Dissertação

Dissertação Allan.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado

Allan George de Carvalho Freitas

O Teorema da Esfera Diferenciável

Maceió, Brasil
Março de 2013

Allan George de Carvalho Freitas

O Teorema da Esfera Diferenciável

Dissertação de Mestrado, na área de concentração de Geometria Diferencial submetida em 05 de Março de 2013 à banca examinadora, designada pelo Programa de Mestrado em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em
Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Márcio Henrique Batista da Silva

Maceió, Brasil
Março de 2013

O Teorema da Esfera Diferenciável

Allan George de Carvalho Freitas

Dissertação de Mestrado, na área de concentração de Geometria Diferencial submetida em 05 de Março de 2013 à banca examinadora, designada pelo Programa de Mestrado em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em
Matemática.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Márcio Henrique Batista da Silva (Orientador)

Prof. Dr. Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante (UFAL)

Prof. Dr. Ivaldo Paz Nunes (IMPA)

Agradecimentos

4

Resumo
Este trabalho tem como principal objetivo demonstrar o Teorema da esfera diferenciável, isto é, que toda variedade Riemanniana compacta e estritamente 1/4-pinçada no
sentido pontual é difeomorfa a uma forma espacial esférica.
Seguiremos as ideias relativas ao fluxo de Ricci de Hamilton. Primordialmente, abordaremos resultados melhorados devidos à R. Hamilton em superfícies e variedades tridimensionais. Após isto, apresentaremos a solução de S. Brendle e R. Schöen ([7]) para
dimensões maiores que três.
Palavras-chave: Fluxo de Ricci; Curvatura Isotrópica Não Negativa; Teorema da
Esfera Diferenciável.

5

Abstract
This work has as main objective to demonstrate the differentiable sphere theorem,
that is, every compact Riemannian manifold and strictly 1/4-pinching in the pointwise
sense is diffeomorphic to spherical space form.
We will follow the ideas for the Hamilton’s Ricci flow. Primarily, discuss results
improved due to R. Hamilton about surfaces and three-dimensional varieties. After that,
we will present the solution of S. Brendle and R. Schoen ([7]) for dimensions greater than
three.
Keywords: Ricci Flow; Nonnegative Isotropic curvature; Differentiable Sphere Theorem.

6

Índice
Introdução

8

1 Preliminares e alguns resultados auxiliares
1.1 Prelúdio à Geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Convergência de Métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Um pouco de E.D.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Alguns Resultados de Álgebra Linear Complexa . . . . . . . . . . . . . .

11
11
16
21
23

2 O Fluxo de Ricci de Hamilton
2.1 Existência e Unicidade do Fluxo de Ricci em tempos pequenos . . . . . .
2.2 Equações de evolução sob o Fluxo de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Estimativas de Shi e Soluções Máximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27
27
31
40

3 O Fluxo de Ricci em S2
3.1 Sólitons de Ricci Gradiente em S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 O Funcional Entropia de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Convergência para uma métrica de curvatura constante . . . . . . . . . .

48
48
53
64

4 A Teoria de Hamilton
74
4.1 Os cones normal e tangente de um conjunto convexo . . . . . . . . . . . 74
4.2 O Princípio do Máximo de Hamilton para o Fluxo de Ricci . . . . . . . . 79
4.3 O Teorema da Convergência de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4 O Fluxo de Ricci em dimensão três . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5 Condições de Curvatura preservadas em dimensões maiores
110
5.1 Curvatura isotrópica não negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2 A invariância da Curvatura Isotrópica não negativa pelo Fluxo de Ricci . 112
5.3 O Cone Ĉ de Brendle e Schoen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6 Resultados de Convergência em dimensões maiores
130
6.1 A Identidade de Böhm e Wilking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.2 Contruindo uma família de cones invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.3 A demonstração do Teorema da Esfera Diferenciável . . . . . . . . . . . . 150
Referências Bibliográficas

155

7

Introdução
Em 1926, H. Hopf mostrou que uma n-variedade riemanniana compacta, simplesmente
conexa com curvatura seccional constante igual a 1 é necessariamente isométrica à esfera
Sn , munida de sua métrica padrão. Um sentido heurístico de continuidade, levou Hopf a
conjecturar quais as variedades riemannianas cujas curvaturas seccionais estão entre 1-ε
e 1 que são homeomorfas à esfera. Este ficou conhecido como o Problema pinçante de
Hopf, sendo formalizado por H. Hopf e H. Rauch com a noção de curvatura pinçante:
Definição 1. Uma variedade Riemanniana (M, g) é dita ser fracamente δ-pinçada no
sentido global se as curvaturas seccionais de (M, g) satisfazem δ ≤ K ≤ 1. Se a desigualdade é estrita, diremos que (M, g) é estritamente δ-pinçada no sentido global.
Definição 2. Uma variedade Riemanniana (M, g) é dita ser fracamente δ-pinçada no
sentido pontual se 0 ≤ δK(π1 ) ≤ K(π2 ), para todos os pontos p ∈ M e todos planos bidimensionais π1 , π1 ⊂ Tp M . Se a desigualdade é estrita, diremos que (M, g) é estritamente
δ-pinçada no sentido pontual.
O Problema pinçante de Hopf foi primordialmente abordado por H. Rauch após visitar
Hopf em Zürich nos anos 1948-1949. Rauch mostrou em seu artigo pioneiro ([29]) que
uma variedade riemanniana simplesmente conexa que é estritamente δ-pinçada no senso
global é homeomorfa à esfera, onde δ ≈ 0, 75. A partir disto, Rauch levantou a questão de
quão ótima esta constante δ poderia ser. Isto foi resolvido por M. Berger e W. Kligenberg
no conhecido Teorema da Esfera:
Teorema 1 (M. Berger [4]; W. Kligenberg [21]). Se (M, g) é uma n-variedade riemanniana compacta, simplesmente conexa e 1/4-pinçada no senso global então (M, g) é homeomorfa à esfera Sn .
A prova clássica deste teorema baseia-se em técnicas geométricas de comparação e
pode ser vista, por exemplo, no Capítulo 6 de [11]. A constante 1/4 é ótima visto que o
espaço projetivo complexo CPm admite uma métrica cujas curvaturas seccionais pertence
ao intervalo [1, 4] (cf. [28], página 85).
A questão fundamental a se perguntar acerca do Teorema da Esfera é se podemos
substituir no enunciado o "homeomorfa"por "difeomorfa". Isto acontece porque o homeomorfismo obtido na demonstração do Teorema da Esfera é obtido "colando"dois discos
pelos bordos e uma tal construção é compatível com qualquer estrutura diferenciável
distinta da estrutura usual da esfera. Além disso, existem exemplos de estruturas que
são homeomorfas à esfera mas não são difeomorfas à esfera. São as chamadas esferas
8

exóticas. Os primeiros exemplos de esferas exóticas foram construídos por J. Milnor em
1956, onde ele encontrou uma variedade suave que é homeomorfa, mas não difeomorfa à
S7 (cf. [25]).
O primeiro resultado obtido nesta direção se deve a Gromoll ([15]) e Calabi (não
publicado) que provaram que uma variedade riemanniana simplesmente conexa e δ(n)pinçada no senso global é difeomorfa à Sn , onde δ(n) depende da dimensão n da variedade
e converge para 1 quando n → ∞. Em 1971, M. Sugimoto, K. Shiohama e H. Karcher
provaram um resultado análogo em [20] onde a constante pinçante independe da dimensão
(δ = 0, 87). Em 1973, esta constante pinçante foi melhorada por E. Ruh em [30](δ = 0, 80)
e, em 1974, por K. Grove, H. Karcher e E. Ruh em [16](δ = 0, 76). Já em 1982, E.
Ruh obteve uma versão diferenciável do Teorema da Esfera sob uma condição pinçante
pontual, com uma contante pinçante δ(n) que convergia para 1 quando n → ∞(cf. [31]).
Em 1982, R. Hamilton introduziu novas ideias fundamentais à solução deste problema.
Em seu artigo [17], Hamilton fez evoluir a métrica de uma variedade compacta (M, g0 )
por uma equação de evolução
∂
g(t) = −2Ricg(t) .
∂t
Esta equação de evolução ficou conhecida como o Fluxo de Ricci e se comporta como
uma equação do calor não-linear. Neste mesmo artigo, Hamilton demonstrou um resultado fundamental que generaliza o Teorema da esfera diferenciável em dimensão três:
Teorema 2 (R. Hamilton [17]). Considere (M, g) uma variedade Riemanniana compacta
tridimensional com curvatura de Ricci positiva. Então M é difeomorfa a uma forma
espacial esférica S3 /Γ. Em particular, se M é simplesmente conexa então M é difeomorfa
a S3 .
A demonstração deste resultado será abordado no Capítulo 4. A chave da ideia para
a prova é evoluir a métrica inicial pelo fluxo de Ricci e mostrar que a evolução da métrica
converge para uma métrica de curvatura seccional constante, após um rescalonamento.
Desde então, muitas pesquisas tem sido voltadas ao fluxo de Ricci e algumas conjecturas têm sido solucionadas pela aplicação dos métodos. Numas da direções de pesquisa,
G.Perelman demonstrou a Conjectura de Poincaré e a Conjectura da Geometrização de
Thurston.
Seguindo a técnica utilizada por Böhm e Wilking em [5] que classifica as variedades com operador de curvatura 2-positivo, S. Brendle e R. Schoen provaram o célebre
Teorema da Esfera Diferenciável com a constante ótima (δ = 1/4). Este resultado foi
primordialmente demonstrado em [7]:
Teorema 3 (S. Brendle, R. Schöen [7]). Considere (M, g) uma variedade Riemanniana
compacta de dimensão n ≥ 4 e estritamente 1/4-pinçada no senso pontual. Então M
é difeomorfa a uma forma espacial esférica Sn /Γ. Em particular, se M é simplesmente
conexa então M é difeomorfa a Sn .
O objetivo maior desta dissertação é a demonstração deste teorema, bem como a
maquinária necessária à sua compreensão.
9

No Capítulo 1, estabeleceremos notações e definições importantes para o decorrer do
texto. Além disso, abordaremos resultados auxiliares às demonstrações posteriores.
No Capítulo 2, definiremos o Fluxo de Ricci e demonstraremos sua existência e unicidade em tempos pequenos para variedades compactas. Veremos como os tensores associados à métrica evoluem sob o fluxo de Ricci e abordaremos estimativas para as derivadas
covariantes do tensor de curvatura sob o fluxo de Ricci. Estas estimativas tem como
principal objetivo caracterizar as soluções máximas do fluxo de Ricci.
No Capítulo 3, apresentaremos resultados referentes ao caso particular do fluxo de
Ricci em S2 . Introduziremos a noção do Funcional Entropia de Hamilton para demonstrar
que o fluxo de Ricci em S2 , após um rescalonamento das métricas, converge para uma
métrica de curvatura escalar constante igual a 1.
No Capítulo 4, abordaremos o Princípio do Máximo de Hamilton para o Fluxo de
Ricci e discutiremos a noção de conjunto pinçante. Daremos um critério geral de convergência para o fluxo de Ricci que desempenhará um papel importante no estudo do fluxo.
Aplicaremos este critério na demonstração do Teorema 2.
No Capítulo 5, introduziremos a noção de curvatura isotrópica não negativa e veremos
que ela é preservada pelo fluxo de Ricci em dimensões maiores que 3. Abordaremos a
construção dos cones Ĉ de Brendle e Schoen, cruciais para desenvolvimentos posteriores.
O Capítulo 6 é dedicado à demonstração do Teorema da Esfera Diferenciável. Descreveremos uma construção de cones invariantes de Böhm e Wilking que será aplicada
ao cone Ĉ como forma de utilizar o critério geral do Capítulo 4.

10

Capítulo 1
Preliminares e alguns resultados
auxiliares
Neste capítulo, fixaremos notações para o restante do trabalho e abordaremos alguns
resultados e definições suporte para o decorrer do texto. O bom entendimento da dissertação requer conhecimentos básicos de variedades riemannianas, fibrados vetoriais e
tensores.

1.1

Prelúdio à Geometria Riemanniana

Considere (M, g) uma variedade riemanniana. Definimos uma conexão livre de torção
e simétrica, a conexão de Levi-Civita D, da variedade (M, g) pela fórmula de Koszul:
2g(DX Y, Z) = X(g(X, Y )) + Y (g(X, Z)) − Z(g(X, Y ))
+g([X, Y ], Z) − g([X, Z], Y ) − g([Y, Z], X),
onde X, Y, Z são campos de vetores em M .
A conexão de Levi-Civita estende-se naturalmente para tensores. Assim, se T é um
tensor de ordem k e X é um campo de vetores, DX T é um tensor de ordem k definido
por
DX T (Y1 , . . . , Yk ) = X(T (Y1 , . . . , Yk )) −

k
X

T (Y1 , . . . , DX Yi , . . . , Yk ).

i=1

Além disso, a derivada covariante de T é o tensor DT de ordem k + 1 definido por
DT (Y1 , . . . , Yk+1 ) = DYk+1 T (Y1 , . . . , Yk ).
A segunda derivada covariante de T é definida por
2
DX,Y
T = DX DY T − DDX Y T.

Indutivamente, pode-se definir a m-ésima derivada covariante de um tensor.
11

O Laplaciano de um campo tensor T é dado por
∆T =

n
X

De2k ,ek T,

k=1

onde {e1 , . . . , en } é um referencial ortonormal em M .
O tensor de curvatura de Riemann de (M, g) é definido por
R(X, Y, Z, W ) = g(DY DX Z − DX DY Z + D[X,Y ] Z, W ).
onde X, Y, Z, W são campos de vetores em M .
Observação 1.1. Obtemos uma forma para comutar derivadas covariantes, observando
que
2
2
DX,Y
Z − DY,X
Z = DX DY Z − DDX Y Z − DY DX Z + DDY X Z
= DX DY Z − DY DX Z − DDX Y −DY X Z
= DX DY Z − DY DX Z − D[X,Y ] Z
n
X
= −
R(X, Y, Z, ek )ek .
k=1

,
para todos X, Y, Z, W, T campos em M .
Raciocinado da mesma forma, se S é um (0, 4)-tensor podemos ver que
2
2
(DX,Y
S)(U, V, Z, W ) − (DY,X
S)(U, V, Z, W )
n
n
X
X
R(X, Y, V, ek )S(U, ek , W, Z)
R(X, Y, U, ek )S(ek , V, W, Z) +
=

+

k=1
n
X

R(X, Y, W, ek )S(U, V, ek , Z) +

k=1

k=1
n
X

R(X, Y, Z, ek )S(U, V, W, ek )

k=1


Dados quaisquer campos X, Y, Z, W, T em M , o tensor de curvatura de Riemann
satisfaz às relações de simetria
R(X, Y, Z, W ) = −R(Y, X, Z, W ) = R(Z, W, X, Y ),

(1.1)

e as identidades
R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) = 0.
e
12

(1.2)

DT R(X, Y, Z, W ) + DZ R(X, Y, W, T ) + DW R(X, Y, T, Z) = 0

(1.3)

As demonstrações de (1.1), (1.2) e (1.3) podem ser encontrads no Capítulo 2 de [28].
A identidade (1.2) é conhecida como a 1a Identidade de Bianchi e (1.3) é conhecida como
a 2a Identidade de Bianchi.
Em vista de (1.1), podemos ver R como uma forma bilinear simétrica no espaço
das duas-formas. Basta definir, para cada ponto p ∈ M , o operador de curvatura R :
∧2 Tp M × ∧2 Tp M −→ R por
R(X ∧ Y, Z ∧ W ) = R(X, Y, Z, W ),
para todos campos X, Y, Z, W em Tp M .
Definição 1.1. Diremos que (M, g) tem operador de curvatura não negativo se R(ϕ, ϕ) ≥
0 para todos os pontos p ∈ M e todas duas-formas ϕ ∈ ∧2 Tp M .
Definição 1.2. Diremos que (M, g) tem operador de curvatura duas vezes não negativo
se R(ϕ, ϕ) + R(ψ, ψ) ≥ 0 para todos os pontos p ∈ M e todas duas-formas ϕ, ψ ∈ ∧2 Tp M
tais que |ϕ|2 = |ψ|2 e hϕ, ψi = 0.
Dado p ∈ M e um plano bidimensional π ⊂ Tp M , definimos a curvatura seccional de
π por
K(π) =

R(X, Y, X, Y )
,
|X|2 |Y |2 − hX, Y i2

onde {X, Y } é uma base de π. A definição de curvatura seccional independe da base
{X, Y } escolhida.
Fixado p ∈ M , considere {e1 , . . . , en } uma base ortonormal de Tp M . A curvaura de
Ricci de (M, g) é a forma bilinear simétrica
Ric(X, Y ) =

n
X

R(X, ek , Y, ek ),

k=1

e a curvatura escalar é definida por
scal =

n
X

Ric(ek , ek ).

k=1

Por fim, o tensor traço livre de Ricci de (M, g) é definido por
1
scal · g(X, Y ).
n
A proposição que se segue é consequência da 2a Identidade de Bianchi.
o

Ric (X, Y ) = Ric(X, Y ) −

Proposição 1.1. Temos que
n
X

1
(Dek Ric)(X, ek ) = X(scal)
2
k=1
13

(1.4)

e
n
X

o

(Dek Ric)(X, ek ) =

k=1

Demonstração.
que

n−2
X(scal)
2n

(1.5)

Utilizando a definição de scal e a 2a Identidade de Bianchi, teremos

X(scal) =
=
=

n
X

(DX R)(ek , el , ek , el )

k,l=1
n
X

(Dek R)(X, el , ek , el ) +

k,l=1
n
X

n
X

k=1

l=1

n
X

(Del R)(ek , X, ek , el )

k,l=1

(Dek Ric)(X, ek ) +

(Del Ric)(X, el ).
o

Disto, concluímos (1.4). Utilizando a definição de Ric e (1.4), conclui-se (1.5).

O importante resultado que se segue foi descoberto por M. Berger:
Lema 1.1 (Lema de Berger). Considere (M, g) uma variedade riemanniana compacta e
p ∈ M um ponto arbitrário. Suponha que κ ≤ K(π) ≤ κ, para todos planos bidimensionais π ⊂ Tp M . Então
1
R(e1 , e2 , e3 , e2 ) ≤ (κ − κ),
2
e
2
R(e1 , e2 , e3 , e4 ) ≤ (κ − κ),
3
para todos conjuntos ortonormais {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂ Tp M .
Demonstração.
que

Seguem das simetrias do tensor de curvatura e da hipótese do Lema

 



1
e1 + e3
e1 + e3
e1 − e3
e1 − e3
√ , e2 , √ , e2 − R
√ , e2 , √ , e2
R(e1 , e2 , e3 , e2 ) =
R
2
2
2
2
2
1
≤
(κ − κ),
2
para todos conjuntos ortonormais {e1 , e2 , e3 } ⊂ Tp M .
14

Utilizando novamente as simetrias do tensor curvatura, a 2a Identidade de Bianchi e
a 1 desigualde que obtivemos, teremos que
a

 



e1 + e3
e1 + e3
e1 − e3
e1 − e3
√ , e2 , √ , e4 − R
√ , e2 , √ , e4
R
2
2
2
2
 



1
e2 + e3 e2 + e3
e2 − e3 e2 − e3
+
R e1 , √ , √ , e4 − R e1 , √ , √ , e4
3
2
2
2
2
2
≤
(κ − κ),
3

1
R(e1 , e2 , e3 , e4 ) =
3

para todos conjuntos ortonormais {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂ Tp M .

Corolário 1.1. Considere (M, g) uma variedade riemanniana compacta e p ∈ M um
ponto arbitrário. Suponha que κ ≤ K(π) ≤ κ, para todos planos bidimensionais π ⊂
Tp M . Então existem constantes C1 , C2 > 0, que dependem apenas da dimensão, tais que
sup |R|2 ≤ C1 (κ − κ)2 + C2 κ2
M

Os teoremas de comparação de volume, terão um papel importante no desenvolvimento da teoria. A seguir, enunciaremos dois teoremas importantes neste sentido e
indicaremos referências para suas demonstrações.
Teorema 1.1 (P. Günther(1960); R.L. Bishop (1964)). Suponha que as curvatura seccionais de M são menores ou iguais a δ. Então, para todo x ∈ M , temos que
V (x, r) ≥ Vδ (r),
√ o
para todos r ≥ min inj(x), π/ δ , com a igualdade para algum r fixado ocorrendo
se, e somente se, B(x, r) é isométrica ao disco de raio r no espaço de curvatura escalar
constante igual a δ.
n

Demonstração.
Consultar [10], página 129.

Teorema 1.2 (O. Bonnet(1855); S. B. Myers (1941)). Considere M uma variedade
riemanniana e γ : [0, β] −→ M uma geodésica de velocidade unitária tal que existe κ > 0
para o qual
Ric(γ 0 , γ 0 ) ≥ (n − 1)κ > 0,
√
em γ([0, β]). Se β ≥ π/ κ, então γ([0, β]) contém um ponto conjugado a γ(0) ao
longo de γ.
15

Portanto, se M é uma variedade riemanniana completa, de dimensão n ≥ 2, tal que
existe κ > 0 para o qual
Ric(ξ, ξ) ≥ (n − 1)κ|ξ|2 > 0,
√
para todo ξ ∈ T M , então M é compacta com diâmetro ≤ π/ κ.
Demonstração.
Consultar [10], página 84.


1.2

Convergência de Métricas

Considere (M, g0 ) como sendo uma variedade riemanniana compacta e g(t), t ∈ [0, T ),
uma família a 1-parâmetro de métricas em M tal que g(0) = g0 e
∂
g(t) = ω(t).
∂t
Considere u0 : [0, T ) −→ R a função definida por
u0 (t) = sup |ω(t)|g(t) .
M

Nesta seção, encontraremos condições necessárias para que as métricas g(t) convirjam
para uma métrica suave quando t → T .
RT
Lema 1.2. Se 0 u0 (t)dt = K < ∞, então existe uma constante C > 0, tal que
1 2
|v|
≤ |v|2g(t) ≤ c|v|2g(0) ,
c g(0)
para todos pontos (p, t) ∈ M × [0, T ) e todos vetores v ∈ Tp M .
Em outras palavras, as métricas g(t) são uniformemente equivalentes.
Demonstração. Observe que
d 2
|v|
dt g(t)

d
g(t)(v, v)
dt
≤ |ω(t)|g(t) |v|2g(t)
=

≤ u0 (t)|v|2g(t) .
Assim,
d
log(|v|2g(t) ) ≤ u0 (t),
dt
de onde concluímos que
16

log

|v|2g(t)

!

Z t

d
log(|v|2g(τ ) )dτ
dτ
0
Z t
u0 (τ )dτ ≤ K
≤
=

|v|2g(0)

(1.6)
(1.7)

0

Portanto,
e

−K

≤

|v|2g(t)
|v|2g(0)

≤ eK ,

para todo t ∈ [0, T ). Disto, concluímos a demonstração.

Lema 1.3. Considere (M, g) uma variedade riemanniana, D a conexão de Levi-Civita
associada à g e D̃ uma conexão simétrica em (M, g). Então, temos que
DX Y = D̃X Y + Γ(X, Y ),
onde X, Y são campos em M e Γ é definida por
2g(Γ(X, Y ), Z) = (D̃X g)(Y, Z) + (D̃Y g)(X, Z) − (D̃Z g)(X, Y ).

Demonstração.
Por definição, temos que
(D̃X g)(Y, Z) = X(g(Y, Z)) − g(D̃X Y, Z) − g(Y, D̃X Z).

(1.8)

Segue das simetrias de D e D̃ que
[X, Y ] = DX Y − DY X = D̃X Y − D̃Y X.
Portanto, fazendo uso da Fórmula de Kozsul, de (1.8) e (1.9), concluiremos que
2g(DX Y, Z) = X(g(Y, Z)) + Y (g(X, Z)) − Z(g(X, Y ))
+g([X, Y ], Z) − g([X, Z], Y ) − g([Y, Z], X)
= X(g(Y, Z)) + Y (g(X, Z)) − Z(g(X, Y ))
+g(D̃X Y, Z) − g(D̃Y X, Z) − g(D̃X Z, Y )
+g(D̃Z X, Y ) − g(D̃Y Z, X) + g(D̃Z Y, X)
= (D̃X g)(Y, Z) + (D̃Y g)(X, Z) − (D̃Z g)(X, Y ) + 2g(D̃X Y, Z)
= 2g(Γ(X, Y ) + D̃X Y, Z).
Como Z é um campo arbitrário, conclui-se nossa demonstração.
17

(1.9)


Daqui por diante usaremos a seguinte notação: dados dois tensores A, B, denotaremos
por A ∗ B qualquer expressão bilinear em A e B. Além disso, se I = (i1 , . . . , iq ) é um
multi-índice, denotaremos |I| = i1 + . . . + ik e DI = Di1 . . . Dik .
Lema 1.4. Considere D a conexão de Levi-Civita de g(t) e D̃ uma conexão simétrica
em M . Considere I = (i1 , . . . , iq ) um multi-índice. Então
Dm ω(t) − D̃m ω(t) =

m−1
X

X

D̃I g(t) ∗ D̃l ω(t).

l=0 |I|=m−l

Demonstração. A demonstração deste fato será feita por indução sobre m.
Se m = 1, a assertiva segue do Lema 1.3.
Suponhamos, agora, que
D

m−1

ω(t) − D̃

m−1

ω(t) =

m−2
X

X

D̃I g(t) ∗ D̃l ω(t).

l=0 |I|=m−l−1

Aplicando D em ambos os lados e usando a multilinearidade, temos que

m

D ω(t)−DD̃

m−1

ω(t) =

m−2
X

X

DD̃i1 g(t)∗. . .∗DD̃iq g(t)D̃l ω(t)+ D̃I g(t)∗DD̃l ω(t).

l=0 |I|=m−l−1

(1.10)

Utilizando o Lema 1.3, teremos que
DD̃l ω(t) = D̃D̃l ω(t) + D̃g(t) ∗ D̃l ω(t).
Substituindo em (1.10), concluiremos que
Dm ω(t) − D̃ω(t) − D̃g(t) ∗ D̃m−1 ω(t)
m−2
X X
D̃i1 +1 g(t) ∗ . . . ∗ D̃iq g(t)D̃l ω(t)
=
l=1 |I|=m−l−1

+

m−2
X

X

D̃g(t)D̃i1 ∗ . . . ∗ D̃iq g(t)D̃l ω(t)

l=1 |I|=m−l−1

+

m−2
X

X

D̃I g(t)(D̃l+1 ω(t) + D̃g(t)D̃ω(t))

l=1 |I|=m−l−1

Portanto, rearrumando os termos através das propriedades da operação ∗, concluiremos que
18

Dm ω(t) − D̃m ω(t) =

m−1
X

X

D̃I g(t) ∗ D̃l ω(t).

l=0 |I|=m−l


A partir de agora, consideraremos as sequências
um (t) = sup |Dm ω(t)|g(t) e ũm (t) = sup |D̃m ω(t)|g(0) .
M

M

Observação 1.2. Da definição de g(t) e ω(t), segue que
Z t
g(t) = g0 +
ω(τ )dτ,
0

de onde obtemos
Z t

m

sup |D̃ g(t)|g(0) ≤
M

ũm (τ )dτ,
0

para todo t ∈ [0, T ).
O Lema a seguir será de crucial importância para a demonstração do Teorema de
convergência para métricas.
RT
RT
Lema 1.5. Se 0 um (τ )dτ < ∞, para todo m = 0, 1, 2, . . ., então 0 ũm (τ )dτ < ∞, para
todo m = 1, 2, . . .
Demonstração. Novamente, a demonstração será feita por indução sobre m.
Se m = 1, a assertiva segue do Lema 1.3.
Supondo a afirmação válida para l ∈ {1, . . . , m − 1}, m ≥ 1, segue da Observação 1.2
que
Z T
l
sup sup |D g(t)|g(0) ≤
ũl (τ )dτ
(1.11)
t∈[0,T ) M

0

para todo l ∈ {1, . . . , m − 1}. Utilizando o Lema 1.4 e a continuidade da operação ∗,
garantimos a existência de uma constante C1 > 0 tal que

|D̃m ω(t)|g(0) − |Dm ω(t)|g(0) ≤ C1

m−1
X

X

|D̃i1 g(t)|g(0) . . . |D̃iq g(t)|g(0) |D̃l ω(t)|g(0) .

l=0 |I|=m−l

Pondo K = max0≤l≤m−1

nR
T

ũl (τ )dτ
0

o

≥ 0, teremos que

19

|D̃m ω(t)|g(0) ≤ |Dm ω(t)|g(0) + C1
≤ |Dm ω(t)|g(0) + C2

m−1
X
l=0
m−1
X

K m−l |D̃l ω(t)|g(0) + C1 |D̃m g(t)|g(o) |ω(t)|g(0)
|D̃l ω(t)|g(0) + C2 (1 + |D̃m g(t)|g(0) )|ω(t)|g(0) ,

l=1

onde C2 > 0 depende apena da dimensão e de m. Utilizando o Lema 1.2, temos que
existe uma constante C3 > 0 tal que

|D̃m ω(t)|g(0) ≤ C3 |Dm ω(t)|g(t) + C2

m−1
X

|D̃l ω(t)|g(0) + C2 C3 (1 + |D̃m g(t)|g(0) )|ω(t)|g(t) .

l=1

Daí, utilizando as definições de um e ũm , e a desigualdade (1.11), teremos
#
"


Z t
m−1
X
ũm (τ )dτ u0 (t) ,
ũm (t) ≤ C4 um (t) +
ũl (t) + 1 +
0

l=1

donde
ũm (t)
Rt
1 + 0 ũm (τ )dτ

≤ C4 um (t) +

m−1
X

!
ũl (t) + u0 (t)

= U (t).

l=1

Desta forma,


Z t
d
log 1 +
ũm (τ )dτ ≤ U (t),
dt
0

(1.12)

para todo t ∈ [0, T ).
Rt
Rt
Segue da hipótese do lema que 0 u0 (τ )dτ < ∞ e 0 um (τ )dτ < ∞. Além disso, por
Rt
hipótese de indução temos que 0 ũl (τ )dτ < ∞ para todo l ∈ {1, . . . , m − 1}. Assim,
Z t
U (τ )dτ < ∞.
(1.13)
0

Portanto, integrando a expressão (1.12) e utilizando a observação (1.13), concluiremos
que
Z t
ũm (τ )dτ < ∞,
0

o que completa nossa demonstração.


20

O resultado que se segue, também conhecido como Teorema de Convergência para
métricas, é de crucial importância para o decorrer do texto:
RT
Teorema 1.3. Se 0 um (t)dt < ∞, para todo m ≥ 0 inteiro, então, quando t → T , as
métricas g(t) convergem em C ∞ para uma métrica suave ḡ.
Demonstração. Utilizando o Lema 1.5, vemos que

 Z T
m
ũm (τ )dτ < ∞,
sup sup kD̃ gkg(0) ≤
t∈[0,T )

M

0

para todo m ≥ 1. Assim, se definimos localmente ḡij (p) = limt→T gij (t)(p), a desigualdade acima implica que as métricas g(t) convergem em C ∞ para uma forma bilinear
simétrica ḡ. Além do mais, utilizando o Lema 1.2, temos que
ḡ(X, X) = lim kXkg(t) ≥ CkXk2g(0) > 0,
t→T

para todo campo X 6= 0. Daí concluímos que ḡ é definida positiva e finalizamos a
demonstração.


1.3

Um pouco de E.D.P.

Nesta seção, abordaremos dois teoremas importantes de E.D.P. que serão cruciais no
desenvolvimento de nosso texto: o Teorema de Existência e Unicidade para equações
parabólicas e o Princípio do Máximo escalar para equações parabólicas.
Inicialmente, considere E como sendo um fibrado vetorial sobre uma variedade riemanniana compacta M . Seja N : C ∞ (E) −→ C ∞ (E) um operador de ordem 2 dado em
coordenadas locais por N (u) = N (u, ∂u, ∂ 2 u). Aqui, C ∞ (E), representa o espaço das
seções suaves sobre o fibrado E.
A linearização de N em u0 é o operador linear
L = DN (u0 ) : C ∞ (E) −→ C ∞ (E),
definido por
d
N (u0 + tv).
dt t=0
Localmente, podemos representar, para um aberto U ⊂ Rn , L : C ∞ (U, Rm ) −→
∞
C (U, Rm ) por
L(v) :=

β
β
β
i
(Lu)α (x) = aij
αβ (x)∂i ∂j u (x) + bαβ (x)∂i u (x) + cαβ (x)u (x),

onde i, j = 1, . . . , n, α, β = 1, . . . , m, x ∈ U e estamos utilizando a notação de
i
Einstein. Além disso, aij
αβ , bαβ e cαβ são funções diferenciáveis em U . Isto caracteriza os
operadores lineares de ordem 2.
Com auxílio das duas próximas definições daremos uma condição necessária para a
existência e unicidade de soluções para operadores de segunda ordem.
21

Definição 1.3. Dado ξ ∈ Rn , o símbolo principal de um operador linear de ordem 2 L
na direção ξ, em x, é o endomorfismo linear σξ (L, x) : Rm −→ Rm definido por
β
[σξ (L, x)(u)]α = aij
αβ u ξi ξj ,

onde i, j = 1, . . . , n e α, β = 1, . . . , m.
Definição 1.4. O operador diferencial L será dito elítico se, para todo x ∈ U , existe
uma constante C > 0 tal que
hσξ (L, x)(u), ui ≥ c|ξ|2 |u|2 ,
para todo u ∈ Rm e para todo ξ ∈ Rn .
Diremos que a equação
∂
u = N (u)
∂t
é parabólica em u0 ∈ C ∞ (E) se toda expressão local de L de DN (u0 ) é elítica.
O importante teorema a seguir garante a existência e unicidade de soluções para
equações parabólicas. Sua demonstração pode ser encontrada em [34]. Este teorema
também se aplica em equações sobre fibrados vetoriais. Na terminologia do teorema, se
M é uma variedade compacta e sem bordo então qualquer condição inicial f suave em
M satisfaz as hipóteses do teorema.
Teorema 1.4 (Teorema de Existência e Unicidade para equações parabólicas). Sejam
M uma variedade sem bordo com dimM = m e L : F(M ) −→ F(M ) um operador
diferencial não-linear de ordem 2. Se f ∈ H s (M ) com s > m2 + 2 e L é parabólico, então
o problema:

 ∂

u(t) = Lu
u(0) = f,

∂t

tem uma única solução u ∈ C 0 ([0, T ), H s (M ))∩C ∞ ((0, T )×M ). Além disso, u existe
tão longo quanto ku(t)kC 2+r < ∞, dado r < ∞.
O princípio do máximo é uma propriedade crucial para as soluções de algumas equações diferenciais elípticas e parabólicas. Aqui apresentaremos apenas algumas.
Seja g(t), t ∈ [0, T ), uma família a 1-parâmetro de métricas riemannianas numa
variedade compacta M . Considere um operador diferencial L da forma
∂
u − ∆g(t) u − hX(t), ∇uig(t) − F (u, t),
(1.14)
∂t
onde X(t), t ∈ [0, T ), é um campo de vetores que podem depender do tempo e
F : R × [0, T ) −→ R é uma função Lipschitz. O princípio do máximo que veremos a
seguir será de crucial importância para o desenvolvimento do texto. Sua demonstração
pode ser vista, por exemplo, na página 117 de [2].
Lu =

22

Teorema 1.5 (Princípio do Máximo Escalar). Suponha que L é um operador como em
(1.14) e u : M × [0, T ) −→ R é uma função de classe C 2 que satisfaz Lu ≥ 0. Seja c ∈ R
tal que u(x, 0) ≥ c para todo x ∈ M . Então, se ψ(t), t ∈ [0, T1 ), é a solução da E.D.O.
 d
ψ(t) = F (ψ(t), t)
dt
ψ(0) =
c,
temos que
u(x, t) ≥ ψ(t),
para todo x ∈ M , e para todo t ∈ [0, T ) ∩ [0, T1 ).

1.4

Alguns Resultados de Álgebra Linear Complexa

Considere V como sendo um espaço vetorial de dimensão finita e V C = V ⊗ C a
complexificação de V . Assuma que V está munido de um produto interno g : V ×V −→ R
e estenda naturalmente g à forma bilinear simétrica g C : V C ×V C −→ C. Para enxugar as
notações, faremos g = g C sendo o significado de cada expressão entendido pelo contexto.
Lema 1.6. Temos que
|g(z, z)g(w, w) − g(z, w)2 | ≤ g(z, z̄)g(w, w̄) − |g(z, w̄)|2 ,
para todos vetores z, w ∈ V C .
Demonstração. Se fizermos z ∧ w = ϕ + iψ, com ϕ, ψ ∈ ∧2 V , teremos que
g(z, z̄)g(w, w̄) − |g(z, w̄)|2 = g(z ∧ w, z̄ ∧ w̄)
= g(ϕ + iψ, ϕ − iψ)
= |ϕ|2 + |ψ|2 .

(1.15)

Por outro lado,
g(z, z)g(w, w) − g(z, w)2 = g(z ∧ w, z ∧ w)
= g(ϕ + iψ, ϕ + iψ)
= |ϕ|2 − |ψ|2 + 2ig(ϕ, ψ).
Unindo os fatos anteriores e utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, concluiremos que
|g(z, z)g(w, w) − g(z, w)2 |2 =
≤
=
=
23

(|ϕ|2 − |ψ|2 )2 + 4g(ϕ, ψ)2
(|ϕ|2 − |ψ|2 )2 + 4|ϕ|2 |ψ|2
(|ϕ| + |ψ|2 )2
(g(z, z̄)g(w, w̄) − |g(z, w̄)|2 )2 .


Lema 1.7. Considere σ ⊂ V C um 2-plano complexo. Então, existem vetores z, w ∈ σ
tais que g(z, z̄) = g(w, w̄) = 1 e g(z, w̄) = g(z, w) = 0.
Demonstração. Considere {ζ, η} uma base ortonormal de σ. Desta forma, temos que
g(ζ, ζ̄) = g(η, η̄) = 1 e g(ζ, η̄) = 0. Se g(ζ, η) = 0, não há nada que demonstrar.
Supondo g(ζ, η) 6= 0, segue do Teorema do Valor Intermediário, que existe δ ∈ R tal
que

 2iδ
e g(ζ, ζ) − e−2iδ g(η, η)
=0
Im
g(ζ, η)
Fixado este δ, podemos encontrar θ ∈ R tal que
tan(2θ) =

2
Re

 2iδ
e

g(ζ,ζ)−e−2iδ g(η,η)
g(ζ,η)

.

