573, 2000.
[11] Chen, J.; Fraser, A.; Pang, C. Minimal immersions of compact bordered Riemann
surfaces with free boundary. Trans. Amer. Math. Soc., 367(4):2487–2507, 2015.
[12] Chruściel, P. T.; Galloway, G. J.; Solis, D. Topological censorship for Kaluza-Klein
space-times. Ann. Henri Poincaré, 10(5):893–912, 2009.
[13] Eichmair, M. The Plateau problem for marginally outer trapped surfaces. J. Differential Geom., 83(3):551–583, 2009.
[14] Evans, L. C. Partial differential equations, volume 19 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, second edition, 2010.
[15] Fischer-Colbrie, D.; Schoen, R. The structure of complete stable minimal surfaces in
3-manifolds of nonnegative scalar curvature. Comm. Pure Appl. Math., 33(2):199–
211, 1980.

Referências

46

[16] Fraser, A. On the Free Boundary Variational Problem for Minimal Disks. PhD thesis,
Stanford University, August 1998.
[17] Fraser, A.; Li, M. M.-C. Compactness of the space of embedded minimal surfaces
with free boundary in three-manifolds with nonnegative Ricci curvature and convex
boundary. J. Differential Geom., 96(2):183–200, 2014.
[18] Fraser, A.; Schoen, R. The first Steklov eigenvalue, conformal geometry, and minimal
surfaces. Adv. Math., 226(5):4011–4030, 2011.
[19] Gabard, A. Sur la représentation conforme des surfaces de Riemann à bord et une
caractérisation des courbes séparantes. Comment. Math. Helv., 81(4):945–964, 2006.
[20] Galloway, G. J. Rigidity of marginally trapped surfaces and the topology of black
holes. Comm. Anal. Geom., 16(1):217–229, 2008.
[21] Galloway, G. J. Stability and rigidity of extremal surfaces in Riemannian geometry
and general relativity. In Surveys in geometric analysis and relativity, volume 20 of
Adv. Lect. Math. (ALM), pages 221–239. Int. Press, Somerville, MA, 2011.
[22] Galloway, G. J.; Mendes, A. Rigidity of marginally outer trapped 2-spheres. arXiv:1506.00611v2, 2016.
[23] Galloway, G. J.; O’Murchadha, N. Some remarks on the size of bodies and black
holes. Class. Quantum Grav., 25(10):105009, 2008.
[24] Galloway, G. J.; Schoen, R. A generalization of Hawking’s black hole topology
theorem to higher dimensions. Comm. Math. Phys., 266(2):571–576, 2006.
[25] Galloway, G. J.; Schoen, R. Stability and rigidity of extremal surfaces in Riemannian
geometry and general relativity. Adv. Lect. Math., 20:221–239, 2011.
[26] Gibbons, G. W. Some comments on gravitational entropy and the inverse mean
curvature flow. Class. Quantum Grav., 16(6):1677–1687, 1999.
[27] Hersch, J. Quatre propriétés isopérimétriques de membranes sphériques homogènes.
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, 270:A1645–A1648, 1970.
[28] Kazdan, J. L.; Warner, F. W. Prescribing curvatures. In Differential geometry (Proc.
Sympos. Pure Math., Vol. XXVII, Stanford Univ., Stanford, Calif., 1973), Part 2,
pages 309–319. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1975.
[29] Kobayashi, O. Scalar curvature of a metric with unit volume. Mathematische Annalen, 279(2):253–265, 1987.
[30] Li, P.; Yau, S.-T. A new conformal invariant and its applications to the Willmore
conjecture and the first eigenvalue of compact surfaces. Invent. Math., 69(2):269–291,
1982.
[31] Marques, F. C.; Neves, A. Rigidity of min-max minimal spheres in three-manifolds.
Duke Math. J., 161(14):2725–2752, 2012.
[32] Mars, M. Stability of marginally outer trapped surfaces and applications. In Recent
trends in Lorentzian geometry, volume 26 of Springer Proc. Math. Stat., pages 111–
138. Springer, New York, 2013.

