Dissertação
dissertacao.natalia.final.pdf
Documento PDF (3.3MB)
Documento PDF (3.3MB)
Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação em Matemática
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Rio São Francisco
Hipersuperfícies com Curvatura Média
Constante e Hiperplanos
MATEMÁTICA
A ciência
do infinito
Natália Rocha Pinheiro
Maceió
Janeiro de 2010
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado
Hipersuperfı́cies com Curvatura Média
Constante e Hiperplanos
Natália Rocha Pinheiro
Maceió, Brasil
28 de Janeiro de 2010
NATÁLIA ROCHA PINHEIRO
Hipersuperfı́cies com Curvatura Média
Constante e Hiperplanos
Dissertação de Mestrado na área de
concentração de Geometria Diferencial submetida em 28 de Janeiro de 2010 à Banca
Examinadora, designada pelo Colegiado do
Programa de Pós-Graduação em Matemática
da Universidade Federal de Alagoas, como
parte dos requisitos necessários à obtenção
do grau de mestre em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Hilário Alencar da Silva.
Maceió
2010
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Lucia Lima do Nascimento
P654i
Pinheiro, Natália Rocha.
Hipersuperfícies com curvatura média constante e hiperplanos. /Natália Rocha
Pinheiro, 2010.
61 f. : il. grafs. e tabs.
Orientador: Hilário Alencar da Silva.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de
Alagoas. Instituto de Matemática, 2010.
Bibliografia: f. 56-57.
Índice: f. 61.
1. Geometria diferencial. 2. Laplaciano. 3. Função suporte. 4. Curvatura média.
5. Hiperplanos. I. Título.
CDU: 514.7
Hipersuperficies com Curvatura Media
Constante e Hiperplanos
Natalia Rocha Pinheiro
Dissertacao de Mestrado na area de
concentracao de Geometria Diferencial sub
metida em 28 de Janeiro de 2010 a Banca
Examinadora, designada pelo Colegiado do
Programa de Pos-Graduacao em Matematica
da Universidade Federal de Alagoas, como
parte dos requisitos necessaries a obtencao
do grau de mestre em Maternatica,
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Abdenago Alves de Barros
Prof. Dr. Hilario Ale car da Silva (Orientador)
Aos meus pais Robério e Tuca
e a minha irmã Talita.
Agradecimentos
Ao professor Hilário Alencar pela orientação no mestrado, por estar sempre
disposto a me ajudar, pela amizade, confiança, por acreditar e contribuir no
meu crescimento profissional e pessoal e por ser um exemplo de profissional
honesto e competente.
Ao professor Manfredo do Carmo pela grande contribuição à Geometria
Diferencial.
Aos meus pais Robério Pinheiro e Tuca Rocha por me apoiarem em todas
as minhas decisões, pela força em todos os momentos da minha vida, pelo
carinho e por serem exemplo do que é famı́lia. A minha irmã e grande amiga
Talita Pinheiro pelo companheirismo e pelas boas conversas.
Aos professores Adán Corcho, Amauri Barros e Francisco Barros que sempre tinham uma palavra de estı́mulo e por contribuirem na minha formação
acadêmica.
A estudante de mestrado da UFAL Adina Rocha dos Santos pela ajuda
dada neste trabalho.
Aos professores Jorge Costa da Universidade Estadual do Sudoeste da
Bahia (UESB) e Valdenberg Araujo da Universidade Federal de Sergipe
(UFS) pelo incentivo ao meu ingresso no mestrado em matemática da UFAL.
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientı́fico (CNPq) pela concessão da bolsa.
1
Resumo
Nesta dissertação, apresentamos resultados sobre hipersuperfı́cies cujas
geodésicas tangentes omitem um conjunto não-vazio. Tais resultados foram
obtidos por Hilário Alencar e Kátia Frensel e publicados no livro Differential
Geometry - A Symposium in Honour of Manfredo do Carmo em 1991.
Consideramos M uma variedade diferenciável de dimensão n e Q o espaço
(n + 1)-dimensional simplesmente conexo, completo com curvatura seccional
constante igual a c. Além disso, seja x uma imersão isométrica de M em Q.
Inicialmente, estendemos para as variedades Q, c arbitrário, as noções de
vetor posição e função suporte conhecidas no espaço Euclidiano de dimensão
n + 1 e fazemos uma interpretação geométrica desta função suporte nos casos
em que c = 0, c > 0 e c < 0, ou seja, no espaço Euclidiano, Esférico e
Hiperbólico.
Denotemos por W o conjunto dos pontos em Q que não passam nenhuma
hipersuperfı́cie totalmente geodésica tangente a imagem de M por x. Usando
a função suporte de x, caracterizamos as imersões para as quais o conjunto
W é não-vazio. Analisamos separadamente as hipersuperfı́cies completas
não-compactas com curvatura média constante bem como as hipersuperfı́cies
compactas com curvatura média constante.
Palavras Chave: Laplaciano; Função Suporte; Curvatura Média; Estabilidade; Imersão Isométrica; Hiperplanos; Esfera Geodésica.
2
Abstract
In this work, we present results concerning hypersurfaces whose tangent
geodesic does not intercept a nonempty special set. These results were obtained by Hilário Alencar and Kátia Frensel in a work which was published
in the book Differential Geometry - A Symposium in Honour of Manfredo do
Carmo in 1991.
Let us consider an isometric immersion x from M to Q where M denotes
a differentiable manifold of dimension n as well as Q stands for the (n +
1)-dimensional, space form of constant sectional curvature c.
Initially, we extend for Q, c arbitrary, the notions of position vector
and support function known in (n + 1)-dimensional Euclidean space and
we present a geometric interpretation of such a support function in the Euclidean, Spherical and Hyperbolic space.
We denote by W the set of points of Q for which does not cross any
totally geodesic hypersurface tangent to the image of M by x. By using the
support function of x, we characterize the immersions for which the set W is
nonempty. We analyze separately the complete noncompact case as well as
the compact case among hypersurfaces with constant mean curvature.
Keywords: Laplacian; Support Function; Mean Curvature; Stability; Isometric Immersion; Hyperplanes; Geodesic Sphere.
3
Sumário
1 Preliminares
8
1.1 Noções de Geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 A Função Suporte em Espaços de Curvatura Constante
2.1 A Função Suporte em Rn+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 A Função Suporte em Sn+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 A Função Suporte em Hn+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 O Laplaciano da Função Suporte . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 A Fórmula de Minkowski da Função Suporte . . . . . . . . . .
23
24
25
27
32
42
3 Hipersuperfı́cies cujas Geodésicas Tangentes omitem um Conjunto Não-Vazio
45
3.1 Hipersuperfı́cies Completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Hipersuperfı́cies Compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Referências Bibliográficas
55
4
Introdução
Nesta dissertação, apresentaremos resultados sobre hipersuperfı́cies cujas
geodésicas tangentes omitem um conjunto não-vazio, os quais foram obtidos por Hilário Alencar e Kátia Frensel e publicados no livro Differential
Geometry - A Symposium in Honour of Manfredo do Carmo em 1991.
Consideremos Qn+1
uma variedade Riemanniana completa, simplesmente
c
conexa com curvatura seccional constante igual a c, M n uma variedade diferenciável e x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica. Para todo ponto
c
p ∈ M n , seja (Qnc )p a hipersuperfı́cie totalmente geodésica de Qn+1
tangente
c
n
a x(M ) em x(p).
Denotemos por
[
(Qnc )p
W = Qn+1
−
c
p∈M
o conjunto dos pontos omitidos pelas hipersuperfı́cies totalmente geodésicas
tangentes a x(M n ).
Caracterizaremos as hipersuperfı́cies com curvatura média constante completas não-compactas e hipersuperfı́cies com curvatura média constante comcom condições sobre W . Em todo o trabalho, as variedades
pactas em Qn+1
c
diferenciáveis M n são conexas e quando nos referirmos às variedades compactas, estamos supondo que são compactas sem bordo.
Inicialmente, apresentaremos resultados para hipersuperfı́cies mı́nimas
completas não-compactas de Qn+1
.
c
O primeiro resultado nesta direção foi provado por Hasanis e Koutroufiotis, a saber:
Teorema 0.1. (Hasanis e Koutroufiotis, ver [10]) Se uma imersão isométrica
x : M 2 → Q3c , c ≥ 0, é mı́nima com W não-vazio, então x é totalmente
geodésica.
A demonstração deste teorema usa fortemente a hipótese que M tem
dimensão 2.
O teorema acima não é válido para dimensões maiores. Hilário Alencar,
em sua tese de doutorado, ver [1], deu exemplos de hipersuperfı́cies mı́nimas
não totalmente geodésicas em R2n , n ≥ 4, cujo W contém um ponto.
5
Hilário Alencar e Kátia Frensel, ver [3], p. 6, estenderam o Teorema 0.1
assumindo a hipótese adicional que o conjunto W é aberto.
Teorema 0.2. (Alencar e Frensel, ver [3], p. 6) Sejam M n uma variedade
Riemanniana completa e x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica mı́nima.
c
Se o conjunto W é aberto e não-vazio, então x é totalmente geodésica.
Quando o conjunto W é somente não-vazio, Alencar e Frensel obtiveram
o seguinte resultado para os casos em que c ≤ 0.
Proposição 0.1. (Alencar e Frensel, ver [3], p. 8) Sejam M n uma variedade
, c ≤ 0, uma imersão isométrica
Riemanniana completa e x : M n → Qn+1
c
mı́nima. Se W é não-vazio, então x é estável.
Este resultado não é válido para o caso em que c > 0. As hipersuperfı́cies
totalmente geodésicas de Sn+1 são exemplos de hipersuperfı́cies mı́nimas nãoestáveis com W não-vazio.
A recı́proca da Proposição 0.1 é falsa. Em [9], p. 57, J. Gomes apresentou
, c < 0, tais que o
exemplos de hipersuperfı́cies mı́nimas estáveis em Qn+1
c
conjunto W é vazio.
No caso em que as hipersuperfı́cies são compactas em Qn+1
, também
c
apresentaremos alguns resultados. Neste caso, caracterizaremos as hipersuperfı́cies com curvatura média constante.
Um dos primeiros resultados nesta direção foi obtido por Pogorelov no
caso em que H = 0.
Teorema 0.3. (Pogorelov, ver [13]) Sejam M n uma variedade Riemanniana
compacta, orientável e x : M n → Sn+1 uma imersão isométrica mı́nima. Se
W é não-vazio, então x é totalmente geodésica.
