Dissertação

Dissertacao.Rodrigo.Fernandes. de.Moura.Melo.pdf
Documento PDF (4.6MB)
                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado

Hipersuperfı́cies em Rp+q+2 de Curvatura Escalar
Nula Invariantes por O(p + 1) × O(q + 1)

Rodrigo Fernandes de Moura Melo

Maceió, Brasil
18 de Dezembro de 2009

RODRIGO FERNANDES DE MOURA MELO

Hipersuperfı́cies em Rp+q+2 de Curvatura Escalar
Nula Invariantes por O(p + 1) × O(q + 1)

Dissertação de Mestrado, na área de concentração de Geometria Diferencial submetida em 18 de Dezembro de 2009 à banca examinadora, designada pelo Programa de Mestrado em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em
Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Fernando Enrique Echaiz Espinoza.

Maceió
2009

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
M528h

Melo, Rodrigo Fernandes de Moura.
p+q+2
Hipersuperfícies em R
de curvatura escalar nula invariantes por O(p+1) x
O(q+1) / Rodrigo Fernandes de Moura Melo, 2009.
68 f. : il.
Orientador: Fernando Enrique Echaiz Espinoza.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2009.
Bibliografia: f. 63.
Apêndices: f. 64-66.
Índices: f. 67-68.
1. Cone. 2. Curvatura escalar. 3. Curva geratriz. 4. Lie, Álgebra de. 5. Hipersuperfícies. I. Título.

CDU: 512.81

RODRIGO FERNANDES DE MOURA MELO

Hipersuperfı́cies em Rp+q+2 de Curvatura Escalar
Nula Invariantes por O(p + 1) × O(q + 1)

Dissertação de Mestrado, na área de
concentração de Geometria Diferencial submetida em 18 de Dezembro de 2009 à banca
examinadora, designada pelo Programa de
Mestrado em Matemática da Universidade
Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre
em Matemática.

À minha mãe
Rute Fernandes

Agradecimentos
Ao meu orientador, professor Echaiz, uma pessoa que conquistou minha admiração
ao compartilhar comigo ricas experiências de sua vida acadêmica de uma maneira gentil
e solidária, como se fala a um amigo.
Ao professor José Carlos Almeida que, com seu jeito carismático, sempre cativa seus
alunos e os deixa à vontade para tirar dúvidas durante as aulas ou puxar uma conversa
fora delas.
Ao professor Krerley Oliveira que, através do seu estilo rı́gido e sério nas aulas, me
motivou a estudar com entusiasmo e a adquirir uma postura mais profissional na maneira
de lidar com os professores que encontrarei no futuro.
Ao professor Marcos Petrúcio; a maneira clara e objetiva com que ele ministra suas
aulas e exposições é um exemplo que buscarei seguir quando um dia me tornar professor.
Ao professor Enoch Apaza, por sua dedicação durante as aulas e pelo tempo e boa
vontade que sempre teve em tirar minhas dúvidas.
Ao professor Hilário Alencar, pelos três anos em que foi meu orientador durante a
graduação e cujos conselhos dados a mim durante aquele perı́odo foram importantes para
que eu chegasse onde estou hoje.
Ao professor Adán Corcho, que sempre carrega consigo uma enorme paixão pela
matemática e em suas aulas transforma esta paixão em entusiasmo que aumenta no
decorrer de cada aula, junto com seu sotaque.
Ao colega Arlyson Alves, primeiro orientando do professor Echaiz, por ter me dado valiosos conselhos sobre o processo de elaboração da dissertação e por ter oferecido diversos
livros para me auxiliar.
Aos meus colegas Isadora Maria de Jesus, Ana Maria Menezes e Gregório Manoel
da Silva; quem já teve a oportunidade de conversar com algum deles sabe que, além de
pessoas divertidas, são exemplos de estudantes competentes.
Aos meus colegas Isnaldo Isaac Barbosa e Kennerson Nascimento que sempre estavam
dispostos a pensar comigo logo que uma dúvida se apresentava.
Agradeço aos demais colegas do mestrado que mantiveram o clima de harmonia e
amizade ao longo desses dois anos: Adalgisa Mota, Alexsandro Néo, Fábio Henrique de
Carvalho e Robério Batista.
À minha amiga Adina Rocha dos Santos que, com seu jeito tı́mido, vem trilhando de
maneira louvável, sua carreira acadêmica.
À minha amiga Natália Rocha Pinheiro que com sua energia e seu sotaque multinordestino contagia todos ao seu redor.
À minha amiga Viviane de Oliveira Santos por ter me dado um exemplo de com-

1

petência e garra ao superar todos os abstáculos que se fizeram presentes em vários momentos nestes dois anos de sua vida.
À minha amada, Anamália Ferreira da Silva, que ao longo destes dois anos me deu
várias provas de amor estando sempre ao meu lado, mesmo nas vezes em que me fiz
ausente em nossa relação.
Aos meus pais Rute Fernandes de Moura Melo e Severino de Souza Melo, por todo o
apoio nestes dois anos; assim como nos outros vinte e três de minha vida.
À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Alagoas pelo suporte financeiro ao
longo de todo o Mestrado.

2

Resumo
Esta dissertação está baseada no artigo de Jocelino Sato e Vicente de Souza Neto intitulado Complete and Stable O(p + 1) × O(q + 1)-Invariant Hypersurfaces with Zero Scalar
Curvature in Euclidean Space Rp+q+2 , publicado na revista Annals of Global Analysis
and Geometry, volume 29, em 2006. O principal resultado desta dissertação é o Teorema
de Classificação, que afirma o seguinte:
Uma hipersuperfı́cie M p+q+1 que é invariante pela ação do grupo O(p + 1) ×
O(q + 1), p, q > 1, com curvatura escalar identicamente nula deve pertencer a
uma das seguintes classes:
(1) Cones com uma singularidade na origem de Rp+q+2 ;
(2) Hipersuperfı́cies possuindo uma órbita de singularidades e assintotando
ambos os cones Cα e Cβ ;
(3) Hipersuperfı́cies regulares que assintotam o cone Cα ;
(4) Hipersuperfı́cies regulares que assintotam o cone Cβ ;
(5) Hipersuperfı́cies regulares que assintotam ambos os cones Cα e Cβ .
A demonstração do teorema requer um estudo de uma equação diferencial ordinária
envolvendo as coordenadas das curvas, no plano, que geram estas hipersuperfı́cies. Esta
equação diferencial, por sua vez, está associada a um campo de vetores X : R2 → R2 no
plano. O estudo do retrato de fase deste campo é fundamental. Através dele, foi possı́vel
traduzir o comportamento das trajetórias de X em informações com respeito às curvas
geratrizes e desta maneira obter o teorema.

Palavras Chave: Cone; Curvatura escalar; Curva geratriz; Grupo de Lie;
Hipersuperfı́cie.

3

Abstract
This dissertation has as base Jocelino Sato and Vicente de Souza Neto’s paper called Complete and Stable O(p + 1) × O(q + 1)-Invariant Hypersurfaces with Zero Scalar
Curvature in Euclidean Space Rp+q+2 , published on the Annals of Global Analysis and
Geometry - 29 in 2006. The main result of this dissertation is the Classification Theorem,
which states:
The O(p + 1) × O(q + 1)-Invariant Hypersurfaces in Rp+q+2 , p, q > 1, with zero
scalar curvature belong to one of the following classes:
(1) Cones with a singularity at the orign of Rp+q+2 ;
(2) Hypersurfaces having one orbit of singularity and asymptoting both of the
cones Cα and Cβ ;
(3) Regular hypersurfaces asymptoting the cone Cα ;
(4) Regular hypersurfaces asymptoting the cone Cβ ;
(5) Regular hypersurfaces asymptoting both of the cones Cα and Cβ .
It was reached by the studies of the ordinary differential equation on R2 , involving
the coordenate curves that generate these hypersurfaces. Such differential equation, in
its turn, is associated with a vector field X : R2 → R2 on the plan. The study of the
orbits space in this field is essential; after all, because of it, it was possible to translate
the X orbits’ behavior into information concerning the profile curves and, finally, reach
the theorem.

Key Words: Cone; Hypersurface; Lie group; Profile curve; Scalar curvature.

4

Sumário
1 Resultados Preliminares
1.1 Variedades diferenciáveis e campos de vetores . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Métricas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Curvatura de Ricci e curvatura escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Operadores diferenciais sobre variedades Riemannianas . . . . . . . . . .
1.5.1 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 O operador de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Hessiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 A segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Subgrupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Grupos de Lie locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Transformação local de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Fluxo e singularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.2 Retrato de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.3 Fluxo tubular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.4 Conjuntos invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
8
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13
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23
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34
36

2 Resultados Principais
39
2.1 Hipersuperfı́cies de curvatura escalar nula invariantes por O(p+1)×O(q +1) 39
2.2 Análise do campo vetorial associado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Classificação das hipersuperfı́cies invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Referências Bibliográficas

63

A Coordenadas polares em Rn

64

Introdução
Em 2000, o matemático Oscar Palmas publicou o artigo de nome O(2)×O(2)-invariant
hypersurfaces with zero scalar curvature pela revista Arquiv der Mathematik - 74. Neste
artigo o autor estudou o comportamento das curvas geratrizes para classificar as hipersuperfı́cies em R4 com curvatura escalar nula que são invariantes pela ação do grupo das
isometrias O(2) × O(2). Dois anos mais tarde, Jocelino Sato obteve uma generalização
deste resultado em seu artigo Stability of O(p + 1) × O(p + 1)-Invariant Hypersurfaces
with Zero Scalar Curvature in Euclidean Space publicado na revista Annals of Global
Analysis and Geometry - 22.
O presente trabalho é baseado em um artigo mais recente de Jocelino Sato e Vicente
Francisco de Souza Neto publicado na revista Annals of Global Analysis and Geometry 29 em 2006, intitulado Complete and Stable O(p + 1) × O(q + 1)-Invariant Hypersurfaces
with Zero Scalar Curvature in Euclidean Space Rp+q+2 . Neste artigo, Jocelino e Vicente
generalizaram o teorema de classifiação dos artigos de Palmas e do próprio Sato com o
seguinte teorema:
Teorema de Classificação. Uma hipersuperfı́cie M p+q+1 , invariante pela ação do grupo
O(p + 1) × O(q + 1), p, q > 1, com curvatura escalar identicamente nula pertence a uma
das seguintes classes:
(1) Cones com uma singularidade na origem de Rp+q+2 ;
(2) Hipersuperfı́cies possuindo uma órbita de singularidades e assintotando ambos os
cones Cα e Cβ ;
(3) Hipersuperfı́cies regulares que assintotam o cone Cα ;
(4) Hipersuperfı́cies regulares que assintotam o cone Cβ ;
(5) Hipersuperfı́cies regulares que assintotam ambos os cones Cα e Cβ .
Nossa dissertação tem por objetivo demonstrar este teorema, o que de fato foi feito
ao final do capı́tulo 2. Aliás, foi na construção deste capı́tulo onde utilizamos de maneira
indispensável o artigo de Sato e Vicente.
Reservamos o capı́tulo 1 aos assuntos básicos, necessários ao entendimento dos conceitos abordados no capı́tulo 2. Obviamente, para falarmos de conceitos como hipersuperfı́cies e curvatura escalar é necessária uma introdução a variedades diferenciáveis, por

6

isso fizemos uma breve introdução à geometria Riemanniana nas sete primeiras seções do
capı́tulo 1; essencialmente, utilizamos [3] para a construção destas seções.
Também é clara, a partir do próprio tema de nossa dissertação, a necessidade de conhecermos os grupos de Lie e a ação destes grupos em variedades; fizemos uma introdução
destes assuntos nas seções 1.7 e 1.8.
Veremos no capı́tulo 2 que toda hipersuperfı́cie invariante por O(p + 1) × O(q + 1)
está associada a uma curva geratriz γ : I ⊂ R → R2 . Quando impomos a uma tal hipersuperfı́cie a condição de que ela também tenha curvatura escalar nula, recaı́mos numa
equação diferencial ordinária envolvendo as funções coordenadas de sua curva geratriz.
Logo, fica clara a necessidade do estudo das equações diferenciais ordinárias, feito na
seção 1.9.
Na verdade, a seção 1.9 se revela a mais importante do capı́tulo 1 pois boa parte do
capı́tulo 2 é dedicada ao estudo do comportamento do campo associado à equação diferencial mencionada acima. Contudo, não nos aprofundamos muito nas teorias apresentadas
nesta seção, assim como no restante do capı́tulo 1; o propósito principal deste capı́tulo
é fornecer o conhecimento necessário e avançarmos para o capı́tulo 2, onde fizemos um
estudo mais profundo dos assuntos abordados nele.
Incluı́mos ainda um apêndice onde obtemos a expressão geral para as coordenadas
polares em Rn .
É importante ressaltar que os três artigos citados aqui não são os únicos trabalhos
nesta área, uma série de outros artigos estão relacionados a estes. Hilário Alencar, por
exemplo, fez o estudo das curvas geratrizes para classificar as hipersuperfı́cies mı́nimas
invariantes por SO(m) × SO(m) em [1]. Além deste, Takashi Okayasu classificou em [7]
as hipersuperfı́cies de curvatura esclar negativa e invariantes por O(2) × O(2). Outros
trabalhos podem ser encontrados na bibliografia de [8].

7

Capı́tulo 1
Resultados Preliminares
1.1

Variedades diferenciáveis e campos de vetores

Definição 1.1.1 Uma variedade diferenciável de dimensão n é um conjunto M e uma
famı́lia de aplicações injetivas xα : Uα ⊂ Rn → M, de abertos Uα de Rn , tais que:
S
(i) α xα (Uα ) = M ;
(ii) Para todo par de ı́ndices α, β, tais que xα (Uα ) ∩ xβ (Uβ ) = W 6= ∅, os conjuntos
−1
−1
n
−1
−1
x−1
β (W ) e xα (W ) são abertos de R e as aplicações xβ ◦ xα : xα (W ) → xβ (W )
são diferenciáveis;
(iii) A famı́lia {(xα , Uα )}α é maximal com esta propriedade.

Ao par (Uα , xα ), com p ∈ xα (Uα ), denominamos parametrização (ou sistema de coordenadas) de M em p; neste caso, xα (Uα ) é chamado uma vizinhança coordenada em p.
Uma famı́lia {(xα , Uα )}α satisfazendo (i) e (ii) recebe o nome de estrutura diferenciável
em M .
Observemos que uma estrutura diferenciável em um conjunto M induz de uma maneira natural uma topologia em M . De fato, basta definir que A ⊂ M é aberto de M
8

n
se x−1
α (A ∩ xα (Uα )) é um aberto de R para todo α. A topologia assim definida torna
todos os xα (Uα ) abertos e as aplicações xα homeomorfismos. Além disto, a topologia
induzida desta maneira é metrizável como pode ser visto em [3].

Definição 1.1.2 Sejam M m e N n duas variedades diferenciáveis de dimensão m e n.
Uma aplicação ϕ : M → N é diferenciável em p ∈ M se dada uma parametrização
y : V ⊂ Rn → N em ϕ(p), existe uma parametrização x : U ⊂ Rm → M em p tal que
ϕ(x(U )) ⊂ y(V ) e a aplicação
y−1 ◦ ϕ ◦ x : U ⊂ Rm → Rn
é diferenciável em x−1 (p). Dizemos que ϕ é diferenciável em um aberto de M se é
diferenciável em todos os pontos deste aberto.
A aplicação y−1 ◦ ϕ ◦ x é chamada a expressão de ϕ nas parametrizações x e y.
Dizemos que ϕ é um difeomorfismo se a expressão de ϕ em alguma parametrização for
um difeomorfismo.
Definição 1.1.3 Seja M uma variedade diferenciável. Uma aplicação diferenciável α :
(−ε, ε) → M é chamada uma curva (diferenciável) em M . Sejam α(0) = p ∈ M e D(M )
o conjunto das funções diferenciáveis de M em R. O vetor tangente à curva α em t = 0
é a função
α0 (0) : D(M ) −→ R
d(f ◦ α)
.
f
7−→
dt
t=0
Um vetor tangente em p é o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : (−ε, ε) → M
com α(0) = p.
O conjunto de todos os vetores tangentes a M em p é chamado de espaço tangente a
M em p e será denotado por Tp M . O conjunto T M = {(p, v); p ∈ M e v ∈ Tp M } é uma
variedade diferenciável de dimensão 2m, denominada fibrado tangente.
Definição 1.1.4 Sejam M e N variedades diferenciáveis. Uma aplicação diferenciável
ϕ : M → N é uma imersão se dϕp : Tp M → Tϕ(p) N for injetiva para todo p ∈ M.
Se, além disto, ϕ for um homeomorfismo sobre ϕ(M ) ⊂ N, onde ϕ(M ) tem a topologia
induzida por N , dizemos que ϕ é um mergulho. Se M ⊂ N e a inclusão i : M → N é
um mergulho, dizemos que M é uma subvariedade de N.
Observe que se ϕ : M m → N n é uma imersão, então m ≤ n; a diferença n − m é
chamada a codimensão da imersão ϕ.
Definição 1.1.5 Seja M uma variedade diferenciável. Dizemos que M é orientável
se M admite uma estrutura diferenciável {(Uα , xα )}α tal que, para todo par α, β com
xα (Uα )∩xβ (Uβ ) 6= ∅, a diferencial da mudança de coordenadas x−1
α ◦xβ tem determinante
positivo. Caso contrário, M é dita não-orientável.