Desta forma,
1
sen(2θ)Re
2

 2iδ

e g(ζ, ζ) − e−2iδ g(η, η)
= cos(2θ).
g(ζ, η)

Assim, se definimos
z = cos(θ)eiδ ζ + sen(θ)e−iδ η
e
w = −sen(θ)eiδ ζ + cos(θ)e−iδ η,
observa-se facilmente que g(z, z̄) = g(w, w̄) = 1 e g(z, w̄) = 0. Além do mais,
1
g(z, w) = cos(2θ)g(ζ, η) − sen(2θ)(e2iδ g(ζ, ζ) − e−2iδ g(η, η)) = 0
2

Proposição 1.2. Assuma que dimR (V ) ≥ 4 e que σ ⊂ V C é um 2-plano complexo. Então
existe um conjunto ortonormal {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂ V e λ, µ ∈ [0, 1] tais que e1 + iµe2 ∈ σ e
e3 + iµe4 ∈ σ.
Demonstração. Pelo Lema 1.7, podemos encontrar vetores z, w ∈ σ tais que g(z, z̄) =
g(w, w̄) = 1 e g(z, w̄) = g(z, w) = 0. Além do mais, é possível encontrar um número
a ∈ R tal que Im(e2ia g(z, z)) = 0 e Re(e2ia g(z, z)) ≥ 0. Similarmente, podemos encontrar
b ∈ R tal que Im(e2ib g(w, w) = 0 e Re(e2ib g(w, w)) ≥ 0.
Se definimos os vetores v1 , v2 , v3 , v4 ∈ V por
eia z = v1 + iv2 e eib w = v3 + iv4 ,
24

podemos ver que
g(v1 + iv2 , v3 − iv4 ) = ei(a−b) g(z, w̄) = 0
e
g(v1 + iv2 , v3 + iv4 ) = ei(a+b) g(z, w) = 0.
Além disso, como
g(eia z, eia z) = g(v1 , v1 ) + 2ig(v1 , v2 ) − g(v2 , v2 ),

(1.16)

1
g(v1 , v2 ) = Im(e2ia g(z, z)) = 0,
2

(1.17)

1
g(v3 , v4 ) = Im(e2ib g(w, w)) = 0.
2
Ainda mais, (1.16), também implica que

(1.18)

|v1 |2 − |v2 |2 = Re(e2ia g(z, z)) ≥ 0

(1.19)

|v3 |2 − |v4 |2 = Re(e2ib g(w, w)) ≥ 0

(1.20)

teremos que

e, similarmente,

e

Como
g(eia z, e−ia z̄) = g(v1 , v1 ) + g(v2 , v2 ),
segue que
|v1 |2 + |v2 |2 = g(z, z̄) = 1,

(1.21)

|v3 |2 + |v4 |2 = g(w, w̄) = 1.

(1.22)

e, similarmente,

Segue de (1.17), (1.18), (1.19), (1.20), (1.21) e (1.22), que existe um conjunto ortonormal {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂ V e λ, µ ∈ [0, 1] tais que
1
µ
v1 = p
e1 , v 1 = p
e2 ,
1 + µ2
1 + µ2
v3 = √

1
λ
e3 , v 4 = √
e4 .
1 + λ2
1 + λ2

Isto implica que

25

e1 + iµe2 =

p
p
1 + µ2 (v1 + iv2 ) = 1 + µ2 eia ζ ∈ σ

e
e3 + iλe4 =

√

1 + λ2 (v3 + iv4 ) =

√

1 + λ2 eib η ∈ σ.


Corolário 1.2. Assuma que dimR (V ) ≥ 4. Além disso, considere dois vetores L.I.
ζ, η ∈ V C satisfazendo g(ζ, ζ)g(η, η) − g(ζ, η)2 = 0 e σ ⊂ V C o plano complexo gerado
por ζ e η. Então, existe um conjunto ortonormal {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂ V e um número real
λ ∈ [0, 1] tais que e1 + ie2 ∈ σ e e3 + iλe4 ∈ σ.
Demonstração. Pela Proposição 1.2, existe um conjunto ortonormal {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂
V e λ, µ ∈ [0, 1] tais que e1 + iµe2 ∈ σ e e3 + iµe4 ∈ σ. Fazendo z = e1 + iµe2 ∈ σ e
w = e3 + iλe4 ∈ σ, e observando, da hipótese, que g(z, z)g(w, w) − g(z, w)2 = 0, temos
que
0 = g(z, z)g(w, w) − g(z, w)2 = (1 − λ2 )(1 − µ2 ),
donde concluímos que λ = 1 ou µ = 1.

Corolário 1.3. Assuma que dimR (V ) ≥ 4. Além disso, considere dois vetores L.I.
ζ, η ∈ V C satisfazendo g(ζ, ζ) = g(η, η) = g(ζ, η)2 = 0 e σ ⊂ V C o plano complexo gerado
por ζ e η. Então, existe um conjunto ortonormal {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂ V tal que e1 + ie2 ∈ σ
e e3 + ie4 ∈ σ.
Demonstração. Pela Proposição 1.2, existe um conjunto ortonormal {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂
V e λ, µ ∈ [0, 1] tais que e1 + iµe2 ∈ σ e e3 + iµe4 ∈ σ. Fazendo z = e1 + iµe2 ∈ σ e
w = e3 + iλe4 ∈ σ, e observando, da hipótese, que g(z, z) = g(w, w) = g(w, w = 0) temos
que λ = µ = 1


26

Capítulo 2
O Fluxo de Ricci de Hamilton
No artigo pioneiro de 1982 ([17]), R. Hamilton, baseado nas ideias de Eells e Sampson
([14]), introduziu uma equação de evolução não linear que se comportava como uma
equação do calor não linear. Esta equação ficou conhecida como o Fluxo de Ricci:
Definição 2.1. Considere uma variedade riemanniana compacta M e g(t), t ∈ [0, T ),
uma família a 1-parâmetro de métricas riemannianas em M . Diremos que g(t) é uma
solução do Fluxo de Ricci se
∂
g(t) = −2Ricg(t) .
∂t
Este capítulo será dedicado ao estudo das propriedades fundamentais do fluxo de
Ricci. Primordialmente, demonstraremos a existência e unicidade do fluxo de Ricci utilizando uma técnica conhecida como o truque de DeTurck ([13]). A seguir, veremos como
os tensores associados à métrica evoluem sob o fluxo de Ricci. Por fim, abordaremos
algumas estimativas devidas a W. X. Shi ([33]) para as derivadas covariantes do tensor
de curvatura que tem como principal objetivo caracterizar as soluções máximas do fluxo
de Ricci.

2.1

Existência e Unicidade do Fluxo de Ricci em tempos pequenos

No artigo [17], Hamilton demonstrou a existência e unicidade do fluxo de Ricci. É
possível ver que o fluxo de Ricci é uma equação não parabólica, o que não permite aplicar
os resultados conhecidos sobre equações parabólicas(cf. Seção 1.3). Contudo, Hamilton
contornou este problema utilizando uma técnica apurada que envolvia o Teorema da
função de Inversa de Nash e Moser.
No que segue esta seção, daremos uma demonstração consideravelmente mais simples
que àquela que foi primordialmente dada por Hamilton e que se baseia nas ideias de D.
DeTurck ([13]). A ideia de DeTurck foi considerar uma nova equação de evolução da
métrica que fosse parabólica, e de forma que a partir das soluções desta nova equação
fosse possível obter uma solução do fluxo de Ricci. A nova equação foi denominada de
Fluxo de Ricci-DeTurck.
27

Começaremos lembrando uma definição.
Definição 2.2. Dada f : (M, g) −→ (N, h) uma aplicação suave entre duas variedades
riemannianas (M, g) e (N, h), definimos o campo laplaciano de f por
∆g,h f = g ij (D∂i df )(∂j )
g
h
= g ij (Ddf
(∂i ) )df (∂j ) − df (D∂i ∂j).
Definiremos agora a nova equação de DeTurck:
Definição 2.3. Considere M uma variedade compacta e h uma métrica riemanniana
em M . Uma família a 1-parâmetro g̃(t), t ∈ [0, T ), é dita ser uma solução do fluxo de
Ricci-de Turck se
∂
g̃(t) = −2Ricg̃(t) − Lξt g̃(t),
∂t
onde ξt = ∆g̃(t),h id.
Proposição 2.1. Considere M uma variedade compacta e g0 uma métrica riemanniana
em M . Então existem T > 0 e uma solução g̃(t), t ∈ [0, T ), do fluxo de Ricci-de Turck
tal que g̃(0) = g0 . Além do mais, g̃(t) é única.
Demonstração.
Inicialmente, escrevemos o tensor de Ricci de g̃ em coordenadas locais
Ricg̃ = Ricg̃ (∂j, ∂l)dxj ⊗ dxl
= g̃ ik R(∂j , ∂i , ∂l , ∂k )dxj ⊗ dxl
m
j
l
= [g̃ ik · g̃(D∂i (Γm
jl ∂m ) − D∂j (Γil ∂m ), ∂k )]dx ⊗ dx


1 rm
ik
g̃ (∂i ∂l g̃rj − ∂i ∂r g̃jl − ∂j ∂l g̃ri + ∂j ∂r g̃il )∂m , ∂k dxj ⊗ dxl
= g̃ · g̃
2
+(termos de menor ordem)
1 ik rm
=
g̃ g̃ g̃mk (∂i ∂l g̃rj − ∂i ∂k g̃jl − ∂j ∂l g̃ri + ∂j ∂r g̃il )dxj ⊗ dxl
2
+(termos de menor ordem)
1
= − g̃ ik (−∂i ∂l g̃jk + ∂i ∂r g̃jl + ∂j ∂l g̃ik − ∂j ∂k g̃il )dxj ⊗ dxl
2
+(termos de menor ordem).
Como ξ = ∆g̃,h id, em coordenadas locais temos,
ξ = g̃ ik (D∂hi ∂k − D∂g̃i ∂k )
= g̃ ik ((Γ)h )lik − (Γ)g̃ )lik )∂l ,
28

onde Dh e Γh representam a conexão de Levi-Civita e os símbolos de Christoffel da
métrica h e Dg̃ e Γg̃ representam a conexão de Levi-Civita e os símbolos de Christoffel
da métrica g̃.
Um cálculo simples nos mostra que
1
ξ = − g̃ ik g̃ jl (∂i g̃jk + ∂k g̃ij − ∂j g̃ik ) + (termos de menor ordem).
2
Desta forma,
Lξ g̃ = g̃ ik (∂i ∂l g̃jk + ∂j ∂k g̃il − ∂j ∂l g̃ik )dxj ⊗ dxl + (termos de menor ordem).
Portanto,
−2Ricg̃ − Lξ g̃ = g̃ ik ∂i ∂k g̃jl dxj ⊗ dxl + (termos de menor ordem).
Linearizando este operador diferencial, temos
d
(g̃ + tv)ik ∂i ∂k (g̃ + tv)jl = −g̃ in g̃ km vnm ∂i ∂k g̃jl + g̃ ik ∂i ∂k vjl
dt t=0
= −vnm g̃ in g̃ km ∂i ∂k g̃jl + ∆vjl ,
donde o seu símbolo principal é dado por
σξ (−2Ricg̃ − Lξ g̃)jl (v) = |ξ|2 · vjl .
Assim,
hσξ (−2Ricg̃ − Lξ g̃)(v), vi = |ξ|2 |v|2 .
Isto significa que a equação do Fluxo de Ricci-de Turck é parabólica. Desta forma,
pela existência e unicidade de soluções para equações parabólicas (cf. Teorema 1.4),
segue nosso teorema.

Veremos que existe uma correspondência natural entre soluções do Fluxo de Ricci-de
Turck e do Fluxo de Ricci.
Teorema 2.1 (Hamilton). Considere M como sendo uma variedade riemanniana compacta munida de uma métrica Riemanniana g0 . Então, existem T > 0 real e uma solução
g(t), t ∈ [0, T ), do Fluxo de Ricci em M tal que g(0) = g0 . A solução g(t) é única.
Demonstração. Utilizando a Proposição 2.1, podemos garantir a existência de uma
única solução g̃(t) do fluxo de Ricci-de Turck com t ∈ [0, T ) e tal que g̃(0) = g0 . Considere
ϕt : M −→ M o fluxo gerado por ξt = ∆g̃(t),h id, isto é,
∂
ϕt (p) = ξt (ϕt (p)),
∂t
29

com ϕ(0) = id. Se definimos g(t) = ϕ∗t (g̃(t)), para t ∈ [0, T ), temos
∂
∂ ∗
g(t) =
ϕ (g̃(t))
∂t
∂t t
∂
=
[ϕ∗t+s (g̃(t + s))]
∂s s=0

∂
∂
∗
= ϕt
g̃(t) +
ϕ∗ (g̃(t))
∂t
∂s s=0 t+s
ϕ∗ (g̃(t))
= ϕ∗t (−2Ricg̃(t) − Lξt g̃(t)) + L(ϕ−1
t )∗ ξt t
=
=
=
=

ϕ∗t (−2Ricg̃(t) − Lξt g̃(t)) + ϕ∗t (Lξt g̃(t))
ϕ∗t (−2Ricg̃(t) )
−2Ricϕ∗t (g̃(t))
−2Ricg(t) .

Assim, garantimos a existência do fluxo de Ricci.
Suponha agora que g 1 (t) e g 2 (t), t ∈ [0, T ), são soluções do fluxo de Ricci com condição
inicial g 1 (0) = g 2 (0) = g0 e que g 1 (t0 ) 6= g 2 (t0 ), para algum t0 ∈ (0, T ). Desta forma,
podemos considerar

τ := inf t ∈ (0, T ); g 1 (t) 6= g 2 (t) .
Segue da continuidade de g e da definição de τ que g 1 (τ ) = g 2 (τ ). Sejam ϕ1τ e ϕ2τ
soluções das equações de evolução
∂ 1
∂ 2
ϕt = ∆g1 (t),h ϕ1t e
ϕ = ∆g2 (t),h ϕ2t ,
(2.1)
∂t
∂t t
com condições iniciais ϕ1τ = id e ϕ2τ = id. Segue da teoria de E.D.P., que existe ε > 0
suficientemente pequeno, de forma que as soluções ϕ1t : M −→ M e ϕ2t : M −→ M estão
definidas e são difeomorfismos para todos t ∈ [τ, τ + ε).
Para cada t ∈ [τ, τ + ε), defina duas métricas riemannianas g̃ 1 (t) e g̃ 1 (t) em M por
∂ i
ϕt , teremos que
(ϕ1t )∗ (g̃ 1 (t)) = g 1 (t) e (ϕ2t )∗ (g̃ 2 (t)) = g 2 (t). Considerando ξi = ∂t
ϕi∗
= −2Ricgi =
t (−2Ricg̃i ) = −2Ricϕi∗
t g̃i



∂
∂
∂ i∗
i∗
gi = ϕt g̃i = ϕt Lξi g̃i + g̃i ,
∂t
∂t
∂t

onde i = 1, 2. Isto significa que g̃ 1 (t) e g̃ 2 (t), t ∈ [τ, τ + ε), são soluções do fluxo
de Ricci-de Turck. Como g̃ 1 (τ ) = g̃ 2 (τ ), segue da unicidade da Proposição 2.1 que
g̃ 1 (t) = g̃ 2 (t), para todos t ∈ [τ, τ + ε) com ε > 0 possivelmente menor. Assim, se
i = 1, 2, utilizando algumas propriedades do laplaciano, temos que
∂ i
ϕ.
∂t t
Como ϕ1τ = ϕ2τ = id, segue da unicidade dos Problemas em (2.1) que ϕ1t = ϕ2t , para
todos t ∈ [τ, τ + ε). Portanto,
ξt (ϕit (p)) = (∆gi (t),h id)(ϕit (p)) = (∆gi (t),h ϕt )(p) =

30

g 1 (t) = (ϕ1t )∗ (g̃ 1 (t)) = (ϕ2t )∗ (g̃ 2 (t)) = g 2 (t),
para todos t ∈ [τ, τ + ε). Isto contradiz a definição de τ .
Este absurdo demonstra a unicidade da solução do fluxo de Ricci.


2.2

Equações de evolução sob o Fluxo de Ricci

Considere X e Y dois campos de vetores (independentes de t) numa variedade riemanniana compacta M Denotemos
∂
(DX Y )
∂t
Observe que A é um tensor pois é a diferença de duas conexões.
No que segue a esta seção, g = g(t) denotará uma família a 1-parâmetro de métricas
∂
que é solução do Fluxo de Ricci, isto é, ∂t
g = −2Ricg . Nosso objetivo será obter equações
de evolução para a conexão de Levi-Civita e para o tensor de curvatura ao longo do Fluxo
de Ricci.
A(X, Y ) =

Proposição 2.2. Se X, Y, Z são campos de vetores fixados em M , então
g(A(X, Y ), Z) = −(DX Ric)(Y, Z) − (DY Ric)(X, Z) + (DZ Ric)(X, Y ).

Demonstração.
Como D é a conexão de Levi-Civita, segue da Fórmula de Koszul que
2g(DX Y, Z) = X(g(Y, Z)) + Y (g(X, Z)) − Z(g(X, Y ))
+ +g([X, Y ], Z) − g([X, Z], Y ) − g([Y, Z], X).
Diferenciando ambos os lados desta expressão e utilizando que g é solução do Fluxo
de Ricci, temos
−4Ric(DX Y, Z) + 2g(A(X, Y ), Z) = X(−2Ric(Y, Z)) + Y (−2Ric(X, Z))
−Z(−2Ric(X, Y )) − 2Ric([X, Y ], Z)
+2Ric([X, Z], Y ) + 2Ric([Y, Z], X).
Lembrando que D é livre de torção, concluiremos que
g(A(X, Y ), Z) = −X(Ric(Y, Z)) + Ric(DX Z, Y ) + Ric(DX Y, Z)
−Y (Ric(X, Z)) + Ric(DY X, Z) + Ric(DY Z, Z)
+Z(Ric(X, Y )) − Ric(DZ X, Y ) − Ric(DZ Y, X)
= −(DX Ric)(Y, Z) − (DY Ric)(X, Z) + (DZ Ric)(X, Y ).
31


Proposição 2.3. Considere X, Y, Z, W campos de vetores fixados em M . Então
∂
R(X, Y, Z, W ) =
∂t



2
2
DX,Z
Ric (Y, W ) − DX,W
Ric (Y, Z)


2
2
− DY,Z
Ric (X, W ) + DY,W
Ric (X, Z)
n
n
X
X
−
Ric(Z, ek )R(X, Y, ek , W ) −
Ric(W, ek )R(X, Y, Z, ek )
k=1

k=1

Demonstração.
Inicialmente, note que
∂
(DX DY Z − DY DX Z − D[X,Y ] Z) = DX (A(Y, Z)) − DY (A(X, Z)) + A(X, DY Z)
∂t
−A(Y, DX Z) − A([X, Y ], Z)
= (DX A)(Y, Z) − (DY A)(X, Z).
Como R(X, Y, Z, W ) = −g(DX DY Z − DY DX Z − D[X,Y ] Z, W ) e g é uma solução do
Fluxo de Ricci, temos que
∂
R(X, Y, Z, W ) = −g((DX A)(Y, Z), W ) + g((DY A)(X, Z), W )
∂t
+2Ric(DX DY Z − DY DX Z − D[X,Y ] Z, W )
= −g((DX A)(Y, Z), W ) + g((DY A)(X, Z), W )
n
X
−2
R(X, Y, Z, ek )Ric(ek , W ).
k=1

Utilizando a Proposição 2.2, temos

32

g((DX A)(Y, Z), W ) = X(g(A(Y, Z), W )) − g(A(Y, Z), DX W )
−g(A(DX Y, Z), W ) − g(A(Y, DX Z), W )
= X(−(DY Ric)(Z, W ) − (DZ Ric)(Y, W ) + (DW Ric)(Y, Z))
−g(A(Y, Z), DX W ) − g(A(DX Y, Z), W ) − g(A(Y, DX Z), W )
= −(DX DY Ric)(Z, W ) − (DY Ric)(DX Z, W ) − (DY Ric)(Z, DX W )
−(DX DZ Ric)(Y, W ) − (DZ Ric)(DX Y, W ) − (DZ Ric)(DX Y, W )
+(DX DW Ric)(Y, Z) + (DW Ric)(DX Y, Z) + (DW Ric)(DX Y, Z)
+(DDX Y Ric)(Z, W ) + (DZ Ric)(DX Y, W ) − (DW Ric)(DX Y, Z)
+(DY Ric)(Z, DX W ) + (DZ Ric)(Y, DX W ) − (DDX W Ric)(Y, Z)
+(DY Ric)(DX Z, W ) + (DDX Z Ric)(Y, W ) + (DW Ric)(Y, DX Z)
= −(DX DY Ric)(Z, W ) + (DDX Y Ric)(Z, W ) − (DX DZ Ric)(Y, W )
+(DDX Z Ric)(Y, W ) + (DX DW Ric)(Y, Z) − (DDX W Ric)(Y, Z)
2
2
2
= −(DX,Y
Ric)(Z, W ) − (DX,Z
Ric)(Y, W ) + (DX,W
Ric)(Y, Z).
Analogamente, temos que
2
2
2
g((DY A)(X, Z), W ) = −(DY,X
Ric)(Z, W ) − (DY,Z
Ric)(X, W ) + (DY,W
Ric)(X, Z).

Observando que
2
2
(DX,Y
Ric)(Z, W ) − (DY,X
Ric)(Z, W )

=

n
X

R(X, Y, Z, ek )Ric(ek , W )

k=1

+

n
X

R(X, Y, W, ek )Ric(Z, ek ),

k=1

concluímos o resultado desejado.

Definição 2.4. Dado um tensor de curvatura R, definimos o (0, 4)-tensor Q(R) por

Q(R)(X, Y, Z, W ) =

n
X

R(X, Y, ep , eq )R(Z, W, ep , eq )

p,q=1

+2
−2

n
X
p,q=1
n
X
p,q=1

onde X, Y, Z, W são campos em M .
33

R(X, ep , Z, eq )R(Y, ep , W, eq )
R(X, ep , W, eq )R(Y, ep , Z, eq ),

Proposição 2.4. Considere X, Y, Z, W campos fixados em M . Então


2
2
DX,Z
Ric (Y, W ) − DX,W
Ric (Y, Z)


2
2
− DY,Z
Ric (X, W ) + DY,W
Ric (X, Z)
= (∆R)(X, Y, Z, W ) + Q(R)(X, Y, Z, W )
n
n
X
X
−
Ric(X, ek )R(ek , Y, Z, W ) −
Ric(Y, ek )R(X, ek , Z, W )
k=1

k=1

Demonstração.
Note que
n
X

2
(DX,e
R)(ek , Y, Z, W ) −
k

k=1

=
+

n
X
(De2k ,X R)(ek , Y, Z, W )
k=1

n
X
k,l=1
n
X

R(X, ek , ek , el )R(el , Y, Z, W ) +
R(X, ek , Z, el )R(ek , Y, el , W ) +

n
X
k,l=1
n
X

R(X, ek , Y, el )R(ek , el , Z, W )
R(X, ek , W, el )R(ek , Y, Z, el )

(2.2)

k,l=1

k,l=1

e
n
X

2
(DY,e
R)(ek , X, Z, W ) −
k

+

(De2k ,Y R)(ek , X, Z, W )

k=1

k=1

=

n
X

n
X
k,l=1
n
X

R(Y, ek , ek , el )R(el , X, Z, W ) +
R(Y, ek , Z, el )R(ek , X, el , W ) +

k,l=1

n
X
k,l=1
n
X

R(Y, ek , X, el )R(ek , el , Z, W )
R(Y, ek , W, el )R(ek , X, Z, el ). (2.3)

k,l=1

Subtraindo (2.3) de (2.2), utilizando as relações de simetria do tensor curvatura e a
1 Identidade de Bianchi, obtemos
a

n
n
X
X
2
(DX,ek R)(ek , Y, Z, W ) −
(De2k ,X R)(ek , Y, Z, W )
k=1

−

k=1

n
X

n
X

k=1

k=1

2
(DY,e
R)(ek , X, Z, W ) +
k

(De2k ,Y R)(ek , X, Z, W )

= Q(R)(X, Y, Z, W )
n
n
X
X
−
Ric(X, el )R(el , Y, Z, W ) −
Ric(Y, el )R(X, el , Z, W ).
l=1

l=1

34

(2.4)

Utilizando a 2a Identidade de Bianchi e fazendo um cálculo similar ao feito na proposição anterior, podemos obter que
n
X
2
(DX,e
R)(ek , Y, Z, W )
k
k=1

=

n
X

2
(DX,Z
R)(ek , Y, ek , W ) −

n
X

2
(DX,W
R)(ek , Y, ek , Z)

k=1
k=1
2
2
= (DX,Z Ric)(Y, W ) − (DX,W Ric)(Y, Z).

(2.5)

Analogamente, temos
n
X
2
2
2
(DY,e
R)(ek , X, Z, W ) = (DY,Z
Ric)(X, W ) − (DY,W
Ric)(X, Z).
k

(2.6)

k=1

Usando a 2a Identidade de Bianchi também temos que
n
X

(De2k ,X R)(ek , Y, Z, W ) −

=

(De2k ,Y R)(ek , X, Z, W )

k=1

k=1
n
X

n
X

(De2k ,ek R)(X, Y, Z, W ) = (∆R)(X, Y, Z, W ).

(2.7)

k=1

Substituindo (2.5), (2.6) e (2.7) em (2.4), chegamos ao resultado desejado.

Corolário 2.1. Considere X, Y, Z, W campos fixados em M . Então
∂
R(X, Y, Z, W ) = (∆R)(X, Y, Z, W ) + Q(R)(X, Y, Z, W )
∂t
n
n
X
X
−
Ric(X, ek )R(ek , Y, Z, W ) −
Ric(Y, ek )R(X, ek , Z, W )
−

k=1

k=1

n
X

n
X

Ric(Z, ek )R(X, Y, ek , W ) −

k=1

Ric(W, ek )R(X, Y, Z, ek ).

k=1

Demonstração.
Segue diretamente das Proposições 2.3 e 2.4.


35

A partir de agora, usaremos o chamado truque de Uhlenbeck como forma de simplificar
as equações de evolução obtidas para o tensor de curvatura sob o fluxo de Ricci.
Para isto, considere E como sendo o pull-back do fibrado tangente T M pela projeção
π
canônica (p, t) −→ p. Desta forma, a fibra de E sobre qualquer ponto (p, t) ∈ M × (0, T )
será dada por E(p,t) = Tp M .
Sobre o fibrado E existe uma conexão natural que estenderá a conexão D de M à T M .
Se denotarmos por D esta conexão, para cada seção X de E, definimos adicionalmente
n
X
∂
Ric(X, ek ),
D∂ X = X −
∂t
∂t
k=1

onde {e1 , e2 , . . . , en } é um referencial ortonormal com respeito à métrica g(t). Como
forma de enxugar a notação, representaremos D ∂ = D∂t .
∂t

Proposição 2.5. A conexão induzida D sobre o fibrado de Uhlenbeck é compatível com
a métrica g em E.
Demonstração. Considere X e Y como sendo campos em M , que podemos supor
independentes do tempo. Temos que
∂
(g(X, Y )) − g (D∂t X, Y ) − g (X, D∂t Y )
∂t
!
n
X
∂
=
(g(X, Y )) − g −
Ric(X, ek )ek , Y
∂t
k=1
!
n
X
−g X, −
Ric(Y, ek )ek

D∂t g(X, Y ) =

k=1

=

n
X
∂
Ric(X, ek )g(ek , Y ) + Ric(Y, ek )g(X, ek )
(g(X, Y )) +
∂t
k=1

∂
(g(X, Y )) + 2Ric(X, Y )
∂t
= 0,

=

pois g é uma solução do fluxo de Ricci. Isto comprova que D é compatível com a
métrica.

Proposição 2.6. Para todos os campos X, Y, Z, W em M , temos que
(D∂t R)(X, Y, Z, W ) = (∆R)(X, Y, Z, W ) + Q(R)(X, Y, Z, W ).

36

Demonstração. Assumindo que os campos X, Y, Z, W são campos independentes do
tempo, temos que
∂
(R(X, Y, Z, W )) − R (D∂t X, Y, Z, W ) − R (X, D∂t Y, Z, W )
∂t
−R (X, Y, D∂t Z, W ) − R (X, Y, Z, D∂t W )
n
X
∂
(R(X, Y, Z, W )) +
=
Ric(X, ek )R(ek , Y, Z, W )
∂t
k=1

(D∂t R)(X, Y, Z, W ) =

+

n
X

Ric(Y, ek )R(X, ek , Z, W ) +

k=1

+

n
X

n
X

Ric(Z, ek )R(X, Y, ek , W )

k=1

Ric(W, ek )R(X, Y, Z, ek )

k=1

= (∆R)(X, Y, Z, W ) + Q(R)(X, Y, Z, W ).
Na última igualdade utilizamos o Corolário 2.1.

Proposição 2.7. O tensor de Ricci de g(t) satizfaz à equação de evolução
(D∂t Ric)(X, Y ) = (∆Ric)(X, Y ) + 2

n
X

R(X, ep , Y, eq )Ric(ep , eq ),

p,q=1

para todos campos X, Y em M .
Demonstração. Como
Ric(X, Y ) =

n
X

R(X, ek , Y, ek ),

k=1

segue diretamente da Proposição 2.6 que
(D∂t Ric)(X, Y ) = (∆Ric)(X, Y ) +

n
X

Q(R)(X, ek , Y, ek ).

k=1

Utilizando a definição de Q(R), vemos que
n
X
k=1

Q(R)(X, ek , Y, ek ) =

n
X

R(X, ek , ep , eq )R(Y, ek , ep , eq )

k,p,q=1

+2
−2

n
X
k,p,q=1
n
X
k,p,q=1

37

R(X, ep , Y, eq )R(ek , ep , ek , eq )
R(X, ep , ek , eq )R(Y, eq , ek , ep ).

(2.8)

Por outro lado, utilizando a 1a Identidade de Bianchi e as simetrias do tensor de
curvatura temos
+2
=
=
=

n
X

R(X, ep , ek , eq )R(Y, eq , ek , ep )

k,p,q=1
n
X

n
X

R(X, ep , ek , eq )R(Y, eq , ek , ep ) +

k,p,q=1
n
X
k,p,q=1
n
X

R(X, ep , eq , ek )R(Y, ek , eq , ep )

q,p,k=1

R(X, ep , ek , eq )[R(Y, eq , ek , ep ) − R(Y, ek , eq , ep )]
R(X, ep , ek , eq )R(Y, ep , ek , eq ).

k,p,q=1

Assim,
n
X

Q(R)(X, ek , Y, ek ) = +2

k=1

n
X

R(X, ep , Y, eq )R(ek , ep , ek , eq )

k,p,q=1
n
X

R(X, ep , Y, eq )Ric(ep , eq ).

= 2

p,q=1

Substituindo a identidade acima em (2.8), chegamos ao resultado almejado.

Corolário 2.2. A curvatura escalar de g(t) satisfaz a equação de evolução
∂
scal = ∆scal + 2|Ric|2
∂t
Demonstração. Como
scal =

n
X

Ric(ek , ek ),

k=1

A assertiva segue diretamente da Proposição 2.7.

Corolário 2.3. O tensor traço livre de Ricci de g(t) satisfaz a equação de evolução
o

o

(D∂t Ric)(X, Y ) = (∆ Ric)(X, Y ) + 2

n
X

o

R(X, ep , Y, eq ) Ric (ep , eq )

p,q=1

2
2 o
+ scal Ric (X, Y ) − | Ric |2 g(X, Y ).
n
n
o

38

Demonstração. Como
1
scal · g(X, Y ),
n
a assertiva segue diretamente das Proposições 2.6 e 2.7 e do Corolário 2.2.
o

Ric (X, Y ) = Ric(X, Y ) −


Agora, utilizaremos o princípio do máximo escalar para caracterizar soluções do fluxo
de Ricci.
Proposição 2.8. Considere (M, g0 ) uma variedade riemanniana compacta com scalg0 ≥
0, para todos os pontos p ∈ M . Então, se g(t), t ∈ [0, T ), é solução do fluxo de Ricci
com g(0) = g0 temos que scalgt ≥ 0, para todos os pontos p ∈ M e todo t ∈ [0, T ).
Demonstração. Pelo Corolário 2.2 já vimos que
∂
scal ≥ ∆scal,
∂t
para todos pontos p ∈ M e todo t ∈ [0, T ). Portanto a assertiva segue do Princípio
do Máximo escalar (cf. Teorema 1.5).

Proposição 2.9. Suponha que (M, g0 ) é uma variedade riemanniana compacta, g(t),
t ∈ [0, T ), é solução do fluxo de Ricci com g(0) = g0 e inf M scalg0 = α > 0. Então
nα
n
e inf M scalg(t) ≥ n−2αt
, para todo t ∈ [0, T ).
T ≤ 2α
Demonstração. Antes de mais nada, lembre que
1
1
scal2 ≥ scal2 .
n
n
 n
Defina a função ψ : M × [0, τ ), com τ = min T, 2α , por
o

|Ric|2 = | Ric |2 +

nα
.
n − 2αt
Observe que ∆ψ = ∆scal. Usamos o Corolário 2.2 para obter que
ψ(p, t) = scalg(t) (p) −

∂
2nα2
ψ = ∆scal + 2|Ric|2 −
∂t
(n − 2αt)2

2
2
2
nα
2
≥ ∆ψ + scal −
n
n n − 2αt


2
nα
= ∆ψ +
scal +
ψ,
n
n − 2αt
em M × [0, τ ). Segue da definição de α que
39

ψ(p, 0) = scalg(0) − α ≥ 0.
Assim, utilizando o Princípio do Máximo escalar (cf. Teorema 1.5), inferimos que
ψ(p, t) ≥ 0, ∀t ∈ [o, τ ) e todo p ∈ M . Daí, concluímos que
inf scalg(t) ≥
M

nα
,
n − 2αt

para todo t ∈ [0, τ ).
n
n
Se supôssemos que 2α
< T , teríamos que τ = 2α
e assim
lim h(p, t) = −∞.
t→τ

n
Isto seria um absurdo visto que h(p, t) ≥ 0, ∀(p, t) ∈ M × [0, τ ). Portanto, T ≤ 2α
.



2.3

Estimativas de Shi e Soluções Máximas

Esta seção tem como objetivo estabelecer estimativas para as derivadas covariantes do
tensor de curvatura sob o fluxo de Ricci. Estas estimativas, que foram primordialmente
obtidas por W. X. Shi em [33], servirão principalmente para determinar um critério para
caracterizar as soluções máximas do Fluxo de Ricci.
Ao que compete esta seção, dados dois tensores A, B, denotaremos por A∗B qualquer
expressão bilinear em A e B.
Lema 2.1. Considere M uma variedade riemanniana compacta e g(t), t ∈ [0, τ ), uma
solução do Fluxo de Ricci em M . Então
m
X
∂ m
m
Di R ∗ Dm−i R,
D R = ∆D R +
∂t
i=0

onde m ≥ 0 é inteiro.
Demonstração.
Faremos esta demonstração por indução.
Se m = 0, a demonstração segue diretamente do Corolário 2.1.
Suponha agora que m ≥ 1 e
m−1
X
∂ m−1
m−1
D
R = ∆D
R+
Di R ∗ Dm−i−1 R.
∂t
i=0

Aplicando a derivada covariante em ambos os lados, vemos que

D

∂ m−1
D
R
∂t



= D(∆Dm−1 R) +

m−1
X
i=0

40

D(Di R ∗ Dm−i−1 R).

(2.9)

Observe que
D(Di R ∗ Dm−i−1 R) = Di+1 R ∗ Dm−(i+1) R + Di R ∗ Dm−i R
e, utilizando a Proposição 2.2,


∂ m−1
∂
D
D
R = Dm R + DR ∗ Dm−1 R
∂t
∂t

(2.10)

(2.11)

Além disso, utilizando a Observação 1.2, temos que
D(∆Dm−1 R) = ∆(Dm R) + DR ∗ Dm−1 R + R ∗ Dm R.

(2.12)

Substituindo (2.10), (2.11) e (2.12) em (2.9), concluiremos que
m
X
∂ m
D R = ∆Dm R +
Di R ∗ Dm−i R
∂t
i=0


Proposição 2.10 (W. X. Shi, [33]). Considere M uma variedade riemanniana compacta
de dimensão n e g(t), t ∈ [0, τ ], uma solução do Fluxo de Ricci em M . Suponha que
sup |Rg(t) | ≤ τ −1 ,
M

para todo t ∈ [0, τ ]. Então, para cada m ≥ 0, existe uma constante C = C(m, n) > 0,
dependendo apenas de m e n, tal que
sup |Dm Rg(t) |2 ≤ Cτ −2 t−m ,
M

para todo t ∈ (0, τ ].
Demonstração.
Novamente, demonstraremos por indução.
Para m = 0, a assertiva segue da hipótese da proposição.
Suponha, agora, que m ≥ 1 e que a assertiva é válida para todo 0 ≤ l ≤ m − 1.
Considerando C1 = max {C(0, n), C(1, n), . . . , C(m − 1, n)} e . Utilizando o Lema 2.1
temos que


∂
∂ m−1
m−1
2
m−1
kD
Rk = 2
D
R, D
R
∂t
∂t
= 2 ∆(Dm−1 R), Dm−1 R
*m−1
+
X
+2
Di R ∗ Dm−1−i R, Dm−1 R .
i=0

Observe que
41

(2.13)

2 ∆(Dm−1 R), Dm−1 R

=
=
=
=
=

2hg ij Di Dj Dm−1 R, Dm−1 Ri
g ij Di (2hDj Dm−1 R, Dm−1 Ri) − 2g ij hDj Dm−1 R, Di Dm−1 Ri
g ij Di (Dj hDm−1 R, Dm−1 Ri) − 2hDm R, Dm Ri
∆hDm−1 R, Dm−1 Ri − 2kDm Rk2
∆kDm−1 Rk2 − 2kDm Rk2 .
(2.14)

Como a operação ∗ é contínua, é possível encontrar uma constante K que depende
da dimensão n de M e do modo como definimos ∗(em nosso caso, K depende de n e de
m), tal que kA ∗ Bk ≤ KkAkkBk. Assim segue de (2.13), (2.14) e da desigualdade de
Cauchy-Schwartz, que existe uma constante C2 > 0 tal que
m−1
X
∂
m−1
2
m−1
2
m
2
kD
Rk ≤ ∆kD
Rk − 2kD Rk + C2
kDi RkkDm−1−i kkDm−1 Rk,
∂t
i=0

para todo t ∈ (0, τ ].
Daí, utilizando a hipótese de indução, encontramos uma constante C3 > 0 tal que
1
1
1
∂
kDm−1 Rk2 ≤ ∆kDm−1 Rk2 − 2kDm Rk2 + C3 (τ −2 t−i ) 2 (τ −2 t1+i−m ) 2 (τ −2 t1−m ) 2
∂t
≤ ∆kDm−1 Rk2 − 2kDm Rk2 + C3 τ −3 t−m+1 .