Se restringirmos x : M n → Qn+1
às imersões isométricas com curvatura
c
média constante não-nula, obtemos o seguinte resultado:
Teorema 0.4. (Alencar e Frensel, ver [3], p. 11) Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta, orientável e x : M n → Qn+1
uma imersão
c
isométrica com curvatura média constante diferente de zero. Então W é nãovazio se, e somente se, x é umbı́lica, isto é, x(M n ) é uma esfera geodésica
em Qn+1
.
c
Em [5], Barbosa, do Carmo e Eschenburg provaram o seguinte teorema:
Teorema 0.5. Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta, orientável
e x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica com curvatura média constante
c
não-nula. Então x é estável se, e somente se, x é umbı́lica.
6
Como conseqüência deste resultado, Alencar e Frensel obtiveram o seguinte
corolário do Teorema 0.4.
Corolário 0.1. Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta, orientável
uma imersão isométrica com curvatura média constante
e x : M n → Qn+1
c
não-nula. Então W é não-vazio se, e somente se, x é estável.
Este trabalho está dividido em 3 capı́tulos. No capı́tulo 1, apresentaremos
definições e resultados da Geometria Riemanniana e de Estabilidade que
serão necessários para a compreensão dos próximos capı́tulos. No capı́tulo
2, estenderemos para as variedade Qn+1
, c arbitrário, as noções de vetor
c
posição e função suporte conhecidas em Rn+1 , c = 0. Também neste capı́tulo,
daremos separadamente uma interpretação geométrica da função suporte nos
casos em que c = 0, c > 0 e c < 0. No capı́tulo 3, mostraremos que a função
satisfaz uma equação
suporte de uma imersão isométrica x : M n → Qn+1
c
diferencial e demonstraremos o Teorema 0.2, a Proposição 0.1, o Teorema
0.3 e o Teorema 0.4 enunciados anteriormente.
Recentemente, Hilário Alencar e Márcio Batista, ver [2], generalizaram o
Teorema 0.2 e a Proposição 0.1 para hipersuperfı́cies r-mı́nimas em Qn+1
.
c
7
Capı́tulo 1
Preliminares
Iniciaremos a seção 1.1 apresentando os conceitos básicos da Geometria
Riemanniana tais como variedades diferenciáveis (imersões e campos de vetores), métricas Riemannianas, conexões Riemannianas, geodésicas e curvatura. Em seguida, introduziremos a segunda forma fundamental associada
a uma imersão isométrica. As demonstrações dos resultados podem ser encontradas em [6].
Na seção 1.2 definiremos estabilidade para imersões com curvatura média
constante e imersões mı́nimas.
1.1
Noções de Geometria Riemanniana
Denotaremos por M n uma variedade diferenciável de dimensão n e, para
cada p ∈ M , indicaremos por Tp M o espaço tangente a M em p e T M
seu fibrado tangente, isto é, a união de todos os espaços tangentes a M .
Variedade diferenciável significará de classe C ∞ .
Indicaremos por X (M ) o conjunto dos campos de vetores de classe C ∞
em M , por D(M ) o anel das funções reais de classe C ∞ definidas em M e
por F(M ) o conjunto das funções em M .
Definição 1.1.1. Sejam M n e N k variedades diferenciáveis. Uma aplicação
diferenciável f : M → N é uma imersão, se dfp : Tp M → Tf (p) N é injetiva
para todo p ∈ M .
Observação 1.1.1. Seja x : M n → N n+1 uma imersão. O conjunto x(M ) ⊂
N é denominado uma hipersuperfı́cie de N n+1 .
Um campo de vetores v : M → T M em uma variedade diferenciável M é
uma correspondência que a cada ponto p ∈ M associa um vetor v(p) ∈ Tp M .
8
Considerando uma parametrização y : U ⊂ Rn → M de um aberto
∂
U ⊂ Rn e um campo de vetores
: y(U ) → T U , podemos escrever, para
∂yi
cada p ∈ y(U ),
n
X
∂
v(p) =
ai (y −1 (p))
(p),
∂yi
i=1
∂
onde cada ai : U → R é uma função em U e
(p) , i = 1, . . . , n, é a base
∂yi
de vetores tangentes a M em p associada a y.
Figura 1.1: Campo de vetores
Escrevendo f ao invés de f ◦ y, podemos também pensar em um campo
de vetores como uma aplicação v : D(M ) → F(M ) definida da forma
(vf ) (p) =
n
X
ai (y −1 (p))
i=1
∂
f (p).
∂yi
Definição 1.1.2. Uma métrica Riemanniana em M é uma correspondência
que associa a cada p ∈ M um produto interno h , ip em Tp M , que varia
diferenciavelmente no seguinte sentido:
Se y : U ⊂ Rn → M é um sistema de coordenadas locais em torno de p,
∂
com y(x1 , . . . , xn ) = p ∈ y(U ) e
(p) = dy(0, . . . , 1, . . . , 0), então
∂yi
∂
∂
(p),
(p) = gij (x1 , . . . , xn )
∂yi
∂yj
p
é uma função diferenciável em U .
9
Outra maneira de exprimir a diferenciabilidade da métrica Riemanniana
é dizer que, para todo par X e Y de campos de vetores diferenciáveis em
uma vizinhança V de M , a função hX, Y i é diferenciável em V .
As funções gij são chamadas expressão da métrica Riemanniana no sistema de coordenadas y : U ⊂ Rn → M . Uma variedade diferenciável com
uma dada métrica Riemanniana chama-se uma variedade Riemanniana.
Exemplo 1.1.1 (Variedades Imersas). Seja x : M n → N n+m uma imersão.
Se N tem uma estrutura Riemanniana, x induz uma estrutura Riemanniana
em M por hu, vip = hdxp (u), dxp (v)ix(p) , u, v ∈ Tp M . Como dxp é injetiva,
h , ip é positivo definido. As demais condições da definição de métrica Riemanniana são facilmente verificadas. A métrica de M é chamada métrica
induzida por x. Neste caso, dizemos que x é uma imersão isométrica.
Agora definiremos conexão afim.
Definição 1.1.3. Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M
é uma aplicação
∇ : X (M ) × X (M ) → X (M )
(X, Y )
7 → ∇X Y
−
que satisfaz às seguintes propriedades:
(i) ∇f X+gY Z = f ∇X Z + g∇Y Z,
(ii) ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z,
(iii) ∇X (f Y ) = f ∇X Y + X(f )Y,
(iv) ∇X Y − ∇Y X = [X, Y ] (conexão simétrica),
onde X, Y, Z ∈ X (M ), f, g ∈ D(M ) e [X, Y ] é o colchete dos campos X e
Y , ou seja, é o campo de vetores dado por [X, Y ] = XY − Y X.
Proposição 1.1.1. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão
afim ∇. Então existe uma única correspondência que associa a um campo
de vetores V ao longo da curva diferenciável c : I → M um outro campo de
ao longo de c, denominado derivada covariante de V ao longo de
vetores DV
dt
c, tal que:
(i)
D
DV
DW
(V + W ) =
+
;
dt
dt
dt
10
(ii)
D
df
DV
(f V ) = V + f
, onde V é um campo de vetores ao longo de c
dt
dt
dt
e f é uma função diferenciável em I;
(iii) se V é induzido por um campo de vetores Y ∈ X (M ), isto é, V (t) =
DV
Y (c(t)), então
= ∇ dc Y .
dt
dt
Definição 1.1.4. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão
afim ∇ e uma métrica Riemanniana h , i. A conexão é dita compatı́vel
com a métrica h , i quando, para toda curva diferenciável c : I → M e
quaisquer pares de campos de vetores paralelos P e P 0 ao longo de c (isto é,
0
DP
= DP
= 0, ∀t ∈ I), tivermos hP, P 0 i igual a uma constante.
dt
dt
Proposição 1.1.2. Uma conexão ∇ em uma variedade Riemanniana M é
compatı́vel com a métrica se, e só se,
X hY, Zi = h∇X Y, Zi + hX, ∇X Zi , X, Y, Z ∈ X (M ).
Teorema 1.1.1. (Levi-Civita) Dada uma variedade Riemanniana M , existe
uma única conexão afim ∇ em M tal que:
(i) ∇ é simétrica;
(ii) ∇ é compatı́vel com a métrica Riemanniana.
Observação 1.1.2. A conexão dada pelo teorema acima é denominada conexão de Levi-Civita (ou Riemanniana) de M .
No que se segue, M será uma variedade Riemanniana munida de sua
conexão Riemanniana.
Definição 1.1.5.
Uma curva parametrizada γ : I → M é uma geodésica em
D dγ
t0 ∈ I, se
= 0 no ponto t0 . Se γ é uma geodésica em t, para todo
dt dt
t ∈ I, dizemos que γ é uma geodésica.
Proposição 1.1.3. Dado p ∈ M , existem uma vizinhança V de p em M ,
um número ε > 0 e uma aplicação C ∞
γ : (−2, 2) × U → M,
U = {(q, w) ∈ T M ; q ∈ V, w ∈ Tq M, |w| < ε}, tal que t → γ(t, q, w), t ∈
(−2, 2), é a única geodésica de M que no instante t = 0 passa por q com
velocidade w, para cada q ∈ V e cada w ∈ Tq M , com |w| < ε.
11
Esta proposição nos permite introduzir o conceito de aplicação exponencial da seguinte maneira:
Sejam p ∈ M e U ⊂ T M um aberto dado pela proposição acima. Então
a aplicação exp : U → M dada por
u
exp(q, u) = γ(1, q, u) = γ |u|, q,
, (q, u) ∈ U,
|u|
é chamada a aplicação exponencial em U.
Geometricamente, expq (u) é o ponto de M obtido percorrendo um comprimento igual a |u|, a partir de q, sobre a geodésica que passa por q com
u
.
velocidade igual a
|u|
Figura 1.2: Aplicação exponencial
Definição 1.1.6. Uma variedade Riemanniana M é (geodesicamente) completa se para todo p ∈ M , a aplicação exponencial, expp , está definida para
todo v ∈ Tp M , isto é, se as geodésicas γ(t) que partem de p estão definidas
para todos os valores do parâmetro t ∈ R.
Definição 1.1.7. Um segmento de geodésica γ : [a, b] → M é chamado
minimizante se l(γ) ≤ l(c), onde l(·) indica o comprimento de uma curva e
c é qualquer curva diferenciável por partes ligando γ(a) a γ(b).
Definição 1.1.8. (Referencial Geodésico) Sejam M uma variedade Riemanniana de dimensão n e p ∈ M . Considere uma vizinhança U ⊂ M de p e n
campos de vetores e1 , . . . , en ∈ X (U ), ortonormais em cada ponto de U tal
que, em p, ∇ei ej (p) = 0. Um tal conjunto {ei }, i = 1, . . . , n, de campos de
vetores é chamado um referencial (local) geodésico em p.
