Padrão de Resposta
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Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Padrão de resposta- Prova de seleção de Doutorado-PPGMAT-UFAL 2022.2
1. Seja K ⊂ Rn um conjunto compacto e conexo. Seja f : K → Rn contı́nua.
(a) Mostre que ϕ : K → Rn × Rn dado por ϕ(x) = (x, f (x)) é contı́nua. Use isso para
concluir que o conjunto graf (f ) := {(x, f (x)); x ∈ K} é conexo e compacto.
Resposta:
a) Considere (xn )n , xn ∈ K para todo n ∈ N, uma sequência convergente em K. Seja
x ∈ K tal que x = limn→∞ xn . Como f é contı́nua, temos
lim ϕ (xn ) = lim (xn , f (xn )) = (x, f (x)) = ϕ(x).
n→∞
n→∞
Pelo critério de continuidade usando sequências, concluı́mos que ϕ é contı́nua. Para a
outra parte, basta observar que graf(f ) = ϕ(K), ou seja, é a imagem do conjunto K
por ϕ. Como ϕ é contı́nua (a qual leva compacto em compacto e conexo em conexo),
temos que ϕ(K) é compacto e conexo. Portanto vale o mesmo para graf(f ).
(b) Seja p ∈ Rn um ponto que pertence a imagem de f. Prove que f −1 (p) não é homeomorfo
a Rn .
Resposta:
Seja p ∈ Im(f ). Como {p} é um conjunto fechado e f é uma função contı́nua, temos que
f −1 (p) é um conjunto fechado. Como f −1 (p) é subconjunto fechado de um compacto K,
segue que f −1 (p) é compacto. Suponha que haja um homeomorfismo h : f −1 (p) → Rn .
Daı́ Rn = h (f −1 (p)), ou seja, seria igual a imagem de um compacto por uma função
contı́nua. Mas isso é uma contradição, já que implicaria que Rn seria um conjunto
compacto.
2. Mostre que a equação
xy − z log y + exz = 1
pode ser resolvida de modo único na forma y = g(x, z) em uma vizinhança aberta de (0, 1, 1).
Resposta:
Considere a função F (x, y, z) = xy − z log y + exz e p = (0, 1, 1). Note que F (p) = 1 e
∂F
(p) = −1.
∂y
A afirmação segue então do Teorema da Função Implı́cita.
3. Considere a aplicação H : (0, ∞) × (0, 2π) × (0, π) → R3 definida por
H(ρ, θ, φ) = (ρ cos θsenφ, ρ sin θsenφ, ρ cos φ)
Mostre que H é um difeomorfismo sobre sua imagem. Determine também a imagem de H
e sua inversa.
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Resposta: Com uma rápida análise, é possı́vel mostrar que H é injetiva. Além disso, o
determinante jacobiano de H em um ponto arbitrário do domı́nio é dado por −ρ2 sin φ,
o qual nunca se anula no domı́nio de H. Portanto, pelo Teorema da Aplicação Inversa,
H é um difeomorfismo local. Sendo H injetiva, temos que H é um difeo global sobre
sua imagem. Além
disso, efetuando cálculos diretos temos que H −1 (x, y, z) = (ρ, θ, φ) é
p
dado por ρ = x2 + y 2 + z 2 , θ = cos−1 √ x2 2 e φ = cos−1 √ 2 z 2 2 . A imagem de H é
x +y
x +y +z
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R \{(x, y, z) : y = 0 e x ≥ 0}.
4. Encontre os valores de máximo e mı́nimo da função f (x, y, z) = y 2 − 10z sujeito a condição
x2 + y 2 + z 2 = 36.
Resposta:
Inicialmente notemos que a função f é contı́nua no compacto dado por A := {(x, y, z); x2 +
y 2 + z 2 = 36}, logo ela atinge seu valor de máximo. Usando o método de multiplicadores de
Lagrange, obtemos que os pontos crı́ticos (x, y, z) de f devem satisfazer ao seguinte sistema:
0 = 2xλ
2y = 2yλ
−10 = 2zλ
2
x + y 2 + z 2 = 36
(1)
para certo λ ∈ R . Usando a primeira e a terceira equação, obtemos que x = 0. Usando
a segunda equação temos que λ = 1 ou y = 0. Assumindo que y = 0 obtemos que
z = ±6, obtendo o seguinte ponto
(0, 0, 6). Agora assumindo que λ = 1,
√ (0, 0, −6) e √
11,
−5)
e
(0,
11, −5). Calculando os valores obtemos
obtemos
os
seguintes
pontos:
(0,
−
√
√
f (0, − 11, −5) = 61 f (0, 11, −5) = 61 f (0, 0, −6) = 60 f (0, 0, 6) = −60. Portanto 61
é o valor de máximo e −60 é o valor de mı́nimo.
5. Prove que o gráfico de uma função integrável f : A ⊂ Rn → R, definida num bloco ndimensional tem medida nula em Rn+1 .
Resposta: Para toda partição P do bloco A, o gráfico de f está contido na reunião dos blocos
(n + 1) dimensionais B × [mB , MB ], B ∈ P , onde mB e MB denotam, respectivamente, o
supremo e o ı́nfimo de f em B. O volume de cada um dessesP
blocos é (Mb − mB )vol(B).
Como f é integrável, dado > 0 existe uma partição P tal que B∈P (Mb − mb )vol(B) < .
Portanto o gráfico de f tem medida nula.
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