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Se M é orientável, a escolha de uma parametrização satisfazendo a definição acima é
chamada de orientação de M e, neste caso, dizemos que M está orientada.
Definição 1.1.6 Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma
correspondência que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ Tp M . Em termos de
aplicações, X é uma aplicação de M no fibrado tangente T M . O campo é diferenciável
se a aplicação X : M → T M é diferenciável.
Se considerarmos uma parametrização x : U ⊂ Rn → M , podemos escrever
n
X

∂
(p),
∂xi
i=1
n o
n
onde cada ai : U ⊂ R → R é uma função em U e ∂x∂ i
é a base de Tp M associada
X(p) =

ai (p)

p

à parametrização x. Demonstra-se que X é diferenciável se, e somente se, as funções ai
são diferenciáveis para alguma (e portanto, para qualquer) parametrização.
Às vezes é conveniente pensar em um campo diferenciável de vetores como uma
aplicação X : D(M ) → D(M ), definida por
Xf =

n
X
i=1

ai

∂f
.
∂xi

A interpretação de X como um operador em D(M ) permite-nos considerar os iterados
de X. Por exemplo, se X e Y são campos diferenciáveis em M e f : M → R é uma
função diferenciável, podemos considerar as funções X(Y f ) e Y (Xf ). De modo geral,
tais operações não conduzem a campos vetoriais por envolverem derivadas de ordem
superior à primeira. Entretanto, se denotarmos por X(M ) o conjunto de todos os campos
(diferenciáveis) de vetores em M , podemos verificar que a aplicação
[·, ·] : X(M ) × X(M ) −→ X(M )
(X, Y )
7−→ [X, Y ] = XY − Y X,
define um campo de vetores chamado colchete de X e Y. A aplicação colchete possui as
propriedades seguintes, cujas demonstrações encontram-se em [3].
Proposição 1.1.1 Se X, Y e Z são campos de vetores em M, a, b são números reais e
f, g são funções diferenciáveis, então:
(a) [X, Y ] = −[Y, X] (anti-comutatividade);
(b) [aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z] (linearidade);
(c) [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0 (identidade de Jacobi);
(d) [f X, gY ] = f g[X, Y ] + f (Xg)Y − g(Y f )X.

10

1.2

Métricas Riemannianas

Definição 1.2.1 Uma métrica Riemanniana (ou estrutura Riemanniana) em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p ∈ M um produto interno h , ip no espaço tangente Tp M , que varia diferenciavelmente no seguinte
sentido: se x : U ⊂ Rn → M é um sistema de coordenadas
locais 
em torno de p, com

∂
∂
∂
x(x1 , ..., xn ) = q ∈ x(U ) e
(q) = dx(ei ), então
(q),
(q) = gij (x1 , ..., xn ) é
∂xi
∂xi
∂xj
q
uma função diferenciável em U .
Outra maneira de exprimir a diferenciabilidade da métrica Riemanniana é dizer que
para todo par X e Y de campos de vetores diferenciáveis em uma vizinhança V de M , a
função hX, Y i é diferenciável em V .
Definição 1.2.2 Sejam M e N variedades Riemannianas. Um difeomorfismo f : M →
N é chamado uma isometria se
hu, vip = hdfp (u), dfp (v)if (p)
para todos p ∈ M, u, v ∈ Tp M .
Definição 1.2.3 Sejam M e N variedades Riemannianas. Uma aplicação diferenciável
f : M → N é uma isometria local em p se existe uma vizinhança U ⊂ M de p tal que
f : U → f (U ) é um difeomorfismo que satisfaz ao produto interno da definição anterior.
A definição acima introduz uma relação de equivalência entre duas variedades Riemannianas. Duas variedades isométricas são indistinguı́veis do ponto de vista métrico,
isto é, medidas provenientes do produto interno tais como ângulo, área, volume, comprimento e curvatura, são preservadas através da isometria f : M → N .
Exemplo 1.2.1 (Variedades Imersas) Seja f : M n → N n+k uma imersão. Se N
possui uma estrutura Riemanniana, f induz uma estrutura Riemanniana em M por
hu, vip = hdfp (u), dfp (v)if (p) , u, v ∈ Tp M . A métrica de M é chamada então a métrica
induzida por f , e f é dita uma imersão isométrica.
Definição 1.2.4 Um campo vetorial V ao longo de uma curva c : I → M é uma
aplicação que a cada t ∈ I associa um vetor tangente V (t) ∈ Tc(t) M . Dizemos que V
é diferenciável se para toda função diferenciável f em M , a função t 7→ V (t)f é uma
função diferenciável em I.
 
dc
d
, identificado por
, é chamado campo velocidade (ou
O campo vetorial dc
dt
dt
tangente) de c.
A restrição de uma curva c a um intervalo fechado [a, b] ⊂ I chama-se um segmento.
Se M é uma variedade Riemanniana, definimos o comprimento de um segmento por
1/2
Z b
dc dc
b
`a (c) =
,
dt.
dt dt
a
11

Definição 1.2.5 Uma conexão Riemanniana ∇ em uma variedade diferenciável M , é
uma aplicação
∇ : X(M ) × X(M ) −→ X(M )
(X, Y ) 7−→ ∇X Y
que satisfaz as seguintes propriedades:
(i) ∇f X+gY Z = f ∇X Z + g∇Y Z;
(ii) ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇Y Z;
(iii) ∇X (f Y ) = f ∇X Y + (Xf )Y ;
(iv) ∇X Y − ∇Y X = [X, Y ] (simetria);
(v) XhY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi.
Para X, Y, Z ∈ X(M ) e f, g ∈ D(M ).
Proposição 1.2.1 Seja M uma variedade Riemanniana com uma conexão ∇. Então
existe uma única correspondência que associa a cada campo vetorial V ao longo de uma
DV
curva diferenciável c : I ⊂ R → M um outro campo vetorial
ao longo de c, denomidt
nado derivada covariante de V ao longo de c, tal que:
(a)

DV
DW
D
(V + W ) =
+
;
dt
dt
dt

(b)

D
df
DV
(f V ) = V + f
, onde f é uma função diferenciável em I;
dt
dt
dt

(c) Se V é induzido por um campo de vetores Y ∈ X(M ), isto é, V (t) = Y (c(t)), então
DV
= ∇dc/dt Y.
dt
DV
= 0.
dt
Um conjunto {E1 , . . . , En } é dito um referencial para M se, para cada p ∈ M ,
o conjunto {E1 (p), . . . , En (p)} for uma base de Tp M. Isto implica que todo campo de
vetores X ∈ X(M ) pode ser escrito da forma
Um campo de vetores V é dito paralelo quando

X=

n
X

xi Ei ,

i=1

onde as funções xi são diferenciáveis. Um referencial é dito ortonormal se {E1 (p), . . . , En (p)}
for uma base ortonormal de Tp M para cada p ∈ M. Dizemos que um referencial é geodésico
em p ∈ M se ∇Ei Ej (p) = 0, para todo i, j ∈ {1, . . . , n}.

12

1.3

Curvatura

Definição 1.3.1 A curvatura R de uma variedade Riemanniana M, é uma correspondência
que associa a cada par X, Y ∈ X(M ) uma aplicação R(X, Y ) : X(M ) → X(M ) dada por
R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z, Z ∈ X(M ),
onde ∇ é a conexão Riemanniana de M.
Proposição 1.3.1 A curvatura R de uma variedade Riemanniana M goza das seguintes
propriedades:
(i) R é bilinear em X(M ) × X(M ), isto é,
R(f X + gY, Z) = f R(X, Z) + gR(Y, Z),
R(X, f Z + gW ) = f R(X, Z) + gR(X, W ),
com f, g ∈ D(M ), X, Y, Z, W ∈ X(M );
(ii) Para cada X, Y ∈ X(M ), o operador curvatura R(X, Y ) : X(M ) → X(M ) é linear,
ou seja,
R(X, Y )(Z + W ) = R(X, Y )Z + R(X, Y )W,
R(X, Y )(f Z) = f R(X, Y )Z,
com f ∈ D(M ) e Z, W ∈ X(M );
(iii) (Primeira Identidade de Bianchi) Para quaisquer X, Y, Z ∈ X(M ) vale
R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0.

Corolário 1.3.1 Valem as seguintes propriedades:
(a) hR(X, Y )Z, T i + hR(Y, Z)X, T i + hR(Z, X)Y, T i = 0;
(b) hR(X, Y )Z, T i = −hR(Y, X)Z, T i;
(c) hR(X, Y )Z, T i = −hR(X, Y )T, Zi;
(d) hR(X, Y )Z, T i = hR(Z, T )X, Y i.
Proposição 1.3.2 Seja σ um espaço bidimensional do espaço tangente Tp M e x, y ∈ σ
dois vetores linearmente independentes. Então
hR(x, y)x, yi
K(x, y) = p
|x|2 |y|2 − hx, yi2
não depende da escolha dos vetores x, y ∈ σ.
13

Definição 1.3.2 Dados um ponto p ∈ M e um subespaço bidimensional σ ⊂ Tp M ,
o número real K(x, y) = K(p, σ), onde {x, y} é uma base qualquer de σ, é chamado
curvatura seccional de σ em p.
Proposição 1.3.3 Sejam M uma variedade Riemanniana e p um ponto de M . Defina
uma aplicação trilinear R0 : Tp M × Tp M × Tp M → Tp M por
hR0 (X, Y )W, Zi = hX, W ihY, Zi − hY, W ihX, Zi,
para todo X, Y, W, Z ∈ Tp M . Então M tem curvatura seccional constante igual a K0
se, e somente se, R = K0 R0 , onde R é a curvatura de M.

1.4

Curvatura de Ricci e curvatura escalar

Definição 1.4.1 Seja x = zn um vetor unitário em Tp M . Tomemos uma base ortonormal {z1 , z2 , ..., zn−1 } do hiperplano de Tp M ortogonal a x e consideremos as seguintes
médias:
(i) Ricp (x) =

(ii) K(p) =

1 X
hR(x, zi )x, zi i,
n−1 i

i = 1, 2, ..., n − 1;

X
1
1X
Ricp (zj ) =
hR(zi , zj )zi , zj i,
n j
n(n − 1) ij

j = 1, ..., n.

A média dada por (i) é chamada curvatura de Ricci e a expressão dada por (ii) é a
curvatura escalar ou curvatura média.
A proposição seguinte garante que a definição acima faz sentido.
Proposição 1.4.1 Ricp (x) e K(p) não dependem da escolha da base ortonormal.
Demonstração. Seja Q : Tp M × Tp M → R a forma bilinear dada por
Q(x, y) = traço da aplicação z 7→ R(x, z)y.
Escolhendo x ∈ Tp M unitário, uma base ortonormal {z1 , z2 , ..., zn−1 , zn = x} para
Tp M e utilizando o item (d) do corolário 1.3.1, temos
P
Q(x, y) = Pi hR(x, zi )y, zi i
=
i hR(y, zi )x, zi i
= Q(y, x),
isto é, Q é simétrica, donde (n − 1)Ricp (x) = Q(x, x) não depende da base ortonormal.
Por outro lado, à forma bilinear Q em Tp M corresponde uma aplicação linear autoadjunta K, dada por
hK(x), yi = Q(x, y).
14

Tomando uma base ortonormal {z1 , ..., zn }, temos
X
X
Traço de K =
hK(zj ), zj i =
Q(zj , zj )
j
j
X
= (n − 1)
Ricp (zj ) = n(n − 1)K(p).
j

Isso mostra que K(p) também não depende da base ortonormal.
Definição 1.4.2 A forma bilinear

1.5



1
Q é chamada o tensor de Ricci.
n−1

Operadores diferenciais sobre variedades Riemannianas

Nesta seção definimos quatro operadores importantes sobre variedades diferenciáveis:
o gradiente, a divergência, o operador de Laplace e o hessiano. Além das definições,
apresentamos as demostrações das propriedades que serão úteis no trabalho.

1.5.1

Gradiente

Definição 1.5.1 Seja f ∈ D(M ). O gradiente de f , denotado por grad f , é o campo
vetorial em M que satisfaz a seguinte condição:
hgrad f, Xi = X(f ) = df (X),

∀ X ∈ X(M ).

Não é difı́cil ver que um campo Y ∈ X(M ) que satisfaça a condição acima coincide
com o grad f , isto é, o campo gradiente é único. Também segue da definição que
(i) grad (f + g) = grad f + grad g ∀ f, g ∈ D(M ). Com efeito,

hgrad (f + g), Xi =
=
=
=

X(f + g)
X(f ) + X(g)
hgrad f, Xi + hgrad g, Xi
hgrad f + grad g, Xi.

(ii) grad (f g) = f grad g + g grad f ∀ f, g ∈ D(M ). De fato,

hgrad (f g), Xi =
=
=
=
=

X(f g)
f X(g) + g X(f )
f hgrad g, Xi + ghgrad f, Xi
hf grad g, Xi + hg grad f, Xi
hf grad g + g grad f, Xi.
15

Proposição 1.5.1 Se {E1 , ..., En } é um referencial ortonormal local em M , então
grad f =

n
X

Ei (f )Ei .

i=1

Demonstração. Escrevendo grad f =

n
X

αi Ei , temos que

i=1

Ej (f ) = hgrad f, Ej i = h

n
X

αi Ei , Ej i = αj .

i=1

Logo,
grad f =

n
X

Ei (f )Ei .

i=1



1.5.2

Divergência

Definição 1.5.2 Seja M uma variedade Riemanniana munida da conexão ∇. A divergência de X ∈ X(M ) é a aplicação dada por
div : X(M ) −→ C ∞ (M, R)
X
7−→ (div X)(p) := traço (Y 7−→ ∇Y X),
onde Y ∈ Tp M .
Sejam X, Z ∈ X(M ) e f ∈ D(M ). Decorre da definição que
(i) div (X + Z) = div (X) + div (Z). Com efeito,

div (X + Z) =
=
=
=

traço (Y 7−→ ∇Y (X + Z))
traço (Y 7−→ ∇Y X + ∇Y Z)
traço (Y 7−→ ∇Y X) + traço (Y 7−→ ∇Y Z)
div (X) + div (Z).

(ii) div (f X) = f div (X) + hgrad f, Xi. De fato,

div (f X) = traço (Y 7−→ ∇Y (f X))
n
X
=
hEi , ∇Ei (f X)i
=

i=1
n
X

hEi , f ∇Ei X + Ei (f )Xi

i=1

16

=

n
X

n
X

hEi , f ∇Ei Xi +

i=1
n
X

= f

hEi , ∇Ei Xi +

i=1

i=1
n
X

hEi , Ei (f )Xi
hEi (f )Ei , Xi

i=1

= f [traço (Y 7−→ ∇Y X)] +

* n
X

+
Ei (f )Ei , X

i=1

= f div (X) + hgrad f, Xi .
Proposição 1.5.2 Se X =

n
X

Xi Ei , onde {E1 , ..., En } é um referencial ortonormal

i=1

local em M , então
n
X

div X =

(Ei (Xi ) − h∇Ei Ei , Xi).

i=1

Demonstração. Sabemos que
div X =
=

n
X

h∇Ei X, Ei i =

i=1
n
X

n
X

n
X
h∇Ei (
Xj Ej ), Ei i

i=1

hEi (Xj )Ej , Ei i +

i,j=1

j=1
n
X

Xj h∇Ei Ej , Ei i.

i,j=1

Segue da ortonormalidade de {E1 , ..., En } e do item (v) da definição de conexão
Riemanniana que

div X =
=

n
X
i=1
n
X

Ei (Xi ) −
Ei (Xi ) −

i=1

n
X

Xj h∇Ei Ei , Ej i

i,j=1
n
X

n
X

i=1

j=1

h∇Ei Ei ,

Xj Ej i.

Logo,
div X =

n
X
(Ei (Xi ) − h∇Ei Ei , Xi).
i=1



1.5.3

O operador de Laplace

Definição 1.5.3 Seja M uma variedade Riemanniana munida da conexão ∇. O operador de Laplace é definido por
∆ : D(M ) −→ D(M )
f
7−→ ∆f := div (grad f ).
17

Decorre das propriedades do gradiente e da divergência que:
(i) ∆(f + g) = ∆f + ∆g. Com efeito,

∆(f + g) =
=
=
=

div (grad (f + g))
div (grad f + grad g)
div (grad f ) + div (grad g)
∆f + ∆g.

(ii) ∆(f g) = f ∆g + g∆f + 2h grad f, grad gi, para quaisquer f, g ∈ D(M ). De fato,

∆(f g) =
=
=
=
=

div ( grad (f g))
div (f grad g + g grad f )
div (f grad g) + div (g grad f )
f div ( grad g) + h grad f, grad gi + gdiv ( grad f ) + h grad g, grad f i
f ∆g + g∆f + 2h grad f, grad gi.

Proposição 1.5.3 Se {E1 , ..., En } é um referencial ortonormal local em M , então
∆f =

n
X
(Ei (Ei (f )) − (∇Ei Ei )(f )).
i=1

Demonstração. Segue das proposições 1.5.1 e 1.5.2 que

∆f =

n
X
(Ei (Ei (f )) − h∇Ei Ei , grad f i)
i=1

n
X
=
(Ei (Ei (f )) − (∇Ei Ei )(f )).
i=1



1.5.4

Hessiano

Definição 1.5.4 Sejam M uma variedade Riemanniana munida da conexão ∇ e f ∈
D(M ). Definimos o hessiano de f em p ∈ M como o operador linear
(Hessf )p : Tp M −→ Tp M
X 7−→ (Hessf )p X = ∇X grad f.

18

Segue da definição anterior que
h(Hess f )X, Y i = h∇X grad f, i Y
= X hgrad f, i Y − hgrad f, i ∇X Y
= X(Y (f )) − ∇X Y (f ).
Analogamente, verifica-se que hX, (Hess f )Y i = X(Y (f )) − ∇X Y (f ). Subtraindo esta
equação da anterior segue que
h(Hess f )X, Y i − hX, (Hess f )Y i = (XY − Y X)f − (∇X Y − ∇Y X)f
= [X, Y ]f − [X, Y ]f
= 0.
Logo, (Hessf )p é um operador auto-adjunto e, portanto, determina uma forma bilinear
simétrica em Tp M dada por
(Hess f )p (X, Y ) = h∇X grad fp , Y i .

