Tese
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA UFBA-UFAL
GREGÓRIO MANOEL DA SILVA NETO
Hipersuperfícies Estáveis e Fórmula de
Monotonicidade Envolvendo Curvatura
Escalar em Espaços de Curvatura
Seccional Limitada
Tese de Doutorado
Maceió
2014
GREGÓRIO MANOEL DA SILVA NETO
Hipersuperfícies Estáveis e Fórmula de Monotonicidade
Envolvendo Curvatura Escalar em Espaços de Curvatura
Seccional Limitada
Tese de Doutorado apresentada ao Programa
de Pós-graduação em Matemática UFBAUFAL do Instituto de Matemática da Universidade Federal de Alagoas como requisito parcial
para obtenção do grau de Doutor em Matemática.
Orientador:
Maceió
2014
Prof. Dr. Hilário Alencar da Silva
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Maria Auxiliadora G. da Cunha
S586h
Silva Neto, Gregório Manoel da.
Hipersuperfícies estáveis e fórmula de monotonicidade envolvendo
curvatura escalar em espaços de curvatura seccional limitada / Gregório
Manoel da Silva Neto. – 2014.
64 f. : il.
Orientador: Hilário Alencar da Silva.
Tese (Doutorado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2014.
Bibliografia: f. 60-62.
Apêndice: f. 63.
Índice: f. 64.
1. Estabilidade . 2. Curvatura escalar. 3. Gráficos. 4. Volume curvatura de
Graus-Kronecker. 5. Curvatura média. 6. Vizinhança tubular. 7. Monotonicidade.
8. Desigualdade de Poincaré. 9. Valor médio. 10. Desigualdade isoperimétrica.
I. Título.
CDU: 514.464.27
3
Ao meu orientador, professor Dr. Hilário Alencar, aos
meus pais, irmão e amigos.
Agradecimentos
Ao professor Dr. Hilário Alencar, pela sua amizade e apoio, por ser muito mais que um orientador, pelos conselhos e pela paciência, mas acima de tudo pelo exemplo e referencial de pessoa
e de profissional que tem sido.
À minha colega de doutorado Adina Rocha pela leitura crítica desta tese e pelas valiosas
discussões durante sua elaboração.
Aos professores Dr. Detang Zhou, Dr. Gregório Pacelli, Dr. Harold Rosenberg, Dr. Manfredo do Carmo e Dra. Walcy Santos, pelas discussões e sugestões para melhoria deste trabalho.
Aos meus pais Geine Pereira e João Gregório da Silva, por todos os sacrifícios que fizeram
por mim, desde o início da minha educação e que possibilitaram que eu chegasse até aqui.
A geometria é uma ciência de todas as espécies possíveis de espaços.
—IMMANUEL KANT
Resumo
Nesta tese provamos que não existem hipersuperfícies de dimensão três no espaço Euclidiano de dimensão quatro, com curvatura escalar zero, completas e estáveis, satisfazendo certas
condições de curvatura. Em seguida provamos, em colaboração com Hilário Alencar, uma desigualdade do valor médio e uma fórmula de monotonicidade envolvendo as curvaturas média
e escalar de uma hipersuperfície imersa em uma variedade Riemanniana de curvatura seccional
limitada superiormente por uma constante. Além disso, demonstramos uma desigualdade tipo
Poincaré envolvendo curvaturas média e escalar de hipersuperfícies imersas em variedades Riemannianas de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante. Aplicamos essa
desigualdade para obter um resultado sobre hipersuperfícies estáveis de curvatura escalar zero
no espaço Euclidiano.
Palavras-chave: Estabilidade, Curvatura escalar, Gráficos, Curvatura de Gauss-Kronecker,
Volume, Curvatura média, Vizinhança tubular, Monotonicidade, Desigualdade de Poincaré,
Valor médio, Desigualdade isoperimétrica.
Abstract
In this thesis we prove there is no complete hypersurfaces of dimension three in the Euclidean space of dimension four, satisfying some conditions of curvature. Next, we prove in a
work jointly with Hilário Alencar, a mean value inequality and a monotonicity formula involving the mean and scalar curvatures of hypersurfaces immersed into a Riemannian manifold of
sectional curvature bounded above by some constant. Moreover, we prove a Poincaré type inequality involving the mean curvature and the scalar curvature of hypersurfaces immersed into
Riemannian manifolds of sectional curvature bounded above by some constant. We apply this
inequality to obtain a result about stable hypersurfaces with zero scalar curvature in Euclidean
space.
Keywords: Stability, Scalar curvature, Graphs, Gauss-Kronecker curvature, Volume, Mean
curvature, Tubular neighbourhood, Monotonicity, Poincaré Inequality, Mean value, Isoperimetric inequality.
Lista de Ilustrações
1
K
Representação do domínio Nω de 3 sobre S2 , considerando o quociente como
H
uma função algébrica de seus autovalores. Este domínio é a intersecção do
plano λ1 + λ2 + λ3 = 1 com S2 . A hipótese suprime apenas três pequenas vizinhanças em torno dos eixos coordenados.
63
Sumário
1
Hipersuperfícies estáveis com curvatura escalar zero
1.1 Introdução
1.2 Resultados preliminares
1.3 Resultados principais
1.4 Exemplos
1.5 Tubos não mergulhados
12
12
14
19
25
26
2
Fórmula de monotonicidade e desigualdade de Poincaré
2.1 Introdução
2.2 Resultados preliminares
2.3 Desigualdade do valor médio e fórmula de monotonicidade
2.4 Demonstração da desigualdade de Poincaré
2.5 Demonstração do resultado de estabilidade
30
30
37
42
50
58
Introdução
Nesta tese demonstramos alguns resultados envolvendo curvatura escalar de hipersuperfícies
em variedades Riemannianas.
No primeiro capítulo, provamos que não existem hipersuperfícies de curvatura escalar zero,
estáveis, completas no espaço Euclidiano de dimensão quatro, com crescimento de volume po(−K)
≥ c > 0 em todo ponto para alguma constante c > 0, onde K denota a
linomial, tais que
H3
curvatura de Gauss-Kronecker e H denota a curvatura média da imersão. Como consequência
(−K)
obtemos que não existem gráficos inteiros com curvatura escalar zero e tais que
≥c>0
H3
em todo ponto para alguma constante c > 0. Finalmente mostramos que, se existem hipersuper(−K)
fícies estáveis com curvatura escalar zero e
≥ c > 0 em todo ponto para alguma constante
H3
c > 0, então a vizinhança tubular não é mergulhada para um raio adequado.
No segundo capítulo estabelecemos alguns resultados, obtidos em colaboração com Hilário
Alencar, sobre monotonicidade de funções envolvendo as curvaturas média e escalar de uma
hipersuperficie própria imersa em uma variedade Riemanniana com curvtura seccional limitada
superiormente por uma contante. Como consequência das técnicas usadas na demonstração dos
resultados acima, provamos uma desigualdade de Poincaré envolvendo as curvaturas média e
escalar de hipersuperfícies imersas em uma variedade Riemanniana com curvatura seccional
limitada superiormente por uma constante. Aplicamos essa desigualdade para obter uma desigualdade isoperimétrica envolvendo a integral da curvatura média, além de um resultado sobre
hipersuperfícies estáveis de curvatura escalar zero no espaço Euclidiano.
C APÍTULO 1
Hipersuperfícies estáveis com curvatura escalar
zero
Neste capítulo demonstramos que não existem hipersuperfícies de R4 com curvatura escalar
(−K)
zero, estáveis, com crescimento de volume polinomial e tais que
≥ c > 0 em todo ponto
H3
para alguma constante c > 0, onde K é curvatura de Gauss-Kronecker e H é a curvatura média
da imersão. Nosso segundo resultado é o teorema do tipo Bernstein: Não existem gráficos in(−K)
teiros de R4 com curvatura escalar zero e tal que
≥ c > 0 em todo ponto, para alguma
H3
constante c > 0. Concluímos este capítulo provando que, se existem hipersuperfícies com cur(−K)
vatura escalar zero, estáveis e tais que
≥ c > 0 em todo ponto então sua vizinhança
H3
tubular não é mergulhada para um raio adequado.
1.1
Introdução
Seja x : M 3 → R4 uma imersão isométrica. Se λ1 , λ2 , λ3 são os autovalores da segunda forma
fundamental, então a curvatura escalar não normalizada R, a curvatura média não normalizada
H e a curvatura de Gauss-Kronecker K são dadas, respectivamente, por
R = λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 λ3 , H = λ1 + λ2 + λ3 e K = λ1 λ2 λ3 .
(1.1)
Em 1959, Hartman e Nirenberg, ver [HN59], mostraram que as únicas superfícies com
curvatura Gaussiana nula no espaço Euclidiano tridimensional são os planos e os cilindros.
Generalizando este fato, em 1977, Cheng e Yau, ver [CY77], mostraram que as únicas
hipersuperfícies completas e não compactas com curvatura escalar zero e curvatura seccional
não negativa no espaço Euclidiano Rn+1 são os cilindros generalizados Sn−p × R p .
Seja D ⊂ M 3 um domínio regular, isto é, um domínio com fecho compacto e fronteira suave
por partes. Uma variação com suporte compacto da imersão x é uma aplicação diferenciável
X : (−ε , ε ) × D → R4 , ε > 0, tal que, para cada t ∈ (−ε , ε ), a aplicação Xt : D → R4 , definida
por Xt (p) = X(t, p) é uma imersão satisfazendo X0 = x|D e Xt |∂ D = X0 |∂ D . É conhecido que
hipersuperfícies de R4 com curvatura escalar nula são pontos críticos do funcional
A1 (t) =
∫
M
H(t)dMt
dentre todas as variações com suporte compacto em D (ver [Rei73], [AdCC93], [Ros93],
[BC97]).
Seguindo Alencar, do Carmo e Elbert, ver [AdCE03], iremos definir a seguir o conceito de
estabilidade para imersões com curvatura escalar zero. Seja A : T M → T M o operador linear
associado à segunda forma fundamental da imersão x. Definimos a primeira transformação
de Newton P1 : T M → T M por P1 = HI − A, onde I denota o operador identidade em T M.
12
1.1 INTRODUÇÃO
13
Introduzimos agora o operador diferencial de segunda ordem que irá desempenhar um papel
similar ao do Laplaciano no caso de hipersuperfícies mínimas, a saber,
L1 ( f ) = div(P1 (∇ f )),
(1.2)
onde div X denota a divergência do campo de vetores X e ∇ f denota o gradiente da função f na
métrica induzida pela imersão x. Em [HL99b], Hounie e Leite mostraram que L1 é elíptico se,
e somente se, o posto de A > 1. Logo, se K ̸= 0 em todo ponto, então L1 é elíptico e, se H > 0,
então P1 é um operador linear positivo definido.
Calculando a segunda derivada do funcional A1 , obtemos
∫
d 2 A1
= −2
f (L1 f − 3K f )dM,
dt 2 t=0
M
⟨
⟩
onde f = dX
dt (0), η e η é o campo de vetores normais à imersão.
Como H 2 = |A|2 + 2R, se R = 0 então H 2 = |A|2 . Logo, se K ̸= 0 em todo ponto, então
H 2 = |A|2 ̸= 0 em todo ponto. Isto implica que H > 0 em todo ponto ou H < 0 em todo
ponto. Desta forma, ao contrário do caso de hipersuperfícies mínimas, o sinal do funcional A1
depende da escolha da orientação de M 3 . Se escolhermos uma orientação tal que H > 0 em
d 2 A1
todo ponto, então a imersão será estável se
> 0 para todas as variações com suporte
dt 2 t=0
compacto. Caso contrário, ou seja, se escolhermos uma orientação tal que H < 0, então x é
d 2 A1
estável se
< 0. Mais detalhes podem ser encontrados em [AdCE03].
dt 2 t=0
Em [AdCE03], Alencar, do Carmo e Elbert formularam a seguinte
Pergunta 1.1.1. Existem hipersuperfícies M 3 em R4 com curvatura escalar zero, completas,
estáveis e tais que a curvatura de Gauss-Kronecker é não-nula em todo ponto?
O objetivo deste capítulo é dar algumas respostas parciais a essa pergunta.
Seja Br (p) a bola geodésica de M, de centro p ∈ M e raio r. Dizemos que uma variedade
Riemanniana M 3 tem crescimento de volume polinomial, se existe α ∈ [0, 4] tal que
vol(Br (p))
< ∞,
rα
(1.3)
para p ∈ M e para todo r > 0. Uma desiguadade consagrada na literatura estabelece que
1
HK ≤ R2 .
2
(1.4)
K
é sempre negativo, independente da
H3
escolha de orientação. Além disso, considerando K e H 3 como funções dos autovalores da
segunda forma fundamental, podemos ver que
Se R = 0 e K ̸= 0 em todo ponto, então o quociente
0<
(−K)
4
≤ ,
3
H
27
14
CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO
visto que K e H 3 são polinômios homogêneos de grau 3. Mais detalhes podem ser vistos no
Apêndice.
O primeiro resultado apresentado neste capítulo é
Teorema A. Não existem hipersuperfícies completas M 3 de R4 com curvatura escalar zero,
estáveis, com crescimento de volume polinomial e tais que
(−K)
≥c>0
H3
em todo ponto para alguma constante c > 0.
Como consequência do Teorema A, obtemos o seguinte resultado do tipo Bernstein:
Teorema B. Não existem gráficos inteiros M 3 de R4 com curvatura escalar zero e tais que
(−K)
≥c>0
H3
em todo ponto para alguma constante c > 0.
Seguindo Nelli e Soret, ver [NS07], mostramos na seção 5 que se M 3 é uma hipersuperfície
(−K)
de R4 com curvatura escalar zero, estável e tal que
≥ c > 0 em todo ponto, então o tubo
H3
em torno de M não é mergulhado para um raio adequado. Precisamente, se definirmos o tubo
de raio r em torno de M por
T (M, h) = {x ∈ R4 ; ∃ p ∈ M, x = p + t η , t ≤ h(p)}
onde η é o campo de vetores normais à imersão e h : M → R é uma função suave e positiva em
todo ponto, provamos:
Teorema C. Seja M 3 uma hipersuperfície completa e estável de R4 , com curvatura escalar
nula. Se a segunda forma fundamental da imersão é limitada e existe uma constante c > 0 tal
(−K)
que
≥ c > 0 em todo ponto, então, para quaisquer constantes 0 < b1 ≤ 1, b2 > 0 e para
H3
qualquer função suave h : M → R satisfazendo
{
}
b1
δ
h(p) ≥ inf
, b2 ρ (p) , δ > 0,
(1.5)
|A(p)|
o tubo T (M, h) não é mergulhado. Aqui ρ (p) denota a distância intrínsica em M de p a um
ponto fixo p0 ∈ M.
1.2 Resultados preliminares
Seja B(X,Y ) = ∇X Y − ∇X Y a segunda forma fundamental da imersão x, onde ∇ e ∇ são as
conexões de M 3 e R4 , respectivamente. Seja A : T M → T M definido por
B(X,Y ) = ⟨A(X),Y ⟩η , ∀ X,Y ∈ T M,
1.2 RESULTADOS PRELIMINARES
15
o único operador linear simétrico associado à segunda forma fundamental da imersão, onde η
é o campo de vetores normal à imersão x.
Denotemos por |A|2 = tr(A2 ) a norma ao quadrado da matriz do operador linear associado à
segunda forma fundamental. Como H 2 = |A|2 + 2R, se R = 0, então H 2 = |A|2 . Logo, se K ̸= 0
em todo ponto então |H| = |A| ̸= 0 em todo ponto e podemos escolher uma orientação de M tal
que H > 0 em todo ponto.
Observação 1.2.1. De agora em diante, vamos fixar uma orientação de M 3 tal que H > 0 em
todo ponto.
Uma desigualdade consagrada na literatura estabelece que
1
HK ≤ R2 .
2
Portanto, usando a desigualdade acima, se R = 0 e H > 0 em todo ponto, então K < 0 em todo
ponto.
Definimos a primeira transformação de Newton P1 : T M → T M por
P1 = HI − A.
Se R = 0 e H > 0, então P1 é positiva definida. A seguir vamos dar uma prova deste fato, e para
isto, é suficiente mostrar que H − λi > 0, i = 1, 2, 3. De fato,
λ12 (H − λ1 ) = λ12 (λ2 + λ3 ) = λ12 λ2 + λ12 λ3 .
Visto que R = λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 λ3 = 0, temos
0 = λ1 R = λ1 (λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 λ3 ) = λ12 λ2 + λ12 λ3 + λ1 λ2 λ3 ,
isto é,
λ12 λ2 + λ12 λ3 = −λ1 λ2 λ3 = −K > 0.
Logo
λ12 (H − λ1 ) = λ12 λ2 + λ12 λ3 = −λ1 λ2 λ3 > 0,
e, portanto, H − λ1 > 0. Os outros casos são análogos.
Hounie e Leite, ver [HL99b], demonstraram que se P1 é positiva definida, então L1 ( f ) =
div(P1 (∇ f )) é um operador diferencial elíptico.
