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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA UFBA-UFAL

FERNANDA GONÇALVES DE PAULA

A dimensão de Gelfand-Kirillov em
característica positiva
Tese de Doutorado

Maceió
2014

FERNANDA GONÇALVES DE PAULA

A dimensão de Gelfand-Kirillov em característica positiva
Tese de Doutorado apresentada ao Programa
de Pós-graduação em Matemática UFBAUFAL do Instituto de Matemática da Universidade Federal de Alagoas como requisito parcial
para obtenção do grau de Doutor em Matemática.

Orientador:

Maceió
2014

Prof. Dr. Sérgio Mota Alves

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecário Responsável: Valter dos Santos Andrade
P324d

Paulo, Fernanda Gonçalves de.
A dimensão de Gelfand-Kirillov em característica positiva / Fernanda
Gonçalves de Paula. – Maceió, 2014.
54 f.
Orientador: Sérgio Mota Alves.
Tese (Doutorado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto
de Matemática. Doutorado Interinstitucional UFAL/UFBA. Programa de
Pós-graduação em Matemática. Maceió, 2014.
Bibliografia: f. 53-54.
1. Identidades polinomiais. 2. Álgebras verbalmente primas. 3. Dimensão de
Gelfano-Kirillov. 4. Álgebras relativamente livres. 5. Álgebra de Grassmann.
I. Título.

CDU: 512.57

Ao meu esposo Raul e ao nosso filho Gustavo.

Agradecimentos
Ao meu esposo Raul Ramires François, pelo amor, companheirismo e por ter tornado possível a realização deste trabalho.
Ao meu orientador, Prof. Dr. Sérgio Mota Alves, muito mais que um orientador, um grande
amigo, por todo o apoio e confiança que sempre me dedicou.
Aos meus pais Hilda e Antônio, pelo amor incondicional e por todos os esforços que fizeram durante toda a minha vida para que eu tivesse sempre o melhor.
Às minhas irmãs Fabiana, Patrícia e Aline, minhas eternas amigas e companheiras para o
resto da vida, por todo o carinho e amor.
Aos meus queridos tios Ira e Carlos, minha prima Marina e minha linda vó Hamilta, que
mesmo longe sempre se fizeram presentes em minha vida, me apoiando e vibrando com cada
conquista alcançada.
Aos professores do Departamento de Matemática da UFBA e da UFAL, em especial ao professor e amigo André Flores, pelos ensinametos, pelas longas conversas, enfim, por ser sempre
um rosto amigo disposto a me ajudar.
Aos membros da banca examinadora, em especial aos professores Brandão e Plamen, pelas
valiosas correções e sugestões que contribuíram de forma significativa para a melhoria deste
trabalho.
Ao querido Gregório, por sua prontidão em me ajudar a formatar esta tese de modo tão
decisivo e efetivo.
À UESC, pelo apoio financeiro indispensável.

5

But we’re never gonna survive, unless we get a little crazy
—SEAL

Resumo
As álgebras verbalmente primas são bem conhecidas em característica 0, mas sobre corpos
de característica p > 2 pouco sabemos sobre elas. Nesse trabalho vamos discutir algumas diferenças entre estes dois casos de característica sobre corpos infinitos. Discutiremos algumas
propriedades envolvendo as álgebras Aa,b e Ma,b (E) ⊗ E em característica positiva e usaremos
estas propriedades para calcular a dimensão de Gelfand-Kirillov da álgebra relativamente livre
de posto m na variedade gerada por Ma,b (E) ⊗ E. Apresentaremos um modelo genérico para
Um (Mn (E) ⊗ E). Usando este modelo, calcularemos a dimensão de Gelfand-Kirillov das álgebras relativamente livres de posto m na variedade determinada pela álgebra Mn (E) ⊗ E. Como
conseqüência, obteremos a prova da não PI-equivalência entre álgebras importantes para a PIteoria em característica positiva. Por fim, lançaremos uma conjectura acerca da dimensão de
Gelfand-Kirillov de álgebras universais, no que diz respeito ao produto tensorial de álgebras
verbalmente primas pela álgebra de Grassmann.
Palavras-chave: Identidades Polinomiais, Álgebras verbalmente primas, dimensão de GelfandKirillov, Álgebras relativamente livres, Álgebra de Grassmann.

Abstract
The verbally prime algebras are well understood in characteristic 0 while over a field of characteristic p > 2 little is known about them. In this work we discuss some sharp differences
between these two cases for the characteristic. We discuss some properties of the algebras
Aa,b and Ma,b (E) ⊗ E in positive characteristic and we use these properties to compute the
Gelfand-Kirillov dimension of the relatively free algebras of rank m in the variety generated
by Ma,b (E) ⊗ E. We exhibit a construction of a generic model for the algebra Um (Mn (E) ⊗ E).
By using these models we compute the Gelfand-Kirillov dimension of the relatively free algebras of rank m in the variety generated by Mn (E) ⊗ E. As a consequence we obtain the PI
non equivalence of important algebras for the PI theory in positive characteristic. Finally, we
launch a conjecture about the Gelfand-Kirillov dimension of the universal algebras, concerning
the tensor product of verbally prime algebras by Grassmann algebra.
Keywords: Polynomial Identities, Verbally prime algebra, Gelfand-Kirillov dimension, relatively free algebras, Grassmann algebras.

Sumário

Introdução

10

1

Conceitos Preliminares
1.1 Alguns conceitos básicos sobre álgebras
1.2 Álgebras com identidades polinomiais
1.3 Variedades e álgebras relativamente livres
1.4 Identidades polinomiais homogêneas, multilineares e próprias
1.5 Identidades graduadas

14
14
16
19
22
24

2

O Teorema do Produto Tensorial
2.1 A Teoria de Kemer
2.2 Álgebras genéricas
2.3 O que era conhecido
2.4 As álgebras Aa,b e Ma,b (E) ⊗ E

28
28
29
31
34

3

GK-dimensão de álgebras
3.1 Conceitos Básicos e Propriedades
3.2 Sobre a GK-dimensão de Um (A )
3.2.1 As álgebras E ⊗ E e M1,1 (E)
3.2.2 GK-dimensão de Um (Aa,b ) e Um (Ma,a (E) ⊗ E)
3.3 GK-dimensão de Um (Ma,b (E) ⊗ E)
3.4 GK-dimensão de Um (Mn (E) ⊗ E)

38
38
42
43
44
45
46

4

Conjectura
4.1 Justificativa
4.2 A Conjectura

51
51
52

Referências

53

Introdução
A área do conhecimento matemático na qual este trabalho se insere é álgebra: teoria de
anéis, e mais especificamente, na teoria das álgebras com identidades polinomiais (PI-álgebras).
As álgebras de matrizes sobre anéis, bem como as álgebras comutativas e as de dimensão
finita são objetos de estudo de grande importância devido ao seu amplo aspecto de aplicações.
Estas álgebras são exemplos de estruturas que compartilham o fato de satisfazerem relações
polinomiais entre seus elementos. Mais precisamente, para cada uma das álgebras acima, existe
um polinômio f (x1 , . . . , xn ) com variáveis não comutando que se anula quando avaliado nos
elementos das mesmas. A álgebra que cumpre esta condição é denominada uma álgebra com
identidade polinomial, ou simplesmente uma PI-álgebra. Seu estudo, a grosso modo, consiste
em relacionar o efeito das identidades polinomiais na estrutura das álgebras que as satisfazem.
Historicamente, o desenvolvimento da Teoria de Identidades Polinomiais começou na década de 30, com os trabalhos de Dëhn e Wagner. Nesses trabalhos aparecem, embora de forma
implícita, algumas identidades polinomiais para as matrizes de ordem 2. Temos de ressaltar
que tais conceitos encontram-se ainda em trabalhos de Sylvester, por volta de 1852. Mas a
pesquisa das PI-álgebras começou a se intensificar por volta dos anos 1950, época do celebre
Teorema de Amitsur e Levitzki, um resultado clássico mostrando que a álgebra das matrizes
de ordem n com entradas num corpo satisfaz o polinômio standard de grau 2n (isto é, a somatória alternada de todos os produtos de 2n matrizes de ordem n é sempre igual á matriz nula).
Na mesma época, algebristas reconhecidos deram contribuições importantes para a PI-teoria.
Podemos relacionar aqui os nomes de Jacobson, Kaplansky, Herstein, Malcev, Cohn, Shirshov,
entre outros. Vários algebristas têm trabalhado na área; segue uma lista de nomes (sem qualquer pretensão de ser completa): Posner, Procesi, Regev, Razmyslov, Braun, Formanek, Swan,
Latyshev, Bahturin, Zelmanov, Rowen, Kemer, Drensky, Giambruno, Zaicev, Berele.
As álgebras verbalmente primas desempenham um papel proeminente na PI-teoria. Lembramos que uma álgebra é verbalmente prima se seu T-ideal é primo na classe de todos os
T-ideais (ou seja, ideais de identidades polinomiais) na álgebra associativa livre. A maioria
dos resultados conhecidos sobre álgebras verbalmente primas trata do caso de corpos de característica zero. A teoria estrutural de T-ideais desenvolvida por Kemer classificou as álgebras
verbalmente primas sobre tais corpos. Mais ainda, Kemer mostrou que os T-ideais verbalmente
semiprimos são intersecções finitas de T-ideais verbalmente primos e, finalmente que, se I é
um T-ideal, então J n ⊆ I ⊆ J para alguma escolha de n e de um T-ideal J verbalmente
semiprimo.
Denotando por K o corpo de base, se char K = 0, de acordo com a teoria de Kemer, as
álgebras verbalmente primas são exatamente as seguintes: primeiramente as triviais, ou seja,
{0} e K⟨X⟩ a álgebra associativa livre de posto infinito. Por conseguinte, Mn (K), a álgebra das
matrizes n × n com entradas em K. Denotamos por E a álgebra de Grassmann (ou exterior)
do espaço vetorial V com base {e1 , e2 , . . . }. Então, E tem base consistindo dos elementos 1 e
ei1 . . . eik onde i1 < · · · < ik e k = 1, 2, . . . e a multiplicação em E é induzida por ei e j = −e j ei para
todos i e j. Outra classe de álgebras verbalmente primas é dada pela álgebra das matrizes n × n

INTRODUÇÃO

11

com entradas em E, denotada por Mn (E). A álgebra E tem Z2 -graduação natural definida como
segue: sendo E0 o centro de E, então E0 é gerado como espaço vetorial por todos os monômios
na base de E com comprimento par; denotamos por E1 o espaço gerado pelos monômios de
comprimento ímpar. Então, os elementos de E1 anti-comutam. Definimos agora a última classe
de álgebras verbalmente primas, denotada por Ma,b (E). Esta é a subálgebra de Ma+b (E) que
consiste de todas as matrizes
(
)
Ma (E0 ) Ma×b (E1 )
.
Mb×a (E1 ) Mb (E0 )
Duas álgebras A e B são ditas PI-equivalentes, escrevemos A ∼ B, se elas satisfazem
as mesmas identidades polinomiais. Como uma conseqüência de sua teoria estrutural, Kemer
descreveu a PI-equivalência nos produtos tensoriais de álgebras verbalmente primas.
Esta descrição é conhecida como
Teorema do Produto Tensorial(T.P.T.). Seja char K = 0. Então,
(1) Ma,b (E) ⊗ E ∼ Ma+b (E);
(2) Ma,b (E) ⊗ Mc,d (E) ∼ Mac+bd,ad+bc (E);
(3) E ⊗ E ∼ M1,1 (E).
Aqui, e no que segue, todos os produtos tensoriais são considerados sobre o corpo K.
Como conseqüência de sua teoria estrutural, Kemer (1987) resolveu em afirmativo o famoso
e antigo problema (1950) dado por Specht: Todo T-ideal em característica zero é finitamente
gerado como um T-ideal? Uma das principais ferramentas utilizadas nesta tarefa foram as
identidades graduadas. Recomendamos a leitura de [16] para mais detalhes sobre a teoria
estrutural de PI-álgebras e as contribuições de Kemer nesta teoria.
O Teorema do Produto Tensorial admite provas que independem da teoria estrutural. A
primeira prova foi dada por Regev [22] e, mais tarde Di Vincenzo; Di Vincenzo e Nardozza
provaram casos deste teorema, veja ([11],[12],[13]). Lembramos que todas estas provas foram
construídas sob a hipótese de que o corpo base é de característica zero. Outras provas elementares de casos do T.P.T. foram dadas em ([6],[5],[18]). Voltamos nossa atenção para o fato que,
em ([6],[5],[18]), o comportamento dos correspondentes T-ideais em característica positiva foi
estudado. Nestes, os autores provaram que o T.P.T. continua válido sobre corpos infinitos de
característica positiva p > 2, restringindo-se somente as identidades polinomiais multilineares.
Mais ainda, em [6], os mesmos provaram que a terceira afirmação do T.P.T. falha e, em [5],
também provaram que a primeira afirmação falha (quando a = b = 1).
Em [18], os autores construíram um modelo apropriado para a álgebra relativamente livre na
variedade das álgebras determinadas por E ⊗E quando char K = p > 2. Este modelo é a álgebra
genérica de A = K ⊕ M1,1 (E ′ ), onde E ′ denota a álgebra de Grassmann sem unidade. Eles
provaram que as álgebras A e E ⊗ E satisfazem as mesmas identidades polinomiais ordinárias.
Usando propriedades da álgebra A , em [6] os autores provaram que T (M1,1 (E)) T (E ⊗
E) em característica positiva. Mais ainda, em [5], foram construídas as subálgebras Aa,b de
Ma+b (E)(veja Exemplo 1.1.8) e A1,1 foi utilizada para estabelecer não inclusão T (M2 (E))
T (M1,1 (E) ⊗ E). Também em [5], os autores provaram que M1,1 (E) ⊗ E ∼ A1,1

12

INTRODUÇÃO

e, utilizando identidades graduadas, estabeleceram a inclusão
T (Ma+b (E)) ⊆ T (Ma,b (E) ⊗ E).
Em [4], Alves e Koshlukov apresentaram uma identidade polinomial para a álgebra Ma,b (E)⊗
E que não é identidade polinomial para Ma+b (E), provando assim que a inclusão acima é própria. Nos resultados obtidos nos artigos [4] e [1], Alves e Koshlukov, usando potências do
polinômio standard, completaram a demonstração de que o Teorema do Produto Tensorial de
Kemer não pode ser transportado para corpos infinitos de característica maior que dois. Salientamos que em [1] Alves provou que Aa,b ̸∼ Ma+b (E).
A dimensão de Gelfand-Kirillov foi introduzida originalmente por Gelfand e Kirillov (1966)
para estudar o crescimento de álgebras de Lie de dimensão finita e posteriormente tornou-se um
importante invariante para álgebras afins, pois a mesma independe da escolha de seu conjunto
de geradores (ao contrário das séries de Hilbert). Uma referência padrão sobre GK-dimensão
é o livro de Krause e Lenagan (veja [19]), que também contém os principais resultados sobre
GK-dimensão para PI-álgebras.
As álgebras relativamente livres (também chamadas de universais) de posto m, Um (Mn (E))
e Um (Ma,b (E)), nas variedades determinadas por Mn (E) e Ma,b (E), respectivamente, foram
construídas por Berele em [7]. No que segue vamos assumir que o posto das respectivas álgebras relativamente livres é ≥ 2. Em [21], Procesi calculou a GK-dimensão da álgebra gerada por
m matrizes genéricas de ordem n, ou seja, mostrou que GKdim [Um (Mn (K))] = (m − 1)n2 + 1.
Em [7], Berele mostrou que GKdim [Um (Mn (E))] = (m − 1)n2 + 1 e GKdim [Um (Ma,b (E))] =
(m − 1)(a2 + b2 ) + 2.
Através da construção de modelos genéricos apropriados, em [4] e [1], os autores calcularam a dimensão de Gelfand-Kirillov das álgebras universais determinadas pelas álgebras:
E ⊗ E, Ma,a (E) ⊗ E e Aa,b quando o corpo de base é infinito com char K = p > 2. Como conseqüência, obtiveram a não PI-equivalência entre álgebras relacionadas com as mesmas, que
desempenham um papel importante na PI-teoria.
Recentemente Alves (veja [3]), usando polinômios centrais, provou a não PI-equivalência
das álgebras Mn,n (E) e Mn (E) ⊗ E.
Neste trabalho, apresentaremos os resultados obtidos nos artigos [25], [26] e [27]. A essência deste trabalho está na tentativa de generalizar métodos e resultados desenvolvidos por
Procesi e Berele em característica zero.
Mais especificamente:
• Calculamos a GK-dimensão da álgebra relativamente livre de posto m, Um (Ma,b (E) ⊗ E),
na variedade gerada por Ma,b (E) ⊗ E, em característica positiva p > 2.
• Obtemos, como consequência do item anterior, a não PI-equivalência das álgebras Ma,b (E)⊗
E e Ma+b (E) em característica positiva p > 2 e também respondemos à seguinte questão
deixada em [5]:
Sabemos que T (Ma,b (E) ⊗ E) = T (Mc,d (E) ⊗ E) quando a + b = c + d e char K = 0. Isto
é verdade quando char K = p > 2?

