Tese

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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE
MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
UFAL-UFBA

RAFAEL ALVAREZ BILBAO

MEDIDAS MAXIMIZANTES EM SISTEMAS DINÂMICOS
ALEATÓRIOS

Tese de Doutorado

Maceió
2015

Rafael Alvarez Bilbao

MEDIDAS MAXIMIZANTES EM SISTEMAS DINÂMICOS
ALEATÓRIOS

Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação do Instituto de
Matemática-UFAL como requerimento para obter o grau de Doutor em Matemática.

Orientador: Krerley Irraciel Martins Oliveira.

Maceió
2015

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Bibliotecário Responsável: Janis Christine Angelina Cavalcante
B595m

Bilbao, Rafael Avarez.
Medidas maximizantes em sistemas dinâmicos aleatórios. / Rafael Alvarez Bilbao.
– Maceió, 2015
33 f.
Orientador: Krerley Irraciel Martins Oliveira.
Tese (doutorado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de
Matemática, Programa de Pós Graduação em Matemática. Maceió, 2015.
Bibliografia: f. 31-32
Índice: f. 33.
1. Entropia relativa. 2. Expansão não uniforme. 3.Entropia topológica relativa. 4.
Topologicamente exata. 5. Medida maximizante. I. Título.
CDU: 519.722

Dedicatória

Meu filho αβ

v

Agradecimento
Agradeço a Deus pela vida, minha famı́lia pelo apoio permanente, minha esposa
pela paciência durante esse longo tempo, a todas as pessoas do instituto de
matemática em especial ao professor Krerley Oliveira por permitir que fosse seu
orientando e à fundação Capes.
Muito obrigado a todos.

vi

Abstract
We prove the existence of relative maximal entropy measures for certain random
dynamical systems of the type F (x, y) = (θ(x), fx (y)), where θ is a invertibe map
preserving an ergodic measure P and fx is a local diffeomorphism of a compact
Riemannian manifold exhibiting some non-uniform expansion. As a consequence
of our proofs, we obtain an integral formula for the relative topological entropy
as the integral the of logarithm of the topological degree of fx with respect to
P. When F is topologically exact and the supremum of the topological degree
of fx is finite, the maximizing measure is unique and positive on open sets.
Keywords: Relative entropy, non-uniform expansion, relative topological
entropy, topologically exact, maximizing measure.

vii

Resumo
Provamos a existência de medidas de entropia máxima relativa para certos sistemas dinâmicos aleatórios do tipo F (x, y) = (θ(x), fx (y)), onde θ é uma aplicação
invertı́vel preservando uma medida ergódica P e fx é um difeomorfismo local sob
uma variedade Riemanniana compacta exibindo alguma expansão não uniforme.
Como consequência da prova, obtemos uma fórmula de integração para entropia topológica relativa como a integral dos logaritmo do grau topológico das fx
com respeito a P. Quando F é topologicamente exata e o supremo dos graus
topológicos das fx é finito, a medida que atinge o máximo é única e positiva sob
conjuntos abertos.
Palavras-chave: Entropia relativa, expansão não-uniforme, entropia topológica relativa, topologicamente exata e medida maximizante.

viii

Conteúdo
Introdução

1

1 Preliminares
1.1 Sistemas dinâmicos aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Operador de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Expoente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
4
5
7

2 Tempos hiperbólicos

10

3 Entropia
14
3.1 Partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Entropia relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Fórmula de Rokhlin’s em RDS . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.3 Pressão topológica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Existência e unicidade
20
4.0.4 Existência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.0.5 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Bibliografı́a

28

Índice

30

Introdução
A entropia topológica htop (f ) é um número invariante topológico importante do
sistema dinâmico f . Para aplicações que expandem distância uniformemente, foi
provado [8, Pa64] que este número descreve a taxa exponencial de crescimento
de órbitas periódicas e é dado pelo logaritmo do grau topológico da aplicação.
Por outro lado, existe uma importante relação entre entropia topológica e
entropia métrica. Pelo princı́pio variacional [21], a entropia topológica pode ser
definida como o supremo das entropias métricas entre todas as medidas invariantes e se existe uma medida que maximize a entropia métrica ela é chamada
de medida de entropia maximal. Como caracterı́stica, essa medida descreve a
distribuição espacial de orbitas periódicas [8].
Para sistemas dinâmicos aleatórios definidos como skew-product da forma
F (x, y) = (θ(x), fx (y)) onde θ é uma aplicação invertı́vel que preserva uma
medida ergódica P e (fx )x∈X famı́lia aplicações expansoras, foi provado, por
Bogenschütz em [7] uma versão relativa do principio variacional . Nessa versão
a entropia topológica relativa é o supremo das entropias métricas entre todas
a medidas invariantes com marginal P e se existe uma medida que maximiza
a entropia métrica, ela é chamada de medida de entropia maximal relativa.
Daremos uma definição mais precisa no capı́tulo 3. Kifer [10] prova a existência
de estado de equilı́brio para sistemas aleatórios uniformemente expansores e Liu
[11] estende esse resultado para sistemas uniformemente hiperbólicos.
Estender essas propriedades no caso de expansão uniforme é um problema
desafiante. Vários autores têm melhorado tais resultados no caso determinı́stico.
Em [3], menciona-se alguns recentes trabalhos. Em [16], Oliveira e Viana mostram para caso determinı́stico a existência e unicidade de medida de máxima
entropia para um conjunto aberto de aplicações não-uniformemente expansoras. Além disso, para essas aplicações, a entropia topológica coincide com o
logaritmo de seu grau.
No ambiente aleatório, Urbanski e Simmons [20] provam a existência de estados Gibbs para potenciais Hölder contı́nuos e aplicações expansoras aleatórias.
Além disso, provam que os estados Gibbs coincidem com estados de equilı́brios
desses potenciais. Arbieto, Matheus e Oliveira [5], mostram para uma classe robusta (C 2 − aberta) de aplicações aleatórias não uniformemente expansora com
certas condições em suas derivadas e sobre uma classe extensa de potenciais, a
existência de estado de equilı́brio.

1

Rafael Alvarez Bilbao

Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

Neste trabalho estenderemos os resultados em [16], o qual consiste dada
f : M d → M d difeomorfismo local sob uma variedade Riemannian d-dimensional
compacta M e grau topológico p ≥ 1. Assumindo que f satisfaz a seguinte
condição
max log maxkΛk Df (x)k < log p
1≤k≤d−1

x∈M

se tem, que htop (f ) = log p, e qualquer auto-medida µ sobre o operador de
transferência L é uma medida maximizante. Além disso, se f é topologicamente misturador, então a medida maximizante é única e positiva sob conjuntos
abertos.
Em nosso ambiente aleatório de classe C 1 , assumimos condições sobre as
derivadas da famı́lia de funções geradoras (fx )x∈X que envolvem os expoentes de
Lyapunov. Mais precisamente, consideremos um sistema dinâmico aleatório F :
X × Y → X × Y de classe C 1 definida por F (x, y) = (θ(x), fx (y)) onde X é um
espaço de probabilidade Lebesgue, Y é uma variedade Riemannian compacta,
θ : X → X é uma aplicação contı́nua invertı́vel mensuráveis preservando uma
medida de probabilidade P e (fx )x∈X uma famı́lia de difeomorfismos locais fx :
Y → Y , para x ∈ X, com grau topológico px ≥ 1.
Neste contexto temos o resultado principal:
Teorema A. Assumimos que F satisfaz (1.4), (2.2) e (2.3). Então htop (F |θ) =
R
log px dP(x). Além disso,
X
• Se µ ∈ M1P (F ) tal que sua desintegração µ = (µx )x∈X é uma sistema de
auto-medidas maximal para o operador de transferência (Lx )x∈X , então
µ é uma medida de entropia maximizante.
• Se F é topologicamente exata e deg(F ) := supx∈X deg(fx ) < ∞, a medida
maximizante é única e positiva sob conjuntos abertos.
A estratégia da prova consiste primeiro provar a existência de sistema de
auto-medidas, logo assumindo que os expoentes de Lyapunov são maiores que
α( constante dada em (1.4)) construı́mos uma partição geradora, portanto podemos usar fórmula de Rokhlin aleatória Teorema 3.2.3, com isso temos que a
R
entropia relativa coincide com X log px dP(x). Por último para calcular a entropia topológica relativa usaremos o principio variacional aleatório. A longo
da prova fazemos uso do operador de transferência e tempos hiperbólicos para
sistema dinâmicos aleatórios.
O trabalho está organizado da seguinte maneira:
No primeiro capı́tulo damos as definições e resultados importantes. Definimos sistemas dinâmicos aleatórios-RDS(Random Dynamical Systems), operador de transferência relacionado às funções geradoras fx : Jx → Jθ(x) para
todo x ∈ X e obtemos os operadores duais respectivos. Respondemos à pergunta sobre a existência de auto-medidas. Para terminar esta seção falamos
sobre o Teorema ergódico multiplicativo aleatório que é uma extensão do caso
determinı́stico, este dá a existência dos expoentes de Lyapunov.