12
Seja M uma variedade. Sejam X ∈ X (M ) e f ∈ D(M ). Definimos a
divergência de X como a função
divX : M → R
p 7−→ divX(p) = tr(Y (p) → ∇Y X(p)), p ∈ M,
onde tr(Y (p) → ∇Y X(p)) é o traço da aplicação linear Y (p) → ∇Y X(p),
p ∈ M.
O gradiente de f é o campo vetorial gradf em M definido por
hgradf (p), vi = dfp (v), p ∈ M, v ∈ Tp M.
Afirmação 1.1. Consideremos {ei }, i = 1, . . . , n, um referencial geodésico
em p ∈ M . Temos que
gradf (p) =
n
X
ei (f )ei (p)
i=1
e
div X(p) =
n
X
ei (fi )(p), onde X =
i=1
n
X
fi ei .
i=1
Demonstração. De fato, como {e1 (p), . . . , en (p)} é uma base de Tp M , seguese que
n
X
gradf (p) =
ai (p)ei (p).
i=1
Daı́, ai (p) = hgradf (p), ei (p)i. Mas, por definição,
hgradf (p), ei (p)i = dfp (ei (p)) = ei (p)(f ).
Logo,
gradf (p) =
n
X
ei (f )ei (p).
i=1
Agora, se TX : Tp M → Tp M é dado por TX (Y (p)) = ∇Y X(p), então
TX (ei (p)) = ∇ei X(p)
13
n
X
= ∇ei
!
fj e j
(p)
j=1
=
n
X
(ei (p)(fj )ej + fj ∇ei ej (p))
j=1
=
n
X
ei (p)(fj )ej .
j=1
Assim,
divX(p) = tr (TX ) =
n
X
ei (p)fi =
n
X
i=1
ei (fi )(p).
i=1
Seja M uma variedade Riemanniana. O operador ∆ : D(M ) → D(M ),
dado por
∆f = div (gradf ) , f ∈ D(M ),
é denominado operador Laplaciano de M .
Afirmação 1.2. Considerando um referencial geodésico {ei }, i = 1, . . . , n,
em p ∈ M , temos que
∆f (p) =
n
X
ei (ei (f ))(p).
i=1
Demonstração. Com efeito,
∆f = div (gradf )
n
X
= div
!
ei (f )ei
i=1
=
n
X
*
j=1
=
n
X
∇ej
n
X
!
ei (f )ei
+
, ej
i=1
∇ej (ei (f )ei ) , ej
i,j=1
=
n
X
ej (ei (f ))ei + ei (f )∇ej ei , ej .
i,j=1
14
Em p, usando o fato que {ei } é um referencial geodésico, temos
∆f (p) =
n
X
hej (ei (f ))ei , ej i (p) =
i,j=1
n
X
ei (ei (f ))(p).
i=1
Definição 1.1.9. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma
correspondência que associa a cada par X, Y ∈ X (M ) uma aplicação
R(X, Y ) : X (M ) → X (M )
dada por
R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z, Z ∈ X (M ),
onde ∇ é a conexão Riemanniana de M .
Outra maneira de olhar a Definição 1.1.9 é considerar
um sistema de
∂
∂
coordenadas {xi } em torno de p ∈ M . Como
,
= 0, obtemos
∂xi ∂xj
∂
∂
∂
∂
,
= ∇ ∂ ∇ ∂ −∇ ∂ ∇ ∂
,
R
∂xj
∂xi
∂xi
∂xj
∂xi ∂xj ∂xk
∂xk
isto é, a curvatura mede a não-comutatividade da derivada covariante.
Intimamente relacionado com o operador curvatura está a curvatura seccional (ou Riemanniana), que passamos a definir.
Seja σ ⊂ Tp M um subespaço bidimensional do espaço tangente Tp M e
sejam x, y ∈ σ dois vetores linearmente independentes.
Definição 1.1.10. Dado p ∈ M , seja {x, y} uma base qualquer de σ. O
número real
hR(x, y)x, yi
K(p, σ) = K(x, y) =
|x|2 |y|2 − hx, yi2
é chamado curvatura seccional de σ em p.
Corolário 1.1.1. Sejam M uma variedade Riemanniana de dimensão n,
p um ponto de M e {e1 , . . . , en } uma base ortonormal de Tp M . Escreva
Rijkl = hR(ei , ej )ek , el i, i, j, k, l = 1, . . . , n. Então K(p, σ) = K0 = constante
para todo σ ⊂ Tp M se, e somente se,
Rijkl = K0 (δik δjl − δil δjk ),
15
onde
δij =
1
0
, se i = j,
, se i 6= j.
Em outras palavras, K(p, σ) = K0 para todo σ ⊂ Tp M se, e só se, Rijij =
−Rijji = K0 para todo i 6= j, e Rijkl = 0 nos outros casos.
Algumas combinações das curvaturas seccionais aparecem com tanta freqüência que elas merecem nomes.
Sejam p ∈ M e x = zn um vetor unitário em Tp M . Tomemos uma base
ortonormal {z1 , . . . , zn−1 } do hiperplano de Tp M ortogonal a x e consideremos
as seguintes médias:
n−1
n−1
1 X
1 X
hR(x, zi )x, zi i =
K(x, zi )
Ricp (x) =
n − 1 i=1
n − 1 i=1
e
K(p) =
n
n
X
1X
1
Ricp (zj ) =
hR(zi , zj )zi , zj i .
n j=1
n(n − 1) i,j=1
Ricp (x) é chamada a curvatura de Ricci no ponto p na direção x e K(p)
é a curvatura escalar (ou média) em p.
Exemplo 1.1.2. Seja M uma variedade Riemanniana conexa de dimensão
n com curvatura seccional constante igual a c. Então
n−1
n−1
1 X
1 X
K(x, zi ) =
c = c.
Ricp (x) =
n − 1 i=1
n − 1 i=1
Consideremos uma imersão isométrica x : M n → N n+m=k de uma variedade diferenciável M de dimensão n em uma variedade Riemanniana N de
dimensão igual a k = n + m. Queremos definir a segunda forma fundamental
da imersão x. Para isto, introduziremos a seguinte definição:
Seja ∇ a conexão Riemanniana de N . Se X e Y são campos locais de
vetores em M e X, Y são extensões locais de X e Y , respectivamente, a N ,
definimos
T
∇X Y = ∇X Y ,
onde o expoente T indica a componente tangente do vetor ∇X Y .
No que se segue, indicaremos por X (U )⊥ os campos diferenciáveis em U
de vetores normais a f (U ) ≈ U .
16
Definição 1.1.11. A aplicação B : X (U ) × X (U ) → X (U )⊥ definida por
B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y = ∇X Y
⊥
é a segunda forma fundamental de x.
B é um campo local em N normal a M e não depende das extensões X,
Y . Com efeito, se X 1 é uma outra extensão de X, temos
∇X Y − ∇X Y − ∇X 1 Y − ∇X Y = ∇X−X 1 Y ,
que se anula em M , pois X − X 1 = 0 em M . Além disso, se Y 1 é uma outra
extensão de Y ,
∇X Y − ∇X Y − ∇X Y 1 − ∇X Y = ∇X Y − Y 1 = 0,
pois Y − Y 1 = 0 ao longo de uma trajetória de X.
Portanto B(X, Y ) está bem definida.
Proposição 1.1.4. A aplicação B é bilinear e simétrica.
Demonstração. Sejam X, Y, Z ∈ X (U ) e f, g ∈ D(U ) e indicaremos por
X, Y , Z, f , g as extensões de X, Y, Z, f, g, respectivamente, a U .
Inicialmente mostraremos que B é uma aplicação bilinear. De fato, usando as propriedades de linearidade das conexões ∇ e ∇ e como f = f ,
g = g e X (g) = X (g) em M , temos:
B(X + Z, Y ) = ∇X+Z Y − ∇X+Z Y
= ∇X Y − ∇ X Y + ∇Z Y − ∇ Z Y
= B(X, Y ) + B(Z, Y ),
B(X, Y + Z) = ∇X Y + Z − ∇X (Y + Z)
= ∇X Y − ∇ X Y + ∇X Z − ∇ X Z
= B(X, Y ) + B(X, Z),
B(f X, Y ) = ∇f X Y − ∇f X Y
= f ∇X Y − f ∇X Y
= f B(X, Y ),
17
B(X, gY ) = ∇X gY − ∇X (gY )
= g∇X Y − g∇X Y + X (g) Y − X (g) Y
= gB(X, Y ).
Portanto, B é uma aplicação bilinear.
Finalmente, como [X, Y ] = [X, Y ] em M , B é uma aplicação simétrica.
Com efeito,
B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y
= ∇X Y − [X, Y ] − ∇X Y + [X, Y ]
= ∇X Y − ∇X Y − ∇Y X − ∇X Y + (∇X Y − ∇Y X)
= ∇Y X − ∇ Y X
= B(Y, X).
Observação 1.1.3. Como B é uma aplicação bilinear, podemos associá-la
a uma aplicação linear auto-adjunta Sη : Tp M → Tp M dada por
hSη (X), Y iTp M = hB(X, Y ), ηiTx(p) N ,
onde η ∈ (T M )⊥ .
Podemos escrever esta aplicação linear associada à segunda forma fundamental em termos da derivada covariante da seguinte maneira:
T
Sη (X) = − ∇X η .
Aqui estamos identificando η com a extensão local de η normal a M .
De fato,
hSη (X), Y iTp M = hB(X, Y ), ηiTx(p) N
=
∇X Y − ∇X Y, η T
=
∇X Y , η T
x(p) N
x(p) N
= − Y , ∇X η T
x(p) N
−∇X η, Y T N
x(p)
E
D
T
= − ∇X η , Y
=
Tx(p) N
18
.
Logo,
D
E
T
Sη (X) − ∇X η , Y
=0
Tp M
e, portanto,
Sη (X) = − ∇X η
T
.
Agora consideremos o caso particular em que a codimensão da imersão é
1, isto é, x : M n → N n+1 . Definimos a curvatura média H de x por
H=
1
tr(Sη ),
n
onde tr(Sη ) é o traço da matriz da aplicação Sη . Além disso,
kBk2 = tr(Sη (Sη )t ),
onde (Sη )t representa a transposta de (Sη ), é uma norma para a segunda
forma fundamental de x.