INTRODUÇÃO

13

• Calculamos GKdim [Um (Mn (E) ⊗ E)] quando char K = p > 2 e n > 1 e obtemos, a partir
deste cálculo, uma nova prova da não PI-equivalência das álgebras Mn,n (E) e Mn (E) ⊗ E.
• Com base nos itens anteriores, lançamos uma conjectura acerca da dimensão de GelfandKirillov de álgebras universais, no que diz respeito ao produto tensorial de álgebras verbalmente primas pela álgebra de Grassmann.
O texto está organizado em quatro capítulos. Ressaltamos que procuramos torná-los o mais
independente possível. Os capítulos foram estruturados da seguinte forma:
• O Capítulo 1 é dedicado às definições preliminares e apresentação de alguns dos nossos objetos de estudo, bem como alguns aspectos históricos e resultados clássicos que
motivaram o desenvolvimento da teoria das Identidades Polinomiais, ou simplesmente
PI-teoria. Este capítulo auxilia o leitor como referência aos resultados básicos. Ressaltamos que para um leitor com bom conhecimento básico da PI-teoria, a leitura deste
capítulo pode ser omitida sem comprometimento dos demais. Optamos por não discutir
a dimensão de Gelfand-Kirillov neste capítulo e deixar isso para o capítulo 3.
• O Capítulo 2 é dedicado ao Teorema do Produto Tensorial de Kemer. Inicialmente, apresentamos um breve resumo sobre a teoria estrutural dos T-ideais desenvolvida por Kemer
para álgebras sobre corpos de característica zero. Em seguida apresentamos o Teorema
do Produto Tensorial de Kemer e os resultados conhecidos sobre o mesmo, até o início de
nossos estudos, quando o corpo de base é infinito com característica p > 2. Por último,
estabelecemos a inclusão T (Aa,b (E)) ⊆ T (Ma,b ⊗ E) para a ̸= b em característica p > 2.
• O Capítulo 3 é dedicado à dimensão de Gelfand-Kirillov. Iniciamos apresentando conceitos básicos e um breve estudo sobre a GK-dimensão das álgebras universais e alguns
resultados importantes obtidos anteriormente aos nossos estudos. Calculamos a GKdimensão da á universal de posto m na variedade gerada por Ma,b (E) ⊗ E em característica positiva e, a partir deste cálculo, concluímos que Ma,b (E) ⊗ E  Ma+b (E). Apresentamos um modelo genérico apropriado para Um (Mn (E) ⊗ E) e, a partir deste, calculamos
a GK-dimensão do mesmo em característica positiva. A partir deste cálculo, obtemos
uma nova prova de que as álgebras Mn,n (E) e Mn (E) ⊗ E não são PI-equivalentes.
• O Capítulo 4 é dedicado à apresentação de uma conjectura acerca da dimensão de GelfandKirillov de álgebras universais, no que diz respeito ao produto tensorial de álgebras verbalmente primas pela álgebra de Grassmann.
Acreditamos que os resultados contidos neste trabalho vão em direção a uma melhor compreensão dos T-ideais em característica positiva, compreensão esta, ainda além dos nossos conhecimentos atuais.

C APÍTULO 1

Conceitos Preliminares
Nosso objetivo neste capítulo é relembrar definições e resultados importantes para uma
melhor compreensão do texto. Em geral, não apresentaremos demonstrações, e em casos mais
importantes, indicaremos as devidas referências bibliográficas.

1.1

Alguns conceitos básicos sobre álgebras

Iniciamos com a definição do objeto central de nossos estudos.
Definição 1.1.1. Diremos que um K -espaço vetorial A munido de uma operação binária,
∗ : A × A → A , denominada de multiplicação, tem estrutura de K -álgebra (ou A é uma
álgebra sobre K , ou simplesmente que A é uma álgebra) se, para qualquer α ∈ K e quaisquer
a, b, c ∈ A , valer:

(1) (a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c;
(2) a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c;
(3) α (a ∗ b) = (α a) ∗ b = a ∗ (α b)
Para simplificar a notação, vamos escrever ab ao invés de a ∗ b.
Definição 1.1.2. Seja A uma K -álgebra, diremos que:

(1) A é comutativa, se ab = ba para quaisquer a, b ∈ A ;
(2) A é associativa, se (ab)c = a(bc) para quaisquer a, b, c ∈ A ;
(3) A é unitária, se existir 1A ∈ A tal que 1A a = a1A = a para qualquer a ∈ A (vamos
escrever 1 ao invés de 1A ).
Em praticamente todo texto, vamos trabalhar com álgebras associativas unitárias tendo
corpo de base infinito. Assim, no que segue, a menos que seja feita menção explícita em
contrário, o termo álgebra deverá ser entendido como uma K-álgebra associativa unitária.
Definição 1.1.3. Um K -subespaço vetorial B de uma álgebra A será denominado uma K subálgebra de A se tiver estrutura de álgebra, isto é, se B for fechado com respeito á operação
binária de A . O subespaço B será denominado um ideal à esquerda de A se A B ⊆ B . De
modo similar, definimos ideal à direita de A . Um ideal bilateral será simplesmente denominado
de ideal.
Nos próximos exemplos, recordamos as definições de algumas álgebras e subálgebras que
serão utilizadas no decorrer do texto.
14

15

1.1 ALGUNS CONCEITOS BÁSICOS SOBRE ÁLGEBRAS

Exemplo 1.1.4. Seja V um K -espaço vetorial com base enumerável {ei | i ∈ I}. A álgebra de
Grassmann (ou exterior) E = E(V ) é a álgebra associativa gerada por {1, ei | i ∈ I} satisfazendo
as relações
ei e j = −e j ei para todos i, j ∈ I.

Mais ainda, se char K = 2, impomos:
e2i = 0 para todo i ∈ I.

Observe que D = {1, ei1 . . . eir | 1 ≤ i1 < · · · < ir ; r = 1, 2, . . . } é uma base para E . Além disso,
se Vn é o subespaço de V gerado por {e1 , . . . , en } denotaremos por E(Vn ) sua correspondente
álgebra de Grassmann.
Exemplo 1.1.5. O conjunto Z(A ) = {a ∈ A | ax = xa, ∀x ∈ A } é uma subálgebra de A
denominada o centro de A e seus elementos são ditos ser centrais. Se A = E (álgebra de
Grassmann) é fácil ver que, se char K ̸= 2, então Z(E) = E0 onde E0 é o subespaço de E gerado
pelo conjunto D0 = {1, ei1 . . . eir | 1 ≤ i1 < · · · < ir ; r = 2, 4, . . . }.
Exemplo 1.1.6. O K -espaço vetorial das matrizes n × n com entradas no corpo K , denotado
por Mn (K), munido com a multiplicação usual de matrizes, tem estrutura de álgebra.
Exemplo 1.1.7. O K -espaço vetorial das matrizes n × n com entradas na álgebra de Grassmann
E , denotado por Mn (E), munido com a multiplicação usual de matrizes, tem estrutura de álgebra. Sendo a, b ∈ N com a + b = n, é fácil verificar através de multiplicação de matrizes, que o
K -subespaço de Ma+b (E)
{(
}
)
A B
Ma,b (E) =
| A ∈ Ma (E0 ), B ∈ Ma×b (E1 ),C ∈ Mb×a (E1 ), D ∈ Mb (E0 ) ,
C D

tem estrutura de álgebra. Aqui, E1 é o subespaço de E gerado por
D1 = {ei1 . . . eir | 1 ≤ i1 < · · · < ir ; r = 1, 3, . . . }.

Observamos que os elementos de E1 anticomutam entre si.
Exemplo 1.1.8. Sendo a, b ∈ N com a + b = n, é fácil verificar através de multiplicação de
matrizes, que o K -subespaço de Ma+b (E)
{(
}
)
A B
Aa,b =
| A ∈ Ma (E), B ∈ Ma×b (E ′ ),C ∈ Mb×a (E ′ ), D ∈ Mb (E)
C D

tem estrutura de álgebra. Aqui, E ′ denota a álgebra de Grassmann sem unidade.
′

′

Exemplo 1.1.9. Seja A uma álgebra sem unidade. Podemos mergulhar A numa álgebra com
′
unidade. Com efeito, seja A = K ⊕ A como soma direta de espaços vetoriais. Definimos em
′
A a seguinte multiplicação, para todos a, b ∈ A e para todos α , β ∈ K
(α , a)(β , b) = (αβ , α b + aβ + ab).
′

Assim, (1, 0) é unidade de A e a inclusão A ,→ A é um mergulho (ou seja, homomorfismo
′
injetor). Diremos que A é obtida a partir de A por adjunção da unidade.

16

CAPÍTULO 1 CONCEITOS PRELIMINARES

Exemplo 1.1.10. Consideramos agora a subálgebra de Ma+b (K) definida por:
{(
}
)
A B
Ma Mb =
| A ∈ Ma (K); B ∈ Ma×b (K) e C ∈ Mb (K) .
0 C

Denotaremos por Ma Mb a subálgebra de Ma Mb obtida considerando B = 0.
Definição 1.1.11. Uma transformação linear Φ : A → B é um homomorfismo de álgebras
se Φ(ab) = Φ(a)Φ(b) para quaisquer a, b ∈ A e além disso Φ(1A ) = 1B . Analogamente às
demais estruturas algébricas, chamamos Φ de isomorfismo quando Φ for um homomorfismo
bijetor, mergulho quando Φ for injetor, endomorfismo quando Φ for um homomorfismo de A
em A e automorfismo quando Φ for um endomorfismo bijetor.

1.2 Álgebras com identidades polinomiais
Nesta seção, introduziremos as álgebras com identidades polinomiais, uma classe muito
importante de álgebras. Pois, além de surgirem como uma generalização das álgebras nilpotentes, comutativas e as de dimensão finita, elas mantém várias das boas propriedades destas
classes.
Definição 1.2.1. Para o conjunto X = {x1 , x2 , . . . , } de variáveis não comutativas, K⟨X⟩ denotará a álgebra associativa livre, isto é, K⟨X⟩ tem como base os elementos da forma
xi1 . . . xin ; xi j ∈ X ; n = 0, 1, 2, . . .

e a multiplicação definida por
(xi1 . . . xik )(x j1 . . . x jl ) = xi1 . . . xik x j1 . . . x jl onde xit , x js ∈ X.

Os elementos de K⟨X⟩ são denominados de polinômios.
′
O subespaço K⟨X⟩ ⊂ K⟨X⟩ gerado pelos elementos da forma
xi1 . . . xin ; xi j ∈ X ; n = 1, 2, . . .

é um ideal denominado álgebra associativa livre sem unidade.
Observe que a álgebra K⟨X⟩ definida acima é, noutras palavras, a álgebra dos polinômios
associativos e não comutativos.
Definição 1.2.2. Um polinômio f (x1 , . . . , xn ) ∈ K⟨X⟩ (ou a expressão f (x1 , . . . , xn ) = 0) é
denominado uma identidade polinomial da álgebra A se f (a1 , . . . , an ) = 0 para quaisquer
a1 , . . . , an ∈ A . Uma álgebra com identidade polinomial (PI-álgebra) é uma álgebra que satisfaz uma identidade polinomial não nula.
Seguem alguns exemplos importantes de álgebras com identidades polinomiais, ou seja, de
PI-álgebras.

1.2 ÁLGEBRAS COM IDENTIDADES POLINOMIAIS

17

Exemplo 1.2.3. Toda álgebra comutativa A é uma PI-álgebra, pois o polinômio comutador
f (x1 , x2 ) = [x1 , x2 ] = x1 x2 − x2 x1 é uma identidade polinomial para A .
Exemplo 1.2.4. A álgebra de Grassmann E é uma PI-álgebra, pois um cálculo direto usando
os elementos da base de E mostra que o polinômio f (x1 , x2 , x3 ) = [[x1 , x2 ], x3 ] é uma identidade
polinomial para E .
Exemplo 1.2.5. (Regev, [14]) Seja E ′ a álgebra de Grassmann sem unidade sobre um corpo
infinito K com char K = p ̸= 0. Então, f (x) = x p é uma identidade polinomial para E ′ .
Exemplo 1.2.6. A álgebra M2 (K) satisfaz a identidade f (x1 , x2 , x3 ) = [[x1 , x2 ]2 , x3 ] conhecida
como a identidade de Hall. A verificação é simples, basta observarmos dois fatos:

(1) Se a, b ∈ M2 (K), então tr([a, b]) = 0;
(2) Se a ∈ M2 (K) e tr(a) = 0, então a2 = λ I2 onde I2 é a matriz identidade de M2 (K).
Exemplo 1.2.7. (Teorema de Amitsur-Levitzki, [14]) A álgebra Mn (K) satisfaz a identidade
polinomial (ou o polinômio) standard de grau 2n
s2n (x1 , . . . , x2n ) =

∑ (−1)σ xσ (1) . . . xσ (2n)

σ ∈S2n

onde S2n é o grupo das permutações de {1, 2, . . . , 2n} e (−1)σ é o sinal da permutação σ .
Ademais, não satisfaz identidades sob a forma, skm , para todo k quando m < 2n.
Exemplo 1.2.8. Uma K -álgebra A , com 1 ∈
/ A , é dita ser uma Nil-álgebra se para cada a ∈ A
n
existe um número natural n tal que a = 0. O menor inteiro n com tal propriedade é denominado
índice de nilpotência do elemento a. Uma álgebra A é uma Nil-álgebra de índice n se an = 0
para todo a ∈ A e n é minímo com esta propriedade. Toda Nil-álgebra de índice limitado n é
uma PI-álgebra, pois satisfaz o polinômio f (x) = xn .
Exemplo 1.2.9. Uma K -álgebra A , com 1 ∈
/ A , é dita ser nilpotente se existe um natural fixo
n tal que o produto de quaisquer n elementos de A é igual a zero. O menor natural n com
tal propriedade é denominado o índice de nilpotência da álgebra A , e A é denominada uma
álgebra nilpotente de classe n − 1. Toda álgebra associativa nilpotente de classe n − 1 é uma PIálgebra, pois ela satisfaz o polinômio f (x1 , . . . , xn ) = x1 . . . xn . (Observamos que neste exemplo
e no anterior, as álgebras consideradas não possuem unidade.)
Aqui mencionamos brevemente que o clássico Teorema de Nagata, Higman, Dubnov e
Ivanov, afirma que, em característica 0, toda nil-álgebra de índice limitado, é nilpotente. Ver
para mais detalhes Capítulo 8 de [14].
Exemplo 1.2.10. (Regev,[23]) O produto tensorial A = A1 ⊗ A2 de duas PI-álgebras é uma
PI-álgebra.

18

CAPÍTULO 1 CONCEITOS PRELIMINARES

Após vários exemplos de PI-álgebras, surge uma pergunta inevitável: Existem álgebras que
não são PI-álgebras? A resposta é sim. A álgebra K⟨X⟩, por exemplo, não satisfaz nenhuma
identidade polinomial não nula. Isto pode ser compreendido por um argumento simples. Suponhamos, por absurdo, que f (x1 , . . . , xn ) seja uma identidade polinomial não nula de K⟨X⟩.
Assim, f ( f1 (x1 ), . . . , fn (xn )) = 0 onde fi (xi ) = xi para i = 1, . . . , n, o que é um absurdo, pois
f (x1 , . . . , xn ) ̸= 0.
O próximo teorema mostra que toda álgebra de dimensão finita é também uma PI-álgebra.
Teorema 1.2.11. Seja A uma álgebra de dimensão finita, digamos n. Então, ela satisfaz o
polinômio standard de grau n + 1, isto é, o polinômio
sn+1 (x1 , . . . , xn+1 ) =

∑ (−1)σ xσ (1) . . . xσ (n+1).

