Dissertação

Dissertacao_Jonathas_Douglas.pdf
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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
MESTRADO EM MATEMÁTICA

JÔNATHAS DOUGLAS SANTOS DE OLIVEIRA

SEMIGRUPOS ANALÍTICOS E DERIVADA FRACIONÁRIA

Maceió
2014

JÔNATHAS DOUGLAS SANTOS DE OLIVEIRA

INTEGRAÇÃO E DERIVAÇÃO FRACIONÁRIA E APLICAÇÕES

Dissertação de mestrado na área de concentração
de Análise apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática da Universidade Federal de
Alagoas, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do grau de mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Júlio César Souza Almeida

Maceió
2014

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Maria Auxiliadora G. da Cunha
O48s

Oliveira, Jônathas Douglas Santos de.
Semigrupos analíticos e derivada fracionária / Jônathas Douglas Santos
de Oliveira. – 2014.
54 f.
Orientador: Júlio César Souza Almeida.
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2014.
Bibliografia: f. 53-54.
1. Cálculo fracionário . 2. Semigrupos analíticos. 3. Equação diferencial de
ordem fracionária. I. Título.
CDU: 514.745.8

AGRADECIMENTOS
Primeiramente quero agradecer a Deus, pois sem ele eu não teria chegado até aqui, ele que
tem me sustentado e dado forças para prosseguir nessa caminhada.
Agradecer também a mulher maravilhosa que Deus colocou em minha vida, minha grande
incentivadora, companheira, que sempre me apoiou e me incentivou a prosseguir com meus
sonhos, por sempre acreditar em mim, pelo apoio, pela amizade pela convivência e pelo amor
e carinho que sempre me dedicou, sempre aturou meus choros e stress durante esse perı́odo,
agradeço a Deus por ter te colocado em minha vida e que quero tê-la para sempre: te amo
Elisama Oliveira.
À meus pais pela força e pela criação e educação que me deram, pelo amor incondicional.
À meu professor orientador Dr. Júlio César, que sempre me deu apoio, desde o perı́odo da
graduação.
À meus amigos de turma, Nayane, Rodrigo, Tiago, Diego, Thiago de Jesus, Vanessa, Alane,
Diego Chicuta, Ana Paula, pelas discussões produtivas, amizade, união e companheirismo. A
nosso amigo Abraão que sempre esteve nos ajudando nas matérias com sua mente brilhante.
Não poderia de citar nosso amigo Joás, esse cara que contribuiu muito para todos nós da
turma, Deus sabe o porquê que o colocou em nossa turma.
À um amigo em especial devo um agradecimento que merece destaque, eu sozinho não teria
conseguido chegar até aqui, como já citei a minha turma foi muito unida e isso fortalece, mas
teve uma pessoa que me ajudou muito e foi minha força aqui no mestrado, meu amigo Tiago
Novello, obrigado pela paciência, incentivo, as várias horas de discussões sempre produtivas,
seja pelo telefone, pessoalmente, as minhas dúvidas que levastes pra casa, e as várias horas que
dispusesses a me ajudar, continue sempre sendo essa pessoa incrı́vel e com esse jeito humilde
ajudou a muitos aqui dentro, vou levar isso para o resto de minha vida e boa parte da minha
formação eu devo a você, aprendi muita matemática com você.
À todos meus professores pelos ensinamentos.
À todos meus amigos que direta ou indiretamente contribuı́ram para que eu pudesse chegar
aqui.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior (CAPES), pela bolsa de
mestrado.

RESUMO
Um Semigrupo Analı́tico é uma extensão de um Semigrupo Fortemente Contı́nuio de Operadores Limitados em um setor do plano complexo. Se um operador linear fechado e densamente
definido é o gerador de um Grupo Fortemente Contı́nuio de Operadores Limitados, então o
quadrado desse operador é o gerador de um Semigrupo Analı́tico de ângulo medindo a metade
de π. Isso é uma condição suficiente para garantir a equivalência entre uma especı́fica equação
diferencial parcial de ordem inteira e uma equação diferencial de ordem fracionária.

Palavras-chave: Cálculo Fracionário, Semigrupos Analı́tico, Equação Diferencial de Ordem Fracionária.

ABSTRACT
An Analytic Semigroup is an extension of a Strongly Continuos Semigroup of Limited Operators
in a sector of the complex plane. If a linear operator closed and densely defined is the generator
of a strongly Continuos Group of Operators Limited, then the square of this operator is the
generator of an analytical semigroup of angle measuring π2 . This is sufficient to ensure the
equivalence of a specific partial differential equation of integer order and fractional order
differential equation condition.
Keywords: Fractional Calculus, Analytic Semigroups, Differential Equation of Fractional
Order

Sumário
INTRODUÇÃO

7

1 INTEGRAÇÃO EM ESPAÇOS DE BANACH

9

1.2

A TRANSFORMADA DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 A DERIVADA E A INTEGRAL DE ORDEM FRACIONÁRIA
2.1

2.2

14

MOTIVAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.1

FUNÇÃO GAMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.2

FUNÇÃO BETA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

A INTEGRAL E A DERIVADA DE RIEMMAN-LOUVILLE . . . .

18

2.2.1
2.3

13

PROPRIEDADES DA INTEGRAL E DERIVADA FRACIONÁRIA 21

APLICAÇÃO DE DERIVADA FRACIONÁRIA . . . . . . . . . . . . .

24

2.3.1

25

O PROBLEMA DA TAUTÓCRONA . . . . . . . . . . . . . . . .

3 TÓPICOS DE ANÁLISE COMPLEXA

27

4 SEMIGRUPOS

30

4.1

SEMIGRUPOS FORTEMENTE CONTÍNUO DE OPERADORES
LIMITADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

4.2

SEMIGRUPOS ANALÍTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.3

GRUPOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5 RESULTADOS PRINCIPAIS

46

5.1

EQUIVALÊNCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.2

UMA APLICAÇÃO DO CÁLCULO FRACIONÁRIO NA FÍSICA .

50

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

52

7

8

INTRODUÇÃO

No estudo da Mecâncica dos Fluı́dos a equação do momento é dada por
∂F (y, t)
∂ 2 F (y, t)
−v
=0
∂t
∂y 2

(1)

Onde F (y, t) é, por exemplo, a velocidade do fluido no caso em que a pressão é desprezada,
t é o tempo, v é a viscosidade, e y é a coordenada normal a placa e com origem no plano.
Fazendo uma mudança de variáveis adequadas chegaremos que a equação (1) é equivalente a
1

DC2 F (y, t) = Ay F (y, t)

(2)

2

∂
Onde A2y = ∂y
2.

Durante toda a dissertação desenvolvemos uma Teoria para a demonstração do seguinte
resultado: Seja X um espaço de Banach e A um operador linear fechado em X. Suponha que
Σ π2 ⊂ ρ(A2 ). Para f ∈ D(A), então os dois problemas abaixo são equivalentes

 v 0 (t) = A2 v(t) + √1 Af t > 0
πt

v(0) = f

(3)


 D1/2 u(t) = Au(t) t > 0
C

u(0) = f

(4)

e

Feito isso encontraremos a solução do problema descrito em 5.30 e com isso teremos uma
solução para Equação do Momento.
A dissertação aqui apresentada está estruturada da seguinte maneira. O capı́tulo 1 é
dedicado a definição e algumas propriedades da Integração em espaços de Banach, esse capı́tulo
será utilizado no desenvolvimento da teoria do capı́tulo 4.
O Capı́tulo 2 será dedicado a teoria do Cálculo fracionário. O Cálculo Fracionário surgiu
n

d y
com a notação da derivada dx
n criada por Leibniz em uma carta do Marquês de L’Hôspital

9
”Sua notação... caro amigo Leibniz, para derivadas agradou-me muito, porém tenho uma
dúvida. Qual é a interpretação matemática quando n for 1/2, 1/3, 2/5, etc.”
A resposta de Leibniz a L’Hôspital é a seguinte:
”...Sua pergunta é um paradoxo. No entanto, estou certo de que, mais dias, menos dias,
alguém encontrará um interpretação e consequentemente aplicará às derivadas fracionárias!...”
Brilhantes matemáticos, tais como Euler, Lagrange, Laplace, Fourier, Abel, Heaviside,
Liouville, entre outros, estudaram o assunto levando às primeiras definições de derivadas e
integrais de ordens não-inteiras e que no final do século XIX, devido as definições propostas
por Riemann e Liouville, pareciam estar completas.
Nesse Capı́tulo, definiremos a Integral e Derivada Fracionária de Riemann-Liouville e da
Derivada de Caputo, além disso apresentaremos algumas propriedades dessas.
No Capı́tulo 3 serão apresentados, sem muitos detalhes, algumas definições e resultados
clássicos da Análise Complexa, o desenvolvimento desse Capı́tulo servirá de base para o estudo
de Semigrupos Analı́ticos .
O Capı́tulo 4 trata do desenvolvemente de fragmentos da Teoria de Semigrupos. Esse
Capı́tulo é o mais importante do trabalho, pois é a ferramente mais importante para a
demonstrações dos resultados principais. Na primeira parte definiremos o que vem a ser
Semigrupos de Operadores Lineares Limitados; na segunda parte, no intuito de estender a
noção de Semigrupos para o plano complexo, na verdade para um setor desse plano, definiremos
Semigrupos Analı́ticos e apresentaremos alguns resultados que nós garantirá que se um Operador
Linear A gera um Grupo, então A2 gera um Semigrupo Analı́tico. Esse resultado é a ferramenta
usada para a construção de uma solução do problema 3.
Por fim, no Capı́tulo 5, mostraremos a equivalência entre os problemas 3 e 4 e construiremos
uma solução para (3). Para concluir estudaremos a Equação do Momento descrita em 1,
utilizando a teoria de Semigrupos e Derivada Fracionária.

10

1 INTEGRAÇÃO EM ESPAÇOS DE BANACH
Nesse Capı́tulo introduziremos o conceito de integração em espaços de Banach, para maiores
detalhes sobre os conceitos e resultados ver Capı́tulo 1 de [1].
Seja X um espaço de Banach e I um intervalo em R. Uma função f : I 7→ X é dita simples
P
se f (t) = nr=1 xr XΩr , para algum n ∈ N∗ , onde Ωr ⊂ I é mensurável a Lebesgue, com medida
finita m(Ω) e XΩ denota a função caracterı́stica de Ω. Note que na representação de f sempre
podemos rearranjar os Ωr de modo que fiquem disjuntos.
Uma função f : I 7→ X é dita mensurável se existe uma sequência de funções simples tais
que gn (t) → f (t) q.t.p, t ∈ I.
P
Para uma função simples g : I 7→ X, g = nr=1 xr XΩr vamos definir:
Z
n
X
g(t)dt :=
xi m(Ωi )
I

(1.5)

i=1

A definição acima independe da representação de g e a integral assim definida é linear.
Uma função f : I 7→ X é dita integrável a Bochner
se existe uma sequência de funções
Z
simples gn : I → X tal que gn (t) → f (t) q.t.p e lim

n→∞

kf (t) − gn (t)kdt = 0. Se f é integrável
I

a Bochner, então a integral de f em I é:
Z
Z
f (t)dt := lim
gn (t)dt.
I

n→∞

(1.6)

