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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Curso de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado

Hipersuperfícies Mínimas Completas Estáveis
Com Curvatura Total Finita

Robério Batista da Rocha

Maceió, Brasil
30 de Março de 2010

ROBÉRIO BATISTA DA ROCHA

Hipersuperfícies Mínimas Completas Estáveis
com Curvatura Total Finita

Dissertação de Mestrado na área de
concentração de Geometria Diferencial submetida em 30 de março de
2010 à Banca Examinadora, designada pelo Colegiado do Programa
de Pós-Graduação em Matemática
da Universidade Federal de Alagoas,
como parte dos requisitos necessários
à obtenção do grau de mestre em
Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante

Maceió, Brasil
30 de Março de 2010

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale

R672h

Rocha, Robério Batista da.
Hipersuperfícies mínimas completas estáveis com curvatura total finita /
Robério Batista da Rocha, 2010.
99 f.
Orientador: Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2010.
Bibliografia: f. 97-98.
Índices: f. 99.
1. Ricci, Curvatura de. 2. Curvatura total finita. 3. Hipersuperfícies mínimas.
4. Morse, Índice de. 5. Operador de estabilidade. 6. Catenóide. 7. Segunda forma
fundamental. I. Título.
CDU: 514.772.2

Aos meus pais Delvani e José,
aos meus irmãos Emanuel, Rogério e Maura
e a minha querida esposa Maiara.

3

“A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito
de raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então,
na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida.”
Jacques Bernoulli

4

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, por ter me dado força, saúde, coragem e determinação
diante de tantas dificuldades que a vida nos oferece.
Aos meus pais Delvani e José pelo amor, carinho e dedicação. Bem como aos meus irmãos
Emanuel e Rogério por serem minha fonte de inspiração, e a minha irmã Maura pelo carinho
que sempre tivera por mim.
A todos os meus tios e primos que de algum modo me deram força para esta vitória. Em
especial, agradeço a Ivania e Ivone as quais estiveram sempre dispostas a me ajudar.
A minha esposa Maiara Souza Mendes, que com determinação, amor e carinho esteve
sempre ao meu lado me dando força e incentivo para chegar até o final deste trabalho.
Aos professores da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia e
aos colegas do mestrado em Matemática da UFBA. Em especial, aos professores Isaac Lázaro
e Enaldo Vergasta pela motivação, aos amigos João Paulo, Roberto, Teles e Wendell pelo
companheirismo e Ângela Soldatelli pelo apoio neste final de dissertação.
Ao professor Jorge Ferreira, pelo incentivo e pela confiança.
Ao meu orientador, Prof. Marcos Petrúcio, pela sua orientação, confiança, determinação e
por acreditar que eu seria capaz de ir até o final deste trabalho. Agradeço-o também por me
motivar a continuar na busca pelo conhecimento.

5

Ao professor Feliciano Vitório, que com muita competência, dedicação e paciência me
orientou no último capítulo, na correção e na apresentação deste trabalho. Agradeço-o ainda
por me incentivar a seguir nos estudos.
Aos professores Hilário Alencar e Jorge Herbert de Lira, pelas sugestões, correções e dicas
de escrita, bem como por concordarem em participar da banca.
Aos professores da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas e
aos colegas de mestrado em Matemática da UFAL. Em especial, ao professor Adán Corchó
pelo incentivo e pelo apoio como coordenador do programa e aos colegas Fábio, Kennerson,
Rodrigo, Viviane, Natália e Alex que estiveram sempre dispostos a me ajudar.
Ao Instituto Federal de Ciência e Tecnologia de Alagoas. Em especial, às direções e às
coordenações do campus Marechal Deodoro que com muita flexibilidade foram essenciais para
esta vitória. Bem como a todos os colegas de trabalho que direta ou indiretamente deram suas
contribuições.
Por fim, agradeço a todos que de alguma maneira contribuíram para que esse momento se
concretizasse.

6

RESUMO

O objetivo principal desta dissertação é apresentar alguns resultados importantes sobre
hipersuperfícies mínimas no espaço Euclidiano relacionados com o operador de estabilidade.
Inicialmente, apresentaremos as demonstrações das fórmulas da primeira e da segunda
variações da área bem como a demonstração da desigualdade de Simons. Estes resultados,
que são básicos da teoria, serão usados posteriormente. Em seguida, apresentaremos a
demonstração do teorema de do Carmo-Peng, o qual assegura que uma hipersuperfície mínima
completa estável imersa no espaço Euclidiano com a norma L2 da segunda forma fundamental
finita é um hiperplano. Incluiremos na dissertação um resultado análogo com a norma L3 da
segunda forma fundamental. Este último resultado foi provado por Li-Wei no caso em que a
hipersuperfície tem dimensão 3, mas notamos que a demonstração se aplica para 3 ≤ n ≤ 7.
Concluiremos apresentando alguns resultados sobre hipersuperfícies mínimas não estáveis
no R3 obtido por Fischer-Colbrie e López-Ros. Em particular, mostraremos que o catenóide e
a superfície de Enneper são as únicas superfícies mínimas completas e orientadas com índice
igual a um.

Palavras-chave: Curvatura de Ricci, Curvatura Total finita, Hipersuperfícies Mínimas,
Índice de Morse, Operador de Estabilidade, Catenóide, Segunda Forma Fundamental.
7

ABSTRACT

The main goal of this dissertation is to present some results on minimal hypersurfaces in
the Euclidean space related to the stability operator.
Initially, we will present the demonstrations of the formulas of first and second variations
of area and also the demonstration of the Simons’ inequality. These results (which are basic
results of the theory) will be used later. Next we will present the proof of the do Carmo-Peng’s
theorem showing that a complete stable minimal hypersurface immersed in the Euclidean
space with finite L2 norm of the second fundamental form is a hyperplane. We will include
in this dissertation a similar result with the L3 norm of the second fundamental form. This last
result was proved by Li-Wei in the case where the hypersurface has dimension 3, but we note
that proof applies to 3 ≤ n ≤ 7.
We will conclude by presenting some results on non-stable minimal hypersurfaces in R3
due to Fischer-Colbrie and Lopez-Ros. In particular, we will show that the catenoid and
Enneper’s surface are the only minimal complete orientable surfaces with index equal to one.

Keywords: Ricci Curvature, Finite Total Curvature, Minimal Hypersurfaces, Morse Index,
Stability Operator, Catenoid, Second Fundamental Form.

8

SUMÁRIO

Introdução

11

1

Preliminares
1.1 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Imersões Isométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Hipersuperfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
15
20
24
29

2

Variações de Área e Desigualdade de Simons
2.1 Primeira Variação da Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Segunda Variação da Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Desigualdade de Simons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
32
38
47

3

Hipersuperfícies Mínimas Completas Estáveis
56
2
3.1 Estimativas L da Norma da Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Estimativas L3 da Norma da Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . 63

4

Superfícies Mínimas com Índice Finito no R3
4.1 Superfícies Mínimas de Índice Finito em N 3 com Curvatura Escalar não negativa
4.2 Superfícies Mínimas com Índice Finito no R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Superfícies Mínimas com Índice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

66
67
83
86

A A Derivada do Determinante

90

B Desigualdade de Young

92

Referências Bibliográficas

94

10

INTRODUÇÃO

Seja x : Mn → Rn+1 uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana orientada
Mn = M no espaço Euclidiano Rn+1 (uma hipersuperfície em Rn+1 ) e seja A a sua segunda
forma fundamental. Se denotarmos por A o funcional área, então a fórmula da primeira
variação da área estabelece que

A 0 (0) = − n

Z

D
M

E
~ dM,
T, H

~ é o vetor curvatura média de
onde T é o campo variacional associado a variação de x e H
M. Como uma consequência deste resultado, as hipersuperfícies mínimas são caracterizadas
como pontos críticos para o funcional área, ou seja, a curvatura média dessas hipersuperfícies
é identicamente nula.
A teoria das superfícies mínimas tem sua origem com as pesquisas de J. L. Lagrange,
em 1760 (veja [4] p. 236). Desde então recebeu colaborações de importantes matemáticos,
como por exemplo, Euler, Gauss, Riemann, Plateau, Meusnier, Scherk, Schwarz, Enneper,
Weierstrass, Bernstein, Darboux, Douglas, Radó; e mais recentemente, Nitsche, Chern, de
Giorgi, Giusti, Miranda, Bombieri, Osserman, Schoen, Simons, Yau, Simon, Gray, White,
Bryant, Fischer-Colbrie, Ros, Peréz, Barbosa, do Carmo, Peng, Rosenberg, Meeks, Minicozzi,
Colding, Nadirashivili, para citar alguns.

11

A segunda variação da área é dada pela seguinte fórmula
00

A (0)( f ) =

Z

{− f ∆ f − | A| f }dM = −
2 2

M

Z
M

f L f dM,

onde ∆ é o Laplaciano de M, | A|2 quadrado da norma da segunda forma fundamental e
L : C0∞ ( M) → C0∞ ( M) dado por L = ∆ + | A|2 é chamado de operador de estabilidade(ou operador
de Jacobi). O operador L induz de maneira natural a forma quadrática Q : C0∞ ( M) → R definida
por
Z
Q( f ) = −

M

f L f dM,

que atua no espaço das funções suaves em M. Neste caso, o índice de Morse da hipersuperfície
M, denotado por Ind( M ), é definido como a dimensão máxima do subespaço V de C0∞ ( M ) em
que Q é negativa definida. Equivalentemente, Ind( M) é o número de autovalores negativos
do operador L contados com multiplicidade (veja [3], [8] ou [18]).
Diremos que uma hipersuperfície mínima é estável se Q( f ) ≥ 0 para todo f ∈ C0∞ ( M). Em
termos do índice, estabilidade significa que Ind( M) = 0.
É bem conhecido que gráficos mínimos no espaço Euclidiano são hipersuperfícies mínimas
estáveis. A despeito deste fato, temos o famoso problema de Bernstein, a saber, "uma
hipersuperfície mínima que é um gráfico inteiro no Rn+1 é um hiperplano?". Este problema
foi mostrado ser afirmativo para n ≤ 7 e negativo para n ≥ 8 (veja [1]). Diante da solução do
problema de Bernstein, a seguinte pergunta é natural: quais são as hipersuperfícies mínimas
completas estáveis no Rn+1 ? Este problema foi resolvido no caso em que n = 2 por do CarmoPeng (veja [6]) e, independentemente, por Fischer Colbrie-Schoen (veja [9]). Eles mostraram
que tal superfície é o plano. Mas será que toda hipersuperfície mínima completa e estável
é um hiperplano? Para n ≥ 8 a solução do problema de Bernstein fornece a existência de
hipersuperfícies que são gráficos mínimos completos, porém não são hiperplanos. No caso em
que 3 ≤ n ≤ 7 este problema encontra-se completamente em aberto.
Nesta dissertação, apresentaremos a demonstração de um outro teorema de do CarmoPeng, feito em 1980 (veja [7]), onde este problema é resolvido com uma condição sobre o
decaimento da norma da segunda forma fundamental, mais precisamente:
Teorema A (do Carmo - Peng). Seja x : Mn → Rn+1 uma hipersuperfície mínima completa e estável.

12

Assuma que

R
lim

R→∞

2
BR | A | dM
= 0,
R2+2q

r

2
, BR ⊂ M é uma bola geodésica de raio R centrada em algum ponto de M e A a
n
segunda forma fundamental de x. Então x ( M ) ⊂ Rn+1 é um hiperplano.

onde 0 < q <

Como para hipersuperfícies mínimas | A|2 = −2K, onde K é a curvatura escalar, temos como
consequência desse Teorema que hipersuperfície mínima, completa e estável com curvatura
total finita é um hiperplano.
Usando as técnicas da demonstração do Teorema A, provaremos o seguinte resultado
Teorema B (Li-Wei). Seja x : Mn → Rn+1 (3 ≤ n ≤ 7) uma hipersuperfície mínima completa e
estável. Assuma que
R
3
BR | A | dM
= 0,
lim
R→∞
R1+2q
r
2
onde 0 < q <
, BR ⊂ M é uma bola geodésica de raio R centrado em algum ponto de M e A a
n
segunda forma fundamental de x. Então x ( M ) ⊂ Rn+1 é um hiperplano.
Este teorema foi provado por Li-Wei em 2006 (veja [16]) apenas para n = 3, mas notamos
que a demonstração se aplica para 3 ≤ n ≤ 7.
Para finalizar esse trabalho, faremos um estudo sobre superfícies mínimas completas M
com índice finito em uma variedade Riemanniana N 3 (veja [8] e [18]). Mostraremos que se M
tem índice finito então M é estável fora de um conjunto compacto e mostraremos também que
M tem índice finito se, e somente se, existe um número finito de autofunções em L2 ( M) com
autovalores negativos de tal forma que o operador L é não-negativo no complemento ortogonal
do espaço gerado pelas autofunções. No caso em que N é o espaço Euclidiano R3 , provaremos
que para qualquer superfície mínima completa e orientável a condição de que M tenha índice
finito é equivalente a condição de que M tenha curvatura total finita. Mostraremos que se M é
uma superfície mínima completa então M é conforme a uma superfície de Riemann menos um
número finito de pontos. No caso em que a curvatura escalar de N é limitada inferiormente
por uma constante positiva então M será compacta. Se N tem curvatura de Ricci não-negativa,
mostraremos que | A|2 é integrável em M e isso implica o resultado para R3 . Esses resultados
foram estudados, em 1985, por Fischer-Colbrie (veja [8]).
13

Para finalizar este trabalho, mostraremos que

"O catenóide e a superfície de Enneper são as únicas superfícies mínimas completas e orientáveis com
índice igual a 1."

14

CAPÍTULO 1
PRELIMINARES

Neste capítulo, introduziremos algumas definições e alguns resultados básicos de
Geometria Riemanniana com o intuito de fixar a notação, admitindo que o leitor esteja
familiarizado com os pré-requisitos necessários. Ao longo desta dissertação, a palavra
diferenciável sempre significará de classe C ∞ . Para este capítulo as principais referências são
[5] e [14].

1.1

Tensores

A ideia de tensor é uma generalização natural da ideia de campos de vetores, e o ponto
importante é que, analogamente aos campos de vetores, os tensores podem ser derivados
covariantemente.
Seja Mn uma variedade diferenciável orientada de dimensão n. Vamos denotar por X( M) o
conjunto dos campos diferenciáveis em M e por C ∞ ( M) o conjunto das funções diferenciáveis
em M. Convém observar que X( M) é um módulo sobre o anel C ∞ ( M), isto é, X( M ) tem uma
estrutura linear quando tomamos como “escalares” os elementos de C ∞ ( M).
Definição 1.1.1. Um tensor covariante T de ordem r é uma aplicação multilinear
T : X( M) × ... × X( M) → C ∞ ( M).
|
{z
}
r f atores

15

Isto quer dizer que, dados Y1 , ..., Yr ∈ X( M ), T (Y1 , ..., Yr ) é uma função diferenciável em M, e T é
linear em cada argumento, ou seja,
T (Y1 , ..., f Xi + gYi , ..., Yr ) = f T (Y1 , ..., Xi , ..., Yr ) + gT (Y1 , ..., Yi , ..., Yr )
para todo i = 1, ..., r, Xi , Y1 , ..., Yr ∈ X( M) e f , g ∈ C ∞ ( M).
O tensor T é diferenciável em p ∈ M se, escolhido um referencial móvel { E1 , . . . , En },
as componentes de T em relação a esse referencial são diferenciáveis em p. O tensor T é
diferenciável em M se é diferenciável em cada p ∈ M. No decorrer desta dissertação, diremos
somente que T é um tensor, omitindo a palavra diferenciável.
Para o que se segue, ( Mn , g) é uma variedade Riemanniana orientada de dimensão finita
n ≥ 2, munido da métrica Riemanniana g, ou simplesmente h, i, a qual denotaremos apenas por
M e com a Conexão de Levi-Civita de M denotada por ∇.
Analogamente a um campo de vetores, um tensor pode também ser derivado. A seguinte
definição introduz a noção de derivada de tensores.
Definição 1.1.2. Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante ∇ T de T é um tensor de ordem
(r + 1) dado por

∇ T (Y1 , ..., Yr , Z ) = Z ( T (Y1 , ..., Yr )) − T (∇ Z Y1 , ..., Yr ) − ... − T (Y1 , ..., ∇ Z Yr ),
para todo Y1 , ..., Yr , Z ∈ X( M).
Para cada Z ∈ X( M ) a derivada covariante ∇ Z T de T em relação a Z é um tensor de ordem r dado
por
∇ Z T (Y1 , ..., Yr ) = ∇ T (Y1 , ..., Yr , Z ).
Antes de prosseguir, vamos relembrar alguns operadores diferenciais que serão usados com
frequência no decorrer desta dissertação.
Dada uma função f ∈ C ∞ ( M ), definimos o gradiente de f como sendo o único campo
vetorial ∇ f : M → TM dado por

h∇ f ( p), X i = d f p ( X ),

p ∈ M,

X ∈ Tp M.

Em outras palavras, ∇ f é o dual da forma d f na métrica Riemanniana.
16

Considerando um referencial ortonormal { E1 , . . . , En } em um aberto U ⊂ M podemos
escrever,
n

d f = ∑ f i wi ,
i =1

onde wi , i = 1, ...n, são as n 1-formas duais associadas ao referencial { E1 , . . . , En }, ou seja,
wi ( Ej ) = δij . A função f i é chamada a derivada de f na direção Ei . Além disso, f i = d f ( Ei ), isto
é,
n

∇ f = ∑ f i Ei .
i =1

Outro conceito importante é o de divergência de um campo. Dado X ∈ X( M), definimos a
divergência de X como sendo a aplicação divX : M → R dada por
divX ( p) = Tr(Y ( p) 7→ (∇Y X )( p)),
onde tr(Y ( p) 7→ (∇Y X )( p)) é o traço da aplicação linear Y ( p) 7→ (∇Y X )( p).
Sejam X um campo diferenciável de vetores em M e { E1 , . . . , En } um referencial geodésico.
Escrevendo X = ∑nk=1 xk Ek temos que
n

divX =

∑ h∇Ei X, Ej ihEi , Ej i

i,j=1
n

=

n

∑ h∇Ei ∑ xk Ek , Ej ihEi , Ej i

i,j=1
n

=

(1.1)

k =1

∑ hEi (xk )Ek , Ej ihEi , Ej i

i,j,k=1
n

=

∑ Ei (xi )

i =1
n

=

∑ xi;i ,

i =1

onde usamos a seguinte notação, xi;i = Ei ( xi ).
Agora, dada uma função f ∈ C ∞ ( M), definiremos o Laplaciano de f como sendo a aplicação
∆ f : M → R dada por ∆ f ( p) = div(∇ f )( p). Observe que ∆ f ∈ C ∞ ( M) e tomando o

17

referencial geodésico { E1 , . . . , En } podemos expressar o Laplaciano de f por
∆ f = div(∇ f )( p)
n

= div( ∑ f i Ei )
i =1

n

=

∑ fii .

i =1

O operador linear ∆ : C ∞ ( M ) → C ∞ ( M ), dado por
∆ f = div(∇ f ),
é chamado de Laplaniano de M.
Finalmente, o Hessiano de f , que denotaremos por Hess f , é a forma bilinear simétrica
Hess f : X( M ) × X( M ) → C ∞ ( M )
dada por
Hess f ( p)( X, Y ) = ( XY f )( p) − ∇ X Y ( f )( p).
Observe que sendo f : M → R uma função diferenciável. Podemos considerar f como
sendo um tensor covariante de ordem 0, o qual denotaremos por ∇0 f . De forma geral,
podemos definir indutivamente o tensor covariante ∇k+1 f da seguinte forma:

∇k+1 f = ∇(∇k f ),
ou seja,

∇k+1 f (Y1 , ..., Yk , Z ) = Z (∇k f (Y1 , ..., Yk ))
−∇k f (∇ Z Y1 , ..., Yk ) − ... − ∇k f (Y1 , ..., ∇ Z Yk ).
Assim, por exemplo, dados X, Y ∈ X( M ) temos que ∇1 f e o ∇2 f coincidem,
respectivamente, com o gradiente e o Hessiano de f . De fato, dados X, Y ∈ X( M)

∇1 f ( X ) = X (∇0 f ) = d f ( X )
18

e

∇2 f ( X, Y ) = Y (∇1 f ( X )) − ∇1 f (∇Y1 X ) = YX ( f ) − ∇Y X ( f ).
Por simplicidade, denotaremos ∇1 f apenas por ∇ f .
O lema a seguir é um fato bem simples e incluiremos aqui a sua demonstração para
completude do texto.
Lema 1.1.1. Seja f ∈ C ∞ ( M ). Então
∆( f g) = f ∆g + g∆ f + 2h∇ f , ∇ gi.
Demonstração. Fixe p ∈ M e escolha um referencial ortonormal geodésico { E1 , ..., En } em uma
vizinhança de p. Então,
∆( f g)( p) =

n

∑ Ek Ek ( f g)( p)

k =1
n

=

∑ Ek ( gEk f + f Ek g)

k =1
n

=

n

n

n

k =1
n

k =1

k =1

∑ gEk Ek f + ∑ Ek gEk f + ∑ Ek gEk f + ∑ f Ek Ek g

k =1

= f ∆g + g∆ f + 2 ∑ Ek gEk f
k =1
n

= f ∆g + g∆ f + 2 ∑ gk Ek f k Ek
k =1

= f ∆g + g∆ f + 2h∇ f , ∇ gi.

