Dissertação
dissertacao_arnaldo_2007.pdf
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Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação em Matemática
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Rio São Francisco
Dimensão de Hausdorff de
Conjuntos Numéricos
MATEMÁTICA
A ciência
do infinito
José Arnaldo dos Santos
Maceió
25 de Julho de 2006
Dimensgo de Hausdorff de Conjuntos Numericos
Josi Arnaldo dos Santos
Dissertaqiio de Mestrado na Brea de concentra~iiode Sistemas Diniimicos submetida em 25 de julho de 2006 a Banca
Examinadora, designada pelo Colegiado
do Programa de Pos-GraduaqZo em Matematica da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessaa obtenqiio do grau de Mestre em Matematica.
Banca Examinadora:
-
\
prof.%. 'vlltbn Jeovan Viana Pinheiro
ka&,
/kc
2m-,
Prof. Dr. Vitor ~ o & ~ o de
s ~rgujo
Aos meus pais José Ursulino e Maria José
e à minhas irmãs Arlene, Arlete e Arleide.
3
Agradecimentos
• Agradeço primeiramente a Deus por ter me dado a coragem necessária
para enfrentar os momentos difíceis e a minha família pelo apoio e o
incentivo dado durante todo esse período que estive distante.
• Ao professor Krerley Oliveira pela orientação, paciência, amizade e
incentivo durante todo o mestrado.
• Agradeço aos professores Francisco Vieira Barro e Eduardo Perdigão de
Lemos pela contribuição na minha vida acadêmica e pessoal. Agradeço
também aos professores Adán Corcho, Amauri da Silva Barros, Ediel
Azevedo e Fernando Echaiz pelas contribuições acadêmicas e a amizade.
• Aos professores Adelailson Peixoto e Marcus Petrúcio Cavalcante pela
grande amizade oferecida a minha pessoa.
• Ao professor Hilário Alencar por todo seu empenho na implantação do
programa de mestrado.
• Agradeço a amizade de Clarissa Codá, Davy Souza, Márcio Henrique,
Claudemir Silvino, Sofia Carolina, Fábio Bóia, Marcius Petrúcio
Cavalcante, Thiago Fontes, Júlio Almeida, Thalis Miranda e Maria
de Andrade e o companheirismo de Daniel Nicolau e André Pizzaia
Butta.
• Sou grato a todos que fazem o Instituto de Matemática pela boa
convivência que me proporcionaram durante o período em que fui aluno
desse Instituto.
• Agradeço a FAPEAL pelo suporte financeiro.
4
Resumo
Nosso trabalho está dedicado ao estudo de uma classe de conjuntos que do ponto de
vista da medida de Lebesgue são desprezíveis, isto é, possuem medida de Lebesgue
zero. Vamos mostrar que esses conjuntos mesmo tendo medida de Lebesgue zero, ainda
são conjuntos grandes no sentido da teoria da dimensão. Para cumprir nossos objetivos
vamos fazer uso de resultados e definições da teoria da medida e teoria ergódica, além
do conceito e resultados de nossa principal ferramenta que é a dimensão de Hausdorff.
Palavras Chaves: Dimensão Fractal; Dimensão de uma Medida; Pontos Regulares.
5
Introdução
Seja m > 1 um inteiro positivo. Dado w ∈ [0, 1] denotamos por
0, w1 w2 w3 ... sua representação na base m.
Para cada n ∈ N, k ∈ {0, 1, ..., m − 1} e w ∈ [0, 1] seja
Nk (w, n) = # {i ∈ {1, ..., n} ; wi = k}
Quando o limite existir
1
Nk (w, n)
n→∞ n
Nk (w) = lim
ele será chamado de freqüência do número k na representação de w na base
m.
Um importante resultado mostrado por Borel em 1909, diz que para
1
Lebesgue quase todo w ∈ [0, 1] tem Nk (w) =
para todo k, um pouco
m
tarde em 1949, Eggleston provou que
dimH {w : Ni (w) = pi , i = 0, ..., m − 1} = −
m−1
1 X
pi log pi ,
log m i=0
onde dimH M denota a dimensão de Hausdorff do conjunto M e recentimente
em 2002 Barreira, Saussol e Schmeling provaram o seguinte resultado: Para
cada k ∈ {0, 1, ..., m − 1} o conjunto Mk contém um conjunto Gδ denso em
[0, 1] e
m−1
\
dimH
Mk = 1,
k=0
onde
½
Mk =
Nk (w, n)
Nk (w, n)
x ∈ [0, 1]; lim inf
< lim sup
n→∞
n→∞
n
n
¾
.
Tanto o resultado de Eggleston quanto o resultado de Barreira, Saussol e
Schmeling mostram a importância da teoria da dimensão de Hausdorff. De
6
fato, observe que pelo Teorema Ergódigo de Birkhoff o conjunto
{w ∈ [0, 1] : Ni (w) = pi , i = 0, ..., m − 1}
tem medida de Lebesgue zero quando os p0i s forem diferentes de 1/m e mesmo
assim possui dimensão de Hausdorff diferente de zero, mais ainda faz uma
seleção desses conjuntos.
Por outro lado o resultado de Barreira, Saussol e Schmeling além de
mostrar que os conjuntos Mk (que possuem medida de Lebesgue zero, pelo
resultado de Borel) possuem dimensão de Hausdorff positiva, também mostra
que suas interseções tem dimensão de Hausdorff total.
7
Sumário
1 Teoremas Básicos da Teoria Ergódica
9
1.1 Teorema Ergódico de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Entropia
23
2.1 Definições e Resultados Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Medidas de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Dimensão de Hausdorff de Conjuntos Regulares
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Dimensão de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Dimensão no Intervalo Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 A prova do resultado de Eggleston . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
36
39
43
4 Dimensão de Hausdorff de Conjuntos Irregulares
48
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 Conjuntos Irregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Referências Bibliográficas
56
8
Capítulo 1
Teoremas Básicos da Teoria
Ergódica
Neste primeiro capítulo apresentamos alguns resultados e definições
que serão utilizados nos capítulos seguintes deste trabalho. Começamos
esclarecendo que neste trabalho, uma medida designará uma medida positiva
e σ-aditiva.
Definição 1.1. Seja f : M −→ M uma transformação. Dizemos que f
preserva medida (ou que uma medida µ é invariante pela transformação f )
se
¡
¢
µ (E) = µ f −1 (E)
para todo conjunto mensurável E ⊂ M .
Definimos o pull-back da medida µ em M pela transformação mensurável
f : M → N como sendo a medida definida em N dada por:
f∗ (µ)(A) = µ(f −1 (A)).
É fácil de verificar que f∗ (µ) definida deste modo é uma medida. A partir
da definição de medida invariante, temos que µ é invariante se, e somente se,
f∗ (µ) = µ.
A seguir daremos um exemplo bem útil de uma medida invariante para
uma transformação do intervalo:
9
Exemplo 1.1. Seja f : [0, 1] → [0, 1] definida por f (x) = 10x − [10x], onde
[10x] representa o maior inteiro menor ou igual a 10x. Em outras palavras,
f associa a cada x ∈ [0, 1] a parte fracionaria de 10x.
Afirmamos que a medida de Lebesgue λ no intervalo é invariante pela
transformação f . Comecemos supondo que E é um intervalo. Então, como
ilustra a figura (1), a pré-imagem f −1 (E) consiste de dez intervalos, cada
um deles dez vezes menor do que E, logo λ(E) = λ(f −1 (E)). Isto mostra
o resultado no caso de E ser um intervalo. Por outro lado, a família dos
intervalos gera a σ-álgebra de Borel de [0, 1]. Quando E não é um intervalo
temos o seguinte resultado:
Lema 1.1. Seja f : M → M uma transformação mensurável e µ uma medida
finita em M . Suponha que existe uma sub-álgebra geradora I da σ-álgebra
A de M tal que µ(E) = µ(f −1 (E)) para todo E ∈ I. Então o mesmo vale
para todo conjunto mensurável E, isto é, a medida µ é invariante por f .
1
E
0
2/5
4/5
6/5
8/5
1
Figura 1
Observe que se escrevemos x = 0, α1 α2 α3 . . . na base 10, a transformação
f aplicada a x simplesmente é f (x) = 0, α2 α3 α4 . . . . Estudaremos mais
10
adiante este tipo de transformação que possui conexão com os shifts em
espaços de símbolos.
O próximo exemplo mostra que dada uma transformação mensurável f
pode não existir uma medida de probabilidade invariante por f .
Exemplo 1.2. Seja f : [0, 1] → [0, 1] definida por
½
f (x) =
1/2x, se x 6= 0
1,
se x = 0
Afirmamos que não existe medida de probabilidade invariante por f .
De fato, vamos supor que existe e chamá-la de µ. Considere a partição
do intervalo (0, 1] dada por subintervalos dois a dois disjuntos En =
(1/2n−1 , 1/2n ] para todo n ∈ N. Logo f −1 (En ) = En−1 para todo n ≥ 1.
Como µ é f -invariante deduzimos que µ(An ) = µ(A0 ) para todo n ≥ 0. Daí
temos
µ((0, 1]) =
X
µ(An ) =
n≥0
X
µ(A0 ) ≤ 1.
n≥0
Logo µ(A0 ) = 0. Donde µ((0, 1]) = 0 e µ({0}) = 1. Portanto, µ(f −1 ({0})) =
1, que é um absurdo, pois f −1 ({0}) = ∅
Seja U um aberto do espaço euclidiano Rp , p ≥ 1 e seja f : U → U um
difeomorfismo de classe C 1 . Representaremos por vol a medida de Lebesgue,
ou volume, em Rp .
A fórmula de mudança de variáveis afirma que, para qualquer conjunto
mensurável B ⊂ U ,
Z
vol(f (B)) =
| det Df | d vol
(1)
B
Exemplo 1.3. Um difeomorfismo f : M → M de classe C 1 deixa invariante
o volume se, e somente se, o valor absoluto | det Df | do seu jacobiano é
constante igual a 1.