Como t ∈ (0, τ ], temos que tτ −1 ≤ 1, donde
∂
kDm−1 Rk2 ≤ ∆kDm−1 Rk2 − 2kDm Rk2 + C3 τ −2 t−m .
(2.15)
∂t
Raciocinando de maneira análoga, podemos encontrar constantes C4 e C40 tais que
m
X
∂
m
2
m
2
m+1
2
kD Rk ≤ ∆kD Rk − 2kD
Rk + C4
kDi RkkDm−i RkkDm Rk
∂t
i=0
m

≤ ∆kDm Rk2 + C4 τ −1 kDm Rk2 + C40 τ −1 t− 2 kDm Rk.
Tomando C5 = max {C4 , C40 }, temos que
−m
∂
kDm Rk2 ≤ ∆kDm Rk2 + C5 (t−1 kDm Rk2 + τ −1 t 2 kDm Rk).
∂t
Defina agora uma função F : M × [0, τ ] −→ R por

1
F (x, t) = tm+1 kDm Rk2 + (C5 + m + 2)tm kDm−1 Rk2
2
Temos que
42

(2.16)

∂
∂
mtm−1
F = (m + 1)tm kDm Rk2 + tm+1 (kDm Rk2 ) +
(C5 + m + 2)kDm−1 Rk2
∂t
∂t
2

tm
∂
+ (C5 + m + 2)
kDm−1 Rk2
2
∂t
m
≤ (m + 1)tm kDm Rk2 + tm+1 (∆kDm Rk2 + C5 t−1 kDm Rk2 + C5 τ −1 t− 2 kDm Rk)
tm
+ (C5 + m + 2)(∆kDm−1 k2 − 2kDm Rk2 + C3 τ −2 t−m )
2
mtm−1
+
(C5 + m + 2)kDm−1 Rk2
2
m
= ∆F + C5 tm kDm Rk2 + C5 τ −1 t 2 +1 kDm Rk + (m + 1)tm kDm Rk2
τ −2
−tm (C5 + m + 2)kDm Rk2 + C3 (C5 + m + 2)
2
m
m−1
m−1
2
kD
Rk
+ (C5 + m + 2)t
2
m
C3
C1 m
≤ ∆F − tm kDm Rk2 + C5 τ −1 t 2 kDm Rk +
(C5 + m + 2)τ −2 +
(C5 + m + 2)τ −2
2
2
Como

m

m

2

t kD Rk + C5 τ

−1


2
m
C5 −1
C2
m
τ
t kD Rk = − t 2 kD Rk −
+ 5 τ −2
2
4
2
C5 −2
≤
τ ,
4
m
2

m

(2.17)
(2.18)

segue que podemos encontrar uma constante C6 > 0, que depende apenas de m e n
tal que
∂
F ≤ ∆F + C6 τ −2 .
∂t
Como F (x, 0) = 0, para todo x ∈ M , segue do Princípio do Máximo escalar (cf.
Teorema 1.5) que
F (x, t) ≤ C6 τ −2 t,
para todo (x, t) ∈ M × [0, τ ]. Lembrando da definição de F , temos que
tm+1 kDm Rk ≤ F (x, t) ≤ C6 τ −2 t,
para todo (x, t) ∈ M × [0, τ ], de onde concluiremos que
kDm Rk2 ≤ C6 τ −2 t−m ,
para todo (x, t) ∈ M × [0, τ ].

43

Corolário 2.4 (W. X. Shi, [33]). Considere M uma variedade riemanniana compacta de
dimensão n e g(t), t ∈ [0, τ ], uma solução do Fluxo de Ricci em M . Suponha que
sup |Rg(t) | ≤ τ −1 ,
M

para todo t ∈ [0, τ ]. Então, para cada inteiro m ≥ 0, existe uma constante C =
C(m, n) > 0, dependendo apenas de m e n, tal que
sup |Dm Rg(t) |2 ≤ Cτ −m−2 ,
M

para todo t ∈ (τ /2, τ ].
A partir de agora, consideraremos um tensor suave H em M que satisfaz uma equação
de evolução
∂
H = ∆H + R ∗ H.
(2.19)
∂t
Procedendo da mesma forma que anteriormente, encontraremos estimativas para as derivadas covariantes do tensor H.
Lema 2.2. Considere M uma variedade riemanniana compacta e g(t), t ∈ [0, τ ], uma
solução do Fluxo de Ricci em M . Se H é um tensor suave em M satisfazendo (2.19),
temos
m
X
∂ m
D H = ∆(Dm H) +
Di R ∗ Dm−i H
∂t
i=0

Demonstração. Seguindo os moldes da demonstração do Lema 2.1, demonstraremos
por indução. Se m = 0, o resultado segue da identidade (2.19).
Se supomos a afirmação válida para a derivada covariante de ordem m − 1, m ≥ 1,
temos que

D

∂ m−1
D
H
∂t


= D(∆(D

m−1

H)) +

m−1
X

D(Di R ∗ Dm−i−1 H).

(2.20)

i=0

Procedendo como na demontração do Lema 2.1, temos que


∂ m
∂ m−1
m−1
D H = DR ∗ D
H +D
D
H ,
∂t
∂t

(2.21)

D(∆(Dm−1 H)) = ∆(Dm H) + R ∗ Dm H + DR ∗ Dm−1 H

(2.22)

D(Di R ∗ Dm−i−1 H) = Di+1 R ∗ Dm−i−1 H + Di R ∗ Dm−i H.

(2.23)

e

Substituindo (2.21), (2.22) e (2.23) em (2.20) chegamos ao resultado desejado.
44


Proposição 2.11. Considere M uma variedade riemanniana compacta de dimensão n e
g(t), t ∈ [0, τ ], uma solução do Fluxo de Ricci em M . Suponha que H é um tensor suave
em M satisfazendo
∂
H = ∆H + R ∗ H.
∂t
Além disso, suponha que
sup |Rg(t) | ≤ τ −1 ,
M

e
sup kHk ≤ Λ,
M

para todo t ∈ [0, τ ]. Então, dado qualquer inteiro m ≥ 0, existe uma constante
C = C(m, n) > 0, dependendo apenas de m e n, tal que
sup kDm Hk2 ≤ CΛ2 t−m ,
M

para todo t ∈ (0, τ ].
Demonstração. A demonstração será por indução sobre m. Se m = 0, a assertiva
segue da hipótese da proposição.
Supondo a afirmação válida para todo 0 ≤ k ≥ m − 1, m ≥ 1, será possível encontrar
uma constante C1 > 0 tal que
sup kDk Hk ≤ C1 Λ2 t−k ,

(2.24)

M

para todo 0 ≤ k ≥ m − 1 e t ∈ (o, τ ). Pela Proposição 2.10, é possível encontrar uma
constante C2 > 0 tal que
sup kDk Rk2 ≤ C2 t−k τ −2 ≤ C2 t−k−2 .

(2.25)

M

Procedendo como na demonstração da Proposição 2.10, usamos o Lema 2.2 e as
desigualdades (2.24) e (2.25), para encontrar constantes C3 , C4 > 0 tais que

e

∂
(kDm−1 Hk2 ) ≤ (∆m−1 H) − 2kDm Hk2 + C3 Λ2 t−m
∂t

−m
∂
(kDm Hk2 ) ≤ (∆kDm Hk2 ) + C4 t−1 kDm Hk2 + C4 Λt 2 −1 kDm Hk,
∂t

se (x, t) ∈ M × (0, τ ]. Definindo uma função G : M × [0, τ ] −→ R por
45

(2.26)

(2.27)

1
G(x, t) = tm+1 kDm Hk2 + (C4 + m + 2)tm kDm−1 Hk2 ,
2
as desigualdes (2.26) e (2.27) nos permitirão provar que
∂
G(x, t) ≤ ∆G(x, t) + C5 Λ2 ,
∂t
para alguma constante C5 > 0. Como G(x, 0) = 0, para todo x ∈ M , segue do
Princípio do Máximo escalar (cf. Teorema 1.5) que
G(x, t) ≤ C5 Λ2 t,
para todo (x, t) ∈ M × [0, τ ]. Lembrando da definição de G, temos que
tm+1 kDm Hk2 ≤ G(x, t) ≤ C5 Λ2 t,
para todo (x, t) ∈ M × [0, τ ], de onde concluiremos que
kDm Hk2 ≤ C5 Λ2 t−m ,
para todo (x, t) ∈ M × (0, τ ].

Corolário 2.5. Considere M uma variedade riemanniana compacta de dimensão n e
g(t), t ∈ [0, τ ], uma solução do Fluxo de Ricci em M . Suponha que H é um tensor suave
em M satisfazendo
∂
H = ∆H + R ∗ H.
∂t
Além disso, suponha que
sup |Rg(t) | ≤ τ −1 ,
M

e
sup kHk ≤ Λ,
M

para todo t ∈ [0, τ ]. Então, dado qualquer inteiro m ≥ 0, existe uma constante
C = C(m, n) > 0, dependendo apenas de m e n, tal que
sup kDm Hk2 ≤ CΛ2 τ −m ,
M

para todo t ∈ (τ /2, τ ].
O próximo resultado é uma importante aplicação das estimativas de Shi que permite
caracterizar as soluções máximas do fluxo de Ricci:

46

Teorema 2.2 (Hamilton, [17]). Considere M uma variedade riemanniana compacta e
g(t), t ∈ [0, T ), a solução maximal do Fluxo de Ricci em M . Suponha que T < ∞. Então
lim sup(sup kRg(t) k) = ∞.
t→T

M

Demonstração. Supondo que a afirmação do teorema é falsa, teríamos que
lim sup(sup kRg(t) k) ≤ K < ∞,
t→T

M

para alguma constante K > 0. Assim, utilizando o Corolário 2.4, teríamos que
sup sup kDm Rg(t) k < ∞,
t∈[0,T ) M

para m = 1, 2 . . .. Assim, se escrevemos ω(t) = −2Ricg(t) e consideramos o fluxo de
∂
Ricci, ∂t
g(t) = ω(t), teremos que
sup sup kDm ω(t)k < ∞,
t∈[0,T ) M

para m = 0, 1, 2 . . .. Segue do Teorema 1.3 que as métricas g(t) convergem em C ∞
para uma métrica suave g(T ), quando t → T . Como g(T ) é uma métrica suave, existe
uma solução do fluxo de Ricci ḡ(t), t ∈ [0, ε), tal que ḡ(0) = g(T ).
Assim, como g(t) → g(T ) suavemente, segue que

g(t),
se
0≤t<T
g̃(t)
ḡ(t − T ), se T ≤ t < T + ε
é uma solução do fluxo de Ricci suave e tal que g̃(0) = g0 . Isto contradiz a maximilidade de T.


47

Capítulo 3
O Fluxo de Ricci em S2
Neste capítulo, comentaremos alguns resultados devidos à Hamilton, acerca do fluxo
de Ricci em superfícies com curvatura escalar positiva. Os cálculos deste capítulo serão
feitos na esfera (S2 , g) com curvatura escalar positiva. Como veremos no decorrer do
capítulo, as assertivas podem ser estentidas a qualquer superfície de característica igual
à da esfera S2 .
Teremos como resultado principal um Teorema de Hamilton ([19]) que assegura que
o fluxo de Ricci na esfera converge à uma métrica de curvatura escalar constante, após
um rescalonamento. O ingrediente principal para a demonstração deste teorema é a
monoticidade do funcional entropia de Hamilton que será definido na seção 2.
A partir deste teorema, demonstraremos uma versão do Teorema Diferenciável da
Esfera em superfícies que dirá que toda superfície compacta de curvatura seccional positiva é difeomorfa à esfera ou ao espaço projetivo. Salientamos que não faremos o uso do
Teorema da Uniformização de Riemann para a demonstração deste resultado.

3.1

Sólitons de Ricci Gradiente em S2

O objetivo principal desta seção é demonstrar que qualquer sóliton de Ricci gradiente
em S2 possui curvatura escalar constante. Salientamos que os resultados deste capítulo
podem ser estentidos à qualquer sóliton de Ricci gradiente.
Lembre que uma variedade (M, g) é dita um sóliton de Ricci se existe uma constante
ρ e um campo ξ tal que
1
Ricg + Lξ g = ρg
2
2
Um sóliton de Ricci gradiente em S é um sóliton de Ricci tal que existe uma função
f : S2 −→ R com ξ = Df . Observando que
g(DX Df, Y ) = X(g(Df, Y )) − g(Df, DX Y ) = X(Y (f )) − DX Y (f ) = D2 f (X, Y ),
e, portanto,

48

LDf g(X, Y ) = g(DX Df, Y ) + g(X, DY Df ) = 2D2 f (X, Y ),
vemos que num sóliton de Ricci gradiente é satisfeita a identidade
Ricg + D2 f = ρg.

(3.1)

Observação 3.1. Dada uma base ortonormal {e1 , e2 } de R2 considere π o plano gerado
por {e1 , e2 } e sua curvatura seccional
K(π) = K12 = R(e1 , e2 , e1 , e2 ).
Dados dois campos X = X i ei e Y = Y j ej numa variedade bidimensional M , temos

Ric(X, Y ) =

2
X

R(X, ek , Y, ek )

k=1

=

2
X

X i Y j R(ei , ek , ej , ek )

k=1
i j

= X Y R(ei , e1 , ej , e1 ) + X i Y j R(ei , e2 , ej , e2 )
= X 2 Y 2 R(e2 , e1 , e2 , e1 ) + X 1 Y 1 R(e1 , e2 , e1 , e2 )
= K12 g(X, Y ).
Por outro lado,
scal =

2
X

Ric(ek , ek ) = K12

2
X

g(ek , ek ) = 2K12

k=1

k=1

e portanto Ric = scal
g.
Daí, K12 = scal
2
2

Como S2 é uma variedade bidimensional, podemos escrever (3.1) como


1
2
D f = ρ − scalg g.
2

(3.2)

A partir de agora, considere (S2 , g) um sóliton de Ricci gradiente. Além disso, seja
J qualquer estrutura complexa em S2 , compatível com a métrica g. Isto significa que
J : T M −→ T M é um endomorfismo tal que J 2 = −I, g(JX, JY ) = g(X, Y ) e DJ = 0.
J age como uma rotação de 900 .
Lema 3.1. O campo de vetores Jξ gera um grupo a 1-parâmetro de isometrias ϕt :
(S2 , g) −→ (S2 , g).

49

Demonstração. Temos que
LJξ g(X, Y ) =
=
=
=
=
=
=

g(DX Jξ, Y ) + g(X, DY Jξ)
g((DX J)ξ + JDX ξ, Y ) + g(X, (DY J)ξ + J(DY ξ))
g(JDX ξ, Y ) + g(X, J(DY ξ))
g(J 2 DX ξ, JY ) + g(JX, J 2 (DY ξ))
−g(DX ξ, JY ) − g(JX, DY ξ)
−g(DX Df, JY ) − g(JX, DY Df )
−D2 f (X, JY ) − D2 f (Y, JX)


1
= − ρ − scal [g(X, JY ) + g(Y, JX)]
2
= 0,

pois g(X, JY ) = g(JX, J 2 Y ) = −g(JX, Y ).
Portanto, LJξ g(X, Y ) = 0, o que implica que Jξ é um campo de Killing. Portanto,
Jξ gera um grupo a 1-parâmetro de isometrias ϕt : (S2 , g) −→ (S2 , g). Para mais detalhes
sobre esta assertiva final consulte [27], página 251.

Considere p e q dois pontos críticos de f . Denote por a = ρ − 12 scalg (p) e b =
ρ − 21 scalg (q).
Dado v ∈ Tp S2 , podemos escrever
(dϕt )p · v = cos θ(t) · v + senθ(t) · Jv,
onde θ(t) é o ângulo entre (dϕt )p · v e v. Temos que
d
(dϕt )p · v = θ0 (t) · J[(dϕt )p · v].
dt
Além disso, se considerarmos V um campo tal que V (p) = v, temos
d
(dϕt )p · V
dt

= L−Jξ(p) (dϕt )p · V
=
=
=
=

−[(dϕt ) · V, Jξ]|p
D(dϕt )p ·v Jξ − DJξ(p) (dϕt )p · v
D(dϕt )p ·v Jξ
JD(dϕt )p ·v ξ.

Como gp (Dv ξ, v) = (D2 f )p (v, v) = a|v|2 , segue que D(dϕt )p ·v ξ = a(dϕt )p · v, donde
D(dϕt )p ·v Jξ = aJ(dϕt )p · v. Lembrando que ϕ(0) = id, segue que θ0 (t) = a e θ(0) = 0. Daí
concluímos que θ(t) = at. Em suma temos
(dϕt )p · v = cos(at) · v + sen(at) · Jv, ∀t ∈ R, ∀v ∈ Tp S2 .
50

(3.3)

e, analogamente,
(dϕt )q · v = cos(bt) · v + sen(bt) · Jv, ∀t ∈ R, ∀v ∈ Tp S2 .

(3.4)

Lema 3.2. Considerando t ∈ R fixado, temos
at
bt
∈ Z ⇐⇒ ϕt = id ⇐⇒
∈Z
2π
2π
at
Demonstração. Supondo que 2π
∈ Z, vemos por (3.3) que, dado v ∈ Tp S2 ,

(dϕt )p · v = v.
Considerando a geodésica γ(s) = expp (sv), temos que γ̃(s) = ϕt (expp (sv)) também é
uma geodésica, pois ϕt é uma isometria. Além disso,
γ̃(0) = ϕt (p) e γ̃ 0 (0) = ϕt (p) · (dexp)0 · v = (dϕt )p · v.
Daí, γ̃(s) = expϕt (p) (s(dϕt )p · v). Portanto,
ϕt (expp (v)) = expϕt (p) (dϕt )p · v = expp (v).
Como v foi escolhido arbitrariamente em Tp S2 , segue que ϕt = id.
Reciprocamente, se ϕt = id, então dϕt ·v = v, ∀v ∈ Tp S2 . Utilizando (3.3), concluímos
at
∈ Z. A segunda equivalência segue analogamente.
que 2π

Corolário 3.1. Seguindo as notações fixadas anteriormente, temos que a2 = b2 .
Demonstração.
Usando o Lema 3.2, temos que se a = 0, então ϕt = id, ∀t ∈ R. Em particular,
b/π ∈ Z e b ∈ Z, o que implica que b = 0.
Suponha agora que a, b 6= 0. Pelo Lema 3.2 temos que ϕ 2π = ϕ 2π = ϕ− 2π = id. Como
a
b
b
ϕ é um fluxo, segue que
ϕ 2π(a+b) = ϕ 2π ◦ ϕ 2π = id,
e

ab

a

b

ϕ 2π(b−a) = ϕ 2π ◦ ϕ− 2π = id.
ab

a

b

Utilizando novamente o Lema 3.2, chegamos que b−a
, a+b
, b−a
, a+b
∈ Z. Daí,
b
b
a
a

e

b 2 − a2
∈ Z =⇒ a2 |b2 ,
b2
b 2 − a2
∈ Z =⇒ b2 |a2 .
a2

Logo, a2 = b2 .
51


Proposição 3.1. Considere (S2 , g) um sóliton de Ricci gradiente. Então g possui curvatura escalar constante igual a 2ρ.
Demonstração.
Considere p, q ∈ S2 como anteriormente. Seja γ : [0, σ] −→ (S2 , g) uma geodésica de
velocidade unitária com γ(0) = p, γ(σ) = q e d(p, q) = σ. Considere o fluxo ϕt gerado
pelo campo Jξ. Pelo Lema 3.1, temos que ϕt é uma isometria, donde concluímos que
para cada t ∈ R, a curva s 7→ ϕt (γ(s)) é uma geodésica de velocidade unitária.
Definamos agora um campo V ao longo de γ por
∂
ϕt (γ(s))
= Jξ
,
∂s
t=0
γ(s)
com s ∈ [0, σ]. Como V é a restrição de uma campo de Killing à uma geodésica,
segue que V é um campo de Jacobi (cf. Lema 26 em [27]). Usando que V é um campo
de Jacobi, temos
V (s) =

d2
g(V (s), γ 0 (s)) = g(V 00 (s), γ 0 (s))
ds2
= g(R(γ 0 (s), V )γ 0 (s), γ 0 (s))
= 0.
Assim g(V (s), γ 0 (s)) = As+B e V (0) = V (σ) = 0. Daí, concluímos que g(V (s), γ 0 (s)) =
0, ∀s ∈ [0, σ]. Isto significa que existe uma função suave u : [0, σ] −→ R tal que
V (s) = u(s)Jγ 0 (s), ∀s ∈ [0, σ] e u(0) = u(σ) = 0. Como γ é uma geodésica de velocidade
unitária e J é uma estrutura complexa, temos
g(R(γ 0 , V )γ 0 , V ) = u2 g(R(γ 0 , Jγ 0 )γ 0 , Jγ 0 )
1
= u2 scalg (γ(s)).
2
Como V é um campo de Jacobi,
g(V 00 , V ) + g(R(γ 0 , V )γ 0 , V ) = 0
1
=⇒ u00 u|Jγ 0 |2 + scal · u2 = 0.
2
Portanto,
1
u00 (s) + u(s)scalg (γ(s)) = 0, ∀s ∈ [0, σ].
2
Por outro lado, observando que
g(ξ|γ(s) , γ 0 (s)) = g(V (s), Jγ 0 (s)) = u(s), ∀s ∈ [0, σ],
52

(3.5)

diferenciamos esta identidade com respeito a s e obtemos
(D2 f )γ(s) (γ 0 (s), γ 0 (s)) = u0 (s).
Utilizando (3.3) e levando em conta que γ tem velocidade unitária, temos
1
ρ − scalg (γ(s)) = u0 (s).
2
Substituindo (3.6) em (3.5), teremos

(3.6)

u00 (s) + ρu(s) = u(s)u0 (s).

(3.7)

A identidade (3.6) também implica que

e

1
a = ρ − scalg (p) = u0 (0)
2

1
b = ρ − scalg (q) = u0 (σ).
2
Pelo Corolário 3.1 temos que a2 = b2 . Assim, u0 (0)2 = u0 (σ)2 . Segue de (3.7) que
Z σ
1
1
u(s)u0 (s)2 ds = (u0 (σ)2 − u0 (0)2 ) + ρ(u(σ)2 − u(0)2 ) = 0.
2
2
0
Isto implica que existe s0 ∈ (0, σ) tal que u(s0 ) = 0. Como γ é livre de pontos
conjugados (cf. o Teorema 10.15 de [22]), segue que u(s) = 0 para todo s ∈ [0, σ]. Em
particular, a = u0 (0) = 0 e b = u0 (σ) = 0. Pelo Lema 3.1 concluímos que ϕt = id, ∀t ∈ R.
Assim
∂
ϕt (p) = 0, ∀p ∈ S2
∂t
de onde concluímos que f é constante e scalg = 2ρ.
Jξ(p) =



3.2

O Funcional Entropia de Hamilton

No que segue nesta seção, considere g0 uma métrica em S2 com curvatura escalar
positiva e g(t), t ∈ [0, T ), a única solução maximal para o fluxo de Ricci com métrica
inicial g0 . Por conveniência, assumiremos que Vol(S2 , g0 ) = 8π.
Lema 3.3. Segundo as condições acima impostas, temos que Vol(S2 , g(t)) = 8π(1 − t).
Em particular, T ≤ 1.

53

Demonstração. Pelo Teorema de Gauss-Bonnet em S2 , temos
Z

K12 dVol = 2πχ(S2 )

S2

Z

1
=⇒
scalg dVol = 4π
SZ2 2
=⇒
scalg dVol = 8π.
S2

Além disso,
Vol(S , g(t)) =
2

Z

Z p
detg(t)dudv,
dVolg(t) =

S2

U

onde U é domínio para uma para uma parametrização de S2 . Portanto,
d
Vol(S2 , g(t)) =
dt
=
=
. =
=

Z

1
d
p
(det g(t))dudv
det g(t) dt
U 2
Z
1
p
tr(g −1 (t) · g 0 (t)) det g(t)dudv
det g(t)
U 2
Z
p
1
tr(g −1 (t) · −2Ricg(t) ) det g(t)dudv
2
ZU
p
−tr(g −1 (t) · Ricg(t) ) det g(t)dudv
UZ
scalg(t) dVolg(t)
−
S2

= −8π.

Assim, Vol(S2 , g(t)) = −8πt + C. Para finalizar, como Vol(S2 , g(0)) = 8π, concluímos
que Vol(S2 , g(t)) = 8π(1 − t).

A seguir, definiremos o funcional entropia de Hamilton e provaremos a sua monoticidade.
Definição 3.1. Fixado t ∈ [0, T ), a entropia de g(t) é definida por
Z
scal · log(scal)dVol + 8π log(1 − t)
E(t) :=
S2

Lema 3.4. Temos que E(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, T ).
Demonstração.
Observando que a função g(x) = x log(x) − x + 1, x > 0, tem valor mínimo em x = 1,
temos a seguinte estimativa pontual
54

(1 − t)scal · log((1 − t)scal) ≥ (1 − t)scal − 1.
Observando que
Z
E(t) =
2
ZS

=

scal · log(scal)dVol + 8π log(1 − t)
Z
scal · log(1 − t)dVol
scal · log(scal)dVol +
S2

2

ZS
=

scal · log((1 − t)scal)dVol,

S2

temos, usando o Teorema de Gauss-Bonnet e o lema anterior,
Z

1
dVol
1−t
2
S
Z
1
Vol(S 2 , g(t))
=
scaldVol −
1−t
S2
1
= 8π −
8π(1 − t)
1−t
= 0

E(t) ≥

scal −


Fixado t ∈ [0, T ), o Teorema de Existência para o problema de Dirichlet implica que
existe uma função suave f : S2 −→ R, única a menos de adição de uma constante, tal
que
∆f =

1
− scal.
1−t

(3.8)


R  1
Pudemos usar este Teorema de Existência porque S 1−t
− scalg(t) dVolg(t) =0.
Denote por M o traço livre da Hessiana de f , isto é,
1
M = D2 f − (∆f )g.
2
Ainda, para cada t ∈ [0, T ), definamos
Z
M(t) =
|M |2 dVol.
S2

Lema 3.5. Para cada t ∈ [0, T ), temos
Z
Z
1
2
|dscal| dVol ≥
(∆f )2 dVol + 2M(t)
scal
2
2
S
S

55

(3.9)

(3.10)

Demonstração.
Inicialmente, lembre do Teorema de Stokes
Z

2

Z

(∆f ) dVol = −
S2

g(d(∆f ), df )dVol
 


Z
1
g d
= −
− scal , df dVol
1−t
S2
Z
g(dscal, df )dVol.
=
S2

S2

Assim,
Z

Z
Z
1
2
2
|dscal| dVol − 2 (∆f ) dVol +
scal|df |2 dVol
scal
2
2
2
S
ZS
ZS
Z
1
2
=
|dscal| dVol − 2
g(dscal, df )dVol +
scal|df |2 dVol
scal
2
2
2
S
S
ZS
1
=
|dscal − scaldf |2 dVol
S2 scal
≥ 0,
pois como scalg(0) ≥ 0, então scalg(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, T ). Segue da Fórmula de Böchner
(ver [12] página 23), que
Z
Z
Z
2
2
2 (∆f ) dVol −
scal|df | dVol = 2
|D2 f |2 dVol.
S2

S2

S2

Unindo as desigualdades anteriores, temos
Z
Z
1
2
|D2 f |2 dVol.
|dscal| dVol ≥ 2
S2 scal
S2
Observando que
g(M, g) = g il g jk Mij glk = δki g jk Mij = g jk Mkj = tr(M ) = 0,
chegamos que |D2 f |2 = |M |2 + ∆f
, de onde se conclui a desigualdade almejada.
2

Proposição 3.2. Temos que dtd E(t) ≤ −2M(t). Em particular, a função t 7→ E(t) é
decrescente.
Demonstração.
Como já foi visto na seção 2 do Capítulo 2, a curvatura escalar de g(t) evolui pelo
fluxo de Ricci em S2 pela equação
d
scal = ∆scal + scal2 .
dt
56

Assim, se U é um aberto, domínio para uma parametrização de S2 , temos
Z
p
d
d
d
E(t) =
[scal · log(scal) det g(t)]dudv + (8π log(1 − t))
dt
dt
dt
ZU
Z
p
p
2
=
(∆scal + scal ) log(scal) det g(t)dudv + (∆scal + scal2 ) det g(t)dudv
UZ
U
p
8π
− scal · log(scal)scal det g(t)dudv −
1−t
Z U
Z
8π
=
∆scal[log(scal) + 1]dVol +
scal2 dVol −
1−t
S2Z
S2
Z
8π
1
scal2 dV ol −
|dscal|2 dVol +
,
= −
1−t
S2
S2 scal
onde na última igualdade utilizamos o teorema de Stokes. Além disso, utilizando o
Teorema de Gauss-Bonnet e o Lema 3.3, temos
Z 


Z
Z
1
2scal
(∆f ) dVol =
scal2 dVol
dVol +
dVol −
2
1−t
S2
S2
S2
S2 1 − t

2
Z
1
2
=
8π +
scal2 dVol
8π(1 − t) −
1−t
1−t
2
S
Z
8π
+
scal2 dVol.
= −
1−t
2
S

Z

2

Portanto,
Z
1
8π
2
|dscal| dVol +
scal2 dVol −
1−t
2 scal
2
ZS
ZS
1
|dscal|2 dVol +
(∆f )2 dVol.
= −
S2
S2 scal

d
E(t) = −
dt

Z

Desta igualdade e do Lema 3.5, segue a proposição.

Observação 3.2. Numa variedade bidimensional temos

57

2

|R|

=

2
X

2
Rijkl

i,j,k,l=1

=

=

=
=
=

2
X

2
+
R1jkl

2
X

j,k,l=1

j,k,l=1

2
X

2
X

2
+
R12kl

2
R21kl

k,l=1

k,l=1

2
X

2
X

2
+
R121l

2
R2jkl

2
+
R212l

2
X

2
+
R121l

2
X

l=1
l=1
l=1
2
2
2
2
R1212 + R2121 + R1212 + R2121
2
2
= 4K12
= scal2 .
4R1212

2
R212l

l=1

Em particaular, em S 2 temos que |Rg(t) | = |scalg(t) |.
Proposição 3.3. Temos que T = 1 e


sup (1 − t) sup scalg(t) < ∞
S2

t∈[0,1)

(3.11)

Demonstração.
Mostraremos inicialmente, que se [0, T ) é o intervalo máximo onde está definido o
fluxo de Ricci em S2 , com condição inicial g0 , temos


sup (1 − t) sup scalg(t) < ∞
(3.12)
S2

t∈[0,T )

Supondo que (3.12) é falso, é possível definir uma sequência de tempos tk ∈ [0, T ) por


tk = inf t ∈ [0, T ); (1 − t) sup scalg(t) ≥ 2k .
S2

Escolha k suficientemente grande de forma que tk > 0. Como S2 é compacta e scal é
contínua, para cada k podemos escolher pk ∈ S2 tal que
scalg(tk ) (pk ) = sup scalg(tk ) =
S2

2k
.
1 − tk

Segue do Corolário 2.4 das estimativas de Shi e da Observação 3.2, que existe uma
constante uniforme N ≥ 1 tal que

3
k
2
sup |dscalg(tk ) | ≤ N
,
1 − tk
S2
para todo k. Definamos agora as bolas
58

r
Ωk := B

pk ,

1 − tk
Nk

!

(
=

r

x ∈ S2 ; dg(tk ) (pk , x) ≤

1 − tk
Nk

)
.

Segue da Lipschitz-continuidade de scal que, se tomamos x ∈ Ωk ,
|scalg(tk ) (pk ) − scalg(tk ) (x)| ≤ |dscalg(tk ) |d(pk , x)

 32 
1
1
1 − tk 2
k
≤ N2
1 − tk
k
k
=
.
1 − tk
Assim,
inf scalg(tk ) (x) ≥ scalg(tk ) (pk ) −

x∈Ωk

k
k
=
.
1 − tk
1 − tk

Daí,
Z

scalg(tk ) log[(1 − tk )scalg(tk ) ]dVolg(tk ) ≥

Ωk

k log k
Vol(Ωk , g(tk )).
1 − tk

(3.13)

Lembrando que scalg(tk ) ≥ 0 e 0 < tk ≤ 1, ∀k, conseguimos a estimativa pontual
(1 − tk )scalg(tk ) log((1 − tk )scalg(tk ) ) ≥ (1 − tk )scalg(tk ) − 1 ≥ −1,
de onde obtemos
Z
S2 /Ωk

scalg(tk ) log((1 − tk )scalg(tk ) )dVolg(tk ) ≥ −

1
Vol(S2 /Ωk , g(tk )) ≥ −8π. (3.14)
1 − tk

Adicionando (3.13) e (3.14), obtemos
Z
E(tk ) =
S2

scalg(tk ) log((1 − tk )scalg(tk ) )dVolg(tk ) ≥ −

k log k
Vol(Ωk , g(tk )) − 8π. (3.15)
1 − tk

Como scalg(tk ) ≥ 0 para todo k e S2 é uma variedade bidimensional, segue de um
teorema de Kligenberg (cf. [11], página 98) que o raio de injentividade de (S2 , g(tk )) é
limitado por
r
1 − tk
2
inj(S , g(tk )) ≥ π
.
k
Pelo Teorema de Comparação de Volume de Günther e Bishop (cf. Teorema 1.1 do
Capítulo 1), temos

59

r
Vol(Ωk ) ≥ V k

1−tk

1 − tk
Nk

!
,

onde Vδ (r) denota o volume de uma bola de raio r numa variedade M com curvatura
seccional constante igual a δ. Explicitamente,
√
sen( δs)
Vδ (r) = 2π
ds
δ
0
!
√
cos δr 1
= 2π −
+
.
δ
δ
Z r

Substituindo temos

r
V k

1−tk

1 − tk
Nk



 − cos
= 2π 

!

2π
=
δ

q

k
1−tk

q



1−tk
Nk

1
+ 
δ

δ
r

1 − cos

1
N

!!
.

Portanto,
k
Vol(Ωk ) ≥ 2π 1 − cos
1 − tk

r

1
N

!!
> 0,

pois N ≥ 1. Como a desigualdade vale para todo k, temos
k
Vol(Ωk g(tk )) > 0.
k→∞ 1 − tk
lim

(3.16)

Segue de (3.15) e (3.16) que E(tk ) → ∞ quando k → ∞. Isto contradiz a Proposição
3.2. Daí concluímos a assertiva (3.12).
Para finalizar a demonstração, mostraremos que T = 1. De (3.12), temos que
sup scalg(t) ≥
S2

C
,
1−t

(3.17)

onde t ∈ [0, T ) é qualquer e C é uma constante positiva.
Utilizando o Teorema 2.2 e relembrando a Observação 3.2, vemos que se [0, T ) é o
intervalo máximo de definição do fluxo de Ricci, temos
lim sup(sup scalg(t) ) = +∞.
t→T

S2

De (3.17) e (3.18), temos
60

(3.18)

lim sup
t→T

C
= ∞,
1−t

de onde se conclui que T = 1.

1
Proposição 3.4. As métricas g̃(t) = 1−t
g(t) possuem as seguintes propriedades:

(i) A curvatura escalar de (S2 , g̃(t)) é uniformemente limitada para todo t ∈ [0, 1), bem
como suas derivadas covariantes de ordem superior;
(ii) O raio de injetividade de (S2 , g̃(t)) é uniformemente limitado por baixo para todo
t ∈ [0, 1);
(iii) O diâmetro de (S2 , g̃(t)) é uniformemente limitado por cima para todo t ∈ [0, 1).
Demonstração.
(i) Segue da Proposição 3.3 que

sup



(1 − t) sup scalg(t) < ∞.
S2

t∈[0,1)

Como |Rgt | = |scalgt |, segue do Corolário 2.4 que


m+2
m
2
sup (1 − t)
sup |D scalg(t) | < ∞.
S2

t∈[0,1)

Como scalg̃t = (1 − t)scalgt , a assertiva segue.
(ii) Segue de (i) e da Estimativa do raio de injetividade de Kligenberg.
(iii) Suponha, por absurdo, que exista uma sequência de tempos tk ∈ [0, 1) tais que
diam(S2 , g̃(tk )) ≥ k,
para todo k. Para cada k considere uma geodésica de velocidade unitária γk :
[0, k] −→ (S2 , g̃(tk )), tal que dg̃(tk ) (γk (0), γk (k)) = k. Agora nós definimos as bolas

Ωi,k =

1
s ∈ S ; dg̃(tk ) (γk (i), x) ≤
4
2


,

para i = 0, 1, . . . k. Pelos itens anteriores, vimos que a curvatura escalar de
(S2 , g̃(tk )) é uniformemente limitada por cima e o raio de injetividade de (S2 , g̃(tk ))
é uniformemente limitado por baixo. Segue da estimativa de volume de Günther e
Bishop que
61

min Vol(Ωi,k , g̃(tk )) ≥ ε(k + 1),

i=0,1,...,k

para algum ε independente de k. Os conjuntos Ωi,k são disjuntos pois

x ∈ Ωi,k ∩ Ωj,k
1
1
e dg̃(tk ) (γk (j), x) ≤
4
4
1
=⇒ i − j = dg̃(tk ) (γk (i), γk (j)) ≤
2
=⇒ i = j.
=⇒ dg̃(tk ) (γk (i), x) ≤

Assim,
Vol(S , g̃(tk )) ≥
2

k
X

Vol(Ωi,k , g̃(tk )) ≥ ε(k + 1)

i=1

Por outro lado, pelo Lema 3.3, Vol(S2 , g̃(tk )) = 8π, ∀k. Se tomarmos k suficientemente grande chegamos a uma contradição. Isto conclui a demonstração.

Proposição 3.5. Temos que
sup |(1 − t)scalg(t) − 1| = 0, quando t → 1.
S2

Demonstração. Se a assertiva acima fosse falsa, seria possível encontrar um número
ε ∈ (0, 1/2) e uma sequância de tempos τk ∈ [1/2, 1) tal que lim τk = 1 e
k→∞

(3.19)

sup |(1 − τk )scalg(τk ) − 1| > ε,
S2

para todo k.
A continuidade da função M(t), definida em (3.10), permite que para cada k escolhamos um número real tk ∈ [2τk − 1, τk ], tal que M(tk ) = inf t∈[2τk −1,τk ] M(t). Isto implica
que
Z τk
0 ≤ (1 − tk )M(tk ) ≤ 2(1 − τk )M(tk ) ≤
M(t)dt,
2τk −1

para todo k. Segue do Lema 3.4 e da Proposição 3.2 que
obtemos
lim (1 − tk )M(tk ) → 0.

k→∞

62

R1
0

M(t)dt < ∞, de onde
(3.20)

Pelas conclusões tiradas na Proposição 3.4, podemos utilizar o Teorema de Compacidade de Gromov (cf. Teorema 6.9 de [32]), para garantir que após passar a uma
subsequência, se necessário, as métricas g̃(tk ) = g(tk )/(1 − tk ) convergem no sentido de
Cheeger-Gromov para uma métrica suave ḡ em S2 .
Usando as fórmulas de rescalonamento de métricas para g̃(tk ) = g(tk )/(1 − tk ), e
lembrando (3.9), temos
1
1
1
LDf g(tk ) + scalg(tk ) −
g(tk )
2
2
2(1 − t)
1
1
g(tk )
=
(1 − tk )L 1 D̃f
+ Ricg(tk ) − g̃(tk )
1−tk
2
1 − tk
2
1
1
=
L g̃(tk ) + Ricg̃(tk ) − g̃(tk ),
2 D̃f
2

Mg(tk ) =

onde D̃ e Ricg̃(tk ) representam, respectivamente, a Conexão de Levi-Civita e o tensor
de Ricci de g̃(tk ). Por isto, temos
1
1
Mḡ = lim Mg(tk ) = LD̄f ḡ + Ricḡ − ḡ,
(3.21)
k→∞
2
2
onde D̄ e Ricḡ representam, respectivamente, a Conexão de Levi-Civita e o tensor de
Ricci de ḡ. Além do mais,
|M |2g̃(t)

ik 
jl
g(t)
g(t)
=
Mij Mkl
1−t
1−t
= (1 − t)2 g(t)ik g(t)jl Mij Mkl
= (1 − t)2 |M |2g(t) .


Daí,
Z
(1 − tk )M(tk ) = (1 − tk )
S2
2

|Mg(tk ) |2g(tk ) dVolg(tk )

Z

= (1 − tk )
|Mg(tk ) |2g(tk ) dVolg̃(tk )
2
S
Z
=
|Mg(tk ) |2g̃(tk ) dVolg̃(tk ) .
S2

Desta forma,
lim (1 − tk )M(tk )
Z
= lim
|Mg(tk ) |2g̃(tk ) dVolg̃(tk )
k→∞ S2
Z
=
|Mḡ |2ḡ dVolḡ .

