Dissertação

Dissertacao_adina_rocha.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado

Teoremas de Comparação em Variedades Kähler e
Aplicações

Adina Rocha dos Santos

Maceió, Brasil
25 de março de 2011

ADINA ROCHA DOS SANTOS

Teoremas de Comparação em Variedades Kähler e
Aplicações

Dissertação de Mestrado na área de
concentração de Geometria Diferencial submetida em 25 de março de 2011 à banca examinadora, designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Matemática da
Universidade Federal de Alagoas, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do grau
de mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Hilário Alencar da Silva.

Maceió
2011

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
S237t

Santos, Adina Rocha dos.
Teoremas de comparação em variedades Kähler e aplicações / Adina Rocha
dos Santos. – 2011.
86 f.
Orientador: Hilário Alencar da Silva.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2011.
Bibliografia: f. 83-84.
Índices: f. 85-86.
1. Geometria de variedades. 2. Variedade Kähler. 3. Curvatura bisseccional
holomorfa. 4. Espaço hiperbólico complexo. 5. Espaço projetivo complexo.
6. Laplaciano - Autovalor. I. Título.
CDU: 514.763.4

Ao meu orientador prof. Hilário Alencar

Agradecimentos
A Deus, por ser meu guia seguro e conﬁável, por me dar inspiração e sabedoria para
escrever esta dissertação.
Ao professor Hilário Alencar por todo apoio, incentivo e paciência, por sua amizade
e orientação ao longo dos cursos de mestrado e graduação; pelo exemplo de pessoa e
proﬁssional que tem sido e pelos conselhos, os quais contribuı́ram de forma especial
em minha formação acadêmica, proﬁssional e também pessoal. Agradeço pelas oportunadades dadas; por sempre mostrar as possı́veis saı́das em momentos complicados.
Agradeço ao professor Detang Zhou da Universidade Federal Fluminense, por ter
se disponibilizado a discutir e esclarecer importantes dúvidas, as quais deram clareza e
ﬁrmeza a vários argumentos matemáticos presentes nesta dissertação.
Sou grata a Gregório Manoel e Natália Pinheiro pela solidariedade e disponibilidade
de ler criticamente esta dissertação.
Aos professores do Instituto de Matemática da UFAL, que colaboraram em minha
formação acadêmica.
Aos meus queridos pais, Francisco Chagas e Ahilud Rocha, e aos meus irmãos Adriano
Angelo e Flávia Adaı́s. Obrigada pelo carinho, atenção e apoio emocional; pelo estı́mulo
na busca da realização de meus sonhos.
Ao CNPq pelo suporte ﬁnanceiro ao longo de todo o curso de Mestrado.

Resumo
Nesta dissertação, apresentamos as demonstrações dos teoremas de comparação do
Laplaciano para variedades Kähler completas M m de dimensão complexa m com curvatura bisseccional holomorfa limitada inferiormente por −1, 1 e 0. As variedades a
serem comparadas são o espaço hiperbólico complexo CHm , o espaço projetivo complexo
CPm e o espaço Euclidiano complexo Cm , cujas curvaturas bisseccionais holomorfas são
−1, 1 e 0, respectivamente. Além disso, como aplicação dos teoremas de comparação
do Laplaciano, descrevemos a prova do Teorema de Comparação de Bishop-Gromov
para variedades Kähler; obtemos uma estimativa para o primeiro autovalor λ1 (M ) do
Laplaciano, isto é, λ1 (M ) ≤ m2 = λ1 (CHm ); e mostramos que o volume de variedades
Kähler, com curvatura bisseccional limitada inferiormente por 1, é limitado pelo volume
de CPm . Os resultados citados acima foram provados em 2005 por Li e Wang no artigo
“Comparison Theorem for Kähler Manifolds and Positivity of Spectrum”, publicado no
Journal of Diﬀerential Geometry.

Palavras-chave: Variedade Kähler. Laplaciano - Autovalor. Curvatura bisseccional
holomorfa. Espaço hiperbólico complexo. Espaço projetivo complexo.

Abstract
In this work we present the proofs of the Laplacian comparison theorems for Kähler
manifolds M m of complex dimension m with holomorphic bisectional curvature bounded
from below by −1, 1, and 0. The manifolds being compared are the complex hyperbolic
space CHm , the complex projective space CPm , and the complex Euclidean space Cm ,
which holomorphic bisectional curvatures are −1, 1, and 0, respectively. Moreover, as
applications of the Laplacian comparison theorems, we describe the proof of the BishopGromov comparison theorem for Kähler manifolds and obtain an estimate for the ﬁrst
eigenvalue λ1 (M ) of the Laplacian operator, that is, λ1 (M ) ≤ m2 = λ1 (CHm ), and show
that the volume of Kähler manifolds with holomorphic bisectional curvature bounded
from below by 1 is bounded by the volume of CPm . The results cited above have been
proved in 2005 by Li and Wang, in an article “Comparison theorem for Kähler Manifolds
and Positivity of Spectrum”, published in the Journal of Diﬀerential Geometry.

Keywords: Kähler manifold. Laplacian - Eigenvalue. Holomorphic bisectional curvature. Complex hyperbolic space. Complex projective space.

Sumário
Introdução

8

1 Preliminares
1.1 Deﬁnições e Alguns Resultados Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Variedades Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Variedades Quase-Complexas e Integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . .

12
12
17
21

2 Variedades Kähler
2.1 Deﬁnições e Alguns Resultados Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Curvaturas em Variedades Kähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Sı́mbolos de Christoﬀel e Tensor Curvatura em Coordenadas . . . . . . .
2.4 Curvatura Bisseccional Holomorfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Os Operadores Gradiente e Laplaciano em Variedade Kähler . . . .

33
33
37
39
45
53

3 Teoremas de Comparação em Variedades Kähler
3.1 Teoremas de Comparação do Laplaciano da Função Distância . . . . . .
3.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Comparação de Volume de Bishop-Gromov . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Estimativa do Primeiro Autovalor do Laplaciano . . . . . . . . . .
3.2.3 Comparação de Volume: Versão Global . . . . . . . . . . . . . . .

60
60
72
72
78
81

Referências Bibliográﬁcas

83

Introdução
Estimativas do operador Laplaciano, por exemplo os teoremas de comparação, são
ferramentas importantes para a análise de propriedades globais em variedades. Um
resultado clássico e bastante conhecido na literatura é o Teorema de Comparação do
Laplaciano para variedades Riemannianas, cuja demonstração pode ser encontrada, por
exemplo, em [16].
Teorema 0.1 (Comparação do Laplaciano). Sejam M n uma variedade Riemanniana
completa de dimensão real n e Mk a forma espacial de curvatura seccional constante k.
Se RicM ≥ (n − 1)k, então
Δr(x) ≤ Δ̃r̃(r(x))

∀x ∈ M \ (Cut(p) ∪ {p}),

onde Δ̃ e r̃ denotam, respectivamente, o Laplaciano e a função distância deﬁnida em
Mk .
Como consequência do Teorema 0.1, em 1964, R. Bishop demonstrou um resultado
envolvendo comparação de volumes de bolas geodésicas em variedades Riemannianas e
formas espaciais, ver [2]. Este resultado, atualmente, é conhecido como Teorema de
Comparação de Bishop-Gromov.
Teorema 0.2 (Comparação de Bishop-Gromov). Sejam M n uma variedade Riemanniana completa de dimensão real n e k uma constante real. Se RicM ≥ (n − 1)k, então, para
todo x ∈ M e 0 ≤ ε ≤ R, o volume das bolas geodésicas satisfazem
Vx (R)
VMk (R)
≤
Vx (ε)
VMk (ε)
e
Vx (R) ≤ VMk (R),

onde VMk (ε) denota o volume da bola geodésica de raio ε em Mk .
Uma outra consequência do Teorema 0.1 é uma estimativa para o primeiro autovalor
do Laplaciano em variedades Riemannianas obtida por S. Y. Cheng em 1975, ver [3].
Teorema 0.3. Seja M n uma variedade Riemanniana completa de dimensão real n. Se
RicM ≥ −(n − 1), então o primeiro autovalor do Laplaciano satisfaz
λ1 (M ) ≤

(n − 1)2
= λ1 (Hn ).
4
8

(1)

9
A estimativa obtida por Cheng é atingida. De fato, a igualdade é veriﬁcada para o
espaço hiperbólico Hn , cuja curvatura de Ricci é igual a −(n − 1).
Em 2005, Li e Wang [12], usando técnicas de Análise Complexa, provaram teoremas de
comparação do Laplaciano para variedades Kähler. Enunciamos a seguir tais resultados:
Teorema 0.4 (Li e Wang). Seja M m uma variedade Kähler completa de dimensão complexa m com curvatura bisseccional holomorfa maior que ou igual a −1. Então, em
M \ (Cut(p) ∪ {p}), temos
Δr(x) ≤ 2(m − 1) cotgh (r(x)) + 2 cotgh (2r(x))
= Δ̃r̃(r(x)),
onde Δ̃ e r̃ denotam, respectivamente, o Laplaciano e a função distância deﬁnida no
espaço hiperbólico complexo CHm .
Teorema 0.5 (Li e Wang). Seja M m uma variedade Kähler completa de dimensão
complexa m com curvatura bisseccional holomorfa maior que ou igual a 1. Então, em
M \ (Cut(p) ∪ {p}), temos
Δr(x) ≤ 2(m − 1) cotg (r(x)) + 2 cotg (2r(x))
= Δ̃r̃(r(x)),
onde Δ̃ e r̃ denotam, respectivamente, o Laplaciano e a função distância deﬁnida no
espaço projetivo complexo CPm .
Vale ressaltar que as variedades a serem comparadas são os espaços CHm e CPm ,
cujas curvaturas bisseccionais holomorfas são −1 e 1, respectivamente. Usando técnicas
de Análise Complexa, análogas as introduzidas por Li e Wang em [12], obtemos o seguinte
resultado:
Teorema 0.6. Seja M m uma variedade Kähler completa de dimensão complexa m com
curvatura bisseccional holomorfa não-negativa. Então, em M \ (Cut(p) ∪ {p}), temos
Δr(x) ≤ (2m − 1)(r(x))−1 = Δ̃r̃(r(x)),
onde Δ̃ e r̃ denotam, respectivamente, o Laplaciano e a função distância deﬁnida no
espaço Euclidiano complexo Cm .
O resultado acima foi inspirado no Teorema de Comparação do Laplaciano para
variedades Kähler quaterniônicas obtido por Kong, Li e Zhou em [8]. Observamos que a
curvatura bisseccional holomorfa de Cm é nula.
Como aplicações do Teorema 0.4, temos o Teorema de Comparação de Bishop-Gromov
para variedades Kähler e uma estimativa para o primeiro autovalor do Laplaciano em
variedades Kähler. Tal estimativa foi obtida por Li e Wang em 2005, ver [12].

10
Aplicação 0.1. Seja M m uma variedade Kähler completa com curvatura bisseccional
holomorfa maior que ou igual a −1. Então, para todo x ∈ M e 0 ≤ ε ≤ R, o volume das
bolas geodésicas satisfazem
Vx (R)
VCHm (R)
≤
Vx (ε)
VCHm (ε)
e
Vx (R) ≤ VCHm (R),
onde VCHm (ε) denota o volume da bola geodésica de raio ε em CHm .

Aplicação 0.2 (Li e Wang). Seja M m uma variedade Kähler completa com curvatura
bisseccional holomorfa maior que ou igual a −1. Então o primeiro autovalor do Laplaciano em M satisfaz
λ1 (M ) ≤ m2 = λ1 (CHm ).
A demonstração da Aplicação 0.1 é análoga ao caso Riemanniano e segue do Teorema
0.6. Ver, por exemplo, [16].
Em 2005, uma versão global de comparação de volume foi obtida por Li e Wang, ver
[12], cuja demonstração segue como consequência do Teorema 0.5.
Aplicação 0.3 (Li e Wang). Seja M m uma variedade Kähler completa com curvatura
bisseccional holomorfa maior que ou igual a 1. Então M é compacta e o diâmetro de M
satisfaz
π
d(M ) ≤ = d(CPm ).
2
Além disso,
vol (M ) ≤ vol (CPm ).
Nesta dissertação, descreveremos as demonstrações dos teoremas de comparação do
Laplaciano para variedades Kähler, Teorema 0.4 e Teorema 0.5, apresentadas por Li e
Wang em [12], e provaremos o Teorema 0.6. Como consequência dos teoremas de comparação do Laplaciano para variedades Kähler, apresentaremos as provas da Aplicação
0.1, Aplicação 0.2 e Aplicação 0.3.
Esta dissertação está organizada da seguinte forma:
No capı́tulo 1, apresentaremos algumas propriedades referentes ao Laplaciano da
função distância deﬁnida em variedades Riemannianas. Na segunda e terceira seção
deste capı́tulo, introduziremos as variedades complexas e quase-complexas, e deﬁniremos integrabilidade de uma estrutura quase-complexa. Também demonstraremos alguns
resultados básicos referentes às variedades quase-complexas e enunciaremos um importante teorema provado em 1957 por Newlander e Nirenberg, ver [15]. Encerraremos este
capı́tulo introduzindo o conceito de métrica Hermitiana e variedade Hermitiana. Os textos básicos usados neste capı́tulo foram [16], [6], [10], [14] e [1].

11
No capı́tulo 2, deﬁniremos variedades Kähler e obteremos alguns resultados necessários
para demonstrar os teoremas de comparação do Laplaciano da função distância em
variedades Kähler, como por exemplo, obteremos as expressões da métrica Kähler, da
forma Kähler, dos sı́mbolos de Christoﬀel e do tensor curvatura Riemanniana em coordenadas. Nesta parte, também deﬁniremos curvatura bisseccional holomorfa e obteremos
as curvaturas bisseccionais holomorfas dos espaços CHm , CPm e Cm . Finalizamos o
capı́tulo obtendo as expressões do Laplaciano da função distância nos espaços modelos
CHm , CPm e Cm . Neste capı́tulo, usamos [9], [14] e [1], textos os quais introduzem a
geometria Kähler.
No último capı́tulo, apresentaremos as demonstrações dos teoremas de comparação do
Laplaciano para variedades Kähler, ver Teorema 0.4, Teorema 0.5 e Teorema 0.6. Como
consequência do Teorema 0.4, obteremos o Teorema de Comparação de Volume de BishopGromov para variedades Kähler e a estimativa do primeiro autovalor do Laplaciano em
variedades Kähler, ver Aplicação 0.1 e Aplicação 0.2. Finalmente, encerraremos este
capı́tulo com a demonstração da Aplicação 0.3. Na demonstração dos resuldados citados
acima, usamos o artigo “Comparison theorem for Kähler Manifolds and Positivity of
Spectrum”, ver [12], e o texto “Lectures on Diﬀerential Geometry”, ver [16].

Capı́tulo 1
Preliminares
1.1

Deﬁnições e Alguns Resultados Básicos

Nesta seção, iremos obter algumas propriedades referentes à geodésica, à aplicação
exponencial, ao cut locus e ao Laplaciano da função distância em variedades Riemannianas M . Mais precisamente, obteremos que o gradiente da função distância é um campo
unitário em M .
Sejam M uma variedade Riemanniana e γv a única geodésica que passa pelo ponto
p ∈ M com velocidade constante v ∈ Tp M . Consideremos o conjunto
Ep := {v ∈ Tp M ; γv está deﬁnida em um intervalo contendo [0, 1]}.

Figura 1.1: Geódesica γv .
A aplicação expp : Ep → M , deﬁnida por expp (v) = γv (1), é denominada aplicação
exponencial. É possı́vel aumentar a velocidade de uma geódesica diminuindo seu intervalo

12

13
de deﬁnição e vice-versa. Isso segue de uma propriedade chamada homogeneidade das
geodésicas, a saber:
γλv (t) = γv (λt)

∀v ∈ Tp M

e

∀λ, t ∈ R,

tais que γv está deﬁnida. Segue-se desta propriedade que
expp (tv) = γtv (1) = γv (t),
para t ∈ R que está no intervalo de deﬁnição de γv .

Figura 1.2: Aplicação Exponencial.
Proposição 1.1.1. A aplicação exponencial expp : Ep → M é diferenciável.
Demonstração. Ver [10], página 71, Proposição 5.7, item (c).
�
Deﬁnição 1.1.1. Uma variedade Riemanniana M é completa se, para todo p ∈ M , a
aplicação expp está deﬁnida para todo v ∈ Tp M , isto é, as geodésicas γ(t) partindo de p
estão deﬁnidas para todos os valores do parâmetro t ∈ R.
Sejam (M, g) uma variedade Riemanniana completa e γ : [0, +∞) → M um raio
geodésico normalizado com γ(0) = p. Sabe-se que, sendo t > 0 suﬁcientemente pequeno, d(γ(0), γ(t)) = t, isto é, γ|[0,t] é uma geodésica minimizante. Além disso, se
γ|[0,t0 ] não é minimizante, então γ|[0,t1 ] não é minimizante para qualquer t1 ≥ t0 . Usando
a continuidade de γ, temos que o conjunto dos números t ∈ [0, +∞) tais que γ|[0,t] é
minimizante é da forma [0, t0 ] ou [0, +∞). Assim podemos deﬁnir
ρ(v) := sup{t ∈ [0, +∞); γv (t) = expp (tv) é minimizante em [0, t], com |v| = 1}.
Deﬁnição 1.1.2. Sejam M uma variedade Riemanniana completa e v ∈ Tp M unitário.
Se ρ(v) é ﬁnito, o ponto γv (ρ(v)) = expp (ρ(v)v) é chamado ponto mı́nimo de p na
direção v. O cut locus de p em M é o conjunto formado pelos pontos mı́nimos de p em
M , indicado por Cut(p).

14
Agora consideremos o conjunto
Cp := {ρ(v)v; ρ(v) < +∞, v ∈ Tp M, |v| = 1}.
Note que o cut locus de p ∈ M é dado por Cut(p) = expp (Cp ). Seja Σp o conjunto
deﬁnido por
Σp := {tv; 0 ≤ t < ρ(v), v ∈ Tp M, |v| = 1}.
Portanto
M = { expp (tv); 0 ≤ t ≤ ρ(v), v ∈ Tp M, |v| = 1} = expp (Σp ) ∪ expp (Cp ) = expp (Σp ) ∪ Cut(p).

Figura 1.3: Pontos mı́nimos.
Observe que o conjunto Σp coincide com o conjunto dos vetores v ∈ Tp M tais que
γv (t) = expp (tv) ∈ M \ Cut(p) para todos 0 ≤ t ≤ 1, que por sua vez está contido em
Ep , isto é,
Σp = {v ∈ Tp M ; expp (tv) ∈ M \ Cut(p)} ⊂ Ep .
Proposição 1.1.2. Seja γ : [0, t0 ] → M uma geodésica. Suponha que γ(t0 ) é o ponto
mı́nimo de p = γ(0) ao longo de γ. Então,
(a) ou γ(t0 ) é o primeiro ponto conjugado de γ(0) ao longo de γ;
(b) ou existe uma geodésica minimizante σ �= γ ligando p a γ(t0 ).
Reciprocamente, se (a) ou (b) se veriﬁca, então existe t̃ ∈ (0, t0 ], tal que γ(t̃) é o ponto
mı́nimo de p ao longo de γ.
Demonstração. Ver [6], página 296, Proposição 2.2.
�
Exemplo 1.1.1. Seja Sn ⊂ Rn+1 a esfera unitária n-dimensional. Se p ∈ Sn , então é
podemos veriﬁcar que Cut(p) = {−p}. Além disso, o cut locus coincide com o lugar dos
pontos conjugados.

15

Figura 1.4: Cut locus de um ponto na esfera.
Corolário 1.1.1. Seja M variedade Riemanniana completa. Se p ∈ M e q ∈ M \Cut(p),
então existe uma única geodésica minimizante γ ligando p a q. Em particular, q não é
conjugado a p ao longo de γ.
Demonstração. Seja γ : [0, t0 ] → M uma geodésica minimizante com γ(0) = p e
γ(t0 ) = q. Suponha que p liga-se a q por duas geodésicas minimizantes, ou suponha q
conjugado a p ao longo de γ. Usando a Proposição 1.1.2, existe t̃ ∈ (0, t0 ], tal que γ(t̃)
é o ponto mı́nimo de p ao longo de γ. Como q ∈
/ Cut(p) e t̃ < t0 , isso nos aﬁrma que γ
não é minimizante em (0, t0 ], uma contradição.
�
Corolário 1.1.2. Seja M variedade Riemanniana completa. Então a aplicação exponencial expp : Σp → M \ Cut(p) é um difeomorﬁsmo.
Demonstração. Sejam q ∈ M \ Cut(p) e

γv (t) = expp (tv)
a única geodésica normalizada e minimizante ligando p = γ(0) a q = γ(1) garantida
pelo Corolário 1.1.1. Em particular, q não é conjugado a p ao longo de γ. Deste modo,
v ∈ Tp M não é ponto crı́tico de expp . Assim expp é um difeomorﬁsmo local. Como
expp (Σp ) = M \ Cut(p),
resta-nos mostrar que expp é injetiva. De fato, suponha que existem v, w ∈ Σp distintos,
tais que
γ(t) = expp (tv) e α(t) = expp (tw)
são geodésicas minimizantes ligando p a q = γ(1) = α(1). Note que q ∈
/ Cut(p), daı́ γ|[0,1]
e α|[0,1] não é minimizante. Sem perda de generalidade, suponha γ não minimizante.
Portanto existe 0 < t0 < 1, tal que
expp (t0 v) = γ(t0 ) ∈ Cut(p).

