Dissertação

Dissertação_Adalgilsa.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado

O Problema de Dirichlet em Domı́nios Limitados

Adalgisa Mendonça Mota

Maceió, Brasil
Abril de 2011

ADALGISA MENDONÇA MOTA

Problema de Dirichlet

Dissertação de Mestrado na área de concentração de Análise submetida em 15 de
abril de 2011 à banca examinadora, designada pelo Colegiado do Programa de PósGraduação em Matemática da Universidade
Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre
em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Adán José Corcho Fernández.

Maceió
2011

Problema de Dirichlet
Adalgisa Mendonça Mota

Dissertação de Mestrado na área de concentração de Análise submetida em 15 de
abril de 2011 à banca examinadora, designada pelo Colegiado do Programa de PósGraduação em Matemática da Universidade
Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre
em Matemática.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Adán José Corcho Fernández (Orientador)

Prof. Dr. Pablo Gustavo Albuquerque Braz e Silva (UFPE)

Prof. Dr. Julio Cesar Souza Almeida (UFAL)

A minha mãe Maria Bernadete.

Agradecimentos
Em primeiro lugar agradeço a Deus por ter me ajudado a superar vários obstáculos
que surgiram neste perı́odo.
A minha mãe, Bernadete, por ter sido o meu alicerce e por ter acreditado em mim e
no meu sonho. Sem a senhora essa vitória não teria o mesmo brilho.
Ao meu pai, Arnaldo, por ter me me ensinado que a dignidade é uma qualidade
essencial no ser humano. Obrigada painho por me guiar.
A toda minha famı́lia, irmãs, tios, primos que contribuı́ram para que esse sonho se
tornasse realidade.
Ao meu orientador, prof. Dr. Adán Corcho por ter acreditado em minha capacidade
acadêmica e pelo apoio durante todo o mestrado. Além disso, gostaria de agradeçer ao
senhor por ser um exemplo de profissional ético.
Ao doutorando, Isnaldo Isaac, por ter sido um grande amigo e por toda sua contribuição nesse trabalho.
Ao aluno de mestrado, Adriano, por ter feito as figuras presentes neste trabalho.
Ao corpo docente da Pós-graduação em Matemática da Ufal, em especial, ao Prof.
Adelailson e ao Prof. Dimas pela amizade.
A todos os amigos que fiz durante esses três anos, em especial: Karla, Márcio, Isnaldo,
Darliton, Adina, Rodrigo, Viviane, Adriano, Geovani,Isadora, Kennerson, Michael ,Diego
e Angela.
Ao meu namorado João Victor pela compreensão em entender a minha ausência em
muitos momentos. Obrigada por ter acreditado em meu sonho.
A dona Maria pela amizade e pelos seus sábios conselhos.
As agências de Fomento Fundação de Amparo a Pesquisa de Alagoas ao Conselho
Nacional de Desenvolvimento Cientı́fico e Tecnológico-CNPq e a Universidade Federal de
Alagoas pelos auxı́lios financeiros.

5

Resumo
Nesta dissertação usamos duas abordagens diferentes para provar a existência de
soluções para o Problema de Contorno de Dirichlet Clássico em domı́nios limitados.
Aplicamos o primeiro método quando estamos trabalhando com domı́nios cuja fronteira
é duas vezes continuamente diferenciável. Essa abordagem baseia-se na Teoria dos Potenciais de Camadas Simples e Dupla, onde a teoria de operadores compactos tem um
papel fundamental. O segundo método usa o Princı́pio Variacional de Dirichlet para
resolver o problema em domı́nios do plano com fronteiras menos regulares que no caso
anterior; a saber, fronteiras que satisfazem a condição do triângulo exterior.

Palavras-chave: Análise Funcional; Teoria do Potencial; Problema de Dirichlet

6

Abstract
In this work we use two approach to prove the existence of solutions for the Classical
Dirichlet Problem on bounded domains. The first method is applied to domains with
smooth boundary and is based on the Single and Double Layer Potentials Theory. The
second method uses the Variational Dirichlet Principle to solve the Dirichlet Problem in
plane domains with boundary less regular than the previous case; more precisely, boundary satisfying the property of the outer triangle.

Keywords: Functional Analysis; Potential Theory; Dirichlet Problem

Índice
Introdução

9

1 Preliminares
1.1 Espaços Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Elementos do Cálculo em Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Um Pouco Sobre Funções Harmônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Solução Fundamental do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 A Fórmula do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Funções Fracamente Harmônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Identidades Aproximadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 A Terceira Identidade de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Elementos de Ánalise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Alternativa de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11
12
13
13
16
18
19
21
26
28

2 Teoria do Potencial
2.1 Operadores Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Propriedades do Potencial de Camada Dupla . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Potencial de Camada Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 A Solução do Problema de Dirichlet Clássico . . . . . . . . . . . . . . . .

32
33
36
44
48

3 Problema de Dirichlet no Plano com bordos mais gerais.
3.1 O espaço vetorial das funções C 1 Ω̄ que se anulam no bordo . . . . . .
3.2 O Princı́pio de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 A Solução do Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53
54
57
61

Referências Bibliográficas

67

Introdução
O objetivo central deste trabalho é fazer um estudo do Problema de Dirichlet clássico
em domı́nios limitados. O modelo matemático a ser estudado é o seguinte: deseja-se
provar a existência de soluções para o problema de contorno

2

u ∈ C (Ω) ∩ C(Ω̄),
(1)
∆u (x) = 0
se x ∈ Ω,


u (x) = f (x)
se x ∈ ∂Ω,
onde Ω é um domı́nio limitado em Rn cuja fronteira é denotada por ∂Ω.
Este tipo de equação aparece na fı́sica, por exemplo, modelando problemas de eletrostática, onde qualquer distribuição de carga f no contorno deveria determinar um
potencial elétrico como solução. Entretanto, a existência de uma solução para o Problema
de Dirichlet depende de forma delicada da suavidade do contorno e dos dados prescritos.
Em algumas situações simples o Problema (1) pode ser resolvido explicitamente. Por
exemplo, a solução para o problema de Dirichlet quando Ω é o disco unidade no plano
D = {re2πiθ ; 0 ≤ θ ≤ 2π e |r| ≤ 1} é dado pela fórmula integral de Poisson:
Z 1
2πiθ
f (t)Pr (θ − t)dt
(2)
u(re ) =
0

onde

1 − r2
1 − 2r cos 2πt + r2
é conhecido como núcleo de Poisson. No entanto, o processo de provar a existência de
soluções para domı́nios não tão simétricos e regulares como o disco exigem um tratamento
matemático mais longo e cuidadoso.
Neste trabalho usaremos duas abordagens diferentes para provar e existência de
soluções de soluções para (1) em domı́nios limitados de Rn . Primeiro assumiremos que
que estamos trabalhando com domı́nios cuja fronteira é de classe C 2 e a técnica que será
usada baseia-se na Teoria dos Potenciais de Camadas Simples e Dupla, onde a teoria de
operadores compactos tem um papel fundamental. O segundo método usa o Princı́pio
Variacional de Dirichlet para resolver o problema em domı́nios do plano com fronteiras
menos regulares que no caso anterior; a saber, fronteiras que satisfazem a condição do
triângulo exterior.
O trabalho está estruturado da seguinte forma. No Capı́tulo 1 serão apresentados
resultados básicos do cálculo em várias variáveis e da Análise Funcional que darão suporte
técnico às teorias que serão desenvolvidas nos capı́tulos seguintes.
Pr (t) =

9

No Capı́tulo 2 faremos um estudo do Problema de Dirichlet em domı́nios limitados
de Rn com fronteira de classe C 2 . A abordagem será realizada através da teoria do
Potencial de Camada Dupla e de Camada Simples. A existência de uma solução será
obtida mediante uma bela aplicação do Teorema da Alternativa de Fredholm.
Finalmente, no Capı́tulo 3, estudaremos o Problema de Dirichlet em domı́nios limitados do plano que satisfazem a condição do triângulo exterior. As fronteiras desse tipo de
domı́nios possuem menos regularidade que os de classe C 2 tratados no capitulo anterior.
Neste caso, a procura de uma solução solução será motivada pelo uso do Princı́pio de
Dirichlet.
A elaboração deste trabalho foi realizado através de uma pesquisa bibliográfica especı́fica, baseada nos livros que continham os resultados e parte da teoria mais relevante
para a nossa finalidade. Dentre estes, destacamos ([5]) e ([10]) onde foi baseada a teoria
do Potencial de Camada Dupla e de Camada Simples e a Condição do Triângulo exterior,
respectivamente apresentada no texto.

10

Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo apresentamos algumas ferramentas básicas do cálculo em várias variáveis,
da teoria das funções harmônicas e da Análise Funcional que serão necessárias para estudarmos o Problema de Dirichlet Clássico em domı́nios limitados dos espaços euclidianos.

1.1

Espaços Funcionais

Nesta seção definimos os principais espaços funcionais que serão usados ao longo do texto.
Entendemos por domı́nio de Rn um conjunto Ω ⊂ Rn aberto e conexo.
Definição 1.1. Seja Ω ⊂Rn um domı́nio limitado. Dizemos que uma função f : Ω̄ → R
pertence ao espaço C k Ω̄ , k = 1, 2, . . . , se existem um aberto V de Rn , com Ω̄ ⊂ V , e
uma função f˜ ∈ C k (V ) tal que f = f˜|Ω̄ .
Definição 1.2. Um subconjunto M ⊂ Rn é uma hiperfı́cie de classe C k , k = 1, 2, . . . ,
se para cada p ∈ M existe Vp ⊂ Rn tal que Vp ∩ M é o gráfico de uma função de n − 1
variáveis de classe C k definida num aberto de Rn−1 .
Proposição 1.1. Seja M uma hiperfı́cie compacta orientada de classe C k , k ≥ 2. Então,
existe uma vizinhança V de M em Rn e um número ε > 0 tal que a função
G (x, t) = x + tν (x)
é um difeomorfismo de classe C k−1 de M × (−ε, ε) → V.
Demonstração. A demonstração deste resultado pode ser encontrada em [5].
Definição 1.3. A vizinhança Vdada na Proposição(1.1)é chamada de Vizinhança Tubular de M.
Definição 1.4 (Espaços Lp ). Dados X ⊂ Rn e 1 ≤ p < ∞ denotaremos por Lp , o espaço
das funções mensuráveis tais que
Z
kf kp =

p

|f (x)| dx
X

11

 p1
< ∞.

Teorema 1.1 (Desigualdade de Minkowski). Sejam (X, µ) e (Y, ν) espaços de medida e
f uma função mensurável. Então para todo 1 ≤ p ≤ ∞ vale a desigualdade
Z Z
p
1/p Z Z
1/p
p
|f (x, y)| dν (y) dµ (x)
≤
|f (x, y)| dµ (x)
dν (y) .
X

Y

Y

X

Z
|f (x, y)|dν (y)

Demonstração. A afirmação é clara se p = ∞. Se p < ∞ fazemos F (x) =
e se

Y

1
1
+ 0 = 1 temos que
p p
Z

Z
kF kp =

g(x)

sup
kgkp0 =1

X


|f (x, y)| dν (y) dµ (x)

Y

Z Z
=

|f (x, y)| g (x) dµ (x) dν (y).

sup
kgkp0 =1

Y

X

Aplicando a desigualdade de Hölder, obtemos que
Z
kF kp ≤ sup
kgkp0 kf (·, y)kp dν (y)
kgkp0 =1

Y

Z
kf (·, y)kp dν (y) .

=
Y

Desse modo, obtemos a desigualdade desejada.

1.2

Elementos do Cálculo em Várias Variáveis

Nesta seção iremos estabelecer algumas notações, definições e resultados importantes
do Cálculo em Rn .
Teorema 1.2 (Teorema da Divergência). . Seja Ω ⊂ Rn um domı́nio limitado com ∂Ω
de classe C 1 , e seja F = (f1 , . . . , fn ) um campo vetorial de classe C 1 em Ω̄. Então
Z

Z X
n
h∇, F i (x) dx =
(fi )xi dx,

Z
hF (y) , ν (y)i dσ (y) =

∂Ω

Ω

Ω i=1

onde h·, ·i denota o produto interno clássico em Rn .
Demonstração. A demonstração deste Teorema pode ser encontrada em [9].
Teorema 1.3 (Identidades de Green). Sejam Ω ⊂ Rn um domı́nio limitado, onde vale
o Teorema da Divergência, e u e v campos escalares tais que u, v ∈ C 2 (Ω̄). Então, para
todo x ∈ Ω valem as identidades
Z
Z
v∂n udσ (y) =
(v∆u + h∇u, ∇vi) dy,
(1.1)
∂Ω

Ω

Z

Z
(v∆u − u∆v) dy,

(−u∂n v + v∂n u) dσ (y) =
∂Ω

Ω

onde ∂n u e ∂n v denotam as derivadas direcionais de u e v na direção normal.
12

(1.2)

Demonstração. Para provar (1.1) note que h∇, u∇vi = u∆v + h∇v, ∇ui e aplique o
Teorema da Divergência. Para provar (1.2) troque u por v na primeira identidade e
subtraia a identidade resultante de (1.1).
As identidades (1.1) e (1.2) são conhecidas como Primeira e Segunda Identidades de
Green, respectivamente.
Por último, enunciamos um resultado que é muito útil para derivar sob o sinal de
integração, quando for necessário.
Lema 1.1. Sejam (X, µ) um espaço de medida, [a, b] ⊂ R e f : [a, b] × X → R tal que
(a) fx : [a, b] → R, definida por fx (t) = f (t, x) é absolutamente contı́nua para cada
x ∈ X, µ − q.t.p.;
(b) f (t, ·) ∈ L1 (X, µ) para todo t ∈ [a, b];
(c)


∂f
∈ L1 [a, b] × X .
∂t

Então, a função
Z
F (t) =

f (t, x)dµ
X

é diferenciável em [a, b] e sua derivada é dada por
Z
∂f
∂F
(t, x) =
(t, x) dµ.
∂t
X ∂t
Demonstração. A demonstração deste Lema pode ser encontrada em [2].

1.3

Um Pouco Sobre Funções Harmônicas

Nesta seção apresentaremos algumas propriedades importantes das funções harmônicas
que serão utilizadas.