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Junho, 2015

Rafael Alvarez Bilbao

Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

No capı́tulo seguinte, falamos de tempos hiperbólicos para RDS, noção que
foi introduzida por Alves em [2, 4] no caso determinı́stico. Enunciamos os
diferentes resultados importantes como a existência de um conjunto de medida
total tal que todos seus pontos tem infinitos tempos hiperbólicos e além disso,
tem densidade hiperbólica positiva. Depois enunciamos o lema onde obtêm-se
os ramos inversos contrativos considerando os tempos hiperbólicos. Na parte
final provamos que existe N ∈ N tal que F N tem densidade positiva de tempos
hiperbólico em µ − q.t.p.
No terceiro capı́tulo, começamos por definir partição sobre o espaço J =
X × Y e partição geradora. Damos condições para a existência de uma partição
geradora. Depois falamos da entropia métrica relativa e com isso fazemos
menção de adaptações aleatórias de teoremas importantes que se têm para caso
determinı́stico como são os Teoremas de Kolmogorov-Sinai, Margullis-Ruelle e
Shannon-McMillan-Breiman. Em outra seção, mostramos a fórmula de Rokhlin
aleatória que é fundamental para provar o teorema principal. Para terminar definimos a pressão topológica relativa e com isso o principio variacional aleatório.

Na ultima parte deste trabalho, provamos a existência de medidas maximizantes e entre essas medidas estão as auto-medidas maximal. O passo a seguir é
mostrar que a entropia métrica relativa com respeito a uma auto-medida vai ser
R
igual X log px dP(x). Faltaria provar que a entropia topológica relativa é igual
a esse valor. Para resolver isso usamos o principio variacional aleatório.
No caso da unicidade adicionamos duas novas hipóteses: F é topologicamente
exata e com grau topológico finito. Com essas duas condições provamos que a
medida que atingem a entropia topológica é única e além disso deve ser uma
auto-medida maximal.

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Junho, 2015

Capı́tulo 1

Preliminares
Neste capı́tulo enunciamos as definições e noções básicas para o desenvolvimento
deste trabalho. Para leitores familiarizados com a temática, este capı́tulo pode
ser omitido e retornar sempre que julgar necessário.

1.1

Sistemas dinâmicos aleatórios

Definição 1.1.1. Um sistema dinâmico aleatório (RDS-Random Dynamical
Systems) métrico consiste do seguinte:
• Um espaço de probabilidade de Lebesgue (X, F, P)
• θ : X → X uma transformação invertı́vel que preserva a medida ergódica
P.
• Um espaço mensurável de Lebesgue (J , B) da forma
[
J =
{x} × Jx
x∈X

onde Jx são as fibras do RDS
• Uma transformação mensurável F : J → J da forma
F (x, y) = (θ(x), fx (y))
onde fx : Jx → Jθ(x) .
A dinâmica está definida como F n (x, y) = (θn (x), fxn (y)) onde
fxn (y) := fθn−1 (x) ◦ ... ◦ fx (y).
Assumimos neste trabalho que Jx = Y para todo x ∈ X, neste caso J =
X × Y onde Y é uma variedade Riemanniana compacta conexa d-dimensional,
as funções fx : Jx → Jθ(x) são difeomorfismos locais de classe C 1 e grau topológico px ≥ 1 para todo x ∈ X, onde px = #fx−1 (y) para todo y ∈ Jθ(x) .

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Rafael Alvarez Bilbao

Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

Seja M1P (J ) conjunto de medidas de probabilidade sobre (J , B) tal que
−1
µ ◦ πX
=P

onde πX : J → X é a projeção na primeira coordenada (π(x, y) = x), e seja
M1P (F ) = {µ ∈ M1P (J ) : µ ◦ F −1 = µ}.
Denotemos por εX a partição de X sobre elementos unitários. A partição
−1
πX
(εX ) é mensurável. Portanto, para cada µ ∈ M1P (J ), pelo Teorema de
desintegração de Rokhlin [19], existe um sistema de medidas (µx )x∈X tal que
R
µ = µx dP(x) chamando-se sistema canônico de medidas condicionais.
Por outro lado, é imediato provar que a medida µ ∈ M1P (J ) é F − invariante
se somente se µx ◦ fx−1 = µθ(x) para P-quase todo ponto x ∈ X. Também
dizemos que F é de classe C k se cada fx é de classe C k para todo x ∈ X.
Definição 1.1.2. F é topologicamente exata se para cada ξ > 0 existe uma
função mensurável limitada nξ : X → N tal que para P quase todo ponto x ∈ X
e para todo y ∈ Jx temos
n (x)

fx ξ

(Bx (y, ξ)) = Jθnξ (x) (x)

Denotemos por n∗ξ := supx∈X nξ (x).

1.2

Operador de transferência

Seja CP (J ) o espaço de todas as funções mensuráveis g : J → C tais que
P − q.t.p. x ∈ X, g|Jx := gx ∈ C(Jx ) conjunto das funções contı́nuas sobre Jx .
Definamos

L1J (X, C(Y )) :=


ϕ ∈ CP (J ) : kϕk1 =

Z
kϕx k∞ dP(x) < +∞

(1.1)

X

Para x ∈ X fixado α ∈ (0, 1] denotemos por Hα (Jx ) o espaço das funções
Hölder contı́nuas sobre Jx com expoente α. Isso é, φx ∈ Hα (Jx ) se e somente
se φx ∈ C(Jx ) e υα (φx ) < ∞ onde


|φx (y) − φx (z)|
υα (φx ) := sup
: y, z ∈ Jx
d(y, z)α
Uma função φ ∈ L1J (X, C(Y )) chama-se Hölder contı́nua com expoente α mostrando que existe uma função mensurável K : X → [1, +∞) tal que
log K ∈ L1 (P)
e
υα (φx ) ≤ Kx , para P − q.t.p. x ∈ X
denotando Hα (J , K) como espaço das funções Hölder contı́nuas fixados α e K,
e por Hα (J ) o espaço das funções Hölder contı́nuas com expoente α.

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Junho, 2015

Rafael Alvarez Bilbao

Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

Para cada g ∈ CP (J ), seja
Sn (g) :=

n−1
X

g ◦ F j,

(1.2)

j=0

Pn−1
como gx (y) = g(x, y) em P − q.t.p. x ∈ X, então (Sn g)x = j=0 gθj (x) ◦ fxj .
Agora, seja ϕ ∈ Hα (J ), consideremos o operador de transferência Lx = Lϕx :
C(Jx ) → C(Jθ(x) ) definido por
X
Lx gx (w) =
gx (z)eϕx (z) , w ∈ Jθ(x)
fx (z)=w

este é um operador linear positivo limitado com norma
kLx k∞ ≤ deg(fx ) exp(kϕx k∞ ).
Com esta famı́lia de operadores obtemos um operador global L : C(J ) →
C(J ) definido como
(Lg)x (w) = Lθ−1 (x) gθ−1 (x) (w)
Para cada n > 1 e P − q.t.p. x ∈ X, denotamos
Lnx := Lθn−1 (x) ◦ · · · ◦ Lx : C(Jx ) → C(Jθn (x) ).
Note que
Lnx gx (w) =

X

gx (z)eSn ϕx (z) ,

w ∈ Jθn (x) ,

z∈fx−n (w)

onde Sn ϕx (z) é dado em (1.2). Portanto, o operador dual L∗x : C ∗ (Jθ(x) ) →
C ∗ (Jx ) é definido
L∗x (µθ(x) )gx := µθ(x) (Lx gx ).
Por outro lado, chama-se sistema de auto-medida maximal (µx )x∈X corres−1
pondente a µ ∈ M1P (F ) considerando a partição πX
(εX ) se satisfaz
L∗x µθ(x) = px µx ,

para todo x ∈ X.