0 =

k→∞

S2

63

Isto implicará que Mḡ = 0, e utilizando (3.21) segue que (S2 , ḡ) é um sóliton gradiente
de Ricci, pois


1 1
2
D̄ f =
− scalḡ ḡ.
2 2
Além do mais, a Proposição 3.1 implicará que (S2 , ḡ) possui curvatura escalar constante igual a 1, e, por conseguinte, Vol(S2 , ḡ) = 8π.
Como scalḡ(tk ) = (1− tk )scalg(tk ) e ε < 1/2, segue que, para k é suficientemente grande
e cada ponto de S2 ,
−

ε
ε
≤ (1 − tk )scalg(tk ) − 1 ≤
,
1−ε
1+ε

donde,
1 − 2ε
1 + 2ε
≤ scalg(tk ) ≤
.
(1 − ε)(1 − tk )
(1 + ε)(1 − tk )
Como dtd scal = ∆scal + scal2 , podemos usar o Princípio do Máximo e do Mínimo
escalar junto com as desigualdades acima para garantir que
1 − 2ε
1 + 2ε
≤ scalg(τk ) ≤
,
(1 − 2ε)(1 − τk ) + ε(1 − tk )
(1 + 2ε)(1 − τk ) − ε(1 − tk )
para qualquer pontos de S2 . Como 1 − tk ≤ 2(1 − τk ), concluímos que
1 + 2ε
1 − 2ε
≤ scalg(τk ) ≤
,
1 − τk
1 − τk
para qualquer pontos de S2 . Como esta última assertiva contradiz (3.19), encontramos
um absurdo. Este absurdo conclui a demonstração da proposição.


3.3

Convergência para uma métrica de curvatura constante

Como feito previamente, suponha que g0 é uma métrica Riemanniana em S2 com
curvatura escalar positiva e Vol(S2 , g0 ) = 8π. Ainda mais, denote por g(t), t ∈ [0, T ), a
única solução maximal do Fluxo de Ricci com g(0) = g0 .
Lema 3.6. Considerando f a função potencial definida em (3.8), isto é,
∆f =

1
− scal,
1−t

temos que

64

∂
1
f = ∆f +
f + C,
∂t
1−t
onde C é constante em relação ao espaço.

(3.22)

Demonstração. Inicialmente, note que se g(t) é uma solução do Fluxo de Ricci e h é
uma função espacial suave, temos
∂
∂ ij 
(∆g(t) h) =
g hij
∂t
∂t
= scalg ij hij
= scal∆h.
Assim, utilizando (3.8), temos
1
∂
∂
(∆g(t) f ) =
−
scal.
∂t
(1 − t)2 ∂t
Isto implica que
scal∆f + ∆



∂
f
∂t


=

1
− ∆scal − scal2 .
(1 − t)2

Utilizando novamente (3.8), temos


∂
scal
1
2
− scal + ∆
f =
+ ∆∆f − scal2 .
2
1−t
∂t
(1 − t)
Mais uma vez por (3.8),
∆f
−
+∆
1−t



∂
f
∂t


= ∆∆f,

de onde vemos que

∆

∂
1
f − ∆f −
f
∂t
1−t


= 0.

∂
1
Denotando por C = C(x, t) = ∂t
f − ∆f − 1−t
f , utilizamos o Teorema de Stokes para
ver que
Z
Z
0=
C∆CdVol = − |∇C|2 dVol.
S2

S

Daí C é constante em relação ao espaço. Disto, concluímos (3.22).


65

Lema 3.7. Para todos campos X, Y em S2 , temos que
1
2
(∆D2 f )(X, Y ) = DX,Y
(∆f ) + 2scal · M (X, Y ) + X(scal)Y (f )
2
1
1
+ Y (scal)X(f ) − g(df, dscal)g(X, Y ),
2
2
Demonstração. Por questão de abreviação, escreva M = D2 f . Considere p ∈ S2 e
{ei } um referencial ortonormal de Tp S2 . Lembre das identidades
(1) Dk (fij ) = Di fkj −

n
X

Rkijp Dp f ;

p=1

(2) Dl Dk fij = Dk Dl fij −

n
X

Rlkip fpj −

p=1

n
X

Rlkjp fip (Identidade de Ricci);

p=1

(3) Rijkl = K12 (δil δkj − δik δjl ) em S2 , onde K12 é a curvatura seccional de S2 .
Temos que

Dk Dk fij = Dk

Di fkj −

n
X

!
Rkijp Dp f

p=1

= Dk Di fkj −
= Di Dk fkj −

n
X
p=1
n
X

Dk (Rkijp )Dp f −

n
X

Rkijp fpk

p=1

Rkikp fpj − Rkijp fpk −

p=1
n
X

= Di (Dj fkk −

n
X

Dk (Rkijp )Dp f −

p=1

n
X

Rkijp fpk

p=1

Rkjkp Dp f ) − Rkikp fpj

p=1

−

n
X

Rkijp fpk −

p=1

n
X

Dk (Rkijp )Dp f −

p=1

= Di Dj fkk −

n
X

−

p=1

Di (Rkjkp )Dp f −

Dk (Rkijp )Dp f −

Rkijp fpk

p=1

p=1
n
X

n
X

n
X

Rkjkp fpi −

p=1
n
X

Rkijp fpk .

p=1

Somando de k = 1 até n na expressão acima, temos

66

n
X
p=1

Rkikp fpj − Rkijp fpk

(∆M )ij = Di Dj (∆f ) +

n
X

Di (Ricjp )Dp f −

p=1

−2

n
X

n
X

Dk (Rkijp )Dp f

k,p=1

Rkijp fpk +

n
X

(Ricjp fpi + Ricip fpj )

p=1

k,p=1

= (∆f )ij +

n
X
p=1


Di


n
X
1
scalδjp Dp f +
(Dj Rpkki + Dp Rkjki )Dp f
2
k,p=1

n
n
1X
1X
scalδjp fpi +
scalδip fpj
−2
Rkijp fpk +
2
2
p=1
p=1
k,p=1
n
X

n
X
1
= (∆f )ij + Di scalDj f +
[Dj (Ricpi ) − Dp (Ricij )]Dp f
2
p=1

−2

n
X

Rkijp fpk + scalfij

k,p=1

1
1
1
= (∆f )ij + Di scalDj f + Dj scalDi f −
2
2
2
−2

n
X

n
X

!
Dp (scal)Dp f

δij

p=1

[K12 (δkj δip − δkp δij )]fpk + scalfij

k,p=1

1
1
1
= (∆f )ij + Di scalDj f + Dj scalDi f − g(dscal, df )δij
2
2
2
+scal(fij − ∆f · δij ) + scalfij
1
1
1
= (∆f )ij + Di scalDj f + Dj scalDi f − g(dscal, df )δij + 2scal · M.
2
2
2
Disto, concluímos nossa assertiva.

Com o auxílio dos Lemas anteriores, calcularemos uma equação de evolução para o
traço livre da Hessiana de f .
Lema 3.8. O tensor M satifaz a seguinte equação de evolução:
D ∂ M = ∆M +
∂t

1
M − scal · M.
1−t

Demonstração.
∂
Por questão de abreviação, escreveremos M = D2 f e A(X, Y ) = ∂t
DX Y . Fixados
2
dois campos X e Y em S , temos

67

∂
∂
(X(Y (f )) − (DX Y )(f ))
M =
∂t
∂t
∂f
∂f
= X(Y ( )) − (DX Y )( ) − A(X, Y )(f )
∂t
∂t 
∂f
2
= DX,Y
− A(X, Y )(f ).
∂t
Agora, usando a Proposição 2.2, calculamos
A(X, Y )(f ) = g(A(X, Y ), Df )
= −(DX Ric)(Y, Df ) − (DY Ric)(X, Df ) + (DDf Ric)(X, Y )
= −X(Ric(Y, Df )) + Ric(DX Y, Df ) + Ric(Y, DX Df ) − Y (Ric(X, Df ))
+Ric(DY X, Df ) + Ric(X, DY Df ) + Df (Ric(X, Y )) + Ric(DDf X, Y )
+Ric(X, DDf Y )


1
1
1
= −X
scal · g(Y, Df ) + scal · g(DX Y, Df ) + scal · g(Y, DX Df )
2
2
2


1
1
1
−Y
scal · g(X, Df ) + scal · g(DY X, Df ) + scal · g(X, DY Df )
2
2
2


1
1
1
−Df
scal · g(X, Y ) + scal · g(DDf X, Y ) + scal · g(X, DDf Y )
2
2
2
1
1
1
= − X(scal)g(Y, Df ) − scal · X(g(Y, Df )) + scal · X(g(Y, Df ))
2
2
2
1
1
1
− Y (scal)g(X, Df ) − scal · Y (g(X, Df )) + scal · Y (g(X, Df ))
2
2
2
1
1
1
+ Df (scal)g(X, Y ) + scal · Df (g(X, Y )) − scal · Df (g(X, Y ))
2
2
2
1
1
1
= − X(scal)Y (f ) − Y (scal)X(f ) + g(df, dscal)g(X, Y ).
2
2
2
Assim,
∂
1
1
2
2
M (X, Y ) = DX,Y
(∆f ) +
DX,Y
f + X(scal)Y (f )
∂t
1−t
2
1
1
+ Y (scal)X(f ) − g(df, dscal)g(X, Y ).
2
2
Unindo este fato ao Lema 3.7, temos
∂
1
M (X, Y ) = (∆M )(X, Y ) +
M (X, Y ) − 2scal · M (X, Y ).
∂t
1−t
Portanto,
68



∂
∂
1 ∂
M (X, Y ) =
(∆f · g(X, Y ))
M (X, Y ) −
∂t
∂t
2 ∂t
1
= (∆M )(X, Y ) +
M (X, Y ) − 2scal · M (X, Y ),
1−t
pois,


∂
1
∂
(∆f · g(X, Y )) =
− scal g(X, Y ) + ∆f (−2Ricg(t) (X, Y ))
∂t
∂t 1 − t


1
2
=
− ∆scal − scal g(X, Y )
(1 − t)2


1
− scal (−scalg(X, Y ))
+
1−t


1
1
= −∆scal · g(X, Y ) +
− scal g(X, Y )
1−t 1−t
1
= ∆((∆f )g(X, Y )) +
(∆f )g(X, Y ).
1−t
Disto, concluímos o lema.

Lema 3.9. Fixado α ∈ (0, 1), existe uma constante positiva C tal que
supS 2 |M |2 ≤ C(1 − t)2α−2 ,
onde t ∈ [0, 1).
Demonstração. Antes de mais nada, observe que
g(∆M, M ) = g ij g kl (∆M )ik Mjl
!
X
= g ij g kl
Du Du Mik Mjl
u

!
= g ij g kl

X

Du (Du Mik Mjl ) −

u
ij kl

= g g

X

X

Du Mik Du Mjl

u

Du (Du Mik Mjl ) − |DM |2 .

u

Ainda temos

69

!
g ij g kl

X

X

Du (Du Mik Mjl ) = g ij g kl

u

=⇒ 2g ij g kl

X

Du Du Mik Mjl +

u

Du (Du Mik Mjl ) = g ij g kl

X

X

Du (Mik Du Mjl )

u

Du Du Mik Mjl

u
2

u

= ∆(|M | ).
Isto significa que
1
g(∆M, M ) = ∆(|M |2 ) − |DM |2 .
2
Agora, como α ∈ (0, 1), pela Proposição 3.5 podemos achar um número η ∈ [0, 1) tal
que (1 − t)scal ≥ α em S2 × [1 − η, 1). Usando o Lema 3.8 e as observações anteriores,
temos
∂
(|M 2 |) = 2g(D ∂ M, M )
∂t
∂t


1
= 2g ∆M +
M − scal · M, M
1−t
2
= ∆(|M |2 ) − 2|DM |2 +
|M |2 − 2scal|M |2
1−t
2 − 2α
≤ ∆(|M |2 ) − 2|DM |2 +
|M |2 ,
1−t
em S2 ×[1−η, 1). Usando o Princípio do Máximo, concluímos que (1−t)2−2α |M |2 ≤ C,
para alguma constante positiva C. Daí conclui-se o Lema.

Proposição 3.6. Fixado α ∈ (0, 1), existe uma constante positiva C tal que
2

1
≤ C(1 − t)2α−2
sup scalg(t) −
2
1
−
t
S
Demonstração.
Inicialmente, note que

2

2
X

(De2i ej M )(ei , ej ) = ∆(∆f ) + scal∆f + g(dscal, df )

i,j=1






1
1
= ∆
− scal + scal
− scal + g(dscal, df )
1−t
1−t
1
= −∆scal − scal2 +
scal + g(dscal, df )
1−t
∂
1
= − +
scal + g(dscal, df ).
∂t 1 − t
70

Denotando H = (1−t)M e h = (1−t)scal −1, temos pelo que foi visto anteriormente,
2

2
X

(De2i ej H)(ei , ej ) = −

i,j=1

∂
h + g(dh, df ).
∂t

Pelo Lema 3.9, temos que, fixado α ∈ (0, 1), existe uma constante positiva C1 , tal que
sup |H| ≤ C1 (1 − t)α ,
S2

para todo t ∈ [0, 1). Pelo 3.8 temos que
D ∂ H = ∆H − scal · H,
∂t

de onde, o Corolário 2.5 implica que existe uma constante positiva C2 tal que
sup |D2 H|2 ≤ C2 (1 − t)2α−2 ,
S2

∀t ∈ [0, 1). Isto implica que existe uma constante positiva C3 tal que, ∀t ∈ [0, 1),
∂
h + g(dh, df ) ≤ C3 (1 − t)α−1 .
∂t
Integrando a desigualdade acima de t a τ , temos
sup |h(p, t)| ≤ sup |h(q, τ )| +
p∈S2

q∈S2

C3
[(1 − t)α − (1 − τ )α ] ,
α

(3.23)

para todo t ∈ [0, 1) e τ ∈ [t, 1). Assim, fazendo τ → 1 em (3.23) e usando a Proposição
3.5, obtemos

sup |h(p, t)| ≤
p∈S2

C3
(1 − t)α
α

=⇒ sup |(1 − t)scal − 1| ≤ C(1 − t)2α
S2


=⇒ sup scal −
S2

1
1−t

2

≤ C(1 − t)2α−2 ,

para todo t ∈ [0, 1). Em nosso caso, C = Cα3 .

Lema 3.10. Fixe α ∈ (0, 1). Dado qualquer inteiro m ≥ 1, podemos achar uma constante
positiva C tal que
sup |Dm scalg(t) |2 ≤ C(1 − t)2α−m−2
S2

71

Demonstração. Considere, como anteriormente, h = (1 − t)scal − 1. Observando que
∂
h = ∆h + scal · h,
∂t
e, da Proposição 3.6,
sup |h| ≤ C1 (1 − t)α ,
S2

podemos usar o Corolário 2.5 para concluir que
sup |Dm h|2 ≤ C2 (1 − t)2α−m ,
S2

para todo t ∈ [0, 1). Desta última desigualdade conclui-se o lema.

Teorema 3.1 (R. Hamilton). Considere g0 uma métrica Riemanniana em S2 com curvatura escalar positiva e Vol(S2 , g0 ) = 8π. Considere g(t), t ∈ [0, T ), a única solução
maximal do fluxo de Ricci com métrica inicial g0 . Então T = 1, e as métricas rescalo1
nadas g̃(t) = 1−t
g(t) convergem em C ∞ para uma métrica de curvatura escalar contante
igual a 1.
Demonstração.
∂
g̃(t), temos
Pela Proposição 3.3 já vimos que T = 1. Denotando por h(t) = ∂t


∂
1
h(t) =
g(t)
∂t 1 − t
g(t)
1
=
−
scalg(t) · g(t)
2
(1 − t)
1−t


1
1
= −
scalg(t) −
g(t).
1−t
1−t
Fixado α ∈ (0, 1), vimos pela Proposição 3.6 que


1−α
sup (1 − t)
sup |h(t)|g̃(t) < ∞.
S2

t∈[0,1)

Ainda mais, pelo Lema 3.10,


1−α
m
sup (1 − t)
sup |D h(t)|g̃(t) < ∞,
S2

t∈[0,1)

para m ≥ 1 inteiro. Portanto,
Z 1

m

Z 1

1
(1 − t)α |Dm h(t)|g(t) dt
α
(1
−
t)
0
Z 1
1
≤ C
< ∞.
α
0 (1 − t)

|D h(t)|g(t) dt =
0

72

Desta forma, o Teorema de Convergência para métricas implica que as métricas g̃(t)
convergem em C ∞ para uma métrica ḡ em S2 . Utilizando a Proposição 3.5, concluiremos
que ḡ possui curvatura escalar constante igual a 1.

Para concluir este capítulo, daremos uma versão do Teorema Diferenciável da Esfera
em superfícies.
Teorema 3.2. Considere Σ uma superfície compacta munida de uma métrica riemanniana g0 com curvatura seccional positiva. Então Σ é difeomorfa à esfera S2 ou ao plano
projetivo RP2 .
Demonstração. Como Σ é uma superfície, curvatura seccional positiva implica curvatura escalar positiva.
Se (Σ, g0 ) é uma superfície orientável, segue do Teorema de Gauss-Bonnet que Σ é
homeomorfa à esfera e tem curvatura escalar positiva. Como os cálculos realizados no
Teorema 3.1 dependem apenas da característica, segue do Teorema 3.1 que Σ admite
uma métrica com curvatura seccional constante igual a 1, logo é difeomorfa a uma forma
espacial esférica. Como Σ é orientável, segue que Σ é difeomorfa à esfera.
No caso onde (Σ, g0 ) é não orientável, consideramos seu recobrimento duplo orientável
(Σ, π ∗ g0 ). Como π é uma isometria local, segue que (Σ, π ∗ g0 ) tem curvatura seccional
positiva e, pelo Teorema de Bonnet-Myers (cf. Teorema 1.2), é uma superfície compacta.
Além disso Σ é orientável. Utilizando os argumentos anteriores, será possível encontrar
uma métrica g∞ de forma que (Σ, g∞ ) tem curvatura seccional constante igual a 1. Por
outro lado, (Σ, g∞ ) é localmente isométrica a (Σ, π∗ g∞ ). Como isometrias locais preservam curvatura, segue que (Σ, π∗ g∞ ) tem curvatura seccional constante igual a 1 e,
portanto, Σ é difeomorfa a uma forma espacial esférica. Como Σ é não-orientável, segue
que Σ é difeomorfa ao plano projetivo RP2 .


73

Capítulo 4
A Teoria de Hamilton
Com o intuito de estudar algumas propriedades do fluxo de Ricci, torna-se necessário
analisar algumas condições de curvatura que são preservadas pelo fluxo. Neste capítulo,
desenvolvemos técnicas gerais para verificar que uma dada condição sobre a curvatura é
preservada pelo fluxo de Ricci. Estas técnicas serão baseadas no Princípio do Máximo
de Hamilton, que será demonstrado na seção 2 deste capítulo.
Na primeira seção, abordaremos algumas propriedades do cones normais e tangente
de um conjunto convexo, bem como condições necessárias para que um conjunto seja
invariante por uma E. D. O.. Na segunda seção, apresentamos o princípio do Máximo
de Hamilton. Na seção 3, introduziremos a crucial noção de conjunto pinçante e, através
das estimativas de Shi, descreveremos um critério geral de convergência para o fluxo de
Ricci. Por fim, aplicaremos este critério para obter o importante resultado de Hamilton
que afirma que toda variedade compacta de dimensão três que admite uma métrica de
curvatura de Ricci positiva é difeomorfa a uma forma espacial esférica. Este resultado,
que foi primordialmente demonstrado em [17], é uma generalização do Teorema da esfera,
visto que curvatura seccional positiva implica curvatura de Ricci positiva.

4.1

Os cones normal e tangente de um conjunto convexo

No que segue a esta seção, V denotará um espaço vetorial de dimensão finita munido
de um produto interno h·, ·i que gera uma norma k · k. Lembre que F ⊂ V é um conjunto
convexo se (1 − t)x + ty ∈ F , ∀ t ∈ [0, 1] e x, y ∈ F .
Definição 4.1. Considere F ⊂ V um subconjunto convexo e fechado. Para cada y ∈ F ,
definimos o Cone Normal a F em y por
Ny F = {z ∈ V ; hx − y, zi ≥ 0, ∀x ∈ F } .
Definimos também o Cone Tangente a F em y por
Ty F = {x ∈ V ; hz, xi ≥ 0, ∀z ∈ Ny F } .

74

Observação 4.1. Facilmente pode-se ver que Ny F e Ty F são conjuntos fechados e convexos. Além disso, se y está no interior de F ⊂ V então Ny F = {0} e Ty F = V . De
fato, se y ∈ int(F ) e z ∈ Ny F , ∃ε > 0 tal que y − εz ∈ F . Portanto,
h(y − εz) − y, zi ≥ 0 =⇒ −ε||z||2 ≥ 0 =⇒ z = 0
Logo Ny F = 0 e Ty F = V .

Lema 4.1. Sejam F ⊂ V um subconjunto convexo e fechado, y ∈ F e z ∈ V . São
equivalentes
(i) d(z, F ) = ky − zk
(ii) y − z ∈ Ny F
Demonstração.
(i) =⇒ (ii). Considere x ∈ F . Como F é convexo e x, y ∈ F , segue que se s ∈ [0, 1],
então sx + (1 − s)y ∈ F . Por (i) temos que
ksx + (1 − s)y − zk ≥ d(z, F ) = ky − zk.
A igualdade ocorre para s = 0. Desta forma, s = 0 é um ponto de mínimo da função
s 7→ 1/2ksx + (1 − s)y − zk2 . Logo,
d
ksx + (1 − s)y − zk2 ≥ 0
ds s=0
Como x ∈ F foi tomado arbitrariamente, segue que y − z ∈ Ny F .
(ii) =⇒ (i). Supondo que y − z ∈ Ny F , temos que hx − y, y − zi ≥ 0, para todo
x ∈ F . Assim,
hx − y, y − zi =

kx − zk2 = kx − yk2 + 2hx − y, y − zi + ky − zk2 ≥ ky − zk2 ,
para todo x ∈ F . Como y ∈ F , temos
d(z, F ) ≥ ky − zk ≥ d(z, F ).
Disto, segue (ii).

Lema 4.2. Sejam F ⊂ V um subconjunto convexo e fechado de V , y ∈ F e z ∈ V . Se
d(z, F ) = ky − zk, temos
0 ≤ d(z̄, F )ky − zk + hz̄ − y, y − zi,
para todo z̄ ∈ V .

75

Demonstração.
Pelo Lema 4.1, segue que y − z ∈ Ny F . Assim, se x ∈ F e z̄ ∈ V , usamos a
desigualdade de Cauchy-Schwartz para obter
0 ≤ hx − y, y − zi = hx − z̄, y − zi + hz̄ − y, y − zi
≤ kx − z̄k · ky − zk + hz̄ − y, y − zi
Tomando o ínfimo de ambos os lados para todos x ∈ F , concluímos o resultado
desejado.

Proposição 4.1. Seja F ⊂ V um subconjunto convexo e fechado de V . Se x : [0, T ) −→
V é uma curva contínua tal que x(0) ∈ F , temos
(i) Se x(t) ∈ F , ∀t ∈ [0, T ), então x0 (0) ∈ Tx(0) F ;
(ii) Se x0 (0) está no interior de Tx(0) F , então existe ε > 0 tal que x(t) ∈ F , ∀t ∈ [0, ε].
Demonstração.
(i) Se x(t) ∈ F , ∀t ∈ [0, T ), temos
hx(t) − x(0), zi ≥ 0,
para todos t ∈ [0, T ) e z ∈ Nx(0) F . A igualdade ocorre se t = 0. Assim, t = 0 é um
ponto de mínimo da função s 7→ hx(t) − x(0), zi. Logo,
hx0 (0), zi =

d
hx(t) − x(0), zi ≥ 0,
dt t=0

para todo z ∈ Nx(0) F . Isto significa que x0 (0) ∈ Tx(0) F .
(ii) Supondo que esta afirmação é falsa, podemos encontrar uma sequência (tk )k∈N em
(0, T ) tal que
lim tk = 0 e x(tk ) 6∈ F.

k→∞

Como F é um conjundo fechado, podemos encontrar yk ∈ F tal que d(x(tk ), F ) =
kyk − x(tk )k > 0. Defina
zk =

yk − x(tk )
,
kyk − x(tk )k

e observe, pelo lema 4.1, que yk − x(tk ) ∈ Nyk F . Como Nyk F é um cone segue que
zk ∈ Nyk F , ∀k ∈ N. Assim, já que x(0) ∈ F , temos
76

hx(0) − yk , zk i ≥ 0, ∀k ∈ N.

(4.1)

hyk − x(tk ), zk i = kyk − x(tk )k > 0, ∀k ∈ N.

(4.2)

Por outro lado,

Adicionando (4.1) e (4.2) teremos
hx(0) − x(tk ), zk i > 0, ∀k ∈ N.

(4.3)

Agora, note que
lim kyk − x(tk )k = lim d(x(tk ), F ) = 0,

k→∞

k→∞

donde yk → x(0) quando k → ∞. Como kzk k = 1, existe uma subsequência zkn → z
com kzk = 1. Como zk ∈ Nyk para cada k, segue que z ∈ Nx(0) F . Como x0 (0) está
no interior de Tx(0) F , temos que hx0 (0), zi > 0. Logo, usando (4.3), teremos
1
hx(tk ) − x(0), zi ≤ 0,
k→∞ tk

0 < hx0 (0), zi = lim
o que é um absurdo.


Definição 4.2. Considere um campo vetorial suave Φ : V −→ V . Diremos que F é
invariante pela E.D.O
 d
x(t), = Φ(x(t))
dt
x(0) = x0 ,
se x(t) ∈ F , sempre que x0 ∈ F . Se isto ocorrer, diremos que F é Φ-invariante.
Proposição 4.2. Sejam F ⊂ V um subconjunto fechado e Φ : V −→ V uma função
suave. São equivalentes:
(i) F é Φ-invariante;
(ii) hΦ(y), y − zi ≥ 0, para todos y ∈ F e z ∈ V tais que d(z, F ) = ky − zk.
Demonstração.
(i) =⇒ (ii). Considere y ∈ F e z ∈ V tais que d(z, F ) = ||y−z||. Seja x : [0, T ) −→ V
uma solução da E.D.O x0 (t) = Φ(x(t)) com x(0) = y. Por hipótese x(t) ∈ F , ∀t ∈ [0, T ),
donde
kx(t) − zk ≥ d(F, z) = ky − zk.
77

A igualdade ocorre quando t = 0. Assim, t = 0 é um ponto de mínimo da função
t 7→ 1/2kx(t) − zk2 . Daí
hΦ(y), y − zi = hx0 (0), x(0) − zi =

d
1
kx(t) − zk2 ≥ 0,
dt t=0 2

como queríamos demonstrar.
(ii) =⇒ (i). Suponha que x : [0, T ) −→ V é uma solução da E.D.O. x0 (t) = Φ(x(t))
com x(0) = y ∈ F . Suponha ainda, por absurdo, que ∃τ ∈ (0, T ) tal que x(τ ) 6∈ F .
Como F é um conjunto fechado, ∃k0 ∈ N tal que
2

d(x(τ ), F ) > ek0 τ −k0 .
Para k ≥ k0 , definamos
n
o
kt−k2
tk = sup t ∈ [0, τ ]; d(x(t), F ) ≤ e
Claramente temos que tk ∈ (0, T ) e d(x(tk ), F ) = ektk −k > 0. Daí x(tk ) 6∈ F . Como
F é um conjunto fechado, segue que ∃|yk ∈ F tal que d(x(tk ), F ) = kx(tk ) − yk k > 0.
Como d(x(tk ), F ) → 0, quando k → ∞, segue que kyk − x(tk )k → 0 quando k → ∞.
Além disso,
2

2

d(x(t), F ) ≥ ekt−k , ∀t ∈ [tk , τ ].
Daí, se t ∈ [tk , τ ], temos
ek(tk −t) kyk − x(tk )k ≥ ek(tk −t) d(x(t), F )
2

≥ ektk −k
= d(x(tk ), F )
= kyk − x(tk )k.
A igualdade ocorre se t = tk . Assim, t = tk é um ponto de mínimo da função
t 7→ ek(tk −t) kyk − x(tk )k, donde
−kkyk − x(tk )k2 − hx0 (tk ), yk − x(tk )i =

1d
(ek(tk −t) kyk − x(tk )k)2 ≥ 0
2 dt t=tk

Desta forma,
hΦ(x(tk ), yk − x(tk )i ≤ −kkyk − x(tk )k2 .
Como por hipótese temos que hΦ(yk ), yk − x(tk )i ≥ 0, concluímos que
hΦ(yk ) − Φ(x(tk ), yk − x(tk ))i ≥ kkyk − x(tk )k2

(4.4)

Por outro lado, como Φ é uma função suave, segue que Φ é localmente Lipschitz.
Como ||yk − x(tk )|| → 0 quando k → ∞, podemos tomar k suficientemente grande de
78

forma que yk e xk estejam contidos numa mesma vizinhança onde Φ é Lipschitz. Mas isto
é uma contadição em vista da desigualdade (4.4). Deste absurdo concluímos o resultado
almejado.

Corolário 4.1. Sejam F ⊂ V um conjunto convexo e fechado, e Φ : V −→ V uma
função suave. São equivalentes:
(i) F é Φ-invariante;
(ii) Φ(y) ∈ Ty F , ∀y ∈ F .
Esta equivalência segue diretamente do Lema 4.1 e da Proposição

Demonstração.
4.2.



4.2

O Princípio do Máximo de Hamilton para o Fluxo
de Ricci

Considere V um espaço vetorial de dimensão n munido de um produto interno. Denotaremos por C (V ) o espaço de todas as formas quadrilineares R : V ×V ×V ×V −→ R
tais que
R(X, Y, Z, W ) = −R(Y, X, Z, W ) = R(Z, W, X, Y ),
para todos vetores X, Y, Z, W ∈ V . Além disso denotaremos por CB (V ) o conjunto
de todas as formas quadrilineares R ∈ C (V ) que satisfazem a 1a Identidade de Bianchi:
R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) = 0,
para todos vetores X, Y, Z, W ∈ V . CB (V ) é denotado como sendo o Espaço dos
tensores curvatura algébrico em V.
A partir de agora, considere {e1 , e2 , . . . , en } como sendo uma base ortonormal de V .
Definição 4.3. Dado qualquer tensor de curvatura algébrico R ∈ CB (V ), definimos
2

R (X, Y, Z, W ) =

n
X

R(X, Y, ep , eq )R(Z, W, ep , eq )

p,q=1

e
#

R (X, Y, Z, W ) = 2

n
X

R(X, ep , Z, eq )R(Y, ep , W, eq )−2

p,q=1

n
X

R(X, ep , W, eq )R(Y, ep , Z, eq ),

p,q=1

para quaisquer X, Y, Z, W ∈ V . Ainda mais, representaremos
Q(R) = R2 + R# .
79

É fácil notar que R2 , R# e Q(R) pertencem a C (V ). A seguir provaremos que Q(R)
satisfaz a 1a Identidade de Bianchi e, portanto, pertence a CB (V ).
Proposição 4.3. Considere R ∈ CB (V ) um tensor de curvatura algébrico. Então
Q(R)(X, Y, Z, W ) + Q(R)(Y, Z, X, W ) + Q(R)(Z, X, Y, W ) = 0,
para todos vetores X, Y, Z, W ∈ V . Consequentemente Q(R) ∈ CB (V ).
Demonstração. Pela definição de R# , temos
R# (X, Y, Z, W ) + R# (Y, Z, X, W ) + R# (Z, X, Y, W )
n
X
=2
[R(Y, ep , X, eq ) − R(X, ep , Y, eq )]R(Z, ep , W, eq )
p,q=1

+2

n
X

[R(Z, ep , Y, eq ) − R(Y, ep , Z, eq )]R(X, ep , W, eq )

p,q=1

+2

n
X

[R(X, ep , Z, eq ) − R(Z, ep , X, eq )]R(Y, ep , W, eq )

p,q=1

Lembrando que R(Y, eq , X, ep ) = R(X, ep , Y, eq ), R(X, eq , Y, ep ) = R(Y, ep , X, eq ) e
R(Z, eq , W, ep ) = R(W, ep , Z, eq ), temos
2

n
X

[R(Y, ep , X, eq ) − R(X, ep , Y, eq )]R(Z, ep , W, eq )

p,q=1

=
+
=

n
X

[R(Y, ep , X, eq ) − R(X, ep , Y, eq )]R(Z, ep , W, eq )

p,q=1
n
X

[R(Y, eq , X, ep ) − R(X, eq , Y, ep )]R(Z, eq , W, ep )

q,p=1
n
X

[R(Y, ep , X, eq ) − R(X, ep , Y, eq )][R(Z, ep , W, eq ) − R(W, ep , Z, eq )].

p,q=1

Portanto,
R# (X, Y, Z, W ) + R# (Y, Z, X, W ) + R# (Z, X, Y, W )
n
X
=
[R(Y, ep , X, eq ) − R(X, ep , Y, eq )][R(Z, ep , W, eq ) − R(W, ep , Z, eq )]
+
+

p,q=1
n
X

[R(Z, ep , Y, eq ) − R(Y, ep , Z, eq )][R(X, ep , W, eq ) − R(W, ep , X, eq )]

p,q=1
n
X

[R(X, ep , Z, eq ) − R(Z, ep , X, eq )][R(Y, ep , W, eq ) − R(W, ep , Y, eq )].

p,q=1

80

Lembrando que R satisfaz a 1a Identidade de Bianchi e lembrando da definição de
R , temos
2

R# (X, Y, Z, W ) + R# (Y, Z, X, W ) + R# (Z, X, Y, W )
n
X
= −
R(X, Y, ep , eq )R(Z, W, ep , eq )
−
−

p,q=1
n
X

R(Y, Z, ep , eq )R(X, W, ep , eq )

p,q=1
n
X

R(Z, X, ep , eq )R(Y, W, ep , eq )

p,q=1
2

= −R (X, Y, Z, W ) − R2 (Y, Z, X, W ) − R2 (Z, X, Y, W ).
Disto concluímos o resultado almejado.

Definição 4.4. A E.D.O dtd R = Q(R) no espaço CB (V ) é conhecida como a E.D.O. de
Hamilton.
Definição 4.5. Dado um tensor curvatura algébrico R ∈ CB (V ) e uma base ortonormal
{e1 , e2 , . . . , en } de V , definimos uma forma bilinear Ric(R) : V × V −→ R conhecida
como tensor curvatura algébrico de Ricci por
Ric(R)(X, Y ) =

n
X

R(X, ep , Y, ep ),

p=1

para quaisquer X, Y ∈ V .
Definimos também a curvatura escalar algébrica como sendo a função linear scal :
CB (V ) −→ R dada por
scal(R) =

n
X

Ric(R)(ei , ei ).

i=1

Observação 4.2. Como os conceitos correspondentes em variedades, o tensor curvatura
algébrico de Ricci e a curvatura escalar algébrica satisfazem as identidades
Ric(Q(R))(X, Y ) = 2

n
X

Ric(R)(ep , eq )R(X, ep , Y, eq ) e scal(Q(R)) = 2kRic(R)k2 .

p,q=1

A partir de agora, consideraremos V = Rn , M uma variedade compacta de dimensão n
π
e g(t), t ∈ [0, T ), uma solução do fluxo de Ricci em M . Considere ainda E −→ M ×[0, T )
a fibração de Unlenbeck, como definida anteriormente.
Represente a métrica de M por h·, ·i. Para cada p ∈ M , podemos identificar isometricamente o espaço tangente Tp M com Rn . Para isto, fixamos uma base ortonormal
81

{e1 , e2 , . . . , en } de Tp M e associamos a cada v ∈ Tp M o vetor (hv, ei i)i ∈ Rn . É conveniente notar que duas identificações distintas estão relacionadas pela ação de uma isometria
linear ortogonal T ∈ O(n) que corresponde a uma mudança de base.
É fácil notar que se R ∈ CB (V ), T ∈ O(n) e RT (X, Y, Z, W ) = R(T (X), T (Y ), T (Z), T (W )),
para quaisquer X, Y, Z, W ∈ V , temos que RT ∈ CB (V ). Visto isso, diremos que um conjunto S ⊂ CB (V ) é O(n)-invariante se RT ∈ S, ∀R ∈ S e ∀T ∈ O(n).
Denomine por A(p,t) : (Rn , gcan ) −→ (Tp M, g(t)) a isometria natural entre Rn e Tp M
com a métrica g(t). A(p,t) induz uma isometria, a qual também denominaremos por A(p,t) ,
que identifica um tensor de curvatura numa variedade (M, g(t)) num ponto p com um
tensor curvatura algébrico. A(p,t) : CB (Rn ) −→ CB (Tp M ) é dada por
−1
−1
−1
(A(p,t) R)(X, Y, Z, W ) = R(A−1
(p,t) X, A(p,t) Y, A(p,t) Z, A(p,t) W ),

onde X, Y, Z, W ∈ Tp M .
A partir de agora, consideraremos F ⊂ CB (Rn ) um subconjunto convexo, fechado e
O(n)-invariante. Definamos F(p,t) ⊂ CB (Tp M ) por F(p,t) = A(p,t) (F ).
Observação 4.3. Como F é um conjunto O(n)-invariante, segue que F(p,t) não depende
da escolha da isometria A(p,t) . De fato, se B(p,t) é outra isometria entre Rn e Tp M , temos
−1
pelas observações feitas anteriormente que B(p,t)
◦ A(p,t) ∈ O(n), de onde
−1
F(p,t) = A(p,t) (F ) = B(p,t) ◦ (B(p,t)
◦ A(p,t) )(F ) = B(p,t) (F )

Proposição 4.4. Sejam M uma variedade compacta de dimensão n e g(t), t ∈ [0, T ),
uma solução do Fluxo de Ricci em M . Considere ainda F ⊂ CB (Rn ) um conjunto
convexo, fechado e O(n)-invariante. Suponha que existam (p0 , t0 ) ∈ M × [0, T ) e µ ∈ R
tal que
eµ(t0 −t) d(R(p,t) , F ((p,t) )) ≤ d(R(p0 ,t0 ) , F ((p0 ,t0 ) )),

(4.5)

onde R(p,t) é o tensor de curvatura de g(t) em p ∈ M , e (p, t) ∈ M ×[0, t0 ]. Se S ∈ F(p0 ,t0 )
é um tensor de curvatura algébrico satisfazendo d(R(p0 ,t0 ) , F ((p0 ,t0 ) )) = kS − R(p0 ,t0 ) k,
valem
(i) hD∂t R(p0 ,t0 ) , S − R(p0 ,t0 ) i ≤ −µkS − R(p0 ,t0 ) k2
2
(ii) hDv,v
R(p0 ,t0 ) , S − R(p0 ,t0 ) i ≥ 0, ∀v ∈ Tp0 M .

Demonstração.
(i) Para cada s ∈ [0, t0 ), seja P (s) : CB (E(p0 ,t0 ) ) −→ CB (E(p0 ,t0 −s) ) o transporte paralelo
até o instante s da curva s 7→ R(p0 ,t0 −s) com respeito a conexão D induzida em
CB (E). Defina
H(s) = P (s)−1 (R(p0 , t0 − s)) ∈ CB (E(p0 ,t0 ) ).