1.3.1

Solução Fundamental do Laplaciano

Nesta seção faremos a dedução da solução fundamental para o modelo mais simples
de equação elı́ptica em domı́nios de Rn , a equação de Laplace, cujo modelo é regido pela
equação em derivadas parciais de segunda ordem
∆u(x) =

n
X

uxi xi (x) = 0,

x ∈ Ω,

(1.3)

i=1

onde Ω é um domı́nio em Rn . O operador ∆ é conhecido como operador Laplaciano e as
soluções de (1.3) são denominadas funções harmônicas.
As funções harmônicas possuem propriedades de invariança muito importantes; de
forma mais precisa vale o seguinte resultado:
13

Proposição 1.2. Seja u harmônica em Ω. Então,
(a) dado y ∈ Rn , a função v(x) = u(x − y) é harmônica em Ωy = y + Ω (invariância
por translações);
(b) dado r > 0, a função ur (x) = u(rx) é harmônica em 1r Ω = {w/r : w ∈ Ω}
(invariância por dilatações);
(c) dada uma transformação linear ortogonal T , a função v(x) = (u◦T )(x) é harmônica
em T −1 (Ω) (invariância por rotações).
Demonstração. Os itens (a) e (b) seguem de forma simples fazendo-se uso da regra da
cadeia. Provaremos a seguir o item (c). Denotamos por (aij ) a matriz de T na base
canônica de Rn . Então
n
X
(u ◦ T )xi =
aji uxj ◦ T.
j=1

Derivando mais uma vez esta última expressão temos que
(u ◦ T )xi xi =

n X
n
X

aki aji uxk xj ◦ T.

k=1 j=1

Portanto
∆(u ◦ T )(x) =

n
n X
n X
X

aki aji (uxk xj ◦ T )(x)

i=1 k=1 j=1

=
=

n
n X
n
X
X
k=1 j=1
n
X

!
aki aji (uxk xj ◦ T )(x)

(1.4)

i=1

(uxj xj ◦ T )(x) = (∆u ◦ T )(x),

j=1

onde a última igualdade é obtida usando a ortogonalidade de T . Assim, segue-se que
∆(u ◦ T )(x) = 0 para x ∈ T −1 (Ω).
Baseados na invariança por rotações das funções harmônicas, é natural procurar por
soluções radiais para a equação (1.3) em Rn ; ou seja, uma solução u tendo a forma
u(x) = v(r),
1/2

(1.5)

onde r = |x| = (x21 + x22 + · · · + x2n ) e v é selecionado (se possı́vel) de modo que ∆u = 0.
Para i = 1, 2, . . . , n, e x 6= 0, temos que
1
2xi
xi
∂r
=
= .
1/2
∂xi
2 (x21 + x22 + . . . + x2n )
r
Derivando a equação (1.5) em relação à variável xi ,
uxi = v 0 (r)

xi
∂r
= v 0 (r) ;
∂xi
r
14

e, derivando novamente em relação à mesma variável, temos que
 x 0
xi ∂r
i
uxi xi = v 0 (r)
+ v 00 (r)
r
r ∂xi
∂r
r − xi ∂xi
xi xi
= v 0 (r)
+ v 00 (r)
2
r
r r
xi
 x 2
r
−
x
i
i
r
= v 0 (r)
+ v 00 (r)
2
r
r


 x 2
1 x2i
i
0
00
= v (r)
− 3 + v (r)
.
r
r
r
Assim, obtemos a seguinte expressão para o Laplaciano de u:
∆u =

n
X

00

0

uxi xi = v (r) + v (r)

i=1



n−1
r


.

Note que, ∆u = 0 se e somente se v 00 (r) + v 0 (r) n−1
= 0.
r
0
Supondo que v (r) 6= 0, temos que
0

ln (|v 0 (r)|) =

−n + 1
v 00 (r)
=
.
0
v (r)
r

Integrando a equação acima em relação a r obtemos,
ln |v 0 (r)| = (1 − n) ln r + c.
Logo, v 0 (r) =

a
rn−1

para alguma constante a. Consequentemente, se r > 0, temos que

 b ln r + c, se n = 2,
b
v (r) =
, se n ≥ 3,

|x|n−2

onde b e c são constantes.
Definição 1.5 (Solução Fundamental do Laplaciano). A função

1


 − ln |x| , se n = 2
2π
F (x) =
|x|2−n


, se n ≥ 3

(2 − n) ωn
definida para x ∈ Rn , x 6= 0 é chamada de Solução Fundamental da Equação de Laplace,
onde ωn é a área da esfera unitária S n−1 em Rn .
Proposição 1.3. Se F (x − y) é a solução fundamental do Laplaciano então para todo
x ∈ Rn temos que ∆y F (x, y) = 0 no domı́nio Ωy = {y ∈ Rn ; y 6= x}, onde ∆y indica o
laplaciano na variável y.
15

Demonstração. Consequência imediata da Proposição 1.2-(a).
R
Proposição 1.4. Se u é harmônica em Ω então ∂Ω ∂n udσ(y) = 0.
Demonstração. Consequência imediata da Identidade (1.1). Basta tomar v ≡ 1. Logo,
Z
Z
∂n udσ (y) =
∆udx = 0.
∂Ω

1.3.2

Ω

A Fórmula do Valor Médio

Definição 1.6 (Propriedade do Valor Médio). Uma função u definida em Ω satisfaz a
propriedade do valor médio se
Z
1
u (x) =
u (y) dy,
vol (Br (x)) Br (x)
para cada bola Br (x) tal que B r (x) ⊂ Ω.
Se α (n) denota o volume da bola unitária em Rn então as médias de u em Sr (x) e
Br (x) são denotadas por:
Z−

1
udy =
α (n) rn

Z
udy,
Br (x)

Br (x)

Z−

1
udy =
nα (n) rn−1

Z
udσ (y),
Sr (x)

Sr (x)

Teorema 1.4 (Teorema do Valor Médio). Se u é harmônica então
Z−
u (x) =

Z−
udσ (y) =

Sr (x)

udy,
Br (x)

para toda bola Br (x) tal que B r (x) ⊂ Ω.
Demonstração. Considere a seguinte função
Z−
φ (r) =

Z−
u (y)dσ (y) =

Sr (x)

u (x + rz)dσ (z) .
S1 (0)

Diferenciando em relação a r,
φ0 (r) =

Z−

Z−
z∇u (x + rz)dσ (z) =

S1 (0)

Sr (x)

16

y−x
∇u (y)dσ (y) .
r

Consequentemente, usando a Primeira Identidade de Green com v ≡ 1, obtemos
Z−

0

∂u
r
dσ (y) =
∂ν
n

φ (r) =
Sr (x)

Z−
∆u (y)dy = 0.

(1.6)

Br (x)

Logo, φ (r) é constante. Desse modo,
Z−
φ (r) = lim φ (t) = lim
t→0

u (y)dσ (y) = u (x) .

t→0
St (x)

Mostraremos agora que u (x) também é escrita como a média sobre a bola Br (x).
Com efeito, usando coordenadas polares, temos que
!
Z
Z
Z
r

udy =

udσ (y) dφ
0

Br (x)

Sφ (x)
Z r

nα (n) φn−1 dφ

= u (x)
0
n

= α (n) r u (x) .
Assim,
1
u (x) =
α (n) rn

Z−

Z
udy =
Br (x)

udy.
Br (x)

Teorema 1.5 (Recı́proca do Teorema do Valor Médio). Se u ∈ C 2 satisfaz
Z−
u (x) =

udσ (y)
Sr (x)

para toda bola Br (x) ⊂ U , então u é harmônica.
Demonstração. Se ∆u 6= 0, existe alguma bola Br (x) ⊂ U tal que ∆u > 0 no interior da
bola Br (x). Mas para φ definida como no Teorema(1.4), temos que
r
0 = φ (r) =
n
0

Z−
∆u (y) dy > 0,
Br (x)

o que é uma contradição.
Corolário 1.1. Seja ωn a área da esfera unitária S n−1 . Dado x ∈ Rn e r > 0, a área da
r n ωn
esfera Sr (x) é rn−1 ωn e o volume da Br (x) é
.
n
17

Demonstração. Consequência imediata do Teorema(1.4). Basta tomar u (x) ≡ 1.
Teorema 1.6. Suponha que {un }n∈N é uma sequência de funções harmônicas em Ω que
converge uniformemente para uma função u em subconjuntos compactos de Ω quando
n → ∞. Então u é harmônica.
Demonstração. Seja x ∈ Ω. Tome a bola B̄r (x) ⊂ Ω. Como un é uma sequência de
funções harmônicas, temos que un pode ser escrita por
Z
1
un (y)dy,
(1.7)
un (x) =
vol (Br (x)) Br (x)
pelo Teorema(1.4). Passando o limite em (1.7) e usando a convergência uniforme em
B̄r (x), tem-se
Z
1
lim un (x) =
lim un (y)dy,
n→∞
vol (Br (x)) Br (x) n→∞
assim

1
u (x) =
vol (Br (x))

Z
u (y)dy.
Br (x)

Logo, u satisfaz a propriedade do Valor Médio. Usando o Teorema(1.5) obtemos que u é
harmônica.

1.3.3

Funções Fracamente Harmônicas


Denotaremos por C0∞ Ω̄ o conjunto das funções infinitamente diferenciáveis com suporte
compacto em Ω.
Definição 1.7. Uma função u diz-se fracamente harmônica se o produto interno em
L2 (Ω) satisfaz
Z
hu, ∆ψi =
u∆ψdx = 0,
Ω


∀ψ ∈ C0∞ Ω̄ .
Notamos que toda função harmônica é fracamente harmônica, sendo este último conceito mais geral.
Teorema 1.7. Uma função fracamente harmônica u em Ω pode ser corrigida num conjunto de medida nula de modo que a função resultante seja harmônica.
Antes de procedermos com a demonstração desse Teorema definiremos e provaremos
alguns resultados que serão de grande utilidade.

18

1.3.4

Identidades Aproximadas

Definição 1.8. Seja ϕ ∈ C0∞ (Rn ) tal que
(a) supp ϕ ⊂ B1 (0) ,
Z
(b)
ϕ(x)dx = 1.
Rn

Chama-se Identidade Aproximada à famı́lia de funções {ϕr }r>0 onde ϕr (x) =

1
ϕ (x/r).
rn

Definição 1.9. Sejam u ∈ L1 (Rn ) e r > 0. A convolução


Z
1
x−y
u (y)dy,
ur (x) = ϕr ∗ u(x) = n
ϕ
r Rn
r

é dita uma regularização de u, onde supp ϕ x−y
= Br (x).
r
Teorema 1.8. Seja {ϕr }r>0 uma identidade aproximada. Então,
lim kϕr ∗ f − f kp = 0,

r→∞

se f ∈ Lp , 1 ≤ p < ∞.
R
Demonstração. Suponha que 1 ≤ p < ∞. Como Rn ϕ (y) dy = 1, temos que
Z
ϕ (y) [f (x − ry) − f (x)] dy.
ϕr ∗ f (x) − f (x) =

(1.8)

Rn

Se f é contı́nua, temos que gh (x) := f (x + h) − f (x) −→ 0 pontualmente quando h → 0.
Além disso, kf (· + h)kp = kf (·)kp , pois o valor da integral não muda por translações.
Assim, obtemos que
kgh kp ≤ kf (· + h)kp + kf kp = 2kf kp .
Logo, o Teorema da Convergência Dominada garante que
lim kf (· + h) − f kp = 0,

h→0

ε
.
6 kϕk1
ε
Sabemos que se f ∈ Lp então existe fε contı́nua tal que kf − fε kp <
. Assim,
6 kϕk1
temos que
ou seja, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se |h| < δ então kf (· + h) − f kp <

kf (· + h) − f kp ≤ kf (· + h) − fε (· + h)kp + kfε (· + h) − fε kp
+ kfε − f kp
ε
.
≤
2 kϕk1
19

(1.9)

Observemos que
Z

Z
kϕk1 =

|ϕ (y)|dy = lim

R→∞

Rn

|ϕ (y)|dy,
|y|≤R

ou seja, para todo ε > 0 existe R tal que se R > Rε então
Z
Z
|ϕ (y)|dy =
|ϕ (y)|dy <
kϕk1 −
y≤R

y>R

ε
.
4 kf kp

(1.10)

Agora, com δ fixado, utilizamos a Desigualdade de Minkowski em (1.8) e combinando as
desigualdades obtidas em (1.9) e (1.10) obtemos
Z
Z
kϕr ∗ f − f kp ≤
|ϕ (y)| kf (· + ry) − f kp dy + 2 kf kp
|ϕ (y)|dy
|y|< rδ

<

|y|≥ rδ

ε ε
+ = ε,
2 2

sempre que δ/r > Rε ⇐⇒ r < δ/Rε .
Demonstração do Teorema 1.7. Para cada ε > 0 definimos Ωε como sendo
Ωε = {x ∈ Ω : dist (x, ∂Ω) > ε} .
O conjunto Ωε é aberto e para todo ponto p ∈ Ω existe 0 < ε << 1 tal que p ∈ Ωε .
Definiremos em Ωε a regularização ur (x) = u ∗ ϕr (x). Notemos que, ur (x) com r < ε
é fracamente harmônica em Ωε . De fato, ∀ ψ ∈ C0∞ (Ω ), temos que

Z Z
u (x − y) ϕr (y)dy ∆ψ (x) dx
hu ∗ ϕr , ∆ψi =
Rn
Rn

Z Z
1
n
=
u (x − rz) n ϕ (z) r dz ∆ψ (x) dx
r
Rn
Rn

Z
Z
u (x − rz) ∆ψ (x) dx dz (fazendo x = rz + x
e)
ϕ (z)
=
Rn
Rn
Z

Z
u (e
x) ∆ψ (rz + x
e) de
x dz
ϕ (z)
=
Rn

Rn

= 0,
pois u é fracamente harmônica em Ω.
Note que a regularização u ∗ ϕr é harmônica, pois usando a segunda identidade de
Green, para todo ψ ∈ C0∞ (Ω) temos que

Z
Z 
∂ur
∂ψ
(ψ∆ur − ur ∆ψ)dy =
ψ
− ur
dσ (y) .
∂ν
∂ν
Ω
∂Ω
E como funções restritas ao bordo se anulam, segue-se
Z
Z
ψ∆ur dy =
ur ∆ψdy.
Ω

Ω

20

Usando o fato de ur ser fracamente harmônica, obtemos que
Z
ψ∆ur dy = 0,
Ω

de onde podemos concluir que ∆ur = 0, pois se supormos por contradição que ∆ur (x0 ) >
0 em algum x0 ∈ Ω, podemos então considerar a função ψ ∈ C0∞ (Ω) tal que

1, se x ∈ Bδ/2 (x0 ) ,
ϕ (x) =
0, se x ∈
/ Bδ (x0 ) ,
de onde segue que
Z
0=

Z
∆ur ψdy =

Ω

∆ur dy > 0,
Bδ/2 (x0 )

o que é uma contradição. Logo, ur é uma função harmônica.
Observemos que
(u ∗ ϕr1 ) (x) = (u ∗ ϕr2 ) (x) ,

(1.11)

para todo x ∈ Ωε e r1 + r2 < ε. Com efeito, como u ∗ ϕr1 é harmônica então vale
((u ∗ ϕr1 ) ∗ ϕr2 ) (x) = (u ∗ ϕr1 ) (x) ,

(1.12)

Logo, usando a comutatividade da convolução tem-se
(u ∗ ϕr1 ) (x) = ((u ∗ ϕr1 ) ∗ ϕr2 ) (x) = ((u ∗ ϕr2 ) ∗ ϕr1 ) (x) = (u ∗ ϕr2 ) (x) ,
Deixando r2 fixo e passando limite quando r1 tende a zero em (1.11) e usando o Teorema
(1.8) temos que
0 = lim ku ∗ ϕr1 − ukLp (Ωε ) = ku ∗ ϕr2 − ukLp (Ωε ) ,
r1 →0

logo u ∗ ϕr2 (x) = u (x), x.q.t.p em Ωε .