16
Isso contradiz o fato de que v ∈ Σp .
�
Observação 1.1.1. Sejam M uma variedade Riemanniana completa e r : M → R a
função distância em M a partir de p ∈ M . Observe que
(r ◦ expp )(v) = d(p, expp (v)) = |v|,
logo r ◦ expp é diferenciável em Σp \ {0}. Decorre da Proposição 1.1.2 que expp : Σp →
M \ Cut(p) é um difeomorﬁsmo; e, portanto, r é diferenciável em M \ (Cut(p) ∪ {p}).
Teorema 1.1.1. Seja γ : [0, a] → M \ Cut(p) uma geodésica minimizante e normalizada
partindo de p. Então
∇r(γ(t)) = γ � (t)
∀ 0 ≤ t ≤ a.
Em particular, |∇r(x)| = 1 para todo x ∈ M \ Cut(p).
Demonstração. Seja γ(t) = expp (tv), 0 ≤ t ≤ a, e q = γ(t0 ). Se w ∈ Tq M , w ⊥ γ � (t0 ),
segue do lema de Gauss (ver [6], página 77, Lema 3.5), a existência de W ∈ Tv (Tp M ) ≈
Tp M tal que g(W, v) = 0 e (d expp )t0 v W = w. Tomemos α : (−ε, ε) → Σp , tal que
|α(s)| = t0 , α(0) = t0 v e α� (0) = W . Como a geodésica minimizante ligando expp (α(s))
a p é única, temos
r(expp (α(s))) = t0 .

Figura 1.5: Ilustração da demonstração do Teorema 1.1.1.

17
Daı́
0 = g(∇r(q), (d expp )t0 v W ) = g(∇r(q), w).
Como a igualdade acima vale para todo w ⊥ γ � (t0 ). Assim ∇r(q) é um múltiplo de γ � (t0 ).
Mas r(γ(t)) = t, 0 ≤ t ≤ a, logo
g(∇r(γ(t)), γ � (t)) = 1.
Portanto
∇r(γ(t)) = γ � (t).

Em particular, sendo γ uma geodésica normalizada, temos
|∇r(x)| = |∇r(γ(a))| = |γ � (a)| = 1.
�

1.2

Variedades Complexas

Seja V um espaço vetorial de dimensão ﬁnita sobre R. Uma estrutura complexa em V
é um endomorﬁsmo J : V → V , tal que J 2 = −1, onde −1 denota o operador identidade
em V . Tal estrutura torna V um espaço vetorial complexo via a multiplicação da unidade
imaginária i por um vetor v ∈ V deﬁnida por iv := Jv. Reciprocamente, todo espaço
vetorial complexo possui uma estrutura complexa dada por Jv := iv. De fato,
J 2 (v) = J(J(v)) = J(iv) = iJ(v) = i2 v = −v

∀v ∈ V,

isto é, J 2 = −1.

Figura 1.6: Estrutura complexa
Exemplo 1.2.1. Seja Cm o espaço Euclidiano complexo. Escrevemos um vetor de Cm
como a m-upla
z = (z1 , . . . , zm ) = (x1 + iy1 , . . . , xm + iym )
e identiﬁcamos com o vetor (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym ) em R2m . Observe que o espaço Euclidiano complexo Cm com as operações usuais de adição e multiplicação em C, torna-se
um espaço vetorial complexo. Assim podemos deﬁnir uma estrutura complexa J em Cm
por Jm z = iz, ou seja,
Jm (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym ) = (−y1 , . . . , −ym , x1 , . . . , xm ).

18
A estrutura complexa Jm deﬁnida acima é chamada estrutura complexa canônica. Ao
longo do texto, usaremos a identiﬁcação
(x1 + iy1 , . . . , xm + iym ) = (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym )

(1.1)

de Cm com R2m e a estrutura complexa canônica Jm em R2m sem fazer referência.

Figura 1.7: Estrutura complexa canônica
Sejam U um aberto de Cm e F = (f1 + ig1 , . . . , fn + ign ) : U ⊂ Cm → Cn uma função.
Usando a identiﬁcação em (1.1), podemos escrever
F (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym ) = (f1 (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym ), . . . , fn (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym ),
g1 (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym ), . . . , gn (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym )).
Dizemos que F = (f1 + ig1 , . . . , fn + ign ) : U ⊂ Cm → Cn é de classe C 1 , quando
F : U ⊂ R2m → R2n é diferenciável e as derivadas parciais
∂gα
∂fα ∂fα ∂gα
,
,
e
∂xβ ∂yβ ∂xβ
∂yβ

são contı́nuas para todos 1 ≤ β ≤ m e 1 ≤ α ≤ n.

Deﬁnição 1.2.1. Seja U um aberto de Cm . Dizemos que uma função F : U ⊂ Cm →
Cn é diferenciável (no sentido complexo) em a ∈ U , se existe uma aplicação C-linear
L : Cm → Cn , tal que
F (a + h) = F (a) + L(h) + o(h),

com

o(h)
,
|h|→0 |h|
lim

(1.2)

para todo h ∈ Cm ≈ R2m de norma suﬁcientemente pequena. A função F : U ⊂ Cm → Cn
é holomorfa em a ∈ U se, e somente se, F é diferenciável (no sentido complexo) em uma
vizinhança de a em U . Além disso, dizemos que F é holomorfa em U , se F é holomorfa
em todo ponto de U .
Proposição 1.2.1. Sejam U ⊂ Cm aberto e F = f + ig : U → Cn uma função de classe
C 1 . Então F é holomorfa em U se, e somente se,
∂fα
∂gα
∂fα
∂gα
=
e
=−
,
∂xβ
∂yβ
∂yβ
∂xβ
para todos 1 ≤ β ≤ m e 1 ≤ α ≤ n.

em

U,

(1.3)

19
Demonstração. Ver [7], página 29, Teorema 6.3.
�
As equações em (1.3) são denominadas de equações de Cauchy-Riemann para a função
F = (f1 + ig1 , . . . , fn + ign ) : U ⊂ Cm → Cn .

Proposição 1.2.2. Sejam U um aberto de Cm e F = (f1 +ig1 , . . . , fn +ign ) : U ⊂ Cm →
Cn uma função de classe C 1 . Então F é holomorfa em U se, e somente se,
dF (z) ◦ Jm = Jn ◦ dF (z)

∀z ∈ U,

onde Jm e Jn denotam as estruturas complexas canônicas de Cm e Cn , respectivamente.
Demonstração. Observe que a matriz de
Jm (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym ) = (−y1 , . . . , −ym , x1 , . . . , xm )

na base canônica de R2m é a matriz quadrada de ordem 2m dada por
�
�
0m −1m
Jm =
1m 0m

onde 1m e 0m denotam a matriz identidade e a matriz nula de ordem m, respectivamente.
Note que as condições de Cauchy-Riemann para a função
F = (f1 + ig1 , . . . , fn + ign ) : U ⊂ Cm → Cn

são equivalentes à igualdade matricial

∂f1
∂f1
(z) . . .
(z)
 ∂x1
∂xm

..
..

.
.

 ∂fn
∂f
n

 ∂x (z) . . . ∂x (z)
1
m



 ∂g1
∂g1

 ∂x1 (z) . . . ∂xm (z)

..
..

.
.

 ∂gn
∂gn
(z) . . .
(z)
∂x1
∂xm

∂f1
(z)
 ∂x1

..

.

 ∂fn


 ∂x (z)
0n −1n
1


= 

 ∂g1
1n 0n

 ∂x1 (z)

..

.

 ∂gn
(z)
∂x1


∂f1
∂f1
(z) . . .
(z)

∂y1
∂ym

..
..

.
.


∂fn
∂fn


(z) . . .
(z) 
 0m −1m
∂y1
∂ym





∂g1
∂g1
1m 0m
(z) . . .
(z) 

∂y1
∂ym

..
..

.
.


∂gn
∂gn
(z) . . .
(z)
∂y1
∂ym

∂f1
∂f1
∂f1
...
(z)
(z) . . .
(z)

∂xm
∂y1
∂ym

..
..
..

.
.
.


∂fn
∂fn
∂fn
...
(z)
(z) . . .
(z) 

∂xm
∂y1
∂ym

.


∂g1
∂g1
∂g1
...
(z)
(z) . . .
(z) 

∂xm
∂y1
∂ym

..
..
..

.
.
.


∂gn
∂gn
∂gn
...
(z)
(z) . . .
(z)
∂xm
∂y1
∂ym

20
Por outro lado, a diferencial de F em z ∈ U é uma aplicação linear dF (z) : R2m → R2n ,
cuja representação nas bases canônicas de R2m e R2n é


∂f1
(z)
 ∂x1

..

.

 ∂fn

 ∂x (z)
1

dF (z) = 

 ∂g1

 ∂x1 (z)

..

.

 ∂gn
(z)
∂x1


∂f1
∂f1
(z) . . .
(z)

∂y1
∂ym

..
..

.
.


∂fn
∂fn
(z) . . .
(z) 

∂y1
∂ym

.


∂g1
∂g1
∂g1
...
(z)
(z) . . .
(z) 

∂xm
∂y1
∂ym

..
..
..

.
.
.


∂gn
∂gn
∂gn
...
(z)
(z) . . .
(z)
∂xm
∂y1
∂ym

∂f1
...
(z)
∂xm
..
.
∂fn
...
(z)
∂xm

Logo, usando a Proposição 1.2.1, obtemos que F : U ⊂ Cm → Cn é holomorfa se, e
somente se,
dF (z) ◦ Jm = Jn ◦ dF (z)
∀z ∈ U.
�

Deﬁnição 1.2.2. Uma variedade complexa M de dimensão complexa m é uma variedade
diferenciável de dimensão real 2m, munida de um atlas formado por cartas ψα : Uα ⊂
M → Cm ≈ R2m , tais que a mudança de coordenadas
ψβ ◦ ψα−1 : ψα (Uα ∩ Uβ ) → ψβ (Uα ∩ Uβ )
é uma função holomorfa, sempre que Uα ∩ Uβ �= ∅.

Figura 1.8: Mudança de coordenadas em uma variedade complexa.

21
O par (Uα , zα ) é denominado carta coordenada holomorfa ou sistema de coordenadas
complexas. A coleção de todas as cartas {(Uα , ψα )}α∈Λ é chamada atlas complexo para
M . Se o atlas complexo {(Uα , ψα )}α∈Λ é maximal, dizemos que {(Uα , ψα )}α∈Λ é uma
estrutura complexa.
Exemplo 1.2.2. Sejam M uma variedade complexa de dimensão complexa m e U ⊂ M
um aberto não-vazio. Observe que U ⊂ M , munido com o atlas induzido por M é
também uma variedade complexa de dimensão complexa m.
No ﬁnal da seção 2.4, daremos mais alguns exemplos de variedades complexas.

1.3

Variedades Quase-Complexas e Integrabilidade

Nesta seção vamos deﬁnir variedades quase-complexas e integrabilidade de uma estrutura quase-complexa. Também demonstraremos alguns resultados básicos referentes
à variedades quase-complexas e enuciaremos um importante teorema provado em 1957
por Newlander e Nirenberg, ver [15]. Finalmente, introduziremos o conceito de métrica
Hermitiana.
Deﬁnição 1.3.1. Uma estrutura quase-complexa em uma variedade diferenciável M é
um campo de endomorﬁsmos diferenciável J que associa a cada p ∈ M um (1, 1)-tensor
J(p) = Jp : Tp M → Tp M tal que Jp2 = −1, onde 1 é o operador identidade em Tp M . Uma
variedade diferenciável M , munida de uma estrutura quase-complexa J, é dita variedade
quase-complexa.

Figura 1.9: Estrutura quase-complexa
Proposição 1.3.1. Toda variedade quase-complexa (M, J) tem dimensão real par e, além
disso, M é orientável.
Demonstração. Observe que podemos tornar o espaço tangente Tp M em um espaço vetorial complexo deﬁnindo em Tp M a multiplicação por um número complexo da seguinte
forma
(a + ib)X = aX + bJX.
Suponhamos que a dimensão complexa de Tp M é m e seja {X1 , . . . , Xm } a base de Tp M
sobre C. Daı́ {X1 , . . . , Xm , JX1 , . . . , JXm } é um conjunto linearmente independente que
gera Tp M sobre R, ou seja, {X1 , . . . , Xm , JX1 , . . . , JXm } é uma base de Tp M sobre

22
R. Portanto dimR M = 2m. Agora, para concluir a demonstração dessa proposição,
resta-nos mostrar que M é orientável, ou seja, as bases {X1 , . . . , Xm , JX1 , . . . , JXm } e
{Y1 , . . . , Ym , JY1 , . . . , JYm } distintas induzem a mesma orientação em Tp M . Com efeito,
para cada j ∈ {1, . . . , m}, podemos escrever
Yj =

m
�

akj Xk +

k=1

m
�
k=1

bkj JXk

e

JYj = −

m
�
k=1

bkj Xk +

m
�

akj JXk

k=1

e considerar as matrizes quadradas de ordem m, a = (akj ) e b = (bkj ). Note que a matriz
de mudança de base pode ser representada por
�
�
a b
.
A=
−b a
Como
det(A) = (det(a))2 + (−1)m (det(b))(det(−b)) = (det(a))2 + (−1)2m (det(b))2
= (det(a))2 + (det(b))2 > 0,
segue que M é orientável.
�
Exemplo 1.3.1. As variedades complexas são variedades quase-complexas. De fato,
seja M uma variedade complexa de dimensão m. Podemos deﬁnir em uma vizinhança
coordenada complexa (Uα , ψα ) o operador
J = (dψα )−1 ◦ Jm ◦ dψα ,
onde Jm (z) = iz. Veja que o operador J é um endomorﬁsmo e está globalmente deﬁnido,
pois se tomarmos outra carta complexa (Uβ , ψβ ) com Uα ∩ Uβ �= ∅ e sendo a mudança de
coordenada ψβ ◦ ψα−1 holomorfa, temos
(dψβ )−1 ◦ Jm ◦ dψβ = (dψβ )−1 ◦ Jm ◦ dψβ ◦ (dψα )−1 ◦ dψα
= (dψβ )−1 ◦ dψβ ◦ (dψα )−1 ◦ Jm ◦ dψα
= (dψα )−1 ◦ Jm ◦ dψα .
Além disso,
� �
�
�
J 2 = (dψα )−1 ◦ Jm ◦ dψα ◦ (dψα )−1 ◦ Jm ◦ dψα
2
◦ dψα
= (dψα )−1 ◦ Jm
−1
= −(dψα ) ◦ dψα
= −1.
Logo J é uma estrutura quase-complexa em M .
A estrutura quase-complexa J obtida no exemplo acima é denominada estrutura
quase-complexa canônica.

23
Deﬁnição 1.3.2. Sejam M e N duas variedades complexas de dimensão complexa m e
n, respectivamente. Uma função f : M → N de classe C 1 é holomorfa se, e somente se,
para todas as cartas coordenadas complexas ψα : Uα ⊂ M → Cm e ϕβ : Uβ ⊂ N → Cn ,
com f (Uα ) ⊂ Uβ , a expressão em coordenadas de f ,
ϕβ ◦ f ◦ ψα−1 : ψα (Uα ) ⊂ Cm → ϕβ (Uβ ) ⊂ Cn ,
é uma função holomorfa.

Figura 1.10: Aplicação holomorfa.
Observação 1.3.1. Sejam M e N variedades complexas de dimensão complexa m e n,
respectivamente. Decorre da Deﬁnição 1.3.2 que uma aplicação f : M → N de classe C 1
é holomorfa se, e somente se,
ϕβ ◦ f ◦ ψα−1 : ψα (Uα ) ⊂ Cm → ϕβ (Uβ ) ⊂ Cn
é uma função holomorfa. Usando a Proposição 1.2.2, obtemos que ϕβ ◦f ◦ψα−1 é holomorfa
se, e somente se,
d(ϕβ ◦ f ◦ ψα−1 ) ◦ Jm = Jn ◦ d(ϕβ ◦ f ◦ ψα−1 ),
donde
dϕβ ◦ df ◦ (dψα )−1 ◦ Jm = Jn ◦ dϕβ ◦ df ◦ (dψα )−1 ,
o que implica
df ◦ (dψα )−1 ◦ Jm ◦ dψα = (dϕβ )−1 ◦ Jn ◦ dϕβ ◦ df.

Logo f : M → N de classe C 1 é holomorfa se, e somente se,
df ◦ J = J � ◦ df,

onde J e J � são as estruturas quase-complexas canônicas de M e N , respectivamente.

24
Observação 1.3.2. Consideremos M m uma variedade complexa de dimensão complexa
m e J a estrutura complexa canônica de M . Sejam zk = xk + iyk a k-ésima coordenada
da carta coordenada complexa ψ e {e1 , . . . , e2m } a base canônica de R2m . Aﬁrmamos que
�
�
�
�
∂
∂
∂
∂
J
=
=−
e
J
.
∂xk
∂yk
∂yk
∂xk
De fato, por deﬁnição,
∂
= (dψ)−1 (ek )
∂xk
para 1 ≤ k ≤ m, onde

e

∂
= (dψ)−1 (em+k )
∂yk

�
∂
∂
∂
∂
,...,
,
,...,
∂x1
∂xm ∂y1
∂ym
é um referencial local em M . Visto que J é a estrutura quase-complexa canônica de M ,
então
�
�
�
�
�
� ∂
∂
∂
−1
= (dψ) ◦ Jm ◦ dψ
= (dψ)−1 (Jm (ek )) = (dψ)−1 (em+k ) =
J
∂xk
∂xk
∂yk
e
�
�
�
�
�
� ∂
∂
∂
−1
= (dψ) ◦ Jm ◦ dψ
= (dψ)−1 (Jm (em+k )) = −(dψ)−1 (ek ) = −
.
J
∂yk
∂yk
∂xk
�

Sejam (M, J) uma variedade quase-complexa. A aplicação NJ : T M × T M → T M,
deﬁnida por
NJ (X, Y ) = 2 {[JX, JY ] − [X, Y ] − J[X, JY ] − J[JX, Y ]} ,

(1.4)

é um (2, 1)-tensor sobre M , denominado o tensor de Nijenhius (ou torção).
Deﬁnição 1.3.3. Seja (M, J) uma variedade quase-complexa. Dizemos que J é uma
estrutura integrável, se NJ ≡ 0.

Proposição 1.3.2. Sejam M 2m uma variedade complexa e J a estrutura quase-complexa
canônica de M . Então J é integrável.
Demonstração. Seja zk = xk +iyk a k-ésima coordenada da carta coordenada complexa
(U, ψ). Segue da Observação 1.3.2 que
�
�
�
�
∂
∂
∂
∂
J
=
=−
e J
,
(1.5)
∂xk
∂yk
∂yk
∂xk

para cada 1 ≤ k ≤ m. Como NJ é um tensor, então para veriﬁcar que NJ (X, Y ) = 0,
para todos X, Y ∈ T M , basta mostrar que NJ é nulo nos campos coordenados. Para
isto, observe que
�
� �
� �
�
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
= 0,
(1.6)
,
,
,
∂xj ∂xk
∂xj ∂yk
∂yj ∂yk

25
com 1 ≤ j, k ≤ n. Substituindo as igualdades em (1.6) na expressão em (1.4) e usando
(1.5), obtemos
�
�
�
�
�
�
∂
∂
∂
∂
∂
∂
NJ
= NJ
= NJ
= 0.
,
,
,
∂xj ∂xk
∂xj ∂yk
∂yj ∂yk
�
A recı́proca desta proposição foi provada em 1957, por Newlander e Nirenberg, ver
[15], página 393, Teorema 1.1. A saber:
Teorema 1.1 (Newlander e Nirenberg). Seja (M, J) uma variedade quase-complexa.
Se a estrutura quase-complexa J é integrável, então M admite uma única estrutura de
variedade complexa em relação à qual J é a estrutura quase-complexa canônica.
Veremos agora uma outra interpretação para a integrabilidade de J. Para isto, vamos
considerar (M 2m , J) uma variedade quase-complexa de dimensão complexa m. A complexiﬁcação do espaço tangente de M em p ∈ M é o produto tensorial Tp M C = Tp M ⊗R C,
cujos vetores são da forma Z = X + iY , com X, Y ∈ Tp M . Assim, Tp M C é um espaço
vetorial complexo com dimensão complexa 2m.
A estrutura quase-complexa Jp pode ser estendida a Tp M C do seguinte modo:
Jp (X + iY ) = Jp X + iJp Y

∀X, Y ∈ Tp M.

Observe que
Jp2 (X + iY ) = Jp (Jp (X) + iJp (Y )) = Jp2 (X) + iJp2 (Y ) = −(X + iY ),
isto é, Jp2 = −1. Logo a extensão de Jp ao espaço vetorial Tp M C é uma estrutura quasecomplexa.
Agora considere
�
�
�
�
Tp1,0 M = Z ∈ Tp M C ; Jp Z = iZ
e Tp0,1 M = Z ∈ Tp M C ; Jp Z = −iZ
(1.7)
os auto-espaços associados aos autovalores i e −i de Jp , respectivamente. O auto-espaço
Tp1,0 M é chamado espaço tangente complexiﬁcado.