σ ∈Sn+1

Prova: Da definição de polinômio standard é imediato que ele é igual a zero se dois de seus
argumentos forem iguais. Por multilinearidade, é suficiente verificarmos numa base de A ,
digamos {e1 , . . . , en }. Observe que sn+1 (ei1 , . . . , ein+1 ) é tal que ao menos dois dos e′i j s são
iguais. Daí, sn+1 é identidade polinomial para A .
Definição 1.2.12. Um ideal I de uma álgebra A é dito ser um T-ideal se I for invariante sob
todos os endomorfismos Φ de A , isto é, se Φ(I ) ⊆ I para todo endomorfismo Φ : A → A .
Teorema 1.2.13. O ideal T (A ) das identidades da álgebra A é um T-ideal de K⟨X⟩.
Prova: Sejam f (x1 , . . . , xn ) ∈ T (A ) e Φ : K⟨X⟩ → K⟨X⟩ um endomorfismo. Como Φ( f (x1 , . . . , xn )) =
f (Φ(x1 ), . . . , Φ(xn )) e f (a1 , . . . , an ) = 0 para quaisquer a1 , . . . , an ∈ A , obtemos que Φ( f (x1 , . . . , xn )) ∈
T (A ). Portanto, Φ(T (A )) ⊆ T (A ).
Teorema 1.2.14. Se I é um T-ideal de K⟨X⟩, então I = T (K⟨X⟩/I ).
Prova: Sejam f (x1 , . . . , xn ) ∈ I e f1 , . . . , fn ∈ K⟨X⟩. Como f ( f1 , . . . , fn ) ∈ I , temos que
f ( f1 + I , . . . , fn + I ) = f ( f1 , . . . , fn ) + I = I .
Logo, I ⊆ T (K⟨X⟩/I ). Por outro lado, supondo-se que f (x1 , . . . , xn ) ∈ T (K⟨X⟩/I ), obtemos I = f (x1 + I , . . . , xn + I ) = f (x1 , . . . , xn ) + I . Donde, f (x1 , . . . , xn ) ∈ I .
Definição 1.2.15. Se S é um subconjunto de K⟨X⟩, o T-ideal gerado por S é denotado por
⟨S ⟩T . Noutras palavras, ⟨S ⟩T é o ideal de K⟨X⟩ gerado pelos polinômios
{ f (g1 , . . . , gn ) | f (x1 , . . . , xn ) ∈ S ; gi ∈ K⟨X⟩}.

Se um polinômio f ∈ K⟨X⟩ pertence a ⟨S ⟩T dizemos que f segue de S , ou que f é uma
conseqüência de S . Dois subconjuntos de K⟨X⟩ são equivalentes se eles geram o mesmo Tideal. Sendo B um conjunto gerador de T (A ) para uma álgebra A , diremos que B é uma base
de identidades de A . Se B não contém propriamente nenhuma base de A , B será denominada
uma base minimal de T (A ).

1.3 VARIEDADES E ÁLGEBRAS RELATIVAMENTE LIVRES

19

Um dos principais problemas da teoria de identidades polinomiais é encontrar, para uma
dada álgebra, bases para suas identidades polinomiais. Seguem alguns exemplos de bases de
identidades polinomiais.
Exemplo 1.2.16. (veja, [14]) A álgebra M2 (K) quando K é um corpo de característica zero,
tem por base minimal
s4 (x1 , x2 , x3 , x4 ) e h(x1 , x2 , x3 ) = [[x1 , x2 ]2 , x3 ].
Exemplo 1.2.17. Regev e Krakowski, em [14], mostraram que sobre corpos com característica zero todas as identidades da álgebra de Grassmann seguem da identidade polinomial
[[x1 , x2 ], x3 ] = 0. Este último resultado generaliza-se facilmente para o caso de corpos infinitos
com característica positiva e diferente de dois (quando char(K) = 2, a álgebra é comutativa,
logo não muito “interessante” do ponto de vista da PI teoria, pois, neste caso, um raciocínio
simples mostra que qualquer identidade polinomial que não seja conseqüência da comutatividade, implica na nilpotência da álgebra). Ressaltamos ainda que a álgebra de Grassmann E
de um espaço vetorial V de dimensão infinita é um exemplo de uma PI-álgebra que não satisfaz nenhuma identidade standard, quando o corpo base é de característica zero. Quando,
char K = p > 2, a álgebra E satisfaz a identidade standard de grau p + 1. Um teorema devido
a Kemer (veja [17]) afirma que neste último caso toda PI-álgebra satisfaz alguma identidade
standard.
Em 1950, Specht [24] formulou o seguinte problema para álgebras associativas sobre corpos
de característica zero: Toda álgebra possui uma base finita para suas identidades polinomiais?
Esta pergunta, que ficou conhecida como o problema de Specht, passou a ser uma das questões
centrais da teoria de identidades polinomiais e foi finalmente respondida de modo positivo por
Kemer em 1987 (veja, [16]). Por volta de 1973, Krause e Lvov, separadamente, provaram
que este problema tem resposta positiva para álgebras finitas. A resposta para o problema de
Specht é negativa no caso de álgebras sobre corpos infinitos e de característica positiva. Não
vamos entrar em detalhes sobre o avanço na resolução do problema de Specht, pois o assunto
merece atenção especial, envolvendo métodos e técnicas sofisticadas, e não está diretamente
relacionado com o conteúdo da presente tese. Mais adiante, faremos uma exposição resumida
sobre alguns pontos da teoria desenvolvida por Kemer, com a finalidade de justificar o nosso
interesse no estudo das identidades em álgebras matriciais e de Grassmann.

1.3

Variedades e álgebras relativamente livres

Nesta seção, apresentaremos as variedades (de álgebras associativas) que classificam as PIálgebras de acordo com as identidades que estas satisfazem. Dentro das variedades, encontramse seus elementos mais importantes, as álgebras livres. Através destes conceitos, desenvolve-se
o estudo das álgebras e suas identidades polinomiais.
Definição 1.3.1. Seja I um subconjunto de K⟨X⟩. A variedade de álgebras var(I ) definida
pelo conjunto I é a classe de todas as álgebras que satisfazem cada identidade de I , e o

20

CAPÍTULO 1 CONCEITOS PRELIMINARES

conjunto I é o conjunto de identidades que definem a variedade var(I ). É fácil verificar que
o conjunto I está contido no núcleo de qualquer homomorfismo da álgebra livre K⟨X⟩ numa
álgebra da variedade var(I ). A variedade trivial é a classe de álgebras que contém apenas a
álgebra nula (noutras palavras, é a variedade definida pelo conjunto K⟨X⟩).
Definição 1.3.2. Se V é uma classe de álgebras, o conjunto
T (V ) = { f ∈ K⟨X⟩ | f ∈ T (A ) para cada A ∈ V }

é um ideal de K⟨X⟩ chamado ideal das identidades que definem a variedade V .
O próximo teorema mostra que toda variedade tem uma álgebra livre.
Teorema 1.3.3. Sejam V uma variedade não trivial de álgebras e Π : K⟨X⟩ → K⟨X⟩/T (V ) a
projeção canônica. Então,

(1) A restrição de Π a X é injetora;
(2) A álgebra K⟨X⟩/T (V ) é livre na variedade V com conjunto gerador livre Π(X).
Prova: Sejam x1 e x2 dois elementos distintos de X tais que Π(x1 ) = Π(x2 ). Consideramos
uma álgebra não nula A de V e um elemento não nulo a de A . Então, existe homomorfismo
Ψ : K⟨X⟩ → A tal que Ψ(x1 ) = a e Ψ(x2 ) = 0. Como T (V ) está contido no núcleo de Ψ,
existe um homomorfismo Φ : K⟨X⟩/T (V ) → A para o qual Φ ◦ Π = Ψ. Mas,
a = Ψ(x1 ) = Φ ◦ Π(x1 ) = Φ ◦ Π(x2 ) = Ψ(x2 ) = 0
o que é uma contradição.
A álgebra K⟨X⟩/T (V ) é gerada pelo conjunto Π(X) e pertence a V desde que satisfaz
todas identidades de T (V ). Vamos mostrar que esta álgebra é livre em V , com conjunto
gerador livre Π(X). Sejam A ∈ V e σ uma aplicação de Π(X) em A . Como K⟨X⟩ é álgebra
livre com conjunto gerador livre X, a aplicação σ ◦ Π : X → A estende-se a um homomorfismo
Φ : K⟨X⟩ → A . Existe homomorfismo Ψ : K⟨X⟩/T (V ) → A para o qual Ψ ◦ Π = Φ, pois
T (V ) ⊆ Ker(Φ). Se x ∈ X, temos que
Ψ(Π(x)) = Ψ ◦ Π(x) = Φ(x) = σ ◦ Π(x) = σ (Π(x))
ou seja, o homomorfismo Ψ estende a aplicação σ . Logo, Ψ é o homomorfismo procurado.
Portanto, K⟨X⟩/T (V ) é uma álgebra livre na variedade V , tendo como conjunto gerador livre
Π(X).
Uma variedade de álgebras é claramente fechada sob as operações de tomar subálgebras,
imagem homomórfica e produto cartesiano. Uma variedade V de álgebras é gerada por uma
classe U de álgebras se toda álgebra de V pode ser obtida das álgebras de U por uma seqüência finita de aplicações das operações citadas acima; denotamos este fato por V = var(U ), ou
por V = var(A ) quando a classe U contém apenas uma álgebra A . O clássico Teorema de
Birkhoff (veja [14]) demonstra que uma classe não vazia de álgebras é variedade se, e somente
se, ela é fechada com respeito às três operações acima descritas.
No próximo Teorema, listamos algumas das propriedades básicas das variedades (omitimos
a prova, pois a mesma é bastante direta). É importante frisar que ele só é válido devido ao
conjunto X ser infinito.

1.3 VARIEDADES E ÁLGEBRAS RELATIVAMENTE LIVRES

21

Teorema 1.3.4. Sejam U1 e U2 duas classes de álgebras e V uma variedade de álgebras. Então,

(1) T (U1 ) = ∩A ∈U1 T (A ) = T (var(U1 ));
(2) U1 ⊆ U2 ⇒ T (U2 ) ⊆ T (U1 );
(3) U1 ⊆ V ⇔ T (V ) ⊆ T (U1 );
(4) Se F é uma álgebra livre em V , então T (V ) = T (F ).
Corolário 1.3.5. Se A é uma álgebra, então T (var(A )) = T (A ).
Vários resultados e definições apresentados nesta seção podem ser generalizados para álgebras não necessariamente associativas (álgebras de Lie, de Jordan, Alternativas, entre outras),
sobre anéis comutativos com identidade. Porém, como as álgebras tratadas neste texto são principalmente a álgebra de matrizes e a álgebra de Grassmann, nós restringimos as definições às
álgebras associativas sobre corpos.
Definição 1.3.6. Para um conjunto fixo Y , a álgebra UY (V ) ∈ V é chamada uma álgebra relativamente livre de V se UY (V ) é livre na classe V (livremente gerada por Y ). A cardinalidade
de Y é chamada o posto de UY (V ).
A proposição a seguir caracteriza as álgebras relativamente livres em qualquer variedade.
Proposição 1.3.7. Sejam V a variedade definida por { fi | i ∈ I}, Y um conjunto qualquer e J
o ideal de K⟨Y ⟩ gerado por
{ fi (g1 , . . . , gni ) | gi ∈ K⟨Y ⟩; i ∈ I}.

Então, a álgebra U = K⟨Y ⟩/J é a álgebra relativamente livre em V com conjunto de geradores livre Y = {y + J | y ∈ Y }. Duas álgebras relativamente livres de mesmo posto em V são
isomorfas.
Prova:
(1) Vamos mostrar que U ∈ V . Seja fi (x1 , . . . , xn ) uma das identidades que definem V e
sejam g1 , . . . , gn ∈ U , onde g j = g j + J com g j ∈ K⟨Y ⟩. Então, fi (g1 , . . . , gn ) ∈ J .
Logo, fi (g1 , . . . , gn ) = 0. Isto mostra que fi (x1 , . . . , xn ) = 0 é identidade polinomial para
U. Daí, U ∈ V .
(2) Agora vamos provar a propriedade universal de U . Seja A uma álgebra de V e seja
Ψ : Y → A uma função arbitrária. Definimos a função Θ : Y → A pondo Θ(y) = Ψ(y)
e estendemos Θ a um homomorfismo (também denotado por Θ) Θ : K⟨Y ⟩ → A . Isto é
sempre possível, porque K⟨Y ⟩ é álgebra associativa livre. Para provar que Ψ pode ser
estendido a um homomorfismo U → A , é suficiente mostrarmos que J ⊆ Ker(Θ). Seja
f ∈ J , isto é,
f = ∑ ui fi (gi1 , . . . , gin )vi , onde gi j , ui , vi ∈ K⟨Y ⟩.
i∈I

Para ri1 , . . . , rin ∈ A , o elemento fi (ri1 , . . . , rin ) é igual a zero em A , e isto implica que
Θ( f ) = 0, isto é, J ⊆ Ker(Θ) e U ≃ UY (V ) é a álgebra relativamente livre em V ,
livremente gerada por Y .

22

CAPÍTULO 1 CONCEITOS PRELIMINARES

(3) Se |Y | = |Z| com Y = {yi | i ∈ I} e Z = {Zi | i ∈ I}. Sejam FY (V ) e FZ (V ) suas correspondentes álgebras relativamente livres. Sendo ambas relativamente livres, podemos
definir homomorfismos
Ψ : FY (V ) → FZ (V ) e Φ : FZ (V ) → FY (V )
pondo Ψ(yi ) = zi e Φ(zi ) = yi . Assim, Ψ e Φ são isomorfismos.
A partir de (1), (2) e (3) temos o requerido.
Observação 1.3.8. A partir da Proposição 1.3.7, temos que o T-ideal de K⟨X⟩ gerado por
{ fi | i ∈ I } consiste de todas as combinações lineares dos elementos sob a forma
ui fi (gi1 , . . . , gin )vi , onde gi j , ui , vi ∈ K⟨X⟩.

1.4

Identidades polinomiais homogêneas, multilineares e próprias

Nesta seção, verificamos que, sob determinadas condições, podemos simplificar as identidades que estamos trabalhando. Á primeira vista, estes resultados parecem apenas simplificar
as técnicas, mas sua importância vai muito além disso, como veremos no decorrer do texto.
Definição 1.4.1. Um monômio M tem grau k em xi se a variável xi ocorre em M exatamente
k vezes. Um polinômio é homogêneo de grau k em xi se todos os seus monômios têm grau k
em xi , e denotamos este fato por degxi f = k. Um polinômio linear em xi é um polinômio de
grau 1 em xi .
Definição 1.4.2. Um polinômio é multihomogêneo se para cada variável xi todos os seus monômios têm o mesmo grau em xi . Um polinômio é multilinear se é linear em cada variável. O
grau de um polinômio é o grau do seu maior monômio.
Definição 1.4.3. Sejam f um polinômio de K⟨X⟩ de grau n na variável xk . Podemos escrever
f como uma soma f = ∑ni=0 fi , onde cada polinômio fi é homogêneo de grau i na variável xk .
Cada polinômio fi é a componente homogênea de grau i em xk do polinômio f .
Os polinômios multilineares e multihomogêneos desempenham um papel importante na
busca de bases para as identidades polinomiais sobre determinados tipos de corpos. Este fato
já observado por Specht em 1950 está desenvolvido no próximo lema.
Lema 1.4.4. Seja f (x1 , . . . , xm ) = ∑ni=0 fi (x1 , . . . , xm ) ∈ K⟨X⟩, onde fi é a componente homogênea de f com grau i em xk (k fixo).

(i) Se o corpo K contém mais que n elementos, então as identidades fi = 0, onde i =
1, 2, . . . , n seguem de f = 0;
(ii) Se a característica do corpo é zero ou maior que o grau de f então f = 0 é equivalente a
um conjunto de identidades polinomiais multilineares.