82

Desta forma, temos que H(0) = R(p0 , t0 ) e P (s)H(s) = R(p0 , t0 − s). Como F
é O(n)-invariante e P (s) é uma isometria, segue que P (s)(F(p0 ,t0 ) ) = F(p0 ,t0 −s) ,
∀s ∈ [0, t0 ). Assim, usando que P (s) é uma isometria e a hipótese (4.5), temos

eµs d(H(s), F(p0 ,t0 ) ) =
=
≤
=

eµs d(P (s)(H(s)), P (s)(F(p0 ,t0 ) ))
eµs d(R(p0 , t0 − s), F(p0 ,t0 −s) )
d(R(p0 ,t0 ) , F ((p0 ,t0 ) ))
kS − H(0)k,

(4.6)

∀s ∈ [0, t0 ).
Observe F(p0 ,t0 ) = A(p,t) (F ) é um conjunto fechado e convexo pois A(p,t) é uma
isometria e F é um conjunto fechado e convexo. Usando o Lema 4.2 com y = S,
A = F(p0 ,t0 ) e z̄ = H(s), segue que
0 ≤ d(H(s), F(p0 ,t0 ) )kS − H(0)k + hH(s) − S, S − H(0)i,

(4.7)

∀s ∈ [0, t0 ). De (4.6) e (4.7) segue que
0 ≤ e−µs kS − H(0)k2 + hH(s) − S, S − H(0)i,
com a iguadade ocorrendo para s = 0. Isto significa que s = 0 é um ponto de
mínimo da função s 7→ e−µs kS − H(0)k2 + hH(s) − S, S − H(0)i. Portanto,

−µkS−H(0)k2 +hH 0 (0), S−H(0)i =

d
(e−µs kS−H(0)k2 +hH(s)−S, S−H(0)i) ≥ 0.
ds s=0
(4.8)

Por outro lado, temos que
D
(P (s)H(s))
ds
D
=
R(p ,t −s)
ds 0 0
= −D∂t R(p0 ,t0 −s) ,

P (s)H 0 (s) =

donde H 0 (0) = −D∂t R(p0 ,t0 ) . Substituindo esta expressão em (4.8), concluímos
hD∂t R(p0 ,t0 ) , S − R(p0 ,t0 ) i ≤ −µkS − R(p0 ,t0 ) k2

83

(ii) Fixe v ∈ Tp0 M e considere a geodésica γ(s) = expp0 (sv), s ∈ R, onde exp é a aplicação exponencial relativa à métrica g(t0 ) em M . Considere P (s) : CB (E(p0 ,t0 ) ) −→
CB (E(γ(s),t0 ) ) o transporte paralelo ao longo de γ com respeito à métrica g(t0 ).
Defina
H(s) = P (s)−1 (R(γ(s),t0 ) ), ∀s ∈ R.
Desta forma, temos que H(s) ∈ CB (E(p0 ,t0 ) ), ∀s ∈ R. Além disso,
H(0) = R(p0 , t0 ) e P (s)H(s) = R(γ(s),t0 ) .
Como P é uma isometria e F é O(n)-invariante, temos que P (s)(F(p0 ,t0 ) ) = F (γ(s), t0 ).
Assim,

d(H(s), F(p0 ,t0 ) ) = d(R(γ(s),t0 ) )
≤ d(R(p0 ,t0 ) , F(p0 ,t0 ) )
= kS − H(0)k,

(4.9)

∀s ∈ R. Segue do Lema 4.2 que
0 ≤ d(H(s), F(p0 ,t0 ) )kS − H(0)k + hH(s) − S, S − H(0)i,

(4.10)

∀s ∈ R. Somando (4.9) com (4.10), temos
0 ≤ kS − H(0)k2 + hH(s) − S, S − H(0)i,
com a igualdade ocorrendo para s = 0. Assim, como fizemos anteriormente,

hH 00 (0), S − H(0)i =

d2
kS − H(0)k2 + hH(s) − S, S − H(0)i ≥ 0.
ds2 s=0

(4.11)

Por outro lado,
D2
P (s)H (s) =
(P (s)H(s))
ds2
D2
=
R(γ(s),t0 )
ds2
= Dγ20 (s),γ 0 (s) R(γ(s),t0 ) ,
00

2
donde H 00 (0) = Dv,v
R(p0 ,t0 ) . Disto e de (4.11), concluímos o resultado desejado.

84


O resultado principal desta seção, que demonstraremos a seguir, assegura que uma
condição de curvatura é preservada pelo Fluxo de Ricci, sempre quando F ⊂ CB (Rn ) é
um subconjunto fechado, convexo, O(n)-invariante e invariante pela E.D.O. de Hamilton
d
R = Q(R). Este resultado é conhecido como o Princípio do Máximo de Hamilton:
dt
Teorema 4.1 (R. Hamilton, [19]). Assuma que F ⊂ CB (Rn ) é um subconjunto fechado,
convexo, O(n)-invariante e invariante pela E.D.O. de Hamilton dtd R = Q(R). Ainda
mais, suponha que M é uma variedade compacta de dimensão n e g(t), t ∈ [0, T ), é
uma solução do Fluxo de Ricci com a propriedade que R(p,0) ∈ F(p,0) para todos os pontos
p ∈ M . Então R(p,t) ∈ F(p,t) , para todos (p, t) ∈ M × [0, T ).
Demonstração. Considere a função u : [0, T ) −→ R definida por
u(t) = sup d(R(p,t) , F(p,t) ).
p∈M

Por hipótese, já sabemos que u(0) = 0. Suponha, por absurdo, que exista τ ∈ (0, T )
2
tal que u(τ )n > 0. Existe k0 ∈ N talo que u(τ ) − ekτ −k > 0 para k > k0 . Desta forma
2
o conjunto t ∈ [0, T ); u(t) ≥ ekt−k é não vazio se k > k0 . Definimos, para k > k0 , a
sequência
n
o
kt−k2
tk = inf t ∈ [0, T ); u(t) ≥ e
.
Temos que tk ∈ (0, τ ) para k suficientemente grande. De fato, pela definição de tk , se
2
tk ≥ τ , ∀k, então u(τ ) > ekt−k , ∀k, o que é um absurdo.
2
Ainda observamos que u(tk ) = ektk −k → 0 quando k → ∞.
2
Como M é compacta, existe pk ∈ M tal que u(tk ) = d(R(pk ,tk ) , F(pk ,tk ) ) = ektk −k .
Como F é um conjunto fechado, para cada k existe um único Sk ∈ F tal que
u(tk ) = d(R(pk ,tk ) , F(pk ,tk ) ) = kSk − R(pk ,tk ) k > 0.
Como u(t) ≤ ekt−k , ∀t ∈ [0, tk ], obtemos
2

d(R(pk ,tk ) , F(pk ,tk ) ) = ektk −k

2
2

= ek(tk −t) · ekt−k
≥ ek(tk −t) u(t)
≥ ek(tk −t) d(R(p,t) , F(p,t) ),
para todos (p, t) ∈ M × [0, tk ]. Usando a Proposição 4.4 chegaremos que
hD∂t R(pk ,tk ) , Sk − R(pk ,tk ) i ≤ −kkSk − R(pk ,tk ) k2 ,

(4.12)

h∆R(pk ,tk ) , Sk − R(pk ,tk ) i ≥ 0.

(4.13)

e
85

Lembrando que Q(R) = D∂t R − ∆R, somamos (4.12) e (4.13) para obter
hQ(R(pk ,tk ) ), Sk − R(pk ,tk ) i ≤ −kkSk − R(pk ,tk ) k2 , .

(4.14)

se k > k0 . Como F é um conjunto fechado e Q-invariante, segue da Proposição 4.2 que
hQ(Sk ), Sk − R(pk ,tk ) i ≥ 0,

(4.15)

se k > k0 . Subtraindo (4.14) de (4.15), obtemos
hQ(Sk ) − Q(R(pk ,tk ) ), Sk − R(pk ,tk ) i ≥ kkSk − R(pk ,tk ) k2 .
Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwartz, chegaremos que
kQ(Sk ) − Q(R(pk ,tk ) )k ≥ kkSk − R(pk ,tk ) k,

(4.16)

se k > k0 . Como kSk − R(pk ,tk ) k → 0, quando k → ∞ e Q(R) é uma função suave,
(logo localmente Lipschitz), podemos tomar k suficientemente grande de forma que Sk e
R(pk ,tk ) estejam numa mesma vizinhança onde Q é k-Lipschitz. Isto contradiz (4.16).
Esta contradição surgiu do fato de supormos que existiria τ ∈ (0, T ) tal que u(τ ) > 0.
Portanto u(t) = 0, ∀t ∈ [0, T ).


4.3

O Teorema da Convergência de Hamilton

No que segue a esta seção, descreveremos um método geral para provar resultados de
convergência para o Fluxo de Ricci. As normas k · k serão induzidas pela métrica g(t).
Quando necessário, explicitaremos qual a métrica que induz a norma. Iniciaremos esta
seção com algumas definições.
Definição 4.6. Dados R ∈ CB (V ) e π ⊂ Rn um plano bidimensional gerado pelos vetores
ortonormais {u, v}, definimos a Curvatura Seccional algébrica de π por
K(R, π) = R(u, v, u, v).
Observação 4.4. Como no caso do tensor curvatura Riemanniana, a curvatura seccional
algébrica independe da base ortonormal escolhida.
Definição 4.7. Considere R ∈ CB (V ) e δ ∈ (0, 1). Diremos que R é estritamente
δ-pinçado se 0 < δK(π1 ) < K(π2 ), para todos planos π1 , π2 ⊂ Rn .
Diremos que R é fracamente δ-pinçado se 0 ≤ δK(π1 ) ≤ K(π2 ), para todos planos
π1 , π2 ⊂ Rn .
Definição 4.8. Um conjunto F ⊂ CB (V ) é denominado Conjunto Pinçante se satisfaz
as seguintes condições
(a) F é fechado, convexo e O(n)-invariante;
86

(b) F é invariante pela E.D.O. de Hamilton dtd R = Q(R);
(c) Para cada δ ∈ (0, 1), o conjunto {R ∈ F ; R não é fracamente δ-pinçado} é limitado.
A partir de agora, consideraremos M uma variedade compacta de dimensão n ≥ 3
e g0 uma métrica em M com curvatura escalar positiva. Seja g(t), t ∈ [0, T ), a única
solução maximal do fluxo de Ricci com condição inicial g(0) = g0 .
Notações: Para cada (p, t) ∈ M × [0, T ), denotaremos
Kmax (p, t) = sup K(R(p,t) , π) e Kmin (p, t) = infn K(R(p,t) , π).
π⊂R

π⊂Rn

Também denotaremos
Kmax (t) = sup Kmax (p, t) e Kmin (t) = inf Kmin (p, t).
p∈M

p∈M

Observação 4.5. Se R(p,t) é estritamente δ-pinçado então
Kmin (p, t)
> δ.
Kmax (p, t)
Se R(p,t) é δ-pinçado então
Kmin (p, t)
≥ δ.
Kmax (p, t)
Daqui por diante, suporemos que existe um conjunto pinçante F ∈ CB (V ) tal que
R(p,0) ∈ F(p,0) , ∀p ∈ M .
Lema 4.3. Dado δ ∈ (0, 1), existe uma constante C > 0 tal que
Kmin (p, t) ≥ δKmax (p, t) − C,
∀p ∈ M e ∀t ∈ [0, T ). Em particular, temos que Kmin (p, t) ≥ −C/(1 − δ).
Demonstração.
Pelo Teorema 4.1 já sabemos que R(p,t) ∈ F(p,t) , ∀(p, t) ∈ M × [0, T ). Dividiremos
esta demonstração em dois casos.
(a) Se R(p,t) é δ-pinçado, temos que
Kmin (p, t)
≥ δ =⇒ Kmin (p, t) ≥ δKmax (p, t) − C,
Kmax (p, t)
para todo C > 0.
(b) Suponha agora que R(p,t) não é δ-pinçado. Como R(p,t) ∈ F(p,t) e F é um conjunto
pinçante, temos que existe C > 0, tal que
kR(p,t) k <
87

C
.
2

Como |Kmax (p, t)| ≥ kR(p,t) k e |Kmin (p, t)| ≤ kR(p,t) k, teremos para todo δ ∈ (0, 1)
e para todo (p, t) ∈ M × [0, T ),
Kmin (p, t) − δKmax (p, t) ≥ Kmin (p, t) − Kmax (p, t) ≥ −

C C
− = −C,
2
2

o que conclui a demonstração
A segunda afirmação segue diretamente da primeira, pois Kmin (p, t) ≤ Kmax (p, t).

Corolário 4.2. Para cada ε > 0, existe uma constante L > 0 tal que
o

k Ricg(t) k ≤ εKmax (t) + L

Demonstração. Inicialmente, note que
o

k Ricg(t) k =
2

n
X

o 2

Rici,j ≤ L1

i,j=1

o

sup

Ric (v, w)2 ,

|v|=|w|=1
o

onde L1 é uma constante que depende apenas de n. Lembrando a definição de Ric,
teremos
(

)
scal
sup [Ric(v + w, v + w)) − Ric(v − w, v − w)] +
k Ric k ≤ C2
(|v − w|2 − |v + w|2 ) .
n
|v|=|w|=1
(4.17)
n
Considere um vetor não nulo z ∈ R e en = z/|z|. Seja {e1 , e2 , . . . , en } uma base
ortonormal de Rn . Daí, se |z|2 ≤ C3 , temos
o

Ric(z, z) = |z|

2

n−1
X

R(en , ei , en , ei )

i=1

≤ C3 (n − 1)Kmax (t).
Similarmente podemos ver que Ric(z, z) ≥ C̃3 (n − 1)Kmin (t). Além disso,

scal =
=

n
X

Ric(ei , ei )

i=1
n X
n
X

R(ei , ek , ei , ek )

i=1 k6=i

≤ n(n − 1)Kmax (t).
88

Como |v| = |w| = 1, segue que existe C3 > 0 tal que |v+w|, |v−w| ≤ C3 . Substituindo
as observações feitas acima em (4.17), temos
o

k Ric k ≤ C4 [(n − 1)(Kmax (t) − Kmin (t)) + (n − 1)Kmax (t)]
= C4 (n − 1)(2Kmax (t) − Kmin (t)).

(4.18)

Fixado ε > 0, escolha δ ∈ (0, 1/2] tal que 3C4 (n − 1)(1 − δ) < ε. Como δ ∈ (0, 1/2]
segue que
2−δ
≤ 1.
3(1 − δ)
Em vista do Lema 4.3, segue que existe uma constante C > 0 tal que Kmin (p, t) ≥
δKmax (p, t) − C. Substituindo em (4.18) e utilizando as observações anteriores, obtemos
o

k Ric k ≤ C4 (n − 1)[(2 − δ)Kmax (t) + C]
2−δ
Kmax (t) + CC4 (n − 1)
≤ ε
3(1 − δ)
≤ εKmax (t) + L,
onde L é uma constante maior que 0.

Lema 4.4. Temos que T < ∞ e lim sup Kmax (t) = ∞.
t→T

Demonstração. Como estamos considerando scal > 0, segue da Proposição 2.9 que
T < ∞.
Supondo que supt∈[0,T ) Kmax (t) < ∞, teríamos do Lema 4.3 que inf t∈[0,T ) Kmin (t) >
−∞. Unindo estes fatos e usando o Corolário 1.1, chegaremos que supt∈[0,T ) kRg(t) k < ∞.
Mas isto é uma contradição, em vista do Teorema 2.2. Assim, lim supt→T Kmax(t) = ∞.

Lema 4.5. Seja tk uma sequência tal que lim tk = T e Kmax (tk ) ≥ 21 maxt∈[0,tk ] Kmax (t).
k→∞

Então
Kmin (tk )
=1
k→∞ Kmax (tk )
lim

Demonstração.
que

Fixe 0 < ε < 1. Pelo Corolário 4.2, já vimos que existe C1 > 0 tal
o

sup k Ricg(t) k ≤ εKmax (t) + C1 , ∀t ∈ [0, T ).
M

89

Assim, usando nossa hipótese inicial,
o

sup k Ricg(t) k ≤ 2εKmax (tk ) + C1 , ∀t ∈ [0, tk ].

(4.19)

M
o

Já vimos no Capítulo 2 que o tensor Ric satisfaz a equação de evolução
o
o
∂ o
Ric= ∆ Ric +R∗ Ric .
∂t
Segue do Lema de Berger (cf. Lema 1.1) que

(4.20)

4
8
kRg(t) k ≤ |Kmax (t)| ≤ |Kmax (tk )|, ∀t ∈ [0, tk ].
(4.21)
3
3
Visto (4.19), (4.20) e (4.21), podemos utilizar a Estimativa de Shi (cf. Proposição
2.11), para garantir que existe uma constante C2 (n) > 0 tal que
o

sup kD Ric k2 ≤ C2 (n)|Kmax (tk )|(2εKmax (tk ) + C1 )2 .

(4.22)

o

Como div Ric= n−2
Dscal e n ≥ 3, segue que
2n
o
2n
k div Ric k
n−2
n
o
2n X
≤
kDei Ric k
n − 2 i=1

kdscalk =

≤

o
2n2
sup kD Ric k.
n−2 M

(4.23)
(4.24)
(4.25)

Substituindo em (4.22), teremos
sup kdscalk2 ≤ C3 (n)2 |Kmax (tk )|(2εKmax (tk ) + C1 )2 ,

(4.26)

M

para alguma constante positiva C3 (n).
Como M é um conjunto compacto, é possível escolher pk ∈ M tal que Kmax (pk , tk ) =
Kmax (tk ). Além disso, como scalg(tk ) é uma função suave definida na variedade compacta M , temos que scalg(tk ) é uma função Lipschitz em M . Assim, utilizando (4.26),
concluímos que
p
|scalg(tk ) (x) − scalg(tk ) (pk )| ≤ C3 (n) Kmax (tk )(2εKmax (tk ) + C1 )dg(tk ) (pk , x),

(4.27)

onde dg(tk ) é a distância induzida pela métrica g(tk ).
A partir de agora, considere r > π e denote por rk = Kmaxr (tk ) . Além disso, considere
as bolas

Ωk := x ∈ M ; dg(tk ) (x, pk ) ≤ rk
90

De (4.27), segue que
|scalg(tk ) (x) − scalg(tk ) (pk )| ≤ C3 (n)r(2εKmax (tk ) + C1 ), ∀x ∈ Ωk .

(4.28)

Como ε ∈ (0, 1), segue de (4.28) e do Lema 4.3 que, se x ∈ Ωk , então
Kmin (x, tk ) ≥ (1 − ε)Kmax (x, tk ) − L1
scalg(tk ) (x)
≥ (1 − ε)
− L1
n(n − 1)
scalg(tk ) (pk )
C3 (n)r(2εKmax (tk ) + C1 )
− (1 − ε)
− L1 .
≥ (1 − ε)
n(n − 1)
n(n − 1)
C3 (n)r
2εKmax (tk ) − L2 (ε)
≥ (1 − ε)Kmin (pk , tk ) −
n(n − 1)
≥ (1 − ε)[(1 − ε)Kmax (pk , tk ) − L1 ] − rC4 (n)εKmax (tk ) − L2 (ε)
≥ [(1 − ε)2 − rC4 (n)ε]Kmax (tk ) − L3 (ε).
Pela forma que foram obtidas, segue que C4 (n) e L3 (ε) são constantes positivas que
dependem de n e ε, respectivamente.
Portanto,
Kmin (x, tk )
L3 (ε)
≥ (1 − ε)2 − rC4 (n)ε −
.
Kmax (tk )
Kmax (tk )
Daí, usando o Lema 4.4, teremos


Kmin (x, tk )
lim inf inf
≥ (1 − ε)2 − rC4 (n)ε.
x∈Ωk Kmax (tk )
k→∞
Fazendo ε → 0, chegaremos que


Kmin (x, tk )
lim inf inf
≥ 1.
x∈Ωk Kmax (tk )
k→∞
Por outro lado, como Kmin (x, tk ) ≤ Kmax (tk ), temos que


Kmin (x, tk )
lim sup inf
≤ 1.
x∈Ωk Kmax (tk )
k→∞

(4.29)

(4.30)

De (4.29) e (4.30), segue que

lim

k→∞

Kmin (x, tk )
inf
x∈Ωk Kmax (tk )


= 1.

(4.31)

π
A partir de agora escolha η ∈ (0, 1) tal que r > √1−η
. Por (4.31), podemos tomar k
suficientemente grande de forma que

Kmin (x, tk ) ≥ (1 − η)Kmax (tk ), ∀x ∈ Ωk .

91

Tome v ∈ Tpk M tal que kvkg(tk ) = 1 e defina uma geodésica minimizante γv :
[0, rk ] −→ M com condições iniciais γv (0) = pk e γv0 (0) = v. Como `(γv ) = rk e pk ∈ γv ,
segue que γv ([0, rk ]) ⊂ Ωk . Por outro lado,
π
rk > p
,
(1 − η)Kmax (tk )
K(M, g(tk )) ≥ Kmax (pk , tk ) = Kmax (tk )
e
π
.
`(γv ) > p
Kmax(tk )
Segue do Teorema de Bonnet-Myers (cf. Teorema 1.2) que diam(M ) ≤ √
Desta forma M = Ωk . Usando (4.31) concluiremos

π
.
Kmax (tk )

Kmin (tk )
=1
k→∞ Kmax (tk )
lim


Proposição 4.5. Temos que
Kmin (t)
→ 1,
Kmax (t)
quando t → T .
Demonstração. Considere uma sequência (tk )k∈N de tempos tal que lim tk = T . Para
cada k ∈ N, considere τk ∈ [0, tk ] tal que Kmax (τk ) = supt∈[0,tk ] Kmax (t). Como já vimos
que lim supt→T Kmax (t) = ∞, segue das estimativas de Shi que τk → T . Além disso,
Kmax (τk ) ≥

sup Kmax (t)
t∈[0,τk ]

≥

1
sup Kmax (t).
2 t∈[0,τk ]

Assim, usando o Lema 4.5, temos
Kmin (τk )
= 1.
k→∞ Kmax (τk )
lim

Daí, se k é suficientemente grande, podemos supor que Kmin (τk ) ≥ 21 Kmax (τk ). Como
já vimos que a função t 7→ inf M scalg(t) é uma função não decrescente, concluímos que,
para k suficientemente grande,

92

Kmax (tk ) ≥
≥
≥
≥
≥

1
inf scalg(tk )
n(n − 1) M
1
inf scalg(τk )
n(n − 1) M
Kmin (τk )
1
Kmax (τk )
2
1
maxt∈[0,tk ] Kmax (t).
2

Desta desigualdade e do Lema 4.5, segue a Proposição.

Corolário 4.3. Para todo ε > 0, existe T0 ∈ [0, T ), tal que
o

k Ricg(t) k2 ≤

Demonstração.

ε
scal2g(t) , ∀t ∈ [T0 , T )
n

Se a afirmação do Corolário fosse falsa, seria possível escolher uma
o

sequência de tempos tk ∈ [T − 1/k, T ) tal que k Ricg(tk ) k2 > nε scal2g(tk ) . Como
o

kRicg(t) k2 = k Ricg(t) k2 +
segue que

1
scal2g(t) ,
n

1+ε
scal2g(tk ) .
n
Pela Proposição 4.5, podemos escolher k0 suficientemente grande de forma que


Kmin (t)
1
1
>
, ∀t ∈ T − , T .
(4.32)
Kmax (t)
1+ε
k0
kRicg(tk ) k2 >

Assim, se k > k0 , temos
Kmax (tk )2 ≥

1
1+ε
kRicg(tk ) k2 >
scal2g(tk )
2
(n − 1)
n(n − 1)2
≥ n(1 + ε)Kmin (tk )2 .

Daí,
Kmin (tk )
1
1
<
<
,
Kmax (tk )
(1 + ε)n
1+ε
o que é um absurdo em vista de (4.32).
93


Lema 4.6. Temos que
n
2

(4.33)

n
,
2

(4.34)

(T − t) sup scalg(t) →
M

e
(T − t) inf scalg(t) →
M

quando t → T .
Demonstração.
Fixe ε > 0. Lembrando a equação de evolução de scal e utilizando o Corolário 4.3,
segue que existe T0 ∈ [0, T ), tal que
2(1 + ε)
∂
scal = ∆scal + 2kRick2 ≤ ∆scal +
scal2 ,
∂t
n
para todos (p, t) ∈ M × [T0 , T ).
Segue do Princípio do Mínimo escalar aplicado à (4.35) que
sup scalg(τ ) ≤
M

(4.35)

n supM scalg(t)
,
n − 2(1 + ε) sup scalg(t) (τ − t)
M

para todo t ∈ [T0 , T ) e todo τ ∈ [t, T ). Reorganizando os termos, temos que
n
n
+ (1 + ε)(τ − t) ≥
,
2 sup scalg(τ )
2 sup scalg(t)
M

(4.36)

M

para todo t ∈ [T0 , T ) e todo τ ∈ [t, T ).
Como
sup scalg(τ ) ≥ n(n − 1)Kmin (τ ) = n(n − 1)
M



Kmin (τ )
Kmax (τ )


Kmax (τ ),

segue do Lema 4.4 e da Proposição 4.5 que lim sup sup scalg(τ ) = ∞.
τ →T

M

Assim, fazendo τ → T e ε → 0 em (4.36), teremos


n
lim inf (T − t) sup scalg(t) ≥ .
t→T
2
M
Usando a Proposição 4.5, temos

94

(4.37)



n
≤ lim inf (T − t) sup scalg(t)
t→T
2
M




Kmax (t)
≤ lim inf (T − t)n(n − 1)
Kmin (t)
t→T
Kmin (t)




Kmax (t)
≤ lim inf (T − t)
inf scalg(t)
t→T
Kmin (t) M
h
i
= lim inf (T − t) inf scalg(t) .
t→T

M

Assim,
h
i n
lim inf (T − t) inf scalg(t) ≥ .
t→T
M
2
Usando a Proposição 2.9, temos que
T −t≤T ≤

(4.38)

n
, ∀t ∈ [0, T ).
2 inf scalg(t)
M

Assim,
h
i n
lim sup (T − t) inf scalg(t) ≤
(4.39)
M
2
t→T
Utilizando a Proposição 4.5 de maneira análoga ao que fizemos concluímos que


n
lim sup (T − t) sup scalg(t) ≤
(4.40)
2
t→T
M
Unindo (4.37) e (4.40) temos (4.33). Unindo (4.38) e (4.39) temos (4.34).

A partir de agora, nosso objetivo será encontrar resultados de convergência para as
métricas rescalonadas g̃(t) = Tg(t)
. Veremos que a família de métricas g̃(t) converge
−t
para uma métrica de curvatura constante quando t → T . Para utilizar os resultados
do Teorema de Convergência de métricas em g̃(t), precisamos controlar as derivadas
Ric
− 2 T −tg(t) .
covariantes de dtd g̃(t) = (Tg(t)
−t)2
Lema 4.7. Se A é (0, 4)-tensor definido por
Aijkl = Rijkl +

1
scal(gik gjl − gil gjk ),
n(n − 1)

2
2scal
então kAk2 = kRk2 − n(n−1)
.
Ainda temos que, dado ε > 0, existe T1 ∈ (0, T ) tal que

kAk2 ≤ ε2 scal2g(t) ,
para todo t ∈ (T1 , T ).
95

Demonstração. De fato,
kAk2 = g ia g jb g kc g ld Aijkl Aabcd
= g ia g jb g kc g ld Rijkl Rabcd
scal2
+
(gik gjl − gil gjk )(gac gbd − gad gbc )g ia g jb g kc g ld
2
2
n (n − 1)
2scal ia jb kc ld
g g g g Rijkl (gac gbd − gad gbc ).
+
n(n − 1)
Assim,
scal2
(δ c δ d − δid δjc )(δci δdj − δdi δcj )
n2 (n − 1)2 i j
2scal
Rijkl (δci δdj g kc g ld − δdi δcj g kc g ld )
+
n(n − 1)
4scal ki lj
2scal2
+
g (g Rijkl )
= kRk2 +
n(n − 1) n(n − 1)
2scal2
4scal2
2
= kRk +
−
n(n − 1) n(n − 1)
2scal2
= kRk2 −
n(n − 1)

kAk2 = kRk2 +

Agora, usando o Corolário 2.1, existe uma constante C > 0 tal que
2scal2
kRk −
≤ C(Kmax (t) − Kmin (t))2 + 2n(n − 1)Kmax (t)2 − 2n(n − 1)Kmin (t)2
n(n − 1)
" 
2

#
2
Kmax (t)
Kmax (t)
− 1 + 2n(n − 1)
− 1 Kmin (t)2
= C
2
Kmin (t)
Kmin (t)
"

2

#
2
C
Kmax (t)
2
Kmax (t)
≤
−1 +
− 1 scal2 .
2
2
2
n (n − 1)
Kmin (t)
n(n − 1) Kmin (t)
2

Usando a Proposição 4.5, a segunda assertiva segue.


1
Lema 4.8. Fixado α ∈ 0, n−1
, existe uma constante C > 0 tal que
o

sup k Ricg(t) k2 ≤ C(T − t)2α−2 , ∀t ∈ [0, T ).
M

96

Demonstração.
Antes de mais nada, fixe ε > 0 de forma que

 

1
1
−α ≥ n−1−
+ nε ε.
n−1
n−1
Desta forma,


1
+ nε (1 + ε) ≥ (1 − α).
1−
n−1
Em vista do Lema 4.6, existe T2 ∈ (0, T ), tal que
n(1 + ε)
, ∀(p, t) ∈ M × [T2 , T ).
2
Pelo Lema 4.7, existe T1 ∈ (0, T ) tal que
(T − t)scalg(t) ≤

(4.41)

2
1
scal(gik gjl − gil gjk ) ≤ ε2 scal2g(t) , ∀t ∈ (T1 , T ).
n(n − 1)

(4.42)

Rijkl +

o ij

Escolhendo T0 ∈ (0, T ) de forma que valham (4.41) e (4.42), e lembrando que Ric =
o

g im g jn Ricmn , temos


o ik o jl
o
1
Rijkl +
scal(gik gjl − gil gjk ) Ric Ric ≤ εscalg(t) k Ricg(t) k2 .
n(n − 1)
o ik

o ik o jl

o

o

Observando que gik Ric = tr(Ric) = 0 e gil gjk Ric Ric = k Ric k2 , temos que
o ik o jl

Rijkl Ric Ric



o ik o jl
o ik o jl
scalg(t)
≤ εscalg(t) k Ricg(t) k −
gik gjl Ric Ric −gil gjk Ric Ric
n(n − 1)


o
1
+ ε scalg(t) k Ricg(t) k2 ,
(4.43)
=
n(n − 1)
o

para todo t ∈ [T0 , T ).

2

o jl

o

o ik

Notando que Ricjl = g mj g nl Ricmn =Ric + n1 scalg(t) g jl e k Ricg(t) k2 = Ricik Ric , e
utilizando (4.41) e (4.43), temos
o ik

Rijkl Ric Ric

jl

o ik

=
=
=
≤
≤



o jl


1
jl
Rijkl Ric
Ric + scalg(t) g
n
ik
jl
o
o
o ik
scal
Rijkl Ric Ric −
Ricik Ric
n
o ik o jl
scal o
Rijkl Ric Ric −
k Ricg(t) k2
n


o
1
1
− +
+ ε scalg(t) k Ricg(t) k2
n n(n − 1)


1
1
n(1 + ε) o
− +
+ε
k Ricg(t) k2 ,
n n(n − 1)
2(T − t)
97

para todo t ∈ [T0 , T ).
Usando o Corolário 2.3, concluímos que
o
o
o ik
∂
(k Ric k2 ) = ∆(k Ric k2 ) − 2kDRick2 + 4Rijkl Ric Ricjl
∂t
o
2 − 2α o 2
k Ric k .
≤ ∆(k Ric k2 ) − 2kDRick2 +
T −t

Em vista desta desigualdade, utilizamos o Princípio do Máximo Escalar para garantir
o

que existe uma constante C > 0, tal que (T − t)2−2α k Ric k2 < C, se t ∈ [T0 , T ). Disto
segue o Lema.


1
Lema 4.9. Fixados α ∈ 0, n−1
e m ≥ 1 inteiro, existe uma constante C > 0 tal que
o

sup kDm Ricg(t) k2 ≤ C(T − t)2α−m−2 , ∀t ∈ [0, T ).
M

Demonstração. Pelo Lema 4.8, já sabemos que
o

sup k Ricg(t) k ≤ C1 (T − t)α−1 ,
M
o

onde C1 > 0 é uma constante. Lembrando que o tensor Ric satisfaz a equação de
evolução
o
o
∂ o
Ric= ∆ Ric +R∗ Ric,
∂t
usamos as estimativas de Shi para obter o resultado almejado.



1

Lema 4.10. Fixados α ∈ 0, n−1 e m ≥ 1 inteiro, existe uma constante C > 0 tal que
sup kDm Ricg(t) k2 ≤ C(T − t)2α−m−2 , ∀t ∈ [0, T ).
M

Demonstração. Da Proposição 1.1 segue que
n
o
2 X
(DX Ric)(Y, Z) = (DX Ric)(Y, Z) +
(Dek Ric)(X, ek )g(Y, Z),
n − 2 k=1
o

para todos campos de vetores X, Y, Z, e {ek } referencial ortonormal. Portanto, as
derivadas covariantes do tensor Ric podem ser limitadas pelas derivadas covariantes do
o

tensor Ric. Desta forma, a assertiva segue do Lema 4.9.
98



1
Proposição 4.6. Fixado α ∈ 0, n−1
, existe uma constante C > 0 tal que
sup Ricg(t) −
M

2
1
g(t) ≤ C(T − t)2α−2 .
2(T − t)

Demonstração. Lembrando da Proposição 1.1 que k∆scalg(t) k ≤ 2nkD2 Ricg(t) k, segue
do Lema 4.10 que existe uma constante C1 > 0, tal que
(4.44)

k∆scalg(t) k ≤ C1 (T − t)α−2 .
Pelo Lema 4.8, já vimos que existe uma constante C2 > 0, tal que
o

k Ricg(t) k2 ≤ C2 (T − t)2α−2 ≤ C2 T α (T − t)α−2 ,

(4.45)

para todo (p, t) ∈ M × [0, T ).
Como
∂
scalg(t) = ∆scalg(t) + 2kRicg(t) k2
∂t
o

= ∆scalg(t) + 2k Ricg(t) k2 +

2
scal2g(t) ,
n

temos de (4.44) e (4.45) que
2
∂
scalg(t) − scal2g(t)
∂t
n

o

≤ k∆scalg(t) k + 2k Ricg(t) k2
≤ C1 (T − t)α−2 + 2C2 T α (T − t)α−2
= C3 (T − t)α−2 .

Como supomos no início que scalg(0) > 0, temos que T < ∞ e, portanto, 0 < C3 < ∞.
Lembre do Lema 4.6 que existe uma constante C4 > 0, tal que scal2g(t) (T − t)2 ≥ C4 ,
∀t ∈ [0, T ). Assim,


∂
1
2
− (T − t)
∂t scalg(t) n

1
∂
2
scalg(t) − scal2g(t)
2
n
scalg(t) ∂t
C3 (T − t)α
≤
scal2g(t) (T − t)2
≤ C5 (T − t)α ,
=

para todo (p, t) ∈ M × [0, T ). C5 é uma constante positiva que depende da dimensão
e de T . Integrando a expressão acima, obtemos
1
2
C5
− (T − t) ≤
(T − t)α+1 .
scalg(t) n
α+1
99

Novamente pelo Lema 4.6, temos que n2 scalg(t) (T − t) é limitado para todo t ∈ [0, T ).
Assim,
scalg(t) −

n
2(T − t)

nscalg(t)
1
2
− (T − t)
2(T − t) scalg(t) n
hn
i
C5
≤
(T − t)α−1 scalg(t) (T − t)
α+1
2
α−1
≤ C6 (T − t) ,
=

(4.46)

onde C6 > 0 e (p, t) ∈ M × [0, T ).
De (4.45) e (4.46), concluiremos que
Ricg(t) −

1
g(t)
2(T − t)

o
1
1
Ric + scalg(t) g(t) −
g(t)
n
2(T − t)


o
1
n
Ric +
=
scalg(t) −
g(t)
n
2(T − t)
o
n
≤ k Ric k + scalg(t) −
2(T − t)
α−1
≤ C̃(T − t) ,

=

onde C̃ > 0 e (p, t) ∈ M × [0, T ). Disto segue nossa assertiva.

Teorema 4.2 (R. Hamilton, [17]). Considere M uma variedade compacta de dimensão
n ≥ 3 e g0 uma métrica Riemanniana com curvatura escalar positiva. Suponha que exista
um conjunto pinçante F ⊂ CB (Rn ) tal que o tensor curvatura de g0 pertença a F para
todos os pontos de M . Seja g(t), t ∈ [0, T ), a única solução maximal do Fluxo de Ricci
1
g(t)
com g(0) = g0 . Então, quando t → T , as métricas rescalonadas g̃(t) = 2(n−1)(T
−t)
∞
convergem em C para uma métrica de curvatura seccional constante igual a 1.
∂
g̃(t), vemos que
Demonstração. Definindo ω(t) = ∂t



Ricg(t)
1
g(t)
g(t)
−
ω(t) =
=−
Ricg(t) −
.
2(n − 1)(T − t)2 (n − 1)(T − t)
(n − 1)(T − t)
2(T − t)
Assumindo que D é a conexão de Levi-Civita de g(t), temos
Dm Ricg(t)
.
(n − 1)(T − t)

1
Segue da Proposição 4.6, que dado α ∈ 0, n−1
, existe uma constante positiva C0 ,
que dependem apenas de α, tal que
Dm ω(t) = −

sup kω(t)kg(t) ≤
M

m
C0
Cm
(T − t)α−2 e sup kDm ω(t)kg(t) ≤
(T − t)α− 2 −2 .
n−1
n−1
M

100

Desta forma,
kω(t)kg̃(t) = 2(n − 1)(T − t)kω(t)kg(t) ≤ 2C0 (T − t)α−1 .
Lembre que se D̃ representa a conexão de Levi-Civita da métrica rescalonada g̃(t),
então D̃ = D. Portanto, utilizando o Lema 4.10, encontramos constantes positivas Cm
tais que
m

kD̃m ω(t)kg̃(t) = 2(n − 1)(T − t)kDm ω(t)kg(t) ≤ 2Cm (T − t)α−1− 2 ≤ 2Cm (T − t)α−1 .
Feito isto, concluímos que
Z T
Z T
m
kD̃ ω(t)kg̃(t) dt ≤ Cm
(T − t)α−1 dt < ∞,
0

0

para todo m ≥ 0 inteiro.
Segue do Teorema de Convergência de métricas, que as métricas g̃(t) convergem na
topologia C ∞ para uma métrica suave ḡ, quando t → T . Pelo Lema 4.6, temos
scalḡ = lim scalg̃(t)
t→T

= lim 2(n − 1)(T − t)scalg(t)
t→T

= n(n − 1).
Utilizando a Proposição 4.5, vemos que
(Kmin )g̃(t)
(Kmin )g(t)
(Kmin )ḡ
= lim
= lim
= 1,
(Kmax )ḡ t→T (Kmax )g̃(t) t→T (Kmax )g(t)
de onde (Kmin )ḡ = (Kmax )ḡ . Isto significa que ḡ possui curvatura seccional constante
K. Por outro lado,

n(n − 1) = scalḡ =

n X
n
X

R(ei , ej , ei , ej )

i=1 j6=i

= n(n − 1)K,
de onde concluímos que ḡ tem curvatura seccional constante K = 1.