Nossa escolha de orientação, isto é, tal que H > 0 em todo ponto, implica que a condição
de estabilidade é equivalente a
−3
∫
M
K f 2 dM ≤
∫
M
⟨P1 (∇ f ), ∇ f ⟩dM.
(1.6)
A desigualdade (1.6) acima é conhecida como desigualdade de estabilidade.
Observação 1.2.2. Quando H < 0, então K > 0 e P1 é negativa definida. Neste caso, a condição
de estabilidade é equivalente a
∫
K f dM ≤
∫
2
3
M
M
⟨(−P1 )(∇ f ), ∇ f ⟩dM.
16
CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO
Seja ∇A(X,Y, Z) := ⟨∇Z (A(X)) − A(∇Z X),Y ⟩ a derivada covariante do operador A. A proposição a seguir irá desenpenhar um papel fundamental nas provas dos teoremas apresentados
neste capítulo. Em [dCP79], do Carmo e Peng demonstraram um resultado análogo para hipersuperfícies mínimas.
−K
Proposição 1.2.1. Se R = 0 e existe c > 0 tal que 3 ≥ c > 0 em todo ponto, então existe
H
c0 > 0, dependendo apenas de c, tal que
|∇A|2 − |∇H|2 ≥
2
|∇H|2 ,
1 + 2c20
onde ∇H é o gradiente de H.
Demonstração. Vamos fixar p ∈ M e escolha {e1 (p), e2 (p), e3 (p)} uma base ortonormal Tp M
tal que hi j (p) = λi (p)δi j , onde hi j = ⟨A(ei ), e j ⟩, λi (p) denotam os autovalores de A em p e δi j
é o delta de Kronecker
{
1 se i = j;
δi j =
0 se i ̸= j.
Estendendo esta base via transporte paralelo ao longo de geodésicas partindo de p para um referencial em uma vizinhança de p, temos ∇ei (p) e j (p) = 0, para todo i, j = 1, 2, 3. Este referencial
é chamado referencial geodésico em p.
Vamos denotar por hi j;k = (hi j )k := ek (hi j ) as derivadas covariantes da função hi j , e por hi jk
os componentes do tensor ∇A no referencial {e1 , e2 , e3 }, isto é, hi jk = ∇A(ei , e j , ek ). Visto que
{e1 , e2 , e3 } é um referencial geodésico, temos
hi jk = ∇A(ei , e j , ek ) = ⟨∇ek (A(ei )) − A(∇ek ei ), e j ⟩ = ⟨∇ek (A(ei )), e j ⟩
= ek (⟨A(ei ), e j ⟩) − ⟨A(ei ), ∇ek e j ⟩ = ek (⟨A(ei ), e j ⟩) = ek (hi j )
= hi j;k .
Como R = 0, temos H 2 = |A|2 . Usando este fato, obtemos
3
[(
4H 2 |∇H|2 = |∇(H 2 )|2 = |∇(|A|2 )|2 = ∑
3
=∑
k=1
(
k=1
)2
3
∑ 2hi j hi j;k
i, j=1
3
=4∑
k=1
) ]2
3
∑ h2i j
(
i, j=1
k
)2
3
∑ hiihii;k
.
i=1
Em seguida, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos
(
)2
[(
)(
)]
3
4∑
k=1
3
∑ hiihii;k
i=1
3
≤4∑
k=1
= 4|A|2
3
(
∑ h2ii
i=1
3
∑ h2ii;k
i,k=1
3
)
∑ h2ii;k
i=1
= 4H 2
(
3
)
∑ h2ii;k .
i,k=1
1.2 RESULTADOS PRELIMINARES
17
Portanto,
3
|∇H| ≤ ∑ h2ii;k .
2
(1.7)
i,k=1
Por outro lado, visto que R = h11 h22 + h11 h33 + h22 h33 − h212 − h213 − h223 = 0 temos, para k =
1, 2, 3,
0 = (h11 h22 + h11 h33 + h22 h33 − h212 − h213 − h223 )k
= h11k h22 + h11 h22k + h11k h33 + h11 h33k + h22k h33 + h22 h33k
− 2h12 h12k − 2h13 h13k − 2h23 h23k
= h11k h22 + h11 h22k + h11k h33 + h11 h33k + h22k h33 + h22 h33k
= h11k (h22 + h33 ) + h22k (h11 + h33 ) + h33k (h11 + h22 )
= h11k (H − h11 ) + h22k (H − h22 ) + h33k (H − h33 ).
Logo, escolhendo k = 1 na desigualdade acima, temos
h111 = −
1
[h221 (H − h22 ) + h331 (H − h33 )].
H − h11
Analogamente, escolhendo k = 2 e k = 3,
h222 = −
1
[h112 (H − h11 ) + h332 (H − h33 )]
H − h22
e
1
[h113 (H − h11 ) + h223 (H − h22 )].
H − h33
Elevando as identidades acima ao quadrado e somando-as, obtemos
h333 = −
h2111 + h2222 + h2333 =
1
[h221 (H − h22 ) + h331 (H − h33 )]2
(H − h11 )2
1
+
[h112 (H − h22 ) + h332 (H − h33 )]2
(H − h22 )2
1
+
[h113 (H − h11 ) + h223 (H − h22 )]2 .
(H − h33 )2
Agora, usando a desigualdade (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ≤ 2(a2 + b2 ), temos
[(
(
)
)
H − h22 2 2
H − h33 2 2
2
2
2
h111 + h222 + h333 ≤ 2
h221 +
h331
H − h11
H − h11
(
(
)
)
H − h33 2 2
H − h11 2 2
+
h112 +
h332
H − h22
H − h22
]
(
(
)
)
H − h11 2 2
H − h22 2 2
+
h113 +
h223 .
H − h33
H − h33
18
CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO
Visto que as funções gi j : R3 → R, definidas por
(
gi j (h11 , h22 , h33 ) =
H − hii
H −hjj
)2
, i, j = 1, 2, 3,
são quocientes de polinômios homogêneos de mesmo grau, os valores de gi j dependem apenas
de sua restrição a S2 . Como {(h11 , h22 , h33 ) ∈ R3 ; R = 0} é fechado em R3 ,
{
} {
}
−K
2 −K
(h11 , h22 , h33 ) ∈ R ; 3 ≥ c > 0 = (h11 , h22 , h33 ) ∈ S ; 3 ≥ c > 0
H
H
3
e S2 são subconjntos compactos de R3 , a intesecção dos três conjuntos formam um subconjunto
compacto de S2 . Portanto, todas as funções gi j tem um máximo e um mínimo em S2 . Se c0 > 0
é o maior dos valores máximos das funções gi j , i, j = 1, 2, 3, então
(
)
h2111 + h2222 + h2333 ≤ 2c20 h2112 + h2113 + h2221 + h2223 + h2331 + h2332 .
Isto implica
3
|∇H|2 ≤ ∑ h2iik = h2111 + h2112 + h2113 + h2221 + h2222 + h2223 + h2331 + h2331 + h2333
i,k=1
(
)
≤ (1 + 2c20 ) h2112 + h2113 + h2221 + h2223 + h2331 + h2332
[
1
1
1
2
≤ (1 + 2c0 ) (h2121 + h2211 ) + (h2131 + h2311 ) + (h2212 + h2122 )
2
2
2
]
1 2
1 2
1 2
2
2
2
+ (h232 + h322 ) + (h313 + h133 ) + (h323 + h223 )
2
2
2
1 + 2c20 ( 2
=
h121 + h2211 + h2131 + h2311 + h2212 + h2122
2
)
+h2232 + h2322 + h2313 + h2133 + h2323 + h2233 .
Portanto,
|∇A|2 =
3
∑
i, j,k=1
3
3
3
i,k=1
i̸=k=1
i̸=k=1
h2i jk ≥ ∑ h2iik + ∑ h2iki + ∑ h2kii
2
|∇H|2
≥ |∇H|2 +
1 + 2c20
(
)
2
= 1+
|∇H|2 .
1 + 2c20
1.3 RESULTADOS PRINCIPAIS
19
1.3 Resultados principais
De agora em diante, até o fim deste capítulo, vamos fixar um ponto p0 ∈ M e denotar por Br a
bola geodésica (intrínsica) e centro p0 e raio r.
O resultado central a ser usado na demonstração do Teorema A é a proposição a seguir.
Proposição 1.3.1. Seja x : M 3 → R4 uma imersão isométrica com curvatura escalar zero, estável e tal que K ̸= 0 em todo ponto. Se existe uma constante c > 0 tal que −K
≥ c > 0 em todo
H3
ponto então, para
√ toda função suave ψ com suporte compacto em M, para todo δ > 0 e para
2
todo 0 < q < 1+2c
2 , existem constantes Λ1 (q), Λ2 (q) > 0 tais que
0
(
∫
H
M
5+2q
)
∫
5+2q
5+2q
(−K)
5+2q
−
− Λ1 δ 3+2q ψ
dM ≤ Λ2 δ 2
|∇ψ |5+2q dM.
H3
M
(1.8)
Demonstração. Vamos escolher uma orientação de M tal que H > 0 e aplicar a desigualdade
de estabilidade correspondente
∫
(−K) f dM ≤
∫
2
3
M
M
⟨P1 (∇ f ), ∇ f ⟩dM,
(1.9)
para f = H 1+q φ , onde q > 0 e φ é uma função suave com suporte compacto em M. Inicialmente, notemos que
∇ f = ∇(H 1+q φ ) = (1 + q)H q φ ∇H + H 1+q ∇φ .
Isto implica
⟨P1 (∇ f ), ∇ f ⟩ = (1 + q)2 H 2q φ 2 ⟨P1 (∇H), ∇H⟩
+2(1 + q)H 1+2q φ ⟨P1 (∇H), ∇φ ⟩
+H 2+2q ⟨P1 (∇φ ), ∇φ ⟩.
A seguir, vamos estimar o segundo termo do lado direito√da identidade acima. Visto que
H > 0, então P1 é positivo definido e, desta forma, existe P1 . Usando a desigualdade de
x 2 y2
Cauchy-Schwarz seguida da desigualdade xy ≤ + , válida para todo x, y ∈ R, obtemos
2
2
√ √
√
√
H 1+2q φ ⟨P1 (∇H), ∇φ ⟩ = H 2q ⟨ β φ P1 (∇H), (1/ β )H P1 (∇φ )⟩
√ √
√
√
≤ H 2q ∥ β φ P1 (∇H)∥∥(1/ β )H P1 (∇φ )∥
( √ √
)
√
√
2
2
∥
∥(1/
β
φ
P
(∇H)∥
β
)H
P
(∇
φ
)∥
1
1
(1.10)
≤ H 2q
+
2
2
=
β 2q 2
1 2+2q
H φ ⟨P1 (∇H), ∇H⟩ +
H
⟨P1 (∇φ ), ∇φ ⟩
2
2β
20
CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO
para qualquer constante β > 0. Desta forma, a desigualdade de estabilidade (1.9) torna-se
∫
(−K)H
3
φ dM ≤ (1 + q)
2+2q 2
M
∫
2
M
H 2q φ 2 ⟨P1 (∇H), ∇H⟩dM
∫
+2(1 + q)
M
∫
+
M
≤
(
H 1+2q φ ⟨P1 (∇H), ∇φ ⟩dM
H 2+2q ⟨P1 (∇φ ), ∇φ ⟩dM
(1 + q) + (1 + q)β
2
)∫
M
(1.11)
H 2q φ 2 ⟨P1 (∇H), ∇H⟩dM
(
)∫
(1 + q)
+ 1+
H 2+2q ⟨P1 (∇φ ), ∇φ ⟩dM.
β
M
∫
A seguir, vamos estimar
M
H 2q φ 2 ⟨P1 (∇H), ∇H⟩dM. Usando a identidade
L1 ( f g) = div(P1 (∇( f g))) = div( f P1 (∇g)) + gL1 f + ⟨P1 (∇ f ), ∇g⟩,
temos
L1 (H 2+2q φ 2 ) = div(HP1 (∇(H 1+2q φ 2 ))) + H 1+2q φ 2 L1 (H)
+⟨P1 (∇H), ∇(H 1+2q φ 2 )⟩
= div(HP1 (∇(H 1+2q φ 2 ))) + H 1+2q φ 2 L1 (H)
+(1 + 2q)H 2q φ 2 ⟨P1 (∇H), ∇H⟩ + 2H 1+2q φ ⟨P1 (∇H), ∇φ ⟩.
Integrando ambos os lados da identidade acima e usando o teorema da divergência, obtemos
∫
H φ ⟨P1 (∇H), ∇H⟩dM = −
∫
H 1+2q φ 2 L1 (H)dM
2q 2
(1 + 2q)
M
M
−2
∫
M
H 1+2q φ ⟨P1 (∇H), ∇φ ⟩dM.
Usando a desigualdade (1.10), temos
∫
H φ ⟨P1 (∇H), ∇H⟩dM ≤ −
∫
2q 2
(1 + 2q)
M
M
H 1+2q φ 2 L1 (H)dM
+β
+
1
β
∫
M
H 2q φ 2 ⟨P1 (∇H), ∇H⟩
∫
M
H 2+2q ⟨P1 (∇φ ), ∇φ ⟩dM,
21
1.3 RESULTADOS PRINCIPAIS
isto é,
(1 + 2q − β )
∫
H φ ⟨P1 (∇H), ∇H⟩dM ≤ −
∫
2q 2
M
M
+
H 1+2q φ 2 L1 (H)dM
1
β
∫
M
H 2+2q ⟨P1 (∇φ ), ∇φ ⟩dM.
Por outro lado, é conhecido, ver [AdCC93], Lema 3.7, que
−L1 (H) = |∇H|2 − |∇A|2 − 3HK.
Visto que P1 é positivo definido, temos
⟨P1 (∇H), ∇H⟩ ≤ (tr P1 )|∇H|2 = 2H|∇H|2 ,
ou seja,
1
⟨P1 (∇H), ∇H⟩.
2H
Usando a Proposição 1.2.1 e a desigualdade acima, obtemos
|∇H|2 ≥
−L1 (H) ≤ −
2
1
⟨P1 (∇H), ∇H⟩ − 3HK.
|∇H|2 − 3HK ≤ −
2
1 + 2c0
(1 + 2c20 )H
Portanto
(
)∫
∫
1
2q 2
H φ ⟨P1 (∇H), ∇H⟩dM ≤ 3 H 2+2q (−K)φ 2 dM
1+
+ 2q − β
1 + 2c20
M
M
1
+
β
∫
M
H 2+2q φ ⟨P1 (∇φ ), ∇φ ⟩dM.
Substituindo a última desigualdade acima em (1.11), a desigualdade de estabilidade torna-se
∫
(−K)H
3
φ dM ≤ 3C1
∫
2+2q 2
M
+C2
isto é,
3(1 −C1 )
onde
∫
H
M
2+2q
M
(−K)φ dM ≤ C2
H 2+2q ⟨P1 (∇φ ), ∇φ ⟩dM,
∫
2
M
H 2+2q ⟨P1 (∇φ ), ∇φ ⟩dM.
(1 + q)2 + β (1 + q)
(1 + q)
(1 + q)2 + (1 + q)β
(
),
C1 =
, C2 = 1 +
+
1
1
β
1 + 1+2c
+
2q
−
β
2
β 1+
2 + 2q − β
0
0<q<
H 2+2q φ 2 (−K)dM
M∫
√
1+2c0
1
− q2
1+2c20
1
. Essa escolha de β
por hipótese, e β é escolhido tal que 0 < β <
1+2c20
q+2
é necessária para termos C1 < 1. De fato,
22
CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO
1
− q2
1+2c20
β<
q+2
1
1 + 2c20
⇒ q2 + β q + 2β <
⇒ (1 + q)2 + β (1 + q) < 1 +
⇒ C1 =
1
+ 2q − β
1 + 2c20
(1 + q)2 + β (1 + q)
< 1.
1
1 + 1+2c
2 + 2q − β
0
Portanto
∫
C2
3(1 −C1 )
M
Por outro lado, como P1 é positivo definido, temos
H 2+2q (−K)φ 2 dM ≤
∫
M
H 2+2q ⟨P1 (∇φ ), ∇φ ⟩dM.
(1.12)
⟨P1 (∇φ ), ∇φ ⟩ ≤ (tr P1 )|∇H|2 ≤ 2H|∇φ |2 .
2C2
e usando a desigualdade acima, a desigualdade (1.12) torna-se
3(1 −C1 )
Denotando por C3 =
∫
H
M
2+2q
∫
C3
(−K)φ dM ≤
2
≤ C3
M
∫
M
Escolhendo φ = ψ p , onde 2p = 5 + 2q, obtemos
∫
M
H 2+2q ⟨P1 (∇φ ), ∇φ ⟩dM
2
H 2+2q (−K)ψ 5+2q dM ≤ C3 p2
H 3+2q |∇φ |2 dM.
∫
M
H 3+2q ψ 3+2q |∇ψ |2 dM.
Usando a desigualdade de Young
xy ≤
para
x = δ H 3+2q ψ 3+2q , y =
x a yb 1 1
+ , + = 1,
a
b a b
5 + 2q
|∇ψ |2
5 + 2q
, a=
, b=
e δ > 0,
δ
3 + 2q
2
obtemos
H 3+2q ψ 3+2q |∇ψ |2 ≤
5+2q
2
3 + 2q 5+2q
δ 3+2q H 5+2q ψ 5+2q +
δ − 2 |∇ψ |5+2q .