1.4 IDENTIDADES POLINOMIAIS HOMOGÊNEAS, MULTILINEARES E PRÓPRIAS

23

Prova: (i) Seja I = ⟨ f ⟩T o T -ideal de K⟨X⟩ gerado por f . Escolhemos n + 1 elementos
distintos α0 , . . . , αn de K. Como I é um T -ideal, obtemos que
n

f (α j x1 , x2 , . . . , xm ) = ∑ α ij fi (x1 , x2 , . . . , xm ) ∈ I ; j = 0, 1, . . . , n.
i=0

Consideramos estas equações como um sistema linear com incógnitas fi , para i = 0, 1, . . . , n.
Sendo o determinante
1 α0 · · · α0n
1 α1 · · · α1n
.. .. . .
. = ∏(α j − αi )
. ..
. .
i< j

1 αn · · · αnn

o determinante de Vandermonde que é diferente de 0, temos que cada fi (x1 , x2 , . . . , xm ) ∈ I ,
ou seja, as identidades polinomiais fi = 0 são consequências de f = 0.
(ii) Pela parte (i), podemos assumir que f (x1 , x2 , . . . , xm ) é multihomogêneo. Seja k = degx1 f .
Escrevemos f (y1 + y2 , x2 , . . . , xm ) ∈ I sob a forma
k

f (y1 + y2 , x2 , . . . , xm ) = ∑ fi (y1 , y2 , x2 , . . . , xm )
i=0

onde fi é a componente homogênea de grau i em y1 . Logo, fi ∈ I , para i = 0, 1, . . . , k. Como
degy j fi < k ; i = 1, 2, . . . , k − 1 ; j = 1, 2, podemos aplicar argumentos indutivos e obtemos um
conjunto de conseqüências multilineares de f = 0. Para ver que estas identidades multilineares
são equivalentes a f = 0 é suficiente observarmos que
(
fi (y1 , y1 , x2 , . . . , xm ) =

k
i

)
f (y1 , x2 , . . . , xm )

e que o coeficiente binomial é diferente de 0, pois temos por hipótese que char(K) = 0 ou
char K ≥ deg( f ).
Observamos que o item (i) do lema acima significa que o polinômio f gera o mesmo T -ideal
que o gerado pelos polinômios fi para i = 0, 1, . . . , n.
Corolário 1.4.5. Seja A uma álgebra. Então,

(i) Se o corpo K é infinito, todas as identidades polinomiais de A seguem de suas identidades multihomogêneas;
(ii) Se o corpo K tem característica zero, todas as identidades polinomiais de A seguem de
suas identidades multilineares.
Quando a álgebra é unitária podemos restringir a nossa busca de identidades polinomiais a
um determinado tipo de polinômios, conforme explicamos a seguir.

24

CAPÍTULO 1 CONCEITOS PRELIMINARES

Definição 1.4.6. O comutador de comprimento n é definido indutivamente a partir de [x1 , x2 ] =
x1 x2 −x2 x1 tomando [x1 , x2 , . . . , xn ] = [[x1 , x2 , . . . , xn−1 ], xn ] para n > 2. Um polinômio f ∈ K⟨X⟩
é chamado polinômio próprio (ou comutador) se ele é uma combinação linear de produtos de
comutadores, isto é,
f (x1 , . . . , xm ) = ∑ αi,.., j [xi1 , . . . , xi p ] . . . [x j1 , . . . , x jq ] ; αi,.., j ∈ K.

(Assumindo que 1 é um produto de um conjunto vazio de comutadores.) Denotamos por B(X)
o conjunto de todos os polinômios próprios de K⟨X⟩.
O próximo lema mostra a importância dos polinômios comutadores para encontrar uma base
das identidades de uma álgebra unitária. Sua prova não é complicada e pode ser encontrada em
([14], proposição 4.3.3, pp 42-44). A demonstração está baseada no fato que K⟨X⟩ é a álgebra
universal envolvente de L⟨X⟩, conhecido como Teorema de Witt.
Lema 1.4.7. Se A é uma álgebra unitária sobre um corpo infinito, então todas as identidades
polinomiais de A seguem das suas identidades próprias (ou seja, daquelas em T (A ) ∩ B(X)).
Se A é uma álgebra unitária sobre um corpo de característica 0, então todas identidades polinomiais de A seguem das suas identidades próprias multilineares.

1.5 Identidades graduadas
Ao estudarmos identidades polinomiais ordinárias, em alguns momentos é interessante tratarmos de outros tipos de identidades, através das quais podemos obter informações sobre as
identidades ordinárias. Desta idéia surgiram, por exemplo, as identidades polinomiais fracas,
as identidades com involução e as identidades com graduação (graduadas). O nosso interesse
nas últimas é que as mesmas estão relacionadas às ordinárias. No que segue, fixamos G como
um grupo abeliano aditivo.
Definição 1.5.1. Uma álgebra A é dita ser G-graduada se A = ⊕g∈G Ag , onde Ag é subespaço
de A , para todo g ∈ G, e Ag Ah ⊆ Ag+h para todos g, h ∈ G. Um elemento a ∈ ∪g∈G Ag é
chamado homogêneo. Para todo elemento homogêneo a, temos a ∈ Ag para algum g ∈ G.
Dessa forma, o grau homogêneo de a é igual a g, e denotamos wG (a) = g. Se a = ∑ag ∈Ag ag ,
chamamos ag de componente homogênea de grau g em a.
Definição 1.5.2. Um subespaço B de uma álgebra G-graduada A é dito ser G-graduado, se
B = ∑ Bg , onde Bg = B ∩ Ag ,
g∈G

os quais denominaremos de subespaços homogêneos.
Definição 1.5.3. Uma aplicação Φ : A → B entre álgebras G-graduadas é chamada homomorfismo G-graduado se Φ é um homomorfismo que satisfaz Φ(Ag ) ⊆ Bg para todo g ∈ G. De
modo análogo, definimos isomorfismo, endomorfismo e automorfismo G-graduado.
Os próximos dois lemas são de demonstração imediata.

25

1.5 IDENTIDADES GRADUADAS

Lema 1.5.4. Sejam A uma álgebra G-graduada e B uma subálgebra de A . As seguintes
afirmações são equivalentes:

(1) B é subálgebra G-graduada de A ;
(2) B é álgebra G-graduada tal que Bg ⊆ Ag para todo g ∈ G;
(3) As componentes homogêneas de cada elemento de B pertencem a B ;
(4) B é gerada por elementos homogêneos.
Lema 1.5.5. Se I é um ideal G-graduado de uma álgebra G-graduada A , então A /I é uma
álgebra G-graduada, considerando (A /I )g = {a + I /a ∈ Ag } para g ∈ G.
Observação 1.5.6. Seja Φ : A → B um homomorfismo G-graduado de álgebras. Então, o
Ker(Φ) é um ideal G-graduado de A e Φ(A ) é uma subálgebra G-graduada de B tal que
(Φ(A ))g = Φ(Ag ). Noutras palavras, pelo Lema 1.5.5, vale a versão graduada do Teorema
do Isomorfismo, isto é, a álgebra quociente A / ker Φ é isomorfa (como álgebra graduada) a
ImΦ = Φ(A ).
Exemplo 1.5.7. A álgebra de Grassmann E é Z2 -graduada. De fato, seja E0 o subespaço de E
gerado por {1, ei1 . . . eik | 1 ≤ i1 < · · · < ik ; k = 2, 4, . . . } e seja E1 o subespaço de E gerado por
{ei1 . . . eik | 1 ≤ i1 < · · · < ik ; k = 1, 3, . . . . Assim, E = E0 ⊕ E1 e facilmente podemos verificar
que Ei E j ⊆ Ei+ j para todos i, j ∈ Z2
Exemplo 1.5.8. A partir da graduação do Exemplo 1.5.7 construiremos uma Z2 -graduação para
o quadrado tensorial da álgebra de Grassmann E ⊗ E . Para tanto é suficiente considerarmos
(E ⊗ E)0 = (E0 ⊗ E0 ) ⊕ (E1 ⊗ E1 ) e (E ⊗ E)1 = (E0 ⊗ E1 ) ⊕ (E1 ⊗ E0 ).

Usando o fato que o produto tensorial é distributivo em relação a soma direta, é imediato
verificar que
E ⊗ E = (E ⊗ E)0 ⊕ (E ⊗ E)1 .
Além disso, verifica-se diretamente que
(E ⊗ E)i (E ⊗ E) j ⊆ (E ⊗ E)i+ j para todos i, j ∈ Z2 .

Portanto a álgebra E ⊗ E é Z2 -graduada.
Exemplo 1.5.9. A álgebra M1,1 (E) é Z2 -graduada. De fato, consideramos
M1,1 (E) = (M1,1 (E))0 ⊕ (M1,1 (E))1

onde

{(
(M1,1 (E))0 =

a 0
0 d

}

)
| a, d ∈ E0

{(

e (M1,1 (E))1 =

0 b
c 0

}

)
| b, c ∈ E1

e verificamos diretamente que
(M1,1 (E))i (M1,1 (E)) j ⊆ (M1,1 (E))i+ j para todos i, j ∈ Z2 .

26

CAPÍTULO 1 CONCEITOS PRELIMINARES

Seja {Xg | g ∈ G} uma família de conjuntos disjuntos e enumeráveis. Considerando X =
∪g∈G Xg , a álgebra K⟨X⟩ é denominada de álgebra livre G-graduada. Para uma variável x ∈ X,
definimos wG (x) = g se x ∈ Xg . Recordamos que o conjunto de monômios {1, xi1 . . . xik | xi j ∈
X e n = 1, 2, . . . } é uma base de K⟨X⟩. Para um tal monômio, digamos m = xi1 . . . xin , definimos
wG (m) = ∑nj=1 wG (xi j ) como sendo o grau homogêneo do monômio, e desta forma podemos
estender esta definição para todos os elementos de K⟨X⟩. Se g ∈ G, denotamos por K⟨X⟩g o
subespaço gerado pelos monômios de grau g. Observando que
K⟨X⟩ = ⊕g∈G K⟨X⟩g
e
K⟨X⟩g K⟨X⟩h ⊆ K⟨X⟩g+h para todos g, h ∈ G
concluímos que K⟨X⟩ é de fato G-graduada.
Definição 1.5.10. Um ideal I numa álgebra G-graduada A é chamado de TG -ideal se I
é invariante por todos os endomorfismos G-graduados de A , isto é, Φ(I ) ⊆ I para todo
endomorfismo G-graduado Φ de A .
Definição 1.5.11. Um polinômio 0 ̸= f = f (x1 , . . . , xn ) ∈ K⟨X⟩, ou mesmo a expressão f (x1 , . . . , xn ) =
0, é uma identidade polinomial G-graduada da álgebra G-graduada A se
f (a1 , . . . , an ) = 0 para todo ai ∈ Agi , onde gi = wG (xi ) e i = 1, 2, . . . , n.

O conjunto TG (A ) de todas as identidades G-graduadas de A é um TG -ideal de K⟨X⟩, denominado de ideal das identidades G-graduadas da álgebra A.
De modo análogo ao caso ordinário, as álgebras com identidades polinomiais graduadas
possuem as mesmas propriedades no que diz respeito a T -ideais, variedades, polinômios lineares, polinômios homogêneos, etc. Assim, por exemplo, dizemos que h ∈ K⟨X⟩ é TG consequência de f (ou que h segue de f como identidade graduada) se h pertence ao TG -ideal gerado por f
em K⟨X⟩. Bem como dado um conjunto de polinômios { fi (xi1 , . . . , xin ) ∈ K⟨X⟩ | i ∈ I} a classe
V de todas as álgebras G-graduadas satisfazendo as identidades fi = 0 para todo i é chamada
uma variedade de álgebras G-graduadas determinada pelo sistema de identidades { fi | i ∈ I}.
Deste modo adaptamos as propriedades das identidades ordinárias para as identidades graduadas.
Os resultados a seguir fornecem informações sobre identidades ordinárias a partir de identidades graduadas.
Lema 1.5.12. Sejam A e B duas álgebras G-graduadas com respectivos T -ideais de identidades G-graduadas TG (A ) e TG (B). Se TG (A ) ⊆ TG (B) então T (A ) ⊆ T (B).
Prova: Seja f (x1 , . . . , xm ) uma identidade qualquer de A e sejam
b1 = ∑ b1g , . . . , bm = ∑ bmg ∈ B.
g∈G

g∈G

1.5 IDENTIDADES GRADUADAS

27

Como f ∈ T (A ), temos que
f ( ∑ x1g , . . . , ∑ xmg ) ∈ TG (A ) ⊆ TG (B)
g∈G

g∈G

daí, vem que f (b1 , . . . , bm ) = f (∑g∈G b1g , . . . , ∑g∈G bmg ) = 0.
Portanto, T (A ) ⊆ T (B).
Corolário 1.5.13. Se TG (A ) = TG (B), então T (A ) = T (B).
Observação 1.5.14. (Contra-exemplo) Consideramos na álgebra de Grassmann E duas graduações. A primeira é a Z2 -graduação E = E0 ⊕ E1 , e a segunda é a graduação trivial (A0 = E e
A1 = {0}), onde y1 y2 = y2 y1 , com wZ2 (yi ) = 0, não é uma identidade graduada. Portanto, uma
mesma álgebra pode ter identidades graduadas diferentes conforme sua graduação.

C APÍTULO 2

O Teorema do Produto Tensorial
Neste capítulo apresentaremos a teoria estrutural dos T -ideais desenvolvida por Kemer para
álgebras sobre corpos de característica zero. Estabeleceremos os resultados obtidos até então
que provam que o Teorema do Produto Tensorial de Kemer não pode ser transportado para
corpos infinitos com característica positiva maior que dois. Também estudaremos o comportamento das identidades polinomiais satisfeitas pelas álgebras verbalmente primas e provaremos
a inclusão T (Aa,b (E)) ⊆ T (Ma,b (E) ⊗ E) para a ̸= b em característica p > 2.

2.1

A Teoria de Kemer

Nesta seção faremos um breve resumo sobre a teoria estrutural dos T -ideais desenvolvida
por Kemer para álgebras sobre corpos de característica zero. No que segue, K denotará um
corpo de característica zero. O leitor interessado poderá encontrar mais informação nas monografias [16], [10].
A teoria desenvolvida por Kemer mostrou que as PI-álgebras sobre corpos de característica
0 satisfazem muitas propriedades “boas” que as aproximam das álgebras comutativas. Começamos com os conceitos de T -ideais T -primos e T -semiprimos, que têm um papel extremamente
importante nessa teoria.
Definição 2.1.1. Diremos que:

(1) Um T -ideal S é T -semiprimo se para qualquer T -ideal J a inclusão J n ⊆ S implicar
que J ⊆ S ;
(2) Um T -ideal I é T -primo se para quaisquer T -ideais J1 , J2 a inclusão J1 J2 ⊆ I
implicar que J1 ⊆ I ou J2 ⊆ I .
(3) Uma álgebra A é dita verbalmente prima (semiprima) se T (A ) é T -primo (T -semiprimo).
Os próximos resultados podem ser encontrados nas seções 2 e 3 do capítulo I de [16], e
recomendamos este livro para mais detalhes e informações sobre esta teoria.
Teorema 2.1.2. (Kemer)

(1) Seja V ̸= 0/ uma variedade. Então V = Nm W , onde Nm é a maior variedade de todas as
álgebras nilpotentes de índice menor ou igual a m, W é a maior subvariedade semiprima
de V e o produto de duas variedades N M consiste das álgebras A tendo um ideal I
contido em N e cujo quociente A /I está em M ;
(2) O T -ideal I é semiprimo se, e somente se, I = I1 ∩ · · · ∩ Iq onde os T -ideais I j são
T -primos.
28

2.2 ÁLGEBRAS GENÉRICAS

29

(3) Os únicos T -ideais T -primos não triviais são:
T (Mn (K)) , T (Mn (E)) e T (Ma,b (E)).
Se A = A0 ⊕ A1 é uma álgebra Z2 -graduada, então
E(A ) = A0 ⊗ E0 ⊕ A1 ⊗ E1
é denominada o envelope de Grassmann de A .
Kemer demonstrou ainda os seguintes resultados, veja [16].
(1) Todo T -ideal não trivial coincide com o T -ideal do envelope de Grassmann de uma álgebra Z2 -graduada e finitamente gerada;
(2) O T -ideal de qualquer álgebra Z2 -graduada e finitamente gerada coincide com o T -ideal
de alguma álgebra Z2 -graduada de dimensão finita;
(3) De (1) e (2) segue que todo T -ideal não trivial coincide com o T -ideal do envelope de
Grassmann de alguma álgebra Z2 -graduada de dimensão finita.
Dentre as consequências mais importantes dos resultados acima está a resposta afirmativa
para o problema de Specht.
Ressaltamos que foi provado por Belov [8] e Grishin [15] que o problema de Specht resolvese em negativo sobre corpos de característica positiva.