Mostraremos a existência desses sistema de auto-medidas maximais. De
fato, para potencial nulo ϕ ≡ 0, o operador de transferência L : C(J ) → C(J )
fica definido
X

(Lg)(x, y) =

g(θ−1 (x), z)

F (θ −1 (x),z)=(x,y)

portanto,
X

(Lg)x (y) = Lθ−1 (x) gθ−1 (x) (y) =

gθ−1 (x) (z) = (Lg)(x, y).

fθ−1 (x) (z)=y

Agora, seja g ∈ C(J ) e µ ∈ M1P (F ). Definindo o seguente operador
L̂ : C(J ) → C(J )

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Junho, 2015

Rafael Alvarez Bilbao

Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

como L̂(g)(x, y) := (Lg)(x,y)
. Por conseguinte, integrando
p −1
θ

(x)

Z Z
(Lg)x (y)
(Lg)(x, y)
dµ =
dµx dP
pθ−1 (x)
X Jx pθ −1 (x)
Z Z
Lθ−1 (x) gθ−1 (x) (y)
=
dµx dP
pθ−1 (x)
X Jx
Z Z
Z
L∗θ−1 (x)µx
=
gθ−1 (x) (y)d
dP =: gdµ̂
pθ−1 (x)
X Jθ−1 (x)

Z

Z

L̂(g)(x, y)dµ =

logo, definindo µ̂ dessa forma temos que µ̂ ∈ M1P (F ). De outro lado, o
espaço M1P (F ) é um conjunto compacto e convexo([14],Teorema 1.5.10). Então,
L̂∗ |M1P (F ) : M1P (F ) → M1P (F ) se define L̂∗ |M1P (F ) (µ) = µ̂. Aplicando o teorema de ponto fixo Schauder-Tychonoff, temos que existe µ ∈ M1P (F ) tal que
L̂∗ |M1P (F ) (µ) = µ̂ = µ, portanto seu desintegração fica
L∗θ−1 (x) (µx )
pθ−1 (x)

= µθ−1 (x)

para todo x ∈ X. Aplicando o Teorema de desintegração de Roklhin’s, temos
que o sistema canônico de medidas (µx )x∈X do ponto fixo µ é mensurável com
respeito ao espaço X,
De outro lado, mostremos que as funções fx : Jx → Jθ(x) preservam medida
do ponto fixo L̂∗ (µ) = µ acima. De fato, seja gθ(x) ∈ C(Jθ(x) ). Usando operador
de transferência Lx considerando o potencial nulo ϕ ≡ 0, temos que Lx (gθ(x) ◦
fx )(z) = px gθ(x) (z) e
Z
Z
1
(gθ(x) ◦ fx )dµx =
(gθ(x) ◦ fx )dL∗x µθ(x)
px
Z
1
=
Lx (gθ(x) ◦ fx )dµθ(x)
p
Zx
= gθ(x) dµθ(x)
Para mais detalhe desta parte ver [15].

1.3

Expoente de Lyapunov

Quando o sistema (F, J , µ) preserva medida µ, podemos ter a seguinte reformulação do teorema ergódico multiplicativo de Oseledec.
Teorema 1.3.1. [12] Assumamos que F é de classe C 1 (i. é. r = 1) e a
seguinte condição de integração
Z
log+ kDfx (y)kdµ(x, y) < ∞
Então, existe ∆ ⊆ J tal que µ(∆) = 1 e para cada (x, y) ∈ ∆ os números
−∞ ⩽ λ(1) (x, y) < ... < λ(r(x,y)) (x, y) < ∞

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Junho, 2015

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Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

mensuráveis em (x, y) e estão associados a sequências de sub-espaços em Ty Jx
{0} = V (0) (x, y) ⊂ V (1) (x, y) ⊂ ... ⊂ V (r(x,y)) (x, y) = Ty Jx
satisfaz
lim

1
log kDy fxn vk = λ(i) (x, y)
n

para v ∈ V (i) (x, y) \ V (i−1) (x, y) para 1 ⩽ i ⩽ r(x, y). Dizemos que λ(i) (x, y)
é expoente de Lyapunov de F em (x, y). Sejam m(i) (x, y) = dimV (i) (x, y) −
dimV (i−1) (x, y) sua multiplicidade e
{(λ(i) (x, y), m(i) (x, y)) : 1 ⩽ i ⩽ r(x, y)}
espectro de Lyapunov de F em (x,y).
Dado um espaço de vetorial V e um número k ≥ 1, a k-ésima potência
exterior de V é o espaço de vetores de todas as k− formas lineares alternadas
definida sobre o espaço dual de V . Tomamos V de dimensão finita, então o
produto exterior Λk V admite uma descrição alternativa, como o espaço gerado
pelo o produto v1 ∧ · · · ∧ vk de vetores v1 , v2 , ..., vk in V . Assumindo V com
produto exterior, podemos expressar Λk V com o produto interno tal que kv1 ∧
· · · ∧ vk k é justamente o volume do k−dimensional paralepı́pedo determinado
pelos vetores v1 , v2 , ..., vk em V .
Um isomorfismo linear A : V → W induz outro , Λk A : Λk V → Λk W , através
Λk A(v1 ∧ · · · ∧ vk ) = Av1 ∧ · · · ∧ Avk ,
Quando V = W , os autovalores de Λk A são o produto de k distintos autovalores
de A(onde um autovalor com multiplicidade m é contado como m “distintos”
autovalores). Correspondentemente, existe uma simples relação entre o espectro
de Lyapunov Λk Dfx e Dfx , os expoentes de Lyapunov Λk Dfx são a soma de k
distintos expoentes de Lyapunov de Dfx .
Definamos para 1 ≤ k ≤ d − 1
Ck (x, y) = lim sup

1
log kΛk Dfxn (y)k
n

e
Ck (x, F ) = max Ck (x, y)
y∈Jx

Como primeira hipótese deste trabalho assumimos que:
Z
Z
max
Ck (x, F )dP(x) <
log px dP(x).
1⩽k≤d−1

X

(1.3)

X

O qual significa que o integrando da taxa exponencial da derivada do volume
k− dimensional não seja demasiado grande, para k menor que a dimensão de
Y . Com isso define-se
Z
Z
α := α(F ) =
log px dP − max
Ck (x, F )dP(x) > 0
(1.4)
X

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1⩽k⩽d−1

8

X

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Rafael Alvarez Bilbao

Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

Os expoentes de Lyapunov de Λk Dfx são a soma de k distintos expoentes de
Lyapunov de Dfx , com a mesma convenção de multiplicidade de antes. Temos,
λi1 (x, y) + λi2 (x, y) + · · · + λik (x, y) ≤ Ck (x, y)
para qualquer 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ d, e a hipótese (1.3) implica que o
R
integrando da soma é estritamente menor que X log px dP(x), para todo k < d.
Muitos resultados interessantes sobre os expoentes de Lyapunov em sistemas
dinâmicos aleatórios podem ser encontrados em [?], [13].

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Capı́tulo 2

Tempos hiperbólicos
Esta noção foi introduzida por Alves em [2, 4] para caso determinı́stico e é usada
para sistemas dinâmicos aleatórios em [5]. Dada uma medida em M1P (F ) cujos
expoentes de Lyapunov são maiores que 8α, vamos a encontrar no Lema 2.0.4
que existe N ∈ N tal que F N tem um conjunto de medida total em X × Y , cujos
pontos tem densidade positiva de tempos hiperbólicos, esto nos vai a permitir
no capı́tulo posterior no Lema 3.1.1 ter uma partição F − geradora com respeito
à medida µ. Para isso, vamos assumir como hipóteses a longo deste trabalho
uma condição de distorção (2.2) e condições de derivada (2.3) sobre as funções
geradoras, que nos ajudá obter estes resultados.
Neste capı́tulo F : J → J é um sistema dinâmico aleatório de classe C 1 e
µ ∈ M1P (F ).
Definição 2.0.1. Dizemos que ν ∈ MP (J ) é expansora com expoente c > 0 se
para ν-q.t.p. (x, y) ∈ J temos
n−1

1X
λ(x, y) = lim sup
log kDfθj (x) (fxj (y))−1 k ⩽ −2c < 0
n j=0
Definição 2.0.2. Fixado c > 0, dizemos que n ∈ N é um c- tempo hiperbólico
para (x, y) se para cada 1 ⩽ k ⩽ n tem-se:
n−1
Y

kDfθj (x) (fxj (y))−1 k ⩽ exp(−ck)

j=n−k

Por outra lado, F tem tempos hiperbólicos com densidade positiva para
(x, y), se o conjunto H(x,y) de inteiros que são tempos hiperbólicos de F para
(x, y) satisfaz
1
lim inf #(H(x,y) ∩ [1, n]) > 0
n→∞ n
O objetivo é mostrar condições para que um sistema dinâmico aleatório contenha um conjunto de tempos hiperbólicos com densidade positiva. O seguinte
Lema devido a Pliss, é fundamental para conseguir esse resultado.

