Dissertação

dissertacao_marcio_henrique.pdf
Documento PDF (721.0KB)
                    Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação em Matemática

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Rio São Francisco

Estados de Equilíbrio

MATEMÁTICA

A ciência
do infinito

Márcio Henrique Batista dos Santos

Maceió
8 de Dezembro de 2005

2

Aos meus pais João Faustino e Maria Madalena
e à minha irmã Márcia.

3

Agradecimentos
• Agradeço primeiramente a Deus por ter me dado a coragem necessária para
enfrentar os momentos difíceis e a minha família por estar me apoiando
durante toda essa minha fase.
• Ao professor Krerley Oliveira pela orientação e por ter tido a paciência
necessária comigo durante todo o mestrado.
• Agradeço aos professores Amauri Barros, Adán Corcho, Ediel Guerra,
Hilário Alencar, Fernando Codá Marques, Franscisco Vieira Barros pela
contribuição na minha vida acadêmica e pessoal. Agradeço também aos
professores Adelailson Peixoto e Marcos Petrúcio pela amizade oferecida
a minha pessoa.
• Agradeço a amizade de Arlyson Alves, Arthur Januário, Amanda Vilarins,
Clarissa Codá, Davy Souza, Everson Feitosa, Fabio Bóia, José Arnaldo
dos Santos, Luana Patrícia, Marcius Petrúcio, Thiago Fontes e o
companheirismo de Júlio Almeida e Maria Andrade.
• Em especial agradeço à Cristiane Medeiros pelas boas conversas que
tivemos no pouco tempo que nos foi concedido pela vida, à Janice Gomes
pela amizade que cultivamos nestes últimos meses e não poderia deixar de
agradecer a Landobergue Barros por sua amizade incontestável.
• Sou bastante grato também a toda equipe que forma o C.A por toda
a amizade e companheirismo compartilhados neste último ano. Em
particular a Marcius Petrúcio que se revelou um excelente amigo de todas
as horas e um grande parceiro em todos os momentos deste último ano.
• Sou grato ao Departamento de Matemática, ao seu quadro de funcionários
pelo bom trabalho desenvolvido e a Fundação de Amparo à Pesquisa do
Estado de Alagoas (FAPEAL) pelo suporte financeiro.

4

Resumo
Provaremos a existência de Estados de equilíbrio, incluindo medidas de entropia
máxima, para uma classe robusta (aberta) de transformações expansoras e nãouniformemente expansoras sobre uma variedade compacta e conexa.

Abstract
We prove existence of Equilibrium states, including measures of maximal
entropy, for a robust (open) class of expanding and non-uniformly expanding
maps on compact and connect manifolds.

Palavras-chave: Teoria ergódica, estados de equilíbio, não-uniformemente
expansor.

5

Sumário
1 Preliminares
1.1 Medidas Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Pressão Topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
8
12
16

2 Transformações Expansoras
19
2.1 Existência de Estados de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Unicidade de Estados de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Transformações não uniformemente expansoras
44
3.1 Estados de Equilíbrio para transformações tipo 1 . . . . . . . . . 44
3.2 Existência de Estados de Equilíbrio para transformações tipo 1 . 51
3.3 Estados de Equilíbrio para transformações tipo 2 . . . . . . . . . 56
3.4 Existência de Estados de Equilíbrio para transformações tipo 2 . 59
4 Apêndice
63
4.1 Aplicação de 1o Tempo Hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Existência de Medidas em Kα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Referências Bibliográficas

72

6

Introdução
A Teoria dos estados de equilíbrios tem origem no estudo da mecânica
estatística e está bem desenvolvida para os clássicos sistemas dinâmicos
hiperbólicos desde as décadas de 70 e 80, estudados especialmente por Bower,
Parry, Ruelle, Sinai e Walters.
Em geral, dados uma transformação contínua f : M → M sobre um
espaço métrico compacto e uma função contínua, também chamada de potencial,
ψ : M → R, chamamos de estado de equilíbrio com respeito ao par (f, ψ) a uma
medida de probabilidade sobre os borelianos, µψ , tal que
Z
Z
hµψ (f ) + ψdµψ = sup{hµ (f ) + ψdµ},
µ∈I

onde o supremo é considerado sobre o conjunto das probabilidades f -invariantes.
Observamos que esse é um típico problema variacional,
i.e, considerando o
R
operador Pψ : I → R definido por Pψ (µ) = hµ (f )+ ψdµ, desejamos maximizar
esse operador.
Em um trabalho pioneiro feito por Ruelle foram desenvolvidas novas técnicas
para demonstração de tais resultados (ver [Ru68]). Um dos mais relevantes
conceitos que iremos utilizar é o de operador de Ruelle-Perron-Frobenius ou
operador de transferência associado ao par (f, ψ), Lψ : C 0 → C 0 , o qual é
definido por
X
Lψ g(x) :=
eψ(y) g(y).
y:f (y)=x

Utilizando técnicas que envolvem esse operador é possível garantir unicidade
de estados de equilíbrio para transformações expansoras e potenciais Höldercontínuos. Ainda utilizando o operador de Ruelle e possível garantir unicidade
de estados de equilíbrio para transformações não-uniformemente expansoras que
satisfazem propriedades não tão restritivas e potenciais Hölder, ver [OV04].
As técnicas utilizadas neste trabalho seguem basicamente os papers de
Ruelle, ver [Ru68], Oliveira e Viana, ver [Ol03] e [OV05].

7

Capítulo 1

Preliminares
Neste capítulo nos preocupamos em revisar conceitos básicos da Teoria
Ergódica que são necessários para o bom entendimento dos próximos capítulos.
Para maiores detalhes ver [Ke98] e [Wa82] .

1.1

Medidas Invariantes

Seja (X, A, µ) um espaço de medida.
Definição 1.1. Dizemos que uma transformação f : X → X é mensurável se
f −1 (A) ∈ A, para cada A ∈ A. Dizemos também que uma medida é f -invariante
se µ(f −1 (A)) = µ(A), para cada A ∈ A.
Exemplo 1.1. Consideremos a transformação f : [0, 1] → [0, 1] definida por

1

 2x, se 0 ≤ x <
2
µ(B) =

 2x − 1, se 1 ≤ x < 1.
2
A medida de Lebesgue em [0, 1] é f -invariante.
Agora um exemplo de uma transformação sem medidas invariantes
x
.
3
Suponha que f admite alguma probabilidade invariante. Usando o Teorema de
Exemplo 1.2. Consideremos a função f : (0, 1] → (0, 1] dada por f (x) =

Recorrência de Poincaré (ver [Ol05]) garantimos que quase todo ponto de (0, 1]
é recorrente com respeito a essa probabilidade. Porém é simples de se ver que a
órbita de todo ponto converge a zero e em particular não acumula em torno do
ponto inicial.

8

Daí nosso objetivo neste momento é dar condições para que existam medidas
invariantes com respeito a uma transformação, pois, como visto no exemplo
1.2, pode ocorrer de não existir medidas invariantes com respeito a uma
transformação.
Seja X um espaço métrico compacto, denotaremos por M o conjunto das
medidas de probabilidade sobre a σ-álgebra de Borel de X. Introduziremos
neste espaço uma topologia que o torna um espaço métrico compacto.
Usando que X é compacto garantimos que o espaço C(X) é separável (ver
[Rud81]), i.e, podemos encontrar uma sequência (vn )n densa na bola unitária
de C(X) com a norma do supremo. Usando essa sequência podemos definir a
função d por
d(µ, ν) :=

Z
∞
X
1
k=1

2n

Z
vn dµ −

vn dν .

Essa função é uma métrica em M (ver [Ol05], página 44). A topologia obtida
através dessa métrica é denominada topologia fraca*.
Vamos agora caracterizar a convergência de medidas de uma outra forma
Lema 1.1. Uma sequência de probabilidades (µn )n converge em M para uma
µ ∈ M se e somente se,
Z

Z
udµn →

udµ,

para toda u : X → R função contínua.
Demonstração. Ver [Ol05], página 42.

Uma conseqüência muito interessante do Lema 1.1 é
Corolário 1.1. Se a sequência (µn )n converge para µ na topologia fraca*, então
1. lim sup µn (K) ≤ µ(K), para todo fechado K ⊂ M .
n→∞

2. lim inf µn (A) ≥ µ(A), para todo aberto A ⊂ M .
n→∞

Demonstração. Ver [Ol05], página 43 ou ver [Wa82], página 149.

Com essas definições e resultados conseguimos extrair uma propriedade
muito interessante do conjunto M, a saber
9

Teorema 1.1. A topologia fraca* torna M um espaço métrico compacto e
convexo.
Demonstração. Ver [Ol05], página 46 ou ver [Wa82], página 150.

Observe que de posse desse resultado temos duas características boas para
M, que são a convexidade e compacidade. Mais adiante utilizaremos essas
propriedades sem fazer maiores comentários. Para mais detalhes sobre esse
assunto ver [Wa82], páginas 146 -152.
Nosso objetivo neste momento e garantir a existência de medidas invariantes
para f . Para isso vamos utilizar o seguinte operador:
f∗ : M → M
µ
Observemos

que

f∗ (µ)(A) := µ(f −1 (A)).

encontrar

medidas

invariantes

para

uma

certa

transformação f equivale a encontrar medidas que sejam pontos fixos para o
operador f∗ . Com efeito, µ é f -invariante se e somente se, µ(f −1 (A)) = µ(A)
para todo boreliano A, i.e, f∗ (µ) = µ.
Lema 1.2. Se f : X → X é uma transformação contínua, então o operador f∗
é contínuo na topologia fraca*.
Demonstração. Ver [Ol05], página 48.

Teorema 1.2 (Krylov-Bogolubov). Seja X um espaço métrico compacto.
Se f : X → X é uma transformação contínua, então f possui ao menos uma
probabilidade invariante.
Demonstração. Basta utilizar o Lema 1.2 para garantir que o operador
f∗ é contínuo. Visto que M é convexo e compacto, podemos aplicar o Teorema
do Ponto Fixo de Tychonoff-Schauder para garantir um ponto fixo para f∗ , i.e.,
uma probabilidade invariante com respeito à f .

10

Observação: Para uma outra demonstração do resultado anterior ver [Ke98],
página 15.
Definição 1.2. Seja µ uma probabilidade invariante por f : X → X. Dizemos
que µ é ergódica quando para todo boreliano A se verifica:
f −1 (A) = A implica µ(A)µ(Ac ) = 0.
Definição 1.3. Uma função ψ : M → R é f -invariante com respeito a µ se
para µ-quase todo ponto x em M vale ψ(f (x)) = ψ(x).
Com esses conceitos introduzidos agora podemos enunciar um dos mais
importantes resultados da Teoria Ergódica básica, a saber
Teorema 1.3 (Birkhoff ). Seja f : X → X uma transformação preservando
uma probabilidade µ. Dada uma função ϕ integrável, então existe ϕ∗ tal que
n−1

1X
ϕ ◦ f n (x) = ϕ∗ (x),
n→∞ n
j=0
lim

para µ quase todo ponto x ∈ X. Além disso, ϕ∗ é f -invariante e vale
Z
Z
ϕ∗ dµ = ϕdµ.
Demonstração. Ver [Ke98], página 23 ou ver [Wa82], página 34.

O resultado que segue nos mostra que as medidas ergódicas têm um papel
muito importante no conjunto das medidas M.
Teorema 1.4 (Decomposição Ergódica). Suponha que X é um espaço
métrico compacto e f : X → X é uma transformação contínua que preserva uma
probabilidade µ. Então existe uma família de probabilidades ergódicas (µx )x∈X
definidas para µ quase todo x ∈ X tal que para cada u : X → R integrável vale

Z
Z Z
udµ =
u(y)dµx (y) dµ(x).
Demonstração. Ver [Ke98], página 36.


11

1.2

Entropia

Nesta seção (X, A, µ) indicará sempre um espaço de probabilidade, onde X
é um espaço métrico compacto.
Definição 1.4. Sejam U = (Un )n e V = (Vn )n coberturas de um espaço métrico
e compacto X. O refinamento de U e V é a cobertura
U ∨ V = {U ∩ V |U ∈ U e V ∈ V}.
Vamos denotar por N (U) o menor número de elementos em uma
subcobertura U 0 ⊂ U.
Seja f : X → X uma transformação contínua.
Definição 1.5. A entropia da cobertura U, H(U), é definida como sendo o
logaritmo de N (U). A entropia da transformação f com respeito a cobertura U
é por definição
1
h(f, U) := lim H
n→∞ n

n−1
_

!
f

−i

(U) .

i=0

Para examinar com detalhes que essa definição é bem colocada ver [Mañ],
página 277 ou ver [Wa82], página 87.
Definição 1.6. Seja f : X → X uma transformação contínua. A entropia
topológica de f é
htop (f ) := sup{h(f, U)| U cobertura f inita}.
Passamos agora a definir o conceito de entropia métrica, o qual depende
bastante de uma medida suportada sobre o conjunto X.
Definição 1.7. Uma coleção P = (Pn )n de conjuntos mensuráveis
de X é dita
!
[
uma partição se µ(Pi ∩ Pj ) = 0 para i 6= j, µ X\ Pi = 0 e µ(Pi ) > 0 para
i

todo i.

12

Definição 1.8. Seja f :

X → X uma transformação preservando a

probabilidade µ. Dada uma partição P, finita, de X, a entropia da partição
P com respeito à µ é
Hµ (P) := −

X

µ(P ) log µ(P ),

P ∈P

onde convenciona-se que 0 log 0 = 0 e log é o logaritmo natural.
O refinamento de duas partições de um espaço (X, A, µ) é idêntico ao
já referido na definição 1.4 apenas acrescentamos que escolhemos apenas os
elementos de medida não-nula.
Consideremos uma transformação contínua f : X → X.
Definição 1.9. A entropia da transformação f com respeito a partição P e a
uma probabilidade f -invariante µ é
1
hµ (f, P) = lim Hµ
n→∞ n

n−1
_

!
f

−i

(P) .

i=0

Além disso, a entropia métrica de f com respeito à µ é
hµ (f ) := sup{hµ (f, P)| P partição f inita}.
Novamente, para examinar com detalhes que essa definição é bem colocada
ver [Mañ], página 277 ou ver [Wa82], página 87.
Existe uma dificuldade muito grande em calcular a entropia métrica de uma
transformação. Devido a isso precisamos de melhores técnicas para tais cálculos.
Um resultado devido a Kolmogorov e Sinai nos dá condições suficientes e mais
simples para o cálculo da entropia. Para tanto precisamos do seguinte conceito
Definição 1.10. Seja f : X → X uma transformação invertível preservando
uma probabilidade µ no espaço (X, A, µ). Uma partição U é dita f -geradora
+∞
_
módulo zero se
f −i (U) gera a σ-álgebra A. No caso em que f é nãoi=−∞

invertível, então U é f -geradora módulo zero se

+∞
_
i=0

A.
O resultado comentado é

13

f −i (U) gera a σ-álgebra

Teorema 1.5 (Kolmogorov-Sinai). Seja f : X → X uma transformação
preservando uma probabilidade µ e P uma partição f -geradora. Então,
hµ (f ) = hµ (f, P).
Demonstração. Ver [Wa82], página 95.

