Dissertação

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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado

A Rigidez da Curvatura de Ricci do
Hemisfério Sn+

Ana Maria Menezes de Jesus

Maceió, Brasil
04 de dezembro de 2009

ANA MARIA MENEZES DE JESUS

A Rigidez da Curvatura de Ricci do
Hemisfério Sn+
Dissertação de Mestrado na área de
concentração de Geometria Diferencial submetida em 04 de dezembro de
2009 à Banca Examinadora, designada
pelo Colegiado do Programa de PósGraduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do
grau de mestre em Matemática.

Orientador: Prof.Dr. Hilário Alencar da Silva

Maceió
2009

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale

J58r

Jesus, Ana Maria Menezes de.
n

A rigidez da curvatura de Ricci do hemisfério S+ / Ana Maria Menezes de
Jesus, 2009.
vii, 72f. : il.
Orientador: Hilário Alencar da Silva.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2009.
Bibliografia: f. 70.
Índices: f. 71-72.
1. Ricci, Curvatura de. 2. Variedades riemannianas. 3. Esfera (Matemática).
I. Título.
CDU: 514.752.2

Aos meus pais,
Antônio e Vivalda.
iii

Agradecimentos
Primeiramente a Deus pela graça de ter alcançado mais um objetivo em
minha vida.
Ao professor Hilário Alencar, pelo incentivo e apoio acadêmico desde o
inı́cio do mestrado. Obrigada pela amizade, pelas conversas animadoras, por
acreditar que posso ir além, muito mais do que eu mesma acredito.
Ao professor Fernando Codá, por ter sugerido o tema desta dissertação e
ter me ajudado em toda a fase de elaboração. Obrigada também pelo apoio
que me deu durante todo este ano que passei no IMPA; pela paciência e
disposição em esclarecer minhas dúvidas.
À professora Walcy Santos pelas sugestões dadas para tornar mais claras
algumas afirmações feitas no texto.
Aos meus queridos pais, Antônio e Vivalda, e as minhas irmãs, Vilma,
Aline e Beatriz. Obrigada pelo carinho e atenção.
Aos meus amigos Almir Santos e Ivaldo Nunes, sempre dispostos a me
ajudar. Obrigada pelas vezes em que discutimos sobre pontos desta dissertação.
À Clarissa Codá, Renata Lins e Leonardo Carvalho, que me ajudaram
nos momentos em que o Latex insistia em dar erros.
Ao Gregório Silva Neto, por ter lido minunciosamente esta dissertação e
feito várias sugestões.
Ao Alexsandro Néo pelas diversas sugestões nas figuras presentes nesta
dissertação.
Ao PROCAD/CAPES: Fortalecimento da Matemática no eixo AlagoasBahia, coordenado pelo professor Manfredo do Carmo.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior (CAPES), pelo suporte financeiro.

iv

Resumo
Nesta dissertação apresentamos a demonstração de um teorema obtido
por F. Hang e X. Wang, o qual estabelece que uma variedade (M n , g) Riemanniana compacta com bordo não-vazio, curvatura de Ricci maior ou igual
a (n − 1)g, e com bordo isométrico à esfera (n-1)-dimensional e segunda
forma fundamental não-negativa, é isométrica ao hemisfério Sn+ . Este artigo
foi publicado em 2009 no Journal of Geometric Analysis, com o tı́tulo Rigidity Theorems for Compact Manifolds with Boundary and Positive Ricci
Curvature.

Palavras-chave: Curvatura de Ricci, esfera, segunda forma fundamental, variedade compacta com bordo.

v

Abstract
In this work we demonstrate a theorem obtained by F. Hang and X. Wang,
which ensures that a compact Riemannian manifold (M n , g) with nonempty
boundary, Ricci curvature greater or equal to (n − 1)g, boundary isometric
to the (n-1)-dimensional sphere and second fundamental form nonnegative,
is isometric to the hemisphere Sn+ . That result was published in this year in
Journal of Geometric Analysis with the title Rigidity Theorems for Compact
Manifolds with Boundary and Positive Ricci Curvature.

Keywords: Ricci curvature, sphere, second fundamental form, compact
manifold with boundary.

vi

Sumário
Introdução

1

1 Preliminares
1.1 Conexões; Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Geodésicas; Aplicação Exponencial . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Campos de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Variações do Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Variedades com Bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Alguns Resultados sobre Equações Diferenciais Parciais . . . .

3
3
8
12
13
15
18
20

2 Resultados Auxiliares
2.1 A Fórmula de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Algumas Propriedades do Disco Geodésico na Esfera . . . . .
2.3 Relações entre Métricas Conformes . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Fórmula de Reilly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
25
32
34
42

3 Resultados Principais
3.1 O Teorema de Reilly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 O Teorema de Hang-Wang; Caso Bidimensional . . . . . . . .
3.3 O Teorema de Hang-Wang; Caso Geral . . . . . . . . . . . . .

47
47
56
60

Referênciais Bibliográficas

70

vii

Introdução
Esta dissertação está baseada no artigo Rigidity Theorems for Compact Manifolds with Boundary and Positive Ricci Curvature dos matemáticos
Fengbo Hang e Xiaodong Wang sobre a conjectura de Min-Oo
Conjectura (Min-Oo, 1995). Seja (M n , g) uma variedade Riemanniana
compacta com bordo e curvatura escalar R ≥ n(n−1). Se o bordo é isométrico
a Sn−1 e totalmente geodésico, então (M n , g)é isométrico ao hemisfério Sn+ .
Hang e Wang provaram que a conjectura é verdadeira com algumas alterações nas hipóteses, a saber: supondo que a segunda forma fundamental
do bordo é não-negativa e a curvatura de Ricci é maior ou igual a (n − 1)g.
Mais precisamente, provaram o seguinte resultado.
Teorema 0.0.1 (Hang-Wang, [3]). Seja (M n , g) uma variedade Riemanniana compacta com bordo Σ = ∂M 6= ∅. Suponhamos que
(i) O tensor curvatura de Ricci satisfaz Ric ≥ (n − 1)g;
(ii) (Σ, g|Σ ) é isométrico a Sn−1 ⊂ Rn ;
(iii) A segunda forma fundamental de Σ é não-negativa.
Então (M n , g) é isométrico a Sn+ ⊂ Rn+1 .
O objetivo deste trabalho é demonstrar o teorema acima obtido por Hang
e Wang.
Esta dissertação está dividida em três capı́tulos. No primeiro capı́tulo
abordamos os conceitos e resultados em Geometria Riemanniana e Equações
Diferenciais Parciais os quais serão utilizados nos capı́tulos seguintes. No
capı́tulo 2, provamos fatos fundamentais para a demonstração dos principais
resultados, como por exemplo, provamos a fórmula de Bochner:
Proposição 0.0.1 (Fórmula de Bochner). Se M é uma variedade Riemanniana e f ∈ C ∞ (M ), então
1
∆(|∇f |2 ) = |Hess f |2 + h∇f, ∇∆f i + Ric(∇f, ∇f ).
2
1

Além disso, ainda no capı́tulo 2, provamos a Fórmula de Reilly:
Proposição 0.0.2 (Fórmula de Reilly). Seja M n uma variedade Riemanniana compacta com bordo Σ = ∂M e seja f ∈ C ∞ (M ). Denotemos por Ω e Ψ
as formas de volume de M e Σ, respectivamente. Então
Z
Z
Z

2
2
Ric(∇f, ∇f )Ω + (∆z + vH)vΨ
(∆f ) − | Hess f | Ω =
M

M

Σ

Z
−

Z
h∇v, ∇zi Ψ +

Σ

II(∇z, ∇z)Ψ,
Σ

onde H é a curvatura média do bordo Σ, z = f |Σ e v = fn é derivada de f
na direção do vetor normal ao bordo.
O terceiro capı́tulo está dividido em três seções. Na primerira seção provamos o Teorema de Reilly, fato essencial para a demonstração do Teorema
de Hang-Wang.
Teorema 0.0.2 (Reilly, [5]). Seja (M n , g) uma variedade Riemanniana compacta com bordo Σ = ∂M 6= ∅. Suponhamos Ric ≥ (n−1)g e que a curvatura
média de Σ em M é não-negativa. Então o primeiro autovalor λ1 de −∆,
relacionado ao problema de Dirichlet, satisfaz λ1 ≥ n. Além disso, λ1 = n
se, e somente se, M é isométrica ao hemisfério Sn+ ⊂ Rn+1 .
Na segunda seção provamos o Teorema de Hang-Wang no caso bidimensional usando técnicas geométricas e analı́ticas. E, finalmente, na terceira
seção, apresentamos uma demonstração para o caso geral do Teorema de
Hang-Wang de um modo puramente analı́tico utilizando o Teorema de Reilly.

2

Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo fixamos notações e apresentamos os requisitos necessários
para a compreensão dos resultados principais desta dissertação, a saber, o
Teorema de Hang-Wang e o Teorema de Reilly. Salvo menção contrária, os
resultados aqui apresentados encontram-se demonstrados em [2].

1.1

Conexões; Curvaturas

Nesta seção introduzimos a noção de conexão sobre uma variedade Riemanniana e definimos a derivada covariante de um campo de vetores ao
longo de uma curva. Logo após isto, apresentamos uma definição de curvatura que, intuitivamente, mede o quanto uma variedade Riemanniana deixa
de ser euclidiana. Definimos também curvatura seccional, curvatura de Ricci
e curvatura escalar.
Em toda esta dissertação, as variedades diferenciáveis consideradas são
supostas de Hausdorff e com base enumerável. Quando indicarmos uma variedade por M n , o ı́ndice superior n inidicará a dimensão de M. Denotaremos
a esfera unitária contida em Rn+1 por Sn .
Indicaremos por X (M ) o conjunto dos campos de vetores de classe C ∞
em M e por C ∞ (M ) o conjunto das funções diferenciáveis em M.
Definição 1.1.1. Uma conexão Riemanniana em uma variedade Riemanniana (M, g) é uma aplicação
∇ : X (M ) × X (M ) → X (M )
7→

(X, Y )
que satisfaz as seguintes propriedades:
3

∇X Y

(i) ∇f X+gY Z = f ∇X Z + g∇Y Z,
(ii) ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z,
(iii) ∇X f Y = f ∇X Y + X(f )Y,
(iv) Xg(Y, Z) = g(∇X Y, Z) + g(Y, ∇X Z), (Compatibilidade com a métrica)
(v) ∇X Y − ∇Y X = [X, Y ] , (Simetria)
onde X, Y, Z ∈ X (M ) e f, g ∈ C ∞ (M ).
O fato da conexão Riemanniana ser simétrica, propriedade (v), implica
que em um sistema de coordenadas (U, x),


∂
∂
∂
∂
∇ ∂
−∇ ∂
=
,
= 0,
∂xi ∂x
∂xj ∂x
∂xi ∂xj
j
i
para todo i, j = 1, ..., n, onde ∂x∂ i é o vetor tangente à curva coordenada:
xi → x(0, ...0, xi , 0..., 0).
Teorema 1.1.1 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanniana M , existe
uma única conexão Riemanniana ∇ em M .
Seja (U, x) uma parametrização de M n . Para facilitar a notação, passamos a escrever Xi para denotar ∂x∂ i .
As funções Γkij definidas em U por
∇Xi Xj =

n
X

Γkij Xk

(1.1)

k=1

são os coeficientes da conexão ∇ em U ou os sı́mbolos de Christoffel da
conexão. Usando a fórmula de Kozul, a qual nos diz que
g (Z, ∇Y X) =

1
{Xg(Y, Z) + Y g(Z, X) − Zg(X, Y )
2

−g ([X, Z] , Y ) − g ([Y, Z] , X) − g ([X, Y ] , Z)} ,
obtemos

n
X
l=1

1
Γlij glk =

2



∂gjk ∂gki ∂gij
+
−
∂xi
∂xj
∂xk


,

onde gij = g(Xi , Xj ).
Denotando por (g km ) a matriz inversa de (gkm ), temos
4

1
Γm
ij =

n 
X
∂gjk

∂gki ∂gij
+
−
∂xi
∂xj
∂xk

2 k=1



g km .

(1.2)

A equação (1.2) é a expressão dos sı́mbolos de Christoffel da conexão
Riemanniana em termos dos gij dados pela métrica.
Proposição 1.1.1. Seja M uma variedade Riemanniana com ∇, sua conexão Riemanniana. Então existe uma única correspondência que associa a
cada campo vetorial V ao longo da curva diferenciável α : I → M um outro
ao longo de α, denominado derivada covariante de V ao
campo vetorial DV
dt
longo de α, tal que
D
(V + W ) = DV
+ DW
,
(a) dt
dt
dt
D
(b) dt
(f V ) = df
V + f DV
,
dt
dt

(c) Se V é induzido por um campo de vetores Y ∈ X (M ), isto é, V (t) =
Y (α(t)), então DV
= ∇ dα Y,
dt
dt

onde W ∈ X (M ) e f é uma função diferenciável em I.
D
Demonstração. Suponhamos, inicialmente, que existe uma aplicação dt
san
tisfazendo as condições (a), (b) e (c). Seja x : U ⊂ R → M um sistema
de coordenadas com α(I) ∩ x(U ) 6= ∅ e seja x−1 ◦ α(t) = (x1 (t), ..., xn (t))
a expressão local de α(t), t ∈ I. Podemos expressar o campo V localmente
como
n
X
V (t) =
vj (t)Xj (α(t)).
j=1

Por (a) e (b), temos
n
n
X
X
dvj
DXj
DV
=
Xj +
vj
.
dt
dt
dt
j=1
j=1

5

Por outro lado,
DXj
dt

= ∇ dc Xj
dt

= ∇(Pn dxi Xi ) Xj
i=1 dt
=

=

n
X
dxi

dt
i=1

∇Xi Xj

n
X
dxi
i,k=1

dt

Γkij Xk ,

onde na primeira igualdade usamos a condição (c), na terceira usamos a
condição (i) da Definição 1.1.1 e na última usamos a expressão (1.2).
Portanto,
!
n
n
X
dvk X dxi k
DV
=
+
vj
Γij Xk .
(1.3)
dt
dt
dt
i,j=1
k=1
D
satisfazendo
A expressão (1.3) nos mostra que se existe uma aplicação dt
as condições da Proposição 1.1.1, então ela é única.
em x(U ) por (1.3). Desse modo,
Para mostrar a existência, definamos DV
dt
D
a aplicação dt satisfaz as condições (a), (b) e (c). Se y : W ⊂ Rn → M é um
em
outro sistema de coordenada tal que y(W ) ∩ x(U ) 6= ∅ e definimos DV
dt
y(W ) por (1.3), as definições coincidem em y(W ) ∩ x(U ), pela unicidade de
DV
em x(U ). Segue, então, que a definição pode ser estendida para todo M
dt
e isto conclui a demonstração.

A proposição acima mostra que a noção de conexão fornece uma maneira
de derivar campo de vetores ao longo de curvas, em particular, é possı́vel
falar em aceleração de uma curva em M.
Definição 1.1.2. Seja M uma variedade Riemanniana com sua conexão Riemanniana ∇. Um campo vetorial V ao longo de uma curva c : I → M é
chamado paralelo quando DV
≡ 0.
dt
Um conjunto {Ei }ni=1 ⊂ X (M ) é um referencial para M , se {Ei (p)}ni=1 é
uma base de Tp M para cada p ∈ M. Isto nos diz que todo campo de vetores
X ∈ X (M ) pode ser escrito da forma
X=

n
X
i=1

6

xi E i ,

onde as funções xi : M → R são diferenciáveis. Um referencial é dito ortonormal se {Ei (p)}ni=1 é uma base ortonormal de Tp M para cada p ∈ M.
Dizemos que um referencial {Ei }ni=1 é geodésico numa vizinhança U ⊂ M, se
em cada p ∈ U , {Ei (p)}ni=1 é uma base ortonormal de Tp M e ∇Ei Ej (p) = 0
para todo i, j = 1, 2, ..., n.
Definição 1.1.3. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma
correspodência que associa a cada par X, Y ∈ X (M ) uma aplicação R(X, Y ) :
X (M ) → X (M ) dada por
R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z, Z ∈ X (M )
onde ∇ é a conexão Riemanniana de M.
Observação 1.1.1. Se M = Rn , então R(X, Y )Z = 0, para todo X, Y, Z ∈
X (Rn ). De fato, consideremos os campos Ei (p) = ei para todo p ∈ Rn , onde
{ei }ni=1 é base canônica do Rn .
n
n
n
X
X
X
Assim, dados X =
xi E i , Y =
yi Ei e Z =
zi Ei , temos
i=1

∇X Z = ∇X

n
X

i=1

!
zi Ei

=

i=1

n
X

i=1

(X(zi )Ei + zi ∇X Ei ) =

i=1

n
X

X(zi )Ei ,

i=1

pois o campo Ei é um campo constante e, portanto, sua derivada covariante
em relação a qualquer outro campo é nula.
Analogamente,
n
X
∇Y ∇X Z =
Y (X(zi ))Ei
i=1

e
∇X ∇Y Z =

n
X

X(Y (zi ))Ei .

i=1

Daı́,
∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z =

n
X

X(Y (zi ))Ei −

Pn

i=1 Y (X(zi ))Ei

i=1

=

n
X

[X(Y (zi )) − Y (X(zi ))]Ei

i=1

=

n
X

(XY − Y X)(zi )Ei = ∇[X,Y ] Z.

i=1

7

Portanto, R(X, Y )Z = 0. Podemos então pensar em R como uma maneira
de medir o quanto M deixa de ser euclidiano.