10

Rafael Alvarez Bilbao

Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

2 −c1
Lema 2.0.1 (Pliss). Dado 0 < c1 < c2 < A e ζ = cA−c
. Dados os números
1
reais a1 , ..., aN0 satisfazendo aj ≤ A para cada 1 ≤ j ≤ N0 e

N0
X

aj ≥ c2 N0 ,

j=1

existe l > ζN0 e 1 < n1 < · · · < nl ≤ N0 tal que
ni
X

aj ≥ c1 (ni − n)

j=n+1

para cada 0 ≤ n < ni e i = 1, ..., l.
A prova deste fato pode ser encontrada [1](Lema 2.11).
No lema posterior conseguı́mos um conjunto de medida total onde todos
seus pontos tem infinitos tempos hiperbólicos com densidade positiva, para sua
demonstração é fundamental o Lema de Pliss acima. Antes de enunciar o lema
vamos assumir que:
inf kDfx (y)−1 k > 0,
(2.1)
(x,y)∈J

o qual é necessário para sua prova.
Lema 2.0.2. Para cada medida invariante ν expansora com expoente c, existe
um conjunto H ⊂ J de ν-medida total, tal que para cada (x, y) ∈ H tem
infinitos c-tempos hiperbólico ni = ni (x, y). Além disso, a densidade de tempos
hiperbólicos é maior que λ = λ(c) > 0:
Qni −1
• j=n
kDfθj (x) (fxj (y))−1 k ≤ exp(−ck) para cada 1 ≤ k ≤ ni
i −k
i ≤n}
• lim inf n→∞ #{0≤n
≥λ>0
n

Uma consequência do lema anterior é ter ramos inversos contrativos nos
tempos hiperbólicos, resultado que vamos a enunciar no lema de abaixo, mas
usamos como hipótese deste trabalho a seguinte condição de distorção sobre as
funções geradora. Para ε > 0, existe δ > 0 tal que se z ∈ Jx e y ∈ Bδ (z) ⊂ Jx ,
temos
kDfx (z)−1 k
≤ exp(ε/2).
(2.2)
kDfx (y)−1 k
para P − q.t.p. x ∈ X.
Lema 2.0.3. Existe δ0 > 0 tal que para P-q.t.p. x ∈ X, se ni é c-tempo
hiperbólico de (x, y) e zni ∈ Bδ0 (fxni (y)), então existe z ∈ Bδ0 (y) ⊂ Jx tal que
fxni (z) = zni e
d(fxni −k (z), fxni −k (y)) ≤ exp(−ck/2)d(fxni (z), fxni (y)),
para todo 1 ≤ k ≤ ni .

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Junho, 2015

Rafael Alvarez Bilbao

Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

As provas dos Lemas 2.0.2 e 2.0.3 acima encontram-se em [5](Lemas 5.4 e
5.5).
O próximo lema envolve a constante α dada em (1.4) por
Z
Z
α := α(F ) =
log px dP − max
Ck (x, F )dP(x) > 0,
X

1⩽k⩽d−1

X

os expoentes de Lyapunov e conforme à condição
Z
Z
log+ kDfx (y)k dµ < +∞ e
log+ kDfx (y)−1 k dµ < +∞,

(2.3)

conseguimos uma medida expansora ν ∈ MP (J ) com expoente α para algum
F N sendo N ∈ N. Logo, usando o Lema 2.0.2 temos um conjunto cujos pontos
tem densidade positiva de tempos hiperbólicos.
Lema 2.0.4. Seja µ medida ergódica invariante cujos expoentes de Lyapunov
são maiores que α + κ onde κ > 0 uma constante pequena. Então existe N ∈ N
tal que F N tem tempos hiperbólicos com densidade positiva para µ-q.t.p.
Demonstração. Como os expoentes de Lyapunov de µ são maiores que α + κ,
para quase todo (x, y) ∈ J , então para ε > 0 com ε < κ existe n0 (x, y) ≥ 1 tal
que
kDfxn (y)υk ≥ exp((α + ε)n)kυk, υ ∈ Ty Jx , n ≥ n0 (x, y)
em outras palavras,
kDfxn (y)−1 k ≤ exp(−(α + ε)n),

n ≥ n0 (x, y)

Seja An = {(x, y) : n0 (x, y) > n}, portanto
Z
Z
log kDfxn (y)−1 kdµ ≤ −(α + ε)n +
J

logkDfxn (y)−1 kdµ

An

multiplicando por n1
Z
Z
1
1
n
−1
log kDfx (y) kdµ ≤ −(α + ε) +
logkDfxn (y)−1 kdµ,
n J
n
An
R
fazendo ϕn (x, y) = logkDfxn (y)−1 k, usando a hipótese (2.3) log+ kDfx (y)−1 kdµ <
+∞ e o Teorema Ergódico Subaditivo de Kingman(ver [17], Teorema 3.3.3), concluı́mos que existe uma função ϕ+ ∈ L1 (µ) tal que n1 ϕn (x, y) → ϕ(x, y), µ −
q.t.p.. Logo
1
n

Z

Z

ϕn (x, y) − ϕ(x, y) dµ +
ϕ(x, y)dµ
An n
An
Z
Z
1
≤ −(α + ε) +
ϕn (x, y) − ϕ(x, y) dµ +
ϕ+ dµ
An n
An
Z
1
≤ −(α + ε) +
ϕn − ϕ
+
ϕ+ dµ
n
L1
An

log kDfxn (y)−1 kdµ ≤ −(α + ε) +

J

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Z

12

1

Junho, 2015

Rafael Alvarez Bilbao

Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

quando n → ∞ implica µ(An ) → 0. Então, podemos escolher N suficientemente grande tal que para ε0 > 0 com ε0 < ε
Z
1
log kDfxN (y)−1 kdµ(x, y) < −(α + ε0 ) < 0
N
J
agora µ ser ergódica
n−1

1X 1
log kDfθNN i (x) (fxN i (y))−1 k =
n→∞ n
N
i=0
lim

Z

1
log kDfxN (y)−1 kdµ(x, y) < −(α+ε0 )
J N

portanto,
n−1

1X
log kDfθNN i (x) (fxN i (y))−1 k < −N (α + ε0 ) < −4α
n→∞ n
i=0
lim

Isso significa que aplicando Lema 2.0.2 temos a conclusão.
O seguinte resultado é um Lema técnico que usaremos mais pra frente.
Lema 2.0.5. Seja A ⊂ Ω, β > 0 e g : Ω → Ω um difeomorfismo local tal que
g tem densidade > 2β de tempos hiperbólicos para cada x ∈ A. Então, dado
qualquer medida de probabilidade ν sobre A e qualquer m ≥ 1, existe n > m tal
que

ν {x ∈ A : n é tempo hiperbólico de g para x} > β
A prova deste lema pode ser encontrada em [16](Lema 4.4).

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13

Junho, 2015

Capı́tulo 3

Entropia
Em 1958 Kolmogorov introduziu o conceito de Entropia para o caso determinı́stico, nesta secção vamos tratar da definição de entropia em RDS, tomando
como referência as definições de Simmons D. e Urbanski M. em [20].

3.1

Partição

Dada uma partição P de J define-se
n

P =

n−1
_

F −j (P),

n≥1

j=0

como a partição que se obtêm pela interseção das imagens inversas de F a partir
de 0 até n − 1 da partição P.
Sendo P = {Pi }i∈I , logo a partição induzida por P sob cada fibra Jx esta
dada por Px = {Ax,i }i∈Ix ⊂I onde Ax,i = Jx ∩ Pi . Portanto
Pxn =

n−1
_

(fxj )−1 (Pθj (x) ) = P n ∩ Jx

j=0

S

e=
Consequentemente, P
x∈X Px é uma partição sob J induzida por P e além
−1
e
disso P é mais fina que πX (εX ). Denotemos Aµ (F |θ) a coleção de todas as
−1
partições mensuráveis P de J mais fina que πX
(εX ) e tendo entropia relativa
−1
−1
finita a πX (εX )(Hµ (P|πX (εX )) < +∞) tal que fx |Px é injetora para P-q.t.p.
x ∈ X e cada Px ∈ Px .
Definição 3.1.1. Uma partição P ∈ Aµ (F |θ) é geradora por F relativa a θ se
somente se
∞
_
P ∞ :=
F −j (P) ≡µ εJ
j=0

onde εJ é a partição sob J =

S

x∈X {x} × Jx sobre elementos unitários.

A relação ≡µ significa que dado duas partições P1 e P2 de J , então P1 ≡µ P2
se existe um conjunto mensurável W ⊆ J com µ(J \ W ) = 0 tal que P1 |W =
P2 | W .