1.6

A segunda forma fundamental
n+m=k

Seja f : M n → M
uma imersão. Sabemos que para cada p ∈ M existe uma
vizinhança U ⊂ M de p tal que f (U ) ⊂ M é uma subvariedade. Para simplificar a notação
identificaremos U ⊂ M com sua imagem f (U ) ⊂ M e cada vetor v ∈ Tq M, q ∈ U , com
dfq (v) ∈ Tf (q) M . Usaremos estas identificações para estender um campo local de vetores
definido em U ⊂ M a um campo local de vetores definido em f (U ) ⊂ M .
Fixado p ∈ M , o produto interno em Tp M decompõe Tp M na soma direta
Tp M = Tp M ⊕ (Tp M )⊥ ,
onde (Tp M )⊥ é o complemento ortogonal de Tp M em Tp M . Desse modo, para cada
v ∈ Tp M , p ∈ M , temos que
v = vT + vN ,

v T ∈ Tp M, v N ∈ (Tp M )⊥ .

Os vetores v T e v N são denominados as componentes tangencial e normal de v, respectivamente.
Sejam ∇ uma conexão Riemanniana de M e ∇ uma conexão Riemanniana de M .
Dados X, Y ∈ X(M ), definimos a aplicação
B : X(M ) × X(M ) −→ (X(M ))⊥
(X, Y ) 7−→ B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y,
onde X e Y são extensões locais de X e Y a M . Podemos verificar que a aplicação
acima é bem definida, isto é, não depende das extensões. Além disso temos a seguinte
proposição:
Proposição 1.6.1 A aplicação B : X(M ) × X(M ) → (X(M ))⊥ definida acima é bilinear
e simétrica.
19

Demonstração. Segue das propriedades de linearidade de uma conexão que B é linear
em X e aditiva em Y . Resta mostrar que B(X, f Y ) = f B(X, Y ), f ∈ D(U ). Indicando
por f¯ a extensão de f a U , temos
B(X, f Y ) = ∇X (f¯ Y ) − ∇X (f Y )
= f¯ ∇X Y − f ∇X (Y ) + X(f¯)Y − X(f )Y.
Como f = f¯ em M temos que X(f¯) = X(f ) = X(f ). Portanto, as duas últimas parcelas
se anulam. Logo, B(X, f Y ) = f B(X, Y ), isto é, B é bilinear.
Para mostrarmos que B é simétrica, utilizamos a simetria da conexão Riemanniana,
obtendo
B(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y
= ∇Y X − ∇Y X + [X, Y ] − [X, Y ].
Visto que [X, Y ] = [X, Y ] em M , concluimos que B(X, Y ) = B(Y, X).
Sejam p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ . A aplicação Hη : Tp M × Tp M → R dada por
Hη (x, y) = hB(x, y), ηi ,



x, y ∈ Tp M,

é uma forma bilinear simétrica de acordo com a proposição anterior.
Definição 1.6.1 A forma quadrática IIη definida em Tp M por
IIη (x) = Hη (x, x)
é chamada a segunda forma fundamental de f em p segundo o vetor η.
Dada a aplicação bilinear Hη sabemos que existe uma única aplicação linear autoadjunta Sη : Tp M → Tp M dada por
hSη (x), yi = Hη (x, y) = hB(x, y), ηi .
A proposição seguinte nos oferece uma expressão de Sη em termos da derivada covariante.
Proposição 1.6.2 Sejam p ∈ M, x ∈ Tp M e η ∈ (Tp M )⊥ . Seja N uma extensão local
de η, normal a M . Então
Sη (x) = −(∇x N )T .
Demonstração. Sejam y ∈ Tp M e X, Y extensões locais de x, y, respectivamente, e
tangentes a M . Então hN, Y i = 0 e, portanto,
hSη (x), yi = hB(X, Y )(p), N i = ∇X Y − ∇X Y, N (p)
= ∇X Y, N = − Y, ∇X N (p) = −∇x N, y
para todo y ∈ Tp M .



20

Exemplo 1.6.1 Consideremos o caso particular em que a codimensão da imersão é 1,
n+1
isto é, f : M n → M ; f (M ) ⊂ M é então denominada uma hipersuperfı́cie.
Sejam p ∈ M e η ∈ (Tp M )⊥ , |η| = 1. Como Sη : Tp M → Tp M é simétrica, existe
uma base ortonormal de vetores próprios {E1 , ..., En } de Tp M com valores próprios reais
λ1 , ..., λn , tais que Sη (Ei ) = λi Ei , i = 1, ..., n. Se M e M são orientáveis e estão ambas
orientadas, o vetor η fica univocamente determinado se exigirmos que, sendo {E1 , ..., En }
uma base na orientação de M , {E1 , ..., En , η} seja uma base na orientação de M . Neste
caso, os Ei são denominados direções principais e os λi = ki são as curvaturas principais
de f . Agora, sabemos que o determinante e o traço de um operador são independentes
das bases dos espaços envolvidos. Diante deste fato, chamamos os números
det(Sη ) = λ1 · ... · λn

e

1
1
tr(Sη ) = (λ1 + ... + λn )
n
n

de curvatura de Gauss-Kronecker e curvatura média, respectivamente.
O teorema a seguir relaciona a curvatura de M com a curvatura de M e suas respectivas segundas formas fundamentais.
Teorema 1.6.1 (Gauss) Sejam p ∈ M e x, y vetores ortonormais em Tp M. Então
K(x, y) − K(x, y) = hB(x, x), B(y, y)i − |B(x, y)|2 .

1.7

Grupos de Lie

Esta seção e a próxima são dedicadas ao estudo dos grupos de Lie e às ações destes
grupos em variedades diferenciáveis. Usaremos este estudo geral de modo especı́fico no
capı́tulo 2 onde estudamos a ação do grupo O(p + 1) × O(q + 1) na variedade Rp+q+2 .
Definição 1.7.1 Um grupo de Lie é um grupo G que possui uma estrutura diferenciável
e tal que as aplicações
m : G × G −→ G
(g, h) 7−→ g · h

e

i : G −→ G
g 7−→ g −1

são diferenciáveis.
Exemplo 1.7.1 Sejam G = Rn com a estrutura diferenciável dada pela aplicação identidade e m (x, y) = x + y a operação de grupo. O inverso do vetor x é o vetor −x. Ambas
as operações da definição são claramente diferenciáveis. Então Rn é um exemplo de um
grupo de Lie.
Exemplo 1.7.2 Seja G = SO (2) o grupo das rotações no plano. Em outras palavras



cos θ − sen θ
G=
: 0 ≤ θ < 2π ,
sen θ
cos θ
21

onde θ denota o ângulo de rotação. É possı́vel mostrar que G, com a multiplicação de
matrizes como operação do grupo, é um grupo de Lie. Além disso, G pode ser identificado
com o cı́rculo unitário
S 1 = {(cos θ, sen θ) : 0 ≤ θ < 2π} .
Exemplo 1.7.3 O conjunto GL(n), de todas as matrizes A ∈ Mn×n inversı́veis, é um
grupo com respeito a operação de multiplicação de matrizes. Além disso, sabemos que
2
GL(n) admite uma estrutura diferenciável cujas parametrizações xα : U ∈ Rn → GL(n)
são dadas pelas entradas aij de A. Além disso, verifica-se que as operações de grupo são
diferenciáveis em GL(n). Logo, GL(n) é um grupo de Lie.
Definição 1.7.2 Um homomorfismo entre grupos de Lie é uma aplicação diferenciável
φ : G → H tal que
φ (g · g̃) = φ (g) · φ (g̃) , g, g̃ ∈ G.
Se G e H são grupos de Lie de dimensões r e s, respectivamente, então o produto
cartesiano G × H é um grupo de Lie com a operação de grupo dada por
(g, h) · (g̃, h̃) = (g · g̃, h · h̃),

g, g̃ ∈ G, h, h̃ ∈ H,

a qual é uma aplicação diferenciável na variedade produto. Assim, por exemplo, o r-Toro
T r = S 1 × S 1 × ... × S 1 é um grupo de Lie pois é o produto cartesiano finito (r vezes) do
grupo de Lie S 1 ' SO(2). A operação de grupo em T 2 , por exemplo, é dada em termos
das coordenadas angulares (θ, ρ) pela adição módulo 2π:
(θ, ρ) · (θ0 , ρ0 ) = (θ, ρ)mod 2π.

1.7.1

Subgrupos de Lie

Definição 1.7.3 Um subgrupo de Lie H de um grupo de
 Lie
 G é dado por uma subvariedade φ : H̃ → G, onde H̃ é um grupo de Lie, H = φ H̃ e φ é um homomorfismo.
Exemplo 1.7.4 Se ω é qualquer número real, a subvariedade
Hω = {(t, ωt) mod 2π; t ∈ R} ⊂ T 2
é um subgrupo de Lie de dimensão 1 do bi-Toro T 2 . Demonstra-se que se ω é racional,
Hω é isomorfo ao grupo SO(2). Por outro lado, se ω é irracional, Hω é isomorfo ao grupo
de Lie R e é denso em T 2 . A demonstração desses fatos encontra-se em [6].
Exemplo 1.7.5 O conjunto O (n) = {X ∈ GL(n); X t X = I}, com a operação de multiplicação de matrizes, é um subgrupo de Lie de GL(n). De fato, os itens abaixo são
satisfeitos:
(i) I t = I ⇒ I t I = II = I ⇒ I ∈ O (n);
(ii) A ∈ O (n) ⇒ At A = I ⇒ A−1 = At ⇒ A−1 ∈ O (n);
22

(iii) A, B ∈ O (n) ⇒ (AB)t (AB) = (B t At ) (AB) = I ⇒ AB ∈ O (n).
Logo, O (n) é um grupo. Além disto, O(n) admite a mesma estrutura diferenciável de
GL(n) e a aplicação identidade i : O(n) → GL(n) fornece um homomorfismo entre
O(n) e GL(n). Portanto, O(n) é um subgrupo de Lie de GL(n) denominado grupo das
isometrias.

1.7.2

Grupos de Lie locais

Definição 1.7.4 Um grupo de Lie local consiste em abertos V0 ⊂ V ⊂ Rn que contêm
a origem 0 e aplicações diferenciáveis m : V × V → Rn , i : V0 → V que satisfazem as
seguintes condições:
(a) (Associatividade) Se x, y, z ∈ V e m (x, y) , m (y, z) ∈ V , então
m (x, m (y, z)) = m (m (x, y) , z) ;
(b) (Elemento Neutro) Para todo x ∈ V temos que
m (x, 0) = m (0, x) = x;
(c) (Inverso) Para cada x ∈ V0 temos que
m (x, i (x)) = m (i (x) , x) = 0.
Exemplo 1.7.6 Seja V = {x ∈ R; |x| < 1} ⊂ R com a multiplicação de grupo dada por
m (x, y) =

2xy − x − y
,
xy − 1

x, y ∈ V.

Através de um cálculo direto verifica-se que as condições (a) e (b) da definição
acima

são satisfeitas. A função inversa é i(x) = x/(2x − 1), definida para x ∈ V0 = x; |x| < 12 .
Logo, m define um grupo de Lie local de dimensão 1.

1.7.3

Transformação local de grupos

Definição 1.7.5 Seja M uma variedade diferenciável. Um grupo local de transformações
agindo em M é dado por um grupo de Lie (local) G, um conjunto aberto U, com
{e} × M ⊂ U ⊂ G × M
e uma aplicação diferenciável ψ : U → M com as seguintes propriedades:
(a) Se (h, x) , ψ (g, ψ (h, x)) , (g · h, x) ∈ U, então
ψ (g, ψ (h, x)) = ψ (g · h, x) ;

23

(b) Para todo x ∈ M ,
ψ (e, x) = x;
(c) Se (g, x) ∈ U, então (g −1 , ψ (g, x)) ∈ U e

ψ g −1 , ψ (g, x) = x.
Quando estiver clara a operação no grupo, denotaremos ψ(g, x) simplesmente por
g · x.
Verifica-se que para cada x ∈ M , os elementos g do grupo G tais que g ·x está definido
formam um grupo de Lie local
Gx = {g ∈ G : (g, x) ∈ U} .
Definição 1.7.6 Um grupo de transformações agindo em M é conexo se
(a) G é um grupo de Lie conexo e M é uma variedade conexa;
(b) U ⊂ G × M é aberto e conexo;
(c) Para cada x ∈ M , o grupo de Lie local Gx é conexo.

1.8

Órbitas

Definição 1.8.1 Dado um grupo de transformações ψ : U ⊂ G × M → M , um conjunto
O ⊂ M é chamado de órbita se satisfaz as seguintes condições:
(a) Se x ∈ O, g ∈ G e g · x está definido, então g · x ∈ O;
(b) Se Õ ⊂ O e Õ satisfaz (a) então Õ = O ou Õ = ∅.
O conjunto de todas as órbitas de ψ é chamado o espaço de órbitas de ψ.
No caso em que ψ : G × M → M é uma transformação global, a órbita Ox que passa
pelo ponto x é definida por
Ox = {g · x; g ∈ G} .
Definição 1.8.2 Seja G um grupo local de transformações agindo em M .
(a) O grupo G age semi-regularmente se todas as órbitas O têm a mesma dimensão
como subvariedades de M .
(b) O grupo G age regularmente se a ação é semi-regular e para cada ponto x ∈ M
existem vizinhanças U de x tais que cada órbita intersecta U em um conjunto
conexo por caminho.

24

Exemplo 1.8.1 Tome G = R, M = Rn e fixe a ∈ Rn −{0}. A aplicação Ψ : R×Rn → Rn
dada por
Ψ (ξ, x) = x + ξa, x ∈ Rn , ξ ∈ R
é uma ação global de grupo. As órbitas são retas paralelas ao vetor a. A ação é regular
e suas órbitas são uni-dimensionais.
Exemplo 1.8.2 Sejam M = Rn , G = R+ com a multiplicação como ação de grupo e
α1 , ..., αn ∈ R números reais não todos nulos. Seja Ψ : R+ × Rn → Rn aplicação dada
por
Ψ (λ, x) = (λα1 x1 , ..., λαn xn ) .
As órbitas da aplicação Ψ são todas subvariedades de dimensão 1 exceto pela órbita
singular dada pela origem.
Exemplo 1.8.3 Sejam G = O(p + 1) × O(q + 1), Rp+q+2 = Rp+1 × Rq+1 , p, q > 1 e
η : G × Rp+q+2 → Rp+q+2 a ação do grupo de isometrias de G em Rp+q+2 , dada por
η(A, B, z, w) = (Az, Bw).
Neste exemplo vamos estudar o espaço de órbitas da ação η. Sabemos que os operadores
ortogonais preservam normas, isto é,
A ∈ O(p + 1), z ∈ Rp+1 =⇒ |Az| = |z|.
Logo, fixado z0 ∈ Rp+1 , a órbita Oz0 da ação (A, z) 7→ Az está contida na esfera S p (|z0 |) ⊂
Rp+1 centrada na origem e de raio |z0 |.
Por outro lado, dado v ∈ Rp+1 com |v| = |z0 |, sabemos da álgebra linear que é possı́vel
obter bases ortonormais V0 e V de Rp+q+2 contendo z0 |z0 |−1 e v|v|−1 , respectivamente, e
um operador A tal que Az0 = v. Um teorema clássico da álgebra linear garante que A
é ortogonal. Portanto, a órbita Oz0 é a esfera S p (|z0 |). Diante deste fato, observe que
o que distingue a órbita Oz0 das demais é apenas o raio |z0 | da esfera S p (|z0 |). Logo,
podemos identificar o espaço de órbitas da ação (A, z) 7→ Az com o intervalo [0, +∞).
Deste modo, o espaço de órbitas da ação η pode ser identificado com o conjunto

π(Rp+q+2 ) = Ω = (x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0, y ≥ 0 ,
onde π : Rp+1 × Rq+1 → R2 é definido por π(z, w) = (|z|, |w|).
Definição 1.8.3 Dado η : G×Rp+q+2 → Rp+q+2 como acima, a distância métrica orbital
da ação η é a distância canônica em R2 restrita aos pontos de Ω.

1.9

Equações Diferenciais Ordinárias

Sejam U um aberto de R × Rn = Rn+1 e f : U → Rn . Dizemos que
x0 = f (t, x)
25

é a equação diferencial ordinária (ou EDO) em Rn definida por f . Se existir um caminho
diferenciável x : I → Rn definido num intervalo I ⊂ R tal que
(t, x(t)) ∈ U

x0 (t) = f (t, x(t))

e

para cada t ∈ I, dizemos que x : I → Rn é uma solução desta EDO. Algumas vezes x é
chamado de curva integral da equação.
Fixemos um ponto (t0 , x0 ) ∈ U . Se uma solução x : I → Rn de x0 = f (t, x) é tal que
t0 ∈ I e x(t0 ) ∈ U , dizemos que esta solução satisfaz a condição inicial x(t0 ) = x0 ou o
problema de valor inicial
x0 = f (t, x), x(t0 ) = x0 .
O teorema a seguir, cuja demonstração encontra-se em [4], garante que sob certas
condições sempre existe uma única solução para um problema de valor inicial. Em seu
é a diferencial de f restrita ao subespaço Rn de R × Rn = Rn+1 .
enunciado, ∂f
∂x
(t, x) são aplicações contı́nuas
Teorema 1.9.1 Se f (t, x) e a derivada parcial espacial ∂f
∂x
n+1
de (t, x) no aberto U ⊂ R
então, dado qualquer ponto (t0 , x0 ) ∈ U , existe uma única
solução do problema de valor inicial x0 = f (t, x), x(t0 ) = x0 , definida num intervalo
aberto (t0 − α, t0 + α) centrado em t0 , para certo α = α(t0 , x0 ) > 0.
Tomando coordenadas na base canônica de Rn e escrevendo x(t) = (x1 (t), ..., xn (t))
e f (t, x) = (f1 (t, x), ..., fn (t, x)) vemos que a equação diferencial vetorial x0 = f (t, x) em
Rn pode ser interpretada como um sistema de equações diferenciais escalares

0

 x1 (t) = f1 (t, x1 (t), ..., xn (t))

 x0 (t) = f2 (t, x1 (t), ..., xn (t))
2
..