Definição 1.1.4. Dado um ponto p ∈ M e um subespaço bi-dimensional
σ ⊂ Tp M , o número real
K(σ) = K(x, y) = q

hR(x, y)y, xi

,

|x|2 |y|2 − hx, yi2

onde {x,y} é uma base qualquer de σ, é chamado curvatura seccional de σ
em p.
A proposição a seguir mostra que, numa variedade de curvatura seccional
constante, o tensor curvatura pode ser escrito de uma forma mais simples.
Proposição 1.1.2. Sejam M uma variedade Riemanniana e p ∈ M . Definamos uma aplicação trilinear R0 : Tp M × Tp M × Tp M → Tp M por
hR0 (X, Y, Z), W i = hX, W i hY, Zi − hY, W i hX, Zi ,
para todo X, Y, Z, W ∈ Tp M. Então M tem curvatura seccional constante e
igual a K0 se, e somente se, R = K0 R0 , onde R é o tensor curvatura de M.
Definição 1.1.5. Dado um ponto p ∈ M , seja {e1 , ..., en } uma base ortonormal de Tp M . Dados x, y ∈ Tp M , definimos (tensor) curvatura de Ricci
por
n
X
Ric(x, y) =
hR(x, ei )ei , yi ,
i=1

e a curvatura escalar em p por
R(p) =

n
X

Ric(ej , ej ) =

j=1

n
X

hR(ej , ei )ei , ej i .

i,j

Usaremos a notação Rij para denotar Ric(ei , ej ).

1.2

Geodésicas; Aplicação Exponencial

No que se segue, M será uma variedade Riemanniana com sua conexão
Riemanniana.
8

Definição 1.2.1. Uma
 curva parametrizada γ : I → M é uma geodésica se,
D dγ
(t) = 0.
para todo t ∈ I, dt
dt
Vamos determinar as equações locais satisfeitas por uma geodésica γ em
um sistema de coordenadas (U, x). Seja x−1 ◦ γ(t) = (x1 (t), ..., xn (t)) a expressão local de γ na parametrização x.
A curva γ será uma geodésica se, e somente se,
!
  X
n
n
d2 xk X dxi dxj k
D dγ
=
Γij Xk .
0=
+
2
dt dt
dt
dt
dt
i,j=1
k=1
Ou seja, se, e somente se,
n
d2 xk X dxi dxj k
+
Γij = 0, k = 1, ..., n.
dt2
dt
dt
i,j=1

Como as geodésicas são soluções de uma equação diferencial ordinária de
segunda ordem não-linear, o seu domı́nio maximal de definição é um intervalo
I ⊂ R o qual nem sempre é todo o R.
Definição 1.2.2. Dizemos que uma variedade Riemanniana M é completa
quando, para todo p ∈ M, as geodésicas γ(t) que partem de p estão definidas
para todos os valores do paramêtro t ∈ R.
Como uma consequência do teorema de existência e unicidade das soluções de equações diferenciais ordinárias, segue o seguinte resultado.
Proposição 1.2.1. Seja M uma variedade Rieamanniana. Dados p ∈ M e
v ∈ Tp M , existe uma única geodésica γ : I → M tal que γ(0) = p e γ 0 (0) = v.
Denotaremos por γv a única geodésica que no instante t = 0 passa por p
com velocidade v ∈ Tp M.
Lema 1.2.1 (de Homogeniedade). Seja γ : I → M uma geodésica com
γ 0 (0) = v. Então
γav (t) = γv (at), a ∈ R, a > 0.
Definição 1.2.3. Seja M uma variedade Riemanniana completa. Definimos
a aplicação exponencial em p ∈ M por
expp : Tp M → M
v 7→ γv (1).

9

Observação 1.2.1. Da mesma maneira podemos definir a aplicação exponencial em variedades que não são completas. A única diferença é que o seu
domı́nio de definição passa a ser um aberto do plano tangente em torno da
origem. Para mais detalhes, ver [2], pág. 70-73, por exemplo.
Geometricamente, expp v é o ponto de M obtido percorrendo uma distânp
cia igual a |v| = hv, vi, a partir de p, sobre a geodésica que passa por p
v
.
com velocidade |v|
Usaremos a notação B(0, ) para indicar uma bola aberta de centro na
origem 0 de Tp M e raio  e a notação B[0, ] para indicar uma bola fechada
de centro na origem 0 de Tp M e raio .
Proposição 1.2.2. Dado p ∈ M , existe  > 0 tal que expp : B(0, ) ⊂
Tp M → M é um difeomorfismo de B(0, ) sobre um aberto de M .
Uma geodésica γ : I → R é dita minimizante, se l(γ) ≤ l(c), onde c é
qualquer curva diferenciável por partes ligando os extremos de γ.
Definição 1.2.4. Dados p, q ∈ M , a distância d de p a q é definida por
d(p, q) = inf{l(αp,q ); αp,q é uma curva diferenciável por partes ligando p a q},
onde l(α) indica o comprimento da curva α.
Com a distância d, M é um espaço métrico. Para uma demonstração
deste fato, ver [2], pág. 161, por exemplo.
Observe que se existe uma geodésica minimizante γ ligando p a q, o que
nem sempre é verdade, então d(p, q) = l(γ).
Teorema 1.2.1 (Hopf e Rinow). Sejam M uma variedade Riemanniana e
p ∈ M . Se M é completa, então para todo q ∈ M existe uma geodésica γ
ligando p a q com l(γ) = d(p, q).
Corolário 1.2.1. Se M é compacta, então M é completa.
Seja A um subconjunto conexo de R2 tal que sua fronteira seja uma
curva diferenciável por partes com ângulos dos vértices distintos de π. Uma
superfı́cie parametrizada em M é uma aplicação diferenciável b : A ⊂ R2 →
M, isto é, b se estende a uma aplicação diferenciável b : U ⊂ R2 → M, onde
U é um aberto de R2 que contém A.
Um campo de vetores V ao longo de b é uma aplicação que a cada ponto
q ∈ A associa um vetor V (q) ∈ Tb(q) M . Dizemos que V é diferenciável se,
para toda f ∈ C ∞ (M ), a aplicação q 7→ V (q)f é diferenciável.
10

Sejam (s, t) coordenadas cartesianas em R2 . Para t0 fixo, a aplicação
∂b
seu campo de vetores
s 7→ b(s, t0 ) é uma curva em M , denotaremos por ∂s
∂
∂b
∂b
tangente, s 7→ db(s,t0 ) ∂s (s, t0 ) . Isto define ∂s para todo (s, t) ∈ A e ∂s
é
∂b
um campo de vetores ao longo de b. Analogamente podemos definir ∂t .
Se V é um campo de vetores ao longo de b, então definimos as derivadas
covariantes DV
, DV
no ponto (s, t) como sendo as derivadas covariantes ao
ds
dt
longo das curvas s 7→ b(s, t) e t 7→ b(s, t), respectivamente.
A demonstração dos próximos três lemas pode ser encontrada, por exemplo, em [2], pág. 76, 109 e 77, respectivamente.
Lema 1.2.2 (de Simetria). Seja M uma variedade Riemanniana com sua
conexão ∇ e seja b : A → M uma superfı́cie parametrizada. Então
D ∂b
D ∂b
=
.
∂t ∂s
∂s ∂t
Lema 1.2.3. Seja b : A → M uma superfı́cie parametrizada e seja V (s, t)
um campo de vetores ao longo de b. Então


DD
∂b ∂b
DD
V −
V =R
,
V.
∂t ∂s
∂s ∂t
∂t ∂s

Lema 1.2.4 (de Gauss). Seja M uma variedade Riemanniana completa.
Dado p ∈ M , sejam v ∈ Tp M e w ∈ Tv (Tp M ) ≈ Tp M . Então
(d expp )v (v), (d expp )v (w) = hv, wi .
Se V é uma vizinhança da origem em Tp M na qual expp é difeomorfismo,
dizemos que o conjunto U = expp V é uma vizinhança normal de p. Se B(0, )
é tal que B[0, ] ⊂ V , chamamos B(p, ) := expp B(0, ) a bola geodésica (ou
normal ) de centro em p e raio , B[p, ] := expp B[0, ] o disco geodésico
de centro em p e raio  e S(p, ) = expp (∂B[0, ]) a esfera geodésica. As
geodésicas que partem de p são chamadas geodésicas radiais . Pelo Lema de
Gauss, S(p, ) é uma hipersuperfı́cie em M ortogonal às geodésicas radiais.
Uma vizinhança W de p é dita uma vizinhança totalmente normal se W é
uma vizinhança normal para cada um de seus pontos. Um fato interessante é
que essa vizinhança sempre existe, isto é, cada ponto possui uma vizinhança
totalmente normal. Para uma demonstração deste fato, ver, por exemplo,
[2], pág. 80.

11

1.3

Campos de Jacobi

Nesta seção introduzimos os chamados campos de Jacobi, que são campos de vetores ao longo de geodésicas, definidos por meio de uma equação
diferencial que aparece naturalmente no estudo da aplicação exponencial.
Definição 1.3.1. Seja γ : I → M uma geodésica de M . Um campo de
vetores J ao longo de γ é dito um campo de Jacobi se satisfaz a equação
J 00 (t) = R(γ 0 (t), J(t))γ 0 (t), para todo t ∈ I,
D DJ
onde J 00 (t) = ∂t
(t).
dt
D DJ
Daqui por diante faremos uso da notação J 00 (t) = ∂t
(t).
dt

Exemplo 1.3.1 (Campos de Jacobi na Esfera Sn ). Sabemos que a esfera
unitária Sn tem curvatura seccional constante e igual a 1. Consideremos
γ : I → Sn uma geodésica normalizada e J um campo de Jacobi ao longo de
γ e normal a γ 0 .
Dado qualquer campo de vetores T ao longo de γ, a Proposição 1.1.2,
pág. 8, nos diz que
hR(γ 0 , J)γ 0 , T i = hγ 0 , T i hJ, γ 0 i − hγ 0 , γ 0 i hJ, T i = − hJ, T i .
Daı́, pela equação que define campo de Jacobi, temos que
J 00 (t) = R(γ 0 , J)γ 0 = −J.
Se w(t) é um campo paralelo ao longo de γ com hγ 0 (t), w(t)i = 0 e |w(t)| =
1, então
J(t) = sen tw(t)
(1.4)
é um campo de Jacobi ao longo de γ com condições iniciais J(0) = 0, J 0 (0) =
w(0).
A demonstração da próxima proposição pode ser encontrada, por exemplo, em [2], pág. 126.
Proposição 1.3.1. Seja γ : I → M uma geodésica de M. Então um campo
de Jacobi J ao longo de γ com J(0) = 0 é dado por

J(t) = d expp tγ 0 (0) (tJ 0 (0)), t ∈ I.
Usando o Exemplo 1.3.1 e a proposição anterior, temos que um campo
de Jacobi J ao longo de uma geodésica γ na esfera Sn satisfaz

J(t) = d expp tγ 0 (0) (tJ 0 (0)) = sen tw(t),
onde w(t) é um campo paralelo ao longo de γ com hγ 0 (t), w(t)i = 0, |w(t)| = 1
e w(0) = J 0 (0).
12

1.4

Variações do Comprimento de Arco

Sejam M uma variedade Riemanniana e γ : [0, t0 ] → M uma geodésica
normalizada em M . Uma variação de γ é uma superfı́cie parametrizada
b : (−, ) × [0, t0 ] → M
7→ b(s, t)

(s, t)

tal que b(0, t) = γ(t).
Suponhamos que as curvas α1 , α2 : (−, ) → M dadas por α1 (s) = b(s, 0)
e α2 (s) = b(s, t0 ) são geodésicas em M. Denotemos por γs a curva t 7→ b(s, t).

Figura 1.1: Variação da geodésica γ.
Consideremos a função
L : (−, ) → R
s 7→ L(s),
onde L(s) é o comprimento da curva γs .
Proposição 1.4.1. Com a notação acima, temos
 


∂b
∂b
0
0
0
L (0) =
(0, t0 ), γ (t0 ) −
(0, 0), γ (0)
∂s
∂s
e
L00 (0) =

Z t0
0

D ∂b
∂t ∂s

2

 

 
2 !
∂b
∂b
D
∂b
− R γ 0,
, γ0 − γ 0,
dt.
∂s ∂s
∂t ∂s

13

Z t0
Demonstração. Como L(s) =
0

L0 (s) =

∂b
dt, temos
∂t
Z t0 D ∂b ∂b
,
∂s ∂t ∂t
∂b
∂t

0

D ∂b ∂b
,
∂t ∂s ∂t
∂b
∂t

Z t0
=
0

dt

dt,

onde na segunda igualdade usamos o Lema de Simetria.
Fazendo s = 0, segue que
Z t0 D ∂b 0
,γ
∂t ∂s
0
L (0) =
dt
0
|γ |
0
Z t0 
=
0

Z t0
=
0


=


D ∂b 0
, γ dt
∂t ∂s

∂
∂t



∂b 0
,γ
∂s




−


∂b
0
, ∇γ 0 γ dt
∂s

 

∂b
∂b
0
0
(0, t0 ), γ (t0 ) −
(0, 0), γ (0) ,
∂s
∂s

onde na segunda igualdade usamos o fato de γ estar normalizada e na última
o fato de γ ser uma geodésica.
Vamos encontrar agora a expressão para L00 (0).
Z t0 D ∂b ∂b
,
0
∂t ∂s ∂t
dt, então
Como L (s) =
∂b
0

00

Z t0

L (s) =

∂t
D D ∂b ∂b
,
∂s ∂t ∂s ∂t

D ∂b D ∂b
,
∂t ∂s ∂s ∂t

+

−

∂b 2
∂t

0

D ∂b ∂b 2
,
∂t ∂s ∂t
∂b 3
∂t

!
dt.

Usando o Lema 1.2.3, pág. 11, temos






D D ∂b ∂b
D D ∂b
∂b ∂b ∂b ∂b
,
=
+R
,
,
∂s ∂t ∂s ∂t
∂t ∂s ∂s
∂s ∂t ∂s ∂t
∂
=
∂t



D ∂b ∂b
,
∂s ∂s ∂t




−

D ∂b D ∂b
,
∂s ∂s ∂t ∂t

 


∂b ∂b ∂b ∂b
,
,
.
− R
∂t ∂s ∂s ∂t
14



D ∂b
Como ∂t
(0, t) = ∇γ 0 γ 0 (t) = 0, então em s = 0 temos
∂t



  


D D ∂b ∂b
∂ D ∂b ∂b
∂b ∂b ∂b ∂b
,
=
,
− R
,
,
.
∂s ∂t ∂s ∂t
∂t ∂s ∂s ∂t
∂t ∂s ∂s ∂t

Além disso, ∂b
(0, t) = |γ 0 (t)| = 1. Logo,
∂t
  


Z t0  
∂ D ∂b ∂b
∂b ∂b ∂b ∂b
00
L (0) =
,
− R
,
,
dt
∂t ∂s ∂s ∂t
∂t ∂s ∂s ∂t
0
Z t0
+
0

Z t0
=
0


+
Z t0
=
0

D ∂b
∂t ∂s
D ∂b
∂t ∂s

2

2


−

D ∂b 0
,γ
∂t ∂s

2 !
dt

 

 
2 !
∂b ∂b ∂b ∂b
D ∂b 0
− R
−
dt
,
,
,γ
∂t ∂s ∂s ∂t
∂t ∂s

 

D ∂b
D ∂b
0
0
(0, t0 ), γ (t0 ) −
(0, 0), γ (0)
∂s ∂s
∂s ∂s
D ∂b
∂t ∂s

2

 

 
2 !
∂b ∂b ∂b ∂b
D ∂b 0
,
,
,γ
− R
−
dt,
∂t ∂s ∂s ∂t
∂t ∂s

pois como as curvas α1 (s) = b(s, 0), α2 (s) = b(s, t0 ) são geodésicas, temos
D ∂b
D ∂b
0
0
(0, t0 ) = ∇α0 α2 (0) = 0 e
(0, 0) = ∇α0 α1 (0) = 0.
2
1
∂s ∂s
∂s ∂s

1.5

Segunda Forma Fundamental
n+m=k

Sejam M n , M
variedades Riemannianas com suas respectivas conexões Riemannianas ∇, ∇; e seja f : M → M uma imersão. Então, para
cada p ∈ M , existe uma vizinhança U ⊂ M de p tal que f (U ) ⊂ M é uma
subvariedade, pois toda imersão é localmente um mergulho. Para simplificar
a notação, identificaremos U com f (U ) e cada vetor v ∈ Tq M, q ∈ U , com
dfq · v ∈ Tf (q) M .
Usando tais identificações, para cada p ∈ M , o produto interno em Tp M
decompõe Tp M na soma direta
Tp M = Tp M ⊕ (Tp M )⊥ ,
onde (Tp M )⊥ é o complemento ortogonal de Tp M em Tp M . Assim, se v ∈
Tp M , podemos escrever
v = vT + vN ,
15

onde v T ∈ Tp M é a componente tangencial de v e v N ∈ (Tp M )⊥ é a componente normal de v.
Se X e Y são campos locais (isto é, definidos em U) de vetores em M e
X, Y suas extensões locais a M , então
∇X Y = (∇X Y )T .