14

Rafael Alvarez Bilbao

Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

Podemos obter uma partição geradora usando (1.4). Com efeito,
Lema 3.1.1. Se µ é uma medida invariante tal que os expoente de Lyapunov são
maiores que α(a constante α dada em (1.4)), P ∈ Aµ (F |θ) uma partição com
diâmetro menor que δ0 > 0 como no Lema 2.0.3. Para µ − q.t.p. (x, y) ∈ J ,
então o diâmetro de P n (x, y) tende a zero, quando n vai para infinito. Em
particular, P é uma partição F -geradora com respeito a µ.
Demonstração. Por Lema 2.0.4 existe N ≥ 1 tal que F N têm densidade positiva
de tempos hiperbólicos para µ−q. t. p.. Defina
Sk =

k−1
_

F −jN (P),

para cada k ≥ 1

j=0

Por Lema 2.0.3, se k é um tempo hiperbólico de F N para (x, y) então
diamSk (x, y) ≤ e−ck/2 . Em particular, os conjuntos Sk (x, y) são não-crescente
com k, o diâmetro de Sk (x, y) vai para zero quando k → +∞. Desde que
P kN (x, y) ⊂ Sk (x, y) e a sequência diamP n (x, y) é não-crescente, temos que o
diâmetro de P n (x, y) vai para zero quando n tende a infinito, para µ-quase todo
(x, y) ∈ J .
Para provar que P é uma partição geradora para F com respeito a µ, é suficiente
mostrar que, dado qualquer conjunto mensurável E e ε > 0, existe n ≥ 1 e
elementos Ain , i = 1, ..., m(n) de P n tal que
µ

m
[


Ain ∆E < ε

i=1

Considerar os conjuntos compactos K1 ⊂ E e K2 ⊂ E c tal que µ(K1 ∆E) e
µ(K2 ∆E c ) são ambos menores que ε/4. Fixado n ≥ 1 suficientemente grande
tal que diamP n (x, y) é menor que a distancia de K1 a K2 para (x, y) fora de um
conjunto Fε com medida menor que ε/4. Seja Ain , i = 1, ..., m(n) os conjuntos
P n (x, y) que intersectam K1 , para (x, y) ∈
/ Fε . Então eles são disjuntos de K2 ,

S
e assim µ i Ain ∆E é limitada por acima
[ 
[

µ E\
Ain + µ
Ain \ E ≤ µ(E \ K1 ) + µ(E c \ K2 ) ≤ ε.
i

i

Isso completa a prova.

3.2

Entropia

3.2.1

Entropia relativa

Definição 3.2.1. Seja µ ∈ M1P (F ), e P uma partição mensurável de J mais
−1
fina que πX
(εX ), a entropia relativa com respeito a P
1
−1
Hµ (P n |πX
εX ).
n→+∞ n

hµ (F |θ; P) := lim

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Junho, 2015

Rafael Alvarez Bilbao

Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

onde entropia relativa é dada por,
−1
Hµ (P|πX
(εX ) :=

Z
Hµx (Px )dP(x) < +∞
X

e Px = {P ∩ Jx : P ∈ P}
Por outro lado, seja
hµ (F |θ) := sup{hµ (F |θ; P)},
o supremo é tomado sobre todas as partições mensuráveis P de J mais fina
−1
que πX
(εX ). O número hµ (F |θ) chama-se entropia de F relativa a θ com
respeito à medida µ.
Existem muitos resultados no caso determinı́stico que se adaptam à dinâmica
aleatórios, como por exemplo os Teoremas Shannon-McMillan-Breiman, MargulisRuelle entre outros. Mencionemos aqui esses dois teoremas que envolvem a
entropia relativa.
Teorema 3.2.1 (Shannon-McMillan-Breiman). Sejam F : J → J um RDS,
µ ∈ M1P,e (F )(subconjunto das medidas ergódicas em M1P (F )) e P ∈ Aµ (F |θ),
então para µ − q.t.p. (x, y) ∈ J
−1
log µx (Pxn (y)) = hµ (F |θ; P)
n

lim

n→∞

Teorema 3.2.2 (Margulis-Ruelle). Seja F de classe C 1 um RDS sobre uma
variedade M d sem bordo e µ uma probabilidade F -invariante sobre X × M .
Suponha que
Z
log+ sup kDfx (y)kdP(x) < ∞
y∈M

X

Então,
Z
hµ (F |θ) ⩽

d
X

λ+
i (x, y)dµ(x, y)

X×M i=1
(i)
onde λ+
i (x, y) := max{λ (x, y), 0}.

As provas destes importantes resultados encontrar-se em [7] e [13](Teorema
2.4 e Teorema 2.1 (apêndice)) respectivamente. Uma aplicação do Teorema de
Margulis-Ruelle está na prova do lema a seguir onde assumimos como hipótese
(1.4), expressada como
Z
Z
α := α(F ) =
log px dP − max
Ck (x, F )dP(x) > 0
1⩽k⩽d−1

X

X

Lema 3.2.1. Se µ é uma probabilidade invariante com um expoente menor que
α(F ), então
Z
hµ (F |θ) <

log px dP(x)
X

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Junho, 2015

Rafael Alvarez Bilbao

Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

Demonstração. Denotemos por λ1 (x, y) ≤ · · · ≤ λd (x, y) os expoentes de Lyapunov de F em (x, y). Portanto, usando a desigualdade de Margulis-Ruelle
temos
hµ (F |θ) ≤

Z X
d
J i=1

Z
=
J

λ+
i (x, y)dµ(x, y)

λ+
1 (x, y)dµ(x, y) +

Z

X

J i∈{2,...,d}

λ+
i (x, y)dµ(x, y)

Z

Z

< α(F ) +
Ck (x, y)dµ(x, y) ≤ α(F ) + max
1≤k≤d−1
J
Z
≤
log px dP(x).

Ck (x, F )dP(x)
X

X

3.2.2

Fórmula de Rokhlin’s em RDS

Seja g : (Z, A, ν) → (W, B, ρ) transformação preservando medida entre os
espaços de probabilidade (Z, A, ν) e (W, B, ρ). Suponha que existe uma partição
mensurável e contável G = {Ai } de Z(ν − mod 0) tal que para cada Ai a
aplicação gi := g|Ai : Ai → W é absolutamente contı́nua, isto é,
1. gi é injetora.
2. gi (A) é mensurável se A é um conjunto mensurável de Ai .
3. ρ(gi (A)) = 0 se A ⊂ Ai é mensurável e ν(A) = 0.
Por 1. e 2. definimos a medida νgi sobre cada Ai por νgi (A) = ρ(gi (A)) para
cada A ⊂ Ai . Por 3. νgi é absolutamente contı́nua com respeito a νi := v|Ai .
Agora, seja a função mensurável Jν (g) : Z → R+ dada por
Jν (g)(x) =

dνgi
(x) se
dνi

x ∈ Ai

Aplicando o acima para F : J → J um RDS, µ uma probabilidade invariante. Temos uma função não-negativa Jµ (F ) e existe um conjunto I ⊂ J de
medida zero tal que para cada mensurável A ⊂ J \ I para qual F é injetora,
então
Z
µ(F (A)) =
Jµ (F )dµ.
A

Agora, restringindo Jµ (F ) a Jx e usando o conjunto de medida zero I, consideramos a função Jµx (fx ) = Jµ (F )|Jx sob a fibra Jx for P − q.t.p x ∈ X. Pela
definição de acima é claro que:
Z
µθ(x) (fx (Ax )) =
Jµx (fx )dµx .
Ax

Para qualquer Ax ⊂ Jx \ Ix mensurável tal que fx |Ax é injetora. Em particular,
Jµx é o jacobiano de fx relativa a µx .

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17

Junho, 2015

Rafael Alvarez Bilbao

Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

Em nosso contexto e usando Lema 3.1.1, temos uma partição P F -geradora,
então F é essencialmente contável, isso é: Dada a partição mensurável A :=
F −1 (εJ ) o sistema canônico de medidas condicionais correspondente (µA )A∈A
são puramente atômicos(mod0 com respeito a µA ) para todo A ∈ A. Portanto
por Proposição 1.9.5 de [18] o jacobiano e a medida µ sempre existem.
Com isso, obtemos uma formula que relaciona o jacobiano e a entropia de
uma medida. Sugerimos [16], Proposição 6.1 ou [18], Teorema 1.9.7 para a
prova.
Teorema 3.2.3 (Fórmula de Rokhlin’s aleatória). Se µ é medida ergódica invariante que admite uma partição P F − geradora com respeito a µ, então

Z
Z Z
hµ (F |θ) = log Jµ (F )dµ =
log Jµx fx (y)dµx (y) dP(x)
X

Jx

onde Jµx fx denota o jacobiano de fx relativa a µx para P − q.t.p.

3.2.3

x ∈ X.