Um resultado que faz a ligação entre os conceitos de entropias é
Teorema 1.6 (Princípio Variacional). Sejam X um espaço métrico
compacto e f : X → X uma transformação contínua. Então vale
htop (f ) = sup hµ (f ),
µ∈I

onde I é o conjunto das probabilidades invariantes por f .
Demonstração. Ver [Wa82], página 188.

Uma interessante interpretação da entropia métrica foi dada por Shannon,
Mc Millan e Breiman. Algum tempo depois os matemáticos Brin e Katok deram
um novo impulso nessa direção.
Para enunciar o resultado o qual desejamos é necessária a definição de bola
dinâmica o qual passamos a definir
Definição 1.11. A bola dinâmica de tamanho n e raio  em torno do ponto x
é o conjunto
B(, n, x) = {y ∈ M ; d(f i (x), f i (y)) < , i = 0, ..., n − 1}.
Observação: Decorre da definição de bola dinâmica que
B(, n, x) =

n−1
\

f −k (B (f k (x))).

k=0

O próximo resultado nos mostra que a entropia é nada mais do que a taxa
de decrescimento exponencial das medidas das bolas dinâmicas de raio fixado.

14

Teorema 1.7 (Brin-Katok). Seja f : X → X uma transformação contínua
no espaço métrico e compacto X. Então vale

Z 
1
hµ (f ) = −
lim lim sup log µ(B(, n, x)) dµ.
→0 n→∞ n
Demonstração. Ver [BK81].

Até agora nossas hipóteses eram sempre que a transformação f : X → X
é contínua. Porém, apenas com a continuidade não esperamos muito além
do já obtido para esses sistemas.

Daí vamos trabalhar com a hipótese de

diferenciabilidade e veremos que a uma certa melhora na busca por resultados
que desenvolvam a teoria.
Primeiramente, vamos abordar os expoentes de Lyapunov, os quais
"medem", de certa forma, o crescimento ou decrescimento da derivada do
sistema.
Definição 1.12. Seja f : M → M um difeomorfismo local em uma variedade
riemanniana M . Um ponto x ∈ M é regular se existem números λ1 < ... < λl
e uma decomposição Tx M = E1 (x) ⊕ ... ⊕ El (x) tal que para cada vetor em Ei
vale
1

lim

n→±∞ n

log k Df n (x)v k= λi (x).

Um resultado muito interessante devido a Oseledets é
Teorema 1.8 (Oseledets). Seja f : M → M um endomorfismo de classe C 1
em uma variedade compacta M . Então µ(Λ := {x ∈ M |x é regular}) = 1, para
toda probabilidade invariante por f . Além disso,
1. Se µ é ergódica, então l(x), λ1 (x), ..., λl (x) são constantes para µ-q.t.p.
2. Se µ é ergódica, então

R

log | det Df (x)|dµ(x) =

l
X

λi .

i=1

Demonstração. Ver [Mañ], página 341 ou ver [Wa82], página 234.

Um resultado muito importante na Teoria ergódica é devido aos matemáticos
Ruelle e Pesin, os quais fazem uma conexão entre os expoentes de Lyapunov e
a entropia de um sistema. Os resultados são
15

Definamos a função Ω : Λ → R por
X
Ω(x) :=
λi (x)dimEi (x).
λi (x)>0

Teorema 1.9 (Desigualdade de Ruelle). Se µ é uma probabilidade
invariante para um endomorfismo de classe C 1 em uma variedade compacta
M , então
Z
hµ (f ) ≤

Ω(x)dµ(x).

Demonstração. Ver [Mañ], página 342.

Teorema 1.10 (Fórmula de Pesin). Se µ é uma probabilidade invariante
e absolutamente contínua com respeito a medida de Lebesgue para um
endomorfismo de classe C 1,α de uma variedade compacta M , então
Z
hµ (f ) = Ω(x)dµ(x).
Demonstração. Ver [Mañ], página 342.


1.3

Pressão Topológica

Vamos considerar durante todo essa seção que X é um espaço métrico
compacto com a métrica d, f : X → X é uma transformação contínua e
φ : X → R é uma função contínua.
Seja U uma cobertura aberta de X. Um cilindro de comprimento n com
n−1
_
respeito à U é simplesmente um elemento de
f −i (U).
i=0

Definimos o número
m(α, N, U) := inf
G


X



n(U )−1

exp −αn(U ) + sup
x∈U



U ∈G

X
k=0



φ(f k (x)) ,


onde o ínfimo é tomado sobre toda coleção finita ou enumerável de cilindros G
de U tais que n(U ) = comprimento de U ≥ N , para U ∈ G.
Defina agora o seguinte número
m(α, U) := lim m(α, N, U).
N →∞

Agora estamos aptos a definir a pressão com respeito a uma cobertura
16

Definição 1.13. A pressão de φ com respeito a cobertura U é
P (φ, U) := inf{α : m(α, U) = 0}.
Lema 1.3. O seguinte limite existe lim P (φ, U).
|U |→0

Demonstração. Ver [Pe97], página 69.

O valor do limite no Lema 1.3 é denotado por P (φ) e é conhecido como
pressão topológica.
Vamos mostrar outra maneira de se calcular a pressão topológica.
Para isso considere o seguinte número

!
n−1

 X
X
φ(f k (x))
,
exp −αn + sup
m(α, N, δ) := inf
G 

x∈B(δ,n,x)
k=0

B(δ,n,x)∈G

onde o ínfimo é tomado sobre toda coleção G finita ou enumerável de bolas
dinâmicas de raio δ e comprimento n com n ≥ N , onde G cobre M .
Consideremos também os números
m(α, δ) := lim m(α, N, δ)
N →∞

e
P (φ, δ) := inf{α : m(α, δ) = 0}.
A maneira de calcular a pressão é dada pelo seguinte resultado
Teorema 1.11. P (φ) = lim P (φ, δ).
δ→0

Demonstração. Ver [Pe97], página 74.
Existe outro resultado importante que envolve a pressão topológica, e é o
que comentaremos agora.
Para isso vamos definir o que seria a pressão métrica.
Definição 1.14. A pressão métrica da medida µ é o número
Z
Pφ (µ) := hµ (f ) +
φ dµ,
M

onde hµ (f ) é a entropia métrica de f com respeito à µ.

17

Observemos que Pφ (.) define um operador no espaço das medidas. E um
resultado que faz conexão entre o conceito agora enunciado e o de pressão
topológica é
Teorema 1.12 (Princípio Variacional). Se X é um espaço métrico compacto
e f : X → X é uma transformação contínua, então
P (φ) = sup Pφ (µ),
µ∈I

onde φ : X → R é uma função contínua.
Demonstração. Ver [Wa82], página 218.

Para mais detalhes sobre o conceito de pressão topológica ou métrica ver
[Pe97], página 68 ou ver [Wa82], página 207.

18

Capítulo 2

Transformações Expansoras
Neste segundo capítulo vamos garantir a existência de estados de equilíbrio
para transformações expansoras e potenciais contínuos. Depois disso, vamos
garantir que se o potencial é Hölder-contínuo então o estado de equilíbrio é
único. Agora descrevemos os passos da primeira seção.
Nossa estratégia nesta primeira seção é
• Garantir existência de partição geradora comum para toda medida f invariante µ.
• Garantir a semi-continuidade superior do operador Pψ .
• Utilizar argumentos de compacidade para garantir a existência dos estados
de equilíbrio.

2.1

Existência de Estados de Equilíbrio

Iniciamos esta seção com a definição do nosso objeto de estudos neste
primeiro capítulo, as transformações expansoras.
Consideremos M uma variedade compacta sem bordo e conexa.

19

Definição 2.1. Uma transformação f : M → M de classe C 1 é dita expansora
se existir uma métrica riemanniana k . k e um número σ > 1 tal que
k Df (x) · v k≥ σ· k v k,
para todo x ∈ M e v ∈ Tx (M ).
Definição 2.2. Seja ψ : M → R uma função, a qual chamaremos de potencial.
Uma medida f -invariante, µψ , é dita um estado de equilíbrio (ou medida de
equilíbrio) com respeito ao par (f, ψ) se


Z
Z
hµψ (f ) + ψ dµψ = sup hν (f ) + ψ dν ,
onde o supremo é tomado sobre todas as medidas ν que são f -invariantes.
O resultado principal dessa seção é
Teorema 2.1 (Existência de Estados de Equilíbrio). Sejam M uma
variedade compacta, conexa e C 0 (M ) o conjunto das funções ψ : M → R
contínuas. Se f : M → M é uma transformação expansora, dada qualquer
ψ ∈ C 0 (M ), existe ao menos um estado de equilíbrio com respeito ao par (f, ψ).
Vamos agora desenvolver a teoria necessária para provarmos o nosso
resultado principal.
Lema 2.1. Seja f : M → M um difeomorfismo local, então
(i) Para cada x ∈ M , existem 0 > 0, dependendo apenas de f , e vizinhança
V (x) tal que
f : V (x) → B0 (f (x))
é um difeomorfismo.
(ii) Existe n ∈ N tal que para todo y ∈ f (M ) vale
]f −1 (y) = n.
(iii) Se f é uma transformação expansora, valem os item (i), (ii) e
d(h(y1 ), h(y2 )) ≤ σ −1 · d(y1 , y2 ), ∀y1 , y2 ∈ B0 (y),
onde h é o ramo inverso de f −1 que envia f (x) em x.
20

Demonstração. Visto que f é um difeomorfismo local, dado x ∈ M , existem
(x) > 0 e uma vizinhança V (x), de x, tal que
f : V (x) → B(x) (f (x))
é um difeomorfismo. Consideremos a cobertura U = {B(x) (f (x))} de f (M ).
Pela compacidade de f (M ), podemos extrair uma cobertura finita Ũ =
{B1 , ..., Bk } de f (M ). Sejam δ > 0 o número de Lebesgue da cobertura Ũ
e 0 = min{1 , ..., k , 2δ }. Esse 0 satisfaz o item (i).
Com respeito ao segundo item, observemos que f −1 (y) é compacto. Logo
f −1 (y) é discreto e finito, i.e., f −1 (y) = {x1 , ..., xn }.
Afirmação 1. O conjunto Ak := {y ∈ f (M ); ]f −1 (y) = k} é aberto.
Prova.

Com efeito, se y ∈ Ak temos que para todo y1 ∈ f (M ) com

d(y, y1 ) < 0 vale ]f −1 (y1 ) ≥ ]f −1 (y). Invertendo os papéis de y e y1 , obtemos
a desigualdade inversa. Logo B0 (y) ⊂ Ak , e portanto Ak é aberto.
Pela conexidade de M garantimos que todo ponto de f (M ) tem o mesmo
número de pré-imagens por f .
Provamos assim o item (ii).
Para o último item, observe que se f é expansora, então f é difeomorfismo
local e sobrejetora. Segue-se que f satisfaz os ítens (i) e (ii). Para finalizarmos,
consideremos γ : [0, 1] → M curva minimizando a distância entre y1 e y2
pertencentes a B0 (f (x)). Daí, a curva β := h ◦ γ liga os pontos h(y1 ) e h(y2 ).
Sendo assim vale que,
Z 1
Z 1
Z 1
0
0
d(h(y1 ), h(y2 )) ≤
|β (s)|ds =
|Dh(γ(s))·γ (s)|ds ≤
||Dh(γ(s))||·|γ 0 (s)|ds.
0

0

0

Usando a regra da cadeia obtemos
||Dh(x)|| = ||Df (h(x)))−1 || ≤ σ −1 .
Portanto,
d(h(y1 ), h(y2 )) ≤ σ −1 d(y1 , y2 ).

Observação: Reduzindo, se necessário, o número 0 pode-se considerado de
tal modo que as bolas de raio 0 são fortemente convexas.
Agora vamos definir a classe de transformações expansivas.
21

Definição 2.3. Uma transformação f : M → M é dita expansiva se existir
uma constante 0 > 0 tal que: dados x, y ∈ M com x 6= y, então existe N ∈ Z
tal que
d(f N (x), f N (y)) ≥ 0 .
O resultado seguinte garante que a classe das transformações expansivas
contém a classe das transformações expansoras.
Lema 2.2. Se f : M → M é uma transformação expansora, então f : M → M
é uma transformação expansiva.
Demonstração. Pelo Lema 2.1 existe hn : B0 (y) → M , composição de
ramos inversos de f tal que
d(hn (y1 ), hn (y2 )) ≤ σ −n d(y1 , y2 ), ∀ y1 , y2 ∈ B0 (y).
Para finalizar, basta considerar 0 dado no Lema 2.1. Vejamos que 0 é a
constante de expansividade de f . Seja 0 <  < 0 . Suponha, por absurdo, que
d(f n (u), f n (v)) ≤  para todo n ≥ 0 e u 6= v.
Daí, como u e v pertencem à B0 (y), vale:
d(u, v) = d(hn (f n (u)), hn (f n (v))) ≤ σ −n d(f n (u), f n (v)) ≤ σ −n .
Portanto, quando n → ∞ temos que d(u, v) → 0, ou seja, u = v.

Consideremos 0 > 0 dado no Lema 2.1
Corolário 2.1. Se P é partição de M tal que
diam(P) < 0 ,
então P é f -geradora com respeito a qualquer medida f -invariante.
Demonstração. Consideremos
P (n) = {C (n) = Pi0 ∩ f −1 (Pi1 )... ∩ f −(n−1) (Pin−1 )}.
Seja P (n) (x) os elementos de P (n) que contém x.

22

Afirmação 2. Para todo x ∈ M vale:
lim diamP (n) (x) = 0.

n→∞

Prova. Suponha, por absurdo, que existe, para cada n ∈ N, yn ∈ P (n) (x)
tal que d(yn , x) > δ > 0. Pela compacidade de M podemos extrair uma
subseqüência ynk convergente, isto é, lim ynk = y. Daí, y ∈ P (n) (x) para
k→∞

todo n, ou seja, d(f n (x), f n (y)) ≤ ρ, contradizendo o fato de d(y, x) > δ > 0.
(n)

(n)

Vamos mostrar que dados A ⊂ M boreliano e  > 0, existem C1 , ..., Cm
em P n tal que
µ

m
[

!
(n)
Ci ∆A

≤ .

i=1

Consideremos K1 ⊂ A e K2 ⊂ Ac compactos tais que
µ(A∆K1 ) ≤



e µ(Ac ∆K2 ) ≤ .
2
2

Seja r := dist(K1 , K2 ) > 0. Pelo Afirmação 2, vale para n suficientemente
r
grande, diamP n (x) ≤ , para todo x ∈ M .
2
(n)
(n)
Consideremos os C1 , ..., Cm em P n que intersectam K1 . Então,
!
!
!
m
m
m
[
[
[
(n)
(n)
(n)
µ
Ci ∆A = µ
Ci − A + µ A −
Ci
i=1

i=1

i=1
c

≤ µ(A − K1 ) + µ(A − K2 ) ≤ .

Observação: Mostramos que dado A boreliano em M e δ > 0, podemos
encontrar An união de elementos de P n tal que µ(A∆An ) < δ, i.e,
lim µ(A∆An ) = 0.

n→∞

Corolário 2.2. Para toda µ medida f − invariante e toda partição P com
diâmetro menor que 0 vale
hµ (f ) = hµ (f, P).
Demonstração. Decorre diretamente do Corolário 2.1 e do Teorema de
Kolmogorov-Sinai.