De fato, suponha primeiro que o valor absoluto do jacobiano é igual 1
em todo ponto. Considere um conjunto mensurável E e seja B = f −1 (E). A
11
fórmula (1) dá que
Z
1 d vol = vol(B) = vol(f −1 (E)).
vol(E) =
B
Isto mostra a primeira parte do exemplo. Para mostrar a segunda parte
suponha que | det Df | fosse maior que 1 em algum ponto x. Então como o
jacobiano é contínuo, existiria uma vizinhança U de x e algum número α > 1
tais que | det Df (y) |≥ α para todo y ∈ U . Então a fórmula (1) aplicada a
B = U daria
Z
vol(f (U )) ≥
α d vol = αvol(U ).
B
Denotando E = f (U ), temos vol(E) > vol(f −1 (U )) e, portanto, f não deixa
invariante o volume. De modo análogo se mostra que f não deixa invariante
o volume no caso em que o valor absoluto do jacobiano é menor que 1.
Exemplo 1.4. O fluxo f t associado a um campo de vetores F de classe C 1
deixa invariante o volume se, e somente se, o divergente de F é identicamente
nulo.
De fato, considere o fluxo f t : U → U, t ∈ R, de classe C 1 . Como f t
é invertível e seu jacobiano é sempre positivo, segue do exemplo (1.3) que o
fluxo deixa invariante o volume se, e somente se,
det Df t (x) = 1 para todo x ∈ U e todo t ∈ R.
(2)
Por outro lado, a fórmula de Liouville exprime o jacobiano de f t em termos
do divergente divF do campo de vetores de F por
µZ t
¶
t
s
det Df (x) = exp
divF (f (x))ds .
(3)
0
Portanto, combinando (2) e (3), segue o resultado.
Definição 1.2. Dada uma transformação f dizemos que um conjunto A é
f -invariante se
f −1 (A) = A.
12
Definição 1.3. Dizemos que uma medida de probabilidade invariante µ é
ergódica se para qualquer conjunto A, f -invariante, tivermos
µ(A) = 0 ou µ(A) = 1.
Proposição 1.1. Seja f : M −→ M uma transformação que preserva
medida e µ uma medida. Então para toda função integrável ϕ : M −→ R,
vale
Z
Z
ϕdµ =
ϕ ◦ f dµ.
Demonstração. Suponha primeiro que ϕ é uma função característica de
algum conjunto, digamos ϕ = χQ . Então por um lado
Z
Z
ϕdµ = χQ = µ(Q).
(4)
Por outro lado, como ϕ ◦ f = χQ ◦ f = χf −1 (Q) , temos
Z
Z
ϕ ◦ f dµ =
Z
χf −1 (Q) dµ = µ(f −1 (Q)).
χQ ◦ f dµ =
(5)
Por (1) e (2) temos
Z
Z
ϕdµ = µ(Q) = µ(f
−1
(Q)) =
ϕ ◦ f dµ.
Suponha agora que ϕ é uma função simples. Neste caso temos ϕ =
αi χQi .
i=1
Assim,
Z
Z
ϕ ◦ f dµ =
n
¡X
¢
αi χQi ◦ f dµ =
i=1
=
n
X
n
X
Z
αi
χQi ◦ f dµ =
i=1
n
X
Z X
n
αi χQi ◦ f dµ =
i=1
Z
αi
χQi dµ =
Z X
n
i=1
Z
αi χQi dµ =
ϕdµ.
i=1
Vamos supor agora que ϕ é uma função integrável, com ϕ ≥ 0. Neste
caso existe uma sequência {ϕn } com ϕn+1 ≤ ϕn e lim ϕn = ϕ tal que
n→∞
Z
Z
ϕdµ = lim
n→∞
13
ϕn dµ.
Como {ϕn ◦ f } é uma sequência de funções simples tal que lim ϕn ◦f = ϕ◦f
n→∞
temos
Z
Z
ϕ ◦ f dµ = lim
n→∞
ϕn ◦ f dµ.
Sendo as funções ϕn funções simples também vale:
Z
Z
ϕn dµ = ϕn ◦ f dµ.
Daí,
Z
Z
ϕdµ = lim
n→∞
Z
ϕn dµ = lim
n→∞
Z
ϕn ◦ f dµ =
ϕ ◦ f dµ.
Finalmente suponha que ϕ é uma função integrável qualquer. Neste caso
ϕ = ϕ+ −ϕ− , onde ϕ+ (x) = max {ϕ(x), 0} e ϕ− (x) = max {−ϕ(x), 0}. Como
ϕ+ ≥ 0 e ϕ− ≥ 0 temos pelo caso anterior
Z
Z
+
ϕ dµ = ϕ+ ◦ f dµ.
e
Z
Z
−
ϕ− ◦ f dµ.
ϕ dµ =
Por outro lado, temos
ϕ ◦ f = ϕ+ ◦ f − ϕ− ◦ f.
Logo,
Z
Z
Z
Z
Z
Z
+
−
+
−
ϕ ◦ f dµ = ϕ ◦ f dµ − ϕ ◦ f dµ = ϕ dµ − ϕ dµ = ϕdµ.
1.1
Teorema Ergódico de Birkhoff
Nesta seção nós vamos enunciar e provar um resultado de grande
importância na Teoria Ergódica.
Teorema 1.1 (Teorema Ergódico de Birkhoff ). Sejam (M, =, µ) um
espaço de probabilidade e f : M −→ M uma transformação que preserva
medida. Dado qualquer função integrável ϕ : M −→ R o limite existe
14
n−1
1X
ϕ(f i (x))
n→∞ n
i=0
lim
para µ-quase todo ponto x ∈ M . Além disso, também vale,
Z
n−1
1X
ϕ(f i (x))dµ(x) =
lim
n→∞
n i=0
M
Z
ϕ(x)dµ(x).
M
Para demonstração deste Teorema precisamos de alguns resultados
auxiliares.
Lema 1.2. Seja ϕ : M −→ R integrável. Defina
½
¾ (
E(ϕ) =
x ∈ M ; sup ϕn > 0
=
x ∈ M ; sup
n≥0
Então:
n≥0
n
X
)
ϕ(f i (x)) > 0 .
i=0
Z
ϕdµ ≥ 0.
E(ϕ)
Demonstração. Seja En = {x ∈ M ; ϕn (x) > 0}. Note que En ⊂ En+1 e
[
E(ϕ) =
En . Logo,
n≥1
Z
Z
Z
+
ϕdµ =
E(ϕ)
E(ϕ)
Z
E(ϕ)
Z
Z
+
= lim
n→∞
ϕ− dµ =
ϕ dµ −
−
ϕ dµ − lim
En
ϕ dµ = lim
n→∞
n→∞
En
ϕdµ.
En
Portanto, basta demonstrar que
Z
ϕdµ ≥ 0,
En
para todo n ≥ 0. Seja
Z
Z
I=
ϕdµ =
En
Z
ϕdµ +
{ϕn >0}∩{ϕn ◦f ≤0}
ϕdµ
(6)
{ϕn >0}∩{ϕn ◦f >0}
Temos
ϕn (x) = max {ϕ(x), ϕ(x) + ϕ(f (x)), ..., ϕ(x) + ϕ(f (x)) + ... + ϕ(f n (x))} .
15
ϕn (f (x)) = max{ϕ(f (x)), ..., ϕ(f (x)) + ... + ϕ(f n (x)),
, ϕ(f (x)) + ... + ϕ(f n+1 (x))}.
Se ϕn (f n (x)) ≤ 0, então as igualdades acima mostram que ϕn (x) = ϕ(x).
Se ϕn (f n (x)) > 0, então
ϕ(x) + ϕn (f (x)) = max{ϕ(x) + ϕ(f (x)), ..., ϕ(x) + ϕ(f (x)) + ... + ϕ(f n (x)),
, ϕ(x) + ϕ(f (x)) + ... + ϕ(f n+1 (x))} ≥
≥ max{ϕ(x) + ϕ(f (x)), ..., ϕ(x) + ϕ(f (x)) + ... + ϕ(f n (x))}.
Logo, se ϕn (f (x)) > 0 temos
ϕ(x) + ϕn (f (x)) > ϕ(x).
Juntando ambas as desigualdades quando ϕn (f (x)) > 0 obtemos
ϕ(x) + ϕn (f (x)) ≥ max{ϕ(x) + ϕ(f (x)), ..., ϕ(x)+
+ϕ(f (x)) + ... + ϕ(f n (x))} = ϕn (x).
Em suma:
ϕn (x) = ϕ(x) se ϕn (f (x)) ≤ 0,
ϕ(x) ≥ ϕn (x) − ϕn (f (x)) se ϕn (f (x)) > 0.
Substituindo em (3) temos
Z
Z
I≥
ϕn dµ +
{ϕn >0}∩{ϕn ◦f ≤0}
Z
ϕn − ϕn ◦ f dµ =
{ϕn >0}∩{ϕn ◦f >0}
Z
=
ϕn dµ −
{ϕn >0}
ϕn ◦ f dµ
{ϕn >0}∩{ϕn ◦f >0}
Observamos que
f −1 ({ϕn > 0}) = {ϕn ◦ f > 0} ⊃ {ϕn > 0} ∩ {ϕn ◦ f > 0}.
Segue pela Proposição (1.1) e dá observação acima que
Z
Z
Z
ϕn dµ = χ{ϕn >0} .ϕn dµ = (χ{ϕn >0} .ϕn ) ◦ f dµ =
{ϕn >0}
16
(7)
Z
=
Z
(χ{ϕn >0} ◦ f )(ϕn ◦ f )dµ = χf −1 ({ϕn >0}) . (ϕn ◦ f ) dµ =
Z
Z
= (χ{ϕn ◦f >0} )(ϕn ◦ f )dµ =
ϕn ◦ f dµ.