Pressão topológica relativa

Um sistema dinâmico aleatório métrico F : J → J é topológico se para cada
x ∈ X, as fibras Jx são um espaço métrico compacto, com métrica dx , cuja
σ−álgebra de Borel é Bx = B ∩ Jx , e supx∈X diam(Jx ) < +∞.
Definição 3.2.2. Diz que um sistema dinâmico aleatório topológico F : J → J
é tipo global se existe um espaço métrico compacto (Y, d) tal que
• Para cada x ∈ X, Jx ⊆ Y , e dx = d|Jx .
N
• B = (F
BY )|J , onde BY é a σ−álgebra de subconjuntos de Borel de Y .
Se Jx = Y para todo x ∈ X, então F chama-se tipo global fortemente. Neste caso
Y é dito espaço vertical do sistema dinâmico aleatório topológico F : J → J .
Dado x ∈ X, ε > 0, um inteiro n ≥ 0, é E ⊆ Jx um conjunto (x, n, ε)−separável
se para cada dois pontos distintos y, z ∈ E existe j ∈ {0, 1, ..., n − 1} tal
que dθj (x) (fxj (y), fxj (z)) > ε. Se F : J → J é de tipo global fortemente e
ϕ ∈ L1J (X, C(Y ))(dado em (1.1)) chamam-se potencial, definimos a pressão topológica relativa
X

Z
1
Pt (ϕ, F |θ) := lim lim sup
log sup
exp(Sn ϕ(x, y)) dP(x),
ε→0 n→∞ n X
E⊆Jx
y∈E

onde sup é tomado sobre todos (x, n, ε)−separável subconjunto E ⊆ Jx . No
caso particular do potencial nulo ϕ ≡ 0 a equação acima chama-se entropia
topológica relativa, denotando-se ht (F |θ) := Pt (0, F |θ)
Bogenschütz prova em [6] o principio variacional para sistemas dinâmicos
aleatórios, o qual é:
Teorema 3.2.4. Seja F : J → J um sistema dinâmico aleatório topológico de
tipo global fortemente e ϕ ∈ L1J (X, C(Y )) um potencial, então


Z
Pt (ϕ, F |θ) = sup
hµ (F |θ) +
ϕdµ .
(3.1)
µ∈M1P (F )

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18

J

Junho, 2015

Rafael Alvarez Bilbao

Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

Por outro lado, em alguns situações existem medidas µ ∈ M1P (F ) que atingem (3.1), essas medidas chamam-se estado de equilı́brio relativo para o potencial
ϕ ∈ L1J (X, C(Y )). Para potencial nulo o estado de equilı́brio relativo chama-se
medida maximizante relativa.
Por outra parte, consideremos o seguinte exemplo que satisfaz as hipóteses
de nosso resultado. Dados dois difeomorfismos locais f0 , f1 : Y → Y de classe
C 1 , tal que logkΛk Df1 k < log p1 para 1 ≤ k < d. Seja Pα uma medida de
Bernoulli sob espaço de sequências X = {0, 1}Z tal que Pα ([1]) = α, definida
como abaixo. Consideremos
Anαe = {x = (ij ) ∈ X :

]{ij = 1; 0 ≤ j ≤ n − 1}
≥α
e}.
n

dado α
e < α, existe εn tal que εn → 0 e 1 − εn ≤ Pα (Anαe ) ≤ 1 + εn . Defina-se
L = max max{logkΛk Df0 k, logkΛk Df1 k}.
1≤k≤d

Temos que,
Z

logkΛk Dfxn kdPα (x) ≤

Z
An
α
e

k
log Πn−1
j=0 kΛ Dfij kdPα

Z
+
(An
)c
α
e

k
log Πn−1
j=0 kΛ Dfij kdPα

≤ (1 + εn )(e
αn logkΛk Df1 k + (1 − α
e)n log L)
Z
k
+
log Πn−1
j=0 kΛ Dfij kdPα
(An
)c
α
e

Agora, multiplicando por 1/n e aplicando o Teorema Ergódico Subaditivo
de Kingman,
Z
lim

1
logkΛk Dfxn kdPα (x) ≤ α
e logkΛk Df1 k + (1 − α
e) log L
n
Z
1
k
+ lim
log Πn−1
j=0 kΛ Dfij kdPα
n (Anαe )c
=α
e logkΛk Df1 k + (1 − α
e) log L.

Usando que logkΛk Df1 k < log p1 para 1 ≤ k < d, se escolhemos α perto de
1, devemos tomar α
e perto de α tal que para cada 1 ≤ k < d,
Z
k
α
e logkΛ Df1 k + (1 − α
e) log L < α log p1 + (1 − α) log p0 = log px dPα (x).
Portanto, obtemos a principal hipótese da tese(1.4). Com respeito a demais
hipóteses (2.2), (2.3) segue-se diretamente do fato que as funções f0 , f1 são de
classe C 1 e Y é compacto.

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19

Junho, 2015

Capı́tulo 4

Existência e unicidade
No conjunto M1P (F ) das medidas µ probabilidade invariantes, provaremos que
todas as auto medidas maximal µ com desintegração respectiva (µx )x∈X cor−1
respondente à partição mensurável πX
(εX ), atingem o principio variacional
aleatório Teorema 3.2.4.

4.0.4

Existência

Para mostrar que cada sistema de auto-medidas maximal µ = (µx )x∈X é uma
medida maximizante, vamos assumir a hipóteses dada em (2.3) o qual é:
Z
log+ kDfx (y)k dµ < +∞.
(4.1)
para cada µ ∈ M1P (F ). Enunciemos o teorema da existência
Teorema A1 (Existência). Seja F : J → J um RDS que satisfazendo (1.4),
R
(2.2) e (2.3). Então htop (F |θ) = X log px dP(x). Além disso, se µ ∈ M1P (F )
tal que sua desintegração µ = (µx )x∈X é uma sistema de auto-medidas maximal
para o operador de transferência (Lx )x∈X , então µ é uma medida de entropia
maximizante.
A estratégia da prova consiste em usar o operador de transferência para
um sistema de auto-medidas maximal, logo aplicando a fórmula de Rokhlin’s
R
aleatória Teorema 3.2.3, temos que entropia métrica vai ser igual a X log px dP(x).
Depois, utilizamos o principio variacional aleatório 3.2.4 para estimar a entropia
topológica.
Lema 4.0.2. Seja µ ∈ M1P (F ) tal que L∗x µθ(x) = px µx para todo x ∈ X então
Jµx fx = px em µx − q.t.p.
Demonstração. Seja A um conjunto mensurável tal que fx |A é injetiva. Tomando a sequência {gn } ∈ C(Jx ) tal que gn → χA em µx − q. t. p. e sup|gn | ≤ 2
para todo n. Por definição,
X
Lx gn (z) =
gn (y).
fx (y)=z

20

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Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

A última expressão converge a χfx (A) (z) em µθ(x) − q.t.p.. Portanto, pelo teorema da convergência dominada
Z
Z
Z
px gn dµx = gn d(L∗θ(x) µθ(x) ) = Lx gn dµθ(x) → µθ(x) (fx (A))
O lado direito também converge a px µx (A), concluindo que
µθ(x) (fx (A)) = px µx (A).
o que prova o lema.
Lema 4.0.3. Seja µ ∈ M1P (F ) tal que L∗x µθ(x) = px µx para todo x ∈ X, então
R
hµ (F |θ) ≥ log px dP(x).
Demonstração. Seja P ∈ Aµ (F |θ), por Lema 4.0.2, temos que µ − q.t.p. (x, y):
µθn (x) (fxn (Pxn (y))) = pθn−1 (x) pθn−2 (x) · · · pθ(x) px µx (Pxn (y)).
Como 1 ≥ µθn (x) (fxn (Pxn (y))), temos que
−1
−1
log(pθn−1 (x) pθn−2 (x) · · · pθ(x) px )−1 ≤
log µx (Pxn (y))
n
n
Usando o Teorema de Shannon-McMillan-Breiman em 3.2.1,
n−1
1
1X
n−1
n−2
lim log(pθ (x) pθ (x) · · · pθ(x) px ) = lim
log pθj (x) ≤ hµ (F |θ; P)
n
n j=0

Por outro lado, se m é a medida de Lebesgue, então
Z
px =
|detDfx (y)|dm(y) ≤ kDfx kd m(Jx )
Jx

no qual, log p(·) ∈ L1 (X, P). De fato, usando a hipótese (4.1)
Z
Z
log px dP(x) ≤ d
log+ sup kDfx (y)kdP(x) + log m(Y ) < +∞.
X

X

y∈Jx

Portanto, como P é uma medida ergódica sobre X, pelo Teorema Ergódico de
Birkhoff:
n−1

Z
log px dP(x) = lim
X

1X
log pθj (x) ≤ hµ (F |θ; P) ≤ hµ (F |θ)
n j=0

assim o lema está provado.
Corolário 4.0.1. Seja µ ∈ M1P (F ) tal que L∗x µθ(x) = px µx para cada x ∈ X,
então
Z
hµ (F |θ) =
log px dP(x)
X

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Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

R
Demonstração. Usando Lema 4.0.3, a entropia é hµ (F |θ) ≥ X log px dP(x).
Agora, por Lema 3.2.1, temos que todos os expoentes de Lyapunov de µ são
maiores que α e por Lema 3.1.1 existe uma partição P que é F-geradora com
respeito a µ. Usando o Teorema 3.2.3 concluı́mos que,
Z Z
hµ (F |θ) =
log Jµx fx dµx dP(x)
X

Jx

e pelo Lema 4.0.2 temos que Jµx fx = px . Provando que hµ (F |θ) =

R
X

log px dP(x).