Referências

47

[33] Micallef, M.; Moraru, V. Splitting of 3-manifolds and rigidity of area-minimising
surfaces. Proc. Amer. Math. Soc., 143(7):2865–2872, 2015.
[34] Moraru, V. On area comparison and rigidity involving the scalar curvature. J. Geom.
Anal., 26(1):294–312, 2016.
[35] Nunes, I. Rigidity of area-minimizing hyperbolic surfaces in three-manifolds. J.
Geom. Anal., 23(3):1290–1302, 2013.
[36] Ros, A.; Vergasta, E. Stability for hypersurfaces of constant mean curvature with
free boundary. Geom. Dedicata, 56(1):19–33, 1995.
[37] Schoen, R. Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature. J. Differential Geom., 20(2):479–495, 1984.
[38] Schoen, R. Topics in Calculus of Variations: Lectures given at the 2nd 1987 Session of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.) held at Montecatini
Terme, Italy, July 20–28, 1987, chapter Variational theory for the total scalar curvature functional for Riemannian metrics and related topics, pages 120–154. Springer
Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg, 1989.
[39] Schoen, R.; Yau, S.-T. Existence of incompressible minimal surfaces and the topology
of three-dimensional manifolds with nonnegative scalar curvature. Ann. of Math. (2),
110(1):127–142, 1979.
[40] Schoen, R.; Yau, S.-T. Proof of the positive mass theorem. II. Comm. Math. Phys.,
79(2):231–260, 1981.
[41] Toponogov, V. A. Evaluation of the length of a closed geodesic on a convex surface.
Dokl. Akad. Nauk SSSR, 124:282–284, 1959.
[42] Trudinger, N. S. Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian
structures on compact manifolds. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 22:265–274,
1968.
[43] Woolgar, E. Bounded area theorems for higher-genus black holes. Class. Quantum
Grav., 16(9):3005–3012, 1999.
[44] Xia, C. Rigidity of compact manifolds with boundary and nonnegative Ricci curvature. Proc. Amer. Math. Soc., 125(6):1801–1806, 1997.
[45] Yamabe, H. On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds.
Osaka Math. J., 12:21–37, 1960.

48

A APÊNDICE
A.1

Demonstração da Proposição 2.2.5

Seja x = (x1 , . . . , xn ) um sistema local de coordenadas em Σ. Sem perda de generalidade,
podemos supor que {∂i = ∂x∂ i } é ortonormal e geodésico em x ∈ Σ. Portanto, em x ∈ Σ,
∂θ
= ∂t (g ij g(∇∂i l, ∂j ))
∂t t=0
= −g ik (∂t gkl )g lj g(∇∂i l, ∂j ) + g(∇∂t ∇∂i l, ∂i ) + g(∇∂i l, ∇∂t ∂i )
= −2φAij χij + g(R(∂t , ∂i )l, ∂i ) + g(∇∂i ∇∂t l, ∂i ) + g(∇∂i l, ∇∂i ∂t )
= −2φhA, χi − Ric(∂t , l) + g(R(∂t , u)l, u) + divΣ (∇∂t l)
+g(∇∂i l, ∇∂i ∂t ).
= −2φhA, χi − φRic(ν, u) − φRic(ν, ν) + φg(R(ν, u)ν, u)
+ divΣ (∇∂t l) + g(∇∂i l, ∇∂i ∂t ).
= −2φhA, χi − φJ(ν) + φ(−Ric(ν, ν) + K(ν, u))
+ divΣ (∇∂t l) + g(∇∂i l, ∇∂i ∂t ),

(A.1)

onde K é a curvatura seccional de (M , g). Observe que
|K|2 =

X

Kij2 + 2

i,j

X

K(ν, ∂i )2 + K(ν, ν)2

i
2

= |KΣ | + 2|X|2 + K(ν, ν)2 .