{ϕn ◦f >0}
Substituindo este último resultado em (4) temos
Z
Z
I≥
ϕn ◦ f dµ −
ϕn ◦ f dµ ≥ 0
{ϕn ◦f >0}
(8)
{ϕn >0}∩{ϕn ◦f >0}
Corolário 1.1.1. Se X ⊂ E(ϕ) ∈ = e X é tal que ϕ−1 (X) = X, então
Z
ϕdµ ≥ 0.
X
Demonstração. Seja χX a função característica do conjunto X.
usando o fato que
Agora
f −1 (X) = X,
temos
E(f χ) = X.
Logo, pelo Lema, vale
Z
Z
0≤
Z
f χdµ =
E(f χ)
f χdµ =
X
f dµ.
X
Demonstração do Teorema de Birkhoff. Para cada ϕ ∈ L1 (µ) definamos
n
X
i
ϕ(f (x))
i=0
+
Eα (ϕ) = x ∈ M ; lim sup
>α
n→∞
n+1
e
n
X
i
ϕ(f
(x))
i=0
−
<α
Eα (ϕ) = x ∈ M ; lim inf
n→∞
n+1
17
Notemos que
n
X
i
(ϕ − α)(f (x))
i=0
+
E0 (ϕ − α) = x ∈ M ; lim sup
>0 =
n→∞
n+1
ϕ(f i (x))
i=0
− α > 0 = Eα+ (ϕ)
= x ∈ M ; lim sup
n→∞
n+1
e
n
X
(9)
n
X
i
(−ϕ)(f
(x))
i=0
+
E−α (ϕ) = x ∈ M ; lim sup
> −α =
n→∞
n+1
=
n
X
x ∈ M ; − lim sup i=0
n→∞
ϕ(f i (x))
n+1
(10)
> −α
= Eα− (ϕ)
Afirmação: Para cada ϕ ∈ L1 (µ) e α ∈ R tem-se
Z
ϕdµ ≥ αµ(Eα+ (ϕ))
+
Eα
(ϕ)
(11)
De fato,
Z
Z
+
Eα
(ϕ)
ϕdµ =
+
Eα
(ϕ)
(ϕ − α)dµ + αµ(Eα+ (ϕ)) =
(12)
Z
=
E0+ (ϕ−α)
(ϕ − α)dµ + αµ(Eα+ (ϕ))
Como também vale
f −1 (E0+ (ϕ − α)) ⊂ E0+ (ϕ − α)
18
e
E0+ (ϕ − α) ⊂ E(ϕ − α)
segue do Corolário 1.1.1 que
Z
E0+ (ϕ−α)
(ϕ − α)dµ ≥ 0
As desigualdades (12) e (13) juntas provam (11)
Se A ∈ = está contido em Eα+ (ϕ) e f −1 (A) = A, tem-se
Z
ϕdµ ≥ αµ(A)
(13)
(14)
A
pois
Z
Z
Z
ϕdµ =
ϕχA dµ =
A
A
+
Eα
(ϕχA )
ϕχA dµ ≥ αµ(Eα+ ) = αµ(A).
Finalmente usando (10) segue de (14) que se ϕ ∈ L1 (µ), A ∈ = está
contido em Eβ− (ϕ) e satisfaz f −1 (A) = A então vale
Z
ϕdµ ≤ βµ(A)
(15)
A
pois nas condições acima temos
Z
Z
−ϕdµ ≥ (−β)µ(A) ⇒
ϕdµ ≤ βµ(A).
A
A
Por (14) e (15) tem-se para α > β que
µ(Eα+ (ϕ) ∩ Eβ− (ϕ)) = 0
visto que aplicando (14) com A = Eα+ (ϕ) ∩ Eβ− (ϕ) temos
Z
ϕdµ ≥ αµ(Eα+ (ϕ) ∩ Eβ− (ϕ))
A
e aplicando à (15) resulta
Z
A
ϕdµ ≤ βµ(Eα+ (ϕ) ∩ Eβ− (ϕ))
19
(16)
Então tomando uma sequência αn , n ≥ 1 densa em R resulta que
n
n
X
X
i
i
ϕ(f
(x))
ϕ(f
(x))
i=0
i=0
> lim inf
x ∈ M ; lim sup
=
n→∞
n→∞
n+1
n+1
=
[
Eα+n (ϕ) ∩ Eα−m (ϕ).
αn >αm
e por (16) este último conjunto tem medida 0.
afirmação.
Isto prova a primeira
Provaremos agora a segunda afirmação. Começamos observando que
sendo ϕ integrável temos ϕ ∈ L1 (µ). Definimos
n−1
ϕn (x) =
1X
ϕ(f i (x)) e h(x) = lim ϕn (x).
n→∞
n i=0
Afirmação 1: ϕn , h ∈ L1 (µ). De fato, seja In =
R
M
|ϕn |dµ, então
n−1
n−1 Z
1X
1X
i
|ϕ ◦ f i |dµ =
ϕ ◦ f |dµ ≤
In =
|
n
n
M
i=0
i=0 M
Z
n−1
n−1
1X
1X
i
=k
ϕ ◦ f k1 ≤
kϕ ◦ f i k1 = kf k1 .
n i=0
n i=0
Portanto,
(17)
kϕn k1 ≤ kϕk1
R
Seja I = M |h|dµ, então pelo Lema de Fatou temos
Z
Z
Z
I=
| lim ϕn |dµ =
lim |ϕn |dµ ≤ lim inf
|ϕn |dµ = lim inf In ≤ kϕk1 .
M
n→∞
M n→∞
n→∞
M
n→∞
Portanto,
khk1 ≤ kϕk1
20
(18)
Afirmação 2: lim kϕn − hk1 = 0 De fato, suponha que ϕ ∈ L1 (µ) é
n→∞
limitada, isto é, |ϕ(x)| ≤ K para todo x ∈ M . Então |ϕn (x)| ≤ K para todo
x ∈ M . Daí, |h| = lim |ϕn | ≤ K. para q.t.p x ∈ M . Logo, |ϕn − h| ≤ 2K.
n→∞
Pelo Teorema da convergência dominada temos
Z
Z
lim
|ϕn − h|dµ =
lim |ϕn − h|dµ = 0.
n→∞
M n→∞
M
Assim a afirmação fica demonstrada quando f é limitada. Seja ϕ ∈ L1 (µ)
qualquer. Como as funções simples são limitadas e densas em L1 (µ), temos
que dado ε > 0 existe φ simples tal que
kϕ − φk1 <
ε
3
(19)
Pela desigualdade triangular temos
kϕn − hk1 ≤ kϕn − φn k1 + kφn − φk1 + kφ − hk1
onde φn (x) =
n−1
X
(20)
φ(f i (x)) e lim φn = ψ.
i=0
n→∞
Como φ é limitada temos pelo caso anterior, para todo n suficientemente
grande que
kφn − ψk1 <
ε
3
(21)
Por (17) e (18) resulta
kϕn − φn k1 = k(ϕ − φ)n k1 ≤ kϕ − φk1 <
ε
3
kh − φk1 = k lim (ϕn − φn )k1 = k lim (ϕ − φ)n k1 =
n→∞
n→∞
ε
= k(ϕ − φ)k1 ≤ kϕ − φk1 <
3
Substituindo (21), (22) e (23) em (20) temos
21
(22)
(23)
kϕn − hk1 < ε.
para todo n suficientemente grande. Isto prova a afirmação 2.
Como para ϕ ∈ L1 (µ) temos lim kϕn − hk1 = 0, então
n→∞
Z
¯ Z
¯Z
¯
¯
|ϕn − h|dµ = kϕn − hk1 −→ 0
ϕn dµ −
h dµ¯ ≤
¯
M
M
M
quando n −→ ∞
Logo,
Z
Z
lim
n→∞
ϕn dµ =
M
h dµ.
M
Por outro lado,
Z
n−1 Z
1X
ϕn dµ =
n i=0
M
Portanto,
n−1 Z
1X
ϕ ◦ f dµ =
n i=0
M
Z
Z
n→∞
ϕdµ =
M
Z
ϕdµ = lim
M
Z
i
ϕn dµ =
M
Isto encerra a demonstração do Teorema.
22
h dµ.
M
ϕdµ
M
Capítulo 2
Entropia
2.1
Definições e Resultados Básicos
Neste capítulo nos dedicaremos ao estudo da entropia. Nele apresentamos
a definição de entropia e demonstramos algumas de suas propriedades.
Começamos observando que em todo este capítulo (M, f, µ) denota um
espaço de probabilidade.
Definição 2.1. Uma partição P de M é uma família de conjuntos em f
(denominados os átomos da partição) tal que
1. µ(A) > 0, para todo A ∈ P.
2. A, B ∈ P ⇒ µ (A ∩ B) = 0.
[
3. µ(M −
A) = 0.
A∈P
Definição 2.2. Dadas duas partições P e F podemos definir uma nova
partição P ∨ F de M do seguinte modo:
P ∨ F = {A ∩ B, A ∈ P e B ∈ F}
Dadas uma partição P e uma transformação f : M −→ M que preserva
medida, denotamos por P n a partição
Pn =
n−1
_
f −i (P).
i=0
23
Definição 2.3. Sejam P e F partições enumeráveis de um espaço de
probabilidade. Definimos a entropia Hµ (P) da partição P com respeito a
medida µ por:
Hµ (P) = −
X
µ(A) log µ(A),
A∈P
e a entropia relativa Hµ (P/F) de P com respeito a F e à medida µ por:
Hµ (P/F) = −
XX
µ(A ∩ B) log
A∈P B∈F
µ(A ∩ B)
,
µ(B)
onde se convenciona que 0 log 0 = 0 = log(0/0)
Exemplo 2.1. Seja f : [0, 1] → [0, 1] definida por f (x) = 10x − [10x]. Se P
k k+1
é a partição de [0, 1] dada por intervalos Pk = ( 10
, 10 ], k = 0, 1, ..., 9 e µ é
a medida de Lebesgue, então Hµ (P) = log 10.