5 + 2q
5 + 2q
Substituindo a última desigualdade acima na desigualdade (1.13),
∫
H
M
2+2q
(−K)ψ
5+2q
5+2q
3 + 2q 2
p C3 δ 3+2q
dM ≤
5 + 2q
+
∫
M
5+2q
2
p2C3 δ − 2
5 + 2q
H 5+2q ψ 5+2q dM
∫
M
|∇ψ |5+2q dM,
(1.13)
23
1.3 RESULTADOS PRINCIPAIS
ou seja,
(
∫
H
5+2q
M
onde Λ1 =
)
∫
5+2q
(−K)
5+2q
− 5+2q
3+2q
2
δ
ψ
dM
≤
Λ
δ
|∇ψ |5+2q dM,
−
Λ
1
2
H3
M
(1.14)
2p2
3 + 2q 2
p C3 e Λ2 =
C3 .
5 + 2q
5 + 2q
Em [SSY75], Schoen, Simon e Yau obtiveram a seguinte desigualdade de Sobolev para
hipersuperfícies mínimas M n imersas em Rn+1 :
∫
|A| ψ dM ≤ C(n, p)
2p
M
∫
2p
M
|∇ψ |2p dM,
(1.15)
√
para p ∈ [2, 2 + 2/n) e para toda função ψ : M → R com suporte compacto em M. Usando a
desigualdade da Proposição 1.3.1, obtemos um resultado análogo para hipersuperfícies M 3 de
R4 com curvatura escalar nula. De fato, se R = 0, então H 2 = |A|2 . A escolha de uma orientação
tal que H > 0 implica H = |A|. Neste caso, temos o
Corolário 1.3.1 (Desigualdade tipo Sobolev). Se x : M 3 → R4 uma imersão com curvatura
(−K)
escalar nula, estável e tal que
≥ c > 0 em todo ponto, então, para toda função suave ψ
H3
)
(
√
5 5
1
com suporte compacto em M, para todo δ > 0 e p ∈ 2 , 2 + 1+2c2 , existe uma constante
0
C(p) > 0 tal que
∫
|A| ψ dM ≤ C(p)
2p
M
∫
2p
M
|∇ψ |2p dM.
(1.16)
Observação 1.3.1. Em um artigo recente, [INS12], Ilias, Nelli e Soret obtiveram resultados
similares para hipersuperfícies de curvatura média constante.
A seguir, vamos demonstrar o Teorema A da Introdução deste capítulo.
Teorema A. Não existem hipersuperfícies M 3 de R4 com curvatura escalar zero, completas,
estáveis, com crescimento de volume polinomial e tais que
(−K)
≥c>0
H3
em todo ponto para alguma constante c > 0.
Demonstração. Suponha por absurdo que existe uma hipersuperfície completa e estável satisfazendo as condições do Teorema A. Logo, podemos aplicar a Proposição 1.3.1. Escolhamos a
função de suporte compacto ψ : M → R definda por
1
se p ∈ Br ;
2r − ρ (p)
ψ (ρ (p)) =
(1.17)
se p ∈ B2r \Br ;
r
0
se p ∈ M\B2r ,
24
CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO
onde ρ (p) = ρ (p, p0 ) é a função distância de M. Usando esta função ψ na desigualdade da
Proposição 1.3.1, temos
(
)
)
(
∫
∫
5+2q
5+2q
(−K)
5+2q (−K)
5+2q
H
− Λ1 δ 3+2q dM ≤
H
− Λ1 δ 3+2q ψ 5+2q dM
3
3
H
H
Br
B2r
≤ Λ2 δ
− 5+2q
2
B2r
5+2q
≤ Λ2 δ − 2
para 0 < q <
√
∫
|∇ψ |5+2q dM
(1.18)
vol B2r
,
r5+2q
1
. Escolhendo δ > 0 suficientemente pequeno e visto que, por hipótese,
1+2c20
(−K)
≥ c > 0, obtemos
H3
(
5+2q
(−K)
3+2q
δ
−
Λ
1
H3
)
> 0.
Por hipótese, M tem crescimento de volume polinomial. Isto implica
vol(Br )
< ∞, α ∈ (0, 4].
r→∞
rα
lim
Fazendo r → ∞ na desigualdade (1.18), obtemos
)
(
∫
5+2q
vol(B2r )
1
5+2q (−K)
3+2q
lim
− Λ1 δ
dM ≤ Λ2 lim
· lim 5+2q−α = 0
H
3
α
r→∞ r
r→∞ Br
r→∞
H
r
e, portanto H ≡ 0. Esta contradição finaliza a prova do teorema.
Observação 1.3.2. Na demonstração do Teorema A, M não precisa ser propriamente imersa,
visto que estamos considerando bolas intrínsicas (geodésicas). Visto que M é completa, temos
∪
M= ∞
n=1 Brn para alguma sequência rn → ∞, e logo podemos considerar r → ∞ na estimativa.
Schoen, Simon e Yau usaram a sua desigualdade tipo Sobolev (1.15) para dar uma nova
demonstração do teorema de Bernstein, a saber, que os únicos gráficos inteiros mínimos M n
em Rn+1 , n ≤ 5, são os hiperplanos. Usando nossa versão da desigualdade de Sobolev (1.16),
demonstramos o seguinte teorema tipo Bernstein:
Teorema B. Não existem gráficos inteiros M 3 de R4 com curvatura escalar zero e tais que
(−K)
≥c>0
H3
em todo ponto para alguma constante c > 0.
Demonstração. Suponhamos que existe um gráfico inteiro M satisfazendo as condições do
Teorema B. Em [ASZ10], na Proposição 4.1, p. 3308, Alencar, Santos e Zhou mostraram
que gráficos inteiros com curvatura escalar nula e cuja curvatura média não muda de sinal
são estáveis. A hipótese R = 0 implica H 2 = |A|2 . Como K ̸= 0 em todo ponto, temos que
1.4 EXEMPLOS
25
H 2 = |A|2 > 0 e isto implica que H não muda de sinal. Logo, o gráfico inteiro M é estável. Por
outro lado, gráficos satisfazem vol(Br ) ≤ Cr4 , para alguma constante C > 0. De fato, como M
é um gráfico, se Ωr := {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 ; x12 + x22 + x32 + x42 ≤ r2 e − r ≤ x4 ≤ r}, então
vol(Br ) ≤
∫
Ωr
1dx1 dx2 dx3 dx4 = Cr4 .
−K
Portanto, usando a hipótese 3 ≥ c > 0, a desigualdade (1.18) na prova do Teorema A, p.24,
H
e fazendo r → ∞, obtemos a mesma contradição.
1.4 Exemplos
A classe de hipersuperfícies tratadas aqui não é vazia, como veremos no exemplo a seguir, ver
[HL99a], Lema 2.1, p. 400, [AdCE03], p. 213 − 214 e [dCE04], p. 161.
Exemplo 1.4.1. Seja M 3 ⊂ R4 a hipersuperfície de rotação parametrizada por
X(t, θ , φ ) = ( f (t) sen θ cos φ , f (t) sen θ sen φ , f (t) cos θ ,t),
onde f (t) =
t2
+ m e m é uma constante não negativa. As curvaturas principais são
4m
m1/2
1 m1/2
λ1 = λ2 = 3/2 e λ3 = − 3/2 .
2 f
f
4
−K
em todo ponto. Visto que M 3 é uma hipersuperfície de
Isto implica que R = 0 e 3 =
H
27
rotação e a curva geratriz é quadrática, a hipersuperfície tem crescimento de volume polinomial.
Portanto, o Teorema A implica que a imersão é instável.
Este exemplo aparece em Teoria da Relatividade como um mergulho da variedade de
Schwarzchild tipo espaço e de massa m/2 > 0, ver por exemplo a introdução de [Bra01] para
mais detalhes.
A classe de hipersuperfícies a seguir é bem conhecida, ver [AdCE03], p. 214, e são exemplos clássicos de hipersuperfíces estáveis com curvatura escalar nula. Esta classe nos mostra
que a condição sobre a nulidade da curvatura de Gauss-Kronecker é necessária.
Exemplo 1.4.2. Seja M 3 ⊂ R4 o cilindro parametrizado por
x(u, v,t) = (u, v, α (t), β (t)), u, v,t ∈ R,
onde c(t) = (α (t), β (t)) é um curva parametrizada com curvatura k(t) positiva em todo ponto.
Neste caso, as curvaturas principais são
λ1 = 0, λ2 = 0 e λ3 = k(t).
Logo R = 0, H > 0 e K = 0 em todo ponto. Portanto, M 3 é estável, ver [AdCE03]. Observe
que se c(t) = (t, f (t)), o cilindro M é o gráfico de uma função √
suave F : R3 → R dada por
2
F(u, v,t) = f (t). Em particular, escolhendo f (t) = t ou f (t) = 1 + t 2 , obtemos um gráfico
inteiro com R = 0, H > 0 e K = 0 em todo ponto.
26
CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO
1.5
Tubos não mergulhados
Seja x : M 3 → R4 uma imersão isométrica. Seguindo Nelli e Soret, ver [NS07], definimos o
tubo de raio h em torno de M por
T (M, h) = {x ∈ R4 ; ∃ p ∈ M, x = p + t η , t ≤ h(p)},
onde η é o campo de vetores normais à segunda forma fundamental de x e h : M → R é uma
função positiva em todo ponto. Se |A| ̸= 0 em todo ponto, definimos o tubo subfocal por
(
)
ε
T M,
, 0 < ε ≤ 1.
|A|
Denotemos por T (r, h) o tubo de raio h em torno de Br ⊂ M, isto é, considerando M = Br na
definição acima e seja
∫
V (r, h) =
dT,
T (r,h)
onde dT denota o elemento de volume do tubo. Se R = 0 e escolhermos uma orientação para
M tal que H > 0, então H = |A|. Sob as condições da Proposição 1.3.1, p.19, e assumindo que
(−K)
≥ c > 0, o Corolário 1.3.1, p. 23, afirma que existe uma constante C(q) dependendo
H3
√
1
apenas de 0 < q < 1+2c
2 , tal que
0
∫
Br
|A|5+2q ψ 5+2q dM ≤ C(q)
∫
Br
|∇ψ |5+2q dM.
(1.19)
Escolhendo a mesma função com suporte compacto usada na demonstração do Teorema A (ver
(1.17), p. 23), obtemos
∫
vol(B2r )
|A|5+2q dM ≤ C(q) 5+2q .
r
Br
O lema a seguir é essencialmente o mesmo Lema 1 de [NS07], p. 496, e omitiremos sua
demonstração aqui.
Lema 1.5.1. Seja M 3 uma hipersuperfície de R4 com curvatura escalar nula, completa, estável
(−K)
e tal que
≥ c > 0 em todo ponto.
H3
(a) Para r >√
0 suficientemente grande, existe uma constante α (q), dependendo apenas de
1
0 < q < 1+2c
2 tal que
0
vol(Br ) > α (q)r5+2q .
(b) Para cada β > 1, 0 < q <
√
(1.20)
1
e r > 0 satisfazendo a desigualdade (1.20) acima,
1+2c20
existe r̃ > r suficientemente grande tal que
vol(Br̃ ) − vol(Bβ −1 r̃ ) > α (q)r5+q .
27
1.5 TUBOS NÃO MERGULHADOS
O próximo resultado é uma versão para curvatura escalar nula do Teorema 1, p. 499 de
[NS07].
Teorema C. Seja M 3 uma hipersuperfície completa e estável de R4 , com curvatura escalar
nula. Se a segunda forma fundamental da imersão é limitada e existe uma constante c > 0 tal
(−K)
que
≥ c > 0 em todo ponto, então, para quaisquer constantes 0 < b1 ≤ 1, b2 > 0 e para
H3
qualquer função suave h : M → R satisfazendo
{
}
b1
δ
h(p) ≥ inf
, b2 ρ (p) , δ > 0,
(1.21)
|A(p)|
o tubo T (M, h) não é mergulhado. Aqui ρ (p) denota a distância intrínsica em M de p a um
ponto fixo p0 ∈ M.
Demonstração. Em [NS07], Nelli e Soret mostraram que
∫
∫
∫
1
1
V (r, h) =
h(p)dM −
h(p)2 H(p)dM −
h(p)4 K(p)dM.
2 Br
4 Br
Br
Usando a desigualdade clássica entre as médias geométrica e quadrática, obtemos
K = λ1 λ2 λ3 ≤ |λ1 ||λ2 ||λ3 |
(
≤
=
λ12 + λ22 + λ32
3
)3/2
1
√ |A|3 ,
3 3
isto é,
1
K(p) ≤ √ |A(p)|3 .
(1.22)
3 3
b1
+
Seja B+
é o ínfimo em (1.21) e B−
r o subconjunto de Br tal que
r = Br \Br . Temos
|A(p)|
∫
b2
1
dM − 1
V (r, h) ≥ b1 +
2
Br |A|
∫
∫
b2
+b2 − ρ dM − 2
2
Br
δ
b41
1
HdM
−
2
4
B+
r |A|
∫
∫
b42
ρ
HdM
−
4
B−
r
2δ
1
KdM
4
B+
r |A|
∫
B−
r
ρ 4δ KdM.
Visto que H = |A|, temos
(
)∫
b41
b21
1
dM
V (r, h) ≥
b1 − − √
2 12 3 B+r |A|
∫
+b2
ρ δ dM −
−
Br
b22
2
∫
ρ 2δ HdM −
−
Br
b42
4
∫
B−
r
ρ 4δ KdM.
28
CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO
Vamos estimar as integrais sobre B−
r . Usando a desigualdade (1.22) acima, obtemos
1
b1 1 −3δ
√ ρ
−K ≥ − √ |A|3 ≥ −
b2 3 3
3 3
e
−H = −|A| ≥
b1 −δ
ρ .
b2
1
. Logo
M |A|
Visto que |A| é limitado por hipótese, existe a := inf
)∫
)∫
(
(
b32 b1
b41
b21
1
b2 b1
V (r, h) ≥
dM + b2 −
− √
ρ δ dM
b1 − − √
2 12 3 B+r |A|
2
12 3 B−r
(
)
(
)∫
b32 b1
b21
b41
b2 b1
+
≥ a b1 − − √ vol(Br ) + b2 −
− √
ρ δ dM.
2 12 3
2
12 3 B−r
Por outro lado, para r suficientemente grande,
∫
ρ δ dM =
−
Br
∫
−
B−
r \B −1
β r
ρ δ dM +
∫
B−−1
β r
ρ δ dM ≥
∫
−
B−
r \B −1
β r
ρ δ dM
( )δ
r
−
≥
[vol(B−
r ) − vol(Bβ −1 r )]
β
−
≥ [vol(B−
r ) − vol(Bβ −1 r )].
Logo,
(
)(
)
b21
b41
+
+
V (r, h) ≥ a b1 − − √
vol(B+
)
−
vol(B
)
+
vol(B
)
r
β −1 r
β −1 r
2 12 3
)
(
)
b32 b1 (
b22 b1
−
)
)
−
vol(B
+ b2 −
− √
vol(B−
r
β −1 r
2
12 3
≥ C[vol(Br ) − vol(Bβ −1 r )].
Usando o Lema 1.5.1, item (b), existe r̃ > r tal que
V (r̃, h) ≥ Cr̃5+q .
Visto que a distância Euclidiana é menor ou igual à distância intrínsica, temos
Br (p) ⊂ B(p, r),
(1.23)
1.5 TUBOS NÃO MERGULHADOS
29
onde Br (p) ≡ Br e B(p, r) denotam as bolas intrínsica e Euclidiana de centro p e raio r, respectivamente. Usando (1.21), temos
{
}
{
}
b1
b1
b1
δ
δ
, b2 ρ (q) ≥ min inf , b2 ρ (q) = inf
= b1 a.
h(q) ≥ min
M |A|
M |A|
|A|
Logo, para 0 < b1 ≤ 1 e ρ suficientemente grande, temos
T (r, b1 a) ⊂ T (r, h).
Suponha, por contradição, que T (r, b1 a) é mergulhado. Visto que
T (r, b1 a) ⊂ B(p, r + 2b1 a),
então seu volume V (r, b1 a) satisfaz
V (r, b1 a) ≤ vol(B(p, r + 2b1 a)) = ω4 (r + 2b1 a)4 ,
onde ω4 é o volume de B(p, 1). Vamos considerar dois casos diferentes. Primeiro, se M não
está contida em nenhuma bola, a desigualdade acima é uma contradição com (1.23) para r
suficientemente grande. Portanto T (r, b1 a) e, desta forma, T (r, h) não é mergulhado para r
suficientemente grande. No segundo caso, se M está contida em alguma bola, então T (M, h)
tem volume finito (visto que T (M, h) é mergulhada) e isto também contradiz (1.23).
