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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática

Padrão de Resposta - Doutorado 2025.2
1. Defina a função F : R × (0, +∞) × R → R por F (x, y, z) = xy − z log y + eyz − e. Veja que:
F (0, 1, 1) = 0, F é de classe C 1 ( composta por funções elementares diferenciáveis) e
∂F
= − log 1 + 1 · e1 = e ̸= 0
∂z (0,1,1)
Pelo Teorema da Função Implı́cita, existem uma vizinhança U de (0, 1) e uma função f :
U → R de classe C 1 tais que z = f (x, y) satisfaz F (x, y, f (x, y)) = 0 para todo (x, y) ∈ U .
2. Suponha que f seja contı́nua e U seja um subconjunto aberto de Rm . Seja a ∈ f −1 (U ),
então f (a) ∈ U e, como U é aberto, existe ε > 0 tal que B (f (a); ε) ⊆ U . Pela continuidade
de f , existe δ > 0 tal que
|f (x) − f (a)| < ε para todo x ∈ A, com |x − a| < δ.
Isso significa que f (B(a; δ) ∩ A) ⊂ B (f (a); ε) ⊆ U . Portanto, B(a; δ) ∩ A ⊂ f −1 (U ), e
assim f −1 (U ) é aberto em A. Isso prova que (a) implica (b).
Reciprocamente, suponha que (b) vale. Fixe a ∈ A e ε > 0, e tome U = B (f (a); ε).
Por hipótese, f −1 (U ) é aberto em A e contém o ponto a, ou seja, existe δ > 0 tal que
B(a; δ) ∩ A ⊂ f −1 (U ). Em outras palavras, |f (x) − f (a)| < ε para todo x ∈ A com
|x − a| < δ, e portanto f é contı́nua.
3. Começamos recordando que a imagem de uma função contı́nua por um conjunto compacto
é um conjunto compacto. Em particular f (X) é fechado em Sn . Por outro lado, f é uma
aplicação aberta, donde, por definição, f (X) é aberto em Sn . Por fim, observe que Sn é
um conjunto conexo, donde ela não admite subconjuntos próprios que são simultaneamente
abertos e fechados. Assim, devemos ter que f (X) = Sn .
4. Fixe ϵ > 0. Seja n0 ∈ N grande o suficiente de modo que
fn (x) − ϵ < f (x) < fn (x) + ϵ,
para todo n ≥ n0 e para todo x ∈ A. Segue-se que
Z

Z

Z

fn (x)dx − ϵ ≤
A

f (x)dx ≤
A

fn (x)dx + ϵ.
A

Segue-se o resultado.
5.

• A primeira afirmação é verdadeira, pois decorre da aplicação do Teorema da Função
Inversa, visto que,
|JF (r, θ)| = r ̸= 0
para qualquer ponto (r, θ) de Ab . Portanto, f é injetora em uma vizinhança de cada
(r, θ) de Ab .
• A segunda afirmação é falsa, basta ver que f (1, 2π) = f (1, 4π).
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