Em particular,
1 2
∆ f = f ∆ f + |∇ f |2 ,
2
onde |∇ f |2 é o quadrado da norma do campo ∇ f .

19

(1.2)

1.2

Curvaturas

Nesta seção, recordaremos os conceitos básicos de curvatura em uma variedade
Riemanniana. A curvatura, intuitivamente, mede o quanto localmente uma variedade
Riemanniana deixa de ser o espaço Euclidiano. Dando sequência, definiremos mais
especificamente a curvatura seccional, a curvatura de Ricci e a curvatura escalar. Nossa
principal referência foi o livro [5].
Definição 1.2.1. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que associa
a cada par X, Y ∈ X( M ) uma aplicação R( X, Y ) : X( M) → X( M) dada por
R( X, Y ) Z = ∇Y ∇ X Z − ∇ X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z,

Z ∈ X( M ),

onde [ X, Y ] = XY − YX é o Colchete de Lie.
Observe que é frequente na literatura encontrarmos a definição de curvatura que difere da
definição acima por sinal, (veja por exemplo [14]).
A seguir, enunciaremos algumas das principais propriedades de curvatura.
Proposição 1.2.1. A curvatura R de uma Variedade Riemanniana goza das seguintes propriedades:
(i) R é bilinear em X( M ) × X( M), isto é,
R( f X1 + gX2 , Y1 ) = f R( X1 , Y1 ) + gR( X2 , Y1 )
R( X1 , f Y1 + gY2 ) = f R( X1 , Y1 ) + gR( X1 , Y2 )
f , g ∈ C ∞ ( M ) e X1 , X2 , Y1 , Y2 ∈ X( M);
(ii) Para todo X, Y ∈ X( M) o operador curvatura R( X, Y ) : X( M ) → X( M ) é linear, isto é,
R( X, Y )( Z + W ) = R( X, Y ) Z + R( X, Y )W
R( X, Y ) f Z = f R( X, Y ) Z
f ∈ C ∞ ( M ),

Z, W ∈ X( M);

(iii) (Primeira Identidade de Bianchi). Para quaisquer X, Y, Z ∈ X( M) vale
R( X, Y ) Z + R(Y, Z ) X + R( Z, X )Y = 0.
20

Observação 1.2.1. Uma análise da proposição acima mostra que a necessidade do aparecimento do
termo ∇[X,Y ] Z na definição de curvatura está ligado ao fato de desejarmos que a aplicação R( X, Y ) :
X( M) → X( M ) seja linear.
De agora em diante, usaremos a notação

h R( X, Y ) Z, T i = ( X, Y, Z, T ).
E temos as seguintes propriedades decorrentes das anteriores.
Proposição 1.2.2. Para quaisquer X, Y, Z, T ∈ X( M) são válidas as seguintes relações:
(a) ( X, Y, Z, T ) + (Y, Z, X, T ) + ( Z, X, Y, T ) = 0

(Bianchi);

(b) ( X, Y, Z, T ) = −(Y, X, Z, T );
(c) ( X, Y, Z, T ) = −( X, Y, T, Z );
(d) ( X, Y, Z, T ) = ( Z, T, X, Y ).
É conveniente escrever o que foi visto acima em um sistema de coordenadas (U, x ) em torno
do ponto p ∈ M. Indicaremos ∂x∂ = Ei . Ponhamos
i

R( Ei , Ej ) Ek = ∑ Rijkl El .

(1.3)

l

Assim Rijkl são as componentes da curvatura R em (U, x ).
Relacionado com o tensor curvatura está a curvatura seccional, que passaremos a definir.
Dado um espaço vetorial V e x, y ∈ V, indicaremos por | x ∧ y| a expressão
q

| x |2 |y|2 − h x, yi2 ,

que representa a área do paralelogramo bi-dimensional determinado pelo par de vetores
x, y ∈ V
Definição 1.2.2. Dado p ∈ M e um subespaço bi-dimensional σ ⊂ Tp M, o número real
K (σ ) = K ( x, y) =
21

( x, y, x, y)
,
| x ∧ y |2

onde x, y é uma base qualquer de σ, é chamado curvatura seccional de σ em p.
Observe que K não depende da escolha dos vetores x, y ∈ σ. De fato, dados a, b, c, d ∈ R
tais que ax + by e cx + dy sejam linearmente independentes, temos que

| ax + by ∧ cx + dy|2 = ( ad − bc)2
e, usando a linearidade, a Proposição (1.2.2) e o fato de que ( x, x, y, z) = 0 para todo x, y, z ∈
Tp M, temos também que

( ax + by, cx + dy, ax + by, cx + dy) =
= a( x, cx + dy, ax + by, cx + dy) + b(y, cx + dy, ax + by, cx + dy)
= ad( x, y, ax + by, cx + dy) + bc(y, x, ax + by, cx + dy)
= a2 d( x, y, x, cx + dy) + adb( x, y, y, cx + dy) + bca(y, x, x, cx + dy)
+b2 c( x, y, y, cx + dy)
= a2 d2 ( x, y, x, y) − adbc( x, y, x, y) − adbc( x, y, x, y) + b2 c2 ( x, y, x, y)
= ( a2 d2 − 2adbc + b2 c2 )( x, y, x, y)
= ( ad − bc)2 ( x, y, x, y).
Portanto,
K ( ax + by, cx + dy) =

( ax + by, cx + dy, ax + by, cx + dy)
= K ( x, y).
| ax + by ∧ cx + dy|2

Algumas combinações das curvaturas seccionais aparecem com tanta frequência que elas
merecem nomes.
Seja x = En um vetor unitário em Tp M; tomemos uma base ortonormal { E1 , · · · , En−1 } do
hiperplano de Tp M ortonormal a x e consideremos as seguintes médias:
Ric p ( x ) =

1 n −1
h R( x, Ei ) x, Ei i
n − 1 i∑
=1

e
K ( p) =

1 n
Ric p ( Ej ).
n j∑
=1
22

As médias acima são denominadas, respectivamente, curvatura de Ricci na direção de x e
curvatura escalar em p.
Portanto, podemos escrever a curvatura escalar da sequinte forma:

K ( p) =

1
h R( Ei , Ej ) Ei , Eji.
n(n − 1) i∑
6= j

(1.4)

Vamos provar que essas médias não dependem da escolha das correspondentes bases
ortonormais de Tp M.
Considere a seguinte aplicação Q : Tp M × Tp M → R dada por Q( x, y) = Tr(z 7→ R( x, z)y).
Proposição 1.2.3. Q é uma aplicação bilinear simétrica.
Demonstração. Com efeito, considerando o referencial ortonormal de Tp M escolhido acima,
temos que
n

n

i =1

i =1

Q( x, y) = ∑ ( x, Ei , y, Ei ) = ∑ (y, Ei , x, Ei ) = Q(y, x ).
Logo, Q é simétrica. Além disso,
n

Q( x + αy, z) =

=

∑ (x + αy, Ei , z, Ei )

i =1
n

n

i =1

i =1

∑ (x, Ei , z, Ei ) + α ∑ (y, Ei , z, Ei )

= Q( x, z) + αQ(y, z)
para todos x, y, z ∈ Tp M e α ∈ R. Usando a simetria e a bilinearidade na primeira entrada de
Q obtemos assim, a sua bilinearidade.
Notemos que
1
Q( x, x ) = Ric p ( x ),
n−1
logo, a curvatura de Ricci na direção de x está bem definida de tal modo que não depende da
base de Tp M escolhida.
Por outro lado, à forma bilinear Q em Tp M corresponde uma aplicação linear auto-adjunta
J : Tp M → Tp M, dada por
h Jx, yi = Q( x, y),
23

para todo x, y ∈ Tp M.
Portanto,
Ric p ( x ) =
Neste caso,

n

1
h Jx, yi.
n−1

tr( J ) = ∑ h JE1 , Ei i = (n − 1)
i =1

1 n
Ric p ( Ei ) = (n − 1)nJ ( p).
n i∑
=1

Consequentemente J ( p) também não depende da forma bilinear simétrica escolhida.
1
Q é, às vezes, chamada de
Observe que Q é um tensor de ordem 2 e a forma bilinear
n−1
tensor de Ricci.

1.3

Imersões Isométricas

Seja x : M → M uma imersão de uma variedade diferenciável M de dimensão n em uma
variedade Riemanniana M de dimensão k = n + m. A métrica Riemanniana de M induz
de maneira natural uma métrica Riemaniana em M: se v1 , v2 ∈ Tp M, define-se hv1 , v2 i =
hdx p (v1 ), dx p (v2) i. Nesta situação, x passa a ser uma imersão isométrica de M em M.
O intuito desta seção é estudar as relações entre as geometrias de M e M. Inicialmente
notamos que, para cada p ∈ M, existe uma vizinhança U ⊂ M de p tal que x (U ) ⊂ M é
uma subvariedade de M. Isto quer dizer que existe uma vizinhança U ⊂ M de x ( p) e um
difeomorfismo ϕ : U → V ⊂ Rk em um aberto V do Rk , tais que ϕ aplica difeomorficamente
x (U ) ∩ U em um aberto do subespaço Rn ⊂ Rk .
Para simplificar a notação, identificaremos U com x (U ) e cada vetor v ∈ Tq M, q ∈ U, com
dxq (v) ∈ Tx(q) M.
Para cada p ∈ M, o produto interno em Tx( p) M decompõe Tx( p) M na soma direta
Tx( p) M = Tp M ⊕ ( Tp M)⊥ ,
onde ( Tp M )⊥ é o complemento ortogonal de Tp M em Tx( p) M.
Denominamos espaço normal da imersão x em p ao conjunto ( Tp M)⊥ . Assim, cada v ∈ Tx( p) M,
pode ser escrito como
v = vT + v N ,

v T ∈ Tp M e v N ∈ ( Tp M)⊥ .

24

Diz-se que v T é a componente tangencial de v e v N a componente normal de v. Tal decomposição
é evidentemente diferenciável no sentido que as aplicações de TM em TM dadas por

( p, v) 7→ ( p, v T ) e ( p, v) 7→ ( p, v N )
são diferenciáveis.
A partir da decomposição acima, obtemos o fibrado normal em M
TM⊥ =

[

( Tp M)⊥ .

p∈ M

Neste caso,
TM| x( M) = { X ∈ TM; π ( X ) ∈ x ( M), π : TM → M é a projeção}

= TM ⊕ TM⊥ .
A conexão Riemanniana de M será indicada por ∇. Se X e Y são campos locais de vetores
em M, e X, Y são extensões locais a M, definimos a conexão em M por

∇ X Y = (∇ X Y )T .
Queremos definir a segunda forma fundamental da imersão x : M → M. Para isto convém
introduzir previamente a seguinte definição: Se X, Y são campos locais em M,
A( X, Y ) = ∇ X Y − ∇ X Y := (∇ X Y ) N

(1.5)

é um campo local em M normal a M.
Afirmamos que A( X, Y ) não depende das extensões X 1 e Y 1 . Com efeito, se X 1 e Y 1 são
extensões de X e Y, respectivamente, então temos

(∇ X Y − ∇ X Y ) − (∇ X1 Y1 − ∇ X Y ) = ∇ X −X1 Y − ∇ X1 (Y − Y1 ) = 0 + 0 = 0,
pois X − X1 = 0 em M e Y − Y1 = 0 ao longo de uma trajetória de X. Portanto A( X, Y ) está

25

bem definido e vale que:

∇ X Y − ∇ X Y = ∇ X1 Y1 − ∇ X Y = A( X, Y ).
No que se segue, indicaremos por X(U )⊥ o espaço vetorial dos campos de vetores normais
a x (U ) .
Proposição 1.3.1. Se X, Y ∈ X(U ), a aplicação A : X(U ) × X(U ) → X(U )⊥ dada por
A( X, Y ) = ∇ X Y − ∇ X Y
é bilinear e simétrica.
Demonstração. Dados g ∈ C ∞ ( M ) e X, Y, Z ∈ X(U ), e sejam g, X, Y, Z suas respectivas
extensões locais a M, então
A( X, Y ) = ∇ X Y − ∇ X Y

= ∇ X Y − ∇Y X + ∇Y X − ∇ X Y − (−∇Y X + ∇Y X )
= [ X, Y ] − [ X, Y ] + A(Y, X ) = A(Y, X )
pois, em M, [ X, Y ] = [ X, Y ]. Provando, com isso, que A é simétrica.
Observe também que em M
A( gX, Y ) = ∇ gX Y − ∇ gX Y = g∇ X Y − g∇ X Y = gA( X, Y ).
Além disso,
A( X + Y, Z ) = ∇ X +Y Z − ∇ X +Y Z

= ∇ X Z − ∇ X Z + ∇Y Z − ∇Y Z
= A( X, Z ) + A(Y, Z ).
Usando a simetria de A provamos assim a linearidade na segunda componente.
Portanto A é bilinear.

26

Como A é bilinear, concluímos, exprimindo A em um sistema de coordenadas, que o valor
A( X, Y )( p) depende apenas de X ( p) e Y ( p).
Agora podemos definir a segunda forma fundamental. Sejam p ∈ M e η ∈ ( Tp M)⊥ . A
aplicação Hη : Tp M × Tp M → R dada por
Hη (z, y) = h A(z, y), η i,

z, y ∈ Tp M

que é, pela Proposição (1.3.1), uma forma bilinear simétrica é chamada segunda forma
fundamental de x em p.
Às vezes se utiliza também a expressão segunda forma fundamental para designar a aplicação
A.
Observe que à aplicação bilinear Hη fica associada uma aplicação linear auto-adjunta
Sη : Tp M → Tp M dada por

hSη (z), yi = Hη (z, y) = h A(z, y), η i.
A proposição seguinte nos dá uma expressão da aplicação linear associada à segunda forma
fundamental em termos da derivada covariante.
Proposição 1.3.2 (Fórmula de Weingarten). Sejam p ∈ M, z ∈ Tp M e η ∈ ( Tp M)⊥ . Seja N uma
extensão local de η normal a M. Então
Sη (z) = −(∇z N ) T .
Demonstração. Dados z, y ∈ Tp M denotamos por Z e Y as extensões locais, respectivamente, de
z e y tangentes a M e por Z e Y as extensões locais de Z e Y, respectivamente, tangente a M,
então,

hSη (z), yi = Hη (z, y) = h A(z, y), η i = h∇ Z Y − ∇ Z Y, N i( p)
= h∇ Z Y, N i( p) − h∇ Z Y, N i( p) = h∇ Z Y, N i( p)
= −hY, ∇ Z N i( p) = −hY, (∇ Z N )T i( p)
= −hy, (∇ Z N )T i.

27

Portanto, Sη (z) = −(∇z N ) T .
Escolhendo um referencial ortonormal {η1 , · · · , ηm } de vetores em X(U )⊥ , onde U é uma
vizinhança de p ∈ M no qual x é um mergulho, podemos escrever, em p,
m

A(z, y) = ∑ Hi (z, y)ηi

z, y ∈ Tp M,

i =1

onde Hi = Hηi .
O vetor normal
m

~ ( p) = 1 ∑ A( Ei , Ei )
H
n i =1

(1.6)

não depende do referencial Ei escolhido. Fica assim bem definido, em cada p ∈ M, um vetor
~ ( p) normal a M em p, denominado o vetor curvatura média de x em p. Além disso, o quadrado
H
da norma da segunda forma fundamental de x é definido por
k

| A|2 = ∑ | A( Ei , Ej )|2 .

(1.7)

i,j=1

A seguir apresentaremos duas equações importantes da teoria das imersões isométricas, a
saber, equação de Gauss e Codazzi.
Teorema 1.3.1. As seguintes equações se verificam:
(a) Equação de Gauss

h R( X, Y ) Z, T i = h R( X, Y ) Z, T i − h A(Y, T ), A( X, Z )i
+h A( X, T ), A(Y, Z )i;
(b) Equação de Codazzi

h R( X, Y ) Z, η i = (∇Y A)( X, Z, η ) − (∇ X A)(Y, Z, η ).
Dada uma imersão isométrica, convém indicar por X( M)⊥ o espaço dos campos de vetores
normais a M. A segunda forma fundamental da imersão pode então ser considerada como um

28

tensor
A : X( M ) × X( M ) × X( M ) ⊥ → D( M )
definido por
A( X, Y, η ) = h A( X, Y ), η i.
A definição de derivada covariante se estende a este tipo de tensor de maneira bem natural:

(∇ X A)(Y, Z, η ) = X ( A(Y, Z, η )) − A(∇ X Y, Z, η ) − A(Y, ∇ X Z, η )
− A(Y, Z, ∇⊥
X η ).
O teorema a seguir relaciona a curvatura de M com a curvatura de M e as segundas formas
fundamentais. Se x, y ∈ Tp M ⊂ Tp M, são linearmente independentes, indicaremos por K ( x, y)
e K ( x, y) as curvaturas seccionais de M e M, respectivamente, no plano gerado por x e y.
Teorema 1.3.2 (Gauss). Sejam p ∈ M e x, y vetores ortonormais de Tp M. Então
K ( x, y) − K ( x, y) = h A( x, x ), A(y, y)i − | A( x, y)|2 .