2.2 Álgebras genéricas
Podemos observar no resumo sobre a teoria de Kemer a importância das PI-álgebras Mn (K),
Mn (E) e Ma,b (E). Existem construções algébricas genéricas para as álgebras relativamente
livres destas álgebras. Para a álgebra Mn (K), temos a álgebra das matrizes genéricas dadas
por Procesi [21], e para Mn (E) e Ma,b (E) temos as construções genéricas dadas por Berele
[7]. Vamos fazer um breve resumo sobre estas construções; para mais casos veja as referências
citadas acima.
Sejam Y = {y1 , y2 , . . . } e Z = {z1 , z2 , . . . } conjuntos de variáveis com Y ∩ Z = 0.
/ Tomando
X = Y ∪ Z, denotamos por K⟨X⟩ a álgebra livre gerada por X. Freqüentemente, denominamos
os elementos de Y de pares e os elementos de Z de ímpares. Noutras palavras, definimos
w = wZ2 : X → Z2 pondo w(x) = 0, se x ∈ Y , e w(x) = 1, se x ∈ Z. Deste modo, os elementos
de Y também são denominados de 0-variáveis e os de Z de 1-variáveis. Se f = x1 x2 . . . xk é
um monômio, definimos w( f ) = w(x1 ) + w(x2 ) + · · · + w(xk ) (aqui consideramos a somatória
módulo 2), e chamamos f de par se w( f ) = 0, e de ímpar se w( f ) = 1. Assim, K⟨X⟩ =
K⟨X⟩0 + K⟨X⟩1 é Z2 -graduado onde K⟨X⟩0 é o subespaço de K⟨X⟩ gerado pelos monômios
pares e K⟨X⟩1 é o subespaço de K⟨X⟩ gerado pelos monômios ímpares.

30

CAPÍTULO 2 O TEOREMA DO PRODUTO TENSORIAL

Definição 2.2.1. Seja A = A0 ⊕ A1 uma álgebra Z2 -graduada. Os elementos de A0 ∪ A1 são
denominados de homogêneos. Além disso, cada elemento homogêneo a possui um grau w em
Z2 , isto é, w(a) = 0 ou 1. A álgebra A é dita supercomutativa se
ab = (−1)w(a)w(b) ba para todos a, b ∈ A0 ∪ A1 .
Exemplo 2.2.2. A álgebra de Grassmann é sem dúvida o exemplo mais importante de álgebra
supercomutativa.
Definição 2.2.3. Seja K⟨X⟩ = K⟨X⟩0 +K⟨X⟩1 a álgebra livre Z2 -graduada definida como acima.
Para os monômios f , g ∈ K⟨X⟩, consideramos as relações f g = (−1)w( f )w(g) g f e seja I o ideal
Z2 -graduado gerado por estas relações. Quando char K = p > 0, adicionamos {yip | yi ∈ Y } ao
conjunto de geradores de I . A álgebra K⟨Y ; Z⟩ = K⟨X⟩/I é naturalmente Z2 -graduada (pois
herda a graduação de K⟨X⟩) e é chamada de álgebra livre supercomutativa.
Lema 2.2.4. Sejam K[Y ] a álgebra de polinômios comutativos gerada por Y e E(Z) a álgebra de
Grassmann gerada pelo espaço vetorial com base Z . Então, as álgebras K⟨Y ; Z⟩ e K[Y ] ⊗ E(Z)
são isomorfas.
Prova: Seja Ψ : K[Y ] ⊗ E(Z) → K⟨Y ; Z⟩ = K⟨X⟩/I a aplicação definida por Ψ(a ⊗ b) =
ab + I . É imediato que esta aplicação é um homomorfismo (de álgebras) sobrejetor. Sejam
a = y1 . . . yn ∈ K[Y ] e b = z1 . . . zm ∈ E(Z), ambos não nulos. Fazendo as substituições y1 =
· · · = yn = 1 e z1 = e1 , . . . , zm = em onde {e1 , . . . , em } é subconjunto da base de E, temos que
ab ̸∈ T2 (E). Por outro lado, como K⟨X⟩/I é a álgebra livre supercomutativa, temos que
I = ∩{Q | Q é T2 − ideal de alguma álgebra supercomutativa}. Em particular, I ⊆ T2 (E) e
disto segue a injetividade de Ψ, como queríamos.
Lema 2.2.5. (a) A álgebra K⟨Y ; Z⟩ é canonicamente Z2 -graduada e livre na classe de todas
as álgebras Z2 -graduadas supercomutativas. Noutras palavras, para toda álgebra Z2 graduada supercomutativa A = A0 ⊕ A1 , toda função Φ : Y ∪ Z → A tal que Φ(Y ) ⊆ A0
e Φ(Z) ⊆ A1 pode ser estendida a um homomorfismo de álgebras;

(b) Se Y = {y1 , y2 , . . . }, Z = {z1 , z2 , . . . } e xi = yi + zi onde i = 1, 2, . . . , então, toda função
Φ : xi → A = A0 ⊕A1 , ; i = 1, 2, . . . pode ser estendida a um homomorfismo homogêneo
de K⟨Y ; Z⟩ → A de álgebras Z2 -graduadas.
Prova: Veja introdução de [7].
Sejam n e m inteiros positivos e consideremos os conjuntos
(q)

(q)

Y = {yi j | i, j = 1, . . . , n; q = 1, . . . , m} e Z = {zi j | i, j = 1, . . . , n; q = 1, . . . , m}.
Combinando a construção de Procesi com a de Berele, definimos as seguintes matrizes com
entradas em K⟨Y ; Z⟩:
(1) As n × n matrizes genéricas
n

Aq = ∑ yi j Ei j , onde q = 1, . . . , m;
i, j=1

(q)

31

2.3 O QUE ERA CONHECIDO

(2) As n × n matrizes genéricas com entradas supercomutativas
n

Bq = ∑ (yi j + zi j )Ei j , onde q = 1, . . . , m;
(q)

(q)

i, j=1

(3) As (a, b) matrizes genéricas(n = a + b)
n

Cq = ∑ ti j Ei j , onde ti j = yi j se (i, j) ∈ ∆0 , ti j = zi j se (i, j) ∈ ∆1 e q = 1, . . . , m.
(q)

(q)

(q)

(q)

(q)

i, j=1

Teorema 2.2.6. (Procesi (i) e Berele ((ii),(iii)))

(i) (veja [21])A álgebra gerada por A1 , . . . , Am é isomorfa à álgebra relativamente livre de
posto m na variedade definida por Mn (K), isto é, a álgebra Um (Mn (K));
(ii) (veja [7])A álgebra gerada por B1 , . . . , Bm é isomorfa à álgebra relativamente livre de
posto m na variedade definida por Mn (E), isto é, a álgebra Um (Mn (E));
(iii) (veja [7])A álgebra gerada por C1 , . . . ,Cm é isomorfa à álgebra relativamente livre de
posto m na variedade definida por Ma,b (E), isto é, a álgebra Um (Ma,b (E)).

2.3 O que era conhecido
Nesta seção vamos apresentar os resultados conhecidos sobre o assunto até o inicio de
nossos estudos; os resultados apresentados vêm acompanhados das devidas referências bibliográficas. Iniciamos com nosso principal objeto de estudo do capítulo: o Teorema do Produto
Tensorial de Kemer (TPT) (para detalhes veja [16]).
Teorema 2.3.1. (TPT) Seja K um corpo com char K = 0. Se A e B são duas álgebras T-primas
então A ⊗ B é PI-equivalente a alguma álgebra C que é T-prima. Mais precisamente, sejam
a, b, c, d ∈ N. Então,

(1) T (Ma,b (E) ⊗ E) = T (Ma+b (E));
(2) T (Ma,b (E) ⊗ Mc,d (E)) = T (Mac+bd,ad+bc (E));
(3) T (M1,1 (E)) = T (E ⊗ E).
A seguir apresentaremos duas consequências imediatas do Teorema 2.3.1
Corolário 2.3.2. Seja K um corpo com char K = 0. Sejam a, b, c, d ∈ N com a + b = c + d .
Então,
T (Ma,b (E) ⊗ E) = T (Mc,d (E) ⊗ E).

32

CAPÍTULO 2 O TEOREMA DO PRODUTO TENSORIAL

Prova: Sendo a + b = c + d, do Teorema 2.3.1(1), vem que
T (Ma,b (E) ⊗ E) = T (Ma+b (E)) = T (Mc+d (E)) = T (Mc,d (E) ⊗ E).
Portanto,
T (Ma,b (E) ⊗ E) = T (Mc,d (E) ⊗ E)
como queríamos.
Corolário 2.3.3. Seja K um corpo com char K = 0. Sejam a, b, c, d, e, f , g, h ∈ N com ac+bd =
eg + f h e ad + bc = eh + f g. Então,
T (Ma,b (E) ⊗ Mc,d (E)) = T (Me, f (E) ⊗ Mg,h (E)).
Prova: Sendo ac + bd = eg + f h e ad + bc = eh + f g, do Teorema 2.3.1(2), vem que:
T (Ma,b (E)⊗Mc,d (E)) = T (Mac+bd,ad+bc (E)) = T (Meg+ f h,eh+ f g (E)) = T (Me, f (E)⊗Mg,h (E)).
Portanto,
T (Ma,b (E) ⊗ Mc,d (E)) = T (Me, f (E) ⊗ Mg,h (E))
como queríamos.
No que segue, vamos relembrar o que era conhecido sobre os resultados acima quando o
corpo de base é infinito de característica positiva p > 2. Para mais detalhes, veja ([6], [5], [4]).
Observação 2.3.4. Seja A = K ⊕ M1,1 (E ′ ) a álgebra obtida de M1,1 (E ′ ) por adjunção da unidade. A faz sentido em char 0, mas T (E) = T (E ′ ) e daí T (A ) = T (M1,1 (E)) = T (E ⊗ E). Em
[6], os autores provaram que
T (M1,1 (E))

T (A ) = T (E ⊗ E).

Daí, o T.P.T.(3) é falso, neste caso.
Observação 2.3.5. Seja A = A1,1 . A faz sentido em char 0, mas T (E) = T (E ′ ) e daí T (A ) =
T (M1,1 (E)) = T (E ⊗ E). Em [5], os autores provaram que
T (M2 (E))

T (A ) = T (M1,1 (E) ⊗ E).

Daí, o T.P.T.(1) é falso para a = b = 1.
Observação 2.3.6. Em [5], usando identidades graduadas, os autores provaram que
T (Ma+b (E)) ⊆ T (Ma,b (E) ⊗ E).
Também em [5], os autores deram a seguinte versão multilinear para o Teorema do Produto
Tensorial de Kemer. Seja I um T -ideal em K⟨X⟩ e denote por P(I ) o conjunto de todos
polinômios multilineares em I .
Teorema 2.3.7. Seja K um corpo com char K ̸= 2, |K| = ∞. Então,

2.3 O QUE ERA CONHECIDO

33

(1) P(T (Ma,b (E) ⊗ E)) = P(T (Ma+b (E)));
(2) P(T (Ma,b (E) ⊗ Mc,d (E))) = P(T (Mac+bd,ad+bc (E)));
(3) P(T (M1,1 (E))) = P(T (E ⊗ E)).
Em [4] os autores apresentaram uma identidade polinomial para a álgebra Ma,b (E) ⊗ E que
não é uma identidade polinomial para a álgebra Ma+b (E). Observamos que este fato generaliza
um dos resultados de [5], a saber, que o T.P.T (1) falha para todos os valores de a e b. Mais
precisamente, provaram que existe um inteiro k > 1 tal que sk2a é identidade para a álgebra
Ma,b (E) ⊗ E. Isto provou que a inclusão T (Ma+b (E)) ⊂ T (Ma,b (E) ⊗ E) é própria.
Concluíram deste modo que:
Teorema 2.3.8. As álgebras Ma,b (E) ⊗ E e Ma+b (E) não são PI-equivalentes.
Prova: Ver [4].
É sabido que as álgebras Ma,b (E) ⊗ E e Mc,d (E) ⊗ E, com a + b = c + d, são PI-equivalentes
em característica zero, como vimos no Corolário 2.3.2. O próximo resultado de [4] mostra que
esse resultado não pode ser transportado para corpos infinitos com característica positiva maior
que dois.
Teorema 2.3.9. Sejam a, b, c, d ∈ N tais que a ≥ b, c ≥ d , a ̸= c e a + b = c + d . Então, as
álgebras Ma,b (E) ⊗ E e Mc,d (E) ⊗ E não são PI-equivalentes.
Ainda em [4] os autores exibiram uma identidade polinomial para a álgebra Ma,b (E) ⊗
Mc,d (E) que não é identidade polinomial para a álgebra Mac+bd,ad+bc (E). Este fato completa a
prova de que o Teorema do Produto Tensorial de Kemer não pode ser transportado para corpos
infinitos de característica positiva maior que dois.
As álgebras Aa,b surgiram em ([6], [5]) quando os autores estudavam a questão da PIequivalência entre as álgebras Ma+b (E) e Ma,b (E) ⊗ E tendo como base corpos infinitos de
característica positiva maior que dois.
Já vimos que a álgebra A1,1 foi usada em [5] para provar a não PI-equivalência entre as
álgebras M2 (E) e M1,1 (E) ⊗ E tendo como base corpos infinitos com característica positiva
maior que dois.
Apresentaremos os resultados obtidos em [2] e em [1] envolvendo tais álgebras. Em particular,
foi mostrado que, T (Ma+b (E)) T (Aa,b ) e Ma,a (E) ⊗ E ∼ Aa,a , respondendo em positivo duas
questões deixadas em [5].
A menos que seja feita menção explícita em contrário, vamos considerar corpos infinitos com característica positiva p > 2. Se char K = 0 as álgebras Aa,b e Ma+b (E) são PIequivalentes, pois E e E ′ o são.
Em [2] o autor provou o seguinte:
Lema 2.3.10. Seja sn o polinômio standard de grau n. Se a ≥ b então a álgebra Aa,b satisfaz a
identidade sk2a para algum k > 1, mas não satisfaz s2a nem identidades sob a forma skm para todo
k quando m < 2a.

34

CAPÍTULO 2 O TEOREMA DO PRODUTO TENSORIAL

Em [2] o autor provou o seguinte:
Teorema 2.3.11. A inclusão T (Ma+b (E)) ⊂ T (Aa,b ) é própria.
Prova: Sendo Aa,b ⊆ Ma+b (E), segue imediatamente que
T (Ma+b (E)) ⊆ T (Aa,b ).

(2.1)

De acordo com o Lema anterior existe inteiro t > 1 tal que
st2a ∈ T (Aa,b ).

(2.2)

st2a ̸∈ T (Ma+b (E)).

(2.3)

Sabemos que
O resultado segue trivialmente usando (2.1), (2.2) e (2.3).
E assim, em [2], ficou provado que Ma+b (E) e Aa,b não são PI-equivalentes quando char K =
p > 2.
Lembramos que sobre corpos de característica zero as álgebras Ma,b (E) ⊗ E e Ma+b (E)
são PI-equivalentes. Foi provado, em [5], Corolário 24, que as álgebras A1,1 e M1,1 (E) ⊗ E
satisfazem as mesmas identidades polinomiais.
Em [1], Alves mostrou que as álgebras Ak,k e Mk,k (E) ⊗ E satisfazem as mesmas identidades
polinomiais para todo k > 1. A saber:
Teorema 2.3.12. As álgebras Ak,k e Mk,k (E) ⊗ E são PI-equivalentes.
Prova: Veja [1], Teorema 8.
E como consequência, o autor obteve os seguintes corolários:
Corolário 2.3.13. Seja k ≥ 1. Então, as álgebras Mk,k (E)⊗E e M2k (E) não são PI-equivalentes.
Prova: Sendo Mk,k (E) ⊗ E ∼ Ak,k e Ak,k  M2k (E), o resultado segue imediatamente.
Corolário 2.3.14. Para todo inteiro k ≥ 1 temos que T (M2k (E))

T (Mk,k (E) ⊗ E).

Prova: Usando o Teorema 2.3.11 e o Teorema 2.3.12, obtemos que
T (M2k (E))

T (Ak,k ) = T (Mk,k (E) ⊗ E)

para todo k ≥ 1.

2.4 As álgebras Aa,b e Ma,b (E) ⊗ E
Nesta seção estabeleceremos a inclusão T (Aa,b (E)) ⊆ T (Ma,b (E) ⊗ E) para a ̸= b em característica p > 2. Os resultados obtidos nesta seção estão publicados em [25].