Sejam p ∈ M e η o vetor normal unitário a x. Como Sη : Tp M → Tp M
é simétrica, existe uma base ortonormal de vetores próprios {e1 , . . . , en } de
Tp M com valores próprios reais k1 , . . . , kn , respectivamente, isto é, Sη (ei ) =
ki ei , 1 ≤ i ≤ n.
Vamos supor que M e N são ambas orientáveis e estão orientadas e seja
{e1 , . . . , en } uma base na orientação de M . Escolhemos η de modo que
{e1 , . . . , en , η} seja uma base na orientação de N . Neste caso, denominamos
os ei as direções principais e os ki as curvaturas principais de x.
Daı́, a matriz da aplicação na base {e1 , . . . , en } é dada por
k1 · · · 0
.. . .
..
. . .
Sη =
.
0 · · · kn
Logo, reescrevendo H e kBk2 em termos das curvaturas principais, obtemos
n
n
X
1X
1
2
t
2
ki e kBk = tr(Sη (Sη ) ) = tr (Sη ) =
ki2 .
H = tr(Sη ) =
n
n i=1
i=1
19
Definição 1.1.12. Uma imersão x : M n → N n+m=k é geodésica em p ∈ M ,
se para todo η ∈ (Tp M )⊥ a segunda forma fundamental B é identicamente
nula em p. A imersão x é totalmente geodésica, se ela é geodésica para todo
p ∈ M.
Proposição 1.1.5. Uma imersão x : M → N é geodésica em p ∈ M se, e
só se, toda geodésica γ de M partindo de p é geodésica de N em p.
Definição 1.1.13. Uma imersão x : M → N é mı́nima, se para todo p ∈ M
e todo η ∈ (Tp M )⊥ tem-se que tr(Sη ) = 0.
Definição 1.1.14. Seja N n+1 uma variedade com uma métrica Riemanniana
h , i e seja ∇ a sua conexão Riemanniana. Dizemos que uma imersão
x : M n → N n+1 é (totalmente) umbı́lica se, para todo p ∈ M , a segunda
forma fundamental B de x em p satisfaz
hB(X, Y ), ηi (p) = λ(p) hX, Y i , λ(p) ∈ R,
para todo X, Y ∈ X (M ) e todo campo unitário η normal a x(M ).
1.2
Estabilidade
Nesta seção, consideremos uma imersão x : M n → N n+1 de uma variedade diferenciável orientada e conexa em uma variedade Riemanniana orientada. Seja D ⊂ M um domı́nio relativamente compacto com bordo ∂D
suave e denotemos por D o fecho de D. Escolhemos a orientação de M
compatı́vel com a orientação de N .
Definição 1.2.1. Uma variação de x em D é uma função diferenciável
X : (−ε, ε) × D → N tal que, para cada t ∈ (−ε, ε),
Xt : D →
N
p −
7 → X(t, p)
é uma imersão com X0 = x.
Dizemos que uma variação Xt fixa o bordo ∂D, se
Xt |∂D = x|∂D ,
para todo t ∈ (−ε, ε).
20
Figura 1.3: Variação que fixa o bordo.
Nesta dissertação só trataremos das variações que fixam o bordo.
Definimos a função área A : (−ε, ε) → R por
Z
dMt ,
AD (t) =
D
onde dMt é o elemento volume de M na métrica induzida por Xt , e a função
volume V : (−ε, ε) → R por
Z
V (t) =
X ∗ dN.
[0,t]×D
Dado p ∈ D, seja W (p) =
∂X
|t=0 a variação do campo vetorial de X.
∂t
Uma variação é normal, se W é paralelo a η. Dizemos que uma variação
preserva volume se V (t) = V (0), para todo t ∈ (−ε, ε).
Figura 1.4: Variação normal.
21
Vamos definir estabilidade para imersões com curvatura média constante.
Definição 1.2.2. Sejam x : M n → N n+1 uma imersão com curvatura média
constante e D ⊂ M um domı́nio relativamente compacto com bordo ∂D
suave. A restrição x|D é estável, se A00 (0) ≥ 0 para toda variação que
preserva volume. Dizemos que x é estável se, para qualquer D, x|D é estável.
e
R Seja F o conjunto das funções diferenciáveis f : M → R com f |∂M = 0 e
f dM = 0. A seguinte proposição é um importante resultado para saber
M
se uma imersão é estável.
Proposição 1.2.1. Seja x : M n → N n+1 uma imersão com curvatura média
constante. A imersão x é estável se, e somente se,
Z
(−f ∆f − (Ric(η) + kBk2 )f 2 )dA ≥ 0,
M
e Aqui ∆ é o Laplaciano da métrica induzida e Ric(η) é a
para toda f ∈ F.
curvatura de Ricci de N na direção η.
Quando a imersão x é mı́nima, temos a seguinte definição para estabilidade:
Definição 1.2.3. Sejam x : M n → N n+1 uma imersão mı́nima e D ⊂ M
um domı́nio relativamente compacto com bordo ∂D suave. A restrição x|D é
estável, se A00 (0) ≥ 0 para toda variação. Dizemos que x é estável se, para
qualquer D, x|D é estável.
Uma proposição análoga à Proposição 1.2.1 para imersões mı́nimas é a
seguinte:
Proposição 1.2.2. Seja x : M n → N n+1 uma imersão mı́nima. A imersão
x é estável se, e somente se,
Z
(−f ∆f − (Ric(η) + kBk2 )f 2 )dA ≥ 0.
M
Aqui ∆ é o Laplaciano da métrica induzida e Ric(η) é a curvatura de Ricci
de N na direção η.
Observamos que para o caso em que x é mı́nima, a proposição acima não
e
precisa da hipótese que f ∈ F.
22
Capı́tulo 2
A Função Suporte em Espaços
de Curvatura Constante
uma variedade Riemanniana completa, simplesmente conexa
Seja Qn+1
c
com curvatura seccional constante igual a c. Neste capı́tulo, estenderemos
para as variedades Qn+1
, c arbitrário, as noções de função suporte e vetor
c
posição já conhecidas em Rn+1 e daremos uma interpretação geométrica da
função suporte.
Seja Sc a solução da equação diferencial ordinária y 00 + cy = 0 com
condições iniciais y(0) = 0 e y 0 (0) = 1. Então
r
, se c = 0,
√
sen( c r)
√
, se c > 0,
Sc (r) =
√c
senh( −c r)
√
, se c < 0.
−c
Consideremos a função r(·) = d(·, p0 ), onde d é a função distância geodésica
em Qn+1
e p0 ∈ Qn+1
, e denotemos por gradr o gradiente em Qn+1
da função
c
c
c
r.
Definição 2.0.4. Sejam M n uma variedade Riemanniana orientada de dimensão n e x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica. Dado p0 ∈ Qn+1
, o
c
c
campo de vetores
X(p) = Sc (r)grad r(p)
em Qn+1
é chamado de vetor posição com origem em p0 .
c
A função g : M n → R definida por
g(p) = hX(p), η(p)i
23
é denominada a função suporte da imersão x.
Aqui η é o vetor normal unitário à imersão x e identificamos x(p) com
p.
2.1
A Função Suporte em Rn+1
Seja (Qn0 )p o hiperplano tangente a x(M n ) em p ∈ M . Então a distância
do ponto p0 a (Qn0 )p é dada por g(p).
Figura 2.1: Espaço Euclidiano
Com efeito, o cosseno do ângulo entre os vetores grad r(p) e η(p) de Rn+1
é dado por
cos θ =
hgrad r(p), η(p)i
1
1
=
hX(p), η(p)i =
hX(p), η(p)i .
|grad r(p)| |η(p)|
r(p)
|X(p)|
Agora seja y a distância de p0 a (Qn0 )p e seja q o pé da perpendicular
baixada de p0 a (Qn0 )p . No triângulo p0 qp, temos que
y = |X(p)| cos θ = |X(p)|
1
hX(p), η(p)i = hX(p), η(p)i = g(p).
|X(p)|
Isto conclui a afirmação.
24
A definição do vetor posição dada, ver Definição 2.0.4, no caso Euclidiano é bastante natural. De fato, escrevendo p = (x1 , . . . , xn+1 ) e
p0 = (x01 , . . . , x0n+1 ), temos que
r(p) = d(p, p0 ) = |X(p)| = |p − p0 | =
n+1
X
! 21
0 2
xi − x i
.
i=1
Logo,
grad r(p) =
1
x1 − x01 , . . . , xn+1 − x0n+1
|X(p)|
n+1
1 X
=
xi − x0i ei
|X(p)| i=1
1
X(p)
|X(p)|
1
=
X(p),
r
=
ou seja,
X(p) = r grad r(p).
2.2
A Função Suporte em Sn+1
No caso em que c > 0, vamos supor, sem perda de generalidade, que c = 1
e, portanto, Qn+1
é a esfera unitária Sn+1 em Rn+2 .
c
Neste caso, para qualquer ponto p0 ∈ Sn+1 , a função distância geodésica
r(·) = d(·, p0 ), dada pelo comprimento da geodésica minimizante, é diferenciável em Sn+1 − {p0 , −p0 }.
Logo, o vetor posição com origem em p0 dado por
X(p) = sen r grad r(p)
só é diferenciável em Sn+1 − {p0 , −p0 }.
Isto implica que a função suporte g = hX, ηi é diferenciável somente em
x(M n ) ⊆ Sn+1 − {p0 , −p0 }.
Seja (Qn1 )p a hipersuperfı́cie totalmente geodésica tangente a x(M n ) em
p ∈ M . Então a distância Euclidiana do ponto p0 ao hiperplano que contém
(Qn1 )p é dada por |g(p)|.
25
Figura 2.2: Espaço Esférico
De fato, como a esfera é unitária e r = d(p, p0 ), obtemos que ∠(p, p0 ) = r.
Visto que grad r(p) é o vetor velocidade da geodésica que parte de p0 ,
então grad r(p) é ortogonal a p. Logo, podemos decompor p0 da seguinte
forma:
p0 = cos r(p)p − sen r(p)grad r(p).
(2.1)
Isto mostra que a definição de vetor posição dada anteriormente também é
natural em Sn+1 .
Observando que hp, η(p)i = 0, obtemos
hp0 , η(p)i = − sen r(p) hgrad r(p), η(p)i = −g(p).
Logo
|g(p)| = | hp0 , η(p)i |.
26
2.3
A Função Suporte em Hn+1
No caso em que c < 0, vamos utilizar o modelo do hiperbolóide para o
espaço hiperbólico. Para isto, consideremos no espaço vetorial Rn+2 a métrica
pseudo-Riemanniana hh , ii definida por
hhv, wii = v1 w1 + . . . + vn+1 wn+1 − vn+2 wn+2 ,
onde v = (v1 , . . . , vn+2 ) e w = (w1 , . . . , wn+2 ) são vetores em Rn+2 .