Para a prova do Lema 4.0.5 necessitamos a seguinte desigualdade de Jensen:
Lema 4.0.4 (Desigualdade de Jensen). Seja ai , bi com i = 1, 2, ..., n números re
Pn
Pn
Pn
ais positivos tal que i=1 ai = 1, então i=1 ai log bi ≤ log
i=1 ai bi . Acontece a igualdade se, somente se bi todos são iguais.
R
Lema 4.0.5. A entropia topológica htop (F |θ) = X log px dP(x). Além disso, se
ν ∈ M1P (F |θ) é qualquer medida maximizante ergódica, então Jνx fx = px for
P − q.t.p. x ∈ X, onde (νx )x∈X representa a desintegração de ν com respeito à
−1
partição mensurável πX
(εX ).
Demonstração. Seja ν ∈ M1P (F |θ) uma medida ergódica, tal que hν (F |θ) ≥
R
log px dP(x), caso contrário não existe nada a provar.
X
Pelo Lema 3.2.1, todos os expoentes de Lyapunov de ν são maiores que
α > 0, portanto pelo Teorema (3.2.3)

Z Z
hν (F |θ) =
log Jνx fx (y)dνx (y) dP(x)
X
Jx
Z
=
log Jνx fx (y)dν(x, y)
J

1
. Por ser (fx )∗ νx = νθ(x) para todo x ∈ X tem-se que
Jνx fx
X
gνx (y) = 1, para νθ(x) − q.t.p. z ∈ Jθ(x) .

Definamos, gνx =

fx (y)=z

Com efeito. Seja A ⊂ Jθ(x) mensurável com fx−1 (A) =
é injetiva para 1 ≤ j ≤ px , então
Z
νθ(x) (A) =
1dνθ(x) = νx (fx−1 (A))

Fpx

j=1 Aj tais que fx |Aj

A

=

px
X

νx (Aj ) =

j=1

=

=

Jνθ(x) (fx |Aj )−1 (z)dνθ(x) (z)

A

px Z
X
j=1

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νx ((fx |Aj )−1 (A))

j=1

px Z
X
j=1

px
X

1
dνθ(x) (z)
−1
J
f
(f
A νx x x |Aj (z))

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fazendo diam(A) → 0, então
1=

px
X

1
J f (y )
j=1 νx x j

Portanto,
Z
0 ≤ hν (F |θ) −

Z

J

Z
=

log
J

Z
log Jνx fx (y)dν −

log px dν =
J

p−1
x
dν =
gνx

Z

X

log px dν

(4.2)

J

gνx (y) log

J f (y)=z
x

p−1
x
dν
gνx (y)

1
. Agora, usamos a desigualJνx fx
dade Jensen 4.0.4 considerando ai = gνx (y) e bi = p−1
x /gνx (y) obtemos

onde na segunda parte usamos o fato gνx =

X

gνx (y) log

fx (y)=z

 X
 X

p−1
p−1 
x
≤ log
gνx (y) x
= log
p−1
=0
x
gνx (y)
gνx (y)
fx (y)=z

fx (y)=z

em νx − q.t.p. z ∈ Jθ(x) . Como o integrando é não negativo segundo (4.2), a
igualdade acontece νx − q.p.t., e
Z
Z Z
Z
hν (F |θ) =
log px dν =
log px dνx dP(x) =
log px dP(x)
J

X

Jx

X

Por ser a medida ν arbitrária, isso prova que
Z
Z
htop (F |θ) =
log px dν =
log Jνx fx (y)dν(x, y)
J

J

Para finalizar a prova do Lema 4.0.5, usamos novamente desigualdade de
Jensen. Para esta segunda parte, os valores p−1
x /gνx (y) são os mesmos para
−1
todo y ∈ fx (z) num conjunto de medida total com respeito a νθ(x) . Em outras
p−1
x
palavras, para νθ(x) − q.t.p. z ∈ Jθ(x) existe cx (z) tal que
= cx (z) para
gνx (y)
−1
todo y ∈ fx (z). Então
1
=
cx (z)

X
y∈fx−1 (z)

p−1
x
=
cx (z)

X

gνx (y) = 1,

νθ(x) − q.t.p..

y∈fx−1 (z)

Concluindo,
Jνx fx (y) = px ,

νx − q.t.p.

para cada y na pré-imagem de um conjunto νθ(x) -com medida total.

4.0.5

Unicidade

Nesta seção vamos obter a unicidade de medidas de máxima entropia e provaremos que elas estão suportada num conjunto de medida total. Para conseguir
esse resultado, adicionalmente às hipóteses anteriores assumiremos que F seja
topologicamente exata(ver definição 1.1.2) e deg(F ) := supx∈X deg(fx ) < +∞.

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Teorema A2 (Unicidade). Seja F : J → J um RDS que satisfazendo (1.4),
(2.2) e (2.3). Além disso, assumamos que F é topologicamente exata e deg(F ) :=
supx∈X deg(fx ) < ∞. Então a medida maximizante é única e positiva sob conjuntos abertos.
A prova da unicidade decorrera dos Lemas 4.0.6, 4.0.7 e 4.0.8. O seguinte
Lema utilizamos a hipótese de topologicamente exata, para mostrar que a medida esta suportada sob conjuntos abertos.
Lema 4.0.6. Seja ν qualquer medida maximizante, então νx está suportada em
Jx , para P quase todo ponto x ∈ X.
Demonstração. Vamos supor que νx (Ux ) = 0, onde Ux 6= φ é um aberto em Jx .
Usando a hipóteses de topologicamente exata, existe Nx ∈ N tal que fxNx (Ux ) =
JθNx (x) . Particionando Ux em subconjuntos Ux,1 , ..., Ux,k tal que fxNx |Ux,j é
injetiva para todo j = 1, ..., k. temos
Z

Nx
Jνx fxNx dνx = 0
νθNx (x) fx (Ux,j ) =
Ux ,j

da aqui,
νθNx (x) (JθNx (x) ) ≤

k
X


νθNx (x) fxNx (Ux,j ) = 0

j=1

o qual é uma contradição.
Como consequência do lema anterior temos:
Lema 4.0.7. Seja ν qualquer medida maximizante, dado δ > 0 e fx topologicamente exata, então
νx (Bx (y, δ)) ≥ (px pθ(x) · · · pθnδ (x)−1 (x) )−1

(4.3)

para todo y ∈ Jx , onde nδ (x) é definido como na Definição 1.1.2.
Demonstração. Seja y ∈ Jx e Bx (y, δ) ⊂ Jx . Agora, particionando Bx (y, δ) em
n (x)
subconjuntos Ux,1 , ..., Ux,k tal que cada fx δ |Ux,j é injetora para j = 1, ..., k,
temos
1 = νθnδ (x) (x) (fxnδ (x) (Bx (y, δ)) ≤

k
X

νθnδ (x) (x) (fxnδ (x) (Ux,j ))

j=1

≤ px pθ(x) · · · pθnδ (x)−1 (x) νx (Bx (y, δ))

(4.4)

Agora, seja µ1 e µ2 duas medidas ergódicas maximizantes. Nosso objetivo
é provar que essas medidas coincidem. Primeiro provaremos que µ1x e µ2x são
equivalentes.
−1
Com efeito, fixada uma partição P  πX
(εX ) tal que diam(P) < δ0 e para
cada Px ∈ Px tem interior não vazio, e a fronteira ∂P tem medida zero para
ambas µ1 e µ2 . Podemos escolher δ > 0 pequeno de modo que Px ∈ Px contém