Lema 1.3.1. Seja (M 2m , J) uma variedade quase-complexa de dimensão real 2m. Os
auto-espaços Tp1,0 M e Tp0,1 M de Tp M C , deﬁnidos em (1.7), têm dimensão complexa m e
satisfazem
(i) Tp1,0 M = {X − iJX; X ∈ Tp M } ;
(ii) Tp0,1 M = {X + iJX; X ∈ Tp M } ;
(iii) Tp M C = Tp1,0 M ⊕ Tp0,1 M.

26
Demonstração. Inicialmente, considere {e1 , . . . , em , Jp (e1 ), . . . , Jp (em )} uma base real
de Tp M . Se
1
uk = (ek − iJp (ek )), 1 ≤ k ≤ m,
2
1
então uk = (ek + iJp (ek )) e {u1 , . . . , um , u1 , . . . , um } é uma base complexa de Tp M C .
2
Portanto a dimensão complexa de Tp M C é 2m. Note que
ek = uk + uk e Jp (ek ) = i(uk − uk ).
Daı́

1
1
i
Jp (uk ) = (Jp (ek ) − iJp2 (ek )) = (Jp (ek ) + iek ) = (ek − iJp (ek )) = iuk
2
2
2

e

1
1
i
Jp (uk ) = (Jp (ek ) + iJp2 (ek )) = (Jp (ek ) − iek ) = − (ek + iJp (ek )) = −iuk .
2
2
2
1,0
0,1
Logo uk ∈ Tp M e uk ∈ Tp M , para 1 ≤ k ≤ m. Por outro lado,
Tp1,0 M ∩ Tp0,1 M = {0} .

Deste modo {u1 , . . . , um } e {u1 , . . . , um } são bases de Tp1,0 M e Tp0,1 M , respectivamente.
Assim concluı́mos os itens (i) e (ii). Além disso, obtemos que
dimC Tp1,0 M = dimC Tp0,1 M = m.
Finalmente, o item (iii) decorre do fato da dimensão real de Tp M ser 2m.
�

Figura 1.11: Espaço tangente complexiﬁcado.
Seja T M C = T M ⊗R C a complexiﬁcação do ﬁbrado tangente da variedade M , cujos
elementos são da forma Z = X + iY , com X, Y ∈ T M . Tal elemento Z ∈ T M C é

27
denominado campo de vetores complexos sobre M . A decomposição de Tp M C , para cada
p ∈ M , em soma direta obtida no Lema (1.3.1), item (iii), induz uma decomposição na
complexiﬁcação do ﬁbrado tangente T M C na soma de Whitney
T M C = T 1,0 M ⊕W T 0,1 M,
onde
e

(1.8)

�
�
T 1,0 M = Z ∈ T M C ; JZ = iZ = {X − iJX; X ∈ T M }

�
�
T 0,1 M = Z ∈ T M C ; JZ = −iZ = {X + iJX; X ∈ T M } .

Figura 1.12: Complexiﬁcação do ﬁbrado tangente.
Observe que podemos estender o colchete de Lie [., .] à campos vetoriais complexos,
do seguinte modo:
[X + iY, X � + iY � ] = [X, X � ] − [Y, Y � ] + i([X, Y � ] + [Y, X � ]).
Proposição 1.3.3. Seja (M, J) uma variedade quase-complexa. A estrutura quasecomplexa J é integrável se, e somente se, o colchete de Lie deixa invariante T 1,0 M
(resp. T 0,1 M ), isto é,
Z1 , Z2 ∈ T 1,0 M (resp. Z1 , Z2 ∈ T 0,1 M ) =⇒ [Z1 , Z2 ] ∈ T 1,0 M (resp. [Z1 , Z2 ] ∈ T 0,1 M ).
Demonstração. Seja W = [X, Y ] − [JX, JY ]. Note que
[X − iJX, Y − iJY ] = [X, Y ] − [JX, JY ] − i([X, JY ] + [JX, Y ])
= [X, Y ] − [JX, JY ] − iJ([X, Y ] − [JX, JY ]) + iJ([X, Y ]
−[JX, JY ]) − i([X, JY ] + [JX, Y ])
= W − iJW − iJ([JX, JY ] − [X, Y ] − J[X, JY ] − J[JX, Y ]
1
= W − iJW − iJ(NJ (X, Y )).
2
Logo o colchete de Lie deixa T 1,0 M invariante se, e somente se, NJ ≡ 0.
�

28
Exemplo 1.3.2. Qualquer variedade (M 2 , J) quase-complexa de dimensão real 2 é integrável, ou seja, toda superfı́cie munida de uma estrutura quase-complexa é integrável.
Com efeito, seja {X0 , JX0 } um referencial local em M . Usando a anti-simetria do colchete
de Lie, obtemos
NJ (X0 , X0 ) = 2 {[JX0 , JX0 ] − [X0 , X0 ] − J[JX0 , X0 ] − J[X0 , JX0 ]} = 0,
�
�
NJ (JX0 , JX0 ) = 2 [J 2 X0 , J 2 X0 ] − [JX0 , JX0 ] − J[J 2 X0 , JX0 ] − J[JX0 , J 2 X0 ]
= 2 {[X0 , X0 ] − [JX0 , JX0 ] + J[X0 , JX0 ] + J[JX0 , X0 ]}
= 0
e
NJ (X0 , JX0 ) =
=
=
=

�
�
2 [JX0 , J 2 X0 ] − [X0 , JX0 ] − J[JX0 , JX0 ] − J[X0 , J 2 X0 ]
2 {−[JX0 , X0 ] − [X0 , JX0 ] − J[JX0 , JX0 ] + J[X0 , X0 ]}
2 {[X0 , JX0 ] − [X0 , JX0 ] − J[JX0 , JX0 ] + J[X0 , X0 ]}
0.

Como o tensor NJ é bilinear e nulo no referencial {X0 , JX0 }, obtemos
NJ (X, Y ) = 0

∀X, Y ∈ T M.

Deﬁnição 1.3.4. Seja (M, J) uma variedade quase-complexa. Uma métrica Hermitiana
em M é uma métrica Riemanniana g, tal que J é uma isometria, ou seja,
g(JX, JY ) = g(X, Y )

∀X, Y ∈ T M.

Uma variedade quase-complexa (M, J), munida de uma métrica Hermitiana g, é chamada
variedade quase-Hermitiana. No caso em que M é uma variedade complexa, dizemos que
(M, g, J) é uma variedade Hermitiana.
Exemplo 1.3.3. Seja g uma métrica Riemanniana em uma variedade quase-complexa
(M, J). Então sempre podemos obter uma métrica Hermitiana a partir de g. De fato,
deﬁnindo ĝ : T M × T M → R por
1
ĝ(X, Y ) = (g(X, Y ) + g(JX, JY ))
2

∀ X, Y ∈ T M,

temos
1
(g(JX, JY ) + g(J 2 X, J 2 Y ))
2
1
(g(X, Y ) + g(JX, JY ))
=
2
= ĝ(X, Y ).

ĝ(JX, JY ) =

Teorema 1.3.1. Seja (M, g, J) uma variedade quase-complexa. A métrica Riemanniana
g em M é Hermitiana se, e somente se, g(X, JX) = 0 para todo X ∈ T M.

29
Demonstração. Suponha que g é Hermitiana. Decorre da Deﬁnição 1.3.4 que
g(X, JX) = g(JX, J 2 X) = −g(JX, X) = −g(X, JX),
donde
g(X, JX) = 0.

(1.9)

Agora iremos mostrar a recı́proca. Se g(X, JX) = 0 para todo X ∈ T M, então
0 = g(X+Y, J(X+Y )) = g(X, JX)+g(X, JY )+g(Y, JX)+g(Y, JY ) = g(X, JY )+g(Y, JX),
ou seja,
g(X, JY ) = −g(Y, JX).

(1.10)

Portanto
g(JX, JY ) = −g(Y, J 2 X) = g(Y, X)

∀X, Y ∈ T M.

Logo g é Hermitiana.
�
Deﬁnição 1.3.5. Seja (M, g, J) uma variedade quase-Hermitiana. A 2-forma fundamental de M é uma 2-forma ω dada por
ω(X, Y ) = g(JX, Y )
para todos X, Y ∈ T M.
Dada uma métrica Riemanniana qualquer g em M , podemos estendê-la a um 2-tensor
simétrico
gC : T M C × T M C → C
escrevendo
gC (X + iY, X � + iY � ) = g(X, X � ) − g(Y, Y � ) + i(g(X, Y � ) + g(X � , Y )).
A extensão da métrica Riemanniana g a T M C é chamada complexiﬁcação da métrica g
e também é denotada por g.
Proposição 1.3.4. A complexiﬁcação da métrica Riemanniana g satisfaz as seguintes
propriedades:
(i) g(Z, W ) = g(Z, W )

∀ Z, W ∈ T M ;

(ii) g(Z, Z) > 0

∀ Z ∈ T M C;

(iii) g(Z, W ) = 0

∀ Z, W ∈ T 1,0 M (ou ∀ Z, W ∈ T 0,1 M ).

Demonstração. De fato, considere Z = X + iY e W = X � + iY � .

30
(i) Usando a expressão da complexiﬁcação da métrica, obtemos
g(Z, W ) =
=
=
=

g(X + iY, X � + iY � )
g(X, X � ) − g(Y, Y � ) − i(g(X, Y � ) + g(X � , Y ))
g(X − iY, X � − iY � )
g(Z, W ).

(ii) Observe que
g(Z, Z) = g(X + iY, X − iY )
= g(X, X) + g(Y, Y ) + i(−g(X, Y ) + g(X, Y ))
= g(X, X) + g(Y, Y ),
assim concluı́mos que g(Z, Z) > 0.
(iii) Como para X − iJX, Y − iJY ∈ T 1,0 M temos
g(X − iJX, Y − iJY ) = g(X, Y ) − g(JX, JY ) − i(g(X, JY ) + g(JX, Y )),
usando a expressão em (1.10) e o fato da métrica g ser Hermitiana, segue que
g(X − iJX, Y − iJY ) = 0.
Analogamente,
g(X + iJX, Y + iJY ) = g(X, Y ) − g(JX, JY ) + i(g(X, JY ) + g(JX, Y )) = 0,
onde X + iJX, Y + iJY ∈ T 0,1 M.

�

Sejam g a métrica Hermitiana de M m e {e1 , . . . , em } uma base do espaço tangente
complexiﬁcado Tx1,0 M . Decorre da Proposição 1.3.4, item (iii), que
gαβ = g(eα , eβ ) = 0 e gᾱβ̄ = g(eᾱ , eβ̄ ) = 0

∀α, β ∈ {1, 2, . . . , m}.

Além disso, existem únicos τ1 , . . . , τm ∈ Tx M tais que

1
1
e1 = (τ1 − iJτ1 ), . . . , em = (τm − iJτm ).
2
2

Dizemos que {e1 , . . . , em } é uma base unitária de Tx1,0 M , quando
{τ1 , Jτ1 , . . . , τm , Jτm }
é uma base ortonormal de Tx M , isto é,
1
gαβ̄ = g(eα , eβ̄ ) = g(τα − iJτα , τβ + iJτβ )
4
1
{g(τα , τβ ) + g(Jτα , Jτβ ) + i(g(τα , Jτβ ) − g(Jτα , τβ ))}
=
4
1
1
(g(τα , τβ ) + ig(τα , Jτβ )) = δαβ
=
2
2

(1.11)

31
para todos α, β ∈ {1, 2, . . . , m}.
Iremos obter as expressões da métrica Hermitiana g e da 2-forma fundamental ω =
g(J., .) no sistema de coordenadas complexas (U, ψ) de M , no qual J é a estrutura quasecomplexa canônica de M . Considere zk = xk +iyk a k-ésima coordenada de z e deﬁnamos
os campos complexos
�
�
�
�
∂
∂
1
∂
1
∂
∂
∂
e
,
:=
−i
:=
+i
∂zk
2 ∂xk
∂yk
∂ z̄k
2 ∂xk
∂yk
onde

�

∂
∂
∂
∂
,...,
,
,...,
∂x1
∂xm ∂y1
∂ym

�

é a base coordenada associada as coordenadas x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym . Podemos escrever
�
�
�
�
∂
∂
∂
∂
=
=−
e J
,
(1.12)
J
∂xk
∂yk
∂yk
∂xk
ver Observação 1.3.2. Deste modo, usando o Lema 1.3.1,
�
��
�
∂
1
∂
∂
∈ T 1,0 M
=
− iJ
∂zk
2 ∂xk
∂xk

(1.13)

e
�
��
�
∂
∂
1
∂
∈ T 0,1 M,
=
+ iJ
(1.14)
∂ z̄k
2 ∂xk
∂xk
�
�
�
�
∂
∂
∂
∂
e
são bases de Tx1,0 M e Tx0,1 M , respec,...,
,...,
e, portanto,
∂z1
∂zm
∂ z̄1
∂ z̄m
tivamente. Decorre da soma direta em (1.8) que
�
�
∂
∂
∂
∂
,...,
,
,...,
∂z1
∂zm ∂ z̄1
∂ z̄m
é uma base da complexiﬁcação do ﬁbrado tangente T M C . Com isso, concluı́mos que
�
�
�
�
∂
∂
∂
∂
=g
= 0, 1 ≤ k, j ≤ m.
,
,
g
∂zk ∂zj
∂ z̄k ∂ z̄j
Agora denotando
g

�

∂
∂
,
∂zk ∂ z̄j

�

= gkj̄ ,

obtemos a expressão em coordenadas da métrica Hermitiana g em uma variedade complexa M , munida de uma estrutura quase-complexa J, a saber:
ds2 =

m
�

k,j=1

gkj dzk � dz j ,

32
onde dzk � dz̄j := dzk dz̄j + dz̄j dzk , dzk dz̄j denota um produto tensorial, dzk = dxk + idyk
e dz̄j = dxk − idyk . Usando a notação de Einstein, escrevemos somente
ds2 = gkj dzk � dz̄j .

(1.15)

Também podemos obter uma simples expressão da 2-forma fundamental de M , no
caso em que M é munida de uma estrutura quase-complexa canônica J. De fato, usando
as igualdades em (1.13) e (1.14), obtemos
�
�
�
�
�
�
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ω
=g J
= ig
= 0.
,
,
,
∂zj ∂zk
∂zj ∂zk
∂zj ∂zk
Analogamente,
ω
Visto que
ω
então temos

�

∂
∂
,
∂zj ∂ z̄k

�

�

�

�

= 0.

�

�

∂
∂
,
∂ z̄j ∂ z̄k

∂
∂
=g J
,
∂zj ∂ z̄k

= ig

ω = igj k̄ dzj ∧ dz̄k .

∂
∂
,
∂zj ∂ z̄k

�

= igj k̄,

(1.16)

Capı́tulo 2
Variedades Kähler
2.1

Deﬁnições e Alguns Resultados Básicos

Seja (M, g, J) uma variedade Hermitiana com estrutura quase-complexa J e métrica
Hermitiana g. A derivada covariante do tensor J é dada por
(∇X J)Y = ∇X JY − J∇X Y.

(2.1)

Deﬁnição 2.1.1. Sejam (M, g, J) uma variedade Hermitiana e ∇ a conexão de LeviCivita. A variedade M é dita variedade Kähler, se ∇X J = 0 para todo X ∈ T M , ou
seja, se J é paralelo.
Lema 2.1.1. Sejam (M, g, J) uma variedade Hermitiana e ∇ a conexão de Levi-Civita,
então
(i) (∇Y J)JX = −J(∇Y J)X

∀X, Y ∈ T M ;

(ii) g((∇Y J)X, Z) = −g(X, (∇Y J)Z)

∀X, Y, Z ∈ T M .

Demonstração. Veja que, derivando covariantemente J(JX) = −X com respeito a Y
e usando a igualdade em (2.1), obtemos
−∇Y X = ∇Y (J(JX)) = (∇Y J)(JX)+J(∇Y JX) = (∇Y J)(JX)+J((∇Y J)X +J∇Y X),
para todos X, Y ∈ T M, donde
−∇Y X = (∇Y J)(JX) + J(∇Y J)X − ∇Y X.
Assim
(∇Y J)(JX) + J(∇Y J)X = 0,
para todos X, Y ∈ T M. Isso conclui o item (i). Agora mostraremos o item (ii). Observe
que, sendo g Hermitiana, vimos em (1.9) que g(X, JX) = 0 para todo X ∈ T M . Deste
modo,
Y (g(X, JX)) = 0,
33

34
donde
g(∇Y X, JX)+g(X, ∇Y JX) = 0 ⇒ g(∇Y X, JX)+g(X, (∇Y J)X)+g(X, J∇Y X) = 0.
Como g(X, J∇Y X) = −g(JX, ∇Y X) = −g(∇Y X, JX), segue que
g(X, (∇Y J)X) = 0.
Em particular,
0 = g(X + Z, (∇Y J)(X + Z))
= g(X, (∇Y J)X) + g(X, (∇Y J)Z) + g(Z, (∇Y J)X) + g(Z, (∇Y J)Z)
= g(X, (∇Y J)Z) + g(Z, (∇Y J)X).
Logo
g(X, (∇Y J)Z) = −g(Z, (∇Y J)X).
Isso conclui o item (ii).
�
Proposição 2.1.1. Seja (M, g, J) uma variedade Kähler. Então a estrutura quasecomplexa J é integrável.
Demonstração. Note que, por deﬁnição,
1
NJ (X, Y ) = [JX, JY ] − [X, Y ] − J[JX, Y ] − J[X, JY ].
2
Usando o Lema 2.1.1 e sabendo que ∇ é a conexão de Levi-Civita, vemos que
1
NJ (X, Y ) = ∇JX JY − ∇JY JX − ∇X Y + ∇Y X − J∇JX Y + J∇Y JX
2
−J∇X JY + J∇JY X
= (∇JX JY − J∇JX Y ) − (∇JY JX − J∇JY X)
+(∇Y X + J∇Y JX) − (∇X Y + J∇X JY )
= (∇JX J)Y − (∇JY J)X + J(∇Y J)X − J(∇X J)Y.
Como ∇J ≡ 0, seque que NJ ≡ 0. Logo, por deﬁnição, J é integrável.
�
Seja ω uma k-forma diferencial sobre uma variedade diferenciável M . A diferencial
de ω é uma (k + 1)-forma denotada por dω. Dizemos que ω é fechada quando dω = 0.
Considere agora ω ∈ Ω2 M uma 2-forma diferencial sobre M e deﬁnimos a derivada
covariante de ω por
(∇Z ω)(X, Y ) := Z(ω(X, Y )) − ω(∇Z X, Y ) − ω(X, ∇Z Y )
para todos X, Y, Z ∈ T M .

35
Lema 2.1.2 (Fórmula de Koszul). Se ω é uma 2-forma diferencial, então a diferencial
é uma 3-forma que satisfaz
dω(X, Y, Z) = X(ω(Y, Z)) − Y (ω(X, Z)) + Z(ω(X, Y )) − ω([X, Y ], Z) + ω([X, Z], Y )
−ω([Y, Z], X).
Demonstração. Ver [5], página 49, Proposição 2.
�
Lema 2.1.3. Sejam (M, g, J) uma variedade Hermitiana e ∇ a conexão de Levi-Civita.
Se ω = g(J., .) é a 2-forma fundamental sobre M , então
dω(X, Y, Z) = g((∇X J)Y, Z) − g((∇Y J)Z, X) + g((∇Z J)X, Y )
para todos X, Y, Z ∈ T M.
Demonstração. Observe que a 2-forma fundamental ω é deﬁnida por
ω(X, Y ) = g(JX, Y )

∀X, Y ∈ T M.

Aplicando a fórmula de Koszul em ω, obtemos
dω(X, Y, Z) = X(ω(Y, Z)) − Y (ω(X, Z)) + Z(ω(X, Y )) − g(J∇X Y − J∇Y X, Z)
+g(J∇X Z − J∇Z X, Y ) − g(J∇Y Z − J∇Z Y, X)
= (X(ω(Y, Z)) − g(J∇X Y, Z) + g(J∇X Z, Y ))
−(Y (ω(X, Z)) + g(J∇Y X, Z) − g(J∇Y Z, X))
+(Z(ω(X, Y )) − g(J∇Z X, Y ) + g(J∇Z Y, X))
= (X(ω(Y, Z)) − ω(∇X Y, Z) − ω(Y, ∇X Z))
−(Y (ω(X, Z)) + ω(∇Y X, Z) + ω(X, ∇Y Z))
+(Z(ω(X, Y )) − ω(∇Z X, Y ) − ω(X, ∇Z Y )),
isto é, a diferencial de ω é a 3-forma dada por
dω(X, Y, Z) = (∇X ω)(Y, Z) − (∇Y ω)(X, Z) + (∇Z ω)(X, Y )

(2.2)

para todos X, Y, Z ∈ T M. Agora encontraremos as expressões de
(∇X ω)(Y, Z), (∇Y ω)(X, Z) e (∇Z ω)(X, Y )
em função da métrica g. De fato, usando a deﬁnição de derivada covariante de 2-forma
diferencial, temos
(∇X ω)(Y, Z) =
=
=
=
=

X(ω(Y, Z)) − ω(∇X Y, Z) − ω(Y, ∇X Z)
X(g(JY, Z)) − g(J∇X Y, Z) − g(JY, ∇X Z)
g(∇X JY, Z) + g(JY, ∇X Z) − g(J∇X Y, Z) − g(JY, ∇X Z)
g(∇X JY, Z) − g(J∇X Y, Z)
g((∇X J)Y, Z).