1.3.1

Hipersuperfícies

É conveniente expressar algumas fórmulas vista nesta seção no caso particular em que a
n +1
imersão isométrica x : Mn → M
é dada em codimensão 1. Neste caso x ( M ) ⊂ M é chamada
de hipersuperfície. Às vezes se utiliza também a expressão hipersuperfície para designar a imersão
isométrica x.
Sejam p ∈ M e N ∈ ( Tp M)⊥ , | N | = 1. Seja { E1 , . . . , En } uma base de vetores de Tp M. Se M
e M são ambas orientáveis e estão orientadas então o vetor N fica univocamente determinado
se exigirmos que sendo { E1 , . . . , En } uma base na orientação de M, { E1 , . . . , En , N } seja uma
base na orientação M.
Assim, a segunda forma fundamental será dada por
Z, Y ∈ Tp MeN ∈ ( Tp M)⊥ ,

HN ( Z, Y ) = h A( Z, Y ), N i ,

e podemos definir o operador h : Tp M × Tp M → R dado por
h( X, Y ) = HN ( X, Y ) = h A( X, Y ), N i,
29

X, Y ∈ Tp M,

(1.8)

onde N é o campo unitário normal a M.
No caso em que a hipersuperfície está imersa no Rn+1 podemos ver que a equação de Gauss
admite uma expressão mais simples. De fato, seja { E1 , . . . , En } um referencial geodésico e
defina hij := h( Ei , Ej ). Usando (1.3), a equação de Gauss se resumirá a

0 = h R( Ei , Ej ) Ek , El i = h R( Ei , Ej ) Ek , El i − h A( Ej , El ), A( Ei , Ek )i

+h A( Ei , El ), A( Ej , Ek )i
*
+
n

=

∑ Rijkm Em , El

− h A( Ej , El ), h A( Ei , Ek ), N i N i

m =1

+h A( Ei , El ), h A( Ej , Ek ), N i N i
= Rijkl − h jl hik + hil h jk .
Portanto podemos escrever a equação de Gauss como

Rijkl = h jl hik − hil h jk .

(1.9)

Em particular, fazendo k = i e l = j, obtemos a curvatura seccional em termos da segunda
forma,
K ( Ei , Ej ) = h jj hii − h2ij .
Além disso, se { E1 , . . . , En } é uma base que diagonaliza A, temos que hij = 0 e, portanto,
podemos escrever a equação acima como sendo
K ( Ei , Ej ) = h jj hii .
Em particular, usando (1.4), a curvatura escalar de M é dada por
K ( p) = ∑ hii h jj .
i6= j

Finalmente, se supusermos que trA = 0, então ∑i hii = 0. Elevando esta equação ao
quadrado, obtemos
30

∑ hii + 2 ∑ hii h jj = 0,
i

i6= j

ou seja,

| A|2 = −2K.
Esta equação será utilizada no capítulo 3 e no capítulo 4 desta dissertação.

31

(1.10)

CAPÍTULO 2
VARIAÇÕES DE ÁREA E DESIGUALDADE
DE SIMONS

Neste capítulo, vamos derivar a equação das superfícies mínimas como a equação de EulerLagrange do funcional área de gráficos e assim encontrar a fórmula paramétrica da equação das
superfícies mínimas (a primeria variação da área). Encontraremos a segunda variação da área
e por último a desigualdade de Simons. Tais resultados darão suporte para demonstrarmos os
principais resultados desta dissertação. Nossas principais referências foram os livros [15] e [3].

2.1

Primeira Variação da Área

Iniciaremos apresentando a definição de variação de uma hipersuperfície imersa em uma
variedade Riemanniana.
Definição 2.1.1. Seja x : Mn → M
diferenciável

n +1

uma hipersuperfície. Uma variação de x é uma aplicação

F : M × (−ε, ε) → M
satisfazendo as seguintes condições:
1. A aplicação F (·, t) : M → M é uma imersão para todo t ∈ (−ε, ε) e F (·, 0) = x;
32

2. F (·, t)|∂M = x |∂M para todo t ∈ (−ε, ε).
∂
O campo de vetores T = dF
em M é chamado de campo variacional associado à
∂t t=0
variação F.
O funcional área A : (−ε, ε) → R associado à variação F é dado por

A(t) =

Z
M

dMt ,

(2.1)

onde dMt denota o elemento de volume da métrica induzida em M por Ft . Note que se a
orientação de M coincide com aquela induzida por M, então dM0 = dM e A(0) = A.
O lema abaixo é um resultado básico de espaços métricos que será útil no próximo teorema.
Lema 2.1.1. Sejam M compacta e f : M × [ a, b] → R uma função de classe C1 . Então
d
dt



Z
M

f ( x, t)dM

=
t = t0

Z

∂f
( x, t0 )dM,
M ∂t

onde t0 ∈ [ a, b].
Demonstração. Vide [17], p.144.
Tomando em M × (−ε, ε) a métrica produto e { E1 . . . . En } um referencial móvel em uma
vizinhança de p ∈ M, temos que, para todo t ∈ (−ε, ε), ϕ : M → M × {t} dado por
ϕt ( p) 
= (t, p) é uma isometria. Sejam F : M × (−ε, ε) → M uma variação de x e Φt o fluxo local
de dF ∂t∂ . Logo, Ft ◦ ϕt = Φt ◦ x implica dFt ◦ dϕt = dΦt ◦ dx. Sendo Ek = Ek (t, p) = (dϕ) p Ek
temos, pela proposição 5.4, p. 30 de [5] a qual diz que se V, W ∈ X( M ) e ψ é um fluxo local de
V numa vizinhança de M, então
1
[V, W ]( p) = lim [dψt−1 (Wψl p ) − Wp ],
t →0 t
que
h

onde T = dF

 
∂
∂t

i
ek = lim 1 [dΦ−1 E
ek (Φt ( p)) − E
ek (0, p)],
T, E
t
t →0 t

ek = dFt ◦ dϕt ( Ek ). Como dFt ◦ dϕt = dΦt ◦ dx então
eE
33

(2.2)

h

ek
T, E

i

1
1
= lim [dΦ−
t dΦt ◦ dx ( Ek ( p )) − Ek ( p )]
t →0 t
1
= lim [dx ( Ek ( p)) − Ek ( p)]
t →0 t
1
= lim [ Ek ( p) − Ek ( p)] = 0.
t →0 t

Logo,
h

i
ek = 0.
T, E

(2.3)

e que
Segue da simetria da conexão ∇


D
E D
E

e T Ẽk , Ẽk − ∇
e T, Ẽk .
T, Ẽk , Ẽk = ∇
Ẽk



Como T, Ẽk = 0 então

D

E D
E
e
e
∇ T Ẽk , Ẽk = ∇ Ẽk T, Ẽk .

(2.4)

Agora estamos aptos a demonstrar o principal resultado desta seção, a saber, a primeira
variação da área.
n +1

~ Se
uma hipersuperfície com vetor curvatura média H.
Teorema 2.1.1. Seja x : Mn → M
n +1
F : M × (−ε, ε) → M
é uma variação de x, então
dA
(0) = − n
dt
onde T = dF

∂
∂t

Z

D
M

E
~
T, H dM,

.

Demonstração. Sejam p ∈ M e { E1 , ..., En } um referencial móvel em uma vizinhança de p ∈ M,
geodésico em p e seja ainda Ei (t) = dFt ( Ei ) com i = 1, ..., n. A métrica induzida por Ft = F (·, t)
n +1
em M
é dada, neste sistema de coordenadas, por gij (t) = Ei (t), Ej (t) .
34

Seja também νt =

A(t) =
=

q
Z

det( gij (t))det( gij (0)), onde gij denota a matriz inversa de gij . Então,
dMt =

Z q

Z q

det( gij (t))dx1 . . . dxn
Z
q
ij
det( gij (t))det( g (0)) det( gij (0))dx1 . . . dxn = νt dM.

Logo,

A(t) =

Z
M

νt dM.

Assim, pelo Lema (2.1.1),temos que
dA
=
dt t=0

Z

d
(νt )dM.
M dt t=0

Observe que, sendo A a segunda forma fundamental de M e N o campo normal unitário a M
em uma vizinhança de p ∈ M, então

h A( X, Y ), N i = h∇ X Y, N i = − hY, ∇ X N i ,

(2.5)

pois 0 = X hY, N i = h∇ X Y, N i + hY, ∇ X N i. Além disso, temos também de (1.1) que
n

n

div( X ) = ∑ ∇ Ei X, Ej

Ei , Ej = ∑ ∇ Ei X, Ei .

i,j=1

(2.6)

i =1

Usando no Lema (A.0.3), ver apêndice A, G (t) = gij (t) gij (0) temos
d
d
(νt ) =
dt t=0
dt t=0

=

q

d
ij
dt t=0 (det( gij ( t ) g (0)))
1
ij
q
det( gij (t) g (0) =
2
det( g (0) gij (0))



ij

0
1d
1
(det( gij (t) gij (0))) = tr( gij (0) gij (0)).
2 dt t=0
2

Podemos escolher o referencial { E1 , ..., En } ortonormal na métrica induzida por F0 e, no
ponto p, ∇ Ei Ej = 0 para todo i, j = 1, ..., n. Com isso gij (0) = Ei (0), Ej (0) = Ei , Ej = δij .
Portanto, gij (0) = δij .
Assim,
35

0
0
d
(νt ) = tr( gij (0) gij (0)) = tr( gij (0))
dt t=0
1 n d
=
hE , E i
2 i∑
dt i i
=1

=

1 n
(h∇ T Ei , Ei i + h Ei , ∇ T Ei i)
2 i∑
=1
n

=

∑ h∇T Ei , Ei i .

i =1

Logo, usando (2.4), temos que

d
(νt ) =
dt t=0

=

n

E
n
n D
T
N
E
,
E
=
∇
T,
E
=
∇
(
T
+
T
)
,
E
i
∑ h∇T i i i ∑ Ei i ∑ Ei

i =1
n D

E

i =1
n

i =1

D

E

∑ ∇Ei T T , Ei + ∑ ∇Ei T N , Ei .

i =1

i =1

Aplicando (2.5) , (2.6) e (1.6) nesta última equação e usando o fato de T N = h T, N i N
encontramos

36

n
d
(νt ) = div( T T ) + ∑ ∇ Ei h T, N i N, Ei )
dt t=0
i =1
n

= div( T T ) + ∑ h T, N i ∇ Ei N, Ei
i =1
*
+
n

T, ∑ ∇ Ei N, Ei N

= div( T T ) +

i =1

*

= div( T T ) +

n

T, − ∑ h A( Ei , Ei ), N i N

+

i =1

*

= div( T T ) +

n

T, − ∑ A( Ei , Ei )

+

i =1

D

E
~ .
= div( T T ) − n T, H

Logo, pelo teorema da divergência, obtemos
dA
= −n
dt t=0

Z

D
M

Z D
Z
E
E
T
~
~
T, H dM.
div( T )dM = −n
T, H dM +
M

M

~ = HN e f = h T, N i, observamos que a primeira variação da área se resume a
Tomando H
dA
(0) = − n
dt

Z

D
M

Z
E
~
T, H dM = −n
H f dM.
M

Portanto M é um ponto crítico para o funcional área se, e somente se, a curvatura média H
é identicamente nula.
Definição 2.1.2. Uma hipersuperfície Mn ⊂ M
identicamente nula.

n +1

37

é dita mínima, se a sua curvatura média é

2.2

Segunda Variação da Área

Para estudarmos a segunda variação da área de uma hipersuperfície mínima, observamos
primeiro que, sendo Ht a curvatura média de Ft e f t = h T, Nt i, onde Nt é o campo unitário
normal a Ft , temos, do Teorema (2.1.1), que
dA
= −n
dt

Z
M

Ht f t dMt .

Daí, como H0 = H = 0, f 0 = f e dM0 = dM, temos

#



Z
∂
f
∂
t
Ht
H0
dMt
f 0 dM0 +
A00 (0) = −n
∂t
M
M ∂t
t =0
t =0

Z 
∂
= −n
Ht
f dM.
M ∂t
"Z 

(2.7)

t =0

Teorema 2.2.1. Seja x : Mn → M
por

00

A (0)( f ) =

n +1

Z
M

uma imersão mínima e F uma variação de x. Então A00 (0) dado

{− f ∆ f − ( Ric( N, N ) + | A|2 ) f 2 }dM

(2.8)

depende somente de f .
Demonstração.
De (2.7) observamos que, para demonstrar o teorema, basta calcular


n ∂t∂ Ht t=0 . Para isso, sejam p ∈ M e { E1 , · · · , En } um referencial móvel em uma vizinhança
de p ∈ M, geodésico em p. Sejam ainda Ei (t) = dFt ( Ei ) e gij (t) = Ei (t), Ej (t) . Se
{ Ẽ1 (t), · · · , Ẽn (t)} denota um referencial ortonormal em uma vizinhança de F ( p, t) contida
em Ft ( M ), com Ei (t) = ∑k aik (t) Ẽk (t) então
Ẽi (t) = ∑ aik (t) Ek (t).
k

Note que

38

gij (t) = Ei (t), Ej (t) = ∑ aik (t) a jk (t) = ( BB T )ij ,
k

onde B = ( aij ) e B−1 = ( aij ).
Sendo A Nt a segunda forma fundamental na direção normal Nt e ( gij )−1 = gij então,
fixando t, temos

D
E
~ t , Nt = ∑ A Nt ( Ẽi (t), Ẽi (t)), Nt .
nHt = hnHt Nt , Nt i = n H
i

Assim, usando (2.5),
nHt =

∑

D

i

=

i,k,l

∑a a

ik il

i,k,l

=

E
D
E
il
e
e
∇
Ẽ
(
t
)
,
N
=
∇
a
E
(
t
)
,
N
ik
t
t
∑ a Ek (t) l
Ẽi (t) i
D

E
D
E
−1 T −1
e
e
∇ Ek (t) El (t), Nt = ∑(( B ) B )kl ∇ Ek (t) El (t), Nt
k,l

D

E

D

E

e E (t) El (t), Nt = ∑ gkl (t) ∇
e E (t) El (t), Nt .
∑(( BBT )−1 )kl ∇
k
k
k,l

k,l

Como o referencial { E1 (t), · · · En (t)} é geodésico em p temos que gkl (0) = δkl e assim
D
E
D
E
dgkl
kl
e
e
∑ dt (0) ∇Ek El , N + ∑ g (0)T ∇Ek (t) El (t), Nt t=0
k,l
k,l
D
E
D
E
kl
dg
e E El , N + ∑ δkl T ∇
e E (t) El (t), Nt
= ∑
(0) ∇
k
k
dt
t =0
k,l
k,l
D
E
D
E
dgkl
e E El , N + ∑ T ∇
e E (t) Ek (t), Nt
(0) ∇
= ∑
.
k
k
dt
t =0
k
k,l

dHt
=
n
dt t=0

Com o intuito de simplificar os passos da demonstração, calcularemos em separado o
dHt
primeiro e o segundo somatório em n
.
dt t=0
Para calcularmos o primeiro somatório, veja que

39

∑ gkj (t) gjl (t) = δkl ⇒ ∑
j

j

dg jl
dg jl
dgkl
dgkj
(0) g jl (0) + ∑ gkj (0)
(0) = 0 ⇒
(0) = −
(0).
dt
dt
dt
dt
j

Como gkl (t) = h Ek (t), El (t)i segue, de (2.4), que

−

dg jl
(0) = − T h Ek (t), El (t)i t=0
dt
D
E
D
E
e T Ek (t), El (t)
e
= − ∇
−
E
(
t
)
,
∇
E
(
t
)
T l
k
t =0
t =0
D
E D
E
e E T, El − Ek , ∇
eE T .
= − ∇
k
l

Logo de (2.5) segue que

D
E
D
ED
E
dgkl
e
e
e
(
0
)
∇
E
(
t
)
,
N
=
−
2
∇
T,
E
∇
E
(
t
)
,
N
∑ dt
∑ Ek l
Ek (t) l
Ek (t) l
k,l
k,l
D
E D
E
e E T T , El + ∇
e E T N , El
= −2 ∑ ∇
h A( Ek , El ), N i
k
k
k,l

= −2 ∑

D

E D
E
T
e
e
∇ Ek T , El + ∇ Ek f N, El h A( Ek , El ), N i

k,l

D
E
e E T T , El h A( Ek , El ), N i
= −2 ∑ ∇
k
k,l

−2 ∑

D

= −2 ∑

D

E

e E N, El + h Ek ( f ) N, El i h A( Ek , El ), N i
f∇
k

k,l

E
T
e
∇ Ek T , El h A( Ek , El ), N i

k,l

D
E
e E N, El h A( Ek , El ), N i
−2 f ∑ ∇
k
k,l

D

e E T T , El
= 2∑ ∇
k
k,l

D

ED

E
e E N, El + 2 f ∑ h A( Ek , El ), N i2
∇
k
k,l

E

e E T T , (∇
e E N ) T + 2 f | A |2 ,
= 2∑ ∇
k
k
k

40

onde na última igualdade usamos o fato de

∑

2

A( Ei , Ej ), N

=

i,j=1

∑

A( Ei , Ej ), A( Ei , Ej ), N N

∑

A( Ei , Ej ), A( Ei , Ej ) = | A|2 .

i,j=1

=

i,j=1

e T Ek ), temos para o segundo somatório de
eE T = ∇
Observando que [ T, Ek (t)] = 0, e daí ∇
k
dHt
n
que
dt t=0
E
D
E
D
E
D
e
e
e
e
e
∇
E
(
t
)
,
N
+
∇
E
(
t
)
,
∇
N
T
∇
E
(
t
)
,
N
=
∇
t
t
t
T
T
∑ Ek (t) k
∑
∑
Ek (t) k
Ek (t) k
k

t =0

t =0

k

=

D

e T∇
e E (t) Ek (t), Nt
∑ ∇
k

E

D

t =0

k

D

e E (t) ∇
e T Ek (t), Nt
+∑ ∇
k
D

e E (t) Ek (t), ∇
e T Nt
+∑ ∇
k

∑
k

E
t =0

k

D

t =0

e [T,E (t)] Ek (t), Nt
+∑ ∇
k

E
t =0

k

E
t =0

k

=

e E (t) ∇
e T Ek (t), Nt
−∑ ∇
k

E

k

D

t =0

k

e E (t) Ek (t) − ∇
e T∇
e E (t) ∇
e T Ek (t) + ∇
e [T,E (t)] Ek (t), Nt
∇
k
k
k
D

e E (t) ∇
e T Ek (t), Nt
+∑ ∇
k

E

D

t =0

k

e E (t) Ek (t), ∇
e T Nt
+∑ ∇
k

E
t =0

E

k

t =0

.