1.4

A Terceira Identidade de Green

Iremos deduzir nesta seção a Terceira Identidades de Green, a qual será nosso ponto
de partida para dar inı́cio ao método de resolução do problema de Dirichlet.
Teorema 1.9 (Terceira Identidade de Green). Sejam Ω ⊂ Rn um domı́nio limitado,
onde vale o Teorema da Divergência e u ∈ C 2 (Ω̄). Então, para todo x ∈ Ω
Z


u (x) =
u (y) ∂ny F (x − y) − F (x − y) ∂ny u (y) dσ (y)
(1.13)
∂Ω
Z
+ −F (x − y) ∆u (y) dy,
Ω

onde F é a solução fundamental do Laplaciano em Rn .
21

Antes de proceder com a prova do Teorema 1.9 provaremos alguns resultados que
serão de grande utilidade.
Observação 1.1. Com o objetivo de não deixar as demosnstrações muito técnicas, todos
os resultados desta seção serão provados no contexto de dimensão n ≥ 3. No entanto,
todas as provas que serão realizadas se adaptam facilmente ao caso n = 2.
Lema 1.2. Dado ε > 0. Seja y ∈ Bε (x) ⊂ Ω e Sε (x) = ∂Bε (x). Então,
Z
[F (x − y) ∂n u (y)] dσ (y) = 0,
(a) lim
→0

S (x)

Z
[∂n F (x − y) u (y)] dσ (y) = −u (x),

(b) lim

ε→0

Sε (x)

onde Ω é um domı́nio regular, F é a solução fundamental do Laplaciano e ∂n F é a
derivada direcional de F na direção normal interior à esfera Sε (x).
Demonstração. Iniciamos com a demonstração do item (a). Definimos
Z
I1 (ε) =
[F (x − y) ∂n u (y)] dσ (y).
Sε (x)

Usando as desigualdades triangular e de Cauchy-Schwarz tem-se que
Z
|I1 (ε)| ≤
|F (x − y)| |∂n u (y)| dσ(y)
Sε (x)
Z
≤
|F (x − y)| |h∇u (x) , Ny (u)i| dσ (y)
Sε (x)
Z
1
1
≤
n−2 k∇u (x)k dσ (y)
Sε (x) (n − 2) ωn |x − y|
Z
c
1
≤
dσ (y)
(n − 2) ωn εn−2 Sε (x)
c
1
=
εn−1 ωn
n−2
(n − 2) ωn ε
c
=
ε.
n−2
Passando o limite quando  → 0, obtemos
c
ε = 0.
ε→0 n − 2

lim |I1 (ε)| ≤ lim

ε→0

Assim, lim I1 (ε) = 0, concluindo a demonstração do primeiro item.
ε→0

Para provar o item (b), definimos
Z
I2 (ε) =
[∂n F (x − y) u (y)] dσ (y) .
Sε (x)

22

Notamos que
Z



I2 (ε) =
Sε (x)

Z
=

∂n F (x − y) [u (y) − u (x) + u (x)] dσ (y)
Z
∂n F (x − y) [u (y) − u (x)] dσ (y) +
[∂n F (x − y) u (x)] dσ(y)

Sε (x)

Sε (x)

= I21 (ε) + I22 (ε),
onde
Z



I21 (ε) =

[∂n F (x − y) (u (y) − u (x))] dσ (y) ,

(1.14)

[∂n F (x − y) u (x)] dσ (y) .

(1.15)

Sε (x)

Z
I22 (ε) =
Sε (x)

Estimaremos a seguir cada uma das integrais separadamente. Usando o Teorema do
Valor Médio, obtemos
Z
|∂n F (x − y)| |u (y) − u (x)| dσ (y)
|I21 (ε)| ≤
Sε (x)
Z
≤
|∂n F (x − y)| |c (y − x)| dσ (y)
Sε (x)
Z
≤ cε
dσ (y) ≤ cεωn εn−1 = cεn .
Sε (x)

Passando ao limite quando ε → 0 na desigualdade acima, concluı́mos que
lim |I21 (ε)| ≤ lim c εn = 0.

ε→0

ε→0

23

Analogamente, para I22 obtemos
Z
I22 (ε) =
∂n F (x − y) u (x) dσ (y)
Sε (x)
Z
∂n F (x − y) dσ (y)
= u (x)
Sε (x)

Z
∇y F (x − y) ν(y)dσ (y)

= u (x)
Sε (x)

=
=
=
=



Z
1
1
x−y
u (x)
∇y
dσ (y)
n−2
ωn (2 − n) Sε (x)
|x − y|
|x − y|
Z
1
x−y x−y
u (x)
dσ (y)
− (2 − n)
ωn (2 − n) Sε (x)
|x − y|n |x − y|
Z
1
u (x)
dσ (y)
−
ωn Sε (x) |x − y|n−1
Z
u (x)
−
dσ(y)
ωn εn−1 Sε (x)

= −

u (x)
ωn εn−1 = −u (x) .
ωn εn−1

Finalmente como I2 (ε) = I21 (ε)+I22 (ε), novamente passando o limite quando ε → 0,
temos que
lim I2 (ε) = lim I21 (ε) + lim I22 (ε) = −u(x).
ε→0

ε→0

ε→0

Desse modo concluı́mos a demonstração do item (b).
Lema 1.3. Dado ε > 0. Seja y ∈ Bε (x) ⊂ Ω. Então
Z
F (x − y) ∆u (y) dy = 0,
lim
ε→0

Bε (x)

onde u ∈ C 2 (Ω) e F é a solução fundamental do Laplaciano.
Demonstração. Para estimarmos esta integral usamos as coordenadas esféricas, ou seja,
(
y = x + rω,
(r, ω) ∈ [0, ∞) × S n−1 ,
dy = rn−1 drdσ (ω) ,
onde dσ (ω) denota o elemento de área em S n−1 .
Z εZ

Z
F (x − y) ∆u (y) dy

≤

Bε (x)

0

|F (−rω)∆u (x + rw) |rn−1 dσ(ω)dr

S n−1

Z εZ

r
max |∆u|dr
Ω
n−1 |(2 − n)ωn |
0
Z εS
cn
= cn
rdr = ε2 .
2
0

≤

24

Logo, passando o limite obtemos
Z
lim
ε→0

F (x − y) ∆u (y) dy = 0.

Bε (x)

A seguir passamos efetivamente a provar a Terceira Identidade de Green.
Prova do Teorema 1.9. Note que, F (x − y) tem uma descontinuidade quando x = y,
desse modo iremos isola-lá e aplicaremos a segunda identidade de Green dada por(1.2)
trocando v (y) por F (x − y). Desse modo
Z

Z

Z

u∂n F (x − y) dσ(y) =
∂Ωε

F (x − y) ∂n udσ(y) −
∂Ωε

F (x − y) ∆udy
Ωε

Z
u∆y F (x − y)dy.

+
Ωε

Como ∆y F (x − y) = 0 e Ωε = Ω − Bε (x) ,
Z
Ω

Z
u∂n F (x − y) − ∂n uF (x − y)dσ(y)
F (x − y) ∆udy = −
∂Ω
Z
Z
+
F (x − y) ∆udy −
u∂n F (x − y)
Bε (x)
S (x)
Z
+
F (x − y) ∂n udσ (y)
Sε (x)

Usando os Lemas(1.2) e (1.3) obtemos a expressão desejada.

25

1.5

Elementos de Ánalise Funcional

Nesta seção apresentaremos algumas definições e propriedades dos operadores limitados
e compactos que serão utilizadas.
Definição 1.10. Sejam E um espaço de Banach. Um operador T ∈ B (E, E) (conjunto
dos operadores limitados) é dito ser invertı́vel se e somente se existe S ∈ B (E, E) tal
que
T S = ST = I,
onde I denota a identidade em E. Neste caso, escreveremos S = T −1 .
Teorema 1.10. Se T ∈ B (E, E) e kT k < 1, então (I − T ) é invertı́vel e seu inverso é
dado pela série de Neumann, ou seja,
(I − T )

−1

=

∞
X

T j,

(1.16)

j=o

onde a convergência vale na norma de B (E).
Demonstração. Usando o fato de que kT1 T2P
k ≤ kT1 k kT2 k segue que kT j k ≤ kT kj .
Sabemos ainda que a série geométrica j kT kj converge quando kT kj < 1. Desse
modo, a série (1.16) é absolutamente convergente.
Como E é completo, segue que B (E, E) também o é. Além disso, temos neste caso
que convergência absolutamente implica convergência.
Denotemos
∞
X
S=
T j.
j=0
−1

Mostraremos que, S = (I − T ) . De fato,
(I − T ) I + T + T 2 + · · · + T n



= (I + T + · · · + T n ) (I − T )
= I − T n+1 ,

fazendo n → ∞, obtemos que T n+1 → 0 pois kT k < 1. Desse modo,
(I − T ) S = S (I − T ) = I.
Logo, concluı́mos que S = (I − T )−1 .
Definição 1.11. Um operador linear T : E → E é dito compacto se e somente se
para qualquer S limitado contido em E, a imagem T (S) ⊂ E tem fecho compacto.
Equivalentemente, T é compacto se e somente se qualquer que seja a sequência {xn }
limitada, a sequência {T (xn )} contém uma subsequência convergente.
A coleção de todos os operadores compactos de E em E será denotada por B0 (E).
Teorema 1.11. Seja E um espaço de Banach.
26

(a) Se T , S ∈ B0 (E), então αT + βS ∈ B0 (E);
(b) Se T ∈ B0 (E) e S ∈ B (E), então T S e ST são operadores compactos;
(c) Se {Tn } ⊂ B0 (E), T ∈ B (E) e Tn tende a T na norma de B (E), então T é
compacto,
(d) T ∈ B0 (H) se e somente se T ∗ ∈ B0 (H).
Demonstração. A demonstração deste Teorema pode ser encontrada em [7].
Definição 1.12. Seja H = L2 (Rn ). Definimos o operador T : H → H pela expressão
Z
K (x, y) f (y)dy onde f ∈ L2 (Rn ) .
TK f (x) =
Rn

Dizemos que TK é um operador integral e K é o núcleo associado a esse operador.
Além disso, se K (x, y) ∈ L2 (Rn × Rn ) então K é chamado de núcleo de Hilbert
Schmidt.
Proposição 1.5. Todo operador de Hilber Schmidt é compacto.
2
n
Demonstração. Note que se {φi }∞
i=1 denota uma base ortogonal em L (R ) temos que
ψij = φi (x) φj (y) é uma base ortogonal para L2 (Rn × Rn ), pois,
Z
2
|ψij (x, y)|2 dσ (x) dσ (y)
kψij k2 =
Z∂Ω×∂Ω
|φi (x)|2 |φj (y)|2 dσ (x) dσ (y)
=
Z∂Ω×∂Ω
Z
2
=
|φi (x)| dσ (x)
|φj (y)|2 dσ (y)
∂Ω

∂Ω

= 1
Por outro lado, temos que
Z
hψij , ψlk i =

ψij (x, y) ψlk (x, y)dσ (x) dσ (y)
∂Ω×∂Ω

Z



φi (x) φl (x) φj (y) φk (y) dσ (x) dσ (y)
Z∂Ω×∂Ω
Z
=
φi (x) φl (x)dσ (x)
φj (y) φk (y)dσ (y)
=



∂Ω

∂Ω

= δil δjk .

Assim temos os seguintes casos: hψij |ψlk i =

1, se i = l ej = k,
0, se outro caso.

Logo, mostramos que ψij é uma base ortogonal para L2 (Rn × Rn ).
27

Note que
K (x, y) ∼

∞
X

ai,j φi (x) φj (y) com

X

|aij |2 < ∞,

i,j

k,l=1

Definindo o operador
Z
Kn (x, y) f (y)dy onde Kn(x,y) =

Tn f (x) =
Rn

n
X

ai,j φi (x) φj (y) .

i,j=1

obtemos que cada Tn tem posto finito logo é compacto. Além disso
X
kK − Kn k22 =
|ai,j |2 −→ 0 quando n → ∞.
i,j≥n

Como consequência deste fato obtemos que kT − Tn k ≤ kK − Kn k22 e usando o Teorema
(1.11) concluı́mos que T é compacto.
Teorema 1.12 (Desigualdade Generalizada de Young). Dados (X, µ) um espaço mensurável σ finito, 1 ≤ p ≤ ∞ e C > 0. Suponha que K seja uma função mensurável em
X × X tal que
Z
(a) sup
K (x, y) dµ (y) ≤ C,
x∈X

X

Z
K (x, y) dµ (x) ≤ C.

(b) sup
y∈X

X

Se f ∈ Lp (X) a função T f definida por
Z
T f (x) =
K (x, y) f (y)dµ (y)
X

está bem definida em quase todo ponto e pertence a Lp (X), e vale a seguinte desigualdade
kT f kp ≤ C kf kp .
Demonstração. A demonstração deste Teorema pode ser encontrada em [5].

1.5.1

Alternativa de Fredholm

Definição 1.13. Um operador A é dito ser de Fredholm se e somente se
dimN (A) = dimN (A∗ ) = n < ∞

(1.17)

R (A) = R (A).

(1.18)

28

Considere as seguintes equações
Au = f,

(1.19)

Au0 = 0,

(1.20)

A∗ v = g,

(1.21)

A∗ v0 = 0.

(1.22)

Teorema 1.13. Se B é um isomorfismo e F é um operador cuja dimensão do posto é
finita então A = B + F é de Fredholm.
Para todo operador A de Fredholm as seguintes alternativas são válidas.
(a) Ou, a equação (1.20) tem somente solução trivial u0 e portanto a equação (1.22)
também possui somente a solução trivial e ainda as equações (1.19) e (1.21) são
unicamente determinadas para f e g,
(b) Ou, a equação (1.20) tem n > 0 soluções linearmente independentes e portanto
(1.22) também tem n soluções linearmente independentes ψj para 1 ≤ j ≤ n, desse
modo (1.19) e (1.21) são resolviveis se e somente se hf, ψj i = 0 e hg, φj i = 0.
Demonstração. Se A é de Fredholm então as condições 1 e 2 do teorema são equivalentes
a (1.17) e (1.18). Desse modo, nosso objetivo é provar que A é um operador de Fredholm.
Para isso iremos mostar que (1.19) e (1.21)são equivalentes a um sistema algébrico linear
em um espaço de dimensão finita.
Note que (1.19) é equivalente a equação
ω + T ω = f,

(1.23)

onde T := F B −1 é um operador de posto finito que tem a mesma dimensão n do operador
F e Bu := ω. A equivalência entre estas equações é clara pois
f = Au = (B + F ) u = (B + T B) u = Bu + T Bu = ω + T ω.
Como B é um isomorfismo, cada solução de (1.19) tem uma correspondência injetiva
com a solução de (1.23). Em particular, tomando B = I obtemos
dimN (A) = dimN (I + T ) e
R (A) = R (I + T ) onde R (I + T ) é fechado.
Afirmamos que se T tem posto de dimensão finita n então a dimN (I + T ) é finita e
não é maior do que o posto de T .
De fato, se u = −T u onde T tem posto finito n então
Tu =

n
X

hT u, ej i ej ,

j=1

onde {ej } é uma base ortonormal de R (T ) e
u=−

n
X

hu, T ∗ ej i ej .

j=1

29

Desse modo u pertence a um subespaço de dimensão n = r (T ).
Como A e A∗ são simétricos, no teorema é suficiente provar (1.17) e (1.18) para A e
verificar que dimN (A) = dimN (A∗ ).
Note que (1.21) é equivalente a equação
v = T ∗ v = h,

(1.24)

onde T ∗ := (B ∗ )−1 F é um operador de posto finito(adjunto de T) que tem a mesma
dimensão n do operador T . A equivalência é clara, pois basta aplicar (B ∗ )−1 a (1.21),
obtendo
h = (B ∗ )−1 g = (B ∗ )−1 (A∗ v) = (B ∗ )−1 (B ∗ + F ∗ ) v = v + T ∗ v.
Mostraremos agora que os operadores tem o mesmo posto de dimensão finita. Seja {ej }
é uma base de R (T ) então
n
X
Tu =
hT u, ej i ej ,
j=1

e
∗

T u=

n
X

hu, ej i T ∗ ej ,

j=1

assim r (T ∗ ) ≤ r (T ) e usando simetria obtemos r (T ) ≤ r (T ∗ ). Logo os operadores tem
o mesmo posto.
Iremos escrever explicitamente um sistema algébrico linear equivalente as equações
(1.23) e (1.24). Para a equação (1.23) obtemos
ci +

n
X

tij cj = fi .

