Dissertação
dissertacao_2009_priscila.pdf
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Uma Introdução aos Operadores de
Schrödinger com Ênfase no Caso
Unidimensional.
Priscila Santos Ramos
Maceió
Fevereiro de 2009
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Uma Introdução aos Operadores de Schrödinger com
Ênfase no Caso Unidimensional
Priscila Santos Ramos
Maceió
2009
1
Priscila Santos Ramos
Uma Introdução aos Operadores de Schrödinger com
Ênfase no Caso Unidimensional
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas como parte
dos requisitos para obtenção do título de
Mestre em Matemática.
Orientador: Prof Dr. Ediel Azevedo Guerra.
Maceió
2009
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
R175u
Ramos, Priscila Santos.
Uma introdução aos operadores de Schrödinger com ênfase no caso
unidimensional / Priscila Santos Ramos. – Maceió, 2009.
63 f..
Orientador: Ediel Azevedo Guerra.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2009.
Bibliografia: f. 62-63..
1. Operador auto-adjunto. 2. Schrödinger, operadores de. 3. Espectro. I. Título.
CDU: 517.984.4
Aos meus pais e a vovoi (in memoriam)
pelos ensinamentos da vida e pelo amor.
3
Agradecimentos
• À Deus pela graça de mais uma vitória;
• Ao meu orientador Prof. Ediel pela dedicação, atenção e pela parceria (honrosa) deste
trabalho;
• Aos professores Adán e Ramón pelas valiosas sugestões;
• Aos professores da pós-graduação pelos ensinamentos matemáticos;
• Aos meu irmãos Patricia e Robson pelo amor e confiança e as minhas tias Nancy e Rose,
a minha prima Têka e a Fernando (meu cunhado) pelo apoio e carinho;
• Ao meu namorado Gleidson pela compreensão, cumplicidade, apoio e amor;
• Aos colegas: Arlyson, André, Marcius, Daniel, Leandro, Leonardo, Carlos Alberto,
Borges, Erikson, Fábio, Everson, Darliton pela recepção e por todos os momentos
compartilhados. Agradeço com carinho ao meu colega e amigo Alex pela amizade e
compreensão;
• Aos amigos André Moura, Arleide, Hea, Raimundo (Red Júnior), Toinho, Loyana e
Welton pela torcida e carinho;
• À José Eduardo pelas conversas matemáticas e disponibilidade e também a Michel pelo
apoio e amizade;
• Aos funcionários da UFAL. Em particular, à Márcia e Silvinha pela prontidão nos seviços
prestados e a D. Maria pelo carinho e pelas conversas;
• À CAPES/FAPEAL pelo apoio financeiro.
4
Resumo
O objetivo principal desta dissertação é fornecer uma introdução
aos operadores de Schrödinger do tipo H = −∆+V , onde ∆ denota
o laplaciano do Rn e V denota o operador de multiplicação pela
função V ambos definidos em um subespaço conveniente do L2 (Rn ),
no que diz respeito à determinação de sua auto-adjunticidade e do
seu espectro.
Palavras-chave:
Operador
Schrödinger, Espectro.
auto-adjunto,
5
Operador
de
Abstract
The main objective of this dissertation is to give an introduction to
Schrödinger operators of the type H = −∆+V . In these operators,
∆ denotes the Laplacian of Rn and V denotes the operator of
multiplication by a function V , both defined in a suitable subspace
of L2 (Rn ) with respect to the determination of its selfadjointess and
of its spectrum.
Key words: Selfadjoint operator, Schrödinger operator, spectrum.
6
Sumário
Introdução
8
1 Preliminares
11
1.1 Operadores simétricos, auto-adjuntos e essencialmente auto-adjuntos . . . . . . . 11
1.2 Operadores fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Espectro do Hamiltoniano livre
2.1 Algumas propriedades do operador de multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 A transformada de Fourier no espaço de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 O Laplaciano em L2 (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
27
34
3 Teorema de Kato-Rellich e Aplicações
36
4 Propriedades Espectrais de Operadores de Schrödinger Unidimencionais
4.1 O movimento unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Cálculo funcional boreliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 O operador momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 O operador energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Procurando uma solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Achando os autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
43
47
53
54
59
61
Referências Bibliográficas
64
7
Introdução
As relações entre a Matemática e a Física, têm emergido fortemente nas últimas décadas,
tornando cada vez mais clara a necessidade de um diálogo maior entre esses dois campos de
conhecimentos. Uma abordagem que tem se mostrado bastante frutífera em física-matemática
é aquela da teoria dos operadores. No estudo de muitos problemas da física-matemática, na
perspectiva da teoria dos operadores, são fundamentais as questões da determinação da autoadjunticidade e do espectro de um operador.
O objetivo principal desta dissertação é fornecer uma introdução aos operadores de
Schrödinger do tipo H = −∆ + V , onde ∆ denota o laplaciano do Rn e V denota o operador de
multiplicação pela função V ambos definidos em um subespaço conveniente do L2 (Rn ), no que
diz respeito à determinação de sua auto-adjunticidade e do seu espectro. Como bem se sabe,
esses operadores emergiram da teoria ondulatória da matéria formulada pelo físico austríaco
Erwin Schrödinger na terceira década do século XX.
Esta dissertação se justifica pelo menos por três motivos: em primeiro lugar, para o
desenvolvimento da compreensão do Teorema Espectral de Operadores auto-adjuntos em
espaços de dimensão infinita; em segundo lugar, para um maior entendimento dos aspectos
matemáticos da Física Quântica, um conhecimento indispensável para o aprofundamento dos
estudos em física-matemática; em terceiro lugar, pela aquisição de conhecimentos necessários
para a compreensão das aplicações dos operadores de Schrödinger à mecânica quântica e à
Geometria Diferencial Global [4]. Este trabalho dissertativo encontra-se estruturado do seguinte
modo. No capítulo 1 encontram-se listados as definições e os resultados básicos acerca dos
operadores lineares não-limitados em um espaço de Hilbert que são necessários nos capítulos
subseqüentes.
Particularmente, definimos, caracterizamos e interrelacionamos operadores simétricos, autoadjuntos e essencialmente auto-adjuntos.
No capítulo 2, nos fixamos no problema da determinação do espectro do hamiltoniano livre.
8
Fazemos isso mostrando inicialmente que o hamiltoniano livre em L2 (Rn ) é unitariamente
equivalente a um operador de multiplicação; precisaremos neste ponto de trabalhar com a
transformada de Fourier definida em L2 (Rn ). Em seguida, analisamos mais detidamente as
propriedades dos operadores de multiplicação, dedicando especial atenção ao seu espectro.
No capítulo 3, demonstramos o Teorema de Kato-Rellich e o aplicamos para estudar a autoadjunticidade dos operadores de Schrödinger do tipo H = −∆+V . No capítulo 4, finalizamos o
nosso trabalho estudando os operadores de Schrödinger unidimensionais, tratando as questões
da determinação de sua auto-adjunticidade e do seu espectro. A consideração desses operadores
de Schrödinger em dimensão 1 permite uma abordagem mais simples dessas questões e ilustram
algumas das dificuldades que precisam ser enfrentadas para alcançarmos a compreensão desses
operadores.
9
Capítulo 1
Preliminares
Neste capítulo, estamos interessados em algumas definições e resultados básicos da teoria
dos operadores não-limitados, necessários para relacionar operadores simétricos, auto-djuntos
e essencialmente auto-adjuntos.
1.1
Operadores simétricos, auto-adjuntos e essencialmente
auto-adjuntos
Definição 1.1. Consideremos H um espaço de Hilbert. Um operador em H é uma aplicação
linear A : D(A) ⊂ H −→ H cujo domínio D(A) é um subespaço vetorial de H.
É importante observar que nesta definição não supomos A limitado ou contínuo.
Definição 1.2. Um operador linear A : D(A) ⊂ H −→ H é dito densamente definido
quando D(A) é um subconjunto denso em H, ou seja, quando o fecho D(A) de D(A) é igual a
H, isto é, D(A) = H.
Definição 1.3. Um operador A : D(A) ⊂ H −→ H é simétrico se
ϕ, Aψ = Aϕ, ψ , ∀ ψ, ϕ ∈ D(A).
Definição 1.4. O operador adjunto A∗ de um operador A em H densamente definido é dado
10
por
D(A∗ ) =
ψ ∈ H|∃ ψ̄ ∈ H : hAϕ, ψi = ϕ, ψ̄ , ∀ϕ ∈ D(A) ,
A∗ ψ = ψ̄.
Desse modo, vale a igualdade
hAϕ, ψi = hϕ, A∗ ψi , ∀ ϕ ∈ D(A), ∀ ψ ∈ D(A∗ ).
Como D(A) é denso em H, então o elemento ψ ∗ é único e assim A∗ está bem definido.
Entretanto, D(A∗ ) pode não ser denso em geral. De fato, pode conter apenas o vetor nulo.
Exemplo 1.1. Sejam H = L2 ([0, 1]) e ϕ ∈ H\{0} fixa. Considere A o operador definido por
D(A) = C([0, 1]) ⊂ H,
Af = f (1)ϕ.
Então, D(A∗ ) = ϕ e A∗ f = 0, f ∈ D(A∗ ).
Agora consideremos os operadores A e B, ambos em H. A soma deles é o operador A + B
dado por
D(A + B) = D(A) ∩ D(B)
(A + B)ϕ = Aϕ + Bϕ, ∀ ϕ ∈ D(A + B).
O operador composto de A e B é o operador AB dado por
D(AB) = {ϕ ∈ D(B)|Bϕ ∈ D(A)}
(AB)ϕ = A(Bϕ), ∀ ϕ ∈ D(AB).
A proposição seguinte lista algumas propriedades do operador adjunto.
Proposição 1.1.
(a) (αA)∗ = ᾱA∗ , ∀ α ∈ C
(b) Se A ⊂ B, então B ∗ ⊂ A∗ ;
11
(c) A∗ + B ∗ ⊆ (A + B)∗ . A igualdade ocorre apenas quando D(A + B) é denso em H.
(d) N (A∗ ) = Im(A)⊥
(e) B ∗ A∗ ⊂ (AB)∗ . Se B : H −→ H é limitado, então vale a igualdade.
(f ) (A + α)∗ = A∗ + ᾱ.
Demonstração.
Ver [11] e [5].
Vale notar que para operadores simétricos densamente definidos sempre temos a inclusão
A ⊆ A∗ (ver [14]). E se além disso tivermos A = A∗ então A será chamado auto-adjunto.
De acordo com as definições que já foram apresentadas notamos que operadores autoadjuntos são operadores simétricos, entretanto a recíproca não é verdadeira em geral, como
será visto no exemplo a seguir.
Exemplo 1.2. Seja H = L2 ([0, 1]) relativo a medida de Lebesgue λ, com produto interno
definido por
Z
hf, gi =
f ḡ dλ.
Ω
Considere os operadores T1 , T2 , T3 definidos em L2 ([0, 1]), cujos domínios são:
• D(T1 ) = {f ∈ AC[0, 1]|f 0 ∈ L2 [0, 1]};
• D(T2 ) = D(T1 ) ∩ {f |f (0) = f (1)};
• D(T3 ) = D(T1 ) ∩ {f |f (0) = f (1) = 0}.
Note que estes domínios são densos em L2 ([0, 1]). Defina
Tn f = if 0 ;
f ∈ D(Tn ),
n = 1, 2, 3.