23

O próximo resultado é o ingrediente fundamental para o Teorema principal
desta seção.
Lema 2.3. Dado uma função ψ : M → R contínua, o operador Pψ : I → R
definido por
Z
Pψ (µ) = hµ (f ) +

ψ dµ

é semi-contínuo superiormente.
Demonstração. Fixe µ0 ∈ I e seja 0 > 0 dado no Lema 2.1. Visto que
M é compacta podemos encontrar uma partição P de M tal que diamP < 0
e µ0 (∂P ) = 0, para todo P ∈ P (ver[Wa82], página
 187). Daí, usando que
n−1
n−1
X
\
[
Hν (P) = −
ν(P ) log ν(P ) e que ∂ 
f −j (Pij ) ⊂
f −j (∂Pij ) temos
P ∈P

j=0

j=0

1
que a aplicação ν 7−→ Hν (P (n) ) é contínua em µ0 , para todo n ≥ 0. Assim a
n
aplicação ν 7−→ hν (f, P) é semi-contínua superiormente em µ0 (ver [Ke98]).
Visto que escolhemos a partição P com diâmetro menor que 0 , temos pelo
Corolário 2.2 que hµ (f ) = hµ (f, P) para toda µ ∈ I.
Portanto concluímos que a aplicação ν

7−→ hν (f ) é semi-contínua

superiormente em µ0 . Para finalizar basta observar que a aplicação integral
R
ν 7−→ ψ dν é contínua em I.

Demonstração do Teorema 2.1.

Decorre diretamente do Lema 2.3 e

do fato que o conjunto das medidas f -invariantes é compacto.


24

2.2

Unicidade de Estados de Equilíbrio

Nesta seção vamos abordar outros métodos e ferramentas da Teoria ergódica
para garantir a unicidade dos estados de equilíbrio para potenciais Höldercontínuos. A estratégia é a seguinte
• Utilizando um resultado de Análise Funcional garantimos a existência de
automedidas para o dual do operador de transferência. Usando algumas
estimativas também garantiremos a existência de autofunções para o
operador de transferência.
• Garantir a existência da medida que maximiza o operador Pψ . Por último,
garantir a unicidade da tal medida.
O resultado principal que vamos demonstrar nessa seção é
Teorema 2.2 (Ruelle-1968). Sejam f : M → M uma transformação
expansora e ψ : M → R uma função γ-Hölder. Então existe um único estado de
equilíbrio associado ao par (f, ψ). Além disso, a pressão topológica é exatamente
o logaritmo do raio espectral do operador de transferência.
Vamos aos conceitos necessários para a prova do Teorema 2.2.
Definição 2.4. Sejam f : M → M uma transformação contínua, localmente
injetiva e µ uma probabilidade. Dizemos que a função integrável F é o Jacobiano
de f com respeito à µ se
Z
µ(f (A)) =

F dµ
A

para todo boreliano A ⊂ M tal que f |A seja injetiva. Geralmente denotamos o
Jacobiano por Jµ f .
O resultado seguinte garante que o Jacobiano de uma transformação com
respeito a uma medida é único, com respeito a essa medida.

25

Lema 2.4. Sejam f : M → M transformação contínua, localmente injetiva e
µ uma probabilidade. Se o Jacobiano de f existir, então ele é único em µ-q.t.p.
Demonstração. Suponhamos que F e G sejam Jacobianos de f . Considere
os conjuntos A = {x ∈ M |F (x) > G(x)} e B = {x ∈ M |F (x) < G(x)}.
Particione A e B em conjuntos com diâmetro suficientemente pequeno de forma
que f seja injetiva nos elementos das partições. Usando resultados de teoria da
medida é possível mostrar com essa hipóteses que A e B têm medida nula. Daí
concluímos que F = G em µ-q.t.p.

Consideremos ψ : M → R uma função contínua e f : M → M um
difeomorfismo local.
Definição 2.5. O operador Lψ : C 0 (M ) → C 0 (M ) definido por
Lψ g(x) =

X

eψ(y) · g(y), ∀g ∈ C 0 (M ),

y∈f −1 (x)

é chamado de Operador de Ruelle-Perron-Frobenius ou Operador de
Transferência associado ao par (f, ψ).
Uma observação relevante é que o operador de transferência é contínuo na
topologia C 0 . Com efeito,
k Lψ g(x) ksup ≤ ]f −1 (x) · ekψksup k g ksup ≤ Cte· k g ksup ,
já que ψ é contínua e M é compacta.
Outra propriedade importante do operador de transferência é que se uma
função g é positiva, então Lψ g é positiva.
É de grande importância considerar o dual do operador de transferência
restrito ao conjunto das medidas M, o qual fica totalmente definido pela
igualdade
Z

gd(L∗ψ µ) =

Z

Lψ gdµ, ∀g ∈ C 0 (M ).

O resultado seguinte garante a existência de automedidas para o dual do
operador de transferência.

26

Lema 2.5. Existe ν ∈ M tal que L∗ψ ν = λν, onde λ = lim

n→∞

Demonstração.

q
n
k Lnψ 1 ksup .

É um fato da Análise Funcional que para operadores

T : C 0 (M ) → C 0 (M ) positivos, o seu raio espectral é um autovalor do seu
adjunto T ∗ . Para uma demonstração rigorosa ver [De], página 235.

Observação: É fácil ver que λ =

R

Lψ 1 dν, onde ν é a medida associada a λ.

Lema 2.6. Se ν é uma medida tal que L∗ψ ν = λν, onde λ > 0, então
Jν f = λe−ψ .
Além disso, se considerarmos h : M → (0, ∞) uma função e µ = hν, então
Jµ f = λe−ψ

h◦f
.
h

Demonstração. Seja A ⊂ M um boreliano tal que f |A é injetiva.
Consideremos uma seqüência {gn }n∈N em C 0 (M ) tal que gn → XA em ν-q.t.p
e ||gn ||∞ ≤ 2, para todo n ≥ 1. Então
X

Lψ (e−ψ gn )(x) =

X

eψ(y) e−ψ(y) gn (y) =

y∈f −1 (x)

gn (y) → Xf (A)

y∈f −1 (x)

em ν-q.t.p. Seja d = ]f −1 (x), o qual independe de x pelo Lema 2.1. Daí temos
X

|Lψ (e−ψ gn )(x)| ≤

X

|gn (y)| ≤

y∈f −1 (x)

||gn || ≤ 2d, ∀n ≥ 1.

y∈f −1 (x)

Usando 2.1 e o Teorema da Convergência Dominada (ver [Rud81]), vale
Z
Z
Z
−ψ
−ψ
λe gn dν = e gn d(λν) = e−ψ gn d(L∗ψ ν)
Z
=

Z

ψ

Lψ (e gn )dν →

Xf (A) dν = ν (f (A)) .

Z

Z

Por outro lado,
Z

−ψ

λe

gn dν →

−ψ

λe

XA dν =
A

Portanto,
Z
ν (f (A)) =
A

27

λe−ψ dν.

λe−ψ dν.

(2.1)

Para provar a segunda parte usamos o Teorema de Radon-Nikodym (ver
[Rud81]) e obtemos
Z
Z
Z
h◦f
λe−ψ ·
· gn dµ = e−ψ · h ◦ f · gn d(L∗ψ ν) = Lψ (e−ψ · h ◦ f · gn )dν
h
Z X
Z X
=
h ◦ f (y) · gn (y)dν(x) =
h ◦ f (y) · gn (y)dν(x)
f (y)=x

Z
=

h(x)·

X

f (y)=x

Z
gn (y)dν(x) =

h(x)·Lψ (e−ψ ·gn )(x)dν(x) =

Z

Lψ (e−ψ ·gn )dµ.

f (y)=x

Usando a definição do operador de Transferência temos que
Z X
Z
h◦f
· gn dµ =
gn dµ → µ(f (A)).
λe−ψ ·
h
f (y)=x

Por outro lado
Z

λe−ψ ·

h◦f
· gn dµ →
h

Z

λe−ψ ·

A

h◦f
dµ.
h

Pela unicidade do limite concluí-se o resultado.

Lema 2.7. Seja f : M → M expansora. Dado U ⊂ M aberto não vazio, então
existe N ∈ N tal que f N (U ) = M , i.e, f é topologicamente misturadora.
Demonstração. Sejam x ∈ U e r > 0 tal que B(x, r) ⊂ U . Suponhamos,
por absurdo, que f n (U ) 6= M , para todo n ≥ 1. Daí, existe ω : [0, 1] → M com
ω(0) = f n (x), ω(1) = y ∈ M − f n (U ) e l(ω) ≤ (diamM ) + 1.
Sejam hn o ramo inverso de f n e uma curva ωn = hn ω : [0, 1] → M
satisfazendo ωn (0) = x e ωn (1) = yn ∈ M − U . Daí, como hn contrai a taxa de
σ −n , vale r ≤ l(ωn ) ≤ σ −n · {(diamM ) + 1}. Contradição, pois r está fixo.

Definição 2.6. Seja µ ∈ M. Definimos o suporte de µ como
supp(µ) := fecho{x ∈ M ; ∀ vizinhança V de x, µ(V ) > 0}.
O próximo resultado garante que se uma medida possui Jacobiano positivo,
então ela está suportada sobre toda variedade.

28

Lema 2.8. Se f : M → M é expansora e µ ∈ M possui Jacobiano Jµ f positivo,
então
supp(µ) = M.
Demonstração. Suponhamos, por absurdo, que existe V ⊂ M aberto com
µ(V ) = 0. Consideremos uma partição G = {A1 , ..., Al } de V tal que f |Ai é
injetiva para todo i.
Daí,
Z
µ(f (Ai )) =

Jµ f dµ = 0,
Ai

pois µ(Ai ) = 0.
Logo, pela propriedade aditiva da medida, temos µ(f (V )) = 0. Usando
indução sobre n obtemos que µ(f n (V )) = 0, para todo n ≥ 1. Agora, pelo
Lema 2.7 existe N tal que f N (V ) = M , e daí teríamos que µ(M ) = 0, o que é
um absurdo.

Lema 2.9. Seja ψ : M → R um potencial γ-Hölder e Sn ψ =

n−1
X

ψ ◦ f i . Se

i=0

d(f n (x), f n (y)) < 0 , então
|Sn ψ(x) − Sn ψ(y)| ≤ A · d(f n (x), f n (y))γ .

Demonstração. Usando a desigualdade triangular e o fato de ψ ser uma
função γ-Hölder, temos
|Sn ψ(x) − Sn ψ(y)| ≤

n−1
X

|ψ(f i (x)) − ψ(f i (y))| ≤

i=0

n−1
X

C · d(f i (x), f i (y))γ .

i=0

Usando os ramos inversos de f , garantidos pelo Lema 2.1, vale
d(f i (x), f i (y)) ≤ σ i−n · d(f n (x), f n (y)).
Daí,
n−1
X

|Sn ψ(x)−Sn ψ(y)| ≤ C·

σ (i−n)γ ·d(f n (x), f n (y))γ ≤

i=0

Basta tomar A =

C
·d(f n (x), f n (y))γ .
1 − σ −γ

C
para finalizar o resultado.
1 − σ −γ

29

Lema 2.10. Seja f : M → M uma transformação expansora e µ ∈ M tal que
Jµ f é estritamente positivo e Hölder-contínuo. Se d(f n (x), f n (y)) < 0 então
existe K1 > 0 tal que
K1−1 ≤

Jµ f n (x)
≤ K1 .
Jµ f n (y)

Demonstração. Usando as manipulações necessárias teremos
n−1
Y

Jµ f n (x)
j=0
= n−1
n
Jµ f (y)
Y

Jµ f (f j (x))
≤
Jµ f (f j (y))

n−1
Y

Jµ f (f j (y)) + |Jµ f (f j (x)) − Jµ f (f j (y))|
Jµ f (f j (y))
j=0

j=0

Observando que c = inf Jµ f (x) > 0, temos
x∈M

n−1
Y
Jµ f n (x)
1
≤
(1 + · |Jµ f (f j (x)) − Jµ f (f j (y))|).
n
Jµ f (y)
c
j=0

Usando que o jacobiano é γ-Hölder e os ramos inversos de f , garantidos pelo
Lema 2.1, temos
n−1
n−1
Y
Y
Jµ f n (x)
1
C
j
j
γ
≤
(1
+
Cd(f
(x),
f
(y))
)
≤
(1 + σ (j−n)γ d(f n (x), f n (y))γ ).
Jµ f n (y)
c
c
j=0
j=0

Visto que d(f n (x), f n (y)) < 0 vale


n−1
Y
Jµ f n (x)
C (j−n)γ γ
Cγ0
≤
(1 + σ
0 ) ≤ exp
Jµ f n (y)
c
c(1 − σ −γ )
j=0

Cγ0
Basta tomar K1 = exp
para finalizar o resultado. E para obter
c(1 − σ −γ )
a desigualdade contrária só é trocar os papéis de x e y.



Definição 2.7. Sejam f : M → M e µ uma probabilidade. Dizemos que µ é
uma medida nice com respeito a f se
1. Existe o Jacobiano Jµ f e é estritamente positivo.
2. Existe 0 > 0 tal que para todo 0 <  ≤ 0 pode-se encontrar K > 0
satisfazendo
K−1 ≤ µ(B(, n, x)) · Jµ f n (x) ≤ K
para todo n ≥ 0 e todo x ∈ M .
30

Um resultado que decorre diretamente do Lema 2.10 é
Corolário 2.3. Se µ é uma probabilidade que admite Jµ f estritamente positivo
e Hölder-contínuo, então µ é uma medida nice.
Demonstração. Seja 0 < δ ≤ 0 . Sabemos, pela expansividade de f , que
n

f (B(δ, n, x)) = B(f n (x), δ). Consideremos U = {A1 , ..., Al } uma cobertura
δ
de M por bolas de raio ≤
e δ = min µ(Ai ) > 0 (pois µ é positiva sobre
i=1,...,l
2
abertos). Denotando por Bi a bola dinâmica que é levada em Ai por f n teremos
Z

Jµ f n dµ ≤ K1 Jµ f n (x)µ(Bi ).

δ ≤ µ(Ai ) =
Bi

Por outro lado,
Z
1 ≥ µ(Ai ) =

Jµ f n dµ ≥ K1−1 Jµ f n (x)µ(Bi ).

Bi

Tomando K =

K1
segue-se o resultado.
δ


Definição 2.8. Uma medida de probabilidade µ é dita exata com respeito a f
\
quando para todo A ∈
f −k (B(M )) vale que µ(A) = 0 ou 1, onde B(M ) é a
k≥0

σ-álgebra de Borel em M .
Lema 2.11. Suponha que f : M → M é uma transformação expansora e µ é
uma probabilidade f -invariante. Se o Jacobiano Jµ f é estrito positivo e Hölder,
então µ é exata. Em particular, µ é uma medida misturadora com respeito ao
par (f, µ).
Demonstração. Ver [Cr85], página 29.