2.4 AS ÁLGEBRAS Aa,b E Ma,b (E) ⊗ E

35

Já mencionamos que em [1, Section 3] Alves mostrou que Ab,b ∼ Mb,b (E) ⊗ E e em [2,
Theorem 1] foi provado que Aa,b e Ma+b (E) não são PI equivalentes, em característica p > 2.
Inicialmente denotaremos por G o grupo Zn × Z2 , n = a + b. Lembramos que a álgebra Aa,b
possui uma G-graduação natural herdada de Ma+b (E).
(d)
(d)
Sejam X = Y ∪ Z ∪ W , onde Y = {yi | d ∈ Zn , i ≥ 1}, Z = {zi | d ∈ Zn , i ≥ 1}, W =
(d)
{wi | d ∈ Zn , i ≥ 1}, e considere Ω = Ω(Y, Z,W ) a álgebra livre supercomutativa.
Vamos definir uma G-graduação em Mn (Ω). Denotaremos por ω (xi ) = (α (xi ), β (xi )) o
(i)
G-grauof xi ∈ X. Como em [5, Theorem 4] colocaremos Ai = (ars ) sendo a matriz onde
(r−1)
(r−1)

+ zi
, se (r, s) ∈ ∆0 e s − r = α
 yi
(i)
(r−1)
ars =
,
se (r, s) ∈ ∆1 e s − r = α , quando ω (xi ) = (α , 0); e
zi


0,
caso contrário
{
(r−1)
(i)
,
se s − r = α , quando ω (x ) = (α , 1).
ars = wi
i
0,
caso contrário
Denote por F a subálgebra G-graduada de Mn (Ω) gerada pelas matrizes Ai , i ≥ 1.
De modo análogo para o caso das matrizes genéricas, obtemos o seguinte:
Lema 2.4.1. A álgebra G-graduada F é relativamente livre na variedade das álgebras G-graduadas
gerada por Aa,b .
Sejam MG (A ) = { f ∈ TG (A ) | f é monômio } e S o seguinte conjunto de polinômios
G-graduados:
polinômio
x1 x2 − x2 x1
x1 x2 − x2 x1
x1 x2 + x2 x1
x1 x2 x3 − x3 x2 x1
x1 x2 x3 − x3 x2 x1
x1 x2 x3 − x3 x2 x1
x1 x2 x3 + x3 x2 x1
x1 x2 x3 + x3 x2 x1
x1 x2 x3 + x3 x2 x1

(α (x1 ), β (x1 )) (α (x2 ), β (x2 )) (α (x3 ), β (x3 ))
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(0,1)
(0,1)
(0,1)
(α , 0)
(−α , 0)
(α , 0)
(α , 1)
(−α , 0)
(α , 0)
(α , 0)
(−α , 1)
(α , 0)
(α , 1)
(−α , 1)
(α , 1)
(α , 0)
(−α , 1)
(α , 1)
(α , 1)
(−α , 0)
(α , 1)

Observação 2.4.2. Em [5], os autores provaram que as identidades G-graduadas da álgebra
Ma,b (E) ⊗ E seguem de S e MG (Ma,b (E) ⊗ E).
Denotemos por I o ideal das identidades G-graduadas gerado pelo conjunto S e por todos
os monômios em TG (Aa,b ). Como Aa,b ⊆ Ma+b (E), temos I ⊆ TG (Aa,b ).
Teorema 2.4.3. Se a + b = n então as identidades G-graduadas de Aa,b seguem de I .

36

CAPÍTULO 2 O TEOREMA DO PRODUTO TENSORIAL

Prova: Basta repetir o mesmo raciocínio das provas de [5, Proposição 14 e Teorema 15].
Observação 2.4.4. Usando o Teorema precedente, observamos que para comparar os T -ideais
G-graduados das álgebras Ma,b (E) ⊗ E e Aa,b é suficiente compararmos seus monômios.
Em [5], tal comparação foi feita para o caso a = b = 1 obtendo que
TG (A1,1 ) = TG (M1,1 (E) ⊗ E).

Por conseguinte,
T (A1,1 ) = T (M1,1 (E) ⊗ E).
A

álgebra

P = Ma,b (E) ⊗ E

é

G-graduada

do

seguinte

modo:

P(α ,β ) = (Ma,b (E))(α ,β ) ⊗ E0 ⊕ (Ma,b (E))(α ,β +1) ⊗ E1 .
Agora, fixemos Ω̃ = Ω(Z,W ), a álgebra livre supercomutativa com Z e W como no início
(i)
(i)
desta seção. Como em [5, Section 4] definimos as matrizes Ãi = (ars ), B̃i = (brs ) ∈ Ma+b (Ω̃)
(i)
(i)
como segue: ars = zr−1
quando ω (xi ) = (α , β ) = (s − r, 0) e ars = 0 caso contrário; analogai
(i)
(i)
mente brs = wr−1
quando ω (xi ) = (α , β ) = (s − r, 1), e brs = 0 caso contrário.
i
Denotemos por SC outra cópia da álgebra livre supercomutativa; SC é livremente gerada
pelas variáveis pares {zi } e ímpares {wi }.
Agora vamos definir Ci ∈ Ma+b (Ω̃) ⊗ SC como segue: Ci = Ãi ⊗ zi + B̃i ⊗ wi , se β (xi ) = 0,
e Ci = B̃i ⊗ zi + Ãi ⊗ wi , se β (xi ) = 1.
A subalgebra F̃ de Ma+b (Ω̃) ⊗ SC gerada por Ci , i ≥ 1, é G-graduada de modo natural e,
por [5, Lemma 11], temos TG (P) = TG (F̃).
Observamos que as matrizes Ãi , B̃i ∈ Ma+b (Ω̃), i ≥ 1 são bem similares às matrizes Ai ∈
F ⊆ Ma+b (Ω), i ≥ 1. Este fato será usado na prova do seguinte
Lema 2.4.5. Seja a ̸= b.
Se f ∈ K⟨X⟩ é um monômio tal que f não está em
TG (Ma,b (E) ⊗ E), então f ̸∈ TG (Aa,b ).
(k)

(k)

Prova: Seja f (x1 , . . . , xm ) = xi1 · · · xiq ̸∈ TG (P) = TG (F̃). Então existem dk = C1 + . . . +Cnk ∈
F̃ ⊆ Ma+b (Ω̃)⊗SC, k = 1, . . . , m tais que cada dk tem o mesmo G-grau de xk e f (d1 , . . . , dm ) ̸= 0.
(k)
(k)
(k)
(k)
(k)
Se ω (dk ) = (α , 0), então ω (C j ) = (α , 0) e C j tem a forma C j = Ã j ⊗ z j + B̃ j ⊗ w j , para
todo j. Neste caso, definimos
(k)
lk = ∑ A j ,
j

(k)

(k)

onde A j ∈ F ⊆ Ma+b (Ω) é a matriz obtida de Ã j adicionando yr−1
às entradas que estão em
j
∆0 e preservando as outras entradas. Note que cada lk tem o mesmo G-grau (em Ma+b (Ω)) de
dk e por construção temos f (l1 , . . . , lm ) ̸= 0.
(k)
(k)
(k)
(k)
(k)
Agora, se ω (dk ) = (α , 1) então ω (C j ) = (α , 1) e C j é da forma C j = B̃ j ⊗ z j + Ã j ⊗
w j , para todo j. Neste caso, definimos
lk = ∑ B j ,
(k)

j

2.4 AS ÁLGEBRAS Aa,b E Ma,b (E) ⊗ E
(k)

(k)

37

(k)

onde cada B j é da forma B j = ∑i B̃i ∈ F ⊆ Ma+b (Ω) com escolhas convenientes das entra(k)

r−1
das matrizes B̃ j tais que wr−1
das wr−1
i
i1 ̸= wi2 sempre que i1 ̸= i2 . Note que cada lk tem o
mesmo G-grau (em Ma+b (Ω)) de dk e por construção temos f (l1 , . . . , lm ) ̸= 0.
Ou seja, ambos os casos nos garantem f ̸∈ TG (F) = TG (Aa,b ), como desejado.

Finalmente estamos em condições de provar o resultado principal desta seção.
Teorema 2.4.6. Seja char K = p > 2 e a ̸= b. Então T (Aa,b ) ⊆ T (Ma,b (E) ⊗ E).
Prova: Pelo Teorema 2.4.3, TG (Aa,b ) é gerado, como TG -ideal, por I = ⟨S ∪ MG (Aa,b )⟩TG , onde
MG (·) é o conjunto dos monômios que são identidades G-graduadas. De acordo com [5, Theorem 15], TG (Ma,b (E) ⊗ E) = ⟨S ∪ MG (Ma,b (E) ⊗ E)⟩TG . Agora, aplicando o Lema 2.4.5 temos
MG (Aa,b ) ⊆ MG (Ma,b (E) ⊗ E). Então:
TG (Aa,b ) = ⟨S ∪ MG (Aa,b )⟩TG ⊆
⊆ ⟨S ∪ MG (Ma,b (E) ⊗ E)⟩TG = TG (Ma,b (E) ⊗ E).
Finalmente, o Lema 1.5.12 garante que T (Aa,b ) ⊆ T (Ma,b (E) ⊗ E), como queríamos.

C APÍTULO 3

GK-dimensão de álgebras
Neste capítulo apresentaremos os conceitos básicos da GK-dimensão, bem como faremos
um breve estudo sobre a GK-dimensão das álgebras universais e alguns resultados importantes obtidos anteriormente aos nossos estudos. Calcularemos a GK-dimensão da á universal
de posto m na variedade gerada por Ma,b (E) ⊗ E em característica positiva. Apresentaremos
um modelo genérico apropriado para Um (Mn (E) ⊗ E) e, a partir deste, calcularemos a GKdimensão do mesmo em característica positiva. A partir deste cálculo, obtemos uma nova
prova de que as álgebras Mn,n (E) e Mn (E) ⊗ E não são PI-equivalentes.

3.1 Conceitos Básicos e Propriedades
Nesta seção apresentaremos conceitos básicos e propriedades da teoria de GK-dimensão
necessários para uma boa compreensão do capítulo (tais conceitos e propriedades não aparecem
no capítulo 1, pois só neste capítulo faremos uso dos mesmos). Iniciamos com a definição do
nosso principal objeto de estudos, a dimensão de Gelfand-Kirillov.
Definição 3.1.1. Seja A uma álgebra gerada pelo conjunto finito {r1 , . . . , rm }, consideramos
V n = span{ri1 . . . rin |i j ∈ {1, . . . , m}} , n = 1, 2, . . . e V 0 = K . A função de argumento inteiro
e não-negativo n, definida por
gV (n) = dimK (V 0 + · · · + V n ) ; n = 1, 2, . . .

é denominada a função de crescimento da álgebra A (com respeito a V = V 1 ).
A dimensão de Gelfand-Kirillov da álgebra A é definida por
}
{
log[gV (n)]
GKdim (A ) = lim sup logn [gV (n)] = lim sup
.
log(n)
n→∞
n→∞
O próximo resultado trata da independência da GK-dimensão de uma álgebra, no que diz
respeito ao seu conjunto de geradores.
Lema 3.1.2. A GK-dimensão de uma álgebra finitamente gerada A não depende da escolha
do conjunto de geradores.
Prova: Sejam V = span{r1 , . . . , rm } e W = span{s1 , . . . , sl } espaços gerados por dois conjuntos de geradores da álgebra A . Sejam GKdim V (A ) e GKdim W (A ) as GK-dimensões de A
definidas por V e W , respectivamente. Como r1 , . . . , rm geram a álgebra A , existe inteiro p tal
que para todo j = 1, . . . , l temos que s j ∈ V 0 + · · · + V p . Assim,
W 0 + · · · + W n ⊆ V 0 + · · · + V pn ; n = 0, 1, . . .
Daí, obtemos que
gW (n) = dimK (W 0 + · · · + W n ) ≤ dimK (V 0 + · · · + V pn ) = gV (pn)
38

3.1 CONCEITOS BÁSICOS E PROPRIEDADES

39

e aplicando logaritmo vem que
logn (gW (n)) ≤ logn (gV (pn)) =

log pn (gV (pn)) log pn (gV (pn))
=
.
log pn (n)
1 − log pn (p)

Aplicando limite, vem que
{

log pn [gV (pn)]
lim sup logn [gW (n)] ≤ lim sup
1 − log pn (p)
n→∞
n→∞
≤ lim sup logn [gV (n)].

}
= lim sup log pn [gV (pn)]
pn→∞

n→∞

Agora, da definição, obtemos que
GKdim W (A ) ≤ GKdim V (A ).
De modo similar obtemos a desigualdade contrária, e portanto
GKdim W (A ) = GKdim V (A )
como queríamos.
Exemplo 3.1.3. Seja A = K[x1 , x2 , . . . xm ] a álgebra polinomial. Então, GKdim (A ) = m.
Prova: Observe que o número de monômios de grau menor ou igual que n em m variáveis é
igual ao número de monômios de grau n em m + 1 variáveis, pois se a1 + · · · + am ≤ n, temos a
seguinte correspondência biunívoca:
am
am
x1a1 x2a2 . . . xm
↔ x0a0 x1a1 x2a2 . . . xm
onde a0 = n − (a1 + · · · + am )

entre estes conjuntos. Agora, com respeito ao conjunto usual de geradores de A , temos
(
)
n+m
g(n) =
; n = 1, 2, 3, . . .
m
que é um polinômio em n de grau m. A partir da definição de GK-dimensão, obtemos que
GKdim (A ) = lim sup logn [gV (n)] = m
n→∞

como desejado.
No próximo resultado apresentaremos algumas propriedades básicas da dimensão de GelfandKirillov. Para demonstrações e mais detalhes recomendamos uma leitura de ([14],[19]).
Proposição 3.1.4. Seja A uma álgebra.

(1) Sejam I um ideal de A e S uma subálgebra de A . Então
GKdim (S ), GKdim (A /I ) ≤ GKdim (A );

40

CAPÍTULO 3 GK-DIMENSÃO DE ÁLGEBRAS

(2) Seja B uma álgebra que é imagem homomórfica de A . Então
GKdim (B) ≤ GKdim (A );
(3) GKdim (A ) = 0 se, e somente se, A é um espaço vetorial de dimensão finita. Nos outros
casos, temos que
GKdim (A ) = 1 ou GKdim (A ) ≥ 2;
(4) Se B = A [x1 , . . . , xm ] com x1 , . . . , xm variáveis comutando. Então
GKdim (B) = GKdim (A ) + m;
(5) Seja A comutativa. Então, a GK-dimensão de A é igual ao grau de transcendência de
A , isto é, ao número máximo de elementos algebricamente independentes;
(6) GKdim (A ) < ∞ se, e somente se, a função de crescimento de A com respeito a algum
conjunto finito de geradores é de crescimento polinomial.
A seguir apresentaremos dois exemplos de álgebras que não possuem GK-dimensão finita.
No primeiro a álgebra é finitamente gerada e no segundo a álgebra não é finitamente gerada.
Exemplo 3.1.5. Seja m > 1. A álgebra associativa livre A = K⟨x1 , . . . , xm ⟩ (polinômios associativos e não comutativos) não tem GK-dimensão finita.
Prova: Para o conjunto usual de geradores de A , a função de crescimento é dada por
g(n) = 1 + m + m2 + · · · + mn ; n = 0, 1, 2, . . .
Como esta função cresce mais rápido que qualquer função polinomial, da Proposição 3.1.4(6)
obtemos que a GK-dimensão da álgebra A não pode ser finita.
Exemplo 3.1.6. Seja A = R[[x]] a R-álgebra das séries de potências de x com coeficientes em
R. Então, GK dim(A ) = ∞.
Prova: Vamos mostrar que para cada n ∈ N, existe uma subálgebra B de A satisfazendo
GK dim(B) ≥ n, daí concluímos facilmente que GK dim(A ) = ∞.
Seja {ri | i = 1, 2, . . . } um conjunto enumerável infinito de números reais que é linearmente
independente sobre Q. Então, o conjunto das funções { fi (x) = eri x | i = 1, 2, . . . } é algebricamente independente sobre R. Agora, via série de Maclaurin cada função deste conjunto pode
ser pensada como um elemento da álgebra A . Logo, A contém uma subálgebra isomorfa a
álgebra polinomial
R[y1 , y2 , . . . , yn ] para cada n ∈ N.
Usando a Proposição 3.1.4(1) e o Exemplo 3.1.3, para cada n, obtemos que:
GK dim(A ) ≥ n.
Portanto
GK dim(A ) = ∞
como queríamos.
Agora vamos analisar como a GK-dimensão se comporta com respeito Ã altura de uma
álgebra. Para mais informações e detalhes, veja ([?], [14], [?]).