I

Esse limite existe e independe da sequência gn .
Algumas propriedades que valem para integral no espaço euclidiano valem também para
integral de Bochner, provemos alguns desses.
Proposição 1.1.1. Se f : I → X é mensurável, então kf k : I → R é mensurável.
Demonstração. Sendo f mensurável, então existe uma sequência de funções simples gn (t) =
Pkn
i=1 xin XΩin (podemos supor Ωi,n disjuntos) tais que gn (t) → f (t) q.t.p, t ∈ I. Como, para
t ∈ I a sequência gn (t) converge para f (t) em q.t.p, então kgn (t)k → kf (t)k q.t.p, pois:
|kgn (t)k − kf (t)k| ≤ kgn (t) − f (t)k

11
Além disso, kgn (t)k é uma função simples, pois:
kgn (t)k =

kn
X

xin XΩin (t) = kxin XΩin (t)k = kxi k =

kn
X

i=1

kxin kXΩin (t),

i=1

onde a segunda igualdade segue do fato de que se x ∈ Ωkn , então x ∈
/ Ωjn , para k =
6 j, visto
que estamos supondo os conjuntos disjuntos.
Com isso temos que a função kgn (t)k é uma função simples tal que kgn (t)k → kf (t)k q.t.p,
isso nos diz que kf k é mensurável.
Teorema 1.1.1. (Bochner) A função f : I → X é integrável a Bochner ⇐⇒ f é mensurável
e kf k é integrável. Além disso, se f é integrável então:
Z
Z
f (t)dt ≤ kf (t)kdt
I

I

Demonstração. Se f é integrável a Bochner então existe uma sequência de funções simples
R
tal que gn → f (t) q.t.p e I kgn (t) − f (t)kdt → 0. Pela Proposição 1.1.1 temos que kf k é
mensurável e que kgn (t)k é uma função simples tal que kgn (t)k → kf (t)k q.t.p. Note que:
Z
Z
|kgn (t)k − kf (t)k|dt ≤ kgn (t) − f (t)kdt
I

Logo,

R
I

I

|kgn (t)k − kf (t)k|dt → 0, e com isso, kf k é integrável.

Além disso,
Z

Z
gn (t)dt ≤ lim

f (t)dt = lim
I

n→∞

Z
n→∞

I

Z
kgn (t)kdt =

I

kf (t)kdt
I

Por outro lado, suponha que f seja mensurável e kf k é integrável. Sendo f mensurável
então existe uma sequência de funções simples tal que hn (t) → f (t) pontualmente em I − Ω0 ,
(t)−f (t)k
com m(Ω0 ) = 0. Seja t ∈ I − Ω0 tal que f (t) 6= 0; então khnkf
≤ ε para n ≥ n0 ∈ N. Com
(t)k

isso,
khn (t)k − kf (t)k ≤ εkf (t)k.
Defina
gn (t) =


 h (t) se kh (t)k ≤ (1 + ε)kf (t)k.
n

n

 0 se kh (t)k > (1 + ε)kf (t)k.
n

Se t ∈ I − Ω0 e f (t) 6= 0, então para n ≥ n0
kgn (t) − f (t)k = khn (t) − f (t)k
o que nos diz que kgn (t) − f (t)k → 0 pontualmente em q.t.p .

12
Por outro lado, kgn (t)k ≤ (1 + ε)kf (t)k =⇒
kgn (t) − f (t)k ≤ kgn (t)k + kf (t)k ≤ (2 + ε)||f (t)||
O resultado segue do Teorema da Convergência Dominada, usando o fato que kf k é
integrável.
Proposição 1.1.2. Seja T : X → Y um operador linear limitado entre espaços de Banach X e

R
Y e f : I → X integrável a Bochner. Então T (f (t)) é integrável a Bochner e T I f (t)dt dt =
R
T (f (t))dt
I
Demonstração. Sendo f integrável a Bochner, então existe uma sequência de funções simples
R
R
R
gn → f q.t.p, I kgn (t) − f (t)kdt → 0 e I f (t)dt = limn→∞ I gn (t)dt. Sendo gn simples, temos
que
Z
gn (t)dt =
I

kn
X

xin m(Ωin )

i=1

Então, usando a continuidade de T
Z



Z
T
f (t)dt dt = T lim
gn (t)dt
n→∞

I

= T

=

=

lim

n→∞
kn
X

lim

n→∞

lim

i=1
kn
X

n→∞

I
k
n
X

!
xin m(Ωin )

i=1

T (xin m(Ωin ))
T (xin )m(Ωin )

i=1

Por outro lado, sendo T limitado, temos que T (f (t)) é integrável, pois
Z
Z
kT (f (t)) − T (gn )(t)k ≤ kT k k(f (t)) − (gn (t)k → 0
I

I

Logo,
Z

Z
T (f (t))dt =

I

=

lim

n→∞

lim

n→∞

T (gn (t))
I
k
n
X

T (xin )m(Ωin )

i=1

O próximo resultado é uma generalização da proposição anterior.

13
Proposição 1.1.3. Seja A um operador linear fechado em X e f : I → X integrável a
Bochner. Suponha que f (t) ∈ D(A) para todo ∀t ∈ I e A(f ) : I → X integrável a Bochner.
R
R
R
Então I f (t)dt ∈ D(A) e A I f (t)dt = I A(f (t))dt.
Demonstração. Considere o espaço de Banach X × X com a norma k(x, y)k = kxk + kyk. Se
denotamos por G(A) o gráfico do operador A, temos que G(A) é um subespaço fechado de
X × X. Defina g : I → G(A) ⊂ X × X por g(t) := (f (t), A(f (t))). Portanto, g é mensurável
(pois cada uma de suas coordenadas o são) e, como f e A(f (t)) são integráveis a Bochner,
temos
Z

Z

Z

kg(t)kdt =
I

kf (t)kdt +

kA(f (t))kdt < ∞

I

I

Logo g é integrável a Bochner. Considere agora os operadores projeções, que são operadores
limitados, Pi : X × X → X definidos por Pi (x1 , x2 ) = xi , para i = 1, 2. Da Proposição 1.1.2,
obtemos
 Z

Z

g(t)dt =
P1
g(t)dt , P2
g(t)dt
I
I
I
Z

Z
=
P1 (g(t))dt, P2 (g(t))dt
I
ZI

Z
=
f (t)dt, A(f (t))dt

Z

I

I

R

Além disso, I g(t)dt ∈ G(A) pois é limite de pontos de G(A). Portanto,
R
R
A I f (t)dt = I A(F (t))dt.

1.2

R
I

f (t)dt ∈ D(A) e

A TRANSFORMADA DE LAPLACE

Nessa seção definiremos a transformada de Laplace e estabeleceremos condições para
existência de tal. Para isso, em toda seção considere X um espaço de Banach, λ ∈ C e
f ∈ L1loc (R+ , X) := {f : R+ → X : f é integrável a Bochner em [0, T ] e T > 0}
Definição 1.2.1. (Transformada de Laplace) Seja f ∈ L1loc (R+ , X), então a transformada de
Laplace de f é definida por
F(λ) = L{f }(λ) :=

Z ∞
e

−λt

Z τ
f (t)dt := lim

0

τ →∞

e−λt f (t)dt

(1.7)

0

Definição 1.2.2. (Função exponencialmente limitada) Uma função f : I → X é dita exponencialmente limitada se existem M, ω ≥ 0 tais que

14
kf (t)k ≤ M eωt , ∀t ∈ I.
A pergunta que surge é: Quando é que a integral de Laplace existe para uma função
exponencialmente limitada? Ora, sabemos que f é integrável se, e somente se, kf k é integrável,
então
Z ∞

−λt

ke

Z ∞
f (t)kdt ≤

0

ke

−λt

Z ∞

ωt

kM e dt = M

0

Z0 ∞
= M

ke(−Reλ)t+(−imλ)t keωt dt
ke(−Reλ)t kke(−imλ)t keωt dt

Z0 ∞

e(−Reλ)t eωt dt
0
Z τ
= M lim
e(−Reλ+ω)t dt
= M

τ →∞

0

Tal limite existe ⇔ −Reλ + ω < 0, isto é, Reλ > ω. Com isso provamos o seguinte resultado:
Proposição 1.2.1. Se Reλ > ω, então a integral de Laplace de uma função exponencialmente
limitada existe.
Em certas condições podemos inverter a transformada de Laplace, para isso, seja f ∈
L1loc (R+ , X) então definimos
abs(f ) = inf{Reλ : L{f }(λ) existe}
Assim, é possı́vel mostrar o seguinte resultado:
Teorema 1.2.1. Seja f, g ∈ L1loc (R+ , X), com abs(f ) < ∞, abs(g) < ∞ e seja λ0 >
max(abs(f ), abs(g)). Suponha que L{f }(λ) = L{g}(λ) ∀λ > λ0 . Então f (t) = g(t)q.t.p
Demonstração. Veja a demonstração no Teorema 1.7.3 de [1]

15

2 A DERIVADA E A INTEGRAL DE ORDEM FRACIONÁRIA
Este capı́tulo apresenta as definições da integral fracionária de Riemann-Louville e da
derivada de ordem fracionária de Riemann-Louville e de Caputo, além de mostrar algumas
propriedades e resultados importantes relacionados a esses operadores e que serão ultilizados
posteriormente.

2.1

MOTIVAÇÃO

O principal objetivo do cálculo fracionário é ampliar a idéia de integração e derivação de
ordem natural e manter, num sentido mais geral a relação entre os operadores diferencial e
operadores integrais dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Para tanto, façamos algumas
definições e resultados, afim de obter uma motivação para a definição de derivada e integral
fracionária.
Definição 2.1.1. Denotemos por D o operador que associa a cada função diferenciável a sua
derivada, isto é
Df (x) := f 0 (x).
Definição 2.1.2. Denotemos por Ia o operador que corresponde uma função f , assumindo ser
integrável á Riemann no intervalo compacto [a, b], a sua primitiva centrada em a, isto é
Z x
Ia f :=
f (t)dt,
a

para a ≤ x ≤ b.
Definição 2.1.3. Para α ∈ N, usaremos o sı́mbolo Dα e Iaα para denotar a iteração de D e
Ia , respectivamente, isto é
D1 := D e Ia1 := Ia
e

16
Dα := DDα−1 e Iaα := Ia Iaα−1 , α ≥ 2.
Portanto, com essas notações, o Teorema Fundamental do Cálculo pode ser reescrito como
DIa f = f,
o que implica
Dα Iaα f = f.
Logo, Dα é a inversa á esquerda de Iaα , num espaço adequado de funções. O que queremos
agora é estender num certo sentido a definição 2.1.3, para α ∈ R.
Antes de definirmos os operadores Dα e Iaα para α ∈ R, façamos alguns resultados válidos
para α ∈ N.
Lema 2.1.1. Seja f uma função integrável á Riemann em [a, b]. Então para a ≤ x ≤ b e
α ∈ N, temos
Iaα f (x) =

1
(α − 1)!

Z x

(x − t)α−1 f (t)dt.

a

Demonstração. A prova será feita por indução. Para α = 1, obtém-se da própria definição que
Z x
Z
1 x
Ia f (x) =
f (t)dt =
(x − t)1−1 f (t)dt
0!
a
a
Desse modo a afirmação válida para α = 1, suponhamos que a afirmação seja válida para
α = k ∈ N. Então para α = k + 1 teremos que:
Iak+1 f (x) = Ia Iak f (x)
Z x
=
Iak f (t)dt
Za x
Z t
1
=
(t − y)k−1 f (y)dydt
a (k − 1)! a
Z x
Z x
1
=
f (y)
(t − y)k−1 dtdy
(k − 1)! a
t
Z x
1
(x − y)k
=
f (y)
dy
(k − 1)! a
k
Z
1 x
(x − y)k f (y)dy
=
k! a
Portanto, a afirmação é válida para α = k + 1. Por indução, a expressão é válida para todo
α ∈ N.
O Lema a seguir é uma consequência do Teorema Fundamental do Cálculo.