(1.25)

1

onde tij := hej , T ∗ ei i, cj := hω, T ∗ ej i e fi = hf, T ∗ ei i .
E para (1.24) obtemos
n
X
ξi +
t∗ij ξj = hi .

(1.26)

1

onde t∗ij := hT ∗ ej , ei i,

ξj := hv, ej i e hi := hh, ei i e t∗ij é a matriz adjunta de tij . Para
os sistemas algébricos lineares (1.25) e (1.26) a Alternativa de Fredholm é um resultado
elementar bem conhecido. Estes sistemas são equivalentes a (1.19) e (1.21). Desse modo
a Alternativa de Fredholm é válida para (1.19) e (1.21) então as propriedades (1.17) e
(1.18) estão provadas.
Para uma melhor visualização da Aplicação de Fredholm neste trabalho iremos utilizar
um teorema equivalente ao (1.13), onde tomaremos em particular A = λI − T , B = −λI
é um isomorfismo e F = −T é um operador de posto finito, pois T é um operador
compacto.
Teorema 1.14. Sejam H um espaço de Hilbert e T ∈ B0 (H). Então, dado λ ∈ R tem-se
as seguintes alternativas:
30

(a) ∀g ∈ H, λI − T = g tem solução, ou
(b) λI − T = 0 tem solução não trivial.
Observação 1.2. Note que valem as seguintes equivalências.
(a) ⇔ ∃ φ ∈ H : λφ − T φ = g ⇔ Im(λI − T ) = H.
(b) ⇔ ∃ φ 6= 0, φ ∈ H tq λφ − T φ = 0 ⇔ λ é um autovalor de T.
Observação 1.3. Uma prova de uma versão mais geral da Alternativa de Fredholm pode
ser vista em [1].

31

Capı́tulo 2
Teoria do Potencial
Neste capı́tulo, faremos um estudo do Problema de Dirichlet em domı́nios limitados
com fronteira de classe C 2 . A abordagem será realizada através da Teoria do Potencial, onde um conhecimento básico de operadores compactos é necessário. O modelo
matemático a ser estudado é o seguinte: deseja-se provar a existência de soluções para o
problema de contorno
(
∆u (x) = 0,
x∈Ω
(2.1)
u (x) = f (x) , x ∈ ∂Ω.

onde u ∈ C 2 (Ω) ∩ C Ω̄ e Ω é um domı́nio limitado em Rn com fronteira ∂Ω de classe
C 2.
Nossa motivação para resolver o problema parte da Terceira Identidade de Green,
(ver Teorema(1.9)), quando aplicada a uma função harmônica, isto é, se u é harmônica
em Ω e pertence a C 2 (Ω̄) temos que
Z


u (x) =
u∂ny F (x − y) − F (x − y) ∂ny u dσ (y) ,
∂Ω

para todo x ∈ Ω. A função acima não é uma boa representação pois contém a derivada
normal de u, da qual não temos informação. Assim, a idéia é desprezar o termo que
contém ∂n u (y) e procurar uma solução no formato
Z
u(x) =
φ (y) ∂ny F (x − y) dσ (y) ,
(2.2)
∂Ω

onde φ é uma função a determinar.
A equação (2.2) é conhecida como Potencial de Camada Dupla. Como veremos, será
necessário também o estudo das propriedades de
Z
w (x) =
φ (y) F (x − y)dσ (y)
(2.3)
∂Ω

conhecida como Potencial de Camada Simples.

32

2.1

Operadores Integrais

Antes de estudarmos as propriedades dos potenciais de camada dupla e simples precisamos deduzir algumas propriedades sobre certos tipos de operadores integrais com
fronteira limitada de um domı́nio Ω ⊂ Rn .
Definição 2.1. Sejam K : ∂Ω × ∂Ω → Rn uma função mensurável e 0 ≤ α < n − 1. K
é dito um núcleo de ordem α se

A (x, y)

,
se α > 0,
K (x, y) =
|x − y|α

A (x, y) ln |x − y| + B (x, y) , se α = 0,
onde A e B são funções limitadas em ∂Ω × ∂Ω. Além disso, K é dito um núcleo contı́nuo
de ordem α (0 ≤ α < n − 1) se K é o núcleo de ordem α e K é contı́nuo no conjunto
{(x, y) ∈ ∂Ω × ∂Ω; x 6= y}.
Se K é um núcleo contı́nuo de ordem α, 0 ≤ α < n − 1, definimos o operador TK por
Z
TK u (x) =
K (x, y) u (y)dσ (y) .
∂Ω

Proposição 2.1. Se K é o núcleo contı́nuo de ordem α, onde 0 ≤ α < n − 1, então TK
é limitado em Lp (∂Ω) para 1 ≤ p ≤ ∞. Além disso, existe uma constante Cα > 0 tal
que se K é suportado no conjunto {(x, y) ; |x − y| < ε} então
kTK ukp ≤ Cεn−1−α kAk∞ kukp , (α > 0) ,
n−1

kTK ukp ≤ Cε

(2.4)

(kAk∞ (1 + |ln ε|) + kBk∞ ) kukp , (α = 0) .

(2.5)

No enunciado desta Proposição estamos usando as seguintes notações:
kAk∞ indica kAk∞ =

sup

|A(x, y)| .

(x,y)∈∂Ω×∂Ω

Observação 2.1. Antes de demonstrarmos a proposição, observamos o seguinte fato:
∀ x ∈ ∂Ω existe εx tal que
V (x) = ∂Ω ∩ Bεx (x) = {y ∈ ∂Ω; |y − x| < εx } ,
é um gráfico de uma função de classe C 2 . Usando esse fato, obtemos que
[
∂Ω =
V (x).
x∈∂Ω

Por hipótese o bordo é compacto, logo
∂Ω =

k
[

V (xi ).

i=1

Vamos supor, sem perda de generalidade, que em cada vizinhança V (xi ) a variável xn se
escreve em função de (x1 , . . . , xn−1 ), ou seja, xn = fi (x1 , . . . , xn−1 ) para todo x ∈ V (xi ).
33

Demonstração da Proposição 2.1.1. Demonstraremos está proposição utilizando o Teorema (1.12), portanto, é suficiente provar as estimativas
Z
|K (x, y)| dµ (y) < C,
(a) sup
x∈∂Ω

∂Ω

Z
|K (x, y)| dµ (x) < C.

(b) sup
y∈∂Ω

∂Ω

Provaremos apenas (a), uma vez que (b) pode ser obtida de forma similar. Fixe x ∈ ∂Ω
e seja

∂Ωε (x) = y ∈ ∂Ω; |x − y| < ε .
Por definição temos que,
Z
Z
|K(x, y)|dσ (y) ≤ kAk∞
∂Ω

|x − y|−α dσ(y).

(2.6)

∂Ω

x − ye| ≤ |x − y|, e
Sejam x
e = (x1 , . . . , xn−1 ) e ye = (y1 , . . . , yn−1 ). É fácil ver que |e
como α > 0, obtemos que
|e
x − ye|−α ≥ |x − y|−α .
(2.7)
Substituindo a desigualdade (2.7) em (2.6), obtemos
Z

Z
|K(x, y)|dσ (y) ≤ kAk∞

∂Ω

= kAk∞

|e
x − ye|−α dσ(y)

∂Ω
k
XZ
i=1

∂Ωε (x)∩V (xi )

|e
x − ye|−α dσ(y).

Resolvendo cada integral de superfı́cie obtemos
Z
|K(x, y)|dσ (y) ≤ kAk∞
∂Ω

k Z
X
i=1

≤

k
X

|e
x−e
y |<ε

|e
x − ye|−α |Ji (e
y )| de
y

Z
Ci kAk∞

i=1

|e
x−e
y |<ε

|e
x − ye|−α de
y,

onde Ci = máx |Ji (e
y )|, onde Ji (e
y ) é o jacobiano que transforma o elemento de superfı́cie
no elemento de volume em cada V (xi ).
Usando coordenadas polares em Rn−1 , ye = x
e + rω, onde ω ∈ S n−2 , para obtermos
Z
Z ε
Z
−α n−2
|K(x, y)|dσ (y) ≤ C0 kAk∞
r r dr
dσω
∂Ω

≤ C2 kAk∞ ε

34

0
n−1−α

S n−2

.

Proposição 2.2. Se K é o núcleo contı́nuo de ordem α, 0 < α < n − 1, então TK
transforma funções limitadas em funções contı́nuas.
Demonstração. Suponha que α > 0, pois o núcleo contı́nuo de ordem zero também é um
núcleo de ordem α para algum α > 0. Desse modo, podemos escrever
K (x, y) = A (x, y) |x − y|−α .
Dados x ∈ Ω e δ > 0, definimos
Bδ (x) = {y ∈ ∂Ω; |x − y| < δ} .
Seja f ∈ L∞ (∂Ω). Se y ∈ Bδ (x), temos que
Z
|TK f (x) − TK f (y)| =
(K (x, z) − K (y, z)) f (z)dσ (z) ≤ I1 (x, y) + I2 (x, y),
∂Ω

onde
Z
|K (x, z) − K (y, z)| |f (z)|dσ (z) ,

I1 (x, y) =
B2δ (x)

Z
|K (x, z) − K (y, z)| |f (z)|dσ (z) .

I2 (x, y) =
∂Ω\B2δ (x)

Podemos supor δ suficientemente pequeno de modo que B2δ (x) seja o gráfico de uma
função de classe C 2 . Desse modo
Z
(|K (x, z)| + |K (y, z)|) |f (z)|dσ (z)
Z

≤ kAk∞ kf k∞
|x − z|−α + |y − z|−α dσ (z)
B (x)

Z2δ
Z
−α
−α
|y − z| dσ (z) .
≤ kAk∞ kf k∞
|x − z| dσ (z) +

I1 (x, y) ≤

B2δ (x)

B3δ (y)

B2δ (x)

onde B3δ (y) = {z ∈ ∂Ω; |z − y| < 3δ} e B2δ (x) ⊂ B3δ (y). Similarmente ao processo da
demonstração da Proposição(2.1) temos que
Z

Z
−α
−α
|e
x − ze| |Ji (e
z )|de
z+
|e
y − ze| |Ji (e
z )|de
z .
I1 (x, y) ≤ kAk∞ kf k∞
|e
x−e
z |<2δ

|e
y −e
z |<3δ

Usando coordenadas polares em Rn−1 , dadas por ye = x
e +rω, onde ω ∈ S n−2 e ze = ye+rψ,
n−2
onde ψ ∈ S , obtemos
Z δ
Z
Z δ
Z
−α n−2
−α n−2
r r dr
dσω +C2 kAk∞ kf k∞
r r dr
dσψ .
I1 (x, y) ≤ C1 kAk∞ kf k∞
0

S n−2

Assim,
I1 (x, y) ≤ C kAk∞ kf k∞ δ n−α−1 .
35

0

S n−2

Estimemos agora I2 (x, y). Notemos que neste caso se y ∈ Bδ (x) e z ∈ ∂Ω \ B2δ (x)
obtemos que |x − z| ≥ 2δ e |y − z| ≥ δ.
Como K é contı́nua fora da diagonal temos que dado ε > 0, ∃ η > 0 tal que
ε
|x − y| = |(x, z) − (y, z)| < η então |K (x, z) − K (y, z)| <
.
2 kf k∞ µ (∂Ω)
Fazendo δ < η concluı́mos que
Z
Z
ε
|K (x, z) − K (y, z)| |f (z)|dσ (z) ≤ kf k∞
dσ (z)
2 kf k∞ µ (∂Ω) ∂Ω\B2δ (x)
∂Ω\B2δ (x)
ε
<
.
2
Portanto, |TK f (x) − TK f (y)| ≤ ε, sempre que |x − y| < η.

2.2

Propriedades do Potencial de Camada Dupla

Nesta seção iremos estudar algumas propriedades muito importantes do Potencial de
Camada Dupla.
Seja u(x) o Potencial de Camada Dupla definido em(2.2). Definimos
∂ny F (x, y) = −

h(x − y) , νy i
,
ωn |x − y|n

onde x ∈ Rn \ ∂Ω e y ∈ ∂Ω.
Proposição 2.3. Existe uma constante positiva c tal que ∀ x, y ∈ ∂Ω
|h(x − y) , νy i| ≤ c |x − y|2 .
Demonstração. Usando Cauchy-Schwarz temos que |h(x − y), νy i| ≤ |x − y| |ν(y)|, ∀ x, y.
Suponha que |x − y| ≤ 1.
Seja x = (x1 , x2 , . . . , xn ). Dado y ∈ ∂Ω podemos fazer translação e rotação de
coordenadas de modo que
y = 0, ν (y) = (0, 0, . . . , 1) e h(x − y) , νy i = xn esteja próximo de y.
Como o bordo é o gráfico de uma função f de classe C 2 , podemos escrever
xn = f (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) , f (0) = 0 e ∇f (0) = 0.
Agora mostraremos a desigualdade a seguir:
|h(x − y) , ν (y)i| = |f (x1 , x2 , . . . , xn−1 )| ≤ c |(x1 , x2 , . . . , xn )|2 ≤ c |x − 0|2 ≤ c |x − y|2 .
Usando a Fórmula de Taylor, com a = 0 e v = (x1 , x2 , . . . , xn−1 ), obtemos a seguinte
expressão
36

f (v) =

1 2
r(v)
= 0,
d f (a), v 2 + r (v) onde lim
v→0 kvk2
2

e aplicando a norma a igualdade acima, obtemos
1 2
d f (a) , v 2 + r (v)
2
1 2
≤
d f (a) |v|2 + |r (v)|
2
≤ cy |v|2 + |r (v)| .

|f (v)| =

r (v)
= 0 usando a definição temos que
v→0 v 2

Como lim

∀ ε > 0, ∃ δ > 0, |v| < δ ⇒

r (v)
< ε ⇒ r (v) < ε |v|2 .
v2

Agora estimaremos a última expressão, ou seja, iremos impor condições para que tal
limitação exista,
(a) Se |x − y| ≤ δ ≤ 1 então |v| < δ;
Usando alguns fatos visto acima, obtemos
|v| < |x| = |x − y| ≤ δ ≤ 1.
Neste primeiro caso basta tomar c < δ < 1 assim a desigualdade acima é verificada.
(b) |x − y| ≥ δ ⇔

1
(x − y)
δ

≥ 1.

Neste caso, usaremos Cauchy-Schwarz e a equivalência acima dada no item b, e
obtemos
|h(x − y) , ν (y)i| ≤ |x − y| ≤ δ

1
|x − y|2
1
(x − y) ≤ δ
≤ |x − y|2 .
2
δ
δ
δ

Neste caso para que a desigualdade seja válida basta tomarmos c > 1δ .
Quando x ∈ ∂Ω temos que a ∂ny F (x, y) é singular para x = y. Porém, provaremos
h(x − y) , νy i
que o núcleo K (x, y) = −
análogo à ∂ny F (x, y) tem propriedades de núcleo
ωn |x − y|n
contı́nuo, como veremos a seguir.
Proposição 2.4. K (x, y) = −
de ordem n − 2 em ∂Ω.

h(x − y) , νy i
onde x, y ∈ ∂Ω e x 6= y é um núcleo contı́nuo
ωn |x − y|n

37

Demonstração. Note que, podemos escrever K (x, y) da seguinte forma
A (x, y)
h(x − y) , νy i
.
n−2 , onde A (x, y) = −
|x − y|
ωn |x − y|2

K (x, y) =

É fácil ver que K (x, y) é contı́nua para x 6= y. Além disso, A (x, y) é uma função limitada
em ∂Ω × ∂Ω, pois usando a Proposição (2.3),
hx − y, νy i
c |x − y|2
≤ d.
|A (x, y)| =
≤
ωn |x − y|2
|ωn | |x − y|2
Logo, K (x, y) é um núcleo contı́nuo de ordem n − 2 no bordo.
Proposição 2.5. Valem as seguintes igualdades:

Z
1, se
x ∈ Ω,
∂ny F (x, y)dσ (y) =
0,
se
x
∈
Rn \ Ω̄.
∂Ω

(2.8)

e
Z
K(x, y)dσ(y) =
∂Ω

1
,
2

se x ∈ ∂Ω.

