PROVA_ED_54_2015_MESTRADO.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática

Prova de Seleção de Mestrado
Data: 22 de fevereiro de 2016
Inı́cio: 14 horas (Brası́lia)
Término: 18 horas

1. Parte 1 - Julgue a veracidade de afirmações, com breve justificativa.
1- Se α > 1, então a série
( ) Verdadeiro

ou

P∞

1
k=2 k (ln k)α converge.

( ) Falso

d
2- Se p(x) é um polinômio com todas as raizes reais, então o polinômio p0 (x) = dx
p(x)
pode ter raı́zes imaginárias.

( ) Verdadeiro

ou

( ) Falso

3- Existem transformações lineares sobrejetivas de Rn em Rm , n < m.
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso
4- A união de dois conjuntos linearmente independentes em um espaço vetorial ainda
é um conjunto linearmente independente.
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso
2. Parte 2 - Resolva os seguintes problemas
1- Seja f : (0, ∞) → R uma função de classe C 2 tal que f 00 (x) é limitada. Mostre que
se limx→∞ f (x) = 0, então limx→∞ f 0 (x) = 0.
2- Seja X ⊂ R e sejam f, g : X → R funções contı́nuas em a ∈ X, com f (a) < g(a).
Mostre que existe δ > 0 tal que f (x) < g(x) para todo x ∈ X ∩ (a − δ, a + δ).
3- Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Um operador linear T : V → V é
não-negativo se for auto-adjunto e hT (v), vi ≥ 0 para todo v ∈ V. Mostre que um
operador auto-adjunto é não-negativo se, e somente se, todos os seus autovalores
são não-negativos.
4- Seja M (n × n) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Uma matriz
quadrada A = (aij ) ∈ M (n × n) é dita simétrica se aij = aji e é dita anti-simétrica
se aij = −aji para todo i e todo j. Prove que o conjunto S ⊂ M (n × n) das
matrizes simétricas e o conjunto A ⊂ M (n × n) das matrizes anti-simétricas são
subsespaços vetoriais de M (n × n) e que M (n × n) é soma direta de S com A.

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