T1∗ = T3 ,
T2∗ = T2 ,
T3∗ = T1 .
Queremos mostrar que
12
(1.1)
Sendo T3 ⊂ T2 ⊂ T1 , segue que T2 é uma extensão auto-adjunta do operador simétrico T3 e
que a extensão T1 de T2 não é simétrico.
De fato T3 é simétrico, pois dadas f, g ∈ D(T3 ) temos
Z 1
hT3 f, gi =
if 0 ḡ,
0
donde integrando por partes, obtemos
1
if ḡ 0 −
Z 1
if (ḡ 0 ) =
Z 1
0
¯ 0 ) = hf, T3 gi .
f (ig
0
desde que f (1)ḡ(1) = f (0)ḡ(0) = 0 e ig 0 = −iḡ 0 .
Mas, o operador T3 não é auto-adjunto como será visto no decorrer do exemplo.
Para demonstrar (1.1) observe que
Z 1
hTn f, gi =
0
1
if ḡ = if ḡ 0 −
0
Z 1
f (iḡ 0 ) =
0
Z 1
f (ig 0 ) = hf, Tm gi
0
onde f ∈ D(Tn ), g ∈ D(Tm ) e m + k = 4, desde que f (1)ḡ(1) = f (0)ḡ(0) = 0. Assim, Tm ⊂ Tn∗ .
Ou seja,
T1 ⊂ T3∗ ,
T2 ⊂ T2∗ ,
T3 ⊂ T1∗ .
Agora basta mostrarmos
as outras inclusões. Para isto, suponhamos g ∈ D(Tn∗ ), φ = Tn∗ g e
Z
x
façamos Φ(x) =
φ.
0
Portanto, para f ∈ D(Tn )
Z 1
0
1
if ḡ = hTn f, gi = hf, Tn∗ gi = hf, φi = f Φ̄ 0 −
0
Z 1
0
Z 1
Φf = f (1)Φ(1) −
0
Φf 0 .
(1.2)
0
Note que quando n = 1 ou n = 2, o domínio D(Tn ) contém constantes não nulas e por (1.2)
temos Φ(1) = 0. Quando n = 3, temos f (1) = 0.
Daí, para todos os casos, temos que
ig − Φ ∈ Im(Tn )⊥ .
(1.3)
Se n = 1, então Im(T1 ) = L2 ([0, 1]), ig = Φ. Uma vez que Φ(1) = 0, então g ∈ D(T3 ).
13
Portanto, T1∗ ⊂ T3 .
Se n = 2 ou n = 3, temos que Im(Tn ) consiste de todas as funções u ∈ L2 ([0, 1]) tais que
Z 1
u = 0.
0
Assim,
Im(T2 ) = Im(T3 ) = B ⊥ ,
onde B é o subespaço unidimensional de L2 ([0, 1]) que contém as constantes. Desse modo,
ig − Φ é constante, por (1.3). Portanto, g é absolutamente contínua e g 0 ∈ L2 ([0, 1]), isto é,
g ∈ D(T1 ). Logo, T3∗ ⊂ T1 .
Se n = 2, então Φ(1) = 0, assim g(0) = g(1) e g ∈ D(T2 ).
Portanto, T2∗ ⊂ T2 .
O lema seguinte estabelece um importante critério para que operadores simétricos sejam
auto-adjuntos.
Lema 1.1. Seja A simétrico tal que Im(A + z) = Im(A + z ∗ ) = H para um z ∈ C. Então A
é auto-adjunto.
Demonstração. Como A é simétrico temos que A ⊆ A∗ , então basta mostrar que A∗ ⊆ A.
Seja ψ ∈ D(A∗ ) e A∗ ψ = ψ̃. Uma vez que Im(A + z̄) = H, então existe ϑ ∈ D(A) tal que
(A + z̄)ϑ = ψ̃ + z̄ψ.
Assim, ∀ϕ ∈ D(A) temos
ψ, (A + z)ϕ
=
(A + z)∗ ψ, ϕ
=
(A∗ + z̄)ψ, ϕ
=
A∗ ψ + z̄ψ, ϕ
=
ψ̃ + z̄ψ, ϕ
=
(A + z̄)ϑ, ϕ
=
Aϑ + z̄ϑ, ϕ
=
Aϑ, ϕ + z̄ϑ, ϕ
=
ϑ, Aϕ + ϑ, zϕ
=
ϑ, (A + z)ϕ .
14
Portanto, ψ = ϑ ∈ D(A) já que Im(A + z) = H.
Definição 1.5. O produto interno ψ, Aψ é chamado a forma quadrática associada ao
operador A e denotamos por
qA (ψ) = ψ, Aψ , ∀ ψ ∈ D(A).
Assim, dizemos que um operador é não negativo se
qA (ψ) = ψ, Aψ ≥ 0, ∀ ψ ∈ D(A).
Definição 1.6. Uma extensão de um operador A : D(A) ⊂ H −→ H é um operador
S : D(S) ⊂ H −→ H tal que D(A) ⊆ D(S) e S|D(A) = A.
Notação: A ⊆ S.
Definição 1.7. Um operador A : D(A) ⊆ H −→ H é essencialmente auto-adjunto quando
possui uma única extensão auto-adjunta. Seja A : D(A) ⊂ H −→ H um operador auto-adjunto.
Um core (ou cerne) de A é um subespaço vetorial W ⊆ D(A) tal que A|W é essencialmente
auto-adjunto.
Uma generalização do lema anterior é o seguinte
Lema 1.2. Um operador simétrico A é essencialmente auto-adjunto se e somente se para um
z ∈ C\R vale uma das seguintes condições:
• Im(A + z) = Im(A + z ∗ ) = H;
• N (A∗ + z) = N (A∗ + z ∗ ) = {0}.
Se A é não negativo, podemos assumir z ∈ (−∞, 0).
Demonstração. Observe que as duas condições são equivalentes, pois N (A∗ ) = Im(A)⊥ .
(⇒) Agora suponhamos A fechado e z = x + iy. Então,
k(A − z)ψk2 = k(A − x)ψ − iyψk2 = k(A − x)ψk2 + kiyψk2 + i h(A − z)ψ, yψi −
i hyψ, (A − z)ψi.
15
Como A é simétrico, temos
k(A − z)ψk2 = k(A − x)ψ − iyψk2 = k(A − x)ψk2 + kiyψk2 ≥ y 2 kψk2
e inferimos que N (A − z) = {0}. De fato,
v ∈ Ker(A − z) ⇒ (A − z)v = 0 ⇒ k(A − z)vk = 0
e por outro lado,
0 = k(A − z)vk ≥ λ kvk ⇒ λ kvk = 0 ⇒ v = 0.
Além disso, fazendo ψ = (A − z)−1 ϕ obtemos
y 2 (A − z)−1 ϕ
2
⇒ (A − z)−1 ϕ
2
⇒ (A − z)−1 ϕ
≤ kϕk2
1
≤ 2 kϕk2
y
1
≤
kϕk
y
(1.4)
(1.5)
(1.6)
ou seja, k(A − z)−1 k ≤ |y|−1 o que mostra que (A − z)−1 é limitado e fechado. Uma vez que
(A + z) é um operador definido densamente podemos supor Im(A + z) = H. Trocando z por
z̄ temos Im(A + z̄) = H e assim pelo lema 1.1 A é auto-adjunto.
(⇐) Por hipótese A = A∗ e portanto, pelo cálculo feito anteriormente, temos
N (A∗ + z) = {0} , z ∈ C\R.
Usa-se um argumento análogo para o caso não negativo com z < 0 (ver [14]).
Definição 1.8. Uma bijeção U : H −→ H é dita unitária se
hU ψ, U ψi = hψ, U ∗ U ψi = hψ, ψi .
Portanto, U é unitário se, e só se,
U ∗ = U −1 .
Definição 1.9. Dois operadores lineares A : D(A) ⊆ H −→ H e A1 : D(A1 ) ⊆ H1 −→ H1
definidos em espaços de Hilbert H e H1 , respectivamente, são unitariamente equivalentes
16
quando existe um operador unitário U : D(A) −→ D(A1 ) chamado operador entrelaçante,
tal que
(A1 U )ψ = (U A)ψ, ψ ∈ D(A).
Definição 1.10. Um operador simétrico A é dito ser maximalmente simétrico quando A
não tem extensão simétrica própria, isto é, quando A ⊆ S, S simétrico implica S = A.
Proposição 1.2. Operadores auto-adjuntos são maximalmente simétricos.
Demonstração.
Suponhamos A um operador auto-adjunto em H e S um operador
simétrico em H tal que A ⊆ S. Como S é simétrico, temos S ⊆ S ∗ e como A ⊆ S, então
S ∗ ⊆ A∗ , pela proposição 1.1, letra (b).
Logo, como A∗ = A, segue-se que S = A.
1.2
Operadores fechados
Definição 1.11. O gráfico de um operador A em H é o subespaço vetorial τ (A) de H × H
dado por
τ (A) = {(ψ, Aψ)|ψ ∈ D(A)} .
Definição 1.12. Um operador fechado em H é um operador A : D(A) ⊂ H −→ H cujo
gráfico é um subespaço fechado de H × H, ou seja, quando dada uma seqüência {fn } ⊂ D(A),
com fn −→ f em H e Afn −→ g em H tem-se f ∈ D(A) e g = Af.
Teorema 1.1. Se A é um operador densamente definido em H, então
τ (A∗ ) = [U τ (A)]⊥ ,
o complemento ortogonal de U τ (A) está em H×H. Onde U é um operador unitário que satisfaz
U 2 = −I.
Demonstração.
Ver [11].
17
Teorema 1.2. Se A é um operador densamente definido em um espaço de Hilbert H, então A∗
é um operador fechado. Em particular, operadores auto-adjuntos são fechados.
Demonstração. Seja o subconjunto M ⊂ H × H. Temos que,
M ⊥ = {g ∈ H| hf, gi = 0, ∀f ∈ M }
\
é um espaço vetorial fechado, pois M ⊥ =
N ϕg , onde ϕg é o funcional linear contínuo
g∈M
ϕg (.) = h. , gi definido em H.
Logo, τ (A∗ ) é fechado em H × H, pelo teorema 1.1.
Teorema 1.3. Se A é um operador simétrico em H (não necessariamente densamente definido)
as seguintes afirmações são verdadeiras:
(a) k(A + iI)f k2 = kf k2 + kAf k2 , ∀f ∈ D(A);
(b) A é um operador fechado se, e somente se, Im(A + iI) é fechado;
(c) (A + iI) é injetiva;
(d) Se Im(A + iI) = H, então A é maximalmente simétrico;
(e) as afirmações precedentes são também verdadeiras quando i é trocado por −i.
Demonstração. (a) Basta observar que
k(A + iI)f k2 = hAf + if, Af + if i = hAf, Af i + hAf, if i + hif, Af i + hif, if i
= kAf k2 − i hAf, f i + i hf, Af i + kf k2
= kAf k2 + kf k2 ,
uma vez que A é simétrico.
(b) Se A é fechado, então (A + iI) também é fechado. Pela letra (a), temos
(A + iI)f ↔ {f, Af }
18
é uma isometria injetiva correspondente entre a Im(A + iI) e o τ (A). Assim, pela definição
1.12, concluímos nossa prova.