36
Analogamente,
(∇X ω)(X, Z) = g((∇Y J)X, Z) e (∇Z ω)(X, Y ) = g((∇Z J)X, Y ).
Substituindo estas expressões na igualdade em (2.2), concluı́mos o resultado.
�
Teorema 2.1.1. Sejam (M, g, J) uma variedade Hermitiana e ∇ a conexão de LeviCivita. Então a variedade M é Kähler se, e somente se, a estrutura quase-complexa J é
integrável e 2-forma fundamental ω = g(J., .) é fechada.
Demonstração. Se ∇J = 0, decorre do Lema 2.1.3 que dω = 0. Agora, usando a
Proposição 2.1.1, obtemos que J é integrável. Reciprocamente, observe que
(∇Y J)JX + J(∇Y J)X = ∇Y J 2 X − J∇Y JX + J(∇Y JX − J∇Y X)
= −∇Y X − J∇Y JX + J∇Y JX + ∇Y X)
= 0.

(2.3)

Usando o Lema 2.1.3, juntamente com a igualdade em (2.3) e o caráter Hermitiano da
métrica g, obtemos
dω(X, Y, Z) − dω(JX, JY, Z)
= g((∇X J)Y, Z) − g((∇Y J)X, Z) + g((∇Z J)X, Y ) − g((∇JX J)JY, Z)
+g((∇JY J)JX, Z) − g((∇Z J)JX, JY )
= g(−J 2 (∇X J)Y, Z) − g(−J 2 (∇Y J)X, Z) + g((∇Z J)X, Y ) + g(J(∇JX J)Y, Z)
−g(J(∇JY J)X, Z) + g((∇Z J)X, Y )
= g(−J 2 (∇X J)Y + J 2 (∇Y J)X + J(∇JX J)Y − J(∇JY J)X, Z)
+g((∇Z J)X + (∇Z J)X, Y )
= g(J(J(∇Y J)X − J(∇X J)Y + (∇JX J)Y − (∇JY X)X), Z) + 2g((∇Z J)X, Y )
1
g(JNJ (X, Y ), Z) + 2g((∇Z J)X, Y )
=
2
para todos X, Y, Z ∈ T M . Como, por hipótese, dω = NJ = 0, então
g((∇Z J)X, Y ) = 0

∀X, Y, Z ∈ T M.

Logo ∇J = 0.

�

Seja (M, g, J) uma variedade Kähler. Decorre do Teorema 2.1.1 que a 2-forma fundamental ω é fechada. Nesse caso, ω é chamada forma Kähler e a métrica Hermitiana g é
denominada métrica Kähler. Segue do teorema de Newlander-Nirenberg, juntamente com
Teorema 2.1.1, que a estrutura quase-complexa J é a estrutura quase-complexa canônica
de M . Deste modo, a métrica Kähler e a forma Kähler são expressas, ver (1.15) e (1.16),
em coordenadas por
ds2 = gαβ̄ dzα � dz̄β

e

ω = igαβ̄ dzα ∧ dz̄β .

(2.4)

37
Teorema 2.1.2. Seja (M m , g, J) uma variedade Hermitiana de dimensão complexa m.
Então a variedade M é Kähler se, e somente se, em cada p ∈ M , existem coordenadas
holomorfas z = (z1 , . . . , zm ) tais que
g(z) = 1 + O(|z|2 ).
Demonstração. Ver [1], página 47, Teorema 4.17, item 7.
�
Este resultado é bastante útil, pois ele garante em variedades Kähler, a existência de
um sistema de coordenadas bastante simples chamado sistema de coordenadas normais
holomorfas. Além disso, nos aﬁrma que a métrica Kähler coincide localmente com a
métrica Euclidiana.

2.2

Curvaturas em Variedades Kähler

Sejam (M n , g) uma variedade Riemanniana e ∇ a conexão de Levi-Civita. O tensor
curvatura é um (3,1)-tensor R deﬁnido por
R(X, Y )Z := ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z

∀ X, Y, Z ∈ T M.

A partir deste tensor, podemos deﬁnir o (4,0)-tensor
R(X, Y, Z, W ) := g(R(X, Y )Z, W )

∀ X, Y, Z, W ∈ T M,

denominado tensor curvatura Riemanniana.
O lema abaixo compõe-se em propriedades básicas do tensor curvatura Riemanniana.
A demonstração dessas propriedades pode ser consultada em [6].
Lema 2.2.1. O tensor curvatura Riemanniana satisfaz as seguintes propriedades:
(i) R(X, Y, Z, W ) = R(Z, W, X, Y ),
(ii) R(X, Y, Z, W ) = −R(X, Y, W, Z) (anti-simetria),
(iii) R(X, Y, Z, W )+R(Y, Z, X, W )+R(Z, X, Y, W ) = 0 (primeira identidade de Bianchi),
(iv) (∇X R)(Y, Z, W, T ) + (∇Y R)(Z, X, W, T ) + (∇Z R)(X, Y, W, T ) = 0 (segunda identidade de Bianchi)
para todos X, Y, Z, W, T ∈ T M .
Seja {e1 , . . . , en } um referencial ortonormal local de T M . O tensor de Ricci da variedade Riemanniana M n é deﬁnido por
RicM (X, Y ) :=

n
�
i=1

R(ei , X, Y, ei )

∀ X, Y ∈ T M.

38
Decorre diretamente da simetria do tensor curvatura Riemanniana que o tensor de Ricci
de qualquer variedade Riemanniana é simétrico, ou seja,
RicM (X, Y ) = RicM (Y, X)

∀ X, Y ∈ T M.

Proposição 2.2.1. Seja (M n , g, J) uma variedade Kähler. Então
(i) R(X, Y ) ◦ J = J ◦ R(X, Y ),
(ii) R(X, Y, JZ, JW ) = R(X, Y, Z, W ),
(iii) Ric(JX, Y ) = −Ric(X, JY )

para todos X, Y, Z, W ∈ T M.

Demonstração. Como M é uma variedade Kähler, J é paralelo com respeito a conexão
de Levi-Civita. Portanto
R(X, Y )JZ =
=
=
=
=
=

∇X ∇Y JZ − ∇Y ∇X JZ − ∇[X,Y ] JZ
∇X ((∇Y J)Z + J∇Y Z) − ∇Y ((∇X J)Z + J∇X Z) − (∇[X,Y ] J)Z − J∇[X,Y ] Z
∇X J∇Y Z − ∇Y J∇X Z − J∇[X,Y ] Z
(∇X J)∇Y Z + J∇X ∇Y Z − (∇Y J)∇X Z − J∇Y ∇X Z − J∇[X,Y ] Z
J(∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z)
JR(X, Y )Z,

isto é,
R(X, Y )JZ = JR(X, Y )Z

∀X, Y ∈ T M.

(2.5)

Assim concluı́mos o item (i). Agora usando as igualdades em (2.5) e (1.10), temos
g(R(X, Y )JZ, W ) = g(JR(X, Y )Z, W ) = −g(R(X, Y )Z, JW ),
donde
Logo segue-se o item (ii),

R(X, Y, JZ, W ) = −R(X, Y, Z, JW ),

R(X, Y, JZ, JW ) = −R(X, Y, Z, J 2 W ) = R(X, Y, Z, W )

∀ X, Y, Z, W ∈ T M. (2.6)

Mostraremos ﬁnalmente o item (iii). Veja que
Ric(JX, Y ) =

n
�
i=1

= −

R(ei , JX, Y, ei ) = −

n
�
i=1

n
�

R(Jei , X, Y, ei )

i=1

2

R(Jei , X, −J Y, ei ) = −

n
�

R(Jei , X, JY, Jei ).

i=1

Como J é uma isometria, então {Je1 , . . . , Jen } ainda é um referencial ortonormal local
de T M . Daı́
Ric(JX, Y ) = −Ric(X, JY )
para todos X, Y ∈ T M .

(2.7)
�

39

2.3

Sı́mbolos de Christoﬀel e Tensor Curvatura em
Coordenadas

Sejam (M m , g, J) uma variedade Kähler de dimensão complexa m, ∇ a conexão de
Levi-Civita e (U, z) um sistema de coordenadas complexas. Consideremos o referencial
local associado à complexiﬁcação do ﬁbrado tangente T M C :
Zα :=

∂
,
∂zα

Zα :=

∂
,
∂ z̄α

1 ≤ α ≤ m.

(2.8)

Assim como a métrica g tem extensões C-lineares para T M C , a conexão de LeviCivita ∇, o tensor curvatura R e o tensor de Ricci também podem ser estendidos por
C-linearidade a T M C , por exemplo:
∇(U +iV ) (X + iY ) = ∇(U +iV ) X + i∇(U +iV ) Y
= (∇U X + i∇V X) + i(∇U Y + i∇V Y )
= (∇U X − ∇V Y ) + i(∇U Y + ∇V X).
Considere as seguintes convenções:
(i) A, B, C, . . . ∈ {1, . . . , m, 1, . . . , m},
(ii) α, β, γ, . . . ∈ {1, . . . , m},
(iii) α = α.
Usando a convenção acima, deﬁnimos os sı́mbolos de Christoﬀel relativos a base
{ZA } = {Z1 , . . . , Zm , Z1̄ , . . . , Zm̄ } de T M C por
�
ΓC
∇ZA ZB :=
AB ZC .
C

A simetria da conexão de Levi-Civita ∇, implica que
C
ΓC
AB = ΓBA .

(2.9)

Visto que ∇ZA ZB = ∇Z A Z B , obtemos
�
C

ΓC
AB ZC =

�
C

ΓC
AB ZC =

�
C

ΓC
ĀB̄ ZC =

�

ΓC̄
ĀB̄ ZC̄ ,

C

e, portanto,
C̄
ΓC
AB = ΓĀB̄ .

(2.10)

Proposição 2.3.1. Seja (M, g, J) uma variedade Kähler. Se Z ∈ T 1,0 M (resp. Z ∈
T 0,1 M ), então ∇W Z ∈ T 1,0 M (resp. ∇W Z ∈ T 0,1 M ) para todo W ∈ T M C .

40
Demonstração. Considere W = U + iV ∈ T M C e X ∈ T M . Veja que
∇W (X − iJX) = (∇U X + ∇V JX) + i(−∇U JX + ∇V X)
= (∇U X + J∇V X) + i(−J∇U X − J 2 ∇V X)
= (∇U X + J∇V X) − iJ(∇U X + J∇V X)
e
∇W (X + iJX) = (∇U X − ∇V JX) + i(∇U JX + ∇V X)
= (∇U X − J∇V X) + i(J∇U X − J 2 ∇V X)
= (∇U X − J∇V X) + iJ(∇U X − J∇V X).

Logo ∇W (X − iJX) ∈ T 1,0 M e ∇W (X + iJX) ∈ T 0,1 M, para qualquer W ∈ T M C e
X ∈ T M.
�

Proposição 2.3.2. Seja (M, g, J) uma variedade Kähler. Então os sı́mbolos de Christoffel ΓC
AB satisfazem
Γβ̄Aα = ΓβAᾱ = 0
para todos α, β ∈ {1, . . . , m} e A ∈ {1, . . . , m, 1, . . . , m}.

Demonstração. Visto que Zα ∈ T 1,0 M, usando a Proposição 2.3.1, temos
�
1,0
∇ Z A Zα =
ΓC
M,
Aα ZC ∈ T
C

consequentemente, Γβ̄Aα = 0. Analogamente, Zᾱ ∈ T 0,1 M e ∇ZA Zᾱ =
T 0,1 M, o que implica, ΓβAᾱ = 0.

�

C
C ΓAᾱ Zβ

∈
�

Uma consequência direta e bastante útil da Proposição 2.3.2 é expressa no seguinte
resultado:
Corolário 2.3.1. Seja (M, g, J) uma variedade Kähler. Os únicos sı́mbolos de Christoﬀel
ΓC
AB , possivelmente não-nulos, são do tipo
Γγαβ e Γᾱγ̄ β̄
para todos α, β, γ ∈ {1, . . . , m}.
Vamos calcular os sı́mbolos de Christoﬀel no sistema de coordenadas complexas dadas
em (2.8). Com efeito,
∂gαδ̄
∂zβ

= Zβ (g(Zα , Zδ̄ )) = g(∇Zβ Zα , Zδ̄ ) + g(Zα , ∇Zβ Zδ̄ )
� η
� η
� η
= g(
Γαβ Zη , Zδ̄ ) + g(Zα ,
Γβ δ̄ Zη ) = g(
Γαβ Zη , Zδ̄ )
η

=

�
η

Γηαβ gηδ̄ .

η

η

(2.11)

41
Denotemos por (g αβ̄ ) a matriz inversa da matriz fundamental (gαβ̄ ), isto é,
m
�

gαβ̄ g γ β̄ = δαγ .

β=1

Portanto

�
δ

ou seja,

g γ δ̄

� η
∂gαδ̄ � � η
=
Γαβ gηδ̄ g γ δ̄ =
Γαβ δηγ = Γγαβ ,
∂zβ
η
η
δ
Γγαβ =

�

g γ δ̄

∂gαδ̄ � γ δ̄ ∂gβ δ̄
=
g
∂zβ
∂zα
δ

�

g γ̄δ

δ

(2.12)

(2.13)

e
Γᾱγ̄ β̄ = Γγαβ =

δ

∂gᾱδ � γ̄δ ∂gβ̄δ
=
g
.
∂ z̄β
∂
z̄
α
δ

(2.14)

A seguir veremos o que ocorre com o tensor curvatura em variedades Kähler. Observe
que
�
D
R(ZA , ZB )ZC =
RABC
ZD ,
D

D
o que deﬁne as coordenadas RABC
do tensor curvatura R no sistema de coordenada
complexa (U, z). Deﬁniremos também os coeﬁcientes de R por

RABCD := R(ZA , ZB , ZC , ZD ).

(2.15)

Daı́
RABCD = g(

�

E
RABC
ZE , ZD ) =

E

=

�

E
RABC
gED =

E

�

�

E
RABC
g(ZE , ZD )

E

E
gDE RABC
.

(2.16)

E

Lema 2.3.1. Seja (M, g, J) uma variedade Kähler. Se ZC é um campo de tipo (1, 0)
(resp. (0, 1)), então R(ZA , ZB )ZC é um campo de tipo (1, 0) (resp. (0, 1)).
Demonstração. Note que, por deﬁnição,
R(ZA , ZB )ZC = ∇ZA ∇ZB ZC − ∇ZB ∇ZA ZC − ∇[ZA ,ZB ] ZC .
Além disso, a Proposição 2.3.1 aﬁrma que ∇ preserva campos de tipo (1, 0) e (0, 1). Logo
concluı́mos que R(ZA , ZB )ZC é de tipo (1, 0). Analogamente, ∇ também preserva campos
de tipo (0, 1), deste modo, se ZC é um campo de tipo (0, 1), obtemos que R(ZA , ZB )ZC
é de tipo (0, 1).
�

42
Lema 2.3.2. Seja (M, g, J) uma variedade Kähler. Então as coordenadas e coeﬁcientes
do tensor curvatura R satisfazem
α
ᾱ
RAB
β̄ = RABβ = 0

e

RABαβ = RAB ᾱβ̄ = 0

para todos α, β ∈ {1, . . . , m} e A, B ∈ {1, . . . , m, 1, . . . , m}.
Demonstração. Note que Zβ ∈ T 1,0 M, usando o Lema 2.3.1, obtemos que
�
C
RABβ
ZC ∈ T 1,0 M.
R(ZA , ZB )Zβ =
C

Logo
ᾱ
= 0.
RABβ
α
= 0. Como gαβ = gᾱβ̄ = 0, concluı́mos
Analogamente, podemos obter RAB
β̄

RABαβ =

�

E
gβE RABα
=

RAB ᾱβ̄ =

�

γ̄
gβγ̄ RABα
=0

γ

E

e

�

E
gβ̄E RAB
ᾱ =

�

γ
gβ̄γ RAB
ᾱ = 0.

γ

E

�

A
Proposição 2.3.3. Seja (M, g, J) uma variedade Kähler. Os únicos coeﬁcientes RBCD
e RABCD , possivelmente não nulos, são os do tipo
α
α
ᾱ
ᾱ
, Rβγ̄δ
, Rβ̄γ
Rβ̄γδ
δ̄ , Rβγ̄ δ̄ , Rαβ̄γ δ̄ , Rαβ̄γ̄δ , Rᾱβγ δ̄ e Rᾱβγ̄δ

para todos α, β, γ ∈ {1, . . . , m}.
Demonstração. O resultado decorre diretamente do Lema 2.3.2.
�
Iremos calcular os coeﬁcientes do tensor curvatura no sistema de coordenadas complexas dado em (2.8). Note que
R(Zβ , Zγ̄ )Zδ = ∇Zβ ∇Zγ̄ Zδ − ∇Zγ̄ ∇Zβ Zδ − ∇[Zβ ,Zγ̄ ] Zδ
�
�
= ∇Z β (
ΓA
Z
)
−
∇
(
ΓB
A
Z
γ̄
γ̄δ
βδ ZB )
A

= −∇Zγ̄ (
= −
= −

B

�

ΓB
βδ ZB )

∂ z̄γ

Zη −

B

� ∂Γηβδ
η

� ∂Γηβδ
η

∂ z̄γ

Zη .

�
η

Γηβδ ∇Zγ̄ Zη

43
Logo

�
η

donde

η
Rβγ̄δ
Zη = R(Zβ , Zγ̄ )Zδ = −

� ∂Γηβδ
η

∂ z̄γ

Zη ,

∂Γαβδ
.
∂ z̄γ

(2.17)

∂Γαγδ
.
∂ z̄β

(2.18)

α
=−
Rβγ̄δ

Analogamente, podemos obter
α
=
Rβ̄γδ

Usando as igualdades em (2.16), (2.17), (2.11) e (2.13), segue que
Rαβ̄γ δ̄ =

�
τ

gδ̄τ Rατ β̄γ = −

�
τ

∂Γταγ
∂ z̄β
� ∂gδ̄τ

gδ̄τ

� ∂
= −
(gδ̄τ Γταγ ) +
Γταγ
∂
z̄
∂
z̄
β
β
τ
τ
� ∂ � ∂gγ δ̄ � � ∂gδ̄τ �
∂gγ η̄
+
= −
g η̄τ
∂ z̄β ∂zα
∂ z̄β η
∂zα
τ
τ
�
∂ 2 gγ δ̄
∂gγ η̄ ∂gδ̄τ
= −
+
g η̄τ
.
∂ z̄β ∂zα
∂zα ∂ z̄β
τ,η

(2.19)

Logo o tensor curvatura Riemanniana em coordenadas complexas é dado por
Rαβ̄γ δ̄ = −

∂ 2 gγ δ̄
∂gγ η̄ ∂gδ̄τ
+ g η̄τ
.
∂ z̄β ∂zα
∂zα ∂ z̄β

(2.20)

A seguir, mostraremos a identidade de Ricci para funções f : M m → R de classe C ∞
deﬁnidas em variedades Kähler (M m , g, J) de dimensão complexa m.
Considere um referencial local unitário
{e1 , . . . , em } ⊂ T 1,0 M
de M , ou seja,

1
gαβ̄ = g(eα , eβ̄ ) = δαβ .
2

Lema 2.3.3. Sejam M m uma variedade Kähler e f : M m → R uma função de classe
C ∞ . Então
fABC − fACB =

∂ � D � ∂f
∂ � D � ∂f
∂f
∂f
E
E
ΓAC
ΓAB
−
− ΓD
+ ΓD
.
AB ΓDC
AC ΓDB
∂eB
∂eD ∂eC
∂eD
∂eE
∂eE

44
Demonstração. Usaremos sucessivamente a simetria dos sı́mbolos de Christoﬀel sem
fazer menção. Note que
∂f
∂ 2f
fAB =
− ΓD
AB
∂eB ∂eA
∂eD
e
∂f
∂ 2f
fAC =
− ΓD
.
AC
∂eC ∂eA
∂eD
Daı́
∂fAB
D
fABC =
− ΓD
AC fDB − ΓBC fDA
∂eC
e
∂fAC
D
− ΓD
fACB =
AB fDC − ΓBC fDA .
∂eB
Usando as duas expressões acima, obtemos que
fABC − fACB =

∂fAB ∂fAC
D
−
+ ΓD
AB fDC − ΓAC fDB .
∂eC
∂eB

(2.21)

Por outro lado,
∂fAB
∂eC

=

∂fAC
∂eB

=

e

∂ 3f
∂ � D � ∂f
∂ 2f
ΓAB
−
− ΓD
AB
∂eC ∂eB ∂eA ∂eC
∂eD
∂eC ∂eD
∂ 3f
∂ � D � ∂f
∂ 2f
ΓAC
−
− ΓD
.
AC
∂eB ∂eC ∂eA ∂eB
∂eD
∂eB ∂eD

Logo, substituindo estes resultados na igualdade em (2.21), obtemos

∂ 2f
∂ 2f
∂ � D � ∂f
∂ � D � ∂f
D
ΓAC
ΓAB
−
+ ΓD
−
Γ
AC
AB
∂eB
∂eD ∂eC
∂eD
∂eB ∂eD
∂eC ∂eD
�
�
�
�
2
2
∂ f
∂ f
∂f
∂f
D
E
D
E
− ΓAC
+ΓAB
− ΓDC
− ΓDB
∂eC ∂eD
∂eE
∂eB ∂eD
∂eE
�
�
�
�
∂f
∂f
∂f
∂f
∂
∂
E
E
ΓD
ΓD
−
− ΓD
+ ΓD
.
=
AC
AB
AB ΓDC
AC ΓDB
∂eB
∂eD ∂eC
∂eD
∂eE
∂eE

fABC − fACB =

�

Proposição 2.3.4. Sejam M m uma variedade Kähler e f : M → R uma função de
classe C ∞ . Então
(i) fβγ δ̄ − fβ δ̄γ = 2fη Rη̄γ δ̄β ;
(ii) fβ̄γ δ̄ − fβ̄ δ̄γ = −2fη̄ Rηβ̄γ δ̄ ;
(iii) fβγ̄ δ̄ − fβ δ̄γ̄ = 0,
onde β, γ, δ, η ∈ {1, . . . , m}.