17
Lema 2.1.2. Sejam m, α ∈ N tais que m > α. Seja f uma função contı́nua com m-ésima
derivada no intervalo [a, b]. Então,
Dα f = Dm I m−α f.

2.1.1

FUNÇÃO GAMA

Existe uma função que generaliza a noção de fatorial para α ∈ N. A essa generalização,
definida a seguir, e é chamada de Fução Gama.
Definição 2.1.4. A função Gama é a função Γ : R − {0, −1, −2, ...} → R, definida por
Z ∞
Γ(t) =

e−s st−1 ds.

(2.8)

0

Note que a Função Gama tem a propriedade de que se t > 0, então Γ(t + 1) = tΓ(t). De
fato, usando integração por partes temos:
Z ∞
Z a
−s t
Γ(t + 1) =
e s ds = lim
e−s st ds
a→∞ 0
0


Z a
t −s a
−s t−1
= lim −s e |0 + t
e s ds
a→∞

0

= tΓ(t)
Além disso, note que
Z ∞
Γ(1) =

e−s s0 ds

Z0 ∞
=
=
=
=
Com isso, temos o seguinte resultado
Corolário 2.1.1. Γ(n + 1) = n!

e−s ds
0
Z b
lim
e−s ds

b→∞

0

lim −e−s |b0

b→∞

lim −e−s + e0 = 1

b→∞

18
Demonstração. Pelas observações feitas anteriormente
Γ(0 + 1) = Γ(1) = 1
Γ(1 + 1) = Γ(2) = 1Γ(1)
Γ(2 + 1) = Γ(3) = 2Γ(2)
Γ(3 + 1) = Γ(4) = 3Γ(3)
..
.
Γ(n + 1) = Γ(n + 1) = nΓ(n)
Multiplicando todos os termos membro a membro
Γ(1)Γ(2)Γ(3) · · · Γ(n + 1) = 1Γ(1)2Γ(2)3Γ(3) · · · nΓ(n)
Γ(n + 1) = 1 · 2 · 3 · · · n = n!

2.1.2

FUNÇÃO BETA

Em certos casos, é mais adequado o uso da função chamada Beta, no lugar de certas
combinações de valores da função Gama.
Definição 2.1.5. A função Beta é a função B : R+ × R+ → R, definida por
Z 1
B(x, y) =

sx−1 (1 − s)y−1 ds, x > 0, y > 0.

(2.9)

0

Se x > 0 e y > 0 temos as seguinte relação:
B(x, y) =

2.2

Γ(x)Γ(y)
.
Γ(x + y)

A INTEGRAL E A DERIVADA DE RIEMMAN-LOUVILLE

Nessa seção usaremos a notação I α e Dα para denotar a integral e a derivada fracionária
de Riemman-Louville.
Definição 2.2.1. Sejam f ∈ L1 [a, b]. A integral fracionária de ordem α da função f é denotada
por I α e é definida por
1
I f (x) =
Γ(α)
α

Z x
a

(x − t)α−1 f (t)dt.

(2.10)

19
para α pertencente ao intervalo (0, ∞). Para α = 0, definimos I 0 := I, onde I representa o
operador identidade.
Observemos que a definição acima é uma generalização do Lema 2.1.1, isto é, quando α ∈ N
a definição acima coincide com a α-ésima integral. Além disso, note que no caso α ≥ 1 a
integral I α existe para todo x ∈ [a, b], visto que o integrando é o produto de uma função
contı́nua (x − t)α−1 por uma função integrável f . O caso 0 < α < 1 é justificado do Lema
abaixo e segue da Desigualdade de Young para convolução.
Lema 2.2.1. Sejam f ∈ L1 [a, b] e α > 0. Então, a integral I α f (x) existe para quase todo
ponto x ∈ [a, b]. Além disso, a função I α pertence a L1 [a, b].
Demonstração. Note que
Z x
Z ∞
α−1
(x − t) f (t)dt =
φ1 (x − t)φ2 (t)dt = (φ1 ∗ φ2 )(t)
−∞

a

onde
φ1 (u) =


 uα−1 , para 0 < u ≤ b − a


e
φ2 (u) =


 f (u), para a < u ≤ b


(2.11)

0, c.c.

(2.12)

0, c.c.

observe que, por construção, φj ∈ L1 (R) para j ∈ {1, 2}. Portanto segue da Desigualdade de
Young para convolução que I α f existe em quase todo ponto e I α f ∈ L1 [a, b].
Para ilustrar a definição acima, encontremos a integral fracionária de ordem α da função
t−a
f (x) = (x − a)µ , para µ > −1. Usando a definição e fazendo a mudança de variáveis s = x−a
,

chegmos que:
α

I f (x) =
=
=
=
=

Z x
1
(x − t)α−1 (t − a)µ dt
Γ(α) a
Z 1
1
[(1 − s)(x − a)]α−1 [s(x − a)]µ (x − a)ds
Γ(α) 0
Z
(x − a)α+µ 1
(1 − s)α−1 sµ ds
Γ(α)
0
B(α, µ + 1)
(x − a)α+µ
Γ(α)
Γ(µ + 1)
(x − a)α+µ
Γ(α + µ + 1)

20
Definição 2.2.2. Sejam α ∈ R+ e [α] = n o menor inteiro maior que α . A derivada
fracionária do tipo Riemman-Louville e de ordem α da função f é denotada por Dα e é definida
por
1
D f (x) =
Dn
Γ(n − α)
α

Z x

(x − t)n−α−1 f (t)dt, α > 0,

(2.13)

a

onde I n−α f (x) ∈ C n [a, b] e Dn representa a derivada inteira de ordem n com relação a variável
x.
Note que a a expressão acima pode ser reescrita como:
Dα f (x) = Dn [I n−α f (x)], α > 0.

(2.14)

Além disso, a derivada fracionária para casos inteiros coincide com a derivada usual ou
clássica, pois se α = n, então [n] = n + 1, com isso:

α

D f (x) =
=
=
=

Z x
1
n+1
(x − t)n+1−n−1 f (t)dt.
D
Γ(n + 1 − n)
a
Z x
1
Dn+1
f (t)dt.
Γ(1)
a
Z x
n+1
D
f (t)dt.
a

Z x
n
f (t)dt
D D
a

= Dn f (t),
Onde a última igualdade decorre do Teorema Fundamental do Cálculo.
Já vimos anteriormente que para a = 0, temos que
I α xµ =

Γ(µ + 1)
xα+µ
Γ(α + µ + 1)

Então,
Dα xµ = Dn I n−α xµ
Γ(µ + 1)
=
Dn xn−α+µ
Γ(n − α + µ + 1)
Γ(µ + 1)
=
xµ−α
Γ(µ − α + 1)
Com a mesma notação das seções anteriores, definimos a derivada de Caputo, e denotaremos
por DCα , como:
DCα = I n−α (Dn f (x)) =

1
Γ(n − α)

Z x
a

(x − t)n−α−1 f n (t)dt.

(2.15)

21
com n − 1 < α < n e f n (t) ∈ C n [a, b].

Veremos nos próximos capı́tulos a relação da derivada de Caputo com a de RiemmanLiouville.

2.2.1

PROPRIEDADES DA INTEGRAL E DERIVADA FRACIONÁRIA

Definição 2.2.3. Seja X um espaço de Banach e f, g : [0, ∞] → X. A convolução entre duas
funções f, g, as quais são iguais a 0 para x < 0, é definida por
Z x
Z x
(f ∗ g)(x) =
f (x − y)g(y)dy =
f (y)g(x − y)dx.
0

(2.16)

0

desde que esta expressão faça sentido, por exemplo, se f e g são integráveis.
No restante do texto consideramos funções de forma que a convolução tenha sentido, caso
não seja mencionado.
Segue da definição que a convolução é associativa e comutativa.
Proposição 2.2.1. (Transformada de Laplace da convolução)Sejam f, g : [0, ∞] → X funções
tais que a transformada de Laplace existe. Então
L{f ∗ g} = L{f } · L{g}
Demonstração. Usando a definição de transformada de Laplace, Teorema de Fubini e a mudança
de variáveis x = t − y
L{f ∗ g}(λ) =
=
=
=
=

Z ∞

e−λt f ∗ g(t)dt
Z0 ∞
Z ∞
−λt
e
f (t − y)g(y)dydt
0
0
Z ∞

Z ∞
−λt
g(y)
f (t − y)e dt dy
0
0
Z ∞

Z ∞
−λ(x+y)
g(y)
f (x)e
dx dy
0
0
Z ∞
Z ∞
−λy
g(y)e dy
f (x)e−λx dx
0

0

= L{f }(λ) · L{g}(λ)

22
α−1

Consideremos agora, a função Φα (t) = tΓ(α) definida para todo t > 0. Fazendo a convolução
com a função f obtemos :
Z t
(Φα ∗ f )(t) =

Φα (t − s)f (s)ds
0

Z t

(t − s)α−1
f (s)ds
Γ(α)
0
Z t
1
=
(t − s)α−1 f (s)ds
Γ(α) 0
= I α f (t)
=

Teorema 2.2.1. Se α, β ≥ 0, temos que I α I β = I α+β . Em particular, vale a propriedade
comutativa I α I β = I β I α .
Demonstração. Por definição temos
α

Z x
1
(x − t)α−1 I β f (t)dt
Γ(α) a

Z t
Z x
1
β−1
α−1
(t − u) f (u)du dt
=
(x − t)
Γ(α)Γ(β) a
a
Z xZ t
1
=
(x − t)α−1 (t − u)β−1 f (u)dudt
Γ(α)Γ(β) a a



I I β f (x) =

t−u
usando o Teorema de Fubini e fazendo a mudança de variável s = x−u
chegamos que
Z xZ x
 β

1
α
(x − t)α−1 (t − u)β−1 f (u)dtdu
I I f (x) =
Γ(α)Γ(β) a u
Z x
Z 1
1
α+β−1
(1 − s)α−1 sβ−1 ds
=
f (u)(x − u)
du
Γ(α)Γ(β) a
0
Z x
B(α, β
=
f (u)(x − u)α+β−1 du
Γ(α)Γ(β) a
Z x
1
=
f (u)(x − u)α+β−1 du
Γ(α + β) a
= I α+β f (x).

Teorema 2.2.2. Dα I α = I, onde I é o Operador Identidade.
Demonstração. De fato, pois Dα I α f (t) = Dn I n−α I α f (t) = Dn I n f (t) = f (t)

A Penúltima igualdade decorre da lei dos expoentes e a última, do Teorema fundamental
do cálculo.

23
Terminamos essa seção apresentando alguns resultados que relacionam derivada e integral
fracionária com a transformada de Laplace.
Lema 2.2.2. A transformada de Laplace da integral fracionária satisfaz L{I α f }(λ) = λ−α L{f }(λ).
α−1

Demonstração. Considere a função Φα (t) = tΓ(α) , definida anteriormente.
L{Φα }(λ) =
=
=
=
=

Z ∞

tα−1 −λt
e dt
Γ(α)
0
Z ∞
1
tα−1 e−λt dt
Γ(α) 0


Z λb
α−1
1
du
−u u
lim
e
b→∞
Γ(α) 0
λα−1 λ


Z λb
1
−u α−1
e u du
lim
b→∞
Γ(α)λα 0
Γ(α)
= λ−α
Γ(α)λα

Por outro lado, usando a propriedade da transformada de Laplace do produto convolução
L{I α (f )}(λ) = L{Φ(α) }(λ) ∗ f (t)
= L{Φ(α) }(λ) · L{f }(λ)
= λ−α L{f }(λ).