(2.9)

Demonstração. Dividiremos nossa demonstração em casos:
|x − y|2−n
a Solução Fundamental do Laplaciano
(2 − n)ωn
onde n ≥ 3. É fácil ver que F (x, y) é harmônica como uma função de y e usando
a Proposição (1.4) , temos que
Z
∂ny F (x, y)dσ (y) = 0.

(a) Se x ∈ Rn \ Ω̄. Seja F (x, y) =

∂Ω

(b) Se x ∈ Ω. Tome ε > 0 de modo que Bε (x) ⊂ Ω. Aplicando a Proposição (1.4)
sobre o domı́nio Ω \ Bε (x), temos que
Z
∂ny F (x, y)dσ (y) −
∂Ω

dσ (y) = 0

εn−1 ωn

Z
∂ny F (x, y)dσ (y) −
∂Ω

Z
∂ny F (x, y)dσ (y) −
∂Ω

Z

1

∂Bε

1
εn−1 ω

A(∂Bε ) = 0
n

1
εn−1 ωn

εn−1 ωn = 0

Z
∂ny F (x, y)dσ (y) = 1.
∂Ω

38

(c) Por fim, o caso em que x ∈ ∂Ω.
Consideremos os seguintes conjuntos:
∂Ωε = ∂Ω \ (∂Ω ∩ Bε ) ;
∂Bε0 (x) = ∂Bε ∩ Ω;
∂Bε00 (x) = {y ∈ ∂Bε ; hν(x), x − yi < 0} .
onde ∂Bε00 (x) é a semi-esfera da ∂Bε (x) que se localiza do mesmo lado do plano
tangente de ∂Ω com x ∈ Ω.
Por um lado, é fácil ver que
Z

Z
K (x, y) dσ (y) = lim

K (x, y) dσ (y) .

ε→0

∂Ω

∂Ωε

Por outro lado, como F (x, y) é harmônica em Ω \ B̄ε e a curva acima é limitada
por ∂Ωε ∪ ∂Bε0 (x), pela Proposição (1.4)
Z

Z
K (x, y) dσ (y) +

∂ny F (x, y) dσ (y) = 0.

∂Bε0 (x)
Fazendo uma troca de orientação em ∂Bε0 (x)
∂Ωε

Z

Z
K (x, y) dσ (y) = lim

∂Ω

ε→0

K (x, y) dσ (y)
∂Ωε

Z
= − lim

ε→0

= lim

∂ny F (x, y)dσ (y)
∂Bε0 (x)

1

ε→0 εn−1 ωn

Z
dσ (y) .
∂Bε0 (x)

Como ∂Ω é um de classe C 2 , a diferença simétrica entre ∂Bε0 (x) e ∂Bε00 (x) está
contida na faixa equatorial, definida por

{y ∈ ∂Bε (x) , hν(x), x − yi < c (ε)} onde c (ε) = O ε2 cuja área é O (εn ) .
Este fato será de fundamental importância na seguinte integração,
Z
1 n−1
ε ωn + O (εn ) .
dσ (y) =
2
∂Bε0 (x)
Para finalizarmos a Proposição, temos que


Z
1
1 n−1
n
K (x, y)dσ (y) = lim n−1
ε ωn − cε
ε→0 ε
ωn 2
∂Ω
1
cεn
−
ε→0 2
ωn εn−1

= lim

1
cε
−
ε→0 2
ωn
1
=
.
2
= lim

39

Lema 2.1. Existe uma constante C < ∞ tal que para todo x ∈ Rn \ ∂Ω,
Z
∂ny F (x, y) dσ (y) ≤ C.
∂Ω

Demonstração. Seja dist (x, ∂Ω) a distância de x ao ponto mais próximo de ∂Ω. Fixe
δ > 0 com as seguintes propriedades:
1
onde c é a constante dada na Proposição (2.3).
(1) δ < 2c

(2) O conjunto dos x ∈ Rn tais que dist (x, ∂Ω) < δ/2 é uma vizinhança tubular de
∂Ω. Desse
 modo, se dist (x, ∂Ω) < δ/2, existem um único x0 ∈ ∂Ω e um único
−δ δ
t ∈ 2 , 2 de modo que x − x0 = tν (x0 ), onde x0 é a projeção de x em ∂Ω.
Dividiremos a demonstração em dois casos:
Caso I: Suponha que dist (x, ∂Ω) ≥ δ/2. Por definição temos que
∂ny F (x, y) =

hx − y, νy i
.
ωn |x − y|n

Aplicando a norma a expressão acima, obtemos
∂ny F (x, y)

=
≤
=
≤
≤

hx − y, υy i
ωn |x − y|n
|x − y| |νy |
|ωn | |x − y|n
1
|ωn | |x − y|n−1
1 2n−1
|ωn | δ n−1
c1 δ 1−n .

Integrando esta desigualdade e usando o fato do bordo ser compacto, temos que
Z
Z
∂ny F (x, y) dσ (y) ≤
c1 δ 1−n dσ (y)
∂Ω
∂Ω
Z
1−n
dσ (y).
= c1 δ
∂Ω

Caso II: Suponha que dist (x, ∂Ω) < 2δ .
Sejam x0 a projeção de x sobre ∂Ω ao longo da reta normal e
∂Ωδ = ∂Ω ∩ Bδ (x0 ) = {y ∈ ∂Ω : |x0 − y| < δ} .
Iremos estimar a integral de ∂ny F (x, y) sobre ∂Ω \ ∂Ωδ e sobre ∂Ωδ separadamente.
40

(a) Se y ∈ ∂Ω \ ∂Ωδ então
|x − y| ≥ |x0 − y| − |x − x0 |
δ
≥ δ−
2
δ
.
=
2
Estimando a ∂ny F (x, y), obtemos
∂ny F (x, y) ≤ c1 δ 1−n .
Portanto, neste caso a limitação é verificada.
(b) Para estimar a integral sobre ∂Ωδ usaremos a seguinte desigualdade:
|2 hx − x0 , x0 − yi| = 2 |x − x0 | |hν (x0 ) , x0 − yi|
≤ 2c |x − x0 | |x0 − y|2 .
Prova da Desigualdade. De fato, seja
θ = ∠ (x − x0 , x0 − y) = ∠ (ν (x0 ) , x0 − y) .
Por definição, valem as seguintes expressões:
|2 hx − x0 , x0 − yi| = 2 |x − x0 | |x0 − y| cos θ

(2.10)

|hν (x0 ) , x0 − yi| = |x0 − y| cos θ

(2.11)

Substituindo a igualdade (2.11) em (2.10) e aplicando a Proposição (2.3) obtemos
que
|2 hx − x0 , x0 − yi| = 2 |x − x0 | |x0 − y| cos θ
= 2 |x − x0 | |hν (x0 ) , x0 − yi|
≤ 2c |x − x0 | |x0 − y|2 .
Logo, concluı́mos a demonstração da desigualdade.
Além disso,
|x − y|2 = |x − x0 + x0 − y|2
= |x − x0 |2 + |x0 − y|2 + 2 hx − x0 , x0 − yi .
1
Em particular, como |x − x0 | < δ < 2c
, usando a desigualdade acima temos que

|2 hx − x0 , x0 − yi| ≤ 2c |x − x0 | |x0 − y|
≤ |x − x0 | |x0 − y| .
41

1
2c

Como
|x − y|2 ≥


1
|x − x0 |2 + |x0 − y|2 .
2

Aplicando a desigualdade triangular na norma de ∂ny F (x, y), obtemos que

∂ny F (x, y)

=
≤
≤
≤
=
≤

hx − y, νy i
ωn |x − y|n
hx − x0 , νy i
hx0 − y, νy i
n +
ωn |x − y|
ωn |x − y|n
|x − x0 |
|x0 − y|2
+c
|x − y|n
|x − y|n
|x − xo | + c |x0 − y|2
|x − y|n
|x − xo | + c |x0 − y|2
c3
n/2
|x − x0 |2 + |x0 − y|2
c3 c |x0 − y 2 |
c3 |x − x0 |
+
n/2
n/2 .
|x − x0 |2 + |x0 − y|2
|x − x0 |2 + |x0 − y|2

Chamemos c4 = máx {c3 c, c3 }. Façamos r = |x0 − y| e a = |x − x0 | e integrando a
expressão obtida em coordendas polares e fazendo r = sa, temos que
#
Z
Z δ "
1
a
∂ny F (x, y) ≤
c4
+ n−2 rn−2 dr
n/2
2
2
r
(a
+
r
)
∂Ωδ
0
!
Z ∞
sn−2
ds + δ
≤ c4
(1 + s2 )n/2
0
= c4 (M + δ)
Esta última integral converge pois o integrando é da ordem de s−2 quando s → ∞.
Tomando


Z
C = max c1 δ 1−n

dσ(y), c4 M + δ .
∂Ω

obtemos a limitação desejada.
Lema 2.2. Suponha que φ ∈ C(∂Ω) e φ(x0 ) = 0 para algum x0 ∈ ∂Ω. Se u é definida
por
Z
u(x) =
φ(y)∂ny F (x, y)dσ(y),
∂Ω
Z
u(x) =
φ(y)K(x, y)dσ(y),
∂Ω

então u é contı́nua em x0 .
42

Demonstração. Dados x ∈ Ω e ε > 0 queremos encontrar δ > 0 de modo que se
|x − x0 | < δ então |u(x) − u(x0 )| < ε.
No Lema (2.1), provamos as seguintes estimativas
Z
Z
∂ny F (x, y) dσ(y) ≤ C e
|K(x, y)| dσ(y) = C 0 .
∂Ω

∂Ω

ε
Como φ ∈ C (∂Ω) e φ (x0 ) = 0 podemos escolher η > 0 de modo que |φ(y)| < 3(C+C
0)
sempre que Bη = {y ∈ ∂Ω : |y − x0 | < η}. Assim,
Z

Z

|u(x) − u(x0 )| =

φ(y)∂ny F (x, y)dσ(y) +

φ(y)∂ny F (x, y)dσ(y)

Bη

∂Ω\Bη

"Z

Z

−

φ(y)∂ny F (x0 , y)dσ(y) +

#
φ(y)∂ny F (x0 , y)dσ(y)

Bη

∂Ω\Bη

Z

Z

≤

φ(y)∂ny F (x, y)dσ(y) −
Bη

φ(y)∂ny F (x0 , y)dσ(y)
Bη

Z


φ(y) ∂ny F (x0 , y) − ∂ny F (x, y) dσ(y)

+
∂Ω\Bη

Z
≤


|φ(y)| ∂ny F (x, y) + ∂ny F (x0 , y) dσ(y)

B

Z η
|φ(y)| ∂ny F (x, y) − ∂ny F (x0 , y) dσ(y)

+
∂Ω\Bη

2ε
<
+
3

Z
|φ(y)| ∂ny F (x, y) − ∂ny F (x0 , y) dσ(y).
∂Ω\Bη

Analisaremos agora a seguinte integral:
Z
|φ(y)| ∂ny F (x, y) − ∂ny F (x0 , y) dσ(y).
∂Ω\Bη

Se |x − x0 | < η2 temos que o integrando acima é limitado e contı́nuo em ∂Ω \ Bη e
tende uniformemente a zero quando x converge para x0 .
Definição 2.2. Seja u (x) o potencial de camada dupla definido em (2.2), definimos a
função ut (x) no bordo para t 6= 0 por
ut (x) = u (x + tν (x)) ,

(2.12)

onde x ∈ ∂Ω. Assim, ut é a restrição de u à superfı́cie paralela ∂Ω a uma distância t de
∂Ω.
43

Teorema 2.1. Suponha que φ ∈ C(∂Ω) e u (x) seja o Potencial de Camada Dupla.
A restrição de u a Ω tem uma extensão contı́nua em Ω̄ e a restrição de u a Rn \ Ω̄
tem uma extensão contı́nua em Rn \ Ω̄. De forma mais precisa, a restrição ut converge
uniformemente em ∂Ω para os limites contı́nuos u− e u+ quando t se aproximam de zero
por baixo e por cima, respectivamente. Assim, u− e u+ são dados por
Z
φ(x)
+
φ (y) K (x, y) dσ (y),
u− (x) =
2
∂Ω
Z
φ(x)
φ (y) K (x, y) dσ (y),
+
u+ (x) = −
2
∂Ω
Demonstração. Se x ∈ ∂Ω e t < 0 é suficientemente pequeno então x + tν (x) ∈ Ω. Desse
modo,
Z
Z
ut (x) =
φ (x) ∂ny F (x + tv (x) , y) dσ (y) +
[φ(y) − φ(x)] ∂ny F (x + tv(x), y)dσ(y)
∂Ω Z
∂Ω
Z
∂ny F (x + tv (x) , y) dσ (y) +
[φ (y) − φ (x)] ∂ny F (x + tv (x) , y) dσ (y)
= φ (x)
∂Ω
∂Ω
Z
= φ (x) +
[φ (y) − φ (x)] ∂ny F (x + tv (x) , y) dσ (y).
∂Ω

Pelo Lema(2.2) temos que a integral acima é contı́nua em 0. Usando a Proposição(2.5)
concluı́mos que
Z

Z

K (x, y) φ (x) dσ (y)
K (x, y) φ (y) dσ (y) −
∂Ω
Z
Z
= φ (x) − φ (x)
K (x, y) dσ(y) +
K (x, y) φ (y) dσ (y)
∂Ω
∂Ω
Z
φ (x)
= φ (x) −
K (x, y) φ (y) dσ (y)
+
2
∂Ω
Z
φ(x)
=
+
K (x, y) φ (y) dσ (y).
2
∂Ω

lim ut (x) = φ (x) +
t→0

∂Ω

O caso onde t > 0, temos que os cálculos são analógos, mas a expressão abaixo
Z
φ (x)
∂ny F (x + tν (x) , y) dσ (y) = 0, ∀x ∈ Rn \ Ω.
∂Ω

A convergência uniforme segue da prova do Lema (2.2): precisamos apenas observar que
sendo o bordo compacto, para todo ε > 0, existe δ > 0 de modo que se |x − y| < δ então
|φ (x) − φ (y)| < ε/3 (C + C 0 ).