.


 x0 (t) = f (t, x (t), ..., x (t)).
n
1
n
n
Uma condição inicial para este sistema é dada por x1 (t0 ) = x01 , x2 (t0 ) = x02 , ..., xn (t0 ) =
x0n . Uma solução desse sistema consiste em n funções reais deriváveis xj : I → R tais
que, para cada t ∈ I,
x0j (t) = fj (t, x1 (t), ..., xn (t)),
enquanto que a n-upla x = (x1 , x2 , ..., xn ) constitui uma solução da equação x0 = f (t, x)
em Rn . Vemos deste modo que a existência e unicidade de soluções de sistemas de
equações diferenciais escalares em R equivale, formalmente, à existência e unicidade de
soluções de equações vetoriais em Rn .
Definição 1.9.1 Dizemos que uma equação diferencial x0 = f (t, x) é autônoma se
f (t, x) não depende de t.
Nesse caso escrevemos f (t, x) = f (x), consideramos a equação diferencial
x0 = f (x)

26

e interpretamos a aplicação f : E → Rn como um campo de vetores definido no aberto
E ∈ Rn . Em particular, quando f = A : Rn → Rn é um operador linear tal que
f (x) = Ax, chamamos f de campo linear.
Questões relativas à existência e unicidade de soluções de sistemas que não são
autônomos podem ser sempre reduzidas às mesmas questões para sistemas autônomos,
como segue.
Proposição 1.9.1 Seja f : U → Rn uma aplicação definida no aberto U ⊂ R × Rn =
Rn+1 . Escreva X = (t, x) ∈ U e defina o campo F : U → Rn+1 por
F (X) = F (t, x) = (1, f (t, x)).
Então, a equação diferencial vetorial x0 = f (t, x) em Rn é equivalente à equação diferencial vetorial autônoma X 0 = F (X) em Rn+1 .
Demonstração. Seja X(u) = (t(u), x(u)) uma solução de
X 0 = F (X),

X(u0 ) = X0 = (t0 , x0 ).

Deste modo, t(u0 ) = t0 e t0 (u) = 1. Segue-se que t(u) = u e, portanto, x(u) satisfaz
x0 (u) = f (u, x(u)), x(u0 ) = x0 . Logo, a componente x(u) de X(u) é uma solução de
x0 = f (t, x). Reciprocamente, se x(t) é tal que x0 (t) = f (t, x(t)) então necessariamente
X(t) = (t, x(t)) é solução da equação vetorial autônoma X 0 = F (X).


1.9.1

Fluxo e singularidade

Seja f : E → Rn um campo de vetores de classe C 1 no aberto E ⊂ Rn . Uma solução
x : I → Rn da equação diferencial
x0 = f (x),

x(t0 ) = x0

(1.1)

é uma solução regular se x0 (t) = f (x(t)) 6= 0 ∈ Rn , para cada t ∈ I. O teorema 1.9.1
garante que (1.1) possui uma única solução.
Observe que se um caminho derivável x : I → Rn é solução de (1.1) então x0 (t) =
f (x(t)) é de classe C 1 . Logo, x é de classe C 2 .
Definição 1.9.2 Dizemos que I é um intervalo máximo da solução (1.1) por x0 se,
dada qualquer solução x : J → Rn com x(0) = x0 , temos J ⊂ I. A solução definida no
intervalo máximo é a solução máxima da equação diferencial x0 = f (x), x(0) = x0 , ou a
trajetória do campo f por x0 .
Quando necessário, escreveremos I(x0 ) para denotar o intervalo máximo por x0 .
Observação 1.9.1 É possı́vel mostrar que o intervalo máximo sempre contém 0 e é
aberto. Uma demonstração deste fato encontra-se em [4].

27

Definição 1.9.3 Para cada par (t, x) tal que t ∈ I(x) para algum x ∈ E, definimos
φ(t, x) = x(t), onde x : I(x) → E é a trajetória de f por x (estamos utilizando a mesma
notação x para um ponto de E e para um caminho em E) e assim obtemos uma aplicação
φ : Ω → Rn
denominada fluxo do campo de vetores f em E. O domı́nio Ω do fluxo é o subconjunto
de R × E ⊂ Rn+1 de todos os (t, x) ∈ R × Rn tais que x ∈ E, t ∈ I(x).
Derivando o fluxo parcialmente em relação a variável temporal t, observamos que
∂φ
(t, x) = x0 (t) = f (x(t)) = f (φ(t, x)).
∂t
Desse modo, o fluxo φ(t, x) de um campo nos dá uma informação global do comportamento de todas as trajetórias do campo.
Proposição 1.9.2 Se φ : Ω → Rn é o fluxo de um campo f : E → Rn de classe C 1 ,
então
φ(t, φ(s, x)) = φ(t + s, x)
para quaisquer s, t ∈ R e x ∈ E tais que s, s + t ∈ I(x).
Demonstração. Considere o caminho
x̃ : I(x) −→ E
t 7−→ φ(t + s, x).
Derivando x̃ em relação a t temos
x̃0 (t) =

∂φ
(t + s, x) = x0 (t + s) = f (x(t + s)) = f (φ(t + s, x)) = f (x̃(t)).
∂t

Além disto, x̃(0) = φ(s, x). Logo, x̃ é solução da equação x0 = f (x), x(0) = φ(s, x).
Ora, como o caminho t 7→ φ(t, φ(s, x)) é a única solução máxima desta equação, ambas
coincidem, isto é,
φ(t + s, x) = x̃(t) = φ(t, φ(s, x)).

Definição 1.9.4 Dizemos que x0 é uma singularidade ou um ponto singular do campo
f se f (x0 ) = 0 ∈ Rn .
A solução de x0 = f (x) por um ponto singular é sempre a trivial; a trajetória do
campo por um ponto singular é denominada trajetória singular. Pontos que não são singulares são denominados regulares e as trajetórias por pontos regulares são denominadas
trajetórias regulares.
Exemplo 1.9.1 Para as equações diferenciais lineares x0 = Ax, a origem x0 = 0 ∈ Rn é
sempre um ponto singular pois sempre vale A0 = 0.
28

Algumas vezes dizemos que uma singularidade do campo f é um ponto de equilı́brio
de f já que x(t) = x0 para todo t ∈ R. Um ponto singular também pode ser caracterizado
como um ponto tal que φ(t, x0 ) = x0 para cada t ∈ R, de modo que também dizemos que
um ponto de equilı́brio do campo é um ponto fixo do campo f .
Os pontos de equilı́brio ainda se dividem em diversos casos. Vamos apresentar agora
as definições de alguns deles.
Definição 1.9.5 Seja x0 um ponto de equilı́brio para o campo f . Dizemos que x0 é um
ponto de equilı́brio estável para f se, para qualquer vizinhança U ⊂ Rn de x0 , existe uma
vizinhança W ⊂ Rn de x0 , tal que W ⊂ E ∩ U e
φt (x) ∈ U,

para quaisquer x ∈ W e t > 0.

Exemplo 1.9.2 O ponto x0 = (0, 0) é o (único) ponto de equilı́brio estável do campo
f (x1 , x2 ) = (x2 , −x1 ).
Todas as trajetórias desse sistema percorrem cı́rculos em torno da origem.
Exemplo 1.9.3 Qualquer ponto x = (0, x2 ), sobre o eixo vertical, é um ponto de
equilı́brio estável do campo
f (x1 , x2 ) = (−x1 , 0).
As trajetórias desse sistema estão sobre semi-retas paralelas ao eixo Ox1 e tendem para
o eixo Ox2 .

Dizemos que x0 é um ponto de equilı́brio instável se x0 não é um ponto de equilı́brio
estável; x0 é um ponto de equilı́brio isolado se existe uma vizinhança W ⊂ Rn de x0 tal
que x0 é a única singularidade de f em E ∩ W .
Observe que uma singularidade estável pode não ser isolada como podemos ver nos
dois exemplos anteriores.
Definição 1.9.6 Seja x0 um ponto de equilı́brio para um campo f : E → Rn . Dizemos
que x0 é um ponto de equilı́brio assintoticamente estável para f se, para qualquer vizinhança U ⊂ Rn de x0 existe uma vizinhança W ⊂ Rn de x0 com W ⊂ E ∩ U , tal que os
seguintes itens são satisfeitos:
29

(i) φt (x) ∈ U , para quaisquer x ∈ W e t > 0;
(ii) lim φt (x) = x0 , para qualquer x ∈ W .
t→+∞

Dizemos que x0 é um ponto de equilı́brio indiferente se x0 é um ponto de equilı́brio
estável que não é assintoticamente estável.
É possı́vel mostrar que todo ponto de equilı́brio assintoticamente estável é sempre um
ponto de equilı́brio isolado. Mais óbvio que isto é o fato de todo ponto de equilı́brio assintoticamente estável ser estável; porém a recı́proca não é verdadeira como podemos ver
no exemplo 1.9.3. Também é possı́vel mostrar que a estabilidade assintótica é invariante
por conjugações (veja definição 1.9.10 abaixo).
Para o caso particular em que f = A : R2 → R2 é um campo linear no plano, com
detA 6= 0, existe uma classificação da origem (único ponto singular do campo) baseada
no estudo dos autovalores λ1 e λ2 de A. Vamos apresentar abaixo, de forma breve, esta
classificação; para maiores detalhes, sugerimos consultar [9].
Caso a. λ1 e λ2 são reais e distintos.
Sejam v1 , v2 os autovetores associados aos autovalores λ1 , λ2 e E1 , E2 os subespaços
invariantes gerados por eles. A trajetória de A por x = (x1 , x2 ) ∈ R2 é
φ(t, x) = x1 eλ1 t v1 + x2 eλ2 t v2 .
Caso a1 . λ2 < λ1 < 0.
Neste caso, a origem é denominada nó estável. Todas as trajetórias tendem à origem
quando t → +∞ e toda trajetória tende a ∞ quando t → −∞. Se x1 6= 0, a reta tangente
à trajetória tende à reta E1 quando t → +∞. Com efeito, uma vez que λ2 − λ1 < 0,
x2
x2 eλ2 t
= e(λ2 −λ1 )t → 0,
λ
t
1
x1 e
x1

quando t → +∞.

Se x1 = 0, as soluções são semi-retas sobre E2 .
Caso a2 . λ2 > λ1 > 0.
A discussão sobre as trajetórias é semelhante ao caso a1 . Neste caso, a origem é
chamada nó instável.
Caso a3 . λ2 > 0 > λ1 .
As trajetórias que passam por pontos de E1 (x2 = 0) tendem à origem quando t →
+∞ e as trajetórias que passam por pontos de E2 (x1 = 0) permanecem em E2 e tendem
à 0 quando t → −∞. Caso x1 , x2 6= 0, quando t → +∞ a componente segundo E1 tende
à 0 e a componente segundo E2 tende à ∞. De modo semelhante, a componente de E1
tende a ∞ e a de E2 tende à 0 quando t → −∞. A origem é denominada ponto de sela.
30

Caso b. λ1 = α + iβ e λ2 = α − iβ são complexos conjugados.
A trajetória de A passando pelo ponto x = (x1 , x2 ) é
φ(t, x) = x1 φ1 (t) + x2 φ2 (t),
onde φ1 (t) = eαt (cos βt v1 − sen βt v2 ) e φ2 (t) = eαt ( sen βt v1 + cos βt v2 ).
Caso b1 . α = 0.
Todas as trajetórias são elı́pses salvo a que contem o ponto 0. A origem é chamada
de centro.
Caso b2 . α < 0.
Quando t → +∞, toda solução tende para 0 espiralando em torno da origem no
sentido horário (se β > 0) ou anti-horário (se β < 0). O ponto 0 é denominado foco
estável.
Caso b3 . α > 0.
As soluções tendem à origem quando t → −∞ em forma de espiral no sentido horário
(caso β > 0) ou anti-horário (caso β < 0). A origem é chamada de foco instável.

31

Caso c. λ1 e λ2 são reais e iguais a λ 6= 0.
Em ambos os casos abaixo, a origem é chamada de nó impróprio.
Caso c1 . O núcleo de A − λI é bidimensional.
Em outras palavras, λ está associado a autovetores v1 e v2 linearmente independentes.
Neste caso, a trajetória de A passando por x = (x1 , x2 ) é a semi-reta
φ(t, x) = eλt (x1 v1 + x2 v2 ).
Caso c2 . O núcleo de A − λI = E1 é unidimensional.
Neste caso a trajetória de A passando por x = (x1 , x2 ) é
φ(t, x) = eλt [(x1 + tx2 )v1 + x2 v2 ],
onde v1 é tal que Av1 = λv1 e {v1 , v2 } é uma base de R2 .
Segue que as órbitas que passam por E1 (x2 = 0) são semi-retas. Além disso, se
x2 6= 0 a reta tangente à trajetória tende a E1 quando t → ±∞ pois
1
x2 eλt
= x1
→ 0 quando t → ±∞.
λt
(x1 + tx2 )e
+t
x2
Se λ < 0, toda trajetória tende a 0 quando t → +∞. De modo análogo, λ > 0 implica
que toda trajetória tende à origem quando t → −∞.

Isto encerra nossa discussão sobre a classificação da origem quando f = A é um
campo linear no plano.
Definição 1.9.7 Seja x0 um ponto de equilı́brio do campo f : E ⊂ Rn → Rn . Dizemos
que x0 é um ponto degenerado se a matriz Jacobiana de Df (x0 ) é identicamente nula.
Encerraremos esta subseção com a definição de trajetória periódica.

32

Definição 1.9.8 Uma trajetória x : I → é uma trajetória periódica do campo f se
a trajetória não é singular e existem t1 , t2 ∈ I tais que t1 6= t2 e x(t1 ) = x(t2 ). Em
outras palavras, uma trajetória é periódica se o caminho que a define não é constante
nem injetor.
A partir da definição acima é possı́vel provar que, necessariamente, I = R e existe um
único T > 0, denominado perı́odo da trajetória, tal que x(t) 6= x(0) para cada 0 < t < T .
Além disso, para cada t ∈ R e k ∈ Z, vale
x(kT + t) = x(t).

1.9.2

Retrato de fase

Nesta subseção vamos supor que f : E → Rn é um campo de classe C 1 no aberto
E ⊂ Rn e que todas as soluções de x0 = f (x) têm intervalo máximo I = R.
Definição 1.9.9 Dizemos que a curva integral definida pela imagem da trajetória de
x0 = f (x) por x0 é a órbita de f por x0 .
Observação 1.9.2 Apesar da nomeclatura desta definição e da definição 1.8.1 serem
as mesmas, ao longo do trabalho ficará claro, no contexto, a qual das duas “órbitas”
estaremos nos referindo.
Decorre da proposição 1.9.2 que uma mesma órbita {x(t)|t ∈ R} ⊂ E pode ser definida
por uma infinidade de soluções. Cada solução de x0 = f (x) fornece uma maneira de
parametrizar o mesmo conjunto, que é a órbita. Já por qualquer ponto escolhido de uma
órbita existe uma única trajetória do campo pelo ponto, que é a única solução máxima
que passa pelo ponto com t = 0.
Pela existência e unicidade decorre que por cada ponto de E passa uma única órbita
do campo f e que órbitas distintas não podem se cruzar. Isso nos diz que o domı́nio
aberto E do campo f é totalmente particionado em órbitas do campo. Muitas vezes o
domı́nio E do campo é chamado de espaço de fase do campo. O retrato de fase de f é
então a partição do espaço de fase em órbitas orientadas.
Dois tipos importantes de órbitas no retrato de fase de um campo são as parametrizadas por trajetórias singulares e por trajetórias periódicas. A primeira consiste em um
único ponto, a singularidade, e chamamos esta órbita de órbita singular. A segunda é
denominada órbita periódica cujo perı́odo é o mesmo da trajetória periódica.
Definição 1.9.10 Sejam f1 : E1 → Rn e f2 : E2 → Rn dois campos de vetores com
fluxos φ1t e φ2t , respectivamente, e sejam x1 ∈ E1 e x2 ∈ E2 dois pontos dados. Dizemos
que o campo f1 em x1 , ou então que o fluxo φ1t em x1 , é localmente topologicamente
(diferenciavelmente) conjugado ao campo f2 , ou ao fluxo φ2t em x2 , se existem vizinhanças
U1 ⊂ E1 de x1 e U2 ⊂ E2 de x2 e um homeomorfismo (difeomorfismo) g : U1 → U2 , tal
que g(x1 ) = x2 e
φ2 (t, g(x)) = g(φ1 (t, x))
para qualquer x ∈ U1 e cada t ∈ R tais que φ1 (t, x) ∈ U1 . O homeomorfismo (difeomorfismo) g é dito uma conjugação local entre os campos nos pontos dados.
33

É possı́vel mostrar que uma conjugação entre dois campos de vetores mantém as
propriedades dinâmicas dos dois campos, levando trajetórias em trajetórias e preservando
o aspecto do retrato de fase. Assim, por exemplo, toda conjugação topológica leva
singularidades em singularidades e órbitas periódicas em órbitas periódicas de mesmo
perı́odo.
O próximo teorema garante que, sob certas condições, o aspecto do campo f em torno
de um ponto singular x0 é semelhante ao aspecto do campo linear Df (x0 ) próximo da
origem. Uma demonstração pode ser encontrada em [5], página 73.
Teorema 1.9.2 (Grobman-Hartman) Seja x0 ∈ E um ponto de equilı́brio do campo
de vetores f : E → Rn de classe C 1 definido no aberto E ⊂ Rn . Se x0 é tal que todos os
autovalores generalizados de Df (x0 ) têm parte real não nula então f é, em x0 , localmente
topologicamente conjugado ao campo linear Df (x0 ) : Rn → Rn em 0.
O teorema de Grobman-Hartman nos permite classificar os pontos singulares de um
campo planar utilizando a classificação feita na subseção 1.9.1 para os campos lineares
no plano. Assim, por exemplo, um ponto singular x0 de um campo f : E ⊂ R2 → R2
será dito um nó estável se a origem de Df (x0 ) é um nó estável.