O produto interno definido acima é chamado produto interno de Lorentz
e (Rn+2 , hh , ii) é chamado espaço de Lorentz e indicamos este espaço por
Ln+2 .
Consideremos a hipersuperfı́cie de Ln+2 dada por
1
n+1
n+2
e (c) = v ∈ L ; hhv, vii = −
.
H
c2
27
e n+1 (c) possui duas componentes conexas, vamos escolher a comComo H
ponente conexa tal que vn+2 > 0, isto é,
1
n+1
n+2
H (c) = v ∈ L ; vn+2 > 0 e hhv, vii = − 2 .
c
A métrica induzida pelo produto de Lorentz em Hn+1 (c) é Riemanniana.
Além disso, a curvatura seccional de Hn+1 (c) é igual a c.
Visto que Hn+1 (c) é simplesmente conexa, pois é homeomorfa a Rn+1 ,
segue-se que Hn+1 (c) é um modelo para o espaço hiperbólico Hn+1 (c) chamado
modelo de Lorentz ou modelo do hiperbolóide.
As geodésicas neste modelo são interseções de Hn+1 com hiperplanos que
passam pela origem de Rn+2 , ver [14], p. 70, corolário 4.
Figura 2.3: Geodésicas do espaço hiperbólico
Podemos supor, sem perda de generalidade, que c = −1 e p0 = en+2 =
(0, . . . , 0, 1).
28
Seja Qn−1 p a hipersuperfı́cie totalmente geodésica tangente a x(M n ) em
p ∈ M.
Neste caso, a distância Euclidiana
de p0 ao hiperplano que passa pela
n+2
n
origem de R
e contém Q−1 p é dada por
|g(p)|
p
.
1 + 2g(p)2
(2.2)
De fato, os vetores p0 , p e −grad r(p) estão num mesmo plano e não são
colineares, então podemos escrever p0 como combinação linear dos outros
dois vetores, isto é,
p0 = αp − βgrad r(p) com α, β ∈ R,
ver figura abaixo.
Observemos que, como hhgrad r(p), pii = 0,
−1 = kp0 k2 = α2 kpk2 + β 2 kgrad r(p)k2 = −α2 + β 2 .
29
Logo, α = cosh r(p) e β = senh r(p) e, portanto,
p0 = cosh r(p)p − senh r(p)grad r(p).
(2.3)
Como cosh r(p)p − p0 = X(p), obtemos que a definição de vetor posição,
neste caso, também é natural.
Seja η(p) o vetor normal a M em p. Como hhp, ηii = 0,
hhp0 , η(p)ii = cosh r(p) hhp, η(p)ii − senh r(p) hhgrad r(p), η(p)ii
= − hhsenh r(p)grad r(p), η(p)ii
= − hhX(p), η(p)ii
= −g(p).
Escrevendo η(p) = (η1 , . . . , ηn+1 , ηn+2 ), vemos que
hhp0 , η(p)ii = hh(0, . . . , 0, 1) , (η1 , . . . , ηn+1 , ηn+2 )ii
= 0 · η1 + . . . + 0 · ηn+1 − 1 · ηn+2
= −ηn+2
e
hp0 , η(p)i = h(0, . . . , 0, 1) , (η1 , . . . , ηn+1 , ηn+2 )i
= 0 · η1 + . . . + 0 · ηn+1 + 1 · ηn+2
= ηn+2 ,
onde h , i é o produto interno usual de Rn+2 .
Como hhη, ηii =
1, hhp, η(p)ii = 0 e hhv, η(p)ii = 0, para qualquer vetor
n
v tangente a Q−1 p , temos que
η(p) =
(η1 , . . . , ηn+1 , −ηn+2 )
p
2
1 + 2ηn+2
é um vetor unitário em Rn+2 perpendicular ao hiperplano que passa pela
origem de Rn+2 e contém Qn−1 p .
30
Figura 2.4: Espaço Hiperbólico
De fato,
|η(p)|2 =
=
2
2
η12 + . . . + ηn+1
+ ηn+2
2
1 + 2ηn+2
2
2
2
− ηn+2
+ 2ηn+2
η12 + . . . + ηn+1
2
1 + 2ηn+2
2
1 + 2ηn+2
=
= 1.
2
1 + 2ηn+2
Escrevendo p = (x1 , . . . , xn+2 ), obtemos
31
*
hη(p), pi =
+
(η1 , . . . , ηn+1 , −ηn+2 )
p
, (x1 , . . . , xn+2 )
2
1 + 2ηn+2
= √
1
(η1 x1 + . . . + ηn+1 xn+1 − ηn+2 xn+2 )
2
1+2ηn+2
= √
1
hhη(p), pii
2
1+2ηn+2
= 0.
Logo, a distância Euclidiana de p0 a este hiperplano é dada por
−ηn+2
|g(p)|
p
=
.
|hp0 , η(p)i| = p
2
1 + 2ηn+2
1 + 2g(p)2
2.4
O Laplaciano da Função Suporte
Nesta seção consideremos uma variedade Riemanniana orientada M n e
uma imersão isométrica com curvatura média constante H.
x : M n → Qn+1
c
0
Seja θc = Sc . Mostraremos que a função suporte g da imersão x satisfaz
∆g = − kBk2 g − nHθc ,
onde ∆ é o Laplaciano em M n .
Antes de provarmos o resultado acima, necessitaremos de três lemas, a
saber:
Lema 2.4.1. Sejam x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica com curvatura
c
média constante H e {e1 , . . . , en } um referencial geodésico em p ∈ M n . Então
n
X
∇ei ∇ei η, ek (p) = 0, k = 1, . . . , n.
i=1
Além disso,
n
X
X, ∇ei ∇ei η (p) = − kBk2 g(p),
i=1
onde X é o vetor posição com origem em p0 ∈ Qn+1
.
c
Demonstração. Como hη, ek i = 0, temos que
∇ei η, ek = − η, ∇ei ek .
32
Derivando a equação acima, obtemos
∇ei ∇ei η, ek + ∇ei η, ∇ei ek = − ∇ei η, ∇ei ek − η, ∇ei ∇ei ek .
(2.4)
Como hη, ηi = 1, segue-se que ∇ei η, η = 0. Isto significa que ∇ei η é
tangente a M n .
T
Visto que ∇ei η é tangente a M n e ∇ei ek (p) = 0, pois o referencial é
geodésico, temos que a equação (2.4) se reduz a seguinte equação:
∇ei ∇ei η, ek (p) = − η, ∇ei ∇ei ek (p) = − η, ∇ei ∇ek ei (p).
(2.5)
A última igualdade segue do fato que a conexão de uma variedade Riemanniana é simétrica.
Como Qn+1
possui curvatura seccional constante e igual a c, então
c
Rikik = hR(ei , ek )ei , ek i = K(ei , ek ) = c.
Assim,
Rikik ek = R(ei , ek )ei = cek .
Por outro lado,
R(ei , ek )ei = ∇ek ∇ei ei − ∇ei ∇ek ei + ∇[ei ,ek ] ei = ∇ek ∇ei ei − ∇ei ∇ek ei .
Logo,
∇ei ∇ek ei = ∇ek ∇ei ei − cek .
(2.6)
Usando (2.5) e (2.6), obtemos
n
X
∇ei ∇ei η, ek (p) = −
n
X
i=1
η, ∇ei ∇ek ei (p)
i=1
= −
n
X
η, ∇ek ∇ei ei − cek (p)
i=1
= −
n
X
η, ∇ek ∇ei ei (p)
i=1
*
= − η, ∇ek
n
X
i=1
33
!+
∇ei ei
(p).
*
Como
η,
n
X
+
∇ei ei
= nH é constante, vemos que
*
n
X
i=1
∇ek η,
+
*
∇ei ei
= − η, ∇ek
n
X
!+
∇ei ei
,
i=1
i=1
e, finalmente,
n
X
*
∇ei ∇ei η, ek (p) =
∇ek η,
i=1
n
X
+
∇ei ei
(p)
i=1
*
∇ek η
=
T
n
N X
+ ∇ek η ,
∇ei ei
+
(p)
i=1
*
∇ek η
=
T
,
n
X
+
∇ei ei
(p)
i=1
= 0.
Isto conclui a prova da primeira afirmação.
Agora como ∇ei η é tangente a M n , podemos reescrevê-lo da forma
n
X
∇ei η =
∇ei η, ej ej .
j=1
Assim,
n
X
∇ei ∇ei η, η
= −
n
X
∇ei η, ∇ei η
i=1
i=1
= −
= −
= −
* n
n
X
X
∇ei η, ej ej ,
i=1
j=1
n
X
n
X
i=1
j,k=1
n
X
n
X
+
∇ei η, ek ek
k=1
!
∇ei η, ej
∇ei η, ej
i,j=1
= − kBk2 .
34
2
∇ei η, ek hej , ek i
(2.7)
Escrevendo
X = hX, ηi η +
n
X
hX, ek i ek
k=1
e usando (2.7) e a primeira parte deste lema, obtemos
n
X
i=1
X, ∇ei ∇ei η (p) =
n
X
*
hX, ηi η +
i=1
= hX, ηi
n
X
+
hX, ek i ek , ∇ei ∇ei η
(p)
k=1
n
X
∇ei ∇ei η, η (p)
i=1
= − kBk2 g.
Utilizaremos a proposição abaixo para demonstrarmos os lemas 2.4.2 e
2.4.3.
,
Proposição 2.4.1. Se V e W são campos de vetores diferenciáveis em Qn+1
c
então
θc
∇V grad r, W =
(hV, W i − hgrad r, V i hgrad r, W i) ,
(2.8)
Sc
onde r é a função distância geodésica em Qn+1
.
c
Demonstração. Inicialmente provaremos a proposição para o caso em que
c = 0. Sejam V e W campos de vetores em Rn+1 e r : Rn+1 → R a função
distância geodésica, a qual é dada por
r(p) = d(p, p0 ) = |p − p0 |,
p0 ∈ Rn+1 .
Como r2 = |p − p0 |2 = hp − p0 , p − p0 i, temos que
W (r2 ) = 2 hW, p − p0 i = 2r hgrad r, W i ,
isto é
hW, p − p0 i = r hgrad r, W i .
Aplicando o campo V a equação acima, obtemos
h∇V W, p − p0 i + hW, V i = hgrad r, V i hgrad r, W i
+r(h∇V grad r, W i
+ hgrad r, ∇V W i).