(c) Da letra (a) temos que k(A + iI)f k ≥ kf k. Se f ∈ Ker(A + iI) ⇒ (A + iI)f = 0 ⇒
k(A + iI)f k = 0. Mas,
0 = k(A + iI)f k ≥ kf k ⇒ kf k = 0 ⇒ f = 0.
Portanto, A é injetiva.
(d) Sendo Im(A + iI) = H e A1 uma extensão própria de A, temos que (A1 + iI) é uma
extensão própria de (A + iI) que não pode ser injetiva. Portanto, pela letra (c), A1 não é
simétrico.
Se trocarmos i por −i a demonstração é igualmente válida.
19
Capítulo 2
Espectro do Hamiltoniano livre
Nosso objetivo neste capítulo é determinar o espectro do hamiltoniano livre (ou operador de
Schrödinger livre), dado por H0 = −∆. Para tanto estudaremos o operador de multiplicação
e a transformada de Fourier, e a partir daí mostraremos que o laplaciano é unitariamente
equivalente ao operador de multiplicação.
2.1
Algumas propriedades do operador de multiplicação
Sejam (X, A, µ) um espaço de medida e g : X −→ C uma função mensurável.
Definição 2.1. O operador Mg (operador de multiplicação por g) é dado por
Mg : D(Mg ) ⊂ L2 (X, µ) −→ L2 (X, µ), onde D(Mg ) = f ∈ L2 (X, µ)|gf ∈ L2 (X, µ)
e
Mg f = gf, ∀f ∈ D(Mg ).
Antes de mais nada definimos a norma do espaço L2 (X, µ) por:
Z
kf k2 =
12
|f | dµ .
2
X
E além disso, seja f : (X, A, µ) −→ C uma função mensurável. Existe uma coleção
enumerável
Bi = B(λi , i ) de discos abertos que formam uma base da topologia usual de C. Seja V a união
20
destes discos Bi para os quais µ(f −1 Bi ) = 0. Então, µ(V ) = 0 e V é o maior subconjunto
aberto de C com essa propriedade.
Definição 2.2. A imagem essencial de f é, por definição, o complemento de V em C, ou
seja, o conjunto
Im ess(f ) = λ ∈ C|µ(f −1 B(λ, )) > 0, ∀ > 0 ,
onde
f −1 B(λ, ) = {x ∈ X; |f (x) − λ| < } .
Dessa maneira, a imagem essencial de f é o menor subconjunto fechado de C que contém
f (x) para quase todo x ∈ X, isto é, ∀ x ∈ X exceto aqueles que estão em algum conjunto
Ω ∈ A para o qual µ(Ω) = 0.
(Neste caso, define-se kf k∞ , o supremo essencial de f como sendo sup{|λ| ; λ ∈
Im ess(f )}.)
Observação: Se f for uma função contínua, então Im ess(f ) = Im(f ).
Exemplo 2.1. Seja f : R −→ R tal que f (x) = x2 . Então a Im ess(f ) = [0, ∞).
Proposição 2.1. Sejam g, h ∈ L∞ (X, µ). Então Mg : L2 (X, µ) −→ L2 (X, µ) satisfaz:
(a) Mλg+µh = λMg + µMh , para λ, µ ∈ C;
(b) Mgh = Mg ◦ Mh ;
(c) Mg∗ = Mḡ ;
(d) kMg k = kgk∞ , onde kgk∞ é o supremo essencial de g.
Demonstração. Sejam ψ ∈ L2 (X, µ) e ω ∈ X.
Na prova do ítem (a) temos
[Mλg+µh ψ] (ω) = (λg + µh)(ω)ψ(ω)
= [λg(ω) + µh(ω)]ψ(ω)
= λg(ω)ψ(ω) + µh(ω)ψ(ω)
= [λMg ψ + µMh ψ] (ω)
21
(b)
[Mgh ψ] (ω) = (gh)(ω)ψ(ω)
= g(ω)h(ω)ψ(ω)
= g(ω)t(ω), onde t(ω) = h(ω)ψ(ω)
= [Mg t] (ω)
= [Mg ◦ Mh ] (ψ)(ω)
(c)
φ, Mg∗ ψ
= hMg φ, ψi
Z
g(ω)φ(ω)ψ̄(ω)dµ(ω)
=
X
Z
=
φ(ω)[ḡ(ω)ψ(ω)]dµ(ω)
X
= hφ, Mḡ ψi
Portanto, Mg∗ = Mḡ .
(d) Como ψ ∈ L2 (X, µ), então ω 7→ g(ω)ψ(ω) é mensurável e assim
2
Z
kMg ψk =
Z
2
|g(ω)ψ(ω)| dµ =
X
|g(ω)|2 |ψ(ω)|2 dµ
ZX
sup ess |g|2 |ψ(ω)|2 dµ
X
Z
2
= sup ess |g|
|ψ(ω)|2 dµ < ∞
≤
X
= sup ess |g|2 kψk2
Logo, kMg ψk ≤ sup ess |g| kψk .
Para provarmos a outra desigualdade suponhamos α < sup ess |g| .
Sendo µ σ-finita e pela definição de sup ess, existe E ⊆ X de medida finita não nula tal que
22
|g(ω)| > α, ω ∈ E. Portanto,
2
Z
kMg XE k =
Z
2
|gXE | dµ =
X
2
Z
|gXE | dµ =
E
2
Z
α2 dµ
EZ
= α2
dµ
|g| dµ ≥
E
E
= α2 µ(E)
= α2 kXE k2 ,
2
Z
pois kXE k =
2
Z
|XE | dµ =
dµ = µ(E).
E
E
Isso implica que
kMg XE k2
≥ α2 .
kXE k2
2
2
g XE k
g ψk
≥ kM
≥ α, então
Como kMg k2 = sup kM
kψk2
kX k2
E
kMg k ≥ sup ess |g| .
A seguir provaremos algumas proposições que caracterizam o operador de multiplicação.
Proposição 2.2. Mg é um operador linear densamente definido e fechado.
Demonstração. Não é difícil verificar que D(Mg ) é um espaço vetorial e que além disso
é linear neste domínio. Então, primeiro povaremos que Mg é um operador linear densamente
definido.
Seja ψ ∈ L2 (X, µ) e para cada n ∈ N definamos a função ψn tal que
(
ψn (x) =
ψ(x), se |g(x)| ≤ n
0, se |g(x)| > n
Assim, para cada n ∈ N, ψn ∈ D(Mg ). Além disto ψn → ψ na norma L2 (X, µ).
De fato, |ψn | ≤ |ψ| q.t.p. e daí temos |gψn | = |g| |ψn | ≤ n |ψ|. Desse modo,
ψn ∈ L2 (X, µ) e gψn ∈ L2 (X, µ).
23
Note que ψn → ψ q.t.p, pelo teorema da convergência dominada, logo
ψn → ψ em L2 (X, µ).
Agora para mostrar que Mg é fechado, suponhamos
ψn ⊂ L2 (X, µ) tal que ψn → ψ e Mg ψn → φ ambas em L2 (X, µ).
Extraindo subsequências se necessário, podemos supor ψn → ψ q.t.p. e gψn → φ q.t.p..
Portanto, gψn → gψ q.t.p. e assim gψ = φ q.t.p..
Logo, ψ ∈ D(Mg ) e Mg ψ = φ.
Definição 2.3. Seja A : D(A) −→ H em um espaço de Hilbert complexo, onde D(A) é denso
em H e A pode ser não limitado. O operador C(A) dado por
C(A) = (A − iI)(A + iT )−1
é a transformada de Cayley de A.
Teorema 2.1. A é auto-adjunto se, só se, C(A) é unitário.
Demonstração.
Ver [15].
Proposição 2.3. Mg é um operador auto-adjunto.
Demonstração. A transformada de Cayley de Mg é o operador Mz , onde z : X −→ S 1 é
a função
z(ω) = [g(ω) − i][g(ω) + i]−1 .
Sendo z uma função com valores em S 1 , então Mg é unitário e portanto, pelo teorema 2.1
Mg é auto-adjunto.
24
Definição 2.4. O conjunto resolvente, denotado por ρ(A), de um operador linear
A : D(A) ⊂ H −→ H é o conjunto de todos os λ ∈ C para os quais A − λI é injetiva e existe
um operador linear limitado
S : H −→ H tal que a Im(S) ⊆ D(A),
(A − λI)Sg = g, ∀ g ∈ H e S(A − λI)f = f, ∀f ∈ D(A).
Definição 2.5. Então dizemos que o espectro de A, denotado por σ(A), é o complemento do
conjunto resolvente em C, isto é, σ(A) = C\ρ(A).
Proposição 2.4. O espectro de Mg é a imagem essencial de g.
Demonstração. Basta provarmos que o resolvente de Mg está contido no complementar
da Im ess(g).
Sabemos que o operador Mg é invertível, então
λ ∈ ρ(Mg ) ⇐⇒ 0 ∈ ρ(Mg − λI) = ρ(Mg−λ ) ⇐⇒ ∃ δ > 0; |g(ω) − λ| ≥ δ q.t.p.
−1
(uma vez que M(g−λ)
= M(g−λ)−1 , (g − λ) 6= 0) ⇐⇒ ∃ δ > 0 tal que
µ{ω : |g(ω) − λ| < δ} = µ[g −1 B(λ, δ)] = 0 ⇐⇒ λ ∈
/ Im ess(g).
Proposição 2.5. Sejam (X, µ) um espaço com medida e g : X −→ R uma função mensurável.
Então,
Mg ≥ 0 ⇐⇒ g ≥ 0 q.t.p..
Demonstração. (⇐) Observe que
Z
Z
hMg ψn , ψn i =
g(ω) |ψn (ω)|2 dµ(ω) ≥ 0,
g(ω) ψn (ω) ψ̄n (ω) dµ(ω) =
X
X
pois g ≥ 0, por hipótese.
(⇒)Seja E ⊆ X um conjunto mensurável de medida finita. Temos que
ψn = XE ∩ {ω:|g(x)|≤n} ∈ D(Mg ), ∀ n > 0
e daí
Z
0 ≤ hMg ψn , ψn i =
2
Z
g(ω) |ψn (ω)| dµ(ω) =
g(ω)dµ(ω).
E ∩ {ω:|g(x)|≤n}
X
25
Como E ⊆ X é mensurável de medida finita, então E =
∞
[
En desde que
n=1
En = E ∩ {ω : |g(x)| ≤ n}. Desse modo, para todo mensurável E ⊆ X de medida finita,
Z
g(ω)dµ(ω) ≥ 0.
E
Corolário 2.1. Seja T : D(T ) ⊂ H −→ H um operador linear unitariamente equivalente a um
operador multiplicação Mg . Então, σ(T ) = σ(Mg ) = Im ess(g).
Demonstração. Sejam U : D(U ) ⊂ H −→ H unitário e T = U −1 ◦ Mg ◦ U . Agora basta
notar que,
T − λI = U −1 ◦ Mg ◦ U − λI = U −1 ◦ (Mg − λI) ◦ U.