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alguma bola de raio δ.
Por outro lado, para n ∈ N tempo hiperbólico de y ∈ Jx , existe fxn (y) ∈
Pθn (x) ∈ Pθn (x) , então Pθn (x) (fxn (y)) ⊂ B(fxn (y), δ0 ), portanto fxn |g(Pθn (x) (fxn (y)))
é injetiva, onde g = (fxn )−1 . Usando o Lema 4.0.5 temos
µjθn (x) (Pθn (x) (fxn (y))) = px pθ(x) · · · pθn−1 (x) µjx (g(Pθn (x) (fxn (y)))); j = 1, 2.
(4.5)
Por acima, existe z ∈ Pθn (x) (fxn (y)), tal que B(z, δ) ⊂ Pθn (x) (fxn (y)), então pelo
Lema 4.0.7, temos que
µjθn (x) (B(z, δ)) ≥ (pθn (x) pθ(θn (x)) · · · pθnδ (θn (x))−1 (θn (x)) )−1
e
∗

µjθn (x) (Pθn (x) (fxn (y))) ≥ (pθn (x) pθ(θn (x)) · · · pθnδ (θn (x))−1 (θn (x)) )−1 ≥ (degF )−nδ .
por (4.5)
∗

∗

(degF )−nδ ≤ px pθ(x) · · · pθn−1 (x) µjx (g(Pθn (x) (fxn (y)))) ≤ (degF )nδ ; j = 1, 2.
(4.6)
Antes de provar a unicidade, enunciaremos o seguinte Lema que nos permitir
aproximar a medida de um conjunto mensurável sobre uma fibra, através dos
ramos inversos dos tempos hiperbólicos da partição P dada acima. Denotamos
por Q a famı́lia de todas as imagens g(Pθn (x) ), para n ∈ N tal que n é tempo
hiperbólico para algum y ∈ Jx .
Lema 4.0.8. Dado qualquer conjunto mensurável E ⊂ Jx e ε > 0, existe uma
famı́lia ξ de elementos disjuntos dois a dois de Q tal que
[
[


µjx E \ g(P ) = 0 e µjx
g(P ) \ E ≤ ε, j = 1, 2.
ξ

ξ

Demonstração. Por Lema 3.2.1, todos os expoentes de Lyapunov de µj são
maiores que α(F ). Por Lema 2.0.4, existe N ≥ 1 e λ > 0 tal que µj − q.t.p. tem
densidade > 2λ de tempos hiperbólicos.
Seja U1 ⊂ Jx aberto e K1 ⊂ Jx um compacto tal que K1 ⊂ E ⊂ U1 e µjx (U1 \
E) ≤ ε e µjx (K1 ) ≥ 21 µjx (E) para j = 1, 2. Usando Lema 2.0.5, com A = K1 e
νx = µjx /µjx (K1 ), podemos encontrar n1 ≥ 1 tal que exp(−αn1 /2) < d(K1 , U1c )
e o subconjunto L1 ⊂ K1 de pontos y ∈ Jx para qual n1 é tempo hiperbólico que
satisfaz µjx (L1 ) ≥ λµjx (K1 ) ≥ (λ/2)µjx (E). Seja ξ1 a famı́lia de todos g(Pθn1 (x) ),
que intersectam L1 , com Pθn1 (x) ∈ Pθn1 (x) e g o ramo inverso de fxn1 . Os
elementos de ξ1 são disjuntos dois a dois, pois os elementos de Pθn1 (x) e g o
ramo inverso de fxn1 . Usando Lema 2.0.3 o diâmetro diam(ξ1 ) ≤ exp(−αn1 /2).
Deste, seja E1 a união de todos os elementos de ξ1 que estão contido em U1 .
Por construção, temos
µjx (E1 ∩ E) ≥ µjx (L1 ) ≥ λµjx (K1 ) ≥ (λ/2)µjx (E).
Continuando, consideremos o conjunto aberto U2 = U1 \E1 e K2 ⊂ E\E1 um
conjunto compacto tal que µjx (K2 ) ≥ 21 µjx (E \E1 ). Observe que µjx (E1 \E1 ) = 0,

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de fato a fronteira dos átomos de P tem medida zero e é preservada por os ramos
inversos, já que µj é invariante. Fazendo o mesmo raciocı́nio, existe n2 > n1 tal
que exp(−αn2 /2) < d(K2 , U2c ) e conjunto L2 ⊂ K2 tal que µjx (L2 ) ≥ λµjx (K2 )
e n2 é tempo hiperbólico para cada y ∈ L2 . Denotamos ξ2 a famı́lia de imagens
inversa g(Pθn2 (x) ) que interceptam a L2 , com Pθn2 (x) ∈ Pθn2 (x) e g o ramo
inverso de fxn2 . Como antes, os elementos de ξ2 são disjuntos dois a dois e o
diâmetro diam(ξ2 ) ≤ exp(−αn2 /2). Isso garanta que seu união E2 esta contido
em U2 . Consequentemente, os elementos da união ξ1 ∪ ξ2 são também disjuntos
dois a dois. Além disso,
µjx (E2 ∩ (E \ E1 )) ≥ µjx (L2 ) ≥ λµjx (K2 ) ≥ (λ/2)µjx (E \ E1 ).
Repetindo o processo, construı́mos uma famı́lia de ξk , k ≥ 1 de elementos de Q
tal que seus elementos são disjuntos dois a dois e estão contido em U1 , e
µjx (Ek+1 ∩ (E \ (E1 ∪ · · · ∪ Ek ))) ≥ (λ/2)µjx (E \ (E1 ∪ · · · ∪ Ek ))
para todo k ≥ 1, onde Ei =
e (4.7) implica que

S

j
ξi g(P ). Assim, µx (

µjx (E \

∞
[

(4.7)

S∞

j
k=1 Ek \E) ≤ µx (U1 \E) ≤ ε

Ek ) = 0

k=1

isso completa a prova do lema, com ξ =

S∞

k=1 ξk .

Demonstração da unicidade da medida. Combinando (4.6) com Lema 4.0.8, temos que, para qualquer Ex ⊂ Jx ,
X
µ1x (Ex ) ≤ µ1x (U1 ) ≤ ε +
µ1x (g(Pθnk (x) ))
S
ξ= ∞
k=1 ξk

≤ε+

X

∗

(deg(F ))2nδ µ2x (g(Pθnk (x) ))

S
ξ= ∞
k=1 ξk
∗

≤ ε + (deg(F ))2nδ µ2x (Ex )
∗

Pela arbitrariedade de ε > 0, temos que µ1x (Ex ) ≤ (deg(F ))2nδ µ2x (Ex ). De
∗
maneira similar tem-se µ2x (Ex ) ≤ (deg(F ))2nδ µ1x (Ex ) para qualquer Ex mensurável. Por Teorema de Radon Nykodym existe uma função mensurável essen∗
cialmente única hx : Jx → R tal que µ1x = hx µ2x . Além disso, (deg(F ))−2nδ ≤
∗
hx ≤ (deg(F ))2nδ . Agora, seja h : J → R definida h(x, y) = hx (y) e sabemos que para todo mensurável Ex ⊂ Jx existe E ⊂ J mensuráveis tal que
Ex = E ∩ Jx . Então, para todo E ⊂ J mensurável
Z
Z
µ1 (E) =
µ1x (E ∩ Jx )dP(x) =
µ1x (Ex )dP(x)
ZX Z
Z X
2
=
hx dµx dP(x) =
h dµ2
X

Ex

E

Desde que µ1 , µ2 ∈ M1P,e (F ) são invariantes, então
µ1 = F∗ µ1 = (h ◦ F )F∗ µ2 = (h ◦ F )µ2

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Medidas Maximizantes em Sistemas Dinâmicos Aleatórios

Como a derivada de Radon Nykodym é essencialmente única, temos que h =
h ◦ F em µ2 − q.t.p. Pela ergodicidade h é constante em quase todo ponto
Z
1 = µ1 (J ) = h
dµ2 = hµ2 (J ) = h
J

então µ1 = µ2 e assim µ1x = µ2x para todo x ∈ X.

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Junho, 2015

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Junho, 2015

Índice
geradora, 14
pressão
topológica
relativa, 18
principio
variacional
aleatório, 18
produto
exterior, 8

α(F ), 8
L1J (X, C(Y )), 5
Hα (Jx ), 5
−1
πX
(εX ), 5
εX , 5
n∗ξ , 5
conjunto
separável, 18
densidade
positiva, 10
desigualdade
Jensen, 22

sistema
auto-medida
maximal, 6
dinâmico
aleatório, 4

entropia
relativa, 15
espaço
funções
Hölder, 5
estado
equilı́brio
relativo, 19
expoente
Lyapunov, 7

tempo
hiperbólicos, 10
teorema
Margulis-Ruelle, 16
Shannon-McMillan-Breiman, 16
topologicamente
exata, 5

fórmula
Rokhlin’s aleatória, 18
Lema
Pliss, 10
medida
expansora, 10
operador
transferência, 5, 6
partição, 14

30
Matemática

Instituto de Matemática

Universidade Federal de Alagoas