45
Demonstração. Inicialmente mostraremos a primeira igualdade. Decorre do Corolário
2.3.1 e Lema 2.3.3 que
∂ � η � ∂f
fβγ δ̄ − fβ δ̄γ = −
Γ
.
∂ēδ βγ ∂eη

Usando a expressão em (2.18), podemos obter

Logo

∂ � η �
η
µ
Γ
= Rδ̄βγ
= 2g(Rδ̄βγ
eµ , eη̄ ) = 2g(R(eδ̄ , eβ )eγ , eη̄ ) = 2Rδ̄βγ η̄ = −2Rη̄γ δ̄β .
∂ēδ βγ
fβγ δ̄ − fβ δ̄γ = 2fη Rη̄γ δ̄β .

Agora mostraremos o item (ii). De fato, usando o Corolário 2.3.1 e o Lema 2.3.3, temos
∂ � η̄ � ∂f
Γβ̄ δ̄
.
fβ̄γ δ̄ − fβ̄ δ̄γ =
∂eγ
∂ēη
Por outro lado, segue da expressão em (2.17) que
∂ � η̄ �
η̄
µ̄
Γβ̄ δ̄ = −Rδ̄γ
= −2g(Rδ̄γ
e , e ) = −2g(R(eδ̄ , eγ )eβ̄ , eη ) = −2Rδ̄γ β̄η = −2Rηβ̄γ δ̄ .
β̄
β̄ µ̄ η
∂eγ
Assim, podemos concluir
fβ̄γ δ̄ − fβ̄ δ̄γ = −2fη̄ Rηβ̄γ δ̄ .
O item (iii) decorre diretamente do uso do Corolário 2.3.1 no Lema 2.3.3.
�

2.4

Curvatura Bisseccional Holomorfa

Ao longo desta seção, (M m , g, J) denotará uma variedade Kähler de dimensão complexa m e Tx M o espaço tangente de M em x ∈ M . Um plano bidimensional σ ⊂ Tx M
é chamado um plano holomorfo, se σ é invariante por J, isto é, J(σ) ⊂ σ.
Deﬁnição 2.4.1. Sejam σ1 e σ2 dois planos holomorfos contidos em Tx M . A curvatura
bisseccional holomorfa é deﬁnida por
KBM (σ1 , σ2 ) = R(X, JX, JY, Y ),
onde X é um vetor unitário em σ1 e Y é um vetor unitário em σ2 .
Na Deﬁnição 2.4.1, a curvatura bisseccional holomorfa depende apenas dos planos σ1
e σ2 . Ver [6], página 104, Proposição 3.1.
Sejam g a métrica Kähler de M m e {e1 , . . . , em } uma base unitária do espaço tangente
complexiﬁcado Tx1,0 M . Assim existem únicos τ1 , . . . , τm ∈ Tx M tais que
1
1
e1 = (τ1 − iJτ1 ), . . . , em = (τm − iJτm ),
2
2

46
onde
{τ1 , Jτ1 , . . . , τm , Jτm }
é uma base ortonormal de Tx M , isto é,
1
gαβ̄ = δαβ
2

(2.22)

para todos α, β ∈ {1, 2, . . . , m}. Vimos em (2.15) que
RABCD = R(eA , eB , eC , eD ) = g(R(eA , eB )eC , eD )
denota os coeﬁcientes do tensor curvatura Riemanniana na base {e1 , . . . , em } do espaço
tangente complexiﬁcado Tx1,0 M , onde A, B, C, D ∈ {1, . . . , m, 1̄, . . . , m̄}.
Deﬁnição 2.4.2. Seja M m uma variedade Kähler de dimensão complexa m. A curvatura bisseccional holomorfa de M é limitada por uma constante K0 ∈ R, denotada por
KBM ≥ K0 , se
1
(2.23)
Rαᾱβ β̄ ≥ K0 (1 + δαβ )
2
para qualquer base unitária {e1 , . . . , em } do espaço tangente complexiﬁcado Tx1,0 M . Quando
em (2.23) ocorre a igualdade, dizemos que a curvatura bisseccional holomorfa de M é
constante igual a K0 . Além disso, nesse caso, M é dita um espaço de curvatura bisseccional holomorfa constante K0 .
Proposição 2.4.1. Seja M m uma variedade Kähler de dimensão complexa m.
KBM = K0 , então
R(τα , Jτα , Jτβ , τβ ) = 2K0 (1 + δαβ ),

Se

onde {τ1 , Jτ1 , . . . , τm , Jτm } é uma base ortonormal de Tx M .
Demonstração. Consideremos a base unitária {e1 , . . . , em } de Tx1,0 M, tal que
1
eα = (τα − iJτα )
2

∀α ∈ 1, . . . , m.

Note que
Rαᾱβ β̄ = g(R(eα , eᾱ )eβ , eβ̄ ) =
=

1
g(R(τα − iJτα , τα + iJτα )(τβ − iJτβ ), τβ + iJτ β)
16

1
g(R(τα , Jτα )Jτβ , τβ ).
4

Logo, usando a Deﬁnição 2.4.2 e a igualdade acima, obtemos
R(τα , Jτα , Jτβ , τβ ) = 2K0 (1 + δαβ ).
�

47
Observação 2.4.1. Sejam X, Y ∈ Tx M . Usando a primeira identidade de Bianchi,
obtemos que
R(X, JX, JY, Y ) = −R(JY, X, JX, Y ) − R(JX, JY, X, Y )
= R(X, JY, JY, X) + R(X, Y, Y, X).
Logo a curvatura bisseccional holomorfa está intimamente relacionada com a curvatura
seccional da variedade Kähler M .
A seguir apresentaremos alguns exemplos de variedades Kähler e calcularemos a curvatura bisseccional de tais variedades.
Exemplo 2.4.1 (Espaço Euclidiano Complexo). O espaço Euclidiano complexo Cm ,
munido com o atlas formado pela aplicação identidade, é uma variedade complexa de
dimensão complexa m. Considere em Cm a estrutura quase-complexa canônica J e a
métrica Euclidiana canônica g. Observe que J e g tornam Cm uma variedade Kähler.
Com efeito, seja (z1 , . . . , zm ) = (x1 + iy1 , . . . , xm + iym ) = (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , ym ) a
coordenada canônica em Cm ≈ R2m , daı́
� �
��
�
�
�
�
� �
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,J
=g
= δαβ = g
,
,
,
g J
∂xα
∂xβ
∂yα ∂yβ
∂xα ∂xβ
� �
��
�
�
�
�
� �
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,J
=g −
= δαβ = g
,−
,
g J
∂yα
∂yβ
∂xα ∂xβ
∂yα ∂yβ
e
� �
��
�
�
�
�
� �
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,J
=g
=0=g
,−
,
g J
∂xα
∂yβ
∂yα ∂xβ
∂xα ∂yβ

para todos α, β ∈ {1, . . . , m}. Logo a métrica g é Hermitiana.
Agora iremos mostrar que g é uma métrica Kähler. Veja que, para cada α, β ∈
{1, . . . , m}, temos
�
� �
� �
��
�
∂
∂
1
1
∂
∂
∂
∂
gαβ̄ = g
=g
,
,
−i
+i
∂zα ∂ z̄β
2 ∂xα
∂yα
2 ∂xβ
∂yβ
1
1
1
=
δαβ + δαβ = δαβ .
4
4
2

Logo a expressão da 2-forma fundamental ω(., .) = g(J., .) em coordenadas, ver (2.4), é
dada por
m
i�
ω=
δαβ dzα ∧ dz̄β .
2 α=1
Assim

i
(dxα + idyα ) ∧ (dxα − idyα )
2
i
(−idxα ∧ dyα + idyα ∧ dxα )
=
2
= dxα ∧ dyα .

ω =

48
Portanto dω = 0. Logo ω é uma forma Kähler, com respectiva métrica Kähler g.
Além disso, observemos que a curvatura bisseccional holomorfa de Cm é nula. De
1
fato, basta substituir gαβ̄ = δαβ na expressão do tensor curvatura Riemanniana em
2
coordenada, ver (2.20),
Rαβ̄γ δ̄ = −

∂ 2 gγ δ̄
∂gγ τ̄ ∂gδ̄τ
+ g η̄τ
= 0.
∂ z̄β ∂zα
∂zα ∂ z̄β

(2.24)

Em particular,
Rαᾱβ β̄ = 0.
Usando a igualdade acima e a Deﬁnição 2.4.2, obtemos que
KBCm = 0.
Logo (Cm , g, J) é um espaço de curvatura bisseccional holomorfa constante nula.
Exemplo 2.4.2 (Espaço Projetivo Complexo). Considere em Cm+1 \ {0} os pontos z =
(z0 , . . . , zm ), w = (w0 , . . . , wm ) e a relação de equivalência ∼, tal que
z∼w

⇐⇒

∃λ ∈ C \ {0} : zj = λwj ∀j ∈ {0, . . . , m} ,

e denotamos a classe de equivalência de z por
[z] := {w ∈ Cm+1 \ {0}; w ∼ z}.
O espaço projetivo complexo CPm é o conjunto quociente de Cm+1 \ {0} pela relação de
equivalência ∼, isto é,
CPm = {[z]; z ∈ Cm+1 \ {0}}.

Assim podemos ver que o espaço projetivo CPm é o espaço de todas as retas complexas
em Cm+1 . Denotamos por [z] a reta gerada por z e por (z0 , . . . , zm ) as coordenadas
homogêneas de [z]. Para 0 ≤ j ≤ m, deﬁnimos
Uj = {[z] ∈ CPm ; zj �= 0} e Vj = {z ∈ Cm+1 \ {0}; zj �= 0}.

Consideremos em CPm a topologia induzida pela aplicação π : Cm+1 \ {0} → CPm dada
por π(z) = [z], ou seja, os abertos CPm são da forma π(V ), com V aberto em Cm+1 \ {0}.
Logo Uj = π(Vj ) é um aberto de CPm . Note que
Wj = {(z0 , . . . , ẑj , . . . , zm ) ∈ Vj ; zj = 1}
é isomorfo a Cm , daı́ podemos deﬁnir as aplicações aj : Uj → Cm por
aj ([z]) =

1
(z0 , . . . , ẑj , . . . , zm ),
zj

(2.25)

com a zj -ésima coordenada retirada, ver Figura 2.1. Veja que aj está bem deﬁnida e temos
que aj é contı́nua e bijetiva. Portanto aj é um homeomorﬁsmo. Agora para provar que

49

Figura 2.1: Cartas complexas do espaço projetivo complexo.
(Uj , aj ) é um sistema de coordenadas complexas em CPm , resta mostrar que a mudança
de coordenadas
ak ◦ a−1
j : aj (Uj ∩ Uk ) → ak (Uj ∩ Uk )
é holomorfa. Com efeito,

ak ◦ a−1
j (z0 , . . . , 1, . . . , zm ) = ak ([z0 , . . . , zj−1 , 1, zj+1 , . . . , zm ])
1
(z0 , . . . , zj−1 , 1, zj+1 , . . . , zm )
=
zk
�
�
zj−1 1 zj+1
zk−1
zk+1
zm
z0
,...,
, ,
,...,
, 1,
,...,
=
zk
zk zk zk
zk
zk
zk
para todo 0 ≤ j, k ≤ m. Isso mostra que a mudança de coordenadas é uma função
holomorfa de m variáveis complexas. Logo CPm é uma variedade complexa de dimensão
complexa m.
Sejam z = (z0 , . . . , zm ) ∈ Cm+1 e w = (w0 , . . . , wm ) ∈ Cm+1 . Deﬁniremos o produto
interno Hermitiano em Cm+1 por
�z, w�Cm+1 = z0 w̄0 + . . . + zm w̄m .
Seja
S2m+1 = {z = (z0 , . . . , zm ) ∈ Cm+1 ; �z, z�Cm+1 = 1}

a esfera unitária em Cm+1 . Observe que a aplicação π restrita a S2m+1 continua sendo
sobrejetiva. Além disso, π : S2m+1 → CPm é uma aplicação holomorfa, pois a expressão
local de π nas coordenadas (2.25) é dada por
1
(z0 , . . . , zj−1 , zj+1 , . . . , zm )
zj
�
�
z0
zj−1 zj+1
zm
=
,...,
,
,...,
zj
zj
zj
zj

π(z0 , . . . , zm ) =

50
para z = (z0 , . . . , zm ) ∈ Uj .
Agora mostraremos que π é uma submersão. Como π é sobrejetiva, basta provarmos que
a aplicação diferencial dπz : Tz S2m+1 → Tπ(z) CPm tem posto m. De fato, o Jacobiano
complexo de π é a matriz de ordem (m + 1) × m

 1
z0
0 ... 0
− 2
0 ... 0

 zj
zj


z1
1


 0
... 0
− 2
0 ... 0 


zj
zj
 .
..
..
..
..
..
..
.. 

 .
.
.
.
.
.
.
. 
 .


zj−1
1

− 2
0 ... 0 
dπz =  0 0 . . .

zj
zj




z
1

 0 0 . . . 0 − j+1
.
.
.
0


zj2 zj



 .
.
.
.
.
.
.
.
 ..
..
..
..
..
..
..
.. 



1 
zm
0 ...
0 0 ... 0 − 2
zj
zj

a qual contém o menor inversı́vel m × m obtido ao excluirmos a j-ésima coluna. Logo
dπz tem posto m.
Note que, cada ﬁbra π −1 ([z]) ⊂ S2m+1 é um grande cı́rculo na esfera S2m+1 , isto é,
π −1 ([z]) = {eiθ z; 0 ≤ θ ≤ 2π}. A submersão π : S2m+1 → CPm é conhecida como a
ﬁbração de Hopf. Como π −1 ([z]) é um grande cı́rculo em S2m+1 , então dados U, V ∈
Tπ(z) CPm , existem únicos Ū , V̄ ∈ Tz S2m+1 ortogonais à ﬁbra π −1 ([z]), tais que
dπz (Ū ) = U

e dπz (V̄ ) = V.

Os campos Ū e V̄ são os levantamentos horizontais de U e V a Tz S2m+1 , respectivamente.
Deste modo, podemos deﬁnir uma métrica Riemanniana g sobre CPm por
�
�
g(U, V ) = Ū , V̄ Cm+1 .
(2.26)

A métrica deﬁnida em (2.26) é denominada a métrica de Fubini-Study. A estrutura quasecomplexa canônica J de CPm é uma isometria com respeito a métrica de Fubini-Study
g. Além disso, g é uma métrica Kähler, ver [9], página 159, Exemplo 6.3.
Agora iremos calcular a curvatura bisseccional holomorfa de CPm . Considere a métrica
de Fubini-Study em coordenadas
�
�
�
(1 + zγ z̄γ )(dzγ dz̄γ ) − ( z̄γ dzγ )( zγ dz̄γ )
2
�
,
ds = 4
(1 + zγ z̄γ )2

ou seja,

δαβ̄
z̄α zβ
�
�
−2
.
(1 + zγ z̄γ )
(1 + zγ z̄γ )2
Fazendo alguns cálculos, obtemos
gαβ̄ = 2

z̄α z̄β zτ
∂gβ τ̄
z̄
z̄β
�α
�
�
= −2δβτ
−
2δ
+
4
ατ
∂zα
(1 + zγ z̄γ )2
(1 + zγ z̄γ )2
(1 + zγ z̄γ )3

51
e
∂ 2 gβ β̄
1
zα z̄α
1
�
�
�
= −2
+
4
−
2δ
αβ
∂ z̄α ∂zα
(1 + zγ z̄γ )2
(1 + zγ z̄γ )3
(1 + zγ z̄γ )2
z̄β2
zα z̄β
z̄α z̄β
�
�
�
+4δαβ
+
4
+ 8δαβ
3
3
(1 + zγ z̄γ )
(1 + zγ z̄γ )
(1 + zγ z̄γ )3
zα z̄α z̄β2
�
−12
.
(1 + zγ z̄γ )4

Consideremos (z1 , . . . , zm ) = (0, . . . , 0). Daı́
gαβ̄ = 2δαβ ,

∂gβ τ̄
=0
∂zα

e

∂ 2 gβ β̄
= −2(1 + δαβ ).
∂ z̄α ∂zα

�m
∂
Observe que
não é unitário. Assim para obter a curvatura bisseccional holo∂zα α=1
morfa de CPm necessitaremos dividir por gαᾱ gβ β̄ a expressão do tensor curvatura Riemanniana em coordenadas, ver (2.20), isto é,
�

Rαᾱβ β̄ =

R(eα , eᾱ , eβ , eβ̄ )
1
= (1 + δαβ ).
g(eα , eᾱ )g(eβ , eβ̄ )
2

Logo, decorre da Deﬁnição 2.4.2 que
KBCPm = 1.
Exemplo 2.4.3 (Espaço Hiperbólico Complexo). Considere no espaço Euclidiano complexo Cm+1 a forma sesquilinear ((·, ·)) : Cm+1 × Cm+1 → C dada por
((z, w)) := −z0 w̄0 +

m
�

zi w̄i ,

i=1

onde z = (z0 , . . . , zm ) ∈ Cm+1 e w = (w0 , . . . , wm ) ∈ Cm+1 . Assim, através desta forma
sesquilinear, podemos deﬁnir uma pseudo-métrica ��·, ·�� : Cm+1 × Cm+1 → R por
��z, w�� := Re ((z, w)).
O conjunto dado por
H12m+1 = {z ∈ Cm+1 ; ��z, z�� = −1}
= {z ∈ Cm+1 ; |z0 |2 = 1 + |z1 |2 + . . . + |zm |2 },
é conhecido como espaço anti-de Sitter. Note que eiθ z ∈ H12m+1 , para qualquer θ ∈ R.
De fato, se z ∈ H12m+1 , então para qualquer θ ∈ R, temos
��eiθ z, eiθ z�� = eiθ eiθ ��z, z�� = −|eiθ |2 = −1.

52
Desse modo, podemos deﬁnir em H12m+1 a relação de equivalência ∼ dada por
z∼w

⇐⇒

w = eiθ z,

para algum θ ∈ R.

Seja [z] = {w ∈ H12m+1 ; w ∼ z} a classe de equivalência de z ∈ H12m+1 . O espaço
hiperbólico complexo é o conjunto CHm = {[z]; z ∈ H12m+1 }. Pode ser visto em [9],
página 282, Exemplo 10.7, que CHm é uma variedade complexa.
Também, o espaço hiperbólico complexo pode ser visto como a bola unitária aberta
�
Dm = {(z1 , . . . , zm );
zγ z̄γ < 1},
munida com a métrica
2

ds = 4

(1 −

�

isto é,
gαβ̄ = 2

�
�
zγ z̄γ )(dzγ dz̄γ ) − ( z̄γ dzγ )( zγ dz̄γ )
�
,
(1 − zγ z̄γ )2

δαβ̄
z̄α zβ
�
�
−2
.
(1 − zγ z̄γ )
(1 − zγ z̄γ )2

Podemos ver em [9], página 169, Teorema 7.8, que a métrica acima é Kähler. Fazendo
alguns cálculos, obtemos

e

∂gβ τ̄
z̄α z̄β zτ
z̄
z̄
�α
�β
�
= 2δβτ
− 2δατ
−4
2
2
∂zα
(1 − zγ z̄γ )
(1 − zγ z̄γ )
(1 − zγ z̄γ )3
∂ 2 gβ β̄
1
zα z̄α
1
�
�
�
= 2
+4
+ 2δαβ
2
3
∂ z̄α ∂zα
(1 − zγ z̄γ )
(1 − zγ z̄γ )
(1 − zγ z̄γ )2
z̄β2
zα z̄β
z̄α z̄β
�
�
�
−4δαβ
−4
− 8δαβ
3
3
(1 − zγ z̄γ )
(1 − zγ z̄γ )
(1 − zγ z̄γ )3
zα z̄α z̄β2
�
−12
.
(1 − zγ z̄γ )4

Consideremos (z1 , . . . , zm ) = (0, . . . , 0). Portanto,
gαβ̄ = 2δαβ ,

∂gβ τ̄
=0
∂zα

e

∂ 2 gβ β̄
= 2(1 + δαβ ).
∂ z̄α ∂zα

Usando a expressão do tensor curvatura Riemanniana em coordenadas, ver (2.20), obtemos
−1
(1 + δαβ ).
Rαᾱβ β̄ =
2
Logo, decorre da Deﬁnição 2.4.2 que
KBCHm = −1.