101

4.4

O Fluxo de Ricci em dimensão três

No célebre artigo de Hamilton "Three Manifolds with positive Ricci curvature"([17])
de 1982, além de provar a existência e unicidade do Fluxo de Ricci, o autor também
dedica-se ao estudo do Fluxo de Ricci em 3-variedades. Nesta seção, veremos que toda
variedade compacta tridimensional que admite uma métrica com curvatura de Ricci positiva é difeomorfa a uma forma espacial esférica.
Nosso objetivo a partir de agora será, à luz do Teorema 4.2, construir um conjunto
pinçante que contenha o tensor de curvatura da métrica de M .
Uma particularidade essencial das variedades tridimensionais é que o tensor de curvatura de Riemann é determinado pelo tensor de Ricci:
Lema 4.11. Considere V como sendo um espaço vetorial de dimensão três munido de
um produto interno g(·, ·). Se R ∈ CB (V ), então
1
Rijkl = Ricik gjl − Ricil gjk − Ricjk gil + Ricjl gik − scal(gik gjl − gil gjk )
2
Demonstração. Defina o (0, 4)- tensor
1
R̄ijkl = Rijkl − (Ricik gjl − Ricil gjk − Ricjk gil + Ricjl gik ) + scal(gik gjl − gil gjk ).
2
Cálculos simples nos mostrarão que R̄ é um tensor tal que R̄ijkl = −R̄jikl = R̄klij .
Além disso, R̄ satisfaz a 1a Identidade de Bianchi. Desta forma, R̄ ∈ CB (V ).
Além do mais,
Ric(R̄)jl = g ik R̄ijkl
1
= Ricjl − (scalgjl − δji Ricil − δlk Ricjk + δii Ricjl ) + scal(δii gjl − δji gil )
2
1
= Ricjl − scalgjl + Ricjl + Ricjl − 3Ricjl + scal(3gjl − gjl )
2
= 0.
Considere uma base ortonormal {e1 , e2 , e3 } de V e os planos π1 = [e2 , e3 ], π2 = [e1 , e3 ]
e π3 = [e1 , e2 ]. Veja que
KR̄ (π1 ) + KR̄ (π2 ) = R̄(e2 , e3 , e2 , e3 ) + R̄(e1 , e3 , e1 , e3 ) = Ric(R̄)(e3 , e3 ) = 0
Analogamente, podemos ver que KR̄ (π1 ) + KR̄ (π3 ) = 0 e KR̄ (π2 ) + KR̄ (π3 ) = 0. Daí,
temos que KR̄ (π1 ) = KR̄ (π2 ) = KR̄ (π3 ) = 0, de onde concluímos que todas as curvaturas
seccionais de R̄ são zero. Isto implica que R̄ = 0.

102

A partir de agora, consideraremos V = R3 munido com a métrica canônica, isto é,
gij = δij .
Proposição 4.7. Supondo que R(t), t ∈ [0, T ), é uma solução da E.D.O. dtd R(t) =
Q(R(t)) em CB (R3 ), temos
d
Ricij = −4Ric2ij + 3scalRicij + 2kRick2 δij − scal2 δij ,
dt
para todo t ∈ [0, T ).
Demonstração.

Como dtd R = Q(R) e Ricij =

3
X

Rikjk , temos que

k=1
3
X
d
Ricij =
Q(R)ikjk
dt
k=1

= 2

3
X

Ricpq Ripjq .

p,q=1

Observe que, em nosso caso,
kRick = δ δ Ricij =
2

ik jl

3
X

Ric2ij .

i,j=1

Desta forma, usando o Lema 4.11, temos


3
X
d
1
Ricij = 2
Ricpq (Ricij δpq − Riciq δjp − Ricjp δiq + Ricpq δij ) − scal(δij δpq − δiq δjp )
dt
2
p,q=1
= 2scalRicij + 2kRick2 δij − scal2 δij + Ricij scal − 4Ric2ij
= −4Ric2ij + 3scalRicij + 2kRick2 δij − scal2 δij .

Dado um tensor de curvatura algébrico R ∈ CB (R3 ), consideraremos o (0, 2)-tensor
simétrico
Aij = scal(R)δij − 2Ric(R)ij .
Como A é uma forma bilinear simétrica, podemos considerar uma base ortonormal de
autovetores {v1 , v2 , v3 } de A com autovalores associados λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 . Cada λi é uma
função real em CB (R3 ).
A partir de agora, considere as funções sobre CB (R3 ): R 7→ λ1 , R 7→ λ3 e R 7→
λ1 + λ2 + λ3 = scal. É fácil notar que se λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 são os autovalores associados a
uma base de autovetores {v1 , v2 , v3 } de Aij = scalδij − 2Ricij então {v1 , v2 , v3 } também
é uma base de autovetores de Ric com autovalores associados µi = scal2−λi .
103

Lema 4.12. R 7→ λ1 é côncava, R 7→ λ3 é convexa e R 7→ scal é linear.
Demonstração. A linearidade de scal segue diretamente.
Se R, S ∈ CB (R3 ) e µ1 (R), µ1 (S) são os maiores autovalores das formas bilineares
Ric(R), Ric(S), respectivamente, temos que
µ1 (R) = sup |Ric(R)(v, v)| e µ1 (S) = sup |Ric(S)(v, v)|.
|v|=1

|v|=1

Assim, se a, b > 0 são reais, usamos a linearidade de Ric para obter que
µ1 (aR + bS) = sup |aRic(R)(v, v) + bRic(S)(v, v)| ≤ aµ1 (R) + bµ1 (S).
|v|=1

Portanto,
λ1 ((1 − t)R + tS) =
≥
=
=

scal((1 − t)R + tS) − 2µ1 ((1 − t)R + tS)
(1 − t)scal(R) + tscal(S) − 2(1 − t)µ1 (R) − 2tµ1 (S)
(1 − t)(scal(R) − 2µ1 (R)) + t(scal(S) − 2µ1 (S))
(1 − t)λ1 (R) + tλ1 (S).

Assim R 7→ λ1 é uma função côncava. Por um raciocínio análogo, pode-se ver que
R 7→ λ1 é uma função convexa.

Para facilitar as notações escreveremos A, λ1 , λ2 , λ3 , R, Ric representando as mesmas
quantidades em função do tempo. Assim, só especificaremos o tempo quando necessário.
Proposição 4.8. Se R(t), t ∈ [0, T ), é uma solução da E.D.O. dtd R(t) = Q(R(t)) em
CB (R3 ), então
d
1
Aij = 2A2ij − tr(A)Aij − kAk2 δij − scal2 δij ,
dt
2
para todo t ∈ [0, T ).
Demonstração.
Antes de mais nada, observe que

e

A2ij = scal2 δij − 4scalRicij δij + 4Ric2ij ,

(4.47)

tr(A)Aij = scal2 δij − 2scalRicij ,

(4.48)

1
1
kAk2 δij = (4kRick2 − scal2 )δij
2
2

(4.49)

1
1
tr(A)2 δij = scal2 δij .
2
2

(4.50)

104

Como
d
scal = 2kRick2 ,
dt
segue da Proposição 4.7 e das identidades (4.47), (4.48), (4.49), (4.50) que


d
d
d
Aij =
scal δij − 2 Ricij
dt
dt
dt
2
= 8Ricij − 6scalRicδij − 2kRick2ij + 2scal2 δij
1
= 2A2ij − tr(A)Aij − kAk2 δij − scal2 δij .
2

Proposição 4.9. Se R(t) é uma solução da E.D.O. dtd R(t) = Q(R(t)) em CB (R3 ), então
os autovalores λ1 (t) ≤ λ2 (t) ≤ λ3 (t) de A(t) satisfazem
 d
 dt λ1 (t) = λ1 (t)2 + λ2 (t)λ3 (t)
d
λ2 (t) = λ2 (t)2 + λ1 (t)λ3 (t)
 dtd
λ (t) = λ3 (t)2 + λ1 (t)λ2 (t),
dt 3
para todo t ∈ [0, T ).
Demonstração. Podemos supor, sem perda de generalidade, que a matriz A(0) está
diagonalizada e que A11 (0) ≤ A22 (0) ≤ A33 (0). Se i 6= j, temos da Proposição 4.8 que
 d
A (t) = 2A2ij −tr(A)Aij
dt ij
Aij (0) = 0.
Segue do Teorema de existência e unicidade para solução de EDO’s que Aij (t) = 0 se
i 6= j, ou seja, podemos supor que A(t) é uma matriz diagonal para todo t ∈ [0, T ).
Desta forma,
d
1
1
A11 (t) = 2A11 (t)2 − tr(A(t))A11 (t) − (A11 (t)2 + A22 (t)2 + A33 (t)2 ) + (tr(A(t))2
dt
2
2
2
= A11 (t) + A22 (t)A33 (t).
Podemos encontrar identidades análogas para A22 (t) e A33 (t). Isto significa que temos
o sistema
 d
 dt A11 (t) = A11 (t)2 + A22 (t)A33 (t)
d
A22 (t) = A22 (t)2 + A11 (t)A33 (t)
 dtd
A (t) = A33 (t)2 + A11 (t)A22 (t).
dt 33
Para finalizar esta demontração basta vermos que A11 (t) = λ1 (t), A22 (t) = λ2 (t) e
A33 (t) = λ3 (t), para todo t ∈ [0, T ). Como A(t) é uma matriz diagonal, basta mostrarmos
que A11 (t) ≤ A22 (t) ≤ A33 (t), para todo t ∈ [0, T ).
105

Por absurdo, suponha que exista um τ0 ∈ (0, T ) tal que A11 (τ0 ) > A22 (τ0 ). Como
A11 (0) ≤ A22 (0), seria possível encontrar τ ∈ (0, τ0 ) tal que A11 (τ ) = A22 (τ ).
Desta forma se definimos ϕ(t) = A22 (t) − A11 (t), temos que ϕ satisfaz a E.D.O.
 d
ϕ(t) = ϕ(t) (A11 (t) + A22 (t)) − A33 (t))
dt
ϕ(τ ) = 0.
Pela unicidade da solução desta E.D.O., segue que ϕ = 0, o que é uma absurdo pois
supomos inicialmente que ϕ(τ0 ) > 0.
Um argumento análogo nos mostrará que A22 (t) ≤ A33 (t), para todo t ∈ [0, T ).
Portanto, A11 (t) = λ1 (t), A22 (t) = λ2 (t) e A33 (t) = λ3 (t), para todo t ∈ [0, T ).

Proposição 4.10. Fixado δ ∈ [0, 1], o conjunto


R ∈ CB (R3 ); λ1 + λ2 ≥ 2δλ3

é invariante pela E.D.O. de Hamilton dtd R(t) = Q(R(t)).
Demonstração. Considere R(t) uma solução da E.D.O de Hamilton tal que λ1 (0) +
λ2 (0) ≥ 2δλ3 (0). Utilizando a Proposição 4.9, temos
d
(λ1 + λ2 − 2δλ3 ) = λ21 + λ2 λ3 + λ22 + λ1 λ3 − 2δ(λ23 + λ1 λ2 )
dt
= (λ1 + λ2 − 2δλ3 )λ3 + (1 − δ)(λ21 + λ22 ) + δ(λ1 − λ2 )2 .
Assim, se existir um τ ∈ (0, T ) tal que (λ1 + λ2 − 2δλ3 )(τ ) = 0 segue que dtd (λ1 + λ2 −
2δλ3 )(τ ) ≥ 0.

Proposição 4.11. Fixados δ ∈ [0, 1] e N > 0, o conjunto


R ∈ CB (R3 ); λ1 + λ2 ≥ 2δλ3 e (λ3 − λ1 )1+δ ≤ N (λ1 + λ2 )

é invariante pela E.D.O. de Hamilton dtd R(t) = Q(R(t)).
Demonstração.
Antes de mais nada, podemos assumir que λ1 +λ2 ≥ 2δλ3 pois já vimos na Proposição
4.10 que esta condição é preservada pela E.D.O. de Hamilton.
Utilizando a Proposição 4.9, veremos que
d
log(λ3 − λ1 ) = λ1 − λ2 + λ3 ≤ λ3 .
dt
Além disso,

106

d
λ21 + λ2 λ3 λ22 + λ3
log(λ1 + λ2 ) =
dt
λ1 + λ2
2
λ1 + λ22
=
+ λ3
λ1 + λ2
1
≥
(λ1 + λ2 ) + λ3
2
≥ (1 + δ)λ3 .
Unindo estes fatos concluímos que
d
[(1 + δ) log(λ3 − λ1 ) − log(λ1 + λ2 )] ≤ (1 + δ)(λ3 − λ3 ) = 0.
dt


1−δ
1)
Isto significa que a função t 7→ log (λ3λ−λ
é monótona decrescente. Daí t 7→
1 +λ2
(λ3 −λ1 )1−δ
λ1 +λ2

também é monótona decrescente. Portanto, se
(λ3 (0) − λ1 (0))1−δ
≤ N,
λ1 (0) + λ2 (0)

temos que

(λ3 (t) − λ1 (t))1−δ
≤ N,
λ1 (t) + λ2 (t)

para todo t ∈ (0, T ). Em outras palavras concluímos que a condição (λ3 − λ1 )1+δ ≤
N (λ1 + λ2 ) é preservada pela E.D.O. de Hamilton.

Proposição 4.12. Considere K ⊂ CB (R3 ) um subconjunto compacto. Assuma que todo
tensor de curvatura algébrico R ∈ K possua curvatura de Ricci positiva. Então, existe
um conjunto pinçante F ⊂ CB (R3 ) tal que K ⊂ F .
Demonstração. Inicialmente, observe que se R ∈ CB (R3 ) e Ric(R) > 0, temos, usando
as notações anteriores,
λ1 + λ2 = 2scal − 2(µ1 + µ2 ) = 2scal − 2(scal − µ3 ) = 2µ3 > 0.
Desta forma

K ⊂ R ∈ CB (R3 ); λ1 + λ2 > 0 .
Pela compacidade de K, é possível encontrar constantes uniformes δ ∈ (0, 1) e N > 0
tais que

K ⊂ R ∈ CB (R3 ); λ1 + λ2 ≥ 2δλ3 e (λ3 − λ1 )1+δ ≤ N (λ1 + λ2 )

107


Considere o conjunto F = R ∈ CB (R3 ); λ1 + λ2 ≥ 2δλ3 e (λ3 − λ1 )1+δ ≤ N (λ1 + λ2 ) .
Provaremos que F é um conjunto pinçante e, assim, concluiremos a demonstração da Proposição.
Utilizando a Proposição 4.11, vemos que F é invariante pela E.D.O. de Hamilton. É
um exercício simples verificar que F é um conjunto fechado e O(3)-invariante.
f

g

Usando o Lema 4.12, vemos que R7→scal−(2δ−1)λ3 e R7→ −(λ3 −λ1 )1+δ +N scal−N λ3
são funções côncavas. Observando que scal−(2δ −1)λ3 = λ1 +λ2 −2δλ3 e −(λ3 −λ1 )1+δ +
N scal − N λ3 = −(λ3 − λ1 )1+δ + N (λ1 + λ2 ), temos que F = f −1 ([0, ∞)) ∩ g −1 ([0, ∞)),
donde F é um conjunto convexo.
Afirmamos que dado ε ∈ (0, 1), existe um conjunto compacto L ⊂ F tal que se
R ∈ F/L então R é ε-pinçado.
2N
e consideramos L =
Para demonstrar isto, escolhemos ρ > 1 tal que ρδ > 1−ε
{R ∈ F ; λ3 − λ1 ≤ ρ}. Facilmente podemos ver que L é um conjunto compacto. Se
R ∈ F , temos que
λ1 − ελ3 = −(λ3 − λ1 ) + (1 − ε)λ3
N (λ1 + λ2 )
≥ −
+ (1 − ε)λ3 .
(λ3 − λ1 )δ
Se tomamos R ∈ F/L temos que λ3 − λ1 > ρ, donde −(λ3 − λ1 )−δ > −ρ−δ . Assim,
lembrando que (1 − ε) > 2N ρ−δ , temos
λ1 − ελ3 ≥
>
=
>

−N (λ1 + λ2 )ρ−δ + (1 − ε)λ3
−N (λ1 + λ2 )ρ−δ + 2N ρ−δ λ3
N ρ−δ [(λ3 − λ1 ) + (λ3 − λ2 )]
0.

Em outras palavras, provamos que se R ∈ F/L então R é ε-pinçado.
Isto conclui a prova de que F é um conjunto pinçante.

Teorema 4.3 (R. Hamilton, [17]). Considere M uma 3-variedade riemanniana compacta
e g0 uma métrica riemanniana em M com curvatura de Ricci positiva. Considere ainda
g(t), t ∈ [0, T ), a única solução maximal do Fluxo de Ricci com métrica inicial g0 . Então,
quando t → T , as métricas rescalonadas 4(T1−t) g(t) convergem em C ∞ para uma métrica
de curvatura seccional constante igual a 1.
Demonstração.
Como M é uma variedade compacta, temos que o conjunto K =

R(p,0) ; p ∈ M é compacto. Pela Proposição 4.12 é possível encontrar um conjunto
pinçante F ⊂ CB (R3 ) tal que K ⊂ F . Daí, a assertiva segue do Teorema 4.2.

108

Corolário 4.4. Considere (M, g0 ) uma variedade Riemanniana compacta tridimensional
com curvatura de Ricci positiva. Então M é difeomorfa a uma forma espacial esférica
S3 /Γ. Em particular, se M é simplesmente conexa então M é difeomorfa a S3 .
Demonstração.
Segue do Teorema 4.3 que M admite uma métrica de curvatura
seccional constante igual a 1. Segue da classificação das formas espaciais conexas que M
é difeomorfa a S3 /Γ, onde Γ é uma ação, livre de pontos fixos, de um subgrupo finito
Γ ⊂ O(4).


109

Capítulo 5
Condições de Curvatura preservadas
em dimensões maiores
Neste capítulo abordaremos acerca de uma condição de curvatura que é preservada
pelo fluxo de Ricci em todas dimensões: a curvatura isotrópica não negativa.
Na primeira seção, introduziremos a noção de curvatura isotrópica não negativa e, a
partir de noções de álgebra linear complexa, caracterizaremos este conceito. Na segunda
seção, a partir de uma série de cálculos, apresentaremos um importante teorema que
assegura que a curvatura isotrópica não negativa é preservada pelo fluxo de Ricci em
todas dimensões. Após isto isto, abordaremos uma crucial construção de S. Brendle e R.
Schöen: o cone Ĉ.

5.1

Curvatura isotrópica não negativa

No artigo [24], Micallef e Moore introduziram o conceito de curvatura isotrópica não
negativa em conexão com o estudo do índice de Morse de 2-esferas mínimas. O principal
resultado deste artigo afirma que toda variedade riemanniana compacta, simplesmente
conexa, com curvatura isotrópica positiva é homeomorfa à esfera. Este resultado estende
o Teorema da Esfera de Berger e Kligenberg. No seguimento desta seção, abordaremos o
conceito de curvatura isotrópica não negativa bem como uma caracaterização que utiliza
alguns conceitos de álgebra linear complexa (cf. Seção 1.4).
A partir de agora, assumiremos que V é um espaço vetorial de dimensão n ≥ 4 munido
de um produto interno g(·, ·).
Definição 5.1. Um tensor de curvatura algébrico R ∈ CB (V ) é dito ter Curvatura
Isotrópica não negativa se
R(e1 , e3 , e1 , e3 ) + R(e1 , e4 , e1 , e4 ) + R(e2 , e3 , e2 , e3 )
+R(e2 , e4 , e2 , e4 ) − 2R(e1 , e2 , e3 , e4 ) ≥ 0,
para todos conjuntos ortonormais {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂ V . Se a desigualdade acima é estrita para todos conjuntos ortonormais {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂ V , diremos que R tem Curvatura
Isotrópica positiva.
110

A partir de agora, daremos uma caracterização alternativa da Curvatura Isotrópica
não negativa. Para fazer isto, consideraremos V C = V ⊗R C a complexificação de V e
estenderemos g : V × V −→ R à forma bilinear complexa gC : V C × V C −→ C dada por
gC (a + ib, c + id) = [g(a, c) − g(b, d)] + i[g(a, d) + g(b, c)], para todos a, b, c, d ∈ V . Por
fim, estenda R ∈ CB (V ) à forma quadrilinear complexa RC : V C × V C × V C × V C −→ C.
Para enxugar as notações, consideraremos gC = g e RC = R.
Proposição 5.1 (M. Micallef, J. D. Moore, [24]). Considere R ∈ CB (V ) um tensor de
curvatura algébrica em V . São equaivalentes
(i) R tem Curvatura Isotrópica não negativa;
(ii) R(ζ, η, ζ̄, η̄) ≥ 0, para todos vetores ζ, η ∈ V C tais que g(ζ, ζ) = g(η, η) = g(ζ, η) = 0.
Demonstração. (i) =⇒ (ii). Considere ζ, η ∈ V C dois vetores L.I. tais que g(ζ, ζ) =
g(η, η) = g(ζ, η) = 0. Seja σ ⊂ V C o plano gerado por ζ e η. Segue do Corolário
1.3, que existe um conjunto ortonormal {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂ V tal que Z = e1 + ie2 ∈ σ
e W = e3 + ie4 ∈ σ. Como Z e W são L.I., podemos encontrar a, b, c, d ∈ C tais que
ζ = aZ + bW e η = cZ + dW . Assim
R(ζ, η, ζ̄, η̄) = R(aZ + bW, cZ + dW, aZ + bW , cZ + dW )
= (ad − bc)(ad − bc)R(Z, W, Z̄, W̄ )
= |ad − bc|2 R(Z, W, Z̄, W̄ ).

(5.1)

Por outro lado, usando que R tem Curvatura Isotrópica não negativa, temos
R(Z, W, Z̄, W̄ ) = R(e1 + ie2 , e3 + ie4 , e1 − ie2 , e3 − ie4 )
= R1213 − iR1314 − iR1323 − R1324 + iR1413 + R1414
+R1423 − iR1424 + iR2313 + R2314 + R2323
−iR2324 − R2413 + iR2414 + iR2423 + R2424
= R1313 + R1414 + R2323 + R2424 + 2R3124 + 2R2314
= R1313 + R1414 + R2323 + R2424 − 2R1234
≥ 0.

(5.2)

Na penúltima igualdade utilizamos a 1a Identidade de Bianchi. Substituindo (5.2) em
(5.1), concluímos que
R(ζ, η, ζ̄, η̄) ≥ 0.
(ii) =⇒ (i). Considere {e1 , e2 , e3 , e4 } como sendo um conjunto ortonormal em V .
Definindo ζ = e1 +ie2 e η = e3 +ie4 , vemos facilmente que g(ζ, ζ) = g(η, η) = g(ζ, η) = 0.
Utilizando a hipótese (ii) e procendendo identicamente à demonstração anterior, temos
que
111

0 ≤ R(ζ, η, ζ̄, η̄) = R(e1 + ie2 , e3 + ie4 , e1 − ie2 , e3 − ie4 )
= R1313 + R1414 + R2323 + R2424 − 2R1234 .
Como a base ortonormal {e1 , e2 , e3 , e4 } foi tomada arbitrariamente, segue que R tem
Curvatura Isotrópica não negativa.


5.2

A invariância da Curvatura Isotrópica não negativa
pelo Fluxo de Ricci

A partir de agora, vamos nos concentrar em demonstrar que a Curvatura isotrópica
não negativa é preservada pelo Fluxo de Ricci. A série de lemas que demonstraremos
a seguir servirá para demonstrar um resultado algébrico crucial para desenvolvimentos
posteriores.
Consideremos V um espaço vetorial de dimensão n ≥ 4 munido de um produto interno
g(·, ·), R ∈ CB (V ) um tensor de curvatura algébrico em V com curvatura isotrópica não
negativa e {e1 , e2 , e3 , e4 } um conjunto ortonormal em V satisfazendo
R(e1 , e3 , e1 , e3 ) + R(e1 , e4 , e1 , e4 ) + R(e2 , e3 , e2 , e3 ) + R(e2 , e4 , e2 , e4 ) − 2R(e1 , e2 , e3 , e4 ) = 0.
Será conveniente estender o conjunto ortonormal {e1 , e2 , e3 , e4 } a uma base ortonormal
{e1 , e2 , . . . , en } de V .
Lema 5.1. Temos que
R1213 + R1242 + R3413 + R3442 = R1214 + R1223 + R3414 + R3423 = 0
Demonstração. Considere B = {e1 , cos(s)e2 − sen(s)e3 , sen(s)e2 + cos(s)e3 , e4 }, onde
s ∈ R. Note que B é ortonormal para todo s ∈ R. Como R tem curvatura isotrópica não
negativa, temos
0 ≤ R(e1 , sen(s)e2 + cos(s)e3 , e1 , sen(s)e2 + cos(s)e3 ) + R(e1 , e4 , e1 , e4 )
+R(cos(s)e2 − sen(s)e3 , sen(s)e2 + cos(s)e3 , cos(s)e2 − sen(s)e3 , sen(s)e2 + cos(s)e3 )
R(cos(s)e2 − sen(s)e3 , e4 , cos(s)e2 − sen(s)e3 , e4 )
+R(e1 , cos(s)e2 − sen(s)e3 , sen(s)e2 + cos(s)e3 , e4 )
= sen2 (s)R1212 + sen(s) cos(s)R1213 + sen(s) cos(s)R1312 + cos2 (s)R1313 + R1414 +
sen(s)2 cos2 (s)R2332 + cos4 (s)R2323 − sen2 (s) cos2 (s)R3223 + sen4 (s)R3232
+ cos2 R2424 − sen(s) cos(s)R2434 + sen2 (s)R3434 + sen(s) cos(s)R1224
−sen(s) cos(s)R1334 − sen2 (s)R1324 + cos2 (s)R1234
= cos2 (s)(R1313 + R2424 − 2R1234 ) + sen2 (s)(R1212 + R3434 + 2R1324 ) + R1414
+R2323 + 2sen(s) cos(s)(R1213 − R2434 − R1224 + R1334 ).
112

Assim, a função
ϕ

s 7→ cos2 (s)(R1313 + R2424 − 2R1234 ) + sen2 (s)(R1212 + R3434 + 2R1324 ) + R1414
+R2323 + 2sen(s) cos(s)(R1213 − R2434 − R1224 + R1334 )
é não negativa, para todo s ∈ R, e anula-se em s = 0. Portanto s = 0 é um ponto
crítico de ϕ, de onde
d
ϕ(s) = 0.
ds s=o
Pelas propriedades de simetria do tensor curvatura algébrica concluiremos que
R1213 − R2434 − R1224 + R1334 =

R1213 + R1242 + R3413 + R3442 = 0.
Substituindo o conjunto {e1 , e2 , e3 , e4 } pelo conjunto {e2 , −e1 , e3 , e4 } e raciocinando
da mesma forma que anteriormente, concluimos que −R1223 + R1434 + R2114 + R2334 = 0,
de onde
R1214 + R1223 + R3414 + R3423 = 0.

Lema 5.2. Temos que
4
X

(R1p1q + R2p2q )(R3p3q + R4p4q ) −

p,q=1

=

4
X

4
X

R12pq R34pq

p,q=1
4
X

(R1p3q + R2p4q )(R3p1q + R4p2q ) +

p,q=1

(R1p4q − R2p3q )(R4p1q − R3p2q )

p,q=1

Demonstração.
Um cálculo direto nos mostrará que
4
X

(R1p1q + R2p2q )(R3p3q + R4p4q ) −

p,q=1

−

4
X

4
X

R12pq R34pq

p,q=1

(R1p3q + R2p4q )(R3p1q + R4p2q ) −

p,q=1

4
X

(R1p4q − R2p3q )(R4p1q − R3p2q )

p,q=1

= (R1212 + R3434 )(R1313 + R1414 + R2323 + R2424 − 2R1234 )
+2R1234 (R1313 + R1414 + R2323 + R2424 + 2R1342 + 2R1432 )
−(R1213 + R1242 + R3413 + R3442 )2 − (R1214 + R1223 + R3414 + R3423 )2
= (R1212 + R3434 + 2R1234 )(R1313 + R1414 + R2323 + R2424 − 2R1234 )
−(R1213 + R1242 + R3413 + R3442 )2 − (R1214 + R1223 + R3414 + R3423 )2 .
113

Na última igualdade utilizamos que R1342 + R1423 = −R1234 pela 1a Identidade de
Bianchi. Segue da nossa condição de que R1313 + R1414 + R2323 + R2424 − 2R1234 = 0 e do
Lema 5.1 que o lado direito da igualdade se anula, de onde concluímos nossa assertiva.

Lema 5.3. Temos que
R133q + R144q + R432q = R233q + R244q + R341q = 0,
para todo q = 5, . . . , n.
Demonstração. Considere o conjunto ortonormal {cos(s)e1 + sen(s)eq , e2 , e3 , e4 }, onde
s ∈ R e q = 5, . . . , n. Como R tem curvatura isotrópica não negativa, segue que
0 ≤ R(cos(s)e1 + sen(s)eq , e3 , cos(s)e1 + sen(s)eq , e3 )
+R(cos(s)e1 + sen(s)eq , e4 , cos(s)e1 + sen(s)eq , e4 )
+R(e2 , e3 , e2 , e3 ) + R(e2 , e4 , e2 , e4 )
+R(cos(s)e1 + sen(s)eq , e2 , e3 , e4 )
= cos2 (s)(R1313 + R1414 ) + sen2 (s)(Rq3q3 + Rq4q4 ) + R2323 + R2424
+2sen(s) cos(s)(R13q3 + R14q4 ) − 2 cos(s)R1234 − 2sen(s)Rq234 .
Desta forma, a função
ψ

s 7→ cos2 (s)(R1313 + R1414 ) + sen2 (s)(Rq3q3 + Rq4q4 ) + R2323 + R2424
+2sen(s) cos(s)(R13q3 + R14q4 ) − 2 cos(s)R1234 − 2sen(s)Rq234
é não negativa, para todo s ∈ R, e anula-se em s = 0. Portanto s = 0 é um ponto
crítico de ψ, de onde
2R13q3 + 2R14q4 − 2Rq234 =

d
ψ(s) = 0.
ds s=o

Daí, concluímos que
R13q3 + R14q4 + R432q = 0.
Substituindo o conjunto {e1 , e2 , e3 , e4 } pelo conjunto {e2 , −e1 , e3 , e4 } e raciocinando
da mesma forma que anteriormente, vamos obter que R233q + R24q4 + Rq134 = 0, de onde
R233q + R244q + R341q = 0


114

Lema 5.4. Temos que
4
X

(R1p1q + R2p2q )(R3p3q + R4p4q ) −

p=1

4
X

R12pq R34pq

p=1

4
4
X
X
=
(R1p3q + R2p4q )(R3p1q + R4p2q ) +
(R1p4q − R2p3q )(R4p1q − R3p2q ),
p=1

p=1

para todo q = 5, . . . , n.
Demonstração.
Utilizando o Lema 5.3, temos que
2
X

(R1p1q + R2p2q )(R3p3q + R4p4q ) −

p=1

2
X

R12pq R34pq

p=1

= R212q (R313q + R414q ) + R121q (R323q + R424q ) − R121q R341q − R122q R342q
= R122q (R133q + R144q + R432q ) + R211q (R233q + R244q + R341q )
= 0.
Também temos, pelo Lema 5.3 e pela 1a Identidade de Bianchi, que
4
X

(R1p3q + R2p4q )(R3p1q + R4p2q ) +

4
X

(R1p4q − R2p3q )(R4p1q − R3p2q )

p=3

p=3

= (R133q + R234q )R432q + (R143q + R244q )R341q
+(R134q − R233q )R431q − (R144q − R243q )R342q
= R432q (R133q + R234q − R243q + R144q ) + R341q (R143q + R244q − R134q + R233q )
= R432q (R133q + R432q + R144q ) + R341q (R244q + R341q + R233q )
= 0.
Substituindo o conjunto {e1 , e2 , e3 , e4 } pelo conjunto {e3 , e4 , e1 , e2 } e raciocinando da
mesma forma que anteriormente, vamos obter que
4
X

(R1p1q + R2p2q )(R3p3q + R4p4q ) −

p=3

4
X

R12pq R34pq = 0

p=3

e
2
2
X
X
(R1p3q + R2p4q )(R3p1q + R4p2q ) +
(R1p4q − R2p3q )(R4p1q − R3p2q ) = 0
p=1

p=1

Unindo os fatos supracitados, a nossa assertiva segue.
115


Lema 5.5. Sejam w1 , w2 , w3 , w4 ∈ span {e5 , . . . , en }. Então a expressão
R(w1 , e3 , w1 , e3 ) + R(w1 , e4 , w1 , e4 ) + R(w2 , e3 , w2 , e3 ) + R(w2 , e4 , w2 , e4 )
+R(e1 , w3 , e1 , w3 ) + R(e2 , w3 , e2 , w3 ) + R(e1 , w4 , e1 , w4 ) + R(e2 , w4 , e2 , w4 )
−2[R(e3 , w1 , e1 , w3 ) + R(e4 , w1 , e2 , w3 )] − 2[R(e4 , w1 , e1 , w4 ) − R(e3 , w1 , e2 , w4 )]
+2[R(e4 , w2 , e1 , w3 ) − R(e3 , w2 , e2 , w3 )] − 2[R(e3 , w2 , e1 , w4 ) + R(e4 , w2 , e2 , w4 )]
−2R(w1 , w2 , e3 , e4 ) − 2R(e1 , e2 , w3 , w4 )
é não negativa.
Demonstração.
linear

Fixado i ∈ {1, 2, 3, 4}, considere vi (s) a única solução da E.D.O.
4
X

vi0 (s) =

[hvi (s), ej iwj − hvi (s), wj iej ],

j=1

com condição inicial vi (0) = ei . Claramente temos que vi0 (0) = wi . Além disso,
4
X

vi00 (0) =

[hvi0 (0), ej iwj − hvi0 (0), wj iej ]

j=1
4
X

=

[hwi , ej iwj − hwi , wj iej ]

j=1

= −

4
X

hwi , wj iej .

j=1

Observando que
4
DX
E
d
hvi (s), vj (s)i =
[hvi (s), el iwl − hvi (s), wl iel ], vj (s)
ds
l=1
4
D
E
X
+ vi (s),
[hvj (s), el iwl − hvj (s), wl iel ]
l=1

=

4
X

hvi (s), el ihwl , vj (s)i −

l=1

+

4
X

4
X

hvi (s), wl ihel , vj (s)i

l=1

hvj (s), el ihwl , vi (s)i −

l=1

4
X
l=1

= 0,
116

hvj (s), wl ihvi (s), el i

temos
hvi (s), vj (s)i = hvi (0), vj (0)i = hei , ej i = δij ,
para todo s ∈ R. Com isto, para cada s ∈ R, o conjunto {v1 (s), v2 (s), v3 (s), v4 (s)} é
ortonormal. Como R tem curvatura isotrópica não negativa, a função
f

s 7→

1
1
R(v1 (s), v3 (s), v1 (s), v3 (s)) + R(v1 (s), v4 (s), v1 (s), v4 (s))
2
2
1
1
+ R(v2 (s), v3 (s), v2 (s), v3 (s)) + R(v2 (s), v4 (s), v2 (s), v4 (s))
2
2
−R(v1 (s), v2 (s), v3 (s), v4 (s))

é não negativa para todo s ∈ R. Visto que vi (0) = ei , temos que s = 0 é um ponto de
mínimo de f . Desta forma, a segunda derivada de f em s = 0 é não negativa. Podemos
calcular que
d
R(v10 (s), v2 (s), v3 (s), v4 (s)) = −|w1 |2 R(e1 , e2 , e3 , e4 ) − hw1 , w3 iR(e3 , e2 , e3 , e4 )
ds s=0
−hw1 , w4 iR(e4 , e2 , e3 , e4 ) + R(w1 , w2 , e3 , e4 )
+R(w1 , e2 , w3 , e4 ) + +R(w1 , e2 , w3 , e4 ).
Assim,
1 d2
R(v1 (s), v3 (s), v1 (s), v3 (s))
2 ds2 s=0
= −(|w1 |2 + |w3 |2 )R(e1 , e3 , e1 , e3 ) − hw1 , w2 iR(e1 , e3 , e2 , e3 )
−hw1 , w4 iR(e1 , e3 , e4 , e3 ) − hw3 , w2 iR(e1 , e3 , e1 , e2 )
−hw3 , w4 iR(e1 , e3 , e1 , e4 ) + R(w1 , e3 , w1 , e3 ) + R(e1 , w3 , e1 , w3 )
+2R(e1 , e3 , w1 , w3 ) + 2R(e1 , w3 , w1 , e3 ),

I (1) =

1 d2
R(v1 (s), v4 (s), v1 (s), v4 (s))
2 ds2 s=0
= −(|w1 |2 + |w4 |2 )R(e1 , e4 , e1 , e4 ) − hw1 , w2 iR(e1 , e4 , e2 , e4 )
−hw1 , w3 iR(e1 , e4 , e3 , e4 ) − hw4 , w2 iR(e1 , e4 , e1 , e2 )
−hw4 , w3 iR(e1 , e4 , e1 , e3 ) + R(w1 , e4 , w1 , e4 ) + R(e1 , w4 , e1 , w4 )
+2R(e1 , e4 , w1 , w4 ) + 2R(e1 , w4 , w1 , e4 ),

I (2) =

117

1 d2
R(v2 (s), v3 (s), v2 (s), v3 (s))
2 ds2 s=0
= −(|w2 |2 + |w3 |2 )R(e2 , e3 , e2 , e3 ) − hw2 , w1 iR(e2 , e3 , e1 , e3 )
−hw2 , w4 iR(e2 , e3 , e4 , e3 ) − hw3 , w1 iR(e2 , e3 , e2 , e1 )
−hw3 , w4 iR(e2 , e3 , e2 , e4 ) + R(w2 , e3 , w2 , e3 ) + R(e2 , w3 , e2 , w3 )
+2R(e2 , e3 , w2 , w3 ) + 2R(e2 , w3 , w2 , e3 ),

I (3) =

1 d2
R(v2 (s), v4 (s), v2 (s), v4 (s))
2 ds2 s=0
= −(|w2 |2 + |w4 |2 )R(e2 , e4 , e2 , e4 ) − hw2 , w1 iR(e2 , e4 , e1 , e4 )
−hw2 , w3 iR(e2 , e4 , e3 , e4 ) − hw4 , w1 iR(e2 , e4 , e2 , e1 )
−hw4 , w3 iR(e2 , e4 , e2 , e3 ) + R(w2 , e4 , w2 , e4 ) + R(e2 , w4 , e2 , w4 )
+2R(e2 , e4 , w2 , w4 ) + 2R(e2 , w4 , w2 , e4 )

I (4) =

e
d2
R(v1 (s), v2 (s), v3 (s), v4 (s))
ds2 s=0
= −(|w1 |2 + |w2 |2 + |w3 |2 + |w4 |2 )R(e1 , e2 , e3 , e4 )
−hw1 , w3 iR(e3 , e2 , e3 , e4 ) − hw1 , w4 iR(e4 , e2 , e3 , e4 )
−hw2 , w3 iR(e1 , e3 , e3 , e4 ) − hw2 , w4 iR(e1 , e4 , e3 , e4 )
−hw3 , w1 iR(e1 , e2 , e1 , e4 ) − hw3 , w2 iR(e1 , e2 , e2 , e4 )
−hw4 , w1 iR(e1 , e2 , e3 , e1 ) − hw4 , w2 iR(e1 , e2 , e3 , e2 )
+2R(w1 , w2 , e3 , e4 ) + 2R(w1 , e2 , w3 , e4 ) + 2R(w1 , e2 , e3 , w4 )
+2R(e1 , w2 , w3 , e4 ) + 2R(e1 , w2 , e3 , w4 ) + 2R(e1 , e2 , w3 , w4 ).