O resultado que se segue é de grande interesse, pois o mesmo faz uma
relação entre a entropia métrica de uma transformação com o Jacobiano da
transformação com respeito a medida considerada. Esse tipo de resultado é um
dos motivadores do estudo do Jacobiano de transformações.

31

Teorema 2.3 (Fórmula da Entropia). Se µ é uma medida f -invariante e
nice, então
Z
hµ (f ) =

log Jµ f dµ

Demonstração. O Teorema de Brin-Katok afirma que se µ é f -invariante
então
Z
hµ (f ) = −

lim lim sup

→0

n

1
log µ(B(, n, x))dµ.
n

Visto que µ é nice, temos
Jµ f n (x)−1 K−1 ≤ µ(B(, n, x)) ≤ Jµ f n (x)−1 K
sempre que  é menor que a constante de expansividade de f .
Daí,
− lim lim sup
→0

n

1
1
log µ(B(, n, x)) = lim sup log Jµ f n (x).
n
n
n

Por outro lado,
n−1
1
1X
log Jµ f n (x) =
log Jµ f (f j (x)).
n
n j=0

Pelo Teorema de Birkhoff, temos
Z
Z
1
lim sup log Jµ f n (x)dµ = log Jµ f dµ.
n
n
Portanto,
Z
hµ (f ) =

log Jµ f dµ.


O resultado que acabamos de provar existe para uma classe bem mais
ampla do que a das transformações expansoras. Sendo o mesmo de grande
importância, vamos fornecer o seu enunciado. Para isso vamos descrever a
classe das transformações para as quais o resultado se verifica.

32

Sejam f : M → M uma transformação mensurável e µ uma probabilidade
f -invariante. Suponha que existe uma partição finita ou enumerável U de M
tal que
(a) f é localmente injetiva, digamos que esta é injetiva sobre os átomos de U.
(b) diâmetro de U (n) (x) tende a zero quando n cresce arbitrariamente, para
µ quase todo x.
Teorema 2.4 (Fórmula de Rokhlin). Se µ é uma probabilidade f -invariante
e f satisfaz (a) e (b) acima, então
Z
hµ (f ) =

log Jµ (f ) dµ.

Demonstração. Ver [OV05], página 7.

A partir de agora vamos fazer algumas estimativas sobre o operador de
transferência para poder demonstrar o nosso resultado principal.
Lema 2.12. Se f : M → M é expansora, então existe C > 0 tal que
(Lm
1
ψ 1)(x)
≤ m
≤ C,
C
(Lψ 1)(y)
para todo x, y ∈ M e todo m ≥ 1.
Demonstração. Vamos dividir o nosso problema em dois casos.
1o Caso (local): Sejam x1 e y1 as pré-imagens por f n de x e y que estão na
mesma bola dinâmica de comprimento n e raio δ. Desde que d(x, y) < 0 , temos
usando o Lema 2.9
γ

γ

e−A·d(x,y) ≤ eSn ψ(x1 )−Sn ψ(y1 ) ≤ eA·d(x,y) .

(2.2)

Visto que
X

eSn ψ(x1 )
n
Lnψ 1(x)
f (x1 )=x
= X
Lnψ 1(y)
eSn ψ(y1 )
f n (y1 )=y

temos
γ

e−A·d(x,y) ≤

Lnψ 1(x)
γ
≤ eA·d(x,y) .
Lnψ 1(y)
33

(2.3)

Donde,
γ

e−A·0 ≤

Lnψ 1(x)
γ
≤ eA·0 .
n
Lψ 1(y)

2o Caso (global): Consideremos x, y ∈ M quaisquer. Seja γ : [0, 1] → M ,
diferenciável por partes, ligando x a y.

Usando que γ é contínua e [0, 1]
0
é compacto, garantimos a existência de bolas B1 , ..., Bk de raio
tal que
2
k
[
γ([0, 1]) ⊂
Bi e Bi ∩ Bi+1 6= ∅, i = 1, ..., k − 1.
i=1

Escolha xi ∈ Bi ∩ Bi+1 , então

(Lm
(Lm
(Lm
(Lm
γ
ψ 1)(x)
ψ 1)(x1 )
ψ 1)(xk−1 )
ψ 1)(x)
= m
· m
···
≤ (eA·0 )k .
m
(Lψ 1)(y)
(Lψ 1)(x1 ) (Lψ 1)(x2 )
(Lm
1)(y)
ψ
Visto que M é compacta, temos que diam(M ) < ∞. Donde, o número
γ
diam(M ) + 1
k ≤ 2·
. Portanto, basta tomar C ≥ (eA·0 )k para finalizar o
0
resultado.

Corolário 2.4. A seqüência {λ−n Lnψ 1} é limitada na topologia C 0 , i.e,
||λ−n Lnψ 1||sup ≤ K3 , para algum K3 > 0 e todo n ≥ 1.
Demonstração. Pela definição de λ temos:
Z
λ−n Lnψ 1dν = 1,
para todo n ≥ 1.
Portanto devem existir sn ∈ M , para cada n ≥ 1, tal que λ−n Lnψ 1(sn ) ≤ 1.
Usando o Lema 2.12 temos que
λ−n Lnψ 1(x) ≤ C · λ−n Lnψ 1(sn ) ≤ C,
para todo x ∈ M e todo n ≥ 1. Basta tomar K3 ≥ C.


34

Teorema 2.5. Existe K4 > 0 tal que
|λ−n Lnψ 1(x1 ) − λ−n Lnψ 1(x2 )| ≤ K4 · d(x1 , x2 )γ ,
desde que d(x1 , x2 ) < 0 .
Demonstração. Usando expansão de Taylor vale
γ

|e±A·d(x1 ,x2 ) − 1| ≤ C0 · d(x1 , x2 )γ .

(2.4)

Utilizando as desigualdades (2.3) e (2.4) temos
−C0 · d(x1 , x2 )γ ≤

Lnψ 1(x1 )
− 1 ≤ C0 · d(x1 , x2 )γ .
Lnψ 1(x2 )

Portanto,
|λ−n Lnψ 1(x1 )−λ−n Lnψ 1(x2 )| ≤ C0 ·d(x1 , x2 )γ ·|λ−n Lnψ 1(x2 )| ≤ C0 ·K3 ·d(x1 , x2 )γ .
Basta tomar K4 = C0 · K3 para finalizar o resultado.

Corolário 2.5. A seqüência {λ−n Lnψ 1} é equicontínua.
Demonstração. Segue-se diretamente do Teorema 2.5.

Definição 2.9. Uma função φ : M → R é dita Hölder-contínua com constante
de Hölder γ se
|ψ(x) − ψ(y)| ≤ Cte d(x, y)γ ,
para todo x e y em M . Denotaremos o conjunto de tais funções por C 0,γ (M ).
Vamos considerar agora em C 0,γ (M ) a norma
||φ||γ,δ := ||φ||sup +

|φ(x) − φ(y)|
.
d(x, y)γ
0<d(x,y)<δ
sup

É um fato de Análise Funcional que (C 0,γ , ||.||γ,δ ) é um espaço de Banach (ver
[Rud81]).

35

Corolário 2.6. A seqüência {λ−n Lnψ 1} é limitada na norma ||.||γ,δ , i.e,
||λ−n Lnψ 1||γ,δ ≤ K5 , para algum K5 > 0.
Demonstração. Basta tomar K5 ≥ K3 + K4 .

Teorema 2.6. Sejam f : M → M uma transformação expansora e ψ : M → R
uma função γ-Hölder. Se Lψ g = λg, com g positiva, λ > 0, e L∗ψ ν = λν, então
a medida µ = g·ν é f -invariante, ergódica e satisfaz a identidade
Z
log λ = hµ (f ) + ψ dµ.
Demonstração. Vejamos que µ é f -invariante:
Z
Z
Z
Z

u◦f dµ = u◦f ·g dν = λ−1 (u◦f )·g d L∗ψ ν = λ−1 Lψ ((u ◦ f ) · g) dν
Pela definição do Operador de Ruelle temos


Z
Z
X
u ◦ f dµ = λ−1 
eψ(y) u ◦ f (y) · g(y) dν(x),
f (y)=x

i.e,



Z

u ◦ f dµ = λ−1

Z
u(x) 

X

eψ(y) · g(y) dν(x)

f (y)=x

=λ

−1

Z
uLψ gdν = λ

−1

Z

Z
uλgdν =

udµ.

g◦f
. Logo Jµ f é γ-Hölder e estritamente
g
positivo, então pelo Corolário 2.3 temos que µ é nice. Agora usando o Teorema
Pelo Lema 2.6 temos que Jµ f = λe−ψ

2.3 temos que:
Z
hµ (f ) =

log Jµ f dµ

Z
=

Z
log λ − ψ + log(g ◦ f ) − log(g) dµ = log λ −

ψ dµ,

pois µ é f -invariante.
Portanto
Z
log λ = hµ (f ) +

ψ dµ.

O fato de µ ser ergódica decorre dos Lemas 2.6 e 2.11.

36

Teorema 2.7. Se f : M → M expansora e ψ : M → R é γ-Hölder, então
existe uma função g : M → R γ-Hölder e estritamente positiva tal que
(a) Lψ g = λ· g, com λ > 0.
(b) g ∈ C 0,γ (M ) com

R

g dν = 1.

(c) g é única a menos de multiplicação por escalares.
Demonstração. Consideremos a seqüência
n−1

1 X −j j
gn =
λ Lψ 1.
n j=0
Pelo Corolário 2.5 e o Corolário 2.6 temos que {gn }n∈N é uma seqüência
equicontínua e uniformemente limitada. Usando o Teorema de Árzela-Áscoli
(ver [El03]), existe uma subseqüência {gnk } convergindo uniformemente para
uma g ∈ C 0 (M ). Devido ao Teorema 2.5 temos que g ∈ C 0,γ (M ).
Vamos mostrar que g é uma autofunção do operador de Ruelle.
Vejamos:

Lψ g = Lψ lim
k

Daí



nX
k −1

nk −1
1 X
1
λ−j Ljψ 1 = lim
λ−j Lj+1
ψ 1.
k nk
nk j=0
j=0

nk −1
nk
1 X
1 X
−(j+1) j+1
Lψ g = λ lim
λ
Lψ 1 = λ lim
λ−j Ljψ 1,
k nk
k nk
j=0
j=1

ou seja,


nk −1
1 X
Lψ g = λ lim
λ−j Ljψ 1 − λ−0 L0ψ 1 + λ−nk Lnψk 1 .
k nk
j=0
Usando o fato que λ−n Lnψ 1 é limitado, então
Lψ g = λ lim
k

nk −1
1 X
λ−j Ljψ 1 = λg.
nk j=0

Observe que utilizamos o fato do operador Lψ ser contínuo.
Vamos fazer alguns cálculo para nos auxiliar na integral de g. Vejamos
Z

Z
gnk dν =

Z

nk −1
nk −1
nk −1
1 X
1 X
1 X
j
−j j
−j
λ Lψ 1dν =
λ
Lψ 1dν =
λ−j λj = 1.
nk j=0
nk j=0
nk j=0

37

Visto que gnk converge uniformemente para g temos
Z
gdν = 1.
Vamos mostrar que g é estritamente positiva. Com efeito, usando que
Z
λ−n Lnψ 1dν = 1,
para todo n ≥ 1, garantimos a existência de xn ∈ M , para cada n ≥ 1, tal que
λ−n Lnψ 1(xn ) ≥ 1.
Pelo Lema 2.12 vale
λ−n Lnψ 1(x) ≥ λ−n Lnψ 1(xn ) ·

1
1
≥ ,
C
C

(2.5)

para todo x ∈ M e todo n ≥ 1.
1
.
C
Vamos agora demonstrar o último ítem, justamente a unicidade da função
Pela permanência do limite e por (2.5) vale que g ≥

unitária g. Para isso vamos fazer uso do seguinte resultado
Lema 2.13. Sejam η uma medida de probabilidade positiva sobre os abertos de
M e {φn } ⊂ C 0 uma seqüência limitada e equicontínua. Se existir φ tal que
Z
Z
uφn dη → uφ dη, para toda u ∈ C 0 .
Então, φn → φ.
Demonstração. Seja φ0 um ponto de acumulação da seqüência φn . Então,
pela convergência em C 0
Z
0 = u(φ0 − φ) dη, para toda u ∈ C 0 .

(2.6)

Suponha que φ0 6= φ. Pela continuidade de φ0 −φ garantimos uma vizinhança
V tal que φ0 − φ > δ > 0 ou φ0 − φ < δ < 0. Suponha o primeiro caso.
Pela arbitrariedade da função u podemos escolhe-lá estritamente positiva com
suporte em V .
Daí,
Z

Z
u(φ0 − φ) dη ≥

Z
u(φ0 − φ) dη > δ

V

Porém isto contradiz (2.6). Portanto φn → φ.
38

udη > 0.

Voltando a demonstração do Teorema, vamos fazer alguns cálculos que nos
auxiliarão. Seja ν a automedida do dual do operador de transferência associada
ao raio espectral de Lψ . Temos
Z
Z
Z
Z
φ
u(λ−n Lnψ φ)dν = λ−n Lnψ (u ◦ f n φ)dν = u ◦ f n φdν = u ◦ f n dµ.
g
Usando que (f, µ) é misturador, pois µ é exata, vale
 Z
Z
 Z  Z

Z
Z
φ
−n n
nφ
u(λ Lψ φ)dν = u ◦ f dµ →
udµ
dµ = u g φdν dν.
g
g
Vamos mostrar que {λ−n Lnψ u} satisfaz as condições do Lema 2.13.

Basta

mostrar que a seqüência {λ−n Lnψ u} é equicontínua e limitada.
Sejam xi e yi , i = 1, ..., k, as respectivas pré-imagens dos pontos x e y
pelos respectivos ramos inversos de f −n que estão na mesma bola dinâmica de
comprimento n e raio menor que 0 (0 dado no Lema 2.1).
Seja u ∈ C 0,γ . Então vale
u(xi ) ≤ u(yi ) + C(u)d(xi , yi )γ ≤ u(yi ) + C(u)σ −γn d(x, y)γ ,
onde C(u) é uma constante que depende de u.
Usando as desigualdade (2.2) e (2.4) vale

eSn ψ(xi ) ≤ eSn ψ(yi ) (1 + Cd(x, y)γ ) .
Então,
Lnψ u(x) =

k
X
i=1

eSn ψ(xi ) u(xi ) ≤

k
X

eSn ψ(yi ) (1 + Cd(x, y)γ ) u(yi ) + C(u)σ −γn d(x, y)γ

i=1

≤ Lnψ u(y) + C(u)σ −γn d(x, y)γ Lnψ 1(y)(1 + Cγ0 ) + Cd(x, y)γ Lnψ u(y)
≤ Lnψ u(y) + σ −γn d(x, y)γ C(u)Cλn (1 + Cγ0 ) + Cd(x, y)γ Cλn k u ksup ,
onde usamos que Lnψ 1(x) ≤ Cte λn .
Donde
λ−n Lnψ u(x) − λ−n Lnψ u(y) ≤ Cte. k u kγ,δ d(x, y)γ .
Pela simetria da função distância vale que
|λ−n Lnψ u(x) − λ−n Lnψ u(y)| ≤ Cte. k u kγ,δ d(x, y)γ ,
para n ≥ 1 e x, y tais que d(x, y) < 0 .
39



Isto mostra que a seqüência {λ−n Lnψ u} é equicontínua, para toda u ∈ C 0
(usamos nesta passagem que C 0,γ é denso em C 0 ). Agora que esta é limitada
decorre do Corolário 2.6, pois
k λ−n Lnψ u ksup ≤k λ−n Lnψ 1 ksup k u ksup ≤ K5 k u ksup .
Pelo Lema 2.13 vale que
λ

−n

Lnψ u → g

Z

u dν, para todo u ∈ C 0 .