2.3

Potencial de Camada Simples

Nesta seção iremos estudar algumas propriedades muito importantes do Potencial de
Camada Simples com momento φ. Estas propriedades terão um papel bastante relevante
na demonstração de existência de solução para o Problema de Dirichlet.
44

Teorema 2.2. Sejam w (x) o potencial de camada simples e φ ∈ L∞ (∂Ω) então w (x) é
harmônica em Rn \ ∂Ω.
Demonstração. Vimos no Lema (1.1) que é possı́vel diferenciar sob o sinal da integral
fazendo-se quantas vezes for necessário. Logo, w ∈ C ∞ (Rn \ ∂Ω). Assim, ∆w = 0 pois
∆x F (x − y) = 0. Desse modo w é harmônica em C ∞ (Rn \ ∂Ω).
Teorema 2.3. Se φ ∈ C (∂Ω) e w é o potencial de camada simples então w é contı́nua
em Rn .
Demonstração. Dado x0 ∈ ∂Ω e δ > 0 tome Bδ = {y ∈ ∂Ω : |x0 − y| < δ}. Então
Z
Z
φ (y) F (x, y)dσ (y) −
φ (y) F (x0 , y)dσ (y)
|w (x) − w (x0 )| =
∂Ω
∂Ω
Z
Z
|φ (y) F (x, y)| dσ (y) +
|φ (y) F (x0 , y)| dσ (y)
≤
Bδ
Bδ
Z
|F (x, y) − F (x0 , y)| |φ (y)|dσ (y) .
+
∂Ω\Bδ

Aplicando coordenadas polares nas duas primeiras integrais e procedendo de modo
análogo como na Proposição (2.1) e na Proposição (2.2) obtemos que estas são da ordem
de δ.
Note que se |x − x0 | < 2δ então o integrando da terceira integral da desigualdade
acima é limitado em ∂Ω e converge uniformemente a zero quando x tende a x0 .

Iremos agora descrever a derivada normal do Potencial de Camada Simples w dada
por (2.3). Seja V uma Vizinhança Tubular. Sabemos que a derivada normal ∂n em V é
dado pela fórmula ∂n w (x + tν (x)) = ν (x) ∇w (x + tν (x)) desse modo para x ∈ V \ ∂Ω
temos
Z
∂n w (x) =
∂nx F (x, y) φ (y)dσ (y) .
(2.13)
∂Ω

Afirmamos que a expressão acima é exatamente o Potencial de Camada Dupla exceto
pelo fato de que ∂n F é calculada em relação a variável x e não em y. De fato, como
F (x, y) = F (y, x) temos que ∂nx F (x, y) = ∂ny F (y, x).
Em particular se denotarmos K ∗ (x, y) = K (y, x) o lado direito de (2.13) faz sentido
para x ∈ ∂Ω se interpretarmos como
Z
K ∗ (x, y) φ (y)dσ (y) = TK ∗ φ (x) .
(2.14)
∂Ω

Como K é um núcleo contı́nuo de ordem n − 2 então K ∗ também o é. Desse modo
(2.14) define uma função contı́nua em ∂Ω.

45

Além disso, como K é uma função de valor real mostraremos que TK ∗ é o adjunto de
TK como um operador de L2 (∂Ω). De fato,
Z
hTK φ, ψi =
TK φ (x) ψ (x)dσ (x)
∂Ω
Z Z
=
K (x, y) φ (y) dσ (y)ψ (x) dσ (x)
∂Ω
∂Ω
Z Z
=
φ (y) K (x, y) ψ (x)dσ (y) dσ (x)
∂Ω
∂Ω
Z Z
φ (y) K ∗ (x, y)ψ (x)dσ (x) dσ (x)
=
Z∂Ω ∂Ω
Z
=
φ (y)dσ (y)
K ∗ (x, y) ψ (x)dσ (x)
∂Ω

∂Ω

= hφ, TK ∗ ψi .
Então a expressão em (2.14) nos dá exatamente uma expressão para o operador adjunto
de TK .
Como era de se esperar, existe um pulo de descontinuidade entre os operadores
definidos em (2.13) e (2.14). Como veremos, no resultado a seguir.
Teorema 2.4. Suponha que φ ∈ C (∂Ω) e seja w o potencial
camada
simples definido


n
n
em R . Então a restrição de w a Ω̄ respectivamente a R \ Ω̄ está em Cn (Ω) e em

Cn Rn \ Ω̄ para todo x ∈ ∂Ω temos
Z
1
K (y, x) φ (y)dσ (y) ,
∂n− w (x) = − φ (x) +
2
∂Ω
1
∂n+ w (x) =
φ (x) +
2

Z
K (y, x) φ (y)dσ (y) .
∂Ω

Demonstração. Seja u(x) o potencial camada dupla. Definimos f em uma vizinhança
tubular V de ∂Ω por

u (x) + ∂n w (x) ,
se x ∈ V \ ∂Ω,
f (x) =
TK φ (x) + TK ∗ φ (x) , se
x ∈ ∂Ω.
Afirmamos que f é contı́nua sobre V. A restrição de f a V \ ∂Ω e a ∂Ω são contı́nuas,
desse modo é suficiente mostrar que x0 ∈ ∂Ω e x = x0 + tν (x0 ) então f (x) − f (x0 ) → 0
quando t → 0, a convergência uniforme em x0 . Mas,
Z
f (x) − f (x0 ) =
Z∂Ω
−



∂ny F (x, y) + ∂nx F (x, y) φ (y) dσ (y)


∂ny F (x0 , y) − ∂nx F (x0 , y) φ (y) dσ (y) .

∂Ω

46

Seja Bδ = {y ∈ ∂Ω : |x0 − y| < δ}. Reescrevendo a integral acima sobre os domı́nios
Bδ e ∂Ω \ Bδ obtemos por um lado, que a integral sobre ∂Ω \ Bδ tende uniformemente a
zero quando x tende a x0 e por outro lado, a integral sobre Bδ é limitada por
Z
|f (x) − f (x0 )| ≤ kφk∞

∂nx F (x, y) + ∂ny F (x, y) dσ(y)
Bδ

Z
+ kφk∞

∂nx F (x0 , y) + ∂ny F (x0 , y) dσ (y) .
Bδ

Desse modo é suficiente mostrar que ∀ x na reta normal de x0 :
Z
∂nx F (x, y) + ∂ny F (x, y) dσ (y)
Bδ

pode ser feito arbitrariamente pequeno, ou seja, δ pode ser tomado suficientemente pequeno independente de x e x0 . Sejam,
∂ny F (x, y) = −

∂nx F (x, y) =

hx − y, ν (y)i
e
ωn |x − y|n

hx − y, ν (x0 )i
.
ωn |x − y|n

somando as derivadas parciais acima, obtemos

∂nx F (x, y) + ∂ny F (x, y) =

hx − y, ν (x0 ) − ν (y)i
.
ωn |x − y|n

Como ν é de classe C 1 então ν é localmente Lipschitz, ou seja, |ν (x0 ) − ν (y)| ≤
c |x0 − y|. Além disso, |x − y| ≥ c1 |x0 − y| pois x está na normal x0 . Assim

∂nx F (x, y) + ∂ny F (x, y)

=

hx − y, ν (x0 ) − ν (y)i
ωn |x − y|n

≤

|x − y| |ν (x0 ) − ν (y)|
|ωn | |x − y|n

≤

c2 |x0 − y|
|ωn | |x0 − y|n−1

≤ c3 |x0 − y|2−n .
Integrando a desigualdades acima
Z
Z
∂nx F (x, y) + ∂ny F (x, y) ≤
Bδ

Bδ

47

c3 |x0 − y|2−n ,

e fazendo uma mudança de coordenadas polares, concluı́mos
Z δ
r2−n rn−2 dr = δ.
0

Desse modo, f = u+∂n w é extendida continuamente sobre ∂Ω. Usando o Teorema(2.1)
obtemos as seguintes igualdades
TK φ (x) + TK ∗ φ (x) = u− (x) + ∂n− w (x)
1
=
φ (x) + TK φ (x) + ∂n− w (x) , e
2
TK φ (x) + TK ∗ φ (x) = u+ (x) + ∂n+ w (x)
1
= − φ (x) + TK φ (x) + ∂n+ w (x) .
2
Simplificando-as, concluı́mos que
1
∂n− w (x) = − φ (x) + TK ∗ φ (x) ,
2
1
∂n+ w (x) = φ (x) + TK ∗ φ (x) .
2
A convergência de ∂n w (x + tν (x)) para ∂n+ w (x) é uniforme em x pois o mesmo é
verdade para u e u + ∂n w.

2.4

A Solução do Problema de Dirichlet Clássico

Vamos agora descrever a demonstração da existência de soluções para o problema
de Dirichlet. Como mencionamos na introdução deste capı́tulo a idéia é procurar uma
solução no formato
Z
u(x) =
φ(y)K (x, y) dσ(y),
∂Ω

onde φ é uma função a determinar. Tendo em vista o Teorema (2.1) e a condição de
contorno u(x)|∂Ω = f , espera-se que φ satisfaça a equação integral
Z
φ (x0 )
+
K (x0 , y) φ (y)dσ (y) ,
(2.15)
f (x0 ) =
2
∂Ω
com x0 ∈ ∂Ω. Definimos o operador
Z
TK φ (x) =
K (x, y) φ (y) dσ (y) onde x ∈ ∂Ω e φ ∈ L2 (∂Ω).

(2.16)

∂Ω

Como veremos a seguir (2.16) define um operador compacto em L2 (∂Ω) de modo que a
equação (2.15) pode ser escrita na forma


1
f=
+ TK φ.
(2.17)
2
48

Mostraremos também que 12 não é autovalor de TK e portanto, pela alternativa de Fredholm a equação (2.17) tem uma única solução para cada f ∈ L2 (∂Ω). Além disso se
f ∈ C(∂Ω) então φ ∈ C (∂Ω) e aplicando o Teorema (2.1) junto ao fato de que o potencial camada dupla é harmônico em Rn \ ∂Ω, segue que o Potencial de Camada Dupla é
a única solução do Problema de Dirichlet clássico.
Teorema 2.5. O operador definido em (2.16) define um operador compacto em L2 (∂Ω).
Demonstração. Dado ε > 0, definimos

K (x, y) , se
|x − y| > ε
Kε (x, y) =
0,
se caso contrário.
e Kε0 = K − Kε . Note que Kε é limitado em ∂Ω × ∂Ω. De fato,
(a) Se |x − y| ≤ ε então K (x, y) = 0, logo é limitado.
(b) Seja |x − y| > ε. Usando as definição de K obtemos que
Kε (x, y) = K (x, y) = A (x, y) |x − y|−α ≤ A (x, y) ε−α < ∞.
Além disso, temos que este operador é de Hilbert-Schmidt, pois
Z Z
Z Z
2
−α
|Kε (x, y)| dσ (y) dσ (x) ≤ kAk∞ ε
dσ (y) dσ (x)
∂Ω

∂Ω

∂Ω

∂Ω

≤ kAk∞ ε−α µ (∂Ω) µ (∂Ω) .
Daı́ concluı́mos que TKε é compacto em L2 (∂Ω).
Mostraremos que o operador TK é compacto, ou seja, que a norma do operador
TK − TKε = TK0 ε converge a zero quando ε se aproxima de zero. Passaremos agora a
demonstração desse fato. Definamos Bε (∂Ω, x) = {y ∈ ∂Ω : |x − y| ≤ ε}. Note que
Z
|K (x, y) − Kε (x, y)| |φ (y)|dσ (y)
|TK φ (x) − TKε φ (x)| ≤
Bε (∂Ω,x)
Z
1
≤ kAk∞
α |φ (y)|dσ (y)
Bε (∂Ω,x) |x − y|
Z
1
|φ (y)|
= kAk∞
dσ (y) .
α/2
|x − y|α/2
Bε (∂Ω,x) |x − y|
Elevando ao quadrado a desigualdade obtida e em seguida aplicando Cauchy-Schwarz
obtemos que
"Z
#
Z
2
1
|φ
(y)|
|TK φ (x) − TKε φ (x)|2 ≤ kAk2∞
α dσ(y)
α dσ (y) .
Bε (∂Ω,x) |x − y|
Bε (∂Ω,x) |x − y|
Usando coordenadas polares como fizemos na demonstração da Proposição (2.2) temos
que
Z
|φ (y)|2
2
2
n−1−α
|TK φ (x) − TKε φ (x)| ≤ kAk∞ c ε
(2.18)
α dσ (y) .
Bε (∂Ω,x) |x − y|
49

Integrando a desigualdade (2.18) e aplicando o Teorema de Fubini, concluı́mos que
Z
Z Z
|φ (y)|2
2
2
n−1−α
|TK φ (x) − TKε φ (x)| dσ (x) ≤ kAk∞ c ε
α dσ (y) dσ (x) .
∂Ω
∂Ω Bε (∂Ω,x) |x − y|
Z

Z
1
2
2
n−1−α
≤ kAk∞ c ε
|φ (y)|
α dσ (x) dσ (y)
∂Ω
Bε (∂Ω,y) |x − y|
Z
2 2 2(n−1−α)
≤ kAk∞ c ε
|φ (y)|2 dσ (y)
=

∂Ω
2 2 2(n−1−α)
kAk∞ c ε
kφk22 .

Tirando a raiz quadrada da desigualdade acima e fazendo ε → 0, temos que
kTK φ − TKε φk ≤ c3 kAk∞ εn−1−α kφk2 → 0.
Desse modo, concluı́mos que TK é compacto.
Teorema 2.6. Sejam φ ∈ L2 (∂Ω) tal que φ2 + TK φ ∈ C (∂Ω). Então φ ∈ C (∂Ω). O
mesmo vale para T ∗ .
Demonstração. Dado ε > 0 e escolha ψ ∈ C (∂Ω × ∂Ω) tal que 0 ≤ ψ ≤ 1 onde

1, se |x − y| < 2ε ,
ψ (x, y) =
0, se |x − y| > ε.
Considere os conjuntos K0 = ψK e K1 = (1 − ψ) K. Afirmamos que TK1 é contı́nua. De
fato, usando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos
Z
|TK1 φ (x) − TK1 φ (y)| =
[K1 (x, z) − K1 (y, z)] φ (y) dσ (z)
Z
≤
|K1 (x, z) − K1 (y, z)| |φ (y)| dσ (z)
1/2
1/2 Z
Z
2
2
|K1 (x, z) − K1 (y, z)| dσ (z)
|φ (y)| dσ (z)
≤
Z
= kφk2

1/2
.
|K1 (x, z) − K1 (y, z)| dσ (z)
2

Como K1 é contı́nua a integral do lado direito tende a zero quando y tende a x, desse
modo TK1 φ é contı́nua.

