Dissertação

Dissertação Giovane.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado

Formalismo termodinâmico do conjunto irregular para
médias de Birkhoff e expoentes de Lyapunov

GIOVANE FERREIRA SILVA

Maceió, Brasil
Março de 2011

GIOVANE FERREIRA SILVA

Formalismo termodinâmico do conjunto irregular para
médias de Birkhoff e expoentes de Lyapunov

Dissertação de Mestrado na área de concentração em Sistemas Dinâmicos submetida
em 22 de Março de 2011 à banca examinadora, designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Matemática da
Universidade Federal de Alagoas, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do grau
de mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Krerley Irraciel Martins Oliveira.

Maceió
2011

Formalismo termodinâmico do conjunto irregular para
médias de Birkhoff e expoentes de Lyapunov
GIOVANE FERREIRA SILVA

Dissertação de Mestrado na área de concentração em Sistemas Dinâmicos submetida
em 22 de Março de 2011 à banca examinadora, designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Matemática da
Universidade Federal de Alagoas, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do grau
de mestre em Matemática.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Krerley Irraciel Martins Oliveira (Orientador)

Prof. Dr. Nivaldo Costa Muniz (Co-orientador)

Prof. Dr. Marcus Augusto Bronzi

À Regina, Giovane Jr e Giovana.

Agradecimentos
Em primeiro ao meus Deus, pela oportunidade de vivenciar tudo isso, pela chance de
cumprir mais uma etapa de minha vida, pela capacidade e sabedoria que tem me dado, e
por nunca ter me abandonado, mesmos nos momentos mais difı́ceis que eu tenho passado.
Deus tem sido meu fiel companheiro nos meus dias difı́ceis de solidão em Maceió.
Agradeço aos meus pais Brı́gida e Flávio, pelo apoio moral e incentivo, e por toda assistência dada à minha esposa e meus filhos durante minha ausência.
À minha esposa, fiel companheira, que tem passado, em meio às tempestades, sempre ao
meu lado. E é a pessoa que me deu o que eu tenho de mais precioso; minhas duas jóias:
Giovaninho(Gregui) e Giovaninha(Grogui), que apesar de pequenos, já experimentaram
a dor da separação, mesmo que temporária.
Aos meus irmão: flavinha, bris e juninho pelo apoio incondicional. Às várias conversas
cientı́ficas que tive com meu irmão, que apesar de fı́sico da área fı́sica da matéria condensada, foram frutı́feras.
Aos meu irmãos da área 64 da igreja Assembléia de Deus em São Luı́s e aos meu pastor.
Ao Nivaldo, pelo incentivo inicial de vim fazer o mestrado aqui em Alagoas, a qual sou
muito grato. Por ter me recomendado e por ter lutado pelo desenvolvimento do curso de
matemática da UFMA. Sou muito grato, pois sem a sua confiança depositada em mim,
eu não estaria aqui. Também agradeço ao Maxwell por também ter me recomendado. E
a todos o professores do DEMAT-UFMA
Ao Marcos Pretúcio, pela auxı́lio em minha chegada à Maceió.
Ao professor Adán, por ter me recomendado ao doutorado no ICMC-USP e na UFALUFBA.
Aos professores Enoque, Echais, Feliciano e Ediel peloas disciplinas ministradas.
Aos meus amigos da pensão de dona Rosa.
Ao Krerley, pelas conversas em todas as áreas, tanto cientı́fica como pessoal. Foi a
primeira pessoa que me ajudou aqui em Maceió, sempre foi uma pessoa prestativa em
ajudar a mim e a minha famı́lia. Sou grato pela confiança depositada em mim. Trabalha
muito em prol da Universidade, pois apesar de o “mundo ter desabado em sua cabeça”,
assim se expressou o professor Amaury devido aos seus problemas familiares, sempre
esteve ali forte no CPMAT.
Aos amigos que fiz aqui no IM, destacando eles: Arapiraca, Marcio, Diogo, Douglas,
Adina, Adalgisa, os ”tartarugas ninjas”(topogigio(Marcio Cavalcante), vozinha, Zezé,
Ivan, Lucyan), Michel, Carla, Adriano, Davi, Abraão, Diogo, Diego, Kennerson(Zeca),
Wágner, Rafael(meu irmão de orientação), dona Maria(obigado pelos cafés).

5

Ao grupo de Sistemas dinâmicos: Marcus Bronzi(também agradeço pela revisão do texto),
Fernando, Luı́s, Valter, Jeróme, Xueting e os que já foram citados acima.
Agradeço à Fapeal e ao Cnpq pelo suporte financeiro.
À todos o meu muito obrigado.

6

Resumo
Neste trabalho, estudamos o conjunto X̂(ϕ, f ) de pontos tal que as médias de Birkhoff
não existe. Seguindo Thompson, nosso resultado principal aqui é mostrar que a pressão
topológica de X̂(ϕ, f ) é total. Como corolário, damos o mesmo resultado para o conjunto
Irregular de Oseledets para os expoente de Lyapunov em dimensão um. Para dimensões
maiores, esta questão está em aberto.
Palavras-chave: Pressão Topológica; Propriedade da Especificação; Conjunto Irregular; Médias de Birkhoff; Expoente de Lyapunov.

7

Abstract
In this work, we study the set X̂(ϕ, f ) of points such that the Birkhoff averages do not
exist. Following Thompson, our main result here is to show that the topological pressure
of X̂(ϕ, f ) is total. As corollary, we get the some result for the Oseledets Irregular set for
Lyapunov exponent in one dimension. For higher dimensions, this question is still open.

Keywords: Topological Pressure; Specification Property; Irregular Set; Birkhoff
Average; Lyapunov Exponent.

Sumário
1 Introdução

11

2 Preliminares
2.1 Notações e algumas definições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Medidas invariantes para aplicações contı́nuas . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Teorema ergódico de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 O espectro multifractal das médias de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Transformações expansoras e especificação . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
13
15
16
17
20

3 Teorema de Oseledets
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Preliminares para a demonstração do Teorema de Oseledets . . .
3.2 Prova do Teorema 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Mensurabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Crescimento subexponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Prova do Teorema 3.2b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Probabilidade total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Demonstração do Lema 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Demonstração do Lema 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
25
25
27
27
28
30
30
33
38

4 Técnicas
4.1 Construção dos pontos em X̂(ϕ, f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Limites inferior em entropia topológica e pressão . . . . . . . . . . . . . .

40
40
44

5 O conjunto irregular para aplicações com especificação possui pressão
topológica total
46
5.1 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Prova do teorema 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.1 Construção de um fractal Morán D . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2.2 Modificação da construção para obter o teorema 5.2 . . . . . . . . 60
5.2.3 Modificação da prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Conjunto irregular para os expoente de Lyapunov

9

62

7 Apêndice
7.1 Construção de Carathéodory geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Dimensão de Carathéodory de conjuntos . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Uma modificação da construção de Carathéodory geral . . . . . .
7.1.3 Pressão topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64
64
64
66
67

Capı́tulo 1
Introdução
Os resultados desta dissertação são baseados no artigo The irregular set for maps
with the specification property has full topological pressure, publicado em 2009, de Daniel
Thompson. Ele é tratado dentro da teoria do formalismo termodinâmico, ou seja, teoria
em sistema dinâmicos que introduziu vários conceitos da termodinâmica(fı́sica), tais como
entropia, pressão e etc.
Estuda-se o conjunto irregular das médias Birkhoff, ou seja
)
(
n−1
1X
ϕ(f i (x)) não existe .
X̂(ϕ, f ) = x ∈ X : lim
n→∞ n
i=0
Como consequência do teorema ergódico de Birkhoff, o conjunto irregular não é detectável a partir do ponto de vista de uma medida invariante. No entanto, um fenômeno
cada vez mais notório é que o conjunto irregular pode ser grande a partir do ponto de vista
da teoria da dimensão [bar]. Métodos de dinâmica simbólica confirmaram isso também
no caso uniformemente hiperbólico [BS], e alguns exemplos nos casos não-uniformemente
hiperbólicos [PW] e para uma grande classe de aplicações multimodais [Tod]. O conjunto irregular também tem sido o foco de um grande volume de trabalho por Olsen e
colaboradores [BOS].
Em [Tak], Takens conjecturou que o conjunto irregular de sistemas dinâmicos suaves
possuı́am medida de Lebesgue positiva. Seguimos um ponto de vista topológico e provamos que o conjunto irregular é tão grande quanto se queira com relação a pressão
topológica.
A dissertação, em sua essência, centra-se na classe de aplicações que possuem a propriedade de especificação. A propriedade de especificação foi introduzido por Bowen
[Bow2]. Ele mostrou que os sistemas uniformemente hiperbólicos satisfazem a propriedade de especificação (em nosso trabalho utilizaremos um versão mais fraca) e deu resultados importantes sobre a abundância de órbitas periódicas em um conjunto hiperbólico.
Resultado principal. Quando f é expansora então X̂(ϕ, f ) possui entropia topológica
total ou é vazio
Na verdade nós provamos um resultado mais geral, em que vale para pressão topológica,
sob a hipótese mais geral de f ser contı́nua, satisfazendo a especificação.
11

Este resultado, é indicado formalmente como teorema 5.2. O primeiro a perceber o
fenômeno de que o conjunto irregular carrega entropia total foram Pesin e Pitskel [PP2]
no caso dos shifts de Bernoulli, em 2-sı́mbolos. Barreira e Schmeling [BS5] estudaram o
conjunto irregular de uma variedade de sistemas uniformemente hiperbólicos utilizando
dinâmica simbólica. Eles mostraram que, por exemplo, o conjunto irregular de uma
função genérica Hölder-contı́nua em um repulsor conforme possui entropia total (e dimensão de Hausdorff). Os argumentos utilizados por eles podem ser encontrada no livro
de Barreira [bar] em que o resultado também foi provado para subshifts que possuem a
propriedade da especificação. Notemos que esses argumentos não se estendem para uma
classe mais geral de aplicações com a propriedade da especificação. Além disso, consideramos aqui conjuntos irregulares para funções contı́nuas, enquanto Barreira considera
apenas funções ϕ para os quais tϕ possui um único estado de equilı́brio, para cada t ∈ R.
Takens e Verbitskiy tem obtido resultados em análise multifractal para a classe de
aplicações com especificação, utilizando a entropia topológica como a dimensão caracterı́stica [TV2], [TV1]. No entanto, eles não consideram o conjunto irregular. Ercai,
Kupper e Lin [EKL] provaram que o conjunto irregular é vazio ou carrega a entropia total para as aplicações com a propriedade da especificção. O resultado aqui obtido inclui o
resultados de [EKL] como um caso particular. Os métodos aqui utilizados são totalmente
inspirados por aqueles usados por Takens e Verbitskiy [TV2].
No capı́tulo 2 damos algumas definições e resultados que serão usados no decorrer da
dissertação. Enfatizando, no capı́tulo referente, a definição de transformação expansora.
No capı́tulo 3 damos a definição de conjuntos regular e irregular de Oseledets para
os expoentes de Lyapunov e uma demonstração do teorema de Oseledets baseada numa
reformulação de Viana[3] da demonstração dada por Mañe[Man].
No capı́tulo 4 introduzimos as técnicas que serão usadas para demonstrar o nosso
resultado.
Em 5.1, enunciaremos o principal resultado da dissertação e as ideias-chave para a
sua demonstração. Em 5.2, provaremos o teorema.
Em 6 fazemos um adaptação dos resultados obtidos no capı́tulo 5 para o conjunto
irregular dos expoente de Lyapunov no caso unidimensional.

12

Capı́tulo 2
Preliminares
Daremos neste capı́tulo, algumas definições e notações que usaremos no decorrer desta
dissertação. Algumas serão bem enfatizadas para um melhor esclarecimento.

2.1

Notações e algumas definições iniciais

Nesta dissertação consideraremos três tipos de sistemas dinâmicos.
1. (Dinâmica mensurável) f : X → X é uma transformação que preserva uma medida
em um espaço (X, B, µ) onde X um conjunto, B é uma σ-álgebra e µ uma medida.
2. (Dinâmica topológica) f : X → X é uma transformação contı́nua em um espaço
métrico compacto (X, d).
3. (Dinâmica diferenciável) f : M → M é um difeomorfismo C k , k ≥ 1, em uma
variedade suave M .
Seja (X, d) um espaço métrico compacto e f : X → X uma aplicação contı́nua. O
espaço das funções contı́nuas de X em R será denotado por C(X). Seja ϕ ∈ C(X).
Denotamos
n−1
X
Sn ϕ(x) :=
ϕ(f i (x)),
i=0

e para c > 0, seja
V ar(ϕ, c) := sup{|ϕ(x) − ϕ(x)| : d(x, y) < c}.
Mf (X) denotará o espaço das medidas de probabilidade f -invariantes e Mfe (X) ⊂ Mf (x)
denotará o subconjunto das medidas ergódicas. Se X 0 ⊆ X é um subconjunto f invariante, então Mf (X 0 ) denotará o subconjunto de Mf (X) cujas medidas satisfazem
µ(X 0 ) = 1.
Definição 2.1. Definimos uma medida de probabilidade δx,n (geralmente chamada de
medida empı́rica) como
n−1
1X
δ k ,
δx,n :=
n k=0 f (x)
13

onde δx a medida de Dirac em x.
Definição
2.2. Um ponto x ∈ X é dito um ponto genérico para µ, se limn→∞ n1 Sn ϕ(x) =
R
ϕdµ para toda ϕ ∈ C(X).
Definição 2.3 (Bola dinâmica). Dado ε > 0, n ∈ N e um ponto x ∈ X, definimos a
(n, ε)-bola dinâmica aberta em x por
Bn (x, ε) = {y ∈ X : d(f i (x), f i (y)) < ε para todo i = 0, ...n − 1}.
Alternativamente, podemos definir em X uma nova métrica
dn (x, y) = max{d(f i (x), f i (y)) : i = 0, ..., n − 1}.
A verificação de que dn define uma métrica não é difı́cil, e que Bn (x, ε) é a bola aberta de
centro x e raio ε na métrica dn e que se n ≤ m, temos dn (x, y) ≤ dm (x, y) e Bm (x, ε) ⊂
Bn (x, ε).
Definição 2.4. Uma aplicação f : X → X contı́nua é topologicamente mixing, se
para todo par de abertos U, V de X, existe um natural N > 0 tal que
f n (U ) ∩ V 6= ∅
para todo n ≥ N
Definição 2.5. Uma aplicação f : X → X contı́nua é transitiva se existe algum x ∈ X
tal que Of (x) = {f n (x) : n ≥ 0} é denso em X, ou de forma equivalente, para todo par
de abertos U, V em X, existe n ∈ N, tal que f n (U ) ∩ V 6= ∅.
Note que uma aplicação topologicamente mixing é topologicamente transitivo.
Definição 2.6. Uma aplicação f : X → X contı́nua é fortemente transitiva em um
conjunto X 0 S
⊂ X, se para cada aberto U ⊂ X tal que U ∩ X 0 6= ∅, existir um n natural
tal que X ⊂ nk=0 f k (U )
Definição 2.7 (de Bowen). Dizemos que f : X → X satisfaz a propriedade da especificação se, para todo ε > 0, existe um inteiro m = m(ε) tal que, para toda coleção
{Ij = [aj , bj ] ⊂ N : j = 1, ..., k} de intervalos finitos com aj+1 − bj ≥ m(ε) com
j = 1, ..., k − 1, todo x1 , ..., xk em X e todo p ≥ bk − a1 + m(ε), existe um ponto periódico
x ∈ X de perı́odo p satisfazendo
d(f i+aj (x), f i (xj )) < ε para todo i = 0, ..., bj − aj e cada j = 1, ..., k

(2.1)

A propriedade da especificação de Bowen nos diz, por exemplo para k = 2, que sempre
há dois “pedaços”de órbitas {f n (x1 ) : 0 ≤ n ≤ b1 − a1 } e {f l (x2 )0 ≤ l ≤ b2 − a1 } que
podem ser aproximadas com uma precisão ε por uma órbita periódica, a órbita de x,
desde que o tempo (a saber a2 − b1 ) para “pular” do primeiro pedaço para o segundo
pedaço e o tempo (a saber p − b2 + a1 ) para “pular” de volta são maiores do que m(ε),
sendo m(ε) independente dos “pedaços” de órbitas e, em particular, independente de seus
comprimentos. No caso geral, a propriedade da especificação requer que tal aproximação
seja possı́vel para qualquer número k de pedaços de órbitas, sendo m(ε) independente de
k.
Aqui, em nosso trabalho, daremos uma versão mais fraca da propriedade da especificação do que a de Bowen.
14

Definição 2.8. Uma aplicação contı́nua f : X → X satisfaz a propriedade da especificação se para todo ε > 0, existe um inteiro m = m(ε) tal que para toda coleção
{Ij = [aj , bj ] ⊂ N : j = 1, ..., k} de intervalos finitos com aj+1 − bj ≥ m(ε), para
j = 1, ..., k − 1, e todo x1 , ..., xk em X, existe um ponto x ∈ X que satisfaz 2.1
Esta propriedade não depende da métrica escolhida, isso segue facilmente da proposição
abaixo.
Proposição 2.1. Sejam (f, X, d) e (g, Y, d0 ) sistemas dinâmicos. Seja φ : X → Y uma
função contı́nua sobrejetiva satisfazendo φ ◦ f = g ◦ φ. Se (X, d, f ) possui a propriedade
da especificação, então (Y, d0 , g) também possui.
Demonstração. Por hipótese, (f, X, d) possui a propriedade da especificação, então para
todo ε > 0, existe m(ε) = m tal que para toda coleção {Ij = [aj , bj ] ⊂ N : j = 1, ..., k},
com aj+1 + bj ≥ m, e todo x1 , ..., xk ∈ X, existe um x ∈ X tal que
d(f i+aj (x), f i (xj )) < ε, com i = 0, ..., bj − aj e j = 1, ..., k
A função d0 (φ(·), φ(·)) : X × X → R, que a cada (x, x0 ) associa d0 (φ(x), φ(x0 )), é contı́nua
e como X × X é compacto, ela é uniformemente contı́nua.
Escolhamos y, y1 , ..., yk ∈ Y e pomos φ(xj ) = yj , j = 1, ..., k e φ(x) = y.
Então, pela continuidade uniforme de φ, existe δ > 0, tal que
d(f i+aj (x), f i (xj )) < δ ⇒ d0 (φ(f i+aj (x)), φ(f i (xj ))) < ε,
para i = 0, ..., bj − aj , j = 1, ..., k e como φ ◦ f = g ◦ φ, segue que
d0 (g i+aj (y), g i (yj )) < ε, para i = 0, ..., bj − aj , j = 1, ..., k
com um “pulo”m0 = m0 (m(ε)).
Portanto, (g, Y, d0 ) também possui a propriedade da especificação.

2.2

Medidas invariantes para aplicações contı́nuas

Seja f : X → X uma aplicação contı́nua em um espaço métrico compacto X. Notemos
que f −1 (B(X)) ⊂ B(X), isto é, f é mensurável, onde B(X) é a σ-álgebra de Borel de
subconjuntos de X, pois {E ∈ B(X) : f −1 (E) ⊂ B(X)} é uma σ-álgebra e contém
os conjunto abertos. Portanto, temos uma aplicação f˜ : M (X) → M (X) dada por
(f˜µ)(B) = µ(f −1 B). Usaremos, por vezes, µ ◦ f −1 ao invés de f˜µ. Precisaremos do
seguinte lema.
Lema 2.1. Para toda função contı́nua h, temos
Z
Z
hd(f˜µ) = h ◦ f dµ.