2.2
A transformada de Fourier no espaço de Schwartz
Definição 2.6. Seja N = {0, 1, 2, ...} o conjunto dos números naturais e Nn = N
× ... × N}.
| × N {z
Se α ∈ Nn , logo α = (α1 , α2 , ..., αn ) e é chamado de multi-índices.
n
Além disso, sejam x ∈ Rn e α multi-índices, segue que
|α| =
n
X
αj
;
xα = xα1 1 · xα2 2 · .... · xαnn
j=1
∂
α
=
∂
∂x1
α1
α2
αn
∂
∂
·
· ... ·
∂x2
∂xn
Definição 2.7 (Espaço de Schwartz). Denotamos por S(Rn ), a coleção das aplicações
f : Rn −→ C tais que f ∈ C ∞ (Rn ) e
kf kα,β = sup xα ∂ β f (x) < ∞.
x∈Rn
26
Teorema 2.2. Seja f ∈ C ∞ (Rn ). Então, f ∈ S(Rn ) se, e somente se,
lim xα ∂ β f (x) = 0,
|x|→∞
Demonstração.
∀ α, β ∈ N n
Ver [3].
Definição 2.8. Dizemos que uma seqüência {fk } em S(Rn ) converge para f ∈ S(Rn ), quando
lim kfk − f kα,β = 0
k→∞
∀ α, β ∈ N n .
Proposição 2.6. O espaço Schwartz S(Rn ) é denso em Lp (Rn ).
Demonstração.
Ver [3].
Definição 2.9. Suponha f ∈ S(Rn ). A Transformada de Fourier de f é a aplicação
F : S(Rn ) −→ S(Rn )
tal que
1
F(f )(p) = fˆ(p) =
(2π)n/2
onde p.x =
n
X
Z
e−ipx f (x)dn x,
Rn
p i xi .
i=1
Teorema 2.3. Se f ∈ S(RN ), então fˆ ∈ S(RN ) e valem as fórmulas:
(∂α f ) ˆ (p) = (ip)α fˆ(p);
(xα f (x)) ˆ (p) = i|α| ∂α fˆ(p).
(2.1)
(2.2)
Demonstração. Para a prova de (2.1) dado fˆ ∈ S(Rn ) e j = 1, ..., n, por integração por
27
partes, temos
Z
Z ∞
1
(∂α f )ˆ(p) =
e−ipx ∂j f (x) dxj dx̃
(2π)n/2 Rn−1 −∞
Z
Z ∞
1
−ip̃x̃
=
e
e−ipxj ∂j f (x) dxj dx̃
(2π)n/2 Rn−1
−∞
Z ∞
Z
1
−ipj xj ∞
−ipj xj
−ip̃x̃
f (x)e
|−∞ + ipj
f (x)e
dxj dx̃,
=
e
(2π)n/2 Rn−1
−∞
onde p ∈ Rn .
Temos que para cada (x1 , ..., xj−1 , xj , ..., xn ) ∈ Rn−1 a função t −→ f˜(t)e±itτ está em S(R),
onde f˜(t) = f (x1 , ..., xj−1 , t, xj+1 , ..., xn ) e assim
−ipj xj
f (x)e−ipj xj |∞
= lim (f˜(xj )e−ipj xj − f˜(xj )eipj xj ) −→ 0.
−∞ = lim f (x)e
xj →∞
xj →∞
Logo,
Z ∞
Z
1
−ip̃x̃
(∂α f )ˆ(p) =
f (x)e−ipxj dxj dx̃
ipj
e
(2π)n/2
n−1
−∞
R
n
ˆ
= ipj f (p), p ∈ R
(2.3)
(2.4)
e por indução para α natural, obtemos (∂α f )ˆ(p) = (ip)α fˆ(p).
Agora provaremos (2.2). Pela regra de Leibniz podemos derivar diretamente dentro do sinal
de integração, obtendo
(xj f (x))ˆ(p) =
=
=
=
Z
1
xj e−ipx f (x)dn x
n/2
(2π)
n
ZR
1
∂ −ipx
i
e
f (x)dn x
(2π)n/2 Rn ∂pj
Z
∂
1
−ipx
n
i
e
f (x)d x
∂pj (2π)n/2 Rn
∂ ˆ
i
f (p)
∂pj
k
∂ ˆ
e assim (xkj f (x))ˆ(p) = ik ∂p
f (p), ∀k ∈ N0 .
j
28
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
Logo,
α
n−1 \
(xαnn f )
∂ α fˆ = (−i)αn ∂1α1 ∂2α2 ...∂n−1
α
n−2
n
xαnn f )ˆ
(xαn−1
= (−i)αn−1 +αn ∂1α1 ...∂n−2
αf )
\
= i|α| (x
(2.9)
(2.10)
(2.11)
⇒ (xα f (x))ˆ(p) = i|α| ∂α fˆ(p).
Provaremos agora duas importantes propriedades.
Lema 2.1. Seja f ∈ S(Rn ). Então
(f (x + a)) ˆ (p) = eiap fˆ(p),
1 ˆ p
(f (λx)) ˆ (p) =
f ( ),
λn λ
a ∈ Rn ,
(2.12)
λ>0
(2.13)
Demonstração. Para provar (2.12) basta fazermos a substituição simples v = x + a;
d v = dn x, obtendo
n
(f (x + a))ˆ(p) =
=
=
=
Z
1
e−ipx f (x + a)dn x
(2π)n/2 Rn
Z
1
e−ip(v−a) f (v)dn v
(2π)n/2 Rn
Z
1
eipa e−ipv f (v)dn v
n/2
(2π)
Rn
ipa ˆ
e f (p), a ∈ Rn .
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Já para provar (2.13) façamos a seguinte substituição u = λx; dn u = λn dn x e assim
Z
1
(f (λx))ˆ(p) =
e−ipx f (λx)dn x
(2π)n/2 Rn
Z
p
1
1
=
e−iu λ f (u)dn u
n
n/2
λ (2π)
Rn
1 ˆ p
f( )
=
λn λ
(2.18)
(2.19)
(2.20)
29
2
Lema 2.2. Temos e−zx /2 ∈ S(Rn ) para Re(z) > 0 e
1
2
F(e−zx /2 )(p) =
z
2
e−p /(2z) .
n/2
Demonstração. Pela estrutura de produto da exponencial podemos reduzir o problema
para n = 1.
Consideremos a função φz (x) = exp(−zx2 /2). Então,
φ0z (x) = −zxφz (x) implica φ0z (x) + zxφz (x) = 0,
consequentemente i(pφ̂z (p) + z φ̂0z (p)) = 0.
Desse modo, calculando
1
φ̂z (p) =
(2π)n/2
Z
e−ipx φz (x)dn x
Rn
e da definição de φz , obtemos
φ1/z (p) = exp(−p2 /4),
Z
donde vemos que φ̂z (p) = cφ1/z (p) e sabendo que
1
c = φ̂z (0) = √
2π
1
exp(−x2 /2)dx = √
(ver [14]) obtemos
2π
R
Z
1
exp(−zx2 /2)dx = √
z
R
para z > 0. Como a integral é holomorfa para Re(z) > 0, isto vale para todo z com Re(z) > 0
se escolhemos excluir o raíz ao longo do eixo real negativo.
Mostraremos agora um importante resultado.
Teorema 2.4. A transformada de Fourier F : S(Rn ) −→ S(Rn ) é uma bijeção. Sua inversa é
dada por
Z
1
−1
eipx g(p)dn p.
F (g)(x) ≡ ǧ(x) =
n/2
(2π)
Rn
Além disso temos F 2 (f )(x) = f (−x) e também F 4 = I.
30
Por convergência dominada, usando os lemas (1.4) e (1.5) e pela
Demonstração.
linearidade de F temos
Z
1
(fˇ(p))ˇ(x) =
eipx fˇ(p)dn x
(2π)n/2 Rn
Z
1
= lim
φ (p)eipx fˇ(p)dn x.
→0 (2π)n/2 Rn
Usando Fubini e os lemas (1.4) e (1.5) temos
Z
Z
1
1
e−ipy φ (p)eipx f (y)dn xdn y
→0 (2π)n/2 Rn (2π)n/2 Rn
Z
1
lim
(φ (p)eipx )ˆ(y)f (y)dn y
→0 (2π)n/2 Rn
Z
1
eipx (φ (p))ˆ(y)f (y)dn y
lim
n/2
→0 (2π)
n
ZR
1
lim
(φ (x + a))ˆ(y − x)f (y)dn y
→0 (2π)n/2 Rn
Z
1
1
lim
exp(−(y − x)2 /2)f (y)dn y
→0 (2π)n/2 Rn n/2
Z
1
1
lim
φ1/ (y − x)f (y)dn y.
n/2
n/2
→0 (2π)
n
R
(fˇ(p))ˇ(x) = lim
=
=
=
=
=
Fazendo y = x +
√
z, dn y =
√
dn z obtemos
1
→0 (2π)n/2
= f (x)
(fˇ(p))ˇ(x) = lim
Z
φ1 (z)f (x +
√
z)dn z
Rn
Observação: A transformada inversa tem o mesmo tipo de propriedade da transformada
de Fourier. Note que,
fˇ(x) = fˆ(−x), ∀ x ∈ R.
Além disso,
fˆˇ(x) = f = fˇˆ(x)
(2.21)
Definição 2.10. Dada f ∈ L2 (Rn ) e {fn } qualquer seqüência em S(Rn ) tal que fn −→ f em
31
L2 (Rn ), segue que
lim fˆn = fˆ e
n→∞
lim fˇn = fˇ
n→∞
onde o limite é visto no sentido de L2 (Rn ).
Teorema 2.5. Sejam f, g ∈ S(Rn ). Então fˆ ∈ S(Rn ), vale a fórmula de inversão
−n/2
Z
fˆ(p)eipx dp, ∀x ∈ Rn
f (x) = (2π)
(2.22)
Rn
e
Z
Z
fˆg.
f ĝ =
Rn
Demonstração.
(2.23)
Rn
Ver [3].
Teorema 2.6 (Igualdade de Plancherel em S(Rn )). .Se f ∈ S(Rn ), então
kf kL2 = fˆ
L2
.
Demonstração. Da igualdade (2.23) do teorema 2.5 para ĝ = f¯, obtemos
Z
kf kL2 =
Z
Z
Rn
fˆfˇ¯ =
=
Rn
=
fˆg
f ĝ =
Rn
fˆ
Z
¯
fˆfˆ
Rn
L2
.
Assim, mostramos que F : (S(Rn ), k.kL2 ) −→ (S(Rn ), k.kL2 ) é um isomorfismo de espaços
vetoriais normados. Além disso, S(Rn ) = L2 (Rn ). Portanto, a tranformada de Fourier F pode
ser estendida pelo teorema
Teorema 2.7. A transformada de Fourier
F : L2 (Rn ) −→ L2 (Rn )
32
f 7→ fˆ = Ff
definida como a única extensão da transformada em S(Rn ) a L2 (Rn ) é um operador unitário,
isto é, vale a igualdade kf kL2 = fˆ .
L2
n
Demonstração. Sejam f ∈ L2 (Rn ) e {fn }∞
n=1 uma seqüência arbitrária em S(R )
convergindo a f em L2 (Rn ). Pela continuidade em L2 (Rn ) da transformada direta e inversa,
obtemos
fˆ
L2
=
lim fˆn = lim fˆn
n→∞
n→∞
L2
= lim kfn kL2 = kf kL2 ,
n→∞
além disso, temos
(fˆ)ˇ = lim (fˆn )ˇ= lim fn = f
n→∞
n→∞
e
(fˇ) ˆ = lim (fˇn )ˆ= lim fn = f,
n→∞
n→∞
onde o limite acima é interpretado no sentido de L2 (Rn ).