53

2.5

Os Operadores Gradiente e Laplaciano em
Variedade Kähler

Seja (M m , g, J) uma variedade Kähler de dimensão complexa m, ∇ a conexão de
Levi-Civita e (U, ψ) um sistema de coordenadas complexas.
Iremos obter as expressões dos operadores gradiente e Laplaciano em um referencial unitário do espaço tangente complexiﬁcado T 1,0 M na vizinhança coordenada U da
variedade Kähler M .
Seja {e1 , . . . , em } um referencial unitário em T 1,0 M , tal que
1
eα = (τα − iJτα ),
2

1 ≤ α ≤ m,

onde
{τ1 , Jτ1 , . . . , τm , Jτm } ⊂ T M

é um referencial geodésico em uma vizinhança U ⊂ M m de um ponto p ∈ U . Daı́, em p,
∇τα τβ = ∇Jτα τβ = ∇τα Jτβ = ∇Jτα Jτβ = 0

∀α, β ∈ {1, . . . , m}.

Além disso, veja que
τα = eα + eᾱ

e

Jτα = i(eα − eᾱ ).

(2.27)

Deﬁnição 2.5.1. Seja f : M m → R uma função suave. O gradiente de f é o campo de
vetores real ∇f deﬁnido por
g(∇f, X) = X(f )
para todo X ∈ T M .
∞
Seja {τα , Jτα }m
α=1 um referencial geodésico e f ∈ C (M ). Como

g(∇f, τα ) = τα (f ) e g(∇f, Jτα ) = (Jτα )(f ),
então
∇f =

m
�

τα (f )τα +

α=1

m
�

(Jτα )(f )Jτα .

(2.28)

(2.29)

α=1

Proposição 2.5.1. Sejam f, h ∈ C ∞ (M ) e {e1 , . . . , em } ⊂ T 1,0 M um referencial unitário
em uma vizinhança U ⊂ M . Então o gradiente de f em U é dado por
∇f = 2

m
�

fᾱ eα + 2

α=1

m
�

fα eᾱ ,

α=1

onde fα = g(∇f, eα ) e fᾱ = g(∇f, eᾱ ). Consequentemente,
g(∇f, ∇h) = 2

m
�
α=1

(fα hᾱ + fᾱ hα ).

54
Demonstração. Usando notação de Einstein na expressão em (2.29), podemos escrever
∇f = τα (f )τα + (Jτα )(f )Jτα .
Logo, substituindo as igualdades em (2.28) na expressão acima,
∇f = g(∇f, τα )τα + g(∇f, Jτα )Jτα = g(∇f, τα )(eα + eᾱ ) + ig(∇f, Jτα )(eα − eᾱ )
= (g(∇f, τα ) + ig(∇f, Jτα )) eα + (g(∇f, τα ) − ig(∇f, Jτα )) eᾱ
�

�
�
�
1
1
= 2g ∇f, (τα + iJτα ) eα + 2g ∇f, (τα − iJτα ) eᾱ
2
2
= 2g(∇f, eᾱ )eα + 2g(∇f, eα )eᾱ
= 2fᾱ eα + 2fα eᾱ .
Consequentemente,
g(∇f, ∇h) = g(2fᾱ eα + 2fα eᾱ , 2hβ̄ eβ + 2hβ eβ̄ ) = 4(fᾱ hβ g(eα , eβ̄ ) + fα hβ̄ g(eᾱ , eβ ))
= 2(fᾱ hβ δαβ̄ + fα hβ̄ δᾱβ ) = 2fᾱ hα + 2fα hᾱ .
�
Deﬁnição 2.5.2. Seja X ∈ T M . A divergência de um campo de vetores X é uma função
div X : M m → R, dada por
( div X)(x) = tr {Y (x) �→ (∇Y (x) X)},
onde Y (x) ∈ Tx M e tr denota o traço de um operador linear.

Lema 2.5.1. Sejam X ∈ T M e {e1 , . . . , em } ⊂ T 1,0 M um referencial unitário em uma
vizinhança U ⊂ M . Se X = Aα eα + Aα eᾱ , então a divergência de X em U é dada por
div X = eα (Aα ) + eᾱ (Aα ),
onde Aα denota o conjugado de Aα .
Demonstração. Seja {τα , Jτα }m
α=1 o referencial geodésico em uma vizinhança U ⊂ M ,
tal que
1
eα = (τα − iJτα ), 1 ≤ α ≤ m.
2
α
α
a
+
ib
. Daı́
Suponhamos que Aα =
2
1
1
X = Aα eα + Aα eᾱ = Aα (τα − iJτα ) + Aα (τα + iJτα )
2
2
α
α
α
α
i(A − A )
A +A
τα +
Jτα
=
2
2
α
α
= a τα + b Jτα .

55
Decorre da deﬁnição de divergência de um campo de vetores que
div X =
=
=
=

g(∇τα X, τα ) + g(∇Jτα X, Jτα )
τα (g(X, τα )) − g(∇τα τα , X) + (Jτα )(g(X, Jτα )) − g(∇Jτα Jτα , X)
τα (g(X, τα )) + Jτα (g(X, Jτα ))
τα (aα ) + (Jτα )(bα ).

Por outro lado,
aα =

Aα + Aα
,
2

bα =

i(Aα − Aα )
,
2

1
i
τα = (eα + eᾱ ) e Jτα = (eα − eᾱ ).
2
2

Logo
div X = τα (aα ) + Jτα (bα ) = eα (Aα ) + eᾱ (Aα ).
�
Deﬁnição 2.5.3. Seja f : M m → R uma função suave. O Laplaciano de f é a função
real Δf : M m → R deﬁnida por
Δf = div (∇f ).
Proposição 2.5.2. Sejam f ∈ C ∞ (M ) e {e1 , . . . , em } ⊂ T 1,0 M um referencial unitário
em uma vizinhança U ⊂ M . Então o Laplaciano de f em U é dado por
Δf = 4

m
�

fαᾱ ,

α=1

onde fαᾱ = g(∇eα ∇f, eᾱ ).
Demonstração. Observe que ∇f = 2fᾱ eα + 2fα eᾱ , ver Proposição 2.5.1. Decorre do
Lema 2.5.1 que
Δf = div (∇f ) = 2eα (fᾱ ) + 2eᾱ (fα ) = 2fᾱα + 2fαᾱ = 4fαᾱ.
�
Nos exemplos a seguir, iremos obter as expressões do Laplaciano da função distância
r nos espaços modelos Cm , CPm e CHm . Nesse contexto, suponha que (M m , g, J) é
uma variedade Kähler de dimensão complexa m e seja γ : [0, a] → M uma geodésica
minimizante e normalizada ligando p a x. Consideremos em p uma base ortonormal
{τ1 , Jτ1 , . . . , τm , Jτm } do espaço tangente Tp M , tal que
τ1 = γ � (0) = ∇r(p).
Seja ε2k−1 o transporte paralelo de τk ao longo de γ para cada k = 1, . . . , m. Como
J é paralelo, obtemos que Jε2k−1 =: ε2k é o transporte paralelo de Jτk ao longo de γ.
Decorre da isometria do transporte paralelo que {ε1 , . . . , ε2m } é um referencial ortonormal

56

Figura 2.2: Transporte paralelo de ∇r e J∇r ao longo de γ.
geodésico ao longo de γ. Além disso, aplicando o Teorema 1.1.1 e a unicidade de campos
paralelos, vemos que
ε1 = γ � (t) = ∇r(γ(t)).
Observe que

2m
�

|∇r|2 = g(∇r, ∇r) =

rk2 ,

k=1

onde rk = g(∇r, εk ). Derivando covariantemente a expressão acima, obtemos
|∇r|2ij =

2m
�

(rk2 )ij = 2

k=1

2m
�

(rk rki )j = 2

k=1

2m
�

rkj rki + 2

k=1

2m
�

rk rkij .

(2.30)

k=1

Usando a identidade de Ricci (ver [11], página 15),
rkij = rikj = rijk +

2m
�

rη Rηijk ,

(2.31)

η=1

onde Rηijk = g(R(εη , εi )εj , εk ). Agora substituindo a igualdade em (2.31) na expressão
em (2.30), temos
|∇r|2ij = 2

2m
�

rik rkj + 2

k=1

2m
�

rk rijk + 2

k=1

2m
�

rk rη Rηijk .

k,η=1

Visto que
ε1 = ∇r =
então r1 = 1 e rk = 0 para 1 < k ≤ 2m. Daı́
|∇r|2ij = 2

2m
�
k=1

2m
�

r k εk ,

k=1

rik rkj + 2rij1 + 2R1ij1 .

(2.32)

57
Usando o Teorema 1.1.1 e a igualdade em (2.32), obtemos que
2m
�

rik rkj + rij1 + R1ij1 = 0.

(2.33)

k=1

Agora considere a matriz hessiana H da função distância r ao longo de γ dada por
H(t) := (rij (γ(t)))2m×2m
e denotemos
R(t) := (R1ij1 (γ(t)))2m×2m .
Logo para obter H(t), basta resolver a equação diferencial ordinária de valor inicial
 2
�
 H (t) + H (t) + R(t) = 0
(2.34)
 lim tH(t) = G,
t→0

onde



0
 0

G =  ..
 .

0 ...
1 ...
.. . .
.
.
0 0 ...


0
0 

..  .
. 

(2.35)

1

Observação 2.5.1. O limite em (2.34) decorre do fato que a métrica Riemanniana
coincide localmente com a métrica Euclidiana. Com efeito, seja r̃ : Cm → R a função
distância a um ponto ﬁxado de Cm . Podemos ver no Exemplo 2.5.1 que no espaço
Euclidiano complexo
r̃11 (γ̃(t)) = 0,

r̃ii (γ̃(t)) =

1
t

e

r̃ij (γ̃(t)) = 0, i �= j.

Logo se H denota a matriz hessiana da função distância na variedade Kähler M , temos
lim tH(t) = lim tH̃(t) = G,
t→0

t→0

onde G é como em (2.35).
Exemplo 2.5.1 (Espaço Euclidiano Complexo). Sejam r̃ : Cm → R a função distância
a um ponto p ∈ Cm e γ̃ : [0, a] → Cm uma geodésica minimizante e normalizada ligando
p a x ∈ Cm . Visto que
R1ij1 = 0 ∀ i, j = 1, . . . , 2m,
então, para obter a hessiana H̃ de r̃, devemos resolver o problema de valor inicial, ver
(2.34),
 2
�
 H (t) + H (t) = 0
(2.36)
 lim tH(t) = G,
t→0

58
onde



0
 0

G =  ..
 .

De fato,

0 ...
1 ...
.. . .
.
.
0 0 ...



0 0
0
 0 t−1 0

−1

H̃(t) =  0 0 t
 .. ..
..
 . .
.
0 0
0


0
0 

..  .
. 
1

...
...
...
..
.



0
0
0
..
.








. . . t−1

é a única solução do problema de valor inicial em (2.36). Assim
Δ̃r̃(γ̃(t)) = tr H(t) = (2m − 1)t−1 .
Como γ̃ é uma geodésica normalizada, isto é, r̃(γ̃(t)) = t, concluı́mos que
Δ̃r̃(x) = (2m − 1)(r(x))−1 ,

onde Δ̃ denota o operador Laplaciano em Cm .

Exemplo 2.5.2 (Espaço Projetivo Complexo). Sejam r̃ : CPm → R a função distância a
um ponto p ∈ CPm e γ̃ : [0, a] → CPm uma geodésica minimizante e normalizada ligando
p a x ∈ CPm . Como a curvatura bisseccional holomorfa de CPm é 1, então decorre da
Proposição 2.4.1 e da Observação 2.4.1 que
R1111 = 0,

R1221 = 4,

R1(2i−1)(2i−1)1 = 1

e

R1(2i)(2i)1 = 1

∀ i = 2, . . . m.

Além disso, os demais coeﬁcientes do tensor curvatura Riemanniana em CPm são nulos.
Portanto para obter a hessiana H̃ de r̃ devemos resolver o problema de valor inicial, ver
(2.34),
 2
�
 H (t) + H (t) + R(t) = 0
(2.37)
 lim tH(t) = G,
t→0

onde



0
 0

G =  ..
 .
0

Com efeito,



0 ... 0
1 ... 0 

.. . . .. 
.
.
. 
0 ... 1


e

0
0
 0 2 cotg (2t)


0
H̃(t) =  0
 ..
..
 .
.
0
0




0
0 

0 
.
.. 
. 
0 0 0 ... 1

0
 0


R(t) =  0
 ..
 .

0
4
0
..
.

0
0
1
..
.

0
0
cotg (t)
..
.

...
...
...
..
.

0
0
0
..
.

0

...

cotg (t)

...
...
...
...








59
é a única solução do problema de valor inicial em (2.37). Logo
Δ̃r̃(x) = tr H̃(r(x)) = 2(m − 1) cotg (r(x)) + 2 cotg (2r(x)),
onde Δ̃ denota o operador Laplaciano em CPm .
Exemplo 2.5.3 (Espaço Hiperbólico Complexo). Sejam r̃ : CHm → R a função distância
a um ponto p ∈ CHm e γ̃ : [0, a] → CHm uma geodésica minimizante e normalizada
ligando p a x ∈ CHm . Como a curvatura bisseccional holomorfa de CHm é −1, então
decorre da Proposição 2.4.1 e da Observação 2.4.1 que
R1111 = 0,

R1221 = −4,

R1(2i−1)(2i−1)1 = −1

R1(2i)(2i)1 = −1

e

∀ i = 2, . . . m.

Além disso, os demais coeﬁcientes do tensor curvatura Riemanniana em CHm são nulos.
Portanto para obter a hessiana H̃ de r̃ devemos resolver o problema de valor inicial, ver
(2.34),
 2
�
 H (t) + H (t) + R(t) = 0

(2.38)

 lim tH(t) = G,
t→0

onde


0
 0

G =  ..
 .
0
De fato,



0 ... 0
1 ... 0 

.. . . .. 
.
.
. 
0 ... 1


e

0
0
 0 2 cotgh (2t)


0
H̃(t) =  0
 ..
..
 .
.
0
0




0 0
0 ... 0
 0 −4 0 . . . 0 




R(t) =  0 0 −1 . . . 0  .
 .. ..
.. . .
.. 
 . .
. . 
.
0 0
0 . . . −1
0
0
cotgh (t)
..
.

...
...
...
..
.

0
0
0
..
.

0

...

cotgh (t)

é a única solução do problema de valor inicial em (2.38). Logo









Δ̃r̃(x) = tr H̃(r(x)) = 2(m − 1) cotgh (r(x)) + 2 cotgh (2r(x)),
onde Δ̃ denota o operador Laplaciano em CHm .

Capı́tulo 3
Teoremas de Comparação em
Variedades Kähler
Estimativas do operador Laplaciano, por exemplo os teoremas de comparação, são
ferramentas importantes para a análise de propriedades globais em variedades. Neste
capı́tulo, apresentaremos as demonstrações dos teoremas de comparação do Laplaciano
da função distância para variedades Kähler completas. Como aplicação decreveremos
a prova do Teorema de Comparação de Bishop-Gromov para variedades Kähler,
obteremos uma estimativa para o primeiro autovalor do Laplaciano em variedades Kähler
e mostraremos uma versão global de comparação de volume. Na demonstração de tais resultados, usaremos técnicas introduzidas por Li e Wang no artigo “Comparison Theorem
for Kähler Manifolds and Positivity of Spectrum”, publicado no Journal of Diﬀerential
Geometry em 2005.

3.1

Teoremas de Comparação do Laplaciano da Função
Distância

Iniciaremos esta seção enunciando um resultado clássico e bastante conhecido, denominado Teorema de Comparação do Laplaciano para variedades Riemannianas, cuja
demonstração pode ser encontrada, por exemplo, em [16].
Teorema 3.1 (Comparação do Laplaciano). Sejam M n uma variedade Riemanniana
completa de dimensão real n e Mk a forma espacial de curvatura seccional constante k.
Se RicM ≥ (n − 1)k, então
Δr(x) ≤ Δ̃r̃(r(x))

∀ x ∈ M \ (Cut(p) ∪ {p}),

onde Δ̃ e r̃ denotam, respectivamente, o Laplaciano e a função distância deﬁnida em
Mk .
Em 2005, Li e Wang [12], usando técnicas de Análise Complexa, provaram os teoremas de comparação do Laplaciano para variedades Kähler. A seguir descreveremos a
demonstração de tais resultados.
60

61
Teorema 3.1.1. Seja M m uma variedade Kähler completa de dimensão complexa m com
BKM ≥ −1. Então, em M \ (Cut(p) ∪ {p}), temos
Δr(x) ≤ 2(m − 1) cotgh (r(x)) + 2 cotgh (2r(x))
= Δ̃r̃(r(x)),
onde Δ̃ e r̃ denotam, respectivamente, o Laplaciano e a função distância deﬁnida em
CHm .
Demonstração. Seja γ : [0, a] → M uma geodésica minimizante e normalizada ligando
p a x. Consideremos em p uma base unitária {e1 , . . . , em }, tal que
e1 =

1 �
1
(γ (0) − iJγ � (0)) = (∇r(p) − iJ∇r(p)) .
2
2

Seja εα = eα (t) o transporte paralelo de eα ao longo de γ para cada α = 1, . . . , m.
Decorre da isometria do transporte paralelo que {ε1 , . . . , εm } é um referencial unitário
em γ. Além disso, aplicando o Teorema 1.1.1 e a unicidade de campos paralelos, vemos
que
1
1
ε1 = (γ � (t) − iJγ � (t)) = (∇r(γ(t)) − iJ∇r(γ(t))) .
2
2
1,0
Observe que ε1 ∈ T M , portanto Jε1 = iε1 , donde
J∇r = 2iε1 − i∇r.
Assim podemos veriﬁcar que
r11 = −r11̄ .

(3.1)

De fato,
1
i
r11̄ = g(∇ε1 ∇r, ε1̄ ) = g(∇ε1 ∇r, ∇r) + g(∇ε1 ∇r, J∇r)
2
2
i
1
g(∇ε1 ∇r, ∇r) + g(∇ε1 ∇r, 2iε1 − i∇r)
=
2
2
= g(∇ε1 ∇r, ∇r) − g(∇ε1 ∇r, ε1 )
= −r11 ,
pois g(∇r, ∇r) = 1, o que implica g(∇ε1 ∇r, ∇r) = 0. Usando o Teorema 1.1.1, temos
|∇r|2 = 1,
derivando covariantemente a expressão acima ambos os lados,
|∇r|2αᾱ = 0

(3.2)

62
para cada α = 1, . . . , m. Por outro lado,
|∇r|2αᾱ

= (g(∇r, ∇r))αᾱ = 4
= 4
= 4

m
�
δ=1
m
�
δ=1

m
�

(rδ rδ̄ )αᾱ = 4

δ=1

m
�

(rδα rδ̄ + rδ rδ̄α )ᾱ

δ=1

(rδαᾱ rδ̄ + rδα rδ̄ᾱ + rδᾱ rδ̄α + rδ rδ̄αᾱ )
|rδα |2 + 4

m
�
δ=1

|rδᾱ |2 + 4

m
�

rδαᾱ rδ̄ + 4

δ=1

m
�

rδ rδ̄αᾱ .

(3.3)

δ=1

Decorre da identidade de Ricci que
rδαᾱ = rαδᾱ = rαᾱδ + 2

m
�

rη Rη̄δᾱα = rαᾱδ + 2

η=1

m
�

rη Rαᾱδη̄

(3.4)

η=1

e
rδ̄αᾱ = rαδ̄ᾱ = rαᾱδ̄ .

(3.5)

Substituindo as igualdades em (3.4) e (3.5) na expressão em (3.3), obtemos
|∇r|2αᾱ = 4

m
�
δ=1

2

|rδα | + 4

m
�
δ=1

2

|rδᾱ | + 4

m
�

rδ rαᾱδ̄ + 4

δ=1

m
�

rδ̄ rαᾱδ + 8

δ=1

m
�

rη rδ̄ Rαᾱδη̄ .

δ,η=1

Por outro lado, r1 = r1̄ = 1/2 e rα = rᾱ = 0 para cada α = 2, . . . , m, daı́
|∇r|2αᾱ = 4

m
�
δ=1

2

|rδα | + 4

m
�
δ=1

|rδᾱ |2 + 2rαᾱ1̄ + 2rαᾱ1 + 2Rαᾱ11̄ .