(1.5)

Denotaremos por X (U )⊥ o conjunto dos campos diferenciáveis em U de
vetores normais a U.
Proposição 1.5.1. Se X, Y ∈ X (U ), a aplicação B : X (U ) × X (U ) →
X (U )⊥ definida por
B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y
é bilinear e simétrica.
Como B é bilinear, o valor de B(X, Y )(p) depende apenas dos valores
X(p) e Y (p). Assim, podemos considerar B(x, y) = B(X, Y )(p), onde x =
X(p) ∈ Tp M e y = Y (p) ∈ Tp M .
Sejam p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ . Pela proposição anteiror, a aplicação
Hη : Tp M × Tp M → R definida por
Hη (x, y) = hB(x, y), ηi , x, y ∈ Tp M,
é uma forma bilinear simétrica.
Definição 1.5.1. A forma quadrática IIη definida em Tp M por
IIη (x) = Hη (x, x)
é chamada a segunda forma fundamental da imersão f em p segundo o vetor
normal η.
Como Hη é uma forma bilinear simétrica definida em Tp M , a ela está
associada uma única aplicação linear auto-adjunta Sη : Tp M → Tp M dada
por
hSη (x), yi = Hη (x, y) = hB(x, y), ηi .
Proposição 1.5.2. Sejam p ∈ M, x ∈ Tp M e η ∈ (Tp M )⊥ . Seja N uma
extensão local de η normal a M . Então,
Sη = −(∇x N )T .
Definição 1.5.2. Uma imersão f : M → M é geodésica em p ∈ M se, para
todo η ∈ (Tp M )⊥ , a segunda forma fundamental IIη é identicamente nula em
p. A imersão f é dita totalmente geodésica se é geodésica em todo p ∈ M.
16

Proposição 1.5.3. Uma imersão f : M → M é geodésica em p ∈ M se, e
somente se, toda geodésica γ de M partindo de p é geodésica de M em p.
Seja f : M → M uma imersão. Relacionaremos agora a curvatura de M
com a curvatura de M e a segunda forma fundamental. Dados x, y ∈ Tp M ⊂
Tp M , indicaremos por K(x, y), e K(x, y) as curvaturas seccionais de M e M ,
respectivamente, no plano gerado por x e y.
Teorema 1.5.1 (Gauss). Sejam p ∈ M e x, y ∈ Tp M vetores ortonormais.
Então
(1.6)
K(x, y) − K(x, y) = hB(x, x), B(y, y)i − |B(x, y)|2 .

Quando consideramos o caso particular em que a codimensão da imersão
n+1
é 1, isto é, f : M n → M , f (M ) ⊂ M é então denominada uma hipersuperfı́cie e a dimensão de (Tp M )⊥ é igual a 1 para todo p ∈ M . Se M
e M são orientáveis e estão orientadas (isto é, escolhemos orientações para
M e M ), o vetor unitário η normal a M fica univocamente determinado se
exigirmos que sendo {e1 , ..., en } uma base na orientação de M , {e1 , ..., en , η}
seja uma base na orientação de M . Assim, neste caso, escrevemos somente
II, H, S para indicar IIη , Hη , Sη e definimos a curvatura média da imersão
como sendo a aplicação
H:M → R
p 7→ traço II.
n+1

No caso de hipersuperfı́cie f : M n → M , a fórmula de Gauss (1.6)
admite uma expressão mais simples, que mostraremos abaixo.
Dado p ∈ M, seja η ∈ (Tp M )⊥ normal unitário. Seja {e1 , e2 , ..., en } uma
base ortonomal de Tp M para a qual S = Sη é diagonal, ou seja, S(ei ) = λi ei ,
onde λi é autovalor próprio de S para i = 1, ..., n. Logo B(ei , ei ) = λi η e
B(ei , ej ) = 0, se i 6= j. Podemos, então, escrever a equação (1.6) como
K(ei , ej ) − K(ei , ej ) = λi λj .

(1.7)

Observação 1.5.1. No caso em que M = M 2 é uma superfı́cie e M =
R3 , o produto λ1 λ2 é conhecido como a curvatura Gaussiana da superfı́cie.
Neste caso, a equação (1.7) mostra que a curvatura Gaussiana coincide com a
curvatura seccional em uma superfı́cie, pois a curvatura de R3 é identicamente
nula, como vimos na Observação 1.1.1, pág. 7.

17

1.6

Variedades com Bordo

Definiremos agora o objeto de estudo desta dissertação, a saber, as variedades com bordo.
Seja A = {(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ; x1 < 0} e considere, com a topologia induzida de Rn , Ā = {(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ; x1 ≤ 0}. Identificaremos o hiperplano
do Rn , x1 = 0, com Rn−1 .
Sejam U e V conjuntos abertos de Ā e ϕ : U → V um homeomorfismo,
então a restrição de ϕ a U ∩ Rn−1 é um homeomorfismo de U ∩ Rn−1 sobre
V ∩ Rn−1 .
Por definição, uma função sobre Ā é diferenciável quando é a restrição a
Ā de uma função diferenciável sobre Rn .
Definição 1.6.1. Uma variedade diferenciável com bordo de dimensão n é
um conjunto M e uma famı́lia de aplicações injetivas xα : Uα ⊂ Ā → M de
abertos Uα de Ā em M tais que
S
1. α xα (Uα ) = M ;
2. Para todo par α, β, com xα (Uα ) ∩ xβ (Uβ ) = W 6= ∅, os conjuntos
−1
−1
x−1
α (W ) e xβ (W ) são abertos em Ā e a aplicação xβ ◦ xα é diferenciável;
3. A famı́lia {(Uα , xα )} é máxima relativamente às condições 1 e 2.

Figura 1.2: Representação geométrica da Definição 1.6.1.

18

Observemos que os abertos de Ā que não contém pontos do hiperplano
Rn−1 também são abertos em Rn .
Os pontos de M n que tem uma vizinhança homeomorfa a um aberto de
n
R são chamados pontos interiores, os demais pontos, ou seja, aqueles em que
toda vizinhança possui pontos do hiperplano Rn−1 , são chamados pontos do
bordo. Denotaremos o conjunto dos pontos do bordo por ∂M e o conjunto
dos pontos interiores por int M.
Quando não houver possibilidade de confusão, as variedade sem bordo
serão chamadas simplesmente variedades. Vale ressaltar que os resultados
expostos nas seções anteriores valem para variedades com bordo com as devidas adaptações.
Teorema 1.6.1. Seja M n uma variedade com bordo, então ∂M é uma variedade sem bordo de dimensão n − 1.
Demonstração. Seja {(Uα , xα )} uma estrutura diferenciável em M.
Para cada α, consideremos a restrição yα de xα a Vα = Uα ∩ x−1
α (∂M ) e
seja Λ = {α; Vα 6= ∅} . Afirmamos que
A = {(Vα , yα ); α ∈ Λ}
é uma estrutura diferenciável em ∂M. Com efeito,
S
(1) α∈Λ yα (Uα ) = ∂M ; pois, dado qualquer q ∈ ∂M , como {(Uα , xα )}
é uma estrutura diferenciável em M, existe α tal que q ∈ xα (Uα ), logo q ∈
xα (Uα ) ∩ ∂M e, portanto, Vα 6= ∅ e q ∈ yα (Vα ).
(2) Se α, β ∈ Λ são tais que
yα (Vα ) ∩ yβ (Vβ ) = W1 6= ∅,
−1
então xα (Uα )∩xβ (Uβ ) = W2 6= ∅, os conjuntos x−1
α (W2 ), xβ (W2 ) são abertos
−1
de Rn e a aplicação x−1
β ◦ xα é diferenciável em xα (W2 ). Logo os conjuntos
−1
−1
−1
n−1
y−1
α (W1 ) = xα (W2 ∩ ∂M ), yβ (W1 ) = xβ (W2 ∩ ∂M ) são abertos de R
−1
−1
e a aplicação y−1
β ◦ yα , a qual é a restrição de xβ ◦ xα a xα (W2 ∩ ∂M ), é
diferenciável.
Portanto, ∂M é uma variedade diferenciável sem bordo de dimensão n −
1.

Dizemos que M n é uma variedade Riemanniana compacta com bordo se
M n é uma variedade com bordo e M n é um subconjunto compacto de alguma
variedade Riemanniana (sem bordo).

19

1.7

Alguns Resultados sobre Equações Diferenciais Parciais

Nesta seção definimos operador elı́ptico e apresentamos alguns resultados
envolvendo este tipo de operador os quais são fundamentais para a compreensão e demonstração do Teorema de Hang-Wang.
Sempre que estivermos trabalhando com uma variedade com bordo M,
escreveremos u ∈ C ∞ (M ) para denotar u ∈ C ∞ (int M ) ∩ C 0 (∂M ).
Seja (M n , g) uma variedade Riemanniana compacta com bordo. Um operador
L : C ∞ (M ) → C ∞ (M )
u
7→
Lu
é dito um operador diferencial linear de segunda ordem se, quando escrito
em um sistema de coordenadas locais (U, x), é expresso da forma
n
X
∂ 2u
∂u
+
bi
+ cu
Lu =
aij
∂xi ∂xj
∂xi
i=1
i,j=1
n
X

onde aij , bi , c : U → R são funções diferenciáveis.
O operador diferencial linear L é elı́ptico em um ponto x ∈ U, se a matriz
coeficiente (aij (x)) é positiva, isto é, se λ(x), Λ(x) denotam, respectiamente,
o menor e o maior autovalor de (aij (x)), então
X
0 < λ(x)|ξ|2 ≤
aij (x)ξi ξj ≤ Λ(x)|ξ|2 ,
i,j

para todo ξ = (ξ1 , ..., ξn ) ∈ Rn − {0}. Se λ(x) > 0 para qualquer x ∈ U,
então L é dito elı́ptico em U, e estritamente elı́ptico se, para todo x ∈ U ,
λ(x) ≥ λ0 > 0 para alguma constante λ0 . Se Λλ é limitado em U, dizemos que
L é uniformemente elı́ptico em U.
Exemplo 1.7.1. O operador Laplaciano ∆ : C ∞ (M ) → C ∞ (M ) é expresso
em coordenadas locais (U, x) como


n
X
∂u
1 ∂ √
√
Ggij
∆u =
∂xj
G ∂xi
i,j=1
" n
#
n
 ∂u
X
X 1 ∂ √
∂ 2u
√
=
gij
+
Ggij
,
∂xi ∂xj
∂xi
G ∂xj
i,j=1
i=1
j=1
n
X

onde G = det(gij ).
20

Observemos que ∆ é um operador diferencial linear de segunda ordem.
Neste caso, a matriz coeficiente é a matriz (gij ) da métrica,
bi =

n

X
1 ∂ √
√
Ggij
G ∂xj
j=1

e c ≡ 0. Portanto, o Laplaciano é um operador uniformemente elı́ptico.
Definição 1.7.1. Dizemos que uma função u ∈ C ∞ (M ) é subharmônica,
quando ∆u ≥ 0. Analogamente, u ∈ C ∞ (M ) é dita superharmônica, se vale
∆u ≤ 0.
Como nesta dissertação o único operador elı́ptico que utilizaremos é o
Laplaciano, então enunciaremos os três próximos resultados somente para
este operador. As demonstrações podem ser encontradas, por exemplo, em
[8], pág. 32 -35.
O seguinte teorema é conhecido como o Princı́pio do Máximo Fraco.
Teorema 1.7.1. Seja M uma variedade Riemanniana compacta com bordo.
Suponhamos que
∆u ≥ 0 (≤ 0),
com u ∈ C ∞ (M ). Então o máximo (mı́nimo) de u em M é atingido sobre
∂M , isto é,
maxM u = max∂M u (minM u = min∂M u) .

Lema 1.7.1 (Lema de Hopf). Seja M uma variedade Riemanniana compacta
com bordo. Suponhamos que
∆u ≥ 0,
com u ∈ C ∞ (M ). Se existe p0 ∈ ∂M tal que u(p0 ) > u(p) para todo p ∈ intM,
então
∂u
(p0 ) > 0,
∂η
onde η é o vetor unitário normal ao bordo apontando para fora.
Teorema 1.7.2. Seja M uma variedade Riemanniana compacta com bordo
e seja u ∈ C ∞ (M ) tal que ∆u ≥ 0 (≤ 0). Se u atinge seu máximo (mı́nimo)
no interior de M, então u é constante.
O Teorema 1.7.2 é conhecido como o Princı́pio do Máximo Forte ou simplesmente o Princı́pio do Máximo.
21

Observação 1.7.1. Utilizando a contrapositiva do Lema de Hopf, se ∆u ≥ 0
∂u
e existe p0 ∈ ∂M ponto de máximo tal que
(p0 ) = 0, então o valor máximo
∂η
é atingido no interior, ou seja, existe p1 ∈ intM tal que u(p0 ) = u(p1 ). Daı́,
usando o Princı́pio do Máximo Forte segue que u é constante.
Definição 1.7.2. Se M é uma variedade Riemanniana compacta com bordo
Σ = ∂M, dizemos que um número real λ é um autovalor do Laplaciano −∆,
quando o problema de Dirichlet

sobre M − Σ
 ∆u + λu = 0


u=0

sobre Σ

tem uma solução não trivial em C ∞ (M ).
Teorema 1.7.3 (Alternativa de Fredholm). Seja M uma variedade Riemanniana compacta com bordo Σ = ∂M. Para cada λ ∈ R, exatamente uma das
seguintes afirmações mantém-se:
ou
(i)Para cada g ∈ C ∞ (M ) existe uma única solução u ∈ C ∞ (M ) tal que

 ∆u + λu = g sobre M − Σ


u = 0 sobre Σ,

ou
(ii)Existe pelo menos uma solução u 6≡ 0 do problema homogêneo

 ∆u + λu = 0 sobre M − Σ


u = 0 sobre Σ.

Notemos que no caso em que a afirmação (ii) mantém-se, λ é dito autovalor do Laplaciano.
Observação 1.7.2. Dado f ∈ C ∞ (Σ), podemos encontrar f¯ ∈ C ∞ (M ) tal
que f¯ Σ = f. Se λ ∈ R não é autovalor do Laplaciano ∆, usando a Alternativa
de Fredholm, existem únicas funções v1 , v2 ∈ C ∞ (M ) tais que


 ∆v1 + λv1 = f¯
 ∆v2 + λv2 = −∆f¯ − (λ − 1)f¯
e


v1 = 0
v2 = 0.

22

Assim, considerando u = f¯ − v1 + v2 , temos que sobre M − Σ
∆u = ∆f¯ − ∆v1 + ∆v2
= ∆f¯ − (f¯ − λv1 ) − ∆f¯ − (λ − 1)f¯ − λv2
= λv1 − λv2 − λf¯
= −λ(f¯ − v1 + v2 )
= −λu
e sobre Σ,
u = f¯ Σ − v1 |Σ + v2 |Σ = f.
Ou seja,

 ∆u + λu = 0 sobre M − Σ


(1.8)

u = f sobre Σ.