2.3
O Laplaciano em L2(Rn)
Finalmente utilizaremos a transformada de Fourier para definir o Laplaciano de maneira
maximal.
Consideramos duas cópias do Rn , em uma delas estão definidas as funções originais munidas
da variável "x"e a outra onde vive as transformadas munida da variável "p". Tal distinção é
importante na mecânica quântica, onde x e p são interpretadas como posição e momento de
uma partícula (no caso n = 3). Por conta disso, usaremos as notações L2 (Rn , dx) e L2 (Rn , dp).
Observe que de (2.1), obtemos para α = 2
−∆f = (|p|2 fˆ) ˇ, ∀f ∈ S(Rn ).
Portanto, denotaremos por H0 = −∆ o hamiltoniano livre (ou operador de Schrödinger
33
livre) tal que
D(H0 ) = {f ∈ L2 (Rn , dx) | |p|2 fˆ ∈ L2 (Rn , dp)}
e
H0 f = (M0 fˆ) ˇ= (F −1 M0 F)f, f ∈ D(H0 ),
(2.24)
onde M0 é o operador maximal de multiplicação por |p|2 em L2 (Rn , dp), isto é,
D(M0 ) = {g ∈ L2 (Rn , dp)| |p|2 g ∈ L2 (Rn , dp)}
(M0 g)(p) = |p|2 g(p), g ∈ D(M0 ), p − q.t.p..
Note que,
H0 f = −∆f
é auto-adjunto e além disso, por (2.22), é unitariamente equivalente ao operador de
multiplicação, isto é,
−∆ = F −1 Mg F,
onde g : Rn −→ R com g(x) = |x|2 .
Conseqüentemente, pelo corolário (2.1), temos
σ(H0 ) = σ(−∆) = [0, +∞).
Lema 2.3. O conjunto Cc∞ = {f ∈ S(RN )|supp(f ) é compacto} é um core para H0 .
Demonstração.
Ver [14].
Teorema 2.8. Funções em D(H0 ) são continuamente diferenciáveis.
Demonstração.
Ver [12].
34
Capítulo 3
Teorema de Kato-Rellich e Aplicações
Neste capítulo, a fim de estudarmos a auto-adjunticidade para o operador de Schrödinger
do tipo H = −∆ + V , demostraremos o teorema de Kato-Rellich, o qual nos dirá sob quais
condições teremos a auto-adjunticidade desejada.
Teorema 3.1. Seja ϕ ∈ L2 (Rn ) em H0 . Então,
(a) Se n ≤ 3, ϕ é uma função limitada contínua e para qualquer a > 0, existe um b,
independente de ϕ, tal que
kϕk∞ ≤ a kH0 ϕk + b kϕk
(3.1)
(b) Se n ≥ 4 e 2 ≤ q < 2n/(n − 4), então ϕ ∈ Lq (Rn ) e para qualquer a > 0, existe um b
(dependendo apenas de q, n e a) tal que
kϕkq ≤ a kH0 ϕk + b kϕk
Demonstração.
(3.2)
Ver [10].
Teorema 3.2. Sejam E um espaço de Banach e T ∈ B(E) tal que kT k < 1. Então, (I − T ) é
inversível e seu inverso é dado pela série de Neumann
(I − T )
−1
=
∞
X
n=0
35
T n,
onde a convergência vale na norma de B(E). Além disso,
(I − T )−1 ≤ (1 − kT k)−1 .
Demonstração.
Ver [15].
Definição 3.1. Seja A um operador auto-adjunto em H. Um operador B : D(A) −→ H é
A-limitado se e só se existem constantes positivas a e b tais que
kBηk2 ≤ a kAηk2 + b kηk2 , η ∈ D(A).
(3.3)
Se B é A-limitado, definimos o limite relativo de B com respeito a A, denotado por
NA (B) ∈ [0, ∞[ como sendo
NA (B) = inf{a ∈ [0, ∞[: ∃ b ∈ [0, ∞[ tal que (3.3) é válido para η ∈ D(A)}.
Se o limite relativo é zero, ou seja NA (B) = 0, então B é dito infinitesimalmente pequeno com
respeito a A.
Sabemos que o operador de Schrödinger é do tipo H = H0 +V , onde V é a função potencial.
A seguir damos um critério para saber quando uma função potencial V satisfaz a desigualdade
(3.3) com a < 1.
Teorema 3.3. As seguintes afirmações são equivalentes:
(a) D(H0 ) ⊂ D(V ).
(b) kV ψk2 ≤ C(kH0 ψk2 + kψk2 ), ψ ∈ D(H0 ).
Z x+1
(c) C0 = supx
|V (y)|2 dy < ∞.
x
(d) Para cada > 0 existe uma constante K tal que
kV ψk2 ≤ kH0 ψk2 + K kψk2 , ψ ∈ D(H0 ).
36
(3.4)
(e) A desigualdade (3.4) pode ser trocada por
kV ψk ≤ kH0 ψk + K kψk , ψ ∈ D(H0 ).
Demonstração.
Ver [12].
Teorema 3.4 (O Teorema de Kato-Rellich). Suponhamos que A seja um operador auto-adjunto
em H e B : D(A) −→ H um operador simétrico A-limitado com NA (B) < 1. Então
(a) A + B : D(A) −→ H é um operador auto-adjunto.
(b) A + B é essencialmente auto-adjunto em W ⊆ D(A) se e só se A é essencialmente
auto-adjunto em W .
Demonstração. (a) De fato A+B é simétrico, pois como A é auto-adjunto e B é simétrico,
para ϕ, η ∈ D(A) temos
h(A + B)ϕ, ηi = hAϕ + Bϕ, ηi = hAϕ, ηi + hBϕ, ηi = hϕ, Aηi + hϕ, Bηi = hϕ, (A + B)ηi .
Assim, basta provarmos que ∃ c > 0 tal que Im(A + B ± ic) = H e usarmos o lema (1.1).
Note que a existência das inversas (A±ic)−1 : H −→ D(A) é assegurada pela auto-adjunção
de A. Como B é A-limitado, então existem a < 1 e b ∈ R tais que
kBηk2 ≤ a kAηk2 + b kηk2 = a(kAηk2 + ba−1 kηk2 ) = a k(A ± ic)ηk2 , ∀η ∈ D(A),
1
onde c = (ba−1 ) 2 .
Façamos η = (A ± ic)−1 ϕ e assim
B(A ± ic)−1 ϕ
2
≤ a kϕk2 , ϕ ∈ H.
Portanto, B(A ± ic)−1 : H −→ H é um operador limitado de norma menor que um. Assim,
pelo teorema 3.2, segue que
I + B(A ± ic)−1 : H −→ H
é um operador invertível.
37
Como podemos escrever
A + B ± ic = [B(A ± ic)−1 + I](A ± ic)
(3.5)
concluimos que A + B ± ic : D(A) −→ H é bijetivo.
(b) A é essencialmente auto-adjunto em W ⊆ A ⇔ [A ± ic](W ) é denso em H. Por
[B(A ± ic)−1 + I] ser bicontínuo e por (3.5) temos que [A + B ± ic](W ) é denso em H, isto é,
B + A é essencialmente auto-adjunto em W . Do mesmo modo se [A + B ± ic] é essencialmente
auto-adjunto em W ⊆ D(A) e pela bicontinuidade de (3.5), então A é essencialmente autoadjunto em W .
Precisaremos definir uma classe de funções, como segue.
Definição 3.2. Seja hM, µi um espaço de medida. Denotamos por
Lr (M, dµ) + Ls (M, dµ) o conjunto de funções mensuráveis f em M tal que
Lr (M, dµ) + Ls (M, dµ) = {f ∈ M |f = f1 + f2 , onde f1 ∈ Lr (M, dµ) e f2 ∈ Ls (M, dµ)}.
A seguir fazemos uma aplicação do teorema de Kato-Rellich e denotamos por V o operador
multiplicação por v.
Teorema 3.5. Seja V ∈ L2 (R3 ) + L∞ (R3 ) real. Então −∆ + V é essencialmente auto-adjunto
em C0∞ (R3 ) e auto-adjunto em D(−∆).
Demonstração. Como V é real, por hipótese, então o operador de multiplicação por V é
auto-adjunto em
D(V ) = {ϕ|ϕ ∈ L2 (R3 ), V ϕ ∈ L2 (R3 )}.
Consideremos V = V1 + V2 , onde V1 ∈ L2 (R3 ) e V2 ∈ L∞ (R3 ). Então,
V (ϕ) = [V1 + V2 ](ϕ) = V1 (ϕ) + V2 (ϕ) implica kV (ϕ)k2 ≤ kV1 (ϕ)k2 + kV2 (ϕ)k2 .
38
Mas,
Z
kV1 (ϕ)k2 =
1/2
2
|V1 (ϕ)| dµ
(3.6)
R3
Z
2
1/2
2
|V1 | |ϕ| dµ
=
.
(3.7)
R3
Como |ϕ| ≤ kϕk∞ , então
kV1 (ϕ)k2
Z
2
≤
kϕk∞
2
1/2
|V1 | dµ
(3.8)
R3
= kϕk∞ kV1 k2 .
(3.9)
Como V2 ∈ L∞ (R3 ), então |V2 | ≤ kV2 k∞ , ϕ ∈ L2 (R3 ) e de modo análogo ao cálculo anterior
obtemos
kV2 (ϕ)k2 ≤ kV2 k∞ kϕk2
(3.10)
Portanto, de (3.8) e (3.10) segue que
kV (ϕ)k2 ≤ kV1 k2 kϕk∞ + kV2 k∞ kϕk2
(3.11)
e assim C0∞ (R3 ) ⊂ D(V ).
Pelo teorema 3.1 dado qualquer a > 0, existe b > 0 tal que
kϕk∞ ≤ a k−∆ϕk2 + b kϕk2 , ϕ ∈ C0∞ (R3 ).
(3.12)
kV (ϕ)k2 ≤ kV1 k2 (a k−∆ϕk2 + b kϕk2 ) + kV2 k∞ kϕk2
(3.13)
De (3.11) e (3.12) temos
= a kV1 k2 k−∆ϕk2 + (b + kV2 k∞ ) kϕk2
(3.14)
para todo ϕ ∈ C0∞ (R3 ).
Assim, V é −∆-limitado com limite arbitrariamente pequeno em C0∞ (R3 ). Visto que
−∆ é fechado e auto-adjunto ele é essencialmente auto-adjunto em C0∞ (R3 ), logo −∆ + V
é essencialmente auto-adjunto em C0∞ (R3 ), pelo teorema de Kato-Rellich. Além disso, como V
é simétrico segue do teorema de Kato-Rellich que −∆ + V é auto-adjunto em D(−∆).
39
p
Exemplo 3.1. Seja V (r) = −e2 /r, onde r = x2 + y 2 + z 2 . Então,
−∆ − e2 /r é essencialmente auto-adjunto em C0∞ (R3 ).