C APÍTULO 2
Fórmula de monotonicidade e desigualdade de
Poincaré
Neste capítulo provamos uma desigualdade do valor médio e uma fórmula de monotonicidade
envolvendo as curvaturas média e escalar de uma hipersuperfície propriamente imersa em uma
variedade Riemanniana com curvatura seccional limitada superiormente por uma constante.
Como consequência das técnicas usadas na demonstração dos resultados acima, provamos uma
desigualdade de Poincaré envolvendo as curvaturas média e escalar de hipersuperfícies imersas
em uma variedade Riemanniana com curvatura seccional limitada superiormente por uma constante. Aplicamos essa desigualdade para obter uma desigualdade isoperimétrica envolvendo a
integral da curvatura média, além de um resultado sobre hipersuperfícies estáveis de curvatura
escalar zero no espaço Euclidiano.
2.1
Introdução
A desigualdade clássica de Poincaré estabelece que para qualquer função suave e não negativa
f : Ω ⊂ Rm → R, onde Ω é um subconjunto limitado, conexo e aberto de Rm , com fronteira de
classe C 1 e para todo 1 ≤ q < ∞, existe uma constante C = C(m, q, Ω) dependendo apenas de
m, q e Ω, tal que
∫
f dx ≤ C
∫
q
Ω
Ω
|∇ f |q dx,
onde dx denota a medida de Lebesgue de Rm . Em particular, se Ω = Br (x0 ), onde Br (x0 ) denota
a bola aberta de Rm , existe uma constante C = C(m, q) dependendo apenas de m e q tal que
∫
Br (x0 )
f q dx ≤ Cr
∫
Br (x0 )
|∇ f |q dx,
ver por exemplo [Eva10], p. 289-290. Desigualdades do tipo Poincaré são um tópico fértil de
pesquisa para funções definidas no espaço Euclidiano, assim como para variedades Riemannianas mais gerais. Podemos citar, por exemplo, [AD04], [FG13], [LW08], [Sim83] e suas
referências.
Neste capítulo estabelecemos uma nova desigualdade de Poincaré envolvendo funções simétricas dos autovalores da segunda forma fundamental de uma hipersuperfície imersa em
uma variedade Riemanniana com curvatura seccional limitada superiormente por uma constante. Estas funções simétricas podem ser interpretadas como múltiplos da curvatura média
e da curvatura escalar, em um contexto que detalharemos em breve. Antes de estabelecer os
principais resultados deste capítulo, vamos fixar algumas definições e notações.
Seja M m , m ≥ 3, uma hipersuperfície, possivelmente com bordo, de uma variedade Riem+1
. Se denotarmos por A : T M → T M o operador linear associado à segunda
manniana M
30
2.1 INTRODUÇÃO
31
forma fundamental da imersão, então a curvatura média da imersão é definida por
H=
1
trM A.
m
É conhecido que A é um operador linear auto-adjunto e seus autovalores k1 , k2 , . . . , km são chamados de curvaturas principais da imersão. Definimos a primeira e a segunda funções simétricas associadas aos autovalores de A, respectivamente, por
m
m
i=1
i< j
S1 = ∑ ki e S2 = ∑ ki k j .
(2.1)
Estas funções tem significado geométrico natural. De fato, S1 = mH e, usando a equação de
Gauss, se M tem curvatura seccional constante κ , então 2S2 = m(m − 1)(R − κ ), onde R denota
a curvatura escalar de M.
Seja i(M) o raio de injetividade de M. Denotando por KM = KM (x, Πx ) a curvatura seccional
de M em x ∈ M relativa ao subespaço bidimensional Πx ⊂ Tx M, definimos
κ0 (x) =
inf KM (x, Πx ).
Πx ⊂Tx M
Um domínio Ω ⊂ M é chamado um domínio regular se Ω tem fecho compacto Ω e fronteira
suave por partes. Neste capítulo vamos considerar domínios regulares Ω tais que Ω ∩ ∂ M = 0.
/
Sejam ρ a função distância de M e
diam Ω = sup{ρ (x, y); x, y ∈ Ω}
o diâmetro extrínseco de Ω. Definimos
(√
)
m+1
5
√
arcsen
κ × 2 m−1 (diam Ω) se κ > 0;
2 κ
r0 =
2
5 × 2 m−1 (diam Ω)
se κ ≤ 0,
onde assumimos
(2.2)
√
m+1
κ × 2 m−1 (diam Ω) ≤ 1,
se κ > 0.
O primeiro resultado deste capítulo é uma desigualdade do tipo Poincaré envolvendo as
funções simétricas S1 e S2 .
m+1
Teorema 2.1.1 (Desigualdade tipo Poincaré). Seja M
, m ≥ 3, uma variedade Riemanniana
(m + 1)-dimensional de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante κ ∈ R.
m+1
Seja M m uma hipersuperfície de M
, possivelmente com bordo, tal que S1 ̸= 0 e S2 ≥ 0.
Assuma uma orientação de M tal que S1 > 0. Sejam Ω ⊂ M um domínio regular tal que Ω ∩
∂ M = 0/ e f : M → R uma função não negativa, de classe C 1 e com suporte compacto contido
em Ω. Se 2r0 < i(M), então
) ]
(
∫
∫ [
m(κ − κ0 )
+ S2 f dM,
f S1 dM ≤ Λ(m)(diam Ω)
|∇ f |S1 +
4
Ω
Ω
32
CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ
{
onde
Λ(m) =
m−3
m+1
π × 5 2 × 2 m−1 , se κ > 0;
2m
m−3
2 m−1 × 5 2 ,
se κ ≤ 0.
Observação 2.1.1. Visto que ki k j = (−ki )(−k j ), o sinal de S2 não depende da escolha de
orientação de M. Logo, se S1 ̸= 0 e S2 ≥ 0, podemos escolher uma orientação de M tal que
S1 > 0 e S2 ≥ 0.
Observação 2.1.2. Uma pergunta interessante é sobre a otimização da constante Λ(m). As
técnicas usadas aqui não nos permitem responder a essa questão. Em 2003, Acosta e Durán,
ver [AD04], obtiveram uma desigualdade ótima para domínios
convexos em Rm , a saber: Se
∫
m
1,1
Ω ⊂ R é um subconjunto convexo e f ∈ W (Ω) satisfaz Ω f dM = 0, então
∫
∫
1
| f |dx ≤ (diam Ω) |∇ f |dx.
2
Ω
Ω
Além disso, a constante 1/2 é ótima.
Observação 2.1.3. Se κ ≤ 0 e M é uma variedade Riemanniana completa e simplesmente
conexa, então i(M) = ∞ e a condição 2r0 ≤ i(M) do Teorema 2.1.1 é automaticamente satisfeita.
Por outro lado, se κ > 0, então r0 ≤ 2√π κ por definição de r0 , ver (2.2) acima. Em particular,
se M é a esfera Euclidiana (m + 1)−dimensional de curvatura constante κ , então i(M) = √πκ e a
condição 2r0 ≤ i(M) é automaticamente satisfeita. Mais geralmente, se as curvaturas seccionais
de M estão entre 14 κ e κ , então i(M) ≥ √πκ , ver por exemplo [dC92], p.276. Logo, também neste
caso, a condição 2r0 ≤ i(M) é automaticamente satisfeita.
Seja
m+1
(κ ) se κ > 0;
S
m+1
m+1
M
(κ ) =
R
se κ = 0;
m+1
H
(κ ) se κ < 0,
onde Sm+1 (κ ) denota a esfera Euclidiana (m + 1)−dimensional de curvatura seccional constante κ > 0, Rm+1 é o espaço Euclidiano (m + 1)−dimensional e Hm+1 (κ ) denota o espaço
hiperbólico (m + 1)−dimensional de curvatura seccional constante κ < 0.
Se KM (v, w) denota a curvatura seccional de M no subespaço bidimensional gerado pelos
vetores v ∈ T M e w ∈ T M, lembramos que a curvatura escalar R de M é dada por
R=
m
1
∑ KM (ei, e j )
m(m − 1) i<
j
para qualquer referencial ortonormal {e1 , e2 , . . . , em } definido em M.
m+1
Corolário 2.1.1. Seja M m , m ≥ 3, uma hipersuperfície de M
(κ ), possivelmente com fronteira, com curvatura média H ̸= 0 e curvatura escalar R ≥ κ . Assuma uma orientação de M tal
/ Se κ > 0, assuma ainda que
que H > 0. Seja Ω ⊂ M um domínio regular tal que Ω ∩ ∂ M = 0.
√
m+1
κ × 2 m−1 (diam Ω) ≤ 1.
33
2.1 INTRODUÇÃO
Se f : M → R é uma função não negativa, de classe C 1 e com suporte compacto contido em Ω,
então
]
∫
∫ [
(m − 1)
f HdM ≤ Λ(m)(diam Ω)
|∇ f |H +
(R − κ ) f dM.
2
Ω
Ω
Definimos
A1 (Ω) =
∫
Ω
S1 dM,
(2.3)
a 1−area de um domínio regular Ω ⊂ M. Como aplicação do Teorema 2.1.1, obtemos
m+1
Teorema 2.1.2 (Desigualdade Isoperimétrica). Seja M
, m ≥ 3, uma variedade Riemanniana
(m + 1)−dimensional de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante κ ∈ R.
m+1
Seja M m uma hipersuperfície de M
, possivelmente com fronteira, tal que S1 ̸= 0 e S2 ≥ 0.
Assuma uma orientação de M tal que S1 > 0. Seja Ω ⊂ M um domínio regular tal que 2r0 <
i(M). Então
[
)
]
∫ (
m(κ − κ0 )
A1 (Ω) ≤ Λ(m)(diam Ω) A1 (∂ Ω) +
+ S2 dM .
(2.4)
4
Ω
Como casos particulares do Teorema 2.1.2, temos
Corolário 2.1.2. Assuma as hipóteses do Teorema 2.1.2.
(i) Se M
m+1
=M
m+1
(κ ), então
[
m−1
A1 (Ω) ≤ Λ(m)(diam Ω) A1 (∂ Ω) +
2
∫
Ω
]
(R − κ )dM .
Em particular, se R = κ , então
A1 (Ω) ≤ Λ(m)(diam Ω)A1 (∂ Ω).
(ii) Se M é compacta e sem fronteira, então
A1 (M) ≤ Λ(m)(diam M)
[∫ (
M
)
]
m(κ − κ0 )
+ S2 dM ,
4
onde diam M denota o diâmetro extrínsico de M.
m+1
m+1
(κ ), então
)
(
Λ(m)−1
min H
.
diam M ≥
(m − 1) max R − κ
(iii) Se M é compacta, sem fronteira e M
=M
A última aplicação da desigualdade de Poincaré que apresentaremos neste capítulo refere-se
à estabilidade de hipersuperfícies com curvatura escalar zero em Rm+1 , no sentido que introduzimos a seguir.
34
CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ
Seja M m , m ≥ 3, uma hipersuperfície de Rm+1 e Ω ⊂ M um domínio regular. Uma variação
de Ω com suporte compacto é uma aplicação diferenciável F : (−ε , ε ) × Ω → Rm+1 , ε > 0,
tal que, para cada t ∈ (−ε , ε ), a aplicação Ft : Ω → Rm+1 , definida por Ft (p) = F(t, p) é uma
imersão, F0 é a imersão original restrita a Ω e Ft |∂ Ω = F0 |∂ Ω . É conhecido que hipersuperfícies
de Rm+1 com curvatura escalar constante são pontos críticos do funcional
A1 (t) =
∫
Ω
S1 (t)dMt
para todas as variações com suporte compacto em Ω. Mais detalhes a respeito desta discussão
podem ser encontrados em [Rei73], [AdCC93], [Ros93] e [BC97].
Seguindo Alencar, do Carmo e Elbert, ver [AdCE03], iremos definir o conceito de estabilidade para imersões com curvatura escalar nula.
Se S1 ̸= 0 em todo ponto, podemos escolher uma orientação de M tal que S1 > 0 em todo
ponto ou S1 < 0 em todo ponto. Ao contrário do caso de hipersuperfícies mínimas, o sinal do
funcional A1 depende da escolha da orientação de M m . Se escolhermos uma orientação tal que
d 2 A1
S1 > 0 em todo ponto, então a imersão será estável se
> 0 para todas as variações
dt 2 t=0
com suporte compacto. Caso contrário, isto é, se escolhermos uma orientação tal que S1 < 0,
d 2 A1
então a imersão será estável se
< 0.
dt 2 t=0
Modificando convenientemente a prova do Teorema 2.1.1, obtemos uma desigualdade de
Poincaré modificada, ver Proposição 2.5.1, p. 58, a qual usamos para demonstrar o resultado a
seguir. Seja
m
S3 = ∑ ki k j kl
i< j<l
a terceira função simétrica dos autovalores da segunda forma fundamental da imersão.
Teorema 2.1.3. Seja M m , m ≥ 3, uma hipersuperfície de Rm+1 com curvatura escalar zero.
Além disso, vamos assumir que S1 ̸= 0 e escolher uma orientação tal que S1 > 0. Seja Ω ⊂ M
um domínio regular. Se
)
(
Λ(m)−1
−3S3
sup
≤
,
S1
2(diam Ω)2
Ω
onde
2m
m−3
Λ(m) = 2 m−1 × 5 2 ,
então Ω é estável.
Sejam
RicM (V ,W ) = trM (E → R(V , E)W ), E,V ,W ∈ T M,
o tensor de Ricci de M, onde R é o tensor curvatura de M, P1 : T M → T M definida por
P1 = S1 I − A,
a primeira transformação de Newton, onde I : T M → T M é a aplicação identidade, e Br = Br (p)
a bola geodésica de M de centro p e raio r.
35
2.1 INTRODUÇÃO
O resultado a seguir será importante na demonstração da desigualdade de Poincaré, além
de ser de interesse independente.
Teorema 2.1.4 (Desigualdade do Valor Médio). Seja M m , m ≥ 3, uma hipersuperfície própria
m+1
de uma variedade Riemanniana M
de curvatura seccional limitada superiormente por uma
constante κ ∈ R. Suponhamos que S1 ̸= 0, S2 ≥ 0 e escolhamos uma orientação para M tal
que S1 > 0. Sejam ρ = ρ (p, ·) a função distância de M e f : M → R uma função não negativa,
localmente integrável e de classe C 1 . Se 0 < σ < t < i(M), então
(i) para κ > 0 e κ t 2 < π 2 ,
∫
∫
1
1
f S1 dM −
f S1 dM
√ m−1
√
m−1
(sen κ t) 2 M∩Bt
(sen κσ ) 2 M∩Bσ
∫
√
m−1
1 t −1
≥
r (sen κ r)− 2 ×
2 σ∫
]
⟩
[⟨
ρ ∇ρ , P1 (∇ f ) + 2S2 f η + f RicM (ρ ∇ρ , η ) dMdr;
×
M∩Br
(ii) para κ ≤ 0,
1
m−1
t 2
∫
M∩Bt
1
≥
2
f S1 dM −
∫ t
σ
r
− m+1
2
∫
1
m−1
σ 2
∫
M∩Br
M∩Bσ
f S1 dM
[⟨
⟩
]
ρ ∇ρ , P1 (∇ f ) + 2S2 f η + f RicM (ρ ∇ρ , η ) dMdr.
Como consequência da desigualdade do valor médio, obtemos uma fórmula de monotonicidade que enunciamos a seguir. Fórmulas de monotonicidade aparecem em muitos ramos da
Análise e da Geometria Riemanniana, no estudo para determinar o comportamento variacional
de grandezas geométricas ver, por exemplo, [BdLS04], [Col12], [CM14], [Eck01], [Eck05],
[Grü88], [Li07], [Sim83] e [Urb03] para mais detalhes.
Teorema 2.1.5 (Monotonicidade). Seja M m , m ≥ 3, uma hipersuperfície própria de uma vam+1
riedade Riemanniana M
de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante
κ ∈ R. Suponhamos que S1 ̸= 0, S2 ≥ 0 e escolhamos uma orientação tal que S1 > 0. Se existem
0 < α ≤ 1, Γ ≥ 0 e 0 < R0 < i(M) tais que
(
)
( )α −1
∫
m(κ − κ0 )
r
−1
α
+ S2 dM ≤ Γ
A1 (M ∩ Br ),
(2.5)
4
R0
M∩Br
para todo r ∈ (0, R0 ), então
(i) para κ > 0 e κ R20 ≤ π 2 , a função h : (0, R0 ) → R definida por
α α
h(r) = exp(ΓR1−
r )
0
é monótona não decrescente;
A1 (M ∩ Br )
√
m−1
(sen κ r) 2
36
CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ
(ii) para κ ≤ 0, a função h : (0, R0 ) → R definida por
α α
r )
h(r) = exp(ΓR1−
0
A1 (M ∩ Br )
m−1
r 2
é monótona não decrescente.
Observação 2.1.4. Existem resultados anteriores envolvendo fórmulas de monotonicidade e
funções simétricas, ver por exemplo, [BdLS04], [Fre96] e [Urb03].
Como caso particular da fórmula de monotonicidade acima, temos
m+1
Corolário 2.1.3 (Monotonicidade). Seja M
(κ ) uma variedade Riemanniana (m+1)−dimensional
m+1
m
de curvatura seccional constante κ . Seja M , m ≥ 3 uma hipersuperfície própria de M
(κ )
tal que S2 = 0 e S1 ̸= 0. Assuma uma orientação de M tal que S1 > 0.