15

R
R
Demonstração. Pela definição de f˜, temos χB d(f˜µ) = χB ◦ f dµ, ∀B ∈ B(X). Logo,
R
R
gd(f˜µ) = g ◦ f dµ se g for uma função simples. O mesmo vale quando g for uma
função mensurável não-negativa, basta escolher uma sequência crescente de funções
simples convergindo pontualmente para g. Portanto, a fórmula vale para toda função
f : X → R, basta considerar a parte negativa e positiva de f .
Note que Mf (X) = {µ ∈ M (X) : f˜µ = µ}.
O seguinte teorema nos fornece um método para construir elementos de Mf (X).
é uma sequência
Teorema 2.1. Seja f : X → X uma aplicação contı́nua. Se (σn )∞
n=1P
n−1 ˜i
1
∞
em M (X), formamos uma nova sequencia (µn )n=1 definindo µn = n i=0
f σn , então
todo limite pontual µ de (µn ) é um elemento de Mf (X). (Tal limite existe devido a
compacidade de M (X)).
Demonstração. Seja µnj → µ em M (X). Seja ϕ ∈ C(X). Então
Z

Z
ϕ ◦ f dµ −

Z
ϕdµ

=

Z
ϕ ◦ f dµnj −

lim

j→∞

1
= lim
j→∞ nj

ϕdµnj

Z nX
j −1
(ϕ ◦ f i+1 − ϕ ◦ f i )dσnj
i=0

Z
1
= lim
(ϕ ◦ f nj − ϕ)dσnj
j→∞ nj
2kϕk
≤ lim
=0
j→∞ nj
Portanto, µ ∈ Mf (X).

2.3

Teorema ergódico de Birkhoff

Seja (X, A, µ) um espaço de probabilidade, onde X é um conjunto qualquer, A uma
σ-álgebra de conjunto de X e µ uma medida de probabilidade.
Teorema 2.2 (Teorema ergódico de Birkhoff). Seja (X, A, µ) um espaço de probabilidade. Se T (mensurável) é µ-invariante e f é integrável, então o limite
n−1

1X
f (T k (x)) = f ∗ (x)
lim
n→∞ n
k=0
existe para alguma f ∗ ∈ L1 (X, µ) com f ∗ (T (x)) = f ∗ (x) para µ-q.t.p. x, onde L1 (X, µ) =
{f : kf k1 < ∞}, ou seja, é o conjunto de funções mensuráveis em (X, µ) tal que
Z
kf k1 = ( |f | dµ) < ∞.
X

16

Além disso, se T é ergódica, ou seja, todo conjunto T −invariante possui medida 0 ou 1,
então f ∗ é constante e
Z
n−1
1X
k
lim
f (T (x)) =
f dµ
n→∞ n
X
k=0
para µ-q.t.p. x,

2.4

O espectro multifractal das médias de Birkhoff

Para α ∈ R, definimos
(
X(ϕ, α) =

)
n−1
1X
x ∈ X : lim
ϕ(f i (x)) = α .
n→∞ n
i=0

Definimos o espectro multifractal para ϕ como sendo
Lϕ := {α ∈ R : X(ϕ, α) 6= ∅} .
Alguns autores usam a terminologia “espectro multifractal” para o par (Lϕ , F), onde F é
a caracterı́stica dimensional. A terminologia aqui usada está de acordo com a que Takens
e Verbitskiy[TV2] usam.
Lema 2.2. Se f possui
R a propriedade da especificação, então Lϕ é um intervalo limitado.
ϕdµ : µ ∈ Mf (X) .
Além disso, Lϕ =
R
Demonstração. Primeiro mostraremos que Lϕ = Iϕ , onde Iϕ = { ϕdµ : µ ∈ Mf (X)}.
Pela proposição 21.14 de [DGS], quando f possui a propriedade da especificação de
Bowen, cada medida f -invariante, não necessariamente
ergódica, possui um ponto genérico,
R
isto é, um ponto x que satisfaz n1 Sn ϕ(x) → ϕdµ para toda função contı́nua ϕ. Não
é difı́cil verificar que isto contı́nua válido para a nossa definição de propriedade da especificação (basta fazer algumas adaptações para a nossa definição na demonstrações da
proposição 21.14 de [DGS]). Então dado
R µ ∈ Mf (X), escolhamos um ponto genérico x
para µ e é claro que ele pertence à X(ϕ, ϕdµ) e assim Iϕ ⊆ Lϕ . Agora tomemos α ∈ Lϕ
e algum x ∈ X(ϕ, α). Seja µ umR limite fraco* da sequência δx,n . Pelo teorema 2.1, µ é
invariante, e é fácil verificar que ϕdµ = α. Então Iϕ = Lϕ .
É fácil ver que Iϕ ⊆ [inf x∈X ϕ(x), supx∈X ϕ(x)] não é vazio. Para mostrar que Iϕ um
intervalo, usaremos a convexidade de Mf (X). Assumimos queR Iϕ não é um único ponto.
Sejam α1 , α2 ∈ Iϕ . Seja β ∈ (α1 , α2 ). Seja µi satisfazendo ϕdµi = αi para i = 1, 2.
Seja
t ∈ (0, 1) satisfazendo β = tα1 +R(1 − t)α2 . É claro que m := tµ1 + (1 − t)µ2 satisfaz
R
ϕdm = β, pois a aplicação µ → ϕdµ é contı́nua e afim com respeito a topologia
fraca*. Logo, encerramos a nossa demonstração.
Relembremos que X̂(ϕ, f ) é o conjunto irregular para ϕ definido como segue
n−1

1X
ϕ(f i (x)) não existe }
n→∞ n
i=0

X̂(ϕ, f ) = {x ∈ X : lim

17

Pelo teorema ergódico de Birkhoff, µ(X̂(ϕ, f )) = 0 para todo µ ∈ Mf (X). O lema
abaixo nos dá condições equivalentes para que X̂(ϕ, f ) 6= ∅.
Lema 2.3. Quando f possui especificação e para ϕ ∈ C(X), são equivalentes:
1. X̂(ϕ, f ) 6= ∅;
R
R
2. inf µ∈Mf (X) ϕdµ < supµ∈Mf (X) ϕdµ
R
1 ⇒ 2. Pelo lema 2.2, quando f possui especificação, temos L
ϕdµ : µ ∈ MRf (X)
Rϕ =
que é um intervalo limitado e não-vazio. Logo, inf µ∈Mf (X) ϕdµ ≤ supµ∈Mf (X) ϕdµ.
VamosR
provar que é impossı́vel termos a igualdade; na verdade a igualdade implica que
Lϕ =
ϕdµ . Por hipótese, X̂(ϕ, f ) não é vazio, então tomando x ∈ X̂(ϕ, f ) temos
que, dado ε > 0 existe N natural, tal que para n > N temos:
1
Sn ϕ(x) − α > ε
n
onde, α :=

R

ϕdµ, e µ ∈ Mf (X). Consideremos a sequência
n−1

1X
δ k ,
νn = δx,n :=
n k=0 f (x)
e seja
R ν o limite da Rsequência (νn )n na topologia fraca*, então ν ∈ Mf (X). Afirmamos
que ϕdδx,n 6= α = ϕdµ. De fato, suponha o contrário, ou seja,
Z
Z
ϕdδx,n = α = ϕdµ
Na topologia fraca*
Z
νk → ν ⇔

Z
ψdνk →

ψdν, ∀ψ ∈ C(X).

o que verifica, em particular, para a ϕ considerada, ou seja
Z
Z
Z
ϕdνk → ϕdν = ϕdµ
Analisaremos dois casos:
1o caso: ϕ é uma função simples.
S
P
Suponha ϕ da forma ϕ = li=1 ai 1Ei , onde 1≤i≤l Ei = X, com Ei ∩ Ej = ∅, i 6= j.
Temos
Z
l
n−1 l
X
1 XX
ϕdδx,n =
ai δx,n (Ei ) =
ai δf k (x) (Ei )
n
i=1
k=0 i=1
=

n−1
n−1
1X
1X
a1 δf k (x) (E1 ) + ... +
al δ k (El )
n k=0
n k=0 f (x)

1
1
a1 (δx (E1 ) + ... + δf n−1 (x) (E1 )) + ... + al (δx (El ) + ... + δf n−1 (x) (El ))
n
n
1
=
(k1 a1 + ... + kl al ).
n

=

18

onde, 0 ≤ ki ≤ l, i=1,...,l.
Por outro lado,
n−1

1X
1
Sn ϕ(x) =
ϕ(f k (x)) = {ϕ(x) + ϕ(f (x)) + ... + ϕ(f n−1 (x))}
n k=0
n
1
(k1 a1 + ... + kl al )
n
R
Logo, ϕdνn = n1 Sn ϕ(x).
Portanto,
Z
Z
=

1
ϕdν = Sϕ(x) − α > ε, ∀n > N
n
R
R
o que é uma contradição. Portanto, ϕdνn 6= ϕdµ quando ϕ é simples.
2o caso: ϕ não é uma função simples.
Dada ϕ : X → R contı́nua. Então,
ϕdνn −

ϕ = ϕ+ − ϕ− ,
onde ϕ+ (x) = max{ϕ(x), 0} e ϕ− (x) = max{−ϕ(x), 0}. Sabemos que ϕ+ ≥ 0 e ϕ− ≥ 0.
Logo, existe uma sequência crescente de funções simples (αk )k e (βk )k tal que
αk % ϕ+ e βk % ϕ− .
R
R
R
R
Então, podemos Rdefinir Rϕ+ dρ = lim
αk dρ e ϕ− dρ = limk→+∞ βk dρ. Pork→+∞
R
tanto, definimos ϕdρ = ϕ+ dρ − ϕ− dρ, ou seja,
Z
Z
Z
ϕdρ = lim
αk dρ − lim
βk dρ
k→∞

Para um certo k ∈ N, temos
Z
Z
αk dνn − αk dν

=
=

k→∞

Z
1
Sn αk (x) − αk dµ
n
1
Sn αk (x) − ak > 2ε, ∀n > N1 .
n

e
Z

Z
βk dνn −

βk dν

=
=

Então,
Z
Z
ϕdνn − ϕdν

Z

=
=
≥

Z
Z
+
ϕ dνn − ϕ dνn − ( ϕ dν − ϕ− dν)
Z
Z
Z
Z
βk dν)
αk dνn − lim
βk dνn − ( lim
αk dν − lim
lim
k→∞
k→∞
k→∞
k→∞
Z
Z
Z
Z
lim
αk dνn − lim
αk dν − lim
βk dνn − lim
βk dν) .
k→∞

+

Z

Z
1
Sn βk (x) − βk dµ
n
1
Sn βk (x) − bk > ε, ∀n > N2 .
n

−

k→∞

19

k→∞

k→∞

Então existe um certo k ∈ N tal que:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ϕdνn − ϕdν ≥
αk dνn − αk dν −
βk dνn − βk dν > 2ε − ε = ε
para todoRn > N = max{N
R 1 , N2 }. O que é uma contradição.
Logo, ϕdν 6= α = ϕdµ. E, portanto
Z

Lϕ 6=
ϕdµ .
A afirmação [2 ⇒ 1], segue como corolário do teorema 5.2.

2.5

Transformações expansoras e especificação

Daremos primeiro uma definição de natureza topológica.
Definição 2.9. Seja a aplicação f : X → X contı́nua, com X espaço métrico compacto.
Dizemos que f é uma aplicação expansora se existirem r > 0, λ > 1 e c > 0 tal que:
1. x 6= y e f (x) = f (y) ⇒ d(x, y) > c;
2. ∀x ∈ X e a ∈ f −1 x, existe g : Br (x) → X tal que
g(x) = a e f (g(y)) = y, ∀y ∈ Br (x)
d(g(z), g(w)) ≤ λ−1 d(z, w), ∀ z, w ∈ Br (x).
Podemos dar uma outra definição para transformação expansora, mas sob algumas
hipóteses adicionais.
Definição 2.10. Sejam M uma variedade compacta e f : M → M uma aplicação C 1 .
Dizemos que f : M → M é expansora se, existe λ > 1 tal que:
kDx f vk ≥ λkvk, ∀x ∈ M, ∀v ∈ Tx M.
Sob estas condições, as definições 2.10 e 2.9 são equivalentes.
Demonstração. Suponha f expansora pela definição 2.10. Afirmamos que Dx f é um
isomorfismo. Com efeito, sejam v, w ∈ Tx M , tal que Dx f (v) = Dx f (w). Então
Dx f (v) = Dx f (w) ⇒ kDx f (v) − Dx f (w)k = 0 ⇒ 0 ≥ λkv − wk.
como λ > 1, segue que kv − wk = 0 ⇒ v = w. Então, Dx f é injetiva, e naturalmente
sobrejetiva, pelo teorema do núcleo e imagem. Logo, Dx f é um isomorfismo ∀x ∈ M . Pelo
teorema da aplicação inversa, f é um difeomorfismo local. Logo, existe uma vizinhança
Vx de x tal que, f −1 |Vx é um difeomorfismo. Considere a cobertura {Vx }x∈M . Como M é
20

compacto, esta coberturaSadmite uma subcobertura
finita por abertos {Vi }1≤i≤m . Então,
Sn
n
podemos escrever
V
=
(V
∩
V
)
=
V
,
com
n ≤ m e cada Vi aberto. Logo,
x
i
x
i=1 S
i=1 i
Sn
n
−1
−1
f (Vx ) = i=1 f (Vi ∩ Vx ) = i=1 Wi , onde cada Wi é aberto, pois f −1 é uma aplicação
aberta, e para cada Wi , f |Wi é um difeomorfismo.
Cobrimos M com vizinhanças do tipo Vx e seja r0 o número de Lebesgue desta cobertura.
Seja r1 > 0, chamado raio de injetividade da aplicação exponencial, tal que se z, w ∈
M , e d(z, w) < r1 , então existe uma geodésica β : [0, 1] → M , com β(0) = z, β(1) = w e
d(z, w) = l(β), onde l(β) o comprimento de β. Seja r = min(r0 , r1 ).
Então, se g : Br/2 (x) → M é um ramo inverso de f ,
Z 1
kg 0 (β(t))β 0 (t)kdt
d(g(z), g(w)) ≤ l(g ◦ β) =
0
Z 1
Z 1
0
0
−1
kg (β(t))k · kβ (t)kdt ≤ λ
kβ 0 (t)kdt = λ−1 l(β) = λ−1 d(z, w).
≤
0

0

Isto verifica a 2a condição da definição 2.9. Como a 1a condição decorre da segunda, no
caso de M ser localmente conexa, temos que f satisfaz a definição 2.9.
Reciprocamente, seja x ∈ M e r = min{r0 , r1 } como na definição 2.9. Tomemos
y ∈ g(Br/2 (f (x))) suficientemente próximo de x, onde g é tal que g(f (x)) = x, de
maneira que x e y possam ser ligados por uma geodésica β : [0, 1] → M , tal que β(0) =
x, β(1) = y, β 0 (0) = v e d(x, y) = l(β). Então
Z 1
Z 1
0
−1
−1
−1
kDβ(t) f · β 0 (t)kdt
kβ (t)kdt ≤ λ
l(β) = d(x, y) ≤ λ d(f (x), f (y)) = λ l(f ◦ β) ⇒
0

0

Fazendo y tender a x pelo caminho β, obtemos
kvk ≤ λ−1 kDx f · vk
ou seja as definições 2.9 e 2.10 são equivalentes, quando f é C 1 e M compacto.
Definição 2.11. Sejam f : X → X expansora e X 0 ⊆ X. Dizemos que g : X 0 → X é
ramo contrativo de f −n se f n (g(x)) = x, ∀x ∈ X 0 e
d(f j (g(x)), f j (g(y))) ≤ λj−n d(x, y), ∀x, y ∈ X 0 , 0 ≤ j ≤ n.
Proposição 2.2. Seja Bn (x, ε) a bola dinâmica. Existe ε0 > 0 tal que, se 0 < ε < ε0 ,
temos:
1. Para n ≥ 1, seja g : Br (f n (x)) → X ramo contrativo de f −n tal que g(f n (x)) = x.
Então, Bn (x, ε) = g(Bε (f n (x)));
2. Se d(f n (z), f n (w)) ≤ ε, ∀n ≥ 0 ⇒ z = w.

Demonstração. Suponhamos n = 1 e seja ε0 < min r, 1+λc −1 , onde r > 0, 0 < λ−1 < 1,
c > 0 são dadas pela definição 2.9. Se z ∈ B1 (x, ε) então d(z, x) < ε e d(f (z), f (x)) < ε,
e portanto
d(g(f (z)), g(f (x))) = d(g(f (z)), x) < λ−1 d(z, x) < λ−1 ε.
21

Pela desigualdade triangular,
d(z, g(f (z))) ≤ d(z, x) + d(g(f (z)), x) = d(z, x) + d(g(f (z)), g(f (x))) < ε(1 + λ−1 ) < c.
Logo, pelo item 1. da definição 2.9, z = g(f (z)), ou seja, z ∈ g(Bε (f (x))). Portanto,
B1 (x, ε) ⊆ g(Bε (f (x))). Seja agora z ∈ g(Bε f (x)), então ∃y ∈ Bε (f (x)) tal que g(y) =
z ⇒ f (g(y)) = f (z) = y. Logo,
d(f (x), f (z)) < ε.
Por outro lado,
d(z, x) = d(g(y), g(f (x))) ≤ λ−1 d(y, f (x)) < λ−1 ε < ε
Logo, z ∈ B1 (x, ε). Da, g(Bε (f (x))) ⊆ B1 (x, ε). Isto prova 1. para n = 1. Com um
argumento idêntico, completamos a prova de 1. por indução.
Se d(f n (z), f n (w)) ≤ ε, ∀n ≥ 0, pelo item 1., d(z, w) ≤ λ−n ε, ∀n. Logo, z = w, o
que prova 2..
Definição 2.12. Dizemos que ε0 acima é uma constante de expansividade de f .
Assumiremos o teorema sem demonstração.
Teorema 2.3. Se X conexo e f : X → X expansora, então f é topologicamente mixing.
Seja f uma transformação contı́nua em um espaço compacto X com métrica d.
Definição 2.13. Uma sequência (xi )bi=a é chamada uma δ−pseudo-órbita para f se
d(xi , f (xi−1 )) < δ para a ≤ i ≤ b (a = −∞ e b = +∞ são permitidos).
Um ponto x ∈ X ε−sombreia a δ−pseudo-órbita (xi )bi=a se, d(f i x, xi ) ≤ ε para a ≤ i ≤ b.
(X, f ) possui a propriedade do sombreamento se, para cada ε > 0, existe algum δ > 0 tal
que cada δ−pseudo-órbita é ε−sombreada por algum x ∈ X. Esta propriedade independe
da métrica adotada.
A partir de agora, assumiremos que f : X → X é expansora, com X compacto e
conexo.
Proposição 2.3. A função acima possui a propriedade do sombreamento.
−1
Demonstração. Sejam gn : Br (xn ) → X ramos contrativos
 de f com gn (f (xn−1 )) =
r
1−θ
−1
xn−1 . Pomos λ = θ. Tomemos δ < min θ · ε, θ − r . Se z ∈ Br (xn ), então, pela
desigualdade triangular, d(z, f (xn−1 )) ≤ r + δ, e portanto

d(gn z, xn−1 ) = d(gn z, gn (f (xn−1 ))) ≤ θ d(z, f (xn−1 )) = θ(r + δ) < r.
Resulta da que gn (Br (xn )) ⊂ Br (xn−1 ) ⊂ Br (xn−1 ), para todo n ≥ 1.
Consideremos a sequência (g1 ◦ . . . ◦ gn (Br (xn )))n≥1 . Pela linha anterior temos aqui uma
22

sequência decrescente de compactos cujo diâmetro tende a zero. Logo,

\

g1 ◦ . . . ◦

n≥1

gn (Br (xn )) consiste de um único ponto. Seja x este ponto.
Seja l um número natural. Temos
d(f l (x), xl ) ≤
≤
≤
≤

θ d(f l+1 (x), f (xl )) ≤ θ d(f l+1 x, xl+1 ) + θ d(f (xl ), xl+1 )
θ d(fl , xl+1 ) + θ2 d(f l+2 (x), f (xl+1 ))
θ d(fl , xl+1 ) + θ2 d(f (xl+1 ), xl+2 ) + θ2 d(f l+2 (x), xl+2 )
θ d(fl , xl+1 ) + θ2 d(f (xl+1 ), xl+2 ) + . . . + θk d(f (xl+k−1 ), xl+k ) +
+θk d(f (xl+k ), xl+k ).