Teorema 3.6 (Teorema de Kato). Seja {Vk }m
k=1 uma coleção de funções reais mensuráveis cada
uma em L2 (R3 ) + L∞ (R3 ). Seja Vk (yk ) o operador multiplicação em L2 (R3 ) obtido escolhendo
m
X
3
yk como sendo três coordenadas de R . Então −∆ +
Vk (yk )é essencialmente auto-adjunto
em C0∞ (R3n ), onde ∆ denota o Laplaciano em R3n .
k=1
Demonstração. Pimeiro façamos para k. Como as normas k.k2 , k.k∞ e −∆ são invariantes
por rotações, então podemos supor que x1 , x2 , x3 são varáveis em Vk por uma rotação de
variáveis. O Laplaciano com relação a essas variáveis denotamos por ∆1 . Por (3.12), (3.3)
e pelo teorema 2.6, obtemos para toda ϕ ∈ C0∞ (R3n ) que
kVk ϕk2L2 (R3n )
≤ a
2
Z
2
|−∆1 ϕ(x1 , ..., x3n )| dx1 , ..., dx3n + b
2
Z
R3
= a2
Z
R3
≤ a
2
Z
R3
|ϕ(x1 , ..., x3n )|2 dx1 , ..., dx3n
R3
3
X
2
p2j ϕ(p1 , ..., p3n ) dp1 , ..., dp3n + b2 kϕk2
j=1
n
X
2
p2j ϕ(p1 , ..., p3n )
dp1 , ..., dp3n + b2 kϕk2
j=1
2
= a k−∆ϕk + b2 kϕk2 .
2
Daí, podemos concluir que
m
X
2
Vk (yk )ϕ
j=1
≤
m
X
kVk (yk )ϕk2 = m(a2 k−∆ϕk2 + b2 kϕk2 ),
j=1
para todo ϕ ∈ C0∞ (R3n ).
Como a pode ser escolhido tão pequeno quanto desejamos, então
m
X
Vk (yk ) é
j=1
infinitessimalmente pequeno com relação a −∆, ou seja,
m
X
Vk (yk ) é −∆-limitado. Logo,
j=1
pelo teorema de Kato-Rellich, −∆ +
m
X
Vk (yk ) é essencialmente auto-adjunto em C0∞ (R3n ).
k=1
40
Exemplo 3.2. (Hamiltoniano atômico) Sejam x1 , ..., xn ∈ R3 coordenadas ortogonais de R3n .
Então,
−
n
X
i=1
∆i −
n
X
ne2
i=1
|xi |
+
n
X
e2
|xi − xj |
i<j
é essencialmente auto-adjunto em C0∞ (R3n ).
41
Capítulo 4
Propriedades Espectrais de Operadores de
Schrödinger Unidimencionais
Neste capítulo, estudamos as questões de adjunticidade e do espectro dos operadores de
1 d2
Schrödinger unidimensionais do tipo H = − 2m
+V.
dx2
Iniciamos o capítulo enuciando alguns postulados da mecânica quântica unidimensional. A
escolha de dimensão 1 visa a evitar algumas dificuldades técnicas na abordagem do problema,
possibilitando, assim, que nos detenhamos em alguns pontos que julgamos mais essenciais do
problema. O enfoque axiomático, por seu turmo, permite que cheguemos mais rapidamente
ao tratamento das questões em que estamos interessados, evitando que nos detenhamos nas
motivações físicas dos conceitos da teoria quântica.
Neste capítulo, definimos também o espectro de um operador e caracterizamos o espectro
dos operadores auto-adjuntos no teorema 4.2.
2
1 d
Finalizamos determinando o espectro dos operadores de Schrödinger H = − 2m
+ V em
dx2
alguns casos. A nossa referência básica neste capítulo é Schechter [14].
4.1
O movimento unidimensional
Postulado I: Para cada partícula movendo-se ao longo de uma reta existe uma função
complexa ψ(x, t) da posição x e do instante t tal que a probalidade de que a partícula se
42
encontre no intervalo I ⊆ R no instante t é dado por
Z
|ψ(x, t)|2 dx.
(4.1)
I
Note que esse postulado não nos diz como determinar a posição de uma partícula, mas
apenas como determinar a probabilidade de encontrá-la em um dado intervalo I da reta. Esse
enfoque probabilístico é uma característica distintiva da teoria quântica com relação a física
clássica.
A função ψ dada no postulado 1 é denominada função de estado (ou função de onda)
da partícula. Observe que ψ(x, t) ∈ C.
Uma vez que temos a certeza de que uma partícula deve estar em algum lugar ao longo da
reta R, podemos afirmar que
Z
|ψ(x, t)|2 dx = 1,
R
para cada instante t.
Em termos da teoria da medida, a expressão (4.1) pode ser reescrita na forma
kψ(., t)k2L2 (I) .
Desse modo,
kψ(., t)k2L2 (R) = 1.
Para enunciar o próximo postulado, precisamos da noção de valor esperado (ou valor
médio) de uma grandeza w. Se w é uma grandeza que pode assumir qualquer valor de um
intervalo [a, b], então podemos associar a cada subintervalo Ik de [a, b] a probabilidade PIk de
que o valor de w esteja em Ik . O valor esperado w̄ de w é dado por
w̄ = lim
N
X
N −→∞
!
wk PIk
,
k=1
onde wk é um ponto arbitrário de Ik , 1 ≤ k ≤ N .
Logo,
Z
w̄ =
w |ψ(x, t)|2 dx.
[a,b]
43
(4.2)
Em termos da teoria da medida, a expressão (4.2) pode ser reescrita na forma
w̄ = hwψ(., t), ψ(., t)iL2 ([a,b]) .
Quando x é a posição de uma partícula, então o valor médio de x é dado por
x̄ = hMx ψ, ψiL2 (I) ,
onde Mx ψ = xψ é o operador de multiplicação por x.
Em física clássica, o momento P de uma partícula é definido como
P =m
dx
= massa × velocidade.
dt
Em física quântica define-se o momento P de uma partícula como sendo o operador
P ψ = i~
∂ψ
,
∂x
onde ~ é a constante de Planck.
Postulado II: A probabilidade de que o momento de uma partícula pertença ao intervalo I
é dada por
Z
P̄ = hP ψ, ψiL2 (I) =
(P ψ)ψ̄dx.
I
Para enunciar o próximo postulado, precisamos do conceito de observável. Um observável
é qualquer grandeza que pode ser medida em física. Temos visto até aqui dois exemplos de
observáveis: a posição x e o momento P . Em cada um desses casos temos visto que se a denota
um observável, então existe um operador A tal que
ā = hAψ, ψiL2 (I) .
O operador correspondente ao observável posição x é o operador de multiplicação
Mx : D(Mx ) ⊂ L2 (I) −→ L2 (I),
Mx (ψ)
44
=
xψ.
O operador correspondente ao observável momento P é o operador
P ψ = −i~
∂ψ
.
∂x
Em subespaços convenientemente escolhidos de L2 (I) esses operadores são auto-adjuntos.
Isso motiva o postulado seguinte.
Postulado III: A todo observável corresponde um operador A com domínio denso D(A) em
L2 (I) de modo que
ā = hAψ, ψiL2 (I) .
Se B é um operador hermitiano tal que D(A) ⊆ D(B) e ā = hAψ, ψiL2 (I) para todo ψ ∈ D(A),
então B = A.
Postulado IV: Se f é uma função mensurável a Borel e a é um observável, então f (a) também
é um observável. Se A é o operador que corresponde ao observável a, então A2 é o operador
que corresponde ao observável a2 .
Sabemos que a função estado ψ(x, t) depende do tempo, bem como da posição, embora até
aqui estudamos apenas para um tempo fixado. Além disso o potencial pode ser uma função
V (x, t) em função do tempo, bem como da posição. Note que isso provocaria o operador
Hamiltoniano a depender do tempo.
Afim de discutir a dependência do tempo em ψ enuciaremos o próximo postulado.
Postulado V: Se H(t) é o operador Hamiltoniano (energia total) e ψ(t) = ψ(x, t) é o estado
de uma partícula no momento t, então ψ(t) é uma solução de
i~ψ 0 (t) = Hψ(t).
No que se segue, fazemos algumas observações acerca do hamiltoniano (ou operador de
Schrödinger) em dimensão 1.
Como se sabe, em física clássica a enégia cinética T de uma partícula é dada por
P2
T =
,
2m
onde P é o momento e m é a massa da partícula. Então o valor médio de T é dado por
T̄ =
1
P 2 ψ, ψ .
2m
45
Por outro lado, a enegia potencial é dada pela função real de posição V (x). A enegia total é
dada por
E=
P2
+ V.
2m
Se V é uma função tal que
Z ∞
M|V | ψ(., t), ψ(., t) =
|V (x)| |ψ(x, t)|2 dx < ∞,
−∞
então o valor esperado de V pode ser obtido como
Z ∞
V̄ =
V (x) |ψ(x, t)|2 dx.
−∞
Desse modo, chegamos à seguinte expressão para o valor médio de enegia:
Ē = hHψ, ψi ,
2
1 d
onde H = − 2m
+V.
dx2
4.2
Cálculo funcional boreliano
Começaremos esta seção enuciando o teorema espectral na sua forma multiplicativa.
Teorema 4.1. Teorema Espectral (forma multiplicativa). Um operador linear
A : D(A) ⊂ H −→ H é auto-ajunto se, e somente se, A é unitariamente equivalente a um
operador de multiplicação Mg , atuando em um espaço L2 (X, µ), para algum espaço de medida
(X, µ) separável e σ-finito e alguma função mensurável g : X −→ R .
Demonstração.
Ver [9].
Definição 4.1. Seja A : D(A) ⊂ H −→ H um operador auto-ajunto. Suponha que A é
unitariamente equivalente a Mg . O Cálculo funcional boreliano para A é a aplicação
π : B(R) −→ L(L2 (X, µ))
46
que cada função mensurável à Borel f ∈ B(R) associa o operador linear limitado
π(f ) = f (A) = Mf ◦g .
Sejam E ⊆ R um conjunto mensurável à Borel e XE (x) a função característica do conjunto
E. Então, XE (A) = MXE ◦g = π(XE ).
Observação:
π : B(R) −→ L(L2 (X, µ))
é uma representação da álgebra B(R) em L2 (X, µ), tal que
(a) π é um homomorfismo de anéis tal que π(1B(R) ) = IL2 (X,µ) ;
(b) π(f¯) = π(f )∗ , ∀f ∈ B(R).
Definição 4.2. Seja A : D(A) ⊂ H −→ H um operador auto-ajunto. As medidas espectrais
de A como as medidas borelianas em R são dadas por
υh (E) = hXE (A)h, hiL2 (X,µ) , h ∈ H, E ⊆ R.
Observações:
(a) Se A é unitariamente equivalente a Mg , então
Z
XE dυh = υh (E) = hXE (A)h, hiL2 (X,µ)
R
= hMXE ◦g h, hiL2 (X,µ)
= h(XE ◦ g)h, hiL2 (X,µ)
Z
=
(XE ◦ g)h h̄ dµ
X
Z
(XE ◦ g) |h|2 dµ.
=
X
(b) Se s é uma função simples (isto é, a imagem de s é finita, s(I) = {xi }ni=1 , e se cada imagem
inversa s−1 (xi ), 1 ≤ i ≤ n, é um conjunto de Borel), então pela linearidade da integral,
segue-se que
Z
Z
s dυh =
X
R
47
(s ◦ g) |h|2 dµ.
(4.3)
(c) Pelo teorema da convergência monótona, (4.3) vale para toda função boreliana
f : R −→ [0, +∞], ou seja,
Z
Z
(f ◦ g) |h|2 dυh .
f dυh =
X
R
Logo,
f ∈ L2 (R, υh ) ⇐⇒ h ∈ D(Mf ◦g ).