Assim, usando a definição de curvatura e de curvatura de Ricci, temos

D
E
e
T
∇
E
(
t
)
,
N
t
∑
Ek (t) k
k

t =0

=

∑ h R̄(Ek , T )Ek , Nt i
k

D

t =0

D
E
e E (t) ∇
e T Ek (t), Nt
+∑ ∇
k

e E (t) Ek (t), ∇
e T Nt
+∑ ∇
k

k

E

k

D
E
e E (t) ∇
e T Ek (t), Nt
+∑ ∇
k
k

41

t =0

t =0

t =0

= Ric ( T, N )
D
E
e E (t) Ek (t), ∇
e T Nt
+∑ ∇
k
k

t =0

E
E D
 D
eE N
e T Ek , N − ∇
e E T, ∇
= Ric ( T, N ) + ∑ Ek ∇
k
k
k

D

e E Ek , N
+∑ ∇
k

ED

eE N
N, ∇
k

E

k

= Ric ( T, N ) + ∑ Ek Ek h T, N i
k

E
E
D
eE N ,
e E T, ∇
eE N −∑ ∇
− ∑ Ek T, ∇
k
k
k
D

k

k

onde usamos o fato de { E1 , · · · En } ser um referencial geodésico em p. Mais precisamente,
D

E D
ED
E
e E Ek , ∇
e TN = ∇
e E Ek , N
e T N = 0.
∇
N,
∇
k
k

Agora, como T = T T + T N = T T + f N,

D
E
e
T
∇
E
(
t
)
,
N
t
∑
Ek (t) k
k

t =0

D

E
e
h T, N i = f e N, ∇ Ek N = 0, temos

D
E
D
E
e E N − ∑ Ek f N, ∇
eE N
= Ric ( T, N ) + ∆ f − ∑ Ek T T , ∇
k
k
k

D

k

E

D

e E f N, ∇
eE N −∑ ∇
eE T ,∇
eE N
−∑ ∇
k
k
k
k
T

E

k

k D
E
eE N
= Ric ( T, N ) + ∆ f − ∑ Ek f N, ∇
k
k

D

E
D
E
e E N, ∇
e E N − ∑ Ek ( f ) N, ∇
eE N
−f ∑ ∇
k
k
k
k



− ∑ Ek

D

Dk
E
eE N + ∇
e E TT, ∇
eE N
T ,∇
k
k
k
T

E

k

eE N
= Ric ( T, N ) + ∆ f − f ∑ ∇
k
Ek

D

2

D
E
e E TT, ∇
eE N
−2∑ ∇
k
k
k

eE ∇
eE N .
− ∑ TT, ∇
k
k

(2.9)

E
D
E
e E El , N = − ∇
e E N, El
∇
k
k

(2.10)

k

Como h Ek , N i = 0 então
D

42

e, portanto,

∑
k

D
E2
D
E2
e
e
e
∇ Ek N = ∑ ∇ Ek N, El = ∑ ∇ Ek El , N = ∑ h A( Ek , El ), N i2 = | A|2 .
k,l

k,l

(2.11)

k,l

Escrevendo T = ∑l β l El + f N temos
Ric ( T, N ) = − ∑ β l Ric ( N, El ) + f Ric ( N, N )
l

= − ∑ β l h R̄( Ek , El ) Ek , N i + f Ric ( N, N ) .
k,l

Visto que [ Ek , El ] = 0 e o referencial é ortonormal e geodésico em p, segue que

h R̄( Ek , El ) Ek , N i p

D

E
e
e
e
e
= ∇ El ∇ Ek Ek − ∇ Ek ∇ El Ek , N
p
D
D
E
E
e
e
e
= El ∇ Ek Ek , N − ∇ Ek Ek , ∇ El N
p
p
D
D
E
E
e
e
e
− Ek ∇ El Ek , N + ∇ El Ek , ∇ El N
p
p
D
E
D
E
e E N + Ek Ek , ∇
eE N ,
= − El Ek , ∇
k
l
p

p

e E Ek ∈ ( Tp M)⊥ e
onde na última igualdade estamos usando (2.10) e o fato de que ∇
l
e
∇ El N ∈ Tp M para todo k, l = 1, ..., n.
Logo, de (1.8) e (2.5) temos

h R̄( Ek , El ) Ek , N i p = − El (hkk ) + Ek (hkl ),
onde hij = h( Ei , Ej ) =

D

eE N
Ek , ∇
l

E
p

é a segunda forma fundamental escalar de M. Sendo

assim,
Ric ( T, N ) p = ∑ β l El (hkk ) − ∑ β l Ek (hkl ) + f Ric ( N, N ) p .
k,l

k,l

43

Veja também que,
D
βl

e E N, El
eE ∇
∇
k
k

E



N
E
e
e
e
∇ Ek ∇ Ek N , El
= β l ∇ Ek ∇ Ek N, El + β l
+
!
*
E
D
E
D
e E N, Ej Ej , El
e E N, El = β l ∇ E ∑ ∇
= β l ∇ Ek ∇
k
k
k
D

j

D

= − β l ∑ ∇ Ek

D

E
e E Ej , N Ej , El = − β l ∑ ∇ E hkj Ej , El
∇
k
k
E



j

j

= − β l ∑{ Ek (hkj )δlj + hkj ∇ Ek Ej , El }
j

= − β l Ek (hkl ),
e, consequentemente,

− ∑ β l Ek (hkl ) =
k,l

=

E
D
e
e
∇
N,
E
β
∇
∑ l Ek Ek l
k,l

∑
k

*

eE ∇
eE N
∑ βl El , ∇
k
k
l

+

D
E
eE ∇
eE N .
= ∑ TT, ∇
k
k
k

Logo,
D
E
eE ∇
e E N + f Ric ( N, N ) .
Ric ( T, N ) p = ∑ β l El (hkk ) + ∑ T T , ∇
p
k
k
k,l

(2.12)

k

Substituindo (2.11) e (2.12) em (2.9), obtemos
D
E
e
T
∇
E
(
t
)
,
N
t
∑
Ek (t) k
k

t =0

=

E
D
T e
e
β
E
(
h
)
+
T
,
∇
∇
N
+ f Ric ( N, N ) p
Ek Ek
∑ l l kk ∑
k,l

k

+∆ f − f | A| − 2 ∑
2

k

D

E
E
D
T e
T e
e
e
∇ Ek T , ∇ Ek N − ∑ T , ∇ Ek ∇ Ek N
k

= f Ric ( N, N ) p + ∆ f − f | A| − 2 ∑
2

D

E
T e
e
∇ Ek T , ∇ Ek N ,

k

onde usamos o fato de

∑ βl El (hkk ) = ∑ βl El
k,l

l

!

∑ hkk
k

44

!

= T T (nH ) = T T (0) = 0.

dHt
, obtemos
Agora, depois de termos calculado o primeiro e o segundo somatário em n
dt t=0
que
n

E
D
dHt
e E T T , (∇
e E N ) T + 2 f | A|2 + f Ric ( N, N )
= 2∑ ∇
p
k
k
dt t=0
k
D
E
e E TT, ∇
eE N
+ ∆ f − f | A |2 − 2 ∑ ∇
k
k
k

= f Ric ( N, N ) p + ∆ f + f | A|2 ,
E
e E N ). Portanto,
e E N )T = ∇
e
a última igualdade vem do fato de que ∇ Ek N, N = 0(⇒ (∇
k
k
D

00

A (0)( f ) = −n
=

Z
M



Z
M

∂
Ht
∂t


f dM
t =0

{− f ∆ f − ( Ric( N, N ) + | A|2 ) f 2 }dM.

Sejam M uma superfície mínima e D ⊂ M um domínio limitado de M. Dizemos que D
é estável se A00 (0)( f ) > 0, para toda variação normal de M que fixa o bordo ∂D de D. Isto
significa que D é um ponto (crítico da área) de mínimo relativo para toda variação normal.
Se M não é estável, então existe uma função f : M → R com f |∂M = 0 tal que A00 (0)( f ) ≤ 0.
Se a desigualdade for estrita, então M é chamada de instável. Agora observe que a equação (2.8)
se escreve da seguinte forma
Z

A00 (0)( f ) = −

M

f L f dM,

onde L : C0∞ → C0∞ ( M) é o operador linear dado por L f = ∆ f + ( Ric( N, N ) + | A|2 ) f . Por
simplicidade denotaremos por Q forma quadrática associada ao operador L, ou seja,
Q( f ) = −

Z
M

f L f dM.

A aplicação linear L é chamada de operador de estabilidade ou operador de Jacobi.
Define-se o índice da forma quadrática Q como a dimensão do maior subespaço de C0∞ ( M)
no qual Q é negativa. O índice de Q nos fornece uma medida de não estabilidade de M. Tal
índice é chamado de índice de Morse, Ind( M ) da superfície M.
45

Seja λ dado por L f + λ f = 0 para algum f ∈ C0∞ ( M ), isto é, λ é um autovalor de L. Observe
que o operador L é diagonalizável por uma sequência crescente {λ j } j∈N de autovalores reais
de L,
λ1 < λ2 ≤ λ3 ≤ · · · ≤ λn ≤ · · · % +∞,

(2.13)

cujos auto-espaços associados tem dimensão finita. Dessa forma podemos escrever
∞

Q ( f ) = ∑ λ i ( f i , f i ),
i =1

onde f i é uma autofunção correspondente ao autovalor λi .
Decorre daí que Ind( M) é o número de autovalores negativos (contados com
multiplicidade) do operador L. Uma consequência de (2.13) é que o índice de uma superfície
mínima compacta com bordo é finito.
Observe que apesar de L e Q serem definidas nos espaços das funções diferenciáveis por
partes em M que se anulam no bordo, eles podem ser expandidos para espaços vetoriais de
funções diferenciáveis em quase todos os pontos de M, isto é, exceto em um conjunto de
medida nula.
Para finalizar essa seção, mostraremos, agora, uma desigualdade que será de fundamental
importância em argumentos vindouros.
Lema 2.2.1 (Desigualdade da Estabilidade). Seja Mn ⊂ M
Então para qualquer função Lipschitz η com suporte compacto
Z

2

M

2

(| A| + Ric M ( N, N ))η dM ≤

n +1

Z
M

uma hipersuperfície mínima estável.

|∇ M η |2 dM.

Demonstração. Como M é estável então
0≤−
Assim, vendo que

Z
M

R

ηLηdM = −

Z
M

M η∆ M ηdM = −

Z

(η∆ M η + (| A|2 + Ric M ( N, N ))η 2 )dM.

R

2
M |∇ M η | dM, temos que

2

M

2

(| A| + Ric M ( N, N ))η dM ≤

46

Z
M

|∇ M η |2 dM.

Observe que se estivermos em um ambiente onde a curvatura de Ricci é identicamente nula,
então a desigualdade acima se resume a
Z

2 2

M

2.3

| A| η dM ≤

Z
M

|∇ M η |2 dM.

(2.14)

Desigualdade de Simons

Nesta seção, vamos obter uma desigualdade que envolve o Laplaciano do quadrado da
norma da segunda forma fundamental de uma hipersuperfície mínima M no Rn+1 . Esta
desigualdade foi provada por J. Simons em [21] e afirma, em sua forma mais geral, que para
n +1
uma hipersuperfície mínima Mn ⊂ M
a
∆ M | A |2 ≥ − C (1 + | A |2 )2 ,
onde C depende apenas de M.
Seja Mn ⊂ Rn+1 uma hipersuperfície mínima e sejam { E1 , · · · , En } um referencial
ortonormal em uma vizinhança de p ∈ M e N o vetor unitário normal a M. Já sabemos de
(2.5) que
D
E
D
E
e X Y, N = − ∇
e X N, Y .
h( X, Y ) = h A( X, Y ), N i = ∇
D
E
e
Seja hij := h( Ei , Ej ). Logo hij = − ∇ Ei N, Ej e definimos hij,k := ∇ Ek hij . Observe que
e e ∇ como as conexões do Rn+1 e M, respectivamente.
estamos tomando ∇
Lema 2.3.1. hij como definido acima é simétrico, isto é, hij = h ji .
e E Ej = ∇
e E Ei então
Demonstração. Como ∇
i
j
D
E D
E
e E Ej , N = ∇
e E Ei , N = h ji .
hij = h( Ei , Ej ) = ∇
i
j

Observe que h é um tensor simétrico de ordem 2.
Lema 2.3.2. hij é simétrico com relação ao primeiro e terceiro índice, isto é, hij,k = hkj,i .

47

Demonstração. Note que
hij,k = ∇ Ek h( Ei , Ej ) = Ek h( Ei , Ej ) − h(∇ Ek Ei , Ej ) − h( Ei , ∇ Ek Ej )
D
E D
E D
E
e
e
e
= − Ek ∇ Ei N, Ej + ∇∇E Ei N, Ej + ∇ Ei N, ∇ Ek Ej
E
E D
E D
E D k
D
e ∇ E N, Ej + ∇
e E Ej + ∇
e E N, ∇ E Ej
e E N, ∇
e E N, Ej − ∇
eE ∇
= − ∇
i
i
i
Ek i
k
k
k
E D
E
E D
D
E D
e ∇ E N, Ej
e E Ej ) N + ∇
e E N, (∇
eE ∇
e E N, Ej − ∇
e E N, ∇ E Ej − ∇
= − ∇
i
i
i
Ek i
k
k
k
D
E
e E N, ∇ E Ej .
+ ∇
i
k
e N−
eE ∇
Assim, como a curvatura do Rn+1 é nula, temos que 0 = R( Ek , Ei ) ND = ∇
i EEk
e E N, N = 0,
e E N. Veja que h N, N i = 1 implica ∇
eE ∇
eE N = ∇
eE ∇
e E N e com isso ∇
eE ∇
∇
i
i
k
k
Di
Ek i
N
e E N, (∇
e E Ej )
assim ∇
= 0.
i
k
Portanto,
D
E D
E
e
e
e
hij,k = − ∇ Ei ∇ Ek N, Ej + ∇∇E Ek N, Ej = hkj,i .
i

Usando os Lemas (2.3.1) e (2.3.2) podemos concluir que hij,k é simétrico em todos os índices.
Defina m( X, Y, Z ) := (∇ Z h)( X, Y ), assim m( Ei , Ej , Ek ) = hij,k . Seja agora hij,kl :=
(∇ El m)( Ei , Ej , Ek ) = ∇ El hij,k . Diferente de hij,k , que é simétrico em todos os índices, hij,kl não é
simétrico em relação ao último índice. Em detalhes temos o seguinte lema.
Lema 2.3.3. Dado hij,kl como acima, vale que
n

n

m =1

m =1

hij,kl = hij,lk + ∑ Rlkim hmj + ∑ Rlkjm hmi .
Demonstração. Note que

48

hij,kl = (∇ El m)( Ei , Ej , Ek )

= El m( Ei , Ej , Ek ) − m(∇ El Ei , Ej , Ek ) − m( Ei , ∇ El Ej , Ek ) − m( Ei , Ej , ∇ El Ek )
= El (∇ Ek h)( Ei , Ej ) − (∇ Ek h)(∇ El Ei , Ej ) − (∇ Ek h)( Ei , ∇ El Ej ) − (∇∇E Ek h)( Ei , Ej )
l

= El Ek h( Ei , Ej ) − El h(∇ Ek Ei , Ej ) − El h( Ei , ∇ Ek Ej )
− Ek h(∇ El Ei , Ej ) + h(∇ Ek ∇ El Ei , Ej ) + h(∇ El Ei , ∇ Ek Ej )
− Ek h( Ei , ∇ El Ej ) + h(∇ Ek Ei , ∇ El Ej ) + h( Ei , ∇ Ek ∇ El Ej )
−∇ El Ek h( Ei , Ej ) + h(∇∇E Ek Ei , Ej ) + h( Ei , ∇∇E Ek Ej ).
l

l

Ademais, El Ek h( Ei , Ej ) = Ek El h( Ei , Ej ), ∇ Ek El = ∇ El Ek e, usando a definição de curvatura,
h(∇ Ek ∇ El Ei , Ej ) = h( R( El , Ek ) Ei , Ej ) + h(∇ El ∇ Ek Ei , Ej ).
Analogamente,
h( Ei , ∇ Ek ∇ El Ej ) = h( Ei , R( El , Ek ) Ej ) + h( Ei , ∇ El ∇ Ek Ej ).
Logo, arrumando as parcelas,
hij,kl = Ek El h( Ei , Ej ) − Ek h(∇ El Ei , Ej ) − Ek h( Ei , ∇ El Ej )

− El h(∇ Ek Ei , Ej ) + h( Ei , ∇ El ∇ Ek Ej ) + h(∇ Ek Ei , ∇ El Ej )
− El h( Ei , ∇ Ek Ej ) + h(∇ El Ei , ∇ Ek Ej ) + h( Ei , ∇ El ∇ Ek Ej )
−∇ Ek El h( Ei , Ej ) + h(∇∇E El Ei , Ej ) + h( Ei , ∇∇E El Ej )
k

k

+h( R( El , Ek ) Ei , Ej ) + h( Ei , R( El , Ek ) Ej )
n

n

m =1

m =1

= hij,lk + ∑ Rlkim hmj + ∑ Rlkjm hmi ,
onde Rlkim está definido em (1.3).
Observe, de (1.9), que
Rijkl = hik h jl − h jk hil
49

(2.15)

Usando este fato em (2.15),
n

n

m =1
n

m =1

hik,jk = hik,kj + ∑ Rkjim hmk + ∑ Rkjkm hmi
n

= hik,kj + ∑ (hki h jm − h ji hkm )hmk + ∑ (hkk h jm − h jk hkm )hmi .
m =1

(2.16)

m =1

De (1.8) vemos que
n

| A|2 = ∑ A( Ei , Ej ), N
i,j=1

2

n

= ∑ h2ij ,
i,j=1

e sendo Mn ⊂ Rn+1 uma hipersuperfície mínima, então de (1.6)

~ = ∑ A( Ei , Ei ) = ∑ h A( Ei , Ei ), N i N = ∑ hii N.
0 = nH
i

i

i

Logo,

∑ hii = 0.

(2.17)

i

Agora, usando os lemas (2.3.1), (2.3.2) e (2.3.3). temos o seguinte
Teorema 2.3.1 (Equação de Simons). Seja Mn ⊂ Rn+1 uma hipersuperfície mínima. Então

| A|∆ M | A| + |∇ M | A||2 = −| A|4 +

n

∑ h2ij,k ,

i,j,k=1

onde A é a segunda forma fundamental da imersão isométrica de Mn em Rn+1 , ∆ M e ∇ M são,
respectivamente, o Laplaciano e o gradiente em M.
Demonstração. Usando (1.2),
1
∆ M | A|2 = | A|∆ M | A| + |∇ M | A||2 .
2

50

n
2
Por outro lado, usando (1.2) e o fato de | A|2 = ∑i,j
=1 hij ,
n

1
1
∆ M | A |2 =
∆M
2
2

∑ h2ij

!

i,j=1

n

1
∆ M (h2ij )
2
i,j=1

= ∑

n

n

i,j=1

i,j=1

∑ hij ∆ M hij + ∑ |∇ M hij |2.

=
Logo,

n

| A|∆ M | A| + |∇ M | A||2 = ∑ hij ∆ M hij +
i,j=1

n

∑ h2ij,k .

i,j,k=1

n
4
Assim, basta mostrar que ∑i,j
=1 hij ∆ M hij = −| A | . De fato, usando os Lemas (2.3.1) e (2.3.2) e
a equação (2.16), temos

n

∑ hij ∆ M hij =

i,j=1

=

n

n

∑

hij hij,kk =

i,j,k=1

n

n

n

m =1

m =1

∑ hij

i,j,k=1
n

=

∑ hij hik,jk

i,j,k=1

hik,kj + ∑ (hki h jm − h ji hkm )hmk + ∑ (hkk h jm − h jk hkm )hmi
n

∑ hij hik,kj + ∑

i,j,k=1

hij (hki h jm − h ji hkm )hmk

i,j,k,m=1

n

∑

+

hij (hkk h jm − h jk hkm )hmi

i,j,k,m=1
n

=

n

∑

hij hik,kj +

+

∑

i,j,k=1

n

∑

hij hki h jm hmk −

i,j,k,m=1
n

n

∑

i,j,k,m=1

hij h jk hkm hmi

i,j,k,m=1
n

∑ hij hik,kj + ∑

−

∑

hij hkk h jm hmi −

i,j,k,m=1
n

i,j,k=1

h2ij h2km

i,j,k,m=1

n

=

∑

hij hmk (hki h jm − h jk hmi )

i,j,k,m=1
n

h2ij h2km +

∑

hij hkk h jm hmi .

i,j,k,m=1

51

!