De fato, temos
Hµ (P) = −
X
µ(Pk ) log µ(Pk ) = Hµ (P) =
Pk ∈P
9
X
9
X
k k+1
1
k k+1
µ(( ,
=−
]) log µ(( ,
]) =
log 10 = log 10.
10
10
10
10
10
k=0
k=0
Antes de passarmos as propriedades de entropia, vamos a dois
resultados auxiliares que serão de grande utilidade na demonstração dessas
propriedades.
Proposição 2.1. Seja φ : [0, 1] → R uma função contínua, derivável até a
segunda ordem em (0, 1) e com derivada segunda negativa. Sejam λi uma
∞
X
sequência de números reais ≥ 0, tais que
λi = 1, e xi uma sequência de
pontos em [0, 1]. Nestas condições temos
φ
̰
X
i=1
!
λi xi
≥
∞
X
i=1
24
i=1
λi φ(xi ).
(1)
Demonstração. Começamos observando que as séries do enunciado são
absolutamente convergentes porque seus i-ésimos termos são menores ou
iguais, em valor absoluto, que uma constante multiplicada por λi e, a série
dos λi convergem por hipótese.
n
X
Afirmação. Se
ρi = 1 para todo n ≥ 1 e ρi ≥ 0, então
i=1
φ
à n
X
!
ρi xi
≥
i=1
n
X
ρi φ(xi ).
(2)
i=1
A prova da afirmação será feita por indução.
Para n = 1 é trivial, pois, neste caso, ρ1 = 1.
Para n = 2, sejam x, y ∈ [0, 1]. Como a segunda derivada de φ é negativa,
temos que o segmento de reta cujos extremos são os pontos (x, φ(x)) e
(y, φ(y)) está abaixo do gráfico de φ entre x e y. Isto significa que, para
todo 0 ≤ ρ ≤ 1, tem-se
φ(ρx + (1 − ρ)y) ≥ ρφ(x) + (1 − ρ)φ(y).
Suponha que a afirmação é verdadeira para n. Vamos mostrar que
n+1
n
X
X
também vale para n + 1. Se
ρi = 1, seja ρ =
ρi , logo ρn+1 = 1 − ρ.
Seja X =
n
X
i=1
i=1
ρi xi /ρ. Assim
i=1
n+1
X
ρi xi = ρX + (1 − ρ)xn+1 .
i=1
Pelo caso anterior tem-se
!
à n+1
X
φ
ρi xi = φ (ρX + (1 − ρ)xn+1 ) ≥ ρφ(X) + (1 − ρ)φ(xn+1 ) =
i=1
= ρφ
à n
X
i=1
!
ρi xi /ρ
+ ρn+1 φ(xn+1 ) ≥ ρ
n
X
ρ i xi
i=1
25
ρ
+ ρn+1 φ(xn+1 ) =
n
X
i=1
ρi φ(xi ).
Agora estamos em condições de obtermos (1).Usando (2) e a continuidade
da função φ temos
n
n
X
X
̰
!
λi φ(xi )
λ
x
i i
∞
X
X
i=1
≥ lim i=1
=
λi φ(xi ).
φ
λi xi = lim φ
n
n
n→∞ X
n→∞ X
i=1
i=1
λi
λi
i=1
i=1
Proposição 2.2. Se xn , n ≥ 1 é uma sequência de números reais positivos
tal que
inf (
n
xn
) > −∞
n
e
xn+m ≤ xn + xm
para todo n, m então existe
xn
.
n→∞ n
lim
Demonstração. Começamos observando que para a ≥ 1 e b ≥ 1 temos
xab ≤ xa + xa + ... + xa = bxa .
{z
}
|
b−vezes
Seja k = inf (
n
xn
). Dado ε > 0 seja n0 tal que
n
xn
≤ k + ε.
n0
Então, para n > n0 , podemos escrever n = n0 p + q, com p, q ∈ Z e
n0 ≥ q ≥ 1, p ≥ 1. Assim temos
xn
xn0 p+q
xn p + xq
pxn0 + xq
pxn0
xq
=
≤ 0
≤
=
+
≤
n
n0 p + q
n0 p + q
n0 p + q
n0 p + q n0 p + q
≤
pxn0 xq
xn
xq
xq
1
+
= 0 +
≤k+ε+
≤k+ε+
sup xi .
n0 p
n
n0
n
n
n 1≤i≤n0
Para n suficientemente grande tem-se
k≤
xn
≤ k + 2ε.
n
26
Como ε é qualquer temos
xn
xn
= k = inf ( ).
n→∞ n
n
n
lim
Teorema 2.1. Sejam A, P e Q partições. Então
1. Hµ (P/Q) ≤ Hµ (P);
2. Hµ (P ∨ Q) ≤ Hµ (P) + Hµ (Q/P);
3. Hµ (A/P ∨ Q) ≤ Hµ (A/Q)
Demonstração. A afirmação 1 é conseqüência imediata da afirmação 3
tomando Q = {M }.
Vamos para a afirmação 2.
Hµ (P ∨ Q) = −
XX
µ(A ∩ B) log µ(A ∩ B) =
A∈P B∈Q
=−
XX
µ(A ∩ B) log
A∈P B∈Q
= Hµ (P/Q) −
X
µ(A ∩ B) X X
−
µ(A ∩ B) log µ(A) =
µ(A)
A∈P B∈Q
µ(A) log µ(A) = Hµ (P/Q) + Hµ (P).
A∈P
provemos agora a afirmação 3. Seja
½
−x log x, se x ∈ (0, 1]
φ(x) =
0,
se x = 0
Note que φ é contínua em [0, 1] e tem a segunda derivada negativa em
(0, 1). Logo φ satisfaz as hipóteses da Proposição (2.1)
Hµ (A/P ∨ Q) = −
XXX
µ(A ∩ B ∩ C) log
A∈A B∈P C∈Q
µ(A ∩ B ∩ C)
=
µ(B ∩ C)
X X µ(A ∩ B) µ µ(A ∩ B ∩ C) ¶
φ
=
µ(C) −
.
µ(C)
µ(A ∩ B)
C∈Q
A∈A B∈P
X
27
1
Gráfico da funcão f (x) = −x log x em (0, 1]
Tomemos A ∈ A e C ∈ Q fixos.
Enumeremos com subindice i ≥ 0
todos os conjuntos Bi ∈ P tais que µ(Bi ∩ C) 6= 0. Definamos os
números λi = µ(Bi ∩ C)/µ(C) e xi = µ(Bi ∩ A ∩ C)/µ(Bi ∩ C). Observe
∞
X
que: xi ∈ [0, 1], λi ≥ 0 e
λi = 1. Aplicando a proposição (2.1) temos
i=1
Hµ (A/P ∨ Q) =
X
µ(C)
λi φ(xi ) ≤
A∈A i≥1
C∈Q
Como
XX
X
µ(C)
C∈Q
X
A∈A
φ
Ã
X
!
λi xi .
i≥1
P
i≥1 λi xi = µ(A ∩ C)/µ(B) temos
Hµ (A/P ∨ Q) ≤ −
X
µ(C)
C∈Q
X µ(A ∩ C)
µ(B)
A∈A
log
µ(A ∩ C)
= Hµ (A/Q).
µ(B)
Observamos que combinando os ítens 1 e 2 da proposição (2.1) temos
Hµ (P ∨ Q) ≤ Hµ (P) + Hµ (Q)
Observamos também que se T preserva medida então Hµ (T −1 (P)) =
Hµ (P). De fato,
X
Hµ (T −1 (P)) = −
µ(T −1 (A)) log µ(T −1 (A)) =
A∈(T −1 (P))
=−
X
µ(A) log µ(A) = Hµ (P)
A∈P
28
Definição 2.4. Dada uma transformação f : M −→ M que preserva medida
e P uma partição de M , definimos a entropia Hµ (f, P) de f com respeito a
P e à medida µ por:
1
Hµ (P n ).
n→∞ n
hµ (f, P) = lim
1
Hµ (P n ) é convergente.
n
Pela proposição (2.2) é suficiente mostrar que Hµ (P n ) é sub-aditiva. Seja
Mostraremos que a sequência
an = Hµ (P n ) ≥ 0.
an+m = Hµ (P n+m ) = Hµ
Ãn+m−1
_
!
f −i (P)
=
i=0
= Hµ
Ãn−1
_
f −i (P) ∨
i=0
+Hµ
Ãn+m−1
_
n+m−1
_
!
f −i (P)
i=n
!
f −i (P)
= an + Hµ
i=n
≤ Hµ
Ãn−1
_
Ãn+m−1
_
i=0
!
f −i (P) +
!
f −i (P)
=
i=n
= Hµ (f
−n
m
(P )) = an + am .
Exemplo 2.2. Sejam Seja f : [0, 1] → [0, 1] definida por f (x) = 10x − [10x],
µ a medida de Lebesgue em [0, 1] e P a partição definida no exemplo (2.1).
Então a entropia de Hµ (f, P) de f com respeito a partição P e à medida µ
igual a log 10.
De fato, começamos observando que se P é a partição definida no exemplo
(2.1), então existe exatamente 10n elementos em P n sendo cada um deles um
intervalo de comprimento 10−n . Assim dado P ∈ P n , temos µ(P ) = 10−n .
Daí,
1 X
1
−µ(P ) log µ(P ) = lim (−10n 10−n log 10−n ) =
n→∞ n
n→∞ n
P ∈P n
Hµ (µ, f ) = lim
1
(− log 10−n ) = log 10.
n→∞ n
= lim
29
2.2
Medidas de Bernoulli
Seja N = {1, 2, ..., k}, k ≥ 1 um conjunto finito. O conjunto N é chamado
alfabeto e os elementos de N são chamados de símbolos.