(i) Se κ > 0 e κ r2 ≤ π 2 , então a função g : (0, √πκ ) → R definida por
g(r) =
A1 (M ∩ Br )
√
m−1
(sen κ r) 2
é monótona não decrescente;
(ii) Se κ ≤ 0, então a função g : R → R definida por
g(r) =
A1 (M ∩ Br )
m−1
r 2
é monótona não decrescente.
Seguindo as ideias de Simon, [Sim83], p. 84-85, queremos analisar a importante questão
sobre o que acontece ao assumirmos limitações L p para S2 . A segunda aplicação da desigualdade do valor médio é o teorema a seguir.
Teorema 2.1.6. Seja M m , m ≥ 3, uma hipersuperfície própria de uma variedade Riemanniana
m+1
M
de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante κ ≤ 0. Suponhamos
que S1 ≥ c para alguma constante c > 0 e que S2 ≥ 0. Se existem 0 < R0 < i(M), Γ > 0 e p > 1
tais que
[∫
]1/p
(
)p
m(κ − κ0 )
+ S2 dM
≤ Γ,
(2.6)
4
M∩BR0
então
(
A1 (M ∩ Bσ )
m−1
σ 2
)1/p
(
≤
A1 (M ∩ Bt )
para quaisquer 0 < σ < t < R0 .
m−1
t 2
)1/p
( m−1
)
2Γ
1− m−1
1− 2p
2p
+ 1−1/p
t
−σ
c
(m − 1 + 2p)
2.2 RESULTADOS PRELIMINARES
37
2.2 Resultados preliminares
m+1
Seja M m , m ≥ 3, uma hipersuperfície m−dimensional de uma variedade Riemanniana M
.
Denotemos por ∇ e ∇ as conexões de M e M, respectivamente. Seja X : M → T M um campo
de vetores que decompomos da forma X = X T + X N , onde X T ∈ T M e X N ∈ T M ⊥ . Sejam
Y, Z ∈ T M e denotemos por ⟨·, ·⟩ a métrica de M. Temos que
⟨∇Y X, Z⟩ = ⟨∇Y X T + ∇Y X N , Z⟩
= ⟨∇Y X T , Z⟩ + ⟨∇Y X N , Z⟩
= ⟨∇Y X T , Z⟩ − ⟨X N , ∇Y Z⟩
= ⟨∇Y X T , Z⟩ − ⟨X N , ∇Y Z − ∇Y Z⟩
= ⟨∇Y X T , Z⟩ − ⟨X N , B(Y, Z)⟩,
onde B(Y, Z) = ∇Y Z − ∇Y Z denota a segunda forma fundamental da imersão. Se η denota o
campo de vetores normal e unitário à imersão, então X N = ⟨X, η ⟩η . Isto implica
⟨∇Y X, Z⟩ = ⟨∇Y X T , Z⟩ − ⟨X, η ⟩⟨η , B(Y, Z)⟩
= ⟨∇Y X T , Z⟩ − ⟨X, η ⟩⟨A(Y ), Z⟩,
(2.7)
onde A : T M → T M é o operador linear associado à segunda forma fundamental, definido por
⟨A(V ),W ⟩ = ⟨η , B(V,W )⟩, V,W ∈ T M.
Definição 2.2.1. A primeira transformação de Newton P1 : T M → T M é definida por
P1 = S1 I − A,
onde S1 = trM A e I : T M → T M é a aplicação identidade.
Observação 2.2.1. Visto que A é auto-adjunto, temos que P1 também é um operador linear
auto-adjunto. Denotemos por k1 , k2 , . . . , km os de A, também conhecidos como curvaturas principais da imersão. Visto que P1 é um operador linear auto-adjunto, podemos considerar seus
autovalores θ1 , θ2 , . . . , θm dados por θi = S1 − ki , i = 1, 2, . . . , m.
Observação 2.2.2. Se S1 > 0 e S2 ≥ 0, então P1 é semipositivo definido. Este fato é conhecido
e pode ser encontrado em [AdCS02], observação 2.1, p.552. De fato, se S2 ≥ 0, então S12 =
|A|2 + 2S2 ≥ ki2 , para quaisquer i = 1, 2, . . . , m. Logo 0 ≤ S12 − ki2 = (S1 − ki )(S1 + ki ) e isto
implica que todos os autovalores de P1 são não negativos, visto que S1 ≥ 0. Portanto, P1 é
semipositivo definido.
Definição 2.2.2. Sejam X : M → T M um campo de vetores. O gradiente ∇ X : T M → T M de
X é definido por
∇ X(V ) = ∇V X.
A divergência de X em M é definida por
divM (X) = trM (∇ X).
38
CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ
Se {e1 , e2 , . . . , em } é um referencial ortonormal adaptado, tangente a M, então
m
divM (X) = ∑ ⟨∇ei X, ei ⟩.
i=1
O tensor de Ricci de M é definido por
RicM (V ,W ) = trM (E → R(V , E)W ),
onde E,V ,W ∈ T M e R denota o tensor de curvatura de M.
O lema a seguir é conhecido e incluímos uma prova aqui por razões de completeza.
Lema 2.2.1. Se (div P1 )(V ) = trM (E 7→ (∇E P1 )(V )), onde (∇E P1 )(V ) = ∇E (P1 (V ))−P1 (∇E V ),
então
(div P1 )(V ) = RicM (V, η )
para todo V ∈ T M, onde η denota o campo de vetores unitários normais à imersão. Em partim+1
cular, se M
tem curvatura seccional constante κ , então div P1 = 0.
Demonstração. Seja {e1 , e2 , . . . , em } um referencial geodésico tangente a p ∈ M. Usando a
equação de Codazzi
⟨(∇V A)(Y ), Z⟩ − ⟨(∇Y A)(V ), Z⟩ = ⟨R(Y,V )Z, η ⟩
para Y = Z = ei e somando sobre i de 1 a m, temos
m
∑ ⟨(∇V A)(ei), ei⟩ − ⟨(∇ei A)(V ), ei⟩ = ⟨R(ei,V )ei, η ⟩,
i=1
isto é,
m
∑ ⟨(∇V A)(ei), ei⟩ − (div A)(V ) = RicM (V, η ).
i=1
Observando que
m
m
i=1
i=1
∑ ⟨(∇V A)(ei), ei⟩ = ∑ V ⟨A(ei), ei⟩ = V (S1) = div(S1I)(V ),
onde I : T M → T M é a aplicação identidade, concluímos
div(S1 I − A)(V ) = RicM (V, η ).
Em particular, se M tem curvatura seccional constante κ , então RicM (V, η ) = mκ ⟨V, η ⟩ = 0, o
que implica div P1 = 0.
A proposição a seguir será uma ferramenta importante na demonstração do Teorema 2.1.1.
39
2.2 RESULTADOS PRELIMINARES
m+1
Proposição 2.2.1. Se M m , m ≥ 3, é uma hipersuperfície de M
e X : M → T M é um campo
de vetores, então
(
((
)T ))
T
divM (P1 (X )) = trM E 7−→ P1 ∇E X
+ RicM (X T , η ) + 2S2 ⟨X, η ⟩,
(2.8)
onde RicM denota o tensor de Ricci de M e X T = X − ⟨X, η ⟩η é a parte tangente de X.
Demonstração. Seja {e1 , e2 , . . . , em } um referencial ortonormal adaptado a M. Inicialmente,
visto que P1 é auto-adjunto, temos
((
(
)T ))
)T ) ⟩
m ⟨ ((
m
trM E 7−→ P1 ∇E X
= ∑ P1 ∇ei X
, ei = ∑ ⟨∇ei X, P1 (ei )⟩.
(2.9)
i=1
i=1
Usando (2.7), p.37, e o fato de A ser auto-adjunto, obtemos
(
m
m
i=1
i=1
)
m
∑ ⟨∇ei X, P1(ei)⟩ = ∑ ⟨∇ei X , P1(ei)⟩ − ∑ ⟨A(ei), P1(ei)⟩ ⟨X, η ⟩
T
i=1
(
m
= ∑ ⟨∇ei X , P1 (ei )⟩ −
T
i=1
m
)
m
∑ ⟨(A ◦ P1)(ei), ei⟩ ⟨X, η ⟩
i=1
= ∑ ⟨∇ei X T , P1 (ei )⟩ − trM (A ◦ P1 )⟨X, η ⟩.
i=1
Portanto,
(
((
)T ))
+ trM (A ◦ P1 )⟨X, η ⟩.
∑ ⟨∇ei X , P1(ei)⟩ = trM E 7−→ P1 ∇E X
m
T
i=1
Por outro lado, o fato de P1 ser auto-adjunto implica
m
m
m
∑ ⟨∇ei X , P1(ei)⟩ = ∑ ⟨∇ei X + B(ei, X ), P1(ei)⟩ = ∑ ⟨∇ei X T , P1(ei)⟩
T
i=1
T
T
i=1
m
i=1
m
m
= ∑ ⟨P1 (∇ei X ), ei ⟩ = ∑ ⟨∇ei (P1 (X )), ei ⟩ − ∑ ⟨(∇ei P1 )(X T ), ei ⟩
T
i=1
T
i=1
i=1
= divM (P1 (X )) − trM (E → (∇E P1 )(X ))
T
T
= divM (P1 (X T )) − (div P1 )(X T ).
Logo,
(
((
)T ))
+ (div P1 )(X T ) + trM (A ◦ P1 )⟨X, η ⟩.
divM (P1 (X )) = trM E 7−→ P1 ∇E X
T
O resultado segue, portanto, usando o Lema 2.2.1 e a igualdade abaixo
trM (A ◦ P1 ) = trM (A ◦ (S1 I − A)) = S1 trM (A) − trM (A2 ) = S12 − |A|2 = 2S2 .
40
CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ
Observação 2.2.3. Se a curvatura seccional KM de M
m+1
satisfaz
κ0 ≤ KM ≤ κ
para números reais κ0 e κ , então
m(κ − κ0 )
2
para qualquer par ortogonal de vetores V , W ∈ T M tais que |V | ≤ 1, |W | ≤ 1. De fato, considerando um referencial ortonormal {e1 , e2 , . . . , em , em+1 } tangente a M, obtemos
| RicM (V ,W )| ≤
m+1
m+1
i=1
m+1
i=1
RicM (V ,V ) = ∑ ⟨R(V , ei )V , ei ⟩ = ∑ KM (V , ei )(|V |2 − ⟨V , ei ⟩2 )
≤ κ ∑ (|V |2 − ⟨V , ei ⟩2 ) = κ [(m + 1)|V |2 − |V |2 ]
i=1
= mκ |V |2 .
Analogamente, RicM (V ,V ) ≥ mκ0 |V |2 . Visto que RicM é uma forma bilinear simétrica,
1
RicM (V ,W ) = [RicM (V +W ,V +W ) − RicM (V −W ,V −W )],
4
1
≤ [mκ |V +W |2 − mκ0 |V −W |2 ]
4
1
= [mκ (|V |2 + 2⟨V ,W ⟩ + |W |2 ) − mκ0 (|V |2 − 2⟨V ,W ⟩ + |W |2 )]
4
1
= m(κ − κ0 )(|V |2 + |W |2 )
4
m(κ − κ0 )
≤
.
2
m(κ − κ0 )
. Portanto,
Analogamente, RicM (V ,W ) ≥ −
2
m(κ − κ0 )
m(κ − κ0 )
−
≤ RicM (V ,W ) ≤
.
2
2
(
((
)T ))
em termos de S1 , da função
No lema a seguir iremos estimar trM E 7−→ P1 ∇E X
distância de M e da cota superior κ da curvatura seccional de M.
m+1
Lema 2.2.2. Sejam M
, m ≥ 3, uma variedade Riemanniana de curvatura seccional limitada
m+1
superiormente por uma constante κ , M uma hipersuperfície de M
, ρ (x) = ρ (p, x) a distância geodésica de M partindo de p ∈ M e X = ρ ∇ρ o campo de vetores radial partindo de p ∈ M
e restrito a M. Suponhamos que P1 seja semipositivo definido. Se q ∈ M é tal que ρ (q) < i(M)
e, além disso, para κ > 0 tivermos κρ (q)2 < π 2 , então
{
√
√
(
((
)T ))
(m − 1)S1 (q)( κρ (q)) cot( κρ (q)), se κ > 0,
trM E 7−→ P1 ∇E X
(q) ≥
(m − 1)S1 (q), se κ ≤ 0.
41
2.2 RESULTADOS PRELIMINARES
Demonstração. Seja γ : [0, ρ (q)] → M definida por γ (t) = exp p (tu), u ∈ Tp M, a única geodésica unitária tal que γ (0) = p e γ (ρ (q)) = q. Seja {e1 (q), e2 (q), . . . , em (q)} uma base ortonomal
de Tq M formada por autovetores de P1 em q ∈ M, isto é,
P1 (ei (q)) = θi (q)ei (q), i = 1, 2, . . . , m,
ver Observação 2.2.1, p.37. Sejam Yi , i = 1, 2, . . . , m, as projeções unitárias de ei (q) sobre
γ ′ (ρ (q))⊥ ⊂ Tq M, isto é,
Yi =
Portanto,
ei (q) − ⟨ei (q), γ ′ (ρ (q))⟩γ ′ (ρ (q))
, i = 1, 2, . . . , m.
∥ei (q) − ⟨ei (q), γ ′ (ρ (q))⟩γ ′ (ρ (q))∥
ei (q) = biYi + ci γ ′ (ρ (q)),
onde bi = ∥ei (q) − ⟨ei (q), γ ′ (ρ (q))⟩γ ′ (ρ (q))∥ e ci = ⟨ei (q), γ ′ (ρ (q))⟩. Observemos que b2i +
c2i = 1 e Yi ⊥ γ ′ para todo i = 1, 2, . . . , m. Visto que a curvatura seccional KM ≤ κ e para κ >
0 temos κρ 2 (q) < π 2 , não existem pontos conjugados a p ao longo de γ . Se θ1 , θ2 , . . . , θm
denotam os autovalores de P1 , então
(
((
)T )) m
m
= ∑ ⟨∇ei X, P1 (ei )⟩ = ∑ θi ⟨∇ei X, ei ⟩
trM E 7−→ P1 ∇E X
i=1
i=1
m
= ∑ θi ⟨∇biYi +ci γ ′ X, biYi + ci γ ′ ⟩
i=1
m
m
= ∑ θi b2i ⟨∇Yi X,Yi ⟩ + ∑ θi c2i ⟨∇γ ′ X, γ ′ ⟩
i=1
i=1
[
]
+ ∑ θi bi ci ⟨∇Yi X, γ ′ ⟩ + ⟨∇γ ′ X,Yi ⟩ .
m
i=1
Por outro lado, como X(t) = ρ (t)∇ρ (t) = ρ (t)γ ′ (t) e ∇γ ′ γ ′ = 0, obtemos
⟨∇γ ′ X, γ ′ ⟩ = ⟨∇γ ′ (ργ ′ ), γ ′ ⟩ = ⟨⟨∇ρ , γ ′ ⟩γ ′ + ρ ∇γ ′ γ ′ , γ ′ ⟩
= ⟨∇ρ , γ ′ ⟩⟨γ ′ , γ ′ ⟩ = 1,
⟨∇Yi X, γ ′ ⟩ = ⟨∇Yi (ργ ′ ), γ ′ ⟩ = ⟨⟨Yi , ∇ρ ⟩γ ′ + ρ ∇Yi γ ′ , γ ′ ⟩
= ⟨Yi , γ ′ ⟩ + ρ ⟨∇Yi γ ′ , γ ′ ⟩
ρ
= Yi ⟨γ ′ , γ ′ ⟩ = 0,
2
⟨∇γ ′ X,Yi ⟩ = ⟨∇γ ′ (ργ ′ ),Yi ⟩ = ⟨⟨γ ′ , ∇ρ ⟩γ ′ + ρ ∇γ ′ γ ′ ,Yi ⟩ = 0.
Logo,
(
((
)T ))
m
m
2
trM E 7−→ P1 ∇E X
= ∑ θi bi ⟨∇Yi X,Yi ⟩ + ∑ θi c2i .
i=1
i=1
42
CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ
Agora, usando o Lema 2.5, p.713 de [JK81], temos
√
√
κρ (q) cot( κρ (q)), se κ > 0;
1, se κ = 0;
⟨∇Yi X,Yi ⟩(ρ (q)) ≥
√
√
−κρ (q) coth( −κρ (q)), se κ < 0.
No caso κ > 0, visto que 0 ≤
(2.10)
√
√
κρ cot( κρ ) ≤ 1 para ρ ≤ 2√π κ , obtemos
(
((
)T ))
m
m
√
√
≥ ∑ θi b2i ρ κ cot( κρ ) + ∑ θi c2i
trM E 7−→ P1 ∇E X
i=1
(
)
m
∑ θi(b2i + c2i )
≥
i=1
√
√
κρ cot( κρ )
i=1
√
√
= (trM P1 ) κρ cot( κρ )
√
√
= (m − 1)S1 κρ cot( κρ ).