Como M é uma hipersuperfície mínima, vemos que
n

n

k

k

∑ hkk = 0 ⇒ Ej Ei ∑ hkk = 0.
Assim ∑nk hik,kj = 0 e, portanto,
n

n

n

∑ hij hik,kj = ∑ hij ∑ hik,kj
i,j=1

i,j,k=1

!

= 0.

k =1

Temos também que
n

∑

n

hij hkk h jm hmi =

∑ hij ∑ hkk

i,j,m=1

i,j,k,m=1

!
h jm hmi = 0,

k =1

pois M é uma hipersuperfície mínima. E, fixando k e m, temos
n

∑ hij hmk (hki h jm − h jk hmi ) = 0,

i,j=1

pois chamando zij = hij hmk (hki h jm − h jk hmi ), temos que zij = −z ji .
Logo,
n

n

i,j=1

i,j,k,m=1

∑ hij ∆ M hij = − ∑

h2ij h2km = −

n

∑

h2ij

i,j=1

∑

!
h2km

= −| A|4 .

k,m=1

Portanto,

| A|∆ M | A| + |∇ M | A|| = −| A| +
2

n

4

n

∑ h2ij,k .

i,j,k=1

Observe primeiro que, como h é simétrico, podemos escolher Ei , i = 1, .., n tal que, em p,
hij = λi δij . Assim, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, teremos que

52



4| A|2 |∇| A||2 = |∇| A|2 |2 =
n

n

j,i =1

i =1

n



= 4∑

n

2 ∑ hij,1 hij , . . . , 2 ∑ hij,n hij

∑ hij,k hij

2

k=1 j,i =1
n  n

2

k =1 i =1
n  n

 n

= 4∑

∑ hii,k hii

≤ 4∑

∑ h2ii

∑ h2ii,k

i =1
n

k =1

2



i =1

≤ 4| A|2 ∑ h2ii,k .
i,k=1

Portanto,
n

|∇| A||2 ≤ ∑ h2ii,k .

(2.18)

i,k=1

Teorema 2.3.2 (Desigualdade de Simons). Seja Mn ⊂ Rn+1 uma hipersuperfície mínima. Então

| A | ∆ M | A | + | A |4 ≥

2
|∇ M | A||2 .
n

Demonstração. Como M é mínima então ∑k hkk = 0 e, consequentemente, hii = − ∑ j6=i h jj .
Assim, para todo i, temos
h2ii,i =



=



∇ Ei hii

2

=



− ∇ Ei ∑ h jj

2

j 6 =i

∑ h jj,i

2

.

j 6 =i

E mais, para todo α ∈ R e i fixo, ∑ j6=i (h jj,i + α)2 ≥ 0. Logo o discriminante da equação do
segundo grau ∑ j6=i (h jj,i + α)2 = 0 tem que ser menor ou igual a zero, ou seja,
4



∑ h jj,i
j 6 =i

2

− 4(n − 1) ∑ h2jj,i ≤ 0,
j 6 =i

53

logo,


∑ h jj,i

2

≤ (n − 1) ∑ h2jj,i .

(2.19)

j 6 =i

j 6 =i

Assim, de (2.18) e (2.19), teremos
n

n

n

i,k=1
n

i 6=k

i =1

∑ h2ii,k = ∑ h2ii,k + ∑ h2ii,i

|∇| A||2 ≤

∑ h2ii,k + (n − 1) ∑ h2jj,i

≤

j 6 =i

i 6=k

= n∑

h2ii,k .

j 6 =i

Portanto,

∑ h2jj,i ≥
j 6 =i

|∇ M | A||2
.
n

Por outro lado, como hij,k é simétrico em todas os índices,
n

∑

h2ij,k

=

∑

h2ii,k +

i 6=k

i,j,k=1

∑

h2ik,i +

i 6=k
n

∑

h2ki,i +

i 6=k

n

∑ h2ii,i + ∑

i =1

h2ij,k

k 6 =i 6 = j 6 = k

≥ 3 ∑ h2ii,k + ∑ h2ii,i
i 6=k

i =1
n

= 2 ∑ h2ii,k + ∑ h2ii,i + ∑ h2ii,k
i 6=k

i 6=k

i =1
n

= 2 ∑ h2ii,k + ∑ h2ii,k
i 6=k

≥

i,k=1

2
|∇| A||2 + |∇| A||2 .
n

Logo, usando a equação de Simons, temos que
2
| A|∆ M | A| + |∇ M | A||2 ≥ −| A|4 + |∇ M | A||2 + |∇ M | A||2 .
n

54

Portanto,

| A | ∆ M | A | + | A |4 ≥

55

2
|∇ M | A||2 .
n

CAPÍTULO 3
HIPERSUPERFÍCIES MÍNIMAS
COMPLETAS ESTÁVEIS

Neste capítulo, apresentaremos os principais resultados deste trabalho, que consistem
em mostrar que uma hipersuperfície mínima completa estável cuja curvatura total é finita
é, na verdade, um hiperplano. Esse teorema foi provado por do Carmo-Peng em [7] e ele
será enunciado e devidamente provado na primeira seção deste capítulo. Finalizaremos este
capítulo fazendo uma pequena extensão do resultado de Li-Wei obtido em [16].

3.1

Estimativas L2 da Norma da Segunda Forma Fundamental

Apresentaremos um resultado importante obtido por do Carmo-Peng que consiste em
mostrar que, com algumas condições sob a curvatura, hipersuperfícies mínimas completas e
orientadas no Rn+1 é um hiperplano. A principal referência para essa seção foi o artigo [7].
Teorema 3.1.1 (do Carmo-Peng). Seja x : Mn → Rn+1 uma hipersuperfície mínima completa e
estável. Assuma que
R
2
BR | A | dM
lim
= 0,
R→∞
R2+2q
r
2
onde 0 < q <
, BR ⊂ M é uma bola geodésica de raio R centrada em algum ponto de M e A a
n
56

segunda forma fundamental de x. Então x ( M ) ⊂ Rn+1 é um hiperplano.
Demonstração. Sejam q > 0 um número real e f uma função de Lipschitz com suporte compacto
em M. Assim, multiplicando a desigualdade de Simons por | A|2q f 2 e integrando em M,
obtemos, usando o teorema da divergência, que
2
n

Z
M

Z

| A|4+2q f 2 dM +

Z

| A|2q+1 f 2 ∆| A|dM
ZM
ZM D
E
4+2q 2
2q+1 2
=
| A|
f dM −
∇(| A|
f ), ∇| A| dM

| A|2q f 2 |∇| A||2 dM ≤

ZM

=

M

| A|4+2q f 2 dM − 2

−(2q + 1)

Z
M

M
Z

M

| A|2q+1 f h∇ f , ∇| A|i dM

| A|2q f 2 |∇| A||2 dM.

Portanto,

2
( + 2q + 1)
n

Z

2q 2

M

2

| A| f |∇| A|| dM ≤

Z
M

| A|

4+2q 2

f dM − 2

Z
M

| A|2q+1 f h∇ f , ∇| A|i dM. (3.1)

Agora, usando (2.14) com η = | A|1+q f , temos

Z
M

Z

| A|2 (| A|1+q f )2 dM ≤

ZM

=

M

|∇(| A|1+q f )|2 dM
|(1 + q)| A|q f ∇| A| + | A|1+q ∇ f |2 dM

= (1 + q )
+

Z
M

2

Z

2q 2

M

2

| A| f |∇| A|| dM + 2(1 + q)

Z
M

| A|1+q f h∇ f , ∇| A|i dM

| A|2+2q |∇ f |2 dM.

Logo,
Z
M

| A|

4+2q 2

f dM ≤ (1 + q)

+

Z
M

2

Z

| A|

2q 2

M

2

| A| f |∇| A|| dM + 2(1 + 2q)

2+2q

2

|∇ f | dM.

57

Z
M

| A|1+2q f h∇ f , ∇| A|i dM
(3.2)

Multiplicando (3.1) por (1 + q) e somando (3.2) obtemos
Z
M

| A|

2
f dM + (1 + q)( + 2q + 1)
Zn

4+2q 2

≤ (1 + q )
+

Z
M

M

Z

M

| A|

MZ

+(1 + q)
+

M

| A|2q f 2 |∇| A||2 dM

4+2q 2

f dM − 2(1 + q)

Z
M

| A|2q+1 f h∇ f , ∇| A|i dM

| A|4+2q f 2 dM

≤ (1 + q )

Z

| A|

Z

2

4+2q 2

f dM − 2(1 + q)

2q 2

M

Z
M

| A|2q+1 f h∇ f , ∇| A|i dM

2

| A| f |∇| A|| dM + 2(1 + q)

Z
M

| A|1+2q f h∇ f , ∇| A|i dM

| A|2+2q |∇ f |2 dM,

ou seja,
2
| A|2q f 2 |∇| A||2 dM − (1 + q)2
(1 + q)( + 2q + 1)
n
ZM
Z
Z

≤ q

M

| A|

4+2q 2

f dM +

M

| A|

2+2q

Z
M

| A|2q f 2 |∇| A||2 dM

2

|∇ f | dM.

Portanto,
2
(1 + q)( + q)
n

Z

2q 2

M

2

| A| f |∇| A|| dM ≤ q

Z
M

| A|

4+2q 2

f dM +

Z
M

| A|2+2q |∇ f |2 dM.

(3.3)

b 2
b2
εa − √
≥ 0 para todo ε > 0, ou seja, 2ab ≤ εa2 + , para todo
ε
ε
ε > 0 e, usando a = |∇| A|| f e b = | A||∇ f | na desigualdade (3.2), obtemos
Agora, observe que

√

58

Z
M

| A|

4+2q 2

f dM ≤ (1 + q)

+

Z
M

2

Z

2q 2

M

2

| A| f |∇| A|| dM + (1 + q)

Z
M

| A|2q 2 h| A|∇ f , f ∇| A|i dM

| A|2+2q |∇ f |2 dM

≤ (1 + q )

2

Z

(1 + q )
+
ε

2q 2

M

2

| A| f |∇| A|| dM + ε(1 + q)

Z

Z
M

| A|2q f 2 |∇| A||2 dM

Z

| A|2+2q |∇ f |2 dM
Z
ε + 1 + q Z
= (1 + q)(1 + q + ε)
| A|2+2q |∇ f |2 dM.
| A|2q f 2 |∇| A||2 dM +
ε
M
M
2q

M

2

2

| A| | A| |∇ f | dM +

M

Logo
Z
M

| A|

Z

4+2q 2

f dM ≤ (1 + q)(1 + q + ε)
| A|2q f 2 |∇| A||2 dM
M
ε + 1 + q Z
| A|2+2q |∇ f |2 dM.
+
ε
M

(3.4)

Assim, substituindo a equação (3.3) na equação (3.4), obtemos

Z
M

| A|

(1 + q)(1 + q + ε)q
(1 + q)(1 + q + ε)
f dM ≤
| A|4+2q f 2 dM +
2
M
(1 + q)( n + q)
(1 + q)( n2 + q)
ε + 1 + q Z
+
| A|2+2q |∇ f |2 dM,
ε
M
Z

4+2q 2

Z
M

| A|2+2q |∇ f |2 dM

isto é,
Z
M

| A|

(1 + q + ε ) q
f dM ≤
( n2 + q)

4+2q 2

Z
M

| A|

4+2q 2

f dM + β I

Z
M

| A|2+2q |∇ f |2 dM,
r

onde β I é uma constante que depende somente de n, ε e q. Usando o fato de q <

(3.5)

2
, obtemos
n

q + n2
(1 + q ) q
q + q2
=
<
= 1.
q + n2
q + n2
q + n2
Assim, podemos escolher ε > 0 suficientemente pequeno tal que
59

(1 + q + ε ) q
< 1. Logo,
( n2 + q)

encontramos que
Z
M

| A|

4+2q 2

f dM ≤ β 2

Z
M

| A|2+2q |∇ f |2 dM

(3.6)

onde β 2 é uma constante que depende somente de n, ε e q.
Queremos transformar a equação (3.6) de forma que o integrando do lado direito tenha
2
| A| . Para isto, usaremos a desigualdade de Young, veja (B.0.4). Seja p, 0 < p < 2 + 2q um
número ainda a ser determinado. Assim, usando a desigualdade de Young para a = | A|2+2q− p
|∇ f |2
e b = | A| p f 2 chegamos a

| A|

2+2q

|∇ f |

2

= f

2

≤ f2



|∇ f |
| A|2+2q 2
f

2

= f

2



| A|

2+2q− p

|∇ f |
| A| p 2
f

2


 α−t 
|∇ f |2 t 
| A|s(2+2q− p) + f 2
| A| p 2
,
s
t
f

 αs

ou seja,

| A|2+2q |∇ f |2 ≤ f 2


 α−t 
|∇ f |2 t 
.
| A|s(2+2q− p) + f 2
| A| p 2
s
t
f

 αs

(3.7)

Agora, escolha p satisfazendo as seguintes equações:
s(2 + 2q − p) = 4 + 2q,

pt = 2,

1 1
+ = 1.
s
t

Isso é realmente possível. De fato, a solução é
p=

2
,
1+q

t = 1 + q,

s=

1+q
.
q

Usando esses valores e o fato de que podemos tomar α tão pequeno quanto se queira,
obtemos de (3.6) e (3.7) que
Z
M

| A|4+2q f 2 dM ≤ β 2
= β2

Z
M

Z
M

| A|2+2q |∇ f |2 dM
f2

 αs
s

Z

| A|s(2+2q− p) + β 2

60

M

f2

 α−t 
t

| A| p

|∇ f |2 t 
.
f2

Assim,

1+ q


1−

β2 α q

Z

1+ q
q

M

| A|4+2q f 2 dM ≤

β 2 α −1− q
1+q

Z
M

f 2 | A |2

|∇ f |2+2q
,
f 2+2q

ou seja,
Z
M

| A|

4+2q 2

f dM ≤ β 3

Z
M

| A |2

|∇ f |2+2q
.
f 2q

(3.8)

Trocando f por f 1+q em (3.8), chegamos em
Z
M

(h∇( f 1+q ), ∇( f 1+q )i)1+q
M
f (1+q)2q
Z
Z
f (1+q)2q |∇ f |2+2q
= β3
| A |2
=
β
| A|2 |∇ f |2+2q .
3
(
1
+
q
)
2q
M
M
f

| A|4+2q f 2+2q dM ≤ β 3

Z

| A |2

Seja BR uma família de subconjuntos de M dada por
BR = { p ∈ M |ρ( p, p0 ) ≤ R},
onde ρ( p, p0 ) é a distância geodésica em M de p até um ponto fixado p0 . Por completude, BR é
compacto e
[
BR = M.
R∈(0,+∞)

É conhecido que |∇ρ| ≤ 1 em quase toda parte de M. Agora, fixando R e 0 < θ < 1 e
tomando f em (3.8) dada por


1


 R − ρ( p)
f ( p) =

(1 − θ ) R


 0

para ρ( p) ≥ R.

Z

Z

para ρ( p) ≤ θR;
para θR ≤ ρ( p) ≤ R; ,

Vemos, por (3.8), que
Z
BθR

| A|4+2q dM =

onde |∇ f | =

BθR

| A|4+2q f 2 dM ≤

R
BR

| A|4+2q f 2 dM ≤ β 3

BR | A |

2

((1 − θ ) R)2q+2

,

(3.9)

−∇ρ
1
≤
. Usando a nossa hipótese sobre o decaimento de | A|2
(1 − θ ) R
(1 − θ ) R
61

temos que o lado direito de (3.9) vai a zero quando R → ∞. Por outro lado, o esquerdo converge
para uma integral em toda M. Portanto,
0≤

Z
M

| A|4+2q dM ≤ 0.

Como | A| é uma aplicação contínua então | A| = 0, isto é, x ( M) ⊂ Rn+1 é um
hiperplano.
Como consequência desse teorema temos o seguinte resultado.
Corolário 3.1.1. Seja x : Mn → Rn+1 uma hipersuperfície mínima completa e estável, e seja A a sua
segunda forma fundamental. Assuma que
Z
M

| A|2 dM < ∞.

Então x ( M ) ⊂ Rn+1 é um hiperplano.
Demonstração. Basta observar que existe um c > 0 tal que

R
lim

R→∞

R

2
M | A | dM < c e, portanto,

2
c
M | A | dM
≤ lim 2+2q = 0.
2
+
2q
R→∞ R
R

Logo, pelo Teorema (3.1.1), x ( M) ⊂ Rn+1 é um hiperplano.
Agora, seguindo [7] temos a seguinte definição.
Definição 3.1.1. Dizemos que uma hipersuperfície M tem curvatura total finita quando
Z
M

KdM < ∞.

Se M é uma hipersuperfície mínima sabemos, de (1.10), que | A|2 = −2K. Portanto, o
corolário acima diz que uma hipersuperfície mínima, completa e estável com curvatura total
finita é de fato um hiperplano.

62

3.2

Estimativas L3 da Norma da Segunda Forma Fundamental

Nesta seção, consideraremos não mais a estimativa L2 da norma, como foi obtido na seção
anterior, e sim a estimativa L3 da norma, no qual, estenderemos o resultado de Li-Wei (veja
[16]) para 3 ≤ n ≤ 7, encontrando assim, nas condições do teorema que será enunciado a
seguir, que a hipersuperfície terá a norma da segunda forma fundamental nula, i.e., | A| = 0,
ou seja, a nossa hipersuperfície é um hiperplano. As principais referências para essa seção
foram os artigos [7] e [16].
Teorema 3.2.1 (Li-Wei). Seja x : Mn → Rn+1 (3 ≤ n ≤ 7)uma hipersuperfície mínima completa e
estável. Assuma que
R
3
BR | A | dM
lim
= 0,
R→∞
R1+2q
r
2
onde 0 < q <
e BR ⊂ M é uma bola geodésica de raio R centrada em algum ponto de M e A a
n
segunda forma fundamental de x. Então x ( M ) ⊂ Rn+1 é um hiperplano.
Demonstração. Com os mesmos cálculos da seção anterior obtemos, de (3.6), que
Z
M

| A|

4+2q 2

f dM ≤ β 2

Z
M

| A|2+2q |∇ f |2 dM,

(3.10)

r

2
.
n
E usando a desigualdade de Young (ver apêndice B Lema (B.0.4)) obtemos em (3.7), ou seja,

onde q <

| A|

2+2q

2

|∇ f | ≤ f

2

 αs
s

| A|

s(2+2q− p)



+f

2

 α−t 
t

|∇ f |
| A| p 2
f

2 t 

,

(3.11)

1 1
onde α > 0, t e s são números reais positivos satisfazendo + = 1 e p, 0 < p < 2 + 2q um
s
t
número que determinaremos a seguir.
Agora, escolha p satisfazendo as seguintes equações;
s(2 + 2q − p) = 4 + 2q,

63

pt = 3,

1 1
+ =1
s
t

Isso é realmente possível. De fato, a solução é
p=

6
,
1 + 2q

t=

1 + 2q
,
2
r

Como s > 1 então 2q − 1 > 0. Logo, como q <
Usando esse valores temos
1+2q


1−

β 2 α 2q−1
1+2q
2q−1

2
, temos n < 8.
n
1+2q

Z
M

| A|

4+2q 2

f dM ≤

1 + 2q
.
2q − 1

s=

β 2 α−( 2 )
1+2q
2

Z
M

f 2 | A |3

|∇ f |1+2q
.
f 1+2q

(3.12)

Assim, tomando α suficientemente pequeno, temos
1+2q


1−

β3 =



β 2 α 2q−1

> 0.