Lema 2.2.3. (Transformada de Laplace da derivada)
0

Sejam f e f integráveis em [0, b], para todo b > 0 . se f for de ordem exponencial, então
0

existe a transformada de Laplace e vale L{f }(λ) = λL{f }(λ) − f (0).
0

No caso geral se f, f , ..., f m são integráveis em [0, b], para todo b > 0, e f for de ordem
P
(k)
exponencial, então existe L{f m }(λ) = λm L{f }(λ) − m−1
(0)λm−1−k
k=0 f
Para provar a primeira igualdade usaremos a definição, fazendo uma integração por partes
Demonstração.
L{f }(λ) =
0

Z ∞

e−λt f 0 (t)dt
0
Z b

−λt 0
= lim
e f (t)dt
b→∞
0


Z b
−λt
b
−λt
= lim e f (t)|0 + λ
e f (t)dt
b→∞

= λL{f }(λ) − f (0).

0

24
Para provamos o caso geral, usamos indução sobre m, isto é, suponhamos que a afirmação seja
válida para m = n, e vamos mostrar que a afirmação vale para m = n + 1. De fato:
L{f n+1 }(λ) = L{(f n )0 }(λ) = λL{f n }(λ) − f n (0) (pelo caso anterior)
"
#
n−1
X
= λ λn L{f }(λ) −
f (k) (0)λn−1−k − f n (0)
k=0
n−1
X

= λn+1 L{f }(λ) − λ

f (k) (0)λn−1−k − f n (0)

k=0

= λn+1 L{f }(λ) −

n
X

f (k) (0)λn−k

k=0

Com isso, a afirmação é válida para m = n + 1 e por indução provamos o desejado.
Teorema 2.2.3. A transformada de Laplace da derivada de Caputo de ordem α é dada por:
L{DCα f }(λ) = λα L{f }(λ) −

m−1
X

f k (0)λα−k−1

(2.17)

k=0

Demonstração. A demonstração segue da definição e dos lemas 2.2.2 e 2.2.3, usados na segunda
e terceira igualdade, respectivamente.
L{DCα f }(λ) = L{I m−α [Dm f ]}(λ) = λ−m+α L{Dm f }(λ)
!
m−1
X
(k)
m−1−k
−m+α
m
= λ
λ L{f }(λ) −
f (0)λ
= λα L{f }(λ) −

λ−m+α

k=0
m−1
X

!
f (k) (0)λm−1−k

k=0

= λα L{f }(λ) −

m−1
X

f (k) (0)λα−1−k

k=0

2.3

APLICAÇÃO DE DERIVADA FRACIONÁRIA

O nosso problema é determinar a curva na qual o tempo gasto por um objeto para deslizar,
sem atrito, em gravidade uniforme até seu ponto de mı́nimo é independente de seu ponto de
partida. Em outras palavras queremos determinar a forma de uma curva, sem atrito, no plano
vertical tal que um objeto posto na curva, escorregue para o ponto mais baixo no mesmo tempo
τ , independente de onde o objeto foi colocado inicialmente.
Nessa seção obteremos uma descrição de tal curva (curva tautócrona) usando técnicas
provenientes do cálculo fracionário..

25

2.3.1

O PROBLEMA DA TAUTÓCRONA

Para determinar a curva tautócrona, suponhamos que uma conta está vinculada a mover-se
num fio sem atrito que jaz num plano vertical, conforme a figura abaixo.

Para isso, suponhamos que a partı́cula de massa m parte do repouso num ponto qualquer
A(x0 , y0 ) do fio e cai sob influência da gravidade e P (x, y) é um ponto intermediário no
movimento e, para facilitar os cálculos, suponhamos que o ponto mais baixo do fio seja a
origem O, então sendo s o comprimento do arco OP , pelo princı́pio da conservação de energia
temos que:
1
mgy0 + 0 = mgy + mv 2
2
 2
ds
1
mgy0 + 0 = mgy + m
2
dt
 2
1
ds
m
= mg(y0 − y)
2
dt
p
ds
= + 2g(y0 − y)
dt
ds
dt = + p
2g(y0 − y)
 
1
ds
− 21
dt = + √ (y0 − y)
dy
dy
2g
Onde s(y) é a distância remanescente na curva em termos da altura. Como a distância e
altura diminuem a medida em que o tempo passa, devemos tomar apenas o sinal negativo.

1

dt = − √12g (y0 − y)− 2

 
ds
dy

dy

Integrando ambos os lados de y0 a zero temos :
 
Z 0
1
ds
− 21
τ = −√
(y0 − y)
dy
dy
2g y0
 
Z y0
1
ds
− 12
τ = √
(y0 − y)
dy
dy
2g 0

26
Onde τ é o tempo de descida.
Observe que a integral acima, a menos de um fator multiplicativo √1π = Γ(11 ) (Comprovar o
2

ds
cálculo na página 29) é exatamente a definição de integral fracionária de ordem 12 de dy
.

Lembremos que pelo Teorema 2.2.2 a derivada fracionária de Riemman-Liouville é o operador
inverso a esquerda da integral fracionária. Então aplicando a derivada fracionária de ordem 12
1
1
√
em ambos os lados e usando o fato que D 2 (1) = ( πy)− 2 , temos:
√  
τ
π ds
= √
√
πy
2g dy
√
ds
τ 2g 1
= √ √
dy
y
π
√
τ 2g 1
ds =
√ dy
π
y
√ Z
Z
τ 2g
1
ds =
√ dy
π
y
√
2τ 2g 1
s(y) =
y2
π
Além disso, sabemos que o comprimento do arco de uma curva regular plana com parametrização α(t) = (x(t), y(t)) é dada por
Z t
Z tp
0
s(t) =
|α (t)|dt =
x0 (t)2 + t0 (t)2 dt.
0

0

Como a curva em questão tem parametrização α(y) = (x(y), y), temos
Z yq
1
(x0 (t))2 + 1dt = cy 2 ,
s(y) =
0
√

onde c = 2τ π 2g . Derivando ambos os lados da equação com relação a y e depois elevando ao
quadrado, obteremos que:
q
c −1
(x0 (y))2 + 1 =
y 2
2
 c 2
2
y −1
(x0 (y)) + 1 =
2
2
(x0 (y)) + 1 = ky −1
k−y
2
(x0 (y)) =
y
s
k−y
x0 (y) =
y
s
dx
k−y
=
dy
y
s
Z
k−y
x(y) =
dy + C
y

27

Figura 2.1: Esboço da ciclóide.
Fazendo a substituição y = k sin2 θ =⇒ dy = 2k sin θ cos θ, teremos:
s
Z
k − k sin2 θ
2k sin θ cos θdθ + C
x(y) =
k sin2 θ
s
Z
1 − sin2 θ
sin θ cos θdθ + C
x(y) = 2k
sin2 θ
Z
x(y) = 2k cos2 θdθ + C
Z
1
x(y) = 2k
(1 + cos 2θ) dθ + C
2


1
x(y) = k θ + sin 2θ + C
2
Usando o fato da curva passar pelo ponto (0, 0), obtemos que C = 0. Com isso a curva
pedida
 tem parametrização
2

 x(θ) = gτ [2θ + sin 2θ]
π 22
gτ

 y(θ) =
[1 − cos 2θ]
π2
que são as equações paramétricas da ciclóide.

28

3 TÓPICOS DE ANÁLISE COMPLEXA

Nesse capı́tulo nosso principal objetivo é encontrar a transformada de Laplace da Função
φ 1 (t) = √1πt , para isso faremos alguns resultados e algumas definições referentes a análise
2

complexa, resultados esses que nos auxiliarão, também no desenvolvimento da teoria de
semigrupos. Para maiores detalhes sobre as definições e resultados desse capı́tulo ver [10].
Definição 3.1.1. Sejam γ : [a, b] → Ω uma curva suave e f : Ω → C uma função contı́nua. A
integral de linha de f sobre a curva γ é definida por:
Z
Z b
f (z)dz =
f (γ(t))γ 0 (t)dt.
γ

a

Definição 3.1.2. Se γ : [a, b] → R é um caminho formado pela justaposição de curvas suaves
γ1 , γ2 , ..., γn e f : Ω → C é uma função contı́nua, definimos
Z
f (z)dz =
γ

n Z
X
j=1

f (z)dz.

γj

Teorema 3.1.1. (Teorema de Cauchy) Se f é uma função analı́tica numa região simplesmente
conexa D então, para cada curva de Jordan γ contida em D é válido que
Z
f (z)dz = 0.
γ

Teorema 3.1.2. (Fórmula integral de Cauchy) Sejam D ∈ C um domı́nio simplesmente conxexo, f : D → C uma função analı́tica em D e γ uma curva de Jordan orientada positivamente
em D. Se z0 é um ponto qualquer no interior de γ então
Z
1
f (z)
f (z0 ) =
dz.
2πi γ z − z0
Lema 3.1.1.
Z +∞
−∞

2

e−x dx

=

√
π

(3.18)

29
Demonstração. Veja que
Z +∞
e

−x2

2

Z +∞

Z +∞

−x2

2

e−y dy
e
dx
−∞
−∞
Z +∞ Z +∞
2
2
e−x e−y dydx
=
−∞
−∞
Z +∞ Z +∞
2
2
=
e−x −y dydx

dx

=

−∞

−∞

−∞

Usando coordenadas polares temos:
Z +∞
e

−x2

2

Z 2π Z +∞

dx

2

e−r drdθ
0
0
∞
Z 2π 
−1 −r2
e
dθ
2
0
0
Z 2π
−1
(0 − 1)dθ
2
0
Z
1 2π
dθ
2 0
2π
= π.
2

=

−∞

=
=
=
=

Sendo a Gaussiana uma função par, então como consequência do que foi provado temos
√
R +∞
2
que 0 e−x dx = 2π
Teorema 3.1.3. Seja φ 1 (t) = √1πt , então L{φ 1 }(λ) = 11 .
2

2

Demonstração. Primeiro note que Γ( 12 ) =

√

λ2

π, onde γ é a função gama definida no capı́tulo

anterior. De fato,
1
Γ( ) =
2

Z ∞
t

−1
2

0

−t

e

Z ∞
=

−1 −r2

r e

Z ∞
2rdr = 2

0

√
−r2

e

dr = 2

0

π √
= π.
2

Onde na segunda igualdade foi usada a mudança de variável t = r2 e na quarta igualdade
foi usado o lema anterior.
Agora, considere a região fechada delimitada pelas curvas complexas :
β1 = {(t, 0), 0 ≤ t ≤ K = |λT |}
β2 = {Keti , 0 ≤ t ≤ argλ}
β3 = {tλ, 0 ≤ t ≤ T }

30

Observe que, por definição
Z argλ
Z
− 1
it
− 12 −r
Keit 2 e−Ke iKeit dt
r e dr =
0

β2

Donde segue
Z
|

r

Z |argλ|

− 12 −r

e dr| ≤

β2

0

1
2 3
K − 2 e−K Kdr = K 2 e−K |argλ|
3

que converge para zero quando K → ∞. Logo, pelo teorema de Cauchy,

Z
r

0=

Z

− 21 −r

e dr =

β1 ∪β2 ∪(−β3 )

r

Z

− 21 −r

e dr +

r

β1

Z K
=

− 12 −r

1

t− 2 e−t dt +

0

1

r− 2 e−r dr

e dr −

β2

Z

Z
β3

1

r− 2 e−r dr −

β2

Z T
0

Com isso quando T, K → ∞, temos que
Z ∞
Z ∞
1
1
1
− 12 −t
t e dt = λ 2
t− 2 e−λt dt.
Γ( ) =
2
0
0
Logo,
L{Φ 1 } =
2

Z ∞
0

1

t− 2 −λt
1
dt = 1
1 e
Γ( 2 )
Γ( 2 )

Z ∞
0

1

t− 2 e−λt dt =

1
1

λ2

1

(tλ)− 2 e−tλ λdt

31

4 SEMIGRUPOS

Nesse capı́tulo introduziremos o conceito de semigrupos e apresentaremos algumas propriedades e resultados que serão necessários nos capı́tulos seguintes.