Definimos f = φ2 + TK φ − TK1 φ. Note que f é contı́nua. Além disso, f = φ2 + TK0 φ.
Utilizando a Proposição (2.1) com  suficientemente pequeno concluı́mos que a norma do
operador 2TK0 em L2 e L∞ são menores que 1. Assim, I − (−2TK0 ) é invertı́vel e φ2 é
expresso em termos de f pela série geométrica
∞
X
φ
= (I − (−2TK0 ))−1 f =
(−2TK0 )j f .
2
j=0

Usando a Proposição (2.2) cada termo da série é contı́nua e a série converge na norma
L∞ , logo φ é contı́nua.
50

Teorema 2.7. A equação f = φ2 + TK φ tem uma única solução para cada f ∈ L2 (∂Ω).
Demonstração. Para mostrarmos que f tem uma única solução para
cada f ∈ L2 (∂Ω)

1
usando a Alternativa de Fredholm basta
 mostrar que se 2 + TK ∗ g = 0 então g = 0.
Se g ∈ L2 (∂Ω) e satisfaz 21 + TK ∗ g = 0 então pelo Teorema (2.6) temos g ∈ C (∂Ω).
Seja w (x) o potencial camada simples com densidade g,
Z
g (y) F (x − y) dσ (y).
w (x) =
∂Ω

Pelo Teorema (2.4)
Z
∂w
g (x)
=
+
K (y, x) g (y)dσ (y)
∂n+
2
∂Ω
g (x)
=
+ TK ∗ g (x)
2

1
=
+ TK ∗ g
2
= 0.
Agora para t > 0 suficientemente pequeno, definimos
∂Ωt = {x ∈ Rn tal que x = y + tνy , y ∈ ∂Ω} .
Sejam R > 0 tal que ∂Ω ⊂ BR (0) e Ωt,R o domı́nio compreendido entre BR (0) e ∂Ωt .
Usando a fórmula de Green, trocando Ω por Ωt,R , obtemos
Z
Z
Z
Z
2
∂ny F (x, y) φ (y)dσ (y) dσ (x) = 0,
w̄
w̄∂n wdσ (y) =
|∇w| dy =
Ωt,R

∂Ωt,R

∂Ωt,R

∂Ω

pois Ωt,R ⊂ Rn \ Ω̄ quando t → 0 e R → ∞. Logo ∇w = 0 em Rn \ Ω̄ e portanto w (x)
é constante em Rn \ Ω̄. Como o Potencial de Camada Simples é harmônico em Rn \ Ω̄ e
tender a zero quando |x| → ∞, concluı́mos que w (x) = 0 em Rn \ Ω. Mas então em Ω̄
temos


2

w ∈ C (Ω) ∩ C Ω̄ ,
∆w = 0,


w|∂Ω = 0.
usando o princı́pio do máximo concluı́mos que w (x) = 0 ∀ x ∈ Ω̄. Em particular,
∂n− = 0. Logo
g (x) = ∂n+ − ∂n− = 0.
Corolário 2.1. Sejam f ∈ C (∂Ω) e φ ∈ L2 (∂Ω) a única solução da equação f =
φ
+ TK φ. Então φ ∈ C (∂Ω) e a única solução do problema de Dirichlet clássico é dada
2
por
Z
u (x) =
∂ny F (x, y) φ (y)dσ (y) .
∂Ω

51

Demonstração. A função φ é contı́nua pelo Teorema(2.6). Como u (x) é harmônica em
Ω, enquanto que pelo Teorema (2.1)
Z
φ (x0 )
lim u (x) =
+
∂ny F (x0 , y) φ (y)dσ (y) .
x→x0
2
∂Ω

52

Capı́tulo 3
Problema de Dirichlet no Plano com
bordos mais gerais.
Neste capı́tulo, iremos estudar o Problema de Dirichlet em bordos mais gerais. Consideremos Ω um domı́nio limitado do plano onde o bordo satisfaz a condição do triângulo
exterior. Esta versão mais geral consiste em encontrar uma função contı́nua u ∈ C Ω̄
que verifica as condições:
(
∆u (x) = 0,
x ∈ Ω,
(3.1)
u (x) = f (x) , x ∈ ∂Ω,
onde o bordo ∂Ω satisfaça a condição do triângulo exterior, a qual descrevemos a seguir.
Fixamos inicialmente um triângulo isósceles T0 em R2 cujos lados congruentes tem
comprimento ` e formam um ângulo α no vértice comum.
Dizemos que T é um triângulo especial se ele é congruente a T0 , e tem o vértice comum
em ∂Ω ou seja, T é obtido a partir de T0 por rotações e translações.
Definição 3.1. Dado Ω ⊂ R2 dizemos que o bordo ∂Ω satisfaz a condição do triângulo
exterior se existem α e ` tais que para cada x ∈ ∂Ω é possı́vel construir um triângulo
especial com vértice em x cujo interior esteja contido em R2 \ Ω̄.

Figura 3.1: O triângulo T0 e o triângulo especial T
No capı́tulo anterior provamos a existência da solução para o Problema de Dirichlet
quando a fronteira ∂Ω é de classe C 2 . Neste capı́tulo, vemos que a fronteira em dimensão
n = 2 é mais geral. Assim, a demonstração utilizada não é válida neste caso.
53

Observação 3.1. Note que se a fronteira é de classe C 2 então a condição do triângulo
exterior é válida. No entanto existem bordos que satisfazem a condição do triângulo
exterior que não são de classe C 2 .

3.1

O espaço vetorial das funções C
lam no bordo

1


Ω̄ que se anu-

Descreveremos agora as ferramentas matemáticas necessárias para resolvermos o Problema de Dirichlet.

Seja Ω um conjunto aberto limitado em Rn . Consideremos em C 1 Ω̄ a seguinte
operação:
Z
∇u · ∇vdx, onde ∇u · ∇v =

hu, vi =
Ω

n
X
∂u ∂v
j=1

∂xj ∂xj

.

Nosso objetivo agora consiste em verificar se esta operação define um produto interno
em C 1 Ω̄ , ou seja, se as propriedades a seguir são válidas.
(i) hu + v, wi = hu, wi + hv, wi;
(ii) hαu, vi = α hu, vi;
(iii) hu, vi = hv, ui;
(iv) u = 0 ⇔ kuk =

p
hu, ui = 0.

É fácil ver que os três primeiros itens são válidos. Desse modo, passaremos agora a
verificação do último item. Suponha que kuk = 0. Assim,
Z
Z
2
∇u · ∇udx =
0 = kuk = hu, ui =
|∇u|2 dx,
Ω

Ω

como |∇u|2 é uma função contı́nua e não-negativa segue que |∇u|2 = 0, o que implica
que ∇u = 0, ou seja, u é constante em cada componente conexa
de Ω̄. Logo, verificamos

1
que essa operação não define um produto interno em C Ω̄ .
Para tornarmos
esta operaçãoum produto interno definiremos classes de equivalência

em C 1 Ω̄ . Sejam f e g ∈ C 1 Ω̄ , dizemos que
f ∼ g ⇔ ∃ c ∈ R; f (x) − g (x) = c,
[f ] = f + R = {f + c; c ∈ R} .

Definimos H0 = C 1 Ω̄ /R.

Observação 3.2. Neste espaço, H0 = H0 Ω̄ , a operação h·, ·i é um produto interno.
Vejamos alguns resultados que são de extrema importância na teoria a ser desenvolvida.
54

Lema 3.1. Seja f ∈ C 1 ([a, b]) onde f (a) = f (b) = 0 e |I| é o comprimento do intervalo,
então
Z
Z
2
2
2
|f (t)| dt ≤ |I|
|f 0 (t)| dt.
(3.2)
I

I

Z s
Demonstração. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo obtemos que f (s) =

f 0 (t) dt.

a

Aplicando a norma a igualdade e utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos
2

Z b

2

|f (s)|

0

a
Z b

f (t) χ[a,s] (t) dt
Z b
2
2
0
χ[a,s] (t) dt
|f (t)| dt

a

a

=
≤
Z b

2

|f 0 (t)| dt (s − a)
a
Z b
2
|f 0 (t)| dt
≤ (b − a)
a
Z b
2
= |I|
|f 0 (t)| dt.
=

a

Integrando a desigualdade acima em relação a s sobre o intervalo I, obtemos que
Z Z
Z
2
2
|I| |f 0 (t)| dtds
|f (s)| ds ≤
I Z
I
I
2
≤ |I|2 |f 0 (t)| dt.
I


Lema 3.2. Seja Ω ⊂ R2 um aberto limitado. Se v ∈ C 1 Ω̄ e v se anula no bordo de Ω
então
Z
Z
2
|v (x, y)| dxdy ≤ cΩ |∇v (x, y)|2 dxdy.
(3.3)
Ω

Ω

Demonstração. Seja p = (x, y) ∈ Ω. Definimos
J (y) = {x ∈ R : (x, y) ∈ Ω} ,
um conjunto aberto de R. Note que J (y) pode ser escrito como uma união de intervalos
disjuntos. Como Ω é limitado segue que J (y) é limitado e assim J (y) ⊂ (a, b).
Usando o Lema(3.1), obtemos
Z b
Z b
2
2
2
χJ(y) (x) |v (x, y)| dx ≤ c1
χJ(y) (x) |vx (x, y)|2 dx,
a

Z d Z b

a
2

2

Z d Z b



χJ(y) (x) |v (x, y)| dx dy ≤ c1
c

a

c

55

a


χJ(y) (x) |vx (x, y)| dx dy. (3.4)
2

2

De forma análoga, temos que
Z d
Z d
2
2
2
χJ(y) (x) |vy (x, y)|2 dy, e
χJ(y) (x) |v (x, y)| dy ≤ c2
c

c

Z b Z d

2

2

Z b Z d



χJ(y) (x) |v (x, y)| dy dx ≤ c2
a

2

2



χJ(y) (x) |vy (x, y)| dy dx.

c

a

c

Usando o Teorema de Tonelli


Z d Z b
Z d Z b
2
2
2
2
χJ(y) (x) |vy (x, y)| dx dy. (3.5)
χJ(y) (x) |v (x, y)| dx dy ≤ c2
c

c

a

a

Somando as desigualdades (3.4) e (3.5) obtemos


Z d Z b
Z d Z b
2
2
2
2
χJ(y) (x) |∇v (x, y)| dx dy.
χJ(y) (x) |v (x, y)| dx dy ≤ c
c

c

a

a

Observe que χJ(y) (x) = χΩ (x, y);
Z
Z
2
2
χJ(y) (x) |v (x, y)| dxdy ≤
[a,b]×[c,d]

2

χJ(y) (x) |∇v (x, y)|2 dxdy,

[a,b]×[c,d]

Z

Z

2

|v (x, y)| dxdy ≤
Ω

|∇v (x, y)|2 dxdy.

Ω

Definição
3.2. Definimos S0 como sendo o subespaço linear constituı́do de funções

1
C Ω̄ que se anulam no bordo de Ω.
Lema 3.3. Se f e g ∈ S0 com f 6= g então f e g não pertencem a mesma classe de
equivalência definida em C 1 Ω̄ .
Demonstração. Usaremos a técnica da prova pela contrapositividade, ou seja, mostaremos que se duas funções em S0 pertencem a mesma classe de equivalência então elas são
iguais.
De fato, sejam f e g elementos da mesma classe de equivalência, por definição,
f −g
f |∂Ω − g|∂Ω
c
f

=
=
=
=

∀x ∈ Ω̄,
é válido ∀x ∈ ∂Ω;
∀x ∈ Ω̄;
∀x ∈ Ω̄.

c,
c,
0,
g,

Desse modo, concluı́mos que elementos distintos de S0 continuam distintos em H0 .
Como consequência podemos identificar S0 como sendo um subespaço de H0 . Denotemos S¯0 = S em H onde H é o fecho de H0 com a norma do produto interno e PS (H) a
projeção ortogonal de H sobre S.
56

3.2

O Princı́pio de Dirichlet


Seja F ∈ C 1 Ω̄ . O Princı́pio de Dirichlet consiste em encontrar uma sequência de

funções {un } em C 1 Ω̄ , tal que un |∂Ω = F |∂Ω = f de modo que kun k2 convirga para
um valor mı́nimo. Isto significa que un = F − vn onde vn ∈ S0 de modo que lim kun k
minimize a d (F, S).
Como F ∈ H e S é fechado sempre existe uma menor distância que será dada por
PS (F ). Usando a igualdade
un = F − vn ,
temos que lim kun k é mı́nimo se e somente se lim kF − vn k também o é, ou seja,
lim vn = PS (F ) e como consequência lim un = u = F − PS (F ) .

Figura 3.2: Interpretação do Princı́pio de Dirichlet
Lema 3.4. A função u = F − PS (F ) é fracamente harmônica.

Demonstração. Note que se ψ ∈ C0∞ Ω̄ então ψ ∈ S. Além disso,
hu, ψi = 0

pois u é ortogonal a S.

Usando o fato de que lim un = u e aplicando produto interno, obtemos
lim hun , ψi = hlim un , ψi = hu, ψi = 0.
Fazendo uma integração por partes(Teorema de Green) obtemos a seguinte igualdade
Z
Z
hun , ψi =
∇un · ∇ψdx = − un ∆ψdx = − hun , ∆ψi .
Ω

Ω

Aplicando limite a igualdade acima quando n → ∞, obtemos que hu, ∆ψi = 0. Logo, u
é fracamente harmônica. Usando o Teorema (1.7) concluı́mos que u é harmônica.
Lema 3.5. Sejam Γ um conjunto compacto em Rn e f contı́nua em Γ. Então existe uma
sequência {Fn } de funções suaves em Rn tal que Fn converge uniformemente para f em
Γ.
57

Observação 3.3. Na demonstração do Problema de Dirichlet ficou pendente o fato a
seguir: Encontramos uma sequência de funções contı́nuas
un em Ω̄ e que un |∂Ω = f para

cada n, mas não ficou claro que u é contı́nua em Ω̄ e que u|∂Ω = f . Passaremos agora
a demonstração detalhada deste fato.

O Princı́pio de Dirichlet garante que dada uma Fn ∈ C 1 Ω̄ existe uma função Un
harmônica em Ω e contı́nua em Ω̄ de modo que Un |∂Ω = Fn |∂Ω .
Note que Fn converge uniformemente para f em ∂Ω pelo Lema(3.5). Além disso, Un
converge uniformemente para u pois essa é de Cauchy em Ω̄ na norma do sup. De fato,
dadas Un e Uk funções harmônicas e usando o Princı́pio do Máximo, temos que
kUn − Uk k∞ = sup |Un (x) − Uk (x)|
x∈Ω̄

= sup |Fn (x) − Fk (x)| .
x∈∂Ω

Como Fn → f uniformemente concluı́mos que lim kUn − Uk k∞ = 0
Usando o Teorema (1.6) garantimos que u é harmônica em Ω, logo u é contı́nua em
∂Ω e pelo princı́pio do máximo u é contı́nua em Ω̄. Por fim, temos
ku − f k∞ = sup |u (x) − f (x)|
x∈∂Ω

=
=
=

lim sup |Un (x) − f (x)|

n→∞ x∈∂Ω

lim sup |Fn (x) − f (x)|

n→∞

lim kFn − f k∞

n→∞

= 0.
e portanto u|∂Ω = f.
Lema 3.6. Seja f uma função contı́nua sobre um subconjunto compacto Γ de Rn . Então
existe uma função G em Rn contı́nua tal que G|∂Γ = f .
A demonstração deste lema será feita baseada na observação a seguir.
Observação 3.4. Se K0 e K1 são conjuntos compactos disjuntos então existe uma função
0 ≤ g (x) ≤ 1 tal que se x ∈ K0 então g (x) = 0 e se x ∈ K1 então g (x) = 1. Com efeito,
definimos
dist (x, K0 )
,
g (x) =
dist (x, K0 ) + dist (x, K1 )
onde d (x, Ω) denota a distância de x a Ω. Assim, g|K0 ≡ 0 e g|K1 ≡ 1.
Prova do Lema 3.6. Nosso objetivo será construir uma função G, usando a observação
citada. Assuma que f é não-negativa e limitada por 1 em Γ. Este fato é possı́vel pois
funções contı́nuas definidas num compacto admitem um valor máximo e um valor mı́nimo.
Definimos,
K0 = {x ∈ Γ : 2/3 ≤ f (x) ≤ 1} , e
K1 = {x ∈ Γ : 0 ≤ f (x) ≤ 1/3} ,
58

conjuntos compactos disjuntos.
Pela observação existe uma função 0 ≤ G1 (x) ≤ 1/3 |I| onde I é o comprimento
do intervalo e G1 ∈ Rn tal que se x ∈ K0 então G1 (K0 ) = 1/3 e se x ∈ K1 então
G1 (K1 ) = 0. De fato, definindo
1
dist (x, K1 )
.
3 dist (x, K1 ) + dist (x, K0 )
1
Note que ∀ x ∈ Γ temos que 0 ≤ f (x) − G1 (x) ≤ , pois
3
2
1
2
∀ x ∈ K0 , temos que ≤ f (x) ≤ 1 então ≤ f (x) − G1 (x) ≤ ;
3
3
3
1
1
∀ x ∈ K1 , temos que 0 ≤ f (x) ≤
então 0 ≤ f (x) − G1 (x) ≤ ;
3
3
1
2
2
∀ x ∈ Γ \ (K0 ∪ K1 ) , temos que ≤ f (x) ≤
então 0 ≤ f (x) − G1 (x) ≤ .
3
3
3
G1 (x) =

2
Repetiremos o mesmo processo trocando f por f − G1 . Como, 0 ≤ f (x) − G1 (x) ≤
3
obtemos os seguintes conjuntos compactos


2
K01 =
x ∈ Γ : 0 ≤ f (x) ≤
e
9


2
4
K11 =
x ∈ Γ : ≤ f (x) ≤
.
9
3
1 2
Usando novamente a observação existe uma função 0 ≤ G2 (x) ≤ . tal que se x ∈ K01
3 3
então G2 (K01 ) = 0 e se x ∈ K11 então G2 (K11 ) = 2/9. Com efeito, definimos
G2 (x) =

2
dist (x, K01 )
.
9 dist (x, K01 ) + dist (x, K11 )

Além disso, usando o mesmo procedimento feito para G1 obtemos ∀ x ∈ Γ que,
 2
2
0 ≤ f (x) − G1 (x) − G2 (x) ≤
.
3
Repetindo este processo n vezes obtemos funções Gn ∈ Rn tal que
 n
2
0 ≤ f (x) − G1 (x) − G2 (x) − · · · − Gn (x) ≤
em Γ e
(3.6)
3
 n−1
1 2
0 ≤ Gn (x) ≤
em Rn .
3 3
∞
X
Definimos G (x) =
Gn (x) uma função contı́nua. Usando o Teorema do Confronto
n=0

na desigualdade(3.6), obtemos
lim f (x) −

N →∞

N
X

Gn (x) = 0 ⇔ f (x) =

n=0

∞
X
n=0

59

Gn (x) .