3.1 CONCEITOS BÁSICOS E PROPRIEDADES

41

Definição 3.1.7. Seja A uma álgebra gerada por r1 , r2 , . . . , rm . Seja H um conjunto finito
de monômios onde cada ri deve aparecer em algum monômio. Diremos que A é de altura
h = hH (A) com respeito a H se h é o menor inteiro positivo tal que A pode ser gerada, como
espaço vetorial, pelos produtos
j

j

j

Ui11 Ui22 . . .Uit t , onde Uik ∈ H e t ≤ h.
Exemplo 3.1.8. Sejam A = K[x1 , x2 , . . . , xm ] e H = {x1 , x2 , . . . , xm }. Então, hH (A) = m.
km e os monômios que posProva: Como espaço vetorial, A é gerada pelos produtos x1k1 . . . xm
suem todas as variáveis não podem ser escritos como combinação linear de monômios com
menos que m potências distintas de xi .
O seguinte teorema, conhecido como Teorema de Shirshov sobre a altura, é um dos resultados de grande importância na teoria combinatorial das PI álgebras.

Teorema 3.1.9. (Shirshov) Seja A uma álgebra gerada por r1 , r2 , . . . , rm . Assuma que A satisfaz uma identidade polinomial de grau d > 1. Então, A tem altura finita com respeito ao
seguinte conjunto de monômios
{ri1 ri2 . . . ris | i j ∈ {1, 2, . . . , m} e s < d}
Prova: Veja ([14], Capítulo 9).
O próximo resultado é devido a A. Berele (1982). Daremos uma idéia de sua demonstração
via Teorema de Shirshov (a prova original pode ser encontrada em [19]).
Teorema 3.1.10. (Berele) Toda PI-álgebra finitamente gerada A tem GK-dimensão finita.
Prova: (Idéia) Seja A gerada por V = span{r1 , r2 , . . . , rm } satisfazendo uma identidade polinomial de grau d > 1. Pelo Teorema de Shirshov, existe h, a altura de A , tal que A é gerada
pelos monômios
j
j
j
Ui11 Ui22 . . .Uit t , onde t ≤ h,
e os monômios Ui1 , . . . ,Uit são de comprimento menor que d. Agora, V n é gerado pelos monômios com k1 |Ui1 | + · · · + kt |Uit | = n. Daí, V 0 + · · · + V n é subespaço do espaço gerado pelos
monômios
Uik11 Uik22 . . .Uikhh , onde k1 + · · · + kh ≤ n.
Seja p o número de monômios com comprimento menor que d (p = 1 + m + · · · + md−1 ). O
número de sequências de índices (i1 , . . . , ih ) é limitado por ph . Assim, a dimensão gV (n) de
V 0 + · · · + V n é limitada pelo produto entre o número de sequências (i1 , . . . , ih ) e o número de
monômios de grau ≤ n em h variáveis
(
)
n+h
h
gV (n) ≤ p
h
que é um polinômio de grau h. Daí, obtemos que
GK dim(A ) ≤ h
onde h é a altura de A .

42

CAPÍTULO 3 GK-DIMENSÃO DE ÁLGEBRAS

3.2 Sobre a GK-dimensão de Um (A )
Nesta seção discutiremos alguns resultados envolvendo a GK-dimensão da álgebra universal determinada por uma álgebra A . Estes resultados são de importância fundamental para o
restante do capítulo.
Definição 3.2.1. A álgebra relativamente livre (também chamada de universal) de posto m na
variedade gerada pela álgebra A é definida por
Um (A ) = K⟨x1 , . . . , xm ⟩/(T (A ) ∩ K⟨x1 , . . . , xm ⟩).
Lema 3.2.2. Se A e B são duas álgebras PI-equivalentes então
Um (A ) = Um (B) e GKdim [Um (A )] = GKdim [Um (B)].
Prova: Sendo A e B álgebras PI-equivalentes, temos que T (A ) = T (B). Denotando por
Tm (A ) = T (A ) ∩ K⟨x1 , . . . , xm ⟩ e por Tm (B) = T (B) ∩ K⟨x1 , . . . , xm ⟩, vem que Tm (A ) =
Tm (B) e Um (A ) = K⟨x1 , . . . , xm ⟩/Tm (A ) = K⟨x1 , . . . , xm ⟩/Tm (B) = Um (B).
Portanto, GKdim [Um (A )] = GKdim [Um (B)].
Observação 3.2.3. Por várias vezes, no decorrer do texto, vamos usar a contra-positiva do
Lema 3.2.2, isto é, PI-álgebras que possuem álgebras universais com dimensões de GelfandKirillov diferentes não são PI-equivalentes.
Lema 3.2.4. Se T (A ) ⊆ T (B), então GKdim [Um (A )] ≥ GKdim [Um (B)].
Prova: Sendo T (A ) ⊆ T (B) obtemos que Tm (A ) ⊆ Tm (B). A partir disso obtemos o seguinte
homomorfismo sobrejetor
Ψ :

Um (A ) −→
Um (B)
f + Tm (A ) 7−→ f + Tm (B).

Daí, Um (B) é imagem homomórfica de Um (A ) e da Proposição 3.1.4(2), obtemos que
GKdim [Um (A )] ≥ GKdim [Um (B)]
como queríamos.
Lema 3.2.5. Se A ⊆ B , então GKdim [Um (A )] ≤ GKdim [Um (B)].
Prova: Como A ⊆ B, temos T (A ) ⊇ T (B) e em seguida usamos o Lema 3.2.4.
O próximo resultado é devido a Procesi e Berele, para mais detalhes e demonstrações sugerimos uma leitura de ([21],[7]).
Teorema 3.2.6. (Procesi (i) e Berele ((ii),(iii))) Seja K um corpo infinito de característica arbitrária. Então:

(i) GKdim [Um (Mn (K))] = (m − 1)n2 + 1;

3.2 SOBRE A GK-DIMENSÃO DE Um (A )

43

(ii) GKdim [Um (Mn (E))] = (m − 1)n2 + 1;
(iii) GKdim [Um (Ma,b (E))] = (m − 1)(a2 + b2 ) + 2.
A prova do Teorema acima em sua parte (ii), dada por Berele em [7], também nos fornece
uma fórmula para calcular GKdim [Um (A )] quando T (A ) = T (Mn1 (K)) . . . T (Mns (K)).
A saber
s

GKdim [Um (A )] = ∑ GKdimUm (Mni (K)).
i=1

Corolário 3.2.7. Seja K um corpo com char K = 0. Então:

(i) GKdim [Um (E ⊗ E)] = 2m;
(ii) GKdim [Um (Ma,b (E) ⊗ E)] = (m − 1)(a + b)2 + 1;
(iii) GKdim [Um (Ma,b (E) ⊗ Mc,d (E))] = (m − 1)[(ac + bd)2 + (ad + bc)2 ] + 2.
Prova: De acordo com o Teorema do Produto Tensorial de Kemer, sabemos que
T (E ⊗ E) = T (M1,1 (E)), T (Ma,b (E) ⊗ E) = T (Ma+b (E)) e
T (Ma,b (E) ⊗ Mc,d (E)) = T (Mac+bd,ad+bc (E)).
Agora aplicando, o Lema 3.2.2 e o Teorema 3.2.6 a prova segue.
O próximo resultado nos fornece uma cota inferior para a álgebra universal determinada
pela álgebra Aa,b .
Lema 3.2.8. GKdim [Um (Aa,b )] ≥ (m − 1)(a2 + b2 ) + 2.
Prova: Iniciamos observando que Ma,b (E) ⊆ Aa,b . Do Lema 3.2.5, sabemos que
GKdim [Um (Ma,b (E))] ≤ GKdim [Um (Aa,b )].
De acordo com o Teorema 3.2.6(iii), obtemos que
(m − 1)(a2 + b2 ) + 2 ≤ GKdim [Um (Aa,b )]
como queríamos.
3.2.1

As álgebras E ⊗ E e M1,1 (E)

Em ([4]) os autores construíram um modelo genérico para a álgebra Um (E ⊗ E), sobre
corpos infinitos com char K = p > 2, e usaram este modelo para calcular GK dim[Um (E ⊗
E)]. Além disso, apresentaram uma nova prova da não PI-equivalência das álgebras E ⊗ E e
M1,1 (E).
Para char K = 0, já vimos que
GKdim [Um (E ⊗ E)] = GKdim [Um (M1,1 (E))] = 2m.
Para char K = p > 2, Azevedo, Fidelis e Koshlukov em ([6], [5]), usando identidades graduadas mostraram os seguintes resultados

44

CAPÍTULO 3 GK-DIMENSÃO DE ÁLGEBRAS

(1) Se A = K ⊕ M1,1 (E ′ ), então T (A ) = T (K ⊕ M1,1 (E ′ )) = T (E ⊗ E);
(2) As álgebras A e M1,1 (E) não são PI-equivalentes. Mais ainda,
T (A ) = T (E ⊗ E) ) T (M1,1 (E)).
E finalmente, em ([4]), Alves e Koshlukov provaram o seguinte:
Teorema 3.2.9. GKdim [Um (E ⊗ E)] = m quando char K = p > 2.
E como consequência, obtiveram o seguinte
Corolário 3.2.10. As álgebras E ⊗ E e M1,1 (E) não são PI-equivalentes.
Prova: Suponha, por contradição, que as álgebras E ⊗ E e M1,1 (E) são PI-equivalentes, isto é
T (E ⊗ E) = T (M1,1 (E)). Então Tm (E ⊗ E) = Tm (M1,1 (E)) e daí Um (E ⊗ E) = Um (M1,1 (E)).
Como GKdim [Um (M1,1 (E))] = 2m, obtemos que
GKdim [Um (E ⊗ E)] = GKdim [Um (M1,1 (E))] = 2m,
contradizendo o Teorema 3.2.9. Portanto, as álgebras E ⊗ E e M1,1 (E) não podem ser PIequivalentes.
3.2.2

GK-dimensão de Um (Aa,b ) e Um (Ma,a (E) ⊗ E)

No que segue vamos assumir que char K = p > 2. Em ([1]), Alves construiu um modelo
genérico para a álgebra Um (Aa,b ), e a partir deste modelo calculou GK dim[Um (Aa,b )].
Teorema 3.2.11. GKdim [Um (Aa,b )] = (m − 1)(a2 + b2 ) + 2.
Como aplicação, concluiu que as álgebras Aa,b e Ac,d não são PI-equivalentes.
Corolário 3.2.12. Suponha a2 + b2 ̸= c2 + d 2 . Então as álgebras Aa,b e Ac,d não são PIequivalentes.
Prova: As álgebras não podem ser PI-equivalentes pois suas álgebras universais têm GKdimensões diferentes.
Lembramos que sobre corpos com característica zero as álgebras Aa,b e Ma+b (E) são PIequivalentes (isto segue do fato que E e E ′ são PI-equivalentes em char K = 0, veja [20]) e
daí,
GK dim[Um (Aa,b )] = GK dim[Um (Ma+b (E))] = (m − 1)(a + b)2 + 1.
Corolário 3.2.13. Se char K = p > 2, então as álgebras Aa,b e Ma+b (E) não são PI-equivalentes.
Prova: As álgebras não podem ser PI-equivalentes pois suas álgebras universais têm GKdimensões diferentes.
Ainda em [1], Alves observou que, se char K = p > 2, então de acordo com Teorema 2.3.12,
as álgebras Aa,a e Ma,a (E) ⊗ E satisfazem as mesmas identidades polinomiais. Daí Um (Aa,a ) =
Um (Ma,a (E) ⊗ E). Assim, estas duas álgebras têm mesma GK dimensão que, de acordo com o
Teorema 3.2.11, é igual a 2(k − 1)a2 + 2. Deste modo o autor obteve o seguinte
Teorema 3.2.14. GKdim [Uk (Ma,a (E) ⊗ E)] = 2(k − 1)a2 + 2.

3.3 GK-DIMENSÃO DE Um (Ma,b (E) ⊗ E)

45

3.3 GK-dimensão de Um (Ma,b (E) ⊗ E)
Nesta seção mostraremos como obter GK dimUm (Ma,b (E) ⊗ E). Como aplicação concluiremos que as álgebras Ma,b (E) ⊗ E e Ma+b (E) não são PI-equivalentes quando char K = p > 2.
Tais resultados estão publicados em [25]. Além disso, fazendo uso destes resultados, responderemos também a seguinte questão aberta proposta em [5]:
Sabemos que T (Ma,b (E) ⊗ E) = T (Mc,d (E) ⊗ E) quando a + b = c + d e char K = 0. Isto
é verdade quando char K = p > 2?
Acontece que a resposta é negativa e publicamos este resultado em [26]. É bem sabido que
em char K = 0 as álgebras Ma,b (E) ⊗ E e Aa,b são PI equivalentes à álgebra Ma+b (E) (isto pode
ser deduzido do Teorema de Kemer e da PI equivalência de E e E ′ quando char K = 0).
Lembremos também que de [1] tínhamos GKdimUm (Aa,b ) = (m − 1)(a2 + b2 ) + 2, Mb,b (E) ⊗
E ∼ Ab,b e GKdimUm (Mb,b (E) ⊗ E) = 2(m − 1)b2 + 2 em característica p > 2.
Agora, iremos calcular GKdimUm (Ma,b (E) ⊗ E) para o caso a ̸= b.
Lema 3.3.1. GKdim [Um (Ma,b (E) ⊗ E)] ≥ (m − 1)(a2 + b2 ) + 2.
Prova: Como Ma,b (E) mergulha em Ma,b (E) ⊗ E obtemos que
T (Ma,b (E) ⊗ E) ⊆ T (Ma,b (E))
e assim
GKdim [Um (Ma,b (E) ⊗ E)] ≥ GKdim [Um (Ma,b (E))] = (m − 1)(a2 + b2 ) + 2.

Agora podemos provar o seguinte
Teorema 3.3.2. Se char K = p > 2 então

GKdimUm (Ma,b (E) ⊗ E) = (m − 1)(a2 + b2 ) + 2.
Prova: Se a = b o resultado é aquele obtido em [1]. Suponhamos então a ̸= b. Pelo Teorema
2.4.6 temos T (Aa,b ) ⊆ T (Ma,b (E) ⊗ E). Daí, pelo Lema 3.2.4, obtemos:
GKdimUm (Ma,b (E) ⊗ E) ≤ GKdimUm (Aa,b ) = (m − 1)(a2 + b2 ) + 2.
Mas pelo Lema (3.3.1),
GKdim [Um (Ma,b (E) ⊗ E)] ≥ (m − 1)(a2 + b2 ) + 2
e assim obtemos o resultado desejado.
Como consequência obtemos a não PI equivalência das álgebras Ma,b (E) ⊗ E e Ma+b (E):

46

CAPÍTULO 3 GK-DIMENSÃO DE ÁLGEBRAS

Corolário 3.3.3. As álgebras Ma,b (E) ⊗ E e Ma+b (E) não são PI-equivalentes.
Prova: As álgebras não podem ser PI-equivalentes, pois suas álgebras universais possuem
GK-dimensão diferentes. Basta observarmos que:
(1) De Berele ([7], Teorema 7), sabemos que GK dimUm (Ma+b (E)) = (m − 1)(a + b)2 + 1;
(2) Do Teorema 3.3.2, obtemos que GK dimUm (Ma,b (E) ⊗ E) = (m − 1)(a2 + b2 ) + 2.
Usando (1) e (2) obtemos que GK dimUm (Ma+b (E)) ̸= GK dimUm (Ma,b (E) ⊗ E).
Sabemos que, em char K = 0, Ma,b (E) ⊗ E e Mc,d (E) ⊗ E são PI-equivalentes se a + b =
c + d.
Corolário 3.3.4 ([26], Teorema 3.1). Seja char K = p > 2, a ̸= c, a ≤ b, c ≤ d e a + b = c + d .
Então:
Ma,b (E) ⊗ E e Mc,d (E) ⊗ E não são PI-equivalentes.
Prova: De acordo com o Teorema 3.3.2, GKdimUm (Ma,b (E) ⊗ E) = (m − 1)(a2 + b2 ) + 2 e
GKdimUm (Mc,d (E) ⊗ E) = (m − 1)(c2 + d 2 ) + 2. Como a ̸= c e a + b = c + d, então b ̸= d e
a2 + b2 ̸= c2 + d 2 o que implica:
(m − 1)(a2 + b2 ) + 2 ̸= (m − 1)(c2 + d 2 ) + 2,
ou seja,
GKdimUm (Ma,b (E) ⊗ E) ̸= GKdimUm (Mc,d (E) ⊗ E).
Agora, pela Observação 3.2.3, temos que as álgebras Ma,b (E)⊗E e Mc,d (E)⊗E não podem
ser PI-equivalentes, como queríamos.