4.1

SEMIGRUPOS FORTEMENTE CONTÍNUO DE OPERADORES LIMITADOS

Definição 4.1.1. Seja X um espaço de Banach. Uma famı́lia a um parâmetro t com {T (t); t ≥
0} de operadores limitados de X em X é dita semigrupo se:
i)T (0) = I (Onde I é o operador identidade em X).
ii)T (t + s) = T (t)T (s), ∀t, s ≥ 0.
Definição 4.1.2. Um semigrupo {T (t); t ≥ 0} de operadores lineares é chamado fortemente
contı́nuo ou C0 -semigrupo se

lim kT (t)(x) − xkX = 0, ∀x ∈ X.

t→0+

Teorema 4.1.1. Seja {T (t); t ≥ 0} um C0 -semigrupo em X. Então existem constantes ω ≥ 0
e M ≥ 1 tais que:
kT (t)k ≤ M eωt , para 0 ≤ t ≤ ∞.
Demonstração. Primeiro vejamos que existe um δ > 0 tal que kT (t)k é limitado em [0, δ]. Para
isso, suponhamos por contradição que não existe tal δ, então existe uma sequência (tn ), tn → 0+
tal que
kT (tn )k ≥ n.

(4.19)

Sendo T (t) um C0 -semigrupo, para cada x, temos que T (tn )x → x, logo kT (tn )xk ≤ Cx .
Do Teorema da Limitação Uniforme kT (tn )k é limitado, contradizendo (4.19).

32
Logo, existem δ > 0 e M tais que para todo t ∈ [0, δ]:
kT (t)k ≤ M
Note que M ≥ kT (0)k = kIk = 1. Por outro lado, para t ≥ 0 escrevamos t = nδ + r,
n ∈ Z+ e r ∈ [0, δ]; logo nδ ≤ t.
t

kT (t)k = kT (nδ + r)k = kT (nδ)kkT (r)k = kT (δ)kn kT (r)k ≤ M δ M.
t

O resultado segue chamando M δ = eωt ⇒ ω = ln

M
δ



.

Corolário 4.1.1. Se {T (t); t ≥ 0} é um C0 -semigrupo, então, para para cada x fixado em X,
f : t 7→ T (t)x é uma função contı́nua de R+ em X.
Demonstração. Sejam t, h ≥ 0 ,então:
kT (t + h)x − T (t)xk = kT (t)T (h)x − T (t)xk
= kT (t)(T (h)x − x)k
≤ kT (t)kkT (h)x − xk
≤ M eωt kT (h)x − xk.
Onde as desigualdades anteriores seguem do fatos de os operadores T (t) serem limitados
e do Teorema anterior. Com isso, pelo fato de T (h)x → x (pela definição de C0 -semigrupo),
temos que lim+ T (t + h)x = T (t)x. Logo, kf (t + h) − f (t)k → 0 quando h → 0+ .
h→0

Por outro lado, sendo 0 < h ≤ t
kf (t) − f (t − h)k = kT (t)x − T (t − h)xk
= kT (t + h − h)x − T (t − h)xk
= kT (h)T (t − h)x − T (t − h)xk
≤ kT (t − h)kkT (h)x − xk
≤ M eβ(t−h) kT (h)x − xk
≤ M eβt kT (h)x − xk.

Pela mesma justificativa dada anteriormente, kf (s) − f (t − h)k → 0, quando h → 0+ . Com
isso, mostramos que f é contı́nua a direita e a esquerda, logo f é contı́nua.

33
Definição 4.1.3. Seja {T (t); }t≥0 um C0 -semigrupo em X. Seu gerador infinitesimal do
semigrupo é o operador linear A : D(A) ⊂ X → X, definido por
T (t)u − u
existe}
t→0
t
T (t)u − u
, u ∈ D(A).
Au = lim+
t→0
t

D(A) = {u ∈ X : lim+

(4.20)
(4.21)

Para ilustrar, mostremos um exemplo de C0 -semigrupo e encontremos seu gerador infinitesimal.
Exemplo 4.1.1. Consideremos o espaço
X = Cl ([0, ∞)) = {f : [0, ∞) → C; f é contı́nua em [0, ∞) e lim f (x) existe }.
x→∞

munido da norma kf k∞ = sup |f (x)|. Então X com essa norma é um espaço de Banach.
[0,∞)

Para cada t ∈ [0, ∞), definamos o operador T (t) por
T (t) : X → X
f 7→ T (t)f : [0, ∞) → C
(T (t)f )(x) → f (x + t)
Então mostremos que {T (t)}t ≥0 é um C0 -semigrupo e encontremos seu gerador infinitesimal.
Demonstração. Mostremos primeiro que T (t)t>0 é um C0 -semigrupo.
1. A famı́lia {T (t), t > 0} é um semigrupo
Dados f ∈ X e x ≥ 0
i) [T (0)f ](x) = f (x + 0) = f (x) ∀x ≥ 0; logo T (0)f = f ∀f ∈ X e T (0) = I.
ii) Dados t1 , t2 ∈ [0, ∞], temos
[T (t1 + t2 )f ](x) = f (x + (t1 + t2 )) = f ((x + t1 ) + t2 ) = (T (t2 )f )(x + t1 ) = T (t1 )(T (t2 )f )(x)
Logo, a famı́lia T (t), t > 0 é um semigrupo.
2. A famı́lia {T (t), t > 0} é um C0 -semigrupo
Mostremos que kT (t)f − f k∞ → 0 quando t → 0+ .
De fato, kT (t)f − f k∞ = supx∈[0,∞) |(T (t)f − f )(x)|. Como f ∈ X, segue lim f (x) = α ∈ C.
x→∞

Logo, dado ε > 0 existe M (ε) tal que ∀x > M , tem-se:
|f (x) − α| < 2ε

34
Em particular, se x > M, t > 0, então x + t > M e consequentemente
|f (x + t) − f (t)| ≤ |f (x + t) − α| + |f (x) − α| <

ε ε
+ =ε
2 2

Com isso, supx∈[A,∞) |f (x + t) − f (x)| ≤ ε, ∀t ≥ 0.

A função f |[0,M +1] : [0, M + 1] → C é contı́nua, portanto uniformemente contı́nua, assim
∀ε > 0 existe δ = δ(M (ε)) com 0 < δ < 1 tal que:
|f (x + t) − f (x)| ≤ ε, ∀x ∈ [0, M ].
Com isso, juntando as informações anteriores, temos
sup |f (x + t) − f (x)| ≤ sup |f (x + t) − f (x)| + sup |f (x + t) − f (x)| ≤ 2ε
x∈[0,∞)

x∈[0,M ]

x∈[M,∞)

Logo, quando t → 0+ temos que kT (t)f − f k∞ → 0.
Sendo um C0 -semigrupo, encontremos seu gerador infinitesimal. Para todo s ≥ 0, temos:
lim+

t→0

T (t)f (s) − f (s)
f (t + s) − f (s)
= lim+
= D+ f (s)
t→0
t
t

Onde D+ é a derivada á direita de f , quando tal limite existe. Logo, para que f ∈ D(A),
teremos que ter que D+ f ∈ X, pois A : D(A) ⊂ X → X. Observamos ainda que:
f (x + t) − f (x) = D+ f (x)t − r(t) com r(t)
→ 0, t → 0+
t
Chamando x = s − t e usando a continuidade de D+ f , temos
D− f (s) = limt→0+

f (s) − f (s − t)
= D+ f (s)
t

O que nos diz que a derivada á esquerda D− f (s) existe em todo ponto e D+ f = D− f , logo f
é derivável em todo ponto. Assim:

D(A) = {f ∈ X, f 0 existe em todo ponto e f 0 ∈ X} e Af = f 0 .

No restante desta seção apresentamos alguns resultados clássicos que relacionam um
C0 -semigrupo e seu gerador infinitesimal.

35
Teorema 4.1.2. Seja A o gerador infinitesimal de um C0 -semigrupo {T (t) : t ≥ 0}. Então
a)Para u ∈ X
1
lim
h→0 h
b)Para u ∈ X temos que

Z t+h
T (s)uds = T (t)u.
t

Rt

T (s)uds ∈ D(A) e A
0

R



t
T (s)uds
0

= T (t)u − u

c)Para u ∈ D(A) temos que T (t)u ∈ D(A) e
d
T (t)u = AT (t)u = T (t)Au.
dt
d)Para u ∈ D(A)
Z t

Z t
T (t)u − T (s)u =

AT (τ )udτ.

T (τ )Audτ =
s

s

Demonstração. a)Pelo Corolário 4.1.1, temos que lim T (s)u = T (t)u para todo u ∈ X e t > 0
s→t

Isto é, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para
|t − s| < δ =⇒ kT (s)u − T (t)uk < ε.
Consequetemente, para u ∈ X e 0 < |h| < δ
1
h

R t+h
t

T (s)u − T (t)uds ≤ h1

R t+h
t

kT (s)u − T (t)uk < ε.

b) Note que para u ∈ X

Z
1 t
T (s)uds
=
(T (h)T (s)u − T (s)u)ds
h 0
0
Z
1 t
=
(T (h + s)u − T (s)u)ds
h 0
Z
Z
1 t+h
1 h
=
T (s)uds −
T (s)uds
h t
h 0
R t+h
Rh
Pelo item a) temos que h1 t T (s)uds → T (t)u e h1 0 T (s)uds → u quando h → 0+ , logo o
T (h) − I
h

Z t

lado direito da expressão acima tende a T (t)u − u quando h → 0+ e o lado esquerdo tende ao
operador A, portanto
Z t
A


T (s)uds = T (t)u − u.

0

c) Seja u ∈ D(A) e h > 0. Então:
T (h)u − u
T (h)T (t)u − T (0)T (t)u
T (t)u =
h
h


T (h) − T (0)
= T (t)
u → T (t)Au quando h → 0+
h
Logo, T (t)u ∈ D(A) e D+ T (t) = AT (t)u = T (t)Au.