Lema 3.7. Se cada Gn é contı́nua então G =

∞
X

Gn é contı́nua.

n=0

De fato, definimos
Sk =

k
X

Gn (x) .

n=1

Note que Sk é contı́nua por ser a soma finita de funções contı́nua. Além disso, temos por
hipótese que
 n−1
1 2
.
0 ≤ Gn (x) ≤
3 3
 n−1
∞
X
1 2
Se
converge para zero usando o Teste de M. Weierstrass, concluı́mos que
3
3
n=1
∞
X
Gn (x) converge uniformemente.
n=1

E usando o fato de que convergência uniforme de funções contı́nuas é uma função
contı́nua, obtemos que G é contı́nua.
Prova do Lema 3.5. Seja G uma função contı́nua. Definimos
Z
Z
−n
Fε (x) = ε
G (x − y) ϕ (y/ε)dy =
ϕε (x − y) G (y)dy.
Rn

Rn

1
∞
tem a bola unitária
Rcom ϕε (y) = εn ϕ (y/ε) onde ϕ é não negativa em C0 , e que
∞
ϕ (y)dy = 1 como seu suporte. Observe que cada Fε (x) é C pela definição de convolução. Subtraindo G (x) na igualdade, obtemos
Z
Fε (x) − G (x) = −G (x) +
ϕε (x − y) G (y)dy
n
R
Z
Z
ϕε (x − y) G (y)dy
ϕε (x − y) dy +
= −G (x)
n
n
R
R
Z
Z
=
−G (x) ϕε (x − y) dy +
ϕε (x − y) G (y)dy
n
n
R
R
Z
=
(G (y) − G (x)) ϕε (x − y)dy
n
ZR
=
(G (y) − G (x)) ϕε (x − y)dy.
Bε (x)

Suponha que x ∈ Γ, e aplicando a norma a igualdade acima obtemos
Z
|Fε (x) − G (x)| =
(G (y) − G (x)) ϕε (x − y)dy
|x−y|≤ε
Z
≤
|G (y) − G (x)| ϕε (x − y)dy
|x−y|≤ε
Z
≤ sup |G (y) − G (x)|
ϕε (x − y)dy.
|x−y|≤ε

60

Como G contı́nua e definida num conjunto compacto temos que G é uniformemente
contı́nua, desse modo a última desigualdade acima tende a zero quando  tende a zero.
Escolhendo ε = m1 obtemos a igualdade desejada.
R
R
Lema 3.8. Se ϕ (z)dz = 1 então ϕε (y − x)dy = 1.
Demonstração. Fazendo a mudança de variável y − x = t, obtemos a primeira igualdade
1
abaixo. A igualdade seguinte é obtida usando a definição de ϕε (t) = n ϕ (t/ε). Para
ε
obtermos a última igualdade façamos a mudança de variável dada por εt = z, assim
Z
Z
Z
Z
1
ϕε (y − x)dy = ϕε (t)dt = n ϕ (t/ε)dt = ϕ (z)dz = 1.
ε

3.3

A Solução do Problema de Dirichlet

Descreveremos nesta seção a solução do Problema de Dirichlet no qual o bordo satisfaz
a condição triângulo exterior.
Teorema 3.1. Seja Ω um domı́nio aberto em R2 que satisfaz a condição triângulo exterior. Se f é contı́nua em ∂Ω então o problema de valor limitado ∆u = 0 com u contı́nua
em Ω̄ e u|∂Ω = f tem sempre uma única solução.
Observação 3.5. Antes de demonstrarmos o teorema iremos fazer alguns comentários.
(a) Se Ω é limitado por uma curva poligonal então a condição do teorema é satisfeita.
(b) Se Ω é limitada por finitas curvas Lipschitz, em particular de classe C 1 então o
teorema ainda é válido.
(c) Há exemplos simples onde o problema não é resolvı́vel. Por exemplo, se Ω é um
disco furado então ele não satisfaz a condição do triângulo exterior neste ponto.
Proposição 3.1. Se para cada conjunto Ω aberto limitado em R2 que satisfaça a condição
do triângulo exterior existem duas constantes C1 < 1 e C2 > 1 tal que
 se z é um ponto
1
em Ω cuja distância a ∂Ω é δ implica que quando v pertence a C Ω̄ temos
Z
Z
2
2
|v (x1 , x2 )| dx1 dx2 ≤ Cδ
|∇v (x1 , x2 )|2 dx1 dx2 .
(3.7)
BC1 δ (z)

BC2 δ (z)∩Ω

A constante C pode ser escolhido dependendo somente do diâmetro de Ω e os parâmetros
` e α os quais determinam o triângulo T.
Demonstração. Antes de iniciarmos a demonstração construiremos para cada z ∈ Ω,
cuja distância ao bordo seja δ, com δ suficientemente pequeno um retângulo R com as
seguintes propriedades:
61

Figura 3.3: A situação descrita na Proposição 3.1
(a) R tem lados 2C1 δ e M δ com C1 ≤

1
e M ≤ 4,
2

(b) BC1 δ (z) ⊂ R,
(c) cada segmento no retângulo R que é paralelo e de comprimento igual ao comprimento do maior lado.
Tomemos y ∈ ∂Ω de modo que δ = |z − y| e apliquemos a condição do triângulo exterior
a y. Como resultado, a reta ligando z a y e um dos lados do triângulo cujo vértice está
em y deve ter um ângulo β < π. De fato, β ≤ π − α/2 onde (α é o ângulo do triângulo).

Fazendo uma rotação e translação assuma que y = 0 e que o ângulo formado entre o
eixo x2 e a reta que liga z a origem é igual ao ângulo do lado do triângulo com o eixo x2 .
Esse ângulo é dado por γ, com γ > α/4.

62

Iniciaremos agora a construção do retângulo. Este deve ter o maior lado paralelo ao
eixo x2 contendo a BC1 δ (z) e todo segmento em R paralelo ao eixo x2 deve intersectar o
lado do triângulo.
Note que z = (−δ sin γ, δ cos γ), pois estas coordenadas são dadas pela seguinte
relação:

π
b1
−γ =
então b1 = δ cos γ,
sin
2
δ
π

a1
cos
−γ =
então a1 = −δ sin γ.
2
δ
Note ainda que se C1 < sin γ então BC1 δ (z) pertence ao mesmo semi-plano de z, pois
C1 < sin γ ⇔ C1 δ < δ sin γ ⇔ −C1 δ > −δ sin γ ⇔ i = −δ sin γ + C1 δ < 0.
Definimos P1 como sendo a interseção do maior lado de R com o eixo x1 e P2 como
sendo a interseção do lado do triângulo com o retângulo R. Calcularemos agora as suas
coordenadas. Note que
P1 = (−δ sin γ − C1 δ, 0) = (−a, 0) ,
onde a = δ sin γ + C1 δ. Além disso


cos γ
,
P2 = (projeção deP1 , tan γ) = −a, −a
sin γ
a
≤ 2δ, pois
sin γ
s
s 

2γ
cos
cos2 γ
a
2
2
2
dist (P2 , 0) = a + a
= a 1+
=
. E além disso,
2
2
sin γ
sin γ
sin γ

Observe ainda que, dist (P2 , 0) =

dist (P2 , 0) =

a
δ sin γ + C1 δ
C1 δ
=
=
+ δ ≤ 2δ, pois C1 ≤ sin γ.
sin γ
sin γ
sin γ
63

Figura 3.4: O disco BC1 δ(z) e o retângulo R
É claro a partir da construção que cada segmento em R, começando pelo disco BC1 δ(z)
quando continuada para baixo e paralelo ao eixo x2 intersecta a reta que liga a origem a
P2 (a qual é continuação do lado do triângulo).
Além disso, se o comprimento ` desse lado do triângulo exceder a dist (P2 , 0) então o
segmento intersecta o triângulo. Quando essa interseção ocorre o segmento começando de
BC2 δ(z) pode também intersectar a fronteira de Ω. Desse modo, se ` ≥ 2δ, a interseção
desejada ocorre e cada uma das condições (a), (b) e (b) são verificadas.
Agora integrando sobre cada segmento de reta paralelo ao eixo x2 em R, incluindo
a porção em BC1 δ(z) a qual é contı́nua para baixo. Chamamos tal segmento de I (x1 ).
Então usando o Lema (3.1) obtemos que
Z

2

2 2

|v(x1 , x2 )| dx2 ≤ M δ
I(x1 )

2

Z

∂v(x1 , x2 )
dx2 ,
∂x2
I(x1 )

e integrando em x1 temos que
Z
Z
2
2 2
|v (x1 , x2 )| dx1 dx2 ≤ M δ
R∩Ω

|∇v (x1 , x2 )|2 dx1 dx2 .

R∩Ω

Agora, notamos que BC1 δ (z) ⊂ R e BC2 δ (z) ⊃ R quando C2 ≥ 2. Desse modo, a
inequação desejada é estabelecida, sobre a hipótese de que δ é pequeno, ou seja, ` ≥ 2δ.
Quando ` < 2δ é suficiente apenas usar o Lema (3.2).
Prova do Teorema 3.1. Utilizaremos a Proposição 3.1 para mostrarmos a solução do
Problema de Dirichlet onde o bordo satisfaz a condição do triângulo exterior. Vimos
pelo Princı́pio de Dirichlet que u
 n = F − vn converge uniformemente para u = F − v
1
onde F é uma extensão de C Ω̄ , ou seja, F |∂Ω = f e u é uma função harmônica. Como
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a desigualdade (3.7) é verdadeira para cada n, então também é para u = F − PS (F ),
isto é,
Z
Z
|F − u|2 dx ≤ Cδ 2

|∇ (F − u)|2 dx.

BC1 δ (z)

(3.8)

BC2 δ(z)∩Ω

Para provarmos o teorema é suficiente em vez da continuidade de u em Ω, mostrarmos
que se y é algum ponto em ∂Ω e z algum ponto variável em Ω então u (z) converge para
f (y) quando z tende a y.
Seja δ (z) = δ a distância de z ao bordo. Então δ (z) ≤ |z − y| e desse modo δ (z) → 0
quando z → y.
Considere agora as médias de F e u sobre os discos centrados em z e de raio C1 δ (z),
dada pelas seguintes expressões:
Z
1

F (x)dx, e
Av (F ) z =
µ BC1 δ(z) BC1 δ(z)
Z
1

Av (u) z =
u (x)dx.
µ BC1 δ(z) BC1 δ(z)
Usando Cauchy-Schwarz temos que
2

|Av (F ) z − Av (u) z|

=
≤
=

2

Z

1
µ BC1 δ(z)
1

2

(F − u) (x)dx
BC1 δ(z)
2

 2 kF − uk µ BC1 δ(z)
µ BC1 δ(z)
Z
1

|F − u|2 dx.
µ BC1 δ(z)
BC1 δ (z)



Desse modo, majorando a desigualdade acima por (3.8), obtemos
Z
1
2
|F − u|2 dx
|Av (F ) z − Av (u) z| ≤
µ(BC1 δ(z) ) BC δ(z)
1
Z
≤ C0
|∇ (F − u)|2 dx.
BC2 δ(z)

Observe que se µ (BC2 δ(z)) converge a zero então a continuidade absoluta garante que
Z
|∇ (F − u)|2 dx → 0.
BC2 δ(z)

A Propriedade do Valor Médio garante que Av (u) z = u (z), enquanto que pela continuidade de F em Ω̄, obtemos
Z
1

Av (F ) z =
F (x)dx,
µ BC1 δ(z) BC1 δ(z)
65

Aplicando o limite à igualdade acima, segue que
lim Av (F ) z = lim

z→y

z→y µ

Z

1
BC1 δ(z)



F (x) = f (y) .
BC1 δ(z)

Assim,
lim u (z) = lim Av (u) z = lim Av (F ) z = f (y) .

z→y

z→y

z→y

Desse modo concluı́mos que u (z) → f (y) quando z tende a y.

66

Referências Bibliográficas
[1] Almeida, J.C de Souza, Difeomorfismos que preservam volume e problemas elı́pticos,
Dissertação de Mestrado(Ufal), 2010.
[2] Bartle, R.G. The Elements of Integration, John Wiley and Sons, New York, 1966.
[3] Evans, Lawrence C. Partial Differential Equations, volume 19. American Mathematical Society, 1998.
[4] Feitosa, E.F.Santos O Problema de Cauchy para a Equação não Linear de
Schrödinger com Dados não Nulos no Infinito, Dissertação de Mestrado(Ufal), 2009.
[5] Folland, G.B Introduction to partial differential equations, 2a ed. Prineton University
Press, Princeton, NJ,1995.
[6] Flores, André Ignacio Navas. O Problema de Cauchy Para um Sistema do tipo
Schrödinger-Boussinesq, Dissertação de Mestrado (Impa),1998.
[7] Iorio, Rafael J. e Iorio, Valéria de Magalhães. Equações Diferenciais Parciais: Uma
Introdução, Projeto Euclides, IMPA, 1988.
[8] Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Application, 1978, p. 451-457.
[9] Lima, Elon Lages - Curso de Análise Vol. 2, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro,
2005. p.493.
[10] Stein, Elias M. e Shakarchi, Rami. Real Analysis, Princeton University Press, Princenton, NJ, 2004.
[11] Zuazo, J. Duoandikoetxea. Análise de Fourier, Addison-Wesley Iberoamericana,
S.A, Delawarwe, 1995.

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Matemática

Dissertação

Instituto de Matemática

Universidade Federal de Alagoas