I (5) =

Lembrando que a segunda derivada de f em s = 0 é não negativa temos que
0 ≤ I (1) + I (2) + I (3) + I (4) − I (5) .
Portanto,

118

0 ≤ R(w1 , e3 , w1 , e3 ) + R(w1 , e4 , w1 , e4 ) + R(w2 , e3 , w2 , e3 )
+R(w2 , e4 , w2 , e4 ) + R(e1 , w3 , e1 , w3 ) + R(e2 , w3 , e2 , w3 )
+R(e1 , w4 , e1 , w4 ) + R(e2 , w4 , e2 , w4 ) + 2R(e1 , e3 , w1 , w3 )
+2R(e1 , w3 , w1 , e3 ) − 2R(w1 , e2 , w3 , e4 ) + 2R(e1 , e4 , w1 , w4 )
+2R(e1 , w4 , w1 , e4 ) − 2R(w1 , e2 , e3 , w4 ) + 2R(e2 , e3 , w2 , w3 )
+2R(e2 , w3 , w2 , e3 ) − 2R(e1 , w2 , w3 , e4 ) + 2R(e2 , e4 , w2 , w4 )
+2R(e2 , w4 , w2 , e4 ) − 2R(e1 , w2 , e3 , w4 ) − 2R(w1 , w2 , e3 , e4 )
−2R(e1 , e2 , w3 , w4 )
−|w1 |2 (R1313 + R1414 − R1234 ) − |w2 |2 (R2323 + R2424 − R1234 )
−|w3 |2 (R1313 + R2323 − R1234 ) − |w4 |2 (R1414 + R2424 − R1234 )
+(hw1 , w3 i − hw2 , w4 i)(R1214 − R1232 + R3234 − R1434 )
−(hw1 , w4 i + hw2 , w3 i)(R1213 + R1242 + R3134 + R2434 )
−2hw1 , w2 i(R1323 + R1424 ) − 2hw3 , w4 i(R1314 + R2324 )
Substituindo o conjunto {e1 , e2 , e3 , e4 } pelo conjunto {e2 , −e1 , e4 , −e3 } e raciocinando
da mesma forma que anteriormente, temos
0 ≤ R(w1 , e4 , w1 , e4 ) + R(w1 , e3 , w1 , e3 ) + R(w2 , e4 , w2 , e4 )
+R(w2 , e3 , w2 , e3 ) + R(e2 , w3 , e2 , w3 ) + R(e1 , w3 , e1 , w3 )
+R(e2 , w4 , e2 , w4 ) + R(e1 , w4 , e1 , w4 ) + 2R(e2 , e4 , w1 , w3 )
+2R(e2 , w3 , w1 , e4 ) − 2R(w1 , e1 , w3 , e3 ) − 2R(e2 , e3 , w1 , w4 )
−2R(e2 , w4 , w1 , e3 ) + 2R(w1 , e1 , e4 , w4 ) − 2R(e1 , e4 , w2 , w3 )
−2R(e1 , w3 , w2 , e4 ) + 2R(e2 , w2 , w3 , e3 ) + 2R(e1 , e3 , w2 , w4 )
−2R(e1 , w4 , w2 , e3 ) − 2R(e2 , w2 , e4 , w4 ) + 2R(w1 , w2 , e4 , e3 )
+2R(e2 , e1 , w3 , w4 )
−|w1 |2 (R2424 + R2323 − R2143 ) − |w2 |2 (R1414 + R1313 − R2143 )
−|w3 |2 (R2424 + R1414 − R2143 ) − |w4 |2 (R2323 + R1313 − R2143 )
+(hw1 , w3 i − hw2 , w4 i)(R2123 − R2141 + R4143 − R2343 )
+(hw1 , w4 i + hw2 , w3 i)(R2124 + R2131 + R4243 + R1343 )
+2hw1 , w2 i(R2414 + R2313 ) + 2hw3 , w4 i(R2423 + R1413 ).
Lembrando que R1313 + R1414 + R2323 + R2424 − 2R1234 = 0, somamos as últimas
desigualdades e dividimos por 2 para obter que

119

0 ≤ R(w1 , e3 , w1 , e3 ) + R(w1 , e4 , w1 , e4 ) + R(w2 , e3 , w2 , e3 )
+R(w2 , e4 , w2 , e4 ) + R(e1 , w3 , e1 , w3 ) + R(e2 , w3 , e2 , w3 )
+R(e1 , w4 , e1 , w4 ) + R(e2 , w4 , e2 , w4 )
+[R(e1 , e3 , w1 , w3 ) + R(e1 , w3 , w1 , e3 ) − R(w1 , e2 , w3 , e4 )
+R(e2 , e4 , w1 , w3 ) + R(e2 , w3 , w1 , e4 ) − R(w1 , e1 , w3 , e3 )]
+[R(e1 , e4 , w1 , w4 ) + R(e1 , w4 , w1 , e4 ) − R(w1 , e2 , e3 , w4 )
−R(e2 , e3 , w1 , w4 ) − R(e2 , w4 , w1 , e3 ) + R(w1 , e1 , e4 , w4 )]
+[R(e2 , e3 , w2 , w3 ) + R(e2 , w3 , w2 , e3 ) − R(e1 , w2 , w3 , e4 )
−R(e1 , e4 , w2 , w3 ) − R(e1 , w3 , w2 , e4 ) + R(e2 , w2 , w3 , e3 )]
+[R(e2 , e4 , w2 , w4 ) + R(e2 , w4 , w2 , e4 ) − R(e1 , w2 , w3 , e4 )
+R(e1 , e3 , w2 , w4 ) + R(e1 , w4 , w2 , e3 ) − R(e2 , w2 , e4 , w4 )]
−2R(w1 , w2 , e3 , e4 ) − 2R(e1 , e2 , w3 , w4 ).

(5.3)

Usando as relações de simetria de R e a 1a Identidade de Bianchi, teremos, por
exemplo, que
+[R(e1 , e3 , w1 , w3 ) + R(e1 , w3 , w1 , e3 ) − R(w1 , e1 , w3 , e3 )
−R(w1 , e2 , w3 , e4 ) + R(e2 , e4 , w1 , w3 ) + R(e2 , w3 , w1 , e4 )]
[−R(e3 , w1 , e1 , w3 ) + (R(e1 , e3 , w1 , w3 ) + R(w1 , e1 , e3 , w3 ))
−R(e4 , w1 , e2 , w3 ) + (R(w1 , e2 , e4 , w3 ) + R(e4 , w1 , e2 , w3 ))]
= −2[R(e3 , w1 , e1 , w3 ) + R(e4 , w1 , e2 , w3 )].
Utilizando o mesmo raciocínio nos termos entre colchetes de (5.3), chegamos ao resultado desejado.

Lema 5.6. Temos que
n
X

≥

(R1p1q + R2p2q )(R3p3q + R4p4q ) −

n
X

R12pq R34pq

p,q=5
n
X

p,q=5
n
X

p,q=5

p,q=5

(R1p3q + R2p4q )(R3p1q + R4p2q ) +

(R1p4q − R2p3q )(R4p1q − R3p2q ).

Demonstração. Denotemos por W = span {e5 , . . . , en }. Definamos transformações
lineares A, B, C, D, E, F : W −→ W por

120

hAep , eq i = R1p1q + R2p2q ,
hCep , eq i = R3p1q + R4p2q ,
hEep , eq i = R12pq ,

hBep , eq i = R3p3q + R4p4q
hDep , eq i = R4p1q − R3p2q
hF ep , eq i = R34pq ,

onde p, q ∈ {5, . . . , n}. Segue das relações de simetria do tensor de curvatura que A e
B são simétricas e E e F são anti-simétricas. Além disso, utilizando o Lema 5.5, veremos
que
hBw1 , w1 i + hBw2 , w2 i + hAw3 , w3 i + hAw4 , w4 i
−2hCw1 , w3 i − 2hDw1 , w4 i + 2hDw2 , w3 i − 2hCw2 , w4 i
−2hF w1 , w2 i − 2hEw3 , w4 i ≥ 0,

(5.4)

para todos vetores w1 , w2 , w3 , w4 de W . Para exemplificar que (5.4) decorre do Lema
5.5, note que, se escrevermos w1 = ai ei e w3 = bj ej , temos
−2hCw1 , w3 i =
=
=
=
por

−2hC(ai ei ), bj ej i
−2ai bj hCei , ej i
−2ai bj (R3i1j + R4i2j )
−2[R(e3 , w1 , e1 , w3 ) + R(e4 , w1 , e2 , w3 )]

Definamos transformações lineares M, U : W × W × W × W −→ W × W × W × W

B
F
C ∗ −D∗
 −F B D∗ −C ∗ 

M =
 −C D
A
E 
−D −C −E
A


e


0
 0
U =
 −id
0

0
0
0
id


id 0
0 −id 

0
0 
0
0

Segue da simetria de A e B e da anti-simetria de E e F , que a transformação M
é simétrica. Assim, usando a desigualdade (5.4), concluímos que M é positiva semidefinida. Um cálculo simples mostrará que


B11 B12 B13 B14
 B21 B22 B23 B24 

MUMU∗ = 
 B31 B32 B33 B34  ,
B41 B42 B43 B44
121

onde cada Bij , 1 ≤ i, j ≤ 4, é um bloco 4 × 4 e, além disso, B11 = B22 = −(C ∗ )2 −
(D ) + AB + EF e B33 = B44 = −C 2 − D2 + AB + EF . Levando em conta que
tr(T + V ) = tr(T ) + tr(V ), tr(T ∗ ) = tr(T ) e M é positiva semi-definida, concluiremos
que
∗ 2

1
0 ≤ tr(M U M U ∗ ) = tr(AB) + tr(EF ) − tr(C 2 ) − tr(D2 )
4
n
n
X
X
=
hAep , eq ihBeq , ep i +
hEep , eq ihF eq , ep i
p,q=5
n
X

−

=

hCep , eq ihCeq , ep i −

hDep , eq ihDeq , ep i

p,q=5
n
X

p,q=5
n
X

p,q=5
n
X

p,q=5
n
X

hAep , eq iheq , Bep i −

−

=

p,q=5
n
X

hEep , eq iheq , F ep i

hCep , eq ihCeq , ep i −

p,q=5
n
X

hDep , eq ihDeq , ep i

p,q=5
n
X

(R1p1q + R2p2q )(R3p3q + R4p4q ) −

p,q=5
n
X

−
−

R12pq R34pq

p,q=5

(R1p3q + R2p4q )(R3p1q + R4p2q )

p,q=5
n
X

(R1p4q − R2p3q )(R4p1q − R3p2q ).

p,q=5

Isto finaliza nossa demonstração.

A série de Lemas que demonstramos ao decorrer desta seção servirão para demontrar
o crucial resultado algébrico que vem a seguir.
Proposição 5.2. Considere R ∈ CB (V ) um tensor de curvatura algébrico em V com
curvatura isotrópica não negativa. Seja {e1 , e2 , e3 , e4 } um conjunto ortonormal em V
satisfazendo
R(e1 , e3 , e1 , e3 ) + R(e1 , e4 , e1 , e4 ) + R(e2 , e3 , e2 , e3 ) + R(e2 , e4 , e2 , e4 ) − 2R(e1 , e2 , e3 , e4 ) = 0.
Então
R# (e1 , e3 , e1 , e3 ) + R# (e1 , e4 , e1 , e4 ) + R# (e2 , e3 , e2 , e3 )
+R# (e2 , e4 , e2 , e4 ) + 2R# (e1 , e3 , e4 , e2 ) + 2R# (e1 , e4 , e2 , e3 ) ≥ 0.
122

Demonstração.
Segue da definição de R# que
(R# )1313 + (R# )1313 + (R# )2323 + (R# )2424
n
X
2
(R1p1q R3p3q + R1p1q R4pqq + R2p2q R3p3q + R2p2q R4p4q )
p,q=1
n
X

−2

(R1p3q R3p1q + R1p4q R4p1q + R2p3q R3p2q + R2p4q R4p2q )

p,q=1

= 2

n
X

n
X

(R1p1q + R2p2q )(R3p3q + R4p4q ) − 2

p,q=1
n
X

−2

R1p4q R4p1q − 2

p,q=1

R1p3q R3p1q

p,q=1
n
X

n
X

R2p3q R3p2q − 2

p,q=1

R2p4q R4p2q .

(5.5)

p,q=1

Utilizando a 1a Identidade de Bianchi e as simetrias do tensor curvatura, temos que
n
X

2

R1p2q R4p3q − 2

p,q=1
n
X

= −2

= −2
= −
= −

p,q=1
n
X

p,q=1
n
X

R1p2q R3p4q

p,q=1

R1p2q (Rp43q + R3p4q )
R1p2q R43pq

R1p2q R34pq −

p,q=1
n
X

n
X

n
X

R1q2p R34qp

q,p=1

R34qp (R1p2q + R1qp2 ) = −

p,q=1

n
X
p,q=1

donde,

123

R34qp R12pq ,

#

#

(R )1342 + (R )1423 = 2

n
X

R1p4q R3p2q − 2

p,q=1
n
X

+2
= 2

R1p2q R4p3q − 2

R1p2q R3p4q

p,q=1

R1p4q R3p2q −

−2

R1p2q R3p4q

p,q=1
n
X

p,q=1
n
X
p,q=1
n
X

n
X

n
X

R12pq R34pq

p,q=1

R1p2q R3p4q .

(5.6)

p,q=1

Somando as identidades (5.5) e (5.6), concluiremos que
(R# )1313 + (R# )1414 + (R# )2323 + (R# )2424 + 2(R# )1342 + 2(R# )1423
n
n
X
X
= 2
(R1p1q + R2p2q )(R3p3q + R4p4q ) − 2
R12pq R34pq
p,q=1
n
X

−2

p,q=1
n
X

(R1p3q + R2p4q )(R3p1q + R4p2q ) − 2

p,q=1

(R1p4q − R2p3q )(R4p1q − R3p2q ).

p,q=1

Segue dos Lemas 5.2, 5.4 e 5.6, que a expressão acima é não negativa. Disto, concluímos nossa proposição.

Proposição 5.3. Considere R ∈ CB (V ) um tensor de curvatura algébrico em V com
curvatura isotrópica não negativa. Seja {e1 , e2 , e3 , e4 } um conjunto ortonormal em V
satisfazendo
R(e1 , e3 , e1 , e3 ) + R(e1 , e4 , e1 , e4 ) + R(e2 , e3 , e2 , e3 ) + R(e2 , e4 , e2 , e4 ) − 2R(e1 , e2 , e3 , e4 ) = 0.
Então
Q(R)(e1 , e3 , e1 , e3 ) + Q(R)(e1 , e4 , e1 , e4 ) + Q(R)(e2 , e3 , e2 , e3 )
Q(R)(e2 , e4 , e2 , e4 ) − 2Q(R)(e1 , e2 , e3 , e4 ) ≥ 0
Demonstração. Observe que

124

R2 (e1 , e3 , e1 , e3 ) + R2 (e1 , e4 , e1 , e4 ) + R2 (e2 , e3 , e2 , e3 )
+R2 (e2 , e4 , e2 , e4 ) − 2R2 (e1 , e3 , e2 , e4 ) + 2R2 (e1 , e4 , e2 , e3 )
n
n
n
n
X
X
X
X
=
(R13pq )2 +
(R14pq )2 +
(R23pq )2 +
(R24pq )2
p,q=1

−2

n
X

p,q=1

R13pq R24pq + +2

p,q=1

=

n
X

(R13pq − R24pq )2 +

p,q=1

p,q=1
n
X

p,q=1

R14pq R23pq

p,q=1
n
X

(R14pq + R23pq )2

p,q=1

≥ 0.
Usando a Proposição 5.2, a desigualdade acima e lembrando que Q(R) = R2 + R#
satisfaz a 1a Identidade de Bianchi, teremos
Q(R)(e1 , e3 , e1 , e3 ) + Q(R)(e1 , e4 , e1 , e4 ) + Q(R)(e2 , e3 , e2 , e3 )
+Q(R)(e2 , e4 , e2 , e4 ) + 2Q(R)(e1 , e3 , e4 , e2 ) + 2Q(R)(e1 , e4 , e2 , e3 ) ≥ 0
=⇒ Q(R)(e1 , e3 , e1 , e3 ) + Q(R)(e1 , e4 , e1 , e4 ) + Q(R)(e2 , e3 , e2 , e3 )
+Q(R)(e2 , e4 , e2 , e4 ) − 2Q(R)(e1 , e2 , e3 , e4 ) ≥ 0

Proposição 5.4. O cone
C = {R ∈ CB (Rn ); R tem curvatura isotrópica não negativa}
é invariante pela E.D.O. de Hamilton dtd R = Q(R).
Demonstração.
Dado ε > 0, considere Rε (t) a única solução da E.D.O dtd Rε (t) = Q(Rε (t)) + I, com
condição inicial Rε (0) = R(0) + εI. Aqui, Iijkl = δik δjl − δil δjk representa o tensor
curvatura da esfera canônica.
Suponha que Rε (t) está definido num intervalo [0, Tε ). Afirmamos que Rε (t) possui
curvatura isotrópica positiva para todo t ∈ [0, Tε ). Argumentando por contradição,
suporemos que existe t ∈ [0, Tε ) que não possui curvatura isotrópica positiva. Considere
τ := inf {t ∈ [0, Tε ); Rε (t) não possui curvatura isotrópica positiva} .
Pela definição de τ , existe um conjunto ortonormal {e1 , e2 , e3 , e4 } tal que
Rε (τ )1313 + Rε (τ )1414 + Rε (τ )2323 + Rε (τ )2424 − 2Rε (τ )1234 = 0.
125

Além disso,
Rε (t)1313 + Rε (t)1414 + Rε (t)2323 + Rε (t)2424 − 2Rε (t)1234 > 0,
para todo t ∈ [0, τ ). Desta forma
Q(R)ε (τ )1313 +Q(R)ε (τ )1414 +Q(R)ε (τ )2323 +Q(R)ε (τ )2424 −2Q(R)ε (τ )1234 +4ε ≤ 0. (5.7)
Como Rε (τ ) tem curvatura isotrópica não negativa, segue da Proposição 5.3 que
Q(R)ε (τ )1313 + Q(R)ε (τ )1414 + Q(R)ε (τ )2323 + Q(R)ε (τ )2424 − 2Q(R)ε (τ )1234 ≥ 0,
o que contradiz (5.7). Portanto, Rε (t) possui curvatura isotrópica positiva para todo
t ∈ [0, Tε ).
Segue da teoria de E.D.O. que T ≤ lim inf ε→0 Tε e R(t) = limε→0 Rε (t), para todo
t ∈ [0, T ). Consequentemente, R(t) tem curvatura isotrópica não negativa para todo
t ∈ [0, T ).

Teorema 5.1 (S. Brendle, R. Schöen, [7]; H. Nguyen, [26]). Considere (M, g0 ) uma
variedade riemanniana compacta com curvatura isotrópica não negativa. Se g(t), t ∈
[0, T ), é uma solução do Fluxo de Ricci em M com condição inicial g(0) = g0 , então
(M, g(t)) tem curvatura isotrópica não negativa para todo t ∈ [0, T ).
Demonstração.
Facilmente podemos ver que o cone C definido na Proposição 5.4
é fechado, convexo e O(n)-invariante. Também foi demonstrado na Proposição 5.4 que
C é invariante pela E.D.O. de Hamilton. Como Rg(0) ∈ C, segue do Teorema 4.1 que
Rg(t) ∈ C para todo t ∈ [0, T ), isto é, (M, g(t)) tem tem curvatura isotrópica não negativa
para todo t ∈ [0, T ).


5.3

O Cone Ĉ de Brendle e Schoen

Consideremos V um espaço vetorial de dimensão n ≥ 4 munido de um produto interno
g(·, ·). Seja R ∈ CB (V ). Definimos o tensor de curvatura algébrico R̂ ∈ CB (V × R2 ) por
R̂(vˆ1 , vˆ2 , vˆ3 , vˆ4 ) := R(v1 , v2 , v3 , v4 ),
onde v̂j = (vj , yj ), com vj ∈ V e yj ∈ R2 .
Definição 5.2. Definimos o cone Ĉ como
n
o
Ĉ := R ∈ CB (V ); R̂ tem curvatura isotrópica não negativa
126

Facilmente pode-se ver que o cone Ĉ é um conjunto fechado, convexo e O(n)-invariante.
No que segue esta seção caracterizaremos o cone Ĉ.
Proposição 5.5. Considere R ∈ CB (V ) e R̂ ∈ CB (V × R2 ), como definimos acima. As
seguintes assertivas são equivalentes.
(i) R ∈ Ĉ;
(ii) Temos que
R(e1 , e3 , e1 , e3 ) + λ2 R(e1 , e4 , e1 , e4 )
+µ2 R(e2 , e3 , e2 , e3 ) + µ2 λ2 R(e2 , e4 , e2 , e4 )
−2λµR(e1 , e2 , e3 , e4 ) ≥ 0,
para todos conjuntos ortonormais {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂ V e todos λ, µ ∈ [0, 1].
(iii) Temos que R(ζ, η, ζ̄, η̄) ≥ 0, para todos vetores ζ, η ∈ V C .
Demonstração.
(i) =⇒ (ii). Considerando um conjunto ortonormal {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂ V e λ, µ ∈ [0, 1],
definimos
ê1 = (e1 , (0, 0)), ê2 = (µe2 , (0,

p

1 − µ2 )),

√
ê3 = (e3 , (0, 0)), ê4 = (λe4 , ( 1 − λ2 , 0)).
Podemos ver que {ê1 , ê2 , ê3 , ê4 } é um conjunto ortonormal em V × R2 . Como R̂ tem
curvatura isotrópica não negativa segue que
R̂(ê1 , ê3 , ê1 , ê3 ) + R̂(ê1 , ê4 , ê1 , ê4 )
+R̂(ê2 , ê3 , ê2 , ê3 ) + R̂(ê2 , ê4 , ê2 , ê4 )
−2R̂(ê1 , ê2 , ê3 , ê4 ) ≥ 0.
Substituindo nesta expressão os respectivos valores de ê1 , ê2 , ê3 e ê4 obtemos a assertiva (ii).
(ii) =⇒ (iii). Considere ζ, η ∈ V C dois vetores L.I. e seja σ ⊂ V C o plano gerado por ζ
e η. Pela Proposição 1.2, podemos encontrar um conjunto ortonormal {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂ V
e λ, µ ∈ [0, 1] tais que Z = e1 + iµe2 ∈ σ e W = e3 + iλe4 ∈ σ. Como Z e W são L.I.,
podemos encontrar números a, b, c, d ∈ C tais que ζ = aZ + bW e η = cZ + dW . Desta
forma, temos que
R(ζ, η, ζ̄, η̄) = |ad − bc|2 R(Z, W, Z̄, W̄ ).
Por outro lado, usando a hipótese (ii), temos que
127

(5.8)

R(Z, W, Z̄, W̄ ) = R(e1 , e3 , e1 , e3 ) + λ2 R(e1 , e4 , e1 , e4 )
+µ2 R(e2 , e3 , e2 , e3 ) + µ2 λ2 R(e2 , e4 , e2 , e4 )
−2λµR(e1 , e2 , e3 , e4 )
≥ 0.

(5.9)

De (5.8) e (5.9) segue (iii).
(ii) =⇒ (iii). Considere {ê1 , ê2 , ê3 , ê4 } um conjunto ortonormal em V × R2 , onde
êj = (vj , yj ), com vj ∈ V e yj ∈ R2 , para cada j = 1, 2, 3, 4. Se definirmos ζ = v1 + iv2 e
η = v3 + iv4 , segue da hipótese (iii) e da definição de R̂ que
0 ≤ R(ζ, η, ζ̄, η̄) = R(v1 , v3 , v1 , v3 ) + R(v1 , v4 , v1 , v4 )
+R(v2 , v3 , v2 , v3 ) + R(v2 , v4 , v2 , v4 )
−2R(v1 , v2 , v3 , v4 )
= R̂(v̂1 , v̂3 , v̂1 , v̂3 ) + R̂(v̂1 , v̂4 , v̂1 , v̂4 )
R̂(v̂2 , v̂3 , v̂2 , v̂3 ) + R(v̂2 , v̂4 , v̂2 , v̂4 )
−2R̂(v̂1 , v̂2 , v̂3 , v̂4 )
Como o conjunto {ê1 , ê2 , ê3 , ê4 } foi escolhido arbitrariamene, segue que R̂ tem curvatura isotrópica não negativa.

Corolário 5.1. Se R̂ tem curvatura isotrópica não negativa, então R tem curvatura
seccional não negativa.
Demonstração. De fato, se {v1 , v2 } é um conjunto ortonormal qualquer em V , definimos os vetores v̂1 = (v1 , (0, 0)), v̂2 = (0, (1, 0)), v̂3 = (v2 , (0, 0)) e v̂4 = (0, (0, 1))
em V × R2 . Observando que {v̂1 , v̂2 , v̂3 , v̂4 } e R̂ tem curvatura isotrópica não negativa,
concluímos que
0 ≤ R̂(v̂1 , v̂3 , v̂1 , v̂3 ) + R̂(v̂1 , v̂4 , v̂1 , v̂4 )
R̂(v̂2 , v̂3 , v̂2 , v̂3 ) + R(v̂2 , v̂4 , v̂2 , v̂4 )
−2R̂(v̂1 , v̂2 , v̂3 , v̂4 )
= R(v1 , v2 , v1 , v2 ).
Como o conjunto {v1 , v2 } foi escolhido arbitrariamente, segue que R tem curvatura
seccional não negativa.

Corolário 5.2. Se R tem operador de curvatura não negativo, então R̂ tem curvatura
isotrópica não negativa.
128

Demonstração.
Considere um conjunto ortonormal {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂ V e números
reais λ, µ ∈ [0, 1]. Defina
ϕ = e1 ∧ e3 + λµe4 ∧ e2 ∈ Λ2 V
e
ψ = λe1 ∧ e4 + µe2 ∧ e3 ∈ Λ2 V.
Como R tem operador de curavtura não negativo, segue que
0 ≤ R(ϕ, ϕ) + R(ψ, ψ) = R(e1 , e3 , e1 , e3 ) + λ2 R(e1 , e4 , e1 , e4 )
+µ2 R(e2 , e3 , e2 , e3 ) + µ2 λ2 R(e2 , e4 , e2 , e4 )
−2λµR(e1 , e2 , e3 , e4 ).
Segue da Proposição 5.1 que R̂ tem curvatura isotrópica não negativa.

Proposição 5.6. O cone Ĉ é invariante pela E.D.O. de Hamilton dtd R = Q(R).
Demonstração.
Se R(t), t ∈ [0, T ), é uma solução da E.D.O. de Hamilton com
R(0) ∈ Ĉ, segue que R̂(t) é solução da E.D.O. de Hamilton associada, pois
d
R̂ =
dt

 ˆ 
d
ˆ = Q(R̂).
R = Q(R)
dt

Segue da Proposição 5.4 que R̂(t) ∈ C, para todo t ∈ [0, T ), donde R(t) ∈ Ĉ, para
todo t ∈ [0, T ).


129

Capítulo 6
Resultados de Convergência em
dimensões maiores
Este capítulo será dedicado à apresentação do argumento final que demonstra o Teorema da Esfera diferenciável em dimensões maiores que 3, com constante pinçante ótima
δ = 1/4. Para isto será fundamental o entendimento de uma construção de cones invariantes por Böhm e Wilking (cf. [5]) que será desenvolvida nas dua primeiras seções deste
capítulo.

6.1

A Identidade de Böhm e Wilking

Nesta seção, abordaremos uma identidade algébrica obtida por Böhm e Wilking (cf.
[5]). Antes disso, precisaremos de algumas definições.
Definição 6.1. Considere A e B duas formas bilineares simétricas em Rn . O produto
de Kulkarni-Nomizu entre A e B é definido e denotado por
(A

B)ijkl = Aik Bjl − Ail Bjk − Ajk Bil + Ajl Bik

Observação 6.1. Da simetria de A e B segue que
(A

B)jikl = Ajk Bil − Ajl Bik − Aik Bjl + Ail Bjk = −(A

B)ijkl

(A

B)klij = Aki Blj − Akj Bli − Ali Bkj + Alj Bki = (A

B)ijkl .

e

Além disso,
(A B)ijkl + (A B)jkil + (A B)kijl
= Aik Bjl − Ail Bjk − Ajk Bil + Ajl Bik
+Akj Bil − Akl Bij − Aij Bkl + Ail Bkj
+Aji Bkl − Ajl Bki − Aki Bjl + Akl Bij
= 0.
130

Desta forma, A

B ∈ CB (Rn ).

Definição 6.2. Fixados dois números reais a, b ≥ 0, definimos uma transformação linear
`a,b : CB (Rn ) −→ CB (Rn ) que a cada R ∈ CB (Rn ) associa o tensor
`a,b (R) = R + bRic(R)

id +

1
(a − b)scal(R)id
n

id

Lema 6.1. Para cada R ∈ CB (Rn ), temos
Q(`a,b (R))ijkl − Q(R)ijkl
n
X
= 2b
Ricpq (Ripkq δjl − Riplq δjk − Rjpkq δil + Rjplq δik )
p,q=1

+(4b + 2(n − 2)b2 )(Ricik Ricjl − Ricil Ricjk )
−2b2 (Ric2ik δjl − Ric2jk δil − Ric2il δjk + Ric2jl δik )


4
2
+ 2b + (a − b)(1 + (n − 2)b) · scal(Ricik δjl − Ricjk δil − Ricil δjk + Ricjl δik )
n
8
+2b2 |Ric|2 (δik δjl − δil δjk ) + 2 (a − b)(b + (n − 1)a)scal2 (δik δjl − δil δjk ).
n
Demonstração. Para abreviar as notações, escreveremos S = `a,b (R). Temos que

131

(S 2 )ijkl − (R2 )ijkl
n
n
X
X
=
Sijpq Sklpq −
Rijpq Rklpq
p,q=1
n 
X

p,q=1


2
=
Rijpq + b(Ricip δjq − Riciq δjp − Ricjp δiq + Ricjq δip ) + (a − b)scal(δip δjq − δiq δjp ) ·
n
p,q=1


2
Rklpq + b(Rickp δlq − Rickq δlp − Riclp δkq + Riclq δkp ) + (a − b)scal(δkp δlq − δkq δlp )
n
n
X
−
Rijpq Rklpq
p,q=1
n
X

n
X
2
= b
Rijpq (Rickp δlq − Rickq δlp − Riclp δkq + Riclp δkq ) + (a − b)scal
Rijpq (δkp δlq − δkq δlp )
n
p,q=1
p,q=1

+b
+b

n
X

Rklpq (Ricip δjq − Riciq δjp − Ricjp δiq + Ricjq δip )

p,q=1
n
X
2

(Ricip δjq − Riciq δjp − Ricjp δiq + Ricjq δip )(Rickp δlq − Rickq δlp − Riclp δkq + Riclq δkp )

p,q=1
n
X
2b(a − b)
+
(Ricip δjq − Riciq δjp − Ricjp δiq + Ricjq δip )(δkp δlq − δkq δlp )
scal
n
p,q=1
n
X
2b(a − b)
(Rickp δlq − Rickq δlp − Riclp δkq + Riclq δkp )(δip δjq − δiq δjp )
+
scal
n
p,q=1
n
n
X
X
2(a − b)
4(a − b)2
2
+
Rklpq (δip δjq − δiq δjp ) +
(δip δjq − δiq δjp )(δkp δlq − δkq δlp ).
scal
scal
2
n
n
p,q=1
p,q=1

Lembrando que

2

2
p=1 Ricip Ricpj = Ricij , arrumamos os cálculos para obter que

Pn

2

(S )ijkl − (R )ijkl = 2b

n
X

(Rijpl Rickp + Rijkp Riclp + Rklpj Ricip + Rklip Ricjp )

p,q=1

8(a − b)
scalRijkl + 4b2 (Ricik Ricjl − Ricil Ricjk )
n2
+2b2 (Ric2ik δjl − Ric2il δjk − Ric2jk δil + Ric2jl δik )
8(a − b)b
+
scal(Ricik δjl − Ricil δjk − Ricjk δil + Ricjl δik )
n
8(a − b)2
+
scal2 (δik δjl − δil δjk )
(6.1)
2
n

+

Por outro lado, temos que
132

(S # )ijkl − (R# )ijkl
n
n
n
n
X
X
X
X
= 2
Sipkq Sjplq − 2
Siplq Sjpkq − 2
Ripkq Rjplq + 2
Riplq Rjpkq
p,q=1
n 
X

p,q=1

p,q=1

p,q=1


2
= 2
Ripkq + b(Ricik δpq − Riciq δpk − Ricpk δiq + Ricpq δik ) + (a − b)scal(δik δpq − δiq δpk ) ·
n
p,q=1


2
Rjplq + b(Ricjl δpq − Ricjq δpl − Ricpl δjq + Ricpq δjl ) + (a − b)scal(δjl δpq − δjq δpl )
n

n 
X
2
−2
Riplq + b(Ricil δpq − Riciq δpl − Ricpl δiq + Ricpq δil ) + (a − b)scal(δil δpq − δiq δpl ) ·
n
p,q=1


2
Rjpkq + b(Ricjk δpq − Ricjq δpk − Ricpk δjq + Ricpq δjk ) + (a − b)scal(δjk δpq − δjq δpk )
n
n
n
X
X
Riplq Rjpkq .
Ripkq Rjplq + 2
−2
p,q=1

p,q=1

Faremos este maçante cálculo por partes.

133

(1) Temos que
2b

n
X

Ripkq (Ricjl δpq − Ricjq δpl − Ricpl δjq + Ricpq δjl )

p,q=1
n
X

+2b

−2b
−2b
= −2b
+2b
+2b

p,q=1
n
X
p,q=1
n
X

Rjplq (Ricik δpq − Riciq δpk − Ricpk δiq + Ricpq δik )
Riplq (Ricjk δpq − Ricjq δpk − Ricpk δjq + Ricpq δjk )
Rjpkq (Ricil δpq − Riciq δpl − Ricpl δiq + Ricpq δil )

p,q=1
n
X

(Ricjp Rilkp + Ricpl Ripkj + Ricip Rjklp + Ricpk Rjpli )

p=1
n
X

(Ricjp Riklp + Ricpk Riplj + Ricip Rjlkp + Ricpl Rjpki )

p=1
n
X

Ricpq (Ripkq δjl − Riplq δjk − Rjpkq δil + Rjplq δik )

p,q=1

+4b(Ricjl Ricik − Ricjk Ricil )
n
X
(Ricjp Ripkl + Riclp Rijkp + Ricip Rpjkl + Rickp Rijpl )
= −2b
+2b

p=1
n
X

Ricpq (Ripkq δjl − Riplq δjk − Rjpkq δil + Rjplq δik )

p,q=1

+4b(Ricjl Ricik − Ricjk Ricil ).
Na última igualdade, utilizamos a 2a Identidade de Bianchi.
(2) Temos que
n
X
4(a − b)
scal
[Ripkq (δjl δpq − δjq δpl ) + Rjplq (δik δpq − δiq δpk )
n
p,q=1

−Riplq (δjk δpq − δjq δpk ) − Rjpkq (δil δpq − δiq δpl )]
4(a − b)
=
scal(Ricik δjl − Rilkj + Ricjl δik − Rjkli )
n
4(a − b)
+
scal(−Ricil δjk + Riklj − Ricjk δil + Rjlki )
n

134

4(a − b)
scal(Ricik δjl − Ricil δjk − Ricjk δil + Ricjl δik )
n
8(a − b)
scalRijkl
−
n

=

(3) Como
n
X

(Ricik δpq − Riciq δpk − Ricpk δiq + Ricpq δik ) ·

p,q=1

(Ricjl δpq − Ricjq δpl − Ricpl δjq + Ricpq δjl )
= nRicik Ricjl − Ricik Ricjl − Ricik Ricjl + Ricik δjl scal
−Ricjl Ricik + Ric2ij δkl + Ricij Rickl − δjl Ric2ik
−Ricjl Ricik + Riclk Ricij + Ric2kl δij − δjl Ric2ik
Ricjl δik scal − Ric2jl δik − Ric2jl δik + δik δjl |Ric|2
= (n − 4)Ricik Ricjl + 2Ricij Riclk + scal(Ricik δjl + Ricjl δik )
−2(Ric2ik δjl + Ric2jl δik ) + Ric2ij δkl + Ric2kl δij δik δjl |Ric|2 ,
temos que

2b

2

n
X

(Ricik δpq − Riciq δpk − Ricpk δiq + Ricpq δik ) ·

p,q=1

(Ricjl δpq − Ricjq δpl − Ricpl δjq + Ricpq δjl )
n
X
2
−2b
(Ricil δpq − Riciq δpl − Ricpl δiq + Ricpq δil ) ·
p,q=1

(Ricjk δpq − Ricjq δpk − Ricpk δjq + Ricpq δjk )
= 2b2 (n − 4)(Ricik Ricjl − Ricil Ricjk )
+2b2 (Ricik δjl − Ricil δjk − Ricjk δil + Ricjl δik )
−4b2 (Ric2ik δjl − Ric2il δjk − Ric2jk δil + Ric2jl δik )
+2b2 |Ric|2 (δik δjl − δil δjk )
(4) Observando que
n
X

(Ricik δpq − Riciq δpk − Ricpk δiq + Ricpq δik )(δjl δpq − δjq δpl )

p,q=1
n
X

+

(Ricjl δpq − Ricjq δpl − Ricpl δjq + Ricpq δjl )(δik δpq − δiq δpk )

p,q=1

= (n − 4)(Ricik δjl + Ricjl δik ) + 2(Ricij δkl + Rickl δij ) + 2δik δjl scal,
135

teremos
n
X
4b(a − b)
scal
(Ricik δpq − Riciq δpk − Ricpk δiq + Ricpq δik )(δjl δpq − δjq δpl )
n
p,q=1
n
X
4b(a − b)
+
scal
(Ricjl δpq − Ricjq δpl − Ricpl δjq + Ricpq δjl )(δik δpq − δiq δpk )
n
p,q=1
n
X
4b(a − b)
−
scal
(Ricil δpq − Riciq δpl − Ricpl δiq + Ricpq δil )(δjk δpq − δjq δpk )
n
p,q=1

−
=

n
X
4b(a − b)
scal
(Ricjk δpq − Ricjq δpk − Ricpk δjq + Ricpq δjk )(δil δpq − δiq δpl )
n
p,q=1

4b(a − b)(n − 4)
scal(Ricik δjl − Ricil δjk − Ricjk δil + Ricjl δik )
n
8b(a − b)
+
scal2 (δik δjl − δil δjk ).
n

Segue de (1), (2), (3) e (4) que
(S # )ijkl − (R# )ijkl
n
X
(Ricjp Ripkl + Riclp Rijkp + Ricip Rpjkl + Rickp Rijpl )
= −2b
+2b

p=1
n
X

Ricpq (Ripkq δjl − Riplq δjk − Rjpkq δil + Rjplq δik )

p,q=1

8(a − b)
scalRijkl + (4b + 2(n − 4)b2 )(Ricjl Ricik − Ricjk Ricil )
n
−4b2 (Ric2ik δjl − Ric2il δjk − Ric2jk δil + Ric2jl δik )


4
2
+ 2b + (a − b)(1 + (n − 4)b) scal(Ricik δjl − Ricil δjk − Ricjk δil + Ricjl δik )
n
8
+2b2 |Ric|2 (δik δjl − δil δjk ) + 2 (a − b)(2b + (n − 2)a)scal2 (δik δjl − δil δjk ). (6.2)
n
Somando (6.1) com (6.2), obtemos o resultado desejado.
−


Lema 6.2. Para cada R ∈ CB (Rn ), temos
`a,b (Q(R))ijkl − Q(R)ijkl
n
X
= 2b
Ricpq (Ripkq δjl − Riplq δjk − Rjpkq δil + Rjplq δik )
p,q=1

4
+ (a − b)|Ric|2 (δik δjl − δil δjk ).
n
136

Demonstração. Se escrevemos T = Q(R), já vimos que
Ric(T )ik =

n
X

Ripkq Ricpq e scal(T ) = 2|Ric|2 .

p,q=1

Assim, utilizando a definição de `a,b , segue que
`a,b (T )ijkl − Tijkl = b(Ric(T )ik δjl − Ric(T )il δjk − Ric(T )jk δil + Ric(T )jl δik )
2
+ (a − b)scal(T )(δik δjl − δil δjk )
n
n
X
= 2b
Ricpq (Ripkq δjl − Riplq δjk − Rjpkq δil + Rjplq δik )
p,q=1

4
+ (a − b)|Ric|2 (δik δjl − δil δjk ).
n

Lema 6.3. Para cada R ∈ CB (Rn ), temos
Q(`a,b (R)) = `a,b (Q(R)) + (2b + (n − 2)b2 )Ric Ric − 2b2 Ric2


4
2
+ 2b + (a − b)(1 + (n − 2)b) scalRic id
n
1
+ (nb2 − 2(a − b))|Ric2 |id id
n
4
+ 2 (a − b)(b + (n − 1)a)scal2 id id.
n

id

Demonstração. Subraindo as identidades obtidas nos Lemas 6.1 e 6.2, teremos
Q(`a,b (R)) − `a,b (Q(R)) = (2b + (n − 2)b2 )(2Ricik Ricjl − 2Ricil Ricjk )
−2b2 (Ric2ik δjl − Ric2il δjk − Ric2jk δil + Ric2jl δik )


4
2
+ 2b + (a − b)(1 + (n − 2)b) scal ·
n
(Ricik δjl − Ricil δjk − Ricjk δil + Ricjl δik )
1
+ (nb2 − 2(a − b))|Ric|2 (2δik δjl − 2δil δjk )
n
4
+ 2 (a − b)(b + (n − 1)a)scal2 (2δik δjl − 2δil δjk )
n
Utilizando a definição do Produto de Kulkarni-Nomizu, nossa assertiva segue.
137


Dado qualquer R ∈ CB (Rn ), considere
o

Da,b (R) = [(n − 2)b2 − 2(a − b)] Ric

o

Ric

o 2

+2aRic Ric + 2b2 Ric id
nb2 (1 − 2b) − 2(a − b)(1 − 2b + nb2 ) o 2
+
| Ric | id
n[1 + 2(n − 1)a]

id.