Definição 2.5. Seja M o conjunto formado por todas as seqüencias biinfinitas α : Z → N , isto é,
M = {{αn }n∈Z ; αn ∈ N para todo n ∈ Z}.
Chama-se shift (para a esquerda) a aplicação σ : M → M definida por
σ({αn }n∈Z ) = {βn }n∈Z tal que βn = αn+1 . O shift é um deslocamento dos
termos de uma sequência uma posição para a esquerda.
Definição 2.6. Seja X o conjunto formado por todas as seqüencias α : N →
N , isto é,
X = {{αn }n∈N ; αn ∈ N para todo n ∈ N}.
Chama-se shift unilateral a aplicação σ : X → X definida por σ({αn }n∈N ) =
{βn }n∈N tal que βn = αn+1 .
Definição 2.7. Sejam σ e X como na definição anterior. Para cada
P
P P
subconjunto compacto
⊂ X tal que σ
⊂ , chamaremos de subshift a
aplicação σ|P .
Definição 2.8. Seja A uma matriz p × p tal que todas as suas entradas
aij são 0 ou 1 e X e σ como na definição (2.6 ). Considere o subconjunto
P
compacto A ⊂ X composto das sequências (i0 , i1 , ...) tal que ain in+1 = 1
para todo n ≥ 0. A aplicação σ|PA é chamada subshift do tipo finito com
matriz de transferencia A.
Definição 2.9. Seja α = {αn }n∈N ∈ M . Chama-se cilindro os subconjuntos
da forma
[k, l; ak , ..., al ] = {α ∈ M ; αk = ak , ..., αl = al }
onde k, l ∈ N, com k ≤ l e cada ai ∈ N .
30
Definição 2.10. Chama-se vetor de probabilidade um vetor p = (p1 , ..., pk ) ∈
(0, 1)k tal que
k
X
pi = 1.
i=1
O valor pi se chama probabilidade do símbolo i ∈ N .
Dado um vetor de probabilidade p definimos uma medida de
probabilidade nos borelianos de M da seguinte forma:
Definição 2.11. Seja C a coleção dos cilindros e A0 a álgebra das uniões
finitas de cilindros disjuntos dois a dois. Dado um vetor de probabilidade
(p1 , ..., pk ) defina ν0 : A0 → [0, 1] por
• ν0 (∅) = 0
• ν0 (M ) = 1
• ν0 (A) =
l
X
ν0 (Ci ), para todo A ∈ A0 tal que A =
i=1
• ν0 (Ci ) =
Ci , onde Ci são
i=1
cilindros disjuntos.
k
Y
p
[
paj , onde Ci = [l, k; αl = a1 , αl+1 = a2 , ..., αl+k−1 = ak ]
j=1
Observe que ν0 é uma pré-medida. Logo existe uma única medida ν que
é a extensão de ν0 a σ-álgebra A gerada pela álgebra A0 . A medida ν assim
definida é chamada medida de Bernoulli associada ao vetor p. Note que a
medida de Bernoulli nada mais é que a medida-produto η N , onde η é a medida
de probabilidade definida no conjunto {0, . . . m − 1} por η({i}) = pi . Para
mais informações sobre estes tipos de medida, veja [1], [4], [10].
Proposição 2.3. A medida de Bernoulli ν é invariante pela transformação
σ : M → M (o shift).
31
Demonstração. Seja C = [u, v; au , ..., av ] um cilindro. Então,
σ −1 (C) = [u + 1, v + 1; au , ..., av ].
Logo,
ν(C) = ν(σ −1 (C)).
Como a família dos cilindros gera a σ-álgebra A de M , isto juntamente com
o Lema (1.1) prova que ν é invariante para σ.
Teorema 2.2. Seja P uma partição por cilindros de comprimento 1, então
a entropia da partição P n com respeito a medida de Bernoulli ν associada
ao vetor de probabilidade p = (p1 , ..., pk ) é dada por
n
Hν (P ) = −n
k
X
pi log pi .
i=1
Demonstração. Como os elementos de P são cilindros de comprimento 1,
então os elementos de P n são cilindros de comprimento n. Seja C ∈ P n ,
então ν(C) = pi1 .pi2 ...pin . Portanto,
Hν (P n ) = −
=−
k X
k
X
...
i1 =1 i2 =1
=−
Como
(pi1 .pi2 ...pin ) log(pi1 .pi2 ...pin ) =
k
X
(pi1 .pi2 ...pin ) log(pi1 .pi2 ...pin ) =
in =1
n X
k
X
j=1 i1 =1
k
X
X
...
k
X
...
ij =1
k
X
pi1 ...pij ...pin log pij =
in =1
pi = 1, temos
i=1
Hν (P n ) = −
n X
k
X
pij log pij = −n
j=1 ij =1
k
X
i=1
32
pi log pi .
Corolário 2.2.1. Sejam P a partição definida no Teorema (2.2) e σ : M →
M o shift. Então a entropia Hν (σ, P) de σ com respeito à partição P e a
medida de Bernoulli ν é dada por
hν (σ, P) = −
k
X
pi log pi .
i=1
Demonstração. Pelo Teorema temos
Hν (P n ) = −n
k
X
pi log pi .
i=1
Por outro lado,
1
1
hµ (σ, P) = lim H(P n ) = lim
n→∞ n
n→∞ n
Ã
−n
k
X
!
pi log pi
=−
i=1
k
X
pi log pi .
i=1
Definição 2.12. A entropia de uma transformação f com respeito à uma
medida µ é dada por
hµ (f ) = sup hµ (f, P),
P
onde o supremo é tomado sobre todas as partições finitas P de M .
Definição 2.13. Seja f
: M
→ M uma transformação invertível
preservando uma medida de probabilidade µ no espaço de probabiliodade
+∞
_
(M, f, µ). Uma partição P é dita geradora se
f −i (P) gera a σ-álgebra
i=−∞
f. No caso de f ser não-invertível, então P é geradora se
+∞
_
f −i (P) gera a
i=0
σ-álgebra.
Teorema 2.3 (Kolmogorov-Sinai). Seja P uma partição geradora para
f : M → M preservando uma probabilidade µ no espaço (M, f, µ). Então,
hµ (f ) = hµ (f, P).
33
Exemplo 2.3. A entropia de uma medida de Bernoulli ν associada a um
vetor de probabilidade p = (p1 , ..., pk ) é dada por
hν (σ) = −
k
X
pi log pi .
i=1
De fato, sejam P uma partição por cilindros de comprimento 1 e σ : M →
M o shift. Então, os elementos de P n são cilindros de comprimento n. Como
a família dos cilindros gera a σ-álgebra de Borel a partição P é geradora.
Logo, pelo Corolário (2.2.1) e Teorema (2.3) temos
hν (σ) = −
k
X
pi log pi .
i=1
Exemplo 2.4. Dentre as medidas que são de Bernoulli, a de maior entropia
é a que possui vetor de probabilidade p = (1/k, ..., 1/k).
De fato, seja ν a medida de Bernoulli com vetor de probabilidade
p = (1/k, ..., 1/k). Então, a entropia é dada por
−
k
X
1
i=1
k
log
1
1
1
= −k log = log k.
k
k
k
Para qualquer outro vetor de probabilidade, usando a função φ(x) = −x log x
e a Proposição (2.1) temos que a entropia é dada por
à k
!
k
k
X
X
X
−
φ(pi ) = −k
φ(pi )/k ≤ k φ
φ(pi )/k = k φ(1/k) = log k.
i=1
i=1
i=1
34
Capítulo 3
Dimensão de Hausdorff de
Conjuntos Regulares
3.1
Introdução
Seja m > 1 um inteiro positivo.
Dado w ∈ [0, 1] denotamos por
0, w1 w2 w3 ... sua representação na base m.
Para cada n ∈ N, k ∈ {0, 1, ..., m − 1} e w ∈ [0, 1] seja
Nk (w, n) = # {i ∈ {1, ..., n} ; wi = k}
Quando o limite existir
1
Nk (w, n)
n→∞ n
Nk (w) = lim
ele será chamado de freqüência do número k na representação de w na base
m.
Neste capítulo vamos determinar a dimensão de Hausdorff do conjunto
dos pontos w ∈ [0, 1] para os quais o limite
Nk (w) = lim
1
n→∞ n
Nk (w, n)
existe. No começo do século passado em 1909, Borel mostrou que para
1
Lebesgue quase todo w ∈ [0, 1] tem Nk (w) =
para todo k. Um pouco
m
mais tarde, em 1934 Besicovitch mostrou que
dimH {w ∈ [0, 1]; lim sup
n→∞
N1 (w, n)
α log α + (1 − α) log(1 − α)
≤ α} = −
,
n
log 2
35
onde m = 2 e α ∈ (0, 1/2). E em 1949, Eggleston provou que
m−1
1 X
dimH {w : Ni (w) = pi , i = 0, ..., m − 1} = −
pi log pi ,
log m i=0
onde dimH M denota a dimensão de Hausdorff do conjunto M .
3.2
Dimensão de Hausdorff
Sejam M um subconjunto do espaço euclidiano Rn e α ∈ R, α ≥ 0.
Definição 3.1. Uma ρ-cobertura de M é uma cobertura enumerável de M
por bolas fechadas Si de diâmetro < ρ.
Seja
lα (M, ρ) = inf
X
(diam Si )α
(1)
i
onde o ínfimo é tomado sobre todas as ρ-coberturas de M . Observe que
quando ρ diminui a classe de coberturas de M admissíveis em (1) é reduzida,
conseqüentemente, o ínfimo, lα (M, ρ), aumenta e aproxima-se de um limite
quando ρ → 0.
Definição 3.2. A medida de Hausdorff α-dimensional do conjunto M ,
lα (M ), é dada por
lα (M ) = lim lα (M, ρ).
ρ→0
Proposição 3.1. São válidas as propriedades de lα (M ):
1. lα (M ) ≤ lα (N ), se M ⊂ N .