1+2q
2q−1

Logo, da desigualdade 3.12, temos
Z
M

| A|4+2q f 2 dM ≤ β 4

Z
M

| A |3

|∇ f |1+2q
f 2q−1

(3.13)

onde β 4 depende somente de α, n, ε e q. Agora, usando a arbitrariedade de f e trocando f por
1+2q
f 2 em (3.13) obtemos
Z
M

| A|4+2q f 1+2q dM ≤ β 4

Z
M

| A|3 |∇ f |1+2q .

(3.14)

E, analogamente à seção anterior, temos | A| = 0, isto é, x ( M) ⊂ Rn+1 é um hiperplano.
Como corolário desse Teorema temos o seguinte resultado.
Corolário 3.2.1. Seja x : Mn → Rn+1 (3 ≤ n ≤ 7) uma hipersuperfície mínima completa e estável, e
seja A a sua segunda forma fundamental. Assuma que
Z
M

| A|3 dM < ∞.

Então x ( M ) ⊂ Rn+1 é um hiperplano.

64

Demonstração. Segue de modo análogo ao Corolário 3.1.1.

65

CAPÍTULO 4
SUPERFÍCIES MÍNIMAS COM ÍNDICE
FINITO NO R3
Neste capítulo, estudaremos superfícies mínimas completas com índice finito no R3 .
Primeiro discutiremos o índice do operador L, seguindo com uma discussão geométrica do
índice finito de superfícies mínimas em uma variedade Riemanniana N de dimensão 3, ou seja,
em N 3 e finalmente analisaremos essa mesma situação no R3 . As principais referências, para
este capítulo, são [8], [20] e [18].
Seja M uma superfície mínima completa e orientada em uma variedade Riemanniana N 3 .
O primeiro autovalor do operador estabilidade L, i.e., λ1 , em um domínio limitado Ω ⊂ M é
dado por


λ1 (Ω) = inf

Q(φ)|φ ∈ C0∞ (Ω),

Z

Ω

φ2 dM = 1

onde Q é a forma quadrática associada ao operador L.
Sejam p ∈ M um ponto de M e BR ( p) a bola geodésica em M de raio R e centrada em p.
Seja também W um subespaço de dimensão finita de funções seccionalmente suaves em BR (0).
Q é uma forma negativa definida em W se Q(φ) < 0 para todo φ ∈ W, φ 6= 0.
0

0

Lema 4.0.1. Se Ω e Ω são domínios compactos em M e Ω ⊂ Ω , então
0

λ1 ( Ω ) ≥ λ1 ( Ω ).
66

0

Se Ω − Ω 6= ∅ então a desigualdade é estrita.

4.1

Superfícies Mínimas de Índice Finito em N 3 com
Curvatura Escalar não negativa

Nesta seção, iremos trabalhar com superfícies mínimas de índice finito imersas em N 3 que
tem curvatura escalar não negativa.
Proposição 4.1.1. Se M tem índice finito então existe um conjunto compacto C em M tal que M − C
é estável e existe uma função positiva g em M de modo que Lg = 0 em M − C.
Demonstração. Fixe p ∈ M e seja Bρ ( p) a bola geodésica de raio ρ centrada em p.
Seja
ρ1 = 2 · sup{ρ| Bρ ( p) é estável}.
Caso ρ1 seja infinito então M é estável. Caso contrário, defina
ρ2 = 2 · sup{ρ > ρ1 | Bρ ( p) − Bρ1 ( p) é estável}.
Se ρ2 é infinito então, M − Bρ1 ( p) é estável, isto é, tomando C = Bρ1 ( p), M − C é estável. Caso
ρ2 < ∞, então Bρ2 ( p) − Bρ1 ( p) é instável. Assim, indutivamente, defina
ρk = 2 · sup{ρ > ρk−1 | Bρ ( p) − Bρk−1 ( p) é estável}.
Se ρk é infinito então M − Bρk−1 ( p) é estável. Caso contrário definimos, de modo análogo,
ρ k +1 .
Afirmação: Existe l ∈ N tal que ρl é infinito, isto é, existe um ρl tal que M − Bρl ( p) é estável.
De fato, suponha que exista uma sequência (ρk ), ρ1 < ρ2 < . . . tal que Aρi = Bρi ( p) − Bρi−1 ( p)
é instável para cada ρi da sequência. Assim, para cada i, o autovalor λ1 de L em Aρi é negativo.
Seja f i a autofunção associada a λ1 no anel Aρi , logo f i tem suporte em Aρi e Q é negativa
definida sobre o espaço gerado pela f i . Como M tem índice finito, só pode existir um número
0
finito de f i s, isto é, o processo acima deverá parar depois de um número l de passos e assim M
é estável fora do conjunto compacto C = Bρl ( p).
Como M é estável fora de C então o operador L tem autovalores não negativos em M − C,
assim, λ1 ( D ) ≥ 0 para todo domínio limitado D ⊂ M − C. Como M é completo e não
67

compacto, podemos escolher R0 , R1 suficientemente grandes tal que C esteja contido em BR0 ( p)
para algum p ∈ M, D ⊂ A R1 = BR1 ( p) − BR0 ( p) e A R1 − D 6= ∅, ou seja, A R1 contém
propriamente D. Pelo Lema (4.0.1) e pela estabilidade de A R1 temos λ1 ( D ) > λ1 ( A R1 ) ≥ 0.
Logo,
λ1 ( D ) > 0

(4.1)

para qualquer domínio limitado D ⊂ M − C.
Afirmamos que M − BR0 ( p) é a união de um número finito de componentes conexas
Ω1 , . . . , Ωk . De fato, seja q ∈ Ωi e seja γ a menor geodésica de p a q. Assim, existe e > 0
tal que γ ∩ BR0 +2e ( p) − BR0 +e ( p) 6= ∅, então Ωi intersecta BR0 +2e ( p) − BR0 +e ( p), ou seja ∪Ωi
é uma cobertura de BR0 +2e ( p) − BR0 +e ( p). Como BR0 +2e ( p) − BR0 +e ( p) é compacto então essa
cobertura admite uma subcobertura finita, isto é, existe um número finito de componentes
conexas Ω1 , . . . , Ωk .
Basta provar agora a existência de uma solução positiva g de L em M de modo que Lg = 0
em M − C. Para isto, fixemos um ponto p ∈ M. Para cada R > R0 , considere o problema
(

Lu = 0 em A R ;
u = 1 em ∂A R

(4.2)

Inicialmente, queremos mostrar que o problema (4.2) possui uma única solução. Para isso,
considere a seguinte afirmação
Afirmação. Só existe a solução trivial (i.e, identicamente nula) para o problema

(

Lu = 0 em A R ;
u = 0 em ∂A R .

(4.3)

De fato, caso contrário, existiria f não identicamente nula solução do problema de Dirichilet
(4.3). Logo, f estaria associado ao autovalor zero. Assim, algum λi ( A R ) seria zero, o que é uma
contradição já que λ1 ( A R ) > 0.
Pelo Teorema 6.15 de [11], para cada R > R0 existe uma única função v em A R tal que

68

(

Lv = q em A R
v = 0 em ∂A R ,

(4.4)

onde q = −| A|2 − Ric( N, N ).
Por outro lado, de (4.2), temos que
L(u − 1) = Lu + q = q em A R
e
u − 1 = 0 em ∂A R .
Logo, u − 1 também é solução de (4.4). Pela unicidade,
v = u − 1 ⇔ u = v + 1.
Assim, v + 1 é a única solução de (4.2) como queríamos inicialmente.
Agora provaremos que u > 0 em A R . Em virtude do princípio do máximo forte (teorema
3.5 de [11]), basta provar que u ≥ 0 em A R . Logo, se u ≥ 0 em A R então u > 0 em A R .
Mostraremos que u ≥ 0 em A R por absurdo, ou seja, suponhamos que
K = { x ∈ Ar |u( x ) < 0} 6= ∅.
Diante disso, K é um domínio limitado e K ⊂⊂ A R . Assim, pelo Lema (4.0.1) e por (4.1),
temos que

λ1 (K ) > λ1 ( A R ) > 0.

(4.5)

Como K ⊂⊂ A R , então Lu = 0 em A R garante que Lu = 0 em K. Observe também u = 0
em ∂K por continuidade. Logo, segue de (4.5) e da afirmação acima que

(

Lu = 0 em K;
u = 0 em ∂K
69

(4.6)

não possui solução não trivial, sendo assim, u = 0 em K, contradizendo a definição de K. Com
isso, mostramos que u > 0 em A R .
Dado que u( x0 ) 6= 0 com x0 ∈ A R , consideremos agora uma função gR definida em M − C
dada por
gR ( x ) = (u( x0 ))−1 u( x ).
Veja que

LgR = ∆gR − qgR = ∆(u( x0 ))−1 u − q(u( x0 ))−1 u

= (u( x0 ))−1 ∆u − (u( x0 ))−1 qu
= (u( x0 ))−1 (∆u − qu)
= (u( x0 ))−1 Lu = 0 em A R ,
uma vez que Lu = 0 em A R . Assim,
(

LgR = 0
gR ( x0 ) = 1, gR > 0

em A R ;
em ∂A R .

(4.7)

Pela desigualdade de Harnack (veja teorema 20, p, 199 de [11]), existe uma constante c tal
que qualquer compacto K ⊂ A R , temos

sup gR ≤ c inf gR .
K

K

(4.8)

Como infK gR ≤ gr ( x0 ) = 1, segue da desigualdade (4.8) que
gR ≤ c em K.
Daí, pelas estimativas de Schauder interiores (veja [11], teorema 6.2, p 90) garantimos que
as derivadas de ordem menor ou igual a dois de gR são equicontínuas. Logo, segue do teorema
de Ascoli-Arzelá que podemos escolher R j → +∞ tal que ( gRi ) converge uniformemente para

70

uma função g em K, e por conseguinte,
LgRi → Lg em K.
Sendo assim, acabamos de obter uma função g satisfazendo Lg = 0 e g( x0 ) = 1. Por fim,
como g não é identicamente nula e, pela convergência uniforme, g ≥ 0, segue do princípio do
máximo que g > 0 terminando assim a demonstração.

Nosso próximo resultado mostrará que o índice pode ser encontrado com a dimensão de
um espaço de autofunções L2 2 definidos globalmente em M.
Proposição 4.1.2. M tem índice finito se, e somente se, existe um subespaço de dimensão finita W de
L2 ( M) tendo uma base ortonormal f 1 , . . . , f k consistindo de autofunções, com autovalores λ1 , . . . , λk ,
respectivamente. Cada λi é negativo e Q(φ) ≥ 0 para todo φ ∈ C0∞ ( M) ∩ W ⊥ . Além disso, se
Ind( M) < ∞, então dim(W ) = Ind( M ).
Demonstração. Suponha que exista um subespaço de dimensão finita W de L2 ( M) tendo
uma base ortonormal f 1 , . . . , f k consistindo de autofunções, com autovalores λ1 , . . . , λk ,
respectivamente. Cada λi é negativo e Q(φ) ≥ 0 para todo φ ∈ C0∞ ( M) ∩ W ⊥ . Tome agora
qualquer ponto p ∈ M e R suficientemente grande. Se Ind( BR ( p)) > dim(W ), então existe um
φ ∈ C0∞ ( M) ∩ W ⊥ tal que φ é uma outra autofunção de L com autovalor λ negativo, ou seja,
Q(φ) = −

Z
BR ( p )

φLφ = λ

Z
BR ( p )

φ2 < 0

o que é uma contradição, e com isso Ind( M) ≤ dim(W ). Portanto, M tem índice finito.
Agora, suponha que M tenha índice finito, pela proposição (4.1.1) existe uma bola geodésica
BR0 ( p) tal que M − BR0 ( p) é estável. Seja R > R0 + 6 e seja η uma função tal que
η = 0 em BR ( p)
η = 1 em M − B2R ( p)
e

|∇η | ≤

71

6
.
R

Usando a estabilidade de M − BR0 ( p) e usando a desigualdade de estabilidade temos que
Z

Z

q(ηφ)2 dM ≤

M

ZM

=

M

Z

|∇(ηφ)|2 dM =
2

M

|η ∇φ + φ∇η |2 dM

2

(η |∇φ| + 2ηφ∇φ · ∇η + φ2 |∇η |2 )dM,

(4.9)

onde φ é uma função C0∞ ( M ).
Com a escolha do η acima, e adicionando Q(φ) em ambos os membros da desigualdade
(4.9), temos que
Z

2

M

q(ηφ) dM +

Z

2

M

2

(|∇φ| − qφ )dM ≤ Q(φ) +

Z
M

(η 2 |∇φ|2 + 2ηφ∇φ · ∇η + φ2 |∇η |2 )dM

assim,
Z

2

M

2

(1 − η )|∇φ| dM −

Z

2

M

2

(1 − η )qφ dM ≤ Q(φ) +

Z
M

2ηφ∇φ · ∇ηdM +

Z
M

φ2 |∇η |2 dM

e com isso,
Z
BR ( p )

|∇φ|2 dM +

Z
AR

(1 − η 2 )|∇φ|2 dM ≤ 2Q(φ) −
+

Z
M

2ηφ∇φ · ∇ηdM +

Z
M

Z
M

(|∇φ|2 − qφ2 )dM +

Z
M

(1 − η 2 )qφ2 dM+

φ2 |∇η |2 dM.

Aplicando a desigualdade da média aritmética-geométrica em 2ηφ∇φ · ∇η e usando o fato de
que M − B2R ( p) é estável, temos que

Z

2

BR ( p )

|∇φ| dM ≤ 2Q(φ) −
+

Z

2

B2R ( p)

Z

(|∇φ| − qφ )dM +
2

M

2

2

Z

|∇η |(φ + |∇φ| )dM +

B2R ( p)

Z
M

(1 − η 2 )qφ2 dv +

φ2 |∇η |2 dM.

(4.10)

4(1 − η 2 )
em B2R ( p). De fato, tome
R2
1
η1 , tal que, η1 = 0 em BR ( p), η1 = 1 em M − B2R ( p) e |∇η1 | ≤ . Estabeleça η = 1 − (1 − η1 )2 ,
R
2)
4
(
1
−
η
)
4
(
1
−
η
então, |∇η |2 = 4(1 − η1 )2 |∇η1 |2 ≤
≤
e sabemos também, pela escolha do
R2
R2
Podemos escolher η acima de tal forma que |∇η |2 ≤

72

R que |∇η | ≤ 1. Logo, (4.10) torna-se:

Z
BR ( p )

|∇φ|2 dM ≤ 2Q(φ) −
Z

|∇η |φ dM +

≤ 2Q(φ) +

Z

Z

Z

B2R ( p)

Z
B2R ( p)

B2R ( p)

qφ dM +
Z
B2R ( p)

B2R ( p)

|∇φ| dM +

Z

φ2

B2R ( p)

Z
M

(1 − η 2 )qφ2 dM +
φ2 |∇η |2 dM

(1 − η 2 )qφ2 dM +

4(1 − η 2 )
dM
R2

2(q + 1)φ2 dM.

2

BR ( p )

Z

2

2

6 2
φ dM +
B2R ( p) R

≤ 2Q(φ) +
Portanto,

B2R ( p)

(|∇φ|2 − qφ2 )dM +

2

B2R ( p)

Z

Z

|∇φ| dM ≤ 2Q(φ) + C

Z
B2R ( p)

φ2 dM,

(4.11)

onde C depende do máximo de q em B2R ( p).
Uma consequência imediata de (4.11) é

−C

Z
M

φ2 dM ≤ 2Q(φ).

Se Ind( M) = m, então existe um R1 suficientemente grande, tal que, m = Ind( Bρ (0)),
para todo ρ > R1 . Seja f 1,ρ , . . . , f m,ρ uma base ortonormal de autofunções com autovalores
λ1,ρ , . . . , λm,ρ , respectivamente, onde cada λi,ρ é negativo. O max{λ1,ρ , . . . , λm,ρ } é uma função
decrescente de ρ e, portanto, existe um e0 > 0 tal que λi,ρ < −e0 com i = 1, . . . , m e ρ > R1 .
Estendendo f i,ρ a zero fora de Bρ ( p) e usando φ = f i,ρ (usualmente, φ pode ser tomado como
uma aproximação C ∞ de funções f i,ρ ), segue-se que λi,ρ ≥ −c para i = 1, . . . , m e ρ > R1 .
Portanto, λi,ρ ∈ [−c, −e0 ].
Voltando para a equação (4.9) com φ = f i,ρ , observe que
Z
M

2η f i,ρ ∇ f i,ρ · ∇ηdM =

1
2

Z
M

1
= −
2

2
∇ f i,ρ
· ∇η 2 dM = −

Z
M

1
2

Z
M

2
η 2 ∆ f i,ρ
dM

η 2 ( f i,ρ ∆ f i,ρ + |∇ f i,ρ |2 )dM

73

e assim,
Z

Z

2

M

q(η f i,ρ ) dM ≤

ZM

≤

M

2
(η 2 |∇ f i,ρ |2 + 2η f i,ρ ∇ f i,ρ · ∇η + f i,ρ
|∇η |2 )dM
2
(η 2 |∇ f i,ρ |2 − η 2 ( f i,ρ ∆ f i,ρ + |∇ f i,ρ |2 ) + f i,ρ
|∇η |2 dM.

Logo,
Z

2

M

η f i,ρ L f i,ρ dM ≤

Z

η ( f i,ρ ∆ f i,ρ + q( f i,ρ ) )dM ≤
2

M

2

Z
M

2
f i,ρ
|∇η |2 dM.

Assim,

−λi,ρ

Z
M

2
η 2 f i,ρ
dM ≤

Z
M

2
f i,ρ
|∇η |2 dM

como (−λi,ρ ) ≤ −e0 , isso implica que

Z

2
f i,ρ
dM +

M− B2R ( p)

Z
B2R ( p)

2
η 2 f i,ρ
dM ≤

Z

4(1 − η 2 ) 2
f i,ρ dM
R2
M

e portanto,
Z
M− B2R ( p)

2
f i,ρ
dM ≤ cR−2

(4.12)

para todo R ∈ [ R0 , 12 ρ].
Por outro lado, (4.11) implica que
Z
BR ( p )

|∇ f i,ρ |2 dM ≤ 2Q( f i,ρ ) + C
≤ 2c
≤ c1

Z
M

Z
B2R ( p)

2
f i,ρ
dM + C

Z
B2R ( p)

2
f i,ρ
dM = −2

Z
B2R ( p)

Z
M

2
f i,ρ
dM = c1

2
f i,ρ
dM + c( R)

74

f i,ρ L f i,ρ dM + C
Z
B2R ( p)

Z
B2R ( p)

2
f i,ρ
dM + 2c

2
f i,ρ
dM

Z
M− B2R ( p)

2
f i,ρ
dM

assim temos que
Z
BR ( p )

2
( f i,ρ
+ |∇ f i,ρ |2 )dM

≤

Z
B ( p)

≤

Z 2R

B2R ( p)

2
f i,ρ
dM +

Z
BR ( p )

BR ( p )

2
f i,ρ
dM + c1

≤ ( c1 + 1)
Portanto,

Z

Z
B2R ( p)

|∇ f i,ρ |2 dM

Z
B2R ( p)

2
f i,ρ
dM + c( R)

2
f i,ρ
dM + c( R) ≤ c( R).