Fazendo k → ∞, temos
d(f l (x), xl ) ≤

θ
δ < ε.
1−θ

Proposição 2.4. A função acima possui a propriedade da especificação.
Demonstração. Seja ε > 0 dado. Iremos assumir ε < 12 δ ∗ , onde δ ∗ alguma constante de
expansividade para f . Escolha δ = δ(ε) como na definição da propriedade do sombreamento. Cobrimos X por uma famı́lia finita U de δ−bolas. Como f é topologicamente
mixing, então para dois Ui , Uj ∈ U, existe um inteiro mij > 0 tal que f n (Ui ) ∩ Uj 6= ∅
para n > mij . Seja m = m(ε) o maior dos mij .
Seja x1 , ..., xk pontos em X e a1 ≤ b1 < · · · < ak ≤ bk inteiros com aj − bj−1 > m
para j = 2, · · · , k.
Seja p um inteiro tal que p − (bk − a1 ) > m. Consideremos ak+1 = p + a1 e xk+1 = x1 .
Para z ∈ X, denotamos por U (z) algum U ∈ U, com z ∈ U . Para j = 1, · · · , k
existe um yj ∈ U (f bj (xj )) tal que f aj+1 −bj (yj ) ∈ U (f aj+1 (xj+1 )). Agora, consideremos a
δ−pseudo-órbita (zi )+∞
−∞ definida como segue
1. zi = f i (xj ) para aj ≤ i ≤ bj ;
2. zi = f i−bj (yj ) para bj ≤ i < aj+1 ;
3. zi+p = zi para i ∈ Z.
É fácil verificar que a sequência definida acima é uma δ−pseudo-órbita. Logo, existe
algum x ∈ X que ε−sombreia ela. Este x obviamente periódico. De fato, f p (x) também
p+n
(x), f n (x)) < 2ε ≤ δ ∗ para todo n ∈ Z e então x =
ε−sombreia (zi )+∞
−∞ , então, d(f
f p (x) pela expansividade. Claramente,
d(f n (x), f (xj )) ≤ ε para aj ≤ n ≤ bj , j = 1, · · · , k.

Podemos dar uma outra demonstração, mais elegante, para a proposição 2.4. Mas,
teremos que usar o seguinte lema.
23

Lema 2.4. Seja f : X → X uma aplicação contı́nua e expansora, com X compacto e
conexo. Então f é fortemente transitiva.
Demonstração. Temos que provar para todo aberto U ⊂ X ∃n ∈ N tal que X ⊂
S
n
k
k=0 f (U ).
Iremos proceder por contradição. Ou seja, ∀n ∈ N, existe um aberto U ⊂ X tal que
X 6⊂

n
[

f i (U )

i=0

Mas essa afirmação implica que existe x ∈ X tal que x ∈
/ f k (U ), para todo k natural.
Pela transitividade de f em X, existe y ∈ X tal que Of (y) = X, em outras palavras,
a órbita de y é densa em X. Então, dado ε > 0, existe uma sequência (jk )k∈N , com
f j0 (y) ∈ f n (U ), para algum n natural tal que
d(f jk (y), x) < ε/2k
Tomemos o ε acima tal que Bε (f j0 (y)) ⊂ f n (U ). Como f é expansora, essa bola é
expandida a uma taxa λ > 1 e obviamente, B(ε/2k (f jk (y))) ⊂ f jk (Bε (f j0 (y))), para todo
k. Como X é conexo, em algum momento k > n teremos x ∈ f jk (Bε (f j0 (y))), ou seja
x ∈ f jk (U ), o que é uma contradição.
Outra demonstração para a Proposição 2.4
Demonstração. Sejam x1 , ..., xk ∈ X, n1 , ..., nk ∈ N e ε1 > ε2 > ... > εk > 0. Sejam
(i)
ainda gj : Bεj (f i (xi )) → X, com j = 1, ..., n e i = 1, ..., k, ramos contrativos para f ,
(i)
onde definimos Bεj (f j (xi ) := gj+1 (Bεj+1 (f j+1 (xi ))), com i = 1, ..., k e j = 1, ..., n − 1 tal
que cada ramo contrativo satisfaz, pela definição.
(i)

gj (f j (xi )) = f j−1 (xi ).
Iremos considerar os “pedaços”de órbitas de x1 , ..., xk até os tempos n1 , ..., nk , respectivamente.
Como f é fortemente transitiva, podemos tomar um δ2 > 0 e m(ε1 ) > 0, tal que
Bδ2 (x2 ) ⊂ f l1 (Bε1 (x1 ))
para algum l1 ≤ m(ε1 ) Pomos r1 = ε1 e r2 = m ∈ (δ2 , ε2 ) De forma análoga, ∃δ3 > 0 tal
que
Bδ3 (x3 ) ⊂ f l2 (Br2 (x2 ))
para algum l2 ≤ m(ε1 ). Pomos r3 = m ∈ (δ3 , r3 ) e assim por diante. No pedaço de órbita
de xk , teremos δk > 0 tal que
Bδk (xk ) ⊂ f lk−1 (Brk−1 (xk−1 ))
k−1
para algum lk−1 ≤ m(ε1 ). Consideremos rk = m ∈ (δk , rk ). Seja y ∈ f −( i=1 (ni +li )) (Bδk (xk )).
Pela nossa construção, este y acompanha as órbitas de xi até um tempo ni , com um “pulo”
li , respectivamente. Logo, f possui a propriedade da especificação.

P

24

Capı́tulo 3
Teorema de Oseledets
3.1

Introdução

3.1.1

Preliminares para a demonstração do Teorema de Oseledets

Proposição 3.1. Seja M um espaço métrico compacto e f : X → X uma transformação
mensurável. Então um conjunto A ⊂ X é de probabilidade total se µ(A) = 1, para toda
medida µ ∈ Mf (X) érgódica
Daremos alguns conceitos úteis na demonstração do teorema de Oseledets.
Definição 3.1. Um fibrado F é uma famı́lia de subespaços (denominados fibras de F )
Fx ⊂ Rk , x ∈ X, tais que existem funções mensuráveis ηi : X → Rk , i = 1, ..., m, satisfazendo para µ− q.t.p., que {η1 (x), · · · , ηm (x)} é uma base ortonormal de Fx . Dizemos
que um fibrado G é um subfibrado de F se Gx ⊂ Fx em µ−q.t.p.
Definição 3.2. Um isomorfismo T : F → F de fibrados é uma famı́lia de isomorfismos
lineares T (x) : Fx → Ff (x) tais que, se η1 , · · · , ηm satisfazem a propriedade anterior
então as componentes da matriz de T (x) com respeito as bases {η1 (x), · · · , ηm (x)} e
{η1 (f (x)), · · · , ηm (f (x))} são µ−integráveis e limitadas.
Observação 3.1. Se G ⊂ F é um subfibrado, dizemos que G é T -invariante se T (x)Gx =
Gf (x) para µ−q.t.p. x ∈ X.
Definição 3.3. Seja M uma variedade riemanniana compacta de dimensão finita e f :
M → M um difeomorfismo de classe C 1 . Diz-se que um ponto x ∈ M é um ponto
regular de f se existem números reais λ1 (x) > ... > λl (x) e uma decomposição Tx M =
E1 (x) ⊕ · · · ⊕ El (x) do espaço tangente a M em x tais que
1
log k Df n (x)u k= λj (x)
n→±∞ n
lim

para todo u ∈ Ej \ {0} com 1 ≤ j ≤ l.

25

Observe que {λ1 , ..., λl } coincide com
1
log k Df n (x)u k= λ para algum u ∈ Tx M \ {0}}
n→±∞ n

{λ ∈ R : λ = lim
e também temos

Ej = {u ∈ Tx M :

1
log k Df n (x)u k→ λj , quando n → ±∞}
n

deste modo, quando eles existem, os reais λ1 (x) > ... > λl (x) e os espaços E1 (x), ..., El (x)
são unicamente determinados. Os λj (x) e Ej (x) são chamados, respectivamente, de
expoentes de Lyapunov e espaços próprios de f no ponto x. Denotemos por R(f ) o
conjuntos dos pontos regulares de f . Não é difı́cil ver que f (R(f )) = R(f ), ou seja,
o conjunto R(f ) é invariante por iterações com, λj (f (x)) = λj (x) e Df (x)Ej (x) =
Ej (f (x)) para todo 1 ≤ j ≤ l e x ∈ R(f ). Analisando sob o ponto de vista topológico,
o subconjunto R(f ) é “pequeno”, podendo constituir-se num conjunto magro(primeira
categoria de Baire) e até mesmo um conjunto finito. No entanto, sobre o ponto de vista
da Teoria da Medida, essa situação é exatamente o oposto, conforme o teorema abaixo.
Teorema 3.1 (Oseledets). Se M é uma variedade riemanniana compacta de dimensão
finita, então o conjunto dos pontos regulares de um difeomorfismo de classe C 1 , f : M →
M , tem probabilidade total para cada medida de probabilidade boreliana em M , invariante
por f .
Demonstraremos este teorema, seguindo [3], como um caso particular de um resultado
mais geral. Mas, antes iremos estabelecer algumas notações e definições. Seja M um
espaço métrico compacto, f : M → M um homeomorfismo, F um fibrado vetorial de
dimensão finita sobre M dotado com uma métrica riemanniana contı́nua, π : F → M a
projeção e L : F → F um isomorfismo de fibrados vetoriais contı́nuos cobrindo F (isto
é, π ◦ L = f ◦ π), tal que ambos L e L−1 tenham normas limitadas. Denotemos por Ln
o enésimo iterado de L:
Ln (x) = L(f n−1 (x)) ◦ · · · ◦ L(f (x)) ◦ L(x)

e

L−n (x) = L−1 (f −n+1 (x)) ◦ · · · ◦ L−1 (f −1 (x)) ◦ L−1 (x), com n > 0.
Agora, para n1 , · · ·, nl ≥ 1 definamos Λ(n1 , · · ·, nl ) como o conjunto dos pontos x ∈ M
l
M
tal que a fibra Fx admite uma decomposição Fx =
Ej tal que dimEj = nj , 1 ≤ j ≤ l
j=1

e existem números reais λ1 (x) > ... > λl (x) satisfazendo
1
log k Ln (x)u k= λj (x)
n→±∞ n
lim

para todo u ∈ Ej \{0} com 1 ≤ j ≤ l. Diz-se, neste caso, que x é um ponto regular de
L. Chamaremos de conjunto regular para os expoentes Lyapunov o conjunto que contém
esses pontos e o denotaremos por R(L). Diremos que x é um ponto irregular, quando não
for regular. Neste capı́tulo usaremos somente o termo conjunto regular para o conjunto
regular para os expoentes de Lyapunov.
26

Teorema 3.2. a) Para todo n1 , · · · , nl , Λ(n1 , · · · , nl ) é um subconjunto mensurável de
M . Além disso, para cada 1 ≤ j ≤ l, Ej é um subfibrado mensurável da restrição de F
à Λ(n1 , · · · , nl ) e Λ(n1 , · · · , nl ) 3 x → λj (x) é uma aplicação mensurável.
b) O conjunto dos pontos regulares de L dado por
[
R(L) =
Λ(n1 , · · · , nl )
n1 ,··· ,nl

possui probabilidade total em M .
Claramente o teorema 3.1 é um caso particular deste teorema. Basta tomar F como
sendo o fibrado vetorial em M e L o morfismo induzido por Df . A prova deste teorema
será dada da seguinte maneira:

3.2

Prova do Teorema 3.2

3.2.1

Mensurabilidade

Sejam n1 , · · ·, nl fixados. Para cada k ≥ 1 denotamos por Ak o conjunto das 2l-uplas
de números racionais α1 > β1 > · · · > αl > βl com (αj − βj ) < k1 para 1 ≤ j ≤ l. Para
m ≥ 1 e (α1 , · · ·βl ) ∈ Ak , seja Λ(m, n1 , · · ·, nl ) o conjunto dos pontos x ∈ M tal que
existe uma decomposição Fx = F1 ⊕ · · · ⊕ Fl com dimFj = nj e
exp(nαj )kuk ≥ kLn (x)uk ≥ exp(nβj )kuk

(3.1)

exp(−nαj )kuk ≤ kLn (x)uk ≤ exp(−nβj )kuk

(3.2)

para todo n ≥ m, 1 ≤ j ≤ l, e u ∈ Fj . Observe que a decomposição é determinada de
forma única, para cada x ∈ Λ(m, n1 , · · ·, nl ) por


kL−n (x)uk
kLn (x)uk
≤ exp(nαj ) e
≤ exp(−nβj ) se n ≥ m .
Fj = u ∈ Fx :
kuk
kuk
Sendo que 3.1 e 3.2 são condições fechadas e as dimensões dos Fj são constantes, temos
que Λ(m, n1 , · · ·, nl ) é fechado e Λ(n1 , · · ·, nl ) 3 x → Fj (x) contı́nua para cada 1 ≤ j ≤ l.
Em particular isto prova que
\ [ \
Λ(n1 , · · ·, nl ) =
Λ(m, α1 , · · ·βl )
k≥1 (α1 ,···βl ) k≥1

é um conjunto de Borel. Para provar que os subfibrados Ej são mensuráveis em Λ(n1 , · ·
·, nl ) é suficiente mostrar que
∀x ∈ Λ(n1 , · · · , nl ) ∩ Λ(m, α1 , · · · βl ) tem-se Ej (x) = Fj (x),
para todo 1 ≤ j ≤ l. Note primeiro que Ej está contido em algum Fj , 1 ≤ j ≤ l,
porque todos os vetores de Ej geram o mesmo expoente de Lyapounov λj , tanto para
n → +∞ quanto para n → −∞. Usando αk ≥ λj ≥ βk e lembrando que λ1 > · · · > λl e
27

α1 > β1 > · · · > αl > βl , segue que k = j. Sendo dimEj = nj = dimFj , isto prova que
Ej = Fj como foi afirmado. Finalmente, o fato de que λj é mensurável em Λ(n1 , · · ·, nl )
segue imediatamente de
1
λj = lim
log kLn (x)|Ej (x)k.
n→+∞ n
A prova do teorema 3.2a) está completa.
Esta seção será útil para provar a parte b) do Teorema 3.2.

3.2.2

Crescimento subexponencial

Definição 3.4. Uma função mensurável C : M → R tem crescimento subexponencial
para uma medida µ em M se
1
log(C ◦ f n ) = 0, em µ − q.t.p.
lim
n→±∞ n
onde f : M → M é uma aplicação e µ uma medida de probabilidade invariante por f .
Nesta seção mostraremos que certas funções relacionadas com os iterados de L e
que desempenham papel importante na demonstração do teorema 3.2 tem crescimento
subexponencial para toda medida de probabilidade invariante por f .
Sejam µ uma medida de probabilidade invariante por f , E um subfibrado mensurável
de F invariante por L e λ ∈ R tal que
1
lim sup log kLn (x)uk ≤ λ
n→+∞ n
para todo u ∈ Ej \{0} e µ−q.t.p. x ∈ M (tal λ sempre existe, pois supomos kLk limitada).
Dado ε > 0, definamos


kLn (x)uk
Cε (x) = sup
: n ≥ 0 e u ∈ Ex \0
exp(n(λ + ε))kuk
Proposição 3.2. A função Cε tem crescimento subexponencial para a medida µ.
Para demonstrar essa proposição usaremos o seguinte critério para crescimento subexponencial.
Lema 3.1. Seja f : M → M uma aplicação mensurável e µ uma medida de probabilidade
em M invariante por f e ϕ : M → R uma função mensurável tal que ϕ◦f −ϕ é integrável.
Então n1 (ϕ ◦ f n ) → 0 em µ − q.t.p com n → ∞.
Demonstração. Aplicando o teorema Ergódico de Birkhoff sobre ϕ ◦ f − ϕ, a sequência
1
(ϕ ◦ f n ) converge em quase toda parte para alguma função mensurável ψ. Por outro
n
lado, para cada δ > 0 fixado




1
n
µ
x : |ϕ ◦ f (x)| ≥ δ
= µ f −n ϕ−1 (−nδ, nδ)c = µ ϕ−1 (−nδ, nδ)c → 0,
n
quando n → +∞, o que significa que n1 (ϕ ◦ f n ) converge para 0 em medida. Portanto
1
(ϕ ◦ f nk ) → 0 em quase toda parte para alguma subsequência nk → +∞. Isto prova
nk
que ψ(x) = 0 em µ−q.t.p x ∈ M
28

Demonstração da Proposição 3.2.
Para u ∈ Ex \{0}, seja
kLn (x)uk
.
n≥0 exp(n(λ + ε)) kuk

Cε(x, u) = sup
Então


Cε(x, u) = max 1,

e assim


kLn (x)uk
Cε(f (x), L(x)u)
exp(n(λ + ε)) kuk

Cε(x, u)
≤ max{1, b},
Cε(f (x), L(x)u)

a≤

onde a, b > 0 são tomados de tal forma que
a≤

kLn (x)uk
≤b
exp(n(λ + ε)) kuk

para todo x e u ∈ Ex . Então, imediatamente,
a≤

Cε(x, u)
≤ max{1, b}
Cε(f (x), L(x)u)

isto assegura que log(Cε ◦ f ) − log Cε e log(Cε ◦ f −1 ) − log Cε são ambas limitadas. Em
particular, são integráveis e a proposição segue do lema 3.1
O resultado seguinte será usado muitas vezes na demonstração do Teorema 3.2b).
Proposição 3.3. Seja E um subfibrado mensurável de F invariante por L, λ ∈ R e µ
uma medida de probabilidade invariante por f em M . Então,
1
log kLn (x)uk ≤ λ
n→+∞ n

lim sup

para µ−q.t.p. x ∈ M e todo u ∈ Ex \{0} se, e somente se,
1
log kLn (x)uk ≤ λ
n→−∞ n

lim sup

para µ−q.t.p. x ∈ M e todo u ∈ Ex \{0}. Além disso, a afirmação permanece verdadeira quando “lim sup”e “≤”são substituı́dos por “lim inf”e “≥”(ou por “lim”e “=”),
respectivamente.
Demonstração. Provaremos a parte “somente se”, a outra parte segue de maneira análoga.
Suponhamos que
1
lim sup log kLn (x)uk ≤ λ
n→+∞ n
µ−q.t.p. x ∈ M e todo u ∈ Ex \{0}.
Seja


kLn (x)uk
Cε(x) = sup
: n ≥ 0 e u ∈ Ex \{0} .
exp(n(λ + ε)) kuk
29

e observando que
u = L(x) · · · L(F −n+1 (x))L−1 (f −n+1 (x)) · · · L−1 (x)u
= Ln (f −n+1 (x))L−n (x)u
Logo,
kuk ≤ Cε (f −n+1 (x)) exp(n(λ + ε)) kL−n (x)uk
e, assim,
1
1
1
log kuk ≤ log Cε (f −n+1 (x)) + λ + ε + log kL−n (x)uk
n
n
n
para todo n ≥ 1. Como Cε tem crescimento subexponencial (Proposição 3.2), segue que
0 ≤ lim inf

1

n→+∞ n

log kL−n (x)uk + λ + ε.

Mas, uma vez que
1
1
log kL−n (x)uk = − lim sup log kLn (x)uk ,
n→+∞ n
n→−∞ n

lim inf
resulta

1
log kLn (x)uk ≤ λ + ε
n→−∞ n

lim sup

e visto que ε > 0 é arbitrário, tem-se
1
log kLn (x)uk ≤ λ.
n→−∞ n

lim sup
como afirmado.