35
(2.9)
Visto que r grad r = p − p0 , podemos escrever (2.9) da forma
h∇V W, p − p0 i + hW, V i = hgrad r, V i hgrad r, W i
+r h∇V grad r, W i + hp − p0 , ∇V W i),
ou seja,
h∇V grad r, W i =
1
(hV, W i − hgrad r, V i hgrad r, W i) .
r
Visto que Sc = r e θc = 1 em Rn+1 , concluı́mos o resultado.
No caso em que c = 1, consideremos V e W campos de vetores diferenciáveis em Sn+1 .
Aplicando o campo V na equação (2.1), apresentada na seção 2 do capı́tulo
2, vemos que
0 = −sen r(p) hgrad r(p), V i p + cos r(p)V
− cos r(p) hgrad r(p), V i grad r(p)
−sen r(p)∇V grad r(p),
ou seja,
∇V grad r(p) = − hgrad r(p), V i p
+
cos r(p)
(V − hgrad r(p), V i grad r(p)) .
sen r(p)
Como hp, W i = 0, temos que
h∇V grad r(p), W i =
cos r(p)
(hV, W i − hgrad r(p), V i hgrad r(p), W i) .
sen r(p)
Visto que, em Sn+1 , Sc = sen r(p) e θc = cos r(p), concluı́mos o resultado.
Finalmente, provaremos a proposição para o caso em que c = −1. Consideremos V e W campos de vetores diferenciáveis em Hn+1 .
Aplicando o campo V na equação (2.3), apresentada na seção 3 do capı́tulo
2, vemos que
36
0 = senh r(p) hgrad r(p), V i p + cosh r(p)V
− cosh r(p) hgrad r(p), V i grad r(p)
−senh r(p)∇V grad r(p),
ou seja,
∇V grad r(p) = hgrad r(p), V i p
+
cosh r(p)
(V − hgrad r(p), V i grad r(p)) ,
senh r(p)
portanto, como hp, W i = 0,
h∇V grad r(p), W i =
cosh r(p)
(hV, W i − hgrad r(p), V i hgrad r(p), W i) .
senh r(p)
Como Sc = senh r(p) e θc = cosh r(p), concluı́mos a demonstração.
Lema 2.4.2. Sejam M n uma variedade Riemanniana orientada e x : M n →
uma imersão isométrica. Consideremos {e1 , . . . , en } campos de vetores
Qn+1
c
ortonormais definidos numa vizinhança de p ∈ M . Então
n
X
∇ei X, ∇ei η (p) = −nHθc ,
i=1
onde H é a curvatura média de x.
Demonstração. Como X = Sc grad r e θc = Sc0 , temos que
∇ei X = ∇ei (Sc grad r) = θc hgrad r, ei i grad r + Sc ∇ei grad r.
(2.10)
Logo,
∇ei X, ∇ei η
=
θc hgrad r, ei i grad r + Sc ∇ei grad r, ∇ei η
= θc hgrad r, ei i grad r, ∇ei η
(2.11)
+Sc ∇ei grad r, ∇ei η .
Fazendo V = ei e W = ∇ei η em (2.8), obtemos que
Sc ∇ei grad r, ∇ei η = θc ei , ∇ei η − θc hgrad r, ei i grad r, ∇ei η .
37
Substituindo a igualdade acima em (2.11), vem que
∇ei X, ∇ei η = θc ei , ∇ei η .
Portanto,
n
X
n
X
∇ei X, ∇ei η = θc
i=1
ei , ∇ei η = −nHθc .
i=1
Lema 2.4.3. Sejam M n uma variedade Riemanniana orientada e x : M n →
uma imersão isométrica. Seja {e1 , . . . , en } um referencial geodésico em
Qn+1
c
p ∈ M n . Então
n
X
∇ei ∇ei X, η (p) = nHθc (p),
i=1
onde H é a curvatura média de x.
Demonstração. Usando (2.10) e observando que θc0 = −cSc , obtemos
∇ei ∇ei X = −cSc hgrad r, ei i2 grad r + θc ∇ei grad r, ei grad r
+θc grad r, ∇ei ei grad r + 2θc hgrad r, ei i ∇ei grad r
+Sc ∇ei ∇ei grad r.
Assim,
∇ei ∇ei X, η (p) = −cSc hgrad r, ei i2 hgrad r, ηi (p)
+θc ∇ei grad r, ei hgrad r, ηi (p)
+θc grad r, ∇ei ei hgrad r, ηi (p)
+2θc hgrad r, ei i ∇ei grad r, η (p)
+Sc ∇ei ∇ei grad r, η (p).
38
Logo,
n
X
∇ei ∇ei X, η
= −cSc hgrad r, ηi
n
X
i=1
hgrad r, ei i2
i=1
+θc hgrad r, ηi
n
X
∇ei grad r, ei
i=1
+θc hgrad r, ηi
n
X
grad r, ∇ei ei
(2.12)
i=1
+2θc
n
X
hgrad r, ei i ∇ei grad r, η
i=1
+Sc
n
X
∇ei ∇ei grad r, η .
i=1
Vamos reescrever cada termo de (2.12) da seguinte maneira:
−cSc hgrad r, ηi
n
X
hgrad r, ei i
2
= −c hX, ηi
i=1
n
X
hgrad r, ei i2
i=1
= −cg
n
X
hhgrad r, ei i ei , hgrad r, ei i ei i
i=1
= −cg|
n
X
hgrad r, ei i ei |2
i=1
= −cg| (grad r)T |2 ,
(2.13)
θc hgrad r, ηi
n
X
∇ei grad r, ei
= θc hgrad r, ηi
i=1
n
X
θc
i=1
Sc
1 − hgrad r, ei i2
n
θc2 X
=
g
1 − hgrad r, ei i2
2
Sc i=1
=
θc2
θc2
gn
−
g| (grad r)T |2 ,
Sc2
Sc2
(2.14)
39
θc hgrad r, ηi
n
X
*
grad r, ∇ei ei
= θc hgrad r, ηi grad r,
i=1
+
n
X
∇ei ei
N
i=1
*
= θc hgrad r, ηi grad r,
+
n
X
∇ei ei , η η
i=1
*
= θc hgrad r, ηi grad r, −
n
X
+
ei , ∇ei η η
i=1
= θc hgrad r, ηi hgrad r, nHηi
= nHθc hgrad r, ηi2 ,
(2.15)
n
X
hgrad r, ei i ∇ei grad r, η
n
X
=
i=1
hgrad r, ei i
i=1
θc
(− hgrad r, ei i hgrad r, ηi)
Sc
n
X
θc
= − hgrad r, ηi
hgrad r, ei i2
Sc
i=1
= −
θc
g| (grad r)T |2 ,
2
Sc
(2.16)
onde (grad r)T indica a projeção de grad r em T M .
Usaremos (2.8) para reescrever o último termo de (2.12), isto é,
n
X
∇ei ∇ei grad r, η
=
i=1
n
X
ei ∇ei grad r, η − ∇ei grad r, ∇ei η
i=1
=
n
X
ei
i=1
+
θc
− hgrad r, ei i hgrad r, ηi
Sc
n
X
θc
i=1
Sc
hgrad r, ei i grad r, ∇ei η + nH
Como θc2 + cSc2 = 1 e |grad r| = 1, obtemos que
40
θc
.
Sc
n
X
∇ei ∇ei grad r, η (p) =
i=1
2
1
T
hgrad
r,
ηi
(grad
r)
s2c
2
θc2
T
− 3 n − (grad r)
g
Sc
2
θc
T
− nH 1 − (grad r)
Sc
(2.17)
2
θ2
θc
+ c3 (grad r)T g + nH .
Sc
Sc
Substituindo (2.13), (2.14), (2.15), (2.16) e (2.17) em (2.12), vem que
n
X
∇ei ∇ei X, η
= −cg (grad r)T
i=1
2
2
θ2
θ2
− 3 c2 g (grad r)T + n c2 g
Sc
Sc
2
1
T
(grad
r)
g
Sc2
2
θc2
T
− 2 n − (grad r)
g − nHθc hgrad r, ηi2
Sc
+nHθc hgrad r, ηi2 +
2
θ2
+ c2 (grad r)T g + nHθc ,
Sc
isto é,
n
X
∇ei ∇ei X, η =
i=1
Então
n
X
2
2
−cSc2 − θc2
1
(grad r)T g + 2 (grad r)T g + nHθc .
2
Sc
Sc
∇ei ∇ei X, η (p) = nHθc (p), pois θc2 + cSc2 = 1.
i=1
O próximo resultado será crucial nas demonstrações dos teoremas do
capı́tulo 3.
Proposição 2.4.2. (Alencar e Frensel, ver [3], p. 4) Sejam M n uma variedade Riemanniana orientada e x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica
c
com curvatura média constante H. Então
∆g = − kBk2 g − nHθc ,
onde ∆ é o Laplaciano em M n .
41
Demonstração. Seja {e1 , . . . , en } um referencial geodésico em p ∈ M n . Vimos que o Laplaciano de uma função f neste referencial é dado por
∆f (p) =
n
X
ei ei f (p).
i=1
Logo, a função suporte g = hX, ηi satisfaz
∆g(p) =
n
X
(p)
∇ei ∇ei X, η + 2 ∇ei X, ∇ei η + X, ∇ei ∇ei η
ei ei hX, ηi (p) =
i=1
=
n
X
n
X
ei
∇ei X, η + X, ∇ei η
i=1
(p).
i=1
Usando os Lemas 2.4.1, 2.4.2 e 2.4.3, temos que
∆g(p) = nHθc − 2nHθc − kBk2 g (p) = − kBk2 g(p) − nHθc (p).
O caso em que c = 0 da proposição acima já tinha sido provado, ver, por
exemplo, [4] p. 348.
2.5
A Fórmula de Minkowski da Função Suporte
A seguinte proposição é uma generalização da igualdade de Minkowski
em Rn+1 , c = 0 e θc = 1.
Proposição 2.5.1. (Heintze, ver [11], p. 397) Seja M n uma variedade
Riemanniana compacta e seja x : M n → Qn+1
uma imersão isométrica.
c
Então
Z
Z
HgdA = −
θc dA,
(2.18)
M
M
onde H é a curvatura média de x.
Demonstração. Sejam X o vetor posição com origem em p0 e {e1 , . . . , en } um
referencial geodésico em p ∈ M n . Denotemos por X T e X N as componentes
tangente e normal, respectivamente, do vetor X.