2
( f i,ρ
+ |∇ f i,ρ |2 )dM ≤ c( R).

(4.13)

As desigualdades (4.12) e (4.13) juntamente com o fato de que o espaço sobolev H 1,2 ( BR (0))
é um compactamente imerso em L2 ( BR (0)) implicam que existe uma subsequência R j → ∞ tal
que, para i = 1, . . . , m, vale
lim j→∞ f i,R j = f i em L2 ( M).
Segue-se que f 1 , . . . , f m são autofunções ortonormais em L2 ( M) com autovalores
λ1 , . . . , λm ∈ [−c, −e0 ]. Seja W um espaço gerado em L2 ( M ) e observe que se φ ∈ C0∞ ( M) ∩ W ⊥
então,
m

φ = ∑ ai,ρ f i,ρ + φρ ,
i =1

com φρ ortogonal a f 1,ρ , . . . , f m,ρ . Assim,
Z
M

φ f i,ρ dM =

ou seja, ai,ρ =

R

Z

m

m

Z

Z

∑ ai,ρ f j,ρ fi,ρ dM + M φρ fi,ρ dM = ∑ ai,ρ M f j,ρ fi,ρ dM = ai,ρ ,

M j =1

j =1

2
M φ f i,ρ dM. Da convergência em L ( M ) temos que

lim ai,ρ j = lim

j→∞

Z

j→∞ M

φ f i,ρ j dM =

Z
M

φ f i dM = 0.

Portanto, desde que ρ seja suficientemente grande, tal que sptφ ⊂ Bρ ( p),

75

Q(φ) = −

= −

m

Z
M

Z

∑ ai,ρ fi,ρ + φρ

i =1
m

∑

j =1

Z

m

m

a2i,ρ λi,ρ −

m

Z
M

φρ Lφρ dM
Z

∑ ai,ρ M fi,ρ Lφρ dM

i =1

Z

j =1

=

2
f i,ρ
dM −

M

m

∑

m

i =1

j =1

+ ∑ a j,ρ λ j,ρ

i =1
m

Z

φρ L ∑ a j,ρ f j,ρ dM −

a2i,ρ λi,ρ

i =1

=

dM

j =1

m

M

=

∑ a j,ρ f j,ρ + φρ

L

!

∑ ai,ρ fi,ρ L ∑ a j,ρ f j,ρ dM − M ∑ ai,ρ fi,ρ Lφρ dM

Z

m

m

m

M i =1

−

!

M

φρ f j,ρ dM + Q(φρ )
Z

∑ ai,ρ M fi,ρ Lφρ dM + Q(φρ )

i =1

∑ a2i,ρ λi,ρ + Q(φρ ) ≥ −e0 |ai,ρ |2,

i =1

onde para a última igualdade foi usada a segunda identidade de Green (veja [11], p. 17).
Fazendo ρ → ∞ chegamos a Q(φ) ≥ 0 tal como exigido.
Pela proposição (4.1.1), para M, uma superfície mínima completa com índice finito em N 3 ,
existe uma função positiva u onde Lu = 0 em M − C.
Teorema 4.1.1. Seja N 3 uma variedade com curvatura escalar não-negativa, e seja M uma superfície
mínima, completa e orientável em N. Se M tem índice finito, então, a métrica u2 ds2 é uma métrica
completa em M com curvatura Gaussiana não-negativa fora de C. Em particular, segue-se que M é
difeomorficamente conforme a uma superfície completa de Riemann menos um número finito de pontos.
Demonstração. Como M tem índice finito, pela Proposição (4.1.1), existem uma função positiva
u e algum subconjunto compacto C de M tal que, em M − C, Lu = 0. Seja ds2 a métrica original
e 2 = u2 ds2 em M.
em M. Para essa métrica, temos a métrica conforme ds
e 2 , onde t é
Afirmamos que existe uma geodésica γ(t) : [0, ∞) → M − C na métrica ds
comprimento de arco na métrica ds2 . De fato, escolhamos uma exaustão de M = ∪ BRi ( p)
(Ri → ∞ , i → ∞), tal que BRi ( p) denota a bola geodésica de M na métrica ds2 , de raio Ri
centrada em p ∈ M. Então, para cada i existe um segmento de geodésica γi (t) que realiza a
76

e 2 = u2 ds2 , tal que t é o comprimento de arco
distância de p à fronteira ∂BRi ( p) na métrica ds
de γi na métrica ds2 . Para ver isso, defina u Ri = u + η onde η é suave, η = 0 para | x | < Ri e
η = 1 para | x | > Ri + 1. Então, como u Ri é limitado inferiormente, a métrica u2Ri ds2 é completa,
assim que essas geodésicas existam. Como BRi é compacto, podemos ligar p a qualquer ponto
do bordo de BRi ( p) com a menor geodésica na métrica u2Ri ds2 . Seja ρi ∈ ∂BRi tal que, ρi está
mais próximo de p e seja γi a menor distância de p até ρi . Note que γi deve ficar inteiramente
dentro de BRi ( p) ou outro ponto estaria mais próximo de p. Como u Ri = u em BRi ( p), γi é uma
geodésica na métrica u2 ds2 .
Vamos supor que γi está parametrizado pelo comprimento de arco na métrica ds2 . Agora,
vamos tomar uma subsequência de Ri → ∞ tal que o vetor tangente convirja para um limite
v. Isto é, γ0Ri → v, assim, pela dependência de soluções em relação aos parâmetros (teoria de
EDO), estas geodésicas convergem em um conjunto compacto de [0, ∞) para uma geodésica
e 2 distância entre qualquer dois pontos e é parametrizado pelo
limitada γ que minimize a ds
comprimento de arco na métrica ds2 .
Como γ é semi-geodésica, segue-se que γ ∩ C está contido em γ([0, l ]) para algum l >
0. Portanto, podemos substituir γ por γ|[l +1,∞) e assumir que γ ⊂ M − C. Note que,
e 2 irá seguir se pudermos mostrar que γ tem
pela construção de γ, a integrabilidade de ds
e 2 infinito, isto é, devemos mostrar que
comprimento ds
Z ∞
0

u(γ(s))ds = ∞.

Seja φ · ~n uma variação de γ dada por onde ~n é normal a γ e φ tem suporte compacto
e 2 = u2 ds2 , a segunda variação do
em (0, ∞). Como γ é uma geodésica minimizante em ds
comprimento de arco (veja [15]) dará
Z ∞



0

desde que,

dφ
e
ds

2

!
e2 ≥ 0
e 2 ds
− Kφ

(4.14)

dφ
dφ ds
dφ
=
·
= u −1
e
e
e
ds ds
ds
ds
e = u−2 (K − ∆ log u).
K

Assim, (4.14) torna-se

77

(4.15)

Z ∞
0

u

−1



dφ
ds

2

2

ds ≥

Z ∞

u−2 (K − ∆ log u) φ2 ds

0

(4.16)

Portanto, como u > 0 é uma solução para Lu = ∆u − Ku + (S + 21 | A|2 ) = 0, sendo K a
curvatura Gaussiana de M, S a curvatura escalar de N, então ∆u ≤ Ku e
∆ log u =

|∇u|2
u∆u − |∇u|2
≤
K
−
.
u2
u2

(4.17)

e ≥ 0, e observando que
Primeiro, note que, de (4.15) e (4.17), podemos concluir que K
K − ∆ log u
≤
e usando (4.16), (4.15) e (4.17) temos que
3
u
u

| u 0 |2

Z ∞
0

| u 0 |2 2
φ ds ≤
u3

Z ∞
0

K − ∆ log u 2
φ ds ≤
u

Agora vamos mostrar que
(0, ∞), então,

R∞
0

Z ∞
0

e 2 ds ≤
uKφ

Z ∞
0

u−1 (φ0 (s))2 ds.

uds = ∞. Seja φ = uψ, onde ψ tem suporte compacto em
φ0 = u0 ψ + uψ0

e
u−1 (φ0 )2 = u−1 (u0 ψ + uψ0 )2 = u−1 (u0 )2 ψ2 + u(ψ0 )2 + 2u0 ψψ0
assim, por (4.18),
Z ∞
0

| u 0 |2 2
φ ds =
u3

Z ∞
0

| u 0 |2 2
ψ ds ≤
u

Z ∞
0

| u 0 |2 2
ψ + u(ψ0 )2 + 2u0 ψψ0 ds.
u

Logo,
0 ≤

=

Z ∞
Z0 ∞
0

u(ψ0 )2 + 2u0 ψψ0 ds =
u ( ψ 0 )2 − 2

(4.18)

Z ∞
0

Z ∞
0

u ( ψ 0 )2 + 2

Z ∞

u(ψ0 )2 − uψψ00 ds = −

Z0 ∞
0

onde na penúltima igualdade foi usada integração por partes.

78

u0 ψψ0 ds
u(ψ0 )2 + 2uψψ00 ds,

Agora, escolhendo ψ(t) = tξ (t) onde ξ tem suporte compacto em (0, ∞) temos
ψ0 = ξ + tξ 0
e
ψ00 = 2ξ 0 + tξ 00 .
Assim,

Z ∞
0

com isso,

Z ∞
0

−u(ξ + tξ 0 )2 − 2utξ (t)(2ξ 0 + tξ 00 )ds ≥ 0,
uξ 2 ≤

Z ∞
0

(−6tξξ 0 − t2 (ξ 0 )2 − 2t2 ξξ 00 )uds.

Escolhendo ξ, tal que
ξ (t) = 1 para 0 ≤ t ≤ R
ξ (t) = 0 para t > 2R
c
c
e ξ 0 e ξ 00 limitadas por e 2 , respectivamente, para R ≤ t ≤ 2R. Então, |tξ 0 | ≤ c e |t2 ξ 00 | ≤ c,
R R
e assim
Z
Z
Z
Z
R

0

uds ≤

∞

0

uξ 2 ≤

∞

0

(−6tξξ 0 − t2 (ξ 0 )2 − 2t2 ξξ 00 )uds ≤ C

∞

R

uds.

Como C não depende de R, essa inequação implica que
Z ∞
0

uds = ∞

e 2 = u2 ds2 é uma métrica completa em M com curvatura gaussiana não
assim a métrica ds
e em M − C.
negativa K
Resta mostrar que M é conformemente uma superfície de Riemann menos um número
finito de pontos. Pela desigualdade de Cohn-Vossen (veja [2]) e a não-negatividade da
Curvatura de Gauss em M − C, temos que
c<

Z
M

Kdv ≤ 2πχ,

onde c é uma constante e χ é a característica de Euler de M. Portanto, M é topologicamente
finito, assim M é uma superfície de Riemann menos um número finito de discos.

79

Seja Cr o limite do disco de raio r centrado em p, o qual foi retirado, e seja λ(z)|dz|2 a
métrica na bola de raio 1, contendo Cr . De [20], p.76 a curvatura Gaussiana de M − C é dada
∆ log λ
por K = −
, como ela é positiva, então
λ2
∆ log

1
≥ 0,
λ

assim log λ1 é uma função subharmônica. Seja a = max log λ1 em C1 e seja be = max log λ1 em
Cr+e .
1
.
Sejam ( x, y) as coordenadas do ponto z entre C1 e Cr . Por um lado, temos que |∇ x |2 =
λ(z)
De fato, seja α : (− a, a) → A1r , onde A1r é a região entre entre C1 e Cr , uma curva diferenciável
dada por α(t) = (α1 (t), α2 (t)), onde α(0) = p e α0 (t) = (α10 (t), α20 (t)) e seja x a função
coordenada. Assim,
d
∇ x, α10 (0) ϕu = ( x ◦ α) |t=0 = α10 (0)
dt
e
h∇ x, ϕv i = 0.
Assim, sendo ∇ x = Pϕu temos que
α10 (0) = ∇ x, α10 (0) ϕu = Pϕu , α10 (0) ϕu = Pα10 (0)λ
Logo, P =

1
. Portanto,
λ

1
1
·λ = .
2
λ
λ
Por outro lado, a estimativa de Cheng-Yau (Veja [15] teorema 6.1 e corolário 6.3) garante
que

|∇ x |2 = h∇ x, ∇ x i =

|∇ x |2 ≤

c
ρ2 ( z )

.

Portanto,
1
c
≤ 2 ,
λ(z)
ρ (z)

80

onde ρ é a distância geodésica em C1 , e c é uma constante. Consequentemente,
be = max log
Cr+e

1
c
c
≤ max log 2
≤ log
λ
ρ (z)
minCr+e ρ2 (z)
Cr+e

Como a métrica é completa, ρ → ∞ quando e → 0, assim,
lim be = −∞.

e →0

be − a
. Então, para todo 0 < e ≤ 1, temos que
log(r + e)
log |z|
he ≥ log λ1 em Cr+e , já que, em Cr+e vale
≤ 1, he ≥ log λ1 em C1 e he é harmônica.
log(r + e)
Fixe z em A1r . Se r > 0 então vale que lime→0 he (z) = −∞, mas isso é uma contradição, já que,
log λ(1z) tem um valor finito. Assim r = 0 e o disco removido é um ponto.
Defina he (z) = αe log |z| + a, onde αe =

Corolário 4.1.1. Se N 3 tem curvatura de Ricci não negativa e M é um superfície mínima completa e
orientável com índice finito em N, então
Z
M

| A|2 dM < ∞.

Demonstração. Devemos mostrar que
Z
M −C

| A|2 dM < ∞

onde C é um conjunto compacto, tal que M − C é estável. Como o Ric(e3 ) ≥ 0 a estabilidade
de M − C dará
Z

2 2

M −C

| A| φ dM ≤

Z

2

M −C

2

(Ric(e3 ) + | A| )φ dM ≤

Z
M −C

|∇φ|2 dM

para todo φ com suporte compacto em M − C. Pelo teorema (4.1.1), M = M − { p1 , . . . , pk }
e em cada pi , M é conformemente equivalente a um disco furado, que denotaremos por Di .
Tomando o raio do disco suficientemente pequeno podemos, sem perda de generalidade, supor
que cada Di está compactamente contido em M − C.
Fixe φ tal que φ = 0 em C, φ = 1 em Di e φ é linear em ( M − C ) − ∪ik=1 Di . Em cada Di , seja
81

ηi : Di → R a função da distância radial definida por


0


r−e
ηi ( z ) =

e


1

se |z| ∈ (0, e);
se |z| ∈ [e, 2e]

r = |z|

se |z| ∈ (2e, Ri )

Ri = raio de Di .

Então,
Z

2 2 2

M −C

| A| η φ dM ≤

Z

2

M −C

|∇ηφ| dM =

Z
M −C

(φ2 |∇η |2 + 2 hη ∇η, φ∇φi + η 2 |∇φ|2 )dM

e usando a média aritmética-geométrica temos que
2 hη ∇η, φ∇φi ≤ 2|η ||∇η ||φ||∇φ| ≤ φ2 |∇η |2 + η 2 |∇φ|2 ,
assim,

Z

2 2 2

M −C

| A| η φ dM ≤ 2

Z
M −C

(φ2 |∇η |2 + η 2 |∇φ|2 )dM.

Com o φ acima, defina η = ηi em cada Di e 1 em ( M − C ) − ∪ik=1 Di .
Logo,
Z

2 2 2

M −C

| A| η φ dM =
≤

Z
( M−C )−∪ik=1 Di

Z
( M−C )−∪ik=1 Di
k Z

≤ c0 + ∑

i = 1 Di

Portanto,

k Z

| A| φ dM + ∑

| A|2 ηi2 φ2 dM

|∇φ|2 dM + ∑

(φ2 |∇ηi |2 + ηi2 |∇φ|2 )dM

2 2

i = 1 Di
k Z

i = 1 Di
k Z
0

|∇ηi |2 dM ≤ c + ∑

Z
M −C

i =1

| A|2 η 2 φ2 dM ≤ c

independente de e.
Fazendo e → 0 temos que
Z
M −C

| A|2 dM ≤ c

82

k
e2
1
0
dM
≤
c
+
β
∑ e2 ≤ c.
2
Di e
i =1

como desejado.

4.2

Superfícies Mínimas com Índice Finito no R3

No caso em que N é o R3 , o operador estabilidade L é dado por L = ∆ − 2K.
Provaremos nesta seção um resultado que faz a associação entre a finitude do índice e a
finitude da curvatura total, mas antes precisaremos de alguns resultados, demonstrados em
[20].
Teorema 4.2.1. Seja M uma variedade bidimensional completa e Riemanniana cuja curvatura de Gauss
satisfaz
K≤0
e

Z
M

|K | < ∞.

Então existe uma variedade bidimensional compacta M, um número finito de pontos { pi , . . . pk } em M e
uma isometria entre M e M − { p1 , . . . pk }. Além disso a aplicação de Gauss g : M → S2 (1) estende-se
a uma aplicação meromorfa g : M → S2 (1).
Demonstração. Vide [20], Teorema 9.1 e lema 9.5, p. 81 − 82
Teorema 4.2.2. Seja M uma superfície mínima completa e orientável no R3 . Assim, M tem índice
finito, se, somente se, M tem curvatura total finita.
Demonstração. Suponhamos que M tenha índice finito no R3 , sabendo que em R3 , | A|2 = −2K
e usando o corolário (4.1.1), índice finito implica que
Z
M

assim

| A|2 dM < ∞,

Z
M

|K |dM < ∞.

Reciprocamente, suponhamos que M tem curvatura total finita, assim temos que, pelo
teorema (4.2.1), M é conformemente uma superfície de Riemann M com furos { p1 , . . . pk } e
a aplicação de Gauss g : M → S2 se estende holomorficamente à aplicação g : M → S2 .
83

Vamos mostrar que o índice de M depende somente da aplicação de Gauss em M, não do
fator métrico. Seja ds2 = µ|dz|2 a métrica de M. Então,

|∇ g|2 =

1
|∇0 g|2 ,
µ

onde ∇ denota o gradiente na métrica µ e ∇0 denota o gradiente Euclidiano. Seja {e1 , e2 } um
referencial ortonormal em M e v um vetor normal unitário. Então hij = ∇ei v, e j define a
segunda forma fundamental de M e

|∇ g|2 = ∑ hij ei , e j

2

ij

= ∑ h2ij = −2K.