3.2.3

Prova do Teorema 3.2b)

3.2.4

Probabilidade total

A fim de mostrar que R(L) tem probabilidade total, basta mostrar que µ(R(L)) =
1 para toda medida de probabilidade ergódica, invariante por f em M . De fato, tal
afirmação se justifica pela Proposição 3.1. Suporemos µ ergódica. Seja
Z
1
λ1 (L, x) = lim sup log kLn (x)uk e λ1 (L) = λ1 (L, x)dµ(x).
n→+∞ n
Observe que λ1 (L, x) ≤ supx∈M kL(x)k e λ1 (L, x) = λ1 (L) para µ−q.t.p. x ∈ M . Seja G
um subfibrado de F definido por


1
Gx = u ∈ Fx : lim inf log kLn (x)uk ≥ λ1 (L) .
n→∞ n
O lema abaixo é importante na demonstração do item b) do Teorema 3.2. No entanto,
sua prova será dada na próxima seção.
30

Lema 3.2. G é um subfibrado mensurável invariante por L com dimensão estritamente
positiva e
1
lim
log kLn (x)uk = λ1 (L)
n→±∞ n
para µ−q.t.p. x ∈ M e todo ∈ Gx \{0}.
Denotemos por Λ̂(j) o conjunto dos pontos x para os quais dimGx = j. Provaremos
que esses subconjuntos de M são mensuráveis e que a restrição de G a cada Λ̂(j) um
subfibrado mensurável da restrição de F Λ̂(j). Sendo L um isomorfismo, segue que
dimGx = dimL(Gx ). Também temos L(Gx ) = Gf (x) . Com efeito,
lim inf

1

n→−∞ n

log kLn (f (x))L(x)uk = lim inf

1

n→−∞ n

log kLn+1 (x)uk =

n+1
1
·
log kLn+1 (x)uk ≥
n→−∞
n
n+1
1
≥ lim inf
log kLn+1 (x)uk ≥ λ1 (L).
n→−∞ n + 1
= lim inf

Logo, L(x)u ∈ Gf (x) e portanto L(Gx ) ⊂ Gf (x) . A outra inclusão segue de maneira
análoga. Assim, f (x) ∈ Λ̂(j), donde Λ̂(j) é um subconjunto invariante por f e, como µ
ergódica, tem-se µ(Λ̂(j)) = 1, para algum j. Verificaremos que j ≥ 1. Caso Gx = Fx
para quase todo ponto x ∈ M , então escreveremos G = F , e neste caso a demonstração
do teorema esta terminada. Se G 6= F , seja G⊥ o complemento ortogonal de G. Além
disso, seja p : F → G⊥ a projeção ortogonal e escrevamos L̂ = p ◦ L : G⊥ → G⊥ .
Lema 3.3. Se F 6= G, então λ1 (L̂) < λ1 (L).
Demonstração. Observe primeiro que, como uma consequência da invariância de G,
L̂n (x)u = kp(Ln (x)u)k ≤ kLn (x)uk .
Seja Ĝ um subfibrado de G⊥ , invariante por L̂ tal que
lim

1

n→±∞ n

log L̂n (x)u = λ1 (L̂),

para µ−q.t.p. x e todo u ∈ Ĝx \{0}. Então,
1
1
log L̂n (x)u ≤ lim inf log kLn (x)uk
n→+∞ n
n→+∞ n
1
≤ lim sup log kLn (x)uk ≤ λ1 (L).
n→+∞ n

λ1 (L̂) =

lim

Isto prova que λ1 (L̂) ≤ λ1 (L), o que implica λ1 (L̂) = λ1 (L). Deste modo,
1
log kLn (x)uk = λ1 (L)
n→+∞ n
lim

31

Pela proposição 3.3, segue que
1
log kLn (x)uk = λ1 (L),
n→−∞ n
lim

o que permite concluir que u ∈ Gx , ou seja, u ∈ Ĝx ∩ Gx . Mas isto é absurdo, visto que
u é não nulo e Ĝx ∩ Gx = {0}. Portanto, λ1 (L̂) < λ1 (L).
Faremos uso de mais um lema fundamental, cuja prova será dada mais adiante em
uma seção especı́fica após provarmos o lema 3.2.
Lema 3.4. Se F 6= G então existe um subfibrado H de F , o qual é mensurável e invariante por L, tal que G ⊕ H = F e λ1 (L|H) = λ1 (L̂) < λ1 (L).
Agora estamos aptos para concluir a demonstração da parte b) do Teorema 3.2.
Escrevendo E1 = G e H1 = H, tem-se pelo lema 3.2
1
log kLn (x)uk = λ1
n→±∞ n
lim

para todo u ∈ E1 \{0} e, pelo lema 3.4, existe uma decomposição F = E1 ⊕ H1 tal que
λ1 > λ1 (L|H1 ). Definimos λ2 = λ1 (L|H1 ) e aplicamos os lemas 3.2 e 3.4, considerando a
aplicação L|H1 . Assim, existem subfibrados invariantes por L, E2 e H2 , tais que H1 =
E2 ⊕ H2 , para µ−q.t.p. x ∈ M , λ1 (L|H2 ) < λ2 e
lim

1

n→±∞ n

log kLn (x)vk = λ2

para µ−q.t.p. x ∈ M e todo v ∈ E2 \{0}. Então, para qualquer j ≥ 1, suponhamos que
já obtivemos uma decomposição invariante por L,
F = E1 ⊕ · · · ⊕ Ei ⊕ Hi com

1
log kLn (x)uk = λi
n→±∞ n
lim

para todo u ∈ Ei \{0}, 1 ≤ i ≤ j e λ1 > · · · > λj > λ1 (L|Hj ). Do lema 3.2 segue que
existe um subfibrado invariante Ej+1 de Hj tal que
1
log kLn (x)uk = λi+1 = λ1 (L|Hj )
n→±∞ n
lim

para todo u ∈ Ei \{0} e do lema 3.4 nos fornece uma decomposição invariante Hj =
Ej+1 ⊕ Hj+1 tal que λ1 (L|Hj+1 ) < λj+1 . Como F tem, por hipótese, dimensão finita
esse processo deve ser interrompido após um número finito de vezes. Resulta assim, que
µ−q.t.p. x ∈ M , e então
F = E1 ⊕ · · · ⊕ El
1
lim
log kLn (x)uk = λj , 1 ≤ j ≤ l, u ∈ Ej \{0}
n→±∞ n
isto , µ−q.t.p. x ∈ M é regular, completando a demonstração do Teorema 3.2.

32

3.2.5

Demonstração do Lema 3.2

O resultado enunciado abaixo será usado na demonstração desse lema.
Lema 3.5 (Pliss). Dado λ ∈ R, ε > 0 e A > 0, existe δ = δ(λ, ε, A) > 0 tal que se
N
−1
X
dada qualquer sequência a0 , · · · , aN −1 em R, com
ak ≤ N λ e |ak | ≤ A, para todo
k=0

0 ≤ k ≤ N − 1, então existem l ≥ N δ e 0 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nl ≤ N − 1 tais que
n
i −1
X

aj ≤ (ni − n)(λ + ε),

j=n

para todo 0 ≤ n ≤ ni e 1 ≤ i ≤ l.
PN −1
Demonstração. Seja S(n) =
j=n (aj − (λ + ε)) e tomemos n1 < · · · < nl números
inteiros do conjunto {0, · · · , N − 1} que satisfazem
S(n) ≤ S(ni )

para todo

0 ≤ n < ni .

(3.3)

Então, para 0 ≤ n < ni ,
n
i −1
X

aj = (S(n) − S(ni )) + (ni − n)(λ + ε) ≤ (ni − n)(λ + ε).

j=n

Devemos, estimar o valor de l. Antes, porém, observemos que S(ni−1 ) ≥ S(ni − 1) para
todo i > 1, porque, caso contrário, haveria ni−1 < m < ni tal que S(n) ≤ S(m) para
todo i ≤ n ≤ m, contrariando a definição do conjunto {n1 , · · · , nl }. Logo, para todo
i > 1, tem-se
S(ni−1 ) ≥ S(ni ) + (ani − (λ + ε)) ≥ S(ni ) − (|λ| + ε + A)
para todo i > 1, e assim
S(n1 ) ≥ S(nl ) − (l − 1)(|λ| + ε + A).
Sendo
S(n1 ) = S(0) =

N
−1
X

ak − N (λ + ε) ≤ −N ε e S(nl ) ≥ S(N − 1) = aN −1 − (λ + ε)

k=0

(isto porque nl é o maior elemento de {0, 1, · · · , N − 1}) que satisfaz 3.3.
Deste modo,
−N ε ≥ S(n1 ) ≥ S(nl ) − (l − 1)(|λ| + ε + A) ≥ aN −1 − (λ + ε) − (l − 1)(|λ| + ε + A)
⇒ −N ε ≥ aN −1 − (λ + ε) − l(|λ| + ε + A) + (|λ| + ε + A).
Lembrando que aN −1 ≥ −A, resulta:
N ε ≤ l(λ + ε + A).
ε
.
Assim, basta tomar δ = |λ|+ε+A

33

Passemos, enfim, à demonstração do lema 3.2. Primeiramente provaremos que G é
um subfibrado mensurável. Isto será feito em três passos. Para isso usaremos a seguinte
observação.
Observação 3.2. Sejam (A, A) e (B, B) espaços mensuráveis e uma aplicação f : A →
B. Se existe uma cobertura enumerável (An )n de A por conjuntos mensuráveis, tal que
f |An : An → B é uma aplicação mensurável para cada n ≥ 1, então f : A → B é uma
aplicação mensurável.
Primeiro passo: Para k ≥ 1 e x ∈ M seja
1
1
Gx (k) = {u ∈ Fx : lim sup log kL−n (x)uk ≤ −λ1 + }.
k
n→+∞ n
Então definimos Mk = {x ∈ M : Gx (k) = Gx }. Afirmamos que (Mk )k cobre M . Com
efeito, para qualquer x ∈ M fixo, (Gx (k))k é uma sequência decrescente de subespaços
de Fx e, comoTdimFx é finita, deve existir kx ≥ 1 talTque Gx (kx ) = Gx , para todo k ≥ kx .
+∞
Por um lado, +∞
k=kx Gx (kx ) = Gx e, por outro lado,
k=kx Gx (kx ) = Gx (kx ). Logo, existe
kx ≥ 1 tal que Gx (kx ) = Gx . Afirmamos ainda que Mk é um conjunto mensurável. Para
provar esta última afirmação, consideremos as funções
1
λ1 : M → R,
λ1 = lim sup log kLn (x)k.
n→+∞ n
e
1
φ : F → R,
φ(x, u) = lim sup log kL−n (x)k
n→+∞ n
Estas funções são mensuráveis, porque ( n1 log kLn (x)k) e ( n1 log kL−n (x)k) são sequências
limitadas de funções mensuráveis. Consideremos ainda a projeção fibrada π : F → M .
Claramente,
1
x∈
/ Mk ⇔ ∃u ∈ Fx tal que (φ + λ1 π)(x, u) ∈ (0, )
k
1
−1
⇔ x ∈ π((φ + λ1 π) ((0, ])).
k
ou seja,
1
Mk = M \π((φ + λ1 ◦ π)−1 (0, ]).
k
Uma vez que a projeção aplica conjuntos mensuráveis em conjuntos mensuráveis, então
π((φ + λ1 ◦ π)−1 (0, k1 ])) é mensurável, o que implica que M \π((φ + λ1 ◦ π)−1 (0, k1 ]) é
mensurável, ou seja, Mk é mensurável.
Segundo passo: Fixemos k ≥ 1 e, para cada x ∈ Mk e m ≥ 1, definamos
1
Gx (k, m) = {u ∈ Fx : kL−n (x)u ≤ m exp(−n(λ1 − ))kukk, ∀n}.
l
Notemos que Gx (k, m) = ∪m Gx (k, m) para todo x ∈ Mk . A inclusão ⊃ é óbvia e ⊂ segue
de Gx (k) = Gx (k + 1). Definamos agora, Mk,m = {x ∈ Mk : Gx (k) = Gx (k, m)} = {x ∈
Mk : Gx (k, m) = Gx (k, l) para todo l ≥ m}. Consideremos a função
ψk : π −1 (Mk ) → R,

1
kL−n (x)uk
exp(n(λ1 − )).
kuk
k
n>0

ψk (x, u) = sup
34

(x)uk
Esta função é mensurável, pois fn (x, u) = kL−n
exp(n(λ1 − k1 )) define uma sequência
kuk
de funções contı́nuas e, portanto, mensuráveis. Temos,

x∈
/ Mk,m ⇔ ∃u ∈ Fx e l ≥ m tal que m < ψk (x, u) ≤ l
⇔ ∃l ≥ m tal que x ∈ π(ψk−1 ((m, l])),
−1
−1
∞
isto é, Mk,n = Mk \ ∪∞
l=m π(ψk ((m, l])). Tendo em vista que ∪l=m π(ψk ((m, l])) é mensurável, resulta que Mk,n também é mensurável. Queremos provar que (Mk,m )m cobre Mk . Com esta finalidade, seja x ∈ Mk e {u1 , ..., us } uma base ortogonal de Gx (k).
Tomemos m1 , ..., ms ≥ 1 tais que ui ∈PGx (x, mi ), para todo 1 ≤ i ≤ s, e consideremos
m = max{m1 , ..., ms }. Para cada u = si=1 ai ui ∈ Gx (k) e para cada n ≥ 1, tem-se

kL−n (x)uk = kL−n (x)

s
X
i=1

≤
≤

ai ui k ≤

s
X

|ai |kL−n (x)ui k

i=1

s
X

1
|ai |mi exp(−n(λ1 − ))kui k
k
i=1

s
X

1
|ai |m exp(−n(λ1 − ))kui k
k
i=1
s

1 X
= m exp(−n(λ1 − ))
|ai |kui k
k i=1
1
= m exp(−n(λ − ))kuksoma ,
k
ou seja, kL−n (x)uk ≤ m exp(−n(λ − k1 ))Ckuk, onde C depende apenas da escolha da
norma em F . Concluı́mos assim, que Gx (k) ⊂ Gx (k, Cm + 1) e, portanto, x ∈ Mk,Cm+1 .
Terceiro passo: Provemos agora que Gx é semicontı́nua inferiormente em cada Mk,m ,
isto é, dada qualquer sequência (xi )i em Mk,m convergindo para algum x ∈ Mk,m , tem-se
lim Gxi ⊂ Gx .
Dada uma sequência ui ∈ Gxi , i ≥ 1, que converge para algum u ∈ Fx , temos
k
kL−n (x)ui k ≤ m exp(−n(λ1 − ))kui k
k
para todo i ≥ 1 e n ≥ 1. Passando ao limite, obtemos
k
kL−n (x)uk ≤ m exp(−n(λ1 − ))kuk,
k
o que implica que u ∈ Gx (k, m) ⊂ ∪Gx (k, m) = Gx (k). Como existe kx tal que Gx (k) =
Gx , para todo k ≥ kx , então u ∈ Gx e isto conclui a prova da afirmação. Segue, pois,
que cada conjunto Mk,m,j = {x ∈ Mk,m ; dimGx ≥ j} é fechado e que varia continuamente com x em cada Mk,m,j \Mk,m,j+1 . Notemos que (Mk,mj \Mk,m,j+1 ) é uma cobertura de Λ̂(j) por conjuntos mensuráveis e π −1 |(Mk,m,j \Mk,m,j+1 ) é mensurável. Ora,
π −1 |(Mk,m,j \Mk,m,j+1 ) = G|(Mk,m,j \Mk,m,j+1 ). Logo, pela observação 3.2 feita acima,
segue que G|Λ̂(j) é mensurável.
35

Agora, passemos à segunda parte da demonstração. Iremos mostrar que dimGx > 0
para µ−q.t.p. x ∈ M . Para isto, basta mostrar que, para todo k ≥ 1, Gx (k) 6= {0} em
µ−q.t.p. x ∈ M . Seja k ≥ 1 fixo e, para m ≥ 1, definamos Ym como o conjuntos dos
pontos x ∈ M tais que existe u ∈ Fx \{0} satisfazendo
k
kL−n (x)uk ≤ m exp(−n(λ1 − ))kuk
k

(3.4)

para 1 ≤ n ≤ m. Afirmamos que existe δ > 0 tal que
µ(Ym ) ≥ δ

(3.5)

T
para m ≥ 1. Observemos que isto implica que o conjunto Y = ∞
m=1 Ym tem medida
positiva, porque Y1 ⊃ Y2 ⊃ Y3 ⊃ · · · e cada Ym tem medida positiva. Se x ∈ Y
então existe uma sequência de vetores unitários (vn )n∈N∗ , com vi ∈ Yi , tais que vale 3.4.
Tomando um vetor v que seja limite de alguma subsequência de (vn ) então vale 3.4 e
0 6= v ∈ Gx (k). Mas
Ln (x)Gx (k) = Gf n (x) (k)
S
T
S
T
e então tem-se dimGx (k) > 0 se x ∈ n≥0 f n ( n≥1 Ym ). Como n≥0 f n ( n≥1 Ym ) é invariante e tem medida positiva, pois contém Y . Segue da ergodicidade de µ que dimGx (k) > 0
em µ−quase todo ponto. Como consequência, a prova do lema foi reduzida a verificar
1
)) e definamos
3.5. Seja u ∈ Fx , N ≥ 1 tal que kLN (x)uk ≥ exp(N (λ1 − 2k
ai = log kL−1 (f i (x))(

Li+1 (x)u
)k,
kLi+1 (x)uk

para 0 ≤ i ≤ N − 1. Observemos que ai ≤ log kL−1 k, pois
log kL−1 (f i (x))(

Li+1 (x)u
Li+1 (x)u
)k ≤ log kL−1 (f i (x))kk
)k = log kL−1 (f i (x))k
kLi+1 (x)uk
kLi+1 (x)uk

e
N
−1
X
j=0

aj

N
−1
X

N −1
kL−1 (f j (x))Lj+1 (x)uk X
kL−1 (f j (x))L(f j (x))Lj (x)uk
=
log
=
log
kLj+1 (x)uk
kLj+1 (x)uk
j=0
j=0

=

N
−1
X
j=0

log

kLj (x)uk
kuk
kLN −1 (x)uk
= log
+ ... + log
kLj+1 (x)uk
kL(x)uk
kLN (x)uk

= log kuk − log kL(x)uk + ... + log kLN −1 (x)uk − log kLN (x)uk
kuk
= log
.
kLN (x)uk
1
1
Como kLNkuk
≤ exp(N ( 2k
λ1 )), temos log kLNkuk
≤ (N ( 2k
λ1 )). Pelo lema 3.5,
(x)uk
(x)uk
1
1
−1
tomando λ = λ1 + 2k , ε = 2k e A = log kL k, obtemos números n1 , ..., nl tais que
0 ≤ n1 < ... < nl ≤ N − 1, com L ≥ N δ e satisfazendo
n
i −1
X
kLn (x)uk
1
log
=
aj ≤ (ni − n)(−λ1 + )
kLni (x)uk
k
j=n

36

(3.6)

L

(x)u

para todo 0 ≤ n ≤ ni . Seja vi = kLnni (x)uk . Então, tendo em vista que Ln (x)u =
i
Ln−ni (f ni (x))Lni (x)u, obtemos de 3.6
1
kLn−ni (f ni (x))vi k ≤ exp((n − ni )(λ1 − )),
k
para 1 ≤ ni − n < ni , e isto acarreta f ni (v) ∈ Yni . Do fato que Yni ⊂ Ym quando ni ≥ m,
segue que
l−m
Nδ − m
m
1
#{0 ≤ j ≤ N : f j (x) ∈ Ym } ≥
≥
=δ− .
N
N
N
N
Fazendo N → +∞, tem-se
τ (x, Ym ) = lim

1

N →+∞ N

#{0 ≤ j ≤ N : f j (x) ∈ Ym } ≥ δ.

Mas como µ é ergódica, resulta que µ(Ym ) = τ (x, Ym ) ≥ δ(pela proposição 2.5 na página
133 do livro do Ricardo Mañe, referencia bibliográfica[Man]), provando nossa afirmação.
Finalmente, definamos


kLn (x)uk
Cε (x) = sup
: u ∈ Gx \{0} .
exp(n(λ1 + ε))kuk
n≥0
De
u = Ln (f −n+1 (x))L−n (x)u
obtemos
kuk ≤ Cε (f −n+1 (x)) exp(n(λ1 + ε))kL−n (x)uk
donde

1
1
1
log kuk ≤ log Cε (f −n+1 (x)) + (λ1 + ε) + log kL−n (x)uk
n
n
n
e, lembrando que Cε tem crescimento subexponencial,
1
1
log kL−n (x)uk + λ1 + ε = lim inf − log kLn (x)uk + λ1 + ε
n→−∞ n
n→+∞
n
1
= − lim sup log kLn (x)uk + λ1 + ε
n→+∞ n

0 ≤ lim inf

e como ε é arbitrário,
1
log kLn (x)uk ≤ λ1 .
n→+∞ n

lim sup
Pela proposição 3.3, isto acarreta

1
log kLn (x)uk ≤ λ1 .
n→−∞ n

lim sup

Agora, definamos Cε (x) como sendo


kL−n (x)uk
Cε (x) = sup
: u ∈ Gx \{0} .
exp(−n(λ1 + ε))kuk
n≥0
37

Visto que
u = L−n (f n−1 (x))kLn (x)uk
resulta
kuk ≤ Cε (f n−1 (x)) exp(−n(λ1 + ε))kLn (x)uk
acarretando

1
log kLn (x)uk − λ1 − ε
n→+∞ n

0 ≤ lim inf
e, assim,

1
log kLn (x)uk.
n→+∞ n
Novamente pela proposição 3.3, obtemos
λ1 ≤ lim inf

1
log kLn (x)uk.
n→−∞ n

λ1 ≤ lim inf

Ora, dada qualquer sequência limitada (xn ) de números reais vale
lim sup xn ≥ lim inf xn .
Logo,
1
1
log kLn (x)uk = lim inf log kLn (x)uk
n→±∞
n
n→±∞ n

lim sup
e, portanto,

1
log kLn (x)uk = λ1 ,
n→±∞ n
lim

completando a prova do lema.