Assim,
42
X N , ∇ei ei
D
=
X − X T , ∇ei ei
D
T
+ ∇ei ei
N E
N E
X − X T , ∇ei ei
D
N E D T
N E
− X , ∇ ei e i
= X, ∇ei ei
D
N E
= X, ∇ei ei
.
=
Visto que X N , ei = 0, obtemos
N
D
N
∇ei X , ei = − X , ∇ei ei = − X, ∇ei ei
N E
.
Dessa forma, o divergente do campo X T é dado por
divX
T
n
X
=
T
∇ei X , ei =
i=1
n
X
=
Mostraremos que
n
X
∇ei X, ei −
i=1
∇ei X, ei +
n D
X
∇ei X N , ei
i=1
X, ∇ei ei
N E
.
i=1
i=1
n
X
n
X
n D
X
∇ei X, ei = nθc e
i=1
X, ∇ei ei
N E
= nHg. De
i=1
fato, usando (2.8) obtemos
n
X
∇ei X, ei
=
n
X
∇ei (Sc grad r(p)) , ei
i=1
i=1
= θc
n
X
hgrad r(p), ei i2 + Sc
i=1
= θc
n
X
n
X
∇ei grad r(p), ei
i=1
2
hgrad r(p), ei i + θc
i=1
n
X
1 − hgrad r(p), ei i2
i=1
= nθc .
Como
n
X
i=1
∇ei ei
N
=
n
X
∇ei ei , η η = nHη, segue-se que
i=1
43
n D
X
X, ∇ei ei
*
N E
=
i=1
X,
n
X
+
∇ei ei
N
= hX, nHηi
i=1
=
nH hX, ηi
= nHg.
Portanto, o divergente da componente tangente de X é dado por
divX T = nθc + nHg.
Usando o Teorema de Stokes e o fato de M n ser uma variedade compacta
sem bordo, obtemos
Z
Z
HgdA = −
M
θc dA.
M
Observação 2.5.1. Na verdade Heintze (ver [11], p. 397) prova esta proposição para imersões cujos espaços ambientes possuem curvaturas seccionais
limitadas superiormente por uma constante. Neste caso, o resultado obtido é
uma desigualdade tipo Minkowski.
44
Capı́tulo 3
Hipersuperfı́cies cujas
Geodésicas Tangentes omitem
um Conjunto Não-Vazio
uma imersão
Sejam M n uma variedade diferenciável e x : M n → Qn+1
c
isométrica. Para todo ponto p ∈ M n , seja (Qnc )p a hipersuperfı́cie totalmente
geodésica de Qn+1
tangente a x(M n ) em x(p).
c
Denotemos por
[
(Qnc )p
W = Qn+1
−
c
p∈M
o conjunto dos pontos omitidos pelas hipersuperfı́cies totalmente geodésicas
tangentes a x(M n ).
Exemplo 3.0.1. Hiperbolóide de uma folha em R3 .
Figura 3.1: W = {0}.
45
Exemplo 3.0.2. Esfera unitária em R3 .
Figura 3.2: W = {p ∈ R3 ; kpk < 1}.
Neste capı́tulo, estudaremos as imersões para as quais o conjunto W é
não-vazio. Analisaremos separadamente as hipersuperfı́cies completas nãocompactas e as hipersuperfı́cies compactas.
3.1
Hipersuperfı́cies Completas
Nesta seção estabeleceremos resultados que caracterizam as hipersuperfı́cies completas cujo W é aberto e não-vazio. Além disso, apresentaremos
uma relação entre W e a estabilidade de uma imersão mı́nima. Os resultados
destas seção foram obtidos por Hilário Alencar e Kátia Frensel, ver [3].
Teorema 3.1.1. (Alencar e Frensel, ver [3], p. 6) Sejam M n uma variedade
uma imersão isométrica mı́nima.
Riemanniana completa e x : M n → Qn+1
c
Se o conjunto W é aberto e não-vazio, então x é totalmente geodésica.
Demonstração. Dado p0 ∈ W , seja X o vetor posição com origem em p0 .
Como W é não-vazio, existe p0 ∈ W tal que
g(p) = hX(p), η(p)i =
6 0
para qualquer p ∈ M .
Seja d = inf {g(p); p ∈ M }. Suponhamos que este ı́nfimo é atingido, isto
é, existe um ponto p ∈ M tal que g(p) = d. Usando a Proposição 2.4.1 com
H = 0, segue-se que
∆g + kBk2 g = 0.
46
(3.1)
Portanto, usando o Princı́pio do Máximo, ver [8], p. 6, vemos que g é
constante e igual a d. Logo kBk ≡ 0, isto é, x é totalmente geodésica.
Para concluirmos a demonstração, basta provarmos que existe um ponto
p ∈ M tal que g(p) = d. Para isto, consideremos uma seqüência de pontos
{pk }k>0 em M tal que
lim g(pk ) = d.
k→∞
Trataremos separadamente os casos em que c = 0, c > 0 e c < 0 e, além
disso, vamos admitir, sem perda de generalidade, que c = 1 e c = −1 quando,
respectivamente, c > 0 e c < 0.
(i) Suponhamos que c = 0.
Para cada ponto pk em M , consideremos o ponto qk , interseção de Tpk M
com a reta perpendicular a Tpk M que passa por p0 ∈ W .
Figura 3.3: Caso c = 0.
Como d(qk , p0 ) = g(pk ), ver seção 1 do capı́tulo 2, é uma seqüência limitada, então {qk } também é limitada. Por Bolzano-Weierstrass, {qk } possui
uma subseqüência qkj que converge para algum
q ∈ Rn+1 .
S
Visto que q é o limite de uma seqüência qkj em Tpk M e
p∈M Tp M
S
n+1
n+1
é fechado em R , pois W = R
− p∈M Tp M é aberto, segue-se que
q ∈ Tp M , para algum ponto p ∈ M .
Como d(p0 , q) = d e d ≤ d(p0 , Tp M ) ≤ d(p0 , q) = d, então
g(p) = d(p0 , Tp M ) = d.
(ii) Agora vamos provar o teorema para o caso em que c = 1.
47
Para cada ponto pk ∈ M , seja sk a projeção ortogonal de p0 ao hiperplano
de Rn+2 que contém (Qn1 )pk e seja qk a interseção de (Qn1 )pk com a reta que
passa pela origem e pelo ponto sk .
Figura 3.4: Caso c = 1.
Para todo k,
qk ∈ Qn+1
= Sn+1 e sk ∈ Bn+2 = p ∈ Rn+2 ; kpk < 1 .
c
Logo, existe uma subseqüência {kj } tal que qkj converge para um ponto
n+2
q ∈ Sn+1 e skj S converge para um ponto s ∈ B .
Temos que p∈M (Qn1 )p é fechado em Sn+1 , pois W é aberto, então q ∈
n
(Q1 )p para algum p ∈ M . Além disso, como sk e qk são colineares para todo
k, segue-se que s e q são colineares. Logo, s pertence ao hiperplano Lp de
Rn+2 que contém (Qn1 )p .
Como g(pk ) = d(sk , p0 ) e
d ≤ g(p) = d(p0 , Lp ) ≤ d(p0 , s) = lim d(sk , p0 ) = d,
k→∞
então g(p) = d.
(iii) Para provarmos o teorema no caso em que c = −1, utilizaremos o
modelo do hiperbolóide visto no Capı́tulo 2. Definiremos o ponto sk de
forma análoga ao caso anterior.
48
Figura 3.5: Caso c = −1.
Usando (2.2), temos que a distância Euclidiana
de p0 ao hiperplano de
n
R
que passa pela origem e contém Q−1 p é dada por
n+2
k
ksk − p0 k = p
g(pk )
1 + 2g(pk )2
,
onde k · k é a norma Euclidiana.
Afirmação 3.1. hhsk , sk ii < 0, onde hh , ii é o produto interno de Lorentz.
Demonstração. Com efeito, suponhamos que hhsk , sk ii ≥ 0. Escrevemos sk =
(sk1 , . . . , skn+2 ).
Assim, s2k1 + . . . + s2kn+1 − s2kn+2 ≥ 0. Logo,
s2k1 + . . . + s2kn+1 ≥ s2kn+2 .
Como sk e sk − p0 são perpendiculares, temos que
hsk , sk − p0 i = 0.
49
(3.2)
Daı́,
hsk , sk i = hsk , p0 i = (sk1 , . . . , skn+2 ) · (0, . . . , 0, 1) = skn+2 .
Portanto, usando (3.2), vem que
skn+2 = hsk , sk i = s2k1 + . . . + s2kn+1 + s2kn+2 ≥ 2s2kn+2 ,
ou seja,
1
skn+2 ≤ .
2
Assim, temos que
ksk − p0 k2 = hsk − p0 , sk − p0 i
= hsk , sk − p0 i − hp0 , sk − p0 i
= − hp0 , sk i + hp0 , p0 i
= −sn+2 + 1
≥
1
.
2
1
g(pk )2
1
g(pk )2
≥
.
Isto
contradiz
o
fato
de
< , para
2
2
1 + 2g(pk )
2
1 + 2g(pk )
2
qualquer g(pk ). E a igualdade só seria válida se, e somente se, g(pk ) ≡ 0.
Logo, hhsk , sk ii < 0.
Logo,
Seja λk > 0 tal que
λ2k hhsk , sk ii = −1
e seja qk = λk sk a interseção de Qn−1 p com a reta que passa pela origem e
k
por sk .
Temos que {sk }k≥0 é uma seqüência limitada. Passando a uma subseqüência se necessário, existe um ponto s tal que
lim sk = s.
k→∞
Podemos provar, como acima, que hhs, sii < 0, pois s e s − p0 são perd2
pendiculares e ks − p0 k2 =
.
1 + 2d2
1
Como a seqüência −
é limitada inferiormente por uma
hhsk , sk ii k>0
ksk k2
2
constante positiva e kqk k = −
, vemos que a seqüência {qk }k>0 é
hhsk , sk ii
limitada.
50
Seja qkj kj uma subseqüência que converge para um ponto q ∈ Hn+1 .
Como ∪p∈M Qn−1 p é fechado, pois seu complementar W é aberto, e qk ∈
Qn−1 p , para todo k, temos que q ∈ Qn−1 p , para algum p ∈ M . Além
k
disso, como s e q são colineares,
segue que s pertence ao hiperplano Lp de
n+2
n
R
que contém Q−1 p .
Logo, g(p) = d. De fato,
g(p)
d
p
= d(p0 , Lp ) ≤ ks − p0 k =
,
1 + 2d2
1 + 2g(p)2
onde d(p0 , Lp ) é a distância Euclidiana de p0 a Lp .