1.9.3

Fluxo tubular

Considere a equação diferencial y 0 = f¯(y) definida em Rn pelo campo constante
f¯ : Rn → Rn definido por
f¯(y1 , y2 , ..., yn ) = (1, 0, ..., 0) = e1 ∈ Rn ,
com a condição inicial y(0) = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . Obviamente, a solução de y 0 = f¯(y) é
y(t) = (y1 + t, y2 , ..., yn ). Portanto, todas as soluções começando no ponto (c, y2 , ..., yn )
estarão após decorrido um tempo t na posição (c + t, y2 , ..., yn ). Em outras palavras, o
fluxo de f¯ é dado por
ψt (y1 , y2 , ..., yn ) = (y1 + t, y2 , ..., yn ).
Dizemos que o fluxo do campo constante f¯ é laminar ou tubular, pois todas as trajetórias que estão no hiperplano afim y1 = c estarão no hiperplano afim y1 = c + t após
decorrido um tempo t.
Definição 1.9.11 Dado um campo f : E → Rn , dizemos que o ponto x0 ∈ E tem
a propriedade do fluxo tubular se existem uma vizinhança U ⊂ E de x0 , denominada
vizinhança tubular de x0 , um aberto W ⊂ Rn−1 , uma constante r > 0 e um difeomorfismo
g : U → (−r, r)×W que conjuga o fluxo φt de f em U com o fluxo ψt do campo constante
f¯(y1 , y2 , ..., yn ) = (1, 0, ..., 0) em (−r, r) × W , ou seja, vale
ψ(t, g(x)) = g(φ(t, x))
para qualquer x ∈ U e cada |t| < r.
34

Em outras palavras, o ponto x0 tem a propriedade do fluxo tubular se o campo de
vetores f , na vizinhança de x0 , é dado por f¯ a menos de uma mudança de coordenadas
g.
O próximo teorema garante que em torno de um ponto que não é de equilı́brio o
campo f se comporta como o campo constante f¯.
Teorema 1.9.3 (Teorema do fluxo tubular) Seja f : E → Rn um campo de classe
C 1 no aberto E ⊂ Rn . Se x0 ∈ E não é um ponto de equilı́brio, então x0 tem a propriedade
do fluxo tubular.
Demonstração. Sem perda de generalidade podemos supor que x0 = 0 e que f (0) =
αe1 = (α, 0, ..., 0). Por hipótese, f (x0 ) 6= 0 ∈ Rn , portanto α 6= 0 ∈ R. Denotemos por
H o hiperplano
H = [e1 ]⊥ = {(0, x2 , ..., xn )|x2 , ..., xn ∈ R} .
Uma vez que f (0) ∈
/ H temos, pela continuidade de f , que o mesmo vale para uma
vizinhança de 0. Assim, podemos escolher uma bola aberta W ⊂ Rn centrada na origem
/ H para cada x ∈ W ∩ H. Denotando S = W ∩ H observe
0 ∈ Rn tal que W ⊂ E e f (x) ∈
que para r > 0 suficientemente pequeno temos (−r, r) × S ⊂ E, onde Rn foi decomposto
em R × Rn−1 .
Considere a aplicação h : (−r, r) × S → Rn definida por
h(t, (0, x2 , ..., xn )) = φ(t, (0, x2 , ..., xn )) = φt (0, x2 , ..., xn ).
Utilizando a equação logo após a definição 1.9.3 obtemos
∂φ
∂h
(0, 0) =
(0, 0) = f (φ(0, 0)) = f (0) = αe1 .
∂t
∂t
Além disso, como h(0, (0, x2 , ..., xn )) = (0, x2 , ..., xn ), temos que todas as derivadas parciais de h em relação a xi em 0 são iguais a ei , para cada 2 ≤ i ≤ n. Portanto, a
matriz Jacobiana de Dh(0, 0) = diag(α, 1, ..., 1) tem determinante igual a α 6= 0 donde,
é inversı́vel.
De acordo com o teorema da aplicação inversa,
existem

  > 0 e uma bola aberta W0
centrada em 0 tais que h restrita a (−, ) × W0 ∩ S é um difeomorfismo sobre um
aberto U de Rn .
Seja g : U → Rn o difeomorfismo inverso. Afirmamos que em U a aplicação g conjuga
o campo f com o campo laminar constante ψ ≡ e1 , isto é, que ψt ◦ g = g ◦ φt em U , para
cada |t| < .
35

Fixado x ∈ U , sejam t0 ∈ (−, ) e c̃ = (0, c2 , ..., cn ) ∈ W0 ∩ S tais que x = h(t0 , c̃) =
φ(t0 , c̃). Então g(x) = g(h(t0 , c̃)) = (t0 , c̃) e dado t ∈ R, com t + t0 ∈ (−, ), segue
φt (x) = φt (φ(t0 , c̃)) = φ(t + t0 , c̃).
Portanto,
(g ◦ φt )(x) = g(φt (x)) = g(h(t + t0 , c̃))
= (t + t0 , c̃) = ψt (t0 , c̃) = ψt (g(x)) = (ψt ◦ g)(x).
Isto prova a nossa afirmação e demonstra o teorema.

1.9.4



Conjuntos invariantes

Nesta subseção vamos manter as hipóteses de que o campo f : E ⊂ Rm → Rm é de
classe C 1 e que todas as soluções de x0 = f (x) estão definidas para todo t real. Desta
maneira o fluxo φ(t, x) = φt (x) de f fica definido para todo x ∈ E e todo t real.
Definição 1.9.12 Dizemos que um conjunto C ⊂ E é invariante pelo fluxo φ do campo f
se φ(t, C) ⊂ C para todo t ∈ R. Dizemos que C é positivamente invariante se φ(t, C) ⊂ C
para todo t ≥ 0 e negativamente invariante se φ(t, C) ⊂ C para todo t ≤ 0.
Observe que qualquer órbita definida pela trajetória de um campo é um conjunto
invariante pelo fluxo do campo; em particular, qualquer ponto de equilı́brio é invariante
pelo fluxo. Qualquer união de órbitas do campo também é um conjunto invariante. Mais
que isso, um conjunto é invariante pelo fluxo do campo se, e somente se, contém a órbita
de cada um de seus pontos.
Definição 1.9.13 O conjuto ω-limite de um ponto x ∈ E é o conjunto Lω (x) dos pontos
y ∈ E para os quais existe uma sequência tn → +∞ tal que
lim φtn (x) = y.

n→+∞

Analogamente, o conjunto α-limite de um ponto x ∈ E é o conjunto Lα (x) dos pontos
y ∈ E para os quais φtn (x) → y para alguma sequência de tempos tn → −∞.
Proposição 1.9.3 Se y está na órbita de x, então Lω (y) = Lω (x).
Demonstração. Seja y um ponto da órbita de x, digamos y = φt (x) para certo t. Seja
z ∈ Lω (x), de modo que existe uma sequência tn → +∞ tal que φtn (x) → z. Então, de
acordo com a proposição 1.9.2,
z =
=

lim φtn (x) = lim φtn (φ0 (x)) = lim φtn (φt−t (x)) = lim φtn −t (φt (x))

n→+∞

n→+∞

n→+∞

lim φtn −t (y).

n→+∞

36

n→+∞

Portanto, existe uma sequência tn − t → +∞ tal que φtn −t (y) → z. Logo, z ∈ Lω (y)
donde Lω (x) ⊂ Lω (y). De maneira semelhante, como x está na órbita de y, podemos
mostrar que Lω (y) ⊂ Lω (x) e concluir que Lω (y) = Lω (x).

Decorre da proposição anterior que faz sentido definir os conjuntos ω e α-limite de
uma órbita como os conjuntos ω e α-limite de qualquer um dos pontos da órbita. Os
resultados seguintes fornecem algumas propriedades topológicas dos conjuntos Lω (x) e
Lα (x).
Proposição 1.9.4 O conjunto Lω (x) é fechado e invariante.
Demonstração. Dado y ∈ Lω (x) vamos mostrar primeiro que φt (y) ∈ Lω (x) para cada
t ∈ R. De fato, existe uma sequência tn → +∞ tal que φtn (x) → y. Como φt (x) = φ(t, x)
é contı́nua em x, temos


lim φt+tn (x) = φt lim φtn (x) = φt (y)
n→+∞

n→+∞

para cada t ∈ R. Como t + tn → +∞ resulta que φt (y) ∈ Lω (x). Isso mostra que Lω (x)
é invariante pelo fluxo de f .
Para mostrar que Lω (x) é fechado, vamos mostrar que seu complementar é aberto.
Segue da definição de ω-limite que dado y ∈ Rm − Lω (x) existem  > 0 e t̄ > 0 tais que
φt (x) ∈
/ B(y, ) para cada t ∈ R, com t ≥ t̄. Decorre que B(y, ) ∩ Lω = ∅ de modo que
B(y, ) ⊂ Rm − Lω (x) e portanto Rm − Lω (x) é aberto.

Proposição 1.9.5 Se C ⊂ E é um conjunto fechado e positivamente invariante, então
Lω (x) ⊂ C para cada x ∈ C.
Demonstração. Dado y ∈ Lω (x), com x ∈ C, existe uma sequência tn → +∞ tal que
y = lim φtn (x).
n→+∞

Temos φtn (x) ∈ C pela invariância de C e como C e fechado, temos y ∈ C. Logo,
Lω (x) ⊂ C.

Corolário 1.9.1 Se a órbita de f por x é periódica, então Lω (x) é a própria órbita
periódica.
Demonstração. Suponha que a órbia γ de f por x seja periódica de perı́odo T . De
acordo com o que observamos logo após a definição 1.9.8, φnT (x) = φ0 (x) = x para todo
n ∈ Z. Por um lado sabemos que γ é fechado e invariante, o que implica Lω (x) ⊂ γ
de acordo com a proposição 1.9.5. Por outro lado, dado y = φt (x) (t fixo) um ponto
qualquer de γ, temos φt+nT (x) = φt (x) = y para todo n ∈ Z de modo que y ∈ Lω (x) pois
t + nT → +∞ quando n → +∞. Logo, γ ⊂ Lω (x) e concluı́mos que γ = Lω (x).

Corolário 1.9.2 Se z ∈ Lω (x), então Lω (z) ⊂ Lω (x).

37

Demonstração. Segue da proposição 1.9.4 que Lω (x) é fechado e invariante. Dado
z ∈ Lω (x), decorre da proposição 1.9.5 que Lω (z) ⊂ Lω (x).

Encerraremos esta subseção apresentando dois teoremas que dizem respeito aos campos planares. As demonstrações destes teoremas podem ser encontradas em [4].
Teorema 1.9.4 (Teorema de Bendixson) Sejam E ⊂ R2 aberto simplesmente conexo e f : E → R2 um campo de classe C 1 . Se f tem uma órbita periódica, então ou
div f é identicamente nulo ou troca de sinal em E.
Teorema 1.9.5 (Teorema de Poincaré-Bendixson) Os únicos conjuntos ω-limite compactos, não-vazios e sem singularidades de um campo planar são as órbitas periódicas do
campo.

38

Capı́tulo 2
Resultados Principais
Uma vez que demos o embasamento teórico necessário no capı́tulo 1, desenvolveremos
neste capı́tulo o estudo das hipersuperfı́cies de curvatura escalar nula invariantes pela ação
do grupo O(p+1)×O(q +1). Veremos na próxima seção que o estudo das hipersuperfı́cies
invariantes por O(p + 1) × O(q + 1) em Rp+q+2 pode ser reduzido ao estudo de curvas
geratrizes no plano e que a hipótese adicional de que tais hipersuperfı́cies sejam também
de curvatura escalar nula nos conduz diretamente a um sistema de equações diferenciais
ordinárias que por sua vez está associado a um campo de vetores no plano. O estudo
deste campo, feito na seção 2.2, é de fundamental importância para a classificação destas
hipersuperfı́cies. Uma vez obtidas as caracterı́sticas das órbitas do campo associado, na
seção 2.3 interpretamos estas informações para classificar as hipersuperfı́cies de curvatura
escalar nula invariantes pela ação do grupo O(p + 1) × O(q + 1).

2.1

Hipersuperfı́cies de curvatura escalar nula invariantes por O(p + 1) × O(q + 1)

Definição 2.1.1 Sejam M uma variedade, G um grupo de Lie e φ : G × M → M um
grupo de transformações agindo em M . Dizemos que M é invariante pela ação do grupo
G quando φg (M ) ⊂ M para todo g ∈ G.
Sejam G = O(p + 1) × O(q + 1), Rp+q+2 = Rp+1 × Rq+1 e η : G × Rp+q+2 → Rp+q+2
a ação dada por η(A, B, z, w) = (Az, Bw). Sabemos do exemplo 1.8.3 que o espaço de
órbitas de η pode ser identificado com o conjunto

Ω = π(Rp+q+2 ) = (x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0, y ≥ 0 .
Logo, toda hipersuperfı́cie invariante pela ação do grupo G é imagem inversa pela
aplicação π de alguma curva γ(t) = (x(t), y(t)) em Ω. Tal curva é chamada curva
geratriz ou curva perfil. Em particular, a imagem inversa π −1 (γ) da semi-reta γ(t) =
(t cos θ, t sen θ), t ≥ 0, que faz um ângulo θ com eixo x, recebe o nome de cone Cθ .
Uma parametrização explı́cita de uma hipersuperfı́cie invariante M = π −1 (γ) é dada
por


x(t, φ1 , ..., φp , ψ1 , ..., ψq ) = x(t)Φ(φ1 , ..., φp ), y(t)Ψ(ψ1 , ..., ψq ) ,
39

onde Φ e Ψ são parametrizações das esferas unitárias S p (1) ⊂ Rp+1 e S q (1) ⊂ Rq+1 em
coordenadas polares (veja o apêndice A). O vetor normal associado a esta parametrização
é


0
0
N (t, φ1 , ..., φp , ψ1 , ..., ψq ) = −y (t)Φ(φ1 , ..., φp ), x (t)Ψ(ψ1 , ..., ψq ) .
A partir dele obtemos as curvaturas principais de M = π −1 (γ), a saber,
k0 =

ki =

−x00 (t)y 0 (t) + x0 (t)y 00 (t)
3

[(x0 (t))2 + (y 0 (t))2 ] 2

;

y 0 (t)
p
,
x(t) (x0 (t))2 + (y 0 (t))2

kj = −

x0 (t)
p
,
y(t) (x0 (t))2 + (y 0 (t))2

i = 1, 2, ..., p;

j = p + 1, p + 2, ..., p + q.

Por outro lado, a curvatura escalar da hipersuperfı́cie M é dada por
X
S2 =
ki1 ki2 .
i1 <i2
−1

Deste modo, se M = π (γ) é uma hipersuperfı́cie invariante de curvatura escalar
nula, podemos verificar, substituindo os valores das curvaturas principais na equação
acima, que a curva geratriz γ(t) = (x(t), y(t)) satisfaz a seguinte equação:
 00
 0

x0 (t)
−x (t)y 0 (t) + x0 (t)y 00 (t)
y (t)
1
−q
p
0 =
(x0 (t))2 + (y 0 (t))2
(x0 (t))2 + (y 0 (t))2
x(t)
y(t)
(2.1)
#
 0 2
 0 2
1
y (t)
x (t)
1
x0 (t)y 0 (t)
+ p(p − 1)
+ q(q − 1)
− pq
2
x(t)
2
y(t)
x(t)y(t)
As curvas regulares (x(t), y(t)) satisfazendo a equação S2 = 0 são invariantes por
homotetias e, portanto, cada solução γ(t) de (2.1) determina uma famı́lia Mλ de hipersuperfı́cies invariantes de curvatura escalar nula geradas pelas curvas γλ (t) = (λx(t), λy(t)).
Quando y = y(x) a equação (2.1) pode ser escrita como

  h p(p−1) y dy 2 q(q−1) x
i
dy 2
dy
1 + dx
− 2 x dx − 2 y + pq dx
d2 y
=
.
(2.2)
dy
dx2
−qx + py dx
Por outro lado, se x = x(y), temos

 2  
 2
 
p(p−1) y
q(q−1) x dx
dx
1 + dy
− 2 x − 2 y dy + pq dx
dy
d2 x
=
.
dy 2
−py + qx dx
dy

(2.3)

As equações (2.2) e (2.3) mostram que as curvas geratrizes possuem singularidades
dy
dx
nos zeros das equações −qx + py
e −py + qx .
dx
dy
40

Se assumirmos que γ está parametrizada pelo comprimento de arco obtemos as
equações
0 = x00 (t)x0 (t) + y 00 (t)y 0 (t);

y 0 (t)
x0 (t)
0 = [−x (t)y (t) + x (t)y (t)] p
−q
x(t)
y(t)
 0 2
x (t)
x0 (t)y 0 (t)
1
− pq
.
+ q(q − 1)
2
y(t)
x(t)y(t)
00

0

0

00





(2.4)

1
+ p(p − 1)
2

 0 2
y (t)
x(t)

(2.5)

Isolando y 00 na equação (2.4) obtemos no termo que está entre colchetes da equação
(2.5):




0
(x0 )2
00 x
0
00
−x y + x −x 0
= −x y + 0
y
y
00
x
= − 0 ((x0 )2 + (y 0 )2 )
y
x00
= − 0.
y
00 0

0

Logo, podemos reescrever a equação (2.5) do seguinte modo:


 0 2
 0 2
y (t)
x (t)
x0 (t)y 0 (t)
1
1
0
y (t) 2 p(p − 1) x(t) + 2 q(q − 1) y(t) − pq x(t)y(t)
00
i
h 0
.
x =
0 (t)
(t)
p yx(t)
− q xy(t)
Analogamente podemos isolar x00 em (2.4), substituir em (2.5) e obtermos

−x0 (t)
00

y =

2.2



1
p(p − 1)
2

 0 2
y (t)
x(t)

h

+ 12 q(q − 1)

0 (t)
0 (t)
p yx(t)
− q xy(t)

 0 2
x (t)
y(t)

0 (t)y 0 (t)
− pq xx(t)y(t)

i


.