3.3

Demonstração do Lema 3.4

Seja Σ o espaço dos morfismos de fibrados vetoriais mensuráveis G⊥ → G. Obteremos
um morfismo A ∈ Σ tal que H = graf (A) = {u + Au; u ∈ G⊥ } seja o subfibrado como no
enunciado do Lema. Consideremos a transformação Φ(A)(x) = L−1 (f (x))A(f (x))L̂(x) e
seja, P = (L|G⊥ − L̂) : G⊥ → G. Dado u ∈ G⊥ ,
L(u + Au) = Lu + LAu = L̂u + P u + LAu =
= L̂u + A(L̂u) + L(L−1 P u) + LAu − L(L−1 AL̂u) =
= L̂u + A(ˆ(L)u) + L(L−1 P + A − L−1 AL̂)u.
Notemos que L̂u ∈ G⊥ enquanto que as duas últimas parcelas pertencem a G. Portanto,
H invariante por L se, e somente se,
A − Φ(A) = −L−1 P.

(3.7)

Façamos B = −L−1 P . Provemos que existem λ < 0 e uma função mensurável
C : M → R tais que kΦn (B)xk ≤ C(x) exp(λn) para todo n ≥ 0 e µ−quase toda
38

P
n
parte.PIsto assegura a convergência da série ∞
n=0 Φ (B) em µ-quase toda parte e que
∞
n
A = n=0 Φ (B) satisfaz 3.7, que não é difı́cil de ver. Para obter λ e C, seja
Kε (x) = sup

kL̂n (x)k

n≥0 exp(n(λ1 (L̂) + ε))

k(L−1 |G)n (x)k
.
−1
n≥0 exp(n(λ1 (L |G) + ε))

e Cε (x) = sup

Então,
kΦn (B)(x)k = k(L−1 |G)n (f n x)B(f n x)L̂n (x)k
≤ Cε (f n (x))kBkKε (x) exp(n(λ1 (L̂) + λ1 (L−1 |G) + 2ε)).
Observemos que Cε tem crescimento subexponencial, então
Cε (f n x)
n≥0 exp(nε)

Dε (x) = sup
é finito e

kΦ(B)(x)k ≤ kBkDε (x)Kε (x) exp(n(λ1 (L̂) − λ1 (L) + 3ε)).
Então basta tomar λ = λ1 (L̂) − λ1 (L) + 3ε e C(x) = kBkDε (x)Kε (x), onde ε > 0 é
escolhido de modo que λ < 0.
Resta ainda provar que λ1 (L|H) = λ1 (L̂). Com este propósito, seja Ã : G⊥ → H
dada por Ãu = u + Au. Pela construção, tem-se L ◦ Ã = Ã ◦ L̂, isto é, (L|H)(x) =
Ã(f x)L̂(x)(Ã)−1 (x). Portanto,
1
1
log k(L|H)n (x)k = lim sup log kÃ(f n (x))L̂n (x)(Ã)−1 (x)k
n→+∞ n
n→+∞ n
1
1
1
≤ lim sup log kÃ(f n (x))k + lim sup log kL̂n (x))k + lim sup log k(Ã)−1 (x))k.
n→+∞ n
n→+∞ n
n→+∞ n

λ1 (L|H, x) = lim sup

O segundo termo da última desigualdade acima é igual a λ1 (L̂) e o terceiro é nulo. Além
disso,
1
log kÃ(f n (x))k = 0.
n
n→+∞

lim sup

(3.8)

De fato,
1 ≤ kidk ≤ kÃ(f n (x))k = kid + A(f n (x))k ≤ 1 + kA(f n (x))k ≤ 1 +

C(f n x)
.
1 − expλ

Usando o mesmo argumento da seção 3.2.2 vemos que Dε (x) e Kε tem crescimento
subexponencial, então o mesmo vale para Cε (x). Combinado com a última desigualdade, temos que vale 3.8. Isto, por sua vez, acarreta λ1 (L|H) ≤ λ1 (L̂). A desigualdade
contrária é provada da mesma forma, usando que L̂(x) = (Ã)−1 (f (x))(L|H)(x)Ã(x), e
que k(Ã)−1 k ≤ 1 em µ-quase toda parte, porque (Ã)−1 = π|H : H → G⊥ . Portanto, a
prova do lema esta completa.
39

Capı́tulo 4
Técnicas
Apresentamos algumas das técnicas que nos serão útil para demonstrar o nosso resultado. A técnica usada para provar o resultado principal deste trabalho 4 foi inspirado
em uma prova para o princı́pio variacional condicional de Takens e Verbitskiy [TV2].
A prova de Takens e Verbitskiy por sua vez foi inspirado por argumentos usados por
Young[You].

4.1

Construção dos pontos em X̂(ϕ, f )

As provas que utilizam a propriedade de especificação são tipicamente construtivas,
e a nossa não é exceção. A estratégia geral é a de escolher conjuntos de pontos que
possuem uma propriedade dinâmica da qual estamos interessados, e usar a propriedade
de especificação para a construção de novos pontos que sombreiam as órbitas dos pontos
originais.
Mostraremos como construir um único ponto irregular para uma função contı́nua ϕ
satisfazendo uma das condições equivalentes ao 2.3. O método para a construção de
pontos em X(ϕ, α) é semelhante.
No caso de shifts do tipo finito topologicamente mixing, a propriedade de especificação
é equivalente a uma operação muito mais simples, a de concatenação de palavras finitas.
Esse exemplo oferece uma visão da nossa técnica. Mostraremos como construir um ponto
irregular de um shift unilateral total, em seguida, mostramos como construir pontos
irregulares de aplicações que tem especificação.
Lema 4.1. Seja (Σ, σ) um shift unilateral
total em umRconjunto de sı́mbolos finitos. Seja
R
ϕ ∈ C(Σ) satisfazendo inf µ∈Mσe (Σ) ϕdµ < supµ∈Mσe (Σ) ϕdµ. Então Σ̂(ϕ, σ) 6= ∅.
R
R
Demonstração. Sejam µ1 , µ2 ∈ Mσe (Σ) com ϕdµ1 < ϕdµ2 . Seja δ > 0 tal que
Z
Z
ϕdµ1 − ϕdµ2 > 9δ.
R
1
1
∞
∞
RSeja x = (xi )i=1 satisfazendo n Sn ϕ(x) → ϕdµ1 e y = (yi )i=1 satisfazendo n Sn ϕ(y) →
ϕdµ2 . Seja Nk tendendo para ∞ suficientemente rápido de modo que Nk+1 > exp(N1 +
40

. . . + Nk ). A concatenação de uma sequência enumerável de palavras finitas define um
ponto em Σ. Para i ≥ 1, definimos as seguintes palavras finitas
w2i−1 = (x1 , . . . , xN2i−1 ),
w2i = (y1 , . . . , yN2i )
e definimos p = w1 w2 w3 . . . ∈ Σ. Seja tk = N1 + . . . + Nk . Seja
V ar(ϕ, n) := sup{|ϕ(w) − ϕ(v)| : w, v ∈ Σ, wi = vi para i = 1, . . . , n},
e escolhamos M tal que V ar(ϕ, M ) < δ. Assumimos, sem perda de generalidade, que N1
possa ser escolhido tal que N1 > M . Para k ≥ 1, seja pk = σ tk −1 p. Ou seja,
p2k−1 = (x1 , ..., xN2k−1 , y1 , ..., yN2k , ...) e p2k = (y1 , ..., yN2k , x1 , ..., xN2k+1 , ...)
Observando que V ar(ϕ, n) > V ar(ϕ, m) quando m > n e que Nk é suficientemente maior
que N , temos para k ı́mpar
|SNk ϕ(pk ) − SNk ϕ(x)| =
≤

=

N
k −1
X
i=0
N
−1
k
X

i

ϕ(σ (pk )) −

N
k −1
X

ϕ(σ i (x))

i=0

ϕ(σ i (pk )) − ϕ(σ i (x))

i=0
N
k −1
X

i

i

ϕ(σ (pk )) − ϕ(σ (x)) +

M
X

ϕ(σ i (pk )) − ϕ(σ i (x))

i=0

i=M +1

≤ V ar(ϕ, Nk − M − 1) + ... + V ar(ϕ, 1) +
+V ar(ϕ, Nk ) + ... + V ar(ϕ, Nk − M )
= V ar(ϕ, 1) + ... + V ar(ϕ, M ) + V ar(ϕ, M + 1) + ... + V ar(ϕ, Nk )
≤ V ar(ϕ, 1) + ... + V ar(ϕ, M ) + (Nk − M )V ar(ϕ, M )
≤ (Nk − M )V ar(ϕ, M ) + M kϕk.
onde kϕk = supx,y∈X |ϕ(x) − ϕ(y)|.
Então, para k ı́mpar suficientemente grande, temos
Z
1
SN ϕ(pk ) − ϕdµ1 < 3δ.
Nk k
Similarmente, para k par suficientemente grande, temos
Z
1
SN ϕ(pk ) − ϕdµ2 < 3δ.
Nk k
Observe que tk−1 /tk → 0 e Nk /tk → 1. Temos
|Stk ϕp − SNk ϕ(pk )| ≤ tk−1 kϕk,
41

é facilmente verificado que
1
1
Stk ϕp −
SN ϕ(pk ) → 0
tk
Nk k
Segue que para todo k suficientemente grande
Z
1
St ϕp − ϕdµρ(k) < 4δ.
tk k
Onde ρ(k) = (k + 1)( mod 2) + 1. Portanto, p ∈ Σ̂(ϕ, f ).
Lema 4.2. Seja (X, f ) um sistema
da especificação. Seja
R dinâmico com a propriedade
R
ϕ ∈ C(X) satisfazendo inf µ∈Mfe (X) ϕdµ < supµ∈Mfe (X) ϕdµ. Então X̂(ϕ, f ) 6= ∅.
R
R
Demonstração. SejamR µ1 , µ2 medidas ergódicas com ϕdµ1 < ϕdµ2 . Seja xi satisfazendo n1 Sn ϕ(xi ) → ϕdµi para i = 1, 2. Seja mk := m(ε/2k ) o mesmo da definição da
P
especificação e Nk tendendo para ∞ suficientemente rápido tal que Nk+1 > exp{ ki=1 (Ni +
mi )} e Nk > exp mk . Definimos zi ∈ X indutivamente usando a propriedade da especificação. Seja t1 = N1 , tk = tk−1 + mk + Nk para k ≥ 2 e ρ(k) := (k + 1)( mod 2) + 1.
Seja z1 = x1 . Seja z2 satisfazendo
dN1 (z2 , z1 ) < ε/4 e dN2 (f N1 +m2 z2 , x2 ) < ε/4.
Seja zk satisfazendo
dtk−1 (zk−1 , zk ) < ε/2k e dNk (f tk−1 +mk zk , xρk ) < ε/2k
Observe que se q ∈ B̄tk (zk , ε/2k−1 ), então, pela desigualdade triangular
dtk−1 (q, zq−1 ) ≤ dtk−1 (q, zk ) + dtk−1 (zk , zk−1 )
ε
ε
ε
ε
ε
< k−1 + k < k−1 + k−1 = k−2 .
2
2
2
2
2
logo B̄tk (zk , ε/2k−1 ) ⊂ B̄tk−1 (zk−1 ,Tε/2k−2 ). Então, temos aqui uma sequência decrescente
de compactos encaixados, logo, k≥1 B̄tk (zk , ε/2k−1 ) 6= ∅ e, além disso, esta intersecção é
um ponto. Definamos:
\
B̄tk (zk , ε/2k−1 ).
p :=
k≥1

Para k ≥ 2, seja pk := f

tk−1 +mk

p. Sendo,

dNk (pk , f tk−1 +mk zk ) ≤ ε/2k−1 e dNk (f tk−1 +mk zk , xρ(k) ) < ε/2k
segue, pela desigualdade triangular que dNk (pk , xρ(k) ) < ε/2k−2 . Logo,
SNk ϕ(pk ) − SNk ϕ(xρ(k) )

=
≤

N
k −1
X
i=0
N
−1
k
X

i

ϕ(f (pk )) −

N
k −1
X

ϕ(f i (xρ(k) ))

i=0

ϕ(f i (pk )) − ϕ(f i (xρ(k) )) ≤

i=0

N
k −1
X
i=0

k−2

= Nk V ar(ϕ, ε/2
42

).

V ar(ϕ, ε/2k−2 )

ou seja,
SNk ϕ(pk ) − SNk ϕ(xρ(k) ) ≤ Nk V ar(ϕ, ε/2k−2 )
Dividindo ambos os membros por Nk e considerando que limk→∞ V ar(ϕ, ε/2k−2 ) = 0,
temos
Z
1
SN ϕ(pk ) − ϕdµρ(k) → 0,
(4.1)
Nk k
quando fazemos k → ∞.
Por outro lado,
|SNk ϕ(pk ) − Stk ϕ(p)| =
=

N
k −1
X
i=0
N
k −1
X

i

ϕ(f (pk )) −

tX
k −1

ϕ(f i (p))

i=0
i

ϕ(f (f

tk−1 +mk

p)) −

ϕ(f i (p))

i=0

i=0

=

tX
k −1

N
k −1
X

i

ϕ(f (p)) −

i=tk−1 +mk

tX
k −1

ϕ(f i (p))

i=0

tk−1 +mk −1

=

X

ϕ(f i (p)) ≤ (tk−1 + mk )kϕk.

i=0

onde kϕk = max{|ϕ(f i (p))| : i = 0, 1, 2, ..., tk−1 + mk − 1} ou seja,
1
1
1
SNk ϕ(pk ) − Stk ϕ(p) ≤ (tk−1 + mk )kϕk
tk
tk
tk
k
daı́ podemos usar o fato que Ntkk → 1 e tk−1t+m
→ 0 (veja o lema 4.3) para provar que
k

1
1
SNk ϕ(pk ) − Stk ϕ(p) → 0.
Nk
tk
Por 4.1 e 4.2, segue que
1
St ϕ(p) −
tk k

Z
ϕdµρ(k) → 0

e portanto p ∈ X̂(ϕ, f ).
Lema 4.3. Sejam (Nk )k∈N e (tk )k∈N como acima. Então temos:
1. Ntkk → 1
k
→ 0.
2. tk−1t+m
k

43

(4.2)

Nk
Demonstração. De fato. Para justificar 1, note que Ntkk = tk−1 +m
=
k +Nk

1
t
m .
1+ k−1
+ Nk
N
k

mk
→ 0, trivialmente.
Nk

k−1
Verificaremos agora que o mesmo vale para tN
. É fácil ver que tk >
k

Pk

k

Pk

Pk
mj
i=2 mi +
j=1 e
Pk
j=1 (Nj +mj )

e pela escolha
de (Nk )k∈N , temos Nk+1 > e j=1 (Nj +mj ) . Provaremos que e
P
P
k
k
mj
i=2 mi +
j=1 e . Usaremos indução em k. Assumiremos que m0 = 0.
Para k = 2, temos

>

e(N1 +m2 )+(N2 +m2 ) = eN1 · em1 · eN2 · em2 > em1 + em2 + m2
Suponha válido para k, ou seja
Pk

e

j=1 (Nj +mj )

>

k
X

mi +

i=2

Pk+1

j=1 (Nj +mj )

Pk

>e

emj

j=1

então
e

k
X

j=1 (Nj +mj )

>

k
X

mi +

i=2

k
X

eml

l=1

A última desigualdade continua valendo se acrescentarmos à direita mk+1 e emk+1 que
são valores muito pequenos logo
e
Pk

Pk+1

j=1 (Nj +mj )

>

k
X

mi +

k+1
X

i=2

l=1

Pk−1

Pk

Como e j=1 (Nj +mj ) cresce muito rápido e i=2 mi +
temos que
tk−1
→0
Nk
e, portanto , que
Nk
→ 1.
tk
Justifiquemos agora 2. Note que:
0
0
tk−1 +mk
tk−1 %
=
+ mtkk % → 0.
tk
tk

4.2

eml .
ml
cresce muito lentamente,
l=1 e

Limites inferior em entropia topológica e pressão

Mostraremos como construir um ponto irregular usando a propriedade da especificação. Agora vamos descrever a nossa estratégia para construir uma quantidade suficientemente grande de pontos irregulares tal que o conjunto irregular tenha entropia
topológica total. O resultado que o conjunto irregular tem entropia topológica total (se
não for vazio) para as aplicações contı́nuas com a propriedade de especificação foi devido a [EKL]. O autor deu uma prova independente da prova dada aqui. Esboçamos as
ideias por trás da demonstração do resultado para ”entropia total”. Isso será til para a
compreensão do resultado para pressão topológica, que é mais geral.
Exigimos dois ingredientes principais: Princı́pio da Distribuição de Entropia (veja
[TV2]) e a fórmula de Katok para entropia métrica [Kat].
44

Lema 4.4 (Princı́pio de distribuição da entropia). . Seja f : X → X uma transformação
contı́nua. Seja Z ⊆ X um boreliano arbitrário. Suponha que exista uma constante
s ≥ 0 tal que para ε > 0 suficientemente pequeno, podemos encontrar uma medida de
probabilidade de Borel µ = µε (não necessariamente invariante), uma constante C(ε) > 0
e um inteiro N (ε) satisfazendo µε (Z) > 0 e µε (Bn (x, ε)) ≤ C(ε)e−ns , para cada bola
Bn (x, ε) tal que Bn (x, ε) ∩ Z 6= ∅ e n ≥ N (ε). Então htop (Z) ≥ s.
Demonstração. Escolhamos ε > 0 e µε satisfazendo as condições do teorema. Seja Γ =
{Bni (xi , ε)}i uma cobertura para Z com todos ni ≥ N para algum N ≥ N (ε). Iremos
assumir que Bni (xi , ε) ∩ Z 6= ∅ para cada i. Então
X
Q(Z, s, Γ) =
exp(−sni )
i

≥ C(ε)−1

X

µε (Bn (x, ε))

i

≥ C(ε)−1 µε (Z) > 0.
Então, M (Z, s, ε, N ) ≥ C(ε)−1 µε (Z) > 0 para todo N ≥ N (ε). Portanto, m(Z, s, ε) > 0
e htop (Z, ε) ≥ s. Logo, o resultado segue.
Proposição 4.1 (Fórmula de Katok para entropia métrica). . Sejam (X, d) um espaço
métrico compacto, f : X → X uma aplicação contı́nua e µ uma medida ergódica invariante. Para ε > 0 e γ ∈ (0, 1), denotamos por N µ (γ, ε, n) a menor cardinalidade dos
conjuntos que (n, ε)-geram um conjunto com µ-medida maior que 1 − γ. Temos
hµ = lim lim sup
ε→0

n→∞

1
1
log N µ (γ, ε, n) = lim lim inf log N µ (γ, ε, n).
ε→0 n→∞ n
n

Resumidamente, nossa estratégia é a seguinte: Seja ε > 0 arbitrário.
R
R
1. Tomemos duas medidas ergódicas µ1 , µ2 com ϕdµ1 6= ϕdµ2 e hµi > htop (f ) − ε
para i = 1, 2.
2. Usamos a fórmula de Katok para encontrar uma sequência Gk de conjuntos
R (nk , 2ε)separados com nk → ∞ tal que #Gk ≈ exp(nk hµρ(k) ) e se x ∈ Gnk ≈ nk ϕdµρ(k) .
3. Pelo método do lema 4.2, usamos a propriedade da especificação para construir
pontos que acompanham pontos tomados de G1 , . . . , Gk , . . . respectivamente. O
conjunto de todos estes pontos é um fractal D ⊂ X̂(ϕ, f ).
4. Construiremos uma medida adequada em D para uma aplicação
P do Principio de
1
Distribuição da Entropia. A ideia é a seguinte: Seja µk = #Gk x∈Gk δx . Como Gk
é um conjunto (nk , ε)-separado, então
µk (Bnk (q, ε)) ≤ #G−1
k ≈ exp{−nk (htop (f ) − ε)}.
Definimos µ com sendo o limite fraco* de medidas definidas de forma similar a µk .