(A.2)

Acima, KΣ significa K|Tx Σ×Tx Σ . Então, por (A.2),
−2hA, χi = |χ − A|2 − |χ|2 − |A|2
= |KΣ |2 − |χ|2 − |A|2
= |K|2 − 2|X|2 − K(ν, ν)2 − |χ|2 − |A|2 .

(A.3)

Apêndice A. Apêndice

49

Agora, denote por K e Ric a curvatura seccional e o tensor de Ricci de (M, g), respectivamente. Então, pela Equação de Gauss,
Ric(ν, ν) =

X

K(ν, ∂i )

i

(K(ν, ∂i ) − K(ν, ν)K(∂i , ∂i ) + K(ν, ∂i )2 )

=

X

=

X

i

K(ν, ∂i ) − K(ν, ν) trΣ K + |X|2

i

= Ric(ν, ν) − K(ν, u) − K(ν, ν) trΣ K + |X|2 .

(A.4)

Também pela Equação de Gauss,
1
(R + τ 2 − |K|2 ),
2
1
1
1
=
R − Ric(ν, ν) − |A|2 + H 2 ,
2
2
2

µ =
1
RΣ
2

(A.5)
(A.6)

onde R é a curvatura escalar de (M, g). Então, por (A.4), (A.5) e (A.6),
−Ric(ν, ν) + K(ν, u) =

1
RΣ − µ − K(ν, ν) trΣ K + |X|2
2
1
+ (|A|2 − H 2 + τ 2 − |K|2 ).
2

(A.7)

Por outro lado,
∇∂t l = g(∇∂t l, ∂i )∂i + g(∇∂t l, ν)ν − g(∇∂t l, u)u
= −g(u + ν, ∇∂i (φν))∂i + φg(∇ν (u + ν), ν)ν − φg(∇ν (u + ν), u)u
= −∂i (φ)∂i − φg(u, ∇∂i ν)∂i + φg(∇ν u, ν)ν − φg(∇ν ν, u)u
= −∇φ + φK(ν, ∂i )∂i + φK(ν, ν)ν + φK(ν, ν)u
= −∇φ + φX + φK(ν, ν)ν + φK(ν, ν)u.

(A.8)

Tendo em vista que divΣ (f ν) = f H e divΣ (f u) = f trΣ K, por (A.8), temos
divΣ (∇∂t l) = −∆φ + hX, ∇φi + φ(div X + K(ν, ν)θ).

(A.9)

Agora,
g(∇∂i l, ∇∂i ∂t ) = g(∇∂i (u + ν), ∇∂i (φν))
= g(∇∂i u + ∇∂i ν), ∂i (φ)ν + φ∇∂i ν)
= ∂i (φ)K(ν, ∂i ) + φg(∇∂i u, ∇∂i ν) + φg(∇∂i ν, ∇∂i ν)
= hX, ∇φi + φg(∇∂i u, ∇∂i ν) + φg(∇∂i ν, ∇∂i ν),

(A.10)

Apêndice A. Apêndice

50

onde ∇ denota tanto o operador gradiente quanto a conexão de Levi-Civita de (M, g).
Uma vez que ∇∂i ν = Aij ∂j e ∇∂i ν = ∇∂i ν − g(∇∂i ν, u)u = Aij ∂j + K(ν, ∂i )u, segue de
(A.2) e (A.10) que
g(∇∂i l, ∇∂i ∂t ) = hX, ∇φi + φAij Kij + φA2ij − φK(ν, ∂i )2
= hX, ∇φi + φhA, KΣ i + φ|A|2 − φ|X|2
1
= hX, ∇φi + φ(|KΣ + A|2 − |KΣ |2 − |A|2 )
2
+φ|A| − φ|X|2
1
= hX, ∇φi + φ(|χ|2 − |K|2 + 2|X|2 + K(ν, ν)2 + |A|2 )
2
−φ|X|2
1
= hX, ∇φi + φ(|χ|2 − |K|2 + K(ν, ν)2 + |A|2 ).
2

(A.11)