¡[
¢ X
lα (Mn )
2. lα
Mn ≤
n
n
36
Demonstração. 1. Note que para M ⊂ N temos
lα (M, ρ) ≤ lα (N, ρ) ⇒ lim lα (M, ρ) ≤ lim lα (N, ρ) ⇒ lα (M ) ≤ lα (N ).
ρ→0
ρ→0
Quanto a 2, dada uma sequência de conjuntos Mn , escolha ρ-coberturas
{Sni } com
X
ε
ε
(diam Sni )α < lα (M, ρ) + n ≤ lα (M ) + n .
2
2
i
Todas as coberturas Sni juntas formam uma ρ-cobertura de
[
Mn com
n
XX
X
¡[
¢ X
(diam Sni )α <
lα (M ) + ε ⇒ lα
Mn ≤
lα (Mn ).
n
n
i
n
n
Como lα (∅) = 0 temos pela proposição acima que lα (M ) é como função
de M uma medida exterior.
Proposição 3.2. Se lα (M ) < ∞, então lβ (M ) = 0 para todo β > α.
Demonstração. Seja {Si } é alguma ρ-cobertura de M para a qual
X
(diam Si )α ≤ lα (M, ρ) + 1 ≤ lα (M ) + 1 = K < ∞,
i
então
lβ (M, ρ) ≤
X
(diam Si )β =
i
X
(diam Si )β−α+α =
i
X
X
(diam Si )α < ρβ−α K.
(diam Si )β−α (diam Si )α ≤ ρβ−α
=
i
i
Daí temos que
lβ (M ) → 0 quando ρ → 0 ⇒ lβ (M ) = 0.
Observação: Se lβ (M ) > 0, então lα (M ) = ∞, para todo α < β
De fato, pela proposição acima, se lα (M ) < ∞, então lβ (M ) = 0.
37
∞
α0
Definição 3.3. Segue da proposição e da observação que existe um valor
crítico de α, no qual lα (M ) "salta"de ∞ para 0. Este valor crítico chamamos
de dimensão de Hausdorff de M, e denotamos por dimH M . Formalmente,
dimH M = sup{α; lα (M ) = ∞} = inf{α; lα (M ) = 0}.
Observamos que
½
lα (M ) =
∞, se dimH M > α
0, se dimH M < α
Proposição 3.3. Valem as seguintes afirmações:
(i) lα (M ) > 0 ⇒ dimH M ≥ α.
(ii) lα (M ) < ∞ ⇒ dimH M ≤ α.
Demonstração. (i)Para β < α, temos lβ (M ) = ∞. Logo,
dimH M = sup{β; lβ (M ) = ∞} ≥ α.
(ii) Para β > α, temos lβ (M ) = 0. Logo,
dimH M = inf{β; lβ (M ) = 0} ≤ α.
Proposição 3.4. Valem as propriedades:
(i) dimH M ≤ dimH N se M ⊂ N .
[
(ii) dimH
Mn = sup dimH Mn .
n
n
38
Demonstração.
(i) Como lα (M ) ≤ lα N temos lα (N ) = 0 ⇒ lα (M ) = 0.
Daí,
dimH M = inf{α; lα (M ) = 0} ≤ inf{α; lα (N ) = 0} = dimH N.
(ii) dimH Mn < α para todo n implica que lα (Mn ) = 0 para todo n.
Sendo lα (∗) sub-aditiva veja proposição 3.1 temos
lα
¡[
[
[
¢
Mn .
Mn = 0 ⇒ dimH
Mn ≤ α ⇒ sup dimH Mn ≥ dimH
n
n
n
n
Por outro lado,
Mn ⊂
[
Mn ⇒ dimH Mn ≤ dimH
[
Mn ⇒ sup dimH Mn ≤ dimH
n
3.3
n
[
Mn .
n
Dimensão no Intervalo Unitário
Em todo o restante deste capítulo, M denotará um subconjunto do
intervalo unitário. Para cada conjunto M , l1 (M ) é uma medida exterior
de M , conseqüentemente l1 (M ) ≤ 1. Portanto,
0 ≤ dimH M ≤ 1.
Se M é um conjunto de Borel com medida de Lebesgue positiva, então
l1 (M ) > 0. Conseqüentemente, dimH M ≥ 1. Logo, dimH M = 1.
Dado um vetor de probabilidade definimos o conjunto M (p0 , ..., pm−1 ) por
M (p0 , ..., pm−1 ) = {w : Ni (w) = pi , i = 0, ..., m − 1}
No final da primeira metade do século passado Eggleston mostrou um
importante resultado sobre dimensão de Hausdorff de conjuntos numéricos,
mais precisamente, ele demonstrou o seguinte Teorema:
m−1
1 X
Teorema 3.1. dimH M (p0 , ..., pm−1 ) = −
pi log pi .
log m i=0
39
De agora em diante nosso objetivo é provar o Teorema (3.1).
Para
isto necessitamos de algumas ferramentas que nos darão suporte para o
cumprimento de nosso objetivo. Para isto começamos definindo um cilindro
no intervalo [0, 1], visto que é nesse intervalo que está concentrado todo o
nosso trabalho.
Definição 3.4. Um cilindro no intervalo [0, 1] é um intervalo da forma
¶
·
j j+1
,
,
v=
mn mn
para algum n = 1, 2, ... e j ∈ {0, 1, ..., mn − 1}.
Denotaremos por un (w) o cilindro que contém o ponto w e está contido
em [0, 1].
No intervalo unitário, bolas são intervalos e diâmetro é comprimento.
Portanto (1) reduz-se a
lα (M, ρ) = inf
X
|vi |α
(2)
i
onde o ínfimo é tomado sobre todas as coberturas de M por intervalos vi
de comprimento |vi | < ρ.
Proposição 3.5. Se definirmos
λα (M ) = inf
X
|vi |α
i
onde o ínfimo é tomado agora sobre todas as coberturas de M por cilindros
de comprimento < ρ. Então
lα (M, ρ) ≤ λα (M, ρ) ≤ 2 m lα (M, ρ).
Segue da proposição que se,
λα (M ) = lim λα (M, ρ),
ρ→0
então
½
λα (M ) =
∞, se dimH M > α
0, se dimH M < α
Conseqüentemente podemos definir dimH M em termos de λα (M ) tão bem
quanto em termos de lα (M ).
40
Demonstração. A desigualdade do lado esquerdo de (3.5) é clara. Vamos
provar a segunda desigualdade para o caso em que m = 2(O caso geral é
feito de forma similar). Começamos provando que dado qualquer intervalo
u, podemos cobri-lo com quatro cilindro de comprimento menor que o
comprimento de u. De fato, escolha dentro de u um cilindro v1 de
¡ ¢n
comprimento máximo, digamos |v1 | = 21 , conseqüentemente u não contém
¡ ¢n−1
. Se v0 e v1 são cilindros de
cilindro de comprimento |v1 | = 12
¡ 1 ¢n
comprimento 2 localizados respectivamente a esquerda e a direita de v1 ,
então um dos intervalos v0 ∪ v1 e v1 ∪ v2 é um cilindro de comprimento
¡ 1 ¢n−1
. Suponha que seja v0 ∪ v1 . Como v0 ∪ v1 não está contido em u,
2
temos que v0 extende-se além do ponto final de u. Se v3 é o cilindro de
¡ ¢n
comprimento 21 próximo de v2 localizado na sua direita, então v2 ∪ v3 é
¡ ¢n−1
e portanto não pode está contido em u.
um cilindro de comprimento 21
Logo, v3 extende-se além do ponto final de u, donde v0 , v1 , v2 , v3 cobrem u e
¡ ¢n
|vi | = 12 ≤ |u|. Daí temos
λα (M, ρ) = inf
X
i
=
4
X
α
|vi | ≤
4
X
¡
inf
X
|vil |α
¢
i
l=1
≤
4
X
¡
inf
X
l=1
¢
|ui |α =
i
lα (M, ρ) = 4 lα (M, ρ) = 2 m lα (M, ρ).
l=1
Logo podemos redefinir dimH M como sendo
dimH M = sup{α; λα (M ) = ∞} = inf{α; λα (M ) = 0}.
Seja µ uma medida de probabilidade em conjuntos de Borel no intervalo
unitário. Ponha
µα (M, ρ) = inf
X
µ(vi )α
(3)
i
onde o ínfimo é tomado sobre todas as coberturas por cilindros vi com
µ(vi ) < ρ.
41
Se µ é a medida de Lebesgue que denotamos por λ, então (3) reduz-se a
(2). Quando
ρ → 0,
µα (M, ρ) → µα (M )
monotonamente. Um cálculo análogo ao que foi feito na seção (3.1) mostra
que µα (M, ρ) é uma medida exterior como função de M e que para M fixado
existe α0 tal que
½
µα (M ) =
∞, se α < α0
0, se α > α0
Esse α0 nós definimos como sendo a dimensão de M com respeito a medida
µ e denotamos por dimµ M . Formalmente,
dimµ M = sup{α; µα (M ) = ∞} = inf{α; µα (M ) = 0}.
Proposição 3.6. Valem as propriedades:
(i) dimµ M ≤ dimµ N se M ⊂ N .
[
(ii) dimµ Mn = sup dimµ Mn .
n
n
Demonstração.
(i) Como µα (M ) ≤ µα N temos µα (N ) = 0 ⇒ µα (M ) = 0. Daí,
dimµ M = inf{α; µα (M ) = 0} ≤ inf{α; µα (N ) = 0} = dimµ N.