Análise do campo vetorial associado

Considere a mudança de variáveis (x, y) 7→ (u, v) devida a Bombieri - de Giorgi Giusti (veja [2]),
 0
y
y
u = arctan
e v = arctan
.
(2.6)
x
x0
Uma ideia geométrica desta mudança está ilustrada na figura a seguir.

41

Segue que u e v satisfazem as seguintes relações:
x
cos u = p
,
x2 + y 2
cos v = x0 ,
v 0 = −x00 y 0 + x0 y 00 ,

y
sen u = p
,
x2 + y 2

(2.7)

sen v = y 0 ,

(2.8)

u0 =

y 0 x − yx0
,
x2 + y 2

(2.9)

onde as duas últimas igualdades são obtidas ao derivarmos (2.6) em relação a t.
Observe agora que os parâmetros (u, v) estão no fecho do conjunto R = (0, π2 ) ×
(−π, π) uma vez que (x, y) ∈ Ω. Estes parâmetros também são invariantes pela homotetia
(x, y) 7→ λ(x, y).
Admitindo u0 6= 0, multiplicando (2.5) por
x2 y 2 (y 0 x − yx0 )
x2 y 2 0
u =
x2 + y 2
(x2 + y 2 )2
e usando as equações (2.7), (2.8) e (2.9) teremos
" 
#

 0 2
 0 2
x2 y 2 0 0
y0
x0
1
y
x
1
x0 y 0
u v p −q
0 = 2
+ p(p − 1)
+ q(q − 1)
− pq
x + y2
x
y
2
x
2
y
xy


x2 y 2 0 0
y0
x0
y2
x2
0 p(p − 1) 0 2
0 q(q − 1)
0 2
= 2
u
v
p
−
q
+
u
(y
)
+
u
(x
)
x + y2
x
y
2
x2 + y 2
2
x2 + y 2
xy
−pqu0 x0 y 0 2
x + y2
 0

2 2
xy
y
x0
p(p − 1)
q(q − 1)
0 0
= 2
uv p −q
+ u0
sen 2 v sen 2 u + u0
cos2 v cos2 u
2
x +y
x
y
2
2
0
−pqu cos v sen v cos u sen u
42



 0
x0
q(q − 1)
x2 y 2 0 0
y
0 p(p − 1)
+u
sen 2 v sen 2 u +
cos2 v cos2 u
uv p −q
= 2
2
x +y
x
y
2
2

pq
− sen (2v) sen (2u) .
4
Deixando de lado a segunda parcela da igualdade acima e desenvolvendo a primeira
parcela, teremos
 0

 0

x2 y 2 0 0
y
x0
x2 y 2 xy 0 − yx0 0
y
x0
= 2
uv p −q
v p −q
x2 + y 2
x
y
x + y 2 x2 + y 2
x
y

 0
2 2 0
x0
xy v
y
p
=
(cos u sen v − sen u cos v) p − q
x
y
(x2 + y 2 )( x2 + y 2 )
!
y2
x
x2
y
0
0
0
p
p
= v sen (v − u) py 2
− qx 2
x + y 2 x2 + y 2
x + y 2 x2 + y 2

= −v 0 sen (u − v) p sen v sen 2 u cos u − q cos v cos2 u sen u
= −v 0 cos u sen u sen (u − v) (p sen v sen u − q cos v cos u) .
Segue finalmente que
0 = − v 0 [cos u sen u sen (u − v)] (p sen v sen u − q cos v cos u)


q(q − 1)
pq
2
2
2
2
0 p(p − 1)
sen v sen u +
cos v cos u −
sen (2v) sen (2u)
+u
2
2
4
= −v 0 · X1 (u, v) + u0 · X2 (u, v)
D
 
E
=
X1 (u, v), X2 (u, v) , −v 0 , u0 ,
onde
X1 (u, v) = [cos u sen u sen (u − v)] (p sen v sen u − q cos v cos u) ,
X2 (u, v) =

p(p − 1)
q(q − 1)
sen 2 v sen 2 u +
cos2 v cos2 u
2
2
pq
−
sen (2v) sen (2u).
4

(2.10)

(2.11)

A equação h(X1 , X2 ), (−v 0 , u0 )i = 0 implica que o vetor X = (X1 , X2 ) é paralelo ao vetor tangente à curva φ(t) = (u(t), v(t)). Logo, a equação diferencial h(X1 , X2 ), (−v 0 , u0 )i =
0 é equivalente ao sistema de equações diferenciais ordinárias associado ao campo vetorial
no plano (u, v), dado por
X(u, v) = (X1 (u, v), X2 (u, v)) = (u0 , v 0 ).
Cada órbita φ(t) = (u(t), v(t)) de X está associada a famı́lia Mλ de hipersuperfı́cies
geradas pelas curvas geratrizes γλ (t) = (λx(t), λy(t)) determinadas por φ a menos de
uma homotetia.
43

Como as funções X1 (u, v) e X2 (u, v) são limitadas (por serem soma e produto de
funções limitadas) segue que o campo vetorial X(u, v) é limitado. Além disso, é imediato
verificar que X(u, v) é periódico, de perı́odo π, em ambas as variáveis, u e v. Os dois
lemas seguintes fornecem algumas propriedades das funções X1 (u, v) e X2 (u, v).
Lema 2.2.1 A primeira função coordenada X1 (u, v) do campo vetorial X possui as seguintes propriedades:
(1) É identicamente nula ao longo dos gráficos das funções u ≡ 0, u ≡ π2 , v1 (u) = u e
v2 (u) = u − π;


(2) É identicamente nula ao longo do gráfico da função v3 (u) = arctan pq cot(u) ,
π
π
u ∈ (0, π). Além disso, lim v3 (u) = , lim v3 (u) = − ;
u→0
2 u→π
2
(3) X1 (u, 0) = −q cos2 u sen 2 u e X1 (u, π2 ) = −p cos2 u sen 2 u;
(4) X1 é estritamente positiva nos seguintes conjuntos abertos
n
o n
q o
q
R1 =
v1 (u) < v < v3 (u) ∩ 0 < u < arctan
,
p
o
n
o n
q 
q
< u < π2 ,
R3 =
v3 (u) < v < v1 (u) ∩ arctan
p
n
o n
q o
q
π
,
R5 =
v2 (u) < v < v3 (u) ∩ 2 < u < π − arctan
p
n
o n
q 
o
q
R7 =
v3 (u) < v < v2 (u) ∩ π − arctan
<u< π ;
p
e X1 é estritamente negativa nos seguintes conjutos:
o n
o n
o
n
R2 = − π2 ≤ v < v1 (u) ∩ − π2 ≤ v < v3 (u) ∩ 0 < u < π2 ,
n
o n
o
R4 = v3 (u) < v ≤ π2 ∩ v1 (u) < v ≤ π2 ,
n
o n
o n
o
π
π
π
R6 = v3 (u) < v ≤ 2 ∩ v2 (u) < v ≤ 2 ∩ 2 < u < π ,
n
o n
o
R8 = − π2 ≤ v < v3 (u) ∩ − π2 ≤ v < v2 (u) .
Demonstração. É imediato verificar que X1 (u, v) é identicamente nula ao longo dos
π
π
gráficos das funções u ≡ 0 e u ≡ . Então vamos supor u 6= 0,
e fazer X1 (u, v) = 0
2
2
para obtermos
cos u sen u sen (u − v) = 0

p sen v sen u − q cos v cos u = 0.

ou

Decorre da primeira igualdade que
cos u sen u( sen u cos v − sen v cos u) = 0

⇒
u6= π2

⇒

u6=0

⇒

44

cos u sen 2 u cos v = cos2 u sen u sen v
sen 2 u cos v = cos u sen u sen v
sen u cos v = sen u sen v.

π
π
segue que tan v = tan u donde v = u ou v = u − π. Se porém v = ±
2
2
π
podemos verificar que X1 (u, ± ) 6= 0 para todo u ∈ (0, π).
2
Decorre da segunda igualdade que
Se v 6= ±

p sen v sen u = q cos v cos u

u6=0

⇒

v6=± π2

⇒

⇒

sen v = pq cot u cos v
tan v = pq cot u


v = arctan pq cot u .

Em suma, X1 (u, v) é nula apenas ao longo dos gráficos das funções
u ≡ 0,

π
u≡ ,
2


v1 (u) = u,

v2 (u) = u − π

e v3 (u) = arctan


q
cot u .
p

Feito isto, os demais itens são de fácil verificação. Um esboço das regiões do item (4)
é apresentado mais adiante com q > p.

Lema 2.2.2 A segunda função coordenada X2 do campo vetorial X possui as seguintes
propriedades:
(1) É identicamente nula ao longo dos gráficos das funções
!
p
pq ± pq(p + q − 1)
w± (u) = arctan
cot(u) ,
p(p − 1)
u ∈ (0, π). Além disso, lim w± (u) =
u→0

π
π
, lim w± (u) = − ;
2 u→π
2

(2)

X2 (0, v) = 21 q(q − 1) cos2 v, X2 π2 , v = 12 p(p − 1) sen 2 v,
X2 (u, 0) = 21 q(q − 1) cos2 u, X2 u, π2 = 12 p(p − 1) sen 2 u;
(3) X2 é estritamente negativa nas regiões
n
o n
o
S1 =
w− (u) < v < w+ (u) ∩ 0 < u < π2 ,
n
o n
o
S3 = w+ (u) < v < w− (u) ∩ π2 < u < π ;
e X2 é estritamente positiva nas regiões
n
o n
o n
o
π
π
S2 = − 2 ≤ v < w+ (u) ∩ − 2 ≤ v < w− (u) ∩ 0 < u < π ,
n
o n
o n
o
S4 = w+ (u) < v ≤ π2 ∩ w− (u) < v ≤ π2 ∩ 0 < u < π .
Demonstração. Como no lema anterior, é fácil verificar que X2 (0, v) 6= 0 6= X2 (π, 0) e
π
π
que X2 (u, ± ) 6= 0. Deste modo, supondo u 6= 0, e fazendo X2 (u, v) = 0, decorre que
2
2
p(p − 1)
q(q − 1)
sen 2 v sen 2 u − pq cos u cos v sen u sen v +
cos2 v cos2 u = 0.
2
2
45

Multiplicando ambos os lados da equação acima por (cos2 v sen 2 u)−1 obtemos a equação
quadrática em tan v,
p(p − 1)
q(q − 1)
tan2 v − pq cot u tan v +
cot2 u = 0,
2
2
cuja solução é
pq cot u ±
tan v =

=

q
q(q−1)
(pq)2 cot2 u − 4 p(p−1)
cot2 u
2
2
2 p(p−1)
2

pq cot u ±

p
(pq)2 − pq(p − 1)(q − 1)| cot u|
.
p(p − 1)

Logo, X2 (u, v) é identicamente nula apenas ao longo dos gráficos das funções
!
p
pq cot u ± (pq)2 − pq(p − 1)(q − 1)| cot u|
w̃± (u) = arctan
.
p(p − 1)
Observe que os gráficos destas funções e das funções
!
p
pq ± pq(p + q − 1)
w± = arctan
cot u ,
p(p − 1)
cobrem o mesmo conjunto em R2 . Portanto, podemos afirmar que X2 (u, v) é identicamente nula apenas ao longo dos gráficos das funções w± (u). Agora é imediato verificar
os demais itens do lema. Um esboço das regiões do item (4) é apresentado logo a seguir
com q > p.


46

Decorre das equações (2.10), (2.11) e dos lemas que acabamos de apresentar que os
pontos de equilı́brio do campo X são obtidos ao intersectarmos as curvas v1 (u), v2 (u)
e v3 (u) com as curvas w± (u) e ao fazermos uso da periodicidade de X. A proposição
seguinte é imediata.
Proposição 2.2.1 As singularidades do campo vetorial X(u, v) em R = [0, π2 ] × [−π, π]
ocorrem nos pontos










P1 = 0, − π2 , P2 = 0, π2 , P3 = π2 , −π ,
P4 = π2 , 0 ,
P5 = π2 , π ,


P6 = α, α ,
onde







P7 = β, β , P8 = α, α − π e P9 = β, β − π ,

p
pq − pq(p + q − 1) 
e
α = arctan 
p(p − 1)
s

p
pq + pq(p + q − 1) 
β = arctan 
.
p(p − 1)
s

(2.12)

As figuras abaixo nos dão uma ideia geométrica do que diz a proposição anterior
separando os três casos possı́veis: p < q, p = q e p > q.

47

Observação 2.2.1 Derivando cada função coordenada do campo X em relação a u e v
obtemos a matriz da diferencial de X, DX(u, v) = (aij ) ∈ M (2), cujas entradas são
ih
i
h
1
a11 = cos(2u) sen (u − v) + sen (2u) cos(u − v) −q cos u cos v + p sen u sen v
2
h
i
1
+ sen (2u) sen (u − v) q cos v sen u + p sen v cos u ;
2
h
i
1
a12 = − sen (2u) cos(u − v) −q cos u cos v + p sen u sen v
2
h
i
1
+ sen (2u) sen (u − v) q cos u sen v + p sen u cos v ;
2
a21 = −q cos u cos v[(q − 1) cos v sen u + p cos u sen v]
+p sen u sen v[q cos v sen u + (p − 1) cos u sen v];
a22 = −q cos u cos v[(q − 1) cos u sen v + p cos v sen u]
+p sen u sen v[q cos u sen v + (p − 1) cos v sen u].
Algumas vezes a matriz DX(u, v) é chamda de a parte linear de X.
Lema 2.2.3 Para v = u, a parte linear de X é dada por DX(u, u) = (bij ), onde
sen (2u)
sen (2u)
1
[−q cos2 u + p sen 2 u] =
[−q + p tan2 u];
2
2
1 + tan2 u
= [p + q − 1]b11 .

b11 = −b12 =
b21 = b22

48

Além disso, DX(u, u) = DX(u, u − π) o que implica DX(P6 ) = DX(P8 ) e DX(P7 ) =
DX(P9 ).
Demonstração. As expressões de (aij ) dadas na observação 2.2.1 nos fornecem, após
algumas simplificações, as expressões de (bij ). A partir da observação 2.2.1 podemos ver,
também sem dificuldade, que DX(u, u) = DX(u, u − π). Sejam
p
pq − pq(p + q − 1)
2
w = tan α =
> 0,
p(p − 1)
p
pq
+
pq(p + q − 1)
w = tan2 β =
> 0.
p(p − 1)
Antes de calcularmos as matrizes DX(P6 ) e DX(P7 ) notemos o seguinte:
p, q > 1 ⇒ 0 < (p + q)(p − 1) = p(p − 1) + qp − q = −q + p(p + q − 1)
⇒ q 2 < pq(p + q − 1)
p
⇒ −q < 0 < q < pq(p + q − 1).
p
Usando a desigualdade −q < pq(p + q − 1) obtemos
p
p
0 < q − pq + pq + pq(p + q − 1) = −q(p − 1) + pq + pq(p + q − 1).
Logo,
0 < −q +

pq +

p
pq(p + q − 1)
.
p−1

Portanto, −q + pw > 0. De maneira semelhante, a desigualdade q <
implica −q + pw < 0.
Agora, fazendo a = b11 (P6 ) e b = b21 (P6 ), obtemos

a =
=
=
=
=

p
pq(p + q − 1)

sen (2α)
1
(−q + p tan2 α)
2
2
1 + tan α
1
(−q + p tan2 α)
sen α cos α(1 + tan2 α)
(1 + tan2 α)2
1
sen α cos α sec2 α
(−q + p tan2 α)
2
2
(1 + tan α)
tan α
(−q + p tan2 α)
(1 + tan2 α)2
√
w
(−q + pw).
(1 + w)2

Logo,
b = (p + q − 1)b11 (P6 )
= (p + q − 1)a.

49


Segue daı́ que DX(P6 ) = DX(P8 ) =

a −a
b
b


.


Analogamente podemos mostrar que DX(P7 ) = DX(P9 ) =

a −a
b
b


, onde

√

a=

w
(−q + pw) e b = (p + q − 1)a.
(1 + w)2

Por fim, notemos que
−q + pw < 0 < −q + pw =⇒ a < 0 < a.

O leitor pôde observar que a demonstração acima foi além do afirmado no enunciado do lema. Fizemos este esforço adicional porque usaremos fortemente o sinal das
constantes a e a na demonstração da próxima proposição.
Proposição 2.2.2 Para quaisquer inteiros p, q > 1, os pontos singulares P1 , P2 , P3 , P4
e P5 do campo vetorial X, são pontos degenerados. Se p + q ≤ 6, P6 e P8 são nós estáveis
e P7 e P9 são nós instáveis. Se p + q ≥ 7, P6 e P8 são focos estáveis e P7 e P9 são focos
instáveis.
Demonstração. Sabemos que o polinômio caracterı́stico da matriz DX(u, v) ⊂ M (2) é
p(λ) = λ2 − trDX(u, v)λ + detDX(u, v).
Segue que as raı́zes de p(λ) são dadas por
p
trDX(u, v) ± (trDX(u, v))2 − 4detDX(u, v)
λ=
,
2
que são os autovalores do operador DX no ponto (u, v). Assim, é suficiente estudarmos
os sinais destas raı́zes em cada um dos pontos Pi , i = 1, 2, ..., 9.
Podemos verificar através da observação 2.2.1 que λ = 0 para qualquer dos pontos
Pi , i = 1, ..., 5. Logo, os pontos Pi com i = 1, ..., 5 são todos degenerados.
Em relação aos pontos P6 e P8 temos
p
√
a + b ± a2 + (p + q − 1)2 a2 − 6(p + q − 1)a2
a + b ± a2 + b2 − 6ab
=
λ =
2
2
p
2
a + b ± |a| (p + q) − 8(p + q) + 8
=
2
q
√
√
a + b ± |a| [p + q + (−4 + 2 2)][p + q + (−4 − 2 2)]
=
.
2
√
√
Uma vez que −4 + 2 2 ≈ −1, 7 e −4 − 2 2 ≈ −6, 83 fica claro a partir da
igualdade acima porque distinguimos no enunciado os casos p + q ≤ 6 e p + q ≥ 7. No
50

primeiro caso os autovalores são reais puros e no segundo eles são complexos com parte
real igual a a + b. A partir (da demonstração) do lema 2.2.3 podemos observar ainda que
√
√
a + b = a(p + q) < 0 e que [p + q + (−4 + 2 2)][p + q + (−4 − 2 2)] < (p + q)2 .
Logo, caso p + q ≤ 6,
q
√
√
a + b + |a| [p + q + (−4 + 2 2)][p + q + (−4 − 2 2)]
λ1 =

λ2

2
a(p + q) − a(p + q)
a(p + q) + |a|(p + q)
=
= 0;
<
2q
2
√
√
a + b − |a| [p + q + (−4 + 2 2)][p + q + (−4 − 2 2)]
=
2
a+b
a(p + q)
<
=
< 0.
2
2

Obviamente, caso p + q ≥ 7, a parte real de λ1 , λ2 é negativa. Segue que P6 e P8 são
nós estáveis (caso p + q ≤ 6) ou focos estáveis (caso p + q ≥ 7).
Toda esta análise feita para P6 e P8 pode ser reproduzida com os pontos P7 e P9
para concluı́rmos que P7 e P9 são nós instáveis (caso p + q ≤ 6) ou focos instáveis (caso
p + q ≥ 7). Isto finaliza a demonstração.