Quando o conjunto W é não-vazio e não possui a condição de ser aberto,
obtemos o seguinte resultado para os casos em que c ≤ 0.
Proposição 3.1.1. (Alencar e Frensel, ver [3], p. 8) Seja M n uma variedade Riemanniana completa e seja x : M n → Qn+1
, c ≤ 0, uma imersão
c
isométrica mı́nima. Se W é não-vazio, então x é estável.
Demonstração. Sejam p0 ∈ W e X o vetor posição com origem em p0 . Como
p0 ∈ W , podemos escolher uma orientação η em M de modo que a função
suporte g = hX, ηi seja positiva.
Como x é mı́nima, usando a Proposição 2.4.1, temos que
∆g + kBk2 g = 0.
Em [7], Teorema 1, Fischer Colbrie e Schoen provaram que um operador
do tipo ∆ + q, onde q : M → R é uma função diferenciável, é positivo
definido se, e só se, existe uma função diferenciável positiva f : M → R tal
que ∆f + qf = 0. Como g = hX, ηi é positiva e ∆g + kBk2 g = 0, o operador
∆ + kBk2 é positivo definido, isto é,
Z
−f ∆f − kBk2 f 2 dA = − ∆ + kBk2 f, f > 0,
M
para toda função f : X (M ) → R.
Então, se c ≤ 0,
Z
−f ∆f − nc + kBk2 f 2 dA > 0,
M
para toda função f : M → R de suporte compacto não-nula em M n .
Como a curvatura de Ricci de Qn+1
é nc, obtemos que
c
Z
−f ∆f − Ric(η) + kBk2 f 2 dA > 0.
M
Usando a Proposição 1.2.2, temos que x é estável.
51
Observação 3.1.1. A proposição acima não vale para c > 0. Hasanis e
Koutroufiotis provaram em [10], Corolário 2, que se M 2 é uma superfı́cie
completa e x : M 2 → S3 é uma imersão isométrica mı́nima com W nãovazio, então x é totalmente geodésica e x é um mergulho. Em particular, M 2
é compacta e x não é estável.
Observação 3.1.2. Em [9], p. 57, J. Gomes deu exemplos de hipersuperfı́cies mı́nimas estáveis em Qn+1
, c < 0, que não são totalmente geodésicas.
c
Para estas hipersuperfı́cies, W é vazio. Logo, a recı́proca da proposição acima
não é válida.
3.2
Hipersuperfı́cies Compactas
O próximo resultado, sobre imersões mı́nimas em Sn+1 , foi obtido por
Pogorelov, ver [13]. Daremos uma demonstração diferente da prova original,
usando as técnicas de Alencar e Frensel, ver [3].
Teorema 3.2.1. (Pogorelov, ver [13]) Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta, orientável e x : M n → Sn+1 uma imersão isométrica mı́nima.
Se W é não-vazio, então x é totalmente geodésica.
Demonstração. Sejam p0 ∈ W e X o vetor posição com origem em p0 . Logo,
usando a Proposição 2.4.1 com H = 0 e o Teorema de Stokes para uma
hipersuperfı́cie compacta sem bordo, obtemos
Z
Z
0=
∆gdA = −
kBk2 gdA.
M
M
Agora como W é não-vazio, existe p0 ∈ W tal que
g(p) = hX(p), η(p)i =
6 0
para qualquer p ∈ M . Então temos que kBk ≡ 0, ou seja, x é totalmente
geodésica.
Alencar e Frensel provaram que nas condições do Teorema 3.2.1 com H
diferente de zero obtemos que M n é isométrica a uma esfera geodésica.
Para provarmos este resultado, precisaremos do seguinte:
Lema 3.2.1. (Fórmula de Newton) Sejam A : Rn → Rn uma transformação
linear e A = (aij )n×n sua matriz associada a um par de bases qualquer de
Rn . Então
1
kAk2 (p) ≥ (trA)2 .
n
Além disso, a igualdade ocorre se, e somente se, A = αI, α ∈ R.
52
Demonstração. É claro que
n
X
n
X
1
kAk2 =
a2ij ≥
a2ii ≥
n
i,j=1
i=1
n
X
!2
aii
=
i=1
1
(trA)2 .
n
Além disso, a igualdade na primeira desigualdade ocorre se, e somente se,
aij = 0, para i 6= j. Na segunda desigualdade, desigualdade entre as médias
aritmética e quadrática, obtém-se a igualdade se, e somente se, a11 = . . . =
ann .
Teorema 3.2.2. (Alencar e Frensel, ver [3], p. 11) Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta, orientável e x : M n → Qn+1
uma imersão
c
isométrica com curvatura média constante não-nula H. Então W é nãovazio se, e somente se, x é umbı́lica, isto é, x(M n ) é uma esfera geodésica
em Qn+1
.
c
Demonstração. Sejam p0 ∈ W e X o vetor posição com origem em p0 . Como
W é não-vazio, existe p0 ∈ W tal que
g(p) = hX(p), η(p)i =
6 0
para qualquer p ∈ M .
Assim, usando a Proposição 2.4.2 e o Teorema de Stokes para uma hipersuperfı́cie compacta sem bordo, obtemos
Z
Z
0=
∆gdA = −
kBk2 g + nHθc dA.
M
Logo,
R
M
M
kBk2 gdA = − M nHθc dA. Mas, por (2.18), temos que
Z
Z
Z
2
kBk gdA = −
nHθc dA =
nH 2 gdA,
R
M
M
M
isto é,
Z
kBk2 − nH 2 gdA = 0.
M
Usando o Lema 3.2.1 e o fato de g ser não-nula, temos que kBk2 = nH 2 , ou
seja, a imersão x é umbı́lica.
Se x(M n ) é uma esfera geodésica em Qn+1
, então é claro que W é nãoc
vazio.
53
Observação 3.2.1. São conhecidos exemplos de toros não mergulhados em
R3 com curvatura média constante, ver Wente [15], e de imersões x : Sn →
Qn+1
, c ≤ 0, com curvatura média constante não umbı́licas, ver Gomes [9] e
c
Hsiang [12]. Em todos estes exemplos o conjunto W é vazio.
Em [5], Barbosa, do Carmo e Eschenburg provaram o seguinte resultado:
Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta, orientável e x : M n →
uma imersão isométrica com curvatura média constante não-nula. Então
Qn+1
c
x é estável se, e só se, x é umbı́lica.
Como conseqüência deste resultado, obtemos o seguinte corolário do
Teorema 3.2.2:
Corolário 3.2.1. Sejam M n uma variedade Riemanniana compacta, oriuma imersão isométrica com curvatura média
entável e x : M n → Qn+1
c
constante não-nula. Então W é não-vazio se, e somente se, x é estável.
54
Referências Bibliográficas
[1] Alencar, H. Hipersuperfı́cies Mı́nimas de R2m invariantes. Tese de
Doutorado (IMPA), 1988.
[2] Alencar, H. e Batista, M. Hypersurfaces with higher order mean curvature vanishes. Preprint, (2010).
[3] Alencar, H. e Frensel, K. Hypersurfaces whose tangent geodesic omit a
nonempty set. Differential Geometry-A Symposium in Honour of Manfredo do Carmo. Logman Scientific & Technical, New York, p. 1-13,
1991.
[4] Barbosa, J. L. e do Carmo, M. P. Stability of hypersurfaces with constant
mean curvature. Mathematische Zeitschrift, v. 185, p. 339-353, 1984.
[5] Barbosa, J. L.; do Carmo, M. P. e Eschenburg, J. Stability of hypersurfaces of Riemannian manifolds with constant mean curvature. Mathematische Zeitschrift, v. 197, p. 123-138, 1988.
[6] do Carmo, M. Geometria Riemanniana. Projeto Euclides, 4a Edição,
IMPA, Rio de Janeiro, 2008.
[7] Fischer Colbrie, D. e Schoen, R. The structure of complete stable minimal surfaces in 3-manifolds of non-negative scalar curvature. Communications on Pure and Applied Mathematics, v. 33, p. 199-211, 1980.
[8] Frensel, K. O Princı́pio da Tangência e Aplicações. Dissertação de
Mestrado (IMPA), 1983.
[9] Gomes, J. M. Sobre hipersuperfı́cies com curvatura média constante no
espaço hiperbólico. Tese de Doutorado (IMPA), 1984.
[10] Hasanis, T. e Koutroufiotis, D. A property of complete minimal surfaces.
Transaction of the American Mathematical Society, v. 281, p. 833-843,
1984.
55
[11] Heintze, E. Extrinsic upper bounds for λ1 . Mathematische Annalen, v.
280, p. 389-402, 1988.
[12] Hsiang, W. Y.; Teng, Z. H. e Yu, W. C. New examples of constant mean
curvature immersions of (2k-1)-spheres into Euclidean 2k-space. Annals
of Mathematics, v. 117, p. 609-625, 1983.
[13] Pogorelov, A.V. On minimal hypersurfaces in spherical space. Soviet
Mathematics Doklady, v. 13, p. 291-292, 1972.
[14] Ratcliffe, J. G. Foundations of Hyperbolic Manifolds. Graduate Texts in
Mathematics 149, Spring-Verlag, New York, 1994.
[15] Wente, H. C. Counterexample to a conjecture of H. Hopf. Pacific Journal
of Mathematics, v. 121, p. 193-243, number 1, 1986.
56
Índice Remissivo
Aplicação exponencial, 12
Hipersuperfı́cie, 8
Campo de vetores, 8, 9
paralelos, 11
Colchete, 10
Conexão
afim, 10
compatı́vel com a métrica, 11
de Levi-Civita, 11
Riemanniana, 11
simétrica, 10
Curvatura, 15
de Ricci, 16
escalar, 16
média, 19
seccional, 15
Curvaturas principais, 19
Imersão, 8
estável, 22
geodésica, 20
isométrica, 10
mı́nima, 20
totalmente geodésica, 20
umbı́lica, 20
Laplaciano, 14
da Função Suporte, 32
Métrica
induzida, 10
Riemanniana, 9
Norma da segunda forma fundamental, 19
Derivada covariante, 10
Direções principais, 19
Divergência, 13
Princı́pio do Máximo, 47
Produto interno de Lorentz, 27
Espaço de Lorentz, 27
Referencial geodésico, 12
Fórmula
de Minkowski, 42
de Newton, 52
Função
área, 21
suporte, 24
volume, 21
Segunda forma fundamental, 17
Geodésica, 11
minimizante, 12
Gradiente, 13
Variação
da imersão, 20
normal, 21
que fixa o bordo, 20
que preserva volume, 21
Variedade
completa, 12
Riemanniana, 10
Vetor posição, 23
57
