Padrão de Resposta

padrão resposta doutorado - 2021.1.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática

Padrão de resposta - Prova de seleção de Doutorado-PPGMAT-UFAL 2021.2
1. Seja f : Rm → Rn contı́nua. As seguintes afirmações são equivalentes:
(a) lim|x|→∞ |f (x)| = ∞.
(b) A imagem inversa f −1 (K) de todo compacto K ⊂ Rn é compacta.
Solução: a) =⇒ b). Como f é contı́nua, a imagem inversa de um compacto é fechado.
Suponha, por absurdo, que exista um compacto K tal que f −1 (K) não é limitado, então
existe uma sequência em f −1 (K) tendendo ao infinito, cuja imagem é limitada (contrariando
a hipótese em a)).
b) =⇒ a). A afirmação no item a) é equivalente a dizer que para todo M > 0 existe
R > 0 tal que se |x| > R então |f (x)| > M . Como todo compacto K está contido em B̄M (0)
fechada, para algum M > 0. A afirmação em a) segue de b).
2. Estabeleça um homeomorfismo entre Rn+1 \ {0} e Sn × R.
Solução: Considere a aplicação f : Rn+1 \{0} → Sn × R dada por
x
f (x) := ( , ln |x|).
|x|
Basta mostrar que f é um homeomorfismo.
3. Seja A uma matriz n × n, simétrica e de traço nulo. Mostre det(exp(tA)) = 1, para todo
t ∈ R.
Solução: Podemos tomar v1 , v2 , ..., vn uma base de autovetores de A e λ1 , λ2 , ..., λn os respectivos autovalores associados, i.e., Avj = λj vj . Por definição
etA vj =

X (tA)k
k!

k≥0

vj .

Daı́,
etA vj =

X tk
k≥0

k!

Ak vj .

Mas, Ak vj = λkj vj e assim
etA vj =

X tk
k!
k≥0

Ak vj =

X (λj · t)k
k!

k≥0

vj = eλj t vj .

isto mostra que eλj t , 1 ≤ j ≤ n são os autovalores de etA . Como o determinante de uma
matriz é o produto de seus autovalores temos que
tA

det(e ) =

n
Y

Pn

eλj ·t = e

j=1

pois A tem traço nulo e daı́

Pn

j=1 λj = 0.

1

j=1 λj ·t

= 1, ∀ t.

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Instituto de Matemática

4. Suponha que a sequência de caminhos contı́nuos αk : [0, 1] → R2021 converge uniformemente
para α : [0, 1] → R2021 . Mostre que α é contı́nuo e
Z 1
Z 1
lim
αk (t)dt =
α(t)dt.
k→∞

0

0

Solução: Como a integral de um caminho é obtida integrando cada função coordenada,
é suficiente fazer o caso unidimensional. Sejam {αk }k funções contı́nuas que convergem
uniformemente para α : [0, 1] → R. Portanto, α é uma função contı́nua e assim integrável.
Por hipótese, dado ε > 0 existe k0 ∈ N tal que para k > k0
sup |αk (x) − α(x)| < ε.
x∈[0,1]

Logo,
Z 1

Z 1
αk (x)dx −
0

Z 1
α(x)dx ≤

0

Z 1
|αk (x) − α(x)|dx <

0

εdx = ε.
0

Isto prova que
Z 1
αk (x)dx =

lim

k→∞

Z
α(x)dx.

0

5. Seja C ⊂ Rn um conjunto convexo e f : C → R uma função convexa diferenciável. Seja D
o conjunto dos pontos crı́ticos de f . Mostre que D é convexo e que a função f restrita a D
é constante.
Solução: Sejam a e b pertencentes a D, isto é, a e b são pontos crı́ticos de f . Por f ser
diferenciável e contı́nua, segue que f (a) e f (b) são pontos de mı́nimo global, logo f (a) = f (b).
Assim dado t ∈ [0, 1], tem-se f ((1 − t)a + tb) ≤ (1 − t)f (a) + tf (b) = f (a). Logo, pela
minimalidade global de f (a) f ((1 − t)a + tb) = f (a) e por f ser diferenciável (1 − t)a + tb é
ponto crı́tico, logo está em D. Portanto D é convexo.

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Matemática
