Análise Funcional

1) Teoremas de Hahn-Banach real, complexo e geométrico;
2) Teoremas da Aplicação aberta e do gráfico fechado;
3) Topologias fracas e o teorema de Banach-Alaoglu;
4) A representação de Riesz em espaços de Hilbert e o adjunto de Hilbert. Representação em espaços pré-hilbertianos;
5) Espaços reflexivos e compacidade sequencial;
6) Operadores compactos em espaços de Hilbert: operadores de posto finito, de Hilbert-Schmidt e densidade;
7) Teorema espectral para operadores compactos auto-adjuntos.

Teoria espectral

1) Espectro e Componentes Espectrais. Espaços Invariantes Associados. Semicontinuidade de Componentes Espectrais e continuidade de Espaços Associados;
2) Teorema Espectral: Cálculo funcional contínuo e mapeamento espectral para operadores auto-adjuntos e normais;
3) Teorema Espectral: Projeções espectrais. Critério de Weyl. Espectros essencial e discreto;
4) Teorema Espectral para operadores Normais: Forma Multiplicativa. Dedução da forma Multiplicativa a partir do Cálculo Funcional contínuo e vice-versa;
5) Teorema Espectral para operadores normais limitados: Cálculo Funcional Mensurável;
6) Operadores Fechados e Fecháveis. Critérios. Teorema Espectral para operadores ilimitados auto-adjuntos;
7) Grupos fortemente Contínuos e o Teorema de Stone;
8) Transformada de Fourier no R^n e Funções de Operador Laplaciano. Espaços de Sobolev.

Equações Diferenciais Parciais

1) Espaços de Sobolev: aproximação por funções diferenciáveis; derivada fraca; extensão; traço.
2) Espaços de Hölder. Inclusões de Sobolev. Compacidade de Kondrachov.
3) Equações elípticas de segunda ordem: soluções fracas; teorema de Lax-Milgram; alternativa de Fredholm;
4) Teoria de regularidade; princípio do máximo.
5) Desigualdade de Poincaré. Problemas de autovalor.
6) Equações lineares de evolução: equações parabólicas; equações hiperbólicas; teoria de semigrupos.