Com efeito,
Z
Z
2
|f | dυh =
|f ◦ g|2 |h|2 dυh .
X
R
Teorema 4.2. Seja A : D(A) ⊂ H −→ H auto-adjunto. Então, σ(A) ⊆ R e para cada λ ∈ R
as seguintes condições são equivalentes:
(a) λ ∈ σ(A);
(b) Para todo intervalo aberto I da reta que contém λ tem-se XI (A) 6= 0;
(c) Existe uma seqüência {ψn } ⊂ D(A) tal que kψn k = 1 e
k(λI − A)ψn k −→ 0 quando n −→ +∞.
Demonstração.
Podemos admitir, pelo teorema espectral, que A = Mg agindo em
2
L (X, dµ). Então, pelas proposições 2.4 e 2.5,
σ(A) = σ(Mg ) = Im ess(g) ⊆ R.
(a) =⇒ (b): Por hipótese λ ∈ σ(A). Suponhamos por absurdo que existe um intervalo
I ⊆ R que contém λ para o qual XI (A) = 0.
Agora defina ϕ : R −→ R do seguinte modo:
(
ϕ(x) =
(λ − x)−1 , se x ∈
/I
0, se x ∈ I
48
Note que ϕ é contínua por partes e limitada em R. Asssim, ϕ(A) é um operador limitado.
Consideremos a equação
ϕ(x)(λ − x) = 1 − XI (x),
da qual obtemos
ϕ(A)(λI − A) = 1 − XI (A) = 1 sobre D(A)
e
(λI − A)ϕ(A) = 1 − XI (A) = 1 sobre H.
Logo, λ ∈ ρ(A). O que contradiz a hipótese de que λ ∈ σ(A).
(b) =⇒ (c): Seja {In } uma seqüência de intervalos abertos, onde In = (λ − n1 , λ + n1 ).
Se XIn (A) 6= 0, então
∃ ψn ∈ Im MXIn ◦g tal que kψn k = 1 para cada n.
Com efeito, se XIn (A) 6= 0, então Im [MXIn ◦g ](fn ) = (XIn ◦ g).fn 6= 0, para algum
fn ∈ D(MXIn ◦g ).
Defina
(
ψn (x) =
XIn (g(x)).f (x)
,
kXIn (g(x)).f (x)k
se x ∈ X̃
0, se x ∈ X\X̃,
onde X̃ = {x ∈ X|XIn (g(x)).f (x) 6= 0}.
Devemos mostrar que ψ ∈ D(Mg ). Se ψn (x) 6= 0, então g(x) ∈ In . Assim,
|gψn | = |g| |ψn | ≤ λ +
1
1
.1 = λ +
n
n
q.t.p..
Desse modo,
Z
1
|gψn | dµ ≤ (λ + )2
n
X
2
2
pois ψn ∈ L (X, dµ).
49
Z
X
|ψn |2 dµ < ∞,
Portanto, ψ ∈ D(Mg ). Agora resta provar que k(λI − Mg )ψn k −→ 0 quando n −→ +∞.
De fato,
|(λI − Mg )ψn |2 = |λψn − Mg ψn |2 = |λψn − gψn |2 = |(λ − g)ψn |2
= |λ − g|2 |ψn |2 .
Mas,
|g − λ| ≤ − |λ| + |g| = −λ + λ +
1
1
= .
n
n
Daí, obtemos
Z
1
k(λI − Mg )ψn k =
|g − λ| |ψn | dµ ≤ 2
n
X
quando n −→ +∞.
2
2
2
Z
|ψn |2 dµ −→ 0,
X
(c) =⇒ (a): Por absurdo, suponhamos que λ ∈
/ σ(A). Por hipótese, ∃ {ψn } ⊂ D(A) tal que
kψn k = 1 e k(λI − A)ψn k −→ 0 quando n −→ +∞.
Se λ ∈
/ σ(A), então a função resolvente R(λ) = (λI − A)−1 de A é um operador limitado.
Assim, kψn k = kR(λ)(λI − A)ψn k.
Da hipótese, obtemos a seguinte contradição:
1 = lim kψn k = lim kR(λ)(λI − A)ψn k = 0.
n−→∞
n−→∞
Portanto, λ ∈ σ(A).
Teorema 4.3. Se I é um intervalo aberto de R e XI (A) = 0, então I ⊂ ρ(A).
Demonstração. Suponhamos λ0 ∈ I. Defina
(
g(λ) =
(λ0 − λ)−1 , se λ ∈
/I
0, se λ ∈ I.
Note que g(λ) é contínua por partes e limitada. Portanto, g(A) é um operador limitado q.t.p..
Basta mostrar que λ0 ∈ ρ(A).
50
Para ver isso, consideremos a equação
g(λ)(λ0 − λ) = 1 − XI (λ).
Disso e do fato que XI (A) = 0 por hipótese, temos
g(A)(λ0 I − A) = 1 − XI (A) = 1 sobre D(A)
e
(λ0 I − A)g(A) = 1 − XI (A) = 1 sobre H.
Logo, λ0 ∈ ρ(A).
Corolário 4.1. ρ(A) é um conjunto aberto.
Demonstração. Suponhamos que z ∈ ρ(A). Temos duas possibilidades:
i) se z ∈
/ R, então ∃ > 0 tal que z é centro de uma bola B(z, ) que contém pontos não
reais. Assim, pelo teorema (4.2) letra (a), B(z, ) ⊂ ρ(A);
ii) se z ∈ R, pelos teorema (4.2) letras (a) e (b) e teorema (4.3), z é centro de um intervalo
aberto I tal que I ⊂ ρ(A). O comprimento deste intervalo I é o diâmetro de um disco totalmente
contido em ρ(A).
Corolário 4.2. σ(A) é um conjunto fechado.
Demonstração. É óbvio, visto que σ(A) = C\ρ(A).
Definição 4.3. Seja I ⊆ R um intervalo. Sejam P (a ∈ I) (e P (a ∈
/ I)) as probabilidades de
que o observável a se encontre (respec. não se encontre) no intervalo I. Seja A o operador
simétrico correspondente ao observável a. Então
P (a ∈ I) = hXI (A)f, f iL2 (R,dµ) ,
51
onde XI (A) é a função característica do intervalo I.
Corolário 4.3. Um observável pode assumir valores apenas no espectro do seu operador
correspondente.
Demonstração. Seja a um observável com operador correspondente A.
Se λ0 ∈ ρ(A), então, pelo teorema (4.2) letra (b), existe um intervalo aberto I contendo λ0
tal que XI (A) = 0. Assim,
P (a ∈ I) = hXI (A)f, f i = 0
para toda função estado f . Portanto, a não pode assumir valores em I.
4.3
O operador momento
Denotamos por P o operador momento tal que
n
o
D(P ) = f ∈ L2 |k fˆ(k) ∈ L2 ,
P f = ~(k fˆ(k))ˇ,
onde ~ é a constante de Planck.
d
. Além disso, note que P é unitariamente
Observe que podemos escrever P = −i~ dx
equivalente a um operador de multiplicação, assim, pelo teorema espectral, o operador P é
auto-adjunto.
Teorema 4.4. O operador momento não admite autovalor em C 1 (R) ∩ L2 (R, dx).
Demonstração. Suponha que existe f 6= 0 em C 1 (R) ∩ L2 (R, dx). Então,
P f = λf =⇒ λf + i~f 0 = 0.
A solução geral dessa equação diferencial é dada por f (x) = ceiλx/~ , onde c é uma constante.
Se f ∈ L2 (R, dx), então c = 0. Portanto, f = 0 em L2 (R, dx), o que é contradição.
Logo, não existe autovetor f de P em C 1 (R) ∩ L2 (R, dx).
52
Teorema 4.5. Seja P o operador momento. Então, σ(P ) = R.
2
−x
Z Demonstração. Seja f (x) = ce , onde c é uma constante escolhida de modo que
|f (x)|2 dx = 1.
R
Defina
onde λ ∈ R. Então,
1 x iλx/~
fn (x) = √ f
e
,
n
n
1
kfn k =
n
2
Z
f
x 2
n
R
dx = 1.
Além disso, k(P − λI)fn k −→ 0, quando n −→ ∞. De fato,
x
fn0 (x) = n−3/2 f 0 ( )f0 + iλfn (x)/~,
n
onde f0 = eiλx/~ . Assim,
−3/2 0
P fn = λfn − i~n
f
x
n
f0 .
Portanto, k(P − λI)fn k −→ 0, quando n −→ ∞.
Pelo teorema (4.2), concluímos que R ⊆ σ(A). Como P é auto-adjunto, então σ(A) ⊆ R.
Logo, σ(P ) = R.
Observe que P = ~(F −1 Mg F), onde g : R −→ R, g(k) = k. Logo, σ(P ) = Im ess(g) = R.
4.4
O operador energia
1
d
Seja H0 = 2m
P 2 o operador energia, onde P = −i~ dx
. Considere o operador de
Schrödinger unidimensional
H = H0 + V,
onde V é o operador multiplicação Mv (f ) = vf .
Para examinar o operador H, vamos estudar os operadores H0 e V separadamente.
53
Um passo importante na definição de um operador é a escolha do seu domínio.
Observe que,
D(H) = D(H0 ) ∩ D(V ).
Para o operador H0 um domínio que parece natural é D(P 2 ).
Teorema 4.6. O quadrado de um operador auto-adjunto é auto-adjunto.
Demonstração.
Ver [12].
Corolário 4.4. H0 é um operador auto-adjunto.
d
1
P 2 , onde P = −i~ dx
é o operador momento. Então,
Teorema 4.7. Seja H0 = 2m
σ(H0 ) ⊆ [0, +∞).
Demonstração. Como H0 é auto-adjunto, temos que σ(H0 ) ⊆ R. Para cada λ ∈ R,
podemos escrever
H0 − λ =
√
√
1
(P + 2mλI)(P − 2mλI).
2m
√
√
Agora, se λ < 0, então ± 2mλ é não-real. Donde se conclui que ± 2mλ estão no conjunto
resolvente de P , ρ(P ).
Isso mostra que λ ∈ ρ(H0 ) quando λ < 0. Portanto, segue-se que σ(H0 ) ⊆ [0, +∞).
Teorema 4.8. O espectro de H0 consiste dos números reais não-negativos. Ou seja,
σ(H0 ) = [0, +∞).
2
Demonstração. Seja f (x) = ce−x , onde a constante c é escolhida de modo que
Z
f (x)2 dx = 1.
R
Defina
1 x
fn (x) = √ f
f0 (x),
n
n
54
onde f0 = eiλx/~ .
Então,
Z
2
kfn (x)k =
x 2
f
n
R
dx = 1.
Além disso,
fn0 = iγfn + f 0
x
n
e
fn00 = −γ 2 fn + 2iγn−3/2 f 0
eiγx n−3/2 , onde γ =
x
n
eiγx + n−5/2 f 00
λ
~
x
n
eiγx .
Assim,
fn00 + γ 2 fn
≤ 2γn
−3/2
= 2γn
−1/2
f
0
x
f
0
n
x
n
−5/2
+n
−3/2
+n
f
00
x
f
00
n
x
n
.
Isto mostra que, k(H0 − λI)fn k −→ 0 quando n −→ ∞, visto que (H0 − λI)fn = fn00 + γ 2 fn .