(ii) dimµ Mn < α para todo n implica que lα (Mn ) = 0 para todo n. Sendo
µα (∗) sub-aditiva temos
[
[
¡[
¢
µα
Mn = 0 ⇒ dimµ Mn ≤ α ⇒ sup dimµ Mn ≥ dimµ Mn .
n
n
n
n
Por outro lado,
[
[
[
Mn ⊂
Mn ⇒ dimµ Mn ≤ dimµ Mn ⇒ sup dimµ Mn ≤ dimµ Mn .
n
n
n
Observe que dimλ M coincide com dimH M para qualquer M no intervalo
unitário. Além disso temos 0 ≤ dimµ M ≤ 1, mais ainda dimµ M = 0 se M é
enumerável e dimµ M = 1 se M é um conjunto de Borel com µ(M ) > 0.
42
3.4
A prova do resultado de Eggleston
Sejam µ e ν duas medidas de probabilidades no intervalo.
Teorema 3.2. Se
½
¾
log ν(un (w))
M ⊂ w; lim
=δ
n→∞ log µ(un (w))
então
dimµ M = δ dimν M.
Antes de demonstrar o teorema, vamos fazer algumas convenções. Se
0 < ξ, η < 1, então
log ξ
log 1
log 1
=
=
=0
log 0
log η
log 0
log 0
log ξ
log 0
=
=
=∞
log η
log 1
log 1
log 1
log 0
=
=1
log 0
log 1
Demonstração. Fixado ε > 0 definamos os conjuntos Mk por
Mk = {w ∈ M ; δ − ε ≤
log ν(un (w))
≤ δ + ε, para todo n ≥ k}.
log µ(un (w))
Observe que
M=
[
Mk .
k≥1
Seja {vi } uma cobertura qualquer de Mk por cilindros os quais intersectam
Mk , com comprimento suficientimente pequeno. Então qualquer vi possui a
forma vi = un (w) para algum n ≥ k e para algum w ∈ Mk . Logo,
µ(vi )δ−ε ≤ ν(vi ) ≤ µ(vi )δ+ε .
Donde,
X
i
µ(vi )α(δ−ε) ≤
X
ν(vi )α ≤
i
X
i
43
µ(vi )α(δ+ε)
para qualquer cobertura {vi } de Mk por cilindros de tamanho maior que k.
De onde segue
µα(δ−ε) (Mk ) ≤ να (Mk ) ≤ µα(δ+ε) (Mk ).
Logo, por um lado temos
dimν Mk = sup{α; να (Mk ) = ∞} ≤ sup{α; µα(δ+ε) (Mk ) = ∞} =
1
1
α(δ+ε); µα(δ+ε) (Mk ) = ∞} =
sup{α(δ+ε); µα(δ+ε) (Mk ) = ∞} =
δ+ε
δ+ε
1
=
dimµ Mk .
δ+ε
Por outro lado
= sup{
dimν Mk = sup{α; να (Mk ) = ∞} ≥ sup{α; µα(δ−ε) (Mk ) = ∞} =
1
1
α(δ−ε); µα(δ−ε) (Mk ) = ∞} =
sup{α(δ−ε); µα(δ−ε) (Mk ) = ∞} =
δ−ε
δ−ε
1
dimµ Mk .
=
δ−ε
Ou seja,
= sup{
dimµ Mk ≥ (δ + ε) dimν Mk
(4)
dimµ Mk ≤ (δ − ε) dimν Mk
(5)
e
Como dimµ sup Mk ≥ dimµ Mk , temos
k
pela desigualdade (4) que
dimµ sup Mk ≥ (δ + ε) dimν Mk .
k
Logo pelo item (ii) da Proposição (3.6) temos
dimµ M ≥ (δ + ε) dimν Mk .
Daí,
dimµ M ≥ (δ + ε) sup dimν Mk .
k
44
Aplicando outra vez o item (ii) da Proposição (3.6)
dimµ M ≥ (δ + ε) dimν M.
tem-se
dimµ M ≥ (δ + ε) dimν M.
(6)
Por outo lado aplicando o item (i) da Proposição (3.6) a desigualdade (5)
temos
dimµ Mk ≤ (δ − ε) dimν M.
Daí,
sup dimµ Mk ≤ (δ − ε) dimν M.
k
De novo pelo item (ii) da Proposição (3.6) tem-se
dimµ M ≤ (δ − ε) dimν M
(7)
Finalmente, fazendo ε −→ 0 nas desigualdades (6) e (7) temos
dimµ M = δ dimν M.
Agora vamos obter o Teorema (3.1) como aplicação do Teorema (3.2).
Para tanto, vamos construir uma medida ν que se prestará para as estimativas
que desejamos. O procedimento para construção dessa medida será o
seguinte:
Primeiramente consideraremos a medida de Bernoulli τ definida no
conjunto M = {0, 1, . . . , m − 1}N das sequências associada ao vetor de
probabilidade p = (p1 , . . . , pm ). Definamos φ : M → [0, 1] por:
φ((αk )k∈N ) =
∞
X
αi
i=1
45
mi
.
Observe que φ associa a sequência (αk )k∈N o número cujo os dígitos na escrita
em base m são dados pelos αk ´s.
É fácil notar que a aplicação φ é sobrejetora, uma vez que dado x ∈ [0, 1] se
x = 0, α1 α2 α3 . . . então φ((αk )k∈N ) = x. Além disso, φ também é contínua, já
que se as sequências α e β estão próximas, temos que αk = βk para 1 ≤ k ≤ n.
Logo, φ(α) está próximo de φ(β).
Observação 3.1. Seja V o conjunto V ⊂ {0, 1, . . . , m − 1}N das sequências
de dígitos α = (αk )k∈N tais que não existe k com a propriedade de que
αn = m − 1 para todo n > k. Observe que U − V é enumerável e que isso
implica automaticamente que τ (V ) = 1. Deste modo, restrita a V , é fácil
notar que φ é injetora, logo uma bijeção mensurável e sua inversa também é
mensurável.
Seja ν a medida definida como ν = φ∗ (τ ). Observe que da definição de
τ temos que se x = 0, a1 a2 a3 . . . e un (x) ⊂ [0, 1] é o cilindro associado a x,
então:
ν(un(x) ) =
n
Y
paj
j=1
Tomemos
µ=λ e δ=
θ
.
log m
Como
λ(un (w)) = m−n ,
temos
½
M⊂
·
¸
¾
1
w; lim − log ν(un (w)) = θ
n→∞
n
(8)
logo pelo Teorema (3.2)
dimH M = dimλ M =
θ
dimν M.
log m
(9)
Como
ν(un ) =
n
Y
j=1
paj =
m−1
Y
N (w,n)
⇒ log ν(un ) =
pi k
m−1
X
i=0
i=0
46
Nk (w, n) log pi ⇒
m−1
X Nk (w, n)
1
⇒ − log ν(un ) = −
log pi .
n
n
i=0
temos que (8) vale quando
M (p0 , ..., pm−1 ) e θ = −
m−1
X
pi log pi .
i=0
Visto que ν(M (p0 , ..., pm−1 )) > 0 temos ν(M (p0 , ..., pm−1 )) = 1, donde
m−1
1 X
dimH M (p0 , ..., pm−1 ) = −
pi log pi .
log m i=0
47
Capítulo 4
Dimensão de Hausdorff de
Conjuntos Irregulares
4.1
Introdução
No capítulo anterior determinamos a dimensão de Hausdorff do conjunto
dos pontos w ∈ [0, 1] para os quais o limite
1
Nk (w, n)
(1)
n→∞ n
existe. Nosso trabalho agora é estudar algumas propriedades do conjunto
dos pontos w ∈ [0, 1] para os quais o limite em (1) não existe.
Nk (w) = lim
Para cada k ∈ {0, 1, ..., m − 1} definimos o conjunto
½
¾
Nk (w, n)
Nk (w, n)
Mk = x ∈ [0, 1]; lim inf
< lim sup
,
n→∞
n→∞
n
n
onde Nk (w, n) = # {i ∈ {1, ..., n} ; wi = k}
Um clássico resultado de Borel diz que para Lebesgue quase todo w ∈
1
[0, 1], temos Nk (w) = . Daí segue que o conjunto Mk possui medida de
m
Lebesgue zero.
Nosso objetivo é provar a seguinte afirmação:
Teorema 4.1. Para cada k ∈ {0, 1, ..., m − 1} o conjunto Mk contém um
conjunto Gδ denso em [0, 1] e
dimH
m−1
\
Mk = 1.
k=0
48
4.2
Conjuntos Irregulares
Definição 4.1. A dimensão de Hausdorff dimH µ de uma medida µ e definida
por
dimH µ = inf{dimH Z; µ(Z) = 1}.
Observe que se µ = λ é a medida de Lebesgue em [0, 1], então facilmente
temos que dimH λ = 1, já que se λ(Z) > 0 temos que dimH Z = 1. Note que
o conceito definido acima é de certo modo global, não levando em conta a
priori o que acontece numa vizinhança de um ponto. Em [11], encontramos
a definição de dimensão de uma medida em um ponto. Segue esta definição
abaixo:
Definição 4.2. A dimensão da medida µ no ponto x é definida por:
¡
¢
log µ(Br (x))
dµ (x) = lim
,
r→0
log r
(2)
toda vez que o limite acima fizer sentido.
Observação 4.1. Quando o limite acima não existe, definimos a dimensão
superior da medida µ no ponto x como sendo:
¡
¢
log
µ(B
(x))
r
d¯µ (x) = lim sup
.
log r
r→0
Analogamente definimos a dimensão inferior, dµ (x).
Quando dµ (x) existe e é constante para µ-quase todo ponto x, dizemos
que µ é dimensionalmente exata. Porém, não existe razão para que o limite
acima exista em µ-quase todo ponto ponto x. Foi mostrado por Barreira,
Pesin e Schmeling (veja [11]) que se f é um difeomorfismo C 1+α e µ é uma
medida ergódica com todos os expoentes de Lyapounov não-nulos, então µ
é dimensionalmente exata e a dimensão dµ (x) = d é constante em quase
todo ponto x. Isso contempla o caso onde f é um difeomorfismo hiperbólico,
já que neste caso todos os expoentes de Lyapounov de todos os pontos são
diferentes de zero. Neste trabalho, foi mostrado também que no caso de
µ ser dimensionalmente exata, d = dimH µ. Em [11], obtêm-se uma uma
49
estimativa sobre a dimensão de uma medida no intervalo unitário. Para isso,
procedemos do seguinte modo:
Fixe um inteiro positivo m e considere a aplicação gm : [0, 1] →
[0, 1] definida por gm (w) = mw (mod 1). Observe que se 0, w1 w2 w3 ...