Note que
rαᾱ1̄ + rαᾱ1 = ε1̄ (rαᾱ ) + ε1 (rαᾱ )
1
1
(∇r + iJ∇r)(rαᾱ ) + (∇r − iJ∇r)(rαᾱ )
=
2
2
∂rαᾱ
.
=
∂r
Daı́
|∇r|2αᾱ = 4

m
�
δ=1

|rδα |2 + 4

m
�
δ=1

|rδᾱ |2 + 2

≥ 4|rαα |2 + 4|rαᾱ |2 + 2

∂rαᾱ
+ 2Rαᾱ11̄
∂r

∂rαᾱ
+ 2Rαᾱ11̄ .
∂r

Agora, fazendo α = 1 na desigualdade em (3.6),
|∇r|211̄ ≥ 4|r11 |2 + 4|r11̄ |2 + 2

∂r11̄
+ 2R11̄11̄ .
∂r

(3.6)

63
Visto que r11 = −r11̄ , temos

∂r11̄
+ 2R11̄11̄ .
∂r
Por hipótese BKM ≥ −1, então usando a Deﬁnição 2.4.2, vemos que
� �
1
R11̄11̄ ≥
(−1)(1 + δ11 ) = −1.
2
|∇r|211̄ ≥ 8|r11̄ |2 + 2

Logo

∂r11̄
− 2.
∂r
Decorre da igualdade (3.2), juntamente com a desigualdade acima, que
|∇r|211̄ ≥ 8|r11̄ |2 + 2
8|r11̄ |2 + 2

∂r11̄
≤ 2,
∂r

ou seja,
4|r11̄ |2 +

∂r11̄
≤ 1.
∂r

(3.7)

Consideremos a função f : [0, a] → R deﬁnida por
f (t) = r11̄ (γ(t)),
assim

∂r11̄
.
∂r
Substituindo f (t) e f � (t) na desigualdade (3.7), obtemos
f � (t) =

4f 2 (t) + f � (t) ≤ 1.

(3.8)

Como a métrica Riemanniana coincide localmente com a métrica Euclidiana (ver Observação 2.5.1), então podemos concluir que
1
lim tf (t) = ,
t→0
4
pois
1
r11̄ = g(∇ε1 ∇r, ε1̄ ) = g(∇γ � −iJγ � ∇r, γ � + iJγ � )
4
i
i
1
1
=
g(∇γ � ∇r, γ � ) − g(∇Jγ � ∇r, γ � ) + g(∇γ � ∇r, Jγ � ) + g(∇Jγ � ∇r, Jγ � )
4
4
4
4
i
1
i
= − g(∇Jγ � ∇r, γ � ) + g(∇γ � ∇r, Jγ � ) + g(∇Jγ � ∇r, Jγ � ).
4
4
4
Visto que o problema de valor inicial
 2
�

 4f (t) + f (t) ≤ 1

 lim tf (t) = 1
t→0
4

(3.9)

64
tem uma única solução. Então para obter f , basta resolver o problema em (3.9). De
fato, seja T = inf{t ∈ (0, a); 4f 2 (t) − 1 = 0}. Daı́
4f 2 (t) − 1 > 0

t ∈ (0, T ).

Logo, no intervalo (0, T ), temos
4f 2 (t) + f � (t) ≤ 1
Como

então

f � (t) ≤ 1 − 4f 2 (t)

⇐⇒

⇐⇒

f � (t)
≥ 1.
1 − 4f 2 (t)

(3.10)

f � (t)
1d
cotgh −1 (2f (t)) =
,
2 dt
1 − 4f 2 (t)
1d
cotgh −1 (2f (t)) ≥ 1,
2 dt

isto é,

d
cotgh −1 (2f (t)) ≥ 2.
dt
Integrando de 0 a t a desigualdade acima,
cotgh −1 (2f (t)) − lim cotgh −1 (2f (t)) ≥ 2t,
t→0

donde
cotgh −1 (2f (t)) ≥ 2t.
Como a função cotangente hiperbólica é decrescente, vemos que
2f (t) ≤ cotgh (2t),
ou seja,
f (t) ≤

1
cotgh (2t)
2

Se T ≤ t < a, então

∀t ∈ (0, T ).

(3.11)

1
f (t) ≤ .
2

1
1
para algum t1 > T , então existiria t2 ∈ (T, t1 ), tal que f (t2 ) > e
2
2
f � (t2 ) ≥ 0. Neste caso terı́amos
De fato, se f (t1 ) >

4f 2 (t2 ) + f � (t2 ) > 1.
Isto contradiz a desigualdade obtida em (3.8). Como cotgh (t) > 1 para todo t > 0,
f (t) ≤

1
cotgh (2t),
2

T ≤ t < a.

65
Logo podemos concluir
f (t) ≤

1
cotgh (2t)
2

∀ t ∈ (0, a).

(3.12)

Agora fazendo α = 2, . . . , m na desigualdade (3.6),
∂rαᾱ
+ 2Rαᾱ11̄
|∇r|2αᾱ ≥ 4|rαα |2 + 4|rαᾱ |2 + 2
�∂r�
1
∂rαᾱ
+2
(−1)(1 + δα1 )
≥ 4|rαᾱ |2 + 2
∂r
2
∂rαᾱ
− 1.
= 4|rαᾱ |2 + 2
∂r

(3.13)

Decorre da igualdade (3.2), juntamente com a desigualdade acima, que
4|rαᾱ |2 + 2

∂rαᾱ
≤ 1.
∂r

Seja ω(t) = rαᾱ (γ(t)). Logo
4ω 2 (t) + 2ω � (t) ≤ 1.

(3.14)

Além disso,

1
lim tω(t) = .
t→0
2
Determinaremos ω resolvendo o problema de valor inicial

2
�

 4ω (t) + 2ω (t) ≤ 1

 lim tω(t) = 1 .
t→0
2

Com efeito, seja S = inf{t ∈ (0, a); 4ω 2 (t) − 1 = 0}. Portanto
4ω 2 (t) − 1 > 0

∀t ∈ (0, S).

Logo, no intervalo (0, S), temos
4ω 2 (t) + 2ω � (t) ≤ 1 =⇒ 2ω � (t) ≤ 1 − 4ω 2 (t) =⇒
Logo

d
cotgh −1 (2ω(t)) ≥ 1,
dt
integrando de 0 a t a desigualdade acima,
cotgh −1 (2ω(t)) ≥ t.

2ω � (t)
≥ 1.
1 − 4ω 2 (t)

(3.15)

66
Portanto
1
cotgh (t)
2

ω(t) ≤
Se S ≤ t < a, então

∀t ∈ (0, S).

(3.16)

1
ω(t) ≤ .
2

1
1
, para algum t1 > S, então existiria t2 ∈ (S, t1 ), tal que ω(t2 ) >
2
2
e ω � (t2 ) ≥ 0. Neste caso terı́amos
De fato, se ω(t1 ) >

4ω 2 (t2 ) + 2ω � (t2 ) > 1.
Isto contradiz a desigualdade obtida em (3.14). Logo podemos concluir
ω(t) ≤

1
cotgh (t)
2

∀t ∈ (0, a).

(3.17)

Finalmente, ao longo de γ, temos
Δr(γ(t)) = 4

m
�

rαᾱ (γ(t)) = 4r11̄ (γ(t)) + 4

α=1

= 4f (t) + 4

m
�

rαᾱ (γ(t))

α=2

m
�

ω(t).

α=2

Usando as desigualdades (3.12) e (3.17), obtemos
Δr(γ(t)) ≤ 2 cotgh (2t) + 2(m − 1) cotgh (t).
Logo, sendo γ uma geodésica minimizante, então r(γ(t)) = t, com isso concluı́mos que
Δr(x) ≤ 2(m − 1) cotgh (r(x)) + 2 cotgh (2r(x)) = Δ̃r̃(r(x)),
onde a igualdade decorre do Exemplo 2.5.3.
�
Teorema 3.1.2. Seja M m uma variedade Kähler completa de dimensão complexa m com
BKM ≥ 1. Então, em M \ (Cut(p) ∪ {p}), temos
Δr(x) ≤ 2(m − 1) cotg (r(x)) + 2 cotg (2r(x))
= Δ̃r̃(r(x)),
onde Δ̃ e r̃ denotam, respectivamente, o Laplaciano e a função distância deﬁnida em
CPm .

67
Demonstração. Seja γ : [0, a] → M uma geodésica minimizante e normalizada ligando
p a x. Consideremos em p uma base unitária {e1 , . . . , em }, tal que
e1 =

1 �
1
(γ (0) − iJγ � (0)) = (∇r(p) − iJ∇r(p)) .
2
2

Seja εα = eα (t) o transporte paralelo de eα ao longo de γ para cada α = 1, . . . , m. Decorre
da isometria do transporte paralelo que {ε1 , . . . , εm } é também um referencial unitário
em γ. Além disso, aplicando o Teorema 1.1.1 e a unicidade de campos paralelos, vemos
que
1
1
ε1 = (γ � (t) − iJγ � (t)) = (∇r(γ(t)) − iJ∇r(γ(t))) .
2
2
Fazendo cálculos análogos aos usados na demonstração do Teorema 3.1.1, podemos veriﬁcar que
r11 = −r11̄

(3.18)

e
|∇r|2αᾱ ≥ 4|rαα |2 + 4|rαᾱ |2 + 2

∂rαᾱ
+ 2Rαᾱ11̄ .
∂r

(3.19)

para cada α = 1, . . . , m.
Agora fazendo α = 1 na desigualdade em (3.19),
|∇r|211̄ ≥ 4|r11 |2 + 4|r11̄ |2 + 2

∂r11̄
+ 2R11̄11̄ .
∂r

Visto que r11 = −r11̄ , temos
|∇r|211̄ ≥ 8|r11̄ |2 + 2

∂r11̄
+ 2R11̄11̄ .
∂r

Por hipótese BKM ≥ 1, então usando a Deﬁnição 2.4.2, vemos que
� �
1
(1 + δ11 ) = 1.
R11̄11̄ ≥
2
Logo
0 = |∇r|211̄ ≥ 8|r11̄ |2 + 2

∂r11̄
+ 2,
∂r

ou seja,
4|r11̄ |2 +

∂r11̄
≤ −1.
∂r

Consideremos a função f : [0, a] → R deﬁnida por
f (t) = r11̄ (γ(t)),

(3.20)

68
assim

∂r11̄
.
∂r
Substituindo f (t) e f � (t) na desigualdade (3.20), obtemos
f � (t) =

4f 2 (t) + f � (t) ≤ −1.
Portanto

(3.21)

f � (t)
≤ −1.
1 + 4f 2 (t)

Observe que

f � (t)
1 d −1
tg (2f (t)) =
.
2 dt
1 + 4f 2 (t)

Daı́, podemos concluir

1 d −1
tg (2f (t)) ≤ −1,
2 dt

donde

d −1
tg (2f (t)) ≤ −2.
dt
Integrando de 0 a t a desigualdade acima,
tg −1 (2f (t)) − lim tg −1 (2f (t)) ≤ −2t.
t→0

Visto que a métrica Riemanniana coincide localmente com a métrica Euclidiana (ver
Observação 2.5.1), temos
1
lim tf (t) = .
t→0
4
Logo
π
tg −1 (2f (t)) ≤ − 2t.
2
Como a função tangente é crescente, vemos que
�
�π
− 2t = cotg (2t),
2f (t) ≤ tg
2
isto é,

f (t) ≤

1
cotg (2t)
2

∀t ∈ (0, a).

(3.22)

Agora fazendo α = 2, . . . , m na desigualdade (3.19),
∂rαᾱ
0 = |∇r|2αᾱ ≥ 4|rαα |2 + 4|rαᾱ |2 + 2
+ 2Rαᾱ11̄
�∂r�
1
∂rαᾱ
+2
(1 + δα1 )
≥ 4|rαᾱ |2 + 2
∂r
2
∂rαᾱ
+ 1.
= 4|rαᾱ |2 + 2
∂r

(3.23)

69
Daı́
4|rαᾱ |2 + 2

∂rαᾱ
≤ −1.
∂r

Seja ω(t) = rαᾱ (γ(t)). Assim
4ω 2 (t) + 2ω � (t) ≤ −1.
Além disso,

(3.24)

1
lim tω(t) = .
t→0
2

Logo
4ω 2 (t) + 2ω � (t) ≤ −1 ⇐⇒

2ω � (t)
≤ −1 ⇐⇒
1 + 4ω 2 (t)

d −1
tg (2ω(t)) ≤ −1. (3.25)
dt

1
Integrando de 0 a t a última das desigualdades acima e usando que lim tω(t) = , obtemos
t→0
2
tg −1 (2ω(t)) ≤

π
− t.
2

Como a função tangente é crescente, vemos que
�
�π
− t = cotg (t),
2ω(t) ≤ tg
2
isto é,

ω(t) ≤

1
cotg (t)
2

∀t ∈ (0, a).

(3.26)

Finalmente, ao longo de γ, temos
Δr(γ(t)) = 4

m
�

rαᾱ (γ(t)) = 4r11̄ (γ(t)) + 4

α=1

= 4f (t) + 4

m
�

rαᾱ (γ(t))

α=2

m
�

ω(t).

α=2

Usando as desigualdades em (3.22) e (3.26), obtemos
Δr(γ(t)) ≤ 2 cotg (2t) + 2(m − 1) cotg (t).
Logo sendo γ uma geodésica minimizante, temos r(γ(t)) = t, com isso concluı́mos que
Δr(x) ≤ 2(m − 1) cotg (r(x)) + 2 cotg (2r(x)) = Δ̃r̃(r(x)),
onde a igualdade decorre do Exemplo 2.5.2.
�

70
O Teorema 3.1.3 foi inspirado no Teorema de Comparação do Laplaciano para
variedades Kähler quaterniônicas obtido por Kong, Li e Zhou em [8] e cuja prova segue
da aplicação das técnicas de Análise Complexa introduzidas por Li e Wang em [12].
Teorema 3.1.3. Seja M m uma variedade Kähler completa com BKM ≥ 0. Então, em
M \ (Cut(p) ∪ {p}), temos
Δr(x) ≤ (2m − 1)(r(x))−1 = Δ̃r̃(r(x)),
onde Δ̃ e r̃ denotam, respectivamente, o Laplaciano e a função distância em Cm .
Demonstração. Seja γ : [0, a] → M uma geodésica minimizante e normalizada ligando
p a x. Consideremos em p uma base unitária {e1 , . . . , em }, tal que
e1 =

1 �
1
(γ (0) − iJγ � (0)) = (∇r(p) − iJ∇r(p)) .
2
2

Seja εα = eα (t) o transporte paralelo de eα ao longo de γ para cada α = 1, . . . , m. Decorre
da isometria do transporte paralelo que {ε1 , . . . , εm } é também um referencial unitário
em γ. Além disso, aplicando o Teorema 1.1.1 e a unicidade de campos paralelos, vemos
que
1
1
ε1 = (γ � (t) − iJγ � (t)) = (∇r(γ(t)) − iJ∇r(γ(t))) .
2
2
Fazendo cálculos análogos aos cálculos feitos na demonstração do Teorema 3.1.1, podemos
veriﬁcar que
r11 = −r11̄

(3.27)

e
|∇r|2αᾱ ≥ 4|rαα |2 + 4|rαᾱ |2 + 2

∂rαᾱ
+ 2Rαᾱ11̄ .
∂r

Agora, fazendo α = 1 na desigualdade em (3.28),
|∇r|211̄ ≥ 4|r11 |2 + 4|r11̄ |2 + 2

∂r11̄
+ 2R11̄11̄ .
∂r

Visto que r11 = −r11̄ , temos
0 = |∇r|211̄ ≥ 8|r11̄ |2 + 2

∂r11̄
+ 2R11̄11̄ .
∂r

Por hipótese BKM ≥ 0, então usando a Deﬁnição 2.4.2, vemos que
R11̄11̄ ≥ 0.
Logo
8|r11̄ |2 + 2

∂r11̄
≤ 0,
∂r

(3.28)

71
ou seja,
4|r11̄ |2 +

∂r11̄
≤ 0.
∂r

(3.29)

Consideremos a função f : [0, a] → R deﬁnida por
f (t) = r11̄ (γ(t)),
assim

∂r11̄
.
∂r
Substituindo f (t) e f � (t) na desigualdade (3.29), obtemos
f � (t) =

4f 2 (t) + f � (t) ≤ 0.
Portanto

(3.30)

f � (t)
≥ 4.
− 2
f (t)

Daı́, podemos concluir

d 1
≥ 4.
dt f (t)

Integrando de 0 a t a desigualdade acima,
1
1
− lim
≥ 4.
f (t) t→0 f (t)
Como a métrica Riemanniana coincide localmente com a métrica Euclidiana (ver Observação 2.5.1), então podemos concluir que
1
lim tf (t) = .
t→0
4
Logo

1
≥ 4,
f (t)

ou seja,

1
∀t ∈ (0, a).
4t
Agora fazendo α = 2, . . . , m na desigualdade (3.28),
f (t) ≤

0 = |∇r|2αᾱ ≥ 4|rαα |2 + 4|rαᾱ |2 + 2
≥ 4|rαᾱ |2 + 2
Portanto
2|rαᾱ |2 +

∂rαᾱ
.
∂r

∂rαᾱ
≤ 0.
∂r

(3.31)

∂rαᾱ
+ 2Rαᾱ11̄
∂r
(3.32)

72
Seja ω(t) = rαᾱ (γ(t)). Logo
2

�

2ω (t) + ω (t) ≤ 0

ω � (t)
≥2
− 2
ω (t)

⇐⇒

⇐⇒

d 1
≥ 2.
dt ω(t)

(3.33)

1
Integrando de 0 a t a última das desigualdades acima e usando que lim tω(t) = , obtemos
t→0
2
1
≥ 2t,
ω(t)
isto é,
ω(t) ≤

1
2t

∀ t ∈ (0, a).

(3.34)

Finalmente, ao longo de γ, temos
Δr(γ(t)) = 4

m
�

rαᾱ (γ(t)) = 4r11̄ (γ(t)) + 4

α=1

= 4f (t) + 4

m
�

rαᾱ (γ(t))

α=2

m
�

ω(t).

α=2

Usando as desigualdades (3.31) e (3.34), obtemos
Δr(γ(t)) ≤ t−1 + 2(m − 1)t−1 = (2m − 1)t−1 .
Logo sendo γ uma geodésica minimizante, temos r(γ(t)) = t, com isso concluı́mos que
Δr(x) ≤ (2m − 1)(r(x))−1 = Δ̃r̃(r(x)).
onde a igualdade decorre do Exemplo 2.5.1.
�

3.2

Aplicações

3.2.1

Comparação de Volume de Bishop-Gromov

Suponha que M n é uma variedade Riemanniana completa e orientada com elemento
de volume dM , e seja p ∈ M um ponto ﬁxado. Decorre do Corolário 1.1.2 que a aplicação
exponencial expp : Σp → M \ Cut(p) é um difeomorﬁsmo.
Deﬁnição 3.2.1. Seja γ : [0, a] → M uma geodésica. Um campo de vetores B ao longo
de γ é um campo de Jacobi, se B satisfaz a equação de Jacobi
D2 B
+ R(B, γ � )γ � = 0
2
dt

∀t ∈ [0, a].

73
Considere t0 ∈ R e v ∈ Tp M unitário, tal que t0 v ∈ Σp , e seja γ : [0, t0 ] → M \ Cut(p)
a geodésica normalizada dada por γ(t) = expp (tv). Observe que o campo de Jacobi B ao
longo de γ que satisfaz B(0) = 0 é deﬁnido por
B(t) = (d expp )tv (tB � (0)),

0 ≤ t ≤ t0 .

Se w = B � (0), vemos que
1
1
(d expp )tv (w) = (d expp )tv (tB � (0)) = B(t).
t
t

(3.35)

(d expp )tv (v) = γ � (t).

(3.36)

Também

Seja {e1 = v, e2 , . . . , en } uma base ortonormal positiva de Tp M e
Bi (t) = (d expp )tv (tei )
o campo de Jacobi ao longo de γ com Bi (0) = 0 e Bi� (0) = ei para cada 2 ≤ i ≤ n.
Usando o lema de Gauss, obtemos
g(B(t), γ � (t)) = g((d expp )tv (tei ), (d expp )tv (v))
= tg(ei , v) = tg(ei , e1 )
= 0

(3.37)

para cada i = 2, . . . , n.
Se µ denota a medida de Lebesgue e K ⊂ M é um subconjunto de M , então
µ(Cut(p)) = 0 e
�
�
�
vol M (K) =
dM =
dM = (expp )∗ dM,
(3.38)
K

K\Cut(p)

L

∗
onde L = exp−1
p (K \ Cut(p)) e (expp ) dM é uma determinada n-forma em Tp M .
∗
A seguir, vamos explicitar (expp ) dM . Usando as expressões em (3.35) e (3.36), e a
igualdade em (3.37), obtemos

((expp )∗ dM )tv (e1 , e2 , . . . , en ) = dMexpp (tv) ((d expp )(e1 ), (d expp )(e2 ), . . . , (d expp )(en ))
1
1
= dMexpp (tv) (γ � (t), B2 (t), . . . , Bn (t))
t
t
1
�
= n−1 dMexpp (tv) (γ (t), B2 (t), . . . , Bn (t))
t
1 �
= n−1 det D(t),
t

onde D(t) denota uma matriz de ordem n − 1, cuja ij-ésima entrada é o elemento
g(Bi (t), Bj (t)) para cada t ∈ (0, t0 ].