Daí, obtemos que (0, +∞) ⊂ σ(H0 ). Como o espectro de um operador é um conjunto
fechado, concluímos que [0, +∞) ⊆ σ(H0 ).
Disso e do teorema 4.7, concluímos que σ(H0 ) = [0, +∞).
Note que H0 = ~(F −1 Mg F), onde g : R −→ R, g(k) = k 2 . Logo, σ(P ) = Im ess(g) =
[0, +∞).
Proposição 4.1. H0 não admite autovalores em C 2 (R) ∩ L2 (R, dx).
Demonstração. Consideremos, inicialmente, a equação
H0 f = λf, λ > 0
que dá os autovalores positivos de H0 .
Então,
λ2m
~2 00
~2 00
−
f − λf = 0 ⇒
f + λf = 0 ⇒ f 00 + 2 f = 0,
2m
2m
~
onde γ 2 = λ2m
. A solução geral desta equação é dada por
~2
f (x) = c+ eiγx + c− e−iγx ,
55
onde c+ , c− são constantes.
A condição necessária para que f (x) ∈ L2 (R, dx) é que as constantes c+ , c− sejam nulas.
Então, H0 não admite autovalores positivos.
Consideremos, agora, o problema de determinação do espectro do operador de Schrödinger
unidimensional H = H0 + V , onde estamos supondo que D(H) = D(H0 ) ∩ D(V ).
Teorema 4.9. Seja b ∈ R. Se V (x) ≥ b para todo x ∈ R, então todo λ < b está no resolvente
de H, ou seja, (−∞, b) ⊆ ρ(H).
Demonstração. Para f ∈ D(H), temos
h(H − λI)f, f i = hH0 f, f i + h(V − λI)f, f i
1
P 2 f, f + h(V − λI)f, f i
=
2m
1
=
hP f, P f i + h(V − λI)f, f i
2m
1
=
kP f k2 + h(V − λI)f, f i .
2m
Como λ < b, então
h(H − λI)f, f i ≥ (b − λ) kf k2
(4.4)
Se λ ∈ σ(H), então existe uma sequência {fn } ⊂ D(H) com kfn k = 1 tal que
k(H − λI)fn k −→ 0, quando n −→ +∞.
Assim, de (4.4) obtemos uma contradição. Portanto, λ ∈
/ σ(H).
Logo, se λ < b, então λ ∈ ρ(H).
Teorema 4.10. Com a notação acima, se V (x) = b para todo x em um intervalo não-limitado
I ⊆ R, então todos os λ ≥ b estão no espectro de H, ou seja, [b, +∞) ⊆ σ(H).
Demonstração. Seja ϕ(x) 6≡ 0 uma função de classse C 2 em R que se anula para x grande
e fora de I. Multiplicando ϕ por uma constante adequada, podemos supor que kϕkL2 (I) = 1.
Faça
1 x iγx
fn (x) = √ f
e ,
n
n
56
onde γ 2 = 2m(λ−b)
. Note que as funções fn se anulam para x grande e fora de I. Um cálculo
~2
simples mostra que kfn k = 1 e que
fn00 + γ 2 fn = 2iγn−3/2 f 0
x
n
eiγx + n−5/2 f 00
x
n
eiγx .
Visto que,
(H − λI)fn =
~2 00
(f + γ 2 fn )
2m n
obtemos a desigualdade
k(H − λI)fn k ≤
~2 γ 0
~2
kf k +
kf 00 k .
mn
2mn2
Observe que k(H − λI)fn k −→ 0 quando n −→ ∞.
Portanto, pelo teorema (4.2), λ ∈ σ(H) quando λ ≥ b.
Como aplicação destes teoremas vejamos os exemplos seguintes:
Exemplo 4.1. Seja
(
V (x) =
b1 , se x < a
b2 , se x > a
Observe que pelo teorema 4.9
(−∞, min(b1 , b2 )) ⊂ ρ(H).
(4.5)
E além disso, pelo teorema 4.10, [min(b1 , b2 ), ∞) ⊂ σ(H). Aplicando o complementar em (4.5),
obtemos
σ(H) = [min(b1 , b2 ), ∞).
Exemplo 4.2. Considere
b1 , se x < 0
V (x) =
b2 , se 0 < x < a
b3 , se a < x
Seja b0 = min(b1 , b3 ) tal que b2 ≥ b0 . Assim, pelo teorema 4.9,
(−∞, b0 ) ⊂ ρ(H).
57
(4.6)
E pelo teorema 4.10, [b0 , ∞) ⊂ σ(H). Pelo complementar em (4.6), concluímos que
σ(H) = [b0 , ∞).
Os teoremas 4.9 e 4.10 atendem ao intervalo J = [b2 , b0 )? A resposta é não.
Basta notar que o teorema 4.9 estabelece (−∞, b2 ) ⊂ ρ(H), enquanto que [b0 , ∞) ⊂ σ(H),
pelo teorema 4.10.
Então, queremos saber se existem pontos no intervalo J = [b2 , b0 ) os quais estão em σ(H).
Isto será estudado na seção que segue.
4.4.1
Procurando uma solução
Primeiramente vamos observar os autovalores. Suponhamos λ ∈ J = [b2 , b0 ) e seja
(H − λ)ψ = 0
(4.7)
a equação diferencial em um intervalo I.
De (4.7) decorre que
Hψ − λψ = 0 ⇒ H0 ψ + V ψ − λψ = 0 ⇒ −
~ 00
ψ + bj ψ − λψ, j = 1, 2, 3
2m
onde V é o operador multiplicação por bj .
Portanto, uma solução para (4.7) satisfaz
~2 ψ 00 + 2m(λ − bj )ψ = 0 em Ij , j = 1, 2, 3,
(4.8)
ou seja,
2m(λ − bj )
ψ = 0,
~2
onde I1 = (∞, 0), I2 = (0, a) e I3 = (a, ∞).
ψ 00 +
Considere γj2 = 2m |λ − bj | /~2 , j = 1, 2, 3. Daí,
γ22 − γj2 = 2m(bj − b2 )~2 ≡ c2j , j = 1, 2, 3
58
(4.9)
e
ψ 00 − γj2 ψ = 0 em Ij , j = 1, 3,
(4.10)
ψ 00 + γ22 ψ = 0 em I2 .
(4.11)
Através de métodos adequados da teoria das equações diferenciais obtemos a solução mais geral
de (4.10) e (4.11) em L2 (R, dx), que é dada por
A1 eγ1 x , em I1
ψ(x) =
A2 sen(γ2 x + α), em I2
A3 e−γ3 x , em I3
(4.12)
Podemos assumir A2 = 1, visto que podemos multiplicar ψ por uma constante arbitrária
ela continuará satisfazendo (4.10) e (4.11). Observe que V satisfaz a letra (c) do teorema 3.3.
Portanto, D(H) = D(H0 ). Desse modo, qualquer autofunção de H deve ser continuamente
diferenciável pelo teorema (2.8).
Portanto, sendo (4.12) uma autofunção de H, devemos escolher a constantes A1 , A3 e α de
modo que ψ seja continuamente diferenciável.
Precisamos por continuidade que
A1 = senα,
Como
A3 e−aγ3 = sen(γ2 a + α)
(4.13)
γ1 A1 eγ1 x , em I1
ψ 0 (x) =
γ2 cos(γ2 x + α), em I2
−γ3 A3 e−γ3 x , em I3
então é necessário que
γ1 A1 = γ2 cos α, γ3 A3 e−aγ3 x = −γ2 cos(γ2 a + α)
(4.14)
para a contínua diferenciabilidade. Então devemos ter
γ1 = γ2 cot α, γ3 = −γ2 cot(γ2 a + α).
59
(4.15)
Note que devemos ter, em particular, cot α > 0 e cot(γ2 a + α) < 0.
Por (4.15), obtemos
sen α = ±γ2 /c1 ,
sen(γ2 a + α) = ±γ2 /c3 .
Daí,
α = sen−1 (γ2 /c1 ) + n1 π
(4.16)
e γ2 a + α = −sen−1 (γ2 /c3 ) + n2 π,
(4.17)
onde n1 , n2 são inteiros e sen−1 t denota o valor principal.
Por (4.16) e (4.17), temos
γ2 a = nπ − sen−1 (γ2 /c1 ) − sen−1 (γ2 /c3 ),
(4.18)
onde n = n2 − n1 .
Portanto, (4.8) possui uma solução não trivial, a qual é continuamente diferenciável, para
tanto é necessário que γ2 satisfaça (4.18) para qualquer inteiro n, onde os cj são dados por (4.9).
Se temos uma solução de (4.18) podemos encontrar uma solução continuamente diferenciável
não nula (4.12) de (4.8), basta procedermos do mesmo modo.
4.4.2
Achando os autovalores
Analisando soluções para (4.18) podemos observar que se γ1 , γ2 e γ3 são nulas, então de
(4.13), (4.14), (4.15) e do fato que ψ ∈ L2 temos que ψ ≡ 0. Portanto, estamos procurando
soluções positivas e assim o inteiro n deve ser positivo. De (4.9) segue que
γ22 ≤ c20 = min(c21 , c23 ) = 2m(b0 − b2 )/~2 ,
uma vez que 0 ≤ λ − b2 ≤ b0 − b2 .
Assim, estamos procurando soluções que satisfazem
0 < γ2 < c0
A desigualdade acima é restrita porque se γ2 = c0 implica ou γ1 = 0 ou γ3 = 0.
60
(4.19)
Sejam as curvas
y1 = aγ,
y2 = nπ − sen−1 (γ/c1 ) − sen−1 (γ/c3 ).
Obtemos a solução de (4.18) quando estas curvas se interseptam. Agora y2 é uma função
decrescente de γ, e satisfaz
(n − 1)π ≤ y2 ≤ nπ.
Note que y1 interseptará y2 para algum γ no intervalo (4.19) se, somente se,
nπ − sen−1 (c0 /c1 ) − sen−1 (c0 /c3 ) < ac0
(4.20)
Seja c4 = max(c1 , c3 ). Uma vez que ou c0 = c1 e c4 = c3 ou c0 = c3 e c4 = c1 , de (4.20),
segue
1
nπ < ac0 + π + sen−1 (c0 /c4 ).
2
De (4.9), obtemos
p
1
nπ~ < a 2m(b0 − b2 ) + π~ + ~ sen−1
2
r
b0 − b2
,
b4 − b2
onde b4 = max(b1 , b3 ). Disto, temos:
Proposição 4.2. Seja N o inteiro suficientemente grande satisfazendo
a p
1 1
N<
2m(b0 − b2 ) + + sen−1
π~
2 π
r
b0 − b2
.
b4 − b2
Então, existem precisamente N valores de λ no intervalo [b2 , b0 ) para o qual (4.8) tem uma
solução continuamente diferenciável em L2 ([0, 1]) que não é identicamente nula .
Corolário 4.5. O número N de tal soluções satisfaz:
N −1<
a p
1
2m(b0 − b2 ) < N + .
π~
2
61
Corolário 4.6. Se b1 = b3 , então N é o inteiro suficientemente grande satisfazendo
N<
a p
2m(b0 − b2 ) + 1.
π~
Em particular, N é pelo menos um e satisfaz
N −1<
a p
2m(b0 − b2 ) < N.
π~
62
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64
