EMENTA:
Cálculo diferencial em variedades e fibrados, campos vetoriais, formas diferenciais, tensores, derivada de Lie, diferencial externo e aplicações entre variedades. Introdução a grupos e algebras de Lie. Distribuções, sistemas diferenciais externos, variedades integrais, teorema de Frobenius. Introdução ao formalismo de Lagrange para a mecânica clássica e equações de Eulero-Lagrange. Transformada de Legendre e introdução ao formalismo hamiltoniano. Geometria simplética, campos hamiltonianos e equações de Hamilton. Teorema de Darboux. Teorema de Liouville para campos hamiltonianos. Estruturas de Poisson e geometria de Poisson. Transformações simpléticas e método das funções geradoras. Método de Hamilton-Jacobi com exemplos clássicos. Simetrias e teorema de Noether. Teorema de integrabilidade de Liouville e integrais primeiras. Simetrias e integrabilidade de uma distribução. Teorema de Lie-Bianchi e método das estruturas solúveis. Introdução à geometria dos fibrados de jatos, caso de jatos de fibrados e de subvariedades. Prolongamentos de subvariedades, de seções e de aplicações. Distribução de Cartan e suas simetrias. Significado geométrico das funções geradoras de simetrias. Algebra de Lie das funções geradoras. Prolongamento de simetrias. Teorema de Backlund sobre as simetrias clássicas. Introdução às variedades de contato, exemplo dos fibrados dos 1-jatos. Teorema de Darboux para variedades de contato. Geometria das EDP da primeira ordem e método das características para a construção de soluções. Interpretação geométrica das EDP de ordem qualquer. Simetrias e soluções invariantes. Espaços de jatos infinitos. Calculo diferencial em espaços de jatos infinitos. Simetrias superiores, ou generalizadas. Uso das simetrias superiores para determinar soluções de tipo soliton. Ulteriores geralizações, extensões diferenciais (ou recobrimentos de equações) e estruturas não locais. Simetrias não locais e transformações de Backlund. Operadores de recorrência, no sentido das simetrias generalizadas. Equações variacionais de ordem qualquer e simetrias variacionais. Leis de conservação. Teorema de Noether sobre a correspondência geral entre simetrias variacionais e leis de conservação. Uso das leis de conservação na integração de EDP. Alguns aspectos relativos à noção de integrabilidade para EDP.

BIBLIOGRAFIA:
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