Com isso vamos mostrar que g é a única autofunção unitária não-negativa.
Com efeito, suponha que g0 é autofunção do operador de transferência, i.e,
Lψ g0 = λ0 g0 . Então,
λ−n Lnψ g0 =



λ0
λ

n

Z
g0 → g

g0 dν.

Como ν é positiva sobre os abertos e g0 é não - negativa, então
R
Donde λ0 = λ e g0 = g g0 dν.

R

g0 dν > 0.


Teorema 2.8. Se f : M → M é expansora e ψ : M → R é γ-Hölder, então
para toda η f -invariante vale
Z
hη (f ) +

ψdη ≤ log λ.

Além disso, a igualdade ocorre se e somente se, η = gν.
Demonstração. A estratégia é simplesmente garantir que se um estado de
equilíbrio ergódico satisfaz a igualdade então ele coincide com gν.
Relembre que ν é a automedida de L∗ψ associada ao raio espectral de Lψ e g
é a autofunção de Lψ construída no Teorema 2.7.
g(x)
Defina h : M → (0, ∞) por h(x) = λ−1 eψ(x)
.
g(f (x))
Observemos que
X
eψ(y) g(y)
X
Lψ g(x)
y:f (y)=x
h(y) =
=
= 1.
λg(x)
λg(x)
y:f (y)=x

Com a notação acima vamos enunciar e provar dois resultados que nos
auxiliarão na demonstração do resultado. Utilizaremos, a priori, que a pressão
topológica P (ψ) é igual a log λ, porém só demonstraremos esse fato no fim da
prova do Teorema.
40

Lema 2.14. Seja η um estado de equilíbrio ergódico com respeito ao par (f, ψ).
Então
1. hη (f ) +

R

2. Jη f (y) =

log h dη = 0.
1
, para η quase todo ponto.
h(y)

Demonstração. Visto que η é um estado de equilíbrio vale que
Z
Z
Z
hη (f )+ log h dη = hη (f )+ ψ dη−log λ+ [log(g(x))−log(g(f (x)))] dη = 0,
onde usamos que η é f -invariante e log λ = P (ψ).
Para provarmos a segunda parte do Lema vamos utilizar a fórmula de
R
Rokhlin a qual afirma que hη (f ) = log Jη f dη.
Usando o primeiro item do Lema e a fórmula de Rokhlin, temos que
Z
h(x)
dη(x) = 0,
log
hη (x)
1
.
Jη f
Usando a definição de Jacobiano temos que
Z
X
h(y)
hη (y) log
dη = 0.
hη (y)

onde hη =

y:f (y)=x

Usando a convexidade da função logaritmo temos que


X
X
h(y)
h(y)

0≤
hη (y) log
≤ log 
hη (y)
hη (y)
hη (y)
y:f (y)=x

y:f (y)=x


= log 


X

h(y) = log 1 = 0,

f (y)=x

para η-q.t.p. Sabemos que a igualdade ocorre somente se
h(y)
= c(x), para todo y ∈ f −1 (x).
hη (y)
X
A invariância de η garante que
hη (y) = 1 em η-q.t.p.
y:f (y)=x

Donde,
X
c(x) =

hη (y)

y:f (y)=x

X
y:f (y)=x

41

= 1.
hη (y)

Temos assim que h = hη em um conjunto cuja pré-imagem tem medida total.
Usando a invariância de η, temos h = hη em um conjunto de medida total.

Uma conseqüência importante do Lema 2.14 é
Corolário 2.7. Se η é um estado de equilíbrio ergódico com respeito ao par
(f, ψ), então L∗ψ (g −1 η) = λ(g −1 η).
Demonstração. Seja ξ uma função contínua qualquer. Temos que
Z
Z
X
ξ d(L∗ψ (g −1 η)) =
eψ(y) ξ(y)g(f (y))−1 dη.
y:f (y)=x

Usando a definição da função h, temos que
Z
Z
Z
Z
X
ξ d(L∗ψ (g −1 η)) =
λξ(y)g(y)−1 h(y) dη = λ ξ(x)g(x)−1 dη = ξ d(λg −1 η),
y:f (y)=x

onde usamos a definição de Jacobiano na segunda igualdade.

Voltando a demonstração do Teorema 2.2, podemos garantir usando o
Corolário 2.7, Lema 2.6 e Corolário 2.3 que g −1 η é uma medida nice.
Logo,
K −1 ≤ g −1 η(B(, n, x))Jη f n (x) ≤ K.
Usando a expressão do Jacobiano de f com respeito à η podemos garantir que
existe constante K tal que
K −1 ≤

g −1 η(B(, n, x))
≤ K,
ν(B(, n, x))

para todo n ≥ 0 e todo x ∈ M .
Visto que as bolas dinâmicas formam um conjunto gerador, podemos concluir
que η e µ = gν são equivalentes. Visto que as mesmas são ergódicas, temos que
η = µ.
Para finalizarmos o Teorema falta apenas mostrar que λ = eP (ψ) , o que
passamos a fazer.
Devido ao Lema 2.6 temos que Jν f (x) = λe−ψ(x) .

Donde Jν f n (x) =

en log λ−Sn ψ(x) , onde ν é a automedida associada ao raio espectral de Lψ . Pelo
Corolário 2.3, a medida ν é nice.
42

Portanto
K −1 ν(B(, n, x)) ≤ eSn ψ(x)−nP ≤ Kν(B(, n, x)),
onde P = log λ, x ∈ M e n ≥ 0.
Utilizando o Lema 2.9, para  < 0 temos que
C1 ν(B(, n, x)) ≤ exp(−nP +

sup

Sn ψ(y)) ≤ C2 ν(B(, n, x)).

y∈B(,n,x)

Somando sobre todas as coleções Gn finitas ou enumeráveis de bolas dinâmicas
de raio  e comprimento n, n ≥ N , tais que Gn cobre M , temos
X

C1 ≤

exp(−nP +

Sn ψ(y)) ≤ C2

sup
y∈B(,n,x)

B(,n,x)∈Gn

X

ν(B(, n, x)).

B(,n,x)∈Gn

Usando o Lema da cobertura de Besicovitch (ver [EG92], página 30.), passando
a uma subcobertura se necessário, podemos garantir que os elementos em Gn se
intersectam no máximo L vezes, onde L depende apenas da variedade M .
Daí,
C1 ≤

X

exp(−nP +

B(,n,x)∈Gn

sup

Sn ψ(y)) ≤ C2 Lν(M ).

y∈B(,n,x)

Portanto P (ψ, ) = log λ, onde  < 0 . Tomando o limite quando o  tende a
zero temos pelo Teorema 1.11 que P (ψ) = log λ.
Isto encerra o Teorema.

Demonstração de Teorema 2.2. Decorre diretamente dos Teoremas 2.6,
2.7 e 2.8.

Observação: Garantimos com o Teorema 2.2 a existência de uma única
medida com entropia máxima para a classe das transformações expansoras, i.e,
uma medida cuja sua entropia métrica coincide com a entropia topológica da
transformação.

43

Capítulo 3

Transformações não
uniformemente expansoras
Neste capítulo o objeto geral é obter uma classe mais ampla de
transformações que possuem estados de equilíbrio. Vamos seguir as idéias do
primeiro parágrafo do segundo capítulo, porém surgirão leves mudanças, as
quais descrevemos agora
• Exibir um subconjunto K de medidas invariantes tal que todos seus
expoentes de Lyapunov são positivos e quase todo ponto possui infinitos
tempos hiperbólicos.
• Mostrar a existência de uma partição geradora para toda medida em K.
Deste fato e do Teorema de Kolmogorov-Sinai garantimos a existência de
medidas maximizando o operador Pψ sobre o conjunto K.
• Provar que se o potencial tem variação baixa, então o máximo obtido sobre
K é de fato o máximo global para Pψ sobre o conjunto I.

3.1

Estados de Equilíbrio para transformações
tipo 1

Nesta seção vamos considerar transformações f : M → M de classe C 1,κ e
que sejam difeomorfismo local. Como antes, M é uma variedade compacta, sem
bordo e conexa.

44

Definição 3.1. Seja f : M → M um difeomorfismo local de classe C 1,κ . Diz-se
que f é uma transformação tipo 1 se:
H1. Existe uma cobertura {B1 , ..., Bp , ..., Bp+q } de M tal que f |Bi é injetiva e
• f expande uniformemente para todo x ∈ B1 ∪ ... ∪ Bp :
||Df (x)−1 || ≤ (1 + δ1 )−1 ;
• f não contrai muito:
||Df (x)−1 || ≤ (1 + δ0 ),
para todo x ∈ M .
H2. f expande volume: | det Df (x)| ≥ σ1 com σ1 > q.
Definamos o conjunto
V = {x ∈ M ; ||Df (x)−1 || > (1 + δ1 )−1 }.
H3. Existe um conjunto W ⊂ Bp+1 ∪ ... ∪ Bp+q contendo V tal que
M1 > m2 e m2 − m1 < β,
onde m1 , m2 são o ínfimo e o supremo de log || det Df || em V ,
respectivamente, e M1 , M2 são o ínfimo e o supremo de log || det Df ||
em W c , respectivamente.
Definição 3.2. Dizemos que uma função ϕ : M → R tem ρ-variação baixa
com respeito a f se
max ϕ(x) < P (ϕ) − ρ · htop (f ).
x∈M

O resultado principal desta seção é
Teorema 3.1 (Oliveira-2002). Assuma que f é uma transformação tipo 1,
com δ0 e β suficientemente pequenos. Então existem ρ > 0 e ao menos um
estado de equilíbrio com respeito ao par (f, ϕ), onde ϕ é uma função contínua
com ρ-variação baixa.

45

Um fato que usaremos com freqüência é que sempre podemos escolher um α
suficientemente próximo de 1 e c > 0 suficientemente pequeno tal que
(1 + δ0 )α (1 + δ1 )−(1−α) ≤ e−4c .
Devido as hipóteses H1 e H2, o Teorema 4.1 (ver Apêndice) garante a
existência de um γ0 < 1 tal que Leb-q.t.p passa uma fração γ0 de tempo em
Bp+1 ∪ ... ∪ Bp+q . Agora, escolha α > γ0 e definamos o conjunto
Kα := {µ ∈ I(f ); µ(V ) ≤ α}.
Lema 3.1. Kα é não vazio, convexo e compacto.
Demonstração. Com efeito, Kα é não vazio, pois as medidas construídas
no Teorema 4.3 pertencem a Kα . Agora, que Kα é convexo decorre diretamente
da sua definição. Para provar que Kα é compacto basta utilizar que V é aberto
e se uma sequência de medidas µn converge para uma medida µ, então vale
lim inf µn (V ) ≥ µ(V ),
n

i.e, se as µ0n s pertencem a Kα então µ também pertence.

Usando o Teorema da Decomposição Ergódica vamos definir o conjunto
K := {µ ∈ I; µx ∈ Kα para µ − q.t.p}.
Definição 3.3. Dizemos que a transformação f é não-uniformemente
expansora com respeito à µ se
n−1

lim sup
n

1X
log ||Df (f j (x))−1 || ≤ −4c,
n j=0

para algum c > 0. Neste caso, diz-se que a medida µ é f -expansiva com expoente
c.
Usaremos no próximo resultado o seguinte fato que decorre diretamente do
Teorema Ergódico de Birkhoff: se f preserva à probabilidade ergódica µ então
para todo conjunto mensurável A vale
n−1

1X
χA (f j (x)) = µ(A),
n→∞ n
j=0
lim

para µ-quase todo ponto x ∈ A.
46

Lema 3.2. Toda medida µ ∈ K é f -expansiva com expoente c.
Demonstração. Suponhamos que µ ∈ K é uma medida ergódica. Pela
definição de K, temos que µ(V ) ≤ α e logo pelo Teorema Ergódico existe A ⊂ M
com µ(A) = 1 e para todo x ∈ A vale
n−1

1X
χV (f j (x)) ≤ α,
n→∞ n
j=0
lim

i.e, o tempo de permanência da órbita de x em V é aproximadamente α. Por
outro lado,
n−1

1X
1
log ||Df (f j (x))−1 || =
n j=0
n

X

log ||Df (f j (x))−1 || +

f j (x)∈V

1
n

X

log ||Df (f j (x))−1 ||.

f j (x)∈V c

Usando a hipótese H1, para todo x ∈ A, vale:
n−1

1X
1
log ||Df (f j (x))−1 || ≤ log{(1 + δ0 )nα (1 + δ1 )−n(1−α) } ≤ −4c,
n j=0
n
pelo comentário no inicio da seção.
Para finalizar, seja H o conjunto dos x ∈ M tais que vale o resultado. Usando
o fato que toda µ em K é combinação convexa de medidas ergódicas µx em Kα ,
temos, pelo caso anterior, µx (H) = 1 para µ-q.t.p. Portanto, pelo Teorema da
Decomposição Ergódica, temos
Z
µ(H) =

µx (H)dµ = 1.


Definição 3.4. Dizemos que n ∈ N é um tempo hiperbólico para x ∈ M com
expoente c se para todo j = 1, ..., n vale:
j
Y

||Df (f n−k (x))−1 || ≤ e−2cj .

k=1

O resultado seguinte é um fato totalmente algébrico, mas que nos auxilia na
busca por tempos hiperbólicos.

47

Lema 3.3 (Pliss). Dados A ≥ c2 > c1 > 0, seja θ0 =

c2 − c1
. Se a1 , ..., an
A − c1

são números reais tal que ai ≤ A, i = 1, ..., n e
n
X

ai ≥ c2 n,

i=1

então existem um inteiro l > θ0 n e inteiros 1 < n1 < ... < nl ≤ n, tal que para
todo 0 ≤ k ≤ ni e i = 1, ..., l, vale:
ni
X

aj ≥ c1 (ni − k).

j=k+1

Demonstração. Ver [ABV00], página 15.