36
Para concluir a prova desse item basta provarmos que para t > 0 a derivada a esquerda de
T (t)u existe e é igual a T (t)Au.
De fato, pois:




T (t)u − T (t − h)u
T (h)u − u
− T (t)Au = lim T (t − h)
− Au + lim (T (t − h)Au − T (t)Au)
lim
h→0
h→0
h→0
h
h
Note que os termos do lado direito se anulam, pois no primeiro termo u ∈ D(A) e kT (t − h)k
é limitado em 0 ≤ h ≤ t e no segundo, segue do fato que o semigrupo é fortemente contı́nuo.
Com isso temos que
d+
d−
d
T (t)x =
T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax = T (t)x
dt
dt
dt
O que conclui a prova do item c.
d)A prova desse item segue do Teorema Fundamental do Cálculo (Ver versão para espaços
de Banach na Proposição 1.2.3 em [1]) , integrando a expressão obtida em c).
Proposição 4.1.1. Se A é o gerador infinitesimal de um C0 -semigrupo {T (t) : t ≥ 0} em X,
então A é fechado e densamente definido.
Demonstração. 1. Densamente definido
Rt
Para cada u ∈ X, defina ut = 1t 0 T (s)uds. Pelo item b) da proposição anterior ut ∈ D(A)
para t > 0, e pelo item a) da mesma proposição,
Z
1 0+t
lim
T (s)uds = T (0)u = u.
h→0 t 0
Portanto, ut → u quando t → 0, e com isso D(A) = X, isto é, D(A) é denso.
2. A é um operador linear fechado
Tome un ∈ D(A) tal que un → u e Aun → y
Pela parte b) da proposição anterior
Z t
T (t)un − un =


T (τ )Aun dτ

t≥0

0

A continuidade da aplicação u → T (τ )u nos diz que T (τ )Aun → T (τ )y quando n → ∞.
Com isso, fazendo n → ∞ na expressão acima, temos que
Z t
T (t)u − u =
T (τ )ydτ
0

Pelo item a) da mesma proposição
T (t)u − u
1
lim+
= lim+
t→0
t→0 t
t

Z t
T (τ )ydτ = T (0)y = y
0

Com isso u ∈ D(A) e A(u) = y. Portanto, A é fechado.

37
Teorema 4.1.3. Seja (T (t))t≥0 um semigrupo fortemente contı́nuo num espaço de Banach X
e sejam constantes ω ∈ R e M ≥ 1 tais que
kT (t)k ≤ M eωt t ≥ 0.
O gerador (A, D(A)) de (T (t))t≥0 satisfaz as seguintes propriedades:
R∞
i)Se λ ∈ C tal que R(λ)x = 0 e−λs T (s)xds existe ∀x ∈ X, então λ ∈ ρ(A) e R(λ, A) = R(λ).
ii)Se Reλ > ω, então λ ∈ ρ(A), e o resolvente é dado pela integral da expressão (i).
M
iii)kR(λ, A)k ≤ Reλ−ω
, para Reλ > ω.

Demonstração. Se λ ∈ C tal que R(λ)x =

R ∞ −λs
e T (s)xds existe ∀x ∈ X então, para x ∈ X
0

eh>0
Z
T (h) − I ∞ −λs
T (h) − I
R(λ)x =
e T (s)xds
h
h
0
Z
1 ∞ −λs
=
e (T (s + h)x − T (s)x)ds
h 0
Z ∞
Z
1
1 ∞ −λs
−λs
=
e T (s + h)xds −
e T (s)xds
h 0
h 0
Z ∞
Z ∞
1
1
=
e−λ(t−h) T (t)xdt −
e−λs T (s)xds
h h
h 0
Z
Z
Z
1 λh ∞ −λt
1 λh h −λt
1 ∞ −λs
=
e
e T (t)xds − e
e T (t)xdt −
e T (s)xds
h
h
h 0
0
0
Z
Z
eλh − 1 ∞ −λt
1 λh h −λt
=
e T (t)xdt − e
e T (t)xdt
h
h
0
0
Z
1 λh h −λt
eλh − 1
R(λ)x − e
e T (t)xdt.
=
h
h
0
Donde na terceira igualdade fizemos a mudança de variável t = s + h. Quando h → 0 o lado
direito da expressão converge para λR(λ)x − x (no segundo termo do lado direito usamos o
Teorema 4.1.2, item a). Com isso, para todo x ∈ X temos que R(λ)x ∈ D(A) e
AR(λ) = λR(λ) − I
ou seja,
(λI − A)R(λ) = I
Por outro lado, para todo x ∈ D(A) temos
Z ∞
Z ∞
−λs
R(λ)Ax =
e T (s)Axds =
e−λs AT (s)xds
0
0
Z ∞

−λs
= A
e T (s)xds = AR(λ)x
0

(4.22)

38
Com isso, temos que :
R(λ)Ax = AR(λ)x

(4.23)

Onde usamos 4.1.2 (c) e, fato de A ser um operador fechado e a Proposição 1.1.3 . Então de
(4.22) e (4.23)
R(λ)(λI − A)x = x para x ∈ D(A).

(4.24)

Logo, R(λ) = (λI − A)−1 = R(λ, A)
R∞
ii)Se Re(λ) > ω, então R(λ)x = 0 e−λs T (s)xds existe ∀x , pois é a integral de Laplace de
uma função exponencialmente limitada, logo resultado segue do item (i)
R∞
iii)Como Reλ > ω, então vale que R(λ, A) = 0 e−λs T (s)xds, por ii). Daı́:
Z t
k

e

−λs

Z t
T (s)xdsk ≤ M

0

Z0 t
≤ M

|e−λs eωs |ds||x||
e(ω−Re(λ))s ds.

0
M
Quando t → ∞ o lado direito converge para Re(λ)−ω
, com isso obtemos a desigualdade

desejada.

4.2

SEMIGRUPOS ANALÍTICOS

A nossa intenção agora é considerar semigrupos cujo domı́nio do parâmetro t pode ser
estendido ao plano complexo.
O conceito de semigrupo analı́tico envolve o conceito de função analı́tica, então lembremos
a seguinte definição.
Definição 4.2.1. Seja X um espaço de Banach, Ω um subsconjunto aberto de C e g : Ω ⊂
C → X. Dizemos que g é uma função analı́tica se existir, para todo z ∈ Ω, o limite
g(z + h) − g(z)
h→0
h
lim

Onde h → 0 denota o limite em C quando h tende a origem, ou seja, pode ser interpretado
como |h| → 0.
Feito isso, estamos prontos para introduzir os conceitos que nos levarão a definir semigrupos
analı́ticos.

39
Definição 4.2.2. Um operador linear fechado com domı́nio denso D(A) em um espaço de
Banach X é chamado setorial (de ângulo δ) se existe 0 < δ < π2 tal que o setor

Σ π2 +δ := {λ ∈ C : |argλ| < π2 + δ} − {0}
está contido no conjunto resolvente ρ(A) e, se para cada ε ∈ (0, δ), existe Mε ≥ 0 tal que
||R(λ, A)|| ≤

Mε
para todo 0 6= λ ∈ Σ π2 +δ−ε
|λ|

(4.25)

Definição 4.2.3. Seja (A, D(A)) um operador setorial de ângulo δ . Defina T (0) := I e o
operador T (z), para z ∈ Σδ por
1
T (z) :=
2π

Z

eµz R(µ, A)dµ,

(4.26)

γ
π

0

π

0

onde γ é qualquer curva suave por partes em Σ π2 +δ indo desde ∞e−i( 2 +δ ) até ∞ei( 2 +δ ) , para
algum δ 0 ∈ (|argz|, δ).
Proposição 4.2.1. Seja (A, D(A)) um operador setorial de ângulo δ. Então para todo z ∈ Σδ ,
as funções T (z) são operadores lineares em X satisfazendo as seguintes propriedades
i) ||T (z)|| é uniformemente limitada para z ∈ Σδ0 , se 0 < δ 0 < δ.
ii)A função z 7→ T (z) é analı́tica em Σδ .
iii)T (z1 + z2 ) = T (z1 )T (z2 ), para z1 , z2 ∈ Σδ .
iv)A função z 7→ T (z) é fortemente contı́nua em Σδ0 ∪ 0, se 0 < δ 0 < δ.
Demonstração. Vamos primeiro verificar que para z ∈ Σδ0 , com δ 0 ∈ (0, δ) fixado, a integral
em (4.26) converge uniformemente no espaço das transformações lineares de X em X com
respeito a norma operador. Sendo o integrando uma função analı́tica em µ ∈ Σ π2 +δ0 , a integral,
se existir, pelo Teorema de Cauchy em 3.1.1, é independente da curva γ.
Dessa forma podemos escolher γ = γr da seguinte forma.
π

γr,1 : = {−ρe−i( 2 +δ−ε) : −∞ ≤ ρ ≤ −r}
π

π

iα
γr,2 : = {re : −
+δ−ε ≤α≤
+δ−ε }
2
2
π
γr,3 : = {ρei( 2 +δ−ε) : r ≤ ρ ≤ ∞}

0

1
onde ε := δ−δ
< π2 e r = |z|
.
2

40

Figura 4.2: Traço de γ = γr , para r = 1
Então, para µ ∈ γr,3 e z ∈ Σδ0 temos que
µz = |µ||z| [cos(argµ + argz) + i sin(argµ + argz)]
Note que, se µ ∈ γr,3 então, argµ = π2 + δ − ε e, como z ∈ Σδ0 , segue que −δ 0 < argz < δ 0 ,
donde
π
π
− ε + δ − δ 0 ≤ argµ + argz ≤ + δ − ε + δ 0
2
2
π
π
π
π π
− ε + 2ε ≤ argµ + argz ≤ − ε + δ + δ 0 ≤ − ε + +
2
2
2
2
2
π
3π
+ ε ≤ argµ + argz ≤ +
−ε
2
2
Com isso, cos(argµ + argz) ≤ cos( π2 + ε) = − sin ε. Assim, chamando θ = argµ + argz
|eµz | = |e|µ||z| cos(argµ+argz)+i sin(argµ+argz) |
= |e|µ||z| cos θ ||ei|µ||z| sin θ |
= e|µz| cos θ ≤ e−|µz| sin ε .
A mesma afirmação vale para µ ∈ γr,3 e z ∈ Σδ0 .
Logo, para todo z ∈ Σδ0 e µ ∈ γr,1 ∪ γr,3 , sendo A um operador setorial,
keµz R(µ, A)k ≤ e−|µz| sin ε

Mε
|µ|

(4.27)

41
Agora se z ∈ Σδ0 e µ ∈ γr,2 , temos que
|eµz | = er|z|(cos θ+i sin θ)
= |e(cos θ+i sin θ) |
≤ ecos θ ≤ e
visto que −1 ≤ cos θ ≤ 1.
Logo, para todo z ∈ Σδ0 e µ ∈ γr,2
keµz R(µ, A)k ≤

eMε
eMε
=
= eMε |z|
|µ|
r

Usando as estimativas encontradas chegamos que para todo z ∈ Σδ0
Z

µz

e R(µ, A)dµ
γr

≤

Z
3
X
k=1

eµz R(µ, A)dµ

γr,k

Z ∞
≤ 2Mε

1 −ρ|z| sin ε
e
dρ +
1
ρ
|z|

Z
eMε |z|dρ
γr,2

Z ∞
= 2Mε

1 −ρ|z| sin ε
e
dρ + 2πeMε
1
ρ
|z|

Z ∞
= 2Mε
1

1 −ρ sin ε
e
dρ + 2πeMε
ρ

Com isso mostramos que a integral da definição de T (z) converge uniformemente, pois o
lado direito independe de z, o que prova i).
Além disso, a partir das considerações feitas anteriormente segue-se que a aplicação z → T (z)
é analı́tica para z ∈ Σδ = ∪0<δ0 <δ Σδ0 o que prova ii).
Para provar iii), lembremos que para λ, µ ∈ ρ(A)
R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A)
0

Então, tome constantes c > 0 tal que γ ∩ γ = γ1 ∩ (γ1 + c) = ∅, onde γ1 é como na figura
anterior com r = 1.

0

0

0

Note que como 0 < δ < δ ≤ π2 , se z1 , z2 ∈ Σδ0 então −δ < −δ < argz1 , argz2 < δ < δ.