45

Capı́tulo 5
O conjunto irregular para aplicações
com especificação possui pressão
topológica total
Dado um espaço métrico compacto (X, d), uma aplicação contı́nua f : X → X e um
potencial contı́nuo ϕ : X → R, relembremos que o conjunto irregular para ϕ é definido
por
)
(
n−1
1X
ϕ(f i (x)) não existe .
X̂(ϕ, f ) = x ∈ X : lim
n→∞ n
i=0
O conjunto irregular aparece naturalmente no contexto da análise multifractal, onde
podemos decompor o espaço X na união disjunta
[
X(ϕ, α) ∪ X̂(ϕ, f ),
X=
α∈R

onde X(ϕ, α) é o conjunto de pontos para o qual a média de Birkhoff de ϕ é igual a α.
Resultado principal. Se f é expansora, então X̂(ϕ, f ) possui pressão topológica
(portanto, entropia topológica) total ou é vazio.
Observação 5.1. Utilizaremos hu ao invés de hu (f ).

5.1

Resultados

Enunciaremos o teorema principal do qual decorre, como corolário, o resultado principal desta dissertação e introduziremos as técnicas chaves usadas na demonstração.
Teorema 5.1. Seja (X, d) um espaço métrico compacto e f : X → X uma aplicação
contı́nua com
ϕ ∈ C(X) satisfaz
R a propriedade daR especificação. Assumindo que
classic
inf µ∈Mf (X) ϕdµ < supµ∈Mf (X) ϕdµ. Então PX̂(ϕ,f ) (ψ) = PX
(ψ) para todo ψ ∈
C(X).

46

Observemos
que o lema 2.3
R
R nos dá uma outra interpretação para a afirmação
inf µ∈Mf (X) ϕdµ < supµ∈Mf (X) ϕdµ. Consideraremos a outra afirmação, porque é mais
natural para a demonstração que daremos. Se nossa afirmação falhar, então X̂(ϕ, f ) = ∅.
De fato, provaremos uma versão levemente mais forte do teorema.
Teorema 5.2. Seja (X, d) um espaço métrico compacto, f : X → X uma aplicação
contı́nua e seja X 0 ⊆ X um conjunto de Borel f -invariante. Assumimos que f satisfaz
a propriedade da especificação em X 0 . Assumimos ainda que ϕ ∈ C(X) satisfaz
Z
Z
inf 0
ϕdµ < sup
ϕdµ.
µ∈Mf (X )

µ∈Mf (X 0 )

Então para todo ψ ∈ C(X),


Z
0
PX̂(ϕ,f ) (ψ) ≥ sup hµ + ψdµ : µ ∈ Mf (X ) .

R
Se sup hµ + ψdµ : µ ∈ Mf (X 0 ) = PXclassic (ψ), então temos PX̂(ϕ,f ) (ψ) = PXclassic (ψ) .
Corolário 5.1. No teorema acima, assumindo apenas que f é contı́nua e expansora,
então temos a mesma conclusão.
Se caso Mf (X 0 ) for denso em Mf (X), precisaremos assumir somente que
Z
Z
inf
ϕdµ < sup
ϕdµ.
µ∈Mf (X)

µ∈Mf (X)

Proposição 5.1 (Princı́pio de Distribuição da Pressão). Seja f : X → X uma transformação contı́nua. Seja Z ⊆ X um conjunto de Borel arbitrário. Suponha que exista
uma constante s ≥ 0 tal que, para ε > 0 suficientemente pequeno, podemos encontrar
uma medida de probabilidade boreliana µε , um inteiro
NP
(ε) e uma constante K(ε) sat
i
isfazendo µε (Z) > 0 e µε (Bn (x, ε)) ≤ K(ε) exp −ns + n−1
i=0 ψ(f (x)) , para toda bola
Bn (x, ε) tal que Bn (x, ε) ∩ Z 6= ∅ e n ≥ N (ε). Então, PZ (ψ) ≥ s.
Proposição 5.2 (Generalização do princı́pio de Distribuição da Pressão). Seja f : X →
X uma transformação contı́nua. Seja Z ⊆ X um conjunto de Borel arbitrário. Suponha
que existam ε > 0 e s ≥ 0 tal que possamos encontrar uma sequência de medidas de
probabilidade boreliana µk , uma constante k > 0 e um inteiro N satisfazendo
lim sup µk (Bn (x, ε)) ≤ K exp{−ns +
k→∞

n−1
X

ψ(f i (x))}

i=0

para toda bola Bn (x, ε) tal que Bn (x, ε) ∩ Z 6= ∅ e n > N . Além disso, assumiremos que
o limite inferior ν da sequência µk satisfaz ν(Z) > 0. Então, PZ (ψ, ε) ≥ s.
Demonstração. Escolhamos ε > 0 e ν satisfazendo as condições do teorema. Seja µk
denotando uma subsequência de medidas que converge para ν. Seja Γ = {Bni (xi , ε)}i
47

cobrindo Z com todo ni ≥ N 0 para algum N 0 ≥ N . Podemos assumir que Bni (xi , ε)∩Z 6=
∅ para todo i. Então
(
)
n
i −1
X
X
Q(Z, s, Γ, ψ) =
exp −sni + sup
ψ(f k (y))
y∈Bni (xi ,ε) k=0

i

(
≥

X

exp −sni +

i

)
ψ(f k (xi ))

k=0
−1

X

≥ K −1

X

≥ K −1

X

≥ K

n
i −1
X

i

i

lim sup µk (Bn (xi , ε))
k→∞

lim inf µkj (Bn (xi , ε))
j→∞

ν(Bn (xi , ε)) ≥ K −1 ν(Z) > 0.

i

Nossa conclusão, na última linha, se justifica porque para todo conjunto aberto U , se
νk converge para ν na topologia fraca*, então lim inf k→∞ νk (U ) ≥ ν(U ). Concluı́mos
que M (Z, s, ε, N 0 , ψ) ≥ K −1 ν(Z) > 0 para todo N 0 ≥ N . Assim, m(Z, s, ε, ψ) > 0 e
PZ (ψ, ε) ≥ s.
O seguinte resultado generaliza a fórmula de Katok para entropia métrica. Em [Men],
Mendoza dar uma prova baseada na ideia da prova de Misiurewicz do princı́pio variacional. Embora ele situe o resultado sobre a afirmação que f é um homeomorfismo, sua
prova vale para f contı́nua.
Proposição 5.3. Seja (X, d) um espaço métrico compacto, f : X → X uma aplicação
contı́nua e µ uma medida invariante ergódica. Para ε > 0, γ ∈ (0, 1) e ψ ∈ C(X),
definimos
(
!)
n−1
X
X
µ
i
N (ψ, γ, ε, n) = inf
exp
ψ(f (x))
,
x∈S

i=0

onde o ı́nfimo é tomado sobre todos conjuntos S que (n, ε)-geram algum conjunto Z com
µ(Z) ≥ 1 − γ. Temos
Z
1
hu + ψdµ = lim lim inf log N µ (ψ, γ, ε, n).
ε→0 n→∞ n
A fórmula também vale se substituirmos o lim inf por lim sup.
Começaremos agora a prova do teorema 5.2. Para fim de esclarecimentos, achamos ser
conveniente dar a prova sobre umas certas hipóteses adicionais, que explicaremos depois
como retirar.
Teorema 5.3. Suponha assumida as hipóteses do teorema 5.2 e fixado ψ ∈ C(X). Seja


Z
0
C := sup hµ + ψdµ : µ ∈ Mf (X ) .
Suponhamos ainda que PXclassic (ψ) é finita e que para todo γ > 0, existem medidas
ergódicas µ1 , µ2 ∈ Mf (X 0 ) que satisfazem
48

R
1. hµi + ψdµi > C − γ, para i = 1, 2,
R
R
2. ϕdµ1 6= ϕdµ2 .
Então, PX̂(ϕ,f ) (ψ) ≥ C. Se C = PXclassic (ψ), por exemplo, quando X 0 = X, então
PX̂(ϕ,f ) (ψ) = PXclassic (ψ).
A hipótese de que PXclassic (ψ) é finita é fácil de ser removida e é incluı́da somente por
conveniência de notação. De um resultado de [PS1], damos uma breve prova de que as
hipóteses do teorema 5.1 implicam ‘as dos teorema 5.3. Explicaremos como modificar a
prova do teorema 5.3 para obter uma prova idêntica para o teorema 5.2.
Prova Rque as hipóteses de 5.1 implicam as hipóteses de 5.3.R Seja µ1 ergódica
satisfazendo
R
0
hµ1 + ψdµ1 > C − γ/3, seja ν ∈ Mf (X) satisfazendo ϕdµ1 6= ϕdν. Seja
R ν0=
tµ1 +(1−t)ν onde t ∈ (0, 1) é escolhido suficientemente próximo de 1 tal que hν 0 + ψdν >
C − 2γ/3. Por [PS1], quando f possui a propriedade chamada de propriedade do g-quase
produto, que é mais fraca que a da especificação, podemos encontrar uma sequência de
medidas ergódicas νn ∈ Mf (X) tal que hνn → hν 0 quando νn → ν 0 na topologia fraca*(isto
segue do teorema B de [EKW] onde f possui especificação e a aplicação µ → hµ é semicontı́nua superiormente). Além do mais,Rpodemos escolher Ruma medida
R desta sequência,
que chamamos µ2 , a qual satisfaz hµ2 + ψdµ2 > C − γ e ϕdµ1 6= ϕdµ2 .

5.2

Prova do teorema 5.3

Seja γ > 0 pequeno fixado. Tomemos as medidas µ1 e µ2 dados em nossa hipótese.
Escolhemos δ > 0 suficientemente pequeno tal que
Z
Z
ϕdµ1 − ϕdµ2 > 4δ.
Seja ρ : N → {1, 2} dado por ρ(k) = (k + 1)( mod 2) + 1. Escolhemos uma sequência
estritamente decrescente δk → 0 com δ1 < δ e uma sequência estritamente crescente
lk → ∞ tal que o conjunto


Z
1
0
Yk := x ∈ X : Sn ϕ(x) − ϕdµρ(k) < δk para todo n ≥ lk
(5.1)
n
satisfaz µρ(k) (Yk ) > 1 − γ para cada k. Isto é claramente possı́vel pelo teorema ergódico
de Birkhoff.
O seguinte lema segue facilmente da proposição 5.3.
Lema 5.1. Para todo ε > 0 suficientemente pequeno, podemos encontrar uma sequência
nk → ∞ e uma coleção enumerável de conjuntos
G1 , G2 , ... tal que cada Gk é um
P finitos P
nk −1
i
conjunto (nk , 4ε)-separado para Yk e Mk := x∈Gk exp
i=0 ψ(f x) satisfaz
Mk ≥ exp(nk (C − 4γ)).
Além disso, a sequência nk pode ser escolhido tal que nk ≥ lk e nk ≥ 2mk , onde mk =
m(ε/2k ) é o mesmo na definição da propriedade da especificação.
49

Demonstração. Pela proposição 5.3, tomemos ε suficientemente pequeno tal que
Z
1
µi
lim inf log N (ψ, γ, 4ε, n) ≥ hµi + ψdµi − γ ≥ C − 2γ para i = 1, 2.
n→∞ n
Para A ⊂ X, relembramos que
( n−1
(
!
)
X
X
k
Qn (A, ψ, ε) = inf
exp
ψ(f (x)) : G conjunto (n, ε) − gerador para A .

Pn (A, ψ, ε) = sup

x∈G

k=0

(
X

n−1
X

x∈G

exp

!
ψ(f k (x))

)
: G conjunto (n, ε) − separado para A .

k=0

Como µρ(k) (Yk ) > 1 − γ para cada k, é imediato que
Qn (Yk , ψ, 4ε) ≥ N µρ(k) (ψ, γ, 4ε, n).
Seja M (k, n) = Pn (Yk , ψ, 4ε). Como Qn (A, ψ, ε) ≤ Pn (A, ψ, ε), para cada k obtemos
1
1
log M (k, n) ≥ lim inf log N µρ(k) (ψ, γ, 4ε, n) ≥ C − 2γ.
n→∞ n
n→∞ n

lim inf

Podemos agora escolher uma sequência nk → ∞ satisfazendo a hipótese do lema tal
que
1
log M (k, nk ) ≥ C − 3γ.
nk
Agora para cada k, seja Gk escolhido dos conjuntos (nk , 4ε)-separados para Yk que
satisfazem
(
!)
nX
k −1
X
1
1
log
exp
log M (k, nk ) − γ.
ψ(f i x)
≥
nk
nk
i=0
x∈Gk

Pnk −1
P
i
ψ(f
x)
, então
Seja Mk := x∈Gk exp
i=0
1
1
log Mk ≥
log M (k, nk ) − γ ≥ C − 4γ ⇒
nk
nk
log Mk ≥ nk (C − 4γ) ⇒
Mk ≥ exp nk (C − 4γ).

Escolhemos ε > 0 suficientemente pequeno tal que V ar(ψ, 2ε) < γ e V ar(φ, 2ε) < δ,
e fixemos todos o ingredientes provenientes do lemma 5.1.
Nossa estratégia é construir um determinado fractal D ⊂ X̂(ϕ, f ), no qual poderemos
definir uma sequência de medidas adequadas para uma aplicação da Generalização do
princı́pio de distribuição da pressão.

50

5.2.1

Construção de um fractal Morán D

Começaremos pela construção de duas famı́lias intermediárias de conjuntos finitos. A
primeira famı́lia, denotada por {Rk }k∈N , consiste de pontos que acompanham um número
muito grande Nk de pontos de Gk . A segunda famı́lia, denotada por {Jk }k∈N , consiste
de pontos que acompanham pontos (tomados em ordem) de R1 , R2 , ..., Rk . Fazendo Nk
crescer para infinito muito rapidamente, o que percebe-se é que a média ergódica de um
ponto em Jk é próxima da média ergódica de seu ponto correspondente em Rk .

Construção dos conjuntos intermediários {Rk }k∈N
Escolhamos uma sequência Nk que cresce para ∞ suficientemente rápido tal que
lim

k→∞

N1 (n1 + m1 ) + ... + Nk (nk + mk )
nk+1 + mk+1
= 0 e lim
= 0.
k→∞
Nk
Nk+1

(5.2)

Enumeraremos os pontos dos conjuntos Gk provenientes do lema 5.1 e escrevemos cada
Gk como segue
Gk = {xki : i = 1, 2, ..., #Gk }.
Escolhemos um k e o fixemos, e consideremos o conjunto de palavras de comprimento
Nk com entradas em {1, 2, ..., #Gk }. Cada palavra i = (i1 , ..., iNk ) representa um ponto
k
em GN
k . Usando a propriedade da especificação, podemos escolher um ponto y :=
y(i1 , ..., iNk ) que satisfaz
ε
k
dnk (xkij , f aj (y)) < k
2
para todo j ∈ {1, ..., Nk }, onde akj = (j − 1)(nk + mk ). Em outras palavras, y sombreia
ordenadamente cada um dos pontos xkij durante um tempo nk e depois dá um “pulo” de
tamanho mk . Definimos
Rk = {y(i1 , ..., iNk ) ∈ X : (i1 , ..., iNk ) ∈ {1, ..., #Gk }Nk }.
Seja ck = Nk nk + (Nk − 1)mk . Então ck é a quantidade de tempo para que a órbita
dos pontos em Gk seja prescrita. Temos como corolário do lema abaixo, que sequências
distintas i1 , ..., iNk , geram pontos distintos em Rk . Então a cardinalidade de Rk , que
k
iremos denotar por #Rk , é igual a #GN
k .
Lema 5.2. Sejam i e j palavras distintas em {1, 2, ..., #Gk }Nk . Então y1 := y(i) e
y2 := y(j) são pontos (ck , 3ε)-separados (isto é, dck (y1 , y2 ) > 3ε).
Demonstração. Seja i 6= j, então existe l, tal que il 6= jl . Temos, pela definição de Rk
k

dnk (xkil , f al (y1 )) <

ε
ε
k
akl
e
d
(x
,
f
.
(y
))
<
n
2
j
k
l
2k
2k

e como Gk é (nk , 4ε)-separado, temos
dnk (xkil , (xkjl ) > 4ε.
51

Combinando essas desigualdades, e observando que Nk ≥ l, temos
ak

k

k

k

dck (y1 , y2 ) ≥ dnk (f Nk (y1 ), f ak (y2 )) ≥ dnk (f al (y1 ), f al (y2 ))
k

k

k

k

≥ dnk (xkil , xkjl ) + dnk (xkil , f al (y1 )) − dnk (xkjl , f al (y2 ))
≥ dnk (xkil , xkjl ) − dnk (xkil , f al (y1 )) − dnk (xkjl , f al (y2 ))
ε ε
> 4ε − − = 3ε.
2 2

Construção dos conjuntos intermediários {Jk }k∈N
Usaremos a propriedade da especificação para construir pontos cujas órbitas sombreiam pontos (tomados em ordem) de R1 , R2 , ..., Rk . Formalmente, o que faremos é
definir Jk indutivamente. Seja J1 = R1 . Construiremos Jk+1 de Jk . Seja x ∈ Jk e
y ∈ Rk+1 . Seja t1 = c1 e tk+1 = tk + mk+1 + ck+1 . Usando a especificação, podemos
encontrar um ponto z := z(x, y) que satisfaz
ε
ε
dtk (x, z) < k+1 e dck+1 (y, f tk +mk+1 (z)) < k+1 .
2
2
ou seja, z = z(x, y) sombreia o ponto x durante um tempo tk , depois ele dá um “pulo”
mk+1 e então começa a sombrear y durante um tempo ck+1 . Grosseiramente falando,
estamos “colando” um pedaço da órbita de x com um pedaço da órbita de y.
Definamos Jk+1 = {z(x, y) : x ∈ Jk , y ∈ Rk+1 }. Note que tk é a quantidade de tempo
necessário para que a órbita de pontos em Jk possa ser prescrita, uma vez que pontos
construı́dos desta forma são distintos (isso é uma consequência do lema a seguir). Assim,
temos
Nk
1
#Jk = #R1 · ... · #Rk = #GN
1 · ... · #Gk .
Este fato segue diretamente do seguinte lema.
Lema 5.3. Para todo x ∈ Jk e y1 , y2 ∈ Rk+1 , com y1 6= y2 temos
ε
dtk (z(x, y1 ), z(x, y2 )) < k e dtk+1 (z(x, y1 ), z(x, y2 )) > 2ε.
2
Então, Jk um conjunto (tk+1 , 2ε)-separado. Em particular, se z, z 0 ∈ Jk , então
ε
ε
B̄tk (z, k ) ∩ B̄tk (z 0 , k ) = ∅.
2
2
Demonstração. Seja p := z(x, y1 ) e q := z(x, y2 ). A primeira desigualdade é trivial pela
ε
para i = 1, 2, então pela desigualdade triangular,
nossa construção pois, dtk (x, zi ) < 2k+1
ε
ε
ε
dtk (z1 , z2 ) < 2k+1 + 2k+1 = 2k .
Da mesma forma que fizemos no lema 5.2, obtemos a segunda desigualdade como
segue:
dtk+1 (p, q) ≥ dck+1 (f tk +mk+1 (p), f tk +mk+1 (q))
≥ dck+1 (y1 .y2 ) + dck+1 (y1 , f tk +mk+1 (p)) − dck+1 (y2 , f tk +mk+1 (q))
≥ dck+1 (y1 , y2 ) − dck+1 (y1 , f tk +mk+1 (p)) − dck+1 (y2 , f tk +mk+1 (q))
ε ε
> 3ε − − = 2ε.
2 2
52

A terceira afirmação é consequência direta da segunda, pois por Jk ser (tk , 2ε)-separado,
então para z, z 0 ∈ Jk temos dtk (z, z 0 ) > 2ε, em particular dtk (z, z 0 ) > ε/2k .
Definição 5.1. Dizemos que z ∈ Jk+1 descende de x ∈ Jk se z = z(x, y) para algum
y ∈ Rk+1 .
Lema 5.4. Se z ∈ Jk+1 descende de x ∈ Jk , então
B̄tk+1 (z,

ε
ε
) ⊂ B̄tk (x, k−1 ).
k
2
2

Demonstração. Seja z 0 ∈ B̄tk+1 (z, 2εk ). Então, usando a desigualdade triangular,
dtk (z 0 , x) ≤ dtk (z 0 , z) + dtk (z, x) ≤ dtk+1 (z 0 , z) + dtk (z, x)
ε
ε
ε
ε
ε
≤ k + k+1 < k + k = k−1 .
2
2
2
2
2

Construção de um fractal de Morán D e uma sequência especial
de medidas µk
ε
Seja Dk = ∪x∈Jk B̄tk (x, 2k−1
). Pelo lema 5.4, Dk+1 ⊂ Dk . Assim,
T temos uma sequência
decrescente de conjuntos compactos, então a intersecção D = k Dk não-vazia. Além
do mais, cada ponto p ∈ D pode ser representado unicamente por uma sequência
p = (p1 , p2 , p3 , ...) onde cada pi = (pi1 , ..., piNi ) ∈ {1, 2, ..., #Gi }Ni . Cada ponto em Jk
pode ser unicamente representado por uma palavra finita (p1 , ..., pk ).
Introduziremos algumas notações que nos serão úteis. Sejam y(pi ) ∈ Ri como definido na
seção 5.2.1. Seja z1 (p) = y(p1 ) e procedendo indutivamente, seja zi+1 (p) = z(zi (p), y(pi+1 )) ∈
Ji+1 definido como em 5.2.1. Podemos escrever zi (p) como z(p1 , ..., pi ). Então, definimos
p por
\
ε
p=
B̄ti (zi (p), i−1 ).
2
i∈N

É claro, pela nossa construção, que podemos representar unicamente cada ponto de D
desta maneira.
Lema 5.5. Dado z = (p1 , ..., pk ) ∈ Jk , temos para todo i ∈ {1, ..., k} e para todo l ∈
{1, ..., Ni },
dni (xipi , f ti−1 +mi−1 +(l−1)(mi +ni ) (z)) < 2ε.
l

Demonstração. Fixamos i ∈ {1, ..., k} e l ∈ {1, ..., Ni }. Para m ∈ {1, ..., k − 1}, seja
zm = z(p1 , ..., pm ) ∈ Jm . Seja a = ti−1 + mi−1 e b = (l − 1)(mi + ni ). Então
dni (xipi , f a+b (z)) < dni (xipi , f b (y)(pi )) + dni (f b (y)(pi ), f a+b (zi )) + dni (f a+b (zi ), f a+b (z)).
l

l

Pela nossa construção
dni (xipi , f b y(pi ) <
l

53

ε
.
2i

Também, pela construção, temos
dni (f b (y)(pi , f a+b (zi )) ≤ dci (y(pi ), f a (z)) <

ε
2i+1

.