Notemos que u é única satisfazendo estas condições, pois se existisse uma
outra ū ∈ C ∞ (M ) satisfazendo (1.8), então v = u − ū satisfaria
∆v = ∆u − ∆ū = −λ(u − ū) = −λv
e
v|Σ = u|Σ − ū|Σ = f − f = 0,
o que implicaria que λ é autovalor de ∆, contradizendo nossa hipótese de λ
não ser autovalor.
Resumindo o que foi feito acima, usando a Alternativa de Fredholm, se λ
não é autovalor de ∆, então dado f ∈ C ∞ (Σ), existe uma única u ∈ C ∞ (M )
tal que

 ∆u + λu = 0 sobre M − Σ


u = f sobre Σ.


Teorema 1.7.4. Seja M uma variedade Riemanniana compacta com bordo.
Então o conjunto dos autovalores do operador Laplaciano −∆ consiste de
uma sequência infinita
λ1 < λ2 ≤ λ3 ≤ · · ·
tal que
lim λk = ∞.

k→∞

23

A demonstração do seguinte resultado pode ser encontrada, por exemplo,
em [7], pág. 103.
Teorema 1.7.5. Seja M uma variedade Riemanniana compacta com bordo
Σ = ∂M. Os autovalores do Laplaciano −∆ são estritamente positivos. As
autofunções, correspondentes ao primeiro autovalor λ1 , são ou estritamente
positivas ou estritamente negativas sobre M − Σ.
A demonstração da proposição seguinte pode ser encontrada em [6], pág.
187.
Proposição 1.7.1 (Método das Sub e Super Soluções). Seja (M n , g)uma
variedade Riemanniana compacta com bordo. Considere a equação elı́ptica
∆v + f (x, v) = 0,

(1.9)

onde f ∈ C ∞ (M × R). Suponhamos que existem φ, ψ ∈ C ∞ (M ) tais que
φ≤ψ e

 ∆φ + f (x, φ) ≥ 0,


∆ψ + f (x, ψ) ≤ 0.

Então existe v ∈ C ∞ (M ) satisfazendo (1.9) tal que φ ≤ v ≤ ψ.
As funções φ e ψ são chamadas, respectivamente, uma sub-solução e uma
sup-solução para (1.9).
A Proposição 1.7.1 será essencial para a demonstração do Teorema de
Hang-Wang no caso bidimensional.

24

Capı́tulo 2
Resultados Auxiliares
2.1

A Fórmula de Bochner

Seja (M n , g) uma variedade Riemanniana. Definimos a divergência de um
campo de vetores X ∈ X (M ) por
div X : M → R

p 7→ traço Y (p) 7→ ∇Y (p) X
e o gradiente de uma função diferenciável f : M → R, como o único campo
de vetores ∇f em M tal que
g(∇f (p), v) = dfp · v, p ∈ M, v ∈ Tp M.
Além dessas aplicações, definimos o Hessiano de f por
Hess f : X (M ) × X (M ) → C ∞ (M )
(X, Y )
7→ g(∇X ∇f, Y ),
e o Laplaciano de M como o operador
∆ : C ∞ (M ) → C ∞ (M )
f 7→ div ∇f.
Observemos que
∆f = div ∇f = traço (Y 7→ ∇Y ∇f ) = traço Hess f.
Observação 2.1.1. Como ∆f = traço Hess f , a desigualdade de CauchySchwarz implica
(∆f )2
2
.
| Hess f | ≥
n
25

A igualdade vale se, e somente se, para alguma função λ : M → R, tem-se
Hess f = λg, onde g é a métrica Riemanniana de M . Considerando um
referencial ortonormal {E1 , E2 , ..., En } de X (M ) tem-se
∆f =

n
X

Hess f (Ei , Ei ) = nλ.

i=1

Portanto, se | Hess f |2 =

(∆f )2
n

, então Hess f = ∆f
g.
n

Uma fórmula que envolve estes conceitos e que será muito útil para a
demonstração do Teorema de Hang-Wang é a fórmula de Bochner. Antes
de enunciá-la, encontraremos a expressão das aplicações definidas acima em
termos de um referencial geodésico ortonormal.
Seja, então, {Ei }ni=1 um referencial geodésico ortonormal em uma vizinhança U ⊂ M e seja f ∈ C ∞ (M ). Passaremos a escrever fi para denotar
Ei (f ).
Como h∇f, Ei i = df (Ei ) = Ei (f ) = fi , então
∇f =

n
X

fi E i .

(2.1)

i=1

Daı́,
div ∇f =

n
X

h∇Ei ∇f, Ei i

i=1

=

n
X

*
∇Ei

i=1

=

* n
n
X
X
j=1

n
X

n
X

, Ei

fj Ej

fji Ej +

n
X

+
fj ∇Ei Ej , Ei

j=1

fji hEj , Ei i +

i,j=1

=

+

!

j=1

i=1

=

n
X

n
X

fj h∇Ei Ej , Ei i

i,j=1

fii .

i=1

Logo a expressão do Laplaciano de f em termos de um referencial geodésico
ortonormal é dado por
n
X
∆f =
fii .
(2.2)
i=1

26

Assim,
n
X

∆f 2 =

(f 2 )ii

i=1

X

=

(2f fi )i

i

= 2

X
(fi fi + f fii )
i

= 2

X

fi2 + 2f

X

i

fii

i

= 2|∇f |2 + 2f ∆f.
Como
Hess f (Ej , Ei ) =

∇Ej ∇f, Ei
*

=

∇Ej

n
X

!
fk Ek

+
, Ei

k=1

=

* n
X

fkj Ek +

n
X

k=1

=

n
X

+
fk ∇Ej Ek , Ei

k=1

fkj hEk , Ei i +

n
X

fk ∇Ej Ek , Ei

k=1

k=1

= fij ,
temos que
| Hess f |2 =

n
X
i,j=1

27

fij2 .

(2.3)

Observação 2.1.2 (Simetria do Hessiano). Dados X, Y ∈ X (M ), temos
Hess f (X, Y ) = h∇X ∇f, Y i
= X h∇f, Y i − h∇f, ∇X Y i
= X(Y (f )) − ∇X Y (f )
= X(Y (f )) − ([X, Y ] + ∇Y X)(f )
= X(Y (f )) − (XY − Y X + ∇Y X)(f )
= X(Y (f )) − X(Y (f )) + Y (X(f )) − ∇Y X(f )
= Y h∇f, Xi − h∇f, ∇Y Xi
= h∇Y ∇f, Xi
= Hess f (Y, X),
onde na segunda e na oitava igualdade usamos a compatibilidade com a
métrica e na quarta usamos a simetria da conexão.
Em particular, temos fij = Hess f (Ei , Ej ) = Hess f (Ej , Ei ) = fji .
Proposição 2.1.1 (Fórmula de Bochner). Se M é uma variedade Riemanniana e f ∈ C ∞ (M ), então
1
∆(|∇f |2 ) = |Hess f |2 + h∇f, ∇∆f i + Ric(∇f, ∇f ).
2

(2.4)

Demonstração. Seja {Ei }ni=1 um referencial geodésico ortonormal em uma
vizinhança U ⊂ M.
n
n
X
X
2
Como ∇f =
fi Ei , então |∇f | =
fi2 .
i=1

i=1

28

Usando a equação (2.2), pág. 26, temos
1
∆(|∇f |2 )
2

=

n
1X


|∇f |2 jj

2 j=1
n

=

n

X
1X
2
=
fi fij
2 j=1
i=1
=

n
X

fij2 +

n
X

!
=

=

i,j=1

i,j=1

2 j=1
n
X

!
fi2

i=1

jj

(fij fij + fi fijj )

i,j=1

j

fi fijj

n
n
1X X

n
X

fij2 +

i,j=1

n
X

fi fjij ,

i,j=1

onde na última igualdade usamos o fato que fij = fji . Usando a Fórmula de
Ricci, ver por exemplo [4], pág. 15, a qual nos diz que
fjij = fjji +

n
X

fl Rljji ,

l=1

obtemos
1
∆(|∇f |2 )
2

=

=

n
X

fij2 +

i,j=1

i,j=1

X

X

fij2 +

i,j

=

n
X

X

fi (fjji +

fl Rljji )

l=1

fi fjji +

i,j

fij2 +

n
X

X

fi fl Rljji

i,j,l

X

fi fjji +

X

i

j

fi fl Rli
i,j
i,l
*i,j
+
X
X
X
X
X
=
fij2 +
fi Ei ,
(fjj )i Ei + Ric(
fi E i ,
fl El )
i,j

i

l

= | Hess f |2 + h∇f, ∇∆f i + Ric(∇f, ∇f ),
onde na última igualdade usamos as equações (2.1), (2.2) e (2.3).
A fim de facilitar alguns cálculos na demonstração do caso geral do Teorema de Hang-Wang, encontraremos a expressão do gradiente e do laplaciano
das funções coordenadas da esfera Sn−1 .
Sejam x1 , ..., xn as funções coordenadas da esfera Sn−1 ⊂ Rn e consideremos um ponto p = (p1 , ..., pn ) ∈ Sn−1 . Denotemos por ∇Rn e ∇Sn−1 os
gradientes de Rn e Sn−1 , respectivamente.
29

Sabemos que
∇Rn xi (p) = ∇Sn−1 xi (p) + η(xi )(p)η(p),
onde η é o campo de vetores em Rn normal a Sn−1 , ou seja, η(q) = q, ∀q ∈
Sn−1 . Além disso,
n
X
∂xi
∇Rn xi (p) =
ej = ei ,
∂x
j
j=1
onde ei é o i-ésimo vetor da base canônica de Rn .
Seja β : I → Rn uma curva satisfazendo β(0) = p = (p1 , ..., pn ) e β 0 (0) =
η(p) = p. Assim,
d
= pi .
η(xi )(p) = (xi ◦ β(t))
dt
t=0
Logo
∇Sn−1 xi (p) = ei − pi p,
isto é,
∇Sn−1 xi = ei − xi η.
Daı́,
|∇Sn−1 xi (p)|2 = hei − pi p, ei − pi pi = 1 − p2i − p2i + p2i = 1 − p2i ,
e, portanto,
|∇Sn−1 xi |2 + x2i = 1.

(2.5)

Para i 6= j, temos
h∇Sn−1 xi (p), ∇Sn−1 xj (p)i = hei − pi p, ej − pj pi = 0−pi pj −pi pj +pi pj = −pi pj .
n

n−1

Denotemos a conexão Riemanniana de Rn e Sn−1 por ∇R e ∇S , respectivamente. Escrevendo g0 para denotar a métrica canônica da esfera Sn−1 ,
temos

30

 n−1

Hess Sn−1 xi (ek , ej ) = g0 ∇Sek ∇Sn−1 xi , ej

 n−1
= g0 ∇Sek (ei − xi η), ej
= g0




T
n
∇Rek (ei − xi η) , ej
n

= g0 ∇Rek (ei − xi η) , ej
n



n

= g0 ∇Rek ei − ∇Rek xi η, ej
n

= −g0 ∇Rek xi η, ej




n

= −g0 ek (xi )η + xi ∇Rek η, ej
n

= −xi g0 ∇Rek η, ej





= −xi g0 (ek , ej ),
onde na segunda igualdade usamos (1.5), na sexta usamos o fato de ei ser
campo constante e na última o fato de η ser o vetor identidade. Logo,
HessSn−1 xi = −xi g0 .

(2.6)

Portanto,
n−1

∆S

xi =

n−1
X

HessSn−1 xi (ej , ej )

j=1

= −xi

n−1
X

g0 (ej , ej )

j=1

= −(n − 1)xi .
P
Consideremos uma função f : Sn−1 → R, dada por f (p) = ni=1 αi xi (p),
com α = (α1 , ..., αn ) ∈ Sn−1 . Para simplificar a notação, omitiremos o ı́ndice
Sn−1 na notação do gradiente e do Laplaciano da esfera.

31

P
Usando definição de f , temos ∇f = i αi ∇xi . Assim,
DP
E
P
|∇f (p)|2 =
α
∇x
(p),
α
∇x
(p)
i
j
i i
j j
=

P P
i

j αi αj h∇xi (p), ∇xj (p)i


P  2
P
2
=
i αi |∇xi (p)| +
i6=j αi αj h∇xi (p), ∇xj (p)i

P  2
P
2
=
i αi (1 − pi ) −
i6=j αi αj pi pj

P
P  2
2 2
=
i6=j αi αj pi pj
i αi − αi pi −
=

2
i αi −

P

2 2
i (αi pi +

P

P

i6=j αi pi αj pj )

= 1 − f 2 (p).
Portanto,
|∇f |2 + f 2 = 1.

(2.7)

Além disso,
∆f =

n
X

αi ∆xi = −(n − 1)

i=1

2.2

n
X

αi xi = −(n − 1)f.

(2.8)

i=1

Algumas Propriedades do Disco Geodésico
na Esfera

Mostraremos aqui algumas propriedades de um disco geodésico de raio
cotg−1 (c) na esfera S2 ⊂ R3 , as quais serão utilizadas para demonstrar a
versão bidimensional do Teorema de Hang-Wang.
Seja D um disco geodésico de raio cotg−1 (c) na esfera S2 ⊂ R3 .

32

Figura 2.1: Disco geodésico de raio cotg−1 (c).
1
Usando o fato de que cos2 θ + sen2 θ = 1, obtemos r = √1+c
2 . Ou seja,

l(∂D) = √

2π
.
1 + c2

(2.9)

Seja α : I → D uma curva parametrizada pelo comprimento de arco e
seja N a normal à superfı́cie apontando para fora, que neste caso é o vetor
posição. Então sabemos que a curvatura geodésica da curva α é dada por
k = hα00 , N ∧ α0 i .
No caso em que a curva α tem como traço ∂D temos que


t
t
, sen θ sen
, cos θ = N (t)
α(t) = sen θ cos
sen θ
sen θ
onde θ = cotg−1 (c). Daı́,

α (t) = − sen
0



00

α (t) =


t
t
, cos
,0 ,
sen θ
sen θ


1
t
1
t
−
cos
, −
sen
, 0
sen θ
sen θ
sen θ
sen θ

e
i

− sen

=

t
sen θ

sen θ sen

t
sen θ

cos

sen θ cos

N ∧ α0 =

j

k
t
sen θ

t
sen θ

cos θ
0


t
t
, − cos θ sen
, sen θ .
− cos θ cos
sen θ
sen θ
33

Portanto,
k = hα00 , N ∧ α0 i
= cotg θ cos2

t
t
+ cotg θ sen2
sen θ
sen θ

(2.10)

= cotg θ
= c,
isto é, o bordo de um disco geodésico de raio cotg−1 (c) tem curvatura geodésica
constante e igual a c.

2.3

Relações entre Métricas Conformes

Duas métricas g e ḡ definidas em uma superfı́cie M são ditas conformes,
se existe uma função u ∈ C ∞ (M ) tal que g = e2u ḡ.
O objetivo desta seção é mostrar a relação existente entre as curvaturas geodésicas de uma curva em M , e entre as curvaturas Gaussianas, com
respeito a duas métricas conformes.
Sejam então g e ḡ duas métricas conformes em uma superfı́cie M . Suponhamos que g11 = g22 e g12 = 0, consequentemente obtemos ḡ11 = ḡ22 e
ḡ12 = 0.
Seja x : U ⊂ R2 → M uma parametrização de M . Dada uma curva C
sobre M, parametrizemos essa curva por
α:I → M
t 7→ α(t) = x(a(t), b(t)),
com α0 (t) = a0 (t)X1 + b0 (t)X2 tal que g(α0 (t), α0 (t)) = (a0 (t)2 + b0 (t)2 )g11 = 1,
ou seja, parametrizamos C por uma curva α parametrizada pelo comprimento
de arco com respeito à métrica g.
Sabemos que a curvatura geodésica de C com respeito à métrica g é dada
por


Dα0
kg = g
,ν ,
dt
onde ν é a normal à curva α no plano tangente de M e g(ν, ν) = 1; adotaremos
ν = −b0 X1 + a0 X2 , a normal apontando para dentro.
Para calcular a curvatura geodésica de C com respeito à métrica ḡ, precisamos parametrizar a curva C por uma curva ᾱ tal que ḡ(ᾱ0 , ᾱ0 ) = 1, ou seja,

34

precisamos reparametrizar a curva α pelo comprimento de arco com relação
à métrica ḡ. Assim, denotando
Z sp
Z s
0
0
ϕ(t) =
ḡ(α , α )dt =
e−u◦α(t) dt,
0

0

podemos escrever
ᾱ(s) = α(ϕ−1 (s)) = x(a(ϕ−1 (s)), b(ϕ−1 (s))).
Daı́,
ᾱ0 (s) = α0 (ϕ−1 (s))(ϕ−1 (s))0
1
α0 (ϕ−1 (s))
ϕ0 (ϕ−1 (s))

=

−1 (s))

= eu◦α(ϕ

α0 (ϕ−1 (s)).