Denotaremos o operador L na métrica µ|dz|2 por Lµ .
Lµ = ∆ − 2K = ∆ − |∇ g|2 =

1
1
∆0 + |∇0 g|2
µ
µ

e



1
1
2
φ
φLµ φds = −
∆0 + |∇0 g| φµdxdy
Qµ (φ) = −
µ
µ
M
M

Z 
1
1
|∇0 φ|2 − |∇0 g|2 φ2 µdxdy
=
µ
M µ
Z

Z

=

Z
M

|∇0 φ|2 − |∇0 g|2 φ2 dxdy

para todo φ com suporte compacto em M.
e|dz|2 em M temos que
Assim, para uma outra métrica µ
Qµe (φ) = Qµ (φ).
e|dz|2 é uma função suave em M então
Se µ
Lµ =


e
1
µ
1
eLµe ) = Lµe.
∆0 + |∇0 g|2 = (µ
µ
µ
µ

e é suave no infinito e |∇0 η |2 é uma função
Como g estende-se suavemente para p1 , . . . pk , µ
suave limitada em M, então, Lµe tem espectro discreto e, portanto, índice finito na superfície de
84

Riemann compacta M. Assim,
Ind Lµ ( M) = Ind Lµe ( M) ≤ Ind Lµe ( M) < ∞.
Portanto, M tem índice finito.
e|dz|2 uma métrica suave em M. Então Ind( M) = Ind Lµe ( M).
Corolário 4.2.1. Seja µ
e|dz|2 uma métrica suave em M e Ind Lµe ( M ) = l. Tome f 1 , . . . , f i
Demonstração. Sejam de
v2 = µ
funções suaves em M no qual são autofunções em Lµe. Construiremos um espaço W de funções
C0∞ ( M) no qual Qµe (φ) < 0.
Escolha uma coordenada z centrada em p j , e defina η j , para um e suficientemente pequeno,
por


0



 1
η j (z) =
|z|

log e2




log 1e

se |z| < e2 ;
se |z| > e;
se e2 ≤ |z| ≤ e.

Seja η = η j na e-bola sobre cada p j e 1 fora da bola. Assim, como
r2 ≤ r ⇒

1
1
1
1
≥
⇒
−
≤
−
,
r
r
r2
r2

então temos
Z
M

1

1
1
dr =
2
e2 r
log 1e

Z e



−1
log e


1
dr
2
e2 r
log2 1e




Z e
Z e
1
1
1
1
1
1
=
− dr ≤
− dr
log 1e log e e2 r2
log 1e log e e2 r



i
1
1 h
1
log e
1
2
=
− log e + log e
=
=
.
1
1
log e log e
log e log e
log 1e

e η |2 de
|∇
v =

Z e

Logo,
Z
M

e η |2 de
|∇
v → 0 com e → 0.

Seja gi = η f i . Então,
85

Z

2

M

( gi − f i ) de
v=

Z
M

(1 − η )2 f i2 de
v≤

Z
Be ( p j )

(1 − η )2 f i2 de
v≤c

Z
Be ( p j )

de
v < ce2

assim,
Z
M

( gi − f i )2 de
v → 0 com e → 0.

Além disso,
Z
M

e gi − f i )|2 de
|∇(
v =

≤

Z
ZM

≤ 2

M
Z

e 1 − η ) f i |2 )de
(|∇(
v=

Z
M

e η · fi + ∇
e f i · (1 − η )|2 )de
(| − ∇
v

e η |2 f 2 + 2 f i (1 − η )|∇
e η ||∇
e f i | + (1 − η )2 | ∇
e f i |2 )de
(|∇
v
i

M

e η |2 f 2 + (1 − η )2 | ∇
e f i |2 )de
(|∇
v,
i

onde na última desigualdade foi usada a desigualdade da média aritmética-geométrica.
e f i |2 são limitadas, temos que,
Como f i2 e |∇
Z
M

e gi − f i )|2 de
|∇(
v → 0 com e → 0,

assim,

k f i − gi k21 =

Z
M

|∇( f i − gi )|2 + ( f i − gi )2 dv → 0 com e → 0.

Pela continuidade de Q com respeito a norma L1,2 , Q é negativa definida no espaço W =
span{ gi }, ou seja, Ind( M) ≥ Ind Lµe ( M), mas já sabemos que Ind( M ) ≤ Ind Lµe ( M), portanto,
Ind( M) = Ind Lµe ( M).

4.3

Superfícies Mínimas com Índice 1

Nesta seção, iremos mostrar primeiro que o catenóide e a superfície de Enneper são as
únicas superfícies mínimas completas e orientáveis no R3 com índice igual a 1. Nossas
principais referências foram [20],[8] e [18].
86

Sejam M uma superfície mínima completa e orientável em R3 e N : M → S2 (1) a
aplicação de Gauss. Se Ind( M) é finito então, pelo teorema (4.2.2) M tem curvatura total
finita e assim, pelo teorema (4.2.1), existe uma superfície de Riemann compacta M, tal que
M é conformemente equivalente a M − { p1 , . . . , pn }, pk ∈ M para k = 1, . . . n. Além disso, a
aplicação de Gauss estende para { p1 , . . . , pn } como uma aplicação meromorfa N : M → S2 (1).
Seja ds21 a métrica em M compatível com a estrutura de Riemann. Definiremos o operador
L1 em M por
L1 = ∆1 + |∇1 N |2 ,
onde ∆1 e ∇1 são o Laplaciano e o gradiente na métrica ds21 . Pelo corolário (4.2.1), temos que
Ind L1 ( M) = Ind( M).
Denotaremos por Q1 a forma quadrática associada a L1 , isto é,
Q1 ( u ) = −

Z
M

uL1 udv1 , para todo u ∈ H21 ( M).

Vamos enunciar agora alguns resultados que serão de grande importância na demonstração
do principal teorema deseta seção.
Lema 4.3.1. Seja ρ : M → R uma função positiva e suave e Ψ : M → S2 (1) uma aplicação meromorfa
não constante. Então existe uma transformação conforme g : S2 (1) → S2 (1), tal que
Z
M

ρ( g ◦ Ψ)dv1 = 0,

onde dv1 é a medida canônica associada a ds21 .
Lema 4.3.2. Sejam M uma superfície de Riemann compacta com gênero r e p um ponto de M. Então
existe uma função φ meromorfa não-constante em M que tem um pólo de ordem menor ou igual a r + 1
em p e é holomorfa para todos os outros pontos de M.
Este último Lema é uma consequência do Teorema de Riemann-Roch e a sua demonstração
pode ser encontrada em [10], p. 130.
Dada uma superfície de Riemann M e uma aplicação meromorfa Ψ : M → S2 (1) então
para qualquer q ∈ S2 (1) o conjunto Ψ−1 (q) = { p ∈ M|Ψ( p) = q} tem o mesmo número r
de elementos. A demonstração desse resultado pode ser vista em [19], p. 272. O número r é
87

chamado grau da aplicação meromorfa e denotaremos por gr (Ψ). Um resultado imediato é que a
aplicação Ψ é injetiva se, e somente se, gr (Ψ) = 1.
Vale observar também que, do Teorema 9.4 de [20], o catenóide e a superfície de Enneper são
as únicas superfícies mínimas completas e orientáveis imersas no R3 com curvatura total igual
a −4π. Uma consequência disso é que o catenóide e a superfície de Enneper são as únicas
superfícies mínimas completas e orientáveis imersas no R3 no qual a aplicação de Gauss é
injetiva.
Teorema 4.3.1. Seja M uma superfície mínima completa e orientável no R3 . Então Ind( M) = 1 se, e
somente se, M é o catenóide ou a superfície de Enneper.
Demonstração. Seja M o catenóide ou a superfície de Enneper e N : M → S2 (1) a aplicação de
Gauss. Tome a métrica ue|dz|2 em M dada pelo pullback da métrica em S2 (1) por N. Então
Lue = −K (∆ M + 2I ). Como M é o catenóide ou a superfície de Enneper então N é injetiva e
assim Ind Lue ( M ) é igual ao número de autovalores negativos do operador ∆ M + 2I. Mas para o
Laplaciano temos que λ1 (S2 (1)) = 2, onde λ1 é o primeiro autovalor não-trivial. Tomando ϑ a
autofunção do Laplaciano cujo autovalor associado é 2, temos

(∆ M + 2I )ϑ = ∆ M ϑ + 2Iϑ = −2ϑ + 2ϑ = 0,
ou seja, ϑ é uma autofunção do operador (∆ M + 2I ) cujo autovalor associado é 0. Considerando
agora a autofunção ϑ de ∆ M cujo autovalor associado é o trivial, então

(∆ M + 2I )ϑ = ∆ M ϑ + 2Iϑ = 2ϑ,
ou seja, o primeiro autovalor de (∆ M + 2I ) é −2 e o segundo é 0. Logo, temos apenas um
autovalor negativo para (∆ M + 2I ) e portanto Ind Lue ( M ) = 1.
Pelo corolário (4.2.1) Ind Lue ( M ) = Ind( M). Portanto, se M é o catenóide ou a superfície de
Enneper então Ind( M ) = 1.
Reciprocamente, suponhamos que Ind( M) = 1, assim pelo corolário (4.2.1) Ind L1 ( M) = 1.
Seja ρ a primeira autofunção de L1 (lembre-se que ρ é positiva em toda parte). Por hipótese,
R
para todo u ∈ C1 ( M) tal que S2 (1) ρudv1 = 0, isto é, u ortogonal a ρ, temos
Q1 ( u ) ≥ 0
e a realização da igualdade ocorre se, e somente se, L1 u = 0.
88

(4.19)

Seja Ψ : M → S2 (1) uma aplicação meromorfa não constante. Usando o Lema (4.3.1) temos
uma transformação conforme, g, de S2 (1) tal que Ψ̄ = g ◦ Ψ : M → S2 (1) satisfaz
Z
M

ρΨ̄dv1 = 0.

(4.20)

Por outro lado,
0 ≤ Q1 (Ψ̄) =

=

Z
ZM
M

(|∇1 Ψ̄|2 − |∇1 N |2 |Ψ̄|2 )dv1
(|∇1 Ψ̄|2 − |∇1 N |2 )dv1

= 8π [ gr (Ψ̄) − gr ( N )],
no qual combinando (4.19) e (4.20) temos que
gr (Ψ) = gr (Ψ̄) ≥ gr ( N )

(4.21)

e vale a igualdade se, somente se, ∆1 Ψ̄ + |∇1 N |2 Ψ̄ = 0. Mas, como Ψ̄ é uma aplicação
meromorfa, temos que ∆1 Ψ̄ + |∇1 Ψ̄|2 Ψ̄ = 0. Assim, a igualdade em (4.21) implica que
|∇1 Ψ̄| = |∇1 N | em toda parte. Agora discutiremos os seguintes casos:
a) M é uma esfera.
Tomando Ψ com a aplicação identidade, então Ψ é injetiva e assim gr (Ψ) = 1. Como o
gr ( N ) ≥ 1, de (4.21), concluímos que gr ( N ) = 1. Assim, a aplicação de Gauss N é injetiva
e portanto M é o catenóide ou a superfície de Enneper.
b) Suponha que o gênero de M seja maior ou igual a 1, isto é, g( M ) ≥ 1.
De [12] p. 75 temos que gr ( N ) ≥ g( M ) + 1. Se a desigualdade é estrita, pelo Lema
(4.3.2), existe uma função a qual gr (Ψ̄) ≤ g( M) + 1, e usando (4.21) chegamos em uma
contradição. Se vale a igualdade, seja p ∈ M um ponto regular de N. Novamente, a partir
do Lema (4.3.2), obtemos uma aplicação meromorfa Ψ, do mesmo grau que N a qual tem
p como um ponto de ramificação de ordem g( M) + 1. Então, temos a igualdade em (4.21)
e assim |∇1 Ψ̄| = |∇1 N1 | em todo ponto de M. Mas, |∇1 Ψ̄|( p) = 0 e |∇1 N |( p) 6= 0, o que
é uma contradição e o teorema está provado.

89

APÊNDICE A
A DERIVADA DO DETERMINANTE

Neste apêndice demonstraremos dois resultados de álgebra linear sobre a derivada da
função determinante.
Lema A.0.3. Seja G (t) = ( aij (t)), t ∈ I, uma família suave de matrizes n × n, tais que G (0) = Id.
Então
0
d
det( G (t)) = tr( G (0)).
dt t=0
Demonstração. Observe que
n

det( G (t)) = det( aij (t)) = ∑ a1j (t)c1j (t),
j =1

onde cij são os cofatores de ( aij ). Logo,
n
n
0
0
0
0
d
det( G (t)) = ∑ a1j (0)c1j (0) + ∑ a1j (0)c1j (0) = a11 (0) + c11 (0).
dt t=0
j =1
j =1
0

0

Indutivamente, calculando c11 (0) e depois c22 (0) temos que
n
0
0
d
det( G (t)) = ∑ a jj (0) = tr( G (0)).
dt t=0
j =1

90

A partir desse Lema temos o seguinte corolário:
Corolário A.0.1. Seja B(t) = (bij (t)) uma família suave de matrizes inversíveis n × n. Então para
todo s ∈ (−ε, ε)
0
d
det( B(t)) = tr( B (s) B−1 (s))det( B(s)).
dt t=s
Demonstração. Seja G (t) = B(t) B−1 (s). Assim G (s) = Id e pelo lema anterior temos que
0
d
det( G (t)) = tr( G (s))
dt t=s
0
= tr( B (s) B−1 (s)).

Logo,
0
d
det( B(t) B−1 (s)) = tr( B (s) B−1 (s)),
dt t=s

ou seja,
det( B−1 (s))

0
d
det( B(t)) = tr( B (s) B−1 (s)).
dt t=s

Portanto,
0
d
det( B(t)) = tr( B (s) B−1 (s))det( B(s)).
dt t=s

91

APÊNDICE B
DESIGUALDADE DE YOUNG

Neste apêndice apresentaremos a demonstração da desigualdade de Young que foi
utilizada nos teoremas (3.1.1) e (3.2.1).
1 1
Lema B.0.4 (Desigualdade de Young). Sejam s e t números reais positivos tais que + = 1 e a e
s
t
b números reais não negativos. Então vale a seguinte desigualdade:
αs as α−t bt
+
,
s
t

ab ≤

(B.1)

onde α > 0 é arbitrário.
as bt
+ .
s
t
É claro que (B.1) é verdade se ab = 0. Portanto, suponhamos que a, b > 0, com isso podemos
considerar os seguintes casos:
Demonstração. Basta provar que ab ≤

• Se as = bt teremos, usando o fato de que
t

1
t

1 1
+ = 1, que
s
t
s
t

ab = a(b ) = aa = a

s

1 1
s+t



=

as bt
+
s
t
00

• Se as 6= bt , note que a função g( x ) = e x é estritamente convexa, pois g ( x ) > 0 para todo

92

x ∈ R. Então para todo λ ∈ (0, 1) e todos os números reais x, y, com x 6= y, obtemos
g( x + (1 − λ)y) ≤ λg( x ) + (1 − λ) g(y).
1
1
Aplicando isso para λ = , (1 − λ) = , x = ln as e y = ln bt , teremos que
s
t
ln as

ln bt

ab = eln(ab) = e s + t ≤

93

as bt
+ .
s
t

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Inventones Math, 7(1969), 243 − 268.
[2] COHN-VOSSEN, S., Kürzest Wege und Totalkrümmung auf Flächen, Compos. Math
2(1935), 69 − 133.
[3] COLDING, T. H. & MINICOZZI, W. P., Minimal surfaces, New York University, Courant
Instituto of Mathematical, New York, (1999).
[4] DO CARMO, M. P., Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies Riemanniana, 2a ed.,
Textos Universitários, SBM, Rio de Janeiro, (2005).
[5] DO CARMO, M. P., Geometria Riemanniana, 4a ed., Projeto Euclides, IMPA, Rio de
Janeiro, (2008).
[6] DO CARMO, M. P. & PENG, C. K., Stable complete minimal surfaces in R3 are planes,
American Mathematical Society,1(1979), 903 − 906.
[7] DO CARMO, M. P. & PENG, C. K., Stable complete minimal hypersurfaces, Proc.of the
(1980) Beijing Symp. S. S. Chern and Wentsun (Eds.) Gordon and Breach Science Pub.,
1349 − 1358.
[8] FISCHER-COLBRIE, D. On complete minimal surfaces with finite Morse index in three
manifolds, Invent. Math. 82(1985), 121 − 132.
94

[9] FISCHER-COLBRIE, D. & SCHOEN, R. The structure of complete stable mínimal surfaces
in three manifolds of nonnegative scalar curvature, Comm. Pure Apple. Math. 33(1980),
199 − 211.
[10] FORSTER, O., Lectures on Riemann Surfaces Volume 81, New York, Heidelberg, Berlin:
Springer-Verlag (1979).
[11] GILBARG, D., & TRUDINGER, N. S., Elliptic Partial Differential Equations of Second
Order, 2a ed., Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, Springer, (1983).
[12] HOFFMAN, D. A. & OSSERMAN, R., The Geometry of the generalized Gauss map,
Memoirs of the American Mathematical Society, 236, 28,(1980).
[13] LAWSON, H. B., Lectures on Minimal Submanifolds Volume 1, University of California,
Berkeley, (1980).
[14] LEE, J. M., Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, GTM, Springer, (1997).
[15] LI, P., Lecture Notes on Geometric Analysis, University of California, Irvine, 1996.
Distribuição livre na internet através do link math.uci.edu/ pli/lecture.pdf.
[16] LI., H. & WEI. G., Stable complete minimal hypersurfaces in R4 , Matemática
Contemporânea, Vol 28(2005), 183 − 188.
[17] LIMA, E. L.,Curso de Análise volume 2, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 10a
ed.,(2008).
[18] LOPEZ, F. J. & ROS, A., Complete minimal surfaces with index one and stable constant
mean curvature surfaces, Comment. Math. Helvetici 64(1989), 34 − 43.
[19] NETO, L. A., Funções de uma variável complexa, 2a ed., Projeto Euclides, IMPA, Rio de
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[20] OSSERMAN, R., A Survey of Minimal Surfaces, 2a ed., New York: Van Nostrand Reinhard
(1986).
[21] SIMONS J., Minimal varieties in Riemannian manifolds, Ann. of Math. 88(1968), 62 − 105.

95

ÍNDICE REMISSIVO

Índice de Morse, 45
Campo Variacional, 33
Catenóide, 88
Colchete de Lie, 20
Componente
Norma, 25
Tagencial, 25
Conexão de Levi-Civita, 16
Curvatura, 20
Total Finita, 62
de Ricci, 23
Escalar, 23
Seccional, 22
Derivada Covariante, 16
Desigualdade
de Simons, 53
de Young, 92
da Estabilidade, 46
Diferencial Covariante, 16
Divergência, 17
Domínio

Estável, 45
Instável, 45
Equação
de Codazzi, 28
de Gauss, 28
Equação de Simons, 50
Espaço Normal, 24
Fórmula de Weingarten, 27
Fibrado Normal, 25
Forma Negativa Definida, 66
Funcional Área, 33
Gradiente, 16
Grau da Aplicação, 88
Hessiano, 18
Hipersuperfície, 29
Mínima, 37
Imersão Isométrica, 24
Laplaciano, 17
Métrica Riemanniana, 16
96

Operador
de Jacobi, 45
Estabilidade, 45
Primeira Identidade de Bianchi, 20
Segunda Forma Fundamental, 27
Superfície de Enneper, 88
Tensor, 15
de Ricci, 24
Teorema
do Carmo-Peng, 56
Li-Wei, 63
Variação, 32
Variedade Riemanniana, 16
Vetor Curvatura Média, 28

97