42
Logo, para z1 , z2 ∈ Σδ0

Z Z

1
T (z1 )T (z2 ) =
(2πi)2

γ

γ

eµz1 eλz2 R(µ, A)R(λ, A)dλdµ
0

1
eµz1 eλz2
[R(µ, A) − R(λ, A)]dλdµ
(2πi)2 γ γ 0 µ − λ
Z Z
Z Z
1
1
1 eµz1 eλz2
1 eµz1 eλz2
=
R(µ, A)dλdµ −
R(λ, A)dλdµ
2πi γ γ 0 2πi µ − λ
2πi γ γ 0 2πi µ − λ

Z


 
Z
Z
Z
1
1
1
eλz2
eµz1
λz2
µz1
e R(λ, A)
=
dλ dµ −
dµ dλ
e R(µ, A)
2πi
2πi γ 0 µ − λ
2πi γ µ − λ
γ0
γ
Z Z

=

Analisemos as integrais abaixo
eλz2
dλ
γ0 µ − λ

1
a)
2πi

Z

1
b)
2πi

Z

e
eµz1
dµ
γ µ−λ

0

Para isso vamos fechar as curvas λ, λ com cı́rculos de raio crescente.
No entanto, antes de analisarmos isoladamente cada integral, mostremos que quando
R eµz
dµ → 0. Aqui z ∈ Σδ0 e Γ é parametrizada da seguinte forma:
R → ∞, temos que Γ λ−µ
Γ = {Reiϕ :

π
3π
+δ ≤ϕ≤
− δ}
2
2

De fato, sendo z ∈ Σδ0 temos que −δ < −δ 0 < argz = θ < δ 0 < δ.
Assim, se µ ∈ Γ e z ∈ Σδ0 , então µz = |z||µ|ei(ϕ+θ) = |z|Rei(ϕ+θ) e
|eµz | = |e|z|R[cos(ϕ+θ)+i sin(ϕ+θ)] | = eR|z| cos(ϕ+θ)
Como π2 < ϕ + θ < 3π
, então cos(ϕ + θ) < 0. Por outro lado, note que quando R → ∞
2
temos que |λ − Reiϕ | → ∞.
Portanto,
eµz
dµ
Γ λ−µ

Z 3π +δ

Z

2

=
Z
≤

π
+δ
2
3π
+δ
2
π
+δ
2

Z 3π +δ
≤

2

π
+δ
2

que converge para 0 quando R → ∞.

eR|z| cos(ϕ+θ) iϕ
Ri dϕ
λ − Reiϕ
eR|z| cos(ϕ+θ)
Rdϕ
|λ − Reiϕ |
1
R
dϕ
iϕ
−R|z|
cos(ϕ+θ)
|λ − Re | e

43
µz

Analisemos a integral descrita em b). Note que a função µ → eλ−µ1 é analı́tica em γ, visto
que µ ∈ γ e λ ∈ γ 0 , logo λ − µ 6= 0.
Considerando a curva fechada Λ = γ ∪ Γ, o Teorema de Cauchy nos diz que
Z
Z
Z
eµz1
eµz1
eµz1
dµ =
dµ +
dµ
0=
Γ λ−µ
γ λ−µ
Λ λ−µ
Logo,
eµz1
dµ = 0
γ λ−µ

Z

Já na expressão (a), usando o fato de que γ está a esquerda de γ 0 e que então µ é um ponto
interior a curva Λ = γ 0 ∪ Γ, pelo Teorema 3.1.2
Z
Z
Z
eµz2
eµz2
eµz2
1
1
1
µz2
e =
dλ =
dλ +
dλ
2πi Λ λ − µ
2πi Γ λ − µ
2πi γ 0 λ − µ
Logo,
1
2πi

eµz2
dλ = eµz2
λ
−
µ
0
γ

Z

Com isso, temos que
1
T (z1 )T (z2 ) =
2πi

Z

eµ(z1 +z2 ) R(µ, A)dµ = T (z1 + z2 )

γ

para todo z1 , z2 ∈ Σδ0 , o que prova iii).

A prova do item iv) encontra-se na página 98 de [2].
Note que se fizermos a restrição da aplicação definida em (4.2.3) a t ∈ [0, ∞) temos, pela
Proposição (4.2.1) que a aplicação {T (t)}t≥0 assim definida é um semigrupo fortemente contı́nuo.
Para essa restrição temos o seguinte resultado.
Proposição 4.2.2. O gerador infinitesimal do semigrupo fortemente contı́nuo definido em
(4.26) é o operador setorial (A, D(A)).
Demonstração. Seja (B, D(B)) o gerador de (T (t))t≥0 . É suficiente mostrar que
R(λ, A) = R(λ, B), para algum λ.
Defina
ω0 := ω0 (T ) = inf{ω ∈ R : existe Mω ≥ 1 tal que kT (t)k ≤ Mω eωt para todo t ≥ 0 }.

44
Em particular podemos tomar λ = |ω0 | + 2. Pelo Teorema 4.2.3
Z ∞
e−λt T (t)xdt ∀x ∈ X.
R(λ, B)x =
0

Tomando t0 > 0, escolhendo γ = γ1 como na prova da Proposição 4.2.1 e usando o Teorema de
Fubini teremos:
Z t0

−λt

e
0

1
T (t)xdt =
2πi
=
=

1
2πi
1
2πi

Z t0

−λt

e
Z Z t0
0

γ

Z
γ

e

Z



µt

e R(µ, A)xdµ dt

(µ−λ)t
e
dt R(µ, A)xdµ
γ

0
(µ−λ)t0

−1
R(µ, A)xdµ
µ−λ

Z
1
e(µ−λ)t0
R(µ, A)x
R(µ, A)xdµ −
dµ
2πi γ µ − λ
γ µ−λ
Z (µ−λ)t0
1
e
= R(λ, A)x +
R(µ, A)xdµ
2πi γ µ − λ

1
=
2πi

Onde foi usado a fórmula

R
γ

Z

R(µ,A)
xdµ = −2πiR(λ, A)x, que pode ser obtida usando a fórmula
µ−λ

de Cauchy fechando γ com cı́rculos de diâmetro convergindo para o infinito.
Como µ ∈ γ então Reµ ≤ 1. Com isso Re(µ − λ) = Reµ − |ω0 | − 2 ≤ 1 − |ω0 | − 2 ≤ −1
0

ε
e ε = δ+δ
. Além disso, sendo A um operador setorial, então kR(λ, A)k ≤ M
, e com isso,
2
|µ|

obtemos que:
e(µ−λ)t0
R(µ, A)xdµ ≤ e−t0 kxk
γ µ−λ

Z

Z

Mε
.
γ |µ − λ||µ|

Portanto, quando t0 → ∞ a expressão acima vai a 0 e com isso chegamos que, para λ = |ω0 | + 2,
R(λ, A) = R(λ, B)

Definição 4.2.4. Uma famı́lia de operadores (T (z))z∈Σδ ∪{0} limitados é chamado de semigrupo
analı́tico( de ângulo δ ∈ (0, π2 )), se
i)T (0) = I e T (z1 + z2 ) = T (z1 )T (z2 ), para todo z1 , z1 ∈ Σδ .
ii)A função z → T (z) é analı́tica em Σδ .
iii)limz→0 T (z)x = x para todo x ∈ X, z ∈ Σδ0 e 0 < δ 0 < δ.

Se além disso ocorre
iv)kT (z)k é limitado em Σδ0 , para todo 0 < δ 0 < δ, dizemos que (T (z))z∈Σδ ∪{0} é um semigrupo
analı́tico limitado.

45
Como consequência da Proposição anterior temos o seguinte resultado
Corolário 4.2.1. Se (A, D(A)) é um operador setorial, então A é gera um semigrupo analı́tico,
a saber, o semigrupo definido em 4.2.3.

4.3

GRUPOS

Nessa seção apresentamos a noções C0 -grupo sem muitos detalhes.
Definição 4.3.1. Uma famı́lia (T (t))−∞<t<∞ , de operadores lineares limitados em um espaço
de Banach X é um C0 -grupo de operadores limitados se satisfaz:
i)T (0) = I (Onde I é o operador identidade em X).
ii)T (t + s) = T (t)T (s), ∀ − ∞ < t, s < ∞.
iii)limt→0+ kT (t)(x) − xkX = 0 ∀x ∈ X.
Definição 4.3.2. O gerador infinitesimal A de um grupo T (t) é definido por
T (t)u − u
existe}
t
T (t)u − u
, u ∈ D(A).
Au = limt→0
t

D(A) = {u ∈ X : limt→0

(4.28)
(4.29)

Note que, sendo T (t) um C0 -grupo de operadores limitados, segue da definição que para
t ≥ 0, T (t) é um C0 -semigrupo de operadores limitados com gerador infinitesimal A. Além disso,
para t ≤ 0, S(t) = T (−t) é também um C0 -semigrupo de operadores limitados com gerador
-A. Assim, se T (t) é um C0 -grupo de operadores lineares em X, então A e −A são geradores
de C0 -semigrupos que são denotados por T+ (t) e T− (t), respectivamente. Reciprocamente,
se A e −A são geradores infinitesimais dos C0 -semigrupos T+ (t) e T− (t), então A é gerador
infinitesimal de um C0 -grupo T (t) definido por:

 T (t), se t ≥ 0
+
T (t) =
 T (t), se t ≤ 0.
−

O Teorema abaixo pode ser encontrado em [2].
Teorema 4.3.1. (Geração de semigrupos) Seja (A, D(A)) um operador linear em um espaço de
Banach X e sejam ω ∈ R, M ≥ 1 constantes. Então as seguintes propriedades são equivalentes.

a) (A, D(A)) gera um semigrupo fortemente contı́nuo satisfazendo
kT (t)k ≤ M eωt t ≥ 0.

46
b) (A, D(A)) é fechado, densamente definido, e, para todo λ ∈ C, com Reλ > ω, então
λ ∈ ρ(A) e
kR(λ, A)n k <

M
∀n ∈ N
(Reλ − ω)n

O próximo resultado será de fundamental importância no próximo capı́tulo.
Corolário 4.3.1. Seja A um gerador de um grupo fortemente contı́nuo. Então A2 gera um
semigrupo analı́tico de ângulo π2 .
Demonstração. Vamos considerar o caso em que A gera um grupo limitado, isto é kT (t)k ≤ M .
Pela Proposição 4.2.2 basta mostrar que A2 é um operador setorial de ângulo π2 .
Sendo A um gerador de um grupo limitado, então A e −A são geradores de semigrupos
fortemente contı́nuos limitados.
Seja 0 < δ 0 < π2 e λ ∈ Σ π2 +δ0 , então existe uma raı́z quadrada reiα de λ com r > 0 e
π

+δ 0

|α| < 2 2

< π2

Como acontece a condição a) do Teorema 4.3.1 e r > 0, então vale a condição b) do mesmo,
isto é, reiα ∈ ρ(A) e reiα ∈ ρ(−A). Com isso, temos (λ − A2 ) = (reiα − A)(reiα + A). Logo
λ ∈ ρ(A2 ) e
R(λ, A2 ) = R(reiα , A)R(reiα , −A).
Além disso, sendo A um gerador de um grupo limitado, pelo Teorema 4.2.3., existe M ≥ 1
tal que
M
kR(λ, ±A)k ≤ Reλ
, para todo λ ∈ Σ π2

e consequentemente
kR(λ, A2 )k ≤

2



2

M
1
M
M
 π 0  ≤
≤ 2
.
2
+δ
(r cos α)
r
|λ|
cos 2
2

!2
para todo λ ∈ Σ π2 +δ0 , onde M =

M

π +δ 0
cos 2 2

. Logo A2 é um operador setorial.