Logo,
−1 (s))

ḡ(ᾱ0 , ᾱ0 ) = ḡ(eu◦α(ϕ

α0 (ϕ−1 (s)), eu◦α(ϕ

−1 (s))

α0 (ϕ−1 (s)))

−1 (s))

ḡ(α0 (ϕ−1 (s)), α0 (ϕ−1 (s)))

−1 (s))

e−2u◦α(ϕ

= e2u◦α(ϕ

= e2u◦α(ϕ

−1 (s))

g(α0 (ϕ−1 (s)), α0 (ϕ−1 (s)))

= 1.
Denotemos ā(s) = a(ϕ−1 (s)), b̄(s) = b(ϕ−1 (s)). Assim,
ā0 (s) = a0 (ϕ−1 (s))(ϕ−1 (s))−1
−1
= eu◦α(ϕ (s)) a0 (ϕ−1 (s))
e

ā00 (s) = a00 · (ϕ−1 (s))0 eu◦α + a0 eu◦α ((ϕ−1 (s))0 du · α0 )
= a00 e2u◦α + a0 eu◦α (eu◦α du · α0 )
∂u
∂u
= a00 e2u◦α + a0 e2u◦α (a0 ∂x
+ b0 ∂x
)
1
2
∂u
∂u
= a00 e2u◦α + (a0 )2 e2u◦α ∂x
+ a0 b0 e2u◦α ∂x
,
1
2

onde para facilitar a escrita omitimos em algumas partes o termo ϕ−1 (s) e
∂u
escrevemos ∂x
para denotar Xi (u), i = 1, 2.
i
Analogamente, temos que
35

b̄0 (s) = eu◦α(ϕ

−1 (s))

b0 (ϕ−1 (s))

e
∂u
∂u
+ (b0 )2 e2u◦α ∂x
.
b̄00 (s) = b00 e2u◦α + a0 b0 e2u◦α ∂x
1
2

Usando a equação (1.2), pág. 5, temos
2

Γ̄m
ij

1X
=
2 k=1
2

1X
=
2 k=1





∂ḡjk ∂ḡki ∂ḡij
+
−
∂xi
∂xj
∂xk



∂(e−2u gjk ) ∂(e−2u gki ) ∂(e−2u gij )
+
−
∂xi
∂xj
∂xk

ḡ km



e2u g km


2 
1 X ∂gjk ∂gki ∂gij
=
+
−
g km
2 k=1 ∂xi
∂xj
∂xk


2
X ∂u
∂u
∂u
−
gjk +
gik −
gij g km
∂x
∂x
∂x
i
j
k
k=1
=

Γm
ij −

2 
X
∂u
k=1


∂u
∂u
gjk +
gik −
gij g km .
∂xi
∂xj
∂xk

Logo,
∂u
Γ̄111 = Γ111 − ∂x
1

∂u
Γ̄112 = Γ112 − ∂x
2

∂u
Γ̄122 = Γ122 + ∂x
1

∂u
Γ̄211 = Γ211 + ∂x
2

∂u
Γ̄212 = Γ212 − ∂x
1

∂u
Γ̄222 = Γ222 − ∂x
.
2

Sabemos que (ver [1], pág. 286, por exemplo)


Dᾱ0
= ā00 + (ā0 )2 Γ̄111 + 2ā0 b̄0 Γ̄112 + (b̄0 )2 Γ̄122 X1
ds


+ b̄00 + (ā0 )2 Γ̄211 + 2ā0 b̄0 Γ̄212 + (b̄0 )2 Γ̄222 X2 .

36

Assim,


Dᾱ0
2u
00
0 2 ∂u
0 0 ∂u
0 2 1
0 0 1
0 2 1
= e
a + (a )
+ab
+ (a ) Γ̄11 + 2a b Γ̄12 + (b ) Γ̄22 X1
ds
∂x1
∂x2
+

2u



= e

a

2u

e

= e2u

0 0 ∂u

00

b +ab

e

2u

+



00


b

∂x1

0 2 ∂u

+ (b )

∂x2

+ (a0 )2 Γ̄211 + 2a0 b0 Γ̄212 + (b0 )2 Γ̄222

∂u
∂u
+ (a0 )2 Γ111 + 2a0 b0 Γ112 + (b0 )2 Γ122 − a0 b0
+ (b0 )2
∂x2
∂x1

00


X2



∂u
∂u
+ (a0 )2 Γ211 + 2a0 b0 Γ212 + (b0 )2 Γ222 − a0 b0
+ (a0 )2
∂x1
∂x2

X1

X2

Dα0
+ e2u A,
dt

onde


0 0 ∂u

A = −a b

∂x2



0 2 ∂u

+ (b )

∂x1



0 0 ∂u
0 2 ∂u
X1 + −a b
+ (a )
X2 .
∂x1
∂x2

A curvatura geodésica de C com respeito à métrica ḡ é dada por


Dᾱ0
, ν̄ ,
kḡ = ḡ
ds
onde ν̄ = eu ν = −eu b0 X1 + eu a0 X2 é a normal à curva ᾱ no plano tangente
de M e ḡ(ν̄, ν̄) = 1. Assim,
kḡ = ḡ(e2u

Dα0
+ e2u A, ν̄)
dt

Dα0
= e ḡ(
, ν̄) + e2u ḡ(A, ν̄)
dt
2u

= e3u ḡ(
= eu g(

Dα0
, ν) + e3u ḡ(A, ν)
dt

Dα0
, ν) + eu g(A, ν)
dt

= eu kg + eu g(A, ν).
37

Por outro lado,





0 0 ∂u
0 2 ∂u
0 0 ∂u
0 2 ∂u
g(A, ν) = g −a b
+ (b )
X1 + −a b
+ (a )
X2 , ν
∂x2
∂x1
∂x1
∂x2



0 2 ∂u
0
0
0 0 ∂u
+ (b )
X1 , −b X1 + a X2
= g −a b
∂x2
∂x1

+ g

0 0 ∂u

−a b

= a0 (b0 )2

∂x1

0 2 ∂u

+ (a )



0

0



X2 , −b X1 + a X2

∂x2

∂u
∂u
∂u
∂u
g11 − (b0 )3
g11 − (a0 )2 b0
g22 + (a0 )3
g22
∂x2
∂x1
∂x1
∂x2





∂u
∂u
= a0 (b0 )2 + (a0 )2 g11
− b0 (b0 )2 + (a0 )2 g11
∂x2
∂x1
= a0

∂u
∂u
− b0
,
∂x2
∂x1

pois

g(α0 , α0 ) = 1.

Daı́,
eu g(A, ν) = eu a0

∂u
∂u
∂u
− e u b0
=
.
∂x2
∂x1
∂ ν̄

Portanto,
kḡ = eu kg +
⇒

∂u
∂ ν̄

∂u
+ kḡ = eu kg .
∂(−ν̄)

De agora em diante, passaremos a denotar a normal apontando para fora,
−ν̄, por η. Obtendo assim,
∂u
+ kḡ = eu kg .
∂η

(2.11)

A equação (2.11) nos dá a relação entre as curvaturas geodésicas de uma
curva com respeito às métricas g e ḡ, onde g = e2u ḡ, g11 = g22 e g12 = 0.
Mostraremos agora a relação entre as curvaturas Gaussianas da superfı́cie
M com respeito a essas duas métricas.
Denotemos por K, K a curvatura Gaussiana de M com respeito à métrica
g e ḡ, respectivamente. Seja ∇ a conexão Riemanniana de M com relação a
g.

38

Como em superfı́cies a curvatura seccional coincide com a curvatura Gaussiana, temos
K = K(X1 , X2 )
=

1

g ∇X1 ∇X2 X2 − ∇X2 ∇X1 X2 − ∇[X1 ,X2 ] X2 , X1
g11 g22 −g12

1
= 2 g ∇X1
g11
1
= 2 g ∇X1
g11

2
X

!
Γi22 Xi

− ∇X2

!
Γi12 Xi

!
, X1

i=1

i=1
2
X

2
X



!
Γi22 Xi

!
, X1

i=1

1
− 2 g ∇X2
g11

X
X
1
= 2 g
X1 (Γi22 )Xi +
Γi22 ∇X1 Xi , X1
g11
i
i

2
X

!
Γi12 Xi

!
, X1

i=1

!

X
X
1
X2 (Γi12 )Xi +
Γi12 ∇X2 Xi , X1
− 2 g
g11
i
i

!

"
!#
X
X j
1 ∂Γ122
i
g11 +
Γ22 g
Γ1i Xj , X1
= 2
g11 ∂x1
i
j
"
!#
X
X j
1 ∂Γ112
i
g11 +
Γ12 g
Γ2i Xj , X1
− 2
g11 ∂x2
i
j
1
= 2
g11

"

1
=
g11



X

∂Γ112
∂Γ122
g11 −
g11 +
Γi22 Γ11i − Γi12 Γ12i g11
∂x1
∂x2
i

#


∂Γ122 ∂Γ112
2
1
1
1
1
2
1
1
−
+ Γ22 Γ11 − Γ12 Γ12 + Γ22 Γ12 − Γ12 Γ22 ,
∂x1
∂x2

onde usamos a equação (1.1) na terceira e sexta igualdade, e usamos o fato
de que g11 = g(X1 , X1 ) = g(X2 , X2 ) = g22 , g12 = g(X1 , X2 ) = 0 na segunda
e sexta igualdade.
Agora, utilizando a relação existente entre os sı́mbolos de Christoffel,
segue que

39

1
K =
g11



∂
∂x1



Γ̄122 −

∂u
∂x1



∂
−
∂x2



∂u
1
Γ̄12 +
∂x2



 


∂u
∂u
∂u
∂u
1
1
1
1
− Γ̄12 +
+
Γ̄22 −
Γ̄11 +
Γ̄12 +
∂x1
∂x1
∂x2
∂x2

+

Γ̄222 +

∂u
∂x2

e−2u
=
ḡ11





2

−

∂u
∂x1


 


∂u
∂u
∂u
1
2
1
− Γ̄12 +
Γ̄12 +
Γ̄22 −
∂x2
∂x1
∂x1

∂ Γ̄122 ∂ 2 u ∂ Γ̄112 ∂ 2 u
∂u 1
∂u 1
− 2−
− 2 + Γ̄122 Γ̄111 +
Γ̄22 −
Γ̄
∂x1
∂x1
∂x2
∂x2
∂x1
∂x1 11
∂u 1
− Γ̄112 Γ̄112 − 2
Γ̄ −
∂x2 12

∂u 1
+
Γ̄ +
∂x2 12



∂u
∂x2

2

− Γ̄212 Γ̄122 +



∂u
∂x2

2

+ Γ̄222 Γ̄112 +

∂u 2
∂u 1
Γ̄12 −
Γ̄ +
∂x1
∂x1 22

∂u 2
Γ̄
∂x2 22



∂u
∂x1

2 )

e−2u
=
ḡ11



e−2u
+
ḡ11

 2

∂ u ∂ 2u
∂u 1
∂u 1
∂u 2
∂u 2
− 2− 2−
Γ̄ −
Γ̄ +
Γ̄ +
Γ̄
∂x1 ∂x2 ∂x1 11 ∂x2 12 ∂x2 22 ∂x1 12

=

∂ Γ̄122 ∂ Γ̄112
−
+ Γ̄122 Γ̄111 − Γ̄112 Γ̄112 + Γ̄222 Γ̄112 − Γ̄212 Γ̄122
∂x1
∂x2

e−2u
K
−
e2u
ḡ11



 2

∂ u ∂ 2u
∂u 1
∂u 1
∂u 2
∂u 2
+
+
Γ̄ +
Γ̄ −
Γ̄ −
Γ̄
.
∂x21 ∂x22 ∂x1 11 ∂x2 12 ∂x2 22 ∂x1 12

¯ ∇ḡ e ∇ para denotar, respectivamente, o Laplaciano, o
Escreveremos ∆,
gradiente e a conexão Riemanniana de M com respeito à métrica ḡ. Como
∂u
= Xi (u), então
∂xi
∇ḡ u =

1 ∂u
1 ∂u
X1 +
X2 .
ḡ11 ∂x1
ḡ11 ∂x2

40

Agora,
ḡ ∇X1 ∇ḡ u, X1







∂u
1 ∂u
= ḡ ∇X1 ḡ111 ∂x
X
,
X
+
ḡ
∇
X
,
X
1
1
X
2
1
1 ḡ11 ∂x2
1




1 ∂u
ḡ11 ∂x1



1 ∂u
X1 +
∇X1 X1 , X1
ḡ11 ∂x1





1 ∂u
ḡ11 ∂x2



1 ∂u
X2 +
∇X1 X2 , X1
ḡ11 ∂x2



= ḡ X1

+ ḡ X1
1
=
ḡ11



∂ 2u
∂u ∂ḡ
ḡ11 2 −
+ ḡ
∂x1 ∂x1 ∂x1

+ ḡ

1 ∂u X j
Γ̄ Xj , X1
ḡ11 ∂x2 j 12

=

1 ∂u X j
Γ̄ Xj , X1
ḡ11 ∂x1 j 11

!

∂u 1
∂u 1
1 ∂u ∂ḡ11
∂ 2u
+
Γ̄11 +
Γ̄ .
−
2
∂x1 ḡ11 ∂x1 ∂x1
∂x1
∂x2 12

Analogamente, temos
 ∂ 2u
∂u 2
1 ∂u ∂ḡ11
∂u 2
ḡ ∇X2 ∇ḡ u, X2 =
Γ̄12 +
Γ̄ .
−
+
2
∂x2 ḡ11 ∂x2 ∂x2
∂x1
∂x2 22
Usando a equação (1.2), encontramos
Γ̄111 =

1 1 ∂ḡ11
= Γ̄212
2 ḡ11 ∂x1

Γ̄112 =

1 1 ∂ḡ11
= Γ̄222
2 ḡ11 ∂x2

Logo,


∂ 2 u 1 1 ∂u ∂ḡ11 1 1 ∂u ∂ḡ11


ḡ ∇X1 ∇ḡ u, X1 =
−
+



∂x21 2 ḡ11 ∂x1 ∂x1
2 ḡ11 ∂x2 ∂x2



∂ 2 u 1 1 ∂u ∂ḡ11 1 1 ∂u ∂ḡ11


+
−
 ḡ ∇X2 ∇ḡ u, X2 =
∂x22 2 ḡ11 ∂x1 ∂x1
2 ḡ11 ∂x2 ∂x2

41

!

e, portanto,
¯
∆u
= div ∇ḡ u
=

ḡ(∇X1 ∇ḡ u, X1 ) ḡ(∇X2 ∇ḡ u, X2 )
+
ḡ(X1 , X1 )
ḡ(X2 , X2 )

1
=
ḡ11


 2
∂ u ∂ 2u
.
+
∂x21 ∂x22

Usando o fato de que Γ̄111 = Γ̄212 , Γ̄112 = Γ̄222 , segue que


∂u 1
e−2u ∂ 2 u ∂ 2 u
∂u 1
∂u 2
∂u 2
−2u
K = e K−
+
+
Γ̄ +
Γ̄ −
Γ̄ −
Γ̄
ḡ11 ∂x21 ∂x22 ∂x1 11 ∂x2 12 ∂x2 22 ∂x1 12
¯
= e−2u K − e−2u ∆u.
Ou seja,
¯ − K + e2u K = 0
∆u

(2.12)

A equação (2.12) nos fornece a relação entre as curvaturas Gaussianas
com respeito às métricas g e ḡ, onde g = e2u ḡ, g11 = g22 e g12 = 0.