3.4 GK-dimensão de Um (Mn (E) ⊗ E)
Nesta seção apresentaremos o resultado recentemente obtido (veja [27]) do cálculo da
GK dimUm (Mn (E) ⊗ E). Como aplicação, concluiremos que as álgebras Mn (E) ⊗ E e Mn,n (E)
não são PI-equivalentes quando a característica do corpo base é positiva. No que segue vamos
assumir que char K = p > 2. Usando um resultado obtido recentemente por Alves, em [3],
inicialmente temos o seguinte:
Lema 3.4.1. GK dim[Um (Mn (E) ⊗ E)] ≥ (m − 1)n2 + 1.
Prova: Como Mn (K) mergulha em Mn (K) ⊕ Mn,n (E ′ ) obtemos que
T (Mn (K) ⊕ Mn,n (E ′ )) ⊆ T (Mn (K)).
Em [[3], Corolário (3.6)] Alves provou o seguinte:
T (Mn (K) ⊕ Mn,n (E ′ )) = T (Mn (E) ⊗ E)

3.4 GK-DIMENSÃO DE Um (Mn (E) ⊗ E)

47

e então
T (Mn (E) ⊗ E) ⊆ T (Mn (K)).
Por conseguinte, obtemos que
GK dim[Um (Mn (E) ⊗ E)] ≥ GK dim[Um (Mn (K))] = (m − 1)n2 + 1.
A fim de encontrar um limitante superior para GKdimUm (Mn (E) ⊗ E), vamos construir
um modelo genérico apropriado de Um (Mn (E) ⊗ E). Como em [6], denotaremos por H =
K ⊕ M1,1 (E ′ ) a subálgebra unitária de M1,1 (E) obtida de M1,1 (E ′ ) por adjunção formal da unidade I2 , a matriz identidade de ordem 2.
Agora, usando os isomorfismos definidos em [1] ( Lema 4) obtemos Mn (H) ∼
= A⊕
′
Mn,n (E ), onde
{(
)
}
a 0
A=
| a ∈ Mn (K) ⊂ M2n (K).
0 a
Por [6, Proposition 10] temos H ∼ E ⊗ E, e o isomorfismo entre Mn (E ⊗ E) e Mn (E) ⊗ E
nos dá a PI-equivalência:
Mn (E) ⊗ E ∼ A ⊕ Mn,n (E ′ ).
Isso prova o seguinte:
Lema 3.4.2. GKdim [Um (Mn (E) ⊗ E)] = GKdim [Um (A ⊕ Mn,n (E ′ ))].
Prova: Pelo exposto acima, as álgebras Mn (E) ⊗ E e A ⊕ Mn,n (E ′ ) são PI equivalentes. Logo,
pelo Lema 3.2.2, Um (Mn (E) ⊗ E) = Um (A ⊕ Mn,n (E ′ )) e
GKdim [Um (Mn (E) ⊗ E)] = GKdim [Um (A ⊕ Mn,n (E ′ ))].
Assim, para nossos propósitos, é suficiente construirmos um modelo genérico para a álgebra
A ⊕ Mn,n (E ′ ). Sejam
∆0 = {(i, j) | 1 ≤ i, j ≤ n, ou n + 1 ≤ i, j ≤ 2n}
e
∆1 = {(i, j) | 1 ≤ i ≤ n, n + 1 ≤ j ≤ 2n ou 1 ≤ j ≤ n, n + 1 ≤ i ≤ 2n}.
A seguinte construção repete a de [7].
Sejam
Yer = (ai j )2n×2n onde ai j =

(r)

(r)

e yei+n, j+n = yei, j , para todo 0 ≤ i, j ≤ n.

{

(r)

yei j , se (i, j) ∈ ∆0 ,
0, se (i, j) ∈ ∆1 ,

48

CAPÍTULO 3 GK-DIMENSÃO DE ÁLGEBRAS

{
Zer = (bi j )2n×2n onde bi j =
{
fr = (ci j )2n×2n onde ci j =
W

(r)

e
zi j ,
se
(i, j) ∈ ∆0 ,
0, caso contrário .
(r)

ei j ,
w
se
(i, j) ∈ ∆1 ,
0, caso contrário .

(r)

Aqui ỹi j são as variáveis que comutam, correspondentes à parte escalar das respectivas entradas das matrizes em A ⊕ Mn,n (E ′ ); z̃i j são os geradores livres de Ω′0 , e w̃i j são os geradores
′
′
livres de Ω1 . Lembramos que Ω = Ω0 ⊕ Ω1 é a álgebra supercomutativa livre sem unidade.
Denotaremos por U a álgebra gerada por X1 = Ỹ1 + Z̃1 + W̃1 , X2 = Ỹ2 + Z̃2 + W̃2 , . . . , Xm =
Ỹm + Z̃m + W̃m .
(r)

(r)

Lema 3.4.3. U ∼
= Um (A ⊕ Mn,n (E ′ )).
Prova: A prova é análoga ao caso das matrizes genéricas.
fr onde r = 1, 2, . . . , m. Do
Note que U ⊆ U1 onde U1 é a álgebra gerada por Yer , Zer e W
mesmo modo como foi feito em [[7], seção 5], mudamos o modelo de U1 como segue.
Passando de K para o fecho algébrico do corpo K(f
yi j (r) | 1 ≤ i, j ≤ 2n) podemos diagonalizar a matriz “genérica” Ye1 sobre K, isto é, existe alguma P ∈ M2n (K) tal que PỸ1 P−1 é uma
matriz diagonal.
Denotaremos por Yr = PỸr P−1 , Zr = PZ̃r P−1 , Wr = PW̃r P−1 , r = 1, . . . , m. Como P preserva
a conjugação, temos U1 ∼
= K⟨Yr , Zr ,Wr | r = 1, 2, . . . , m⟩ onde Y1 = ∑2n
i=1 λi eii , λi+n = λi , ∀ i ∈
{1, . . . , n}. Para simplificar as notações, no restante da prova vamos assumir m = 2.
Para obter um limite superior para a GK-dimensão de U , imergimos U1 em um anel maior
R. Este anel R é gerado pelo conjunto
(2)

(2)

(r)

(r)

(2)

{λi eii , yi j ei j | (i, j) ∈ ∆0 and λi+n = λi , yi+n, j+n = yi j , ∀ 1 ≤ i, j ≤ n} ∪
{zi j ei j | (i, j) ∈ ∆0 , r = 1, 2} ∪ {wi j ei j | (i, j) ∈ ∆1 , r = 1, 2}.
(2)

(1)

(2)

Para tornar as notações mais simples escrevemos yi j para yi j , zi j para zi j , ti j para zi j , wi j
(1)

(2)

para wi j e vi j para wi j .
Para o próximo Lema, vamos omitir as relações λi+n = λi , yi+n, j+n = yi j , 1 ≤ i, j ≤ n.
Lema 3.4.4. Seja V o espaço vetorial com base u1 , . . . , u2n , e seja
r = ∏ λiαi ∏ yi ji j ∏ zi ji j ∏ ti ji j ∏ wi ji j ∏ vi ji j est ,
a

i

i, j

b

i, j

c

i, j

d

i, j

f

i, j

Aqui os índices de λi , yi j , zi j ,ti j percorrem ∆0 e os índices de wi j , vi j percorrem ∆1 ; αi , ai j
são inteiros positivos; bi j , ci j ∈ {0, . . . , p − 1}, e di j , fi j ∈ {0, 1}. Se r ∈ R , então

∑(ai j + bi j + ci j + di j + fi j )(ui − u j ) = us − ut ∈ V.
i, j

3.4 GK-DIMENSÃO DE Um (Mn (E) ⊗ E)

49

Prova: Veja ([7], Lema 15).
Definimos gs,t (k) como o número de sêxtuplas ordenadas (αi , ai j , bi j , ci j , di j , fi j ) que satisfazem as hipóteses do Lema anterior e a condição adicional de que a soma das suas entradas é
menor ou igual a k. Seja g(k) = ∑s,t gs,t (k). A função g(k) é um limite superior para a função
de crescimento de R. Nosso objetivo agora passa a ser estimar a função g(k).
Primeiro observamos que as entradas de uma tal sêxtupla satisfazem a equação

∑(ai j + bi j + ci j + di j + fi j )(ui − u j ) = us − ut

(3.1)

i, j

para cada escolha de s e t. Mais ainda, obtemos que

∑ αi + ∑(ai j + bi j + ci j + di j + fi j ) ≤ k.
i

(3.2)

i, j

Assim, existe uma quantidade finita de possibilidades de escolhas para s, t, bi j + ci j e di j +
fi j que satisfazem as duas condições (3.1) e (3.2).
Suponhamos que uma destas possíveis escolhas tenha sido feita. Então ai j deve satisfazer

∑ ai j (ui − u j ) = u
e

∑ ai j = k ′ ,
onde

u = us − ut − ∑(bi j + ci j + di j + fi j )(ui − u j )
i, j

e

k′ = k − ∑(bi j + ci j + di j + fi j ).
i, j

O seguinte lema é devido a Berele.
Lema 3.4.5. [Berele, [7]] Sejam V um espaço vetorial e H ⊆ V um hiperplano de dimensão
d . Seja L(n) o conjunto de pontos de V cujas coordenadas estão todas em {0, 1, . . . , n}. Então,
o número de pontos em H ∩ L(n) é menor ou igual a (n + 1)d .
Prova: Vamos usar indução sobre d. O caso d = 0 é trivial. Seja Hi o hiperplano de codimensão 1 no qual a primeira coordenada é constante igual a 1. Sendo dim H > 1 alguma coordenada não é constante em H , e vamos assumir que esta é a primeira. Portanto, dim(Hi ∩ H ) =
d − 1 e, por hipótese de indução Hi ∩ H ∩ L(n) tem cardinalidade ≤ (n + 1)d−1 . Agora,
H ∩ L(n) é a união sobre i = 0, 1, . . . , n de Hi ∩ H ∩ L(n), e daí, tem cardinalidade ≤ (n + 1)d .
Com o intuito de usar o Lema 3.4.5, definimos V o espaço vetorial com base
{αi , ai j | (i, j) ∈ ∆0 } e seja W o espaço vetorial com base {ui − u j | (i, j) ∈ ∆0 }.
Afirmamos que o conjunto J = {(αi , ai j ) | ∑ ai j (ui − u j ) = u} é um hiperplano em V de
codimensão 2n − 2. De fato, temos que dim(W ) = 2n − 2 e daí os ai j ’s são determinados pela

50

CAPÍTULO 3 GK-DIMENSÃO DE ÁLGEBRAS

combinação linear ∑ ai j (ui −u j ) = u ∈ W . Assim, existem 2n−2 vetores fixos no par ordenado
(αi , ai j )
∈
J
e
isso
prova
nossa
afirmação.
Logo, concluímos que dim(J) = (n2 + n2 + 2n) − (2n − 2) = 2(n2 + 1). Considerando agora as
relações λi+n = λi , yi+n, j+n = yi j para 1 ≤ i, j ≤ n, vemos que nossa estimativa é, na verdade,
n2 + 1. Isto, juntamente com o Lema 3.4.5, prova o seguinte resultado:
Lema 3.4.6. g(k) é limitada superiormente por um polinômio de grau n2 + 1.
Teorema 3.4.7. GKdim [Um (A ⊕ Mn,n (E ′ ))] ≤ (m − 1)n2 + 1.
Prova: Se m = 2, então:
GKdimU2 (A ⊕ Mn,n (E ′ )) ≤ lim sup logk g(k) ≤ n2 + 1
Se m > 2, a prova é análoga, pois cada nova matriz genérica adiciona n2 novas variáveis
(r)
yi j e o conjunto de relações permanece o mesmo. A partir disso, g(k) passa a ser limitado
superiormente por um polinômio de grau (m − 1)n2 + 1, donde obtemos

GKdimUm (A ⊕ Mn,n (E ′ )) ≤ lim sup logk g(k) ≤ (m − 1)n2 + 1.

Lema 3.4.8. GK dim[Um (Mn (E) ⊗ E)] ≤ (m − 1)n2 + 1
Prova: Pelo Lema 3.4.2, GK dim[Um (Mn (E) ⊗ E)] = GKdim [Um (A ⊕ Mn,n (E ′ ))]. Por sua vez,
pelo Teorema anterior, GKdim [Um (A ⊕ Mn,n (E ′ ))] ≤ (m − 1)n2 + 1. Portanto,
GK dim[Um (Mn (E) ⊗ E)] ≤ (m − 1)n2 + 1,
como queríamos.
Usando agora os Lemas 3.4.1 e 3.4.8, obtemos o seguinte resultado:
Teorema 3.4.9. GK dim[Um (Mn (E) ⊗ E)] = (m − 1)n2 + 1.
Observação 3.4.10. Em [3], Alves provou, usando polinômios centrais, que as álgebras Mn (E)⊗
E e Mn,n (E) não são PI-equivalentes. Como consequência do Teorema 3.4.9, conseguimos uma
nova prova deste fato, como estabelecido no corolário seguinte.
Corolário 3.4.11. As álgebras Mn (E) ⊗ E e Mn,n (E) não são PI-equivalentes.
Prova: As álgebras não podem ser PI-equivalentes, pois suas álgebras universais possuem
GK-dimensões diferentes. Basta observarmos que
(1) De Berele ([7], Teorema 7), sabemos que GK dimUm (Mn,n (E)) = (m − 1)(2n)2 + 1;
(2) Do Teorema 3.4.9, obtemos que GK dimUm (Mn (E) ⊗ E) = (m − 1)n2 + 1.
Usando (1) e (2) obtemos que GK dimUm (Mn,n (E)) ̸= GK dimUm (Mn (E) ⊗ E).

C APÍTULO 4

Conjectura
Neste capítulo apresentaremos uma Conjectura (veja [26]) acerca da dimensão de GelfandKirillov de álgebras universais de posto m no que diz respeito ao produto tensorial de álgebras
T -primas pela álgebra de Grassmann.

4.1 Justificativa
As álgebras verbalmente primas desempenham um papel proeminente na PI-teoria. Lembramos que uma álgebra é verbalmente prima se seu T-ideal é primo na classe de todos os
T-ideais na álgebra associativa livre. A maioria dos resultados conhecidos sobre álgebras verbalmente primas trata do caso de corpos de característica zero.
Vimos no Capítulo 2 que a teoria estrutural de T-ideais desenvolvida por Kemer classificou as álgebras verbalmente primas sobre tais corpos. Denotando por K o corpo de base,
char K = 0, de acordo com a teoria de Kemer, as álgebras verbalmente primas são exatamente
as seguintes:
Primeiro as triviais; {0} e K⟨X⟩, a álgebra associativa livre de posto infinito. Por conseguinte, Mn (K), a álgebra das matrizes n × n com entradas em K. Denotando por E a álgebra
de Grassmann (ou exterior), a outra classe de álgebras verbalmente primas é dada pela álgebra
das matrizes n × n com entradas em E, denotada por Mn (E).
A hipótese sobre a característica do corpo ser zero permite-nos trabalhar apenas com identidades multilineares, e assim podemos fazer uso das boas propriedades da multilinearidade.
No desenvolvimento da teoria de Kemer estas propriedades foram bastante utilizadas. Convém
observar que, em característica positiva, a teoria de Kemer não se aplica diretamente. Um dos
obstáculos é o surgimento de novos T -ideais T -primos, chamados de T -ideais irregulares, cuja
descrição completa é ainda um problema em aberto.
O que temos até agora é o seguinte:
Em [7], Berele calculou GKdim [Um (Mn (E))] a qual coincide com GKdim [Um (Mn (K))].
Observe que Mn (E) ≃ Mn (K) ⊗ E e daí concluímos:
GKdim [Um (Mn (K) ⊗ E)] = GKdim [Um (Mn (K))].
Em [4], Alves e Koshlukov provaram que:
GKdim [Um (E ⊗ E)] = GKdim [Um (E)].
Em [25], os autores provaram que:
GKdim [Um (Ma,b (E) ⊗ E)] = GKdim [Um (Ma,b (E))].
E por último, em [27], foi provado que:
GKdim [Um (Mn (E) ⊗ E)] = GKdim [Um (Mn (E))].
O exposto acima justifica a conjectura a seguir.
51

52

CAPÍTULO 4 CONJECTURA

4.2 A Conjectura
Os resultados apresentados na seção anterior nos levam a acreditar na seguinte:
Conjectura 4.2.1. Seja A uma álgebra T -prima sobre um corpo infinito K com característica
positiva p > 2. Então
GK dimUm (A) = GK dimUm (A ⊗ E).
Ressaltamos que a conjectura é trivialmente falsa quando o corpo é de característica zero.
Como mencionamos na seção anterior, a maior dificuldade para trabalharmos com a c onjectura
acima é que não temos uma descrição das álgebras T -primas para corpos de característica
positiva.

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