74

Figura 3.1: Subconjunto K de M .
Considere para v ∈ Tp M unitário e 0 ≤ t ≤ ρ(v) a aplicação A dada por
�
1,
se t = 0,
1 �
A(t, v) =
det D(t), se 0 < t < ρ(v).
tn−1

(3.39)

Daı́

((expp )∗ dM )tv = A(t, v)du1 ∧ . . . ∧ dun ,

onde dui é a 1-forma dual de ei em Tp M . Se denotarmos por dθ o elemento de volume
da esfera unitária Sn−1 ⊂ Tp M . Segue do teorema de integração em coordenadas polares
que
((expp )∗ dM )tv = A(t, v)tn−1 dt ∧ dθ.
Logo, usando a igualdade em (3.38), obtemos
�
�
∗
vol M (K) =
(expp ) dM =
exp−1
p (K\Cut(p))

exp−1
p (K\Cut(p))

(3.40)

A(t, v)tn−1 dt ∧ dθ,

(3.41)

onde n é a dimensão de M .
Lema 3.2.1. Sejam M n uma variedade Riemanniana completa orientada e p ∈ M um
ponto ﬁxado. Se γ : [0, a] → M \ Cut(p) é a geodésica normalizada γ(t) = expp (tv) e
A(t, v) é como em (3.39), então
Δr(γ(t)) =

d
log(tn−1 A(t, v)).
dt

Demonstração. Fixado 0 < t0 ≤ a, considere q = γ(t0 ), {e1 = γ � (t0 ), e2 , . . . , en } uma
base ortonormal positiva de Tq M e Bi o campo de Jacobi ao longo de γ, tal que Bi (0) = 0
e Bi (t0 ) = ei . Observe que
Δr(q) = ( Hess r)q (e1 , e1 ) +

n
�
i=2

=

n
�
i=2

g(Bi� , Bi )(t0 )

( Hess r)q (ei , ei )

75
para cada i = 2, . . . , n. Além disso, {B2� (0), . . . , Bn� (0)} é uma base do complemento
ortogonal de v = γ � (0), pois decorre da igualdade (3.37) que g(Bi� (0), γ � (0)) = 0. Sejam
{v, E2 , . . . , En } uma base ortonormal e positiva de Tp M . Note que
Ei =

n
�

aij Bj� (0)

j=2

para cada i = 2, . . . , n. Portanto
A(t, v) = ((expp )∗ dM )tv (v, E2 , . . . , En )
= det(aij )((expp )∗ dM )tv (v, B2� (0), . . . , Bn� (0))
det(aij ) �
det D(t)
=
tn−1
c �
= n−1 det D(t),
t

onde c = det(aij ). Visto que

d
c (det D)� (t)
(n − 1)c �
�
A(t, v) = −
det
D(t)
+
dt
tn
tn−1 2 det D(t)
c
(n − 1)c �
det D(t) + n−1 (det D(t)) tr (D� (t)D(t)−1 )
= −
n
t
2t

A� (t, v) =

e D(t) coincide com a aplicação identidade, vemos que
A� (t, v) = −
Por outro lado,
�

tr D (t0 ) =

(n − 1)c
c
+ n−1 tr D� (t).
n
t
2t

n
�

2g(Bi� , Bi )(t0 ) = 2Δr(q),

i=2

de maneira que

A� (t0 , v) =
Logo

isto é,

−(n − 1)c
c
+ n−1 Δr(q).
n
t0
t0

n−1
A� (t0 , v)
+ Δr(q),
=−
A(t0 , v)
t0
n − 1 A� (t0 , v)
d
Δr(q) =
=
log(tn−1
+
A(t0 , v)).
0
t0
A(t0 , v)
dt
�

Deﬁnição 3.2.2. Se expp é um difeomorﬁsmo em uma vizinhança V de 0 ∈ Tp M ,
expp V = U é chamada uma vizinhança normal de p. Se ε > 0 é tal que a bola aberta
BTp M (0; ε) ⊂ Tp M centrada na origem e de raio ε está inteiramente contida em V ,
denominamos expp (BTp M (0; ε)) = BM (p; ε) a bola geodésica (ou normal) e ∂BM (p; ε) =
SM (p; ε) a esfera geodésica.

76
Aplicação 3.2.1. Seja M m uma variedade Kähler completa com BKM ≥ −1. Então,
para todo x ∈ M e 0 ≤ ε ≤ R, o volume das bolas geodésicas satisfazem
VCHm (R)
Vx (R)
≤
Vx (ε)
VCHm (ε)
e
Vx (R) ≤ VCHm (R),

onde VCHm (ε) denota o volume da bola geodésica de raio ε em CHm .
Demonstração. Decorre da Proposição 1.3.1 que M m é orientável e tem dimensão real
n = 2m. Observe que, Tp M e Tp̃ CHm são espaços vetoriais n-dimensionais munidos
com um produto interno. Daı́, uma transformação linear ι : Tp M → Tp̃ CHm que aplica
uma base ortonormal de Tp M em uma base ortonormal de Tp̃ CH é uma isometria, logo
preserva as esferas unitárias centradas na origem dos espaços vetoriais Tp M e Tp̃ CHm .
Doravante, ﬁxe uma tal ι e considere ṽ = ι(v), onde v ∈ Tp M é um vetor ﬁxado. Sejam
γ : [0, t0 ] → M \ Cut(p) e γ : [0, t˜0 ] → CHm \ Cut(p̃) as geodésicas dadas por
γ(t) = expp (tv) e γ̃(t) = expp̃ (tṽ).
Ao longo de γ e γ̃, deﬁna
A(t) = t2m−1 A(t, v)

e

Ã(t) = t2m−1 Ã(t, ṽ).

Decorre do Lema 3.2.1 que
Δr(γ(t)) =

d
d
log(t2m−1 A(t, v)) =
log(A(t))
dt
dt

e

d
d
log(t2m−1 Ã(t, ṽ)) =
log(Ã(t)).
dt
dt
Aplicando o Teorema de Comparação do Laplaciano para variedades Kähler, ver Teorema
3.1.1, obtemos
d
d
log(A(t)) ≤
log(Ã(t)),
dt
dt
ou seja,
A(t)
d
log
≤ 0.
dt
Ã(t)
Δ̃r̃(γ(t)) =

Assim log

A(t)
é uma função não-crescente. Portanto, para 0 < ε ≤ R, temos
Ã(t)
log

A(ε)
A(R)
≤ log
.
Ã(R)
Ã(ε)

Como a função logarı́tma é crescente, então
A(ε)
A(R)
≤
,
Ã(R)
Ã(ε)

0 < ε ≤ R.

(3.42)

77
Agora, note que
�� ε
�� ε
� R
� ε
� R
Ã(t)dt =
Ã(t)dt
A(t)dt
A(t)dt +
A(t)dt
0

0

0

=

� ε

ε

A(t)dt

0

� ε

0

Ã(t)dt +

0

� R

A(t)dt

ε

� ε

Ã(t)dt.

(3.43)

0

Por outro lado, usando a desigualdade em (3.42),
� ε
� ε
� R
� R
� ε
� R
A(ε)
A(t)
Ã(t)dt
Ã(t)dt
Ã(t)dt =
Ã(t)dt ≤
Ã(t)dt
A(t)dt
ε
0
ε Ã(t)
0
ε Ã(ε)
0
� ε
� R
� ε
�
A(ε) R
A(ε)
=
Ã(t)dt
Ã(t)dt =
Ã(t)dt
Ã(t)dt
Ã(ε) ε
0
ε
0 Ã(ε)
� R
� ε
A(t)
≤
Ã(t)dt
Ã(t)dt
ε
0 Ã(t)
� R
� ε
=
Ã(t)dt
A(t)dt.
(3.44)
ε

0

Substituindo a desigualdade em (3.44) na igualdade em (3.43), obtemos
� R
� ε
� R
� ε
� ε
� ε
Ã(t)dt ≤
Ã(t)dt +
Ã(t)dt
A(t)dt
A(t)dt
A(t)dt
0

0

=

0

0

� ε

�� ε

A(t)dt

0

=

� R

Ã(t)dt

0

Daı́
� R
0

Ã(t)dt +

0

A(t)dt ≤

� ε

ε

0

� R

�

Ã(t)dt

ε

A(t)dt.

0

� ε

A(t)dt

0

� R
�0

Ã(t)dt
,

ε

Ã(t)dt

0

com 0 < ε ≤ R. Portanto
�

S2m−1

� R
0

A(t)dt ∧ dθ ≤

o que implica,
�

S2m−1

�

S2m−1

� R
�0 ε
0

t
t

2m−1

2m−1

�

S2m−1

� ε
0

A(t, v)dt ∧ dθ

A(t, v)dt ∧ dθ

A(t)dt ∧ dθ

�

� R

�S2m−1 �0
S2m−1

�

S2m−1

≤ �

S2m−1

� R
�0 ε
0

0

Ã(t)dt ∧ dθ

ε

Ã(t)dt ∧ dθ

t2m−1 Ã(t, ṽ)dt ∧ dθ
t

2m−1

Ã(t, ṽ)dt ∧ dθ

.

78
Assim

�

t
B

� Tp M

2m−1

(0;R)

t

2m−1

BTp M (0;ε)

A(t, v)dt ∧ dθ

A(t, v)dt ∧ dθ

�

BTp CH (0;R)

≤ �

t2m−1 Ã(t, ṽ)dt ∧ dθ

t

2m−1

BTp CH (0;ε)

.

Ã(t, ṽ)dt ∧ dθ

Logo, usando a deﬁnição de bola geodésica e a expressão em (3.42), concluı́mos que
Vp̃ (R)
Vp (R)
≤
Vp (ε)
Vp̃ (ε)

∀p̃ ∈ CHm ,

isto é,
VCHm (R)
Vp (R)
≤
.
Vp (ε)
VCHm (ε)
Agora iremos mostrar que Vx (R) ≤ VCHm (R). De fato, segue da expressão em (3.43) que
A(ε)
A(t)
≤
Ã(t)
Ã(ε)

∀ 0 < ε ≤ t.

(3.45)

Visto que a métrica Riemanniana coincide localmente com a métrica Euclidiana, temos
que
A(ε)
lim
= 1.
ε→0 Ã(ε)
Daı́, aplicando o limite na desigualdade em (3.45), obtemos
A(t) ≤ Ã(t).
Logo

�

t
BTp M (0;R)

2m−1

A(t, v)dt ∧ dθ ≤

�

BTp M (0;R)

t2m−1 Ã(t, ṽ)dt ∧ dθ,

isto é,
Vp (R) ≤ VCHm (R).

3.2.2

�

Estimativa do Primeiro Autovalor do Laplaciano

Nessa subseção, quando não mencionado, M simplesmente denotará uma variedade
Riemanniana compacta, conexa e com fronteira não vazia.
Deﬁnição 3.2.3. Seja M uma variedade Riemanniana compacta com bordo ∂M �= ∅.
Dizemos que um número λ ∈ R é um autovalor do operador Laplaciano −Δ, quando o
problema de Dirichlet

em M \ ∂M
 Δf + λf = 0


f =0

em ∂M

tem uma solução não trivial em C ∞ (int M ) ∩ C 0 (∂M ). Neste caso, a função f correspondente é uma autofunção associada ao autovalor λ.

79
Seja L2 (M ) o espaço das funções mensuráveis f : M → R tais que
�
|f |2 dM < +∞.
M

Consideremos em L2 (M ) o produto interno dado por
�
(f, h) =
f h dM,
M

cuja norma correspondente é
�
|f | = (f, f ) =

��

2

M

|f | dM

� 12

.

Observemos que este produto interno torna L2 (M ) um espaço de Hilbert.
Teorema 3.2.1. Seja M uma variedade Riemanniana compacta e com bordo. Então o
conjunto dos autovalores do operador Laplaciano −Δ consiste de uma sequência inﬁnita
0 ≤ λ1 < λ2 < . . . < λk → +∞.
Demonstração. Ver [4], página 8, Teorema 1.
�
O conjunto
Spec (Δ) = {0 ≤ λ1 < λ2 < . . . < λk → +∞}
é chamado espectro do Laplaciano sobre M . O primeiro autovalor do operador Laplaciano
é deﬁnido por
λ1 (M ) = inf Spec (Δ)
Em 1975, S. Y. Cheng [3] obteve uma limitação para o primeiro autovalor do Laplaciano em variedades Riemannianas, a saber:
Teorema 3.2. Seja M n uma variedade Riemanniana completa de dimensão real n. Se
RicM ≥ −(n − 1), então o primeiro autovalor do Laplaciano satisfaz
λ1 (M ) ≤

(n − 1)2
= λ1 (Hn ).
4

(3.46)

A estimativa obtida por Cheng é atigida. De fato, a igualdade é veriﬁcada para o
espaço hiperbólico Hn , cuja curvatura de Ricci é igual a −(n − 1). No caso em que M é
uma variedade Kähler, Li e Wang obtiveram a seguinte estimativa para λ1 (M ):
Aplicação 3.2.2. Seja M m uma variedade Kähler completa com BKM ≥ −1. Então o
primeiro autovalor do Laplaciano em M satisfaz
λ1 (M ) ≤ m2 = λ1 (CHm ).

80
Demonstração. Note que, fazendo ε = 1 na Aplicação 3.2.1, obtemos
Vp (R) ≤

Vp (1)
VCHm (R) ≤ C1 VCHm (R),
VCHm (1)

Vp (1)
é uma constante real. Observe que VCHm (R) ≤ C2 e2mR para todo
VCHm (1)
R ≥ 1. De fato, seja p̃ ∈ CHm , usando a expressão em (3.41),
�
t2m−1 A(t, v)dt ∧ dθ.
(3.47)
Vp̃ (R) =
onde C1 =

BTp̃ CH

Por outro lado, decorre do Exemplo 2.5.3 e do Lema 3.2.1 que
n−1
A� (t, v)
=−
+ 2(m − 1) cotgh (t) + 2 cotgh (2t).
A(t, v)
t
Portanto
A(t, v) = t−(2m−1) senh 2(m−1) (t) senh (2t).
Agora substituindo a igualdade acima em (3.47), temos que
�
Vp̃ (R) =
senh 2(m−1) (t) senh (2t)dt ∧ dθ
=

�

BTp̃ CH

S2m−1
� R

� R
0

senh 2(m−1) (t) senh (2t)dt ∧ dθ

2 senh 2m−1 (t) cosh(t)dt
0
�
�2m
w
w eR − e−R
2m
senh (R) =
=
m
m
2
2mR
≤ C2 e
,
w
onde w denota o volume da esfera S2m−1 ⊂ Tp̃ CHm e C2 = . Assim
m
= w

Vp (R) ≤ Ce2mR

∀R ≥ 1,

onde C ≥ C1 C2 . Por outro lado, em [13], Li e Wang provaram que
�
Vp (R) ≥ C exp(2 λ1 (M )R).

(3.48)

(3.49)

Usando (3.48) e (3.49), concluı́mos

C exp(2
Logo

�
λ1 (M )R) ≤ Ce2mR .
λ1 (M ) ≤ m2 .

A igualdade λ1 (CHm ) = m2 pode ser vista em [12], na página 46.
�

81

3.2.3

Comparação de Volume: Versão Global

Sejam M uma variedade Riemanniana completa e r : M → R a função distância a
um ponto ﬁxado p ∈ M . Observemos que
Δr(x) = H(x),
onde H(x) denota a curvatura média da esfera geodésica SM (x; r(x)) centrada em x ∈
M \ (Cut(p) ∪ {p}) e raio r(x) (ver [11], página 22). Além disso, o volume de uma
variedade compacta M é dada por
vol (M ) = Vp (d(M )),
onde Vp (d(M )) é o volume da bola geodésica centrada em p e raio igual ao diâmetro de
M , denotado por d(M ).
Aplicação 3.2.3. Seja M m uma variedade Kähler completa com BKM ≥ 1. Então M
é compacta e diâmetro de M satisfaz
d(M ) ≤

π
= d(CPm ).
2

Além disso,
vol (M ) ≤ vol (CPm ).
Demonstração. Suponhamos por absurdo que d(M ) >
x ∈ M \ (Cut(p) ∪ {p}), tal que

π
. Portanto, existem p ∈ M e
2

π
.
2
Consideremos a geodésica normalizada e minimizante γ : [0, a] → M \ Cut(p) ligando p a
x, isto é, γ(0) = p e γ(a) = x. Visto que a função distância é diferenciável em M \Cut(p),
então existe t0 ∈ (0, a), tal que
π
r(γ(t0 )) = .
2
Como γ está normalizada, temos que t0 = π/2. Agora, seja x0 = γ(π/2). Aplicando o
Teorema 3.1.2,
r(x) >

π
Δr(x0 ) ≤ 2(m − 1) cotg ( ) + 2 cotg (2 lim
t) = −∞.
2
t→ π2 +

(3.50)

Por outro lado, a curvatura média da esfera geodésica SM (x; r(x)) satisfaz
H(x0 ) = Δr(x0 ).
Daı́, substituindo a igualdade acima na expressão em (3.50), obtemos H(x0 ) = −∞. Isto
é um absurdo. Logo
π
d(M ) ≤ = d(CPm ).
2

82
Agora iremos mostrar que vol (M ) ≤ vol (CPm ). Com efeito, usando o Lema 3.2.1 e o
Teorema 3.1.2,
d
d
log(t2m−1 A(t, v)) ≤
log(t2m−1 Ã(t, ṽ)),
dt
dt
e, portanto,
t2m−1 A(t, v) ≤ t2m−1 Ã(t, ṽ).
Logo
�

� d(M )

vol (M ) = Vp (d(M )) =
t2m−1 A(t, v)dt ∧ dθ
S2m−1 0
�
� d(M )
≤
t2m−1 Ã(t, ṽ)dt ∧ dθ
2m−1
S
0
� d(CPm )
�
t2m−1 Ã(t, ṽ)dt ∧ dθ
≤
S2m−1

0

= Vp̃ (d(CPm )) = vol (CPm ).
�

Referências Bibliográﬁcas
[1] Ballmann, W. Lectures on Kähler Manifolds. ESI Lectures on Mathematics and
Physics, European Mathematical Society, Zurich, 2006.
[2] Bishop, R. e Crittenden, R. Geometry of Manifolds. Academic Press, New York and
London, 1964.
[3] Cheng, S. Y. Eigenvalue Comparison Theorems and its Geometric Aplications. Math.
Z. 143 (1975), 289-297.
[4] Chavel, I. Eigenvalues in Riemannian Geometry. Academic Press, New York, 1985.
[5] Do Carmo, M. Formas Diferenciais e Aplicações. Monograﬁas de Matemática no 37,
IMPA, Rio de Janeiro, 1971.
[6] Do Carmo, M. Geometria Riemanniana. 4a edição. Projeto Euclides, IMPA, Rio de
Janeiro, 2008.
[7] Fritzsche, K. e Grauert, H. From Holomorphic Functions to Complex Manifolds.
Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 2002.
[8] Kong, S., Li, P. e Zhou, D. Spectrum of the Laplacian on Quaternionic Kähler
Manifolds. Journal of Diﬀerential Geometry 78 (2008), 295-332.
[9] Kobayashi, S. e Nomizu, K. Foundations of Diﬀerential Geometry II. Interscience
Publishers, New York, 1996.
[10] Lee, J. Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature. Springer-Verlag, New
York, 1997.
[11] Li, P. Lecture Notes on Geometric Analysis. University of California, Irvine, USA,
2009.
[12] Li, P. e Wang, J. Comparison Theorem for Kähler Manifolds and Positivity of Spectrum. Journal of Diﬀerential Geometry 69 (2005), 43-74.
[13] Li, P. e Wang, J. Complete Manifolds with Positive Spectrum. Journal of Diﬀerential
Geometry 58 (2001), 501-534.
[14] Moroianu, A. Lectures on Kähler Geometry. Cambridge University Press, École Polytechnique, Paris, 2004.
83

84
[15] Newlander, A. e Nirenberg, L. Complex Analytic Coordinates in almost Complex
Manifolds. Ann. of Math. 65 (1957), 391-404.
[16] Schoen R. e Yau, S. -T. Lectures on Diﬀerential Geometry. Volume I, International
Press, Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and Topology, 1994.

Índice Remissivo
canônica, 22

2-forma fundamental, 29
Aplicação
exponencial, 12
Atlas complexo, 21
Autofunção, 78
Autovalor, 78
Base unitária, 30
Bola geodésica, 75
Campo de Jacobi, 72
Campo de vetores complexos, 27
Carta coordenada holomorfa, 21
Complexiﬁcação
da métrica, 29
Curvatura bisseccional holomorfa, 45
constante, 46
limitada, 46
Cut locus, 13
Divergência, 54
Equações
de Cauchy-Riemann, 19
Esfera geodésica, 75
Espaço
anti-de Sitter, 51
de curvatura bisseccional holomorfa
constante, 46
hiperbólico complexo, 52
projetivo complexo, 48
tangente complexiﬁcado, 25
Espectro, 79
Estrutura
complexa, 17, 21
complexa canônica, 18
integrável, 24
quase-complexa, 21

Fibração de Hopf, 50
Forma
fechada, 34
Kähler, 36
Função
de classe C 1 , 18
diferenciável, 18
holomorfa, 18, 23
Gradiente, 53
Homogeneidade de geodésica, 13
Laplaciano, 55
Métrica
de Fubini-Study, 50
Hermitiana, 28
Kähler, 36
Plano holomorfo, 45
Ponto mı́nimo, 13
Primeiro autovalor, 79
Sistema de coordenada
normal holomorfa, 37
Sistema de coordenadas
complexas, 21
Tensor
curvatura, 37
Riemanniana, 37
de Nijenhius, 24
de Ricci, 37
Torção, 24
Variedade
completa, 13
85

86
complexa, 20
Hermitiana, 28
Kähler, 33
quase-complexa, 21
quase-Hermitiana, 28
Vizinhança normal, 75