47

5 RESULTADOS PRINCIPAIS
5.1

EQUIVALÊNCIA

Teorema 5.1.1. Seja X um espaço de Banach e A um operador linear fechado em X. Suponha
que Σ π2 ⊂ ρ(A2 ). Para f ∈ D(A), considere os dois problemas:

 v 0 (t) = A2 v(t) + √1 Af t > 0
πt

v(0) = f

(5.30)

e

 D1/2 u(t) = Au(t) t > 0
C

u(0) = f

(5.31)

Se v(.) é uma solução exponencialmente limitada de (5.30), então é também solução de (5.31).
Reciprocamente, uma solução exponencialmente limitada u(.) de (5.31) é também solução de
(5.30).
Demonstração. Seja u solução exponencialmente limitada de (5.31), digamos ku(t)k ≤ M eωt , t ≥
0, ω ≥ 0, então a transformda de Laplace de u(t) existe para todo Reλ > ω.
Aplicando a transformada de Laplace na equação do problema (5.31), usando o Teorema 2.2.3
e a Proposição 1.1.3, temos que:
1

L{DC2 u}(λ) = L{Au}(λ)
−1

1

λ 2 L{u}(λ) − u(0)λ 2
1

= AL{u}(λ)

−1

λ 2 L{u}(λ) − f λ 2 = AL{u}(λ)

 1
−1
λ 2 − A L{u}(λ) = λ 2 f
 1

Então, aplicando em ambos os lados o operador λ 2 + A ,
 1
 1

 1
 −1
2
2
2
λ + A λ − A L{u}(λ) = λ + A λ 2 f
1

λL{u}(λ) − A2 L{u}(λ) = f + λ− 2 Af

48
Usando mais uma vez a Proposição 1.1.3 e o Lema 2.2.3, temos
1

λL{u}(λ) − f = λ− 2 Af + A2 L{u}(λ)
1

L{u0 }(λ) = λ− 2 Af + A2 L{u}(λ)
1
L{u0 }(λ) = L{A2 u}(λ) + L{ √ }(λ)Af
π.
1
L{u0 }(λ) = L{A2 u + √ Af }(λ)
π.
Aplicando a transformada de Laplace inversa teremos que:
1
u0 (λ) = A2 u(λ) + √ Af
πt
Por outro lado, seja v(t) solução exponencialmente limitada de (5.30). Aplicando a
transformada de Laplace em ambos os lados e usando fato de que Σ π2 ⊂ ρ(A2 ) , temos:

1
L{v 0 }(λ) = A2 L{v}(λ) + L{ √ Af }(λ)
π.
1

λL{v}(λ) − f = A2 L{v}(λ) + λ− 2 Af
1

(λ − A2 )L{v}(λ) = f + λ− 2 Af
1

L{v}(λ) = (λ − A2 )−1 (I + λ− 2 A)f
1

1

1

(λ 2 − A)L{v}(λ) = (λ 2 − A)(λ − A2 )−1 (I + λ− 2 A)f
1

1

1

1

1

−1

1

1

(λ 2 − A)L{v}(λ) = λ 2 (λ − A2 )−1 f + λ 2 (λ − A2 )−1 λ− 2 Af − A(λ − A2 )−1 f − A(λ − A2 )−1 λ− 2 Af
(λ 2 − A)L{v}(λ) = λ 2 (λ − A2 )−1 f − λ 2 A2 (λ − A2 )−1 f
1

1

1

1

(λ 2 − A)L{v}(λ) = λ− 2 (λ − A2 )−1 (λ − A2 )f
(λ 2 − A)L{v}(λ) = λ− 2 f
1

1

λ 2 L{v}(λ) − λ− 2 f = AL{v}(λ)

Aplicando a transformada de Laplace inversa e usando o Teorema 2.2.3, chegamos que
1

DC2 v(t) = Av(t)
Note que usamos o fato de que os operadores A e (λ − A2 )−1 comutam em D(A). De fato,
chamando A(λ − A2 )−1 = T , temos

49

(λ − A2 )T = (λ − A2 )A(λ − A2 )−1
= A(λ − A2 )(λ − A2 )−1
= A
= A(λ − A2 )−1 (λ − A2 )
= T (λ − A2 )
Logo, o operador T comuta com o operador (λ − A2 ), usando esse fato temos
A(λ − A2 )−1 = T
A = T (λ − A2 )
A = (λ − A2 )T
(λ − A2 )−1 A = T
Isto é, os operadores A e (λ − A2 )−1 Comutam em D(A).

Agora, suponha que A gera um grupo fortemente contı́nuo (U (t)) em X, então pelo
Corolário 4.3.1, B = A2 gera um semigrupo analı́tico fortemente contı́nuo (T (t)). Baseado
nessas considerações temos o seguinte resultado.
Teorema 5.1.2. A equação
Z t
v(t) = T (t)f +

ds
t>0
T (t − s)Af √
πs
0

(5.32)

é solução de (5.30)
Demonstração. Primeiro verifiquemos que v(t) é exponencialmente limitada. Com efeito, do
Teorema 4.1.1 temos que kT (t)k ≤ M eωt , onde M > 0 e ω ≥ 0. Logo,
Z t
ds
ωt
kv(t)k ≤ M kf ke +
kT (t − s)kkAf k √
πs
0
Z t
ds
≤ M kf keωt +
M eω(t−s) kAf k √
πs
0
Z t
ds
√
≤ M kf keωt + M eωt kAf k
πs
0
√
t
≤ M kf keωt + √ M eωt kAf k
π
ωt
≤ Me

50
Observe que,


1
v(t) = T (t)f + T ∗ √ Af (t)
πt

Aplicando a transformada de Laplace, e considerando
Z ∞
e−λt T (t)dt, Reλ > ω,
S(λ) :=
0

temos
1

L{v}(λ) = S(λ)f + S(λ)λ− 2 Af

(5.33)

Mas, pelo Teorema 4.23
Z ∞
S(λ) =

e−λt T (t)dt = (λ − A2 )−1

(5.34)

0

Logo, de 5.33 e 5.34, segue
1

L{v}(λ) = (λ − A2 )−1 f + (λ − A2 )−1 λ− 2 Af
1

(λ − A2 )L{v}(λ) = f + λ− 2 Af
1

λL{v}(λ) − f = A2 L{v}(λ) + λ− 2 Af

Tomando a transformada de Laplace inversa,
1
v 0 (t) = A2 v(t) + √ Af
πt

5.2

UMA APLICAÇÃO DO CÁLCULO FRACIONÁRIO NA FÍSICA

Consideremos o problema de difusão viscosa unidimensional, dependente do tempo, de
um fluı́do semifinito delimitado por uma placa plana. Assumindo constante e uniforme a
viscosidade e desprezando os efeitos da inércia, a equação do momento é dada por
∂F (y, t)
∂ 2 F (y, t)
−v
=0
∂t
∂y 2

(5.35)

Onde F (y, t) é, por exemplo, a velocidade do fluido no caso em que a pressão é desprezada, t é
o tempo, v é a viscosidade, e y é a coordenada normal a placa e com origem no plano.

51
Assuma que o fluido esteja inicialmente no estado de equilı́brio, de modo que F (y, t < 0) =
F0 , onde F0 é uma constante. Além disso, a condição longe da placa permanece F (∞, t) = F0 .
A fronteira do fluido de interface com o plano é exposta a uma excitação dependente do tempo
1

F (0, t) = F + (t), causado pelo movimento da placa. Fazendo a mudança de variáveis ξ = yv − 2
e G(ξ, t) = F (y, t) − F0 , a equação (5.35) se transforma em
∂G(ξ, t) ∂ 2 G(ξ, t)
−
=0
∂t
∂ξ 2

(5.36)

Assim, as condições de fronteiras agora são: G(ξ, 0) = 0, G(∞, t) = 0 e G(0, t) = F + (t) −
F0 = G+ (t). Tomando a transformada de Laplace em (5.36) com relação á variável t, chegamos
∂ 2 G∗ (ξ, s)
− sG∗ (ξ, s) = 0
∂ξ 2

(5.37)

Onde L{G}(s) = G∗ (ξ, s). Além disso, como G(∞, t) = 0, temos G∗ (∞, s) = 0. A solução da
equação (5.37) é dada por
1

1

G∗ (ξ, s) = C1 (s)eξs 2 + C2 (s)e−ξs 2

(5.38)

Onde C1 e C2 são funções arbitrárias de s. Como G∗ (∞, s) = 0, segue que C1 (s) = 0 e a
equação (5.38) se transforma em
1

G∗ (ξ, s) = C2 (s)e−ξs 2

(5.39)

√
∂G∗ (ξ, s) √
= sC2 (s)e−ξ s
∂ξ

(5.40)

∂G∗ (ξ, s) √ ∗
= sG (ξ, s)
∂ξ

(5.41)

Diferenciando (5.39) temos que

Juntando (5.39) e (5.40) temos

Usando o fato de que
L−1 {

∂G∗ (ξ, s)
∂ −1 ∗
}=
L {G (ξ, s)}
∂ξ
∂ξ

e o Lema 2.2.2, concluı́mos
1

1

1

L{D 2 G}(ξ, s) = s− 2 L{G}(ξ, s) = s− 2 G∗ (ξ, s),

(5.42)

válida pois G(ξ, 0) = 0. Assim
1
∂G(ξ, t)
= −D 2 G(ξ, t)
∂ξ

(5.43)

52
Voltando a váriável original, chegamos que
√ ∂
1
v F (y, t) = −D 2 [F (y, t) − F0 ]
∂y
reescrevendo
1
1
1
∂
F (y, t) = −v − 2 D 2 F (y, t) − (πtv)− 2 F0
∂y

(5.44)

Observe que (5.35) e (5.44) podem ser escritos como
∂
F (y, t) = A2y F (y, t)
∂y
1

(5.45)

1

D 2 F (y, t) = (πt) 2 F0 + Ay F (y, t)

(5.46)

√ ∂
respectivamente, onde Ay := − v dy
é o gerador do grupo de translação abordado no exemplo
1

1

1

(4.1.1). Observe ainda que D 2 [g(t) − g(0)] = DC2 g(t) e que, além disso, D 2 (1) = √1πt . Portanto
1
1
1
D 2 F (y, t) − √ F (y, 0) = DC2 F (y, t)
πt

(5.47)

Onde F (y, 0) = F0 .
Como Ay F0 = 0, a equação (5.46) se transforma em
1

DC2 F (y, t) = Ay F (y, t)

(5.48)

2

∂
π
Pelo Corolário 4.3.1, A2y = ∂y
2 gera um semigrupo analı́tico T (t) de ângulo 2 e, pelo Teorema

5.1.2, a equação
Z t
v(t) = T (t)F0 +

ds
T (t − s)Ay F0 √
πt
0

(5.49)

é uma solução exponencialmente limitada de (5.36). Observe que o mesmo resultado foi
2

∂
2
estudado na dissertação [6] para o caso em que ∂y
2 ∈ L (R).

53

Referências Bibliográficas
[1] ARENDT, W. et al. Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems. 2.ed. Berlin:
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(Mestrado em Matemática)- Instituto de Matemática, UFAL, Maceió, AL, 2013.
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Matemática)- Instituto de Matemática Estatı́stica e Computação Cientı́fica, UNICAMP,
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[10] VIEIRA, E. Funções Holomorfas de uma variável. SBM, 2011.

54
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[12] SILVA, F. J. Aplicações de semigrupos em sistemas de reação-difusão e a existência de ondas viajantes.2010. 117f. Dissertação (Mestrado em Matemática)- Instituto de Matemática,
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Goiania, 2013.