2.4

Fórmula de Reilly

Seja M n uma variedade compacta com bordo Σ = ∂M e seja {Ei }ni=1 um
referencial geodésico ortonormal tal que En = η é o campo de vetores normal
ao bordo apontando para fora. Consideremos f ∈ C ∞ (M ) e denotemos
.
z = f |Σ e v = ∂f
∂η
Temos,
(∆f )|Σ =

n−1
X

Hess f (Ei , Ei ) + Hess f (η, η)

i=1

=

n−1
X

h∇Ei ∇f, Ei i + Hess f (η, η)

i=1

=

n−1
X

h∇Ei (∇z + vη), Ei i + Hess f (η, η)

i=1

=

n−1
X

h∇Ei ∇z, Ei i +

n−1
X

i=1

i=1

42

h∇Ei vη, Ei i + Hess f (η, η)

= ∆Σ z +

n−1
X

hEi (v)η + v∇Ei η, Ei i + Hess f (η, η)

i=1

Σ

= ∆ z+v

n−1
X

h∇Ei η, Ei i + Hess f (η, η)

i=1

= ∆Σ z + vH +

∂v
,
∂η

onde H é a curvatura média de Σ e ∆Σ denota o operador Laplaciano de Σ.
Proposição 2.4.1 (Fórmula de Reilly). Seja M n uma variedade Riemanniana compacta com bordo Σ = ∂M e seja f ∈ C ∞ (M ). Denotemos por Ω e Ψ
as formas de volume de M e Σ, respectivamente. Então
Z
Z
Z

2
2
(∆f ) − | Hess f | Ω =
Ric(∇f, ∇f )Ω + (∆z + vH)vΨ
M

M

Σ

Z
−

Z
h∇v, ∇zi Ψ +

Σ

II(∇z, ∇z)Ψ,
Σ

(2.13)
onde H é a curvatura média do bordo Σ, z = f |Σ e v = ∂f
é
a
derivada
de
∂η
f na direção do vetor normal ao bordo apontando para fora.
Demonstração. Seja {Ei }ni=1 um referencial geodésico. Consideremos o campo
n
X
de vetores X =
xi Ei tal que
i=1

xi =

n
X
(fjj fi − fji fj ).
j=1

Observemos que
div X =

n
X

*
∇Ek

=

!
xi Ei

+
, Ek

i=1

k=1

=

n
X

*
X X

+
Ek (xi )Ei +

k

i

X

Ek (xk )

X
i

k

43

xi ∇Ek Ei , Ek

=

X

2
fjjk fk + fjj fkk − fkjk fj − fjk



k,j

=

X

fjjk fk −

j,k

X

fjkj fk +

X

j,k

fjj fkk −

j,k

X

2
fjk

j,k

!
=

X X

fjjk −

j

k

X

fjkj

fk +

X

j

fjj fkk −

X

j,k

2
fjk

j,k

!
=

X X
k

= −

fl Rljkj

fk +

l,j

X
k,l

fk fl Rlk +

X

fjj fkk −

X

j,k

X

fjj fkk −

j,k

2
fjk

j,k

X

2
fjk

j,k

= − Ric(∇f, ∇f ) + (∆f )2 − | Hess f |2 ,
onde na sétima igualdade usamos a fórmula de Ricci.
Logo
(∆f )2 − | Hess f |2 = Ric(∇f, ∇f ) + div X.
Usando o Teorema de Stokes, temos
Z
Z
Z

2
2
(∆f ) − | Hess f | Ω =
Ric(∇f, ∇f )Ω + hX, ηi Ψ,
M

M

Σ

onde η é a normal ao bordo apontando para fora.
Por outro lado,
hX, ηi = xn =

n
X

(fjj fn − fjn fj ) .

(2.14)

j=1

Como estamos interessados em integrar hX, ηi sobre o bordo Σ, vamos
analisar o lado direito de (2.14) nos pontos de Σ. Temos,
n
X

fjj fn = (∆f )|Σ v = (∆z + vH + vn )v = (∆z + vH)v + vn v

j=1

e

n
X
j=1

fjn fj = fnn fn +

n−1
X

fjn fj = vn v +

j=1

44

n−1
X
j=1

fjn fj .

Logo,
hX, ηi = (∆z + vH)v −

n−1
X

fjn fj .

j=1

Por outro lado,
*
∇η ∇z, ∇z

∇η

=

* n−1
X

=

n−1
X

! n−1
+
X
zj Ej ,
zk Ek

j=1

k=1

zjn Ej +

j=1
n−1
X

=

n−1
X

zj ∇η Ej ,

j=1

n−1
X

+
zk Ek

k=1

zjn zj

j=1
n−1
X

=

fjn fj .

j=1

Daı́,
n−1
X

∇η ∇z, ∇z

fjn fj =

j=1

−∇∇z η + [∇z, η] , ∇z

=

= h[∇z, η] , ∇zi − ∇∇z η, ∇z
= h∇v, ∇zi − II(∇z, ∇z),
pois, como η = 1 · En e ∇z =

n−1
X

zi Ei , então

i=1

[η, ∇z] =

n−1
X

znj Ej =

j=1

n−1
X

vj Ej = ∇v.

j=1

Logo,
hX, ηi = (∆z + vH)v − h∇v, ∇zi + II(∇z, ∇z)

45

e, portanto,
Z
Z
Z

2
2
Ric(∇f, ∇f )Ω + (∆z + vH)vΨ
(∆f ) − | Hess f | Ω =
M

M

Σ

Z

Z
h∇v, ∇zi Ψ +

−
Σ

46

II(∇z, ∇z)Ψ.
Σ

Capı́tulo 3
Resultados Principais
Neste capı́tulo apresentamos os principais resultados desta dissertação. Na
tentativa de deixar as coisas o mais claro possı́vel, na seção 1 apresentamos
a prova do Teorema de Reilly. Na seção 2 provamos a versão bidimensional do Teorema de Hang-Wang e, finalmente, na seção 3 apresentamos a
demonstração do Teorema de Hang-Wang no caso geral.

3.1

O Teorema de Reilly

Lema 3.1.1. Seja (M n , g) uma variedade Riemanniana compacta com bordo
Σ = ∂M totalmente geodésico. Suponhamos que existe uma função f sobre
M tal que f = 0 sobre Σ, f ≥ 0 sobre M e Hess f = −f g. Então M é
isométrica ao hemisfério Sn+ .
Demonstração. Como M é compacta, então M é completa. Por ser o bordo
totalmente geodésico, podemos concluir usando o Teorema de Hopf e Rinow
que toda geodésica de M que não está contida no bordo, pode ser extendida
ou indefinidamente ou até tocar o bordo. Além disso, todo par de pontos de
M pode ser unido por uma geodésica minimizante de M.
Como M é compacta, f atinge seu valor máximo em algum ponto, digamos em p0 ∈ M, e suponhamos, sem perda de generalidade, que f (p) = 1.
Seja γ(s) qualquer geodésica normalizada em M partindo de p0 e considere-

47

mos a função φ(s) = f (γ(s)). Temos
φ(0) = f (γ(0)) = f (p0 ) = 1;
φ0 (0) = h∇f (p0 ), γ 0 (0)i = 0;
φ00 (s) =
=

d
h∇f (γ(s)), γ 0 (s)i
ds
∇γ 0 (s) ∇f (γ(s)), γ 0 (s) + ∇f (γ(s)), ∇γ 0 (s) γ 0 (s)

= Hess f ◦ γ(γ 0 (s), γ 0 (s))
= −f ◦ γ(s)
= −φ(s).
Logo, φ(s) = cos s. Em particular, concluimos que f = cos r, onde r é a
função distância ao ponto p0 .
Cada tal geodésica γ pode ser extendida ou indefinidamente ou pelo menos até encontrar o bordo Σ. Como f é identicamente nula sobre o bordo Σ e
f (γ(s)) = φ(s) = cos s não se anula para 0 ≤ s < π2 , então γ está certamente
definida para 0 ≤ s ≤ π2 .
Como, por hipótese, f ≥ 0, então γ não pode estar definida para s > π2 ,
pois sobre estes pontos f (γ(s)) = cos s < 0. Portanto, qualquer geodésica
em M partindo de p0 tem como intervalo máximo
de definição [0, π2 ]. Além

π
disso, concluimos também que expp0 ∂B[0, 2 ] = Σ.
Como qualquer ponto de M pode ser ligado a p0 por uma geodésica
minimizante e esta por sua vez está definida em [0, π2 ], então a aplicação
expp0 : B[0, π2 ] → M é sobrejetiva.
Afirmação: expp0 : B[0, π2 ] → M é injetiva.
Com efeito, suponhamos que existam v1 , v2 ∈ B[0, π2 ] ⊂ Tp0 M tal que
expp0 v1 = expp0 v2 = q. Então existem geodésicas normalizadas γ1 , γ2 :
[0, π2 ] → M, tais que γ10 (0) = |vv11 | , γ20 (0) = |vv22 | e γ1 (t1 ) = q = γ2 (t2 ), onde
t1 = |v1 | e t2 = |v2 |.
Como f = cos r e ∇r é ortogonal às curvas de nı́veis que neste caso são
as esferas geodésicas de centro em p0 , então
∇f (q) = − sen t1 ∇r(γ(t1 )) = − sen t1 γ10 (t1 )
e
∇f (q) = − sen t2 ∇r(γ(t2 )) = − sen t2 γ20 (t2 ).
48

Daı́,
− sen t1 γ10 (t1 ) = − sen t2 γ20 (t2 ).
Como |γ10 (t1 )| = |γ20 (t2 )|, então sen t1 = sen t2 . Mais ainda, temos γ10 (t1 ) =
0
γ2 (t2 ). Logo v1 = v2 e, portanto, expp0 : B[0, π2 ] → M é injetiva.
Afirmação: A aplicação expp0 : B(0, π2 ) ⊂ Tp0 M → B(p, π2 ) ⊂ M é um
difeomorfismo.
Seja γ : [0, π2 ) → M uma geodésica normalizada em M com γ(0) = p0
e seja J um campo de Jacobi ao longo de γ tal que J(0) = 0 e γ 0 (t)⊥J(t).
Fixemos t0 ∈ [0, π2 ) e suponhamos, inicialmente, que |J(t0 )| = 1. Consideremos α : (−, ) → M a geodésica normalizada tal que α(0) = γ(t0 ) e
α0 (0) = J(t0 ). Esta geodésica α determina, por sua vez, uma famı́lia γs de
geodésicas partindo de p0 tal que o campo de Jacobi J é realizado por esta
famı́lia, ou seja, J é o campo variacional. Isto implica que γs não está paramentrizada pelo comprimento de arco, mas somente proporcionalmente ao
comprimento de arco, exceto γ(0) = γ.
Temos então uma superfı́cie parametrizada b(s, t) = γs (t) tal que as curvas
∂b
(0, t) =
α1 (s) = b(s, 0) = p0 e α(s) = b(s, t0 ) são geodésicas. Além disso, ∂s
∂b
0
J(t) e ∂t (0, t) = γ (t).

Figura 3.1:
Pela Proposição 1.4.1, pág. 13, temos
L0 (0) =

∂b
(0, t0 ), γ 0 (t0 )
∂s

−

∂b
(0, 0), γ 0 (0)
∂s

= hJ(t0 ), γ 0 (t0 )i − hJ(0), γ 0 (0)i
= 0.
49

e
L00 (0) =

Z t0

D ∂b
∂t ∂s

0

=

Z t0 

2

 

 
2 !
∂b
∂b
D
∂b
− R γ 0,
, γ0 − γ 0,
dt
∂s ∂s
∂t ∂s
2

|J 0 (t)|2 − hR(γ 0 , J)J, γ 0 i − hγ 0 , J 0 i



0

=

Z t0 

2

|J 0 (t)|2 + hR(γ 0 , J)γ 0 , Ji − hγ 0 , J 0 i



0

=

Z t0 

0

00

2

0

0 2

|J (t)| − hJ , Ji − hγ , J i



0

Z t0 
=
0

d 0
2
hJ , Ji − hγ 0 , J 0 i
dt

0



Z t0

0

= hJ (t0 ), J(t0 )i − hJ (0), J(0)i −

2

hγ 0 , J 0 i dt

0

= hJ 0 (t0 ), J(t0 )i ,
pois J(0) = 0 e 0 = dtd hJ, γ 0 i = hJ 0 , γ 0 i + hJ, ∇γ 0 γ 0 i = hJ 0 , γ 0 i , uma vez que
∇γ 0 γ 0 = 0. Logo,
L00 (0) = hJ 0 (t0 ), J(t0 )i .
Por outro lado, como α(s) = γs (t0 ) e γs é uma geodésica partindo de p0 ,
então
f (α(s)) = cos L(s),
onde L(s) é o comprimento de γs .
Como Hess f = −f g, segue que
(f ◦ α)00 (s) =

d
h∇f (α(s)), α0 (s)i
ds

= h∇α0 f (s), α0 (s)i + ∇f (α(s)), ∇α0 (s) α0 (s)
= Hess f (α0 (s), α0 (s))
= −f (α(s)).
50

(3.1)

Daı́, f ◦ α(s) = A cos s + B sen s, onde
A = (f ◦ α)(0) = f (γ(t0 )) = cos t0 ;
e
B =

d
(f ◦ α(s))|s=0
ds

= h∇f (α(0)), α0 (0)i
= h∇f (γ(t0 )), J(t0 )i
= − sen t0 hγ 0 (t0 ), J(t0 )i
= 0.
Donde segue que
f (α(s)) = cos t0 cos s

(3.2)

De (3.1) e (3.2), temos
cos t0 cos s = cos L(s).
Derivando com respeito a s, obtemos
− cos t0 sen s = −L0 (s) sen L(s).
Derivando novamente, segue que
cos t0 cos s = (L0 (s))2 cos L(s) + L00 (s) sen L(s).
Em s = 0, temos
cos t0 = L00 (0) sen t0 ,
pois, L(0) = comprimento de γ|[0,t0 ] = t0 e, como vimos acima L0 (0) = 0.
Logo,
cos t0
L00 (0) =
.
sen t0
Por outro lado, sabemos que L00 (0) = hJ(t0 ), J 0 (t0 )i . Então
hJ(t0 ), J 0 (t0 )i =

cos t0
.
sen t0

Como J(t0 ) é unitário, podemos escrever
cos t0
hJ(t0 ), J 0 (t0 )i
=
.
2
|J(t0 )|
sen t0
51

(3.3)

Para o caso geral em que J(t0 ) não é unitário, consideramos o campo de
J(t)
Jabobi W (t) = |J(t
e repetimos o processo acima, obtendo também
0 )|
hW (t0 ), W 0 (t0 )i =

cos t0
.
sen t0

J(t0 ) J 0 (t0 )
,
|J(t0 )| |J(t0 )|

cos t0
,
sen t0

Daı́,

ou seja,


=

hJ(t0 ), J 0 (t0 )i
cos t0
.
=
2
|J(t0 )|
sen t0

Observemos que a equação (3.3) é equivalente a
d
d
(log |J(t)|) |t=t0 = (log sen t)|t=t0 .
dt
dt
Integrando a expressão acima de δ > 0 a t0 , obtemos




sen t0
|J(t0 )|
sen t0
|J(t0 )|
=
.
log
= log
⇒
|J(δ)|
sen δ
|J(δ)|
sen δ
Sabemos que |J(δ)| = δ|J 0 (0)| + R(δ), com limδ→0 R(δ)
= 0. Daı́,
δ
δ
R(δ) δ
|J(δ)|
=
|J 0 (0)| +
.
sen δ
sen δ
δ sen δ
O que implica
|J(δ)|
= |J 0 (0)|.
δ→0 sen δ
lim

Assim,
|J(t0 )| = |J 0 (0)| sen t0 .


Como t0 ∈ 0, π2 é arbitrário, segue que
|J(t)| = |J 0 (0)| sen t.

(3.4)


d expp0 tγ 0 (0) tJ 0 (0) = |J(t)| = |J 0 (0)| sen t.