A
√ prova para√ o caso κ ≤ 0 é análoga e segue das ideias do caso κ > 0 observando que
−κρ coth( −κρ ) ≥ 1.
2.3
Desigualdade do valor médio e fórmula de monotonicidade
Sejam KM = KM (x, Πx ) a curvatura seccional de M em x ∈ M relativa ao subespaço bidimensional Πx ⊂ Tx M e κ0 (x) = inf KM (x, Πx ). De agora em diante, denotaremos por Br = Br (p)
Πx ⊂Tx M
a bola aberta em M com centro em p ∈ M e raio r. Assuma Br (p) ∩ ∂ M = 0.
/ Se M é uma hiperm+1
superfície própria de M
, então ∂ (M ∩ Br ) ̸= 0. Além disso, M ∩ Br e ∂ (M ∩ Br ) satisfazem
as hipóteses do Teorema de Gauss-Green, ver [Fed69], p. 478.
Seja f : M → R uma função não negativa, localmente integrável e de classe C 1 . A seguir
iremos obter uma desigualdade do valor médio para a função F definida por
√ − m−1 ∫
(sen κ r) 2
F(r) =
r− 2
m−1
∫
M∩Br
M∩Br
f S1 dM,
f S1 dM,
se κ > 0;
se κ ≤ 0.
Teorema 2.3.1 (Desigualdade do Valor Médio). Seja M m , m ≥ 3, uma hipersuperfície própria
m+1
de uma variedade Riemanniana M
com curvatura seccional limitada superiormente por uma
constante κ . Suponhamos que S1 ̸= 0, S2 ≥ 0 e escolhamos uma orientação para M tal que
S1 > 0. Sejam ρ = ρ (p, ·) a função distância de M e f : M → R uma função não negativa,
localmente integrável e de classe C 1 . Se 0 < σ < t < i(M), então
43
2.3 DESIGUALDADE DO VALOR MÉDIO E FÓRMULA DE MONOTONICIDADE
(i) para κ > 0 e κ t 2 < π 2 ,
∫
∫
1
1
f S1 dM −
f S1 dM
√ m−1
√
m−1
(sen κ t) 2 M∩Bt
(sen κσ ) 2 M∩Bσ
∫
√
m−1
1 t −1
r (sen κ r)− 2 ×
≥
2 σ∫
[⟨
⟩
]
×
ρ ∇ρ , P1 (∇ f ) + 2S2 f η + f RicM (ρ ∇ρ , η ) dMdr;
M∩Br
(ii) para κ ≤ 0,
1
m−1
t 2
∫
M∩Bt
1
≥
2
f S1 dM −
∫ t
σ
r− 2
m+1
∫
1
m−1
σ 2
∫
M∩Br
f S1 dM
M∩Bσ
[⟨
⟩
]
ρ ∇ρ , P1 (∇ f ) + 2S2 f η + f RicM (ρ ∇ρ , η ) dMdr.
Demonstração. Denotemos por X = ρ ∇ρ o campo de vetores radial de M restrito a M. Inicialmente, notemos que
(
((
)T ))
⟩
m ⟨
tr E 7−→ P1 ∇E f X
= ∑ ∇ei ( f X), P1 (ei )
i=1
m
m
i=1
i=1
= ∑ ei ( f )⟨X, P1 (ei )⟩ + ∑ f ⟨∇ei X, P1 (ei )⟩
(2.11)
(
((
)T ))
= ⟨X, P1 (∇ f )⟩ + f tr E 7−→ P1 ∇E X
.
Por outro lado, visto que M é própria, se ν denota o campo de vetores conormal unitário
de ∂ (M ∩ Br ), visto como uma hipersuperfície de M, então o Teorema de Gauss-Green, ver
[Fed69], p. 478, implica
∫
∫
T
M∩Br
divM (P1 ( f X ))dM =
∂ (M∩Br )
⟨P1 ( f X T ), ν ⟩dSM (r),
(2.12)
onde dSM (r) é a medida (m − 1)−dimensional de ∂ (M ∩ Br ). Integrando a identidade da Proposição 2.2.1 e usando (2.12) acima, obtemos
(
((
∫
∫
)T ))
tr E 7−→ P1 ∇E f X
dM =
divM (P1 ( f X T ))dM
M∩Br
M∩Br
−
∫
=
∫
M∩Br
RicM ( f X T , η )dM −
∂ (M∩Br )
−
∫
M∩Br
2S2 ⟨ f X, η ⟩dM
⟨P1 ( f X T ), ν ⟩dSM (r)
∫
M∩Br
f [RicM (X T , η ) + 2S2 ⟨X, η ⟩]dM,
(2.13)
44
CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ
Integrando (2.11) e substituindo em (2.13), obtemos
(
((
∫
∫
)T ))
f tr E 7−→ P1 ∇E X
dM =
M∩Br
−
−
∫
∂ (M∩Br )
f ⟨P1 (X T ), ν ⟩dSM (r)
⟨X, P1 (∇ f )⟩dM
(2.14)
∫M∩Br [
M∩Br
]
f RicM (X T , η ) + 2S2 ⟨X, η ⟩ dM.
A seguir, iremos estimar os termos de (2.14) que envolvem P1 . Denotemos por θi , 1 ≤ i ≤ m,
os autovalores de P1 . Vamos mostrar que as hipóteses S1 > 0 e S2 ≥ 0 implicam
θi ≤ 2S1
para todo i = 1, 2, . . . , m. De fato, os autovalores de P1 são θi = S1 − ki , onde ki são os autovalores da segunda forma fundamental da imersão. Temos
θi = S1 − ki ≤ S1 + |ki |
√
2
≤ S1 + k12 + k22 + · · · + km
√
= S1 + |A| = S1 + S12 − 2S2
≤ 2S1 .
√
Visto que P1 é semipositivo definido, existe P1 . Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz
obtemos, para quaisquer campos de vetores U e V tangentes a M,
√
√
|⟨P1 (U),V ⟩| = |⟨ P1 (U), P1 (V )⟩|
√
√
≤ | P1 (U)|| P1 (V )|
= ⟨P1 (U),U⟩1/2 ⟨P1 (V ),V ⟩1/2
(2.15)
≤ (2S1 )1/2 |U|(2S1 )1/2 |V |
≤ 2S1 |U||V |.
Usando (2.15) e o fato |∇ρ | ≤ |∇ρ | = 1, obtemos
∫
f ⟨P1 (X ), ν ⟩dSM (r) =
∫
T
∂ (M∩Br )
∂ (M∩Br )
≤ 2r
f ρ ⟨P1 (∇ρ ), ν ⟩dSM (r) ≤ 2r
∫
∂ (M∩Br )
∫
∂ (M∩Br )
f |∇ρ |−1 S1 dSM (r).
Por outro lado, a fórmula da coárea, ver [Bér86], p. 80, implica
(∫
)
∫
d
−1
2r
f |∇ρ | S1 dSM (r) = 2r
f S1 dM .
dr M∩Br
∂ (M∩Br )
f S1 dSM (r)
2.3 DESIGUALDADE DO VALOR MÉDIO E FÓRMULA DE MONOTONICIDADE
Portanto, aplicando (2.14),
(
((
(∫
)
∫
)T ))
1
d
f tr E 7−→ P1 ∇E X
dM ≤ r
f S1 dM
2 M∩Br
dr M∩Br
∫
1
−
[⟨ρ ∇ρ , P1 (∇ f ) + 2S2 f η ⟩ + f RicM (ρ ∇ρ , η )]dM.
2 M∩Br
Vamos analisar separadamente os casos κ > 0 e κ ≤ 0.
Caso κ > 0. A estimativa do Lema 2.2.2 implica
(
((
∫
∫
)T ))
dM ≥ (m − 1)
f tr E 7−→ P1 ∇E X
M∩Br
M∩Br
M∩Br
(2.17)
f S1 dM,
visto que ρ ≤ r. Substituindo (2.17) em (2.16) temos
∫
[⟨
1
ρ ∇ρ , P1 (∇ f ) +2S2 f η ⟩ + f RicM (ρ ∇ρ , η )] dM
2 M∩Br
∫
√
(m − 1) √
+
κ r cot( κ r)
f S1 dM
2
M∩Br
(∫
)
d
≤r
f S1 dM .
dr M∩Br
d
dr
(∫
(2.16)
√
√
κρ cot( κρ ) f S1 dM
∫
√
√
≥ (m − 1) κ r cot( κ r)
Como
45
(2.18)
)
∫
√
(m − 1) √
f S1 dM −
κ cot( κ r)
f S1 dM
2
M∩Br
M∩Br
(
)
√
√ − m−1 ∫
m−1 d
(sen κ r) 2
f S1 dM ,
= (sen κ r) 2
dr
M∩Br
obtemos
√
m−1
1
(sen κ r)− 2
2
∫
M∩Br
[⟨ρ ∇ρ , P1 (∇ f ) + 2S2 f η ⟩ + f RicM (ρ ∇ρ , η )]dM
(
)
√ − m−1 ∫
d
≤r
sen( κ r) 2
f S1 dM .
dr
M∩Br
(2.19)
O resultado para o caso κ > 0 segue, portanto, dividindo a expressão acima por r e integrando
de σ a t.
Caso κ ≤ 0. Usando o Lema 2.2.2 temos
(
((
∫
∫
)T ))
dM ≥ (m − 1)
f S1 dM.
f tr E 7−→ P1 ∇E X
M∩Br
M∩Br
Substituindo a estimativa acima em (2.16) e usando o fato
(∫
)
(
)
∫
∫
m−1 d
m−1
d
m−1
−
f S1 dM −
f S1 dM = r 2
r 2
f S1 dM ,
dr M∩Br
2
dr
M∩Br
M∩Br
46
CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ
obtemos
r− 2
m−1
1
2
∫
M∩Br
[⟨ρ ∇ρ , P1 (∇ f ) + 2S2 f η ⟩ + f RicM (ρ ∇ρ , η )]dM
(
)
∫
d
− m−1
≤r
r 2
f S1 dM .
dr
M∩Br
(2.20)
O resultado para o caso κ ≤ 0 segue, portanto, da desigualdade acima dividindo por r e integrando de σ a t.
Observação 2.3.1. (Caso convexo) Se A ≥ 0, então podemos estimar os autovalores de P1 por
θi = S1 − ki ≤ S1 no lugar de θi ≤ 2S1 e, desta forma, os expoentes da desigualdade do valor
médio tornam-se m − 1 no lugar de m−1
2 . Neste caso, a desigualdade do valor médio torna-se
(i) para κ > 0 e κ t 2 ≤ π 2 ,
1
√ m−1
(sen κ t)
∫
∫
1
√
f S1 dM
(sen κσ )m−1 M∩Bσ
M∩Bt
∫ t
∫
[⟨
⟩
]
√
≥
r−1 (sen κ r)−(m−1)
ρ ∇ρ , P1 (∇ f ) + 2S2 f η + f RicM (ρ ∇ρ , η ) dMdr;
f S1 dM −
σ
M∩Br
(ii) para κ ≤ 0,
∫
1
t m−1
M∩Bt
∫ t
≥
σ
f S1 dM −
1
∫
f S1 dM
σ m−1 M∩Bσ
∫
[⟨
]
⟩
r−(m−2)
ρ ∇ρ , P1 (∇ f ) + 2S2 f η + f RicM (ρ ∇ρ , η ) dMdr.
M∩Br
O corolário a seguir será útil na prova da desigualdade de Poincaré.
m+1
Corolário 2.3.1. Seja M m , m ≥ 3, uma hipersuperfície de uma variedade Riemanniana M
com curvatura seccional limitada superiormente por uma constante κ . Suponhamos S1 ̸= 0,
S2 ≥ 0 e escolhamos uma orientação tal que S1 > 0. Seja ρ = ρ (p, ·) a função distância de M.
Seja f : M → R uma função não negativa, de classe C 1 , com suporte compacto em M, tal que
supp f ∩ ∂ M = 0.
/ Se 0 < σ < t < i(M), então
(i) para κ > 0 e κ t 2 ≤ π 2 ,
∫
√
− m−1
(sen κσ ) 2
√ − m−1 ∫
f S1 dM ≤ (sen κ t) 2
f S1 dM
M∩Bσ
M∩Bt
) ]
[
(
∫ t
√ − m−1 ∫
m(κ − κ0 )
+ S2 f dMdr;
+ (sen κ r) 2
|∇ f |S1 +
4
σ
M∩Br
(ii) para κ ≤ 0,
σ
− m−1
2
∫
M∩Bσ
f S1 dM ≤ t
− m−1
2
∫
f S1 dM
) ]
[
(
∫
∫ t
m(κ − κ0 )
− m−1
+ S2 f dMdr.
|∇ f |S1 +
+ r 2
4
σ
M∩Br
M∩Bt
2.3 DESIGUALDADE DO VALOR MÉDIO E FÓRMULA DE MONOTONICIDADE
47
Demonstração. Visto que f : M → R tem suporte compacto, podemos considerar integrais
sobre qualquer domínio de M sem requerer a hipótese adicional que M é própria. Neste caso, o
resultado segue observando que
1
2
∫
M∩Br
[⟨ρ ∇ρ , P1 (∇ f ) + 2S2 f η ⟩ + f RicM (ρ ∇ρ , η )]dM
1
=
2
∫
M∩Br
1
+
2
≥ −r
∫
ρ ⟨∇ρ , P1 (∇ f )⟩dM +
∫
M∩Br
∫
M∩Br
ρ f S2 ⟨∇ρ , η ⟩dM
f ρ RicM (∇ρ , η )dM
∫
|∇ f |S1 dM − r
S2 f dM
M∩Br
M∩Br
(
)
∫
m(κ − κ0 )
−r
f dM
4
M∩Br
[
(
) ]
∫
m(κ − κ0 )
= −r
|∇ f |S1 +
+ S2 f dM,
4
M∩Br
onde usamos que ρ ≤ r, |∇ρ | ≤ |∇ρ | = 1, além da Observação 2.2.3, p. 40, para estimar
RicM (∇ρ , η ) e das desigualdades em (2.15) para estimar ⟨∇ρ , P1 (∇ f )⟩.
Seguindo as ideias de Simon, [Sim83], p. 84-85, iremos analisar a questão importante sobre
o que acontece ao assumirmos limitações L p para S2 . A primeira consequência nesta direção é
a seguinte fórmula de monotonicidade:
Teorema 2.3.2 (Monotonicidade). Seja M m , m ≥ 3, uma hipersuperfície própria de uma vam+1
riedade Riemanniana M
de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante
κ ∈ R. Suponhamos que S1 ̸= 0, S2 ≥ 0 e escolhamos uma orientação tal que S1 > 0. Se existem
0 < α ≤ 1, Γ ≥ 0 e 0 < R0 < i(M) tais que
(
)
( )α −1
∫
m(κ − κ0 )
r
−1
α
+ S2 dM ≤ Γ
A1 (M ∩ Br )
(2.21)
4
R0
M∩Br
para todo r ∈ (0, R0 ), então
(i) para κ > 0 e κ R20 ≤ π 2 , a função h : (0, R0 ) → R definida por
α α
h(r) = exp(ΓR1−
r )
0
A1 (M ∩ Br )
√
m−1
(sen κ r) 2
é monótona não decrescente;
(ii) para κ ≤ 0, a função h : (0, R0 ) → R definida por
α α
r )
h(r) = exp(ΓR1−
0
é monótona não decrescente.
A1 (M ∩ Br )
m−1
r 2
48
CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ
Demonstração. Vamos demonstrar o teorema para o caso κ > 0. O caso κ ≤ 0 é inteiramente
análogo. Usando o Corolário 2.3.1 acima para f ≡ 1 temos, para 0 < σ < t < R0 ,
(
)
∫ t
√ − m−1 ∫
m(κ − κ0 )
A1 (M ∩ Bt )
A1 (M ∩ Bσ )
(sen κ r) 2
+ S2 dMdr
√ m−1 −
√
m−1 ≥ −
4
σ
M∩Br
(sen κ t) 2
(sen κσ ) 2
( )
∫ t
√ − m−1 r α −1
≥ −α Γ (sen κ r) 2
A1 (M ∩ Br )dMdr,
R0
σ
onde, na última desigualdade acima, usamos a hipótese (2.21). Denotando por g(r) =
e dividindo a desigualdade acima por t − σ , obtemos
A1 (M ∩ Br )
√
m−1
(sen κ r) 2
)
r α −1
αΓ
g(r)dr
R0
σ
[∫
]
( )α −1
( )α −1
∫ σ
t
1
r
r
αΓ
=−
g(r)dr −
αΓ
g(r)dr ,
t −σ ε
R0
R0
ε
g(t) − g(σ )
1
≥−
t −σ
t −σ
∫ t
(
para todo ε > 0 suficientemente pequeno. Tomando t → σ , o lado esquerdo da desigualdade
( )α −1
σ
tende a g′ (σ ) e o lado direito da desigualdade tende a α Γ
g(σ ). Portanto,
R0
(
σ
g (σ ) + α Γ
R0
′
)α −1
g(σ ) ≥ 0.