Corolário 3.1. Se µ é uma medida f -invariante e f -expansiva com expoente
c, então existe um conjunto de medida total H tal que:
1. Todo x ∈ H possui infinitos tempos hiperbólicos ni = ni (x) com expoente
c, i.e,
j
Y

||Df (f n−k (x))−1 || ≤ e−2cj

(3.1)

k=1

para todo 1 ≤ j ≤ ni
2. A densidade dos tempos hiperbólicos é limitada por baixo, i.e, existe
d0 = d0 (c) > 0 tal que
lim inf
n

]{i; 1 ≤ ni ≤ n}
≥ d0 .
n

Demonstração. Pela definição de medida f -expansiva, existe H tal que
µ(H) = 1 e para todo x ∈ H vale
n−1

lim sup
n→∞

1X
log k Df (f j (x))−1 k≤ −4c.
n j=0

Portanto, se n é suficientemente grande, temos
n−1
X

(− log k Df (f j (x))−1 k) ≥ 3cn.

j=0

48

Consideremos os valores A = sup (− log k Df (x)−1 k), c2 = 3c, c1 = 2c e
x∈M

ai = − log k Df (i−1) (x) k. Com essas escolhas estamos nas condições do Lema
c
n e inteiros 1 < n1 < ... < nl ≤ n tais que
3.3. Assim, existem l >
A − 2c
ni
X

log k Df (f (j−1) (x))−1 k ≤ −2c(ni − n),

j=n+1

com 0 ≤ n < ni e i = 1, ..., l.
Portanto,
j
Y

||Df (f ni −k (x))−1 || ≤ e−2cj ,

k=1

com 1 ≤ j ≤ ni e i = 1, ..., l.
Para finalizar, seja d0 =

c
e observe que l = ]{i : 1 ≤ ni ≤ n}, donde
A − 2c

concluímos que
lim inf
n→∞

1
]{i : 1 ≤ ni ≤ n} ≥ d0 .
n

Isto encerra o resultado.

Lema 3.4. Existe δ > 0 dependendo apenas de f e c tal que dados n tempo
−j
hiperbólico de x e 1 ≤ j ≤ n, o ramo inverso fx,n
de f −j que envia f n (x) em

f n−j (x) é definido sobre a bola de raio δ centrada em f n (x), e satisfaz
c

−j
−j
d(fx,n
(z), fx,n
(w)) ≤ e− 2 j d(z, w), ∀z, w ∈ Bδ (f n (x)).

Demonstração. Vamos iniciar provando um resultado que vai nos auxiliar
bastante. Considere a função H(x) = log k Df (f −1 (x))−1 k. Observe que H é
c
uniformemente contínua sobre M . Daí, dado o número , existe δ > 0, o qual
2
escolhemos menor que 0 dado no Lema 2.1, satisfazendo
c

k Df (f −1 (η))−1 k≤ e 2 k Df (f −1 (ξ))−1 k, ∀η, ξ ∈ M com d(η, ξ) < δ.

(3.2)

Agora, usando o processo de indução provaremos o Lema. Seja j = 1. Para
cada y ∈ Bδ (f n (x)) vale
c

k Df (f −1 (y))−1 k≤ e 2 k Df (f n−1 (x))−1 k .
Visto que n é tempo hiperbólico de x, temos
c

k Df (f −1 (y))−1 k≤ e− 2 .
49

Sejam z, w ∈ Bδ (f n (x)) e γ uma curva minimizante ligando z à w em Bδ (f n (x)).
Vale,
−1
−1
d(fx,n
(z), fx,n
(w)) ≤

Z 1

k (f −1 ◦γ(t))0 k dt ≤

0

Z 1

k Df (f −1 (γ(t)))−1 kk γ 0 (t) k dt

0
c

≤ e− 2 d(z, w).
Suponha então que para j > 1 vale
(i)

j
Y

c

k Df (f −k (y))−1 k≤ e 2 j

k=1

j
Y

k Df (f n−k (x))−1 k, ∀y ∈ Bδ (f n (x)).

k=1
− 2c j

−j
−j
(ii) d(fx,n
(z), fx,n
(w)) ≤ e

d(z, w), ∀z, w ∈ Bδ (f n (x)).

Devido ao item (ii) é da hipótese de indução, é valido que
c

−j
n−j
d(fx,n
(y), fx,n
(x)) ≤ e− 2 j d(y, f n (x)) < δ, ∀y ∈ Bδ (f n (x)).

Daí, pela estimativa em (3.2), vale
c

k Df (f −(j+1) (y))−1 k≤ e 2 k Df (f n−(j+1) (x))−1 k .
Segui-se então que
j+1
Y

c

k Df (f −k (y))−1 k≤ e 2 (j+1)

k=1

j
Y

c

k Df (f n−k (x))−1 k≤ e− 2 (j+1) ,

k=1

onde usamos que n é tempo hiperbólico de x.
−j
está bem definido
Devido ao item (i) do Lema 2.1, o ramo inverso fx,n

na bola de raio δ centrada em f n (x). Considere a curva γ minimizante, em
Bδ (f n (x)), ligando z à w.
−(j+1)
−(j+1)
d(fx,n
(z), fx,n
(w)) ≤

Z 1

c

k Df −(j+1) (γ(t)) kk γ 0 (t) k dt ≤ e− 2 (j+1) d(z, w).

0

Portanto o Lema esta provado.


50

3.2

Existência de Estados de Equilíbrio para
transformações tipo 1

Definição 3.5. Dado  > 0, definimos o conjunto
A (x) := {y ∈ M ; d(f n (x), f n (y)) ≤  para n ≥ 0}.
Lema 3.5. Se µ ∈ K e δ é dado pelo Lema 3.4, então para µ-q.t.p e  < δ vale
A (x) = {x}.
Demonstração. Pelo Corolário 3.1, existe H ⊂ M com medida total tal
que todo x ∈ H possuem infinitos tempos hiperbólicos ni (x). Pelo Lema 3.4, se
z ∈ A (x) com  < δ, então
d(x, z) ≤ e(−c/2)ni d(f ni (x), f ni (y)) ≤ e(−c/2)ni .
Como x possui infinitos tempos hiperbólicos, podemos fazer eles tenderem ao
infinito e concluir que x = z.

Seja δ > 0 dado no Lema 3.4.
Corolário 3.2. Se P é partição de M tal que
diam(P) < δ,
então P é f -geradora com respeito a qualquer medida pertencente a K.
Demonstração. Consideremos
P n = {C (n) = Pi0 ∩ f −1 (Pi1 ) ∩ ... ∩ f −(n−1) (Pin−1 )}.
Seja P n (x) os elementos de P n que contém x. Usando o Lema 3.5 podemos
garantir que lim diam P n (x) = 0.
n→∞

Agora, dados A mensurável e  > 0, considere K1 ⊂ A e K2 ⊂ Ac conjuntos


compactos tais que µ(K1 ∆A) < e µ(K2 ∆Ac ) < . Seja r := dist(K1 , K2 ).
4
4
Escolha n suficientemente grande de forma que para todo x em um conjunto

com medida maior que 1 − vale
4
r
diamP (n) (x) < .
2
51

(n)

(n)

(n)

Sejam C1 , ..., Cm em P (n) tais que intersectem K1 . Observe que os Ci ’s
são disjuntos de K2 . Portanto,
µ(A∆

m
[

(n)

Ci ) ≤ µ(A \ K1 ) + µ(Ac \ K2 ) +

i=1


< .
4

Isto completa a prova.

Corolário 3.3. Para toda µ ∈ K e P partição com diâmetro menor que δ vale
hµ (f ) = hµ (f, P).
Demonstração. Decorre diretamente do Corolário 3.2 e do Teorema de
Kolmogorov-Sinai.

Lema 3.6. Se η é uma medida ergódica e não pertencente a K, então existe
ρ < 1, independente de η, tal que
hη (f ) ≤ ρhtop (f ).
Demonstração. Como η é ergódica e pertence a K então η(V ) > α. Sejam
λ1 (x) ≥ ... ≥ λs (x) ≥ 0 > λs+1 (x) ≥ ... ≥ λl (x) os expoentes de Lyapunov em
x. Pelo Teorema de Oseledets,
l
X

Z
log | det Df (x)|dη(x) =

λi (x)

i=1

e l(x), λ1 (x), ..., λl (x) são constantes em η-q.t.p.
Afirmação: λl ≥ − log(1 + δ0 ).
Prova.

Para todo v ∈ El (x) e |v| = 1 vale
λl = lim

1

n→∞ n

log ||Df n (x)v|| ≥ lim

1

n→∞ n

log ||Df n (x)−1 ||−1 .

Usando a regra da cadeia temos
n

−1

Df (x)

=

n−1
Y

!−1
i

Df (f (x))

i=0

=

n−1
Y
j=0

52

Df (f n−j (x))−1 .

(3.3)

Substituindo em (3.3) temos
n−1
n−1
Y
Y
1
1
log ||
log
Df (f n−j (x))−1 || ≥ − lim
||Df (f n−j (x))−1 ||.
n→∞ n
n→∞ n
j=0
j=0

λl ≥ − lim

Usando que ||Df (x)−1 || ≤ (1 + δ0 ) temos
n−1

1X
log(1 + δ0 ) = − log(1 + δ0 ).
n→∞ n
j=0

λl ≥ − lim

Vamos terminar a demonstração do Teorema. Sabemos pela desigualdade
de Ruelle que

hη (f ) ≤

s
X

Z
log | det Df (x)|dη(x) −

λi =

i=1

l
X

λi .

i=s+1

Como η(V ) > α e por H3 vale m2 < M2 . Logo

Z
hη (f ) ≤

log | det Df (x)|dη(x)−

l
X

λi ≤ η(V )m2 +η(V c )M2 +(l−s) log(1+δ0 )

i=s+1

≤ η(V )m2 +(1−η(V ))M2 +(l−s) log(1+δ0 ) ≤ η(V )m2 +(1−η(V ))M2 +l log(1+δ0 )
Afirmação. η(V )m2 + (1 − η(V ))M2 < αm2 + (1 − α)M2 .
Com efeito, basta observar que a desigualdade é equivalente ao produto
(α − η(V ))(m2 − M2 ) > 0.
Daí temos que:
hη (f ) < αm2 + (1 − α)M2 + l log(1 + δ0 ).

(3.4)

Seja µ0 uma medida ergódica, absolutamente contínua com respeito a Leb, f invariante construída no Teorema 4.3 (ver Apêndice).
Como Lebesgue quase todo ponto passa no máximo uma fração de tempo
γ0 em Bp+1 ∪ ...Bp+q ⊃ W , temos µ0 (W ) ≤ γ0 .
Usando que f é C 1,κ e µ0 é absolutamente contínua com respeito a Leb
temos pela fórmula de Pesin que
Z
hµ0 (f ) =

log | det Df (x)|dµ0 (x) −

l
X

λi ≥ µ0 (W ) + (1 − µo (W ))M1 .

i=s+1

Usando que µo (W ) ≤ γ0 e m1 ≤ M1 vale
µ0 (W )m1 + (1 − µ0 (W ))M1 ≥ γ0 m1 + (1 − γ0 )M1 .
53

Daí,
hµ0 (f ) ≥ γ0 m1 + (1 − γ0 )M1 .
Ajustando os valores de α, β e δ0 podemos garantir que
αm2 + (1 − α)M2 < γ0 m1 + (1 − γ0 )M1 − l log(1 + δ0 ),
e assim podemos obter ρ < 1 tal que
αm2 + (1 − α)M2 + l log(1 + δ0 ) ≤ ρ(γ0 m1 + (1 − γ0 )M1 ).
Portanto concluímos que:
hη (f ) ≤ ρ(γ0 m1 + (1 − γ0 )M1 ) ≤ ρhµ0 (f ) ≤ ρhtop (f ).

Corolário 3.4 (Princípio Variacional para medidas expansivas). Se ϕ é
uma função contínua com ρ-variação, então


Z
P (ϕ) = sup hν (f ) + ϕdν .
ν∈K

Em particular,
htop (f ) = sup hν (f ).
ν∈K

Demonstração. Denotemos por E o conjunto de probabilidades invariantes
e ergódicas. Vamos provar que




Z
Z
sup hν (f ) + ϕdν = sup hν (f ) + ϕdν ,
ν∈K

(3.5)

ν∈E

pois


Z
P (ϕ) = sup hν (f ) + ϕdν .
ν∈E

Para provar (3.5), observe que se ν ∈ Kc vale pelo Lema 3.6 que
Z
hν (f ) + ϕdν ≤ ρhtop (f ) + max ϕ(x).
x∈M

Sendo válido para toda a ν, temos que


Z
sup hν (f ) + ϕdν ≤ ρhtop (f ) + max ϕ(x) < P (ϕ).
x∈M

ν∈Kc



54

Demonstração do Teorema 3.1. Devido ao Corolário 3.4 vale que


Z
sup hν (f ) + ϕdν = P (ϕ).
ν∈K

Então, consideremos uma sequência {µn } realizando o supremo. Sem perda de
generalidade podemos assumir que µn → µ, na topologia fraca*. Afirmamos
que µ é um estado de equilíbrio e pertence a K.
Com efeito, fixe uma partição P com diâmetro menor que δ (dado no Lema
3.4), tal que µ(∂P ) = 0 para todo P ∈ P. Sendo µn elemento de K, vale pelo
Corolário 3.3 que hµn (f ) = hµn (f, P).
Daí,





Z
Z
P (ϕ) = lim sup hµn (f ) + ϕdµn = lim sup hµn (f, P) + ϕdµn
n→∞

n→∞

Z
≤ hµ (f, P) +

Z
ϕdµ ≤ hµ (f ) +

ϕdµ ≤ P (ϕ).

onde usamos a semi-continuidade da aplicação ν 7−→ hν (f, P) na primeira
desigualdade.
Donde,
Z
P (ϕ) = hµ (f ) +

ϕdµ.

Vamos provar agora que se η é tal que P (ϕ) = hη (f ) +

R

ϕdη, então η ∈ K.

De fato, usando o Teorema da Decomposição Ergódica, definamos o conjunto
Ω = {x ∈ M : ηx ∈ Kα }. Precisamos mostrar que η(Ω) = 1. Suponha, por
absurdo, que η(Ωc ) > 0 e seja y ∈ Ωc . Então, pela demonstração do Corolário
3.4, vale
Z
hηy (f ) +

ϕdηy < P (ϕ).

Usando o fato que
Z
hη (f ) =

hηx (f )dη(x)

(ver [Ke98], página 75), temos que

Z
Z 
Z
hη (f ) + ϕdη =
hηx (f ) + ϕdηx dη(x).
Daí,
Z
hη (f ) +

ϕdη < P (ϕ),

contradizendo o fato que η satisfaz a igualdade.
Portanto η(Ω) = 1, i.e, η ∈ K.
55



3.3

Estados de Equilíbrio para transformações
tipo 2

Vamos considerar durante toda essa seção um difeomorfismo local de classe
C 1 , f : M → M , sobre uma variedade riemanniana compacta, conexa e ddimensional.
Vamos denotar por p o grau da transformação f , i.e, o número ]f −1 (x), o
qual independe de x (ver Lema 2.1).
Definição 3.6. Defina o número Ck (f ) como sendo o máximo sobre M da
norma do k-ésimo produto exterior da diferencial de f , i.e,
Ck (f ) := max k Λk Df (x) k .
x∈M

Uma transformação f : M → M é dita tipo 2 quando existe ρ = ρ(f ) < 1 tal
que
max log Ck (f ) ≤ ρ log p.

1≤k<d

Definição 3.7. Uma função contínua φ : M → R é dita uma função de ρvariação baixa se vale
max φ(x) < P (φ) − ρ log p,
x∈M

com 0 < ρ < 1.
O resultado principal nesta seção é
Teorema 3.2 (—, Oliveira, Viana - 2005). Se f é uma transformação tipo
2, então existe ao menos um estado de equilíbrio com respeito ao par (f, φ),
para toda função φ de ρ-variação baixa (ρ = ρ(f ) > 0).
Vamos agora desenvolver alguns resultados que nos auxiliarão na prova do
nosso resultado.