Temos,
dni (f a+b (zi ), f a+b (z)) < dti (zi , (z)) < dti (zi , zi+1 ) + ... + dti (zk−1 , z)
ε
ε
ε
< i+1 + i+1 + ... + k .
2
2
2
P
ε
< 2ε, como
Combinando as desigualdades, obtemos dni (f a+b (z), xipi ) < km=i 2εm + 2i+1
l
querı́amos.
Agora definiremos medidas em D que produzem as estimativas requeridas para a
aplicação do Princı́pio de distribuição da pressão. Para cada z ∈ Jk , associamos um
número L(z) ∈ (0, ∞). Usando esses números como referência definimos, para cada k,
uma medida atômica centrada em Jk . Mais precisamente, se z = z(p1 , ..., pk ), definimos
Lk (z) := L(p1 ) . . . L(pk ).
onde, se pi = (pi1 , . . . , piNi ) ∈ {1, . . . , #Gi }Ni , então
L(pi ) :=

Ni
Y

exp Sni ψ(xipi ).
l

l=1

Definimos
νk :=

X

δz Lk (z).

z∈Jk

Normalizamos νk para obter uma sequência de medidas de probabilidades µk . Mais
precisamente, sejam µk := κ1k νk , onde κk é a constante normalizante definida por:
X
Lk (z).
κk :=
x∈Jk

Lema 5.6. Vale a relação: κk = M1N1 · . . . · MkNk .
Demonstração. Notemos que
X

L(pi ) =

pi ∈{1,...,#Gi }Ni

Ni
Y

X

exp Sni ψ(xipi )
l

pi ∈{1,...,#Gi }Ni l=1

X

=

exp Sni ψ(xipi ) · . . . · exp Sni ψ(xipi )
1

Ni

pi ∈{1,...,#Gi }Ni

=

#Gi
X

exp Sni ψ(xip1 ) · . . . ·
1

pi1 =1

=

#Gi
X
piN =1
i

MiNi
54

exp Sni ψ(xipi )
Ni

Pela definição e sendo que cada z ∈ Jk corresponde a uma única sequência (p1 , . . . , pk ),
temos:
X
X
X
Lk (z) =
L(p1 ) . . . L(pk )
κk =
Lk (z) =
z∈Jk

(p1 ,...,pk )∈Jk

(p1 ,...,pk )∈Jk

X

=

L(p1 ) · (L(p2 )...L(pk )) +

p1 ∈{1,...,#G1 }N1

X

+

L(p2 ) · (L(p1 )...L(pk )) + ...

p2 ∈{1,...,#G2 }N2

X

+

pk ∈{1,...,#Gk

L(pk ) · (L(p1 )...L(pk−1 ))
}Nk

X

=
=

L(p1 )

p1 ∈{1,...,#G1 }N1

=

L(p1 ) . . . L(pk )

pk ∈{1,...,#Gk }Nk

p1 ∈{1,...,#G1 }N1

X

X

...

...

X
pk ∈{1,...,#Gk

L(pk )
}Nk

M1N1 · . . . · MkNk .

Então, segue o resultado.
Lema 5.7. Suponha que a medida ν é limite da sequência de medidas de probabilidade
µk . Então, ν(D) = 1.
Demonstração. Suponha válida a hipótese, então ν = limk→∞ µlk para algum lk → ∞.
Para um dado l fixado e todo p ≥ 0, têm-se µl+p (Dl ) = 1, pois µl+p (Dl+p ) = 1 e
Dl+p ⊆ Dl . Além disso, ν(Dl ) ≥ lim supk→∞ µlk (Dl ) = 1. Daı́ segue que ν(D) =
liml→∞ ν(Dl ) = 1.
De fato, a sequência µk converge. Porém, para o uso da Generalização do princı́pio
de distribuição da pressão, não precisaremos usar este fato e por isso omitiremos a prova.
Para uma demonstração detalhada, veja [TV2].
Verificaremos agora que D ⊂ X̂(ϕ, f ).
Ptk −1
Lema 5.8. Para cada p ∈ D, a sequência t1k i=0
ϕ(f i (p)) é divergente.
Demonstração. Escolhamos um ponto p ∈ D. Usando a notação de 5.2.1, seja yk := y(pk )
e zk = zk (p). Primeiro mostraremos que
Z
1
Sc ϕ(yk ) − ϕdµρ(k) → 0.
(5.3)
ck k
É fácil ver que V ar(ϕ, c) → 0 quando c → 0, pois ϕ é contı́nua. Usaremos este fato e os
seguintes limites
nk Nk
mk (Nk − 1)
= 1, lim
= 0.
k→∞
k→∞ ck
ck
lim

55

(5.4)

Esse limites seguem da afirmação que nk ≥ 2mk . De fato:
lim

k→∞

nk Nk
=
ck
=

nk Nk

lim

k→∞ nk Nk + (Nk − 1)mk

1

lim

k→∞ (1 + (Nk −1)mk n N )
k k
.

−→ 1

Pois, como nk ≥ 2mk , então
(Nk − 1)mk
mk 0
mk
=
% −
%0 .
Nk nk
nk
Nk mk
Da mesma forma,
mk (Nk − 1)
k→∞ Nk nk + (Nk − 1)mk
1
−→ 0.
= lim
N
n
k
k
k→∞ 1 +
%∞
(Nk −1)mk

mk (Nk−1 )
=
k→∞
ck
lim

lim

Seja aj = (j − 1)(nk + mk ). Podemos escrever
Nk nk +(Nk −1)mk −1

X

i

ϕ(f (yk )) =

i=0

nX
k −1

nk +(mk −1)

X

i

ϕ(f (yk )) +

i=0

i

ϕ(f (yk )) +

i=nk

X

+

nk −1+2(nk +mk )

X

ϕ(f i (yk )) +

i=nk +(nk +mk )

+

Nk nk +(Nk −1)mk −1

X

i

ϕ(f (yk )) + ... +
nk +(mk −1)

X

Snk ϕ(f aj (yk )) +

j=1

ϕ(f i (yk ))

i=nk

nk +mk −1+(nk +mk )

X

+

nk +mk −1+2(nk +mk )
i

ϕ(f (yk )) +

i=nk +(nk +mk )

X
i=nk +2(nk +mk )

nk +mk −1+(Nk −1)(nk +mk )

+ ... +

X
i=nk +(Nk −1)(nk +mk )

=

Nk
X

ϕ(f i (yk ))

i=(Nk −1)(nk +mk )

i=nk +2(nk +mk )
Nk
X

ϕ(f i (yk ))

i=2(nk +mk )

nk +mk −1+2(nk +mk )

X

ϕ(f i (yk ))

i=nk +mk

nk +mk −1+(nk +mk )

=

nk −1+n
Xk +mk

Snk ϕ(f aj (yk ) + gk .

j=1

Logo,
|gk | ≤ mk (Nk − 1)kϕk.
56

ϕ(f i (yk ))

ϕ(f i (yk ))

Portanto,
Nk nk +(Nk −1)mk −1

Z
Sck ϕ(yk ) − ck

ϕdµρ(k)

X

≤

Z

i

ϕ(f (yk )) − ck

ϕdµρ(k)

i=0

≤

Nk
X

Z

aj

Snk ϕ(f yk ) − ck

ϕdµρ(k) + mk (Nk − 1)kϕk

j=1

≤

Nk
X

aj

Snk ϕ(f yk ) −

j=1

Nk
X

Snk ϕ(xkij ) +

j=1

Nk
X

Snk ϕ(xkij )

j=1

Z
− ck
≤

Nk
X

ϕdµρ(k) + mk (Nk − 1)kϕk
Snk ϕ(f aj yk ) − Snk ϕ(xkij ) + mk (Nk − 1)kϕk

j=1

+

Nk
X

Snk ϕ(xkij ) − nk

Z

Z
ϕdµρ(k) + mk (Nk − 1)

ϕdµρ(k)

j=1
k

≤ nk Nk (V ar(ϕ, ε/2 ) + δk ) + mk (Nk − 1)(kϕk +

Z
ϕdµρ(k) ).

Note que usamos o fato que dnk (xkij , f aj yk ) < ε/2k na última linha. O afirmado em
5.3 segue disto e da relação5.4.
Seja p0 = f tk −ck (p) e zk0 = f tk −ck (zk ). Usando dtk (p, zk ) ≤ ε/2k−1 , temos
dck (p0 , yk ) ≤ dck (p0 , zk0 ) + dck (zk0 , yk )
≤ ε/2k−1 + ε/2k ≤ ε/2k−2 .
Usando isto e a relação5.3, obtemos
Z
1
0
Sc ϕ(p ) − ϕdµρ(k) ≤ V ar(ϕ, ε/2k−2 ).
ck k

(5.5)

Como ingrediente final, é necessário mostrar que
1
1
Stk ϕ(p) − Sck ϕ(p0 ) → 0.
tk
ck

(5.6)

Da afirmação em 5.2, podemos verificar que ck /tk → 1. Desta forma, para γ > 0
arbitrário e k suficientemente grande, temos |ck /tk − 1| < γ. Logo


1
1
1
1
ck
0
0
St ϕ(p) − Sck ϕ(p ) =
St −c ϕ(p) − Sck ϕ(p ) 0 − 1
tk k
ck
tk k k
ck
tk
tk − ck
1
≤
kϕk + γ Sck ϕ(p0 )
tk
ck
≤ 2γkϕk.
57

Como γ arbitrário, verificamos 5.6. Usando 5.5 e 5.6, segue que
Z
1
St ϕ(p) − ϕdµρ(k) → 0.
tk k

Seguindo a ordem, para provar o teorema 5.3, daremos uma sequência de lemas que
nos permitem aplicar a generalização do Princı́pio da Distribuição de Pressão. Seja
B := Bn (q, ε/2) uma bola arbitrária que intersecta D. Seja k o único número que
satisfaz tk ≤ n < tk+1 . Seja j ∈ {0, . . . , Nk+1 − 1} o único número tal que
tk + (nk+1 + mk+1 )j ≤ n ≤ tk + (nk+1 + mk+1 )(j + 1).
Assumimos que j ≥ 1 e o caso j = 0 segue de maneira análoga.
Lema 5.9. Suponha µk+1 (B) > 0, então exite (uma única escolha para) x ∈ Jk e
i1 , . . . ij ∈ {1, . . . , #Gk+1 } satisfazendo
νk+1 (B) ≤ L(x)

j
Y

−j

N

k+1
exp Snk+1 ψ(xk+1
.
il )Mk+1

l=1

Demonstração. Se µk+1 (B) > 0, então Jk+1 ∩ B 6= ∅. Seja z = z(x, y) ∈ Jk+1 ∩ B onde
x ∈ Jk e y = y(i1 , . . . , iNk +1 ) ∈ Rk+1 . Seja
Ax;i1 ,...,ij = {z(x, y(l1 , . . . , lNk +1 )) ∈ Jk+1 : l1 = i1 , . . . , lj = ij }.
Suponha que z(x0 , y(l)) ∈ B. Sendo Jk (tk , 2ε)-separado e n ≥ tk , x = x0 . Para l ∈
{1, 2, . . . , j}, temos
dnk+1 (f tk +(l−1)(nk+1 +mk+1 ) (q), xk+1
il ) < 2ε.
Sendo xk+1
∈ Gk+1 , então z ∈ Ax;i1 ,...,ij . Portanto,
il
νk+1 (B) ≤

X
z∈Ax;i1 ,...,ij

= L(x)

j
Y

X

L(z) = L(x)

L(pk+1 )

=i1 ,...,pk+1
=ij
pk+1 :pk+1
1
j
Nk+1 #Gk+1

exp Snk+1 ψ(xk+1
il )

Y

X

exp Snk+1 ψ(xk+1
lp ),

p=j+1 lp =1

l=1

seguindo assim, o nosso resultado.
Lema 5.10. Seja x ∈ Jk e i1 , · · · , ij como antes. Então
L(x)

j
Y

k
X

exp Snk+1 ψ(xk+1
il ) ≤ exp(Sn ψ(q) + 2nV ar(ψ, 2ε) + kψk(

i=1

l=1

58

Ni mi + jmk+1 )).

Demonstração. Escrevendo x = x(p1 , . . . , pk ). O lema 5.5 nos fornece que
dni (f ti−1 +mi−1 +(l−1)(mi +ni ) x, xipi ) < 2ε
l

para todo i ∈ {1, . . . , k} e todo l ∈ {1, . . . , Ni } e, daı́, segue que
L(x) ≤ exp{Stk ψ(x) + tk V ar(ψ, 2ε) +

k
X

kψkNi mi }.

i=1

Da mesma forma
j
Y




ε
ψ(z)
+
(n
−
t
)V
ar(ψ,
)
≤
exp
S
exp Snk+1 ψ(xk+1
)
+
kψkjm
k
n−tk
k+1 .
il
k+1
2
l=1

Obtemos o resultado dessas duas desigualdades e que dn (z, q) < 2ε e dtk (x, q) < 2ε.
A prova do lema a seguir é semelhante à do lema 5.9.
Lema 5.11. Para todo p ≥ 1, suponha µk+p (B) > 0. Seja x ∈ Jk e i1 , . . . , ij como antes.
Então cada z ∈ Jk+p ∩ B “descende” de algum ponto de Ax;i1 ,...,ij . Temos
νk+p (B) ≤ L(x)

j
Y



Nk+p
Nk+1 −j
Nk+2
exp Snk+1 ψ(xk+1
)M
M
.
.
.
M
.
il
k+1
k+2
k+p

l=1

Lema 5.12. Vale a relação
!
k
X
1
µk+P (B) ≤
exp Sn ψ(q) + 2nV ar(ψ, 2ε) + kψk(
Ni mi + jmk+1 ) .
j
κk Mk+1
i=1
Demonstração. Usando o lema 5.10, segue pelo lema 5.11 que
Nk+p
Nk+1 −j
νk+p (B) ≤ Mk+1
. . . Mk+p
exp

!
k
X
Sn ψ(q) + 2nV ar(ψ, 2ε) + kψk(
Ni mi + jmk+1 ) .
i=1
N

N

k+p
k+1
1
νk+p e κk+p = κk Mk+1
. . . Mk+p
. o resultado segue.
Sendo µk+p = κk+p

j
Lema 5.13. Para n suficientemente grande, κk Mk+1
≤ exp((C − 5γ)n).

Demonstração. Recordando que pela construção, Mk ≤ exp((C − 4γ)nk ). Temos
j
κk Mk+1
=
≥
≥
=

j
M1N1 . . . MkNk Mk+1
exp{(C − 4γ)(N1 n1 + N2 n2 + . . . + Nk nk + jnk+1 )}
exp{(C − 5γ)(N1 (n1 + m1 ) + N2 (n2 + m2 ) + . . . + Nk (nk + mk ) + j(nk+1 + mk+1 ))}
exp{(C − 5γ)(tk + m1 + j(nk+1 + mk+1 ))} ≥ exp{(C − 5γ)n}.

59

Lema 5.14. Para n suficientemente grande, vale a relação
!
n−1
X
ε
lim sup µk (Bn (q, )) ≤ exp −n(C − 2V ar(ψ, 2ε) − 6γ) +
ψ(f i q) .
2
k→∞
i=0
Demonstração. Pelos lemas 5.12 e 5.13, para n suficientemente grande e algum p ≥ 1,
)
(
k
X
1
exp Sn ψ(q) + 2nV ar(ψ, 2ε) + kψk(
Ni mi + jmk+1 )
µk+p (B) ≤
j
κk Mk+1
i=1
1
≤
exp {Sn ψ(q) + n(2V ar(ψ, 2ε) + γ)}
j
κk Mk+1
≤ exp{−n(C − 6γ − 2V ar(ψ, 2ε)) + Sn ψ(q)}.
A justificativa da terceira linha é válida porque nk é muito maior que mk .
Aplicando a Generalização do Princı́pio da Distribuição de Pressão, temos
PD (ψ, ε) ≥ C − 2V ar(ψ, 2ε) − 6γ.
Relembramos que ε foi escolhido suficientemente pequeno tal que V ar(ψ, 2ε) < γ.
Daı́, segue que
PX̂(ϕ,f ) (ψ, ε) ≥ PD (ψ, ε) ≥ C − 8γ.
Sendo γ e ε arbitrários, a prova do teorema 5.3 está completa.

5.2.2

Modificação da construção para obter o teorema 5.2

R
Dado γ > 0 pequeno fixado.RSeja µ1 ergódica
e satisfazendo hµ1 + ψdµ1 > C − γ/2.
R
Seja ν ∈ Mef (X 0 ) satisfazendo ϕdµ1 6= ϕdν. Seja µ2 = t1 µ1 + t2 νR onde t1 + t2 = 1
e t1 ∈ (0, 1) escolhido suficientemente próximo de 1, tal que hµ2 + ϕdµ2 > C − γ.
Escolhamos δ > 0 suficientemente pequeno tal
Z
Z
ϕdµ1 − ϕdµ2 > 8δ.
Escolhamos uma sequência estritamente decrescente δk → 0 com δ1 < δ. Para k ı́mpar,
procederemos como antes, escolhendo uma sequência estritamente crescente lk → ∞ tal
que o conjunto


Z
1
0
Yk := x ∈ X : Sn ϕ(x) − ϕdµ1 < δk para todo n ≥ lk
n
satisfazendo µ1 (Yk ) > 1−γ para cada k. Para k par, definimos Yk,1 := Yk−1 e encontramos
Lk > lk−1 tal que cada um dos conjuntos


Z
1
0
Yk,2 := x ∈ X : Sn ϕ(x) − ϕdν < δk para todo n ≥ lk
n
satisfazendo ν(Yk,2 ) > 1 − γ. A prova do lema a seguir é semelhante do lema 5.1.
60

Lema 5.15. Para cada ε > 0 e k par, podemos encontrar uma sequência n̂k → ∞ tal
que [ti n̂k ] ≥ lk para i = 1, 2 e conjuntos
Gik tal que
Gik é um conjunto ([ti n̂k ], 4ε)-separado


P
Pnk −1
i
para Yk,i com Mki := x∈Gi exp
j=0 ψ(f x) satisfazendo
k

Mk1 ≥ exp([t1 n̂k ](hµ1 +

Z

Mk2 ≥ exp([t2 n̂k ](hν +

ψdµ1 − 4γ)) e
Z
ψdν − 4γ)).