Segue de (A.1), (A.3), (A.7), (A.9) e (A.11),
∂θ
= −φJ(ν) + φ(|K|2 − 2|X|2 − K(ν, ν)2 − |χ|2 − |A|2 )
∂t


1
1
2
2
2
2
2
+φ RΣ − µ − K(ν, ν) trΣ K + |X| + (|A| − H + τ − |K| )
2
2
−∆φ + hX, ∇φi + φ(div X + K(ν, ν)θ)
1
+hX, ∇φi + φ(|χ|2 − |K|2 + K(ν, ν)2 + |A|2 )
2


1
1 2
2
= −∆φ + 2hX, ∇φi + φ RΣ − (µ + J(ν)) − |χ| − |X| + div X
2
2


1
1
1
2
2
2
φ − K(ν, ν) − K(ν, ν) trΣ K − H + τ + K(ν, ν)θ
2
2
2


= −∆φ + 2hX, ∇φi + φ Q − |X|2 + div X


+φ



1 2 1
1
1
τ − (K(ν, ν) + trΣ K)2 + (trΣ K)2 − H 2 + K(ν, ν)θ .
2
2
2
2


Finalmente, visto que θ = trΣ K + H,
1
1
1
(trΣ K)2 − H 2 + K(ν, ν)θ = (trΣ K)2 − (trΣ K + H)2 + H trΣ K + K(ν, ν)θ
2
2
2
1 2
= − θ + trΣ K(trΣ K + H) + K(ν, ν)θ
2
1
= − θ2 + (trΣ K + K(ν, ν))θ,
2
e o resultado segue pois τ = trΣ K + K(ν, ν).

Apêndice A. Apêndice

A.2

51

Demonstração do Lema 2.2.8

Um sketch da demonstração do item (i) pode ser encontrado no Apêndice B de [4]. Um
resultado análogo para o caso de domínios limitados do espaço Euclidiano pode ser encontrado em [14, Capítulo 6, Teorema 3].
2
Considere ψ ∈ C ∞ (Σ) e defina u = φ−1
1 ψ. Tomando q = Q − |X| + div X, temos

2hX, ∇ψi + qψ − Lψ = ∆ψ
= ∆(uφ1 )
= u∆φ1 + φ1 ∆u + 2h∇φ1 , ∇ui
= u(2hX, ∇φ1 i + qφ1 − λ1 φ1 ) + φ1 ∆u + 2h∇φ1 , ∇ui
= 2hX, u∇φ1 i + qψ − λ1 ψ + φ1 ∆u + 2h∇φ1 , ∇ui,
o que implica,
∆u = 2hY, ∇ui + φ−1
1 (λ1 ψ − Lψ),
onde Y = X − ∇ ln φ1 , tendo em vista que ∇u = φ−1
1 (∇ψ − u∇φ1 ). Portanto, tomando
x0 ∈ Σ tal que u(x0 ) = min u, segue da última identidade acima,
Σ

0 ≤ ∆u(x0 ) = φ−1
1 (x0 )(λ1 ψ(x0 ) − Lψ(x0 )).
Logo, se ψ > 0 (e lembrando que podemos escolher φ1 > 0), temos
λ1 ≥

Lψ(x0 )
,
ψ(x0 )

o que garante uma parte do item (ii). A outra parte segue diretamente escolhendo ψ = φ1 .
Segue da Observação 2.2.11 que o item (i) é verdadeiro para o operador L∗ . Neste
caso, denote por φ∗1 a autofunção de L∗ associada ao autovalor principal λ∗1 = λ1 (L∗ ).
Assim,
λ1 hφ1 , φ∗1 iL2 (Σ) = hLφ1 , φ∗1 iL2 (Σ)
= hφ1 , L∗ φ∗1 iL2 (Σ)
= λ∗1 hφ1 , φ∗1 iL2 (Σ) ,

Apêndice A. Apêndice

52

ou seja,
(λ1 − λ∗1 )hφ1 , φ∗1 iL2 (Σ) = 0.
O resultado segue do fato que duas funções positivas não podem ser ortogonais.