é a representação de w ∈ [0, 1] na base m, então gm (w) = 0, w2 w3 ...
Para qualquer medida de probabilidade ergódica em [0, 1] invariante pela
transformação gm , temos
dimH µ =
hµ (gm )
.
log m
Para cada α < α considere o conjunto
¾
½
Nk (w, n)
Nk (w, n)
α,α
Mk = x ∈ [0, 1]; lim inf
= α e lim sup
=α .
n→∞
n→∞
n
n
Note que pelo Teorema ergódico de Birkhoff o conjunto Mkα,α possui medida
zero com respeito a qualquer medida de probabilidade gm -invariante.
Teorema 4.2. Para cada k ∈ {0, 1, ..., m − 1} o conjunto Mk0,1 é residual,
isto é, contém um conjunto Gδ denso em [0, 1].
Demonstração. Escolha l ∈ {0, 1, ..., m − 1} diferente de k. Seja w =
0, w1 w2 w3 ... ∈ [0, 1] e fixe n ∈ N. Considere o conjunto Un (w) dos pontos
y = 0, y1 y2 y3 ... ∈ [0, 1] tal que
wi , se 1 ≤ i ≤ n
k, se n < i ≤ n2
yi =
l, se n2 < i ≤ n3
Observamos que se y ∈ Un (w) então
Nk (y, n2 ) ≥ n2 − n ⇒
e
Nk (y, n2 )
1
≥1−
2
n
n
1
Nk (y, n3 )
≤
3
n
n
3
Note que somente os n primeiros dígitos de y são especificados.
Nk (y, n3 ) ≤ n2 ⇒
50
Afirmação. O conjunto aberto
Vm =
[
[
int Un (w)
n>m w∈[0,1]
é denso em [0, 1].
De fato, seja z ∈ [0, 1] qualquer. Dado ε > 0, escolha n > m tal que
−n
m
< ε e, seja B(z, ε) a bola de centro em z e raio ε. Observe que para essa
escolha de n temos int Un (z) ⊂ B(z, ε). Logo,
int Un (z) ∩ B(z, ε) 6= ∅.
Donde concluímos que
B(z, ε) ∩ Vm 6= ∅
Isto mostra que Vm é denso em [0, 1].
Como
Nk (y, n2 )
1
Nk (y, n3 )
1
≥1−
e
≤
2
3
n
n
n
n
∞
\
temos que o conjunto
Vm é um Gδ , é denso em [0, 1] e está contido em
m=1
Mk0,1 . Isto completa a prova do Teorema.
Dadas funções ϕ, ψ : [0, 1] → R tal que ψ > 0 consideremos o conjunto
n
X
i
ϕ(gm
(x))
i=0
=p ,
Kp (ϕ, ψ) = x ∈ [0, 1]; lim n
n→∞ X
i
ψ(gm (x))
i=0
onde gm é definida por gm (x) = m x (mod 1). Por exemplo, se ϕk =
χ[k/m, (k+1)/m) e ψk = 1 para k = 0, 1, ..., m − 1 então
m−1
\
Kpk (ϕk , ψk ) = M (p0 , ..., pm−1 ).
k=0
51
De fato,
n
X
lim i=0
n
n→∞ X
n
X
i
(x))
ϕ(gm
i
χ[k/m, (k+1)/m) (gm
(x))
= lim i=0
n→∞
i
(x))
ψ(gm
n+1
=
i=0
1
i
(x) ∈ [k/m, (k + 1)/m)}} =
{#{i ∈ {1, ..., n} ; gm
n→∞ n + 1
1
1
= lim
{# {i ∈ {1, ..., n} ; wi = k}} = lim
Nk (x, n + 1) = Nk (x).
n→∞ n + 1
n→∞ n + 1
Assim,
Kpk (ϕk , ψk ) = {x ∈ [0, 1]; Nk (x) = pk }.
= lim
Portanto,
m−1
\
Kpk (ϕk , ψk ) = M (p0 , ..., pm−1 ).
k=0
Definição 4.3. Uma função ϕ : [0, 1] → R é chamada m-Hölder contínua se
é Hölder contínua por partes com um número de descontinuidade finito, no
máximo em potências negativas de m, isto é, o conjunto de descontinuidades
está contido em {1/mk ; k ≥ 1}.
Definição 4.4. Uma família de medidas de probabilidades invariantes
µ1 , ..., µl é uma família distinguida para as seqüências de funções
(f1,n )n , ..., (fd,n )n desde que para i = 1, ..., d existam medidas νi,1 e νi,2 em
{µ1 , ..., µl } e constantes ai,1 6= ai,2 tal que para cada j = 1, 2 e νi,j - quase
todo ponto x,
lim fi,n (x) = ai,j .
n→∞
P
Definição 4.5. Sejam
⊂ {0, 1, ..., m − 1}N um sunconjunto compacto,
P
P
C( ) o espaço das funções contínuas em
e σ o shift. Dizemos que g1 e
P
g2 são coomologas se g1 − g2 = ψ − ψ ◦ σ + c, para algum ψ ∈ C( ) e c ∈ R.
Os dois Lemas seguintes serão úteis na demostração do próximo Teorema.
52
Lema 4.1. Se as medidas de probabilidades gm -invariantes µ1 , ..., µl forem
uma família distinguida para as seqüências de funções m-Hölder contínuas
(f1,n )n , ..., (fd,n )n então
dimH Λ ≥ min{dimH µ1 , ..., dimH µl },
onde
Λ = {x ∈ [0, 1]; lim inf fi,n (x) < lim sup fi,n (x) : i = 1, 2, ..., d}.
n→∞
n→∞
Demonstração. Veja a demostração do Teorema 7.6 em [3].
P
Lema 4.2. Sejam σ| o subshift do tipo finito, ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕm funções Hölder
P
contínuas em , g e u funções estritamente positivas e Hölder contínuas em
P
. Se para cada i = 1, ..., m as funções ϕi é não-coomologa a αi g, onde αi é
o único zero de P (αi g) = P (ϕi ) (P denota a pressão topologica com rspeito
a σ, para definição ver [11] ), então, para qualquer ε > 0 existe medidas
µ1 , µ2 , ..., µm ergódiga σ-invariante tal que:
(1) µ1 , µ2 , ..., µm são medidas totais para o espectrum Du ;
(2) µ1 , µ2 , ..., µm , µu é uma coleção de medidas destinguidas para a
sequência de funções {Sn ϕ1 /Sn g}n∈N , ..., {Sn ϕm /Sn g}n∈N ;
(3) min{dimu µ1 , ..., dimu µm } > dimu
P
−ε.
Demonstração. Veja a demostração do Teorema 7.3 em [3].
Teorema 4.3. Sejam ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕd , ψ1 , ψ2 , ..., ψd funções m-Hölder contínuas
com ψi > 0 para todo i. Nestas condições temos
Ã
!
d [
[
dimH [0, 1] \
Kp (ϕk , ψk ) = 1,
i=1 p∈R
se Kp (ϕk , ψk ) 6= [0, 1] para todo k e para todo p.
53
Demonstração. Considere as seqüências
n
X
fi,n (x) =
j
ϕi (gm
(x))
j=0
n
X
j
ψi (gm
(x))
j=0
para i = 1, ..., d.
Como
Kp (ϕk , ψk ) = {x ∈ [0, 1]; lim fi,n (x) = p}
n→∞
temos
Λ = [0, 1] \
d [
[
Kp (ϕk , ψk ).
i=1 p∈R
Pelo Lema 4.2, para cada i = 1, ..., d e ε > 0 existem medidas de
probabilidade gm -invariante νi,1 e νi,2 satisfazendo
min{dimH νi,1 , dimH νi,2 } > 1 − ε
para cada i, tal que a família {νi,1 , νi,2 ; i = 1, ..., d} é uma família destinguida
de medidas para as seqüências de funções (f1,n )n , ..., (fd,n )n . Isso nos permite
aplicar o Lema 4.1 e concluir que
dimH Λ ≥ min{dimH νi,1 , dimH νi,2 } > 1 − ε.
Como ε foi tomado arbitrariamente temos
dimH Λ = 1,
isto é,
Ã
dimH
[0, 1] \
d [
[
!
Kp (ϕk , ψk )
i=1 p∈R
Agora podemos estabelecer o Teorema 4.1
54
= 1.
Demonstração do Teorema 4.1. A primeira afirmação segue do Teorema
4.2. Tomando ϕk = χ[k/m, (k+1)/m) e ψk = 1 temos Kp (ϕk , ψk ) 6= [0, 1] para
todo i e para todo p, pois
Kp (ϕk , ψk ) = {x ∈ [0, 1]; Nk (x) = p}.
Além disso,
n
X
fi,n (x) =
j
ϕk (gm
(x))
j=0
n
X
=
j
ψk (gm
(x))
Nk (x, n + 1)
,
n+1
j=0
para k = 0, ..., m − 1.
Logo,
m−1
\
Mk = {x ∈ [0, 1]; lim inf fi,n (x) < lim sup fi,n (x) : k = 0, 1, 2, ..., m−1},
k=0
n→∞
n→∞
m−1
\
d [
[
ou seja,
Mk = [0, 1] \
Kp (ϕk , ψk ).
i=1 p∈R
k=0
Portanto, pelo Teorema 4.3 temos
dimH
m−1
\
Mk = 1.
k=0
Isto encerra a demonstração do Teorema 4.1.
55
Referências Bibliográficas
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56