Lema 2.2.4 As funções f (u, v) = cos u sen u sen (u−v), g(u, v) = p sen v sen u−q cos v cos u
e X2 (u, v) satisfazem as seguintes igualdades:
fu = sen u cos v(2 − 3 sen 2 u) + sen u cos v(2 − 3 cos2 u);
f · gu = −q cos u cos v[ sen 2 u( sen v cos u − cos v sen u)]
+p sen u sen v[− cos2 u( sen v cos u − cos v sen u)];
(X2 )v = −q cos u cos v[(q − 1) cos u sen v + p sen u cos v]
+p sen u sen v[q cos u sen v + (p − 1) sen u cos v];
f · gu + (X2 )v = g · [ sen u cos v(p − sen 2 u) + sen v cos u(q − cos2 u)].

(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)

Demonstração. Calculando diretamente cada um dos termos do lado esquerdo nas
igualdades acima, obtemos
fu = (− sen u sen u + cos u cos u) sen (u − v) + cos u sen u cos(u − v)
= (cos2 u − sen 2 u)( sen u cos v − sen v cos u)
+ cos u sen u(cos u cos v + sen u sen v)
= (1 − 2 sen 2 u) sen u cos v + (1 − 2 cos2 u) sen v cos u
+ cos2 u sen u cos v + sen 2 u sen v cos u
= (2 − 3 sen 2 u) sen u cos v + (2 − 3 cos2 u) sen v cos u.

51

f · gu = cos u sen u sen (u − v)(q sen u cos v + p cos u sen v)
= q cos u cos v sen 2 u sen (u − v) + p sen u sen v cos2 u sen (u − v)
= −q cos u cos v[ sen 2 u( sen v cos u − sen u cos v)]
+p sen u sen v[− cos2 u( sen v cos u − sen u cos v)].
q(q − 1)
p(p − 1)
cos2 u cos v sen v + 2
sen 2 u sen v cos v
2
2
−pq cos u sen u(− sen v sen v + cos v cos v)
= −q(q − 1) cos2 u cos v sen v + p(p − 1) sen 2 u sen v cos v
+pq sen u sen 2 v cos u − pq cos u cos2 v sen u
= −q cos u cos v[(q − 1) cos u sen v + p cos v sen u]
+p sen u sen v[(p − 1) sen u cos v + q sen v cos u].

(X2 )v = −2

f · gu + (X2 )v = −q cos u cos v[ sen 2 u( sen v cos u − sen u cos v)
+(q − 1) cos u sen v + p cos v sen u]
+p sen u sen v[− cos2 u( sen v cos u − sen u cos v)
+(p − 1) sen u cos v + q sen v cos u]
= −q cos u cos v[ sen u cos v(p − sen 2 u) + sen v cos u(q − 1 + sen 2 u)]
+p sen u sen v[ sen u cos v(p − 1 + cos2 u) + sen v cos u(q − cos2 u)]
= (−q cos u cos v + p sen u sen v)[ sen u cos v(p − sen 2 u)
+ sen v cos u(q − cos2 u)]
= g · [ sen u cos v(p − sen 2 u) + sen v cos u(q − cos2 u)].

Na proposição a seguir vamos analizar o comportamento de X nas regiões

 


 

π
π
π
π
D1 = 0, 2 × 0, 2 ,
D2 = 0, 2 × − 2 , 0 ,

 


 

D3 = π2 , π × 0, π2
e D4 = π2 , π × − π2 , 0 .
Proposição 2.2.3 A divergência do campo vetorial X(u, v) é
div X(u, v) = (−q cos u cos v + p sen u sen v)[ sen u cos v(p + 2 − 4 sen 2 u)
+ sen v cos u(q + 2 − 4 cos2 u)]
e, portanto, X não tem órbitas periódicas em D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ D4 .
Demonstração. Utilizando as funções f , g e X2 dadas no lema 2.2.4 temos
div X(u, v) = (X1 )u + (X2 )v = [fu · g + f · gu ] + (X2 )v
= fu · g + [f · gu + (X2 )v ]
= sen u cos v(2 − 3 sen 2 u) + sen u cos v(2 − 3 cos2 u) · g
+[ sen u cos v(p − sen 2 u) + sen v cos u(q − cos2 u)] · g
= g[ sen u cos v(p + 2 − 4 sen 2 u) + sen v cos u(q + 2 − 4 cos2 u)],
52

donde segue a expressão de divX(u, v).
Observe agora que, sendo p, q > 1, os termos
p + 2 − 4 sen 2 u, q + 2 − 4 cos2 u e

sen u cos v

são estritamente positivos na união das regiões Di . Além disso, sen v cos u > 0 para
(u, v) ∈ D1 ∪ D4 e g(u, v) = −q cos u cos v + p sen u sen v é estritamente positiva acima
do gráfico da função


q
cot u
v3 (u) = arctan
p
e estritamente negativa abaixo (veja a demonstração do lema 2.2.1). Podemos então
separar D1 ∪ D4 em dois conjuntos simplesmente conexos e usar o teorema de Bendixson
em cada um deles para concluirmos que X não possui órbitas periódicas em D1 ∪ D4 .
Por outro lado, o lema 2.2.1 nos diz que X2 é estritamente positivo em S2 ∪ S4 ⊃ D2 ∪ D3
e este fato garante que X também não possui órbitas periódicas em D2 ∪ D3 .

±π
A seguir, Ri representa a translação da região Ri por (0, ±π), i = 1, 2, 3, 4 (veja o
lema 2.2.1).
Proposição 2.2.4 Cada órbita
φ(t), de X = (X1 , X2 ), está definida para todos os va
lores de t. Na região R = (u, v) ∈ R2 ; 0 ≤ u ≤ π2 , −π ≤ v ≤ π seu possı́vel comportamento é um dos seguintes: (veja figura adiante)
(1) φ(t) é ou uma órbita vertical com α-limite P1 e ω-limite P2 ou uma órbita vertical
com α-limite P3 e ω-limite P4 ou ainda uma órbita vertical com α-limite P4 e
ω-limite P5 . Incluı́mos as órbitas singulares P1 , P2 , P3 , P4 e P5 neste caso;
(2) φ(t) é ou uma semi-órbita vertical com ω-limite P1 ou uma semi-órbita vertical com
α-limite P2 ;
(3) φ(t) é algumas das órbitas singulares P6 , P7 , P8 ou P9 ;
(4) φ(t) é uma das órbitas em (0, π2 ) × (0, π2 ) atravessando o gráfico da função v3 (u),
0 < u < π2 , com α-limite P7 e ω-limite P6 ;
(5) φ(t) é uma órbita contida na região R1 ∪ R2 ∪ R3−π ∪ R4−π com α-limite P9 e ω-limite
P6 ;
(6) φ(t) é uma conexão de pontos de sela contidos na região R3 ∪ R4 com α-limite P7
e ω-limite P2 ;
(7) φ(t) é uma conexão de pontos de sela contidos na região R1 ∪ [R2 ∩ (0, π2 ) × (0, π2 )]
com α-limite P2 e ω-limite P6 ;
(8) φ(t) é uma conexão de pontos de sela contidos na região R1 ∪ [R2 ∩ (0, π2 ) × (0, π2 )]
com α-limite P4 e ω-limite P6 ;
(9) φ(t) é uma conexão de pontos de sela contidos na região R3 ∪ R4 com α-limite P7
e ω-limite P4 ;
53

(10) φ(t) é uma órbita, ou parte de uma, obtida pela translação de (0, ±π) de uma das
órbitas dadas nos itens anteriores. Mais ainda, para p + q ≤ 6 os pontos singulares
P6 e P8 apresentam uma estrutura de nó estável e P7 e P9 são nós instáveis. Para
p + q ≥ 7, os pontos singulares P6 e P8 são focos estáveis e P7 e P9 são focos
instáveis.
Demonstração. A demonstração desta proposição é consequência dos lemas 2.2.1 e
2.2.2, das proposições 2.2.1 à 2.2.3, do teorema de Poincaré-Bendixson e do teorema do
fluxo tubular.

A figura abaixo ilustra o retrato de fase do campo X com p + q ≥ 7. O retrato de
fase para p + q ≤ 6 é semelhante a este.

54

2.3

Classificação das hipersuperfı́cies invariantes

Nesta seção vamos traduzir o comportamento das órbitas φ(t) = (u(t), v(t)) do campo
vetorial X dado na proposição 2.2.4 em informações com respeito as curvas geratrizes
γ(t) = (x(t), y(t)) em Ω. Este estudo geométrico nos possibilita classificar as hipersuperfı́cies invariantes por O(p + 1) × O(q + 1).
Iremos admitir o seguinte fato a respeito de hipersuperfı́cies invariantes por O(p +
1) × O(q + 1): M = M p+q+1 ⊂ Rp+q+2 é mergulhada se, e somente se, a curva perfil
associada é mergulhada e se a órbita de X associada à curva geratriz é definida para
todo t ∈ R então a hipersuperfı́cie correspondente é completa.
Observação 2.3.1 Nas demonstrações seguintes usaremos constantemente os sinais das
funções X1 e X2 . Assim, por exemplo, quando usarmos o lema 2.2.1 estaremos nos
referindo ao sinal da função X1 na região que estamos trabalhando ou, de maneira mais
geométrica, a direção que uma órbita pode (ou não) seguir em determinada região.
r
q
2
, é o ponto
Para o lema seguinte é útil lembrar que o ponto (θ, θ) ∈ R , onde θ =
p
de intersecção das curvas v1 (u) e v3 (u) dadas no lema 2.2.1. O leitor pode usar a figura
da proposição 2.2.4 como guia para sua demonstração.
Lema 2.3.1 Sejam φ(t) = (u(t), v(t)) uma órbita com α-limite P9 = (β, β − π) e ωlimite P6 = (α, α)
y(t)) a curvageratriz associada. A órbita φ intersecta
e γ(t)
r= (x(t),

q
o segmento l =
θ=
, v : θ − π < v < θ exatamente uma vez e portanto γ(t) inp
r
q
tersecta o raio y =
x exatamente uma vez.
p
Demonstração. Em primeiro lugar observe que a intersecção deve ocorrer na região
R1 ∪ R2 ∪ R4−π . Por hipótese temos
lim u(t) = β,

lim u(t) = α,

t→−∞

t→+∞

com α < θ < β. Decorre do teorema do valor intermediário que existe um t0 tal que
u(t0 ) = θ.
 Seja t1 o maior dos t ∈ (−∞, t0 ) (podendo ser −∞) para o qual Q1 = φ(t1 ) =
u(t1 ), v(t1 ) é um ponto do segmento v = u − π. Daı́ temos duas possibilidades:


(i) t1 = −∞. Neste caso φ (−∞, t0 ) 6⊂ R3−π pois caso contrário existiriam um
−∞ < t̃ < t0 , com φ(t̃) ∈ R3−π e, pelo teorema da alfândega, um t̃ < t̃1 < t0 com
φ(t̃1 ) pertencente ao gráfico de v = u − π, contradizendo a escolha de t1 .


(ii) t1 6= −∞. Neste caso φ (−∞, t1 ) ⊂ R3−π . O argumento para provar esta
afirmação é semelhante ao do item anterior.
55

Analogamente
podemos
escolher t2 como o menor t ∈ (t0 , +∞) para o qual Q2 =


φ(t2 ) = u(t2 ), v(t2 ) é um ponto do segmento v = u e mostrar que t2 = +∞ ou


φ (t2 , +∞) ⊂ R1 .
 Seguedesta construção e da proposição 2.2.4 que a intersecção com l se dá em
φ (t1 , t2 ) ⊂ R2 ∪ R4−π . Mas o lema 2.2.1 implica que u(t) é estritamente decrescente
em R2 ∪ R4−π donde injetiva em [t1 , t2 ]. Logo, existe um único t0 tal que u(t0 ) = θ. Isso
mostra que φ(t) intersecta o segmento l em um único ponto.

Proposição 2.3.1 A curva geratriz dada no lema anterior não possui auto-intersecções.
Demonstração. Seja γ(t) = (x(t), y(t)) a curva geratriz associada r
à φ(t) = (u(t), v(t)).
q
Decorre do lema 2.3.1 que existe um certo t0 ∈ R tal que y(t0 ) =
x(t0 ). Por outro
p
π
lado, o lema 2.2.2 garante que existem únicos t1 < t2 tais que v(t1 ) = − e v(t2 ) = 0.
2
Existem três situações a serem consideradas:
t1 < t0 < t2 ,

t1 < t2 < t0

ou t0 < t1 < t2 ,

sendo que a última é equivalente à segunda tomando a curva γ̃(t) = γ(−t) no lugar de
γ. Portanto, podemos supor que existem apenas duas situações a serem consideradas:
t1 < t0 < t2

ou t1 < t2 < t0 .

Suponha t1 < t0 < t2 . Lembrando as hipóteses do lema anterior podemos observar
que
−π < β − π < v(t) < 0,
π
π
− < v(t) < α < ,
2
2

∀t ∈ (−∞, t2 ),
∀t ∈ (t1 , +∞).

Assim,
y 0 (t) = sen v(t) < 0,
x0 (t) = cos v(t) > 0,

t ∈ (−∞, t2 ),
t ∈ (t1 , +∞).

Isto mostra que y(t) é injetiva em (−∞, t2 ) donde γ(t) é injetiva neste intervalo. Do
mesmo modo, x(t) é injetiva em (t1 , +∞) o que implica γ(t) injetiva em (t1 , +∞). Para
concluı́rmos a demonstração deste caso, devemos mostrar que não existem t̃1 < t1 e
t̃2 > t2 tais que γ(t̃1 ) = γ(t̃2 ). Mas isto é claro, uma vez que a unicidade de t0 e y 0 (t) < 0,
t ∈ (−∞, t2 ), implicam
r
r
q
q
y(t) >
x(t), ∀ t ≤ t1 < t0
e
y(t) <
x(t), ∀ t ≥ t2 > t0 .
p
p
Logo, caso t1 < t0 < t2 , γ(t) não possui auto-intersecções. Para o caso t1 < t2 < t0 ,
sugerimos ao leitor, consultar [8].

56

Proposição 2.3.2 A curva geratriz γ(t) = (x(t), y(t)) associada a uma órbita contida
na região [0, π2 ] × [0, π2 ] pode ser pensada como o gráfico (ou união de gráficos quando
γ(t) tem uma singularidade) de uma função y = y(x) ou x = x(y). Além disso, existem
singularidades nos zeros das equações
dx
= 0,
dy


q
as quais correspondem as coordenadas (u, v) com v = arctan
cot(u) .
p
−qx + py

dy
=0
dx

ou

− py + qx

Demonstração. Seja t0 um ponto não singular de γ, isto é,
γ 0 (t0 ) = (x0 (t0 ), y 0 (t0 )) 6= (0, 0).
Vamos supor x0 (t0 ) 6= 0. Neste caso, o teorema da função inversa garante a existência de
uma vizinhança I ⊂ R de t0 tal que x : I → J = x(I) ⊂ R é um difeomorfismo. Seja
γ̃ : J → R2 a curva dada por


−1
−1
−1
γ̃(t) = (γ ◦ x )(t) = x(x (t)), y(x (t)) = (t, f (t)).
Observe que f (t) = (y ◦ x−1 )(t) é diferenciável por ser composição de funções diferenciáveis e que γ̃ é o gráfico de f . Isto demonstra a primeira parte da proposição. Quanto
à segunda, já vimos das equações (2.2) e (2.3) que as singularidades ocorrem nos zeros
das equações
dx
dy
= 0 ou − py + qx
= 0.
−qx + py
dx
dy
dy
na primeira igualdade e utilizando as equações (2.6), (2.7) e (2.8)
Agora, isolando
dx
podemos ver que

tan v =

dy
dt
dx
dt

qx
q
dy
=
= cot u
=
dx
py
p

Analogamente podemos isolar
valência acima.