56

Iniciamos comentando um pouco sobre os argumento de Oseledets no seu
trabalho [Os68]. Seja µ uma probabilidade f -invariante, então Oseledets provou
a existência de um conjunto de µ medida total tal que para todo ponto x neste
conjunto vale: existem um k = k(x) ≥ 1, uma filtração
Tx M = Fx1 ⊃ Fx2 ⊃ ... ⊃ Fxk ⊃ Fxk+1 = {0},
e números λ1 (x) > ... > λk (x) tal que Df (x)Fxi = Ffi (x) que satisfazem a
seguinte propriedade
λi (x) = lim

1

n→∞ n

log k Df n (x)v k,

para todo v ∈ F x − Fxi+1 , i = 1, ..., k.
Os números λi (x) são conhecidos como expoentes de Lyapunov de f no ponto
x. Abusando um pouco da notação, denotaremos os expoentes de Lyapunov de
f no ponto x por λ1 (x) ≥ ... ≥ λd (x), onde cada número é contado de acordo
com sua multiplicidade.
Na literatura também existe os expoentes de Lyapunov da transformação f
R
os quais são definidos por λi := M λi (x) dµ. No artigo [Os68] prova-se que se
µ é ergódica então vale que λi = λi (x) em µ-q.t.p.
Vamos comentar agora sobre a noção de k-produto exterior de uma aplicação
linear entre espaços vetoriais (ver [Fl63], páginas 5 - 18). Para tanto vamos
considerar V um espaço vetorial de dimensão finita . O k-ésimo produto exterior
de V , Λk V , com k ≥ 1, é por definição o conjunto gerado pelo produto vetorial
v1 ∧...∧vk de vetores v1 , ..., vk em V . Assumindo que V é dotado de um produto
interno, podemos dotar o espaço vetorial Λk V com um produto interno de tal
maneira que k v1 ∧ ... ∧ vk k é exatamente o volume do paralepípedo gerado por
v1 , ..., vk em V . Consideremos agora uma aplicação linear S : V → V . S induz
de maneira natural uma aplicação linear Λk S : Λk V → Λk V tal que
Λk S(v1 , ..., vk ) = Sv1 ∧ ... ∧ Sk .
Um fato bastante interessante na aplicação definida a partir de S é que seus
autovalores são exatamente o produto de k autovalores distintos de S, onde os
autovalores são contados de acordo com sua multiplicidade.
Da mesma forma que os autovalores, existe uma relação entre os expoentes
de Lyapunov de Λk S e de S. Mais precisamente, os expoentes de Lyapunov de
Λk S são soma de k distintos expoentes de Lyapunov de S.
57

Portanto, se f é uma transformação tipo 2, existe ρ < 1 tal que
λi1 + ... + λik ≤ log Ck (f ) ≤ ρ log p,
para todo conjunto de índices 1 ≤ i1 < ... < ik < d.
Vamos agora definir um subconjunto de probabilidades f -invariantes nos
quais vamos garantir que lá podemos encontrar estados de equilíbrio.
Para tanto vamos fazer uso do Teorema da Decomposição Ergódica (ver
[Ke98]) e do número c(f ) := ρ log p − max log Ck (f ).
1≤k<d

Definição 3.8. Definimos o conjunto
K := {µ ∈ I : µx tem todos expoentes de Lyapunov ≥ 8c, para µ − q.t.p},
onde c =

1
c(f ).
8

Lema 3.7. Fixada µ ergódica em K , existe N ∈ N tal que f N tem densidade
positiva de tempos hiperbólicos para µ-q.t.p.
Demonstração. Pela definição de K garantimos que para quase todo ponto
x existe n0 (x) ≥ 1 tal que
k Df n (x)w k≥ e6cn k w k,
para todo w ∈ Tx M e todo n ≥ n0 (x), i.e,
k Df n (x)−1 k≤ e−6cn ,
para todo n ≥ n0 (x).
Consideremos a sequência αn := µ({x ∈ M : n < n0 (x)}). Observe que
a sequência converge a zero quando n tende ao infinito. Visto que f é um
difeomorfismo local, existe K > 0, tal que k Df (x)−1 k≤ K, para todo x ∈ M .
Vejamos os seguintes cálculos
Z
Z
n
−1
log k Df (x) k dµ =

n

−1

log k Df (x)

{x:n<n0 (x)}

M

Z
k dµ+

log k Df n (x)−1 k dµ

{x:n≥n0 (x)}

≤ −6cn + nαn log K,
pois k Df n (x)−1 k≤

n−1
Y

k Df (f j (x))−1 k≤ K n . Daí, se N é suficientemente

j=0

grande vale
Z

log k Df N (x)−1 k dµ ≤ −4c.

M

58

Usando que µ é ergódica temos que
n−1

1X
lim sup
log ||Df N (f jN (x))−1 || =
n j=0
n

Z

log k Df N (x)−1 k≤ −4c < 0.

M

Usando o Corolário 3.1 item 2 finalizamos o resultado.


3.4

Existência de Estados de Equilíbrio para
transformações tipo 2

Provaremos agora o resultado que garante que toda medida µ em K possui
uma partição geradora comum.
Lema 3.8. Seja µ pertence a K. Se U é uma partição com diâmetro menor que
δ (ver Lema 3.4), então para µ quase todo x em M vale lim diam U (n) (x) = 0.
n→∞

Em particular, U é uma partição f -geradora com respeito à µ.
Demonstração. Pelo Lema 3.7 garantimos um N ≥ 1 tal que f N tem
densidade positiva de tempos hiperbólicos para µ-q.t.p.
Definamos
V (k) :=

k−1
_

f −jN (U), k ≥ 1.

j=0

Pelo Lema 3.4, se k é tempo hiperbólico para f N , então diamV (k) (x) ≤
c

e− 2 kN . Daí, diamV (k) (x) é decrescente e converge a zero. Visto que vale
U (kN ) (x) ⊂ V (k) (x), para todo k, e o diâmetro de U (n) (x) é decrescente em
n, então lim diam U (n) (x) = 0, para µ quase todo x em M .
n→∞

A demonstração de ser f -geradora é idêntica a demonstração do Corolário
3.2.

Corolário 3.5. Para toda µ em K e U partição com diâmetro menor que δ vale
hµ (f ) = hµ (f, U).
Demonstração. Basta aplicar o Lema 3.8 e o Teorema de KolmogorovSinai.

59

O próximo resultado garante que medidas ergódicas não pertencentes a K
tem entropia "pequena".
Lema 3.9. Se µ ∈ Kc e é ergódica, então hµ (f ) ≤ ρ log p.
Demonstração. Pela definição de K temos que λd < c < c(f ). Usando
que f é do tipo 2 temos que
k
X

λi ≤ log Ck (f ),

i=1

para 1 ≤ k < d.
Usando a desigualdade de Ruelle temos
Z X
hµ (f ) ≤
λi dµ ≤ c(f ) + max log Ck (f ) = ρ log p.
1≤k<d

M i:λ >0
i


O resultado seguinte garante que na busca por estados de equilíbrio podemos
nos restringir ao conjunto K definido anteriormente.
Corolário 3.6 (Princípio Variacional em K). Se φ : M → R tem ρ-variação
baixa, então
P (φ) = sup Pφ (µ).
µ∈K

Em particular,
htop (f ) = sup hµ (f ).
µ∈K

Demonstração. Denotemos por E o conjunto de probabilidades invariantes
e ergódicas. Vamos provar que




Z
Z
sup hν (f ) + φdν = sup hν (f ) + φdν ,
ν∈K

ν∈E

pois


Z
P (φ) = sup hν (f ) + φdν .
ν∈E

Para provar (3.6), observe que se ν ∈ Kc vale pelo Lema 3.9 que
Z
hν (f ) + φdν ≤ ρ log p + max φ(x).
x∈M

60

(3.6)

Sendo válido para toda à ν, temos que


Z
sup hν (f ) + φdν ≤ ρ log p + max φ(x) < P (φ).
x∈M

ν∈Kc


Demonstração do Teorema 3.2. Devido ao Corolário 3.6 vale que


Z
sup hν (f ) + φdν = P (φ).
ν∈K

Então, consideremos uma sequência {µn } realizando o supremo. Sem perda de
generalidade podemos assumir que µn → µ, na topologia fraca*. Afirmamos
que µ é um estado de equilíbrio e pertence a K.
Com efeito, fixe uma partição U com diâmetro menor que δ (dado no Lema
3.4), tal que µ(∂U ) = 0 para todo U ∈ U. Sendo µn elemento de K, vale pelo
Corolário 3.5 que hµn (f ) = hµn (f, U).
Daí,





Z
Z
P (φ) = lim sup hµn (f ) + φdµn = lim sup hµn (f, U) + φdµn
n→∞

n→∞

Z
≤ hµ (f, U) +

Z
φdµ ≤ hµ (f ) +

φdµ ≤ P (φ),

onde usamos a semi-continuidade da aplicação ν 7−→ hν (f, U).
Portanto,
Z
P (φ) = hµ (f ) +

φdµ.

Vamos provar agora que se η é tal que P (φ) = hη (f ) +

R

φdη, então η ∈ K.

De fato, usando o Teorema da Decomposição Ergódica, definamos o conjunto
Ω = {x ∈ M : ηx ∈ K}. Precisamos mostrar que η(Ω) = 1. Suponha, por
absurdo, que η(Ωc ) > 0 e seja y ∈ Ωc . Então, pelo Corolário 3.6, vale
Z
hηy (f ) + φdηy < P (φ).
Usando o fato que
Z
hη (f ) =

hηx (f )dη(x)

(ver [Ke98], página 75), temos que

Z
Z 
Z
hη (f ) + φdη =
hηx (f ) + φdηx dη(x).
61

Daí,
Z
hη (f ) +

φdη < P (φ),

contradizendo o fato que η satisfaz a igualdade.
Portanto η(Ω) = 1, i.e, η ∈ K.


62

Capítulo 4

Apêndice
Vamos aqui estabelecer resultados que nos possibilitem provar a existência
de medidas f - invariantes, ergódica, absolutamente contínuas com respeito a
Lebesgue e finitas.

4.1

Aplicação de 1o Tempo Hiperbólico

O resultado seguinte nos mostra o caminho para a existência de tempos
hiperbólicos para Lebesgue quase todo ponto em M .
Teorema 4.1. Dado um número real σ1 e inteiros p, q ≥ 1 com σ1 > q, então
existe ς0 > 0 tal que vale o seguinte: Se M é uma variedade com volume finito,
f : M → M é uma aplicação de classe C 1 , e {B1 , ..., Bp , Bp+1 , ..., Bp+q } é uma
cobertura de M por conjuntos mensuráveis tal que
1. |detDf (x)| ≥ σ1 para todo x ∈ Bp+1 ∪ ... ∪ Bp+q ;
2. f |Bi é injetiva para todo i = 1, 2, ..., p + q.
Então, quase todo ponto x ∈ M satisfaz
lim

1

n→∞ n

]{0 ≤ j < n : f j (x) ∈ B1 ∪ ... ∪ Bp } ≥ ς0

Demonstração. Fixe n ∈ N. Dado i = (i0 , ..., in−1 ) ∈ {1, ..., p, ..., p + q}n ,
denote
[i] = Bi0 ∩ f −1 (Bi1 ) ∩ ... ∩ f −n+1 (Bin−1 ).
Defina gn (i) = ]{0 ≤ j ≤ n − 1 : ij ≤ p}. Uma simples contagem nos dá que
X  n 
X  n 
k n−k
ς0 n n
]{i : gn (i) < ς0 n} ≤
p q
≤p q
.
k
k
k<ς0 n

k≤ς0 n

63

Utilizando uma aplicação da fórmula de Stirling (ver [BV00] ou [BDV05]),
obtemos γ > 0 tal que
X  n 
k≤ς0 n

k

≤ eγn

onde ς0 → 0 implica γ → 0.
Portanto
]{i : gn (i) < ς0 n} ≤ eγn pς0 n q n .
Vamos estimar agora a medida de Lebesgue de [i]:
Z
Z
Leb([i]) =
χBi0 ·χf −1 (Bi1 ) ·...·χf −n+1 (Bin−1 ) d(Leb) ≤
M

Y

M i ≥p+1

χf −ij (Bi ) d(Leb)
j

j

Z

−(1−ς0 )n

Y

≤

|detDf (x)|−1 d(Leb) ≤ σ1

Leb(M ).

M i ≥p+1
j

Seja In =

[

[i]. Vamos estimar a medida de Lebesgue de In :

gn (i)<ς0 n

Leb(In ) ≤

X

−(1−ς0 )n

Leb([i]) ≤ Leb(M )σ1

· ]{i : gn (i) < ς0 n}

gn (i)<ς0 n
−(1−0 ) γ ς0

≤ Leb(M )(σ1

e p q)n .

Por hipótese q < σ1 , logo podemos fixar ς0 > 0 suficientemente pequeno tal que
eγ pς0 q < σ11−ς0 . De fato, quando ς0 → 0 então σ1ς0 eγ pς0 q → q e também vale
σ1ς0 eγ pς0 q > q. Daí existe ς0 > 0 tal que vale o afirmado.
Concluímos assim que a medida de Lebesgue de In vai a zero
exponencialmente rápido.

Pelo Teorema de Borel-Cantelli (ver [Fer02]),

Lebesgue quase todo ponto x ∈ M pertence a um número finito de In ’s. Pela
definição dos In ’s concluímos o resultado.

O próximo resultado é o que garante a existência de infinitos tempos
hiperbólicos para Leb quase todo ponto na variedade M , e assim teremos a
possibilidade de construir a aplicação de primeiro tempo hiperbólico a que nos
permitirá construir as medidas que tanto almejamos.

64

Corolário 4.1. Nas condições do Teorema anterior, Leb-q.t.p possui infinitos
R
tempos hiperbólicos e além disso vale que M n1 (x)d(Leb)(x) é finita, onde n1 (x)
exatamente o primeiro tempo hiperbólico de x.
Demonstração. Consideremos o conjunto
In =

[

{[i] : ]{0 ≤ j < n; ij > p} > γ0 n},

onde [i] = Bi0 ∩ f −1 (Bi1 ) ∩ ... ∩ f −n+1 (Bn−1 ) e γ0 = 1 − ς0 .