Além disso, a sequência n̂k pode ser escolhido tal que n̂k ≥ 2mk onde mk = m(ε/2k ) como
na definição de especificação.
Usaremos agora a propriedade da especificação para definir o conjunto Gk como segue.
Para i = 1, 2, seja yi ∈ Gi e defina x = x(y1 , y2 ) escolhido de pontos que satisfazem
d[t1 n̂k ] (y1 , x) <

ε
ε
e d[t2 n̂k ] (y2 , f [t1 n̂k ]+mk x) < k .
k
2
2

Seja Gk o conjunto de todos os pontos construı́dos desta forma. Seja nk = [t1 n̂k ] +
[t2 n̂k ] + mk . Então nk é a quantidade de tempo para que a órbita de pontos em Gk
possa ser determinado e temos nk /n̂k → 1. Notemos que Gk é (nk , 4ε)-separado tal que
#Gk = #G1k #G2k . Seja Mk = Mk1 Mk2 . Dada nossa nova construção de Gk , o resto de
nossa construção segue sem alteração nenhuma.

5.2.3

Modificação da prova

Para cada x ∈ Gk ,
Z
Snk ϕ(x) − nk

Z
ϕdµ2

≤
+

S[t1 n̂k ] ϕ(x) − [t1 n̂k ]

ϕdµ1 + mk kϕk
Z
[t1 n̂k ]+mk
S[t2 n̂k ] ϕ(f
x) − [t2 n̂k ] ϕdν .

R
Da segue que n1k |Gnk ϕ(x) − ϕdµ2 | → 0. Esta observação, nos permite modificar a prova
do lema 5.8 e assegura que nossa construção ainda serve para os pontos em X̂(ϕ, f ).
Temos para nk suficientemente grande,


Z
Z
Mk ≥ exp [t1 n̂k ](hµ1 + ψdµ1 − 4γ) + [t2 n̂k ](hν + ψdν − 4γ)


Z
Z
≥ exp (1 − γ)n̂k (t1 (hµ1 + ψdµ1 ) + t2 (hν + ψdν) − 4γ)
Z
2
≥ exp(1 − γ) nk (hµ2 + ψdµ2 − 4γ) ≥ exp(1 − γ)2 nk (C − 5γ).
Como γ foi arbitrário, esta observação nos permite modificar as estimativas no lema 5.13
para estender esta construção mais geral.
61

Capı́tulo 6
Conjunto irregular para os expoente
de Lyapunov
Para ilustrar a definição de expoentes de Lyapunov. Seja X = [0, 1]. Suponha que f é
uma função diferenciável. Para |x − y| ≈ 0 escolhamos um n suficientemente grande, mas
não muito grande(a razão pela qual n não deve ser muito grande é que se nós deixarmos
n → ∞ então f n (x) e f n (y) podem aproximar-se para algum n grande, já que X é um
conjunto limitado). Queremos descrever o valor de |f n (x) − f n (y)|.
Temos:
|f (x) − f (y)| ≈ |f 0 (x)| × |x − y| ,
e
n

n

|f (x) − f (y)| ≈

n−1
Y

(f n )0 (x) × |x − y| .

i=0

Desenvolvendo o lado direito usando a regra da cadeia e depois extraı́ndo a raiz quadrada
de ambos os lados, temos:
1
n

(|f n (x) − f n (y)|) ≈

n−1
Y

1
n

f 0 (f i x)

1

× |x − y| n .

i=0

Tomando o logaritmo e usando suas propriedades, temos
1
1
log |f n (x) − f n (y)| ≈
n
n

n−1
X

!
log f 0 (f i (x)) + log |x − y| .

i=0

fazendo n → ∞ e assumindo que o lado direito possui um limite, tem-se
n−1

1X
log f 0 (f i (x)) = λ(x).
n→∞ n
i=0
lim

que é o expoente de Lyapunov em x.
Para n suficientemente grande, temos
|f n (x) − f n (y)| ≈ expnλ(x) ,
62

e o termo do lado direito é a taxa média de afastamento(aproximação) das órbitas de x e
y. Grosseiramente falando, o expoente de Lyapunov aqui mede a taxa de “sensibilidade”
das condições iniciais.
R1
Se µ é uma medida f -invariante ergódica, então o lado direito converge para 0 log |f 0 |dµ
R1
pelo teorema ergódico de Birkhoff. Logo, 0 log |f 0 |dµ é o expoente de Lyapunov para f .
O que podemos analisar neste fato é que os conjuntos irregulares da média de Birkhoff
acima e para os expoente de Lyapunov em dimensão 1 coincidem. Então o que podemos
concluir que tudo que fizemos no capı́tulo anterior vale para o conjunto irregular para os
expoentes de Lyapunov em dimensão 1, ou seja, a pressão topológica deste conjunto é
total, caso ele não seja vazio(é claro que estamos considerando todas hipóteses do nosso
resultado). Seria então, natural perguntar se isso também acontece no caso geral para
X espaço métrico compacto qualquer. Em outras palavras, o conjunto irregular para os
expoentes de Lyapunov em dimensão qualquer, possui pressão topológica total quando
não é vazio? É uma perguntar que ainda não possui uma resposta mas, talvez, as técnicas
aqui usadas não são possı́veis de serem adaptadas para este caso.

63

Capı́tulo 7
Apêndice
7.1

Construção de Carathéodory geral

A construção Carathéodory clássica em teoria da medida geral foi originalmente dada
por Carathéodory em [C]. Esta foi designada para produzir uma famı́lia de α-medidas
em um espaço métrico X dada por
X
η(Ui )α },
m(Z, α, η) = lim inf {
ε→0 G

Ui ∈G

onde o ı́nfimo é tomado sobre todas as coberturas finitas ou enumeráveis G = {Ui } de Z
por conjunto abertos Ui com diamUi ≤ ε. Aqui η é uma função em conjuntos positiva.
Introduziremos uma construção que é uma generalização da construção de Carathéodory
clássica e foi elaborada por Pesin [P2] para produzir outros conceitos de dimensão.

7.1.1

Dimensão de Carathéodory de conjuntos

Seja X um conjunto e F uma coleção de subconjuntos de X. Assuma que exista duas
funções conjuntos η, ψ : F → R+ satisfazendo as seguintes condições:
(A1). φ ∈ F; η(∅) = 0 e ψ(∅) = 0; η(U ) > 0 e ψ(U ) > 0 para todo U ∈ F, U 6= ∅;
(A2). para todo δ > 0 existe um ε > 0 tal que η(U ) ≤ δ para todo U ∈ F, com
ψ(U ) ≤ ε;
(A3). para todo ε > 0 existe uma subcoleção finita ou enumerável G ⊂ F que cobre
X e ψ(G) := sup{ψ(U ) : U ∈ G} ≤ ε.
Seja ξ : F → R+ uma função conjunto. Dizemos que a coleção de subconjuntos F e as
funções conjuntos ξ, η, ψ satisfazendo as condições A1, A2 e A3 introduzem a estrutura
da dimensão de Carathéodory ou C − estrutura τ em X e escrevemos τ = (F, ξ, η, ψ).
Exemplo 7.1. Definimos a C-estrutura no espaço Euclidiano R como segue. Seja F a
coleção de conjuntos abertos, ξ(U ) = 1, η(U ) = diamU = ψ(U ) para U ∈ F. A coleção
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de subconjuntos F e as funções conjunto ξ, η, ψ satisfazem as condições A1, A2 e A3 ,
portanto introduzem a C-estrutura τ = (F, ξ, η, ψ) em X.
Considere um conjunto X dotado de uma C-estrutura τ = (F, ξ, η, ψ). Dado um
conjunto Z ⊂ X e números α ∈ R, ε > 0. definimos
X
MC (Z, α, ε) = inf {
ξ(U )η(U )α },
G

U ∈G

onde o ı́nfimo é tomado sob todas subcoleções finitas ou enumeráveis G ⊂ F que cobrem
Z com ψ(G) ≤ ε. Pela condição A3 a função MC (Z, α, ε) está bem definida. Ela não
decresce quando ε decresce. Portanto, existe o limite.
mC (Z, α) = lim MC (Z, α, ε).

(7.1)

ε→0

Estudaremos a função mC (Z, α).
Proposição 7.1. Para todo α ∈ R, a função conjunto mC (·, α) satisfaz as seguintes
propriedades:
1. mC (∅, α) = 0 para α > 0;
2. mC (Z1 , α) ≤ mC (Z2 , α) se Z1 ⊂ Z2 ⊂ X;
P
3. mC (∪i≥0 Zi , α) ≤ i≥0 mC (Zi , α), onde Zi ⊂ X, i = 0, 1, 2, ...
Demonstração. As duas primeiras afirmações seguem diretamente da definição. Iremos
provar a terceira. Dados δ > 0, ε > 0, e i ≥ 0 podemos tomar um εi , 0 < εi < ε e uma
cobertura Gi {Uij ∈ F, j ≥ 0} do conjunto Zi , com ψ(Gi ) ≤ εi , tal que
mC (Zi , α) −

X

ξ(Uij )η(Uij )α ≤

j≥0

δ
2i

A coleção G de conjuntos {Uij , i ≥ 0, j ≥ 0} cobre Z = ∪i≥0 Zi e satisfaz ψ(G) ≤ ε. Agora
temos que
X
X
MC (Z, α, ε) ≤
ξ(Uij )η(Uij )α ≤ 2δ +
mC (Zi , α).
i≥0

Uij

Como ε e δ foram escolhidos arbitrariamente pequenos, temos o resultado desejado.
Iremos descrever agora uma propriedade fundamental da função mC (Z, ·), para um
conjunto Z fixado.
Proposição 7.2. Existe um valor crı́tico αC , −∞ ≤ αC ≤ +∞ tal que mC (Z, α) = ∞
para α < αC e mC (Z, α) = 0 para α > αC .
Demonstração. Segue de A2, que se ∞ > mC (Z, α) ≥ 0 para algum α ∈ R, então
mC (Z, β) = 0 para todo β > α e se mC (Z, α) = ∞ para algum α ∈ R, então mC (Z, β) =
∞ para todo β < α. Isto prova o resultado desejado.
65

Observação 7.1. mC (Z, αC ) pode ser 0, ∞ ou um número positivo finito.
Definimos a dimensão de Carathéodory do conjunto Z ∈ X por
dimC Z = αC = inf{α : mC (Z, α) = 0} = sup{α : mC (Z, α) = ∞.}

(7.2)

Claramente, observa-se que dimensão de Carathéodory depende da escolha da C-estrutura
τ = (F, ξ, η, ψ) em X.
Daremos algumas propriedades básicas da dimensão de Carathéodory.
Teorema 7.1. Verificam-se as seguintes propriedades.
1. dimC ∅ ≤ 0.
2. dimZ1 ≤ dimZ2 , se Z1 ⊂ Z2 ⊂ X.
3. dimC (∪i≥0 Zi ) = supi≥0 dimC Zi , onde Zi ⊂ X, i = 0, 1, 2, ...
Demonstração. As duas primeiras afirmações seguem diretamente da proposição 7.1.
Para provar a terceira afirmação, assumimos que dimC Zi < α para todo i = 0, 1, 2, ...
Segue daı́ que mC (Zi , α) = 0 e pela proposição 7.1, mC (∪i≥0 Zi ) = 0. Portanto, dimC (∪i≥0 Zi ) ≤
α. Isto implica que dimC (∪i≥0 Zi ) ≤ supi≥0 dimC Zi . A outra desigualdade segue diretamente da segunda afirmação do teorema.

7.1.2

Uma modificação da construção de Carathéodory geral

Descreveremos uma modificação da construção de Carathéodory geral. Seja X e S
conjuntos arbitrários e F = {Us : s ∈ F} uma coleção de subconjuntos em X. Assumimos
que existem duas funções η, ψ : S → R+ satisfazendo as seguintes condições:
(A1). existe s0 ∈ S tal que Us0 = ∅; se Us = ∅ então η(s) = 0 e ψ(s) = 0; se Us 6= ∅ então
η(s) > 0 e ψ(s) > 0;
(A2). para todo δ > 0 podemos tomar um ε > 0 tal que η(s) ≤ δ para todo s ∈ S
com ψ(s) ≤ ε;
(A3). para todo ε > 0 exite uma subcoleção finita ou enumerável G ⊂ S que cobre X
e ψ(G) := sup{ψ(s) : s ∈ S} ≤ ε.
Seja ξ : S → R+ uma função. Dizemos que o conjunto S, a coleção de subconjuntos
F e as funções ξ, η, ψ, que satisfazem as condições A1, A2 e A3, introduzem a estrutura
da dimensão de Carathéodory ou C-estrutura τ em X e escrevemos τ = (S, F, ξ, η, ψ).
Se a aplicação s 7→ Us é injetiva então as funções ξ, η e ψ podem ser consideradas como
definidas no conjunto F e portanto, a C-estrutura acima coincide com a C-estrutura
introduzida anteriormente.
Dado um conjunto Z ⊂ X e números α ∈ R, ε > 0, definimos
X
MC (Z, α, ε) = inf {
ξ(s)η(s)α },
G

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s∈G

onde o ı́nfimo é tomado sob todas subcoleções finitas ou enumeráveis G ⊂ S que cobrem
Z com ψ(G) ≤ ε. Pela condição A3 a função MC (Z, α, ε) está bem definida. Ela não
decresce quando ε decresce. Portanto, o seguinte limite existe:
mC (Z, α) = lim MC (Z, α, ε)
ε→0

Pode-se mostrar que a função mC (Z, α) satisfaz as proposições 7.1 e 7.2. Definimos a
dimensão de Carathéodory do conjunto Z por 7.2. Ela satisfaz o teorema 7.1.

7.1.3

Pressão topológica

Sejam (X, d) um espaço métrico compacto com métrica d, f : X → X um aplicação
contı́nua, e ϕ : X → R uma função contı́nua. Consideremos uma cobertura aberta finita
U de X e denotamos por Sλ (U) o conjunto de todos as sequências U = {Ui0 ...Uim−1 :
Uij ∈ U} de comprimento λ = λ(U ). Pomos S = S(U) = ∪λ≥0 Sλ (U).
Para uma dada sequência U = {Ui0 ...Uim−1 } ∈ S(U) associamos o conjunto
X(U ) = {x ∈ X : f i (x) ∈ Uij para j = 0, ..., λ(U ) − 1}

(7.3)

Definimos a coleção de subconjuntos
F = F(U) = {X(U ) : U ∈ S(U)}
e três funções ξ, η, ψ : S(U) → R com segue




m(U )−1

X

ξ(U ) = exp  sup
x∈X(U )

(7.4)

ϕ(f k (x))

(7.5)

k=0

η(U ) = exp(−m(U )), ψ(U ) = λ(U )−1
Não é difı́cil verificar que o conjunto S, a coleção de subconjuntos F, e as funções
η, ξ e ψ satisfazem as condições A1, A2 e A3, então elas determinam uma C-estrutura
τ = τ (U) = (S, F, ξ, η) em X. A função de Carathéodory correspondente mC (Z, α)
depende da cobertura U(e da função ϕ) e é dada por
mC (Z, α) = lim M (Z, α, ϕ, U, N ),
N →∞

onde
M (Z, α, ϕ, U, N ) = inf
G


X




λ(U )−1

exp −αλ(U ) + sup
x∈X(U )

U ∈G

X
k=0



k

ϕ(f (x))


(7.6)

e o ı́nfimo é tomado sob todas as coleções de sequências enumeráveis ou finitas G ⊂ S((U ))
tal que λ(U ) ≥ N para todo U ∈ G e G cobrindo Z (isto é, a coleção de conjuntos
{X(U ) : U ∈ G} cobrindo Z).
Portanto, dado um conjunto Z ⊂ X, a C-estrutura τ gera a dimensão de Carathéodory
de Z, que denotaremos por PZ (ϕ, U). Temos que
PZ (ϕ, U) = inf{α : mC (Z, α) = 0} = sup{α : mC (Z, α) = ∞}
Seja |U| = max{diamUi : Ui ⊂ U} o diâmetro da cobertura U.
67

Teorema 7.2. Para todo conjunto Z ⊂ X o seguinte limite existe:
PZ (ϕ) := lim PZ (ϕ, U).
|U|→∞

Demonstração. Seja V uma cobertura aberta de X com diâmetro menor que o número
de Lebesgue de U. Podemos ver que cada V ∈ V está contido em algum elemento
U (V ) ∈ U. Para toda sequência V = {Vi0 ...Vim } ∈ S(V) associamos a sequência U (V ) =
{U (Vi0 )...U (Vim )} ∈ S(U). Se G ⊂ S(V) cobre um conjunto Z ∈ X então U (G)= {U (V ) :
V ∈ G} ⊂ S(U) também cobre Z. Seja
γ = γ(U) = sup{|ϕ(x) − ϕ(y)| : x, y ∈ U para algum U ∈ U}.
Podemos verificar, usando 7.6 que para cada α ∈ R e N > 0
M (Z, α, ϕ, U, N ) ≤ M (Z, α − γ, ϕ, V, N ).

(7.7)

Isto implica que
PZ (ϕ, U) − γ ≤ PZ (ϕ, V).
Como X é compacto, ele possui uma cobertura aberta finita de diâmetro arbitrariamente
pequeno. Portanto,
PZ (ϕ, U) − γ ≤ lim|V|→0 PZ (ϕ, V).
Se |V| → 0 então γ(U) → 0 e então
lim|U|→0 PZ (ϕ, U) ≤ lim|V|→0 PZ (ϕ, V).
Isto implica a existência do limite.
Chamamos o número PZ (ϕ) de pressão topológica da função ϕ no conjunto Z(com
respeito a f ). Veremos algumas propriedade básicas da pressão topológica. O teorema
abaixo, é um corolário imediato da definição e do teorema 7.1.
Teorema 7.3. .A pressão topológica possui as seguintes propriedades.
1. P∅ (ϕ) ≤ 0.
2. PZ1 (ϕ) ≤ PZ2 (ϕ) se Z1 ⊂ Z2 ⊂ X.
3. PZ (ϕ) = supi≥1 PZi (ϕ), onde Z = ∪i≥1 Zi e Zi ⊂ X, i = 1, 2, ...
4. Se f é um homeomorfismo, então PZ (ϕ) = Pf (Z) (ϕ).
Destacamos ainda a continuidade da pressão topológica.
Teorema 7.4. Dadas duas funções contı́nuas ϕ e ψ em X, então
|PZ (ϕ) − PZ (ψ)| ≤ kϕ − ψk.
onde k · k denota a norma do supremo no espaço das funções contı́nuas em X
68

Demonstração. Dado N > 0, temos que
N
−1
X
1
sup
ϕ(f k (x)) − ψ(f k (x)) ≤ kϕ − ψk.
N x∈X k=0

Daı́, segue que
M (Z, α + kϕ − ψk, ψ, U, N ) ≤ M (Z, α, ϕ, U, N ) ≤ M (Z, α − kϕ − ψk, ψ, U, N ).
Isto implica que
PZ (ψ, U) − kϕ − ψk ≤ PZ (ϕ, U) ≤ PZ (ψ, U) + kϕ − ψk
e concluı́mos a prova da primeira desigualdade.
Definição 7.1 (Entropia topológica). Dado Z ∈ X. No caso especial de ϕ = 0,
chamamos de entropia topológica da aplicação f em Z ao número
hZ (f ) := PZ (0).
No caso de Z compacto ou invariante, nossa definição coincide com a definição usual de
pressão topológica(e também entropia topológica). Denotaremos a pressão topológica do
espaço todo por PXclassic (ψ), para enfatizar que estamos lidando com a definição familiar
para compactos e invariantes.

69

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71
Matemática

Dissertação

Instituto de Matemática

Universidade Federal de Alagoas