⇐⇒

v = arctan


q
cot u .
p

dx
na segunda igualdade e chegarmos a mesma equidy


Teorema 2.3.1 Seja M p+q+1 uma hipersuperfı́cie invariante pela ação do grupo O(p +
1) × O(q + 1), p, q > 1, com curvatura escalar identicamente nula. Se a curva geratriz
associada a M faz um ângulo constante com o eixo x, então M é um dos cones Cα ou
Cβ .
Demonstração. Seja γ a curva geratriz satisfazendo as hipóteses do teorema. Neste
caso, uma parametrização para γ pode ser dada por γ(t) = (x(t), tan θx(t)), onde
57

 π
θ ∈ 0,
. Substituindo as coordenadas de γ(t) na equação (2.1) e omitindo a variável
2
t, para não carregar a notação, obtemos
 00


1
−x tan θx0 + x0 tan θx00
tan θx0
x0
0 =
p
−q
(x0 )2 + (tan θx0 )2
(x0 )2 + (tan θx0 )2
x
tan θx
#




2
2
1
tan θx0
x0
1
x0 tan θx0
+ p(p − 1)
.
+ q(q − 1)
− pq
2
x
2
tan θx
x tan θx
Logo,
0 =

1
(tan θ)2 (x0 )2 1
(x0 )2
(x0 )2
p(p − 1)
q(q
−
1)
+
−
pq
.
2
x2
2
(tan θ)2 x2
x2

Multiplicando a equação acima por 2

x2
(tan θ)2 obtemos a equação quadrática em
(x0 )2

tan2 θ,
0 = p(p − 1)(tan2 θ)2 − 2pq tan2 θ + q(q − 1),
cuja solução é
tan2 θ =

pq ±

p

pq(p + q − 1)
p(p − 1)

θ∈(0, π2 )

=⇒

s
tan θ =

pq ±

p
pq(p + q − 1)
.
p(p − 1)

Portanto, θ = α ou β. Segue que as duas únicas hipersuperfı́cies possı́veis nas hipóteses
do teorema são os cones Cα ou Cβ .

Lema 2.3.2 Valem as seguintes relações entre as coordenadas (x, y) da curva geratriz e
as coordenadas (u, v) do campo X:
π
(1) u = 0 ⇔ y = 0 e u = ⇔ x = 0,
2
π
(2) v = 0, ±π ⇔ y 0 = 0 e v = ± ⇔ x0 = 0,
2


0
y
y
q
y0
qy
(3) v = u ⇔ 0 = ⇔ v = u − π e v = arctan
cot u ⇔ 0 =
.
x
x
p
x
px
Demonstração. Todos os itens são obtidos através das equações (2.6), (2.7) e (2.8).
Vamos provar apenas o item (3).
u = v ⇒ y 0 = sen v = sen u = p
⇒

y0
y
=
0
x
x

y
x2 + y 2

e x0 = cos v = cos u = p

⇒ tan v = tan u ⇒ v = u ou v = u − π.

Isto conclui esta parte do item (3). Quanto à outra,


q
q
v = arctan
cot u
⇔ tan v = cot u ⇔
p
p
58

y0
qy
=
.
x0
px

x
x2 + y 2


Chegamos ao principal resultado deste trabalho. Em sua demonstração usaremos a
notação l(θ) para representar o conjunto


raio γ(t) = {(t cos θ, t sen θ), t ≥ 0} .
Teorema 2.3.2 (Teorema de Classificação) Uma hipersuperfı́cie M p+q+1 , invariante
pela ação do grupo O(p + 1) × O(q + 1), p, q > 1, com curvatura escalar identicamente
nula pertence a uma das seguintes classes (veja a figura logo opós a demonstração):
(1) Cones com uma singularidade na origem de Rp+q+2 (tipo A);
(2) Hipersuperfı́cies possuindo uma órbita de singularidades e assintotando ambos os
cones Cα e Cβ (tipo C);
(3) Hipersuperfı́cies regulares que assintotam o cone Cα (tipo B);
(4) Hipersuperfı́cies regulares que assintotam o cone Cβ (tipo B);
(5) Hipersuperfı́cies regulares que assintotam ambos os cones Cα e Cβ (tipo D).
Demonstração.
(1) Estas são as hipersuperfı́cies obtidas no teorema 2.3.1 correspondentes ao caso (3)
da proposição 2.2.4.
(2) Estas são as hipersuperfı́cies cujas curvas geratrizes γ(t) = (x(t), y(t)) estão associadas às órbitas φ(t) com α-limite P7 e ω-limite P6 (veja o caso (4) 
da proposição

q
cot u em
2.2.4). Uma tal órbita intersecta o gráfico da função v(u) = arctan
p
um determinado ponto P que corresponde à singularidade da curva geratriz conforme vimos na proposição 2.3.2. Segue do lema 2.3.2 e da proposição 2.2.4 que γ
não intersecta a fronteira do espaço de órbitas Ω. Além disso, uma vez que
lim φ(t) = (β, β),

t→−∞

lim φ(t) = (α, α),

t→+∞

a curva geratriz γ associada à φ assintota os raios l(α) e l(β). Portanto, a hipersuperfı́cie gerada por γ assintota os cones Cα e Cβ .
(3) Estas são hipersuperfı́cies geradas pelas curvas γ(t) = (x(t), y(t)) que estão associadas às órbitas φ(t) = (u(t), v(t)) com α-limite P2 e ω-limite P6 ou com α-limite
P4 e ω-limite P6 correspondentes aos casos (7) e (8) da proposição 2.2.4. Segue do
lema 2.3.2 que
 π
(u, v) → 0,
⇒ y → 0 e x0 → 0.
2
Logo, a curva γ intersecta o eixo x ortogonalmente
r  em algum ponto (x0 , 0) com
q
x0 > 0. Observe ainda que 0 < u(t) < arctan
para t suficientemente grande
p
59

r
y
q
(em ambos os casos: (7) e (8)), o que implica 0 < tan u = <
. Portanto,
x
p
a partir
r de um certo tempo a curva γ está sempre abaixo do gráfico da função
q
y=
x. Além disso, lim φ(t) = (α, α) implica que γ assintota o raio l(α).
t→+∞
p
Assim, a hipersuperfı́cie gerada por γ assintota o cone Cα .
(4) Este item é análogo ao item (3) e corresponde aos casos (6) e (9) na proposição
2.2.4.
(5) Estas são hipersuperfı́cies cujas curvas geratrizes γ(t) = (x(t), y(t)) estão associadas
às órbitas φ(t) com α-limite P9 e ω-limite P6 que correspondem ao caso (5) da
proposição 2.2.4. Segue do lema 2.3.2 que γ não intersecta a fronteira do espaço de
órbitas Ω. Além disso, decorre de
lim φ(t) = (β, β − π),

t→−∞

lim φ(t) = (α, α),

t→+∞

que γ assintota os raios l(α) e l(β). Portanto, a hipersuperfı́cie gerada por γ
assintota os cones Cα e Cβ .


60

61

O leitor deve ter percebido que dos dez itens da proposição 2.2.4, apenas os itens
(3)−(9) são mencionados no teorema anterior. Isso se deve ao fato de cada curva geratriz
associada a uma órbita dos itens (1) ou (2), na proposição 2.2.4, estar sobre o eixo x e
portanto não é curva geratriz de uma hipersuperfı́cie em Rp+q+2 pela aplicação π (veja
exemplo 1.8.3). O item (10) da proposição 2.2.4 não caracteriza nenhuma órbita que já
não tenha sido apresentada nos nove itens anteriores. O teorema 2.3.2 cobre portanto,
todos os casos possı́veis para as hipersuperfı́cies estudadas neste capı́tulo.

62

Referências Bibliográficas
[1] Alencar, H. Minimal Hypersurfaces in R2m Invariant by SO(m) × SO(m). Trans.
Amer. Math. Soc.337(1)(1993), 129-141.
[2] Bombieri, E., de Giorgi, E. and Giusti, E. Minimal Cones and the Berstein Problem.
Invent. Math.7(1969), 243-269.
[3] Carmo, Manfredo P. do. Geometria Riemanniana. 4a ed. IMPA,Rio de Janeiro,
2008.
[4] Doering, C. I. e Lopes, A. O. Equações Diferenciais Ordinárias. 2a ed. IMPA, Rio
de Janeiro, 2007.
[5] J. Palis Jr. e W. Melo. Introdução aos Sistemas Dinâmicos. Projeto Euclides, Rio
de Janeiro: IMPA, 1978.
[6] Olver, Peter J. Applications of Lie Groups to Differential Equations. 2nd ed.
Springer-Verlag, New York, 2000.
[7] Okayasu, T. O(2) × O(2)-Invariant Hypersurfaces with Zero Constant Negative
Scalar Curvature in E 4 . Proc. Amer. Math. Soc.107(1989), 1045-1050.
[8] Sato, J. and Neto, V. F. de S. Complete and Stable O(p + 1) × O(q + 1)-Invariant
Hypersurfaces with Zero Scalar Curvature in Euclidean Space Rp+q+2 . Ann. Global
Anal. Geom. 29(2006), 221-240.
[9] Sotomayor Tello, Jorge Manuel. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. IMPA,
Rio de Janeiro, 1979.

63

Apêndice A
Coordenadas polares em Rn
Antes de generalizarmos as coordenadas polares em Rn vamos apresentar os casos
particulares com n = 2, 3 e 4. Sejam W = {(x1 , x2 ) ∈ R2 ; x1 ≥ 0, x2 = 0} a semi-reta
partindo da origem do R2 e V = R2 − W . Podemos parametrizar uma vizinhança de
qualquer ponto p ∈ V através da aplicação
Φ : U ⊂ R2 −→ V
(r, φ) 7−→ (r cos φ, r sen φ),
onde U é o aberto (0, +∞) × (0, 2π) ⊂ R2 . Note que Φ é um difeomorfismo, isto é,
diferenciável, bijetiva e com inversa diferenciável. Parapverificarmos a bijetividade, por
exemplo, tomamos para cada p = (p1 , p2 ) ∈ V , r0 = p21 + p22 e φ0 ∈ (0, 2π) como a
única solução do sistema

p1

cos φ =


r0


 sen φ = p2 .
r0
Note que a soma dos quadrados das coordenadas de Φ(r, φ) é r2 . Dizemos que Φ parametriza o aberto V em coordenadas polares. Se o ponto p não pertencer a V podemos alterar
convenientemente o domı́nio de Φ de modo que p ∈ Φ(U ). Desse modo, qualquer ponto
de R2 pode ser expresso em coordenadas polares. A esfera S 1 (1) ⊂ R2 por exemplo, é
expressa nestas coordenadas quando tomamos r = 1 na aplicação Φ.
Analogamente, o R3 pode ser parametrizado através da aplicação Φ : U ⊂ R3 → R3
dada por
Φ(r, φ1 , φ2 ) = (r cos φ1 , r sen φ1 cos φ2 , r sen φ1 sen φ2 ),
onde U = (0, +∞) × (0, π) × (0, 2π). Esta maneira de parametrizar o R3 é conhecida
como coordenadas polares em R3 ou coordenadas esféricas.
Dado um ponto p = (p1 , p2 , p3 ) ∈ V = Φ(U ), podemos garantir a bijetividade de Φ
√
fazendo o seguinte: tomando r0 = p1 + p2 + p3 , φ1 ∈ (0, π) como o único ponto tal que

64

cos φ1 = p1 /r0 e φ2 como o único ponto em (0, 2π) que é solução do sistema

p2

cos φ2 =


r0 sen φ1


 sen φ2 =

p3
.
r0 sen φ1

Assim como em R2 , também vale que a soma das coordenadas de Φ(r, φ1 , φ2 ) é r2 .
De fato,
(r cos φ1 )2 + (r sen φ1 cos φ2 )2 + (r sen φ1 sen φ2 )2
=
r2 cos2 φ1 + r2 sen 2 φ1 (cos2 φ2 + sen 2 φ2 )
= r2 .
Caso o ponto p não pertença a V podemos modificar o domı́nio U de Φ de modo que
p ∈ Φ(U ), assim como fizemos em R2 . A esfera S 2 (1) ⊂ R3 é parametrizada por Φ ao
tomarmos r = 1.
Uma interpretação geométrica das coordenadas polares em R2 e R3 é dada nas figuras
abaixo.

Em R4 não temos uma interpretação geométrica destas coordenadas para nos servir
de inspiração, mas podemos nos inspirar nos casos de R2 e R3 para obtermos a expressão
de Φ : U ⊂ R4 → R4 definida em um aberto do R4 .
Essencialmente, Φ deve satisfazer duas condições: ser bijetiva e a soma dos quadrados
de Φ(r, φ1 , φ2 , φ3 ) ser igual a r2 . Se observarmos o método utilizado para provarmos
a bijetividade em R3 e a maneira com que os quadrados das coordenadas de Φ vão
simplificando quando somamos estas coordenadas, podemos imaginar que as coordenadas
polares em R4 são dadas por
Φ(r, φ1 , φ2 , φ3 ) = (r cos φ1 , r sen φ1 cos φ2 , r sen φ1 sen φ2 cos φ3 , r sen φ1 sen φ2 sen φ3 ),
onde 0 < r < +∞, 0 < φ1 , φ2 < π e 0 < φ3 < 2π.
p Dado p = (p1 , p2 , p3 , p4 ) ∈ V = Φ(U ), verificamos que Φ é bijetiva tomando r0 =
p21 + p22 + p23 + p24 em (0, +∞) e obtemos os ângulos procedendo como em R3 : usando
a bijetividade do cosseno em (0, π), para encontrarmos φ1 e φ2 ; em seguida encontramos
65

φ3 ∈ (0, 2π) como a única solução de um sistema envolvendo sen φ3 e cos φ3 . Observe
ainda, que a soma dos quadrados de Φ(r, φ1 , φ2 , φ3 ) é igual a r2 . Além disso, Φ é diferenciável e sua inversa também. Portanto, Φ é a parametrização do R4 em coordenadas
polares.
Agora ficou claro como deve ser a generalização de Φ em Rn . De modo geral, as
coordenadas polares em Rn são dadas pela aplicação Φ : U ⊂ Rn → Rn tal que

Φ(r, φ1 , ..., φn−1 ) = r cos φ1 , r sen φ1 cos φ2 , ...,

r sen φ1 · ... · sen φn−2 cos φn−1 , r sen φ1 · ... · sen φn−1 ,
com r ∈ (0, +∞), φi ∈ (0, π), i = 1, 2, ..., n − 2, φn−1 ∈ (0, 2π). A esfera S n−1 ⊂ Rn é
dada em termos destas coordenadas quando tomamos r = 1 na expressão de Φ acima.
Em vista do que estamos estudando neste apêndice, podemos parametrizar explicitamente a esfera S p (1) ⊂ Rp+1 através da aplicação
Φ:

U ⊂ Rp −→ S p (1) ⊂ Rp+1
(φ1 , ..., φp ) 7−→ (cos φ1 , sen φ1 cos φ2 , ..., sen φ1 · ... · sen φp ).

Deste modo, a parametrização explı́cita de uma hipersuperfı́cie invariante pela ação
do grupo das isometrias O(p + 1) é dada por (veja exemplo 1.8.3)
F : R × U ⊂ Rp+1 −→ Rp+1
(t, φ1 , ..., φp ) 7−→ x(t)Φ(φ1 , ..., φp ),
onde x : R → (0, +∞) é uma função diferenciável (na notação da seção 2.1, x é a
primeira função coordenada da curva geratriz γ). Se chamarmos de Ψ a parametrização
de S q (1) ⊂ Rq+1 , uma parametrização explı́cita de uma hipersuperfı́cie M invariante pela
ação do grupo O(p + 1) × O(q + 1) é dada por


x(t, φ1 , ..., φp , ψ1 , ..., ψq ) = x(t)Φ(φ1 , ..., φp ), y(t)Ψ(ψ1 , ..., ψq ) ,
onde y : R → (0, +∞) é a segunda função coordenada da curva geratriz de M .

66

Índice Remissivo
Campo
linear, 27
tangente, 11
Campo de vetores, 10
ao longo de uma curva, 11
paralelo, 12
Centro, 31
Cone Cθ , 39
Conexão Riemanniana, 12
Conjugação local, 33
Conjunto
α-limite, 36
ω-limite, 36
invariante, 36
negativamente invariante, 36
positivamente invariante, 36
Curva
geratriz, 39
integral, 26
Curvatura
de Gauss-Kronecker, 21
de Ricci, 14
de uma variedade, 13
escalar, 14
média, 21
principal, 21
seccional, 14
Derivada covariante, 12
Diferenciável
aplicação, 9
curva, 9
variedade, 8
Direções principais, 21
Distância métrica orbital, 25
Divergência, 16

Espaço
de fase, 33
tangente, 9
Estrutura diferenciável, 8
Fibrado tangente, 9
Fluxo tubular, 34
propriedade do, 34
teorema do, 35
Fluxo(s)
conjugados, 33
de um campo, 28
Foco
estável, 31
instável, 31
Gradiente, 15
Grupo
agindo regularmente, 24
agindo semi-regularmente, 24
conexo de transformações, 24
das isometrias, 23
local de transformações, 23
Hessiano, 18
Hipersuperfı́cie, 21
Homomorfismo, 22
Imersão, 9
codimensão da, 9
isométrica, 11
Intervalo máximo, 27
Isometria, 11
Lie
grupo de, 21
grupo local de, 23
subgrupo de, 22

Equação diferencial autônoma, 26
67

Métrica induzida, 11
Métrica Riemanniana, 11
Mergulho, 9
Nó
estável, 30
impróprio, 32
instável, 30
Órbita(s), 24
de um campo, 33
espaço de, 24
periódica, 33
singular, 33
Operador de Laplace, 17

Poincaré-Bendixson, 38
Trajetória, 27
periódica, 33
regular, 28
singular, 28
Variedade
orientável, 9
Vetor tangente, 9
Vizinhança
coordenada, 8
tubular, 34

Ponto
de equilı́brio, 29
assintoticamente estável, 29
degenerado, 32
estável, 29
indiferente, 30
instável, 29
isolado, 29
de sela, 30
fixo, 29
regular, 28
singular, 28
Problema de valor inicial, 26
Retrato de fase, 33
Segmento, 11
comprimento do, 11
Segunda forma fundamental, 20
Solução
máxima, 27
regular, 27
Subvariedade, 9
Superfı́cie
invariante, 39
Tensor de Ricci, 15
Teorema de
Bendixson, 38
Classificação, 59
Grobman-Hartman, 34
68