(3.5)

Portanto,



Isto mostra que expp0 : B 0, π2 ⊂ Tp0 M → B p0 , π2 ⊂ M é, além de
bijeção, um difeomorfismo. O que prova a afirmação feita.
52

Fixemos um ponto q0 ∈ Sn e consideremos
h : Tp0 M → Tq0 Sn uma

π
isometria qualquer. Seja ψ : B p0 , 2 ⊂ M → B q0 , π2 ⊂ Sn definida por
−1
ψ(expp0 sv) = expq0 sh(v), ou seja, ψ = expq0 ◦h ◦ expp0
.
Afirmação: ψ é uma isometria.
Com efeito, sabemos que os campos de Jacobi na esfera Sn são da forma

d expq0 tβ 0 (0) tJ 0 (0) = J(t) = sen tw(t),
onde w(t) é um campo paralelo ao longo de γ com hγ 0 (t), w(t)i = 0 e w(0) =
J 0 (0). Ou seja,

sen t
d expq0 tβ 0 (0) J 0 (0) =
w(t)
(3.6)
t
para qualquer geodésica normalizada
β em Sn partindo de q0 . Por outro lado,

se q = expp0 u ∈ B p0 , π2 , então
h

−1 i
dψq = d expq0 h◦ exp −1 (q) ◦ dh exp −1 (q) ◦ d expp0
.
( p0 )
( p0 )
q
Por (3.5), dado v ∈ Tq M, temos
d

h

expp0

−1 i

v =

q

|u|
|v|
sen |u|

e por (3.6), dados x, y ∈ Tq0 Sn ,

sen |x|
d expq0 x y =
|y|.
|x|
Portanto,
|dψq v| = |v|,
ou seja, dψq é uma isometria linear. Assim, ψ é uma isometria local. Como
ψ é um difeomorfismo, então
 é uman isometria.  π 
 πψ
Como Σ = expp0 ∂B 0, 2 e ∂S+ = expq0 ∂B 0, 2 , então definindo
ψ : M → Sn+
expp0 sv 7→ expq0 sh(v)
temos que ψ é uma isometria.
Portanto M é isométrica ao hemisfério Sn+ .
Agora estamos em condições de provar o Teorema de Reilly.
53

Teorema 3.1.1 (Reilly, [5]). Seja (M n , g) uma variedade Riemanniana compacta com bordo Σ = ∂M 6= ∅. Suponhamos Ric ≥ (n−1)g e que a curvatura
média de Σ em M é não-negativa. Então o primeiro autovalor λ1 de −∆,
relacionado ao problema de Dirichlet, satisfaz λ1 ≥ n. Além disso, λ1 = n
se, e somente se, M é isométrica ao hemisfério Sn+ ⊂ Rn+1 .
Demonstração. Seja f uma autofunção para λ1 . Usando o Teorema 1.7.5,
pág. 23, podemos assumir que f > 0 sobre M − Σ. Como z = f |Σ é identicamente nulo, por f ser autofunção do primeiro autovalor, então a Fórmula
de Reilly, pág. 43, assume a seguinte forma:
Z
Z
Z

2
2
2
(∆f ) − | Hess f | Ω =
v HΨ +
Ric(∇f, ∇f )Ω.
M

Σ

M

Pela Observação 2.1.1, pág. 25, sabemos que
(∆f )2
n

| Hess f |2 ≥
⇒

−

⇒ −

(∆f )2
≥ −| Hess f |2
n

(∆f )2
+ (∆f )2 ≥ (∆f )2 − | Hess f |2
n

n
(∆f )2 − | Hess f |2 .
n−1

(∆f )2 ≥

⇒
Assim,
λ21

Z

2

Z

f Ω =
M

(∆f )2 Ω

M

n
≥
n−1

Z

n
=
n−1

Z


(∆f )2 − | Hess f |2 Ω

M
2

Z

v HΨ +
Σ

Ric(∇f, ∇f )Ω

(3.7)

M

Z
n
≥
(n − 1)g(∇f, ∇f )Ω
n−1 M
Z
= nλ1
f 2 Ω,
M

onde na primeira igualdade usamos o fato de f ser uma autofunção do autovalor λ1 , na segunda desigualdade usamos a hipótese da curvatura média
54

H ser não-negativa e Ric ≥ (n − 1)g e a última igualdade segue do fato de
termos
Z
Z
Z
Z
Z
2
(∆f )Ω =
f ∆f Ω+
g(∇f, ∇f )Ω = −λ1
f Ω+
g(∇f, ∇f )Ω.
0=
M

M

M

M

M

Como f não é identicamente nulo, então segue que λ1 ≥ n, o que prova
a primeira parte do teorema.
Suponhamos agora que λ1 = n. Então as desigualdades em (3.7) devem
2
ser igualdades, em particular, segue que | Hess f |2 = (∆fn ) e então, pela
g = − λn1 f g = −f g.
Observação 2.1.1, Hess f = ∆f
n
Vamos mostrar que sob estas condições o bordo é totalmente geodésico.
Para isso, consideremos uma geodésica normalizada γ(t) em M tal que γ
encontra Σ sob um ângulo reto quando t = 0.

Figura 3.2: Geodésica normal ao bordo.
Igualmente ao que fizemos na prova do Lema 3.1.1, como
Hess f = −f g,
então a função φ(t) = f (γ(t)) é da forma
φ(t) = A cos t + B sen t,

A, B ∈ R.

Como f é identicamente nula sobre o bordo, então A = φ(0) = f (γ(0)) =
0, dái φ(t) = B sen t. Por construção, ∇f (γ(0)) é múltiplo de γ 0 (0), digamos
γ 0 (0) = a∇f (γ(0)) para alguma constante a ∈ R. Assim,
B = φ0 (0) = h∇f (γ(0)), γ 0 (0)i = a|∇f (γ(0))|.
Por termos f ≡ 0 sobre Σ, segue que Hess f = −f g ≡ 0 sobre Σ. Daı́,
dado qualquer campo de vetores X ao longo de Σ, temos
X(|∇f |2 ) = X h∇f, ∇f i = 2 h∇X ∇f, ∇f i = 2 Hess f (X, ∇f ) = 0.
55

Logo, |∇f | e, portanto também B = a|∇f (γ(0))|, é independente da posição
γ(0) que tomamos sobre Σ.
Se B = 0, então cada função φ seria nula e então f se anularia também
fora de Σ, mas sabemos que para uma autofunção de λ1 isto não pode acontecer. Então B 6= 0. Logo ∇f é um múltiplo constante do vetor η normal
unitário ao bordo, a saber η = a∇f. Assim, dados X, Y ∈ X (Σ)
II(X, Y ) = h∇X η, Y i

= h∇X (a∇f ), Y i

= a h∇X ∇f, Y i = a Hess f (X, Y )
= 0.
Portanto, Σ é totalmente geodésico. Visto que Hess f = −f g, f ≥ 0 sobre
M e f = 0 sobre Σ, então, usando o Lema 3.1.1, segue que M é isométrica
ao hemisfério Sn+ .

3.2

O Teorema de Hang-Wang; Caso Bidimensional

O Teorema de Hang-Wang na caso em que n = 2 segue diretamente do
seguinte resultado mais geral.
Teorema 3.2.1 (Hang-Wang, [3]). Seja (M 2 , g) uma superfı́cie compacta
com bordo e curvatura Gaussiana K ≥ 1. Se a curvatura geodésica do bordo
2π
γ satisfaz kg ≥ c ≥ 0, então l(γ) ≤ √
. Além disso, a igualdade ocorre
1 + c2
se, e somente se, (M 2 , g) é isométrico a um disco geodésico de raio cotg−1 (c)
em S2 .
Demonstração. Usando a fórmula de Gauss-Bonnet, temos
Z
Z
Kdσ + kds > 0.
2πχ(M ) =
M

γ

Como χ(M ) > 0, então M é simplesmente conexa. Em particular, γ tem apenas uma componente. Assim, usando o Teorema da Aplicação de Riemann,
o qual afirma que todo aberto não trivial do plano complexo é conformemente equivalente ao disco unitário, segue que (M, g) é conformemente equivalente a B̄ = {z ∈ C; |z| ≤ 1} com a métrica canônica |dz|2 . Assim, sem
perda de generalidade, podemos considerar (M, g) como (B̄, g = e2u |dz|2 )
com u ∈ C ∞ (B̄, R).
56

O disco unitário B̄ com a métrica canônica |dz|2 tem curvatura Gaussiana
K ≡ 0 e seu bordo, o cı́rculo unitário, tem curvatura geodésica kḡ = 1.
Por outro lado, B̄ com a métrica g tem, por hipótese, curvatura Gaussiana
K ≥ 1 e seu bordo curvatura geodésica kg ≥ c. Usando as relações entre
curvaturas Gaussianas e curvaturas geodésicas de métricas conformes, ver
equações (2.11) e (2.12), pág. 38 e 42, segue que
∆u − K + e2u K = 0 ⇒ ∆u + e2u K = 0 ⇒ ∆u + e2u ≤ 0
e

∂u
∂u
∂u
+ kḡ = eu kg ⇒
+ 1 = eu kg ⇒
+ 1 ≥ ceu ,
∂η
∂η
∂η

ou seja,


∆u + e2u ≤



0

sobre B̄

∂u
+ 1 ≥ ceu sobre S1 ,
∂η
onde η é a normal unitária ao bordo, com relação à métrica |dz|2 , apontando
para fora e ∆ é o operador Laplaciano de B̄ com a métrica |dz|2 .
Agora consideremos ū ∈ C ∞ (B̄) tal que

∆ū = 0 sobre B̄
ū = u sobre S1 .




Observemos que a função ū sempre existe, pois é solução de um problema
de Dirichlet no bordo com condições suaves.
Como ∆(u − ū) ≤ −e2u ≤ 0, então u − ū é superharmônica. Usando o
Princı́pio do Máximo Fraco, u − ū atinge um mı́nimo em S1 . Logo u − ū ≥ 0,
pois u e ū coincidem em S1 .
Notemos que

 ∆u + e2u ≤ 0
∆ū + e2u ≥ 0
e ū ≤ u. Daı́, pelo Método das sub e super soluções, Proposição 1.7.1, existe
v ∈ C ∞ (B̄) tal que

∆v + e2v = 0 sobre B̄
ū ≤ v ≤ u.


Como v ≤ u e v|S1 = u|S1 , todos os pontos em S1 são pontos de máximo
∂(v − u)
(p) ≥ 0, ou seja,
para a função v − u. Logo, para todo p ∈ S1 ,
∂η
∂u
∂v
(p) ≥
(p).
∂η
∂η
57

Daı́,
∂v
∂u
+1≥
+ 1 ≥ ceu = cev .
∂η
∂η

(3.8)

Analisando a equação (2.11), que nos dá a relação entre curvaturas geodésicas de métricas conformes, a desigualdade (3.8) nos diz que o bordo de
(B̄, e2v |dz|2 ) tem curvatura geodésica maior ou igual c.
Por outro lado, pela equação (2.12), que mostra a relação entre curvaturas
Gaussianas de métricas conformes, o fato de termos ∆v + e2v = 0, implica
que (B̄, e2v |dz|2 ) tem curvatura Gaussiana constante e igual a 1. Como o
bordo é convexo, então (B̄, e2v |dz|2 ) pode ser isometricamente mergulhado
como um domı́nio em S2 , digamos Ω. Denotemos σ = ∂Ω parametrizado pelo
comprimento de arco.
Observemos que l(σ) = l(γ) pois v e u coincidem sobre todos os pontos
do bordo.
Como o bordo é convexo e tem curvatura geodésica ≥ c ≥ 0, então o
menor disco geodésico D contendo Ω tem raio cotg−1 (c) e vale a igualdade
D = Ω se, e somente se, l(∂D) = l(σ). Assim, como vimos na equação (2.9),
pág. 33
2π
.
l(γ) = l(σ) ≤ l(∂D) = √
1 + c2
O que prova a primeira parte do teorema. Analisemos agora o caso da
igualdade.
Se (M 2 , g) é isométrico a um disco geodésico de raio cotg−1 (c) em S2 ,
2π
. Reciprocamente, se
então o seu bordo tem comprimento l(γ) = √
1 + c2
2π
l(γ) = √
, então
1 + c2
2π
l(σ) = l(γ) = √
,
1 + c2
o que implica l(σ) = l(∂D). Logo, vale a igualdade Ω = D, ou seja, (B̄, e2v |dz|2 )
é isométrico a (D, |dz|2 ). Em particular, a curvatura geodésica de seus bordos
coincidem, ou seja, a curvatura do bordo de (B̄, |dz|2 ) é igual a curvatura
geodésica de um cı́rculo de raio cotg−1 (c) na esfera unitária. Assim, pela
equação (2.10), pág. 34, a curvatura geodésica do bordo de (B̄, |dz|2 ) é
constante e igual a c. Portanto, a equação (2.11), para o caso das métricas
conformes e2v |dz|2 e |dz|2 , nos diz que
∂v
+ 1 = cev .
∂η
58

Como
∂v
∂u
+1≥
+ 1 ≥ ceu = cev ,
∂η
∂η
todas as desigualdades acima são na verdade igualdades. Em particular,
∂v ∂u
=
.
∂η ∂η
Usando Lema de Hopf e o Princı́pio do Máximo, segue que u = v em B̄.
Logo, (B̄, e2u |dz|2 ) é isométrico a (D, |dz|2 ). Portanto, (M, g) é isométrico a
um disco geodésico de raio cotg−1 (c) em S2 .
Corolário 3.2.1 (Hang-Wang, Caso Bidimensional). Seja (M 2 , g) uma superfı́cie compacta com bordo γ = ∂M 6= ∅. Suponhamos que
(i) A curvatura Gaussiana satisfaz K ≥ 1;
(ii) γ é isométrico a S1 ;
(iii) A segunda forma fundamental do bordo é não-negativa.
Então (M, g) é isométrico a S2+ ⊂ R3 .
Demonstração. Observemos que a condição (ii) nos diz que l(γ) = 2π e (iii)
implica que a curvatura geodésica de γ satisfaz kg ≥ 0. O resultado segue
direto do caso da igualdade no teorema acima.
Também como corolário temos o seguinte resultado.
Corolário 3.2.2 (Topogonov). Seja M 2 uma superfı́cie fechada com curvatura Gaussiana K ≥ 1. Então qualquer geodésica fechada simples em M tem
comprimento no máximo 2π. Além disso, se existe uma geodésica fechada
simples com comprimento 2π, então M é isométrico a S2 .
Demonstração. Seja γ uma geodésica fechada simples em M . Cortando M
ao longo de γ obtemos duas superfı́cies compactas com a geodésica γ como
bordo comum. O resultado segue aplicando o Teorema 3.2.1 a cada uma das
duas superfı́cies com bordo.

59

3.3

O Teorema de Hang-Wang; Caso Geral

Agora apresentaremos uma prova do Teorema de Hang-Wang para n > 2.
Recordemos seu enunciado.
Teorema 3.3.1 (Hang-Wang, [3]). Seja (M n , g) uma variedade Riemanniana compacta com bordo Σ = ∂M 6= ∅. Suponhamos que
(i) O tensor curvatura de Ricci satisfaz Ric ≥ (n − 1)g;
(ii) (Σ, g|Σ ) é isométrico a Sn−1 ⊂ Rn ;
(iii) A segunda forma fundamental de Σ é não-negativa.
Então, (M n , g) é isométrico a Sn+ ⊂ Rn+1 .
Antes de iniciarmos a demonstração do Teorema 3.3.1, observemos que
as funções coordenadas na esfera Sn satisfazem

 |∇xi |2 + xi = 1


Hess xi = −xi g0 ,

como vimos nas equações (2.5) e (2.6), pág. 30 e 31.
Considerando o hemisfério xn+1 ≥ 0, temos
∂xi
= 0 para i 6= n + 1.
∂xn+1
Além disso, independentemente da direção da geodésica γv que passa
pelo ponto ei = (0, ..., 1, ..., 0), que é o ponto de máximo para função xi ,
xi (γv (t)) não depende de v, depende somente de t. Para sermos mais precisos,
xi (γv (t)) = cos t.
Veremos que o fato de possuir alguma função com estas propriedades
caracteriza o hemisfério.

60

Figura 3.3:
A prova apresentada será por contradição. Vamos admitir as hipóteses
do Teorema 3.3.1 e supor, por absurdo, que o primeiro autovalor λ1 de −∆
satisfaz λ1 > n. A partir disso, provaremos uma série de lemas que nos levarão
a um absurdo. Daı́ saberemos que nossa hipótese λ1 > n será falsa e então
utilizaremos o Teorema de Reilly para concluir. Iniciemos formalmente a
demonstração.
Admitamos as hipóteses do Teorema 3.3.1 e suponhamos que o primeiro
autovalor λ1 de −∆, relacionado ao problema de Dirichlet, satisfaz λ1 > n.
Logo, para qualquer f ∈ C ∞ (Σ), existe uma única u ∈ C ∞ (M ) satisfazendo

−∆u = nu sobre M,
u = f
sobre Σ.
Isto segue da Alternativa de Fredholm, como vimos na Observação 1.7.2, pág.
22.
Definamos a aplicação
φ:M → R
p 7→ |∇u|2 (p) + u2 (p).
Vamos agora obter algumas propriedades da função φ.
Lema 3.3.1. A aplicação φ = |∇u|2 + u2 é subharmônica, isto é, ∆φ ≥ 0.