Obtemos

anteriormente, no fim da demonstração do Teorema 4.1, que Leb(In ) decresce
exponencialmente rápido a zero.
Dado x ∈ Inc , consideremos
ak = log k Df (f k (x))−1 k .
Temos que
n−1



1
1
1X
aj ≤
log(1 + δ0 )γ0 n (1 + δ1 )−(1−γ0 )n ≤
log(1 + δ0 )αn (1 + δ1 )−(1−α)n
n j=0
n
n
≤ log(1 + δ0 )(1 + δ1 )−(1−α) ≤ −4c.
Consideremos os valores, A = sup − log k Df (y)−1 k, c2 = 3c e c1 = 2c.
y∈M

Observem que estamos nas condições do Lema 3.3. Portanto garantimos que
c
existem inteiros 1 < n1 < ... < nl ≤ n, com l >
n, tal que para
A − 2c
0 ≤ k ≤ ni , i = 1, ..., l, vale
ni
X

aj ≤ −2c(ni − k).

j=k+1

Portanto x possui infinitos tempos hiperbólicos. Como a união dos Inc ’s tem
Lebesgue medida total, temos que Leb-q.t.p possui infinitos tempos hiperbólicos.
Agora, consideremos os conjuntos
Hk := {x ∈ M : k é o primeiro tempo hiperbólico} e Ln :=

[

Hk .

k≥n

Pelos cálculos anteriores conclui-se que Inc ⊂ Lcn , i.e, Ln ⊂ In , para n
suficientemente grande. Daí, Leb(Ln ) decresce exponencialmente rápido, em
outras palavras, existem K > 0 e d > 0 tal que
Leb(Ln ) ≤ Ke−dn , ∀n > n0 .
65

Finalmente,
Z
n1 (x)d(Leb)(x) =
M

∞
X

nLeb(Hn ) =

n=1

∞
X

Leb(Ln ) ≤ Cte < ∞.

n=1


Lema 4.1. Se f : M → M é uma aplicação C 1,κ , então ψ : M → R definida
por ψ(x) = − log | det Df (x)| é uma função C 0,κ .
Demonstração. Visto que M é compacta e − log | det | é localmente
Lipschitz, concluí-se que − log | det | é Lipschitz sobre Df (M ). Donde, usando
que Df ∈ C 0,κ , temos
|ψ(x) − ψ(y)| ≤ C k Df (x) − Df (y) k≤ Cd(x, y)κ ,
para todo x, y ∈ M .

−n
(Bδ (f n (x))), para x ∈ M , são
Definição 4.1. Os conjuntos Vn (x) = fx,n

chamados de pré-bolas hiperbólicas.
Teorema 4.2. Para todo z, y ∈ Vn (x), vale
C −1 ≤

|detDf n (z)|
≤ C.
|detDf n (y)|

Demonstração. Vamos fazer os seguintes cálculos:
n−1

|detDf n (z)| X
i
i
log
=
log
|detDf
(f
(z))|
−
log
|detDf
(f
(y))|
|detDf n (y)|
i=0

≤C

n−1
X
i=0

i

i

κ

d(f (z), f (y)) ≤ C

n−1
X

e

−ckj
2

!
d(f n (z), f n (y))κ =

i=0

C
−ck

1−e 2

(diam(M ))κ =: B,

onde usamos o Lema 3.4 na segunda desigualdade.
Consideremos C = eB , então
|detDf n (z)|
≤ C.
|detDf n (y)|
Para obter a desigualdade inferior basta trocar os papéis de z e y.

66

Relembre que obtemos no Corolário 4.2 um conjunto de medida de Lebesgue
total o qual todos elementos possuem infinitos tempos hiperbólicos, denotemos
esse conjunto por H. Defina, a aplicação induzida pelo tempo hiperbólico,
F : H → H por
F (x) := f n1 (x) (x) = f n (x), se x ∈ Hn .

Observação: F é injetiva sobre as pré-bolas hiperbólicas Vn1 (.) (.). Mais
geralmente, dado k ≥ 1 e x ∈ H existe pré-bola hiperbólica na qual F k é
injetiva.
Com essas notações, estamos aptos a provar o seguinte resultado
Lema 4.2. Existe K1 > 0 dependendo apenas de f , tal que para todo k ≥ 1,
todo ramo inverso Fx−k e todo A, B no domínio de Fx−k vale
K1−1

Leb(Fx−k (A))
Leb(A)
Leb(A)
≤
≤ K1
.
−k
Leb(B)
Leb(B)
Leb(Fx (B))

(4.1)

Demonstração. Seja G = Fx−k . Pela definição de Jacobiano, temos
R
|detDf nk (x)|d(Leb)
Leb(A)
G(A)
≤R
Leb(B)
|detDf nk (x)|d(Leb)
G(B)
Pelo Teorema 4.2 vale
Leb(Fx−k (A))
Leb(A)
≤ C2
.
Leb(B)
Leb(Fx−k (B))
Basta tomar K1 = C 2 para encerrar o resultado.


67

4.2

Existência de Medidas em Kα

Vamos agora utilizar os resultados provados anteriormente para construir
uma medida que pertença ao conjunto Kα .
Lema 4.3. Todo ponto de acumulação da sequência
n−1

µn :=

1X j
F (Leb)
n j=0 ∗

(4.2)

é uma medida F -invariante e absolutamente contínua com respeito a Lebesgue.
Demonstração. Seja µF um ponto de acumulação da sequência (4.2). Seja
u ∈ C 0 (M ), vale
Z

Z
Z
Z
1
n
(u ◦ F )d(Leb) − ud(Leb) .
(u ◦ F )dµn = udµn +
n
Visto que k u k∞ < ∞, então
Z

Z
(u ◦ F )dµF =

udµF .

Portanto µF é F -invariante.
Dados A um conjunto com diâmetro menor do que δ e B uma bola de raio
δ
, onde δ é dado no Lema 3.4, vale pela estimativa (4.1) que
4
Leb(Fx−k (A))
Leb(A)
≤ K1
.
−k
Leb(B)
Leb(Fx (B))
Somando sobre todos os ramos inversos de F −1 obtemos
Leb(F −k (A))
Leb(A)
≤ K1
.
Leb(F −k (B))
Leb(B)
Seja W := inf{Leb(B) : B é bola de raio 4δ } > 0. Então,
Leb(F −k (A)) ≤ K2 Leb(A),
com K2 = K1 W −1 .
Decorre desta última desigualdade que µF é absolutamente contínua com
respeito a Lebesgue.


68

Relembremos que Hk é o conjunto dos pontos que possuem k como primeiro
tempo hiperbólico e H0 = M . Defina a medida
∞ X
∞
X

µf (A) :=

µF (f −n (A) ∩ Hi ),

n=0 i=n+1

A ⊂ M mensurável.
Lema 4.4. A medida µf é f -invariante, finita e absolutamente contínua com
respeito a Lebesgue.
Demonstração. Seja A ⊂ M mensurável
µf (f −1 (A)) =

∞ X
∞
X

µF (f −(n+1) (A) ∩ Hi ) =

n=0 i=n+1

=

∞ X
∞
X

∞ X
∞
X

µF (f −n (A) ∩ Hi )

n=1 i=n

µF (f −n (A) ∩ Hi ) +

n=1 i=n+1

∞
X

µF (f −n (A) ∩ Hn ).

n=1

Devido ao Corolário 4.2, {Hi } forma uma partição mod 0 de M . Daí,
µF (A) =

∞
X

µF (A ∩ Hi ),

i=1

e usando a invariância de µF temos
µF (A) = µF (F −1 (A)) =

∞
X

µF (F −1 (A) ∩ Hi ) =

i=1

∞
X

µF (f −i (A) ∩ Hi ).

i=1

Donde
µf (f −1 (A)) =

∞ X
∞
X

µF (f −n (A) ∩ Hi ) +

n=1 i=n+1

=

∞
X

∞
X

∞
X

µF (f −n (A) ∩ Hn )

n=1

µF (f −n (A) ∩ Hi ) = µf (A).

n=0 i=n+1

Vamos mostrar agora que µf é absolutamente contínua com respeito a
Lebesgue.
Seja A tal que Leb(A) = 0. Então Leb(f −k (A)) = 0, com efeito se ocorresse
o contrário existiria B ⊂ f −k (A) satisfazendo Leb(B) > 0 e f k |B é injetiva. Daí
teríamos,
0 ≥ Leb(A) ≥ Leb(f −k (B)) =

Z

| det Df k (x)|d(Leb) ≥ σ1−k Leb(B) > 0.

B

Sendo assim, µF (f −k (A)) = 0, ∀k ≥ 0, e isto implica que µf (A) = 0. Donde
segue-se o resultado.
Finalmente vamos provar que µf é finita.
69

Vejamos os seguintes cálculos simples
µf (M ) =

∞ X
∞
X

µF (f −n (M ) ∩ Hi ) =

n=0 i=n+1

=

∞
X

∞ X
∞
X

µF (Hi )

n=0 i=n+1

µF (Hi ) +

i=1

∞
X

µF (Hi ) + ... +

i=2

∞
X

µF (Hi ) + ...

i=n

= µF (H1 ) + 2µF (H2 ) + ... + nµF (Hn ) + ...
≤ K2 Leb(H1 ) + 2Leb(H2 ) + ... + nLeb(Hn ) + ...
Z
=
n1 (x)d(Leb) < ∞.
M


Vamos agora construir uma medida que possui as mesmas propriedades de
µf mais a propriedade de ser ergódica.
Teorema 4.3. Existe ao menos uma probabilidade f -invariante, ergódica e
absolutamente contínua com respeito a Lebesgue.
Demonstração.

Visto que Lebesgue quase todo ponto possui infinitos

tempos hiperbólicos, sabemos que para toda partição P = {P1 , ..., Pl } em regiões
com diâmetro menor que δ (δ dado no Lema 3.4) vale diamP n (x) → 0, para

x em um conjunto com Leb-medida maior que 1 − . Fixe uma partição nas
4
condições anteriores tal que o interior de cada elemento dela é não vazio.
Relembre que H é o conjunto dos pontos com infinitos tempos hiperbólicos.
Considere Ã um conjunto invariante para µf tal que µf (Ã) > 0. O Corolário
4.2 garante que H tem µf medida total. Daí faz sentido trabalharmos com
A = Ã ∩ H em vez de Ã.
Como µf (A) > 0, podemos considerar x ∈ A um ponto de densidade para
Leb. Dado  > 0, existe R > 0 tal que se B é um conjunto aberto contendo x e
com diâmetro menor que R então,
Leb(B \ A)
< .
Leb(B)
Seja n(x) tempo hiperbólico suficientemente grande para que diamP n (x) < R.
Seja An um elemento de P n contendo x. Então vale
Leb(An \ A)
< .
Leb(An )
70

Sejam Ui(n) = f n (An ) e gn o ramo inverso de f −n que envia Ui(n) em An .
Aplicando o Lema 4.2 ao ramo inverso gn obtemos
Leb(Ui(n) \ A)
Leb(An \ A)
≤ K1
< K1 .
Leb(Ui(n) )
Leb(An )
Visto que P é finito, existe um índice i entre 1, ..., l tal que Leb(Ui \ A) = 0.
Daí, existem no máximo l conjuntos f -invariantes com medida de Lebesgue
positiva e disjuntos dois a dois. Assim, M é particionada em um número finito,
s ≤ l, de conjuntos invariantes A1 , ..., As minimais e com medida de Lebesgue
positiva.
Para finalizar, considere as probabilidades
µi (B) =

µf (B ∩ Ai )
, i = 1, ..., l.
µf (Ai )

As probabilidades µ0i s satisfazem o resultado.


71

Referências Bibliográficas
[Alv00] Alves,

J.F.

SRB

measures

for

non-hyperbolic

systems

with

multidimensonal expansion. Ann. Sci. École Norm. Sup, 33:1-32, 2000.
[ABV00] Alves, J.F., Bonatti, C., Viana, M. SRB mesures for partially
hyperbolic systems whose central direction is mostly expanding. Inventiones
Math., 140: 351-398, 2000.
[BDV05] Bonatti, C., Díaz, L.J., Viana, M. Dynamics beyond uniform
hyperbolicity. Springer Verlag, 2005.
[BV00] Bonatti, C., Viana, M. SRB mesures for partially hyperbolic systems
whose central direction is mostly contracting. Israel Journal of Math. 115:
157-193, 2000.
[BK81] Brin, M., Katok, A. On local entropy. Lectures Notes in Mathematics,
1007-Proceedings, 1981.
[Cr85] Craizer, M. Teoria ergódica das transformações expansoras. Informes de
matemática, IMPA, 1985.
[De] Deimling, K. Nonlinear function analysis, Springer Verlag.
[EG92] Evans, L.C, Gariepy, R.F. Measure theory and fine properties of
functions. CRC Press, 1992.
[El00] Lima, E.L, Curso de análise Vol. 2. Projeto Euclides, 6a edição, 2000.
[El03] Lima, E.L. Espaços métricos. Projeto Euclides, 3o edição, 2003.
[Fer02] Fernadez, R. Introdução à teoria da medida. Projeto Euclides. IMPA,
2002.

72

[Fl63] Flanders, H. Differential forms. Academic Press-London, 1963.
[Ke98] Keller, G. Equilibrium states in ergodic theory. Cambridge University
Press, 1998.
[Mañ] Mañé, R. Introdução a teoria ergódica. Projeto Euclides, IMPA, 1983.
[Ol03] Oliveira, K. Equilibrium states for non-uniformly expanding maps.
Ergodic Theory and Dynamical Systems, 23: 1891-1906, 2003.
[Ol05] Oliveira, K. Um primeiro curso sobre teoria ergódica com aplicações.
Publicações Matemática - IMPA, 2005.
[OV04] Oliveira, K., Viana, M. Thermodynamical formalism for open classes of
potentials and non-uniformly hyperbolics maps. preprint, 2004.
[OV05] Oliveira, K., Viana, M. Existence and uniqueness of maximizing
measures for robust classes of local diffeomorphisms. preprint, 2005.
[Os68] Oseledets,

V.I.

A

multiplicative

ergodic

theorem:

Lyapunov

characteristic numbers for dynamical systems. Trans. Moscow Math.
Society, 19: 197-231, 1968.
[Pe97] Pesin, Y.B. Dimension theory in dynamical systems. Chicago Lectures
in Mathematics Series, 1997.
[Rud81] Rudin, W. Real and complex analysis. McGraw-Hill, 2 Edition, 1981.
[Ru68] Ruelle, D. Statistical mechanics of a one-dimensional lattice gas. Comm.
Math. Phys. 9, 267-278, 1968.
[Wa82] Walters, P. An introduction to ergodic theory. Spring-Verlag, 1982.

73

Índice Remissivo
Aplicação de 1◦ tempo hiperbólico,

Princípio

67

variacional

para

transformações tipo 2, 60
Produto exterior, 57

Conjunto Kα , 46
Refinamento de partições, 12
Desigualdade de Ruelle, 16
Suporte de uma medida, 28
Entropia métrica, 13
Entropia topológica, 12

Tempos hiperbólicos, 47

Estados de equilíbrio, 20

Teorema

Existência de Estados de equilíbrio,

da

Decomposição

Ergódica, 11

20

Teorema de Birkhoff, 11
Teorema de Brin-Katok, 15

Fórmula da entropia, 32

Teorema de Kolmogorov-Sinai, 14

Fórmula de Pesin, 16

Teorema de Krylov-Bogolubov, 11

Fórmula de Rokhlin, 33

Teorema de Oseledets, 15

Funções Hölder-contínuas, 35

Topologia fraca*, 10
Topologicamente misturadora, 28

Jacobiano, 25

Transformação não-uniformemente
Lema de Pliss, 48

expansora, 46

Medida exata, 31

Transformação tipo 1, 45

Medida nice, 31

Transformações expansivas, 22
Transformações expansoras, 20

Pré-bola hiperbólica, 66

Transformações tipo 2, 56

Pressão topológica, 17
Princípio variacional, 14
Princípio Variacional para medidas
expansivas, 54

74
Matemática

Instituto de Matemática

Universidade Federal de Alagoas