Visto que
( ( )
)
α −1
)
σ
d (
α α
α α
exp(ΓR1−
σ )g(σ ) = exp(ΓR1−
σ ) αΓ
g(σ ) + g′ (σ ) ≥ 0,
0
0
dσ
R0
α α
concluímos que h(σ ) = exp(ΓR1−
σ )g(σ ) é monótona não decrescente para todo σ ∈ (0, R0 ).
0
Como caso particular da fórmula de monotonicidade acima, temos o
m+1
Corolário 2.3.2 (Monotonicidade). Seja M
(κ ) uma variedade Riemanniana (m+1)−dimensional
m+1
m
de curvatura seccional constante κ . Seja M , m ≥ 3, uma hipersuperfície própria de M
(κ )
tal que S2 = 0 e S1 ̸= 0. Assuma uma orientação de M tal que S1 > 0.
(i) Se κ > 0 e κ r2 ≤ π 2 , então a função g : (0, √πκ ) → R definida por
g(r) =
é monótona não decrescente;
A1 (M ∩ Br )
√
m−1
(sen κ r) 2
2.3 DESIGUALDADE DO VALOR MÉDIO E FÓRMULA DE MONOTONICIDADE
49
(ii) Se κ ≤ 0, então a função g : R → R definida por
g(r) =
A1 (M ∩ Br )
m−1
r 2
é monótona não decrescente.
A segunda aplicação da desigualdade do valor médio é o teorema a seguir.
Teorema 2.3.3. Seja M m , m ≥ 3, uma hipersuperfície própria de uma variedade Riemanniana
m+1
M
de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante κ ≤ 0. Suponhamos
que S1 ≥ c para alguma constante c > 0 e que S2 ≥ 0. Se existem 0 < R0 < i(M), Γ > 0 e p > 1
tais que
[∫
]1/p
)p
(
m(κ − κ0 )
+ S2 dM
≤ Γ,
(2.22)
4
M∩BR0
então
(
A1 (M ∩ Bσ )
)1/p
(
≤
m−1
A1 (M ∩ Bt )
m−1
σ 2
t 2
para quaisquer 0 < σ < t < R0 .
)1/p
( m−1
)
m−1
2Γ
t 1− 2p − σ 1− 2p ,
+ 1−1/p
c
(m − 1 + 2p)
Demonstração. Usando a desigualdade (2.20), p. 46, para f ≡ 1, temos
(
)
∫
d A1 (M ∩ Br )
1
− m−1
r
≥r 2
[⟨ρ ∇ρ , 2S2 η ⟩ + Ric(ρ ∇ρ , η )]dM
m−1
dr
2 M∩Br
r 2
(
)
∫
m(κ − κ0 )
− m+1
≥ −r 2
+ S2 dM.
4
M∩Br
Usando a desigualdade de Hölder e a hipótese (2.22), obtemos
(
)
[∫
(
)p
]1/p
∫
m(κ − κ0 )
m(κ − κ0 )
+ S2 dM ≤
+ S2 dM
vol(M ∩ Br )1−1/p
4
4
M∩Br
M∩Br
≤ Γ vol(M ∩ Br )1−1/p
Γ
≤ 1−1/p A1 (M ∩ Br )1−1/p .
c
Isto implica
d
dr
Logo
d
dr
((
(
A1 (M ∩ Br )
A1 (M ∩ Br )
m−1
r 2
r
)
m−1
2
)1/p )
m−1
Γ
≥ − 1−1/p r− 2 A1 (M ∩ Br )1−1/p .
c
(
)
d A1 (M ∩ Br )
m−1
m−1
dr
r 2
r 2
(
)1
1
Γ
A1 (M ∩ Br ) p −1 − m−1
r 2 A1 (M ∩ Br )1− p
≥ − 1−1/p
m−1
pc
r 2
m−1
Γ
= − 1−1/p r− 2p .
pc
1
=
p
(
A1 (M ∩ Br )
) 1 −1
p
50
CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ
Integrando a desigualdade acima de σ a t, obtemos o resultado.
2.4 Demonstração da desigualdade de Poincaré
O objetivo desta seção é demonstrar o Teorema 2.1.1, p. 31. A etapa principal da demonstração
é o Lema 2.4.2 a seguir, que estabelece uma desigualdade local do tipo Poincaré para bolas
extrínsicas, requerendo condições especiais sobre f . O passo seguinte é usar o Lema 2.4.1
abaixo para “colar as bolas” e, desta forma, obter uma desigualdade global tipo Poincaré.
A prova do lema a seguir pode ser encontrada, por exemplo, em [CM11], p. 115.
Lema 2.4.1. Se B é uma família de bolas fechadas em um espaço métrico com sup{diam(B); B ∈
B} < ∞, então existe uma subcoleção de bolas duas a duas disjuntas B ′ ⊂ B tal que
∪
B⊂
∪
5B,
B∈B ′
B∈B
onde 5B é a bola de mesmo centro que B e raio 5 vezes o raio de B.
No lema a seguir usamos algumas ideias inspiradas em [MS73], Lema 2.3, [HS74], Lema
4.2, ver também [HS75] e [Ôtspl].
Sejam Ω ⊂ M um domínio regular tal que Ω ∩ ∂ M = 0/ e f : M → R uma função não
negativa, de classe C 1 e com suporte compacto em Ω. Definimos, para 0 < α < 2,
((
) 1
)2
∫
m−1
m−1
√
1
2(1 + α ) (diam Ω)
, se κ > 0;
√
f S1 dM
κ
κ arcsen
2−α
A1 (Ω)
Ω
r1 =
((
) 1
)2
∫
m−1
m−1
2(1 + α ) (diam Ω)
,
se κ ≤ 0,
f S1 dM
2−α
A1 (Ω)
Ω
onde assumimos
√
κ
((
2(1 + α )
2−α
)2
(diam Ω)m−1
A1 (Ω)
) 1
∫
Ω
m−1
f S1 dM
≤ 1,
se κ > 0.
m+1
Lema 2.4.2. Seja M
, m ≥ 3, uma variedade Riemanniana (m + 1)−dimensional de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante κ ∈ R. Seja M m uma hipersuperfície
m+1
de M
, possivelmente com bordo, tal que S1 ̸= 0 e S2 ≥ 0. Assuma uma orientação de M tal
que S1 > 0. Sejam Ω ⊂ M um domínio regular tal que Ω ∩ ∂ M = 0/ e f : M → R uma função
não negativa, de classe C 1 e com suporte compacto em Ω. Assuma ainda que
1
A1 (Ω)
∫
Ω
f S1 dM ≥ 1.
(2.23)
2.4 DEMONSTRAÇÃO DA DESIGUALDADE DE POINCARÉ
Seja α ∈ (0, 2). Se 5r1 ≤ i(M) então para todo p ∈ Ω existe r = r(p) ∈ (0, r1 ) tal que
) ]
[
(
∫
∫
m(κ − κ0 )
−1 m−3
f S1 dM ≤ 2α 5 2 r1
+ S2 f dM.
|∇ f |S1 +
4
M∩B5r (p)
M∩Br (p)
51
(2.24)
Demonstração. Com o objetivo de simplificar a notação, definimos
∫
Fp (r) =
e
M∩Br (p)
f (x)S1 (x)dM
[
(
)
]
m(κ − κ0 (x))
G p (r) =
S1 (x)|∇ f (x)| +
+ S2 (x) f (x) dM.
4
M∩Br (p)
(2.25)
∫
(2.26)
Caso κ ≤ 0. Suponhamos que não existe r ∈ (0, r1 ) satisfazendo (2.24), isto é,
Fp (5r) > 2α −1 5 2 r1 G p (r)
m−3
para todo r ∈ (0, r1 ), ou seja,
m−3
1
G p (r) < α 5− 2 r1−1 Fp (5r).
2
(2.27)
Multiplicando a desigualdade (2.27) acima por r− 2 e integrando de 0 a r1 ,
m−1
∫ r1
0
∫
r1
m−1
m−3
m−1
1
r− 2 Fp (5r)dr
r− 2 G p (r)dr < α 5− 2 r1−1
2
0
∫
1 −1 5r1 − m−1
= α r1
r 2 Fp (r)dr
2
0
]
[∫ r
∫ 5r1
1
m−1
1 −1
−
− m−1
r 2 Fp (r)dr .
= α r1
r 2 Fp (r)dr +
2
r1
0
(2.28)
Tomando o supremo sobre r de 0 a r1 na primeira integral do lado direito de (2.28),
∫
m−1
1 −1 r1 − m−1
1
α r1
r 2 Fp (r)dr ≤ α sup σ − 2 Fp (σ ).
2
2 σ ∈(0,r1 )
0
(2.29)
Vamos estimar a segunda integral no lado direito de (2.28). Como supp f ⊆ Ω, temos
∫
Fp (r) =
M∩Br (p)
f S1 dM ≤
∫
Ω
f S1 dM.
(2.30)
Usando a estimativa acima, fazendo a mudança de variáveis r por r1 s na segunda integral do
∫ 5
lado direito de (2.28) e usando que
1
s− 2 ds < 2, válido para m ≥ 3,
m−1
(
) ∫
∫ 5r1
m−1
1 −1
1
− m−1
−1
−
r 2 dr ×
αr
r 2 Fp (r)dr ≤ α r1
f S1 dM
2 1 r1
2
r1
Ω
∫
∫
1 − m−1 5 − m−1
= α r1 2
s 2 ds ×
f S1 dM
2
1
Ω
∫
∫ 5r1
− m−1
2
< α r1
Ω
f S1 dM,
(2.31)
52
CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ
Substituindo (2.31) e (2.29) em (2.28), obtemos
∫ r1
0
m−1
m−1
1
− m−1
r− 2 G p (r)dr < α sup σ − 2 Fp (σ ) + α r1 2
2 σ ∈(0,r1 )
∫
Ω
f S1 dM.
(2.32)
Tomando o supremo em σ de 0 a r1 na desigualdade (ii) do Corolário 2.3.1, p. 46, e usando
(2.30), temos
− m−1
2
sup σ
σ ∈(0,r1 )
− m−1
Fp (σ ) ≤ r1 2
∫
∫ r1
Ω
f S1 dM +
0
r− 2 G p (r)dr.
m−1
Substituindo a estimativa (2.32) na desigualdade acima, vemos que
sup σ
− m−1
2
σ ∈(0,r1 )
− m−1
Fp (σ ) ≤ r1 2
∫
m−1
1
f S1 dM + α sup σ − 2 Fp (σ )
2 σ ∈(0,r1 )
Ω
− m−1
+ α r1 2
∫
f S1 dM.
Ω
Agora, usando a definição de r1 para o caso κ ≤ 0,
sup σ
− m−1
2
σ ∈(0,r1 )
∫
2(1 + α ) − m−1
Fp (σ ) <
r 2
f S1 dM
2−α 1
Ω
(
) (
)−1/2 ∫
∫
2(1 + α ) 2(1 + α ) −1 (diam Ω)m−1
f S1 dM
=
f S1 dM
2−α
2−α
A1 (Ω)
Ω
Ω
)1/2
m−1 (∫
(diam Ω)− 2
=
f S1 dM
.
A1 (Ω)−1/2
Ω
(2.33)
Finalizamos a demonstração por contradição mostrando que a desigualdade (2.33) é falsa. De
fato, notemos que, usando a hipótese (2.23) e a definição de r1 para o caso κ ≤ 0,
((
r1 =
2(1 + α )
2−α
)2
(diam Ω)m−1
A1 (Ω)
(diam Ω)
∫
Ω
(
m−1
Ω
isto é, diam Ω ∈ (0, r1 ) e logo diam Ω <
que M ∩ Bdiam Ω ⊃ Ω, obtemos
− m−1
2
) 1
∫
≥
f S1 dM
2(1 + α )
2−α
) 2
m−1
diam Ω > diam Ω,
i(M)
. Assim, podemos considerar Bdiam Ω ⊂ M e, visto
5
− m−1
2
f S1 dM = (diam Ω)
≤ sup σ − 2
m−1
σ ∈(0,r1 )
∫
∫
M∩Bdiam Ω (p)
M∩Bσ (p)
f S1 dM
f S1 dM.
53
2.4 DEMONSTRAÇÃO DA DESIGUALDADE DE POINCARÉ
Usando a estimativa acima e a desigualdade (2.33),
(diam Ω)− 2
m−1
∫
f S1 dM ≤ sup σ − 2
m−1
Ω
σ ∈(0,r1 )
(diam Ω)− 2
<
A1 (Ω)−1/2
m−1
isto é,
M∩Bσ (p)
f S1 dM
(∫
Ω
)1/2
f S1 dM
,
)1/2
(∫
Ω
∫
f S1 dM
< (A1 (Ω))1/2 .
Usando a hipótese (2.23) novamente na desigualdade acima, obtemos
A1 (Ω)
1/2
≤
(∫
Ω
)1/2
f S1 dM
< A1 (Ω)1/2 ,
o que é claramente uma contradição. Isto prova o lema para o caso em que κ ≤ 0.
Caso κ > 0. Suponhamos que não existe r, 0 < r < r1 , satisfazendo (2.24), explicitamente,
Fp (5r) > 2α −1 5 2 r1 G p (r), para todo 0 < r < r1 ,
m−3
isto é,
m−3
1
G p (r) < α 5− 2 r1−1 Fp (5r), para todo 0 < r < r1 .
2
√
m−1
Multiplicando ambos os lados da desigualdade acima por (sen κ r)− 2 e integrando em r de
0 a r1 ,
∫
√ − m−1
1 − m−3 −1 r1 ( √ )− m−1
2
sen κ r
(sen κ r) 2 G p (r)dr < α 5 2 r1
Fp (5r)dr
2
0
0
√ )− m−1
(
∫
2
1 − m−1 −1 5r1
κr
= α 5 2 r1
sen
Fp (r)dr
2
5
0
[∫ (
√ )− m−1
2
r1
1 − m−1 −1
κr
sen
= α 5 2 r1
Fp (r)dr
2
5
0
]
√ )− m−1
∫ 5r1 (
2
κr
+
sen
Fp (r)dr .
5
r1
∫ r1
(2.34)
A fim de estimar as integrais do lado direito da desigualdade (2.34) acima, notemos que, como
sen θ é uma função concava em [0, π ], então sen β θ ≥ β sen θ para 0 ≤ β ≤ 1 e θ ∈ [0, π ]. Isto
implica
(√ )
√
κr
1
(sen κ r)
≥
para 0 ≤ r ≤ r1 ;
sen
5
(√5 )
√
κr
r
sen
(sen κ r1 ) para r1 ≤ r ≤ 5r1 ,
≥
5
5r1
54
CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ
e, portanto,
(
√ )− m−1
2
√
κr
m−1
m−1
≤ 5 2 (sen κ r)− 2
sen
5
√ )− m−1
(
2
√
κr
m−1 m−1
m−1
m−1
sen
≤ 5 2 r1 2 (sen κ r1 )− 2 r− 2
5
para 0 < r ≤ r1 ,
(2.35)
para r1 ≤ r ≤ 5r1 .
Usando a primeira desigualdade em (2.35) acima, podemos estimar a primeira integral no lado
direito de (2.34) por
√ )− m−1
∫ (
∫
2
√
m−1
1 − m−1 −1 r1
κr
1 −1 r1
2
α5
r1
sen
Fp (r)dr ≤ α r1
(sen κ r)− 2 Fp (r)dr
2
5
2
0
0
√
m−1
1
≤ α sup (sen κσ )− 2 Fp (σ ).
2 σ ∈(0,r1 )
(2.36)
A seguir, vamos estimar a segunda integral do lado direito de (2.34). Usando a segunda desigualdade em (2.35), seguida dos fatos
∫
Fp (r) =
M∩Br (p)
f S1 dM ≤
∫
Ω
m−3
f S1 dM e r1 2
∫ 5r1
r− 2 dr =
m−1
∫ 5
s− 2 ds < 2,
m−1
(2.37)
1
r1
temos que a segunda integral no lado direito de (2.34) torna-se
√ )− m−1
(
)
(
∫
∫ 5r1
2
m−3
√
m−1
m−1
1 − m−1 −1 5r1
κr
1
−
−
2
sen
α 5 2 r1
Fp (r)dr ≤ α (sen κ r1 ) 2 r1
r 2 Fp (r)dr
2
5
2
r1
r1
) ∫
(
∫ 5r1
m−3
√
m−1
1
−
− m−1
≤ α (sen κ r1 ) 2 r1 2
r 2 dr ×
f S1 dM
2
r1
Ω
∫
√
m−1
< α (sen κ r1 )− 2
f S1 dM.
Ω
(2.38)
Aplicando as estimativas (2.36) e (2.38) acima no lado direito de (2.34), obtemos
∫ r1
√
√
m−1
m−1
1
(sen κ r)− 2 G p (r)dr < α sup (sen κσ )− 2 Fp (σ )
2 σ ∈(0,r1 )
0
∫
√
− m−1
+ α (sen κ r1 ) 2
f S1 dM.
(2.39)
Ω
Por outro lado, considerando o supremo em σ de 0 a r1 na desigualdade do Corolário 2.3.1, p.