61

Demonstração. Lembrando que ∆u2 = 2u∆u + 2|∇u|2 , temos
1
∆φ
2

=

1
∆|∇u|2 + 12 ∆u2
2

= | Hess u|2 + h∇u, ∇∆ui + Ric(∇u, ∇u) + u∆u + |∇u|2
≥ | Hess u|2 − n|∇u|2 + (n − 1)|∇u|2 − nu2 + |∇u|2
= | Hess u|2 − nu2
≥

(∆u)2
− nu2
n

= 0,
onde na segunda igualdade usamos a fórmula de Bochner e na segunda desigualdade usamos a Observação 2.1.1.
∂u
, a derivada sobre o bordo na direção do campo
∂η
normal unitário η apontando para fora.
Denotemos por χ =

Figura 3.4: Vetor normal unitário apontando para fora.
Observemos que η é único, pois dim Σ = dim M − 1.
Pela hipótese (ii) do Teorema 3.3.1, existe uma isometria
F : (Σ, g|Σ ) → (Sn−1 , g0 ).
Consideremos f : Σ → R, f =

n
X

(3.9)

αi xi ◦ F , onde x1 , ..., xn são as funções

i=1

coordenadas sobre Sn−1 e α = (α1 , ..., αn ) ∈ Sn−1 .
62

Usando o fato de que o Laplaciano e o gradiente são invariantes por
isometrias, as equações (2.7) e (2.8), pág. 32, nos dizem que
−∆Σ f = (n − 1)f

|∇Σ f |2 + f 2 = 1,

e

onde ∆Σ e ∇Σ denotam o Laplaciano e o gradiente de Σ, respectivamente.
Agora como u = f sobre Σ, (∇u)|Σ = ∇Σ f + χη. Daı́,
φ|Σ = | (∇u)|Σ |2 + u2 Σ = |∇Σ f |2 + χ2 + f 2 = 1 + χ2 .

(3.10)

Tomando um referencial ortonormal {Ei }ni=1 , com En = η, observamos
que
(∆u)|Σ =

n−1
X

Hess u(Ei , Ei ) + Hess u(η, η)

i=1

=

n−1
X

h∇Ei ∇u, Ei i + Hess u(η, η)

i=1

=

n−1
X

h∇Ei (∇f + χη), Ei i + Hess u(η, η)

i=1

=

n−1
X

h∇Ei ∇f, Ei i +

n−1
X

i=1

Σ

h∇Ei χη, Ei i + Hess u(η, η)

i=1

= ∆ f+

n−1
X

hEi (χ)η + χ∇Ei η, Ei i + Hess u(η, η)

i=1

= ∆Σ f + χ

n−1
X

h∇Ei η, Ei i + Hess u(η, η)

i=1

= ∆Σ f + χH + Hess u(η, η),
onde H é a curvatura média de Σ = ∂M.
Assim, sobre Σ temos
−nf = (∆u)|Σ = ∆Σ f + χH + Hess u(η, η)
= −(n − 1)f + Hχ + Hess u(η, η).
Logo,
Hess u(η, η) + f = −Hχ.
63

(3.11)

Lema 3.3.2. Sobre Σ vale
1 ∂φ
= ∇Σ f, ∇Σ χ − Hχ2 − II(∇Σ f, ∇Σ f ).
2 ∂η
Demonstração. Como φ = |∇u|2 + u2 = h∇u, ∇ui + u2 , então
1 ∂φ
=
2 ∂η Σ

∇η ∇u, ∇u |Σ + f χ

=

∇η ∇u, ∇f + χη + f χ

=

∇η ∇u, ∇f + χ ∇η ∇u, η + χf

=

∇η ∇u, ∇f + χ Hess u(η, η) + χf

=

D

∇∇f ∇u, η + χ(−Hχ)

=

D

E

E

∇∇f ∇u, η − Hχ2 ,

onde na quinta igualdade usamos a equação (3.11) e fato do Hessiano ser
simétrico. Agora observemos que
D
E
D
E
∇∇f ∇u, η = ∇f h∇u, ηi − ∇u, ∇∇f η
D
E
= ∇f h∇f + χη, ηi − ∇f + χη, ∇∇f η
D
E
D
E
= ∇f h∇f, ηi + ∇f (χ) − ∇f, ∇∇f η − χ η, ∇∇f η .
Por outro lado
D

∇f h∇f, ηi ≡ 0 e

E 1
η, ∇∇f η = ∇f hη, ηi ≡ 0
2

por serem
h∇f, ηi

e

hη, ηi

constantes.

Assim,
D

∇∇f ∇u, η

E

D
E
= ∇f (χ) − ∇f, ∇∇f η
= h∇f, ∇χi − II(∇f, ∇f ).
64

Portanto, sobre Σ,
1 ∂φ
= h∇f, ∇χi − Hχ2 − II(∇f, ∇f ).
2 ∂η

Lema 3.3.3. A função φ = |∇u|2 + u2 é constante e Hess u = −ug. Além
é constante e II(∇f, ∇f ) ≡ 0.
disso, χ = ∂u
∂η
Demonstração. Como vimos no Lema 3.3.1, ∆φ ≥ 0. Portanto, usando o
Princı́pio do Máximo Fraco, φ atinge um máximo em algum ponto sobre Σ,
digamos em p ∈ Σ. Logo, temos
∇Σ φ(p) = 0 e

∂φ
(p) ≥ 0.
∂η

(p) = 0, então o Lema de Hopf e o Princı́pio do Máximo implicam φ
Se ∂φ
∂η
é constante. Em particular ∆φ = 0. Daı́, pela demonstração do Lema 3.3.1
2
ocorre a igualdade | Hess u|2 = (∆u)
e pela Observação 2.1.1 segue que
n
Hess u =

∆u
nu
g = − g = −ug.
n
n

Como φ|Σ = 1 + χ2 , χ também é constante. Pelo Lema 3.3.2, temos
0=

∂φ
(p) = −Hχ2 − II(∇f, ∇f ) ≤ 0,
∂η

pois, por hipótese, a segunda forma fundamental de Σ é não-negativa, donde
concluimos que II(∇f, ∇f ) ≡ 0.
∂φ
(p) > 0. Com efeito, temos
∂η
três possibilidades para o valor de χ em p : χ(p) = 0, χ(p) > 0 ou χ(p) < 0.
Se χ(p) = 0, como φ|Σ = 1 + χ2 e p é ponto de máximo para φ, então
χ ≡ 0. Pelo Lema 3.3.2, segue que
Agora vamos mostrar que não é possı́vel

1 ∂φ
(p) = −II(∇f, ∇f ) ≤ 0.
2 ∂η
Se χ(p) > 0 (< 0), então, por termos φ|Σ = 1 + χ2 e p ser ponto de
máximo para φ, χ atinge máximo (mı́nimo) em p. Daı́, ∇χ(p) = 0 e pelo
Lema 3.3.2,
1 ∂φ
(p) = −Hχ2 − II(∇f, ∇f ) ≤ 0.
2 ∂η
65

Logo, em qualquer situação, temos

∂φ
(p) ≤ 0. Como já sabemos que
∂η

∂φ
∂φ
(p) ≥ 0, então
(p) = 0 e, portanto, o lema está provado.
∂η
∂η
Recordemos que f depende do vetor unitário α ∈ Sn−1 . Para indicar essa
dependência adicionaremos α à notação.
No lema anterior, mostramos que II(∇fα , ∇fα ) ≡ 0 para todo α ∈ Sn−1 .
Afirmação. II ≡ 0, ou seja, o bordo Σ é totalmente geodésico.
De fato, como {∇x1 (q), ..., ∇xn (q)} gera Tq Sn−1 para todo q ∈ Sn−1 ,
então {∇(x1 ◦ F )(p), ..., ∇(xn ◦ F )(p)} gera Tp Σ para todo p ∈ Σ, onde F é
a isometria existente entre Σ e Sn−1 .
Assim, dado 0 6= X ∈ X (Σ), podemos escrever
X=

n
X

ai ∇(xi ◦ F ),

i=1

com a = (a1 , ..., an ) ∈ Rn − {0}. Denotando α =

X=

n
X

a
, temos α ∈ Sn−1 e assim
|a|

ai ∇(xi ◦ F ) = |a|∇fα .

i=1

Como II(∇fα , ∇fα ) ≡ 0 para todo α ∈ Sn−1 , então II(X, X) ≡ 0 para
todo campo de vetores X em Σ. Portanto II ≡ 0, ou seja, Σ é totalmente
geodésico.
Afirmação. Podemos escolher β ∈ Sn−1 tal que χβ ≡ 0.
Com efeito, como vimos no lema anterior, para qualquer α ∈ Sn−1 , a
função χα é constante. Assim, podemos ver α 7→ χα como uma função
contı́nua definida sobre Sn−1 tomando valores reais. Claramente u−α = −uα ,
pois dada f−α , existe uma única função u−α que satisfaz −∆u−α = nu−α
sobre M e u−α = f−α sobre Σ, como f−α = −fα , então −uα satisfaz essas
condições. Assim, χ−α = −χα . Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe β ∈ Sn−1 tal que χβ ≡ 0.
Com esta escolha em particular de f = fβ e u = uβ , temos

Hess u = −ug
χ ≡ 0.
66

Como f é contı́nua definida sobre Σ, existe q ∈ Σ tal que f (q) = maxΣ f.
Logo, ∇f (q) = 0.
Como |∇f (q)|2 + f (q)2 = 1, então f (q) = 1 ou f (q) = −1. Afirmamos
que f (q) = 1, pois caso contrário, considerando r ∈ Σ tal que F (r) = −F (q),
ou seja, tomando o ponto de Σ que é levado no ponto antı́poda de F (q),
terı́amos
X
X
f (r) =
αi xi ◦ F (r) = −
αi xi ◦ F (q) = −f (q) = −(−1) = 1
i

i

e q não seria ponto de máximo. Portanto, f (q) = max f = 1.

Figura 3.5:
Como ∇f (q) = 0, então ∇u(q) = 0, pois χ ≡ 0.
Para cada v ∈ Tq M tal que |v| = 1 e hv, η(q)i ≤ 0, seja γv a geodésica
normalizada com γv (0) = q, γv 0 (0) = v e definamos a função U : R → R,
U (t) = u ◦ γv (t). A função U satisfaz

U (0) = 1,





U 0 (0) = 0,




 00
U (t) = −U (t).

67

Com efeito
U (0) = u ◦ γv (0) = u(q) = f (q) = 1;
U 0 (t) = h∇u ◦ γv (t), γv 0 (t)i ⇒ U 0 (0) = h∇u(q), vi = 0;
U 00 (t) =

d
h∇u ◦ γv (t), γv 0 (t)i
dt

= h∇γv 0 ∇u ◦ γv , γv 0 i + h∇u ◦ γv (t), ∇γv 0 γv 0 i
= Hess u ◦ γv (γv 0 , γv 0 )
= −(u ◦ γv )g (γv 0 , γv 0 )
= −u ◦ γv (t)
= −U (t).
Portanto, U (t) = cos t, o que implica que u = cos r, onde r é função
distância a q.
Como o bordo é totalmente geodésico e a variedade é completa, por ser
compacta, segue do Teorema de Hopf e Rinow que qualquer ponto em M
pode ser unido a q por uma geodésica minimizante.
n−1
Usando coordenadas geodésicas polares (r, ξ) ∈ R+ × S+
em q, podemos
escrever
g = dr2 + gr ,
n−1
onde gr é uma r-famı́lia de métricas sobre S+
com

lim r−2 gr = g0 ,

r→0

n−1
aqui g0 é a métrica canônica sobre S+
.
Como ∇r é normal às curvas de nı́vel, ∇r(p) é normal à esfera geodésica
de centro em q e raio r(p).
Como u = cos r, segue que ∇u = − sen r∇r.
Derivando covariantemente com respeito a X ∈ X (M ), temos

∇X ∇u = ∇X (− sen r∇r)
= X (− sen r) ∇r − sen r∇X ∇r
= − cos r hX, ∇ri ∇r − sen r∇X ∇r.
Daı́, para Y ∈ X (M ),
h∇X ∇u, Y i = − cos r hX, ∇ri hY, ∇ri − sen r h∇X ∇r, Y i .
68

Denotemos por IIr a segunda forma fundamental da esfera geodésica de
centro em q e raio r. Tomando X, Y campos tangentes às esferas geodésicas,
temos hX, ∇ri = hY, ∇ri = 0. Assim
h∇X ∇u, Y i = − sen r h∇X ∇r, Y i
⇒

Hess u(X, Y ) = − sen rIIr (X, Y )

⇒ − sen rIIr (X, Y ) = −ugr (X, Y ) = − cos rgr (X, Y ).
Logo,
IIr = cotgrgr .

(3.12)

Estamos interessados em saber como a métrica gr varia ao longo das
esferas geodésicas, ou seja, dada uma geodésica radial γ e um campo de
vetores Y tangente às esferas geodésicas, queremos conhecer
∇rgr (Y, Y ) = 2 h∇∇r Y, Y i .
Para isso gostarı́amos de poder trocar ∇∇r Y por ∇Y ∇r, para obtermos a
segunda forma fundamental das esferas geodésicas que já conhecemos. Mas
sempre podemos fazer essa troca, pois tomando a superfı́cie parametrizada
f (t, s) = expγ(t) sY (t),
temos
∂f
(t, 0)
∂s

= Y (t)

e

∂f
(t, 0)
∂t

= γ 0 (t) = ∇r(γ(t))

como campos coordenados. Assim,
∇rgr (Y, Y ) = 2IIr (Y, Y )
= 2cotgrgr (Y, Y ).
Logo, gr = sen2 rg0 e, portanto,
g = dr2 + sen2 rg0 .
Donde segue que (M n , g) é isométrica a Sn+ , o que implica λ1 = n e isto
contradiz a hipótese λ1 > n.
Demonstração do Teorema 3.3.1. O fato da segunda forma fundamental
II ser não-negativa, implica, em particular, que a curvatura média H é nãonegativa.
Como H ≥ 0 e Ric ≥ (n − 1)g, então pelo Teorema de Reilly, o primeiro
autovalor do Laplaciano −∆ satisfaz λ1 ≥ n. Mas pelo que vimos acima, não
podemos ter λ1 > n. Logo, λ1 = n e, portanto, (M n , g) é isométrico a Sn+ .

69

Referências Bibliográficas
[1] do Carmo, M., Geometria Diferencial das Curvas e Superfı́cies. 2a ed.
Rio de Janeiro: Textos Universitários, SBM, 2005.
[2] do Carmo, M., Geometria Riemanniana. 4a ed. Rio de Janeiro: Projeto
Euclides, IMPA, 2008.
[3] Hang, F & Wang, X., Rigidity Theorems for Compact Manifolds with
Boundary and Positive Ricci Curvature. Journal of Geometric Analysis,
Volume 19, Number 3 / July (2009), 628-642.
[4] Li, P., Lectures Notes on Geometric Analysis. 2009.
[5] Reilly, R., Applications of the Hessian Operator in a Riemannian Manifold. Indianna University Mathematical Journal 23 (1977), 459-472.
[6] Schoen, R. & Yau, S.T., Lectures on Diferential Geometry. International Press, Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and
Topology, volume I, USA, 1994.
[7] Aubin, T., Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry.1a ed.
Springer Monographs Mathematics, 1998.
[8] Gilbarg, D. & Trudinger, N., Elliptic Partial Differential Equations of
Second Order.3a ed. Classics in Mathematics, Springer, 2001.

70

Índice Remissivo
Alternativa
de Fredholm, 22
Aplicação
exponencial, 9
Autovalor
do Laplaciano, 21
Bola
normal, 11
Campo
de Jacobi, 12
paralelo, 6
Conexão
Riemanniana, 3
Curvatura, 7
de Ricci, 8
escalar, 8
média, 17
seccional, 8
Derivada
covariante, 5
Disco
geodésico, 11
Esfera
geodésica, 11
Fórmula
de Bochner, 28
de Reilly, 43
Função
subharmônica, 20
superharmônica, 20

Geodésica, 9
minimizante, 10
radial, 11
Hessiano, 25
Imersão
geodésica, 16
totalmente geodésica, 16
Laplaciano, 25
Lema
de Hopf, 21
Método
da Solução Sub-Sup, 24
Métricas
conformes, 34
Operador
elı́ptico, 20
estritamente elı́ptico, 20
uniformemente elı́ptico, 20
Princı́pio
do Máximo, 21
do Máximo Fraco, 21
Referencial, 6
geodésico, 7
ortonormal, 7
Sı́mbolos
de Christoffel, 4
Segunda
forma fundamental, 16
71

Superfı́cie
parametrizada, 10
Teorema
de Hang-Wang; Caso bidimensional, 59
de Hang-Wang; Caso geral, 60
de Hopf e Rinow, 10
de Reilly, 54
Variedade
Completa, 9
diferenciável com bordo, 18
Riemanniana
compacta com bordo, 19
Vizinhança
normal, 11
totalmente normal, 11

72