Temos que Da,b (R) ∈ CB (Rn ).
Proposição 6.1. Dado R ∈ CB (Rn ), temos que
4
(2b + (n − 2)a)scalRic
n
n2 b2 − 2(n − 1)(a − b)(1 − 2b) o 2
+2
| Ric | id
n(1 + 2(n − 1)a)
4
+ 2 (a − b)scal2 id
n

Ric(Da,b (R)) = −4bRic2 +

e
scal(Da,b (R)) =

Demonstração.
temos que
Ric(A

o
4(n − 1)
ascal2 − 4b| Ric |2
n
n2 b2 − 2(n − 1)(a − b)(1 − 2b) o 2
+2
| Ric |
1 + 2(n − 1)a

Inicialmente, note que se A e B são formas bilineares simétricas,

B)ik =
=

n
X

(A

B)ijkl

j,l=1
n
X

(Aik Bjl − Ail Bjk − Ajk Bil + Ajl Bik )

j,l=1

= Aik · trB + Bik · trA − (AB + BA)ik .
Usando a linearidade do tensor de Ricci e a observação acima concluímos que
4
(2b + (n − 2)a)scalRic
n
n2 b2 − 2(n − 1)(a − b)(1 − 2b) o 2
+2
| Ric | id
n(1 + 2(n − 1)a)
4
+ 2 (a − b)scal2 id
n

Ric(Da,b (R)) = −4bRic2 +

138

(6.3)

o

Levando em conta que tr(Ric) = scal, tr(id) = n e tr(Ric2 ) = | Ric |2 + n1 scal2 ,
tomamos o traço de (6.3) para obter que
scal(Da,b (R)) =

o
4(n − 1)
ascal2 − 4b| Ric |2
n
n2 b2 − 2(n − 1)(a − b)(1 − 2b) o 2
+2
| Ric |
1 + 2(n − 1)a


Proposição 6.2 (C.Böhm, B.Wilking, [5]). Dado R ∈ CB (Rn ), temos que
`−1
a,b (Q(`a,b (R))) = Q(R) + Da,b (R).
o

Demonstração. Lembrando que Ricij = Ricij − n1 scalδij , segue da definição de Da,b (R)
que

 

1
1
Ric − scal · id
Da,b (R) = [(n − 2)b − 2(a − b)] Ric − scal · id
n
n


1
2
+2aRic Ric + 2b2 Ric2 − scalRic + 2 scal2 id
id
n
n
nb2 (1 − 2b) − 2(a − b)(1 − 2b + nb2 ) o 2
| Ric | id id
+
n[1 + 2(n − 1)a]
= (2b + (n − 2)b2 )Ric Ric + 2b2 Ric2 id
nb2 (1 − 2b) − 2(a − b)(1 − 2b + nb2 ) o 2
+
| Ric | id id
n[1 + 2(n − 1)a]
1
+ 2 (nb2 − 2(a − b))scal2 id id
n
2
− (nb2 − 2(a − b))scal · Ric id.
n
2

Assim, utilizando a observalção acima, a definição de `a,b e a Proposição 6.1, teremos
que

139

`a,b (Da,b (R)) = (2b + (n − 2)b2 )Ric Ric + 2b2 Ric2 id
nb2 (1 − 2b) − 2(a − b)(1 − 2b + nb2 ) o 2
+
| Ric | id id
n[1 + 2(n − 1)a]
1
+ 2 (nb2 − 2(a − b))scal2 id id
n
2
− (nb2 − 2(a − b))scal · Ric id
n

4
2
+b −4bRic + (2b + (n − 2)a)scal · Ric
id
n
 2 2

n b − 2(n − 1)(a − b)(1 − 2b) o 2
4
2
+ 2
| Ric | id + 2 (a − b)scal id
n(1 + 2(n − 1)a)
n


o
4(n − 1)
1
ascal2 − 4b| Ric |2 id id
+ (a − b)
n
n
 2 2

n b − 2(n − 1)(a − b)(1 − 2b) o 2
1
| Ric | id id
+ (a − b) 2
n
1 + 2(n − 1)a
= (2b + (n − 2)b2 )Ric(Da,b (R)) Ric(Da,b (R)) − 2b2 Ric(Da,b (R))2


4
2
+ 2b + (a − b)(1 + (n − 2)b) scal(Da,b (R))Ric(Da,b (R)) id
n
o
1
+ (nb2 − 2(a − b))| Ric |2 id id
n
1
+ 2 (nb2 − 2(a − b))scal(Da,b (R))2 id id
n
4
+ 2 (a − b)(b + (n − 1)a)scal(Da,b (R))2 id id.
n

id

id

o

Lembrando que |Ric|2 = | Ric |2 + n1 scal2 , usamos o Lema 6.3, para concluir que
Q(`a,b (R)) = `a,b (Q(R)) + `a,b (Da,b (R)).
Disto segue nossa proposição.


6.2
se

Contruindo uma família de cones invariantes

Considere um cone C ⊂ CB (Rn ), com n ≥ 4. Diremos que C satizfaz a condição (∗)
• C é fechado, convexo e O(n)-invariante;
• C é invariante pela E.D.O. de Hamilton dtd R = Q(R);
• Se R ∈ C, então R tem curvatura seccional não negativa;
140

• Se R ∈ CB (Rn ) tem operador de curvatura não negativo, então R ∈ C.
Um exemplo de um cone que satisfaz a condição (∗) é o cone Ĉ definido na seção 5.3
(cf. Corolários 5.1 e 5.2 e Proposição 5.6). No que segue esta seção, estabeleceremos duas
deformações de cones invariantes, demonstradas primordialmente por Böhm e Wilking
(cf. [5]).
Proposição 6.3. Seja C ⊂ CB (Rn ) um cone satizfazendo a condição (∗). Fixado b ∈
(0, 1/2], considere
2a =

2b + (n − 2)b2
1
e
δ
=
1
−
.
1 + (n − 2)b2
1 + (n − 2)b2

Então, o cone


δ
C(a) = `a,b (R); R ∈ C e Ric(R) ≥ scal(R) · id
n
é tranversalmente invariante pela E.D.O. de Hamilton dtd R = Q(R).
Demonstração. Em vista da Proposição 6.2, basta mostrarmos que o conjunto


δ
C̃(a) = R ∈ C; Ric(R) ≥ scal(R) · id
n
é tranversalmente invariante pela E.D.O. dtd R = Q(R) + Da,b (R).
Para isto, considere um tensor R ∈ ∂ C̃(a)/ {0} tal que Ric(R) ≥ nδ scal · id. Para
completar a demonstração verificaremos as duas afirmações que se seguem:
(i) A soma Q(R) + Da,b (R) está no interior do cone tangente TR C.
Como C é invariante pela E.D.O. dtd R = Q(R), segue do Corolário 4.1 que Q(R)
pertence ao cone tangente TR C, para todo R ∈ C.
Após um recalonamento da métrica, podemos supor que scal = n. Considere uma
o

o

base ortonormal {e1 , e2 , . . . , en } de Rn que diagonaliza Ric, isto é, Ric (ei , ej ) = 0,
o

o

se i 6= j, e os autovalores de Ric serão dados por λi =Ric (ei , ei ). Em particular,
temos que
o

Ric(ei , ej ) =Ric (ei , ej ) +

1
scalδij = 0, se i 6= j,
n

e
o

Ric(ei , ei ) =Ric (ei , ei ) +

1
scalδii = λi + 1.
n

Além disso, segue da condição Ric(R) ≥ nδ scal(R) · id que
λi + 1 = Ric(ei , ei ) ≥
141

δ
scalδii ,
n

Lembrando a definição de δ, chegamos que
λk ≥ δ − 1 = −

1
,
1 + (n − 2)b2

(6.4)

para todo 1 ≤ k ≤ n.
Afirmamos que, se i 6= j, ei ∧ej é um autovetor do operador de curvatura de Da,b (R)
com autovalor σij = Da,b (R)(ei , ej , ei , ej ). Isto pode ser demonstrado, observando
que se {ei } é uma base ortonormal de autovetores das formas bilineares simétricas
A e B são com Aei = ai ei e Bej = bj ej , temos

A

B(ei ∧ ej ) = (A B)(ei , ej , ei , ej )
= A(ei , ei )B(ej , ej ) − A(ei , ej )B(ei , ej )
−A(ei , ej )B(ei , ej ) + A(ej , ej )B(ei , ei )
= (ai bj + aj bi )(ei ∧ ej ).

Como {e1 , e2 , . . . , en } é uma base ortonormal de autovetores das formas bilineares
o

Ric, Ric e id, segue da observação acima e da definição de Da,b (R) que os autovalores
de Da,b (R) são dados por σij , onde
1
σij = ((n − 2)b2 − 2(a − b))λi λj
2
+2a(λi + 1)(λj + 1) + b2 (λ2i + λ2j )
+

nb2 (1 − 2b) − 2(a − b)(1 − 2b + nb2 ) o 2
| Ric | .
n(1 + 2(n − 1)a)

Note que

142

[(n − 2)b2 − 2(a − b)]λi λj + 2a(λi + 1)(λj + 1)
= [(n − 2)b2 + 2b]λi λj + 2a(λi + λj + 1)



1
1
2
= [(n − 2)b + 2b] λi +
λj +
1 + (n − 2)b2
1 + (n − 2)b2


1
(n − 2)b2 + 2b
λi + λj +
−
2
1 + (n − 2)b
1 + (n − 2)b2


1
2a
+2a λi + λj +
−
+ 2a
2
1 + (n − 2)b
1 + (n − 2)b2



1
1
2
λj +
= [(n − 2)b + 2b] λi +
1 + (n − 2)b2
1 + (n − 2)b2



1
(n − 2)b2 + 2b
+ λi + λj +
2a −
1 + (n − 2)b2
1 + (n − 2)b2
2a(n − 2)b2
+
1 + (n − 2)b2



1
1
2
= [(n − 2)b + 2b] λi +
λj +
1 + (n − 2)b2
1 + (n − 2)b2
2a(n − 2)b2
+
,
1 + (n − 2)b2
2

pois 2a = 2b+(n−2)b
. Desta forma, temos que
1+(n−2)b2



1
1
1
2
σij = [(n − 2)b + 2b] λi +
λj +
2
1 + (n − 2)b2
1 + (n − 2)b2
2a(n − 2)b2
+ b2 (λ2i + λ2j )
+
1 + (n − 2)b2
nb2 (1 − 2b) − 2(a − b)(1 − 2b + nb2 ) o 2
| Ric | .
+
n(1 + 2(n − 1)a)
Como a, b > 0, n ≥ 4 e vale (6.4), concluímos que
nb2 (1 − 2b) − 2(a − b)(1 − 2b + nb2 ) o 2
1
σij >
| Ric | .
2
n(1 + 2(n − 1)a)
Lembrando da definição de a, temos que

143

nb2 (1 − 2b) − 2(a − b)(1 − 2b + nb2 )
2b + (n − 2)b2
= nb2 (1 − 2b) −
(1 − 2b + nb2 ) + 2b(1 − 2b + nb2 )
1 + (n − 2)b2




2b + (n − 2)b2
2b + (n − 2)b2
2
2
= (1 − 2b) nb −
+ 2b − nb
− 2b
1 + (n − 2)b2
1 + (n − 2)b2
1 − 2b
[(n − 2)b2 nb2 + 2b2 + 2b(n − 2)b2 ]
=
2
1 + (n − 2)b
nb2
−
[(n − 2)b2 − 2b(n − 2)b2 ]
1 + (n − 2)b2
2b2 (1 − 2b)
=
(1 + (n − 2)b)
1 + (n − 2)b2
> 0,
pois b ∈ (0, 1/2]. Com isto, concluímos que σij > 0, para todos 1 ≤ i, j ≥ n. Isto
significa que Da,b (R) tem operador de curvatura positivo. Como C é um cone que
satisfaz a condição (∗), segue que Da,b (R) ∈ C. Daí, Da,b (R) pertence ao interior
do cone tangente TR C. Como já vimos que Q(R) ∈ TR C, segue que Q(R) + Da,b (R)
está no interior do cone tangente TR C.
(ii) Se v ∈ Rn é um vetor unitário tal que Ric(v, v) = nδ scal · id, então
Ric(Q(R))(v, v) + Ric(Da,b (R))(v, v) >

δ
δ
scal(Q(R)) + scal(Da,b (R)).
n
n

Supondo que scal = n, teremos que Ric(v, v) = δ, onde v ∈ Rn é um vetor unitário.
Assim,

Ric(Q(R))(v, v) = 2

n
X

R(v, ek , v, ek )Ric(ek , ek )

k=1

≥ 2δRic(v, v)
= 2δ 2 ,
e
o

scal(Q(R)) = 2|Ric|2 = 2n + 2| Ric |2 .
Desta forma,
o
δ
2
scal(Q(R)) = −2δ(1 − δ) − δ| Ric |2 .
n
n
Utilizando a Proposição 6.1, também vemos que

Ric(Q(R))(v, v) −

144

(6.5)

Ric(Da,b (R)) = −4bδ 2 + 4(2b + (n − 2)a)δ + 4(a − b)
n2 b2 − 2(n − 1)(a − b)(1 − 2b) o 2
+2
| Ric | ,
1 + 2(n − 1)a
e
o

scal(Da,b (R)) = 4n(n − 1)a − 4b| Ric |2
n2 b2 − 2(n − 1)(a − b)(1 − 2b) o 2
+2
| Ric | ,
1 + 2(n − 1)a
de onde concluímos que
δ
scal(Da,b (R))
n
o
4b
= 4a(1 − δ) − 4b(1 − δ)2 + δ| Ric |2
n
2 2
o
n b − 2(n − 1)(a − b)(1 − 2b)
(1 − δ)| Ric |2 .
+2
1 + 2(n − 1)a

Ric(Da,b (R))(v, v) −

(6.6)

Segue de (6.5) e (6.6) que
δ
δ
scal(Q(R)) − scal(Da,b (R))
n
n
o
2(1 − 2b)
≥ −2(1 − δ)(δ − 2a + 2b(1 − δ)) −
δ| Ric |2
n
o
n2 b2 − 2(n − 1)(a − b)(1 − 2b)
+2
(1 − δ)| Ric |2 .
1 + 2(n − 1)a
Ric(Q(R))(v, v) + Ric(Da,b (R))(v, v) −

Segue das nossas escolhas de a e δ que δ − 2a + 2b(1 − δ) = 0, de onde obtemos que
Ric(Q(R))(v, v) + Ric(Da,b (R))(v, v) −

δ
δ
scal(Q(R)) − scal(Da,b (R))
n
n

o
2(1 − 2b)
δ| Ric |2
n
o
n2 b2 − 2(n − 1)(a − b)(1 − 2b)
+2
(1 − δ)| Ric |2
1 + 2(n − 1)a

≥−

o

= 2η| Ric |2 ,

(6.7)

onde
η=

n2 b2 − 2(n − 1)(a − b)(1 − 2b)
1 − 2b
(1 − δ) −
δ.
1 + 2(n − 1)a
n
145

Como
1
(n − 2)b2
=
,
1−δ
δ
teremos que
1 + 2(n − 1)a
η = n2 b2 − 2(n − 1)(a − b)(1 − 2b)
1−δ
−(1 + 2(n − 1)a)(n − 2)b2 (1 − 2b)
= n2 b2 + (n − 1)(1 + (n − 2)b2 )(2b − 1)2a
+(1 − 2b)(2(n − 1)b − (n − 2)b2 )
= n2 b2 + (n − 1)(2b − 1)(2b + (n − 2)b2 )
+(1 − 2b)(2(n − 1)b − (n − 2)b2 )
= b2 (n2 − n(n − 2)(1 − 2b))
= 2b2 n(1 + b(n − 2))
> 0.
o

o

Isto significa que η > 0. Observando que Ric (v, v) = δ−1 < 0, temos que | Ric |2 > 0.
Unindo estes fatos e os substituindo em (6.7), concluiremos que
Ric(Q(R))(v, v) + Ric(Da,b (R))(v, v) >

δ
δ
scal(Q(R)) + scal(Da,b (R)).
n
n


Proposição 6.4. Seja C ⊂ CB (Rn ) um cone satizfazendo a condição (∗). Fixado a ∈
(1/2, ∞), considere
b=

4
1
e δ =1−
.
2
n − 2 + 8a

Então, o cone


δ
C (a) = `a,b (R); R ∈ C e Ric(R) ≥ scal(R) · id
n
0

é tranversalmente invariante pela E.D.O. de Hamilton dtd R = Q(R).
Demonstração.
Como esperado, a demonstração desta proposição seguirá os moldes da anterior. Pela
Proposição 6.2, basta mostrarmos que o conjunto


δ
0
C (a) = R ∈ C; Ric(R) ≥ scal(R) · id
n
é tranversalmente invariante pela E.D.O. dtd R = Q(R) + Da,b (R).
Para isto, considerearemos um tensor R ∈ ∂ C̃(a)/ {0} tal que Ric(R) ≥ nδ scal · id.
Para completar a demonstração verificaremos as duas afirmações que se seguem:
146

(i) A soma Q(R) + Da,b (R) está no interior do cone tangente TR C. Como feito antes,
assumimos que scal = n e escolhemos uma base ortonormal {e1 , e2 , . . . en } de Rn
o

tal que Ric(ei , ej ) = 0, se i 6= j, Ric (ei , ei ) = λi e Ric(ei , ei ) = 1 + λi , para todo
1 ≤ i ≤ n. Além do mais, temos que λi ≥ δ − 1.
Se fixamos dois índices i 6= j, temos que ei ∧ ej é um autovetor do operador de
curvatura de Da,b (R) com autovalor associado σij . Além disso,
1
σij = ((n − 2)b2 − 2(a − b))λi λj
2
+2a(λi + 1)(λj + 1) + b2 (λ2i + λ2j )
nb2 (1 − 2b) − 2(a − b)(1 − 2b + nb2 ) o 2
| Ric |
n(1 + 2(n − 1)a)

n+2
− 2a λi λj + 2a(λi + 1)(λj + 1)
=
4
o
1
2a − 1
+ (λ2i + λ2j ) −
| Ric |2 ,
4
4(1 + 2(n − 1)a)
+


pois b = 1/2. Note que



n+2
− 2a λi λj + 2a(λi + 1)(λj + 1)
4



4
4
n+2
λi +
λj +
− (λi + λj ) + 2a(λi + 1)(λj + 1)
=
4
n+2
n+2



4
4
n−2
n+2
=
− (2a − 1)
λi +
λj +
+
4
n+2
n+2
n+2


8
8
(2a − 1)
+(2a − 1) λi + λj +
−
n − 2 + 8a
n − 2 + 8a



n+2
4
4
n−2
=
λi +
λj +
+
4
n+2
n+2
n+2


n − 10 + 8a
+(2a − 1)
+ (2a − 1)(λi + λj + 2(1 − δ)).
n − 2 + 8a
4
pois δ = 1 − n−2+8a
. Desta forma, temos que



4
4
n−2
λi +
λj +
+
n+2
n+2
n+2


n − 10 + 8a
+(2a − 1)
+ (2a − 1)(λi + λj + 2(1 − δ))
n − 2 + 8a
o
1
2a − 1
+ (λ2i + λ2j ) −
| Ric |2 .
4
4(1 + 2(n − 1)a)

1
n+2
σij =
2
4



147

Como
λi ≥ δ − 1 > −

4
,
n+2

e a > 1/2, concluímos que
n−2
1
σij >
+ (2a − 1)
2
n+2



n − 10 + 8a
n − 2 + 8a


−

o
2a − 1
| Ric |2 .
4(1 + 2(n − 1)a)

(6.8)

Agora, lembrando que λi ≥ δ − 1, para todo 1 ≤ i ≤ n, e
n
X

λi =

n
X

i=1

o

o

Ric (ei , ei ) = tr(Ric) = 0,

i=1

vemos que

0 = λk +

n
X

λi ≥ λk + (n − 1)(δ − 1),

i6=k

de onde λk ≤ (1 − δ)(n − 1), para todo 1 ≤ k ≤ n. Como
que

0 ≤

n
X

o
2
2
i λi = | Ric | , teremos

P

[λk + (1 − δ)][(n − 1)(1 − δ) − λk ]

k=1

=

n
X

2

[(n − 1)(1 − δ)

− λ2k ] + (n − 2)(1 − δ)

n
X

λk

k=1

k=1
o

= n(n − 1)(1 − δ)2 − | Ric |2 ,
donde
o

| Ric |2 ≤ n(n − 1)(1 − δ)2 .
Substituindo em (6.8), teremos
1
n−2
σij ≥
+ (2a − 1)
2
n+2



n − 10 + 8a
n − 2 + 8a


−4

2a − 1
n(n − 1)
·
.
1 + 2(n − 1)a (n − 2 + 8a)2

Utilizando que a > 1/2 e n ≥ 4, concluiremos que
148

n−2
1
σij (n − 2 + 8a) ≥
(n − 2 + 8a) + (2a − 1)(n − 10 + 8a)
2
n+2
2a − 1
n(n − 1)
−4
·
1 + 2(n − 1)a n − 2 + 8a
n−2
>
(n − 2 + 8a) + (2a − 1)(n − 10 + 8a)
n+2
n−1
−4(2a − 1)
n+2


n−2
4
=
(n − 2 + 8a) + (2a − 1) n − 2 −
n+2
n+2


4n
8
+(2a − 1) 8(a − 1) −
+
n+2 n+2


4
= (2a − 1) n − 2 −
+ 8(2a − 1)(a − 1) + n − 2
n+2


4
+ (4a + 3)2 + (n − 3)
= (2a − 1) n − 2 −
n+2
> 0.
Daí, σij > 0, para todos 1 ≤ i, j ≥ n. Isto significa que Da,b (R) tem operador
de curvatura positivo. Como C é um cone que satisfaz a condição (∗), segue que
Da,b (R) ∈ C. Assim, Da,b (R) pertence ao interior do cone tangente TR C. Como
Q(R) ∈ TR C, segue que Q(R) + Da,b (R) está no interior do cone tangente TR C.
(ii) Se v ∈ Rn é um vetor unitário tal que Ric(v, v) = nδ scal · id, então
Ric(Q(R))(v, v) + Ric(Da,b (R))(v, v) >

δ
δ
scal(Q(R)) + scal(Da,b (R)).
n
n

Assumindo novamente que scal = n e considerando {e1 , e2 , . . . , en } uma base ortoo

normal de autovetores de Ric, procedemos da mesma forma que na demonstração
o

do Lema anterior para ver que | Ric |2 > 0 e
δ
δ
scal(Q(R)) − scal(Da,b (R))
n
n
o
2(1 − 2b)
≥ −2(1 − δ)(δ − 2a + 2b(1 − δ)) −
δ| Ric |2
n
o
n2 b2 − 2(n − 1)(a − b)(1 − 2b)
+2
(1 − δ)| Ric |2 .
1 + 2(n − 1)a
Ric(Q(R))(v, v) + Ric(Da,b (R))(v, v) −

Como a > 1/2, b = 1/2 e (1 − δ) > 0, segue que
149

Ric(Q(R))(v, v) + Ric(Da,b (R))(v, v) −
≥ 2(1 − δ)(2a − 1) +

δ
δ
scal(Q(R)) − scal(Da,b (R))
n
n

o
1
n
·
(1 − δ)| Ric |2
2 1 + 2(n − 1)a

> 0,
como queríamos demonstrar.


6.3

A demonstração do Teorema da Esfera Diferenciável

No que segue a esta seção, fixaremos um inteiro n ≥ 4. Considere Ĉ ⊂ CB (Rn ) o
cone introduzido na seção 5.3. Segue dos Corolários 5.1 e 5.2 e da Proposição 5.6 que Ĉ
satisfaz a condição (∗).
Definição 6.3. Para cada s > 0, definimos o cone Ĉ(s) por


δ(s)
Ĉ(s) := `a(s),b(s) (R); R ∈ Ĉ e Ric ≥
scal · id ,
n
onde

 2s + (n − 2)s2
, se 0 < s ≤ 21
2a(s) =
1 + (n − 2)s2

2s,
se
s > 12

2s, se 0 < s ≤ 12
2b(s) =
1, se
s > 21

1

 1−
, se 0 < s ≤ 12
2
1
+
(n
−
2)s
δ(s) =
4

 1−
, se
s > 12
n − 2 + 8s
Note que as funções a(s), b(s) e δ(s) são contínuas em (0, ∞). Além disso, para cada
s > 0, Ĉ(s) é um cone fechado, convexo e O(n)-invariante. O tensor Iijkl = δik δjl − δil δjk
está no interior de Ĉ(s), para cada s > 0.
Proposição 6.5. Para cada s > 0 o cone Ĉ(s) satisfaz as propriedades:
(i) Se R ∈ Ĉ(s)/ {0}, então Q(R) está no interior do cone tangente TR Ĉ(s);
2s−1
(ii) Se R ∈ Ĉ(s) para algum s > 1/2, então R é fracamente 2s+n−1
-pinçado.

150

Demonstração.
(i) Como Ĉ satisfaz a condição (∗), se s ≤ 1/2 a assertiva segue da Proposição 6.3 e se
s > 1/2 a assertiva segue da Proposição 6.4.
(ii) Fixado s > 1/2, tome S ∈ Ĉ(s), isto é, S = `s,1/2 (R) para algum R ∈ Ĉ.
Como R tem curvatura seccional não-negativa, dado um conjunto ortonormal {e1 , e2 } ⊂
Rn temos

0 ≤ 2R(e1 , e2 , e1 , e2 ) ≤

n
X

[R(e1 , ek , e1 , ek ) + R(e2 , ek , e2 , ek )]

k=1

= Ric(e1 , e1 ) + Ric(e2 , e2 ),
de onde obtemos que
1
0 ≤ R(e1 , e2 , e1 , e2 ) ≤ (Ric(e1 , e1 ) + Ric(e2 , e2 )).
2
Utilizando a definição de `a,b (R), obtemos que
1
`s,1/2 (R)(e1 , e2 , e1 , e2 ) = R(e1 , e2 , e1 , e2 ) + [Ric(R)(e1 , e1 ) + Ric(R)(e2 , e2 )]
2


2
1
+
s−
scal(R)
n
2
1
(2s − 1)scal(R),
≥
n
e
1
`s,1/2 (R)(e1 , e2 , e1 , e2 ) = R(e1 , e2 , e1 , e2 ) + [Ric(R)(e1 , e1 ) + Ric(R)(e2 , e2 )]
2


2
1
+
s−
scal(R)
n
2
1
≤
[Ric(R)(e1 , e1 ) + Ric(R)(e2 , e2 )]
2
1
+ [Ric(R)(e1 , e1 ) + Ric(R)(e2 , e2 )]
2
1
+ (2s − 1) scal(R)
n
2s − 1 + n
=
scal.
n
2s−1
Disto concluímos que o tensor R = `s,1/2 (R) é fracamente 2s+n−1
-pinçado.

151


Lema 6.4. Fixe um intervalo compacto [α, β] ∈ (0, ∞) e suponha que F ⊂ CB (Rn ) é um
conjunto fechado, invariante pela E.D.O. de Hamilton e satisfazendo
n
o
F ⊂ R ∈ CB (Rn ); R + hI ∈ Ĉ(s) ,
para algum s ∈ [α, β] e algum h > 0. Então existe um número real ε > 0 que depende
apenas de α, β e n tal que o conjunto
n
o
F̂ = R ∈ F ; R + 2hI ∈ Ĉ(s + ε)
é invariante pela E.D.O. de Hamilton e
{R ∈ F ; scal(R) ≤ h} ⊂ F̂ .
Demonstração. Se R ∈ Ĉ(s)/ {0} para algum s ∈ [α, β + 1], segue da Proposição
6.4 que Q(R) está no interior do cone tangente TR Ĉ(s). Podemos achar uma constante
N ≥ 1 que depende apenas de α, β e n com a propriedade de que se scal(R) ≥ N e
R ∈ Ĉ(s) para algum s ∈ [α, β + 1], então Q(R) está no interior de TR Ĉ(s).
Como os cones Ĉ(s) variam continuamente em s, podemos achar um número real
ε ∈ (0, 1] dependendo apenas de α, β e n, tal que
n

R ∈ CB (Rn ); R + I ∈ Ĉ(s) e scal(R) ≤ N

o

n
o
⊂ R ∈ CB (Rn ); R + 2I ∈ Ĉ, (s + ε)
(6.9)

para todo s ∈ [α, β].
Provaremos que este ε satisfaz a propriedade almejada pelo Lema. Sem perda de
generalidade, vamos supor que h = 1. Considere F ⊂ CB (Rn ) um conjunto fechado e
invariante pela E.D.O. de Hamilton satisfazendo
n
o
F ⊂ R ∈ CB (Rn ); R + I ∈ Ĉ(s) ,
(6.10)
para algum s ∈ [α, β]. Defina o conjunto F̂ ⊂ CB (Rn ) por
n
o
F̂ := R ∈ F ; R + 2I ∈ Ĉ(s + ε) .
De (6.9) e (6.10), concluímos que
{R ∈ F ; scal(R) ≤ N } ⊂ F̂ .

(6.11)

Feito isto, basta mostrarmos que F̂ é invariante pela E.D.O. de Hamilton. Para
isto, considere R(t), t ∈ [0, T ), como sendo uma solução da E.D.O. de Hamilton com
R(0) ∈ F̂ ⊂ F . Como F é invariante pela E.D.O. de Hamilton, já temos que R(t) ∈ F ,
∀t ∈ [0, T ). No que se segue iremos provar que R(t) + 2I ∈ Ĉ(s + ε), ∀t ∈ [0, T ), de onde
conluiremos a prova. Isto será feito argumentando por absurdo.
152

Supondo que o conjunto
considerar

n
o
t ∈ (0, T ); R(t) + 2I 6∈ Ĉ(s + ε) é não vazio, poderíamos

n
o
t0 = inf t ∈ (0, T ); R(t) + 2I 6∈ Ĉ(s + ε) .
Claramente, R(t0 ) + 2I ∈ Ĉ(s + ε). Temos duas possibilidades:
(1) scal(R(t0 )) ≥ N . Segue da nossa escolha de N que Q(R(t0 )) está no interior do
cone tangente TR(t0 +I) Ĉ(s + ε). Segue do item (ii) da Proposição 4.1 que existe
t1 ∈ (t0 , T ) tal que R(t) + 2I ∈ Ĉ(s + ε), ∀t ∈ [0, t1 ]. Isto contradiz a definição de
t0 .
(2) scal(R(t0 )) < N . Por continuidade, existe t2 ∈ (0, T ) tal que scal(R(t)) ≤ N ,
∀t ∈ [t0 , t1 ]. Segue de (6.11) que R(t) + 2I ∈ Ĉ(s + ε), ∀t ∈ [t0 , t1 ], o que contradiz
a definição de t0 .

Proposição 6.6. Considere K ⊂ CB (Rn ) um subconjunto compacto. Além disso considere F ⊂ CB (Rn ) o menor subconjunto contendo K que é fechado, convexo, O(n)invariante e invariante pela E.D.O. de Hamilton. Se existem constantes s0 > 0 e h0 > 0
tais que
n
o
F ⊂ R ∈ CB (Rn ); R + h0 I ∈ Ĉ(s0 ) ,
então F é um conjunto pinçante.
Demonstração. Considere S como sendo o conjunto dos números reais s > 0 tais que
n
o
n
F ⊂ R ∈ CB (R ); R + hI ∈ Ĉ(s) ,
para algum h > 0. Por hipótese temos que s0 ∈ S , donde S 6= ∅. Considere σ como
sendo o supremo dos elementos de S e (sj ) ∈ S uma sequência tal que sj → σ. Desta
forma, para cada j existe um número real hj > 0 tal que
n
o
F ⊂ R ∈ CB (Rn ); R + hj I ∈ Ĉ(sj ) .
Após um rescalonamento da métrica, se necessário, podemos supor que
hj ≥ sup {scal(R); R ∈ K} ,

(6.12)

para todo j.
Afirmamos que σ = ∞. De fato se a sequência (sj ) estivesse contida num subintervalo
compacto de (0, ∞), seguiria do Lema 6.4 que, para cada j, existiria um ε > 0 tal que o
conjunto
n
o
F̂j = R ∈ F ; R + 2hj I ∈ Ĉ(sj + ε) ,
153

é invariante pela E.D.O. de Hamilton e
{R ∈ F ; scal(R) ≤ hj } ⊂ F̂j .

(6.13)

Segue de (6.12) e (6.13) que K ⊂ F̂j , para cada j. Como os conjuntos F̂j são fechados,
convexos, O(n)-invariantes e invariantes pela E.D.O. de Hamilton, segue da hipótese da
Proposição que F ⊂ F̂j , para cada j. Isto implica que sj + ε ∈ S , para todo j. E,
como ε é independente de j, podemos considerar j suficientemente grande de forma que
sj + ε > σ. Isto contradiz a definição de σ.
Portanto, lim sj = σ = ∞. Utilizando a Proposição 6.5 concluiremos que F é um
conjunto pinçante.

Corolário 6.1. Considere K ⊂ CB (Rn ) um subconjunto compacto que está contido no
interior do cone Ĉ. Então existe um conjunto pinçante F ⊂ CB (Rn ) tal que K ⊂ F .
Demonstração. Considere F como sendo o menor conjunto contendo K que é fechado,
convexo, O(n)-invariante e invariante pela E.D.O. de Hamilton. Como K está contido no
interior de Ĉ, podemos encontrar um número real s0 > 0 tal que K ⊂ Ĉ(s0 ). Como Ĉ(s0 )
é um conjunto fechado, convexo, O(n)-invariante e invariante pela E.D.O. de Hamilton,
segue que F ⊂ Ĉ(s0 ). Segue da Proposição 6.6 que F é um conjunto pinçante

O Teorema que segue nos dá uma condição sobre o tensor curvatura de uma variedade
para que esta seja difeomorfa a uma forma espacial esférica.
Teorema 6.1 (S. Brendle, R. Schöen, [7]). Considere M uma variedade compacta de
dimensão n ≥ 4 e g0 uma métrica riemanniana em M . Assuma que o tensor de curvatura Rg0 está no interior do cone Ĉ para todos os pontos p ∈ M . Seja g(t), t ∈ [0, T ), a
única solução do fluxo de Ricci com métrica inicial g0 . Então, quando t → T , a métri1
convergem em C ∞ para uma métrica de curvatura seccional
cas rescalonadas 2(n−1)(T
−t)
constante igual a 1.
Demonstração. Pelo Corolário 6.1 existe um conjunto pinçante F ⊂ CB (Rn ) tal que
Rg0 ∈ F , ∀p ∈ M . Utilizando o Teorema 4.2 chegamos ao resultado desejado.

Para concluir o Teorema da Esfera Diferenciável, devemos mostrar que o interior
do cone Ĉ contém todos os tensores de curvatura estritamente 1/4-pinçados no sentido
pontual:
Proposição 6.7. Considere (M, g) como sendo uma variedade riemanniana de dimensão
n ≥ 4. Então
(i) Se (M, g) é fracamente 1/4-pinçada no sentido pontual, então o tensor de curvatura
de (M, g) está no cone Ĉ, para todos os pontos p ∈ M .
154

(i) Se (M, g) é estritamente 1/4-pinçada no sentido pontual, então o tensor de curvatura
de (M, g) está no interior do cone Ĉ, para todos os pontos p ∈ M .
Demonstração. Se M é fracamente 1/4-pinçada segue que 0 ≤ Kmax (p) ≤ 4Kmin (p).
Usando o Lema de Berger (cf. Lema 1.1), temos que
2
R(e1 , e2 , e3 , e4 ) ≤ (Kmax (p) − Kmin (p)) ≤ 2Kmin ,
3
para todos conjuntos ortonormais {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂ Tp M . Desta forma,
R(e1 , e3 , e1 , e3 ) + λ2 R(e1 , e4 , e1 , e4 )
+µ2 R(e2 , e3 , e2 , e3 ) + µ2 λ2 R(e2 , e4 , e2 , e4 )
−2λµR(e1 , e2 , e3 , e4 )
≥ (1 + λ2 + µ2 + λ2 µ2 − 4λµ)Kmin (p)
= ((1 − λµ)2 + (λ − µ)2 )Kmin (p)
≥ 0,
para todos conjuntos ortonormais {e1 , e2 , e3 , e4 } ⊂ Tp M e todos λ, µ ∈ [0, 1]. Segue
da Proposição 5.5 que (M, g) pertence ao cone Ĉ, para todos p ∈ M . O mesmo se aplica
ao caso onde (M, g) é estritamente 1/4-pinçada.

Unindo a Proposição 6.7 com o Teorema 6.1, concluímos o aclamado Teorema da
Esfera Diferenciável:
Teorema 6.2 (S. Brendle, R. Schöen, [7]). Considere M uma variedade compacta de
dimensão n ≥ 4 e g0 uma métrica riemanniana em M . Assuma que (M, g0 ) é fracamente
1/4-pinçada. Seja g(t), t ∈ [0, T ), a única solução do fluxo de Ricci com métrica inicial
1
g0 . Então, quando t → T , a métricas rescalonadas 2(n−1)(T
convergem em C ∞ para
−t)
uma métrica de curvatura seccional constante igual a 1.

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