46, e aplicando a primeira desigualdade de (2.37),
∫
∫ r1
√
√
√
m−1
m−1
m−1
sup (sen κσ )− 2 Fp (σ ) ≤ (sen κ r1 )− 2
f S1 dM +
(sen κ r)− 2 G p (r)dr.
σ ∈(0,r1 )
Ω
0
55
2.4 DEMONSTRAÇÃO DA DESIGUALDADE DE POINCARÉ
Substituindo (2.39) na desigualdade acima,
∫
√
√
√
m−1
m−1
m−1
1
f S1 dM + α sup (sen κσ )− 2 Fp (σ )
sup (sen κσ )− 2 Fp (σ ) < (sen κ r1 )− 2
2 σ ∈(0,r1 )
Ω
σ ∈(0,r1 )
∫
√
m−1
+ α (sen κ r1 )− 2
f S1 dM,
Ω
isto é,
∫
√
√
m−1
m−1
2(1 + α )
f S1 dM.
sup (sen κσ )− 2 Fp (σ ) <
(sen κ r1 )− 2
2−α
Ω
σ ∈(0,r1 )
(2.40)
Como, para κ > 0
((
) 1
)2
∫
m−1
m−1
√
1
2(1 + α ) (diam Ω)
,
√
r1 =
arcsen
κ
f S1 dM
2−α
A1 (Ω)
κ
Ω
temos
√
m−1
2(1 + α )
(sen κ r1 )− 2
2−α
∫
− 2
√
m−1 (diam Ω)
f S1 dM = ( κ )− 2
A1 (Ω)−1/2
Ω
m−1
)1/2
(∫
Ω
f S1 dM
e a desigualdade (2.40) torna-se
∫
√
√
m−1
m−1
2(1 + α )
f S1 dM
sup (sen κσ )− 2 Fp (σ ) <
(sen κ r1 )− 2
2−α
Ω
σ ∈(0,r1 )
)1/2
m−1 (∫
√ − m−1 (diam Ω)− 2
= ( κ) 2
f S1 dM
.
A1 (Ω)−1/2
Ω
(2.41)
Vamos estimar o lado esquerdo de (2.41). Usando a hipótese (2.23), obtemos
√
κ
((
2(1 + α )
2−α
)2
(diam Ω)m−1
A1 (Ω)
) 1
∫
Ω
m−1
f S1 dM
>
√
κ diam Ω.
Visto que arcsen x é uma função crescente, usando a definição de r1 para o caso κ > 0 e a
√
1
desigualdade acima, temos r1 > √ arcsen( κ diam Ω). Além disso, como arcsen x > x, x ∈
κ
(0, 1), temos
√
1
diam Ω < √ arcsen( κ diam Ω) < r1 .
(2.42)
κ
Portanto, diam Ω ∈ (0, r1 ) e, desta forma, diam Ω <
i(M)
. Usando estes e o fato
5
56
CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ
M ∩ Bdiam Ω ⊃ Ω, obtemos a estimativa a seguir para o lado direito de (2.41)
(
(
))− m−1 ∫
∫
2
√ − m−1
√
√
1
− m−1
2
2
( κ)
(diam Ω)
f S1 dM = sen κ √ arcsen( κ diam Ω)
f S1 dM
κ
Ω
Ω
∫
√
m−1
≤ (sen κ diam Ω)− 2
f S1 dM
M∩Bdiam Ω
∫
√
− m−1
≤ sup (sen κσ ) 2
σ ∈(0,r1 )
M∩Bσ (p)
f S1 dM,
(2.43)
√ − m−1
onde, na primeira
desigualdade
usamos
(2.42)
e
o
fato
que
(sen
κ x) 2 é uma função de(
)
crescente em 0, 2√π κ , enquanto que na segunda desigualdade usamos que diam Ω ∈ (0, r1 ).
Substituindo (2.43) em (2.41), obtemos
)1/2
m−1 (∫
∫
√ − m−1 (diam Ω)− 2
√ − m−1
m−1
−
f S1 dM < ( κ ) 2
( κ ) 2 (diam Ω) 2
f S1 dM
,
A1 (Ω)−1/2
Ω
Ω
isto é,
)1/2
(∫
Ω
f S1 dM
< A1 (Ω)1/2 .
Usando a hipótese (2.23) novamente na desigualdade acima, obtemos
(∫
)1/2
1/2
A1 (Ω) ≤
f S1 dM
< A1 (Ω)1/2 ,
Ω
que é claramente uma contradição e isto prova o lema para o caso κ > 0.
Agora estamos prontos para demonstrar o Teorema 2.1.1.
∫
Demonstração do Teorema 2.1.1. Denotemos por vm ( f , Ω) = A 1(Ω) Ω f S1 dM o valor médio
1
1
da função f . Se f : M → R satisfaz as condições do teorema, então f˜ =
f satisfaz
vm ( f ,Ω)
5
vm ( f˜, Ω) = 1. Definimos para a função f˜ a constante r0 = r1 , isto é,
2
(
)
(
) 2
m−1
√
2(1 + α )
5
κ
(diam Ω)
se κ > 0;
√ arcsen
2−α
2 κ
r0 =
(
) 2
m−1
5
2(1
+
α
)
(diam Ω)
se κ ≤ 0.
×
2
2−α
Logo, se 2r0 < i(M), então 5r1 < i(M). Portanto, usando o Lema 2.4.2, para todo p ∈ Ω existe
r(p) ∈ (0, r1 ) tal que
[
(
) ]
∫
∫
m−3
)
m(
κ
−
κ
0
−1
|∇ f˜|S1 +
+ S2 f˜ dM. (2.44)
f˜S1 dM ≤ 2α 5 2 r1
4
M∩Br(p) (p)
M∩B5r(p) (p)
2.4 DEMONSTRAÇÃO DA DESIGUALDADE DE POINCARÉ
57
∪
Visto que Ω ⊂ p∈Ω (M ∩ Br(p) (p)), usando o Lema 2.4.1 existe uma subcoleção de bolas duas
a duas disjuntas tais que
Ω⊂
∪
(M ∩ Br(p) (p)) ⊂
p∈Ω
∪
(M ∩ B5r(p) (p)),
p∈S
onde S é um subconjunto discreto de Ω. Além disso, a compacidade de Ω nos permite escolher
um conjunto finito S . Assim,
∫
Ω
f˜S1 dM ≤ ∑
∫
p∈S
M∩B5r(p) (p)
f˜S1 dM
[
(
) ]
m(κ − κ0 )
˜
|∇ f |S1 +
≤ 2α 5 r1 ∑
+ S2 f˜ dM
4
M∩B
(p)
r(p)
p∈S
(
) ]
∫ [
m(κ − κ0 )
−1 m−3
˜
≤ 2α 5 2 r1
|∇ f |S1 +
+ S2 f˜ dM,
4
Ω
−1
m−3
2
∫
onde, na última desigualdade, usamos que as bolas extrínsicas M ∩ Br(p) (p), p ∈ S , são disjuntas. Logo, para κ ≤ 0,
(
) 2
) ]
(
∫
∫ [
m−3
2(1 + α ) m−1
m(κ − κ0 )
−1
f S1 dM ≤ 2 × 5 2 α
(diam Ω)
+ S2 f dM
|∇ f |S1 +
2−α
4
Ω
Ω
e para κ > 0,
∫
Ω
f S1 dM ≤ 2 × 5
m−3
2
Como arcsen x < π2 x, temos
∫
(
((
))
) 2
m−1
√
1
2(1
+
α
)
α −1 √ arcsen
κ
(diam Ω)
×
2−α
κ
(
) ]
∫ [
m(κ − κ0 )
×
|∇ f |S1 +
+ S2 f dM.
4
Ω
∫ [
(
m(κ − κ0 )
f S1 dM ≤ Λ(m, α )(diam Ω)
|∇ f |S1 +
+ S2
4
Ω
Ω
onde
) ]
f dM,
(
) 2
m−1
2(1
+
α
)
m−3
−1
, se κ > 0.
π ×5 2 α
2−α
Λ(m, α ) =
) 2
(
m−1
α
)
2(1
+
m−3
2 × 5 2 α −1
, se κ ≤ 0.
2−α
Concluímos a prova do teorema calculando a constante Λ(m) e, para isto, iremos otimizar
(
) 2
m−1
1
+
α
Λ(m, α ). Notemos que a função g(α ) = α −1
tem um mínimo global
2−α
(
) 2
√
m−1
3m − 9 + 9m2 − 30m + 57
2(m − 1)
√
√
:= h(m).
m − 7 + 9m2 − 30m + 57 3m + 3 − 9m2 − 30m + 57
58
CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ
A função h(m) é uma função decrescente para m ≥ 3 e, além disso, limm→∞ h(m) = 21 . Logo
h(m) < h(3) < 2. Portanto, as constantes da desigualdade de Poincaré podem ser dadas por
{
m+1
m−3
π × 5 2 × 2 m−1 , se κ > 0;
Λ(m) =
2m
m−3
2 m−1 × 5 2 ,
se κ ≤ 0.
(
Finalmente, a escolha de α nos fornece
1+α
2−α
) 2
m−1
< 2 e, desta forma, podemos considerar
(√
)
m+1
5
√ arcsen
κ × 2 m−1 (diam Ω) se κ > 0;
2 κ
r0 =
2
5 × 2 m−1 (diam Ω)
se κ ≤ 0.
2.5
Demonstração do resultado de estabilidade
Antes de demonstrar o Teorema 2.1.3, apresentamos uma desigualdade de Poincaré modificada
envolvendo o primeiro operador de Newton P1 .
m+1
Proposição 2.5.1. Seja M
, m ≥ 3, uma variedade Riemanniana (m + 1)−dimensional de
curvatura seccional limitada superiormente por uma constante κ ∈ R. Seja M m uma hipersuperm+1
fície de M
, possivelmente com fronteira, tal que S1 ̸= 0 e S2 ≥ 0. Assuma uma orientação
de M tal que S1 > 0. Sejam Ω ⊂ M um domínio regular tal que Ω ∩ ∂ M = 0/ e f : M → R uma
função não negativa, de classe C 1 e com suporte compacto contido em Ω. Se 2r0 < i(M), então
(
) ]
∫
∫ [
Λ(m)
m(κ − κ0 )
1/2
1/2
f S1 dM ≤ √ (diam Ω)
S1 ⟨P1 (∇ f ), ∇ f ⟩ +
+ S2 f dM, (2.45)
4
Ω
Ω
2
{
onde
Λ(m) =
m−3
m+1
π × 5 2 × 2 m−1 , se κ > 0;
2m
m−3
2 m−1 × 5 2 ,
se κ ≤ 0.
Demonstração. Modificando a estimativa (2.15), p. 44, na demonstração do Teorema 2.3.1,
por
⟨P1 (∇ f ), ∇ρ ⟩ ≤ ⟨P1 (∇ f ), ∇ f ⟩1/2 ⟨P1 ((∇ρ )T ), ∇ρ ⟩1/2
≤ ⟨P1 (∇ f ), ∇ f ⟩1/2 (2S1 )1/2
√ 1/2
= 2S1 ⟨P1 (∇ f ), ∇ f ⟩1/2 ,
podemos redefinir a função G p (r), ver (2.26), p. 51, por
)
]
[
(
∫
1 1/2
m(κ − κ0 (x))
1/2
√ S1 (x)⟨P1 (∇ f ), ∇ f ⟩ (x) +
+ S2 (x) f (x) dM.
G p (r) =
4
M∩Br (p)
2
Reescrevendo a demonstração do Teorema 2.1.1, passo-a-passo, usando a definição de G p (r)
acima no Lema 2.4.2, obtemos o resultado.
59
2.5 DEMONSTRAÇÃO DO RESULTADO DE ESTABILIDADE
Demonstração do Teorema 2.1.3. Nossa escolha de orientação, isto é, tal que S1 > 0 em todo
ponto, e a desigualdade S1 S3 ≤ S22 implicam S3 ≤ 0 em todo ponto. Desta forma, a condição de
estabilidade é equivalente a
−3
∫
S3 u dM ≤
∫
2
Ω
Ω
⟨P1 (∇u), ∇u⟩dM
(2.46)
para qualquer função u : Ω ⊂ M → R de classe C 1 , com suporte compacto e u|∂ Ω = 0, onde Ω
é um domínio regular. Suponhamos que Ω é instável. Isto significa que existe uma função não
negativa u : Ω → R, de classe C 1 , com suporte compacto, satisfazendo u|∂ Ω = 0 e tal que
∫
∫
2
Ω
(−S3 )u dM >
Ω
⟨P1 (∇u), ∇u⟩dM.
(2.47)
Escolhendo f = u2 , a desigualdade de Poincaré (2.45) acima para S2 = 0 e M
torna-se
∫
∫
√
1/2
u2 S1 dM ≤ 2Λ(m)(diam Ω) S1 u⟨P1 (∇u), ∇u⟩1/2 dM.
Ω
m+1
= Rm+1
Ω
Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz no lado direito da desigualdade acima, obtemos
∫
Ω
1/2
S1 u⟨P1 (∇u), ∇u⟩1/2 dM ≤
(∫
)1/2 (∫
2
Ω
u S1 dM
Ω
)1/2
⟨P1 (∇u), ∇u⟩dM
e, portanto,
(∫
)1/2
2
Ω
u S1 dM
(∫
)1/2
√
≤ 2Λ(m)(diam Ω)
⟨P1 (∇u), ∇u⟩dM
.
Ω
Usando a hipótese (2.47) temos
∫
Ω
∫
u S1 dM ≤ 2Λ(m) (diam Ω)
2
2
2
< 2Λ(m)2 (diam Ω)2
∫Ω
⟨P1 (∇u), ∇u⟩dM
(−3S3 )u2 dM
)∫
−3S3
2
2
≤ 2Λ(m) (diam Ω) sup
u2 S1 dM,
S1
Ω
Ω
isto é,
)
−3S3
,
1 < 2Λ(m) (diam Ω) sup
S1
Ω
(
2
o que é uma contradição.
Ω (
2
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Apêndice
Vamos demonstrar o seguinte fato estabelecido na Introdução:
Seja x : M 3 → R4 uma imersão isométrica com curvatura escalar nula. Se H e K denotam
a curvatura média e a curvatura de Gauss-Kronecker, respectivamente, então
0≤
4
−K
≤
3
H
27
em todo ponto de M.
De fato, seja (λ1 , λ2 , λ3 ) = t ω onde ω ∈ S2 . Usando (1.1), podemos ver que R, H e K são
polinômios homogêneos. Isto implica H(t ω ) = tH(ω ), R(t ω ) = t 2 R(ω ), K(t ω ) = t 3 K(ω ) e
portanto
K
K
(t ω ) = 3 (ω ).
3
H
H
Desta forma, vemos que o comportamento de HK3 depende apenas de sua restrição à esfera
S2 . Como N := {(λ1 , λ2 , λ3 ) ∈ R3 ; R = λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 λ3 = 0} é fechada e S2 é compacta,
obtemos que Nω = N ∩ S2 é compacta, ver figura 1 abaixo. Isto implica que HK3 : Nω → R é
uma função contínua com suporte compacto. Usando o teorema dos máximos e mínimos de
Weierstrass, vemos que HK3 : Nω → R atinge um valor máximo e um valor mínimo em Nω .
4
O valor mínimo é obviamente igual a zero e o valor máximo 27
pode ser calculado usando o
método dos multiplicadores de Lagrange.
K
sobre S2 , considerando o quociente como uma função
H3
algébrica de seus autovalores. Este domínio é a intersecção do plano λ1 + λ2 + λ3 = 1 com S2 . A hipótese
suprime apenas três pequenas vizinhanças em torno dos eixos coordenados.
Figura 1 Representação do domínio Nω de
63
Índice Remissivo
Bola geodésica, 13, 42
Gradiente, 13, 37
Campo de vetores
normais, 14, 37
radial, 40, 43
Cilindro, 25
Curvatura
de Gauss-Kronecker, 12
escalar, 12, 31, 32
média, 12, 31
seccional, 31, 32, 42
Hipersuperfície de rotação, 25
Desigualdade
clássica de Poincaré, 30
de estabilidade, 15
do valor médio, 35, 42
isoperimétrica, 33
tipo Poincaré, 31
tipo Sobolev, 23
Diâmetro extrínsico, 31
Distância
função, 31
geodésica, 40
intrínsica, 14
Divergência, 13, 37
Domínio regular, 12, 31
Imersão estável, 13, 34
Primeira transformação de Newton, 12, 15, 34,
37
Referencial
geodésico, 16
Segunda forma fundamental, 12, 14, 30, 37
autovalores, 16, 37
derivada covariante, 16
Tensor de Ricci, 34, 38
Teorema
A, 14, 23
B, 14, 24
C, 14, 27
de Bernstein, 24
de Gauss-Green, 42, 43
Tubo, 14, 26
Variação, 12, 34
Volume, crescimento polinomial de, 13
Equação de Codazzi, 38
Esfera Euclidiana, 32
Espaço
Euclidiano, 32
hiperbólico, 32
Fórmula
da coárea, 44
de Monotonicidade, 35, 47
Função simétrica
primeira, 31
segunda, 31
terceira, 34
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