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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática

Prova de Seleção de Mestrado
Com soluções
Data: 14 de Julho de 2017
Inı́cio: 8h
Término: 11h
Banca Examinadora
Prof. Tiarlos Cruz
Prof. Marcos Ranieri
Prof. Feliciano Vitório

Escolha 4 das questões abaixo.
1- Seja X ⊂ R um conjunto discreto, isto é, todos os seus pontos são isolados.
a) Mostre que X é enumerável;
b) Mostre que se X é compacto, então X é finito;
c) Dê um exemplo de um conjunto discreto que não é fechado.
Solução:
(a) Como os pontos de X são todos isolados, para cada x ∈ X existe δx > 0 tal
que Bδx (x) ∩ X = {x}. Desde que Q é denso em R, então B δx (x) ∩ Q 6= ∅.
2
Fixemos para cada x ∈ X algum qx ∈ B δx (x) ∩ Q e definamos a função
2
φ : X → Q por φ(x) = qx . Essa função é injetora, logo X é enumerável.
(b) Para cada x ∈ X tome uma bola Bx contendo x tal que Bx ∩ X = {x}.
Essas bolas Bx 0 s são uma cobertura aberta para X, desde que X é compacto,
X ⊂ B1 ∪ . . . ∪ Bk , ou seja, X é finito.
(c) Basta considerar X = { n1 | n ∈ N} ⊂ R.
2- Sejam (an ) e (bn ) sequências definidas por:


1 n
an = 1 +
n


1 n+1
bn = 1 +
n
para todo n ∈ N. Mostre que
a) an < bn , para todo n ∈ N;
b) A sequência (an ) é crescente;
c) A sequência (bn ) é decrescente.
Conclua que as sequências (an ) e (bn ) são convergentes e têm o mesmo limite.
Sugestão para b) Use a desigualdade aritmétrica-geométrica usando a1 = 1,
a2 = · · · = an+1 = 1 + n1 .
Solução:
a) Note que
 as sequências (an ) e (bn1)são formadas por números positivos e que
1
1 + n > 1, assim bn = an 1 + n > an .
1

2

b) Da desigualdade aritmétrica-geométrica usando a1 = 1, a2 = · · · = an+1 =
1 + n1 , temos
q

n+1
n+2
1 n
≥
1
+
⇔
n+1
n


1
1 + n+1

n+1

≥

1 + n1

n

i.e.

an+1 ≥ an .
c) Da desigualdade geométrica-harmônica usando a1 = 1, a2 = · · · = an+1 =
1
1 + n−1
, temos
r
n
n+1
1
n+1
1
+
≤
⇔
n
n−1
1 + n1

n+1

≤



1
1 + n−1

n

i.e.

bn ≤ bn−1 .
Para concluir, temos pelos itens acima que, para todo n ∈ N,
a1 ≤ an < bn ≤ b1 .
Em particular, (an ) é uma sequência crescente limitada superiormente e (bn ) é
uma sequência decrescente limitada inferiormente, consequentemente ambas são
convergentes. Mais ainda passando o limite em


1
,
bn = an 1 +
n
obtemos que as sequências têm o mesmo limite.
3- Seja f : [0, 1] → [0, 1] uma função contı́nua.
a) Prove que f tem um ponto fixo, isto é, existe um ponto c ∈ [0, 1] tal que
f (c) = c;
b) Suponha f derivável com f 0 (x) 6= 1 para todo x ∈ [0, 1]. Mostre que existe
exatamente um ponto c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c;
c) Dê exemplo de uma função contı́nua g : [0, 1) → [0, 1) que não tem pontos
fixos.
Solução:
a) Defina a função F : [0, 1] → [0, 1] dada por F (x) = x − f (x), a qual também
é contı́nua. Como F (0) ≥ 0 e F (1) ≤ 0. Pelo teorema do valor intermediário,
deve existir c ∈ [0, 1] tal que F (c) = 0. Donde f (c) = c
b) Suponha exista c̃ 6= c, digamos c̃ < c, tal que f (c̃) = c̃. Pelo Teorema do valor
médio, existe a ∈ (c̃, c) tal que
f 0 (a) =

f (c) − f (c̃)
= 1.
(c − c̃)

Donde chegamos a uma contradição.
c) Entre os inúmeros exemplos, tome a função g : [0, 1) → [0, 1) dada por g(x) =
1 para cada x ∈ [0, 1). Tal função não tem pontos fixos.

3

4- Mostre que a equação
3x + 4x = 5x
tem uma única solução.
Sugestão Use o teorema de Rolle.
x
x
Solução: Considere a função suave f : R → R, dada por f (x) = 53 + 45 − 1.
É claro que os zeros de f coincidem com as soluções da equação 3x + 4x = 5x e
que x = 2 é uma solução para essa equação. Veja que f 0 (x) < 0, para todo x ∈ R,
pois
 x
 x
3
4
0
f (x) = log(3/5)
+ log(4/5)
5
5
Suponha, por absurdo, que f possui outro zero a 6= 2, suponha sem perda de
generalidade que a > 2, o Teorema de Rolle garante que existe um ξ ∈ (2, a) tal
que f 0 (ξ) = 0, o que é impossı́vel.
5- Seja f : I → R definida num intervalo I. Se existe α > 1 tal que |f (x) − f (y)| ≤
|x − y|α para quaisquer x, y ∈ I então f é contı́nua e possui derivada nula em todos
os pontos de I. Consequentemente, f é constante.
(a)|
≤ c|x − a|α−1 . Desde que α − 1 > 0
Solução: Tome a ∈ I Note que | f (x)−f
|x−a|
temos f 0 (a) = 0 para todo a ∈ I. Logo f é constante.
6- Seja f : [a, b] → R uma função integrável tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b].
Rb
a) Mostre que a f (x)dx ≥ 0.
Rb
b) Mostre com um exemplo que podemos ter a f (x)dx = 0 e f 6= 0.
c) Mostre que se f é contı́nua então f é identicamente nula.
Solução:
a) Sejam s(f, P ) e S(f, P ) a soma inferior e soma superior relativa a uma partição
P. Como f (x) ≥ 0 para x ∈ [a, b], então s(f, P ) ≥ 0 e S(f, P ) ≥ 0. Logo
Rb
a f (x)dx ≥ 0.
R 2π
b) Considere a função cos x : [0, 2π] → R. Ela é tal que 0 cos xdx = 0.
c) Sendo f continua e não negativa, então existiria uma vizinhança suficientemente pequena [a0 , b0 ] ⊂ [a, b] tal que f (x) > 0. No entanto terı́amos
R b0
Rb
a f (x)dx ≥ a0 f (x)dx > 0.